Carlos Torres Alcaraz
HILBERT Y GÖDEL:
dos perspectivas de la matemática
Facultad de Ciencias, UNAM
2018
Torres Alcaraz, Carlos, autor.
Hilbert y Gödel : dos perspectivas de la matemática / Carlos
Torres Alcaraz. -- 1ª edición. –- Ciudad de México : Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias, 2018.
xxx, 518 páginas : ilustraciones ; 22 cm. -– (Temas de matemáticas)
Incluye índice
Bibliografía: páginas 491-512
ISBN 978-607-30-0919-5
1.Gödel, Kurt. 2. Hilbert, David, 1862-1943. 3. Geometría— Fundamentos. 4. Matemáticas—Filosofía. 5. Lógica simbólica y matemática.
I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias.
II. Título.
516.2-scdd22
Biblioteca Nacional de México
Esta obra contó con el apoyo del proyecto PAPIME PE-103916
Hilbert y Gödel: dos perspectivas de la matemática
1a edición, 28 de agosto de 2018
© DR. 2018. Universidad Nacional Autónoma de México.
Facultad de Ciencias
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán.
C.P. 04510. Ciudad de México
editoriales@ciencias.unam.mx
tienda.fciencias.unam.mx
ISBN: 978-607-30-0919-5
Diseño de portada: Laura Uribe y Eliete Martín del Campo
Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los
derechos.
Impreso y hecho en México.
Preámbulo
Una explicación nada literaria que, además, no explica nada
Hay un cuento de Augusto Monterroso que nunca dejará de sorprenderme. Supongo
que no tiene nombre, pues si lo tuviera, éste sería más largo que él. Cabe en medio
renglón:
Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí.1
No sé si esta narración habrá dejado satisfecho al señor Monterroso, o si pensaba
reducirla todavía más, pero eso no importa: como está, lo dice todo sin decir nada a la
vez: ¿Quién despertó?, ¿por qué durmió?, ¿qué representa el dinosaurio?, ¿llegamos
tarde al relato y sólo escuchamos la parte final?, ¿a qué extraña historia pone punto
final tal acotación? Pensando en todas estas interrogantes, y en busca de una inexistente
explicación del cuento-oración, llegué a dos conclusiones: 1) que el autor nos deja en
libertad de poner todo lo que imaginamos que calla, y 2) que una indiscutible lectura
es la siguiente: un individuo, asediado y sin saber cómo escapar de su desventura,
echó a dormir con la esperanza de que al despertar la causa de su infortunio hubiera
desaparecido.
Como entonces yo escribía este trabajo, pensé que el personaje sería Hilbert y el
dinosaurio los teoremas de Gödel, e hice con estos protagonistas una variante nada
literaria y totalmente personalizada del cuento (por lo que de antemano pido una
disculpa al señor Monterroso):
Cuando despertó, los teoremas de Gödel todavía estaban allí.
Esta libre traslación del relato me agrada no porque sea buena literatura, sino porque
me permite llegar sin más explicaciones al nudo gordiano de este trabajo: al derrumbe
de un proyecto de naturaleza dual, mitad matemáticas, mitad filosofía. Y como aquí de
lo que se trata es de un trabajo académico y no de literatura, ahora debo explicar qué
fue lo que sucedió antes del “Cuando” y después del “Cuando”, es decir, porqué en
mi fantasía Hilbert decidió dormir para ver si así desaparecía el dinosaurio, y porqué
deseaba su desaparición. Esto, obviamente, en cientos de páginas y no en media línea,
como el prodigioso Sr. Monterroso lo podría haber hecho.
1 Para
mi asombro, después de escribir estas líneas me enteré de que el cuento sí tiene nombre, y que
es más corto que él. Se llama El dinosaurio. Esto es, al menos, lo que una culta dama me dijo.
I
Prefacio
Para empezar, una ecuación: matemática = matemáticas.2
Sin lugar a dudas, David Hilbert y Kurt Gödel se cuentan entre los matemáticos más
prominentes de la era moderna, y ello por dos razones: primero, por la profundidad y
amplitud de sus contribuciones a las matemáticas; segundo, por su labor en el ámbito de
los fundamentos y la filosofía de las matemáticas. En el imaginario colectivo, Hilbert
ha pasado a la historia como el padre del formalismo matemático (sin importar lo que
esto último signifique), y en la lógica y la filosofía como el creador de un ambicioso
programa tendiente a “eliminar en forma definitiva el problema de los fundamentos
de las matemáticas”. Por su parte Gödel debe su fama a dos teoremas de su autoría,
calificados como “las verdades matemáticas más significativas del siglo veinte”3 , con
la particularidad de que con ellos puso fin a las pretensiones de Hilbert. También hay
que añadir a sus méritos la imagen que nos ofrece de la matemática, en la que en lugar
de una ciencia contenida en rígidos formalismos (como lo procuraba Hilbert), nos
presenta una ciencia abierta, incompleta e incompletable, y por añadidura incapaz de
justificar su propia coherencia interna.
Esto, que pareciera una breve descripción de la grandeza de Hilbert y Gödel y de sus
discordancias, en realidad encierra una multitud de acontecimientos, muchos de los
cuales datan del siglo XIX. Esconde, por ejemplo, la fructífera labor de Hilbert en
torno a los fundamentos, primero de la geometría y después de la aritmética, el análisis
y la teoría de conjuntos, y que se extendió por más de 38 años. Encubre también el
derrumbe de la visión clásica de la matemática, la aparición de nuevos métodos y
procedimientos que transformaron su entraña, la elaboración de un nuevo fundamento
para el análisis matemático (no exento de problemas), el surgimiento de nuevas teorías
matemáticas cada vez más complejas y abstractas (v. gr., la teoría de los números
transfinitos de Cantor y el álgebra moderna), y la aparición de nuevas geometrías que
2 En otras palabras, el sustantivo con que designamos a la ciencia matemática puede emplearse
indistintamente en singular o en plural. Eso ocurre en este texto, donde incluso dichas expresiones se
alternan en un mismo párrafo u oración. Esta postura está avalada por el diccionario de la RAE, cuando
en el inciso 5 de la entrada “matemático” dice que el término se utiliza en plural con el mismo significado
que en singular.
3 Las palabras son de Willard van Orman Quine, aunque él lo dice en singular (“el teorema de Gödel”).
III
P REFACIO
IV
cuestionaron el papel de la geometría clásica euclidiana.4 Oculta también la irrupción
de paradojas en la teoría de conjuntos y el inicio de un vigoroso debate en torno a la
naturaleza y los fundamentos de las matemáticas en el que se perfilaron al menos tres
escuelas discordantes.
Nuestro propósito es construir un relato sobre la labor de Hilbert y Gödel en este
terreno, mas no en forma aislada, sino en el más amplio contexto de los sucesos
recién señalados. En particular, queremos seguir la evolución de las ideas de Hilbert
desde antes de la publicación de su libro Fundamentos de la geometría de 1899,
hasta la propuesta de un nuevo fundamento para la matemática clásica en los años
veinte. Deseamos examinar cómo dio forma a su programa de fundamentación en
sus dos vertientes, la filosófica y la matemática, y seguir su línea de pensamiento
exhibiendo cómo fue que amplió sus metas (v. gr., procurar una teoría formal completa
para la aritmética y despejar las dudas respecto a la resolubilidad de todo problema
matemático) y cómo llegó a la idea de que el cálculo lógico propuesto en el programa
codifica nuestras técnicas de pensamiento, es decir, compendia las reglas conforme
a las cuales procede nuestro pensamiento cuando hacemos matemáticas. Todo esto
teniendo como telón de fondo los acontecimientos y debates ya referidos. Logrado lo
anterior podremos apreciar la verdadera dimensión de lo hecho por Gödel, comprender
lo que todo ello significó para Hilbert, y ponderar la manera en que cada uno de ellos
entendió las matemáticas.5
La escritura de un libro de tal extensión debe tener una clara justificación. Ofrezco
algunas razones. La primera es muy simple y no requiere de mayores argumentos:
la labor de Hilbert en torno a los fundamentos de la matemática tuvo una enorme
influencia en la matemática del siglo XX, especialmente en el modo de entenderla.
Para el caso podemos citar dos ejemplos: (1) el peso que tuvo en la adopción del
método axiomático, el cual se ha extendido a muchas ramas de la matemática; (2) la
idea que nos transmitió de la matemática pura, en la que vio una ciencia abstracta sin
la obligación de tratar con “las cosas de este mundo”. Abrir camino a esta manera
de ver nuestra ciencia, tan común en la actualidad, fue una tarea en la que Hilbert se
4 Hasta
bien entrado el siglo XIX la geometría (euclidiana) era considerada una de las ramas más
firmes del conocimiento humano. Sin más, se trataba del estudio de las propiedades del espacio, las cuales
se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana. Como sabemos,
esta concepción decayó paulatinamente tras la aparición de las geometrías no euclidianas. Al respecto,
éste no fue sino uno de los acontecimientos que condujeron al deterioro de las ideas que tradicionalmente
se habían admitido acerca de las matemáticas y a las que Kant había dado un firme sustento a finales del
siglo XVIII.
5 En el fondo me animaba la idea, no lograda en virtud de la vastedad del propósito, de recorrer el
camino que siguiera la ciencia moderna en el siglo veinte, el que va de la certeza a la incertidumbre,
siguiendo esta vez el pensamiento de Hilbert y Gödel. En este sentido no deja de sorprenderme el hecho
de que Hilbert, siendo un defensor de las nuevas ideas matemáticas y mentor de Max Born, uno de los
creadores de la mecánica cuántica, siguiera viendo a la matemática en los términos del viejo racionalismo,
según el cual la razón tiene la capacidad de establecer, en todos los casos (aquí se trata de la matemática),
principios que determinan en su totalidad las relaciones entre los entes de un campo determinado (v. gr.,
la aritmética, la teoría de conjuntos).
V
comprometió, debiendo enfrentar una tenaz oposición. Tenemos, además, la innegable
presencia de Hilbert y Gödel en la filosofía contemporánea de las matemáticas.6
Una segunda razón, igual de importante, es que en mi labor como profesor de lógica
matemática en la Facultad de Ciencias, y como profesor de filosofía de las matemáticas
en diversos lugares (Licenciatura en Matemáticas, Posgrado en Filosofía de la Ciencia,
Maestría en Docencia para la Educación Media Superior, diplomados y demás) me di
cuenta de la necesidad de un texto, escrito con intenciones didácticas, que ofreciera
una visión panorámica de los temas ya referidos. Tal libro estaría dirigido no a los
especialistas en la materia (para quienes ya hay una extensa literatura), sino a quienes
desean aprender de ella sin antes haber cubierto todos los temas que los expertos
marcan como necesarios para su comprensión. Además un libro amigable, accesible
a todo aquél que, con una razonable formación matemática, desee acercarse a tales
cuestiones. En breve: Un texto que, de manera simple, explique los elementos básicos
del trabajo de Hilbert y Gödel en torno a los fundamentos de las matemáticas, tomando
en cuenta el contexto en que se produjo y que influyó evidentemente en su desarrollo.
Es un hecho afortunado que hoy en día la bibliografía relativa a estas cuestiones es
muy extensa. Son numerosos los libros y artículos que examinan en detalle todos y
cada uno de los aspectos de la obra de Hilbert y Gödel. No obstante, por distintas
razones ninguno de ellos reúne todas las bondades que esperamos. En algunos casos se
trata de trabajos especializados dirigidos a quienes, conociendo ya la obra de Hilbert y
Gödel, buscan profundizar en alguna cuestión en particular (lo cual no es posible en
una primera aproximación);7 otros consisten en antologías que reúnen textos relativos
a un tema en particular o publicados en un periodo determinado,8 muchos de los
cuales dejan al lector la tarea de construir un discurso en torno a ellos. Otros más
sólo tocan aspectos técnicos del trabajo de Hilbert y Gödel, sin hacer referencia al
contexto histórico o filosófico, o se concentran en cuestiones meramente biográficas o
anecdóticas, sin ir al fondo de los problemas. Esto por mencionar algunos ejemplos.
Un caso aparte lo forman aquellas investigaciones en las que las cosas se miran desde
la perspectiva de los problemas filosóficos tradicionales (metafísica, epistemología,
6 Digamos que el estudio de su obra nos brinda una mejor perspectiva del carácter de la matemática
actual. Por ejemplo, retomando el tema ya mencionado en la nota al pie precedente, si el lector piensa
que por pura reflexión, acompañada quizá por algunas consideraciones intuitivas, es posible descubrir
un conjunto de principios que comprendan todas las verdades de la aritmética, o, peor aún, un sistema
filosófico que contenga de manera absoluta toda la verdad acerca de la existencia humana, le suplicamos
encarecidamente que lea este importuno texto y reflexione sobre dicha aspiración, hasta convencerse de
que no es más que un candoroso sueño de la razón que debemos tirar al cesto de la basura. Para eso y
algo más nos sirven los teoremas de Gödel.
7 Tres ejemplos: Hilbert’s Finitism, de Richard Zach; Hilbert’s Program. An Essay on Mathematical
Instrumentalism, de Michael Detlefsen e Inexhaustibility, a non-exhaustive treatment, de Torkel Franzén.
8 Cinco antologías destacadas: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And
Computable Functions, de Martin Davis; From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic,
de Jean van Heijenoort; From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, de
William B. Ewald, From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s,
de Paolo Mancosu y Gödel’s Theorem in focus, de S. G. Shanker.
P REFACIO
VI
ontología, filosofía del lenguaje), y no desde las preocupaciones de quienes, desde la
matemática, participan o se inician en los debates.9 Esto requiere de una explicación o
discusión más detallada.
Como área de estudio, la filosofía de la matemática se puede contemplar desde dos
perspectivas: desde el punto de vista de la filosofía misma y desde el punto de vista
de quienes practican la matemática. Frente a esta alternativa, nuestra elección ha sido
clara.
Se trata de mirar los problemas filosóficos a que dio lugar la matemática desde la
perspectiva de quienes primariamente se consagraron a esta ciencia y, de manera
complementaria, decidieron reflexionar sobre ella, seguros de que esta labor enriquecía
el valor cultural y perfilaba los derroteros seguidos por la matemática. Es de tales
cuestiones que nos ocupamos en estas páginas.10
Esto de ninguna manera significa que sintamos desprecio o rechazo por el otro punto
de vista.11 Más bien, nuestra preferencia por el enfoque “internalista” es natural: ahí
están nuestras raíces, al igual que las de Hilbert, cuya visión es la de un matemático
activo, no la de alguien cuyas preocupaciones iniciaron al contemplar la matemática
desde la filosofía. Esta postura tiene la ventaja de que en ella se parte de la comprensión
calificada de ciertos campos de la matemática, la cual es indispensable si se quiere
discurrir filosóficamente acerca de ella.
Históricamente, esta postura marcó una diferencia en la manera de abordar los problemas. De hecho, un mérito de Hilbert consistió en tratar de resolver diversos problemas
filosóficos relativos a la matemática haciendo matemáticas, es decir, construyendo una
9 Un
claro ejemplo de esto es el libro The Provenance of Pure Reason de William Tait.
mis alumnos y colegas me preguntaban por un texto que tratara estos temas desde la óptica
de la matemática misma, ofreciendo a la vez una panorámica más o menos completa, lo único que podía
mencionar eran algunos trabajos que de alguna manera llenan los huecos, sin cubrirlos todos. Algunos
ejemplos son: (i) El libro Gödel’s Proof de Nagel y Newman, en el que se ofrece una breve explicación
del contexto en que se dieron los teoremas de Gödel, junto con una exposición informal de los mismos,
deficiente y sesgada; (ii) El libro A Profile of Mathematical Logic de Howard DeLong, donde se tiene
una explicación razonable de los teoremas de Gödel, y se mencionan algunos puntos de interés para
la filosofía de las matemáticas relacionados con los teoremas limitativos, pero nada más; (iii) El libro
The Philosophy of Mathematics de Stephan Körner, donde el autor analiza los puntos de vista de ciertos
filósofos (Platón, Aristóteles, Leibniz, Kant), y pasa lista a las tres escuelas clásicas de principios del
siglo XX (logicismo, formalismo e intuicionismo), sin incursionar en la historia o examinar los problemas
propiamente matemáticos en torno a los que estas escuelas se conformaron; (iv) El libro Mathematical
Logic and the Foundations of Mathematics de G. T. Kneebone, en el que, de manera por demás técnica,
el autor sigue el desarrollo de la lógica matemática, los problemas que se presentaron en torno a los
fundamentos a finales del siglo XIX, las distintas escuelas que surgieron del así llamado “periodo crítico”
y pasa lista a distintos aspectos de la matemática (su epistemología, su aplicabilidad, etc.) cual si fuera un
desfile temático. Así, por ejemplo, el intuicionismo aparece tras haber expuesto, en capítulos sucesivos,
la matemática formalizada de Hilbert y los teoremas de Gödel, como si nada tuviera que ver con ellos.
Por último debemos mencionar el ya citado libro de Paolo Mancosu, The Debate on the Foundations of
Mathematics in the 1920s, un excelente tratado que, sin embargo, se limita a un periodo muy preciso de
tiempo: a la década 1920-1930.
11 Esto sería absurdo, tratándose de un libro de filosofía de las matemáticas.
10 Cuando
VII
teoría matemática (la teoría de la demostración) para resolverlos. Dicho de otra manera:
lo que Hilbert hizo fue reflexionar en torno a los problemas relativos a los fundamentos
de la matemática desde la matemática misma, dirigiéndose en todo momento a sus
colegas y no a quienes desde la filosofía mostraban algún interés en ella. Lo mismo
podemos decir, en mayor o menor medida, de otros participantes en el debate (v. gr.,
Cantor, Poincaré, Brouwer), cuyas posturas habremos de examinar.
Un problema que trajo consigo un estudio tan especializado de los fundamentos de
las matemáticas fue que su desarrollo se dio en estrecha dependencia con métodos y
técnicas que dificultan su comprensión. En particular, muchas ideas se presentan tras
un lenguaje técnico que las obscurece y aleja del no especialista.12 Los matemáticos,
principales conductores de estas investigaciones, establecieron nuevas formas de análisis, pero lo hicieron levantando una barrera conceptual y metodológica que dificulta la
comprensión de su trabajo (v. gr., la teoría de la cuantificación de Frege, la teoría de
tipos de Russell, el predicativismo de Poincaré y Weyl, etc.) Con respecto a esto, en
este libro intentamos aclarar muchas de las ideas comprendidas en tales indagaciones,
ya sea en el texto principal o en los apéndices, cuya inclusión obedece a nuestro deseo
de ofrecer un texto autocontenido.
Para concluir esta sección diremos lo siguiente. Si alguien nos preguntara porqué un
matemático con inclinaciones filosóficas o un filósofo con inclinaciones matemáticas
debe ocuparse de todo este material en apariencia antiguo, nuestra respuesta sería otra
pregunta: ¿Por qué se interesa usted en las matemáticas?13 Es muy difícil explicar a los
no matemáticos porqué sentimos tal apego a esta materia, o porqué la misma plantea
problemas tan serios a la filosofía. Una respuesta a lo anterior se halla en lo que aquí
narramos, en los cambios ocurridos en la matemática en la segunda mitad del siglo
diecinueve y principios del veinte, en los nuevos puntos de vista que surgieron acerca
de su naturaleza —desde el riguroso logicismo de Frege hasta la cruda concepción
sintáctica del programa de Hilbert— y en la obra de Gödel, quien nos reveló una
matemática inagotable, por siempre abierta a la incorporación de nuevos métodos y
principios, en ocasiones tan abstracta que parece recorrer las fronteras del pensamiento
mismo. Si esto no le parece sorprendente al lector, una opción no dolorosa será que
cierre el libro y se ocupe de otras cosas.14
12 Algo
que en gran medida es inevitable.
13 ¿Acaso el lector jamás se ha preguntado por la naturaleza y el carácter del conocimiento matemático?,
¿por qué éste, que no necesita considerar el vínculo entre sus conceptos y la realidad objetiva, constituye
a la vez un elemento clave en la comprensión de la naturaleza? ¿Alguna vez ha intentado ofrecer una
respuesta a estas preguntas?
14 Entre los cambios ocurridos en la matemática durante este periodo podemos mencionar los siguientes:
la aparición de la teoría de los números transfinitos de Cantor, el estudio de los espacios de dimensión
infinita (v. gr., los espacios de Hilbert), la aparición del álgebra moderna con sus estructuras abstractas (v.
gr., lo hecho por Emmy Noether: teoría de ideales en anillos conmutativos, álgebras no conmutativas,
números hipercomplejos, teoría de grupos y su relación con la teoría de módulos e ideales, etc.), o el
desarrollo del análisis matemático (v. gr., lo hecho por Borel: teoría de la medida y la moderna teoría de
la probabilidad). Esto son apenas algunos ejemplos, sin siquiera mencionar lo sucedido en la topología, la
teoría de juegos, la geometría, etc.
P REFACIO
VIII
Por último tenemos una segunda respuesta a la pregunta sobre el interés en estas
cuestiones. La educación universitaria no sólo consiste en aprender una especialidad
y mirar hacia lo nuevo; también entraña la adquisición de una formación integral
y la preservación de nuestra memoria histórica. Concentrarse exclusivamente en lo
nuevo o, peor aún, en los contenidos específicos de una disciplina, constituye un error
que debemos evitar. No se puede limitar la educación universitaria a tales empeños.
Por el contrario, más allá de la preparación técnica, la educación debe ofrecer una
visión global de lo que se estudia, generando a la vez principios y actitudes a través
de los cuales los individuos puedan sentir, vivir y expresarse. En cierta ocasión Albert
Einstein se refirió al fin último de la educación con las siguientes palabras:
No basta con enseñar a un hombre una especialidad. Aunque esto pueda
convertirle en una especie de máquina útil, no tendrá una personalidad
armoniosamente desarrollada. Es esencial que el estudiante adquiera una
comprensión de los valores y una profunda afinidad hacia ellos. Debe adquirir un vigoroso sentimiento de lo bello y lo moralmente bueno. De otro modo,
con la especialización de sus conocimientos más parecerá un perro bien
adiestrado que una persona armoniosamente desarrollada. (Albert Einstein
en The New York Times, 5 de octubre de 1952).
Un modo de equilibrar el desarrollo de los alumnos consiste en enseñar, junto con
los contenidos propios de la matemática, su historia y filosofía, lo cual ensancha la
visión que se tiene de la llamada “Reina de las ciencias”15 , permitiendo una mejor
comprensión de su carácter y su lugar en la ciencia, la cultura y la sociedad.16
Sobre la estructura del libro
En su estructura el libro sigue básicamente un orden cronológico, sin no pretender
ser una historia de los problemas considerados o un tratado íntegro sobre el debate
15 Bressoud,
D., The Queen of Sciences, A History of Mathematics, (DVD) The Teaching Company,
2008.
16 En la actualidad, hay un intenso debate acerca del papel de la educación humanística en las carreras
científicas. No se trata de algo intrascendente: hay sitios donde ya se han limitado o cerrado los programas
en artes y humanidades a causa de una visión tan limitada como la de juzgar su valor en términos de
“productividad” (criterio que también se utiliza para opinar sobre la inutilidad de enseñar “ciencia pura”).
Sí, leyó usted bien: los mismos criterios que privan en el mercado se aplican en la educación. Con base en
tales criterios se aboga por suprimir o mantener en los niveles estrictamente “necesarios” la enseñanza y la
investigación en temas como la historia, la literatura, la ética y la filosofía. La idea, en palabras de Eduardo
Galeano, es muy simple: Se condena lo que es inútil y es inútil lo que no es rentable. Esta tendencia no es
sólo local, sino global. En un breve artículo publicado en la revista Nature, Gregory Petsko, bioquímico de
la Universidad de Brandeis, expone con claridad (y en una sola página) la importancia de la enseñanza de
las humanidades a los estudiantes de ciencias, y la trascendencia de no cerrar o limitar los programas en
artes y humanidades en las universidades. Recomendamos su lectura. La referencia completa es: Gregory
Petsko, “Save university arts from the bean counters”, Nature, 23/30 December, 2010, vol. 468. El título,
traducido al español de México, es muy sugerente: “Salven las letras, las artes y las humanidades de los
cuentachiles en las universidades”.
IX
en torno a los fundamentos de las matemáticas que se diera a inicios del siglo XX.
El libro comienza con un análisis del carácter de la geometría euclidiana y culmina
con la presentación de la filosofía matemática de Kurt Gödel. El orden y selección de
los temas obedece al propósito de seguir y entender el desarrollo del pensamiento de
Hilbert y la manera en que Gödel puso fin a sus pretensiones. Con este criterio fueron
muchas las cosas que no fueron tomadas en cuenta.17
Una ventaja del orden cronológico es que nos permite resaltar la diferencia entre la
matemática tradicional y la llamada matemática moderna, cuya aparición dio lugar al
problema de los fundamentos suscitado a principios del siglo veinte.18 Otra ventaja,
decisiva para la organización de este trabajo, es que el orden cronológico nos posibilita
exponer los problemas y resultados de las investigaciones en torno a los fundamentos
de la matemática de manera accesible al no especialista. Con ello buscamos dos cosas:
primero, tender un puente entre la matemática y la filosofía; segundo, hacer claro al
lector el contraste entre una vertiente de la matemática actual, abstracta y sofisticada, y
la matemática tradicional, que en gran medida refleja nuestras intuiciones.
Por último tenemos una consideración de orden teórico. Despuès de leer a Paul Bernays19 , llegamos a la conclusión de que al explorar un tema como el de los fundamentos
de las matemáticas no es necesario elegir entre los distintos puntos de vista analizados
(intuicionismo, finitismo, logicismo, platonismo, etc.); más bien, lo relevante es formular de manera precisa tales puntos de vista y establecer sus diferencias, similitudes y
mutuas relaciones. La idea que guía esta investigación es precisamente la de sopesar
los argumentos de los distintos actores, para así comprender de mejor manera lo hecho
por Hilbert y Gödel.
Sobre el carácter del libro
Mientras pensaba en las palabras que habría de incluir hacia el final de este prefacio,
cayó en mis manos, como por arte de magia, un libro de aforismos de Leonardo
da Vinci.20 En él, en una sección titulada “Leonardo al lector”, hallé los siguientes
pasajes en los que da Vinci expresa con suma claridad y sentido literario muchas de las
sensaciones que me ha producido la escritura de esta obra. Si bien no todo lo que dice
es pertinente en mi caso, pues las ideas que tomo no son de escaso valor, ni comparo
17 Por mencionar una de ellas: el debate entre Poincaré y Russell sobre la naturaleza del razonamiento
matemático y el papel de la lógica en las matemáticas.
18 Aquí por matemática moderna se entiende, no la matemática que parte de Descartes y Fermat, sino
la matemática surgida a mediados del siglo diecinueve y que en espíritu se aparta de la que le precede; y
si bien no es posible establecer una clara demarcación entre la matemática tradicional y la matemática
moderna, por matemática tradicional entendemos el cuerpo de teorías y métodos conocidos desde la
antigüedad hasta principios del siglo diecinueve, y que por entonces no se habían separado del todo de la
física. Al respecto, esta distinción se aclarará al leer los primeros capítulos, en los que esta cuestión se
trata con cierto detenimiento.
19 Bernays, 1935.
20 Leonardo Da Vinci Aforismos (selección y traducción: E. García de Zúñiga), Espasa Calpe Argentina
S. A., Colección Austral, 2003.
P REFACIO
X
las aulas universitarias con “pobres caseríos”, reproduzco textualmente sus palabras,
para después recrearlas libremente. La numeración es la del libro de aforismos:
Leonardo al lector
1. Considerando que no podía encontrar una materia de gran utilidad o
agrado, puesto que los hombres nacidos antes que yo habían tomado
para sí los temas útiles y necesarios, haré como el que, a causa de su
pobreza, llega el último a la feria y, no pudiendo surtirse de otro modo,
compra cosas ya vistas por los otros y desechadas por ellos a causa de
su escaso valor.
2. Emplearé en la adquisición de esa mercadería despreciada, rechazada y
proveniente de muchos mostradores, mi escaso peculio, y así recorreré,
no las grandes ciudades, sino los pobres caseríos, distribuyendo las
cosas de que dispongo y recibiendo por ellas el precio que merecen.
3. [...] todo esto forma una recopilación sin orden de muchas hojas sueltas,
a la espera de clasificarlas según la materia de que tratan. Creo que,
antes de llegar al fin, repetiré muchas veces las mismas cosas. Si ello
ocurre, no me critiques, lector. Las cosas son en gran número y la
memoria no puede retenerlas todas. Yo no quisiera escribir lo que ya
he dicho; pero, para no incurrir en ese error sería menester que cada
vez que agrego algo, releyese todo lo pasado, lo que me ocuparía mucho
tiempo, pues escribo a largos intervalos y fragmento por fragmento.
4. Que no me lea quien no sea matemático, porque yo lo soy siempre en
mis principios.
En una libre adaptación de las palabras de Leonardo, y sin su aquiescencia por obvias
razones, modifiqué, tergiversé y extendí los cuatro aforismos precedentes a fin de
comunicar al lector cuales fueron mis propósitos al escribir esta obra... y lo que pienso
de ella. Mantengo la numeración de Leonardo:
Al lector
1. Considerando que no podía desarrollar nuevas ideas de gran originalidad, puesto
que muchos grandes hombres y mujeres ya lo habían hecho antes que yo, decidí
hacer como quien llega tarde al debate y se entretiene examinando, trenzando,
ataviando, afinando y desechando las ideas de los otros.
2. En la adquisición de esas ideas, provenientes de grandes pensadores y ya examinadas por otros antes que yo, he empleado mi escaso peculio, evitando la
falsa pretensión de originalidad en aquello que tan sólo he forjado con su ayuda.
Más bien, lo que he sido es un recolector de las buenas prendas elaboradas por
XI
otros, con algunos cambios o mejoras. Puedo decir entonces que mi mercancía
no la ofrezco a los grandes comerciantes, quienes con todo su capital aguardan
nuevos productos de aparente originalidad para así continuar sus interminables
regateos; más bien, la ofrezco a quienes buscan complacerse con las cosas que
dispongo, recibiendo a cambio el precio que merecen. Estos destinatarios son los
universitarios y estudiosos que deseen acercarse con gusto y mesura a la obra
lógica y filosófica de Hilbert y Gödel, y todos aquellos que aspiren a comprender
los grandes cambios que hubo en la matemática y su filosofía a finales del siglo
XIX y principios del XX.
3. El libro es el resultado de organizar una recopilación de temas que se fue formando
sin orden aparente, a la espera de ser clasificados.21 Creo que en él repito muchas
veces las mismas cosas. Si ello ocurre no me critiques, lector. Tengo, además de
buenas razones didácticas, el disuasivo argumento de Leonardo: las cosas son en
gran número y mi memoria no puede retenerlas todas. Aunque yo no quisiera
escribir lo que ya he dicho, para no incurrir en ese error hubiera sido necesario
que cada vez que agregara algo releyera todo lo pasado, lo que llevaría mucho
tiempo, pues escribo a largos intervalos y fragmento por fragmento.22
4. Que el presente texto no lo lea quien no lo haga desde la perspectiva de la
matemática misma, pues eso es lo que yo hago siempre en mis escritos.
Lo dicho en el último inciso no es una mera figura retórica, sino un rasgo distintivo
de esta obra. Reiterando lo ya expuesto en párrafos anteriores (aquí está la primera
repetición, como lo acabo de advertir en el inciso 3), diré lo siguiente: el presente
trabajo incluye escasamente temas que no fueron considerados por quienes, desde la
matemática misma, abordaron la discusión de sus fundamentos, principalmente Hilbert
y Gödel. Así, poco o casi nada se dice de diversos problemas que la filosofía de la
matemática ha considerado relevantes desde una óptica más amplia como, por ejemplo,
(i) el relativo al funcionamiento de la lógica como estructura sobre la que se levanta
nuestro lenguaje (Wittgenstein, Tractatus lógico-Philosophicus); (ii) el de la necesidad
de una teoría semántica para las proposiciones matemáticas que sea homogénea con
la del resto del lenguaje, a la vez que compatible con una explicación razonable de la
“verdad matemática” (Dilema de Benacerraf, planteado en su artículo “Mathematical
Truth” de 1973), o (iii) el argumento de la indispensabilidad, planteado por Quine y
Putnam acerca de la necesidad de considerar como existentes los objetos matemáticos
dada su ineludible presencia en las ciencias empíricas.
21 Esto
incluye Torres 1995, 1999a, 1999b, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012, 2013 y 2016.
cuanto a las razones didácticas, son estas: Estoy convencido de que la repetición produce muy
buenos resultados en la enseñanza, es decir, creo firmemente (“a pie juntillas”) que además del razonamiento, la repetición del contenido es un importante pilar del aprendizaje. Este juicio está respaldado no
sólo por mi experiencia, sino por algunas investigaciones en materia de educación. En lo que sigue el
lector hallará reflejada esta postura. Esto sucederá no sólo con algunas ideas, sino con diversos temas que
aparecen de manera repetida en el texto. Al respecto me consuela pensar que en cada caso se añade un
nuevo matiz, una perspectiva diferente del concepto o del tema.
22 En
XII
P REFACIO
Los mencionados son apenas una pequeña fracción de los problemas que se debaten
en la filosofía de la matemática, y de los que no nos ocupamos en esta obra. La lista
anterior podría continuar en forma indefinida. Es muy grande el número de filósofos y
matemáticos que no mencionamos y que en su momento se ocuparon de los problemas que aquí tratamos. Personajes como Cassirer, Helmholtz, Husserl, Kolmogorov,
Ramsey o Wittgenstein no son citados en el libro (o apenas lo son) por las razones ya
expuestas. No debemos olvidar que se trata de un texto en cierta medida introductorio,
que sólo se enfoca en ciertos aspectos de la matemática, y en el que ni siquiera se habla
de todo lo que inquietó a Hilbert y a Gödel. Por ejemplo, al mencionar las razones que
llevaron a Hilbert a escribir los Fundamentos de la geometría nos limitamos a ciertos
aspectos de su pensamiento y dejamos de lado muchos otros, como se puede constatar
al leer dicha obra o ver lo que dice Bernays al respecto (Bernays, 1959). Igualmente,
por mencionar otro ejemplo, al hablar de Gödel dejamos de lado su interés por la obra
de Husserl, pues tal aspecto no nos parece relevante para los problemas que nos ocupan
en estas páginas. No podemos ni queremos decirlo todo. Lo que sí esperamos, como
en toda obra introductoria, es motivar al lector a que durante la lectura de este libro, y
después de ella, profundice en los temas que despierten su interés acudiendo a la vasta
literatura existente y en continuo crecimiento.
Palabras finales
Para terminar quiero decir unas palabras acerca de la tensión ocasionada por dos pautas
subyacentes a la escritura de este texto, y que parecen incompatibles. Por una parte, el
deseo de exponer las cosas con claridad; por la otra, el de hacerlo con exactitud. Al
respecto, en los momentos más difíciles he optado, ante mi incapacidad de conciliar en
la práctica estos dos propósitos, por la claridad y el afán de ser comprendido, antes que
la precisión. Mi intención ha sido en todo momento invitar al lector a que reflexione
sobre los problemas que debieron enfrentar los protagonistas de esta historia, a que
haga suya la idea, muchas veces olvidada, de que el valor de la educación universitaria
es “el adiestramiento de la mente para pensar”.23 No sé si en la práctica esta obra
alcance dicho propósito, pero esa ha sido mi intención. Y si bien no creo posible que
alguien pueda obtener una visión completa de estos temas sin un esfuerzo considerable
(v. gr., del programa de Hilbert o los teoremas de Gödel), también creo que quien los
contempla de lejos puede, con todo, formarse una idea razonable de los métodos y
resultados de estas ramas de investigación. Habiéndome inclinado por una de estas
alternativas, lo que espero es que el lector remedie el rigor faltante ya sea en el aula o
acudiendo a la extensa literatura que hay al respecto. Tal fue mi decisión, sustentada
en la idea de que en este dominio el primer paso es contemplar el panorama completo,
23 Estas palabras están tomadas del comentario que hiciera Einstein en 1921 cuando, al contestar el test de Edison, no supo la respuesta a la pregunta ¿Cuál es la velocidad del sonido?:
“El valor de la educación universitaria no es el aprendizaje de muchos datos, sino el entrenamiento de la mente para pensar.” El test está disponible en línea en http://www.neoteo.com/
superaras-test-inteligencia-thomas-edison
XIII
asombrarse con la visión del bosque, aun a costa de la precisión que poco a poco habrá
de lograrse al recorrerlo por sus múltiples senderos.
En esto, el orden histórico ha sido mi mejor aliado. Me ha permitido seguir el curso
vivo del pensamiento de Hilbert y Gödel en vez de presentarlo, como tantos autores,
como un producto acabado; me ha permitido también comprender y transmitir de mejor
manera las circunstancias que determinaron que cada uno de ellos prefiriera un camino
sobre cualquier otro. Mi objetivo ha sido en todo momento presentar la matemática
y su filosofía como un producto de la historia, como algo sujeto al debate, la duda y
la reflexión. En mi opinión, ésta es la mejor forma de acceder al pensamiento de dos
matemáticos que con su obra cambiaron nuestra manera de ver nuestra ciencia.
Ahora invito al lector a que me acompañe por el camino que me llevó a descubrir que
quienes participaron en estas tareas no eran fríos pensadores, incapaces de padecer
o sufrir, o individuos llevados tan sólo por el impasible afán de saber y entender,
sino seres humanos sujetos también a vehementes impulsos ajenos a la razón: sueños,
deseos, pasiones, rivalidades, lealtades e incluso ambición de poder. A fin de cuentas,
repito, la matemática y su filosofía constituyen una tarea en la que los participantes
también están sujetos a esa clase de vicisitudes.
Índice general
Preámbulo
I
Prefacio
III
Introducción general
XXI
1. Euclides, Kant, Hilbert y los fundamentos de la geometría
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. La geometría en los Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1. Los postulados de Euclides y las primeras proposiciones de
los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2. Algunos comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. La demostración en los Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.1. La estructura de las proposiciones en los Elementos . . . . . .
23
1.3.2. La demostración euclidiana y el razonamiento geométrico
según Kant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.4. La teoría kantiana de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5. La crítica moderna y la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.5.1. Tres sentidos distintos de la palabra “fundamentos” . . . . . .
36
1.6. La geometría en los Grundlagen der Geometrie de Hilbert . . . . . .
38
1.6.1. Dos ideas subyacentes a los Grundlagen . . . . . . . . . . . .
39
1.6.2. La geometría en los Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.6.3. Los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.6.4. Independencia del axioma de continuidad . . . . . . . . . . .
50
1.6.5. El teorema de Desargues y su lugar en la geometría . . . . . .
52
XV
Í NDICE GENERAL
XVI
1.6.6. Un recorrido a la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.6.7. Breves reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.7. Hilbert y la teoría kantiana de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1.7.1. Nociones ideales y dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.7.2. Un ejemplo de la utilidad del método . . . . . . . . . . . . .
69
1.7.3. Nuevos objetos, nuevas matemáticas . . . . . . . . . . . . . .
71
1.7.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.8. La consistencia de la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1.8.1. La relación entre las nuevas geometrías y la euclidiana . . . .
75
1.8.2. La consistencia de la geometría euclidiana plana . . . . . . .
77
1.9. Cuestiones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1.9.1. La naturaleza de la geometría: El punto de vista de Kant . . .
80
1.9.2. El apriorismo en la matemática después de Kant . . . . . . .
84
1.9.3. El punto de vista de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1.9.4. Un epígrafe tomado de la Crítica de la razón pura de Kant . .
87
1.9.5. El análisis lógico: un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
2. La matemática moderna y la teoría de conjuntos
93
2.1. La nueva matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.2. El álgebra moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.2.1. El álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.2.2. Los cuaternios de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.3. La teoría de grupos y el programa de Erlangen . . . . . . . . . . . . . 102
2.4. La física cuántica y la teoría de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5. La aritmetización del análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.6. La teoría de los números transfinitos de Cantor . . . . . . . . . . . . 114
2.6.1. El concepto de infinito en la teoría de conjuntos . . . . . . . . 115
2.6.2. Conjuntos, funciones, relaciones y estructuras abstractas . . . 117
2.6.3. Los comienzos de la teoría cantoriana: conjuntos de números . 118
2.6.4. La hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6.5. El axioma de elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.6.6. Dos comentarios y un epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Í NDICE GENERAL
XVII
3. La cuestión de los fundamentos a principios del siglo veinte
133
3.1. Introducción. El problema de los fundamentos . . . . . . . . . . . . . 133
3.2. El logicismo de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3. Las paradojas o antinomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4. La propuesta de Hilbert de 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4.1. La aritmética como un sistema de fórmulas . . . . . . . . . . 151
3.5. La teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.6. Poincaré, Weyl y el predicativismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.6.1. Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.6.2. Poincaré ante el formalismo de Hilbert y la teoría de Cantor . 165
3.6.3. El principio del círculo vicioso y las definiciones no predicativas167
3.6.4. Weyl y Feferman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.7. El logicismo de Russell y Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.8. El intuicionismo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.8.1. El principio del tercero excluido . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.8.2. Comentarios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4. El programa de Hilbert
193
4.1. Los inicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.1.1. La cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático
(parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.1.2. Una contienda filosófica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.2. La naturaleza de la matemática clásica según Hilbert . . . . . . . . . 200
4.2.1. La naturaleza, el entendimiento y el infinito . . . . . . . . . . 202
4.2.2. El infinito en la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.2.3. La matemática clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.2.4. Un cambio en el punto de vista
. . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.3. La intuición del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.4. El programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.4.1. La formalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.4.2. Posibilidad de una prueba finitista de consistencia . . . . . . . 230
4.4.3. La teoría de la demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Í NDICE GENERAL
XVIII
4.4.4. Las cuestiones de la resolubilidad (parte 2), la completud y el
problema de la decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.4.5. El programa: un resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.4.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5. La intervención de Gödel
257
5.1. El espíritu de una época: verdad y demostrabilidad . . . . . . . . . . 257
5.1.1. La introducción de 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.1.2. El espíritu de la época . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2. Los teoremas de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.2.1. La vía del descubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.2.2. Una prueba heurística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.2.3. La cuestión de la autorreferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.3. Los teoremas de Gödel en nuestro tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.4. Los teoremas de Gödel, el programa de Hilbert y las matemáticas . . . 288
5.4.1. Consecuencias para la filosofía y el programa de Hilbert . . . 288
5.4.2. La cuestión de la completud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.4.3. La cuestión de la consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.4.4. Gentzen et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.4.5. La cuestión del instrumentalismo . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.4.6. Consecuencias para la matemática en general . . . . . . . . . 305
5.5. Los teoremas de Church y Turing y el problema de la decisión . . . . 310
5.5.1. El problema de la decisión y las máquinas de Turing . . . . . 311
5.5.2. El problema de la detención y la máquina universal . . . . . . 313
5.5.3. El problema de la decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
5.6. Algunas reflexiones de Gödel en torno a los teoremas limitativos . . . 316
5.6.1. Precisiones en torno a la noción de algoritmo . . . . . . . . . 316
5.6.2. El enunciado de Gödel y las ecuaciones diofánticas . . . . . . 318
5.6.3. Reflexiones de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.7. El problema de la decisión, el computabilismo y la resolubilidad de
todo problema matemático (parte 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Í NDICE GENERAL
XIX
6. Gödel y la defensa del realismo conceptual
331
6.1. ¿Es la matemática una libre creación del espíritu humano? . . . . . . . 331
6.1.1. ¿Lo es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.1.2. Crítica al nominalismo y al positivismo lógico . . . . . . . . 336
6.2. Salvaguarda del realismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7. Reflexiones finales
345
7.1. Algunas consideraciones en torno a Hilbert... y Gödel . . . . . . . . . 345
7.1.1. El contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.1.2. Algunas reflexiones en torno al pensamiento de Hilbert . . . . 349
7.1.3. ¿Qué habría sucedido si Hilbert hubiera tenido éxito con su
programa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.2. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Apéndices
A. Un comentario sobre la demostración en Euclides
361
A.1. Un ejemplo de razonamiento diagramático utilizado por Pascal en el
siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
B. Un comentario acerca de la geometría de Lobachevsky y dos modelos
para las geometrías no euclidianas
369
C. Axiomas de Hilbert para la geometría
375
D. Una prueba de consistencia para la geometría euclidiana
383
E. Los números complejos
389
F. La teoría cantoriana de conjuntos
393
G. Las antinomias y la matemática
411
H. Un argumento en contra del principio del tercero excluido
415
I. Una guerra de ranas y ratones
417
XX
Í NDICE GENERAL
J. La inducción matemática y las definiciones por recursión
421
K. El método de los elementos ideales
427
L. El concepto de sistema formal
429
M. Un cálculo deductivo para la lógica de primer orden (cálculo de predicados)
439
N. Lenguaje y metalenguaje
443
Ñ. La teoría de Zermelo-Fraenkel como sistema formal
447
O. Un sistema formal para la aritmética de Peano
451
P. Aritmetización de la sintaxis de AB
455
Q. Usos y abusos de los teoremas de Gödel
461
R. Una prueba de consistencia para la aritmética de Peano (la prueba de
Schütte)
467
S. Acerca de las máquinas de Turing
471
T. Las pruebas de existencia no constructivas y la filosofía de las matemáticas
485
Referencias bibliográficas
491
Introducción general
A lo largo de la historia la filosofía ha propuesto diversas concepciones de la matemática
a partir de las cuales se han derivado criterios acerca de lo que son sus objetos, sus
métodos, la verdad de sus conclusiones y su relación con lo “real”. Dos claros ejemplos
de ello son la explicación que ofrece Platón de los objetos matemáticos con base
en su teoría de las formas, y la que ofrece Descartes con base en su teoría de las
ideas innatas.24 Con el tiempo muchas de estas concepciones han entrado en conflicto
con los cambios sucedidos en la matemática. Por ejemplo, a partir del desarrollo
de las geometrías no euclidianas la noción de espacio absoluto de Kant ya no fue
sostenible. Al crear otras geometrías diferentes de la euclidiana, la matemática mostró
la posibilidad de postular nuevos espacios mediante otros conceptos, reivindicando
con ello la libertad de que goza para determinar su objeto de estudio.25
Lo anterior no fue un hecho aislado. Por el contrario, tras los cambios habidos en la
matemática del siglo XIX, muchas de las tesis que sostuviera Kant en la Crítica de
la razón pura respecto de la matemática debieron ser revisadas o rechazadas. V. Gr.,
a partir del surgimiento de la teoría de conjuntos y el álgebra abstracta, la teoría de
Kant acerca de la construcción de conceptos en la intuición pura (predominante hasta
entonces) resultó ser demasiado restrictiva. Esta incapacidad para dar cuenta de la
24 Precisemos
esto último. Descartes afirma que los objetos matemáticos (triángulos, números, etc.) no
tienen existencia fuera de su pensamiento, no son fingidos por él, son de naturaleza verdadera e inmutable
y no dependen de ninguna manera de su espíritu. Afirma también que éstos no han llegado a él por medio
de los sentidos y que, no obstante, son algo, en vez de nada. Se trata, en una palabra, de ideas innatas,
ideas que el espíritu posee por sí mismo y que no puede cambiar. Por ejemplo, el que los tres ángulos de
un triángulo valgan dos rectos es inherente a la idea de triángulo, algo que se puede demostrar pero no
cambiar, una propiedad que, querámoslo o no, debemos reconocer una vez que se presenta de manera
clara y distinta ante el espíritu. Al respecto, lo que tenemos ante nosotros es una posición tomada desde la
filosofía, y con base en ella se ofrece una explicación de la naturaleza de los objetos matemáticos.
25 Santiago Ramírez expresa estas ideas de la siguiente manera: “Ante la afirmación de que el espacio
físico (de Newton) es euclidiano, las matemáticas responderían que ellas están hablando de un espacio
que no es aquel en donde tienen lugar los fenómenos físicos, con lo cual estaría estableciendo, con el
mismo derecho y la misma legitimidad que la física, la existencia de un espacio propiamente matemático.
Al mismo tiempo, no estarían imponiendo a la física una idea de espacio contradictoria con la que la
explicación del mundo de la física hace necesaria. En todo caso, las matemáticas funcionarían como una
crítica de la noción de espacio newtoniano, que ulteriormente habría de servir de fundamento matemático
para las nuevas teorías físicas.” (Ramírez, 1990, p. 420.)
XXI
XXII
I NTRODUCCIÓN GENERAL
nueva matemática no sólo llevó a cuestionar la filosofía crítica de Kant, sino a la idea,
compartida por muchos matemáticos, de ya no sujetar su disciplina a preceptos provenientes de fuera de ella, es decir, a buscar respuestas al problema de sus fundamentos y
la naturaleza de sus objetos desde el interior de la matemática misma.26
Esta postura se fortaleció en el último tercio del siglo diecinueve y principios del
veinte, donde matemáticos como Dedekind, Cantor, Poincaré, Brouwer, Weyl y Hilbert
buscaron, con base en su experiencia y visión interna, ofrecer distintas alternativas en
la filosofía de las matemáticas, las cuales en su conjunto constituyeron una especie de
“visión desde la otra orilla” que en sus reflexiones partían de la matemática misma,
escuchándola y siguiéndola atentamente en su desarrollo.
Un caso extremo de esta actitud lo tenemos en David Hilbert y Kurt Gödel. Tras
haber trabajado arduamente en torno a los fundamentos de la geometría a finales del
siglo diecinueve, en los años 1917-1930 Hilbert elaboró un programa en el que la
filosofía y la matemática se entremezclaron. Su propósito era responder ciertas cuestiones relativas a los fundamentos de la matemática, las cuales tenían una connotación
filosófica muy precisa. Con ello intentaba algo extraordinario: dar fin a una disputa
filosófica resolviendo diversos problemas matemáticos muy precisos. En cuanto a su
planteamiento, su intención era dar un fundamento matemático a la matemática misma,
recurriendo para ello a un número muy reducido de supuestos filosóficos modelados
a partir de la práctica matemática. La apuesta de Hilbert –la matemática es capaz
de dar cuenta de su propio fundamento– presupuso un cambio en la relación entre
la matemática y la filosofía, en la que esta última adopta una postura no impositiva
sino consultante, y que basa sus conclusiones en la propia matemática. Por su parte
Gödel, defensor del realismo conceptual en la matemática, no sólo opuso al proyecto
de Hilbert objeciones de corte filosófico, sino que, actuando de la misma manera,
emprendió una investigación matemática del problema, hasta concluir con una negativa
a las pretensiones de Hilbert, basada esta vez en dos teoremas de su creación.27
Como consecuencia de este cambio de actitud, la investigación de los fundamentos
de las matemáticas se dio –como ya lo hemos dicho en el prefacio– en conexión
con estudios especializados que dependen de métodos y técnicas que dificultan su
comprensión. De esta manera el problema al que nos enfrentamos es doble: por una
26 No obstante, como más adelante veremos, las cuestiones relativas a la concepción de Kant de la
intuición y la construcción de conceptos, las cuales se hallan en el núcleo de su epistemología de las
matemáticas, no fueron desechadas sin más, sino que, por el contrario, siguieron presentes en los debates
filosóficos no sólo del siglo XIX, sino en los tiempos recientes. Respecto a lo sucedido en aquel entonces,
véanse, entre otras, las secciones 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 3.1, 3.6, 3.8, y 4.3. Se trata de un tema que reviste una
enorme importancia para este trabajo.
27 El trasfondo de estas observaciones es que en manos de Hilbert la matemática pareciera haber
declarado su autonomía frente a la filosofía. Para él ya no se trataba de sujetar su modo de ser a los
dictados de esta última (v. gr., reconocer su naturaleza constructiva conforme a lo establecido por Kant),
ni de aguardar a que alguna filosofía diera una respuesta a la pregunta por los fundamentos. Más bien,
se trataba de que la matemática tomara en sus manos la solución de estos problemas y los abordara con
sus propios medios, extrayendo de aquella si acaso las constricciones mínimas y los principios generales
sobre los cuales habría de apoyarse dicha tarea.
XXIII
parte, exponer las investigaciones en torno a los fundamentos de las matemáticas
a quienes no tienen forzosamente conocimientos de lógica matemática; por la otra,
articular entre sí los elementos surgidos de dicha labor y presentar las conclusiones
alcanzadas desde una perspectiva menos técnica y más cercana a la filosofía. En función
de este doble objetivo, y de los propósitos ya señalados en el prefacio, es que hemos
seleccionado los materiales y modelado la estructura de este trabajo.
Grosso modo, el libro se divide en dos partes claramente diferenciadas. En la primera
de ellas presentamos las circunstancias bajo las cuales Hilbert emprendió el estudio
de los fundamentos de la geometría, la postura que adoptó, y algunas conclusiones
a las que llegó. Asimismo, comentamos ampliamente el carácter más extendido de
la matemática moderna y dirigimos nuestra atención hacia el debate que se suscitó
a principios del siglo XX en torno a los fundamentos de la matemática, vivificado
por la aparición de las paradojas en la teoría de conjuntos. La ocasión se presta para
detallar el punto de vista de algunos participantes cuyo trabajo influyó decisivamente
en Hilbert al momento de perfilar el camino que habría de seguir.
En la segunda parte del libro explicamos la labor desarrollada por Hilbert en torno a
los fundamentos de la matemática entre 1917 y 1930, y la posterior intervención de
Gödel. Es entonces que nos ocupamos del estudio del Programa de Hilbert, uno de
los proyectos más ambiciosos de la filosofía matemática del siglo XX. Como veremos,
este programa es memorable no sólo por el impacto que tuvo en la filosofía de la
matemática, sino por el sólido concepto de razón que defiende. La ocasión se presta
para realizar una lectura filosófica de los teoremas limitativos de Gödel, que con tanta
claridad testimonian lo fructífera que puede ser la relación entre la ciencia y la filosofía.
Con su estudio esperamos poner en claro cómo la reducción de un problema filosófico
a un problema científico (matemático en este caso) puede tener un efecto positivo.28
Se trata, en fin, de mostrar a qué condujo el intento de Hilbert de dar cuenta de la
matemática desde la matemática misma, es decir, de convertir la discusión de sus
fundamentos en un asunto interno a esta disciplina. Se trata también de escudriñar
algunos resultados que fijaron un límite a la axiomática y a lo que puede probar una
teoría matemática, circunscribiendo de este modo los alcances de la razón en este
dominio.
En cuanto a la filosofía, nuestro interés se centra en algunas tesis como la de la “agotabilidad” –o “exhaustibilidad”– de la matemática, su reductibilidad a sistemas formales
28 La toma de posición que anima a este trabajo no es novedosa. Recupera el espíritu de un sector
importante de científicos que a lo largo del siglo veinte replantearon la relación entre la ciencia y la
filosofía, y cuya postura se puede resumir en las siguientes palabras de Albert Einstein: “La mutua relación
entre la ciencia y la epistemología es digna de mención. Son dependientes una de la otra. La epistemología
sin el contacto de la ciencia se convierte en un esquema vacío. La ciencia sin la epistemología es –en
la medida en que esto sea concebible en lo absoluto– primitiva y confusa.” El caso que nos ocupa es un
ejemplo de esta toma de posición, pero no el único en las investigaciones en torno a los fundamentos de
la matemática, muchas de las cuales se han abordado desde una perspectiva propiamente matemática.
Muestra de ello son muchos de los trabajos de Bernays, Cavaillès, Curry, Herbrand, Heyting, Poincaré y
Wang (véanse las referencias bibliográficas).
XXIV
I NTRODUCCIÓN GENERAL
(reduccionismo) y la inexistencia de límites para la razón matemática (racionalismo
extremo).29 Un punto central es examinar con mirada crítica la posibilidad de establecer
un fundamento apodíctico (demostrativo) para esta disciplina.30 Al respecto, nuestra
tesis es que ya no se puede sostener ningún concepto de la matemática que pase por
alto los resultados obtenidos en estas investigaciones, ni se puede esbozar un concepto
de razón que no tome en cuenta las limitaciones que los teoremas de Gödel le imponen
en este domino, otrora considerado como un paradigma de la racionalidad.
Con nuestro análisis esperamos dar sustento a la tesis según la cual cualquier intento por
alcanzar una síntesis exhaustiva de los métodos de prueba admisibles en la matemática
está condenado al fracaso. En particular, consideramos que nuestro estudio ofrece los
elementos suficientes para sostener la siguiente tesis:
Que la correcta lectura filosófica de los teoremas limitativos es que la matemática no es susceptible de una racionalización objetiva completa;31 en
particular, que nuestra creencia precrítica en la coherencia de la matemática no tiene una justificación formal (discursiva o demostrativa), salvo en
aquellos casos en que menos se necesita.
O bien:
Que la matemática no tiene un fundamento enteramente racional, debiéndose
buscar su justificación en otros ámbitos, como el de la práctica, que van más
allá de sus límites.
La conclusión será entonces que la búsqueda de tal justificación no tiene sentido en
tanto que proyecto de fundamentación y que la matemática es más bien una actividad
humana similar al arte, que no admite una racionalización total.
El trabajo está dividido en siete capítulos y un anexo con veintiún apéndices. Su extensión obedece a una preocupación bastante difundida en el ámbito del cual provengo,
consistente en tratar de presentar el trabajo como algo autocontenido, idea que en este
caso empalma a la perfección con el propósito de tender un puente entre la matemática
y la filosofía.
29 Con esto último nos queremos referir a Leibniz y Hilbert, y tal vez a Descartes, que no reconocen
límites para el poder de la razón matemática en ámbito que le es propio.
30 Este análisis se suma a otros cuestionamientos que se han llevado a cabo en diversos campos del
conocimiento en torno a la racionalidad, –como, por ejemplo, en la física o la economía– y que tienen
como propósito circunscribir sus alcances, recuperando y elaborando a un mismo tiempo otros conceptos
como los de incompletud, incertidumbre y complejidad. Al respecto, como caso relevante podemos
mencionar la crítica, en la ciencia económica, a la llamada teoría de la elección racional, donde diversos
autores han rechazado los modelos de racionalidad social y “agente económico” propuestos en ella. Un
notable ejemplo es el ensayo “Los tontos racionales: Una crítica sobre los fundamentos conductistas de la
teoría económica”, de Amartya Sen, publicado en Hahn, F. y Hollis, M., Filosofía y teoría económica,
Breviarios de Fondo de Cultura Económica, No. 398, 1986, pp. 172-217.
31 Objetiva: que se le puede objetivar en términos de axiomas y reglas de inferencia.
XXV
Capítulo 1. En el primer capítulo presentamos la labor desarrollada por Hilbert en torno
a los fundamentos de la geometría, junto con diversos elementos que nos permitirán
contemplar esta tarea desde una perspectiva histórica y filosófica. Comenzamos con
un análisis de lo hecho por Euclides en el terreno de la axiomática, señalando al
mismo tiempo diferentes rasgos del conocimiento geométrico que estuvieron presentes
desde la antigüedad hasta principios del siglo XIX y que, de alguna manera, Kant
evidenció en su filosofía crítica. En particular examinamos con cierto detenimiento
el carácter de la demostración en los Elementos de Euclides, pues ésta se mantuvo
como modelo de razonamiento hasta mediados del siglo XIX. También mostramos la
manera en que Kant sentó, acorde con su época, las bases epistemológicas de este tipo
de pruebas en la Crítica de la razón pura (1781). Esto es importante en la medida en
que Hilbert, al igual que muchos de sus contemporáneos, debieron enfrentar la teoría
del conocimiento de Kant al momento de replantear no sólo los fundamentos, sino la
naturaleza de la matemática. Así, antes de abordar la reconstrucción que hace Hilbert
de la geometría en los Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría)
de 1899, consideramos la teoría de esquemas de Kant, una pieza fundamental en su
epistemología, y examinamos la crítica situación que alcanzó durante la segunda mitad
del siglo XIX. Hacia el final del capítulo ofrecemos una síntesis de la postura de
Hilbert en la que ésta se contempla no como una negación de la epistemología de Kant,
sino como una generalización de la misma en adecuación con la matemática de su
tiempo. Esto nos permitirá, por contraste, entender la noción de existencia matemática
propuesta por Hilbert, la cual tenía como base el concepto lógico de no contradicción.
La conclusión a la que llegamos es que para Hilbert la matemática es la ciencia de
lo posible, donde por “posible” se entiende “aquello que no lleva a contradicciones”.
Como veremos, es en dicha noción de existencia donde reside el interés inicial de
Hilbert en las pruebas de consistencia como fundamento de las teorías matemáticas,
una cuestión cuya investigación se convirtió en un tema principal de su programa en
los años veinte.
Capítulo 2. En el segundo capítulo llevamos a cabo un análisis del carácter de la matemática moderna a principios del siglo XX, señalando algunos pasajes de interés. Esta
sección tiene como propósito precisar qué es aquello que Hilbert pretende fundamentar
y cumple una función más bien informativa. Si el lector ya está familiarizado con lo
sucedido en la matemática durante la segunda mitad del siglo XIX y principios del
XX, puede obviar la lectura de este capítulo sin menoscabo alguno. En la parte final
dirigimos nuestra atención a la teoría de conjuntos de Cantor, uno de los puntos más
atrayentes de la nueva matemática. La conclusión a la que llegamos es que uno de los
elementos que marcan la diferencia entre la matemática tradicional y la matemática
moderna es el trato que se le da a la noción de infinito. Esta diferencia nos permitirá
delimitar el ámbito de las discusiones en torno a la naturaleza de la matemática. Hacia
el final del capítulo abordamos el problema de la autonomía de la matemática, que con
tanta vehemencia defienden Cantor y Hilbert.
XXVI
I NTRODUCCIÓN GENERAL
Capítulo 3. En éste capítulo exponemos la postura adoptada por distintos actores
en el debate sobre la naturaleza y los fundamentos de la matemática clásica que se
dio a finales del siglo XIX y principios del XX.32 Comenzamos con el logicismo
de Frege y el efecto que tuvieron en su proyecto las paradojas descubiertas en la
teoría de conjuntos. La ocasión se presta para exponer la paradoja de Richard, la cual
sería utilizada por Gödel como modelo de razonamiento en la prueba de su primer
teorema de incompletud. Seguidamente presentamos la postura que adoptan Hilbert,
Zermelo, Poincaré, Brouwer, Weyl y Russell y Whitehead frente a los fundamentos de
la matemática, bajo el entendimiento de que sólo nos ocupamos de aquellos autores
que tuvieron algún influjo en la postura que Hilbert adoptó más adelante. En particular,
mostramos algunos elementos de la crítica intuicionista que lo obligaron a precisar
su concepción de la matemática clásica, e influyeron en la elección que hizo de los
medios para establecer un fundamento para ella.
Capítulo 4. En este capítulo nos ocupamos primordialmente del llamado programa de
Hilbert. En la primera parte examinamos la manera en que Hilbert retomó el problema
de los fundamentos de la matemática clásica hacia 1917 y las cuestiones que a la sazón
le preocupaban. Podremos ver que, además del problema de la consistencia, Hilbert
incorpora dos cuestiones de suma importancia que habrían de persistir más allá de su
proyecto: la cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático y la cuestión
de la decidibilidad de un problema matemático por medio de un número finito de
operaciones lógicas. El llamado programa de Hilbert se presenta inicialmente como
un medio para asegurar la consistencia de la matemática clásica de manera absoluta.
Veremos cómo aparece la metamatemática y cómo es que Hilbert cree haber llevado el
estudio de los fundamentos hasta un punto en el que: 1) toda la matemática clásica se
habría reducido a una colección de sistemas formales, quizá de manera exhaustiva; 2)
todas las técnicas del pensamiento matemático se habrían podido expresar en un juego
simbólico formal; y 3) se tenían a la mano los recursos suficientes para justificar la
tesis de que todo problema matemático es resoluble. En cuanto a la filosofía, veremos
cómo es que el propósito de Hilbert era fundamentar la matemática en la intuición pura
del signo, evitando de este modo toda referencia a suposiciones ajenas a la matemática
misma.
Capítulo 5. En este capítulo nos ocupamos de la exposición y análisis de los teoremas
de Gödel y las consecuencias que se pueden extraer de ellos para la filosofía matemática.
En la primera parte ofrecemos una idea del camino que siguió Gödel en oposición
al punto de vista sintáctico adoptado por Hilbert y algunos miembros del Círculo de
Viena, y cómo emprendió el examen del programa de Hilbert desde una postura realista
(platonismo). Frente a la pretensión de reducir toda la matemática a sistemas formales y
32 Aquí por matemática clásica se entiende, no la matemática griega, sino aquella surgida en torno a
la geometría, la física y el análisis y que tiene como noción central la de número real. En particular nos
referimos a la teoría de los conjuntos tal como la desarrolla Cantor, a la llamada “álgebra moderna” y al
aspecto que adopta el análisis matemático tras los trabajos de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y Cantor en
torno a sus fundamentos en el siglo XIX.
XXVII
de asegurarle un fundamento mediante una prueba elemental de consistencia, veremos
cómo plantea la necesidad de retomar la noción de verdad, y cómo es que, inspirado en
estas ideas, prueba la existencia de proposiciones indecidibles en la aritmética formal
de primer orden y cualquier sistema que contenga una formalización de la aritmética
recursiva. Tras aclarar la línea de razonamiento que llevó a Gödel a sus descubrimientos,
examinamos la estructura de sus teoremas y los efectos devastadores que éstos tuvieron
para el programa de Hilbert. Al hacer lo anterior nos concentramos en diversos puntos:
la imposibilidad de identificar entre sí las nociones de verdad y demostrabilidad, la
cuestión de la completud de las más importantes teorías matemáticas, la imposibilidad
de resolver la cuestión de la consistencia de la manera prevista (y quizá de cualquier
otra manera), la cuestión del instrumentalismo que Hilbert incorpora en su programa
y la cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático. En la segunda parte
retomamos el problema de la decisión, mirándolo esta vez desde la perspectiva de los
teoremas de Gödel, Church y Turing, y exponemos las reflexiones de Gödel en torno a
los teoremas limitativos, estableciendo el alto grado de inviabilidad de la concepción
sintáctica de la matemática. Por último, abordamos el problema del computabilismo
que tanta importancia cobró a partir de un polémico artículo publicado por Turing en
1950.
Capítulo 6. En este capítulo nos centramos en diversos aspectos de la postura de Gödel
frente a la matemática. En la primera parte examinamos la crítica que hizo en 1951 a la
llamada concepción sintáctica de la matemática (las posturas de Hilbert y de Carnap,
principalmente),33 según la cual los hechos y objetos matemáticos no poseen ningún
tipo de existencia objetiva. Como veremos, la ocasión se presta para exponer de manera
explícita su postura realista (realismo conceptual), en la que es quizá la exposición más
completa que se ha hecho en los tiempos modernos del platonismo en matemáticas.
Dicho análisis nos permite, en la última sección del capítulo, presentar una síntesis de
su pensamiento junto con algunas observaciones críticas.
Capíulo 7. En el último capítulo llevamos a cabo tres tareas complementarias. En
primer lugar, realizamos un balance de la obra de Hilbert y reivindicamos algunos
aspectos de su concepción de la matemática con los que estamos de acuerdo. Acto
seguido, examinamos lo que habría sido de la matemática en caso de que Hilbert
hubiera logrado sus propósitos, y establecemos dos conclusiones: la matemática no es
susceptible de una racionalización objetiva completa, ni se reduce a una mera sintaxis
del lenguaje. Por último, llevamos a cabo una lectura muy general de los teoremas
limitativos de Gödel, la cual apunta hacia la idea de que la matemática es una actividad
creativa del hombre y, como tal, se encuentra más cerca del arte de lo que comúnmente
se cree. Esto lo hacemos examinando el lugar que ocupa la noción de “verdad” en la
matemática, la cual, desde nuestro punto de vista, constituye un ideal de la razón pura
en el sentido de Kant, es decir, un principio regulador que da sentido a la búsqueda
que la matemática representa.
33 Esto
lo hizo en la llamada Gibbs Lecture, pronunciada en la Universidad de Brown, en Providence,
Rode Island, en 1951. Véase (Gödel, 1951).
I NTRODUCCIÓN GENERAL
XXVIII
Apéndices. Dada la naturaleza del tema que nos ocupa, en distintos momentos es
necesario abordar algunos aspectos de las cuestiones consideradas, o ampliar la información propiamente matemática que subyace a este estudio. Al hacerlo, en muchos
casos he preferido hacer lo anterior en diversos apéndices. El grado de complejidad
de éstos es variable y va desde simples comentarios o ejemplos, hasta exposiciones
más o menos detalladas de temas específicos. Algunos de ellos son fragmentos de
otros trabajos, y uno de ellos, el apéndice 6, es continuación de la sección 2.6. En gran
medida se trata de facilitar el tratamiento de diversas cuestiones en el texto principal sin
detenernos en detalles técnicos o pormenores que pueden ser examinados por separado.
Al respecto, quiero advertir que algunos tópicos aparecen de manera repetida en los
apéndices. Esto obedece a que los materiales ahí reunidos no están organizados sistemáticamente, pues se fueron integrando, como ya lo he dicho en el prefacio, conforme
a las necesidades del texto. No obstante, más allá de algunas repeticiones inocuas,
dichos anexos cumplen la labor de completar el texto principal sin entorpecer su lectura.
Reconocimientos
Antes que nada, quiero señalar que este libro fue realizado con el apoyo del Programa
UNAM-DGAPA-PAPIME clave PE103916, sin el cual quizá jamás habría visto la luz
en forma impresa.
El trabajo en sí tiene como origen la pertinaz insistencia, hace ya mucho tiempo, de mi
amigo y colega Santiago Ramírez Castañeda, quien en diversas ocasiones me insistió
en que escribiera acerca de todas esas cosas de las que solíamos conversar en su casa
de Coyoacán por las tardes. Recuerdo también con agradecimiento a Juan José Rivaud
Morayta por la atenta lectura y finas observaciones acerca de lo que fuera una primitiva
(y más reducida) versión del mismo, y a Jaime Oscar Falcón por las innumerables
ocasiones en que, sentados en torno a una taza de café, discurrimos acerca de muchos
de los temas que aquí figuran, sugiriendo él algunos caminos. Aunque ninguno de los
tres –Santiago, Juan José y Jaime Oscar– está entre nosotros para ver el resultado, creo
que les habría complacido saber que sí accedí a sus recomendaciones y tomé en cuenta
sus sugerencias (bueno, no todas). En cuanto a quienes me ayudaron más por el lado de
la filosofía, debo externar mi agradecimiento, por el tiempo e interés con que revisaron
algunos pasajes de este trabajo, y por sus amables sugerencias, a Pedro Stepanenko
Gutiérrez y al Doctor José Antonio Robles García. A Max Fernández de Castro le debo
el minucioso escrutinio de una versión muy antigua y algunos cambios propuestos por
él. También quiero expresar mi reconocimiento a quienes cooperaron en la elaboración
de este trabajo de diversas maneras con explicaciones, objeciones y estimulantes
consejos. So pena de cometer atroces omisiones, quiero mencionar señaladamente (y
en estricto orden alfabético) a José Alfredo Amor Montaño, Isabel Cabrera Villoro,
Elisabetta Di Castro Stringher y Manuel Gil Antón por la ayuda recibida. De la misma
manera, debo reconocer la labor de quienes, actuando anónimamente como árbitros de
XXIX
los diversos trabajos que sirvieron como venero de este libro, ayudaron a mejorarlo
con sus valiosas observaciones.
En cuanto al libro en su forma final, debo agradecer a Rafael Martínez Enriquez y
Guillermo Zambrana Castañeda por las innumerables sugerencias y correcciones que
hicieron en su calidad de árbitros, bajo la sospecha de que yo era el autor.
Por último, quiero agradecer el apoyo recibido del Departamento de Matemáticas de la
Facultad de Ciencias, sin el cual no habría llegado a la conclusión de este trabajo. En
particular, quiero hacer pública mi gratitud a Tania Azucena Chicalote Jiménez por la
paciente ayuda que me brindó en la edición del libro y por haber triunfado sobre mi
insensatez hasta lograr tan bella presentación. Como siempre, mi reconocimiento para
aquellos que hacen de la Universidad un lugar donde bien vale la pena laborar.
Ciudad Universitaria, agosto de 2018
Capítulo 1
Euclides, Kant, Hilbert y los
fundamentos de la geometría
1.1.
Introducción
En este capítulo consideramos diversas cuestiones: los Elementos de Euclides en
tanto que antecedente histórico de los Grundlagen der Geometrie (Fundamentos
de la geometría) de Hilbert, ciertas circunstancias que rodearon la escritura de los
Grundlagen, la diferencia en los métodos de prueba en ambas obras, el punto de vista
de Kant en torno a la demostración euclidiana (y por ende en torno a la naturaleza
del conocimiento geométrico), el punto de vista de Hilbert en torno a la matemática
pura, el modo en que Hilbert organiza y concibe los principios de la geometría en los
Grundlagen (escrito en 1899), diversas circunstancias que confluyeron en la escritura
de esta obra y algunos resultados alcanzados en ella.
El libro de los Fundamentos de la geometría (al que nos referiremos, como ya lo
hemos hecho, como “los Grundlagen”) es la obra con la que Hilbert culminó sus
investigaciones en torno a los fundamentos de la geometría, una labor en la que estuvo
comprometido durante más de ocho años. Durante todo ese tiempo, Hilbert debatió y
dio forma y vida a múltiples ideas en torno a la naturaleza de la geometría, mismas que
en su momento entraron en conflicto con la visión que tradicionalmente se había tenido
de esta ciencia. A este periodo se le suele llamar etapa geométrica del formalismo de
Hilbert.
Una de las razones por las que el texto de Hilbert sigue siendo objeto de estudio es
que en él pone en juego una nueva manera de entender la geometría pura. Se trata
de ciertas ideas relativas a la naturaleza de esta disciplina que fueron cobrando vida
durante la segunda mitad del siglo diecinueve. Es la misma visión que posteriormente
habría de modificar y extender a toda la matemática y que evolucionó hasta alcanzar
su máxima expresión en la defensa de la teoría de los números transfinitos de Cantor
1
2
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
y en el llamado programa finitista de los años veinte.1 Quizá las más importantes de
estas ideas son las siguientes:
I.
Aunque el origen de la geometría se halla en la observación de los hechos espaciales, en su forma axiomática esta teoría consiste en un entramado de conceptos.
En este entramado los axiomas corresponden a ciertos hechos básicos de nuestra
intuición espacial cuya forma exponen con precisión.
II .
Las propiedades y relaciones establecidas por los axiomas no sólo son satisfechas
por los objetos espaciales que les dan origen, sino por otros sistemas de objetos
de muy diversa índole. Por tanto, el despliegue de la teoría no puede apoyarse
internamente en tales hechos espaciales, debiendo consistir tan sólo en la derivación de las consecuencias lógicas de los axiomas. En otras palabras, la teoría
se debe desarrollar exclusivamente en función de lo que establecen los axiomas,
sin tomar en cuenta la interpretación que se tenga de los términos implicados en
ellos.2 Este entramado se debe investigar con relación a ciertas propiedades como
lo son la completud, la independencia y la ausencia de contradicciones; y
III .
Los axiomas constituyen en sí una definición de los entes con que trata la teoría,
es decir, los definen implícitamente.3 En particular, la existencia matemática está
definida por la no contradicción.
Estas ideas, producto entre otras cosas del desarrollo de la geometría en el siglo
diecinueve, se pueden comprender mejor contrastándolas con el carácter, los métodos
y los contenidos de la geometría clásica euclidiana y con el punto de vista de Kant.
Todo lo anterior explica en gran medida los contenidos de este capítulo, el cual inicia
con una reflexión en torno a los Elementos de Euclides, las técnicas de demostración
utilizadas por él y una exposición de la teoría de esquemas de Kant mediante la cual
este filósofo se propuso explicar el tipo de razonamiento diagramático utilizado por
Euclides. En una segunda parte, el capítulo narra algunos cambios ocurridos en el
tratamiento de la geometría durante el siglo diecinueve, la manera en que Hilbert aborda
1 El
sentido del adjetivo “finitista” se hará claro en el capítulo 4.
presentación que hace Euclides de la geometría no corresponde a esta idea. Hilbert y Bernays
califican la teoría axiomática de Euclides con el adjetivo “inhaltliche” (“material”, en el sentido de que
posee un contenido) para indicar que ésta expresa las propiedades y relaciones de un sistema de objetos
preestablecido al que sigue ligado (v. Hilbert y Bernays, 1934, p. 2). Esto se advierte de diversas maneras.
Por ejemplo, en los Elementos algunas definiciones están ahí sin otro propósito que el de dirigir nuestra
atención hacia cierto orden particular de objetos, sin que éstas sean utilizadas en las demostraciones; v. gr.,
“Punto es aquello que ya no tiene partes (D.I.1)”. De hecho, algunos significados adscritos a los términos
en la geometría euclidiana suelen jugar un papel en las demostraciones, lo cual se hace patente con el uso
de diagramas y la toma de información de los mismos. De esto nos ocuparemos posteriormente.
3 Estas ideas, que forman parte de la concepción que tiene Hilbert de la matemática en general, se
pueden expresar de la siguiente manera: ninguna teoría matemática, en su forma pura, constituye un
conjunto de verdades acerca de algún sistema de objetos al que se encuentra indisolublemente ligado;
más bien, se trata de una red o entramado de relaciones lógicas entre conceptos definidos implícitamente
por los axiomas.
2 La
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
3
sus fundamentos y el modo en que la matemática moderna desbordó la teoría kantiana
de esquemas. Como veremos, se trata de un periodo en el que no sólo se amplió el
abanico de teorías matemáticas, sino la visión que se tenía de la lógica y la manera
de pensar la matemática misma. Además, se toca una cuestión muy poco discutida
con relación a los Grundlagen, a saber, la relativa a ciertos problemas propiamente
matemáticos que Hilbert aborda en esta obra y la importancia de los mismos. Como
veremos, se trata de la “puesta en escena” de un nuevo modo de vincular la geometría
con el álgebra y del impulso de lo que posteriormente se habría de conocer como teoría
de modelos en la lógica matemática.
1.2.
La geometría en los Elementos de Euclides
El tratado de los Elementos, escrito por Euclides alrededor del año 300 a. C., constituye
un hito en la historia de las matemáticas. Su importancia e influencia se puede advertir
no sólo en las matemáticas, donde por más de dos mil años se le consideró un paradigma
de la ciencia deductiva, sino en áreas como la física y la filosofía, donde también dejó
impresa su huella.4 Para los fines que aquí perseguimos habremos de dirigir nuestra
atención a tres cuestiones de suma importancia que se entretejen en los Elementos: los
métodos de prueba admitidos, cierta noción de “objeto” matemático subyacente a la
teoría y diversas cuestiones relativas al sentido y significado de los axiomas. El modo
en que estos tres factores se entrelazan exige entender la construcción axiomática de
Euclides como algo más que un simple reordenamiento lógico de una parte del saber
geométrico de su tiempo. Más bien, se trata de una tarea sometida a diversos propósitos
no declarados por su autor (la obra carece de introducción, comentarios, etc.), pero
que, desde nuestro punto de vista, debió tener en mente al llevarla a cabo.
Por ejemplo, la ordenación del libro I y parte del libro II de los Elementos parece
encaminada a esclarecer el problema de las cuadraturas. Desde esta perspectiva la
proposición II.14 destaca como un punto culminante: dada cualquier figura rectilínea,
siempre es posible construir un cuadrado cuya área es igual a la de ésta. Lo mismo
se puede decir de lo hecho por Hilbert en los Grundlagen, cuya base axiomática se
organiza con la intención de explorar los vínculos entre diversas nociones que concurren
en la geometría clásica y que Hilbert considera importantes (v. gr., la incidencia, la
congruencia y la continuidad), y así examinar la teoría de áreas planas de Euclides,
aclarar la relación entre los axiomas y los teoremas de Desargues y Pascal y precisar
el lugar que estos últimos ocupan en la “algebrización” de la geometría. Sólo así,
pensando cada una de estas teorías como algo dispuesto para la investigación de
ciertos problemas específicos, se puede entender el orden y la selección de conceptos
primitivos, axiomas y teoremas que estos dos autores, Euclides y Hilbert, hacen en sus
respectivas obras. Otra cuestión que no podemos dejar de comentar es la del significado
4 Fuera
de las matemáticas, la mecánica de Newton y La ética demostrada al modo geométrico de
Spinoza son ejemplos de dominios a los que se extendió el método utilizado por Euclides.
4
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
histórico del texto de Euclides. La obra en sí representa un punto culminante en la
marcha de la matemática griega que empezó con Tales de Mileto alrededor del 585 a.
C. y prosiguió con la aritmética y geometría de Pitágoras en 540 a. C., las paradojas de
Zenón cerca del 450, los Elementos de Hipócrates de Kios en el año 430, la trisectriz
de Hippias en el 420, la aparición en escena de los inconmensurables por la misma
época, los trabajos de Teeteto y de Eudoxio que, entre los años 400 y 360, proveyeron
el material de los primeros seis libros de los Elementos, las Cónicas de Menecmo junto
con la cuadratriz de Dinóstrato en el 350 y las Cónicas de Aristeo del 320. Se trata de
una larga tradición que alcanzó su plenitud alrededor del 300 a. C. con la escritura de
los Elementos. Aunque los textos de los autores citados son poco más que fragmentos
y noticias difusas, todo apunta a un amplio desarrollo de la matemática griega del que
Euclides se beneficiaría, proponiendo la escritura o recopilación de los componentes
básicos, justamente elementales, de la geometría anclados en esa tradición.
1.2.1.
Los postulados de Euclides y las primeras proposiciones de los
Elementos
Los 13 libros de los Elementos tienen como base un conjunto mínimo de axiomas,
postulados y definiciones que seguramente Euclides pensó precisas. Dicho de manera concisa, se trata de la síntesis de los elementos con los que hacemos geometría,
expresados estos últimos como proposiciones demostradas, es decir argumentadas y
encadenadas deductivamente. Así, lo que Euclides ofrece es un tratado de geometría
que abarca diversos temas y que comprende más de 450 proposiciones que se levantan
a partir de un reducido número de axiomas y postulados. En lo que sigue presentamos
de manera breve las técnicas constructivas, lógicas y organizativas (demostrativas) de
los Elementos.
En el libro I, Euclides introduce lo que podemos llamar propiamente los axiomas y
postulados; en total son diez y están divididos en dos grupos, el de los “postulados” y
el de las “nociones comunes”. Son los siguientes:
Postulados
P.1 Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto
cualquiera.
P.2 Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
P.3 Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
P.4 Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
P.5 Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo
lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
5
Nociones comunes
N.C.1 Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
N.C.2 Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
N.C.3 Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
N.C.4 Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
N.C.5 Y el todo es mayor que la parte.
Como se puede ver, el primer grupo establece explícitamente el conjunto de suposiciones relativas a objetos que identificamos desde el conocimiento común matemático
como objetos geométricos y que son, por lo menos en parte, reglas claras de la manera
en la que pueden y deben manipularse éstos. Vale la pena señalar que los dos grupos
de axiomas no serán modificados ni sufrirán adiciones a lo largo de la obra. Por el contrario, la lista de definiciones habrá de extenderse en su desarrollo, dada la necesidad
de introducir nuevos objetos de acuerdo con los distintos temas a tratar.5
En el primer libro se establecen veintitrés definiciones de los objetos básicos de la
geometría. Las siguientes son algunos ejemplos:
D.1 Punto es lo que no tiene partes.
D.2 Una línea es una longitud sin anchura.
D.3 Los extremos de una línea son puntos.
D.4 Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en
ella.
D.10 Si una línea recta cae sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada
ángulo se dice que es recto y las líneas perpendiculares entre sí.
D.15 Un círculo es una figura plana contenida por una línea tal que todas las líneas
que caen de ella a un punto que se encuentra al interior de la figura son iguales
entre sí.
D.16 Y tal punto se llama centro del círculo.
5 Los postulados son proposiciones que se admiten, o se requiere que sean admitidas, para hacer
posible la demostración. En los Elementos los tres primeros se relacionan con la construcción de líneas
y círculos conforme a ciertos procedimientos. Por su parte, las nociones comunes son principios del
conocimiento demostrativo propios del entendimiento, sirviendo ante todo como elementos que son
utilizados en las demostraciones. A diferencia de los postulados, las nociones comunes son vistas como
principios esenciales de la inteligencia humana, como un patrimonio común de todos los humanos por
el simple hecho de tener inteligencia, y su aceptación no tiene que ser “pedida” como en el caso de los
postulados.
6
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
D.17 Diámetro del círculo es una recta cualquiera que se traza por su centro y cuyos
extremos están en la circunferencia del círculo. Tal recta biseca al círculo.
D.23 Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas
indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de
ellos.
En las restantes definiciones se especifican los demás objetos básicos: superficie, plano,
figura, ángulo, ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso, perpendicular, triángulo,
cuadrado, paralelogramo, rectángulo, etc.
Debemos notar que estos objetos están definidos de tal manera que claramente se
les debe considerar como objetos construidos por el intelecto y desprovistos de un
carácter sensorial. Este hecho contrasta, y de aquí la importancia de considerarlo, con
la construcción de objetos visuales que los representan, el uso de diagramas y el manejo que hace Euclides de recursos que se antoja llamar empíricos en los procesos de
demostración, y por lo tanto de construcción y organización de la geometría elemental.6
¿Cómo empieza la geometría en los Elementos?
Veamos las tres proposiciones iniciales del texto a fin de alcanzar algunas conclusiones
en la medida en la que uno puede considerar que las tres juntas apuntan a la solución
de un mismo problema. Estas proposiciones muestran de manera paradigmática el
proceso de demostración y encadenamiento deductivo que es la marca de Euclides. En
esta presentación, las demostraciones de las proposiciones I.2 y I.3 no las repetimos de
manera textual, pues en aras de mayor claridad las hemos simplificado conservando el
argumento euclidiano.7
6 En esta parte del texto manejamos con cierta soltura los términos “prueba” y “demostración”, cual si
fueran sinónimos. Estrictamente hablando, hay una gran diferencia en su significado, aunque hoy en día
ésta tiende a borrarse. Conviene hacer un par de aclaraciones. En general, una prueba es un procedimiento
aceptado por una comunidad para establecer un saber, es decir, un conocimiento válido. En cambio, una
demostración es un argumento deductivo mediante el cual se deriva una proposición a partir de hipótesis.
Al respecto pueden constituir pruebas cosas como mostrar ad oculos (ante la vista) una cosa o hecho,
exhibir un documento, aportar un testimonio (derecho), efectuar una inducción (v. gr., en medicina),
etc. Todo depende del acuerdo al que se haya llegado respecto a qué constituye y qué no constituye una
prueba. Con relación a las “demostraciones” que ofrece Euclides en los Elementos, estas no constituyen
tales cosas en el estricto sentido que acabamos de señalar (esto lo veremos en esta y la siguiente sección).
7 En las versiones más antiguas de los Elementos no hay ninguna referencia a las demostraciones, ni
siquiera un nombre. Con el paso del tiempo, para hacer más legibles los argumentos (las “pruebas” o
“demostraciones”), se volvió costumbre añadir diversas indicaciones. Por ejemplo, poner como encabezado
la palabra “demostración”, aunque el argumento no lo sea en el sentido ya señalado. Al respecto, nosotros
no pondremos ninguna indicación. Algunas otras indicaciones que se suelen incorporar son las siguientes.
Tesis: aquello que hay que construir o probar en cada caso; P.N. Postulado N; N.C.n. Noción común n;
D.N.n. Definición número n del libro N; Prop,N.n: Proposición n del libro N. Por último, el fin de la
prueba o construcción nosotros lo indicamos con el símbolo “ ”.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
7
Proposición I.1 Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita
dada.
Sea AB la recta delimitada dada. Hay que construir sobre AB un triángulo equilátero
(Tesis).
Con centro en A y radio AB descríbase un círculo, el BGD; y con centro en B y el radio
BA descríbase el círculo AGE. (P.3)
Ahora, desde el punto G en que se cortan tales
círculos, trácense las rectas GA y GB. (P.1)
Dado que el punto A es centro del círculo GDB,
la recta GA es igual a la AB;
Y dado que el punto B es centro del círculo GAE,
la recta GB es igual a la AB;
Luego las rectas GA y GB son iguales entre sí,
pues cosas iguales a una y la misma cosa son
también iguales entre sí (N.C.1)
Por tanto, las tres rectas GA, GB y AB son iguales entre sí.
Según esto, pues, el triángulo ABG es equilátero. (D.I.20)
Y está además construido sobre la recta delimitada dada AB.
Que es lo que se quería hacer. Para construir el triángulo equilátero sobre la recta finita dada AB se trazan o “producen”
los círculos BGD y AGE con centros respectivos A y B, y se unen los puntos AG y BG
con las rectas respectivas. En este caso, como en prácticamente el resto de la obra, la
recta AB se considera un representante de cualquier recta, por lo que se estima que la
proposición es de carácter general, tal como se había enunciado desde el principio.
Algunos comentarios relevantes. Como se puede apreciar, la lógica de la demostración transita por el uso “natural” de una serie de inferencias directas como, por
ejemplo, las correspondientes al modus ponens, que Euclides no explicita previamente
y que aplica a enunciados que sólo son definiciones, postulados, nociones comunes o
proposiciones ya demostradas. Sin embargo, es importante notar que en este caso se
supone que las dos circunferencias se intersecan en un punto G, lo que permite trazar
las rectas AG y BG. Se trata de algo claramente sugerido por el dibujo. Esto le confiere
a la evidencia visual derivada del diagrama la cualidad de volverse parte del argumento.
Como veremos, en estricta lógica se está añadiendo un postulado que en rigor habría
que haberlo explicitado de antemano. No obstante, difícilmente se puede pensar que
se trata de una falla lógica; más bien, el modo de proceder de Euclides revela un tipo
particular de práctica matemática o un aspecto de lo que era la “intuición matemática”
en ese período, algo que puede considerarse como un componente del “sentido común
matemático” de la época. Más adelante volveremos a este punto.
8
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Veamos la segunda proposición.
Proposición I.2 Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a
una recta dada.
En este caso se trata de “mover” a la recta BG al punto A de tal manera que éste sea
extremo de la recta “trasladada”. Para esto:
Se trazan la recta AB (P.1) y el triángulo equilátero ABD (Prop.1); se prolongan DA y
DB indefinidamente (P.2), y con centro en B y radio BG se traza el círculo HGT . Por
su construcción, BH = BG (son radios del mismo círculo, D.15)
Con centro en D y radio DH se traza el círculo HKL, de modo que DH = DL (son
radios del mismo círculo)
Pero como DA = DB, tenemos que AL = BH y, por lo tanto, BG = AL, y este último
segmento tiene a A como extremo, que es lo que se quería hacer. Hacemos notar que la demostración nos lleva a reconocer que los compases euclidianos
no son una herramienta física, pues no se les utiliza para medir ni para trasladar
medidas. Su uso se limita a las posibilidades establecidas en los postulados y las
nociones comunes. En otras palabras, el problema planteado en esta proposición
no es un problema práctico; si lo pensamos como tal, bastaría abrir el compás, aún
hipotético, al tamaño de la recta y “trasladarla” a cualquier punto. Esto apunta al
carácter propiamente matemático de los temas tratados.
Veamos la tercera proposición:
Proposición I.3 Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta
igual a la menor.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
9
Supongamos a la recta G menor que la recta AB. En tal caso habrá que quitar de AB
una recta igual que G.
Póngase la recta AD = G en el punto A como extremo (P.2)
Con centro en A y radio AD trácese el círculo DEZ.
Como AE = AD (D.15), entonces AE = G, que es lo que se quería hacer. Del análisis de estas tres proposiciones podemos extraer las siguientes observaciones:
La tercera resuelve un problema relevante, a saber, cómo poner una recta sobre otra,
garantizando que podemos hacer coincidir, si fuera el caso, distintas figuras para
comprobar su igualdad de acuerdo con la noción común N.C.4. Además, se observa
con claridad la dependencia lógica que se establece entre las tres proposiciones y el
conjunto de definiciones, postulados y axiomas. La proposición I.3 depende de haber
demostrado la I.2 que depende de la I.1, mientras que esta última sólo depende de las
definiciones, los postulados y las nociones comunes.
De este modo podemos observar cómo, además del encadenamiento lógico y la técnica
de la demostración, hay un afán organizativo que le confiere sentido al contenido
específico de cada proposición. Es decir, cada proposición cumple con un propósito en
un esquema amplio que supone un sentido de construcción y organización. Como el
lector lo podrá constatar, este principio se reitera a lo largo de la obra.
Con respecto a esto último, vale la pena señalar que, como destaca el propio Euclides,
se trata de tres problemas, esto es, de tres proposiciones que tienen como objetivo hacer
algo, a diferencia de las proposiciones denominadas teoremas, las cuales establecen
una propiedad de índole general acerca de los objetos con los que tratan. Adelantamos
aquí que esta diferencia no es banal, pues apunta a una diferencia esencial para entender
los aspectos organizativos de los Elementos.8
Veamos un conjunto de proposiciones que ilustran lo anterior; éstas van de la proposición cuatro a la diez y pertenecen al libro I:
Proposición I.4 Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales a dos
lados del otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas
iguales, tendrán también las respectivas bases iguales, y un triángulo será
igual al otro, y los ángulos restantes, a saber, los subtendidos por los lados
iguales, serán también iguales respectivamente.
En este caso omitimos la demostración para concentrarnos en el resto de las propo8 El propio Euclides marca una diferencia entre las proposiciones que tienen como objetivo construir
algo y las proposiciones en que se prueba algo, escribiendo al final de ellas “que es lo que se quería
hacer” en un caso y “que es lo que se quería probar” en el otro. En algunos textos se suelen escribir
los acrónimos QEF (correspondiente al latín quod erat faciendum) y QED (correspondiente al latín
quod erat demonstrandum). No obstante, la frase utilizada por Euclides en el texto original era ǒπερ
ε̌δ ει πoι η̃σ αι, la cual significa, conforme a Wikipedia (ficha Q.E.D. en inglés), “la misma cosa que se
requería mostrar o probar”.
10
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
siciones de este grupo. Baste decir que es el primer teorema del texto, en el cual
se establece el conocido criterio lado-ángulo-lado de igualdad de triángulos. Esta
proposición resulta un elemento clave en la demostración del siguiente teorema:
Proposición I.5 En los triángulos isósceles los ángulos de la base son
iguales entre sí, y prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados
bajo la base serán iguales entre sí.
Sea ABG un triángulo isósceles tal que AB = AG, y sean AD y AE las respectivas
prolongaciones de esos lados. Sea Z un punto cualquiera sobre AD y sea GH sobre AE
tal que GH = BZ. Únanse Z con G y H con B, entonces:
Como AZ = AH, AB = AG y ∠ZAH es común, AZG = AHB (Prop.I.4), y serán
iguales el lado restante y los ángulos correspondientes restantes: BH = ZG, ∠ABH =
∠AGZ y ∠AZG = ∠AHB.
También, de lo anterior, GH = BZ, BH = ZG y ∠BZG = ∠GHB, por lo que BZG =
BHG (I.4), ∠GBH = ∠BGZ y ∠ZBG = ∠HGB (que es parte de lo que se quería
demostrar).
Además, ∠ABH − ∠GBH = ∠AGZ − ∠BGZ; por lo tanto, ∠ABG = ∠AGB, que es lo
que se quería demostrar. En este caso la demostración se lleva a cabo mediante una inferencia directa, haciendo uso del teorema anterior y de definiciones, postulados y nociones comunes. La
proposición seis establece el teorema recíproco de éste. La proposición siete es de
nuevo un teorema. En este caso es notable el uso, por primera vez en el texto, de una
regla de inferencia distinta: la reducción al absurdo. De nueva cuenta ésta aparece con
naturalidad y a partir de aquí se vuelve un recurso habitual de demostración.
Proposición I.7 No se podrán levantar sobre la misma recta otras dos rectas
iguales respectivamente a dos rectas dadas, de modo que se encuentren en
dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las
rectas dadas.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
11
Sean los triángulos AGB y ADB sobre la base AB tales que AG = AD y BG = BD.
Queremos demostrar que G y D son el mismo punto. Supongamos que G y D son
distintos. Trazando la recta GD resulta que los triángulos GAD y GBD son isósceles
(D.I.5), de modo que:
∠BGD = ∠BDG y ∠ADG = ∠AGD
Por otra parte, ∠BDG > ∠ADG y ∠AGD > ∠BGD (véase la figura) de modo que
∠BDG > ∠ADG = ∠AGD > ∠BGD = ∠BDG, lo que es imposible.
Por lo tanto, G y D coinciden, que es lo que se quería demostrar.9 Vale la pena destacar que junto con una lógica que para nosotros resulta familiar, se
recurre a la figura para obtener los argumentos que conducen a la contradicción, y por
lo tanto, a la conclusión final (v. gr., de ella se toma el dato de que ∠BDG es mayor que
∠ADG). Desde una perspectiva contemporánea, donde el rigor lógico se ha convertido
en algunos casos en una exigencia extrema, esta práctica parece inadecuada. Un asunto
a discutir es el grado de aceptación que los recursos de este tipo siguen teniendo en la
práctica matemática. Pronto volveremos a este punto.
La siguiente proposición, encadenada con la anterior, establece el criterio lado-ladolado para la igualdad de triángulos.
Proposición I.8 Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas,
también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.
La prueba de ésta se hace a partir de suponer que si coinciden las bases BG y EZ y el
punto A no coincide con el punto D, siendo AB = DE y AG = DZ, tendría que existir
un punto como H = D, pero esto nos llevaría al caso que ya fue demostrado como
imposible en la proposición anterior.
En el caso de las proposiciones I.4-I.8 podemos constatar que el contenido específico
de ellas es importante y constituye un conocimiento sin el cual difícilmente podría
abordarse el estudio de la geometría, así fuera muy elemental; además, es relevante el
encadenamiento lógico que se mantiene y que marcará al resto de los Elementos. De
hecho, es esta forma de encadenamiento lo que se conoce como exposición sintética
9 Este
argumento es similar al que ofrece Euclides en los Elementos y procede de la misma manera,
por reducción al absurdo. La conclusión es la misma en ambos casos.
12
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
de la geometría: a saber, un montaje que parte de definiciones, postulados, nociones
comunes, proposiciones ya demostradas y reglas de inferencia claramente reconocibles.
Lo anterior no es, sin embargo, todo lo que se puede decir de los Elementos. Las
dos proposiciones siguientes, así como la proposición I.3 ya vista, revelan un aspecto
organizativo presente que no es de carácter estrictamente lógico, y que atañe a la
presentación y acomodo de las proposiciones de manera coherente.
Parece pertinente preguntarse por la elección de las proposiciones que constituyen
el corpus euclidiano, y porqué otras proposiciones quedaron fuera. La consideración
de las siguientes proposiciones nos permite reflexionar en torno a los presupuestos
organizativos del texto.
Proposición I.9 Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado.
La demostración de esta proposición, que es un problema, hace ver que en la figura los
triángulos ADZ y AEZ son iguales en virtud del teorema demostrado en la proposición
anterior y que, por lo tanto, los ángulos DAZ y EAZ son iguales, de manera que la
recta AZ ha dividido en dos al ángulo BAG.
Proposición I.10 Dividir en dos partes iguales una recta finita dada.
Esta proposición se demuestra con base en la proposición I.4, la cual permite establecer
la igualdad de los triángulos GAD y GDB, lo que implica la igualdad de las bases y
por lo tanto la división de la recta finita dada AB en dos partes iguales por el punto D.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
13
Estas dos proposiciones tienen el carácter de problemas y una vez establecidas pasan a
formar parte de conocimiento básico de la geometría. Desde la perspectiva que nos
ocupa resulta importante consignar, de nuevo, la dependencia lógica con las proposiciones anteriores y la organización sintética de los contenidos específicos. Como en el
caso de la proposición I.3, podemos ver un patrón emergente, a saber, la combinación
de teoremas y problemas de manera que unos y otros “componen” conocimientos que
no sólo establecen propiedades generales, sino que también resuelven problemas que
permiten la demostración de nuevos teoremas que permiten la solución de nuevos
problemas, etc.
En otras palabras: no se trata, como podría pensarse, de un arreglo en el que lo único
relevante es el orden y el encadenamiento lógico. Por el contrario, desde nuestra
perspectiva podemos advertir problemas que seguramente la tradición consideraba
importantes y que con seguridad determinaron el contenido de cada uno de los libros.
Veamos un caso relevante, esta vez relacionado con la proposición catorce del libro II,
la cual cae en la categoría de problema.
Proposición II.14 Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea
dada.
Veamos la idea general de la prueba.
La proposición I.47 (teorema de Pitágoras)10 permite construir paralelogramos con
la misma área que cualquier figura rectilínea dada (A en la figura), de modo que al
realizar esta construcción, si el paralelogramo resultante (BGDE en la figura) es un
cuadrado, el problema quedará resuelto; si no, por la proposición cinco del libro II es
posible construir la recta BZ, con ED = EZ, cortada en H y en E de tal manera que
(BE)(EZ) + EH 2 = HZ 2 .
Pero HZ = HT y por lo tanto, (BE)(EZ) + EH 2 = HT 2 .
Ahora bien, por el teorema de Pitágoras, ET 2 + EH 2 = HT 2 , i. e., (BE)(EZ) + EH 2 =
10 Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende al ángulo recto
es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Desde la perspectiva que nos
ocupa, el teorema de Pitágoras nos brinda un procedimiento para sumar (cuadrar) dos cuadrados dados,
es decir, para construir un cuadrado cuya área es igual a la de estos últimos.
14
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
ET 2 + EH 2 , y como EZ se ha construido igual a ED : Paralelogramo BD = A = HT 2 ,
que es lo que se quería hacer. La solución de este problema no es una cuestión menor; indica lo que puede lograrse
con regla y compás respecto de las cuadraturas: por lo pronto, es posible cuadrar figuras
rectilíneas (hoy sabemos de la imposibilidad de cuadrar el círculo con regla y compás).
Además, resulta notable cómo la solución de este problema depende de dos de las
proposiciones más importantes del libro I, una de las cuales es, quizás, la proposición
más conocida de la geometría; y no sólo esto: el análisis de la cadena de dependencias
lógicas de la proposición II.14 muestra que cerca del 75 % de las proposiciones del libro
I están involucradas. Lo anterior sugiere que la organización euclidiana de la geometría
no responde simplemente a consideraciones lógicas, sino que va de la mano, o incluso
domina, el gusto y la necesidad de resolver problemas con la construcción sintética
del contenido específico de las proposiciones. Valga la insistencia: los Elementos sólo
pueden leerse desde esta triple perspectiva que revela el genio del autor y que diera
fundamento hace más de 2300 años a la disciplina a la que nos dedicamos.
En la sección I.3 abordaremos un importante aspecto de la obra de Euclides, a saber,
las técnicas demostrativas que él utiliza y que habrían de servir como un modelo de
rigor y claridad durante más de dos mil años. Esto nos permitirá entender por contraste
el espíritu de la matemática contemporánea, la cual difiere radicalmente de la tradición
en este punto.
1.2.2.
Algunos comentarios
1. Comenzamos con diversas observaciones en torno al carácter de los objetos geométricos en los Elementos, el horizonte cultural en que se inscribe esta obra, el uso
y función de las nociones comunes, el sentido de las proposiciones geométricas y
la condición de los postulados.
a) Euclides define explícitamente un conjunto de objetos geométricos fundamentales –punto, línea, superficie– con palabras llanas porque ante los ojos
del entendimiento, e incluso ante la vista, tales objetos se presentan clara y
distintamente. Su existencia no está a discusión ni es puesta en duda. En esto
radica una de las diferencias fundamentales con la forma moderna del método
axiomático (v. gr., con la forma que le da Hilbert en su libro Fundamentos de
la geometría de 1899).
b) Sin entrar en detalles diremos que en el mundo helénico, en el que se sitúan
los Elementos, lo positivo era el estado de finitud. La infinitud equivalía a la
indefinición o indeterminación y pasaba, por consiguiente, como imperfección
a superar. Este pavor al infinito y a lo indeterminado parece haber llevado a
Euclides a circunscribir un horizonte dentro del cual pudiera el espíritu griego
sentirse seguro y ver tranquilamente las cosas. Para ello comienza por definir
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
15
explícitamente los elementos que sirven para delimitar y “finitizar” las cosas
que habrán de poblar el espacio geométrico. Así, por ejemplo, los puntos
limitan por extremos a las líneas, haciéndolas claras y visibles. A su vez, las
líneas ejercen la función de limitar o ser los extremos de una superficie, con lo
que hacen que la superficie resulte clara y distintamente visible, pudiéndose
decir lo mismo de las superficies con relación a los sólidos. Por ejemplo, el
concepto de segmento no existe en la geometría griega, es decir, no existe
la idea de que la línea, infinita por naturaleza, ha sido fragmentada por dos
puntos. Al contrario, es la línea infinita la que está en estado de imperfección,
pues es una línea sin puntos que la delimiten, y la función de los puntos es
precisamente la de corregir ese defecto.11
c) Según parece, parte del plan de la geometría euclidiana consiste en construir
objetos delimitados que resulten visibles y se puedan abarcar con la vista, para
así poblar el mundo geométrico. Esta idea de finitud se hace presente en las
definiciones que figuran en los Elementos, como la definición 14, que dice:
“Figura es lo comprendido por un límite o por varios”; y en las proposiciones
mismas (teoremas), que tratan de figuras en este preciso sentido (triángulos,
rectángulos, paralelogramos, círculos, rectas, esferas, poliedros, etc.), es decir,
de figuras siempre bien circundadas por límites.12
d) Las nociones comunes son, en la concepción helénica, principios del conocimiento demostrativo propios del entendimiento. Esto significa que su
justificación no tiene como base la evidencia externa, sino la interna. Estas
nociones son tan fundamentales que no sólo intervienen en la geometría, sino
en varias otras ciencias (p. ej. la astronomía y la lógica) e incluso en la vida
práctica, y se les puede usar con la misma seguridad que los órganos sensibles.
Se les llama “comunes” porque pertenecen a todos, o, al menos, son de tal
naturaleza que cualquiera puede apropiarse de ellas y usarlas como suyas,
bajo la idea de que hay un acuerdo global sobre su validez.
Aristóteles se refiere a ellas como axiomas, usando al parecer el mismo
vocablo que Pitágoras, habiendo sido los estoicos los primeros en utilizar la
expresión “nociones comunes”.13
11 De este horror al infinito y a lo indeterminado casi nada queda en la geometría actual, que, por el
contrario, pareciera tomarlos como punto de partida. Por ejemplo, en la geometría analítica, una línea
recta es simplemente el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma ax + by + c = 0, donde lo
más relevante respecto a ella es precisamente la indeterminación de sus variables. En cuanto a la ecuación,
ningún valor concreto de las variables (ningún punto) tiene un privilegio especial. Poner dos puntos en la
recta para delimitar un segmento carece en sí de valor, y equivale a la operación ordinaria de dar valores
específicos a las variables.
12 El abandono de la norma helénica de llamar “figura” solamente a los objetos geométricos que
están cerrados y comprendidos por límites fue algo tardío, y está relacionado con la admisión de curvas
arbitrarias representadas por ecuaciones y la introducción de procesos infinitos como el paso al límite. De
las curvas fractales ni hablar.
13 El conocimiento que tenemos de los Elementos es a través de traducciones al árabe y versiones en
griego muy posteriores a la época en que vivió Euclides. Entre los varios escritos hay ciertas diferencias
16
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
e) Además de su función instrumental, las nociones comunes desempeñan en el
aparato euclidiano una función lógica, y pueden intervenir en las demostraciones de dos maneras:
como premisas de un argumento. Por ejemplo, Cosas iguales a una y la
misma cosa son iguales entre sí (N.C.1, primera premisa).
Las cosas A y B son iguales a la cosa C (segunda premisa)
luego, las cosas A y B son iguales entre sí (conclusión).
II como argumentos no proposicionales, en los que la noción común no
es una de las premisas, sino todo el argumento y establece relaciones
de igualdad o desigualdad entre las cosas. Por ejemplo, A es igual a B
(primera premisa) B es igual a C (segunda premisa) luego, A es igual a C
(conclusión).
Al final del apéndice A el lector hallará un comentario más extenso acerca
de las técnicas de demostración que utiliza Euclides.
I
f ) Tal como fueron entendidas es su momento, las proposiciones que figuran
en los Elementos son plenamente significativas y verdaderas, pues estas se
infieren de postulados que son evidentes. Dichas proposiciones se dividen
(como ya lo hemos dicho) en dos clases: constructivas y demostrativas. Las
proposiciones de la segunda clase afirman o niegan algo de alguna cosa (v.
gr., la proposición I.6: Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados
subtendidos bajo tales ángulos serán también iguales). En este sentido, las
proposiciones demostrativas no enuncian atributos de objetos hipotéticos, sino
que ponen al descubierto las propiedades de una sustancia cuya realidad es
innegable y son, por ello, verdaderas.
g) Desde el punto de vista de la lógica, un postulado es una proposición que se
admite, o se requiere sea admitida, a fin de hacer posible una demostración.
Respecto a su utilización por parte de Euclides, en la actualidad hay dos
puntos de vista divergentes en cuanto a su propósito. Son los siguientes:
El primero sostiene que, a diferencia de las nociones comunes que deben
ser admitidas por necesidad, los postulados expresan lo que se quiere admitir y conciernen a la existencia de determinados elementos geométricos.
Así, por ejemplo, el postulado 1, “Trazar una línea recta desde un punto
cualquiera a otro punto cualquiera” asienta la existencia de líneas rectas.
Esta necesidad se debe, entre otras cosas, a que la definición de “línea
recta” no demuestra o proclama su existencia, pues lo único que hace es
declarar su esencia.14
que dejan ver que su contenido fue modificado con el paso del tiempo, por lo que no podemos decir que
la expresión “nociones comunes” sea la utilizada por él. De la vida de Euclides casi no tenemos noticias,
salvo que vivió en Alejandría alrededor del año 300 a. C., y que allí fundó una escuela en la que Apolonio
habría de pasar algún tiempo años más tarde. En cuanto a los Elementos, no sabemos cuál fue la forma
exacta que les dio.
14 Por ejemplo, la definición de unicornio como “animal con figura de caballo y un cuerno recto en la
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
17
El segundo sostiene que, en contra de lo dicho en el inciso anterior, la
construcción no es para el matemático griego un medio de hacer existir
los objetos geométricos (no es una “prueba de existencia”, como decimos
ahora), sino que tiene como propósito hacer visible aquello que no lo es
de inmediato. Por ejemplo, en el postulado 1, el “visual” Euclides postula
(pide) aquello que la intuición no le proporciona sin más: trazar una línea
recta de un punto a otro punto para que éstos, los puntos, dejen ver un
objeto bien definido que no surge de las definiciones. Algo semejante
se puede decir de los postulados 2 y 3. Por ejemplo, en el postulado 3
Euclides pide convertir cada punto en el centro de la figura perfecta por
excelencia, el círculo, y hacer de cada recta el radio de la figura perfecta.
En breve: con los postulados Euclides pide que aceptemos cosas que
visualmente no están dadas como, por ejemplo, que dos rectas que cumplen
con ciertas condiciones se cortarán al ser prolongadas al infinito (postulado
5), o que todos los ángulos rectos que construyamos serán iguales entre sí
(postulado 4). Éste sería nuestro punto de vista.
2. En un excelente texto de Ian Muller, (Mueller, 1969), podemos hallar un sobresaliente comentario relativo al carácter de la demostración euclidiana, en el que
dicho autor difiere radicalmente de quienes sostienen que los Elementos constituyen una obra maestra en la aplicación de la lógica a la matemática (como sucede,
por ejemplo, en la Wikipedia, ficha Euclid’s Elements, 29 de marzo de 2015). Tras
observar que en general Euclides trabaja directamente con las figuras, con las que
realiza operaciones y en las que centra sus argumentos, Mueller concluye que la
demostración euclidiana no es sino un “experimento mental” que comprende un
objeto físico idealizado representado en el diagrama. Y si bien en ocasiones el
diagrama no es esencial para el argumento, pues las solas palabras constituirían
una prueba, el papel que en general desempeña el diagrama lo lleva a decir que
su utilización no es un mero desliz, sino un indicativo del carácter experimental
(visual) de la geometría de Euclides.
Esto significa que, en opinión de Mueller, los diagramas euclidianos tienen más
importancia en las pruebas que las palabras que van junto con ellos. Al respecto
sostiene que, como en el caso del diálogo de Sócrates con el esclavo en el Menón,
en los Elementos es obvio que el argumento verbal es sólo un acompañante de la
manipulación diagramática y que el diagrama es tanto una fuente de convicción,
como una corte a la que uno puede recurrir en última instancia para decidir
la verdad o falsedad de una aseveración geométrica. Esto aleja a las pruebas
euclidianas del rigor matemático tal como éste se presenta en algunos dominios
de la matemática moderna (de esto hablaremos en la sección 1.3).
Mueller añade que si bien dichos experimentos mentales se limitan a acuerdos
preliminares (primeros principios) relativos a la naturaleza de los objetos, a
mitad de la frente” sólo fija aquello que hace de un animal un unicornio, mas no dice nada acerca de su
existencia.
18
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
algunas de sus propiedades, y a las operaciones que se pueden llevar a cabo con
ellos, no por ello pierden las deducciones euclidianas su carácter extralógico. Por
tanto, la geometría de Euclides no cumple con deducir las proposiciones a partir
de los axiomas y postulados conforme a los principios de la lógica.15
En su opinión, decir que tanto Euclides como Hilbert utilizan el método axiomático sólo sirve para oscurecer las muy significativas diferencias entre ambos
autores.
3. Algunas observaciones y comentarios de Thomas L. Heath.
Consideremos algunas opiniones de Sir Thomas L. Heath, un académico inglés
especialista en matemáticas griegas, vertidas en (Heath, 1921) y (Euclides, 1926).
La primera de ellas es la relativa al uso del término “elementos” en el nombre de
la obra. Heath nos remite a Proclo, un filósofo neoplatónico griego que en el siglo
V de nuestra era comentó ampliamente algunos pasajes de los Elementos. Según
esto, hay en la geometría ciertos teoremas principales que actúan frente a los
demás resultados como principios que todo lo impregnan, ofreciendo pruebas de
muchas propiedades. Tales teoremas son denominados elementos, y su función se
puede comparar con la de las letras del alfabeto respecto al lenguaje.16 El sentido
preciso de este término es el de aquello en lo que, siendo más simple, se divide lo
compuesto. En particular, los postulados serían los elementos de todo lo demás.
Desde esta perspectiva, el libro de los Elementos de Euclides lo debemos entender
como una recopilación de las componentes básicas de la geometría plana y del
espacio.
Al respecto, nos dice Heath, desde la antigüedad se ha reconocido el mérito de
Euclides de evitar todo lo superfluo y seleccionar cuidadosamente sólo aquello
que en verdad envuelve a la geometría en forma clara y concisa. Hasta la aparición de los Fundamentos de la geometría de Hilbert en 1899, los Elementos
fueron reconocidos como superiores a todos los tratados de su tipo. Su claridad y
perfección orgánica están aseguradas por la progresión que va de lo más simple a
lo más complejo y por el fundamento de la investigación en nociones comunes y
principios que reflejan con toda claridad la naturaleza de las cosas que se indagan.
Como apoyo a sus afirmaciones Heath cita a Proclo, seguidor de Platón, quien
sostiene que Euclides persigue dos propósitos en los Elementos. El primero tendría
que ver con aquello que se investiga y consiste en arribar al estudio de los cinco
15 El término utilizado por los griegos para la noción de prueba o demostración era “deíknymi
(δ ε ίκν ῡ μ ῐ)”. Este tenía básicamente tres significados: i) mostrar, hacer ver, poner ante los ojos; ii)
dar a conocer, explicar, hacer saber por medio del lenguaje; iii) probar, demostrar. Según Luis Vega en
(Vega, 1985), de quién hemos extraído esta información, los dos primeros usos parecen ser primigenios.
Posteriormente, en los siglos IV y III a. C., apareció el término “apodeíknymi” para indicar la argumentación lógicamente concluyente o estrictamente demostrativa. En el Wiktionary al término “deíknūmi”
le atribuyen los siguientes significados: 1) Yo muestro, señalo; 2) Yo despliego, traigo a la luz, retrato,
represento; 3) Hago saber, explico, enseño, pruebo.
16 En griego, las letras del alfabeto se designan con la palabra “elementos”.
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
19
sólidos platónicos. El segundo propósito tendría que ver con el aprendizaje de
la geometría. Desde esta perspectiva, los Elementos se pueden describir como
un medio para perfeccionar la comprensión del resto de la geometría por parte
del aprendiz, pues a partir de estos elementos se puede adquirir el conocimiento
de las otras partes de esta ciencia, mientras que sin ellos es imposible formarse
una idea de un tema tan complejo (el conocimiento del resto es inalcanzable).
Así, los Elementos serían una recolección ordenada de aquellos teoremas que,
cual principios y primeras hipótesis, participan en la construcción de todo el
edificio geométrico. Como prueba de lo anterior se puede apelar a la manera en
que Arquímedes se sirve de los Elementos en el estudio de la esfera y el cilindro,
o Apolonio en el estudio de las cónicas, donde los teoremas que figuran en dicha
obra son claramente utilizados como principios constituyentes.17
En cuanto al contenido de los Elementos, Heath señala que Euclides no muestra
ningún reclamo de originalidad. El valor agregado por él atañe a los cambios
introducidos en el arreglo de los temas (respecto a sus antecesores), la distribución
del material y la invención de nuevas pruebas allí donde eran inadecuadas las
viejas demostraciones. En su opinión, el fino orden del que hace gala Euclides
en los Elementos hace de su exposición de la geometría algo muy cercano a
la perfección, lo cual lo enaltece como un formidable profesor de la materia.18
Lo anterior lo expresa con las siguientes palabras: “Este maravilloso libro, con
todas sus imperfecciones, las cuales son sumamente leves si se toma en cuenta
la fecha en que se compuso la obra, es, y de seguro lo seguirá siendo, el más
grande libro de texto de todos los tiempos. Quizá ningún otro libro, salvo La
Biblia, haya circulado con mayor profusión en todo el mundo, o haya sido objeto
de más ediciones y traducciones.” Heath añade que incluso en la antigüedad los
matemáticos más destacados se ocuparon de él, que Herón, Papo (o Pappus),
Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron comentarios, que Theón de Alejandría
lo reeditó alterando su lenguaje aquí y allá con la idea de alcanzar una mayor
claridad y consistencia, y que Apolonio emprendió una discusión no muy exitosa
de los primeros principios de la geometría, donde incluso intentó una deficiente
prueba de los mismos.
No sólo Heath se expresa elogiosamente de los Elementos al llamarlo “el más
grande libro de texto de todos los tiempos”. Por ejemplo, Einstein recuerda una
copia de los Elementos como un regalo que tuvo una gran influencia en él cuando
era un niño, y se refiere a esta obra como el “pequeño libro sagrado de geometría.”
17 Lo dicho por Heath no contradice lo dicho por nosotros respecto a que los Elementos no son una
mera ordenación de los conocimientos geométricos básicos. Por el contrario, una prueba de la grandeza
de Euclides es que a la vez que organiza dicho conocimiento, nos muestra, en forma ordenada, la solución
de diversos problemas que, como ya lo hemos dicho, la tradición debió considerar importantes.
18 Compárense estas palabras con lo dicho por Muller en el parágrafo anterior. Quizá Muller tenga
razón en el análisis que realiza con todo el aparato conceptual del siglo veinte; no obstante, lo dicho por
él sólo toca una de las aristas del problema, y omite un punto importante: los propósitos para los cuales
fueron escritos los Elementos, entre los que Proclo y Heath incluyen el aprendizaje de la geometría.
20
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Por otra parte se sabe que Abraham Lincoln llevaba una copia de Euclides en
su alforja y lo estudiaba hasta altas horas de la noche a la luz de una lámpara,
pues, según decía, nunca podría llegar a ser un abogado si no sabía lo que era una
demostración.19 Newton escribió los Principia inspirado en la obra de Euclides, y
Baruch Spinoza publicó un libro denominado Ética demostrada según el orden
geométrico en el que sigue, en el campo de la Ética, un orden axiomático similar
al de Euclides.
Esto nos muestra la alta estima en que desde siempre se tuvo a este libro, el cual
se consideró un paradigma de la ciencia deductiva hasta el siglo XIX.
4. El quinto postulado
En la Analítica Posterior Aristóteles comenta que hasta su tiempo nadie había
podido fundar la teoría de las paralelas sobre una sólida base, pues en todos los
intentos se hallaba oculta una petición de principios. Parece ser entonces que no
fue sino con Euclides que esta situación se remedió mediante el establecimiento de
un sólido postulado que era indispensable para la construcción de la geometría. No
obstante, su aceptación se debió más que nada a su necesidad, no a su evidencia,
convirtiéndose en el único escollo realmente importante en la obra de Euclides.
Desde muy pronto la menor claridad de este principio, comparado con el resto de
los postulados, dio lugar a una multitud de intentos por demostrarlo a partir de
los demás, un esfuerzo que como sabemos culminó en el siglo diecinueve con el
descubrimiento de las ahora llamadas geometrías no euclidianas. Tales intentos
incluyen nombres como los de Claudio Ptolomeo (100-178), el mismo Proclo
(412-485), Omar Khayyam (1048-1113), Nasîradîn at-Tusî (1201-1274), John
Wallis (1616-1703), Girolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert
(1728-1777) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833).20 ¿En qué momento dieron
inicio tales esfuerzos? A ciencia cierta no lo sabemos, e incluso se estima que fue
Euclides el primero en intentarlo.21 Sabemos por Proclo que desde un principio
19 En una página web, Héctor Coronado cita las siguientes palabras de Lincoln, pronunciadas en un
discurso en Ohio: “Hay dos maneras de establecer una proposición. Una es demostrándola mediante la
razón, y la otra es exponiendo lo que grandes hombres de antaño pensaban al respecto, y así, pasarla
por verdadera por el puro peso de la autoridad. Ahora bien, si el juez Douglas puede demostrar que
esto es del dominio público -el derecho de un hombre a hacer a otro su esclavo- y demostrarlo como
Euclides demostraba sus proposiciones, entonces no tengo objeción. Pero cuando viene, convocando un
principio de autoridad de hombres que repudiaban ese principio, pido que no se le permita continuar.”
http://librepensar.blogspot.mx/2010/12/geometria-leyes-y-pensamiento-critico.html
20 Cf. Heath, 1956, pp. 204-219.
21 No se sabe si Euclides fue el primer geómetra que trató de probar el quinto postulado. Lo que sí se le
reconoce es haber sido el primero en advertir que se trataba de un principio indispensable para edificar la
geometría. Al respecto, en su estudio sobre los Elementos, Thomas L. Heath se refiere a Euclides con las
siguientes palabras: “Cuando consideramos los innumerables intentos que se hicieron durante más de dos
mil años por demostrar el postulado, muchos de ellos realizados por hábiles geómetras, no podemos sino
admirar el genio de un hombre que concluyó que tal hipótesis, que encontró necesaria para la validez de
todo su sistema geométrico, era en verdad indemostrable.” (Euclides, 1956, p. 202).
1.2. L A GEOMETRÍA EN LOS Elementos DE E UCLIDES
21
el postulado fue cuestionado como tal y que se llevaron a cabo intentos por
demostrarlo o deshacerse de él adoptando otras definiciones de paralelismo.
Salvo por los intentos de Saccheri y Lambert, en todos los casos la “demostración”
se apoya, implícita o explícitamente, en alguna suposición equivalente al quinto
postulado. Ejemplos de ello son las siguientes proposiciones, que fueron utilizadas
en su momento:
a) Hay al menos un triángulo en el que los ángulos internos suman dos rectos.
b) Existe un par de triángulos similares que no son congruentes.
c) Existe un par de líneas rectas igualmente distantes entre sí en todos sus
puntos.
d) Dados tres puntos no colineales, hay una circunferencia que incide con ellos.
e) Por cualquier punto dentro de un ángulo de 60o se puede trazar una línea
recta que intercepta ambos lados del ángulo.
f ) Dada un área arbitraria, hay un triángulo rectángulo con un área mayor.
g) Si en un cuadrilátero tres ángulos son rectos, el cuarto ángulo también es
recto.
De las muchas equivalencias del quinto postulado, la más conocida en los
tiempos modernos es la del matemático escocés John Playfair (1748-1819):
h) Por un punto dado sólo se puede trazar una línea paralela a una línea dada.22
Esta forma del quinto postulado es muy útil para exponer lo que habría de ser
uno de los más grandes descubrimientos matemáticos de todos los tiempos:
la existencia de otras geometrías, en las que el postulado no se cumple, y sí
alguna de sus negaciones.23
5. El concepto de teoría axiomática intuitiva o material.
El modo en que Euclides organiza el conocimiento geométrico es lo que hoy
llamamos axiomática intuitiva o material; lo podemos resumir así:24
a) Ciertos términos iniciales se definen a fin de establecer qué es lo que se
pretende significar con ellos en el discurso.
b) Cualquier otro término técnico del discurso se define a partir de los términos
iniciales. Es condición que toda definición se exprese en términos de cosas
anteriores y mejor conocidas que aquello que se define.
22 La existencia de al menos una paralela es consecuencia de la proposición I.27 si se asume que la
línea recta tiene una extensión infinita. Esta suposición es falsa en el caso de la geometría de la esfera,
donde “línea recta” significa “geodésica” o círculo máximo.
23 Hay dos formas de negar el postulado: rechazando la existencia de alguna paralela, o aceptando la
existencia de más de una paralela. Al respecto, véase el apéndice B.
24 No queremos decir que Euclides fue el primero en proceder de esta manera, cosa que ignoramos;
más bien, nos inclinamos a pensar que procedió con base en las ideas expuestas por Aristóteles en la
Analítica posterior.
