Case Study Fisika Statistik
Kelompok 4 Kelas C:
Alfyana Hidayanti
(K2320007)
Binti Mustamiul Azizah
(K2320022)
Sagita Widyastuti
(K2320067)
Velisa Nur’aini
(K2320073)
Fungsi distribusi : fungsi sejumlah partikel tiap satuan volume dalam ruang fase partikel
tunggal. Pada titik tertentu, fungsi distribusi bernilai sama dengan probabilitas. Jika X adalah
variabel sembarang, fungsi distribusi nya merupakan
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋≤𝑥)
Dimana 𝑃(𝑋≤𝑥) merupakan probabilitas bahwa X bernilai kurang dari atau sama dengan x.
Probability density function : PDF adalah blok bangunan paling dasar dalam deskripsi statistik
suatu variabel. PDF adalah ukuran seberapa besar kemungkinan variabel memiliki nilai tertentu.
PDF yang diamati pada dasarnya adalah histogram yaitu jumlah kemunculan suatu nilai dalam
rentang tertentu.
Binomial dan Poisson tergolong dalam distribusi diskrit, sedangkan distribusi gauss tergolong
dalam distribusi kontinu.
1.
Uraikan kedua jenis distribusi tersebut dan temukan perbedaannya.
Distribusi diskrit merupakan peubah acak yang ruang rentangnya berupa himpunan yang
berhingga (finite) atau tak berhingga namun masih dapat terhitung (denumerable/countably
infinite) dengan probabilitas tertentu yang peubahnya secara teoritis tidak dapat menerima
sembarang nilai yang diberikan dengan sifat-sifat sebagai berikut ini:
𝑝 (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ϵ 𝑅𝑥
𝑑𝑎𝑛
∑ 𝑝(𝑥) = 1
𝑥ϵ𝑅𝑥
Distribusi kontinu merupakan peubah acak yang dapat menerima semua nilai pada skala
kontinu.
Dimana terdapat perbedaan diantara keduanya yaitu
Distribusi Diskrit
Distribusi Kontinu
Distribusi diskrit dikenalkan menggunakan Distribusi
fungsi massa probabilitas
kontinu
dikenalkan
dengan
fungsi kepadatan probabilitas
Peubahnya secara teoritis tidak dapat Peubah acak yang dapat memperoleh
menerima sebarang nilai
semua nilai pada skala kontinu
Distribusi peluang diskrit atau variabel Distribusi peluang kontinu atau variabel
diskrit adalah variabel yang nilainya tidak kontinu adalah variabel yang nilainya dapat
dapat dalam bentuk pecahan
dalam bentuk pecahan
Variabel random diskrit adalah variabel Distribusi peluang kontinu itu tidak terukur
random yang dapat dihitung (countable).
(infinite)
Variabel acak diskrit jika digambarkan Variabel acak kontinu jika digambarkan
pada sebuah garis interval akan berupa menjadi sebuah garis interval, berupa
deretan titik-titik yang terpisah.
deretan titik yang bersambung membentuk
suatu garis lurus.
Distribusi Binomial
Digunakan ketika terdapat dua luaran kemungkinan (khusus). Ingat secara definitive binomial.
Hasil luarannya diberi label "sukses/berhasil" dan "gagal". Distribusi binomial digunakan untuk
mendapatkan probabilitas mengamati keberhasilan x dalam uji coba sebanyak n, dengan
probabilitas keberhasilan pada uji coba tunggal dilambangkan dengan p. Distribusi binomial
mengasumsikan bahwa p tetap untuk semua percobaan.
Persamaan untuk fungsi PDF-nya adalah
𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
𝑃(𝑥) = 𝐶𝑥𝑝 𝑞
q = probabilitas gagal dalam trial tunggal
p = 1- q
2. Kemungkinan seorang pasien dengan serangan jantung meninggal karena serangan itu adalah
0,04 (yaitu, 4 dari 100 meninggal karena serangan itu). Misalkan kita memiliki 5 pasien yang
mengalami serangan jantung, berapa probabilitasnya semua akan selamat?
Penyelesaian :
dari ke 5 pasien dengan probabilitas semua akan selamat maka diketahui x = 5, dan jumlah
pasien n = 5, dengan nilai probabilitas gagal dalam trial tunggal q = 0,04 , probabilitas
keberhasilan pada uji coba tunggal p = 1-0,04 = 0,96. Kemudian substitusikan ke dalam
persamaan :
𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
𝑃(𝑥) = 𝐶𝑥𝑝 𝑞
5
5
0−0
𝑃(5) = 𝐶50, 96 0, 04
𝑃(𝑥) =
5!
0!5!
