TCC1 FTU Official 2022 Oct 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG Bài Giảng TOÁN CAO CẤP 1 Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG Bài Giảng TOÁN CAO CẤP 1 Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 Mục lục 1. MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Trường số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Các phép toán và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Tiên đề cận trên đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Các phép toán trên trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.4. Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Khái niệm cơ bản về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Khái niệm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Một số dạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Các phép toán cơ bản của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1. Phép cộng, trừ hai ma trận cùng cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Phép nhân một số thực với một ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3. Tích của hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2. Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3. Một số phương pháp tính định thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4. Định thức của ma trận tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 2.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2. Một số tính chất của hạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.3. Phương pháp tính hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2. Điều kiện tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.3. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Phương pháp giải hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Phương pháp giải hệ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. KHÔNG GIAN VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Tính chất của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.1. Biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4. Hạng của hệ véc tơ tơ và số chiều của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . 44 4.4.1. Hạng của hệ véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4.2. Cơ sở, số chiều, tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5. Không gian véc tơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.1. Định nghĩa không gian véc tơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.2. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5.3. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . 52 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input-Output Leontief ) . . . . . . . 54 5.2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 TOÁN CAO CẤP 1 5.4. Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa và tiền tệ (mô hình IS – LM) 60 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG . . . . . . 63 6.1. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.2. Chéo hóa một ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3. Dạng toàn phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 : Trang 4 Chương 1 MỞ ĐẦU 1.1. Tập hợp 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. (Định nghĩa về tập hợp) Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học không có định nghĩa. Ta chỉ có thể hiểu những vật, những đối tượng toán học có một tính chất chung nào đó tạo thành một tập hợp. Ví dụ 1.1. - Tập hợp các sinh viên Đại Học Ngoại Thương qua môn. - Tập hợp các số hữu tỉ Q. - Tập hợp các con vật trong rừng. Các đối tượng trong một tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp. Để kí hiệu x là phần tử của tập A, ta viết x ∈ A. Nếu x không là phần tử của tập A, ta viết x∈ / A. Tập rỗng, kí hiệu ∅, là tập hợp không có phần tử nào. Định nghĩa 1.2. (Cách viết một tập hợp) Có 2 cách để biểu diễn một tập hợp:(1) Liệt kê các phần tử của tập hợp và (2) biểu diễn tập hợp bằng cách mô tả tính chất đặc trưng của tập hợp. Ví dụ 1.2. - Liệt kê các phần tử của tập hợp A = {2, 7, 3}, B = {0, 1, 2, 3, ...} 5 TOÁN CAO CẤP 1 - Biểu diễn tập hợp bằng cách mô tả tính chất đặc trưng của tập hợp . C = {x ∈ N | x .. 2}, D = {x ∈ R | x2 − 2x − 3 = 0} Ta có: 3 ∈ / C, 4 ∈ C, 3 ∈ D, 4 ∈ / D. Định nghĩa 1.3. (Tập con) Cho A là một tập hợp. Tập hợp B gọi là tập con của A, kí hiệu B ⊂ A nếu mọi phần tử thuộc B thì đều thuộc A. Nếu B là tập con của A thì ta nói B chứa trong A hoặc A chứa B (A ⊃ B). Nếu B không là con của A thì ta viết B ̸⊂ A. Quy ước: ∅ là con của mọi tập hợp. √ √ Ví dụ 1.3. A = 1, 2, 5, 5, 7, 9 , B = {2, 5, 7, 9}, C = 5, 7, 9, 10 Ta có: B ⊂ A, C ̸⊂ A, C ̸⊂ B. Định nghĩa 1.4. (Hai tập hợp bằng nhau) Hai tập hợp A và B được xem là bằng nhau nếu các phần tử thuộc A thì đều thuộc B và ngược lại, các phần tử thuộc B đều thuộc A.   A ⊂ B, A = B ⇐⇒  B ⊂ A. 1.1.2. Các phép toán trên tập hợp Cho A và B là hai tập hợp. • Phép giao: Giao của A và B , kí hiệu A ∩ B , là một tập hợp xác định như sau: x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A và x ∈ B . Có thể mô tả tập trên bằng hình vẽ như sau, gọi là mô tả theo lược đồ Venn. A∩B Ví dụ 1.4. A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1}, A ∩ B = {1}. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 6 TOÁN CAO CẤP 1 • Phép hợp: Hợp của A và B , kí hiệu A ∪ B , là một tập hợp xác định như sau: x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B. A∪B Ví dụ 1.5. A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1}, A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}. • Hiệu: Hiệu A và B , kí hiệu A \ B , là một tập hợp xác định như sau: A \ B = {x ∈ A ; x ∈ / B} . A\B Ví dụ 1.6. A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1}, A \ B = {2, 3, 4}. • Phần bù: Cho X là tập hợp, A là tập con của X . Khi đó, hiệu X \ A gọi là phần bù của A trong X , kí hiệu CA X. • Hiệu đối xứng: Cho A, B là hai tập hợp. Hiệu đối xứng của A và B , kí hiệu A∆B , là một tập hợp xác định như sau: A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 7 TOÁN CAO CẤP 1 • Tích Descartes: Tích Descartes của A và B , kí hiệu A × B , là một tập hợp xác định như sau A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} . Ví dụ 1.7. A = {1, 2, 3}, B = {0, 1}, A × B = {(0, 1), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}. Các tính chất cơ bản của các phép toán: • Tính giao hoán A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. • Tính kết hợp (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). • Tính phân phối (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). • Công thức đối ngẫu Dermorgan A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C), A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C). 1.2. Ánh xạ Định nghĩa 1.5. (Định nghĩa về ánh xạ) Cho X, Y là hai tập khác rỗng. Một ánh xạ f từ X vào Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y . Kí hiệu y = f (x), trong đó: y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f . CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 8 TOÁN CAO CẤP 1 x gọi là một tạo ảnh của y . Tập X gọi là tập nguồn hay miền xác định của ánh xạ f . Tập Y gọi là tập đích hoặc miền giá trị của f . Ta kí hiệu f : X→Y x 7→ y = f (x) Từ định nghĩa mỗi x ∈ X có duy nhất một ảnh y ∈ Y , còn mỗi y ∈ Y có thể có một tạo ảnh, nhiều tạo ảnh hoặc không có tạo ảnh nào. Tập tất cả các tạo ảnh của y kí hiệu là f −1 (y). Hai ánh xạ f và g từ X vào Y gọi là bằng nhau nếu f (x) = g(x), ∀x ∈ X. Ví dụ 1.8. Cho f : R→R x 7→ y = f (x) = x2 Quy tắc này xác định một ánh xạ bởi vì với mỗi x ∈ R có duy nhất một giá trị x2 . Ta có f −1 (0) = {0}, f −1 (1) = {−1, 1}, f −1 (−1) = ∅. Ví dụ 1.9. Cho X là một tập bất kì. Ánh xạ IX : X → X x 7→ x biến phần tử x thành chính nó. IX gọi là ánh xạ đồng nhất trên X. Ví dụ 1.10. Cho A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, trong đó a, b ∈ R; a ̸= b. f :A→B 1 7→ a 1 7→ b 2 7→ a 3 7→ b Quy tắc này không là ánh xạ vì phần tử 1 cho hai ảnh khác nhau. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 9 TOÁN CAO CẤP 1 Định nghĩa 1.6. (Ảnh và tạo ảnh) Cho ánh xạ f : X → Y ; C ⊂ X; D ⊂ Y . • Ảnh của tập C qua ánh xạ f , kí hiệu f (C), là tập gồm tất cả các ảnh của các phần tử x ∈ C . f (C) = {y ∈ Y | ∃x ∈ C : f (x) = y} ⊂ Y. Đặc biệt f (X) là tập ảnh của f . • Tạo ảnh của D qua hàm f , kí hiệu f −1 (D), là tập tất cả các phần tử x có ảnh thuộc D. f −1 (D) = {x ∈ X : f (x) ∈ D} ⊂ X. Ví dụ 1.11. Cho a) f :R→R x 7→ x2 f ([−1, 2)) = y ∈ R : y = x2 , x ∈ [−1, 2) = [0, 4). f −1 ([−1, 1)) = x ∈ R : x2 ∈ [−1, 1) = (−1, 1). b) f : R → R, f (x) = |x + 1| f ([−2, 1]) = {y ∈ R : y = |x + 1|, x ∈ [−2, 1]} = [0, 2]. f −1 ([0, 1]) = {x ∈ R : |x + 1| ∈ [0, 1]} = [−2, 0]. Tính chất: Cho ánh xạ f : X → Y ; A1 , A2 , A ⊂ X; B1 , B2 , B ⊂ Y . Khi đó • f −1 (f (A)) ⊃ A, f f −1 (B) ⊂ B. • f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ), f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ). • f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ), f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) Định nghĩa 1.7. (Đơn ánh, toàn ánh, song ánh) Cho ánh xạ f : X → Y • f được gọi là đơn ánh nếu mỗi y ∈ Y có không quá một tạo ảnh. f đơn ánh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . ⇔ x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ). ⇔ ∀y ∈ Y, f −1 (y) có tối đa 1 phần tử. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 10 TOÁN CAO CẤP 1 • f được gọi là toàn ánh nếu mọi y ∈ Y đều có tạo ảnh. f toàn ánh ⇔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X để f (x) = y. ⇔ f (X) = Y. ⇔ ∀y ∈ Y, f −1 (y) có ít nhất một phần tử. • f được gọi là song ánh nếu mọi y ∈ Y tồn tại duy nhất một tạo ảnh. f là song ánh ⇔ f vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Ví dụ 1.12. Xét ánh xạ f :R→R x 7→ y = f (x) = x2 Theo Ví dụ 1.8, f không toàn ánh và không đơn ánh. Ví dụ 1.13. Ánh xạ IX ở Ví dụ 1.9 là song ánh. Ví dụ 1.14. Xét ánh xạ f : X → Y, f (x) = sin(x) với X, Y ⊂ R. h −π π i - Nếu X = , , Y = [−1, 1] thì mọi y ∈ Y có duy nhất một tạo ảnh. Do đó 2 2 f là song ánh. - Nếu X = R, Y = [−1, 1] thì f là toàn ánh nhưng không song ánh thì mọi y ∈ Y có nhiều hơn 1 tạo ảnh. 1.3. Trường số thực 1.3.1. Các phép toán và các tính chất Trong Q, R có các phép toán số học: cộng, trừ, nhân, chia và có 1 số tính chất cơ bản sau: với mọi a, b, c ∈ R thì • Giao hoán: a + b = b + a ; ab = ba. • Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) ; (ab)c = a(bc). • Phân phối: a(b + c) = ab + ac. • Tính trù mật của Q trong R : ∀a, b ∈ R nếu a < b thì tồn tại q ∈ Q thỏa a < q < b. • Giá trị tuyệt đối |x| = CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU   x, khi x ≥ 0,  −x, khi x < 0. Trang 11 TOÁN CAO CẤP 1 1.3.2. Tiên đề cận trên đúng Định nghĩa 1.8. (Chặn trên, chặn dưới, sup, inf) • Tập con A ⊂ R gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho a ≤ M với mọi a ∈ A. Hơn nữa, số M được gọi là một cận trên của A. Số bé nhất trong tất cả các cận trên của A gọi là cận trên đúng của A, kí hiệu sup A. Nếu sup A ∈ A thì sup A là phần tử lớn nhất của A, kí hiệu max A. • Tập con A ⊂ R gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho m ≤ a với mọi a ∈ A. Hơn nữa, số m gọi là một cận dưới của A. Số lớn nhất trong tất cả các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu inf A. Nếu inf A ∈ A thì inf A là phần tử bé nhất của A, kí hiệu min A. • Tập con A ⊂ R gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, hay nói cách khác, tập A bị chặn nếu tồn tại M, m ∈ R (giả sử m < M ) sao cho A ⊂ [m, M ], hay tập A bị chặn nếu tồn tại số α ≥ 0 sao cho |a| ≤ α ∀a ∈ A. Tiên đề cận trên đúng: Mọi tập hợp A ⊂ R, A ̸= ∅ bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R. Suy ra mọi tập hợp A ⊂ R, A ̸= ∅ bị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc R. 1.4. Trường số phức 1.4.