22
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
c) Ciertas proposiciones tenidas por ciertas a partir del significado de los términos
iniciales se enuncian sin demostración. A estas proposiciones se les llama
axiomas o postulados.25
d) Cualquier otra proposición de la teoría se demuestra a partir de los axiomas.
A tales proposiciones se les llama teoremas.
Básicamente, el procedimiento consiste en aislar un grupo de conceptos y proposiciones que sirven como fundamento de todo lo demás. Vale considerar a
los términos iniciales como datos intuitivos y a los axiomas como evidencias.
Esta separación introduce un orden entre las proposiciones de la teoría conforme
al cual se procede de los axiomas a los teoremas siguiendo, supuestamente, el
camino de la lógica y de la argumentación ordinaria.26
6. A finales del siglo XIX el método axiomático que promoviera Euclides fue revalorado por parte de un amplio sector de matemáticos, y vuelto a utilizar en extenso
dentro de esta disciplina, al grado que en la actualidad ha irrumpido en casi todos
su dominios. Al respecto, llevó más de dos mil años redescubrir el potencial de
este método, perfeccionarlo y reconocer sus limitaciones. A ello están ligados
nombres como los de Moritz Pasch, Gino Fano, Giuseppe Peano, Ernst Zermelo,
Alfred Tarski, Kurt Gödel y, por supuesto, el de David Hilbert, así como los de
algunos notables opositores como Henri Poincaré y Hermann Weyl, quienes entre
otras cosas critican su infertilidad y juzgan que la reducción axiomática representa una renuncia a la verdadera naturaleza de la matemática, que es creativa.27
Como veremos, en su desarrollo moderno, la lógica matemática hubo de crear
las herramientas conceptuales necesarias para su perfeccionamiento y estudio.
Valga esto como un apunte de una empresa que tuvo una enorme importancia en
la matemática moderna, la cual, como veremos, supo extender, al igual que la
teoría de conjuntos, su influencia en todas las direcciones, si bien bajo una nueva
concepción más abstracta que la que impulsara Euclides en los Elementos. De
esto nos habremos de ocupar en este libro.
25 En la concepción moderna no se establece ninguna distinción entre axiomas y postulados, por lo que
estos términos son tratados como sinónimos.
26 Lo ideal sería que los axiomas fueran siempre mejor conocidos que lo que se demuestra a partir de
ellos, mas esto no siempre es así. Por ejemplo, la proposición I.5 de los elementos, En todo triángulo
isósceles los ángulos situados en la base son iguales entre sí, necesita para su demostración de algo que
es menos evidente que ella, a saber, que dos rectas no circundan región alguna.
27 Si bien ninguno de estos autores niega la legitimidad del método axiomático como instrumento que
da precisión a las herramientas matemáticas ya construidas, no le conceden ninguna importancia en la
creación de nuevos conceptos o métodos, los cuales surgen del trabajo con algo más sustancial que habita
en el dominio de la intuición.
1.3. L A DEMOSTRACIÓN EN LOS Elementos DE E UCLIDES
1.3.
23
La demostración en los Elementos de Euclides
Con el paso del tiempo, el tipo de demostración que adopta Euclides en los Elementos
se convirtió en una norma del rigor y un modelo a seguir que hubo de prevalecer hasta
el siglo XIX, pudiéndose observar su efecto en numerosas obras tanto de la antigüedad
como de la era moderna (v. gr., en trabajos como los de Diofanto, Apolonio, Pascal,
Euler, Gauss, Steiner y Poncelet, por mencionar algunos casos relevantes).
Como ya lo hemos señalado, el título “Elementos” comporta la idea de un sistema
de proposiciones basado en principios, los cuales se dividen en dos clases, los axiomas (enunciados de carácter general aplicables en cualquier dominio) y postulados
(enunciados específicamente geométricos). Los postulados son aquello cuya admisión
se pide para hacer posibles las pruebas, y Euclides los elige tratando de reducir a un
mínimo las dudas que pudieran surgir respecto a su verdad. En cuanto al resto de las
proposiciones, aunque muchas de ellas parecen ser ciertas, Euclides evita recurrir como
justificación a la experiencia o a la simple evidencia (aunque lo segundo no siempre
lo logra). Más bien, en todo momento trata de proceder por la vía de la demostración,
fundando las pruebas sobre lo que se ha establecido previamente y en conformidad con
ciertos principios lógicos que asume sin mencionar. Así, en los Elementos cada teorema
se expone como enlazado a los axiomas, los postulados y teoremas ya demostrados a
través de una relación de aparente necesidad lógica, como una consecuencia de ellos.
En lo que sigue centraremos nuestra atención en estas cuestiones, dejando de lado todo
lo relativo a los problemas que Euclides intenta resolver.
1.3.1.
La estructura de las proposiciones en los Elementos
En los Elementos cada proposición se divide formalmente en seis partes que, grosso
modo, son las siguientes:
1. Enunciado general de la proposición que se va a demostrar. Esto incluye la
indicación de lo que se supone dado (hipótesis) y de lo que se pretende probar.
2. Disposición de lo dado en una figura. Por lo general se presentan en un diagrama
distintos elementos (puntos, líneas, círculos, etc.) cuyo arreglo corresponde a lo
enunciado en (1). Esto incluye la identificación de los datos mediante letras.
3. Declaración de lo que específicamente se quiere probar con relación a la figura o
las cosas geométricas en cuestión, esta vez en términos de los datos específicos
con que se cuenta.
4. Construcción de lo que resulte necesario para facilitar la demostración. Esto
incluye el trazo de líneas y otros elementos adicionales.
5. La demostración propiamente dicha. Realización de las inferencias necesarias
para alcanzar la conclusión buscada con base en los datos reconocidos o aceptados.
24
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
6. Conclusión: regreso al enunciado general confirmando lo que se ha demostrado.
De estas partes, la 1, 5 y 6 son indispensables, mientras que algunas de las otras (o
todas ellas) en ocasiones suelen omitirse por no servir a ningún propósito. El lector
podrá constatar lo anterior a través de un examen de los ejemplos que hemos dado y de
la proposición que a continuación veremos. Como pronto descubriremos, esta división
guarda un estrecho vínculo con el uso de diagramas en las demostraciones.
1.3.2.
La demostración euclidiana y el razonamiento geométrico según
Kant
En lo que sigue expondremos la manera en que Immanuel Kant (1724-1804) justifica y
da cuenta de la demostración euclidiana, y el modo en que explica la naturaleza del
conocimiento matemático. Esto será de gran importancia a lo largo de este texto.
En la filosofía contemporánea se considera a Euclides como un paradigma de lo que se
ha dado en llamar razonamiento diagramático. Y si bien muchos autores ven serios
problemas en torno a este estilo de razonamiento (v. gr., Pasch, Muller), otros no lo
hacen. Kant pertenece a esta última categoría.
Euclides utiliza diagramas a lo largo de su obra, una práctica que Kant quiere explicar
y justificar en su obra Crítica de la razón pura. Para ello recurre a una doctrina de
su invención que podemos referir como teoría de la construcción esquemática en la
intuición pura, algo a lo que volveremos en la sección 1.4. Por ahora será suficiente
con analizar una de las muchas demostraciones que figuran en los Elementos. Nos
referimos a la proposición 32 del libro I, a la que Kant hace abierta referencia (v. gr., en
B743-45). Aquí el lector podrá advertir la manera en que Euclides divide la proposición
conforme a lo dicho en la sección anterior.
Proposición I.32 Si en un triángulo se prolonga uno de los lados, el ángulo
externo es igual a los dos internos y opuestos, y los tres ángulos internos del
triángulo son igual a dos ángulos rectos.
Sea ABC el triángulo y prolónguese el lado BC hasta D.
Digo que el ángulo externo ACD es igual a los dos internos y opuestos CAB y ABC y
que los tres ángulos internos del triángulo ABC, BCA y CAB son igual a dos rectos.
1.3. L A DEMOSTRACIÓN EN LOS Elementos DE E UCLIDES
25
Por el punto C trácese la recta CE paralela a la AB. (I.31)
Puesto que AB es paralela a CE, y AC es incidente con las dos, los ángulos alternos
internos BAC y ACE son iguales entre sí. (I.29)
Por otra parte, puesto que AB es paralela a CE, y BC es incidente con las dos, el ángulo
externo ECD es igual al interno y opuesto ABC. (I.29)
Pero se demostró que el ángulo ACE es igual al BAC.
Luego el ángulo entero ACD es igual a los internos y opuestos BAC y ABC.
Añádase el ángulo común ACB.
Según esto serán los ángulos ABC, BCA y CAB igual a los ángulos ACD y ACB.
Mas los ángulos ACD y ACB son igual a dos rectos. (I.13)
Luego los ángulos ABC, BCA y CAB son igual a dos rectos.
Por tanto, en todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual
a los dos internos y opuestos, y los tres ángulos internos del triángulo son igual a dos
rectos, que es lo que se quería demostrar. Como de costumbre, Euclides utiliza un diagrama en torno al cual organiza el argumento. Esto no es algo circunstancial, sino una práctica usual entre los geómetras
que habría de extenderse hasta el siglo XIX. La figura o diagrama en el ejemplo
anterior corresponde a lo que Kant denomina “construcción de conceptos”, un rasgo
distintivo de las ciencias matemáticas.28 Dice Kant: “El conocimiento filosófico es
un conocimiento racional derivado de conceptos; el conocimiento matemático es un
conocimiento obtenido por la construcción de los conceptos."(B741) y añade: “[...] el
conocimiento filosófico sólo considera lo particular en lo universal; las matemáticas, lo
universal en lo particular, e incluso en lo singular, pero sólo a priori y por medio de la
razón."(B742). Aquí, “a priori” significa “con independencia de la experiencia”.
El diagrama de la proposición I.32 es, en el sentido recién indicado, una construcción de
los conceptos de triángulo, línea recta, etc. conforme a un cierto diseño que Euclides
adopta por conveniencia. Es sobre la figura así obtenida que desarrolla el ulterior
razonamiento, el cual ya no es general: nos habla del ángulo ABC, de la recta CD, etc.
en vez de “cualquier ángulo interior de cualquier triángulo” o de “cualquier extensión
de cualquiera de los lados de ese triángulo cualquiera”. Considera, pues, lo universal
en lo singular (el triángulo ABC representa a todos los triángulos).
La importancia del diagrama se manifiesta desde la formulación de la proposición,
donde Euclides habla de ángulos internos y ángulos externos sin que haya en los
Elementos una definición de estas nociones. De hecho, el significado de tales términos
sólo se entiende con la figura (digamos que “interior” y “exterior” son nociones
definidas implícitamente a través de ella). Así, el diagrama expone ciertos objetos en
28 En palabras de Kant, “construir un concepto” consiste en “presentar la intuición a priori que le
corresponde [al concepto]”. En A713 y B741 da claras indicaciones de cómo se debe entender esta
caracterización. En el contexto que nos ocupa, se trata de presentar, mediante una construcción con regla
y compás, una figura cuyas partes corresponden a los conceptos y las ideas implicadas.
26
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
consonancia con los conceptos aludidos en la proposición, un triángulo ABC y una
extensión CD de uno de sus lados, pero en él se muestran muchas cosas más como, por
ejemplo, la interioridad o exterioridad de los ángulos. Todavía más, en el texto Euclides
nos pide trazar una recta CE paralela a AB sin indicar el sentido en que se debe dibujar.
Esto sólo se aclara recurriendo al diagrama, donde dicha línea aparece hacia arriba,
dividiendo el ángulo ACD en dos ángulos ACE y ECD, un hecho esencial para el
posterior argumento.29 Esta propiedad de la línea CE sólo se puede reconocer en el
diagrama, el cual se convierte de esta manera en una parte esencial de la demostración.30
Podemos decir, siguiendo a Liza Shabel, que en los Elementos muchos pasos cruciales
en la demostración se dan en virtud de observaciones hechas en el diagrama. Es por
esto que a este tipo de razonamientos se les suele llamar diagramáticos: “[Euclides]
ofrece una lista de definiciones y nociones comunes que, propiamente entendidas, nos
ayudan a leer la información contenida en diagramas construidos en conformidad con
los postulados [. . . ] los diagramas permiten el razonamiento en la demostración al
garantizar la inferencia deductiva.” (Shabel, 2003, p. 38).
Lejos de ver un defecto en lo anterior, Kant lo considera un rasgo esencial de la
demostración matemática, un recurso sin el cual no sería posible el conocimiento
matemático en general. Para destacar su papel e importancia nos pide imaginar qué
pasaría si, por ejemplo, preguntáramos a un filósofo la misma cuestión (¿a qué son
igual los ángulos internos de un triángulo?) y lo dejáramos hallar la respuesta a su
manera. El punto es que nunca daría con algo parecido a la proposición I.32: sólo
contaría con los conceptos de recta, ángulo, etc., y por mucho que reflexionara sobre
éstos no alcanzaría ninguna conclusión nueva. El filósofo no podría seguir el camino
de Euclides, pues sólo conoce por conceptos, no por construcción de conceptos. Trazar
un triángulo sería considerar lo universal en lo particular, pero él “sólo considera
lo particular en lo universal”. Él podría analizar y clarificar tales conceptos, pero
nunca llegaría a propiedades no contenidas en ellos. En el otro extremo tenemos al
geómetra, quien lo primero que hace es representar los conceptos mediante una o
más construcciones, para después razonar sobre los diagramas resultantes; al hacerlo,
descubre propiedades de los objetos que no están contenidas en los conceptos mismos
(es decir, que no se pueden extraer de los conceptos considerados éstos de manera
29 En efecto, un paso crucial en la demostración es el hecho de que ACE + ECD = ACD. No obstante,
esta propiedad no se sigue de los postulados y las nociones comunes, sino que es tomada directamente
del diagrama.
30 En la proposición I.32, cuando Euclides habla de trazar por el punto C la recta CE paralela a la AB, se
refiere al trazo de lo que hoy denominamos el segmento CE. Es por esto que Euclides debería indicar en
qué sentido se ha de realizar la construcción, pues hay dos sentidos posibles y sólo uno de ellos conduce
al fin propuesto. Obviamente, si la recta utilizada fuera de suyo ilimitada en ambas direcciones, nuestra
crítica se vendría abajo; no obstante, lo hecho por Euclides no corresponde a lo anterior, pues lo que él
hace es trazar una línea de un punto C a otro punto E (los extremos de la línea, según reza la definición
DI.3). Aquí, Euclides se conduce con estricto apego al espíritu griego, según el cual lo positivo es el
estado de finitud; así, considerar una línea recta infinita y sin extremos sería tanto como considerar un
objeto en estado de imperfección.
1.3. L A DEMOSTRACIÓN EN LOS Elementos DE E UCLIDES
27
aislada y al margen de toda intuición).31 Podemos decir entonces que el diagrama
no es una mera ilustración de la proposición I.32, sino un elemento central de la
prueba que orienta nuestros razonamientos. En palabras de Kant: “A través de una
cadena de inferencias y guiado siempre por la intuición, el geómetra consigue así una
solución evidente y, a la vez, universal del problema” (B745) (subrayado nuestro).32
Tal uso de los conceptos in concreto es para Kant un rasgo distintivo del método
matemático y en él apoya la idea de que los juicios de la matemática son sintéticos a
priori. Este es el argumento de Kant: la geometría es sintética porque sus resultados se
obtienen realizando construcciones.33 La geometría es a priori porque de los objetos
construidos sólo considera aquello que se sigue de las condiciones universales de la
construcción y nunca de las condiciones específicas de la construcción (i. e., de nada
empírico); es por ello que el geómetra puede afirmar la validez del resultado para todas
las intuiciones correspondientes al concepto (al respecto, véase B44). Como veremos,
estas afirmaciones tienen hoy en día un valor limitado.
En lo dicho por Kant podemos hallar una justificación de porqué Euclides divide
las proposiciones en la forma ya señalada: se trata de preparar el terreno para la
demostración construyendo un diagrama pertinente. Este modo de proceder se explica
advirtiendo que, en su momento, Euclides no contaba con un aparato lógico que
permitiera el manejo abstracto de proposiciones de carácter general, lo cual no se
pudo lograr plenamente sino hasta el siglo XIX con la aparición de la teoría de la
cuantificación.34
31 Esta observación de Kant alude a la actividad de un geómetra anterior al siglo XIX, y sólo es
aplicable en forma limitada a la matemática contemporánea. Recordemos que la presentación axiomática
de Euclides expresa las propiedades y relaciones de un sistema de objetos bien definido, al que suele
referirse en las demostraciones a través de los diagramas. Véase al respecto la nota al pie número 2 de la
sección 1.1.
32 Por intuición Kant entiende el modo por el cual el conocimiento se refiere de manera directa
e inmediata a su objeto, y que sólo tiene lugar en la medida en que dicho objeto afecte de alguna
manera a nuestro psiquismo (comúnmente a través de nuestros sentidos). La intuición se califica como
empírica cuando el objeto nos es dado a través de los sentidos, y pura cuando no pertenece a ninguna
sensación externa o cuando es a priori, es decir, independiente de la experiencia. Tal sería el caso de la
intuición geométrica, pues en ella los objetos no son entidades previamente dadas en la naturaleza, sino
construcciones nuestras (esto, a pesar de que el objeto resultante, digamos un diagrama, aparezca como
algo empírico, visual). Pronto volveremos a este punto.
33 Es más, la sinteticidad también se debe a que muchas propiedades de los objetos geométricos resultan
de su construcción, donde se tornan evidentes, sin que las mismas resulten de las definiciones, axiomas y
postulados. La construcción es, en este sentido, indispensable.
34 En el apéndice A mostramos cómo en el siglo XVII se seguían utilizando los diagramas a la manera
de Euclides. Esto lo hacemos a través de un ejemplo: el modo en que Pascal prueba un resultado que
equivale a la integración de la función seno. Asimismo, al final del apéndice analizamos una demostración
tomada de los Elementos de Euclides desde la perspectiva de los recursos lógicos que utiliza.
28
1.4.
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
La teoría kantiana de esquemas
Una prueba como la de la proposición I.32 de los Elementos sólo es posible cuando
se tienen los medios para producir objetos de la intuición que sean imagen de los
conceptos implicados. Conforme a Kant, esto se logra mediante la aplicación de
esquemas, es decir, por razón de ciertos procedimientos o reglas que indican en general
cómo construir tales objetos.35
Refiramos esto al ejemplo anterior. Veamos, por ejemplo, la definición de triángulo
que se halla en los Elementos: Triángulo es cualquier figura rectilínea comprendida
por tres rectas. El cometido de esta definición, como el de tantas otras, es delimitar
el concepto correspondiente, es decir, señalar las condiciones que ha de cumplir una
figura para ser un triángulo. Para poderla aplicar (i. e., para poder decir “¡esto es un
triángulo!”) debemos tener un objeto, cuya producción no resulta de la definición
misma. Al respecto la definición es inerte, pues nada dice acerca de la producción o
el manejo de los triángulos. Lo mismo puede decirse de otras definiciones como, por
ejemplo, la de círculo.
Dado que los objetos con que trata la geometría clásica no son empíricos, sin la posibilidad de su construcción en la intuición pura los correspondientes conceptos serían
inoperantes. Según Kant, dicha posibilidad es justo lo que separa al geómetra del
filósofo: el primero cuenta con esquemas que le permiten producir tales representaciones, mientras que el segundo no. Actúa, por decirlo de alguna manera, sirviéndose de
procedimientos que los traen a la representación, ya sea mediante imágenes mentales,
ya sea mediante construcciones sensibles.36
35 Conforme a Kant, entre un concepto y las cosas particulares que se subsumen bajo él se halla una
instancia mediadora, un término que hace posible la aplicación del primero a las segundas. Esta instancia
tiene un pie de cada lado; por una parte, es una representación pura (libre de todo elemento empírico);
por la otra, es intelectual y sensible a la vez (Véase, CRP, A138/B177). Kant denomina esquemas
trascendentales a tales representaciones.
36 Cuando decimos “esta figura es un triángulo” estamos aplicando un concepto a un objeto sensible, es
decir, vemos en el objeto algo que incluye lo representado en el concepto (v. gr., tres líneas rectas, tres
vértices, etc.). Como sabemos, en el caso de la geometría clásica tales objetos (las figuras) no se toman
de la experiencia. Lo que Kant afirma es que dichos objetos se construyen justo mediante la aplicación
de esquemas, los cuales nos permiten conectar los conceptos puros (en este caso el de “triángulo”) con
1.4. L A TEORÍA KANTIANA DE ESQUEMAS
29
La prueba de la proposición I.32 se apoya decididamente en la posibilidad anterior. En
ella Euclides traza un triángulo ABC, prolonga el lado BC hasta D, etc. preparando de
este modo el escenario para la demostración. En este caso las construcciones realizadas
tienen como base el uso, real o imaginario, de la regla y el compás. V. gr., la figura ABC
es un “triángulo” porque su elaboración se lleva (o se puede llevar) a cabo con tales
instrumentos. El uso de la regla y el compás está sugerido esquemáticamente en los
tres primeros postulados, a los que da vida. Enunciemos de nuevo dichos postulados
de manera simple:
Postulado I. Trazar una línea desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera;
Postulado II. Prolongar por continuidad en línea recta una recta delimitada;
Postulado III. Para cada centro y radio describir su círculo.
El uso de la regla y el compás está claramente presupuesto en lo anterior. De hecho,
estos instrumentos han sido parte del bagaje de todo geómetra desde la antigüedad
hasta nuestros días, al punto de colmar la geometría elemental con tales figuras. Esto
es particularmente cierto con relación a los Elementos, donde todos los diagramas se
construyen con base en ellos. Dice Kant:
[. . . ] lo que en matemáticas se llama postulado es una proposición práctica
que no contiene más que la síntesis a través de la cual nos damos un objeto
y producimos su concepto. Por ejemplo, describir un círculo con una línea
dada, partiendo de un punto dado, en un plano. Semejante proposición no
puede demostrarse, ya que el procedimiento que exige es precisamente el
procedimiento a través del cual producimos el concepto de esa figura. (B287).
Veamos la pertinencia de lo anterior con relación al tercer postulado de Euclides; éste:
(i) sintetiza los conceptos de punto y línea (i. e., los reúne en un todo); (ii) para cada
punto y línea dados, determina un objeto: el círculo con centro en el punto dado y
radio la línea dada; y (iii) alude a un procedimiento (a un esquema) que se halla en la
base del concepto de círculo (en este caso el uso de un compás).
En resumen: conforme a Kant, es con base en ciertos esquemas que el geómetra realiza
la construcción de conceptos; y es examinando los objetos construidos que descubre
sus propiedades. Los esquemas conectan de manera confiable los conceptos con sus
representaciones. Y como en la indagación el geómetra no se sirve de nada empírico,
sino sólo de lo que es común a todas las figuras del género propuesto, la conclusión
los objetos sensibles. Se trata de operaciones sometidas a reglas que permiten componer objetos que se
subsumen bajo los conceptos (i. e., construir objetos que forman parte de la extensión del concepto). En
cada caso, el esquema consiste en la representación de un procedimiento general por el cual la imaginación
ofrece su imagen al concepto. Kant diría al respecto que sin esquemas los conceptos son vacíos, pues no
les podemos dar ningún objeto.
30
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
alcanzada la puede afirmar para todas ellas.37 De ahí el salto de lo singular a lo general.
Por ello la última línea de la proposición I.32: “Por tanto: En todo triángulo, si se
prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual a los dos internos y opuestos, y
los tres ángulos internos del triángulo son igual a dos rectos”.
Finalizamos esta sección con un breve comentario acerca del problema que significó
el uso de diagramas en el siglo XIX. Esto tenderá un puente hacia las discusiones
venideras.
Al tratar de probar el teorema de que toda magnitud que crece continuamente, pero
no más allá de toda medida, se aproxima a un valor límite, Dedekind se vio obligado
a recurrir a evidencias geométricas. Su reacción fue buscar un riguroso fundamento,
puramente aritmético, para los principios del análisis matemático.38 El resultado al que
llegó (1872) es bien conocido: se trata del concepto de número real definido a través
de las llamadas cortaduras, las cuales son centrales en la construcción genética de los
números reales. Un problema con las cortaduras es que no son esquematizables.39
Tiempo atrás Weierstrass había presentado en 1861 un ejemplo de función continua
que no es diferenciable en ningún punto, es decir, una “curva” que, siendo continua, no
tiene tangente en ninguna parte. Esto contradijo la idea intuitiva de que toda función
continua es diferenciable excepto en puntos especiales, algo claramente sugerido por
los diagramas.40 Surgieron muchas preguntas: ¿Cómo tratar con esta clase de “curvas”
para las que no se tienen esquemas de producción?, ¿en qué sentido se puede decir que
37 Kant podría presentar el siguiente argumento como justificación de la validez de las proposiciones
geométricas: “Si bien la construcción se realiza en la intuición sensible, en la investigación no se toma en
cuenta ningún rasgo empírico del objeto así construido (como, por ejemplo, la longitud de sus lados o la
medida de sus ángulos); y si bien el diagrama es empírico (un objeto sensible), en la demostración sólo se
considera la acción de construir sus elementos (un triángulo, una recta, etc.) sin hacer uso de ninguna
particularidad propia de los objetos específicos que resultan de la construcción. Por tanto, las propiedades
establecidas son válidas para todas las figuras que se pueden obtener de esa manera.” Como se puede
constatar, Euclides suele contravenir sutilmente esta exigencia en muchas demostraciones. Por ejemplo,
la prueba de la proposición I.32 que ya hemos analizado, se basa en la peculiaridad de que el ángulo ACD
aparece como la suma de ACE y ECD en el diagrama, un hecho que podemos ver pero no probar. Se trata,
simplemente, de algo que así aparecen en la construcción. Por otra parte, es muy difícil imaginar que el
resultado de la construcción pudiera ser de otra manera, lo cual facilita la aceptación de tal hecho (“así
son los triángulos”). En ello descansa, al menos parcialmente, el carácter sintético de esta proposición (la
I.32) según Kant.
38 Al referirse a los fundamentos del análisis, Dedekind no aclara el sentido en que lo hace, pues el
término tiene diversos significados con relación a las teorías matemáticas. Al respecto, en la sección 1.5.1
incluimos una nota acerca de algunos de los sentidos en que se le utiliza. Asimismo, en la sección 2.5
incluimos un comentario más amplio acerca de las inquietudes de Dedekind cuando decidió fundamentar
la aritmética de los números reales.
39 A este punto (al de la imposibilidad de esquematizar las cortaduras de Dedekind) habremos de volver
en la sección 1.7.
40 Históricamente, la curva de Weierstrass es el primer fractal conocido. Lo notable en este caso es que
disponemos de una fórmula para ella: W (x) =
∞
∑ an cos(bn πx), donde 0 < a < 1, b es un entero impar y
n=0
ab > 1 +
3π
.
2
1.5. L A CRÍTICA MODERNA Y LA LÓGICA
31
estas entidades son objetos matemáticos?41
Los anteriores no fueron casos aislados, sino parte del acontecer matemático durante la
segunda mitad del siglo XIX, donde hubo una fuerte oposición al uso de diagramas en
las pruebas matemáticas. Por ejemplo, en 1882 Pasch estableció como norma apoyar los
argumentos matemáticos exclusivamente en los axiomas y en la lógica. Dice al respecto:
“Si la geometría ha de ser realmente deductiva, entonces la deducción ha de liberarse
por completo de cualquier referencia al significado de los conceptos geométricos, al
igual que de las figuras. Así, sólo reconocemos aquellas pruebas en las que cada paso se
apoya en las proposiciones precedentes y las definiciones”.42 Al examinar con espíritu
rigorista los argumentos de Euclides, el mismo Pasch descubrió algunas suposiciones
que nadie había notado con anterioridad. Por ejemplo, las relacionadas con el orden
de los puntos en una línea. Todos pueden trazar un diagrama y notar que si en una
línea recta un punto B está entre un punto A y un punto C, entonces ni C está entre
A y B, ni A está entre B y C. No obstante, nadie antes que Pasch había sentado las
bases para tratar lógicamente con esta clase de observaciones, quizá porque se les
consideraba demasiado obvias. La consecuencia de tal desatención fue precisamente la
necesidad de recurrir a la intuición, de manera que la forma lógica de lo que se hacía
seguía siendo poco clara. A diferencia de Kant, Pasch vio en el método deductivo el
método de las matemáticas y no sólo una parte de él, lo cual exigió acentuar el rigor y
renunciar al uso de diagramas en las demostraciones.
1.5.
La crítica moderna y la lógica
Lejos de una explicación plausible de la demostración matemática, la lógica moderna
ve en el constructivismo de Kant algo inconciliable con la pureza del método. Las
objeciones son numerosas: ¿Es acaso inevitable el recurso a la intuición o a la evidencia
sensible en las pruebas? Si los teoremas de, digamos, los Elementos, se siguen necesariamente de los axiomas, ¿no deberían bastar para su demostración ciertos argumentos
lógicos? Así, la encomiada explicación ofrecida por Kant en el siglo XVIII se convirtió
en el blanco de múltiples ataques: ¿Cómo es que las proposiciones de la geometría, que
supuestamente se infieren de los axiomas y postulados, requieren para su demostración
de objetos construidos en la intuición? Ciertamente, la eficacia del método utilizado
por Euclides en los Elementos justificaba su persistencia; no obstante, éste no era el
tema del debate.
41 Aquí podemos anticipar la respuesta de Hilbert, quien en un cuaderno escribiera la siguiente nota:
“Cualquier cosa que sea objeto del pensamiento es por lo mismo objeto de las matemáticas. La matemática
no es el arte de la computación, sino el arte de la no computación”. [Alles was Gegenstand des Denkens
ist, ist daher Gegenstand der Mathematik. Die Mathematik ist nicht die Kunst des Rechnens, sondern die
Kunst des Nichtrechnens.] Al respecto, véase (Hayashi, 2007). En cuanto a Kant, lo único que podemos
decir por el momento es que Hilbert, antes que negar su epistemología, lo que busca es generalizarla en
adecuación a la matemática moderna. Esto lo veremos más adelante.
42 Pasch, 1882. Citado en “Nineteenth Century Geometry”, Stanford Encyclopedia of Philosophy,
http://plato.stanford.edu.
32
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Las críticas cobraron mayor fuerza cuando algunos matemáticos pusieron un mayor
énfasis en la pureza de los métodos deductivos y se negaron a seguir apoyando las
pruebas en la intuición, en la que vieron tan sólo un recurso heurístico. Estas críticas
se agudizaron tras la aparición de la lógica simbólica y el cálculo de predicados, en los
que el manejo abstracto de los argumentos es una posibilidad real. Esto contrasta con lo
sucedido en las épocas de Euclides y de Kant, en las que no había una sólida base formal
(lógica) capaz de sustentar con pruebas rigurosas la mayoría de las proposiciones de
los Elementos y otras teorías matemáticas. Para aclarar esta cuestión examinemos, a
manera de ejemplo, la prueba que ofrece Euclides de la proposición I.1: Dada una recta
delimitada construir sobre ella un triángulo equilátero (véase la sección I.2). Desde el
punto de vista de la lógica, Euclides apoya el argumento en la siguiente proposición, la
cual resulta evidente a partir de la figura: “Dos círculos cuyos centros son los extremos
de un segmento y cuyos radios son iguales a dicho segmento, tienen al menos un punto
en común.” En la proposición I.1 los extremos del segmento y el punto en cuestión se
denotan con las letras A, B y G, respectivamente. Es obvio que G depende de A y B.
En la prueba dicho punto aparece como resultado de una construcción, sin que haya un
argumento formal que pruebe su existencia. Al respecto, un geómetra de la antigüedad
(o de la época de Kant) juzgaría ridícula esta exigencia, cual diciendo: “¿pues qué
otra cosa podría haber ahí donde se cruzan los círculos?”, o bien “no veo cómo se
podría evitar en dicha construcción que los círculos se intersecasen.” Vista desde la
lógica moderna, dicha dependencia existencial no se puede expresar ni en la lógica
monádica (marco en el que podemos ubicar la teoría aristotélica del silogismo), ni en la
lógica de los estoicos, ambas subyacentes a los Elementos.43 Esto nos da una idea de la
importancia y necesidad de recurrir a los diagramas en las demostraciones. Volvemos
a lo mismo: de la misma manera en que la construcción euclidiana pone al descubierto
ciertas relaciones entre los objetos geométricos, también pone a la vista ciertos objetos,
lo cual dispensa la necesidad de probar su existencia.44 Por otra parte, los axiomas y
postulados que figuran en los Elementos no son suficientes para demostrar tales cosas.
Desde la perspectiva actual podemos decir que el uso de figuras en la geometría clásica
compensa la falta de una teoría general de relaciones y de la cuantificación.45 Dicho
43 La lógica de los estoicos se puede pensar como una parte de la lógica proposicional. En cuanto a
la lógica monádica el lector hallará una breve explicación en la ficha “Monadic predicate calculus” de
Wikipedia. Al respecto, Leopold Löwenheim probó en 1915 que este fragmento del cálculo de predicados
es decidible, una propiedad que se rompe con la simple adición de un símbolo de relación binaria arbitrario.
El trabajo de Löwenheim está publicado en (Heijenoort, 1967, pp. 228-251).
44 Queremos insistir en lo dicho en la sección 1.2: Los postulados de Euclides no están ahí para
establecer la existencia de los objetos, sino la posibilidad de su construcción. V. gr., el postulado I, “Trazar
una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera” tiene como finalidad permitir la
construcción de una línea recta (hacerla visible), no “traerla a la existencia”.
45 Quizá un breve comentario nos ayude a aclarar lo anterior. Desde la perspectiva actual, la lógica
se puede entender como una teoría general de relaciones; general, porque no trata con ningún orden de
objetos en particular; “de relaciones” porque al no ocuparse de la naturaleza o esencia de las cosas, lo
único que “le queda” es ocuparse de la forma en que los individuos se vinculan entre sí, es decir, de sus
mutuas relaciones. El instrumento ideal para llevar a cabo esta tarea es la teoría de la cuantificación, la
cual permite expresar cómo se dan las relaciones sin hacer referencia a nada en particular, a ningún orden
1.5. L A CRÍTICA MODERNA Y LA LÓGICA
33
con respecto a los Elementos: el uso de figuras suple las limitaciones del aparato lógico
disponible.
Es mucho lo que se ha dicho acerca de estas lagunas en el sistema euclidiano, el cual
carece, por ejemplo, de axiomas para la continuidad sobre cuya base se podría probar
la existencia del punto G en el ejemplo anterior. V. gr., ¿acaso no cabe la posibilidad
de que los círculos fueran discontinuos? Obviamente, esta cuestión se mira como una
insensatez desde la “geometría del papel”, pues es evidente que tales círculos se cortan
en un punto. No obstante, este innegable hecho visual no se puede ni deducir ni refutar
con base en los postulados de Euclides. Así, en la matemática moderna se han podido
definir sistemas de puntos, líneas y círculos que “satisfacen” los postulados de Euclides
sin cumplir con la propiedad de que dos círculos como los de la proposición I.1 tengan
algún punto en común.46
Lo anterior nos lleva a contrastar lo que hoy se entiende por “lógica” con lo que se
entendió hasta principios del siglo XIX. Hasta entonces la lógica se había entendido
como un canon, es decir, como un sistema de reglas para la correcta conducción del
entendimiento y la razón, no como una teoría general de relaciones. Su objeto eran las
reglas formales de todo pensar. Examinemos con cierto detalle este punto.
Cuando Euclides escribió los Elementos, una de las finalidades de la lógica era formular
los principios que rigen el recto uso de la razón en general. El modus ponens es uno
de tales principios: “Si la implicación A → B es verdadera, y se sabe, por hipótesis o
por demostración, que A es verdadera, habrá que afirmar que B también es verdadera”.
Fue con base en este principio, por ejemplo, que pudimos concluir en la prueba de la
proposición I.1 que las tres rectas GA, GB y AB son iguales entre sí, pues teníamos
“Si GA = AB y GB = AB, entonces GA = GB” (NC1) y “GA = AB y GB = AB”. Por
ello podemos calificar como correcta la inferencia realizada. A esto es a lo que nos
referimos cuando hablamos del canon de la razón pura: un sistema de reglas y principios
a priori (es decir, independientes de la experiencia) para pensar hilada o lógicamente, es
decir, para manipular en el pensamiento premisas y creencias y alcanzar conclusiones.
Esto concuerda con el modo en que Euclides organiza las proposiciones: primero,
de objetos. Esto de algún modo anticipa la explicación que daremos en la sección 1.6 sobre lo que hace
Hilbert con relación a la geometría pura.
46 Por ejemplo, en el plano racional Q × Q, los círculos C((−1, 0), 2) y C((1, 0), 2) no se intersecan,
√
pues la solución algebraica del sistema de ecuaciones correspondiente es x = 0, y = ± 3. Obviamente,
para poder decir que los objetos de este sistema “satisfacen” los postulados de Euclides debemos cambiar
el sentido de los postulados, dejar de pensar en ellos como proposiciones acerca de construcciones
geométricas, y verlos como proposiciones acerca del modo en que ciertas entidades, llamadas “puntos”,
“líneas”, “círculos”, etc., se relacionan entre sí (es decir, verlos como descriptivos de cierto tipo de
relaciones, tal como lo acabamos de indicar en la nota anterior). Ahora bien, en caso de que queramos
seguir entendiendo los postulados en términos de construcciones, y en aparente contradicción con lo
que acabamos de decir, podemos pensar en ellos como proposiciones relativas a la construcción de
ciertas figuras discontinuas. Podemos imaginar, por ejemplo, una regla y un compás “discontinuos”,
que sólo pueden dibujar puntos con coordenadas racionales, es decir, que trazan las figuras de manera
“intermitente”, produciendo dibujos semejantes a los que obtenemos en un monitor a través de la
computadora. Hay incluso un término asociado a ello: pixel (aunque el ojo vea otra cosa.)
34
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
establece los datos que servirán como punto de partida del argumento; después, conduce
el argumento conforme a principios deductivos lógicamente aceptables. Este “uso”
de la razón se da con relación a un contenido sobre el que versan las demostraciones.
Un mérito de la construcción es que ésta nos permite hablar de objetos particulares
(el segmento AB, el segmento AG, el punto G, etc.) en vez de “cualquier segmento y
cualquier punto correspondiente a la intersección de dos círculos que tienen por radio
a dicho segmento”, cuya expresión lógica requiere de diversos cuantificadores ligados
entre sí. Es por ello que la lógica de proposiciones basta casi por sí sola para justificar
las deducciones que Euclides ofrece en los Elementos (véase el apéndice A).
Este modo de entender la demostración y la geometría misma eclipsa la posibilidad
de considerar sistemas relacionales puros, en los que el razonamiento se conduce
bajo la mera asunción de premisas puestas arbitrariamente, sin tomar en cuenta si
éstas corresponden o no a un orden particular de objetos (uso especulativo de la
razón). Como veremos, Hilbert se inclina abiertamente por esta segunda posibilidad al
momento de fundamentar la geometría. En una teoría de esta naturaleza las relaciones
de dependencia existencial (como las que podemos observar en la matemática moderna)
se tienen que manejar a través de hipótesis relativas al sistema de objetos en que tales
relaciones se podrían dar. Tales hipótesis se hallan ausentes en la geometría tradicional.
En parte esto es así porque, como ya lo hemos dicho, la teoría se ocupa de un orden
particular de objetos para los que no es necesario postular su existencia.
Por otra parte, tal como lo acabamos de señalar, la lógica clásica no tenía los medios
para manejar sistemas de relaciones abstractas, ni contaba con los recursos expresivos
necesarios para formular proposiciones de uso común en la matemática moderna como,
por ejemplo, el axioma del supremo o la densidad de los números racionales. Tales
relaciones se expresan mediante fórmulas en las que los cuantificadores se agrupan en
bloques de indisoluble dependencia. Veamos algunas de ellas:
1. Densidad de los números racionales: ∀x∀y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y))
2. Axioma de incidencia entre puntos y líneas: ∀A∀B(p(A) ∧ p(B) ∧ A = B →
∃z(l(z) ∧ I(z, A) ∧ (I(z, B))))
3. Existencia de raíces: ∀x1 ∀x2 . . . ∀xn ∃z( f (x1 , x2 , . . . , xn , z) = 0)
4. Definición de continuidad en un punto: Cont( f , a) ≡de f a ∈ D f ∧ ∀ε(ε > 0 →
∃δ (δ > 0 ∧ ∀x(x ∈ D f ∧ |x − a| < δ → | f (x) − f (a)| < ε))
5. Axioma del supremo: ∀X[(X ⊆ R ∧ X = 0/ ∧ ∃y(y ∈ R ∧ ∀x(x ∈ X → x ≤ y)] →
∃z[z ∈ R ∧ ∀x(x ∈ X → x ≤ z) ∧ ∀y((x ∈ X → x ≤ y) → z ≤ y)]
En todos estos casos la forma lógica “∀x∃z” (donde la “z” cuya existencia se afirma
depende de la “x”) se halla presente. La imposibilidad de expresar esta dependencia
en la lógica antigua se debe al hecho de que en ella la cuantificación sólo se aplica
1.5. L A CRÍTICA MODERNA Y LA LÓGICA
35
a lo que hoy denominamos predicados monádicos (funciones proposicionales de un
solo argumento), de modo que los cuantificadores siempre se pueden separar.47 Esto
se debe a que cada predicado monádico sólo puede estar regido por un cuantificador,
por lo que en esta lógica es imposible expresar relaciones de dependencia como, por
ejemplo, “cada número real tiene un inverso aditivo” cuya estructura cuantificacional
es la ya referida. En la geometría tradicional este problema pasa inadvertido, pues
tales cuestiones se resuelven en la práctica recurriendo, por decirlo en la jerga actual,
a los contenidos semánticos de la teoría (v. gr., escudriñando figuras o reconociendo
intuitivamente las propiedades de los números). Insistimos: las construcciones “sacan
a la luz” los objetos y sus relaciones, compensando de esta manera los recursos lógicos
faltantes.
Podemos decir entonces que en la geometría tradicional el razonamiento no podía
limitarse al manejo formal de los conceptos. Requería, como lo señala Kant, de esa
actividad adicional que él denomina construcción de conceptos en la intuición pura.
Es por ello que las figuras constituyen una parte vital de la demostración geométrica
clásica, la cual comprende objetos espacio-temporales.
Todo esto lo consigna Kant en su teoría acerca de la demostración geométrica. La
lógica no basta, “el conocimiento matemático es un conocimiento obtenido por la
construcción de los conceptos”.48
Hoy en día, como ya lo hemos dicho, en amplios sectores de las matemáticas se ha
excluido el uso de figuras en las demostraciones, o se le ha “reglamentado” implícitamente, reduciendo su papel en la mayoría de los casos al de elementos auxiliares
para la comprensión intuitiva. A su vez, las pruebas se consideran, en el límite, como
algo estrictamente formal e independiente de la interpretación que pudieran tener
los axiomas. Esta idea de la demostración como objeto formal se aparta de la idea
tradicional según la cual la demostración geométrica trata con un contenido sobre el
que el geómetra forma juicios. El punto de vista prevaleciente en la actualidad es que la
lógica es un instrumento formal mediante el cual desplegamos sistemas de relaciones
consideradas en sí mismas, muy lejos ya de la teoría aristotélica.
Podemos decir entonces que:
I)
II )
la concepción clásica de la lógica no es la concepción moderna, y
que la concepción clásica de la lógica no permite diferenciar entre la interpretación
de una teoría y su forma pura, como sucedió en el caso de la geometría.
ejemplo, la fórmula ∀x∃y(Fx → Gy) es equivalente a ∃xFx → ∃yGy.
líneas, con lo que venimos tratando es con la incompletud semántica de los axiomas, la cual
está relacionada con la dificultad de “captar en conceptos” todas las propiedades de los objetos nombrados
en ellos. Este tipo de consideraciones llevarían más tarde a Gödel a considerar la incompletud de la
aritmética formal. En el caso de la geometría euclidiana el uso de construcciones (el recurso a la intuición)
es una manera de suplir los recursos faltantes, pues en el empalme de construcciones se tornan evidentes
muchas propiedades de los objetos considerados. Kant parece reconocer que los postulados de Euclides
constituyen un sistema incompleto, que de ellos no se siguen por lógica los teoremas de los Elementos.
No obstante, lo que para otros es un estigma no lo es para él.
47 Por
48 Entre
36
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Este último es un punto en el que se concentró una parte de la crítica moderna. Como
veremos con cierto detalle más adelante, el desarrollo de la matemática en el siglo
XIX ofreció los elementos necesarios para diferenciar la teoría geométrica de sus
interpretaciones, una diferencia similar a la que podemos hallar entre la sintaxis y la
semántica de una teoría formal. Esto sucederá al narrar algunos pasajes por los que
Hilbert transitó en su camino hacia su primer formalismo.
1.5.1.
Tres sentidos distintos de la palabra “fundamentos”
Como su nombre lo indica, el libro Grundlagen der Geometrie de Hilbert es un tratado
sobre los fundamentos de la geometría. Al respecto, antes de pasar al análisis de
dicha obra debemos considerar tres diferentes sentidos (no todos) en que el término
“fundamentos” se suele utilizar con relación a la matemática, y ver de cuáles de ellos
se sirve Hilbert.
Al referirnos a los fundamentos de una teoría podemos distinguir, grosso modo, al
menos tres acepciones distintas del término: el fundamento como principios, como
condición de posibilidad y como origen.49
En una primera instancia tenemos el problema de los fundamentos de las distintas
teorías matemáticas en el sentido de los conceptos y principios en los que cada una de
ellas se apoya. En segundo lugar tenemos el problema de los fundamentos de la ciencia
matemática como tal, es decir, de las condiciones que la hacen posible. Por último,
tenemos un significado muy general del término, según el cual el fundamento sería la
explicación del conocimiento matemático, de sus raíces y orígenes (una cuestión más
bien epistémica).
Teniendo en mente estos tres sentidos del término, podemos decir que la cuestión de
los fundamentos es al mismo tiempo una tarea lógica, matemática y filosófica que
debemos diferenciar de la simple reflexión en torno a la naturaleza de la matemática.
1. Sin lugar a dudas, el primero de estos sentidos es el más utilizado en la matemática. Se trata de los conceptos y principios básicos sobre los que se erige o se
quiere erigir una teoría. En ocasiones, esta tarea de fundamentación incluye el
establecimiento de los tipos de razonamiento que se aceptan en la construcción
de la teoría. De esto último veremos algunos ejemplos más adelante, cuando nos
refiramos a Russell, Poincaré, Brouwer, Weyl y el mismo Hilbert.
49 Estos tres sentidos los podemos hallar fuera de las matemáticas. Cuando un juez pregunta a un
abogado que intenta levantar una demanda “¿en qué fundamenta usted la acusación?” (i. e., “¿en qué
preceptos legales apoya usted sus argumentos?”), el término “fundamento” se está usando en el primer
sentido del término. Cuando se dice que “el respeto a los derechos civiles consignados en la ley es el
fundamento de la democracia”, el término se está utilizando en el segundo sentido. Finalmente, cuando
se afirma que “la revolución mexicana fue el fundamento del modernismo es este país” (i. e., el origen
del modernismo en México se halla en la revolución mexicana), el término se está utilizando en el tercer
sentido.
1.5. L A CRÍTICA MODERNA Y LA LÓGICA
37
En particular, este es el sentido que se le dio al término con relación al análisis
matemático durante la segunda mitad del siglo XIX (Cauchy, Weierstrass et al).50
Se trataba de clarificar sus conceptos, determinar sus principios e introducir el
rigor en las demostraciones, una tarea de la que nos ocuparemos con cierto detalle
en la sección 2.5. Esta labor se vio continuada con la introducción del concepto
de número real (Dedekind y Cantor), la introducción de métodos de demostración
no constructivos en el análisis (Hilbert y Zermelo) y la aparición de la teoría
de conjuntos (Dedekind y Cantor). Y si bien estos últimos hechos produjeron
algunas reacciones, podemos decir que lo logrado constituyó un fundamento para
la matemática clásica en el primer sentido del término.
2. Como pronto veremos, en los Grundlagen Hilbert no sólo establece los fundamentos de la geometría en el sentido recién señalado, sino que además pone en juego
un segundo sentido: en términos generales, lo que fundamenta a cualquier teoría
matemática es el hecho de que no podamos inferir contradicciones a partir de sus
axiomas. Tener esta propiedad, la de ser no contradictoria, es lo que la posibilita
como teoría matemática, i. e., es su condición de posibilidad. En el caso específico
de la geometría, esto significa que la teoría ya no tendría como fundamento el
hecho de ser descriptiva de las propiedades del espacio, tal como se le consideró
hasta bien entrado el siglo XIX (al respecto, véase la nota al pie número 3 del
prefacio). En otras palabras, para Hilbert, la consistencia es el fundamento de
las teorías matemáticas en el segundo sentido del término, es decir, lo que las
hace posibles. A esto habremos de volver a lo largo del texto, pues se trata de una
cuestión que tuvo una enorme importancia para él.
3. Finalmente tenemos la idea de fundamento en tanto que explicación del conocimiento matemático, de sus raíces y orígenes. Una de las mejores exposiciones
de este punto de vista lo tenemos en Bertrand Russell, quien en 1901 escribió lo
siguiente:
La matemática pura consiste enteramente de aseveraciones como que
si tal y tal proposición es verdadera de cualquier cosa, entonces tal otra
proposición es verdadera de esa cosa. Es esencial no deliberar si la primera
proposición es en realidad verdadera, ni mencionar qué es eso acerca de lo
cual es verdadera. [...] Si nuestra hipótesis es acerca de nada y no acerca
de uno o más objetos particulares, entonces nuestra deducción constituye
matemáticas. Así, la matemática se puede definir como la materia en la
que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es
verdad. (Russell, 1901, p. 84).
Esta caracterización que intenta Russell de la matemática encierra una “lectura”
modal: los enunciados matemáticos no son acerca de nada en particular; sus
50 Obviamente,
cuestiones.
los personajes aquí nombrados son sólo algunos entre quienes trabajaron en estas
38
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
teorías son simples despliegues lógicos donde lo único que se puede afirmar es
la verdad condicional de sus teoremas (sus proposiciones son necesariamente
verdaderas). Al respecto, las palabras de Russell encierran algo más: la idea de
que la matemática es parte de la lógica, es decir, que está radicada en ella. Este
sería su fundamento en el tercer sentido del término: ser parte de la lógica es
lo que explica al conocimiento matemático; en ella se encuentran sus raíces, su
origen. De esto último nos ocuparemos en extenso en las secciones 3.2 y 3.7.
1.6.
La geometría en los Grundlagen der Geometrie de Hilbert
En 1899, justo antes del cambio de siglo, Hilbert publicó su afamado libro Grundlagen
der Geometrie como distintivo de un nuevo modo de entender las teorías matemáticas.
Se trata de un texto que, al igual que los Elementos de Euclides, estaba destinado a ser
un punto de referencia de la matemática de su tiempo. En esta ocasión se trataba de la
matemática moderna, cuya expansión inició poco más o menos en la primera mitad del
siglo diecinueve con el renacido interés por la geometría proyectiva, el descubrimiento
de las geometrías no euclidianas y el surgimiento del álgebra abstracta (v. gr., la teoría
de grupos y el álgebra de Boole). Dicha expansión continuó con la clarificación de los
conceptos básicos del análisis matemático (v. gr., el de número real el de función), la
aparición de la teoría de conjuntos de Cantor y la renovación de la lógica en la segunda
mitad del siglo.51 Estos avances dieron lugar a la formación de un nuevo punto de vista
en torno a la naturaleza de la matemática, un punto de vista que Hilbert habría de afinar
en los Grundlagen. Al respecto, la literatura relativa a estas cuestiones es sumamente
extensa, requiriendo el estudio de cada una de ellas de muchas horas de estudio.52 Y si
bien la obra de Hilbert no se puede entender plenamente sin tomar en cuenta todo lo
sucedido en ese periodo, aquí no habremos de examinar en detalle tales cuestiones.53
51 Varios
de estos temas son tratados en el siguiente capítulo y en los apéndices.
el prefacio a su libro Worlds Out of Nothing, A Course in the History of Gemetry in the 19th
Century, un texto de 376 páginas, Jeremy Gray dice que “[el libro] no es un intento de escribir una
historia completa de la geometría en el siglo diecinueve, por la sencilla razón de que faltan muchas cosas.
Simplemente, un curso manejable que refleje la coherencia de los desarrollos y capture suficientemente
su importancia debe dejar muchas cosas fuera para valer la pena.” A continuación Gray enumera algunas
cuestiones que deja sin tocar o que aborda de manera incompleta: la presentación de Chasles de la
geometría proyectiva, el trabajo matemático de Monge, la relación entre el trabajo de Chasles y el de
Poncelet, las contribuciones de Steiner a la geometría proyectiva, toda la obra de Grassmann y Von Staudt.
Esto, sólo con relación a la geometría en el siglo diecinueve.
53 En su obra escrita durante el periodo 1891-1899, y sólo con relación a los fundamentos de la
geometría, Hilbert cita, entre otros, a Beltrami, Cremona, Fano, Helmholtz, Hertz, Klein, Lie, Lobachevsky,
Möbius, Pasch, Peano, Riemann, von Staudt y Wiener. Cubrir los trabajos de estos autores, los cuales
tocaron aspectos de la geometría que Hilbert habría de abordar, requeriría de mucho tiempo. Los aspectos
referidos tienen que ver, implícita o explícitamente, con el carácter de los objetos matemáticos, la
naturaleza de la geometría y la pretensión de dar un tratamiento enteramente formal a las pruebas.
Al respecto, en los Grundlagen Hilbert sintetiza muchos de los puntos de vista perfilados en tales
52 En
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
39
Como alternativa, optamos por ir directamente a nuestro punto de interés a través de
dos momentos en la vida intelectual de Hilbert que ponen de manifiesto el punto de
vista que adopta al escribir los Grundlagen.54
1.6.1.
Dos ideas subyacentes a los Grundlagen
Comencemos con un pasaje que, nos parece, señala el inicio del primer formalismo de
Hilbert. Nos referimos a su asistencia a la Reunión Anual de Matemáticos Alemanes en
la Universidad de Hale en 1891, donde acudió a una conferencia dictada por Hermann
Wiener en la que este último abordó diversas cuestiones relativas a las bases de la
geometría que llamaron poderosamente la atención de Hilbert.
1.6.1.1.
La conferencia de Wiener
Wiener dirigió su plática hacia la construcción de la geometría y sus fundamentos. Lo
ahí expuesto y lo sucedido posteriormente nos pueden dar una idea de la manera en
que Hilbert arribó a su creación de 1899.
Comencemos con Wiener. Entre otras cosas, su conferencia trató de la validez general
del método axiomático y de la posibilidad de desarrollar la geometría proyectiva con
base en los teoremas de Desargues y Pascal, los cuales presentaban algunos problemas
en cuanto a su demostración. Lo siguiente resume algunas de las cuestiones planteadas
por él:
Una condición exigible a toda teoría matemática es que la prueba de sus proposiciones sólo se sirva de aquellas hipótesis de las que realmente depende (una
cuestión que ya había sido planteada por Pasch). Tales suposiciones son las relativas a la existencia de ciertos objetos y la posibilidad de ciertas operaciones
[relaciones] mediante las cuales dichos objetos se pueden vincular entre sí.
En caso de lograrse lo anterior, se tendrá un dominio autosustentable de la ciencia.55
investigaciones, y niega o pasa por alto muchos otros.
54 Nuestro plan es ir directamente a algunas ideas centrales del pensamiento de Hilbert relatando dos
importantes momentos en su desarrollo intelectual. En ello concordamos con Paco Ignacio Taibo II, quien
en una entrevista televisada sostuviera que muchas veces la clave para comprender a un personaje está
en las anécdotas, y que esto constituye una legítima técnica de investigación y exposición cuando se le
maneja correctamente. De hecho, Taibo II se ciñe a este esquema de organización en su libro Pancho
Villa, una biografía narrativa sin renunciar por ello al rigor o a la profundidad en la investigación. La
única diferencia es que aquí no se trata de comprender a Hilbert, sino de entender su obra.
55 Aquí por autosustentable debemos entender que no depende de otras suposiciones (v. gr., de nociones
ajenas al tema como, por ejemplo, la noción de congruencia en el caso de la geometría proyectiva) ni
de lo que sucede en otros dominios (v. gr., de lo que sucede en un espacio con un número mayor de
dimensiones o en el álgebra).
40
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
La geometría proyectiva plana podría ofrecer un ejemplo de dominio autosustentable.
Los objetos básicos son los puntos y las líneas, y las operaciones básicas las
de unir [con una línea] y cortar [intersecar dos líneas]. Si se quita el ropaje
geométrico, lo que resulta son dos clases de elementos y dos tipos de operaciones.
Estas operaciones son de tal naturaleza que al efectuarlas con objetos de una
misma clase se produce un elemento de la otra [(punto-punto) → (línea por ellos),
(línea-línea) → (punto de intersección)]. Las proposiciones geométricas obtenidas
bajo tales suposiciones (además de las proposiciones combinatorias relativas al
número de elementos) forman un sistema cerrado de enunciados.
En la actualidad [1891] hay casos de proposiciones geométricas que no se pueden
obtener de esa manera, es decir, el dominio de la geometría no es, en su totalidad,
autosustentable. Tal es el caso, por ejemplo, del teorema de Desargues, cuya
validez se infiere por proyección del espacio tridimensional o mediante nociones
métricas. La importancia de este teorema radica en que permite demostrar el
teorema fundamental de la geometría proyectiva plana y todas las proposiciones
derivadas usualmente mediante la adición geométrica de vectores y puntos.56
Muchos de estos problemas, los cuales atañen más que nada a la lógica, a la pureza
del método y a la posibilidad de edificar la geometría como una ciencia autónoma
y abstracta, fueron acometidos por Hilbert en los siguientes años, sobre todo en los
Grundlagen.57 Por ejemplo, en sus Lecciones sobre geometría euclidiana (1898-1899)
56 La importancia del teorema de Desargues también se manifiesta en el hecho de que con base en él es
posible derivar la geometría proyectiva pura en el sentido de von Staudt, i. e., como una geometría que no
utiliza la métrica en el sentido ordinario (Toepell, 1986).
57 Muchos de los problemas mencionados por Wiener son de interés para Hilbert en virtud del nuevo
significado que le quiere dar a la expresión “fundamentar una teoría matemática”, el cual se aleja de otras
ideas precedentes. Al respecto, como ya lo hemos dicho en la sección 1.5.1, hay al menos tres significados
claramente diferentes para esta expresión:
1. Por una parte tenemos la cuestión de los fundamentos de las distintas teorías matemáticas, es decir,
de los conceptos y principios en los que cada una de ellas se apoya. Esta idea la podemos hallar, por
ejemplo, en la labor de Weierstrass en torno a las bases del análisis matemático y, modernamente,
en muchos lugares como, por ejemplo, en la presentación axiomática de la teoría de anillos, campos,
etc. o de la geometría proyectiva.
2. Tenemos también el problema de los fundamentos de la ciencia matemática como tal, es decir, de
las condiciones que la hacen posible.
En gran medida este es el sentido fuerte que le imprime Hilbert en los Grundlagen, sobre todo
cuando aborda la cuestión de la consistencia de los axiomas. Aquí, lo que sirve como fundamento
es el hecho de formar un todo coherente, siendo esta condición lo que da sustento a la teoría, no
el hecho de que sea o pueda ser descriptiva de algún tipo de realidad o de un sistema de objetos
determinado.
3. Por último tenemos un significado muy general del término, según el cual el fundamento de la
matemática sería la explicación del conocimiento matemático, es decir, de sus raíces y orígenes.
Con relación a este último punto, Hilbert soslaya esta cuestión en los Grundlagen, si bien más tarde
la abordará con relación a la aritmética, tal como lo veremos en el capítulo 4, sobre todo en las
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
41
Hilbert se ocupa de cuestiones tales como la imposibilidad de demostrar bajo ciertas
condiciones el teorema de Desargues en el plano, el significado lógico de los axiomas,
la construcción de modelos aritméticos, pruebas de independencia para los axiomas
de incidencia y orden y la elaboración de una aritmética de segmentos con base en el
teorema de Desargues.
Volviendo a la disertación de Wiener, sabemos, por un comentario de Otto Blumenthal,
del impacto que ésta tuvo en Hilbert.58 Según esto, al comentar la plática con otros
matemáticos en la estación de Berlín, Hilbert habría dicho: “Uno siempre debe poder
decir mesa, silla y tarro de cerveza en vez de punto, línea y plano”.59 Esta frase
se considera como distintiva del punto de vista sobre el que se sustenta el libro de
los Grundlagen: la parte intuitiva de los conceptos geométricos es irrelevante en la
reconstrucción axiomática de la teoría. En apoyo a lo dicho por Blumenthal tenemos
una nota escrita por Hilbert alrededor de 1893 en la que habla de “las matemáticas
sobre sistemas de mesas, pizarrones, etc. (Tisch, Tafel, etc.)”.60 Asimismo, en una
carta dirigida a Frege en 1899 (que este último resumiera en un cuaderno de notas),
Hilbert se expresa con términos muy parecidos al señalar que la naturaleza íntima de
los elementos básicos es irrelevante, pues la teoría no es otra cosa que un armazón de
conceptos:
[. . . ] es obvio que toda teoría es tan sólo un andamiaje o esquema de
conceptos junto con las relaciones necesarias entre ellos, y que los elementos básicos se pueden pensar como uno quiera. Si al hablar de mis
puntos pienso en algún sistema de objetos, v. gr., el sistema: amor, ley,
deshollinador, [...] y tomo mis axiomas como relaciones entre estas cosas,
entonces mis proposiciones, v. gr., el teorema de Pitágoras, son válidas
también para estas cosas. En otras palabras: cualquier teoría se puede aplicar a una infinidad de sistemas básicos de elementos. Lo único necesario
es aplicar una transformación reversible [. . . ] y establecer que los axiomas serán correspondientemente los mismos para las cosas transformadas.
Esta circunstancia se utiliza, por ejemplo, en el principio de dualidad, etc. y
yo me he servido de ella en mis pruebas de independencia. [. . . ] Pero la
circunstancia que he mencionado no puede ser un defecto de las teorías
(representa más bien una enorme ventaja), y es en todo caso inevitable.
(Tomado de Frege, 1980, pp. 40-41. El subrayado es nuestro).
Podemos decir entonces que el año de 1891 señala el momento en que Hilbert emprende
secciones 4.2 y 4.3. Obviamente, estas cuestiones pueden presentarse entremezcladas, tal como lo
hacen las dos primeras en los Grundlagen. Para mayor información véase (Torres, 2003).
58 Otto
Blumenthal fue el primer estudiante de doctorado de Hilbert.
muß jederzeit an Stelle von ’Punkte, Geraden, Ebenen’ ’Tische, Stühle, Bierseidel’ sagen
können”. El lugar donde Blumenthal narra lo anterior es en su “Lebensgeschichte” [Historia de la vida
(de Hilbert)] reproducido en (Hilbert, 1935, pp. 388-429).
60 Hayashi, 2007, sección 2.1.7.
59 “Man
42
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
la defensa de una nueva visión de las teorías matemáticas, la cual yace como sustrato
del texto de 1899: la de que toda teoría matemática es, en su forma pura (axiomática),
un mero “andamiaje de conceptos”, el cual se sustenta (fundamenta) en su coherencia
interna.
Sin lugar a dudas, un factor que reforzó las ideas de Hilbert en esta dirección fue la
consideración del principio de dualidad de la geometría proyectiva, cuya mención
hemos subrayado en la cita anterior.
1.6.1.2. El principio de dualidad en la geometría proyectiva
En la matemática actual el término “dualidad” tiene varios significados, los cuales se
relacionan entre sí por una sola idea: la de una conversión de conceptos, teoremas
y estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras mediante una
transformación específica. El caso más conocido (y el primero en la historia) es el
llamado Principio de dualidad de la geometría proyectiva: Dado cualquier teorema de
la geometría proyectiva plana, al intercambiar en él los términos “punto” y “línea”
(intercambiando, de ser necesario, las frases “estar en” y “pasar por”), lo que resulta
es otro teorema igualmente válido.
Veamos a través de un ejemplo cómo trabaja la dualidad, para después ver de qué manera su surgimiento afectó la visión clásica de las teorías geométricas. Consideremos
el teorema de Pappus, un importante resultado de la geometría proyectiva.
Teorema del hexágono de Pappus
Si los puntos A, B y C están en una recta, y los puntos A’, B’ y C’ están en otra
recta, entonces los puntos de intersección P = AB ∩ A B, Q = BC ∩ B C y R = CA ∩
C A están alineados. (En otras palabras: Si los vértices de un hexágono se hallan
alternados en dos rectas, entonces los puntos de intersección de los lados opuestos
están alineados).
Figura 1.1. Ilustración del teorema de Pappus en el plano euclidiano
El dual del teorema de Pappus es el siguiente:
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
43
Si las rectas a, b y c concurren en un punto, y las rectas a , b y c concurren en
otro punto, entonces las líneas p, q y r definidas por las parejas de intersecciones
(a ∩ b , a ∩ b), (b ∩ c , b ∩ c) y (c ∩ a , c ∩ a) son concurrentes.61
Figura 1.2. Ilustración del teorema dual de Pappus
Aquí la dualidad se presenta con un par de teoremas, cada uno de los cuales se puede
obtener del otro mediante un esquema simple y uniforme de substitución de términos:
Punto ↔ Línea, Puntos alineados ↔ Líneas concurrentes, Punto de intersección de
líneas ↔ Línea por los puntos.
El valor de la dualidad es que con ella disponemos de un procedimiento que duplica
nuestra capacidad para demostrar teoremas, pues nos ofrece dos resultados por el costo
de uno, una ganancia del cien por ciento.62 Esta cuestión, sumamente valorada por
Hilbert, sería motivo de un amplio comentario a no ser porque nuestro interés es otro
por el momento: dilucidar la lectura que hiciera Hilbert del principio de dualidad. Para
ello, conviene contrastar su punto de vista con el de Pasch.
61 Obviamente, la noción dual de “puntos en una recta” es la noción de “líneas concurrentes”. Es
importante notar que cada enunciado geométrico tiene la misma forma lógica que su dual. Cabe señalar
que la utilización de algunas nociones tomadas de la teoría de conjuntos es prescindible, debiéndose su
presencia a la simple idea de facilitar la exposición.
62 Otra famosa pareja de teoremas duales es la formada por el teorema del hexágono de Pascal y el
teorema de Brianchón: Teorema del hexágono de Pascal (1640).- Si los vértices de un hexágono se hallan
sobre una cónica, entonces los puntos de intersección de los lados opuestos están alineados. Teorema
de Brianchón (1806).- Si los vértices de un hexágono se hallan sobre una cónica, entonces las líneas
que pasan por los vértices opuestos son concurrentes. Un caso de teorema auto dual es el de Desargues
(1636): Dos triángulos están en perspectiva desde un punto, si y sólo si están en perspectiva desde una
línea.
44
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Moritz Pasch fue un matemático que trabajó laboriosamente en los fundamentos de la
geometría proyectiva durante el siglo XIX; en particular, fue uno de los primeros en
ofrecer una presentación axiomática de esta teoría en la que el principio de dualidad se
halla presente. Al respecto, Pasch no sólo vio en este principio una herramienta de gran
utilidad, sino algo contrario a nuestra comprensión intuitiva de las nociones de punto y
línea, pues no consideraba creíble que estos términos se pudieran intercambiar.63 Esta
simple observación muestra que para él, como para otros geómetras del siglo XIX, los
términos geométricos aún conservaban cierto lastre ontológico.
Por contraste, hay una segunda lectura del principio de dualidad que toca la esencia
del primer formalismo de Hilbert: no sólo se trata de algo contrapuesto a nuestras
ideas acerca de lo que son los puntos y las líneas, sino de una señal. En efecto, la
posibilidad de intercambiar los términos “punto” y “línea” se debe a que para efectos de
la teoría estas nociones son simétricas. Por tanto, podemos permutar su interpretación
sin caer en incorrecciones, es decir, sin que los enunciados de la teoría dejen de ser
una descripción objetiva de ciertos hechos geométricos.
Aclaremos lo anterior. Si proporcionáramos los axiomas de la geometría proyectiva
a dos individuos que ignoraran el significado intuitivo que les damos a las palabras
“punto” y “línea”, y les pidiéramos que ilustraran el teorema de Pappus con un diagrama,
bien podría suceder que el primero de ellos diera como respuesta la Figura 1.1 y el
segundo la Figura 1.2 anteriores: uno llamaría punto a lo que el otro denomina recta, y
viceversa. Simplemente, cada uno de ellos habría escogido una interpretación diferente
para estos términos, ambas aceptables.64
Esta posibilidad amplió considerablemente el horizonte: los teoremas geométricos
se podían interpretar de manera distinta a como en un principio se tenía en mente.
Por tanto, no encajaba concebir la teoría como representación unívoca de un sistema
de objetos; más bien, ésta asomaba como una red de relaciones entre términos cuyo
significado podía variar.65 En otras palabras (y dicho en tiempo presente): la teoría
lo único que logra es delimitar a los objetos que le dan origen en tanto que partes de
un sistema (o estructura), reflejando sus propiedades y mutuas relaciones, pero nada
relativo a su “naturaleza íntima” (como, por ejemplo, el “ya no tener partes” de los
puntos).
Hilbert tenía en claro todo lo anterior al momento de escribir los Grundlagen. Como
testimonio tenemos el fragmento que hemos subrayado en la sección anterior de la
63 Véase al respecto la nota biográfica sobre Moritz Pasch de J. J. O’Connor y E. F. Robertson que
aparece en http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pasch.html
64 Esto no fue lo que hicimos al trazar las Figuras 1.1 y 1.2. En ambos casos las palabras “punto” y
“línea” las utilizamos de la misma manera. Lo diferente eran las proposiciones ilustradas (la primera era
el teorema de Pappus, la segunda el teorema dual de Pappus). No obstante, la dualidad se puede entender
también como la posibilidad de intercambiar directamente la interpretación de esto términos sin desvirtuar
con ello la validez de los teoremas. Por tanto, la Figura 1.2 es también una ilustración del teorema de
Pappus si aceptamos llamar “línea” a lo que antes llamábamos “punto”, y viceversa.
65 Esta manera de entender los enunciados teóricos es el sostén de la teoría de modelos.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
45
carta que dirigiera a Frege en 1899. La mención que hace ahí de la dualidad muestra
que al escribir el libro ya tenía en mente la lectura recién expuesta de dicho principio.
Podemos decir entonces que la geometría proyectiva jugó un doble papel en la génesis
del formalismo de Hilbert. Primero, le sugirió que en un sistema axiomático los
términos matemáticos no actúan semánticamente como constantes, sino como variables,
es decir, como expresiones cuyo significado puede cambiar. Segundo, le sugirió que
ninguna teoría matemática tiene una única lectura como referida a un dominio particular
de objetos; más bien, las teorías son sólo formas o moldes diseñados para alojar una
gran variedad de materias a tratar. Las siguientes son algunas expresiones que se han
utilizado para referirse a esta situación: “recipientes vacíos” (Pasch) “teorías hipotéticodeductivas desligadas de toda interpretación concreta posible” (Weyl), “sistemas de
objetos no interpretados” (Curry).
1.6.2.
La geometría en los Grundlagen
Podemos decir que en los Grundlagen, el método axiomático encuentra su expresión
moderna y toma la forma con que se le conoce hoy en día. Se trata, quizá, de la mejor
presentación del nuevo enfoque axiomático y una destacada exposición de las bases
de la geometría en general y de la geometría euclidiana en particular. En su momento
dicho método sirvió como ninguna otra cosa para promover este nuevo punto de vista
y establecer un modo distinto de presentar las teorías matemáticas. El impulso que
dio a las investigaciones en torno a los fundamentos de las matemáticas no se puede
subestimar, pudiéndose considerar que el programa de Hilbert, que más adelante
veremos, fue una secuela del mismo.
El texto fue el resultado de un curso consagrado al análisis axiomático de la geometría
que Hilbert impartió en la Universidad de Göttingen en 1898-1899. Hermann Weyl se
refiere a esta obra con las siguientes palabras:
La tierra estaba preparada, principalmente por la escuela italiana de geómetras. Aun así, pareció como si en el horizonte, donde un puñado de hombres
con un fino sentido de la orientación se había abierto camino en el crepúsculo, hubiese aparecido de súbito el Sol. Con toda claridad y firmeza
vemos establecerse el concepto axiomático, según el cual toda la geometría
es un sistema hipotético-deductivo: depende de las definiciones implícitas
de los conceptos de los objetos espaciales y de relaciones que contienen los
axiomas, no de la descripción de su contenido intuitivo. En él se levanta
un sistema de axiomas geométricos completo y natural. Se les exige que
satisfagan los requisitos lógicos de consistencia, independencia y completud,
y por medio de unas cuantas geometrías muy peculiares, construidas ad hoc,
la prueba de independencia se logra en detalle.66
66 Weyl,
1944, p. 500
46
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Hilbert fija las bases de la teoría axiomática sin la ayuda de ningún simbolismo especial
y en un lenguaje no más técnico que el de Euclides. Algo novedoso en el tratamiento
de la geometría es que parte de la obra está dedicada a investigar cuestiones que hoy
en día se denominan metamatemáticas, en las que el objeto de estudio es la teoría
geométrica, es decir, sus teoremas y axiomas. De estas investigaciones la primordial
es la destinada a establecer la consistencia de los axiomas, en tanto que las otras se
centran en la dependencia e independencia lógica entre proposiciones –por ejemplo,
qué teoremas se deducen de qué axiomas.67
Figura 1.3. Esquema de la actividad metamatemática
En cuanto al lenguaje, Hilbert podría haber escrito las proposiciones geométricas en la
notación simbólica desarrollada por Peano y su escuela, pero no lo quiso hacer. Por
ejemplo, en vez del enunciado “los puntos A y B están en la recta a” pudo escribir
simplemente φ (A, B, a), de modo que la expresión misma no evocara ningún tipo
de relación predeterminada. Una fórmula como φ (A, B, a) representaría una relación
cualquiera entre objetos indeterminados de los que nada sabríamos más allá de lo
dicho en los axiomas. No obstante, Hilbert prefirió no recurrir a un simbolismo de esta
naturaleza por razones de conveniencia que más adelante veremos.
1.6.3.
Los axiomas
Hilbert inicia la exposición axiomática de la geometría con las siguientes palabras:
Aclaración. Pensemos en tres clases diferentes de objetos. Llamemos a los
objetos del primer sistema puntos y designémoslos con A, B,C, . . .; llamemos
a los objetos del segundo sistema rectas y designémoslas con a, b, c, . . .; a
67 La metamatemática estudia las propiedades de los sistemas deductivos (v. gr., su consistencia). Como
tal, se trata de una investigación que se desarrolla en un segundo nivel, donde el énfasis se pone en la
manera en que los axiomas se relacionan entre sí. Esto se aclara señalando que en el caso de la geometría,
el interés ya no se centra en los puntos, las líneas, los triángulos, etc., sino en los enunciados con los que
nos referimos a ellos (un segundo nivel de abstracción).
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
47
los del tercer sistema llamémoslos planos y designémoslos con α, β , γ, . . ..
Los puntos se llaman también elementos de la geometría lineal, puntos y
rectas se llaman elementos de la geometría plana; y puntos, rectas y planos
se llaman elementos de la geometría espacial o del espacio.
Supongamos que puntos, rectas y planos están en ciertas relaciones mutuas
que designaremos con las palabras “estar en”, “entre”, “paralelo”, “congruente” y “continuo”, cuya exacta y completa descripción se logrará por medio
de los axiomas de la geometría.68
Nótese que aquí Hilbert no intenta, a diferencia de Euclides, clarificar las nociones de
“punto”, “línea” y “plano” mediante definiciones explícitas. En cuanto a los axiomas
éstos se distribuyen en cinco grupos, cada uno de los cuales expresa, en palabras de
Hilbert, “ciertos hechos, conexos entre sí y fundamentales, de nuestra intuición.”69 Los
grupos son: Grupo I, axiomas de incidencia; grupo II, axiomas de orden; grupo III,
axioma de paralelismo, (axioma de Euclides), grupo IV, axiomas de congruencia, y
grupo V, axiomas de continuidad. Dada la extensión del conjunto de axiomas, la lista
completa se presenta (con ligeras modificaciones respecto de la edición de 1899) en el
apéndice C.
La indefinición de los términos primitivos tiene como propósito, entre otras cosas, evitar
recurrir a cualquier significado que éstos pudieran tener durante el desarrollo interno de
la teoría (a diferencia de lo que hace Euclides en los Elementos). Esta postura concuerda
con la observación hecha por Pasch en su libro Vorlesungen über neuere Geometrie
(Lecciones sobre la nueva geometría) de 1882, donde afirma que los axiomas, bajo
la nueva perspectiva, no son “verdades auto evidentes”, sino aseveraciones acerca de
términos indefinidos y que tales aseveraciones son las únicas que se pueden utilizar en
el desarrollo de la geometría. Esta novedosa actitud frente a los axiomas la expresa
Hilbert en una carta dirigida a Frege en 1899 con las siguientes palabras:
Yo no quiero asumir nada como conocido por anticipado; considero mi
explicación de la sección 1 [de los Fundamentos] como una definición de
los conceptos punto, línea, plano —si uno añade nuevamente todos los
axiomas de los grupos I al V como marcas características. Si se buscan otras
definiciones de ‘punto’, v. gr., mediante paráfrasis en términos de inextensión,
etc., entonces me debo oponer a tales intentos en forma decisiva; uno busca
algo que nunca encontrará porque no hay nada allí. (Tomado de Frege 1980,
p. 39).
La idea subyacente es que los axiomas definen implícitamente a los términos primitivos
y sus relaciones. Si alguien preguntara ¿qué son los puntos, las líneas y los planos?
68 Hilbert
69 Hilbert
1902, p. 1.
1902, p. 1.
48
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
La respuesta de Hilbert sería “cualesquiera objetos que, como parte de un sistema
de relaciones, satisfagan estos axiomas”, a la vez que señalaría hacia la lista de los
mismos.70
Esta idea de no atribuir internamente ningún significado a los términos primitivos no
fue del agrado de todos. Por ejemplo, Frege le reprocha a Hilbert que con base en los
postulados que encabezan los Grundlagen no puede saber si su reloj de bolsillo es un
punto, pues en ningún sitio se da una definición explícita de este concepto.71 Hilbert
no responde directamente a esta cuestión, aunque la respuesta es la ya indicada: el reloj
de bolsillo del señor Frege será un punto en caso de que forme parte de un sistema de
objetos que satisfaga lo dicho en los axiomas.
Históricamente, este nuevo modo de entender las teorías axiomáticas sentó las bases
para el desarrollo de la teoría de modelos e impulsó una nueva manera de pensar las
teorías matemáticas. Conforme a este punto de vista, antes que del estudio de un orden
particular de objetos, las teorías matemáticas se ocupan de estructuras generales. Esta
nueva tendencia derivaría posteriormente en lo que hoy se conoce como estructuralismo
matemático.72
En cuanto al alcance de los axiomas, estos suministran una base para toda la geometría
elemental del plano y del espacio. Con base en ellos es posible demostrar todos los
teoremas de los Elementos sin necesidad de realizar construcciones o introducir diagramas, los cuales si acaso actúan como simples recursos auxiliares en el razonamiento.
Dicho lo anterior debemos insistir en que el propósito de Hilbert no se limitó a ofrecer
un cuadro axiomático completo para la geometría elemental y sólo eso. Más bien,
la elaboración de los Grundlagen la llevó a cabo teniendo en mente al menos los
siguientes objetivos:
70 Obviamente, Hilbert pasa por alto la exigencia de Kant de que los axiomas sean proposiciones
prácticas que contengan la síntesis a través de la cual nos damos un objeto y producimos su concepto.
Comparemos, por ejemplo, el axioma 1 del grupo I de Hilbert con el primer postulado de Euclides:
Axioma I.1. Dos puntos distintos A y B siempre determinan por completo una línea recta a.
Escribimos AB = a o BA = a.
Este axioma no trata ni con construcciones ni con esquemas de ninguna clase; no dice, como el de
Euclides, “Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera”. Más bien, establece
una relación de determinación entre ciertos objetos (la de una “recta” que depende de dos “puntos”) los
cuales, por lo demás, permanecen indefinidos.
71 Frege, 80, pp. 31-51. La cita textual es: “Dadas sus definiciones [implícitas], no sé cómo decidir la
cuestión de si mi reloj de bolsillo es un punto.”
72 En la filosofía contemporánea de las matemáticas, una importante corriente es la del estructuralismo,
según el cual las matemáticas constituyen una ciencia que investiga las estructuras generales, es decir,
sistemas de relaciones entre objetos que, por otra parte, pueden quedar sin especificar. Es más, el
estructuralismo no suele poner restricciones a las cosas que pudieran ejemplifica a tales estructuras, pero
tampoco le encuentra sentido considerar por separado a los objetos de una estructura o sistema, pues estos
no tienen propiedades internas o constitución propia. Lo único que importa es cómo se relacionan entre sí.
En los hechos, el álgebra moderna adopta esta postura, cuyo espíritu la anima en todo momento.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
49
1. investigar innumerables sistemas de geometría (junto con sus modelos) mediante
la variación de los axiomas (v. gr., sustituyéndolos por sus negaciones);73
2. construir una aritmética de segmentos sobre la base de los teoremas de Pascal
y Desargues sin recurrir a las nociones de congruencia y continuidad. A esto
corresponde la exigencia de introducir internamente coordenadas en distintos
espacios geométricos (proyectivos, afines, etc.) sin la ayuda de nociones métricas;
3. explorar la relación entre los teoremas de Desargues y Pascal y los axiomas
relativos a la incidencia y la congruencia, e investigar el papel de estos teoremas
en la “algebrización” de la geometría, incluyendo la introducción de coordenadas
y la construcción de modelos algebraicos;
4. explorar el alcance semántico de los axiomas mediante la “construcción” de
modelos (principalmente aritméticos) y abordar en este contexto la cuestión de la
independencia de los axiomas (al respecto, pronto veremos un ejemplo: el de un
sistema no arquimedeano);
5. examinar el lugar y la importancia de los axiomas de continuidad en la geometría.
Esta lista está lejos de incluir todas las razones que llevaron a Hilbert a investigar los
fundamentos de la geometría. No obstante, las cuestiones recién enumeradas explican
en gran parte la manera en que agrupa los axiomas. Por ejemplo, el interés por investigar
los teoremas de Desargues y Pascal explica la introducción de tres de los grupos, los
relativos al orden, la incidencia y la congruencia, pues en su momento no era claro
por qué las pruebas conocidas de estos resultados se apoyaban en teoremas métricos
como, por ejemplo, el de Menelao, o en suposiciones como la de que el plano está
inmerso en un espacio tridimensional. Por principio, la geometría proyectiva sólo
se debería ocupar de cuestiones relacionadas con la incidencia y el orden, pero no
con la congruencia. Como veremos, esta cuestión, la relativa a la pureza del método,
constituyó un importante tema con relación a la geometría proyectiva en la segunda
mitad del siglo XIX.
Volviendo al marco conceptual de los Grundlagen, en él la teoría se piensa como una
trama de conceptos cuyas relaciones se han de desplegar mediante la sola lógica. Es
aquí donde Hilbert pone en movimiento la idea de que los axiomas no son sino moldes
vacíos que se pueden llenar con distintos contenidos, es decir, que se pueden “leer” de
distintas maneras asociando a los términos primitivos otros objetos que los habituales,
y a cada relación lógica entre tales términos una colección de “hechos” entre tales
objetos.
La teoría de modelos tiene como base este nuevo modo de concebir la teoría, pues
se apoya en la idea de interpretar sus enunciados en distintos dominios. Asimismo,
73 En este contexto la geometría proyectiva plana se puede generar a partir de los axiomas I.1, I.2, la
negación del axioma III de las paralelas (en la modalidad expresada precisamente por el axioma A2) y
una pequeña modificación del axioma I.7, en la que se pide que en cada línea haya al menos tres puntos.
50
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
nada hay que impida omitir algunos axiomas o sustituirlos por su negación, abriéndose
así la posibilidad de desarrollar innumerables alternativas: geometrías no euclidianas,
geometrías no arquimedeanas, espacios proyectivos, espacios afines, etc. Permite
también reconstruir la teoría de proporciones y de áreas planas de Euclides con un
ojo puesto en los principios y las nociones utilizadas, y aclarar los vínculos entre la
geometría y el álgebra (v. gr., cómo construir un cálculo de segmentos con estructura
de campo; cómo introducir coordenadas en la geometría sintética; cómo construir
un espacio geométrico a partir de una estructura algebraica). Tales objetivos fueron
decisivos al momento de elegir las nociones y los axiomas sobre los que se basa la
obra.
A manera de ejemplo, en la siguiente sección presentamos una cuestión tomada de los
Grundlagen. Se trata de la “construcción” de una geometría no arquimedeana mediante
la cual se prueba la independencia del axioma de continuidad.
1.6.4.
Independencia del axioma de continuidad
Consideremos dos conjuntos denotados con Ω y Ω(t), respectivamente.
El primero de ellos consta de todos los números que se pueden obtener a partir de
la unidad aplicando un número finito
√ de veces las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y la operación 1 + ω 2 donde ω representa un número obtenido
previamente con estas reglas.
El segundo de ellos consta de todas las funciones algebraicas en la variable t que
se pueden obtener a partir de t mediante√las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y la operación 1 + ω 2 , donde ω es cualquier función previamente generada con estas reglas. Se trata de un conjunto numerable en el que no
hay la posibilidad de números imaginarios, pues en todas las aplicaciones de la quinta
regla el valor otorgado al radicando 1 + ω 2 es positivo. Por tanto, en este dominio sólo
“habitan” funciones reales univaluadas de t. Nótese que Ω ⊂ Ω(t).
Sea c una función de Ω(t). Dado que c es una función algebraica, no se puede anular
más que en un número finito de valores de t, de tal modo que para valores positivos
suficientemente grandes de este parámetro se mantendrá siempre positiva o siempre
negativa.
Pensemos ahora en estas funciones como una clase especial de números. Obviamente,
en este dominio se cumplen todas las reglas ordinarias de operación. Si a y b son dos
números distintos de este sistema, decimos que a es mayor (menor) que b cuando la
diferencia a − b es siempre positiva (negativa) para valores muy grandes de t. Esto
permite ordenar los elementos de Ω(t) conforme a su magnitud en forma similar
a como se ordenan los números reales. Es más, en este sistema la desigualdad no
se destruye al sumar números iguales a ambos miembros, siempre que los números
sumados sean positivos.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
51
Si n es un número natural positivo, la desigualdad n < t siempre se cumple en Ω(t),
pues t − n (como función de t) es invariablemente positiva para valores suficientemente
grandes de t. Esto lo podemos expresar así: los números 1 y t (ambos mayores que
cero) tienen la propiedad de que cualquier múltiplo del primero siempre es menor que
el segundo. Esta es la raíz del no cumplimento de la propiedad arquimedeana en el
siguiente espacio G que definimos con base en Ω(t).
Puntos. Los puntos de G son todas las ternas (x, y, z) de elementos de Ω(t).
Planos. Los planos de G son todas las razones (u : v : w : r) donde u, v, w y r pertenecen
a Ω y u, v, w no son todos cero.
Incidencia. Un punto (x, y, z) incide en un plano (u : v : w : r) si y sólo si satisface la
ecuación ux + vy + wz + r = 0.
Líneas. Una línea es cualquier conjunto de puntos que inciden simultáneamente con
dos planos dados.
Por ejemplo, las razones [1 : 2 : 3 : 2] y [3 : 2 : −1 : 1] determinan dos planos π1 y π2
con ecuación x + 2y + 3z + 2 = 0 y 3x + 2y − z + 1 =√0, respectivamente. Eliminando
la variable y entre ambas ecuaciones y tomando x = 1 + t 2 obtenemos la solución
√
√
2 + 5 2 1 + t2 − 1
1
+
t
10
( 1 + t 2, −
,
)
8
4
Tenemos, por tanto, un punto perteneciente a la recta determinada por ambos planos.
Nótese que este “punto” consiste en una terna ordenada de funciones racionales en la
variable t. Para cada valor de esta variable lo que resulta es una terna de números que
satisface un sistema de dos ecuaciones en el sentido ordinario.√V. gr., si t = 0 lo que
resulta es la terna de números (1, −15/8, 1/4), y cuando t = 8 la terna correspondiente es (3, −35/4, 5/4). Nótese que la representación usual de estas ecuaciones en
R3 sólo es posible para cada valor específico de t, pero no en general. No debemos
perder de vista que los objetos referidos en las ecuaciones a través de las coordenadas
son puntos del espacio G, y no los puntos de R3 sugeridos por esta clase de ecuaciones
en la geometría analítica. Es más, por el momento no contamos con una representación
visual del espacio G; lo único que tenemos son los conceptos que lo definen.
Al respecto, es posible definir el segmento entre dos puntos dados, el ángulo entre dos
segmentos y la relación “x está entre y y z” para cualesquiera tres puntos sobre una
línea dada de modo que el sistema resultante satisfaga los axiomas de los grupos I-IV,
pero no el axioma V de Arquímedes. La idea de cómo definir la relación “estar entre”
resulta de una analogía con la geometría analítica tridimensional.
En efecto, si pensamos las ecuaciones ax + by + cz = 0 y a x + b y + c z = 0 en el
sentido tradicional (tomando d = d = 0 por el momento), entonces el vector w =
v × v (producto cruz), donde v = (a, b, c) y v = (a , b , c ), es paralelo a los planos
representados por las ecuaciones y, por ende, a la recta l determinada por ellos. Podemos
w,
por tanto describir paramétricamente a los puntos de la recta l en la forma P = kw
52
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
donde k ∈ Ω(t) (nótese que el vector w no depende del valor que demos a la variable t
o al parámetro k, pues es una función de los coeficientes a, b, c, a , b , c ). Con base en
esta idea podemos ordenar los puntos de l conforme al orden de los correspondientes
parámetros. V. gr., si P1 = k1 w , P2 = k2 w , P3 = k3 w y k1 < k2 < k3 , entonces P2 está
entre P1 y P3 (de hecho, con base en esta idea se puede definir la noción de segmento
sobre la recta l).
Consideremos ahora los planos determinados por las razones [1, −1, 0, 0] y [0, 1, −1, 0].
La correspondiente línea l contiene a todos los puntos del conjunto Φ = {(a, a, a)|a ∈
Z} así como al punto T = (t,t,t). Al respecto, T no está entre ningún par de elementos
de Φ, como se desprende de lo dicho en el párrafo anterior y al inicio de este apartado.
En otras palabras, para ningún par de enteros m y n se tiene que T está entre (m, m, m)
y (n, n, n). Para cada n, denotemos con An al punto (n, n, n) de l. En la serie de puntos
A0 , A1 , A2 , . . . , An , . . . no hay un punto B con la propiedad de que T está entre A0 y B.
Por lo tanto, el axioma V.1 (axioma de Arquímedes) no se cumple en G, con lo cual
concluye la demostración de su independencia con relación a los demás axiomas. Obsérvese que el espacio G nos enfrenta con la imposibilidad de visualizar los objetos
geométricos considerados, los cuales sólo los podemos pensar y manipular mediante
la aritmética y el álgebra. No obstante, esta limitante no es un impedimento para que
por deducción podamos conocer de ellos. Este es el sentido de la axiomática moderna,
la cual cuenta con el respaldo de la teoría de la cuantificación.74 En la concepción de
Hilbert el vínculo entre las teorías formales y las estructuras matemáticas trabaja en dos
sentidos: por una parte, de las estructuras (i) sacamos los problemas (los teoremas) que
buscamos resolver (probar) con la teoría, y (ii) extraemos los conceptos que buscamos
formalizar; por la otra, con los modelos exploramos los alcances semánticos de la
teoría y, por ende, los vínculos lógicos entre los conceptos que la conforman.
En la siguiente sección, más bien extensa, abordamos un problema planteado por
Wiener en su conferencia de 1891 y la manera en que Hilbert lo resuelve. Esto es
relevante para nosotros, pues ilustra nuestra afirmación de que Hilbert organiza la
teoría tomando en cuenta ciertos problemas lógicos y matemáticos que quiere resolver.
1.6.5.
El teorema de Desargues y su lugar en la geometría
Sin lugar a dudas, entre los problemas que Hilbert tuvo en mente al organizar los
Grundlagen se hallaban los relativos al teorema de Desargues, el cual había mostrado
ser una pieza fundamental en la geometría afín y proyectiva, y un elemento cuya
inserción lógica en las mismas constituía un problema. Aclarar el lugar de este teorema
en dicho contexto era una necesidad ya expresada por Wiener en 1891.
74 De hecho, la teoría de modelos actual tiene como principal soporte la concepción semántica de la
verdad de Tarski para los lenguajes formales, la cual fue formulada ex profeso para las fórmulas de la
lógica de primer orden.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
1.6.5.1.
53
El teorema de Desargues
El teorema de Desargues es un resultado perteneciente originalmente a la geometría
proyectiva. Dice lo siguiente:
Dos triángulos están en perspectiva desde un punto si y sólo si están en
perspectiva desde una línea recta.75
Asociado a él se halla una notable figura en la que los vértices ABC de un triángulo se
proyectan en los vértices A B C de otro triángulo por medio de rectas originadas en un
punto O (perspectiva central).
Figura 1.4
En la figura, los lados de los triángulos se prolongan hasta intersecarse. Un hecho
sorprendente es que los puntos de intersección P, Q, R de los lados correspondientes
están alineados (perspectiva axial, Figura 1.4). Esto último es, en parte, lo que dice el
teorema.
Otro hecho sorprendente es que si bien la figura anterior se
halla en un plano, se le puede pensar de otra manera. Podemos
imaginar, por ejemplo, que la Figura 1.4 es la proyección
plana de una configuración tridimensional (i. e., que es un
dibujo de algo que vemos en el espacio).
En efecto, podemos imaginar que el triángulo ABC está en
el espacio y que el cuadrángulo OABC es en realidad un
tetraedro (Figura 1.5). De manera semejante, OA B C sería
Figura 1.5
75 Una forma más coloquial de este teorema es la siguiente: Si dos triángulos ABC y A B C están
situados de modo tal que las líneas AA , BB y CC convergen en un punto, entonces los pares de lados
AB − A B , AC − A C y BC − B C se intersecan en una misma línea recta, e inversamente. Si el lector no
sabe nada acerca de este teorema, puede comenzar con la ficha “Teorema de Desargues” de Wikipedia,
para después continuar con los textos (Courant, 1941), (Lehmer, 2005), (Coxeter, 1987) y (Bennett, 1995),
quizá en ese orden. Aquí apenas si daremos alguna información en torno a las nociones implicadas, como,
por ejemplo, las de “triángulos en perspectiva” y “razón cruzada”. Al respecto hay mucha información en
Internet y en la literatura matemática.
54
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
otro tetraedro cuya base A B C estaría en perspectiva con ABC desde O. Esto último
significa que un observador ubicado en O sólo percibiría un triángulo, pues desde
esa posición ABC se miraría sobrepuesto a A B C . Conforme a esta segunda línea de
pensamiento los triángulos ABC y A B C están en dos planos distintos Π y Π , los
determinados por sus vértices.
Lo anterior permite una prueba muy simple del teorema (Figura 1.6). La línea AB
se halla en Π, mientras que la línea A B se halla en Π , de modo que su punto de
intersección P está en ambos planos, e incide por tanto con la línea l en la que éstos se
intersecan. Lo mismo sucede con las otras dos parejas de líneas AC − A C y BC − B C ,
cuyas intersecciones Q y R también se hallan en la recta l (la cual puede ser la recta al
infinito).
Figura 1.6
Resulta entonces que los puntos P, Q y R inciden con una misma línea, es decir,
son colineales. En cuanto al hecho de que las líneas correspondientes se intersecan,
esto lo podemos obviar advirtiendo, por ejemplo, que los puntos O, A, B, A y B
se hallan todos en un mismo plano, el cual no es otra cosa que una de las caras del
tetraedro, sucediendo lo mismo con las otras quintetas de puntos {O, A,C, A ,C } y
{O, B,C, B ,C }.
1.6.5.2. Una prueba del teorema de Desargues en el plano
En el pasaje anterior hemos delineado una prueba del teorema de Desargues con base en
la idea de que los triángulos ABC y A B C están en el espacio. No obstante, esta última
suposición es prescindible, en el sentido de que podemos probar el teorema evitando
el elemento espacial, i. e., tratando la Figura 1.4 como un arreglo bidimensional.
Un ejemplo es la siguiente demostración basada en el teorema de Menelao, el cual
proporciona un criterio para determinar si tres puntos están alineados. Dice lo siguiente:
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
55
Proposición 1. Tres puntos P, Q, R correspondientes a los lados AB, BC y
CA de un triángulo están alineados si y sólo si
AP BQ CR
·
·
= −1
PB QC RA
Consideremos de nuevo la Figura 1.4
Con relación a los triángulos OAB, OAC y OBC, las líneas B A P, A C Q y B C R son,
respectivamente, transversales a sus lados (en el dibujo hemos resaltado el triángulo
OBC y su transversal B C R). Por repetidas aplicaciones del teorema de Menelao
tenemos que
AP BB OA
·
·
= −1
PB B O A A
(transversal B A P de OAB)
CQ AA OC
·
·
= −1
QA A O C C
(transversal A C Q de OAC)
BR CC OB
·
·
= −1
RC C O B B
(transversal B C R de OBC)
Multiplicando miembro a miembro las tres igualdades anteriores resulta que
AP CQ BR
·
·
= −1
PB QA RC
De lo anterior se sigue, por el teorema de Menelao, que los puntos P, Q y R son
colineales.
La prueba anterior presenta una cuestión de orden lógico. Al examinarla desde el punto
de vista de la pureza del método podemos ver que en ella hemos recurrido a la noción
de distancia (que no es proyectiva) por razón del teorema de Menelao (el cuál atañe a
cocientes formados con las longitudes de ciertos segmentos), siendo que el teorema de
Desargues no trata con nociones métricas (en él sólo se alude a cuestiones proyectivas
56
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
como la incidencia y la colinealidad). Queda la pregunta de si habrá una demostración
del teorema en la que se prescinda de tales nociones y del elemento espacial (es decir,
en la que no se suponga que los triángulos ABC y A B C están en el espacio). Esta
cuestión, planteada por Wiener en la conferencia de 1891, la aborda Hilbert en el
capítulo V de los Grundlagen. Antes de ver cómo lo hace, expliquemos la importancia
de este teorema en la geometría.
1.6.5.3. Puntos armónicos y teorema de Desargues
Una pregunta fundamental en la geometría proyectiva es la siguiente: ¿Qué se conserva
por proyección, cuando no lo hacen ni la longitud ni los ángulos? Aunada a ella
se encuentra esta otra interrogante: ¿Cuándo una figura se puede proyectar en otra?
Comenzando por los elementos más simples, los puntos y las líneas, el llamado teorema
fundamental de la geometría proyectiva tiene una respuesta a esta última pregunta:
Proposición 2. Dadas dos líneas rectas, existe un único mapeo proyectivo
que transforma tres puntos dados de la primera en tres puntos dados de la
segunda.
En el caso de cuatro puntos alineados A, B, C, D la respuesta es sorprendente:
Proposición 3. Cuatro puntos alineados A, B, C, D se pueden transformar
proyectivamente en otros cuatro puntos alineados A’, B’, C’, D’ si y sólo
si la razón doble76 de los primeros es la misma que la de los segundos, es
decir, sí y sólo si
AC DB A C D B
·
=
·
CB AD C B A D
No deja de ser extraño que una noción como la razón doble, originada en consideraciones métricas, resulte el invariante más importante de la geometría proyectiva, que la
desdeña.77 Se trata, de hecho, de la única invariante numérica conocida. Esto nos lleva
de nuevo a una cuestión a la que se le dio gran importancia en el siglo XIX, la cuestión
de la pureza del método: ¿Acaso la geometría proyectiva no debería ser independiente
de las nociones métricas? Al respecto, en ese tiempo se halló la manera de caracterizar
las hileras armónicas sin recurrir a la noción de longitud de segmentos. Esto se logró a
través del siguiente teorema:
76 En la geometría euclidiana la razón doble (AB,CD) de cuatros puntos colineales A, C, B, D es un
cociente de cocientes, el (AC/CB)/(AD/DB), el cual escribimos como (AC/CB) · (DB/AD). En él se
compara la razón en que el punto C divide al segmento AB con la razón en que el punto D divide al mismo
segmento. Al respecto, cuando los puntos C y D dividen a AB interna y externamente en la misma razón
(salvo por el signo), se dice que A, C, B, D es una hilera armónica (o que D es el conjugado armónico de
C con respecto a A y B). En tal caso la razón doble es igual a −1.
77 En cuanto a las razones por las que la razón cruzada es el invariante proyectivo más importante, en
(Ramírez Arturo, 2008, cap. 7) hay una detallada explicación.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
57
Proposición 4. Cuatro puntos A, C, B, D sobre una línea recta forman
una hilera armónica si y sólo si se puede construir un cuadrángulo PQRS
con respecto al que A, C, B y D están determinados por las relaciones de
incidencia que se muestran en la siguiente figura:
Las relaciones son: (i) que A y B son los puntos de intersección de pares de lados
opuestos del cuadrángulo PQRS, y (ii) que las diagonales del cuadrángulo intersecan
a m en C y D. De este resultado deriva un método para construir un cuarto punto
armónico D toda vez que se tienen tres puntos colineales A, C, B. El método se puede
explicar con base en la figura anterior. Tómense como punto de partida los puntos A, C,
B y la línea m. Por dichos puntos trácense respectivamente tres rectas no concurrentes
a, c, b formando un triángulo PQR; después, trácense r = l(A, R) y p = l(B, P). Si S
es el punto de intersección de r y p, entonces la línea l(Q, S) = d interseca a m en D,
el punto buscado.78
El método recién indicado sólo se sirve de relaciones de incidencia. Por tanto, se
tiene una caracterización proyectiva de las hileras armónicas.79 Queda por resolver el
problema de la unicidad del cuarto armónico. En efecto, ¿qué sucede si se traza otro
cuadrángulo P Q R S como en la Figura 1.7 ?, ¿se llega al mismo punto D?
Figura 1.7
78 El primero en utilizar este método del cuadrángulo completo para construir el cuarto armónico fue
von Staudt en 1847.
79 La importancia de la noción de “hilera armónica” se pone de manifiesto en la definición misma de
proyectividad: Una proyectividad entre dos líneas X e Y es una correspondencia f : X → Y que preserva
la relación armónica, es decir, tal que si A, B, C, D es una hilera armónica, entonces f (A), f (B), f (C),
f (D) también es una hilera armónica (v. Coxeter, 1992, p. 40).
58
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
La cuestión anterior se resuelve con el teorema de Desargues y la respuesta es afirmativa: el punto D es único. En efecto, al observar la Figura 4 se verá que, por construcción,
los triángulos PQR y P Q R están en perspectiva desde la recta m (siendo A, C y B los
puntos donde convergen los lados correspondientes). Por el teorema de Desargues hay
un punto O desde el cual los vértices del triángulo P Q R se proyectan en los vértices
del triángulo PQR. De la misma manera, los triángulos PRS y P R S están en perspectiva desde m (donde, nuevamente, A, C y B son los puntos donde convergen los lados
correspondientes), por lo que hay un punto O desde el cual P R S se proyecta en PRS.
Ahora bien, las líneas RR y PP concurren en ambos centros de proyección O y O , por
lo que estos puntos son el mismo. Así, los triángulos PQS y P Q S están en perspectiva
desde O, de modo que, por el teorema de Desargues, el punto de intersección de QS y
Q S es colineal con A y B. Pero dicho punto de intersección es D.
Como se ve, el teorema de Desargues resultó una pieza central en la delicada tarea
de organizar la geometría proyectiva. Es más, con el paso del tiempo su importancia
aumentó por múltiples razones. Dos de ellas son significativas para este trabajo: su
compleja relación con los axiomas básicos de la geometría proyectiva, una tarea en la
que Hilbert y otros geómetras trabajaron arduamente en el siglo XIX, y los vínculos
que permitió establecer entre la geometría y otros dominios de las matemáticas. En lo
que sigue habremos de ahondar en estas cuestiones.
1.6.5.4. El teorema de Desargues en el espacio afín
Si bien el teorema de Desargues enuncia una propiedad proyectiva, se le puede formular con relación a un espacio afín;80 para ello se tienen dos casos: el paralelo y el no
paralelo. El primero de ellos es el siguiente:
Teorema de Desargues81
Si en el espacio (en el plano) dos triángulos (ABC) y (A B C ) están situados de
modo que las líneas AA , BB y CC que unen los vértices homólogos pasan por un
mismo punto O, y si los lados homólogos AB − A B y AC − A C son paralelos entre sí,
entonces los lados homólogos restantes BC y B C también son paralelos entre sí.82
80 Un espacio afín se caracteriza por la propiedad de la paralela única, para lo cual no es necesario
contar con la noción de ángulo ni con la noción de longitud o medida (es decir, en un sentido estricto los
postulados 3 y 4 de Euclides no significan nada en un espacio afín). En términos de transformaciones,
una propiedad es afín cuando ésta se conserva bajo cualquier transformación paralela de un plano a otro.
Podemos decir que la geometría afín es una generalización de la geometría euclidiana caracterizada por
distorsiones en la inclinación y la escala.
81 Nuevamente se trata de dos teoremas que, por similitud, se designan bajo un mismo nombre: uno
acerca de configuraciones espaciales, y otro acerca de configuraciones en el plano.
82 Notación. Con (ABC) se denota el triángulo con vértices A, B, C; con AB se denota la línea determinada por los puntos A y B, y con ABC el plano determinado por tres puntos no colineales A, B,
C.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
59
Esta formulación corresponde al teorema
32 de los Grundlagen. Como consecuencia del axioma de las paralelas el espacio
en cuestión es un espacio afín. Aquí también hay una demostración simple del
teorema en el caso tridimensional. Veamos.83
Por el teorema II (ver nota 81 al pie), ABC||A B C . De lo anterior se sigue que BC y
B C no se intersecan, pues de lo contrario los planos ABC y A B C no serían paralelos.
Por otra parte, como BB y CC concurren en O, los puntos B, B , C y C son coplanares
(teorema I). Por tanto, BC y B C pertenecen a un mismo plano y no se intersecan. De
esto se sigue que BC||B C .
Es de esperarse que en el plano el teorema de Desargues se pruebe a partir del axioma
de las paralelas y los axiomas de incidencia para el plano (axiomas I.1 y I.2). No
obstante, la cosa no es así. Para evidenciar este hecho mostramos un plano afín en el
que dichos axiomas son válidos, pero no el teorema. Se trata del plano de Moulton,84
una estructura R2 , L, I donde R2 es el plano real, L es un conjunto de líneas que a
continuación definimos, e I es la relación de incidencia entre puntos y líneas que se
realiza cuando las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de la línea. Veamos.
Los elementos de L son los siguientes:
1. Las rectas verticales y horizontales
del plano real;
2. las rectas con pendiente positiva del
plano real;
3. las líneas quebradas del plano real
formadas por dos semirrectas que
se unen en el eje Y y cumplen lo siguiente: la semirrecta a la izquierda
del eje Y tiene pendiente negativa m,
en tanto que la semirrecta a la derecha del eje Y tiene pendiente 2m
(refracción en el eje Y ).
Figura 1.8. Ilustración del plano de Moulton
El plano de Moulton satisface el axioma de las paralelas, los axiomas de orden (grupo
II) y los axiomas I.1-I.3 de incidencia para el plano.85 No obstante, como a continuación
se muestra, en él no se cumple el teorema de Desargues.
83 En
la prueba nos servimos de los siguientes teoremas, los cuales se demuestran a partir de los
axiomas del grupo I (axiomas de incidencia): Teorema I. Si dos líneas m y n concurren en un punto P,
entonces hay un plano π que las contiene. Teorema II. Sean (A, B,C) y (A , B ,C ) dos ternas de puntos
no colineales. Si AB||A B y BC||B C , entonces ABC||A B C (caso de paralelismo entre planos).
84 Al respecto véase la correspondiente ficha en Wikipedia.
85 Por ejemplo, dado un par de puntos (x , y ) y (x , y ), con x ≤ 0 < x y y < y , para hallar la línea
0 0
1 1
0
1
1
0
60
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Figura 1.9
En la Figura 1.9 dos triángulos de Moulton ABC y A B C están en perspectiva desde
el origen O y los lados homólogos AB − A B y AC − A C son paralelos entre sí. No
obstante, los lados BC − B C no son paralelos entre sí, pues se intersecan en D.86 Esto
es un contraejemplo al teorema de Desargues.
De lo anterior se sigue que:
1. El (caso paralelo del) teorema de Desargues es independiente del axioma de las
paralelas y los axiomas de orden e incidencia para el plano, pues el plano de
Moulton es un modelo de dichos axiomas y en él no se cumple el teorema.
2. Al extender el plano de Moulton a un plano proyectivo mediante la adición de los
puntos y la recta al infinito, lo que resulta es un plano proyectivo no arguesiano
que, por lo mismo, no es isomorfo al plano proyectivo RP2 .
Un modelo similar a este permitió a Hilbert demostrar en los Grundlagen la
independencia del teorema de Desargues con relación a los axiomas de incidencia
y orden para el plano. Entre los resultados alcanzados se encuentran los siguientes:
a) El teorema de Desargues para el plano afín se puede demostrar a partir del
axioma de las paralelas, los axiomas de orden e incidencia para el plano
(axiomas I.1-I.2) y los axiomas de congruencia (grupo III) (v. gr., con base en
el teorema de Menelao).
b) Sea G una geometría plana que satisface el axioma de las paralelas, los
axiomas de orden y los axiomas de incidencia para el plano (axiomas I.1-I.3).
Una condición necesaria y suficiente para que G sea parte de una geometría
espacial que cumple con los axiomas de los grupos I, II y IV es que satisfaga
el teorema de Desargues. Esto último permite, postulando el teorema de
Desargues, establecer un plano proyectivo que cumple con las propiedades
de Moulton que incide con ellos, tal como lo afirma el axioma I.1, basta con resolver para m y b el sistema
de ecuaciones y0 = mx0 + b; y1 = 2mx1 + b, el cual siempre tiene una única solución.
86 Todo esto se puede probar algebraicamente, como un ejercicio de geometría analítica.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
61
establecidas en los grupos I, II y IV y es extensible a un espacio con un mayor
número de dimensiones.
c) El teorema de Desargues para el plano afín se puede demostrar a partir del
axioma de las paralelas y los axiomas de incidencia toda vez que se incluyan
los axiomas espaciales I.4-I.8.87 Por tanto, si lo que se busca es evitar los
axiomas de congruencia en la prueba del teorema de Desargues, no hay otro
camino que admitir el elemento espacial.
Lo anterior pone de manifiesto cierta insuficiencia en la teoría ya señalada por Wiener
en 1891, una especie de laguna en los axiomas de incidencia para el plano: ¿Por
qué la prueba de un teorema proyectivo en el plano requiere de una noción como
la de congruencia, la cual equivale al concepto métrico de longitud?; ¿por qué la
única manera de evitar los axiomas de congruencia es suponiendo que el plano está
inmerso en un espacio con un mayor número de dimensiones? De hecho, el plano es
el único lugar donde el teorema de Desargues puede fallar, lo cual no deja de ser un
descubrimiento singular.
En todo esto hay un modo muy peculiar de pensar el teorema de Desargues: lo relevante
ya no es la pregunta por su verdad, sino su relación con los axiomas. Y esto no
es todo. Como a continuación veremos, el teorema resultó una pieza clave en la
coordenatización de la geometría sintética y en la construcción de un álgebra de
segmentos en los espacios afín y proyectivo.
1.6.5.5.
Un álgebra de segmentos
Veamos cómo establece Hilbert un álgebra de segmentos en el plano afín. Esto se
relaciona con la siguiente pregunta: ¿qué se requiere geométricamente para tener una
estructura de campo ordenado en la recta? Como veremos, el teorema de Desargues es
una pieza fundamental en esta tarea. Para ello supongamos una geometría afín plana
que cumple con los axiomas de orden e incidencia para el plano.88 Con base en estos
axiomas podemos definir una operación de suma para los segmentos de una línea recta
l como sigue.
Sea m una línea recta que interseca a l en un punto O (Figura 1.10). Con base en m se
puede definir un cálculo de segmentos sobre l como sigue. Tómense dos segmentos
OE y OE sobre l y m, respectivamente;89 estos segmentos actuarán como unidades
en el álgebra. Se escribe OE = OE = 1. Sean A y B dos puntos sobre l. La suma de
87 En
este caso, la configuración bidimensional (dos triángulos en perspectiva en un mismo plano, etc.)
se puede considerar como la proyección de una configuración tridimensional, y utilizar este hecho para
demostrar el teorema en el plano.
88 Nos referimos a los axiomas I.1, I.2, todos los axiomas del grupo II y el axioma IV del apéndice C.
89 Aquí la escritura se vuelve ambigua: la notación AB se utiliza tanto para designar al segmento con
extremos A y B como a la recta por A y B, reconociéndose el sentido que se le da por el contexto.
62
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
los segmentos a = OA y b = OB se define como sigue (donde las letras con comilla
indican puntos pertenecientes a m):
1. Sea AA la paralela a EE por A;
2. Sea p la paralela a l por A y q la paralela a m por B. p y q no son paralelas
y se intersecan en un punto X;
3. Sea n la paralela a EE por X. n no es
paralela a l y la interseca en un punto
C.
Por definición, el segmento c = OC
es la suma de OA y OB. Escribimos
OC = OA + OB (o bien, a + b = c).90
Figura 1.10
Las propiedades algebraicas de esta operación dependen de los axiomas aceptados.
En particular, la conmutatividad de la suma precisa del teorema de Desargues y su
recíproco.91 En efecto, hagamos la suma OB + OA siguiendo el procedimiento recién
señalado.
1. Sea BB la paralela a EE por B;
2. Sea r la paralela a l por B y s la paralela a m por A. r y s no son paralelas
y se intersecan en un punto Y ;
3. Sea n la paralela a EE por Y . n no es
paralela a l y la interseca en un punto
que, como se probará, es C.
Conforme a lo anterior se tiene: AA ||EE ||BB , A X||B Y ||OA y AY ||BX||OA .
Sean A = AY ∩ A X y B = BX ∩ B Y .
90 Euclidianamente, lo que se hace es construir un triángulo BCX congruente con OAA , de modo que
AC = OB. Esta idea –que encierra la noción métrica de congruencia, la cual no tiene sentido en las
geometrías afín y proyectiva– constituye el fundamento heurístico de la definición anterior.
91 El recíproco del teorema de Desargues dice los siguiente: Si en el plano dos triángulos (ABC)
y (A B C ) están situados de modo que sus lados homólogos AB − A B , AC − A C y BC − B C son
paralelos entre sí, entonces las líneas AA , BB y CC que unen los vértices homólogos son paralelas
entre sí o concurren en un punto. Este teorema y el de Desargues son equivalentes entre sí, por lo que se
les designa con el mismo nombre.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
(a)
63
(b)
Figura 1.11
En la Figura 1.11(a) los triángulos AA A y BB B tienen lados AA − BB , AA − BB
y A A − B B paralelos entre sí, y están en perspectiva desde O (esto último por
el recíproco del teorema de Desargues), de modo que O, A y B son colineales.
En consecuencia (Figura 1.11(b)), los triángulos OAA y B Y X están en perspectiva
desde A , y como los lados homólogos OA − XB y OA −Y B son paralelos entre sí,
conforme al teorema de Desargues los lados homólogos AA y XY son paralelos entre
sí. Ergo la línea n es la paralela a EE por X, es decir, es la línea n que interseca a l
en C en la Figura 1.10. Pero este último punto es el que determina la suma de OB con
OA. Por tanto, OB + OA = OC.
Como se ve, la propiedad conmutativa de la suma se debe al teorema de Desargues. De
hecho se tiene el siguiente resultado:
Proposición I. En todo plano afín arguesiano,92 el álgebra de segmentos
sobre cualquier línea recta es un anillo con división.93
Conclusión: Para que el álgebra de segmentos tenga una estructura de anillo con división es necesario postular la propiedad arguesiana, incluir los axiomas de congruencia,
o admitir los axiomas espaciales de incidencia. Obviamente, desde la perspectiva de la
pureza del método, la primera opción es preferible.
En cuanto a un álgebra con estructura de campo, es indispensable la validez del teorema
de Pappus. Esto lo resumimos en la siguiente proposición:
Proposición II. El teorema de Pappus se cumple en un plano afín arguesiano si y sólo si la multiplicación de segmentos es conmutativa.94
92 Arguesiano:
que el teorema de Desargues vale en dicho plano.
multiplicación de segmentos se puede introducir en forma análoga a la suma (cosa que aquí no
haremos), y con base en ella es que nos referimos al álgebra de segmentos como un anillo.
94 Recordemos que un anillo con división es un campo cuando la multiplicación es conmutativa. Por
tanto, el álgebra de segmentos en un plano afín arguesiano será un campo si y sólo si se satisface el
teorema de Pappus.
93 La
64
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Al respecto, se sabe que el teorema de Pappus implica al teorema de Desargues, pero
no a la inversa (para el caso hay contraejemplos). Aquí también, el teorema de Pappus
sólo se puede demostrar a partir de los axiomas espaciales de incidencia, o de los
axiomas de incidencia para el plano junto con los axiomas de congruencia. Por tanto,
hay al menos tres caminos para dar lugar a una suma y multiplicación de puntos en
la recta con estructura de campo: (a) Postular el axioma de las paralelas junto con
los axiomas de congruencia y los axiomas de incidencia para el plano; (b) Postular el
axioma de las paralelas junto con los axiomas de incidencia para el plano y el espacio;
o (c) Postular el teorema de Pappus junto con el axioma de las paralelas y los axiomas
de incidencia para el plano. ¿Cuál es la mejor opción? Decidir esta cuestión es un
asunto de quien hace uso de la geometría.
1.6.6.
Un recorrido a la inversa
Las investigaciones precedentes no fueron todo. Por el contrario, Hilbert descubrió
la manera de transitar del álgebra a la geometría invirtiendo el camino, es decir,
construyendo planos afines a partir de ciertas estructuras algebraicas. También halló
la manera de introducir coordenadas en el plano afín sintético, es decir, de asociar
a cada punto P del plano afín una única pareja (x, y) de elementos tomados de un
conjunto Γ con una estructura algebraica similar a la del cálculo de segmentos.95 Al
respecto, una de las ideas originales era introducir los números reales en la escena.
Esto forma parte de los inicios de la geometría algebraica, en los que el teorema de
Desargues desempeñó un importante papel. Lo que sigue es una breve nota en torno a
estas cuestiones.
La proposición I recién expuesta indica cómo establecer un álgebra con estructura de
anillo de división entre los segmentos de cualquier recta en un plano afín arguesiano.
Veamos ahora la manera de invertir el camino, es decir, de obtener un plano afín
arguesiano con base en un anillo de división D.
Los puntos del plano en cuestión son los elementos de D × D. Si a, b, c son tres
elementos de D, con a y b no ambos cero, el conjunto l(a, b, c) = {(x, y)|xa + yb = c}
es una línea del plano afín de la que xa + yb = c es una ecuación. Por ejemplo,
x · 2 + y · 3 = 1 es ecuación de una línea en el plano afín Z2 . El tratamiento moderno
de esta construcción se sirve del concepto de espacio vectorial izquierdo. En este
enfoque los puntos del plano D 2 son vistos como vectores y D como el conjunto de
escalares. El uso del adjetivo “izquierdo” obedece al hecho de que los escalares sólo
multiplican a los vectores por la izquierda, es decir, que la única operación escalar
95 Con relación a cualquier espacio afín se puede probar lo siguiente: (1) todas las líneas tienen un
mismo número de puntos n (donde n puede ser transfinito); (2) por cada punto pasan n + 1 líneas; (3)
la relación de paralelismo es antireflexiva, simétrica y transitiva; (4) si una línea interseca a una de dos
paralelas, también interseca a la otra; (5) si n es el número de puntos sobre una línea l, entonces l tiene
n˘1 paralelas. Todas estas propiedades se utilizan al introducir coordenadas.
1.6. L A GEOMETRÍA EN LOS Grundlagen der Geometrie DE H ILBERT
65
utilizada es r(x, y) = (rx, ry).96 Esta manera de abordar el tema permite demostrar en
forma elegante la siguiente proposición con relación al plano (P, L ), donde P = D 2
y L es el conjunto de todas las líneas l(a, b, c).
Proposición III. Si D es un anillo de división, entonces el plano (P, L )
es un plano afín arguesiano. Por otra parte, si D es un campo, entonces en
el plano (P, L ) se cumple el teorema de Pappus.
El lector se podrá ejercitar considerando, por ejemplo, el espacio (P, L ), donde P =
Z5 × Z5 . Se trata de un anillo de división el cual, a causa del teorema de Wedderburn,
es un campo (el teorema dice justo eso: todo anillo de división finito es un campo).
¿Cuál es el conjunto de puntos de este espacio? ¿Cuáles son sus líneas? Verificar que
se trata de un plano afín es un ejercicio de álgebra lineal. V. gr., con relación al axioma
“Dados dos puntos distintos, hay una y sólo una línea que los contiene”, la cuestión se
reduce a probar lo siguiente: dados (x, y) y (x , y ) distintos entre sí, hallar a, b, c ∈ Z5
tales que a y b no son ambos cero y xa + yb = c, x a + y b = c (en Z5 ), y a probar que
si (x, y) y (x , y ) satisfacen cualquier otra ecuación ua + vb = c , entonces las dos
ecuaciones son equivalentes.
En cuanto al teorema de Desargues, la prueba de que éste se cumple en todo plano
afín definido a partir de un anillo de división se halla en (Bennett, 1995). Tenemos,
por tanto, un plano afín arguesiano para cada anillo con división. Además, sabemos
que cuando k no es primo el plano correspondiente a Zk no es afín (v. gr., Z4 ), pues el
anillo no es de división.
Para concluir esta sección diremos que este tipo de investigaciones no son ajenas a los
Grundlagen, sino que se llevan a cabo inspiradas en el espíritu que Hilbert imprimió a
esta obra.
1.6.7.
Breves reflexiones
En los Grundlagen Hilbert nos muestra la importancia del teorema de Desargues
no sólo al interior de la teoría, sino al vincularlo con otras ramas de la matemática.
Primero nos enseña cómo se utiliza este teorema al construir un cálculo de segmentos
y al introducir coordenadas en la geometría sintética; después nos deja ver el lugar
que ocupa al enlazar la geometría con el álgebra, y por último nos muestra, desde
la metamatemática, que dicho teorema es independiente de los axiomas de orden,
96 En general, los espacios vectoriales suelen definirse sobre un campo. No obstante, el conjunto de
escalares puede ser un anillo de división mientras se tenga el cuidado de realizar la multiplicación escalar
siempre del mismo lado. Cuando D es un campo, la ecuación xa + yb = c se puede escribir en la forma
ax + by = c que nos es familiar. No obstante, cuando D no es conmutativo esto puede conducir a errores.
Por ejemplo, si D es el conjunto H de los cuaternios de Hamilton, el par (i, k) satisface la ecuación
x j = y, pero no la ecuación jx = y. Por tanto, las líneas determinadas por ecuaciones con las variables y
los coeficientes invertidos no serían las mismas.
66
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
incidencia y paralelismo para el plano, algo inesperado que obligó a investigar las
causas de su autonomía y lo colocó en un rango similar al del quinto postulado de
Euclides. Esto ilustra la clase de problemas que Hilbert aborda en los Grundlagen,
y explica en gran medida los axiomas que presenta y la razón por la que elige las
nociones de incidencia, orden y congruencia como básicas, es decir, la razón por la
que organiza la base axiomática de esa y no de otra manera.
1.7.
Hilbert y la teoría kantiana de esquemas
Comparemos el punto de vista de Hilbert, en su formalismo geométrico, con la teoría
kantiana del conocimiento matemático, poniendo especial atención en la teoría de
esquemas. En la Crítica de la razón pura Kant sostiene que es imposible pensar los
conceptos geométricos sin darles un objeto: “No podemos pensar en una línea sin
trazarla en el pensamiento, ni un círculo sin describirlo, como tampoco representar tres
dimensiones del espacio sin construir tres líneas perpendiculares a partir del mismo
punto.” (B154). Esta simple observación es un indicativo de que la importancia de
los esquemas geométricos en la epistemología matemática de Kant es superior a lo
que hemos dicho. En efecto, en la sección I.4 nos hemos referido a los esquemas
como instancias que permiten construir en la representación objetos en conformidad
con los conceptos. Pero lo dicho por Kant en el pasaje anterior les otorga una mayor
importancia: sin esquemas es imposible pensar los conceptos geométricos en absoluto,
pues esta actividad precisa de una representación interna de ellos.
Lo anterior no constituye ningún problema para Kant, pues para él los conceptos
geométricos nacen ligados a una forma de representación.97 Pero desde la perspectiva
que abre, por ejemplo, el principio de dualidad, este maridaje entre esquemas y conceptos se rompe: las “rectas” pueden ser lo que siempre fueron o lo que originalmente
eran los “puntos”. Ergo los conceptos definidos por los axiomas van más allá de los
esquemas, poseen una mayor generalidad, con lo que la teoría se descubre como algo
más abstracto de lo previsto, como algo que ya no está indisolublemente ligado a un
sistema fijo de objetos. De hecho, en la geometría de Hilbert los conceptos se piensan
sin esquemas, aunque hay circunstancias en las que esto podría no ser lo más adecuado.
Esta disociación entre los conceptos y sus representaciones fue justamente lo que abrió
la posibilidad de pensar la teoría per se, es decir, la posibilidad de convertirla en un
objeto de estudio.
