Boletín de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación
Vol. 4, No. 1, Diciembre 2006, pp. 27-41
© 2006 SCMC ISSN 1728-6042 RNPS 2017
UNA VISITA A LA TEORÍA DE JUEGOS:
LOS JUEGOS NO-COOPERATIVOS
Sira Allende Alonso 1 , Carlos Bouza Herrera 1 & Josefina Martínez Barbeito 2
Resumen
Este es el tercer artículo de la secuela sobre la Teoría de Juegos. En él se presentan los
llamados juegos no cooperativos. Estos parten de la racionalidad. En ellos cada jugador
trata de ganar en la competencia con sus oponentes. Este modelo fue el básicamente
estudiado por Neumann--Morgerstern en su libro. Aqui discutimos además algunos juegos
particulares.
Abstract
This is the third paper of the sequel on Games Theory. In it co-operative games are
presented. They assume the rationality of the players. Each player tries to win in the
competition with his opponents. Neumann--Morgerstern, basically studied this model in
their book. We also discuss some particular games.
Praise to thee, Oh ,Ganessa, I am going to gamble... Del Padma Paruna
Los juegos no cooperativos
Son muy populares los llamados juegos no cooperativos, y de ellos los llamados
bipersonales (con solo dos jugadores). Dadas sus características ellos pueden ser
simétricos o asimétricos. Esto es determinado por la naturaleza de sus resultados desde el
punto de vista de cada jugador. Son llamados de suma cero, cuando un aumento en las
ganancias de un jugador determina necesariamente una disminución igual en las de su
oponente. Es de suma no nula si la suma de las ganancias de los jugadores puede
aumentar o disminuir en función de sus decisiones individuales. Vamos a presentar
algunos juegos no cooperativos que caracterizan muchas situaciones particulares.
Entre los hallazgos de von Neumann está el que si un jugador de póquer busca
maximizar sus ganancias lo hace blufeando. Es decir que las señales que obtenemos de
nuestros oponentes no tienen por que ser tomadas en cuenta como reflejo de sus
verdaderas intenciones. Esto es común en todos los juegos y deportes. El problema que
se abrió entonces es como buscar la maximización de las ganancias en un cierto juego.
Recibido en Mayo de 2006
1
Universidad de La Habana, bouza@matcom.uh.cu
2
Universidad A Coruña
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
Los resultados de von Neumann se centraron en unos juegos muy particulares en los que
la suma de las ganancias es cero.
El ejemplo más simple es aquel en que los jugadores seleccionan una cara de la moneda
cada uno. Uno de ellos apuesta por coincidencia en la cara observada (ambos seleccionan
cara o cruz) y el otro por que no serán iguales. La Tabla .1 es la de pagos:
Impar
Par
Cara
Cruz
Cara
1,-1
-1,1
Cruz
-1,1
1,-1
Tabla 1
Pagos para el juego de las dos monedas (Matching Pennies)
Juegos de Suma Cero
Un juego es de Suma Cero si al sumar las ganancias (valores positivos) y las perdidas
(valores negativos) la suma para cada estrategia es cero. Es decir que lo que gana un
jugador lo pierde el otro.
Entre los resultados reportados por von Neumann esta el que en todo juego de suma cero
puede existir una solución maximin en estrategias puras y existe una en estraguéis mixtas.
Lamentablemente mucho juegos no son d este tipo. Tal es el caso del Dilema del
Prisionero y tampoco lo son la mayor parte de los juegos económicos. Los vedas describen
la Ley del Karma como un juego de suma cero: lo bueno y lo malo que nos suceda tienen
el mismo peso al final de nuestra vida. Sin embargo la destrucción del medio ambiente
buscando ganancias económicas en nuestro planeta un juego en el que al final todos
perderemos. Por tanto la humanidad misma esta envuelta en un juego en huye perderemos
los humanos, los animales y el mismo planeta, de acuerdo a nuestro conocimiento de lo
que se esta jugando ´here-and-now´. En otro nivel el juego será de Suma cero. Los
humanos hemos estado ´ganando´ en los últimos milenios en nuestro juego con la
Naturaleza.
En otros casos dos vecinos después de analizar la ganancia y pérdidas al litigar sobre los
bordes de sus posesiones. Pueden decidir dejar el litigio, ahorrarse lo que los abogados
están costándoles y dejar la zona para que la municipalidad construya un parque
protegido. Todos ganan: lo litigantes, la comunidad y los abogados tampoco pierden pues
obtienen lo que les corresponden como miembros de la comunidad al disfrutar del solaz
del parque.
