Boletín de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación Vol. 4, No. 1, Diciembre 2006, pp. 27-41 © 2006 SCMC ISSN 1728-6042 RNPS 2017 UNA VISITA A LA TEORÍA DE JUEGOS: LOS JUEGOS NO-COOPERATIVOS Sira Allende Alonso 1 , Carlos Bouza Herrera 1 & Josefina Martínez Barbeito 2 Resumen Este es el tercer artículo de la secuela sobre la Teoría de Juegos. En él se presentan los llamados juegos no cooperativos. Estos parten de la racionalidad. En ellos cada jugador trata de ganar en la competencia con sus oponentes. Este modelo fue el básicamente estudiado por Neumann--Morgerstern en su libro. Aqui discutimos además algunos juegos particulares. Abstract This is the third paper of the sequel on Games Theory. In it co-operative games are presented. They assume the rationality of the players. Each player tries to win in the competition with his opponents. Neumann--Morgerstern, basically studied this model in their book. We also discuss some particular games. Praise to thee, Oh ,Ganessa, I am going to gamble... Del Padma Paruna Los juegos no cooperativos Son muy populares los llamados juegos no cooperativos, y de ellos los llamados bipersonales (con solo dos jugadores). Dadas sus características ellos pueden ser simétricos o asimétricos. Esto es determinado por la naturaleza de sus resultados desde el punto de vista de cada jugador. Son llamados de suma cero, cuando un aumento en las ganancias de un jugador determina necesariamente una disminución igual en las de su oponente. Es de suma no nula si la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones individuales. Vamos a presentar algunos juegos no cooperativos que caracterizan muchas situaciones particulares. Entre los hallazgos de von Neumann está el que si un jugador de póquer busca maximizar sus ganancias lo hace blufeando. Es decir que las señales que obtenemos de nuestros oponentes no tienen por que ser tomadas en cuenta como reflejo de sus verdaderas intenciones. Esto es común en todos los juegos y deportes. El problema que se abrió entonces es como buscar la maximización de las ganancias en un cierto juego. Recibido en Mayo de 2006 1 Universidad de La Habana, bouza@matcom.uh.cu 2 Universidad A Coruña Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos Los resultados de von Neumann se centraron en unos juegos muy particulares en los que la suma de las ganancias es cero. El ejemplo más simple es aquel en que los jugadores seleccionan una cara de la moneda cada uno. Uno de ellos apuesta por coincidencia en la cara observada (ambos seleccionan cara o cruz) y el otro por que no serán iguales. La Tabla .1 es la de pagos: Impar Par Cara Cruz Cara 1,-1 -1,1 Cruz -1,1 1,-1 Tabla 1 Pagos para el juego de las dos monedas (Matching Pennies) Juegos de Suma Cero Un juego es de Suma Cero si al sumar las ganancias (valores positivos) y las perdidas (valores negativos) la suma para cada estrategia es cero. Es decir que lo que gana un jugador lo pierde el otro. Entre los resultados reportados por von Neumann esta el que en todo juego de suma cero puede existir una solución maximin en estrategias puras y existe una en estraguéis mixtas. Lamentablemente mucho juegos no son d este tipo. Tal es el caso del Dilema del Prisionero y tampoco lo son la mayor parte de los juegos económicos. Los vedas describen la Ley del Karma como un juego de suma cero: lo bueno y lo malo que nos suceda tienen el mismo peso al final de nuestra vida. Sin embargo la destrucción del medio ambiente buscando ganancias económicas en nuestro planeta un juego en el que al final todos perderemos. Por tanto la humanidad misma esta envuelta en un juego en huye perderemos los humanos, los animales y el mismo planeta, de acuerdo a nuestro conocimiento de lo que se esta jugando ´here-and-now´. En otro nivel el juego será de Suma cero. Los humanos hemos estado ´ganando´ en los últimos milenios en nuestro juego con la Naturaleza. En otros casos dos vecinos después de analizar la ganancia y pérdidas al litigar sobre los bordes de sus posesiones. Pueden decidir dejar el litigio, ahorrarse lo que los abogados están costándoles y dejar la zona para que la municipalidad construya un parque protegido. Todos ganan: lo litigantes, la comunidad y los abogados tampoco pierden pues obtienen lo que les corresponden como miembros de la comunidad al disfrutar del solaz del parque. Veamos un simple juego. Sean dos herederos entre los que debe distribuirse 100 acciones. Modelemos esto como un juego con dos jugadores en el que el conjunto de las estrategias es {A, B, y C} y los pagos están dados por distribuir 100 acciones. Las propuestas de pago aparecen en la Tabla 2. 