Bab 3
Postulat-Postulat Mekanika Kuantum
Kegagalan fisika klasik dalam menjelaskan fenomena fisis alam mikroskopik, seperti
radiasi benda hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, kestabilan atom dan spektrum
diskrit atom Hidrogen, melahirkan teori baru yang disebut fisika (mekanika) kuantum. Teori
mekanika kuantum dibangun berdasarkan postulat-postulat dasar. Postulat adalah suatu
konsep matematis yang harus diterima kebenarannya karena telah teruji melalui
eksperimen. Dengan kata lain, postulat mekanika kuantum tidak diturunkan dari teori fisika
sebelumnya tetapi semata-mata berdasarkan data-data eksperimen.
Berangkat dari postulat-postulat mekanika kuantum dalam bab ini akan dikaji:
1. Bagaimana mendeskripsikan keadaan kuantum sistem mikroskopik untuk
sembarang waktu t
2. Bagaimana menghitung/mengukur besaran-besaran fisika berdasarkan keadaan
kuantum suatu sistem fisis
3. Manakala keadaan suatu sistem pada saat t diketahui, bagaimana menentukan
keadaan
sistem
fisis
tersebut
untuk
t'
selanjutnya
atau
bagaimana
mendeskripsikan evolusi sistem fisis tersebut
A. Postulat-Postulat Dasar Mekanika Kuantum
Postulat 1 : Representasi keadaan kuantum
Keadaan sistem fisis mikroskopik (sistem kuantum) diwakili oleh fungsi gelombang

  r , t  yang mengandung informasi yang lengkap tentang sistem kuantum tersebut.
Postulat 2 : Besaran fisika dan Operator
Setiap besaran fisika (observabel dinamis) O diwakili oleh operator Hermitean Ô .
Postulat 3 : Nilai harap operator
Pengukuran besaran fisika O yang diwakili oleh operator Hemitean Ô pada keadaan

  r , t  memungkinkan penentuan nilai eigen1 an operator tersebut secara pasti.
Persamaan nilai eigen untuk operator Ô adalah


Oˆ n  r , t   on n  r , t 
(3.1)
Postulat 4 : Sifat probalisitik hasil ukur
Untuk sistem fisis yang berada pada keadaan yang diwakili oleh fungsi gelombang

dengan bentuk umum   r , t  

c  r ,t 
i i
maka pengukuran observabel O akan
i


menyebabkan alihan (loncatan) keadaan dari   r , t   i  r , t  dengan peluang
sebesar i  ci
2
 ci ci* dan dihasilkan nilai eigen on .
Postulat 5 : Evolusi sistem kuantum
Keadaan
kuantum

 r ,t 
berevolusi
terhadap
waktu
menurut
persamaan
Schroedinger

  r , t  ˆ 
i
 H  r , t 
t
(3.2)
B. Deskripsi Keadaan Sistem

Keadaan sistem kuantum diwakili oleh fungsi gelombang   r , t  . Fungsi gelombang

  r , t  mengandung informasi lengkap tentang sistem kuantum oleh karena itu apa pun

yang ingin diketahui tentang sistem kuantum tersebut harus digali/diekstrak dari   r , t  .


Sebagai catatan, variabel r dalam fungsi gelombang   r , t  bukan menyatakan posisi
partikel pada saat t melainkan menyatakan sederetan posisi yang mungkin ditempati oleh

partikel. Fungsi gelombang dapat dinyatakan dalam ruang posisi   r , t  atau dalam ruang

momentum   p, t  .
1
Nilai eigen atau swanilai menunjukkan nilai yang mungkin keluar jika dilakukan pengukuran besaran fisika O
yang diwakili oleh operator Ô .

Fungsi gelombang   r , t  , sebagaimana dijelaskan dalam bab sebelumnya, tidak

memilik arti fisis apa-apa tetapi kuadrat modulusnya, yakni   r , t  dV yang memiliki

2

makna fisis.   r , t  dV menunjukkan peluang menemukan partikel pada lokasi antara r

2

dan r  dr dalam elemen volume dV pada saat t .