Veamos un simple juego. Sean dos herederos entre los que debe distribuirse 100 acciones.
Modelemos esto como un juego con dos jugadores en el que el conjunto de las estrategias
es {A, B, y C} y los pagos están dados por distribuir 100 acciones. Las propuestas de
pago aparecen en la Tabla 2.
28
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
Matriz de pagos del heredero 2
Matriz de pagos del heredero 1
Estrategia
A
B
C
la estrategia del oponente
A
B
C
90
10
20
60
50
40
70
80
30
Estrategia
A
B
C
la estrategia del oponente
A
B
C
10
90
80
40
50
60
30
20
70
Tabla 2 Matriz de Pagos determinados por las estrategias de los dos herederos
Cuando el jugador 1 se decide por la estrategia A su oponente también ellos obtienen 9 y
1 acciones de la herencia.
Cada jugador va a analizar que estrategia es la mas conveniente para el y para ello utiliza
la matriz de sus pagos. Su oponente va a hacer una selección que el desconoce. Una
conducta consiste en analizar cuál es el mínimo pago que puede obtener con cada
estrategia. Este análisis le lleva a construir la siguiente tabla 3.
Matriz de pagos del heredero 1
Estrategia del jugador 1
A
B
C
Estrategia del jugador 2
A
B
C
90
20
10
60
50
40
70
80
30
mínimos
10 (B)
40(C)
30 (C )
Tabla 3. Matriz de Pagos del heredero 1
Entonces: Si elige la estrategia A, puede obtener 90, 10 o 20. Si elige la estrategia B,
puede obtener 60, 50 o 40..., y si elige la estrategia C, puede obtener 70, 80 o 30.
El conjunto de los mínimos es {10, 40, 30}. El máximo de los mínimos es 40 por la que
la estrategia B es la mejor. El criterio de seleccion es el llamado maximin. La estrategia
B es la Maximin para el heredero 1.
El otro heredero puede tener un comportamiento similar y buscar también su estrategia
Maximin. Su matriz de pagos aparece en la Tabla .4
Matriz de pagos del heredero 2
Estrategia del jugador 1
A
B
C
mínimos
Estrategia del jugador 2
A
B
C
90
80
10
40
50
60
30
70
20
10 (A)
20(B)
60(C )
Tabla 4. Matriz de Pagos del heredero 2
Su estrategia Maximin es la C con la obtendrá un pago de 60.
Este juego tiene una solución estable pues los dos jugadores si son racionales no
cambiarían su estrategia. Por tanto si se repite el juego el primero jugara siempre de
acuerdo a la B y el segundo la C. De cambiar la estrategia el jugador obtendrá menos
acciones.
Si en un punto coinciden las estrategias maximin de los dos jugadores se dice que este es
un punto de ensilladura.
29
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
No todos los juegos tienen un punto de ensilladura o de silla y tampoco una solución
estable. Note que la estabilidad del juego anterior no esta presente si cambiamos las celdas
BB y BC como en la tabla siguiente:
Matriz de pagos del jugador 2
Matriz de pagos del jugador 1
Estrategia del
jugador 1
A
B
C
Estrategia del jugador
2
A
B
C
90
20
10
60
50
40
70
80
30
Estrategia del
jugador 1
A
B
C
Estrategia del jugador
2
A
B
C
90
80
10
40
60
50
30
70
20
Tabla 5 Matriz de Pagos del nuevo juego.
El Dilema del Prisionero
Este juego fue propuesto por Tucker cuando la Teoría de Juegos comenzaba a ser
desarrollada. En esos momentos los Juegos de Suma Cero centraban la atención de los
estudiosos. Este puede verse como un propulsor de la necesidad de una teoría de los
juegos para estudiar problemas de este tipo. Este sugiere diversos problemas a dilucidar
para políticos, sociólogos, sicólogos y filósofos.
Hay personas encerradas y no pueden comunicarse entre si. El oficial sospecha que son
los autores de un delito sancionable con 10 años de prisión. El carece de pruebas para
cargarles este delito. Solo seria posible sancionarles a 3 años de cárcel por tenencia de
drogas. Este promete a cada uno de los inculpados rajar su condena a la mitad si sirve de
testigo para inculpar a su compañero.
