h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
ðẠI SỐ
MI1140_ 4 (3-2-0-8)
Th.S Nguyễn Hải Sơn
1
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
CHƯƠNG I:
LOGIC-TẬP HỢP-ÁNH XẠ-SỐ PHỨC
I.
II.
III.
IV.
ðẠI CƯƠNG VỀ LOGIC
SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
ÁNH XẠ
SỐ PHỨC
Hello, what is
it?
2
1
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
George Boole (1815-1864) và De Morgan
(1806-1871) sáng lập ngành logic Toán ñộc
lập với triết học. Nhờ những ðại số Boole mà
Boole ñã ñịnh nghĩa các phép toán trên tập
các mệnh ñề và lập ra ñại số các mệnh ñề.
3
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
1.1 Mệnh ñề và trị chân lý.
- Mệnh ñề (Mð) là một khẳng ñịnh có giá trị chân lý xác
ñịnh (ñúng hoặc sai nhưng không thể vừa ñúng vừa sai
hoặc không ñúng không sai)
- Mð ñúng ta nói nó có trị chân lý là 1
Mð sai ta nói nó có trị chân lý là 0
VD1: Các khẳng ñịnh sau là mñ:
- Hai Bà Trưng là một quận của Hà Nội.
- “3<1”
VD2: Các câu sau không phải mñ:
- Bạn ñi ñâu ñấy? (câu hỏi)
- Xin ñừng giẫm lên cỏ.
- “x>3”
4
2
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
Bài I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
Giả sử M là tập các mệnh ñề
1.2.1 Phủ ñịnh.
G/s A∈M. Mñ “không phải là A” gọi là mệnh ñề phủ ñịnh
của A, kí hiệu A
VD1: A=“1<2” thì A = "1 ≥ 2"
A
1
0
A
0
1
5
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
1.2.2 Phép hội.
G/s A,B∈M. Mñ “A và B” gọi là hội của A và B, kí hiệu : A ∧ B
VD2: A=“Hôm nay trời mưa” và B=“hôm nay trời lạnh”
A∧B=“Hôm nay trời mưa và lạnh”.
NX: Mñ A∧B chỉ ñúng khi
và chỉ khi cả A, B ñều
ñúng.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A ∧B
1
0
0
0
6
3
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
1.2.3 Phép tuyển. G/s A,B∈M. Mñ “A hoặc B” gọi là tuyển
của A và B, kí hiệu : A ∨ B
VD3: A=“Hôm nay trời mưa” và B=“hôm nay trời lạnh”
A ∨ B=“Hôm nay trời mưa hoặc lạnh”.
A
1
1
0
0
NX: Mñ A ∨B chỉ sai khi
và chỉ khi cả A, B ñều sai.
B
1
0
1
0
A∨B
1
1
1
0
7
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
1.2.4 Phép kéo theo.
G/s A,B∈M. Mñ “Nếu A thì B” (A kéo theo B, A là ñiều kiện cần của B, B là
ñiều kiện ñủ của A), kí hiệu : A → B, là mñ chỉ sai nếu A ñúng, B sai.
A: giả thuyết
và
B: kết luận
VD4: A=“Hôm nay trời mưa” và B= “Hôm nay trời lạnh”
A→B=“ Nếu hôm nay trời mưa thì trời lạnh”.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A →B
1
0
1
1
8
4
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
1.2.5 Phép cần và ñủ.
G/s A,B∈M. Mñ “A nếu và chỉ nếu B” (B là ñiều kiện cần và ñủ ñối với
A), kí hiệu : A ↔ B, là mñ chỉ ñúng nếu A và B cùng ñúng hoặc cùng
sai
VD5: A=“1<2” và B= “1 + a < 2 + a ”
A↔B=“1<2 nếu và chỉ nếu 1 + a < 2 + a”.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A ↔B
1
0
0
1
9
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.2 Các phép toán trong tập các mệnh ñề.
Tóm lại:
A∧B
1
A
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
A
B
1
A∨B A→B A↔B
10
5
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
1.3 Hằng ñúng và mâu thuẫn
- Mệnh ñề A gọi là hằng ñúng nếu nó luôn ñúng
trong mọi trường hợp, kí hiệu là T (True).
- Mệnh ñề A gọi là mâu thuẫn nếu nó luôn sai
trong mọi trường hợp, kí hiệu là F (False).
1.4 Tương ñương logic.
Hai mệnh ñề A và B gọi là tương ñương logic, kí
hiệu: A ⇔ B nếu mệnh ñề A↔B là hằng ñúng.
NX: Quan hệ “tương ñương logic” là một quan hệ
11
tương ñương.
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
Chú ý:
- Không có khái niệm “bằng nhau” giữa 2
mñ.
12
6
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.5 Một số tương ñương logic cơ bản
(a) Luật ñồng nhất
A∧T ⇔ A
A∨ F ⇔ A
(b) Luật thống trị
A∨T ⇔ T
A∧ F ⇔ F
(c) Luật lũy ñẳng
A∧ A ⇔ A∨ A ⇔ A
(d) Luật phủ ñịnh
A⇔ A
13
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.5 Một số tương ñương logic cơ bản
(e) Luật giao hoán
A∧ B ⇔ B ∧ A ;
A∨ B ⇔ B ∨ A
(f) Luật kết hợp
( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C );
( A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C )
(g) Luật phân phối ( A ∧ B ) ∨ C ⇔ ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C )
( A ∨ B) ∧ C ⇔ ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C )
(h) Luật De Morgan
A ∧ B ⇔ A ∨ B;
A∨ B ⇔ A∧ B
(i) Luật phản ñảo
A→ B ⇔ B→ A
14
7
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
VD1: Chứng minh các mệnh ñề sau là hằng ñúng.
a) ( A → B ) ↔ ( A ∨ B )
b)
 A ∧ ( A ∨ B)  → B