Keadaan sistem kuantum tidak hanya diwakili oleh satu fungsi gelombang   r , t  yang
tunggal tetapi dapat diwakili oleh superposisi (jumlahan) dua fungsi gelombang atau lebih.
Konsep ini dapat dianalogikan dengan rangkaian resistor, pegas atau kapasitor dalam fisika


klasik. Misalkan  1  r , t  dan  2  r , t  merupakan dua fungsi gelombang yang mewakili
sistem kuantum maka superposisi dari dua keadaan ini juga mewakili keadaan kuantum
tersebut, yakni



  r , t   c1 1  r , t   c2 2  r , t 
(3.3)
dengan c1 dan c2 konstanta.
Himpunan n buah fungsi gelombang
  r, t  ,  r, t  ,,  r, t 
1
2
n
membentuk ruang
vektor liner.
1.
Ruang vektor linier
Himpunan sembarang  yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian
dengan skalar disebut ruang vektor linier jika dipenuhi sifat-sifat berikut.
1) Untuk setiap  ,   berlaku     .
2) Komutatif      
3) Assosiatif, yakni (   )      (   ) untuk setiap  ,  ,   .
4) Terdapat vektor nol 0 anggota 
sehingga untuk sembarang  berlaku
0     0   .
5) Untuk setiap 
terdapat invers (lawannya), yakni ( ) sedemikan sehingga
  ( )  ( )   0 .
6) Untuk setiap vektor  ,   dan a, b   dipenuhi a  b juga merupakan vektor
anggota  . Apabila a,b skalar riil maka ruang vektor  disebut ruang vektor riil dan
jika a,b adalah skalar kompleks maka  disebut ruang vektor kompleks.
7) Distributif, yakni a(   )  a  b dan (a  b)  a  b .
8) Assosiatif, yakni a(b )  (ab)
9) Terdapat unsur identitas I dan skalar 0 sedemikian sehingga dipenuhi I   I  
dan 0   0  0 .
Unsur – unsur/anggota suatu ruang vektor dinamakan vektor. Dalam mekanika kuantum
himpunan 
Himpunan N buah vektor bukan nol
dapat berupa fungsi atau matriks.
1 ,2 ,...,N  dikatakan bebas linier (linierly independent)
N
a
i 1
i i
jika dan hanya jika persamaan
0
(3.4)
memiliki penyelesaian a1  a2  ...  aN  0. Namun, bila terdapat salah satu ai  0
sedemikian sehingga salah satu vektor n dapat dituliskan
n 1
n   aii 
i 1
N
 a
i  n 1
i i
(3.5)
maka himpunan 1 , 2 ,..., N  dikatakan gayut linier (linierly dependent).
Dimensi ruang vektor linier  sama dengan jumlah maksimal vektor-vektor yang
bebas linier anggota ruang vektor tersebut. Misalkan ruang vektor  memiliki N vektor
yang bebas linier maka ruang vektor 
ruang vektor linier 
berdimensi
dikatakan berdimensi N , dim    N . Dalam
N sembarang vektor  dapat dituliskan sebagai
kombinasi linier
N
   aii
(3.6)
i 1
Basis bagi ruang vektor  adalah himpunan maksimal vektor-vektor yang saling bebas
linier yang dimiliki oleh ruang vektor tersebut. Himpunan vektor-vektor 1 , 2 ,..., N ditulis
i  , dapat berupa himpunan vektor diskrit atau kontinu, merupakan basis bagi ruang vektor
 . Vektor-vektor 1 , 2 ,..., N selanjutnya disebut sebagai vektor basis. Meskipun vektor
basis dapat dipilih sembarang vektor bebas linier tetapi pada umumnya dipilih vektor-vektor
bebas linier yang ortonormal (ortogonal/tegak lurus dan ternormalisasi). Dua buah vektor
i dan  j dikatakan ortonormal jika produk skalar
 ,   
i
j
ij
(3.7)
dengan  ij adalah delta cronecker, yakni  ij  1 jika i  j dan  ij  0 jika i  j .
2.
Produk skalar