Cada prisionero debe decidir si ser leal y no declarar en contra de su compañero o hacerlo.
Esto genera la matriz de pagos que aparece en la Tabla 6
Prisionero 2
No coopera con la
policía
Prisionero 1
No coopera con la
policía
Coopera con la policía
Coopera con la policía
(3 3)
(10 1,5)
(1,5 10)
(5 5)
Tabla 6. Dilema del Prisionero Matriz de Pagos (años de cárcel)
Los pagos (a b) años de cárcel de la condena del prisionero 1 o 2.
Si los prisioneros buscan una estrategia dominante decidirán confesar. Esta es la
estrategia maximin y obtienen en este juego a un resultado subóptimo. En ello influye la
psicología del delincuente. Al no conocer la decisión del otro prisionero lo más seguro es
traicionarle. Ambos deben tomar la misma decisión lo que es peor que si hubieran
confiado en su compañero. El resultado (5 5) es un punto de equilibrio de Nash.
El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula,
bipersonal, biestratégico y simétrico. Fue formalizado y analizado por primera vez por A.
W. Tucker en 1950. Es posiblemente el juego más conocido y estudiado en la teoría de
30
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
juegos. En base a él se han elaborado multitud de variaciones, muchas de ellas basadas en
la repetición del juego y en el diseño de estrategias reactivas.
Tucker utilizó a dos mendigos pero sucesivamente estos se han convertido en la
exposición de los profesores en destacados espías, políticos corruptos etc.
El problema de la racionalidad es puesto al descubierto. Los prisioneros ponen a prueba
su conocimiento de la actitud de su compañero.
Es interesante notar que al ser racionales los prisioneros recibirán una condena mayor que
si no lo fuesen, En el mundo moderno podemos verlas. Hacer la guerra es más costoso
para dos países pero sin embargo puede ser una estrategia racional que lleva a un suboptimo. Peor aun ocurre con la evaluación de estrategias de conservación del medio
ambiente cuando contemplamos políticas destructivas que son basadas en análisis
racionales que pasan por alto las interacciones. Pensar en el dilema del Prisionero puede
ayudar al tomar decisiones en las que sin tener conocimiento de cómo actuara la
naturaleza, por ejemplo, tomamos una solución maximin y explotamos las reservas
madereras pensando en una reacción de la naturaleza de auto recuperación.
El dilema del Prisionero es un juego bi personal que permite intuir lo que ocurre en juegos
multi personales.
En el no hay repetición si la hubiera la estrategia reactiva OJO POR OJO es la de mejores
resultados.
La guerra de los sexos
El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la
teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Este es
caracterizado por la existencia de un macho y una hembra cuyos hábitos y gustos difieren
pero que quieren llegar a un resultado que les convenga a ambos.
Consideremos que hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir
entre dos posibles estrategias. Consideremos que esta es poner el programa deportivo o la
telenovela en la TV. Les "TD" y "TN". Suponemos que ambos prefieren estar juntos en
el disfrute de la TV. El hombre (H) establece un orden en las preferencias desde su punto
de vista:
1º (lo más preferido) H y M se deciden por TD
2º H y M se deciden por la TN.
3º H se decide por TD y M por TN.
4º (lo menos preferido) H se decide por TN y M por TD.
Para M el orden de preferencias es:
1º (lo más preferido) H y M se deciden por TN.
2º H y M se deciden por TD...
3º H se decide por TD y M por TN.
4º (lo menos preferido) H se decide por TN y M por TD.
Se supone que esta discusión deje zanjada de una vez las diferencias entre la pareja. Por
ello este juego es claramente sin repetición además de no cooperativo.
No hay
transferencia de utilidad pues ellos no se significa que no comunican previamente para
negociar acuerdos ni acordar pagos marginales como puede ser el hombre haga los
quehaceres de la casa ese DIA si aceptan que se vea TD. Tomemos como matriz de pagos
la dada en la Tabla 7. Los pagos están representados por el rango asignado a las
31
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
preferencias. Note
que
a
En paréntesis están los pagos a M
mayor
TD
TN
H
rango
menor
el
pago.
