Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Н. Буков, А. М. Бронников, Условия инвариантности выхода линейных систем, Автомат. и телемех., 2005, выпуск 2, 23–35
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и
согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 213.230.72.19
4 августа 2017 г., 11:04:05
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà,  2, 2005
2005 ã.
Â. Í. ÁÓÊÎÂ, ä-ð òåõí. íàóê,
À. Ì. ÁÎÍÍÈÊÎÂ, êàíä. òåõí. íàóê
(Âîåííî-âîçäóøíàÿ èíæåíåðíàÿ àêàäåìèÿ èì. ïðî. Í.Å. Æóêîâñêîãî, Ìîñêâà)
ÓÑËÎÂÈß ÈÍÂÀÈÀÍÒÍÎÑÒÈ ÂÛÕÎÄÀ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Íà îñíîâå ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì êàíîíèçàöèè îáîñíîâûâàþòñÿ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíâàðèàíòíîñòè ïî âûõîäó äëÿ ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì. Ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ óêàçàííóþ èíâàðèàíòíîñòü. åçóëüòàòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà çàäà÷ó
ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè. Ñòàòüÿ îãðàíè÷èâàåòñÿ ðàìêàìè ëèíåéíûõ
ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì áåç çàïàçäûâàíèé è îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëåíèå. Ïðèâîäèòñÿ èëëþñòðèðóþùèé ïðèìåð.
1. Ââåäåíèå
1.1. Ñîñòîÿíèå âîïðîñà
åøåíèå çàäà÷è èíâàðèàíòíîñòè ïîäðàçóìåâàåò îïðåäåëåíèå òàêîé ñòðóêòóðû è
ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ êà÷åñòâî óíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû íå çàâèñèò îò âîçìóùåíèé. Âïåðâûå íà âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ, èíâàðèàíòíîé ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì, áûëî óêàçàíî
.Â. Ùèïàíîâûì [1℄. Ïîçäíåå òåîðèÿ èíâàðèàíòíîñòè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ, êîòîðûå îáëàäàþò íå÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ê âîçìóùåíèÿì ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñèñòåìû (ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü) [2, ñ. 12℄,
à òàêæå ñòàâèòñÿ çàäà÷à äâóêðàòíîé èíâàðèàíòíîñòè, ò.å. îäíîâðåìåííîé íå÷óâñòâèòåëüíîñòè ñèñòåìû ê ïàðàìåòðè÷åñêèì è âíåøíèì âîçìóùåíèÿì [2, ñ. 58℄.
Íà âçãëÿä àâòîðîâ, â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå â íàèáîëåå îáùåì âèäå çàäà÷à èíâàðèàíòíîñòè ïî âûõîäó ðåøåíà â [3℄. Ïóñòü ëèíåéíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ
ïðåäñòàâëåíà â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé â âèäå
(1)
(2)
(3)
ẋ = Ax + Bu + Sw,
y = Cx,
u = Kx,
x(t0 ) = x0 ,
ãäå x ∈ Rn , u ∈ Rl , y ∈ Rm è w ∈ Rs âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ, óïðàâëåíèÿ, âûõîäà
è âîçìóùåíèÿ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâåííî; êîìïîíåíòû âåêòîðà w ïðèíàäëåæàò êëàññó ïðîèçâîëüíûõ íåïðåðûâíûõ óíêöèé; A, B , S è C ìàòðèöû ñ ïîñòîÿííûìè
÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðîâ; K ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè
÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè, íàçûâàåìàÿ ðåãóëÿòîðîì.
 [3, ñ. 121℄ çàäà÷à èíâàðèàíòíîñòè ñòàâèòñÿ êàê îïðåäåëåíèå ðåãóëÿòîðà K ,
îáåñïå÷èâàþùåãî íåçàâèñèìîñòü âûõîäà ñèñòåìû îò âîçìóùåíèÿ. Îòâåò íà âîïðîñ î
ñóùåñòâîâàíèè òàêîãî ðåãóëÿòîðà ñîðìóëèðîâàí â âèäå òåîðåìû [3, . 125℄, ñîãëàñíî êîòîðîé ïðîáëåìà èíâàðèàíòíîñòè ê âîçìóùåíèÿì èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî
23
òîãäà, êîãäà V ∗ ⊃ im S , ãäå V ∗ ìàêñèìàëüíîå (A, B)-èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùååñÿ â ÿäðå ìàòðèöû C , im S îáîçíà÷åíèå îáðàçà S , ñèìâîëîì ⊃
îáîçíà÷åíî îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ. Êðîìå òîãî, â [3, . 133℄ ïðåäñòàâëåíà ïðîöåäóðà ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà V ∗ , ïîçâîëÿþùàÿ ñîðìèðîâàòü óêàçàííîå
ïîäïðîñòðàíñòâî çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Íî â [3℄ îòñóòñòâóþò1 â îáùåì âèäå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ èíâàðèàíòíîñòü ñèñòåìû.
Îïûò ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ñèíòåçà ñèñòåì ïîêàçûâàåò, ÷òî, êàê ïðàâèëî,
íàðÿäó ñ îáåñïå÷åíèåì èíâàðèàíòíîñòè ê ñèñòåìå ïðåäúÿâëÿåòñÿ öåëûé ðÿä äðóãèõ
íåîòúåìëåìûõ òðåáîâàíèé:
• óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû â öåëîì (îòîáðàæåíèÿ A + BK );
• çàäàííîå êà÷åñòâî ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âûõîäà ñèñòåìû;
• âîçìîæíîñòü ðåêîíèãóðàöèè ïðè îòêàçàõ áåç ïîòåðè êà÷åñòâà è ò.ä.
Åñëè â ðàìêàõ ðåøåíèÿ çàäà÷è èíâàðèàíòíîñòè ïîëó÷åíî âñå ìíîæåñòâî ýêâèâàëåíòíûõ ðåøåíèé, òî â äàëüíåéøåì ïðè íàëîæåíèè íà ñèñòåìó äðóãèõ òðåáîâàíèé
ìîæåò áûòü ïðîâåäåí èñ÷åðïûâàþùèé àíàëèç ïî âîçìîæíîñòè èõ óäîâëåòâîðåíèÿ.
Öåëü äàííîé ðàáîòû îïðåäåëåíèå íà îñíîâå àïïàðàòà ïåðåäàòî÷íûõ ìàòðèö
íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû (1)(3) ïî âûõîäó ê
âíåøíèì âîçìóùåíèÿì, àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå íà îñíîâå ýòèõ óñëîâèé ìíîæåñòâà
