Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
2
Funcions derivables
1 FUNCIÓ DERIVABLE EN UN PUNT
Recordem que una funció
lim
hd0
f és derivable en un punt x = a si existeix el límit:
f(a + h ) − f(a )
h
El límit anterior s’anomena la derivada de la funció en el punt
Anomenant a + h = x u h = x − a, escriurem:
f(x ) − f(a )
f ∏ (a ) =lim
x−a
xda
x = a i es representarà per: f ∏ (a ).
(utilitzarem preferentment aquesta darrera expressió)
El significat i el càlcul d’aquest límit ja ha estat discutit anteriorment; el que ens interessa
aquí és determinar quan una funció és o no derivable i per què. Aquesta qüestió se’ns presentarà
principalment en les funcions definides a trossos, freqüents en Física, per exemple.
EXEMPLE
Considerem la funció:
f(x ) = 3 + x 2 − 1 , la gràfica de la qual és:
Aquesta funció es pot escriure com una funció definida a trossos:
 x2 + 2


f(x ) =  4 − x 2

 2
 x +2
x [ −1
−1 < x < 1
xm1
És fàcil comprovar que la funció és derivable en tot punt x ! 1 i x ! −1
com podem veure si apliquem la definició. Ara bé, si provem de
calcular la derivada de la funció en els punts x = 1; x = −1, la qüestió no és tan simple. Per començar,
quina expressió de
lim
xd1
f(x ) hem de substituir en la fórmula:
f(x ) − f(1 )
?
x−1
Si ho pensem bé, la resposta és òbvia: depen de com calculem el límit, per la dreta o per l’esquerra.
Per donar resposta a aquesta qüestió cal definir el concepte de derivades laterals. Abans, però
considerarem una propietat important de les funcions derivables en un punt.
Funcions derivables
1
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
2 DERIVADES I CONTINUÏTAT
Perquè una funció sigui derivable en un punt, caldrà que sigui contínua en el punt. El següent teorema ens ho
demostra:
Una funció derivable en un punt és contínua en aquest punt:
La demostració és simple; hem de veure que:
lim
f(x ) = f(a )
xda
o, el que és el mateix:
lim
f(x ) − f(a ) = 0;
xda
Considerem les igualtats:
f(x ) − f(a )
f(x ) − f(a ) = x − a $ (x − a ) u
lim
xda
f(x ) − f(a ) (
f(x ) − f(a )
lim (x − a )
x − a $ x − a ) = lim
x − a $ xda
xda
Al ser la funció derivable en el punt, el següent límit existeix (serà un nombre real):
lim
xda
f(x ) − f(a )
f(x ) − f(a )
(x − a ) = f ∏ (a ) $ lim
(x − a ) = f ∏ (a ) $ 0 = 0 »
x − a u lim
x − a $ lim
xda
xda
xda
Atenció: fixem-nos que si la funció no és derivable en el punt, el límit
lim
xda
f(x ) − f(a )
x−a
no existeix i, per tant, el producte de límits anterior no té sentit.
3 DERIVADES LATERALS
Definició:
Direm que una funció f és derivable per la dreta en el punt
(límit quan x d a per la dreta):
lim
xda +
x = a si existeix el següent límit
f(x ) − f(a )
x−a
aquest límit s’anomena derivada per la dreta en el punt, i es representa: f +∏ (a ).
Anàlogament, es defineix la derivada per l’esquerra
f −∏ (a ) =xda
lim−
Si una funció és derivable, aleshores ha d’existir el límit
de ser iguals.
lim
xda
f(x ) − f(a )
x−a
f(x ) − f(a )
. Per tant, les derivades laterals han
x−a
EXEMPLE
Estudiar la derivabilitat de la funció
Funcions derivables
 x2 + 2


f(x ) =  4 − x 2

 2
 x +2
x [ −1
−1 < x < 1
en el punt
x = 1.
xm1
2
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Solució:
Calculem les derivades laterals en el punt:
1) Derivada per la dreta:
2) Derivada per l’esquerra:
lim+
2
2
f(x ) − f(1 )
= lim+ x + 2 − 3 = lim+ x − 1 = lim+ (x + 1 ) = 2
x−1
x−1
x − 1 xd1
xd1
xd1
lim
2
2
f(x ) − f(1 )
= lim− 4 − x − 3 = lim− 1 − x = lim− −(x + 1 ) = −2
x−1
x−1
x − 1 xd1
xd1
xd1
xd1
xd1 −
Per tant, la funció no és derivable en el punt. La interpretació gràfica del resultat és senzilla: en el punt
x = 1 se’ns defineixen dues tangents, l’una per la dreta, amb pendent +2 i l’altra per l’esquerra amb
pendent -2.
f+' =2
Figura: Derivades laterals en el punt
f -' =-2
 x2 + 2