M
TD
TN
1 (2) 3 ( 3)
4 (4) 2 ( 1)
Tabla 7. Matriz de Pagos en el Juego de los sexos
La pareja busca una coordinación para elegir que ver en la TV. La estrategia de cada
jugador puede conducir a una solución no óptima. La estrategia maximin de ambos es
(TD, TN) que tiene un pago (3,3). Este es subóptimo. Esa solución no es un punto de
equilibrio de Nash . Ella decide ver la telenovela (TN) y entonces el se decide marchar a
ver la TD en el video bar de la esquina. En ese momento M podría dudar si es mejor
cambiar su estrategia para obtener un pago mayor.
El Juego de los Sexos es un juego simétrico pues jugadores o estrategias se pueden
intercambiar sin afectar los resultados.
Supongamos el orden de preferencias es cambiado y que tenemos como matriz de pagos
la dada en la Tabla 8:
H
TD
TN
M
TD TN
1( 2) 2( 3)
4 (4) 3 (1)
Tabla 8. Matriz de Pagos para el juego transformado
Si M conoce la matriz de pagos no habría ningún problema de coordinación. H se decidirá
siempre por TD sin tomar en cuenta la de M pues ella preferirá siempre estar con él. En
este caso la estrategia maximin de ambos coincide. Esta es que H elegirá siembre la
estrategia TD, sea cual sea la elección de M si sabe que ella elegirá siempre la estrategia
que él elija por acompañarle. Ahora la estrategia maximin de ambos coincide y (TD,TD)
es un óptimo que es un punto de ensilladura, una solución estable, siendo un punto de
equilibrio de Nash. Un psicólogo dirá que aquí aparece un problema de dominación social
por el jugador más egoísta.
Cambio de Tecnología en la red de comunicación
El problema del prisionero brinda un marco para estudiar diversos problemas
contemporáneos. Por ejemplo si pensamos en decidirnos entre montar una red de Unix o
de PC enfrentamos esencialmente el mismo problema que el Dilema del Prisionero.
Consideramos que el sistema UNIX es más estable desde el punto de vista técnico pero
también más caro. El que utiliza PC´s es sabe que este es conocido y usado con cierta
eficiencia por la mayoría de los empleados aunque es menos confiable y mas barato. En
el análisis el usuario incluye los gastos de entrenamiento del personal además de los de
compra e instalación. Los clientes de la organización a la que pertenece el comprador van
a realizar la mejora de sus redes. La Tabla 9 presenta los pagos. Ambos deben decidir si
instalar Unix o PC en la remodelación. Lo ideal para todos es usar el mismo sistema.
32
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
Hacerlo redunda en que no haya pagos adicionales por la comunicación expresados. Lo
pero que puede pasar es que es que se cambie a Unix y los demás sigan la línea de PC´s.
Usuario
PC
PC
Unix
250 000 350 000
Sistema
Unix 300 000 70 000
Tabla 9 Matriz de pagos para el cambio de Tecnología en la red de comunicación
Tenemos dos contendientes Lo mejor para todos es estar conectados usando el mismo
soporte electrónico. Si no los pagos son mayores. Lo pero ocurre si uno cambia a Unix y
el otro no. En ese caso la solución técnica de pequeños problemas incrementan los pagos.
Tomemos por ejemplo el envió de ficheros anexados editados por Microsoft cuando llegan
a una estación Unix y las dificultades en abrirlos con mas de un llamado simple desde el
buzón. Se espera que haya compatibilidad y similar eficiencia en el manejo de los
sistemas.
Fíjese que este es un problema más complejo que el del Prisionero. En el no hay
estrategias dominadas pues la mejor estrategia de cada jugador dependerá de lo que
decida el otro jugador. Esto lleva a la necesidad de establecer el concepto de equilibrio de
un juego. Es su definición y desarrollo de su cómputo lo que soportó la propuesta de Nash
para el Premio Nóbel. La idea es muy simple.
Si cada jugador selecciona su mejor estrategia condicionada a la sección de su oponente
obtendremos el equilibrio de Nash. Si uno de los inversores decide mejorar su red
instalando X, lo mejor para el otro es hacer lo mismo. Por tanto (Unix,Unix) y (PC, PC)
son puntos de equilibrio de Nash. En este caso se espera haya una coordinación entre los
jugadores. Esto determina una clase de juegos llamado juegos de Coordinación.
El modelo halcón-paloma
En el mundo nos enfrentamos a personajes caracterizado como “halcones”. Estos son
agresivos y altamente competitivos. Al otro extremo están los del tipo “paloma”, quienes
prefieren buscar consenso y conciliar. El Juego Halcón-Paloma permite analizar el
comportamiento del conflicto entre estrategias agresivas y conciliadoras.
