Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas
Modelo de Respuesta Primer Examen Parcial Matemáticas III
1.- Responde verdadero o falso siempre justificando tu respuesta
a) El término general de la sucesión:
b) Dada la serie
c) la sucesión
d) La serie
, es
converge si
es alternante
es geométrica con
Solución:
a) Falso: Dado que el primer término,
primero término sería negativo
es positivo y con la fórmula que nos dan el
b) Falso. Existen muchos ejemplo de series que divergen y se cumple que
una en la que el término general no sea creciente
c) Falso. Para ser alternante los signos deben cambiar de un término a otro, y no es lo
que sucede en este caso
d) Falso. No es geométrica, esa expresión no es razón, ya que cambia a medida que
cambia el
[1 punto c/u]
2.- Considera la sucesión cuyo término general es:
a) Determina si es monótona
b) Determina una cota superior y una inferior, de ser posible
c) Sin usar limite: ¿
converge?
Solución:
a) Para determinar la monotonía, debemos ver si es siempre creciente o siempre
decreciente, para ello usaremos una función a valores reales que para
coincide con
Derivando tenemos
Notamos que el denominador es positivo para todo número real, en particular si
estudiemos el numerador, supongamos que
, solo
En otras palabras
Por tanto
es decreciente si
y por consecuencia
decrece para
b) Se observa que
siempre es positiva, por tanto podemos tomar como cota inferior
a
Ahora vemos si hay un máximo, al calcular la derivada tenemos
Lo igualamos a
De manera que
y tenemos que
es un valor crítico a la derecha
por lo que en
y a la izquierda
hay un máximo y vale
Así que podemos tomar como cota superior
c) Dado que es acotada y decreciente,
ya que para cualquier natural
converge
[2pts a) y b), 1 pt c)]
3.- Dadas las siguientes series, determina su convergencia
a)
b)
c)
Solución:
a) Reescribamos la serie
Ahora tenemos dos series para estudiar su convergencia
I)
es geométrica con
por tanto convergente
II)
es telescópica
Por tanto la serie telescópica converge
Así
converge (se puede decir a cuanto converge:
)
b)
Esta serie puede ser resuelta usando el criterio de la raíz ( no la vimos en clase, sin embargo
quien la usó de manera correcta se le toma como buena), pero la resolveremos usando el
criterio del cociente
Por tanto la serie diverge, ya que el límite es infinito
c)
Notamos que:
Por tanto la serie es divergente
[2pts a) y b), 1 pt c)]
4.- Dada la serie de potencias
Determina para cuales valores de
converge la serie
Solución:
Para determinar los valores de
converge la serie usaremos el criterio del cociente
Donde
De manera que la serie converge si
Estudiemos en los extremos
Si
Si
De manera que la serie
Converge en
[3 pts]
5.- A partir de
Determina la serie de potencias de
Solución:
Antes vamos a modificar la función
de manera que podamos usar la serie sugerida
Ahora
[3 pts]