МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ
ПРОМЫШЛЕННОСТИ
УНИВЕРСИТЕТ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ НАУК
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
________ Р.А. Халматов
«____» __________ 2022 г.
« УТВЕРЖДАЮ »
Проректор по учебной работе
________ Х.Х. Камилова
«____» __________ 2022 г.
Кафедры: «Точных и стественных наук» (УГН)
“Математика и информатика” (ТИТЛП)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УЧЕБНЫЕ (ТРЕННИНГ) КУРСЫ
Ташкент-2022
АННОТАЦИЯ
Обучающие курсы некоторые разделы “Математической статистики”
написана для студентов и занимающейся научной деятельности соискателей
высшего учебного заведения.
Треннинг состоит из введения, вариационные и статистические ряды, Оценки
параметров распределения. Она теоретически обоснована и закреплена
практическими задачами и тестовыми вопросами.
Курсы полезны молодым начинающим преподователям препадающих по
высшей математике и студентам бакалаврам учащихся в высшых учебных
заведениях.
Автор: Д.Х. Джумабаев, проф., д.ф.-м.н. (УГН)
А.З. Маматов, проф., д.т.н. (ТИТЛП)
М.М. Сайдаматов, доцент, к.ф.-м.н. (УГН)
Реценденты: Абдурахманова Х.К., доцент, к.ф.-м.н., (ТИТЛП)
Насыров Т.З., доцент, к.ф.-м.н., (УГН)
Обучающие (треннинг) курсы
выполнены совместно с кафедрами
«Точных и стественных наук» (УГН) и
“Математика и информатика” (ТИТЛП)
3
Оглавление
Введение………………………………………………… 4
1.1. Генеральная совокупность. Выборка. …………………5
1.2. Вариационный и статистический ряды………………. 7
1.3. Дискретные и непрерывные вариационные ряды…….8
Эмпирическая функция распределения
1.3.1. Дискретный статистический ряд. Полигон частот…. 9
1.3.2. Интервальный (непрерывный) статистический ряд.
Гистограмма…………………………………………… 11
1.3.3. Эмпирическая функция распределения выборки…… 13
1.3.4. Мода. Медиана. Генеральная и выборочная средняя. 22
2.1. Оценки параметров распределения……………………33
2.1.1. Определение и свойства статистической оценки…… 33
2.2.2. Точечные оценки неизвестных параметров…………. 34
2.2.3. Интервальные оценки неизвестных параметров……. 35
2.2.4. Доверительный интервал для математического
ожидания при известном …………………………….36
1-Тестовые задания по теме……………………………38
2-Тестовые задания по теме……………………………40
Словарь терминов………………………………………42
Литература………………………………………………46
Кириш
Математик статистиканинг вазифаси статистик маълумотларни таҳлил
қилиш усулларини тадқиқот масалаларига мувофиқ ишлаб чиқишдир.
У, ёки бу ҳодисаларни математик статистика усуллари билан ўрганиш фан
ва амалиёт олға сурадиган кўп масалаларни технологик жараёнларни тўғри
ташкил этиш, мақсадга мувофиқ қилиб режалаштиришлар ва
шу каби
масалаларни ҳал этишда восита бўлиб хизмат қилади.
Шундай қилиб, математик статистиканинг вазифаси илмий ва назарий
хулосалар ҳосил қилиш мақсадида статистик маълумотларни тўплаш ва ишлаб
чиқиш усулларини яратишдан иборат.
Ушбу маърузалар матни математик статистиканинг тўртта бўлимига
бағишланган бўлиб, улар: статистик маълумотларни дастлабки таҳлили,
параметрларни баҳолаш, статистик тахминларни текшириш назарияси ва
корреляцион –регрессион таҳлилидир. Маърузалар матнида талабалар мустақил
ечишлари учун масалалар берилган.Масалаларни ечишда зарур бўлган назария
ва тушунчалар тегишли бўлимларда келтирилган. Маърузалар матнининг
охирида назорат учун саволлар ва фойдаланилган адабиётлар рўйхати берилган.
Маърузалар матнидан геология, геофизика, телекоммуникация, информатика
ва ахборот техногиялари, текстиль ва иқтисод факультетлари талабалари
фойдаланишлари мумкин.
4
1-маъруза
Математик статистика элементлари. Танланма усул
Режа.
1. Математик статистиканинг асосий масалалари.
2. Бош ва танланма тўпламлар.
3. Танланманинг статистик тақсимоти.
4. Тақсимотнинг эмпирик функцияси.
5. Полигон ва гистограмма.
Калитли сўзлар: Бош тўплам, танланма, танланма хажми, варианта,частота,
нисбий частота,танланманинг статистик тақсимоти, тақсимотнинг эмпирик
функция, полигон , гистограмма.
Фараз қилайлик, Х сон белги устига п та ўзаро боғлиқ бўлмаган тажрибалар
ўтказилган бўлиб Х1, Х2,....,Хп тажриба натижалари бўлсин. Математик
статистикада Х1,Х2,...., Хп қийматлар танланма тўплам, ёки танланма дейилади.
Бу қийматларни ва Х сон белгини тасодифий миқдор сифатида қараш мумкин. Х
тасодифий миқдорнинг қабул қилиши мумкин бўлган барча қийматлар
тўпламига бош тўплам деб аталади. Бош тўплам Х, ёки F(x) орқали белгиланади.
Танланма бўйича Х тасодифий миқдорнинг номаълум тақсимот функцияси
F(х) ни баҳолаш математик статистиканинг масалаларидан биридир.
Х тасодифий миқдорнинг тақсимот функцияси к та номаълум параметрга
боғлиқ бўлсин. Берилган танланма бўйича бу параметрларни баҳолаш
математик статистиканинг навбатдаги вазифасидир.
Кузатилаётган миқдорларнинг тақсимот қонунлари, баъзи ҳарактеристикалари
ҳақидаги олдиндан айтилган ҳар қандай фаразларни cтатистик тахминлар деб
аталади. Айтайлик баъзи мулохазаларга асосланиб Х тасодифий миқдорнинг
тақсимот функциясиини F(х) деб ҳисоблаш мумкун бўлсин. F(х) тақсимот
функция ҳақидаги ёки шу каби турли
статистик тахминларни текшириш
математик статиканинг масалаларидан биридир.
Тўплам (бош ёки танланма
тўплами) ҳажми деб, бу тўпламдаги
объектлар сонига айтилади. Масалан, 1000 та деталдан текшириш учун 100
та деталь олинган бўлса, у ҳолда бош тўплам ҳажми N = 1000, танланма
ҳажми эса п = 100.
Танланманинг статистик тақсимоти. Тақсимотнинг эмпирик функцияси
Бош тўпламдан танланма олинган, бунда х1 қиймат п1 марта, х2 қиймат пг
марта кузатилган, ва хо казо, xk қиймат nk марта кузатилиб
k
n
i 1
i
= n бўлсин.
Кузатилган х1 қийматлар варианталар, варианталарнинг ортиб бориши
тартибида ёзилган кетма - кетлиги эса вариацион қатор дейилади. Кузатишлар
5
сони частоталар,
уларнинг танланма ҳажмига нисбати
ni
=Wi эса нисбий
n
частоталар дейилади.
Танланманинг статистик тақсимоти деб, варианталар ва уларга мос
частоталар ёки нисбий частоталар рўйхатига айтилади. Статистик тақсимотни
яна оралиқлар ва уларга тегишли частоталар кетма-кетлиги кўринишида ҳам
бериш мумкин (оралиқга мос частота сифатида бу оралиқга тушган частоталар
йиғиндиси қабул қилинади).
Шуни қайд қилиб ўтамизки, тақсимот дейилганда эҳтимоллар назариясида
тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари ва уларнинг эҳтимоллари
орасидаги мослик, математик статистикада эса кузатилган вариантлар ва
уларнинг частоталари ёки нисбий частоталари орасидаги мослик тушунилади.
Мисол. Ҳажми 20 бўлган танланманинг частоталари тақсимоти берилган:
хi 2 6 12
пi 3 10 7
Нисбий частоталар тақсимотини ёзинг.
Ечиш: Нисбий частоталарни топиш учун частоталарни танланма ҳажмига
бўламиз:
W1 =
3
10
= 0,15, W2 =
= 0,50,
20
20
W3 =
7
= 0,35.
20
Нисбий частоталар тақсимотини ёзамиз:
хi
Wi
2
6
12
0,15 0,5 0,35
Текшириш: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.
Айтайлик, X сон белги частоталарининг статистик тақсимоти маълум
бўлсин. Қуйидагича белгилашлар киритамиз: пх - белгининг х дан кичик қиймати
кузатилган кузатишлар сони; п- кузатишларнинг умумий сони, яъни танланма
ҳажми.
nx
га тенг. Агар х ўзгарадиган
n
n
бўлса, у ҳолда нисбий частотаси ҳам ўзгаради, яъни x нисбий частота х нинг
n
Равшанки, X < х ҳодисанинг нисбий частота
функциясидир. Бу функция эмпирик (тажриба йўли) йўл билан топиладиган
бўлгани учун у эмпирик функция дейилади.
Тақсимотнинг эмпирик функцияси (танланманинг тақсимот функцияси) деб
ҳар бир х қиймати учун Х х ҳодисанинг эҳтимолини аниқлайдиган F*(х)
функцияга айтилади. Шундай қилиб, таърифга кўра:
F* (x) =
nx
.
n
Бу ерда пх - х дан кичик варианталар сони,
6
п - танланма ҳажми.
Шундай қилиб, масалан, F*(х2) ни топиш учун х2 дан кичик варианталар
сонини танланма ҳажмига бўлиш лозим:
F* (x2) =
nx
.
n
Бош тўплам тақсимотининг F(х) интеграл функциясини, танланма
тақсимотининг эмпирик функциясидан фарқ қилиб тақсимотнинг назарий
функцияси дейилади. Эмпирик ва назарий функциялар орасидаги фарқ шундаки,
F(х) назарий функция Х<х ҳодиса эҳтимолини, F*(х) эмпирик функция эса шу
ҳодисанинг ўзининг нисбий частотасини аниқлайди. Бернулли теоремасидан
келиб чиқдики, X< х ҳодисанинг нисбий частотаси, яъни F* (х) шу ҳодисанинг
F(х) эҳтимолига эҳтимол бўйича яқинлашади. Бошқача сўз билан айтганда F*(х)
ва F(х) сонлар бир-биридан кам фарқ қилади. Шу ернинг ўзиданоқ, бош тўплам
тақсимотининг назарий (интеграл) функциясини тақрибий тасвирлашда
танланма тақсимотининг эмпирик функциясидан фойдаланиш мақсадга
мувофиқ бўлиши келиб чиқади.
Бундай хулоса шу билан ҳам тасдиқланадики, F*(х) функция F(х) нинг
барча хоссаларига эга. Дарҳақиқат, F* (х) функциянинг таърифидан унинг
қуйидаги хоссалари келиб чиқади:
1) эмпирик функциянинг қийматлари [0;1] кесмага тегишли
2) F*(х) – камаймайдиган функция;
3) агар х1 - энг кичик варианта бўлса, у ҳолда х≤х1 да F* (х) = 0; хk - энг
катта варианта бўлса, у ҳолда х > хk да F* (х) = 1.
Шундай қилиб, танланма тақсимотининг эмпирик функцияси бош тўплам
тақсимотининг назарий функциясини баҳолаш учун хизмат қилади.
Мисол. Танланманинг қуйида берилган тақсимоти бўйича унинг эмпирик
функциясини тузинг:
варианталар: х1 2 6 10
частоталар: п1 12 18 30
Ечиш. Танланма ҳажмини топамиз: 12+18+30=60. Энг кичик варианта 2 га
тенг, демак,
х  2 да F*(х) = 0.
Х<6 қиймат, хусусан, х1 =2 қиймат 12 марта кузатилган, демак,
2 < х  6 да F*{х) =
12
= 0,2.
60
X < 10 қийматлар, жумладан х1 = 2 ва х2 = 6 қийматлар 12 + 18 = 30 марта
кузатилган; демак,
6<х  10 да F *(х) =
30
= 0,5.
60
X = 10 энг катта варианта бўлгани учун
х > 10 да F *(х) = 1.
7
Изланаётган эмпирик функция:
х2
2<х  6
6<х  10
|х>10
F* (х) =
да 0,
да 0,2,
да 0,5,
да 1.
.
1
0
2 4 6 8 10
1-расм
Бу функциянинг графиги 1-расмда тасвирланган.
Полигон ва гистограмма.
Кўргазмалилик мақсадида статистик тақсимотнинг турли графиклари,
жумладан, полигон ва гистограммаси ясалади.
Частоталар полигони деб, кесмалари (х1, п1), (х2, n2), ., (хк, пк) нуқталарни
туташтирадиган синиқ чизиққа айтилади. Полигонни ясаш учун абсциссалар
ўқига х1, варианталарни, ординаталар ўқига эса уларга мос п1 частоталарни
қўйиб чиқилади. Сўнгра (х1, п1) нуқталарни тўғри чизиқ кесмалари билан
туташтириб, частоталар полигони ҳосил қилинади.
Нисбий частоталар полигони деб, кесмалари (х1,W1), (х1,W2),..., (хк,Wk)
нуқталарни туташтирадиган синиқ чизиққа айтилади, Нисбий частоталар
полигонини ясаш учун абциссалар ўқига х1 варианта- ларни, ординаталар ўқига
эса уларга мос W1 частоталарни қўйиб чиқилади. Сўнгра ҳосил бўлган
нуқталарни тўғри чизикқ кесмалари билан туташтириб, нисбий частоталар
полигони ҳосил қилинади.
2 - расмда ушбу
х 1,5 3,5 5,5 7,5
W 0,1 0,2 0,4 0,3
тақсимотнинг нисбий частоталари полигони тасвирланган.
.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
.
.
.
8
. .
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2-расм
Узлуксиз белги бўлган ҳолда гистограмма ясаш мақсадга мувофиқдир,
бунинг учун белгининг кузатиладиган қийматларини ўз ичига олган оралиқ
узунлиги h бўлган бир нечта қисмий оралиқларга бўлинади ва ҳар бир i-қисмий
оралиқ учун ni ни – i – оралиқга тушган варианталар частоталари йигғндисини
топилади. Частоталар гистограммаси деб, асослари h узунликдаги оралиқлар,
баландликлари эса
ni
нисбатларга (частота
n
зичлиги) тенг бўлган тўғри тўртбурчаклардан иборат поғонавий фигурага
айтилади.
Частоталар гистограммасини ясаш учун абсциссалар ўқида қисмий
оралиқлар, уларнинг устига эса
ni
n
масофада абсциссалар ўқига параллел
кесмалар ўтказилади.
I – қисмий
тўғри
тўртбурчакнинг юзи h 
ni
 ni га, яъни i – оралиқдаги
h
варианталарнинг частоталари йиғиндисига тенг; бинобарин, частоталар
гистограммасининг юзи барча частоталар йиғиндисига, яъни танланма ҳажмига
тенг.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
20 25
30
35 40
3-расм
3-расмда 1-жадвалда келтирилган п=100 ҳажмли тақсимот частоталари
гистограммаси тасвирланган.
1-жадвал
Узунлиги h = 5 бўлган
қисмий оралиқ
ni оралиқлар варианталари
частоталарининг йиғиндиси
5-10
10-15
15-20
4
6
16
9
частота зичлиги
ni
h
0,8
1,2
20-25
25-35
30-35
35-40
36
24
10
4
3,2
7,2
4,8
2,0
0,8
Нисбий частоталар гистограммаси деб, асослари к узунликдаги
оралиқлар, баландликлари эса - нисбатга (нисбий частота зичлигига) тенг
бўлган тўғри тўртбурчаклардан иборат поғонавий фигурага айтилади.
Нисбий частоталар полигонини ясаш учун абсциссалар ўқига қисмий
оралиқларни қўйиб чиқилади, уларнинг тепасидан эса
Wi
масофада абсциссалар
h
ўқига параллел кесмалар ўтказилади. i - қисмий тўғри тўртбурчакнинг юзи
h
Wi
h
га, яъни i - оралиқга тушган варианталарнинг нисбий частоталари
йиғиндисига тенг. Демак, нисбий частоталар гистограммасининг юзи барча
нисбий частоталар йиғиндисига, яъни бирга тенг.
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1. Математик статистиканинг асосий масалалари нималардан иборат ?
2. Бош тўпламга таъриф беринг.
3.Танланма тўпламга таъриф беринг.
4. Варианта,частота ва нисбий частота нима ?
5. Полигон ва гистограмма.
6.Танланманинг статистик тақсимотига таъриф беринг.
7. Тақсимотнинг эмпирик функциясини тарифланг ва мисол келтиринг.
8. Тақсимотнинг эмпирик функциясини хоссаларини айтинг.
9. Полигонга таъриф беринг.
10. Гистограммага таъриф беринг.
11.Қандай холларда гистограмма қуриш мақсадга мувофиқ ?
Масалалар.
1. Ушбу тақсимотнинг эмпирик функцияси графигини ясанг:
xi
ni
5
2
7
3
10
8
15
7
2. Ушбу тақсимот частоталари ва нисбий частоталари полигонларини ясанг:
xi 1
3
5
7
9
ni 10 15
30
33 12
10
3.
Ушбу
тақсимотнинг
частоталари
ва
нисбий
частоталари
гистограммаларини ясанг (биринчи устунда қисмий оралиқ, иккинчи устунда
эса қисмий оралиқдаги варианталарнинг частоталари йиғиндиси кўрсатилган)
2-5
9
5-8
10
8 - 11
25
11 - 14
6.
2-маъруза.
Тақсимот параметрларининг статистик баҳолари.
Режа
1. Силжимаган, эффектив ва асосли баҳолар.
2. Ўртача танланма қиймат.
3. Танланма дисперсия.
4. Дисперсияни ҳисоблаш учун формула.
5. Вариацион қаторнинг бошқа ҳарактеристикалари .
Калитли сўзлар:статистик бахо, силжимаган,
эффектив ва асосли баҳолар.
ўртача танланма қиймат, танланма дисперсия,танланма ўртача квадратик
четланиш, вариацион қатор, танланма мода, танланма медиана.
Айтайлик, бош тўпламнинг сон белгисини ўрганиш талаб қилинаётган
бўлсин. Фараз қилайлик, шу белги қайси тақсимотга эга эканлиги назарий
мулоҳазалардан
аниқланган
бўлсин.
Бу
тақсимотни
аниқлайдиган
параметрларни баҳолаш масаласи юзага келиши табиийдир. Масалан,
ўрганилаётган белги бош тўпламда нормал тақсимланганлиги олдиндан маълум
бўлса, у ҳолда математик кутилишни ва ўртача квадратик четланишни баҳолаш
(тақрибий ҳисоблаш) зарур, чунки бу иккита параметр нормал тақсимотни тўлиқ
аниқлайди; агар белги Пауссон тақсимотига эга дейишга асос бўлса, у ҳолда бу
тақсимотни аниқлайдиган  параметрни баҳолаш зарур.
Одатда тадқиқотчи ихтиёрида танланмадаги маълумотларгина, масалан, сон
белгининг п та кузатиш натажасида олинган x1, хг, ..., хп қийматлари бўлади (бу
ерда ва бундан кейин кузатишлар ўзаро боғлиқмас деб фараз қилинади).
Баҳоланаётган белги худди шу маълумотлар орқали ифодаланади.
x1, x2, ..., хп ни эркли Х1 Х2, ..., Хп тасодифий миқдорлар деб қаралиб, назарий
тақсимот номаълум параметрининг статистик баҳосини топиш, бу демак,
кузатилаётган тасодифий миқдорлар орқали шундай функция топишдирки, у
баҳоланаётган параметрнинг тақрибий қийматини беради. Масалан, нормал
тақсимотнинг математик кутилишини баҳолаш учун ушбу
Х=
Х 1  Х 2  ...  Х n
n
11
функция (белгининг кузатиладиган қийматларининг арифметик ўртаси) хизмат
қилади (бу кейинроқ кўрсатилади).
Шундай қилиб, назарий тақсимот номаълум параметрининг статистик
баҳоси деб кузатилган тасодифий миқдорлардан тузилган функцияга айтилади.
Статистик
баҳолар
баҳоланаётган
параметрларнинг
«яхши»
яқинлашишларини бериши учун улар маълум талабларни қаноатлантиришлари
лозим. Қуйида шу талаблар кўрсатилган.
 * назарий тақсимот  * номаълум параметрининг статистик баҳоси
бўлсин. п ҳажмли танланма бўйича  *1 баҳо топилган бўлсин. Тажрибани
такрорлаймиз, яъни бош тўпламдан ўша ҳажмли иккинчи танланмани оламиз ва
ундаги маълумотлар бўйича  *2 баҳони топамиз. Тажрибани кўп марта
такрорлаб,  *1 ,  *2 ,...,  *k сонларни ҳосил қиламиз, улар, умуман айтганда,
ўзаро ҳар хил бўлади. Шундай қилиб,  * баҳони тасодифий миқдор,  *1 ,  *2
,...,  *k сонларни эса унинг мумкин бўлган қийматлари сифатида қараш мумкин.
 * баҳо  * нинг тақрибий қийматини ортиғи билан беради деб фараз
қилайлик; у ҳолда танланмадаги маълумотлар бўйича топилган ҳар бир  i* (i =
1, 2, ..., k) сон хақиқий қийматдан катта бўлади. Бу ҳолда  * тасодифий
миқдорнинг математик кутилиши (ўртача қиймати) ҳам 0* дан катта бўлади,
яъни М (  *)>  . Агар  * қиймат баҳони ками билан берадиган бўлса, равшанки,
М (  *) <  .
Шундай қилиб, математик кутилиши баҳоланаётган параметрга тенг
бўлмаган статистик баҳони ишлатиш (бир хил ишорали) систематик хатоларга
олиб келган бўлар эди. Шу сабабли,  * баҳонинг математик кутилиши
баҳоланаётган параметрга тенг бўлишини талаб қилиш табиийдир. Бу
талабларга риоя қилиниши хатоларни бартараф қилмасада (  * нинг баъзи
қийматлари  дан катта, баъзилари кичик), ҳар хил ишорали хатолар бир хил
частотада учрайди. Бошқача сўз билан айтганда, М (  *) =  талабларга риоя
қилиш систематик хатолар ҳосил қиилишдан асрайди.
Силжимаган баҳо деб математик кутилиши исталган ҳажмли танланма
бўлганда ҳам баҳоланаётган  параметрга тенг, яъни
М(  *)= 
бўлган  * статистик баҳога айтилади.
Силжиган баҳо деб математик кутилиши баҳоланаётган параметрга тенг
бўлмаган баҳога айтилади.
Аммо силжимаган баҳо ҳар доим ҳам баҳоланаётган параметрнинг яхши
яқинлашишини беради деб ҳисоблаш хато бўлар эди. Дарҳақиқат  * нинг
мумкин бўлган қийматлари унинг ўрача қиймати атрофида анча тарқоқ, яъни D
(  *) дисперсия анчагина катта бўлиши мумкин. Бундай ҳолда битта
танланмадаги маълумотлар бўйича топилган баҳо, масалан,  1* баҳо  * ўртача
қийматдан ва демак, баҳоланаётган  параметрдан анча узоқлашган бўлади;  1*
ни  нинг тақрибий қиймати учун қабул қилиб, катта хатога йўл қўйган бўлар
эдик. Агар  * нинг дисперсияси кичик бўлишини талаб қиладиган бўлсак, у
ҳолда катта хатога йўл қўйилишининг олдини олган бўламиз. Шу сабабли
статистик баҳога эффективлик талаби қўйилади.
12
Эффектив баҳо деб (танланманинг ҳажми п берилганда) мумкин бўлган энг
кичик дисперсияга эга бўлган статистик баҳога айтилади.
Катта ҳажмли (п катта!) танланмалар қаралганда статистик баҳоларга
асослилик талаби қўйилади.
Асосли баҳо деб, баҳоланаётган параметрга п→∞ да эҳтимол бўйича
яқинлашадиган статистик баҳога айтилади. Масалан, силжимаган баҳонинг
дисперсияси п→∞ да нолга интилса, у ҳолда бундай баҳо асосли ҳам бўлади.
Ўртача танланма қиймат
Бош тўпламни X сон белгига нисбатан ўрганиш мақсадида п ҳажмли
танланма олинган бўлсин.
Ўртача танланма хТ қиймат деб, танланма тўплам белгисининг арифметик
ўртача қийматига айтилади.
Агар п ҳажмли танланма белгисининг барча х1, х2, ..., хп қийматлари турлича
бўлса, у ҳолда:
х=
Х 1  Х 2  ...  Х n
n
Агар белгининг х1 х2, ...., хк қийматлари мос равишда , п1 п2 ..., пк
частоталарга эга, шу билан бирга п1 + п 2 + ... + пк = п бўлса, у ҳолда:
х=
Ёки:
n1 x2  n2 x2  ...  nk xk
n
х=
n x
i
i 1
i
n
яъни, ўртача танланма қиймат белгининг вазнлари мос равишда тегишли
частоталарга тенг бўлган қийматларининг вазний ўртача қийматидир.
Танланма дисперсия
Танланма сон белгисининг кузатиладиган қийматларини унинг ХТ ўртача
қиймати атрофида сочилишини ҳарактерлаш мақсадида йиғма ҳарактеристикаси
- танланма дисперсия киритилади.
Танланма дисперсия s2 деб, белгининг кузатиладиган қийматларини
уларнинг хг ўртача қийматидан четланиши квадратларининг ўртача арифметик
қийматига айтилади.
Агар п ҳажмли танланма белгисининг барча х1, х2, ..., хп қийматлари турлича
бўлса, у ҳолда:
s2 =
 x
i 1
i
x
n
13