VD2: Chứng minh hai mệnh ñề sau là tương ñương logic:
( p → q) ∧ p
p∧q
và
(ðề thi hè 2009)
15
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
1.6 Vị từ và lượng từ
1.6.1 Vị từ (Hàm mệnh ñề)
- Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa là
một mñ, nhưng khi ta thay các biến bởi các giá trị thuộc
miền X thì ta ñược một mñ, gọi là hàm mệnh ñề. Tập X gọi
là miền xác ñịnh của hàm mệnh ñề ñó.
VD1: P(x)=“x>3” với x∈N.
P(1)=“1>3”(sai),
P(5)=“5>3”(đúng)
VD2: P(x,y)=“x2 +yx-2=0” với (x,y) ∈R2…
16
8
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.6 Vị từ và lượng từ
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
1.6.2 Lượng từ
Cho P(x) là một vị từ với biến x xác ñịnh trên X.
- Lượng từ “với mọi” của P(x) là:
“P(x) ñúng với mọi giá trị x trong X”
kí hiệu: ∀x ∈ X , P ( x )
- Lượng từ “tồn tại” của P(x) là:
“tồn tại giá trị x trong X sao cho P(x) ñúng ”
kí hiệu: ∃x ∈ X , P ( x)
2
VD1: P( x ) = " x > 0"
lµ hµm mÖnh ®Ò
"∀x ∈ ℝ, x 2 > 0" là mñ sai
" ∃x ∈ ℝ, x 2 > 0" là mñ ñúng
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.6 Vị từ và lượng từ
17
- 1.6.2 Lượng từ
ðịnh lí. Ta có các tương ñương logic
i)
∀x ∈ X , P( x) ⇔ ∃x ∈ X , P ( x)
ii)
∃x ∈ X , P ( x) ⇔ ∀x ∈ X , P ( x)
VD2. Phủ ñịnh các mệnh ñề sau
a) A = "∀x ∈ ℝ, x 2 > 0"
2
2
b) B = " ∃x, ∀y , x + y ≤ 0"
c)
C = "∀x,(∃y, P( x, y )) → Q ( x)"
18
9
BÀI I: ðẠI CƯƠNG VỀ LÔGIC
1.6 Vị từ và lượng từ
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
- 1.6.2 Lượng từ
VD3. Cho ánh xạ f : X → Y
f lµ ®¬n ¸nh ⇔ "∀x1, x2 ∈ X ,( f (x1) = f (x2 )) →(x1 = x2 )"
Phủ ñịnh mệnh ñề trên và chỉ ra chứng minh f không ñơn
ánh ta phải làm gì ?
19
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.1 Tập hợp và phần tử.
a. Khái niệm
-Tập hợp là khái niệm nguyên sơ không
ñược ñịnh nghĩa.
- Tất cả các ñối tượng xác ñịnh nào ñó
hợp lại tạo thành một tập hợp, mỗi ñối
tượng cấu thành tập hợp là một phần tử
của tập hợp.
VD: - Tập các sinh viên trong 1 lớp.
- Tập các số tự nhiên nhỏ hơn 10….
20
10
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.1 Tập hợp và phần tử.
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
b.Quan hệ “thuộc”
-Nếu a là phần tử của tập E: “a thuộc E” , kí hiệu: a∈E
-Nếu a ko là phần tử của tập E: “a không thuộc E” ,
kí hiệu: a ∉ E hoÆc a ∈ E
c. Cách mô tả tập hợp
- Liệt kê các phân tử của tập hợp.
- Nêu ra tính chất dặc trưng của các phần tử
d. Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, k/h:
∅
21
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.2 Tập con – Hai tập hợp bằng nhau.
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
A ⊂ B ⇔ (∀x,( x ∈ A) → ( x ∈ B ))
A ⊂ B
A=B⇔
B ⊂ A
VD1: A={1;2;3;4}; B={1;2; 3;4;5;6}; C={x∈N| 0<x<5}
A ⊂ B, A = C
VD2: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
22
11
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.3. Các phép toán.
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
Cho các tập hợp A và B.
2.3.1. Phép giao.
 x ∈ A 
A ∩ B = x 