f(x ) =  4 − x 2

 2
 x +2
x = 1 per a la funció
x [ −1
−1 < x < 1
xm1
4 PROBLEMES
1.- Indiqueu on no són derivables i per què les següents funcions, els gràfics de les quals són:
Funció B
Funció A
Funció C
2.- Considera la funció:
resposta.
Funcions derivables
f(x ) = 1 − 3 x 2 . Hi ha algun punt on la funció no sigui derivable? Justifica la
3
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
3.- Estudia si la funció
 x 2 − 3 si x [ 2

f(x ) = 
 4x − 7 si x > 2

és derivable.
 7 − x 2 si x < 2

4.- La mateixa qüestió per a la funció f(x ) = 
 x + 1 si x m 2

feu un esquema de la gràfica de la
funció i de la gràfica de la seva funció derivada.
 x3
si x m 1

5.- Calculeu a i b perquè la funció f(x ) = 
 ax 2 + b si x < 1

sigui derivable en el punt
x = 1.
6.- Trobeu les derivades per la dreta i per l’esquerra de les següents funcions en els punts que
s’indiquen:
A)
f(x ) = ln x en x = 1
B)
f(x ) = sin x enx = ✜
5 MÀXIMS I MÍNIMS LOCALS
Vegem primer la següent definició:
Definició:
Direm que la funció f(x ) té un màxim local en un punt x 0 del seu domini si existeix un entorn d’aquest
punt tal que, per a tot x d’aquest entorn es verifica:f(x ) [ f(x 0 ). (Anàlogament es defineix un mínim
local).
Els màxims i mínims locals també s’anomenen també màxims i mínims relatius. (Vegeu la figura).
Anem a veure una propietat important dels màxims i mínims locals de
funcions derivables:
MÀXIM LOCAL
Teorema 1
Si una funció té un màxim (o mínim) relatiu en un punt x 0 i és
derivable en aquest punt, aleshores:
f ∏ (x 0 ) = 0
Demostració
1) En un entorn de
x0
x 0 , si considerem un punt x > x 0 , és té:
f (x ) < f (x 0 ) e
2) Anàlogament, per a
f (x ) − f (x 0 )
<0
x − x0
x < x 0 , tindrem:
f (x ) < f (x 0 ) e
f (x ) − f (x 0 )
>0
x − x0
(ja que
x0
és un màxim local).
Per tant, si fem els límits laterals de les expressions anteriors, tindrem:
Funcions derivables
4
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
1)
lim
xdx 0 +
f (x ) − f (x 0 )
[0 e
x − x0
f ∏+ (x 0 ) [ 0
(La derivada per la dreta ha de ser negativa o nul·la).
2)
lim
xdx 0 +
f (x ) − f (x 0 )
m0 e
x − x0
f ∏− (x 0 ) m 0
(La derivada per l’esquerra ha de ser positiva o nul·la).
Ara bé, la funció és derivable en el punt
x 0 , per tant, les derivades laterals han de ser iguals, o sigui:
f ∏+ (x 0 ) = f ∏− (x 0 ) = 0 »
El significat d’aquest teorema és obvi: en un
màxim o mínim local d’una funció derivable,
la tangent és horitzontal. Vegeu figura:
f ' ( x0) = 0
f (x ) − f (x 0 )
>0
x − x0
El fet que els màxims o mínims locals de funcions
derivables siguin punts de derivada nul·la permetrà
calcular els màxims i mínims absoluts d’una funció
derivable en un inerval tancat.
f (x ) − f (x 0 )
<0
x − x0
x
x0
x
6 MÀXIMS I MÍNIMS ABSOLUTS D’UNA
FUNCIÓ DERIVABLE EN UN INTERVAL TANCAT
Una funció contínua en un interval tancat té un valor
màxim i un valor mínim absoluts en l’interval. Si aquesta
funció és derivable, aquest valor màxim o mínim s’assolirà
en els extrems de l’interval o bé en un màxim o mínim
relatiu dins de l’interval en qüestió.
Valor màxim
5
Exemple:
Estudiem la funció
4
f (x ) = 5 − x 2
en l’interval
[−2, 1 ]:
Tenim:
1)
f (−2 ) = 1; f (1 ) = 4
f ∏ (x ) = 2x, aquesta derivada
s’anula en un punt de l’interval: f ∏ (0 ) = 0.
Valor mínim
2) La derivada de la funció és
1
3) Busquem aleshores la imatge de
x = 0; f (0 ) = 5
Per tant:
Mínim absolut en l’interval, en el punt:
-2
1
Màxim absolut en l’interval, en el punt:
(−2, 1 )
(0, 5).
Estem ja en condicions d’enunciar i demostrar una
important propietat de les funcions derivables: el teorema de Rolle. Aquest teorema té aplicacions importants,