2
Агар белгининг х1, х2, ..., хк қийматлари мос равишда, n1,n2,..., пк
частоталарга эга, шу билан бирга п1 + п 2 + ... + пк = п бўлса, у ҳолда:
s2 =
 n x
i 1
i
i
x

2
n
яъни, танланма дисперсия вазнлари тегишли
частоталарга тенг бўлган
четланишларнинг вазний ўртача қийматидир.
Мисол. Танланма тўплам ушбу тақсимот жадвали орқали берилган:
xi
1
2 3 4
ni 20 15 10 5
Танланма дисперсияни топинг.
Ечиш. Ўртача танланма қийматни топамиз:
х=
20  1  15  2  10  3  5  4 100

2
20  15  10  5
50
Танланма дисперсияни топамиз:
2
2
2
2
s2  20  (1  2)  15  (2  2)  10  (3  2)  5  (4  2)  50  1
50
50
Танланма тўплам белгиси қийматларини унинг ўртача қиймати атрофида
сочилишини ҳарактерлаш учун дисперсиядан ташқари йиғма ҳарактеристика ўртача квадратик четланишдан фойдаланилади.
Танланма ўртача квадратик четланиш деб, танланма дисперсиясидан
олинган квадрат илдизга айтилади:  Т  DT .
Дисперсияни ҳисоблаш учун формула
Дисперсияни ҳисоблашни (танланма дисперсиями, бош дисперсиями,
бунинг фарқи йўқ) қуйидаги теоремадан фойдаланиб, соддалаштириш мумкин.
Теорема. Дисперсия белгининг қийматлари квадратларининг (ўртача
қийматидан умумий ўртача қиймат квадратини айирилганига тенг:
s2 = х 2 - х 
2.
Исботи. Теореманинг исботи қуйидаги алмаштиришлардан келиб чиқади:
s
2
 n (x

i
i
 x) 2
n
 n (x

2
i
 2 xi x  x  )
2
n
i
n
 x 2  2 x  x  x   x 2  x  .
2
 n xi

2
Шундай қилиб,
s2 = х 2 - х 
2.
14
2
 2x
 n x  x  n
i
n
i
2
n
i

х =
n x
i
n
i
х =
2
,
n x
i
2
i
n
.
Мисол. Берилган:
х1
ni
1 2 3 4
20 15 10 5
тақсимот бўйича танланма дисперсияни топинг.
Ечиш. Умумий ўртача қийматни топамиз:
х =
20  1  15  2  10  3  5  4 100

2
20  15  10  5
50
Белгининг қийматлари квадратларининг ўртача қийматини топамиз:
х2 =
Изланаётган дисперсия:
20  12  15 2  2 2  10  32  5  4 2
5
50
s2 = х 2 - х  = 5  2 2  1.
2.
Танланма дисперсия
S2 
1 n
( xi  x ) 2 бош тўплам дисперсияси δ2 учун

n i 1
силжиган баҳо бўлишини кўрсатамиз.
S2 ни қуйидаги кўринишда ёзамиз:
S 
2

1 n
1 n
2
[(
x

m
)