âñåõ ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ ðåøåíèå çàäà÷è èíâàðèàíòíîñòè. àáîòà îãðàíè÷èâàåòñÿ êëàññîì ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå (1)(3) áåç
çàïàçäûâàíèé è îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëåíèå. Ïðîâîäèìûå èññëåäîâàíèÿ îñíîâàíû
íà èñïîëüçîâàíèè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì êàíîíèçàöèè,
êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ òåõíîëîãèè âëîæåíèÿ ñèñòåì [4℄.
1.2. Ìåòîä êàíîíèçàöèè
 [4℄ êàíîíèçàöèåé íàçâàíî íå îáÿçàòåëüíî åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ëþáîé ìàòðèöû M ðàçìåðà m×n è ðàíãà r íà ÷åòâåðêó ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùåìó
ðàâåíñòâó â áëî÷íîé çàïèñè:
"
#
h
i fL
M
Ir
0r×(n−r)
R
r×m
R
f
M
=
,
M
M
L
n×(n−r)
n×r
0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)
M (m−r)×m
L
R
fL è M
fR ãäå M è M ëåâûé è ïðàâûé äåëèòåëè íóëÿ ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, M
ëåâûé è ïðàâûé êàíîíèçàòîðû, Ir åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà r × r.
L
R
Ëåâûé M
ïðàâûé M
äåëèòåëü íóëÿ ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà õàðàêòåðèçóåò
âñå ëèíåéíî çàâèñèìûå êîìáèíàöèè ñòðîê (ñòîëáöîâ) èñõîäíîé ìàòðèöû M
L
R
M M = 0(m−r)×n M M = 0m×(n−r) .
Ïðè ýòîì âñå ìíîæåñòâî äåëèòåëåé íóëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçìåðîâ äëÿ ìàòðèöû M
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè
L
{ML}ζ = ζM ,
R
{MR }ξ = M ξ
ñ ìàòðèöàìè ζ è ξ ðàçìåðîâ q × (m − r) è (n − r) × g ñîîòâåòñòâåííî ñ ïðîèçâîëüíûìè
ýëåìåíòàìè, ãäå q è g ëþáûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çäåñü è äàëåå â íèæíèõ èíäåêñàõ
ïðè èãóðíûõ ñêîáêàõ ìíîæåñòâ óêàçàíû âàðüèðóåìûå ìàòðèöû, ïîðîæäàþùèå âñå
ýëåìåíòû ýòèõ ìíîæåñòâ.
1
24
Ïîëàãàåì, ÷òî â òåðìèíàõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ýòî ñäåëàòü âåñüìà ñëîæíî.
Òàáëèöà
Âèä óðàâíåíèÿ
Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè
íàçâàíèå
îðìóëà
Ëåâîñòîðîííåå
AX = B
A B=0
Ïðàâîñòîðîííåå
XC = B
BC
Äâóñòîðîííåå
AXC = B
A B = 0, BC
Ôîðìóëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
L
R
L
R
{X}µ = A∼ B + A µ
{X}η = BC ∼ + ηC
=0
R
=0
R
L
{X}µ,η = A∼ BC ∼ + A µ + ηC
L
Ïðè ðåøåíèè ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì êàíîíèçàöèè èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå
ñâîäíîãî êàíîíèçàòîðà M ∼ , âû÷èñëÿåìîãî ïî îðìóëå
f RM
f L.
M∼ = M
Ñâîäíûé êàíîíèçàòîð õàðàêòåðèçóåò ñîâîêóïíîñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîìáèíàöèé ñòðîê è ñòîëáöîâ èñõîäíîé ìàòðèöû. ×àñòíûì ñëó÷àåì ñâîäíîãî êàíîíèçàòîðà
ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ïî Ìóðó Ïåíðîóçó [5, ñ. 500℄.
Ó îáðàòèìîé ìàòðèöû M äåëèòåëåé íóëÿ íåò, à ñâîäíûé êàíîíèçàòîð åäèíñòâåííûé è ñîâïàäàåò ñ îáðàòíîé ìàòðèöåé M −1 .
Íååäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû íà äåëèòåëè íóëÿ è êàíîíèçàòîðû ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ïðè åå ïðèìåíåíèè äîñòîèíñòâà äðóãèõ ìåòîäîâ. Òàê, íàïðèìåð,
äëÿ ìèíèìèçàöèè âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, êàíîíèçàöèÿ ìîæåò áûòü ëåãêî ïîñòðîåíà íà îñíîâå ìîäèèêàöèè àëãîðèòìà àóññà [4℄. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîëó÷åíèÿ
íîðìàëüíîãî ðåøåíèÿ èëè äëÿ ïîâûøåíèÿ îáóñëîâëåííîñòè àëãîðèòìà ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíî ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå [5, ñ. 492℄, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì
êàíîíèçàöèè.
 òàáëèöå ïðèâåäåíû óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè è îðìóëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé, èñïîëüçóåìûå â ñòàòüå. Èõ äîêàçàòåëüñòâà îïóáëèêîâàíû
â [4℄.  òàáëèöå áóêâàìè µ è η îáîçíà÷åíû ìàòðèöû òðåáóåìûõ ðàçìåðîâ ñ ïðîèçâîëüíûìè ýëåìåíòàìè.
2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïî îïðåäåëåíèþ èíâàðèàíòíîñòü âûõîäà y ñèñòåìû ïî îòíîøåíèþ ê ïðîèçâîëüíîìó âîçìóùåíèþ w ñâÿçûâàåòñÿ ñ âûïîëíåíèåì òîæäåñòâà
(4)
Fyw (p) = C(pIn − AΣ )−1 S ≡ 0,
ãäå AΣ = A + BK . Çäåñü Fyw (p) ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà îò âîçìóùåíèÿ ê âûõîäó,
p ïåðåìåííàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ðåãóëÿòîð â ñèñòåìå (1)(3) ìîæåò îòñóòñòâîâàòü (K = 0) èëè áûòü çàäàí (ìàòðèöà K
èêñèðîâàíà).  ýòîì ñëó÷àå àíàëèç èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû ê âíåøíèì âîçìóùåíèÿì ìîæåò áûòü ñâåäåí ê ïðîâåðêå ñïðàâåäëèâîñòè òîæäåñòâà (4). Ïðè áîëüøîé
ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé çäåñü ìîãóò âîçíèêàòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ
íåîáõîäèìîñòüþ îáðàùåíèÿ ïîëèíîìèàëüíîé ìàòðèöû áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çàäà÷à ïîèñêà ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùåãî ñïðàâåäëèâîñòü òîæäåñòâà (4) â ñëó÷àå, åñëè ïðè K = 0 îíî íå âûïîëíÿåòñÿ. Íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòü òîæäåñòâî (4) äëÿ ðåøåíèÿ â îáùåì âèäå òàêîé çàäà÷è