Este modelo se ha popularizado al analizar la conducta de los políticos de los EU.
Algunos prefieren la confrontación directa llegando hasta la guerra y otros prefieren la vía
diplomática y el negociar políticas con sus adversarios. La estrategia de una Halcón es
generalmente la de hacer movimientos que dejan al descubierto la posibilidad de que la
solución sea del tipo bélica. Si un jugador es Halcón y el otro es Paloma el resultado es
siempre el mismo: Halcón gana, Paloma pierde. Cuando los dos utilizan una estrategia de
Halcón el problema no es ya tan sencillo. Tomemos la matriz de pagos que aparece en la
Tabla 10 para ejemplificar. En ella aparece el rango dado a las decisiones
33
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
HALCÓN-PALOMA:
MATRIZ DE PAGOS
Jugador 2
Paloma Halcón
Paloma (2 , 2)
(3,1)
Halcón (1 , 3)
(4 , 4)
Jugador 1
Tabla 10. Matriz de Pagos para un Juego Halcón- Paloma.
La matriz de pagos es muy parecida a la del Dilema del Prisionero donde se han hecho
una transposición del los rango 3 y 4. Ahora todo es diferente. Tenemos ahora dos puntos
que son equilibrios de Nash. Estos son aquellas en que las dos jugadoras usan estrategias
diferentes. EN el Dilema del Prisionero lo mejor era que ambos tomaran la misma
decisión.
Si el juego se hace con repetición la estrategia reactiva TORITO es la adecuada pues la
OJO POR OJO proporciona pagos medios inferiores.
El Duopolio
Agustín Cournot propuso un modelo de competencia económica en el que dos empresas
van a competir en el mismo Mercado ofertando un producto similar. Digamos la Coca
Cola y la Pepsi Cola se enfrentan en un mercado . Deben decidir entre fijar un precio
p(1)=$12 por botella de 2 litros o p(2])=$11. Este es llamado juego del duopolio.
Tenemos que dos escenarios aparecen:
1) Si p=p(1) se puede vender 1 000 botellas con un ingreso de $12 000.
2) Is p=p(2) se puede vender , 1000 botellas con un ingrso de $11 000.
Por otra parte se considera que si ambas fijan el mismo precio se dividen a partes iguales
el mercado. Si una utiliza p(1) el competidor ocupa todo el Mercado vendiendo a p(1).
Los pagos son las ganancias que son iguales a los ingresos menos los costos fijados en
$1000.
Pepsi cola
P(1)
Coca cola p(1) 5000,5000
p(2)
-1000, 10000
p(2) 10000,-1000 4500,4500
Tabla .11. Matriz de Pagos en el duopolio
34
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
Queda claro que el jugador que evita el riesgo seleccionaría aquella estrategia que
maximice su mínima ganancia. Esta será una estrategia maximin. Para Coca Cola
tenemos que para p(1) el pago mínimo es $-1000 y para p(2) es $4500. Por tanto fijarán
p(2). Pepsi haría un análisis similar y sus pagos mínimos serian -1000 y 4500 por lo que
para ella es maximin fijar p(2). Sin embargo si las compañías aceptan el riesgo no
jugarían la estrategia maximin. La Mínimax: para Coca Cola es jugar p(2) esperando
obtener 4500 y Pepsi Cola se decidiría por p(1) para obtener con esta regla $5000.
Entonces tenemos el criterio de solución Maximin en que un juego de suma cero es la
decisión racional en la que cada jugador busca maximizar la ganancia mínima como
solución del juego.
El criterio Mínimax es aquel en que se busca maximizar la ganancia mínima... el par de
estrategia y pagos tales que cada jugado maximiza su pago mínimo es la solución del
juego.
Juegos de Suma no constante
La optimalidad de las estrategias
La racionalidad de las estrategias maximin deja de ser válida si la suma de un juego no es
constante pues hay muchos conceptos diferentes de solución para tales juegos. Estos son
claros para el que los formula pero siempre alguna crítica les hace ser desechados para
preferir otros. Además, la confusión que ellos generan, al analizarles en su conjunto,
impide pensar en una unificación satisfactoria de ellos. Uno de los principios para
elegirles es asociado al de estrategia dominante.