x
∈
B



2.3.2 Phép hợp.
 x ∈ A 
A ∪ B = x 

 x ∈ B 
23
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.3. Các phép toán.
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
2.3.3. Hiệu của hai tập hợp
 x ∈ A 
A \ B = x 

 x ∉ B 
-Hiệu ñối xứng của A và B
A△ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A)
- Phần bù.
G / s A ⊂ X . PhÇn bï cña A trong X:
A = CX ( A ) = X \ A
24
12
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.3. Các phép toán.
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
2.3.3. Tính chất
(i )
A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A; A△ B = B△ A.
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C );
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C );
( A△ B )△C = A△( B△C ) .
(iii ) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) ;
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
(ii )
(iv) C¸c c«ng thøc De Morgan
X\(A ∩ B )=(X\A) ∪ ( X \ B );
X\(A ∪ B )=(X\A) ∩ ( X \ B )
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.3. Các phép toán.
25
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
VD1: A={1;2;3;4}; B={3;4;5;6}. Tính
A ∩ B; A ∪ B; A \ B; A△ B
LG.
A ∩ B = {3;4}
A ∪ B = {1;2;3;4;5;6}
A \ B = {1;2}
A△ B = {1;2;5;6}
26
13
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.3. Các phép toán.
VD2. Cho A, B là tập con của X. CMR:
A \ B = A∩ B
VD3. CMR với A, B, C là các tập hợp bất kì, ta có:
a) A△ B = ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )
b) ( A \ B ) \ C = A \ ( B ∪ C )
Ghi nhớ:
ðể chứng minh 2 tập hợp bằng nhau, ta có 3 phương pháp:
-Phương pháp sử dụng sơ ñồ Venn.
- Phương pháp phần tử.
- Phương pháp biến ñổi .
27
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.4 Tích Descartes (ðề các)
2.4.1 Hai bộ số bằng nhau
m = n
(a1 ; a2 ;...; am ) = (b1 ; b2 ;...; bn ) ⇔ 
 ai = bi ; ∀i = 1, n
2.4.2. ð/n: Tích Descartes của các tập hợp A1, A2 ,..., An
là một tập hợp
n
C = A1 × A2 × ... × An = ∏ Ai
xác ñịnh như sau:
(i )
i =1
C = ∅ nÕu ∃i : Ai = ∅
(ii ) C=A1 nÕu n = 1
(iii )C = {(a1; a2 ;...; an ) | ai ∈ Ai ; i = 1, n}
28
14
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI II: SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
2.4 Tích Descartes (ðề các)
*Chú ý: Khi A1 = A2 = ... = An = A thì viết C = An
VD: A={a;b}, B={1;2;3}. Xác ñịnh
a) A × B; B × A; A2
b) Phần tử (a;2;b) thuộc tập hợp nào?
c) Số phần tử của AxBxAxB.
29
BÀI III:
ÁNH XẠ
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
3.1 ðịnh nghĩa.
a. ð/n: Cho X,Y≠ ∅ . Ánh xạ f từ X ñến Y là một quy tắc
cho tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một