entre d’altres ens permetrà deduir el teorema del valor mig, a partir del qual s’estableixen criteris per
determinar els intervals de creixement i decreixement d’una funció derivable, així com un primer criteri per
determinar els màxims i mínims relatius d’una funció.
Funcions derivables
5
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
7 EL TEOREMA DE ROLLE
Teorema 2 (Rolle)
Suposem que f(x ) és contínua en un interval
[a, b ] i derivable en l’interval (a, b ). Suposem, a més que
f(a ) = f(b ). Aleshores existeix almenys un punt c c (a, b ) tal que f ∏ (c ) = 0.
Demostració
Si la funció és contínua en l’interval
Aleshores si:
[a, b ] tindrà un valor màxim i un valor mínim sobre aquest interval.
a) El valor màxim es presenta en un punt
c entre a i b, segons l’apartat anterior és f ∏ (c ) = 0 »
b) El valor mínim es presenta en un punt
c entre a i b, segons l’apartat anterior és f ∏ (c ) = 0 »
c) El valor màxim i el mínim es presenten en els extrems. Aleshores, això vol dir que la funció és constant i,
en conseqüència, per a tot valor de l’interval és f ∏ = 0 »
Les tres figures A, B i C ens il·lustren els casos respectius:
FIGURA B
a
b
a
b
FIGURA A
Punt angulós
FIGURA D
FIGURA C
a
b
a
b
Fixem-nos que per aplicar aquest teorema és necessari que la funció sigui derivable. En cas contrari, el
teorema és fals. (Figura D).
8 EL TEOREMA DEL VALOR MIG
Teorema 3 (dels increments finits o del valor mig)
Suposem que f és una funció contínua en [a, b ] i derivable en
un punt c c (a, b ) tal que:
f ∏ (c ) =
Funcions derivables
(a, b ); en aquestes condicions existeix
f(b ) − f(a )
b−a
6
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Demostració
Considerem la funció g(x ) = [f(b ) − f(a )] $ x − (b − a ) $ f(x ); aquesta funció és contínua en [a, b ] i derivable en
(a, b ); és immediat comprovar que: g(a ) = g(b ). Per tant, la funció g verifica les hipòtesis del teorema de Rolle
en l’interval [a, b ]; en conseqüència, existeix un punt c c (a, b ) tal que:
f(b ) − f(a )
g ∏ (c ) = f(b ) − f(a ) − (b − a ) $ f ∏ (c ) = 0 d (a✐¨llant) d f ∏ (c ) =
b−a
»
El significat del teorema és senzill: si calculem la taxa mitjana de variació en un interval [a, b ], en algun punt
d’aquest interval, la taxa instantània (derivada) ha de ser igual a la taxa mitjana. Gràficament, això significa
que, en algun punt, la recta tangent és paral·lela a la secant.
f (b)
f(b)-f(a)
α
f (a)
tan✍ =
b-a
a
c
f(b ) − f(a )
= f ∏ (c )
b−a
b
9 RELACIÓ ENTRE EL SIGNE DE LA DERIVADA I LA VARIACIÓ DE LA FUNCIÓ EN UN
INTERVAL
El Teorema del valor mig ens permetrà relacionar el signe de la derivada d’una funció en un interval amb el
sentit de la variació d’aquesta funció en l’interval.
Definició:
Direm que la funció f(x ) és creixent en un interval
qualssevol punts a, b de l’interval, es verifica:
I si, per a
a < b u f(a ) [ f(b )
La figura il·lustra la definició:
a
b
(Anàlogament, definim el concepte de funció decreixent).
Teorema 4
Considerem una funció derivable en un determinat interval I. Si, per a tot
A)
B)
C)
f
f
f
x c I es compleix:
x ) = 0 d La funció és constant en l’interval.
> 0 d La funció és creixent en l’interval.
∏ (x ) < 0 d
La funció és decreixent en l’interval.
∏(
∏ (x )
Demostració
Considerem dos punts qualssevol a, b de l’interval, amb a < b. La funció és derivable en I; per tant, podrem
aplicar-li el TVM en l’interval [a, b ]; en conseqüència, per a algun c c (a, b ) es verificarà:
Funcions derivables
7
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
 A) f ∏ (c ) = 0 d f(b ) = f(a ) d f és constant

f(b ) − f(a )
∏
= f (c ) u tenim tres casos  B) f ∏ (c ) > 0 d f(b ) > f(a ) d f és creixent
b−a
 C) f ∏ (c ) < 0 d f(b ) − f(a ) d f és decreixent