Esto último es lo que hace Hilbert en los Grundlagen. Lo que ahí investiga no son los
objetos que dice Kant (ciertas entidades construibles en la intuición pura), sino la teoría
misma. Digamos que la escudriña primariamente a ella, no a sus interpretaciones.
Como ya hemos visto, esta manera de abordar la teoría señala el surgimiento de la
97 Por
ejemplo, el concepto de circunferencia nace ligado al trazo de una curva de este tipo mediante un
compás, o con un hilo rígido manteniendo fijo uno de sus extremos, o incluso girando nuestro cuerpo.
1.7. H ILBERT Y LA TEORÍA KANTIANA DE ESQUEMAS
67
teoría de modelos, donde el juego consiste en interpretar los términos y las relaciones
fundamentales de distintas maneras. En particular, muchos modelos de la teoría geométrica y sus variantes resultan de enlazar sus conceptos con ciertos esquemas. Un
notable ejemplo es el modelo de Poincaré para la geometría hiperbólica, en el que al
concepto formal de línea se le asocia un esquema euclidiano de la siguiente manera:
sea C una circunferencia fija en el plano euclidiano. Si X es una circunferencia que
corta ortogonalmente a C, entonces el arco de X que se halla en el interior de C es
una línea. Aquí el caso es que contamos con un esquema (euclidiano) para producir
circunferencias ortogonales a C, y es a través de este esquema que especificamos las
líneas del modelo (para una geometría que no es euclidiana).
Este modo de tratar la teoría geométrica significó un cambio en el modo tradicional de
llevar a cabo las investigaciones y tuvo enormes consecuencias. Para empezar, permitió
una gran economía de pensamiento: cada proposición demostrada era válida en todos
los modelos de la teoría, donde ya no se le tenía que investigar. Y las ganancias no se
limitaron a eso. La posibilidad de interpretar la teoría de distintas maneras permitió
a Hilbert explorar su conexión con otros dominios de la matemática, y los resultados
fueron sorprendentes. Por ejemplo, este nuevo tratamiento lo llevó a relacionar el
teorema de Desargues con las propiedades de los anillos en el álgebra; v. gr, “Si el
teorema de Desargues es válido en un dominio, entonces el álgebra de segmentos es un
anillo quizá no conmutativo” o bien, “El álgebra de segmentos basada en el teorema de
Desargues es un anillo conmutativo”. Como ya lo hemos visto, estas investigaciones
forman parte de los Grundlagen der Geometrie. Es más, el sentido del trabajo se puede
invertir: en vez de ver qué clase de álgebra resulta a partir de un espacio, se pueden
“construir” espacios a partir de las álgebras (v. gr., espacios afines a partir de anillos
ternarios).
Es evidente que nada de lo anterior habría sido posible si la matemática se hubiera
mantenido dentro de los estrechos límites impuestos por el concepto de objeto matemático ofrecido por Kant. Esto lo sabía Hilbert, para quien la investigación axiomática
representó un factor de expansión y descubrimiento en esta disciplina.
Podemos decir entonces que para Hilbert la axiomática es algo más que un instrumento
para ordenar las teorías. Más bien, se trata de un medio de investigación matemática.
Esto se advierte claramente en los Grundlagen, donde “jugando” con los axiomas
Hilbert obtiene numerosos resultados: geometrías no arquimedeanas, nuevos teoremas
68
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
acerca de la continuidad, una nueva caracterización topológica del plano, una caracterización de la geometría euclidiana y de la geometría de Bolyai y Lobachevsky mediante
grupos de desplazamientos, un análisis del papel de los teoremas de Desargues y de
Pascal en la “coordenatización” del espacio, un estudio comparativo de las distintas
geometrías entre sí, y una investigación de los medios requeridos para demostrar ciertos
teoremas.
En este sentido, las investigaciones de Hilbert en torno a los fundamentos de la
geometría significaron un triunfo para el método axiomático, al punto de que en su
opinión éste estaba llamado a ocupar un lugar preeminente no sólo en la matemática
sino en la ciencia en general.98
1.7.1.
Nociones ideales y dualidad
El principio de dualidad de la geometría proyectiva guarda un estrecho vínculo con
el llamado “método de los elementos ideales”. En su sentido original, este método
consiste en introducir en una teoría elementos sin ninguna base intuitiva o constructiva.
Su inclusión se justifica aduciendo que dicha acción es fructífera o tiene un efecto
simplificador. En el caso que nos ocupa se trata de la incorporación de los puntos y la
recta al infinito en el plano euclidiano, con lo que el espacio geométrico deviene en un
espacio proyectivo.
A continuación exponemos estas ideas con base en algunos conceptos pertenecientes a
la teoría de conjuntos.99 Sea Π el conjunto de puntos del plano y Λ el correspondiente
conjunto de rectas. Asociado a cada haz Φ de líneas paralelas de Λ, incorporamos un
punto adicional P∞ , un “punto al infinito”. Ahora extendemos cada línea l ∈ Φ a una
“línea” l como sigue:
l = l ∪ P∞
Asimismo, introducimos una nueva “línea” l∞ , la “línea al infinito” de la siguiente
manera:
l∞ = {P∞ |Φ es un haz de líneas paralelas de Λ}
Por último, extendemos el plano (afín) euclidiano a un plano proyectivo (Π , Λ ) como
sigue:
Π = Π ∪ {P∞ |Φ es un haz de líneas paralelas en Λ}; Λ = {l |l ∈ Λ} ∪ {l∞ }
¿Qué ventajas ofrece esta extensión del plano? Primero, que ya no hay excepciones:
cualesquiera dos líneas se intersecan en al menos un punto; cuando éstas son euclidianamente paralelas entre sí, su intersección es el correspondiente punto al infinito
98 Véase
99 Véase
al respecto (Hilbert, 1917).
al respecto (Bennett, 1995, p. 43).
1.7. H ILBERT Y LA TEORÍA KANTIANA DE ESQUEMAS
69
P∞ . Segundo, que entre las nociones de punto y línea aparece la simetría ya señalada:
el principio de dualidad es válido para esta nueva geometría, pues el plano se ha
convertido con esta extensión en un espacio proyectivo.
Las entidades recién introducidas son un claro ejemplo de lo que Hilbert denomina
“elementos ideales”: por una parte, se trata de objetos que no corresponden a nada
en la intuición espacial; por la otra, son objetos cuya incorporación aporta unidad y
simplicidad a la teoría, pues evitan la existencia de casos especiales en los que ciertas
propiedades no se cumplen.
La adopción del método de los elementos ideales conllevaba, entre otras cosas, sobrepasar los límites del constructivismo kantiano, y eso fue lo que hizo Hilbert con todas
sus implicaciones: abandonó la teoría de esquemas. A fin de cuentas, no sólo se trataba
de la geometría, sino del análisis matemático y, sobre todo, de la teoría de los números
transfinitos de Cantor.
1.7.2.
Un ejemplo de la utilidad del método
El uso de nociones ideales forma parte del desarrollo de las matemáticas. Hilbert ve en
este método un factor de progreso al que no debemos renunciar, pues de su aplicación
nuevas matemáticas resultan.100
Al respecto, podemos ilustrar la utilidad del método con un ejemplo. Se trata de la
solución de un problema aritmético “simple” (es decir, relativo a números enteros) en
el contexto de los números complejos.
Consideremos la sucesión de números enteros 1, 1, 0, −2, −4, −4, 0, 8, 16, 16, 0,
−32, −64, . . .; la cual se genera a partir de la base doble f (0) = 1, f (1) = 1 con la
regla recursiva
f (n + 2) = 2 f (n + 1) − 2 f (n).101
100 Entre
los ejemplos que menciona se hallan los siguientes:
√
1. La introducción de la unidad imaginaria i = −1 que da lugar al teorema fundamental del álgebra:
Toda polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n raíces.
2. La adición de los puntos y la recta al infinito al plano euclidiano para completar un plano proyectivo.
3. La utilización plena de la lógica clásica en el análisis matemático y la teoría de conjuntos, donde el
principio del tercero excluido se presenta como una noción ideal. Este principio sirve como base
para las pruebas de existencia por reducción al absurdo que él mismo impulsa.
4. El axioma de elección en la teoría de conjuntos, con el caudal de resultados que se prueban con
base en las posibilidades que nos ofrece.
Otros ejemplos que podemos mencionar son la introducción de las cortaduras de Dedekind, la generalización cantoriana del concepto de número mediante la introducción de los números transfinitos, el lema de
Zorn, la recursión transfinita y, más recientemente, las curvas fractales.
101 El ejemplo más famoso de esta clase de sucesiones recursivas es sin lugar a dudas la sucesión de
Fibonacci: f (0) = 1, f (1) = 1 y f (n + 2) = f (n + 1) + f (n).
70
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Si bien la regla nos permite calcular cualquier elemento de la sucesión, tiene el inconveniente de que para computar f (n) es preciso calcular todos los valores anteriores.102
Se trata, claro está, de un procedimiento ineficiente, por lo que nos preguntamos si
habrá una fórmula que nos permita calcular directamente el valor de f (n) (esta cuestión
forma parte de la teoría de las funciones generatrices, la cual se estudia en los cursos
de combinatoria.103 )
La respuesta a la interrogante anterior (en su forma general, es decir, con relación
a cualquier sucesión recursiva) es afirmativa. No obstante, a la fecha no se conoce
otra manera de hallar la fórmula que no sea adentrándose en el dominio del análisis
complejo. En otras palabras: para resolver un problema relativo a números enteros,
no conocemos otro camino que el de acudir a una extensión de la teoría mediante la
adición de ciertas
√ nociones ideales, como lo son los números irracionales y la unidad
imaginaria i = −1. Y si bien aquí no es el lugar para abordar los detalles técnicos de
la solución general, al menos podemos traer a colación la fórmula buscada. Se trata de
la fórmula
1
1
f (n) = (1 + i)n + (1 − i)n
2
2
la cual se sirve explícitamente de los números complejos. Esto resulta sorprendente
si consideramos que en un principio se trataba de una cuestión que sólo concernía a
los números enteros. Y si bien la presencia de i se puede obviar en la fórmula anterior
escribiendo (mediante ciertas transformaciones trigonométricas)
f (n) =
√
nπ
2n cos
4
queda el hecho de que para obtener esta última fórmula hemos tenido que realizar
una digresión por el dominio de los números complejos (además de que en ella se
alude a funciones trascendentes y al número π). Tenemos, por tanto, fuertes razones
para justificar la extensión de los números enteros mediante la introducción de estos
elementos ideales: la teoría gana en poder y generalidad.
Desde la perspectiva de los números enteros, el carácter ideal de los números complejos
es evidente: se generan mediante la introducción de una unidad imaginaria i totalmente
ficticia ¿Tendrán algún tipo de existencia real tales objetos? Hilbert diría, con justa
razón, que para hacer matemáticas no es necesario aclarar esta cuestión. Lo manifiesto
es que tales números existen como un eficaz instrumento de la imaginación, y eso
es todo lo que necesitamos saber. Su importancia radica en que con ellos la teoría
aritmética se enriquece, pudiéndose resolver problemas que quizá de otra manera no
podríamos solventar. Y es por esto que los admitimos. Aquí cabe recordar lo que
algún día le dijera Hilbert a Brouwer tras una charla de este último en el Instituto de
Matemáticas de Götingen: “Con sus métodos [constructivos], la mayor parte de los
102 Por ejemplo, para computar f (7) es necesario conocer los valores f (6) y f (5), lo cual exige a su vez
conocer los valores f (4) y f (3), etc.
103 En (Graham, Knuth & Patashkin, 1989) hay una clara presentación de esta teoría.
1.7. H ILBERT Y LA TEORÍA KANTIANA DE ESQUEMAS
71
resultados de la matemática moderna tendrían que ser abandonados, y para mí la cosa
más importante no es obtener menos resultados, sino más de ellos.” (Reid, 1970, p.
184).
Fue a partir de consideraciones de este tipo que Hilbert formuló un criterio sui géneris
de existencia matemática: en una teoría se puede admitir como existente todo aquello
que no sea contradictorio con los supuestos básicos. Esto debilita la noción de existencia matemática, pues la reduce a la mera relatividad de la no contradicción, una
cuestión lógica alejada del constructivismo kantiano. Esta noción se ajusta muy bien
a la tendencia abstracta predominante en su momento. Al respecto, Hilbert establece
los siguientes criterios como única condición de aceptación de nuevos elementos y
nociones en una teoría: (a) que su anexión sea coherente con los contenidos de la
teoría subyacente y (b) que aporten eficiencia y simplicidad en la producción del
conocimiento matemático. Es con base en estos criterios que se les debe juzgar, no
por la particularidad de satisfacer ciertas normas constructivas.104 Más tarde habría de
añadir una condición de suma importancia: (c) que la adición de esta clase de nociones
“ideales” a una teoría originalmente referida a entidades que podemos “realizar” (cristalizar) en el ámbito de la intuición (v. gr., la adición de nociones como la de número
trascedente), no lleve a demostrar proposiciones relativas a dichas entidades que no
sean intuitivamente verdaderas.105
1.7.3.
Nuevos objetos, nuevas matemáticas
¿En qué sentido es el conjunto de los números naturales un objeto matemático? Ciertamente, no lo es en el sentido de Kant: lo que para este último caracteriza a los objetos
matemáticos es la posibilidad de su construcción en la intuición pura, y ninguna totalidad infinita se puede producir de esta manera.106 Antes bien, el conjunto de los
números naturales es sólo una idea, es decir, un concepto racional del que no puede
haber en la experiencia objeto adecuado alguno. Y la matemática del siglo XIX cobijó
104 Fue hasta el siglo XX que Hilbert emprendió abiertamente la defensa del método de los elementos
ideales. A ello corresponde el referido programa de los años veinte y la etapa aritmética de su formalismo,
temas de los que nos ocuparemos posteriormente. No obstante, algunas ideas básicas ya las tenía en mente
al escribir los Grundlagen der Geometrie, y se hallan presentes en su concepto del método axiomático.
105 Pensemos en lo contrario. Por ejemplo, que la aceptación del número π nos permite demostrar una
proposición P acerca de los números naturales que no podemos reconocer como verdadera intuitivamente.
En tal caso habría fuertes razones para rechazar la introducción de esta noción ideal, bajo el argumento
que tiene consecuencias para los números enteros que no podemos validar sin ella. De esto hablaremos en
extenso en las secciones 4.2.3 y 4.2.4 y 5.4.5.
106 Hagamos algunas precisiones con relación a la noción de objeto matemático en la epistemología
de Kant. En su opinión todo objeto matemático ha de satisfacer dos condiciones: primero, ha de ser
construible en el espacio y en el tiempo; segundo, se le ha de entender como una unidad, i. e., ha de
haber un concepto que une sus partes en una totalidad. Es aquí donde entran en escena los esquemas:
los conceptos sólo se pueden relacionar con los objetos a través de ellos (de los esquemas). Estos
criterios están claramente establecidos en la Estética trascendental (v. gr., en A19/B33), en la Analítica
trascendental (v. gr., en A137-47/B176-87) y en la Lógica trascendental (v. gr., en A92-3/B125).
72
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
una multitud de entidades de esta naturaleza. Por ejemplo, el sistema de los números
reales, los números transfinitos de Cantor, el conjunto (fractal) de Cantor, o curvas
como la de Peano (que cubre un área rectangular) y la de Weierstrass, calificada por
Hermite como “un mal deplorable”. Frente a la negativa de algunos matemáticos de
aceptar entidades de esta naturaleza -v. gr., Kronecker y Poincaré-, Hilbert optó por
extender conceptualmente esta ciencia y defender la libertad que tiene el matemático
de elegir sus métodos y objetos de estudio. Como ya lo hemos visto, esto lo llevó a
sobrepasar el constructivismo kantiano, hasta admitir como objetos ciertas ideas. En
otras palabras, Hilbert extiende la noción de objeto matemático. Tal extensión vino
emparejada con lo que podemos denominar cuasi-esquemas, es decir, procedimientos
infinitos que se admiten como idealmente realizables.107
Nada de lo anterior carecía de sustento; más bien, era la expresión filosófica de una
creciente tendencia generada en el interior de la matemática.
Consideremos, por ejemplo, las cortaduras de Dedekind, cuya aparición en el siglo
XIX significó la primera exposición formal del continuo numérico. Toda cortadura
es un conjunto infinito de números racionales que representa a un número real. Estas entidades las podemos sumar y multiplicar, formando de esta manera un campo
completo. Obviamente, en términos generales estas operaciones sólo tienen lugar en el
pensamiento, sin la posibilidad de contar para cada una de ellas con un esquema que
permita producir la nueva cortadura en su totalidad. Aún así, esta elaboración teórica
es la base del análisis matemático moderno, una pieza central de ciertas teorías físicas
que se hallan al centro del conocimiento de la naturaleza, algo a lo que Hilbert no
estaba dispuesto a renunciar. Y frente al rechazo del sistema de los números reales
en virtud del carácter no constructivo de sus elementos, Hilbert decidió extender el
concepto de “objeto matemático” hasta admitir como tales ciertas ideas (elementos
ideales en sus palabras). En conformidad, también decidió acoger y dar soporte a
la generalización de la teoría kantiana de esquemas hasta incluir, como ya lo hemos
señalado, procedimientos sólo realizables en un plano ideal, es decir, procedimiento
que sólo tienen cabida en el pensamiento, nunca en la representación.
Un claro ejemplo de lo anterior es la prueba que ofrece Cantor de que los puntos de
un cuadrado se pueden poner en correspondencia uno a uno con los puntos de uno de
sus lados. Quien siga la demostración verá que el procedimiento de intercalación de
fracciones continuadas infinitas es tan sólo el apunte de una posibilidad, la generalización de un procedimiento realizable cuando el número de dígitos es finito. Y frente a la
imposibilidad real de llevar a cabo el “encaje” propuesto, Cantor simplemente supone
consumado el proceso e imagina el resultado: otra fracción continuada.108 Surgen con
107 Repitamos las palabras que Hilbert escribiera en un cuaderno de notas: “Cualquier cosa que es
objeto del pensamiento es, por lo tanto, objeto de las matemáticas. Las matemáticas no son el arte de la
computación, sino el arte de la no-computación.” La fecha de esta nota no se ha podido precisar, aunque
es anterior a 1910 (Véase Hayashi, 2007, 2.2.3). Como complemento, véase también el apéndice T.
108 Quizá el caso más famoso de desdén al esquematismo kantiano lo constituye el axioma de elección,
introducido por Zermelo hacia 1908.
1.7. H ILBERT Y LA TEORÍA KANTIANA DE ESQUEMAS
73
ello muchas dudas en torno a la existencia de estos objetos: ¿En qué sentido podemos
decir que existen? La respuesta de Hilbert sería: en el sentido de algo que es pensado
sin incurrir por ello en contradicciones.109
Obviamente, nada de lo que se “hace” en dominios como el de los números reales
o la teoría cantoriana de conjuntos sería posible sin la correspondiente extensión del
concepto de esquema a entidades no construibles.
Sin adentrarnos por el momento en esta cuestión, debemos notar que hacia 1925 Hilbert
concibió las nociones ideales como ideas regulativas en el sentido de Kant, y que fue
con base en esta concepción que ideó su programa. Baste el comentario como un
indicativo de que la epistemología de Hilbert se nutrió en todo momento con elementos
tomados de la filosofía crítica de Kant. Y si bien en su concepción de la geometría
adopta una perspectiva empirista, su visión general de las matemáticas se sustenta en
muchas ideas tomadas de Kant. Esto es evidente en su segundo formalismo, donde
preconiza el carácter a priori de una parte de la aritmética y se sirve de principios
tomados de la Dialéctica Trascendental a fin de dar cabida a la moderna teoría del
infinito.110
1.7.4.
Comentarios finales
En el prefacio del libro Anschauliche Geometrie,111 escrito en colaboración con S.
Cohn-Vossen en 1921, Hilbert advierte:
En las matemáticas, como en cualquier otra disciplina científica, se hallan
presentes dos tendencias. Por una parte, la tendencia hacia la abstracción,
que busca cristalizar las relaciones lógicas inherentes al caudal de resultados
estudiados tratando de unificar el material de manera sistemática y ordenada.
Por la otra parte, la tendencia a la comprensión intuitiva, que nos alienta
a significar de manera inmediata tales relaciones lógicas, subrayando su
significado concreto.
En la geometría, la tendencia abstracta ha conducido a las magníficas teorías
de la geometría algebraica, la geometría de Riemann y la topología; estas
teorías se sirven ampliamente del razonamiento abstracto y del cálculo
simbólico en el sentido del álgebra. No obstante, hoy en día sigue siendo
tan cierto como siempre que la comprensión intuitiva desempeña un papel
principal en este dominio. Tal intuición concreta es de gran valor no sólo
para el investigador, sino para todo aquel que desee estudiar y apreciar los
resultados de la geometría. (Hilbert, 1952, p. iii)
109 Aquí reaparece, en toda su extensión, la idea de fundamento en el segundo sentido ampliamente
comentado en la sección 1.5.1: La consistencia como sostén de una teoría.
110 Este tema será tratado en el capítulo 4, en el contexto del formalismo desarrollado por Hilbert en la
década 1920-1930, en íntima conexión con el finitismo y el llamado Programa de Hilbert.
111 (Hilbert y Cohn-Vossen, 1952) es una traducción de este libro al inglés.
74
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Las palabras anteriores muestran un aspecto muy poco conocido del pensamiento de
Hilbert. Para él, la formalización no es un objetivo final, sino una fase en el movimiento
propio del pensamiento matemático. Desde su punto de vista, la matemática se desenvuelve en medio de una dialéctica entre lo formal y lo intuitivo, entre la forma y el
contenido. El libro de cuyo prefacio hemos tomado el pasaje anterior es en sí una viva
expresión de esta duplicidad, donde el lector podrá descubrir diversos aspectos visuales
de la geometría proyectiva y diferencial, de la cinemática y la topología. Y si bien
nosotros nos hemos concentrado casi en exclusiva en las ideas que tiene Hilbert acerca
de las matemáticas puras, sería un error desestimar la perspectiva anterior. Hilbert no
es el formalista radical que muchos autores presentan; más bien, como ya lo hemos
visto, él ve en la axiomática un instrumento para: i) elaborar un montaje conceptual
con relación a una teoría, ii) generalizar las teorías y iii) investigar las teorías mismas y
establecer vínculos entre distintas áreas de las matemáticas. Al respecto, esperamos
haber proyectado suficiente luz sobre su pensamiento como para desmentir la falsa
creencia de que se trata de un purista matemático para quien la matemática no es
más que un juego formal con vacuos conceptos. Por el contrario, la imagen que le
corresponde es la de un pensador para quien las matemáticas obedecen a múltiples
intereses, uno de los cuales es el de ser un instrumento esencial para el conocimiento
de la naturaleza.
En cuanto a Kant, esperamos haber contribuido a esclarecer su teoría del conocimiento
geométrico al mirarla bajo la luz de la teoría de esquemas. De hecho, la consideración
del esquematismo kantiano nos ha permitido: (i) entender con mayor claridad la
epistemología hilbertiana, aunque hasta ahora sólo hayamos presentado un esbozo
parcial de la misma; (ii) examinar el pensamiento de Kant desde un ángulo que aclara
la noción que sustenta de los objetos matemáticos; (iii) iluminar los cambios ocurridos
en la matemática durante el siglo XIX; (iv) entender cómo se relacionan los conceptos
y los objetos en la geometría clásica, y (v) aclarar la noción de objeto matemático
que introduce Hilbert en la filosofía de las matemáticas. Al respecto, sólo hemos
considerado el esquematismo kantiano desde la perspectiva de la geometría, sin tocar
en absoluto su relación con la aritmética. Esto es así en virtud de que las primeras
manifestaciones del formalismo de Hilbert se dieron en torno a los fundamentos de
la geometría, tema central de este capítulo. De igual forma, no hemos considerado en
plenitud la explicación que da Hilbert del conocimiento matemático en general, pues
esta tarea la acomete justo en la segunda etapa de su formalismo, un tema que veremos
más adelante. No obstante, con los elementos ofrecidos esperamos haber puesto en
claro que el formalismo de Hilbert, antes que una negación de la epistemología de Kant,
constituye una generalización necesaria de la misma en adecuación a la matemática de
su tiempo.
1.8. L A CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA
1.8.
La consistencia de la geometría
1.8.1.
La relación entre las nuevas geometrías y la euclidiana
75
Hoy en día es difícil valorar la importancia del descubrimiento de las geometrías
no euclidianas. En su momento éstas fueron aclamadas como preeminentes en la
emancipación del intelecto humano y el más notable y sugestivo logro del siglo
diecinueve. Su efecto fue devastador: su sola presencia hizo posible el rechazo de
la vieja creencia de que la geometría euclidiana era inherente a la naturaleza y sus
proposiciones verdades necesarias. Por el contrario, los axiomas comenzaron a verse
como hipótesis cuyo carácter descriptivo de algún tipo de estructura (por ejemplo, la
del espacio físico) habría que comprobar, lo cual ya no concernía a la matemática
misma.
Esta clase de consideraciones se halla en la base de la tesis de Hilbert según la cual
una teoría abstracta no es sino un entramado de relaciones que no necesita para
su edificación sino de su consistencia interna.112 Hubo entonces que considerar las
distintas geometrías a la luz de esta noción.
Aunque Lobachevski, Bolyai y Riemann no encontraron contradicciones al explorar las
nuevas geometrías, nada garantizaba este hecho. ¿Cabía la posibilidad de que en ellas
se pudieran deducir cosas contradictorias? Esta era una pregunta novedosa, pues hasta
entonces nadie se había planteado esta cuestión con relación a la geometría euclidiana.
¿Cómo probar su coherencia interna? Sobre la base del desarrollo de cada teoría no se
podía dar una respuesta definitiva: el hecho de que no se hubiera encontrado ninguna
contradicción no garantizaba nada, se trataba a lo más de una evidencia empírica
¿Había alguna manera de decidir la cuestión?
En 1868 Eugenio Beltrami (1835-1899) publicó un artículo en el que respondió parcialmente al problema de la consistencia de la geometría de Lobachevski: demostró
que ésta se puede interpretar como la geometría sobre cierta clase de superficies en el
espacio euclidiano tridimensional.113 Con ello dejó ver que cualquier inconsistencia en
dicha geometría se traduciría en una inconsistencia en la geometría euclidiana. Resulta
así que la primera es consistente en caso de que la segunda lo sea. Tiempo después
Poincaré descubrió algo similar: la geometría que resulta de suponer que por un punto
fuera de una línea recta es posible trazar más de una paralela, se puede interpretar
como la geometría de ciertos puntos y semicírculos en el plano euclidiano (el modelo
ya fue expuesto en la sección I.7). El resultado es el mismo: toda contradicción en esta
geometría no euclidiana se transformaría en una contradicción en la euclidiana (lo que
resultaría en la imposibilidad de esta última). En cuanto a la geometría de Riemann,
112 En
la misma época el álgebra se liberó del concepto de cantidad, abriendo las puertas a la consideración de una multitud de operaciones que dependían más que nada de su representación simbólica.
113 Es decir, que tales superficies son un modelo de la geometría de Lobachevski, donde por modelo se
entiende una interpretación que hace verdaderos a los axiomas.
76
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
ésta también se puede interpretar como la geometría de la superficie de una esfera
euclidiana definiendo adecuadamente los conceptos de punto y línea recta.114
La existencia de modelos euclidianos de las nuevas geometrías no constituyó una
prueba categórica de que éstas son consistentes, sino sólo de que lo son en la medida
en que la euclidiana lo sea. En efecto, si, por ejemplo, la geometría de Riemann fuera
inconsistente, esto permitiría demostrar en ella dos proposiciones –una la negación de
la otra– que serían verdaderas acerca de la esfera euclidiana que sirve como modelo de
tal geometría. Por lo tanto, la geometría euclidiana también sería inconsistente, pues
de los postulados que sirven como base para la construcción de la esfera se deducirían
contradicciones. Se concluye que si la geometría de Riemann es inconsistente, la euclidiana también lo es o, recíprocamente, que si la geometría euclidiana es consistente, la
geometría de Riemann también lo es.
Esta cuestión, que para él tenía una importancia primordial, la convirtió Hilbert en
un tema de investigación en torno a los fundamentos de la geometría. Al respecto, la
respuesta que halló fue parcial, pues lo único que logró fue remitir el problema de la
consistencia de la geometría al de la consistencia del sistema de los números reales.
Como veremos, para atacar este último problema hubo de idear un método sumamente
original que marcó su trabajo en el terreno de la lógica entre 1903 y 1930, un método
cuya dificultad correspondió a Gödel aclarar.
Como ya lo hemos señalado, para Hilbert la consistencia es la única condición exigible
a una teoría para admitirla en el terreno de la matemática pura, sin la necesidad de
explicar su origen o propósito. Dicho de otra manera, la consistencia interna en el único
fundamento de cada teoría.115 Fue entonces que la matemática dejó de ser considerada
la ciencia de la cantidad y la extensión de los antiguos, para convertirse en la ciencia
de lo posible, donde por “posible” se entiende aquello que no conduce a contradicción.
En cuanto a la consistencia, ésta es una propiedad lógica, no ontológica, y al adoptarla
como único criterio de validez de las teorías Hilbert las liberó de la obligación de ser
descriptivas del “mundo externo”.116 Esta idea de ya no “referirse al mundo externo”
se hizo presente incluso al investigar la consistencia de las geometrías no euclidianas,
pues todos los modelos que de ellas se dieron fueron obtenidos como parte de la
geometría euclidiana. Como a continuación veremos, lo mismo ocurrió al investigar la
consistencia de la geometría euclidiana, de la que lo único que se pudo ofrecer fue un
modelo algebraico.
114 En el apéndice B el lector hallará una exposición más o menos detallada de sendos modelos euclidianos para las geometrías de Lobachevski y de Riemann.
115 Nótese que esta condición no exige que se exhiba un sistema de objetos acerca del cual la teoría es
verdadera. Al respecto, en 1930 Gödel probó lo siguiente: Una teoría de primer orden es consistente si y
sólo si tiene un modelo.
116 La consistencia, repetimos, es una propiedad formal, que no depende del significado que se les dé
a los conceptos básicos, y puede por lo mismo ser investigada sin recurrir a nada externo al sistema
axiomático. Esta posibilidad será la base del llamado Programa de Hilbert que habremos de considerar
más adelante.
1.8. L A CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA
1.8.2.
77
La consistencia de la geometría euclidiana plana
Como sabemos, un modelo de una teoría axiomática es una realización de la misma
en algún dominio (preferentemente matemático) que ya se tiene a la mano. En el caso
específico de la geometría euclidiana plana, para construir el modelo Hilbert identificó
los “puntos” y las “líneas” con ciertos objetos construidos a partir del sistema de los
números reales y demostró que bajo dicha identificación de los términos primitivos,
los axiomas de la teoría se convierten en proposiciones verdaderas. Esto ilustra a la
perfección dos cosas: primero, la idea de que un modelo es un sistema matemático
bien definido, el cual tiene la estructura caracterizada por los axiomas; segundo, la
negativa de los matemáticos a abandonar el dominio de la matemática misma para dar
significado a sus teorías.
En cuanto al modelo para los axiomas de la geometría, el procedimiento que exponemos
es muy cercano al de Hilbert en los Grundlagen, y tiene como base el método de las
coordenadas. Lo primero es indicar qué significan los términos primitivos, y mostrar
después que bajo tal glosa los axiomas de la geometría se convierten en teoremas de la
teoría donde se les interpreta. Para ello hacemos las siguientes identificaciones:
1. Por “punto” entendemos pareja ordenada (x, y) de números reales. A los números
x e y se les llama coordenadas del punto.
2. Sean a, b y c tres números reales tales que a y b no son ambos cero. Por “línea”
entendemos el conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0, es decir, el
conjunto de parejas ordenadas (puntos)
{(x, y)|x ∈ R, y ∈ R, ax + by + c = 0}
En este contexto, dos ecuaciones de primer grado en x e y cuyos coeficientes difieren de una expresión a la otra en un factor constante distinto de cero, representan
una y la misma línea, y cualquiera de ellas se llamará ecuación de la línea.
3. Decimos que un punto “incide con” o “está en” una línea si y sólo si las coordenadas del punto satisfacen la ecuación de la línea.117
4. Decimos que el punto (x, y) “está entre” los puntos (a, b) y (a , b ) si y sólo si
hay un número real t, mayor que 0 y menor que 1, tal que x = a + t(a − a) e
y = b + t(b − b).
5. Decimos que el par de puntos p(x1 , y1 ), q(x2 , y2 ) es “congruente” con el par de
puntos r(x3 , y3 ), s(x4 , y4 ) si y sólo si
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
117 Nótese que la relación “incidir con” es una relación binaria entre puntos y líneas. Esta distinción es
relevante en la medida en que pone de manifiesto la idea de que los axiomas se inscriben en el contexto
de una teoría general de relaciones.
78
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
6. Sean A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), A (x1 , y1 ), B (x2 , y2 ) y C (x3 , y3 ) seis puntos
tales que B, C son distintos de A, y B , C son distintos de A . Decimos que los
ángulos BAC y B A C son congruentes si y sólo si
(x2 − x1 )(x3 − x1 ) + (y2 − y1 )(y3 − y1 )
=
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2
(x2 − x1 )(x3 − x1 ) + (y2 − y1 )(y3 − y1 )
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2
Las ideas geométricas subyacentes a estas definiciones se exponen con todo cuidado
en el apéndice D, en el que además se bosqueja la demostración de que los axiomas de
Hilbert corresponden a enunciados aritméticos verdaderos bajo esta lectura, y por lo
tanto que la aritmética de los números reales suministra el modelo buscado.
Cabe señalar que la interpretación de los puntos como parejas ordenadas de números
reales es posible gracias al axioma V.2, que asegura que en toda línea habrá suficientes
puntos como para que ésta constituya un continuo y se puedan poner en correspondencia uno a uno con los números reales.118 Al respecto, la cuestión de la continuidad
es fundamental para el cálculo diferencial e integral y el análisis matemático, y al
parecer Hilbert introduce el axioma V.2 con el propósito de vincular al álgebra con
la geometría y aplicar el cálculo en la resolución de problemas. No obstante, y como
ya lo hemos señalado, para deducir los teoremas de la geometría elemental el axioma
V.2 no es necesario y la construcción de un modelo para los primeros catorce axiomas
no requiere de la totalidad de los números reales, sino de los números algebraicos
o una fracción de éstos. Fue así que en los Grundlagen Hilbert consideró para estos
catorce axiomas no el modelo que acabamos de ver, sino uno más reducido, tomando
como base un campo numérico más limitado.119 La causa por la cual pensó que valía
la pena ofrecer una demostración por separado del menos comprehensivo teorema de
consistencia fue que la aritmética a la que se relativizaba la consistencia de la geometría
era más simple desde el punto de vista matemático, y por lo mismo menos dudosa o
abierta a la duda filosófica que la prueba general.120
Una vez demostrada la consistencia de los axiomas, Hilbert procedió a demostrar
que éstos eran, en todos los sentidos relevantes, independientes entre sí. Eso lo hizo,
como dijera Hermann Weyl, “mediante algunas geometrías peculiares, construidas
ad hoc”, en las que todos los axiomas se cumplen excepto aquel cuya independencia
118 Para un análisis más detallado de la relación entre el postulado de completud (básicamente, el
postulado de Dedekind) y la recta numérica, consúltese Bartle, 1964, pp. 45-51.
119 La base del modelo nos es conocida: se trata de todos los números algebraicos que integran al
conjunto Ω de la sección 1.6.4.
120 La prueba de consistencia relativa no establece nada acerca de los objetos geométricos (nada dice de
los puntos y las líneas, ni prueba nuevos teoremas), sino que informa acerca de las propiedades lógicas de
la teoría. En otras palabras: al investigar las propiedades lógicas de la teoría se puede recurrir a nociones
semánticas, pero no al derivar teoremas.
1.8. L A CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA
79
se demuestra, del que se cumple la negación, tal como lo hicimos con el axioma de
Arquímedes en la sección I.6.4.
En suma: lo que Hilbert hizo para la geometría euclidiana fue construir un modelo
dentro de la aritmética de los números algebraicos. Argumentó entonces que si una
contradicción fuese deducible de los axiomas para la geometría, también se podría
deducir una contradicción en la aritmética, de donde se sigue que, una vez garantizada
la consistencia de esta última, la consistencia de la geometría euclidiana quedaría
asegurada (consistencia relativa). Este resultado le permitió ver que la aritmética de
los números algebraicos es más comprehensiva y fundamental que la geometría, al
menos desde el punto de vista de la lógica. Se suscitó así el problema de probar la
consistencia de la aritmética, pero bajo circunstancias distintas: por una parte, ya no
había una teoría más confiable a la cual se le pudiera reducir, y por la otra, aunque la
hubiera (la recién nacida teoría de los conjuntos podría ser un buen candidato), poco o
nada se ganaría con ello: la solución final del problema de la consistencia no se lograría
por este camino, pues siempre habría una teoría en espera de que su consistencia
fuera probada. Se tendría, por ejemplo, una cadena del siguiente tipo: la geometría de
Lobachevski es consistente si la geometría euclidiana lo es; la geometría euclidiana es
consistente si la aritmética de los números reales lo es; la aritmética de los números
reales es consistente si la teoría de los conjuntos lo es, etc. lo cual no constituiría una
solución definitiva al problema de la consistencia de estas teorías.
Este estado de cosas llevó a Hilbert a considerar el problema de la consistencia de
la aritmética como un importante reto al que había que hacer frente. Fue así que en
el segundo Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en el verano
de 1900, al presentar una lista con los problemas más relevantes que, en su opinión,
habría de encarar la matemática en el siglo veinte, citó en segundo lugar el referente a
la consistencia de la aritmética, el cual enunció escuetamente como sigue:
Investigar la consistencia de los axiomas de la aritmética 121
La sencillez del enunciado contrasta con las enormes dificultades que habría que
superar para lograr la prueba anhelada, que no sólo sería salvaguarda de la aritmética,
sino de las distintas geometrías por igual. En aquel momento Hilbert no pudo imaginar
que jamás se contaría con tal garantía bajo ciertas condiciones: en manos de Gödel, la
investigación de este problema hubo de mostrar su verdadero grado de dificultad, y
desde entonces no se tiene idea de en qué dirección se podría encontrar una respuesta
satisfactoria. Es más, somos de la opinión de que jamás se tendrá tal garantía, si por
“garantía” se entiende “certeza racional”.122
121 La selección de los problemas tuvo como base el impulso que, creía, éstos darían a nuevos avances y
desarrollos en la matemática. La lista contenía un total de veintitrés problemas y Hilbert no la consideró
exhaustiva, sino significativa. Este hecho, el que un matemático de renombre se presentase ante el pleno
de su comunidad a decirles a sus colegas por qué derroteros habría de marchar la ciencia en el siguiente
siglo, fue algo inusitado y, creemos, irrepetible, una muestra del lugar que Hilbert ocupó en su tiempo.
122 Desde nuestro punto de vista, la investigación axiomática de la aritmética también forma parte del
80
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
1.9.
Cuestiones complementarias
1.9.1.
La naturaleza de la geometría: El punto de vista de Kant
Podemos ahora contrastar los puntos de vista de Hilbert y de Kant con relación a la
naturaleza de la geometría. De algún modo se trata de la disimilitud entre los puntos de
vista clásico y moderno en torno a la matemática. Esta labor exige considerar algunas
ideas de la epistemología de Kant que apenas si fueron mencionadas en las secciones
1.3.2 y 1.4, pues es con base en ellas que este filósofo pretende justificar la validez
del conocimiento matemático. Estas ideas tuvieron una gran influencia en los debates
filosóficos en torno a la matemática durante el siglo diecinueve y parte del veinte.
Al respecto podemos decir que Kant fue el filósofo que más atención recibió en los
debates suscitados en torno a los fundamentos de las matemáticas durante el periodo
que nos ocupa, incluso por parte de Hilbert.
Comencemos con una observación: Kant escribió la Crítica de la razón pura en 1781,
una época en la que los cambios que vendrían en la matemática durante el siglo
diecinueve no se preveían de ninguna manera. En aquel tiempo la validez universal
del sistema euclidiano era comúnmente aceptada. La importancia de lo anterior se
magnifica al notar que dicho sistema era un pilar de la mecánica de Newton, en la
que el espacio se consideraba como un concepto absoluto (es decir, no deducible ni
definible mediante ningún proceso físico). Kant vio en ello un problema filosófico:
¿De dónde provenía la certeza de las proposiciones aritméticas y geométricas? ¿Por
qué la matemática mostraba tal solidez en sus juicios? ¿A qué se debía la necesidad y
la universalidad de sus proposiciones? En su momento nadie dudaba de que la suma
de los ángulos internos de un triángulo fuera igual a dos rectos (¿qué otra cosa podría
ser?), ni que las leyes del álgebra tuvieran validez absoluta ¿Por qué las cosas tenían
que ser así?
En la Crítica de la razón pura Kant procura una respuesta a estas interrogantes. Para
ello comienza distinguiendo entre proposiciones analíticas y proposiciones sintéticas,
y entre el conocimiento a priori (el que es independiente de la experiencia) y el
conocimiento a posteriori (el que depende de la experiencia).123 Con base en tales
análisis lógico de nuestra intuición, en este caso la relativa a los números. Esta última afirmación significa,
entre otras cosas, que estamos convencidos de que ningún análisis de esta naturaleza puede producir un
cuadro completo, una imagen perfecta y acabada, de los contenidos de nuestra intuición, ni asegurar que
lo que resulte de él será un “discurso” coherente. En otras palabras, somos de la opinión de que la razón
matemática no es autovalidativa.
123 Es importante señalar que en este y otros apartados mantendremos la terminología utilizada por
Kant, en la que utiliza el término “juicio” donde nosotros podríamos utilizar el término “proposición”. Al
respecto, por “juicio” se suelen entender dos cosas. Por una parte, el acto de juzgar, es decir, de decidir en
torno a cosas que pueden ser de una u otra manera (un acto mental); por la otra, al resultado de dicho acto,
que suele expresarse mediante el enunciado o la proposición. Así, en un sentido estricto la proposición se
debe entender como un producto lógico del acto de juzgar, si bien a veces se le refiere como un juicio
(como lo hace Kant). Lo anterior concuerda con el uso de estos términos en la filosofía moderna, donde
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
81
distinciones plantea el problema anterior de la siguiente manera: ¿Cómo son posibles
los juicios sintéticos a priori, particularmente los de la matemática?, ¿cómo algo puede
ser evidente por sí mismo? Cabe señalar que Kant no pretende probar la existencia de
tales juicios, pues en su opinión los de la física y la matemática son claros ejemplos
de ello; más bien, lo que busca es explicar cómo es que son posibles.124 En los
Prolegómenos, una obra escrita en 1783 con la intención de exponer los puntos de
vista esenciales de su filosofía crítica, Kant expresa la idea de que los juicios de la
matemática son sintéticos a priori con las siguientes palabras:
Ante todo, debe notarse que las proposiciones de las matemáticas propiamente dichas son siempre juicios a priori y no empíricos, porque traen consigo
necesidad, lo cual no puede ser tomado de la experiencia.125
A lo que más adelante añade (tocando un aspecto ya mencionado en el apartado I.3):
Lo esencial y característico del puro conocimiento matemático con respecto a
todos los otros conocimientos a priori, es que, en absoluto, no debe proceder
de los conceptos, sino siempre mediante la construcción de estos. Pues
dado que, en sus proposiciones, ésta debe pasar sobre la noción hasta lo
que contiene la intuición correspondiente a ella, no pueden ni deben jamás
sus proposiciones brotar de la descomposición del concepto, esto es, nacer
analíticamente, y de ahí que sean todas sintéticas.126
La manera en que Kant establece la posibilidad de los juicios sintéticos a priori es
sumamente ingeniosa, aunque en la actualidad la solución que ofrece ya no es aceptada. En lo que sigue presentamos algunas de sus ideas con relación al conocimiento
geométrico. Al respecto, el lector podrá recurrir directamente a la Crítica de la razón
pura, secciones B37-B73 o a los Prolegómenos, parágrafos §6 - §13 y §49.
se considera al juicio como el acto u operación de la mente que se expresa en la proposición, remarcando
con ello el carácter lógico del acto de juzgar.
124 Si el lector no conoce la clasificación que Kant hace de los juicios, a los que divide en tres clases según
sean sintéticos a priori, sintéticos a posteriori o analíticos (que siempre son a priori), le recomendamos
que acuda a la fuente original –(Kant, 1783 y 1787)– o bien a la extensa literatura sobre el tema, en la que
un texto recomendable es (Körner, 1960). Por el momento en un adendo al final de este capítulo, es decir,
después de la subsección 1.9.5, comentamos brevemente este tema.
125 Kant, Prolegómenos, p. 59.
126 Ibid p. 61. Muchas de estas cuestiones ya fueron tocadas en la sección I.3, sobre todo con relación a
la proposición I.32 de los Elementos de Euclides ¿Cómo es que sabemos tal cosa, es decir, cómo es que
sabemos que los ángulos internos de un triángulo son igual a dos ángulos rectos? ¿Por observación? No,
pues la afirmación es relativa a todos los triángulos, de los que hay una infinitud. La respuesta es que
lo sabemos por demostración, sin ningún tipo de experimentos. No obstante, la proposición es sintética,
pues la noción de “ser igual a dos rectos” no está contenida en la nociones de “triángulo”, “ángulo
interior”, etc. como ya lo hemos señalado. Más bien, esto resulta de la consideración del diagrama (la
intuición correspondiente a los conceptos comprendidos, como señala Kant), de la que resulta evidente.
Debido a esto, diría Kant, es que el juicio expresado en esta proposición es sintético y a priori. Esto
hace ver, además, que el uso del diagrama en la demostración es esencial, pues Euclides lo necesita para
extraer de él conclusiones que no podría obtener sobre la sola base de los conceptos y los postulados. La
aprioricidad radica en que el objeto examinado no es empírico, sino el resultado de una construcción en
la intuición pura (es decir, la intuición sin ningún elemento empírico).
82
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Kant sostiene que el único modo que tenemos los humanos de contactar con el mundo
externo es a través de los sentidos. Percibimos los objetos del mundo físico bajo la
forma de impresiones acústicas, ópticas, táctiles, etc., provenientes de estos. No obstante, lo que los sentidos nos proveen es apenas la substancia de nuestras percepciones.
Para poder aplicar a estos datos sensoriales los conceptos e ideas que constituyen los
elementos de nuestra actividad intelectual debemos darles una cierta forma: Los debemos situar en el espacio y, tal vez, en el tiempo. Somos nosotros quienes colocamos la
substancia de nuestras percepciones bajo estas formas.
Precisemos lo anterior con relación a la geometría. Kant distingue dos aspectos presentes en toda percepción de los objetos externos. Por una parte, el material empírico
(bajo la forma de datos sensoriales); por la otra, el espacio en que dicho material se
localiza. Al respecto sostiene dos cosas: 1) que la percepción externa es imposible a
menos que lo percibido se ubique en el espacio y, 2) que los cambios en el material
empírico no afectan la estructura del espacio en que dicho material se ubica, es decir,
que el elemento espacial no forma parte del material empírico. Conforme a este punto
de vista el espacio y el tiempo no son cosas que se perciben a través de los sentidos, no
son datos suministrados por éstos; más bien, son formas bajo las que percibimos las
cosas. Dicho de otra manera: espacio y tiempo no son rasgos o aspectos de las cosas
que éstas poseen con independencia de nuestro conocimiento de ellas; más bien, son
condiciones subjetivas que residen en el sujeto cognoscente a fin de estructurar sus
experiencias. “El espacio, dice Kant, no es otra cosa que una forma de mi sensibilidad.”
(Prolegómenos §49).127 A esto se le conoce como idealismo trascendental.
Por ejemplo, en un juicio perceptual acerca del mundo físico como “la mesa está entre
las sillas”, los datos empíricos son la mesa, las sillas y una relación espacial entre tales
objetos. Nótese que el juicio no es relativo al espacio, sino a la relación de posición
que guardan entre sí la mesa y las sillas. Al respecto, Kant sostiene que no es posible
percibir dichos objetos sino como estando en el espacio (todos los objetos externos son
intuidos de esa manera) y sin que aparezcan guardando entre sí una cierta relación de
posición. Kant diría que al percibir la mesa y las sillas, el espacio aparece juntamente
con ellas, como una especie de “contendor” que nos permite observarlas. Nuestros
sentidos externos (la vista, el oído, el tacto, etc.) siempre lo incluyen como el lugar en
el que se hallan los objetos, sin que forme parte de los mismos (es decir, sin que sea
parte de lo percibido). Esa es la forma de nuestra percepción externa; se trata, como
ya lo hemos dicho, de una condición de posibilidad de toda percepción externa, sin la
cual ningún juicio del tipo considerado sería posible. Al mismo tiempo Kant rechaza
la tesis Newtoniana según la cual el espacio es absoluto, i. e., algo que es permanente y
existe independientemente de la materia o de quien percibe los objetos externos. Más
bien, lo considera una condición a priori existente sólo en la mente humana como
medio para dar forma (estructura) a nuestras experiencias.
127 Kant diría que las experiencias físicas nada tienen que ver con el tiempo y el espacio. Es función de
nuestro intelecto proveer estas formas para organizar los datos sensibles y poderlos utilizar en relaciones
espaciales y temporales.
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
83
En la Crítica de la razón pura Kant expresa lo anterior con las siguientes palabras:
El espacio es una necesaria representación a priori que sirve de base a todas
las intuiciones externas. Jamás podemos representarnos la falta de espacio,
aunque sí podemos muy bien pensar que no hay objetos en él. El espacio es,
pues, considerado como condición de posibilidad de los fenómenos, no como
una determinación dependiente de ellos, y es una representación a priori en
la que se basan necesariamente los fenómenos externos. (CRP, B39).
Éste es el lado idealista de la filosofía de Kant: el espacio sólo existe en la mente
humana, no fuera de ella, y es lo que nos permite estructurar nuestras experiencias
externas, es decir, es la forma a priori de la sensibilidad externa. La parte polémica de
la epistemología de Kant es la tesis de que esta forma no tiene un origen empírico, es
decir, no se extrae de la experiencia sensible, sino que es su condición de posibilidad.
Se trata, por tanto, de una intuición pura: “intuición” porque permite la intuición
empírica (es el marco en el que se ha de dar dicha intuición) y “pura” porque no tienen
un origen empírico.
¿Y la geometría? Según Kant la geometría es la ciencia que establece las propiedades
del espacio sintéticamente y, no obstante, a priori. Lo hace siguiendo dos caminos:
mediante construcciones en la intuición pura y por demostración. Esto es así porque
el espacio posee una estructura que podemos descubrir y caracterizar sin acudir a
la experiencia, mediante el examen de la intuición que se halla en nosotros a priori,
con anterioridad a toda percepción de los objetos. Si se acepta esta idea entonces se
vuelve claro por qué los principios de la geometría no necesitan de la observación. Más
bien, nuestras observaciones son consecuencia directa de nuestra intuición espacial.
Es la mente, al mirar hacia su interior, la que descubre los postulados básicos de la
geometría.
Esta postura de Kant significó un hito en la historia de la filosofía y tuvo enormes
consecuencias en la filosofía de las matemáticas. Por ejemplo, W. R. Hamilton (18051865), tras estudiar a Kant, concluyó que si la geometría refleja al espacio, entonces el
álgebra debería reflejar al tiempo, y escribió un tratado con el nombre El álgebra como
la ciencia del tiempo puro en el que se sirve de la unidimensionalidad del tiempo para
asociarlo con nuestro sistema numérico, que es una variedad unidimensional.
El desarrollo de la matemática en el siglo diecinueve puso en tela de juicio la solución
propuesta por Kant. En particular, la aparición de las geometrías no euclidianas puso en
claro que los postulados de Euclides no son el único fundamento sobre el que se puede
erigir la geometría. Surgieron así sistemas de geometría en los que las propiedades
del espacio son muy distintas a lo previsto por la geometría euclidiana. Pero si otros
sistemas rivales son posibles, entonces no se puede tomar una decisión sobre cuál es la
estructura del espacio en su forma pura (es decir, la forma bajo la cual observamos los
fenómenos) sobre criterios puramente lógicos. En tal caso dejaría de ser cierto que la
mente dicta las leyes del espacio y todo el concepto de un espacio único dejaría de ser
válido, al igual que el apriorismo kantiano.
84
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
1.9.2.
El apriorismo en la matemática después de Kant
En el siglo diecinueve muchos matemáticos expresaron sus dudas respecto a la validez
del punto de vista de Kant acerca de la naturaleza a priori de las matemáticas. Por
ejemplo, en 1817 Gauss, en una carta dirigida a Olbers, expresa abiertamente su recelo
respecto del carácter necesario de la geometría con las siguientes palabras:
Cada vez me convenzo más de que la necesidad de nuestra geometría no se
puede probar, al menos no por la comprensión humana ni para la comprensión
humana [Gauss se refiere a los intentos por probar el quinto postulado de
Euclides]. Quizá en otra vida alcanzaremos otros puntos de vista acerca de la
naturaleza del espacio que por ahora no nos son asequibles. Hasta entonces,
no se deberá poner a la geometría en el mismo rango que la aritmética, que
se yergue a priori, sino en la misma situación que, digamos, la mecánica.128
Así, donde Kant establece una similitud epistemológica entre la geometría y la aritmética, Gauss advierte una asimetría. Tiempo después, la llegada de las geometrías
no euclidianas y las pruebas de su mutua posibilidad alimentaron esta sospecha: la
aritmética y la geometría parecían no compartir una misma jerarquía epistemológica.
Esta cuestión se convirtió en un tema central de la filosofía de las matemáticas y orientó
en gran medida el estudio de sus fundamentos. Dilucidarla se convirtió en uno de los
ejes de las investigaciones de muchos filósofos y matemáticos, incluyendo a Bolzano,
Dedekind, Hamilton, Helmholtz, Frege, Poincaré y Hilbert y, posteriormente, a Russell,
Bernays, Brouwer y Weyl, entre otros.
A grandes rasgos, hubo tres maneras de solventar el problema, según el modo de
disponer del a priori. Por ejemplo, Poincaré, en conformidad con Gauss, opta por
retener la concepción kantiana de la aritmética, adoptando a la vez una concepción no
kantiana de la geometría (es decir, viendo en ella algo cuya fuente no es una forma a
priori de la intuición). La de Frege fue la contraria: retuvo la concepción kantiana de
la geometría (como algo basado en una intuición a priori), y desechó la concepción
kantiana de la aritmética. La de Hilbert fue un poco más compleja: mantuvo cierto
apriorismo en ambos casos, aunque en forma limitada (i. e., a cambio de restringirlo).
Más adelante habremos de referirnos a estas cuestiones con relación a varios de estos
autores.
Este problema siguió siendo importante a principios del siglo veinte, donde toda
filosofía de las matemáticas debía explicar y aclarar su postura frente a Kant. Por
ejemplo, Hans Reichenbach, fundador de Círculo de Berlín, sostiene en un libro
publicado en 1951 que “No hay síntesis a priori en la geometría: o la geometría es
a priori, y entonces es analítica, o la geometría es sintética y entonces es geometría
física y empírica. La evolución de la geometría culmina en la desintegración de la
128 Tomado
de (Burris, 2003, p. 8).
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
85
síntesis a priori.” (Reichenbach, 1953, p. 149). De hecho, esta cuestión se encuentra
entre las causas iniciales de muchas investigaciones en torno a los fundamentos de
la matemática, siendo una invención decir que el motivo principal de las mismas era
asegurar las bases del edificio matemático.129
1.9.3.
El punto de vista de Hilbert
En una conferencia pronunciada en 1930 Hilbert expone con cierto detenimiento su
punto de vista con relación al conocimiento geométrico.130 Sostiene que además de
la experiencia y la deducción lógica, disponemos de cierto discernimiento a priori
necesario para la construcción de un marco teórico para la realidad. Tal discernimiento
es subyacente a la génesis de nuestro conocimiento. No obstante, la frontera de este a
priori lo traza de otra manera que Kant, tanto para la aritmética como para la geometría.
En su opinión, Kant sobreestimó el papel y el alcance del a priori en ambos casos.
Dice al respecto:
En los días de Kant se podía pensar que las representaciones [Vorstellungen]
que uno tenía del espacio y del tiempo eran aplicables de un modo tan inmediato y general a la realidad como, por ejemplo, nuestras representaciones
de número, sucesión y cantidad, las cuales se utilizan constantemente en la
manera que nos es familiar en la teoría matemática y física. Pero entonces la
teoría del espacio y el tiempo (y en particular la geometría) precedería, como
la aritmética, nuestro conocimiento de la naturaleza. No obstante, el punto
de vista de Kant fue abandonado por Riemann y Helmholtz incluso antes de
que la teoría física obligara a hacerlo, y con toda razón, pues la geometría no
es otra cosa que esa parte del marco de los conceptos físicos que modela las
posibles relaciones de posición entre los cuerpos rígidos en el mundo de las
cosas reales.” (Hilbert, 1930. Cita tomada de Ewald, 1996, p. 1162).131
Fue así como Hilbert despojó a la geometría elemental del poder de determinar las
propiedades del espacio sintéticamente y a priori. Lejos de Kant, Hilbert ve en ella una
ciencia cuyo cometido es describir la forma externa de las cosas que se nos manifiestan
al observar la naturaleza. Esta postura la subraya con las siguientes palabras: “[. . . ]
hay principios que Kant considera a priori y que nosotros asignamos a la experiencia;
por ejemplo, la totalidad de los hechos fundamentales de la geometría, así como las
propiedades elementales del espacio y la materia”. (Hilbert, 1993, p. 124). De lo
anterior se sigue la imposibilidad de establecer las propiedades del espacio por pura
129 Al respecto, podemos decir que las antinomias de la teoría de conjuntos (y otras paradojas que
pronto veremos) no fueron sino un acuciante problema que apremió la búsqueda de una solución final al
problema de los fundamentos, pero no su origen.
130 (Hilbert, 1930a).
131 En cuanto a las “relaciones de posición”, éstas sólo se plantean como posibilidades, debiendo ser
confirmadas o refutadas en la experiencia. V. gr., el que haya cuerpos rígidos móviles y cuáles sean sus
relaciones de posición es una cuestión de la experiencia, no algo determinado a priori.
86
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
reflexión, ya que es en la contemplación intuitiva de los hechos espaciales donde nace
la geometría. Su punto de partida es doble: por un lado, la experiencia u observación;
por el otro, nuestra percepción de las relaciones espaciales (es decir, la manera en que
percibimos tales relaciones).132
En el caso de la geometría, la observación de las configuraciones espaciales se da
en el marco de lo que Hilbert refiere en alemán con el vocablo “Anschauung”, que
podemos explicar como “intuición o contemplación intuitiva con una fuerte carga de
evidencia”. Esta es la fuente de muchos axiomas; es también la fuente de muchos
de sus teoremas como, por ejemplo, el relativo a la igualdad entre los ángulos de la
base de un triángulo isósceles. La aceptación inmediata de tales hechos geométricos
resulta de la consideración intuitiva de las figuras y es lo más cercano que tenemos al
apriorismo en geometría.
Al respecto, Hilbert parece admitir que la forma en que percibimos las relaciones
espaciales es la descrita por la geometría euclidiana. Esto no obliga a nada con relación
a los fenómenos, pues nuestra percepción es inexacta. Al axiomatizar idealizamos tales
observaciones, dándoles un carácter de absoluta exactitud y generalidad. Así, aunque
partimos de observaciones que son válidas dentro de ciertos límites de exactitud, en los
axiomas substituimos los resultados de las mismas con aseveraciones de total precisión
y universalidad. Pero entonces la teoría axiomática es acerca de relaciones ideales entre
objetos ideales. En otras palabras, la validación intuitiva de los axiomas deja de ser
un fundamento para la teoría. Es más, tal validación escapa de las matemáticas.133 Al
mismo tiempo, como ya lo hemos visto, el matemático queda en libertad de interpretar
los términos geométricos y sus relaciones como le plazca. Así, frente a la idea de una
teoría que trata con un fuerte núcleo de “realidad geométrica” o “intuición intersubjetiva”, Hilbert coloca, independientemente de su origen, una teoría abstracta que trata
con términos susceptibles de distintas interpretaciones.
Llegar a estas ideas no fue cosa de un día, sino el resultado de largas reflexiones en
las que Hilbert hubo de ponderar el carácter de la nueva matemática. En particular,
132 Para Hilbert la axiomatización constituye una etapa superior en el desarrollo de la geometría. Al
respecto, el propósito inicial de la axiomatización es ordenar los hechos y los conceptos que conforman
esta esfera del conocimiento. Años más tarde diría algo semejante de todas las teorías matemáticas y de
la física. Dicha ordenación se logra, en sus palabras, “recurriendo a una trama de conceptos relacionados
entre sí, de tal manera que a cada objeto y a cada hecho del campo del conocimiento de que se trata le
corresponda, respectivamente, un concepto de esa trama y una relación lógica entre conceptos. La trama
de conceptos no es otra cosa que la teoría de esa esfera del saber.” (Hilbert, 1993, p. 23). Como ya lo
hemos visto, en el caso específico de la geometría dichos conceptos son los de punto, línea, triángulo,
etc.; y los hechos relevantes los de incidencia, congruencia, paralelismo, etc., entre puntos, líneas, planos
y otras figuras. Las expresiones que Hilbert utiliza para referirse a tales hechos (“A está en a”, “A está
entre B y C”, “a y b son paralelas”, “AB es congruente con CD”, etc.) corresponden en el orden lógico a
relaciones entre los objetos de nuestra intuición.
133 En efecto, para determinar la corrección o no de la teoría geométrica respecto del espacio físico
debemos recurrir a la experiencia, donde se le ha de poner a prueba junto con ciertas convenciones como,
por ejemplo, que en el espacio físico las ‘líneas rectas’ son las trayectorias de los rayos de luz. Esa
cuestión ya no compete a las matemáticas.
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
87
como ya lo hemos señalado, tanto la geometría proyectiva como las geometrías no
euclidianas aportaron suficientes elementos como para poner en tela de juicio la visión
tradicional. Esto obligó al método axiomático a que diera cuenta de su condición, pues
a finales del siglo diecinueve ya no era creíble un punto de vista como el de Kant.
1.9.4.
Un epígrafe tomado de la Crítica de la razón pura de Kant
Al referirse a los axiomas Hilbert dice que éstos expresan “ciertos hechos fundamentales y conexos entre sí de nuestra intuición.”134 Se trata, por supuesto, de una referencia
al origen de la teoría, no de un indicativo acerca de una semántica obligada para sus
términos. Para aclarar este punto recordemos la manera en que expone el axioma II.4 o
Postulado de Pasch:
II.4 (Postulado de Pasch) Una línea que corta un lado de un triángulo y
que no pasa por ninguno de sus vértices deberá cortar también otro lado del
triángulo.
Lo que sorprende de esta presentación es que Hilbert acompaña al axioma con una
figura de la no dice nada y de la que no hace ningún uso más adelante ¿Por qué
entonces la presencia de ésta? La respuesta se halla en las palabras introductorias a los
Grundlagen. Dice Hilbert:
La geometría –al igual que la aritmética– requiere para su desarrollo sistemático de un reducido número de principios básicos simples. Estos principios
son conocidos como axiomas de la geometría. Establecer axiomas para la
geometría e investigar la forma en que se relacionan entre sí es un problema
que se ha discutido desde la época de Euclides en diversas y admirables
contribuciones a la literatura matemática. El problema en cuestión equivale
al análisis lógico de nuestra intuición espacial.135
El sentido de la última frase de la cita se aclara al considerar las palabras de Kant
que, a manera de epígrafe, Hilbert coloca al principio de los Grundlagen: “Así, todo
conocimiento humano se inicia con intuiciones, pasa de éstas a los conceptos y termina
134 Hilbert
135 Ibid.
1903, p. 1.
88
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
en las ideas.”136 Podemos decir entonces que la figura que acompaña al postulado de
Pasch es la intuición que explica al axioma, y que éste expresa tal hecho de la intuición
en términos de una relación entre los conceptos de “línea”, “triángulo”, “pasar por” y
“cortar”. En cuanto al epígrafe, consideramos que su inclusión obedece a la intención
de Hilbert de puntualizar el carácter de la teoría que presenta: Se trata de un montaje
que inicia con intuiciones, pasa de éstas a los conceptos (a través del análisis lógico de
nuestra intuición espacial) y culmina, en su conjunto (i. e., vista como una totalidad),
en una teoría que tiene el mismo rango que las ideas en el sentido de Kant, es decir,
constituye un objeto de la razón que carece de realidad y que en su perfección sobrepasa
la posibilidad de la experiencia.
En otras palabras, una vez empalmados los conceptos geométricos en una teoría, ésta
alcanza la misma condición que las ideas: trasciende toda posibilidad de verificación
absoluta. Esto sucede incluso con algunas de sus partes. Por ejemplo, para comprobar
el postulado de las paralelas habría que recorrer el espacio en su totalidad, lo cual
resulta imposible. Por tanto, así nos parece, para Hilbert la cita de Kant expone el
carácter de su obra.
Por otra parte, todo apunta a que Hilbert comparte con Kant la idea de que el conocimiento teórico sólo adquiere significado y objetividad en la experiencia (Kant diría “en
las intuiciones”), y que la intuición es una innegable fuente de conocimientos.137 En
este sentido ve en la axiomatización una forma de ordenar las teorías que se gestan
en el ámbito de la intuición o en la práctica matemática, esclareciendo sus conceptos
y supuestos básicos. Es por ello que la axiomatización de la geometría tiene como
punto de partida el análisis lógico de nuestra intuición espacial, a fin de determinar
su forma abstracta. Por su parte, los axiomas resultan de precisar la forma lógica de
ciertos juicios relativos a conceptos espaciales de los que, supuestamente, se derivan
las propiedades relevantes del espacio. El fruto es una teoría cuya exposición se realiza
al margen de toda intuición y que en rigor ya no depende de ella. Producir dicha teoría
es el papel del análisis lógico.138
136 Kant, Crítica de la razón pura, A702, B 730. [So fängt denn alle menschliche Erknennitnis mit
Anschauungen an, geht von da zu Begriffen und endigt mit Ideen.] Como ya lo hemos dicho, la voz que
Kant utiliza para referirse a la intuición, “Anschauung”, tiene en alemán una acepción un tanto más
precisa que el vocablo “intuición” en español, y que aquí repetimos: Anschauung ≈ intuición con una
fuerte carga de evidencia. Por ejemplo, Kant diría que un juicio como “el camino más corto entre dos
puntos es la línea recta” toma toda su fuerza en la siguiente figura:
y añadiría que sin esta intuición el juicio no tiene fundamento. Es así que el carácter sintético a priori que
Kant atribuye a este juicio descansa en la evidencia intuitiva, en el Anschauung. En español, para expresar
el origen intuitivo de este juicio, deberíamos darle la siguiente forma: “Veo que el camino más corto...”, o
“A mi modo de ver, el camino más corto...”, incorporando de esta manera el sentido del vocablo alemán.
137 Esto no quiere decir que para Hilbert la aritmética transfinita de Cantor o la teoría de los números
reales, que suponen ideas que rebasan el plano de lo intuitivo, no tengan justificación, sino que en un
sentido estricto no son conocimiento de nada.
138 En este sentido, la obra de Hilbert es efectivamente una continuación y puesta en forma de la
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
89
Una diferencia entre Hilbert y Kant es que para el segundo los objetos matemáticos
son representaciones a priori en la intuición, mientras que para el primero éstos son,
al menos en el punto de partida, una idealización de lo que se ofrece en la intuición
sensible. No hay que olvidar que Hilbert ya tiene conocimiento de las geometrías
no euclidianas y no puede argumentar que dichos objetos pertenecen a la intuición
pura. Más bien, ubica el origen de los conceptos y los axiomas geométricos en la
consideración de lo que la intuición sensible supone. No ve en los axiomas verdades
necesarias, sino proposiciones que pueden ser refutadas por la experiencia o incluso ser
contradictorias entre sí: la intuición también nos puede engañar (por ello la necesidad
de las pruebas de consistencia).
1.9.5.
El análisis lógico: un ejemplo
Aclaremos el cometido del análisis lógico con un ejemplo específico. En parte, éste
consiste en investigar cómo se vinculan entre sí los puntos y las líneas según nuestra
intuición, fijando el tipo de relaciones a que esto da lugar. Observemos la siguiente
figura:
Como se ve, si tres puntos A, B, C están en una línea recta, uno y sólo uno de ellos
está entre los otros dos. La validez de esta afirmación descansa en la evidencia de los
sentidos, en la intuición espacial (en el Anschauung)139 , y en ella se indica la manera
en que puntos y líneas se enlazan para dar lugar a una relación de orden entre los
puntos.
La intuición nos “dice” que si nos movemos sobre la línea de A a C, pasaremos
por B.
También nos “dice” que si nos movemos de B a C no pasaremos por A, incluso
si continuamos el movimiento indefinidamente en esa dirección, y que algo
semejante sucede respecto a C si nos movemos de B a A. Esto es parte de la
naturaleza de la línea recta según nuestra intuición.
Podemos entonces afirmar lo anterior escribiendo el axioma II.3 de los Grundlagen:
de Euclides quien, como sabemos, no logró independizar del todo la demostración de las intuiciones
subyacentes. Prueba de ello es que no reconoció ciertos axiomas que correspondían a otras tantas
intuiciones (v. gr., los axiomas de orden o el postulado de Arquímedes) que, sin embargo, intervienen
en las demostraciones, sobre todo a través de las figuras. Y hacer tal separación era imprescindible si lo
que se quería era llevar a buen término el análisis lógico de nuestra intuición espacial: la lógica no se
ocupa de hechos de ninguna especie, sino de deducciones y relaciones entre conceptos. Es por ello que el
resultado de tal análisis es el establecimiento de la forma lógica de la teoría geométrica y la instauración
de un orden deductivo entre sus proposiciones.
139 Esto es lo que dirían Kant y Hilbert.
90
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
II.3 Si A, B y C son tres puntos distintos en una misma línea, entonces uno y
sólo uno de ellos está entre los otros dos.
Este último enunciado expresa la forma de nuestra intuición espacial, y cualquier
representación de los conceptos euclidianos de “punto”, “línea” y “estar entre” habrá
de sujetarse a ella, pues esa es la manera en que tales objetos se relacionan.
Una característica del axioma II.3 es que obliga a la línea recta a no volver sobre sí
misma:
Hasta aquí, Kant estaría de acuerdo con el modo de proceder y las conclusiones
alcanzadas.
No obstante, para Hilbert el límite que separa al a priori de la experiencia se traza de
otra manera, reconociendo, como ya lo hemos señalado, que la geometría no es una
determinación sintética y a priori de las propiedades del espacio, sino una rama del
marco conceptual de la física. Por ejemplo, al interpretar “línea” como “trayectoria de
un rayo de luz” podríamos encontrar, con relación a lo anterior, que al lanzar un rayo
de luz de B hacia C, al continuar éste su movimiento pasara también por A (es decir,
que los rayos de luz en el espacio físico siguieran trayectorias cerradas). Bajo tales
circunstancias diríamos que el concepto de “línea recta euclidiana” no es aplicable
a los rayos de luz, o que éstos describen trayectorias rectilíneas, pero que el espacio
no es el euclidiano y tiene otra forma. En el segundo caso tendríamos un cambio de
marco conceptual, lo cual no era imaginable en el siglo dieciocho por la simple y
sencilla razón de que no había otras geometrías a la mano. No obstante, nada de esto
descalificaría a la geometría euclidiana como tal, pues la única conclusión sería que en
el espacio físico los objetos no se comportan (a gran escala) como ella establece.
Por ejemplo, en la teoría de la relatividad los físicos convienen en la segunda alternativa,
pero hay que tener en cuenta que se trata de un acuerdo. La matemática no legisla acerca
de la estructura del espacio físico, ni dice qué objetos de éste son los correspondientes
a la línea recta. Por lo demás no podría hacerlo. El propósito del análisis lógico que
practica Hilbert es elaborar una teoría acerca del espacio de nuestra intuición y ordenar
dicha teoría con apego a la lógica.140 Tampoco es el propósito del análisis lógico dar
una definición de los conceptos de “punto”, “línea”, etc. como pretende Frege,141 sino
140 Cabe señalar que “elaborar una teoría acerca de lo que presupone nuestra intuición espacial” no es lo
mismo que elaborar una teoría sobre las propiedades del espacio en tanto que condición de posibilidad de
toda experiencia, como sostiene Kant. Cf. Kant, 1787, B41 y B59-73.
141 En (Frege, 1980, p. 46) Frege reconviene a Hilbert que su aparente “definición” de las nociones de
punto, línea, etc. no satisface la exigencia de responder forzosamente a la pregunta “¿Qué propiedades
debe tener un objeto para ser un punto (una línea, un plano)?”, oponiéndose de esa manera a la idea de
una definición implícita de las cosas a través de una serie de postulados.
1.9. C UESTIONES COMPLEMENTARIAS
91
exponer, mediante definiciones implícitas, cómo se vinculan entre sí los puntos, la
líneas y los planos euclidianos. Llevado al extremo, Hilbert diría, apoyándose en Kant,
que no es posible decir en definiciones y axiomas lo que es el espacio y que lo único
que podemos hacer es decir nuestra percepción del espacio: puntos, líneas y planos
sólo los podemos describir mediante su comportamiento y mutuas relaciones, tal como
éstas se expresan en los axiomas, fruto del análisis lógico de nuestra intuición espacial,
es decir, del “Anschauung”.142
Como se puede ver en el ejemplo recién expuesto, el análisis lógico de nuestra intuición
espacial conlleva la necesidad de separar la forma del contenido de las proposiciones.
Repito: la lógica no se ocupa de los hechos geométricos, sino de deducciones y
relaciones entre conceptos. En este sentido, el resultado del análisis no puede ser otra
cosa que el establecimiento de un orden formal entre conceptos y un orden deductivo
entre proposiciones.
No obstante, y éste es uno de los puntos centrales de nuestro argumento, Hilbert no
olvida que no es la lógica sino la intuición la que convierte a la geometría en un
desafío para el entendimiento humano, en vez de uno entre una infinidad de ejercicios
intelectuales arbitrarios. Esto explica la profusión de figuras, algunas de gran belleza,
que sin intervenir en las demostraciones aclaran el texto mostrando aquello de lo que
se habla. Hilbert practica con excelsitud un juego formal en el que ciertos significados
prohibidos están siempre ahí, presentes, dando sentido a la teoría, pero sin que se les
pueda acusar de nada, pues cuando se les quiere inculpar de algún delito lo único
que permanece en su lugar son expresiones vacías. Se trata de un equilibrio que supo
mantener a la perfección: separa las palabras de sus denotaciones, pero no lo suficiente
como para que éstas no sigan dando sentido a la teoría. En los Grundlagen el único
sustento formal de los teoremas es la demostración, pero es la intuición la que señala
el camino. Como veremos, Hilbert habrá de afinar este juego cuando intente, en la
década de los veinte, hacer valer la matemática transfinita de Cantor con un juego
semejante.143
142 Por otra parte, nada nos asegura que el análisis lógico tiene la capacidad de precisar el contenido
de nuestra intuición en todos los casos. Más bien, todo parece indicar que el lenguaje no es el medio
adecuado para hacerlo. El teorema de Lowenheim-Skolem es una evidencia en contra de la capacidad de
nuestro lenguaje para abarcar el contenido de nuestra intuición, e incluso la existencia de modelos no
estándar numerables de los axiomas de Peano parece ser suficiente. Esto se relaciona con el problema de
la completud de las teorías formales que más adelante veremos.
143 Esto lo logra, por ejemplo, escribiendo fórmulas como “2ℵ0 > ℵ ” que leemos como relativas a los
0
números transfinitos de Cantor sosteniendo a la vez que se trata tan sólo de una sucesión de seis símbolos
(¿o es que hay otra cosa sobre el papel?)
92
1. E UCLIDES , K ANT, H ILBERT Y ...
Adendo
Juicios analíticos y juicios sintéticos
En la lógica y la filosofía se distingue entre juicios analíticos y juicios sintéticos. Los
primeros se caracterizan por el hecho de que en ellos la noción del predicado está
“contenida” en la noción del sujeto, mientras que en los segundo no lo está [Nota. Lo
anterior se basa en la idea aristotélica de que los juicios (o aserciones) son oraciones
con un sujeto y un predicado, en los que el predicado se afirma o niega del sujeto. El
típico ejemplo de ello es el juicio “Sócrates es hombre”. Al respecto, Kant acepta este
modelo al momento de clasificar los juicios.] Veamos un ejemplo. Consideremos los
juicios “La madre de este niño es una hembra” y “La madre de este niño es amorosa.”
En el primer caso el predicado “hembra” está contenido en el predicado “madre” (por
definición, una madre es una hembra que ha parido), mientras que en el segundo caso
el ser “amorosa” no está contenido en la noción del sujeto (en cada caso habría que ir a
la experiencia para verificar la afirmación). Ergo en el primer caso la validación del
juicio no pasa por la experiencia, sino por el análisis de los conceptos involucrados,
y es por ello un juicio analítico [de hecho, Kant se basa en esta idea al sugerir que
ningún filósofo podría responder a la pregunta ¿a qué son igual los ángulos internos de
un triángulo? mediante el simple análisis de los conceptos de recta, ángulo, etc., pues
en su opinión todas las respuestas que éste podría ofrecer serían juicios analíticos.] Por
el contrario, la validez del segundo juicio habría que confirmarla, es decir, habría que
ver si la madre aludida es en realidad amorosa, pues no todas las madres lo son. Se
trata, por tanto, de un juicio sintético: en el predicado se afirma algo que no radica en
el concepto del sujeto, es decir, algo que no siempre es así. De eso se tratan los juicios
sintéticos: en ellos la noción del predicado no está contenida en la noción del sujeto.
En general, esta clase de juicios requieren de la observación o experiencia para ser
validados. V. gr., “Hoy es lunes”. Esto se relaciona con el significado de las expresiones
a priori y a posteriori, las cuales se utilizan para distinguir un conocimiento que no
depende de la experiencia de uno que sí lo hace. Por ejemplo, los juicios “La madre
de este niño es una hembra” y “La madre de este niño es amorosa” serían, el primero
a priori y el segundo a posteriori. Los juicios a priori son universales y necesarios,
mientras que los juicios a posteriori suelen asociarse con lo particular y lo contingente.
“El oro es un metal” (a priori), “Ningún soltero es casado” (a priori) vs. “El día está
soleado” (a posteriori) o “Ningún soltero es francés” (a posteriori). Que los juicios
analíticos son a priori no presenta mayor problema, y lo mismo se puede decir de
los juicios a posteriori, que son sintéticos. Pero, ¿habrá juicios sintéticos a priori? Al
respecto, Kant sostiene que sí los hay y que, en particular, los juicios de la matemática
son un ejemplo de ello. Esta tesis ha constituido desde siempre un tema polémico con
relación a la filosofía de Kant. Se trata de algo que él no discute, pues lo asume como
un hecho. En otras palabras, su problema no es probar que los juicios de la matemática
son sintéticos a priori, sino explicar cómo es que son posibles.
Capítulo 2
La matemática moderna y la teoría
de conjuntos
2.1.
La nueva matemática
En el siglo diecinueve la matemática experimentó un vigoroso impulso hacia la abstracción, y una mayor exigencia de rigor en prácticamente todas sus ramas. Estos cambios
volvieron obsoleta la idea de que su papel consistía en reflejar diversos aspectos de la
realidad física y que en ello encontraba su fundamento. Esta tendencia cobró fuerza
sobre todo en la segunda mitad del siglo, trayendo consigo la idea de que la matemática
no es sino una enorme construcción conceptual libre de determinar su objeto. Tal
desarrollo dio lugar a la consideración de nuevas teorías, sin importar si estas eran o
no aplicables al mundo físico.
Estos cambios proporcionaron un novedoso perfil a la matemática del siglo veinte, y
pusieron en evidencia lo erróneo de opiniones como la de Lagrange, en el sentido de
que la matemática ya había llegado a su límite.1
1 La actividad matemática también se expandió en el siglo diecinueve en otros sentidos. En primer lugar
el número de matemáticos aumentó con el incremento de la educación y la proliferación de nuevos centros
de investigación, principalmente universidades. En segundo lugar, el número de sociedades científicas y
publicaciones especializadas también se incrementó significativamente. Se estima que hacia fines del siglo
diecinueve el número de revistas dedicadas total o parcialmente a la publicación de temas de matemáticas
se contaban por cientos, (hoy en día se cuentan por cientos las que se dedican exclusivamente al tema).
Además, la barrera de la incomunicación fue cediendo lentamente. Desde mediados del siglo diecinueve,
en las universidades se acostumbra realizar seminarios bajo la dirección de uno o varios académicos,
a menudo profesores invitados, a los que suelen asistir numerosos estudiantes. Esta práctica facilita el
análisis de los problemas del momento, así como el estado en que se encuentran las investigaciones.
Asimismo, desde el año de 1900 se realiza cada cuatro años un congreso internacional y continuamente
se celebran reuniones, coloquios y seminarios en todo el mundo.
La expansión de la actividad matemática dio lugar a otros cambios no tan loables. Las diferentes
disciplinas se independizaron, desarrollando su propio lenguaje y conceptos, y sus problemas se hicieron
cada vez más especiales y sólo accesibles a los expertos, requiriendo para su solución de técnicas
93
94
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
El ejemplo más representativo de esta tendencia hacia dominios de mayor abstracción
se dio en la teoría de conjuntos de Cantor, en la que se consideran entes como la
totalidad de los números reales o el conjunto de todos los conjuntos de números
naturales, a los que nada empírico corresponde, pero que son tratados como realmente
existentes, al punto de realizar operaciones con ellos. La aparición de este novedoso
punto de vista condujo a un estado de incertidumbre: si la matemática trataba con
sistemas de objetos hipotéticos, ¿qué había con relación al “sentido de la verdad”?
Como ya vimos, este problema se puso de manifiesto con la separación de la geometría
del espacio físico, y fue lo que llevó a Hilbert a preguntarse si la geometría, vista
como un ejercicio abstracto, era una totalidad consistente y completa. Obviamente,
esta cuestión era extensible a todas las disciplinas de características similares y en su
respuesta favorable Hilbert vio la única manera de dar un sentido racional a las teorías
matemáticas.
No es nuestro propósito examinar en este capítulo todos los cambios habidos en la
matemática durante el siglo diecinueve y principios del veinte. En vez de ello, nos
limitaremos a señalar algunos pasajes que ilustran a la perfección el carácter de una
nueva matemática que poco a poco se fue alejando de “lo real” (o supo volver a él por
caminos inesperados), hasta abandonar de manera irremediable su pretensión de verdad
acerca de la naturaleza. Tales cambios se dieron de manera paulatina y sus orígenes
los podemos situar justo al final del siglo dieciocho en la obra de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855).2 Si hasta ahora nos hemos circunscrito a lo sucedido en el ámbito de la
geometría es porque ahí se muestra con toda claridad el nuevo enfoque axiomático,
con el que Hilbert pretende resolver el problema de los fundamentos de la matemática,
el cual será objeto de los teoremas limitativos de Kurt Gödel.
2.2.
El álgebra moderna
Hasta principios del siglo diecinueve se podía argumentar que el álgebra tenía sus raíces
en el estudio de relaciones entre magnitudes y cantidades que figuran en el mundo
físico, esto a pesar de la aparición de conceptos como los de número negativo y número
imaginario. En contra de esta postura, en el siglo diecinueve el álgebra presenció
particulares. Así, desde el siglo veinte los matemáticos trabajan normalmente en una sola área (se
considera que Hilbert y Poincaré fueron los últimos en conocer toda la matemática de su tiempo), y las
publicaciones no están dirigidas a un amplio público, careciendo la mayoría de ellas de indicaciones
acerca de la conexión de los temas tratados con otras áreas.
2 Simbólicamente, podemos fijar en 1796 el inicio de la renovación de la matemática cuando Gauss
probó su famoso teorema según el cual un polígono regular con un número primo p de lados (3, 5, 7, 11,
13, 17, ...) se puede construir con regla y compás sí y sólo si el número p es de la forma 2k + 1, donde k
es una potencia de 2, es decir, de la forma 2n . Tanto valoró Gauss este descubrimiento que en su tumba se
encuentra grabado un polígono de 17 lados. Lo que tiene de original este trabajo con relación al espíritu
de su época es que en él se demuestra una imposibilidad: la de realizar ciertas construcciones con regla y
compás. Este recurso de probar imposibilidades es propio de la matemática moderna y Gödel es un buen
exponente de ello.
2.2. E L ÁLGEBRA MODERNA
95
el surgimiento de nuevas ramas en las que los símbolos dejaron de corresponder
directamente a magnitudes y números ligados al entorno físico. Libre de la obligación
de pensar en la extensión o la cantidad, el álgebra se dio a la tarea de imaginar otra
clase de entidades cuyas propiedades se expresaban mediante reglas formales que sólo
atañen a la manipulación de los símbolos, creando de este modo teorías no ligadas a las
representaciones tradicionales.3 Así, por ejemplo, el álgebra de Boole o los cuaternios
de Hamilton.
Esta condición de las nuevas teorías, no ligadas a ninguna representación e indiferentes
a su origen, les confirió un carácter no muy lejano al de las ideas en el sentido de
Kant. Fue por ello que hacia 1900, cuando las matemáticas ya se habían disociado de
la ciencia natural, el método axiomático formal se convirtió en el instrumento ideal
para desarrollar sus teorías, sin la necesidad de otorgar a sus términos un significado
específico.
2.2.1.
El álgebra de Boole
Bertrand Russell afirma que las matemáticas puras nacieron en 1854 con la publicación
del libro The Laws of Thought (Las leyes del pensamiento) de George Boole (18151864). Aunque esto no deja de ser una figura retórica, tiene la virtud de resaltar el
carácter de dicha obra, en la que abiertamente se incumple el precepto de que los
símbolos han de representar números o cantidades. El libro se inicia con las siguientes
palabras:
El plan de este tratado es investigar las leyes fundamentales de aquellas
operaciones de la mente por medio de las cuales se lleva a cabo el razonamiento, darles expresión en el lenguaje simbólico de un cálculo, y sobre este
fundamento establecer la ciencia de la lógica y construir su método.4
Para ello Boole utiliza fórmulas similares a las del álgebra en las que las letras no
representan números, sino clases o proposiciones a las que somete a reglas análogas a
las del álgebra, poniendo en evidencia que las leyes de la lógica son matemáticas en su
forma:
Se admite que la lógica, como ciencia, es susceptible de amplias aplicaciones;
pero es igualmente cierto que su forma y sus procesos son matemáticos.
Por tanto, cualquier objeción a priori que pudiera suponerse dirigida en
3 Este rasgo del álgebra es muy importante para nuestro estudio y habremos de volver a él más adelante.
Por lo pronto lo único que pretendemos es dirigir la atención del lector hacia este aspecto característico de
la nueva matemática, y que Hilbert habría de llevar al extremo. Una ley numérica como “x + y = y + x”,
¿es un enunciado acerca de números, o es una sucesión de símbolos escritos en el papel? En el segundo
caso podemos interpretar la igualdad como una regla de manipulación formal que permite, por ejemplo,
escribir “5 + 7” en vez de “7 + 5”, o “# + @” en vez de “@ + #”, algo así como una regla de sustitución.
4 Boole, 1854, p. 1.
96
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
contra de la adopción de tales formas y procesos en la discusión de un
problema de moral o de filosofía en general, debe tener como base una
incorrecta percepción o una falsa analogía. No forma parte de la esencia de
la matemática estar atada con las ideas de número y cantidad. El que como
un hábito general sea deseable que la mente aplique procesos simbólicos a la
argumentación moral, eso es otro problema.5
Libre interpretación de los símbolos, cálculo y procesos formales, abandono del número
y la cantidad: todas las características de la matemática moderna están presentes en
la obra de Boole. En The Laws of Thought se tiene una sola teoría (el álgebra de
Boole como se le conoce actualmente) que dispone al menos de dos interpretaciones, la
primera en términos de clases, y la segunda en términos de proposiciones o enunciados.
Veamos a manera de ejemplo dos posibles lecturas de algunos de sus símbolos:
Lógica de clases
El símbolo 1 es El Universo, es
decir, la clase cuyos elementos
son todas las cosas de las que se
habla. El símbolo 0 es La Nada,
es decir, la clase que no tiene elementos.
x +y es la clase de todas las cosas
que son elementos de x o elementos de y; x × y es la clase de todas
las cosas que son elementos de x
y elementos de y.6
Lógica de proposiciones
El símbolo 1 es Lo Verdadero, es
decir, una proposición que comprende todos los hechos posibles.
El símbolo 0 es Lo Falso, es decir,
una proposición que no comprende ningún hecho posible.
x + y es una proposición que es
verdadera cuando una de las proposiciones xoy es verdadera; x ×
y es una proposición que es verdadera cuando ambas proposiciones x e y son verdaderas.7
Además de las literales x, y, z, etc. y de los signos +, −, × que representan operaciones,
en el álgebra de la lógica se cuenta con el signo = para la identidad y una operación
de complementación x a la que nada corresponde en la aritmética. Con relación a las
clases, el complemento x de una clase está formado por todas las cosas que no son
elementos de x, mientras que en la lógica de proposiciones x es una proposición que
es verdadera si y sólo si x es falsa. En su uso, estos símbolos están sujetos a leyes, en
parte concordantes con las del álgebra ordinaria y en parte no. Por ejemplo, se tienen
las siguientes identidades, que siguen siendo válidas cuando se les interpreta como
igualdades numéricas:
5 Op.
cit., p. 12.
adelante, escribimos, como es usual, xy en vez de x × y.
7 Algunas de estas definiciones las hemos modificado para ajustarnos a la interpretación moderna de
estos símbolos. Por ejemplo, la definición que figura en el tercer renglón Boole la expone así: x + y es
la clase de todas las cosas que son elementos de x o elementos de y, pero no de ambas clases, lo que
corresponde al “o” excluyente de la lógica actual, y que escribiríamos así: (x + y) − xy.
6 En
2.2. E L ÁLGEBRA MODERNA
xy = yx
x+y = y+x
97
x(y + z) = xy + xz
1x = x
x+0 = x
En cambio, las siguientes identidades del álgebra de la lógica no son válidas cuando se
les lee como ecuaciones numéricas:
xx = x
x+x = x
x + (yz) = (x + y)(x + z)
Una cuestión que Boole establece con todo cuidado en The Laws of Thought es que si
bien su álgebra lógica no se identifica con el álgebra general de los números, sí lo hace
con algo más limitado: el álgebra de los números 0 y 1, constituida por aquellas leyes
que son verdaderas cuando las variables x, y, z, etc. se interpretan como representativas
de 0 y 1 y las operaciones + y × se definen como sigue:
0 + 0 = 0,
0 × 0 = 0,
0 + 1 = 1,
0 × 1 = 0,
1+0 = 1
1×0 = 0
y
y
1+1 = 1
1 × 1 = 1.8
A más de ciento cincuenta años de su invención, el álgebra de Boole sigue siendo
objeto de estudio. Si bien en la lógica se le considera un capítulo de la lógica de
predicados y su notación ha sido abandonada en favor del simbolismo de Russell y
Peano, en otras áreas es objeto de nuevas generalizaciones, como por ejemplo en la
teoría de latices o en la de los conjuntos parcialmente ordenados. Otro lugar en el que
se le sigue utilizando es en el diseño de circuitos eléctricos, donde los valores 1 y 0 se
interpretan como “el interruptor x permite (no permite) el paso de corriente eléctrica”
y las operaciones × y + se definen, respectivamente, como la conexión en serie y en
paralelo de los interruptores. Tales aplicaciones han sido especialmente importantes
en la computación y son una muestra de la libertad que se tiene para interpretar los
símbolos algebraicos más allá de la esfera de los números: una conquista del siglo
diecinueve.
2.2.2.
Los cuaternios de Hamilton
Así como en la geometría se llegó a creer que no era posible ningún sistema distinto del
euclidiano, de igual forma en la aritmética se llegó a creer que no era posible ningún
sistema distinto al del álgebra ordinaria. Esto fue enunciado por George Peacock (17911854) en 1842 bajo el nombre de Principio de permanencia de la forma. Según este
principio, las operaciones con expresiones literales han de ser las mismas para cualquier
clase de números y coinciden con las del álgebra de los enteros positivos cuando los
8 Op. cit, p. 37. La identificación que hace Boole no es completa: hay leyes que se cumplen en el
álgebra de 1 y 0 y que no lo hacen en el álgebra de la lógica. Por ejemplo, la ley “si z = 0, entonces
zx = zy implica x = y” se cumple en el primer caso, pero no en el segundo. No obstante, lo que sí es cierto
es que el álgebra de proposiciones es idéntica con el álgebra de 1 y 0, pues en tal caso cada proposición x
es verdadera (es decir, x = 1) o es falsa (es decir, x = 0).
98
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
símbolos son generales en su forma. De este modo, cualquier operación algebraica
válida para los enteros positivos sería válida en general. Por ejemplo, conforme a
este principio, la expresión a(bc) = (ab)c, al afirmar una propiedad válida para todos
los enteros, afirmaría una propiedad válida para todos los a, b y c, y por lo tanto
válida para los números complejos (pues la forma permanece). Así, estableciendo
propiedades de los números enteros en forma simbólica se podría establecer enunciados
simbólicos generales. Peacock en particular se sirvió de este principio para justificar
las operaciones con los números complejos, mismas que no contaban con ningún
fundamento, pero que resultaban sumamente útiles en la teoría de ecuaciones.
Para nosotros es difícil entender lo que este principio significó en su momento. Expresa
de manera arbitraria que los distintos tipos de números comparten con los números
enteros las mismas propiedades formales, como si todos ellos estuviesen engarzados por
un mismo hilo en la escritura. Este principio, que en realidad es una regla injustificada,
lo apoyaron en las siguientes leyes, que eran utilizadas como axiomas en el álgebra:
1. Si a cantidades iguales se añaden otras iguales, los totales son iguales.
2. Si a cantidades desiguales se añaden otras iguales, los totales son desiguales.
3. a + (b + c) = (a + b) + c
(ley asociativa para la suma)
4. a + b = b + a
(ley conmutativa para la suma)
5. a(bc) = (ab)c
(ley asociativa para el producto)
6. ab = ba
(ley conmutativa para el producto)
7. a(b + c) = ab + ac
(ley distributiva)
Esta regla comprendía en realidad dos aspectos divergentes. Por una parte tenía un
aire de tesis metafísica acerca de la naturaleza de los números y, en su momento,
contaba con el sostén de que los distintos sistemas conocidos compartían con los
números enteros las mismas propiedades generales. Por otra parte, permitía pensar las
propiedades de los números en términos puramente simbólicos, lo cual concordaba
con la opinión de algunos algebristas del siglo diecinueve, que consideraban que el
álgebra era una ciencia que trataba con símbolos no interpretados y con las leyes que
gobiernan su combinación, y que la selección de tales leyes era enteramente arbitraria.9
El principio de la permanencia de la forma sucumbió cuando William Rowan Hamilton
(1805-1865) dio a conocer ciertos objetos numéricos cuyas propiedades contravienen
algunos de estos axiomas, como por ejemplo la ley conmutativa para el producto.
En 1843 Hamilton concibió una teoría en la que consideraba una nueva clase de objetos,
los cuaternios. Su intención era construir un álgebra apropiada para el estudio de las
9 Entre
tales algebristas se encontraban Augustus de Morgan (1806-1871), Duncan F. Gregory (18131844) y el mismo Peacock.
2.2. E L ÁLGEBRA MODERNA
99
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en el espacio tridimensional, aunque también lo
hacía por curiosidad, para ver “qué sucedía”. El problema en cuestión ya se había
resuelto en el caso del plano y la solución se valía de la representación de vectores por
medio de los números complejos.10 Hamilton pensó que generalizando la noción de
número complejo al espacio tridimensional tendría una solución al problema. Veamos.
Desde tiempo atrás se sabía que las fuerzas se podían representar mediante entidades cuyas características son las de los hoy llamados vectores, e
incluso se conocía la llamada Ley del paralelogramo, según la cual la diagonal del paralelogramo
formado por dos vectores u y v proporciona la magnitud y la dirección de la fuerza resultante, tal como
se muestra en la figura (v.gr., Newton lo hace).
A esta forma de representar fuerzas por medio de segmentos dirigidos se anexó la
representación de los números complejos por medio de puntos en el plano, gracias a los
esfuerzos de Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Gauss y el
11 El mérito de Hamilton fue que disolvió el problema de
mismo Hamilton, entre otros.√
la naturaleza del número i ó −1, que no parecía corresponder a nada intuitivo, pero
que era una herramienta indispensable en las operaciones. En un trabajo publicado en
1836, Hamilton observó que un número complejo de la forma a + bi sólo representa
una suma en sentido figurado, pues a y bi no pueden sumarse como 7 y 5 lo pueden
hacer y mostró que este número puede definirse como la pareja ordenada de números
reales (a, b).
Así, las propiedades de los números complejos pasaron a depender de su definición
como parejas ordenadas de números reales y de la definición de las operaciones básicas
con ellos, que son tres:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
ac + bd bc − ad
(a, b)
=
+
(c, d)
c2 + d 2 c2 + d 2
Con estas definiciones las propiedades algebraicas de la suma y el producto (leyes
asociativa, conmutativa, etc.) se pueden deducir como una consecuencia de las propiedades de los números reales. Además, los número reales se pueden considerar como
un subsistema del sistema de los números complejos, identificando la pareja (a, 0) con
el número real a, y la pareja (0, b) con el número imaginario bi.
√
√
Por ejemplo, −1 · −1 = (0, 1) · (0, 1) =de f (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1,
10 Un
vector, en el plano o en el espacio, es un segmento dirigido con el que se representan la dirección
y la magnitud de una fuerza, una velocidad o una aceleración.
11 Véase el apéndice E que contiene una nota acerca de los números complejos y su representación en
el plano.
100
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
con lo que se tiene el siguiente resultado ya conocido:
desaparece.12
√
√
−1 · −1 = −1. El misterio
Como se puede ver en el apéndice E, los números complejos son muy útiles en el
estudio de los vectores y las rotaciones en el plano, y por ello fue que Hamilton intentó
diseñar un sistema numérico análogo para el estudio de los vectores y las rotaciones en
el espacio tridimensional. Contra lo que pudiera parecer a primera vista, tal sistema
no tuvo como base ternas ordenadas de números reales, sino cuartetas de números
(a, b, c, d) a las que dio el nombre de cuaternios (quaternions).13 Por analogía con los
números complejos, el cuaternio (a, b, c, d) lo escribió en la forma a + bi + c j + dk y
asignó a las expresiones i, j y k un papel semejante al del número i en los complejos.
Las reglas formales para sumar y multiplicar cuaternios son las siguientes:
(a, b, c, d) + (a , b , c , d ) = (a + a , b + b , c + c , d + d )
(a, b, c, d) · (a , b , c , d ) = (aa − bb − cc − dd , ab + ba + cd − dc ,
ac + ca + db − bd , ad + bc + da − cb )
Con estas definiciones Hamilton demostró que los números reales y los números complejos están inmersos en los cuaternios, identificando el número real r con el cuaternio
(r, 0, 0, 0) y al número complejo a + bi con (a, b, 0, 0). Asimismo, demostró que la
suma de cuaternios es conmutativa y asociativa, y que la multiplicación es asociativa y
distributiva respecto a la suma. No obstante, con relación a la multiplicación, la ley
conmutativa no se cumple en todos los casos: hay cuaternios x e y tales que xy = yx.
Por ejemplo,
(0, 1, 0, 0) · (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1)
mientras que
(0, 0, 1, 0) · (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, −1)
Identificando los símbolos i, j y k con los cuaternios (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) y (0, 0, 0, 1),
respectivamente, Hamilton estableció la siguiente tabla de multiplicación entre ellos:14
12 Es decir, la naturaleza de número i queda aclarada como una pareja de números reales. Para obtener la
antigua forma de los números complejos a partir de las parejas de Hamilton es suficiente con notar que todo
número complejo (a, b) se puede escribir como sigue: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) =
a + bi. De hecho, en la práctica todavía se utiliza esta última notación para los números complejos, pues
es más sencillo realizar los cálculos con ella.
13 En retrospectiva, es fácil entender por qué estas entidades habrían de tener cuatro componentes en
vez de tres. En principio, su cometido era rotar un vector en torno a un eje dado, a la vez que alargarlo o
contraerlo. Para ello se necesitan cuatro parámetros: dos ángulos para fijar el eje de rotación, otro para
fijar el ángulo de rotación y uno más para fijar el factor de expansión. Esto trajo como consecuencia la
imposibilidad de representar estas entidades mediante vectores en el espacio tridimensional.
14 La escritura de los cuaternios en la forma a + bi + c j + dk permite multiplicarlos como polinomios
en i, j y k, simplificando el producto resultante mediante la tabla. Proceder de esta manera facilita el
cálculo y no introduce ningún elemento de incertidumbre en la teoría, pues los “números” i, j y k son
entidades perfectamente definidas sin ninguna connotación metafísica.
2.2. E L ÁLGEBRA MODERNA
·
1
i
j
k
101
1
1
i
j
k
i
i
−1
−k
j
j
j
k
−1
−i
k
k
−j
i
−1
Si el producto fuera conmutativo la tabla sería simétrica respecto a la diagonal formada
por 1 y −1. La idea de una operación no conmutativa, es decir, de una operación para
la que el orden en que se consideran los factores es relevante, no fue aceptada sin
renuencia. Antes de los cuaternios, el mismo Hamilton se esforzó durante quince años
por encontrar una extensión de los números complejos que satisficiera la ley conmutativa de la multiplicación, hasta que una tarde le sobrevino la idea de abandonarla.
Cuenta la leyenda que fue tal su impresión, que la tabla anterior la talló en las piedras
de un puente de Dublín por donde paseaba en ese momento: la ruptura con el principio
de la permanencia de la forma se había consumado.
Una de las ventajas de haber liberado al concepto de número de la penosa necesidad
de representar magnitudes físicas o espaciales fue que éste se pudo generalizar de
distintas maneras. Así, por ejemplo, en 1844 Hermann Grassmann (1809-1877) publicó
un trabajo titulado Die lineale Ausdehnungoslehre (El cálculo de la extensión) en el
que desarrolla ciertos sistemas algebraicos de mayor generalidad que los cuaternios.
En vez de tratar, como Hamilton, sólo con cuartetas de números reales, Grassmann
considera sucesiones finitas (x1 , . . . , xn ) de éstos. A cada una de estas sucesiones le hace
corresponder un número hipercomplejo x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en , donde e1 , e2 , . . . , en
son las unidades fundamentales de su álgebra. Tales números hipercomplejos se suman
y multiplican como polinomios en e1 , e2 , . . . , en . En particular, para calcular el producto
de dos números cualesquiera es necesario disponer de tablas similares a la que Hamilton
introdujo para los cuaternios. No obstante, en tales casos se cuenta con un amplio
margen de libertad, pudiéndose construir distintas álgebras a través de distintas tablas,
dependiendo de las leyes algebraicas que se quieran preservar.
Aun sin explicar en detalle los trabajos de Hamilton y Grassmann, podemos decir que
su importancia histórica radica en que hicieron valer el derecho de crear sistemas abstractos regidos por leyes distintas a las del álgebra tradicional y abrieron el camino para
explorar nuevos e innumerables sistemas. El álgebra moderna se vale de este recurso
y, en cierto sentido, aún marcha por la misma senda, creando y comparando sistemas
mediante la adición, supresión, debilitamiento y/o sustitución de postulados.15 Este
15 Así, por ejemplo, de los axiomas de campo se pueden obtener los axiomas de anillo, anillo conmutativo, anillo con división (los cuaternios son un ejemplo de ello), dominio entero, anillo unitario y
grupo, siendo quizá esta última noción la más importante del álgebra moderna. Acaso sea correcto decir
que los matemáticos han estudiado en detalle cientos de estructuras de este tipo y sus mutuas relaciones.
Un efecto de tal abstracción fue el descubrimiento de similitudes entre estructuras que en apariencia no
tenían nada que ver entre sí, pero que resultaban ser modelos de un mismo sistema algebraico, así como
el encuentro de nuevas analogías y generalizaciones. Fue un momento creativo en el que, cambiando las
reglas de diversos sistemas abstractos, se inventaron nuevas teorías con aplicaciones imprevistas.
102
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
trabajo va acompañado de la creación de estructuras abstractas como representación de
las nuevas teorías, y que sólo tienen existencia en un sentido matemático.
2.3.
La teoría de grupos y el programa de Erlangen
El uso de nociones cada vez más generales pronto dejó ver la afinidad entre diversas
estructuras matemáticas. Tal fue el caso del concepto matemático de grupo, quizá el
más fecundo de la matemática moderna. La teoría de grupos ejemplifica a la perfección
un hecho que pudiera parecer paradójico a primera vista: el que una teoría, desarrollada
en un principio por su utilidad en la matemática misma, se convierta de súbito en
una herramienta esencial de otras disciplinas científicas, como la física en este caso.
Aunque con anterioridad ya se habían suscitado casos semejantes –Kepler con las
cónicas, Einstein con la geometría de Riemann–, el caso de la teoría de grupos es
todavía más sorprendente, pues en apariencia nada tenía que ver con algo tan distante
como las partículas elementales, cuya teoría ni siquiera existía ni se vislumbraba en la
época en que surgió la teoría de grupos (de esto hablaremos en la siguiente sección).
La teoría de grupos se originó en el estudio de la resolución de ecuaciones por parte
de Evariste Galois (1811-1832) y cobró vida propia a lo largo del siglo diecinueve
en los trabajos de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Joseph Alfred Serret (18191885), Camile Jordan (1838-1922) y Arthur Cayley (1821-1895), entre otros. En 1872
la noción ya había madurado lo suficiente como para que Felix Klein (1849-1925)
propusiera una novedosa manera de definir lo que es una geometría con base en esta
teoría, y clasificara las distintas geometrías conocidas en su tiempo a partir de la noción
de grupo de transformaciones, subyacente a todas ellas.16
La noción de transformación es muy simple: una transformación de un conjunto X en
sí mismo es una correspondencia bajo la cual a cada elemento de X le corresponde un
sólo elemento de X (su imagen), y cada elemento de X es imagen de uno y sólo un
elemento de él. De ahí el nombre de transformación: cada elemento de X se transforma
en otro elemento de ese conjunto o quizá en él mismo. En este contexto el concepto de
16 La noción de transformación es un caso particular del concepto de correspondencia o función que tan
importante papel juega en la matemática, y que la caracteriza como algo más que una ciencia que se ocupa
de números y magnitudes. A diferencia de la matemática tradicional, dominada por las nociones de medida
y extensión, la matemática de al menos la primera mitad del siglo veinte estuvo dominada por las nociones
de correspondencia, orden, cambio y arreglo, en las que la idea central es la de correspondencia entre
agregados de objetos. En ella, un tema que se repite con insistencia es el de investigar qué propiedades de
los objetos considerados se preservan bajo clases específicas de transformaciones, lo que, como ya lo
hemos visto en el caso de la geometría proyectiva, no requiere necesariamente del concepto de medida o
magnitud, sino del concepto de función. Esta noción floreció en el siglo diecinueve y se hizo presente
en prácticamente todas las teorías matemáticas, al grado de que Vito Volterra no vaciló en afirmar en el
congreso de 1900 que el siglo diecinueve había sido “el siglo de las funciones.” (cita tomada de Kline,
1994, p. 1348). Las funciones, en tanto que objeto de estudio, ejemplifican muy bien el tipo de entidades
de interés para la matemática contemporánea, más allá de la cantidad y las figuras geométricas, y cuya
naturaleza abstracta descansa en gran medida en el carácter abstracto de esta noción.
2.3. L A TEORÍA DE GRUPOS Y EL PROGRAMA DE E RLANGEN
103
grupo aparece cuando se introducen las nociones de producto de transformaciones,
inversa de una transformación y transformación idéntica. El producto T2 T1 de dos
transformaciones T1 y T2 de X es la transformación que resulta de llevar a cabo primero
T1 y después T2 . Si denotamos con T (x) al elemento correspondiente a un objeto x bajo
una transformación T , entonces el producto se puede definir así:
(T2 T1 )(x) =de f T2 (T1 (x))
A su vez, la inversa de una transformación T es la transformación T −1 con la siguiente
propiedad: si x es el elemento correspondiente a x bajo T , entonces x es el elemento
correspondiente a x bajo T −1 (es decir, T −1 invierte la correspondencia o “regresa” x
a x). Con la notación recién expuesta podemos definir T −1 como sigue:
T −1 (T (x)) =de f x
Por tanto, el producto de una transformación T con su inversa T −1 es una transformación I tal que I(x) = x, llamada transformación idéntica o de identidad.
Las transformaciones en el sentido recién expuesto constituyen un grupo, es decir, una
estructura algebraica que satisface las condiciones que a continuación se indican.
Sea G un conjunto arbitrario y · una operación (función) que a cada pareja (x, y) de
elementos de G le hace corresponder un único elemento x · y de G. Se dice que (G, ·)
es un grupo cuando se satisfacen los siguientes axiomas:
1. ∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)
(Asociatividad)
2. Hay un elemento e ∈ G tal que ∀x(x · e = e · x = x)
3. ∀x∃y(x · y = y · x = e)
(Elemento neutro)
(Elemento inverso)
El inverso de x se suele denotar con x−1 . Si además se cumple el siguiente axioma,
se dice que el grupo es conmutativo o abeliano:
4. ∀x∀y(x · y = y · x)
(Conmutatividad)
Si la operación · se interpreta como el producto de transformaciones de un conjunto X,
entonces los axiomas 1, 2, 3 se satisfacen y se tiene un grupo (es decir, las transformaciones de un conjunto X siempre constituyen un grupo). En cambio, el axioma 4 no
siempre se cumple en el caso de las transformaciones.
Consideremos a manera de ejemplo algunas transformaciones en el plano coordenado.
Sean T1 y T2 las funciones que al punto de coordenadas (x, y) le hacen corresponder,
respectivamente, los puntos de coordenadas
T1 :
x = 0.6x + 0.4y
y =y
T2 :
x = 0.8x − 0.2y
y = −0.1x + 0.9y
104
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Veamos qué efecto producen estas transformaciones en las siguientes figuras:
Estas correspondencias son transformaciones del plano en el sentido indicado, es decir,
en ambos casos a cada punto se le hace corresponder una sola imagen, y cada punto
del plano es imagen de un solo punto.
Ahora consideremos otro tipo de correspondencias (no necesariamente transformaciones) denominadas no lineales, pues sus ecuaciones no son de primer grado, como la de
la línea recta.
La primera de ellas es una transformación, mientras que la segunda no lo es. Por
ejemplo, la parte derecha de la “carita sonriente” ha quedado superpuesta a la parte
izquierda. Esto se debe a que la función trigonométrica coseno que figura en una de sus
ecuaciones tiene el mismo valor para un argumento x que para su inverso aditivo −x
(es una función par). Nótese que los objetos considerados ya no son números o figuras,
sino funciones. Provisto de este concepto, Klein propuso la siguiente definición de lo
que es una geometría:
Una geometría es el estudio de las propiedades de los objetos pertenecientes
a un conjunto X que permanecen invariantes cuando los elementos de X se
someten a las transformaciones de un grupo G. La geometría en cuestión se
denota con (X, G).
2.3. L A TEORÍA DE GRUPOS Y EL PROGRAMA DE E RLANGEN
105
Tradicionalmente, la geometría se había entendido como el estudio de las propiedades
de las figuras del espacio. Para mostrar la relación entre esta idea y la definición
de Klein, considérese el conjunto X de los puntos en el plano y el conjunto Γ de
transformaciones de X consistentes en traslaciones, rotaciones y reflexiones en líneas.
Como el producto de dos transformaciones de esta clase y la inversa de cualquiera
de ellas pertenece a Γ, (X, Γ) es un grupo. La geometría resultante es la geometría
euclidiana métrica del plano, en la que puntos y figuras como triángulos, círculos, líneas
rectas, etc. conservan su área, longitud, congruencia, paralelismo, perpendicularidad,
concurrencia o colinealidad cuando se les somete a tales transformaciones. Dichas
propiedades se dice que son invariantes bajo el grupo Γ, y entre ellas se encuentran
las enunciadas en los libros de Euclides y que se refieren a estos conceptos. Por tanto,
la geometría euclidiana métrica plana se puede caracterizar como el estudio de las
propiedades de las figuras planas que no varían (son invariantes) cuando se les somete
a transformaciones rígidas, es decir, a transformaciones que preservan distancias y que
no son otras que las pertenecientes a Γ. A esta geometría se le denomina geometría
métrica plana.
Este modo de ver la geometría tiene la virtud de que permite ordenar las teorías de
modo que la relación entre algunas de ellas se hace evidente. Por ejemplo, si a las
transformaciones de Γ se añaden las homotecias (es decir, transformaciones en las que
cada punto P se transforma en un punto P tal que AP = k · AP, donde A es un punto
fijo y k una constante mayor que cero), se obtiene una nueva geometría denominada
equiforme, en la que figuras como triángulos, círculos o segmentos ya no conservan su
área o longitud, pero sí sus relaciones de perpendicularidad, paralelismo, concurrencia
o colinealidad, al igual que las relaciones de orden e incidencia que figuran en los
postulados de Hilbert (v. gr., I.1, I.2, II.1, postulado de Pasch, etc.)17 A esta geometría
corresponden, además de las anteriores, las propiedades de semejanza que estudia
Euclides en sus Elementos. Así, la geometría equiforme es más general que la métrica,
y el grupo de transformaciones de la primera contiene como subgrupo al grupo de
transformaciones de la segunda.18
Esta posibilidad de clasificar las geometrías parte de la idea (originalmente de Klein)
de invertir la relación entre la geometría y los grupos de transformaciones, convirtiendo
a éstos en el objeto primordial. Esto permite vincular entre sí distintas geometrías en
tanto que partícipes de un mismo grupo de transformaciones, y establecer una relación
de subordinación entre las geometrías con base en la noción de subgrupo.19 Así, por
17 Una homotecia es una transformación en la que los ángulos permanecen iguales (son invariantes),
las longitudes de los segmentos varían en la misma proporción y los puntos que se corresponden están
alineados respecto a un punto fijo llamado centro de homotecia, (el punto A mencionado en la definición).
Bajo una transformación homotética, las figuras conservan su forma y proporciones, más no su tamaño.
18 Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto X de G que por sí mismo es un grupo bajo la
misma operación “·”. Por ejemplo, las rotaciones del plano constituyen un subgrupo del grupo de
transformaciones rígidas.
19 A este proyecto de clasificación de las geometrías existentes se le conoce como Programa de
106
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
ejemplo, el grupo de transformaciones proyectivas tiene como subgrupo al grupo de
transformaciones afines, y éste último al de transformaciones equiformes que contiene
al grupo de transformaciones rígidas. Por tanto, la geometría métrica está comprendida
en la geometría equiforme, ésta en la geometría afín y esta última en la geometría
proyectiva, de modo que todo teorema de la geometría proyectiva es válido en las
demás.20
Aunque no nos detendremos a examinar esta cuestión, podemos decir que la síntesis y
codificación de Klein permaneció como algo válido por lo menos hasta el advenimiento
de la topología y la geometría algebraica. Su obra ilustra a la perfección los cambios
habidos en la matemática a fines del siglo diecinueve, en la que comenzaron a surgir
conceptos cada vez más generales y objetos cada vez más abstractos, y en la que
las teorías ya no se podían justificar con los viejos argumentos kantianos o con el
positivismo del siglo dieciocho. Cerramos esta sección con tres comentarios, los cuales
concuerdan o refuerzan lo ya dicho en el capítulo 1:
1. Una diferencia entre la geometría antigua y la que se desarrolla a fines del
siglo diecinueve es la falta de concreción de esta última. Muchas de sus teorías
proceden sin figuras, y sin hacer uso, aparentemente, de la intuición espacial. En
su lugar, se apoyan decididamente en el poder de la herramienta analítica que
utilizan, en contraste con los métodos puramente geométricos de antaño. Esto es
particularmente cierto respecto al uso de la teoría de grupos por parte de Klein,
quien, apoyándose en el álgebra, pone el énfasis en ideas de carácter general
–grupo de transformaciones, invariantes–, abarcando una multitud de resultados
bajo un mismo aspecto, en vez de centrarse en lo particular.
2. Otra característica de la nueva geometría es su preferencia por la representación
simbólica de los objetos, agrupando en fórmulas y ecuaciones diversos casos que
trata como uno solo, con lo que logra una notable generalidad y simplicidad. A
diferencia de esto, los antiguos siempre refirieron los problemas y los teoremas
geométricos a figuras muy bien definidas, y cuando los elementos que en ellas
participan (v. gr., puntos y líneas) podían tener diversas posiciones relativas, cada
uno de estos casos se consideraba por separado. En este sentido, la geometría
antigua sacrifica la universalidad en favor de la concreción de la figura, perdiendo
con ello la posibilidad de reconocer los principios generales subyacentes a la
teoría.
Erlangen, y fue propuesto en 1872 por Felix Klein al ingresar como profesor a la Universidad de Erlangen
en Baviera.
20 Hasta mediados del siglo veinte el grupo de transformaciones proyectivas contenía como subgrupos
a los grupos de transformaciones de prácticamente todas las geometrías consideradas. Hechos como el
anterior llevaron a Arthur Cayley a decir que la geometría proyectiva contenía toda la geometría. En
realidad, lo cierto es lo contrario: todos los teoremas de la geometría proyectiva están contenidos en
aquellas geometrías cuyos grupos contiene.
2.4. L A FÍSICA CUÁNTICA Y LA TEORÍA DE GRUPOS
107
3. Hay otras diferencias importantes entre la nueva y la vieja matemática que no
habremos de abordar en una obra de esta naturaleza, pero que no podemos dejar
de mencionar. Una de ellas es que el uso de nociones abstractas como la de
grupo permite introducir nuevas ideas (como, por ejemplo, la idea de acción
o movimiento) que conducen a una mayor generalidad y abstracción (dado el
grupo, escoger un conjunto X y una operación · que lo represente). Asimismo, la
nueva matemática favorece el establecimiento de vínculos entre distintas teorías
que antes no estaban relacionadas entre sí (v. gr., los números complejos con las
geometrías no euclidianas, la geometría con el álgebra vectorial y el álgebra lineal,
etc. de lo cual los Grundlagen de Hilbert son un claro ejemplo), o introducir nuevas
nociones (como la de espacio de dimensión infinita) y extender los procedimientos
a otras áreas (v. gr., llevar la teoría de grupos a la geometría diferencial). Al
respecto, el lector interesado podrá consultar algunas obras de carácter histórico
en las que estas cuestiones se analizan con cierto detenimiento, como, por ejemplo,
Eves, 1976 o Kline, 1994.
2.4.
La física cuántica y la teoría de grupos
La aparición de la noción abstracta de grupo marcó un hito en la historia de las
matemáticas. Se trata sin lugar a dudas de la teoría algebraica con más usos dentro de
ella, y su importancia nadie la discute. Se le encuentra poco más o menos en todas
partes: en el álgebra lineal, en la aritmética, en la geometría, en la cristalografía, en
la teoría de códigos, en el análisis combinatorio, en la teoría de ecuaciones, en las
ecuaciones diferenciales, en el análisis matemático y en prácticamente toda el álgebra
moderna. Esta generalidad llevó a algunos matemáticos a pensar que la matemática
quedaría unificada por ella (v. gr., Klein y Poincaré).21 Si bien esta expectativa no
se cumplió, el futuro aún tenía reservada una sorpresa: aunque el concepto provenía
enteramente de la matemática, sirvió como pieza fundamental para forjar en el siglo
veinte una nueva teoría física, la de las partículas elementales en la mecánica cuántica.
Escuchemos a Freeman J. Dyson:
El enorme poder de la teoría de grupos en la física deriva de dos hechos.
Primero, que las leyes de la mecánica cuántica establecen que, siempre que
un objeto físico tiene una simetría, hay un grupo de operaciones G bien
definido que preserva la simetría y los posibles estados cuánticos del objeto
se encuentran en correspondencia exacta con las representaciones de G.
Segundo, que la enumeración y clasificación de todos los grupos de buen
comportamiento y sus representaciones ya fue hecha de una vez por todas
21 No obstante, su importancia no fue reconocida de inmediato: si bien ya se habían considerado casos
específicos del concepto de grupo, por ejemplo en la teoría de Galois, su exposición como sistema
abstracto no se dio sino hasta la segunda mitad del siglo diecinueve en los trabajos de Cayley (1821-1895),
Leopold Kronecker (1823-1891), Richard Dedekind (1831-1916), Klein, Sophus Lie (1842-1899) y
Walther von Dick (1856-1934), entre otros.
108
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
por los matemáticos, independientemente de la situación física a la que se
puedan aplicar. De estos dos hechos resulta la posibilidad de elaborar una
teoría enteramente abstracta de las simetrías de las partículas elementales,
basada en las cualidades generales de grupos y representaciones y evitando
los modelos mecánicos o dinámicos arbitrarios.22
El uso de la teoría abstracta de grupos lo explica Dyson con un ejemplo. Un átomo que
flota en un gas rarificado no tiene una dirección preferida en el espacio y, por lo tanto,
tiene las simetrías del grupo de rotaciones O3 del espacio tridimensional en torno a un
centro O. Entre las distintas representaciones de O3 se encuentra la formada por ternas
de números reales. Algunas de éstas corresponden a estados del átomo que tienen una
unidad de espín. A éstas se les llama ternas de estado y siempre se presentan en grupos
de tres con la misma energía. Si se activa un campo magnético de modo que destruya
la simetría rotacional, las tres energías se escinden y los tres estados se pueden ver en
un espectroscopio como una terna de líneas espectrales. La clasificación de los estados
del átomo conforme a la simetría rotacional es el ejemplo estándar de la aplicación de
la teoría de grupos o, como él dice, de la teoría concreta de grupos en acción.
Este ejemplo del uso de la teoría de grupos en la física tiene como propósito mostrar
la otra cara de la moneda: para la física, la matemática no es sólo una herramienta
por medio de la cual los fenómenos pueden ser descritos y sus magnitudes calculadas
(como creyeran d’Alambert y Laplace), sino una fuente de conceptos y principios por
medio de los cuales se pueden crear nuevas teorías.
El ejemplo anterior no es el único que nos puede mostrar este hecho. Quizá el caso más
famoso sea el de la teoría de la gravitación de Einstein, mejor conocida como teoría
general de la relatividad. Escuchemos nuevamente a Freeman J. Dyson:
Para edificar su teoría, Einstein recurrió a la geometría no euclidiana, una
geometría sobre espacios curvos que fue inventada en el siglo diecinueve.
Einstein dio un paso inusitado al identificar nuestro espacio-tiempo real
con un espacio curvo no euclidiano, de modo que las leyes de la física se
convirtieron en proposiciones de una geometría radicalmente diferente de la
geometría clásica del espacio plano. Esto lo hizo con base en argumentos de
carácter general y juicios estéticos. Las pruebas de la teoría basadas en la
observación no se llevaron a cabo sino tiempo después de su construcción y
no jugaron ningún papel en el proceso creativo. Einstein mismo parece haber
confiado tanto en su intuición matemática que jamás se inquietó respecto
al resultado de las observaciones. Por supuesto, los resultados positivos de
las mismas fueron un paso decisivo para convencer a los físicos que tenía
razón.23
22 Dyson, 1964, p. 134. El último comentario es significativo: los “modelos mecánicos o dinámicos”
a que se refiere el autor son representaciones como la del “sistema planetario” para el átomo, que no
tienen ningún fundamento. Así, los objetos de la física también devinieron entes abstractos, de carácter
matemático.
23 Op. cit, p. 131.
2.4. L A FÍSICA CUÁNTICA Y LA TEORÍA DE GRUPOS
109
Ciertamente, la teoría de la relatividad es, como dice Dyson, “el primer ejemplo de una
teoría física construida sobre un ‘salto matemático en la oscuridad.’”24 El segundo lo
fue la mecánica cuántica, que también parte de un “salto especulativo de la imaginación
matemática, el cual se ve con mayor claridad en el trabajo de Schrödinger.”25 En efecto,
para adoptar tales teorías matemáticas no se contaba en principio con ninguna evidencia
empírica.
Éste fue el estado de cosas al que se llegó tras la expansión y liberación de la matemática, y éstas las ganancias que produjo en otras áreas del conocimiento,26 lo que de
suyo nos lleva a una pregunta que, si bien rebasa el marco de esta obra, es ilustrativa
del impacto de la matemática moderna en la ciencia: ¿cuál es el papel de la matemática
en la formación del objeto de estudio en áreas como la física? Junto a ésta, surge de
inmediato la interrogante que nos hemos planteado desde el inicio de esta obra: ¿qué
garantía racional tenemos de que la matemática, ahora indisolublemente entrelazada
con las teorías físicas, no habrá de llevarlas por una senda equivocada? ¿Cómo estar
seguros de que el cuadro de los fenómenos que nos proporciona una teoría física forma
un todo consistente? En cuanto al aparato matemático utilizado, habría que garantizar
que éste no puede ser la fuente de tales estigmas. Ésta fue una segunda razón para que
Hilbert insistiera en el problema de los fundamentos de la matemática y en la necesidad
de dar una prueba de consistencia de sus más importantes teorías.