phần tử y của Y.
f :X →Y
x ֏ y = f (x)
y=f(x): ảnh của x qua ánh xạ f
X: tập nguồn
Y: tập ñích
VD1: Ánh xạ ñồng nhất của tập X:
IX : X → X
x֏x
VD2: X: tập người, Y: tập tên người. Ánh xạ f từ X ñến Y
cho mỗi người với 1 tên tương ứng
30
15
BÀI III:
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
ÁNH XẠ
3.1 ðịnh nghĩa.
b. Tập ảnh và tập nghịch ảnh.
Cho ánh xạ: f : X → Y
và
A ⊂ X, B ⊂ Y
x ֏ y = f (x)
- Ảnh của tập A:
f ( A) = { f ( x ) | x ∈ A}
ðặc biệt, f(X)=Imf gọi là ảnh của X qua f .
- Tập nghịch ảnh củaB: f −1 ( B) = {x ∈ X | f ( x ) ∈ B}
2x + 3
VD. Cho ánh xạ , f : ℝ \ {−1} → ℝ, f ( x) =
x +1
Xác ñịnh
−1
a) f ({0;2}), f ({0;1})
b) f ([0;1]), f −1 ([0;1])
BÀI III:
ÁNH XẠ
3.2 ðơn ánh, toàn ánh, song ánh.
ð/n: Cho ánh xạ f: X→Y
31
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
(i ) f : ®¬n ¸nh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X ,( f ( x1 ) = f ( x2 )) → ( x1 = x2 )
⇔ ∀x1 , x2 ∈ X ,( x1 ≠ x2 ) → ( f ( x1 ) ≠ f ( x2 ))
⇔ ∀y ∈ Y , pt f ( x ) = y cã kh«ng qu¸ 1 nghiÖm
(ii ) f : toµn ¸nh ⇔ f ( X ) = Y
⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X , y = f ( x )
⇔ ∀y ∈ Y , pt f ( x ) = y lu«n cã nghiÖm.
 f : ®¬n ¸nh
(iii ) f : song ¸nh ⇔ 
 f : toµn ¸nh
32
16
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
BÀI III:
ÁNH XẠ
3.2 ðơn ánh, toàn ánh, song ánh.
VD1. Phủ ñịnh các mệnh ñề trên và chỉ ra: ñể chứng minh f
không là ñơn ánh (toàn ánh, song ánh), ta phải làm gì.
VD2. Xét xem trong các ánh xạ sau có là ñơn ánh, toàn
ánh hay song ánh không
a) f : ℝ + → ℝ
c) f : ℝ + → ℝ +
x ֏ f (x) = x 2
x ֏ f (x) = x 2
b) f : ℝ → ℝ +
d) f : ℝ → ℝ
x ֏ f (x) = x 2
x ֏ f (x) = x 2
33
BÀI III:
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
ÁNH XẠ
3.2 Tích của hai ánh xạ.
ð/n: Cho hai ánh xạ f: X→Y và g: Y→Z.
Ánh xạ h : X →Z xác ñịnh bởi h(x)=g(f(x)) với mọi
x∈X gọi là ánh xạ tích (ánh xạ hợp thành) của f và g ,
kí hiệu: g◦f .
f
g
Z
X
Y
g ◦f
VD. Cho các ánh xạ
f : ℝ \ {1} → ℝ
x
x ֏ f (x ) =
x −1
g : ℝ → ℝ+
x ֏ g(x) = x 2
Xác ñịnh các ánh xạ g ◦f và f ◦ g (nếu có)
34
17
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
ÁNH XẠ
BÀI III:
3.3 Ánh xạ ngược.
ð/n. Cho song ánh f: X→Y. Khi ñó, với mỗi y của Y ñều
tồn tại duy nhất một x của X ñể f(x)=y hay f −1 ( y ) = x .
Như vậy, ta có ánh xạ:
f −1 : Y → X
y ֏ x = f −1 ( y )
Ánh xạ này cũng là một song ánh và gọi là ánh xạ ngược
của f .
VD1 Xác ñịnh ánh xạ ngược của các ánh xạ sau:
b) g : ℝ \ {0} → ℝ \ {0}
a) f : ℝ → ℝ
x ֏ f (x) = x3 + 1
x ֏ g(x) =
1
x3
35
BÀI IV:
SỐ PHỨC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
4.1 Phép toán hai ngôi.
