SISTEMAS
ESTRUCTURALES
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
Autor Responsable:
Perla R. Santa Ana Lozada
Corresponsable:
Lucia G. Santa Ana Lozada
Colaboradores:
Hector Allier Avendaño,
Lorena Pérez Gómez,
Nohemí López Roldan,
Enrique Juárez Ortiz,
Maria Fernanda Martínez Huitrón
Dra. Gemma Verduzco
“
Aprendizaje en experiencias y aprendizaje adaptativo
como estrategias didácticas para mejorar la enseñanza
de los aspectos estructurales en arquitectura.
”
PRÁCTICAS CON MODELOS FÍSICOS
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
EQUIPO EDITORIAL
Coordinadora editorial
Erandi Casanueva Gachuz
RESPONSABLE DE DISEÑO EDITORIAL
Amaranta Aguilar Escalona
Diseño editorial y formación
Israel Reyes Alfaro
Lorena Acosta León
Mariana Ugalde
PAPIME PE 400516
Primera edición: 2018
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria
Delegación Coyoacán C.P. 04510 México, Ciudad de México
Facultad de Arquitectura
Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio
sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Hecho en México
Contenido
Práctica 1 y 2. Tensión
12
Catenaria y funicular
13
Introducción
18
Objetivos
19
Hipótesis
20
Materiales para el estudiante
21
Procedimiento
22
Práctica 1. Catenaria (curva equilibrio)
25
Práctica 2. Funicular con cargas puntuales
35
Análisis de resultados prácticas 1 y 2
36
Conclusiones prácticas 1 y 2
41
Introducción
37
Ejercicios de aplicació
51
Objetivos
39
Referencias
52
Hipótesis
53
Materiales
54
Procedimiento
55
Práctica 3. Arco parabólico biarticulado
40
Práctica 3 y 4. Compresión
Arco biarticulado parabólico
con carga puntual móvil
60
Práctica 4. Arco parabólico biarticulado
con carga repartida
62
Análisis de resultados práctica 3 y 4
64
Conclusiones
65
Ejercicios de aplicación
67
Referencias
Práctica 7 y 8. Flexión
90
91
Introducción
98
Objetivos
99
Hipótesis
100
Materiales
101
Procedimiento
102
Práctica 7. Flexión con cargas puntuales
109
Práctica 8. Flexión con carga repartida
uniforme y carga puntual
Práctica 5 y 6. Pandeo
68
69
Introducción
75
Objetivos
76
Hipótesis
77
Materiales
78
Procedimiento
79
Práctica 5. Pandeo en elementos biarticulados
83
Práctica 6. Pandeo de barras biempotradas
86
Análisis de resultados prácticas 5 y 6
87
Conclusiones
88
Ejercicios de aplicación
89
Referencias
119
Análisis de resultados practicas 7 y 8
122
Ejercicios de aplicación
123
Conclusiones
124
Referencias
125
Práctica 9 y 10. Armaduras
126
Introducción
132
Objetivos
133
Hipótesis
134
Materiales
135
Procedimiento
137
Práctica 9. Armadura 1 plana
estáticamente determinada
147
Práctica 10. Armadura 2 plana
estáticamente determinada
153
Análisis de resultados prácticas 9 y 10
157
Conclusiones
158
Ejercicios de aplicación
160
Referencias
161
Práctica 11. Marcos rígidos
162
Introducción
172
Objetivos
173
Hipótesis
174
Materiales
175
Procedimiento
176
Práctica 11. Marcos rígidos
185
Análisis de resultados
187
Conclusiones
188
Ejercicios de aplicación
190
Referencias
Práctica 12 y 13.
Efecto de sismo en
edificios con marcos
191
192
Introducción
200
Objetivos
201
Hipótesis
202
Materiales
203
Procedimiento
204
Práctica 12. Comportamiento de sistema
a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles
bajo movimiento senoidal y sísmico
206
Práctica 13. Comportamiento de un sistema
formado por marcos semirígidos de 1 y 2
niveles bajo movimiento senoidal y sismico
208
Análisis de resultados
209
Conclusiones
210
Ejercicios de aplicación
212
Referencias
213
Bibliografía
Introducción
La arquitectura implica conocer aspectos estructurales así como
constructivos para llegar a una solución resistente, funcional y
estética. Actualmente existe en los estudiantes de arquitectura reticencia al aprendizaje de estos temas por considerárseles
complejos, recurriendo el alumno a obtener solamente el conocimiento suficiente para aprobar las materias sin generar un
entendimiento y síntesis de afectación en la solución del objeto
arquitectónico que manejará en su quehacer cotidiano.
El objetivo del aprendizaje significativo sobre estas temáticas
consiste en que el alumno entienda los fundamentos mecánicos que se producen en los elementos estructurales mediante la
reproducción, observación y relación de la respuesta física con
8
los conceptos teóricos (mecánica de materiales y estática) ante
aprovecha las herramientas tecnológicas para ir facilitando el
distintas condiciones de trabajo e inducir al estudiante a reali-
conocimiento conforme el nivel de entendimiento del alumno
zar la síntesis del conocimiento aplicado en la fase proyectual al
(ITESM, Edutrends julio 2014).
mostrar la aplicación de los elementos estructurales estudiados
dentro de distintos proyectos arquitectónicos como parte de su
Las bondades de las estrategias didácticas mencionadas ante-
sistema estructural.
riormente son: a) el estudiante en su totalidad se involucra en
la etapa de conocimiento y entendimiento, ya que no solo su
Un medio empleado para lograr este objetivo, como se ha desa-
intelecto se ve inmerso en el problema, también sus sentidos,
rrollado en distintas universidades nacionales y extranjeras, es
sentimientos y personalidad se integran en la transformación
la aplicación de dos estrategias didácticas que se han manejado
de conocimiento significativo; b) se genera la oportunidad de
por separado hasta el momento: Aprendizaje basado en la ex-
reflexionar así como de sintetizar los conceptos teóricos a par-
periencia y aprendizaje adaptativo.
tir de la observación de efectos y fenómenos tangibles reales;
c) los estudiantes se comprometen con generar su propio co-
El aprendizaje basado en experiencia genera el conocimiento
nocimiento mediante la reflexión y síntesis; d) los maestros es-
de conceptos teóricos mediante la experiencia y acción con ob-
tablecen un sentido de confianza, respeto y apertura con los
jetos que le lleven a la comprensión de su funcionamiento; los
alumnos y su forma de racionalizar los problemas; e) el alumno
profesores se transforman en facilitadores que involucran a los
obtiene retroalimentación de su aprendizaje de forma instantá-
alumnos a experimentar y reflexionar en aspectos específicos
nea permitiendo comprender su error en ese momento; f) las
para llegar al conocimiento requerido (Asociación Internacional
evaluaciones varían su nivel de complejidad dependiendo de la
de Aprendizaje Experiencial, 2018). El Aprendizaje adaptativo
capacidad o aptitud del estudiante.
9
Para aplicar la estrategia didáctica basada en experiencia con
los alumnos de la Facultad de Arquitectura de la UNAM dentro de su Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales,
se realizó el proyecto DGAPA PAPIME 400516 con el cuál se
adquirieron 3 modelos físicos comerciales y se fabricaron otros
3 modelos en el laboratorio, además de producir el presente
manual de prácticas que sirva como guía para lograr el objetivo
planteado. Para lograr el aprendizaje adaptativo se realizaron
prácticas virtuales las cuales complementan a las actividades
propuestas en este texto, sin embargo no serán expuestas en
el presente manual.
Considerando las temáticas que se abordan en las materias de
Facultad de Arquitectura. Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales
Laboratorio de Sistemas Estructurales
Prácticas con modelos físicos en Laboratorio:
Prácticas 1 y 2. Funiculares.
Prácticas 3 y 4. Arcos biarticulados.
Prácticas 5 y 6. Pandeo.
Materia: Sistemas Estructurales
I (5º sem).
Prácticas 7 y 8. Flexión
Materia: Sistemas Estructurales
Básicos III (4º sem).
Prácticas 9 y 10. Armaduras
Materia: Sistemas Estructurales
Básicos II y III (3º-4º sem).
Prácticas 11. Marcos rígidos
Materia: Sistemas Estructurales
I y II (5º y 6º sem).
Prácticas 12 y 13. Sismo en marcos.
Materia: Sistemas Estructurales
II y III (6º y 7º sem).
Sistemas Estructurales Básicos I, II y III así como Sistemas Estructurales I, II y III dentro del Plan de Estudios de la Licenciatura en Arquitectura 2017, de la Facultad de Arquitectura de la
UNAM se desarrollaron las primeras 13 prácticas que presenta
este manual, abordando los siguientes 7 temas: tensión, compresión, pandeo, armaduras, flexión en vigas, marcos rígidos y
Materia: Sistemas Estructurales
Básico I (2º sem).
Materia: Sistemas Estructurales
Básicos II (3er sem).
efectos sísmicos en marcos. El orden cronológico en el que se
presentan es con base en su grado de complejidad del tema,
sugiriendo se aborden en los siguientes semestres y materias:
10
Cada práctica presenta un breve resumen de los aspectos teó-
Se agradece tanto a DGAPA como a la Facultad de Arquitectura
ricos que se abordan en la misma dentro de la introducción,
a través de su director M. en Arq. M. Mazari H, a la Coordina-
los objetivos, hipótesis, materiales, procedimiento de trabajo,
ción editorial, M. Erandi Casanueva G. ,Coordinación de comu-
análisis de resultados, conclusiones, ejercicios de aplicación y
nicación social L.D.G Alejandra Villa C. y al laboratorio de Ma-
bibliografía. Se pretende que el alumno asista al laboratorio una
teriales y Sistemas Estructurales de la Facultad de Arquitectura
vez que el profesor ha visto el tema con los alumnos durante
a través de su responsable Dr. A. Muciño.
la clase teórica, de forma que el alumno viva la aplicación del
fenómeno y los efectos que presenta sobre los distintos objetos
de estudio.
El manual es de fácil acceso y entendimiento de forma que tanto profesores como alumnos puedan emplearlo e ir siguiendo
el método de experimentación planteado. El aspecto de aprendizaje de uso de los modelos empleados en cada práctica no
se aborda en este manual, sin embargo puede ser solicitada la
documentación en cuestión en el laboratorio de Materiales y
Sistemas Estructurales o en su defecto acercarse a tomar la capacitación para profesores que se imparte dentro del laboratorio para dicho fin.
11
T E N S I Ó N . C AT E N A R I A Y F U N I C U L A R
PAPIME PE 400516
Introducción
Se pretende interesar al alumno en las estructuras funiculares,
por medio del entendimiento de la geometría que adquiere un
cable al ser sometido bajo diferentes cargas.
13
¿
Qué es
una catenaria?
La ecuación de la curva en equilibrio (catenaria) es la siguiente:
⎛ x − x0 ⎞
y − y0 = a *cosh ⎜
⎝ a ⎟⎠
Es la curva cuyo trazo sigue la forma que adquiere una cadena
(1a)
o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta
por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente
a la fuerza de la gravedad.
Si se toman como referencia los ejes x1 , y1 la ecuación queda
de la siguiente forma:
⎛x ⎞
y1 = a *cosh ⎜ 1 ⎟
⎝ a⎠
(2a)
Donde:
y1
es la coordenada del punto a calcular (cm o m)
a
es la separación en el eje y del punto de origen
al punto a calcular (cm o m)
cosh
se refiere a la expresión matemática “coseno hiperbólico”
Ilustración 1a.
Representación de la catenaria en un plano
14
¿
Qué es un funicular?
Es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos,
Los funiculares sólo resisten esfuerzos de tensión es decir que
sometido a cargas en su longitud. Si las cargas son el propio
las fuerzas que actúan sobre los funiculares tienden a estirar el
peso del cable se obtiene una catenaria. Si las cargas son uni-
cable principal que forma este elemento.
formes en proyección vertical, se obtiene la parábola. Si son
perpendiculares a cada punto del cable generan un arco aproximadamente, etc.
Como se puede observar en los esquemas de la ilustración 2a,
la geometría y clasificación de los polígonos funiculares depende del punto donde se aplican las cargas, por lo que todas las
Ilustración 3a.
catenarias son polígonos funiculares, pero no todos los funicu-
Diferencias entre parábola y catenaria
lares son catenarias.
Ilustración 2a.
Tipos de polígono funicular
15
¿
Qué ecuaciones
gobiernan un polígono
funicular?
(3) es la tensión máxima en el funicular, siendo igual a la raíz
cuadrada de los componentes de las fuerzas en los extremos
M = P*d
Momento igual a la fuerza aplicada P(4) por la distancia
d(7) al punto de apoyo A o B. (kg*cm o ton*m)
Para resolver una estructura de cables con cargas puntuales,
donde el claro y la flecha están establecidas, se pueden utilizar
las ecuaciones de equilibrio estático para determinar el trabajo
de cada tramo de cable.
Ecuaciones de equilibrio:
∑M
A
=0
∑Y = 0
Sumatoria de momentos (M ) en el punto A igual a cero
Ilustración 4a.
Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje vertical (Y )
de modo puntual
Esquema de fuerzas aplicadas
igual a cero
∑X =0
RA (1), RB (1)
Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje horizontal (X )
igual a cero
Donde:
es la reacción vertical en el punto A o B (se refiere a las
L(5)
es la longitud del cable.
para poder soportar el sistema)
s(6)
es el punto máximo (caída del cable).
es la reacción horizontal
d(7)
es la distancia horizontal del soporte izquierdo o derecho.
fuerzas que actúan en el sentido contrario de las cargas
H (2)
16
¿
Cómo se predimensiona
un cable de acero?
Para que un tensor soporte el esfuerzo interior de tensión (es-
El proporcionar una dimensión transversal al tensor (sección)
fuerzo interno) que se produce debido a una carga axial ex-
significa diseñar dicho elemento estructuralmente. Para poder
terior, se requiere que este elemento esté construido con un
determinar de una forma aproximada y rápida la sección que
material cuyo esfuerzo resistente a compresión sea igual o ma-
requiere el tensor para soportar la carga axial, se proporciona el
yor al esfuerzo interno de la columna, es decir:
valor de esfuerzo resistente de tensión del acero considerando
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo
σT =
Ft
= σ resistente a tensión del material
A
de tensión permisible.
(3a)
σ resistente a tensión del material = 1520kg / cm2
(4a)
17
Objetivos
•
Que el alumno se interese de manera teórico-práctica
en las estructuras funiculares.
•
Que el alumno aprenda a identificar un sistema funicular y
los esfuerzos que lo gobiernan dentro de elementos aplicados en arquitectura.
•
Que el alumno pueda reconocer las formas que toma
un cable sostenido por sus extremos.
•
Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos
a proyectos arquitectónicos.
18
Hipótesis
El comportamiento de un funicular depende de su geometría
de forma que siempre trabaje a tensión.
Se probará de forma práctica y numérica el comportamiento de
un funicular; para ello, se realizarán diferentes modelos a escala.
Para el caso de la catenaria, funicular que sólo soporta su propio
peso, calcularemos algunos de los puntos que forman la curva y
veremos si coincide el modelo físico con el cálculo matemático.
Ambas curvas deberían estar formadas por los mismos puntos;
dependiendo de los materiales que sean empleados, este modelo y el cálculo podrán variar un poco.
Para los casos en los que se le aplique una carga puntual al cable, se determinará la deformación del cable con el modelo, y
con los cálculos, al igual que en la catenaria, el modelo realizado
debería ser muy similar al cálculo que comprueba el funcionamiento del sistema
19
Materiales para
el estudiante
•
Base de cartón corrugado de 30X30cm. *
•
Hojas milimétricas.
•
Hojas de papel albanene.
•
Tachuelas. *
•
Clips. *
•
Cadena (para collares).
•
Cubos de plastilina de 1cm3 (1g c/u). *
•
Masking Tape. *
•
Marcador.
* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas,
de modo que sean económicos y no haya desperdicios
20
Procedimiento
Ya que se explicaron las expresiones que gobiernan a un funicular procederemos a hacer cuatro casos modelos para hacer
las comparaciones entre ambos. Lo primero que se realizará
por participante:
Profesor
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra
el plano de trabajo, cadena y pesos, ejemplificando cada paso
que realizará el alumno ante grupo.
Ilustración 7a. Plano de trabajo para alumnos
Pasos:
Ilustración 6a.
•
Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
•
Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación
que se desee para el polígono funicular (en el ejemplo 20 unidades).
Modelo de
funicular profesor
•
Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor
fijación de las tachuelas.
Estudiantes
Armarán la base sobre la cual se colocarán los modelos; esta
base siempre se posicionará verticalmente para que la gravedad
•
Poner una hoja de albanene sobre la hoja milimétrica, servirá para
dibujar sobre ella el polígono funicular que se forme.
actúe directamente sobre el modelo.