28 Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito Matriz de pagos del heredero 2 Matriz de pagos del heredero 1 Estrategia A B C la estrategia del oponente A B C 90 10 20 60 50 40 70 80 30 Estrategia A B C la estrategia del oponente A B C 10 90 80 40 50 60 30 20 70 Tabla 2 Matriz de Pagos determinados por las estrategias de los dos herederos Cuando el jugador 1 se decide por la estrategia A su oponente también ellos obtienen 9 y 1 acciones de la herencia. Cada jugador va a analizar que estrategia es la mas conveniente para el y para ello utiliza la matriz de sus pagos. Su oponente va a hacer una selección que el desconoce. Una conducta consiste en analizar cuál es el mínimo pago que puede obtener con cada estrategia. Este análisis le lleva a construir la siguiente tabla 3. Matriz de pagos del heredero 1 Estrategia del jugador 1 A B C Estrategia del jugador 2 A B C 90 20 10 60 50 40 70 80 30 mínimos 10 (B) 40(C) 30 (C ) Tabla 3. Matriz de Pagos del heredero 1 Entonces: Si elige la estrategia A, puede obtener 90, 10 o 20. Si elige la estrategia B, puede obtener 60, 50 o 40..., y si elige la estrategia C, puede obtener 70, 80 o 30. El conjunto de los mínimos es {10, 40, 30}. El máximo de los mínimos es 40 por la que la estrategia B es la mejor. El criterio de seleccion es el llamado maximin. La estrategia B es la Maximin para el heredero 1. El otro heredero puede tener un comportamiento similar y buscar también su estrategia Maximin. Su matriz de pagos aparece en la Tabla .4 Matriz de pagos del heredero 2 Estrategia del jugador 1 A B C mínimos Estrategia del jugador 2 A B C 90 80 10 40 50 60 30 70 20 10 (A) 20(B) 60(C ) Tabla 4. Matriz de Pagos del heredero 2 Su estrategia Maximin es la C con la obtendrá un pago de 60. Este juego tiene una solución estable pues los dos jugadores si son racionales no cambiarían su estrategia. Por tanto si se repite el juego el primero jugara siempre de acuerdo a la B y el segundo la C. De cambiar la estrategia el jugador obtendrá menos acciones. Si en un punto coinciden las estrategias maximin de los dos jugadores se dice que este es un punto de ensilladura. 29 Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos No todos los juegos tienen un punto de ensilladura o de silla y tampoco una solución estable. Note que la estabilidad del juego anterior no esta presente si cambiamos las celdas BB y BC como en la tabla siguiente: Matriz de pagos del jugador 2 Matriz de pagos del jugador 1 Estrategia del jugador 1 A B C Estrategia del jugador 2 A B C 90 20 10 60 50 40 70 80 30 Estrategia del jugador 1 A B C Estrategia del jugador 2 A B C 90 80 10 40 60 50 30 70 20 Tabla 5 Matriz de Pagos del nuevo juego. El Dilema del Prisionero Este juego fue propuesto por Tucker cuando la Teoría de Juegos comenzaba a ser desarrollada. En esos momentos los Juegos de Suma Cero centraban la atención de los estudiosos. Este puede verse como un propulsor de la necesidad de una teoría de los juegos para estudiar problemas de este tipo. Este sugiere diversos problemas a dilucidar para políticos, sociólogos, sicólogos y filósofos. Hay personas encerradas y no pueden comunicarse entre si. El oficial sospecha que son los autores de un delito sancionable con 10 años de prisión. El carece de pruebas para cargarles este delito. Solo seria posible sancionarles a 3 años de cárcel por tenencia de drogas. Este promete a cada uno de los inculpados rajar su condena a la mitad si sirve de testigo para inculpar a su compañero. Cada prisionero debe decidir si ser leal y no declarar en contra de su compañero o hacerlo. Esto genera la matriz de pagos que aparece en la Tabla 6 Prisionero 2 No coopera con la policía Prisionero 1 No coopera con la policía Coopera con la policía Coopera con la policía (3 3) (10 1,5) (1,5 10) (5 5) Tabla 6. Dilema del Prisionero Matriz de Pagos (años de cárcel) Los pagos (a b) años de cárcel de la condena del prisionero 1 o 2. Si los prisioneros buscan una estrategia dominante decidirán confesar. Esta es la estrategia maximin y obtienen en este juego a un resultado subóptimo. En ello influye la psicología del delincuente. Al no conocer la decisión del otro prisionero lo más seguro es traicionarle. Ambos deben tomar la misma decisión lo que es peor que si hubieran confiado en su compañero. El resultado (5 5) es un punto de equilibrio de Nash. El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula, bipersonal, biestratégico