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.9. (Định nghĩa về số phức) Số phức có dạng z = a + ib, trong đó a ∈ R là phần thực của z , kí hiệu Re(z) = a. b ∈ R là phần thực phần ảo của z , kí hiệu Im(z) = b. i là đơn vị ảo, ta có i2 = −1. Tập hợp số phức kí hiệu là C. Định nghĩa 1.10. (Hai số phức bằng nhau) Hai số phức z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R) bằng nhau khi và chỉ khi  a = a , CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1 2  b1 = b2 . Trang 12 TOÁN CAO CẤP 1 Định nghĩa 1.11. (Số phức liên hợp) Cho z = a+ib. Khi đó, z = a+i(−b) = a−ib được gọi là số phức liên hợp của z. 1.4.2. Các phép toán trên trường số phức Cho z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R). • Phép cộng, trừ: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ), z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 ). • Phép nhân: z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1 a2 + ia1 b2 + ib1 a2 + |{z} i 2 b1 b2 | {z } =−1 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 ). • Phép chia: (a1 a2 + b1 b2 ) + i(−a1 b2 + b1 a2 ) z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 − ib2 ) = = = z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a22 + b22 b1 a2 − a1 b2 a1 a2 + b 1 b 2 = +i 2 2 a2 + b 2 a22 + b22 1.4.3. Dạng lượng giác của số phức Đặt z = a + ib (a, b ∈ R). Modun của số phức z , kí hiệu |z|, được xác định bởi p |z| = r = a2 + b 2 Argument của z , kí hiệu Arg(z), là tập hợp tất cả các góc φ thỏa  a   cos φ = r ,   sin φ = b . (1.1) r Nếu φ là một nghiệm của (1.1) thì Arg(z) = φ + k2π (k ∈ Z). Argument chính của z , kí hiệu arg(z), là một Argument của z thỏa 0 ≤ arg(z) < 2π. (1.2) z = a + ib = r(cos φ + i sin φ) (1.3) Ta có CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 13 TOÁN CAO CẤP 1 trong đó r = |z|, φ = arg(z). Dạng (1.3) được gọi là dạng lượng giác của z. Ví dụ 1.15. Tìm dạng lượng giác của z = 1 + i. √ √ 1 Giải. Ta có |z| = r = 12 + 12 = 2 và cos φ = sin φ = √ . 2 π Một nghiệm của phương trình trên là φ = . Do đó 4 Arg(z) = π + k2π, 4 k ∈ Z. Để suy ra arg(z), ta chọn k ∈ Z sao cho thỏa (1.2). Vì vậy, với k = 0, ta được π arg(z) = . 4 Theo (1.3), dạng lượng giác của z là √ h π z =1+i= 2 cos 4 + k2π + i sin π 4 + k2π i , k ∈ Z. Lũy thừa của số phức: • Nhân 2 số phức dạng lượng giác: Giả sử z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ). Lúc này z1 z2 = r1 r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )] • Công thức Moivre: Giả sử z = r(cos φ + i sin φ). Khi đó, ta có z n = rn [cos(nφ) + i sin(nφ)], n ∈ N. √ Ví dụ 1.16. Tính (1 − i 3)2010 . p √ √ Giải. Đặt z = 1 − i 3. Ta có |z| = 12 + (− 3)2 = 2 và  1   cos φ = ,   sin φ Một nghiệm của (1.4) là φ = (1.4) −π . Do đó 3 Arg(z) = CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 2 √ − 3 . = 2 −π + k2π, 3 k ∈ Z. Trang 14 TOÁN CAO CẤP 1 Để suy ra arg(z), ta chọn k ∈ Z sao cho thỏa (1.2). Ta chọn k = 2, được arg(z) = Theo (1.3), dạng lượng giác của z là h −π z = 2 cos 3 + k2π + i sin Áp dụng công thức Moivre, ta được h −2010π z 2010 = 2 cos −π + k.2.2010π + i sin 3 + k2π −2010π 3 = 2 [cos(−670π) + i sin(−670π)] 3 i , 5π . 3 k ∈ Z. + k.2.2010π i , k∈Z = 2(1 + i.0) = 2 + 0i =2 Căn bậc n của số phức: • Khai căn số phức: Cho α là số phức. Số phức β gọi là một căn bậc n của α nếu như β n = α. Khai căn bậc n của α tức là đi tìm tất cả các căn bậc n của α (tức là tìm các β ∈ C để β n = α. • Cách khai căn: Cho α = r [cos(φ + k2π) + i sin(φ + k2π)] , k ∈ Z. Giả sử β = s [cos ψ + i sin ψ] là căn bậc n của α.Khi đó βn = α ⇒sn [cos(nψ) + i sin(nψ)] = r [cos(φ + k2π) + i sin(φ + k2π)]   n s = √  sn = r r ⇒ ⇒  ψ = φ + k2π  nψ = φ + k2π n Vậy tập các căn bậc n của α là √ n α= βk = √ n φ + k2π φ + k2π r cos + i sin n n , k = 0, 1, ..., n − 1 . (1.5) Căn bậc n của α là n số phức khác nhau tính bằng công thức (1.5). Ví dụ 1.17. Tìm tất các căn bậc n của 1. Giải. Ta có 1 = 1 + 0i = 1 [cos(k2π) + i sin(k2π)] , k ∈ Z. Căn bậc n của 1 là √ n CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1= k2π k2π cos + i sin , k = 0, 1, ..., n − 1 . n n Trang 15 TOÁN CAO CẤP 1 1.4.4. Giải phương trình Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm. Phương trình bậc n trong C luôn có n nghiệm. Ví dụ 1.18. Giải phương trình x2 + 4x + 7 = 0. Giải. ∆ = −12 = 12i2 √ √ −4 + 2 3i = −2 + 3i x1 = 2 √ √ −4 − 2 3i x2 = = −2 − 3i 2 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU Trang 16 Chương 2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2.1. Khái niệm cơ bản về ma trận 2.1.1. Khái niệm ma trận Định nghĩa 2.1. (Định nghĩa chung về ma trận) Cho m, n ∈ N. Một ma trận A cấp m × n trên R là gồm m.n số trong R được sắp xếp thành m dòng, n cột như sau   a11 a12 ... a1n a  21 A=  ... a22 ... a2n  ...   ...  am1 am2 ... amn trong đó aij ∈ R (i = 1, m, j = 1, n). Số aij nằm trên dòng i và cột j của ma trận A gọi là phần tử của ma trận A. Phần tử nằm ở dòng i và cột j của ma trận A còn được kí hiệu là (A)ij . Để viết ngắn gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A = (aij )m×n . Khi m = 1, A gọi là ma trận dòng. Khi n = 1, A gọi là ma trận cột. Hai ma trận là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tương ứng phải bằng nhau. 17 TOÁN CAO CẤP 1 2.1.2. Một số dạng ma trận Định nghĩa 2.2. (Ma trận chuyển vị, ma trận vuông, ma trận không) • Ma trận chuyển vị: Cho A = (aij )m×n là ma trận cấp m × n trên R. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu At hay AT , là ma trận cấp n × m nhận từ A bằng cách ghi dòng thành cột (hoặc cột thành dòng), nghĩa là, At = (aji )n×m .  t a11 a12 ... a1n a  21   ... a22 ... a2n      a  12 a22 ... am2   =   ... ... ...  ...  ... am1 am2 ... amn | a11 a21 ... am1 {z a1n a2n ... amn } cấp m×n | {z cấp n×m } t Chú ý: At = A. • Ma trận không: Nếu aij = 0 ∀i = 1, m, j = 1, n, tức là, tất cả các phần tử của ma trận A đều bằng không, thì ta nói A là ma trận không, kí hiệu Om×n hoặc O. • Ma trận vuông: Khi m = n, tức là số dòng bằng số cột, thì ta nói A là ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (aij )n . Ví dụ 2.1. " A= # 2 −5 1 −7 3  1 2 :cấp 2 × 3. 8  :cấp 3 × 2. B = −6 4   5  9 1 2 0  :cấp 3 × 3, vuông cấp 3. C = 4 7 −5   0 0 " D= 0 0 " E= 0 0 0 # :cấp 2 × 2, vuông cấp 2, O2×2 , O2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 # : O2×5 . Định nghĩa 2.3. Cho A = (aij )i,j=1,n là ma trận vuông cấp n. Khi đó, ta có các định nghĩa sau • Các phần tử a11 , a22 , ..., ann được gọi là các phần tử trên đường chéo chính. • Các phần tử a1n , a2(n−1) , ..., an1 được gọi là các phần tử trên đường chéo phụ. • Nếu tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nói A là CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 18 TOÁN CAO CẤP 1 ma trận tam giác trên. • Nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nói A là ma trận tam giác dưới. • Nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nói A là ma trận đường chéo. • Nếu tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0, thì ta nói A là ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu In . Ví dụ 2.2.  1 2 0  : ma trận tam giác trên A = 0 2 0   0 0 0 trong đó các phần tử in đậm 1, 2, 0 là các phần tử thuộc đường chéo chính.   0 0 1 : ma trận vuông bình thường.   B = 1 0 0 0 0 0 " C= −1 0 1 # : ma trận tam giác dưới. 0   1 0 0 0 0 1 0 0 D=  0 0 1 0   : ma trận đơn vị cấp 4, I4 . 0 0 0 1 " E= # 1 −5 −10 3 7 4 : không xét vì không phải ma trận vuông.10 2.2. Các phép toán cơ bản của ma trận 2.2.1. Phép cộng, trừ hai ma trận cùng cấp. Cho hai ma trận cùng cấp m × n : A = (aij )m×n , B = (bij )m×n . Tổng (hoặc hiệu) của A và B , kí hiệu A + B (hoặc A − B ) là ma trận có cấp m × n xác định bởi (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij (A − B)ij = (A)ij − (B)ij = aij − bij với i = 1, m, j = 1, n. Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng/trừ được với nhau khi chúng có cùng cấp. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 19 TOÁN CAO CẤP 1 " Ví dụ 2.3. Cho A = " A+B = " Cho C = 1 # 1 2 3 # " + 4 5 6 0 # 3 −7 , B= 4 5 6 1 2 3 7 " 8 , D= 2 −8 0 1 0 8 9 10 11 12 # 9 " = 10 11 12 " 7 # 1+7 . Khi đó 2+8 3+9 # 4 + 10 5 + 11 6 + 12 " = 8 10 12 # 14 14 18 # 0 . Ta không thể thực hiện phép cộng/trừ giữa C với D do chúng không cùng cấp. 2.2.2. Phép nhân một số thực với một ma trận Cho A = (aij )m×n và số thực λ. Tích của λ và A, kí hiệu λA là ma trận cấp m × n xác định bởi (λA)ij = λ(A)ij = λaij , " Ví dụ 2.4. Tính −3 0 # 1 −2 −5 0 " = 0 với i = 1, m, j = 1, n. # (−3).0 (−3).1 (−3).(−2) (−3).(−5) (−3).0 (−3).0 " = 0 15 −3 6 0 # 0 Chú ý: • Với λ = −1 thì λA = (−1)A = −A. − A là ma trận đối của A. • Ta cũng có thể định nghĩa phép trừ A − B = A + (−B). 2.2.3. Tích của hai ma trận Cho ma trận A cấp m × n , ma trận B cấp n × p . Khi đó tích của A với B , kí hiệu AB là ma trận có cấp m × p xác định bởi (AB)ij = n X (A)ik (B)kj , i = 1, m, j = 1, p. k=1 " Ví dụ 2.5. Cho A = " AB = #  7  # 1 2 3 4 5 6 0  7 , B= 1  −1 " 0  −2. Khi đó  3 # " 1 2 3  1.7 + 2.1 + 3.(−1) 1.0 + 2.(−2) + 3.3 6 5  =  1 −2 = 4 5 6 4.7 + 5.1 + 6.(−1) 4.0 + 5.(−2) + 6.3 27 8 −1 3 CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC # Trang 20 TOÁN CAO CẤP 1 Chú ý: • Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số dòng của B . • Phần tử (ABij bằng tổng các tích từng phần tử trên dòng i của A với phần tử tương ứng ở cột j của B . Định nghĩa 2.4. Với mỗi ma trận A vuông cấp n và mỗi số tụ nhiên p, ta định nghĩa: A0 = In Ap = Ap−1 .A, p ≥ 1. Ta cũng gọi Ap (p ∈ N là lũy thừa bậc p của A.   1 2 0 . Tính A.AT ; A2 .  Ví dụ 2.6. Cho A = 1  0 −1 Giải.  1 A.AT = 1  2  "  1 1 0 0 −1  1 2  A = A.A = 1 0 2 0 −1 2  1  0  1 0 −1  # 5 = 1   1 −2 1 −2 0 2 0  1  0  không thực hiện được. 0 −1 Các tính chất của các phép toán: Giả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được. Khi đó ta có các tính chất sau đây đối với các phép toán trên ma trận 1) A + B = B + A. 2) A + (B + C) = (A + B) + C ; A(BC) = (AB)C. 3) A + O = A. 4) A + (−A) = O. 5) λ(A + B) = λA + λB, λ ∈ R. 6) (λ + µ)A = λA + µA, λ, µ ∈ R. 7) (λµ)A = λ(µA), λ, µ ∈ R. 8) 1.A = A ; AI = IA = A. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 21 TOÁN CAO CẤP 1 2.3. Định thức 2.3.1. Định thức của ma trận vuông • Định thức cấp 1: Cho ma trận vuông cấp 1 A = [a11 ]. Định thức của ma trận A này kí hiệu |A| hay detA, được gọi là định thức cấp 1, là một số xác định như sau detA = a11 . Ví dụ 2.7. Cho A = [−5] , B = [2]. Khi đó, detA = 5, detB = 2. " # • Định thức cấp 2: Cho ma trận vuông cấp 2 A = a11 a12 a21 a22 . Định thức của ma trận A: detA = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 .  a11 a12 a13  • Định thức cấp 3: Cho ma trận vuông cấp 3 A = a21 a22 a23 . Định thức   a31 a32 a33 của ma trận A: a11 a12 a13 detA = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ). Để nhớ công thức trên người ta thường dùng quy tắc Sarrus. 2 4 8 6 Ví dụ 2.8. Tính 1 −1 3 ; −1 5 4 7 5 −2 8 2 3 4 5 • Định thức cấp n: Định nghĩa 2.5. (Định nghĩa về phần bù đại số) Cho A là ma trận vuông cấp n   a11 a12 ... a1n a   21 a22 ... a2n     ... ... ... ...  an1 an2 ... ann Gọi Mij là ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j . Số (−1)i+j detMij gọi là phần bù đại số của phần tử aij , kí hiệu là Aij . CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 22 TOÁN CAO CẤP 1 Định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp n, được tính bởi công thức detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain = n X (2.1) aij Aij j=1 hoặc detA = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj = n X (2.2) aij Aij i=1 Công thức (2.1) gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i. Công thức (2.2) gọi là công thức khai triển định thức theo cột j .   1 1 1   Ví dụ 2.9. Tính định thức của ma trận M = 1 2 2. 1 2 3 Giải. Áp dụng công thức (2.1), ta khai triển định thức theo dòng 3, khi đó 1 1 1 1 2 2 = 1(−1)1+3 1 2 3 1 1 2 2 + 2(−1)3+2 1 1 1 2 + 3(−1)3+3 1 1 1 2 = 1.2 − 1.2 − 2(1.2 − 1.1) + 3(1.2 − 1.1) = 1. 2.3.2. Các tính chất của định thức • det A = detAT . • Định thức sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong những điều kiện sau: - Có một dòng (hoặc một cột) bằng 0. - Có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau hoặc tỷ lệ với nhau. • Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. • Nếu ta nhân một dòng (một cột) của định thức với số λ thì định thức cũng nhân với λ. Nói cách khác: Thừa số chung của một hàng (hoặc một cột) có thể đưa ra ngoài định thức det(λA) = λn .detA. • Nếu định thức có một dòng (hoặc một cột) phân tích được thành tổng của hai dòng (hoặc 2 cột) thì định thức cũng phân tích được thành tổng hai định thức tương ứng. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 23 TOÁN CAO CẤP 1 • Nếu ta nhân một dòng (hoặc một cột) của định thức với số λ bất kì rồi cộng vào dòng khác (cột khác) thì định thức không thay đổi. • Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = detA.detB . 2.3.3. Một số phương pháp tính định thức • Phương pháp biến đổi đưa định thức về dạng tam giác: Dùng các tính chất của định thức đưa định thức về dạng tam giác. Định thức sẽ bằng tích các số trên đường chéo chính. 2 4 1 8 Ví dụ 2.10. Tính M = 1 −1 3 ; N = 5 4 7 0 2 0 −1 3 1 2 3 1 0 2 −2 1 0 3 • Phương pháp khai triển định thức theo dòng hoặc cột. Chú ý: Khai triển trên dòng hay cột nào có nhiều số 0. 5 0 0 10 10 0 2 −4 Ví dụ 2.11. Tính C = 2 1 4 9 −9 0 0 −7 Giải. Ta khai triển trên dòng hay cột nào có nhiều số 0, cụ thể ví dụ này là cột 2. Áp dụng công thức (2.2), ta khai triển định thức theo cột 2, khi đó 5 0 0 10 10 0 2 −4 2 1 4 9 5 = 1(−1) 3+2 0 10 10 2 −4 −9 0 −7 −9 0 0 −7 Ta tiếp tục khai triển định thức ở vế phải, do ở cột 2 có nhiều số 0 nhất nên ta áp dụng (2.2) cho cột 2, khi đó 5 0 0 10 10 0 2 −4 2 1 4 9 5 0 10 = 1(−1)3+2 10 2 −4 = (−1)2(−1)2+2 −9 0 −7 −9 0 0 −7 5 10 −9 −7 = −2 (5(−7) − (−9).10) = −110. 2.3.4. Định thức của ma trận tích Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = detA.detB CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 24 TOÁN CAO CẤP 1 2.4. Hạng của ma trận 2.4.1. Định nghĩa • Định thức con: Cho A là ma trận cấp m × n . Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k . Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. • Hạng của ma trận: Cho A là ma trận cấp m × n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Vậy hạng của A, rank(A) = r thỏa - Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . - Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0. Quy ước: Nếu A = O thì r(A) = 0. Ví dụ 2.12. Tìm hạng của các ma trận sau   1 0 3 −2   2 0 1 −2 A = 0 1 2 −1 ; B = 0 1 2    2 0 6 −4 5 0 6 3  4 2.4.2. Một số tính chất của hạng ma trận 1) Cho A là ma trận cấp m × n. Khi đó 0 ≤ rank(A) ≤ min{m, n} ; rank(A) = 0 ⇔ A = O ; rank(A) > 0 ⇔ A ̸= O. 2) Nếu A là ma trận cấp m × n có (ít nhất) một định thức con khác 0 cấp r (0 < r ≤ min{m, n}) thì rank(A) ≥ r. Đặc biệt, nếu A có một định thức con khác không cấp r = min{m, n} thì rank(A) = min{m, n}. Lúc đó ta bảo A có hạng cực đại. Trường hợp riêng, nếu ma trận A vuông cấp n có định thức detA ̸= 0 thì rank(A) = n, tức là A có hạng cực đại; còn nếu detA = 0 thì rank(A) < n. 3) rank(AT ) = rank(A). 2.4.3. Phương pháp tính hạng của ma trận • Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận: Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 25 TOÁN CAO CẤP 1 1) Nhân một dòng với một số thực λ khác 0 bất kì.    a11 a12 a11 a12 ... a1n   a21 a22     ... ... ... ...   di →λ.di  ...  ...  ai1 ai2 ... ain  −−−−−→  λa λa   i2  i1   ... ... ...    ...  ... ... am1 am2 ... amn am1  ... a1n ... a2n    ... ...   ... λain    ... ...  am2 ... amn 2) Nhân một dòng với một số thực λ bất kì rồi cộng vào dòng khác.    a11 a12 ... a1n  a11 a12 ... a1n   ...   ai1    ... ...      ... ... ... ...   di →λ.di +dj  λai1 + aj1 λai2 + aj2 ... λain + ajn  − − − − − − − → ... ain     i̸=j    ... ... ... ... ... ...    ... ai2 ... ...  am1 am2 ... a11 a12 ... a1n    ...   aj1 ... di ↔dj −−−−−−−→   ... ajn  i,j liên tiếp   ai1    ... ... ...  ... ...  ai2 ... ain   ... ... ...  am1 am2 ... amn 3) Đổi chỗ hai dòng liên tiếp cho nhau.   a11 a12 ... a1n   ...   ai1  a  j1   ... ... ... ai2 aj2 ...  ...   ain    am1 am2 ... amn Ví dụ 2.13.   1 1 1  1 aj2  am1 am2 ... amn   0 1 1  −−−−−−−→  0 d3 →d3 +2d2 2 3 0 1 0   0  d1 →d1 +d3  1 −−−−−−−−−→  0 −1 −2 0 d3 →d3 +2d1 mới 1    d2 →(−1)d2   d3 →d3 +d2   d2 ↔d3  1 2 2 −−−−−−−→ −1 −2 −2 −−−−−−→ −1 −2 −2 −−−−→  0 d1 →d1 −d2 1  1 1 1  1  1 ...   ... ajn   1 1 2 3 1 amn 0 0 −1 −2 −2 1 −1 0 0   1  −1 −4 0 • Ma trận bậc thang (theo dòng): Cho A là ma trận khác không cấp m × n . A gọi là ma trận bậc thang dòng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Các dòng khác không nằm phía trên các dòng bằng không (nếu có). 2) Phần tử khác không đầu tiên kể từ trái qua phải ở dòng dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 26 TOÁN CAO CẤP 1 Các phần tử khác không đầu tiên này gọi là các phần tử được đánh dấu của A.      1 2 0 0  1 1 1 1 0 2 0 0 2 0       A = 0 1 0 ; B = 0 1 0 ; C =   0 0 0 0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 0   1 0 0  1 0 1 0 là các ma trận bậc thang.  1 2  3 4     0 0 0 D = 0 0 1 0 ; E =   ; F = 0 1 2 0 0 0 1 0 −3 0 0 0 2 0 0 0 0 0   không là ma trận bậc thang. Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 2.1. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng không làm thay đổi hạng của ma trận. Hạng của ma trận bậc thang dòng bằng số dòng khác 0 của nó. Do đó muốn tìm hạng A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa về ma trận bậc thang A′ . Khi đó hạng của A bằng hạng của A′ bằng số dòng khác 0 của A′ . Ví dụ 2.14.    1 1 2 3 d2 →d2 −4d1 2 3    d3 →d3 −7d1  1 d3 →d3 −2d2 0 −6 −12 7 8 9 2 3  −6  −−−−−−−→ 0 −3 −6 = A′ A = 4 5 6 −−−−−−−→ 0 −3     0 0 0 Ta được rank(A) = rank(A′ ) = 2. 2.5. Ma trận nghịch đảo 2.5.1. Khái niệm Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận B vuông cấp n gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu AB = BA = In . " Ví dụ 2.15. Cho A = 1 2 1 3 # " ; B= # 3 −2 −1 1 . Khi đó, ta có AB = BA = I2 nên A−1 = B. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 27 TOÁN CAO CẤP 1 Tính chất: Nếu ma trận vuông A và B có ma trận nghịch đảo thì −1 −1 = A, A AT −1 = A−1 T , (AB)−1 = B −1 A−1 . 2.5.2. Điều kiện tồn tại và duy nhất Định lý 2.2. Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi detA ̸= 0. Ma trận nghịch đảo của A nếu có thì duy nhất. Định nghĩa 2.6. (Ma trận khả nghịch, ma trận không suy biến) Ma trận A có ma trận nghịch đảo ta gọi là ma trận khả nghịch (khả đảo). Ma trận A có detA ̸= 0 gọi là ma trận không suy biến. 2.5.3. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo • Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp Định nghĩa 2.7. (Ma trận phụ hợp) (xem lại Định nghĩa phần bù đại số ở Định nghĩa 2.5) Giả sử, ta đặt cij = (−1)i+j detMij là phần bù đại số của aij . Đặt C = (cij ) là ma trận vuông trên R. Ma trận C T được gọi là ma trận phụ hợp (hay ma trận phó) của A, kí hiệu PA = C T . Thuật toán tìm A−1 (nếu có) bằng ma trận phụ hợp: Cho A là ma trận vuông trên R. Bước 1: Tính detA. Bước 2: Biện luận: - Nếu detA = 0 thì A không khả nghịch, tức không tồn tại A−1 . - Nếu detA ̸= 0 thì A khả nghịch. Tìm A−1 ở bước 3. Bước 3: Tính PA - Tính Cij = (−1)i+j detMij . - Tính   c11 c12 ... c1n c  21  ... c22 ... c2n  ... ... C=   ...  cm1 cm2 ... cmn CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 28 TOÁN CAO CẤP 1 - Khi đó, .PA = C T và A−1 = 1 detA PA . Ví dụ 2.16. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của   1 1 1   A = 1 2 2 1 2 3 Giải. Dùng quy tắc Sarrus, ta có detA = 1 ̸= 0 nên A khả nghịch. Ta có c11 = (−1)1+1 2 2 c21 = (−1)2+1 1 1 c31 = (−1)3+1 1 1 2 3 2 3 2 2 = 2 ; c12 = (−1)1+2 1 2 1 3 = −1 ; c22 = (−1)2+2 = 0 ; c32 = (−1)3+2 = −1 ; c13 = (−1)1+3 1 1 = −1 ; c33 = (−1)3+3 1 1 1 3 1 2 1 2 = 2 ; c23 = (−1)2+3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 =0; = −1 ; =1; Từ đó, ta được  2 C = −1  0 −1 2 0   ⇒ PA = C T = −1 −1 −1 −1 2   −1 0 1 2 0  −1  1 Vậy  A−1 = 1 detA 2 PA = −1  0 −1 2 −1 0  −1  1 • Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp Thuật toán tìm A−1 (nếu có) bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Bước 1: Lập ma trận [A|In ] bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trận đơn vị In . Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [A|In ] về dạng [In |B]. Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và A−1 = B . Ví dụ 2.17. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của " # A= CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1 1 2 3 Trang 29 TOÁN CAO CẤP 1 Giải. Ta xét " [A|I2 ] = 1 1 1 0 # −−−−−−−→ 2 3 0 1 " Vì vậy, A−1 = B = " d2 →d2 −2d1 1 1 1 0 # " d1 →d1 −d2 −−−−−−→ 0 1 −2 1 1 0 3 # −1 0 1 −2 1 = [I2 |B] # 3 −1 −2 1 . Ví dụ 2.18. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của   1 2 3 A = 4 5 6   7 8 9 Giải. Ta xét    1 1 2 3 1 0 0 d3 →d3 −7d1 2 [A|I3 ] = 4 5 6 0 1 0 −−−−−−−→ 0 −3   d2 →d2 −4d1 7 8 9 0 0 1  3 1 −6 −4  0 0 1 0  0 −6 −12 −7 −1 1   ... ... ... ... ... ... d3 →d3 −2d2 −−−−−−−→ ... ... ... ... ... ... ̸= [I3 |B] .   