4.1.1 Khái niệm. Phép toán hai ngôi (phép toán) * trên tập
E là một quy luật khi tác ñộng lên hai phần tử a và b của
E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của E.
*: E× E → E
(a,b) ֏ a * b
VD1: Phép cộng (+) và phép nhân (.) thông thường trên
các tập số: N, Z, Q, R, C.
VD2: Phép giao và phép hợp trên tập các tập hợp.
?1: Phép chia là phép toán trên tập R hay không?
?2: Hãy cho biết các phép toán trên tập các mệnh ñề?
36
18
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
SỐ PhỨC
BÀI IV:
4.1.2 Tính chất của phép toán.
Cho phép toán * trên tập E.
a. Tính kết hợp:
(a*b)*c=a*(b*c) với mọi a,b,c ∈E
b. Tính giao hoán:
với mọi a,b∈E
a*b=b*a
c. Phần tử trung hòa e: ∃e ∈ E, ∀a ∈ E : a * e = e * a = a
d. Phần tử ñối ( hay ñối xứng): G/s có phần tử trung hòa e.
Xét phần tử a∈E, phần tử b gọi là phần tử ñối của a
nếu
a*b=b*a=e
* Chú ý: - phép toán ñược ñặt tên là phép cộng (phép
nhân) thì phần tử ñối xứng gọi là phần tử ñối (nghịch
ñảo) và kí hiệu là –a ( a-1 )
37
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
SỐ PHỨC
BÀI IV:
VD1. Trên tập N, Z, Q xét xem phép cộng, phép nhân có
những tính chất gì?
(.)
N
Z
Q
(+)
Kết hợp
Giao hoán
Pt trung
hòa
N
Z
Q
x
x
x
x
x
x
X (0)
x
x
Kết hợp Giao hoán Pt trung
hòa
x
x
X (1)
x
x
x
x
x
x
Pt ñối
xứng
-
Pt ñối
xứng
X
x
38
19
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
SỐ PHỨC
BÀI IV:
VD2. Trên tập các mệnh ñề, các phép hội, tuyển, kéo theo
có những tính chất gì?
Kết hợp
∧
∨
→
x
x
-
Giao hoán
x
x
-
Pt trung
hòa
Pt ñối
xứng
x(T)
x(F)
-
-
VD3. Trên tập các tập hợp, các phép giao, phép hợp có
những tính chất gì?
39
BÀI IV:
SỐ PHỨC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
4.1.3 Cấu trúc ñại số
Một tập hợp ñược trang bị một hay nhiều phép toán với
các tính chất xác ñịnh gọi là một cấu trúc ñại số.
VD: nửa nhóm, nhóm, vành, trường, ñại số,…
40
20
SỐ PHỨC
BÀI IV:
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
4.2 Nhóm-vành – trường.
4.2.1 Nhóm (Group)
a. ð/n. Cho tập G khác rỗng với phép toán * . Khi ñó
(G,*) là một nhóm nếu thảo mãn 3 tiên ñề:
(i )
∀x, y, z ∈ G : ( x * y) * z = x * ( y * z )
(ii )
∃e ∈ G : ∀x ∈ G, x * e = e * x = x
(iii ) ∀x ∈ G, ∃x ' ∈ G, x * x ' = x '* x = e
e: phần tử trung hòa, x’: phần tử ñối của x
Nhóm (G,*) gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel)
nếu t/m:
(iv) ∀x, y ∈ G : x * y = y * x
41
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
42
21
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
bốn
tem
ðạ
Vào 5 tháng 6, 2002,
Norwegian ñược phát hành ñể kỉ
niệm Abel 2 tháng trước 200
năm ngày sinh của ông. Có một