21
Práctica
1
Catenaria
(curva equilibrio)
•
Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
•
Resolver la ecuación de la curva en equilibrio
(
Y = (1.5) * cosh ( x / 1.5)
)
Se debe colocar la cadena libre en el modelo del profesor, formando una catenaria cuyo claro sea igual a 6.8 cm, con una caí-
Para obtener la coordenada “h” ,
h = ⎡⎣(1.5) * ( cosh(x / 1.5) ⎤⎦ − 1.5)
da de 5.8 cm; la separación entre el borde inferior de la hoja y el
punto más bajo de la catenaria será de 1.5 cm. El alumno deberá replicarlo con su propio material para evaluarlo, siguiendo los
Se comprueba que la forma es correcta, del siguiente modo:
pasos a continuación:
I. Para que la curva derivada de la expresión matemática sea similar a la que se obtuvo de forma experimental, se debe encontrar una relación entre el claro y la altura. Esto se logrará con la
Ilustración 8a.
ecuación de la catenaria, considerando “X” como la mitad del
Catenaria de trabajo
claro y el resultado en “Y” debe ser lo más parecido posible a la
altura. En este caso, “X” es igual a 3.4 y “a” es igual a 1.5.
•
Colocar la cadena sobre las tachuelas,
ésta formara una catenaria.
•
•
x
y
h
3
5.64329353662545
4.14329353662545
Deslizar la cadena para obtener
3.1
6.01879359112219
4.51879359112219
la altura deseada (5.8 cm).
3.2
6.42105374830430
4.92105374830430
3.3
6.85186249334734
5.35186249334734
Marcar la curva sobre el albanene siguiendo
3.4
7.31313524104010
5.81313524104010
la forma que tiene la cadena
3.5
7.80692285189263
6.30692285189263
22
2.55
4.24247318683495
2.74247318683495
matemática, se resuelve calculando módulos que correspondan
2.72
4.72046932965910
3.22046932965910
al número de los marcados en la hoja milimétrica; en este caso
2.89
5.25916220482100
3.75916220482100
serán 40 módulos de 0.16, es decir que calcularemos 20 módu-
3.06
5.86547843231807
4.36547843231807
los y los otros 20 serán el “espejo” de los que calculemos.
3.23
6.54721414664506
5.04721414664506
3.4
7.31313524104010
5.81313524104010
II. Una vez que se tiene el claro qué se ocupará en la ecuación
x
y
h
0
1.50000000000000
0.00000000000000
0.17
1.50964364898365
0.00964364898365
0.34
1.53869859588889
0.03869859588889
0.51
1.58753843499465
0.08753843499465
0.68
1.65679115865393
0.15679115865393
0.85
1.74734723214425
0.24734723214425
1.02
1.86037104344703
0.36037104344703
1.19
1.99731587517961
0.49731587517961
1.36
2.15994259119179
0.65994259119180
1.53
2.35034227810303
0.85034227810303
1.7
2.57096313290955
1.07096313290955
1.87
2.82464194238764
1.32464194238764
2.04
3.11464055906158
1.61464055906158
2.21
3.44468784275129
1.94468784275129
2.38
3.81902760699265
2.31902760699265
III Con ayuda de AutoCAD, traza la curva que obtuviste del
modelo y compárala con el cálculo matemático.
Ilustración 8a.
Gráfica final de catenaria en Autocad
23
Analiza los resultados
En la siguiente imagen se puede notar que, aunque la curva que
se formó en el modelo (línea roja) no coincide totalmente con
la resultante de las expresiones matemáticas (línea verde), esto
es debido a que la cadena que se utilizó tiene unas pequeñas
bolitas que no permite el libre paso de la cadena a través de los
puntos de amarre (tachuelas).
Ilustración 9a.
Comparativa catenaria
aritmética y obtenida
con el modelo físico
24
Práctica
2
Funicular con
cargas puntuales
Ejercicio 1
Funicular con 1 carga puntual al centro
•
Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara
una catenaria
•
Deslizar la cadena para obtener la caída “S” deseada (6.05 cm)
Ilustración 10a.
•
Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) en el centro
Modelo práctica 1 Funicular
de la catenaria, esto deformará la curva, por lo que dejará de
carga puntual al centro
ser una catenaria
•
Marcar la figura que se forma sobre el papel albanene
siguiendo la forma que tiene la cadena
Donde tenemos los siguientes datos:
•
•
Tomar como referencias la posición en la hoja milimétrica
Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo.
Una estructura con separación entre los puntos de amarre
de 20 cm (claro), al colocar la carga puntual de 1 gr en el
l
es el claro, en este caso de 20cm
h
es la caída o flecha, de 6.05cm
P1
es la carga puntual, de 1gr
centro del cable con una caída igual a 6.05 cm
25
La reacción vertical en el punto B será igual a
Las expresiones que se utilizarán son:
Rb =
∑M
∑M
= 0 ; M = Fuerza * distancia ;
= 0 ; M = Fuerza * distancia ;
A
; M = Fuerza * distancia ;
erza * distancia ;
A
∑F
y
=0
∑F
=0
∑F
=0
y
x
∑F
x
∑F
y
=0
∑F
y
∑F
x
=0
∑F
x
=0
=0
=0
10
= 0.5gr
20
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ ∑ Fy = 0
− P1 + Ra + Rb = 0 , despejando
despejando tenemos,
tenemos
Ra = 1− 0.5 = 0.5gr
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,
mento en el extremo A que sean igual a cero
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al
punto C considerando sólo la mitad del cable para obtener la
∑M
A
=0
reacción horizontal en B.
(girando a favor de las manecillas
del reloj es positivo)
P1 *10 − Rb * 20 = 0
∑M
c
=0
− Rb *5 + H b *6.05 = 0
26
Despejando Hb tenemos,
Por último, calcularemos el área de un cable de acero que sería
necesario para soportar esta tensión; empleando acero estruc-
Hb =
+0.5x5
= 0.413gr
6.05
tural con un esfuerzo resistente a la tensión permisible (Fy),
igual a 1520 kg/cm2 tenemos que:
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción
horizontal en el punto A,
+ → ∑ Fx = 0
Hb − Ha = 0
H a = 0.413gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, conociendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apoyos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las
reacciones en uno de los extremos del mismo:
r 2a 2 =(para
V AV== HHa 22 + R
.4132tensión
+ 0.52 =máxima)
0.648gr
V A = H a 2 + Ra 2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr
Ilustración 11a.
2
2
2
2
VB = H b + Rb = .413 + 0.5 = 0.648gr
Geometría Funicular
carga puntual al centro
27
Ejercicio 2
Funicular con 2 cargas puntuales
•
Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo
la forma que tiene la cadena
•
Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica.
•
Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo.
Una estructura con separación entre los puntos de amarre
de 20 cm, al colocar 2 cargas puntuales de diferente peso,
la altura se toma desde la parte más baja, por lo que en
esta ocasión queda de 6 cm, con una carga puntual de 1 gr
a 5.5 cm del punto izquierdo y otra de 2 gr a 4.5 cm del
Ilustración 12a.
punto derecho.
Modelo para ejercicio Funicular 2 cargas puntuales
•
Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formará
una catenaria.
•
•
•
Los datos que tenemos son:
l
es el claro, aquí de 20 cm
h
es la caída o flecha, de 6 cm
del punto de amarre izquierdo.
P1
es la carga puntual, de 1 gr
Con la ayuda de otro clip, colocar dos cubos (2 gr) a 4.5
P2
es la carga puntual, de 2 gr
Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm).
Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm
cm del punto de amarre derecho.
28
Las expresiones que se utilizarán nuevamente son:
∑ M A = 0 ; M = Fuerza*distancia ;
∑M
A
= 0 ; M = Fuerza*distancia ;
; M = Fuerza*distancia ;
∑ Fy = 0
∑ Fy = 0
∑ Fx = 0
rza*distancia ;
∑F
y
=0
∑ Fy = 0
∑F
x
∑ Fx = 0
=0
∑ Fx = 0
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ ∑ Fy = 0
− P1 − P2 + Ra + Rb = 0
Sustituyendo el valor de Rb y despejando Ra tenemos
Ra = 1+ 2 − 1.825 = 1.175gr
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,
mento en el extremo A que sean igual a cero.
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al
∑M
A
=0
punto C considerando sólo las fuerzas que se encuentran a la
(girando a favor de las manecillas
izquierda del punto para obtener la reacción horizontal en A.
del reloj es positivo)
∑M
P1 x 5.5 + P2 x 15.5 − Rb x 20 = 0
Despejando Rb tenemos:
Rb =
1 x 5.5 + 2 x 15.5
= 1.825gr
20
c
=0
− P1 x 10 + Ra x 15.5 − H a x 6 = 0
Ha =
−1 x 10 + 1.175 x 15.5
= 1.368gr
6
29
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción
Predimensionando el cable con ambas fuerzas
horizontal en el punto B,
encontramos su área
+ → ∑ Fx = 0
Área del cable =
Tmáx
1520kg / cm2
Hb − Ha = 0
sustituyendo el valor de Ha y despejando tenemos
H b = 1.368gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las
del mismo.
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + R2
(para tensión máxima)
V A = H a 2 + Ra 2 = 1.3682 + 1.1752 = 1.803 gr
VB = H b 2 + Rb 2 = 1.3682 + 1.8252 = 2.28 gr
Ilustración 13a.
Geometría Funicular para dos cargas puntuales
30
Ejercicio 3
Funicular con 3 cargas puntuales
•
Con la ayuda de un clip colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm
del punto de amarre izquierdo
•
Con la ayuda del clip colocar tres cubos (3gr)
al centro del claro
•
Con la ayuda de otro colocar dos cubos (2gr) a 4.5cm
del punto de amarre derecho
•
Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo
la forma que tiene la cadena
Ilustración 14a.
Modelo para ejercicio Funicular 3 cargas puntuales
•
Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
•
Resolver las ecuaciones para un sistema con cargas puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una
estructura con separación entre los puntos de amarre de
20 cm, al colocar 3 cargas puntuales de diferente peso, la
•
Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara
altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta
una catenaria
ocasión queda de 5 cm, con una carga puntual de 1 gr a
5.5 cm del punto izquierdo, otra de 2 gr a 4.5 cm del punto
•
Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm)
derecho y una más de 3 gr al centro del claro.
31
Los datos que tenemos son:
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
l
es el claro, aquí de 20 cm
h
es la altura o flecha, de 5 cm
mento en el extremo A que sean igual a cero.
P1
es la carga puntual, de 1 gr
P2
es la carga puntual, de 3 gr
P3
es la carga puntual, de 2 gr
∑M
∑M
A
∑F
y
=0
∑F
=0
∑F
=0
y
x
∑F
x
=0
∑F
y
=0
(girando a favor de las manecillas
P1 *5.5 + P2 *10 + P3 *15.5 − Rb * 20 = 0
Despejando Rb tenemos
= 0 ; M = Fuerza*distancia ;
= 0 ; M = Fuerza*distancia ;
; M = Fuerza*distancia ;
rza*distancia ;
A
=0
del reloj es positivo)
Las expresiones que se utilizaran nuevamente son:
∑M
A
∑F
y
∑F
x
=0
=0
∑F
x
=0
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ ∑ Fy = 0
− P1 − P2 − P3 + Ra + Rb = 0
Ra = 1+ 3+ 2 − 3.325 = 2.675 gr
ton
32
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
punto C considerando solo las fuerzas que se encuentran a la
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las
derecha del punto para obtener la reacción horizontal en A.
reacciones en uno de los extremos del mismo:
∑M
C
=0
V = H 2 + R 2 (para tensión máxima)
+ P3 *5.5 − Rb *10 + H b *5 = 0
V A = H a 2 + Ra 2 = 4.452 + 2.6752 = 5.192 gr
Despejando Hb tenemos
VB = H b 2 + Rb 2 = 4.452 + 3.3252 = 5.55 gr
Predimensionando el cable con ambas fuerzas
encontramos su área
Haciendo sumatoria de fuerzas en “X”, se obtendrá la reacción
horizontal en el punto B,
+ → ∑ Fx = 0
Área del cable =
Tmáx
1520 kg/cm2
Hb − Ha = 0
H a = 4.45 gr
ton
33
Analiza los resultados
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se
Como se mencionó en la hipótesis, al observar los modelos se
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final
puede observar que la forma que tomó la cadena fue debido a
del mismo.
los pesos colocados.
La flecha o altura se da en el punto donde existe la carga de mayor peso; dentro de un proyecto arquitectónico dichas alturas
son propuestas por el arquitecto y su proyecto.
Ilustración 15a.
Geometría Funicular para
dos cargas puntuales
34
Análisis
de resultados
prácticas 1 y 2
Los polígonos funiculares pueden tener diferentes formas dependiendo del peso que se les aplique, así como de la posición
en la que estos pesos se sitúen a lo largo del funicular. Es decir,
la forma responde a las cargas.
Una catenaria siempre es un funicular, pero un funicular no
siempre es una catenaria.
Las reacciones o tensión máxima de los polígonos funiculares
son diferentes en los tramos del cable debido a la distribución
de las cargas, pero ya que pertenecen a un mismo sistema, se
tomará en cuenta la tensión más grande para el cálculo del área
del cable, ya que éste debe ser un cable continuo y no pedazos
de diferentes medidas.
35
Conclusiones
prácticas 1 y 2
Un funicular es un sistema formado por elementos flexibles
llamados cables que se deforman de acuerdo a las cargas que
soportan para que el elemento que lo forma siempre esté trabajando a tensión.
Los apoyos de la funicular son importantes, ya que reciben los
empujes horizontales del cable, debiendo empujar en sentido
contrario para que el cable no “jale” al sistema hacia el centro.
La altura o flecha en un proyecto arquitectónico es propuesto por el arquitecto dependiendo del claro, altura de entrepiso,
cargas y por supuesto su concepto.
Estos sistemas son muy eficientes en su trabajo, generando
soluciones limpias para librar claros grandes, y económicas
cuando se emplean materiales que trabajan muy bien a tensión
como es el acero.
Ilustración 16a.
Geometría de distintos tipos de funiculares
36
Ejercicios de
aplicación
•
Realiza tu informe de la práctica y anexa tus conclusiones,
dibujos o esquemas.
•
Realiza el caso 1 con una agujeta, toma una foto de la catenaria y cálcala en algún programa de dibujo asistido por
computadora (CAD, por sus siglas en inglés; como AutoCAD, Archicad, etc.), así podrás determinar qué tan similar
es lo que dibujaste con la expresión matemática adecuada.
•
Realiza más modelos para poder explicar qué pasa.
•
Si el claro es mayor, ¿las reacciones aumentan?
•
Si las cargas son iguales, qué forma obtiene el cable
•
Si hay mayor número de cargas, la altura ¿aumenta
o disminuye?
37
Cuestionario
¿Qué son los cables que trabajan a tensión
con sólo dos puntos de amarre?
a. Catenarias
b. Polígonos Funiculares
¿Por qué se dice que los polígonos
funiculares sólo trabajan a tensión?
c. Parábolas
a. Porque los elementos que soportan todo el sistema
los empujan los extremos del cable hacia los pesos
¿Cómo es la figura que adopta sobre
el plano de representación cuando
se le aplica una carga uniformemente
repartida a un cable?
que se aplican
b. Porque los elementos que soportan el sistema los
jalan a los extremos para mantenerse en equilibrio
c. Porque las cargas que se aplican solo se pueden poner
en el centro para poder mantener el equilibrio
a. Una catenaria
b. Una parábola
c. Un polígono de 3 lados
38
Referencias
Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del
Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herrera-ETSAM.
Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado
el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo,
Uruguay: http://www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/
02/estructuras_traccionadas.pdf
Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE.
(2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de
febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos.
upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/
Chip%20geométrico/Catenaria.pdf
Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Architecture and Building Construction. Prentice Hall, USA.
39
COMPRESIÓN.
A R C O B I A RT I C U L A D O PA R A B Ó L I C O
PAPIME PE 400516
40
Introducción
Se pretende interesar al alumno en sistemas estructurales trabajando a compresión por medio de la geometría del sistema;
empleando arcos biarticulados parabólicos, el alumno visualizará y comprobará la relación entre cargas, empujes horizontales
del arco y sus acciones internas bajo distintos tipos de distribución de cargas.
41
¿
Qué es el esfuerzo
de compresión?
Al aplicar una fuerza sobre el eje del elemento (carga axial) en
sentido de oprimirlo, éste trabaja oponiéndose a deformarse
produciendo un esfuerzo interior llamado esfuerzo de compresión. La deformación del elemento se produce debido a que sus
partículas se juntan haciendo que su longitud se acorte y aumente su sección transversal.
Ilustración 1b.
Esfuerzo de compresión por carga axial
42
¿
Qué es un arco
biarticulado?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabólico cuyos esfuerzos internos, producto de soportar una carga
externa, son a compresión principalmente. Dependiendo de la
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.
Se dice que el arco está biarticulado cuando en sus extremos
existe una “rótula” o articulación que le permite girar al arco en
dichos puntos, de forma que se generen menores esfuerzos de
flexión internos.
A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo largo del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una
Ilustración 2b.
Funicular y antifunicular
con carga repartida
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifunicular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo
principal es a compresión bajo cargas uniformemente distribuidas, estando biarticulado en sus extremos.
43
¿
¿Qué sucede cuando se
tiene un arco biarticulado
parabólico con carga
puntual?
Obteniendo la reacción en el extremo B tenemos:
Cuando un arco tiene cargas puntuales en diferentes puntos,
Donde:
su geometría no obedece a la funicular correspondiente, por lo
que comienzan a generarse momentos al interior del arco.
