-1-
Functii
➢
Notiunea de functie :
- Fie A si B doua multimi nevide ;
- Prin functie definita pe multimea A cu valori in B se intelege orice lege ( procedeu
sau conventie etc. ) f , in baza careia oricarui element a  A i se asociaza un unic
element , notat f(a) , din B .
➢
Elementele unei functii :
- Definitia functiei presupune de fapt existenta a trei elemente :
1). O multime A pe care este definite functia si care se numeste domeniul de
definitie al functiei .
2). O a doua multime B , in care ia valori functia si care se numeste domeniul
valorilor functiei sau codomeniul functiei .
3). O lege ( procedeu , conventie etc. ) f .
➢
Notatia unei functii :
- O functie se noteaza :
f : A B
sau
f
A 
 B
sau
x
f ( x)
,x  A
cu legea de corespondenta :
f(x) = y
➢
Imagine . Valoarea functiei :
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-2-
- Elementului x  A ii corespunde prin functia f un unic element din B , care se
noteaza f(x) si se numeste imaginea lui x prin functia f sau valoarea functiei f
in x .
Deci :
➢
y = f(x) se numeste imaginea lui x prin functia f
!!!
Variabila . Argument :
- Un element oarecare x al domeniului de definitie se numeste variabila sau
argument al functiei f .
➢
Egalitatea functiilor :
- Doua functii
f : A  B
si
g : C  D
B= D
si
f(a) = g(a)
A= C
➢
,
se numesc egale daca :
,
( ) a  A
Graficul unei functii :
- Fie f : A  B
o functie ;
- Se numeste graficul acestei functii submultimea Gf a produsului cartezian A x B
formata din perechile ( x , f(x) ) cu x  A :
Gf =
➢
{
( x , f(x) ) / x  A
}
Ecuatia graficului :
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-3-
- Egalitatea f(x) = y , verificata de toate elementele ( x , y ) ale graficului si
numai de acestea , se numeste ecuatia graficului functiei
➢
f .
Functii numerice :
- Functii reale de variabila reala .
- Se numeste functie numerica o functie f : A  B , pentru care atat domeniul
cat si codomeniul sunt submultimi din R , adica A  R , B  R .
- Functiile numerice se mai numesc functii reale de variabila reala .
➢
- Fie
Monotonia functiilor :
f :D  R
, D R
, o functie numerica . Functia f se numeste :
1). Monoton crescatoare pe D daca (  ) x1 , x2  D cu x1 < x2

f (x1)  f (x2)
.
2). Strict crescatoare pe D daca (  ) x1 , x2  D cu x1 < x2

f (x1) < f (x2)


.
3). Monoton descrescatoare pe D daca (  ) x1 , x2  D cu x1 < x2

f (x1)  f (x2)
.
4). Strict descrescatoare pe D daca (  ) x1 , x2  D cu x1 < x2

f (x1) > f (x2)

.
5). Monotona pe D daca : f este crescatoare sau descrescatoare pe D .
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-4-
6). Strict monotona pe D daca : f este strict crescatoare sau strict
descrescatoare pe D .
Functii pare . Functii impare .
Fie o functie f : D  R , D  R , D o multime simetrica .
(xD
➢
 -x D) .
Functie para :
- Functia f se numeste
para daca :
f (-x) = f(x)
, ( )x  D
- Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy .
➢
Functie impara :
- Functia f se numeste
impara daca :
f (-x) = - f(x)
, ( ) x  D
- Graficul unei functii impare este simetric fata de origine .
➢
Observatii :
- Suma si produsul a doua functii pare sunt functii pare ;
- Suma a doua functii impare este o functie impara ;
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-5-
- produsul a doua functii impare este o functie para ;
- produsul unei functii pare cu o functie impara este o functie impara .
Functii periodice
➢
.
Definitia functiei periodice :
- O functie numerica f : D  R , D  R , se numeste periodica de perioada T
daca (  ) x  D , avem x + T  D , x – T  D si :
f(x+T) = f(x)
➢
Observatii :
- Daca T este o perioada , atunci kT este o perioada
( )k Z ;
- Daca exista o cea mai mica perioada , strict pozitiva , aceasta se numeste perioada
principala a lui f .
- functiile sin si cos sunt periodice de perioada T = 2
;
- functiile tg si ctg sunt periodice de perioada T =  ;
- functia f : R  R , f(x) = sin x2 , nu este periodica .
Functii injective .
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-6-
➢
Functie injectiva :
- Fie f : D  C o functie ;
1). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca
(  ) x1 , x2  D ,
x1  x2

f(x1)  f(x2)
altfel spus :
oricare doua elemente distincte din domeniu ai imagini distincte in codomeniu .
2). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca
(  ) x1 , x2  D ,
➢
f(x1) = f(x2)

x1 = x2
Functie care nu este injectiva :
- Functia
f : D C
nu este injectiva daca in multimea D exista cel putin doua
elemente distincte care au imagini egale prin functia f :
exista x1 , x2  D , astfel incat x1  x2
➢

f(x1) = f(x2)
Interpretarea geometrica a injectivitatii :
- Daca f este injectiva , atunci orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza
graficul lui f in cel mult un punct ;
- Daca orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza graficul lui f in cel mult un
punct atunci f este injectiva ;
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-7-
- Daca exista o dreapta paralela cu axa Ox care intersecteaza graficul lui f in cel
putin doua puncte , atunci f nu este injectiva .
➢
Legatura dintre proprietatile de monotonie stricta si injectivitate :
- Fie D o submultime a lui R si o functie f : D  R
1). Daca f este strict monotona , atunci f este injectiva .
2). Daca f este injectiva , nu rezulta in mod necesar ca f este strict
monotona .
3). Daca f nu este injectiva , atunci f nu este strict monotona .
Functii bijective .
➢
Functie bijectiva :
- Functia f : D  C este bijectiva
daca are loc una dintre proprietatile :
1). Functia este injectiva si surjectiva ;
2). Pentru  y  C , ecuatia y = f(x) are solutie unica in D ;
3). Orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei intr-un singur punct .
➢
Proprietati caracteristice ale functiilor injective , surjective sau bijective :
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-8-
- Fie doua multimi D , C o functie f : D  C .
- In cele ce urmeaza ne vom referi la ecuatia y = f(x) , in necunoscuta x  D ,
unde y  C parametru .
1). Functia f este injectiva daca si numai daca , pentru orice y  C , ecuatia
y = f(x) are cel mult o solutie in D .
Functii . Functii injective , surjective , bijective
-9-
1’). Functia f nu este injectiva daca si numai daca exista
y  C astfel incat
ecuatia y = f(x) are cel putin doua solutii in D
2). Functia f este surjectiva daca si numai daca , pentru orice y  C , ecuatia
y = f(x) are cel putin o solutie in D .
2’). Functia f nu este surjectiva daca si numai daca exista
ecuatia y = f(x) nu are nici o solutie in
y  C astfel incat
D.
3). Functia f este bijectiva daca si numai daca , pentru orice y  C , ecuatia
y = f(x) are o solutie si numai una in D .