bức tượng của Abel ở Oslo. Hố
Abel trên Mặt trăngñược ñặt
theo tên ông. Vào năm 2002, giải
Abel ñã ñược thiết lập ñể vinh
danh ông.
Giải Abel, giải Wolf hay giải
Fields ñều ñược xem là “Nobel
toán học”. Xét về danh tiếng thì
giải Abel và Wolf không thua
kém gì Fields, mỗi giải ñều có
một ưu thế nổi trội riêng và tất
cả ñều là vinh dự lớn của các
nhà toán học trên thế giới.
43
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
Évariste Galois là một thiên tài toán
học người Pháp ñoản mệnh, nhưng
các công trình toán học ông ñể lại là
một ñề tài rất quan trọng cho việc
tìm nghiệm của các phương trình ña
thức bậc cao hơn 4 thông qua việc
xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng
mà ngày nay ñược gọi là lý thuyết
nhóm Galois.
44
22
SỐ PHỨC
BÀI IV:
4.2.1 Nhóm
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
b. Một số tính chất của nhóm.
(i) Phần tử trung hòa e là duy nhất.
(ii) Phần tử ñối x’ là duy nhất
(iii) Luật giản ước: a * b = a * c ⇒ b = c
(iv) Pt a * x = b có nghiệm duy nhất x = a '* b
VD1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q*, .), (R*, .) là các nhóm Abel.
(N,+), (Z*,.) không là một nhóm.
VD2. Tập các song ánh trên một tập X với phép hợp
thành là một nhóm. Nếu X có nhiều hơn hai phần tử thì
nhóm ñó không giao hoán.
45
BÀI IV:
SỐ PHỨC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
4.2 Nhóm-vành – trường.
4.2.2 Vành (Ring)
a. ð/n. Cho tập G khác rỗng với hai phép toán kí hiệu là
“+” và “.” . Khi ñó (G,+,.) là một vành nếu thảo mãn:
(i ) (G, + ) lµ mét nhãm giao ho¸n
(ii ) TÝnh kÕt hîp cña phÐp ".":
( x. y). z = x.( y. z )
(iii ) TÝnh ph©n phèi cña phÐp "+" vµ phÐp "."
x.( y + z ) = x. y + x. z
( y + z ).x = y.x + z.x
46
23
SỐ PHỨC
BÀI IV:
4.2.2 Vành
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
Vành (G,+,.) gọi là giao hoán nếu ∀x, y ∈ G : x. y = y.x
gọi là có ñơn vị là 1 nếu phép nhân có phần tử trung hòa là 1.
b. Ví dụ.
VD1. (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.) là các nhóm giao hoán có
ñơn vị là 1.
VD2. Z  2  = {a + b 2 | a, b ∈ Z} lµ mét vµnh
47
SỐ PHỨC
BÀI IV:
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
4.2 Nhóm-vành – trường.
4.2.3 Trường (Field)
a. ð/n. Cho tập G khác rỗng với hai phép toán kí hiệu là
“+” và “.” . Khi ñó (G,+,.) là một trường nếu thảo mãn:
(i )
(G, +,.) lµ mét vµnh giao ho¸n, cã ®¬n vÞ 1
(ii )
∀x ∈ G \ {0}, ∃x ' : x.x ' = 1
b. NX. Nếu (G,+,.) là một trường thì (G\{0},.) là một nhóm
c. VD:
VD1: (Z,+,.) không là một trường.
(Q,+,.), (R,+,.) là một trường.
VD2. Z  2  = {a + b 2 | a, b ∈ Z} ko lµ mét tr−êng