RBX =
5Pa 3
(L + a 3 − 2La 2 )
8hL3
(1b)
P = carga aplicada en el arco (kg o ton)
a = distancia donde se aplica la carga con respecto al punto “A” (cm o m)
Para obtener la reacción horizontal que se produce en el extremo del arco, debido a que se trata de un sistema hiperestático,
se recurre a aplicar el método de flexibilidades para encontrar
h = la altura en el punto más alto del arco (cm o m)
L = longitud total del arco (cm o m)
la reacción horizontal en el nudo B, liberando dicho nudo como
se muestra en la figura 3b.
Un arco parabólico presenta una geometría determinada por la
siguiente ecuación:
y=
4h
(Lx − x 2 )
2
L
(2b)
Ilustración 3b.
Funicular y anti-funicular con carga repartida
44
¿
Qué es una línea de
influencia de la reacción
horizontal de un arco?
La gráfica obtenida nos indica los efectos que presenta la carga al ser colocada en distintos puntos del arco; como se puede
observar en la figura 4b, el reacción horizontal de mayor valor
Se le llama valor de influencia a la proporción obtenida de la
se obtiene cuando la carga puntual se aplica al centro del arco.
reacción horizontal “Rax” con respecto al valor de la carga aplicada para producir dicha reacción
valor Influencia =
Reacción x
(3b)
Valor Carga Aplicada
(3b)
Para obtener una gráfica de la tendencia de este valor, se va
variando la posición de una misma carga en distintos puntos del
arco, observando el comportamiento del valor de influencia a lo
largo del arco.
Para generar la gráfica de estos valores, se requiere que la longitud del arco sea también obtener el claro en proporción a la
longitud total, es decir:
Fracción del Claro =
(4b)
punto donde se aplica carga
(4b)
longitud total de arco
Ilustración 4b.
Gráfica de Línea de Influencia de un Arco parabólico
45
¿
Cómo se obtiene el
diagrama de momento
flexionante de un arco
parabólico bi-articulado?
Donde:
P = carga puntual aplicada al centro del arco
L = claro total del arco
El diagrama final de momentos que presenta este arco es:
Generalmente el valor de momento que interesa para diseñar
es el de mayor valor o máximo, el cual se presenta cuando la
carga está aplicada al centro del arco.
El primer paso para determinarlo de forma gráfica es obtener
el momento generado en el arco donde se colocó la carga, es
decir, al centro, siendo dicho momento igual a (ver figura 5b):
M CL = RXA * h (5b)
(5b)
Y sobre la gráfica producto de estos valores se dibuja el diagrama de momentos considerando el arco ahora como un elemento horizontal, donde su valor cuando la carga está al centro del
claro es:
M CL =
P*L
4
(6b)
(6b)
Ilustración 5b.
Diagrama de momento flexionte
46
¿
Qué es un arco
parabólico con carga
uniformemente repartida?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabólico cuyos esfuerzos internos producto de soportar una carga
externa son principalmente a compresión. Dependiendo de la
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.
A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable
Ray
Rby
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo largo del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una
Ilustración 6b.
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente
Reacciones sobre un arco anti-funicular
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifunicular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo
principal es a compresión pura bajo cargas uniformemente distribuidas, estando biarticulado en sus extremos.
47
Las reacciones verticales en los extremos serán igual a:
w∗ Lt
Ray =
2
Debido a que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos,
la resultante máxima se puede obtener a partir de la suma de
(8b)
sus componentes:
Para obtener el valor de la reacción horizontal H se genera una
2
⎛ wL ⎞
= ⎜ T ⎟ + H2
⎝ 2 ⎠
sumatoria de momentos al centro del cable, de forma que:
FCmax
w∗ Lt 2
−S∗H =0
8
(9b)
La ecuación para obtener la geometría de la parábola se obtie-
Despejando de esta expresión se obtiene:
ne a partir de sacar la sumatoria de momentos al extremo de
∑ Mcl =
(11b)
un tramo de la parábola, considerando el cortante y la fuerza
w∗ Lt 2
H=
8∗ S
horizontal en dicho punto, obteniendo:
(10b)
⎛ x
x2 ⎞
yx = 4S ⎜
−
2
⎝ LT LT ⎟⎠
(12b)
48
¿
Cómo se predimensiona
un arco parabólico con
carga uniformemente
repartida?
Donde:
Todos los materiales presentan propiedades que los caracterizan, las cuales pueden ser físicas, químicas, térmicas, etc. Las
propiedades mecánicas de un material definen cuánto resiste
dicho material al trabajar bajo distintos esfuerzos.
σC
es el esfuerzo interno de compresión actuante en la sección
FC
es la fuerza axial que comprime al elemento (kg o ton)
A
es el área transversal del elemento (cm2 o m2)
transversal del elemento (kg/cm2 o ton/m2)
Cuando se aplica una carga axial de compresión a un elemento,
interiormente este elemento comienza a trabajar produciéndose esfuerzos internos de compresión en el mismo. Para que el
Determinar una sección transversal al arco significa diseñar di-
elemento soporte dichas cargas, el material del que esté hecho
cho elemento estructuralmente. Se puede obtener una sección
debe tener la capacidad de resistir dichos esfuerzos internos de
directamente de aplicar las expresiones anteriormente mencio-
compresión, es decir,
nadas, sin embargo, el proceso de diseño implica considerar un
mayor número de conceptos que afectan la capacidad resisten-
Fc
σC =
= σ resistente a compresión del material
A
te del material.
(13b)
49
Con base en lo anterior, para poder determinar de una forma
el valor del módulo de elasticidad denominado como “E” (su
aproximada y rápida la sección que requiere el puntal para so-
capacidad de deformarse y regresar a su estado original en el
portar la carga axial se proporcionan los valores de esfuerzo re-
rango elástico, empleado para obtener su deformación longi-
sistente de compresión para distintos materiales considerando
tudinal), Coeficiente de Poisson (proporción de deformación
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo
transversal), su capacidad resistente a compresión llamada es-
de compresión permisible del material.
fuerzo a compresión y su capacidad resistente a compresión
permisible, la cual será empleada en la práctica para predimensionar los elementos.
En la siguiente tabla se presentan las propiedades de algunos
materiales de construcción más comunes; podemos identificar
Material
E (kg/cm2)
Coeficiente
Poisson
Esfuerzo de
compresión
(kg/cm2)
Esfuerzo de
comprensión
permisible
(kg/cm2)
acero
2100000
0.30
2530
1518
aluminio
700000
0.33
2600
1200
madera
140000
0.20
120
85
concreto
1900000
0.26
250
200
tabique rojo
700000
0.20
90
70
piedra
42184
0.38
800
600
50
Objetivos
•
Que el alumno se interese de manera teórico-práctico
en las estructuras a compresión
•
Que el alumno aprenda a identificar el trabajo de arcos
parabólicos con carga puntual
•
Que el alumno obtenga de forma gráfica los momentos
que se producen en un arco bajo carga puntual
•
Que el alumno establezca la relación existente entre el
comportamiento de los materiales y su aportación dentro
de los sistemas estructurales trabajando a compresión.
•
Que el alumno comprenda la importancia de estos
conceptos dentro de su vida práctica proyectual y
constructiva.
51
Hipótesis
Los arcos parabólicos biarticulado bajo cargas puntuales presentan flexiones; con cargas uniformemente repartidas solo
trabajan a compresión.
Para ello se comenzará a comprender los efectos de flexión sobre elementos a compresión.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al
proyecto arquitectónico.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención
de dimensiones de los elementos.
52
Materiales
•
Uso del equipo STR-10 (ARCO BIARTICULADO).
•
Regla.
•
Hojas cuadriculadas.
•
Cuaderno.
•
Calculadora.
Ilustración 7b. Equipo STR-10
Arco Biarticulado con medidor
53
Procedimiento
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del
comportamiento de arcos parabólicos biarticulados se compararán los valores teóricos con los valores prácticos de las reacciones horizontales sobre el arco cuando se coloca carga puntual sobre de éste.
54
Práctica
3
Arco parabólico
biarticulado con carga
puntual móvil
Para ello se sugiere:
•
Generar equipos de 2 a 3 personas.
•
Verifique que el equipo presenta las siguientes dimensiones:
Separación entre articulaciones de 50 cm (500 mm), separación entre segundo tornillo es de 6 cm (60 mm), como se
muestra en la figura 8b.
•
Cada equipo dibujará el arco parabólico que se forma sobre
el arco, a escala, indicando la posición de cada uno de los
ganchos sobre el dibujo (la distancia entre argollas es de
Ilustración 8b.
5cm), para ello se usará la expresión:
y=
•
4h
Lx − x 2
2
L
(
Equipo STR-10 con las dimensiones necesarias entre apoyos
)
Se colocará en el primer gancho una carga de 0.5kg.
•
Cada miembro del equipo colocará el gancho en una posición distinta de forma que se coloque la carga en los 9 gan-
•
Se debe leer la reacción horizontal que se obtiene al colo-
chos que presenta el arco y se deben apuntar los distintos
car dicha carga.
valores de reacción para cada caso.
55
•
Para obtener el valor de reacción calculada es necesario emplear la expresión 1b para cada punto donde se va colocan-
Distancia
del extremo
A (cm)
Lectura
de reacción
(Kg)
Valor
de reacción
calculada
(kg)
0
0
0
5*
0.1528
0.1532
do la carga:
5Pa 3
Rx =
L + a 3 − 2La 2
3
8hL
(
)
10
15
Donde:
20
25
a
es la distancia donde se coloca el gancho con carga
P
es el valor de la carga que para este caso sería de 0.5 kg
30
35
40
h
es la altura del arco la cuál debe ser medida desde la articulación
fija al punto más alto del arco (siendo para este caso 10 cm
aproximadamente).
•
45
50
La tabla que deben ir generando por equipo es la que se
* Se realiza como ejemplo los valores obtenidos para la carga ubi-
presenta a continuación; en ésta se debe colocar el valor de
cada en el primer gancho, con una separación a 5 cm del extremo:
la reacción que mide el aparato (la reacción se encuentra
Lectura medida por el aparato lector: 1.5 Newtons.
en Newtons, por lo que debe ser transformada a Kilogramo
Fuerza recordando que 1 Newton = .1019 kg).
Transformando a Kg = 1.5 N * .1019 KgF = 0.1528 Kg.
56
Proporción del Claro
del Arco
Valor de influencia de
la reacción horizontal
obtenida del experimento
Valor de influencia de
la reacción horizontal
calculada
0
0
0
(ejemplo) 0.10
0.3056
0.3064
El valor de fuerza de reacción evaluado con la expresión 1b de
la práctica =
5∗0.5∗5
Rx =
(503 + 53 − 2 ∗50 ∗52 ) = 0.1532kg
3
8∗10 ∗50
0.20
•
Una vez que se ha terminado de llenar la tabla del paso 8, se
debe identificar el punto donde la carga aplicada produce la
0.30
mayor reacción en el arco; para ello se obtendrá la línea de in-
0.40
fluencia de la reacción horizontal, llenando la siguiente tabla:
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
57
Nuevamente se realizará como ejemplo los valores obtenidos
para el primer punto del arco que es a una distancia de 5 cm:
A partir de la expresión 4b, obtenemos la fracción del arco para
este primer punto:
Fracción del Claro =
5cm
= 0.10
50cm
Para obtener el valor de influencia en dicho punto, se emplea
la expresión 3b primeramente usando los valores medidos del
lector de fuerza del arco
0.1528 Kg
Valor Influencia =
= 0.3056
0.50 Kg
•
Finalmente generen el diagrama de momentos que se produce en este arco bajo la carga máxima aplicada, es decir,
cuando la carga se coloca al centro del claro.
Finalmente, se realizar la misma operación pero con los valores
obtenidos analíticamente
0.1532 Kg
Valor Influencia =
= 0.3064
0.50 Kg
Para ello se requiere recurrir a las expresiones 5b y 6b, obteniendo nuevamente en cada punto (5 cm) los valores de
ambas. Como ejemplo se desarrollará solamente el valor
máximo de la gráfica.
Una vez obtenidos todos los valores de la tabla, se realizarán
ambas gráficas de línea de influencia. Los valores permitirán ob-
Conociendo la reacción al horizontal cuando la carga se co-
tener una gráfica similar a la siguiente:
loca al centro del claro de la tabla del paso 8:
58
Reacción Horizontal obtenida del lector cuando carga a 25 cm:
0.478 kg. La altura del arco es de 10 cm.
M CL = 0.478∗10 = 4.78Kg ∗ cm
Encontrando el momento máximo como si el arco fuera una viga
simplemente apoyada con la misma carga al centro tenemos:
M cl =
0.5∗50
= 6.25kg ∗ cm
4
Analiza los resultados
La gráfica de forma general presentará la siguiente geometría:
Un arco parabólico biarticulado presentará esfuerzos de flexión
(ver figura del lado derecho).
adicional a los de compresión cuando se colocan cargas puntuales sobre el mismo; esto se debe a que su geometría no obedece
¿Qué valor es el máximo encontrado? ¿Que implica dicho dia-
a la antifunicular que le corresponde, como se aprendió en la
grama si se construye el arco con concreto reforzado?
práctica 2 sobre funiculares.
59
Práctica
4
Arco parabólico
biarticulado con carga
repartida
Para ello se sugiere:
•
En equipo, se colocará en cada uno de los 9 ganchos que
•
tiene el arco una carga igual a 70gr de forma que el arco
¿Cómo fueron los valores obtenidos analíticamente con respecto a la lectura reportada por el lector del arco?
soporte un total de 360gr.
•
•
Apunte el valor de la reacción que presenta el aparato.
Genere el diagrama de momentos internos que tiene este
arco, siguiendo el mismo procedimiento empleado en la
práctica 3.
•
Confronte dicho valor con la expresión matemática 10b.
Para ello, se debe obtener una carga uniformemente repar-
El momento máximo generado en el arco seguirá siendo igual
tida; para lo cual dividimos la carga total entre la longitud
al de la práctica 3, el diagrama de momentos que se modifica
total del arco en línea recta :
es el de la trabe isostática con carga repartida, es decir:
W=
.360 Kg
= .0072 Kg / cm
50cm
M CL = RXA * h
Donde LT es igual a 50 cm y S es igual a 10 cm
60
Pero el momento de la viga con carga repartida será
W ∗ L2
M cl =
8
•
Donde:
¿Qué es lo que pasa cuando se unen ambas gráficas como
en la práctica 3?
•
Finalmente, obtenga el valor de fuerza de compresión máxima y predimensione la sección requerida para este arco si se
W
es igual a la carga repartida del inciso anterior
LT
es la longitud total del arco igual a 50 cm
H
es la altura total del arco igual a 10 cm
construye con aluminio. Para ello debe obtener el valor de
compresión máxima y determinar el área requerida colocando el valor de esfuerzo resistente a compresión del aluminio.
El esfuerzo resistente a compresión permisible del aluminio
es de 1200 kg/cm2.
2
2
⎛ wL ⎞⎛ wL ⎞
FCmax
FCmax
= ⎜ = T ⎟⎜ + TH⎟2 + H 2
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
σC =
Fc
= σ resistente a compresión del material
A
61
Análisis
de resultados
práctica 3 y 4
El comportamiento del arco bajo la aplicación de la carga en
distintos puntos presenta momentos flexionantes internos, los
cuales afectan al arco obligando a que las secciones que lo forman sean de mayor dimensión, pues presenta en su interior tres
esfuerzos distintos: compresión, cortante y flexión (cortante y
flexión se ven en la práctica 7, 8 y 9).
Cuando el arco parabólico biarticulado presenta cargas uniformemente repartidas, el momento flexionante se anula ya que
su geometría es el antifunicular para dichas cargas trabajando
únicamente a compresión, presentando un diseño más ligero
por tener secciones más pequeñas.
62
La introducción a la generación de líneas de influencia es intuitiva, de modo que posteriormente puedan comprender dichas
líneas en otros elementos estructurales como son puentes con
cargas móviles. La gráfica que se genera en este ejercicio de línea de influencia corresponde a la reacción horizontal producto
de una carga móvil que se aplica a lo largo del arco.
El punto más desfavorable de aplicación de la carga es al centro del arco, ya que es cuando se presenta la mayor reacción
horizontal.
Un arco biarticulado es estáticamente indeterminado y los movimientos pequeños en los apoyos extremos del arco generarán
que la reacción horizontal disminuya incrementando el valor de
los momentos flexionantes
63
Conclusiones
Los elementos a compresión como son los arcos han sido empleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arquitectónicas y constructivas, como los puentes romanos o las catedrales románicas o góticas.
La posición de la carga es muy importante, así como su geometría, ya que, si llegan a producirse momentos internos, su
diseño se vuelve más laborioso pues se requiere conocer un mayor número de propiedades mecánicas del material para poder
dimensionarlo.
64
Ejercicios
de aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando este
tipo de arco biarticulado en los extremos.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de
cargas de automóviles o personas sobre de este, ancho de calzada y respondan las siguientes preguntas.
65
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las secciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
d. Se te pide generar un puente para peatones empleando un
arco; genera una propuesta arquitectónica dibujando su estructura requerida para poder ser construido. Especifica el
material y secciones que podrías emplear para ello.
e. Dibuja su geometría de forma que sea un arco parabólico
biarticulado con carga uniformemente repartida.