y simétrico. Fue formalizado y analizado por primera vez por A. W. Tucker en 1950. Es posiblemente el juego más conocido y estudiado en la teoría de 30 Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito juegos. En base a él se han elaborado multitud de variaciones, muchas de ellas basadas en la repetición del juego y en el diseño de estrategias reactivas. Tucker utilizó a dos mendigos pero sucesivamente estos se han convertido en la exposición de los profesores en destacados espías, políticos corruptos etc. El problema de la racionalidad es puesto al descubierto. Los prisioneros ponen a prueba su conocimiento de la actitud de su compañero. Es interesante notar que al ser racionales los prisioneros recibirán una condena mayor que si no lo fuesen, En el mundo moderno podemos verlas. Hacer la guerra es más costoso para dos países pero sin embargo puede ser una estrategia racional que lleva a un suboptimo. Peor aun ocurre con la evaluación de estrategias de conservación del medio ambiente cuando contemplamos políticas destructivas que son basadas en análisis racionales que pasan por alto las interacciones. Pensar en el dilema del Prisionero puede ayudar al tomar decisiones en las que sin tener conocimiento de cómo actuara la naturaleza, por ejemplo, tomamos una solución maximin y explotamos las reservas madereras pensando en una reacción de la naturaleza de auto recuperación. El dilema del Prisionero es un juego bi personal que permite intuir lo que ocurre en juegos multi personales. En el no hay repetición si la hubiera la estrategia reactiva OJO POR OJO es la de mejores resultados. La guerra de los sexos El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Este es caracterizado por la existencia de un macho y una hembra cuyos hábitos y gustos difieren pero que quieren llegar a un resultado que les convenga a ambos. Consideremos que hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias. Consideremos que esta es poner el programa deportivo o la telenovela en la TV. Les "TD" y "TN". Suponemos que ambos prefieren estar juntos en el disfrute de la TV. El hombre (H) establece un orden en las preferencias desde su punto de vista: 1º (lo más preferido) H y M se deciden por TD 2º H y M se deciden por la TN. 3º H se decide por TD y M por TN. 4º (lo menos preferido) H se decide por TN y M por TD. Para M el orden de preferencias es: 1º (lo más preferido) H y M se deciden por TN. 2º H y M se deciden por TD... 3º H se decide por TD y M por TN. 4º (lo menos preferido) H se decide por TN y M por TD. Se supone que esta discusión deje zanjada de una vez las diferencias entre la pareja. Por ello este juego es claramente sin repetición además de no cooperativo. No hay transferencia de utilidad pues ellos no se significa que no comunican previamente para negociar acuerdos ni acordar pagos marginales como puede ser el hombre haga los quehaceres de la casa ese DIA si aceptan que se vea TD. Tomemos como matriz de pagos la dada en la Tabla 7. Los pagos están representados por el rango asignado a las 31 Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos preferencias. Note que a En paréntesis están los pagos a M mayor TD TN H rango menor el pago. M TD TN 1 (2) 3 ( 3) 4 (4) 2 ( 1) Tabla 7. Matriz de Pagos en el Juego de los sexos La pareja busca una coordinación para elegir que ver en la TV. La estrategia de cada jugador puede conducir a una solución no óptima. La estrategia maximin de ambos es (TD, TN) que tiene un pago (3,3). Este es subóptimo. Esa solución no es un punto de equilibrio de Nash . Ella decide ver la telenovela (TN) y entonces el se decide marchar a ver la TD en el video bar de la esquina. En ese momento M podría dudar si es mejor cambiar su estrategia para obtener un pago mayor. El Juego de los Sexos es un juego simétrico pues jugadores o estrategias se pueden intercambiar sin afectar los resultados. Supongamos el orden de preferencias es cambiado y que tenemos como matriz de pagos la dada en la Tabla 8: H TD TN M TD TN 1( 2) 2( 3) 4 (4) 3 (1) Tabla 8. Matriz de Pagos para el juego transformado Si M conoce la matriz de pagos no habría ningún problema de coordinación. H se decidirá siempre por TD sin tomar en cuenta la de M pues ella preferirá siempre estar con él. En este caso la estrategia maximin de ambos coincide. Esta es que H elegirá siembre la estrategia TD, sea cual sea la elección de M si sabe que ella elegirá siempre la estrategia que él elija por acompañarle. Ahora la estrategia maximin de ambos coincide y (TD,TD) es