(
x

m
)]

 i
 [( xi  m) 2  2( xi  m)( x  m)  ( x  m) 2 ] 
n i 1
n i 1
n
2( xi  m)
1 n
1 n
( x i  m) 2  ( x  m) 
 ( x  m) 2   ( xi  m) 2  2( x  m)(x  m)  ( x  m) 2 

n i 1
n
n i 1
i 1
1 n
  ( x i m) 2  ( x  m) 2 .
n i 1
Энди S2 нинг математик кутилишини ҳисоблаймиз:
MS 2 
1 n
 2 n 1 2
2
2
2
M
(
x

m
)

M
(
x

m
)





 i
n 1
n
n
n 1 2
MS 2 

n
Демак, танланма дисперсиянинг математик кутилиши бош тўплам
дисперсияга тенг эмас экан, яъни S2 δ2 параметр учун силжиган баҳо бўлади.
n   бўлганда MS 2   2 муносабат бажарилади. Бундан танланма
дисперсияни асосли баҳо эканлиги келиб чиқади.
15
n
S2
n 1
n
MS 2   2 га тенг.
Миқдорнинг математик кутилиши MS 2 
n 1
S 2 миқдорга тузатилган дисперсия деб аталади.
S2 
Вариацион қаторнинг бошқа ҳарактеристикалари.
Вариацион қаторнинг ўртача танланма қиймати ва танланма
дисперсиясидан ташқари бошқа ҳарактеристикалари ҳам ишлатилади. Улардан
асосийларини келтирамиз.
Мода М0 деб, энг катта частотага эга бўлган вариантага айтилади.
Масалан, ушбу
варианта 1 4 7 9
частота
5 1 20 6
қатор учун мода 7 га тенг.
Медиана те деб, вариацион қаторни варианталар сони тенг бўлган икки
қисмга ажратадиган вариантага айтилади. Агар варианталар сони тоқ, яъни п =
2к + 1 бўлса, у ҳолда, те = хк+1; п жуфт, яъни п = 2к да медиана:
те=
хk  хk 1
.
2
Масалан, 2 3 5 6 7 қатор учун медиана 5 га; 2 3 5 6 7 9 қатор учун медиана
56
тенг.
2
Вариация қулочи R деб, энг кичик ва энг катта варианталар айирмасига
айтилади:
R=xmax-xmin.
Масалан,
1 3 4 5 6 10
қатор учун қулоч 10-1=9 га тенг.
Қулоч вариацион қатор тарқоқлигининг энг содда ҳарактеристикасидир.
Ўртача абсолют четланиш  деб, абсолют четланишларнинг ўртача
арифметик қийматига айтилади:
=
n x  x
n
i
i
T
.
i
Масалан,
xi 1 3 6 16
пi 4 10 5 1
қатор учун:
xT=
=
4  1  10  3  5  6  1  16 80

 4;
4  10  5  1
20
4  1  4  10  3  4  5  6  4  1  16  4
20
16
 2,2.
Ўртача
абсолют
четланиш
вариацион
қатор
тарқоқлигининг
ҳарактеристикаси бўлиб хизмат қилади.
Вариация коэффициенти V деб, ўртача танланма квадратик четланишнинг
ўртача танланма қийматга нисбатининг процентларда ифодаланганига айтилади:
V=
Т
хТ
 100 %.
Вариация коэффициенти иккита вариацион қаторнинг тарқоқлик
катталигини таққослаш учун хизмат қилади: вариацион қаторлардан вариация
коэффициенти катта бўлгани кўпроқ тарққоқликка эга.
Э с л а т м а. Юқорида вариацион қатор танланма маълумотлари бўйича
тузилган деб фараз қилинди. Шу сабабли тавсифланган барча
ҳарактеристикалар танланма ҳарактеристикалар дейилади; агар вариацион
қатор бош тўплам маълумотлари бўйича тузилган бўлса, у ҳолда ҳарактеристика
бош ҳарактеристикалар дейилади.
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1. Статистик бахога таъриф беринг?
2. Статистик бахолар қандай талабларга жавоб бериши керак?
3. Силжимаган, эффектив ва асосли баҳоларга таъриф беринг?
4. Ўртача танланма қийматга таъриф беринг?
5. Танланма дисперсияга таъриф беринг?
6. Танланма ўртача квадратик четланишга таъриф беринг?
7. Танланма дисперсия бош тўпламнинг номаълум дисперсияси учун
силжимаган бахо бўладими?
8. Тузатилган дисперсия нима?
9. Танланма мода ва медиана таъриф беринг?
3-маъруза
Нуқтавий баҳоларни олиш усуллари
Режа.
1. Нуқтавий баҳо олишнинг моментлар усули.
2. Энг катта ўхшашлик усули.
3. Катта сонлар қонунига асосланган усул.
Калитли сўзлар: моментлар усули, назарий момент, эмпирик момент знг катта
ўхшашлик усули, ўхшашлик функцияси, энг катта ўхшашлик тенглама.
Моментлар усули.
Фараз қилайлик Х1,Х2....,Хn бош тўпламдан олинган ҳажми n га тенг бўлган
танланма бўлсин. F(x,  ) бош тўпламнинг тақсимот функцияси бўлиб, унинг 
параметри номаълум бўлсин.  номалум параметрни берилган танланма бўйича
баҳолаш талаб этилади. Биринчи тартибли назарий момент m1(  ) =  xf x dx ва
17
эмпирик
момент
x=
Х 1  Х 2  ...  Х n
n
ларни
тенглаштириб, номаълум

параметрга нисбатан тенгламама тузамиз: m1 (  ) = х
Агар бир нечта параметрларни баҳолаш талаб этилса, у ҳолда 1-тартибли, 2тартибли, ...., к-тартибли назарий ва эмпирик моментлари тузилади ҳамда
уларни тенглаштириб, к номаълумли тенгламалар системасидан номалум
параметрлар аниқланади:
m j(  1,  2 ,...,  к) =  х j f(x)dx, j = 1,2,….,k,
бунда f(x) бош тўпламнинг зичлик функцияси:
1
xj
 j (x1,x2,….xк) = n  i .
j=1,2,.....,k.
Мисол. Моментлар усулидан фойдаланиб Х1, Х2, .... Хп танланма бўйича
кўрсаткичли тақсимотнинг  параметрини баҳоланг.
Биринчи тартибли назарий бошланғич моментни ҳисоблаймиз.

m1(  )=  xe
 x

dx    xde
0
 x
  xe
 x

0

 e
0
 x
dx  
0
1


e
 x

0
1

1
Демак, m1(  )= . Энди биринчи тартибли назарий ва эмпирик бошланғич

моментларни тенглаштириб, қуйидаги тенгламага эга бўламиз:
1

X 1  X 2  ....  X n
.
n

1
Бу тенгламадан  *=
ечимни ҳосил қиламиз, яъни номаълум параметр 
Х
нинг баҳоси танланма ўрта қиймат Х га тескари миқдор бўлар экан.
Энг катта ўхшашлик усули.
Х бош тўплам, Х1,Х2,....,Хn ҳажми n га тенг бўлган танланма бўлсин.
F (x,  ) бош тўплам тақсимот функцияси  параметрга боғлиқ бўлиб, танланма
маълумотлари бўйича номаълум параметрни баҳолаш масаласи қўйилади,
Х1,Х2,....,Хn миқдорларни зичлик функцияси f(x,  ) га тенг бўлган бир хил
тақсимланган тасодифий миқдорлар сифатида қараш мумкин.Номалум
параметрнинг энг катта ўхшашлик функциясини тузамиз:
L( Х1,Х2,....,Хn,  ) = f(Х1,  ) f(Х2,  )..... f(Хn,  ).
Энг катта ўхшашлик функциясига максимал қиймат берувчи сонга 
параметрнинг энг катта ўхшашлик баҳоси деб аталади. L( Х1,Х2,....,Хn,  )
функцияга максимал қиймат берувчи  n* сонни топиш учун бу функцияни
логарифмлаймиз ва унинг ҳосиласини нолга тенглаб, энг катта ўхшашлик
тенгламани тузамиз:
n
f  X i , 
i 1
i
 f  X , 
18

0
Тенгламанинг ечими  n*
номаьлум  параметрнинг энг катта ўхшашлик
баҳоси бўлади.
Агар бош тўпламнинг тақсимот функцияси k та номалум параметрларга
бохлиқ бўлса,у ҳолда ҳар бир параметр бўйича хусусий ҳосила олиб, к
номаьлумли тенгламалар системасини тузамиз:
n
f  X i ,  1 ,  2 ,....,  k 
1 (X i 1 ,  2 ,....,  k )
f
i 1
n

f  X i ,  1 ,  2 ,....,  k 
 2 (X i 1 ,  2 ,....,  k )
f
i 1

0
0
..............................................
n
f  X i ,  1 ,  2 ,....,  k 
 к (X i 1 ,  2 ,....,  k )
f
i 1

0
Тенгламалар
системасининг
ечимлари
номаълум
1* ,  2* ,......,  к*
параметрларнинг энг катта ўхшашлик баҳолари бўлади.
1-масала.Энг катта ўхшашлик усулидан фойдаланиб Бернулли тақсимотини
параметри р ни баҳоланг.
Ечиш. Х1,Х2....,Хn тажриба натижаларидан k таси 1 га тенг бўлсин.У ҳолда
номаълум параметрнинг энг катта ўхшашлик функцияси қуйидаги кўринишга
эга бўлади:
L( Х1,Х2,....,Хn, p ) = p k  1  p nk
Бу функциядан логарифм олиб ва р бўйича ҳосила олиб, қуйидаги тенгламага
эга бўламиз:
k
k nk
. Бу тенгламанинг ечими р*( Х1,Х2....,Хn ) =
номаълум

n
p 1 p
параметрнинг энг катта ўхшашлик баҳоси бўлади.
2-масала. Бош тўплам нормал тақсимотга эга бўлганда унинг параметрлари
учун энг катта ўхшашлик баҳоларни топинг.
Ечиш. Энг катта ўхшашлик функцияни ёзамиз.
n
L( Х1,Х2,....,Хn, a,  ) =
 f ( x, a ,  )  (
i 1

1
2  )
n
e
n
1
2
2
 ( xi a ) 2
1
Бу функцияни логарифмлаймиз ва ундан a ва  лар бўйича хусусий
ҳосилалар олиб энг катта ўхшашлик тенгламалар системасини тузамиз:
19
nL( x, a,  )   n ln( 2   ) 
d ln L( x, a,  )
1

da
2 2
1
n
 2( x
i 1
d ln L( x, a,  )
n
2
 
d
 2 3
 (x
2 2
i
i 1
 a)
 a)  0
n
 (x
i
i
 a) 2  0
Тенгламалар системасини ечиб, ушбу энг катта ўхшашлик баҳоларга эга
бўламиз:
a n* = x 
x1  x2  ...  xn
,
n
1 n
  s   ( xi  a ) 2 .
n i 1
*
n
2
Катта сонлар қонунига кўра:
x
1
1
xi , S2 =  ( xi  x) 2