çàòðóäíåíî âñëåäñòâèå îïåðàöèè îáðàùåíèÿ ìàòðèöû. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî
íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, âûïîëíåíèå êîòîðûõ ãàðàíòèðîâàëî áû
ñïðàâåäëèâîñòü òîæäåñòâà (4) è êîòîðûå áûëè áû êîíñòðóêòèâíû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà ðåãóëÿòîðà.
25
åøàåìóþ â ðàáîòå çàäà÷ó ðàçäåëèì íà äâå ÷àñòè:
1. Ç à ä à ÷ à à í à ë è ç à. Äëÿ ñèñòåìû (1)(3) ñ çàäàííûìè ìàòðèöàìè A, B, C, S
è K îïðåäåëèòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíâàðèàíòíîñòè ê âíåøíèì
âîçìóùåíèÿì â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà (4).
2. Ç à ä à ÷ à ñ è í ò å ç à ð å ã ó ë ÿ ò î ð à. Äëÿ ñèñòåìû (1)(3) ñ çàäàííûìè ìàòðèöàìè A, B , C è S îïðåäåëèòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà ðåãóëÿòîðà K , îáåñïå÷èâàþùåãî èíâàðèàíòíîñòü ê âíåøíèì
âîçìóùåíèÿì â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà (4), à òàêæå îïèñàòü âñå ðåãóëÿòîðû,
ðåøàþùèå ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó.
3. åøåíèå çàäà÷è àíàëèçà
Ïåðåäàòî÷íóþ ìàòðèöó Fyw (p) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì
îïåðàòîðà p:
Fyw (p) = C(pIn − AΣ )−1 S =
n−1
X
i=0
1
pi+1
CAiΣ S +
1
CAnΣ (pIn − AΣ )−1 S.
pn
Òàêèì îáðàçîì, òîæäåñòâó (4) ýêâèâàëåíòíû óñëîâèÿ
(5)
CAiΣ S = 0,
i = 0, n − 1,
CAnΣ (pIn − AΣ )−1 S = 0,
îòêóäà ïðè i = 0 âûòåêàåò íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè [3, . 127℄
CS = 0.
Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
R
(6)
S = C χ,
ãäå χ íåêîòîðàÿ ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà. Èç àíàëèçà (6) ñëåäóåò, ÷òî
äëÿ èíâàðèàíòíîé ñèñòåìû âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàíãîâîå óñëîâèå
(7)
rank S ≤ rank C
R
= n − rank C.
Ñîðìóëèðóåì òåîðåìó, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ïðèâåäåíî â Ïðèëîæåíèè.
Ò å î ð å ì à 1.  ñèñòåìå (1)(3) ïðè çàäàííûõ ìàòðèöàõ AΣ , C è S îáåñïå÷èâàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà (4) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå2
R
(8)
L
C π S = 0,
ãäå π ìàòðèöà ìàêñèìàëüíîãî ñòîëáöîâîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ
R
(9)
L
R
C π AΣ C π = 0.
2
Çäåñü è äàëåå ïîâòîðíàÿ ÷åðòà ñâåðõó îáîçíà÷àåò ïîâòîðíîå îïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî
äåëèòåëÿ íóëÿ ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà îò êîìáèíàöèè ìàòðèö, ñòîÿùèõ ïîä ýòîé ÷åðòîé.
26
Èç àíàëèçà óñëîâèÿ (9) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû òðåáóåòñÿ îáíóëåíèå îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû AΣ , çàäàâàåìûõ ìàòR
L
R
ðèöàìè C π è C π . Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (9) òîæäåñòâî (4) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ
ëþáîé ìàòðèöû S èç ìíîæåñòâà
(10)
R
{S}µ = C πµ
è äëÿ ëþáîé ìàòðèöû C èç ìíîæåñòâà
(11)
L
R
{C}η = ηC π ,
ãäå µ è η ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðîâ ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè. Óñëîâèå (8) ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü ïðèíàäëåæíîñòü èêñèðîâàííîé ìàòðèöû S ìíîæåñòâó (10). Ìàòðèöà æå C èñõîäíîé ñèñòåìû (1)(3) âñåãäà ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó (11) â ñèëó îñîáåííîñòåé åãî îðìèðîâàíèÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî
àêòà äîñòàòî÷íî çàïèñàòü óðàâíåíèå
(12)
R
L
C = ηC π
è ïðîâåðèòü óñëîâèå åãî ðàçðåøèìîñòè îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû η . Â ñîîòâåòñòâèè ñ
òàáëèöåé òàêèì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ
R
L
CC π
R
R
= CC π = 0,
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà.
Ïðèâåäåì àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ñîðìèðîâàòü ìàòðèöó π ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ (9), çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Ñïðàâåäëèâîñòü àëãîðèòìà ñëåäóåò èç ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.
1. Ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå
(13)
CAΣ C
R
= 0.
Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïðèíèìàåòñÿ π = π0 = I(n−rank C) .
2. Åñëè óñëîâèå (13) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà
(14)
π1 = CAΣ C
R
R
.
Åñëè π1 = 0, òî ñèñòåìà íå îáëàäàåò èíâàðèàíòíîñòüþ, àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (9) ïðè π = π1 .
3. Åñëè óñëîâèå (9) íà ïðåäûäóùåì øàãå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî i óâåëè÷èâàåòñÿ íà
åäèíèöó è îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà i-é èòåðàöèè
(15)
R
L
πi = C πi−1 AΣ C
R
R
.
Åñëè πi = 0, òî ñèñòåìà íå îáëàäàåò èíâàðèàíòíîñòüþ, àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (9) ïðè π = πi .
4. Àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k -ì øàãå ïðè ïåðâîì âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (9).
Ìàòðèöà π ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà èìååò çíà÷åíèå πk .