Los ejemplos recién mencionados no son un caso aislado y bastan por sí mismos para
justificar la defensa que hiciera Hilbert de la matemática pura, aduciendo que ésta a
la larga produce resultados inesperados en otras áreas del conocimiento, como si se
tratara de una ciencia cuya función fuera la de elaborar moldes abstractos o, como
lo dice Hilbert en la carta a Frege, ya citada en la sección 1.6.1.1, andamiajes de
conceptos que sólo más tarde se podrán llenar con algún contenido específico en el
marco de otra disciplina.27 Parece también plenamente justificado el punto de vista
24 Ibid.
25 Ibid.
26 Un
último ejemplo que no queremos dejar de mencionar es el de los espacios de Hilbert y su uso en
la mecánica cuántica. Se trata de un caso en el que una teoría matemática, fruto del movimiento interno de
esta disciplina, ofreció el simbolismo adecuado para desarrollar una teoría, no de números o cantidades,
sino de “estados”. Los espacios de Hilbert se obtienen al generalizar la geometría de Euclides a espacios
de dimensión infinita. En dichos espacios los puntos son sucesiones infinitas x1 , x2 , . . . , xn , . . . de números
con la propiedad de que la serie de sus cuadrados es convergente. Para la mecánica cuántica estos objetos
fueron la clave para precisar la idea de “estado cuántico”, y con ellos se pudo edificar una rigurosa teoría
en la que se procede lógicamente a partir de axiomas claramente definidos.
27 En 1930 Hilbert puso como ejemplo el estudio de las secciones cónicas, cuyas propiedades fueron
investigadas desde la antigüedad sin sospechar que nuestros planetas se mueven siguiendo su curso.
Hilbert incluso llega a hablar de una armonía preestablecida entre el pensamiento y la realidad, a lo
que añade: “Recientemente se han presentado algunos casos en los que los más importantes teoremas
matemáticos, aquellos que se encuentran en el centro de la atención de los investigadores, son al mismo
tiempo los que la física necesita. Yo he desarrollado una teoría de una infinidad de variables a partir de un
interés puramente matemático, e incluso he utilizado el término análisis espectral, sin sospechar que un
día se realizaría en el espectro actual de la física.”. [Hilbert, 1930, cita tomada de la traducción al inglés,
p. 1160]. Aquí reaparece la idea de que los matemáticos son sastres, que confeccionan trajes que algún
110
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
según el cual las matemáticas obedecen a un doble movimiento, uno interno que da
lugar a sus propios problemas y teorías, y otro externo, que las convierte en un factor
esencial en la comprensión y dominio de la naturaleza.
Así, además de un crecimiento sin precedente, la matemática del siglo diecinueve
experimentó también un cambio en los métodos utilizados, los fines perseguidos y la
adopción de un espíritu crítico que llevó a una revisión de sus fundamentos.28 La acción
de estos tres factores fue determinante en la constitución de una nueva matemática que
gusta de la forma y la estructura, frente a la matemática tradicional que prefiere operar
con la intuición y en contacto directo con contenidos específicos.29
2.5.
La aritmetización del análisis
El desarrollo de la matemática ha obligado en ciertos momentos a reconsiderar el
sistema de ideas y creencias que hasta entonces se habían aceptado como justificación
y fundamento de la misma. Dichos momentos se han caracterizado por la aparición de
dificultades y anomalías difícilmente manejables o explicables a partir de las creencias
y los principios admitidos. Fruto de tales situaciones ha sido la necesidad de revisar
los fundamentos de todas o algunas de sus partes, complementando de este modo el
trabajo matemático con un examen minucioso de las ideas centrales en torno a las
cuales se desarrollan sus teorías.
La primera dificultad en este sentido se relaciona con el descubrimiento de magnitudes
inconmensurables en la antigua Grecia. Esto echó por tierra la posibilidad de que la
geometría (ciencia de lo continuo) y la aritmética (ciencia de lo discreto) coexistieran
en una sola teoría, con un cierto dominio de la segunda sobre la primera.
día será utilizados por imprevistos usuarios.
28 Ahí están como ejemplo la teoría de los números, el análisis matemático, la teoría de Galois, las
teoría de la convergencia de series, la teoría de funciones, la teoría analítica del calor, las series de Fourier,
las ecuaciones diferenciales parciales, las funciones elípticas, el cálculo de variaciones, el álgebra de
matrices, la geometría diferencial, la geometría proyectiva y la teoría de conjuntos de Cantor, que por sí
mismas hablan de un desarrollo sin paralelo en esta ciencia. A lo anterior habría que añadir las llamadas
pruebas de imposibilidad, una de las cuales establece la imposibilidad de deducir el quinto postulado de
los otros cuatro, o las pruebas de imposibilidad de los tres problemas clásicos (duplicar el cubo, trisecar
el ángulo o cuadrar el círculo con regla y compás) y la imposibilidad de resolver cualquier ecuación de
grado mayor al cuarto por medio de radicales. Estas pruebas fueron las primeras en su género, y a ellas se
habrían de unir las ideadas, entre otros, por Cantor, Gödel, Church, Tarski, Turing y Matiyasevich en el
siglo veinte.
29 En este punto se presenta un hecho paradójico: por una parte, es muy fácil distinguir la matemática
moderna de la tradicional, y por la otra es muy difícil trazar una clara demarcación entre ambas, sobre
todo si tomamos en cuenta que se trata de una ciencia que nada desecha. Así, por ejemplo, las nuevas
geometrías no anularon a la euclidiana, ni las nuevas teorías algebraicas echaron al olvido al álgebra
tradicional. Cuando una teoría se generaliza o se modifica, no por ello se le rechaza: nada de lo nuevo
excluye a lo viejo, sólo lo pone en perspectiva, enriqueciendo nuestro punto de vista. En todo caso,
la diferencia habría que buscarla en el modo de pensar los objetos y en la búsqueda de la estructura
subyacente en cada caso.
2.5. L A ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS
111
En efecto, si bien nada se sabe directamente de los Pitagóricos, todo parece indicar
que al centro de su filosofía se hallaba la tesis de que los números son el principio de
todas las cosas.30 Entre otras cosas, esto tendría como consecuencia el que todas las
magnitudes de una misma especie se pudieran comparar o medir utilizando los números
enteros. No obstante, al desarrollar el programa basado en esta idea, los pitagóricos se
encontraron con el problema de comparar el lado de un cuadrado con la diagonal del
mismo. Pronto llegaron a una conclusión que no tenía cabida en su concepción de la
matemática: el lado del cuadrado y su diagonal no son conmensurables (no tienen una
medida común, no se pueden expresar como múltiplos
de una misma unidad), lo cual,
√
en lenguaje moderno, se expresa diciendo que 2 es irracional, es decir, que no se
puede expresar como un cociente de la forma p/q donde p y q son números enteros.
Debido a este descubrimiento, la doctrina de la conmensurabilidad y la idea misma de
que “todas las cosas están hechas de números” fue abandonada, al igual que el estudio
de la aritmética sin el recurso de la geometría. Esto tuvo grandes consecuencias con
relación a los fundamentos de la geometría y el modo de cultivarla.
El siglo diecinueve afrontó nuevas dificultades con relación a los fundamentos de la
matemática, esta vez ocasionadas en parte por la aparición de resultados paradójicos
en el análisis matemático (teoría que comprendía al cálculo diferencial e integral, las
ecuaciones diferenciales y la variable compleja), y en parte por el tratamiento poco
riguroso que hasta entonces se le había dado a sus conceptos.
En efecto, el desarrollo del análisis durante el siglo dieciocho se apoyó en gran medida
sobre profundas intuiciones que permitieron resolver con acierto la mayor parte de los
problemas planteados. Sin embargo, el rigor deductivo fue dejado de lado en muchos
casos; en su lugar se colocó a la intuición, principalmente la geométrica. La existencia
de un ente matemático, en vez de ser deducida, se vislumbraba, supliéndose el rigor
con certeras intuiciones relativas a los objetos matemáticos. Consecuencia de ello fue
que no tardaron en aparecer las dificultades y las críticas: los conceptos básicos (por
ejemplo el de función) eran poco claros y con frecuencia ligados a representaciones
geométricas o físicas. En el caso de las series, la falta de rigor y la ausencia de
criterios de convergencia dio lugar a absurdos para las cuales no se tenía una solución.
Incluso se llegaron a obtener “resultados” que al poco tiempo probaron ser falsos. Por
ejemplo, André-Marie Ampère (1775-1836) “demostró” que una curva tiene tangente
en todos sus puntos, con la posible excepción de algunos de ellos en forma aislada,
30 Por ejemplo, en su Vida de Pitágoras Porfirio (s. III d. C.) le atribuye la tesis de que “[. . . ] la naturaleza
universal se circunscribe en las razones y proporciones numéricas y todo lo engendrado se regula, en su
crecimiento y perfección, de acuerdo con unas razones numéricas.” (Porfirio, 1987, p. 54) Un claro ejemplo
de ello es la exposición que aparentemente hiciera Pitágoras de la escala musical de 7 notas mediante
simples relaciones numéricas. Por ejemplo, si una cuerda de longitud 1 está afinada en “do”, entonces
los siguientes cocientes marcan las fracciones de la cuerda (v. gr., puntos de presión en el brazo de una
guitarra) que producen los sonidos de la escala ascendente do-re-mi-fa-sol-la-si-do: 1, 243/256, 27/32, 3/4,
4/6, 81/128, 9/16, 1/2. Al respecto, el lector puede consultar la página http://www.sacred-geometry.
es/?q=es/content/proporci\%C3\%B3n-en-las-escalas-musicales\#3.1
112
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
conclusión que marcha acorde con los dictados de la intuición. La sorpresa fue general
cuando, tiempo después, Karl Weierstrass (1815-1897) anunció, como ya lo hemos
mencionado, la existencia de una curva continua pero sin tangente en ninguno de sus
puntos. Estos desarrollos trajeron consigo un cambio en el concepto de función, una
de las nociones centrales de la matemática moderna. Ante tales dificultades algunos
matemáticos decidieron poner “orden en el caos”: era indispensable volver al rigor en
una matemática mucho más desarrollada y compleja que la que enfrentara Euclides.
En un principio la tarea consistió en proporcionar criterios que permitieran tratar con
un máximo de rigor nociones tales como las de función, convergencia, continuidad y
diferenciación, a fin de liberar al análisis de su dependencia de nociones geométricas,
de la idea de movimiento, de los números infinitamente pequeños (infinitesimales) y de
todo tipo de consideraciones intuitivas en las demostraciones. He aquí cómo se expresa
Richard Dedekind al respecto (a esta cuestión ya nos hemos referido en la sección 1.4
en otro sentido):
Como profesor de la Escuela Politécnica de Zurich y ante la exigencia de
enseñar los métodos del cálculo diferencial e integral, sentí más que nunca
la necesidad de un fundamento verdaderamente científico para la aritmética.
Al discutir la noción de “aproximación” de una magnitud variable a un
valor límite fijo y al probar el teorema que establece que toda magnitud
creciente, continua y acotada se aproxima a un límite, he tenido que apelar a
la evidencia geométrica. Dicho recurso a la evidencia me parece útil desde un
punto de vista didáctico, e incluso indispensable si no se desea perder tiempo.
Sin embargo, esta forma de introducirse al cálculo no se puede decir que sea
científica, nadie lo negará. Este sentimiento de insatisfacción era tan grande
en mí que tomé la determinación de meditar en el problema hasta encontrar
un riguroso fundamento para los principios del análisis infinitesimal. Se dice
con frecuencia que el cálculo trata con las magnitudes continuas y aún no
se ha encontrado una explicación a la continuidad. Incluso la más rigurosa
exposición del cálculo diferencial no basa sus demostraciones en la noción
de continuidad, sino que apela, con vaga conciencia de ello, o bien a nociones
geométricas (o aquellas que sugiere la geometría), o bien a teoremas que no
se han demostrado de un modo puramente aritmético.31
La definición de nociones como las de “convergencia”, “derivada”, “continuidad” o
“límite” sobre la sola base de la aritmética fue obra de matemáticos como Bolzano,
Riemann, Cauchy y Weierstrass que suministraron una sólida base para el análisis. No
obstante, La definición exacta de tales nociones no marcó el fin de las investigaciones
en torno al fundamento del análisis (en el sentido ya mencionado en la sección 1.5.1), ya
que prácticamente todo el trabajo efectuado presuponía el conocimiento de los números
reales, cuya propiedades básicas aún no se habían establecido.32 Al hacerlo, fue posible
31 Dedekind,
32 En
1963, p. 12.
efecto, es un hecho histórico que los principios del sistema de los números reales no fueron
2.5. L A ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS
113
definir el continuo numérico mediante una compleja reducción de este sistema al de
los números naturales junto con algunas nociones de la teoría de conjuntos, y fue a
partir de ello que se lograron establecer las propiedades básicas de los números reales
(véanse, por ejemplo, los axiomas V.2 de Hilbert para la geometría y V’.1 de Dedekind
en el inciso (6) del apéndice C). Es por ello que a la fase final de la instauración del
rigor en el análisis se le llama aritmetización del análisis.
En este sentido, el trabajo de Dedekind en “Continuidad y números irracionales”
(“Stetigkeit und Irrationale Zahlen”) de 1872 es una continuación de la labor de, entre
otros, Cauchy y Weierstrass, en la que no se había establecido un verdadero puente
entre los números (enteros, racionales) y las magnitudes o cantidades continuas. De
hecho, la consideración de estas últimas remitía invariablemente a la geometría, donde
eran entendidas como líneas, áreas, ángulos, etc. y/o proporciones acerca de ellas (v. gr.,
razones y proporciones entre segmentos, figuras y volúmenes). Se tenía entonces una
distinción que se quería borrar: la matemática era, por una parte, la ciencia del número
(aritmética) y, por la otra, la ciencia de la magnitud (geometría). En otras palabras,
uno de los propósitos de Dedekind era expresar las relaciones, razones y proporciones
entre magnitudes mediante números, es decir, mediante la introducción de un sistema
numérico conveniente. Lo que hizo entonces fue asociar a cada segmento un “número”,
es decir, una entidad numérica que expresara su magnitud (su “longitud”). Esto no
lo tuvieron los griegos, pues para ellos lo que había eran magnitudes geométricas (v.
gr., la diagonal de un cuadrado) para las que, precisamente, no había números que
las expresaran (es decir, entidades numéricas que pudieran sumarse, multiplicarse,
etc. como los demás números). El reto no era sencillo: se quería un sistema en el que
estuvieran presentes los números discretos (1, 2, 3,. . . ) y otros números que expresaran
todas las razones y proporciones entre magnitudes y cantidades continuas, un sistema
en el que todas las entidades obedecieran las mismas leyes aritméticas (para mayores
detalles, véase (Reck, 2016)).
En cuanto a los distintos sentidos que le hemos dado a la idea de “fundamentación” en la
sección 1.5.1, queremos señalar que la labor de Dedekind tuvo un doble significado: por
una parte, consistió en concebir las magnitudes irracionales como números (logrando
de esta manera un tratamiento unificado junto con los números racionales); por la otra,
consistió en independizar el análisis de la mecánica (v. gr., de la consideración del
movimiento), de la geometría y, en general, de toda consideración intuitiva, tal como lo
afirma en el párrafo antes citado. Podemos decir que la idea que tenía Dedekind acerca
de lo que era “fundamentar el análisis” incluía los tres aspectos ya mencionados en la
sección 1.5.1.
Volviendo a la matemática misma, podemos decir que la aritmetización del análisis
cumplió su cometido en dos sentidos: en primer lugar, liberó al análisis de la intuición
geométrica; en segundo lugar, logró reducir las nociones básicas del análisis a las de
establecidos sino hasta la segunda mitad del siglo diecinueve. Hasta entonces, ni aun las más simples
propiedades de los números racionales e irracionales se habían demostrado, ni los números reales se
habían definido.
114
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
número entero y conjunto infinito de números racionales. Lo insatisfactorio de esta
reducción es que no se logró sobre la sola base de la aritmética, sino de la aritmética
junto con diversas nociones propias de la teoría de conjuntos, pues para establecer el
sistema de los números reales Dedekind debió introducir la totalidad de los números
racionales y conjuntos infinitos de estos. Esto último constituye, obviamente, una
imperfección, pues reintroduce la noción de infinito ahí donde con muchos esfuerzos se
le había intentado desterrar. Aquí el problema es que la fundamentación de la teoría de
los conjuntos probó a la larga ser extremadamente difícil, como más adelante veremos.
En cuanto al problema de investigar la consistencia de los axiomas de la aritmética,
Hilbert tenía ahora una segunda razón para insistir en su importancia, pues el fundamento del análisis clásico, en uno de los sentidos ya señalados en la sección 1.5.1,
dependía de su solución favorable.
2.6.
La teoría de los números transfinitos de Cantor
Hacia 1870 los progresos alcanzados en la fundamentación del análisis y la influencia
de matemáticos como Gauss, Weierstrass y Leopold Kronecker lograron imponer una
concepción taxativa del infinito en la que éste sólo se admitía como algo potencial. El
infinito, en el sentido estricto de la palabra, fue desterrado de la matemática y sólo
subsistía como una forma de hablar. No obstante, su exclusión no duró mucho tiempo.
Poco después, Richard Dedekind y Georg Cantor (1845-1916) resucitaron la quimera
del infinito, esta vez en la más abominada de sus formas: el infinito actual. El primero
lo hizo en su definición de los números reales; el segundo, creando una hermosa teoría,
la de los números transfinitos, calificada por Hilbert como un paraíso.33
La teoría de conjuntos de Cantor es una teoría abstracta, sin ningún sentido práctico
y desarrollada por sí misma, libre de la obligación de pensar en “este mundo”.34 Se
trata, sin lugar a dudas, de la mejor exponente de esa nueva actitud ante el quehacer
matemático en la que la realidad física, el mundo empírico y multitud de cosas más se
dejan de lado.35 No obstante, en lo que parece ser una paradoja, con el paso del tiempo
sus métodos y conceptos conquistaron prácticamente todas las áreas de la matemática,
dotándolas de un lenguaje común, enlazándolas por distantes que parecieran. Podemos
33 A Cantor no le tomó mucho tiempo realizar su obra: en sólo una década, de 1874 a 1884, fijó los
conceptos y resultados básicos de esta disciplina.
34 Las nociones fundamentales de la teoría de conjuntos son las de conjunto y pertenencia a un conjunto,
que bien a bien no se pueden definir. Cantor se refiere a ellas con las siguientes palabras:“Por un conjunto
[Menge] hemos de entender cualquier reunión en un todo [Zusammenfassung zu einem Ganzen] M de
objetos definidos y distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Estos objetos son llamados
elementos de M.” [Cantor 1955, p. 85.] Esta definición muestra la naturaleza conceptual de los conjuntos,
constituidos por objetos del pensamiento o la intuición, no por entes materiales.
35 Dave Rusin expresa esta idea con sumo ingenio y regocijo cuando dice que “la matemática es la
parte de la ciencia que usted podría continuar haciendo si al despertar el día de mañana descubriera que el
universo se ha ido.”
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
115
decir que toda la matemática moderna ha sentido su presencia y que incluso las más
antiguas aritmética y geometría se han podido reconstruir al interior de ella sin ninguna
dificultad.36
No es nuestro propósito examinar con detenimiento esta teoría, cuyo conocimiento se
adquiere sólo con muchas horas de estudio. En vez de ello nos conformaremos con
entreabrir la puerta para contemplar algunos de sus paisajes. La presentación será por
necesidad poco rigurosa, exageradamente simplificada y sin ninguna pretensión de
completud. Se hará tomando en cuenta cuatro objetivos: (i) señalar algunos aspectos
de la teoría matemática sobre el infinito; (ii) mostrar su relación con la matemática
moderna; (iii) presentar el método de la diagonal de Cantor (del que se sirven la
paradoja de Richard y el primer teorema de Gödel); y (iv) exponer la hipótesis del
continuo, a la que habremos de volver reiteradamente37 y que Hilbert inscribiera en
su famosa lista de 1900 como primer problema. Con ello esperamos que el lector se
forme una idea de las delicadas especulaciones matemáticas que comprende esta teoría
y disponga de los elementos necesarios para seguir con cierto detalle la prueba del
primer teorema de incompletud de Gödel.
2.6.1.
El concepto de infinito en la teoría de conjuntos
El infinito de la teoría de conjuntos no es el del tiempo o el espacio, y sus problemas no
son los de su existencia material. Tampoco es la infinitud divina de las Meditaciones
metafísicas de Descartes, o la infinitud del Universo de Giordano Bruno. El infinito de
Cantor y Dedekind no es metafísico; es una idea, una noción matemática que en poco
o nada se relaciona con las anteriores y que no tiene la necesidad de ser representada
o realizada. Tampoco es el infinito en potencia de Aristóteles, Occam, Kronecker o
Weierstrass, que se puede recorrer pero nunca exhaustivamente, o se puede aumentar
cuanto se quiera (mediante adiciones finitas) sin nunca llegar a su fin. Es el infinito
categórico, actual, en acto, que se trata como una especie particular de magnitud y que
se expresa a través de las nociones de número cardinal y número ordinal.38
En la obra de Dedekind el infinito actual se presenta en la construcción de los números
irracionales que, como Cantor demuestra, no se pueden definir mediante sucesiones
36 Podemos decir también que la aritmetización del análisis fue factible gracias a nociones tomadas de
ella, y que sus métodos y conceptos hicieron posible la teoría de los números trascendentes, la teoría de
funciones de una variable real, el desarrollo de funciones en series trigonométricas de Fourier, la teoría de
los espacios abstractos, el álgebra moderna, la topología (una de cuyas ramas se denomina topología de
conjuntos), el cálculo de probabilidades y la estadística.
37 Esto sucederá en este apartado, en la sección 2.6.4, en el apéndice F (hipótesis generalizada del
continuo), en la sección 4.1.1, etc.
38 Hasta poco antes de 1874 la noción de infinito en matemáticas era relativamente imprecisa y aunque
muchos de sus objetos lo eran en número como, por ejemplo, los enteros positivos o los puntos de
un segmento, los matemáticos no hicieron distinción alguna entre ellos. El infinito era simplemente el
infinito y no era susceptible de ninguna otra determinación. Esta situación cambió radicalmente con la
intervención de Cantor, que no sólo lo jerarquizó, sino que incluso definió una peculiar aritmética de
conjuntos infinitos que aquí mencionaremos someramente.
116
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
finitas de números racionales. La construcción tiene como base intuitiva la identificación de los números racionales con puntos de la recta y el siguiente principio de
continuidad:
Si los puntos de la línea recta se dividen en dos clases de modo que todo
punto de la primera clase se halle a la izquierda de todo punto de la segunda
clase, entonces existe uno y sólo un punto que produce esta división de los
puntos en dos clases, esta separación de la línea recta en dos porciones.39
Esta división induce una partición de los números racionales en dos clases, según
correspondan a puntos de la primera o de la segunda clase. A éstas se les llama
cortaduras de Dedekind y se les identifica con el punto de la recta que, según el
principio, produce la división. Un número real no es otra cosa que una cortadura,
lográndose de este modo la identificación de los puntos de la recta con ciertos conjuntos
de números. De lo anterior resulta que la única manera de definir a los números reales
a partir de los números racionales es recurriendo a conjuntos infinitos de estos últimos,
los cuales se manipulan como si fueran finitos, realizando con ellos operaciones como
la suma y el producto. En otras palabras, en la teoría de Dedekind hay un uso operativo
del infinito actual.
En cuanto a Cantor, de cuya teoría nos ocuparemos principalmente, sus intereses lo
llevaron en otra dirección. Sus investigaciones tuvieron como punto de partida la teoría
de funciones de una variable real, algunos de cuyos problemas implicaban distinguir
un número finito o infinito de puntos “excepcionales” como, por ejemplo, puntos
de discontinuidad. En este sentido, en sus primeros años Cantor sólo se interesó en
conjuntos que se pudieran contar utilizando índices, una idea distinta a la de desarrollar
una teoría de magnitudes infinitamente grandes.40
Hoy en día la teoría de conjuntos es un campo de investigación muy extenso que no
habremos de reseñar. Al respecto sólo haremos referencia a resultados conocidos por
Cantor y Dedekind, aunque expresados en un lenguaje moderno. En particular, iremos
directamente a las cuestiones de nuestro interés, comentando si acaso los problemas
específicos en que se originaron. Para no hacer demasiado extensa la exposición, en
39 Dedekind,
1963, p. 11. Se trata de la misma noción que se expresa en el axioma V’.1 del apéndice C.
Lavine sostiene que la principal preocupación de Cantor entre 1874 y 1890 fue la de
extender los métodos de conteo de colecciones finitas a colecciones infinitas, por lo que la necesidad
de incluir en la teoría al conjunto de los números reales le ocasionó cierto malestar, pues este conjunto
no se podía “contar” en el sentido recién señalado (Cf. Lavine, 1994, pp. 1-10). Así, para acceder a los
números reales Cantor debió introducir su versión de lo que ahora se conoce como axioma del conjunto
potencia, el cual establece que los subconjuntos de un conjunto dado forman a su vez un conjunto. El
problema que este principio planteaba era que no se tenía idea de cómo contar las nuevas colecciones
a las que daba lugar. Tales dificultades se relacionan con el axioma de elección y el principio del buen
orden que Zermelo habría de introducir más adelante para coronar la teoría cantoriana. Para mayores
detalles el lector podrá consultar además del texto de Lavine, la bibliografía de Cantor y los siguientes
textos, que tratan en extenso con estos y otros aspectos de la teoría cantoriana: Dauben, 1979; Fraenkel,
1976 y Wang, 1993.
40 Shaughan
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
117
el apéndice F el lector hallará una presentación más detallada de la teoría y algunos
temas que no figuran en esta sección. Su lectura la consideramos imprescindible para
quien esté poco familiarizado con el tema, tomando en cuenta que en lo que sigue
supondremos conocidos algunos conceptos y nociones ahí expuestas.41
2.6.2.
Conjuntos, funciones, relaciones y estructuras abstractas
Cantor y Dedekind fueron los primeros en estudiar de manera sistemática los conjuntos
infinitos. No obstante, su propósito no era el mismo. Dedekind se interesó más que
nada en las operaciones con conjuntos y en la relación entre los conceptos de número
natural y conjunto infinito. En su libro Was sind und was sollen die Zahlen? (¿Qué son
y qué han sido los números?) de 1888 probó, sin suponer la existencia de los números
naturales, que todo conjunto infinito A contiene necesariamente un subconjunto N ∗
que es una “copia” de los números naturales (de ahí la notación) y cuyos elementos
satisfacen los axiomas ahora llamados “de Peano”, establecidos en este texto por
primera vez.42 Fue en dicha obra donde introdujo el lenguaje de los conjuntos casi como
se le utiliza hoy en día y definió las operaciones de unión e intersección de conjuntos,
señalando que éstas pueden ser aplicadas a cualquier familia de subconjuntos de un
conjunto dado. Asimismo, observó que los subconjuntos de un conjunto A forman a
su vez un conjunto, que ahora denotamos con ℘(A). Algo novedoso y que habría de
tener un notable efecto en toda la matemática fue la generalización del concepto de
función o mapeo. Dedekind, en vez de restringirse como hasta entonces se había hecho
a funciones de números reales o complejos, generalizó el concepto casi al máximo:
dados dos conjuntos A y B, una función f de A en B es una ley (gesetz) que asocia a
cada elemento a de A un único elemento b de B denominado su valor en a y denotado
con f (a).43
La única noción que se halla ausente en la exposición de Dedekind y que es muy
utilizada hoy en día es la de producto cartesiano A × B de dos conjuntos. Fue Cantor
quien la introdujo. Se trata del conjunto de parejas ordenadas (a, b) que se pueden
formar con los elementos de A y de B, una generalización del concepto de coordenadas
cartesianas. Esta noción se relaciona con el concepto de función como sigue: si
f : A → B es una función, entonces la gráfica G f de f es el subconjunto de A × B
formado por todas las parejas de la forma (a, f (a)), donde a es un elemento de A. En
41 Estas nociones son principalmente las de correspondencia uno a uno (biyectiva), número cardinal y
número ordinal.
42 Axiomas de Peano: (1) 0 es un número natural. (2) Todo número natural n tiene un sucesor sn. (3)
Dos números naturales con sucesores iguales son iguales entre sí. (4) 0 no es sucesor de ningún número
natural. (5) Un conjunto X que contiene a 0 y que contiene a sn toda vez que contiene a n, contiene a
todos los números naturales (principio de inducción).
43 Actualmente se han adoptado distintas notaciones para denotar funciones, como, por ejemplo,
x → f (x) que evita la introducción de nuevos símbolos (como cuando se escribe x → x2 ) o la más
compleja f : A → B para indicar el conjunto A en que se define la función y el conjunto B en que toma
sus valores.
118
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
forma análoga se puede definir el producto cartesiano A1 × A2 × . . . × An de n conjuntos
cualesquiera. Con base en el concepto de producto cartesiano es posible definir el
concepto de relación de A en B: una relación de A en B es un subconjunto del producto
cartesiano A × B, con lo que las funciones pasan a ser un caso particular de relaciones.
La importancia de estas nociones es que permiten hablar de funciones y operaciones
entre objetos de naturaleza indeterminada, que no necesariamente son números. De
este modo los matemáticos de fines del siglo diecinueve y del siglo veinte pudieron
hacer referencia a estructuras abstractas, es decir, a sistemas de objetos acerca de
los cuales lo único que se sabe es que satisfacen ciertas relaciones que se “definen”
mediante axiomas, tal como lo hiciera Hilbert en el caso de la geometría (aunque él no
se sirve de la noción de función).
2.6.3.
Los comienzos de la teoría cantoriana: conjuntos de números
Cantor comenzó estudiando los conjuntos de números más importantes del continuo
numérico: los números naturales, los números racionales y los números reales. Buscó
las diferencias entre ellos en el sentido de que los primeros forman un conjunto discreto
(para cada número siempre hay “el siguiente”), el segundo es un conjunto denso pero
no continuo (los hay por doquier, pero presentan “huecos” en la recta numérica), y el
tercero forma un continuo. En 1874 publicó un artículo en el que demuestra el notable
resultado de que los números racionales y los números algebraicos se pueden poner en
correspondencia uno a uno (1-1) con los números naturales, mientras que los números
reales no (es decir, no se puede “cubrir” o igualar con los anteriores). Con ello puso
en evidencia que hay conjuntos infinitos de distintas magnitudes, y demostró el hecho
sorprendente de que los conjuntos de números naturales, racionales y algebraicos
tienen la misma magnitud. La demostración de estos resultados se puede llevar a cabo
sirviéndose de dos procedimientos de su invención: el método de las matrices infinitas
y el método de la diagonal. Veamos cada uno de ellos.44
Matrices infinitas. La enumeración de los números racionales se puede llevar a cabo
con base en el siguiente procedimiento. Dispóngase las fracciones positivas en un
arreglo bidimensional (en una matriz infinita) como en el primero de los siguientes
diagramas:
44 Si el lector tiene dificultades en el manejo de nociones como las de conjunto infinito, potencia de
un conjunto, numerabilidad, enumeración de un conjunto, etc. o no conoce su definición precisa, le
sugerimos que lea el apéndice F, de preferencia con lápiz y papel a la mano; en él se introducen dichas
nociones y se ofrecen algunos ejemplos sencillos.
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
119
En el diagrama a la derecha se muestra cómo enumerar las fracciones positivas siguiendo las flechas: 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, . . .
Si se eliminan aquellas fracciones que son iguales en valor numérico a alguna precedente y se intercalan los inversos aditivos, el resultado es una enumeración de los
números racionales:
1, −1; 2, −2; 1/2, −1/2; 1/3, −1/3; 3, −3; 4, −4; 3/2, −3/2; 2/3, −2/3; 1/4, −1/4...
Aplicando el mismo procedimiento se puede demostrar la numerabilidad de diversos
conjuntos. Los siguientes son algunos ejemplos:
1. El conjunto de pares ordenados de números naturales.
2. El conjunto de pares ordenados de números racionales.
3. El conjunto de ternas ordenadas de números naturales.
4. El conjunto Sn de sucesiones finitas de n números naturales, para cada n fija.
5. El conjunto S de sucesiones finitas de números naturales y el conjunto T de
sucesiones finitas de números racionales.
6. El conjunto de ecuaciones algebraicas, es decir, de ecuaciones de la forma
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
donde los coeficientes an , an−1 , . . . , a0 son números enteros y an = 0.
7. El conjunto de números algebraicos, es decir, de números que son raíz de una
ecuación algebraica. (Esto se debe al hecho de que toda ecuación algebraica de
grado n tiene a lo más n raíces distintas, entre las que pueden figurar números
complejos).
8. El conjunto de expresiones de un lenguaje L con alfabeto A, donde A es un
conjunto finito o numerable (una expresión es una sucesión finita de símbolos de
A).45
45 Aunque estos resultados no dejan de ser sorprendentes, la noción de infinito considerada hasta aquí es
120
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
El método de la diagonal. En el mismo escrito en que Cantor demuestra la numerabilidad de los números algebraicos se encuentra la demostración de que hay conjuntos
infinitos que no se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales N o, como se suele decir, que no tienen la misma potencia que N. Si bien el camino
que ahí sigue es un tanto difícil de andar, en 1891 propuso un nuevo procedimiento
de prueba que ahora se conoce como método de la diagonal, y que nosotros expondremos con relación a un subconjunto de los números reales. Este método ha sido
utilizado con mucho éxito en distintas áreas de la matemática moderna para demostrar
“imposibilidades”.
Consideremos el conjunto de los números reales en el intervalo 0 < x < 1. Cada
número perteneciente a él está representado por una fracción decimal infinita de la
forma 0.d1 d2 d3 . . . donde cada dn es alguno de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó
9.46 Por ejemplo, 0.235757 . . . sería uno de ellos (donde la expresión 57 indica que
la sucesión “57” se repite indefinidamente, en cuyo caso se dice que el decimal es
periódico). Supongamos ahora que se han enumerado algunos números reales del
intervalo 0 < x < 1, es decir, que se han puesto en correspondencia uno a uno con
el conjunto de los números naturales. En tal caso se podría formar una lista como la
siguiente:
1.
0.d11 d12 d13 d14 . . . d1n . . .
2.
0.d21 d22 d23 d24 . . . d2n . . .
3.
0.d31 d32 d33 d34 . . . d3n . . .
4.
0.d41 d42 d43 d44 . . . d4n . . .
...
...
0.d11 d12 d13 d14 . . . d1n . . .
0.d21 d22 d23 d24 . . . d2n . . .
0.d31 d32 d33 d34 . . . d3n . . .
0.d41 d42 d43 d44 . . . d4n . . .
...
Ahora elaboremos una fracción decimal con los dígitos sobre la diagonal del arreglo
(marcada por las flechas en la segunda figura): 0.d11 d22 d33 d44 . . . y formemos una
segunda fracción decimal 0.a1 a2 a3 a4 . . . definiendo, para cada índice n, an = 1 si
dnn = 1 y an = 2 si dnn = 1. Esta nueva fracción difiere de la primera en la lista en el
lugar de la décimas (en el primer dígito después del punto decimal), de la segunda en el
lugar de la centésimas (en el segundo dígito después del punto decimal) y, en general,
de la enésima fracción en el enésimo dígito, por lo que la fracción 0.a1 a2 a3 a4 . . . no
la del infinito potencial, pues cualquier proceso de enumeración lo único que presupone es la posibilidad
de seguir construyendo la lista sin abandonar el dominio de lo finito. En cuanto al infinito actual, éste
hará acto de presencia al considerar otro tipo de conjuntos, como a continuación veremos.
46 Nótese que no todos los dígitos son 0. Por otra parte, para que el resultado sea válido debemos
prohibir que el dígito 9 figure en la sucesión un número infinito de veces consecutivas, es decir, debemos
evitar las sucesiones de la forma 0.d1 d2 d3 . . . 999 . . . Esto se debe a que fracciones como, 0.019999... y
0.020000... representan un mismo número.
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
121
figura en la lista (de lo contrario tendría que diferir de sí misma en algún dígito). Por
tanto, ninguna enumeración de números reales del intervalo (0, 1), tal como se planteó
al principio, los incluye a todos ellos y el conjunto no es numerable. En otras palabras,
la potencia del intervalo (0, 1) es distinta de la de N.
Con base en este resultado es posible demostrar la no numerabilidad del conjunto R
de los números reales. Para ello es suficiente con establecer una correspondencia uno
a uno (una biyección) entre R y el intervalo (0, 1). Un ejemplo es el siguiente. Sea
f : R → (0, 1) la función:
f (x) =
1
2−x
si x < 0, y f (x) =
2x+1
2x+2
si x ≥ 0
Si R fuese numerable, con la correspondencia anterior se podría establecer una biyección entre N y el intervalo (0, 1), lo cual es imposible. Por tanto, R tampoco es
numerable.
En cuanto a los resultados anteriores, nos limitaremos a hacer algunas observaciones
que consideramos relevantes.
1. La idea de recorrer un arreglo bidimensional infinito para definir un nuevo objeto
o para demostrar una imposibilidad, meollo del método diagonal, ha sido explotada con éxito en la matemática moderna. Una curiosa aplicación que queremos
mencionar fue la lograda por William F. Dowling en 1989 cuando demostró,
mediante un argumento diagonal, que ningún programa diseñado para detectar
virus en la computadora puede ser a la vez 100 % seguro, en el sentido de que
no alterará el código del sistema operativo de la máquina, y 100 % efectivo en el
sentido de que sí detecta todos los programas que alterarán el código del sistema
operativo.47
Esto refuerza la afirmación de que Cantor, más allá de una simple prueba, lo que
en realidad hizo fue introducir un nuevo método de prueba.
2. La prueba o demostración de que el conjunto de los números racionales es numerable es de una naturaleza más simple que la demostración de que R no es
numerable. En la primera lo único que se tuvo que hacer fue definir un mapeo
entre dos conjuntos. Esto requirió cierto grado de ingenio, pero una vez definida la correspondencia nada quedó por hacer. En cambio, para la segunda fue
necesario probar que cualquier intento por definir una correspondencia uno a
uno entre N y R estaría condenado al fracaso, es decir, hubo que demostrar una
imposibilidad. Obviamente, probar una imposibilidad es más complicado que
especificar una correspondencia. De hecho, para demostrar que algo es imposible
hay que proceder de manera indirecta, por reducción al absurdo. Así, en la prueba
anterior el absurdo se obtiene al suponer que la enumeración incluye a todos los
47 Véase
Dowling, 1989.
122
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
números reales del intervalo (0, 1). Cabe señalar que los teoremas de incompletud
de Gödel pertenecen a esta clase; por ejemplo, el primero de ellos establece que
bajo ciertas circunstancias es imposible definir un cuadro recursivo de axiomas
para la aritmética que sea deductivamente completo.
La cuestión de demostrar una imposibilidad es tan sutil que incluso en el siglo
XVII no se tenía la idea de establecer resultados de este tipo.
3. La no numerabilidad de R tiene una importante consecuencia respecto a los
números irracionales. Se llama trascendente a todo número que no es algebraico.48
La existencia de números trascendentes no se conoció sino hasta 1844, año en
que Joseph Liouville demostró que cualquier número de la forma
d1
d2
d3
dn
+
+
+ . . . + n! + . . .
10 102! 103!
10
donde cada di es alguno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9, es trascendente.
Posteriormente, en 1873 y 1882 respectivamente, Charles Hermite y Ferdinand
Lindemann probaron que los números e (base de los logaritmos naturales) y
π (relación entre la circunferencia y su diámetro) son trascendentes.49 En este
sentido el teorema de Cantor sobre la no numerabilidad del continuo muestra no
sólo que existen números trascendentes, sino que éstos son más “numerosos” que
los algebraicos.50 Resulta entonces que la teoría cantoriana proyecta luz sobre
un problema matemático que parecía fuera de su alcance, revelando con ello su
fuerza y ductilidad.
4. Al tipo de demostración utilizado por Cantor para probar la existencia de números
trascendentes le podemos llamar prueba de existencia por el absurdo. En esta
clase de demostraciones la “existencia” de un ente se prueba indirectamente,
deduciendo una contradicción a partir de su supuesta inexistencia. El problema
con este tipo de argumentos es que en vez de entregar un objeto, lo que ofrecen es
una contradicción. Este uso polémico del principio del tercero excluido, sobre el
que se apoyan las demostraciones de este tipo, pronto se convirtió en el blanco
de las críticas de quienes se oponían a admitir como válidos razonamientos en
los que se deduce la existencia de un objeto sin indicar cómo se le puede hallar.
48 Es decir, los números trascendentes son los que no son solución de una ecuación algebraica. El
nombre, propuesto por Euler, alude al hecho de que trascienden todo procedimiento algebraico para
caracterizarlos. Obviamente, todo número racional es algebraico, o bien, todo número trascendente es
irracional.
49 Estas pruebas pronto se vieron inmersas en un mar de críticas a causa de su carácter no constructivo.
De esto nos ocuparemos en los capítulos 3 y 4.
50 En efecto, si el continuo es la unión de los conjuntos de números algebraicos y trascendentes,
y el conjunto de números algebraicos es numerable, entonces el conjunto de números trascendentes
tiene mayor cardinalidad. Así, se puede decir que “ordinariamente” un número real es trascendente y
“excepcionalmente” es algebraico, aunque en la práctica la mayoría de los números con los que tratamos
son de esta última especie. Cf. Fraenkel, 1976, pp. 38-39.
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
123
A esta cuestión habremos de volver en los capítulos 3 y 4, pues se convirtió en
una herramienta muy utilizada en la matemática, y en un tema de debate entre el
intuicionismo y la escuela de Hilbert.
5. De la no numerabilidad de R se sigue que este conjunto no se puede hacer
corresponder con el de sucesiones finitas de números racionales, pues este último
es numerable. Esto significa, entre otras cosas, que los números reales no se
pueden definir mediante tales sucesiones y que las cortaduras de Dedekind (o
algo semejante a ellas) son inevitables en la construcción de los números reales
a partir de los enteros. Como veremos, para superar esta dificultad Hilbert trató
de caracterizar axiomáticamente el concepto, creyendo que de este modo podría
evitar el uso del infinito actual.
2.6.4.
La hipótesis del continuo
El descubrimiento de que los números reales forman un conjunto no numerable llevó
a Cantor a profundizar en la cuestión de la equipotencia entre conjuntos. En 1874 le
escribió una carta a Dedekind en la que, exaltado, le pregunta si habrá una biyección
entre los puntos de una superficie y un segmento de recta, cuestión considerada absurda
por sus coetáneos: “¿Será posible –se pregunta– mapear singularmente una superficie
(supón un cuadrado incluyendo sus lados) sobre una línea (supón un segmento incluyendo sus extremos), de modo que a cada punto de la superficie le corresponda un
punto del segmento y, recíprocamente, a cada punto del segmento le corresponda un
punto de la superficie?”.51 Cantor estaba consciente de las dificultades que encerraba
este problema y supuso que la respuesta sería negativa. No obstante, en 1877 ya había
resuelto favorablemente la cuestión: sí es posible hacer corresponder los puntos de una
superficie con los de un segmento. En una carta dirigida a Dedekind, en la que esboza
una demostración un tanto más general, exclama: “¡lo veo y no lo creo!”52 . Parte de
su asombro se debía a que ahora era posible determinar mediante un sólo número la
posición de un punto en cualquier espacio continuo de dimensión n, lo cual ponía en
duda la idea de que esto sólo se podía hacer mediante n coordenadas independientes.
Lo siguiente es un bosquejo de la prueba de que
los puntos de un cuadrado se pueden poner en correspondencia uno a uno con los puntos de uno de
sus lados. Este resultado, enteramente contra intuitivo, es el punto de partida de una demostración de
alcance más general: que toda superficie continua
tiene la misma cardinalidad que el intervalo (0, 1)
y, por tanto, que R.53
51 Citado
en Dauben, 1979, p. 54.
en Dauben, 1979, p. 55.
53 La prueba que ofrecemos es una versión simplificada de la que Cantor ofreció a Dedekind en 1877
52 Citado
124
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Consideremos un cuadrado de lado 1 y pongamos uno de sus vértices en el origen y uno
de sus lados sobre el eje X, como se muestra en la figura. Sean x e y las coordenadas
de un punto del cuadrado, de modo que
x = 0.a1 a2 a3 . . . an . . .
e
y = 0.b1 b2 b3 . . . bn . . .
donde cada ai y cada b j es alguno de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ó 9 y no hay
terminaciones infinitas de nueves.54 Formemos ahora un número t intercalando los
dígitos de la fracciones decimales anteriores:
t = 0.a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . an bn . . .
Así, a cada pareja de números (x, y) con 0 < x < 1 y 0 < y < 1 le corresponde de
manera unívoca un número t perteneciente al intervalo (0, 1). Por tanto, el interior del
cuadrado no tiene más puntos que uno de sus lados.
El argumento anterior es una prueba de que el conjunto ℑ = (0, 1) × (0, 1) es equivalente a un subconjunto del intervalo (0, 1).55 También podemos probar la inversa de
esta proposición, es decir, que el intervalo (0, 1) es equivalente a un subconjunto de ℑ.
Por ejemplo, consideremos la función d : (0, 1) → ℑ definida por:
d(x) = (x, x)
La función d es unívoca y asocia a cada punto del intervalo (0, 1) un punto sobre
la diagonal del cuadrado unitario. Por tanto, el intervalo (0, 1) es equivalente a un
subconjunto de ℑ. Con base en el teorema de la equivalencia de Schröder-Bernstein,56
concluimos que los conjuntos (0, 1) e ℑ son equivalentes y tienen la misma cardinalidad.
De manera semejante se puede demostrar que algunos otros conjuntos tienen la misma
potencia que R. Los siguientes son algunos ejemplos:
1. El conjunto de pares ordenados de números reales (en lenguaje geométrico: el
conjunto de puntos en el plano).
2. El conjunto de ternas ordenadas de números reales (en lenguaje geométrico: el
conjunto de puntos del espacio tridimensional).
3. En general, el conjunto Rn de sucesiones finitas de n números reales, para cada n
fija (en lenguaje geométrico: el conjunto de puntos en un espacio de dimensión
n).
de que toda variedad continua de p dimensiones puede ser puesta en correspondencia biunívoca con una
curva continua. La prueba de Cantor presenta un error que invalida la demostración, pero no el resultado.
Cf. Carta de Cantor a Dedekind fechada el 20 de junio de 1877, en [Sestier, 1981, pp. 54-56].
54 Véase al respecto la nota al pie 46 de esta sección.
55 Véase la página 5 del apéndice F con relación al concepto de equivalencia entre conjuntos.
56 Al respecto, véase la página 7 del apéndice F.
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
125
4. El conjunto RN de sucesiones x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . de números reales.
5. El conjunto ℘(N) de subconjuntos de N.
6. El conjunto C de todas las funciones de R en R que son continuas.57
Amén de los números naturales y los números reales, Cantor no pudo demostrar que
hubiese conjuntos infinitos de otros tamaños, e ignoraba si había algo más grande
que el conjunto de los números reales (nos referimos a 1874). En cuanto al continuo
numérico, ese mismo año enunció en su forma primitiva la hipótesis del continuo,
al afirmar que todo conjunto infinito de puntos en la recta numérica se puede poner
en correspondencia uno a uno con los números reales o con los números naturales,
es decir, que no hay posibilidades intermedias. Incluso anunció que pronto daría una
demostración.
La promesa anterior jamás se cumplió y ahora sabemos la razón de ello: la conjetura de
Cantor es independiente de los principios adoptados por él, es decir, se puede asumir
su negación sin incurrir en contradicciones. Esto lo demostraron Kurt Gödel y Paul
Cohen entre 1938 y 1963. Como el lector se dará cuenta, la situación es análoga a la
del quinto postulado de Euclides.58
Dada la representación de los puntos de la recta con números reales, la hipótesis del
continuo se puede plantear en los siguientes términos: ¿hay algún conjunto infinito
de números reales que no sea equipotente ni con N ni con R? Asimismo, haciendo
uso del concepto de número cardinal, que extiende el concepto de número a conjuntos
infinitos, esta última pregunta se puede formular en cualquiera de las siguientes formas:
¿cuántos puntos hay en la recta?, ¿cuántos números reales hay?, ¿cuántos conjuntos de
números naturales hay?, o bien, ¿hay algún número transfinito entre el cardinal de N y
el cardinal de R? La hipótesis del continuo es simplemente la afirmación de que no lo
hay.59
57 Estos
resultados son discordantes con los dictados del sentido común. En efecto, en contra de lo
que la intuición nos haría pensar, lo que Cantor demuestra es que cualquier segmento tiene el mismo
número de puntos que una línea, que un plano, que todo el espacio tridimensional, o que un espacio con
un número numerable de dimensiones. Lo anterior no es sino un recordatorio de que la matemática muy a
menudo procede a contrapelo con la intuición, como cuando Peano demuestra que hay una curva continua
que llena todo un cuadrado.
58 El problema planteado por la hipótesis de continuo no obedece en sí a ninguna cuestión práctica y para
algunos representa uno de los puntos más enigmáticos de la teoría, ya que la prueba de su independencia
no resuelve el problema de saber si ahí, en el "mundo"de los conjuntos, es verdadera o falsa la conjetura.
Esto, obviamente, parte de la suposición de que la teoría de conjuntos trata con conceptos e ideas que
tiene existencia propia, al margen de que las podamos conocer: una postura idealista, platónica, de la que
Gödel es un gran exponente.
59 La hipótesis del continuo ha sido importante por varias razones. En primer lugar, se trata de una
cuestión natural relativa a los conjuntos infinitos más pequeños, la cual se puede formular de muchas
y muy distintas maneras. En segundo lugar, se trata de un problema que con el paso del tiempo llamó
la atención de numerosos matemáticos, forzándolos, en su intento por resolverlo, a explorar extensas
regiones del pensamiento matemático. De hecho, las dos ideas más fructíferas e interesantes de la teoría
126
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría cantoriana excede con mucho lo expuesto en estas páginas. En realidad, lo
único que hemos hecho ha sido mostrar sus rudimentos y exponer brevemente dos
resultados capitales acerca de los conjuntos de puntos en la recta numérica, cuestiones
que se hallan en el punto de partida. Para apreciarla, habría que adentrarse en sus dos
grandes vertientes, de las que sólo hemos señalado algunos aspectos: en primer lugar,
una teoría general que comprende los teoremas sobre conjuntos de puntos que vimos
en esta sección; en segundo lugar, una teoría de números transfinitos que apenas si
tocamos en el apéndice F. Además, se cuenta con los argumentos filosóficos sobre los
que Cantor sustenta su teoría y que se hallan dispersos en cartas y escritos. Finalmente,
si lo que se desea es tener una panorámica completa, es indispensable transitar por
la teoría axiomática de conjuntos, misma que Cantor no consideró, y que dio inicio
en 1904 con los trabajos de Ernst Zemelo (1871-1953). Al respecto, en la sección 3.5
abordamos brevemente dicho tratamiento axiomático.
2.6.5.
El axioma de elección
Hacia 1900 dos preguntas seguían sin respuesta en la teoría de conjuntos: la validez
de la hipótesis del continuo y el problema de la buena ordenación del conjunto de los
números reales, cuestión esta última que pronto se generalizó a todos los conjuntos. Para
ubicar estos problemas en su justa perspectiva conviene trazar una breve cronología.
Entre 1874 y 1897 Cantor dio forma a la teoría de los números transfinitos. Primero
hizo explícita la noción de correspondencia uno a uno y enunció la hipótesis del
continuo en su forma primitiva (como conjetura relativa a los puntos de una recta).
Hacia 1882 introdujo la noción de buen orden y demostró que la segunda clase de los
números ordinales –la clase Ω– está bien ordenada bajo la relación de pertenencia y
que todo subconjunto de ella es equipotente con N o con Ω misma (es decir, que no
hay casos intermedios, como Cantor lo suponía del continuo).60
Por tanto, para demostrar la hipótesis del continuo bastaba con probar que R es
equipotente con Ω (esta última afirmación es la forma final de la hipótesis del continuo).
Hacia 1884 Cantor clasificó numerosos conjuntos como numerables o equivalentes
al continuo y construyó números ordinales de la segunda clase mediante el segundo
principio de formación de ordinales o proceso de paso al límite. Fue entonces que
creyó poder coronar sus esfuerzos con una demostración de la hipótesis del continuo.61
axiomática de conjuntos, la constructibilidad y el forcing, se introdujeron a fin de dar respuestas parciales
a este problema. En tercer lugar, para los defensores del realismo conceptual se trata de un problema no
resuelto, pues su independencia no responde a la pregunta por su verdad, lo que los ha llevado a buscar
nuevos principios a partir de los cuales se pueda decidir su “verdad”. El problema del continuo se asemeja
en la teoría de conjuntos a un tema sinfónico que se repite una y otra vez y que podría servir como hilo
conductor para exponer sus preocupaciones centrales. Si le hemos dedicado un considerable espacio es
porque ejemplifica muy bien el tipo de problemas que Gödel tenía en mente al momento de ponderar la
relación entre verdad, completud y demostrabilidad en el seno de una teoría axiomática.
60 Ω es la clase de ordinales numerables. Véase el apartado sobre aritmética ordinal en el apéndice F.
61 Tras varios intentos fallidos Cantor, desilusionado, intentó desligarse por completo de las matemáticas
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
127
A fines de 1885 Cantor inició un segundo período de productividad, en el que el interés
por los conjuntos de puntos cedió su lugar al interés por los números transfinitos. En
1891 presentó una nueva demostración de la existencia de conjuntos no numerables
con base en el ahora famoso método de la diagonal. La técnica utilizada le permitió
demostrar en forma por demás elegante que el conjunto potencia ℘(A) de cualquier
conjunto A, finito o infinito, tiene una cardinalidad mayor que la de A, lo que lo llevó a
establecer una jerarquía ascendente e ilimitada de cardinales transfinitos.62 En 1895-97
publicó dos escritos en los que expuso de manera sistemática los resultados alcanzados
en la teoría de conjuntos e introdujo la notación de los aleph, aunque, a falta del
teorema del buen orden, dejó pendiente la proyectada aplicación de la teoría de los
números ordinales a la teoría de los números cardinales.63 También demostró que la
potencia de R es la misma que la de ℘(N), y expresó de manera sucinta la hipótesis
del continuo mediante la ecuación 2ℵ0 = ℵ1 . No obstante, Cantor no generalizó esta
conjetura al resto de los aleph; esto último fue obra de Felix Hausdorff quien en 1908
formuló la hipótesis generalizada del continuo, según la cual 2ℵα = ℵα+1 para todos
los ordinales α (véase el apartado La hipótesis generalizada del continuo del apéndice
F).
Entre los teoremas clásicos de la teoría de conjuntos que Cantor no demostró destacan
el teorema de la equivalencia, demostrado por Schröder y Bernstein en 1898 y dos
teoremas demostrados por Ernst Zermelo en 1904: la tricotomía, que establece que
todos los números cardinales son comparables entre sí, y el teorema del buen orden,
que afirma que todo conjunto se puede bien ordenar.
Para demostrar este último teorema Zermelo debió recurrir a un principio que ya
se había utilizado inadvertidamente en el análisis matemático. Lo presentó bajo el
y dedicarse a la filosofía, postura que se vio acentuada por la hostilidad de algunos matemáticos hacia él,
principalmente Kronecker. Estos acontecimientos significaron el fin de su período de mayor creatividad.
Hacia 1885 el apoyo de algunos colegas, sobre todo el de su editor y amigo Gösta Mittag-Leffler
(1846-1927), y la adhesión a su trabajo de nuevos matemáticos, renovaron su interés por la teoría.
62 Véase el apartado sobre cardinales transfinitos superiores en el apéndice F. La demostración es
tan simple que la podemos bosquejar en pocas líneas. Sea A un conjunto arbitrario y sea f : A → ℘(A)
una correspondencia uno a uno. Vamos a demostrar que hay un subconjunto A de A que no figura en la
correspondencia.
Dado que la imagen f (a) de cada elemento a de A es un subconjunto de A, tiene sentido preguntarse si
a mismo pertenece a su imagen, es decir, si a ∈ f (a). Formemos entonces el conjunto A = {a|a ∈
/ f (a)}
constituido por aquellos elementos de A que no pertenecen a su imagen. Supongamos que A es imagen de
algún elemento a de A, i. e., que hay un a ∈ A tal que f (a ) = A . ¿Es a un elemento de A ? Cualquiera
que sea la respuesta, ésta conduce a su negación. Por ejemplo, si a ∈ A , entonces, por definición de A ,
a ∈
/ f (a ) = A . En cambio, si a ∈
/ A , entonces a es un elemento de A que no pertenece a su imagen
y por tanto pertenece a A , pues dicha condición es lo que define a A . Conclusión: a ∈ A si y sólo si
a ∈
/ A , una contradicción. Así, A no puede ser imagen de ningún elemento de A, y ℘(A) no se puede
poner en correspondencia uno a uno con A ¿En dónde aparece el método de la diagonal? Respuesta: en la
definición de A .
63 Si se pudiera definir un buen orden en el conjunto R de los números reales, su situación en la escala
cardinal se podría determinar mediante el número ordinal correspondiente, quedando resuelto con ello
el problema del continuo. Obviamente, este problema es tan sólo un caso particular del problema más
general de bien ordenar cualquier conjunto, no sólo el de los números reales.
128
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
nombre de axioma de elección y su adopción fue de inmediato motivo de enconadas
polémicas que, de algún modo, influyeron en las discusiones en torno al fundamento
de la matemática a principios del siglo veinte. El principio pronto se extendió a otras
áreas de la matemática y en la actualidad es una herramienta de uso general. A fin de
clarificarlo tomemos un ejemplo del análisis matemático.
Sea C un conjunto de puntos en el plano, y P0
un punto del plano que no pertenece a C, pero
que tiene la propiedad de que cualquier disco
con centro en P0 contiene un punto de C. El
problema es demostrar que existe una sucesión
Q1 , Q2 , . . . , Qn , . . . de puntos de C cuyo límite es
P0 . El argumento es simple: para cada n 1 sea
Dn el disco con centro en P0 y radio 1/n, como
en la figura a la derecha.
Por hipótesis, hay un punto Q1 ∈ D1 ∩ C, un
punto Q2 ∈ D2 ∩C, etc. Estos puntos forman la
sucesión buscada, pues para cada número natural n 1, la distancia entre Qn y P0 es
menor que 1/n, por lo que el límite de la sucesión es P0 .
Si examinamos la forma del argumento, podremos ver que se ha utilizado el siguiente
principio: Si (Cn ) es una colección de subconjuntos no vacíos de un conjunto C (en el
ejemplo Cn = Dn ∩C), entonces existe un mapeo n → Cn de N en C tal que para cada
n, cn ∈ Cn . Esta conclusión puede parecer natural, pero cuando Giuseppe Peano la tuvo
que aplicar a un conjunto C de funciones (hablamos de 1890) hizo la observación de
que para cada n, el elemento cn no está determinado de manera única (Cn es por lo
general un conjunto infinito), por lo que es necesario hacer una infinidad de elecciones
sucesivas, y esto último le pareció inaceptable.
La primera vez que Zermelo enunció este principio lo hizo de la siguiente manera:
Para cualquier colección de conjuntos no vacíos siempre hay un mapeo que a cada
uno de dichos conjuntos le asocia uno de sus elementos.64 En 1908 Zermelo lo volvió
a enunciar bajo el desafortunado nombre de “axioma de elección” con las siguientes
palabras:
Un conjunto S que se puede descomponer en un conjunto de partes ajenas
A, B, C, . . ., cada una de las cuales contiene al menos un elemento, posee al
menos un subconjunto S1 que tiene exactamente un elemento en común con
cada una de las partes A, B,C, . . . consideradas.65
64 Cf.
Zermelo, 1904, en Heijenoort, 1967, p. 141.
1908. Tomado de Heijenoort 1967, p. 186. Una tercera formulación –en Zermelo 1908a–,
es la siguiente: Si T es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos y ajenos entre sí, entonces
su unión ∪T incluye al menos un subconjunto S1 que tiene uno y sólo un elemento en común con cada
elemento de T . El conjunto ∪T resulta al reunir en un sólo conjunto todos los elementos de los conjuntos
en T . En cuanto al tratamiento axiomático de la teoría, el lector podrá consultar la sección 3.5.
65 Zermelo,
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
129
Lo que el axioma de elección dice es que si S es un conjunto cuyos elementos son a su
vez conjuntos no vacíos A, B,C, . . ., (de cualquier cardinalidad), es “posible” (esto es lo
que afirma) elegir de cada uno de estos conjuntos A, B,C, . . ., un elemento determinado,
a en A, b en B, c en C, ..., y razonar válidamente sobre el nuevo conjunto S1 formado
por la reunión de tales elementos a, b, c, . . ., en una totalidad. El lado polémico consiste
en que el axioma tiene un carácter puramente existencial, pues en él no hay ninguna
indicación sobre cómo construir o formar el nuevo conjunto, lo que para algunos es
inadmisible en el dominio de los conjuntos infinitos.
En la escala de los conjuntos finitos lo que el axioma declara es una perogrullada.
Imaginemos un auditorio que contiene un número finito de espectadores, cada uno
de los cuales tiene en su bolsillo un conjunto finito de monedas (una por lo menos:
ninguno es víctima de la pobreza extrema). Para reunir fondos se pide a cada uno de los
asistentes que aporte, sin excepción, una y sólo una de sus monedas para formar así un
nuevo conjunto de monedas. Esta colección tendría la misma potencia o cardinalidad
que el conjunto de espectadores. Nada más simple que afirmar la existencia de tal
conjunto, tal como lo hace el axioma. Mas la teoría de conjuntos tuvo la virtud de
sembrar la discordia donde antes había una verdad de Perogrullo. Si bien todo el
mundo estaba dispuesto a reconocer la validez del axioma de elección al nivel de los
conjuntos finitos, en cuanto a su legitimidad en el dominio de los conjuntos infinitos
suscitó interminables polémicas. Para unos era algo evidente y bastaba con enunciar el
postulado para reconocer su legitimidad; para otros era algo carente de sentido, una
mezcla confusa de palabras desprovistas de significado.
Por ejemplo, Emile Borel (1871-1956) decidió ignorar el axioma de Zermelo y continuar haciendo matemáticas sin él. Otros, herederos de la tradición cantoriana, lo
admitieron y extrajeron de él consecuencias muy interesantes. Obviamente, estas consecuencias fueron vistas con recelo por aquellos que veían en el axioma un sinsentido.
Esta querella ha continuado hasta nuestros días y parece que sólo se resolverá en el
fastidio, pues ninguno de los participantes parece dispuesto a abandonar su trinchera ni
se prevé cómo podría doblegar a su oponente.
Al igual que Cantor y Zermelo, Hilbert admite el axioma de elección y acepta la
existencia de un buen orden para el continuo; por el contrario, algunos matemáticos
franceses, entre ellos Poincaré, Borel, Lebesgue y Baire, impugnaron de inmediato el
axioma o se mostraron escépticos o indiferentes. Las críticas se centraron básicamente
en dos aspectos: en la pretensión de abandonar el ámbito de la intuición en favor
del tratamiento formal y en el sentido de la existencia matemática. Por ejemplo,
cuestionaron la validez de un axioma como el de elección que supone una infinidad
de elecciones arbitrarias simultáneas (¿no es esto inconcebible desde un punto de
vista intuitivo?), aduciendo que para abordar estos problemas es preciso saber qué es
lo que se quiere decir cuando se afirma que un ente matemático existe. V. gr., ¿tiene
sentido hablar de la existencia de un conjunto del que no sabemos nombrar todos sus
elementos? La conclusión a la que llegaron algunos de ellos fue que no tenía sentido
hablar de entes como el conjunto potencia de un conjunto infinito dado, aunque ello
130
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
tuviera como consecuencia rechazar el sistema de los números reales. Esta postura fue
compartida por todos los adversarios del infinito actual.66 Hacia 1912 el matemático
holandés L. E. J. Brouwer (1881-1966) vio en el fondo de la discusión dos grandes
corrientes del pensamiento, que identificó como intuicionismo (sobre todo francés) y
formalismo (sobre todo alemán), convirtiéndose en abanderado de la primera de ellas.
Con ideas semejantes emprendió la reconstrucción de la matemática, abogando por la
exclusión de la teoría transfinita de Cantor y de todo aquello que se basara en la noción
de infinito actual, como el axioma de elección.67 A este tema habremos de volver en
los siguientes capítulos, cuando consideremos en extenso la polémica entre Hilbert y
Brouwer.
2.6.6.
Dos comentarios y un epílogo
1. Es evidente que el tratamiento del infinito señala una diferencia capital entre la
matemática antigua (digamos hasta 1800) y la moderna. La primera lo evita a toda
costa, como Euclides, que propone la línea recta como tendida entre dos puntos
y tiene la precaución de avisar que la va a prolongar más allá de dichos límites,
mientras que la segunda recurre a él sistemáticamente, como en la geometría
proyectiva que acepta los puntos y la recta al infinito para alcanzar la generalidad.
Lo máximo en esta tendencia es la teoría de conjuntos de Cantor, en la que el
infinito no sólo se explora, sino que se jerarquiza y ordena.
No obstante, a pesar del feraz uso que se hace de él en la matemática moderna,
el infinito actual sigue siendo una noción que no es aceptada por todos. Si bien
la matemática moderna logró despojar al infinito de esa metafísica farragosa
que ocultaba una joya, las polémicas no han dejado de acompañar a esta teoría.
Por ejemplo, hoy en día se sigue debatiendo acerca de si al lado del infinito
potencial hay un infinito actual, categórico, o si éste sólo representa un desvarío
medieval. Tal parece que las diferencias al respecto tienen raíces sicológicas
(horror al infinito), lógicas (distintas leyes para la igualdad, para comparar los
infinitos, etc. con relación a lo finito) y sociales (actitud y disposición de un grupo
para su aceptación), que van desde el escepticismo de Kronecker hasta el místico
atrevimiento de Cantor. Estos contrastes los podemos advertir al recorrer la galería
de matemáticos y filósofos que han tomado parte en el debate.
Para unos, el infinito es la imposibilidad de imponer un límite a una operación del
intelecto y sólo puede ser potencial, pues el entendimiento lo único que puede
66 Tales
críticas se encuentran descritas de manera clara y poco sistemática en [Baire et al, 1905].
67 En contra de este tipo de argumentos opuestos al axioma de elección, hay un interesante comentario de
Jean Dieudonné que ilustra muy bien la opinión que tiene la mayoría de los matemáticos contemporáneos
acerca de tales pretensiones: “Un conjunto no es un objeto en un escaparate del que “escogemos” objetos,
del mismo modo en que una línea no es un cordel estirado entre dos puntos, y no es más razonable
rechazar el axioma de Zermelo, que no hace sino afirmar la existencia de un objeto matemático (un
mapeo), del mismo modo en que no nos es posible rechazar el primer postulado de Euclides alegando que
no es posible estirar un cordel entre la Tierra y Sirio.” Cf. Dieudonné, 1992, p. 225.
2.6. L A TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE C ANTOR
131
hacer es afirmar su capacidad de repetir interminablemente la misma operación.
Para otros, el infinito se realiza, es actual, es un límite alcanzado y superado:
se puede ir al otro lado de él. Un par de citas hará más claras las posturas.
Escuchemos a Gauss:
Protesto contra el uso de una cantidad infinita como una entidad actual;
eso no está permitido en matemáticas nunca. El infinito es solamente una
manera de hablar, en la que uno está realmente hablando de límites a los
que ciertas razones pueden aproximarse tanto como se quiera, mientras
que otras crecen ilimitadamente.68
Cantor, que hubo de abandonar Berlín a causa de la hostilidad de sus críticos en
un vergonzoso episodio de intolerancia, se refiere a su reencuentro con Kronecker
(el más implacable de ellos) con las siguientes palabras:
La entrevista que tuve con él no dio un solo nuevo pensamiento de su parte
y lo que él opone a mis números transfinitos no son más que los ingeniosos
argumentos de la escuela escéptica de hace 2000 años contra el infinito
actual; la repetición de estos argumentos, respectivamente sofismas, ni aún
en boca de un hombre tan listo y bien situado como el señor Kronecker,
para nada los hace más fuertes, convincentes o acertados.69
Aunque el debate en torno a las dos concepciones del infinito no ha llegado a su
fin (de ello nos ocuparemos en el siguiente capítulo), la importancia y belleza
de la teoría de conjuntos es reconocida hoy en día como nunca antes. En la
actualidad casi todo el mundo juzga que Cantor no se equivocó al construir una
teoría del infinito actual. Por el contrario, las nuevas generaciones han visto en
ella una idea fascinante y un signo de renovación. Esta actitud se resume en la
respuesta que Hilbert diera a Brouwer cuando éste intentó desterrar el infinito
actual de la matemática: “Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor creó
para nosotros.”70
2. Aunque Cantor creía en la realidad objetiva de los números transfinitos, jamás
pretendió que los matemáticos aceptaran su teoría con base en tales suposiciones.
Más bien, en su defensa sostuvo que la matemática, a diferencia de otras ciencias,
no necesita considerar el vínculo entre sus conceptos y la realidad objetiva, sino
sus vínculos con el pensamiento mismo, pues la matemática es autónoma y libre
de crear sus propios objetos siempre y cuando no incurra en contradicciones.
En 1883 escribió: “La matemática es enteramente libre en su desarrollo, y sus
conceptos sólo se ven restringidos por la necesidad de ser no contradictorios y estar
coordinados con los conceptos previamente introducidos mediante definiciones
68 Gauss,
carta a Heinrich Schumaher. Citado en Kline, 1994, p. 1311.
carta a Mittag-Leffler. Citado en Sestier, 1981, p. 120. El encuentro fue en octubre de 1884.
70 Hilbert 1925. Cita tomada de la traducción al español, p. 94.
69 Cantor,
132
2. L A MATEMÁTICA MODERNA Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
precisas. [...] La esencia de las matemáticas reside en su libertad.”71 Este punto
de vista es enteramente congruente con el de Hilbert, para quien ni siquiera
es necesario suponer una realidad suprasensible a la que estarían referidos los
conceptos matemáticos; más bien, se trata de una ciencia que se ocupa de lo
posible, donde por posible se entiende aquello que no lleva a contradicción. En
particular, y a esto habremos de volver más adelante, considera que los números
transfinitos son nociones ideales que no tenemos por qué suponer referidas a
ningún tipo de realidad (y que aunque lo estuvieran no estaríamos en posibilidad
de saberlo). A lo que sí está dispuesto es a defender la libertad de imaginar o creer
cualquier cosa, incluyendo el paraíso cantoriano. Al respecto, la pretensión de
verdad acerca de la naturaleza ya no se encuentra por ninguna parte.
Epílogo Con lo poco que hemos ofrecido en una sección muy corta y muy larga a la vez,
creemos haber puesto en claro la audacia y originalidad de la teoría de conjuntos. Y si
bien esta disciplina ha sido objeto de largos debates de los que aún se escuchan los ecos,
también ha tenido la capacidad de irrumpir en toda la matemática, sin dejar ninguna de
sus partes completamente fuera de su dominio. De hecho, muchos matemáticos ven
en ella la única base legítima que conviene a su disciplina, y un medio para vincular
entre sí las partes más diversas, sometiéndolas a una sola jurisdicción. De alguna
manera, sus nociones abstractas se han convertido en los elementos básicos de la
construcción axiomática que Hilbert impulsa y su lenguaje en una especie de habla
universal en la que todo lo matemático es traducible. Es tal su generalidad que sus
conceptos han conquistado a la vez el mundo de los números, el de las formas y el de
las funciones: ¿qué es la aritmética sino el estudio de conjuntos de números?, ¿qué es la
geometría sino el estudio de conjuntos de puntos?, ¿qué es la teoría de funciones sino
el estudio de correspondencias entre conjuntos? Y si bien en el pasado se suscitaron
algunos problemas que amenazaron con demoler la revolución cantoriana (de ello
nos ocuparemos en el siguiente capítulo), la teoría de conjuntos no enfrenta hoy en
día ningún peligro que amenace su estabilidad, sino que, por el contrario, constituye
una parte importante del pensamiento matemático, proveyéndonos de armas y tácticas
inéditas en su estudio y desarrollo. De alguna manera, los nuevos infinitos no sólo nos
brindan especulaciones fascinantes y una herramienta matemática de gran ayuda, sino
que han cambiado nuestra mentalidad hasta convertirse en el signo y la prueba de que
algo importante se ha producido en la historia del pensamiento humano.
71 Cantor, 1883. Citado en Kline, 1994, pp. 1358-59. De hecho, esta cita nos muestra que el origen
de la noción de existencia matemática que Hilbert adopta se halla en Cantor, y que su programa de
fundamentación de las matemáticas se inspira en gran medida en la defensa de la teoría de los números
transfinitos que éste impulsa.
Capítulo 3
La cuestión de los fundamentos a
principios del siglo veinte
3.1.
Introducción. El problema de los fundamentos
Como ya lo hemos señalado, tras el notable desarrollo de la matemática en los siglos
diecisiete y dieciocho, el siglo diecinueve experimentó un creciente interés por el tema
del rigor en esta disciplina. Se investigaron los conceptos básicos, y el conocimiento
se organizó en forma sistemática. En el análisis matemático se pudo eliminar el
problemático uso de los infinitesimales y el manejo incierto de series y productos
infinitos mediante el riguroso manejo del concepto de límite. De la misma manera los
distintos sistemas numéricos fueron sólidamente fundamentados y la noción de número
real fue reducida a las nociones de número entero y conjunto mediante su construcción
genética.
Al mismo tiempo la matemática creció en otras direcciones, alcanzando una mayor
generalidad y abstracción en comparación con los siglos precedentes. Al hacerlo se
incorporaron nociones y métodos que no se podían justificar de la misma manera que
los utilizados en la matemática tradicional. Esto hizo que las investigaciones en torno a
los fundamentos de esta disciplina no finalizaran con los trabajos ya señalados acerca
del análisis, la geometría y los sistemas numéricos. Por una parte la labor reduccionista
no fue del agrado de todos, como en el caso de Hilbert, quien prefirió la vía axiomática
y las pruebas de consistencia como fundamento. Por otra parte no todos compartían
un mismo punto de vista en torno a la naturaleza de la matemática y sus fundamentos.
Por ejemplo, para Frege, la aritmética (no la geometría) habría de reducirse a la lógica,
mientras que para Kronecker los métodos y procedimientos debían limitarse de modo
que ya no habría lugar para los métodos transfinitos de Cantor.
En cuanto al dominio propiamente filosófico, la teoría que había dominado la escena
a principios del siglo diecinueve -la epistemología de Kant- fue puesta en tela de
133
134
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
juicio en varios de sus aspectos. Como veremos, muchos de ellos se adecuaron de
diversas maneras a la evolución teórica y conceptual que había sufrido la matemática,
mientras que otros fueron simplemente desechados. Estos aspectos los habremos de
examinar con relación a autores como Frege, Russell, Poincaré, Cantor, Brouwer,
Hilbert (principalmente éste último) y Gödel, contendientes todos ellos en la arena de
los fundamentos de la matemática. Paralelamente, veremos cómo la filosofía de Kant
siguió presente en esos días por dos razones: por una parte, por las cuestiones plateadas
en ella; por la otra, por las respuestas que propuso. Se podía estar en desacuerdo con
él; lo que no se podía hacer era dejar sin respuesta muchas de sus preguntas, sobre todo
si lo que se pretendía era elaborar una verdadera epistemología de las matemáticas.
Esquemáticamente, a principios del siglo veinte se perfilaron, como resultado de lo
anterior, tres grandes corrientes de pensamiento en torno a los fundamentos de la
matemática, según se le considerara: (a) como una parte de la lógica, (b) como la
ciencia de las construcciones posibles o (c) como la ciencia de lo posible.1 Como
veremos, en el centro del debate se hallaba no sólo la matemática, sino la lógica misma,
la cual para algunos había dejado de ser algo seguro.2 Con el tiempo estas tendencias
terminaron por representarse socialmente bajo tres estereotipos que el lector ya habrá
escuchado en alguna ocasión: logicismo, intuicionismo y formalismo. Si bien estos
términos no suelen describir toda la riqueza y diversidad de dichas corrientes, en
ocasiones son utilizados por algunos de los participantes en el debate en torno a los
fundamentos, y en otras suelen ser de utilidad para establecer algún punto con relación
a una persona o grupo de personas que comparten ciertas características.
3.2.
El logicismo de Frege
El primer ejemplo que podemos ofrecer de una postura fragmentada frente a Kant es el
de Frege, quien en un escrito de 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, sostiene que
las verdades geométricas son sintéticas a priori y se basan en la intuición, mientras
que las verdades aritméticas son analíticas y se apoyan en la lógica pura.
Lo anterior llevó a Frege a la necesidad de reducir la noción de número a nociones
puramente lógicas, alejadas de la intuición y del psicologismo.3 Este es el tema central
1 Esta última caracterización corresponde a la concepción que Cantor y Hilbert tienen de la matemática
a principios del siglo veinte. En cuanto a las otras dos, en las siguientes secciones nos ocuparemos de
ellas con relación a Frege, Russell, Brouwer y Poincaré.
2 Con esto no queremos decir que todos los participantes en los debates estuvieran de acuerdo en el
papel y la importancia de la lógica. Así, los primeros propusieron reconstruir primero la lógica y después
la matemática como parte de ella, mientras que los segundos abogaron por excluir algunos principios
que consideraban injustificados, mientras que los terceros pugnan por la reconstrucción simultánea de la
lógica y la matemática, probando la consistencia del sistema resultante como garantía de su confiabilidad.
3 Aquí por psicologismo entendemos la doctrina que afirma que la lógica es una rama de la psicología,
y que la validez de la matemática se debe a que es producto de procesos de abstracción del mundo
sensible.
3.2. E L LOGICISMO DE F REGE
135
de dos de sus libros: el ya señalado de 1884 y Die Grundgesetze der Arithmetik,
publicado en dos volúmenes: Vol. 1 (1893) y vol. 2 (1903). En estas obras Frege
propone una definición de la noción de número natural en términos de las nociones
básicas de la teoría de clases, concebida ésta como una parte de la lógica. Este proyecto,
el de reducirlo todo a la lógica, lo hubieron de continuar posteriormente Bertrand
Russell y Alfred N. Whitehead.
La idea de Frege era definir la noción de número cardinal de un conjunto X como la
clase de equivalencia [X] formada por todos los conjuntos Y equivalentes a X, en el
sentido de que hay una correspondencia 1-1 entre los elementos de ambos conjuntos.
En breve: el cardinal de X sería una clase, la formada por todas las clases Y tales que
X ∼ Y .4
Al leer por primera vez a Frege, uno tiene la impresión de que logra definir las nociones
básicas de la aritmética - el número 0, la función sucesor y el conjunto N de los
números naturales- en condiciones de aparente pureza lógica. No obstante, la faena no
está exenta de problemas, como los derivados de la paradoja de Russell. Aún así, no
podemos dejar de reconocer la importancia histórica de su obra, la cual aún se valora
hoy en día.
Uno de los grandes méritos de Frege fue que para llevar a cabo su programa hubo de
desarrollar un nuevo sistema de lógica simbólica que presentó en su Conceptografía
(Begriffsschrift) de 1879.5 En esta obra Frege abandona la división aristotélica de la
proposición en sujeto-predicado en favor de las nociones de función y argumento
y un manejo adecuado de la cuantificación. Esto le permitió reflejar en el terreno
de lo simbólico la estructura lógica de las proposiciones sin verse limitado por las
inconveniencias de la gramática.6 Con base en estas nociones construyó lo que hoy en
día se conoce como lógica de predicados de segundo orden, la cual incluye al cálculo
4 El lector notará que hemos cambiado el término “conjunto” por el de “clase” en la última frase. Esto
se debe a que en esta sección queremos emplear la terminología utilizada por Frege. En este contexto
el lector puede considerar como sinónimos ambos términos. Al respecto cabe señalar que, a diferencia
de algunas teorías modernas en las que las clases se entienden como colecciones que no pueden figurar
como elementos de ninguna otra cosa, en el caso de Frege las clases no están sujetas a esta limitación.
5 Hay una traducción al inglés en (van Heijenoort, 1967) y una al español en (Frege, 1972), esta última
junto con una traducción de (Frege, 1893).
6 Sin profundizar en el tema, veamos un ejemplo ¿Cómo se podría representar en el contexto de la
lógica tradicional un argumento como “hay un hijo, luego hay un padre”? Invitamos al lector a que lo
intente ¿Es acaso importante determinar aquí qué elementos pertenecen al sujeto y cuáles al predicado?
Una representación razonable sería “algún hombre es hijo, luego algún hombre es padre”. No obstante,
esta última manera de expresar el argumento no explica su validez, pues no expresa aquello que enlaza
a la premisa con la conclusión: el hecho de que los predicados “ser padre” y “ser hijo” corresponden a
una misma relación recíproca (i. e., al hecho de que si a es hijo de b, entonces b es padre de a). En la
teoría de la cuantificación el argumento se puede representar mediante una predicado binario R(x, y) que
corresponde a la relación “x es hijo de y” o “y es padre de x”:
∃x∃yR(x, y)
∃y∃xR(x, y)
136
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
de predicados de primer orden. Se trata de una contribución fundamental a la lógica
moderna, expresada inicialmente en un simbolismo bastante oscuro que posteriormente
se habría de desechar a favor de otro más eficiente.
En el sistema de Frege las variables individuales se extienden sobre todos los objetos
del universo, concretos o abstractos, y por ende sobre todos los objetos matemáticos.
A su vez, las variables de segundo orden se extienden sobre predicados o propiedades
arbitrarias (los conceptos, en la terminología de Frege), al igual que sobre relaciones
arbitrarias.7
Con base en esta explicación un tanto imprecisa,8 a continuación exponemos ciertos
principios que Frege asume como axiomas para la lógica, y a partir de los cuales busca
definir las nociones de cardinal de un conjunto X y de número natural. Como veremos,
el axioma de extensionalidad (Ley básica V) implica una contradicción. La notación
no es necesariamente la de Frege, quien a veces sólo utiliza el lenguaje natural.
Axioma de comprensión para propiedades
Cada función proposicional α(x) determina una propiedad P que se cumple para
una x arbitraria si y sólo si α(x) es verdadera. En símbolos
∃P∀x(P(x) ⇔ α(x))
donde P es una variable predicativa que no figura en α(x).
Axioma de extensionalidad (Ley básica V)
Toda función proposicional α(x) determina una clase x̂α(x) que es su extensión
(en la actualidad dicha clase se denota con {x|α(x)}); además, dos funciones α(x)
y β (x) determinan una misma clase si y sólo si son coextensivas. En símbolos
x̂a(x) = x̂β (x) ⇔ ∀x(α(x) ⇔ β (x))
En la teoría de Frege se supone que las clases son objetos matemáticos, por lo que
pertenecen al universo de individuos. En otras palabras, cada x̂α(x) es un término de
primer orden que puede ser instancia de cualquier propiedad aplicable a individuos.
Es así que la teoría de clases forma parte del sistema de Frege, y en ella la relación de
pertenencia entre individuos y clases se introduce mediante la siguiente igualdad:
(y ∈ z) =de f ∃P(z = x̂P(x)&P(y))
De lo anterior resulta que tenemos un axioma similar al primero de esa lista, pero para
clases:
7 Para
8 Un
Frege, todo concepto es el significado de un predicado, es decir, su referencia.
análisis a fondo se encuentra en (Dummett, 1991).
3.2. E L LOGICISMO DE F REGE
137
Axioma de comprensión para clases
y ∈ x̂α(x) ⇔ α(y)
Con base en estos y otros principios Frege se dispone a definir el conjunto de los
números naturales N y a probar que éste constituye un sistema en el que se cumplen
todas las propiedades que ahora reconocemos como axiomas de Peano.
Una idea de vital importancia para la concepción logicista de Frege es que los números
son objetos, no conceptos, los cuales “por accidente” suelen aparecer en el lenguaje
como adjetivos numerales. Por ejemplo, en el enunciado “La silla tiene cuatro patas”,
“cuatro” aparece como tal (como adjetivo). No obstante, Frege ve en esto un accidente
gramatical que nada tiene que ver con la naturaleza de los números. Propone entonces
reformular esta clase de enunciados de modo que los términos numéricos figuren como
términos singulares, es decir, como objetos.9 En nuestro ejemplo, “El número de patas
de la silla es cuatro”. Aduce que si los números fueran conceptos, entonces tendría
sentido preguntarse cosas como si un objeto cae bajo el concepto cuatro. Tras ofrecer
muchas otras razones para pensar que los números son objetos, concluye que toda
aseveración acerca de números es acerca de objetos. Esta es quizá la aseveración más
importante de los Grundlagen der Arithmetik.
Aclaremos esta idea con el ejemplo anterior. Según Frege, el significado real del
enunciado “El número de patas de la silla es cuatro” es que sólo hay cuatro objetos
que caen bajo el concepto pata de la silla. Por lo tanto, estamos ante una afirmación
acerca de la extensión del concepto pata de la silla. Siguiendo a Hume, considera que
la única manera de reconstruir el contenido de los juicios que comprenden identidades
numéricas es mediante la noción de equinumerosidad: el número de cosas que caen
bajo el concepto P es el mismo que el número de cosas que caen bajo el concepto Q.10
Con base en estas ideas define a los números como extensiones de conceptos.
Para logar lo anterior, lo primero era definir el concepto de equinumerosidad con
base en la noción de correspondencia biyectiva utilizada por Cantor. Sean P y Q dos
predicados (conceptos):
Eq(P, Q) ⇔de f ∃R∀x∀y[(P(x) ⇒ ∃!z(R(x, z)&Q(z)))&(Q(y) ⇒ ∃!z(R(z, y)&P(z)))]
En otras palabras, P y Q son equinuméricos si y sólo si hay una relación que correlaciona uno a uno los objetos que caen bajo P con los objetos que caen bajo Q. Al
respecto, la relación Eq es reflexiva, simétrica y transitiva.11
9 Compárese
este enunciado con “La silla tiene feas patas”, donde el término “feas” si corresponde a
un concepto que no puede ser tratado como un objeto.
10 Nótese que no se está diciendo que las cosas que caen bajo el concepto P son las mismas que las cosas
que caen bajo el concepto Q, sino que sus números son iguales. Se trata de un juicio acerca de números
(los asociados a estos conceptos), no de un juicio acerca de las cosas que caen bajo estos conceptos.
11 Nótese que esa noción es de segundo orden, pues se aplica a conceptos, no a individuos. Por otra
138
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
Lo siguiente fue determinar la noción de número de objetos x tales que P(x). Para
mostrar cómo se lleva a cabo lo anterior recurrimos a la notación moderna {x|ϕ(x)}
para la extensión de un predicado ϕ:
Nx P(x) =de f x̂{Q(x)|Eq(P, Q)}
En palabras: el número de objetos x con la propiedad P (i. e., el número de objetos
que caen bajo el concepto asociado a P) es la clase formada por las extensiones de los
predicados Q que son equinuméricos con P. Nótese que se trata de una clase cuyos
elementos son clases a su vez. Con estas nociones a la mano Frege logró definir el
número 0 como sigue:
0 =de f Nx (x = x)
A su vez, la relación “n es el sucesor de m” la definió como sigue:
Suc(n, m) ⇔de f ∃P∃z(n = Nx P(x)&P(z)&m = Nx (P(x)&x = z))
En palabras: hay una propiedad P y un objeto z con esa propiedad tales que n es el
número de objetos con la propiedad P y m es el número de objetos distintos de z con la
propiedad P.
Con base en estas definiciones Frege pudo probar muchas propiedades de los números
naturales como, por ejemplo, que Suc(1, 0), que ¬∃xSuc(0, x), que si x = 0, entonces
∃ySuc(x, y), etc.
Finalmente, Frege introdujo la noción de número finito (número natural) apoyándose
en dos nociones ad hoc que aquí no definiremos: la de ancestro de un número y la de
concepto ϕ-hereditario. Con base en ellas probó el principio de inducción matemática:
Para todos los conceptos (predicados) P, si 0 cae bajo P y P es ϕ-hereditario, entonces
todo número finito cae bajo el concepto P.
Para su infortunio, en 1902 Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que le
comunicaba que su sistema de lógica tenía un grave defecto, pues en él era posible
derivar contradicciones. Como ejemplo le mostró una paradoja que ahora lleva el
nombre de su autor. Ésta resulta simplemente al formar, con base en el axioma de
extensionalidad, la clase
r = x̂(x ∈
/ x)
Con base en el axioma de comprensión para clases tenemos que
∀x(x ∈ r ⇔ x ∈
/ x)
en particular,
r∈r⇔r∈
/ r,
lo cual constituye una contradicción.
parte, Frege introduce estas nociones en forma verbal, siendo el uso de las distintas notaciones posterior a
su obra.
3.3. L AS PARADOJAS O ANTINOMIAS
139
La carta de Russell llegó cuando el volumen II de los Grundgesetze estaba en prensa,
por lo que Frege sólo pudo incluir un apéndice relativo a la paradoja. Sugirió entonces
una modificación al axioma de extensionalidad, la cual probó ser insuficiente más
adelante. En todo caso, el programa logicista de Frege se había fracturado, lo cual llevó
a su autor al eventual abandono del proyecto.
En la siguiente sección abordamos con cierto detenimiento el tema de las paradojas.
3.3.
Las paradojas o antinomias
La paradoja de Russell no fue el único problema que hubo que enfrentar con relación a
los fundamentos de la matemática al inicio del siglo veinte. Por el contrario, veinticuatro siglos después de Zenón de Elea, la matemática pudo atestiguar una verdadera
resurrección de las antinomias y las paradojas.12 Se trataba de un banquete en el que las
viandas eran sutiles razonamientos que torturaban al entendimiento toda vez que éste
intentaba ahondar en su sentido, de argumentos de simple apariencia que conducían
a contradicciones. El problema era que la asistencia al banquete era forzosa para los
matemáticos: por divertidas que parecieran, detrás de las antinomias había algo más
que discusiones bizantinas, pues era la legitimidad del pensamiento matemático lo que
se hallaba en el fondo del debate.
En cierto sentido, las antinomias plantearon dos cuestiones que dieron lugar a grandes
debates: ¿qué es eso de la verdad matemática?, ¿cómo eludir la amenaza que representan? En su momento, muchos sintieron la necesidad de responder a estas interrogantes,
intentado, cada quien a su manera, ofrecer una respuesta en medio de un coro de voces
discordantes. No sólo era que las antinomias confundían a la razón, sino que ésta no
hallaba la manera de anular lo que ella misma había engendrado: había que idear un
antídoto que las contrarrestara.
Obviamente, en un espacio tan breve no podemos presentar un catalogo completo de las
antinomias ni pasar lista a todos los remedios propuestos; más bien, nos limitaremos
a enunciar las más significativas, hilvanando algunas reflexiones inevitablemente
superficiales. A fin de cuentas, lo que nos interesa es el efecto que tuvieron en el
12 Literalmente, la palabra “antinomia” significa “en contra de la ley” o “contradicción entre los
preceptos legales” y se le utiliza para indicar el hecho de que dos leyes o dos principios se contradicen. No
obstante, en la lógica y las matemáticas tiene un uso más específico y designa una contradicción que inicia
con el uso de la noción de todos. A las antinomias se les suele llamar eufemísticamente paradojas, como
si sólo se tratara de una opinión contraria a la común, no de una contradicción. Fieles a la tradición, a
menudo nos referiremos a las antinomias bajo el nombre genérico de paradojas, dado el fuerte arraigo que
este uso tiene en el medio. Una antinomia lógica es un argumento en el que se presentan una proposición
P y su negación ¬P con la propiedad de que una se sigue de la otra y viceversa, no habiendo manera de
determinar cuál de ellas es verdadera. En general, cuando una proposición conduce a su contraria, se
llega a la conclusión de que es falsa y se le rechaza. Pero si su negación conduce a su vez a la proposición
original, por la misma razón se le debe rechazar, lo que va en contra del principio del tercero excluido y
nos deja en medio de una dificultad.
140
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
problema de los fundamentos y mirar desde esta perspectiva la solución propuesta
por algunos de los matemáticos más influyentes en este dominio: Russell, Poincaré,
Brouwer y Hilbert. Una ganancia adicional es que los teoremas limitativos de Gödel
están inspirados en algunas de ellas, por lo que conviene mirarlas con un dejo de
creatividad.13
Como el lector notará en lo que sigue, muchas paradojas nacieron en ocasión de la teoría
de conjuntos, aunque no todas ellas toman en consideración conjuntos infinitos. Hay
en ello una razón: algunos autores decidieron retocar algunas de ellas, que inicialmente
trataban con conjuntos infinitos, para no salir del dominio de lo finito; su intención era
mostrar que tales contradicciones no eran el resultado de hacer uso del infinito, sino
que se debían a algo más fundamental, hasta alcanzar a la lógica.
La paradoja de Burali-Forti. Aunque ya en 1895 Cantor había descubierto una
antinomia en la teoría de conjuntos, el inicio de la nueva era de las paradojas se puede
fechar en 1897, año en el que Cesare Burali-Forti (1861-1931) publicó un artículo
titulado Una questione sui numeri transfiniti.14 Este trabajo se considera la señal de
alarma contra los principios de la teoría de conjuntos (principalmente el principio
de comprensión15 ), mostrando que encierran eso que los matemáticos consideran el
peor de sus enemigos, una falta imperdonable: la contradicción. La explicación de la
paradoja de Burali-Forti es simple aunque un tanto técnica.
En la teoría intuitiva de conjuntos se consideraba lícito pensar en el conjunto Ω de todos
los números ordinales, y razonar sobre él. Esto dio lugar al siguiente razonamiento:
Dado que todo conjunto de números ordinales está bien ordenado, al conjunto Ω
le corresponde un número ordinal α.16 Dicho ordinal tiene dos propiedades: es un
elemento de Ω (pues Ω contiene a todos los ordinales) y es mayor que cualquier
elemento de Ω, de donde se infiere que es mayor que él mismo: α < α. Esto último
contradice el hecho de que α ≮ α algo que se demuestra en la teoría.
Este resultado hizo ver, a pesar de su aparente naturalidad, que el principio de com13 Más allá de confundir a la razón, las paradojas permitieron probar lo erróneo de algunos principios
y patrones de razonamiento, sugiriendo con ello un camino para probar imposibilidades. Inspirados
en ellas los matemáticos han desarrollado ingeniosos métodos de prueba en dominios como el de los
sistemas formales, los fundamentos de las matemáticas o la teoría matemática de la computabilidad.
Como veremos, en la mayoría de los casos la paradoja se basa en lo que podemos llamar reflexividad o
autorreferencia, un procedimiento que con el paso del tiempo se convirtió en una valiosa herramienta de
trabajo, lo cual constituye una razón adicional para explorar este tipo de argumentos.
14 Cf. Burali-Forti, 1897.
15 El principio de comprensión lo podemos formular con cierto grado de imprecisión como sigue: Toda
propiedad determina un conjunto, es decir, dada cualquier propiedad, existe un conjunto cuyos elementos
son exactamente los objetos que la poseen. Esta idea está contenida en la versión que ofrece Cantor
de un conjunto como cualquier reunión en un todo de objetos separados y bien definidos de nuestra
intuición o nuestro pensamiento (pues dada una propiedad, nos es dado pensar en los objetos que la
tienen). Asimismo, se halla en los Fundamentos de la aritmética de Frege, justo en la combinación del
axioma de comprensión para propiedades y el axioma de extensionalidad (v. la sección 3.2).
16 Véase la parte final del apéndice F.
3.3. L AS PARADOJAS O ANTINOMIAS
141
prensión es una suposición inadmisible (es este principio lo que permite considerar
conjuntos como Ω y otros que en seguida veremos).
Como se puede ver, a Burali-Forti le bastó adaptar un razonamiento que Cantor había
utilizado con éxito en la teoría de los números transfinitos al introducir, por ejemplo,
objetos como el primer número ordinal transfinito ω –que resulta al considerar el
conjunto de todos los números ordinales finitos–, o al construir la escala ilimitada de
los aleph, todo ello sin incurrir en contradicciones. Pero cuando Burali-Forti consideró
en su totalidad la serie bien ordenada de todos los números ordinales (y al decir todos
nos referimos a que, por definición, no hay otros), el mismo procedimiento operativo
dio lugar a un nuevo número ordinal, un número que no se halla en la totalidad de los
números ordinales, que forma y no forma parte de esta totalidad.
La paradoja de Cantor. Cantor descubrió en 1899 una antinomia semejante a la de
Burali-Forti pero que tiene lugar en la teoría de los números cardinales.
Considérese el conjunto de todos los conjuntos, digamos M. Por el teorema de Cantor,
℘(M) > M.17 No obstante, como todos los conjuntos pertenecen a M y ℘(M) es un
conjunto de conjuntos, ℘(M) ⊂ M, de donde se sigue que ℘(M) ≤ M. Esto último
contradice el hecho, demostrado en la teoría, de que si A ⊂ B, entonces no A > B. Por
lo tanto, se tiene que ℘(M) > M y no ℘(M) > M, una contradicción.
Al respecto, Cantor intentó eludir el problema separando las multiplicidades en dos clases: las consistentes y las inconsistentes, aduciendo que las segundas no son realmente
conjuntos:18
Una multiplicidad puede estar constituida de modo tal que la hipótesis de
una “existencia simultánea” de todos sus elementos conduce a una contradicción, de tal suerte que es imposible concebir esa multiplicidad como una
unidad, “como un objeto acabado”. Tales multiplicidades yo las nombro
multiplicidades absolutamente infinitas o inconsistentes.
Por ejemplo, se podría uno persuadir fácilmente de que la “clase de todo lo
que es pensable” es una multiplicidad tal; otros ejemplos se presentarán más
adelante.
Si por el contrario, la totalidad de los elementos de una multiplicidad puede
pensarse como “existente simultáneamente” de tal manera que sea posible
concebirla como “un solo objeto”, yo la nombro una multiplicidad consistente o un “conjunto” (en francés e italiano este concepto se expresa con
precisión por lo vocablos “ensemble” e “insieme”).19
17 Véase
el apartado Cardinales transfinitos superiores del apéndice F.
como veremos, influyó de manera decisiva en la concepción que Hilbert tiene de la existencia
matemática.
19 Cantor, carta a Dedekind, Halle, 28 de julio de 1899. Reproducida en Sestier, 1981, p. 92.
18 Esto,
142
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
El inconveniente de esta solución es que remite a un problema de gran envergadura:
al de la consistencia de una teoría para la que ni siquiera se tenía entonces un cuadro
axiomático. Es claro que hay algo que no marcha bien en el modo en que Cantor asume
la existencia de conjuntos y que podemos calificar de “ingenuo” (naif).
La paradoja de Russell. Esta paradoja, que ya hemos presentado al final de la sección
anterior, es sin lugar a dudas la antinomia más famosa de todas. Tiene varias virtudes:
es extremadamente simple, impecable desde el punto de vista de la lógica y sólo recurre
a la noción de pertenencia de un objeto a una clase (a diferencia de las anteriores,
que apelan a diversas nociones de la teoría de los números transfinitos). Por ahora nos
limitaremos a ofrecer algunos comentarios al respecto.
Esta antinomia dio lugar a un ahondamiento en las investigaciones en torno a los principios de la matemática, y a la reorganización de la lógica hecha por Russell y Whitehead
en Principia Mathematica (1910-13). Y si bien ésta se origina en una imposibilidad lógica (la fórmula que la expresa es una contradicción lógica: ∃x∀y(R(y, x) ⇔ ¬R(y, y))),
tuvo la virtud de poner nuevamente en duda el principio de comprensión, uno de los
puntales de la lógica clásica.
Russell, quien dirigiera años después una verdadera fábrica de paradojas, elaboró
algunas variantes de esta antinomia que tienen el valor de presentarse de una manera
mucho más concreta y con un significado más accesible. He aquí algunas de ellas20 :
La paradoja del barbero. En cierta población hay un barbero que afeita única y
exclusivamente a aquellas personas del pueblo que no se afeitan a sí mismas. La
pregunta es: ¿quién afeita al barbero? Otra variante es la siguiente:
La paradoja del catálogo de los catálogos. Toda biblioteca que se respete tiene un
catálogo en el que se enumeran los libros que contiene. Cuando dicho catálogo tiene
la forma de un libro, es normal que se mencione a sí mismo como uno de los libros
del acervo, aunque esto último no siempre sucede. En cierta ocasión, en la Biblioteca
Nacional decidieron elaborar dos supercatálogos, uno que incluyera todos los catálogos
que hacen referencia de sí mismos, y otro que incluyera todos los catálogos que no
hacen referencia de sí mismos. Este último catálogo, ¿se menciona a sí mismo?
La paradoja del alcalde. Todos los municipios de Holanda tienen un alcalde. A
menudo, sucede que el alcalde no vive en el municipio que gobierna. En cierta ocasión
era tal el número de alcaldes de esta segunda especie, que el parlamento holandés
promulgó una ley ordenando la creación de un municipio donde vivirían única y
exclusivamente aquellos alcaldes que no residieran en el municipio que presidían. La
pregunta es: ¿dónde habría de vivir el alcalde de dicho municipio?
Para mostrar que las antinomias se debían a algo más fundamental que el recurso al
infinito y que éstas se podían formular con nociones extraídas de la lógica, Russell
elaboró ex profeso la siguiente paradoja.
20 Cf.
Russell, 1906. Si el lector así lo desea, puede omitir la lectura de las paradojas cuya relación aquí
se inicia, salvo la de Richard, dada su importancia con relación al teorema de Gödel.
3.3. L AS PARADOJAS O ANTINOMIAS
143
La paradoja de la impredicabilidad. Una propiedad se dice que es predicable cuando
se aplica a sí misma, e impredicable cuando no se aplica a sí misma. Por ejemplo, la
propiedad “abstracto” es abstracta, y por tanto predicable. En cambio “concreto” es
abstracto y, por tanto, impredicable. La pregunta es: la propiedad “impredicable”, ¿es
impredicable?
Una variante de esta paradoja es la siguiente:
La paradoja de Grelling. Se dice que un adjetivo es autológico si la propiedad denotada por él es aplicable a él mismo; de lo contrario se dice que el adjetivo es heterológico.
Por ejemplo, “polisílabo” es un adjetivo polisílabo y por tanto es autológico; en cambio,
“monosílabo” no es un adjetivo monosílabo y por tanto es heterológico. La pregunta es:
el adjetivo “heterológico”, ¿es heterológico?
La paradoja de Berry.21 Consideremos la siguiente expresión: “el menor número
natural que no se puede describir con menos de veintinueve sílabas”. Si contamos las
sílabas de esta expresión podremos ver que tiene menos de veintinueve:
el
1
des
15
me
2
nor
3
cri
16
bir
17
nú
4
con
18
me
5
me
19
ro
6
na
7
nos
20
tu
8
de
21
ral
9
que
10
no
11
se
12
pue
13
vein
22
ti
23
nue
24
ve
25
sí
26
de
14
la
27
bas
28
Hay en lengua castellana sólo un número finito de expresiones con menos de veintinueve sílabas. Por consiguiente, hay sólo un número finito de enteros positivos que se
pueden describir con una expresión que tenga menos de veintinueve sílabas y habrá un
entero k que sea el menor entero positivo que no se puede caracterizar de esa manera.
No obstante, la expresión en cursivas describe al número k ¡con menos de veintinueve
sílabas!
La paradoja de Berry tiene dos virtudes: no va más allá de los números finitos y sólo
recurre a la noción de definibilidad finita. Se trata de un caso simplificado de la más
compleja antinomia de Richard que a continuación exponemos.
La paradoja de Richard. Algunas frases de la lengua castellana definen propiedades
de los números enteros. Por ejemplo, la frase “x no es divisible más que por él
mismo y la unidad” define la propiedad de ser un número primo. Tales frases se
pueden ordenar según su longitud (número de letras) y, si son de la misma longitud,
alfabéticamente (a este tipo de orden se le llama lexicográfico). Representemos por
D1 (x), D2( x), . . . , Dn (x), . . . tal ordenación. Decimos que un número k es richardiano
si Dk (k) es falso, y no richardiano si Dk (k) es verdadero. Como la definición de
número richardiano la hemos dado en lengua castellana, le corresponde un lugar en
la lista. Supongamos que éste es el r-ésimo lugar ¿es r un número richardiano o no
21 Siguiendo
a Bertrand Russell, quien en el artículo previamente citado de 1906 la atribuye a G. G.
Berry, un bibliotecario de la universidad de Oxford.
144
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
richardiano? Si r es richardiano, entonces Dr (r) es falso (por definición de richardiano)
y r es no richardiano (pues no cumple con la definición Dr (x)). Por el contrario, si
r es no richardiano, entonces Dr (r) es verdadero (por definición de no richardiano)
y r es richardiano (pues cumple con Dr (x) que define tal propiedad). Por tanto, r es
richardiano si y sólo si r no es richardiano, una contradicción.
Como a continuación mostramos, esta paradoja utiliza, además de las nociones de verdad y definibilidad, el método de la diagonal de Cantor. Dispónganse las definiciones
y los números naturales en un arreglo bidimensional (una matriz infinita) como en el
siguiente diagrama.
D1 (x)
D2 (x)
D3 (x)
...
Dn (x)
...
1
D1 (1)
D2 (1)
D3 (1)
...
Dn (1)
...
2
D1 (2)
D2 (2)
D3 (2)
...
Dn (2)
...
3
D1 (3)
D2 (3)
D3 (3)
...
Dn (3)
...
...
...
...
...
...
...
...
n
D1 (n)
D2 (n)
D3 (n)
...
Dn (n)
...
...
...
...
...
...
...
...
En el renglón superior se enumeran los números naturales y en la columna a la izquierda
todas las definiciones de propiedades de los números naturales. Para cada n y cada
k, en la intersección de la fila n con la columna k se escribe el enunciado que afirma
que el número k tiene la n-ésima propiedad, es decir, el enunciado Dn (k). V. gr., en
la intersección (2, 3) figura el enunciado D2 (3). La definición de número richardiano
resulta al recorrer el arreglo a lo largo de la diagonal, pues en ella se pide que el
enunciado Dk (k) sea falso: una aplicación del método de la diagonal de Cantor (véase
la sección 2.6.3).
Como veremos, hay una similitud estructural entre el argumento de Richard y el
argumento que Gödel utiliza para demostrar la existencia de proposiciones indecidibles
en la aritmética formal. Más allá del carácter polémico de las antinomias y de las
dificultades ocasionadas por ellas a los distintos programas de fundamentación de la
matemática, Gödel descubrió que éstas encerraban la clave para poner al descubierto la
disparidad entre dos nociones que hasta entonces se habían confundido: las nociones
de verdad y de demostrabilidad.22
Comentario Final. Como el lector habrá notado, no todas las antinomias son de la
misma especie: unas recurren sólo a nociones lógicas, otras a nociones conjuntistas,
algunas apelan a nociones semánticas como la de verdad, otras recurren a la noción
de infinito y otras más evitan esta noción a toda costa. Obviamente, su “grado de
resolubilidad” no es el mismo. Por ejemplo, la paradoja del barbero lo único que
22 Como anticipo podemos decir lo siguiente: partiendo de la paradoja de Richard, Gödel reemplaza la
condición “el enunciado Dk (k) es falso” por la condición “la fórmula φk (k) no es demostrable” y explora
qué consecuencias tendría el hecho de que una fórmula perteneciente a una teoría axiomática formalizada
definiera esta propiedad, para después construir una fórmula semejante.
3.3. L AS PARADOJAS O ANTINOMIAS
145
demuestra es la imposibilidad de que haya en cualquier lugar una persona con las
características indicadas. Y si bien algo semejante sucede con la paradoja de Russell, en
el sentido de que no puede existir tal cosa como el conjunto de todos los conjuntos que
no se pertenecen a sí mismos, ésta deja tras de sí el problema de hallar un sustituto del
principio de comprensión, de muy fácil aceptación y uso generalizado en la matemática,
y algo peor: la desconfianza en los métodos utilizados. Por su parte, las paradojas de
Berry y de Richard remiten a un problema de gran importancia para la lógica moderna:
el de la distinción entre lenguaje y metalenguaje.23 Hilbert fue quizá el primero en
llamar la atención sobre este punto al elaborar su programa de fundamentación.
Aun así, casi todas las paradojas tienen algo en común: la autorreferencia o reflexibidad.
Cada una de ellas expresa algo de todos los casos de un género y a partir de esta
expresión surge un nuevo caso que es y no es similar a aquellos a los que el “todos”
se refiere. Así, por ejemplo, la propiedad de no pertenecerse a sí mismo, aplicable a
todos los conjuntos, da lugar al conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen
a sí mismos, un nuevo caso que es y no es similar a los demás conjuntos de este
género (pues se pertenece y no se pertenece a sí mismo). Se trata de una autorreferecia
evidente. Como veremos, ante esta dificultad Russell optó finalmente por establecer
reglas dirigidas a impedir la autorreferencia de la que nacen las paradojas, mientras que
Hilbert insistió en la vía axiomática y las pruebas de consistencia como única solución;
Brouwer, en cambio, pidió la exclusión del infinito actual y del principio del tercero
excluido como único remedio.
Epílogo. Originada a comienzos del siglo veinte, la polémica en torno a las antinomias
de la teoría de conjuntos ha perdido mucha de su agudeza. Algunas cuestiones se han
resuelto, otras se han esclarecido, y más que nada el interés de los matemáticos y
filósofos se ha desplazado a otros problemas.
Si bien su importancia con relación al problema de los fundamentos no se puede negar,
en algunos casos ésta se ha sobrestimado, llegándose incluso a hablar de una “crisis
en los fundamentos”, como si en verdad se tratara de un período en el que el edificio
matemático hubiera estado a punto de derrumbarse o la actividad matemática se hubiera
paralizado en espera de una solución. Nada más alejado de la realidad. Por ejemplo,
Hilbert, después de bosquejar un programa para demostrar la consistencia absoluta de
los axiomas de la aritmética, dirigió sus esfuerzos a las ecuaciones integrales y a la
física, donde se mantuvo por más de 12 años, mostrando en ello una actitud similar a la
de otros matemáticos. Incluso Zermelo, que siguió trabajando en la teoría de conjuntos,
no pareció preocuparse mayormente por este problema y se limitó a ofrecer una base
axiomática para la teoría, suficiente al menos para las necesidades del matemático
activo.
Claro está que no todos reaccionaron igual. Por el contrario, hubo un sector de estudiosos que, trabajando en torno al problema de los fundamentos desde una perspectiva
más cercana a la filosofía, reaccionaron con desenfreno ante las antinomias al ver cómo
23 Véase
al respecto el apéndice N.
146
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
se derrumbaba su proyecto: nos referimos a Frege y Russell. A su vez, otros pensadores
optaron por reconstruir el edificio entero, aislando en las zonas inciertas un núcleo
esencial y echando por la borda todo lo que no se pudiera justificar sobre una base
intuitiva o empírica. En esta corriente se inscriben Poincaré, Borel, Lebesgue y Baire.24
Lejos de la especulación filosófica, su meta era establecer qué objetos y métodos
debían considerarse como válidos en la matemática. Más tarde Brouwer se habría de
incorporar a esta tendencia, aunque de una manera mucho más sistemática y cercana a
la filosofía, principalmente a la de Kant. Proclamándose él mismo heredero del empirismo francés, Brouwer subió a la palestra en 1907, ocasionando su intervención una
serie de eventos asociados directamente con el retorno de Hilbert al debate sobre los
fundamentos hacia 1917: había que restituir la certeza de la matemática sin renunciar
a sus conquistas. En efecto, para Borel y Lebesgue, lo mismo que para Brouwer y
Hermann Weyl (éste último, discípulo de Hilbert), la reconstrucción de la matemática
habría de empezar en la teoría del continuo, de la que surgen los materiales de que
están hechos los principales objetos del análisis matemático tradicional, y continuar en
la teoría de conjuntos. Hilbert se opuso a tal empresa, en la medida en que implicaba la
supresión de sectores considerables en ambas teorías. Su plan era el opuesto: conservar
el edificio intacto.
En cuanto al impacto e importancia de las antinomias en la matemática propiamente
dicha, en el apéndice G hemos incluido un análisis de su efecto y algunas medidas que
se tomaron ante ellas.
3.4.
La propuesta de Hilbert de 1904
Hilbert retomó el tema de la consistencia de los axiomas para la aritmética en 1904,
cuatro años después de haber incluido el problema en su famosa lista de 1900. A la
sazón la situación difería en un punto muy importante de la que prevalecía cuando
axiomatizó la geometría. En aquel momento nadie dudaba de la consistencia de los
axiomas, de manera que la prueba ofrecida por Hilbert en los Grundlagen parecía más
bien una fineza antes que la respuesta a un problema acuciante. Pero cuando las críticas
a la matemática clásica se acrecentaron en voz de matemáticos como Poincaré, Hilbert
sintió la imperiosa necesidad de garantizar la consistencia del sistema de los números
reales, base del análisis matemático. En particular, esta solución sería una refutación
del punto de vista de Kronecker, según el cual los números irracionales no son objetos
matemáticos legítimos. Retomando el lenguaje de Cantor (véase el comentario que
sigue a su antinomia en la sección anterior), lo que Hilbert buscaba era demostrar
que la multiplicidad de los números reales era una multiplicidad consistente, lo cual,
conforme a lo que hemos visto, garantizaría su existencia matemática.25
24 Ya
nos hemos referido anteriormente a algunos de estos matemáticos, cuyos comentarios respecto al
axioma de elección los podrá encontrar el lector en la sección 2.6.5.
25 Al respecto, el método de construcción genética de los números reales ya no era viable como criterio
de existencia, pues en él concurrían distintas nociones conjuntistas puestas en duda por las antinomias.
3.4. L A PROPUESTA DE H ILBERT DE 1904
147
Fue entonces que Hilbert concibió la idea de investigar la demostración matemática.
Había que ensayar nuevos caminos antes que restringir los conceptos y los métodos de
esta disciplina como quería Kronecker. Al igual que Cantor, Hilbert considera que uno
de los principales atributos de la matemática es su libertad, y vio en las restricciones
impuestas a la noción de número un mal, una limitación inaceptable. Su propósito
era eliminar las paradojas sin cometer traición contra su ciencia. Y frente a la idea
de Kronecker de que todo ha de ser reducible a la noción de número entero, Hilbert
insistió en que la noción de número real es una libre creación del espíritu humano que
puede y debe tener un fundamento.
Estas ideas las presentó en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas celebrado
en la ciudad de Heidelberg. Transcurría el año de 1904.26 Y si bien el proyecto
debió esperar algunos años para madurar, en sus reflexiones ya asomaba las ideas que
conformarían lo que sería su programa para fundamentar la matemática, una de las
cuales reviste especial importancia para nosotros: que fuera la matemática misma la
encargada de resolver el problema de sus fundamentos. La necesidad de este cambio
de dirección en las investigaciones obedeció a la naturaleza misma del problema. Dice
al respecto:
Mientras que en la actualidad estamos esencialmente de acuerdo en cuanto a
los caminos a seguir y las metas por alcanzar cuando se trata de investigar
los fundamentos de la geometría, la situación es muy distinta con relación
a la pregunta por el fundamento de la aritmética; aquí, los investigadores
sostienen una gran variedad de opiniones incompatibles.
De hecho, algunas de las dificultades en los fundamentos de la aritmética son
de una naturaleza diferente de aquellas que debieron ser superadas cuando
se establecieron los de la geometría. Al examinar los fundamentos de la
geometría nos fue posible hacer a un lado ciertas dificultades de naturaleza
puramente aritmética; pero el recurso a otra disciplina primordial no parece
estar permitido cuando es el fundamento de la aritmética lo que está en
juego.27
A fin de precisar su punto de vista, Hilbert somete a una revisión crítica diversos puntos
de vista, manifestando de paso su sentir respecto a la cuestión de los fundamentos.
En la mayoría de los casos califica la tendencia considerada otorgándole un nombre y
Había, pues, que proceder de otra manera, al margen de los métodos de razonamiento habituales en la
teoría de los números irracionales. Esta necesidad de probar la consistencia de la matemática clásica se
hizo más evidente para Hilbert cuando Zermelo presentó sus axiomas para la teoría de conjuntos, los
cuales incluían el controvertido axioma de elección (v. la sección 2.6.5).
26 Tras el congreso, Hilbert se distanció del problema de los fundamentos en parte porque sus intereses
lo condujeron en otra dirección (la física matemática), y en parte —-por lo menos así se especula-—
porque no encontró una manera eficaz de llevar a cabo la proyectada prueba. No fue sino hasta 1917 que
retomó estas cuestiones.
27 Hilbert, 1904. Cita tomada de Heijenoort, 1967, p. 130.
148
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
atribuyéndola a alguna persona. Así, por ejemplo, habla del dogmatismo de Kronecker,
del empirismo de Helmoltz, del oportunismo de Christoffel, del subjetivismo de Cantor
y del método trascendental de Dedekind. No hace ninguna mención de Russell, pero
sí de Frege, de quien dice que ha sido “uno de los académicos que ha ahondado con
mayor profundidad en la esencia de los enteros.”28 Es a este pensador a quien dedica
el mayor de los comentarios, reconociendo lo meritorio de su obra:
G. Frege se asigna la tarea de establecer las leyes de la aritmética con los
procedimientos de la lógica, tomada en el sentido tradicional. [...] Pero,
fiel a su plan, acepta entre otras cosas el principio fundamental de que un
concepto (un conjunto) está definido y es utilizable de inmediato si para cada
objeto está determinado si éste se subsume o no en el concepto, y en ello
no impone ninguna restricción a la noción de “cada”. De este modo, queda
expuesto precisamente al tipo de paradojas teórico-conjuntistas contenidas,
por ejemplo, en la noción del conjunto de todos los conjuntos, lo cual
muestra, así me parece, que las concepciones y los medios de investigación
prevalecientes en la lógica, tomada en su sentido tradicional, no están a la
altura de las demandas de rigor que nos impone la teoría de conjuntos. Más
bien, desde un principio una de las principales metas en las investigaciones
de la noción de número debería ser evitar tales contradicciones y clarificar
tales paradojas.29
Tras señalar algunos puntos de desacuerdo con Dedekind y Cantor, afirma que la
noción de numero no se puede fundamentar únicamente en la lógica, sino en el
proceder axiomático: “Soy de la opinión de que todas las dificultades señaladas se
pueden superar y que podemos procurar un fundamento riguroso y completo a la
noción de número con un método que yo llamaría axiomático y cuya idea fundamental
quiero desarrollar brevemente en lo que sigue.”30 A lo cual añade:
A menudo la aritmética se considera parte de la lógica y usualmente las
nociones lógicas fundamentales se presuponen cuando se trata de suministrar
un fundamento a la aritmética. No obstante, si observamos con atención, nos
damos cuenta de que en la exposición tradicional de las leyes de la lógica se
utilizan ciertas nociones aritméticas fundamentales como, por ejemplo, la
noción de conjunto y, en cierta medida, también la de número. Nos hallamos
así dando vueltas en círculo y es por ello que se requiere un desarrollo en
parte simultáneo de las leyes de la lógica y de la aritmética, si es que se han
de evitar las paradojas.31
28 Hilbert,
ibid.
ibid. El principio fundamental al que Hilbert se refiere es el principio de comprensión
ampliamente comentado en las secciones 3.2 y 3.3.
30 Hilbert, op. cit., p. 131.
31 Hilbert, ibid. Hilbert mantuvo durante (casi) toda su vida la opinión de que la aritmética no se
29 Hilbert,
3.4. L A PROPUESTA DE H ILBERT DE 1904
149
Hilbert dedica el resto de la conferencia a exponer la forma en que piensa llevar
a cabo esta tarea, una cuestión que esbozaremos en la siguiente sección. La labor
requería de un análisis detallado de los métodos de demostración que intervienen en
las teorías matemáticas y que Hilbert no estaba en posibilidades de llevar a cabo en ese
momento.32 No obstante, en su proyecto se vislumbran dos ideas que nunca habría de
abandonar. Son las siguientes:
1. Que la única manera de resolver en definitiva el problema de la consistencia de la
aritmética es sometiendo a un examen minucioso la estructura demostrativa de la
teoría, a fin de probar que con los axiomas y métodos de demostración admitidos
es imposible demostrar proposiciones contradictorias entre sí.33
2. Que la base segura para el pensamiento matemático es la intuición del signo.34
Aunque esto no lo dice explícitamente en este trabajo, en sus consideraciones
está presente la idea de que la intuición sensible constituye una base segura
para investigar la demostración matemática una vez que ésta se organice como
un arreglo de fórmulas. Como veremos, más adelante haría de esta facultad el
baluarte de las pruebas de consistencia.
Aunque a la sazón Hilbert estaba muy lejos de alcanzar su objetivo y los recursos
disponibles eran escasos (aún había que forjar las herramientas necesarias para alcanzar
la meta), en sus reflexiones asoma la postura que tiene ante la matemática y sus
fundamentos: el rechazo de toda suposición metafísica acerca de la naturaleza de los
objetos matemáticos, la negativa a renunciar a las conquistas de la matemática moderna
(en especial a la teoría de conjuntos), una fe irrestricta en el poder de la razón, la
búsqueda de una solución matemática al problema de los fundamentos y el recurso a
la formalización.
puede fundamentar en la lógica, no sólo porque considera que esta última presupone desde un principio
algunas nociones aritméticas, sino porque juzga, en aparente conformidad con Kant, que en la base del
pensamiento matemático se halla una forma de pensamiento intuitivo que procede sin presupuestos de
ninguna especie y que es irreductible a la lógica (siendo ésta una de las razones por las que propone el
desarrollo simultáneo de ambas disciplinas). A esta cuestión habremos de volver más adelante.
32 En efecto, dadas las exigencias del problema, para llevar a buen término esta investigación era
necesario refinar el método axiomático más allá de lo logrado en los Grundlagen der Geometrie, pues la
matemática usual, en la que las proposiciones se presentan bajo una extraña mezcla de lenguaje ordinario
y lenguaje simbólico y en la que las demostraciones no tienen una estructura bien definida que facilite su
análisis, no se prestaba para esta tarea.
33 Es decir, habría que dejar de lado el método de los modelos que tan buenos dividendos le había
producido en la geometría y llevar a cabo una prueba referente a las demostraciones. Como más adelante
lo reconocería Hilbert, esto requiere de un segundo nivel de consideración, es decir, de una “teoría
matemática acerca de la estructura y funcionamiento de las teorías matemáticas” que habría de denominar
metamatemática y cuya conformación debió esperar hasta 1922.
34 Es decir, nuestra capacidad para captar y reconocer de inmediato los signos y sus formas, las
diferencias entre ellos y su posición espacial con relación a los otros signos (cuando son escritos). De
esto hablaremos en detalla más adelante, sobre todo en la sección 4.3. En ello Hilbert muestra las raíces
kantianas de su filosofía.
150
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
Para que algunas de estas ideas llegaran a madurar debieron pasar algunos años y
muchos otros acontecimientos, como el desarrollo del programa logicista de Russell
y Whitehead, la resurrección de las ideas de Kronecker, las continuadas críticas de
Poincaré (heredero del empirismo francés) y la aparición en la escena de Brouwer y
Weyl con sus ideas constructivistas. Mientras tanto, Hilbert postergaría el problema de
los fundamentos para atender otra de sus predilecciones: la física matemática.
Cerramos esta sección con dos comentarios.
1. Aunque Hilbert jamás volvió a su plan de 1904 para probar la consistencia de
la aritmética, queremos mostrar brevemente el tipo de ideas que éste encerraba.
Grosso modo, el plan consistía en reconstruir la teoría aritmética como un sistema
simbólico (que no sintáctico) y probar que las fórmulas iniciales tenían cierta
propiedad (la de ser homogéneas, noción que aquí no detallaremos), para después
probar que esta propiedad se transmitía con la deducción lógica, es decir, que
era “hereditaria” en el sentido de que a partir de fórmulas homogéneas sólo se
podían derivar fórmulas homogéneas.35 En tal caso la prueba de consistencia
se lograría al comprobar que la negación de una fórmula homogénea no lo es,
lo que equivaldría a demostrar que a partir de los axiomas no se podían derivar
contradicciones.36
2. En la propuesta de Hilbert se advierte la intención de resolver el problema de
los fundamentos de la matemática desde el interior de la matemática misma, sin
necesidad de adherirse del todo a alguno de los grandes esquemas filosóficos
a la mano como lo eran el racionalismo, el realismo conceptual, el idealismo
trascendental, el positivismo, el empirismo, etc., aunque se nutre de algunos de
ellos. Si bien en su concepción asoman principalmente elementos tomados del
empirismo y de la filosofía de Kant, no podemos dejar de reconocer que éstos los
toma fragmentadamente, de acuerdo a sus necesidades, y sin abrazar la totalidad
de sus principios. Por ejemplo, en los escritos de Hilbert no hay ninguna referencia
a la lógica trascendental de Kant, sino sólo a la analítica y a la estética, y esto de
manera restringida. Simplemente toma lo que considera pertinente y desecha o
evita lo demás.
35 En el trabajo de 1904 esto sólo lo logra para un fragmento muy simple de la aritmética. En cuanto a
la noción de “homogeneidad”, tenemos dos razones para no insistir en ella: primero, que para nosotros
lo importante de la propuesta de Hilbert no es la forma específica en que piensa llevar a cabo la prueba
de consistencia, sino las ideas que lo guían y que más tarde afinará en lo que será su programa de
fundamentación de la matemática clásica; la segunda razón es que Hilbert nunca volvió a esta noción.
36 Quizá un símil nos ayude. Supongamos que una investigación revela dos hechos sorprendentes: que
Adán y Eva efectivamente existieron y tenían los ojos negros. Supongamos además que en el estudio se
descubre que la pigmentación de sus ojos se debe a un gen superdominante que se transmite de manera
infalible, en el sentido de que si alguno de los progenitores de un individuo tiene los ojos negros a causa
del gen, el individuo forzosamente tendrá los ojos negros y el mismo gen. Esto probaría que los individuos
que no tienen los ojos negros no son descendientes de Adán y Eva, ni siquiera de alguno de los dos. La
analogía, aunque no es exacta, aclara a la perfección lo que Hilbert tenía en mente al presentar su plan: si
la negación de una fórmula derivable fuera a su vez derivable, tendría que ser homogénea.