un óptimo que es un punto de ensilladura, una solución estable, siendo un punto de equilibrio de Nash. Un psicólogo dirá que aquí aparece un problema de dominación social por el jugador más egoísta. Cambio de Tecnología en la red de comunicación El problema del prisionero brinda un marco para estudiar diversos problemas contemporáneos. Por ejemplo si pensamos en decidirnos entre montar una red de Unix o de PC enfrentamos esencialmente el mismo problema que el Dilema del Prisionero. Consideramos que el sistema UNIX es más estable desde el punto de vista técnico pero también más caro. El que utiliza PC´s es sabe que este es conocido y usado con cierta eficiencia por la mayoría de los empleados aunque es menos confiable y mas barato. En el análisis el usuario incluye los gastos de entrenamiento del personal además de los de compra e instalación. Los clientes de la organización a la que pertenece el comprador van a realizar la mejora de sus redes. La Tabla 9 presenta los pagos. Ambos deben decidir si instalar Unix o PC en la remodelación. Lo ideal para todos es usar el mismo sistema. 32 Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito Hacerlo redunda en que no haya pagos adicionales por la comunicación expresados. Lo pero que puede pasar es que es que se cambie a Unix y los demás sigan la línea de PC´s. Usuario PC PC Unix 250 000 350 000 Sistema Unix 300 000 70 000 Tabla 9 Matriz de pagos para el cambio de Tecnología en la red de comunicación Tenemos dos contendientes Lo mejor para todos es estar conectados usando el mismo soporte electrónico. Si no los pagos son mayores. Lo pero ocurre si uno cambia a Unix y el otro no. En ese caso la solución técnica de pequeños problemas incrementan los pagos. Tomemos por ejemplo el envió de ficheros anexados editados por Microsoft cuando llegan a una estación Unix y las dificultades en abrirlos con mas de un llamado simple desde el buzón. Se espera que haya compatibilidad y similar eficiencia en el manejo de los sistemas. Fíjese que este es un problema más complejo que el del Prisionero. En el no hay estrategias dominadas pues la mejor estrategia de cada jugador dependerá de lo que decida el otro jugador. Esto lleva a la necesidad de establecer el concepto de equilibrio de un juego. Es su definición y desarrollo de su cómputo lo que soportó la propuesta de Nash para el Premio Nóbel. La idea es muy simple. Si cada jugador selecciona su mejor estrategia condicionada a la sección de su oponente obtendremos el equilibrio de Nash. Si uno de los inversores decide mejorar su red instalando X, lo mejor para el otro es hacer lo mismo. Por tanto (Unix,Unix) y (PC, PC) son puntos de equilibrio de Nash. En este caso se espera haya una coordinación entre los jugadores. Esto determina una clase de juegos llamado juegos de Coordinación. El modelo halcón-paloma En el mundo nos enfrentamos a personajes caracterizado como “halcones”. Estos son agresivos y altamente competitivos. Al otro extremo están los del tipo “paloma”, quienes prefieren buscar consenso y conciliar. El Juego Halcón-Paloma permite analizar el comportamiento del conflicto entre estrategias agresivas y conciliadoras. Este modelo se ha popularizado al analizar la conducta de los políticos de los EU. Algunos prefieren la confrontación directa llegando hasta la guerra y otros prefieren la vía diplomática y el negociar políticas con sus adversarios. La estrategia de una Halcón es generalmente la de hacer movimientos que dejan al descubierto la posibilidad de que la solución sea del tipo bélica. Si un jugador es Halcón y el otro es Paloma el resultado es siempre el mismo: Halcón gana, Paloma pierde. Cuando los dos utilizan una estrategia de Halcón el problema no es ya tan sencillo. Tomemos la matriz de pagos que aparece en la Tabla 10 para ejemplificar. En ella aparece el rango dado a las decisiones 33 Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos HALCÓN-PALOMA: MATRIZ DE PAGOS Jugador 2 Paloma Halcón Paloma (2 , 2) (3,1) Halcón (1 , 3) (4 , 4) Jugador 1 Tabla 10. Matriz de Pagos para un Juego Halcón- Paloma. La matriz de pagos es muy parecida a la del Dilema del Prisionero donde se han hecho una transposición del los rango 3 y 4. Ahora todo es diferente. Tenemos ahora dos puntos que son equilibrios de Nash. Estos son aquellas en que las dos jugadoras usan estrategias diferentes. EN el Dilema del Prisionero lo mejor era que ambos tomaran la misma decisión. Si el juego se hace con repetición la estrategia reactiva TORITO es la adecuada pues la OJO POR OJO proporciona pagos medios inferiores. El Duopolio Agustín Cournot propuso un modelo de competencia económica en el que dos empresas van a competir en el mismo Mercado ofertando un producto similar. Digamos la Coca Cola y la Pepsi Cola se enfrentan en un mercado . Deben decidir entre fijar un precio p(1)=$12 por botella de 2 litros o p(2])=$11. Este es llamado juego del duopolio. Tenemos que dos escenarios aparecen: 1) Si p=p(1) se puede vender 1 000 botellas con un ingreso de $12 000. 