0 0 0 ... ... ... Vì vậy A không khả nghịch. CHƯƠNG 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Trang 30 Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. Khái niệm cơ bản 3.1.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) là hệ có dạng   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1      a x + a x + ... + a x = b 21 2 22 2 2n n 2 (3.1)   .........     am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm trong đó: aij , bi (i = 1, m, j = 1, n là các số thực cho trước ; aij gọi là các hệ số là các hệ số tự do. x1 , x2 , ..., xn gọi là các ẩn số.   a11 a12 ... a1n a  21 Ma trận A =   ... a22 ... a2n  ... ...   gọi là ma trận hệ số của hệ (3.1). ...  am1 am2 ... amn  b1     b2   Ma trận B =   ...  gọi là ma trận hệ số tự do hay cột tự do của hệ (3.1).   bm 31 , bi gọi TOÁN CAO CẤP 1   a11 a12 a  21 Ma trận A = [A|B] =   ... a22 ... a1n b1  ... a2n b2  ... ... gọi là ma trận hệ số bổ sung hay ..  .  ... am1 am2 ... amn bm ma trận mở rộng của hệ (3.1).   x1    x2   Ma trận X =   ...  gọi là ma trận ẩn số hay cột ẩn số.   xn Hệ (3.1) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B . Hệ (3.1) gọi là hệ Cramer nếu nó có số phương trình bằng số ẩn (n = m) và detA ̸= 0. Hệ (3.1) gọi là hệ thuần nhất nếu cột tự do bi = 0 với mọi i = 1, m. Bộ n số (x1 , x2 , ..., xn ) gọi là nghiệm của hệ (3.1) nếu như khi ta thay chúng vào hệ (3.1) ta được các đẳng thức đúng. Giải hệ phương trình tuyến tính tức là đi tìm nghiệm của hệ. Hai hệ phương trình tuyến tính cùng số ẩn được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau. 3.1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm Định lý 3.1. (Định lý Kronecker-Capelli) Hệ phương trình tuyến tính (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi rank(A) = rank(A). Hơn nữa, giả sử rank(A) = rank(A) = r (0 ≤ r ≤ min{m, n}). Khi đó: - Nếu r = n (n là số ẩn) thì hệ (3.1) có nghiệm duy nhất. - Nếu r < n thì hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số. Ví dụ 3.1. Các hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không?     x + 2x + 3x = 1 2 3    x1 + 2x2 + 3x3 = 1  1 a) b) 4x1 + 5x2 + 6x3 = 4    4x1 + 5x2 + 6x3 = 4    7x1 + 8x2 + 9x3 = 8 Giải. a) Ta xét    1 2 3 1 1 2   x + 2y = 1 c)  2x + 3y = −1 7x1 + 8x2 + 9x3 = 7 3  1  1 2 3  1   d2 →d2 −4d1   d3 →d3 −2d2   4 5 6 4 −−−−−−−→ 0 −3 −6 0 −−−−−−−→ 0 −3 −6 0 d3 →d3 −7d1 7 8 9 8 0 −6 −12 1 CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 0 0 0 1 Trang 32 TOÁN CAO CẤP 1 Do rank(A) = 2 ̸= rank(A) = 3 nên hệ vô nghiệm. b) Ta xét     1 1 2 3 1 2  1 3  1 2 3 1  d3 →d3 −2d2   d2 →d2 −4d1    −→ 0 1 2 0 4 5 6 4 −−−−−−−→ 0 −3 −6 0 −−−−−− d d3 →d3 −7d1 0 −6 −12 0 7 8 9 7 2 d2 → −3 0 0 0 0 Do rank(A) = 2 = rank(A) < số ẩn = 3 nên hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào 3 − 2 = 1 tham số. c) Ta xét # # " # " " 1 2 1 1 d2 →d2 −2d1 2 3 −1 −−−−−−−→ 2 1 1 d1 →d1 +2d2 0 −1 −3 −−−−−−−→ 0 −5 0 −1 −3 Do rank(A) = 2 = rank(A) = số ẩn nên hệ có nghiệm duy nhất. 3.2. Phương pháp giải hệ Cramer Định nghĩa 3.1. (Hệ phương trình tuyến tính Cramer ) Ở hệ (3.1), nếu m = n, tức là hệ có số phương trình bằng số ẩn, thì được gọi là hệ phương trình tuyến tính Cramer. Xét hệ phương trình tuyến tính Cramer dạng ma trận AX = B (A là ma trận vuông, detA ̸= 0 ) • Phương pháp ma trận nghịch đảo: Hệ có nghiệm duy nhất X = A−1 B. Ví dụ 3.2. Giải hệ phương trình tuyến tính     x 1 + x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 + 2x3 = −1    x1 + 2x2 + 3x3 = 2 Giải. Hệ phương trình trên được viết thành dạng AX = B trong đó   1 1 1   x1  1  A = 1 2 2 ; X = x2  ; B = −1   1 2 3 CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH   x3   2 Trang 33 TOÁN CAO CẤP 1 Ta có  2  A−1 = −1 0 −1 0   2   −1 ⇒ X = −1 2 −1 1 0 −1 2 0  1   3      −1 −1 = −5 ⇒ −1 1 2 3     x1 = 3 x2 = −5    x3 = 3 Ví dụ 3.3. Giải hệ phương trình tuyến tính     2x1 + x2 − x3 = 1 x2 + 3x3 = 3    2x1 + x2 + x3 = −1 • Phương pháp định thức: Nhắc lại rằng hệ Cramer là hệ có số phương trình bằng số ẩn (m = n), tức là, hệ (3.1) lúc này thành   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1      a x + a x + ... + a x = b 21 2 22 2 2n n 2 (3.2)   .........     an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn  a11 a12 ... a1n a  21 a22 Bước 1: Lập A =   ... ...    b1     b2  ... a2n    ; B=  ...  ; và Ai là ma trận nhận từ A ... ...    an1 an2 ... ann bn bằng cách thế cột thứ i bằng cột B . Bước 2: Tính ∆ = detA ; ∆1 = detA1 ; ... ; ∆n = detAn . Bước 3: Biện luận:  ∆1   x1 =   ∆    ∆   x2 = 2 ∆ - Nếu ∆ ̸= 0 thì hệ (3.2) có nghiệm duy nhất .  ..      ∆n    xn = ∆ - Nếu ∆ = 0 và có ∆i ̸= 0 với i = 1, n thì hệ (3.2) vô nghiệm. - Nếu ∆ = ∆1 = ∆2 = ... = ∆n = 0 thì không có kết luận tổng quát (hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, lúc này ta dùng phương pháp Gauss sẽ được đề cập ở mục 3.3). CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trang 34 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 3.4. Giải hệ phương trình sau bằng cách dùng phương pháp định thức a)   x + 2y = 1 ; b)  3x − 4y = 2 Giải. " a) Ta có A = A1 = 2 1 1 3 2 2 3 −4 4x + 5y + 6z = 4    # ; c) 7x + 8y + 9z = 8     x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0    7x + 8y + 9z = 0 " # 1 ; B= 2 = −10 ̸= 0. # 1 ⇒ ∆1 = detA1 = 2 −4 " A2 = 1 2 3 −4 1 ∆ = detA = " 1     x + 2y + 3z = 1 # ⇒ ∆2 = detA2 = 2 −4 1 1 3 2 Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất   1 2 3 2 = −8. = −1.  ∆1 −8 4  = =  x1 = ∆ −10 5   y = ∆2 = −1 = 1 . ∆ −10 10   1     b) Ta có A = 4 5 6 ; B = 4 7 8 9 8 1 2 3 ∆ = detA = 4 5 6 = 0 (dùng công thức Sarrus để tính det). 7 8 9   1 2 3 A1 = 4 5 6 ⇒ ∆1 = detA1 = −3 ̸= 0.   8 8 9 Lúc này, hệ vô nghiệm.   1 2 3   0     c) Ta có A = 4 5 6 ; B = 0 7 8 9 0 ∆ = detA = 0 0 2 3 A1 = 0 5 6 ⇒ ∆1 = detA1 = 0. 0 8 9 CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trang 35 TOÁN CAO CẤP 1   1 0 3 A2 = 4 0 6 ⇒ ∆2 = detA2 = 0.   7 0 9   1 2 0 A3 = 4 5 0 ⇒ ∆3 = detA3 = 0.   7 8 0 Lúc này, ta không biết cụ thể hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm, tức là, ta không dùng được phương pháp định thức để giải hệ này. 3.3. Phương pháp giải hệ tổng quát • Phương pháp đưa về hệ Cramer : Tìm hạng của A và A - Nếu rank(A) ̸= rank(A) thì hệ vô nghiệm. - Nếu rank(A) = rank(A) = r. Khi đó tồn tại định thức con cấp r trận A khác 0. Dr của ma Ta bỏ đi tất cả các phương trình không dính đến Dr (m − r phương trình). Các ẩn ứng với các cột có dính đến Dr giữ lại bên trái làm ẩn. Các ẩn ứng với các cột không dính đến Dr chuyển sang bên phải làm tham số. Khi đó ta có hệ Cramer. • Phương pháp Gauss: - Lập ma trận A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang. - Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0. Hệ vô nghiệm. - Nếu đưa A về dạng bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1. Ví dụ 3.5. Giải hệ phương trình tuyến tính sau  x + x + x + x = 2 1 2 3 4 a)  x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 4 CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  x + x − x + x − x = 1 1 2 3 4 5 b)  x5 = 2 Trang 36 TOÁN CAO CẤP 1 Giải. a) Dùng phương pháp Gauss " # 1 1 1 1 2 1 1 2 2 4 " d2 →d2 −d1 −−−−−−→ # 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 Theo Định lý 3.1, r = rank(A) = rank(A) = 2 nên hệ tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do hạng bé số ẩn (r = 2 < n = 4) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số. Do đó   x1 = 2 − x2 − x3 − x4 = −a      x = a (a ∈ R) 2   x3 = 2 − x4 = 2 − b     x4 = b (b ∈ R) Vậy hệ phương trình có nghiệm {(−a, a, 2 − b, b) : a, b ∈ R}. b) Dùng phương pháp Gauss " # 1 1 −1 1 −1 1 0 0 0 0 1 2 ⇒   x1 = 3 − a + b − c         x2 = a (a ∈ R) x3 = b (b ∈ R)     x4 = c (c ∈ R)      x5 = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm {(3 − a + b − c, a, b, c, 2) : a, b, c ∈ R}. 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ thuần nhất   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0      a x + a x + ... + a x = 0 21 2 22 2 2n n (3.3)   .........     am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0 với dạng ma trận là AX = O CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trang 37 TOÁN CAO CẤP 1 Hệ luôn có nghiệm vì r(A) = r ([A|O]) . Bộ số (0, 0, . . . , 0) luôn là một nghiệm của hệ (3.3) gọi là nghiệm tầm thường. Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ (3.3). Từ Định lý (3.1) Kronecker-Caperrli, ta có - Nếu r(A) = n thì hệ (3.3) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường. - Nếu r(A) = r < n thì hệ (3.3) có vô số nghiệm phụ thuộc n − r tham số. Hệ thuần nhất là trường hợp riêng của hệ tổng quát nên có thể áp dụng phương pháp giải hệ tổng quát cho nó với lưu ý trong quá trình biến đổi thay cho ma trận mở rộng ta chỉ cần biến đổi ma trận hệ số. Ví dụ 3.6. Ở Ví dụ 3.4, hệ c) vừa là hệ Cramer vừa là hệ thuần nhất. Hơn nữa, như đã trình bày ở Ví dụ 3.4, hệ này không giải được bằng phương pháp định thức.     x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0    7x + 8y + 9z = 0 Nhắc lại rằng, hệ Cramer, thuần nhất là trường hợp riêng của hệ tổng quát nên có thể áp dụng phương pháp giải hệ tổng quát cho nó, nhưng thay vì biến đổi ma trận mở rộng (như Ví dụ 3.5) thì ta chỉ cần biến đổi ma trận hệ số. Dùng phương pháp Gauss, ta được       0 1 2 3 2 3 1 2 3  d3 →d3 −2d2   d2 →d2 −4d1    A = 4 5 6 −−−−−−−→ 0 −3 −6  −−−−−−−→ 0 1 2 −d d3 →d3 −7d1 7 8 9 0 −6 −12 d2 → 2 3 0 0 0 Do r(A) = 2 < số ẩn = n = 3 nên hệ có vô số nghiệm     x = −2y − 3z = a y = −2a    z = a (a ∈ R) Chú ý: Hệ thuần nhất (3.3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn (rank(A) < n). Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì ma trận hệ số là ma trận vuông. Khi đó - Hệ có nghiệm duy nhất tầm thường khi và chỉ khi detA ̸= 0. - Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trang 38 Chương 4 KHÔNG GIAN VECTOR 4.1. Khái niệm Cho tập hợp Rn = x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, n . Số xi được gọi là thành phần thứ i của x. Hai phần tử x và y của Rn được gọi là bằng nhau, kí hiệu x = y nếu tất cả các thành phần tương ứng đều bằng nhau. Trên Rn ta đưa ra hai phép toán như sau: • Phép cộng hai phần tử của Rn : Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) • Phép nhân một số thực với một phần tử của Rn : Với λ ∈ R và x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ) Tập hợp Rn cùng với hai phép toán đó có 8 tính chất sau đây: 1) ∀x, y ∈ Rn : x + y = y + x 2) ∀x, y, z ∈ Rn : (x + y) + z = x + (y + z) 3) ∃O = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn sao cho x + O = O + x = x∀x ∈ Rn . 4) ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ∃(−x) = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) ∈ Rn có tính chất sau x + (−x) = (−x) + x = O. 39 TOÁN CAO CẤP 1 5) ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ R thì λ(x + y) = λx + λy. 6) ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ Rn thì (λ + µ)x = λx + µx. 7) ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ Rn thì (λµ)x = λ(µx). 