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà àíàëèçà èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû (1)(3) ïî âûõîäó ñâîäèòñÿ ê îïèñàííîìó âûøå èòåðàöèîííîìó àëãîðèòìó îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû π ìàêñèìàëüíîãî ñòîëáöîâîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (9), ñ ïîñëåäóþùåé ïðîâåðêîé óñëîâèÿ (8). Ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèÿ
ñàìîé ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû Fyw (p).
27
4. åøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà ðåãóëÿòîðà
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå âûøå ðåçóëüòàòû äëÿ ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ äëÿ ñèñòåìû (1)(3) èíâàðèàíòíîñòü ê âîçìóùåíèÿì ïî âûõîäó. Ñîðìóëèðóåì
òåîðåìó, ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîé äîêàçàíà â Ïðèëîæåíèè.
Ò å î ð å ì à 2. Ñèñòåìà (1)(3) ïðè çàäàííûõ ìàòðèöàõ A, B , C è S îáëàäàåò
èíâàðèàíòíîñòüþ ê âîçìóùåíèÿì â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà (4) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (8), â êîòîðîì ìàòðèöà π óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
(16)
L
L
R
B
L
R
C π B C π AC π = 0
è ñèñòåìà çàìêíóòà ëþáûì ðåãóëÿòîðîì èç ìíîæåñòâà
R
R ∼
L ∼
L
L
L
R
R
R
R
R
(17)
{K}χ,γ = − C π B
C π AC π C π
+ C π B χ + γC π ,
ãäå χ è γ ìàòðèöû çàäàííûõ ðàçìåðîâ ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè.
 êîììåíòàðèÿõ ê òåîðåìå 1 áûëî óêàçàíî, ÷òî äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû òðåáóåòñÿ òðèâèàëüíîñòü êîìáèíàöèè (9).  (16) ýòà êîìáèíàöèÿ ñëåâà óìíîæàåòñÿ íà
R
L
L
ìàòðèöó C π B . Òåì ñàìûì óñëîâèå (16) ðàñêðûâàåò âîçìîæíîñòü íåîáõîäèìîãî
äëÿ èíâàðèàíòíîñòè îáíóëåíèÿ êîìáèíàöèé ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû AΣ ïóòåì
ââåäåíèÿ â ñèñòåìó èñêóññòâåííûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé.
Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû π ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà ïðîèçâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ àëãîðèòìîì, îïèñàííûì â ðàçäåëå 3. Îòëè÷èÿ çàêëþ÷àþòñÿ â òîì, ÷òî íà ïåðâîì øàãå
âìåñòî (13) ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå
(18)
L
CB CAC
R
= 0,
ìàòðèöà π1 îïðåäåëÿåòñÿ íå ïî (14), à ïî îðìóëå
(19)
L
π1 = CB CAC
R
R
,
ìàòðèöà πi ïðè i > 1 îïðåäåëÿåòñÿ íå ïî (15), à ïî îðìóëå
(20)
R
L
R
L
R
L
πi = C πi−1 B C πi−1 AC
R
è âìåñòî óñëîâèÿ (9) ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (16).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåäñòàâëåííàÿ çäåñü ìåòîäèêà àíàëèçà èíâàðèàíòíîñòè è
àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà V ∗ [3, . 133℄ äàþò îäíî è òî æå ðåøåíèå. Íî ïðîöåäóðà ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà V ∗ , â îòëè÷èå îò ïðåäñòàâëåííîé ìåòîäèêè, ïðèâîäèò ê
óâåëè÷åíèþ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò çà ñ÷åò ëèøíåé èòåðàöèè è èç-çà îïåðèðîâàíèÿ ìàòðèöàìè áîëüøèõ ðàçìåðîâ, òàê êàê ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå íå èñïîëüçóåòñÿ
àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.
5. àñïðîñòðàíåíèå ðåçóëüòàòîâ íà çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
(21)
ρ = ∆A + ∆BK,
ãäå ∆A è ∆B ïîñòîÿííûå (ïàðàìåòðè÷åñêèå) âîçìóùåíèÿ ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî.
28
Î ï ð å ä å ë å í è å . Ñèñòåìà (1)(3) îáëàäàåò ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòüþ âûõîäà ê ïîñòîÿííûì âîçìóùåíèÿì ρ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî
(22)
Fyx0 (p) = C(pIn − AΣ )−1 ≡ C(pIn − AΣ − ρ)−1 ,
ãäå Fyx0 (p) ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé ê âûõîäó.
Çàäà÷ó àíàëèçà ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû (1)(3) ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü êàê îïðåäåëåíèå óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî (22) ïðè
èêñèðîâàííûõ ìàòðèöàõ AΣ , C è ρ. Çàäà÷à ñèíòåçà ðåãóëÿòîðà çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ è îïèñàíèè âñåõ ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå òîæäåñòâà (22) ïðè èêñèðîâàííûõ ìàòðèöàõ A, B , C è ρ.
Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî (22). Óìíîæèâ (22) ñïðàâà íà îáðàòèìóþ ìàòðèöó
(pIn − AΣ − ρ) è âûïîëíèâ î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì
(23)
C(pIn − AΣ )−1 ρ ≡ 0.
Ñðàâíèâàÿ (4) è (23), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îïðåäåëåíèå óñëîâèé èíâàðèàíòíîñòè ê âíåøíèì è ïàðàìåòðè÷åñêèì âîçìóùåíèÿì ñâîäèòñÿ ê îäíîé è òîé æå ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å. Äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ íà çàäà÷ó
ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè äîñòàòî÷íî â ñîðìóëèðîâàííûõ âûøå òåîðåìàõ 1
è 2 âìåñòî ìàòðèöû S èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó ρ.
6. Ïðèìåð
Ïóñòü â ñèñòåìå (1)(2) ÷èñëîâûå ìàòðèöû èìåþò âèä