»
A partir d’aquest teorema podem deduir un criteri per identificar ràpidament els màxims i mínims relatius
d’una funció derivable:
Conseqüència:
Suposem que el punt a és un màxim relatiu d’una funció derivable. És evident que, en aquesta
situació podrem trobar un interval (x, a) en el qual la funció sigui creixent i un interval (x, b ) on la
funció sigui decreixent. Dit d’una altra manera: a l’esquerra d’un màxim relatiu la funció és creixent i
a la dreta és decreixent. Per tant, podem enunciar el següent corol·lari:
Criteri de la primera derivada
Suposem que una funció contínua i derivable verifiqui que
del punt x = a, tenim:
f ∏ (x ) > 0 si x < a
f ∏ (a ) = 0. Aleshores, si, en algún entorn
f ∏ (x ) < 0 si x > a d la funció té un màxim relatiu en el punt.
i
De la mateixa manera, per a un mínim relatiu es complirà la condició contrària.
Exemple
Determinar els intervals de monotonia, màxims i mínims relatius de la funció
f(x ) = 2x 2 − x 4 .
Solució
La derivada de la funció és:
f ∏ (x ) = 4x − 4x 3 u igualem a zero: u 0 = 4x − 4x 3 ; aquesta equació té tres solucions: x = 0, x = !1;
És útil fer-se la taula següent (fixem-nos que la funció és contínua i derivable en tots els reals):
(−∞, −1 )
Signe f ’
Funció
+
Creixent
-1
(−1, 0 )
0
(0, 1 )
1
(1, +∞ )
0
−
0
+
0
−
M
Decreixent
La funció té màxims relatius en x =
immediatament si fem la gràfica:
M
m
Creixent
M
Decreixent
!1 i un mínim relatiu en x = 0, com podrem comprovar
1
M
m
-1
0
1
La taula anterior s’anomena taula de variació de la funció, i és especialment útil quan es tracta de
construir-ne les gràfiques.
Funcions derivables
8
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
10 CONCAVITAT I CONVEXITAT
Considerarem ara altres aspectes a tenir en compte en l’estudi d’una funció, com és el tipus de
curvatura que ens presenta. Vegem per començar dos exemples:
1) Fixem-nos que una funció pot crèixer de dues maneres diferents:
2) Anàlogament, pot ser decreixent:
Podem, per tant, a més del creixement o decreixement, considerar altres aspectes relacionats amb la
curvatura de la gràfica d’una funció.
Definició:
Direm que una funció derivable és convexa en un punt
tangent són més grans que les de la funció.
x = a si, en un entorn d’aquest punt, les imatges de la
t(x)
f(a)
Funció convexa en x=a
(En un entorn del punt, la tangent
queda per damunt de la funció)
t(x) > f(x)
a
Anàlogament, es defineix una funció còncava:
f(a)
Funció còncava en x=a
(En un entorn del punt, la tangent
queda per sota de la funció)
t(x) < f(x)
a
Funcions derivables
9
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Definició:
Direm que una funció és còncava (convexa) en un interval si ho és en tots els punts d’aquest interval.
Vegem ara una propietat de les funcions còncaves en un interval:
Suposem que tenim una funció còncava en un determinat interval. Considerem les rectes tangents en dos
punts qualssevol d’aquest interval:
Observem que:
✍ < ✎ d tan✍ < tan✎
(ja que la tangent és creixent amb l’angle).
D’altra banda, sabem que:
f (a ) =tan ✍
f ∏( )
b =tan ✎
∏
α
β
a
b
La figura ens indica que, donats dos punts
qualsevol de l’interval, si la funció és còncava,
es verificarà:
a < b u f ∏ (a ) < f ∏ (b )
Per tant:
S una funció és còncava en un interval, la seva funció derivada és una funció creixent. Anàlogament, si la
funció derivada d’una determinada funció és creixent en un interval, la funció és còncava en aquest interval.
Les mateixes consideracions ens valen per a una funció convexa. A partir d’aquí, tenim el següent teorema:
Teorema
Considerem una funció derivable dues vegades en un determinat interval I. Si, per a tot punt
compleix:
f ∏∏ (x ) > 0;
x c I es
Aleshores la funció és còncava en l’interval.
Demostració:
(1) Si
(2) Si
f ∏∏ (x ) > 0 u f ∏ (x ) és creixent per a tots els punts de l’interval .
f ∏ (x ) és creixent, segons la propietat anterior, la funció és còncava en L’interval. »
Teorema (Criteri de la segona derivada)
Considerem una funció derivable dues vegades en un punt x = a. Suposem que f ∏ (a ) = 0 ; aleshores,
si f ∏∏ (a ) > 0, la funció té un mínim relatiu en el punt. Si f ∏∏ (a ) < 0, la funció té un màxim relatiu en
aquest punt.
Demostració:
Màxim relatiu
Mínim relatiu
f convexa
f ' (a)=0
f '' (a)<0
Funcions derivables
f còncava
Fixem-nos en la figura de
l’esquerra:
Un raonament intuïtiu ens
indica que, en un màxim
relatiu la funció ha de ser
convexa i, en un mínim,
còncava.
f ' (a)=0
f '' (a)>0
10
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
D’altra banda, una funció és decreixent a l’esquerra d’un mínim i creixent a la seva dreta, això ens permet fer
