การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์
(Solving Systems of Linear Equations Using Matrices)
Deaw Jaibun, MWITS
ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร เมทริกซ์เป็นเครื่องมืออย่างหนึ่งที่ช่วยให้หาคาตอบได้ง่ายขึ้น
โดยการเปลี่ยนระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) แล้วใช้การดาเนินการตามแถว
เบื้องต้นเปลี่ยนเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่หาคาตอบได้ง่ายขึ้นเรียกว่า ขั้นบันไดตามแถวและขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RowEchelon Form and Reduced Row-Echelon Form) แล้วพิจารณาคาตอบของระบบสมการ ในหัวข้อนี้เราจะสนใจการ
หาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ 2 วิธี คือ การกาจัดเกาส์เซียนและการกาจัดเกาส์-จอร์แดน
1. เมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix)
ในการเปลี่ยนระบบสมการsเชิงเส้นหลายตัวแปรให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์ เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการจะ
เรียกว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ (Coefficient Matrix) และเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ระบบสมการเชิงเส้น :
x
4y
(System of Linear Equations)
R1
x
3y
3z
5
z
3
2x
4z
6
เมทริกซ์แต่งเติม :
1
4
3
5
(Augmented Matrix)
1
3
1
3
2
0
4
6
เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ :
1
4
3
(Coefficient Matrix)
1
3
1
2
0
4
เพื่อความสะดวกเราจะใช้สัญลักษณ์ Rn เพื่อแทนแถวแต่ละแถวของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น แถวที่ 1 จะใช้สัญลักษณ์
ดังนั้นเมทริกซ์แต่งเติมในตัวอย่างข้างต้น อาจเขียนให้ชัดเจนขึ้น เพื่อเน้นแต่ละแถวของเมทริกซ์ อาจเขียนได้ดังนี้
R1
ตัวอย่างที่ 1.
1
4
3
5
R2
1
3
1
3
R3
2
0
4
6
จงเขียนเมทริกซ์แต่งเติมจากระบบสมการที่กาหนดให้
(1)
x
4y
x
3z
3y
2x
x
(2)
2x
5
z
4z
3
6
2y
3z
x
3y
4
5y
5z
17
9
2. การดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (Elementary Row Operation: ERO)
ความรู้พื้นฐานในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น คือ การสร้างระบบสมการเชิงเส้นขึ้นมาใหม่ที่ง่ายต่อการหา
คาตอบยิ่งขึ้น โดยที่ระบบสมการเชิงเส้นที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ยังคงมีเซตคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นเดิม ระบบสมการเชิง
เส้นใหม่ที่สร้างขึ้นนี้ อาศัยการดาเนินการ 3 ชนิดต่อไปนี้ เพื่อกาจัดตัวแปรดังนี้
1. การสลับกันระหว่างสมการสองสมการ
2. การคูณสมการใดสมการหนึ่งด้วยค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์
3. การคูณสมการใดสมการหนึ่งด้วยค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์แล้วบวกเข้ากับสมการอื่น
เนื่องจากแต่ละแถวของเมทริกซ์แต่งเติม เกิดจากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรและค่าคงตัวของแต่ละสมการที่สมนัยกัน ดังนั้นการ
ดาเนินการ 3 ชนิด บนสมการดังกล่าวจะเหมือนกับการดาเนินการ 3 ชนิด ต่อไปนี้บนเมทริกซ์แต่งเติม
การดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (Elementary Row Operation: ERO)
1. การสลับกันระหว่างแถวสองแถวของเมทริกซ์แต่งเติม
2. การคูณแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์แต่งเติมด้วยค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์
3. การคูณแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์แต่งเติมด้วยค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์แล้วบวกเข้ากับแถวอื่น
ตัวอย่างที่ 2. การดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (ERO)
1. สลับกันระหว่างแถวแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์แต่งเติม
Original Matrix
New Row-Equivalent Matrix
0
1 3 4
R2
0
1 3 4
1
2 0 3
R1
1
2 0 3
2
3 4 1
2
3 4 1
1
2
2. คูณแถวแรกด้วยค่าคงตัว
Original Matrix
2
4
6
2
1
3
3
5
2
1
New Row-Equivalent Matrix
R1
1
2
3
1
0
1
3
3
0
2
5
2
1
2
3. การคูณแถวที่หนึ่งด้วย
Original Matrix
1 2
4
3
0 3
2
1
2 1
5
2
1
2
2
แล้วบวกเข้ากับแถวที่สาม
New Row-Equivalent Matrix
R3
( 2)R1
1
0
0
2 4
3 2
3 13
3
1
8
เพื่อความสะดวก จะขอกาหนดสัญลักษณ์ดังนี้
1.