(24)

a1 0 a2 a3
 0 a1 0 a4 
A=
,
a5 a6 a7 0 
a8 a8 a2 0
C = [ c c 0 −c ] ,


b1 b2
 0 −b2 
B=
,
0
0 
b1 0


s1 0
 −s1 0 
S=
,
s2 s3 
0
0
ãäå ai , bi , c è si íåðàâíûå íóëþ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
Òðåáóåòñÿ ñèíòåçèðîâàòü ðåãóëÿòîðû, îáåñïå÷èâàþùèå èíâàðèàíòíîñòü ñèñòåìû
ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì, à òàêæå îïèñàòü ìíîæåñòâî âîçìóùåíèé ρ,
ê êîòîðûì â ñèñòåìå ïðè ñèíòåçèðîâàííûõ ðåãóëÿòîðàõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü.
å ø å í è å.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäèêîé, ïðåäñòàâëåííîé â ðàçäåëå 4, ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (18). Âõîäÿùèå â ýòî óñëîâèå ìàòðèöû èìåþò çíà÷åíèÿ
C
R

1
 0
=
0
1
CAC
R
0
1
0
1

0
0 
,
1 
0
CB
L
=[ 0 0 ]
L
= 1,
= [ c(a1 − a8 + a3 + a4 ) c(a1 − a8 + a3 + a4 ) 0 ] .
29
Ïîñêîëüêó óñëîâèå (18) íå âûïîëíÿåòñÿ, íåîáõîäèìî ïî îðìóëå (19) âû÷èñëèòü
ìàòðèöó
L
π1 = CB CAC
"
#
1 0
= −1 0 .
0 1
R
R
= [ c(a1 − a8 + a3 + a4 ) c(a1 − a8 + a3 + a4 ) 0 ]
R
=
Ïðîâåðÿåì óñëîâèå (16) ïðè ðàâåíñòâå π = π1 :