n
n
ва бошқа юқори тартибли бошланғич ҳамда марказий статистик моментлар
бош тўпламнинг математик кутилмаси, дисперсияси ва мос юқори тартибли
моментларига эҳтимол бўйича яқинлашади. Шу сабабли n нинг етарлича катта
қийматларида уларни сонли ҳарактеристикаларнинг баҳоси сифатида қабул
қилиш мумкин.
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1. Ўртача танланма қиймат бош тўпламнинг қандай параметри учун нуқтавий
бахо бўлади ?.
2. Нуқтавий баҳо олишнинг моментлар усулини тушунтириб беринг.
3.Пуассон тақсимотининг номаълум параметри учун моментлар
усулидан фойдаланиб нуқтавий бахони топинг.
4. Нуқтавий баҳо олишнинг энг катта ўхшашлик усулини тушунтириб беринг.
5. Нормал тақсимотнинг номаълум математик кутилиши учун энг катта
ўхшашлик усулидан фойдаланиб нуқтавий бахони топинг.
6.Танланма дисперсия бош тўпламнинг қандай параметри учун нуқтавий бахо
бўлади ?.
20
4-маъруза
Оралиқ баҳолар. Ишончли оралиқ
Режа.
1. Баҳонинг аниқлиги, ишончли эҳтимол. Ишончли оралиқ.
2. Нормал тақсимотнинг  маълум бўлганда математик кутилишини
баҳолаш учун ишончли оралиқлар.
3. Нормал тақсимот математик кутилишини  номаълум бўлганда
баҳолаш учун ишончли оралиқлар.
4. Нормал тақсимотнинг ўртача квадратик четланиши  ни баҳолаш
учун ишончли оралиқлар.
Калитли сўзлар: Нуқтавий баҳо,оралиқ бахо, баҳонинг аниқлиги, ишончли
эҳтимол, ишончли оралиқ, нормал тақсимот, «тузатилган» ўртача квадратик
четланиш, Стьюдент тақсимотидан, к =п- 1 озодлик даражали  2 тақсимот.
Нуқтавий баҳо деб, битта сон билан аниқланадиган баҳога айтилади.
Юқорида кўрилган барча баҳолар нуқтавийдир. Кичик ҳажмли танланма бўлган
ҳолда нуқтавий баҳо баҳоланаётган параметрдан анча фарқ қилиши, яъни қўпол
хатоларга олиб келиши мумкин. Шу сабабли танланма ҳажми унча катта
бўлмаганда оралиқ баҳолардан фойдаланиш лозим.
Оралиқ баҳо деб, иккита сон - оралиқнинг учлари билан аниқланадиган
баҳога айтилади. Оралиқ баҳолар баҳоларнинг аниқлиги ва ишончлигини (бу
тушунчаларнинг маъноси қуйида ойдинлашади) баҳолашга имкон беради.
Танланма маълумотлари бўйича топилган  * статистик ҳарактеристика 
номаълум параметрнинг баҳоси бўлиб хизмат қилсин.  ни ўзгармас сон деб
ҳисоблаймиз (  тасодифий миқдор ҳам бўлиши мумкин). |  -  * | айирманинг
абсолют катталиги қанчалик кичик бўлса,  * баҳо  параметрни шунчалик
аниқ баҳолаши равшан. Бошқача сўз билан айтганда,  >0 ва |  -  * | <  бўлса, у
ҳолда  қанчалик кичик бўлса, 0* баҳо шунча аниқдир. Шундай қилиб,  сон
баҳонинг аниқлигини ҳарактерлайди.
Лекин статистик методлар 0* баҳо |  -  *|<  тенгсизликни қаноатлантиради деб
қатъий даъво қилишга имкон бермайди; бу тенгсизлик амалга ошадиган
 эхдимол ҳақидагина гапириш мумкин.
 баҳонинг  * бўйича ишончлилиги (ишончли эҳтимол) деб |  -  * | < 
тенгсизликнинг амалга ошиш эҳтимоли  га айтилади. Одатда баҳонинг
ишончлилиги олдиндан берилади, бунда  сифатида бир сонига яқин сон
олинади. Кўпинча ишончлиликни 0,95; 0,99 ва 0,999 қилиб берилади.
Айтайлик, |  -  * | <  бўлиш эҳтимоли  га тенг бўлсин:
Р [ | - * | <  ] = 
|  -  * | <  тенгсизликни унга тенг кучли
21
-  <  -  *<  ёки  *-  <  <  *+ 
қўш тенгсизлик билан алмаштириб,
Р [  *-  <  <  *+  ] = 
га эга бўламиз. Бу муносабатни бундай тушуниш лозим: (  *-  ,  *+  )
оралиқнинг номаълум  параметрни ўз ичига олиш эҳтимоли  га тенг.
Ишончли оралиқ деб, номаълум параметрни берилган  ишончлилик билан
қоплайдиган (  * -  ,  * +  ) оралиқа айтилади.
Эслатма. (  * -  ,  * +  ) оралиқ тасодифий учларга эга (улар ишончли
чегаралар дейилади). Дарҳақиқат,
турли танланмаларда  нинг турли
қийматлари ҳосил бўлади. Бинобарин, танланмадан танланмага ўтишда
ишончли оралиқнинг учлари ҳам ўзгариб боради, яъни ишончли чегараларнинг
ўзи ҳам тасодифий миқдорлар: х1, хг ... хn нинг фуикциялари бўлади.
Бунда тасодифий миқдор баҳоланаётган параметр  эмас, балки ишончли
оралиқ бўлгани учун  нинг берилган оралиқга тушиш эҳтимоли хаҳида эмас,
балки ишончли оралиқ  ни қоплаш эҳтимоли ҳақида гапириш тўғрироқ бўлади.
Ишончли оралиқлар усулини америкалик статисти К.Нейман, инглиз
статисти Р. Фишер ғояларига асосланиб ишлаб чиққан.
Нормал тақсимотнинг  маълум бўлганда математик
кутилишини баҳолаш учун ишончли оралиқлар.
Бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган, шу билан бирга бу
тақсимотнинг ўртача квадратик четланиши  маълум бўлсин. Номаълум а
математик кутилишни танланма ўртача қиймат х орқали баҳолаш талаб
қилинади. Ўз олдимизга а параметрни  ишончлилик билан қоплайдиган
ишончли оралиқларни топишни мақсад қилиб қўямиз.
х танланма ўртача қийматни X тасодифий миқдор сифатида (х танланмадан
танланмага ўтганда ўзгаради), белгининг х1,х2.,... хп танланма қийматларини бир
хил тақсимланган эркли, Х1, Х2,.... Хп тасодифий миқдорлар сифатида қараймиз.
Бошқача сўз билан айтганда, бу микдорларнинг ҳар бирини математик
кутилиши а га, ўртача квадратик четланиши о га тенг.
Қуйидагини исботсиз қабул қиламиз: агар X тасодифий миқдор нормал
тақсимланган бўлса, у ҳолда эркли кузатишлар бўйича топилган X танланма
ўртача қиймат ҳам нормал тақсимланган. X тақсимотининг параметрлари бундай:
М(Х) = а, а(Х) =

Ушбу
Р(
< ) =
Х–а
22
n

.

муносабат бажарилишини талаб қиламиз, бу ерда
Қуйидаги
Р (|Х - a |  <) = 2Ф (  ).

формулада (XII боб, 6-§) X ни X га ва  ни  (X) =

n
берилган ишончлилик.
га алмаштириб,
 n 
  2Ф (t)

  
Р( | Х- a | <  ) = 2Ф 
 n
.

ни ҳосил қиламиз, бу ерда t =
Сўнгги тенгликдан  = t

ни топиб, қуйидагича ёзишимиз мумкин:
n

Р ( Х- a | < t
n
) = 2Ф (t)
Р эҳтимол  га тенглигини эътиборга олиб (ишчи формулани ҳосил қилиш
учун танланма ўртача қийматни яна х орқали белгилаймиз), узил-кесил
қуйидагини ҳосил қиламиз:

Р(х-т
n
<a < х + t

n
) = 2Ф(t) =
.
Ҳосил қилинган бу муносабатнинг маъноси қуйидагича:
айтиш мумкинки, (х - t

n

,х+t
n
қоплайди, баҳонинг аниқлиги:  = t
 ишонч билан
) ишончли оралиқ номаълум а параметрни

n
.
Шундай қилиб, юқорида қуйилган масала тўлиқ ечилди. t сон 2Ф(t) =
 ёки

тенгликдан аниқланишини айтиб ўтамиз: Лаплас функцияси жадвали
2

(2- илова) бўйича Лаплас функциясининг
га тенг қиймати мос келадиган t
2
Ф(t) =
аргумент қиймати топилади.
1-Эслатма.
аниқлигини
х-а <t

n
кўрсатувчи  = t
баҳо

n
классик деб аталади. Классик баҳонинг
формуладан қуйидаги хулосаларга келиш
мумкин:
1) танланма ҳажми n нинг ортиши билан  сон камаяди, бинобарин,
баҳонинг аниқлиги ортади;
2)  = 2Ф (t) баҳо ишончлилигининг ортиши t нинг ортишига (Ф(t) ўсувчи
функция), ва демак,  нинг ҳам ортишига олиб келади; бошқача сўз билан
23
айтганда, классик баҳо ишончлилигининг ортиши унинг аниқлигининг
пасайишига олиб келаци.
Мисол. X тасодифий миқдор ўртача квадратик четланиши  = 3 маълум
бўлган нормал тақсимотга эга. Танланма ҳажми п = 36 ва баҳонинг
ишончлилиги  = 0,95 берилган. Номаълум а математик кутилишни х танланма
ўртача қийматлар бўйича баҳолаш учун ишончли оралиқларни топинг.
Ечиш. t ни топамиз. 2Ф(t) = 0,95 муносабатдан Ф(t) = 0,475 ни ҳосил
қиламиз. Жадвалдан (2-илова)
t = 1,96
ни топамиз. Баҳонинг аниқлигини топамиз:

t 
n

1,96  3
36
 0,98
Ишончли оралиқлар бундай:
(х - 0,98; х + 0,98).
Масалан, агар х=4,1 бўлса, у ҳолда ишончли оралиқ қуйидаги ишончли
чегараларга эга бўлади:
х- 0,98 = 4,1- 0,98 = 3,12;
х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.
Шундай қилиб, номаълум а параметрнинг танланма маълумотлари билан
мос келадиган қийматлари
3,12 < а < 5,08
тенгсизликни қаноатлантиради. Қуйидагича
Р(3,12 < а < 5,08) = 0,95
ёзиш хато бўлишини таъкидлаб ўтамиз. Дарҳақиқат, а-ўзгармас катталик
бўлгани учун у ёки топилган оралиқда ётади (у ҳолда 3,12 < а < 5,08 ҳодиса
муқаррар ва унинг эҳтимоли бирга тенг), ёки унда ётмайди (у ҳолда 3,2 < а <
5,08 мумкин бўлмаган ҳодиса бўлиб, унинг эҳтимоли 0 га тенг). Бошқача сўз
билан айтганда, ишончли оралиқ баҳоланаётган параметр билан боғламаслик
керак: параметр ишончли оралиқнинг чегаралари билангина богланган,
чегаралар эса, олдин кўрсатилганидек, танланмадан танланмага ўтганда ўзгариб
боради.
Берилган ишончлиликнинг маъносини тушунтирамиз:  =0,95 ишончлилик
қуйидагини кўрсатади: агар етарлича кўп сонда танланмалар олинган бўлса, у
24
ҳолда уларнинг 95% шундай ишончли оралиқларни аниқлайдики, бу
оралиқларда параметр ҳақиқатан ҳам ётади; 5% ҳоллардагина у ишончли оралиқ
чегарасидан четда ётиши мумкин.
2-эслатма. Агар математик кутилишни олдиндан берилган  аниқлик ва 
ишончлилик билан баҳолаш талаб қилинса, у ҳолда бу аниқликни таъминлаб
берадиган минимал ҳажмли танланманинг ҳажми
n=
формуладан топилади (  = t

n
t 2 2
2
тенгликнинг натижаси).
Нормал тақсимот математик кутилишини  номаълум бўлганда
баҳолаш учун ишончли оралиқлар
Айтайлик, бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган, шу
билан бирга  ўртача квадратик четланиш номаълум бўлсин. Номаълум а
математик кутилишни ишончли оралиқлар ёрдамида баҳолаш талаб қилинади.
Равшанки, бу ўринда олдинги параграф натижаларидан фойдаланиб бўлмайди,
чунки у ерда  маълум деб фараз қилинган эди. Танланма маълумотлари
бўйича шундай
Т=
X a
n
S
тасодифий микдорни (унинг қийматларини t орқали белгилаймиз) тузиш
мумкин эканки, у к=п-1 озодлик даражалижали Стьюдент тақсимотига эга бўлар
экан (параграф охиридаги тушунтиришга қаранг) бу ерда X- танланма ўртача
қиймат, S - «тузатилган» ўртача квадратик четланиш, п-танланма ҳажми.
Дифференциал функция:
t2
S(t,n) = Bn [ 1 +
]
n 1
бу ерда
n
Г( )
2
Bn =
 (n  1) Г (
n 1
)
2
Стьюдент тақсимоти п параметр - танланма ҳажми билан (яъни озодлик
даражалари сони к=п-1 билан) аниқланишини, а ва  параметрларга эса
боғлиқмаслигини кўриб турибмиз (бу хусусият унинг афзаллигидир). S(t,n)
функция t бўйича жуфт бўлгани учун
X a

s
n
Тенгсизликнинг рўй бериш эҳтимоли бундай аниқланади:
25


X a
P 
 t
s

n



t
  2 S (t , n)dt   .
0



Эслатма: Қавс ичидаги тенгсизликни унга тенг кучли қўш тенгсизлик билан
алмаштириб,
Р(Х - t 
S
n
ни ҳосил қиламиз.
Шундай
қилиб, Стьюдент
параметрни у ишончлилик
билан
< a < X+ t 
S
n
тақсимотидан
)
фойдаланиб, номаълум а
қоплайдиган Х - t 
S
n
< a < X+ t 
S
n
ишончли оралиқни топдик. Бу ерда Х ва S тасодифий миқдорлар танланма
бўйича топилган тасодифий бўлмаган 1 ва 5 миқдорлар билан алмаштирилган.
Жадвал бўйича (3-илова) берилган п ва  бўйича t  ни топиш мумкин.
Мисол. Бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган. п = 16 ҳажмли
танланма бўйича х = 20,2 танланма ўртача қиймат ва 5=0,8 «тузатилган» ўртача
квадратик четланиш топилган. Номаълум математик кутилишни 0,95
ишончлилик билан ишончли оралиқ ёрдамида баҳоланг.
Ечиш. t  ни топамиз. Жадвалдан фойдаланиб (5- илова) у = 0,95 ва п = 16
бўйича t  = 2,13 ни топамиз.
Ишончли чегараларни топамиз:
х - t
х + t
S
n
S
n
=20,2 - 2.13
=20,2 + 2.13
0,8
16
0,8
16
=19,774.
=20,626.
Шундай қилиб, а номаълум параметр 0,95 ишончлилик билан 19,77 < а <
20,626 ишончли оралиқда ётади.
Лекин қуйидагини таъкидлаб ўтиш айниқса муҳим: кичик танланмаларда (n <
30), айниқса, п нинг кичик қийматларида тақсимотни нормал тақсимотга
алмаштириш қўпол хатоларга, чунончи, ишончли оралиқни асоссиз торайишига,
яъни баҳо аниқлигининг ортишига олиб келади. Масалан, агар п=5 ва  =0,99
бўлса, у ҳолда Стьюдент тақсимотидан фойдаланиб, t  =4,6 ни, Лаплас
функциясидан фойдаланиб эса t  =2,58 ни топамиз, демак, кейинги ҳолда
ишончли оралиқ Стьюдент тақсимоти бўйича топилган оралиқдан торроқ бўлиб
чикди.
Стьюдент тақсимоти танланма кичик бўлганда унча аниқ бўлмаган
натижалар бериш ҳолати Стьюдент тақсимотининг кучсизлигидан дарак
26
бермасдан, балки кичик танланма бизни қизиқтираётган белги ҳақида кам
информацияга эгалиги билан тушунтирилади.
Тушунтириш. Илгари кўрсатилган эдики, Z нормал миқдор, шу билан бирга М
(Z) = 0,  Z   1 бўлиб, V эса Z га боғлиқ бўлмаган миқдор бўлиб, к озодлик
даражали  2 қонун бўйича тақсимланган бўлса, у ҳолда:
T=
Z
V
k
миқдор к эркинлик даражали Стьюдент қонун бўйича тақсимланган.
Бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган, шу билан бирга М(Х) =
а,   Х    бўлсин. Агар бу тўпламдан п ҳажмли танланмалар олиниб, улар
бўйича танланма ўртача қийматлар топиладиган бўлса, у ҳолда танланма
ўртача қиймат нормал тақсимланганлигини, шу билан бирга
М(ХТ) = а,  Х  

n
эканлигини исботлаш мумкин. У ҳолда
Z=
X a

n
тасодифий миқдор ҳам Хт
нормал
аргументнинг чизиқли функцияси
сифатида нормал тақсимотга эга , шу билан бирга M(Z) = 0,  Z   1 булади.
Z тасодифий миқдорга боғлиқ бўлмаган
V=
n  1S 2
2
(S2 - тузатилган танланма дисперсия) тасодифий миқдор к =п- 1 озодлик
даражали  2 қонун буйича тақсимланганлиги исбот қилинган.
Демак, (**) ва (***) ни (*) га қўйиб:
T=
X  a 
n
S
миқдорни ҳосил қиламиз, у k - п - 1 озодлик
бўйича тақсимланган.
даражали Стьюдент қонуни
Нормал тақсимотнинг ўртача квадратик четланиши  ни баҳолаш
учун ишончли оралиқлар
Бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган бўлсин. Бош ўртача
квадратик четланиш а ни «тузатилган» ўртача квадратик четланиш з оркали
баҳолаш
талаб килинади. о параметрни берилган у ишончлилик билан
қоплайдиганан ишончли оралиқларни топишни ўз олдимнзга мақсад қилиб
қўяйлик. Қуйидаги
Р(   s <  = 
ёки
Р(s -  <  < s +  ) = 
муносабат бажарилишини талаб қилайлик.
27
Тайёр жадвалдан фойдаланиш мумкин бўлиши учун ушбу s -  <  <s + 
қўш тенгсизликни унга тенг кучли:


s 1   <  < s1  

тенгсизликка алмаштирамиз.
s

s

 q деб,
s
s(1 - q) <  < s(1 +q)
ни ҳосил қиламиз. Энди q ни топиш қолди. Шу мақсадда ушбу «хи» тасодифий
миқдорни киритамиз:

s
n 1

бу ерда п - танланма ҳажми.
s n  1
2
Олдин кўрсатилгани
бўйича
муносабат

2
миқдор  2 қонун
бўйича тақсимланган, шу сабабли ундан олинган квадрат илдиз  орқали
белгиланади.
X тақсимотнинг дифференциал функцияси қуйидаги кўринишга эга (шу
параграф охиридаги тушунтиришга қаранг):