5
0, 96
𝑃(𝑥) = 0, 815
Jadi, probabilitas semua akan selamat sebesar 0,815
3. Misalkan 80% orang dewasa dengan alergi melaporkan gejala sembuh dengan obat tertentu.
Jika obat tersebut diberikan kepada 10 pasien baru dengan alergi, berapa kemungkinan obat
itu efektif pada tujuh pasien?
Penyelesaian:
Diketahui:
𝑥=7
𝑝 = 0, 8
𝑛 = 10
𝑞 = 0, 2
Ditanya: 𝑃(7) =...?
𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
Jawab: 𝑃(𝑥) = 𝐶𝑥𝑝 𝑞
𝑃(7) =
10!
3!7!
7
3
(0, 8) (0, 2) = 120 · 0, 21 · 0, 008 = 0, 201
4. Boleh kalian gunakan excel atau Matlab untuk membuat plot grafik berikut
p = 0.1, N = 100, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 100.
p = 0.25, N = 100, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 100.
p = 0.5, N = 100, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 100.
p = 0.8, N = 100, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 100.
5. Buatlah simpulan dari kelima grafik tersebut (hubungkan dengan nilai parameter lambda)
Semakin besar nilai p maka distribusi akan semakin bergeser ke nilai x yang lebih besar (ke
kanan). Rentang distribusi atau simpangan baku untuk p = 0.2 adalah sama dengan distribusi
pada p = 0.8 walaupun pada rentang nilai x yang berbeda. Rentang distribusi atau simpangan
baku untuk p = 0.5 merupakan yang paling besar sedangkan yang paling kecil yaitu rentang
distribusi untuk p = 0.2.
Persamaan untuk CDF dapat dituliskan
𝑥
𝑛 𝑖 𝑛−𝑖
𝐹(𝑥; 𝑝, 𝑛) = Σ𝑖=0𝐶𝑖 𝑝 𝑞
6. Buatlah grafik untuk CDF dengan nilai lambda seperti pada grafik PDF
Distribusi Poisson
Dikembangkan oleh Simeon Denis Poisson (Perancis) pada tahun 1837. Variabel Poisson
memenuhi kondisi berikut :
1) Memodelkan sejumlah kejadian yang terjadi dalam dalam interval waktu tertentu
2) Probabilitas kejadian selama interval waktu yang kecil sebanding dengan lamanya
interval waktu.
Persamaan untuk fungsi PDF-nya adalah
−λ 𝑥
𝑃(𝑥; λ) =
𝑒 λ
𝑥!
Untuk x = 0, 1, 2, …
λ merupakan ukuran parameter yang mengindikasikan rata-rata jumlah kejadian dalam interval
waktu tertentu.
7. Seorang Penjual menjual rata-rata 3 polis asuransi tiap minggu. Dengan menggunakan
distribusi Poisson, hitunglah probabilitas penjual tersebut akan menjual
a. Beberapa polis
b. 2 polis atau lebih tetapi kurang dari 5 polis
c. Dengan mengasumsikan bahwa ada 5 hari kerja tiap minggu, berapa probabilitas pada
hari tertentu penjual tersebut akan menjual satu polis?
Penyelesaian:
a. Beberapa polis
Probabilitas ditentukan dengan melakukan perhitungan pada 0 polis yaitu:
𝑃(𝑥 > 0) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0)
dengan λ = 3 sehingga diperoleh
−3 0
𝑃(𝑥 = 0; 3) =
𝑒 3
0!
= 0. 04978
maka
𝑃(𝑥 > 0; 3) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0; 3) = 1 − 0. 04978 = 0. 95022
b. 2 polis atau lebih tetapi kurang dari 5 polis
𝑃(2 ≤ 𝑥 < 5; 3) = 𝑃(𝑥 = 2; 3) + 𝑃(𝑥 = 3; 3) + 𝑃(𝑥 = 4; 3)
−3 2
−3 3
=
𝑒 3
2!
𝑒 3
3!
=
(0.0498) 9
2
+
+
−3 4
+
𝑒 3
4!
(0.0498) 27
6
+
(0.0498) 81
24
= 0. 224 + 0. 224 + 0. 168
= 0. 616
c. Dengan mengasumsikan bahwa ada 5 hari kerja tiap minggu, berapa probabilitas pada
hari tertentu penjual tersebut akan menjual satu polis?
Rata-rata jumlah polis yang terjual dalam 5 hari kerja tiap minggu yaitu
3
5
= 0. 6
Menjual satu polis maka x = 1 sehingga
−1.6
𝑃(𝑥 = 1; 1. 6) =
𝑒
1
1.6
1!
=
(0.2018) 1.6
1
= 0. 32929
8. Jika kegagalan daya listrik terjadi menurut distribusi Poisson dengan rata-rata 3 kegagalan
setiap dua puluh minggu, hitung probabilitas bahwa tidak akan ada lebih dari satu kegagalan
selama minggu tertentu.