66
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.).
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics.
New York: John Wiley & Sons Inc.
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.).
Prentice Hall.
67
PA N D E O
PAPIME PE 400516
68
Introducción
Los elementos estructurales bajo esfuerzos de compresión son
comunes en todo proyecto arquitectónico. Estos pueden formar
parte de una armadura o servir como puntales (elementos rectos o
inclinados que dan apoyo a otros elementos evitando que estos
últimos se deformen). A diferencia de los elementos que trabajan
bajo esfuerzos de tensión, los cuales sólo pueden fallar cuando
sus esfuerzos internos sobrepasan los esfuerzos resistentes del
material del que están hechos, un elemento trabajando a compresión puede fallar por dos motivos principalmente.
La primera forma de falla es por medio de la ruptura del elemento, ya que el esfuerzo de trabajo interno es mayor al esfuerzo
resistente del material con el que está construido. La segunda
forma en que puede fallar un elemento trabajando a compresión
es debido al pandeo que puede sufrir dicho elemento.
Al aplicar una fuerza de compresión sobre cualquier elemento, éste puede deformarse tanto axialmente como flexionarse
fuera de su eje principal; dicha deformación recibe el nombre
de “pandeo”.
69
¿
Qué es pandeo?
Es una deformación fuera del eje principal del elemento debido
a una fuerza axial de compresión; dicha deformación se presenta en forma de curvatura, la cual varía debido a distintas
variables: a) las condiciones de sujeción en los extremos del
elemento que trabaja a compresión; b) su geometría (radio de
giro); c) su longitud (altura) libre.
Ilustración 1c.
Columna con problemas de pandeo
70
¿
Qué es la relación
de esbeltez?
Con base en lo anterior, al multiplicar el factor K por la longiEs la proporción entre la longitud efectiva de pandeo de un ele-
tud del elemento (KL), obtenemos la proporción de la columna
mento, denominado KL, y su distribución de masa alrededor de
que puede pandearse o la longitud efectiva de pandeo, denomi-
su centroide o “radio de giro”. El valor de “K” se encuentra en
nada como Le.
función a la proporción del elemento en compresión que se deforma alejándose de su eje centroidal principal; dicha longitud
La relación de esbeltez se determina entonces con la siguiente
de pandeo varía de acuerdo al tipo de restricción que presenten
expresión:
los apoyos que sujetan al elemento en sus extremos, como se
muestra en la imagen 2c.
KL Le
=
r
r
(1c)
Donde:
KL
es la longitud efectiva de pandeo (m o cm)
r
es el radio de giro de la sección (sobre su eje menor, cm)
Ilustración 2c.
Valor de “K” para la longitud efectiva de pandeo
71
¿
Qué es el radio de giro?
El radio de giro, r, es una propiedad geométrica de las secciones
transversales y se refiere a la distribución de la masa de dicha
sección con respecto a su eje centroidal; toda sección presenta
radios de giro alrededor de sus dos ejes principales, obteniendo
el radio de giro sobre el eje “X” y sobre el eje “Y” como:
rx =
Ix
; ry =
A
Iy
A
Donde:
lx
es el segundo momento de inercia alrededor del eje x. (cm4)
ly
es el segundo momento de inercia alrededor del eje y. (cm4)
A
es el área transversal de la sección. (cm2)
(2c)
72
¿
Qué es el esfuerzo crítico
y la carga crítica?
n=
1
k2
(4c)
Cuando una columna a compresión pura no presenta proble-
Esfuerzo crítico
mas de esbeltez, su esfuerzo resistente a compresión es igual al
Cuando un elemento estructural presenta compresión, su capa-
esfuerzo resistente del material del que está construido. Cuan-
cidad de carga dependerá de su relación de esbeltez. El esfuer-
do el valor del esfuerzo crítico de una columna a compresión es
zo máximo a compresión que soporte un elemento esbelto se
menor al esfuerzo que soporta el material del que está hecha
conoce como “Esfuerzo crítico de Euler” o solamente “Esfuerzo
la sección, entonces se dice que el elemento es esbelto y su es-
crítico”, siendo su expresión:
fuerzo resistente será igual al valor del esfuerzo crítico de Euler.
σ CR =
E ∗π 2
⎛ K ∗ L⎞
⎜⎝ ry ⎟⎠
2
=
n ∗ E ∗π 2
⎛ L⎞
⎜⎝ ry ⎟⎠
Si σ CR < σ material → σ diseño = σ CR
2
(3c)
Donde:
Si σ CR > σ material → σ diseño = σ material
k
es el valor de condición de frontera de la sujeción en los extremos.
E
es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L
es la longitud del elemento. (m o cm)
σ material = esfuerzo resistente a comprensión del material
ry
es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
σ diseño = esfuerzo válido para diseñar una sección
n
es función de la condición de frontera relacionado con el valor de
Donde:
“k” como la expresión 4C.
73
Carga crítica
A partir de conocer el esfuerzo crítico, Euler determinó la carga
Esta expresión será empleada cuando se requiere conocer la
crítica, la cuál es:
carga que soporta un elemento a compresión cuando se haya
evaluado el esfuerzo crítico y éste sea menor al esfuerzo a com-
PCR = A∗
E ∗π 2
⎛ K ∗ L⎞
⎜⎝ ry ⎟⎠
n ∗π ∗ E ∗ I y
2
2
=
2
L
presión del material.
(5c)
Donde:
ly
es el segundo momento de inercia del área (cm4); se selecciona la
E
es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L
es la longitud del elemento. (m o cm)
ry
es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
n
es función de la condición de frontera relacionado con el valor de
inercia sobre el eje menor ya que el pandeo tomará dicha dirección.
“k” como la expresión 4C
74
Objetivos
•
Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en el
efecto de esbeltez y pandeo en elementos a compresión.
•
Que el alumno aprenda a identificar los parámetros que
establecen la relación de esbeltez y su relación con el
esfuerzo crítico a compresión.
•
Que el alumno establezca la carga resistente a compresión
de un elemento, con o sin problemas de esbeltez.
•
Que el alumno determine la carga crítica de una sección y
a partir de dicho parámetro pueda establecer la resistencia
a compresión del elemento.
•
Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos
dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.
75
Hipótesis
Todos los elementos esbeltos trabajando a compresión sufren
de pandeo tanto local como general.
Para lograr el punto anterior se producirá el inicio del pandeo
en distintas barras de aluminio y se comprobará el valor de la
carga crítica que presente experimentalmente con respecto a
la obtenida empleando la expresión de carga crítica de Euler.
Se relacionarán los conceptos de radio de giro, esbeltez, pandeo
y carga crítica.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención
de dimensiones de los elementos.
76
Materiales
•
Uso del equipo STR-12 (PANDEO)
•
Regla
•
Hojas cuadriculadas
•
Cuaderno
•
Calculadora
•
Práctica
77
Procedimiento
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del
comportamiento de elementos a compresión con efectos de
pandeo, se compararán los valores teóricos con los valores
prácticos de la carga crítica de Euler.
78
Práctica
5
Pandeo en elementos
biarticulados
Para ello se sugiere:
•
Generar equipos de 2 a 3 personas.
•
Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada
una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente.
•
Cada equipo medirá la longitud de cada una de las
barras, apuntando su valor en la tabla mostrada en la
siguiente página.
Ilustración 3c.
Aparato STR-12 para visualizar y medir
la fuerza crítica de Euler ante pandeo
79
•
Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su
inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una
barra rectangular sobre su eje menor es:
(6C)
•
Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras,
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a
Donde:
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
e
es el espesor de la barra (cm).
b
es la dimensión de la base de la barra (cm).
•
La tabla que se generará con sus valores respectivos medidos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
Número de barra
Longitud (cm)
1
32
2
37
3
42
4
47
5
52
Inercia barra
Iy (cm4)
Lectura Carga
de pandeo (N)
Lectura Carga
de pandeo (Kg)
-85
80
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler se empleará la
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han
ecuación 5C:
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que puede llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores comien-
Pcr =
nEI yπ 2
2
L
za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin
poder ser utilizada posteriormente.
•
Para identificar la relación existente de la carga obtenida del
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica,
Donde:
E
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el
inverso de la longitud al cuadrado.
es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de
aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.
ly
es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L
es la longitud de la barra (cm).
n
es igual a la unidad para este experimento.
Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
Número
de barra
Carga Critica
Experimental
(kg)
Carga Crítica
de Euler
teórica (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
81
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de
forma que se pueda probar la relación existente entre la carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se forma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.
•
Finalmente obtenga la pendiente de la recta generada y concluya si se genera una línea recta. Responda si la ecuación
de Euler determina con precisión el valor de la carga crítica
82
Práctica
6
Pandeo de barras
biempotradas
Donde:
Para ello se sugiere:
•
•
Generar equipos de 2 a 3 personas.
e
es el espesor de la barra.
b
es la dimensión de la base de la barra.
Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una
de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente
•
Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras,
•
apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página
Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras,
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
•
Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una ba-
La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-
rra rectangular es:
dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
(6C)
Número
de barra
Longitud
(cm)
1
28
2
33
3
38
4
43
5
48
Inercia barra
(cm4)
Carga de
pandeo (N)
Carga de
pandeo (Kg)
-429
83
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler, se empleará la
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han
ecuación 5C:
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-
Pcr =
nEl yπ 2
L2
Donde:
E
de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores, comienza la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin
poder ser utilizada posteriormente.
•
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica
es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el
aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.
ly
es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L
es la longitud de la barra (cm).
n
es igual a 4, ya que K es 0.5.(verificarlo con la expresión 4C).
Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
Para identificar la relación existente de la carga obtenida del
inverso de la longitud al cuadrado:
Número
de barra
Carga Critica
Experimental
(kg)
Carga Crítica
de Euler (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
84
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la
longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados,
de forma que se pueda probar la relación existente entre la
carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de
la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se forma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.
•
Genere una tabla final donde pueda obtener la relación entre los gradientes de una barra articulada con respecto a
N experimental =
Gradiente de barra biempotrada
Gradiente barra biarticulada
una barra biempotrada. El valor que obtenga será el valor
de “n” o condición de frontera.
¿Tiene algún sentido este resultado?
85
Análisis de
resultados
prácticas 5 y 6
Una vez realizados los dos ejercicios, modificando las condicioPendiente
Barra
bi-articulada
Barra
bi-empotrada
Experimental
-9.0
-34.9
Relación caso/
bi-articulada
-9.0/-9.0=1
-34.9/-9.0=3.9
Relación
teórica “n”
1
4
nes de sujeción del elemento en el extremo, se pide relacionar
el valor de la pendiente de la recta que se genera en la gráfica
obtenida en cada ejercicio.
Para desarrollar la relación de las pendientes obtenidas, la pendiente obtenida por la barra biarticulada se tomará como la unidad para obtener el valor proporcional para los demás casos.
El alumno debe verificar cómo cambia el comportamiento conforme se modifica la sujeción de la barra en los extremos; cómo
su pandeo siempre es sobre el eje menor de inercia y la carga crí-
Relación teórica
1
2
tica es el valor de carga máximo que puede soportar el elemento
antes de iniciar su deformación plástica debido al pandeo.
86
Conclusiones
Los elementos a compresión, como son los puntales y columnas, han sido empleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arquitectónicas y constructivas; sin embargo, siempre
se han visto afectados por el fenómeno del pandeo.
La carga que soporta el elemento se verá reducida con base en
su geometría tanto de sección transversal como de longitud;
la carga crítica de Euler establece el valor máximo que puede
soportar un elemento antes de iniciar el pandeo y sufrir deformaciones permanentes.
87
Ejercicios de
aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando
puntales y revisa su geometría verificando cuál elemento sufrirá pandeo con mayor facilidad.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de
cargas de automóviles o personas sobre éste, ancho de calzada
y respondan las siguientes preguntas:
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las secciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
Se te pide encontrar imágenes en la red de elementos que han
fallado por pandeo. Especifica el material y secciones presentaban estos elementos.
88
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.).
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics.
New York: John Wiley & Sons Inc.
Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Materials. (12a ed.) Mc. Graw Hill.
89
FLEXIÓN
PAPIME PE 400516
Introducción
Se pretende que el alumno conozca todo lo relacionado con el esfuerzo de flexión, tanto teórico como práctico, a través de la definición de
conceptos claros y precisos, además de la ejemplificación del fenómeno mediante la solución de ejercicios prácticos. Al final el alumno debe
poder realizar la síntesis de la repercusión de este esfuerzo sobre los
elementos estructurales, especialmente vigas.
91
¿
Qué es flexión?
Es la distribución de esfuerzos que se producen al interior de
La línea que separa las fibras que trabajan a tensión con res-
un elemento al aplicarle a este último una fuerza transversal,
pecto a las que trabajan a compresión recibe el nombre de “eje
generando una deformación llamada “deflexión”, siendo “la
neutro”, punto en el cual no existe ningún esfuerzo. Finalmen-
flecha” el punto de máxima deformación. Al aplicar una carga
te, al “curvearse” el elemento, se genera una curvatura con su
vertical al elemento en el sentido de la fuerza de la gravedad,
respectivo radio llamado “radio de curvatura”, el cual dismi-
las fibras superiores de este cuerpo se acortan produciendo
nuye cuando aumenta la flexión y aumenta al disminuir esta
esfuerzos internos de compresión mientras que las fibras infe-
última.
riores se alargan produciendo esfuerzos de tensión.
Ilustración 1d. Viga con carga perpendicular a su eje principal.
Ilustración 2d. Flexión en vigas.
92
¿
Qué es momento y un
momento de flexión?
Momento de flexión
Un momento de fuerza es el producto de una fuerza aplicada
Para que el elemento sobre el cual se aplicó la fuerza esté en
en un punto por la distancia perpendicular a dicha fuerza para
equilibrio, la fuerza resultante a tensión (producto de la suma
llegar al punto sobre el cual gira el elemento.
de los esfuerzos de tensión) debe ser igual a la fuerza resultante a compresión (producto de la suma de los esfuerzos de
compresión).
Ambas fuerzas son de igual valor, pero tienen sentido contrario y se encuentran separadas una distancia, produciendo un
momento de flexión al interior del elemento.
Ilustración 3d. Torque o momento. (1d)
M = Fuerza ∗ distancia
(1d)
Donde:
M
es el momento (kg*cm, t*m)
Ilustración 4d. Momento
y Cortante sobre una viga.
93
Flexión en vigas
y tipos de apoyos
Una viga es un elemento estructural, generalmente en posición horizontal, cuya función es soportar cargas externas y
transmitirlas hacia sus apoyos generalmente ubicados en los
extremos de la misma. El comportamiento de la viga dependerá de la forma en que se conecta con sus apoyos.
viga o ballena
Apoyo simple
Es aquel apoyo que impide que el elemento se mueva única-
viga enfrente = apoyo simple
viga atrás = apoyo simple
reacción en y
reacción en y
mente en un sentido, pudiendo moverse en la otra dirección,
así como girar alrededor de dicho apoyo.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en una
dirección, en dicha dirección se genera una reacción.
Ilustración 5d.
Ejemplo apoyo simple y representación
gráfica en el plano.
94
Apoyo articulado
Este apoyo impide que el elemento se mueva en todas las
direcciones; sin embargo, permite que el elemento gire alrededor de todos los planos.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en dos
direcciones, en dichas direcciones se generan reacciones; aho-
columna inclinada
ra se tienen reacción en X y en Y.
articulación
madera apoyo
reacción en x
reacción en y
Ilustración 6d.
Ejemplo apoyo articulado y representación
gráfica en el plano.
95
Apoyo empotrado
Este apoyo impide que el elemento se mueva y gire en todas
las direcciones.
Ilustración 7d.
Ejemplo apoyo empotrado
y representación gráfica
en el plano.
Para conocer el trabajo de flexión en una viga estáticamente
determinada que soporta carga, ya sea puntual o distribuida,
se recurre a obtener el valor de las reacciones en los apoyos
para posteriormente obtener las ecuaciones del momento
interior en la viga y plasmar dicho trabajo en diagramas conocidos como diagramas de elementos mecánicos, de momento
de flexión.
momento
empotramiento
reacción en x
reacción en y
96
¿
Qué es la fuerza
cortante?
La fuerza cortante es la distribución de las cargas actuantes
hacia los apoyos para que la viga esté en equilibrio. En la figura
En los ejercicios planteados a continuación el alumno practi-
4d se presenta el cortante que se transmite de la carga exter-
cará cómo obtener el trabajo de flexión y cortante sobre una
na hacia la viga, y su diagrama es la representación de la suma
trabe, generar su gráfica y relacionar sus resultados con las
algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje
deflexiones que se producen en la viga.
de la viga y su transmisión hacia los apoyos.
Para obtener el diagrama de fuerzas cortantes en vigas se realiza una sumatoria de fuerzas en “Y” o fuerzas verticales.
∑F
y
=0
(2d)
97
Objetivos
•
Que el alumno aprenda a identificar los diferentes tipos de vigas, su
100 kg
100 kg
100 kg
100 kg
100 kg
función y comportamiento.
•
Que el alumno aprenda a identificar y a calcular los esfuerzos
40 cm
(cortante y momento) a los que está sometida una viga.