la següent demostració més rigorosa:
Suposem que
f ∏∏ (a ) > 0, segons la definició de derivada, això implica:
f ∏ (x ) − f ∏ (a )
f ∏ (x )
f ∏∏ (a ) =lim
= xda
lim x − a > 0 (ja que, f ∏ (a ) = 0) ; si considerem les derivades laterals en
x−a
xda
el punt:
f ∏ (x )
lim x − a > 0 u (en un entorn de x=a), per a x>a, tindrem:
f ∏ (x )
lim
> 0 u (en un entorn de x=a), per a x<a, tindrem:
xda − x − a
xda +
f ∏ (x )
∏
x − a > 0 d f (x ) > 0
f ∏ (x )
∏
x − a > 0 d f (x ) < 0
Però això significa que, per a x > a, la funció és creixent i per a x < a, la funció és decreixent; per tant, en el
punt x=a, la funció té un mínim relatiu. (Anàlogament es demostra el cas d’un màxim relatiu).
11 PUNTS D’INFLEXIÓ
Direm que un punt x = a és un punt d’inflexió còncau-convex de la funció si, en un entorn del punt x = a, la
funció és còncava per a x < a i convexa per a x > a. Anàlogament es defineix un punt d’inflexió convex-còncau.
La figura il·lustra les dues definicions. Observem que en el cas de funcions derivables, en un punt d’inflexió, la
tangent travessa la gràfica de la funció.
f''(x)<0
f''(x)>0
f''(a)=0
f còncava
f''(a)=0
f còncava
f convexa
f''(x)>0
x=a punt d'inflexió
convex-còncau
f convexa
f''(x)<0
x=a punt d'inflexió
còncau-convex
Raonant amb la segona derivada d’una funció de la mateixa manera que ho fèiem per determinar els
màxims i mínims relatius, tindrem que:
1) Suposem que f ∏∏ (a ) = 0 i que, en un entorn d’aquest punt es té f ∏∏ (x ) > 0 per a x
Per a x < a; aleshores la funció té un punt d’inflexió convex-còncau en el punt x=a.
> a i f ∏∏ (x ) < 0
2) Suposem que f ∏∏ (a ) = 0 i que, en un entorn d’aquest punt es té f ∏∏ (x ) < 0 per a x
Per a x < a; aleshores la funció té un punt d’inflexió còncau-convex en el punt x=a.
> a i f ∏∏ (x ) > 0
És a dir, en els punt d’inflexió, la segona derivada canvia de signe. (Notem que en els màxims i
mínims relatius és la primera derivada la que canvia de signe).
Fixem-nos que els raonaments que hem fet servir per determinar els màxims i mínims d’una funció són els
mateixos que per als punts d’inflexió (en aquest cas hem de raonar derivant un cop més); per tant, podem dir
que:
Si f ∏∏ (a ) = 0 (condició necessària de punt d’inflexió) i
d’inflexió de la funció.
Funcions derivables
f ∏∏∏ (a ) ! 0 aleshores, el punt x = a és un punt
11
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
QUADRE RESUM: MÀXIMS, MÍNIMS I PUNTS D'INFLEXIÓ
Criteri 1ª derivada: (Signe de f' en un entorn de x=a)
Mínim
f ' passa de - a +
f ' passa de + a Màxim
Estudi de la 1ª derivada
MÀXIMS I MÍNIMS
Condició necessària:
f ' (a) = 0
Criteri 2ª derivada: (Signe de f '' en el punt)
Mínim
f '' (a) > 0
f '' (a) < 0
Màxim
Condició suficient: (Signe de f '' en un entorn de x = a)
Punt d'inflexió còncau-convex
f '' (x) passa de + a f '' (x) passa de - a +
Punt d'inflexió convex- còncau
Estudi de la 2ª derivada
PUNTS D'INFLEXIÓ
Condició necessària:
f '' (a) = 0
Condició suficient: (Derivada tercera: f ''' (a) )
f ''' (a) > 0
Punt d'inflexió convex - còncau
f ''' (a) < 0
Exemple
Determinar els màxims, mínims i punts d’inflexió de
Solució:
1) Notem que el domini de la funció és
2) Derivem la funció:
El punt
u
f(x ) = ln(1 + x 2 )
‘. Es tracta d’una funció contínua i derivable.
f(x ) = ln(1 + x 2 ) d f ∏ (x ) =
f ∏ (x ) = 0
Punt d'inflexió còncau - convex
2x d Igualem a zero la derivada:
1 + x2
2x = 0
1 + x2
u
x=0
x = 0 és un possible màxim o mínim; per determinar-ho podem utilitzar dos mètodes:
A) Criteri de la primera derivada: (Estudi del signe de f ‘ )
(−∞, 0 )
f∏: −
0
(0, +∞)
0
f∏: +
m
(En el punt
x = 0 hi tenim un mínim relatiu)
B) Criteri de la segona derivada:
2
f ∏∏ (x ) = 2 1 − x 2 d f ∏∏ (0 ) = 2 u x = 0 és un mínim relatiu (2ª derivada positiva)
(1 + x 2 )
Funcions derivables
12
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
3) Els punts d’inflexió han d’anul·lar necessàriament la segona derivada; per tant els determinarem resolent
l’equació:
2
0 =2 1−x 2 =0
(1 + x 2 )
u
1 − x2 = 0
u
x = !1
Aquests dos punts són candidats a punts d’inflexió. Fent una taula semblant a la taula de variació (aquí la
referirem al signe de la segona derivada), tenim:
x
f
∏∏
f
(−∞, −1 )
(−1, 1 )
−
−1
0
(1, +∞ )
+
1
0
convexa
I
còncava
I
convexa
−
Si ens estimem més no fer la taula, caldrà tornar a derivar:
3
f ∏∏∏ (x ) = 4 x − 3x2 d f ∏∏∏ (!1 ) ! 0 u Els dos punts, x = !1 són d’inflexió.
(1 + x 2 )
12 PROBLEMES
12.1 Problemes sobre derivabilitat de funcions
a) Proveu que:
 x 3 − 2x + 1 si x < 1
f(x ) =  2
si x m 1
 x − 1
no és derivable en
b) Determineu
x = 1.
a i b perquè la funció:
 a $ ex − 1
si x [ 0