3.4. L A PROPUESTA DE H ILBERT DE 1904
151
En todo caso, es a sus propios colegas a quienes Hilbert quiere convencer de
la solidez del edificio matemático, haciéndoles ver que no es necesario recurrir
a ningún sistema extraño a su disciplina. A su vez, considera que la naturaleza
del pensamiento matemático se verá aclarada a tal punto que el problema de los
fundamentos quedará resuelto para siempre.
Como veremos, esta actitud se agudizó con el paso del tiempo, hasta llegar al
extremo de creer que como un resultado del análisis de la estructura deductiva
de la matemática clásica obtendría un método general para resolver en principio
cualquier problema matemático. Por otra parte, no deja de ser sorprendente el
hecho de que una postura tan cautelosa respecto a la epistemología y la ontología
matemáticas culminara en un ambicioso proyecto que sólo lo pudieron frenar las
investigaciones de Gödel, Turing y Church.
Como quiera que sea, después de la intervención de Hilbert la discusión sobre los
principios y los fundamentos de la matemática ya no pudo volver al estado en que
se hallaba a comienzos del siglo veinte.
Algunas de las ideas prevalecientes en ese momento las examinaremos en lo
que resta de este capítulo. Por ahora sólo queremos advertir al lector que al
leerlo deberá tener presente que uno de nuestros propósitos es mostrar cómo fue
que Hilbert extendió su concepción de la matemática teniendo como punto de
partida lo que podríamos llamar “la visión de un matemático activo”. No sin cierta
arrogancia, lo que procura es dotar a esta disciplina de un sólido fundamento
sin siquiera salir de ella, escribiendo de este modo el primer capítulo de lo que
podríamos llamar una filosofía matemática.
3.4.1.
La aritmética como un sistema de fórmulas
Para concluir este apartado queremos comentar brevemente el modo específico en que
Hilbert intenta reconstruir la aritmética como un sistema simbólico.
Ya en 1900 Hilbert había llevado el punto de vista axiomático al ámbito de los números
reales: Un sistema de objetos en el que las relaciones entre ellos están gobernadas por
los axiomas, y para el que sólo son verdaderas aquellas proposiciones, y sólo aquellas,
que se puedan derivar a partir de ellos mediante un número finito de inferencias
lógicas.37 El intento de 1904 se centra en la aritmética de Peano, e incorpora la
idea de tratar las proposiciones como meras expresiones simbólicas. Esto no lo logra
plenamente. Por ejemplo, Hilbert no especifica el conjunto de símbolos primitivos o
las reglas de construcción de fórmulas, y deja abierto el problema de los métodos de
inferencia admisibles, con lo que el sistema queda muy lejos de cumplir los estándares
modernos que él mismo impusiera años después a los sistemas sintácticos. No obstante,
en dicho trabajo ya asoma la idea de no recurrir en ningún momento al significado que
37 Véase
Problemas Matemáticos, conferencia pronunciada ante el pleno del 2o Congreso Internacional
de Matemáticas en la ciudad de París en 1900.
152
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
pudieran tener los símbolos, limitando toda consideración al manejo combinatorio de
los mismos.
Otro punto de interés de la propuesta de Hilbert es que se trata de la primera investigación destinada a desarrollar simultáneamente la lógica y la matemática. Esto implicaría
el manejo enteramente formal de las operaciones lógicas, en el que los operadores de
conjunción, negación, etc. no tienen ningún significado. Si bien el sistema de Hilbert
no corresponde exactamente a la noción de un cálculo lógico (por las razones ya
señaladas en el párrafo anterior), en él ya se encuentra la idea de un sistema simbólico
en el que las consecuencias de los axiomas se pueden derivar mediante procedimientos
mecánicos. Este aspecto ya lo había vislumbrado Poincaré en 1902 con relación a los
Grundlagen der Geometrie.38 Al respecto, lo hecho por Hilbert en 1904 se asemeja
más bien a un cálculo de ecuaciones rudimentario. Abundando en sus limitaciones podemos decir que en él nada hay que se acerque a una teoría formal de la cuantificación,
habiendo poca claridad en el manejo de las variables y las proposiciones cuantificadas.
No fue sino hasta después del trabajo de Russell en Principia Mathematica que Hilbert
encontró el camino correcto.
Hilbert inicia la exposición del sistema invitándonos a considerar un objeto cualquiera
de nuestro pensamiento (en sus palabras; una cosa del pensamiento [Gedankeding])
que servirá como un símbolo inicial y al que denotará con 1 (uno). Esto obedece a la
intención de introducir el símbolo “1” de la manera más abstracta posible, sin suponer
ninguna semántica para él. Lo mismo se puede decir de los otros cuatro símbolos
“primitivos” que utiliza: = (igualdad), u (conjunto infinito), f (sucesor) y f (operación
acompañante). Es combinando estas cosas como obtiene lo que serían las fórmulas del
sistema, entre las que se encuentran ciertas entidades que, grosso modo, corresponden
a igualdades numéricas de la forma x = y. Todo esto es muy vago y no vale la pena
intentar dilucidarlo aquí. Por ejemplo, el lenguaje simbólico no incluye variables, y
para la negación no hay un operador dentro del sistema; en vez de ello, introduce un
símbolo externo ā que correspondería a la proposición “a no es una entidad válida”. De
la misma manera, la noción de implicación lógica la representa mediante una expresión
de la forma “A|B”, donde A y B son proposiciones, sin que el símbolo “|” pertenezca
al sistema. De los cuantificadores ni hablar.
Con base en este simbolismo Hilbert introduce cinco esquemas axiomáticos que
corresponden, grosso modo, a los axiomas para la igualdad de Leibniz (dos de ellos) y
38 En una reseña de los Grundlagen publicada en 1902, Poincaré destaca un aspecto de la formalización
que nadie había notado con anterioridad: el de poder desarrollarse con la ayuda de una máquina: “Así, el
Sr. Hilbert ha buscado, por decirlo de alguna forma, poner los axiomas bajo una forma tal que puedan ser
aplicados por alguien que no comprende su sentido, y que nunca hubiera visto ni puntos, ni rectas, ni
planos. Después de él, los razonamientos deben poderse someter a reglas puramente mecánicas, y para
hacer geometría es suficiente con aplicar servilmente estas reglas a los axiomas, sin saber qué es lo que
quieren decir.” [Poincaré, 1902] De hecho, Poincaré sugiere darle las reglas a una máquina razonadora
como, por ejemplo, el piano lógico de Jevons y ver si se puede obtener toda la geometría. Aquí el punto
es precisamente que el sistema de Hilbert de 1904 aún no alcanza dicho nivel de desarrollo (no se han
especificado las reglas lógicas), aunque apunta fuertemente en esa dirección.
3.5. L A TEORÍA AXIOMÁTICA DE Z ERMELO -F RAENKEL
153
a los tres primeros axiomas de Peano para la aritmética de los números naturales.
Lo hecho por Hilbert en 1904 constituye la antesala de los sistemas formales, los
cuales tienen una definición tan precisa que hace posible un estudio riguroso de sus
propiedades estructurales. Esta posibilidad trajo a colación la cuestión de los métodos
utilizados por Hilbert al investigar el sistema. Al respecto, Poincaré sostiene que dicho
estudio encierra un círculo vicioso, pues presupone el conocimiento de los números
naturales. En otras palabras, Poincaré dice que la prueba de consistencia que ofrece
Hilbert para un fragmento de la aritmética se sirve de aquello mismo que quiere
fundamentar, lo cual la invalida en tanto que recurso de fundamentación. En la sección
3.6 habremos de volver a este punto.
Para concluir diremos que el intento de Hilbert destaca no por los logros obtenidos,
sino por la originalidad de sus ideas. No obstante, dadas las exigencias del problema,
para llevar a buen término esta clase de investigaciones era necesario refinar el método
axiomático más allá de lo logrado en el texto de 1904, pues si bien en él ya se tiene
la idea de un lenguaje simbólico carente de significado, las demostraciones aún no
poseen una estructura bien definida que facilite su análisis. En cuanto al propósito de
no asumir nada como conocido, pronto veremos lo que Poincaré tiene que decir al
respecto.
3.5.
La teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel
El tratamiento que da Cantor a la teoría de conjuntos es enteramente intuitivo e
informal: maneja los conjuntos como objetos del pensamiento ordinario y se deja llevar
por el sentido común en sus argumentos, sin detenerse a examinar sus principios. De
hecho, juzga que la noción básica de la teoría, la de conjunto o agregado (Menge),
no es susceptible de un análisis matemático exhaustivo. El tratado Beirtrage zur
Begründung der transfiniten Mengenlehere(I) (Contribuciones al fundamento de la
teoría de conjuntos (I)) de 1895,39 quizá la mejor presentación que Cantor hiciera
de su teoría, comienza con la siguiente ‘definición’, ya expuesta en la sección 2.6:
“Por un conjunto [Menge] hemos de entender cualquier reunión en un todo M de
objetos definidos y distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento.”40 Para todo
fin práctico, la definición anterior es un adorno inoperante, y no ocupa ningún lugar en
la teoría. En esto la situación es análoga a la de las definiciones euclidianas de punto,
línea, etc. que no desempeñan ningún papel en el despliegue de la geometría y que, al
parecer, fueron incluidas con el único propósito de sugerir qué es lo que se pretende
significar con tales términos en el discurso. Además, un atento examen de la definición
deja ver que en ella se hace referencia de manera implícita a una facultad especial
–al entendimiento, que realiza el acto reunir los objetos en un todo– la cual se debe
evitar cuando lo que se busca es incorporar la noción a una teoría formal. Esto motivó
39 Cantor
40 Cantor
1895.
1955, p. 85.
154
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
que la definición de Cantor fuera reemplazada por el principio de comprensión.41 Este
principio apareció por primera vez en el volumen 1 de los Grundgesetze der Arithmetik
de Frege, publicado en 1893, y fue utilizado con algunas modificaciones por Russell y
Whitehead (1861-1947) en Principia Mathematica.42 En su teoría, Zermelo presenta
este principio con algunas restricciones dándole el nombre de axioma de separación.
Aunque Zermelo ya se había apoyado en algunos axiomas en la demostración del
teorema del buen orden (como, por ejemplo, el de elección), no fue sino hasta 1908 que
presentó una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Para entonces la disciplina
ya había alcanzado la madurez suficiente como para reconocer en ella un reducido
número de principios que servirían como base en su reconstrucción axiomática, muy
en el espíritu de Hilbert en los Grundlagen. Esto lo hizo en un escrito titulado “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I” (Investigaciones en torno a los
fundamentos de la teoría de conjuntos I) en el que propuso sus célebres axiomas para
la teoría de conjuntos. El artículo inicia con las siguientes palabras:
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas cuya tarea es investigar
las nociones fundamentales de “número”, “orden” y “función” tomándolas
en su forma primitiva y más simple, y desarrollar a partir de ellas los fundamentos lógicos de toda la aritmética y todo el análisis; de este modo se
constituye en una componente indispensable de la ciencia matemática. No
obstante, en la actualidad la existencia misma de esta disciplina parece estar
amenazada por ciertas contradicciones, o “antinomias”, que se pueden derivar de sus principios —-que, al parecer, gobiernan necesariamente nuestro
pensamiento—- y para las que no se ha encontrado una solución enteramente
satisfactoria. En particular, en vista de la “antinomia de Russell” del conjunto
de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, hoy
en día parece inaceptable seguir asignando a cualquier noción lógicamente
definible un conjunto, o clase, como su extensión. La definición original de
Cantor de un conjunto como “una reunión en un todo de objetos definidos y
distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento” requiere, por lo tanto,
de algunas restricciones; al presente, la definición dada por Cantor no se ha
podido reemplazar con éxito por otra igual de simple y que no dé lugar a
tales dudas. Bajo tales circunstancias, en este momento no tenemos ninguna
41 Este principio, al que ya hemos hecho referencia, establece que toda propiedad (predicado en la
lógica moderna) determina un conjunto formado por todos los términos que la poseen. Como ya lo hemos
dicho, esta idea corresponde a la noción de clase que utilizan Frege y Russell, y a la idea de extensión de
los conceptos de la lógica tradicional.
42 En Principia Mathematica se define clase como “todos los objetos que satisfacen una función
proposicional.” [Russell y Whitehead, 1910, p. 23]. Para formar una clase ya no se trata de reunir objetos
en el entendimiento, sino de reunir los valores a de la variable x que figura en una función proposicional
P(x) para los que la proposición P(a) es verdadera. ¿Con qué clases se cuenta? eso depende del tipo
de funciones proposicionales que se consideren admisibles. En gran medida, Principia Mathematica se
puede contemplar como un examen crítico de las reglas que hay que imponer a la formación de funciones
proposicionales a fin de cerrarle el paso a clases como la de la antinomia de Russell.
3.5. L A TEORÍA AXIOMÁTICA DE Z ERMELO -F RAENKEL
155
alternativa que no sea la de proceder en la dirección contraria y, tomando
como punto de partida la teoría de conjuntos dada históricamente, buscar los
principios requeridos para establecer las bases de esta disciplina matemática.
Al resolver el problema debemos, por una parte, restringir los principios lo
suficiente como para excluir todas las contradicciones y, por la otra, tomarlos
lo suficientemente amplios como para retener todo lo que hay de valor en la
teoría.
En este trabajo me propongo mostrar cómo la teoría creada por Cantor y
Dedekind se puede reducir, en su totalidad, a unas cuantas definiciones y
principios, o axiomas, que parecen ser independientes entre sí. La ulterior
y más filosófica pregunta por el origen y la validez de estos principios no
será examinada aquí. Ni siquiera he podido demostrar rigurosamente que
mis axiomas son consistentes, aunque esto es algo esencial; en vez de ello,
me limito a señalar aquí y allá que las antinomias descubiertas hasta ahora
desaparecen de una vez por todas si se adoptan como base los principios
propuestos. No obstante, espero haber hecho alguna labor preparatoria para
subsiguientes investigaciones en torno a problemas de tal profundidad.43
El pasaje merece algunos comentarios.
1. El trabajo de Zermelo se adhiere directamente a la empresa axiomática de Hilbert,
de modo que su propósito no es establecer un conjunto de principios verdaderos,
indemostrables y mejor conocidos que aquello que se infiere a partir de ellos, y
que habrían de sustentar la verdad de la teoría; más bien, se trata de principios
que permiten reconstruir la teoría en tanto que sistema hipotético-deductivo para
así resaltar su estructura lógica.
2. La teoría axiomática es a su vez una definición implícita de las nociones de
conjunto y pertenencia a un conjunto, que ya no dependen de su contenido
intuitivo. En esto la situación sería enteramente análoga a la de las nociones y
relaciones geométricas en el caso de los Grundlagen der Geometrie de Hilbert,
ampliamente referida en el capítulo 1. Por tanto, la axiomatización de Zermelo
cae dentro del marco conceptual señalado en la sección 1.6.3.
3. Si bien Zermelo está consciente de la amenaza que representan las antinomias de
la teoría de conjuntos, su propósito al axiomatizar la teoría no es tanto responder
al peligro que éstas representan, como un intento por reconstruir la matemática
clásica en su totalidad al interior de la teoría de conjuntos, evitando a su vez las
paradojas que nos obligan a restringir la noción de conjunto. En otras palabras,
su idea es preservar la matemática clásica –a esto es a lo que se refiere cuando
habla de “retener todo lo que hay de valor en la teoría”– ofreciendo a su vez una
base segura que evite los problemas derivados de las paradojas. Esto no es lo
43 Zermelo,
1908a. Tomado de Heijenoorth 1967, pp. 201-202.
156
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
mismo que reconstruir la matemática como una disciplina dentro de la lógica,
como pocos años después lo intentarían Russell y Whitehead.44 No se trata, pues,
de reducir la teoría a otra más vasta y profunda, sino de reconstruirla de modo
que el matemático activo se sienta seguro en ella.
Como veremos, en la teoría de Zermelo los conjuntos no se consideran como
engendrados por propiedades (predicados), sino que, conforme al espíritu de la
nueva axiomática, se les postula directamente como entidades primitivas que
satisfacen ciertos axiomas que los definen implícitamente. Por ejemplo, uno de
sus axiomas establece que a cada objeto corresponde un conjunto cuyo único
elemento es dicho objeto, otro dice que los subconjuntos de un conjunto dado
forman a su vez un conjunto (existencia del conjunto potencia), etc. Lo que
importa es garantizar la existencia, en el sistema abstracto, de aquellos conjuntos
que han probado ser relevantes para la práctica matemática.
Así, en la teoría de Zermelo la noción de conjunto permanece indefinida, y lo único
que se sabe de los “conjuntos” es lo que “dicen” los axiomas, los cuales describen
su comportamiento y la forma en que se les ha de tratar matemáticamente. La
exposición axiomática comienza con las siguientes palabras:45
a) La teoría de conjuntos se ocupa de un dominio B de individuos a los que
llamaremos simplemente objetos y entre los que se hallan los conjuntos.
Si dos símbolos a y b denotan al mismo objeto, escribimos a = b, y de lo
contrario a = b. Decimos que un objeto a “existe” si pertenece al dominio
B; de la misma manera, dada una clase A de objetos, decimos que “existe un
objeto en la clase A” si el dominio B contiene un objeto de esta clase.
b) Entre los objetos del dominio B prevalecen ciertas relaciones fundamentales
de la forma a ∈ b. Si para dos objetos a y b se cumple la relación a ∈ b,
decimos que “a es un elemento de b”, o que “b contiene al elemento a”. Salvo
por una sola excepción (axioma II), se dice que un objeto b es un conjunto si
y sólo si contiene otro objeto, a, como elemento.
c) Si todo elemento de un conjunto M también es elemento de un conjunto N,
de modo que de x ∈ M siempre se sigue que x ∈ N, decimos que M es un
subconjunto de N y escribimos M ⊆ N. Siempre sucede que M ⊆ M, y de
M ⊆ N y N ⊆ R siempre se sigue que M ⊆ R. Dos conjuntos M y N se dice
que son ajenos entre sí si no tienen ningún elemento en común, o si ningún
elemento de M es elemento de N.
d) Una cuestión o aserción C se dice que es definida cuando las relaciones
fundamentales del dominio determinan, sin arbitrariedad alguna, si ésta se
cumple o no por medio de los axiomas y las leyes universalmente válidas
44 Zermelo
no afirma que la noción de número se reduce a la de conjunto, como lo hacen Frege, Russell
y Whitehead, sino que en la teoría de conjuntos se puede desarrollar satisfactoriamente la aritmética en
tanto que teoría matemática, cosa muy distinta.
45 Hemos modificado la notación para ajustarla al uso actual.
3.5. L A TEORÍA AXIOMÁTICA DE Z ERMELO -F RAENKEL
157
de la lógica. De igual forma, una “función proposicional” [Klassenaussage]
P(x), en la que el término variable x varía sobre todos los individuos de una
clase A, se dice que es definida si lo es para cada individuo particular x de la
clase A. Así, la cuestión de si a ∈ b o a ∈ b siempre es definida, al igual que
la cuestión de si M ⊆ N o no.46
Los axiomas de Zermelo son siete:
I (Axioma de extensionalidad) Si todo elemento de un conjunto M es también
un elemento de un conjunto N, y viceversa, y, por lo tanto, M ⊆ N y N ⊆ M,
entonces M = N. En breve, todo conjunto está determinado por sus elementos.
II (Axioma de los conjuntos elementales) Existe un conjunto (impropio), el
conjunto nulo, ∅, que no contiene ningún elemento.47 Si a es un objeto del
dominio, existe un conjunto {a} que contiene a a y sólo a él como elemento;
si a y b son dos objetos del dominio, siempre existe un conjunto {a, b} que
contiene como elementos a a y b y a ningún otro objeto x distinto de ellos.48
III (Axioma de separación) Si una función proposicional P(x) es definida para
los elementos de un conjunto M, entonces M tiene un subconjunto MP que
contiene como elementos precisamente a aquellos elementos de M para los
que P(x) es verdadera.
IV (Axioma del conjunto potencia) A todo conjunto T le corresponde un conjunto
PT , el conjunto potencia de T , que contiene como elementos precisamente a
todos los subconjuntos de T .
V (Axioma de la unión) A cada conjunto T le corresponde un conjunto ∪T , la
unión de T , que contiene como elementos a los elementos de los elementos
de T .
VI (Axioma de elección) Si T es un conjunto cuyos elementos son conjuntos
diferentes de ∅ y mutuamente ajenos entre sí, la unión ∪T incluye al menos
un subconjunto S que tiene un único elemento en común con cada elemento
de T .
También podemos expresar el axioma diciendo que siempre es posible elegir
un único elemento de cada conjunto M, N, . . . de T y combinar todos estos
elementos en un conjunto S.
VII (Axioma del conjunto infinito) Existe en el dominio al menos un conjunto
Z que contiene al conjunto vacío como elemento y que está constituido de
modo que a cada uno de sus elementos a corresponde un elemento de la forma
46 Zermelo,
1908a. La cita se tomó de Heijenoort, 1967, p. 201.
español decimos conjunto vacío.
48 Antes de enunciar el axioma, Zermelo hace la observación de que el conjunto que sólo contiene a los
elementos a, b, c, . . . , r se suele denotar con {a, b, c, . . . , r}.
47 En
158
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
{a}, es decir, que para cada uno de sus elementos a, también contiene como
elemento al conjunto {a}.49
Zermelo dedica el resto del artículo a discutir en detalle la equipotencia de
conjuntos, mostrando que la teoría de los números cardinales de Cantor se sigue
de los siete axiomas precedentes.
La elaboración de una base axiomática para la teoría de los conjuntos de Cantor
no concluyó con el trabajo de Zermelo. No obstante, antes de considerar algunos
hechos sucedidos en el terreno de la exposición axiomática de la teoría, queremos
señalar diversos aspectos que consideramos relevantes de la teoría axiomática
de Zermelo, muchos de los cuales se relacionan directamente con el desarrollo
ulterior de la lógica matemática y con la teoría de la demostración, una disciplina creada por Hilbert a fin de investigar el problema de la consistencia de las
teorías axiomáticas. La numeración de los comentarios continúa a partir de los
precedentes.
4. Zermelo expone su teoría en el marco del lenguaje ordinario, antes que en el más
preciso lenguaje de la lógica simbólica ya conocido en aquel momento. En esto
su presentación se asemeja a la que Hilbert hiciera de la geometría nueve años
atrás. Una consecuencia de ello es que la noción de propiedad definida no es clara,
pues no hay un criterio para decidir si una propiedad arbitraria es o no definida;
es más, en el contexto del lenguaje natural sería difícil encontrar un criterio para
determinar cuáles frases (aserciones) expresan propiedades de los objetos del
dominio B y cuáles no. A esto habremos de volver en el inciso (7).
5. El axioma III es más débil que el principio cantoriano que afirma que toda propiedad concebible da lugar a un conjunto, y también que el principio de comprensión.
Zermelo simplemente afirma que toda propiedad definida “adecuadamente” separa un conjunto MP a partir de un conjunto dado M, cuyos elementos ya están
dados con anterioridad. De este modo evita intencionalmente la construcción
de conjuntos como el de Russell, cuyos elementos se definen en términos del
conjunto mismo. En particular, con base en la idea de que la propiedad x ∈
/ x es
definida, Zermelo prueba que el dominio B no es un conjunto.
6. El axioma VII de Zermelo garantiza la existencia en B de un conjunto infinito
Z0 con elementos ∅, {∅}, {{∅}}, etc. que no se puede alcanzar con los otros
axiomas a partir del conjunto vacío, único objeto cuya existencia está asegurada
incondicionalmente por los demás postulados. Este conjunto Z0 sirve como representación del conjunto 0, 1, 2, . . . de los números naturales en la teoría axiomática.
7. El sistema de Zermelo fue la base del trabajo posterior en la teoría axiomática
de conjuntos, y con el paso del tiempo experimentó diversos cambios y mejoras
49 Los
axiomas fueron tomados de Heijenoort, 1967, pp. 201-204 con algunas modificaciones, sobre
todo en la notación.
3.5. L A TEORÍA AXIOMÁTICA DE Z ERMELO -F RAENKEL
159
hasta alcanzar un cierto estándar de rigor muy distinto al primigenio. En este
sentido, uno de los defectos de la presentación original era que la noción de
propiedad definida era más bien vaga e imprecisa, por lo que en 1922 Toralf
Skolem (1887-1963) propuso fijar la noción reemplazando el lenguaje ordinario
con un lenguaje simbólico apropiado, e identificar las propiedades definidas con
las fórmulas que se pudieran construir a partir de las formas básicas a ∈ b y
a = b mediante las operaciones lógicas de negación (no, ¬), conjunción (y, ∧),
disyunción (o, ∨), implicación (→), equivalencia (↔), cuantificación universal
(para todo x, ∀x) y cuantificación existencial (existe x, ∃x). En otras palabras,
las propiedades definidas serían aquellas propiedades de los conjuntos que se
pudieran expresar mediante una fórmula obtenida a partir de fórmulas básicas (de
la forma a ∈ b ó a = b) mediante la aplicación reiterada de los operadores lógicos
¬, ∧, ∨, ←, ↔, ∀ y ∃. Esto implicaba, entre otras cosas, la necesidad de recurrir
a un lenguaje formal en la teoría. Esto nos lleva al último tema que habremos de
abordar en esta sección.
Como acabamos de ver, la necesidad de precisar la noción de propiedad definida
implicó la introducción de lenguajes formales gobernados por reglas de construcción
sintáctica muy estrictas. Tales lenguajes ya se conocían desde tiempo atrás, siendo
quizá el más adecuado para tales fines el de Russell y Whitehead en Principia Mathematica. Entre 1922 y 1951 fueron exploradas diversas extensiones, modificaciones y
alternativas del sistema de Zermelo tomando en consideración el uso de tales lenguajes.
Los creadores de estas teorías fueron Abraham Fraenkel, John von Neumann, Paul
Bernays, Kurt Gödel y Willard Van Orman Quine. De todas ellas, la más utilizada en
la práctica matemática es la Teoría Axiomática de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o
ZF, que resulta de la teoría de Zermelo mediante la modificación y adición de algunos
axiomas, y de la introducción de un lenguaje más preciso. En lo que sigue sólo nos
ocuparemos de esta teoría, exponiendo sus axiomas en su forma moderna.
A diferencia de la manera usual de presentar una teoría axiomática en matemáticas,
en la que sólo se enumeran los términos indefinidos y los axiomas, la más rigurosa
exposición formal requiere además explicitar los símbolos con que se construye el
lenguaje, y las reglas con que se componen los enunciados de la teoría. Como veremos,
por estricto que parezca este modo inicial de proceder, resulta insuficiente ante los
requisitos que Hilbert impone a las pruebas de consistencia, según los cuales también
es menester especificar los axiomas lógicos y las reglas de inferencia mediante las
cuales se derivan los teoremas de la teoría.
Símbolos. Los símbolos se clasifican en varias categorías, según su función.
Constantes: ∅ (conjunto vacío).
Variables: x0 , y0 , z0 , . . .; x1 , y1 , z1 , . . .; xn , yn , zn , . . .; . . .
Relaciones: ∈ (pertenencia)
Lógicos: ¬ (no), ∧ (y), ∨ (o), → (implica), ↔ (equivalente), ∀ (para todo), ∃ (existe),
160
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
= (igual)
Puntuación: ) [paréntesis derecho], ( [paréntesis izquierdo].
Fórmulas. Las reglas para construir fórmulas son muy simples. Se comienza por
definir lo que es una fórmula básica (o atómica) y después una fórmula compuesta
(o molecular). Básicas. Si a y b son el símbolo ∅ o alguna variable, entonces a ∈ b y
a = b son fórmulas básicas o atómicas.
Compuestas. Si φ y ψ son fórmulas y x es una variable, entonces son fórmulas
(compuestas, o moleculares):
¬φ ,
(φ ∧ ψ),
(φ ∨ ψ),
(φ → ψ),
(φ ↔ ψ),
∀xφ
y
∃xφ
Llamemos LZF a este lenguaje. Una propiedad de conjuntos es definida si existe una
fórmula de LZF que la define o expresa, es decir, si la propiedad se identifica con alguna
fórmula construible en este lenguaje.
Aunque los medios expresivos de LZF parecen muy limitados, su poder es suficiente
como para expresar y desarrollar en él casi todas las nociones y demostraciones
importantes de la teoría de conjuntos, e incluso de la matemática clásica. Por ejemplo,
la noción de subconjunto no es necesario representarla mediante un símbolo especial
“⊆”, pues se le puede definir como sigue:
x ⊆ y ≡de f ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
de modo que la expresión “x ⊆ y” siempre se puede reemplazar por la expresión a la
derecha, que sí forma parte del lenguaje. Así, “x ⊆ y” no es sino una abreviatura de una
fórmula del lenguaje y siempre se le puede eliminar en favor de esta última, un tanto
más compleja en su escritura. De la misma manera se pueden introducir símbolos para
la unión, la intersección o la diferencia de dos conjuntos, o para el conjunto potencia,
los cuales son en cierto sentido superfluos, pues siempre se pueden reemplazar por
fórmulas en las que las únicas relaciones que figuran son la pertenencia “∈” y la
igualdad “=” que, por cierto, también se puede definir como sigue:
x = y ≡de f ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)
(dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos).50 Podemos ahora
escribir los axiomas de Zermelo en este lenguaje como sigue:
1. (Axioma de extensionalidad) ∀x∀y(∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x = y)
2. (Axiomas de los conjuntos elementales)
50 Si
bien el símbolo “=” se puede introducir como un símbolo definido, se le suele incluir entre los
símbolos primitivos en virtud de que, en general, la relación de igualdad se considera básica o inicial.
3.5. L A TEORÍA AXIOMÁTICA DE Z ERMELO -F RAENKEL
161
a) ∀x¬(x ∈ ∅) (conjunto vacío)
b) ∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z = x) (conjunto cuyo único elemento es x)
c) ∀x∀y∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)) (conjunto cuyos únicos elementos son
x e y)
3. (Axioma de separación) ∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ P(z)) donde P(z) es una fórmula
de L (es decir, hay un axioma para cada fórmula P)
4. (Axioma del conjunto potencia) ∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∀w(w ∈ z → w ∈ x))
5. (Axioma de la unión) ∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
Para escribir en forma legible el axioma de elección es necesario introducir
algunos símbolos especiales, es decir, algunas abreviaturas.
Denotamos con ∪a al conjunto unión de a (cuya existencia está asegurada por
el axioma 5, de modo que b ∈ ∪a ≡de f ∃x(x ∈ a ∧ b ∈ x); asimismo, denotamos
con a ∩ b al conjunto intersección de a con b, de modo que c ∈ (a ∩ b) ≡de f (c ∈
a ∧ c ∈ b). La existencia de este último conjunto está asegurada por los axiomas
2.c, 5 y 3 tomando a (z ∈ a ∧ z ∈ b) como la fórmula P(z).
6. (Axioma de elección)
∀x((¬(x = ∅) ∧ ∀y(y ∈ x → ¬(y = ∅))∧
∀y∀z((y ∈ x ∧ z ∈ x ∧ ¬(y = z)) → y ∩ z = ∅)) →
(∃z(z ⊆ ∪x ∧ ∀w(w ∈ z → ¬(z ∩ w = ∅)∧
∀u∀v(u ∈ (z ∩ w) ∧ v ∈ (z ∩ w) → u = v))))).
Aunque complicada, esta fórmula expresa exactamente la propiedad enunciada
por el axioma de elección. Los dos primeros renglones establecen las condiciones
generales: x es un conjunto no vacío cuyos elementos son conjuntos no vacíos
y ajenos entre sí; el tercer renglón asienta que la unión ∪x incluye al menos un
subconjunto z que tiene un único elemento en común con cada elemento de x,
mientras que el cuarto renglón señala que dicho elemento es único.
Para escribir en forma inteligible el axioma del conjunto infinito es necesario
introducir un símbolo especial para el conjunto cuyo único elemento es x (cuya
existencia está asegurada por el axioma 2.b; denotemos con {x} a este conjunto.
7. (Axioma del conjunto infinito) ∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → {y} ∈ x).
Este axioma garantiza la existencia de un conjunto con una infinidad de elementos,
pues el conjunto cuya existencia se afirma contiene a la sucesión (infinita) de
conjuntos disjuntos
∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, . . .
162
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
Esta teoría axiomática se representa con las siglas ZE o ZC por "Zermelo con el
axioma de elección".51
En 1922 Skolem y Fraenkel sugirieron sendos axiomas que permitían probar que
ciertas colecciones de conjuntos como, por ejemplo, {ω,℘(ω),℘(℘(ω)), . . . ,
℘n (ω), . . .},52 eran a su vez conjuntos, cosa que no se podía lograr en ZC. En
1928 von Neumann presentó una versión modificada de estos axiomas, conocida
como axioma del reemplazo, la cual dice escuetamente que si cada elemento de un
subconjunto de un conjunto dado se encuentra asociado a un conjunto, entonces
la colección de los conjuntos asociados es ella misma un conjunto. Volviendo
a nuestro ejemplo, si tomamos como conjunto inicial a ω, el conjunto de los
ordinales finitos, y como conjunto asociado a cada n ∈ ω al conjunto ℘n (ω),
entonces la colección ω1 = {ω,℘(ω),℘(℘(ω)), . . . ,℘n (ω), . . .} es un conjunto.
8. (Axioma del reemplazo)
∀x∀y∀z(x ∈ a ∧ R(x, y) ∧ R(x, z) → y = z) → ∃b∀y(y ∈ b ↔ ∃x(x ∈ a ∧ R(x, y))
La hipótesis del axioma pide que la relación R sea una función (es decir, que con cada
elemento de a esté asociado a lo más un conjunto). El nombre del axioma obedece
a la siguiente idea que se encuentra detrás de él: si se tiene una fórmula R(x, y) con
la propiedad de que para cada x en un conjunto a hay a lo más una y tal que R(x, y),
entonces podemos decir que tales “y” forman un conjunto b y “reemplazar” a a con b.
Este axioma es más poderoso que el axioma de separación (axioma 3), que se sigue de
él.
La teoría axiomática constituida por los axiomas 1-8 se conoce como teoría de los
conjuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección, y se suele denotar con las
siglas ZFC. Si se omite el axioma 6 (axioma de elección), la teoría resultante se
denomina teoría axiomática de conjunto de Zermelo-Fraenkel, y se escribe ZF.
Comentario final. Hemos apenas señalado algunos aspectos de la teoría de conjuntos
de Zermelo-Fraenkel que, junto con los axiomas de Peano para la aritmética elemental,
constituye una de las teorías axiomáticas más reconocidas en la matemática moderna.
A pesar de su brevedad, esperamos que esta presentación sea de utilidad, sobre todo
tomando en cuenta las siguientes observaciones.
1. La doble exposición de la teoría axiomática permite contrastar lo que es una
presentación informal, a la manera de la geometría de Hilbert, de una presentación
rigurosa, que incluye la introducción de un lenguaje formal definido con todo
51 ZC se debe a que en inglés el axioma de elección se conoce como “axiom of choice”. Dado el
uso frecuente de estas siglas para referirse a la teoría, a menudo nos referiremos a ella siguiendo esta
costumbre.
52℘n (ω) significa ℘(℘(. . .℘(ω) . . .)) donde la operación de tomar el conjunto potencia se reitera n
veces.
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
163
rigor. Éste es un paso importante en el proyecto de Hilbert para fundamentar la
matemática y un elemento clave en la demostración de los teoremas de Gödel,
como se podrá ver en el capítulo 5.
2. Como ya lo hemos señalado, ZFC es suficientemente poderosa como para reconstruir en ella el edificio entero de la matemática clásica. En particular, es posible
desarrollar en su interior la aritmética recursiva, un fragmento de la aritmética en
cuyo interior Gödel construye sus argumentos. Esto hace que el sistema ZF esté
sujeto a las limitaciones que imponen los teoremas de Gödel.
Como veremos, para elaborar la prueba de Gödel es necesario contar con una descripción más precisa del sistema axiomático, especificando las reglas de inferencia
y los principios (axiomas) lógicos que se aceptan como válidos en la teoría. Este
paso, que no dimos en esta presentación de ZF, es irrelevante cuando se trabaja en el
contexto de la matemática ordinaria.53 De hecho, ningún matemático activo desarrolla
su trabajo teórico de esa manera, y si lo hace es porque su interés se centra en la teoría
misma, no en los objetos que trata de conocer a través de ella. En este sentido, la única
razón para proceder con extremo rigor es porque el objeto de estudio son los recursos
demostrativos de la teoría. Por ejemplo, un estudio de tal naturaleza en el campo de la
aritmética no tendría como propósito conocer las propiedades de los números, sino los
procesos mediante los cuales se demuestran los teoremas que enuncian la propiedades
de los números, algo que cae dentro del campo de la lógica, no de la aritmética (por lo
menos, eso es lo que uno pensaría antes de estudiar a Gödel). Algo semejante podemos
decir de la óptica oftálmica, que no se ocupa de los objetos que podemos conocer
mediante la vista, sino del proceso de visión en el ojo.
3.6.
Poincaré, Weyl y el predicativismo
3.6.1.
Poincaré
La postura de Henri Poincaré respecto a la naturaleza de la matemática es la opuesta
a la de Frege: ve en las proposiciones aritméticas juicios sintéticos a priori, mientras
que en los principios de la geometría ve simples hipótesis adoptadas por conveniencia,
lejos del apriorismo kantiano. Estas ideas las expone en diversos ensayos publicados
entre 1887 y 1910 en los que aborda, de manera poco sistemática y en tono polémico,
distintas cuestiones relativas a los fundamentos de la matemática.
Poincaré confronta por igual a logicistas, formalistas y cantorianos sin a veces distinguir
claramente entre ellos. Frente al logicismo de Frege y Russell argumenta que la
aritmética es irreductible a la lógica, pues esta última tan sólo consiste en un sistema
53 La
presentación de la teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel como sistema formal la damos en el
apéndice Ñ, después de introducir el concepto de sistema formal en el apéndice L.
164
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
de verdades analíticas, mientras que la primera, originada en la intuición, contiene
proposiciones sintéticas cuya invención requiere de creatividad e imaginación, algo
que la lógica no nos puede dar. Esto lo expresa en un ensayo relativo al papel de la
lógica y la intuición con las siguientes palabras:
En nuestros razonamientos creemos ya no apelar a la intuición, aunque los
filósofos nos dicen que esto es una ilusión. La lógica pura no nos llevará
jamás a otra cosa que a tautologías; no podrá crear nada nuevo; de ella por sí
sola no puede salir ninguna ciencia. [. . . ] Para edificar la aritmética [. . . ] hace
falta otra cosa que la lógica pura. Para designar esta otra cosa no tenemos
otra palabra que intuición.”54
Más adelante afirma: “Así, la lógica y la intuición desempeñan cada una un papel
necesario. Ambas son indispensables. La lógica, que sólo puede dar certeza, es el
instrumento de la demostración. La intuición es el instrumento de la invención.” Esta
postura concuerda con su vida matemática, donde no gustaba del rigor excesivo.
Poincaré sostiene que en el punto de partida de la aritmética se halla una clara comprensión intuitiva del sistema de los números naturales, de la cual emana el principio de
inducción completa. En su opinión las nociones aritméticas básicas no son reducibles,
ni lo necesitan, a algo más simple, lo cual marca un rotundo rechazo a la reducción
lógica que buscan Frege y Russell, a la deducción trascendental de Dedekind y al fundamento axiomático de Peano y Hilbert. Entre otras cosas aduce que todo intento por
referirlas a algo más simple implica una petición de principios. Por ejemplo, sostiene
que la prueba de consistencia ofrecida por Hilbert en 1904 para un fragmento de la
aritmética encierra un círculo vicioso, pues en su argumento se sirve del razonamiento
por recurrencia y, por ende, de la noción intuitiva de número natural.55 Ergo la supuesta
reducción axiomática, cuyo fundamento sería la prueba de consistencia, encierra una
petición de principios que la invalida. Por otra parte, ve en la argumentación por recurrencia (basada en el principio de inducción) el verdadero razonamiento matemático,
aquello que evita que la matemática sea una inmensa tautología y la causa de que ésta
sea irreducible a la lógica. Dice al respecto:
El carácter esencial del razonamiento por recurrencia es que contiene, por
decirlo de algún modo, una infinidad de silogismos condensados en una única
fórmula. Para que nos podamos dar cuenta de ello, voy a enunciar uno tras
otro estos silogismos que están, si se me permite la expresión, dispuestos en
cascada. Bien entendidos se trata de silogismos hipotéticos. [. . . ] El teorema
es cierto para el número 1. Y si es cierto para el 1, es cierto para el 2; luego
es cierto para el 2. Pero si es cierto para el 2, es cierto para el 3; luego es
cierto para el 3; y así sucesivamente.56
54 Poincaré,
1900, p. 121.
Poincaré 1908, Libro 2, Cap. 3, Sección II.
56 Poincaré, 1894, pp. 379-380.
55 V.
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
165
En distintos lugares Poincaré subraya el carácter creativo del principio de inducción,
el cual nos ha permitido conocer la verdad de muchas proposiciones universales,
sintéticas y a priori, que forman parte de la matemática. Por el contario, en el terreno
de la geometría rechaza el apriorismo kantiano, adhiriéndose al convencionalismo.
Esto lo expresa con las siguientes palabras: “Los axiomas geométricos no son ni juicios
sintéticos a priori, ni hechos experimentales. Son convenciones. Nuestra elección, entre
todas las convenciones posibles, está guiada por los hechos experimentales, pero sigue
siendo libre y no está limitada más que por la necesidad de evitar toda contradicción.”57
En su opinión, si los axiomas de la geometría fueran intuiciones a priori, estos se
impondrían a nosotros con tal fuerza que no podríamos concebir las proposiciones
contrarias (v. gr., la negación del quinto postulado de Euclides), ni levantar sobre ellas
un edificio teórico.
Ahora veamos con cierto detenimiento sus opiniones respecto de Hilbert.
3.6.2.
Poincaré ante el formalismo de Hilbert y la teoría de Cantor
En general Poincaré muestra una buena opinión en torno a los Grundlagen der Geometrie de Hilbert. Por ejemplo, manifiesta cierta complacencia con la idea de presentar
las nociones y expresiones básicas de la geometría plana (punto, línea, pasar por, estar
entre, etc.) no como algo destinado a suscitar imágenes geométricas, sino como algo
que puede designar indistintamente objetos y relaciones de una naturaleza cualquiera:
He aquí las reflexiones que nos deben inspirar estos enunciados [los axiomas]:
las expresiones “estar situado en, pasar por”, etc. no están destinadas a evocar
imágenes; son simplemente sinónimos de la palabra determinar. Las palabras
“punto, recta y plano” no deben provocar en el espíritu alguna representación
sensible. Ellas podrían designar indiferentemente objetos de una naturaleza
cualquiera, con la provisión de que uno pueda establecer entre tales objetos
una correspondencia tal que a todo sistema de dos objetos llamados puntos
corresponda un objeto llamado línea.58
Es entonces que escribe las palabras ya citadas en la sección 3.4.1 y que aquí repetimos
por comodidad:
[. . . ] Así, el Sr. Hilbert ha buscado, por decirlo de alguna forma, poner los
axiomas bajo una forma tal que puedan ser aplicados por alguien que no comprende su sentido, y que nunca hubiera visto ni puntos, ni rectas, ni planos.
Después de él, los razonamientos deben poderse someter a reglas puramente
mecánicas, y para hacer geometría es suficiente con aplicar servilmente estas
reglas a los axiomas, sin saber qué es lo que quieren decir.
57 Poincaré,
58 Poincaré,
1891.
1902a, p. 252.
166
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
[. . . ] Esta es la misma preocupación que ha inspirado a ciertos sabios italianos, los señores Peano y Padoa, quienes se han esforzado por crear una
“pasigrafía”, es decir, una especie de álgebra universal en la que todos los razonamientos se reemplazan por símbolos o por fórmulas. Esta preocupación
puede parecer artificial y pueril, [. . . ] pero en el caso del Sr. Hilbert ésta se
explica y se justifica si uno recuerda el propósito que persigue.59
Poincaré ve con complacencia lo que Hilbert hace en geometría en virtud de que en su
opinión, como ya lo hemos señalado, toda teoría geométrica se basa en convenciones,
no en principios ciertos. Dichas convenciones pueden presentarse como sea, sin necesidad de explicar sus términos o el significado de sus axiomas. Tras un largo análisis
de los Grundlagen der Geometrie, Poincaré termina diciendo que con sus novedosas
concepciones, Hilbert ha producido en la filosofía de las matemáticas un progreso
comparable al que debemos a Lobachevsky, Riemann, Helmholtz y Lie.
Poco tiempo después no habría de decir nada parecido con relación a los fundamentos
de la aritmética. Al comentar la obra de Louis Couturat, un logicista francés, objeta la
afirmación que éste hiciera en el sentido de que con su trabajo, Russell y Peano dieron
fin al debate entre Leibniz y Kant, demostrando que en la aritmética no hay juicios
sintéticos a priori y que la matemática es reducible a la lógica. Se pregunta si eso es
realmente posible: “Eso que ha hecho Hilbert para la geometría, otros lo han querido
hacer para la aritmética y el análisis. Incluso si hubieran tenido un éxito total, ¿estarían
los kantianos condenados al silencio? Puede ser que no, pues al reducir la matemática
a una forma vacía se le mutila.”60 Poincaré no está dispuesto a renunciar a aquello que,
según él, da vida a la matemática, haciendo de ella no sólo una ciencia, sino un arte. Es
entonces que el formalismo de Hilbert le parece fuera de lugar. Al referirse a la idea de
Frege y Russell de desarrollar la aritmética como parte de la lógica, se pregunta: “Pues
bien, lo que quiero averiguar es si es verdad que una vez admitidos los principios de
la lógica se puede, no digo descubrir, sino demostrar todas las verdades matemáticas,
sin llamar de nuevo a la intuición.”61 Esta interrogante también atañe a Hilbert, quien
intenta edificar la aritmética sobre un cuadro de axiomas que, en principio, habrían de
implicar todas las propiedades de los números naturales. Ante tal posibilidad Poincaré
imagina lo contrario: la imposibilidad de establecer un cuadro axiomático completo
para la aritmética, señalando con ello un problema que no habría de resolverse sino
hasta 1930 con las investigaciones de Gödel.
Con relación a la teoría de conjuntos, el ataque de Poincaré se apoya en una idea
totalmente opuesta a la de Cantor en cuanto al modo de ser de los objetos matemáticos.
59 Ibid. Años más tarde habría de decir algo semejante: “¿Qué son estas cosas? No solamente no
sabemos nada, sino que tampoco debemos tratar de saberlas. No tenemos necesidad, y cualquiera que no
hubiera visto jamás ni un punto, ni una línea, ni un plano, podría hacer tanta geometría como hacemos
nosotros. De esta manera, para demostrar un teorema no es útil ni necesario lo que quiere decir.” (Poincaré
1908, p. 114).
60 Poincaré, 1908, Libro 2, Cap. 3, Sección II.
61 Poincaré 1908, Libro 2, Cap. 3, Sección II.
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
167
Según Poincaré, todas las nociones matemáticas se forman en la mente humana a partir
de lo dado en la intuición, o se obtienen a partir de ese tipo de nociones mediante
definiciones explícitas. Asociadas a lo anterior se encuentran dos ideas: que los objetos
matemáticos no tienen una existencia propia, platónica, y que no existen totalidades
infinitas acabadas. De ello concluye que los principios de la teoría cantoriana no se
pueden justificar de ninguna manera, pues su validez tiene como condición tal modo de
existencia. En un pasaje afirma: “No hay infinito actual; los cantorianos lo han olvidado
y han caído en contradicción:”62 La afirmación anterior se apoya en la opinión de
que las antinomias son el resultado de aplicar la cuantificación universal a conjuntos
infinitos, dando lugar con ello a falsas definiciones. En efecto, al analizar las paradojas
de la teoría de conjuntos Poincaré parte de la idea de que toda noción matemática que no
derive llanamente de la intuición se ha de introducir mediante una definición explícita.
Esto lo lleva a examinar los distintos tipos de definición de uso en la matemática y a
proscribir las definiciones impredicativas (o no predicativas), en las que un objeto se
define haciendo referencia a una totalidad a la que dicho objeto pertenece. Argumenta
que en tales casos el definiens no es anterior al definiendum, pues el segundo forma
parte del primero.63 Ve en ello un círculo vicioso y la “creación” de tal objeto a través
de la definición. Esta idea se halla en la base del llamado predicativismo, del cual nos
ocuparemos en la siguiente sección.
Un punto importante con relación a Poincaré es que jamás elaboró sus ideas de manera
sistemática. Por ejemplo, nunca dijo nada acerca del lenguaje en el que habrían de escribirse las proposiciones y las definiciones matemáticas, ni expresó ningún comentario
acerca de la lógica subyacente a las teorías matemáticas. Su “predicativismo” se limitó
a criticar el uso de cierto tipo de definiciones, sin imponer ninguna condición a los
modos de razonamiento admitidos, es decir, aceptando de manera implícita la lógica
de predicados de Frege. No obstante, estas críticas sentaron la base para el ulterior
desarrollo del tema. Al respecto, Russell fue el primero en formular los principios
del predicativismo en Principia Mathematica y Brouwer el primero en someter a una
revisión exhaustiva los principios de la lógica sobre la base de lo que se puede lograr
mediante construcciones mentales.
3.6.3.
El principio del círculo vicioso y las definiciones no predicativas
Como ya lo hemos señalado, muchas paradojas como las de Russell, Cantor y BuraliForti tienen una característica en común: encierran una definición impredicativa (o no
predicativa) que da lugar a lo que se ha dado en llamar un círculo vicioso. Por ejemplo,
62 Poincaré
1908, p. 150 de la traducción al español.
definición contiene dos elementos: el definiendum o concepto (término) por definir,
y el definiens o conjunto de conceptos (términos) que determinan al definiendum. Al respecto, dice
Poincaré: “Una definición que contiene un círculo vicioso no define nada.” Esto lo justifica de la siguiente
manera: Para que una definición sea legítima, debe ser posible substituir el definiendum por el definiens.
En el caso de una definición que contiene un círculo vicioso la substitución nunca terminará (pues el
definiendum reaparece en el definiens).
63 En principio, toda
168
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
la paradoja de Russell tiene como base la siguiente definición de una clase R:
∀x(x ∈ R ↔ x ∈
/ x)
Nótese que en la fórmula anterior, la variable cuantificada x tiene como dominio de
variación a la clase de todas las clases, una totalidad a la que R, en caso de existir,
pertenece. En otras palabras, R se define con base en una totalidad de la que ella misma
formaría parte.
Entre quienes rechazaron tal tipo de definiciones podemos mencionar, además de
Poincaré, a Bertrand Russell y Hermann Weyl. Para evitar esta clase de problemas
idearon el principio del círculo vicioso (PCV). Gödel expresa este principio en su forma
más general con las siguientes palabras: Ninguna totalidad puede contener miembros
definibles sólo en términos de esa totalidad. En las paradojas ya mencionadas se
infringe este principio.64
Con relación a las propiedades, el principio del círculo vicioso se puede formular como
sigue: Ninguna propiedad P se puede predicar de un objeto cuya definición depende
de P.
Una variante técnica de lo anterior, debida a Russell, es la siguiente: Cualquier cosa
cuya definición comprenda una variable aparente no puede hallarse entre los posibles
valores de esa variable.65
Cuando una definición infringe el principio anterior se dice que es no predicativa. El
problema con el rechazo de tales definiciones es que requiere de una profunda revisión
de las matemáticas clásicas, donde no son infrecuentes. Por ejemplo, la definición del
supremo s de un conjunto X de números reales es no predicativa:
Sup(s, X) ≡de f (∀x(x ∈ X → x ≤ s)) ∧ ∀z(∀x(x ∈ X → x ≤ z) → s ≤ z)))
En la definición anterior es evidente que el número s se halla dentro del dominio de
variación de la variable z. Aquí el punto es que el llamado axioma del supremo es
una herramienta fundamental en la teoría axiomática de los números reales, algo a lo
que muchos matemáticos no estaban dispuestos a renunciar. Por otra parte, parece no
haber un camino que lleve a la introducción de los números reales sin pasar por la no
predicatividad. Hacerlo mediante las cortaduras de Dedekind no resuelve nada, pues la
definición de estas entidades también es no predicativa.66
En términos generales la oposición al principio del círculo vicioso se debe a que las
definiciones no predicativas son algo común y generalmente inocuo en la matemática,
64 En
Principia Mathematica Russell y Whitehead insisten en que todo círculo vicioso tiene como base
la suposición de que una colección de objetos puede contener miembros sólo definibles por medio de la
colección como un todo. Y esto es precisamente lo que intentan prohibir: “Cualquier cosa que comprenda
todo lo de una colección no debe ser uno de la colección.” (Russell y Whitehead, 1910, p. 37).
65 Russell, 1906.
66 Vease (Feferman, 1964, parte I) y (Kleene, 1952, §12).
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
169
presentándose incluso en circunstancias muy simples. Por ejemplo, si X es un conjunto
de números enteros, el mínimo de X se define como aquel elemento de X que es menor
o igual que cualquier elemento de X, una definición impredicativa. Es más, las definiciones de este tipo se presentan no sólo en el análisis matemático, sino en muchas áreas
consideradas como “no problemáticas”, como la teoría de la recursión. Un ejemplo
es la definición de función recursiva que ofrecen Tarski y Mostowski en Undecidable
Theories.67 Además, su presencia en la matemática es anterior a la llamada crisis de
los fundamentos. Por ejemplo, en 1821 Cauchy utilizó una definición impredicativa
en la prueba del teorema fundamental del álgebra.68 Tal como lo advierte Zermelo (v.
Zermelo, 1908, p. 191), a nadie se le ha ocurrido considerar el procedimiento seguido
por Cauchy como algo irrazonable.69 En el mismo tono Ramsey nos recuerda que
muchas definiciones no predicativas son totalmente inofensivas, como cuando nos
referimos a una persona como “el individuo más alto del salón”, en cuyo caso el objeto
definido depende de un conjunto de individuos del que es un elemento.
Frente al principio de círculo vicioso no podemos dejar de mencionar la postura de Kurt
Gödel, un fuerte defensor del realismo conceptual. Grosso modo, los seguidores de esta
corriente mantienen que los objetos abstractos, las ideas, tienen una realidad que les
es propia, que éstos existen independientemente de que los pensemos o los podamos
“percibir”. En particular, Gödel sostiene que la teoría cantoriana trata con entidades
de ese tipo, siendo la tarea del matemático describir dicha realidad (a esto habremos
de volver más adelante). Desde esta perspectiva las definiciones impredicativas no
encierran ningún peligro, pues la existencia de aquello que se define no depende del
modo en que se haga esto último. Es más, en ocasiones la única manera de determinar
un objeto matemático es mediante una definición de este tipo. Ergo, no tiene sentido
prohibir tal modo de proceder. En todo caso, lo que a Gödel le parece falso es el
principio del círculo vicioso. Esto lo afirma al observar que Russell y Whitehead se
vieron forzados a abandonar en Principia Mathematica la forma fuerte de este principio.
67 La definición es esta: Una función aritmética es recursiva si y sólo sí pertenece a cada conjunto X de
funciones que satisface las siguientes condiciones: (i) La función sucesor s pertenece a X; (ii) la función
e(x) pertenece a X (donde e(x) es la diferencia entre x y el mayor número cuadrado menor o igual que
x); (iii) Si f y g pertenecen a X, entonces f + g y f · g pertenecen a X; y (iv) Si f está en X y f toma
como valores a todos los números naturales, entonces f −1 también pertenece a X (donde f −1 (y) se define
como el menor x tal que f (x) = y). Obviamente, la clase F formada por las funciones recursivas es la
intersección de todos los conjuntos X que cumplen las condiciones (i)-(iv), por lo que también es uno de
ellos. Por tanto, la definición de F es no predicativa.
68 Cauchy, Cours D’Analyse, 1821. En su argumento, Cauchy recurre al mínimo de un conjunto
previamente definido, para lo cual, como recién lo acabamos de indicar, debió apoyarse en una definición
no predicativa.
69 Zermelo, 1908, p. 191. Esto no supone un desinterés por parte de Zermelo frente al problema de la
circularidad. Simplemente, considera que prevenir los problemas derivados del mal uso de ésta no es lo
mismo que prohibir las definiciones impredicativas. En su opinión esta tarea recae en los axiomas de la
teoría de conjuntos, los cuales han de regular la manera en que se pueden obtener nuevos conjuntos. De
hecho él fue el primero en avanzar en esta dirección justo en el ensayo de 1908. Es más, los distintos
sistemas axiomáticos para la teoría de conjuntos que conocemos se pueden clasificar acorde a la manera
en que bloquean las paradojas (al respecto véase Rosser, 1953, pp. 197-207).
170
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
Sus palabras exactas son: “Yo consideraría esto [el que en los Principia no se recurra al
PCV] más bien como una prueba de que este principio es falso, antes que una prueba
de que la matemática clásica es falsa.” (Gödel, 1944, p. 455).
Gödel insiste en que las definiciones impredicativas son legítimas siempre que, como él,
se adopte un punto de vista realista con relación a las entidades matemáticas. En otras
palabras: el rechazo del principio del círculo vicioso está asociado a la repulsa por parte
de Gödel de la tesis de que los objetos matemáticos son una invención humana. Sostiene
que la forma fuerte de dicho principio sólo aplica cuando las entidades involucradas
son construcciones nuestras, pues la construcción de algo no puede basarse en una
totalidad a la que este algo ya pertenece. “No obstante, nos dice, si se trata de objetos
que existen con independencia de nuestras construcciones, no hay nada absurdo en la
existencia de totalidades que contienen miembros que sólo pueden ser descritos (i. e.,
caracterizados en forma única) haciendo referencia a dicha totalidad.” (Gödel, 1944, p.
219 de Benacerraf, 1964.) Desde este punto de vista las cortaduras de Dedekind (al
igual que cualquier otro concepto matemático definido impredicativamente) no son
definiciones o construcciones, sino descripciones, es decir, imágenes de entidadades
que “ya están allí”. Kleene lo explica de la siguiente manera: “Uno puede tratar de
defender esta definición impredicativa [la de una cortadura] interpretándola, no como
definiendo o creando el número real u por primera vez [...], sino sólo como una
descripción que separa al particular número u de la totalidad ya existente de números
reales.” (Kleene, 1952, p. 43).
El método axiomático es compatible con esta forma de ver las definiciones impredicativas, es decir, permite pensarlas como caracterizaciones o descripciones. Al respecto, la
suposición axiomática de la existencia de la totalidad de los números reales ha probado,
hasta ahora, ser consistente. Esta es una de las razones por las que los matemáticos la
siguen utilizando junto con los métodos impredicativos, los cuales se presentan como
algo claro, preciso y de trato fácil, reforzando la idea de que culparlos de la aparición
de las antinomias es un error.
3.6.4.
Weyl y Feferman
Entre los defensores del principio del círculo vicioso no sólo tenemos a Poincaré y
Russell, sino también a figuras como Brouwer y Hermann Weyl. Lo hecho por este
último tiene importancia para nosotros en virtud de que su intervención en el debate
influyó en la decisión de Hilbert de buscar una solución definitiva al problema de los
fundamentos de la matemática. Hubo en ello un factor personal. Desde siempre Hilbert
tuvo un afecto y un respeto muy especial hacia Weyl.70 Así, la postura constructivista
adoptada por este último en su libro Das Kontinuum, publicado en 1918, no sólo lo
tomó por sorpresa, pareciéndole inverosímil que tales ideas hubieran hecho mella en
él, sino que también lo afectó en el plano emotivo.
70 Weyl obtuvo en 1908 el grado de doctor bajo la supervisión de Hilbert con un trabajo sobre ecuaciones
integrales. A partir de ese momento la mutua admiración no tuvo límites, al punto que en 1930 Weyl fue
designado sucesor de Hilbert en Götingen por sugerencia de este último.
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
171
En Das Continuum Weyl intenta desarrollar el análisis matemático con apego al
principio del círculo vicioso, asumiendo en ello una posición similar a la de Russell y
Poincaré.71 Y eso no fue todo: poco tiempo después, en 1921, publicó un polémico
artículo en el que criticaba al formalismo, adoptando una actitud muy cercana a la de
Brouwer.72 Esto era más de lo que Hilbert podía tolerar: Weyl se había desplazado al
bando rival ¿Qué había sucedido? ¿Por qué se dejaba llevar por esas extrañas ideas que
enrarecían la atmósfera? Hasta entonces, Hilbert había hecho caso omiso de las críticas
de Brouwer (quien solía referirse a la aceptación indiscriminada del principio lógico
del tercero excluido como “el dogma de Hilbert”), pero ahora las cosas habían ido
demasiado lejos, haciéndole sentir la necesidad de finiquitar definitivamente la cuestión
de los fundamentos de la matemática. Fue entonces que emprendió la elaboración
de un detallado programa cuyo objetivo era probar la consistencia de la matemática
clásica, un esfuerzo que le llevaría cerca de diez años y que habremos de abordar más
adelante.
Veamos algunos de los logros de Weyl. En Das Continuum este autor desarrolla el
análisis predicativo (i. e., el análisis matemático sin el recurso a definiciones impredicativas) basándose en los niveles más bajos de la teoría ramificada de tipos de Russell
(que habremos de bosquejar en la siguiente sección). En su intento logra desarrollar
gran parte del cálculo diferencial e integral clásico sin usar el axioma de elección,
el axioma del supremo, pruebas por contradicción o conjuntos infinitos. Su idea era
sujetarse a los lineamientos del constructivismo radical, al parecer bajo la influencia
del filósofo idealista alemán Fitchte, un continuador de la filosofía crítica de Kant. Las
palabras iniciales de Das Kontinuum dan una clara idea de sus intenciones:
No es el propósito de este trabajo cubrir la “firme roca” sobre la que se funda
el edificio del análisis, con su falsa estructura formalista de madera –una
estructura que puede engañar al lector y, en última instancia, al autor, al
hacerlo creer que se trata de un verdadero fundamento. Más bien, mostraré
que este edificio está construido en gran medida sobre arena. Creo poder
cambiar este vacilante fundamento con pilares de fortaleza duradera. No
obstante, estos pilares no sostendrán todo lo que hoy en día se considera
firmemente fundado. He de renunciar al resto, pues no veo ninguna otra
posibilidad.
En un pasaje en el que se deslinda de Dedekind, Frege, Russell y Cantor, Weyl señala
que la idea de iteración (es decir, la idea de la sucesión de los números naturales),
tal como la expone Poincaré, es el fundamento último del pensamiento matemático.
Es a partir de ella que se ha de levantar el edificio del análisis mediante procedimientos de definición que delimiten, de manera precisa, la esfera de propiedades y
71 Weyl,
72 Weyl,
1918.
1921.
172
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
relaciones a las que corresponden los conjuntos y las funciones. Para ello no requiere
de la definición de número natural de Russell (como clases de equivalencia bajo la
relación de equinumerosidad), ni del dudoso axioma de reductibilidad que Russell y
Whitehead introdujeran en Principia Mathematica (v. sección 3.7). A causa de tales
procedimientos, dice, “Russell y yo estamos separados por un verdadero abismo.”
Al igual que Poincaré, Weyl acepta como elementos básicos los principios de prueba
asociados al sistema de los números naturales como, por ejemplo, las pruebas por
inducción y las definiciones por recursión. De esta manera, la tarea básica de Weyl
consiste en ver qué tanto se puede reconstruir del análisis matemático sobre una base
estrictamente predicativista, dados los números naturales. En vista de que el sistema
de los números racionales se puede reducir al sistema de los números naturales, y
que el continuo de los números reales se puede identificar con sucesiones de números
racionales (a la manera de Dedekind), los principios apropiados a considerar son
aquellos que rigen a las sucesiones de números naturales.
Para tal fin Weyl desarrolla una teoría axiomática de segundo orden (que aquí denotaremos con HW) en la que las variables de tipo 1 varían sobre los números naturales,
mientras que las de tipo 2 lo hacen sobre conjuntos, relaciones y funciones entre
números naturales definidas predicativamente.73 A diferencia de Russell, Weyl detiene
la ramificación de los tipos en este punto, pues desea evitar los problemas derivados
del uso del axioma de reductibilidad (el cual no tiene una justificación predicativa). Un
hecho notable es que los axiomas de Weyl no satisfacen los requisitos modernos de
formalización debido a las ambigüedades que presentan.74
Tomando como elementos básicos la constante 0 y la función sucesor, Weyl muestra
cómo introducir nuevas funciones de tipo 2 mediante definiciones recursivas explícitas.
Estos elementos le permiten construir fórmulas aritméticas, las cuales se elaboran
mediante ecuaciones y declaraciones de pertenencia (x ∈ X) sin cuantificar variables
del tipo 2 (i. e., variables de segundo orden que corren sobre conjuntos, relaciones
y funciones). Es aquí donde aparece el axioma de comprensión para conjuntos de
números:
∃X∀y(y ∈ X ↔ φ (x))
donde X es una variable de tipo 2 y φ (x) es una fórmula aritmética que no contiene
libre a X. Todo conjunto definido de esta manera se denota con {x|φ (x)} y corresponde
a lo que para Frege es la extensión del predicado φ (x). Lo mismo se puede hacer con
las relaciones y las funciones. Aquí también vale el axioma de extensionalidad.
73 En el punto de partida de la teoría de la cuantificación se halla la llamada lógica de primer orden,
en la que la cuantificación sólo se aplica a variables individuales. Esta teoría puede extenderse a una
lógica de segundo orden en la que se añaden variables para las propiedades, relaciones y funciones entre
individuos y se cuantifica sobre ellas. Los sistemas de uno y otro tipo tienen propiedades muy distintas
entre sí. V. (Enderton, 1972), caps. 2 y 4.
74 En 1988 Solomon Feferman sugirió algunos cambios que permitirían una doble reconstrucción del
sistema, según se quisiera conservar el espíritu original del proyecto, o admitir la inclusión de principios
relativos a variables del tipo 2 que lo fortalecerían. V. Feferman, 1988.
3.6. P OINCARÉ , W EYL Y EL PREDICATIVISMO
173
Si bien Weyl se adhiere a la lógica de Frege en su sistema, en ningún momento asume
la existencia del conjunto N de los números naturales como una totalidad infinita y
acabada, tal como lo hace Cantor. Los números racionales los introduce como cuartetas
de números naturales (x, y, z, w), donde y = 0 y w = 0 y una adecuada definición de las
operaciones básicas entre ellos. Esto no representa ningún problema. Como siempre,
dos números racionales se consideran iguales cuando satisfacen la consabida relación
de equivalencia. Las verdaderas dificultades se presentan al considerar los números
reales, parte esencial del continuo numérico.
En el sistema de Weyl los números reales se introducen como las partes izquierdas de
las cortaduras de Dedekind. Obviamente, la definición de las cortaduras depende de
los predicados posibles en HW. Dado que N es biyectable con Q, los números reales
corresponden a ciertos subconjuntos de N. Por lo tanto, un conjunto X de números
reales está dado por una propiedad φ (Y ) aplicable a subconjuntos Y de N. En el caso
de Dedekind, el supremo de un conjunto X (cuando éste está acotado superiormente)
es simplemente la unión de las cortaduras izquierdas que son miembros de X. En HW
dicha unión corresponde a la unión de los conjuntos Y que satisfacen φ , i. e., debería
ser un conjunto Z que satisficiera la condición
∀x(x ∈ Z ↔ ∃Y (φ (Y ) & x ∈ Y ))
No obstante, en este sistema la existencia de tal conjunto Z no está garantizada por el
axioma de comprensión, con el agravante de que la expresión utilizada para definir a Z
no es admisible, pues es impredicativa: en ella se apela a todos los subconjuntos de
N, uno de los cuales sería Z. Esto parecería un obstáculo insuperable para el sistema
de Weyl, pues el axioma del supremo constituye una de las piezas fundamentales del
análisis clásico. A pesar de ello, Weyl logra derivar el principio del supremo para
sucesiones de números reales, lo cual muestra ser suficiente para la mayoría de las
aplicaciones.
En efecto, en HW una sucesión de números reales corresponde a una sucesión
X0 , X1 , . . . , Xn , . . . de subconjuntos de N, la cual está dada por una única relación
binaria S tal que
X ∈ Xn ↔ S(x, n)
En tal caso la unión de la sucesión queda definida por la fórmula
∀x(x ∈ X ↔ ∃nS(x, n))
de modo que el conjunto X tiene existencia en virtud del axioma de comprensión.
Con base en el principio del supremo restringido de esta manera, Weyl logra demostrar
que la teoría de funciones continuas (las cuales están determinadas por completo por
sus valores en Q) se puede desarrollar en su sistema.
Algo que Weyl no logró desarrollar fue la teoría de la integración de Lebesgue, una
extensión de la de Riemann.75
75 A
principios del siglo veinte, Lebesgue extendió el concepto de integral de Riemann a una clase
174
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
En épocas más recientes Feferman logró algunos avances en el desarrollo del análisis
con las restricciones impuestas. En un texto publicado en 1964 muestra que muchos
resultados obtenidos mediante métodos impredicativos se pueden alcanzar con métodos
predicativos (v. Feferman, 1964). No obstante, en el mismo lugar prueba que la proposición aritmética que expresa la consistencia del análisis predicativo es demostrable
con métodos impredicativos. A causa de ello sabemos, en virtud del segundo teorema
de Gödel (que más adelante veremos), que no todo el análisis impredicativo se puede
reducir al predicativo. Por tanto, la restricción a métodos predicativos sí elimina una
porción de las matemáticas clásicas.76
Las diferencias entre Weyl y los formalistas se agudizaron a partir de 1921 tras la
publicación de un artículo en el que este autor radicalizó aún más su postura, defendiendo el enfoque intuicionista de Brouwer.77 Bajo el brillante estilo literario que le es
propio, Weyl ofrece razones sumamente convincentes para adherirse a esta corriente,
llegando incluso a afirmar que ello significaba una revolución.78 Esta publicación
tuvo una enorme influencia en la propagación de las ideas de Brouwer, mayor incluso
que la lograda por este último con sus trabajos. Según cuenta Constance Reid en su
libro Hilbert, a los amigos de Weyl les parecía que “[Weyl] podía experimentar un
placer tóxico al dejarse llevar, o simplemente sacudir, por las corrientes opuestas que
perturbaron el período.”79 Esta fascinación de Weyl por las ideas de Brouwer disgustó a
Hilbert, trayendo a su memoria el recuerdo de Kronecker: ¿Cómo su alumno predilecto
podía estar dispuesto a echar por la borda gran parte de los logros de la matemática
moderna por sus ideas filosóficas? ¿Sería acaso correcto eso que dijera Weyl, en el
mucho más extensa de funciones, las cuales pueden tener un comportamiento muy complejo o dominios
que en nada nos recuerdan a las funciones continuas del cálculo tradicional. Para el caso consúltese Rudin,
1987.
76 Los teoremas de Gödel y sus implicaciones los habremos de examinar en el capítulo 5. Quien no esté
familiarizado con estos temas puede pasar por alto este comentario o simplemente entender que se trata
de una manera de señalar un límite al alcance del análisis predicativo. La inclusión del comentario tiene
como propósito señalar qué se ha logrado en este dominio.
77 Weyl, 1921. Ya en 1918, en una famosa reunión de matemáticos en Zurich, Weyl y Polya habían
hecho una apuesta sobre la dirección en que habría de desarrollarse la matemática en los siguientes
años. Los términos de la apuesta los narra Constance Reid en (Reid, 1970). El debate era en torno a la
futura situación de las siguientes proposiciones: (1) Cada conjunto acotado superiormente de números
reales tiene una cota superior exacta; (2) Cada conjunto infinito de números reales tiene un subconjunto
numerable. Weyl sostenía que en veinte años los matemáticos ya habrían reconocido la imprecisión de
tales afirmaciones, atribuyéndoles un sentido tan vago como el que se le otorga a las afirmaciones de
Hegel sobre la filosofía de la naturaleza (es decir, no pudiéndoseles atribuir ningún valor de verdad).
Obviamente, la proposición (1) va en contra del axioma del supremo, mientras que la (2) constituye
un rechazo al axioma de elección. Se dice que una vez vencido el plazo, una consulta entre algunos
destacados matemáticos del momento dio como ganador a Polya.
78 Las palabras exactas de Weyl son estas: “Traté de hallar piso firme en la inminente disolución del
análisis [. . . ] sin renunciar al orden en que se le ha fundamentado, desarrollando su principio básico con
pureza y honestidad. Creo haber tenido éxito –en la medida en que esto es posible. Pues dicho orden es
en sí insostenible, como Brouwer y yo nos hemos convencido– ¡ésta es la revolución!”. (Weyl, 1921, pp.
98-99)
79 Reid, 1970, p. 149.
3.7. E L LOGICISMO DE RUSSELL Y W HITEHEAD
175
sentido de que había que renunciar a todo lo que no pudiera reclamar un verdadero
valor de verdad con base en la evidencia? Para Hilbert, secundar a Brouwer era tanto
como revivir las querellas de Kronecker, y escuchar esto en boca de Weyl era traer la
polémica al interior de la familia, lo cual rebasaba los límites de su tolerancia.80
En cuanto al programa predicativo, Weyl nunca lo prosiguió, si bien siguió mencionándolo en sus trabajos hasta el final de su vida.81 Lo que sí fue un hecho es que a partir
de 1925 Weyl comenzó a distanciarse del intuicionismo de Brouwer, aparentemente
llevado por la idea de que limitaba en demasía a la matemática.82 Fue entonces que
reconcilió parcialmente su postura con la de Hilbert y acercó su pensamiento al de
Edmund Husserl y de Ernst Cassirer.
3.7.
El logicismo de Russell y Whitehead
Uno de los principales exponentes del logicismo en el siglo veinte fue Bertrand Russell
quien, al igual que Frege, pretendía reducir todo el contenido de la matemática al
de la lógica, para así concluir que la primera no era sino una de sus ramas.83 Esta
idea encuentra su expresión más acabada en tres de sus obras: The Principles of
Mathematics, de 1903; Principia Mathematica, de 1910 (en colaboración con Alfred
North Whitehead) e Introduction to Mathematical Philosophy, de 1919.84 En ellas, un
tema central es la reconstrucción de la aritmética como parte de la lógica. Dice Russell:
El presente trabajo tiene dos propósitos esenciales. Uno de ellos, la prueba
de que toda la matemática puede trabajar exclusivamente con conceptos
definibles en función de un número muy pequeño de conceptos lógicos
fundamentales y de que todas las proposiciones se pueden deducir de un
número muy pequeño de principios lógicos fundamentales [...]. Si no me
equivoco, la demostración de esta tesis tiene toda la certeza y precisión de
que son posibles las demostraciones matemáticas.85
En los Principia la lógica está dividida en dos grandes apartados: la lógica proposicional
80 La reacción de Hilbert no fue lo más grave que pudo pasar entre él y Brouwer. Más bien, ésta
constituyó un signo de algo que más tarde daría lugar a un vergonzoso pasaje en la historia de las
matemáticas. Dicho pasaje, al cual no referimos someramente en el apéndice I, nos debe servir como
recordatorio de que quienes cultivan la matemática no son fríos y apacibles pensadores, dispuestos a
actuar con sensatez, prudencia y ecuanimidad en pos de la sabiduría, sino seres humanos que, como
cualquier otro, pueden ser arrastrados por sus pasiones a límites insospechados.
81 Véase, por ejemplo, Weyl, 1949, Cap. 2 §8.
82 Al respecto véase Mancosu, 1998, pp. 76-81.
83 En cierto sentido, esta reducción ya estaba sugerida por la construcción genética de los números
reales con base en los números naturales y la noción de conjunto. Lo único que hacía falta era identificar
la noción de conjunto con la noción lógica de clase (o, como veremos, absorber esta última en la lógica
de predicados) y definir la noción de número natural como una noción lógica.
84 V. Russell, 1903, Russell y Whitehead, 1910 y Russell, 1919.
85 Russell, 1903. Cita tomada de la traducción al español, p. 19.
176
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
(estudio de las operaciones lógicas de negación, conjunción, disyunción, e implicación
material) y la lógica de predicados (lógica de las funciones proposicionales, o estudio
de los enunciados incompletos que contienen variables); en esta última se consideran
enunciados universales y enunciados existenciales mediante los operadores “para todo
x” (universal) y “existe un x tal que” (existencial).86 Como de la lógica de predicados
se deriva la teoría de los símbolos incompletos (descripciones y clases), el cálculo de
clases deja de ser una disciplina fundamental de la lógica:
La siguiente teoría de clases, aunque proporciona una notación para representarlas, evita el supuesto de que existen cosas tales como clases. Esto se
logra definiendo proposiciones en cuya expresión figuran símbolos que las
representan [...]
Una clase se caracteriza por consistir de todos los términos que satisfacen
una función proposicional, de tal modo que toda función proposicional determina una clase y dos funciones formalmente equivalentes (i. e., tales que la
verdad de una implica la verdad de la otra) determinan una misma clase. Recíprocamente, si dos funciones determinan la misma clase, son formalmente
equivalentes. Cuando dos funciones son formalmente equivalentes decimos
que tienen la misma extensión.87
Es así que en los Principia la teoría de clases se deriva completamente de la teoría de las
funciones proposicionales, de la cual constituye sólo una parte. La clase determinada
por una función proposicional F(x̂) se denota con x̂F(x) y la relación de pertenencia a
una clase, denotada con el símbolo “∈”, tiene una definición que conduce directamente
a la equivalencia
x ∈ ẑF(z) ↔ F(x̂)
La unión e intersección de dos clases se definen en términos de la disyunción y
conjunción de las funciones proposicionales que las generan. Una vez “inmersa” la
86 El
cálculo de predicados también es conocido como “cálculo funcional”, pues en él se estudian
expresiones en las que figuran variables no ligadas por ningún operador, llamándose a tales expresiones
funciones proposicionales. El rasgo distintivo de las funciones proposicionales que éstas se caracterizan
porque dan lugar a proposiciones cuando sus variables se substituyen por términos con significado
constante (es decir, porque se convierte en una entidad lógica de la que podemos afirmar que es verdadera
o falsa). Por ejemplo, la expresión “x > y” es una función proposicional que da lugar a una proposición
cuando las variables “x” e “y” se substituyen, digamos, por los términos “5” y “3”. Junto a la distinción
entre proposición y función proposicional, podemos establecer la distinción entre descripciones completas
y descripciones incompletas. Una descripción incompleta es una expresión que contiene variables y que da
lugar a una descripción (completa) cuando éstas se sustituyen por términos de significado constante. Por
ejemplo, la expresión “El presidente de x” es una descripción incompleta, que da lugar a una descripción
completa cuando, digamos, “x” se substituye por la palabra “México”. La utilidad de las descripciones
como artificios del lenguaje es que permiten hacer referencia a objetos para los cuales no se tiene un
nombre, pero sí el vocabulario suficiente para describirlos o caracterizarlos. Un caso concreto es el
siguiente: “el mínimo entero x, tal que x es primo y mayor que 10100 ”. Como veremos, Gödel se apoya
en este recurso al construir un enunciado autorreferente.
87 Russell y Whitehead, 1910, *20.
3.7. E L LOGICISMO DE RUSSELL Y W HITEHEAD
177
teoría de clases en la lógica formal, Russell y Whitehead definen, inspirados en Frege,
los conceptos fundamentales de la aritmética mediante recursos puramente lógicos
siguiendo un camino que aquí no explicaremos. El caso es que, por ejemplo, un
número como el “uno” se define como “la clase de todas las clases unitarias”.88 En su
simbología:
1 = x̂{(∃x).α = i x}Df89
Para resolver el problema de las antinomias, Russell y Whitehead recurrieron al ya
mencionado principio del círculo vicioso: un objeto cuya definición implica la totalidad
de los elementos de un conjunto, no puede pertenecer a este conjunto. Como ya lo
hemos visto, el problema con esta regla es que no sólo evita la formación de conjuntos
como el de Russell, sino que también estropea el uso de definiciones impredicativas.
Esto planteaba un dilema: por una parte, Russell y Whitehead estaban convencidos de
que la única manera de cerrar el paso a las antinomias era impidiendo esta clase de
círculos viciosos;90 por la otra, en la matemática se recurre a este tipo de definiciones
impredicativas para introducir algunas nociones que no se pueden caracterizar de otro
modo. Para salir del problema, decidieron establecer una jerarquía que obligaba a
una clase y sus elementos (es decir, a un predicado y sus argumentos) a mantenerse a
un grado de separación, con lo que quedaba prohibida la existencia de clases que se
contuvieran a sí mismas como elementos o la formación de enunciados autoreferentes
(pues no se permitía que una propiedad se predicara de sí misma). Tal jerarquización
dio lugar a la llamada teoría ramificada de tipos, y no fue todo lo satisfactoria que sus
autores pensaron.
La teoría de tipos establece una distribución en niveles de los elementos con que se
trabaja. Los elementos primarios (objetos individuales) constituyen las entidades de
tipo 0 (primer nivel). Las clases de elementos de tipo 0 constituyen los elementos
de tipo 1, las clases de elementos de tipo 1 (es decir, clases de clases de elementos
de tipo 0) constituyen los elementos de tipo 2 y así sucesivamente. Por ejemplo,
si consideramos a los seres humanos como entidades de tipo 0, la bondad o el ser
bondadoso (esto es, el predicado expresado por “x es bondadoso”) corresponde al tipo
1, mientras que las propiedades de ser una virtud o ser un defecto corresponden al tipo
2, ya que sólo tiene sentido afirmarlas de propiedades como la bondad. En esta teoría
todo atributo debe ser de un tipo superior al de las entidades sobre las cuales puede
88 Op.
cit., *52.
a un lado la notación y la teoría de tipos, podemos aproximar esta definición en una
escritura moderna como sigue: 1 = {X|(X = ∅) ∧ ∀y∀z((y ∈ X ∧ z ∈ X) → y = z)}. Algo que llama
nuestra atención es que para definir el primero de los números naturales, es decir, para dar inicio a la
reconstrucción de la aritmética propiamente dicha, los autores demoran unas 350 páginas, lo que no
deja de ser un argumento en contra del proyecto de Russell y Whitehead, el cual despierta la duda en
el matemático activo sobre si será necesaria toda esta maquinaria para finalmente arribar a una noción
tan simple. Sin duda, ésta es una de las razones por las que Principia Mathematica no alcanzó una gran
difusión, ni despertó el interés de muchos matemáticos.
90 Russell en particular estaba convencido de que las antinomias en la teoría de conjuntos tenían su
origen en la lógica, no en la matemática, y que estas desaparecerían al descartar el círculo vicioso.
89 Haciendo
178
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
aseverarse con sentido. Así, de acuerdo a esta teoría, enunciados como “heterológico
es heterológico” ó “B ∈ B” carecen de sentido.
No obstante, a fin de obtener ciertas definiciones impredicativas que son necesarias para
reconstruir el análisis (como las señaladas en la sección 3.6.3), Russell y Whitehead
se vieron obligados a recurrir a un discutible axioma de reductibilidad que permitía
introducir propiedades de primer orden (o primer tipo) con la misma extensión lógica
que propiedades de orden superior.91 Este axioma era difícilmente justificable en
los términos propuestos (“sólo principios lógicos”) y su introducción constituía una
imperfección. Los mismos autores así lo reconocen en la introducción a la segunda
edición de los Principia: “La justificación de este principio es puramente pragmática:
lleva a los resultados deseados y a ningún otro. Pero es claro que no es la clase de
axioma del cual podamos estar satisfechos.”92
Otro aspecto polémico de los Principia es que la deducción de la matemática a partir de
la lógica tiene como base una axiomática intuitiva, de la que se espera que sus axiomas
sean creídos o al menos aceptados como hipótesis plausibles acerca del mundo. Esta
manera de tratar a la lógica iba en la dirección contraria a la de Hilbert, quien veía en
ello un regreso a usanzas ya superadas.93 Una dificultad que asoma de inmediato es
la siguiente: ¿sobre qué base se debería creer en el axioma de reductibilidad? Si las
propiedades se construyen (como lo establece la teoría de tipos), entonces la cuestión
de la existencia de una propiedad de primer orden equivalente a una propiedad dada se
debería decidir en términos de construcciones, no mediante un axioma.
Es más, no sólo el axioma de reductibilidad fue objeto de críticas. Al referirse al axioma
del infinito (afirmación de la existencia de una infinidad de individuos), Cavaillès
observa que este axioma también rebasa el ámbito de la lógica, pues se trata de una
proposición sintética que el mismo Russell reconoce como una hipótesis, no como
el enunciado de una propiedad objetiva.94 En un pasaje de su libro Introduction to
Mathematical Philosophy, Russell afirma que “No se puede decir que es algo seguro
que hay de hecho algunas colecciones infinitas en el mundo. La hipótesis de que las
hay es lo que llamamos ‘axioma del infinito’”95 , y más adelante agrega: “Podemos
considerar el axioma del infinito como un ejemplo de proposición que, aunque se
puede enunciar en términos lógicos, la lógica no la puede afirmar como verdadera.
91 Por ejemplo, los números reales, en tanto que conjuntos de números racionales, serían de un tipo
superior al de los números racionales y éstos a su vez lo serían con relación a los números enteros y
naturales. No obstante, en el análisis matemático estos objetos se consideran como de un mismo nivel, de
ahí la necesidad del axioma, que garantizaría la existencia de una propiedad equivalente a aquella que
define a los números reales, pero de primer orden, con lo que todos estos números se hallarían entre los
objetos básicos.
92 Op. cit., Introducción, p. XIV.
93 Al respecto, véase la sección 3.4 con relación al punto de vista de Hilbert en ese momento.
94 Cf. Cavaillès, 1938, página 62 de la traducción al español. El axioma del infinito afirma la existencia
de un conjunto inductivo, es decir, de un conjunto no vacío X con la siguiente propiedad: si x ∈ X,
entonces {x} ∈ X. Por su misma naturaleza, todo conjunto inductivo es infinito.
95 Russell, 1919, p. 131.
3.7. E L LOGICISMO DE RUSSELL Y W HITEHEAD
179
Todas las proposiciones de la lógica tienen la característica que solíamos expresar
diciendo que eran analíticas o que sus contradictorias eran autocontradictorias.”96
Junto a este pragmatismo que les permite alcanzar la teoría de los números reales
o introducir colecciones infinitas, Russell y Whitehead hacen gala de un realismo
semejante al de Frege, en el que, como dice Cavaillès, “las construcciones lógicosimbólicas (como aquellas en las que intervienen conjuntos y números) no son sino
los medios para describir las relaciones entre objetos (relaciones) que existen por sí
mismos, independientemente de aquéllos.”97
Al respecto Hermann Weyl hace el comentario de que en el sistema de Principia
Mathematica, la matemática no se funda sobre la lógica, sino en una especie de paraíso
para el lógico y señala que quien esté dispuesto a creer en este mundo trascendente
podría igualmente aceptar el sistema axiomático de la teoría de conjuntos (por ejemplo,
ZFC) que, para la deducción de la matemática, tiene la ventaja de ser más simple en su
estructura.98
Si bien Principia Mathematica fue una fuente inagotable de conceptos y recursos
simbólicos, es innegable que su publicación marcó el inicio del declive del proyecto
de fundamentación russelliano. Es un hecho que en la tercera década del siglo veinte
el mando en las investigaciones en torno a los fundamentos de la matemática pasó a
manos de Hilbert, de cuya actividad en esta área se habían de derivar directamente
los desarrollos subsiguientes. Una de las razones del debilitamiento del logicismo
fue que la solución que ofrecía al problema de los fundamentos no era plenamente
satisfactoria. Por ejemplo, en su contra se argumentaba que si bien las paradojas
conocidas de la teoría de conjuntos quedaban eliminadas mediante la teoría de tipos, no
había garantía alguna de que no surgirían nuevas antinomias en el futuro. Obviamente
la sola eliminación de las paradojas ya conocidas no constituía un resguardo seguro
para la matemática. Como ya lo hemos dicho, para Hilbert tal resguardo sería una
prueba de consistencia absoluta, para lo cual no era necesario suponer la existencia de
tales “paraísos lógicos”; en esto, los seguidores del formalismo eran refractarios a esta
clase de suposiciones, razón por la cual su postura tuvo una mayor aceptación entre los
matemáticos.
Para concluir diremos que en la obra de Russell y Whitehead debemos distinguir dos
aspectos: uno es la forma específica en que pretenden fundamentar la matemática;
el otro es la idea (reduccionista) de que la matemática es parte de la lógica. Si bien
el sistema de Russell y Whitehead no estuvo a la altura de las expectativas y en la
práctica fue ignorado por los matemáticos, de la tesis logicista no podemos decir lo
mismo: años más tarde un grupo de filósofos y científicos reunidos en torno a la figura
de Moritz Schlik, profesor de la Universidad de Viena, le dio vida nuevamente, esta
vez desde una postura antimetafísica y empirista. Al grupo se le conoció como Círculo
de Viena y en él participaron, entre otros, Rudolf Carnap, Philipp Frank, Hans Hahn
96 Russell,
op. cit. pp. 202-203.
1938, p. 62.
98 Cf. Weyl, 1949, pp. 267-268 de la traducción al español.
97 Cavaillès,
180
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
(asesor de Gödel en su trabajo doctoral), Otto Neurath, Friedrich Waismann y, desde
Berlín, Hans Reichenbach.99
3.8.
El intuicionismo de Brouwer
El intuicionismo matemático fue la respuesta de Brouwer al logicismo, a la matemática
no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos
matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al
lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos se
derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Russell y los logicistas100
y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable
en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos.
En el umbral de la matemática intuicionista se encuentran los números naturales, entendidos éstos como un producto de la mente humana. Estos números no se deducen
lógicamente (logicismo) ni se postulan (formalismo), sino que se construyen de inmediato en la mente del matemático y la verdad de los enunciados acerca de ellos se
basa en la evidencia intuitiva.101 Sirven como base para construir el resto del edificio.
Afirmar la existencia de un objeto con cierta propiedad es lo mismo que afirmar la
posibilidad de construir un objeto con dicha propiedad. Dado que todos los objetos
matemáticos son construcciones mentales, la existencia de un objeto es equivalente
a la posibilidad de su construcción.102 En cuanto a la noción de construcción mental, ésta no puede explicarse a través de conceptos más simples; es, en este sentido,
primigenia.103 Dice Dummett:
El nombre de “intuicionismo” se debe a la aceptación por parte de Brouwer
de la tesis kantiana de que nuestro concepto de la sucesión de los números
99 Consúltese,
por ejemplo, Reichenbach, 1951 para una clara exposición de esta postura.
síntesis: no es la lógica sino la intuición lo que determina la corrección matemática.
101 Esta evidencia intuitiva no hace referencia a hechos externos de ninguna especie. En este sentido
el intuicionismo considera que la matemática es una libre creación del espíritu humano, y que su única
limitante es la posibilidad de la construcción. De hecho, esta corriente tiene fuertes vínculos con el
constructivismo matemático, aunque este último no asume necesariamente sus supuestos filosóficos.
102 Como es evidente, esta dirección se nutre del pensamiento de Kronecker y del empirismo francés ya
referidos en estas páginas, y que se manifiesta, por ejemplo, en la polémica de Poincaré con Russell y
Hilbert. Cf. [Poincaré, 1908]. En cuanto a Kronecker, basta recordar la frase que se le atribuye –Dios
hizo los números enteros; el resto es obra del hombre– para situarlo como un precursor del intuicionismo
(si bien no sabemos a ciencia cierta si él fue realmente el autor de esta frase, la cual al parecer fue un
comentario de sobremesa). Lo que sí es un hecho es que Kronecker sostenía la idea de que la aritmética
y el análisis se deben fundar en los números enteros, con la exclusión de los números irracionales e
imaginarios, lo cual concuerda con las opiniones de Brouwer.
103 En todo caso, Brouwer considera que la descripción y estudio de esta actividad constructiva del
espíritu, que él identifica con la parte exacta del pensamiento humano, no es parte de la matemática, sino
que se desarrolla en un plano extramatemático o, si se quiere, filosófico, y la obscuridad o vaguedad de
los conceptos que se utilizan para describirla no invalida la claridad de su matemática.
100 En
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
181
naturales se deriva de la intuición temporal, de nuestra aprehensión del paso
del tiempo; es decir, no se deriva de detalles cualesquiera de nuestra experiencia, sino de la forma a priori de dicha experiencia en tanto que incluye el
suceder temporal. (Brouwer rechazó la tesis kantiana complementaria de que
la geometría se basa en nuestra intuición a priori del espacio; en esto, fue una
imagen especular de Frege, que aceptó la tesis kantiana acerca de la intuición
espacial, pero negó la relativa a la intuición temporal). Por muy importante
que parezca esta idea para Brouwer, no es en modo alguno esencial para
aceptar la concepción intuicionista de la aritmética. Lo que es fundamental es
considerar los números naturales como construcciones mentales, generados
de una manera específica mediante la aplicación reiterada de la operación
sucesor de 0.104
De lo anterior se desprende que el intuicionismo de Brouwer comprende dos cuestiones
en cierto sentido complementarias. Una es su base filosófica, que encuentra sus raíces
en la filosofía de Kant; la otra es la peculiar reconstrucción que hace de la matemática,
comenzando por la aritmética.105
Para adentrarnos directamente en la polémica con Hilbert, lo más conveniente es
enunciar de manera sucinta algunas ideas de Brouwer sobre la matemática clásica
y la manera en que considera se le debe rehacer. Si se tiene presente que para él la
matemática es ante todo una actividad constructiva del intelecto humano y que sus
métodos y procedimientos se han de supeditar a la posibilidad misma de la construcción,
las siguientes conclusiones extraídas de sus escritos se explican por sí mismas:
1. La aritmética no se puede justificar mediante un fundamento axiomático, pues la
intuición precede a dicha estructura. La inducción matemática es una intuición
fundamental, no sólo un axioma.
2. La matemática debe proveer métodos y criterios constructivos para determinar
en un número finito de pasos los objetos con los que trata. Toda prueba debe ser
constructiva.
En particular, dado que el infinito actual no tiene un fundamento constructivo,
tampoco tiene cabida en la matemática. Sólo se admite el infinito en potencia.
104 Dummett,
1977, p. 32.
concepción de Brouwer se halla dispersa en múltiples ensayos de diferente contenido, unos de
carácter técnico, otros de carácter filosófico, muchos de ellos polémicos. No fue sino hasta la aparición
de los trabajos de Arend Heyting (1898-1980), una de las figuras rectoras de esta escuela a partir de
los años treinta, que estos temas fueron expuestos de manera sistemática (véase sobre todo [Heyting,
1956], donde se expone de manera ordenada la reconstrucción intuicionista de la matemática). En la
actualidad se cuenta con algunos textos que abordan el tema de la filosofía y a la matemática intuicionista
de manera mucho más accesible; uno de ellos, quizá el más sencillo y recomendable, es el libro recién
citado, Elements of Intuitionism de Michael Dummett (v. Dummett, 1977).
105 La
182
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
3. Toda definición debe permitir la construcción del objeto definido con cualquier
grado de precisión; los objetos se deben definir mediante procedimientos finitos y
verificables.
En particular, las definiciones impredicativas no son válidas.
4. La existencia de los objetos matemáticos depende de la posibilidad de construcción de los objetos mismos; por tanto, “existen” sólo aquellos seres matemáticos
que son construidos.
En particular, el axioma de elección es inaceptable: los objetos por él introducidos
no satisfacen la exigencia de ser el resultado de una construcción.
Junto con la condena del infinito actual, otro punto central en la postura de Brouwer es
la exclusión de las pruebas de existencia por reducción al absurdo, pues en ellas no se
indica la manera de construir el objeto. Esto trajo como consecuencia la restricción del
principio del tercero excluido –sobre el que se basan estas pruebas– a conjuntos finitos.
De ahí la siguiente tesis:
5. El principio del tercero excluido no siempre es válido con relación a proposiciones
en las que se hace referencia a conjuntos infinitos.
Como se ve, Brouwer se arroga la tarea de hacer a un lado toda la matemática existente
para edificarla de nuevo, esta vez utilizando sólo conceptos y modos de inferencia
con una clara justificación intuitiva. Esta postura constituyó un exceso a los ojos de
muchos matemáticos. En el punto de partida ni siquiera la lógica está prejuzgada; más
bien, los principios lógicos se habrían de esclarecer una vez avanzado lo suficiente el
programa de reconstrucción y sólo entonces se podría comparar la lógica intuicionista
con la clásica (cosa que hicieron, en gran medida, Heyting y Gödel, entre otros). En lo
que sigue examinaremos con mayor detenimiento el problema del tercero excluido, de
vital importancia para Hilbert.
3.8.1.
El principio del tercero excluido
En 1908 Brouwer publicó un trabajo titulado De onbetrouwbaarheid der logische
principes (La inseguridad de los principios de la lógica)106 en el que pone en duda la
creencia de que los principios de la lógica clásica tienen una validez absoluta, sin tomar
en cuenta el dominio en el que se les aplica. Su crítica se centra primordialmente en el
uso que se le da al principio del tercero excluido con relación a totalidades infinitas.
Desde su punto de vista la extensión de algunos principios lógicos al dominio de los
conjuntos infinitos es ilegítima, y como prueba aduce la aparición de las antinomias:
si éstas se han producido es porque, ciegamente, se siguen aplicando las reglas de la
106 V.
Brouwer, 1908.
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
183
lógica clásica a los conjuntos infinitos, siendo que éstas nacieron de la matemática de
conjuntos finitos:
Además, la función de los principios lógicos no es la de dirigir los razonamientos matemáticos aplicados a las realidades empíricas, sino describir, en
el lenguaje de los razonamientos, las regularidades que han sido observadas.
Si uno se expresa en el lenguaje siguiendo dichas regularidades y pierde el
contacto con los sistemas matemáticos, corre el riesgo de caer en paradojas
como la de Epiménides.107
Para Brouwer, la matemática no está obligada a respetar ningún principio lógico con
anterioridad a su desarrollo –no hay principios lógicos a priori–, pues es la construcción,
no la experiencia, la que determina su corrección.108
Un par de ejemplos nos ayudarán a clarificar esta cuestión. El primero es el siguiente.
Todos conocemos el principio de que el todo es mayor que la parte, cuyo origen se
remonta a la matemática de los conjuntos finitos.109 Como sabemos, este principio deja
de ser válido en el dominio de las totalidades infinitas si por “conjuntos de igual magnitud” entendemos “conjuntos cuyos elementos se pueden poner en correspondencia uno
a uno”. Así, por ejemplo, el principio no se cumple en el caso de los números naturales
y los números cuadrados, como lo descubriera Galileo en 1638 (véase el apéndice F).
Si bien hoy en día el principio anterior no se considera parte de la lógica, éste nos
permite ilustrar a la perfección lo que queremos decir: que algunos principios considerados por un largo tiempo como universales, pueden muy bien no ser válidos en algún
dominio. Es en este sentido que se pone en duda la validez del principio del tercero
excluido, cuyo uso en la matemática debemos aclarar. En su forma general se le puede
enunciar como sigue:
Principio del tercero excluido. Para toda proposición P, o P es verdadera o su negación ¬P es verdadera, no habiendo una tercera posibilidad frente a estas dos; en
símbolos: P ∨ ¬P.110
El rechazo de este principio supone una lectura distinta de la negación. Para Brouwer,
una expresión como “¬P” se lee “es absurdo que P” o “es contradictorio que P”.
107 Brouwer,
1908. Cita tomada de Largeault, 1992, p. 19.
podemos examinar en plenitud las ideas de Brouwer acerca de la lógica y la matemática en
general, pues ello supone un trabajo de mayor o igual extensión que el presente. Por el contrario, nos
habremos de limitar a aquellos aspectos relacionados con el programa y la concepción que Hilbert tiene
de la matemática, aunque la imagen transmitida de su pensamiento sea esquemática y quizá distorsionada.
Al respecto, una dificultad que hay que enfrentar es el peculiar estilo de exposición de Brouwer, un tanto
oscuro en ocasiones, y el hecho de que la matemática que propone es “otra matemática”, con resultados
radicalmente distintos, e inmersa en un lenguaje y conceptos propios que en ocasiones no comparte con
la primera.
109 Como hemos visto, Euclides incluye este principio como una noción común en los Elementos.
110 El otro principio tradicional de la lógica clásica es el Principio de no contradicción: para toda
proposición P, es imposible que P y ¬P sean ambas verdaderas; en símbolos: ¬(P ∧ ¬P).
108 No
184
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
Desde este punto vista, los enunciados ¬¬P y P no son necesariamente equivalentes,
pues en el primer caso lo que se tiene es la afirmación de que es absurdo que sea
absurdo que P, lo cual no significa que P, ya que esta última afirmación debería estar
respaldada por una construcción. Por ejemplo, puede ser el caso que ¬¬P se haya
obtenido suponiendo ¬P y derivando de ahí una contradicción, en cuyo caso no se
cuenta con una construcción. Así, el principio del tercero excluido no se considera una
ley universal, al no cubrir P ∨ ¬P todas las posibilidades: el que ¬P sea contradictorio
no garantiza que se pueda respaldar P con una construcción.111
Brouwer también rechaza la demostración por reducción al absurdo cuando se trata de
probar la existencia de un objeto matemático con relación a una totalidad infinita. En
esto contrasta con la matemática clásica, que admite la existencia de cualquier entidad
cuya no existencia se refuta. Esto no es válido para Brouwer: refutar la no existencia
de un objeto no es lo mismo que probar la posibilidad de construirlo, como reclama el
intuicionismo.
Para aclarar lo anterior, consideremos lo siguiente. Sea C un conjunto y A(x) una
propiedad aplicable a los elementos de C. Si nos limitamos a C, la proposición ∃xA(x)
afirma que algún elemento de C tiene la propiedad A. En este caso el principio del
tercero excluido aplicado a ∃xA(x) da como resultado ∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x).
Supongamos que la propiedad A es decidible, es decir, que para cada elemento de C se
puede determinar de manera efectiva si la propiedad se cumple o no para él.
Cuando el conjunto C es finito, el principio establece un hecho inobjetable: examinando
uno tras otro los elementos de C o bien encontraremos un miembro de él que tiene la
propiedad A, en cuyo caso se cumplirá la alternativa ∃xA(x), o bien comprobaremos
que ningún miembro de C tiene dicha propiedad, en cuyo caso se cumplirá la alternativa
¬∃xA(x). Por tanto, a pesar de las dificultades que pudiera ofrecer, la tarea de verificar
si algún elemento de C tiene la propiedad A es en principio realizable. Es por ello
que Brouwer considera que la ley del tercero excluido es válida para toda propiedad
decidible con relación a conjuntos finitos.112
111 En realidad, Brouwer no afirma que el principio del tercero excluido siempre falla, sino que puede
fallar en presencia de un conjunto infinito. Por ejemplo, dado un par de números enteros h y k, siempre se
puede decidir si h = k o si h = k. Por tanto, con relación al acto de comparar entre sí números enteros
podemos decir que el principio es válido, y escribir:
Si h y k son números enteros, entonces h = k ∨ ¬(h = k)
Sin embargo, en el caso de los números reales cabe la posibilidad de definir de manera aceptable para el
intuicionismo dos números que no se pueden comparar, pues para ello habría que conocer un número
infinito de dígitos de su expansión decimal. Por tanto, con relación a la igualdad de los números reales
no podemos afirmar la validez del principio del tercero excluido (en el apéndice H se expone un tercer
argumento en contra de este principio).
De hecho, es en el terreno de la teoría de los números reales, y por consiguiente en el análisis, donde
Brouwer diverge de manera esencial de la teoría clásica, mientras que en la esfera de los números enteros
la aritmética que propone es una parte propia de la aritmética clásica. La prueba de este hecho se encuentra
en (Gödel, 1932).
112 V. Brouwer, 1923, en Heijenoort, 1967, p. 336. Al respecto, Brouwer concluye que también la ley
de la doble negación se cumple con relación a los conjuntos finitos: ¬¬A → A (idea que él expresa en
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
185
Pero ¿podríamos decir lo mismo en el caso de los conjuntos infinitos? Supongamos que
C es infinito. Si bien aun podemos decidir para cada elemento de C si la propiedad A se
cumple o no para él, en este caso estamos impedidos de revisar todos los elementos de C
en busca de uno que sí la tenga, pues esto implica un búsqueda infinita; en otra palabras:
puede suceder que por más que alarguemos la búsqueda, sigamos sin encontrar un
elemento de C con tal propiedad, sin que por ello estemos autorizados a decir que no lo
hay (quizá no hemos ido suficientemente lejos en la búsqueda), ni a decir que sí lo hay
(pues no conocemos ninguno que la tenga). En tal caso, dice Brouwer, no podemos
afirmar la alternativa que ofrece el principio del tercero excluido, pues tal afirmación
no está respaldada por una construcción o por una revisión exhaustiva.113
Claro está que un cantoriano diría que esto último es en cierto sentido irrelevante,
pues o sucede que hay un elemento de C con la propiedad A, en cuyo caso se cumple
la alternativa ∃xA(x), o sucede que no hay tal elemento, en cuyo caso se cumple
la alternativa ¬∃xA(x). No obstante, para Brouwer el sentido que los cantorianos le
dan a los términos “hay” y “no hay” es equívoco, pues en su uso dan a entender
que el conjunto C simplemente “está ahí”, en espera de que las propiedades de sus
elementos sean descubiertas y que en él se encuentran o no objetos con la propiedad A,
independientemente de que los conozcamos. Hablar así, diría, es platonismo puro, como
si el conocimiento matemático fuera acerca de entidades que tienen una existencia
autónoma, y no acerca de construcciones mentales.114
La reducción al absurdo. Veamos cómo se puede demostrar en la matemática clásica
un teorema existencial de la forma ∃xA(x) con base en el principio del tercero excluido.
El método es el de reducción al absurdo, que consiste en suponer como hipótesis la
negación de lo que se quiere demostrar –en este caso la hipótesis ¬∃xA(x)– y deducir
de ella una contradicción, es decir, una proposición de la forma Q ∧ ¬Q.
Supongamos que tal ha sido el caso, y que de ¬∃xA(x) se ha deducido Q ∧ ¬Q. Como
la conclusión alcanzada va en contra del principio de no contradicción (véase la nota al
pie número 111), la hipótesis ¬∃xA(x) se rechaza, y es entonces que entra en escena el
otro lenguaje, y con otros conceptos, bajo el nombre de principio de la reciprocidad de las especies
complementarias: “es decir, el principio de que para cada sistema, la corrección de una propiedad se sigue
de la imposibilidad de la imposibilidad de esa propiedad.” La cita corresponde al mismo lugar.
113 Un ejemplo concreto es el siguiente: en la terminación decimal de π ¿aparece el dígito 5 cien veces
seguidas, es decir, en forma consecutiva? Es, desde luego, concebible que así sea, pero, para poder afirmar
que tal es el caso, habría que señalar dónde se encuentra dicha sucesión y esto es, precisamente, algo
que nadie ha podido hacer. La otra alternativa desde el punto de vista clásico es demostrar, por reducción
al absurdo, que tal sucesión existe, procedimiento inaceptable para el intuicionismo. Ello se debe a la
imposibilidad de aludir a la ley del tercero excluido, que impone uno de los términos de una alternativa
aunque se ignore cuál de ellos es el verdadero, en un dominio en el que no se puede alcanzar una u otra
conclusión en un número finito de etapas.
114 En realidad, la crítica de Brouwer nos brinda la ocasión de entender, por contraste, lo proclive que
es la matemática clásica al platonismo (al postular, como lo hacen Hilbert y Zermelo, ciertas entidades
primitivas de las que se exige satisfagan ciertos axiomas), así como el carácter no constructivo de la
matemática hilbertiana, donde la existencia se identifica con la no contradicción, una noción de existencia
un tanto inusual.
186
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
principio del tercero excluido. De la alternativa
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
sabemos que el término de la derecha es imposible, por lo que gráficamente tenemos la
siguiente situación:
¬∃xA(x)
∃xA(x) ∨ Como se ve, la única posibilidad restante es la proposición ∃xA(x), que así queda
demostrada. La objeción de Brouwer es obvia: ¿cómo decir que un objeto existe sin
haberlo construido o sin saber cómo se le puede construir? En casos como éste la
reducción al absurdo lo que produce es una contradicción, no un objeto, y esto en nada
se parece a una construcción.115 Dice Brouwer:
A las leyes de la lógica teórica, incluyendo el principio del tercero excluido,
se les adscribió con tal persistencia un carácter a priori, que hasta hace
poco fueron aplicadas sin reserva incluso en la matemática de los sistemas
infinitos, esto sin que nos preocupara la cuestión de que los resultados así
obtenidos no están abiertos, tanto teórica como prácticamente, a ninguna
corroboración empírica en general. Sobre esta base se construyeron extensas
teorías incorrectas, especialmente en el último medio siglo.116
Años más tarde Brouwer se referiría satíricamente a la aceptación del principio del
tercero excluido con las siguientes palabras:
La larga creencia en la validez universal del principio del tercero excluido
en matemáticas es considerada por el intuicionismo como un fenómeno en
la historia de la civilización del mismo tipo que la antigua creencia en la
racionalidad de π o en la rotación del firmamento en torno a un eje que
pasaba por la Tierra.117
115 En efecto, una demostración constructiva de la existencia de un objeto matemático seria la construcción de un ejemplo tangible del mismo, mientras que una demostración no constructiva consistiría en
probar que su no existencia nos llevaría a una contradicción. En el primer caso tendríamos un objeto tangible, mientras que en el segundo no. En el análisis clásico son muy frecuentes las pruebas no constructivas
o indirectas, muchas de las cuales, por su misma naturaleza, no se pueden convertir en demostraciones
directas. Tal es el caso, por ejemplo, del teorema del valor medio. Dada la función exp(senx) y el intervalo
[1, π], ¿cuál es el valor medio en este caso?
Por otra parte, cabe señalar que el intuicionismo sí acepta el método de reducción al absurdo para
demostrar la inexistencia
de un objeto, es decir, para demostrar un enunciado de la forma ¬∃xA(x) (v. gr.,
√
la prueba de que 2 es irracional).
116 Brouwer, 1923. Cita tomada de Heijenoort, 1967, p. 336. Obviamente, Brouwer se está refiriendo a
la teoría cantoriana de conjuntos y al análisis matemático clásico.
117 Brouwer, 1948. Cita tomada de Benacerraf, 1964, p. 82.
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
187
Si bien la crítica de Brouwer a las leyes de la lógica clásica es mucho más compleja
de lo que hemos expuesto, con lo dicho debe quedar claro que la aceptación de su
propuesta equivalía a suprimir partes considerables de la matemática clásica, tributo
que Hilbert no estaba dispuesto a pagar.118 Para él, el método de prueba por reducción
al absurdo es una conquista irrenunciable, y basta con demostrar que una proposición
de la forma ¬∃xA(x) implica contradicción para asumir la existencia de una entidad
matemática con la propiedad A (pues se tiene que ¬¬∃xA(x) es equivalente a ∃xA(x)).
3.8.2.
Comentarios generales
La matemática intuicionista es una dirección firmemente establecida hoy en día, con
una propuesta original que la aleja de la forma habitual de “hacer matemáticas” y con
ideas y resultados que le son propios. Para concluir esta sección queremos insistir en
algunos aspectos de esta tendencia, sobre todo con relación a los fundamentos de la
matemática, esfera en la que no ha dejado de ejercer su influencia.
1. El rechazo del principio del tercero excluido por parte del intuicionismo implica a
su vez el rechazo de la ley de la doble negación, que podemos formular así: de la
doble negación de una proposición se sigue la proposición misma (en símbolos:
¬¬P → P). En la formalización de la lógica intuicionista que hace Arend Heyting,
ninguna de dichos principios (que son equivalentes) es deducible en el sistema.
De hecho, la lógica proposicional intuicionista se puede describir como la lógica
proposicional clásica sin el principio aristotélico del tercero excluido, pero con
la ley de contradicción, expresada por la fórmula (¬A → (A → B)): de una
proposición y su negación se sigue cualquier cosa.
2. Otra de las razones por las que Brouwer rechaza el principio del tercero excluido
es que en su opinión asumirlo equivale a suponer que todo problema matemático
tiene solución, lo cual le parece inadmisible:
Consideremos el principio del tercero excluido: éste exige que toda hipótesis sea matemáticamente verdadera o no verdadera: que para cada
supuesto acoplamiento de sistemas bien determinados uno respecto al otro,
esta construcción o bien puede ser llevada a término o bien es imposible
llevarla a cabo. La cuestión de la validez del principio del tercero excluido
equivale entonces a la de la posibilidad de problemas matemáticos no resolubles. En cuanto a la convicción a veces expresada de que no hay ningún
118 En 1927 Hilbert se refiere a la propuesta de Brouwer con las siguientes palabras: “Quitar al matemático el principio del tercero excluido sería lo mismo, digamos, que prohibir al astrónomo el uso
del telescopio o al boxeador que use sus puños. Prohibir los enunciados [puramente] existenciales y el
principio del tercero excluido es equivalente a renunciar a la ciencia matemática por completo.” [Hilbert
1927, p. 476].
188
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
problema matemático no resoluble, no existe a la fecha ni la sombra de
una prueba de tal hecho.119
Las últimas palabras están dirigidas a Hilbert, quien en 1900, en la misma ocasión
en que propusiera su famosa lista de 23 problemas, había proclamado su convicción de que todo problema matemático es resoluble, renovando con ello una
esperanza epistemológica: la de la inexistencia de límites para la razón matemática. Al respecto, aquí no habremos de abordar este tema, cosa que haremos a partir
de la sección 4.1.1. Lo único que diremos al respecto es que nos parece sorprendente que Brouwer, casi un cuarto de siglo antes de la aparición de los teoremas
de Gödel, se opusiera a la idea de que todo problema matemático es resoluble,
aunque sobre una base distinta: para él, demostrar que es absurdo suponer que
una construcción es imposible (es decir, probar la negación de la negación de una
proposición P), no significa que tal construcción sea realizable. Por el contrario,
para afirmar que lo es, el único camino es llevarla a cabo o indicar cómo llevarla
a cabo, y la reducción al absurdo no otorga ninguna garantía de esto último.
3. Como hemos visto, Brouwer considera que una de las causas de la aparición de
antinomias en la teoría de conjuntos es el mal uso de algunos principios lógicos.
Al respecto dice lo siguiente: “La lógica clásica fue abstraída de la matemática de
conjuntos finitos y, desatenta a su humilde origen, creyó que estaba por encima
de toda la matemática, y se aplicó, sin justificación alguna, a la matemática de los
conjuntos infinitos. Ésta es la caída y el pecado original de la matemática por el
que fue justamente castigada por las antinomias.”120 Ciertamente, la matemática
clásica otorga validez universal a los principios de la lógica, y se apoya en ellos
de manera decidida para extender el conocimiento. En franca oposición a esta
postura se encuentra el intuicionismo, que sostiene que al trabajar en un campo
completamente nuevo, sobre todo donde intervienen magnitudes infinitas, no
se puede estar seguro de que todavía se aplicarán los principios de la lógica
tradicional, debiéndose en tales casos encontrar la lógica apropiada abstrayendo
los patrones lógicos observables. Por tanto, restringe el empleo de los principios
lógicos a aquellas áreas donde han probado su validez.
4. Brouwer también relaciona el origen de las antinomias con los principios de la
teoría cantoriana de conjuntos, por lo que la rechaza por completo. Su principal
objeción es que en esta teoría se alude a nociones que no se pueden construir en
la intuición, como es el caso del infinito actual. En 1912 se refiere a esta teoría
con las siguientes palabras:
En el dominio de los conjuntos finitos, en el que los axiomas formalistas
tienen una interpretación perfectamente clara para los intuicionistas, hay
un franco acuerdo entre las dos tendencias en los resultados, mas no en los
119 Brouwer,
120 Brouwer,
1908. Cita tomada de Largeault, 1992, p. 21.
1908. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 110.
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
189
métodos; no obstante, esta situación cambia de raíz en el dominio de los
conjuntos infinitos o transfinitos, donde, principalmente con la aplicación
del axioma de inclusión,121 [...] los formalistas introducen varios conceptos sin ningún significado para el intuicionista, como, por ejemplo, “el
conjunto cuyos elementos son los puntos del espacio”, “el conjunto cuyos
elementos son las funciones continuas de una variable”, “el conjunto
cuyos elementos son las funciones discontinuas de una variable”, etc. En
el curso de estos desarrollos formalistas resulta que la aplicación sostenida
del axioma de inclusión conduce inevitablemente a contradicciones. Un
claro ejemplo de este hecho es la llamada paradoja de Burali-Forti.122
Más adelante, al referirse a la forma en que Zermelo enuncia el principio de
comprensión en su teoría axiomática (bajo el nombre de axioma de separación,
véase la sección 3.5), añade:
De esta manera el axioma [de separación] permite sólo la introducción de
conjuntos que sean subconjuntos de conjuntos previamente introducidos;
si uno desea operar con otros conjuntos, su existencia debe ser postulada
explícitamente. No obstante, puesto que para llevar a cabo cualquier
cosa se debe postular desde un inicio la existencia de cierta colección de
conjuntos, el único argumento válido que se puede esgrimir en contra de la
introducción de un nuevo conjunto es que éste conduzca a contradicciones;
en realidad, la única modificación a que ha dado lugar el descubrimiento
de paradojas en la práctica del formalismo ha sido la abolición de aquellos
conjuntos que dan lugar a ellas. Se sigue operando sin cuidado sobre la
base del viejo axioma de inclusión; el resultado es que amplios sectores
de investigación, carentes de significado para el intuicionismo, siguen
teniendo un considerable interés para el formalismo. Un ejemplo de ello
es la teoría de potencias [la aritmética cardinal].123
Este rechazo, junto con el de las definiciones impredicativas y aquellas proposiciones en que intervienen conjuntos o sucesiones infinitas consideradas como un
todo, resulta en un final desolador para los defensores de la matemática clásica:
una rigurosa aplicación de los principios propuestos por Brouwer conducía directamente al abandono de partes considerables de la misma. En particular, resultaría
imposible la construcción del continuo numérico tal como lo hace Dedekind.
5. En la matemática clásica la noción de consistencia tiene precedencia sobre la
noción de construcción, haciendo que las cosas “existan” incluso cuando no las
podemos ver o exhibir. Por el contrario, en la matemática intuicionista la noción
de construcción tiene prioridad sobre la noción de consistencia, de modo que
121 Brouwer
se refiere bajo esta denominación al principio de comprensión.
1912. Cita tomada de Benacerraf, 1964, pp 71-72.
123 Brouwer, op. cit., p. 73.
122 Brouwer,
190
3. L A CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS ...
algunos enunciados pueden quedar sin decidir, quizá por siempre, a causa de
la imposibilidad de llevar a cabo una construcción.124 Lo que está en juego no
es la matemática, sino el significado de la palabra “existencia” en un sentido
matemático. En este sentido, Hilbert identifica el dominio de lo “existente” con
el dominio de lo posible; mas como la posibilidad de un concepto depende de la
no contradicción, lo que en realidad hace es colocar los principios de la lógica
tradicional como base de la noción de existencia matemática; Brouwer por su
parte se abstiene de estudiar objetos cuya existencia no es un hecho en el dominio
de la intuición pura.
6. A diferencia de la matemática clásica, el intuicionismo interpreta los conectivos
lógicos como instrucciones sobre cómo lograr una prueba constructiva de todo
enunciado que los comprenda. Por ejemplo, un enunciado como ¬P se entiende
como la afirmación de que “la construcción referida en P no da el resultado
esperado”, es decir, como la afirmación de una imposibilidad, a la que se refiere
comúnmente hablando de lo absurdo que resulta P, o bien como una construcción
hipotética que desemboca en una contradicción.
Para entender correctamente esta interpretación, recordemos que la lógica intuicionista sólo alude a razonamientos o experiencias mentales, afirmando que ciertas
construcciones se pueden o no llevar a cabo. Por ejemplo, un enunciado como
“7 + 5 = 12” se debe entender como una abreviatura del enunciado “He realizado
las construcciones indicadas por 7 + 5 y 12 y he encontrado que el resultado es
el mismo”, lo cual expresa un hecho empírico, a saber, que se ha llevado a cabo
con éxito una doble construcción mental y los resultados coinciden. En cambio,
una negación como “2 + 1 = 3 + 1” se debe entender como “he realizado las
construcciones mentales indicadas por 2 + 1 y 3 + 1 y he encontrado que el resultado no es el mismo”, lo cual expresa una imposibilidad: la de llegar a lo mismo
mediante las construcciones indicadas. Por tanto, la negación está referida en este
caso a una doble construcción que fracasa en su intento o, mejor dicho, a dos
construcciones que no concluyen en lo que se afirma. Ergo, negar un enunciado
como “2 + 1 = 3 + 1” es una notificación, no acerca del modo de ser de ciertos
objetos preexistentes, sino acerca de ciertas construcciones mentales, y equivale a
afirmar que algo es absurdo: a saber, que los resultados de tales construcciones
son de cierta manera.125
7. El intuicionismo difiere del logicismo en que trata a la lógica (tal como la entiende)
como una parte de las matemáticas, no como su fundamento, y del platonismo
en que considera a los objetos matemáticos como construcciones mentales sin
ninguna existencia independiente; es afín con el constructivismo de Kronecker y
sobrepasa al finitismo extremo, según el cual los conjuntos infinitos no existen ni
124 Grosso modo, la matemática constructiva es aquella que no rebasa los límites que nos impone la
experiencia.
125 V. Franchella, 1995.
3.8. E L INTUICIONISMO DE B ROUWER
191
siquiera de manera potencial.126 Al respecto, Brouwer admite ciertos números
ordinales transfinitos como, por ejemplo, el número ω, aunque no acepta la
existencia de números cardinales superiores a ℵ0 .127
8. Lejos de lo que Hilbert propone, Brouwer procede al margen de la pauta axiomática y sin preguntarse por la consistencia de sus teorías, pues considera que
la construcción matemática es tan inmediata y sus resultados tan claros al entendimiento, que no requiere de ningún fundamento, cualquiera que éste sea. Es
en este contraste donde podemos apreciar el papel de la lógica tradicional en la
matemática clásica, en la que a pesar de su falta de evidencia se le adscribe una
validez universal. Vindicar su uso es la tarea que Hilbert se echa a cuestas: “Es
absolutamente necesario alcanzar en los modos de inferencia el mismo grado de
seguridad que el que existe en la teoría ordinaria elemental de los números, en el
que todo mundo confía plenamente y en el que una paradoja o una contradicción
sólo pueden surgir por nuestra falta de atención.”.128
Ante la reacción de Brouwer, Hilbert opuso la suya propia: a fin de cuentas, su
fe en el método axiomático no sufrió ningún quebranto en el lapso transcurrido
entre 1904 y 1917, año en que retomó el problema de los fundamentos. Para
salir victorioso en esta contienda debía responder a las críticas de Brouwer de
manera aceptable a los ojos de la comunidad matemática y llevar a feliz término
su proyectada prueba de consistencia, retos que asumió cuando Hermann Weyl
hizo eco de las palabras de Brouwer. Esta necesidad lo llevó a profundizar aún
más en la naturaleza del pensamiento matemático.
Una vez aclarado el contexto en que Hilbert retomó el problema de los fundamentos, atendamos la edificación de su programa de fundamentación de los años
veinte.
126 Aun
más radical es la posición del ultrafinitismo, que sostiene que incluso los números muy grandes
no existen, digamos aquellos mayores que 10100 .
127 V. Brouwer, 1912, en Benacerraf 1964, pp. 73-74.
128 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, p. 94.
Capítulo 4
El programa de Hilbert
4.1.
Los inicios
Durante más de una década Hilbert desatendió (al menos públicamente) el problema de
los fundamentos de la matemática, quizá por la falta de un plan bien definido para llevar
a cabo la anhelada prueba de consistencia. Durante ese tiempo dirigió sus esfuerzos
a la física, donde se ocupó de la teoría general del campo y de la mecánica cuántica.
Fue entonces que introdujo los ahora llamados espacios de Hilbert, una herramienta
teórica de vital importancia en el área. Finalmente, en 1917 retomó el tema de los
fundamentos en una conferencia que presentó ante la Sociedad Matemática Suiza bajo
el nombre de “El pensamiento axiomático”1 . Muchas cosas habían sucedido entre
tanto: la publicación de Principia Mathematica por parte de Russell y Whitehead, la
irrupción de Brouwer en la escena con sus agudas críticas a la matemática clásica y,
dentro de un marco más general, la aparición de la teoría general de la relatividad. Más
allá de la actividad científica, Alemania estaba envuelta en la Primera Guerra Mundial,
cuyo fin llegaría un año más tarde, en noviembre de 1918.
En esta ocasión Hilbert dirigió sus reflexiones no sólo a la matemática, sino a la ciencia
en general, adoptando la idea de que las más importantes teorías científicas se deberían
reconstruir cual teorías matemáticas, es decir, con base en el método axiomático.
Propone entonces fijar los conceptos y principios básicos de cada una de ellas para
después probar su consistencia, pues considera indispensable asegurar la coherencia de
cada sistema. Su tesis es que dicha tarea recae directamente en la matemática, pues
atribuye a esta ciencia la tarea de investigar tales cuestiones. Menciona disciplinas
como la termodinámica, la mecánica clásica y la teoría cinética de los gases, señalando
los vínculos que algunas de ellas guardan con la teoría de los números reales, de la cual
se sirven. Este proyecto, el de la axiomatización de la física, tuvo pocos seguidores
y muy poca importancia en el siglo veinte. En cuanto a la axiomática, la idea que
1 Hilbert,
1917.
193
194
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
ofrece Hilbert no es muy distinta de la de 1899, donde mira las teorías como redes de
relaciones entre objetos no especificados. Como veremos, este punto de vista lo habría
de modificar en la siguiente década.