1
R
 −1
C π1 = 
0
0
L
R
C π1
=
L
0 0
C π1 B =
= [1 0],
b1 0
L
R
R
0 0
C π1 AC π1 =
,
0 a2
R
R
L
L

0
0 
,
1 
0
L
L
R
L
R
C π1 B C π1 AC π1 = [1 0]
1 1 0 −1
0 0 0
1
0 0
0 a2
,
= [0 0].
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (16) âûïîëíÿåòñÿ. Òåïåðü ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (8)
R
L
C π S=
1 1 0 −1
0 0 0
1


s1 0
0 0
 −s1 0 
=
.
 s
s3 
0 0
2
0
0
åøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿòîðû, îïðåäåëÿåìûå ïî îðìóëå (17). Çäåñü
èãóðèðóþò ìàòðèöû
R ∼ L ∼
R
0 1/b1
0 −1 0 0
C π1 B
=
,
C π1
=
,
0
0 1 0
0 0
R
L
C π1 B
R
=
0
1
,
ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ â (17) ïðèâîäèò ê îðìóëå
0 0 a2 /b1 0
0
(25)
{K}χ,γ = −
+
[ χ1 χ2 χ3 χ4 ] +
0 0
0
0
1
γ11 γ12
1 1 0 −1
+
=
γ21 γ22
0 0 0
1
γ11
γ11
−a2 /b1
γ12 − γ11
=
,
γ21 + χ1 γ21 + χ2
χ3
γ22 − γ21 + χ4
ãäå γij è χi ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
30
Äëÿ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ïàðàìåòðè÷åñêèõ âîçìóùåíèé ρ, äëÿ êîòîðûõ ïðè ëþáîì ðåãóëÿòîðå èç ìíîæåñòâà (25) îáåñïå÷èâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü,
âîñïîëüçóåìñÿ îðìóëîé (10), çàìåíèâ â íåé â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçäåëîì 5 ìàòðèöó S íà ρ
(26)


1 0 R
 −1 0  µ11 µ12 µ13 µ14
{ρ}η = C πµ = 
=
0 1  µ21 µ22 µ23 µ24
0 0


µ11
µ12
µ13
µ14
 −µ11 −µ12 −µ13 −µ14 
=
,
µ21
µ22
µ23
µ24 
0
0
0
0
ãäå µij ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
7. Çàêëþ÷åíèå
Íà îñíîâå ìåòîäà êàíîíèçàöèè ìàòðèö îáîñíîâàíû óñëîâèÿ èíâàðèàíòíîñòè âûõîäà ñèñòåìû (1)(3) ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì. Ïðè çàäàííûõ ìàòðèöàõ A, B , C , K è S íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè èíâàðèàíòíîñòè
ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿ (8) è (9). Çàäà÷à ñèíòåçà ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùåãî äëÿ ñèñòåìû (1)(3) èíâàðèàíòíîñòü ê ïðîèçâîëüíûì âíåøíèì âîçìóùåíèÿì, èìååò ðåøåíèå
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (8) è (16), à èñêîìîå ìíîæåñòâî ðåãóëÿòîðîâ ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé îïèñûâàåòñÿ (17). Ôèãóðèðóþùèå â óñëîâèÿõ (9) è (16) ìàòðèöû π ìàêñèìàëüíîãî ñòîëáöîâîãî ðàíãà îïðåäåëÿþòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ â
ñîîòâåòñòâèè ñ èòåðàöèîííûìè àëãîðèòìàìè (13)(15) èëè (18)(20). Ïîëó÷åííûå
ðåçóëüòàòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè.
Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ èçâåñòíûìè ïîëîæåíèÿìè òåîðèè èíâàðèàíòíîñòè [3℄ ïîäòâåðæäàåò èõ äîñòîâåðíîñòü. Îñíîâíûìè îòëè÷èÿìè
ïðåäëîæåííîé ìåòîäèêè ÿâëÿþòñÿ ñíèæåíèå îáúåìà âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, à òàêæå àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå âñåõ ðåãóëÿòîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ èíâàðèàíòíîñòü. Òàêîå îïèñàíèå ðàñøèðÿåò âîçìîæíîñòè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ
ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ñèíòåçà ñèñòåì.
ÏÈËÎÆÅÍÈÅ
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.
Îáîçíà÷èì Sm ìàòðèöó S ìàêñèìàëüíîãî
ïîëíîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùóþ (4). Â ñîîòâåòñòâèè ñ (6) ýòà ìàòðèöà îáÿçàòåëüíî
áóäåò îðìèðîâàòüñÿ ïî îðìóëå
R
Sm = C π,
ãäå π ìàòðèöà ìàêñèìàëüíîãî ñòîëáöîâîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó
(Ï.1)
R
C(pIn − AΣ )−1 C π = 0.
Òîãäà âñå ìíîæåñòâî ìàòðèö {S}, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî (4), áóäåò
îïèñûâàòüñÿ (10). Óñëîâèåì ïðèíàäëåæíîñòè èêñèðîâàííîé ìàòðèöû S ñèñòåìû
ìíîæåñòâó (10) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî (8). Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû
31
ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó íåîáõîäèìîñòè è äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ (9) äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (Ï.1). Çàìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî


L
R
L
C
R


(Ï.2)

R ∼  = C π ,
πL C
êîòîðîå ñëåäóåò èç îðìóëû äëÿ ëåâîãî äåëèòåëÿ íóëÿ ìàêñèìàëüíîãî ïîëíîãî ðàíãà
R
R
R
ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö [6℄ ïðè C
= 0 (C ìàòðèöà ïîëíîãî ñòîëáöîâîãî
ðàíãà, ïîýòîìó îíà íå èìååò ïðàâûõ äåëèòåëåé íóëÿ).
Ñíà÷àëà äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ (9). Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (9). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(Ï.3)
R
L
R
C π (pIn − AΣ )C π = 0.
R
Èç (Ï.3) ñëåäóåò, ÷òî îäíèì èç ëåâûõ äåëèòåëåé íóëÿ ìàòðèöû (pIn − AΣ )C π ÿâëÿR
L
åòñÿ ìàòðèöà C π . Ó÷èòûâàÿ ýòî è ðàñêðûâàÿ ëåâûé äåëèòåëü íóëÿ ïðîèçâåäåíèÿ
R
ìàòðèö (pIn − AΣ )C π [6℄, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ìàòðèö:
R
N (p)(pIn − AΣ )C π
L
R
L
R
L
= N (p)C π (pIn − AΣ )−1 = C π ,
R
L
ãäå N (p) îáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Åå îáðàòèìîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìàòðèöû C π ×
R
L
× (pIn − AΣ )−1 è C π èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðû è ðàâíûå ïîëíûå ñòðî÷å÷íûå
ðàíãè. Íî òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
R
L
R
R
L
R
N (p)C π (pIn − AΣ )−1 C π = C π C π = 0.
 ñèëó îáðàòèìîñòè N (p) ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó ñ ó÷åòîì (Ï.2) ýêâèâàëåíòíû ðàâåíñòâà