−x
si 0 < x [ 1
f(x ) =  b $ e
 3
si x > 1

sigui contínua. Estudieu la derivabilitat de la funció en aquest cas.
c) Estudia si la funció següent és derivable en el punt
x = 2:
 3x − 1 si x < 2

f(x ) = 
 x 2 + e x−2 si x m 2

12.2 Teoremes de Bolzano, Rolle i del valor mig
a) Volem resoldre l’equació de segon grau següent: x 2 − 2x − 4 = 0. Malauradament, quan anem a buscar les
solucions, ens adonem que se’ns ha espatllat la tecla de l’arrel quadrada en la calculadora (passa a les millors
famílies) i, fet encara més greu però no menys habitual, no sabem buscar arrels quadrades de forma manual.
Què podríem fer ?
b) Demostreu que l’equació
a les centèssimes.
x 3 + 2x − 4 = 0 té una solució en l’interval [1, 2 ]. Aproximeu aquesta solució fins
c) Considereu la funció polinòmica
P n (x ) = 0
f(x ) = P n (x ). Demostreu que si n és imparell, aleshores l’equació:
té almenys una solució real. Podem dir el mateix si el grau del polinomi és parell?
Funcions derivables
13
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
d) Estudieu si es pot aplicar el teorema de Rolle en els intervals que s’indiquen i feu-ho si és el cas:
0, 1
3
1.
f(x ) = x − 3x 2
2.
f(x ) = x 3 − 2x 2 − x + 2
3.
f(x ) = x − 2
en
4.
f(x ) = x +x 2
en
5.
2
f(x ) = x − x
x−2
en
[0, 1 ]
6.
2
f(x ) = x x− 1
en
[−1, 1 ]
e) Demostreu que
en
en
[1, 2 ]
[−2, 2 ]
[1, 3 ]
x 7 + 2x + 1 té una sola arrel real.
p(x ) és un polinomi de grau superior a 1, proveu que entre dues arrels consecutives de p ∏ (x ) hi ha com a
molt una arrel de l’equació p(x ) = 0.
f) Si
g) Demostreu que els polinomis de la forma
x 2n+1 + ax + b
(amb
a > 0) tenen, com a molt, una arrel real.
h) Estudieu si podem aplicar el T.V.M. en cada un dels casos següents i trobeu els punts en els quals el
pendent de la tangent coïncideix amb la secant pels extrems de l’interval.
1.
f(x ) = x 2 + 1
en
[−3, 1 ]
2.
f(x ) = x +x 1
en
1 ,2
2
3.
f(x ) = x − 3
en
[3, 12 ]
12.3 Intervals de monotonia. Punts estacionaris.
a) Trobeu els intervals de monotonia de les funcions indicant i classificant els seus punts estacionaris, si és el
cas:
1.
f(x ) = 3x − 4
2.
f(x ) = x 3 − 3x 2 + 4
3.
f(x ) =
4.
f(x ) = x 5
5.
f(x ) =
6.
f(x ) = x $ e x
7.
2
f(x ) = x − 2x + 1
x−1
8.
f(x ) = ln(1 + x 2 )
9.
f(x ) = x − sin x
10.
Funcions derivables
x2
+1
x2
x2 + 3
−x
f(x ) = x $ ln x
14
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
b) Sabent que la funció f(x ) = (x + a )(x 2 − 4 ), on a és un
nombre real, té un màxim i un mínim relatius, i que el màxim
relatiu s'assoleix en el punt
mínim relatiu.
x = − 1 , trobeu l'abscissa del
3
c) Teniu una funcióf(x )definida per a x c [−2, 2 ]. Sabeu que el
gràfic de f '(x) és de la forma que s’indica en la figura adjunta.
(On f ' (–1) = 0, f' (0) = –1, f' (1) = 1) i que f (0) = 2).
Dibuixeu un gràfic aproximat de f(x) indicant en quins punts hi
ha extrems relatius.
(Els problemes b i c són de selectivitat).
12.4 Concavitat i convexitat. Punts d’inflexió.
a) Determineu els intervals de concavitat i convexitat trobant els punts d’inflexió de les funcions següents:
1.