En el ejemplo de la división de un mercado por dos compañías de bebidas refrescantes
teníamos que tanto Coca Cola como Pepsi Cola fijan p(2) como su estrategia usando el
criterio Maximin por lo que ella es una estrategia dominante. Esta era fijar el precio
menor obteniendo una estrategia de equilibrio dominante equilibrio.
Competencia en el Mercado: cual es el precio de equilibrio
Al acudir al Mercado las empresas buscan fijar un precio de equilibrio. Este será
mutuamente ventajoso. Se pueden fijar 3 niveles de precio a los paquetes de 10 disquetes
para computadora. Dados los costos de producción y distribución estos se pueden vender a
un precio P (1)=1€, P (2)=2€, y P (3)=3€. Las ganancias se brindan en la Tabla 12. Note
que si la empresa fija preciso bajos obtendrá más clientes.
Este no es un juego de suma cero pues las ganancias van desde 40 hasta 100 en función de
las estrategias de la otra empresa. Por ello no podemos buscar una estrategia maximin.
La empresa 2 considera que si su competidor selecciona P (3) lo mejor es fijar P (2) con la
que gana 90. Sin embargo en otro caso su mejor estrategia es P (1). Entonces tampoco
hay una estrategia dominante.
Note que {P (3), P (3)} no es un equilibrio de Nash pues bajando el precio cada empresa
puede obtener mayores beneficios. Para {P (2), P(3)} la empresa 2 puede cambiar a P(1)
para ganar mas.
35
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
Empresa 1
Precios P(1)
P(2)
P(1)
50, -10 40,-20
0,0
P(3)
Empresa 2 P(2)
-10,50 20,20
90,10
P(3)
-20, 40 10,90
50,50
Tabla 12 Precios fijados por las dos empresas
El equilibrio de Nash en este caso es {P(1),P(1)} en la que nadie gana. Esto sugiere que
las egresa deben seguir compitiendo bajando sus precios respecto a los del competidor.
Aquel que logre ofertar el producto con el nivel de calidad requerido y a un precio por
debajo del competidor lo hará. En este caso deben ver si logran ofertar a menos de P(1).
Reconocimientos
Este trabajo es parte de un extenso análisis del tema desarrollado dentro de un proyecto de
investigación entre la Universidad de La Habana y la Universidad de A Coruña.
Bibliografia
[1] S. Bierman Y L. Fernández, "Game Theory with Economic Applications", 2ª Edición,
Addison Wesley, 1998.
[2] Blackwell, D., Girsick, M. A. (1979) Theory of Games and Statistical Decisions. New York,
Dover Publications Inc.
[3] Bollobas, J.:(1988) Graph Theory, Springer Verlag, New York .
[4] Borch, K. (1962), Application of Game Theory to Some Problems in Automobile Insurance,
The Astin Bulletin 2 (part 2), 208-221.
[5] Bouza, C. (1996) Elementos de la Teoría de Juegos y Economía Matemática. Reporte 96-10.
CESMA, Universidad Simón Bolívar.
[6] Bouza, C. y Allende, S. (1999): Evaluating the convenience of cooperating in repeated
duopoly Inv. Operacional, 19, 46-51.
[7] Braithwaite, R. B. (1955), Theory of Games as a Tool for the Moral Philosopher. Cambridge:
Cambridge University Press.
[8] Brown, G. W. (1951), Iterative Solution of Games by Fictitious Play, pp. 374-376 in Activity
Analysis of Production and Allocation (T. C. Koopmans, ed.), New York: Wiley.
36
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
[9] Cameron, K.S. and R. E. Quinn (1998) :Diagnosing and Changing Organizational Culture:
Based on the Competing Values Framework Addison-Wesley Series on Organization
Development. N. York.
[10] Cournot, A. A. (1838), Recherches sur les Principes Mathematiquesde la Theorie des
Richesses. Paris: Hachette. (English translation: Researches into the Mathematical Principles of
the Theory of Wealth. New York: Macmillan, 1897. (Reprinted New York: Augustus M.
Kelley, 1971)).
[11] Cyert, R.M., and March, J. G.,(1963): A Behavioral Theory of the Firm.; Prentice Hall,
Englewood Cliffs
[12] Damme, E. (1995):On the contributions of John C Harsanyi, John F Nash and Reinhard
Selten, Internat. J. Game Theory 24 , 3-11.