R  , n  
2
n2
2
n2


2
2
 n 1
Г

 2 
.
Кўриб турганимиздек, бу тақсимот баҳоланаётган  параметрга боғлиқ
бўлмасдан, балки танланма ҳажми п гагина боғлиқ.
(*) тенгсизликни у  1 <    2 кўринишни оладиган қилиб ўзгартирамиз. Бу
тенгсизликнинг эҳтимоли берилган  эҳтимолга тенг, яъни:
2
 R , nd   .
1
q < 1 деб фараз қилиб, (*) тенгсизликни бундай ёзамиз:
1
1
1
< <
.
S (1  q)  S (1  q)
Бу тенгсизликнинг барча хадларини S n  1 га кўпайтириб, қуйидагини
ҳосил қиламиз:
n 1 S n 1 n 1
<
1 q

1 q
ёки
n 1
n 1
< <
.
1 q
1 q
Бу тенгсизлик, бинобарин, унга тенг кучли (*) тенгсизликнинг бажарилиш
эҳтимоли
28
n 1
.
1 q
 R(  , n)d  
n 1
1 q
га тенг. Бу тенгламадан берилган п ва  бўйича q ни топиш мумкин. q ни амалда
топишда жадвалдан фойдаланилади (4-илова).
s ни танланма бўйича ва q ни жадвал бўйича топиб,  ни берилган 
ишончлилик билан қоплайдиган ишончли оралиқни
s(1-q) <  < s(1+q)
топамиз.
Мисол. Бош тўпламнинг X сон белгиси нормал тақсимланган. п = 25
ҳажмли танланма бўйича «тузатилган» ўртача квадратик четланиш s = 0,8
топилган. Бош ўртача квадратик четланиш  ни 0,95 ишончлилик билан
қоплайдиган ишончли оралиқни топинг.
Ечиш. Жадвалдан (4-илова)  = 0,95 ва п = 25 маълумотлар бўйича q=
0,32 ни топамиз. Изланаётган (*) ишончли оралиқ бундай:
0,8(1 - 0,32) <  < 0,8(1 + 0,32)
ёки
0,544<  < 1,056.
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1.Нуқтавий баҳога таъриф беринг.
2.Оралиқ баҳога таъриф беринг.
3.Ишончли оралиқга таъриф беринг.
4.Ишончли оралиқ тузиш қоидасини айтинг.
5. Нормал тақсимотнинг дисперсияси маълум бўлганда математик
кутилишини баҳолаш учун ишончли оралиқлар ёзинг.
6. Нормал тақсимотнинг дисперсияси номаълум бўлганда математик
кутилишини баҳолаш учун ишончли оралиқлар ёзинг.
7.Нормал тақсимотнинг ўртача квадратик четланишини баҳолаш учун ишончли
оралиқларни ёзинг.
8. к =п- 1 озодлик даражали  2 тақсимотга таъриф беринг.
Масалалар
1. Қуйидаги иккита гуруҳдан иборат тўпламнинг гуруҳий ўртача қийматини
топинг:
биринчи гурух: х1 0,1 0,4 0,6
ni 3
2
5;
иккинчи гурух: х1 0,1 0,3 0,4
п1 10
4
6.
Жавоби: х1 =0,41; х2 = 0,23.
29
2. 1-масала маълумотлари бўйича умумий ўртача қийматни ушбу иккита усул
билан топинг: а) иккала гуруҳни битта тўпламга бирлаштиринг; б) 1-масалада
топилган гуруҳий ўртача қийматлардан фойдаланинг.
Жавоби: х = 0,29.
3.Танланманинг статистик тақсимоти берилган:
хi 1 4 5
ni 6 11 3.
Четлананишларнинг тегишли частоталарга кўпайтмалари йиғиндиси нолга тенг
эканлигига ишонч ҳосил қилинг.
4. Статистик тўплам тақсимоти берилган:
хi 4
7 10 15
ni 10 15 20
5.
Тўпламнинг дисперсиясини: а) дисперсия таърифидан фойдаланиб, б) s2 =
2.
Жавоби: D = 9,84.
х 2 - х  формуладан фойдаланиб топинг.
5. Қуйидаги учта гурухдан иборат тўпламнинг гурух, гурухларароо ва умумий
дисперсияларини топинг.
биринчи гурух: хi
1 2 8
ni
30 15 5
иккинчи гурух:
хi
1 6
ni 10 15
учинчи гурух:
хi 3
8
ni 20 5
Жавоби: Dгр.ичи=4,6; Dгр.аро=1; Dум=5,6.
6. Қуйидаги иккита гуруҳдан иборат тўпламнинг гуруҳичи, гуруҳаро ва умумий
дисперсияларини топинг:
биринчи гурух
хi 2 7
ni 6 4;
иккинчи гурух
хi 2 7
ni 2 8.
Жавоби: Dгр.ичи=5;Dгр.аро=6;
7. Ушбу танланма маълумотлари бўйича тузилган вариацион қаторнииг
танланма ва тузатилган дисперсияларини топинг:
варианта 1 2 5 8 9
частота 3 4 6 4 3.
Жавоби:  Т2  8,4; s2=8,84
8-9 масалаларда нормал тақсимотининг белги танланмасининг ўртача
квадратик четланиши, ўртача танланма қиймати ва ҳажми берилган. Номаълум
математик кутулиши берилган ишончилик билан баҳолаш учун ишончли
оралиқни топинг.
8.  = 2, х т = 5, 40, n = 10,  =0, 95.
Жавоби: 4,16<a<6,64.
9.  = 3, х т =20, 12, n = 25,  =0, 99
Жавоби: 18,57<a<21,67.
10. Нормал тақсимланган белги математик кутилишининг танланма ўртача
қиймат бўйича баҳосининг y = 0,95 ишончилик, билан аниқлиги 0, 2 га тенг
бўладиган танланманинг минимал ҳажмини топинг. Ўртача
квадратик
30
четланиш 2 га тенг.
Жавоби: n=385
11 – 12 – масалаларда нормал тақсимланган белгининг “тузатилган” ўртача
квадратик четланиши, танланма ўртача қиймати ва кичик танланмасининг
ҳажми берилган. Стьюдент тақсимотидан фойдаланиб, номаълум математик
кутилишни берилган ишончлилик билан баҳолаш учун ишончли оралиқларни
топинг.
11. s = 1, 5, х т = 16, 8, n = 12,  =0, 95.
Жавоби: 15,85<a<17,75.
12. s = 2, 4 х т = 14, 2, n = 9,  =0, 99.
Жавоби: 11,512<a<16,888.
5-маъруза.
Корреляция назарияси элементлари.
Режа.
1. Функционал, статистик ва корреляцион боғланишлар.
2. Шартли ўртача қийматлар. Корреляцион боғлиқлик.
3. Корреляция назариясининг икки асосий масалас. Корреляцион жадвал.
Калитли сўзлар: Функционал боғланиш, статистик боғланиш,
боғланиш, корреляцион жадвал, шартли ўртача қиймат,
корреляцион
Функционал, статистик ва корреляцион боғланишлар.
Кўп масалаларда ўрганилаётган Y тасодифий микдорнииг битта ёки бир
нечта бошқа микдорларга боғлиқлигини аниқлаш ва баҳолаш талаб қилинади.
Аввал Y нинг битта тасодифий (ёки тасодифий бўлмаган) X миқдорга, кейин эса
бир нечта микдорга боғлиқлигини текширамиз.
Иккита тасодифий миқдор функционал боғланиш билан, ё статистик деб
аталадиган бошқа тур боғланиш билан боғланган бўлиши, ёки ўзаро
боғланмаган бўлиши мумкин.
Қатъий функционал боғланиш кам бўлади, чунки иккала микдор ёки
уларнинг бири бошқа тасодифий факторларнинг таъсирига дучор бўлади, шу
билан бирга бу факторлар орасида иккала миқдор учун ҳам умумий бўлганлари
(умумий дейилганда бу ерда ҳам Y га, ҳам X га таъсир кўрсатадиган факторлар
тушунилади) бўлиши мумкин. Бу ҳолда статистик боғланиш юзага келади.
Масалан, Y
Z1, Z2, V1, V2
тасодифий факторларга боғлик, X эса
Z1 Z2, U1
тасодофий факторларга боғлиқ бўлса, у ҳолда Y ва X орасида статистик
боғланиш мавжуд, чунки тасодифий факторлар орасида умумийлари Z1 ва Z2
бор.
Статистик боғланиш деб шундай боғланишга айтиладики, ундаги
микдорлардан бирининг ўзгариши иккинчисининг тақсимоти ўзгаришига олиб
31
келади. Хусусан, статистик боғлиқлик миқдорлардан бирининг ўзгариши
иккинчисининг ўртача қийматини ўзгаришида кўринади; бу ҳолда статистик
боғланиш корреляцион боғланиш деб аталади.
X тасодифий миқдор билан функционал эмас, балки корреляцион
боғланган Y тасодифий микдорга мисол келтирамиз. Айтайлик, Y дон ҳосили, X
- ўғитлар микдори бўлсин. Майдони бир хил бўлган участкалардан бир хил
микдорда ўғит солинганда ҳам ҳар хил ҳосил олинади, яъни Y микдор X
микдорнинг функцияси эмас. Бу тасодифий факторлар (ёғингарчилик, ҳаво
температураси ва бошқалар) таъсири билан тушунтирилади. Шунга қарамасдан,
тажриба кўрсатадики, ўртача ҳосил ўғитлар микдорининг функциясидир, яъни Y
микдор X билан корреляцион боғланиш билан боғланган.
Шартли ўртача қийматлар. Корреляцион боғлиқлик
Корреляцион боғлиқлик таърифини аниқлаштирамиз, бунинг учун шартли
ўртача қиймат тушунчасини киритамиз. Айтайлик, Y тасодифий миқдор ва X
тасодифий миқдор орасидаги боғланиш ўрганилаётган бўлсин. X нинг ҳар бир
қийматига Y нинг бир нечта қиймати мос келсин. Масалан, х1= 2 да Y микдор у1
= 5, у2 = 6, у3 = 10 қийматлар олган бўлсин. Бу сонларнинг арифметик ўртача
қийматини топамиз:
у2 =
5  6  10
 7.
3
у2 сон шартли ўртача қиймат дейилади; у ҳарфи устидаги чизиқча
арифметик ўртача қиймат белгиси бўлиб хизмат қилади, 2 сони эса Y нинг х1 = 2
га мос қийматлари қаралаётганини кўрсатади.
Олдинги параграфдаги мисолга нисбатан олганда, бу маълумотларни
бундай талқин қилиш мумкин: учта бир хил участканинг ҳар бирига 4
бирликдан ўғит солинди ва мос равишда 5, 6 ва 10 бирликдан дон олинди;
ўртача ҳосил 7 бирлик бўлади.
Шартли ўртача қиймат ух деб Y нинг X=х қийматга мос қийматларининг
арифметик ўртача қийматига айтилади.
Агар ҳар бир х қийматга шартли ўртача қийматнинг битта қиймати мос
келса, у ҳолда, равшанки, шартли ўртача квадрат х нинг функциясидир; бу
ҳолда: Y тасодифий микдор X микдорга корреляцион боғлиқ дейилади.
Y нинг X га корреляцион боғлиқлиги деб, ух шартли ўртача қийматнинг х
га функционал боғликлигига айтилади:
ух = f (x).
(*)
(*) тенглама Y нинг X га регрессия тенгламаси дейилади; f (x) функция Y нинг
X га регрессияси, у нинг графиги эса Y нинг X га регрессия чизиғи дейилади.
ху шартли ўртача қиймат ва X нинг Y га корреляцион боғлиқдиги шунга
ўхшаш аниқланади.
ху шартли ўртача қиймат деб, X нинг Y = у га мос қийматларининг
арифметик ўртача қийматига айтилади.
X нинг Y га корреляцион боғлиқлиги деб, ху шартли ўртача қийматнинг у
га боғлиқлигига айтилади:
32
ух =  (у).
(**)
(**) тенглама X нинг Y га регрессия тенгламаси дейилади;  (у) функция
X нинг Y га регрессияси, унинг графиги эса X нинг Y га регрессия чизиғи
дейилади.
Корреляция назариясининг икки асосий масаласи
Корреляция назариясининг биринчи масаласи корреляцион боғланиш
формасини аниқлаш, яъни регрессия функциясининг кўринишини (чизиқли,
квадратик, кўрсаткичли ва х. к.) топиш. Регрессия функциялари кўпчилик
ҳолларда чизиқли бўлади. Агар f (х) ва  (у) регрессия функция-ларининг
иккаласи ҳам чизиқли бўлса, у ҳолда корреляция чизиқли, акс ҳолда эса
ночизиқли дейилади. Равшанки, чизиқли корреляцияда иккала регрессия чизиғи
ҳам тўғри чизиқлардир.
Корреляция назариясининг иккинчи масаласи - корреляцион боғланишнинг
зичлигини (кучини) аниқлашдир. Y нинг X га корреляцион боғлиқлигининг
зичлиги Y нинг қийматларини ук шартли ўртача қиймат атрофида
тарқоқлигининг катталиги бўйича баҳоланади. Кўп тарқоқлик Y нинг X га
кучсиз боғликлигидан, ёки боғлиқлик йўқлигидан дарак беради. Кам тарқоқлик
анча кучли боғлиқлик борлигини кўрсатади; бу ҳолда Y ва X хатто функционал
боғланган, лекин иккинчи даражали тасодифий факторлар таъсирида бу
боғланиш кучсизланган, бунинг натижасида эса X нинг битта қийматида Y
турли қийматлар қабул қилиши мумкин.
X нинг Y га корреляцион боғланишининг зичлиги шунга ўхшаш (X нинг
қийматларини ху шартли ўртача қиймат атрофида тарқоқлиги бўйича)
аниқланади.
Кузатишлар сони катта бўлганда битта х қийматнинг ўзи пх марта, битта у
қийматнинг ўзи п марта, сон жуфти (х, у) нинг битта ўзи пху марта учраши
мумкин. Шу сабабли кузатиш маълумотлари гуруҳланади, яъни пх , пу ва пху
частоталар ҳисобланади. Барча гуруҳланган маълумотлар жадвал кўринишида
ёзилиб, у корреляцион жадвал дейилади.
Корреляцион жадвалнинг тузилишини мисол орқали тушунтирамиз (2жадвал).
2-ж ад в а л
X
10
20
30
40
пу
Y
0,4
5
7
14
26
0,6
0,8
пх
-
2
6
4
12
3
19
-
-
22
8
21
13
18
п=60
33
Жадвалнинг биринчи сатрида X белгининг кузатилган қийматлари (10; 20;
30; 40), биринчи устунида эса Y белгининг кузатилган қийматлари (0,4; 0,6; 0,8)
кўрсатилган. Сатрлар ва устунларнинг кесишишида белгиларнинг кузатилган
қийматлари жуфтларининг пху частоталари ёзилган. Масалан, 5 частота (10; 0,4)
сон жуфти 5 марта кузатилганини билдиради. Ҳамма частоталар томонлари
йўғон қора чизиқ бўлган тўғри тўртбурчакка жойлаштирилган. Ундаги чизиқча
тегишли сон жуфти, масалан, (20; 0,4) кузатилмаганини англатади.
Сўнгги устунда барча сатрлардаги частоталар йиғиндилари ёзилган.
Масалан, йўғон томонли тўғри тўртбурчакнинг биринчи сатридаги частоталар
йиғиндиси пу = 5+1+7+14 = 26; бу сон Y белгининг 0,4 га тенг қиймати (X
белгининг турли қийматлари билан биргаликда) 26 марта кузатилганини
англатади.
Сўнгги сатрда устунлардаги частоталарнинг йиғиндиларилари ёзилган.
Масалан, 8 сони X белгининг 10 га тенг қиймати (Y белгининг турли
қийматлари билан биргаликда) 8 марта кузатилганини кўрсатади.
Жадвалнинг пастки ўнг бурчагида жойлашган катакка барча частоталар
йиғиндиси
(жами кузатишлар сони п ёзилган. Равшанки,  nx   n y  n.
Бизнинг мисолда
n
= 8 + 21 + 13+ 18 = 60
32
 n y = 26 + 12 + 22 = 60.
ва
1.
2.
3.
4.
5.
6.
x
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
Функционал боғланиш деб қандай боғланишга айтилади?
Cтатистик боғланишга таъриф беринг.
Корреляцион боғланишга таъриф беринг.
Шартли ўртача қийматларга таъриф беринг.
Корреляцион жадвалнинг тузилишини мисол орқали тушунтиринг.
Корреляция назариясининг икки асосий масаласини тушунтириб беринг.
6-маъруза
Регрессия чизиғи ва регрессия тенгламаси
Режа.
1. Чизиқли регрессия тенгламасини топишда энг кичик квадратлар
усули.
2. Регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламасини гуруҳланган
маълумотлар бўйича топиш.
3.Танланма корреляция коэффициенти.
Калитли сўзлар: Чизиқли регрессия, регрессия тенгламаси, энг кичик квадратлар
усули, гуруҳланган маълумотлар, танланма корреляция коэффициенти.
34
Чизиқли регрессия тенгламасини топишда энг кичик квадратлар усули.
Айтайлик, Х ва У сон белгилар чизиқли корреляцион боғланиш билан
боғланган бўлсин. Бу ҳолда иккала регрессия чизиғи ҳам тўғри чизиқлар бўлади.
Фараз қилайлик, бу тўғри чизиқларнинг тенгламаларини топиш учун n та синов
ўтказилган бўлиб, натижада ni та сон жуфти топилган бўлсин:
х1 , у1 , х2 , у2 ,...., хn , уn .
Кузатилаётган сон жуфтларини (Х, У) тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган
барча қийматлари бош тўпламидан олинган тасодифий танланма сифатида
қараш мумкин бўлгани учун бу маълумотлар бўйича топилган катталиклар ва
тенгламаларга танланма номи қўшилади.
Аниқлик учун, Y нинг Х га регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламасини
излаймиз.
Энг содда ҳолни қарайлик: Х белгининг турли х қийматлари ва Y белгининг
уларга моc y қийматлари бир мартадан кузатилган бўлсин. Бундай
маълумотларни группалашнинг зарурати йўқ. Шунингдек, шартли ўртача
қийматдан фойдаланишга ҳам ҳожат йўқ, шунинг учун изланаётган
у х = kx+b
тенгламани бундай ёзиш мумкин:
Y=kx+b.
Y нинг Х га регрессия тўғри чизиғининг бурчак коэффициентини Y нинг Х га
танланма регрессия коэффициенти дейиш ва уни рух орқали белгилаш қабул
қилинган.
Шундай қилиб, Y нинг Х га регрессия тўғри чизиғининг
Y   ух х  b
(*)
кўринишдаги танланма тенгламасини излаймиз.
Ўз олдимизга рух ва b параметрларни шундай танлашни вазифа қилиб
қўяйликки, кузатиш маълумотлари бўйича XOY текисликда ясалган
х1 , у1 , х2 , у2 ,...., хn , уn  нуқталар иложи борича (*) тўғри чизиқ яқинида
ётсин.
Бу талабнинг маъносини аниқлаштирамиз. Ушбу
Yi- yi
(i=1,2,….n)
айирмани четланиш деб атаймиз, бу ерда Yi-(*) тенглама бўйича ҳисобланган ва
кузатилаётган хi қийматга мос ордината, Yi эса хi га мос кузатилаётган ордината.
 ух ва b параметрларни четланишларнинг квадратлари йиғиндиси минимал
бўладиган қилиб танлаймиз (энг кичик квадратлар методининг мазмуни шундан
иборат).
35
Ҳар бир четланиш изланаётган параметрларга боғлиқ бўлгани учун
четланишларнинг квадратлари йиғиндиси ҳам бу параметрларнинг F функцияси
бўлади (  ух ўрнига вақтинча  ёзамиз):
n
F  , b    Yi  y i 
2
i 1
ёки
n
F  , b    xi  b  yi  .
2
i 1
Минимумни излаш учун тегишли хусусий ҳосилаларни нолга тенглаймиз:
n
F
 2 xi  b  y i xi  0 ;