f(x ) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 8
2.
f(x ) = 5 x 2
3.
f(x ) = x 4 − 2x 2
4.
f(x ) =
5.
f(x ) = x 2 $ e −x
6.
f(x ) = ln(1 + x 2 )
7.
f(x ) = x 5
8.
b) Trobeu
a, b, c, d
1
1 + x2
f(x ) = x x + 3
tals que la funció
f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
tingui un màxim local en
(3, 3 ), un mínim en
(5, 1 ) i un punt d’inflexió en (4, 2 ).
c) Existeix algun valor de
a
a amb (a > 0 ) tal que f(x ) = ln x + 1
té algun punt d’inflexió ?
d) Demostreu que el punt mitjà del segment que uneix un màxim i un mínim relatiu de la funció
f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d és un punt d’inflexió. (Indicació: useu la fórmula que dóna la suma de les arrels
d’un polinomi de segon grau en funció dels seus coeficients).
12.5 Problemes diversos sobre funcions (PAAU)
a) Determineu el valor que ha de tenir k perquè la funció
(és a dir, existeixi
b) Sigui
2
f(x ) = 2x − 3kx + 5 tingui límit quan x tendeix a 2
x−2
lim f(x )) i calculeu el valor que tindrà aquest límit.
xd2
f(x ) = mx − 2 , on m és un paràmetre.
x−1
1) Determineu per a cada valor del paràmetre m el valor del límit
lim f(x ) (si existeix).
xd1
2) Per a quins valors de m la derivada f'(x) de la funció f(x) és positiva per a tot x?
c) Donada la funció
f(x ) = x e+x 1 , determineu l'equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt
on s'anul·la la segona derivada.
Funcions derivables
15
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
13 EL TEOREMA DE CAUCHY
Considerem dues funcions f, g contínues en un mateix interval
existeix un punt c c (a, b ) tal que:
[a, b ] i derivables en l’interval (a, b ). Aleshores,
f ∏ (c ) $ [g(b ) − g(a )] = g ∏ (c ) $ [f(b ) − f(a )]
en el cas que
g(b ) ! g(a ) i g ∏ (c ) ! 0, es té:
f(b ) − f(a )
f ∏ (c )
= ∏
g(b ) − g(a ) g (c )
,
que és l’expressió més usual del teorema de Cauchy.
Demostració
La funció
h(x ) = f(x ) $ [g(b ) − g(a )] − g(x ) $ [f(b ) − f(a )]
és contínua en [a, b ]i derivable en (a, b ), ja que és una combinació de dues funcions contínues i
derivables. D’altra banda, fixem-nos que:
h(a ) = f(a )g(b ) − g(a )f(b ) = h(b )
per tant, la funció satisfà les condicions del teorema de Rolle en l’interval
c c (a, b ) tal que h ∏ (c ) = 0, per tant:
[a, b ]. Existeix un punt
h ∏ (x ) = f ∏ (x ) $ [g(b ) − g(a )] − g ∏ (x ) $ [f(b ) − f(a )] u
u f ∏ (c ) $ [g(b ) − g(a )] − g ∏ (c ) $ [f(b ) − f(a )] = 0, d’on es dedueix:
f ∏ (c ) $ [g(b ) − g(a )] = g ∏ (c ) $ [f(b ) − f(a )] »
14 LA REGLA DE L’HÔPITAL
D’una forma o d’una altra, tant en el tema 1 com en el tema 2 hem hagut de considerar el càlcul elemental de
límits. Recordem que, donades dues funcions f , g, si existeixen lim f i lim g , aleshores:
1)
lim(f + g )(x ) = lim f(x ) + lim g(x )
(El límit d’una suma és la suma dels límits)
2)
lim(f $ g )(x ) = lim f(x ) $ lim g(x )
(El límit d’un producte és el producte de límits)
3)
lim f(x )
(lim g(x ) ! 0 )
lim gf (x ) =
lim g(x )
(El límit d’un quocient és el quocient de límits)
4)
lim g(x )
lim(f g )(x ) = (lim f(x ))
(Sempre que
lim f(x ) > 0)