•
Que el alumno pueda observar la deformación de una viga
25 cm
100 kg
100 kg
100 kg
100 kg
sometida a diferentes cargas.
•
Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos
arquitectónicos.
98
Hipótesis
Las trabes son elementos cuyo trabajo principal es a flexión y cortante
debido a las cargas que soporta.
Para verificar dicha hipótesis: se analizará el comportamiento de una
viga, para lo que se realizarán diferentes propuestas para saber cómo se
flexiona una viga y sus valores.
Para todos los ejercicios se determinará la deformación del modelo y,
con los cálculos, se verificará la deformación y trabajo obtenido.
Los resultados se obtendrán de forma manual así como con programa
de análisis estructural, pudiendo variar los valores ligeramente por
cuestiones de decimales empleados.
99
Materiales
•
Esponja
•
Masking Tape
•
Plumones
•
Marcador
•
Plastilina
•
Tachuelas
•
Hojas milimétricas
•
Cartón
•
Latas de leche o pintura vacias
•
Papel albanene
* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas,
de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.
100
Procedimiento
Lo primero que se debe realizar es:
Profesor:
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el
plano de trabajo, viga formada por secciones de madera, eje neutro
y deflexión, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante el
grupo.
Alumnos:
Generarán la base sobre la cual se colocarán los modelos que generen
los mismos alumnos. La base se fabricará:
•
Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
•
Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación
que se desee para la trabe.
Ilustración 8d. Modelo de flexión del profesor
•
Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor
fijación de las tachuelas.
101
Práctica
7
Flexión con cargas
puntuales
Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre
un modelo para posteriormente calcular las reacciones, el
b. Coloca latas hasta lograr la altura necesaria, estas latas
servirán como los apoyos de la viga.
valor del cortante y momento de flexión de la trabe. Finalmente, traza los diagramas de elementos mecánicos correspondientes.
Inicia con el modelo
Construye un modelo con las características de la viga que
será analizada analíticamente y compara los resultados.
a. Haz una retícula en una hoja milimétrica con una graduación que te ayude a observar los esfuerzos que producirá
c. Apoya la esponja en las latas para formar el sistema.
la viga.
102
d. Comienza a agregar peso proporcionalmente a las cargas
f.
Con la ayuda de un marcador, traza la curva generada por
establecidas en el ejercicio anterior. Para este ejemplo uti-
la flexión de la viga y compara el resultado con el que se
lizamos plumones, pero se puede utilizar cualquier objeto
obtenga en el siguiente ejercicio
al alcance del practicante. Observa la flexión que producen
las cargas en la viga.
Solución analítica de la viga
e. Sigue agregando las cargas necesarias conforme al ejercicio. Observa los cambios que se van produciendo en la
Se tiene una viga con tres cargas puntuales (equivalente a los
tres plumones).
viga.
7000 kg
7000 kg
10 000 kg
Se inicia obteniendo las reacciones
A
B
2.00
R1
3.00
3.00
Ilustración 9d.
2.00
R2
Viga práctica 7.
103
Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar sumatoria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos
punto “B”. Para obtener el momento, este será igual a Fuerza
Despejando R2 tenemos
R2 = 24000kg − 12000kg = 12000kg
por distancia, ecuación 1D.
∑ MB = 0
(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)
+ R1(10m) − 7000kg(8m) − 1000kg(5m) − 7000kg(2m) + R2(0m) = 0
∴+ R1(10m) − 56000kg ∗ m − 50000kg ∗ m − 14000kg ∗ m = 0
∴+ R1(10m) − 12000kg ∗ m = 0
Para obtener el diagrama de cortantes, se hará la sumatoria de
fuerzas en “Y” en todos los puntos donde hay carga puntual.
Sólo se tomarán en cuenta las fuerzas que estén a la derecha
de cada punto donde se pare para obtener la sumatoria.
Para obtener el diagrama de momentos se realiza la suma de
momentos de las fuerzas ubicadas a la izquierda de cada punto donde están las cargas; el giro se considera positivo si es a
favor de las manecillas del reloj.
Despejando R1
R1 =
120000kg ∗ m
= 12000kg
10m
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza
la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas
las fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ ∑ Fy = 0
−24000kg + R2 + R1 = 0
104
7000 kg
7000 kg
10 000 kg
Cortantes
+ ↑ ∑ Fy = 0
Vx=0 = +12000kg
2.00
3.00
3.00
2.00
R1 = 12 000 kg
R2 = 12 000 kg
Vx=2 = +12000kg − 7000kg = 5000kg
Vx=5 = +12000kg − 7000kg − 10000kg = −5000kg
Vx=8 = +12000kg − 7000kg − 10000kg − 7000kg = −12000kg
12 000
Vx=10 = +12000kg − 7000kg − 10000kg − 7000kg + 12000kg = 0
5 000
0
x=0
x=2
x=5
x=8
x = 10 0
V
-5 000
-12 000
105
7000 kg
7000 kg
10 000 kg
Momentos
∑M
2.00
3.00
3.00
2.00
R1 = 12 000 kg
R2 = 12 000 kg
x
=0
M x=2 = +12000kg(2m) − 7000kg(0m) = 24000kg ∗ m
M x=5 = +12000kg(5m) − 7000kg(3m) − 10000kg(0m) = 39000kg ∗ m
M x=8 = +12000kg(8m) − 7000kg(6m) − 10000kg(3m) = 24000kg ∗ m
M x=10 = +12000kg(10m) − 7000kg(8m) − 10000kg(5m) − 7000(0m) = 0
0
x=0
x=2
24 000 kg.m
x=5
+
39 000 kg.m
x=8
x = 10 0
24 000 kg.m
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio, modelo y
resultados con SAP2000.
106
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa
SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango
12 000
de diferencia.
5 000
0
En ambos diagramas podemos observar la distribución de las
0
v
-5 000
fuerzas verticales cortantes a lo largo de la viga. También podemos observar que, al tener las cargas puntuales simétricas,
-12 000
los cortantes de la viga son simétricos y proporcionales a las
cargas.
Ilustración 11d.
Diagrama de cortantes obtenido con los cálculos realizados.
Ilustración 10d.
Diagrama de cortantes obtenido con el programa SAP2000.
107
Diagrama de momentos
Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-
0
res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-
0
lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa
SAP2000 al analizar la viga.
24 000 kg.m
24 000 kg.m
En ambos resultados podemos observar que el momen-
39 000 kg.m
to de flexión mayor se encuentra al centro con un valor de
39,000kg ∗ m .
Ilustración 13d.
Diagrama de momentos obtenido
Esto mismo lo podemos comprobar en la flexión que presento
con los cálculos realizados.
la viga en el modelo.
Ilustración 12d
Diagrama de momentos obtenido
Ilustración 14d.
con el programa SAP2000.
Deformación y momento de la
viga modelada.
108
Práctica
8
Flexión con carga
repartida uniforme
y carga puntual
b. Coloca la carga distribuida sobre la viga; en este ejemplo
colocamos una serie de plumones que actúan como la carga distribuida. Observa el comportamiento de la viga al ir
agregando las cargas.
Ejercicio 1
Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre un
modelo. Posteriormente, se debe calcular las reacciones, cortante y momento de flexión de la misma. Traza los diagramas
de elementos mecánicos correspondientes. Construye un
modelo con las características de la viga por analizar
a. Prepara nuevamente el sistema completo (viga y apoyos).
c . Agrega la carga puntual. Observa el comportamiento de la
viga al ir agregando las cargas.
109
d. Con la ayuda de un plumón, traza sobre la retícula la flexión
Reacciones
que generaron las cargas en la viga. Compara los resultados
Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-
obtenidos con los resultados del ejercicio anterior.
toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos
punto “B”. Para obtener el momento, éste será igual a la fuerza
por la distancia, ecuación 1D.
∑M
B
=0
(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)
+ R1(10m) − 7000kg(8m) − 1000kg(5m) − 7000kg(2m) + R2(0m) = 0
∴+ R1(10m) − 56000kg ∗ m − 50000kg ∗ m − 14000kg ∗ m = 0
Solución analítica de la viga
8 400 kg
∴+ R1(10m) − 12000kg ∗ m = 0
2 000 kg/m
Despejando R1
R1 =
120000kg ∗ m
= 12000kg
10m
+ ↑ ∑ fy = 0
A
B
5.00
R1
7.00
−(2000 ∗12)kg + 16900kg − 8400kg + R2 = 0
R2
Despejando R2
∴ R2 = 32400kg − 16900kg = 15500kg
110
8 400 kg
Cortantes
2 000 kg/m
+ ↑ ∑ Fy = 0
Vx=0 = +16900kg
5.00
7.00
R1=16 900 kg
Vx=5(− ) = +16900kg − 10000kg = 6900kg
R2=15 500 kg
Se obtiene el cortante dos veces en x=5 ya que debe ser sin
considerar la carga puntual y después ya debe sumarse dicha
carga.
16 900 kg
Vx=5 = +16900kg − 10000kg − 8400kg = −1500kg
6 900 kg
0
-1 500 kg
0
v
Vx=12 = +16900kg − 8400kg − 24000kg − 7000kg = −15500kg
Vx=12(− ) = +16900kg − 8400kg − 24000kg + 15500kg = 0
-15 500 kg
111
8 400 kg
Momentos
2 000 kg/m
∑M
x
=0
M x=0 = +16900kg(0m) = 0kg ∗ m
5.00
7.00
R1=16 900 kg
M x=5 = +16900kg(5m) − 10000kg(2.5m) = 59500kg ∗ m
R2=15 500 kg
M x=12 = +16900kg(12m) − 2000kg(12m)(6m) − 8400kg(7m) + 15500kg(0m) = 24000kg ∗ m
0
M
0
+
Se obtiene el diagrama de momento solo en estos valores que
son los máximos, ya que la geometría que une dichos puntos
será una parábola por ser carga uniformemente repartida.
59 500 kg · m
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del modelo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.
112
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa
16 900 kg
SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango
de diferencia.
6 900 kg
0
-1 500 kg
0
v
En este caso la distribución de fuerza cortante es lineal al igual
que la carga, presentándose un escalón donde está la carga
-15 500 kg
puntual. El cortante máximo se produce en los apoyos.
Ilustración 5.
Diagrama obtenido con los
cálculos realizados.
Ilustración 4.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
113
0
M
Diagrama de momentos
0
Los resultados de ambos diagramas de momentos son similares, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los valores debido a los elementos que toma en cuenta el programa
SAP2000 al analizar la viga.
59 500 kg · m
El momento de flexión máximo se localiza fuera del centro de
la viga y tiene un valor de 59500kg * m, a 5 metros de uno de
los extremos, dicha distancia, coincide con la carga puntual de
8400kg , que incide en ese punto.
Ilustración 18d.
Diagrama de momento obtenido analíticamente
En el modelo podemos apreciar que la viga se flexiona más
hacia el lado de la carga puntual, lo cual coincide con los diagramas antes analizados.
Ilustración 17d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
Ilustración 19d.
Diagrama obtenido con el modelo.
114
Ejercicio 2
Flexión de una vida en cantiliver
con carga repartida uniforme.
Cortantes
0
Calcula las reacciones, el valor del cortante y momento flexionante de la siguiente viga, y posteriormente traza los diagra-
0
V
-1 600 kg
-3 200 kg
-4 800 kg
-6 400 kg
mas correspondientes.
-8 000 kg
800 kg / m
+ ↑ ∑ Fy = 0
2.00
2.00
2.00
10.00
2.00
2.00
Vx=2 = −(800kg ∗ m)(2m) = −1600kg
Vx=4 = −(800kg ∗ m)(4m) = −3200kg
Vx=6 = −(800kg ∗ m)(6m) = −4800kg
Vx=8 = −(800kg ∗ m)(8m) = −6400kg
Vx=10 = −(800kg ∗ m)(10m) = −8000kg
115
Momentos
∑M
x
=0
M x=0 = 0kg ∗ m
0
0
1 600 kg · m
6 400 kg · m
M
M x=2 = −(800kg ∗ m)(2m)(1m) = −16000kg ∗ m
M x=4 = −(800kg ∗ m)(4m)(2m) = −6400kg ∗ m
14 400 kg · m
25 600 kg · m
Vx=6 = −(800kg ∗ m)(6m) = −14400kg ∗ m
40 000 kg · m
Vx=8 = −(800kg ∗ m)(8m) = −25600kg ∗ m
Vx=10 = −(800kg ∗ m)(10m) = −40000kg ∗ m
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del modelo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.
116
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa
SAP2000; los valores numéricos varían con un pequeño rango
de diferencia.
0
0
V
-1 600 kg
-3 200 kg
Al ser una viga en voladizo, el cortante mayor se produce en su
-4 800 kg
-6 400 kg
empotre; y al tener una carga uniformemente repartida sobre
-8 000 kg
la viga, los cortantes que se producen en ella van incrementando proporcionalmente mientras nos vamos acercando al
empotre de la misma.
Ilustración 21d.
Diagrama obtenido con los cálculos realizados.
Ilustración 20d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
117
Diagrama de momentos
Los resultados de ambos diagramas de momentos son similares, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los valores debido a los elementos que toma en cuenta el programa
SAP2000 al analizar la viga.
0
1 600 kg · m
0
M
6 400 kg · m
14 400 kg · m
En este caso, al igual que en el diagrama de cortante, el mo-
25 600 kg · m
mento de flexión máximo se localiza en el empotre de la viga,
40 000 kg · m
teniendo este momento un valor de 40000 kg * m.
Ilustración 23d.
Diagrama obtenido analíticamente.
Ilustración 22d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
118
Análisis resultados
prácticas 7 y 8
2.00
3.00
3.00
8 400 kg
7000 kg
7000 kg
10 000 kg
Compara los cortantes de las vigas anteriormente calculadas:
5.00
2.00
7.00
R1=16 900 kg
R1=12 000 kg
2 000 kg/m
R2=15 500 kg
R2=12 000 kg
12 000
16 900 kg
5 000
0
0
-5 000
0
v
-1 500 kg
Ilustración 24d.
Diagrama obtenido analíticamente
6 900 kg
V
0
-12 000
-15 500 kg
119
2.00
El cortante máximo se produce generalmente en los apoyos, quienes reciben toda la
3.00
3.00
R1=12 000 kg
8 400 kg
7000 kg
7000 kg
¿Cómo influyen las cargas en la forma
en que se produce el cortante en la
viga?
2.00
5.00
7.00
R1=15 000 kg
R1=??? kg
R2=12 ???
2 000 kg · m
carga de las vigas. Cuando se tienen cargas
puntuales, el diagrama de fuerzas cortantes
0
0
presenta una geometría escalonada, haciendo cambio donde están las cargas externas;
0
0
en una viga con carga uniformemente repartida, el cortante es una línea con pendiente
M
24 000 kg · m
24 000 kg · m
constante a lo largo de la viga.
39 000 kg · m
59 500 kg · m
Compara los momentos de flexión en las
vigas analizadas anteriormente:
Ilustración 25d.
Diagrama de momentos de ejercicio 1 práctica 7 y 8.
120
¿Cómo influyen las cargas en la forma en que se produce el momento de flexión en la viga?
¿Cuál es la relación entre el cortante producido y el
momento de flexión en una viga?
Las cargas y su posición en la viga determinan la distribución
La carga, el cortante y el momento están relacionados, ya que
del momento de flexión en una viga, por lo que la posición en
la integral de la carga da como resultado el cortante y, obte-
la que se encuentren es muy importante ya que el momento
niendo la integral del diagrama de cortante, se determina el
flexionante máximo estará en donde se concentre la mayor
valor del momento en dicho punto.
cantidad de cargas.
El tipo de cargas aplicado sobre la trabe también es importante, ya que con una carga distribuida el momento flexionante
mayor se producirá al centro de la viga; en cambio, si las cargas
son puntuales, el momento de flexión máximo se producirá en
donde haya mayor carga, lo cual puede ser en cualquier punto
de la viga.
121
Ejercicios
de aplicación
5 000 kg
Realiza nuevos análisis con diferentes tipos de vigas para observar los
3 500 kg · m
esfuerzos producidos en cada una de éstas. Toma como punto de partida las siguientes vigas y analiza sus esfuerzos, realiza sus correspondientes diagramas y compara tus resultados.
Propón casos de estudio con diferentes tipos de vigas, diferentes em-
3.00
7.00
potres o diferentes características en sus elementos y analiza cómo se
comporta cada una de las vigas.
Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean
necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.
122
Conclusiones
Los esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmeLos
Otro aspecto importante a tomar en cuenta son los claros que cubrirá la
esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmente: los
viga, ya que entre más grande sea el claro a cubrir mayor será la sección
esfuerzos a cortantes y los momentos de flexión. Es importante cono-
de la viga para poder soportar los esfuerzos que las cargas ejercen sobre
cer cómo actúa cada uno de estos esfuerzos, la forma de calcularlos y
ella.
aplicarlo en el diseño arquitectónico.