2.
3.
Rij
mRi
Ri
mRj
แทนการสลับกันระหว่างแถวที่ i กับแถวที่ j (บางตาราแทนด้วย Ri
แทนการนาค่าคงตัว m 0 ไปคูณแถวที่ i
แทนการนาค่าคงตัว m 0 ไปคูณแถวที่ j แล้วบวกเข้ากับแถวที่ i
(บางตาราแทนด้วย mRj Ri )
Rj
)
หน้าที่ 2
ตัวอย่างที่ 3. จงพิจารณาว่าการดาเนินการใดบ้างต่อไปนี้ เป็นการดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (ERO)
a. R13
1
R1
2
R1
b.
c.
2
d.
e.
f.
g.
h.
i.
R1
3R1
2R1
R3
R1
R3
R3
1R1
R1
R3
R1
2R3
ตัวอย่างที่ 4. ลองพิจารณาเปรียบเทียบการหาคาตอบโดยระบบสมการเชิงเส้น และการดาเนินการบนเมทริกซ์ดังนี้
ระบบสมการเชิงเส้น
เมทริกซ์แต่งเติม
x
x
2y
3y
3z
9
4
2x
5y
5z
17
1
1
2
บวกสมการแรกเข้ากับสมการที่สอง
x
2x
2y
3z
9
y
3z
5
5y
5z
17
x
2y
y
3z
3z
9
5
y
z
1
x
2y
3z
9
y
3z
5
2z
4
คูณสมการที่ 3 ด้วย
x
2y
3z
9
y
3z
5
z
2
ขั้นตอนนี้ เราบอกได้ว่า
y
แทนค่า y
1
และ
x
คาตอบคือ
x
1, y
z
3
3
5
9
5 R2
17
1R1
3
3
1
9
5
1 R3
( 2)R1
2
1
0
3
3
2
9
5
4 R3
คูณแถวที่ 3 ด้วย
1
0
0
2
1
0
3
3
1
x
1
2
9
5
2
และ
1R2
1
R
2 3
y
5
1
z 2
2( 1)
1
2
1
1
ซึ่งสามารถแทนค่าย้อนกลับเพื่อคานวณหา
2
3(2)
y
2
1
5
บวกแถวที่สองเข้ากับแถวที่ 3
1
0
0
1
2
9
4
17
บวก -2 เท่าของแถวแรกเข้ากับแถวที่ 3
1
0
0
บวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่ 3
3
0
5
บวกแถวแรกเข้ากับแถวที่สอง
1
0
2
บวก -2 เท่าของสมการแรกเข้ากับสมการที่ 3
2
3
5
3(2)
x
และ
z
9
1
2
(อย่าลืมตรวจสอบคาตอบ โดยการแทนค่า
x, y
และ
z
ลงในระบบสมการเดิม)
หน้าที่ 3
บทนิยาม
เมทริกซ์ A สมมูลตามแถว (row equivalent) กับเมทริกซ์ B ก็ต่อเมื่อ
B เกิดจากการใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้นบนเมทริกซ์ A เป็นจานวนครั้งจากัด
เขียนแทน A สมมูลตามแถวกับเมทริกซ์ B ด้วย A ~ B
ตัวอย่างที่ 5. จากตัวอย่างการหาคาตอบโดยระบบสมการเชิงเส้นข้างต้น จะพบว่า
1
1
2
2
3
5
3
0
5
9
4
17
~
1
0
2
2
1
5
3
3
5
9
5 R2
17
~
1
0
0
2
1
1
3
3
1
9
5
1 R3
( 2)R1
1
0
0
2
1
0
3
3
2
9
5
4 R3
1R2
1
0
0
2
1
0
3
3
1
9
5
2
~
~
1R1
1
R
2 3
เมทริกซ์สุดท้ายที่ได้ในตัวอย่างข้างต้น เรียกว่าอยู่ในลักษณะขั้นบันไดตามแถว ซึ่งสามารถหาคาตอบของระบบสมการ
โดยการแทนค่าย้อนกลับ รูปแบบของเมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ มีสมบัติดังนี้
เมทริกซ์อยู่ในลักษณะขั้นบันไดตามแถว (row-echelon form: ref) มีสมบัติดังนี้
1. แถวที่สมาชิกบางตัวไม่เป็นศูนย์จะอยู่ด้านบนของเมทริกซ์ และแถวที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์จะอยู่ด้านล่างของเมทริกซ์
2. ในแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่เป็นศูนย์ จะมีสมาชิกตัวแรกเป็น 1 เรียกว่า สมาชิกนา (leading entry 1)
3. แถวสองแถวใดที่ติดกันและมีสมาชิกนา สมาชิกนาในแถวล่าง จะอยู่ในหลักทางขวามือของสมาชิกนาในแถวบน
เมทริกซ์อยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form: rref)
เมทริกซ์ที่อยู่ในรูปขั้นบันไดตามแถว (row-echelon form) และในหลักที่มีสมาชิกนา สมาชิกตัวอื่นในหลักนั้นเป็นศูนย์ทุกตัว
จะเรียกว่าอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form)
ตัวอย่างที่ 6. Row-Echelon Form
เมทริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในลักษณะขั้นบันไดตามแถว
a.