Al referirse a la matemática reitera que en el caso de los axiomas para los números
enteros y para la teoría de conjuntos ya no es posible probar su consistencia exhibiendo
un modelo, pues no existe ninguna disciplina más simple a la que se pueda apelar. Es
entonces que, en un desliz russelliano, sugiere probar que las teorías de los números
y de conjuntos son parte de la lógica, la cual ya ha sido axiomatizada por Russell
y Whitehead en lo que constituye, en su opinión, un punto culminante de la tarea
axiomática en general.
Pese a este momentáneo desvío hacia el logicismo, Hilbert señala que lo hecho por
Russell deja abierta una serie de cuestiones asociadas al problema de la consistencia,
las cuales poseen un gran contenido teórico-cognoscitivo. Señala cinco de ellas, no
todas de la misma importancia:
1. La cuestión de la resolubilidad de cualquier problema matemático,
2. La cuestión de la decidibilidad de un problema matemático por medio de un
número finito de operaciones lógicas,
3. La cuestión de las relaciones entre el contenido concreto y la formalización en la
matemática y en la lógica,
4. La cuestión de la sencillez de las demostraciones matemáticas, y
5. La cuestión de la posibilidad de ulterior control de los resultados de una investigación matemática (sic).
Obviamente, estos problemas no son de la misma índole, siendo poco claro a qué se
refiere Hilbert con el quinto de ellos.
Ahora bien, ante lo que estamos es ante una serie de interrogantes que, junto con el
problema de la consistencia, fueron determinantes en el curso que habría de seguir la
lógica matemática en el siglo veinte, y que incentivaron nuevas controversias filosóficas
en torno a la matemática.2
En cuanto a la fascinación que ejerciera el programa logicista sobre Hilbert, ésta
fue efímera: muy pronto Hilbert retomó la idea de desarrollar simultáneamente la
2 Asociadas a los cuatro primeros problemas enumerados por Hilbert y al de la consistencia se hallan,
al menos, la teoría de algoritmos, las máquinas de Turing y de Post, la teoría de la demostración, la
inteligencia artificial, la teoría de modelos, la filosofía de la mente, la filosofía del lenguaje y, en forma
más general, la ontología y la epistemología matemática. En particular, el tercero de ellos nos remite a un
enjambre de problemas que se hallan al centro de la filosofía de las matemáticas: la naturaleza de la lógica,
la relación entre lo formal y lo intuitivo, los lazos entre el lenguaje y el pensamiento y la posibilidad de
mecanizar el pensamiento matemático.
4.1. L OS INICIOS
195
lógica y la matemática en oposición a la idea de reconstruir la segunda al interior
de la primera. No obstante, del trabajo de Russell y Whitehead hubo de conservar
algunas herramientas que le permitirían franquear las limitaciones de su trabajo de
1904, especialmente la lógica de predicados con sus artificios simbólicos. De algún
modo, Hilbert vio en la formalización de la lógica un medio para convertir la prueba
matemática en un objeto de estudio y alcanzar la proyectada prueba de consistencia.
Al final del escrito Hilbert reitera la importancia de someter la demostración matemática
a un detallado estudio con las siguientes palabras:
Todos los problemas básicos que he caracterizado, de entre los cuales el
último que he mencionado no es sino uno más [el de la decidibilidad por
medio de un número finito de operaciones], conforman un nuevo campo
de investigación. Su exploración y desarrollo requieren esencialmente de
un estudio a fondo del concepto de demostración matemática, de manera
análoga a como el astrónomo está obligado a considerar el movimiento de su
punto de referencia, el físico a preocuparse por la teoría de sus instrumentos
y el filósofo a hacer una crítica de la razón.3
Fue hasta 1922 que Hilbert emprendió el desarrollo de estas y otras ideas, apremiado
por el recrudecimiento de los debates ocasionado por Weyl. Su propósito era resolver
en definitiva el problema de los fundamentos de la matemática, lo cual exigía:
revisar críticamente todo lo hecho hasta entonces en ese dominio,
analizar las ideas de las otras escuelas y esclarecer la naturaleza de la matemática
clásica,
someter a escrutinio los principios de la lógica,
aclarar el sostén epistemológico de su proyecto de fundamentación,
reconsiderar la postura de Kant frente a la matemática y precisar el lugar del a
priori en esta disciplina y, por supuesto,
elaborar un plan definido para la prueba de consistencia, incluyendo los medios
para llevarla a cabo.
Entre otras cosas Hilbert imaginó que la naciente teoría de la demostración daría sostén
a su creencia en la resolubilidad de todo problema matemático, e incluso llegó a creer
que con ella podría probar la hipótesis del continuo de Cantor.
El cumplimiento de todo lo anterior se dio en forma gradual, dadas las muchas aristas
del problema. Para alcanzar sus metas Hilbert debió atraer a un grupo de académicos
que lo ayudarían a afinar las herramientas lógicas necesarias y a ahondar en las
3 Hilbert,
1917, p. 34.
196
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
bases filosóficas de su proyecto. Entre quienes colaboraron en esta empresa, conocida
posteriormente como Programa de Hilbert, podemos mencionar a Wilhelm Ackermann,
Paul Bernays, John von Neumann y, más adelante, Jacques Herbrand y Gerhard
Gentzen. Al respecto, los avances fueron dados conocer en una serie de artículos, libros
y conferencias diseminados a lo largo de más de una década.4
4.1.1.
La cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático
(parte 1)
Un tema muy poco comentado con relación al programa de Hilbert es el relativo a la
resolubilidad de todo problema matemático. Ofrecer una prueba de ello o, al menos,
un argumento fehaciente a su favor, fue una de las preocupaciones que, junto con la
cuestión de la consistencia, impulsaron la conformación del programa.
Hilbert siempre sostuvo que todo problema matemático era susceptible de una solución
exacta. Un claro ejemplo de ello lo tenemos en el discurso pronunciado en 1900 ante el
pleno del Segundo Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París, donde
mantiene que no hay tal cosa como un problema matemático irresoluble. Esta clase
de afirmaciones no eran circunstanciales; es más, ahora sabemos que desde su época
como estudiante en la universidad de Königsberg, Hilbert solía discurrir acerca de estas
cuestiones con su amigo Hermann Minkowski.
Retrocedamos a 1900, a la conferencia dictada ante el pleno de Segundo Congreso
Internacional de Matemáticas celebrado en la ciudad de París. Sabemos que al recibir la
invitación para asistir al evento como conferencista principal, Hilbert titubeó entre abordar la relación entre las matemáticas y la física, un tema que Poincaré había examinado
tres años atrás, o explorar la cuestión de los problemas matemáticos. Finalmente se
decidió con base en una sugerencia del propio Minkowski: “Sería más atractivo mirar
hacia el futuro, enumerando una lista de problemas en los que los matemáticos habrían
de ponerse a prueba durante el siglo venidero”.5 Se trata quizá de la conferencia más
renombrada en la historia de las matemáticas. El título que le dio fue muy simple:
“Problemas matemáticos”, un tema que venía muy bien con el cambio de siglo y una
buena excusa para reflexionar en torno a las matemáticas y su futuro.6 Fue ahí donde
Hilbert hubo de presentar y analizar su famosa lista de 23 problemas individuales cuya
resolución, pensaba, contribuiría al avance de las matemáticas en el siglo veinte.7
La convicción de Hilbert
En un encendido pasaje, Hilbert parte de la sugerencia de Minkowski para adentrarse
en nuestro anhelo por vislumbrar el futuro:
4 Los
trabajos señalados incluyen a Hilbert 1922, 1922a, 1925, 1927, 1928, 1930, 1930a , 1934 y 1939.
1970, p. 69.
6 Hilbert, 1900.
7 V. (Browder, 1976) y (Kantor, 1996).
5 Reid,
4.1. L OS INICIOS
197
¿Quién de nosotros no se alegraría al descorrer el velo que oculta al futuro, y
lanzar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos
de su desarrollo en los siglos venideros? ¿Hacia qué metas específicas tenderán los espíritus matemáticos más preeminentes? ¿Qué nuevos métodos
y nuevos hechos en el amplio y fértil terreno del pensamiento matemático
traerán consigo los nuevos tiempos? [...] Pues el cierre de una gran época no
sólo nos invita a mirar hacia el pasado, sino a dirigir nuestros pensamientos
hacia el futuro.8
Para Hilbert, una manera de mirar hacia el futuro de las matemáticas es a través de
sus problemas. De hecho, cada etapa de la historia de las matemáticas se caracteriza
por ciertos problemas que estimularon la creación de nuevos métodos, y por algunos
otros que no se pudieron resolver. “Es mediante la solución de problemas que el
investigador pone a prueba el temple de su acero; encuentra nuevos métodos y nuevos
discernimientos, y gana un horizonte más amplio y libre.”9 Los problemas pueden
provenir de cualquier parte, pero una vez que ingresan al dominio de la matemática
pura se les debe resolver mediante el pensamiento, sin otra ayuda que la de la lógica
y la imaginación.10 Esto, dice Hilbert, marca la diferencia entre las matemáticas y el
resto de las ciencias.
Obviamente, puede suceder que al tratar de resolver un problema, todos los intentos
estén condenados al fracaso, no por falta de destreza o inventiva, sino porque las
hipótesis adoptadas son insuficientes para decidir la cuestión. En tal caso el problema
aparecerá, visto desde la teoría a la que pertenece, como un reto insuperable. Hilbert
propone en tal caso recurrir a un procedimiento en el que confía plenamente: probar que
las hipótesis admitidas son insuficientes para zanjar la cuestión. En este último caso, la
‘disolución’ del problema se lograría en un segundo nivel, en el que el razonamiento
no es acerca de los objetos con los que trata la teoría, sino acerca de la teoría misma.11
Así, de acuerdo con Hilbert, dado un problema matemático siempre es posible (a)
resolverlo con los recursos disponibles en la teoría, o (b) demostrar que los axiomas y
métodos de prueba admitidos en la teoría no son suficientes para decidir la cuestión,
es decir, que todos los intentos por hallar una respuesta al interior del sistema están
condenados al fracaso.
8 Hilbert,
1900, p. 1.
Ibídem.
10 Al precisar las exigencias que toda buena solución debe satisfacer, Hilbert señala que la más
importante es “su exposición metódica y sistemática”.
11 Desde la antigüedad los matemáticos han ofrecido pruebas de imposibilidad. Por ejemplo, la prueba
de que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado. No obstante, fue la matemática
moderna la que introdujo esta forma de razonamiento en la práctica ordinaria, superando en forma
inesperada viejos y difíciles problemas que habían resistido a todos los intentos de solución dentro de la
teoría. Por ejemplo, la trisección del ángulo, la rectificación del círculo y la duplicación del cubo con
regla y compás; la solución de cualquier ecuación de quinto grado por medio de radicales y la prueba del
quinto postulado de Euclides. Todos estos problemas fueron resueltos de manera inesperada: mostrando
que con los medios seleccionados no es posible darles solución.
9 Hilbert,
198
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Es importante señalar que para muchos matemáticos esta última posibilidad no representa una solución al problema mismo. Por ejemplo, desde 1963 sabemos que la
hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la
teoría de conjuntos, lo cual para muchos matemáticos no resuelve en sí la cuestión
acerca de la cardinalidad del conjunto de los números reales. Tal como lo advierte
Gödel: “[...] sobre la base del punto de vista aquí admitido, una prueba de la indecidibilidad de la conjetura de Cantor con relación a los axiomas adoptados para la
teoría de conjuntos [...] de ninguna manera resuelve el problema.”12 El punto de vista
referido es el del realismo conceptual, según el cual “los conceptos y teoremas de la
teoría de conjuntos describen una realidad bien determinada, en la que la conjetura de
Cantor debe ser falsa o verdadera. Por tanto, su indecidibilidad a partir de los axiomas
hoy asumidos sólo puede significar que estos axiomas no contienen una descripción
completa de esa realidad.”13 No obstante, para Hilbert, que en estas cuestiones adopta
un punto de vista muy cercano al nominalismo, la alternativa recién mencionada (a
o b) agota todas las posibilidades: dado un problema matemático, alguna de ellas se
habrá de alcanzar, de modo que tarde o temprano se aclarará la relación lógica entre la
proposición matemática (‘el problema’) y los principios admitidos. Más allá de esto,
diría Hilbert, la matemática no puede ni debe intentar ir: un rotundo ‘no’ al realismo
conceptual.
Es quizá este importante hecho junto con otras razones filosóficas lo que
da lugar a la convicción (compartida por todos los matemáticos, aunque sin
el soporte de una prueba) de que todo problema matemático bien definido
es susceptible necesariamente de una solución, ya sea en la forma de una
respuesta efectiva a la pregunta propuesta, o mediante una prueba de la
imposibilidad de su solución, y por lo tanto del irremediable fracaso de
todos los intentos. [...] ¿Es el axioma de la resolubilidad de todo problema
matemático una característica peculiar del pensamiento matemático, o es
acaso una ley general inherente a la naturaleza de la mente, el que toda
cuestión que se pregunta debe tener una respuesta?14
Vista desde la matemática, esta convicción, que Hilbert eleva al rango de axioma, parece
un factor prevaleciente a lo largo de la historia, y en última instancia la causa de nuestra
persistencia al tratar de resolver un problema matemático, en vez de retroceder ante los
fracasos. Vehemente, exclama: “La convicción en la resolubilidad de todo problema
matemático es un incentivo para el trabajador. Escuchamos dentro de nosotros el canto
imperecedero: He ahí un problema. Busca su solución. La podrás encontrar mediante
la razón pura, pues en la matemática no hay ignorabimus.”15 Es sobre esta base
12 Gödel,
1964, p. 263.
Ibídem.
14 Hilbert, 1900, p. 7.
15 Hilbert, Ibidem. Ignorabimus = ignoraremos. En latín en el original.
13 Gödel,
4.1. L OS INICIOS
199
que Hilbert postula la resolubilidad de todo problema matemático: tarde o temprano
cualquier cuestión matemática será resuelta en el sentido recién señalado.16
4.1.2.
Una contienda filosófica
En la cita anterior Hilbert utiliza la expresión “ignorabimus” en alusión al fisiólogo y
filósofo francés Emile DuBois-Reymond (1818-1896), quien al abordar el problema de
la existencia de límites en el conocimiento de la naturaleza sostuvo que hay problemas,
denominados por él trascendentales, que son irresolubles; éstos incluyen la naturaleza
de la materia y la fuerza, y todo lo relacionado con el origen del movimiento, la sensación y la consciencia. Su desalentadora frase “Ignoramus et ignorabimus”–Ignoramos
e ignoraremos–, se convirtió en el lema de muchos científicos y filósofos en los años
80 del siglo XIX, y una equivocación desde el punto de vista de Hilbert. En franca
oposición, Hilbert no sólo afirma que todo problema matemático se puede resolver,
sino que extiende esta creencia a toda la ciencia.17 En su discurso de retiro a los 68
años de edad sostuvo, tal como lo había hecho 30 años atrás, que no existe tal cosa
como un problema irresoluble. Sus palabras finales dan testimonio de su irrefrenable
optimismo:
Alguna vez el filósofo Comte dijo –con el propósito de mencionar un problema ciertamente irresoluble– que la ciencia nunca podría descubrir el secreto
de la composición química de los cuerpos celestes. Unos pocos años más
tarde este problema fue resuelto mediante el análisis espectral de Bunsen
y Kirchhoff [...] La verdadera razón por la cual Comte no pudo hallar un
problema irresoluble es, en mi opinión, que no hay en absoluto problemas
irresolubles. En lugar del necio ignorabimus, nuestra respuesta es la contraria:
Debemos saber, sabremos.18
Como ya lo hemos visto al final de la sección 3.8.1, este credo no fue compartido
por Brouwer, quien a la vez que niega la universalidad de principio lógico del tercero
16 En cuanto al axioma de la resolubilidad de todo problema matemático, lo correcto es ubicarlo en
un contexto kantiano, tal como lo sugiere Michael Detlefsen en “FOM: Hilbert and solvability, etc.”,
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/1999-June/003272.html. Kant, al igual que Hilbert,
considera que una prueba de la imposibilidad de resolver un problema con los métodos y principios
elegidos es también una forma de resolverlo (véase Kant, CRP, A476/B504 y A480/B508). Al respecto,
es importante notar que en tal caso la ‘solución’ no se obtiene a través de una prueba al interior de la
teoría, sino a través del análisis de las condiciones bajo las cuales se le intenta probar o refutar. En otras
palabras, Kant y Hilbert aceptan como ‘solución’ de un problema lo que en filosofía se conoce como una
solución trascendental, y en lógica como una prueba de indecidibilidad. Como ya lo hemos señalado,
esta postura no es compartida por los defensores del realismo conceptual.
17 Es importante señalar que Hilbert jamás intentó probar esta afirmación más allá de la matemática.
No obstante, el solo hecho de mencionarla es un indicativo de la firmeza de sus convicciones.
18 (Hilbert, 1996, p. 1165). Las últimas palabras de la cita, –Debemos saber, sabremos [Wir müssen
wissen. Wir werden wissen]– son el epígrafe que se halla sobre la tumba de Hilbert.
200
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
excluido, sostiene con firmeza que éste es equivalente a la suposición de que todo
problema matemático es resoluble.
Finalizamos con dos observaciones:
1. Tal como lo advierte Brouwer (véase la sección 3.8.2), la creencia de Hilbert
en la resolubilidad de todo problema matemático no tenía a la sazón (1908)
ningún fundamento teórico. Más bien, se trataba de una visión metafísica, de una
especulación: en el dominio de la matemática, la razón pura no conoce límites.
Esta fe en el poder de la razón sólo es comparable con la de Leibniz y es superior
a la de Descartes. Un pensamiento muy en la línea racionalista de la filosofía
occidental: los productos de la mente son trasparentes a ella misma, es decir, no
hay cuestiones irresolubles en este dominio.
2. Como hemos visto, para Hilbert son dos las maneras de resolver un problema:
una, razonando dentro de la teoría; la otra, razonando acerca de la teoría. Por
tanto, su creencia se apoya decididamente en la convicción de que la estructura
de toda teoría matemática es algo que podemos descubrir, sin dejar nada oculto
con relación a su orden lógico-demostrativo.19 En otras palabras: para Hilbert, el
camino seguro para resolver un problema matemático fluctúa entre la teoría y la
metateoría.20
Una observación final. Hilbert debió postergar la búsqueda de una respuesta a las
invectivas de Brouwer hasta la creación de la teoría de la demostración, por lo que la
ulterior discusión de este tema no se dio sino hasta la puesta en marcha del así llamado
programa de Hilbert. En cuanto a nosotros, la discusión final del tema la daremos
tras examinar el efecto que tuvieron los teoremas de Gödel sobre el programa de
Hilbert (sección 5.5) y explorar algunos aspectos del debate mentes-máquinas (sección
5.7), sobre todo en lo concerniente a si la mente humana se puede imitar de manera
mecánica.
4.2.
La naturaleza de la matemática clásica según Hilbert
Hilbert dio sus primeros pasos en la teoría de la demostración en una conferencia
pronunciada ante la Sociedad Matemática de Copenhague en 1922, bajo el título de
“La nueva fundamentación de la matemática”.21 Tras ponderar los esfuerzos realizados
por toda una generación de investigadores, admite con molestia que todos esos intentos
no finalizaron en una solución satisfactoria del problema de los fundamentos. Reconoce
entonces la necesidad de examinar esta cuestión con mayor profundidad, de investigarla
19 Hilbert,
1927, p. 475.
única expresión que Hilbert utiliza con el prefijo “meta” es “metamatemática”. No obstante, la
palabra “metateoría” se ajusta perfectamente a sus intenciones en este caso.
21 Hilbert 1922.
20 La
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
201
desde sus raíces hasta lograr una respuesta precisa, de hallar una respuesta que ya no
dé lugar a dudas de principio. En su opinión, el instrumento ideal para lograr esta meta
sería la teoría de la demostración, si bien aún faltaba establecer el fundamento teórico
de esta última y fijar con precisión los medios de los que se servirá para lograr su
objetivo.
Fueron estos dos últimos propósitos los que lo llevaron a tratar de esclarecer la naturaleza de la matemática clásica, a reconsiderar la filosofía crítica de Kant y a especular
en torno al conocimiento matemático y los métodos admisibles en esta ciencia. Esto
lo hizo a lo largo de los siguientes años en los que hubo de desarrollar una intensa
actividad en tales dominios.22
Volviendo a la conferencia de 1922, Hilbert emprende la discusión de los fundamentos
impugnando la propuesta de Brouwer y Weyl. A fin de cuentas él se había equivocado:
los argumentos de Brouwer, que a nadie convencerían, convencieron a Weyl ¡Esto era
más de lo que podía tolerar, un hecho inaceptable! ¿Cómo él, caudillo de la matemática
alemana, habría de permitir que el adversario irrumpiera en su casa y por la puerta del
frente? Era indispensable frenar el avance de esa tendencia, resolver en definitiva el
problema de los fundamentos, disipar las dudas que se pudieran tener respecto a la
matemática clásica y la lógica aristotélica, que en connivencia se habían extendido más
allá de la argumentación constructiva. Dice al respecto:
Lo que Weyl y Brouwer pretenden hacer equivale en principio a recorrer
el camino que alguna vez siguiera Kronecker. Es decir, Weyl y Brouwer
intentan ofrecer una fundamentación de las matemáticas que echa por la
borda todo aquello que les incomoda, estableciendo (en el sentido de su
predecesor) una serie de prohibiciones claramente dictatoriales. Pero esto
no significa otra cosa que el desmembramiento, la amputación arbitraria de
nuestra disciplina. Al seguir a tales reformadores nos exponemos a perder
una gran parte de nuestros más valiosos conceptos, resultados y métodos.23
Para Hilbert el problema de los fundamentos se ha de resolver de otra manera. Si bien
acepta que el poder del pensamiento intuitivo no llega más allá de lo que sostienen
Kronecker y Brouwer, y reconoce que ninguna proposición transfinita de la matemática
se puede justificar como verdad material evidente, eso no es una razón para renunciar
a las conquistas de una matemática que con mucho ha desbordado dicha esfera.24 Más
bien, lo procedente es examinar los métodos y conceptos con que se ha enriquecido la
matemática y resguardarlos de cualquier peligro. Había, sobre todo, que proteger los
22 Los trabajos correspondientes a esta labor incluyen a Hilbert 1922a, 1925, 1927, 1928, 1930 y 1930a.
23 Hilbert,
1922. Cita tomada de la traducción al español, p. 40.
las palabras con que Hilbert reconvino a Brouwer tras una charla que éste diera en el
Instituto de Matemáticas de Gotinga, ya citadas en esta obra: “Con sus métodos, la mayor parte de los
resultados de la matemática moderna tendrían que ser abandonados, y para mí la cosa más importante no
es obtener menos resultados, sino más de ellos.” (Reid, 1970, p. 184).
24 Recordemos
202
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
resultados ya alcanzados, otorgando a los principios puestos en duda (v. gr., el axioma
de elección) la misma certidumbre que tiene una afirmación como que 2 + 2 = 4;
especialmente, había que aclarar la naturaleza del infinito, blanco favorito de todos los
ataques.25 Todo esto requería llevar la investigación de los fundamentos hasta un punto
jamás alcanzado.
4.2.1.
La naturaleza, el entendimiento y el infinito
Al intentar esclarecer la noción de infinito hay cuestiones que no se pueden soslayar:
¿qué lugar ocupa el infinito en nuestro pensamiento, en el conocimiento de la naturaleza, en la matemática?, ¿tiene éste algún significado empírico, corresponde a alguna
realidad?
En un trabajo dedicado específicamente a este problema Hilbert fija su posición.26 En
su opinión, se trata de una noción ideal en el sentido kantiano, es decir, de una idea a
la que nada corresponde en la experiencia ni le podemos adjudicar validez objetiva.
Para empezar Hilbert se pregunta por el lugar que el infinito ocupa en la naturaleza.
Explica que al examinarla nos podemos percatar de que la noción de infinito —-en
cualquiera de sus sentidos– no posee ningún significado, aun cuando la impresión que
nos causan a primera vista los eventos naturales y el mundo material es que son uniformes y continuos. Afirma, por ejemplo, que una pieza de metal o un volumen de líquido
nos dan la impresión de ser divisibles de un modo ilimitado, de que cualquiera de sus
partes, no importa lo pequeña que sea, tendrá nuevamente las mismas propiedades.
Sin embargo, una vez que los métodos de investigación de la física se perfeccionaron
lo suficiente, se encontraron límites a la divisibilidad de la materia, limites ligados
indisolublemente a su naturaleza y no a la de los experimentos. La ciencia moderna,
según Hilbert, nos ha liberado con ello de lo infinitamente pequeño. La divisibilidad
infinita del continuo es una operación presente tan sólo en el pensamiento; una idea
que es refutada por nuestra observación de la naturaleza.27
25 La reacción de Hilbert es en contra de quienes, como Brouwer, se oponen al uso del infinito actual
en la matemática, y en contra de quienes pretenden limitar el uso de las habituales leyes de la lógica.
Para él era inadmisible renunciar a ello, como lo debería ser para quienquiera que se sirve del análisis
matemático, donde, a pesar del abundante uso de los métodos puestos en duda, es posible encontrar plena
certeza en sus deducciones y una evidente concordancia entre sus resultados. Esto era un indicativo de
que el problema no tenía como causa el uso del infinito actual en la matemática, sino el descuido en su
manejo.
26 Hilbert, 1925.
27 Veamos cómo se expresa Robert Frisch (físico austriaco) en una entrevista que le hiciera Pierre
Kister: “Kister. ¿Qué es una partícula elemental? Frisch. Me gustaría saberlo. La materia se compone
de átomos; los átomos, de electrones y núcleos; los núcleos tienen protones y neutrones. ¿Continuará
el juego de encontrar partes más pequeñas de materia, y durante cuánto tiempo? Ciertamente las reglas
del juego cambian. Se ha propuesto que el protón consta de tres subunidades (quarcs) cada una de ellas
de masa mucho mayor que la del protón. Esto, absurdo a primera vista, es posible debido a la ecuación
E = mc2 ; al combinar los tres quarcs, se irradia la mayor parte de su masa en forma de energía. Por tanto,
puede suceder que la búsqueda de partículas elementales no conduzca a masas más y más pequeñas,
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
203
Hilbert refuerza su argumento señalando otro problema al que tuvo que enfrentarse
la ciencia moderna: el de la infinitud del espacio físico. Durante mucho tiempo fue
dominante la idea de que el espacio físico era infinito. Se consideraba que la geometría
euclidiana era necesariamente verdadera con relación al espacio, y dicha geometría
conduce directamente a la conclusión de que éste es infinito. Sin embargo, aduce que
si bien la geometría euclidiana es consistente, de ello no se sigue que ésta sea aplicable
a la realidad (eso ya lo hemos analizado en el capítulo 1). Es más, es perfectamente
posible que otra geometría, distinta a la euclidiana, nos proporcione un modelo finito de
la misma. Éste es el caso de la geometría elíptica o de Riemann, la cual ha desplazado
a la euclidiana como modelo del espacio físico y esto no sólo por consideraciones
de carácter enteramente matemático o filosófico, sino por otra clase de argumentos
que en principio nada tienen que ver con estas disciplinas. Este desplazamiento tuvo
lugar cuando Einstein probó la necesidad de abandonar la geometría euclidiana a partir
de la teoría de la relatividad. Al desarrollar su teoría de la gravitación, Einstein atacó
los problemas cosmológicos mostrando la posibilidad de un universo finito. Hilbert
señala que a la fecha (1925) todos los resultados obtenidos por los astrónomos son
compatibles con la idea de un universo finito. De este modo, los resultados que arroja
la física indican que, en ambos sentidos, el mundo físico posee límites, es finito.
No obstante, aunque el infinito no corresponda a nada en la naturaleza, Hilbert no ve
en ello una razón para excluirlo de nuestra urdimbre intelectual, en donde desempeña,
desde su punto de vista, un papel fundamental: “Podría ocurrir, no obstante, que el lugar
propio y justificado del infinito no sea la realidad, sino nuestro pensamiento. Y podría
muy bien resultar que en éste el infinito asuma una función conceptual absolutamente
imprescindible.”28 En otras palabras, si bien el concepto de infinito no corresponde a
ninguna realidad física, Hilbert ve en él un instrumento esencial de la razón: “El papel
que resta al infinito es el de una idea, según la concepción kantiana de ésta, como un
concepto de razón que supera toda experiencia y por medio de la cual se complementa
lo concreto en el sentido de una totalidad.”29
como en el pasado.” (Cita tomada de Pajares, 1973, p. 78). Esta idea de que la materia presenta límites a
la posibilidad de dividirla sigue vigente en nuestros días, en la que ninguna teoría se basa en la hipótesis
de que la materia es infinitamente divisible. Véase al respecto todo lo relativo al bosón de Higgs.
28 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, pp. 87-88. Es en este texto (p. 94) donde
Hilbert se declara acérrimo defensor de la matemática transfinita con las siguientes palabras, ahora
famosas, y que ya hemos citado: “Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para
nosotros”.
29 Hilbert, op. cit., p. 121. Respecto a la existencia del infinito, Hilbert se arroga las mismas reservas
que Kant cuando, en una conocida nota de la Crítica de la Razón pura, dice: “El conocimiento de un
objeto implica el poder demostrar su posibilidad, sea porque la experiencia testimonie su realidad, sea a
priori, mediante la razón. Puedo, en cambio, pensar lo que quiera, siempre que no me contradiga, es decir,
siempre que mi concepto sea un pensamiento posible, aunque no pueda responder de si, en el conjunto de
todas las posibilidades, le corresponde o no un objeto. Para conferir validez objetiva (posibilidad real,
pues la anterior es simplemente lógica) a este concepto, se requiere algo más.” [Kant, CRP, B XXVII,
nota k.] En este sentido, Hilbert no pretende probar la existencia real del infinito, sino legitimarlo como
un objeto del pensamiento mediante una prueba de consistencia. Como pronto veremos, Hilbert habría
de exigir algo más a la incorporación de esta y otras nociones ideales a la teoría: que no condujeran a
204
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Pero, ¿de qué medios se vale el infinito para complementar lo concreto? Lo hace a
través de la matemática, único dominio en el que se puede hacer un uso no especulativo
de esta noción. Dice Hilbert: “El instrumento que media entre la teoría y la práctica,
entre el pensamiento y la observación, es la matemática; ella construye los puentes que
los une y los hace aun más sólidos. Sucede así que toda nuestra cultura moderna, en
la medida en que se apoya en la penetración y utilización de la naturaleza, tiene su
fundamento en la matemática.”30 , a lo que más adelante añade: “Sin la matemática,
la astronomía y la física modernas no serían posibles; estas ciencias, en sus partes
teóricas, casi se disuelven en la matemática. Es a éstas y a muchas otras aplicaciones
que la matemática debe el prestigio que tiene entre el público en general.”31
4.2.2.
El infinito en la matemática
Las anteriores reflexiones de Hilbert en torno al infinito se hallan en la conferencia
ya citada que ofreciera ante la Sociedad Matemática de Westfalia bajo el título de
“Acerca del infinito”.32 El trabajo inicia con una apología de la obra de Karl Weierstrass,
quien dedicara buena parte de su obra a la fundamentación del análisis matemático.
Al respecto, Hilbert afirma que fue Weierstrass quien dio una base definitiva a esta
disciplina al definir de manera precisa nociones como las de mínimo, función, límite y
derivada, las cuales permitieron construir la teoría sin hacer referencia al infinito actual,
en el sentido de lo infinitamente grande o lo infinitamente pequeño.33 No obstante,
señala Hilbert, a pesar de tales esfuerzos la matemática clásica no pudo excluir toda
alusión al infinito, ya que esta noción reapareció de manera esencial bajo la modalidad
del infinito actual. “Debido a esta circunstancia, el infinito se pudo deslizar de manera
disimulada en la teoría de Weierstrass sin ser afectado en lo esencial por su crítica.”34
En efecto, el infinito actual se hizo presente en el análisis matemático a través de las
cortaduras de Dedekind, conjuntos infinitos de números racionales concebidos como
totalidades cerradas y acabadas. Esta noción también se presenta al considerar ciertos
conjuntos –v. gr., todas las funciones continuas o todos los números reales– como
totalidades completas y terminadas. Hilbert resalta la presencia de esta noción en el
análisis con las siguientes palabras: “En cierto sentido, el análisis matemático no es
sino una sinfonía del infinito.”35 Convertida la noción en una pieza fundamental de
resultados que no se pudieran comprobar en lo que llamaría matemática finitista, tema que trataremos
más adelante.
30 Hilbert, 1930. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 1163.
31 Hilbert, op. cit., p. 1164.
32 El texto de la conferencia se publicó en 1926, y en la bibliografía corresponde a Hilbert, 1925.
33 Por ejemplo, cuando escribimos lı́m 1 = ∞, la alusión que hacemos al infinito es sólo una “forma de
x
x→0
hablar”, queriendo decir con ella que el valor del cociente crece ilimitadamente a medida en que x toma
valores cada vez más cercanos a 0.
34 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, p. 84.
35 Hilbert, op. cit., p. 89. Adoptando un punto de vista todavía más general, Hermann Weyl destaca la
importancia de esta noción en la matemática moderna con las siguientes palabras, aún más elocuentes:
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
205
la matemática moderna, lo conducente era clarificar su uso a fin de disipar las dudas
suscitadas por las paradojas, aunque la empresa iba “mucho más allá del ámbito de
los intereses científicos particulares, [siendo] algo que, en realidad, se ha convertido
en una cuestión de honor para el entendimiento humano.”36 Al respecto, juzga que la
visión más penetrante que se ha logrado de la naturaleza del infinito es la de Cantor,
cuya teoría se acerca más a una forma filosófica de pensar que a la matemática misma.
“En mi opinión, el sistema de Cantor constituye no sólo la flor más admirable que el
espíritu matemático ha producido, sino igualmente uno de los logros más elevados de
la actividad intelectual humana en general.”37 Decantar esta noción es un deber que
rebasa la esfera de la matemática, pues atañe a nuestra concepción de la naturaleza
y a la reflexión filosófica por igual: “Como ningún otro problema, el del infinito ha
inquietado desde los tiempos más remotos el ánimo de los hombres. Ninguna otra idea
ha sido tan estimulante y fructífera para el entendimiento. Pero, como ningún otro
concepto, requiere de precisión y esclarecimiento satisfactorios.”38
No pretendemos repetir los argumentos de Hilbert en defensa del infinito actual de la
teoría cantoriana, ni abundar en su carácter ideal. En vez de ello, habremos de precisar
la manera en que ésta y otras nociones ideales se enlazan con una matemática que
se ocupa de objetos y propiedades de objetos concretos, y cuya fuente la encuentra
Hilbert no en una actividad introspectiva como Brouwer, sino en ciertas formas de
nuestra intuición sensible.
4.2.3.
La matemática clásica
Según Hilbert, la matemática clásica comprende dos tipos de nociones: descriptivas e
ideales. Grosso modo, las nociones descriptivas corresponden a objetos y construcciones concretas en la esfera de la sensibilidad. Por el contrario, las nociones ideales son
ideas de razón que trascienden el ámbito de la sensibilidad e incluso de toda experiencia; su función es completar las teorías matemáticas. Entre las nociones ideales no sólo
se encuentra el infinito actual, sino ciertos principios lógicos que no se pueden justificar
con base en consideraciones intuitivas. Por ejemplo, el principio del tercero excluido.39
Tales principios hacen las veces de enunciados ideales que, sin ser susceptibles de una
verificación directa, complementan el aparato demostrativo a fin de preservar las leyes
de la lógica aristotélica. Para entender mejor estas ideas conviene atender la exposición
“Si al resumir se necesita una frase breve que describa el centro vital de las matemáticas, uno bien puede
decir: matemáticas es la ciencia del infinito.” [Weyl, 1949. Cita tomada de la traducción al español, p. 73].
36 Hilbert, op. cit., p. 85.
37 Hilbert, op. cit., p. 90.
38 Hilbert, op. cit., p. 85.
39 Como ya lo hemos visto, dado un dominio infinito X y una propiedad P aplicable a sus elementos, la
aceptación incondicional del principio del tercero excluido consiste en asumir que o bien la propiedad
P se cumple para todos los elementos de X, o bien existe un objeto en X para el que no se cumple P,
aunque no se cuente con los medios para inclinarse en favor de alguno de los términos de esta alternativa.
Al respecto véanse las consideraciones hechas en la sección 3.8.1.
206
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
que hace Hilbert de la teoría elemental de los números, “la criatura más pura e ingenua
del espíritu humano.”40 Dicha exposición permite delimitar en parte el alcance de los
métodos matemáticos que él llama finitistas, y entender a qué se refiere Hilbert cuando
habla de una matemática que trata con objetos y propiedades de objetos concretos.
La teoría elemental de los números. Consideremos una fórmula numérica cualquiera,
como, por ejemplo, la igualdad
n
∑i = 1+2+3+...+n =
1
n(n + 1)
2
(4.1)
En ella, la variable n se puede reemplazar por un número natural cualquiera como,
por ejemplo, 7 ó 586, por lo que en realidad la fórmula contiene una infinidad de
enunciados. “Esto es precisamente lo esencial de la misma, y es gracias a ello que
puede representar la solución de un problema numérico [en este caso, el de encontrar
una expresión para la suma de los primeros n números naturales] y requerir de un
genuino argumento aritmético para su prueba.”41 Por contraste, toda ecuación numérica
particular como
1+2+3+...+7 =
7·8
2
ó
1 + 2 + . . . + 586 =
586 · 587
2
se puede verificar directamente llevando a cabo las operaciones indicadas, por lo
que ninguna de ellas tiene, por sí misma, un interés especial. En otras palabras: la
verdadera riqueza de la teoría aritmética radica, no en sus enunciados de carácter
particular, sino en aquellos de carácter general de los que los primeros se obtienen
como casos específicos, y en la posibilidad de establecer vínculos deductivos entre
todos ellos (a esto es a lo que se refiere Hilbert cuando habla de un “genuino argumento
aritmético.”42 )
Tenemos, por tanto, una primera división de los enunciados de la teoría aritmética en
dos clases: por un lado, los que se pueden verificar directamente (v. gr., igualdades
y desigualdades numéricas) y por el otro, enunciados de carácter general que sólo
se pueden establecer mediante una prueba. Esto nos lleva a dos problemas: al del
significado de los enunciados aritméticos y al de los métodos de prueba admisibles.
40 Hilbert,
op. cit., p. 88.
ibid.
42 Por ejemplo, de la fórmula (4.1) se sigue que n + 2n + 3n + . . . + n2 = 1 (n3 + n2 ), otro enunciado de
2
carácter general. El argumento se basa en el hecho de que n + 2n + 3n + . . . + n2 = n(1 + 2 + 3 + . . . + n).
En este caso el “genuino argumento aritmético” mediante el cual se establece la segunda igualdad consiste
en un cálculo algebraico que lleva de la primera identidad a la segunda.
41 Hilbert,
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
207
¿Sobre qué base se establece el saber aritmético? No nos referimos a la teoría axiomática de Peano que, como hemos visto, no es sino la ordenación de diversos hechos
aritméticos que le son previos. Nos referimos más bien a la formación de la teoría
aritmética: ¿de qué trata?, ¿a qué clase de objetos se refiere?, ¿bajo qué circunstancias
decimos que sus enunciados son verdaderos? Para Hilbert, esta teoría tiene un objeto
de estudio que se puede representar en el ámbito de la sensibilidad. Se trata de los
numerales
| ||
||| |||| |||||
···
los cuales se caracterizan por el hecho de que a cada trazo | siempre le sigue, si
acaso, otro trazo igual. Estos numerales carecen de significado, pero podemos formar
enunciados significativos acerca de ellos con la ayuda de otros signos, que sirven
como abreviaturas (por ejemplo, el signo 2 como abreviatura de ||, el signo 3 como
abreviatura de |||, etc.) o para comunicar información (como, por ejemplo, los signos <,
=, +, etc.). Así, por ejemplo, un enunciado como “7 + 5 = 12” es una comunicación
que nos dice que 7 + 5 y 12 son (tomando en cuenta las abreviaturas utilizadas) el
mismo numeral.43
Estos signos adicionales incluyen letras como m, n, p, k, etc. para representar numerales
cualesquiera.
Llamemos números a estos objetos (es decir, a los numerales). En esta teoría es posible
llegar a resultados de alcance general. Por ejemplo, con base en inferencias materiales
que comprenden a la manipulación de trazos y un argumento de carácter inductivo se
pueden demostrar enunciados como
n+m = m+n
que expresa la igualdad entre dos numerales en su forma general. El argumento
requerido para ello no es de carácter hipotético, sino que se basa en consideraciones
43 Las convenciones son más o menos obvias: a = b significa que los numerales a y b tienen la misma
longitud o cantidad de trazos, es decir, que al eliminar simultáneamente un trazo de cada uno de ellos
una y otra vez, se agotan al mismo tiempo. En cambio, si al agotarse los trazos de uno de los numerales,
digamos a, aún quedan algunos trazos de b, entonces escribimos a < b. A su vez, a + b denota el numeral
que resulta de concatenar los numerales a y b, y a · b es el numeral que resulta de sustituir cada uno de los
trazos de a con la figura b (es decir, por el numeral denotado con b). Por ejemplo, el numeral 2 · 3 es el
numeral 6, que se obtiene así:
||
||| |||
=
||||||
Nótese que por el modo en que se construye la teoría, un enunciado como “7 + 5 = 12” es sintético a
priori, pues la construcción tiene lugar en la intuición pura y es independiente de la experiencia. Hilbert
no elimina el apriorismo kantiano, sino que lo sitúa en la más reducida esfera del Anschauung.
208
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
estrictamente constructivas. Hilbert y Bernays se refieren a este tipo de razonamientos
como inferencias finitistas [das finite Schließen].44 “Utilizaremos la palabra “finitista”
para indicar que la discusión, afirmación o definición en curso se mantiene dentro de
los límites de la plena realización de los objetos y que, en conformidad, se puede llevar
a cabo dentro del dominio de la inspección concreta.”45
Todas las definiciones que hemos visto con relación a los numerales son finitistas
y podemos dar una interpretación finitista de los dos procedimientos aritméticos de
prueba y definición más importantes: nos referimos a las definiciones por recursión y a
las pruebas por inducción matemática.
Inducción. Una prueba por inducción de un teorema A(n) debe proporcionar los
medios para verificar A(n) para cualquier numeral n en un número finito de pasos,
número que se puede acotar de antemano.
Recursión. Una definición recursiva de una función f (n) debe indicar cómo evaluar
f (n) para cualquier numeral n en un número finito de pasos previamente acotado.46
Con estos procedimientos a la mano es posible expresar en términos finitistas los
argumentos usuales con los que se establecen las leyes conmutativa, asociativa y
distributiva de la suma y la multiplicación, introducir las nociones de divisor y número
primo, y demostrar el teorema fundamental de la aritmética, según el cual todo número
entero es representable de una y sólo una manera como un producto de factores
primos.47
El transfinito. Algo esencial al razonamiento finitista es que los objetos considerados
sean producibles, al menos en principio, en el ámbito de la percepción, y que no
admite ningún procedimiento de definición o de cálculo a menos que éste termine
en un número finito de pasos y se pueda fijar de antemano una cota a tal número.48
Obviamente, estas limitaciones se convierten en una pesada carga cuando se adopta
el punto de vista finitista con relación a proposiciones que contienen cuantificadores.
Por ejemplo, un enunciado ∀nA(n) se debe entender como significando que, para cada
numeral n, se puede demostrar finitariamente que la proposición A(n) es verdadera; a
su vez, un enunciado ∃nA(n) sólo se puede declarar cuando se conoce un numeral n
para el que A(n) es verdadero o al menos se cuenta con un procedimiento efectivo para
calcular tal numeral en un número predeterminado de pasos.
44 Hilbert
y Bernays, 1934, p. 32.
y Bernays, ibid. Más adelante intentaremos una caracterización más precisa de esta clase de
argumentos.
46 Para un comentario más extenso sobre la inducción matemática y las definiciones por recursión,
véase el apéndice J.
47 Este teorema es fundamental en la demostración de los teoremas de incompletud de Gödel, y el
hecho de que pertenezca a la aritmética recursiva lo ha convertido en un instrumento esencial de la teoría
de la representación.
48 En otras palabras, los objetos de la matemática finitista se construyen, no se postulan, y su construc√
ción no es parcial. Por ejemplo, 2 no es un objeto de esta índole, aunque se cuenta con una regla para
aproximarlo tanto como se desee. Por el contrario, en la matemática clásica lo que se hace es tomar la
sucesión (infinita) de aproximaciones como el número mismo (su cortadura).
45 Hilbert
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
209
Por ejemplo, la afirmación de que hay una infinidad de números primos no es finitista.
Este teorema lo podemos expresar así (donde p(n) significa “n es primo”):
∀m∃n(p(n) ∧ m < n)
(4.2)
En el libro IX de los Elementos, Euclides establece este teorema en una forma más
precisa, y siguiendo un procedimiento que marcha acorde con el punto de vista finitista.
Lo que él demuestra es que si p es un número primo, entonces entre p + 1 y p! + 1
existe al menos otro número primo (de donde se sigue la infinitud del conjunto formado
por tales números).49 Nótese que el teorema que demuestra Euclides [proposición
IX.20] dice algo más que (4.2), pues señala el rango donde se halla el siguiente número
primo. En tal caso la fórmula (4.2) se puede sustituir por
∀m∃n(p(n) ∧ m < n ≤ m! + 1)
(4.3)
Nótese que en este caso el enunciado ∃n(p(n) ∧ m < n ≤ m! + 1) puede sustituirse con
p(m + 1) ∨ p(m + 2) ∨ . . . ∨ p(m! + 1)
de corte finitista. Con relación a (4.3), el más impreciso enunciado (4.2) representa un
salto al transfinito. En efecto, si quisiéramos eliminar el cuantificador existencial en
(4.2), lo que obtendríamos sería un seudoenunciado infinito
p(m + 1) ∨ p(m + 2) ∨ . . . ∨ p(m! + 1) ∨ p(m! + 2) ∨ . . .
con una infinidad de términos y sin interpretación finitista. Hay que tener claro que
un enunciado como ∃n(p(n) ∧ m < n) no se puede interpretar como una expresión
compuesta por una infinidad de aseveraciones enlazadas por la conectiva “∨” (la palabra
“o”).50 Más bien, lo correcto es interpretarlo como un enunciado hipotético que afirma
algo toda vez que ya tengamos un numeral (es decir, toda vez que conozcamos un
número primo mayor que m). De hecho, los enunciados que denominamos puramente
existenciales, en los que se afirma la existencia de un objeto dentro de una infinidad de
posibilidades y sin saber cuál es, son enunciados ideales. Tienen la característica de que
49 En general, n! denota al número que resulta de multiplicar entre sí todos los números positivos
menores o iguales que n:
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n
50 Es decir, nos topamos con el transfinito cuando tratamos con enunciados existenciales que no
corresponden a una disyunción finita, al igual que lo hacemos con los enunciados universales que no
corresponden a una conjunción finita. Un ejemplo de ello es el siguiente enunciado: Si a y b son primos
relativos entre sí, entonces existe un número natural n tal que an + b es un número primo.
210
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
no comunican de manera inmediata ningún contenido y por lo general se demuestran
por reducción al absurdo.51
Métodos finitistas y no finitistas. Como consecuencia de todo lo anterior tenemos
que, desde la perspectiva finitista, no es lícito utilizar indiscriminadamente el principio
del tercero excluido, según el cual o bien hay un número primo mayor que m o no lo hay.
De la misma manera, la interpretación finitista de ciertos enunciados no elementales
que contienen negaciones es muy complicada,52 llegándose a extremos tan alarmantes
como la imposibilidad de negar enunciados tan simples como ∀m∀n(m + n = n + m).
Someterse a tales limitaciones tendría terribles consecuencias para la teoría aritmética.
Por ejemplo, un teorema tan simple como el Postulado de Bertrand 53
Para todo número n, existe un número primo p tal que n < p ≤ 2n
no tendría cabida en ella, pues las únicas pruebas conocidas son por reducción al
absurdo,54 y este tipo de argumentos sobrepasan el tratamiento intuitivo y concreto de
los numerales. En palabras de Hilbert:
Podemos concluir entonces que cuando permanecemos, tal y como estamos
obligados a hacerlo, en la esfera de los enunciados finitos, dependemos
de relaciones poco claras, y esta ausencia de claridad se convierte en algo
intolerable cuando el “todos” y el “existe” se combinan en enunciados
subordinados. Como sea, las leyes lógicas utilizadas por el ser humano desde
que éste tiene la capacidad de pensar y que Aristóteles nos ha enseñado no
tienen aquí validez.
Así las cosas, podríamos proponernos como tarea inicial la determinación
explícita de las leyes lógicas que son válidas para la esfera de las proposiciones finitarias. Sin embargo, esto no bastaría, pues, en realidad, lo que no
51 A este tipo corresponden el axioma del supremo y el teorema del valor medio. El primero afirma que
todo conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene una mínima cota superior. El
segundo asevera que si f : [a, b] → R es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces
existe un número c en este último intervalo con la propiedad de que
f (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Un ejemplo de esta clase de enunciados en la teoría de números es el siguiente: Si a y b son dos números
primos relativos entre sí, entonces existe un número n tal que an + b es primo.
52 Por enunciado elemental entendemos cualquier enunciado que no contiene ni variables ni cuantificadores, y que sólo trata de igualdades y desigualdades numéricas.
53 Agradezco al Dr. José Antonio Robles el siguiente comentario. Ante mi desconcierto sobre por
qué a este teorema se le llama postulado, El Dr. Robles me explicó que en 1845 Joseph L. F. Bertrand
(1822-1900) formuló este enunciado sin demostración, llamándosele quizá por ello “postulado”, y que
fue P. L. Tchebychef (1821-1894) quien finalmente lo demostró en 1850. Como referencia me dio la
siguiente: (Boyer 1968, p. 551).
54 Es decir, mediante un argumento de la forma: “supongamos que hay un número n para el que no se
cumple esta propiedad” a partir de lo cual se deduce una contradicción. (v. la sección 3.8.1).
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
211
queremos es renunciar al uso de las sencillas leyes de la lógica aristotélica, y
nadie, no importa qué tan persuasivamente argumente, podrá impedir que
los hombres continúen negando afirmaciones de todo tipo, haciendo juicios
parciales y aplicando el principio del tercero excluido. Pero entonces, ¿cuál
será nuestra actitud?55
La respuesta la encuentra en la matemática misma, donde ya se han presentado situaciones igualmente difíciles con anterioridad. Exclama: “ha sido el genial método
de los elementos ideales el que en tales circunstancias nos ha salvado.”56 Hilbert se
refiere a la incorporación
de “objetos” como los puntos al infinito en geometría o el
√
número i = −1 en el álgebra, que sin corresponder a nada en la “realidad” estudiada,
permitieron simplificar las leyes al dar uniformidad a su tratamiento.57
En la matemática clásica se hacen presentes dos tipos de elementos ideales: por una
parte, ciertos enunciados cuya función es conservar las reglas de la lógica aristotélica
en su simplicidad original; por la otra, ciertas nociones imaginarias (v. gr., la de infinito
actual) que permiten introducir principios demostrativos como el axioma de elección.
Al respecto dice lo siguiente:
Para estar seguros, el método de los elementos ideales está sujeto a una sola
condición que le es indispensable, y ésta es la prueba de consistencia; pues
la extensión [de una teoría] mediante la adición de elementos ideales es
legítima sólo si en el viejo y más estrecho dominio no se introduce ninguna
contradicción, esto es, si las relaciones que resultan para los viejos objetos
cuando se eliminan los objetos ideales son válidas en el viejo dominio.58
Como veremos, la manera en que Hilbert pretende probar la consistencia de la teoría
que resulta al extender la matemática finitista mediante nociones ideales es sumamente
ingeniosa y tiene como base la estricta formalización de la teoría.59
Para finalizar, algunos comentarios.
55 Hilbert,
1925. Cita tomada de la traducción al español, pp. 99-100.
ibid.
57 En las secciones 1.7.1 y 1.7.2 ya hemos tocado estas cuestiones. Como complemento, el lector haría
bien el leer en apéndice K, donde hallará un extenso comentario acerca de estas nociones.
58 Hilbert, 1928. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 471.
59 Creemos que para Hilbert la matemática es, en última instancia, una actividad humana que reviste
cierto gozo, y si hubiera que pasar por todas las limitaciones que Brouwer impone, muy pocos querrían
ser matemáticos. Junto a esto considera que mientras no se exhiba una contradicción en la matemática
clásica, pocos estarán dispuestos a abandonar las leyes usuales de la lógica, que con elegancia y economía
de pensamiento permiten un rápido avance. Obviamente, proceder de esta manera implica desbordar el
cauce de la matemática finitista, cuyos métodos operan como una camisa de fuerza. Frente a este dilema
Hilbert se impone una tarea: la de conciliar los métodos y conceptos de la matemática finitista con los
métodos y las nociones ideales de la matemática transfinita mediante una prueba de consistencia. Al
respecto, véase el tercer comentario al final de esta sección y el siguiente apartado.
56 Hilbert,
212
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
1. Hilbert jamás explicó con exactitud lo que es la matemática finitista. No obstante,
por lo que dice en sus escritos debemos entender que se trata de una teoría de
naturaleza puramente combinatoria, que trabaja con configuraciones de objetos
finitos y discretos que se pueden representar de manera concreta, e inspeccionar
en todas sus partes.
En este sentido, la aritmética que aprendemos en la escuela primaria se puede
considerar como típicamente finitista: trata de los números naturales y ciertas
operaciones específicas con ellos (v. gr., la suma y la multiplicación) y tiene un
carácter enteramente combinatorio. Por ejemplo, aprender a “sumar” consiste en
asimilar, en el contexto del sistema decimal, ciertas reglas combinatorias y ciertos
algoritmos que permiten obtener la representación decimal de “la suma” de dos
números a partir de la representación decimal de estos últimos.
2. En 1958, Gödel precisó las características que debería tener una noción para no
ser finitista, delimitando de este modo el alcance de la matemática finitista. Dice
que por nociones abstractas (o no intuitivas) debemos entender nociones que son
esencialmente de segundo orden o de orden superior, es decir, que no encierran
propiedades o relaciones de objetos concretos (por ejemplo, combinaciones de
signos), sino que se relacionan con construcciones mentales (por ejemplo, demostraciones, enunciados significativos, etc.). De la misma manera, una demostración
es no finitista cuando en ella hacemos uso de discernimientos que resultan, no de
las propiedades combinatorias (espacio-temporales) de combinaciones de signos,
sino sólo de su significado (v. Gödel, 1958).
Si bien no se tiene una definición rigurosa de la misma, es claro que la matemática
finitista sólo trata con objetos eventualmente perceptibles. Se trata de un dominio
en el que la evidencia descansa en la intuición sensible y las demostraciones se
apoyan en exclusiva en la consideración de objetos concretos (combinaciones de
signos, por ejemplo) y sus relaciones mutuas. Por esta razón en la matemática
finitista no se acepta ningún tipo de evidencia abstracta como, por ejemplo, la
relacionada con las demostraciones de existencia por reducción al absurdo o con
la noción de construcción mental. En otras palabras, las pruebas consideradas en
este dominio sólo hacen referencia a las propiedades (espacio-temporales) de las
combinaciones de signos consideradas y su único punto de apoyo es la intuición
del signo.
En el capítulo 5 volveremos a este tema, una vez que hayamos introducido el
concepto de predicado recursivo, con cuya ayuda podremos aproximar la noción
de enunciado finitista con mayor exactitud.
3. Como sabemos, Hilbert pretende conciliar las nociones descriptivas de la matemática clásica con las leyes de la lógica aristotélica y las nociones transfinitas
de Cantor mediante una prueba de consistencia. Tal como lo señala Stephan
Körner,60 esta idea es de extracción kantiana, y si bien Hilbert no hace ninguna
60 Cf.
Körner, 1960, cuarto capítulo.
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
213
referencia a Kant en lo tocante a esta cuestión, el principio del que parte para la
reconciliación –probar su consistencia– ya se encuentra en la Crítica de la razón
pura.
Por ejemplo, en la tercera antinomia de la razón pura Kant aborda el conflicto
entre la libertad y la ley natural. Por libertad, Kant entiende la independencia
de toda causalidad, la autodeterminación; en cambio, por ley natural entiende
el principio según el cual todo cuanto sucede posee una causa: dos ideas en
oposición aparente.
Este problema reviste cierta importancia. Por una parte, Kant debe dar cuenta
de la libre voluntad del hombre, cuyos actos aparecen como resultado de una
autolegislación (la ley moral) que se halla por encima de las leyes naturales; por
la otra parte, Kant debe respetar la física de Newton, fundada en la noción de
causa: dos ideas en aparente conflicto.
La propuesta de Kant consiste en afirmar que la noción de libertad es una idea
pura, trascendental, que no contiene nada proveniente de la experiencia y que
no puede aplicarse a ella.61 Por el contrario, la física de Newton es un sistema
integrado por nociones aplicables primordialmente a objetos concretos. Según
Kant, este sistema se puede ampliar mediante nociones ideales siempre y cuando
la extensión se haga de manera coherente, es decir, a condición de que las nociones
con que se amplía no entren en conflicto con ella. Ésta es, precisamente, la tarea
que se impone para solucionar el aparente conflicto: probar que naturaleza y
libertad son compatibles, mostrando que ambas alternativas se pueden cumplir
simultáneamente y desde un punto de vista distinto en un mismo acontecimiento,
sin contradecirse.62
En clara semejanza con Kant, Hilbert sostiene que la extensión de la matemática
finitista mediante nociones ideales está sujeta a la condición de que el sistema
extendido sea no contradictorio.
4. En 1930 Paul Bernays, principal colaborador de Hilbert en esta empresa, puntualizó su posición (y la de Hilbert) con relación a la proyectada prueba de
consistencia.63
Por el lado filosófico, Bernays rebate la idea de que una prueba de consistencia
de la aritmética justifica por sí misma la introducción de nociones ideales en la
teoría.64 Dice al respecto que sería injusto imputarles tal determinación, pues ha
sido la ciencia aritmética la que ha llevado a cabo tal incorporación, siendo la
61 Kant
denomina ideas de razón a las nociones cuyos objetos no pueden ser dados en ninguna
experiencia posible. Al respecto, admite la posibilidad de extender el conocimiento mediante la adjunción
de nociones ideales a condición de que el sistema amplificado no sea contradictorio. No obstante, advierte
que tal extensión no acrecienta el conocimiento teórico y que su función es meramente práctica, cuestión
en la que Hilbert está de acuerdo, como en seguida veremos.
62 V. CRP, La antinomia de la razón pura, III.
63 Bernays, 1930.
64 Aquí por ‘aritmética’ Bernays entiende la combinación de la teoría de funciones, la teoría de los
214
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
prueba de consistencia el único requisito que falta por cubrir. De lo que se trata,
afirma, es de resguardar el principio de conservación (“permanencia”) de las leyes
sobre el que se erige el edificio de la aritmética, el cual es sumamente importante
para la sistematización científica en general. En este caso (el de la aritmética),
el principio se manifiesta bajo la idea de la aplicabilidad ilimitada de las formas
lógicas de juicio e inferencia usuales y la demanda de una formulación puramente
objetiva de la teoría, libre de toda referencia a nuestra cognición.65
Señala que la aritmética desarrollada de esta manera ha sido sistemáticamente
exitosa, fructífera y coherente en sus conclusiones, lo que la convierte en un
sistema idóneo para tratar con sobriedad las relaciones entre los números y las
magnitudes. Al respecto, lo único que falta en su opinión es reemplazar la mera
evidencia empírica de su coherencia con un auténtico conocimiento de la misma.
Este es el verdadero y único propósito de la prueba de consistencia. Al respecto,
sostiene que pedir como condición para desarrollar la teoría que primero se pruebe
su consistencia constituye un error. No se trata de “darle vida” de esa manera
(más bien, son los matemáticos quienes se la han dado en la práctica), sino de
ofrecer un fundamento lógico para la misma. En otras palabras: El verdadero
propósito es alcanzar la certeza racional de que el edificio no será socavado por
la incoherencia de sus consecuencias. En este sentido, probar la consistencia es
tanto como ofrecer un argumento final de que la lógica clásica y la noción de
infinito se pueden desarrollar sistemáticamente de manera confiable.
Creemos importante subrayar el lugar que Hilbert y Bernays le otorgan en ese
momento (1930) a la prueba de consistencia de la matemática clásica, el cual ya
no corresponde a la postura adoptada por Hilbert hacia 1900. Ya no se trataba de
asegurar la existencia matemática de los entes considerados, como lo propusiera
Hilbert en una carta dirigida a Frege en 1899: “De la verdad de los axiomas usted
deduce que no pueden contradecirse entre sí, mientras que yo, por mi parte, creo
lo contrario, que cuando los axiomas no se contradicen entre sí, por ese motivo
son verdaderos, y por ese motivo los objetos que definen existen.”66 (Esta cuestión
ya fue tratada en la sección 1.7.2). Ahora se trataba simplemente de ofrecer un
argumento concluyente de que la incorporación de nociones ideales en la teoría
no produce efectos indeseados en ella.
En cuanto a la matemática finitista Bernays dice algo más: Que una vez lograda la
prueba de consistencia, nadie podría dudar de los resultados obtenidos a partir de
los postulados de la aritmética, pues sus consecuencias jamás podrían contradecir
un hecho reconocible en forma intuitiva como verdadero: “[. . . ] cuando reconocemos la consistencia de la aplicación de estos postulados, se sigue de inmediato
que sus consecuencias intuitivamente significativas (i. e., significativas en la matenúmeros y el álgebra, “una teoría sin igual [. . . ], un aparato conceptual completo y exhaustivo que se
halla al centro de las teorías científicas”.
65 Bernays, ibidem, p. 35.
66 Frege, 1980, pp. 38-41.
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
215
mática finitista) nunca podrán contradecir un hecho reconocible intuitivamente.
En el caso de los enunciados finitistas, la determinación de su no refutabilidad
equivale al establecimiento de su verdad.” (Bernays, 1930, p. 36).
Bernays se apoya en la idea de que todo lo reconocible como verdadero en la
matemática finitista es demostrable en el sistema aritmético. De otro modo podría
suceder que el sistema probara enunciados finitistas falsos sin incurrir por ello en
contradicciones (simplemente, la negación de lo demostrado no sería un teorema
del sistema). Ésta y otras consideraciones similares dieron lugar en tiempos
recientes a una polémica en torno al carácter de la extensión de la matemática
finitista que Hilbert defiende. Por ejemplo, se discute sobre si la extensión es
meramente instrumental.
Por lo que a nosotros respecta, debemos diferir tales discusiones hasta el siguiente
capítulo, pues éstas se apoyan en nociones y resultados que aún no hemos introducido como, por ejemplo, las de lenguaje de primer orden, sistema formal, cálculo
lógico, predicado recursivo y extensión no creativa, así como en los teoremas
limitativos de Kurt Gödel. Si bien en el siguiente apartado diremos algo respecto a
este tema, su estricta consideración sólo será posible una vez llenados tales vacíos.
Aún así, podemos fijar nuestra postura: si bien la extensión de la matemática
clásica se puede entender como meramente instrumental, en términos generales
la idea de la consistencia como única exigencia a toda teoría matemática sigue
siendo válida, pues en el fondo de lo que se trata es de no tejer en el vacío, y nada
más. Otra cosa es que eso no lo podamos probar como Hilbert pretende.
4.2.4.
Un cambio en el punto de vista
Entre el pensamiento de Hilbert en 1904 y el de la década de los años 20 hay grandes
similitudes y diferencias. En ambos casos encontramos la misma convicción, la misma
seguridad de que a la matemática se le puede dar un fundamento seguro. Sin embargo,
en el segundo caso se percibe otra actitud, otra intención. Esencialmente, observamos
dos diferencias. Por una parte, el reconocimiento de que la matemática tiene un
objeto de estudio que le es asegurado independientemente de la lógica; por la otra, la
sustitución del problema de la existencia matemática con la idea de que la matemática
transfinita no es sino un recurso o método para probar enunciados finitistas. Por
ejemplo, en ningún lugar de la conferencia dedicada a la noción de infinito en 1925
Hilbert menciona la necesidad de asegurar la existencia de conjuntos infinitos mediante
una prueba de consistencia. Más bien, lo que a la sazón le preocupaba era probar la
legitimidad y conveniencia de una matemática que con mucho había sobrepasado los
límites impuestos por la evidencia intuitiva. Esto se lograría, en sus propias palabras,
“mostrando que los modos de inferencia que emplean al infinito se pueden reemplazar
por métodos finitos que lleva a los mismos resultados.”
Como ya lo hemos señalado, esto equivale a entender la extensión de la matemática
finitista propuesta por Hilbert como un mero aparato formal que facilita la prueba de
216
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
enunciados finitistas y nada más. Como veremos, esto lo afirma o sugiere en varios
pasajes de su obra.
Para resumir: en [Hilbert, 1925] y [Hilbert, 1927], Hilbert sostiene que la matemática
clásica es el resultado de adjuntar a la matemática finitista nociones y proposiciones
ideales, junto con la maquinaria deductiva necesaria para preservar la lógica aristotélica.
Esta situación se presenta a partir de la aritmética de los números naturales, la cual
contiene enunciados ideales que nada significan por sí mismos y enunciados finitistas
(ecuaciones e inecuaciones numéricas y combinaciones de éstas) que constituyen los
enunciados reales de la teoría. Todos estos enunciados son gobernados por las mismas
reglas de la lógica clásica. No está de más repetirlo, los enunciados ideales tratan con
objetos y nociones ideales que no corresponden a nada en el ámbito de la sensibilidad
o de la experiencia.67
Hilbert sostiene que la importancia de este procedimiento radica en que permite
extender y completar las teorías matemáticas, yendo más allá de lo que garantiza el
pensamiento intuitivo.68 En tales casos lo que procede no es discutir si la matemática
está en posibilidad de conocer un mundo trascendente, sino considerar la teoría como
un todo. Por ejemplo, lo que se debe esperar de la matemática clásica es que ésta
conduzca a resultados numéricos correctos en las aplicaciones, sin tener en cuenta si
para ello hubo de realizar una digresión por el infinito. Éste es precisamente el problema
que a la sazón preocupa a Hilbert y que pretende resolver: si la matemática clásica es
consistente, en ella no se podrán derivar proposiciones aritméticas falsas, pudiéndose
confiar plenamente en ella. Es más, el éxito en esta empresa convertiría a la matemática
clásica en un método de prueba para el intuicionismo, y la adjunción de nociones y
proposiciones ideales probaría ser una poderosa herramienta que permitiría desarrollar
la teoría con facilidad, dándole uniformidad y una base lógica independiente de la
experiencia. Éste es el modo en que Hilbert intenta conciliar la matemática transfinita
con la matemática finitista y refutar las críticas de Brouwer.
A continuación se muestra de manera esquemática la idea que tiene Hilbert de la
matemática clásica.69
67 Cf.
Hilbert, 1927, página 470 de la traducción al inglés.
significa, entre otras cosas, que tras su adopción no se debe esperar que cada proposición
matemática sea verificable de manera individual.
69 Explicación de la figura. La matemática finitista forma parte de la matemática intuicionista, mas no se
puede decir que coincida con ella, pues la segunda puede incorporar métodos que no corresponden a nada
que esté dado en la intuición sensible. Por ejemplo, una demostración puede depender en exclusiva de
construcciones del pensamiento (las aducidas por Brouwer), que sólo tratan con la posibilidad de disponer
de objetos con ciertas características específicas. En casos como éste la seguridad de la construcción
no necesariamente depende de intuiciones ligadas a la sensibilidad, sino de otro tipo de certezas como,
por ejemplo, las basadas en el significado de ciertos conceptos. La figura también incorpora la idea
de que la prueba de un enunciado finitista P (un enunciado intuicionista Q) puede dar un rodeo por la
matemática transfinita, sugiriendo con ello que para Hilbert la extensión se puede pensar como un método
de demostración, y que en ello radicaría el valor de las nociones ideales.
68 Esto
4.2. L A NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA SEGÚN H ILBERT
217
Figura 4.1. Esquema de la matemática clásica según Hilbert.
Para Hilbert y Bernays la matemática finitista consiste en una especie de “reflexión
directa acerca de un contenido que procede sin presupuestos axiomáticos y por medio
de experimentos mentales sobre objetos imaginados en toda su concreción.”70 La
diligencia de colocar esta forma de pensamiento al centro de la matemática es una
abierta concesión a Brouwer, quien al igual que Kant le otorga primacía a la intuición
y a la argumentación constructiva. En la matemática finitista nada hay que amenace
la certeza de las conclusiones, ni existe la posibilidad de llegar a conclusiones discordantes. Aduce para ello que en la esfera de lo perceptible no hay lugar para la
contradicción: “Siempre he creído que lo único que puede dar lugar a contradicciones
son las afirmaciones y las hipótesis, en tanto que conduzcan, por medio de inferencias,
a otras afirmaciones, por lo que la idea misma de una contradicción entre los hechos
me parece un ejemplo paradigmático de descuido conceptual y absurdo.”71
Lo que Hilbert rechaza es que la matemática tenga como límite la esfera de lo intuitivo:
éste es el sitio de discrepancia con Brouwer y de coincidencia con Cantor. Es más,
considera que las propuestas de Brouwer y Kronecker son imposiciones arbitrarias que
fijan límites a la matemática con base en concepciones filosóficas inadmisibles, pues la
matemática se puede asegurar sin renunciar a sus conquistas ni recurrir a nada extraño.
Esta postura se revela con toda claridad en el siguiente pasaje:
La matemática es una ciencia sin presuposiciones. Para fundamentarla no
necesito a Dios, como lo hace Kronecker, ni la suposición de una facultad
especial de nuestro entendimiento en consonancia con el principio de inducción matemática, como lo hace Poincaré, o la intuición primaria de Brouwer,
ni, finalmente, como lo hacen Russell y Whitehead, axiomas de infinitud,
reductibilidad o completud que de hecho son suposiciones materiales que no
se pueden compensar con pruebas de consistencia.72
70 Hilbert
y Bernays, 1934, p. 32.
1925, p. 85. En efecto, si la matemática se restringiera –como en este caso– a la descripción
de objetos concretos y a las relaciones lógicas entre tales descripciones, entonces ninguna antinomia
podría producirse en ella.
72 Hilbert, 1927. Cita tomada de la traducción al inglés, pp. 464-479. En breve: para darle una base
71 Hilbert,
218
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
La teoría cantoriana no es conocimiento de nada, pero es una extensión de una teoría
que sí es conocimiento de algo, aunque ese “algo” pertenezca a una esfera muy
reducida: se trata de objetos que podemos producir en el ámbito de la sensibilidad.
Con ello Hilbert evita incurrir en suposiciones de carácter incierto a la vez que niega la
vacuidad de las matemáticas. Más allá de este contenido mínimo, ni siquiera la lógica
está presupuesta: los modos de argumentación prevalecientes entre las proposiciones
finitistas nacen de la naturaleza de los objetos considerados. Asimismo, la ampliación
de la lógica finitista a la lógica clásica no tiene como base consideraciones de orden
metafísico u ontológico, sino un argumento que se escuda en la brevedad y economía
de pensamiento.
En cuanto a la conformación del programa de Hilbert, si bien no hemos faltado ni
un ápice a la verdad, tampoco hemos narrado la historia completa. Para apreciar el
verdadero sentido del proyecto (el cual transita por la reducción de la matemática
clásica a un mero juego simbólico), debemos primero saber de la creencia de Hilbert
en la certeza absoluta del razonamiento finitista, del lugar que le asigna a la lógica y
de las condiciones que hacen posible el pensamiento matemático efectivo, así como
detallar el radicalismo epistemológico al que Hilbert finalmente llegó y frente al cual
el intuicionismo parece un derroche.
4.3.
La intuición del signo
Hilbert nunca dejó de insistir en la vía axiomática como único camino para resolver el
problema de los fundamentos. En 1922 esto lo expresó con las siguientes palabras:
El objetivo que nos hemos propuesto es entonces el de dar un fundamento
seguro a las matemáticas. Nuestra intención es devolver a nuestra disciplina el
antiguo prestigio de consistir de verdades indiscutibles, del que las paradojas
de la teoría de conjuntos parecieron despojarla. Tenemos la firme convicción
de que esto es realizable y que no significa ningún tipo de renuncia a sus
partes constitutivas. El método adecuado para la realización de estos fines es,
por supuesto, el método axiomático.73
Para entonces Hilbert estaba convencido de dos cosas: primero, que la axiomática y el
intuicionismo no eran incompatibles, como sostuvieran Weyl y Brouwer;74 segundo,
que para resolver el problema de los fundamentos no había que salir de la matemática,
sino probar su consistencia al interior de ella misma.
segura a la matemática no es necesario recurrir a suposiciones como que es obra de Dios, que poseemos
facultades especiales o que ésta está referida a un mundo inmaterial de esencias matemáticas.
73 Hilbert, 1922. Cita tomada de la traducción al español, p. 41.
74 Hilbert incluso va más allá de esto, al asegurar, respecto a las tendencias constructivistas, que la vía
axiomática es la única capaz de hacerles justicia. Cf. Hilbert, 1922, p. 41 de la traducción al español.
4.3. L A INTUICIÓN DEL SIGNO
219
En la filosofía sí ha sido reconocida la importancia del problema de la
consistencia de los axiomas de un sistema. Sin embargo, en la literatura
existente al respecto no hemos logrado encontrar ninguna exigencia clara de
solución de este problema en un sentido matemático. Por el contrario, los
viejos esfuerzos por fundamentar la teoría de los números y el análisis en la
teoría de conjuntos y ésta en la lógica tocan el núcleo mismo de toda esta
problemática. 75
Fue entonces que retomó el problema de una prueba directa de la consistencia y
anunció la creación de una teoría de la demostración [Beweistheorie] cuyo objetivo
sería someter a un análisis exhaustivo la demostración matemática.76 No obstante, la
justificación última de su proyecto la debió encontrar en el plano filosófico, donde
hubo de aventurarse hasta precisar las intuiciones básicas sobre las que, considera, se
apoya el conocimiento matemático. Como a continuación veremos, Hilbert halló en el
apriorismo kantiano una fuente de inspiración, aunque para él dicho a priori no va más
allá de la intuición del signo, base de la matemática finitista.
En efecto, así como Russell buscó en la lógica la fuente del conocimiento matemático,
extrayendo de la primera el contenido de lo segundo y Brouwer la halló en la intuición
temporal kantiana, Hilbert creyó encontrarla en el dominio de la intuición sensible.
En particular, considera que si bien el pensamiento matemático ha de proceder con
apego a la lógica, ello no significa que haya de extraer su contenido de la misma.
Por el contrario, no hay tal cosa como el pensamiento lógico puro: la lógica es un
constituyente imposible de aislar del pensamiento matemático efectivo, el cual actúa
sobre objetos que le son dados al margen de la lógica. En otras palabras, las operaciones
lógicas que tienen lugar en el pensamiento matemático efectivo se aplican, no a meras
formas lógicas, sino a objetos concretos dados previamente en la intuición, cuya
presencia es una condición necesaria para aplicar la lógica con seguridad. Es más, la
posibilidad de ejercer el pensamiento de manera efectiva descansa en nuestra aptitud
para captar dichos objetos en todos sus aspectos, que en el caso de la matemática son
los signos. Estos supuestos filosóficos, básicos para su proyecto de fundamentación,
Hilbert los enunció por vez primera en 1922:
Como hemos visto, el manejo abstracto de las extensiones de conceptos
y de los contenidos ha mostrado ser no sólo insuficiente, sino también
bastante inseguro. Más bien, lo que se hace necesario como medida previa
a la aplicación de inferencias y operaciones lógicas es la existencia en la
75 Hilbert, op. cit., p. 43. Cuando habla de “los viejos esfuerzos por fundamentar la teoría de los números
y el análisis en la teoría de conjuntos y ésta en la lógica” Hilbert se refiere a Frege, Dedekind y Russell,
cuyos proyectos los consideraba condenados al fracaso.
76 Recordemos las siguientes palabras de Hilbert: “Hemos dicho ya que para realizar nuestros objetivos
tenemos que hacer de las demostraciones mismas el objeto de nuestra investigación. Nos vemos obligados
así a desarrollar una teoría de la demostración, cuya materia de estudio la constituye el manejo y la
operación de las demostraciones mismas.” [Hilbert, 1922. Cita tomada de la traducción al español, p. 53.]
220
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
representación [Vorstellung], como algo dado, de ciertos objetos extralógicos
discretos, intuitivamente presentes antes de cualquier pensamiento como
vivencia inmediata.
Si la inferencia lógica ha de tener la seguridad que deseamos, estos objetos deben ser susceptibles de una visión global y completa de todas sus
partes, y su postulación, distinción y sucesión deben presentarse ante nosotros de inmediato con los objetos mismos de manera intuitiva, como algo
irreductible.
En este enfoque, en clara y explícita oposición a Frege y Dedekind, son los
signos mismos los objetos de la teoría de los números. Entendemos aquí
por signo algo cuya forma es independiente del espacio y del tiempo, así
como de las condiciones especiales en las que se produce, de las variaciones
insignificantes en su trazado y que, en general y de manera segura, puede ser
identificado.77 El enfoque que consideramos adecuado y necesario para la
fundamentación no sólo de las matemáticas puras, sino en general de todo el
pensamiento, la comprensión y la comunicación científicas, puede entonces
expresarse en una frase diciendo: en un principio era el signo.78
Hilbert refrendó este punto de vista en 1925 al señalar su coincidencia con Kant: el
matemático, para ejercer el pensamiento efectivo, necesita de la previa existencia de
objetos concretos, presentes directamente en la intuición e irreductibles a cualquier
otra cosa. Recordemos el siguiente pasaje, tantas veces citado:
[...] Y ¿no estará fallando en alguna parte la inferencia lógica concreta [das
inhaltliche logische Schliessen] y dejando de satisfacer nuestras expectativas
cuando la aplicamos a objetos o sucesos reales?
La respuesta a esto último es definitivamente negativa. La deducción lógica
concreta es absolutamente indispensable. Sólo puede conducirnos a errores
cuando aceptamos construcciones conceptuales arbitrarias, en particular
aquellas que se aplican a una infinidad de objetos.
Lo que en tales casos ha sucedido es que hemos usado de manera ilícita la inferencia lógica concreta, es decir, hemos hecho caso omiso de las
condiciones previas y necesarias para su aplicación.
Por lo demás, en esta observación relativa a las condiciones de aplicabilidad
de tales deducciones e inferencias y de la necesidad de su cumplimiento
satisfactorio coincidimos plenamente con los filósofos, en particular con
Kant.
77 En este sentido, llamaremos “el mismo signo” a aquellos signos que tengan la misma forma [nota de
Hilbert].
78 Hilbert, 1922. Cita tomada de la traducción al español, pp. 44-45.
4.3. L A INTUICIÓN DEL SIGNO
221
Kant nos enseña, en efecto, en una de las partes centrales de su filosofía, que
las matemáticas poseen un contenido [Inhalt] propio e independiente de la
lógica, y que, en consecuencia, ésta no puede nunca constituir por sí sola un
fundamento para aquéllas.
Se sigue de esto que los intentos de Frege y Dedekind estaban desde un
principio condenados al fracaso. La existencia de algo dado en la representación, de ciertos objetos extralógicos concretos, presentes intuitivamente
como vivencia inmediata, previa a todo pensamiento, es una condición necesaria para la aplicación de las inferencias lógicas y el funcionamiento de las
operaciones de este tipo.
Es necesario entonces, si es que hemos de tener a nuestra disposición deducciones e inferencias lógicas confiables, que los objetos sean susceptibles
de una visión global completa de todas sus partes y que su presencia, sus
diferencias mutuas, su ordenación, su sucesión o su concatenación acompañe
a los objetos, al mismo tiempo, como algo dado de manera inmediata en la
intuición, como algo irreductible a cualquier otra cosa, como algo que no
requiere de ninguna reducción.
Ésta es la concepción fundamental que, en mi opinión, resulta necesaria
no sólo para las matemáticas, sino también para todo pensamiento, toda
comprensión y toda comunicación con carácter científico.
En el caso particular de las matemáticas, el objeto preciso de nuestro examen
lo constituyen los signos concretos mismos, cuya forma es, en consonancia
con el punto de vista que hemos adoptado, inmediatamente clara y reconocible.79
Para Hilbert, los objetos del conocimiento matemático no son entidades ideales. Por el
contrario, la realidad asequible al pensamiento matemático se sitúa en la esfera de lo
signos concretos –únicos objetos de su conocimiento– y no en un mundo ideal, platónico. De aquí la importancia de la matemática finitista: el conocimiento matemático no
puede ir más allá de lo que ésta puede alcanzar.
En lo que sigue examinamos con mayor detenimiento el punto de vista de Hilbert
expresado en esta sección.
1. Para Hilbert, el error de Frege y de Dedekind al tratar de fundamentar la matemática fue que se apoyaron en suposiciones extrañas a la matemática como, por
ejemplo, que la extensión de un concepto es algo dado sin más (Frege), o que
existe tal cosa como el sistema de todos los objetos (Dedekind). Si algo había que
aprender de todo esto, era que la matemática no podía depender de suposiciones
de esta naturaleza y que debía ser ella misma la que resolviera el problema de sus
79 Hilbert,
1925. Cita tomada de la traducción al español, pp. 94-95.
222
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
fundamentos, profesando con ello una especie de filosofía matemática. De ahí la
necesidad de la teoría de la demostración.
2. A fin de no incorporar la matemática al dominio de la lógica, entendida ésta
a la manera de Russell, Hilbert le asigna a la primera un objeto de estudio
independiente de la segunda: los signos concretos. Y así como para Russell tanto
la certeza como la exactitud de la matemática son consecuencia de su pretendida
reductibilidad a la lógica, para Hilbert dicha certeza reside en la posibilidad de
“captar” de inmediato y con toda claridad sus objetos, lo cual no puede celebrarse
sino en la intuición sensible, esto es, en el ámbito de la percepción.
Así, la solidez del pensamiento matemático descansa, según Hilbert, en la intuición del signo, la cual, en palabras de Jean Ladrière, disfruta de una “evidencia
privilegiada”.80
3. Para Hilbert, la lógica no es una disciplina autónoma con un objeto propio. Más
bien, es algo común a todas las disciplinas científicas, las cuales la desbordan de
la misma manera; se trata, como dice Cavaillès, de “un constituyente, imposible
de aislar, de todo pensamiento que funciona verdaderamente”.81 Es por ello que la
lógica y la matemática se deben desarrollar simultáneamente, haciendo explícitos
desde el principio los procedimientos lógicos aceptados.
Si la lógica llevó a contradicciones en el pasado, ello se debió a que, perdida en el
vacío, se le dio un objeto falso: el infinito actual. He ahí la causa de las paradojas.
4. Hilbert no argumenta en contra de la teoría de tipos de Russell y Whitehead en
virtud de que parte de sus intereses se centran en la teoría cantoriana, y de que la
teoría de Zermelo-Fraenkel ha probado ser un mejor sustituto que aquélla. Más
allá de considerar irrealizable la reconstrucción de la aritmética a partir de la
lógica, de Whitehead y Russell lo que toma es su lenguaje simbólico.
5. Hilbert está persuadido de que el pensamiento finitista es infalible. Esta creencia
se funda en el convencimiento de que el pensamiento finitista se adecua perfectamente a la realidad que pretende estudiar, ya que ésta le es accesible en todos sus
aspectos.
6. Con relación a los signos, sería un error pensar que Hilbert les atribuye una existencia independiente del entendimiento, en un reino platónico. Desde cualquier
punto de vista, esto es una equivocación. La existencia a la que Hilbert hace
referencia sólo tiene lugar en la imaginación o en la intuición sensible.
Es indudable que por “signo” Hilbert entiende algo más general que los trazos
sobre el papel. No obstante, esto último no lo debemos entender en un sentido
trascendente. Por ejemplo, cuando afirma que “el signo es algo cuya forma es
80 Cf.
Ladrière, 1957. Cita tomada de la traducción al español, p. 27.
1938. Cita tomada de la traducción al español, p. 92.
81 Cavaillès,
4.3. L A INTUICIÓN DEL SIGNO
223
independiente del espacio y del tiempo, así como de las condiciones especiales
en las que se produce”, su pretensión no es la de situarlo en un mundo ideal,
sino en el lugar que de manera espontánea se le otorga en la matemática o, en
general, por quienes son capaces de leer y escribir. Si la forma de los signos se
considera independiente del tiempo y del espacio, es porque así nos servimos de
ellos. Observe usted la siguiente imagen de un manuscrito matemático:
¿Cuántas presencias de la variable x reconoce el lector? ¿Cuántas referencias hay
en él a la función coseno? ¿Y al número π, o a la suma? Si usted reconoce en
lo anterior un manuscrito matemático, tácitamente estará aceptando que tiene
la capacidad de distinguir las distintas presencias de un mismo símbolo en la
hoja manuscrita, aunque como meras marcas (manchas) sobre el papel sean
diferentes. Justo a eso se refiere Hilbert. De cierta manera, en la escritura con
lo que tratamos es con clases de inscripciones, cuyos elementos corresponden a
una misma forma (lo cual se expresa diciendo que son equiformes), y que en la
práctica identificamos con los signos concretos.
A esto nos referimos cuando decimos que “un mismo signo se hace presente en
varios sitios a la vez”, que “figura” en diversos lugares, tal como las letras lo hacen
en esta página escrita. La posibilidad de identificar una multitud de inscripciones
como instancias de un mismo signo es una facultad del entendimiento, lo cual
nada tiene que ver con que los signos tengan existencia propia: la noción de
“inscripciones equiformes” se origina de un modo natural en el ámbito de la
sensibilidad cuando, repito, aprendemos a leer y a escribir, y tiene como base
nuestra capacidad para reconocer de manera inmediata la forma de los objetos
intuidos.82
82 En la frase “intuición del signo” nosotros pondríamos el énfasis en la intuición, no en el signo, la
cual es un hecho cotidiano en la matemática. Observamos figuras, manejamos guarismos, manipulamos
expresiones simbólicas sin siquiera reparar en ello. En ocasiones llevamos a cabo largos cálculos con la
sola consideración de las expresiones y algunas reglas formales para su manejo (esto es especialmente
notorio en la aritmética y en el álgebra elemental). La seguridad que se tiene en el manejo de tales
224
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Podemos decir entonces que en cuanto al modo de ser de los objetos matemáticos,
Hilbert adopta un punto de vista nominalista, según el cual la única realidad
matemática es la de los signos concretos, evitando de este modo suponer que la
matemática es conocimiento de una realidad suprasensible, constituida por entes
abstractos y universales.
7. En cuanto a Kant, si bien no podemos decir que Hilbert representa la renovación
de su punto de vista al interior de la filosofía matemática moderna –se podría
reclamar el mismo derecho para Brouwer, que riñe con él–, en su obra filosófica
hay constantes referencias y coincidencias con el filósofo de Königsberg. Por
ejemplo, el “signo”, tal como lo concibe Hilbert, cae dentro del concepto de
intuición pura kantiano, aunque Hilbert no utiliza esta terminología. Dice Kant:
Las representaciones en las que no se encuentra nada perteneciente a la
sensación las llamo puras (en sentido trascendental). Según esto, la forma
pura de las intuiciones sensibles en general, donde se intuye en ciertas
relaciones toda la diversidad de los fenómenos, se hallará a priori en
el psiquismo. Esta forma pura de la sensibilidad se llamará igualmente
intuición pura. Así, al apartar de la representación de un cuerpo lo que
el entendimiento piensa de él, –sustancia, fuerza, divisibilidad, etc.– y al
apartar igualmente lo que en dicha representación pertenece a la sensación –impenetrabilidad, dureza, color, etc.– me queda todavía algo de esa
intuición empírica, a saber, la extensión y la figura. Ambas pertenecen a
la intuición pura, y tienen lugar en el psiquismo como mera forma de la
sensibilidad, incluso prescindiendo del objeto real de los sentidos o de la
sensación.83
En términos kantianos, los signos escritos serían intuiciones empíricas y los
signos en general intuiciones puras. Podemos decir entonces que Hilbert limita
la intuición espacio-temporal de Kant a configuraciones con un número finito de
objetos discretos –esto es lo que quiere decir cuando se refiere al Anschauung–
y basa en ella su creencia de que el verdadero contenido de la matemática se
encuentra en la matemática finitista.
expresiones descansa, en última instancia, en la intuición sensible. Por ejemplo, tras observar que en
la ecuación 3xy − x = 5xy − x + 2 la expresión “˘x” figura en ambos lados del signo “=”, escribimos
de inmediato la igualdad 3xy = 5xy + 2 (con base en la ley de cancelación de términos iguales) sin
importar el significado de los signos “x”, “=”, “2”, etc. ¿Cómo puede ser esto? En parte, porque hemos
reconocido la misma expresión “−x” en ambos lados del signo “=”. Si no pudiéramos reconocer las
distintas presencias de un mismo signo, todas las inscripciones sobre el papel serían “distintas” y no
reconocibles como equiformes. En todo caso, el origen de la discusión se debe al afán de explicar qué es
lo que Hilbert entiende por “signo”, cuando en la práctica matemática esto es algo obvio y claramente
entendido, tan obvio que pasa desapercibido y ni siquiera es objeto de discusión (como cuando leemos un
texto). No debemos olvidar que Hilbert se dirige fundamentalmente a la comunidad matemática, a la que
quiere convencer de la bondad de su proyecto.
83 Kant, CRP, B36.
4.3. L A INTUICIÓN DEL SIGNO
225
Es precisamente esta insistencia de Hilbert en el conocimiento concreto lo que
hace tan débil a la matemática finitista, pues excluye muchas cosas que son en
general aceptadas como evidentes en la teoría elemental de los números. Esta
cuestión será examinada con mayor detenimiento en el siguiente inciso.
8. Hilbert ve en la reflexión finitista una forma de discernimiento intuitivo en el
que el pensamiento básico y general de Kant retiene su importancia, a condición
de que el a priori no se considere más que la expresión de ciertas condiciones
preliminares e indispensables para el pensamiento y la experiencia. Esta posición
la fija con toda claridad en el siguiente pasaje:
Los filósofos han mantenido –y Kant es el clásico representante de este
punto de vista– que junto a la lógica y la experiencia tenemos cierto
conocimiento a priori de la realidad. Yo admito que en la construcción del
marco teórico son necesarios ciertos discernimientos a priori y que éstos
siempre están detrás de la génesis de nuestro conocimiento. También creo
que el conocimiento matemático se apoya en última instancia en cierta
clase de discernimiento intuitivo [anschaulicher Einsicht]84 de este tipo
e incluso que para construir la teoría de los números necesitamos cierta
perspectiva intuitiva y a priori. Así, la idea más general y fundamental
de la epistemología kantiana retiene su significancia: a saber, el problema
filosófico de determinar dicha perspectiva intuitiva y a priori y de ese
modo investigar las condiciones de posibilidad de todo conocimiento
conceptual y toda experiencia. Yo creo que en esencia eso ha ocurrido en
mis investigaciones en torno a los principios de la matemática. El a priori
no es otra cosa que una perspectiva fundamental, o la expresión de ciertas
condiciones previas indispensables al pensamiento y a la experiencia.
Pero nosotros debemos trazar en forma diferente la frontera entre lo que
poseemos a priori y lo que se requiere de la experiencia: Kant sobrestimó
el papel y el alcance del a priori.85
Tras largas consideraciones, en las que muestra cómo la epistemología, sacudida
por la ciencia moderna, se vio forzada a abandonar los apriorismos espacial y
temporal de Kant, Hilbert llega a la siguiente conclusión: “la teoría kantiana del a
priori aún contiene impurezas antropológicas de las que debe ser liberada; después,
sólo queda la actitud [Einstellung] a priori que también subyace al conocimiento
matemático puro: esencialmente, la actitud finitista que he caracterizado en diverso
84 En alemán el adjetivo “Anschaulich” se utiliza para indicar que algo es gráfico, expresivo, claro o
evidente y el sustantivo “Einsicht” además de ‘discernimiento’ también significa juicio, vista, inspección,
examen, comprensión, conocimiento e inteligencia. Anschaulicher Einsicht: “comprensión sensible” es
otra traducción de las palabras utilizadas por Hilbert.
85 Hilbert, 1930. Cita tomada de la traducción al inglés, pp. 1961-1962.
226
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
trabajos.”86 Esta actitud es lo que hemos identificado como la intuición espaciotemporal limitada a configuraciones finitas y discretas.
La idea de que la intuición del signo nos permite reconocer algunas propiedades
generales de los números cuando se le aplica, por ejemplo, a los numerales, se
asemeja a la idea de Kant de que la intuición geométrica nos permite reconocer
propiedades generales de las figuras cuando se le aplica a una construcción
particular (véase lo dicho al respecto en la sección 1.4). En general, el pensamiento
básico de Kant sigue presente en la reflexión finitista. Por ejemplo, la confianza
que Hilbert deposita en la intuición del signo ya se encuentra en Kant, quien al
referirse al álgebra se expresa con las siguientes palabras:
El mismo procedimiento del álgebra con sus ecuaciones, a partir de las
cuales, por reducción, produce la verdad juntamente con su prueba, aunque
no es una construcción geométrica, es una construcción característica por
la cual se presentan en la intuición los conceptos a través de los signos,
especialmente los que se refieren a relaciones de magnitud. Aun sin atender
a su elemento heurístico, este método garantiza la ausencia de errores en
todas las inferencias por el hecho de poner a la vista cada una de ellas.87
Tal parece que Hilbert se inspiró en este pasaje al momento de idear la formalización. Al igual que en el álgebra, en un sistema formal las pruebas son figuras
expuestas a la mirada, y la presencia de una contradicción se manifestaría en la
existencia de dos pruebas formales que concluirían en fórmulas contradictorias,
de las formas A y ¬A. De este modo, Hilbert vio en la formalización una manera
de transformar el problema de la consistencia en un problema relativo a un juego
reglamentado de símbolos, es decir, en una cuestión que caía directamente en el
ámbito de la intuición del signo y la matemática combinatoria.
9. En general, la actitud de Hilbert ante la matemática consiste en evitar toda postura
que atribuya a sus conceptos un “contenido objetivo” más allá de lo que garantiza
la evidencia sensible. Por ello su insistencia en desarrollar las teorías dentro de
un marco axiomático, para así evitar en todo momento recurrir al significado que
se le pueda dar a sus términos y relaciones, ocupándose tan sólo del despliegue
de dichas relaciones. Hilbert abriga con la axiomática una postura antimetafísica,
evitando con ello asumir un trasmundo de esencias matemáticas o una intuición
primigenia que va más allá de la intuición del signo. Digamos que Hilbert actúa
con incredulidad ante el problema de las esencias matemáticas y sólo adopta el
mínimo indispensable para fundamentar la matemática, como diciendo, concédanme al menos la intuición del signo, pues sin ella la matemática es, literalmente,
ciega y vacía.
86 Hilbert, op. cit, p. 1163. En una nota al pie de página, Hilbert se refiere a [Hilbert, 1925] como uno
de tales trabajos.
87 Kant, CRP B762.
4.4. E L PROGRAMA
227
10. Con relación al problema de los fundamentos, lo que Hilbert hace es señalar aquellas intuiciones sobre las que considera se sustenta el conocimiento matemático.
Al respecto, llama la atención el siguiente pasaje de Jean Ladrière:
Si en el pasado se habían suscitado falsas evidencias fue porque se había creído poder conseguir mediante la intuición verdades o conceptos
abstractos. Regresando a la intuición sensible del signo, y limitándose
estrictamente a ella, puede caminarse por un terreno sólido en que la
adecuación entre el pensamiento y el objeto no puede dejar de producirse,
asegurando al pensamiento esta objetividad absoluta que debe constituir
el ideal del matemático y de cualquier hombre de ciencia.88
A partir de 1922 la epistemología matemática de Hilbert tuvo como base esta posición tan radical, mucho más tajante que las de Kronecker y Brouwer quienes, más
allá del finitismo, aceptan como evidentes ciertas intuiciones no necesariamente
relacionadas con la sensibilidad (v. gr., intuiciones puras ligadas al principio de
inducción). En este sentido, para Hilbert el único terreno sólido sobre el cual se
puede apoyar una prueba de consistencia es la matemática finitista, pues sólo ahí
se puede alcanzar la certeza absoluta.89
4.4.
El programa
4.4.1.
La formalización
Tras fijar las bases sobre las que se asienta la teoría de la demostración, veamos cómo
pretende Hilbert demostrar la consistencia absoluta de la matemática clásica. Como
ya lo hemos visto, la presentación axiomática es inapropiada para este propósito: una
teoría axiomática es un objeto mal definido del pensamiento y es parte esencial del
pensamiento finitista sólo ser aplicable a entidades simbólicas. Ni la representación
de la teoría en el ámbito de la intuición ni el estudio combinatorio de su estructura
deductiva se puede lograr con la mera axiomatización. Para ello sólo había un camino:
la formalización.90
Se podría pensar que Hilbert debió realizar un gran esfuerzo para llevar a cabo dicha
tarea; no obstante, lo que sucedió fue lo contrario: los medios para hacerlo ya habían
sido creados por Russell y Whitehead,91 aunque por otras razones.
88 Ladrière,
1957. Cita tomada de la traducción al español, p. 28.
última condición es inevitable: una prueba de consistencia es una demostración acerca de las
demostraciones, con lo que se corre el peligro de caer en la falacia de la petición de principio, consistente
en probar algo a partir de otra cosa que no es epistemológicamente anterior a ella (en cuyo caso lo más
conveniente es asumir como principio aquello que se intenta probar).
90 La diferencia entre la axiomatización de una teoría y su formalización (en el estricto sentido de
Hilbert) se irá aclarando en esta sección. Básicamente, consiste en hacer explícitos el lenguaje simbólico
y los principios lógicos que se utilizarán.
91 Éstos, a su vez, siguiendo a Frege y a Peano.
89 Esta
228
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
En efecto, en Principia Mathematica Russell y Whitehead habían mostrado que la
matemática clásica se podía reconstruir utilizando, en lugar del lenguaje ordinario,
una especie de estenografía o lenguaje simbólico en el que sus enunciados quedaban
representados mediante fórmulas. Es más, sus creadores no sólo se limitaron a desarrollar dicho lenguaje, sino que fueron más lejos: reunieron suficientes evidencias como
para convencerse y convencernos de que todas las demostraciones de la matemática
clásica se podían reducir a unas cuantas reglas de razonamiento muy simples, reglas
que sólo se referían a combinaciones de fórmulas sin tomar en cuenta su significado.
Justo lo que Hilbert necesitaba. Como por arte de magia, la herramienta apropiada
para formalizar la demostración ya estaba preparada, situación a la que él se refiere
como “un suceso afortunado”, aunque no poco frecuente en la historia de la ciencia.92
Para adaptarla a sus propósitos, Hilbert sólo tuvo que hacer algunos cambios en la
presentación.
Es evidente –dice Hilbert– que este cálculo [lógico]93 se creó en el marco
de una perspectiva completamente diferente a la nuestra. De acuerdo con
este enfoque, los signos del cálculo lógico se introducen como un medio
de comunicación. Resulta consecuente con el curso que hemos seguido
despojar ahora a los signos lógicos, lo mismo que a los signos matemáticos,
de cualquier significado. Según esto, las fórmulas del cálculo lógico no
poseen absolutamente ningún significado; todas ellas son ahora enunciados
ideales.94
Pero, ¿en qué consiste la formalización? Básicamente, en liberar de todo contenido a los
símbolos que intervienen en la construcción de una teoría matemática, compensando el
correspondiente vacío semántico con la introducción de signos complementarios y un
manejo formal de los mismos, incluyendo reglas para la construcción de las fórmulas y
la deducción lógica. Por tanto, la formalización requiere que la teoría se reconstruya
desde abajo, comenzando por su lenguaje. En el caso de la matemática clásica podemos
describir el procedimiento como sigue:95
1. En primer lugar, es preciso enumerar todos los símbolos lógicos y matemáticos
de la teoría. Estos símbolos, denominados primitivos, deben incluir símbolos
especiales para las operaciones lógicas, como lo son el símbolo ¬ para la negación,
92 En particular, Hilbert menciona el caso de Einstein, quien encontró ya listo el cálculo general de
invariantes al momento de desarrollar su teoría general de la gravitación.
93 Hilbert utiliza esta voz, hoy en desuso, para referirse al sistema de Russell y Whitehead y afines. En
la actualidad, por “cálculo lógico” se entiende el cálculo de predicados.
94 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, p. 103.
95 La descripción la hacemos en conformidad con la notación y terminología actuales. Las diferencias
con respecto a Hilbert son de matiz. Por ejemplo, Hilbert no especifica con detenimiento el lenguaje,
su notación ha caído en gran medida en desuso, (v. gr., el símbolo ε) y su presentación axiomática se
ha simplificado con el paso del tiempo. Empero, más allá de estas diferencias un tanto superficiales, las
ideas siguen siendo las mismas. Quienquiera que haya llevado un curso de lógica matemática estará
familiarizado con ellas y podrá omitir estos pasajes.
4.4. E L PROGRAMA
229
las conectivas ∧ (y), ∨ (o), → (implica) y ↔ (si y sólo si), los cuantificadores ∀
(para todo) y ∃ (existe), un conjunto numerable de variables x, y, z, x1 , y1 , z1 , x2 ,
y2 , z2 , . . . y un símbolo = para la igualdad.96
2. En segundo lugar, es preciso caracterizar sin ambigüedad todas las combinaciones de símbolos primitivos que representan enunciados de la teoría. A estas
combinaciones se les llama fórmulas.
3. En tercer lugar, es preciso suministrar un procedimiento que permita construir en
forma sucesiva todas las fórmulas que corresponden a los enunciados demostrables
en la matemática clásica. A este procedimiento de derivación formal se le llama
prueba y a las fórmulas con él obtenidas, teoremas. Esto último se logra definiendo
la noción de prueba como sigue:
a) Ciertas fórmulas, caracterizadas efectivamente y sin ambigüedad, se postulan
como axiomas de la teoría.
b) Ciertas reglas formales, caracterizadas efectivamente y sin ambigüedad, se
postulan como reglas de inferencia. Cada regla de inferencia debe indicar
cómo se pasa de un conjunto finito de fórmulas, llamadas hipótesis, a otra
fórmula, llamada conclusión. En cada caso se dice que la conclusión se infiere
de las hipótesis.
En este contexto una prueba o derivación se define simplemente como una sucesión
finita de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o se infiere de otras fórmulas
que le anteceden en la sucesión por medio de alguna regla de inferencia. A la última
fórmula de una prueba se le llama teorema.97
Un sistema de esta naturaleza constituye, en palabras de Hilbert, “un lenguaje de signos
con la capacidad no sólo de reflejar en sus fórmulas las proposiciones matemáticas,
sino igualmente de expresar por medio de procesos formales las inferencias lógicas.”,98
y añade:
96 Los símbolos propiamente matemáticos dependen, en general, de la teoría que se formaliza: signos
especiales para las relaciones (v. gr., relaciones de orden, incidencia, divisibilidad, etc.), otros para las
operaciones básicas de la teoría (operaciones como la suma, el producto, etc.) así como algunas constantes
individuales para representar en el formalismo ciertos elementos distinguidos (v. gr., el número cero, la
transformación idéntica, etc.). Por tanto, deberá haber un símbolo de función para cada operación básica
considerada, un símbolo de relación para cada relación básica considerada, y una constante individual
para cada constante considerada. Básicamente, el lenguaje será el de la lógica de predicados. Nosotros no
iremos a través de tantos detalles. Al respecto, el lector podrá consultar los apéndices M, Ñ y O.
97 Como se ve, la empresa de la formalización requirió de dos tareas complementarias: primero,
sustituir el lenguaje usual, con sus numerosas irregularidades, con un lenguaje de signos desprovistos
de todo significado; segundo, describir los axiomas que habían de servir como punto de partida para
la demostración y especificar las reglas de inferencia a utilizar. Ciertamente, los procedimientos recién
descritos siguen vigentes en la actualidad, aunque la noción de formalismo se ha generalizado con el
concepto de sistema formal que exponemos debidamente en el apéndice L y cuya lectura consideramos
indispensable.
98 Hilbert, op. cit., p. 103.
230
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
[Al formalizar] en lugar de la ciencia matemática concreta, lo que en último
término obtenemos con todo ello es un inventario de fórmulas que contienen
signos tanto lógicos como matemáticos, y que se ordenan según reglas definidas. Algunas de estas fórmulas corresponden a los axiomas matemáticos, y
ciertas reglas (de acuerdo con las cuales ciertas fórmulas se siguen de otras)
corresponden a la inferencia concreta. En otras palabras, la inferencia concreta es reemplazada por un manejo externo [äusseres Handeln] según reglas.
Con ello se realiza de manera estricta el tránsito del tratamiento intuitivo e
ingenuo a uno formal.99
Fue así como Hilbert, en su obstinación por lograr una prueba de consistencia absoluta
–es decir, con base en un mínimo de suposiciones–, llegó a la idea de que la matemática
clásica se podía reducir a un cálculo simbólico (reduccionismo).100 Si bien éste es un
tema que aún se debate (sobre todo a partir de la obra de Gödel), podemos decir, retomando un lenguaje más cercano a la filosofía, que con la formalización lo que Hilbert
pretende es convertir la inferencia lógica en algo concreto, dable en la percepción, y
aislar el lenguaje de todos los significados y objetos que le fueron dados en el pasado
(v. gr., el infinito actual).
4.4.2.
Posibilidad de una prueba finitista de consistencia
Ciertamente, al formalizar una teoría lo que resulta es un sistema de signos en el que la
demostración es la figura central y en el que, a diferencia de la matemática usual, cada
prueba se puede examinar de manera exhaustiva. Quizá un ejemplo baste para ilustrar
las diferencias entre la demostración en una teoría informal, en una teoría axiomática
y en un sistema formal.101 Para ello, consideremos un conocido teorema de la teoría
elemental de los conjuntos y veamos cómo se le demuestra en cada caso. El teorema es
el siguiente:
Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C
99 Hilbert,
op. cit., pp. 103-104.
veremos, las investigaciones de Gödel parten de la duda de que este proyecto sea factible.
101 La definición del concepto de sistema formal es más general y rigurosa que lo dicho en estas páginas,
en donde sólo nos hemos referido a la idea de formalizar, es decir, de suplantar una teoría axiomática con
un sistema de signos con ciertas características. Para no distraer la atención del lector con demasiadas
cuestiones técnicas, hemos enviado al apéndice L la definición precisa de este concepto, así como un
ejemplo en el que exponemos con todo detalle un sistema formal que no formaliza ninguna teoría.
Recomendamos ampliamente su lectura a quienes no tienen pleno dominio de estos temas. La idea es
mostrar el grado de arbitrariedad que puede haber al momento de definir un sistema de esta índole y
poner en relieve el hecho de que el manejo de esta clase de sistemas es mecánico, sin tomar en cuenta lo
que sus símbolos pudieran significar (en el ejemplo esto queda claro en virtud de que en este caso no
se tiene ningún indicio de los que pudieran significar las fórmulas del sistema que ahí exponemos); este
ejercicio sirve, además, para ilustrar el carácter finitista de la metamatemática, que pronto habremos de
abordar. Además, en el apéndice Ñ el lector encontrará un sistema formal para la teoría axiomática de
Zermelo-Fraenkel y otro para la aritmética de Peano de primer orden en el apéndice O.
100 Como
4.4. E L PROGRAMA
231
i. prueba en la teoría informal de conjuntos
Si el conjunto A está contenido en el conjunto
B, y el conjunto B está contenido en el conjunto C, entonces, tal como se muestra en la
figura a la derecha, el conjunto A también está
contenido en el conjunto C.
ii. prueba en la axiomática no formalizada
Por definición, A ⊆ B significa que para todo a, si a ∈ A, entonces a ∈ B. Asimismo, B ⊆ C significa que para todo b, si b ∈ B, entonces b ∈ C.
Sea a un elemento de A.
De a ∈ A y A ⊆ B se sigue que a ∈ B. A su vez, de a ∈ B y B ⊆ C se sigue que
a ∈ C. Por tanto, si a ∈ A, entonces a ∈ C. Como esto último vale para todos los
elementos de A, concluimos que A ⊆ C, lcqd.
iii. prueba en el cálculo de predicados
A continuación mostramos una deducción en el cálculo de predicados de la
fórmula x ⊆ z a partir de las hipótesis x ⊆ y e y ⊆ z (es decir, mostramos que
x ⊆ y, y ⊆ z x ⊆ z). Con relación a los axiomas lógicos y a las reglas de
inferencia, véase el apéndice M.102
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Deducción formal
∀u(u ∈ x → u ∈ y)
∀u(u ∈ y → u ∈ z
∀u(u ∈ x → u ∈ y) → (u ∈ x → u ∈ y)
u∈x→u∈y
∀u(u ∈ y → u ∈ z) → (u ∈ y → u ∈ z)
u∈y→u∈z
(u ∈ y → u ∈ z) → (u ∈ x → (u ∈ y → u ∈ z))
u ∈ x → (u ∈ y → u ∈ z)
(u ∈ x → (u ∈ y → u ∈ z)) → ((u ∈ x → u ∈ y) →
u ∈ x → u ∈ z))
(u ∈ x → u ∈ y) → (u ∈ x → u ∈ z)
u∈x→u∈z
(u ∈ x → u ∈ z) → (∀u(u ∈ x → u ∈ y) →
(u ∈ x → u ∈ z))
∀u(u ∈ x → u ∈ y) → (u ∈ x → u ∈ z)
∀u(u ∈ x → u ∈ y) → ∀u(u ∈ x → u ∈ z)
∀u(u ∈ x → u ∈ z)
Análisis de la prueba
hip.: x ⊆ y
hip.: y ⊆ z
Ax. λ10
MP 1, 3
Ax. λ10
MP 2, 5
Ax. λ1
MP 6, 7
Ax. λ2
MP 8, 9
MP 4, 10
Ax. λ1
MP 11, 12
I∀ 13
MP 1, 14.
Es decir, x ⊆ z
102 A partir de este momento, supondremos por parte del lector cierta familiaridad con el cálculo de
predicados y con la noción de sistema formal, tal como éstas se presentan en los apéndices M y L,
respectivamente.
232
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Un análisis comparativo de las tres pruebas arroja los siguientes resultados. En (i),
no hay ni siquiera un argumento (o, si se prefiere, la figura es el argumento). En
este caso basta con observar el diagrama para convencerse de que lo que se dice es
verdad. Obviamente, la representación gráfica es central en este caso, y en ella podemos
descubrir, ver, la relación enunciada por la proposición. En este nivel, para establecer
un conocimiento suele ser suficiente con mostrar una imagen visual adecuada.
En (ii) ya se tiene un argumento más o menos elaborado. Para empezar, se recurre a la
definición de la relación “X ⊆ Y ” y al significado de expresiones tales como la palabra
“todo”; ya no hay figuras –aunque en ocasiones éstas suelen acompañar a la prueba–, y
se supone que el argumento se puede exponer de manera rigurosa dentro del marco de
la lógica formal, aunque esto último nunca se hace.
En (iii) todos los recursos anteriores han desaparecido. Lo único que se tiene es un
despliegue de fórmulas sujeto a reglas muy precisas y susceptibles de un análisis
exhaustivo. El que una fórmula pueda figurar en una derivación ya no depende de su
aceptación como “cierta” o “evidente”, sino de la observancia de las reglas del juego.
Aquí no se permite rechazar un argumento aduciendo que “no es convincente”, pues
toda consideración semántica desaparece. Por ejemplo, para verificar que la sucesión
de fórmulas anterior es una deducción de x ⊆ z a partir del conjunto Γ = {x ⊆ y, y ⊆ z}
no hace falta saber lo que significan estas fórmulas; por el contrario, lo único que se
necesita es comprobar que la sucesión cumple con la definición de derivación a partir
de Γ, es decir, que cada una de sus fórmulas es un elemento de Λ, un elemento de Γ, o
se infiere de fórmulas anteriores con base en alguna de las reglas de inferencia. Esta
tarea es rutinaria, y se lleva a cabo examinando la forma de las fórmulas (los pasos
1-15), sin recurrir a su significado, lo cual se expresa en la actualidad diciendo que en
principio la revisión la podría realizar un autómata. De algún modo, en este nivel ya no
hay lugar para confusiones: la intuición del signo no nos puede engañar a tal grado.
En cuanto a la intuición, si bien ésta ya no afecta al sistema en su contenido, sigue estando presente como aquello que nos faculta para reconocer los símbolos, combinarlos,
y/o examinar las operaciones que se pueden realizar con ellos. En otras palabras: si
bien en una teoría formal la intuición ya no interviene como agente que proporciona
verdades y conceptos abstractos, no por ello se le ha eliminado. Desplazada a otro
lugar, si se quiere más elemental, ahora interviene como un factor imprescindible en el
manejo del formalismo, como un elemento que nos permite reconocer las componentes
del sistema y asegurar que las reglas del juego no han sido quebrantadas. Nos hallamos
en el terreno de la matemática finitista.
Volviendo al tema de la matemática clásica, es claro que Hilbert vio en la formalización
un instrumento ideal para lograr una prueba de consistencia finitista. Es más, hacia
1925 ya contaba con un plan específico para tal fin,103 mismo que presentó en 1928
como sigue:
103 Cf.
[Hilbert, 1925], p. 107 de la traducción al español.
4.4. E L PROGRAMA
233
En la situación actual [...] el problema de la consistencia es susceptible de
un tratamiento preciso. Pues el punto es demostrar que, cuando se introducen elementos ideales, es imposible que obtengamos dos proposiciones
lógicamente contradictorias, A y ¬A. Sin embargo [...] la fórmula lógica
(A ∧ ¬A) → B
se sigue [en el cálculo lógico] de los axiomas para la negación. Si en ella
sustituimos [...] la inecuación 0 = 0 en vez de B, obtenemos
(A ∧ ¬A) → 0 = 0
y, una vez en posesión de esta fórmula, podemos derivar 0 = 0 a partir de A y
¬A. Por tanto, para probar la consistencia sólo necesitamos mostrar que 0 = 0
no se puede obtener de los axiomas mediante las reglas de inferencia como
la última fórmula de una prueba, y por ende que 0 = 0 no es una fórmula
derivable.104 Esta es una tarea que en principio se halla en la provincia de
la intuición, de la misma manera que en la teoría concreta de los números
se halla la tarea de [...] demostrar que es imposible encontrar dos numerales
a y b que satisfagan la relación a2 = 2b2 , un problema en el que se debe
mostrar que es imposible exhibir dos numerales que tengan cierta propiedad.
Similarmente, para nosotros el punto es mostrar que es imposible exhibir una
prueba de cierta clase. Pero una prueba formalizada, al igual que un numeral,
es un objeto concreto e inspeccionable.105
El ejemplo que Hilbert elige es aleccionador y tiene importancia histórica. Se trata de
la demostración, atribuida a lo pitagóricos, de que la diagonal de√un cuadrado no es
conmensurable con el lado del cuadrado –en lenguaje actual, que 2 que no se puede
escribir como el cociente p/q de dos números enteros–; se trata, también, de la primera
demostración de inexistencia de que se tiene noticia y de la primera demostración
por
√ reducción al absurdo conocida. Podemos reconstruir el argumento como sigue. Si
√2 fuera un número racional, entonces habría dos números enteros a y b tales que
2 = a/b. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que a y b no tienen factores
en común.
Elevando al cuadrado se obtiene la ecuación 2 = a2 /b2 , o bien, 2b2 = a2 (). De lo
anterior se sigue que a2 es un número par, y por ende que a también es par, pues los
104 [N. del autor] La explicación de por qué la consistencia se sigue de la imposibilidad de derivar
la fórmula ¬(0 = 0) es la siguiente: en cualquier sistema formal que incluya una formalización de la
lógica clásica (codificada en el cálculo de predicados), son derivables todas las fórmulas de la forma
(X ∧ ¬X) → B, que son tautologías. Por tanto, si fuese posible derivar una contradicción A ∧ ¬A, con
ésta y la fórmula (A ∧ ¬A) → B se podría derivar, por modus ponens, cualquier fórmula B. Dicho de otra
manera: En una teoría inconsistente, todas las fórmulas son derivables. Por tanto, bastaría con demostrar
que hay una fórmula B que no es teorema para asegurar la consistencia del sistema. Hilbert, en particular,
escoge la fórmula ¬(0 = 0).
105 Hilbert, 1927. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 471. En el texto hemos realizado algunos
cambios innocuos en la notación y en las fórmulas utilizadas.
234
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
números cuadrados son como sus raíces: pares o impares (esto último era sabido por
los pitagóricos). Por tanto, se tiene que hay un número c tal que a = 2c. Ahora bien,
al sustituir 2c en vez de a en la ecuación () se obtiene la igualdad (2c)2 = 2b2 , es
decir, 4c2 = 2b2 o, lo que es lo mismo, 2c2 = b2 . Así, tenemos que b2 es un número
par, y por ende que b también es par, lo cual contradice el hecho de que a y b no tienen
factores en común. Por tanto, no podemos aceptar la existencia de dos números a y b
con √
la propiedad de que 2b2 = a2 , pues ello nos lleva a un absurdo. La conclusión es
que 2 no puede ser de la forma a/b.
La demostración anterior tiene lugar en la aritmética finitista, y establece una imposibilidad: la de encontrar dos numerales a y b con cierta propiedad.106 Similarmente,
Hilbert pretende demostrar la consistencia de la aritmética y de la matemática clásica
estableciendo otra imposibilidad: la de construir una prueba de la fórmula ¬(0 = 0), lo
cual tiene sentido desde el punto de vista finitista: una prueba formal es un objeto tan
concreto como un numeral. Por tanto, bastaría con encontrar un argumento finitista
que mostrara la imposibilidad de derivar la fórmula ¬(0 = 0) –una expresión simbólica formada por seis símbolos– para resolver el problema de la consistencia con las
herramientas seleccionadas.107
Un ejemplo de prueba finitista de consistencia. Veamos un ejemplo de prueba finitista de consistencia: la del cálculo puro de predicados (donde “puro” significa “sin la
igualdad”).
Los axiomas del cálculo puro de predicados (CPP) son los axiomas λ1 -λ11 del apéndice
M (es decir, los mismos que del cálculo de predicados CP menos los axiomas λ12 y
λ13 que tratan con la igualdad); las reglas de inferencia son las mismas: MP, I∀ e I∃ .
Hay al respecto una prueba de consistencia basada en consideraciones semánticas. El
argumento es el siguiente:
106 Esto significa, entre otras cosas, que las demostraciones por reducción al absurdo sí son admisibles
en la aritmética finitista cuando se trata de probar que algo no existe. La razón es que para probar la
inexistencia de algo, los métodos de demostración no se pueden limitar a métodos constructivos, pues lo
que no existe no se puede mostrar (¡mucho menos construir!). Curiosamente, ésta es quizá la razón por la
que los latinos denominaron “demostración” a este procedimiento lógico, pues el prefijo “de” significaría
en este caso “alejarse de”: de-mostrar sería alejarse de lo que se muestra, marchar por la vía de la razón.
107 En varios pasajes Hilbert establece un abierto paralelismo entre la aritmética finitista y la teoría de
la demostración, como en el siguiente: “Para la teoría intuitiva y concreta [konkret-anschaulich] de los
números que hemos expuesto antes son los números los que constituyen lo objetivo y ostensivo, mientras
que las demostraciones de los teoremas numéricos caen ya en el ámbito del pensamiento [gedanklich]. En
nuestra investigación presente [i. e., en la teoría de la demostración], la demostración misma se convierte
en algo concreto y ostensivo, las consideraciones y la argumentación concretas no tienen lugar sino a
partir de la demostración.” [Hilbert, 1922. Cita tomada de la traducción al español, p. 53]. Es en este
pasaje donde remarca la necesidad de la teoría de la demostración con las siguientes palabras, que ya
hemos citado: “Así como el físico examina sus aparatos, el astrónomo sus puntos de referencia y el
filósofo lleva a cabo una crítica de la razón, también el matemático se ve obligado a asegurar sus teoremas,
y para ello requiere de una teoría de la demostración.” [Hilbert, Ibid.]. En cuanto a la fórmula sugerida,
¬(0 = 0), ésta se podría cambiar por cualquier otra igualdad o desigualdad numérica cuya negación fuera
derivable en el formalismo, no habiendo en principio ninguna razón para escogerla precisamente a ella, a
no ser su simplicidad.
4.4. E L PROGRAMA
235
1. todos los axiomas del CPP (al igual que los del CP) son fórmulas válidas (verdaderas bajo todas las interpretaciones posibles),
2. las reglas de inferencia MP, I∀ e I∃ preservan la validez, en el sentido de que si las
hipótesis de las que se parte son fórmulas válidas, la conclusión también lo es.
3. Combinando (1) y (2) se tiene que todas las fórmulas que se pueden derivar de los
axiomas son necesariamente válidas. Dado que una fórmula A y su negación ¬A
no pueden ser válidas a la vez, resulta imposible deducir fórmulas contradictorias
en el CPP (o en el CP), pues ambas deberían ser válidas.
Ahora bien, por muy convincente que nos parezca el argumento anterior, no es ni
finitista ni admisible en la teoría de la demostración de Hilbert, pues en él se apela a
nociones semánticas como las de verdad, satisfacción y validez que no tienen cabida
en ella. No obstante, hay una prueba finitista del mismo hecho.
Consideremos la siguiente transformación sintáctica h: dada una fórmula A del cálculo
de predicados, h(A) es el resultado de borrar en A todos los términos (variables,
constantes y símbolos de función aplicados a términos) y todos los cuantificadores,
junto con los paréntesis y comas correspondientes. El resultado es una fórmula del
cálculo proposicional. Por ejemplo,
Si A es la fórmula ∀xP(x, f (x))
Si A es la fórmula ∀x∃y(R(x, y) ∨ ¬S(x, f (x, y))
Si A es la fórmula ∀x∃yR(x, y) → ∃z∀xR(x, z)
entonces h(A) es P
entonces h(A) es R ∨ ¬S
entonces h(A) es R → R
Nótese que la operación h es enteramente sintáctica y sólo toma en consideración los
símbolos presentes en las fórmulas. Con un poco de paciencia se puede comprobar que
h tiene las siguientes propiedades:
1. h(¬A) = ¬h(A)
2. h(A ∧ B) = h(A) ∧ (B)
3. h(A ∨ B) = h(A) ∨ h(B)
4. h(A → B) = h(A) → h(B)
5. h(A ↔ B) = h(A) ↔ h(B)
6. Si A es un axioma, entonces h(A) es una tautología.108
108 Recuérdese que una tautología es una fórmula proposicional cuyo valor de verdad es “verdadero”
cualesquiera que sean los valores de verdad de las letras que la componen. En este contexto la noción de
“verdad” considerada no tiene ningún valor semántico, pudiéndose pensar que se trata simplemente de
uno entre dos valores posibles (“verdadero”, “falso”) asignables a las letras y a las fórmulas proposicionales conforme al método de las tablas de verdad, que es de naturaleza sintáctica. Para no dar lugar a
confusiones, algunos autores prefieren hablar de dos valores posibles, tomados del conjunto V = {0, 1}.
236
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
7. Si h(A) y h(A → B) son tautologías, entonces h(B) también es tautología.
8. Si h(K → A(x)) es tautología, entonces h(K → ∀xA(x)) es una tautología.
9. Si h(A(x) → K) es tautología, entonces h(∃xA(x) → K) es una tautología.
De (1)-(5) se infiere (6), es decir, que todos los axiomas del CPP se transforman en
tautologías bajo h, y de (7)-(9) se sigue que las reglas de inferencia MP, I∀ e I∃ tienen
la siguiente propiedad: Si h transforma las hipótesis en tautologías, también transforma
la conclusión en una tautología. Todo lo anterior constituye una prueba finitista de que
todas las fórmulas derivables en el CPP se transforman bajo h en tautologías, es decir,
hemos probado lo siguiente:
Si A es un teorema del CPP, entonces h(A) es una tautología.
Ciertamente, si los axiomas se transforman en tautologías y las reglas de inferencia
preservan tal condición, entonces cualquier fórmula derivable se transforma bajo h en
una tautología.
De lo anterior se sigue que el CPP es consistente.
Veamos. Para probar que el CPP es no contradictorio basta con mostrar una fórmula
de su lenguaje que no sea derivable, lo cual, en este caso, es muy sencillo: la fórmula
en cuestión puede ser cualquier fórmula atómica. En efecto, si A es una fórmula
atómica del CPP, digamos R(t1 , . . . ,tn ), entonces h(A) es simplemente R, una letra
proposicional y, como sabemos, ninguna letra proposicional es tautología. Por tanto,
A no es un teorema del CPP, pues de lo contrario su transformada h(A) sería una
tautología, lo cual, como es evidente, no es el caso. Otra prueba finitista de una
imposibilidad.
La demostración anterior es enteramente análoga a la ofrecida por Hilbert y Ackermann
con relación a la consistencia del cálculo restringido de predicados sin igualdad.109 En
ambos casos la demostración sólo hace referencia a la forma de las fórmulas, al modo
en que el procedimiento h las modifica y a los aspectos estructurales de las reglas de
inferencia (cómo se alteran o disocian las hipótesis al aplicar las reglas); además, en
ningún momento se apela al sentido de las fórmulas, pues todo el argumento se apoya
en la evidencia sensible.
Estas consideraciones están en la base de la lógica clásica o bivaluada y se pueden extender a sistemas
con más de dos valores de verdad, como en el caso de la lógica trivalente intuicionista, o el de las lógicas
polivalentes de Lukasiewicz, donde V = {0, 1, . . . , n} para algún n > 1. Además, el procedimiento para
verificar si una fórmula proposicional es tautología es enteramente mecánico y finito, y cae por completo
dentro de la matemática finitista.