Todos estos elementos influyen directamente en el proyecto arquitecAl calcular estos esfuerzos se deben tomar en cuenta diversos factores,
tónico, por lo que es esencial conocer los procedimientos que en esta
como el tipo de material del que se hará la viga, la forma en que está
práctica se llevan a cabo, para que con esto podamos crear un criterio
apoyada y las cargas que va a soportar la misma. Estas últimas son par-
que apliquemos al momento de diseñar un edificio.
te esencial de este análisis, ya que una viga no presentará las mismas
deformaciones cuando esté sometida a una carga menor que cuando la
carga a soportar sea muy grande.
123
Referencias
Durán Peña, D. A. (15 de mayo de 2006). Paquete interactivo didáctico para apoyo del curso de comportamiento de materiales I (capítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales - Universidad
de las Américas, Puebla: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/
documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf
Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.
Quiñonez, A. (7 de junio de 2015). COMO RESOLVER UNA VIGA CON
SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=6-y8itaq7aE&t=550s
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall.
124
ARMADURAS
PAPIME PE 400516
125
Introducción
¿Qué es una armadura?
Una armadura es un elemento cuya función es soportar cargas
y transmitirlas a sus apoyos, de forma similar a las vigas, por
ello también se conocen como trabes de alma abierta. Su virtud principal es que a partir de su geometría descomponen la
flexión que tienen las vigas en fuerzas más sencillas, como son
la tensión y compresión, lo que permite elementos más esbeltos y económicos con respecto a una trabe.
126
El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es
una forma que no puede ser deformable, independientemente
de cómo están conectados sus elementos entre sí.
Ilustración 1e.
Las armaduras se componen de los siguientes elementos: (ver
Diagrama de una armadura y sus elementos.
figura 1e).
Las cuerdas superior e inferior son los elementos principales
de una armadura, ya que ellos transmiten las fuerzas a lo largo
de la misma. Las diagonales tienen como función generar
triángulos al interior del elemento, descomponiendo la flexión
en tensión y compresión dependiendo de cómo estén orientadas. Finalmente, los montantes sirven para acortar la distancia
entre nudos y para lograr la conexión de elementos con la
armadura.
Ilustración 2e.
Esfuerzos de trabajo de una armadura.
127
Tipos de armaduras
Armaduras planas
Son armaduras que se encuentran contenidas en un solo plano, formadas tanto sus cuerdas, diagonales y montantes por
uno o dos elementos cuando es metálica, como se aprecia en
la figura 3e. Cuando se trata de armaduras construidas con
Principios básicos de las armaduras:
madera, cada elemento puede estar formado por 2, 3 y 4 sec-
a. Debe de tener triángulos en todo su interior.
ciones, debido a su baja resistencia a la compresión y tensión.
b. Las cargas deben caer sobre los nudos.
c. Puede tener cualquier geometría, mientas que esté triangulada en su interior.
d. Los nudos se consideran articulados aun cuando estén soldados o atornillados.
e. Una armadura puede prescindir de montantes, pero siembre debe tener diagonales.
Ilustración 6.
Armadura plana
128
Armaduras espaciales
De acuerdo con la posición de las diagonales e integración de
Estas armaduras generan una superficie, por lo que están
montantes, las armaduras planas pueden presentar distintos
contenidas en 3 planos; estas estructuras reciben el nombre de
nombres, como:
doble manto por contar con cuerdas superior e inferior.
Una armadura espacial simple puede construirse a partir de un
tetraedro básico agregando tres elementos adicionales y un
nodo, y continuar de esta forma hasta formar un sistema de
tetraedros multiconectados.
Ilustración 4e.
Ilustración 5e.
Algunos tipos de armaduras de acuerdo a su triangulación.
Armadura tridimensional o “estructura espacial”.
129
Selección
de una armadura
La selección de una armadura depende de las condiciones del
proyecto arquitectónico así como sus requerimientos. Algunos
casos generales son:
•
Para claros grandes las armaduras son una buena elección,
•
Cuando se tiene un gran número de instalaciones que
ya que por sus características presentan un menor peso
corren por el entrepiso, las armaduras son una buena
con respecto al de una trabe de alma llena. Las armaduras
solución ya que permiten el paso de estas instalaciones
pueden cubrir claros que van desde los 10 metros hasta
libremente sin quitar altura de entrepiso.
los 150 metros de largo; sin embargo, se debe considerar
que su peralte es mayor al de una trabe y cuando se tienen
•
•
Cuando el tiempo de construcción de la edificación es
claros mayores a 100 m se debe considerar una armadura
muy corto para usar sistemas constructivos que conlleven
tridimensional preferentemente.
mayor tiempo del planeado.
Cuando se tienen cargas gravitacionales importantes sobre
un entrepiso y los claros son medianos a grandes para
•
Cuando se quiere rigidizar una edificación, pueden sustituir
a trabes como a columnas.
dichas cargas (10 a 30 m), las armaduras pueden soportar
mayor carga que el de una trabe debido a presentar mayor
peralte pero ser ligeras al estar trianguladas.
130
¿
Cómo se conoce el trabajo
de cada elemento de una armadura
estáticamente determinada?
Se requiere iniciar obteniendo el valor de las reacciones de los
apoyos que soportan a la armadura para comenzar a resolver
el trabajo de sus elementos; en esta práctica se abordará el
método de los nudos para determinar los esfuerzos internos
que se producen en cada barra de la armadura.
Este método se basa en encontrar el equilibrio en cada nudo
obteniendo las fuerzas interiores incógnitas con el equilibrio de
fuerzas sobre los ejes principales (en el eje x y eje y). Se debe
iniciar en un nudo donde se tengan dos barras y una carga
externa.
131
Objetivos
•
Que el alumno identifique cada uno de los elementos que
conforman una armadura, así como la forma en que trabaja cada
uno de ellos.
•
Que el alumno aprenda a diferenciar la forma de trabajo de una
viga de la de una armadura, así como las características técnicas de
acuerdo a las diferentes formas de empleo de ésta.
•
Que el alumno pueda reconocer las formas que toma una
armadura, así como el trabajo de las barras de la armadura.
•
Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos
arquitectónicos.
132
Hipótesis
Una armadura plana descompone su flexión en un par de fuerzas (tensión y compresión) gracias a su triangulación interior.
Para verificar lo anterior se relacionará las deformaciones de la armadura sobre modelos con sus resultados numéricos y se determinará su
variación conforme se modifique la triangulación, peralte y valor de las
cargas.
El análisis de resultados para cada caso se comprobará mediante el de
un programa computacional de análisis de armaduras para comprobar
los resultados y mostrar los diagramas de trabajo de cada una de ellas.
133
Materiales
* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas,
de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.
•
Base de cartón corrugado de 30X30cm*
•
Hojas milimétricas
•
Hojas de papel albanene
•
Tachuelas*
•
Varitas de madera balsa
•
Hilo y Aguja
•
Plastilina
•
Masking Tape*
•
Marcador
134
Procedimiento
Profesor
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el plano de trabajo, armadura y pesos, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante grupo.
Alumnos
Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se
colocarán nuestros modelos de armaduras.
135
a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la
separación que se desee para el polígono funicular. (en el
ejemplo 20 unidades)
Ilustración 6e.
Modelo de armadura para el profesor
c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener
una mejor fijación de las tachuelas.
136
Práctica
9
Armadura plana
estáticamente determinada
a. Corta las varitas de madera balsa para crear cada uno de los
Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de
elementos de la armadura (cuerdas, diagonales y montantes).
este problema; posteriormente calcular las reacciones y los
esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los
En total necesitarás:
nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.
Inicia con el modelo.
·
·
·
9 varitas de 5 cm (montantes)
8 varitas de 7.5 cm (diagonales)
4 varitas de 40 cm (cuerdas)
Construye un modelo a escala de la armadura para observar su
deformación.
137
b. Con la ayuda del hilo y la aguja, une cada uno de los elementos que conformará a la armadura.
d. Coloca unos botes de pintura que servirán como apoyo de
la armadura.
c. Sobre un trozo de cartón más grande que el modelo de la
armadura pega una hoja milimétrica que nos ayudará a medir la deformación de la armadura.
e. Coloca la armadura sobre los apoyos (botes de pintura).
138
f.
Agrega las cargas a la armadura de acuerdo con las posición de ellas presentadas en el ejercicio.
g. Con la ayuda de un plumón, marca sobre la retícula la deformación de la viga, posteriormente compara tus resultados con los obtenidos tanto aritméticamente como con el
programa SAP2000.
139
Solución analítica de la armadura
simplemente apoyada
Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la
armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo
su componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el
⎛ 1⎞
ángulo se obtiene: θ = tan −1 ⎜ ⎟ = 45º , como se muestra en la
⎝ 1⎠
figura siguiente:
Reacciones
Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser
un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre
sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas externas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar
cada apoyo.
9
+ ↑ ∑ Fy = 0 Ray = 0.55∗ = 2.475T = 2.50T
2
140
Se debe iniciar el cálculo de la armadura en el nudo donde sólo
lleguen dos barras y exista una carga externa sobre el mismo,
por lo tanto comenzamos en el punto A. Una vez seleccionado
el nudo se aísla de las demás barras, se coloca el nombre de
la fuerza y su sentido (no importa que no sea el correcto, si el
signo nos da negativo significa que la flecha va en sentido contrario). Se hace sumatoria de fuerzas en X y en Y para obtener
el valor de las fuerzas.
Al pasar al siguiente nudo (en este caso el B), como se conoce ya
la fuerza de la barra AB, ésta se coloca sobre el nudo y debe indicarse en sentido contrario al obtenido en la barra AB para lograr
Para continuar con la solución por este método, se debe ir
el equilibrio en la barra; véase figura anterior (lado derecho).
recorriendo de nudo en nudo seleccionando siempre el nudo
donde se tienen solo dos barras con fuerzas incógnitas.
141
142
143
Cuando se han obtenido todas las fuerzas con sus sentidos, se
genera el siguiente diagrama, indicando que barras se encuentran trabajando a tensión y cuáles a compresión.
Ilustración 7e. Esfuerzos presentes en la armadura.
144
Ilustración 8e.
Deformación obtenida con el modelo a escala
de armadura plana de 8m de longitud.
Analiza los resultados
Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de
la armadura y con los resultados obtenidos con el programa
SAP2000.
Ilustración 9e.
Deformación obtenida con el programa SAP2000 simulando
una armadura plana de 8m de longitud.
145
¿
Qué relación hay entre la deformación obtenida
con el prototipo y la deformación obtenida con
el programa?
Ambos resultados son similares en la forma en que se deforma
Compara la forma de trabajo (tensión y compresión) obteni-
la armadura, teniendo el punto de deformación más grande al
dos con los resultados calculados previos y con los resultados
centro de ésta. Los elementos que presentan mayores esfuer-
del programa SAP2000.
zos son las cuerdas tanto superior como inferior; las diagonales realizan la descomposición de fuerzas obteniendo valores
menores a los de las cuerdas, mientras que los montantes casi
no trabajan.
¿Qué relación hay entre ambos resultados?
Los resultados obtenidos de la forma de
trabajo de los elementos que conforman la
armadura son iguales en ambos resultados;
esto se debe a que, aunque los resultados
numéricos presenten pequeñas diferencias,
la forma de trabajo de los elementos que
conforman la armadura es única para cada
Ilustración 10e.
Resultados obtenidos con el programa SAP2000
(azul=tensión; rojo=compresión).
caso.
146
Práctica
10
Armadura plana
estáticamente determinada
b. Agrega las cargas correspondientes.
Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de
este problema; posteriormente, calcula las reacciones y los
esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los
nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.
Inicia con el modelo.
Construye un modelo a escala de la armadura para observar su
deformación.
c. Con la ayuda de un marcador traza la deformación (línea
a. Arma el modelo (armadura y apoyos) al que se le irán
roja) que generan las cargas en la armadura.
agregando las cargas de acuerdo con la práctica 9 presentada anteriormente.
147
Solución analítica de la armadura
simplemente apoyada
Reacciones
Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser
un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre
sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas externas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar
cada apoyo.
5
+ ↑ ∑ Fy = 0 Ray = 1.0 ∗ = 2.50T
2
Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la
armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo su
componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el án⎛ 1⎞
gulo se obtiene: θ = tan −1 ⎜ ⎟ = 45º , ya que la separación entre
⎝ 1⎠
montantes es de 1 metro.
148
149
Ilustración 11e.
Esfuerzos presentes en la armadura.
150
Analiza los resultados
Ilustración 12e.
Deformación obtenida con el modelo a escala
Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de
de armadura plana de 8m de longitud.
la armadura y con los resultados obtenidos con el programa
SAP2000
Ilustración 13e.
Deformación obtenida con el modelo a escala de
armadura plana de 8m de longitud.
151
¿
Qué relación hay entre
ambos resultados?
El trabajo de la cuerda inferior siempre fue a tensión, mientras
que la cuerda superior fue a compresión, debido a que ambas
armaduras presentan apoyos simples en los extremos además
de presentar una geometría y cargas simétricas. El trabajo de
las diagonales es importante para descomponer las fuerzas,
mientras que los montantes que presentan mayor trabajo es
en los apoyos, disminuyendo el mismo hacia el centro.
Ilustración 14e.
Resultados obtenidos con el programa SAP2000
(azul= tensión; rojo= compresión).
152
Análisis resultados
prácticas 9 y 10
¿Qué armadura presenta mayores
esfuerzos en sus elementos?
Considerando que ambas armaduras presentan el mismo
peralte y soportan la misma carga total, la primera armadura
analizada presenta mayores valores de esfuerzo en sus elementos, ya que su longitud es mayor que la segunda; sus valores máximos se presentan al centro del claro en las cuerdas,
distribuyéndose y aminorando hacia los extremos.
153
¿Cuál es la relación entre los valores de los esfuerzos
de las dos armaduras?
Como puede observarse, la relación del valor de esfuerzo
Cuanto más larga sea la armadura (mayor claro), los esfuerzos
máximo de la armadura larga con respecto a la corta es del do-
internos serán mayores en los elementos (principalmente las
ble, como lo es su relación entre claros: 4 a 8 m, indicando que
cuerdas). Para mantener un valor menor de esfuerzos en la
el efecto que más impacta al diseñar la armadura es el claro y
armadura es necesario aumentar el peralte de la misma, pro-
no tanto la carga que soporta.
porcional al aumento de su longitud. El aumentar el peralte
producirá que los esfuerzos internos disminuyan generando
una solución más ligera y económica.
154
¿A qué se debe que una armadura presenta mayores
deformaciones si soportan a misma carga?
Ilustración 15e.
Deformación en armadura plana de 4m de longitud
A que la proporción de la armadura no se conserva, ya que
práctica 10 (SAP2000).
sólo se aumenta la longitud de la armadura, pero no se aumenta su peralte, haciendo que la primera armadura soporte mayores esfuerzos.
Compara ambas deformaciones de las armaduras gráficamente.
Ilustración 16e.
Deformación en armadura de 8m de longitud práctica 9 (SAP2000).
155
¿Qué harías para obtener la misma deformación en
las dos armaduras?
¿Es importante la posición de las diagonales en la
armadura?
Aumentar el peralte de la segunda armadura para que de esta
La orientación de las diagonales marca el esfuerzo al que es-
forma su relación entre peralte y longitud sea proporcional, y
tará trabajando cada elemento de la armadura, es decir, la
que así los elementos soporten menores esfuerzos.
posición de la diagonal puede generar que los elementos que
trabajaban en la práctica a tensión inviertan su esfuerzo a com-
Otra solución es tener mayor número de diagonales y montan-
presión, impactando al momento de diseñar estructuralmente
tes que ayuden a distribuir mejor los esfuerzos.
la armadura.
¿En dónde se presenta la mayor deformación en ambas armaduras? ¿Por qué?
La mayor deformación se presenta en el centro de la armadura
debido a que es el punto más alejado entre los dos apoyos que
soportan a la armadura.
156
Conclusiones
Las armaduras son elementos estructurales que nos permiten librar
La deformación es otro de los aspectos importantes de una armadu-
grandes claros de una forma fácil y económica, por lo cual es impor-
ra; ésta se presenta por las cargas a las que está sujeta la armadura y
tante que conozcamos sus elementos, la forma en que trabajan y su
por su geometría; a pesar de esto, una armadura puede cubrir un gran
comportamiento ante diferentes situaciones.
claro y soportar grandes cargas y presentar una mínima deformación,
como se demostró en los ejercicios, debido a la forma en que los ele-
Como vimos en los ejercicios anteriores, al aplicarle cargas a las arma-
mentos que la conforman distribuyen las cargas.
duras sus elementos comienzan a trabajar de diferente forma, teniendo esfuerzos a compresión y tensión con el fin de distribuir las cargas
Por lo anterior, una armadura es de gran utilidad cuando se quiere cu-
hasta sus elementos de apoyo.
brir un gran claro o cuando se deben soportar grandes cargas, ya que,
en comparación con una viga, presenta mejores condiciones de trabajo
Los esfuerzos de los elementos que conforman una armadura varían
y resistencia en sus elementos, además de ser de menor costo que una
de acuerdo con diferentes factores, como la forma en que la armadura
viga.
recibe las cargas, la forma en que se apoya la armadura en sus extremos y la manera en que están dispuestos los elementos que la conforman; por esto es importante conocer los diferentes tipos de armaduras
y así escoger la que mejor convenga de acuerdo con las necesidades a
cubrir.