c.
1 2
1
4
0 1
0
3
0 0
1
2
1
5 2
1
3
0
0
1
3
2
0
0
0
1
4
0
0
0
0
1
b.
0 1 0 5
0 0 1 3
0 0 0 0
1 0 0
d.
0 1 0
1
2
0 0 1
3
0 0 0
0
เมทริกซ์ในข้อ b. และ d. อยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form) ด้วย ส่วนเมทริกซ์ต่อไปนี้
ไม่อยู่ในลักษณะขั้นบันไดตามแถว
e.
1 2
3
4
0 2
1
1
0 0
1
3
0 0 0 0
f.
1 2 1 2
1 3 1 1
0 0 1 0
หน้าที่ 4
ตัวอย่างที่ 7. จงใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (ERO) ทาให้เมทริกซ์ e. และ f. ในตัวอย่างข้างต้น
อยู่ในลักษณะขั้นบันไดตามแถว
ตัวอย่างที่ 8. (1) จงใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้น (ERO) ทาให้เมทริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในรูปลักษณะขั้นบันไดตามแถว และ
(2) ดาเนินการต่อจนอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
2
0
4 0
0
1 3 6
0
0
1 5
หน้าที่ 5
3. การกาจัดเกาส์เซียนกับการแทนย้อนกลับ (Gaussian Elimination with Back-Substitution)
เราอาจหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นได้โดยวิธีการกาจัดเกาส์เซียน (Gaussian elimination) ซึ่งวิธีนี้เป็นวิธีที่
รวดเร็ว โดยใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้นเพื่อหาเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม หลังจากนั้นก็ใช้ วิธี
แทนย้อนกลับ (back-substitution) เพื่อหาคาตอบของระบบสมการ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 9. จงหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น โดยวิธีการกาจัดเกาส์เซียนและแทนค่าย้อนกลับ
x
y
2z
9
2x
4y
3z
1
3x
6y
5z
0
หน้าที่ 6
4. การกาจัดเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan Elimination)
เราจะหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นอีกวิธีหนึ่ง วิธีนี้เรียกว่า การกาจัดแบบเกาส์ -จอร์แดน (Gauss-Jordan
Elimination) โดยใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้นหาเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม จากนั้นเรา
สามารถอ่านค่าของตัวแปรได้ทันที อาจสรุปวิธีการได้ดังนี้
1. ทาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแรกของแถวแรกให้เป็น 1 และทาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแรกของแถวอื่นให้เป็น 0
2. ทาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่สองของแถวที่สองให้เป็น 1 และทาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่สองของแถวอื่นให้เป็น 0
3. ทาเช่นนี้ซ้ากับแถวอื่นๆ
ตัวอย่างที่ 10. จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยวิธีการกาจัดเกาส์-จอร์แดน
x
2x
y z
3y 5z
4x 5z
5
8
2
หน้าที่ 7
5. คาตอบของระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นจะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งในสามอย่างนี้ คือไม่มีคาตอบ มีคาตอบเดียว หรือมีคาตอบอนันต์
ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคาตอบเรียกว่า ระบบคล้องจอง (consistent) ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคาตอบเรียกว่า ระบบไม่
คล้องจอง (inconsistent)
ตัวอย่างที่ 11. จงหาคาตอบของระบบสมการ
2x 4y
4x 5y
3x y
ถ้าทราบว่า
2
4
3
4
5
1
6z
6z
2z
6
6
2
18
24
4
18
24
4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
2
3
ตัวอย่างที่ 12. จงหาคาตอบของระบบสมการ
2x
4x
ถ้าทราบว่า
2
4
2
4y 6z
5y 6z
2x y
18
24
6
4
5
1
18
24
6
6
6
0
1
0
0
0
1
0
1
2
0
1
4
0
1
0
0
0
1
0
1
2
0
0
0
1
ตัวอย่างที่ 13. จงหาคาตอบของระบบสมการ
2x
4x
5x
ถ้าทราบว่า
2
4
5
4y
5y
7y
4
5
7
6z
6z
9y
6
6
9
18
24
5
18
24
5
หน้าที่ 8
PROBLEMS
1. จงหาเมทริกซ์แต่งเติมจากระบบสมการเชิงเส้นที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ระบบสมการ
เมทริกซ์แต่งเติม
4x
3y
5
x
3y
12
x
10y
3z
10
3x
2y
5z
5
7x
y
3
2x
5y
3z
1
x
7y
2z
2
z
0
7x
2. จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นจากเมทริกซ์แต่งเติมที่กาหนดให้ต่อไปนี้
เมทริกซ์แต่งเติม
1
2
7
2
3
4
ระบบสมการ
4
5
2
3
1
0
2
7
2
1
0
9
1 2 0 0
1
9
5 6 3
7
2
5 7 1
2
1
0 2 5
4
ข้อ 3-6 ให้นักเรียนหาสมาชิกของเมทริกซ์ที่แทนด้วยสัญลักษณ์
3.
4.
3
6
8
1
?
4
3 6
4
3 6
1
4
3
1 4
2 10 5
0 ?
2
5.
4
1
1
2
6.
6
8
3
1
3
1
?
?
?
1 2
4
3 2
1
1
3 2
0 ?
7
4
2
4
9
0 2
?
1 1 4
1
1 1
4
4
9
1
?
8
3
6
1
1
3
8 10
3
0 5 ?
?
0 1
2 1 12
6
0 3 ?
?
0 3
3
2
1
2
?
2
5
?
1
6
5
?
7. เมทริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้ เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถว
1 0 3 1
1 0 0
1.1.
1.5.
0 1 0
0 0 0 0
0 1 0
1.2.
1.6.
1 0 0
1 0 1 0
1 0 1
1.4.
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1.3.
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1.7.
0 1 0
0 1 2 0
0 0 1
0 0 0 1
1
7 5 5 2
0 0 1 0
0
0
1 7 8
0
0
0 0 1
1.8.
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
8. ให้นักเรียนหาการดาเนินการตามแถวเบื้องต้นเมื่อกาหนดเมทริกซ์ตน้ แบบและเมทริกซ์ใหม่มาให้ โดยที่เมทริกซ์ใหม่เกิดจากการ
ดาเนินการตามแถวเบื้องต้นบนเมทริกซ์ต้นแบบ
เมทริกซ์ต้นแบบ
8.1
8.2
8.3
8.4
2
3
5
1
3
1
เมทริกซ์ใทม่
1
13
8
3
4
3
0
1
4
3
7
5
0
1
5 5
1
39
1
8
4
0
5
3
7
6
5
5
1
3
7 6
0
1
4
5
1 3
0
7
1
2
3
2
1
2 3
2
27 27
2
5
1
7
0
9 7
11
5
4
7
6
0
6 8
4
หน้าที่ 10
ข้อ 19-10 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยวิธีการกาจัดเกาส์เซียน
9.
10.
x
2y
7
2x
y
8
2x
6y
16
2x
3y
7
ข้อ 11-13 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยวิธีการกาจัดเกาส์เซียนหรือการกาจัดเกาส์-จอร์แดน
11.
x
2x
3x
y
z
14
y
z
21
2y
z
19
หน้าที่ 11
12.
x
x
13.
2y
3z
4y
2z
y
z
28
0
5
x 2y z
3x 3y 2z
x 11y 6z
0
0
0
หน้าที่ 12