L
R
C


−1 R
(Ï.4)

R ∼  (pIn − AΣ ) C π =
πL C
"
#
R
C R ∼
=0⇔
(pIn − AΣ )−1 C π = 0,
πL C
R
òàê êàê ìàòðèöà C ÿâëÿåòñÿ äëÿ ìàòðèöû C ëåâûì äåëèòåëåì íóëÿ ìàêñèìàëüíîãî
ðàíãà (íî íåîáÿçàòåëüíî ïîëíîãî ðàíãà, òàê êàê C ìîæåò ñîäåðæàòü ëèíåéíî çàâèñèìûå ñòðîêè). Èç ïðàâîãî áëî÷íîãî ðàâåíñòâà (Ï.4) ñëåäóåò (Ï.1). Ñëåäîâàòåëüíî,
óñëîâèå (9) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (Ï.1).
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ (9) äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (Ï.1).
Ïîñòðîèì åãî òàê, ÷òîáû îäíîâðåìåííî îáîñíîâàòü àëãîðèòì îðìèðîâàíèÿ ìàòðèöû π ìàêñèìàëüíîãî ñòîëáöîâîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùåé (Ï.1).
 ñîîòâåòñòâèè ñ (6) è (7) ìàòðèöåé π ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ðàíãîì áóäåò
îáðàòèìàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà (n−rank C)×(n−rank C). Îáîçíà÷èì åå π0 .
Ïðè ìàòðèöå π0 óñëîâèå (Ï.1) ïðèíèìàåò âèä
(Ï.5)
32
C(pIn − AΣ )−1 C
R
= 0.
Âûïîëíåíèå (Ï.5) âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè îäíèì èç ïðàâûõ äåëèòåëåé íóëÿ
R
ìàòðèöû C(pIn − AΣ )−1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà C
(Ï.6)
R
R
R
C(pIn − AΣ )−1 M0 (p) = (pIn − AΣ )C M0 (p) = C ,
ãäå M0 (p) îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ñ äðîáíî-ïîëèíîìèàëüíûìè ýëåìåíòàìè. Èç (Ï.6)
ñëåäóåò ðàâåíñòâî
R
C(pIn − AΣ )C M0 (p) = CC
R
= 0.
Íî â ñèëó îáðàòèìîñòè M0 (p) ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè
C(pIn − AΣ )C
R
= 0.
Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
(Ï.7)
CAΣ C
R
= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå
(Ï.7) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (Ï.5). Íî
äëÿ π = π0 π0 L = 0 óñëîâèå (Ï.7) ñîâïàäàåò ñ (9).
Åñëè óñëîâèå (Ï.7) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (Ï.1) âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû π , ðàíã êîòîðîé ìåíüøå, ÷åì ðàíã π0 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç π1 ìàòðèöó ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, íî ìåíüøåãî ÷åì rank π0 , ïðè
êîòîðîé âîçìîæíî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (Ï.1). Èç ïðàâîãî óñëîâèÿ (5) ïðè i = 1
ñëåäóåò, ÷òî òàêàÿ ìàòðèöà îáÿçàòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
(Ï.8)
R
CAΣ C π1 = 0.
Òàê êàê (Ï.7) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî π1 áóäåò èìåòü ìàêñèìàëüíûé ðàíã â ñëó÷àå, åñëè
(Ï.9)
π1 = CAΣ C
R
R
ϕ,
ãäå ϕ ëþáàÿ îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ïîäõîäÿùåãî ðàçìåðà ñ ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè.
Òåïåðü îñòàåòñÿ íàéòè íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (Ï.1) ïðè ðàâåíñòâå
π = π1 . Ïî àíàëîãèè ñ ïðèâåäåííûì âûøå àíàëèçîì ñïðàâåäëèâîñòè (Ï.5) èñòèííîñòü ðàâåíñòâà (Ï.1) îáåñïå÷èâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå òîëüêî òîãäà, êîãäà
(Ï.10)
R
R
R
C(pIn − AΣ )−1 M1 (p) = (pIn − AΣ )C M1 (p) = C π1 ,
ãäå M1 (p) ìàòðèöà ñ äðîáíî-ïîëèíîìèàëüíûìè ýëåìåíòàìè, ðàíã è ðàçìåð êîòîðîé
ñîâïàäàþò ñ ðàíãîì è ðàçìåðîì π1 . Èç (Ï.10) ñëåäóåò öåïî÷êà ðàâåíñòâ
L
R
R
R
L
R
C π1 (pIn − AΣ )C M1 (p) = C π1 C π1 = 0.
Ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó ñ ó÷åòîì (Ï.2) ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå äâà ðàâåíñòâà:
(Ï.11)
(Ï.12)
C
R
L
R
(pIn − AΣ )C M1 (p) = 0.
R ∼
R
L
π1
C
(pIn − AΣ )C M1 (p) = 0.
Èç (Ï.11) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâ
C
R
L
R
R
AΣ C M1 (p) = 0 ⇔ CAΣ C M1 (p) = 0,
2 Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà,  2
33
è ïîýòîìó ñ ó÷åòîì íåâûïîëíèìîñòè óñëîâèÿ (Ï.7) ìîæíî çàïèñàòü ðàâåíñòâî
(Ï.13)
M1 (p) = CAΣ C
R
R
λ(p),