157
Ejercicios
de aplicación
Realiza más modificaciones a la armadura con el fin de analizar su comportamiento en diferentes casos.
Realiza una propuesta de casos de estudio con diferentes tipos de armaduras, diferentes empotres o diferentes características en sus elementos, y analiza cómo se comporta cada una de las armaduras.
Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean
necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.
158
Cuestionario
¿Cómo trabajan todos los elementos de
una armadura?
a Tensión.
b. Compresión.
¿Qué característica debe cumplirse en
las armaduras?:
c. Tensión y compresión.
a. La carga debe aplicarse en los nudos de la
armadura.
b. La carga puede aplicarse en cualquier punto
¿A qué ayuda el peralte de la armadura?
de la armadura.
c. La carga puede ser repartida a lo largo de
las cuerdas.
a. A disminuir el valor de los esfuerzos internos.
b. A incrementar el valor de los esfuerzos internos.
c. No tiene efecto.
159
Referencias
Nachtergal, C. (1969). Estructuras metálicas: cálulos y construcción.
(S. López Camarasa, Trad.) Madrid: Blume.
Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall.
160
MARCOS RÍGIDOS
PAPIME PE 400516
161
Introducción
Un sistema estructural son los marcos rígidos; este tipo de sistema es
comúnmente empleado para salvar grandes claros y resistir de forma
adecuada las fuerzas laterales debido a sismo o viento, por su simplicidad en el diseño y construcción.
Los marcos rígidos son estructuras en las que los elementos están
conectados de tal manera que se permite la transferencia de momentos, cortantes y axiales que actúan sobre las trabes debido a las cargas
externas hacia las columnas. La conexión entre elementos es mediante
uniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en la
viga sin que haya grandes desplazamientos lineales o angulares entre
sus extremos y las columnas en que se apoya.
Forman parte de la estructura, ya sea que estén compuestos por columnas-trabes o muros-trabes. Los marcos nos ayudan a comprender
el funcionamiento lógico de las cargas y cómo actúan en los elementos
que las soporten.
162
¿
Qué es un marco rígido?
La trabe es un elemento estructural que principalmente está
Un marco rígido se identifica como el sistema constructivo
sujeto a carga transversal, es decir, la carga es perpendicular o
compuesto por elementos verticales (columnas) y horizonta-
normal a su eje longitudinal producto del peso del sistema de
les (trabes), formando uniones rígidas. Un marco rígido traba-
piso o losa, así como el peso de muebles y personas, generando
ja repartiendo la carga del edificio de modo equilibrado, de la
flexión como su trabajo principal. La trabe transmite su trabajo a
trabe hacia las columnas, para finalmente repartirlas hacia el
la columna, que se encarga de llevar la carga hasta cimentación.
suelo.
La columna es un elemento estructural prismático que principalmente está sujeto a carga axial o normal, es decir, la carga
es paralela a su eje longitudinal; sin embargo, también debe
ayudar a las trabes que da soporte llevándose un poco del trabajo de flexión de esta última.
Ilustración 2f.
Ilustración 1f.
Transmisión de fuerzas o
Transmisión de fuerzas o cargas hacia cimentación en marco rígido.
cargas hacia cimentación en
marco rígido
163
Esfuerzos principales de trabajo
de un marco rígido
Cualquier sistema estructural soporta diversos tipos de carga,
lo cual origina que sufra deformaciones en cada una de las partes o elementos que lo forman; por esta razón, cada elemento
realiza una actividad diferente de aquella que realizaba mientras se encontraba en reposo.
A estas actividades se la llaman esfuerzos, siendo los principales de compresión y tensión, como se ve en las prácticas 1, 2, 3
y 4. Esto sucede cuando se muestra un cambio de tamaño en
el elemento estructural, debido a fuerzas internas producidas
Ilustración 3f.
por una o más fuerzas aplicadas sobre la estructura. A conti-
Diagramas de compresión y tensión.
nuación, se muestran fuerzas en el eje o axiales.
Cuando un elemento como la viga recibe la carga perpendicular a su eje, se genera otro esfuerzo denominado “flexión”, el
cual se forma internamente por esfuerzos de flexión y compresión, los cuales, al ser un par de fuerzas de igual magnitud y
sentido contrario separados una distancia, producen el momento resistente de la viga.
164
Este momento resistente debe ser igual o mayor al que se produce debido a las cargas externas o momento actuante.
En cuanto a los momentos actuantes, se llaman de manera generalizada en algunas convenciones de representación gráfica
“momentos positivos”, como los que actúan en las partes cen-
Ilustración 4f
Objeto sometido a esfuerzo de flexión.
trales de los tramos, y momentos “negativos” a los actuantes
en los extremos continuos o empotrados.
Momentos positivos
Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte inferior,
teniendo a la zona de compresión en la parte superior, como
se observa en la imagen 5f (lado izquierdo).
Momentos negativos
Ilustración 5f.
Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte superior,
Deformación de una viga a flexión.
teniendo a la zona de compresión en la parte inferior, como
se presenta en todos las trabes en volado ejemplificado en la
imagen 5f (figura derecha).
165
La flexión se da cuando la tendencia al desplazamiento del
elemento se realiza en dirección hacia los apoyos. Tomando
un marco semirígido (donde la conexión entre trabes y columnas no es continua) como ejemplo, se puede observar en
la imagen 6f la transmisión de cargas de la trabe (la cual sufre
flexión) hacia las columnas, las cuales también se flexionan
hacia el interior del marco, tomando parte de la flexión de las
Ilustración 6f.
Marco semi-rígido con carga al centro.
columnas.
La deformación de un marco rígido con carga al centro varía
en la deformación que sufren las columnas así como la trabe
en sus extremos. En la imagen 7f se puede observar que la
trabe permanece recta junto al nudo y después se flexiona un
poco menos que en el marco semirígido (fig.6f). En cuanto a la
columna, podemos ver que en el marco semirígido el elemento formaba una sola curva, mientras que en el marco rígido se
generan dos curvas.
Ilustración 7f.
Marco rígido con carga al centro.
166
La imagen 8f es la representación gráfica de la deformación y
trabajo del marco rígido; en esta figura se ha marcado la distribución de los esfuerzos de tensión y compresión producto de
la flexión que sufren tanto la trabe como la columna.
Ilustración 8f.
Para poder transmitir las cargas hasta el suelo, las columnas
Momentos positivos y negativos.
deben transportarlas de la siguiente manera:
a. Las trabes reciben las cargas y las llevan a sus apoyos; esta
distribución se refleja en el diagrama de cortantes de la
viga (ver práctica 8 y 9 flexión).
b. Dicho cortante de la trabe llega a la columna pero ésta lo
recibe como carga sobre su eje, es decir, se transforma en
Ilustración 9f.
Efecto cortante en trabe y axial
para la columna.
una carga axial para la columna. Generalmente, dicha carga axial es a compresión, aunque en algunos casos puede
estar a tensión.
c. La fuerza cortante que se produce en la columna debe
estar en equilibrio en ambos miembros; para pasar el cortante de una columna a otra emplean a la trabe, que recibe
Ilustración 10f.
dicha fuerza como carga axial con valores muy pequeños,
Efecto axial en la trabe, cortante
que por ello generalmente son despreciados al diseñar las
para las columnas
trabes.
167
Método de distribución de
momentos o cross para resolver
un marco rígido
Es un método basado en desplazamientos, desarrollado por
Hardy Cross en 1930. Es un método de aproximación alto, en-
Factor de rigidez de un elemento
tre mayor número de iteraciones se realicen. Esencialmente, el
Es la rigidez angular que presenta una viga o columna al pro-
método comienza por asumir que todos los nudos de la estruc-
ducirle un giro unitario (representando a un momento) en su
tura se encuentran empotrados. Al liberarlos, los momentos
extremo.
internos en cada nudo se distribuyen y se ponen en equilibrio
hasta que los nudos rotan a su posición final.
Para la distribución de momentos, ésta se realiza mediante los
factores de rigidez de cada miembro y por nudo. Finalmente,
se transporta la proporción de momento a cada nudo.
Ilustración 11f.
Obtención del Factor de Rigidez Angula
para barra biempotrada.
168
se considera que K =
donde:
4EI
(1F) para barra biempotrada
L
K
E
es el factor de rigidez de la barra (kg/cm).
I
L
es la inercia del elemento. (cm4)
es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)
es la longitud del elemento. (cm)
Ilustración 12f.
3EI
Se considera que K =
(2F) para una barra empotrada-arL
Rigidez angular para una viga empotrada-articulada
ticulada dónde:
K
E
I
L
es el factor de rigidez de la barra.(kg/cm)
es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)
es la inercia del elemento.(cm4)
es la longitud del elemento. (cm)
169
Factor de distribución de rigidez
Es la proporción de rigideces de las barras que llegan a un
nudo; significa qué tan rígido es un elemento con respecto a
otro que llega al mismo nudo.
Por lo tanto, el factor de transporte o la relación de un moK elemento deseado
ΣK elmentos llegan al nudo (3F)
K=
mento con respecto al otro extremo es la mitad, es decir,
FT biemportada = 0.5 . Como el giro unitario puede generarse
en el nudo contrario de la misma barra, los momentos se invierten y el factor de transporte será el mismo también para el
Factor de transporte
otro extremo.
Al producirse el giro unitario de un lado de la barra, los momentos que se producen en los extremos de la barra tienen
En el caso de una trabe empotrada-articulada el factor de
una proporción de “2” en una barra biempotrada; es decir uno
transporte será igual a cero, FT emportada − articulada = 0 , ya
es el doble del otro.
que el apoyo simple no puede tomar momento.
Ilustración 13f.
Ilustración 14f.
elación momentos viga bi-empotrada con giro
Relación momentos viga empotrada-articulada
unitario en extremo derecho
con giro unitario en extremo derecho
170
Factor por momentos en los extremos de la barra
Debido a que el método supone que todas las barras son continuas, se considera que estas se encuentran “empotradas”, por
lo que es necesario conocer los momentos en los extremos de
estas vigas o columnas debido a la carga exterior aplicada.
Para una viga biempotrada con carga uniformemente repar-
Donde:
tida, el momento en los extremos de la misma será igual a
WL2
,
M=
12
W
es la carga uniformemente repartida (kg/m)
L
W
M=
wL2
12
M=
es el claro de la viga (m o cm)
wL2
12
L
Ilustración 15f.
Relación momentos en los extremos
de una viga biempotrada.
171
Objetivos
•
Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones
de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos ante
cargas repartidas.
•
Que el alumno aprenda a identificar las deformaciones en los
marcos rígidos bajo cargas gravitacionales.
•
Que el alumno obtenga el trabajo interno en un marco rígido
debido a cargas gravitacionales.
•
Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos
arquitectónicos.
172
Hipótesis
El trabajo de un marco rígido ante unas cargas gravitacionales
presentará los siguientes esfuerzos internos de flexión, cortante y axial.
Para lograr el punto anterior se relacionará las deformaciones
del marco con los valores analíticos obtenidos.
Se analizará y sintetizará los conceptos de deformación, giro,
curvatura y deflexión en los elementos que forman al marco.
173
Materiales
•
Modelo marcos rígidos mediante sistema MOLA.
•
3 Pesas o plomada con peso.
•
Alambre de cobre en tramos de 5 cm.
•
Teléfono con cámara.
•
Cuaderno, lápiz y calculadora.
•
Masking tape o cinta adhesiva.
174
Procedimiento
Profesor:
Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estudiantes con el modelo MOLA.
Alumnos:
Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se
trazará la deformación del marco por modelar.
a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación
que se desee para el polígono funicular. (en el ejemplo 20 unidades)
c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor
fijación de las tachuelas.
175
Práctica
11
Marcos rígidos
Visualiza el comportamiento de un marco rígido con carga uniformemente repartida; posteriormente, calcula las reacciones
b. Genera las cargas puntuales; apoyándote con pesos de 10
gramos, genera pesas pequeñas para colgar sobre el modelo.
y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método
de Cross. Dibuja los diagramas de elementos mecánicos.
Inicia con el modelo.
Construye un modelo de un marco rígido empleando el MOLA
con cargas distribuidas, como se observa en la siguiente imagen.
a. Coloca la base metálica y fija 4 apoyos; posteriormente,
coloca los elementos para columnas y el largo para trabe;
rigidiza el sistema colocando un tensor hacia los apoyos
de atrás. No olvides colocar los triángulos para rigidizar la
cimentación en la base.
176
c. Para el marco rígido, deberás colocar un triángulo en cada
extremo de la parte superior
e. Compara esta deformación con la que se obtenga de la
evaluación numérica así como la que se obtenga de emplear un programa de análisis como es el SAP2000.
d. Traza el marco deformado sobre el papel milimétrico de
forma que puedas observar el trabajo de los elementos.
177
Solución analítica del marco rígido
Pasos:
Método de Cross
a. Identificar las respectivas barras indicándolas con letras
(opcional).
b. Unificar el marco rígido convirtiéndolo en una viga.
c. Determinar cuántos tramos de viga hay; posteriormente,
reconocer el tipo de apoyo (biempotrado/empotradaapoyada).
0 t/m
1 t/m
0 t/m
3m
2m
3m
Viga empotrada
Viga empotrada
Viga empotrada
178
d. Obtener el factor de rigidez de cada barra. Vaciar los resultados en la tabla.
f.
Obtener los momentos de viga de cada tramo (*). Vaciar
los resultados en la tabla.
M C− D = −
(1)(2)2
= −0.33
12
M D−C = (1)(2)2 / 12 = 0.33
La rigidez del elemento 3 será igual a la del elemento 1,
(*) Las columnas no tienen momento ya que no tiene carga externa aplicada
sobre ellas directamente.
K1 = K3 = 1.33 .
g. Obtener la distribución de momentos, en donde se obtiee. Obtener el factor de distribución de rigidez de cada nudo.
en equilibrio los momentos ( (Σ = 0) ) en cada punto de la
Vaciar los resultados en la tabla.
estructura. Vaciar los resultados en la tabla.
K elemento
D.F. =
∑ K elementos
D.F. A - B =
D.F.
C-D
D.F. F - E
=
w= 1
1.33
=0
1.33+ ∞
D.F. B - A =
2
= 0.60
1.33+ 2
D.F. D - C =
1.33
=
=0
1.33+ ∞
ne en cada punto el diferencial de momento que ponga
D.F. E - F
1.33
= 0.40
1.33+ 2
3m
2
= 0.60
1.33+ 2
D.F.
1.33
=
= 0.40
1.33+ 2
T
m
2m
3m
00
.4
0.60
.6
M
0
00 -0.33
0.33
A.M.
0
0.33
0.40
-0.33
0
0
+0 - 0.33 = -0.33
+0 + 0.33 = +0.33
0.33 w pone en
-0.33 w pone en
equilibrio.
equilibrio.
179
NOTA: El factor de rigidez de un empotramiento es igual a infinito.
h. Después de calcular las diferencias entre momentos en
ambos lados del apoyo, éstas se multiplican por su respec-
i.
Se realiza el transporte de momentos. Vaciar los resultados
en la tabla.
tivo factor de distribución de rigidez. Vaciar los resultados
en la tabla.
180
El problema termina cuando en el transporte, en el punto donde hay continuidad, debe quedar lo más cercano posible a un
valor de cero.
En caso de que éste no quede en ceros, se deben realizar de
nuevo los incisos g al i, hasta que se tenga el número más
aproximado a cero.
j.
El momento final se obtiene sumando cada columna a partir de los momentos.
Para obtener los diagramas de elementos mecánicos para este
marco, emplearemos el siguiente método:
NOTA: No se deben incluir en la sumatoria final los
valores correspondientes a la diferencia de momentos
1.- Separar el marco en tramos y contemplar cada uno como
(A.M).
vigas con apoyo simple.
181
2.- Sacar reacciones, multiplicando los metros por la carga uni-
4.- Calcular el momento máximo isostático e hiperestático.
formemente distribuida, posteriormente, dividirlo entre dos.
El momento máximo isostático = Es
En este caso solamente la viga presentará diagrama de cortan-
del triángulo del diagrama de cortante, formando una parábo-
te isostático.
la cuando hay cargas repartidas.
la integral
del área
Diagrama de momentos isostático.
M máx = 1*1 / 2 = 0.5 t*m
5. Para dibujar el diagrama de momentos hiperestáticos, se
debe dibujar los momentos hiperestáticos sobre el diagrama
de momentos isostáticos. Para ello primeramente se localiza3.- Se obtiene el diagrama de cortante isostático de la trabe,
rán los momentos hiperestáticos obtenidos del Cross sobre el
colocando las reacciones obtenidas.
eje horizontal considerando:
Del lado izquierdo el momento negativo se encontrará en
la parte superior y el positivo en la parte inferior, del lado derecho el momento negativo se encontrará en la parte inferior y
el positivo en la superior.