Fungsi gelombang   r , t  merupakan fungsi kompleks. Produk skalar antara dua buah
fungsi gelombang  dan  didefinisikan
 ,  
bilangan kompleks
(3.8)
Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut.
a. Produk skalar  dan  sama dengan konjugat kompleks dari produk skalar  dan

 ,    ,  *
(3.9)
 ,   0,
(3.10)
b. Definit posistif, yakni
 ,   0 jika dan hanya jika   0.
c. Linier
 , a 1  b 2    , a 1    , b 2 
 a  , 1   b  , 2 
(3.11)
dengan a dan b adalah skalar kompleks.
d. Antilinier
 a1  b2 ,    a1 ,    b2 , 
 a * 1 ,   b * 2 , 
(3.12)
Jika basis bagi ruang vektor  merupakan basis kontinu maka produk skalar antara  dan
 didefiniskan menurut


 ,    *  r , t   r , t  dV .
3.
Fungsi Gelombang dan Persamaan Schroedinger
(3.13)
Fungsi gelombang memiliki arti yang sangat penting dalam mekanika kuatum karena
dengan mengetahui fungsi gelombang orang dapat mengetahui semua informasi tentang

sistem fisis mikroskopik. Peranan fungsi gelombang   r , t  setara dengan peranan posisi
dan momentum partikel setiap saat (trayektori/lintasan) dalam fisika klasik. Ketika posisi dan
momentum partikel telah diketahui maka semua hal tentang partikel tersebut dapat diketahui
bahkan masa lalu dan masa depan partikel tersebut dapat diprediksi dengan sangat presisi.
Demikian halnya dengan fungsi gelombang dalam mekanika kuantum, ketika fungsi
gelombang telah diketahui maka semua hal tentang partikel tersebut dapat diketahui
termasuk masa lalu dan masa depan sistem kuantum yang bersangkutan. Jadi, pekerjaan
utama dalam mekanika kuantum adalah menemukan fungsi gelombang. Fungsi gelombang
diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan Schroedinger,

2 2 



   r , t   V  r , t   r , t   E  r , t  .
2m
(3.14)
C. Persamaan Schroedinger
Pada sub bab ini akan dijabarkan penurunan persamaan Schroedinger melalui
persamaan paket gelombang. Energi kinetik partikel bermassa m adalah
1 2 p2
E  mv 
2
2m
(3.15)
dan postulat Planck dan momentum Compton
E   dan p  k
(3.16)
Dengan menggunakan persamaan (3.16), persamaan paket gelombang (2.9) dapat
dituliskan
  x, t  
1
2

i
   p e
 px  Et 
dp.
(3.17)

Persamaan (3.17) di atas jika diturunkan terhadap waktu diperoleh
  x, t 
1

t
2

 iE    px  Et 

p
dp.



e

  

i
Jika energi dalam persamaan (3.18) adalah energi kinetik partikel maka
(3.18)
  x, t 
1

t
2

i
2
 i   p    px  Et 
e
dp.


    2m 
   p

(3.19)
Ruas kanan persamaan (3.19) dapat ditulis
 i  1
 
   2

 p 2  i  px  Et 
 i  1
dp   
e
   2
 2m 
   p



 i   
 
2
   2m x
2
  2  2 i  px  Et  
e
 dp
2
 2m x

   p 
2
1
2

   p e
i
 px  Et 

dp
(3.20)

2
2
 i      x, t 
 
x 2
   2m
sehingga persamaan (3.19) menjadi
  x, t   i  2  2  x, t 
 
t
x 2
   2m
(3.21)
2
  x, t 
 2    x, t 
i

.
t
2m x 2
(3.22)
atau
Persamaan (3.22) merupakan persamaan diferensial homogen orde dua untuk paket
gelombang satu dimensi   x, t  . Apabila disubtitusikan energi total
E
p2
V
2m
(3.23)
ke dalam persamaan paket gelombang (2.9) akan diperoleh persamaan
2
  x, t 
2    x, t 
i