i 1
n
F
 2 xi  b  y i   0.
b
i 1
Элементар алмаштиришлар бажариб,  ва b га нисбатан иккита чизиқли
тенглама ҳосил қиламиз:
(**)
 x 2    x b   xy; ( х)  nb   y
Бу системани ечиб, изланаётган параметрларни топамиз:

 

у 
n xy   x   y
n x 2  ( x) 2
 x   y   x   xy .
b
n x  ( x)
;
2
2
2
(***)
Х нинг Y га регрессия тўғри чизиғининг
х у   ху х  С
танланма тенгламасини шунга ўхшаш топиш мумкин, бу ерда  ху сон Х нинг Y
га танланма регрессия коэффициенти.
Мисол. Y нинг Х га регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламасини
n=5 та кузатиш маълумотлари бўйича топинг.
х
1,00 1,50 3,00 4,50 5,00
у
1,25 1,40 1,50 1,75 2,25
Ечиш: 3- ҳисоблаш жадвалини тузамиз.
3 – жадвал
2
хi
xi
yi
xi ∙ yi
36
1,00
1,50
3,00
4,50
5,00
х
i
 15
1,25
1,40
1,50
1,75
2,25
y
i
1,00
2,25
9,00
20,25
25,00
x
 8,15
2
i
 57,50
1,250
2,100
4,500
4,875
11,250
x y
i
i
 26,975
Изланаётган параметрларнитопамиз, бунинг учун жадвал бўйича ҳисобланган
йиғиндиларни (***) муносабатларга қўямиз:
 ух = 5  26,975  15 28,15  0,202;
5  57,5  15
57,5  8,15  15  26,975
b
 1,024.
62,5
Изланаётган регрессия тенгламасини ёзамиз:
Y = 0,202х + 1,024.
Бу тенглама бўйича ҳисобланган Yi қийматлар кузатилган уi қийматлар билан
қанчалик яхши мос келиши ҳақида тасаввур ҳосил қилиш учун Yi - уi
четланишларни топамиз. Ҳисоблаш натижалари 4 – жадвалда келтирилган.
4 – жадвал
yi
xi
Yi
Yi - yi
1,00
1,226
1,25
-0,024
1,50
1,327
1,40
-0,073
3,00
1,630
1,50
0,130
4,50
1,933
1,75
0,083
5,00
2,034
2,25
-0,216
Жадвалдан кўринишича, четланишларнинг ҳаммаси ҳам етарлича кичик эмас.
Бу кузатишлар сонининг кичиклиги билан изоҳланади.
Регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламасини гуруҳланган
маълумотлар бўйича топиш.
Юқорида Y нинг X га регрессия тўғри чизиғининг параметрларини аниқлаш
учун ушбу тенгламалар системаси ҳосил қилинган эди:
 х    хb   xy
 x  nb   y.
2
ух
yx
X нинг қийматлари ва Y нинг уларга мос қийматлари бир мартадан
кузатилган деб фараз қилинган эди. Энди эса кўп сонли маълумотлар олинган
(изланаётган параметрларни амалда қониқарли баҳолаш учун камида 50 та
кузатиш ўтказилиши лозим), улар орасида такрорланадиганлари бор ва улар
корреляцион жадвал кўринишида гуруҳланган деб фараз қилайлик. (*)
37
системани у корреляцион жадвал маълумотларини акс эттирадиган қилиб
ёзамиз. Ушбу айниятлардан фойдаланамиз:
 x  nx
(x 
x
 y  ny
(y 
y
x
 xy   n
xy
2
 nx
2
(x
2
n
n
x

нинг натижаси);
нинг натижаси);
2
нинг натижаси);
n
xy(( x, y) сон жуфти пху марта кузатилганлиги хисобга олинган).
Бу айниятларнинг ўнг томонларини (*) системага қўйиб ва иккинчи
тенгламанинг иккала томонини п га қисқартириб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(nx2)  ух  nxb   nxy xy,
(**)
(x)  yx  b  y.
Бу системани ечиб,  ух ва b параметрларни, демак, изланаётган тенгламани
ҳосил қиламиз:
ух   ху х  b.
Лекин
янги
катталик - корреляция
коэффициентини киритиб,
регрессия тенгламасини бошқача кўринишда ёзиш мақсадга мувофиқдир. Буни
бажарайлик.
(**) нинг иккинчи тенгламасидан b ни топамиз:
b= y-  yx x.
Бу тенгламанинг ўнг томонини ух =  yx x  b тенгламага қўйиб,
yx – y=  ух х  х 
(***)
ни ҳосил қиламиз. (*) системадан, х2 - (х)2 =  2 х эканлигини ҳисобга олиб,
регрессия коэффициентини топамиз:
 ух 
n

xy
xy  nxy
n x 2  x 
2

38

n
xy
xy  nxy
n
2
x
.
Бу тенгликнинг иккала томонини
 yx 
х
касрга кўпайтирамиз:
у
x