Q  2  = {a + b 2 | a, b ∈ Q} lµ mét tr−êng
 
48
24
BÀI IV:
SỐ PHỨC
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
4.3 Số phức
4.3.1 Xây dựng trường số phức
Với R là trường số thực, xét tập C=RxR={(a,b)|a,b∈R}
+ Quan hệ bằng nhau trên C:
a = c
(a, b) = (c, d) ⇒ 
b = d
+ Trên C trang bị hai phép toán:
- Phép cộng “+” :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
- Phép cộng “.” :
(a, b).(c, d) = (ac − bd; ad + bc)
⇒ (C, +,.) lµ mét tr−êng víi pt kh«ng lµ (0,0), ®¬n vÞ lµ (1;0) vµ
−b 
 a
phÇn tö nghÞch ®¶o cña (a,b) lµ  2
;
2
2
2 
a +b a +b 
BÀI IV:
SỐ PHỨC
4.3 Số phức
4.3.1 Xây dựng trường số phức
49
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
+ Xét tập con F={(a,0)|a ∈R} của C và ánh xạ
f :R→F
x ֏ ( x,0)
Khi ñó, f là một song ánh thỏa mãn
f(x+y)=f(x)+f(y) và f(xy)=f(x)f(y)
→ ñồng nhất R với F ((x,0) ≡ x)
hay R là một trường con của C.
50
25
BÀI IV:
SỐ PHỨC
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
4.3 Số phức
4.3.1 Xây dựng trường số phức
ðặt i=(0;1), ta có
z = (a,b) = (a,0) + (0, b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi
i 2 = (0,1)(0,1) = (−1,0) = −1
Dạng z=a+bi gọi là dạng chính tắc của z
a=Re(z) gọi là phần thực của z
b=Im(z) gọi là phần ảo của z
số i gọi là ñơn vị ảo
i 2 = −1
⇒ Trong C , pt x 2 = −1 cã nghiÖm x= ± i
51
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
Heron xứ Alexandria là người ñầu tiên ñề cập ñến số ảo
vào khoảng thế kỷ 1 trước công nguyên trong khi tính toán
khối hình lượng kim tự tháp, tuy nhiên, việc nghiên cứu số
ảo chỉ thực sự bắt ñầu bởi nhà toán học người Ý Rafael
Bombelli (1526-1572) trong cuốn sách ñại
số L'Algebra viết năm 1569. Rafael Bombelli là người ñưa
ra ký hiệu ñơn vị ảo i và mô tả các tính chất của nó.
52
26
SỐ PHỨC
BÀI IV:
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
4.3 Số phức
4.3.2 Các phép toán ở dạng chính tắc.
(i)
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(ii) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
a + bi (a + bi)(c − di)
(iii)
=
c + di
c2 + d 2
(iv) Cho số phức z=a+bi.
-Số phức liên hợp của z:
-Môñun của z:
NX:
z = a − bi
z = a 2 + b2
2
z = z.z
BÀI IV:
53
SỐ PHỨC
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
(v) Các tính chất.
z1 + z 2 = z 2 + z1 ;
z1 z 2 = z 2 z1
(z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + (z 2 + z 3 );
(z1z 2 )z 3 = z1 (z 2 z 3 )
z1 (z 2 + z 3 ) = z1z 2 + z1z 3
z1 + z 2 = z1 + z 2 ; z1z 2 = z1.z 2
z 1 z 2 = z 1 . z 2 ; z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
VD1. Tính A =
1 + 2i 1 3
+ −
4 − 3i 2i 4
VD2. Cho |z1|=1. CMR với mọi z2 ≠ z1 ta có:
z1 − z 2
=1
1 − z1z 2
(K50-lần 2)
54
27
SỐ PHỨC
BÀI IV:
4.3.3 Dạng lượng giác của số phức
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
a. Mặt phẳng phức.
1−1
1−1
z = a + bi ←→
(a;b) ←→
M(a;b) ∈ Oxy
Mỗi số phức sẽ ñược biểu diễn bởi 1 ñiểm
nằm trên mặt phẳng Oxy và một ñiểm trên
mp Oxy biểu diễn một số phức.
Do ñó, mp Oxy gọi là mp phức
Ox: trục thực
Oy: trục ảo
55
SỐ PHỨC
BÀI IV:
4.3.3 Dạng lượng giác của số phức
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
b. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z=a+bi ñược biểu diễn
bởi ñiểm M(a;b).
r = OM = z = a 2 + b 2 : môñun của z
ϕ = Ox;OM : argument của z
(
)
k/h:ϕ = Arg(z) (+ k2π)
Khi ñó cos ϕ =
a
2
a +b
2
, sin ϕ =
b
2
a + b2