 V  x, t 
t
2m x 2
(3.24)
Persamaan (3.24) disebut persamaan Schroedinger 1-D. Jika energi total diperluas pada
kasus 3-D, yakni
E
maka
1
px2  p y2  pz2   V  x, y, z 

2m
(3.25)
i
2
2
2
  x, y, z , t 
 2    x, y , z , t   2    x , y , z , t   2    x , y , z , t 



t
2m
x 2
2m
y 2
2m
z 2
 V  x, y, z   x, y, z , t 

(3.26)
2   2
2
2  




  r , t   V  r   r , t 
 2
2
2 
2m  x y z 

dengan   x, y, z, t     r , t  . Persamaan (3.26) dapat ditulis

  r , t 
2 2 


i

   r , t   V  r   r , t 
t
2m
(3.27)
 2 2
  
  
  V  r    r , t 
 i   r , t   
 t 
 2m

(3.28)
atau
dengan
2 
2
2
2


x 2 y 2 z 2
(3.29)
Persamaan (3.27) adalah persamaan Schroedinger 3-D. Dengan menyelesaikan
persamaan (3.24) untuk kasus satu dimensi atau persamaan (3.28) untuk kasus tiga dimensi
diperoleh fungsi gelombang yang menyatakan keadaan sistem fisis mikroskopik. Persamaan
(3.28) jika dibandingkan dengan persamaan (3.24) diperoleh kaitan
E  i

dan p  i
t
(3.30)
Persamaan (3.30) dikenal sebagai operator energi dan operator momentum linier.
D. Observabel (Operator)
1.
Definisi Operator
Penyelidikan fenomena fisis suatu sistem terpusat pada pengukuran atau penentuan
    
observabel-observabelnya: t , r , v , p, F , L, dan lain-lainnya maupun parameter penyusun
sistem tersebut: m, q, s dan lainnya. Observabel adalah besaran yang dapat diukur dan
dimiliki sistem serta menggambarkan perilakunya sehingga nilainya dapat berubah, sedang
parameter sebagai atribut penyusun sistem yang mencirikan identitasnya mempunyai nilai
tetap. Dapat diukur berarti nilainya harus riil sedangkan dimiliki oleh sistem fisis berarti untuk
mendapatkan nilainya harus mengerjakan sesuatu pada sistem fisis itu. Karena keadaan
sistem kuantum diwakili oleh fungsi gelombang sedangkan perangkat yang dapat dikerjakan
pada fungsi gelombang adalah operator maka satu-satunya pilihan untuk menyajikan
besaran fisika adalah dengan operator. Operator dilambangkan dengan huruf abjad
ditambahkan topi di atasnya, misal operator O ditulis Ô . Secara matematis, operator
didefinisikan sebagai peranti matematis yang mengubah/mentransformasi suatu fungsi
menjadi fungsi yang lain2.
Operator jika dikenakan pada suatu fungsi gelombang akan mentransformasikan
fungsi gelombang tersebut menjadi fungsi gelombang yang lain,


Oˆ  r , t     r , t 
Operasi penjumlahan
 ,
pengurangan
  ,
pembagian
(3.31)
  ,
perkalian
  ,
operasi
  
2
 , divergensi, crul/rotasi dan Laplasian    merupakan contoh x 
diferensial/turunan 
contoh operator. Berikut beberapa contoh operator dalam mekanika kuantum
2.
1.
Operator posisi xˆ : x
2.
Operator momentum linier pˆ : i (dalam ruang satu dimensi pˆ x  i
3.
2 2
  V ( xˆ ) , dan lain-lain.
Operator Hamiltonan Hˆ  

)
x
2m
Aljabar Operator
a. Hasilkali (produk) operator
ˆ ˆ , pada umumnya tidak
Hasilkali dua buah operator  dan B̂ , dituliskan AB
komutatif,
ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ.
AB
(3.32)
ˆ ˆ ˆ , bersifat assosiatif, yakni
Hasilkali beberapa operator, misalkan ABC
   