[13] Darwin, C. (1871), The Descent of Man, and Selection in Relation to Sex. London: John
Murray.
[14] Dearborn, D.C., and Simon, H.A., “Selective Perception: the Identifications of Executive, “
Sociometry, 1958, 21 Reprinted in Administrative Behavior, chapter 15.
[15] Dimand, R. W. y M. A. Dimand (1992): The Early History of the Theory of Games from
Waldegrave to Borel, pp. 15-27 (En Towards a History of Game Theory (Annual Supplement to
Volume 24 History of Political Economy,E. Roy Weintraub ed.), Durham: Duke University
Press.
[16] Edgeworth, F. Y. (1881): Mathematical Psychics: An Essay on the Application of
Mathematics to the Moral Sciences. London: Kegan Paul. (Reprinted New York: Augustus M.
Kelley, 1967).
[17] Fisher, R. A. (1930): The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: Clarendon Press.
[18] Fisher, R. A. (1934), Randomisation, and an Old Enigma of Card Play, Mathematical
Gazette 18, 294-297.
[19] Fleisher, Craig S. and Babette Bensoussan (2002): Strategic and Competitive Analysis:
Methods and Techniques for Analyzing Business Competition . Prentice Hall. Englewood
Cliffs.
[20] Gardner, R. (1996):"Juegos para Empresarios y Economistas", Antoni Bosch editores,
Barcelona.
[21] Gibbons, R. (1994):"Un primer curso de Teoría de Juegos", Antoni Bosch editores,
Barcelona,
37
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
[22] Gillies, D. B. (1959), Solutions to General Non-Zero-Sum Games, pp. 47-85 in
Contributions to the Theory of Games, Volume IV (Annals of Mathematics Studies, 40) (A. W.
[23] Tucker and R. D. Luce, eds.), Princeton: Princeton University Press.
[24] Grant, R. M. (2002): Contemporary Strategy Analysis: Concepts, Techniques,
Applications. Blackwell Publishers.
[25] Hayek F. A. von , “The Use of Knowledge in Society”, American Economic Review, 1945,
35, 519-530.
[26] Hawkins, D., and Simon, H. A., “ Note Some Conditions of Macroeconomic Stability,”
Econométrica, 1949, 17, 245-248.
[27] Kalmar, L.o (1928/29): Zur Theorie der abstrakten Spiele, Acta Sci. Math. Szeged 4, 65-85.
[28] Keat, P.l G and , P. K.Y. Young (2002): Managerial Economics: Economic Tools for
Today's Decision Makers. Prentice Hall; 4th edition, Englewood Cliffs
[29] Krafcik, J., and Womack, J. P., “Comparative Manufacturing Practice: Imbalances and
Implications, “ Appendix A., working paper, International Motor Vehicle Program, Mit, May
1987.
[30] Kuhn, H. W. (1953), Extensive Games and the Problem of Information, pp. 193-216 in
Contributions to the Theory of Games, Volume II (Annals of Mathematics Studies, 28) (H. W.
[31] Kuhn ans A. W. Tucker, eds.), Princeton: Princeton University Press. Kuhn H.W. (Editor):
Classics in Game Theory. Princeton Univ Pr; (1997)
[32] Kuhn, H. W. and A. W. Tucker, eds. (1950), Contributions to the Theory of Games,
Volume I (Annals of Mathematics Studies, 24). Princeton: Princeton University Press
[33] Kuhn, H. W. and A. W. Tucker, eds. (1953), Contributions to the Theory of Games,
Volume II (Annals of Mathematics Studies, 28). Princeton: Princeton University Press.
[34] Lewontin, R. C. (1961), Evolution and the Theory of Games, Journal of Theoretical
Biology 1, 382-403.
[35] McDonald, J. (1950), Strategy in Poker, Business and War. New York: Norton. .
[36] McKinsey, J. C. C. (1952), Introduction to the Theory of Games. New York: McGraw-Hill
Book Co.
[37] March, J. G., and Simon, H. A., (1958): Organizations. New York: Wiley,.
38
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
[38] Ross, S,,(1973) “The Economic Theory of Agency: the Principal‘s Problem”, American
Economic Review, 1973, 63, 134-139.
[39] Nash, J. F. (1950), Equilibrium Points in N-Person Games, Proceedings of the National
Academy of Sciences of the United States of America 36, 48-49.