8) x ∈ Rn thì 1.x = x. Rn với hai phép toán này thỏa mãn 8 tính chất đặc trưng ở trên gọi là một không gian véc tơ trên R. Các phần tử của không gian này gọi là các véc tơ. Phần tử O = (0, 0, ..., 0) gọi là véc tơ không. Véc tơ −x = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) gọi là véc tơ đối của x = (x1 , x2 , ..., xn ). • Phép trừ hai véc tơ: Cho x, y ∈ Rn . Ta định nghĩa x − y = x + (−y). 4.2. Tính chất của không gian véc tơ Không gian véc tơ có các tính chất sau 1) Véc tơ không của không gian véc tơ là duy nhất. Véc tơ không của Rn ta kí hiệu là 0Rn hoặc 0. 0Rn = 0 ; 0R2 = (0, 0) ; 0R3 = (0, 0, 0) 2) Véc tơ đối của véc tơ x cũng duy nhất. Qui ước: Phần tử đối của x ta kí hiệu là −x. 3) Phép cộng có luật giản ước. Tức là x, y, z ∈ Rn , x + y = x + z ⇒ y = z. 4) Phép nhân có luật giản ước cho một số khác 0. Tức là x, y ∈ Rn ; λ ∈ R, λ ̸= 0 ; λx = λy ⇒ x = y. 5) Cho x, y ∈ Rn . khi đó λ(x − y) = λx − λy với λ ∈ R. " 6) Cho x ∈ Rn , λ ∈ R. Khi đó λx = 0 ⇔ λ=0 x=0 4.3. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véc tơ 4.3.1. Biểu thị tuyến tính Cho hệ véc tơ {α1 , α2 , ..., αm } ⊂ Rn . Khi đó véc tơ α ∈ Rn gọi là biểu thị tuyến tính được qua các véc tơ α1 , α2 , ..., αm nếu tồn tại các số a1 , a2 , ..., am ∈ R sao cho CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 40 TOÁN CAO CẤP 1 α = a1 α1 + a2 α2 + ... + am αm . Khi đó ta cũng nói α là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ α1 , α2 , ..., αm . Tổ hợp tuyến tính m P ai αi của hệ (αi )i=1,m gọi là tầm thường nếu a1 = a2 = ... = i=1 am = 0 ∈ R. Trái lại nếu có ít nhất một hệ số aj ̸= 0(1 ≤ j ≤ n) thì tổ hợp tuyến tính m P ai αi gọi là không tầm thường. i=1 Ví dụ 4.1. Trong R3 cho cho các véc tơ α1 = (1, 3, −2) ; α2 = (0, 1, −1) ; α3 = (2, 0, 3) ; α = (−2, 1, −1) ; Hỏi α có biểu thị tuyến tính được qua α1 , α2 , α3 không? Giải. Véc tơ α là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ α1 , α2 , α3 vì α = −6α1 +19α2 +2α3 . Phương pháp kiểm tra α có là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , ..., αm không? Ta có α là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , ..., αm khi phương trình (4.1) α = a1 α1 + a2 α2 + ... + am αm có nghiệm. Đặc biệt, trong trường hợp không gian Rn . Giả sử α = (b1 , b2 , ..., bn ) α1 = (a11 , a21 , ...., an1 ) α2 = (a12 , a22 , ...., an2 ) ...... αm = (a1m , a2m , ...., anm ) Khi đó (4.1) ⇔   a11 α1 + a12 α2 + ... + a1m αm = b1      a α + a α + ... + a α = b 21 1 22 2 2m m 2 (4.2)   .......     an1 α1 + an2 α2 + ... + anm αm = bn  a11 a12 ... a1m b1  a   21 a22 ... a2m b2  Ma trận hóa (4.2), ta được    ... ... ... ... .  an1 an2 ... anm bn CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 41 TOÁN CAO CẤP 1 Tức là α1T α2T ... T αm | αT Như vậy, để kiểm tra α là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , ...αm trong Rn , ta áp dụng các bước sau: Bước 1: Lập ma trận mở rộng T T (4.3) α1 α2T ... αm | αT Bước 2: Giải hệ phương trình (4.3) - Nếu (4.3) vô nghiệm, thì α không là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , ..., αm . - Nếu (4.3) có nghiệm a1 , a2 , ..., am thì α là tổ hợ tuyến tính của α1 , α2 , ..., αm và có dạng biểu diễn là α = a1 α1 + a2 α2 + .... + am αm Ví dụ 4.2. Trong R3 cho các véc tơ α1 = (1, 2, 5) ; α2 = (1, 3, 7) ; α3 = (−2, 3, 4) ; α = (4, 3, 5). Hỏi α có là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , α3 không? Giải. Lập    1 1 −2 4 α1T α2T d2 →d2 −2d1 1 1 −2 α3T | αT = 2 3 3 3 −−−−−−−→ 0 1 5 7 4 5   d3 →d3 −5d1  7 4   1 0 −9 d1 →d1 −d2 −5  −−−−−−−→ 0 1  0 2 14 −15  d3 →d3 −2d2 0 0 −5 . 0 −5 0α1 + 0α2 + 0α3 = −5. Vậy α không là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , α3 . 4.3.2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 4.1. (Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính) Cho α1 , α2 , ..., αm ∈ Rn . Xét phương trình (4.4) - Nếu (4.4) chỉ có nghiệm tầm thường a1 = a2 = ... = am = 0 thì ta nói α1 , α2 , ..., αm (hay {α1 , α2 , ..., αm }) độc lập tuyến tính. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 42  7 Hệ vô nghiệm do a1 α1 + a2 α2 + ... + am αm = 0 9  TOÁN CAO CẤP 1 - Nếu (4.4) có nghiệm không tầm thường thì ta nói α1 , α2 , ..., αm (hay {α1 , α2 , ..., αm }) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, - Nếu (4.4) có nghiệm duy nhất thì α1 , α2 , ..., αm độc lập tuyến tính. - Nếu (4.4) có vô số nghiệm thì α1 , α2 , ..., αm phụ thuộc tuyến tính. Nhắc lại: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có m ẩn. Khi đó rank(A) = rank([A|O]) = rank(A) với A là ma trận mở rộng (có thể xem lại phần này ở trang 38). Hơn nữa, áp dụng Định lý 3.1 Kronecker-Capelli, ta có - Nếu rank(A) = rank(A) = m hệ chỉ có nghiệm tầm thường. - Nếu rank(A) = rank(A) < m hệ có vô số nghiệm. Nhắc lại: (xem lại phần Chú ý trang 38) Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó các khắng định sau tương đương: i) rank(A) = n. ii) detA ̸= 0. iii) Hệ phương trình AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường. Phương pháp kiểm tra tính độc lập/phụ thuộc tuyến tính của các véc tơ α1 , α2 , ..., αm trong Rn . Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp α1 , α2 , ..., αm thành các cột hoặc thành các dòng. Bước 2: Tìm hạng của A, tức là tìm rank(A). - Nếu rank(A) = m (hạng = số véc tơ) thì α1 , α2 , ..., αm độc lập tuyến tính. - Nếu rank(A) < m (hạng < số véc tơ) thì α1 , α2 , ..., αm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n (tức số véc tơ = số thành phần của mọi véc tơ), ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây Bước 2’: Tính detA. - Nếu detA ̸= 0 thì α1 , α2 , ..., αm độc lập tuyến tính. - Nếu detA = 0 thì α1 , α2 , ..., αm phụ thuộc tuyến tính. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 43 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 4.3. Trong không gian R3 cho các véc tơ α1 = (2m + 1, −m, m + 1); α2 = (m − 2, m − 1, m − 2); α3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện của m để α1 , α2 , α3 độc lập tuyến tính.   2m + 1 −m m+1   Giải. Lập A =  m − 2 m − 1 m − 2 . Ta có 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m+1 −m m m+1 detA = m − 2 m − 1 m − 2 = 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 = m(−1)1+1 m−1 m−2 m − 1 2m − 1 0 (Lấyc1 → c1 − c3 ) m − 1 2m − 1 (khai triển định thức theo cột 1) = m(m − 1)(m + 1) Lúc này, α1 , α2 , α3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi detA ̸= 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) ̸= 0 ⇔ m ̸= 0 và m ̸= ±1. 4.4. Hạng của hệ véc tơ tơ và số chiều của không gian véc tơ 4.4.1. Hạng của hệ véc tơ • Hệ con độc lập tuyến tính tối đại: Cho các véc tơ α1 , α2 , ..., αm trên Rn , hay ta cũng có thể hiểu là cho hệ gồm m véc tơ {α1 , α2 , ..., αm } (α) Hệ con của hệ véc tơ (α) là hệ véc tơ gồm một số (hoặc tất cả ) các véc tơ của hệ. Hệ con {αi1 , αi2 , ..., αik } của hệ (α) gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu hệ {αi1 , αi2 , ..., αik } độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ (α) vào hệ con đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét: Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau nhưng số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Số đó ta gọi là hạng của hệ (α), kí hiệu rank(α). Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại, hạng của hệ véc tơ trong Rn Trong Rn cho hệ gồm m véc tơ {α1 , α2 , ..., αm } (α) Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ (α), ta làm như sau CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 44 TOÁN CAO CẤP 1 - Lập ma trận A, các dòng của A là các véc tơ αi . - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng ma trận bậc thang A′ . Khi đó hạng của hệ (α) chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của (α) gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A′ . Ví dụ 4.4. Trong R5 cho 5 véc tơ α1 = (1, 2, −3, 5, 1); α2 = (1, 3, −13, 22, −1); α3 = (3, 5, 1, −2, 5). Tìm hạng của hệ (α) = {α1 , α2 , α3 } và chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó. Giải. Lập      1 2 −3 5 A = α2  = 1 3 −13 22 −1 −−−−−−−→ 0 1 −10 17 10 −17 α1   1 2 −3 5 1   α3 3 5 1 −2 d2 →d2 −d1  d3 →d3 −3d1 0 −1 5  1 2 −3 5 1 1  −2  2  d3 →d3 +d2   −−−−−−→ 0 1 −10 17 −2 = A′ 0 0 0 0 0 Khi đó, hạng của hệ (α) = rank(A) = 2 và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ (α) là (1, 2, −3, 5, 1), (0, 1, −10, 17, −2). Ví dụ 4.5. Trong R4 cho 5 véc tơ α1 = (1, 1, 2, 2); α2 = (2, 3, 6, 6); α3 = (3, 4, 8, 8); α4 = (8, 11, 22, 22); α5 = (5, 7, 14, 14). Tìm hạng của hệ {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 } và chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó. Ví dụ 4.6. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {β1 = (1, −1, 0, 1); β2 = (1, 0, −1, −2); β3 = (0, 1, −1, 2)} trong R4 . 4.4.2. Cơ sở, số chiều, tọa độ • Cơ sở, số chiều: Định nghĩa 4.2. (Định nghĩa về cơ sở) Hệ véc tơ {α1 , α2 , ..., αm } (α ) trong không gian Rn gọi là một cơ sở của Rn nếu hệ (α) độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của Rn đều là tổ hợp tuyến tính của (α). CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 45 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 4.7. Trong không gian R3 , cho (α) = {α1 = (1, 1, 1) ; α2 = (1, 2, 1) ; α3 = (2, 3, 1)}. Hỏi (α) có là cơ sở của R3 không? Giải. Ta kiểm tra (α) = {α1 , α2 , α3 } có độc lập tuyến tính không? (xem lại Phương pháp trang 42).     1 1 1 α1     α2  = 1 2 1 2 3 1 α3 Ta có rank(A) = 3 (hoặc detA = −1). Suy ra (α) độc lập tuyến tính. Tiếp theo, đặt A = (x, y, z) ∈ R3 , ta kiểm tra A có là tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 , α3 không? (xem lại Phương pháp trang 41). Lập ma trận mở rộng     1 1 2    = 1 2 3 y  −→ 0 1 1 1 1 2 x α1T α2T T α3T | A 1 1 1 z x −x + y   0 0 −1 −x + z Hệ có nghiệm, suy ra A là tổ hợp tuyến tính của {α1 , α2 , α3 }. Vậy (α) là cơ sở của R3 . Nhận xét 4.1. - Trong Rn , xét hệ véc tơ e1 = (1, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, ..., 0) .. . en = (0, 0, ..., 1) Hệ {e1 , e2 , e3 } là một cơ sở của Rn . Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của Rn , kí hiệu (Cn ). - Trong không gian véc tơ Rn hệ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính là một cơ sở của không gian đó. Định nghĩa 4.3. (Định nghĩa về số chiều) Một không gian véc tơ có thể có nhiều cơ sở, tuy nhiên số lượng véc tơ trong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Số lượng véc tơ trong cơ sở được gọi là số chiều của không gian. Không gian Rn có số chiều bằng n. Kí hiệu dimRn = n. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 46 TOÁN CAO CẤP 1 • Tọa độ véc tơ: Định nghĩa 4.4. (Định nghĩa về tọa độ véc tơ) Cho (α) = {α1 , α2 , ..., αn } là một cơ sở của Rn . Khi đó mọi véc tơ u ∈ Rn đều có thể viết được duy nhất dưới dạng với a1 , a2 , ..., an ∈ R u = a1 α1 + a2 α2 + ... + an αn , Ta gọi bội số (a1 , a2 , ..., an ) là tọa độ của véc tơ u trong cơ sở (α), kí hiệu u/(α) = (a1 , a2 , ..., an ).   a1    a2   Ta cũng kí hiệu [u]/(α) =   ...  