109 El Cálculo restringido de predicados es aquél en el que no figuran símbolos de función, de modo
que el conjunto de términos está constituido por las variables y las constantes. Cf. Hilbert y Ackermann,
1928, Cap. III, §9.
4.4. E L PROGRAMA
237
Claro está que alguien podría objetar lo siguiente: “lo que realmente importa, y de ello
es un ejemplo la demostración anterior, es que la selección de axiomas para el cálculo
puro de predicados es correcta con relación a la noción semántica de validez, lo cual
coloca a esta noción en un primer plano”. No obstante, dos podrían ser las respuestas
de un formalista. La primera, estamos convencidos, la daría Jacques Herbrand: “En
el sentido que Ud. menciona, la demostración anterior lo único que nos hace ver es
que la noción de prueba formal en el CPP es el sucedáneo constructivo de la más bien
vaga, imprecisa e incluso prematemática noción de validez, que ahora podemos lanzar
al cesto de la basura”. Hilbert en cambio podría responder en el siguiente tenor: “De
ninguna manera. Lo que hemos hecho no ha sido resolver un problema lógico, sino un
problema de combinatoria: dado un sistema simbólico gobernado por tales y cuales
reglas, ¿es posible producir en él ciertas combinaciones específicas de signos? Como
Ud. verá, no hay nada detrás de nuestros signos (esto último, acompañado quizá por
una sonrisa irónica). La importancia que Ud. atribuye al CPP es, en todo caso, ajena al
sistema.”
Ciertamente, uno de los propósitos de la formalización es despojar a los símbolos de su
función “evocativa”, obligando al pensamiento a detenerse en ellos en vez de acceder,
por su intermedio, a la cosa simbolizada. Esta idea la representamos gráficamente en la
siguiente figura, en la que se da a entender que la interpretación de los símbolos ℵ0 y
2ℵ0 ha sido postergada para sólo concentrar la atención en ellos mismos.
Figura 4.2. Con la formalización, a los símbolos se les retira la función designativa que les es
propia, a fin de tomarlos como objetos últimos.
Esta idea marcha acorde con el espíritu del programa, según el cual no se debe recurrir
a nada externo al sistema. En este sentido, para fijar las condiciones exactas en que
se habría de dar la prueba de consistencia sólo nos falta precisar la relación entre
los distintos actores que habrían de participar en ella: la matemática informal, la
matemática formalizada y la metamatemática, que se encargaría de la prueba. De
esto nos ocuparemos en el siguiente apartado, en el que habremos de penetrar en
el sentido último del programa y señalar algunos problemas que con el tiempo se
fueron incorporando al mismo. Asistiremos también a la ceremonia de fundación
de la metamatemática, que en su momento Hilbert identificó con la teoría de la
demostración110 .
110 Esta
identificación perdió toda su fuerza con el paso del tiempo. En la actualidad, la teoría de la
238
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
4.4.3.
La teoría de la demostración
La labor de Hilbert en torno a los fundamentos tuvo considerable importancia en el
desarrollo de la lógica matemática, no tanto por los resultados obtenidos, sino por los
métodos de investigación que introdujo. Si hubiéramos de señalar las figuras mayor
peso en este dominio, mal haríamos en no volver la mirada hacia Hilbert, pues sin
sus ideas la lógica moderna difícilmente habría alcanzado los niveles que ostenta.111
Hilbert no sólo introdujo los formalismos, sino que planteó diversas cuestiones que
siguen presentes como temas de investigación (problemas de consistencia, completud
y decidibilidad) que con anterioridad habían ocupado si acaso un lugar marginal, y que
él colocó al centro de su programa. Incluso la moderna teoría de modelos, cuyo origen
está vinculado a los Grundlagen de 1899, se sirve en la actualidad de los métodos y
conceptos de la teoría de la demostración, que de alguna manera han irrumpido en toda
la lógica contemporánea.
La noción de formalismo debe su importancia a que se le considera un sustituto
adecuado de las teorías matemáticas cuando se trata de investigar sus propiedades
lógicas. A partir de cierto momento en su desarrollo, cualquier teoría matemática se
puede traducir a un formalismo que, de momento, la representa con un alto grado de
fidelidad. El prodigio de la formalización es que convierte cada teoría en símbolos, y a
los símbolos en una petrificación de la teoría. De esta manera la teoría deviene en un
objeto concreto, susceptible de un examen preciso en todas sus partes. Esta cualidad se
ha subrayado en la literatura de diversas maneras, con distintas metáforas: mosaico
de fórmulas expuestas a la mirada, juego de marcas sin sentido escritas en el papel,
imagen gráfica de nuestras teorías matemáticas. Fue justamente este doble cometido
lo que atrajo a Hilbert. Una formalización es dos cosas a la vez: imagen de nuestro
pensamiento y reunión de signos asignificativos que se combinan y disocian según
reglas establecidas:
El juego de fórmulas que Brouwer tanto desprecia tiene, además de su valor
matemático, una significancia filosófica general muy importante. Pues este
juego de fórmulas se lleva a cabo de acuerdo con ciertas reglas definidas, en
las que la técnica de nuestro pensamiento se expresa. Estas reglas forman un
sistema cerrado que puede ser descubierto y establecido definitivamente. La
idea fundamental de mi teoría de la demostración no es otra que describir la
actividad de nuestro entendimiento, hacer un protocolo de las reglas acorde
a las cuales nuestro pensamiento procede en realidad. El pensamiento, así
demostración desborda con mucho las restricciones impuestas por Hilbert, y constituye un área muy
activa de la lógica matemática, en la que se examinan numerosas cuestiones relativas a la noción sintáctica
de prueba, ya sin ninguna relación con el problema de los fundamentos (o, al menos, no en el sentido de
Hilbert), y en la que los métodos de prueba se extienden hasta alcanzar los de la matemática clásica en
general.
111 Por ejemplo, los teoremas de Gödel difícilmente se habrían dado sin la pertinaz insistencia de Hilbert
en convertir las teorías matemáticas en formalismos carentes de todo contenido.
4.4. E L PROGRAMA
239
sucede, guarda un estrecho paralelismo con el habla y la escritura: formamos
enunciados y los colocamos uno tras otro.112
Para Hilbert el valor de la formalización radica, entonces, en que permite expresar
de manera uniforme todo el pensamiento contenido en la ciencia matemática y desarrollarlo de modo que, al mismo tiempo, se aclaren los vínculos entre los enunciados
particulares. Desde su punto de vista las fórmulas no son meras formas vacías: también
son imágenes de pensamientos; las pruebas, no son tan sólo sucesiones inertes, sino
la seriación que se oculta detrás de nuestros argumentos: “Los axiomas y teoremas,
esto es, las fórmulas que surgen en estas transformaciones, son las representaciones
[Abbilder] de las ideas que constituyen los procedimientos utilizados hasta ahora en
las matemáticas, sin constituir ellos mismos verdades en un sentido absoluto.”113
Si seguimos el pensamiento de Hilbert desde los Grundlagen der Geometrie, hallaremos la razón por la cual su proyecto axiomático termina, necesariamente, en la
formalización. Si bien todas las teorías axiomáticas ya manifiestan un orden, en ellas
la sutil estructura demostrativa no es del todo explícita, pues aún falta precisar la
noción de demostración.114 Y el único camino que encuentra Hilbert para fijar esta
última noción es el de la formalización: el canon de la lógica se ha de expresar bajo
la forma de reglas de transformación que actúan directamente sobre los signos y
sus combinaciones. Hilbert cree que sólo así se puede tener un pleno conocimiento
del modo en que procede el pensamiento matemático. Dice al respecto: “Si alguna
totalidad de observaciones y fenómenos merece ser el objeto de una investigación seria
y detallada, es ésta –pues, después de todo, es parte de la tarea científica liberarnos de
la arbitrariedad, de los sentimientos y los hábitos y protegernos del subjetivismo que
ya se hizo sentir en el punto de vista de Kronecker y que, así me parece, encuentra su
culminación en el intuicionismo.”115 La matemática ha de sustentarse sobre una base
112 Hilbert,
1927. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 475.
1923. Cita tomada de la traducción al español, p. 65.
114 Esta situación se observa con toda claridad en el caso de la teoría de los números. En un principio,
esta teoría se desarrolla en contacto con nociones e imágenes geométricas e intuiciones sensibles (v.
gr., números figurados, los números reales como puntos de una línea recta, los números naturales como
numerales, etc.), y no es sino posteriormente que se transforma en una teoría axiomática. No obstante,
con ello no se logra el pleno conocimiento de la estructura demostrativa de la teoría, pues el análisis
lógico lo único que puede producir es una trama de conceptos, en la que la estructura deductiva aún se
halla sujeta a consideraciones semánticas y/o subjetivas.
Por otra parte, cabe señalar que no todas las teorías matemáticas nacen de la manera recién indicada.
Por ejemplo, la teoría de grupos surge de la reflexión en torno a las similitudes estructurales entre diversos
dominios de la matemática. No obstante, los materiales sobre los que se forjan sus conceptos se pueden
considerar como materiales empíricos que la nueva teoría subsume en ellos. Se trata de una construcción
teórica en la que los objetos de origen son a su vez conceptos (raíces de ecuaciones, permutaciones,
transformaciones, operaciones con matrices, etc.) que se “conocen” a través de otras teorías y sobre los
que se forma un nuevo entramado conceptual a través del contacto directo con ellos. Aquí también, una
vez acumulados los hechos de esta esfera particular del saber, éstos se ordenan con apego al método
axiomático.
115 Hilbert, 1927. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 475.
113 Hilbert,
240
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
racional, igualmente alejada del idealismo, del subjetivismo, del realismo conceptual y
de cualquier otra consideración ajena a ella misma.116 Es aquí donde entra en escena
la teoría de la demostración, pues es a través de ella que el entendimiento matemático
pone a prueba las leyes de su propio pensamiento.117
El anterior punto de vista se consolidaría tras superar un último escollo: la prueba de
consistencia de la aritmética. Dice al respecto: “es la prueba de consistencia la que
determina el alcance efectivo de mi teoría de la demostración y constituye su núcleo.”118
Mas en esto había que evitar cualquier confusión: una prueba de no contradicción es
una prueba acerca de las pruebas formales, un teorema sobre otros teoremas. Para
distinguir los distintos niveles en que se mueve la demostración (el formal y el intuitivo),
Hilbert acuñó el término ‘metamatemáticas’, dando a entender que se trata de una
teoría matemática acerca de las teorías matemáticas formalizadas, es decir, una teoría
que trata con las propiedades de los formalismos, sus demostraciones y las expresiones
que figuran en ellos.119 La siguiente es el acta de fundación de esta nueva teoría:
A la matemática real [eigentlich] así formalizada se añade una especie de
nueva matemática, una metamatemática, necesaria para salvaguardar a aquélla y en la que, en contraposición con los métodos puramente formales de
inferencia de la matemática real, la inferencia concreta es utilizada, pero
únicamente para las pruebas de consistencia de los axiomas. La metamatemática trabaja con las demostraciones de la matemática real y, en realidad,
éstas constituyen su objeto de investigación.
Las matemáticas en general se desarrollan entonces por medio de la transición constante en dos sentidos: por una parte, obteniendo a partir de los
axiomas nuevas fórmulas demostrables por medio de la inferencia formal; y
por la otra, añadiendo nuevos axiomas junto con la prueba de su consistencia
por medio de inferencias concretas.120
116 No podemos prescindir en este punto de la cita que hicimos al final de la sección 4.2.4 acerca de la
matemática como ciencia sin presuposiciones, y que rogamos al lector la lea de nuevo.
117 La axiomatización de una teoría constituye un paso en la dirección de la abstracción. Podría parecer
entonces que la formalización es un segundo paso en la misma dirección. No obstante, lo que esta última
operación produce es un objeto sintáctico que se puede examinar directamente, con base en nociones
susceptibles de cobrar vida en el ámbito de la sensibilidad.
118 Hilbert, op. cit., p. 479.
119 Metamatemática: más allá o después de la matemática. En la expresión utilizada, el prefijo “meta”
indica la necesidad de separar los razonamientos matemáticos (representados por las pruebas formales)
de los razonamientos matemáticos acerca de los razonamientos matemáticos. Esta distinción fue muy
importante para Hilbert, pues su inadvertencia ya había dado lugar a paradojas (entre las que se hallan,
por ejemplo, las de Richard y Berry).
120 Hilbert, 1922a. Cita tomada de la traducción al español, p. 65. La metamatemática tiene como
cometido examinar la estructura deductiva de las teorías formalizadas, sirviéndose de métodos deductivos
tan sencillos y seguros que nadie pueda dudar de su corrección. Así, por una curiosa inversión de papeles,
sólo en la metamatemática se ejerce el pensamiento efectivo, capaz de procurar una verdad, pues sólo ella
posee un genuino objeto de estudio: los signos y sus agrupaciones.
4.4. E L PROGRAMA
241
La empresa sugerida por Hilbert parte de la suposición de que toda teoría se puede
formalizar plenamente, es decir, se puede equiparar con su formalización. Esto supone
que toda proposición “demostrable” en la primera se traduce en una fórmula derivable
en la segunda, y viceversa, lo cual no puede ser objeto de una demostración rigurosa:
la noción informal de prueba no es susceptible de una definición estricta. En todo caso,
lo que Hilbert pretende es convertir el concepto de prueba formal en un sucedáneo
constructivo de la noción informal de prueba.
La seguridad en la empresa era tal que Hilbert llegó a imaginar que la metamatemática
formaría una especie de protocolo que regiría la ceremonia de fundamentación de las
teorías matemáticas.
En cada caso la ceremonia sería muy sencilla y consistiría en probar la consistencia de
la formalización de la teoría. A continuación se presenta un esquema de la prueba de
consistencia absoluta de la matemática clásica.121
Hacia el final de los años veinte todo parecía indicar que la teoría de la demostración se
vería coronada por el éxito: los conceptos estaban a punto, las herramientas relucientes,
los distintos actores dispuestos en su lugar; las teorías formalizadas parecían contener
las teorías informales y caían directamente en el ámbito de la intuición sensible, el
problema de la consistencia se había formulado en términos puramente combinatorios
y la metamatemática parecía capaz de producir la prueba anhelada en el caso de
la matemática clásica. En apariencia todo encajaba; la solución al problema de los
fundamentos parecía cuestión de tiempo. Incluso se contaba con algunos avances,
aunque incipientes: hacia 1927 ya se conocían pruebas de consistencia finitista para
algunos fragmentos de la aritmética de Peano.122 El tono era triunfalista. Basten algunas
citas al respecto:
“Estoy convencido de haber logrado lo que me había propuesto y había adelantado
con relación a la teoría de la demostración: la eliminación definitiva del problema
de los fundamentos de las matemáticas como tal.”123
121 El diagrama presenta de manera esquemática el lugar que ocupa cada uno de los distintos actores
que intervienen en la teoría de la demostración: la teoría cuya consistencia se quiere probar (en este
caso la matemática clásica), la teoría formalizada y la metamatemática, esta última con el cometido de
proporcionar una prueba finitista de consistencia.
122 Las pruebas se dieron a conocer en [Ackermann, 1924] y [von Neumann, 1927]. Los fragmentos en
cuestión eran el resultado de restringir el esquema inductivo a fórmulas no muy complejas, en la que la
estructura cuantificacional era muy simple.
123 Hilbert, 1927. Cita tomada de la traducción al español, p. 135.
242
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
“Mediante este nuevo fundamento de las matemáticas, que conviene denominar
teoría de la demostración, me considero en condiciones de eliminar definitivamente la cuestión de los fundamentos y transformar toda proposición matemática en
una fórmula que se puede exhibir en concreto y derivar rigurosamente, lo cual
traslada todo el nudo de problemas al dominio de la matemática pura.”124
“Podemos decir entonces que la teoría de la demostración, cuyos rasgos principales acabamos de bosquejar, no sólo se encuentra en condiciones de dar una
base firme y segura a las matemáticas, sino que también abre una novedosa vía
para abordar los problemas generales de carácter fundamental que caen dentro
del dominio de nuestra disciplina y a los que antes no podíamos abocarnos.”125
Como se colige de la última cita, la confianza depositada en los medios llevó a
Hilbert a imaginar que la teoría de la demostración resolvería muchos otros problemas
relacionados con la lógica y la matemática. Dos de ellos llaman la atención: el problema
del continuo y el problema de la decisión. La solución del primero sería una prueba
de la fecundidad de los métodos utilizados; la solución del segundo una prueba del
alcance de los métodos sintácticos. Históricamente, estos problemas ocuparon un lugar
especial en el desarrollo de la lógica y fueron el motor de muchas investigaciones. Para
los fines que perseguía Hilbert, el último de ellos tenía una mayor significación en la
medida que serviría de apoyo a la creencia que lo acompañó durante toda su vida y de
la que ya hemos hablado: la de que todo problema matemático es susceptible de una
solución precisa. De ello nos ocuparemos en breve.
En cuanto al problema del continuo, de éste sólo haremos un breve comentario.
Para Hilbert, una prueba de la eficacia de la teoría de la demostración sería resolver un
problema para el que no había sido proyectada. Para ello eligió el primer problema de
su famosa lista de 1900, el relativo al cardinal del continuo.126 Dice al respecto: “La
prueba definitiva para la evaluación de cualquier teoría nueva la constituye su capacidad
para resolver problemas planteados antes de que ella existiera, problemas cuya solución
no formaba parte de las razones específicas para crearla. ‘Por sus frutos los conoceréis’
es también un principio válido para las teorías.”,127 a lo que más adelante añade: “La
solución del problema del continuo es algo que puede realizarse con la teoría que
hemos desarrollado. De hecho, la prueba de que todo problema matemático tiene una
solución representa precisamente el primer paso de importancia en esta dirección.”128
Al comentario anterior siguió un intento por demostrar la hipótesis del continuo. Según
Hilbert, la prueba quedaría lista al reformular y probar de manera finitista dos lemas que
enuncia sin demostración. Obviamente, la demostración quedó por siempre inconclusa
124 Hilbert,
1928, Cita tomada de la traducción al francés, p. 179.
1925. Cita tomada de la traducción al español, p. 108.
126 Hilbert se refiere a este problema como “El problema de Cantor relativo al número cardinal del
continuo”. En la sección 2.6.4 el lector hallará una amplia referencia al problema del continuo.
127 Hilbert, op. cit., pp. 108-109.
128 Hilbert, ibid.
125 Hilbert,
4.4. E L PROGRAMA
243
y ahora sabemos por qué: la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas del
Zermelo-Fraenkel, de la misma manera en que el quinto postulado de Euclides lo es de
los otros cuatro postulados.129
4.4.4.
Las cuestiones de la resolubilidad (parte 2), la completud y el problema de la decisión
Como ya hemos visto, hacia 1908 Brouwer retó a Hilbert a que ofreciera una prueba
de la inexistencia de problemas matemáticos irresolubles. Tras un silencio que duró
más de una década, en los años veinte Hilbert vio en la teoría de la demostración la
herramienta adecuada para abordar esta cuestión en forma rigurosa.
Dentro del contexto del programa, el problema de la resolubilidad, planteado inicialmente con cierta vaguedad y más cercano a la especulación filosófica que a la
matemática, se transformó en un tema de investigación formal. Ahora su estudio pasaba por los siguientes conceptos: cálculo lógico (una noción semejante a la de sistema
formal), prueba formal, consistencia y completud. Dice Hilbert: “Ciertamente, la teoría
de la demostración no puede proporcionar un método general para resolver todos los
problemas matemáticos. No existe algo de ese tipo. Sin embargo, lo que sí cae dentro
del campo de acción de nuestra teoría es la prueba misma de la consistencia de la
suposición del carácter resoluble de todo problema matemático.”130
Veamos qué tenía en mente Hilbert al momento de relacionar entre sí las nociones
de consistencia y resolubilidad. Supongamos que se cuenta con un procedimiento
para decidir si una fórmula A es consistente con los axiomas de una teoría formal
ℑ. Ahora, si al aplicarlo a una fórmula de la forma ∃xp(x) descubrimos que sí lo es,
tendremos una prueba metamatemática de la posibilidad de resolver el problema. Esto
nos colocaría frente a una disyuntiva: o bien ∃xp(x) es derivable de los axiomas, o bien
129 Esto
fue probado por Gödel (compatibilidad: 1938) y Paul Cohen (independencia: 1963).
1925, p. 108. En nuestra opinión, por “la suposición del carácter resoluble de todo problema
matemático” debemos entender en este caso el principio del tercero excluido. Este principio establece
que toda proposición matemática es verdadera o falsa. Por tanto, asumirlo respalda la idea de que todo
problema tiene respuesta. Una dificultad respecto a este principio es que su validez no se puede afirmar
sin más con relación a las totalidades infinitas. Piénsese, por ejemplo, en un enunciado existencial de la
forma ∃xA(x) relativo a los enteros positivos, donde A(x) es un predicado decidible. La única manera de
validar el principio en esta circunstancia sería a través de la exhibición de un caso favorable, i. e., de una n
tal que A(n), o de una prueba que mostrara que para cada n, ¬A(n). En un dominio finito esto siempre se
puede lograr a través de la revisión exhaustiva de todos los casos. No obstante, tratándose de los enteros
positivos resulta imposible llevar a cabo una tarea de esta naturaleza a fin de llegar a una conclusión
negativa. Por tanto, con relación a los conjuntos infinitos nada garantiza la validez incondicional del
principio del tercero excluido, el cual tiene el rango de una noción ideal y como tal se le debe justificar.
En otras palabras, Hilbert ve en el principio del tercero excluido una idea regulativa en el sentido de
Kant –una hipótesis acerca del mundo y las cosas mediante la cual damos unidad y simplicidad a nuestro
pensamiento– cuya incorporación debemos justificar. Dicha justificación consistiría en una prueba de
consistencia, lo cual cae dentro del campo de acción de la teoría de la demostración, tal como lo afirma
Hilbert en el pasaje citado.
130 Hilbert,
244
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
es independiente de ellos. No obstante, la alternativa anterior también se puede resolver:
∃xp(x) es derivable a partir de los axiomas de ℑ si y sólo sí ¬∃xp(x) es inconsistente
con ellos, y esto último lo podríamos decidir con base en tal procedimiento. Es más, en
el caso en que ∃xp(x) resulte independiente de los axiomas de ℑ, de modo que no sea
posible probar la fórmula ¬∃xp(x) o hallar un contraejemplo para ∃xp(x), cualquiera
de estas fórmulas se puede añadir como axioma y postular, con ello, la existencia o la
no existencia de una solución para el problema p(x) sin incurrir en ningún peligro.131
Si, por el contrario, la fórmula ∃xA(x) no fuera compatible con los axiomas, entonces
se tendría una prueba formal de que el problema no tiene solución, pues al no ser la
fórmula consistente con los axiomas, su negación, la fórmula ¬∃xA(x), sería derivable
de ellos, con lo que se tendría una prueba de la irresolubilidad del problema.132
Es así que una prueba de consistencia para ∃xp(x) sería, para Hilbert, una manera de
resolver el problema expresado por la fórmula. Hay dos observaciones:
1. Planteado de esta manera, el problema de la resolubilidad de todo problema
matemático se fragmenta, debiéndose considerar en el contexto de cada teoría
específica. Por otra parte, esta fragmentación reduce el problema a proporciones
manejables. Cuando Hilbert abordó esta cuestión en 1900 pasó por alto que la
irresolubilidad no es una cuestión absoluta, sino relativa a los axiomas adoptados.
Esta noción tan abierta de resolubilidad –es decir, resolubilidad no a través de
medios específicos sino a través de cualesquiera medios imaginables– es, por
decir lo menos, cuestionable, y parece no tener ningún sentido.133
2. En el contexto de la teoría de la demostración, la cuestión de la resolubilidad
de todo problema matemático es una cuestión precisa con relación a cada teoría
específica. De esta manera, incluso ante la imposibilidad de precisar un método
general para resolver todos los problemas matemáticos, Hilbert está preparado
para abordar la cuestión caso por caso, investigando la estructura lógica de cada
teoría. En cada situación la cuestión de la resolubilidad se convierte en un problema combinatorio relativo al sistema considerado, es decir, en un problema
matemático. De esta manera Hilbert busca dar fin a una disputa filosófica (la de la
resolubilidad de todo problema matemático) no a través de la discusión verbal,
sino haciendo matemáticas. Se trata, en fin, de la ’matematización’ un problema
filosófico.
131 Aquí entra en juego el “principio creativo” de Hilbert, según el cual nosotros creamos los objetos
matemáticos mediante axiomas. Al respecto, véanse la correspondencia Hilbert-Frege en (Frege, 1980) y
los comentarios de Michael Detlefsen en “FOM: Hilbert and solvability, etc.”, op. cit.
132 En efecto, en este caso se tiene que la fórmula ¬∃xA(x) es derivable a partir de los axiomas. La base
de todo esto es el siguiente resultado, válido en el cálculo de predicados: si un enunciado B es incompatible
con un conjunto de enunciados K, entonces ¬B es deducible a partir de K, es decir, K CP ¬B. Cabe
señalar que detrás de este resultado se halla la utilización del principio del tercero excluido dentro del
cálculo de predicados, una razón más para que Hilbert se aferrara a él.
133 Al respecto, véase Gödel, 1995, p. 65, nota al pie 4.
4.4. E L PROGRAMA
245
Ahora bien, toda la argumentación anterior está basada en la supuesta existencia de un
procedimiento efectivo para determinar si un enunciado cualquiera es compatible o no
con los axiomas de una teoría. Hacia 1928 nada de esto se había logrado, salvo en los
casos más simples. Fue entonces que Hilbert introdujo dos nociones de enorme interés
para la lógica matemática contemporánea: la de completud de los axiomas y la de
decidibilidad de una teoría. Su posesión por parte de una teoría sería el complemento
ideal de la propiedad de ser consistente, a la vez que garantizaría la resolubilidad de
todo problema matemático perteneciente a dicho dominio.134
Veamos. La consistencia de una teoría formal establece que a partir de los axiomas y
siguiendo las reglas de inferencia, nunca se llegará a dos fórmulas una de las cuales
es la negación de la otra. La completud sintáctica es el complemento perfecto de esta
propiedad: un sistema formal es sintácticamente completo cuando para todo enunciado
A se cumple que o él o su negación ¬A es derivable en el sistema.
Claro está que el ideal de la formalización es un formalismo consistente y completo,
pues en tal caso el dilema “de los enunciados A y ¬A, ¿con cuál de ellos nos debemos
quedar?” se puede resolver por inferencia lógica. Y así como la consistencia evita
que ambos enunciados A y ¬A sean derivables, la completud garantiza que se puede
probar al menos uno de ellos. En tal caso, el sistema llevaría a una decisión para cada
problema pertinente y la investigación perdería importancia: bastaría con señalar cuál
de las fórmulas A o ¬A es inconsistente con los axiomas para saber que la otra es
derivable en el sistema.
Se puede argüir que en el caso de la aritmética elemental Hilbert ya cuenta con la
prueba de que el sistema de Peano es categórico y, por tanto, completo.135 No obstante,
la demostración de tal hecho no es finitista –en ella se utilizan nociones provenientes
de la teoría de conjuntos– y el sistema no está formulado en el lenguaje de la lógica
de predicados, sino en el de los conjuntos. En vista de lo anterior, Hilbert se vio en la
necesidad de reemplazar tal teoría de Peano con una de primer orden (véase al respecto
el apéndice O) e intentar una prueba finitista de la siguiente proposición:
Si a los axiomas de la aritmética se añade una fórmula (aritmética) que no es
derivable en dicho sistema, entonces se puede derivar una contradicción en
el sistema extendido.136
134 El lector hallará referencias explícitas a esta cuestión en (Hilbert, 1917, p. 32 de la trad. al español;
Hilbert, 1925, p. 108 de la trad. al español; Hilbert, 1927, p. 473 de la trad. al inglés y Hilbert, 1930, p.
1165 de la trad. al inglés).
135 Un sistema categórico es lo máximo a lo que se puede aspirar al formalizar una teoría. Lo que afirma
la categoricidad es que todos los modelos de la teoría son isomorfos entre sí, es decir, que desde un punto
de vista estructural todas sus interpretaciones son indistinguibles entre sí, difiriendo entre ellas sólo en
la terminología y la notación que empleamos. Se sabe que toda teoría categórica es completa, y que lo
recíproco es falso. En cuanto a las teorías de primer orden (es decir, cuyo lenguaje es el de la lógica de
predicados de primer orden), sabemos, por el teorema de Löwenheim-Skolem, que ninguna teoría que
tiene un modelo infinito es categórica. Al respecto, véase [Mendelson, 1979].
136 Cf. Hilbert, 1928.
246
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
La ventaja de esta formulación es que sólo hace referencia a las pruebas formales
del sistema, no a sus interpretaciones. Detrás de la aparente sencillez del problema
de la completud se oculta un ideal: el de determinar (mediante la aplicación de un
algoritmo), para cada problema aritmético, si éste tiene solución, pues, como acabamos
de ver, demostrar la proposición anterior equivaldría a demostrar que los axiomas de la
aritmética constituyen un sistema completo.
Otra ventaja de esta formulación es que pone en claro que la derivabilidad de una
fórmula en un sistema sintácticamente completo es equivalente a su consistencia con
los axiomas, pues si ésta no los contradice y el sistema es completo, la fórmula es
derivable. Por tanto, cuando estas condiciones se cumplen, la noción de verdad se puede
reemplazar con la noción de consistencia, conforme a las expectativas que Hilbert
se había trazado. Si a esto añadimos que Hilbert estaba seguro de poder construir un
método finitista para verificar si un sistema de enunciados es o no consistente, nos
daremos cuenta de la importancia que tiene en su proyecto el problema de la completud
sintáctica de los axiomas aritméticos.
La construcción de una teoría formal con tales características sería el triunfo de la
postura radical a la que Hilbert llegó a finales de los años veinte. No obstante, ahora
sabemos que un formalismo completo que abarque todas las verdades aritméticas –y
aquí nos disculpamos con Hilbert por utilizar la noción de verdad, tan prohibida en su
epistemología– es imposible de hallar.137
Veamos ahora un importante problema relacionado con lo anterior.
El problema de la decisión. Resolver este problema fue quizá el más ambicioso
de todos los planes ideados por Hilbert, una ilusión nacida de una creencia: la de
haber descubierto algo muy cercano a la characteristica universalis (el lenguaje de la
lógica de predicados) y al calculus ratiocinator (el cálculo de predicados) que soñara
Leibniz,138 situación que empalma muy bien con su convicción de que todo problema
matemático es resoluble.139
Hilbert relacionó rápidamente la cuestión de la completud de los axiomas de la aritmética con la cuestión de la completud del cálculo de predicados,140 que en principio es
un problema de naturaleza lógica. En este caso con el término “completud” se hace
referencia, no a una cuestión sintáctica, sino semántica, que podemos formular así:
137 De
eso trata el primer teorema de incompletud de Gödel, que pronto veremos.
un célebre manuscrito, Leibniz se refiere a la creación de una lingua philosophica y sobre de
ella un calculus racionator que proporcionaría un método cuasi-mecánico de extracción de conclusiones,
llegando incluso a imaginar que, una vez elaborado ese lenguaje, quienes desearan solucionar cualquier
controversia sólo tendrían que tomar el lápiz y decir: ¡calculemos!. Cf. Gerhardt, vol. 7, p. 200.
139 Como veremos, esta creencia fue puesta en duda con los teoremas de Gödel y otros resultados, que
de alguna manera imponen un límite a lo que se puede alcanzar con las teorías formales.
140 En [Hilbert, 1928], Hilbert se refiere al cálculo de predicados como el sistema de reglas lógicas,
mientras que en [Hilbert y Ackermann, 1928] se utiliza la expresión cálculo funcional que, en la segunda
edición de 1937, Ackermann cambia por cálculo de predicados, siguiendo el uso general.
138 En
4.4. E L PROGRAMA
247
Si A es una fórmula del cálculo de predicados que es válida, entonces A es
derivable en el sistema.141
Cuando Hilbert abordó esta cuestión en 1928 se trataba de un problema abierto.142
No obstante, aun sin saber que la respuesta sería favorable, Hilbert se percató de que
la completud referida no tenía el mismo alcance que la completud sintáctica y que,
a diferencia de ésta, no garantizaba de suyo la resolubilidad en principio de todo
problema matemático en el sentido ya señalado. Fue por ello que planteó el problema
de la decisión [Entscheidungsproblem]:
¿Habrá un método efectivo para determinar si una fórmula cerrada de la
lógica de predicados de primer orden es derivable en el sistema?
El vínculo de este problema con el de la resolubilidad de todo problema matemático
es el siguiente. Como sabemos –y sabía Hilbert–, si una fórmula A es derivable en
el cálculo de predicados a partir de un conjunto K de enunciados, entonces hay un
conjunto de fórmulas B1 , B2 , . . ., Bn pertenecientes a K con la propiedad de que la
fórmula (B1 ∧ B2 ∧ . . . ∧ Bn ) → A es válida (digamos que las fórmulas B1 , B2 , . . ., Bn
son aquéllas que participan efectivamente en la derivación de A), y recíprocamente.143
Se tiene, pues, que los problemas de validez y deducibilidad formal a partir de axiomas
están relacionados entre sí,144 y el problema de la decisión se puede expresar también
de la siguiente manera:
¿Habrá un método efectivo para determinar si una fórmula cerrada de la
lógica de predicados de primer orden es válida?145
141 Válida
significa verdadera en todas las interpretaciones posibles.
problema fue resuelto por Gödel en 1930, y la respuesta fue favorable: todas las fórmulas válidas
del cálculo de predicados son derivables en el sistema. Al combinar este resultado con el hecho de que
toda fórmula derivable en el cálculo de predicados es válida, resulta lo siguiente: Una fórmula A es un
teorema del cálculo de predicados (CP) si y sólo si es válida. Se tiene, pues, un cálculo completo con
relación a lo noción de validez, mas no completo en el sentido de que entre una fórmula y su negación,
alguna de las dos es derivable. Por ejemplo, dadas una fórmula atómica P(a) y su negación ¬P(a),
ninguna de ellas es derivable en el CP, pues ninguna de las dos es válida.
143 Esto lo podemos expresar así:
K CP A si y sólo si existe {B1 , B2 , . . . , Bn } ⊆ K tal que |= (B1 ∧ B2 ∧ . . . ∧ Bn ) → A.
144 En [Hilbert y Ackermann, 1928] los autores no sólo se refieren a la validez, sino a la satisfacibilidad
de las fórmulas, cuestión que aquí no tocaremos dado que nuestro interés es tan sólo mostrar la clase de
problemas que Hilbert intente resolver con la teoría de la demostración.
145 Tras los avances de la lógica matemática en los años treinta, y siguiendo a Hilbert y Ackermann en
la segunda edición de su libro Grundzüge der Theoretischen Logik, esto se puede expresar como sigue:
¿existe un procedimiento recursivo para las fórmulas individuales que asigne a una fórmula el valor
1 si ésta es válida y el valor 0 si no lo es?. Cf. [Church, 1936], [Turing, 1937] y la segunda edición
de [Hilbert y Ackermann, 1928]. Esta última formulación tiene la ventaja de que en ella el tema de la
decidibilidad se relaciona con el de las funciones recursivas, las cuales desempeñan un importante papel
en la demostración de los teoremas de incompletud de Gödel y en la lógica moderna en general.
142 El
248
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Cuando Hilbert formuló este problema, el tono del programa ya era otro: la solución
del problema de la decisión sería la guirnalda que coronaría el análisis de las reglas con
que se conduce la razón matemática. Eran los años de la esperanza y la fe reduccionista,
que se resumen muy bien en el siguiente pasaje, más bien extenso, que ilustra a la
perfección cómo llegó a creer que su programa era la panacea:
Mi exposición de hoy muestra cuántos problemas aguardan solución [Hilbert
se refiere a diversos problemas relativos a la completud, decisión, consistencia, etc. que recién ha enumerado]. Mas sobre el plan de la teoría general,
incluso la más pequeña traza de ambigüedad es imposible: toda cuestión que
se plantea encuentra, en el cuadro de la teoría de la demostración que he
esbozado, una respuesta dotada de la precisión y la univocidad matemáticas.
Las aseveraciones correspondientes son a partir de ahora demostrables de
manera absolutamente segura y puramente matemática mediante los resultados ya obtenidos, y por tanto no están sujetas a impugnación. Todo aquel
que pretenda refutarme debe, según una costumbre que ha prevalecido desde
siempre en las matemáticas y que lo continuará haciendo en el porvenir,
mostrarme exactamente en qué me equivoco. [...]
Creo que mi teoría de la demostración nos proporciona además un servicio
de orden más general. ¿Qué sería de la verdad de nuestro saber, qué sería de
la existencia y del progreso de las ciencias si no hubiera una verdad segura
en las matemáticas? Es frecuente en nuestros días encontrar hasta en las
publicaciones especializadas o en las conferencias públicas una expresión de
duda y desánimo en cuanto a la ciencia; he ahí una especie de ocultismo que
considero nefasto. La teoría de la demostración hace imposible esta actitud y
nos otorga la certeza de que el entendimiento matemático no conoce límites y
es capaz de poner a prueba las leyes de su propio pensamiento. Cantor decía
que la esencia de las matemáticas reside en su libertad; frente a los incrédulos
y los pusilánimes yo quisiera añadir: en la matemática no hay lugar para el
ignorabimus,146 siempre podemos hallar respuesta a cualquier cuestión a
condición de que tenga sentido, y lo que fue sin duda el presentimiento de
Aristóteles se confirma: que nuestra inteligencia no se entrega a artificios
misteriosos, sino que procede únicamente según reglas bien determinadas
que uno puede descubrir, reglas que son al mismo tiempo la garantía de la
objetividad absoluta de su juicio.147
Como ahora sabemos, el problema de la decisión no tuvo una respuesta favorable en
los casos más importantes: en 1936-7 Alan M. Turing y Alonso Church, de manera
independiente, mostraron la imposibilidad de que tal procedimiento exista con relación
146 Ignorabimus
= Ignoraremos en latín. [Nota del autor]
1928. Cita tomada de la traducción al francés, p. 185. En el pasaje hay un reconocimiento
implícito de que la formalización es completa, aunque falta la prueba de ello.
147 Hilbert,
4.4. E L PROGRAMA
249
al cálculo de predicados y a la aritmética, al menos no con los medios disponibles.148
Esto significó un duro revés a las pretensiones de Hilbert: no hay un procedimiento para
determinar la validez de las fórmulas del cálculo de predicados –el problema central de
la lógica, en sus propias palabras–, como tampoco parece haber una forma mecánica
para decidir, en principio, si todo problema matemático tiene o no solución.149
Como sea, la mayor frustración del programa no vino de este fracaso, sino de la caída
de su principal objetivo: la proyectada prueba de consistencia. Estas cuestiones serán
tratadas en el siguiente capítulo.
Para terminar, algunos comentarios:
1. Es obvio que Hilbert no ideó el programa de un solo golpe, sino que lo fue afinando
con el paso del tiempo. En (Hilbert, 1922) comenzó a utilizar los términos “teoría
de la demostración” y “metamatemáticas”, y formuló su punto de vista finitista con
su dramático “en un principio era el signo”; en (Hilbert, 1925) realizó un análisis
del papel del infinito en la matemática, expuso con cierto detenimiento lo que
entendía por métodos finitistas, y anunció una prueba de la hipótesis del continuo
cuya terminación, dijo, sólo dependía de la prueba de un lema; en (Hilbert, 1927)
presentó una formalización de la teoría de los números que incluía las clases
transfinitas de Cantor y ofreció una formulación muy simple del problema de la
consistencia para dicho sistema: sería suficiente con demostrar que la fórmula
¬(0 = 0) no es derivable en él (argumento aplicable a todos los sistemas de este
tipo); en (Hilbert, 1928) planteó como un reto el problema de la completud para
la teoría de los números y el análisis y abordó el problema de la decisión. A estas
alturas, el programa se mostraba como algo maduro, con sus métodos, objetivos,
sistemas formales y soporte filosófico bien decantados. Al respecto, el lector habrá
notado que nosotros abordamos el programa siguiendo un orden distinto al de su
desarrollo histórico, haciendo referencia a sus conceptos antes que al orden en
que se presentaron.
2. Hilbert confiere a la teoría de la demostración (tal como él la entiende) el rango
de una ciencia, opinión con la que todo mundo estaría de acuerdo. En lo que
hay discrepancias es en torno al siguiente problema: ¿lo es en la misma medida
que la Aritmética o el Análisis? Según Hilbert, el lugar que le corresponde es
de primera línea: “[...] el desarrollo de las matemáticas tiene lugar mediante
la alternación constante de dos niveles. En primer término, obteniendo nuevos
teoremas, esto es, nuevas fórmulas demostrables a partir de los axiomas, por
medio de la inferencia formal; en segundo, añadiendo nuevos axiomas junto
con la prueba de su consistencia mediante una argumentación concreta.”.150 La
teoría de la demostración sería, según esto, una pieza esencial en el imprevisible
148 Cf.
[Church, 1936] y [Turing, 1937]. Pronto volveremos a este punto. De igual manera, el lector
podrá acudir al §8 de [Torres, 2000], donde hallará algunos comentarios relativos a este problema.
149 A esta cuestión habremos de volver más adelante como parte de un debate más extenso.
150 Hilbert, 1922. Cita tomada de la traducción al español, p. 59.
250
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
desarrollo de la matemática. A lo anterior habría que agregar la siguiente acotación
de Cavaillès, en la que nos advierte el alto rango que Hilbert le confiere a esta
teoría: “La metamatemática, o teoría de la demostración, deviene la verdadera
ciencia: sus objetos serán las reuniones de signos o fórmulas y la organización de
éstos en unidades de dependencia o teorías. Es en el agrupamiento de éstas, en la
adjunción de axiomas y en la prueba de su fecundidad relativa, en lo que consiste
el trabajo real, capaz de procurar una verdad.”151
Al respecto Bourbaki opina que estas pretensiones son injustificadas:
Una consecuencia de esto [la idea de que toda teoría se debía justificar con
una prueba de consistencia] fue la creencia, muy extendida también entre
los formalistas, de que la teoría de la demostración formaba parte integrante de la matemática, de la que constituía un preámbulo indispensable.
Este dogma no nos parece justificado, y consideramos que la intervención
de la metamatemática puede y debe reducirse a la parte muy elemental
que trata del manejo de los símbolos abreviadores y de los criterios deductivos. No se pretende con esto, contrariamente a lo que decía Poincaré,
“reivindicar la contradicción”, sino más bien considerar, con Hadamard,
que la ausencia de contradicción, aunque no se demuestre, se constata.152
No deja de ser extraño que mientras para algunos la teoría de la demostración es
una disciplina fundamental, para otros, que favorecen el enfoque axiomático de
Hilbert, apenas si ocupa un lugar secundario al exterior de la matemática.
3. Desde el punto de vista adoptado por Hilbert en los años veinte, la matemática
pura habría de ampliarse siguiendo una doble pauta: derivando de los axiomas
nuevos teoremas y agregando nuevos axiomas como ampliación de sus teorías,
junto con la correspondiente prueba de no contradicción. Es así que la matemática
constituiría una disciplina autónoma, autosuficiente y libre de abrirse camino en
todas las direcciones posibles, teniendo como único límite la no contradicción.
Esto no hace sino corroborar la tesis ya mencionada: con Hilbert la matemática
deviene en la ciencia de lo posible. En esto, él fue el principal defensor de la
libertad y autonomía que Cantor le confiere a la matemática.
4. En 1927 Brouwer señaló que las diferencias entre el formalismo y el intuicionismo se disiparían a partir del momento en que Hilbert aceptara las siguientes
exigencias:153
a) La necesidad de diferenciar la construcción del “inventario de fórmulas”, de la
teoría intuitiva que se ocupa de las leyes de tal construcción, y reconocer que
la matemática intuicionista de los números naturales es indispensable para
esta última teoría.
151 Cavaillès,
1938. Cita tomada de la traducción al español, p. 98.
1969. Cita tomada de la traducción al español, p. 63.
153 Cf. Brouwer, 1927.
152 Bourbaki,
4.4. E L PROGRAMA
251
b) Que el principio del tercero excluido no se puede utilizar indiscriminadamente,
reconociendo, primero, que la investigación de la validez de este principio es
algo justificado y forma parte del núcleo de las investigaciones en torno a los
fundamentos de la matemática y, segundo, que la validez de este principio en
la matemática informal (intuitiva) se limita a los conjuntos finitos.
c) Que el principio del tercero excluido se identifica plenamente con el principio
de que todo problema matemático es resoluble.
d) Que la justificación de la matemática formal mediante una prueba (intuitiva)
de consistencia encierra un círculo vicioso, pues se apoya en la suposición de
que si una proposición es consistente, entonces es correcta (i. e., no puede
ser falsa en cuanto a su contenido), lo cual supone la correctud (material) del
principio del tercero excluido.
En un tono conciliador, suavizando sus críticas, Brouwer añade que la escuela
formalista sólo ha recibido beneficios del intuicionismo, y que debería de esperar
más. “Es más, dice, la escuela formalista debería ponderar el hecho de que en el
marco del formalismo nada de la matemática se ha asegurado a la fecha (pues,
después de todo, la prueba metamatemática de la consistencia del sistema de
axiomas es un faltante, hoy como ayer), mientras que el intuicionismo, [...] ha
reedificado varias de las teorías matemáticas con propiedad y firmeza. Si, por lo
tanto, la escuela formalista [...] ha detectado modestia por parte del intuicionismo,
debería de aprovechar la ocasión para no quedar rezagada con relación a esta
virtud.”154
Si bien Hilbert estaría de acuerdo en lo fundamental con los tres primeros puntos, el
cuarto de ellos le parece simplemente inadmisible. Además, el intento de conciliación
llegó demasiado tarde, justo en el momento en que Hilbert lanzaba las campanas al
aire seguro de lograr lo que se había propuesto, y no sólo eso: también lo hizo justo en
el momento en que su postura reduccionista se había agudizado al máximo, al punto
de creer que el problema de la decisión estaba al alcance de la mano (un síntoma de
arrebato). Por supuesto, nada fue del intento por llegar a un arreglo.155
4.4.5.
El programa: un resumen
Podemos resumir el programa de Hilbert como sigue:
1. Formalizar la matemática clásica.
2. Demostrar, con base en la matemática finitista, que la formalización es consistente.
3. Demostrar, cuando sea el caso, que la formalización es sintácticamente completa.
154 Brouwer,
1927. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 492.
saber la verdadera manera en que Hilbert “disipó en definitiva” las diferencias entre el formalismo y el intuicionismo, tal como lo estaba pidiendo Brouwer, véase el apéndice I.
155 Para
252
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
4. Construir un algoritmo para determinar la validez de las fórmulas del cálculo de
predicados.
El programa se sustenta en la idea de que la matemática clásica se puede reducir a un
sistema formal, es decir, que es posible formalizar por completo la matemática clásica y
que la noción sintáctica de derivación formal es el correlato preciso de las nociones de
verdad y demostración de la matemática usual. En cuanto a la prueba de consistencia,
si bien no hay una definición precisa del concepto de “demostración finitista”, Hilbert
no considera necesario contar con tal definición, pues una vez hecho el trabajo, el
análisis de los métodos utilizados descubrirá si éstos son o no satisfactorios.
Visto desde la matemática, el programa de Hilbert se presenta como un examen de la
estructura lógica de la matemática clásica a fin de probar su consistencia. No obstante,
también es la expresión de un proyecto filosófico que podemos abreviar así:
Fundamentar la matemática en la intuición pura del signo156
Desde este punto de vista, el programa se contempla como un intento por sustentar la
legitimidad de las principales teorías matemáticas (la aritmética y el análisis) sobre
una base intuitiva, ligada a la sensibilidad, y establecer este hecho al interior de la
matemática misma. Así, con la realización de su proyecto Hilbert pretende resolver un
problema filosófico, no mediante la discusión verbal, sino dando respuesta a cuestiones
precisas, es decir, haciendo matemáticas. Podemos decir entonces que la posición de
Hilbert es la de abrir paso a una filosofía derivada de las matemáticas, una filosofía
matemática, en oposición a una filosofía de las matemáticas que buscaría ajustar el
trabajo concreto de los matemáticos a posiciones tomadas desde afuera de esta ciencia.
En cuanto a las restricciones impuestas al programa, Hilbert busca satisfacer con ellas
las exigencias de Brouwer, no al momento de construir las teorías matemáticas, sino
al probar su consistencia. A cambio de ello, lo que espera es que Brouwer y Weyl
reconozcan como algo lícito valerse de cualquier noción cuya compatibilidad con los
principios constructivos de la teoría se pruebe de esta manera, propuesta que Brouwer
nunca aceptó.
Los problemas que con el paso del tiempo anexó Hilbert al programa son un signo
de optimismo y pérdida de la perspectiva, sobre todo con relación a lo que se podía
esperar de una empresa de tal naturaleza. Prueba de ello es el hecho de que aun sin
haber logrado nada en concreto, en diversas ocasiones proclamó tener prácticamente
resuelto el problema de la consistencia o el problema de la completud de los axiomas
aritméticos.157 Indudablemente, Hilbert representa una figura que no se arredra ante
156 En ningún lugar Hilbert hace algún señalamiento de esta índole. Más bien, se trata de una conclusión
a la que llegamos a través del examen de sus ideas y del análisis de su programa.
157 Por ejemplo, en (Hilbert, 1928), da por un hecho que la prueba del isomorfismo de los modelos de la
aritmética (de segundo orden) no va más allá de la matemática finitista y de este isomorfismo se sigue
la completud de los axiomas. De manera semejante, en [Hilbert, 1927], sugiere que la consistencia del
análisis es cuestión de minucias, que sólo depende de la extensión finitista del método de Ackermann
para la aritmética elemental restringida.
4.4. E L PROGRAMA
253
los problemas, pero la posteridad también lo recordará como alguien que “perdió piso”
y creyó poder lograr más de lo que se podía. La forma final de su programa parece
fuera de toda proporción y nos debe servir como una advertencia de que detrás de las
cosas de simple apariencia se pueden ocultar enormes dificultades.
En su momento, el programa dominó prácticamente toda la escena. Para superarlo, para
dar fin a su hegemonía y al radicalismo epistemológico de Hilbert, se requirió de algo
más que buenas intenciones. No servía de nada continuar una polémica que en el plano
filosófico ya no tenía salida. Por el contrario, había que tomarle la palabra a Hilbert y
examinar los alcances de su programa en un sentido matemático, ver qué tan lejos se
podía ir con los medios propuestos y así seguir construyendo una filosofía matemática,
una filosofía que en vez de argumentos bizantinos ofreciera teoremas y demostraciones.
En esto, Gödel fue quien mejor entendió las cosas: en vez de polemizar con él, como
único argumento le presentó dos teoremas que sacudieron desde sus cimientos no sólo
al programa, sino a la visión sintáctica que Hilbert había forjado de la matemática.
Pero esto será el tema de nuestro siguiente capítulo. Por lo pronto, queremos concluir
con un comentario en torno a la importancia y significación histórica del programa.
Ciertamente, la aparición del programa fue un parteaguas en el desarrollo de la lógica
y el estudio de los fundamentos de la matemática. Con él, Hilbert introdujo nociones y
procedimientos inéditos que el tiempo incorporó al acervo matemático. La forma en
que aborda los problemas en el programa no sólo es original, sino enriquecedora, y las
cuestiones en él planteadas siguen siendo el motor de múltiples investigaciones. Quizá
ésta fue la principal virtud del programa: transformó muchos problemas relativos a las
teorías matemáticas en problemas matemáticos.158
En cuanto a las aportaciones de Hilbert a la lógica y al estudio de los fundamentos,
podemos decir que la más importante de todas fue la creación de una nueva rama de las
matemáticas: la teoría de la demostración. Y si bien en este dominio la contribución de
Hilbert no se puede medir por los resultados alcanzados, fue él quien trazó los caminos
por donde habrían de proseguir las investigaciones.159 En gran medida, los problemas
planteados en el programa sellaron el destino de toda una generación de investigadores,
y sólo desde su perspectiva se puede entender el rápido avance de la lógica matemática
en los años treinta. Sin temor a equivocarnos, podemos decir que sin Hilbert muchos
de los resultados obtenidos en este dominio no se habrían ni siquiera vislumbrado en
su momento, y su llegada se habría aplazado por tiempo indefinido. En particular, la
mejor perspectiva de los teoremas limitativos de Gödel, Church, Tarski y Turing es
desde el programa, que les da pleno sentido y significación, y en el que tienen sus
raíces.
158 Por ejemplo, los problemas relativos a la consistencia y la completud se transformaron en problemas
de combinatoria, propios de la aritmética finitista.
159 No deja de ser sorprendente que Hilbert no dejara resultados de importancia en esta área: ningún
teorema lleva su nombre. En este sentido su relevancia la debemos medir, no por las soluciones obtenidas,
sino por el impulso que dio a la investigación con los problemas planteados. Hilbert merecidamente es
“el padre de la teoría de la demostración”, aunque ningún teorema importante se deba a él.
254
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
Debemos, entonces, revalorizar el programa como una fuente de ideas y métodos
que cambiaron radicalmente el enfoque y el modo de analizar el problema de los
fundamentos de la matemática.160
Más allá de los intentos fallidos y del fracaso del programa (no reconocido por todos),
Hilbert puede reclamar para sí el haber desplazado el problema de los fundamentos a
otro nivel. Con vehemencia, nos enseñó que la comprensión del concepto de infinito
implica entender la maquinaria transfinita con que se le maneja, y nos enfrentó a la
posibilidad de eliminar tal maquinaria desde la matemática finitista. También nos
enseñó, junto con Brouwer, que la lógica no es un supuesto tácito en la construcción
de las teorías, sino algo que debemos edificar de manera simultánea, y que el problema
de los fundamentos se puede investigar sintácticamente, haciendo de las teorías un
objeto de estudio. Esto significó un viraje con relación a la concepción de Frege y
Russell, para quienes la idea de examinar el sistema de la lógica estaba más allá toda
consideración, pues se trataba de un cuerpo de conocimientos sistematizado que lo
abarcaba todo, de modo que no había lugar para consideraciones metateóricas relativas
a su alcance y estructura. Tras la invención de la metamatemática podemos decir que ya
no es creíble una postura de esta naturaleza, que se mira, por decir lo menos, ingenua.
Sin duda, el programa de Hilbert cambió por siempre la faz de las investigaciones; la
prueba la tendremos en el siguiente capítulo, cuando veamos los teoremas de Gödel.
4.4.6.
Comentarios finales
1. En su obra, Hilbert tiene que conciliar dos posturas aparentemente incompatibles.
Por una parte, su disposición a admitir como objeto de estudio cualquier sistema
de objetos que la mente humana pueda concebir; por la otra, su férreo escepticismo
que lo lleva a negar que la matemática sea el reflejo de algún tipo de realidad. La
tensión entre estos dos factores se manifiesta con toda su fuerza en la defensa
que emprende de la matemática transfinita, donde, sin renunciar a ninguna de sus
partes, evita el realismo conceptual de Cantor.
Al parecer, las experiencias de Hilbert en la primera parte de su carrera tuvieron un
significado especial en la conformación de estas dos posturas. Cuando estudiante,
tuvo la oportunidad de ahondar en la filosofía de Kant, cuya influencia en su
pensamiento es innegable. Fue de él de quien asimiló el modo característico con
el que mira a la ciencia, sobre todo en lo concerniente a la cautela y disposición a
evitar toda suposición metafísica.161
160 Como bien dice Hermann Weyl, tras la intervención de Hilbert y Brouwer no es posible un retorno
al punto de vista de Russell y Whitehead en Principia Mathematica. La cita exacta es la siguiente:
“Sin importar lo que traiga el futuro, no cabe duda de que Brouwer y Hilbert elevaron el problema de
los fundamentos a un nuevo nivel. Un retorno al punto de vista de Russell y Whitehead en Principia
Mathematica es impensable.” [Weyl, 1944a]. Cita tomada de Reid, 1970, pp. 273-274.
161 No debemos olvidar que Hilbert creció en la ciudad de Königsberg, donde Kant viviera toda su vida,
y que realizó sus estudios en la misma universidad donde Kant fuera profesor; fue ahí también donde se
4.4. E L PROGRAMA
255
En cuanto a la matemática, Hilbert fue en su vida profesional un artífice de la
expansión de los métodos de demostración admitidos en ella, a la vez que un fuerte
crítico de sus fundamentos.162 Su capacidad para abordar y resolver problemas
pronto le ganó fama y prestigio. Quizá en ello echa raíces su convicción de que
todo problema matemático es resoluble. De la física aprendió que la matemática es
una herramienta fundamental en el conocimiento de la naturaleza y que como tal
no se le puede limitar. De Cantor aprendió a imaginar un mundo cuya legitimidad
fue puesta en entredicho por las paradojas, y se sumó a su defensa, haciendo suyo
el alegato en favor de la libertad y la autonomía de la matemática.
Prudencia y audacia a la vez, dos actitudes antagónicas que entraban en conflicto
y que Hilbert debía conciliar. Esto lo creyó posible mediante la adopción del
método axiomático y la formalización.163
En efecto, para reconciliar su fe irrestricta en la razón, capaz de conquistar el
infinito, con la negativa a admitir una postura realista, Hilbert se escuda en la
reconstrucción axiomática y, tras de ella, en la formalización. Fue por ello que en
un comienzo identificó la existencia matemática con la no contradicción, pues ése
era el mejor camino para evitar todo tipo de suposiciones innecesarias, a la vez
que dejaba abierta la posibilidad de tratar con entidades abstractas de todo tipo.
Este último planteamiento es independiente del programa y se le puede sostener
sin necesidad de aceptar los objetivos y los principios epistemológicos que éste
persigue y supone.
2. Hilbert rechaza la opinión de que el verdadero rigor sólo se puede alcanzar en la
aritmética y quizá en el análisis. Por el contrario, sostiene que éste es asequible
por igual en todas las ramas de la matemática, que pueden ser tratadas de la misma
manera:
inició como docente. Tal como lo advierte Constance Reid [Reid, 1970, p. 3], Hilbert creció, como todos
los niños de esa ciudad, “con las palabras de Kant en su mente y en sus oídos.” Al respecto, sabemos
que todos los meses de abril asistía, en compañía de su madre que tenía inclinación por la filosofía, al
sepulcro de Kant a depositar una corona de laureles con motivo del natalicio de este pensador. Kant es el
único filósofo del que Hilbert reconoce alguna influencia y las citas a él son la únicas que se multiplican
en sus escritos. También sabemos que en ocasión de su examen doctoral Hilbert debió defender dos tesis
de su elección. Según lo consigna Constance Reid (Reid, 1970, p. 16), uno de los temas que eligió se
relaciona directamente con la filosofía de Kant: Que las objeciones a la teoría kantiana de la naturaleza
a priori de los juicios de la aritmética, son infundadas. Esto nos muestra también que su interés por la
filosofía de la matemática se remonta a su vida como estudiante.
162 Hasta antes de la elaboración del programa, Hilbert siempre dio muestras de prudencia en el plano
filosófico y de audacia como matemático. Por ejemplo, él fue quien realizó la primera demostración
en matemáticas de la existencia de un objeto por reducción al absurdo. De eso hablaremos en diversos
lugares y, en particular, en el apéndice T.
163 Ciertamente, con la formalización el conflicto quedaría resuelto: una teoría formalizada es un objeto
simbólico (dentro del alcance de la matemática finitista), respecto al cual nada importa el significado que
puedan tener sus expresiones.
256
4. E L PROGRAMA DE H ILBERT
[...] yo creo que sin importar de dónde provengan las ideas matemáticas, si
de la teoría del conocimiento o la geometría, o de las teorías de la ciencia
natural o de la física, surge el problema para la ciencia matemática de
investigar los principios subyacentes a estas ideas, y por ende la cuestión de
establecer para ellos un sistema simple y completo de axiomas, de manera
que la exactitud de las nuevas ideas y su aplicabilidad a la deducción no
será inferior en ningún sentido a aquella de los conceptos aritméticos.164
Hay en este pasaje una idea sobre la que queremos llamar la atención. Se trata de
la idea de que en la matemática no hay grandes misterios, ni nada incomprensible
para el hombre común. Claro está que para alcanzar un resultado primero se le
debe conjeturar y probar, todo lo cual requiere de una gran dosis de creatividad
e imaginación. Sin embargo, una vez en posesión de un teorema, éste se debe
integrar a la teoría mediante un argumento racional que no encierre ningún
misterio: en la matemática no hay lugar para los arcanos.
De hecho, Hilbert llegó al extremo de creer que todos los medios demostrativos
a nuestro alcance –“la técnica de nuestro pensamiento”, como dice en la cita de
la sección 4.4.3– se podrían formalizar de una vez por todas. Su error consistió
en suponer que esto se podría lograr de manera exhaustiva. Como veremos, tras
los teoremas de Gödel sabemos que la matemática estará por siempre abierta a la
posibilidad de incorporar nuevos métodos de demostración –nuevos principios–
en cada fase de su desarrollo. Sin embargo, y a pesar de esta falsa apreciación,
las ideas de Hilbert constituyeron en su momento una refutación del subjetivismo intuicionista, dejando en claro que cualquier individuo armado de tiempo y
paciencia puede entender cualquier demostración, pues en última instancia ésta
deberá exponerse de manera ordenada con apego a los cánones de la lógica. A
su vez, esto último lo llevó a la idea de que si la demostración matemática es
mecanizable165 , las teorías podrían ser decidibles.
En nuestros días estas ideas, al igual que los métodos desarrollados a partir de
la propuesta de Hilbert, han conducido al desarrollo de interesantes estrategias
de búsqueda de pruebas para conjeturas con base en la inferencia formal. A la
disciplina que se ocupa de estos menesteres se le conoce como demostración
automática de teoremas, una rama especializada de las ciencias de la computación.
Se trata de un dominio en el que las ideas de Hilbert sobre la formalización han
sido fructíferas y muestran su verdadero alcance.
164 Hilbert,
1900. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 5.
165 Mecanizable: procedimiento que puede llevarse a cabo mediante la aplicación de un reducido número
de reglas fijas. Esta noción la debemos distinguir de automatizable, en la que además se exige que el orden
de aplicación de las reglas esté determinado de antemano, como sucede en la demostración automática de
teoremas.
Capítulo 5
La intervención de Gödel
5.1.
El espíritu de una época: verdad y demostrabilidad
La primera vez que Hilbert oyó hablar de Gödel fue en 1930. Un año antes, a los
veintitrés años de edad, este joven matemático había demostrado que el cálculo de
predicados de primer orden es completo, en el sentido de que toda fórmula válida es
derivable en él.1 Esta demostración era una solución al problema planteado por Hilbert
y Ackermann en 1928 y marchaba acorde con las expectativas del programa: las leyes
de la lógica clásica estaban codificadas plenamente en dicho cálculo y no se requería
de ningún axioma lógico adicional para asegurar que todas las consecuencias lógicas
de cualquier conjunto de hipótesis se podían derivar de él. No obstante, Gödel no era
un seguidor incondicional del programa, como lo era Herbrand, y a un tiempo que
demostraba el teorema de completud extendida, consideraba la posibilidad de que en
Principia Mathematica y sistemas afines hubiera problemas irresolubles, enunciados
indecidibles.
5.1.1.
La introducción de 1929
Gödel demostró el teorema de completud como parte de su disertación doctoral en 1929,
y lo dio a conocer en 1930 en un artículo que coincide en lo básico con dicho trabajo.2
No obstante, en el texto de 1930 Gödel omite la introducción de su trabajo doctoral,
en la que expone sus dudas respecto a los puntos de vista de Hilbert y Brouwer.3 En
ella, Gödel aborda de manera crítica la cuestión de la resolubilidad de todo problema
matemático y sugiere la posibilidad de probar la existencia de problemas irresolubles
para un sistema formal.
1 Ya
nos hemos referido a este resultado en la sección 4.4.4.
Gödel, 1930.
3 Cf. Gödel, 1929 y Gödel, 1930. La tesis doctoral de Gödel no se publicó sino después de su muerte
en (Gödel, 1986). Según parece, la omisión de la introducción tuvo como causa el rechazo de Gödel a la
crítica y a la discusión de sus puntos de vista, una actitud prudencial muy bien caracterizada por Solomon
Feferman en un célebre trabajo en el que, justamente, aborda esa extraña mezcla de convicción y cautela
de la que Gödel siempre hizo gala. Cf. Feferman, 1988.
2 V.
257
258
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Gödel afirma que el teorema de completud es, en cierto sentido, el complemento teórico
del método usual para probar la consistencia de un sistema de axiomas mediante la
exhibición de un modelo. Aclaremos la cuestión haciendo un recuento de los resultados
que entran en juego. En primer lugar tenemos el teorema de completud mismo:
1. Toda fórmula válida perteneciente al lenguaje del cálculo de predicados es
derivable en dicho sistema.
Junto a esta presentación del teorema tenemos la forma extendida, que es en realidad la
que Gödel demuestra en su trabajo. Esta segunda versión pone de manifiesto la relación
existente entre la noción semántica de modelo y la noción sintáctica de derivación
formal:
2. Todo conjunto infinito numerable de enunciados de la lógica de primer orden o
tiene un modelo, o contiene un subconjunto finito cuya conjunción es refutable.
Asimismo, Gödel hace referencia a un teorema demostrado por Skolem en 1922, el
cual resulta equivalente al teorema de completud extendida:
3. Si un conjunto de enunciados pertenecientes a la lógica de primer orden es
consistente, entonces tiene un modelo.
La afirmación de que el teorema de completud extendida es el complemento teórico
del método usual para probar consistencia (el método de los modelos), Gödel la apoya
en que dicho teorema “nos garantiza que en cada caso el método conduce a su meta, es
decir, que uno debe ser capaz de producir una contradicción o probar la consistencia
por medio de un modelo.”4 No obstante, Gödel advierte que la existencia del modelo
en cuestión no tiene un soporte constructivo: “Sin duda, la existencia de esta alternativa
no está demostrada en el sentido intuicionista (es decir, mediante un procedimiento de
decisión).”5 En efecto, la posibilidad de disponer de un modelo es sólo teórica, pues
no se cuenta con un procedimiento efectivo para construirlo. Esta última observación
le da pie a Gödel para confrontar su postura con las de Brouwer y Hilbert.
Como sabemos, en algún momento Hilbert llegó a aceptar como existente cualquier
noción introducida mediante un sistema de axiomas consistente. Brouwer, por el
contrario, juzga que las pruebas de consistencia no tienen ningún valor y las desestima
como signo de la existencia de las nociones implicadas; es más, rechaza las pruebas de
consistencia como algo fuera de control y sostiene que éstas ni siquiera aseguran la
corrección del sistema.6 Como a continuación veremos, Gödel se aparta tanto de la
4 Gödel,
1929. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 61.
ibid, nota al pie 2.
6 En distintos lugares Brouwer traza una clara línea divisoria entre lo que llama teorías correctas y
teorías consistentes; uno de ellos es el siguiente: “No necesitamos de ninguna manera desesperarnos por
alcanzar esta meta [la prueba de consistencia], pues nada de valor matemático se logra con ello: una teoría
incorrecta, incluso si no puede ser inhibida mediante una contradicción que la refute, no es por ello menos
incorrecta, lo mismo que un plan de acción criminal no es menos criminal cuando no puede ser frenado
por una corte que lo pudiera inhibir.” [Brouwer, 1923. Cita tomada de la traducción al inglés, p. 336].
5 Gödel,
5.1. E L ESPÍRITU DE UNA ÉPOCA : VERDAD Y DEMOSTRABILIDAD
259
ciega creencia de Hilbert en el poder de los métodos formales, como del desdén que
Brouwer profesa hacia la formalización.
Gödel comienza relacionando la definición de existencia matemática propuesta por
Hilbert con la cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático:
Sin embargo, esta definición [de existencia matemática] [...] presupone claramente el axioma de que todo problema matemático es resoluble. O, para
ser más precisos, presupone que no podemos probar la irresolubilidad de
cualquier problema, pues si se probara la irresolubilidad de algún problema
(en el dominio de los números reales), entonces, de la definición anterior se
seguiría la existencia de dos realizaciones no isomorfas del sistema axiomático para los números reales, mientras que por la otra parte podemos demostrar
que dos realizaciones cualesquiera son isomorfas entre sí. No obstante, no
podemos excluir del todo una prueba de la irresolubilidad de un problema
si observamos que lo que está en juego es tan sólo la irresolubilidad de un
problema mediante ciertos medios de inferencia formales establecidos con
precisión, pues todas la nociones que aquí consideramos (derivable, consistente, y así sucesivamente) sólo tienen un significado exacto cuando hemos
delimitado con precisión los medios de inferencia admitidos. Incidentalmente, estas reflexiones están destinadas tan sólo a aclarar las dificultades que
estarían conectadas con tal definición de la noción de existencia, sin hacer
ninguna aseveración definitiva acerca de su posibilidad o imposibilidad.7
Del pasaje anterior sólo queremos resaltar dos aspectos. Por una parte, que el argumento
de Gödel –según el cual la noción de existencia matemática propuesta por Hilbert
presupone la resolubilidad de todo problema matemático– es erróneo. Por otra parte,
destacar la idea en ciernes de que pudiera haber problemas no resolubles con los
medios de inferencia formal establecidos, cuya irresolubilidad se pudiera demostrar
mediante un razonamiento metamatemático.
Figura 5.1. Esquema en el que se ilustra la idea de Gödel. Un problema p puede ser irresoluble
en el sistema formal, y haber una prueba metamatemática de que tal es el caso.
7 Gödel,
1929. Cita tomada de Gödel, 1986, pp. 61-63.
260
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
En lo que sigue consideraremos por separado estas cuestiones, pues en cierto sentido
son independientes una de la otra. Como veremos, aunque Hilbert efectivamente
sostuvo el principio de que todo problema matemático es resoluble, el argumento que
Gödel presenta es inexacto, pues no contempla la distinción entre lógica de primer
orden y lógica de segundo orden que se encuentra tras los teoremas en que apoya su
razonamiento.
A. El argumento de Gödel
Gödel sostiene lo siguiente: que la definición de existencia matemática como ausencia
de contradicción presupone el principio de que todo problema matemático es resoluble.
El argumento sería, mutatis mutandis, el siguiente.
Supongamos que se acepta la definición de existencia matemática como ausencia de
contradicción, a la vez que se acepta la posibilidad de que haya problemas irresolubles,
digamos en el sistema de los números reales R.
Sea p un problema irresoluble en dicho sistema. Dado que ni p ni su negación ¬p son
derivables en R, las teorías axiomáticas R1 = R ∪ {p} y R2 = R ∪ {¬p} son consistentes
y, por lo tanto, cada una de ellas tiene un modelo, digamos M1 y M2 , respectivamente.
Nótese que ambas realizaciones son modelos de R, pues tanto R1 como R2 lo incluyen
como subsistema. No obstante, M1 y M2 no son isomorfos entre sí, en contra de lo que
establece el teorema que demuestra la categoricidad de R, pues M1 realiza al enunciado
p, mientras que M2 realiza su negación ¬p.8
Por lo tanto, no podemos asumir la existencia de problemas irresolubles, y dado un
enunciado p perteneciente al lenguaje del sistema, o bien p o bien ¬p es derivable a
partir de R, es decir, R es completo.
El argumento anterior se apoya en el supuesto de que todas las realizaciones del sistema
de los números reales son isomorfas entre sí y tienen la misma estructura, por lo que
sus elementos se pueden poner en correspondencia biunívoca de modo tal que los
elementos correspondientes obedezcan a las mismas leyes y reglas.9
8 Aquí, Gödel asume que R es una teoría de segundo orden, pues sólo así puede aducir la categoricidad
del sistema, haciendo valer un teorema que pertenece a la lógica de segundo orden. El sistema R podría
incluir, por ejemplo, al axioma del supremo.
9 El que una teoría sea categórica es lo máximo que podemos esperar de ella, pues esta propiedad
incluye la completud del sistema. Cuando dos modelos son isomorfos, podemos decir que se trata de la
misma estructura, i.e., que los modelos son idénticos entre sí salvo por el “color” de sus elementos. V. gr.,
los números reales se pueden construir como cortaduras de Dedekind (conjuntos de números racionales) o
como sucesiones de Cauchy (sucesiones de números racionales), obteniéndose en ambos casos lo mismo:
dos estructuras en las que los elementos básicos se pueden mapear uno a uno mediante un isomorfismo
que preserva el orden y las operaciones aritméticas (recordemos que en la matemática pura la naturaleza
específica de los objetos considerados se considera irrelevante, siendo lo único importante la manera
en que éstos se relacionan entre sí). Al respecto, ninguna teoría de primer orden que tenga un modelo
infinito puede ser categórica, es decir, no puede ser descriptiva de una única estructura (teorema de
Löwenheim-Skolem). A lo más que se puede aspirar es a que, en cada nivel cardinal transfinito, todos sus
modelos sean isomorfos entre sí. Esto sucede cuando la lógica subyacente es de segundo orden, como en
el caso original de los axiomas de Peano o el de los axiomas del sistema de los números reales.
5.1. E L ESPÍRITU DE UNA ÉPOCA : VERDAD Y DEMOSTRABILIDAD
261
No obstante, esto sólo sucede para el sistema de los números reales cuando sus axiomas
se enuncian en un lenguaje de segundo orden, en el que además de cuantificar sobre
individuos se pueden construir enunciados universales sobre todos los conjuntos de
números reales o todas las funciones de R en R.10 En tal caso, y sólo entonces, se
puede demostrar que todas las realizaciones del sistema son isomorfas entre sí.
Una objeción al argumento de Gödel es que la lógica de segundo orden no se considera
adecuada con relación a los fundamentos de la teoría de los números reales, pues su
semántica presupone una fuerte dosis de teoría de conjuntos. Y sin el teorema del
isomorfismo, que más que a la lógica pertenece al álgebra, el argumento de Gödel
se viene abajo, pues en el caso de la lógica de primer orden sucede exactamente lo
contrario: con base en el teorema de Löwenheim-Skolem, sabemos que ninguna teoría
(formulada en un lenguaje de primer orden) que tenga un modelo infinito puede ser
categórica. Esta falta de distinción entre propiedades de primer y segundo orden es una
muestra del estado en que se encontraban las investigaciones lógicas en aquel momento
y no podemos inculpar a Gödel por ello; además, una vez hecha la distinción, podemos
decir que ésta sólo afecta localmente al razonamiento de Gödel, no a sus objeciones en
torno al concepto de existencia matemática propuesto por Hilbert.
B. La cuestión de la irresolubilidad
Sin lugar a dudas, de las propuestas que Gödel arriesga en la introducción a su disertación doctoral, la más significativa es la de probar que un problema matemático es
irresoluble con los medios disponibles en un sistema formal. Esta idea equivale a sugerir la existencia de proposiciones indecidibles con relación a un sistema axiomático.
En este sentido Gödel es muy claro al señalar que la irresolubilidad no es una cuestión
absoluta, sino relativa, y que para hablar de este problema es necesario especificar los
medios considerados. Sin lugar a dudas el comentario está dirigido a Hilbert, quien
aborda la cuestión de la resolubilidad, no desde el punto de vista de algún medio
10 Por ejemplo, el axioma de inducción para la aritmética de los números naturales se expresa en un
lenguaje de segundo orden como sigue:
∀X ⊆ N([0 ∈ X ∧ ∀z(z ∈ X → sz ∈ X)] → X = N)
[Paráfrasis: Para todo conjunto X de números naturales, si 0 pertenece a X y para todo número z, si z
pertenece a X entonces el sucesor de z también pertenece a X, entonces X es el conjunto N de los números
naturales.] Nótese que en este caso el cuantificador “∀z” se refiere a números naturales, mientras que el
cuantificador “∀X” se refiere, no a números naturales, sino a conjuntos de números naturales, de modo
que el axioma de inducción se hace valer para todos los subconjuntos de N. En cuanto a la lógica de
primer orden, donde no se permite cuantificar conjuntos de números, sino únicamente individuos, el
axioma de inducción, característico de los números naturales, lo tenemos que enunciar para cada fórmula
individual A(x) que se pueda construir en su lenguaje:
(A(0) ∧ ∀z[A(z) → A(sz)]) → ∀zA(z)
[Paráfrasis: Si 0 tiene la propiedad A, y para todo número z, si z tiene la propiedad A, entonces el sucesor
de z también tiene dicha propiedad, entonces todos los números naturales tienen la propiedad A]. Nótese
que en este caso el axioma sólo se hace valer para aquellos conjuntos X ⊆ N que son definibles mediante
una fórmula A(x) del lenguaje, más no para el resto, lo cual permite tener modelos de los axiomas de
Peano que no coinciden con lo que tradicionalmente entendemos como “números naturales”.
262
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
específico, sino a la luz de todos los medios imaginables, lo cual para Gödel no tiene ni
pies ni cabeza: “[...] parece cuestionable que una noción de resolubilidad tan holgada
–y, en consecuencia, la interpretación del principio del tercero excluido que entra aquí
en la discusión– tenga siquiera algún sentido.”11
Ciertamente, Hilbert maneja la noción de resolubilidad en un sentido absoluto. Cuando
afirma que en la matemática no hay lugar para el ignorabimus o que siempre podremos
hallar la respuesta a cualquier problema, no dice nada acerca de los medios demostrativos. No obstante, este planteamiento del problema lo hace intratable desde un punto de
vista matemático, pues la cuestión de la resolubilidad se presenta más como un acto
de fe que como un asunto que se pudiera investigar de manera precisa. Justamente, lo
que Gödel propone es sacar el problema de este contexto y ubicarlo en el horizonte
matemático.
Podemos decir entonces que cuando Gödel concluyó su tesis doctoral ya consideraba
como una posibilidad real la existencia de proposiciones indecidibles en el sistema
de los números reales,12 perfilando con ello la línea de investigación que a la larga lo
llevaría a los teoremas de incompletud. Ciertamente, en este trabajo ya se levantan los
espectros de la incompletud y la irresolubilidad. No deja de llamar la atención que
estas ideas se le hayan ocurrido a Gödel justo en el momento en que, paradójicamente,
parecía contribuir a la consecución del programa con su prueba de completud para el
cálculo de predicados.
5.1.2.
El espíritu de la época
Cerramos esta sección con un comentario relativo al ambiente intelectual en que Gödel
se hallaba inmerso por aquellos años y la actitud que asumió. En una carta fechada el 7
de diciembre de 1967 y dirigida a Hao Wang (1921-1996), Gödel dice lo siguiente:
El teorema de completud es en realidad una consecuencia casi trivial del
teorema de Skolem. Sin embargo, el hecho es que en aquel momento nadie (incluyendo al mismo Skolem) sacó la conclusión (ni del teorema de
Skolem, ni, como yo lo hice, de consideraciones similares propias) [...] Esa
ceguera [...] de los lógicos era en verdad sorprendente. Pero pienso que la
explicación no es difícil de hallar. Ésta yace en la falta, bien difundida en ese
momento, de la actitud epistemológica requerida hacia la metamatemática y
el razonamiento no finitista. [...] La susodicha inferencia a partir del teorema
de Skolem es en definitiva no finitista, al igual que cualquier otra prueba
de completud para el cálculo de predicados. Por tanto, estas cosas no eran
advertidas o eran pasadas por alto.13
11 Gödel,
1929, nota al pie 4. Cita tomada de Gödel, 1986, p. 65.
que una proposición A es indecidible cuando ni ella ni su negación son derivables a
partir de los axiomas.
13 Wang, 1974, pp. 8-9.
12 Recordemos
5.1. E L ESPÍRITU DE UNA ÉPOCA : VERDAD Y DEMOSTRABILIDAD
263
Ciertamente, el teorema de completud de Gödel entraba en conflicto con el espíritu
de la época, pues comprendía nociones semánticas como las de satisfacción y verdad
(con las que se define la noción de modelo) que eran mal vistas o consideradas como
extrañas a la investigación matemática en aquel momento.14 Lo mismo se puede decir
del teorema de finitud o compacidad, que Gödel demostrara en 1930 y cuya importancia
no fue reconocida sino muchos años después.15 En gran medida, el desinterés por estos
resultados se debió a su carácter enteramente semántico. De hecho, Gödel ni siquiera
intentó una definición de los conceptos implicados. En una carta sin fecha y jamás
enviada a un estudiante de nombre Yossef Balas, aparece un párrafo tachado en el que
Gödel explica que “[...] a consecuencia de los prejuicios filosóficos de nuestro tiempo:
1) nadie estaba en busca de una prueba de consistencia relativa [del análisis] porque
se consideraba axiomático que una prueba de consistencia tenía que ser finitista para
que tuviera sentido, 2) el concepto de verdad matemática como contrapuesto al de
demostrabilidad era visto con gran recelo y ampliamente descartado como carente de
sentido.”16
No sólo Gödel se refiere en estos términos al ambiente que privaba en aquellos tiempos.
Por ejemplo, Carnap, que dentro de la tradición del empirismo lógico tuvo el atrevimiento de abordar algunas cuestiones semánticas, comenta que cuando invitó a Alfred
Tarski a hablar acerca de la noción de verdad en los lenguajes formalizados en un
congreso internacional, Tarski manifestó cierto recelo, “pues creía que la mayoría de
los filósofos, incluso aquellos que trabajaban en lógica moderna, no sólo se mostrarían
indiferentes, sino hostiles a la explicación del concepto de verdad.”17 y añade: “En
el Congreso se hizo evidente, en las reacciones ante los trabajos presentados por él
y por mí, que las suspicaces predicciones de Tarski eran correctas [...] Había una
vehemente oposición incluso por parte de los filósofos amigos nuestros.”18 Carnap
concluye diciendo que “para los lectores jóvenes es difícil imaginar cuán fuertes eran
en un principio el escepticismo y la resistencia activa en contra.”19 Según parece, las
cosas no eran fáciles para quienes no se ceñían a los lineamientos del programa de
Hilbert o a la visión del empirismo lógico, empeñado en el análisis sintáctico del
lenguaje.
14 Véase,
por ejemplo, Herbrand, 1930, pp. 175-176 de la traducción al inglés.
15 El teorema es el siguiente: Un conjunto Γ de enunciados tiene un modelo si y sólo si todo subconjunto
finito Γ0 de Γ tiene un modelo.
16 Wang 1987. Cita tomada de la traducción al español, p. 137. Lo que sí se sabe es que Gödel escribió
esta carta después del 27 de mayo de 1970, pues esa fecha aparece en una carta que Balas le envió a
Gödel con algunas preguntas que este último intentaba responder.
17 Carnap, 1963. Cita tomada de Schilpp, 1963, pp. 61-62. El Congreso en cuestión era el Congreso
Internacional para la Filosofía Científica, el cual se llevó a cabo en el mes de septiembre de 1935. El
hecho de que para entonces los teoremas de Gödel no hubieran logrado una mayor apertura hacia las
cuestiones semánticas es una prueba de lo poco difundido que éstos estaban, de la mala comprensión de
su significado y de la negativa de algunos investigadores a abandonar la línea del programa, creyendo que
aún había alguna posibilidad de escapar a las devastadoras consecuencias de los teoremas limitativos.
18 Carnap, Loc. cit, p. 62
19 Carnap, Ibid.
264
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Como quiera que sea, Gödel decidió no enfrentar abiertamente tal oposición. En silencio, sobrellevó el embate formalista acariciando una visión distinta de la matemática
que, según su propio testimonio, le guió en las investigaciones. Gödel era un defensor
del realismo conceptual y osaba suponer que la matemática era trascendente, que
iba más allá de nuestra limitada experiencia.20 Fue desde tal perspectiva que abordó
los problemas relativos a los fundamentos de la matemática, ahondando más que
cualquier otro en las bases de esta disciplina. Como resultado nos legó un penetrante
análisis del papel de la formalización en la matemática y un claro discernimiento de
sus limitaciones.
Como veremos, aunque el camino por el que Gödel llegó a sus teoremas estaba colmado
de consideraciones semánticas, él supo presentarlos de manera que nadie pudiera negar
su validez. De esto nos ocuparemos en la siguiente sección.
5.2.
Los teoremas de Gödel
Gödel dio a conocer sus teoremas de incompletud en 1931, en un escrito que no
excede las veinticinco cuartillas y que cambió por completo nuestra forma de ver
la matemática.21 Dichos teoremas reúnen grandes atributos: profundidad, belleza,
sobriedad e innovación; en ellos Gödel establece ciertos límites al método axiomático y
circunscribe lo que se puede esperar de él, fijando así una base para la crítica filosófica.
En un lenguaje no técnico, podemos resumir estos teoremas como sigue. Sea M un
sistema formal que incluye a la aritmética elemental. Si M es consistente, entonces:
G1. (Primer teorema de incompletud) Se pueden encontrar enunciados aritméticos
A de naturaleza relativamente simple tales que ni A ni su negación ¬A son
derivables en M.
G2. (Segundo teorema de incompletud) La fórmula C que enuncia la consistencia de
M no es derivable en M, es decir, el sistema no puede formalizar ninguna prueba
de su consistencia.22
Estos resultados marchan en la dirección opuesta a la del proyecto de Hilbert, el cual
aspira, primero, a una formalización completa de la aritmética y, segundo, a una prueba
20 Quienes se sorprenden al descubrir el realismo de Gödel no se detienen a considerar que detrás de
él hay una legítima convicción, tan antigua como la matemática misma: la de que sus regiones vitales
versan sobre ideas que tiene existencia propia. Esta creencia la fortaleció tras sus investigación en torno a
los fundamentos de la matemática, en las que vislumbró una matemática real, incompletable e inagotable
desde el punto de vista axiomático.
21 El trabajo se titula “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwander
Systeme I” (Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas afines I)
y fue recibido el 17 de noviembre de 1930 para su publicación en la revista Monatshefte für Mathematik
und Physik, donde apareció en 1931 en el número 38, pp. 173-198.
22 Por lo pronto el lector deberá aceptar que se puede construir una fórmula C en el lenguaje de M que
“afirma” la consistencia del sistema.
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
265
elemental de su consistencia. Estas cuestiones serán examinadas con detenimiento en
los apartados 5.4.2 y 5.4.3; por ahora, nos limitaremos a señalar algunos puntos de
interés con relación a los teoremas mismos, no a su lectura filosófica.
1. De manera velada, la noción de verdad se oculta detrás del enunciado G1, pues
en un sentido intuitivo alguno de los enunciados A y ¬A es verdadero. Podemos
decir entonces que lo que establece G1 es la incapacidad del sistema M para
probar todos los enunciados verdaderos que se pueden formular en su lenguaje y
reescribir el teorema como sigue:
G1’. Si M sólo demuestra enunciados aritméticos verdaderos, entonces se pueden
encontrar proposiciones aritméticas A de naturaleza relativamente simple
que el sistema M no puede decidir.23
Este último enunciado hace intervenir la noción semántica de verdad en vez de la
noción sintáctica de consistencia y es una versión semántica del primer teorema
de Gödel.
Como hemos señalado, Gödel ideó sus teoremas pensando en la noción de verdad,
y en el fondo lo que demuestra es que la noción de “ser un enunciado aritmético
verdadero” no se puede formalizar por completo, que la verdad y la demostrabilidad son dos nociones no coincidentes en el caso de la aritmética (claro, cuando
aceptamos la usual noción semántica de “verdad” para las fórmulas de M, lo cual
no haría un formalista extremo como, digamos, Herbrand).
Aclarar esta cuestión fue una de las principales motivaciones de Gödel para
investigar los alcances de los sistemas formales.
2. Para responder a la pregunta acerca de cómo diferenciar entre sí la verdad y
la demostrabilidad, Gödel debió idear una manera de expresar la metateoría
de un sistema formal en el sistema formal mismo. Por ejemplo, el teorema
G2 hace referencia a una fórmula C que enuncia la consistencia de M ¿Cómo
puede ser esto? ¿Cómo puede una fórmula aritmética expresar la consistencia
de un sistema formal? Esto lo aclararemos posteriormente. Por ahora lo único
que podemos decir es que Gödel descubrió un camino para traducir diversos
enunciados pertenecientes a la metamatemática en enunciados aritméticos, siendo
uno de ellos el que afirma la consistencia de M. Dado que el sistema M permite
la formalización de la aritmética, el enunciado en cuestión se puede expresar
mediante una fórmula C que, como Gödel demuestra, no es derivable en M en
caso de que el sistema sea consistente. Por consiguiente, M no puede probar su
propia consistencia cuando sí lo es.
la forma en que se construyen los enunciados A y ¬A, es muy fácil darse cuenta cuál de ellos es
verdadero y cuál es falso, bajo la hipótesis de que el sistema es correcto (o consistente, según sea el caso).
23 Por
266
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
3. Por último, una aclaración. Los métodos de demostración utilizados por Gödel no
van más allá de la matemática finitista. Por tanto, los seguidores del programa no
pueden descalificar la prueba como “carente de sentido”.
5.2.1.
La vía del descubrimiento
Antes de examinar con cierto detalle los teoremas de Gödel queremos recorrer el
camino que siguió su autor hacia su descubrimiento. Al respecto, en su obra, en las
entrevistas y conversaciones que sostuvo con Hao Wang y en la correspondencia dada
a conocer de manera póstuma, hay suficiente información como para dar cuenta de lo
sucedido.24
Por su propio testimonio, sabemos que en un principio el propósito de Gödel era
explorar los alcances del programa de Hilbert.25 Al respecto, las restricciones impuestas
por Hilbert le parecieron un tanto arbitrarias, sobre todo el imperativo de que las pruebas
de consistencia fueran directas y se llevaran a cabo dentro de los estrechos marcos
de la matemática finitista. Claramente, estas limitaciones obedecían al radicalismo de
Hilbert y contrastaban con la prueba de consistencia que él mismo había ofrecido para
la geometría en 1899, donde se sirvió libremente de las nociones de verdad y modelo,
ahora excluidas y vistas con recelo.
Al respecto, Gödel decidió abordar la cuestión de la consistencia del análisis desde
una perspectiva más abierta, dividiendo el problema en dos partes. En la primera,
intentaría una prueba de consistencia relativa para el análisis construyendo un modelo
en la aritmética; después, intentaría probar la consistencia de la aritmética de manera
absoluta. En este contexto, por “aritmética” lo que Gödel entendía era la aritmética de
Peano de segundo orden, en la que también se consideran variables para los conjuntos
de números naturales.
Gödel pronto se dio cuenta de que para el caso, era indispensable aclarar la relación
entre las nociones de verdad y demostrabilidad.26 En la misma carta a Yossef Balas
donde se refiere a los “prejuicios filosóficos de nuestro tiempo” (v. sección 5.1.2),
24 Consúltese
(Dawson, Jr., 1997), (Gödel, 1995), (Rodríguez, 1994) y (Wang, 1987 y 1996).
lo dice en la ya mencionada carta a Yossef Balas (sección 5.1.2), la cual habremos de citar
nuevamente en esta sección.
26 En efecto, en un formalismo completo, la noción de demostrabilidad se puede considerar el sucedáneo
constructivo de la más bien imprecisa noción de verdad siempre que el sistema sea correcto, es decir,
a condición de que sea imposible derivar en él enunciados que bajo su significado usual sean falsos
(en realidad, el que un sistema sea incorrecto lo único que muestra es que éste no es una formalización
de la teoría en cuestión). Cuando la formalización de una teoría es completa, la noción de “ser una
proposición derivable en el sistema” es equivalente a la noción de “ser una proposición verdadera en la
teoría” y las nociones son “intercambiables” entre sí. A causa de ello muchos seguidores del programa,
dando por descontado que la formalización de la matemática clásica era completa, dejaron de utilizar la
palabra “derivable” con relación a los teoremas y se refirieron a ellos como fórmulas verdaderas, pues
identificaban la primera noción con la segunda. Uno de ellos, quizá el más notable, fue Herbrand, que vio
en la noción de verdad una noción prematemática. Véase al respecto lo dicho en la sección 4.4.2.
25 Esto
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
267
Gödel explica cómo fue que el problema de la consistencia relativa del análisis lo
llevó a considerar la necesidad de definir en la aritmética la noción de verdad para sus
enunciados:
La ocasión para comparar verdad y demostrabilidad fue un intento por lograr
una prueba de consistencia relativa del análisis en la aritmética. Esto nos
lleva casi por necesidad a tal comparación. Pues un modelo aritmético del
análisis no es otra cosa que una ∈-relación aritmética que satisface el axioma
de comprensión:
∃n∀x(x ∈ n ↔ A(x))
Ahora, si en la fórmula anterior “A(x)” se reemplaza con “A(x) es derivable,”
tal ∈-relación se puede definir fácilmente. Por tanto, si la verdad fuera
equivalente a la derivabilidad, habríamos alcanzado la meta. Sin embargo (y
éste es el factor decisivo) de la solución correcta a las paradojas semánticas
se sigue que la “verdad” de las proposiciones de un lenguaje no puede ser
expresada en el mismo lenguaje, mientras que la derivabilidad (siendo una
relación aritmética) sí puede. Ergo verdadero ≡ derivable.27
Aclaremos lo dicho en este pasaje. Denotemos con R el sistema de los números reales,
con S la aritmética de Peano de segundo orden, y con LR y LS sus respectivos lenguajes.
Un modelo de R en S sería una interpretación de los enunciados de LR en LS en
la que los axiomas de R corresponderían a enunciados derivables en S, es decir, se
interpretarían como enunciados “verdaderos” según S. Al respecto, una posibilidad era
interpretar los números reales como conjuntos de números naturales, y para el caso
Gödel consideró los conjuntos definibles, es decir, los subconjuntos X de N para los
que hay un predicado aritmético A(x) con la propiedad de que X = {k ∈ N|A(k)}.28
27 Gödel,
carta a Yossef Balas, (GN 010015.37, carpeta 01/20) (en la referencia bibliográfica anterior,
el código entre paréntesis se refiere a la clasificación de la obra no publicada de Gödel (su Nachlass), la
cual se halla en la Biblioteca Firestone de la Universidad de Princeton). La cita fue tomada de (Dawson,
1997), p. 61 y en ella hicimos algunos cambios superficiales en la notación para adecuarla a la utilizada
en este texto.
28 Es decir, identificando los números reales con algunos conjuntos de números naturales que se pueden
definir mediante un predicado A(x) de LS . Grosso modo, estos conjuntos son los que se pueden precisar
enunciando una propiedad que es satisfecha sólo por sus elementos. Algunos ejemplos de conjuntos
aritméticos definibles son los siguientes:
1. El conjunto N de los números naturales: N = {x ∈ N|x = x}
2. El conjunto I de los números impares: I = {x ∈ N|∃y(x = 2 · y + 1)}
3. El conjunto Q de los números pares: Q = {x ∈ N|∃y(x = 2 · y)}
4. El conjunto P de los números primos: P = {x ∈ N|x > 1 ∧ ∀y(∃z(y · z = x) → (y = 1 ∨ y = x))}
5. Si p(x) es un polinomio, el conjunto RP de sus raíces enteras no negativas: R p = {x ∈ N|p(x) = 0}
En realidad, la mayor parte de los conjuntos considerados en la práctica matemática son definibles,
aunque en ocasiones recurrimos a algunos que no lo son, como los que resultan del axioma de elección.
268
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Ahora bien, como sólo hay un número numerable de fórmulas en LS (pues el lenguaje
es numerable), los predicados de LS se pueden poner en correspondencia uno a uno
con los números naturales y formar con ellos una sucesión A1 (x), A2 (x), . . . , An (x), . . ..
Esta enumeración de los predicados monádicos permite definir una relación aritmética
“∈” entre pares de números (uno de los cuales es el índice n) como sigue:
k ∈ n ≡de f An (k)29
(5.1)
[Paráfrasis: k “pertenece” a n si y sólo si la proposición An (k) es verdadera.] De esta
manera la noción de pertenencia a un conjunto quedaría reducida a la noción de verdad
relativa a ciertas funciones proposicionales. La conclusión era obvia: para construir
el pretendido modelo de R en S era necesario contar en el lenguaje de la aritmética
con una definición de la noción de verdad para los enunciados de LS . Al considerar
tal posibilidad, Gödel pronto se dio cuenta de que dicha noción no se podía definir
en LS , pues de lo contrario se tendría algo semejante a la paradoja del mentiroso y la
aritmética sería inconsistente. En la ya mencionada carta a Yossef Balas, Gödel vincula
este descubrimiento con el de sus teoremas: “Tiempo antes [del descubrimiento de los
teoremas limitativos] había encontrado la solución correcta a las paradojas semánticas
en el hecho de que la verdad en un lenguaje no se puede definir en él mismo.”30
Como en seguida veremos, el enunciado indecidible de Gödel se inspira en la paradoja
del mentiroso y en la definición de “número richardiano”.31
5.2.2.
Una prueba heurística
Sin pretensión de exactitud, las principales líneas de la prueba son las siguientes.
Las fórmulas de un sistema formal en su aspecto externo no son sino sucesiones finitas
de signos (variables, constantes, conectivas, cuantificadores, paréntesis, etc.), siendo
fácil decidir cuáles sucesiones de signos son fórmulas y cuáles no. A su vez, una prueba
formal es una sucesión finita de fórmulas con características muy específicas. Para todo
propósito metamatemático es irrelevante qué cosas se toman como signos primitivos,
así que Gödel elige como tales algunos números naturales. Según esto, las fórmulas
29 Esta relación (5.1) es la señalada por Gödel como una “∈-relación” en la cita anterior. Una lectura
de la ∈-relación es la siguiente: paralelamente a la sucesión de predicados A1 (x), A2 (x), . . . , An (x), . . . se
define una sucesión de conjuntos C1 ,C2 , . . . ,Cn , . . . con la propiedad de que k ∈ Cn si y sólo si k tiene la
propiedad An (x).
30 Gödel, carta a Yossef Balas. Cita tomada de (Wang, 1996, p. 271). Históricamente, quien dio a
conocer este resultado fue Tarski en 1933, cuando lo demostró como un corolario al teorema de Gödel,
por lo que se le conoce como Teorema de Tarski. Al respecto, ahora sabemos con toda certeza que Gödel
lo obtuvo en 1930, precisamente por el camino que ahora explicamos, aunque esto no se hizo público
sino mucho tiempo después. De la época sólo se cuenta con una carta de Gödel dirigida a Zermelo, con
fecha el 29 de octubre de 1931, en la que expone una prueba exacta de que la verdad en un lenguaje no es
definible en él (v. Grattan-Guinness, 1979).
31 Al respecto, véase la sección 3.3.
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
269
son ahora sucesiones finitas de números naturales, y las pruebas formales sucesiones
finitas de sucesiones finitas de números naturales.
Para ilustrar lo dicho en el párrafo anterior, en la siguiente tabla sustituimos los símbolos primitivos del sistema AP (apéndice O) con otros símbolos elegidos arbitrariamente
(la única condición es que dos símbolos distintos no se sustituyen con un mismo
símbolo):
∀
↓
@
¬
↓
#
→
↓
$
(
↓
%
)
↓
&
=
↓
?
0
↓
¿
s
↓
*
+
↓
;
×
↓
:
x0
↓
-
x1
↓
{
...
...
Conforme a este reemplazo, la fórmula “∀x1 ¬(0 = sx1 )” se transforma en la sucesión
“@{# %¿?*{&” que, pese a su aspecto poco amigable, posee la misma sintaxis que la
fórmula original.
En la siguiente tabla hacemos lo mismo, pero esta vez reemplazando los símbolos
primitivos de AP con números naturales. La elección es arbitraria.
∀
↓
1
¬
↓
3
→
↓
5
(
↓
7
)
↓
9
=
↓
11
0
↓
13
s
↓
15
+
↓
17
×
↓
19
x0
↓
21
x1
↓
23
...
...
Según este segundo reemplazo, la fórmula “∀x1 ¬(0 = sx1 )” se transforma en la sucesión “1, 23, 3, 7, 13, 11, 15, 23, 9” (a la que le hemos añadido comas para separar los
números y evitar confusiones). Ahora podemos decir que “1, 23, 3, 7, 13, 11, 15, 23, 9”
es un axioma de AP, y quienquiera que conozca el código anterior nos dará la razón.
Lo que sigue es una presentación de la prueba de la fórmula “¬(0 = s0)” en cada uno
de estos tres modos de escritura.
i.
∀x1 ¬(0 = sx1 )
∀x1 ¬(0 = sx1 ) → ¬(0 = s0)
¬(0 = s0)
ii.
@{# %¿?*{&
@{# %¿?*{& $# %¿?*¿&
# %¿?*¿&
iii.
1, 23, 3, 7, 13, 11, 15, 23, 9
1, 23, 3, 7, 13, 11, 15, 23, 9, 5, 3, 7, 13, 11, 15, 13, 9
3, 7, 13, 11, 15, 13, 9
Para sólo referirse a números naturales (en vez de a sucesiones de números naturales o a
sucesiones de sucesiones de números naturales), Gödel ideó un ingenioso procedimiento hoy conocido como “numeración de Gödel”. Dada una sucesión (x1 , x2 , . . . , xn ), ésta
270
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
la codifica en un solo número con base en los primeros n números primos p1 , p2 , . . . , pn
de la siguiente manera:
g(x1 , x2 , . . . , xn ) = px11 · px22 · . . . · pxnn
A este número se le llama “número de Gödel de la sucesión” (la cual puede ser un
término o una fórmula de LAP ). Por ejemplo, la fórmula “∀x1 ¬(0 = sx1 )” –que es un
axioma– tiene el siguiente número de Gödel:
g(1, 23, 3, 7, 13, 11, 15, 23, 9) = 21 · 323 · 53 · 77 · 1113 · 1311 · 1715 · 1923 · 239
En otras palabras, el número (calculado con Mathematica)
a = 159, 409, 462, 163, 226, 864, 724, 595, 309, 290, 294, 191, 181, 823, 443, 066, 056,
714, 984, 081, 454, 326, 760, 018, 432, 494, 624, 420, 932, 902, 593, 360, 501, 331, 750
es el número de Gödel de un axioma de AP. Por tanto, ya no carece de sentido decir
cosas como “6336091150052786097365181786280684876391574795381620419921
875000 es un teorema de AP” (averigüe usted de qué fórmula estamos hablando).
De la misma manera, si a, b y c son los números de Gödel de las tres fórmulas que
figuran en la prueba anterior (la de ¬(0 = s0)), entonces el número
g(a, b, c) = 2a · 3b · 5c
es el número de Gödel de la prueba. Nótese que, conforme al teorema fundamental
de la aritmética –según el cual todo número natural se puede descomponer en forma
única como un producto de factores primos–, cada número de Gödel tiene una única
descomposición de este tipo, lo que nos permite recuperar la sucesión de fórmulas o
símbolos y saber qué cosa es lo que codifica tal número.
Figura 5.2. La correspondencia de Gödel codifica las fórmulas y las sucesiones finitas de
fórmulas como números naturales
Con la numeración de Gödel, las proposiciones y los conceptos metamatemáticos se
convierten en proposiciones y conceptos relativos a números naturales, o sucesiones de
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
271
ellos, y son por lo tanto expresables, al menos parcialmente, en el lenguaje de AP. En
particular eso se puede hacer con los conceptos de “fórmula”, “prueba”, “fórmula con
una variable libre” y “fórmula demostrable”. Por ejemplo, podemos hallar una fórmula
teo(x1 ) con una única variable libre x1 que, interpretada a través del código de Gödel,
afirma que x1 es un teorema de AP.32
(a) El método de las coordenadas permite
traducir enunciados geométricos en enunciados algebraicos
(b) La aritmetización permite traducir enunciados metamatemáticos en enunciados aritméticos
Figura 5.3. Comparación del método de Gödel con el método de las coordenadas
Figura 5.4. Bajo la aritmetización, la relación metamatemática “la fórmula C se deduce de A y
B por modus ponens” se convierte en una relación aritmética MP(a, b, c)
Supongamos ahora que las fórmulas con una única variable libre x1 se han ordenado de
alguna manera, digamos con respecto a sus números de Gödel. Denotemos con An (x1 )
a la n-ésima de ellas. Sea k un número natural. Con k denotamos al término
k−veces
ssss . . . s 0
32 En otras palabras, el procedimiento recién descrito provee una imagen isomorfa del sistema AP en
el dominio de la aritmética, y todos los argumentos metamatemáticos se pueden reproducir (imitar) en
esta imagen isomorfa. Esto sucede en la siguiente prueba heurística, donde “fórmula”, “proposición”,
“variable”, “prueba”, etc. se deben entender como los correspondientes objetos en la imagen isomorfa (v.
gr., la noción de “fórmula” la debemos entender como el correspondiente conjunto de números de Gödel).
Para ver con claridad cómo es que esto funciona en un caso muy simple, en el apéndice P expresamos la
metateoría del sistema AB del apéndice L en la aritmética (recursiva) a través de su codificación.
272
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
que representa al número k en AP. A este término se le llama numeral de k. Como es
habitual, con An (k) denotamos a la fórmula que resulta al sustituir en An (x1 ) todas la
presencias libres de x1 con k. Si bien aquí no lo probaremos, la operación metamatemática anterior, consistente en substituir en la n-ésima fórmula de la lista anterior todas
las presencias libres de x1 con el numeral de k, es definible en AP.
Con base en lo anterior podemos ver que el conjunto
K = {x ∈ N|AP Ax (x)}
es definible en LAP , pues todos los conceptos que figuran en el definiens de K son
definibles en LAP (v. gr., “ser el resultado de una sustitución, no ser teorema”, etc.)33
Por tanto, existe una fórmula F(x1 ) que, interpretada en cuanto a su contenido, afirma
que el número x1 pertenece al conjunto K. Pero F(x1 ), teniendo como única variable
libre a x1 , es alguna de las An (x1 ), es decir, hay un g ∈ N tal que F es Ag (x1 ).
Figura 5.5. La propiedad de ser un número gödeliano es definible en la aritmética y representable en AP mediante un predicado Ag (x1 ) que figura en la lista
Lo que se afirma es que la fórmula Ag (g) es indecidible en AP en caso de que el sistema
sea consistente y correcto.34, 35
1. Si Ag (g) fuera derivable en AP, sería correcta, y por lo tanto g pertenecería a K y,
por ende, Ag (g) no sería derivable en AP, una contradicción. Por tanto, Ag (g) no
es derivable en AP.
2. Si ¬Ag (g) fuera derivable en AP, sería correcta, y por lo tanto g no pertenecería a
K y, por ende, Ag (g) sería derivable en AP, de modo que AP sería inconsistente.
Por tanto, ¬Ag (g) no es derivable en AP.
Conclusión: Si AP es consistente y correcto, ni Ag (g) ni su negación ¬Ag (g) son
derivables en él, es decir, Ag (g) es indecidible con base en los axiomas de AP.
33 A
los elementos de K se les llama “números gödelianos”.
que Ag (g) corresponde a la afirmación metamatemática de que la fórmula Ag (g) no es
derivable en AP, aseverando de este modo su propia indemostrabilidad.
35 El sistema es correcto cuando todos sus teoremas son verdaderos bajo la interpretación usual.
34 Nótese
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
273
Es claro que una prueba rigurosa de este resultado no se puede apoyar en la hipótesis
de que el sistema es correcto, pues se trata de una noción semántica que no tiene
sentido para los seguidores del programa de Hilbert. Esto se puede evitar a cambio de
complicar el argumento. Al respecto, el lector podrá acudir a las muchas pruebas que
hay del primer teorema de incompletud de Gödel en la literatura.
El enunciado de Gödel Ag (g) guarda un estrecho vínculo con la paradoja del mentiroso,
pues declara no ser demostrable en AP.
En cuanto a la paradoja de Richard, la analogía entre ella y el argumento heurístico de
Gödel salta a la vista. Escribamos en paralelo ambos argumentos.
Richard
1. Consideremos las frases del idioma
español que definen propiedades de los
números naturales.
Gödel
1. Consideremos las fórmulas de LAP
cuya única variable libre es x1 . Cada una
de estas fórmulas define una propiedad
de los números naturales.
2. Ordénense lexicográficamente las de- 2. Ordénense las fórmulas del inciso anfiniciones:
terior conforme a sus números de Gödel:
D1 (x)
A1 (x1 )
D2 (x)
A2 (x1 )
...
...
Dn (x)
An (x1 )
...
...
3. Un número natural k es richardiano
si y sólo si “Dk (k)” es falso. De lo contrario, el número k es no richardiano.
4. La definición de richardiano, denotada con R(x), está en algún lugar de la
lista, digamos el r-ésimo lugar. En otras
palabras, para algún número r, Dr (x) es
R(x).
3. Un número natural k es gödeliano si
y sólo si AP Ak (k). De lo contrario, el
número k no es gödeliano.
4. Hay una fórmula Ag (x1 ) en la lista
con la siguiente propiedad:
1. Si k es gödeliano, entonces AP ¬Ag (k) y
2. Si k no es gödeliano, entonces
AP ¬Ag (k).
5. Supongamos que Dr (r) es verdadero.
En tal caso r no es richardiano (pues no
cumple con la definición de este concepto) y Dr (r) es falso (pues Dr (x) define
la propiedad de ser richardiano).
5. Supongamos que AP Ag (g) En tal
caso el número g no es gödeliano y, por
(4b), AP ¬Ag (g). Por tanto, dado que
AP es consistente, AP Ag (g).
274
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
6. Supongamos Dr (r) es falso. En tal
caso r es richardiano (pues cumple con
la definición de este concepto) y Dr (r)
es verdadero (pues Dr (x) define la propiedad de ser richardiano).
Conclusión: Dr (r) es verdadero si y sólo si Dr (r) es falso.
6. Supongamos que AP ¬Ag (g). Dado
que AP es consistente, AP Ag (g). Por
tanto, g es gödeliano y, por (4a), AP ¬Ag (g). Por reducción al absurdo en la
metateoría, AP ¬Ag (g).
Conclusión: Si AP es consistente, entonces AP Ag (g) y AP ¬Ag (g), es
decir, Ag (g) es indecidible y AP es incompleto.
El argumento de Gödel es aplicable no sólo al sistema AP, sino a cualquier sistema S
que contenga una formalización de la aritmética recursiva. Un paso fundamental en la
adaptación del argumento de Richard consiste en cambiar la noción de verdad por la
de demostrabilidad. Con ello la paradoja desaparece, pero no las sorpresas: con rigor
matemático, Gödel demuestra que la completud es inalcanzable. Sin abundar demasiado
en los detalles diremos que en su prueba Gödel dejó atrás todas las dificultades que
agobian al argumento de Richard como, por ejemplo:
¿Cómo saber qué frases del idioma español definen propiedades de los números
naturales?
¿Cuál es el criterio para saber si una propiedad P(x) definida en el lenguaje natural
es verdadera o falsa acerca de un número k?
Con relación al sistema AP las objeciones anteriores se desvanecen:
La idea de “frase del idioma español que define una propiedad de los números
naturales” se cambia por la noción exacta de “fórmula de LAP con una variable
libre”.
La idea de “proposición aritmética verdadera” se cambia por la noción exacta de
“fórmula derivable en AP”.
La conclusión alcanzada por Gödel no es una contradicción, pero sí un hecho sorprendente: el sistema AP no puede ser consistente y completo a la vez.
Muchas fueron las cuestiones técnicas que Gödel debió resolver: ¿Qué propiedades
de los números naturales, definidas en el metalenguaje, son representables en el sistema?, ¿cómo referirse en LAP a sus propias fórmulas?, ¿cómo obtener una fórmula
autorreferente en LAP ? Al respecto, lo mínimo que debería esperarse de un sistema de
esta naturaleza es que en él pudieran representarse todas las funciones, propiedades y
relaciones recursivas de los números naturales. Esta exigencia se satisface plenamente
a partir de sistemas incluso más débiles que AP.
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
5.2.3.
275
La cuestión de la autorreferencia
Gödel logra la construcción del enunciado autorreferente Ag (g) mediante el método de
la diagonal de Cantor y una función recursiva especial a la que en breve nos referiremos.
De hecho, la definición de número gödeliano se apoya en el método de la diagonal.
Formemos un arreglo bidimensional de substituciones (una matriz infinita) con todas
las fórmulas que tienen a x1 como única variable libre, como en la siguiente tabla:
A1 (x1 )
A2 (x1 )
A3 (x1 )
...
An (x1 )
...
1
A 1 ( 1))
A2 (1)
A3 (1)
...
An (1)
...
2
A1 (2)
A 2 ( 2))
A3 (2)
...
An (2)
...
3
A1 (3)
A2 (3)
A 3 ( 3))
...
An (3)
...
...
...
...
...
...
...
...
n
A1 (n)
A2 (n)
A3 (n)
...
A n ( n))
...
...
...
...
...
...
...
...
En la fila superior se enumeran las expresiones de LAP que representan a los números
naturales (los numerales), y en la columna a la izquierda las fórmulas que tienen a x1
como única variable libre, ordenadas conforme a sus números de Gödel. Para cada n
y cada k, en la intersección de la fila n con la columna k se tiene la fórmula An (k), la
cual “dice” que el número k tiene la propiedad An . La definición de número gödeliano
resulta al recorrer el arreglo a lo largo de la diagonal, pues en ella se pide que la fórmula
Ak (k) no sea derivable en AP: una aplicación del método de la diagonal de Cantor. Al
respecto, Gödel probó (y no sólo supuso, como Richard) que entre las fórmulas An (x1 )
figura una, la Ag (x1 ), con las características señaladas en el inciso (4) del comparativo
entre los argumentos de Richard y Gödel. Lo anterior constituye una de las principales
tareas en la demostración de su teorema de incompletud. El enunciado autorreferente
Ag (g) resulta al sustituir en la fórmula Ag (x1 ) la variable x1 con el numeral g.
Cabe señalar que la autorreferencia se logra en estos casos sin la utilización de pronombres o datos empíricos como, por ejemplo, referencias espaciales o temporales,
o referencias a una ubicación, como cuando se dice “el primer enunciado de la introducción a la Crítica de la razón pura es falso”. En vez de ello Gödel se sirve
de algo que no se ve en la prueba heurística: de una función recursiva especial, la
función sb(x, v, nml(z)) que podemos describir como “substituir en la fórmula x todas
las presencias libres de la variable v por el numeral de z”, donde v es el número de
correspondencia de una variable. Por ejemplo, recordando que 21 es el número de
correspondencia de x0 , si a = g(x1 < x0 ), entonces sb(a, 21, nml(2)) = g(x1 < ss0).
Con base en esta función, la autorreferencia se logra de la siguiente manera.
Se considera la fórmula
¬∃xPR(x1 , sb(x2 , 25, nml(x3 )))
(5.2)
donde PR(x, y) es un predicado de prueba para AP (el cual corresponde a la relación “x
es el número de Gödel de una prueba de la fórmula con número y”) y 25 es el número
276
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
de correspondencia de x2 . La fórmula (5.2) se puede interpretar como diciendo que
cierta fórmula no es demostrable, a saber, aquélla que resulta de la fórmula con número
x1 al sustituir en ella todas las presencias libres de la variable x2 con el numeral de x3 .
Nótese que en este caso la referencia no se da mediante pronombres o datos empíricos,
sino detallando las operaciones sintácticas que se han de realizar con los símbolos y
las expresiones de LAP para obtener la fórmula en cuestión.
Consideremos ahora una variante de la fórmula (5.2), en la que la variable x3 se
substituye con la variable x2 (diagonalización):
¬∃xPR(x1 , sb(x2 , 25, nml(x2 )))
(5.3)
Se trata nuevamente del método de la diagonal de Cantor. En (5.3) se pide que la
variable x2 (es decir, la variable cuyo número de correspondencia es 25) se substituya
con el numeral de x2 , i. e., con el “número” de la fórmula a la que se le aplica el proceso
de substitución.
Si g es el número de Gödel de la fórmula (5.3), el enunciado de Gödel se obtiene
realizando la substitución x2 /g:
¬∃xPR(x1 , sb(g, 25, nml(g)))
(5.4)
Ahora leamos la fórmula (5.4) como un enunciado que incluye las instrucciones
necesarias para obtener la fórmula a la que se refiere (el sujeto de la ‘oración’). Nos dice:
“Tómese la fórmula con número de Gödel g y substitúyanse en ella todas las presencias
libres de la variable x2 con el numeral g,” y continúa: “la fórmula así producida no es
derivable en AP (no es un teorema de AP)”. Si realizamos las operaciones indicadas, lo
que resulta es precisamente la fórmula (5.4). Es justo en este sentido que el enunciado
de Gödel es autorreferente, pues a través del código afirma su propia indemostrabilidad
en AP. En la siguiente tabla mostramos cómo se utiliza el método de la diagonal de
Cantor para obtener esta clase de enunciados.
1
2
...
n
...
1
sb(1, 25, nml (1))
sb(2, 25, nml(1))
...
sb(n, 25, nml(1))
...
2
sb(1, 25, nml(2))
sb(2, 25, nml (2))
...
sb(n, 25, nml(2))
...
...
...
...
...
...
...
n
sb(1, 25, nml(n))
sb(2, 25, nml(n))
...
sb(n, 25, nml (n))
...
...
...
...
...
...
...
Cuadro 5.1. Aplicación del método de la diagonal para obtener una fórmula autorreferente
Con el paso del tiempo, el método de la diagonal y la posibilidad de la autorreferencia
se convirtieron en un venero de resultados en la lógica y la teoría matemática de la
computabilidad. Todo ello originado en las paradojas. Por ejemplo, con base en las
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
277
técnicas introducidas por Gödel y la paradoja del mentiroso, Tarski demostró su famoso
teorema acerca de la indefinibilidad de la noción de verdad para los enunciados de la
aritmética, del que ya hemos hablado. Grosso modo, el procedimiento es el siguiente.
Supongamos que se tiene una fórmula v(x2 ) con la propiedad de que v(k) es verdadera
si y sólo si la fórmula con número de Gödel k es verdadera en la aritmética estándar.
Consideremos la fórmula
¬v(sb(x2 , 25, nml(x2 )))
(5.5)
Supongamos que el número de Gödel de (5.5) es t. Consideremos la siguiente fórmula,
la cual a través del código de Gödel emula la frase “Este enunciado es falso”:
¬v(sb(t, 25, nml(t)))
(5.6)
La fórmula (5.6) simplemente dice: “La fórmula que resulta al substituir en la fórmula
(5.5) la variable x2 con el numeral de t no es verdadera”, afirmando de esta manera, y
en forma indirecta, su propia falsedad. Ello prueba que tal fórmula no puede existir,
es decir, que en el lenguaje de AP no es posible definir la noción de ser un enunciado
aritmético verdadero. Si a esto aunamos el hecho de que en LAP es posible definir
la noción de ser un teorema de AP con la fórmula teo(z) ≡ ∃xPR(x, z), tenemos la
siguiente “desigualdad”:
Verdadero = Demostrable
Lo anterior significó un duro revés a la pretensión formalista de identificar ambas
nociones (v. gr., Hilbert y Herbrand).
5.2.4.
Comentarios
1. A diferencia de muchos de sus contemporáneos, que realizaron enormes esfuerzos
para evitar las paradojas y las técnicas reflexivas (“Evitando la autorreferencia,
se decía, se evitarán las paradojas”), Gödel nos mostró cómo hacer un uso constructivo de las mismas. Fue así que el fenómeno de la autorreferencia, en vez de
abandonar el dominio de las matemáticas, se convirtió en una valiosa herramienta
de trabajo en los terrenos de la axiomática, los fundamentos de las matemáticas y
la teoría matemática de la computabilidad, donde se le ha dado un uso creativo.
Podemos decir incluso que en la actualidad el uso de la autorreferencia constituye
una fecunda e inagotable estrategia demostrativa. Desde esta nueva perspectiva,
lo que se busca con ella ya no es criticar y corregir, o identificar y echar por tierra
principios y creencias internamente inconsistentes, sino establecer resultados de
manera productiva. Con el paso del tiempo, los métodos y técnicas introducidas
han permitido probar diversos teoremas que fijan un límite a (1) el poder de
representación de los sistemas formales, (2) el poder expresivo de los lenguajes
formales y de programación, (3) el poder y alcance de las máquinas de cómputo
278
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
automatizado y (4) la posibilidad de decidir de manera efectiva diversas cuestiones matemáticas.36 Todo lo anterior ha tenido profundos efectos en la teoría de
sistemas, las ciencias de la computación, la inteligencia artificial, la cibernética y,
por supuesto, la filosofía y los fundamentos de las matemáticas.
Fue así que las técnicas reflexivas de la lógica, utilizadas en un principio de
manera informal e inquietante, a la larga revelaron la riqueza que encerraban
como procedimientos de argumentación demostrativa, todo esto a partir de los
teoremas de incompletud.
2. Los procedimientos recién expuestos proporcionan, para cada sistema formal que
satisfaga las referidas hipótesis, un enunciado aritmético que resulta indecidible.
No obstante, dicho enunciado no es absolutamente indecidible, pues siempre se
puede pasar a sistemas “superiores” en los que se puede decidir (aunque otros
enunciados seguirán siendo indecidibles). En particular, resulta que el análisis
matemático es, en este sentido, un sistema más elevado que la aritmética elemental,
y que el sistema axiomático de la teoría de conjuntos es aun más elevado que el
análisis. Por lo tanto, se sigue que hay problemas aritméticos que no se pueden
resolver con los métodos de la aritmética elemental, pero sí con métodos analíticos
o, respectivamente, conjuntistas. Como veremos, este hecho es muy importante
para Gödel, que basa algunos de sus argumentos filosóficos en él.
3. Una idea central en la demostración de Gödel es la de representar en la aritmética
formal la metateoría del sistema. Para ello ideó lo que hoy conocemos como
método de la aritmetización, que ha sido utilizado en otros dominios. Esta idea
de codificar en los números naturales las pruebas formales parte de una simple
observación: la de que en el tratamiento formal la naturaleza de los signos considerados es irrelevante, por lo que Gödel decidió que éstos serían números naturales.
Esta elección de aparente inocencia encierra una sutileza, casi un contrasentido:
según Gödel –y en ello le asiste la razón– la naturaleza de los signos primitivos
es irrelevante, por lo que se toma la libertad de elegir como tales a los números
naturales, justo aquellos objetos que le permiten traducir la metamatemática a la
aritmética y que, precisamente por ello, hacen de la elección algo relevante.
Una consecuencia de lo anterior es que cuando un sistema formal contiene una
formalización de la aritmética, una parte de su metateoría se puede formalizar
en él. Fue esta idea de formalizar la metamatemática, desdeñada o ignorada por
Hilbert, lo que abrió todo un mundo de posibilidades al momento de investigar
los alcances de las teorías axiomáticas.
4. Un elemento central en la prueba de Gödel es la construcción del enunciado Ag (g),
que a través del código afirma su propia inderivabilidad. El caso es que bajo
36 Al respecto, el lector podrá consultar los siguientes textos: (Kleene 1952 y 1967), (Rosser 1936),
(Ladriere 1959), (Church 1936), (Turing 1937), (Post 1941 y 1947), (Rogers 1987), (Mostowski 1952),
(Skolen 1920), (Rice 1953), (Wang 1993) y (Uspenski 1987).
5.2. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL
279
consistencia, este enunciado es inderivable en el sistema. Esta situación encierra
algo más. Si bien Ag (g) no es derivable en AP, este hecho puede ser reconocido
por un observador externo. Claro está que para quien razona dentro del sistema
la verdad o falsedad de Ag (g) es inaccesible, pues los medios demostrativos a la
mano no le permiten decidir la cuestión. No obstante, para el observador externo la
disparidad entre las nociones de verdad y demostrabilidad formal se hará evidente
al momento de demostrar la consistencia del sistema.37 Esta situación es, además,
irremediable, pues el punto es que la verdad del enunciado de Gödel no se puede
determinar trabajando dentro del sistema.38 Esta situación es extensible a todos
los sistemas y a todos los enunciados de este tipo.
5. El primer teorema de Gödel trata de hecho con la no contradicción. Lo que en él
se demuestra es que la aritmética no puede ser consistente y completa a la vez,
(es decir, que la aritmética o es inconsistente, o es incompleta). Surge entonces la
pregunta sobre cómo probar que un sistema formal es consistente, y éste es el tema
del segundo teorema: si un sistema formal X contiene a la aritmética elemental,
entonces es imposible probar con los recursos disponibles en X la consistencia
de X, de la misma manera en que la verdad del enunciado G no se puede probar
dentro de AP.39
Las pocas demostraciones conocidas de este segundo teorema tienen como base
el hecho de que el enunciado G es en sí mismo un enunciado de consistencia,
pues afirma la existencia de un enunciado que no es derivable en el sistema (a
saber, él mismo), lo cual equivale a afirmar que el sistema es consistente.40, 41
37 La situación ante la que nos coloca el enunciado de Gödel es aun más delicada: A (g) es verdadero
g
si y sólo si es inderivable, de modo que su derivabilidad lo hace falso, y su inderivabilidad, verdadero. Al
comparar el enunciado de Gödel (“este enunciado es inderivable”) con la paradoja del mentiroso (“este
enunciado es falso”), Howard DeLong, no sin cierto sentido de humor, comenta que en el enunciado de
Gödel “el mentiroso ha desaparecido, pero como el gato Cheshire, su sonrisa perdura.” (Cita tomada de
DeLong, 1971, p. 162). Ciertamente, en lo que podemos calificar como un acto prodigioso, Gödel bordea
la paradoja del mentiroso sin caer en contradicciones, hasta alcanzar conclusiones de muy largo alcance.
38 Obviamente, para saber que el enunciado es verdadero el observador tiene que establecer la consistencia del sistema. No obstante, para Hilbert y Gödel nada hay que cierre el paso a esta eventualidad,
pues consideran que en la matemática no hay tal cosa como problemas irresolubles. Por ejemplo, en
1936 Gentzen probó que el sistema AP es consistente; esto con base en un argumento no más complicado
que los que de ordinario se presentan en la matemática clásica. A este punto volveremos en la siguiente
sección, pero algo debe quedar en claro desde ahora: la disparidad entre verdad y demostrabilidad es un
hecho, incluso si como observadores no tenemos a la mano ninguna prueba de la consistencia del sistema
en cuestión.