182
Se utilizarán los valores del momento final (M.F.) obteni-
Finalmente el momento hiperestático conserva del lado iz-
do de la tabla de Cross, colocándolos según sus momentos
quierdo su signo, mientras que el momento del lado derecho
negativos y positivos sobre el eje, dependiendo de cada tramo.
lo cambia; es decir, el eje de la viga isostática se mueve hacia
En este caso lo aplicamos a la trabe central.
la línea de corrección quedando el diagrama final hiperestático
de este elemento
El diagrama de cortante hiperestático para este elemento se
obtiene a partir del diagrama isostático y se obtiene la diferenPosteriormente se dibujarán los momentos isostáticos obteni-
cia de cortante existente en los momentos hiperestáticos; para
dos sobre el diagrama anterior
ello se suman los momentos hiperestáticos en el tramo (C-D
en este caso) y se divide entre la longitud de la viga
Este número incrementa al cortante del lado donde hay mayor
momento y viceversa del lado opuesto.
183
Para las columnas, se dibuja directamente sus momentos
Quedando los diagramas completos de la siguiente forma
recordando que el primer valor de momento hiperestático
conserva su signo y el segundo valor de momento del mismo
elemento cambia su signo. Ejemplo columna izquierda:
+1t
0.30
-.172
-.172
-0.2
.086t
+.086t
+.086t
-.086t
+1.0t
+1.0t
-.086t
+1.0t
+1.0t
-0.2
-1.0t
M
VN
+.086t
+.086+
.086
Para obtener el diagrama de cortantes se realiza la misma
acción que se realizó para corregir el diagrama isostático de la
trabe y se coloca de forma constante en la columna.
V= Mab + Mba / Long. Element.
V= ( .086 + 0.172 ) / 3m = 0.086t
184
Análisis
de resultados
A partir de observar la respuesta del marco bajo comportamiento físico
y resultados analíticos se presentan los resultados obtenidos empleando el programa SAP2000.
Se puede observar que las deformaciones son similares analíticamente a las del modelo generado; el comportamiento de un marco rígido
ante cargas gravitacionales siempre será similar, si éstas se encuentran
uniformemente repartidas.
185
Comparando los resultados numéricos obtenidos por el método de Cross en cuanto a momentos del marco con el obtenido
por el programa SAP2000, se puede observar que los resultados son muy similares, pudiendo observar al ver los tres diagramas juntos la relación antes mencionada entre las fuerzas
cortantes y axiales para columnas y trabes.
Ilustración 16f.
Ilustración 15f.
Diagramas de axiales, momentos y cortante del
Comparación deformación analítica SAP2000
marco.
con modelo generado MOLA
186
Conclusiones
La mayor parte de las edificaciones en la Ciudad de México se han
resuelto mediante marcos rígidos desde hace muchos años debido a su
comportamiento adecuado ante cargas gravitacionales como accidentales (sismo).
Resulta de vital importancia conocer su comportamiento y poder obtener su respuesta analítica de forma que se comprenda su efecto sobre
las dimensiones de los elementos estructurales que darán apoyo al
proyecto arquitectónico.
187
Ejercicios
de aplicación
•
Plantee sobre un proyecto arquitectónico cómo resolverlo
mediante marcos rígidos, ubicando trabes y columnas que lo
soporten. Verifique de forma intuitiva cómo se transportan las
cargas gravitacionales desde las trabes hasta la cimentación
trazando con líneas rojas su trayectoria de las cargas.
•
Verifique qué edificaciones existen a su alrededor con marcos
rígidos y vea sus claros, así como las dimensiones de sus elementos.
•
Busque ejemplos de solución de sistemas de marcos rígidos
empleando distintos materiales constructivos y compare claros,
tamaño de secciones y solución en general.
188
Cuestionario
¿Cómo son todos los elementos de un
marco rígido?
a. Continuos.
¿Qué es un marco rígido?
b. Unidos por nudos.
c. Separados.
a. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión,
cortante y axiales.
b. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión
¿Cuál es el método para solucionar un
marco rígido?
y cortante.
c. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión.
a. Mediante la distribución de momentos.
b. Mediante la distribución de axiales.
c. Mediante la distribución de torsión.
189
Referencias
Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. (1986). Mecánica de materiales. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Novely Cabrales, B. D. (2016). Análisis de estructuras. Método de la
rigidez. Barranquilla: Independiente
Hibbeler, R. (2015). Análisis estructural. (6ª ed.) Prentice Hall.
190
EFECTO DE SISMO EN EDIFICIOS
CON MARCOS
PAPIME PE 400516
191
Introducción
¿Qué es un sismo?
Un sismo es energía liberada en forma de ondas debido al
movimiento de la litosfera terrestre sobre el manto. Existen
distintos movimientos de las placas por las que está formada la
litosfera, pudiendo ser: Divergentes, Convergentes o Subducción, Transformación.
192
La falla divergente es cuando las placas se mueven en sentido
Divergente
contrario una con respecto a la otra, permitiendo la salida de
material candente desde el manto, como se muestra en la figura 1g superior. La falla convergente o de subducción se produce cuando las placas colisionan entre ellas, introduciéndose
la de mayor densidad por debajo de la menor densidad. Finalmente, la falla de transformación es producto del movimiento
lateral de las placas.
Convergente
o subducción
Transformación
Ilustración 1g. Tipo de movimiento de placas tectónicas.
193
¿
Por qué se mueven los edificios?
Ondas sísmicas. Al moverse la corteza terrestre, se libera energía en forma de ondas, las cuales viajan por la litosfera hacia la
superficie de la corteza terrestre produciendo movimiento del
terreno cuando las ondas están ya en la superficie.
Las ondas que se generan en el punto donde se inicia el movi-
Ondas P o principales
miento de una placa con respecto a otra se llama hipocentro
(localizado dentro de la litosfera). Las primeras ondas que se
generan al liberar tanta energía se conocen como llamadas
principales o “P” y las ondas “S”.
Las ondas principales, también llamadas ondas de cuerpo, producen un movimiento uniaxial de compresión y descompresión
Ondas S o secundarias
por todos los medios (manto y litosfera). Su velocidad es de 8
a 5 km/s (28,800 km/h).
Ilustración 2g.
Tipo de movimiento de placas tectónicas
194
La onda secundaria o de cortante se transmite por deformación cizallante, propagándose sólo en el medio sólido, como lo
es la litosfera. Sus velocidad es aproximadamente 1.73 veces
más lenta que la onda P, es decir, 4.6 km/s (16,600 km/h).
La onda secundaria, al salir a la superficie de la corteza terrestre, genera tanto movimiento horizontal como vertical del
terreno, descomponiéndose en las ondas Love y Rayleigh.
Los edificios que se encuentran desplantados sobre el terreno
afectado por las ondas sísmicas se mueven junto con el terreno,
Ilustración 3g.
Movimiento del terreno por ondas S.
iniciando dicho movimiento por su cimentación y produciendo
movimiento diferente en su parte superior; dicho movimiento
del edificio dependerá de distintas características de la edificación: geometría en planta y elevación, altura, rigidez de su estructura portante y distribución de peso sobre sus entrepisos.
195
¿
En qué consiste un edificio diseñado
sísmicamente a base de marcos rígidos
o semirígidos?
Un marco es un sistema estructural formado por trabes y co-
Los marcos rígidos fueron el primer sistema empleado para
lumnas unidas de forma continua transmitiendo los esfuerzos
soportar movimientos sísmicos en edificios relativamente altos
internos de trabajo de un elemento a otro en proporción a su
en su momento (4 a 10 niveles en 1920-1940) por su compor-
rigidez y distribución de carga. Cuando la edificación presen-
tamiento al transmitir fuerzas sísmicas del piso a trabes y éstas
ta marcos en sus dos direcciones como elementos principales
a las columnas. Cuando el suelo se mueve, la base del edificio
para soportar las cargas se dice que el edificio se encuentra
se va junto con el terreno y los entrepisos superiores permane-
resuelto a base de marcos rígidos.
cen inmóviles hasta que las columnas o elementos de la base
jalan a las trabes y por ende a los pisos superiores para iniciar
su movimiento de oscilación.
Ilustración 4g.
Movimiento del terreno por ondas S.
196
Al iniciar su movimiento de pisos superiores, el edificio comienza a moverse como un péndulo, del cual puede determinarse su periodo o frecuencia fundamental o la que caracteriza
al movimiento del edificio.
Ilustración 5g.
Representación de un edificio de 1 solo nivel para
análisis sísmico.
Un marco semirígido es aquel en que las conexiones entre
trabes y columnas no son continuas, es decir, las columnas
soportan a las trabes pero no reciben los momentos de estos
elementos. Son marcos que presentan articulaciones en las
uniones entre trabes y columnas. Este tipo de marcos ante
sismo sufren mayores deformaciones laterales, por lo que es
necesario colocar contraventeos de columna a columna para
evitar que se desplace demasiado.
Ilustración 6g.
Representación de marcos semi-rígidos sin y con
contraventeo.
197
Respuesta sísmica de un edificio
a base de marcos rígidos
El movimiento que produce un sismo a una edificación es en
todas direcciones, sin embargo, para poder estudiar el comportamiento de los edificios bajo efectos sísmicos, se emplean
los registros sísmicos medidos en terrenos o edificios existentes. Los acelerogramas registran el movimiento del suelo de
un sitio determinado en tres direcciones principales: sentido
horizontal, longitudinal y componente vertical.
La respuesta de la edificación al movimiento y aceleración del
terreno producto del sismo dependerá de las características de
la edificación (periodo, rigidez y masa del edificio), así como
de la amplitud y frecuencia del movimiento. Cada sismo regis-
Ilustración 7g.
Registro sísmico en una dirección
(“acelerograma”).
trado en un lugar se descompone y se verifican sus efectos en
los distintos tipos de edificaciones existentes que se desplantan en dicho lugar.
198
¿
Qué es la amplitud y frecuencia
de una onda?
La amplitud de una onda es el máximo punto que alcanza la
onda en su registro. El periodo es el tiempo que tarda en generarse una onda completa (sus unidades son los segundos) y la
frecuencia es el número de ondas completas que se producen
en un segundo, siendo sus unidades los Hertz.
Un acelerograma se encuentra formado por una serie de ondas
que representan el movimiento y aceleración que sufre el terreno debido a un sismo. Para interpretar un acelerograma se
requiere distinguir las amplitudes máximas de aceleración así
como la frecuencia de las aceleraciones; entendiendo el mo-
Ilustración 8g.
Definición gráfica de amplitud, periodo
y frecuencia en ondas senoidales
vimiento del terreno se puede determinar su efecto sobre los
distintos tipos de edificaciones construidas sobre dicho suelo.
199
Objetivos
•
Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones
de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos bajo
movimientos del terreno.
•
Que el alumno aprenda a diferenciar lo que es frecuencia y
amplitud de un movimiento.
•
Que el alumno reconozca el comportamiento de edificios con
distintos periodos y determine los efectos del movimiento del
terreno.
•
Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos
arquitectónicos..
200
Hipótesis
Un acelerograma se encuentra compuesto por una serie de pulsos con
distinta frecuencia y amplitud, las cuales afectan a las edificaciones.
Para determinar la anterior hipótesis se relacionará las deformaciones
del edificio y la velocidad de movimiento de un sistema de marcos rígidos de 1, 2 y 3 niveles con y sin diafragma rígido.
Se analizará y sintetizará los conceptos de periodo del edificio y sus
efectos con la amplitud y frecuencia del movimiento en la base moviendo la edificación de forma unidireccional.
201
Materiales
•
Modelo marcos rígidos y semi-rígidos con el MOLA
•
Mesa vibratoria unidireccional (shake table I)
•
Teléfono con cámara de video
•
Superficie reglada en la parte trasera del modelo
* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas,
de modo que sean económicos y no haya desperdicios
202
Procedimiento
El Profesor:
Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estudiantes con el modelo MOLA.
Explicará que es un diafragma rígido, qué son los nudos continuos y
contraventeos, en caso de requerirlos.
203
Práctica
12
Comportamiento de sistema a base
de marcos rígidos de 1 y 2 niveles
bajo movimiento senoidal y sísmico
Pasos:
1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos rígidos (empotrado en la base, sus nudos y colocando diafrag-
4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos
descritos en el paso anterior.
ma rígido en cada nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria unidireccional para que los alumnos por equipo de 3
personas observen el comportamiento de la estructura.
2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón
blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se
Número de
niveles del
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 1
1 solo nivel
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.
3. Se excitará el sistema aplicando una onda senoidal con las
siguientes características:
· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.
· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.
Caso 2
Amplitud 1 cm
Frecuencia 1 Hz
Caso 3
Amplitud 1.5 cm
Frecuencia 2 Hz
Caso 4
Amplitud 0.5 cm
Frecuencia 2.5 a 3 Hz
· Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.
· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz
204
5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al
6. El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-
modelo, volviendo a repetir los mismos 4 casos de exci-
nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno
tación senoidal. Los valores se vacían nuevamente en una
deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-
tabla similar a la de paso anterior.
miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la
tabla del paso 5.
Número de
niveles del
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 2
2 niveles
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
Caso 2
Amplitud 1 cm
Frecuencia 1 Hz
Caso 3
Amplitud 1.5 cm
Frecuencia 2 Hz
Caso 4
Amplitud 0.5 cm
Frecuencia 2.5 a 3 Hz
Paso 6
Sismo Kobe, Japón
Analiza los resultados
Contrasta los desplazamientos que sufrió cada caso y justifica
su comportamiento. Ahora contrasta el comportamiento de
un movimiento armónico con el de un movimiento asincrónico. ¿Cómo es la respuesta de los elementos que forman al
marco rígido y al marco semirígido?
205
Práctica
13
Comportamiento de un sistema formado
por marcos semirígidos de 1 y 2 niveles
bajo movimiento senoidal y sismico
Pasos:
1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos
semirígidos (empotrado en la base, pero la unión entre
3. Se excitará con una onda senoidal con las siguientes características:
elementos será articulada. No coloque el diafragma rígido
en ningún nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria uni-
· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.
direccional para que los alumnos por equipo de 3 personas
· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.
observen el comportamiento de la estructura.
· Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.
· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz
2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón
blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se
puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.
4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos
descritos en el paso anterior.
206
5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al
modelo colocando contraventeos verticales en ambas direcciones en ambos niveles, volviendo a repetir los mismos
4 casos de excitación senoidal. Los valores se vacían nue-
Número de
niveles del
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 1
1 solo nivel
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
vamente en una tabla similar a la de paso anterior.
Caso 2
Amplitud 1 cm
Frecuencia 1 Hz
Caso 3
Amplitud 1.5 cm
Frecuencia 2 Hz
Caso 4
Amplitud 0.5 cm
Frecuencia 2.5 a 3 Hz
Paso 6
Sismo Kobe, Japón
El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las componentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno
deberá reportar las deformaciones del sistema y el movimiento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la
tabla del paso anterior.
207
Análisis
de resultados
A partir de observar la respuesta de las distintas edificaciones y comparar su tabla de resultados, el alumno deberá contestar las siguientes
preguntas:
•
¿Qué sistema sufrió mayores deformaciones? ¿Por qué sucedió
esto?
•
¿Cómo influye la amplitud del movimiento en el terreno en la
respuesta de las edificaciones estudiadas?
•
¿Cómo influye la frecuencia del movimiento en el terreno en la
respuesta de las edificaciones estudiadas?
•
¿Cómo es un acelerograma con respecto al comportamiento de
una onda senoidal? ¿Será distinto el comportamiento del edificio?
•
Conociendo que los acelerogramas registrados en una zona
presentan características similares con lo cual se puede caracterizar
el movimiento de dicha región, ¿Podrá proponerse algún tipo de
solución estructural para tener menores problemas ante sismo?
208
Conclusiones
La respuesta de los edificios ante sismos constituye un punto fundamental por aprender cuando se vive en regiones sísmicas. Es importante que los arquitectos comprendan los efectos de la estructura colocada en sus proyectos para facilitar un mejor comportamiento de estos
ante sismos.
Aun cuando los efectos de periodo, rigidez, periodo del terreno, se
abordan de forma lúdica, no deja de ser importante visualizar dichos
conceptos para poder comprender la solución numérica cuando llegue
a plantearse por ingenieros.
209
Ejercicios
de aplicación
Realiza una propuesta distinta de estructuración y pruébala en la mesa
vibratoria de forma que se analice el comportamiento de cada elemento y después del sistema en conjunto.
Verifica qué edificios han sufrido más daños bajo los sismos recientes
sufridos en la República Mexicana y determina sus características de
estructuración.
Busca los acelerogramas de los sismos recientes registrados cerca de la
CDMX y trata de entender y sintetizar el comportamiento que tendrán
los edificios cercanos a dichas zonas.
210
Cuestionario
¿Cómo son todos los elementos de un
marco rígido?
a. Continuos.
¿Qué tipo de movimiento implica el sismo?
b. Unidos por nudos.
c. Separados.
a. Del edificio en su parte superior.
b. Del terreno donde se desplanta la edificación.
c. Del movimiento del manto de la tierra.
¿En qué ayuda el diafragma rígido al edificio
bajo comportamiento sísmico?
a. A transmitir de mejor forma los esfuerzos a todos
los elementos.
b. A incrementar el peso del entrepiso.
c. No tiene efecto.
211
Referencias
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Pearson Educación.
Kostoglodov, V., & Pacheco, J. (1999). Un catálogo de sismos moderados y grandes ocurridos durante el siglo XX. “100 años de
sismicidad en México”. México, D.F., México: Instituto de Geofísica,
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212
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Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herrera-ETSAM.
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VIGA CON SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Ob-
i (capítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales -
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