ãäå λ(p) îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ïîäõîäÿùåãî ðàçìåðà ñ äðîáíî-ïîëèíîìèàëüíûìè ýëåìåíòàìè. Òåïåðü óìíîæèì (Ï.12) ñïðàâà íà îáðàòèìóþ ìàòðèöó λ−1 (p)ϕ. Ñ ó÷åòîì (Ï.9) è (Ï.13) ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
R ∼
R
π1 L C
(pIn − AΣ )C π1 = 0,
ýêâèâàëåíòíîå ðàâåíñòâó (Ï.12) è ñïðàâåäëèâîå òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
R ∼
R
(Ï.14) π1 L C
AΣ C π1 = 0.
Çàïèñûâàÿ (Ï.8) è (Ï.14) â áëî÷íîì âèäå, ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ (9) â
ðàññìàòðèâàåìîé ïîñòàíîâêå (ò.å. ïðè íåâûïîëíèìîñòè óñëîâèÿ (Ï.7) è ïðè ðàâåíñòâå π = π1 ). Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðàñøèðÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî âûõîäîâ, äëÿ
êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü: âûïîëíÿåòñÿ íå òîëüêî ðàâåíñòâî (Ï.1), íî
è ðàâåíñòâà (Ï.4).
Åñëè (9) íå âûïîëíÿåòñÿ è ïðè ðàâåíñòâå π = π1 , òî ñëåäóþùåé ìàòðèöåé ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, ïðè êîòîðîé âîçìîæíî âûïîëíåíèå (Ï.1), ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà π2 ,
îïðåäåëÿåìàÿ ïî îðìóëå
(Ï.15)
π2 =
"
C R ∼
π1 L C
#
R
AΣ C
R
κ,
ãäå κ îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ïîäõîäÿùåãî ðàçìåðà ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè. Äàëåå äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïî àíàëîãèè.  ðåçóëüòàòå ñïðàâåäëèâîñòü (Ï.1) áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ ìàòðèöà πi , îïðåäåëÿåìàÿ ïî îðìóëå
πi =
"
C
R ∼
L
πi−1
C
#
R
AΣ C
R
κ,
è äëÿ êîòîðîé âûïîëíèòñÿ óñëîâèå (9).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ò å î ð å ì û 2 . Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû ê âîçìóùåíèÿì íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (8) è (9).
àññìîòðèì óñëîâèå (9), ðàñêðûâàÿ îáîçíà÷åíèå AΣ = A + BK , êàê äâóñòîðîííåå
ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû K . Óñëîâèÿìè åãî ðàçðåøèìîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé ÿâëÿþòñÿ
(Ï.16)
R
L
L
R
L
R
C π B C π AC π = 0
R
L
R
R
è C π AC πC π
R
= 0.
R
Íî ïðàâîå óñëîâèå â (Ï.16) âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà, òàê êàê ìàòðèöà C π èìååò ïîëíûé
R
R
ñòîëáöîâûé ðàíã è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî C π = 0. Ïîýòîìó äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùåãî ñïðàâåäëèâîñòü (9), íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (16). Ïðè âûïîëíåíèè (16) âñå ðåãóëÿòîðû, ÿâëÿþùèåñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9), â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé îïèñûâàþòñÿ îðìóëîé (17).
34
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ùèïàíîâ
.Â. Òåîðèÿ è ìåòîäû ïðîåêòèðîâàíèÿ àâòîìàòè÷åñêèõ ðåãóëÿòîðîâ // ÀèÒ.
1939.  1. Ñ. 4966.
Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ / Ïîä ðåä.
Á.Í. Ïåòðîâà, Â.Â. Ñîëîäîâíèêîâà, Þ.È. Òîï÷ååâà. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1967.
Óîíýì Ì. Ëèíåéíûå ìíîãîìåðíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ.
åîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä. Ì.:
Íàóêà, 1980.
Áóêîâ Â.Í., ÿá÷åíêî Â.Í., Êîñüÿí÷óê Â.Â., Çûáèí Å.Þ. åøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ
óðàâíåíèé ìåòîäîì êàíîíèçàöèè // Âåñò. Êèåâ. óí-òà. Ñåð.: Ôèç.-ìàò. íàóêè. Âûï. 1.
Êèåâ: Èçä-âî Êèåâ. íàö. óí-òà, 2002. Ñ. 1928.
Õîðí ., Äæîíñîí ×. Ìàòðè÷íûé àíàëèç. Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1989.
Áðîííèêîâ À.Ì., Áóêîâ Â.Í., Çóáîâ Í.Å., ÿá÷åíêî Â.Í. Àëãåáðàè÷åñêèå îñîáåííîñòè
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â âèäå äåëèòåëåé íóëÿ èõ ïåðåäàòî÷íûõ ìàòðèö // Òåîðèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. 2004.  3. Ñ. 2638.
Ñòàòüÿ ïðåäñòàâëåíà ê ïóáëèêàöèè ÷ëåíîì ðåäêîëëåãèè À.Ï. Êóðäþêîâûì.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16.02.2004
2
∗
35