Penyelesaian:
Misalkan X menjadi variabel acak Poisson.
Diberikan λ =
3
20
= 0. 15
Hukum probabilitas Poisson, memberikan x kegagalan per minggu diperoleh dari
−λ 𝑥
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
(𝑒 λ )
𝑥!
−0,15
=
(𝑒
(0,15)𝑥)
𝑥!
𝑥 = 0, 1, 2, 3,..........
Maka probabilitas bahwa tidak akan ada lebih dari satu kegagalan diberikan oleh
𝑃 ( 𝑋 ≤ 1; 0, 15) = 𝑃(0; 0, 15) + 𝑃(1; 0, 15)
−0.15
= 𝑒
−0.15
= 𝑒
[1 + 0. 15]
(1. 15) = (0. 8607) (1. 15) = 0. 9898
Boleh kalian gunakan excel atau Matlab untuk membuat plot grafik berikut
1)
λ = 5, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 50.
2)
λ = 10, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 50.
3)
λ = 15, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 50.
4)
λ = 25, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 50.
5)
λ = 40, rentang untuk nilai x dari 0 sampai 70.
9. Buatlah simpulan dari kelima grafik tersebut (hubungkan dengan nilai parameter lambda)
Semakin besar 𝜆 maka distribusi (median) akan semakin bergeser kekanan (x semakin besar)
dan rentang distribusi atau simpangan baku juga akan semakin besar atau (modus) akan
semakin rendah.
Persamaan untuk CDF dapat dituliskan
𝑥
𝐹(𝑥; λ) = Σ𝑖=0
−λ 𝑖
𝑒 λ
𝑖!
10. Buatlah grafik untuk CDF dengan nilai lambda seperti pada grafik PDF
Disribusi Gauss
Distribusi Gaussian juga disebut distribusi normal. Plot grafiknya adalah sebagai berikut
11. Tentukan ciri khusus dari distribusi Gaussian.
a. Teori distribusi memiliki nilai mean, median, dan juga modus yang sama. Oleh karena itu
distribusinya sering disebut dengan unimodal. Kurva distribusi bisa bersifat simetris
dengan bentuk lonceng atau bell curve.
b. Titik puncak kurva pada nilai rata-rata, nilai ini berada di posisi tengah kurva. Kemudian
pada data distribusi terletak pada sekitar garis lurus yang ditarik ke bawah yang berasal
dari titik tengah.
c. Nilai rata-rata atau mean merupakan nilai dengan standar deviasi untuk menentukan
lokasi dan juga bentuk distribusi tersendiri.
d. Jumlah luas daerah yang terletak di bawah kurva normal memiliki nilai 1. Di antaranya
adalah setengah (1/2) pada sisi kanan dan juga setengah (1/2) pada sisi kiri. Hal ini juga
berlaku ke seluruh distribusi probabilitas kontinyu.
e. Kurva distribusi disimpulkan jika setengah dari data populasi kemudian memiliki nilai
yang kurang dari angka rata-rata. Sementara bagian yang lain lagi punya nilai yang jauh
lebih besar.
f. Masing-masing ekor kurva pada kedua sisi kemudian dapat memanjang dengan tak
terbatas. Di berbagai kasus perhitungan distribusi, ekor kurva bahkan dapat memotong
sumbu horizontal.
12. Tuliskan persamaan PDF nya.
2
𝑃(𝑥) =
1
σ 2π
−
(𝑥−μ)
𝑒
2σ
2
μ = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 atau median atau modus
2
σ = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖
x = variabel kontinu
Buka link berikut https://jurnal.fmipa.unila.ac.id/jtaf/article/view/2608/1905
13. Cermati penerapan dari fungsi distribusi gauss di artikel tersebut.
Dalam artikel tersebut, distribusi gaussian 1 dimensi dan 2 dimensi dimanfaatkan untuk
menggambarkan proses difusi partikel. Dimana ditujukan untuk mengetahui probabilitas
partikel yang berdifusi. Dalam artikel ini akan dilakukan perbandingan dari distribusi partikel
bebas dalam 1 dimensi dan 2 dimensi dengan menggunakan dua pembangkit yaitu bilangan
random normal dan box muller.
14. Buatlah plot grafik analitiknya untuk distribusi Gaussian 1 dimensi dengan menuliskan nilai
tiap parameternya
𝑃(𝑥) =
1
4π𝐷𝑡
𝑒
−
(𝑥−𝑥0)2
4𝐷𝑡
Parameter:
𝐷 =1
𝑡 = 1; 2; 4; 8; 16
𝑥 =− 30 ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 30
𝑥0 = 2