[40] Nash, J. F. (1950), The Bargaining Problem, Econometrica 18, 155-162.
[41] Nash, J. F. (1951), Non-Cooperative Games, Annals of Mathematics 54, 286-295.
[42] Nash, J.F. and Sylvia Nasar: (2001): The Essential John Nash. Princeton Univ Press.
[43] Neumann, J. von (1928), Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Mathematische Annalen 100,
295-320. (Translated as "On the Theory of Games of Strategy", pp.13-42 in Contributions to the
Theory of Games, Volume IV (Annals of Mathematics Studies, 40) (A. W. Tucker and R. D.
Luce, eds.), Princeton University Press, Princeton, 1959).
[44] Neumann, J. von, and O. Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior.
Princeton: Princeton University Press.
[45] Porter, M.l E..; (1998)Competitive Strategy: Techniques for Analyzing Industries and
Competitors. Free Press.
[46] Ritzberger, K. (2002):"Foundations of Non-Cooperative Game Theory", Oxford University
Press, Oxford.
[47] Shapley, L. S. and M. Shubik (1954), A Method for Evaluating The Distribution of Power
in a Committee System, American Political Science Review 48, 787-792.
[48] Shubik, M. (1959), Edgeworth Market Games, pp. 267-278 in Contributions to the Theory
of Games, Volume IV (Annals of Mathematics Studies, 40) (A. W. Tucker and R. D. Luce,
eds.), Princeton: Princeton University Press.
[49] Shubik, M. (1959), Strategy and Market Structure: Competition, Oligopoly, and the Theory
of Games. New York: Wiley.
[50] Schelling, T. C. (1960), The Strategy of Conflict. Cambridge, Mass.: Harvard University
Press.
[51] Simon, H. A.( 1976.), Administrative Behavior. New York: Macmillan, 3rd edition,
[52] Simon, H. A. (1945), Review of the Theory of Games and Economic Behavior by J. Von
[53] Neumann and O. Morgenstern, American Journal of Sociology 27, 558-560.
39
Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos
[54] Simon, H. A.,(1951) “A Formal Theory of the Employment Relationship, “ Econometrica, ,
19,Reprinted in
[55] Simon, H. A., Models of Bounded Rationality, vol. 11, Chapter 5.2. Cambridge: MIT Press,
1982.
[56] Simon H. A.,(1979) “Rational Decision Making in Business Organizations,” American
Economic Review, 1979, 69, 493-513.
[57] Simon, H. A.,(1983) Reason in Human Affairs. Stanford: Stanford University Press.
[58] Simon, H. A.,(1990) “ A Mechanism for Social Selection and Successful Altruism,”
Science, 250.
[59] Stiglitz, J.E., (1974)“ Incentives and Risk-Sharing in Sharecropping.” Review of Economic
Studies, 41, 219-255.
[60] Straffin, P.D (1993): Game Theory and Strategy, The Mathematical Association of
America.
[61] Thrall, R. M., C. H. Coombs and R. C. Davis, eds. (1954), Decision Processes. New York:
Wiley.
[62] Tucker, A. W. and R. D. Luce, eds. (1959), Contributions to the Theory of Games, Volume
IV (Annals of Mathematics Studies, 40). Princeton: Princeton University Press.
[63] Ville, J. (1938), Note sur la theorie generale des jeux ou intervient l'habilite des jouers, pp.
105-113 in Applications aux jeux de hasard, Tome IV, Fascicule II of Traite du calcul des
probabilities et de ses applications (Emile Borel), Paris: Gauthier-Villars
[64] Weisbrod, B.A.(1988), The Nonprofit Economy, Cambridge: Harvard University Press, .
[65] Walker,
P.
(2001)
A
http://www.econ.canterbury.ac.nz/hist.htm
Chronology
of
Game
Theory.
[66] Weisbrod, B. A.(1989), “Rewarding Performance that is Hard to Measure: The Private
Nonprofit Sector,“ Science, May 5, , 244.
[67] Williamson, O. E.,(1975) Market and Hierarchies. New York: The Free Press,
[68] Williamson, O. E.,(1985) The Economic Institutions of Capitalism, New York: The Free
Press,
40
Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito
[69] Zermelo, E. (1913), Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des
Schachspiels, . 501-504 in Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians,
Volume II (E. W. Hobson and A. E. H. Love, eds.), Cambridge: Cambridge University Press.
41