39 En realidad, Gödel jamás exhibió una prueba de este último resultado, sino que se limitó a observar
su cumplimiento. Por ejemplo, en su famoso artículo de 1931 lo único que ofrece es un bosquejo de este
teorema, con la promesa de que en un futuro cercano dará una prueba rigurosa del mismo. No obstante, la
pronta aceptación de sus resultados le hizo postergar indefinidamente esta cuestión, y nunca cumplió lo
prometido.
40 Como sabemos, un sistema formal de este tipo es consistente si y sólo si hay una fórmula A de su
lenguaje que no es derivable en él.,
41 Grosso modo, una demostración del segundo teorema de Gödel –relativa al sistema AP de la sección
anterior–, iría como sigue. Constrúyase una fórmula C que formalice la afirmación de que AP es con-
280
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
6. En la actualidad las antinomias se dividen en dos clases: lógicas y semánticas.
Las primeras, ejemplificadas por la paradoja de Russell, no hacen referencia a la
verdad o falsedad de las expresiones, mientras que las segundas, ejemplificadas
por la paradoja del embustero, hacen referencia a los predicados verdadero y falso
con relación a un cierto lenguaje L. Al primer tipo pertenecen las paradojas de
Burali-Forti, Cantor, Russell, del barbero, del catálogo de catálogos y del alcalde,
citadas en la sección 3.3, mientras que al segundo pertenecen las paradojas de
Epiménides, de la impredicabilidad, de Grelling, de Berry y la de Richard, citadas
ahí mismo.
Grosso modo, la solución de las paradojas semánticas consiste en reconocer que
nociones como la de “ser un enunciado verdadero de L” no se pueden expresar en
L. Si acaso, ésta se ha de definir en un segundo lenguaje L que haría las veces de
metalenguaje respecto a L. Digamos que la definición de tales nociones tiene que
ser externa al lenguaje y no se puede usar dentro de él. En cuanto a los lenguajes
formales la situación es un poco más precisa, pues en algunos casos se ha podido
demostrar que la noción de verdad relativa a sus enunciados no es definible en
ellos mismos, como en la aritmética.
7. Históricamente, Gödel fue el primero en valerse de las paradojas semánticas para
establecer hechos de limitación para los lenguajes y los sistemas formales. En el
caso de la aritmética la consecuencia fue el descubrimiento de que las nociones
de verdad y demostrabilidad formal no son equivalentes entre sí, pues la primera
no es definible, mientras que la segunda sí lo es.
Esta imposibilidad de definir la noción de verdad para los enunciados de un
lenguaje dentro del lenguaje mismo servirá de apoyo a nuestras conclusiones en
la sección 7.2.
8. En ([Wang, 1996, p. 242) podemos hallar dos comentarios hechos por Gödel
en los que explica cómo fue que el descubrimiento de los teoremas limitativos
dependió de su objetivismo. Esto sirve como anticipo a lo que veremos en el
capítulo 6. La numeración es la de Wang.
7.4.16 Finalmente deberíamos notar que el principio heurístico de la construcción de proposiciones aritméticas indecidibles en el sistema formal
sistente. Una posibilidad es, por ejemplo, formalizar el siguiente enunciado metateórico: “no hay una
fórmula A tal que A y ¬A son derivables en AP”. Con base en un complicado argumento metamatemático
se puede probar que los enunciados C y G son equivalentes entre sí según AP (recordemos que G denota
al enunciado indecidible Ag (g)), es decir, que las fórmulas C → G y G → C son derivables en AP, de
modo que cualquier prueba de C conduciría directamente a una prueba de G (es decir, se tendría que
AP C → G, y AP C, por lo que con una sola aplicación del modus ponens se tendría que AP G, lo
cual es imposible en conformidad con el primer teorema de incompletud). Dado que el enunciado G no es
derivable en AP en caso de que AP sea consistente, de lo anterior se sigue que el enunciado C tampoco
es derivable en AP. Por tanto, el sistema formal AP no es capaz de probar su propio funcionamiento
consistente.
5.3. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EN NUESTRO TIEMPO
281
para la matemática es el concepto altamente transfinito de “verdad matemática objetiva”, como algo opuesto al de “demostrabilidad”, con el
que se le confundía a menudo antes de mi trabajo y el de Tarski. A su
vez, el uso de este concepto transfinito lleva eventualmente a resultados
demostrables finitariamente, como por ejemplo a teoremas generales acerca de la existencia de proposiciones indecidibles en sistemas formales
consistentes.
7.4.17 Una nota semejante es aplicable al concepto de verdad matemática,
donde los formalistas consideraban la demostrabilidad formal como un
análisis del concepto de verdad matemática y, por lo tanto, no estaban en
posibilidad de distinguirlas entre sí.
Con estos comentarios damos por finalizada la prueba heurística de los teoremas de
Gödel. Esperamos haber transmitido con claridad las ideas en que se basa la prueba
y la forma de sus argumentos. En la exposición hemos evitado en lo posible entrar
en la abrumadora cantidad de detalles técnicos sobre los que descansa la verdadera
prueba de los teoremas, detalles que, en su mayor parte, consisten en mostrar cómo
se codifican las reglas de inferencia del sistema en la aritmética, cómo se representa
el manejo de los axiomas mediante operaciones aritméticas, y cómo se construye el
enunciado indecidible de manera efectiva. No obstante, tales elementos son hasta cierto
punto innecesarios para apreciar la estructura y el sentido de la prueba.42
5.3.
Los teoremas de Gödel en nuestro tiempo
Sin lugar a dudas, los teoremas de incompletud de Gödel fueron los resultados más
notables de la lógica matemática en el siglo veinte. Su aparición no sólo transformó la
lógica moderna, sino que nos forzó a repensar la naturaleza de la matemática, trayendo
consigo un efecto renovador para su filosofía. Su autoría confirió a Gödel un lugar
muy especial entre los matemáticos de todos los tiempos, llevando a pensadores como
Willard van Orman Quine a referirse a él como “el descubridor de la verdad matemática
más significativa del siglo veinte.” Esta opinión fue compartida por John von Neumann,
quien en 1951 se refirió a la obra de Gödel con las siguientes palabras: “Lo logrado
por Gödel en la lógica moderna es singular y monumental –de hecho es algo más que
un monumento, es un hito que permanecerá visible a lo lejos en el espacio y en el
tiempo [. . . ] El tema de la lógica ciertamente ha cambiado por completo su naturaleza
y posibilidades con los logros de Gödel.”43
42 Si el lector busca una exposición rigurosa del primer teorema de incompletud de Gödel, podrá
acudir a cualquiera de siguientes fuentes: (Gödel, 1986, pp. 144-196), (Heijenoort, 1967, pp. 592-617),
(Mendelson, 1979, cap. 3) y (Enderton, 1972, cap. 3).
43 Estas palabras las pronunció von Neumann en la ceremonia de entrega del premio Einstein a Kurt
Gödel y Julian Schwinger.
282
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Más allá de la matemática, la obra de Gödel se ha hecho presente en nuestra cultura
de diferentes maneras, desde la filosofía hasta la literatura y el arte, pasando por las
ciencias sociales. Esto no podría ser de otro modo, dada el determinante papel que
juega la ciencia en general y la matemática en particular en nuestra visión del mundo.44
El mismo Gödel consideró en repetidas ocasiones las implicaciones filosóficas de sus
teoremas de incompletud, centrándose más que nada en la filosofía de la mente y en
la defensa del realismo matemático, una dirección en la que apuntan, según él, los
teoremas limitativos (esto lo veremos más adelante). No debemos olvidar que muchas
cuestiones que Gödel aborda han sido motivo de grandes debates, como la de si hay
preguntas que la mente humana jamás podrá responder.45 También está su realismo
conceptual, según el cual los objetos abstractos de la matemática no sólo existen por sí
mismos, sino que la mente humana puede entrar en contacto con ellos, o la compleja
relación (acentuada por sus teoremas) entre diversos elementos que claramente se
articulan en la matemática (v. gr., la lógica, la intuición, el lenguaje y el pensamiento),
y que por analogía se puede extender a otros ámbitos de lo humano. La consideración
de todo esto y las distintas conclusiones alcanzadas (o que algunos creen alcanzar) han
influido en la manera como percibimos la realidad en general y nuestro entorno en
particular, obligándonos a reconsiderar nuestra visión no sólo de las matemáticas sino
del mundo, como en su momento lo hicieran el sistema heliocéntrico de Copérnico,
la física de Newton, la teoría de la evolución de Darwin, la teoría de la relatividad, la
física cuántica o la genética molecular.
Un claro ejemplo de la trascendencia de la obra de Gödel en otros dominios lo tenemos
en la filosofía de la mente, donde sus teoremas limitativos se han utilizado de diversas
maneras, o en la curiosidad que han despertado en zonas tan distantes como la música
o el arte. Por ejemplo, J. R. Lucas inicia con las siguientes palabras un polémico
artículo que titula “Las mentes, las máquinas y Gödel”: “Tengo la impresión de que el
teorema de Gödel demuestra que el mecanicisimo es falso, es decir, que las mentes
no pueden ser explicadas como las máquinas” [Lucas, 1964]. En la poesía se cuenta
con un homenaje a Gödel (“Homage à Gödel”) de Hans Magnus Enzenberg, en la
música con un concierto para violín (2o concierto de Hans Werner Henze), en el
teatro con una obra de Daniel Kehlmann (Ghosts in Princeton), así como citas y
referencias en películas, obras de teatro y novelas. En la literatura latinoamericana
Jorge Volpi Escalante (México) y Guillermo Martínez Corino (Argentina) han escrito
sendas novelas inspiradas también en la obra de Gödel, las cuales han sido premiadas
44 La importancia de la matemática en nuestra cultura la expresa Morris Kline con las siguientes
palabras: “[. . . ] la civilización occidental actual se distingue de cualquier otra conocida en la historia por
el grado en que la matemática ha influido la vida y el pensamiento contemporáneos.” (Kline, 1980, p. 12).
45 Otra razón por la cual Gödel ganó popularidad fuera de las matemáticas fue el examen que realizó
de la posibilidad de que el universo sea rotatorio, de modo que en él haya líneas cerradas de tiempo a
través de las cuales los objetos pueden evolucionar hacia su propio pasado. Esto último, arguye Gödel,
significaría que las propiedades “esenciales” del tiempo (linealidad, irreversibilidad, etc.) no estarían
fundadas en nuestras leyes fundamentales del tiempo y el espacio, por lo que el tiempo sería algo ilusorio
(subjetivo) en este sentido.
5.3. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EN NUESTRO TIEMPO
283
y traducidas a diversas lenguas.46
Otro ejemplo es el de la escritora y filósofa norteamericana Rebecca Goldstein, quien
al discurrir en torno al significado de los teoremas de Gödel, la teoría de la relatividad
de Einstein y el principio de incertidumbre de Heisenberg, juzga que todos ellos han
constituido verdaderos cataclismos que han sacudido los fundamentos de las ciencias
calificadas por ella como “exactas”. Es entonces que, de manera enfática, expresa
el desconcierto que tales cosas le producen: “Estos tres descubrimientos parecen
enviarnos a un mundo desconocido, uno tan en desacuerdo con nuestras suposiciones e
intuiciones previas que, casi un siglo después, todavía estamos luchando para distinguir
en dónde exactamente es que hemos aterrizado.” Más allá del tono desbordado con que
se expresa Goldstein (¿acaso ochenta o cien años no le parecen suficientes para cambiar
de paradigma?), o de los desacuerdos que podamos tener con su postura, su punto de
vista refleja en gran medida lo que en la literatura no científica o estrictamente filosófica
se piensa o ha pensado de los teoremas de Gödel, es decir, del impacto que estos han
tenido fuera de los círculos científicos.47 Algo semejante ocurre con Sigfrido Samet
Letichevsky, quien al referirse a creencias tales como “el conocimiento es acumulativo
(es decir, una vez adquirido, éste es definitivo)”, “el Universo es determinista (y por
lo tanto eterno)”, “el tiempo es absoluto y constante”, “la aritmética es completa,
coherente y acabada” –todas ellas heredadas del siglo diecinueve– escribe: “En el
siglo XX se demostró la falsedad de todas estas creencias. Los teoremas de Gödel y el
Principio de Indeterminación de Heisenberg pusieron en evidencia las limitaciones de
46 Las novelas son En busca de Klingsor de Jorge Volpi (Editorial Seix Barral, 1999) y Crímenes
imperceptibles de Guillermo Martínez (Editorial Planeta, 2003).
En ambos casos hay abiertas referencias a los teoremas de Gödel, que en parte sirvieron como venero
de tales obras. Volpi menciona directamente el libro Gödel, Bach, Escher, an Eternal Golden Braid de
Douglas R. Hofstadter como una fuente de inspiración. En cuanto a Guillermo Martínez, podemos citar
el siguiente pasaje de su obra, en la que realiza una sugerente trasposición literaria de los teoremas de
Gödel. Se trata de un pasaje en el que uno de los personajes reflexiona en torno a la posibilidad de probar
culpabilidades o inocencias cuando se investiga un crimen:
Demasiadas veces las evidencias que se encuentran no alcanzan para probar ni la culpabilidad
de uno ni la inocencia del otro. En el fondo, lo que mostró Gödel en 1930 con su teorema
de incompletitud es que exactamente lo mismo ocurre en la matemática. El mecanismo de
corroboración de la verdad que se remonta a Aristóteles y Euclides, la orgullosa maquinaria
que a partir de afirmaciones verdaderas, de primeros principios irrebatibles, avanza por pasos
estrictamente lógicos hacia la tesis, lo que llamamos, en una palabra, el método axiomático,
puede ser a veces tan insuficiente como los criterios precarios de aproximación de la justicia.
Lo que el autor pone en la palestra es la falibilidad de conocimiento humano (su “incompletud”) y la
deficiencia de toda investigación, pues generalmente a lo que se arriba es a “un conocimiento probable,
indemostrable e incompleto” en palabras de Gioconda Marín, uno de sus personajes.
47 Rebecca Goldstein ha intentado difundir por diversos medios (libros, artículos, entrevistas, videos)
las ideas y los teoremas de Gödel, así como discurrir en torno al significado de sus teoremas. Su obra
más conocida es un libro publicado en 2005 bajo el título Incompleteness, The Proof and Paradox of
Kurt Gödel (W. W. Norton & Company, New York). Una crítica a las imprecisiones del libro desde la
óptica de la lógica matemática y la filosofía la podrá encontrar el lector en una excelente reseña escrita
por Juliette Kennedy, publicada en la revista Notices of the AMS, Volume 53, Number 4, pp. 448-455. La
cita la hemos tomado de las páginas 21-22 del libro de Rebecca Goldstein.
284
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
la capacidad humana de captar la realidad.” (Véase [Samet, 2002]). Se trata, digamos,
de una lectura típica de los teoremas limitativos en el ámbito de la filosofía. Cosas
similares se han intentado en el terreno de las ciencias sociales, aunque de manera
mucho más incierta o francamente inaceptable. Al respecto, en el apéndice Q, titulado
“Usos y abusos de los teoremas de Gödel” examinamos, en un tono más bien burlesco,
un par de intentos recientes por extrapolar en forma indebida los resultados de Gödel a
dominios como los de la política y las ciencias jurídicas.
Concluimos esta sección con algunos comentarios.
1. En el pasaje anterior hemos visto cómo los teoremas de incompletud suelen
relacionarse con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Al respecto, en el
libro “A Profile of Mathematical Logic” de Howard De Long, podemos hallar una
prudente reflexión de la que a continuación presentamos un breve resumen.48
DeLong inicia señalando una obviedad: con relación a los productos de la imaginación, siempre habrá cuestiones indeterminadas. Por ejemplo, no tiene sentido
preguntarse por el número de veces que Romeo y Julieta estornudaron durante
su no muy larga vida. Algo semejante podemos decir con relación a muchas
de nuestras imágenes de la realidad (el recuerdo de una escena, un retrato, etc.)
Por otra parte, podemos pensar que la realidad física es determinada (Newton y
Einstein lo creían). En contra de lo anterior, la mecánica cuántica sugiere que la
realidad física está indeterminada de cierta manera o, para ser más claros, que
nuestra relación con la realidad no nos permite responder cierto tipo de preguntas.
Y así como la teoría cuántica puso al descubierto cierto grado de indeterminación
en la naturaleza, los teoremas limitativos lo hicieron con relación a la matemática.
En este sentido De Long los equipara con el descubrimiento de la inconmensurabilidad del lado de un cuadrado con su diagonal, que derribó una concepción de
las matemáticas con hondas raíces históricas.
Conforme a la concepción abatida por Gödel, la teoría aritmética, si no es que ya
era completa, se podría completar (es decir, se podría elaborar una teoría aritmética
sin faltantes). Pero lo que Gödel demostró fue lo contario: que la teoría aritmética
no sólo es incompleta, sino incompletable, que ningún extensión consistente
de ella puede alcanzar la saturación. Volviendo a la indeterminación, ésta se
debe en este caso a nuestra incapacidad de establecer un conjunto de supuestos
básicos suficientes para decidir todas las interrogantes aritméticas. Para cada
conjunto de principios coherentes habrá cuestiones que parecerán accidentales,
pues no seremos capaces de probar con base en ellos su verdad aunque así parezca
(digamos, verificando una multitud de casos particulares, como hasta ahora ha
sucedido con la conjetura de Goldbach). Y así como nuestra percepción sensorial
tiene límites que podemos extender pero no eliminar, nuestra concepción abstracta
de la serie numérica también tiene límites que podemos extender pero no eliminar.
48 Véase,
DeLong, 1970, p. 201 y ss.
5.3. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EN NUESTRO TIEMPO
285
Digamos que nuestro poder de discriminación conceptual no está menos limitado
que nuestra discriminación sensible.49
Naturalmente, todas estas cuestiones son controversiales, y no pueden ser abordadas con el mismo rigor o claridad que una teoría matemática. Nuestra intención
es clarificar algunos puntos y estimular el interés por ellos, sin pretender alcanzar
conclusiones con la precisión de una demostración matemática.Naturalmente, todas estas cuestiones son controversiales, y no pueden ser abordadas con el mismo
rigor o claridad que una teoría matemática. Nuestra intención es clarificar algunos
puntos y estimular el interés por ellos, sin pretender alcanzar conclusiones con la
precisión de una demostración matemática.
2. En virtud de algunos comentarios que hemos hecho en esta sección y en el
apéndice Q, pudiera parecer que nuestra opinión es que los teoremas de Gödel no
se pueden utilizar seriamente fuera de la matemática misma. Esto no es verdad.
Más bien, tales comentarios los hicimos con el propósito de advertir que al
utilizar estos teoremas hay que proceder con prudencia, sin que ello signifique
una prohibición. Como bien lo señala Hao Wang, los teoremas de Gödel ocupan
un importante lugar en muchos debates filosóficos, permitiéndonos esclarecer
–así como problematizar– la ya mencionada relación entre la lógica y la intuición,
la forma y el contenido, lo mental y lo mecánico, el lenguaje y el pensamiento, la
verdad y la demostrabilidad, lo real y lo cognoscible.50
3. Más allá de la filosofía de la matemática, otro tipo de especulaciones filosóficas
asociadas a los teoremas de Gödel han sido las relacionadas con los intentos por
mostrar que el poder la mente humana es superior al de cualquier mecanismo o
sistema formal.
El primero en considerar eso que podemos llamar el “argumento gödeliano contra
el mecanicismo” fue Alan Turing en los años cuarenta y cincuenta, si bien con
la intención de refutarlo (véase (Piccinini, 2003)). Al respecto, en una exposición de los teoremas de Gödel –(Nagel & Newman, 1958)– los autores llegan
erróneamente a la conclusión contraria a la de Turing, también sobre la base
de los teoremas de Gödel. Poco tiempo después J. R. Lucas intentó lo mismo
en el artículo ya mencionado de 1961. Recientemente, Roger Penrose ha hecho
reclamos similares en (Penrose, 1990 y 1994), en el sentido de que los teoremas de
49 Obviamente, este argumento supone una postura realista (platónica), pues se habla de la serie
numérica como existente por sí misma, con independencia de las concepciones humanas de ella. No
obstante, en la práctica matemática así funcionan las cosas, salvo por los formalistas radicales y los
constructivistas, cuyos “protomártires” datan a los más del siglo XVIII. La visión usual (espontánea,
cándida) del matemático afanado en los problemas de su ciencia, desde siempre ha sido mayoritariamente
realista, con un fuerte núcleo de realidad aritmética donde cualquier enunciado escrito en los términos
de la teoría es verdadero o falso. No es el momento de discutir si las cosas son en verdad así, sino el de
reconocer que así se presentan en la práctica. Basta para ello escuchar una conversación entre dos colegas
matemáticos. A este punto volveremos más tarde.
50 Wang, 1996, p.3.
286
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Gödel implican, sin restricciones, que la mente humana sobrepasa infinitamente el
poder de cualquier máquina finita. El problema es que los argumentos de Penrose
contra el mecanicismo, al igual que los de Lucas y los de Nagel y Newman, están
viciados, cosa de la que nos ocuparemos más adelante.
4. En cuanto a la divulgación de las ideas de Gödel y la exploración del significado y
alcances de sus teoremas limitativos, todo ello dedicado a un público más amplio,
queremos mencionar un libro lleno de viveza: Gödel, Bach, Escher, an Eternal
Golden Braid de Douglas Hofstadter. Este libro, como ningún otro, ha contribuido
a divulgar las ideas que rodean a los teoremas limitativos no sólo de manera
lúdica, imaginativa y amena, sino sin faltar mayormente al espíritu de los mismos.
Al respecto, en el apéndice Q el lector hallará un amplio comentario del mismo.
5. Los teoremas de Gödel en tanto que pruebas de imposibilidad.
En su libro A Logical Journey. From Gödel to Philosophy, Hao Wang enuncia
cuatro formas alternativas del primer teorema de incompletud de Gödel, adoptando
cuatro perspectivas diferentes. El lenguaje utilizado es más impreciso que el de
los textos de lógica matemática, pues se trata de lecturas lindantes con la filosofía:
a) Ningún sistema formal para las matemáticas puede ser consistente y completo
a la vez.
b) Toda teoría axiomática formal para la matemática clásica contiene por fuerza
proposiciones indecidibles.
c) Ninguna computadora que demuestre teoremas podrá producir todas las proposiciones matemáticas verdaderas y ninguna falsa.
d) La matemática es inexhaustible (incompletable) mecánicamente.
Si bien el sentido de cada una de estas formulaciones es diferente en cada caso,
todas ellas reflejan una misma idea: la de que hay ciertas tareas imposibles de
realizar. Algo similar hace Gödel al decir, con base en sus teoremas, que ningún
matemático puede escribir axiomas que contengan a toda la aritmética elemental,
ni puede establecer una prueba de consistencia de la aritmética –o cualquiera de
sus extensiones– al interior de ella misma.
Es así que los teoremas de Gödel penetran en la esencia de dos de las ideas más
antiguas de la matemática: el sistema de los números naturales y el método axiomático,
ambas presentes en la matemática griega. Al hacerlo, marcan dos metas inalcanzables,
dos cosas que ningún matemático podría lograr. Dicho en otras palabras, establecen un
límite a nuestras capacidades. Este carácter los inscribe en una clase muy especial de
proposiciones matemáticas, conocidas como teoremas de imposibilidad. Se trata de
resultados negativos que establecen que ciertos problemas no se pueden resolver de la
manera esperada.
5.3. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EN NUESTRO TIEMPO
287
Los resultados de esta clase han ocupado desde siempre un lugar muy especial en la
ciencia en general. Veamos cómo se expresa Oskar Morgenstern con relación a su
naturaleza y significado:
Aunque algunos de los más profundos descubrimientos que ha logrado la
mente humana se han expresado en forma negativa, es extremadamente peligroso discutir límites en forma categórica. Tales resultados son que no puede
haber un móvil perpetuo, que no se puede superar la velocidad de la luz, que
el círculo no se puede cuadrar con regla y compás, que no todo ángulo se
puede trisecar, y así sucesivamente. Cada una de estas afirmaciones es la
culminación de un enorme esfuerzo intelectual. Todas ellas se basan en siglos
de trabajo y descansan en una evidencia empírica masiva o en el desarrollo de
nuevas matemáticas, o en ambas cosas. Aunque establecidos en forma negativa, estos y otros casos son enormes logros positivos y grandes contribuciones
al conocimiento humano. Todos comprenden razonamientos matemáticos;
algunos pertenecen, en verdad, al dominio de la matemática pura que abunda
en proposiciones acerca de prohibiciones e imposibilidades.51
La primera prueba matemática de una imposibilidad en la historia fue la de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado√con su lado, lo cual se expresa
en lenguaje moderno diciendo, en particular, que 2 no se puede escribir como un
cociente de la forma p/q, con p, q ∈ N. Esto lo hicieron los pitagóricos alrededor
del año 500 a. e., instituyendo con ello un tipo de prueba que ganó fama a finales
del siglo XVIII cuando Gauss probó la imposibilidad de construir ciertos polígonos
regulares con regla y compás. Posteriormente el siglo XIX fue testigo de cómo la
matemática se entregó a la producción de teoremas de esta naturaleza. Ejemplo de
ello son la imposibilidad de resolver mediante radicales la ecuación de quinto grado y
la imposibilidad de probar el quinto postulado de Euclides con base en los primeros
cuatro, lo cual dejó tras de sí una estela de asombro y fascinación. En el siglo XX este
modo de abordar los problemas adquirió grandes proporciones, multiplicándose los
resultados de este tipo en áreas como la geometría, el álgebra, la teoría de conjuntos,
las ciencias de la computación e incluso las ciencias sociales (v. gr., el Teorema de la
imposibilidad de Arrow). Al respecto, los teoremas limitativos de Gödel se hallan entre
los resultados más prominentes de este tipo.
Un rasgo sorprendente es que, a diferencia de otros resultados de esta índole, el primer
teorema de Gödel puso en duda una suposición compartida prácticamente por todo el
mundo: que tarde o temprano, todo problema aritmético se podría resolver (positiva
o negativamente) al interior de la teoría. Esta creencia fue sacudida precisamente por
dicho teorema. Esto no lo podemos decir de otros casos del mismo género. Por ejemplo,
no todo el mundo esperaba poder resolver la ecuación de quinto grado aplicando las
51 Oscar Morgenstern, “Limits of the uses of mathematics in economics”, texto de una conferencia
que pronunciara el 4 de enero de 1963 en un simposio organizado por la American Academy of Political
and Social Sciences de los Estados Unidos. Disponible en Internet en https://www.princeton.edu/
~erp/ERParchives/archivepdfs/M49.pdf
288
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces a sus
coeficientes. No se sabía si esto se podía o no se podía hacer. En este sentido, lo que
vino a hacer el Teorema de Abel-Ruffini fue a disipar la duda, sin provocar por ello una
conmoción.
En las siguientes secciones veremos más que nada las implicaciones de los teoremas
de Gödel con relación a la matemática y, en particular, al programa de Hilbert.
5.4.
Los teoremas de Gödel, el programa de Hilbert y las
matemáticas
5.4.1.
Consecuencias para la filosofía y el programa de Hilbert
Regresemos al programa de Hilbert. Como sabemos, éste tenía como propósito responder ciertas preguntas relativas a diversas teorías formales que representan fragmentos
o, quizá, la totalidad de la matemática clásica. Lo que se buscaba era probar su consistencia y determinar si eran completas y decidibles. Para responder a tales interrogantes
fue que Hilbert ideó la teoría de la demostración.
Hacia 1930 ninguna de estas cuestiones había recibido respuesta, aunque en opinión
de Hilbert éstas serían favorables respecto a la aritmética de Peano y la matemática
clásica, con la posible excepción de la completud en el último caso.52 Curiosamente,
Hilbert no consideró necesario formalizar la metamatemática, de modo que ésta no fue
investigada, manteniéndosele dentro de la esfera de la argumentación intuitiva en vez
de ser tratada en pie de igualdad con la matemática propiamente dicha.53
A la distancia, esta fase del formalismo se contempla como un tanto ingenua, acrítica y
desatenta a sus propias limitaciones. Y si bien en este período se introdujeron algunas
técnicas y conceptos básicos que aún tienen vigencia, en él también se trazaron metas
imposibles de alcanzar y que sirvieron como estímulo para las investigaciones. Como
hemos visto, fue Gödel quien puso fin a este periodo, conduciendo la teoría de la
demostración a un nivel más crítico y reflexivo.
Desde un punto de vista muy general lo que Gödel nos reveló fue una matemática
abierta, incompleta e incompletable, en vez de una ciencia concluida y cerrada en
sí misma. Se requieren pocas palabras para decirlo y muchas para comprenderlo. Al
respecto, en las siguientes secciones habremos de abundar en el tema de la consistencia,
la completud y la conservatividad, dejando de lado por el momento la cuestión de la
decidibilidad y la resolubilidad de todo problema matemático, que trataremos más
adelante.
52 Esto
se entrevé claramente en los planteamientos que hace en [Hilbert, 1928].
solía referirse a la matemática finitista con el término inhaltlich, es decir, de contenido, lo
cual es un indicativo de que jamás consideró formalizarla.
53 Hilbert
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
5.4.2.
289
La cuestión de la completud
Para precisar nuestro punto de vista conviene destacar algunos aspectos del programa de
Hilbert. Como sabemos, el propósito inicial era probar la consistencia de la matemática
clásica con base en la matemática finitista, para lo cual había que reducir la primera
a un sistema de axiomas construidos en un lenguaje sintáctico muy preciso, junto
con una lista de reglas de inferencia de corte finitista. Ahora bien, la reducción de la
matemática clásica a un “juego formal de signos”, un eslogan muy utilizado en su
tiempo, constituiría en sí misma un sólido fundamento en el que toda referencia a
objetos infinitos y todo uso de hipótesis no declaradas (que pudieran llevar a paradojas)
quedaba eliminado. Brouwer denominó “formalismo” a este movimiento, un término
que después se siguió utilizando para referirse a la escuela asociada al programa de
Hilbert. El nombre no fue casual; más bien, dejaba ver la intención que se hallaba
detrás de tales esfuerzos: sustituir la noción de verdad con la de demostrabilidad. En
otras palabras, el programa buscaba sustituir las nociones semánticas implicadas en
la matemática clásica con nociones sintácticas. Es por ello que el punto de vista que
Hilbert adopta en el programa se puede calificar como reduccionista o nominalista:
pretende reducir la matemática a un conjunto de convenciones sintácticas.54
Decir que los teoremas de Gödel plantearon un serio reto al programa de Hilbert es una
forma muy diplomática de decir que lo demolieron. Estamos conscientes de que son
muchos los que pretenden poner en tela de juicio esta última opinión, escudándose en
argumentos cada vez más rebuscados. No obstante, si miramos las cosas desde la óptica
de la práctica matemática, poco es lo que se puede decir en defensa del programa. El
proyecto de Hilbert simplemente se derrumbó. Esto se hará evidente en las siguientes
secciones. Nuestro interés por ahora es presentar, en contra de las metas que Hilbert
persigue, un argumento más cercano a la filosofía, y por ende menos preciso.
Supongamos una teoría formal T que contiene una formalización de la aritmética
recursiva y que es consistente (AP es una de ellas, ZFC es un fuerte candidato). Si
adoptamos una postura filosófica moderada, según la cual el enunciado de Gödel GT
para la teoría T es absolutamente significativo, entonces el primer teorema de Gödel
lo que nos dice es que no hay un sistema axiomático fijo capaz de probar todos los
enunciados verdaderos de este tipo.55 Es decir, no podemos caracterizar la noción de
“enunciado aritmético verdadero” con un conjunto de convenciones sintácticas. Se trata
54 También Gödel sostiene que el punto de vista de Hilbert en el programa es una forma de nominalismo
(un caso extremo de creacionismo) [Véase Wang, 1996, p. 77]. El nominalista considera que la matemática
consiste solamente de convenciones sintácticas y sus consecuencias, y esto es lo que pretende hacer
Hilbert con la matemática clásica. Es por ello que Gödel también se refiere a la postura de este último
como “la concepción sintáctica de la matemática”.
55 Esta postura es sumamente razonable. El enunciado indecidible corresponde (conforme al código de
Gödel) a una afirmación relativa a las pruebas formales en el sistema, y se puede probar equivalente a
un enunciado que afirma que cierto programa de cómputo P no se detendrá al ser puesto en marcha con
ciertos datos iniciales (Programa = Máquina de Turing, una noción que pronto veremos) ¿Cómo sostener
que un enunciado acerca del comportamiento de una máquina específica no es significativo?
290
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
de una especie de obviedad: un sistema no puede probar demasiadas cosas acerca de
sí mismo sin caer en contradicciones. Éste es el sentido de la incompletud cuando se
acepta un mínimo razonable de cosas significativas, lo cual, comparado con lo que
se puede observar en la práctica matemática, no es pedir demasiado. Por tanto, sin ir
demasiado lejos en cuanto al sentido que le damos a las fórmulas, podemos ver que la
reducción propuesta por Hilbert es ilusoria. Siempre habrá alguna verdad que escapa
al sistema. La formalización sólo es posible de manera parcial, no total.
Ciertamente, Hilbert contempló también la posibilidad de formalizar gradualmente
la matemática clásica, añadiendo en forma progresiva nuevos principios con la consiguiente prueba de consistencia (¡ah, y de la consistencia hablaremos en la siguiente
sección!). No obstante, esta posibilidad no contemplaba a la aritmética elemental, cuya
completa formalización se consideraba casi un hecho a partir de los axiomas de Peano.
Ahora sabemos, a la luz del primer teorema de Gödel, que el ideal de caracterizar
formalmente la noción de “enunciado aritmético verdadero” no es alcanzable. Pero éste
era justamente uno de los propósitos de la formalización. Esto lo dejó ver Gödel ya en
1930 en una reunión donde dio a conocer su teorema de incompletud: “Bajo el supuesto
de la consistencia de la matemática clásica, se pueden dar ejemplos de proposiciones
[. . . ] que son en realidad no vacuamente verdaderas, pero indemostrables en el sistema
formal de la matemática clásica”.56
Es más, dependiendo de lo que se entienda por aritmética finitista, el primer teorema de
Gödel puede muy bien significar que ni siquiera la noción de “verdad” correspondiente
a este fragmento de la matemática clásica se puede formalizar por completo. Al
respecto, la discusión de lo que se entiende por “aritmética finitista” la postergamos a
la sección 5.4.5, donde abordamos el tema del instrumentalismo matemático. Por ahora
sólo diremos que en la actualidad el consenso está dividido: algunos consideran que la
aritmética finitista no va más allá de la aritmética recursiva primitiva, mientras que otros
sostienen que ésta incluye todas las fórmulas aritméticas de una clase muy especial
denotada con el símbolo Π01 , cuyos elementos poseen una estructura relativamente
simple. De ser así, el enunciado de Gödel GT para cada teoría T del tipo especificado
sería finitista, de modo que la aseveración inicial de este párrafo sería correcta.
Con relación a este modo de leer el primer teorema de Gödel, escuchemos la manera
en que Hao Wang lo enuncia en un lenguaje más cercano a la filosofía que a la lógica:
la matemática es inexhaustible. Por su parte Gödel ofrece la siguiente formulación:
“La mente humana no puede formalizar todas las intuiciones matemáticas.” El sentido
de esto último es el siguiente: al formalizar nuestras intuiciones matemáticas, junto con
el formalismo aparece una nueva intuición que lo trasciende, a saber, el enunciado de
Gödel GT . Obviamente, estamos asumiendo que T es consistente, pues si no lo fuera
la teoría no tendría ningún valor. Es más, con el paso del tiempo la comprensión de
los enunciados indecidibles se refinó a tal punto que ahora sabemos que ni siquiera es
56 La cita aparece en [Wang, 1987, p. 138 de la traducción al español]. La reunión era un foro de
discusión sobre los fundamentos de la matemática presidido por Hans Hahn en el marco de un coloquio
sobre la epistemología de las ciencias exactas celebrado en Königsberg, Prusia Oriental, en 1930.
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
291
posible incorporar como teoremas todas las fórmulas verdaderas acerca de ecuaciones
diofánticas. Esto lo veremos en las siguientes secciones.
Como quiera que sea, no será sino hasta la sección 5.4.5 que ofrezcamos firmes razones
para decir que el primer teorema de Gödel basta para rebatir el programa de Hilbert.
Para concluir queremos reiterar que el primer teorema de Gödel es muy claro respecto
al programa de Hilbert: simplemente, no se puede determinar un sistema formal que
sea completo ni siquiera para la aritmética elemental, ya no digamos para la matemática
clásica o la teoría de conjuntos. La matemática queda abierta hacia arriba: una vez
alcanzado un mínimo de poder expresivo, ésta se halla en vías de construcción en
cualquier momento de su desarrollo, sin la esperanza de llegar nunca a su culminación:
siempre se podrán añadir nuevos postulados, pero nunca los suficientes como para
concluir la labor axiomática. A esto es a lo que se refiere Hao Wang cuando expresa el
primer teorema de Gödel diciendo que “La matemática es inexhaustible (incompletable)
mecánicamente”.
5.4.3.
La cuestión de la consistencia
A pesar de su trascendencia, el primer teorema de Gödel no fue lo que echó por tierra
la pretensión de “eliminar en forma definitiva el problema de los fundamentos de
las matemáticas”, tantas veces proclamada por Hilbert. De ello se ocupó el segundo
teorema. Es muy probable que la matemática clásica sea consistente; de hecho, es sobre
esa creencia que edificamos la teoría. No obstante, su consistencia no ha sido probada,
y, lo que es peor, jamás lo será mediante un argumento que tenga cabida en ella. En
este sentido, la matemática clásica mira su propia consistencia como un misterio, como
un enigma imposible de resolver, y sólo un observador externo podría, si acaso, ofrecer
una prueba deductiva de la misma, aunque con medios de prueba ajenos y tal vez más
dudosos que los codificados en ella.
Frente a esto, tenemos que destacar que la solución esperada por Hilbert al problema
de la consistencia apuntaba precisamente en la dirección contraria. Desde su punto
de vista, las teorías matemáticas habrían de formar una especie de pirámide en cuya
base se encontraría aquella formada por los elementos más simples: la matemática
finitista. Esta base serviría como punto de partida para asegurar la consistencia de toda
la construcción. Así, por ejemplo, la aritmética finitista probaría la consistencia de
la aritmética de Peano, y una vez probada la coherencia de ésta última se le podría
utilizar para probar la consistencia de, digamos, la teoría de conjuntos sin el axioma de
elección, para a su vez utilizar esta teoría en una prueba de consistencia de la teoría
de conjuntos con el axioma de elección, etc., de modo que cada vez que se hubiera
probado la consistencia de un nivel, lo habido en él se podría utilizar para asegurar la
consistencia de los subsiguientes niveles, cada vez más complejos.
292
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Figura 5.6. Pirámide de Hilbert
No obstante, en vista del teorema de Gödel sabemos que la situación es la opuesta. En
efecto, si “acabar” un sistema significa probar su consistencia, es imposible contentarse
con las suposiciones que en él se hacen (no basta considerar el sistema a la luz de sus
métodos y principios), pues éstas son insuficientes para probar su consistencia: hay que
hacer la siguiente suposición. Para continuar con la metáfora diremos que la imagen de
la pirámide debe ser invertida, ya que para consolidar un “piso” ¡es necesario construir
el siguiente! (para validar un sistema, hay que validar el sistema que formaliza la
prueba de su consistencia). En tal caso la base de la pirámide se encontraría suspendida
en la cúspide, una cúspide inconclusa por sí misma, y que debe ser elevada sin cesar.
Figura 5.7. Pirámide invertida después de Gödel
Si, como pretende Hilbert, fundamentar la matemática consiste en probar su coherencia
lógica de manera elemental (pues sólo así tendría algún valor epistemológico la prueba),
la matemática se fundamenta en la nada.
Concluimos este apartado con algunos comentarios de carácter general.
1. Retomando la terminología adoptada en la notal al pie 54 de la sección 5.4.2,
podemos decir que fue el segundo teorema de Gödel lo que echó por tierra el
programa de Hilbert, pues “la consistencia de las convenciones sintácticas va más
allá de las convenciones mismas.” Sólo un finitista contumaz (digamos: Gentzen,
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
293
o el mismo Hilbert) podría imaginar la posibilidad de una prueba finitista de
consistencia para la matemática clásica, es decir, imaginar que la matemática
finitista, yendo más allá de las convenciones adoptadas, por ejemplo, en un sistema
como ZFC, podría probar la consistencia de este sistema. Esto no nos parece
creíble. Ahora bien, dado que esto no es un certamen de creencias sino un debate,
hay todavía una objeción a dicha postura: el que todas las intuiciones utilizadas
en la prueba de consistencia se podrían formalizar e integrar a la matemática,
de modo que aparecería un segundo sistema, digamos ZFC+ , en espera de su
consiguiente prueba de consistencia, etc. de modo que la matemática permanecería
por siempre abierta, incompleta e incompletable, siempre en construcción (como
de hecho lo está).
2. Si bien los teoremas de Gödel forman parte de una rama muy especializada de la
lógica matemática, y ocupan un lugar de privilegio en áreas como la teoría de la
recursión y las ciencias de la computación, su valor los coloca en un plano más allá
del interés científico, donde nos revelan su profundo sentido y su innegable valor
epistemológico. De alguna manera, los límites que establecen no sólo afectan a
los sistemas formales, sino a la razón en general. En una lectura más relajada,
el primero de ellos apunta hacia nuestra incapacidad de construir una imagen
simbólica del mundo en la que nada falte, o de formalizar cabalmente todo lo que
nos es dado en el ámbito de la intuición; el segundo, irónicamente llamado “de
la consistencia”, nos muestra que la razón matemática, y por ende la razón en
general, puede no bastarse a sí misma, pues no logra dar cuenta de la coherencia
de los principios adoptados, dejando abierta la posibilidad de que haya problemas
que jamás podría resolver. Al respecto, a continuación mostramos una posible
conexión entre este resultado y las ciencias sociales.
3. En respuesta a una carta en la que presuntamente le pedían que hiciera un comentario en torno al significado de sus teoremas con relación a las cuestiones
humanas, Gödel propuso la siguiente formulación:
Una sociedad estrictamente controlada (i. e., una sociedad en la que en
todas las cosas se procede con estricto apego a reglas de “conformidad”)
será, en su comportamiento, o inconsistente o incompleta, es decir, incapaz
de resolver ciertos problemas, quizá de vital importancia. Por supuesto,
ambas posibilidades podrían amenazar su supervivencia en una situación
difícil. Una observación similar se podría aplicar a los seres humanos en
lo individual.57
En este sentido los teoremas de Gödel vendrían a reforzar la idea de que las
grandes pretensiones de conocer y vivir en el mundo de acuerdo con una razón
57 Tomado de [Wang, 1996, p. 4]. Según refiere Wang, el texto aparece en un borrador de una carta que
Gödel jamás envió a una persona (Wang no recuerda a quién) como respuesta a la pregunta sobre cómo
generalizar sus teoremas a las cuestiones humanas.
294
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
autosuficiente, que todo lo abarca, son sólo una quimera. En especial, la confianza
desmedida que se ha depositado en diversos sistemas de reglas que guían y
justifican nuestra vida individual y social, parece no tener fundamento. Los
teoremas de Gödel nos hacen ver que no siempre podemos estar seguros de que
nuestras hipótesis son consistentes entre sí, es decir, que nuestras suposiciones
constituye un sistema coherente, por no hablar de nuestras creencias, que encierran
un mayor grado de vaguedad e inexactitud. Asimismo nos hacen ver que nuestras
creencias e hipótesis difícilmente constituirían un sistema completo, en el sentido
de contener una respuesta para cada problema. Esta idea la vendrían a reforzar
algunos resultados generados en el marco de la teoría de la complejidad, la cual
se ocupa, entre otras cosas, de examinar lo que le sucede a la razón en el mundo
real, donde se enfrenta a los hechos.
4. Como punto final a lo dicho en esta subsección, escuchemos a Hao Wang:
Los teoremas de Gödel asentaron un golpe mortal al programa de Hilbert,
el cual es reduccionista y postivista en espíritu: pretende reducir la rica
intuición y experiencia matemática a simples conceptos combinatorios
mediante pruebas de consistencia de los primeros a través de los segundos.
Los teoremas de incompletud no alcanzaron su forma más general en
virtud de que el concepto general de procedimiento mecánico no estaba
aún disponible en 1931.58
En sus conversaciones con Hao Wang, Gödel expresó cosas semejantes. Por
ejemplo, en la página 156 de (Wang, 1996) se halla un pasaje en el que, grosso
modo, Gödel dice lo siguiente: Es imposible reconciliar el punto de vista sintáctico
con los altos niveles de abstracción que ha alcanzado la matemática moderna
tal como se lo propone Hilbert, pues es imposible probar la consistencia de
las concepciones sintácticas por mera reflexión en torno a las combinaciones
concretas de los símbolos, sin introducir conceptos más abstractos. La alternativa
es obvia: Hay que abandonar el punto de vista excluyente hacia la abstracción, o
aferrarse a él en contra del espíritu de la época.
En otro lugar del mismo libro podemos hallar las siguientes palabras de Gödel:
El razonamiento no finitista fue considerado como significativo sólo en
la medida en que se le pudiera “interpretar” o “justificar” en términos
de la metamatemática finitista. (Nótese que esto, en la mayor parte, ha
resultado ser imposible como consecuencia de mis resultados y el trabajo
subsiguiente.) Este punto de vista conduce, de manera casi inevitable, a
la exclusión del razonamiento no finitario de la metamatemática, pues
tal razonamiento, para ser permisible, requeriría de una metamatemática
finitista. Pero esto parece una duplicación confusa e innecesaria. [...] La
admisión de elementos transfinitos “asignificativos” en la metamatemática
58 Wang,
1981, p 6.
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
295
es incompatible con la idea misma de esta ciencia prevaleciente en la
época del programa. Conforme a esta idea, la metamatemática es la parte
significativa de la matemática, a través de la cual los símbolos matemáticos (carentes de significado por sí mismos) adquieren un substituto del
significado, a saber, sus reglas de uso. Por supuesto, la esencia de este
punto de vista es el rechazo de todos los tipos de objetos abstractos u
objetos infinitos, los cuales a primera vista son los significados de los
símbolos. Es decir, sólo se atribuye significado a aquellas proposiciones
que hablan de objetos concretos y finitos, tales como combinaciones de
signos.59
Justamente, la pretensión de Hilbert consistía en conciliar los “altos niveles de
abstracción que ha alcanzado la matemática moderna” (digamos, en el análisis
matemático y la teoría de conjuntos de Cantor) con la matemática finitista mediante la consabida prueba de consistencia, la cual se vio frustrada por los teoremas
limitativos. Gödel tenía razón: Los altos niveles alcanzados por la matemática
moderna son irreconciliables con el punto de vista sintáctico adoptado por Hilbert.
5.4.4.
Gentzen et al
Tras la catástrofe ocasionada por los teoremas limitativos todo parecía indicar que
lo único que quedaba por hacer era finiquitar las investigaciones y marcharse a casa.
Parecía como si la teoría de la demostración hubiera fracasado junto con el programa,
pues ¿quién iría a estar satisfecho con una justificación de la matemática transfinita de
Cantor que desbordara a la teoría cantoriana? Los seguidores del programa adoptaron
actitudes que iban desde la incredulidad hasta la resignación. Como ya lo hemos
señalado, algunos se negaron a aceptar la imposibilidad de una prueba de consistencia
finitista, mientras que otros optaron por modificar el programa renunciando a la
pretensión de una prueba absoluta de consistencia, y muchos más decidieron proseguir
las investigaciones en torno a los sistemas formales desde una perspectiva matemática,
sin ninguna pretensión de fundamentación e incorporando cualquier método que
resultara fructífero, incluyendo los procedimientos semánticos.
En un principio, el mismo Hilbert se negó a aceptar el segundo teorema de Gödel
como algo definitivo, por lo que trató de manejar la cuestión en la aritmética mediante
la aceptación de una regla de inferencia con una infinidad de premisas (la regla
ω), tratando (paradójicamente) de no alejarse demasiado del constructivismo.60 Al
respecto, en la introducción al libro Grundlagen der Mathematik (Fundamentos de las
matemáticas), escrito en colaboración con Bernays en 1934 y 1939, Hilbert se expresa
con las siguientes palabras:
59 Gödel en [Wang, 1996, pp. 240-241]. En la sección 5.4.5 abordaremos en extenso esta idea de
considerar como “asignificativos” los enunciados de la matemática transfinita.
60 Véase el apéndice R.
296
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Los resultados hasta ahora alcanzados en la teoría de la demostración señalan también la dirección de las subsiguientes investigaciones encaminadas a
establecer la consistencia de los métodos matemáticos usuales. Con relación
a esta meta quiero enfatizar lo siguiente: el punto de vista, surgido temporalmente, según el cual ciertos resultados de Gödel muestran que mi teoría de
la demostración no puede llevarse a cabo, ha probado ser erróneo. De hecho,
tal resultado sólo muestra que uno debe utilizar el punto de vista finitista de
una manera más aguda con relación a las pruebas de consistencia de más
largo alcance [...]61
En su artículo de 1931 Gödel también expresa algunas dudas respecto a si el segundo
teorema anula o no la posibilidad de una prueba de consistencia finitista: “Quiero
señalar expresamente que el teorema [acerca de la consistencia] no contradice al punto
de vista formalista de Hilbert. Dicho punto de vista presupone tan sólo la existencia
de una demostración de consistencia en la que nada sino métodos de demostración
finitista sean utilizados y es concebible la existencia de una demostración finitista de
consistencia que no pueda expresarse en el formalismo P (o M, o A).”62
Si bien el teorema no es concluyente respecto a la imposibilidad de una prueba finitista
de consistencia, cabe señalar que los logros en este dominio han sido más bien magros
a la fecha (incluyendo el de Gentzen). En todo caso, los debates suscitados se deben a
la imprecisión de la noción de prueba finitista y sólo pueden resolverse favorablemente
exhibiendo una demostración de consistencia que, aún sin una definición precisa de
dicha noción, cumpla a todas luces con las ideas que envuelven al finitismo. En cuanto
a Gödel, se puede apreciar en sus escritos posteriores que muy pronto cambió de
opinión, como, por ejemplo, en [Gödel, 1931?, 1951 y 1958]. Al respecto, como ya
lo hemos dicho reiteradas veces, nuestro parecer es que la matemática finitista no
desborda en ningún sentido a la aritmética recursiva primitiva (salvo, quizá, por la
inclusión de enunciados Π1 en ella) y que, por lo tanto, no es posible hallar una prueba
de consistencia para la aritmética con tales características.
Para quienes optaron por modificar el programa de inmediato se planteó el siguiente
problema: hallar pruebas de consistencia para la aritmética y algunos fragmentos del
análisis que cayeran fuera del formalismo en cuestión, pero que fueran confiables para
la mente constructiva. La búsqueda de tales pruebas inició de inmediato.
No hubo de pasar mucho tiempo antes de que se hubieran obtenido algunos resultados
con relación a la aritmética. En 1936 Gerhard Gentzen (1909-1945), un joven colaborador de Hilbert, logró probar la consistencia de la aritmética de Peano mediante un
argumento que no es finitista en el sentido estricto de la palabra, pues en él se acepta
como evidente un argumento inductivo que penetra en la segunda clase de los números
ordinales de Cantor. Pruebas similares fueron presentadas posteriormente por Ackermann (1940), Lorenzen (1951), Schütte (1951), Gödel (1958) y Hlodovskii (1959). El
61 Hilbert
62 Gödel,
y Bernays, 1934, p. vi.
1931. Cita tomada de la traducción al inglés en Heijenoort, 1967, p. 615.
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
297
problema con este tipo de demostraciones es que implican la aceptación de principios
más poderosos e inciertos que aquellos cuyo funcionamiento consistente se prueba con
ellos. Por ejemplo, la demostración de Gentzen asegura que el principio de inducción
finita, fundamental en la demostración de múltiples teoremas de la aritmética y del
análisis clásico, es compatible con los demás axiomas de Peano acerca de los números
naturales. El problema radica en que la demostración hace uso de una variante un tanto
más poderosa del principio de inducción, que lo acepta como válido no sólo para los
números naturales, sino para una clase más extensa de números que los contiene como
un subconjunto propio: nos referimos a los números ordinales numerables, definidos y
estudiados en la teoría transfinita de Cantor y de los que aquéllos no son sino la parte
correspondiente a los conjuntos finitos.
Si bien tras el segundo teorema de Gödel difícilmente podemos imaginar que las cosas
pudieran ser de otra manera, el teorema de Gentzen nos muestra cuál es el mínimo
requerido para lograr la demostración de consistencia de la aritmética de Peano, es
decir, lo menos que debemos suponer dadas las restricciones impuestas por Gödel.
No obstante, desde un punto de vista epistemológico, la demostración no se puede
considerar como un fundamento de la teoría, pues en ella se supone algo más poderoso
que la inducción finita para “asegurar” a esta última.63
En la actualidad, las pruebas de consistencia constituyen un tema de investigación muy
atractivo, dadas las restricciones impuestas por los teoremas de Gödel. Por ejemplo,
para quienes se interesan en los fundamentos de la matemática se plantea el problema de
investigar si el programa de Hilbert es parcialmente realizable, es decir, de determinar
si alguna porción de la matemática transfinita se puede probar consistente mediante
una prueba constructiva, cuestión interesante por sí misma. Y si bien la cuestión
de la consistencia ha perdido toda su fuerza como vía de validación de las teorías
matemáticas, en tanto que problema matemático sigue teniendo vigencia.
En otras palabras, si bien después de Gödel las pruebas de consistencia ya no tienen
63 Gentzen
no estaba de acuerdo con lo que acabamos de decir. Según él, no podemos descartar la
posibilidad de una prueba finitista de consistencia de, digamos, ZFC que no pudiera llevarse a cabo al
interior de este sistema, sin que por ello dejara de tener sentido para la mente constructiva. Al respecto,
sostiene que las formas de inferencia admisibles en la matemática finitista no pueden caracterizarse
concluyentemente (de una vez por todas): “No es posible una delimitación inequívoca [de las formas de
inferencia indiscutibles en la aritmética]; no obstante, podemos producir ciertamente argumentos que
harán sumamente plausible la admisibilidad de algunos métodos de prueba, aunque la correspondiente
justificación fracase para otros métodos en casos donde existe una analogía remota con las falacias
que surgen de las antinomias de la teoría de conjuntos, las cuales hacen que estas técnicas parezcan
discutibles.” (tomado de Szabo, 1969, p. 158). Este tema sigue siendo motivo de acalorados debates en
nuestros días, como el lector lo podrá comprobar, entre otros, en (Baas, 2011), (Detlefsen 1986 y 1990),
(Feferman, 2011), (Gödel, 1958), (Raatikainen 2003), (Stenlund, 2012), (Sieg 1984 y 1988), (Szabo,
1969), (Tait 1981, 2002 y 2005) y (Zach 1998, 2001, 2003 y 2005). Al respecto, en el apéndice R el lector
hallará un comentario un tanto técnico de la demostración que diera Schütte en 1951 de la consistencia de
la aritmética de Peano, la cual no difiere substancialmente de la de Gentzen. Esta prueba nos muestra el
avance y el tipo de desarrollos a que condujo el problema de la consistencia en el siglo veinte, siendo
dicho resultado quizá el más importante en este renglón.
298
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
ningún valor como fundamento, siguen siendo significativas en la medida en que
vinculan los conceptos empleados en la prueba y aquellos envueltos en el sistema
formal cuya consistencia se prueba. Como lo señala Hao Wang, es menos confuso
y más ajustado a la realidad decir que todas las pruebas de consistencia son pruebas
de consistencia relativa, que nos dan información acerca de los métodos de prueba
utilizados (v. gr., cuál es el rango mínimo de la teoría de conjuntos que se necesita para
probar ciertos teoremas, o qué métodos son necesarios para probar la existencia de
cierto tipo de funciones). Lo que sí ya es cosa del pasado es la intención de usarlas
como medio de justificación de los principios utilizados. En este sentido, como ya lo
hemos señalado, las pruebas de consistencia ya no tienen ningún valor epistemológico.
5.4.5.
La cuestión del instrumentalismo
Retomemos la cuestión, ya planteada en las secciones 4.2.3 y 4.2.4, de considerar a la
matemática clásica como un recurso o método para probar enunciados finitistas. Esto
lo propone o sugiere Hilbert en distintas ocasiones, como las siguientes:
“En la teoría de la demostración, a los axiomas finitos se añaden los axiomas y
fórmulas transfinitos, de manera análoga a como en la teoría de números complejos
a los elementos reales se añaden los imaginarios, y a como en la geometría a las
figuras reales se añaden las imaginarias. Se puede, en verdad, afirmar que en la
teoría de la demostración el éxito de esta manera de proceder es el mismo que
en los casos mencionados, a saber: la simplicidad y el carácter deductivamente
cerrado de la teoría.”64
“[...] podemos defender perfectamente la idea de que, en realidad, la matemática
[clásica] no es sino una especie de aparato que al ser aplicado a números enteros
debe proporcionar igualdades numéricas verdaderas. El problema que en ese caso
se plantea es el de investigar la construcción de ese aparato hasta el punto en el
que toda duda al respecto haya desaparecido.”65
“La extensión por medio de la adición de ideales es lícita y permisible solamente
cuando en ella no se provoca el surgimiento de contradicciones en el dominio
original, y en consecuencia, únicamente si al suprimir los elementos ideales las
relaciones que resultan para los elementos originales son válidas en la esfera
original.”66
En la segunda mitad del siglo XX estas afirmaciones dieron lugar a un debate en torno
al modo en que Hilbert entiende la maquinaria transfinita: ¿Debemos pensarla tan sólo
como un aparato formal que facilita la prueba de enunciados finitistas?, es decir, ¿se
64 Hilbert,
1923. Cita tomada de la traducción al español, segunda edición, p. 138.
1925. Cita tomada de la traducción al español, segunda edición, p. 164.
66 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, segunda edición, p. 178.
65 Hilbert,
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
299
trata solamente de un instrumento que nos permite probar de manera más eficiente
tales enunciados?67
Precisemos el sentido del llamado “instrumentalismo matemático”, con el ojo puesto
en la matemática clásica. Según esto, del total de la matemática clásica T sólo una
fracción F (la matemática finitista) se considera significativa, mientras que el resto,
obtenido mediante la adición de nociones ideales y métodos de demostración que van
más allá del finitismo, se ve como un aparato formal que facilita la prueba de fórmulas
(enunciados) pertenecientes a F. Para el caso, ni siquiera es necesario suponer que T
contiene toda la matemática clásica. Por ejemplo, T podría ser el sistema AP para la
aritmética de Peano. Una peculiaridad de este enfoque es que en él no se considera
útil o necesario explicar el significado de aquellas partes de T que sobrepasan a F. Lo
único que importa es que T sea una teoría conservativa con relación a F, es decir, que
cualquier fórmula finitista A demostrable en T también lo sea en F. De ahí el nombre
de “instrumentalismo”: la matemática clásica es vista como un instrumento que nos
ayuda a acortar o hacer más comprensibles las pruebas de enunciados de F, y nada
más.68
La tesis de que la postura de Hilbert en el programa es puramente instrumentalista
suele apoyarse también en el siguiente pasaje:
De manera análoga a como las operaciones con lo infinitamente pequeño
fueron sustituidas por procesos en lo finito con los que podemos llegar
exactamente a los mismos resultados y a las mismas y elegantes relaciones
formales, debemos ahora reemplazar los modos de inferencia que emplean
al infinito por procesos finitos que conduzcan a los mismos resultados, es decir, que nos permitan llevar a cabo las demostraciones a lo largo de las
mismas líneas y utilizar los mismos métodos de obtención de fórmulas y
teoremas. [...] Esta es la principal intención de mi teoría. Su objetivo es
conferir al método matemático la seguridad a la que el periodo crítico del
cálculo infinitesimal no pudo llegar.”69 (El subrayado es nuestro).
Tal como lo hiciera Bernays en su artículo de 1930 (véase el cuarto comentario al
final de la sección 4.2.3), Hilbert sostiene que una prueba de consistencia conlleva la
conservación de los enunciados finitistas: “Si uno logra llevar a cabo esta prueba [de
consistencia] entonces [...] uno puede asegurar que si un enunciado numérico interpretable finitariamente es derivable en el sistema, entonces éste es siempre correcto.”70
67 Hay incluso un libro dedicado a este tema: Hilbert’s Program: An Essay on Mathematical Instrumentalism de Michael Detlefsen. V. [Detlefsen, 1986].
68 En la lógica contemporánea, una teoría T se dice que es una extensión conservativa de una teoría F
cuando el lenguaje de T es una extensión del de F, todo teorema de F es teorema de T y todo teorema
de T que pertenece al lenguaje de F también es teorema de F. Dicho llanamente: la nueva teoría puede
que sea más eficiente para probar teoremas, pero no puede probar nuevos teoremas en el lenguaje de F.
Nótese que una extensión conservativa de una teoría consistente también es consistente.
69 Hilbert, 1925. Cita tomada de la traducción al español, segunda edición, p. 148-9.
70 Hilbert 1929.
300
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
En lo anterior, “correcto” significa que el enunciado se puede verificar con base en los
recursos propios de la aritmética finitista, tal como lo plantea Hilbert en la penúltima
cita.
En resumen: con relación a estas cuestiones, Hilbert y Bernays creyeron:
1. que una prueba de consistencia aseguraría la “conservatividad” de la teoría ideal
(lo cual supone que, de alguna manera, se tiene identificado a qué parte de la teoría
formal T corresponde la aritmética finitista, incluyendo los métodos deductivos
aceptados en ésta);
2. que la consistencia se podría probar mostrando que toda prueba de una contradicción en la teoría ideal se podía convertir en una prueba finitista de una
inconsistencia y, por tanto,
3. que la prueba de consistencia permitiría eliminar cualquier referencia a los elementos ideales en las pruebas de enunciados finitistas.
Como a continuación veremos, con base en lo anterior y una aceptable caracterización de los enunciados finitistas, podemos decir que el primer teorema de Gödel
es suficiente para refutar el programa de Hilbert.
Enunciados finitistas y enunciados ideales. Lo siguiente constituye una extensión
de la sección 4.2.3, donde se explica el carácter de la matemática finitista.
Una cuestión que se siguió discutiendo en la segunda mitad del siglo XX fue la
distinción entre enunciados finitistas y enunciados ideales, la cual no es del todo clara
en los escritos de Hilbert y Bernays. Al respecto, una gran mayoría concuerda en
que la línea divisoria no va más allá de la aritmética recursiva primitiva tal como se
le entiende en (Skolem, 1923). Al respecto, en (Hilbert, 1923), Hilbert propone los
siguientes axiomas para la teoría elemental de los números, tomando como soporte
el cálculo de proposiciones (axiomas 1-6, no expuestos aquí) y sin especificar aún la
maquinaria lógica para la teoría de la cuantificación:
III Axiomas de la igualdad
7. a = a
IV Axiomas numéricos
9. a + 1 = a
8. a = b → (A(a) → A(b))
10. δ (a + 1) = a
Dice al respecto: “Con base en los axiomas 1-10 es fácil obtener todos los números
enteros positivos, lo mismo que las ecuaciones numéricas válidas que a ellos se refieren.
A partir de estas bases y haciendo uso de una lógica finitista al realizar consideraciones
puramente intuitivas (entre las que, sin duda, hay que contar con la recursión y la
inducción intuitiva para totalidades finitas), es posible obtener la teoría elemental de
los números.” Hilbert hace la aclaración de que la exposición definitiva de esta teoría
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
301
incluye axiomas para la inducción y definiciones recursivas de la suma, el producto,
etc., y que en ella no se recurre a modos de inferencia dudosos o problemáticos. Dice
al respecto que todo lo demostrable en este fragmento de la teoría axiomática para los
números se puede obtener también sin recurrir a ningún axioma y sin abandonar la
esfera del finitismo (es decir, que en este nivel el proceder axiomático es prescindible).
La frontera del transfinito se cruza al introducir los conceptos de “todo” y “existe” en
forma irrestricta (reléase la sección 4.2.3). Esto sucede, por ejemplo, al introducir principios lógicos como el del tercero excluido para totalidades infinitas, o equivalencias
como las siguientes:
¬∀xA(x) ≡ ∃x¬A(x) ¬∃xA(x) ≡ ∀x¬A(x)
Se puede pensar que Hilbert dejó claramente marcada la frontera entre lo finitario y
lo transfinito con las distinciones que acabamos de ver. No obstante, las cosas no son
así. Por ejemplo, hay casos en los que la cuantificación irrestricta no nos “aparta” del
finitismo. Eso ya lo vimos en la sección 4.2.3, donde expusimos cómo un enunciado
de la forma ∀nA(n) se puede validar finitariamente mostrando que, para cada numeral
n, la proposición A(n) es verdadera. Por ejemplo, la proposición ∀n∀m(n + m ≥ n) es
finitista. No obstante, Hilbert no es muy claro con relación a esta clase de fórmulas.
Como quiera que sea, en la actualidad es común identificar la matemática finitista con
la aritmética recursiva primitiva (véase, por ejemplo, Tait, 1981), o, alternativamente
–como en Prawitz, 1981–, identificar el conjunto de fórmulas finitistas con una clase
especial de fórmulas aritméticas denotada con el símbolo Π01 (o, simplemente, Π1 )
cuyos elementos poseen una estructura relativamente simple. Esta clase pertenece a una
jerarquía de conjuntos de fórmulas en la que la base, denotada con Σ0 o Π0 , consiste
de todas las fórmulas A en las que ningún cuantificador aparece en forma no acotada.
La clase Π1 se halla justo en el siguiente nivel, y consiste de todas las fórmulas B que
son lógicamente equivalentes a una fórmula de la forma ∀x1 . . . ∀xn A, donde A es Π0 .
Un ejemplo de lo anterior es la fórmula P(x) mediante la cual se define la propiedad
de ser número primo:
P(x) ≡de f x = 1 ∧ ∀y(∃z(z ≤ x ∧ yz = x) → y = x ∨ y = 1)
En breve: aunque no todos están de acuerdo en todos los detalles, lo más lejos que
se ha podido llegar al tratar de caracterizar la noción de “fórmula finitista” es que la
clase de estas fórmulas (también llamadas “reales” por Hilbert en 1928) –digamos,
en el lenguaje de AP o cualquier extensión de éste con símbolos especiales para las
funciones recursivas primitivas– está constituida por todas las ecuaciones e inecuaciones numéricas y todas las fórmulas que se pueden obtener a partir de ellas mediante
las conectivas lógicas (negaciones, conjunciones, etc.), la cuantificación acotada y la
cuantificación universal irrestricta. De ahí la identificación con la clase Π1 .71
71 Cuando
Hilbert introdujo la noción de “proposición ideal” en 1925, y cuando introdujo la de
“proposición real” en 1928, dio a entender que la parte “real” de la teoría sólo consiste de fórmulas
302
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Este debate en torno a la matemática finitista tiene importancia en la medida en que
Hilbert intenta, vía la teoría de la demostración, basar la matemática ideal en ella. En
su opinión no habría otra manera de justificarla, pues “sólo los métodos finitistas nos
pueden dar seguridad (Sicherheit)”. En cuanto a la idea de mostrar que la maquinaria
de demostración transfinita siempre produce resultados correctos con relación a los
enunciados reales, lo ideal habría sido descubrir un método que permitiera convertir
toda prueba “transfinita” de un enunciado finitista E en una prueba finitista de E (tal
como lo sugiere Hilbert en una de las citas que hacemos al inicio de esta sección). En
(Kreisel 1976) el lector hallará una discusión más amplia de esta cuestión.
Volviendo al tema que nos ocupa, dos eran las tareas por realizar conforme a lo dicho
por Hilbert y Bernays en distintas ocasiones: Por una parte, probar que la extensión
de la matemática finitista es consistente; por la otra, probar que dicha extensión es
conservativa. Al respecto, es importante notar que la conservatividad de la matemática
clásica implicaría su consistencia, pero no a la inversa.72
Si bien algunos autores como Kreisel sostienen que el objetivo principal del programa
era establecer la conservatividad de la teoría transfinita con relación a los enunciados
finitistas, la realidad es que en el desarrollo del programa Hilbert puso mayor énfasis
en la cuestión de la consistencia.
Examinemos entonces con mayor detalle la relación entre consistencia y conservatividad, aclarando de paso el vínculo entre esta última y el primer teorema de Gödel.
1. En las fases más avanzadas del programa, Hilbert llegó a imaginar una prueba de
consistencia que no sólo establecería la verdad de las fórmulas reales derivables
en la matemática transfinita, sino que además proporcionaría un método para
generar pruebas finitistas de las fórmulas finitistas (digamos, las pertenecientes a
la clase Π1 ) probadas con métodos transfinitos.73 El argumento de Kreisel es que
si esto fuera posible, entonces la sola consistencia garantizaría la conservatividad
de la teoría transfinita.74
En efecto, supongamos que la matemática transfinita se ha formalizado en un
teoría T para la que se tiene una prueba finitista de consistencia. Sea F el fragmendecidibles sin variables libres, pues se supone que estas son “capaces de verificación directa”. Como
se puede ver, esta postura no cuenta con aceptación general. Al respecto, el tema sigue siendo motivo
de debate, de tediosas “discusiones bizantinas” (¿es más débil la matemática finitista que la aritmética
recursiva primitiva?, ¿no lo es?, ¿en qué sentido sobrepasa una a la otra?, etcétera), como el lector lo
podrá comprobar en textos como (Detlefsen 1986 y 1990), (Kreisel 1958), (Raatikainen 2003), (Sieg 1984
y 1988), (Smorynski 1988), (Tait 1981 y 2002) y (Zach 2003 y 2005). El debate se debe a la vaguedad con
que Hilbert y Bernays explican la noción, la cual parece no admitir una caracterización exacta (cuestión
que nos parece irrelevante en cierto sentido).
72 Por ejemplo, al añadir el enunciado de Gödel G como axioma de AP, la extensión sigue siendo
consistente, pero no es conservativa con relación a la aritmética recursiva primitiva.
73 Esto lo sugiere, insistimos, en el párrafo subrayado de la cita recién referida, y lo dice abiertamente
en (Hilbert 1928, p. 474), si bien no se sirve de la terminología aquí utilizada. Por otra parte, en (Hilbert y
Bernays, 1934, pp. 248 y 298) hay una formulación explícita de esta postura.
74 Kreisel, 1960.
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
303
to de T (junto con sus métodos de inferencia) correspondiente a la matemática
finitista.
El argumento de Kreisel es que la conservatividad de T con relación a F queda
garantizada con dicha prueba de consistencia. Veamos.
Conforme a la idea del programa, la teoría T debe formalizar todas las proposiciones finitistas “demostrables” en dicho dominio. Esto lo asume tácitamente Hilbert
al decir que la matemática transfinita no es sino una extensión no creativa de la
matemática finitista, o al proponer la formalización de toda la matemática clásica,
la cual incluye a la matemática finitista.
Supongamos que la consistencia de T se ha probado finitariamente. Sea A(x1 , ..., xn )
una fórmula aritmética en la que no figuran cuantificadores no acotados (es decir,
una fórmula con la propiedad de que ∀x1 . . . ∀xn A(x1 , . . . , xn ) pertenece a la clase
Π1 ). Supongamos otras dos cosas: que A(x1 , . . . , xn ) se ha probado en la matemática transfinita, y que para alguna colección de números k1 , . . . , kn , la fórmula
A(k1 , . . . , kn ) es falsa.
Dado que estamos en la esfera de la matemática finitista (la fórmula A(k1 , . . . , kn )
lo es), y en ella es válida la ley del tercero excluido, concluimos que la fórmula
¬A(k1 , . . . , kn ) es verdadera.75 Pero entonces, por lo dicho en los párrafos anteriores, hay una prueba de ¬A(k1 , . . . , kn ) en la teoría ideal T , pues ésta incluye
todos los teoremas pertenecientes a la matemática finitista. No obstante, en T
la fórmula ∀x1 . . . ∀xn A es trivialmente derivable de la fórmula A(x1 , . . . , xn ) (por
simple generalización), y de ella deriva, por substitución, la fórmula A(k1 , . . . , kn ).
Por lo tanto, en T serían derivables tanto ¬A(k1 , . . . , kn ) como A(k1 , . . . , kn ), contradiciendo el hecho de que T es consistente (lo cual se ha probado finitariamente).
Ergo la fórmula A(k1 , . . . , kn ) es verdadera.
Ahora bien, el argumento anterior es de corte finitista, y con él hemos establecido
que, sin importar cuáles sean los números k1 , . . . , kn , la fórmula A(k1 , . . . , kn ) es
verdadera, lo cual establece la verdad de la fórmula A(x1 , . . . , xn ). Así, lo que
tenemos es una prueba finitista de la fórmula A(x1 , . . . , xn ). Por tanto, T es una
extensión conservativa de la matemática finitista con relación a las fórmulas Π1 .
Este es, a grandes rasgos, el argumento con que Kreisel demuestra que bajo ciertas
condiciones, todas ellas contempladas en el programa, la consistencia finitista de
T implicaría su conservatividad con relación a F, claro, bajo el supuesto de que
Π1 es la clase de fórmulas fintistas.
2. Si bien casi todos coinciden en que el segundo teorema de incompletud de Gödel
refuta definitivamente al programa de Hilbert, las opiniones están divididas en
75 Ni siquiera el intuicionismo pone en duda la validez de la ley del tercero excluido en este dominio,
i. e., se trata de algo indubitable con relación a las fórmulas aritméticas puramente numéricas. Dado
que en este caso A(k1 , . . . , kn ) es, por hipótesis, falsa, de ello se sigue que su negación ¬A(k1 , . . . , kn ) es
verdadera.
304
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
cuanto a la idea de que el primero de estos teoremas también lo hace. Un defensor
de esto último es Craig Smorynski,76 quien argumenta lo siguiente:
Conforme al análisis de Kreisel (inciso 1 anterior), una prueba de consistencia
finitista de la teoría ideal T implicaría la conservatividad de T con relación a la
matemática finitista F, en particular con relación a las fórmulas finitistas de la
forma A(x) con x libre (fórmulas de la clase Π0 ). Ahora bien, el primer teorema
de incompletud de Gödel establece la existencia de un enunciado aritmético GF
de la forma ∀xA(x) (con A(x) perteneciente a Π0 ) el cual no es derivable en F
en caso de que F sea consistente. Sin embargo, un propósito del programa era
construir T de modo que, primero, formalizara a la matemática ideal y, segundo,
fuera una extensión de F. Dado que el primer teorema de Gödel forma parte de
la matemática finitista, F debería probarlo, es decir, F debería probar la fórmula
ConF → GF que lo formaliza (lo que de hecho sucede, por ejemplo, en el caso de
AP). No obstante, T probaría también la consistencia de F, i. e., la fórmula ConF
y por consiguiente la fórmula GF , de donde se sigue que T no sería conservativa,
pues, como lo hemos dicho, el enunciado de Gödel (i. e., GF ) pertenece a la clase
Π1 .77
Smorynski concluye que si el propósito del programa era demostrar la conservatividad de la matemática clásica con relación a la aritmética finitista, el primer
teorema de Gödel lo refuta.78 Esto se añade a la objeción habitual: si R no puede
probar su propia consistencia, ¿cómo podría probar la de T ?
Lo que aquí hemos mostrado es sólo un fragmento de un extenso debate en torno
al carácter y destino de un programa que para algunos sigue vigente con algunos
cambios.79
Por ejemplo, frente a lo anterior Detlefsen argumenta que la conservatividad de la
extensión transfinita no es un requerimiento ineludible, ni se sigue necesariamente
de lo dicho por Hilbert en sus escritos, por lo que la reemplaza con la más débil
condición de consistencia: lo único que se exige es que T sea una extensión
consistente de F, es decir, que no pruebe enunciados refutables finitariamente
(cosa que, según él, Hilbert admitiría como propósito). Esto explicaría por qué
76 V.
Smorynski, 1977.
enunciado de la forma ∀xA(x) no es otra cosa que el enunciado Ag (g) de la sección 5.2.2 que
también denotamos en esta sección con GF o, en muchos otros lugares, simplemente con G.
78 De hecho, en la actualidad es bien sabido que si T es suficientemente poderosa, puede probar
enunciados “reales” que no son demostrables en la subteoría F. Por ejemplo, AP y sus extensiones con
relación a la aritmética recursiva. Pese a su importancia no insistiremos en este tema, si bien el mismo
habrá de reaparecer en el siguiente capítulo cuando hablemos del punto de vista de Gödel.
79 No para nosotros. Como ya lo hemos dicho, el valor del programa está en otro lugar, no en la promesa
de un fundamento basado en las evidencias más simples. Su importancia radica más bien en aquello que
nos obligó a pensar en torno a la matemática, en la luz que arrojó en torno a ella, en los desarrollos y
resultados a que dio lugar, pero no en la idea de que la matemática es una ciencia cerrada en sí misma. El
lector interesado podrá consultar, entre otras, las fuentes ya citadas: (Detlefsen 1986 y 1990), (Franzén,
2005 y 2006), (Kreisel 1958, 1960 y 1976), (Raatikainen 2003), (Sieg 1984 y 1988), (Smorynski 1988),
(Tait 1981 y 2002) y (Zach 2003 y 2005).
77 Este
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
305
Hilbert destaca el problema de la consistencia por encima de todo lo demás, y
sería compatible con lo que al parecer dijera Gödel alguna vez en una reunión
del Círculo de Viena, donde habría expresado sus dudas sobre si “la totalidad
de las pruebas intuicionistas se pueden capturar en un único sistema formal”.80
Estas palabras concuerdan con la idea, expresada por él mismo en 1946, de
utilizar teorías transfinitas cada vez más poderosas para derivar nuevos teoremas
aritméticos (en el siguiente capítulo abordaremos este tema). Por ahora, sólo nos
resta insistir nuevamente en que mientras para algunos el finitismo no va más allá
de la aritmética recursiva primitiva, para otros se trata de algo abierto a nuevas
aprehensiones e intuiciones que lo hacen no formalizable. De esto ya hemos
hablado en la sección 5.4.4.
Pese a la riqueza y feracidad de los debates en torno al finitismo, continuar con el
tema nos alejaría de nuestro objetivo; es más, en nuestra opinión la importancia del
tema se ve disminuida por un hecho que nos parece innegable: que los teoremas
de Gödel pusieron freno al programa de Hilbert más allá de lo que se diga. Lo
demás, pese al valor que pudiera tener para la lógica, la matemática o la filosofía,
no está dentro del horizonte de este trabajo.81
5.4.6.
Consecuencias para la matemática en general
Al reflexionar en torno a los teoremas de Gödel, vemos en ellos algo catastrófico que
en su momento vino a malograr uno de los más grandes sueños de la razón matemática,
una de sus más ansiadas ilusiones.
A finales del siglo diecinueve la base axiomática de la aritmética de los números
naturales se forjó bajo la creencia de que la clara comprensión intuitiva de la sucesión
numérica, que tanto alabara Poincaré, terminaría por revelarnos todos los mecanismos
y reglas que rigen el mundo de los números. Se lograría entonces en la aritmética lo que
Hilbert había hecho en la geometría: someter sus razonamientos a reglas puramente
mecánicas, de modo que para resolver sus problemas sería suficiente con aplicar
servilmente dichas reglas a los axiomas, sin necesidad de saber qué pudieran significar
estos. Para ello sólo había una condición ineludible: disponer, como en la geometría,
80 Según Sieg, esto lo habría dicho Gödel en 1931. Al respecto, véase (Sieg 1988, p. 285), donde el
autor “reproduce” las palabras de Gödel sin dar ninguna referencia exacta. Respecto a la cuestión de
si la matemática finitista es formalizable (un tema ya referido en la sección 5.4.2), nuestra postura es
muy clara: ¿Qué podría encerrar la matemática finitista que impidiera su formalización, cuando todos los
métodos algorítmicos y constructivos parecen estar englobados en la aritmética recursiva (lo cual cuenta
no sólo con una fuerte evidencia empírica, sino con argumentos de mucho peso)?
81 Hay quienes incluso dudan sí en realidad los teoremas de Gödel refutaron definitivamente el programa
(v. gr., Raatikainen, 2003). No, la cuestión no encierra ninguna vaguedad: no es posible probar la
consistencia de las más importantes teorías matemáticas sobre la base de la evidencia sensible tal y como
ésta se presenta en la práctica matemática. Repito: en mi opinión (y muy en contra de lo que algunos
autores referidos en la nota al pie anterior), las intuiciones a las que Hilbert hace referencia no son algo
misterioso, ni nada que no se pueda o pudiera formalizar, y justo sobre ellas es que Hilbert esperaba
fundamentar la matemática, aunque después en su desesperación intentara otros caminos.
306
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
de un cuadro completo de axiomas. Tal parecía que ese cuadro de axiomas era el de
Peano o derivaría de él.
Curiosamente, Gödel terminó dándole la razón a Poincaré: al reducir la aritmética a
una forma vacía, se le mutila. Recordemos las dudas expresadas por este último en
1908, convencido de la riqueza e inexhaustibilidad de nuestra intuición: “Pues bien, lo
que quiero averiguar es si es verdad que una vez admitidos los principios de la lógica
se puede, no digo descubrir, sino demostrar todas las verdades matemáticas, sin llamar
de nuevo a la intuición.”
En una lectura más relajada, lo demostrado por Gödel indica que en el dominio de la
aritmética todo aquello que podemos calificar como “verdadero” no se puede hacer
coincidir con ningún sistema de axiomas y reglas de inferencia. Digamos que niega
la posibilidad de una teoría formal que pruebe todas las “verdades” aritméticas, cuyo
montaje era la esperanza oculta detrás de la idea de completud. A esto es a lo que
se refiere Hao Wang cuando sintetiza el primer teorema de Gödel diciendo que la
matemática es inexhaustible. Si partimos de AP, nunca obtendremos la completud, sin
importar cómo se extienda el sistema mientras se haga de manera consistente. Por el
contrario, en cada uno de los peldaños hacia la completación sólo se tendrá un sistema
con limitaciones similares.82 Al respecto, la única alternativa es afinar paulatinamente
un cuadro axiomático para la teoría elemental de los números, sin la esperanza de
llegar al final. Esto, a pesar de la claridad con que el sistema de los números naturales
se presenta ante nuestro entendimiento. Escuchemos a Hermann Weyl:
Aunque la idea de un mundo trascendente existente y completo en sí mismo
es el principio sobre el que construimos el formalismo, este último en cualquier etapa fija tiene un carácter incompleto, ya que siempre habrá problemas,
aun de simple naturaleza aritmética, que pueden formularse dentro del formalismo y verificarse por discernimiento, pero no verificarse por deducción
dentro del formalismo. No nos sorprende que un trozo concreto de naturaleza,
considerado en su existencia fenomenológica aislada, desafíe nuestro análisis
por su inexhaustibilidad y su incompletación; [...]. Pero es sorprendente que
algo creado por la mente misma, la sucesión de enteros, la cosa más simple
y diáfana para la mente constructiva, tome un aspecto similar de misterio y
deficiencia cuando se ve desde el punto de vista axiomático.83
Weyl tiene razón: es sobre la idea de un mundo trascendente que construimos el
formalismo bajo la creencia de que podemos formar una imagen (bild) completa de él,
es decir, identificar ciertos principios a partir de los cuales se puede inferir todo lo que
sucede ahí. El primer teorema de Gödel nos muestra que esta expectativa es errónea: el
ideal de la formalización –construir un sistema sintáctico consistente y completo para
la aritmética– es inalcanzable. Para Hilbert la frustración fue doble, pues su creencia en
82 Obviamente, algunos enunciados que antes eran indecidibles ya no lo serán, pero siempre habrá
alguno que el sistema en cuestión no puede decidir.
83 Weyl, 1949. Cita tomada de la traducción al español, p. 252.
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
307
la resolubilidad de todo problema matemático tendría que aferrarse a otra posibilidad.
Así, uno de los propósitos del programa de Hilbert, a saber, construir el equivalente
formal de nuestra comprensión intuitiva de los números naturales, no se puede lograr,
como tampoco se puede lanzar por la borda “así nomás” la problemática noción de
verdad, pues no hay ningún sustituto sintáctico adecuado para ella.84
Claro está que esta lectura de los teoremas de Gödel, junto con la desesperanza
que esto pudiera ocasionar, sólo se presenta cuando uno mira la matemática con un
ojo puesto en la filosofía, lo cual no siempre es el caso entre los miembros de la
comunidad matemática. Al respecto, habría que ver cuál fue o ha sido la respuesta de
los matemáticos en activo frente a los teoremas de Gödel.
Torkel Franzén sostiene, con justa razón, que lo correcto es pensar que el matemático
promedio mira su área como algo completo en algún sentido del término. Si bien
esto se puede entender de varias maneras, pensemos que se trata de una especie de
completud operativa: cualquier enunciado de la teoría surgido en la práctica se puede
decidir por medios matemáticos (el enunciado de Gödel, dirían, no es de este tipo, pues
fue construido ad hoc con el propósito de probar la incompletud). Algo semejante a
la creencia espontanea en la completud de los axiomas para la aritmética, sobre todo
por parte de quienes entienden la inducción como lo hiciera Peano, es decir, como un
axioma de segundo orden.
Tengo la impresión de que si confrontáramos a este hipotético matemático (inmerso en
la práctica cotidiana del álgebra, la geometría, el análisis, la topología. . . La Unión
Matemática Internacional considera 97 áreas de investigación), con el tema de la
incompletud diciéndole (para usar una expresión de Franzén) “que después de Gödel
nuestra disciplina lucha denodadamente en un mar de incompletud” y que muy bien
puede suceder que el problema en el que él trabaja sea indecidible en el marco de su
teoría, su expresión sería de asombro, como pensando: “¿Cómo es que a este individuo
se le pueden ocurrir tales cosas?” Si acaso, respondería que la incompletud es cosa de
lógicos y filósofos, no de matemáticos, o tal vez diría: “No sé de qué mar me hablas, lo
que sí te puedo asegurar es que yo no nado en él”.
Nada importaría entonces que el primer teorema de Gödel indique que en ese bastión
supremo de la razón, la matemática, la verdad o bien está más allá de nosotros, o
es simplemente algo en lo que nos ponemos de acuerdo, digamos algo consensado
antes que una cuestión objetiva. Tampoco serviría de nada mencionar la posibilidad
de producir enunciados aritméticos que podemos asumir como axiomas tanto a ellos
como a sus negaciones, dando lugar a teorías coherentes pero incompatibles entre sí.
En última instancia se trataría de una vil repetición, aunque en un tono más dramático:
o bien la razón carece de poder en este contexto, o no hay más verdad que aquella en
la que de manera arbitraria nos ponemos de acuerdo.
84 Una de las metas principales del programa era recoger en un formalismo todos los vínculos entre los
números, de modo que ya no fuera necesario volver al significado de los símbolos para dar cuenta de lo
dado en ese dominio. Fue justo esta pretensión reduccionista lo que fracasó.
308
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
Digamos que desde el punto de vista de la práctica matemática estas cuestiones se
miran como distantes, alejadas de las preocupaciones cotidianas, o como algo que sólo
sucede en determinados casos, como, por ejemplo, el de las distintas geometrías, que a
fin de cuentas no son sino teorías acerca de la estructura del espacio cuya determinación
corresponde a la física. Nada habría de ese mar de indecidibilidad en el horizonte de
nuestro interlocutor.
Pensemos ahora en lo que ocurriría si algo abrupto sucediera, digamos, en la teoría de
conjuntos de Zermelo-Fraenkel con relación a alguna conjetura famosa de la teoría de
los números. Escuchemos a Torkel Franzén:
Sería en verdad alarmante descubrir que en ZFC no se puede determinar si
hay o no una infinidad de primos de Fermat. En tal caso, muy pocos matemáticos se contentarían con saber que podemos suponer consistentemente
que el número de primos de Fermat es finito o infinito, y dejarlo así. Más
bien, el instinto matemático, si no otra cosa, nos dice que la cuestión de si
hay o no hay una infinidad de primos de Fermat no es algo que se puede
estipular significativamente de esa manera; que si esta cuestión se puede
resolver en absoluto, esto requiere de un argumento que podamos percibir
como matemáticamente convincente. Dado un resultado de tal naturaleza, la
búsqueda de nuevos axiomas se convertiría en una tarea urgente. (Franzén,
2006, p. 442)
En otras palabras, mientras la incompletud gödeliana no llegue a la matemática ordinaria, no podemos esperar por parte de la comunidad matemática una reacción similar a
la ocurrida en la filosofía o en la lógica. Hasta entones, el fenómeno de la incompletud
se verá si acaso como algo que afecta tan sólo a la teoría de conjuntos (hipótesis del
continuo, grandes cardinales, etcétera), sin que las aguas de ese mar mojen el resto
de las playas. Eso sólo sucedería, como lo señala Franzén, cuando alguna conjetura
famosa de la teoría de los números se probara indecidible en ZFC. Mientras tanto,
el fenómeno de la incompletud seguirá siendo una mera curiosidad teórica para los
miembros de la comunidad matemática que no se interesan en los fundamentos o la
filosofía de su ciencia.
Comentarios finales
1. Al referirse al convencionalismo (o concepción sintáctica de la matemática) en un
ensayo tentativo que jamás publicó, Gödel termina por reconocerle algún mérito
a esta tendencia:
[...] aunque cualquier clase de nominalismo o convencionalismo resulta
ser fundamentalmente erróneo en matemáticas, no obstante la concepción
sintáctica ha contribuido quizá más que cualquier otra de la concepciones
filosóficas a clarificar la situación [la de la naturaleza de la matemática]:
5.4. L OS TEOREMAS DE G ÖDEL EL PROGRAMA DE H ILBERT Y...
309
de una parte, por los resultados negativos a que conducen los intentos
por desarrollarla; de otra, por el énfasis que pone en una diferencia de
importancia fundamental: la diferencia entre verdad empírica y verdad
conceptual, sobre la que proyecta una brillante luz al identificarla con la
diferencia entre verdad empírica y verdad convencional.”85
Hao Wang refuerza lo dicho por Gödel con las siguientes palabras:
[...] la contribución de Hilbert no radica en haber sugerido la concepción
sintáctica, sino en la formulación de problemas precisos como una manera
de ponerla a prueba, aun cuando él esperaba verla confirmada y no refutada.
La concepción sintáctica es un ejemplo típico de lo que comúnmente se
conoce como reduccionismo. Otros ejemplos incluyen las concepciones
físicas y computacionales de los fenómenos mentales.86
2. Si reflexionamos sobre el valor de las pruebas de consistencia es claro que éstas
jamás ocuparán el sitio de privilegio que Hilbert les tenía reservado, en el sentido
de asegurar la solidez del edificio matemático. Eso es una realidad: la idea de
legitimar las teorías axiomáticas con una prueba de consistencia perdió todo interés. No obstante, aún se les puede valorar por su condición matemática (belleza,
ingenio, claridad, técnicas utilizadas, etc.).
Más allá de la sorpresa de que la razón matemática no puede hacerse suficientemente clara a sí misma, nos preguntamos si en realidad el problema planteado por
Hilbert era tal para toda la comunidad matemática, o sólo representaba un reto
para un reducido grupo de matemáticos y filósofos (lo cual se relaciona con lo
que decimos al final de esta sección). En esto la postura de Bourbaki nos parece
mucho más cercana a la actitud que uno encuentra en la práctica: “La ausencia de
contradicción, aunque no se demuestra, se constata.”87 Esto último trae a la luz
un conflicto que el segundo teorema de Gödel nos plantea: ¿cómo es posible que
algo que se ofrece con tal claridad al entendimiento, como lo es la consistencia
de la matemática clásica (digamos, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel),
ofrezca tal grado de dificultad cuando se le contempla desde un punto de vista
puramente racional? Ante el abierto reconocimiento de un hecho como el de la
consistencia, el entendimiento simple y llanamente no encuentra una explicación
racional, una explicación estructurada con apego al canon de la lógica a partir de
las evidencias más simples.88
85 Cita
tomada de (Rodríguez, 1994, p. 207). El lugar donde Gödel dice esto es en un ensayo inédito
titulado “¿Es la matemática sintaxis del lenguaje?”, II, de 1952-1954, dedicado a la obra de Rudolf
Carnap. Según Hao Wang, Gödel le comentó que nunca publicó ninguno de sus ensayos sobre Carnap
(seis en total) en virtud de que si bien él había probado que la matemática no es sintaxis del lenguaje, no
había logrado hacer claro lo que la matemática sí es. En el siguiente capítulo volveremos a este punto.
86 Wang, 1996, p. 78.
87 Bourbaki, 1969. Cita tomada de la traducción al español, p. 63.
88 Por lo que a mí respecta, cuando vi por primera vez los axiomas de Peano o los de Zermelo-Fraenkel
310
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
3. Unas palabras de reconocimiento.
Con base en nuestros comentarios pudiera parecer que la caída del programa
nos causa regocijo. Nada más alejado de la verdad. Ciertamente, el programa
fracasó, pero jactarse de su infortunio es cosa vana. Fue Hilbert quien nos enseñó
cómo convertir ciertos problemas epistemológicos de la matemática en problemas
matemáticos, y fue él quien fertilizó la tierra donde florecieron los teoremas
de Gödel, resultados difícilmente previsibles a comienzos del siglo veinte. El
programa tuvo un mal fin, pero nosotros aprendimos de ello algo que ahora
sabemos con la exactitud de un teorema: que la razón matemática posee límites,
y cuáles son tales límites. Hasta en su caída debemos reconocer la grandeza
de Hilbert, pues fue gracias a él que la matemática tomó conciencia de su fina
estructura y de sus insondables abismos. Y en vez de traerlo a la memoria por
aquél locus imaginarius al que nos quiso llevar, lo debemos recordar por haber
iniciado la travesía; él creyó saber a dónde habríamos de llegar, pero eso ya no
importa; lo importante es que con él nos hicimos a la mar (aunque éste fuera el
mar de la indecidibilidad, como lo señala Franzén).
Respecto a la cuestión de la resolubilidad de todo problema matemático, a ella volveremos en la sección 5.7, una vez que hayamos cumplido dos tareas: primero, explicar
brevemente la labor de Church y Turing en torno al problema de la decisión; segundo,
presentar la controversia mentes-máquinas (desatada por Turing en un polémico artículo publicado en 1950), en la que el debate se centra en la cuestión de si el poder del
pensamiento humano es superior al de las máquinas. Fue en el más amplio contexto de
este problema que el tema de la resolubilidad adquirió una nueva apariencia.
5.5.
Los teoremas de Church y Turing y el problema de la
decisión
En lo que sigue trataremos con un resultado demostrado por Alan Turing y Alonzo
Church en 1936 de manera independiente. Se trata de un teorema que afirma la
imposibilidad de establecer mediante un procedimiento recursivo si una fórmula A de
la aritmética de Peano de primer orden (respectivamente, del cálculo de predicados)
es derivable en el sistema. La importancia de lo anterior radica en que constituye,
conforme a cierto punto de vista muy extendido, una respuesta negativa al problema de
la decisión planteado por Hilbert.
(incluyendo el axioma de elección), reconocí en ellos de manera espontánea legítimos principios que
claramente describían el “modo de ser” de los números y los conjuntos, sin que por mi mente pasara la
idea de que se trataba de algo quizá incoherente. Al comentar esta situación con mis colegas, la opinión
ha sido unánime: todos ellos tuvieron la misma impresión de manera espontánea. Si bien esto no prueba
nada, es un indicativo de que para muchos miembros de la comunidad la teoría axiomática de conjuntos
se presenta como algo consistente sin más.
5.5. L OS TEOREMAS DE C HURCH Y T URING Y...
311
En el texto sólo trataremos con el trabajo de Turing, llevados más que nada por nuestras
preferencias y por el hecho de que en él Turing sentó las bases de la teoría matemática
de la computación y fijó el concepto moderno de computadora digital.
5.5.1.
El problema de la decisión y las máquinas de Turing
El primer contacto de Turing con el problema de la decisión fue en un curso dictado
por Max Newman en 1934 sobre los fundamentos de las matemáticas. A la sazón ya se
especulaba, tras los teoremas de Gödel, que la respuesta al problema de la decisión
debía ser negativa, tarea en la que Turing se embarcó. Los resultados obtenidos los dio a
conocer en 1936 en un artículo titulado “On computable Numbers with an Application
to the Entscheidungsproblem”.89 Tenía a la sazón 24 años. La importancia de dicho
trabajo radica en que en él Turing no sólo respondió a la pretensión de Hilbert de
solucionar el problema de la decisión mediante la construcción de un algoritmo, sino
que además sentó las bases teóricas para el desarrollo moderno de las ciencias de la
computación.90
En la actualidad todo el mundo reconoce la importancia que tuvo Turing en el desarrollo
de la computación moderna. Al respecto, él fue el primero en ofrecer una definición
exacta de las nociones de algoritmo y función computable (con la introducción del
concepto matemático de máquina computadora), y el creador de la idea de máquina
con programa almacenado, razón por la cual en la actualidad se le considera como uno
de los padres de la informática.91 No obstante, lo que muy pocos saben es que Turing
ideó estos ingeniosos mecanismos con el objeto de resolver un problema teórico: el
problema de la decisión.
Como hemos visto, el programa de Hilbert incluía la completa formalización de
la matemática clásica, es decir, su reducción a un sistema de signos en el que los
razonamientos matemáticos se substituyen con un conjunto de reglas formales relativas
al manejo de éstos. Si bien este propósito se vio frustrado de alguna manera por los
89 Turing
1936.
el artículo de 1936 Turing da expresión matemática a lo que ocurre cuando alguien realiza un
cómputo, es decir, cuando alguien manipula expresiones simbólicas siguiendo un sistema de reglas. En él
introduce ciertos mecanismos muy simples, hoy conocidos como máquinas de Turing, que en su opinión
podrían llevar a cabo las mismas tareas. Curiosamente, en su trabajo doctoral, titulado “Sistems of Lógic
Based on Ordinals” (Turing, 1939), realizado bajo la tutela de Alonzo Church, Turing explora, por decirlo
de alguna manera, la otra cara de la moneda: ya no la mente que computa siguiendo una regla, sino las
posibilidades de la mente cuando no lo hace. En parte, la cuestión consiste en ver qué tan lejos se podría
llegar en la construcción axiomática de la aritmética si la mente tuviera la capacidad de reconocer la
verdad de las proposiciones indecidibles (cuya existencia había demostrado Gödel en 1931), no mediante
una prueba, sino mediante la intuición u otros caminos. Esta cuestión habría de reaparecer años más tarde
como parte del debate mentes-máquinas con la participación, entre otros, de Kurt Gödel, John Lucas,
Roger Penrose y Robin Gandy, un tema que habremos de abordar más adelante.
91 La revista Time señala este hecho de manera coloquial observando que en la época actual todo aquél
que teclea una computadora, abre una hoja de cálculo o se sirve de un procesador de palabras, está
trabajando con la encarnación de una máquina de Turing.
90 En
312
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
teoremas limitativos de Gödel, en otro sentido aportó una de las ideas clave para la
programación y el cómputo formal: la de procesos mecánicos que no toman en cuenta
el significado de las expresiones involucradas, sino sólo su forma. Se trata de una de
las principales ideas del programa. Cuando una teoría se ha formalizado, nos podemos
olvidar del significado de las fórmulas y ver el sistema como un juego que se practica
con marcas en el papel. El propósito del juego es “deducir” teoremas aplicando las
reglas. El problema de la decisión parece muy claro: hallar un procedimiento mecánico,
digamos un algoritmo, que permita decidir si una fórmula es deducible o no de los
axiomas con base en las reglas del sistema.
Turing se sorprendió al descubrir que ni Hilbert ni sus seguidores intentaron clarificar la
noción central implicada en el problema. Cuando se habla de procedimiento mecánico,
el adjetivo atribuye al sustantivo la cualidad de poder ser llevado a cabo por una
máquina. Pero, ¿qué es una máquina? Aquí la pregunta no es acerca de un conjunto
de piezas o elementos móviles cuyo funcionamiento permite realizar un trabajo o
transformar energía. Más bien, se trata de un dispositivo de cómputo que puede llevar
a cabo el procedimiento de manera automatizada. Lo que hizo Turing fue darle forma
precisa, matemática, a esta noción. Ideó para ello las “máquinas” que ahora llevan su
nombre. No se trata de objetos físicos, sino de dispositivos de cómputo teóricos, los
cuales no están sujetos a ningún tipo de limitación física.92 Véase el apéndice S.
Acorde a lo que sabemos y entendemos acerca de estas cuestiones, estos simples
mecanismos son capaces de realizar cualquier cómputo que pueda llevar a cabo un ser
humano (o, para el caso, cualquier computadora moderna). Al respecto, la cuestión
era reducir la noción de cómputo a algo en verdad simple y el punto es que Turing lo
logró.
En (Wang, 1996, p. 232), Gödel se refiere a este logro de Turing con las siguientes
palabras: “Antes de Turing nadie había percibido con nitidez el concepto de procedimiento mecánico. Fue él quien nos colocó en la justa perspectiva, y ahora podemos
comprender dicho concepto con claridad.” Fue la incorporación de este concepto
matemático preciso (el de “procedimiento mecánico”, caracterizado a través de las
máquinas de Turing) lo que permitió establecer muchos resultados de indecidibilidad
con toda generalidad.
Con este recurso a la mano, Turing atacó el problema de la decisión: ¿Habrá un procedimiento mecánico que permita decidir si una fórmula del cálculo puro de predicados
es válida? Basándonos en el teorema de completud de Gödel de 1930, podemos reformular esta pregunta de la siguiente manera: ¿habrá un procedimiento mecánico para
decidir si una fórmula del cálculo puro de predicados es demostrable en el cálculo
funcional K de Hilbert y Ackermann?
92 La idea que ofrece Turing de las máquinas es muy simple y se halla expuesta en muchos lugares (v.
gr., en Wikipedia). Un hecho sorprendente es que todos los mecanismos de cómputo conocidos en la
actualidad son, en esencia, reducibles a máquinas de este tipo. En el apéndice S, además de una breve
descripción de estos dispositivos, el lector hallará una prueba de una variante del primer teorema de Gödel
basada en ellos.
5.5. L OS TEOREMAS DE C HURCH Y T URING Y...
313
Dada la caracterización que hace Turing de lo que es un procedimiento mecánico, la
pregunta anterior se convierte en una pregunta acerca de la existencia o no de una
máquina capaz de decidir la cuestión (es decir, de una máquina que tomando como
dato a la fórmula en cuestión, se detiene habiendo impreso el número 0 cuando la
fórmula no es demostrable y el número 1 cuando sí los es). La respuesta que halló fue
significativa: no hay una máquina que responda correctamente con un sí o un no a la
pregunta anterior en todos los casos.
La demostración de este hecho implicó tres cosas extraordinarias: a) la introducción de
la noción de máquina universal, b) la resolución del problema de la detención y c) un
argumento diagonal inspirado en la paradoja de Russell y el teorema de incompletud
de Gödel. Hablar de estas cosas en este contexto es importante en la medida en que es
ilustrativa de los avances a los que condujo el programa de Hilbert (quien en ello tenía
razón: la vida de las matemáticas radica en sus problemas).
5.5.2.
El problema de la detención y la máquina universal
El problema es muy simple: dada la descripción de una máquina y un dato de entrada,
decidir si la máquina se detendrá al ser ejecutada con esa entrada.93
La respuesta a esta interrogante la halló Turing mediante la introducción de lo que
él llamó máquina universal. Escuchemos a Martin Davis: “Turing nos mostró cómo
producir una máquina individual que, por sí misma, puede hacer cualquier cosa que
pudiera ser hecha por una máquina de Turing –un modelo matemático de una computadora orientada a todos los usos.” Grosso modo, se trata de una máquina capaz de
imitar el comportamiento de cualquier máquina M a través de la lectura de un código
numérico para M. Esta idea, de uso común hoy en día (las computadoras digitales actuales son versiones prácticas de este concepto) fue algo novedoso en su momento. La
idea misma de codificar las máquinas en los números naturales (es decir, de representar
su programa de funcionamiento mediante números) fue tomada de Gödel, quien, como
ya lo hemos visto, a través de un procedimiento semejante logró expresar las reglas
de la aritmética formal en ella misma (logrando de este modo construir enunciados
autorreferentes).94
Según esto, cada máquina M del tipo considerado tiene asignado un código i, el cual
se puede usar como un índice para ella (véase el apéndice S). Esto se indica con la
notación Mi (léase: M es la máquina con número de código i). Turing “construyó”
entonces una máquina U que hace lo siguiente: U(i, k1 , . . . , kn ) = Mi (k1 , . . . , kn ). En
otras palabras, U aplicada a un índice i y una sucesión de números k1 , . . . , kn computa
93 Obviamente, si se impone un tiempo límite a la operación de la máquina, el problema es muy
fácil de resolver. Lo que Turing mostró es que el problema se complica cuando no se impone ningún
límite de tiempo, es decir, cuando se intenta determinar si la máquina se detendrá o no sin observar su
comportamiento.
94 Al respecto, el lector podrá consultar el apéndice S, donde abordamos éstas y otras cuestiones
relacionadas.
314
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
lo mismo que la máquina Mi para los números k1 , . . . , kn . Turing la llamó “máquina
universal”.
Con estos recursos a la mano Turing imaginó la existencia de una máquina T (un
programa) que siempre daría la respuesta correcta al problema de la detención (v.
gr., computando un 1 o un 0). A ésta se le proporcionaría el código i de cualquier
máquina M y los datos de entrada x1 , . . . , xn y como resultado arrojaría una respuesta:
“1” (equivalente a “Sí, la máquina M se detendrá al ser aplicada a los datos x1 , . . . , xn ”),
o “0” (equivalente a “No, la máquina M nunca se detendrá al ser aplicada a los datos
x1 , . . . , xn ”). En seguida imaginó lo que sucedería: con base en T crearía, mediante una
simple modificación, una segunda máquina T que haría lo siguiente: si la máquina Mi
sometida a la prueba se detuviera tomando como dato su propio código i, T entraría en
un ciclo infinito y jamás se detendría. En notación moderna: si Mi (i) ↓, entonces T (i) ↑.
De lo contrario, T se detendría (al igual que T ) para informar que M no se detendría.
Este fue el punto fino del argumento: ¿Qué pasaría si a T se le proporcionara como
dato su propio código k? Supongo que el lector ya habrá hallado la respuesta: si T
aplicada a su propio código se detuviera, entonces T aplicada a su propio código no
se detendría (por definición de T ). Por tanto, T no debería detenerse. Pero en tal caso
T debería detenerse para informar que T aplicada a su propio código no se detendría.
En símbolos: T (k) ↓⇔ T (k) ↑, una contradicción que prueba la inexistencia de la
imaginaria máquina T .
El argumento anterior guarda una estrecha similitud con la paradoja de Russell, que, en
el fondo, prueba la inexistencia de un conjunto cuyos únicos elementos son aquellos
conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Y al igual que Russell, Turing se sirve de
un argumento diagonal análogo al utilizado por Cantor en su demostración de la no
numerabilidad del conjunto de los números reales.
5.5.3.
El problema de la decisión
Turing dedujo de inmediato un corolario: si no hay un procedimiento para determinar
de antemano (mediante un cálculo) si una máquina se detendrá, tampoco hay una
manera de decidir la cuestión axiomáticamente ¿Por qué? Porque si se pudiera utilizar
un sistema axiomático de esta manera, con base en él se podría desarrollar un algoritmo
que resolviera el problema de la detención y, por consiguiente, construir una máquina
T como la ya referida. Producto de lo anterior Turing llegó a la misma conclusión que
Gödel en sus investigaciones en torno a los fundamentos de la teoría de los números
(en el sentido de que ninguna teoría axiomática que contenga a la aritmética puede ser
consistente y completa a la vez) y a algo más: el problema de la decisión no se puede
resolver de la manera en que Hilbert pretende. En efecto, si el cálculo funcional K de
Hilbert y Ackermann (o cualquier otro) fuera decidible, el problema de la detención
sería resoluble axiomáticamente, pues en K se pueden construir fórmulas que describen
el funcionamiento de las máquinas de Turing. De hecho, así lo demuestra, para cada
máquina M hay una fórmula AM con la siguiente propiedad: si hubiera un método para
5.5. L OS TEOREMAS DE C HURCH Y T URING Y...
315
demostrar que AM es demostrable o no en el cálculo de predicados, entonces habría un
procedimiento para determinar si la máquina M eventualmente se detendría habiendo
computado un cierto símbolo s, lo cual entraría en conflicto con la indecidibilidad del
problema de la detención.
Todo esto lo hizo Turing en su trabajo de 1936, en el que el énfasis lo pone en ciertas
cuestiones teóricas y filosóficas, antes que en las cuestiones prácticas relativas a la
computabilidad. Valga la insistencia: pensar que Turing escribió su trabajo como una
mera anticipación de las computadoras modernas equivale a perder de vista el punto
central de su trabajo de 1936.95
Una consecuencia del teorema sobre la indecidibilidad del cálculo de predicados es el
siguiente teorema, demostrado por Church en 1936:
Teorema. Sea S una teoría axiomática en el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden. Si S contiene una representación de la aritmética
recursiva y es consistente, entonces S no es recursivamente decidible, es
decir, no existe una función recursiva f : N → {0, 1} tal que f (a) = 1 ⇔ a
es el número de Gödel de una fórmula derivable en S.
En particular, el sistema AP cumple con las hipótesis del teorema anterior, de modo que
es recursivamente indecidible. Para quienes aceptan la tesis de Church-Turing, según
la cual toda función aritmética efectivamente calculable (todo predicado aritmético
efectivamente decidible) es general recursiva(o), el teorema anterior significa algo más:
que no existe ningún procedimiento efectivo para determinar si una fórmula de S es
derivable en el sistema. Esta tesis goza de una amplia aceptación por distintas razones
y cuenta con un vasto soporte empírico.
En cuanto a la filosofía, la incomputabilidad de Turing ha permitido cuestionar la creencia de Hilbert de que todo problema matemático es resoluble. De esto nos ocuparemos
más adelante. Por ahora lo único que queremos agregar es que los resultados obtenidos
por Church y Turing abrieron un nuevo frente en el campo de batalla en contra de la
previsibilidad laplaciana –tal como lo hiciera algunos años antes la mecánica cuántica:
en el dominio de lo computable hay certezas que no se pueden alcanzar.
95 Aunque de momento el interés de Turing no estuviera centrado en cuestiones prácticas, en su obra
anticipó de un solo golpe: a) los programas de interpretación, en los que un programa general decodifica a
otros programas y los implementa, es decir, los imita; y b) las computadoras con programas almacenados,
con lo que la distinción entre datos y programas se borra (en U(i, k), el dato i equivale a un programa,
es un programa). Podemos entonces decir que, desde la perspectiva de las matemáticas puras, Turing
inventó las computadoras. Su máquina universal suministra un modelo básico y preciso de cómo trabajan
las computadoras actuales, sin que esto signifique que la arquitectura de éstas corresponde al diseño de
las máquinas de Turing. En este sentido, construir una máquina U que estrictamente se comporte como lo
hacen las máquinas de Turing (escanear una cinta infinita unidimensional, etc.) sería tanto como crear un
monstruo, un dispositivo sumamente ineficiente como para tener un uso práctico. Al respecto, Turing no
ofrece en su ensayo ninguna idea de cómo poner en práctica las ideas que sugiere, dejando al futuro tal
posibilidad.
316
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
5.6.
Algunas reflexiones de Gödel en torno a los teoremas
limitativos
5.6.1.
Precisiones en torno a la noción de algoritmo
En general, la noción de algoritmo abarca todo lo que solemos designar con términos
como procedimiento efectivo, procedimiento mecánico, método y expresiones similares.
Esta idea es algo común en la matemática, donde desempeña un importante papel.
Su utilidad radica en que cada algoritmo proporciona la solución a una familia de
problemas de manera uniforme e irreflexiva. Por ejemplo, hay un algoritmo para
encontrar el máximo común divisor de dos números, otro para resolver un sistema de n
ecuaciones lineales con n incógnitas, otro para integrar funciones polinomiales, etc.,
de modo que en cada caso para resolver cualquier problema de la familia basta con
aplicar uno y el mismo procedimiento. De hecho, a lo largo de la historia, muchas
cosas han sucedido en torno al problema de diseñar o mejorar algoritmos.96 En general,
el propósito de todo algoritmo es indicar los cómputos y el orden en que estos se
deben realizar para llevar a cabo una tarea, y el destinatario puede ser un humano o
una máquina. El algoritmo en sí especifica las operaciones que hay que efectuar para
transformar ciertos datos de entrada en un resultado o datos de salida. Por ejemplo,
los datos de entrada pueden ser los coeficientes de un sistema de ecuaciones, y el dato
de salida una de sus soluciones.
Figura 5.8. Todo algoritmo transforma datos de entrada en un resultado, o dato de salida
Al conjunto de resultados (datos de salida) generados por un algoritmo se le llama
producción. Un dato es producible por un algoritmo cuando es un elemento de su
producción.
Una característica de todo algoritmo es que en su ejecución no requiere de ningún
pensamiento creativo, por lo que en principio es posible construir una máquina que
96 Por ejemplo, en la sección 5.4 abordamos el problema de la decisión, que en esencia consiste en
hallar un algoritmo para determinar si una fórmula cualquiera de la lógica de predicados es válida, y
mencionamos el hecho de que la respuesta es negativa. Al respecto, invitamos al lector a que estime el
número de algoritmos que hubo de aprender para llegar al punto en que se encuentra en el conocimiento
de la matemática (incluyendo cosas como los algoritmos para la suma, la división con punto decimal, etc.
que aprendió en la educación primaria).
5.6. A LGUNAS REFLEXIONES DE G ÖDEL ...
317
realice las operaciones por él indicadas.97 En este sentido un programa de cómputo no
es sino un algoritmo escrito en una sintaxis muy precisa con el que se le indica a la
máquina lo que debe hacer.
En la aritmética, la primera definición rigurosa que se tuvo de esta noción fue bajo la
forma de función recursiva. Por su parte, como ya lo hemos visto, en 1936 Alan M.
Turing identificó la noción de algoritmo con los procesos que pueden llevar a cabo las
máquinas que llevan su nombre. Al respecto, no pasó mucho tiempo antes de que se
llegara a los siguientes resultados:
1. Una función aritmética f es recursiva si y sólo si es Turing-computable.98
2a. Para todo sistema formal SF se puede construir una máquina de Turing M con la
propiedad de que M produce como datos de salida todos los teoremas derivables
en SF y sólo ellos (digamos, al ser alimentada sucesivamente con los números
naturales 0, 1, 2, . . .) y,
2b. Dada una máquina de Turing M cuya producción es un conjunto D de datos, existe
un sistema formal SF con la propiedad de que la clase formada por los teoremas
derivables en SF es precisamente el conjunto D.99
En un suplemento a su trabajo de 1931, Gödel dice lo siguiente:
Como consecuencia de los subsiguientes avances, y en particular debido
al trabajo100 de A. M. Turing ahora es posible una definición precisa e
incuestionable de la noción general de sistema formal,101 y una versión
general y completa de los teoremas VI y XI [los teoremas de incompletud]. Es
decir, se puede probar rigurosamente que en cada sistema formal consistente
que contenga cierta cantidad de la teoría finitista de los números, existen
proposiciones indecidibles y que la consistencia de cualquier sistema formal
de esta especie no se puede probar en el sistema.102
Así, las nociones de sistema formal y máquina de Turing se identifican plenamente.
Estas ideas se harán presentes cuando volvamos a la discusión sobre la resolubilidad
de todo problema matemático.
97 Lo
que sí requiere de nuestra creatividad es el diseño del algoritmo.
decir, las dos caracterizaciones recién señaladas de lo que es un algoritmo determinan una misma
clase de funciones aritméticas, i. e., son equivalentes entre sí.
99 En la demostración de estos resultados se recurre a la numeración de Gödel y al método de codificación de pruebas de un sistema formal. Los podemos resumir diciendo que para todo sistema formal se
cuenta con una máquina de Turing cuya producción coincide con el conjunto de sus teoremas y viceversa.
100 V. Turing, 1937, p. 249. [Nota de Gödel]
101 En mi opinión, el término “sistema formal” o “formalismo” jamás se debería usar para otra cosa
que para esta noción. En una conferencia en Princeton sugerí ciertas generalizaciones transfinitas de
los formalismos, pero éstas son radicalmente diferentes de los sistemas formales en el propio sentido
del término, cuya característica es que en ellos el razonamiento puede, en principio, reemplazarse
completamente por dispositivos mecánicos. [Nota de Gödel]
102 Gödel, 1931. Cita tomada de Heijenoort, 1967, p. 616.
98 Es
318
5.6.2.
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
El enunciado de Gödel y las ecuaciones diofánticas
Otro resultado relevante para el análisis que se aproxima es el siguiente. Como hemos
visto, los enunciados indecidibles cuya existencia demuestra Gödel son de corte elemental, es decir, se trata de enunciados aritméticos que sólo hacen referencia a los
conceptos de adición y multiplicación de números naturales y algunas operaciones
lógicas elementales. Hacia 1950 la investigación de estas cuestiones había avanzado lo
suficiente como para saber algo más acerca de tales enunciados. Lo que se descubrió
es que éstos se pueden expresar en la forma
∀y1 , . . . ∀ym ∃x1 , . . . , ∃xn P(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
donde P es un polinomio con coeficientes enteros cuyas únicas variables son x1 , . . . , xn ,
y1 , . . . , ym ; se sabe, incluso, que el grado de P se puede hacer menor o igual que
4. Se trata de un enunciado aritmético en el que se afirma que para toda sucesión (k1 , . . . , km ) de números naturales hay una solución (x1 , . . . , xn ) para la ecuación
P(x1 , . . . , xn , k1 , . . . , km ) = 0. A las ecuaciones de este tipo se les llama diofánticas, en
honor a Diofanto de Alejandría (325-409), quien fue el primer matemático en ocuparse
de ellas.103
(a) Gráfica de la ecuación polinomial
yx2 + y − 4x = 0
(b) Gráfica de la ecuación polinomial
x3 + y2 x + 6x2 − 2y2 = 0
En las figuras anteriores hemos trazado las gráficas de dos ecuaciones polinomiales
permitiendo que las variables x e y tomen como valores números reales. En el caso de
las ecuaciones diofánticas esto no está permitido, pues las únicas soluciones admisibles
son las correspondientes a los nodos (o puntos de intersección) de la malla de fondo,
cuyas coordenadas son enteras. Por ejemplo, las siguientes parejas de números son
solución de la ecuación yx2 + y − 4x = 0: (0, 0), (1, 2), (2, 1.6) y (3, 1.2). No obstante,
las dos últimas soluciones no se aceptan para la ecuación, pues ambos números deberían
103 Por ejemplo, x3 y − 3x2 y2 + 3y4 − 1 = 0 es una ecuación diofántica de cuarto grado, mientras que
∀y∃x(x3 y − 3x2 y2 + 3y4 − 1 = 0) es un problema diofántico, relativo a la existencia de soluciones enteras
para una familia de ecuaciones diofánticas (una para cada valor de ‘y’).
5.6. A LGUNAS REFLEXIONES DE G ÖDEL ...
319
ser enteros. Desde este punto de vista, un problema diofántico para una ecuación en
dos variables x e y es la pregunta sobre si para cada valor entero de ‘y’ la gráfica de la
ecuación interseca alguna recta vertical de la forma x = k donde k es un número entero.
En otras palabras, cada problema diofántico sólo atañe a las soluciones enteras de una
ecuación polinomial.
Una vez en posesión de estos conceptos y resultados, el lector no tendrá problemas
para leer los siguientes apartados, donde retomamos la cuestión de la resolubilidad de
todo problema matemático y examinamos la lectura que Gödel hace de sus teoremas
limitativos. La exposición de esto último se centra en la llamada Conferencia Gibbs,
un ensayo en el que Gödel expone ciertas cuestiones filosóficas que él considera son
una consecuencia directa de sus teoremas limitativos, siendo la más importante la de la
incompletabilidad de la matemática.
5.6.3.
Reflexiones de Gödel
Hasta ahora nuestra atención se ha centrado en el impacto de los teoremas de Gödel en
el programa de Hilbert. Veamos ahora a qué otro tipo de conclusiones llega Gödel en
sus reflexiones filosóficas.
Como sabemos, Gödel abriga un mundo de ideas y creencias filosóficas muy peculiares.
Por ejemplo, sostiene que estamos dotados de una intuición matemática que se extiende
más allá de nuestra intuición sensible, que dicha intuición es tan falible como esta
última, que en la matemática es necesario acudir a la observación y a la experiencia,
que la mente humana sobrepasa a todas las computadoras y que la matemática no
es una libre creación del intelecto humano. En buena medida, estas conclusiones las
apoya en sus teoremas limitativos.
En esta ocasión nos centraremos, como ya lo hemos dicho, en las reflexiones que
hiciera en torno a sus teoremas limitativos, animado por el propósito de defender el
realismo conceptual o platónico. Se trata de una conferencia que Gödel pronunció ante
la American Mathematical Society el 26 de diciembre de 1951 en la Universidad de
Brown, en Providence, Rode Island.104 Al respecto, el texto de la conferencia sólo se
conoció tras de su muerte y fue hallado en su Nachlass, bajo el título “Some basic
theorems on the foundations of mathematics and their implications.” Se trata de una
profunda reflexión en la que los aspectos técnicos y filosóficos se entremezclan de
manera magistral.
En sus reflexiones, Gödel parte del siguiente supuesto, que considera innegable: en la
matemática hay un cuerpo de verdades absolutas, cuya validez no depende de ninguna
hipótesis. Como sustento de esta afirmación cita dos casos:
104 V.
[Gödel, 1951].
320
5. L A INTERVENCIÓN DE G ÖDEL
1. El de los enunciados de la geometría vistos como enunciados condicionales.
Ciertamente, los teoremas geométricos sólo son verdaderos con relación a los
axiomas, no en un sentido absoluto. Por ejemplo, la afirmación “la suma de los
ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos” no es absoluta, sino que
depende de los axiomas que se adopten. No obstante, la que sí es absoluta es la
siguiente afirmación:
Si suponemos los postulados de Euclides, entonces la suma de los ángulos
internos de un triángulo es igual a dos rectos.
2. Todos los teoremas de la matemática finitista son ciertos en un sentido absoluto.
En cuanto a la tarea de axiomatizar la matemática propiamente dicha –es decir, el
cuerpo de los enunciados que son verdaderos en un sentido absoluto–, Gödel difiere
del proyecto axiomático de Hilbert sólo en el hecho de que los axiomas no pueden ser
arbitrarios, sino enunciados matemáticos correctos y evidentes para nuestra intuición
matemática: un retorno a la posición de Aristóteles, aunque desde una perspectiva
totalmente diferente y con más de dos mil años de historia de por medio.
En lo que sigue, por “matemática propiamente dicha” entenderemos este cuerpo de
enunciados verdaderos de manera absoluta, a pesar de las diferentes posturas que hay en
cuanto a su constitución.105 Al respecto, Gödel sostiene que el carácter inexhaustible
de la matemática es independiente del punto de vista que se adopte. En su forma
general, Gödel enuncia el primer teorema de incompletud como sigue:
Si escogemos cualquier sistema bien definido de axiomas y reglas de inferencia en el que sólo sean derivables fórmulas verdaderas, siempre existen
problemas diofánticos de carácter elemental que son indecidibles respecto
de los axiomas.106
Por “bien definido” se entiende que el conjunto de axiomas es recursivo, que es
posible escribir todos sus elementos en un formalismo preciso y que sus reglas de
inferencia son tales que dadas cualesquiera premisas, o bien se pueden enumerar todas
las conclusiones asequibles con cada una de las reglas, o bien se puede determinar
que no hay ninguna conclusión inmediata asequible por medio de ellas. Dada la
equivalencia entre recursividad y Turing-decidibilidad, que el sistema de axiomas y
reglas de inferencia esté bien definido equivale a la existencia de una máquina de Turing
capaz de enumerar una tras otra todas las consecuencias de los axiomas. Por esta razón
el teorema de incompletud corresponde al hecho de que no existe un procedimiento
105 Si bien Heyting y Hilbert aceptarían en principio esta posición, en lo que no estarían de acuerdo es
en lo que se entiende por “matemática propiamente dicha”. Por ejemplo, Heyting rechaza el principio
del tercero excluido y algunos axiomas, mientras que Hilbert no acepta en la matemática finitista la
cuantificación irrestricta, como lo hemos visto.
106 Aquí conviene recordar las cuatro maneras en que Hao Wang enuncia el primer teorema de Gödel en
su libro A logical Journey, las cuales hemos citado en el comentario 5 de la sección 5.3.
5.6. A LGUNAS REFLEXIONES DE G ÖDEL ...
321
finito para decidir de manera sistemática todos los problemas aritméticos del tipo
especificado: si lo hubiera, tal procedimiento se podría incorporar a un sistema formal
en el que todos estos problemas serían decidibles, lo cual, como sabemos, no es posible.
En particular, un problema diofántico indecidible para el sistema es el enunciado C
que afirma su consistencia.
Es este teorema el que hace particularmente evidente la incompletabilidad
de la matemática, pues hace imposible que alguien pueda establecer cierto
sistema bien definido de axiomas y reglas y, al mismo tiempo, pueda, de
forma consistente, hacer la siguiente afirmación sobre él: percibo (con certeza
matemática) que todos estos axiomas y reglas son correctos y además creo
que contienen toda la matemática. Si alguien afirma lo anterior se contradice
a sí mismo, pues si percibe como correctos los axiomas en consideración,
también percibirá (con la misma certeza) que son consistentes, con lo que
debe poseer una intuición matemática no derivable de sus axiomas.107
En otras palabras: quien eso diga percibirá, en contra de lo que afirma, que esos
axiomas y reglas no contienen a toda la matemática, tras lo cual Gödel se pregunta
“¿Significa esto que ningún sistema bien definido de axio