2) Is p=p(2) se puede vender , 1000 botellas con un ingrso de $11 000. Por otra parte se considera que si ambas fijan el mismo precio se dividen a partes iguales el mercado. Si una utiliza p(1) el competidor ocupa todo el Mercado vendiendo a p(1). Los pagos son las ganancias que son iguales a los ingresos menos los costos fijados en $1000. Pepsi cola P(1) Coca cola p(1) 5000,5000 p(2) -1000, 10000 p(2) 10000,-1000 4500,4500 Tabla .11. Matriz de Pagos en el duopolio 34 Sira Allende Alonso, Carlos Bouza Herrera & Josefina Martínez Barbeito Queda claro que el jugador que evita el riesgo seleccionaría aquella estrategia que maximice su mínima ganancia. Esta será una estrategia maximin. Para Coca Cola tenemos que para p(1) el pago mínimo es $-1000 y para p(2) es $4500. Por tanto fijarán p(2). Pepsi haría un análisis similar y sus pagos mínimos serian -1000 y 4500 por lo que para ella es maximin fijar p(2). Sin embargo si las compañías aceptan el riesgo no jugarían la estrategia maximin. La Mínimax: para Coca Cola es jugar p(2) esperando obtener 4500 y Pepsi Cola se decidiría por p(1) para obtener con esta regla $5000. Entonces tenemos el criterio de solución Maximin en que un juego de suma cero es la decisión racional en la que cada jugador busca maximizar la ganancia mínima como solución del juego. El criterio Mínimax es aquel en que se busca maximizar la ganancia mínima... el par de estrategia y pagos tales que cada jugado maximiza su pago mínimo es la solución del juego. Juegos de Suma no constante La optimalidad de las estrategias La racionalidad de las estrategias maximin deja de ser válida si la suma de un juego no es constante pues hay muchos conceptos diferentes de solución para tales juegos. Estos son claros para el que los formula pero siempre alguna crítica les hace ser desechados para preferir otros. Además, la confusión que ellos generan, al analizarles en su conjunto, impide pensar en una unificación satisfactoria de ellos. Uno de los principios para elegirles es asociado al de estrategia dominante. En el ejemplo de la división de un mercado por dos compañías de bebidas refrescantes teníamos que tanto Coca Cola como Pepsi Cola fijan p(2) como su estrategia usando el criterio Maximin por lo que ella es una estrategia dominante. Esta era fijar el precio menor obteniendo una estrategia de equilibrio dominante equilibrio. Competencia en el Mercado: cual es el precio de equilibrio Al acudir al Mercado las empresas buscan fijar un precio de equilibrio. Este será mutuamente ventajoso. Se pueden fijar 3 niveles de precio a los paquetes de 10 disquetes para computadora. Dados los costos de producción y distribución estos se pueden vender a un precio P (1)=1€, P (2)=2€, y P (3)=3€. Las ganancias se brindan en la Tabla 12. Note que si la empresa fija preciso bajos obtendrá más clientes. Este no es un juego de suma cero pues las ganancias van desde 40 hasta 100 en función de las estrategias de la otra empresa. Por ello no podemos buscar una estrategia maximin. La empresa 2 considera que si su competidor selecciona P (3) lo mejor es fijar P (2) con la que gana 90. Sin embargo en otro caso su mejor estrategia es P (1). Entonces tampoco hay una estrategia dominante. Note que {P (3), P (3)} no es un equilibrio de Nash pues bajando el precio cada empresa puede obtener mayores beneficios. Para {P (2), P(3)} la empresa 2 puede cambiar a P(1) para ganar mas. 35 Una visita a la teoría de juegos: Los juegos no-cooperativos Empresa 1 Precios P(1) P(2) P(1) 50, -10 40,-20 0,0 P(3) Empresa 2 P(2) -10,50 20,20 90,10 P(3) -20, 40 10,90 50,50 Tabla 12 Precios fijados por las dos empresas El equilibrio de Nash en este caso es {P(1),P(1)} en la que nadie gana. Esto sugiere que las egresa deben seguir compitiendo bajando sus precios respecto a los del competidor. Aquel que logre ofertar el producto con el nivel de calidad requerido y a un precio por debajo del competidor lo hará. En este caso deben ver si logran ofertar a menos de P(1). 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