a
b
⇒ z = a + bi = a 2 + b2 
+
2
2
a 2 + b2
 a +b
= r(cos ϕ + i sin ϕ)

i

56
28
BÀI IV:
SỐ PHỨC
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
4.3.3 Dạng lượng giác của số phức
z = a + bi 
→z = r(cos ϕ+ isin ϕ)
r = z = a 2 + b2 ,cos ϕ =
a
a 2 + b2
, sin ϕ =
b
a 2 + b2
VD1: Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a) A = 3 + i
c) C = −2
b) B = 2 − 2i
d) D = 5
e) E = 2i
f) F = −3i
57
BÀI IV:
SỐ PHỨC
4.3.4 Các phép toán ở dạng lượng giác
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
(i) Phép nhân và phép chia
[ r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 )][ r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 )] =
=(r1r2 ) [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
-Khi r2≠0, ta có:
r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) r1
= [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]
r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 ) r2


5π
5π 
−π
−π 

+ i sin  ,z 2 = 4  cos
+ i sin
12
12 
6
6 

z
Tính z1.z 2 vµ 1
z2
VD1: Cho z1 = 6  cos
58
29
SỐ PHỨC
BÀI IV:
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
•Chú ý: Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì
z = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
1
z −1 = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
r
(ii) Phép lũy thừa
 r(cosϕ + isin ϕ)
n
= r n cos(nϕ) + isin(nϕ) (n ∈ℕ)
Công thức Moivre (r=1)
(cosϕ + isin ϕ)n = cos(nϕ) + isin(nϕ)
VD1: Tính A = ( 3 + i)2011
VD2: Biểu diễn sin(5x) và cos(5x) qua sinx và cosx?
59
SỐ PHỨC
BÀI IV:
Tính
uyến
T
ố
S
ðạ i
(iii) Phép khai căn
a. ðN1: Căn bậc n của số phức z là các số phức z0 sao cho
z 0n = z
Tập các căn bậc n của z kí hiệu là
VD1.
n
z
−1 = { ± i }, 3 8 = {2, ± 3 - i}
4 = { ± 2},
b. Công thức
n
r(cos ϕ + i sin ϕ)


  ϕ k2 π 
 ϕ k2π  
=  z k = n r  cos  +
+ i sin  +
, k = 0, n − 1



n 
n 
n
 n


*NX: Nếu z≠0 thì
n
z =n
60
30
SỐ PHỨC
BÀI IV:
n
h
n Tín
Tuyế
ố
S
i
ðạ
r(cos ϕ + i sin ϕ)


  ϕ k2 π 
 ϕ k2π  
=  z k = n r  cos  +
+
i
sin
+
,
k
=
0,
n
−
1

n
n 
n  

 n


π
π

8  cos + i sin 
4
4

VD2: Tính 3 8
VD1: Tính
3
VD3: Tính
1+ i
61
31