ˆ ˆ ˆ  Aˆ BC
ˆ ˆ Cˆ
ˆ ˆ  AB
ABC
(3.33)
Karena operator pada umumnya tidak komutatif maka ketika operator
dikenakan pada fungsi gelombang urutan oprator tersebut perlu diperhatikan,
2
ˆ :   
Operator dapat pula didefinisikan sebagai pemetaan dari suatu ruang vektor menuju ruang vektor, O
ˆˆ
AB
ˆ ˆ  r, t   BA
ˆ ˆ  r, t  .
AB
(3.34)
b. Operator Linier
Operator Ô disebut operator linier jika dipenuhi dua sifat berikut.
1.
Oˆ  c   cOˆ
2.
Oˆ  c1  c2   c1 Oˆ  c1 Oˆ
   
dengan c, c1 dan c2 adalah skalar kompleks.
c. Konjugat Hermit Operator
Konjugat hermit atau adjoin hermit dari bilangan kompleks  adalah  † yakni
konjugat kompleks dari bilangan kompleks tersebut  †   * . Suatu operator Â
disebut operator Hermitean jika konjugat hermitnya sama dengan dirinya sendiri,
Aˆ †  Aˆ
(3.35)
atau
 , Aˆ    Aˆ , 
*
(3.36)
Konjugat hermit operator memenuhi sifat:
1.
 Aˆ 
2.
 aAˆ 
3.
ˆ ˆ ˆ ˆ
 ABCD
†
†
†
 Aˆ
 a * Aˆ † dengan a skalar kompleks.
†
3.
 Dˆ †Cˆ † Bˆ † Aˆ †
Komutator
Operator-operator dalam mekanika kuantum pada umumnya tidak saling komutatif
sehingga perlu didefinisikan kaitan komutasi (komutator). Komutator antara operator Â
dan B̂ dituliskan  Aˆ , Bˆ  didefinisikan


ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ.
 Aˆ , Bˆ   AB


(3.37)
ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ . Setiap operator komutatif dengan
Dua operator dikatakan komutatif jika AB
dirinya sendiri,
 Aˆ , Aˆ   0


(3.38)
 
(3.39)
dan
 Aˆ , F Aˆ   0 .


Setiap operator komutatif dengan sembarang bilangan skalar a
 Aˆ , a   0


(3.40)
 Aˆ , Bˆ     Bˆ , Aˆ 




(3.41)
 Aˆ , Bˆ  Cˆ  Dˆ     Aˆ , Bˆ    Aˆ , Cˆ    Aˆ , Dˆ   

 
 
 

(3.42)
ˆ ˆ    Aˆ , Bˆ  Cˆ  Bˆ  Aˆ , Cˆ 
 Aˆ , BC

 



(3.43)
ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ
 AB
 , C   A  B, C    A, C  B
(3.44)
 Aˆ ,  Bˆ , Cˆ     Bˆ , Cˆ , Aˆ    Cˆ ,  Aˆ , Bˆ    0
  
  

 
(3.45)
Komutator memenuhi sifat berikut
1. Antisimetri
2. Linier
3. Distributif
4. Identitas Jacobi
Contoh 3.1
Tentukan kaintan komutasi (komutator) antara operator posisi dengan operator
momentum linier!
Penyelesaian:
Berdasarkan definisi komutator
sehingga
ˆˆ  px
ˆˆ
 xˆ, pˆ   xp
dengan x̂  x dan
p̂  i

x
ˆˆ  px
ˆ ˆ 
 xˆ, pˆ    xp
 
 


 x  i    i   x 
x 
x 




x
 ix
 ix
 i
x
x
x
 i 
Jadi komutator  xˆ, pˆ   i .
Latihan 3.1
1. Dengan cara sama seperti contoh 3.1 tentukan komutator  pˆ , xˆ  !
2. Bagaimana komutator  xˆ 2 , pˆ  ,  xˆ, pˆ 2  ,  xˆ,V  xˆ   dan  pˆ ,V  xˆ   ?
3. Buktikan Identitas Jacobi persamaan (3.44)!
4.
Konsep Pengukuran dalam Mekanika Kuantum
Secara umum, mengukur didefinisikan sebagai proses membandingkan nilai
(ukuran) suatu besaran dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuannya. Dalam
mekanika kuantum, pengukuran observabel O dilakukan dengan cara mengenakan