y
n
xy
xy  nxy
n x y
.
Бу тенгликнинг ўнг томонини rT орқали белгилаймиз ва уни танланма
корреляция коэффициенти деб атаймиз:
 ух
х
 rT
у
ёки
 ух  rT
y
.
x
Бу тенгликнинг ўнг томонини (***) га қўйиб, Y нинг X га регрессия тўғри
чизиғи танланма тенгламасини ушбу
yx-y=rT
кўринишда ҳосил қиламиз.
у
( х  х)
х
Назорат саволлари.
1.Энг кичик квадратлар усулини мохиятини тушунтириб беринг.
2.Регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламаси параметрларини
гуруҳланмаган маълумотлар бўйича ёзинг.
3. Танланма корреляция коэффициентига таъриф беринг.
4.Регрессия тўғри чизиғининг танланма тенгламаси
параметрларини
гуруҳланган маълумотлар бўйича ёзинг.
7-маъруза
Статистик тахминлар. Асосий тушунчалар
Режа.
1. Статистик тахмин. Ноль ва конкурент, оддий ва мураккаб тахминлар.
2. Биринчи ва иккинчи тур хатолар.
3. Нолинчи тахминни текширишнинг статистик критерийси.
Критерийнинг кузатиладиган қиймати.
4. Критик соҳа. Тахминнинг қабул қилиниш соҳаси. Критик нуқталар.
Калитли сўзлар: Статистик тахмин, нолинчи тахмин, конкурент тахмин,
мураккаб тахмин, биринчи тур хатолик, иккинчи тур хатолик, критик соҳа,
тахминнинг қабул қилиниш соҳаси, критик нуқталар.
Статистик тахмин. Ноль ва конкурент, оддий ва мураккаб тахминлар.
Кўпинча бош тўплам тақсимот қонунини билиш зарур бўлади. Агар
тақсимот қонуни номаълум, лекин у тайин кўринишга (уни А деб атаймиз) эга
39
деб тахмин қилишга асос бор бўлса, у ҳолда қуйидаги тахмин (тахмин) илгари
сурилади; бош тўплам А қонун бўйича тақсимланган. Шундай қилиб, бу
тахминда гап тахмин қилинаётган тақсимотнинг кўриниши ҳақида бормоқда.
Тақсимот қонуни маълум, унинг параметрлари эса номаълум бўлган ҳол
бўлиши мумкин. Агар  номаълум параметр тайин  0 қийматга тенг деб
тахмин қилишга асос бор бўлса, у ҳолда ушбу тахмин олға сурилади:  =  0 .
Шундай қилиб, тахминда гап маълум тақсимот параметрининг тахмин
қилинаётган катталиги ҳақида бормоқда.
Икки ёки бир неча тақсимот параметрларининг тенглиги, тўпламларнинг
эрклилиги ҳақида ва бошқа кўп тахминлар ҳам бўлиши мумкин.
Статистик тахмин деб, номаълум тақсимотнинг кўриниши ҳақида ёки
маълум тақсимотларнинг параметрлари ҳақидаги тахминга айтилади.
Масалан, қуйидаги тахминлар статистик тахмин бўлади:
1) бош тўплам Пуассон қонуни бўйича тақсимланган;
2) иккита нормал тўпламнинг дисперсиялари ўзаро тенг. Биринчи
тахминда номаълум тақсимотнинг кўриниши ҳақида, иккинчисида иккита
маълум тақсимотнинг параметрлари ҳақида тахмин қилинган.
«1980 йилда уруш бўлмайди» каби тахмин статистик тахмин эмас, чунки
унда тақсимотнинг на кўриниши ҳақида, на параметрлари ҳақида сўз боради.
Олға сурилган тахмин билан бир вақтда унга зид тахмин ҳам қаралади.
Агар олға сурилган тахмин рад қилинса, у ҳолда зид тахмин ўринли бўлади. Шу
сабабли бу тахминларни бир-:биридан фарқ қилиш мақсадга мувофиқдир.
Нолинчи (асосий) тахмин деб, олға сурилган Н0 тахминга айтилади.
Конкурент (альтернатив) тахмин деб, нолинчи тахминга зид бўлган Н1
тахминга айтилади.
Масалан, нолинчи тахмин нормал тақсимотнинг а математик кутилиши 10
га тенг деган тахминдан иборат бўлса, у ҳолда конкурент тахмин жумладан,
а  10 деган тахминдан иборат бўлиши мумкин. Бу қисқача бундай ёзилади:
Н0 : а= 10; Н1 : а  10.
Фақат битта ва биттадан ортиқ тахминларни ўз ичига олган тахминлар
бир-биридан фарқ қилинади.
Оддий тахмин деб, фақат битта тахминни ўз ичига олган тахминга
айтилади. Масалан, агар  кўрсаткичли тақсимотнинг параметри бўлса, у ҳолда
Н0 :  =5 тахмин оддий. Н0: нормал тақсимотнинг математик кутилиши 3 га тенг
(   маълум) тахмин- оддий.
Мураккаб тахмин деб, чекли ёки чексиз сондаги оддий тахминлардан
иборат тахминларга айтилади. Масалан, Н:  > 5 мураккаб тахмин ушбу Н1: = b1
(бу ерда bi 5 дан катта исталган сон) кўринишдаги оддий тахминларнинг чексиз
кўп тўпламидан иборат. Н0: нормал тақсимотнинг математик кутилиши 3 га тенг
(  - номаълум) тахмин мураккаб тахминдир.
Олға сурилган тахмин тўғри ёки нотўғри бўлиши мумкин, шу туфайли уни
текшириш зарурати туғилади. Текшириш статистик методлар билан
40
бажарилгани сабабли, уни ҳам статистик текшириш дейилади. Тахминни
статистик текшириш натижасида икки ҳолда нотўғри қарорга келиниши, яъни
икки турдаги хатога йўл қўйилиши мумкин.
Биринчи тур хато шундаи иборатки, бунда тўғри тахмин рад қилинади.
Иккинчи тур хато шундан иборатки, бунда нотўғри тахмин қабул
қилинади.
Бу хатоларнинг оқибатлари ҳар хил бўлиши мумкинлигини қайд қилиб
ўтамиз. Масалан, «бинони қуриш давом эттирилсин» деган тўғри қарор рад
этилган бўлса, у ҳолда биринчи тур бу хато моддий зарарга олиб келади; агар
бинонинг ағдарилиб тушиш хавфига қарамасдан «қурилиш давом эттирилсин»
деган қарор қабул қилинган бўлса, у ҳолда иккинчи тур бу хато кишиларнинг
ҳалокатига олиб келиши мумкин. Албатта, биринчи тур хато иккинчи тур хатога
қараганда оғирроқ оқибатларга олиб келадиган мисоллар ҳам келтириш мумкин.
1- эслатма. Тўғри қарор ҳам икки ҳолда қабул қилиниши мумкин:
1) тахмин қабул қилинади, у аслида ҳам тўғри эди;
2 тахмин рад қилинади; у аслида ҳам нотўғри эди.
2- эслатма. Биринчи тур хатога йўл қўйиш эҳтимолини а орқали белгилаш
қабул қилинган; у қийматдорлик даражаси дейилади. Қийматдорлик даражаси
кўпинча 0,05 ёки 0,01 га тенг қилиб олинади. Агар, масалан, қийматдорлик
даражаси 0,05 га тенг қилиб олинадиган бўлса, у ҳолда бу юзта ҳолдан
бештасида биз биринчи тур хатога йўл қўйишимиз (тўғри тахминни рад
қилишимиз) мумкинлигини англатади.
Нолинчи тахминни текширишнинг статистик критерийси.
Критерийнинг кузатиладиган қиймати
Нолинчи тахминни текшириш мақсадида махсус танланган ва аниқ ёки
тақрибий тақсимоти маълум бўлган статистика (тасодифий миқдор)
ишлатилади. Бу миқдорни, агар у нормал тақсимланган бўлса, U ёки Z орқали,
Стъюдент қонуни бўйича тақсимланган бўлса, Т орқали, «хи квадрат» қонуни
2
бўйича тақсимланган бўлса,  орқали белгиланади ва х. к. Ушбу бўлимда
тақсимотнинг кўриниши эътиборга олинмагани учун бу микдорни, умумийлик
нуқтаи назаридан, К оркали белгилаймиз.
Статистик критерий (ёки оддийгина критерий) деб нолинчи тахминни
текшириш учун хизмат қиладиган К статистикага айтилади.
Масалан, иккита нормал тақсимланган бош тўплам дисперсияларининг
тенглиги ҳақидаги тахмин текширилаётган бўлса, у ҳолда К критерий сифатида
тузатилган танланма дисперсиялар нисбати олинади:
F=
S 21
.
S 22
Бу миқдор тасодифийдир, чунки турли тажрибаларда дисперсиялар ҳар хил,
олдиндан маълум бўлмаган қийматлар қабул қилади. У Фишер- Снедекор
қонуни бўйича тақсимланган.
41
Тахминни текшириш учун критерийга кирган миқдорларнинг хусусий
қийматлари танланмалардаги маълумотлар бўйича ҳисобланади ва шундай
қилиб, (кузатиладиган) қиймат ҳосил қилинади.
Кузатиладиган қиймат Ккузат. деб критерийнинг танланмалар бўйича
хисобланган қиймати белгиланади.
Масалан, нормал бош тўпламлардан олинган иккита танланма бўйича S2=
20 ва S2 = 5 тузатилган танланма дисперсиялар топилган бўлса, у ҳолда F
критерийнинг кузатиладиган қиймати:
Fкузат.=
S 21 20

 4.
5
S 22
Критик соҳа. Тахминнинг қабул қилиниш соҳаси. Критик нуқталар
Тегишли критерий танлангандан сўнг унинг мумкин бўлган барча
қийматлари тўплами иккита кесишмайдиган қисм тўпламга ажратилади:
улардан бири критерийнинг нолинчи тахмин қабул қилинадиган, иккинчиси эса
нолинчи тахмин қабул қилинадиган қийматларини ўз ичига олади.
Критик соҳа деб, критерийнинг нолинчи тахмин рад қилинадиган
қийматлари тўпламига айтилади.
Тахминнинг қабул қилиниш соҳаси (йўл қўйиладиган қийматлар соҳаси)
деб, критерийнинг тахмин қабул қилинадиган қийматлари тўпламига айтилади.
Статистик гипотезаларни текширишнинг асосий принципини бундай
таърифлаш мумкин: агар критерийнинг кузатиладиган қиймати критик соҳага
тегишли бўлса, тахмин рад қилинади, агар критерийнинг кузатилаётган
қиймати тахминнинг қабул қилиниш соҳасига тегишли бўлса, тахмин қабул
қилинади.
К критерий бир ўлчовли тасодифий миқдор бўлгаии учун унинг мумкин
бўлган барча қийматлари бирор оралиқга тегишли бўлади. Шу сабабли критик
соҳа ва тахминнинг қабул қилиниш соҳаси ҳам оралиқлар бўлади ва демак
уларни ажратиб турадиган нукталар мавжуд.
Критик нуқталар(чегаралар) ккр деб, критик соҳа тахминининг қабул
қилиниш соҳасидан ажратиб турадиган нуқталарга айтилади.
к
0 ккр
ккр
к
0
ккр 0
ккр
к
4-расм.
Бир томонлама (ўнг томонлама ва чап томонлама) ва икки томонлама
критик соҳалар фарқ қилинади.
42
Ўнг томонлама критик соҳа п деб, К>ккр
- тенгсизлик билан
аникланадиган критик соҳага айтилади, бу ерда ккр - мусбат сон.
Чап томонлама критик соҳа деб, К<к1, К>к2, тенгсизликлар билан
аниқланадиган критик соҳага айтилади, бу ерда ккр - манфий сон (23-б расм).
Бир томонлама критик соҳа деб, ўнг томонлама ёки чап томонлама
критик соҳага айтилади.
Икки томонлама критик соҳа деб, К<к1, К>к2 тенгсизликлар билан
аниқланадиган критик соҳага айтилади, бу ерда кг > к.
Хусусан, критик нукталар нолга нисбатан симметрик бўлса, у ҳолда икки
томонлама критик соҳа (ккр >0 деган фаразда).
К <-кк, К > ккр
тенгеизликлар ёки унга тенг кучли К > ккр тенгсизлик билан аниқланади .
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1. Статистик тахмин таърифини беринг ва унга мисоллар келтиринг?
2. Статистик тахминларнинг турларини айтинг?
3. Статистик критерий нима?
4. Қийматдорлик даражасини таърифланг?
5. Статистик тахминларни текширишнинг асосий қоидасини айтинг.
6. Критик соҳаларга таъриф беринг.
8-маъруза
Статистик тахминларни текшириш
Режа
1. Нормал тақсимот ўртача квадратик четланиши маълум бўлганда, унинг
ўрта қиймати ҳақидаги тахминни текшириш
2. Бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги ҳақидаги тахминни
текшириш.
3. К.Пирсоннинг  2 тасдиқлаш аломати.
Калитли сўзлар: Қийматдорлик даражаси, Z тасодифий миқдор, Н0 асосий
тахмин, тасдиқлаш аломати, Пирсоннинг  2 тасдиқлаш аломати, озодлик
даражалари
Нормал тақсимот ўртача квадратик четланиши маълум бўлганда,
унинг ўрта қиймати ҳақидаги тахминни текшириш.
Фараз қилайлик, бош тўплам α ва σ2 параметрли нормал тақсимотга эга
X  N ( ,  ) , бу ерда σ – маълум, α қийматдорлик даражаси бўйича H 0 : a  a0
тахминни текшириш керак. Алтернатив тахмин сифатида H 1 : a  a0 , H 1 : a  a0 ,
H1 : a  a0 тахминлардан бири олинган бўлсин.
Статистика сифатида қуйидаги тасодифий миқдор:
Z
43
xT  a0

n
олинади. Н0 тахмин тўғри бўлганда Z тасодифий миқдор стандарт нормал
тақсимотга (0 ва 1 параметрли) эга Z  N (0,1) .
Критик нуқтани адабиётларда келтирилган нормал тақсимот функция учун
иловаларда, ёки ЭХМ даги мавжуд дастурлар пакетидан фойдаланиб
топилади.
Агар алтернатив тахмин H1 : a  a0 кўринишда бўлса, у ҳолда қуйидаги
шартни бажарувчи чап томонлама критик соҳадан фойдаланамиз:
Ф(  z  )  
Жадвал фақат мусбат қийматлар учун берилган, шунинг учун:
Ф( x)  1  Ф( x)
формулани эътиборга олиб, z критик нуқтани :
Ф(z )  1  
тенгликдан топамиз, у ҳолда критик соҳа:
Z  Z
кўринишда бўлади.
Агар алтернатив тахмин H1 : a  a0 кўринишда бўлса, у ҳолда қуйидаги
шартни бажарувчи ўнг томонлама критик соҳа олинади:
P( Z  Z  )  
критиик
фойдаланилади:
Z
нуқтани
топиш
учун
асосан
қуйидаги
тенгликдан
P(Z  Z  )  Ф(Z  )  1  
бу ердан критик соҳа кўринишини топамиз:
Z  Z
Агар алтернатив тахмин H1 : a  a0 кўринишда бўлса, у ҳолда қуйидаги
шартни бажарувчи икки томонлама критик соҳа олинади:
P( Z  Z  )  
Нормал миқдор таърифига кўра
P( Z  Z  )  P( Z  Z  ) 