hoặc [u](α) .   an Nhận xét 4.2. Trong Rn với cơ sở chính tắc (Cn ) = {e1 = (1, 0, ..., 0) ; e2 = (0, 1, ..., 0) ; ... ; en = (0, ..., 0, 1)} mọi véc tơ x = {x1 , x2 , ..., xn } ∈ Rn đều có tọa độ trong (Cn ) là chính nó [x](Cn ) = (x1 , x2 , ..., xn )T vì x = (x1 , x2 , ..., xn ) = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en . Phương pháp tìm tọa độ của véc tơ u trong cơ sở (α) trong Rn , tức tìm [u](α) Giả sử (α) = {α1 , α2 , ..., αn } là 1 cơ sở và u ∈ Rn . Giải α1T α2T ... αnT | uT .   a1    a2   Giả sử (a1 , a2 , ..., an ) là nghiệm. Khi đó [u](α) =   ... .   an Quy ước: Tọa độ trong Đại số tuyến tính ghi thành cột. Ví dụ 4.8. Trong R3 cho hệ 3 véc tơ (α) = {α1 = (1, 2, 1), α2 = (1, 3, 1), α3 = (2, 5, 3)}. a) Chứng tỏ (α) là một cơ sở của R3 . b) Tìm tọa độ của véc tơ u = (a, b, c) theo cơ sở (α). Giải. a) (tự làm) b) Với u = (a, b, c) ∈ R3 , để tìm [u](α) ta lập hệ phương trình  α1T α2T 1 1 2 a   1 0 0 4a − b − c  α3T | uT = 2 3 5 b  −→ 0 1 0 −a + b − c   1 1 3 c CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR  0 0 1  −a + c Trang 47 TOÁN CAO CẤP 1  4a − b − c    Vậy [u](α) = −a + b − c . −a + c • Ma trận chuyển cơ sở, công thức chuyển tọa độ Định nghĩa 4.5. (Định nghĩa về ma trận chuyển cơ sở) Cho không gian véc tơ Rn và (α) = {α1 , α2 , ..., αn } (β) = {β1 , β2 , ..., βn } là 2 cơ sở của Rn . Đặt Tαβ = [β1 ](α) [β2 ](α) ... [βn ](α) . Khi đó P được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (α) sang cơ sở (β), và được kí hiệu [(α) → (β)] = Tαβ . Nhận xét 4.3. Nếu (α) = {α1 , α2 , ..., αn } là một cơ sở của Rn và (Cn ) = {e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), e3 = (0, 0, ..., 1) là cơ sở chính tắc của Rn thì h i Tαβ = α1T α2T ... αnT Phương pháp tìm Tαβ trong không gian Rn : Giả sử (α) = {α1 , α2 , ..., αn } ; (β) = {β1 , β2 , ..., βn } là hai cơ sở của Rn . Bước 1: Lập ma trận mở rộng α1T α2 ... αnT | β1T β2T ... βnT . Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận trên về dạng [In | Tαβ ]. Khi đó Tαβ là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (α) sang cơ sở (β). • Công thức đổi tọa độ: Cho không gian véc tơ Rn và (α), (β) là 2 cơ sở của Rn . Khi đó, ta có [u](α) = Tαβ [u](β) , ∀u ∈ Rn . Định lý 4.1. Cho không gian véc tơ Rn và (α), (β), (γ) là những cơ sở của Rn . Khi đó i) Tαα = In . ii) [u](α) = Tαβ [u](β) , ∀u ∈ Rn . −1 iii) Tβα = Tαβ . iv) Tαθ = Tαβ .Tβθ . CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 48 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 4.9. Trong không gian R3 , cho 2 cơ sở (α) = {α1 = (1, 1, 3), α2 = (1, −2, 1), α3 = (1, −1, 2)} (β) = {(β1 = (1, −2, 2), β2 = (1, −2, 1), β3 = (1, −1, 2)}. a) Chứng minh (α) và (β) là 2 cơ sở của R3 . b) Tìm ma trận chuyển cơ sở  từ(α) sang (β). 2 c) Cho u ∈ R3   thỏa [u](β) = −3. Tìm [u](α) . −2 Giải. a) (tự làm) b) Lập ma trận mở rộng  1 α1T α2 α3T | β1T β2T 1 1 1 1    1 0 0 −1 0 0 β3T = 1 −2 −1 −2 −2 −1 −→ 0 1 0 −1 1 0   3  1 1 2 2 1 2   0 0 1 3 0 1  −1 0 0   Suy ra Tαβ = −1 1 0. 3 0 1   −1 0 0 2    −2      c) Ta có [u](α) = Tαβ [u](β) = −1 1 0 −3 = −5 . 3 0 1 −2 4 Ví dụ 4.10. Trong R3 cho hai cơ sở: (C3 ) là cơ sở chính tắc và (β) = {(β1 = (1, −1, 1), β2 = (2, 3, 1), β3 = (1, 2, 1)} a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (C3 ) sang (β). b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (β) sang (C3 ). c) Cho α = (1, 2, 3) ∈ R3 . Tìm [α](β) . d) Tìm véc tơ β4 ∈ R3 biết tọa độ của nó trong (β) là (2, 3, 5). 4.5. Không gian véc tơ con 4.5.1. Định nghĩa không gian véc tơ con Cho U là một tập con khác rỗng của Rn . Tập U gọi là không gian véc tơ con (không gian con) của Rn nếu i) ∀α, β ∈ U thì α + β ∈ U. ii) ∀a ∈ R, α ∈ U thì aα ∈ U. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 49 TOÁN CAO CẤP 1 Nhận xét 4.4. Cho không gian véc tơ Rn và U là tập con khác rỗng của Rn - Nếu U là không gian con của Rn thì véc tơ 0 ∈ U. - Nếu véc tơ 0 ∈ / U thì U không là không gian con của Rn . Phương pháp kiểm tra không gian con: Cho U là tập con của Rn . Để kiểm tra U là không gian con của Rn , ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiếm tra véc tơ 0 ∈ U. - Nếu véc tơ 0 ∈ / U thì kết luận U không là không gian con của Rn −→ Dừng. - Nếu véc tơ 0 ∈ U thì sang Bước 2. Bước 2: Với mọi α, β ∈ U và mọi a ∈ R. - Nếu α + β ∈ U và aα ∈ U. thì kết luận U là không gian con của Rn . - Ngược lại, ta cần đưa ra phản chứng, tức là, ta chỉ ra ví dụ cụ thể chứng tỏ α, β ∈ U nhưng α + β ∈ / U ; hoặc α ∈ U, a ∈ R nhưng aα ∈ / U . Khi đó U không n là không gian con của R . Ví dụ 4.11. Cho U = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = 2x2 x3 }. Hỏi U có là không gian con của R3 không? Giải. Với α = (2, 1, 1) và β = (4, 2, 1). Ta thấy α, β ∈ U nhưng α + β = (6, 3, 2) ∈ /U (vì 6 ̸= 2.3.2 ). Vậy U không là không gian con của R3 . Ví dụ 4.12. Cho U = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + 3x2 + x3 = 1}. Hỏi U có là không gian con của R3 không? Giải. Ta có véc tơ 0 = (0, 0, 0) ∈ / U vì 0 + 3.0 + 0 = 0 ̸= 1. Vậy U không là không gian con của R3 . Ví dụ 4.13. Cho U = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 = 0}. Hỏi U có là không gian con của R3 không? Giải. Ta có • Véc tơ 0 = (0, 0, 0) ∈ U ( vì 2.0 + 0 − 0 = 0). Nên U ̸= ∅. • Với mọi a ∈ R, α = (α1 , α2 , α3 ), β = (β1 , β2 , β3 ) ∈ U , nghĩa là 2α1 + α2 − α3 = 0 2β1 + β2 − β3 = 0 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 50 TOÁN CAO CẤP 1 Ta có α + β = (α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3 ). Hơn nữa 2(α1 + β1 ) + (α2 + β2 ) − (α3 + β3 ) = (2α1 + α2 − α3 ) + (2β1 + β2 − β3 ) = 0 + 0 = 0 Suy ra α + β ∈ U. Ta lại có aα = (aα1 , aα2 , aα3 ). Hơn nữa 2aα1 + aα2 − aα3 = a(2α1 + α2 − α3 ) = a0 = 0 Suy ra aα ∈ U. Kết luận U là không gian con của R3 . Ví dụ 4.14. Tập nào sau đây là không gian con của R2 ? a) U1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 = 3x1 }. b) U2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 = 2 + 3x1 }. 4.5.2. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ Định nghĩa 4.6. (Định nghĩa về không gian con sinh bởi một hệ véc tơ) Trong không gian véc tơ Rn , cho hệ véc tơ {α1 , α2 , ..., αm }. Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ α1 , α2 , ..., αm , kí hiệu ⟨α1 , α2 , ..., αm ⟩ là không gian con của véc tơ Rn . Không gian này ta gọi là không gian con của Rn sinh bởi hệ véc tơ {α1 , α2 , ..., αm } (còn gọi là bao tuyến tính của hệ véc tơ {α1 , α2 , ..., αm }). ⟨α1 , α2 , ..., αm ⟩ = {a1 α1 + a2 α2 + ... + am αm | ai ∈ R}. Chú ý: Một cơ sở của ⟨α1 , α2 , ..., αm ⟩ chính là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {α1 , α2 , ..., αm }. Ví dụ 4.15. Trong không gian R2 , ta xét (α) = {α = (1, 2)}. Khi đó ⟨α⟩ = {a(1, 2) | a ∈ R} = {(a, 2a) | a ∈ R}. Ví dụ 4.16. Trong không gian R3 , ta xét (α) = {α1 = (1, 2, 1), α2 = (−1, 2, 0)} Khi đó ⟨α1 , α1 ⟩ = {tα1 + sα2 |t, s ∈ R} = {(t − s, 2t + 2s, t) |t, s ∈ R}. Ví dụ 4.17. Trong R3 tìm một cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi hệ véc tơ sau {α1 = (1, 1, 1), α2 = (2, 3, 4), α3 = (4, 5, 6)}. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 51 TOÁN CAO CẤP 1 4.5.3. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ thuần nhất   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0      a x + a x + ... + a x = 0 21 2 22 2 2n n   .........     am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0 với dạng ma trận là (4.5) AX = 0 Không gian nghiệm Gọi tập nghiệm của hệ (4.5) là L = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : AX = 0}. Định lý 4.2. L là không gian con của Rn và nếu rank(A) = r thì dimL = n − r. Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Phương pháp tìm cơ sở của không gian nghiệm: Bước 1: Giải hệ (4.5), tìm nghiệm tổng quát. Bước 2: Lần lượt cho bộ ẩn tự do các giá trị (1, 0, ..., 0), ...., (0, 0, ..., 1) ta được các nghiệm cơ bản x1 , x2 , ..., xn . Bước 3: Khi đó, không gian nghiệm có cơ sở là {x1 , x2 , ..., xn }. Ví dụ 4.18. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình   x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 0      x + 3x − 13x + 22x = 0 1 2 3 4   3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 0     2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 0 Giải. Ma trận hóa hệ phương trình, ta có   1 2 −3 5  1 2 −3 5  1 3 −13 22  d2 →d2 −d1 , d3 →d3 −3d1 0 1 −10 17  A=  −−−−−−−−−−−−−−→   d4 →d4 −2d1 3 5 1 −2 0 −1 10 −17  2 3  4 −7 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR  0 −1  10 −17 Trang 52 TOÁN CAO CẤP 1  1 0 17 d1 →d1 −2d2 , d3 →d3 +d2 0 1 −10 −−−−−−−−−−−−−−→  d4 →d4 +d2 0 0 0  0 0 0  −29 17   0   0 Suy ra nghiệm của hệ là x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−17t + 29s, 10t − 17s, t, s), với t, s ∈ R. Lần lượt cho t = 1, s = 0 và t = 0, s = 1, các nghiệm cơ bản của hệ là X1 = (−17, 10, 1, 0) ; X2 = (29, −17, 0, 1). Do đó, nếu L là không gian nghiệm thì B = {X1 , X2 } là cơ sở của L và dimL = 2. CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTOR Trang 53 Chương 5 MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 5.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình InputOutput Leontief ) Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O. Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. Trong khuôn khổ của mô hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất. Các giả thiết sau được đặt ra: 1) Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng. 2) Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định. Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm: - Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất. 54 TOÁN CAO CẤP 1 - Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hang xuất khẩu. Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, . . . , ngành n và ngoài ra còn có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành kinh tế mở), nó không sản xuất hàng hóa như n ngành trên mà chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giả thiết thị trường ổn định). Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức: xi = xi1 + xi2 + ... + xin + bi , (5.1) i = 1, 2, ..., n. trong đó: xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i. xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian). bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng). Biến đổi (5.1) xi = xi1 xi2 xin x1 + x2 + ... + x n + bi , x1 x2 xn i = 1, 2, ..., n. Đặt aik = xik , xk (5.2) i, k = 1, 2, ..., n. Ta được hệ phương trình (mô hình Input-Output Liontief hay phương trình sản xuất):     x = a x + a x + ... + a x + b (1 − a11 )x1 − a12 x2 − ... − a1n xn = b1 1 11 1 12 2 1n n 1          −a x + (1 − a )x − ... − a x = b  x = a x + a x + ... + a x + b 2 21 1 22 2 2n n 2 21 1 ⇔   ...     22 2 2n n 2   ...     −an1 x1 − an2 x2 − ... + (1 − ann )xn = bn xn = an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn + bn (5.3) Dạng ma trận là X = AX + B hay (I − A)X = B CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ (5.3’) Trang 55 TOÁN CAO CẤP 1 với  a11 a12 ... a1n   a  21 a22 ... a2n  A=   ... ... ... ...  