operator Ô pada fungsi gelombang   r , t 


Oˆ n  r , t   on n  r , t  .
(3.46)
Persamaan (3.46) disebut persamaan nilai eigen (persamaan swanilai). Fungsi gelombang

  r , t  disebut fungsi eigen dan on disebut nilai eigen. Hasil ukur yang mungkin diperoleh
jika observabel O diukur adalah salah satu dari nilai eigen on . Tidak ada pengukuran yang
menghasilkan suatu nilai di luar nilai eigen tersebut. Himpunan yang beranggotakan semua
nilai eigen dari operator Oˆ , ditulis  (Oˆ )  on   o1 , o2 ,..., on  , dinamakan spektrum
operator Ô .
Pengukuran dua observabel dibedakan menjadi dua macam, yakni pengukuran
serempak dan pengukuran tidak serempak. Pengukuran dikatakan serempak jika
pengukuran observabel kedua dilakukan tepat setelah pengukuran observabel pertama.
Pengukuran dikatakan tidak serempak jika pengukuran observabel yang kedua dilakukan
setelah selang waktu yang cukup lama dari pengukuran pertama. Pengukuran serempak
dua buah observabel dalam mekanika kuantum bergantung pada urutannya.
Proses pengukuran pada umumnya mengubah keadaan sistem,


Oˆ  r , t    '  r , t  .
(3.47)
Berdasarkan posrtulat I dapat dipahami bahwa keadaan tepat setelah pengukuran pada
umumnya tidak sama dengan keadaan sebelum pengukuran. Dua fungsi eigen dikatakan
berbeda jika fungsi eigen pertama tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian fungsi eigen
kedua dengan suatu skalar. Contoh  1  x   eikx , 2  x   e eikx dan  3  x   keikx dengan k
dan  konstanta, merupakan fungsi eigen yang sama
 2  x    1  x  atau  3  x    1  x 
dengan   e
dan   k
adalah konstanta. Fungsi eigen  1  x   A sin  kx  dan
 2  x   A cos  kx  adalah dua fungsi eigen yang berbeda karena  2  x  tidak pernah bisa
dinyatakan sebagai  1  x  dikalikan dengan konstanta.
Latihan 3.1

Apakah pengukuran momentum linier ( p̂  i

) akan mengubah keadaan partikel jika
x
keadaan partikel saat pengukuran dinyatakan oleh fungsi gelombang
a.  1  x   Ae
ip0 x 
 p0 x 

  
b.  2  x   A sin 
Latihan 3.2
Tunjukkan bahwa keadaan akhir akibat pengukuran momentum linier dan posisi partikel
secara serempak bergantung pada urutan pengukurannya!
5.
Nilai Harap atau Nilai Rata-rata Operator
Nilai harap operator
Ô
menunjukkan nilai rata-rata pengukuran besaran O yang

diwakili oleh oparator Ô pada keadaan   r , t  . Nilai harap operator Ô didefinisikan
menurut



Oˆ   *  r , t  Oˆ  r , t  dV   , Oˆ

(3.48)

Jika fungsi gelombang   r , t  tidak ternormalisasi maka nilai harap operator Ô
diberikan oleh persamaan
 *  r , t  Oˆ  r , t  dV   , Oˆ 



 *  r , t   r , t  dV  , 

Oˆ

(3.49)
Andaikan suatu sistem kuantum berada pada keadaan yang diwakili oleh superposisi
  x 
fungsi gelombang dengan vektor basis diskrit
sedemikan sehingga setiap
n
vektor   x  dapat dituliskan
  x   c11  x   c22  x     cnn  x    cnn  x  .
(3.50)
n
Andaikan pula operator Ô memenuhi persamaan nilai eigen
Oˆ  x   ann  x 
(3.51)
maka nilai harap operator Ô diperoleh melalui persamaan
Oˆ   ann (an )   an cn
n
2
(3.52)
n
dengan
 , Oˆ 

 (a ) 
c
n
n
 , 
*
n
cn  cn
2
adalah peluang mendapatkan nilai eigen an .
Contoh 3.2
Keadaan kuantum suatu partikel diberikan vektor eigen
  x 
3
2
2
1  x   2  x  
3  x 
3
3
3
dengan 1  x  , 2  x  , dan 3  x  basis ortonormal.
a. Apakah   x  ternormalisasi?
(3.53)
b. Tentukanlah peluang menemukan partikel masing-masing berada pada
keadaan 1  x  , 2  x  , dan 3  x  ! Tunjukkan bahwa peluang total sistem
tersebut sama dengan satu!
c. Andaikan 810 partikel identik masing-masing berada pada keadaan   x 
kemudian dilakukan pengukuran pada masing-masing partikel perkirakanlah
jumlah partikel berada pada keadaan 1  x  , 2  x  , dan 3  x  !
Penyelesaian:
a. Apakah   x  ternormalisasi?
 3
 3

2
2
2
2
1  x   2  x  
3  x  

x


x


x







1
2
3
 3
3
3
3
3
 3


  x  ,  x    
3
4
2
1  x  , 1  x    2  x  , 2  x    3  x  , 3  x  

9
9
9
3 4 2
   1
9 9 9

Tampak bahwa   x  ternormalisasi.
b. Peluang partikel berada pada keadaan 1  x  , 2  x  , dan 3  x  masing-masing
adalah
  x  ,  x  
 (a ) 
  x  ,  x  
2
2
3
2
2
3 1

1  x  , 1  x    2  x  , 1  x   
3  x  , 1  x    


3
3
3
9 3
1
1
1
  x  ,  x  
 (a ) 
  x  ,  x  
2
2
2
2
  x  ,  x  
 (a ) 
  x  ,  x  
3
3
3
Peluang total
2
3
2
2
4

1  x  , 2  x    2  x  , 2  x   
3  x  , 2  x   


3
3
3
9
2
2
3
2
2
2

1  x  , 3  x    2  x  , 3  x   
3  x  , 3  x   


3
3
3
9
3
4
2
  (a )   (a )   (a )   ( a )  9  9  9  1
n
n
1
1
2
2
3
3
n
c. Jumlah partikel berada pada 1  x  , 2  x  , dan 3  x  masing-masing
3
N1  810  1 (a1 )  810   270
9
N 2  810  2 (a2 )  810 
4
 360 , dan
9
N3  810  3 (a3 )  810 
2
 180
9
Contoh 3.3
Tenaga total suatu sistem kuantum memenuhi persamaan Hˆ n  x   n 0n  x  dengan
n  1, 2,3, 4,5 dan  0 tetapan riil berdimensi energi. Sistem kuantum tersebut disiapkan
berada pada keadaan
1
2
2
3
5
1  x  
2  x  
3  x  
4  x  
5  x 
19
19
19
19
19
  x 


dengan n  x 
merupakan basis ortonormal.
a. Tentukan nilai egien energi total yang mungkin muncul (spektrum dari operator
Ĥ ) jika dilakukan pengukuran energi terhadap   x  ! Berapakah peluang
masing-masing?
b. Tentukan energi rata-rata (nilai harap energi) sistem tersebut!
Penyelesaian:
Uji normalisasi,
5
  x  ,  x     c
n 1
n
2

1 4 2 3 5 15
    
19 19 19 19 19 19
Jelas bahwa   x  tidak ternormalisasi.