2
Шундай қилиб бу ҳолда критик соҳа Z  Z кўринишида бўлади.
Бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги ҳақидаги тахминни
текшириш. Пирсоннинг  2 тасдиқлаш аломати
Олдинги параграфларда бош тўпламнинг тақсимот қонуни маълум деб
фараз қилинган эди.
Агар тақсимот қонуни номаълум, лекин у тайин кўринишга эга (уни А деб
айтайлик) деб тахмин қилилишга асос бор бўлса, у ҳолда қуйидаги нолинчи
тахмин текширилади: бош тўплам А қонун бўйича тақсимланган.
Номаълум тақсимотнинг тахмин қилинаётган қонуни ҳақидаги тахминни
текшириш тақсимот параметрлари ҳақидаги тахминни текшириш каби, яъни
махсус танланган тасодифий миқдор - мувофиқлик критерийси ёрдамида
бажарилади.
44
Тасдиқлаш аломати деб, номаълум тақсимотнинг тахмин қилинаётган
қонуни ҳақидаги тахминни текшириш қоидасига айтилади.
Пирсоннинг  2 тасдиқлаш аломати, Колмогоров - Смирновнинг
тасдиқлаш аломати кабилар мавжуд.
Пирсон статистикасининг бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги
ҳақидаги тахминни текширишга қўлланилишини баён қиламиз (бу бошқа
тақсимотлар учун ҳам шунга ўхшаш қўлланилади, унинг устунлиги ҳам ана
шундадир). Шу мақсадда эмпирик (кузатиладиган) ва назарий (нормал тақсимот
деган тахминда хисобланган) частоталарни таққослаймиз.
Одатда эмпирик ва назарий частоталар ўзаро фарқ қилади. Масалан:
эмп. частоталар: 6 13 33 74 106 85 30 10 4
назарий частоталар: 3 14 42 82 99 76 37 11 2
Частоталарнинг фарқ қилиши тасодифийми? Фарқ тасодифий (муҳим
эмас) ва у кузатишлар сонининг кичиклиги, ёки уларнинг гуруҳлаш усули, ёки
бошқа сабаблар билан тушунтирилиши мумкин. Частоталарнинг фарқи
тасодифий эмас (муҳим) ва у назарий частоталар бош тўпламнинг нормал
тақсимланганлиги ҳақида нотўғри тахминга асосланиб ҳисобланганлиги билан
тушунтирилади.
Пирсоннинг тасдиқлаш аломати қўйилган саволга жавоб беради. Тўғри,
ҳар бир критерий каби, у ҳам тахминнинг ўринлилигини исботламайди, балки
берилган қийматдорлик даражасида тахминнинг кузатиш маълумотлари билан
мувофик, келиши ёки мувофик келмаслигини аниқлайди.
Шундай қилиб, п ҳажмли танланма бўйича ушбу эмпирик тақсимот ҳосил
қилинган бўлсин:
варианталар:
х 1 х1 хг
... хs
эмп. частоталар: п1 п1 п2 ...
ns
Айтайлик, бош тўплам нормал тақсимланган деган тахминда пi назарий
частоталар (масалан, навбатдаги параграфдаги каби) ҳисобланган бўлсин. 
қийматдорлик даражасида қуйидаги нолинчи тахминни текшириш талаб
қилинади: бош тўплам нормал тақсимланган.
Нолинчи тахминни текшириш критерийси сифатида
2  
( n i  mi ) 2
.
mi
(*)
тасодифий миқдорни қабул қиламиз. Бу миқдор тасодифий, чунки у турли
тажрибаларда ҳар хил, олдиндан маълум бўлмаган қийматлар қабул қилади.
Равшанки, эмпирик ва назарий частоталар қанча кам фарқ қилса,  2
критерийнинг катталиги ҳам шунча кичик ва демак, у маълум даражада эмпирик
ва назарий тақсимотларнинг яқинлиги ҳақида маьлумот беради.
Частоталар айирмаларини квадратларга кўтариш билан мусбат ва манфий
айирмаларнинг ўзаро йўқолиш имконияти йўқолишини айтиб ўтамиз. п1 га
бўлиш билан ҳар бир қўшилувчини камайтиришга эришилади: акс ҳолда
йиғинди шунчалик катта бўлиб қолар эдики, нолинчи тахминми хатто у тўғри
45
бўлганда ҳам рад этишга олиб келар эди. Албатта, бу мулоҳазалар танланган
критерийни асослаш эмас, тушунтиришдир.
Шу нарса исботланганки, п→∞ да тасодифий миқдорнинг (*) тақсимот
қонуни бош тўплам қайси тақсимот қонунига бўйсунганлигидан қатьий назар, к
озодлик даражали таксимот крнунига интилади. Шу сабабли, (*) тасодифий
микдор  2 оркали белгиланган, критерийнинг ўзи эса «хи квадрат» мувофиқлик
критерийси дейилади.
Озодлик даражалари сони к=s-1-r тенглик бўйича топилади, бу ерда s танланмадаги гуруҳлар (қисмий оралиқлар) сони, r - тахмин қилинаётган
тақсимотнинг танланма маълумотлари бўйича баҳоланган параметрлар сони.
Хусусан, тахмин қилинаётган тақсимот нормал бўлса, у ҳолда иккита
параметр (математик кутилиш ва ўртача квадратик четланиш) баҳоланади, шу
сабабли r = 2 ва озодлик даражалари сони:
k=s-1-r=s-1-2=s-3.
Агар бош тўплам, масалан, Пуассон қонуни бўйича тақсимланган деб
тахмин қилинаётган бўлса, у ҳолда битта  параметр баҳоланади ва шу сабабли
r = 1 ва к = s-2.
Бир томонлама критерий нолинчи тахминни икки томонлама критерийга
қараганда «қатъият билан» рад этгани учун қуйидаги талабга асосланиб, ўнг
томонлама критик соҳа қурамиз: критерийнинг бу соҳага тушиш эҳтимоли
нолинчи тахмин ўринли деган шартда қабул қилинган  қийматдорлик
даражасига тенг бўлсин:
Р[  2>  кр2 (  ;  )] = 
Шундай қилиб, ўнг томонлама критик соҳа:
 2>  кр (  ;  )
тенгсизлик билан, нолинчи тахминнинг қабул қилиниш соҳаси эса:
 2<  кр (  ;  )
тенгсизлик билан аниқланади.
Критерийнинг кузатиш маълумотлари бўйича хисобланган қийматини
2
 кузат орқали белгилаймиз ва нолинчи тахминни текшириш қоидасини
таърифлаймиз.
Қоида. Берилган  қийматдорлик даражасида Н0: бош тўплам нормал
тақсимланган деган нолинчи тахминни текшириш учун аввал назарий
частоталарни, кейин эса критерийнинг:
 2кузат=
(n  m )
 im i
i
2
(**)
кузатилган қийматини ҳисоблаш ва  2 тақсимотнинг критик нуқталари
жадвалидан берилган  қийматдорлик даражаси ва к=s-3 озодлик даражалари
сони бўйича  2кр (  ; к) критик нуқтани топиш лозим.
46
Агар  2кузат <  кр бўлса, нолинчи тахминни рад этишга асос йўқ.
Агар  2кузат >  кр бўлса, нолинчи тахмин рад этилади.
1-эслатма. Танланма ҳажми етарлича катта, ҳар ҳолда 50 дан кичик бўлмаслиги
лозим. Ҳар бир гуруҳ камида 5-8 та вариантани ўз ичига олиши лозим, кам
сонли гуруҳларни уларнинг частоталарини жамлаб, битта гуруҳга бирлаштириш
лозим.
2- эслатма. Биринчи ва иккинчи тур хатоларга йўл қўйилиши мумкин бўлгани
сабабли, айниқса, назарий ва эмпирик частоталарнинг мувофиқлиги «хаддан
ташқари яхши» бўлганда эхтиёт бўлиш лозим. Масалан, тажрибани такрорлаш,
кузатишлар сонини ошириш, бошқа критериялардан фойдаланиш, тақсимот
графигини ясаш, асимметрия ва эксцессни ҳисоблаш лозим.
3-эслатма. Контрол қилиш мақсадида (**) формула бундай ўзгартирилади:
2
 2кузат=
n
 mi  n.
i
Китобхонга бу алмаштиришни мустақил бажаришни тавсия қиламиз,
бунинг учун (**) да частоталар айирмасини квадратга кўтариш, натижани п1 га
бўлиш ва  пi = п,  пi = п ни хисобга олиш лозим.
Мисол. 0,05 қийматдорлик даражасида бош тўпламншг нормал
тақсимланганлиги ҳақидаги тахминни текширинг. Эмпирик ва назарий
частоталар маълум:
эмпирик частоталар: 6 13 38 74 106 85 30 14,
назарий частоталар: 3 14 42 82 96 76 37 13.
Ечиш.  2кузат ни ҳисоблаймиз, бунинг учун ҳисоблаш жадвалини
тузамиз ( 5-жадвал ).
Текшириш:
 2кузат=7,19
n2i
m
 n  373,19  366  7,19.
i
Ҳисоблаш тўғри бажарилган.
Танланмада гуруҳлар сони s = 8 лигини эътиборга олиб, озодлик
даражалари сонини топамиз: к = 8 - 3 = 5.
1
2
3
i
ni
mi
1
2
3
6
13
38
3
14
42
4
5
6
ni- mi
(ni- mi)
( n i  mi )
mi
3
-1
9
1
16
47
2
3
0,07
0,38
5-жадвал.
8
7
2
n
2
t
36
169
1444
n2i
mi
12
12,07
34,38
4
5
6
7
8
74
106
85
30
14
82
99
76
37
13

366
366
-4
-8
7
9
-7
1
64
49
81
49
1
0,78
0,49
1,07
1,32
0,08
5476
11236
7225
900
196
2
 кузат=7,19
66,78
113,49
95,07
24,32
15,08
373,19
тақсимотнинг критик нуқталари жадвалидан (5-илова) 0,05
қийматдорлик даражаси, к = 5 озодлик даражалар сони бўйича  кр (0,05; 5) =
11,1 ни топамиз.
2
2
 кузат<  кр бўлгани учун нолинчи тахминни рад этишга асос йўқ.
Бошқача сўз билан айтганда, эмпирик ва назарий частоталар фарқи муҳим эмас.
Демак, кузатиш маълумотлари бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги
ҳақидаги тахмин билан мувофиқ келади.
Мисол.   0,01 қийматдорлик даражасида бош тўпламнинг Пуассон
қонуни бўйича тақсимланганлиги ҳақидаги тахминни текширинг. Ҳажми n=79
бўлган танланма берилган;
24243332061232243351
02432233133311231431
74342323314314534245
3641324131004647413
Ечиш. Танланма ўрта қиймат х ва танланма дисперсия S2 ларни қуйидаги
жадвалдан фойдаланиб ҳисоблаймиз;
6-жадвал.
1
2
3
4
5
6
7

2
( ni  mi )
ni  mi 2
хi
ni
0
1
2
3
4
5
4
13
14
24
16
8
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1847
3,9
11,8
17,7
17,7
13,3
14,6
0,1
1,2
-3,7
6,3
2,7
-6,6
0,01
1,44
13,69
39,69
7,29
43,56
0,0026
0,1220
0,7734
2,2424
0,5481
2,9836

79
0,9999
79,0
---------
-----------
6,6721
pi
mi
ni- mi
х =2,84, S2= 2, 3974.
48
2
mi
Пуассон тақсимотининг параметри  бўлиб, шу билан бирга MX=DX= 
тенглик ўринли . Математик кутилиш ва дисперсияларнинг статистик баҳолари
бир-бирига яқин, аммо тенг эмас. Пуассон тақсимоти жадвалидаги  га яқин
қийматлар 2 ва 3 лардир,  =3 бўлгандаги тахминни текширамиз. Вариацион
қаторнинг охирги қийматлари частоталари кичиклиги
сабабли, уларни
2
бирлаштирамиз(  5 ). Оралиқлар сони 6 га тенг 
статистика к-r -1=6-1-1=4
2
озодллик даражали  қонун бўйича тақсимланган. Критик соҳа қуйидаги
кўринишга эга
р{Х2п >Х  } =0,01,   13,27:  n2  13,27
Ҳисоблашлар юқоридаги
жадвал асосида бажарилади. Эхтимоллар
Пуассон тақсимоти жадвалидан олинади.  n2 стастистистиканинг қиймати  n2
=6,6721 критик соҳага тегишли эмас. Демак, бош тўпламнинг Пуассон
тақсимотига эга эканлиги ҳақидаги тахминни рад этишга асос йўқ.
Ўз–ўзини текшириш учун саволлар
1. Нормал тақсимотнинг ўрта қиймати ҳақидаги тахминни текширишни
тушунтириб беринг..
2. Бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги ҳақидаги тахминни текшириш
қоидасини айтин.
3. Пирсоннинг  2 тасдиқлаш аломати
4. Пирсоннинг мувофиқлик критерийси қандай формула билан берилади?
5. Пирсон критерийсининг қўлланилишини тушунтиринг.
Масалалар:
1.
100та эркин синаш бўйича
m
= 0,15 нисбий частота топилган. 0,05
n
қийматдорлик даражасида нисбий частотанинг гипотетик эҳтимолига тенглиги
ҳақидаги Н0 : р = 0,17 нолинчи тахминни конкурент тахмин Н1 : р ≠ 0,17
бўлганда текширинг.
Жавоби: U кузат = 0,53, uкр= 1,96. Нолинчи тахминни рад этишга асос йўқ.
2.
0,05 қийматдорлик даражасида бош тўпламнинг нормал тақсимланганлиги
ҳақидаги нолинчи тахминни текширинг. Эмпирик ва назарий частоталар
маълум:
а) назарий частоталар: 6
12 16 40 13
8 5
эмпирик частоталар: 4
11 15 43 15 6 6 ;
б) эмпирик частоталар: 5
6
14 32 43 39 30 20 6 5
назарий частоталар: 4
7
12 29 48 35 34 18 7 6 .
в) эмпирик частоталар: 5
13
12 44 8
12 6
назарий частоталар: 2
20
12 35 15 10 6 .
2
2
Жавоби:  кузат = 2,5,  кр (0,05; 4) = 9,5. Нолинчи тахминни рад этишга асос
2
йўқ. б)  кузат
= 3,  кр2 (0,05; 7) = 14,1. Нолинчи тахминни рад этишга асос йўқ. в)
2
= 13,  кр2 (0,05; 4) = 9,5. Тахмин рад этилади.
 кузат
49
Адабиётлар
1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалькин Л.Д. Основы моделирования и
первичная обработка данных. М. Финансы и Статистика, 1983.
2. Большев Л.Н.Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. 3-издание.
М.Наука, 1983.416.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параматров. Проверка
гипотез. М.: Наука, 1984.-472.
4. Гмурман В.Е.. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика. Т.: Ўқитувчи.
1977.
5. Гмурман В.Е.Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан масалалар
ечиш учун қўлланма. М. : Высшая школа. 1985.
6. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике.
М.: Высшая школа. 1991.
7. Мирахмедов Ш.А., Қаландаров Ў. Н., Саидова О. А., Норхўжаев О. О.
“Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика” курси бўйича маърузалар
матни.ТЭАИ. 2000.
8. Мирахмедов Ш.А., Чай З.С., Каландаров У. Н. Высшая математика. Часть 4.
Лабораторные работы по математической статистике. ТЭИС-2001.
9. Мирахмедов Ш.А., Қаландаров Ў.Н., Саидова О. А. “Эҳтимоллар назарияси
ва математик статистика” курси бўйича маърузалар матни (1-қисм). ТАТУ.
2003.
10.O’. N. Qalandarov., O. O. Norxo’jaev., O. A. Saidova. Oliy matematika fani 4qismidan laboratoriya ishlari.Т.: «ALOQACHI»-2005.
11. O. O. Norxo’jaev, O’. N. Qalandarov, O. A. Saidova. . Oliy matematika fani 4qismidan maruzalar matni. Matematik
statistika (bakalavriatning barcha
yo’nalishlari uchun) Т.: «ALOQACHI»-2008.
50
51