Fins ara hem parlat dels casos de límits d’operacions amb funcions que es calculen operant amb els límits (el
que suposa que els límits siguin finits). En el cas en que algun dels límits o els dos siguin infinits, poden
aparèixer el que es coneix com a expressions indeterminades. Fem una classificació de les indeterminacions:
∞−∞
1) Amb l’addició:
∞
3) Amb la divisió: ∞
i
0
0
2) Amb la multiplicació:
0$∞
4) Amb la potenciació:
1∞
,
(+∞ ) 0
,
00
Algunes de les indeterminacions han estat estudiades a primer de batxillerat. Els problemes apareixen quan
analitzem expressions exponencials o bé quan tractem amb funcions que no siguin polinomis o arrels
(trigonomètriques, logarítmiques, exponencials).
Funcions derivables
16
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
La regla de l’Hôpital permet resoldre els casos d’indeterminació més usuals. L’enunciarem només en el cas
més senzill:
Teorema (regla de l’Hôpital)
Suposem que dues funcions
aquestes condicions, es té:
lim
xda
f(x )
g(x )
=
f i g són derivables en un entorn del punt x = a i que f(a ) = g(a ) = 0; en
f ∏ (x )
g ∏ (x )
lim
xda
La demostració rigorosa d’aquest teorema depassa els objectius del curs. Podem donar-ne, però una
justificació basada en el Teorema de Cauchy de la forma següent:
x = a; això vol dir que si considerem
[a, x ], tindrem (Teorema de Cauchy) que hi haurà algun punt c c (a, b ) tal que:
1) Suposem que la funció és derivable en un entorn del punt
un interval
f ∏ (c )
f(x )
f ∏ (c )
f(x ) − f(a )
= ∏
u
= ∏
g(x ) g (c )
g(x ) − g(a ) g (c )
2) D’altra banda, si fem
lim
xda
f(x )
g(x )
=
(ja que
f(a ) = g(a ) = 0)
x d a és obvi que c d a, d´on deduïm:
lim
cda
f ∏ (c )
g ∏ (c )
3) I, per tant, podem concloure (ja que “c” és una variable muda)
lim
xda
f(x )
g(x )
=
lim
xda
f ∏ (x )
g ∏ (x )
»
Exemples
1) Per calcular el límit següent:
lim sinx x
xd0
(Indeterminació
0)
0
Podrem fer:
lim sinx x =lim cos x = cos 0 = 1
xd0
xd0
1
2) El límit següent:
2
lim x e+x 3
xd+∞
és un límit del tipus
∞.
∞
Aquests límits es poden resoldre també aplicant la regla de l’Hôpital (encara que
x d ∞). Tindrem, doncs:
2
lim x e+x 3 =xd+∞
lim 2x
e x d (torna a donar la mateixa indeterminació, tormen a aplicar L’Hôpital) d
xd+∞
2 =0 ».
lim 2x
lim e2x = ∞
e x =xd+∞
xd+∞
Funcions derivables
17
INSTITUT MATADEPERA
Departament de Matemàtiques
Matemàtiques 2n Batxillerat
2-Funcions Derivables
3) El límit
lim x $ ln x
xd0
és de la forma
0 $ ∞ ; aquest límit es pot transformar fàcilment en una expressió del tipus ∞
∞
escrivint-lo:
1
lim x $ ln x =lim ln x =lim x =lim x = 0 »
xd0
xd0
xd0
1
− 12 xd0
x
x
Exercicis sobre la regla de l’Hôpital
1) Calculeu els límits següents:
A)
D)
G)
lim sin x
xd0
2x
1 sin 2x − x
lim 2
xd0
4x 2
lim
xd0
ln(1 + 2x )
tan 3x
B)
3x
−5x
lim e − e
xd0
sin 7x
C)
lim
ln(x − 1 )
x−1
E)
3
2
+2
lim x3 − 3x
2
xd1 x − x − x + 1
F)
lim
(1 − cos x ) $ sin x
x2
H)
lim 1x $ sin x
xd0
2
I)
xd1
xd0
lim x − sin x
xd0 cos x − 1
2) On es troba l’error en la següent aplicació de la regla de l’Hôpital? (El límit en realitat és -4)
3
lim x2 + x − 2
xd1 x − 3x + 2
Funcions derivables
=
2
lim 3x + 1
xd1 2x − 3
=
lim 6x = 3
xd1 2
18