a. Nilai harap energi En  n  x  , Hˆ n  x   n 0 dengan (n  1, 2,3, 4,5) sehingga nilai
eigen energi yang mungkin muncul sebagai hasil ukur atau spektrum energinya
adalah
E1   0 , E2  2 0 , E3  3 0 , E4  4 0 , E5  5 0
atau
 ( Hˆ )   0 , 2 0 ,3 0 , 4 0 ,5 0 
Peluang masing-masing
  x  ,   x  
 (E ) 
  x  ,  x  
2
1
1
1
2

1
1

  x  ,1  x    19
15 15
19
  x  ,  x  
 (E ) 
  x  ,  x  
2
2
2
2
  x  ,  x  
 (E ) 
  x  ,  x  
3
  x  ,  x  
 (E ) 
  x  ,  x  
4
  x  ,  x  
 (E ) 
  x  ,  x  
5
5
5

2
19 2
  x  , 3  x    

19
15 15

3
19 3
  x  , 4  x    

19
15 15

5
19 5
  x  , 5  x    

19
15 15
2
2
4
4

2
3
3
2
2
4

  x  , 2  x    19
15 15
19
2
2
2
b. Nilai rata-rata energi sistem
5
1
 4
  2
  3
 5
 52
E  n ( En )     0     2 0     3 0     4 0     5 0    0 .
 15
  15
  15
  15
  15
 15
n 1
6.
Ketidakpastian Pengukuran
Ketidakpastian (ralat) pengukuran operator Ô diperoleh dari deviasi standar nilai harap
atau nilai rata-rata pengukuran operator Ô yang didefinisikan sebagai
Oˆ 
Oˆ 2  Oˆ
2
(3.54)
dengan



Oˆ 2   *  r , t  Oˆ 2  r , t  dV   , Oˆ 2
dan Oˆ
7.
2

(3.55)
 .
 Oˆ
2
Nilai Harap Operator Hermitean
Sifat Hermitean suatu operator diperlukan untuk menjamin agar informasi numerik (nilai
eigen) yang muncul dari operator tersebut bernilai riil. Dalam subbagian sebelumnya telah
dijelaskan bahwa nilai harap operator


Oˆ   *  r , t Oˆ  r , t  dV
sehingga nilai harap operator Hermitean Ô † adalah
Oˆ †  Oˆ
*




*
  r , t Oˆ  r , t  dV

*




   r , t   Oˆ  r , t   dV


   Oˆ  r , t     r , t  dV

 *
   r , t  Oˆ  r , t  dV
*
(3.56)
*


Karena konjugat hermit Oˆ  r , t 


  *  r , t  Oˆ † maka
*




Oˆ †   *  r , t  Oˆ †  r , t  dV   *  r , t  Oˆ  r , t  dV

(3.57)
Oˆ
Oleh karena itu, nilai harap operator Hermitean
Oˆ †  Oˆ
(3.58)
Dalam subbagian ini akan dijabarkan dua buah teorema operator Hermitean.
Toerema 3.1 Nilai eigen operator Hermitean adalah riil
Bukti:
Dari persamaan (3.56) Oˆ †  Oˆ sehingga
  Oˆ 
n
 r , t    m  r , t  dV   n*  r , t Oˆ m m  r , t  dV

n

*






  o   r , t    r , t  dV    r , t o   r , t  dV  0




 o   r , t   r , t  dV    r , t o   r , t  dV  0


  r , t   r , t  dV  0
 o  o  

*
n
*
n
*
n
*
n
*
n
m
*
n
m
*
n
m
*
n
m
m
m
(3.59)
m
m
 n , m   0
Jadi on*  om  0 atau on*  om Karena om riil maka on* juga riil.
Teorema 3.2 Dua buah fungsi eigen dari operator Hermitean dengan dua nilai eigen
berbeda saling ortogonal (tegak lurus).
Bukti:
Persamaan terakhir (3.57)
o
*
n
 om   n , m   0
(3.60)
Sekali lagi om dan on* adalah riil. Karena on*  om maka


  r , t   r , t  dV  
*
n


m
Artinya  n  r , t  dan  m  r , t  saling ortogonal.
8.
Latihan Mandiri
Menyusul ya… sabar.
n
, m   0
(3.61)