là ma trận hệ số chi phí đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật ; an1 an2 ... ann   x1 x   2 X=   ...  là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất); xn   b1 b   2 B=   ...  là ma trận cầu cuối. bn Từ (5.2), phần tử aik của A là tỷ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng hóa của ngành i tính trên một đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k (chi phí yếu tố đầu vào của sản xuất). Ví dụ aik = 0.2 nghĩa là để sản xuất ra 1USD giá trị hàng hóa của mình (tính bình quân), ngành k phải mua 0,2USD hàng hóa của ngành i. Theo giả thiết 2 ta có aik không đổi. Ta gọi aik là hệ số chi phí cho các yếu tố sản xuất hay hệ số kĩ thuật, do đó 0 ≤ aik < 1. Trong ma trận A, các phần tử của dòng i là hệ số giá trị hàng hóa của ngành i bán cho tất cả các ngành làm hàng hóa trung gian (kể cả ngành i), còn cột k là hệ số giá trị hàng hóa của ngành k mua của các ngành để sử dụng cho mình sản xuất hàng hóa của mình (kể cả ngành k ). Tổng tất cả các phần tử của cột k là mức chi phí của ngành k phải trả cho việc mua các yếu tố sản xuất trên 1USD giá trị hàng hóa của mình, do đó: a1k + a2k + ... + ank < 1, k = 1, 2, ..., n. Phương trình (5.3’) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các ngành sản xuất, điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa. Định lý 5.1. Giả sử A là ma trận hệ số đầu vào của một nền kinh tế và B là cầu cuối cùng. Nếu các phần tử của A và B không âm và tổng các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì (I − A)−1 tồn tại và ma trận tổng cầu X = (I − A)−1 B . Ma trận I − A gọi là ma trận Liontief hay ma trận hệ số công nghệ. CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 56 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 5.1. Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật   0, 2 0, 3 0, 2   0, 4 0, 1 0, 2 0, 1 0, 3 0, 2 a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A. b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành. Giải. b) Ta có  0, 8 I − A = −0, 4   0, 9 −0, 1 −0, 3   −0, 3 −0, 2 0, 66 0, 30 0, 24 −0, 2 ⇒ (I − A)−1 =  0, 8 1   0, 34 0, 62 0, 24 0, 384 0, 21 0, 27 0, 60 Ma trận tổng cầu    0, 66 0, 30 0, 24 X = (I − A)−1 B = 10   24, 84 1      0, 34 0, 62 0, 24  5  = 20, 68 0, 384 18, 36 6 0, 21 0, 27 0, 60 Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD). 5.2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan • Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa: Trong phân tích kinh tế người ta sử dụng hàm cung QS và hàm cầu QD để biểu thị sự phụ thuộc lượng cung , lượng cầu vào giá hàng hóa P với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi. Giả sử QS và QD có dạng tuyến tính QS = −a + bP ; QD = c − dP, Mô hình cân bằng thị trường     QS = −a + bP QD = c − dP    QS = QD ⇔ a, b, c, d > 0.     QS = −a + bP QD = c − dP    −a + bP = c − dP CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 57 TOÁN CAO CẤP 1 Suy ra giá cân bằng P = a+c b+d Lượng cân bằng QS = QD = cd − ad b+d • Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá trị của mặt hàng này có thể ảnh hưởng tới lượng cung và lượng cầu của các mặt hàng khác. Hàm cung và hàm cầu tuyến tính của thị trường n hàng hóa có dạng: QSi = ai0 + ai1 P1 + ai2 P2 + ... + ain Pn QDi = bi0 + bi1 P1 + bi2 P2 + ... + bin Pn , i = 1, 2, ..., n. trong đó QSi , QDi , Pi lần lượt là lượng cung, lượng cầu, giá hàng hóa i. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa: QSi = QDi , i = 1, 2, ..., n. Chuyển vế đặt cik = aik − bik ta được hệ   c11 P1 + c12 P2 + ... + c1n Pn = −c10      c P + c P + ... + c P = −c 21 1 22 2 2n n 20 (5.4)   ...     cn1 P1 + cn2 P2 + ... + cnn Pn = −cn0 Giải hệ (5.4) ta tìm được giá cân bằng của n hàng hóa, từ đó tìm được lượng cung và cầu cân bằng. Ví dụ 5.2. Thị trường gồm 3 loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu theo giá được xác định bởi: QD1 = 8 − 2P1 + P2 + P3 QD2 = 10 + P1 − 2P2 + P3 QD3 = 14 + P1 + 2P2 − 2P3 QS1 = −5 + 4P1 − P2 − P3 QS2 = −2 − P1 + 4P2 − P3 QS3 = −1 − P1 + P2 + 4P3 CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 58 TOÁN CAO CẤP 1 Xác định điểm cân bằng thị trường. Giải. Hệ phương trình xác định giá cân bằng     8 − 2P1 + P2 + P3 = −5 + 4P1 − P2 − P3 10 + P1 − 2P2 + P3 = −2 − P1 + 4P2 − P3    ⇔ 14 + P1 + 2P2 − 2P3 = −1 − P1 + P2 + 4P3     6 − 2P2 − 2P3 = 13 −2P1 + 6P2 − 2P3 = 12    −2P1 − P2 + 6P3 = 15. Giải hệ này ta có điểm cân bằng là P1 = 425 52 391 ; P2 = ; P3 = . 72 9 72 5.3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân Xét mô hình cho dưới dạng     Y = C + I0 + G0    C = a + b(Y − T ), T = d + tY, a > 0, 0 < b < 1 (5.5) d > 0, 0 < t < 1. trong đó Y là tổng thu nhập quốc dân. C là tiêu dùng của dân cư. T là thuế. I0 là mức đầu tư cố định theo kế hoạch. G0 là mức chi tiêu cố định của chính phủ. Biến đổi (5.5) ta được hệ phương trình 3 ẩn     Y − C = I0 + G0 −bY + C + bT = a    (5.6) −tY + T = d Giải hệ (5.6) ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. Ví dụ 5.3. Cho tổng thu nhập quốc dân Y , mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi Y = C + I0 + G0 CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 59 TOÁN CAO CẤP 1 C = 15 + 0, 4(Y − T ) T = 36 + 0.1Y. trong đó I0 = 500 là mức đầu tư cố định, G0 = 20 là mức chi tiêu cố định. Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. Giải. Ta có     Y = C + 500 + 20    C = Y − 520  C    ⇔ T = 15 + 0, 4(Y − T ) ⇔ = 36 + 0, 1Y.     C = Y − 520 T = 0, 1Y + 36    T = 0, 1Y + 36    ⇔     C = 293, 4375 T = 117, 34375    0, 64Y = 520, 6 Y − 520 = 15 + 0, 4(Y − 0, 1Y − 36) Y = 813, 4375 Vậy Y = 813, 4375 ; C = 293, 4375 ; T = 117, 34375. 5.4. Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa và tiền tệ (mô hình IS – LM) Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng thị trường của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ. Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r. Giả sử I = a1 − b1 r, a1 , b1 > 0. Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng  Y = c + I + G0     (a) I = a1 − b 1 r (a1 , b1 > 0) (b) C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1) (c) Thế (b) và (c) vào (a), ta được Y = a + bY + a1 − b1 r + G0 ⇔ b1 r = a + a1 + G0 − (1 − b)Y (5.8) Phương trình (5.8) biểu diễn quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hóa cân bằng, được gọi là phương trình IS. CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 60 TOÁN CAO CẤP 1 Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử L = a2 Y − b2 r, a2 , b2 > 0. Giả sử lượng cung tiền cố định là M0 . Điều kiện cân bằng thị trường tiền tệ là M0 = a2 Y − b2 r ⇔ b2 r = a2 Y − M0 (5.9) Phương trình (5.9) biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ được gọi là phương trình LM. Mô hình IS-LM là mô hình gộp IS và LM thành một hệ thống IS LM Từ mô hình mày xác định được mức thu nhập Y và lãi suất r đảm bảo cân bằng trong cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. Chẳng hạn, giải hệ   b r = a + a + G − (1 − b)Y 1  b2 r 1 0 = a2 Y − M0 Ta tìm được (a + a1 + G0 )b2 + b1 M0 b1 a2 + (1 − b)b2 (a + a1 + G0 )a2 + (1 − b)M0 r= b1 a2 + (1 − b)b2 Y = Ví dụ 5.4. Cho G0 = 250 ; M0 = 4500 ; I = 34 − 15r C = 10 + 0, 3Y ; L = 22Y − 200r. a) Lập phương trình IS. b) Lập phương trình LM. c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. Giải. a) Ta có Y = C + I + G0 ⇔ Y = (10 + 0, 3Y ) + (34 − 15r) + 250. Vậy phương trình IS là 15r = 294 − 0, 7Y . b) Phương trình LM có dạng L = M0 ⇔ 22Y − 200r = 4500 ⇔ 200r = 22Y − 4500. CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 61 TOÁN CAO CẤP 1 c) Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình    15r = 294 − 0, 7Y  15(0, 11Y − 22, 5) = 294 − 0, 7Y ⇔  200r = 22Y − 4500  r = 0, 11Y − 22, 5    Y = 268, 72  2, 35Y = 631, 5 ⇔ ⇔  r = 0, 11Y − 22, 5  r = 7, 06. Vậy Y = 268, 72 ; r = 7, 06. CHƯƠNG 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trang 62 Chương 6 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.1. Ánh xạ tuyến tính 6.1.1. Khái niệm Một ánh xạ f : Rn → Rm được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn cả hai tính chất sau đây: ∀x, y ∈ Rn (a) ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ R (b) f (x + y) = f (x) + f (y), f (λx) = λf (x), Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rn (f : Rn → Rn ) thì f gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên Rn . Điều kiện (a) trong định nghĩa là tính bảo toàn phép cộng, còn điều kiện (b) là tính bảo toàn phép nhân. Ta có thể gộp 2 điều kiện trên bằng 1 điều kiện sau f (λ1 x + λ2 y) = λ1 f (x) + λ2 f (y), ∀x, y ∈ Rn ; ∀λ1 , λ2 ∈ R. Ví dụ 6.1. Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định bởi f (x, y) = (3x − 2y, x), ∀x, y ∈ R2 Hỏi ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính? Giải. ∀x, y ∈ R2 , tức là, x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ); ∀λ1 , λ2 ∈ R. Ta có f (λ1 x + λ2 y) = f (λ1 x1 + λ2 y1 , λ1 x2 + λ2 y2 ) 63 TOÁN CAO CẤP 1 = (3(λ1 x1 + λ2 y1 ) − 2(λ1 x2 + λ2 y2 ), λ1 x1 + λ2 y1 ) = λ1 (3x1 − 2x2 , x1 ) + λ2 (3y1 − 2y2 , y1 ) = λ1 f (x) + λ2 f (y). Vậy f là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 6.2. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R, kí hiệu Mn (R). Ánh xạ ϕ : Mn (R) → Mn (R) xác định bởi ϕ(X) = XA + AX , với X ∈ Mn (R). Chứng minh rằng ϕ là ánh xạ tuyến tính? Giải. Với mọi X, Y ∈ Mn (R); λ1 , λ2 ∈ R. Ta có ϕ(λ1 X + λ2 Y ) = (λ1 X + λ2 Y )A + A(λ1 X + λ2 Y ) = (λ1 X)A + (λ2 Y )A + A(λ1 X) + A(λ2 Y ) = λ1 (XA) + λ1 (AX) + λ2 (Y A) + λ2 (AY ) = λ1 (XA + AX) + λ2 (Y A + AY ) = λ1 ϕ(X) + λ2 ϕ(Y ) Vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 6.3. Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định bởi √ √ f (x, y) = ( 3 x, 3 y), ∀x, y ∈ R2 Hỏi ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính? √ √ √ √ Giải. Với mọi λ ∈ R, ta xét f (λ(x, y)) = f (λx, λy) = ( 3 λx, 3 λy) ̸= λ( 3 x, 3 y) = λf (x, y). Vậy f không là ánh xạ tuyến tính. " Ví dụ 6.4. Ánh xạ f : M2 (R) → R xác định bởi f có phải là ánh xạ tuyến tính? Giải. Ta xét với mọi λ ∈ R thì " #! " # f λ a b c d = det λa λb λc λd " = λ2 .det a b # c d a b #! =det c d " ̸= λ.det a b " # c d a b . Hỏi f c d " = λf # a b #! c d dấu "=" chỉ xảy ra khi λ = 1, mà theo định nghĩa thì ta phải xét với mọi λ ∈ R. Vậy f không là ánh xạ tuyến tính. 6.1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 6.1. Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm và (α) = {α1 , α2 , ..., αn } là cơ sở của Rn ; (β) = {β1 , β2 , ..., βn } là cơ sở của Rm . CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 64 TOÁN CAO CẤP 1 Khi đó, ma trận [f ](α),(β) = [f (α1 )](β) [f (α2 )](β) ... [f (αn )](β) được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f . Ví dụ 6.5. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 ; f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x2 − x3 ) và các cơ sở (A) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} (B) = {ε1 = (1, 0), ε2 = (0, 1)} (α) = {α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 2, 2), α3 = (1, 2, 3)} (β) = {β1 = (1, 1), β2 = (1, 2)}. Tính [f ](A),(B) và [f ](α),(β) . Giải. Ta có [f ](A),(B) = [f (e1 )](B) [f (e2 )](B) = [(1, 1)](B) [(1, −1)](B) " 1 = 1 1 [f (e3 )](B) [(1, −1)](B) # 1 −1 −1 [f ](α),(β) = [f (α1 )](β) = [(3, −1)](β) (xem lại Nhận xét 4.2 trang 47) [f (α2 )](β) [f (α3 )](β) [(5, −3)](β) [(6, −4)](β) (∗) Ta tính (∗) như " sau: # (xem lại Định nghĩa 4.4 trang 47) Cho X = (x1 , x2 ). Giả sử [X] = a1 a2 . Ta suy ra X = a1 β1 + a2 β2 = a1 (1, 1) + a2 (1, 2)  a + a = x 1 2 1 ⇔(x1 , x2 ) = (a1 , a1 ) + (a2 , 2a2 ) = (a1 + a2 , a1 + 2a2 ) ⇔  a1 + 2a2 = x2   a = 2x − x ⇔ 1 1 2  a2 = x 2 − x 1 " ⇒[X](β) = [(x1 , x2 )](β) = " ⇒[f ](α),(β) = 2x1 − x2 # x2 − x1 2.3 + 1 2.5 + 3 2.6 + 4 # −1 − 3 −3 − 5 −4 − 6 " = 7 13 16 # −4 −8 −10 CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 65 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 6.6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 ; f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x1 + x2 , −x2 − x3 ). và các cơ sở (α) = {α1 = (1, 1, 1), α2 = (−1, 1, 2), α3 = (1, 2, 3)} (β) = {β1 = (0, 1, 1), β2 = (1, 0, 1), β3 = (1, 1, 0)} Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β). Ví dụ 6.7. Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm ; f (x1 , x2 , ..., xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn , ..., am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn ). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc (Cn ), (Cm ). 6.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng 6.2.1. Các khái niệm • Véc tơ riêng, giá trị riêng của ma trận: Cho A là ma trận vuông cấp n  a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n    ... ... ... ...  A= an1 an2 ... ann Số λ ∈ R được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ̸= 0 sao cho     x1 x1      x2  x   = λ  .2  A= .  ..   ..      xn xn Véc tơ x ̸= 0 đó gọi là véc tơ riêng của A, ứng với giá trị rie6ne6ng λ. a11 − λ Đa thức PA (λ) = a21 a12 ... a1n a22 − λ ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann − λ là đa thức bậc n đối với λ , gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Phương trình Pa (λ) = 0 gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Cách tìm véc tơ riêng, giá trị riêng: Bước 1: Giải phương trình đăc trưng Pa (λ) = 0. Tất cả các nghiệm của phương trình này là các giá trị riêng của ma trận A. CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 66 TOÁN CAO CẤP 1 Bước 2: Giả sử λ0 là một giá trị riêng của A. Khi đó tất cả các nghiệm không    tầm x1 0     thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A − λ0 In )  ...  =  ...  là véc xn 0 tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ0 . Định lý 6.1. Nếu u1 , u2 , ..., uk là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt λ1 , λ2 , ..., λk của A thì {u1 , u2 , ..., uk } độc lập tuyến tính.   # " 2 1 0 3 5   ; B = 0 1 −1 Ví dụ 6.8. Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận A = 0 7 0 2 4 6.2.2. Chéo hóa một ma trận vuông Định nghĩa 6.2. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông không suy biến T cấp n sao cho T −1 AT = D là ma trận chéo. Chéo hóa ma trận A nghĩa là tìm các ma trận T và D sao cho T −1 AT = D. Cách chéo hóa ma trận: Để chéo hóa ma trận A ta tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A. - Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n: Kết luận A không chéo hóa được. - Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Ví dụ 6.9. Kiểm tra xem các ma trận sau đây có chéo hóa được không? Nếu được, hãy chéo hóa chúng.     " # −3 1 −1 2 1 0 3 5     A= ; B = 0 1 −1 ; C = −7 5 −1 0 7 0 2 4 −6 6 −2 6.3. Dạng toàn phương 6.3.1. Khái niệm Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ q : Rn → R xác định bởi q(x) = n P aij xi xj ; x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn i,j=1 CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 67 TOÁN CAO CẤP 1 trong đó aij là hằng số, aij = aji ∀i, j = 1, 2, ..., n. Do aij = aji nên dạng toàn phương còn được viết dưới dạng n X X aii x2i + 2 q(x) = i=1 aij xi xj i<j Ma trận vuông A   a11 a12 ... a1n a  21 A=  ... a22 ... a2n  ... ...   ...  am1 am2 ... amn gọi là ma trận của dạng toàn phương q . Ta có ma trận A thỏa aij = aji nên A = AT . Ma trận vuông có tính chất này gọi là ma trận đối xứng.   x1    x2   Nếu ta kí hiệu [x] =   ...  thì ta có thể viết dạng toàn phương dưới dạng ma trận   xn như sau q(x) = [x]T A[x]. Ví dụ 6.10. Cho dạng toàn phương trong R3 q(x) = 2x21 + 3x22 − x23 − x1 x2 + 4x2 x3 + 6x1 x3 Tìm ma trận A của q(x). Giải. Các hệ số x21 , x22 , x23 là các phần tử nằm trên đường chéo chính của A. Các hệ số của tích xi xj (i ̸= j) gấp đôi giá trị aij của A. Do đó 2a12 = −1 ⇒ a12 = −1 = a21 2 2a13 = 6 ⇒ a13 = 3 = a31 2a23 = 4 ⇒ a23 = 2 = a32 Do đó    2 A =  −1  2 3 −1 2 3 2 3    2  −1 • Dạng chính tắc của dạng toàn phương: Dạng chính tắc của dạng toàn phương trong Rn là dạng toàn phương chỉ chứa các bình phương của các biến q(x) = b1 x21 + b2 x22 + ... + bn x2n CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 68 TOÁN CAO CẤP 1 6.3.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc n P • Phương pháp Lagrange: Cho dạng toàn phương q(x) = aij xi xj . i,j=1 Nếu a11 ̸= 0, ta viết q(x) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + ... + 2a1n x1 xn + ... = a11 Đặt x′1 = x1 + a12 a1n x1 + x2 + ... + xn a11 a11 2 + g1 a12 a1n x2 + ... + xn , ta có a11 a11 q(x) = a11 x′2 1 + g1 trong đó g1 là một dạng toàn phương không chứa x1 . Nếu a11 = 0 nhưng a12 ̸= 0, đặt x1 = x′1 + x′2 x2 = x′1 − x′2 ′2 ′2 Khi đó a12 x1 x2 = a12 x′2 1 −a12 x2 . Theo trường hợp a11 ̸= 0 ta cũng có q(x) = b1 x1 +g1 với g1 là dạng toàn phương không chứa x′1 . Tiếp tục quá trình này, ta sẽ đưa được q(x) về dạng chính tắc. Ví dụ 6.11. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc q(x) = x21 + 5x22 + 8x23 + 4x1 x2 + 6x1 x3 + +8x2 x3 Giải. q(x) = (x21 + 4x1 x2 + 6x1 x3 ) + 5x22 + 8x23 + 8x2 x3 = x21 + 2x1 (2x2 + 3x3 ) + (2x2 + 3x3 )2 + x22 − x23 − 4x2 x3 = (x1 + 2x2 + 3x3 )2 + (x22 − 4x2 x3 ) − x23 = (x1 + 2x2 + 3x3 )2 + (x22 − 4x2 x3 + 4x23 ) − 5x23 = (x1 + 2x2 + 3x3 )2 + (x2 − 2x3 )2 − 5x23 Đặt     y1 = x1 + 2x2 + 3x3 y2 = x2 − 2x3    y 3 = x3 ⇔     x1 = y1 − 2y2 − 7y3 x2 = y2 + 2y3    x3 = y 3 Ta được q = y12 + y22 − 5y32 . CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 69 TOÁN CAO CẤP 1 Ví dụ 6.12. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc q(x) = 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 Giải. Đổi biến, ta đặt     x1 = y 1 + y 2 x2 = y 1 − y 2    x3 = y 3 Khi đó q = 2(y1 + y2 )(y1 − y2 ) + 2(y1 + y2 )y3 − 6(y1 − y2 )y3 = 2y12 − 2y22 − 4y1 y3 + 8y2 y3 Biến đổi q = (2y12 − 4y1 y3 ) − 2y22 + 8y2 y3 = 2 y12 − 2y1 y3 + y32 − 2y22 + 8y2 y3 − 2y32 = 2(y1 − y3 )2 − 2(y22 − 4y2 y3 + 4y32 ) + 6y32 = 2(y1 − y3 )2 − 2(y2 − y3 )2 + 6y32 Đặt     z1 = y1 − y3 ⇔ z2 = y2 − y3        y1 = z1 + z2 + z3 y2 = z2 + z3    z3 = y3 y3 = z3 Ta được q = 2z12 − 2z22 + 6z32 .     x1 = z1 + 2z2 + 2z3 Vậy, với phéo đổi biến x2 = z1    . x3 = z3 Dạng toàn phương q có dang chính tắc là q = 2z12 − 2z22 + 6z32 . • Phương pháp Jacobi : Phương pháp này áp dụng cho toàn phương có ma trận vuông cấp n  a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n    ... ... ... ...  A= an1 an2 ... ann CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 70 TOÁN CAO CẤP 1 thỏa điều kiện D1 = a11 ̸= 0, D2 = a11 a12 a21 a22 a11 ... a1k ̸= 0, ..., Dk = ... ... ... ̸= 0, k = 1, 2, ..., n − 1. ak1 ... akk Khi đó đổi biến theo công thức   x1 = y1 + y2 b21 + ... + yn bn1      x = y + y b + ... + y b 2 2 3 32 n n2   ...     xn = y n trong đó bji = (−1)i+j Dj−1,i , Dj−1 (j > i) Dj−1,i là định thức của ma trận có các phần tử nằm trên giao của các dòng 1, 2, ..., j − 1 và các cột 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , j (bỏ cột i ) của ma trận A. Khi đó q = D1 y12 + D2 2 Dn 2 y2 + ... + y D1 Dn−1 n Ví dụ 6.13. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc q(x) = 2x21 + x22 + x23 + 3x1 x2 + 4x1 x3 Giải. Ma trận của q  2 3  2 2     A =  3 1 0  2 2 0 1 Ta có 2 D1 = 2 ; D2 = 3 2 2 3 −1 2 = ; D3 = 3 4 2 1 2 3 2 2 1 0 = −17 4 0 1 CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 71 TOÁN CAO CẤP 1 Ta tính bji b21 = (−1)2+1 −3 D1,1 −3 = 2 = D1 2 4 3 2 b31 = (−1)3+1 2 1 0 D2,1 = −1 = 8 D2 4 − 3+2 D2,2 b32 = (−1) D2 = 2 2 3 2 −1 4 0 = −12 Đổi biến  3   x1 = y1 − y2 + 8y3   4  x2 = y2 − 12y3      x3 = y3 Ta được q= 2y12 + −1 4 2 y2 2 + −17 4 y2 −1 3 4 1 = 2y12 − y22 + 17y32 8 • Phương pháp Gauss: Giả sử A là ma trận của q trong một cơ sở, khi đó theo ngôn ngữ ma trận để đưa q về dạng chính tắc cần tìm ma trận T sao cho T T AT là ma trận chéo. Cách tìm ma trận T : Bước 1: Viết ma trận [A | In ]. Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đồng thời lập lại các biến đổi cùng kiểu trên cột của [A | In ] đưa A về dạng chéo. Khi đó ma trận bên phải chính là T T . Ví dụ 6.14. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc q(x) = x21 + 5x22 + 8x23 + 4x1 x2 + 6x1 x3 + 8x2 x3 Giải. Tìm ma trận T T . Ta có    1 2 3 1 0 0 1 2 [A | I3 ] = 2 5 4 0 1 0 −−−−−−−→ 0 1   d2 →d2 −2d1 d3 →d3 −3d1 3 4 8 0 0 1  3 1  0 0 −2 −2 1 0  0 −2 −1 −3 0 1 CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 72 TOÁN CAO CẤP 1  1 0 −−−−−−−→ 0 1 c2 →c2 −2c1  c3 →c3 −3c1 1 0 0 0   1 0 d3 →d3 +2d2  1 0 0  −−−−−−−→ 0 1 0 c3 →c3 +2c2 1  0 0 −2 −2 1 0 −−−−−−−→ 0 1 −2 −2 1 0   0 0 −5 −7 2 1 0 −2 −1 −3 0 1  0  1 0 0 −2 1 0  0 0 −5 −7 2 1 Khối ma trận bên trái có dạng chéo, nên ta được  1 0 0  T T = −2 1 0   −7 2 1   1 −2 −7 1 2  ; T T AT = 0 1 0 0 1     x1 = y1 − 2y2 − 7y3 x2 = y2 + 2y3    1 0 ⇒ T = 0  Đặt    0  0 .  0 0 −5 , ta thu được q = y12 + y22 − 5y32 . x3 = y 3 CHƯƠNG 6. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trang 73 Tài liệu tham khảo [1] NGUYỄN THỊ TOÀN. Lý thuyết toán cao cấp 1. NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. [2] PHÙNG DUY QUANG. Bài tập toán cao cấp 1. NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012.. [3] LÊ SĨ ĐỒNG. Toán cao cấp (phần giải tích). NXB Giáo dục, năm 2007. [4] LÊ THANH CƯỜNG. Bài tập Toán cao cấp - học phần II. NXB Giáo dục, năm 1998. [5] LÊ ĐÌNH THÚY. Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I, II). NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, năm 2013. [6] NGUYỄN ĐÌNH TRÍ. Toán cao cấp (Tập 1, Tập 2, Tập 3). NXB Giáo dục, năm 2008. [7] PHÙNG DUY QUANG. Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế. NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. [8] http://khoacoban.ftu.edu.vn [9] Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition. Massachusetts Institute of Technology, 2016. [10] Nathaniel Johnston. Introduction to Linear and Matrix Algebra 1st ed. Springer, 2021. 74

TCC1 FTU Official 2022 Oct 10

Products

Support

TCC1 FTU Official 2022 Oct 10

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib