ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ МИРЗО УЛУҒБЕК НОМИДАГИ ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ Механика-математика факультети «Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш» кафедраси 5130200 – «Амалий математика ва информатика» таълим йўналиши учун «АМАЛИЙ МАСАЛАЛАРНИ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШ» фани бўйича талабаларда билим, кўникма ва малакаларини ошириш юзасидан яратилган ЎҚУВ-УСЛУБИЙ МАЖМУА Муаллиф: доцент Г.У.Жўраев Т о ш к е н т – 2012 1 Ўқув услубий мажмуа М.Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий Университети механика­математика факультети Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш кафедрасининг 2012 йил 28-августдаги 1­сонли мажлисида муҳокама этилди ва маъқулланди. 2 Ўқув – услубий мажмуа таркиби 1. Ишчи ўқув дастури; 2. Баҳолаш мезонлари ва баллар таксимоти; 3. Маърузалар матни; 4. Назорат саволлари; 5. Тест саволлари; 6. Мустақил таълим учун саволлар; 7. Слайдлар; 8. Таълим технологияси; 9. Глоссарий; 10.Адабиѐтлар. 3 ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ Мирзо Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий Университети Механика - математика факультети "ТАСДИҚЛАЙМАН" ЎзМУ механика-математика факультети декани ___________Б.А.Шоимқулов 2012 йил 28-август. 5130200 – «Амалий математика ва информатика» таълим йўналиши учун «АМАЛИЙ МАСАЛАЛАРНИ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШ» фанидан ИШЧИ ЎҚУВ ДАСТУРИ Умумий соат 1 2 3 Шу жумладан: Маърузалар Амалий машғулотлар Мустақил таълим соати – 143 VII семестр 12 с. 14 с. 26 с. Тошкент – 2012 4 VIII семестр 24 с. 24 с. 43 с. Фаннинг ишчи ўқув дастури М.Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий Университети Механика-математика факультети "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш" кафедрасининг 2012 йил 28-августдаги 1сонли мажлисида муҳокама этилди ва маъқулланди. Ушбу ишчи ўқув дастури 5130200 – «Амалий математика ва информатика» намунавий ўқув дастури ва ўқув режасига мувофиқ ишлаб чиқилди. Тузувчи: ф.-м.ф.н., доцент Жураев Г.У. Тақризчи: ф.-м.ф.д., проф. Халжигитов А.А. Кафедра мудири: ф.-м.ф.д., проф. Музафаров Х.А.. Фаннинг ишчи ўқув дастури Механика - математика факультети Илмий кенгашининг 2012 йил 28-августдаги 1-сонли қарори билан тасдиқланди. 5 Маърузаларнинг соатлар бўйича тақсимланиши № 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Мавзулар Хажми VII семестр Жамият фикрининг абстрактланиш жараѐни. Модель ва 2 моделлаштириш тушунчалари. Билиш жараѐнида ва инсоннинг амалий фаолиятида моделлаштиришнинг роли. Математик модел тушунчаси. Математик моделга мисоллар. Математик моделни ифодалаш шакллари. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблар. Математик 2 моделларни қуриш методлари. Математик модель ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқликлик. 2 Математик моделларнинг назарий ва амалий тадқиқоти, уларнинг адекватлиги. Энергиянинг сақланиш қонуни. Масса (материя)нинг сақланиш 2 қонуни. Импульснинг сақланиш қонуни. Математик моделлаштиришда 2 аналогия усули. Иерархия принципидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2 Жами: 12 VIII семестр Жамият ривожланишининг Мальтус ва Ферхюльст-Перль моделлари. 2 Популяция чизиқсиз моделининг уч турдаги режими. 2 «Йиртқич-ўлжа» системасининг ўзаро муносабат модели. 2 Икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси модели. 2 Икки армия жанговар харакати модели. 2 Модда ва энергия мувозанатининг модели. 2 Эпидемия модели. 2 Реклама компаниясини ташкиллаштириш. 2 Корхоналар ўзаро қарзларини бартараф этиши. 2 Бозор иқтисодиѐти мувозанатининг макромодели. 2 Иқтисодий ўсишнинг макромодели. 2 Ҳисоблаш эксперименти ва унинг босқичлари. 2 Жами: 24 Амалий машғулотларнинг соатлар бўйича тақсимланиши № 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Мавзулар Хажми VII-семестр Математик моделни ифодалашга доир масалалар. 2 Асосий талабларни қаноатлантирувчи математик моделлар. 4 Содда жараѐнларни математик моделларини қуриш. 2 Математик модель ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқликликни 2 тадқиқ қилишга доир масалалар. Сақланиш қонунлардан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2 Иерархия принципидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2 Жами: 14 VIII-семестр Математик моделлаштиришда вариацион принципдан фойдаланиш. 2 Аналогия усулидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2 Жамият ривожланишининг демографик моделларини таҳлил қилиш. 4 6 4 5 6 7 8 9 10 Популяция чизиқсиз моделини сонли таҳлил қилиш. «Йиртқич-ўлжа» системасининг ўзаро муносабат моделидан фойдаланиб, икки турни муносабатини ойдинлаштириш. Икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси моделидан фойдаланиб, давлатлар ўртасидаги рақобатни таҳлил қилиш. Икки армия жанговар харакати моделини сонли таҳлил қилиш. Биологик моделларга мисоллар тузиш ва уларни таҳлил қилиш. Эпидемия моделини сонли Турли хил иқтисодий жараѐнларни моделларини таҳлил қилиш. Жами: 2 2 2 2 4 2 2 24 Мустақил иш мавзуларининг соатлар бўйича тақсимланиши № 1 2 3 1 2 3 4 Мавзулар VII-семестр Амалий машғулотларга тайѐргарлик. Бир неча фундаментал қонунлардан биргаликда фойдаланиб қурилган математик моделларни тадқиқ қилиш Иқтисодий масалаларни ечиш учун чизиқли дастурлашни қўллаш. Симплекс усули. Жами: VIII-семестр Амалий машғулотларга тайѐргарлик. Математик моделлаштириш воситаларидан фойдаланиб, экологик масалаларни тадқиқ қилиш. Атроф муҳитни муҳофаза қилишнинг математик моделлари. Математик моделларни универсаллигини тадқиқ қилиш. Юмшоқ ва қаттиқ математик моделлар. Жами: Соат 14 6 6 26 24 5 5 5 4 43 Ўзлаштириш назорати ОН ЖН 1 ЖН 2 Уй топшириқлари ва мустақил иш бўйича 35 20 Дарсдаги фоаллиги бўйича ЯН Жами 15 30 100 Асосий адабиётлар: 1. Самарский А.А., Михайлов А П. Математическое моделирование. М., 2. 3. 4. 5. Физмат, 1997. Музафаров Х.А., Баклушин М.Б., Абдураимов М.Г. Математическое моделирование. Ташкент, Университет. 2002 г. Самарский А.А. Теория разностных схем. –М., Наука. 1989 Қўшимча адабиётлар: Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание. 1999. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М., Наука. 1978. 7 Баҳолаш мезонлари ва баллар тақсимоти 8 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан рейтинг тизими асосида талабалар билимини баҳолаш мезони ва баллар тақсимоти № 1 2 3 4 Назорат тури 1-жорий назорат 2-жорий назорат Оралиқ назорат Якуний назорат Максимал балл 20 15 35 30 Саралаш балл Ўтказиш вақти 13 15-ҳафта 8 20-ҳафта 19,5 20-ҳафта 16,5 21-ҳафта а) 86-100 балл учун талабанинг билим даражаси қуйидагиларга жавоб бериши лозим: Хулоса ва қарор қабул қилиш; Ижодий фикрлай олиш; Мустақил мушоҳада юрита олиш; Олган билимларини амалда қўллай олиш; Моҳиятини тушуниш; Билиш, айтиб бериш; Тассавурга эга бўлиш. б) 75-80 балл учун талабанинг билим даражаси қуйидагиларга жавоб бериши лозим: мустақил мушоҳада юрита олиш; олган билимларини амалда қўллай олиш; моҳиятини тушиниш; билиш, айтиб бериш; тасаввурга эга бўлиш; в) 56 –70 балл учун талабанинг билим даражаси қуйидагиларга жавоб бериши лозим: моҳиятини тушиниш; билиш, айтиб бериш; тасаввурга эга бўлиш; г) талабанинг билим даражаси 0–55 балл билан қуйидаги ҳолларда баҳоланади: тасаввурга эга бўлиш; жавобларда хатоликларга йўл қўйганлик; билмаслик. 9 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан баҳолаш турлари бўйича баллар тақсимоти I. Машғулотлар ҳажми. Аудитория соатлари № Машғулотлар 1. 2. 3. 4. Маъруза Амалий маш-т Мустақил иш Жами маъруза амалиѐт Мус. иш. Мустақил семинар шуғ-иш Умумий вақт сарфи 36 38 69 143 36 38 69 II.Рейтинг балларининг тақсимланиши. № Жами 1. Баҳолаш турлари ЖН 2. 3. ОН ЯН 35 30 Жами 100 35 Маш-лот тури амалий, мустақил Маъруза Маъруза, амалий Назоратлар сони 1 2 3 20 15 35 30 - - Жами 35 35 30 100 III.Ўзлаштириш фоизларига мос баллар оралиқлари. № 1 2 3 Баҳолаш турлари ЖН ОН ЯН Жами баллар 35 34 30 Баҳолаш учун баллар Аъло Яхши Қон-ли Қон-сиз 31-35 27-30 20-24 0 - 19 31-35 27-30 20-24 0 - 19 26-30 21-25 16-21 0 - 15 10 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан талабани фан бўйича баҳолаш мезони I. Оралиқ назорат учун Агар талабанинг мавзу бўйича билими қуйидагиларга жавоб берса, яъни жараѐн ва объектлар учун математик моделларни моҳиятини ва уларни ишлатиш ўрнини аниқ билса, математик моделлар учун самарали ҳисоблаш алгоритмларни қура билса, шунингдек, топилган ечим хоссаларига қараб хулоса ва қарор қабул қила олса; ижодий фикрлай олса; олинган натижаларни мустақил таҳлил қила олса, олган билимларини амалда қўллай олса; мавзунинг асосий тушунчаларини билса, айтиб бера олса; бўлаѐтган жараѐн ҳақида тасаввурга эга бўлса – назорат учун ажратилган баллнинг 86-100% гача қўйилади. Талаба кўрсатилган мавзулар ва саволлар ҳақида мустақил мушоҳада юрита олса; олган билимларини амалда қўллай олса; Ҳодисаларнинг моҳиятини тушунса; саволарга жавоб бериб билса ва айтиб берса; жараѐнлар ҳақида тасаввурга эга бўлса – назорат учун ажратилган баллнинг 71-85% гача қўйилади. Берилган саволларда асосий тушунчаларнинг моҳиятини тушунса, уларни айтиб бера олса, мавзу ҳақида тасаввурга эга бўлса бўлса, дарсларда иштирок этса, топшириқларни бажариб топширган бўлса – назорат учун ажратилган баллнинг 55-70% гача қўйилади. Берилган саволларга жавоб бера олмаса; сўралаѐтган тушунчалар ҳақида аниқ тасаввурга эга бўлмаса; фан бўйича асосий тушунчалар ва уларнинг моҳиятини билмаса бўлса – назорат учун ажратилган баллнинг 0-54% гача қўйилади. II. Жорий назорат учун Амалий машғулотлар бўйича: - талаба бажарган ишининг назарий ва амалий аҳамиятини атрофлича тушунган бўлса; - амалий машғулотлар пайтида ишлатилган воситалардан тўғри фойдаланиш маҳоратига эга бўлса; - берилган вазифани мустақил равишда бажариш иқтидорига эга бўлса; - бехато натижалар олиб, қўлга киритган натижалардан тўғри хулоса чиқара олса; - натижаларнинг математик қайта ишлаш усулларини мукаммал билса; - иш бўйича ҳисоботни тўғри ва пухта шакллантира олса назорат учун ажратилган баллнинг 86-100% гача қўйилади. Амалий машғулотлар бўйича: - талаба амалий машғулот мавзусининг мақсади ва мазмунини тўғри тушуниб етган бўлса; - бажарган ишининг назарий ва амалий аҳамиятини тушунган бўлса; 11 - амалий машғулот воситалардан фойдаланишни билса; - берилган вазифани мустақил бажара олса; - қўлга киритилган натижалардан тўғри хулосалар чиқара олса; - натижаларни математик қайта ишлай олса; - иш юзасидан ҳисобот шакллантира олса назорат учун ажратилган баллнинг 71-85% гача қўйилади. Амалий машғулотлар бўйича: - ишнинг мақсади ва мазмуни ҳақида умумий тасаввурга эга бўлса; - компьютердан мустақил фойдаланиш маҳоратига эга бўлмай, иш давомида, четдан бўладиган ҳар хил ѐрдамларга муҳтож бўлса; - иш натижаларини қайта ишлаб чиқиш ва иш бўйича ҳисобот тайѐрлашда ѐрдамларга муҳтож бўлса; - Ҳисоботда айрим хатоликларга йўл қўйилган бўлса. назорат учун ажратилган баллнинг 55-70% гача қўйилади. Амалий машғулотлар бўйича: - режадаги амалий машғулот бажарилмаган бўлса; - амалий машғулот мавзусига доир ҳеч қандай тасаввурга эга бўлмаса; - иш натижаларини қайта ишлаш ва олинган натижалар юзасидан ҳисобот тайѐрлаш маҳоратига эга бўлмаса; - иш натижаларининг бошқалардан кўчириб олинганлиги сезилиб турса; - машғулотга доир воситалар ва компьютердан тўғри фойдалана олмаса ва шу туфайли уларга зарар етказилса. назорат учун ажратилган баллнинг 0-55% гача қўйилади. III. Ёзма ишларни баҳолаш мезонлари: (якуний баҳолаш мезонлари) - вариант саволларининг барчасига атрофлича, аниқ ва тўғри жавоблар ѐзилган бўлса; - ўқув режадан ташқари (замонавий) материаллардан хабардорлиги билиниб турса; - қонун-қоидалар, назария ва тахминлар, тушунчалар ва тасаввурлар, формула ва тенгламалар тўғри ва аниқ ѐзилган бўлса; - баѐнда илмий хатоликларга йўл қўйилмай, матетиал мазмунининг илмий ва мантиқийлиги сақланган ҳолда пухта ѐзилган бўлса; - баѐнда орфографик ва грамматик камчиликлар учрамаса назорат учун ажратилган баллнинг 86-100% гача қўйилади. - вариант саволларига ѐзилган жавоблар ўқув дастури талаблари доираси билан чекланган, аммо тўғри; - жавобларда илмийлик бузилмаган: - баѐн мазмунида мантиқ сақланган; - қонун- қоидалар, назария ва тахминлар,тушунча ва тасаввурлар баѐнида хатоликлар учрамаса; 12 - баѐнда орфографик ва грамматик хатолар учрамаса; - берилган топшириқларнинг биттасига тўлиқ жавоблар ѐзилмаган бўлса назорат учун ажратилган баллнинг 71-85% гача қўйилади. - саволларнинг 2/3 га тўғри жавоб ѐзилган бўлса; - вариант саволларига ѐзилган жавоблар юзаки, аммо баъзи бир хатоликлар инобатга олинмаганда, умуман тўғри; - баѐнда баъзан мантиқий чалкашликлар қайд этилса; - қонун- қоидалар, назария ва тахминлар,тушунча ва тасаввурларда баъзи бир ноаниқликларга йўл қўйилган бўлса; - баѐн орфографик ва грамматик томондан яхши бўлмаса назорат учун ажратилган баллнинг 55-70% гача қўйилади. - вариант саволларининг 1/3 га ѐки умуман жавоб ѐзилмаган бўлса; - вариант саволларига ѐзилган жавоблар нотўғри ѐки аниқ ѐзилмаган бўлса; - жавобларга мужмаллик, ноаниқлик ва мантиқий чалкашликлар қайд этилса; - илмий хатоликларга йўл қўйилса; - баѐн матнида орфографик ва грамматик жиҳатидан хатолар кўп бўлса назорат учун ажратилган баллнинг 0-54% гача қўйилади. 13 МАЪРУЗАЛАР МАТНЛАРИ 14 МУНДАРИЖА 1-БОБ. §1.1. §1.2. §1.3. §1.4. 2-БОБ. §2.1. §2.2. §2.3. §2.4. §2.5. §2.6. 3-БОБ. §3.1. §3.2. §3.3. §3.4. 4-БОБ. §4.1. §4.2. §4.3. 5-БОБ. §5.1. §5.2. §5.3. §5.4. КИРИШ ....................................................................................... МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШНИНГ АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАРИ Математик моделлаштиришнинг асосий тушунчалари ......... Математик моделга қўйиладиган талаблар .............................. Математик моделни қуриш босқичлари ................................... Математик модел ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик ............................................................................ ОДДИЙ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАР ҚУРИШ Энергиянинг сақланиш қонуни ................................................. Модда массасининг сақланиш қонуни ..................................... Импульснинг сақланиш қонуни ................................................ Иерархия принципидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш ..................................................................................... Мальтус модели .......................................................................... Ферхюльст-Перл модели ........................................................... РАҚОБАТНИНГ АЙРИМ МОДЕЛЛАРИ «Йиртқич-ўлжа» системасининг ўзаро муносабат модели Вольтер-Лотка модели ................................................................ Икки давлат орасидаги қуролланиш пойгаси модели ............. Икки армия жанговар ҳаракати модели .................................... БИОЛОГИК МОДЕЛЛАР Ўзаро таъсирлашувчи популяциялар сонини моделлаштириш .......................................................................... Модда ва энергия мувозанатининг модели ............................... Эпидемия модели ........................................................................ АЙРИМ МОЛИЯВИЙ ВА ИҚТИСОДИЙ ЖАРАЁНЛАРНИ МОДЕЛЛАШТИРИШ Реклама компаниясини ташкиллаштириш ................................ Корхоналар ўзаро қарзларини бартараф этиши ....................... Бозор иқтисодиѐти мувозанатининг макромодели ................. Иқтисодий ўсишнинг макромодели .......................................... 15 КИРИШ Дунѐ пайдо бўлибдики, инсон ўзининг яшаши учун қулай турмуш тарзини яратиб, яхши яшашга ҳаракат қилган. Шунингдек, табиат томонидан содир бўладиган ҳар хил жараѐнларни сабабларини ўрганиб, улар оқибатида содир бўладиган турли салбий таъсирларни олдини олишга ва уларга мослашишга интилиб келган. Инсоният цивилизациясининг дастлабки босқичларидаѐқ теварак атрофда содир бўладиган жараѐнларни кузатишда нисбатан мураккаброқ бўлган реал объектларни унга нисбатан соддароқ бўлган бошқа объектлар билан алмаштириш ѐки акслантириш орқали ўрганишдан бошлаган. Ибтидоий жамоа даврида ғорларнинг деворларида, қоя тошларда турли хил ҳайвонларни суратларини чизилганлиги, шунингдек, овчи ўзи тутган ҳар бир овини маълум бир белги ѐки тош орқали қабиладошларига маълум қилганлиги тарихдан маълум. Ушбу мисоллардан кўриниб турибдики, бирор предмет ѐки объектни бошқа бир реал ѐки мавҳум предмет ѐки объектга акслантириш орқали ўрганишнинг қулайликлари инсонларга азалдан маълум бўлган. Инсоният цивилизациясининг кейинги босқичларида турмуш тарзининг ривожланиши, инсонлар ўртасидаги муоамала даражасининг кенгайиши жамият учун умумий бўлган урф-одатларни, қонун қоидаларни шаклланишига олиб келди. Бу каби қонун қоидаларни тур хил белги ѐки тасвирлар орқали матнларда баѐн қилиниши қадимги Миср ѐзувини пайдо бўлишида катта туртки бўлди ва жамият фикрининг асбстрактланиш жараѐнини ривожланишига катта сабаб бўлди. Кейинчалик инсонлар ўртасида олди-сотди ва товар айирбошлаш амалларининг пайдо бўлиши саноқ системасининг, шунингдек, натурал сонларни пайдо бўлишига ва улар устида турли арифметик амалларни бажаришга сабаб бўлди. Бу эса жамият фикрининг асбстрактланиш жараѐнини яна бир юқори поғонага кўтарилганлигини ва жамиятни кейинги ривожланишиларига катта пойдевор яратилганлигини англатарди. 16 Демак, жамият фикрининг асбстрактланиш жараѐни босқичма-босқич ѐки поғонама-поғона содир бўлиб, цивилизациянинг аввалги босқичларидаги асбстрактланиш жараѐни цивилизациянинг кейинги ривожланишларига катта замин яратган. Шунингдек, асбстрактланиш жараѐни реал объектни унга нисбатан қулайроқ бўлган бошқа реал (тошлар) ѐки мавҳум объектлар (ѐзув, расм, чизма, белги ва ҳ.к.) билан акслантириш ѐки алмаштириш орқали реал объектни ифодалашдир. Асбстрактланиш жараѐни ѐзув, расм, чизма, белги, нуқта, қўшиш, айириш каби абстракт тушунчаларнинг ҳам пайдо бўлишига сабаб бўлди. Бу тушунчалар инсонлар ўртасидаги муомала даражасини янада ўсишига, атроф муҳитда содир бўлаѐтган воқеаларни англашга, тушунишга катта хизмат қилган ва хизмат қилиб келмоқда. Цивилизациянинг сўнги босқичларида асбстрактланиш жараѐнининг кескин ривожланиши фанлар шоҳи бўлмиш математика фанининг пайдо бўлиши ва унинг шаклланишига олиб келди. Бу фан абстракт тушунчалар орқали атроф муҳитда ва табиатда содир бўлаѐтган воқеаларни ўрганиш қуроли сифатида катта аҳамиятга эга. Маълумки, инсон табиатда содир бўладиган ҳодиса ва жараѐнларни содир бўлиш сабабларини, қонун-қоидаларини билса, бу ҳодиса ва жараѐнларнинг салбий оқибатларидан ўз вақтида ҳимоялана олади. Бу эса инсонни умрини, яшаш вақтини узайтириш имконини яратади. Шу сабабли инсон пайдо бўлган дастлабки вақтлардан ҳозиргача атроф муҳитни ва унда содир бўладиган ҳодиса (жараѐн) ларни ўрганиб келмоқда. Атроф муҳит эса доим ўзгариб туради. Ўзгариш сабаблари эса турличадир. Бизни қуршаб турган оламда содир бўладиган ўзгаришларни асосан 3 турга ажратиш мумкин: 1) абиотик ўзгаришлар (табиий ўзгаришлар зилзилалар, вулқонлар отилиши, сув тошқинлари ва шу кабилар); 2) биотик ўзгаришлар (популяциялар биомассасининг ѐки сонининг ўзгариши, популяцияларнинг қирилиб кетиши); 3) антропоген ўзгаришлар (инсон фаолияти натижасида атроф муҳитда содир бўладиган ўзгаришлар). 17 Ҳозирги кунда жараѐнларни атроф-муҳитда ўрганишда математик содир бўладиган ўзгаришларни, моделлаштириш фани кенг қўлланилмоқда. Математик моделлаштириш методологиясининг моҳияти ўрганилаѐтган реал объектни унинг «абстракт шакли», яъни кейинчалик компьютерда реализация қилишда фойдаланиладиган математик модели билан алмаштиришдан иборат. Математик моделлаштириш фанининг элементлари физика ва математика фанлари пайдо бўлган даврларданоқ қўлланилиб келинмоқда. Аммо, унинг юксалиш даври ХХ асрнинг 50-чи йиллари ва ундан кейинги йилларга тўғри келади. Бу ҳолатни қуйидаги сабаблар ЭҲМларни пайдо бўлиши, АҚШ ва собиқ СССР давлатларининг ер юзида ўз сиѐсий ва иқтисодий ҳукмронликларини таъминлаш мақсадида ядро қуролини яратишлари ҳамда коинотни инсоният томонидан кенг ўрганилиши кабилар билан изоҳлаш мумкин. 18 МАЪРУЗА №1. МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШНИНГ АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАРИ. Модель ва унинг турлари. Модель – бу реал объектни алмаштириши мумкин бўлган, тадқиқот ва тажриба ўтказиш учун қулай ва арзон бўлган бошқа бир реал ѐки абстракт объектдир. Модель реал объектнинг соддалаштирилган кўриниши бўлиб, унинг ҳамма хоссаларини эмас, балки асосий хоссаларинигина ўзида мужассам этади. Модель лотинча ―modulus‖ сўзидан олинган бўлиб, ўлчов ва намуна маъноларини билдиради. Ҳозирги кунда фан оламида маълум бўлган маълумотларни кўриниши ва маъносига қараб қуйидаги 3 та асосий турга бўлиш мумкин: физик; графикли; математик. Юқорида келтирилган бўлинишларга асосан моделлар ҳам мос ҳолда 3 турга – физик, графикли ва математик моделларга ажратилади. Физик моделлар. Тажриба ўтказишга мўлжалланган тажриба участкалари катта экин майдонларининг, лаборатория машғулотларини ўтказишга мўлжалланган асбоб ускуналар физик моделларга мисол бўлади. Масалан, кимѐвий ѐки биологик лабораторияларда фойдаланиладиган асбоб ускуналар ҳамда токамак қурилмаси (ер шароитида термоядро реакциясини амалга оширадиган қурилма). Графикли моделлар. Схемалар, чизмалар, расмлар, илмий ва тарихий асарлар мисол бўла олади. Масалан, глобус ер шарининг, инсоннинг сурати унинг ўзининг, М.З.Бобурнинг «Бобурнома» асари асарда келтирилган даврнинг графикли моделидир. Математик модель – реал объектни тасавуримиздаги абстракт кўриниши бўлиб, у математик белгилар ва баъзи бир қонун–қоидалар билан 19 ифодаланган бўлади. Масалан, Ньютон қонунлари, массанинг сақланиш қонуни. Математик модель ва математик моделлаштириш ХХ асрнинг ўрталаридан бошлаб инсон фаолиятининг турли соҳаларида математик усуллар ва ЭҲМ қўлланила бошланди. Обектлар ва ҳодисаларнинг математик моделларини ўрганадиган ―Математик иқтисод‖, ―Математик кимѐ‖, ―Математик лингвистика ва ҳоказо янги фанлар ва бу моделларни ўрганиш усуллари пайдо бўлди. Математик модел – атроф борлиқдаги ҳодисалар ѐки обектларнинг математик тилидаги тахминий ифодасидир. Моделлаштиришнинг асосий мақсади – бу обектларни ўрганиш ва келгусидаги кузатишлар натижаларини олдиндан айтиш. Шу билан биргаликда моделлаштириш –атроф борлиқни бошқариш имконини берадиган билиш усулидир. Моделларни уларнинг турли жиҳатлари бўйича турларга ажратиш мумкин. Масалан, масаланинг ечилиши ҳусусиятларига қараб моделлар функционал ва структурали моделларга бўлиниши мумкин. Биринчи ҳолда ҳодиса ѐки обектни ҳарактерловчи барча катталиклар миқдорий ифодаланилади. Бунда уларнинг айримлари эркли ўзгарувчилар сифатида, бошқалари эса шу миқдорларнинг функциялари сифатида қаралади. Математик модел одатда турли кўринишдаги (дифференциал, алгебраик ва ҳоказолар) тенгламаларнинг системалари кўринишида ѐзилади, бунда тенгламар қаралаѐтган катталиклар орасидаги миқдорий боғланишларни ифодалайди. Иккинчи ҳолда модель мураккаб обектнинг структурасини ифодалайди. Мураккаб обект одатда турли қисмлардан тузилган бўлиб, бу қисмлар орасида маълум боғланишлар мавжуд. Бу боғланишларни одатда миқдорий ифодалаб бўлмайди. Бундай моделларни қуришда графлар назариясидан фойдалаш қулай бўлади. Граф текислик ѐки фазодаги нуқталар (учлар) нинг бирор тўпламидан иборат математик объект бўлиб, улардан баъзилари чизиқлар (қирралар) билан ўзаро туташтирилган бўлади. 20 Моделдаги берилганлар ва башоратлаш натижаларининг характерига кўра моделлар детерминистик ва эҳтимолли-статистик моделларга бўлинади. Биринчи моделларда аниқ, бир қийматли башорат қилинади. Иккинчи турдаги моделлар статистик маълумотларга асосланган бўлиб, улар ѐрдамидаги башоратлар эҳтимолли ҳарактерда бўлади. Математик моделлаштириш – компьютерда ҳисоблашлар ўтказишгина эмас. Бу биринчи навбатда воқеа ва жараѐнларни ўрганиш, уларни математик тилда ифодалашдир. Математик моделлаштириш қиммат баҳоли экспериментлар ўтказмасдан туриб, воқеа ва жараѐнларнинг кейинги босқичидаги ҳодиса ва унинг деталларини компьютер экранида ўрганиш, шунингдек, ҳаттоки замонавий асбоб-ускуналар илғамайдиган (пайқамайдиган) жараѐнларни изоҳлашдан иборатдир. МАЪРУЗА №2. МАТЕМАТИК МОДЕЛГА ҚЎЙИЛАДИГАН ТАЛАБЛАР ВА МАТЕМАТИК МОДЕЛНИ ҚУРИШ БОСҚИЧЛАРИ. Математик моделга қўйиладиган талаблар Математик моделга қўйиладиган асосий талаблар қуйидагилардан иборат: 1. Универсаллик, яъни конкрет объектни модели бошқа ўхшаш объектларга қўлланиши учун етарли даражада универсал бўлиши керак. Бу дегани реал объектни математик модели бошқа ўхшаш объектларга жуда кам ўзгартиришлар оркали қўллаш учун етарли даражада умумий бўлиши керак. 2. Компактлик. Модел шундай қурилиши керакки, уни деярли ўзгартиришсиз ўзидан юқори даражали моделга модел ости сифатида киритиш мумкин бўлсин. Масалан, дарахтни математик модели ўрмон экосистемаси моделининг бир блоки сифатида қўлланилиши. Фотосинтез жараѐнининг математик модели дарахт математик моделини бир блоки сифатида ишлатилиши мумкин бўлсин. 21 3. Соддалик. Яъни, математик моделни қуришда иккинчи, учинчи даражали факторлар ҳисобга олинмаслиги лозим. Бу факторларни ҳисобга олиш ММни мураккаблаштиради. Мисол: эпидемияни тарқалиши жараѐни математик моделида шамол тезлигини ҳисобга олиш моделни анча мураккаблаштиради. Аммо атроф – муҳитни экологиясини ўрганишда шамол тезлигини ва йўналишини ҳисобга олмаслик мумкин эмас. Сув қувуридаги сувни ҳаракатини ўрганаѐтганда ойнинг тортишиш кучини ҳисобга олмаса ҳам бўлади. Аммо, денгиз ва океанлардаги сув тошқинларини ўрганаѐтганда ойнинг тортишиш кучини албатта ҳисобга олиш лозим. Бу тошқинлар ойнинг тортиши натижасида ҳосил бўлади. 4. Сезгирлик даражаси паст бўлиши лозим. ММни қуришда ҳисобга олиниши зарур бўлган асосий факторларга нисбатан моделни сезгирлик даражаси паст бўлиши лозим. Яъни, реал объектни ўрганаѐтган пайтда ўлгашлар кўп ҳолларда хатолик билан бажарилади. Айрим ҳолларда моделда иштирок этаѐтган асосий факторни аниқ ўлчашни имкони бўлмайди. Масалан, об – ҳавони башорат қилиш ҳалигача тахминий, пахта майдонидаги ҳашоратлар сонини аниқ ўлчаш мумкин эмас. Агар ММлар ҳисобга олинаѐтган факторларни қийматини ўлчашда йўл қўйилган хатоликларга нисбатан сезгир бўлса, ушбу математик модел мукаммал бўлмайди, яъни ҳеч қачон бу модель орқали ўрганилаѐтган объект тўғрисида қониқарли натижалар олиб бўлмайди. Шу сабабли ҳисобга олинаѐтган факторларга нисбатан математик модель қўпол бўлиши, яъни факторларнинг қийматига сезгир бўлмаслиги керак. Аммо, бу талаб фақатгина табиий жараѐнлар учунгина ўринли. Ишлаб чиқаришда ѐки технологик жараѐнларда бу талаб ўринли эмас. Масалан, машина ишлаб чиқарилишда, фармацевтика саноатида. 5. Мослашиш даражаси юқори бўлиши лозим. Яъни, модел блокли принципда қурилиши лозим. Бунда ўзгарувчилар иложи борича алоҳида блокда, автоном ҳолда ҳисобланиши мақсадга мувофиқ. 22 Бу эса математик моделни тез ўзгартириш, модификация қилиш имконини яратади. Умуман олганда бу талаб унга катта бўлмаган ўзгартириш орқали бошқа реал объектга мослашишни, яъни математик моделни универсаллигини характерлайди. Математик моделларни универсаллигига доир мисоллар. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблардан бири универсаллик талабидир. Яъни, математик модель нафақат алоҳида, конкрет жараѐн ѐки объектни ифодалаши лозим, балки, етарлича кенгроқ турли жараѐн ѐки объектларни ифодалаши лозим. Масалан, табиати турлича бўлган тебраниш жараѐнларини мисол сифатида келтириш мумкин. 1. Конденсатор ва индуктивлик катушкасидан иборат тебранувчи электр контури. Қуйидаги белгилашлардан фойдаланамиз: qt - конденсатор заряди, u t - конденсатордаги кучланиш, C - конденсатор сиғими, L - катушкаларнинг индуктивлиги, E - ўзиндукциянинг электр юритувчи кучи, i - ток кучи. Маълумки, физика фанида қуйида келтириладиган қонун ва формулалар мавжуд: Сu t qt , E L di dq , i , ut E t . dt dt Ушбу келтирилган формулалар асосида қуйидаги дифференциал тенгламани ҳосил қилиш мумкин: d 2q q L 2 C dt d 2q 1 q0 . dt 2 LC Бу эса механика фанидан маълум бўлган x 2 x 0 тебраниш формуласининг ўзгинасидир. 2. Икки биологик популяциянинг ўзаро таъсирлашувида ҳосил бўладиган кичик тебранишлар. Бу ерда қуйидаги белгилашлар киритамиз: N t ўтхўрлар популяцияси сони, M t - гўштхўрлар популяцияси сони. У ҳолда 23 ўзаро таъсирлашувчи ушбу популяциялар сонининг ўсиш тезлиги қуйида келтириладиган Лотки-Вольтер тенгламалар системаси билан ифодаланади: dN c 0, dt cM N , 0, dM d N M , 0, d 0. dt Бу оддий дифференциал тенгламалар системаси бўлиб, у чизиқсиздир. Агар dN dM 0 шарт бажарилса, яъни dt dt M0 c , N0 d . қийматларда бу система мувозанатда бўлади. n N - N0 ва m M - M 0 белгилашлардан фойдаланиб, ушбу тенгламалар системасини қуйидаги чизиқлаштирилган система кўринишига келтириш мумкин: dn dt cN 0 m dm d M 0n dt Ёки бу системани битта тенглама кўринишига келтириш мумкин: d 2n n 0. dt 2 Бу юқорида келтирилган тебраниш тенгламасининг худди ўзидир. 3. Маош ва иш билан бандлик ўзгаришининг оддий модели. Бу масалани ўрганиш учун қуйидаги белгилашлардан фойдаланамиз: pt - маош, N t иш билан банд бўлган ишловчилар сони. Меҳнат бозорининг мувозанати p0 0 маош билан ишлашга рози бўлган N0 0 сондаги ишловчилар 24 мавжудлигидан иборат. Математик моделни ҳосил қилишда қуйидаги фаразлардан фойдаланамиз: а) иш берувчи иш билан банд бўлган ишловчилар сонининг мувозанат қиймати N 0 дан оғишига пропорционал равишда маошларни ўзгартиради; б) ишловчилар сони маошнинг мувозанат қиймати p0 га нисбатан ўзгаришига пропорционал тарзда ўзгаради. У ҳолда қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қилиш мумкин: dp dt a1 N N 0 , a1 0, dN a2 p p0 , a2 0. dt Бу тенгламалар системасидан юқорида ҳосил қилинган тебраниш тенгламаларини ҳосил қилиш мумкин: d 2 p - p0 a1a2 p p0 0 . dt 2 Хулоса сифатида шуни айтиш мумкинки, математик моделларни универсаллиги битта тенгламадан табиати турлича бўлган бир неча жараѐнларни ѐки объектларни ўрганишда фойдаланиш имкониятини яратар экан. Математик моделни қуриш босқичлари. Математик моделни қуриш қуйидаги асосий босқичлардан иборат: 1. Обектни ўрганиш. Бу босқичда объектга доир, унинг динамикасини, табиатини характерловчи маълумотлар йиғилади. 2. Йиғилган маълумотларни системалаштириш. Ишчи гипотезалар қабул қилиш. Объектни объект ости блокларга ажратиш, блокларда ўзгарувчиларни аниқлаш, блоклар ва улардаги ўзгарувчилар орасидаги боғлиқликларни ўрнатиш. Объект учун иккинчи, учинчи даражали факторлар аниқланиб, бу факторлар ташлаб юборилади. 25 3. Йиғилган маълумотлар асосида объект бўйсунадиган қонун ѐки қонуниятлар танланади (масалан, вариацион принцип ѐки аналогия принципи). Ушбу қонунлар асосида объект математик тилда ѐзилади. Математик моделни назарий тадқиқоти ўтказилади. 4. Объектни таклиф этилаѐтган математик модели ―жиҳозланади‖. Яъни, бу босқичда объектни табиатини ифодаловчи катталикка нисбатан бошланғич шарт (жисм тезлиги, бошланғич вақтда популяция сони ва шунга ўхшаш) ва чегаравий шартлар шакллантирилади. Шу билан математик формаллаштириш, яъни математик моделни ѐзиш жараѐни тугайди. 5. Объектни математик модели асосида дискрет модели қурилади ва дискрет модел асосида дастур тузилиб, компьютерда қўйилган математик масала ечилади. Бу босқичда ҲЭ утказилади. ҲЭ натижасида математик модель реал объектга мувофиқлиги текширилади. Моделни моделда иштирок этаѐтган факторларга нисбатан сезгирлиги ўрганилади. Моделда қатнашаѐтган катталик ѐки параметрларни ўзгариш чегаралари аниқланади. Бошқача қилиб айтганда, ушбу босқичда ММни реал объектга мослаштириш ушбу босқичда бажарилади. МАЪРУЗА №3. МАТЕМАТИК МОДЕЛ ВА УНИНГ РЕАЛ ОБЪЕКТИ ОРАСИДАГИ МУВОФИҚЛИК. МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАРНИНГ НАЗАРИЙ ВА АМАЛИЙ ТАДҚИҚОТИ, УЛАРНИНГ АДЕКВАТЛИГИ. Маълумки, модел ўрганилаѐтган объектнинг содда кўринишидир. Модел ҳамма вақт реал объектдан фарқ қилади. Математик моделлаштириш бошқа моделлаштиришларга нисбатан устунликларга эга бўлсада, ҳеч қачон объектни тўла акслантира олмайди. Математик модел ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик дейилганда объект ва унинг математик модели динамикаларининг сифат ва миқдор жиҳатдан ўхшашлиги ва яқинлиги тушунилади. 26 Агар объект ва унинг математик моделини динамикалари орасида ўхшашлик, яъни мувофиқлик бўлмаса, бу мувофиқликни ўрнатишнинг бир неча усуллари мавжуд: 1. Математик моделда иштирок этаѐтган ўзгармас катталикларни қайтадан баҳолаш. 2. Математик моделни ѐзишда қабул қилинган ишчи гипотезаларни қайтадан кўриб чиқиш. 3. Реал объект ҳақида қўшимча маълумотлар йиғиш. 4. Янги йиғилган маълумотлар асосида моделни қайтадан кўриб чиқиш. Математик модел ва унинг объекти динамикалари сифат жиҳатдан ўхшаш бўлса-ю, миқдор мувофиқлаштиришнинг жиҳатдан 1–усулидан фарқли фойдаланиш бўлса, лозим. у ҳолда Акс ҳолда мувофиқлаштиришнинг 2,3,4 усулларининг ҳар биридан алоҳида – алоҳида фойдаланиш керак. Қайси биридан фойдаланиш модель ва унинг объекти динамикаларини фарқ қилиш даражасига боғлиқ. ММни реал объектга мувофиқлаштиришда кўп ҳолларда реал объектга нисбатан ўтказилган тажриба, эксперимент натижаларидан фойдаланилади ва бу натижалар бир неча марта солиштирилади. Бу жараѐн математик модель реал объектга етарли даражадаги аниқликга яқинлашгунича давом эттирилади. Мисол. Қайиқ қирғоқдан бирор бошланғич тезлик билан туртиб юборилди. Ушбу қайиқнинг ҳаракатини математик воситасида ўрганиш зурур (3.1-расм). y NA O FC x mg 3.1-расм. 27 моделлаштириш Масаланинг концептуал қўйилиши. Бошланғич горизонтал тезлиги v0 бўлган қайиқнинг mg оғирлик кучи, N A Архимед итарувчи кучи ва ҳаракатини ўрганамиз. ҳаракатланмайди), FC Қайиқ қаршилик кучлари таъсиридаги сузаѐтганлиги Архимед итарувчи кучи mg NA мувозанатлаштиради. Моделни тузишда учун (вертикал оғирлик кучини қуйидаги фаразлардан фойдаланамиз: Татқиқот объекти бўлган қайиқ горизонтал текисликда илгариланма ҳаракат қилади; Қайиқни m массали моддий нуқта деб қараймиз, унинг жойлашган ўрни массалар маркази билан устма уст тушади; Қайиқнинг ҳаракати унга қўйилган кучлар системасининг таъсири остида динамиканинг асосий қонуни (Нютоннинг иккинчи қонуни) га бўйсунади; Сувнинг FC қаршилик кучи қайиқ тезлигига тўғри пропорционал ва қайиқ ҳаракатига қарама-қарши йўналган бўлиб, уни FC тенглик билан ифодалаш мумкин. Бу ерда - пропорционаллик коэффициенти (ўзгармас катталик), v - қайиқ тезлиги. Қайиқ тезлигини вақтнинг функцияси сифатида топамиз ва бу боғланишни график кўриншда тасвирлаймиз. Масаланинг математик қўйилиши. Нютоннинг иккинчи қонунига кўра қайиқнинг x ўқи йўналишидаги ҳаракатининг тенгламаси m dv FС v , dt кўринишда бўлади. vt ни топиш талаб этилади. 28 v0 v0 Аналитик ечим. Ўзгарувчиларни ажратиш усулини қўллаш учун тенгламани қуйидаги кўринишга келтирамиз: dv dt . v m Уни интеграллаб, бошланғич шартни ҳисобга олиб қуйидаги ечимга эга бўлиш мумкин: v ln t . m v0 Бундан ечим учун қуйидаги тенгликни ҳосил қилиш мумкин: v v0 t e m. Сонли ечим. Тезликдан олинган ҳосилани унинг тақрибий айирмали қиймати ѐрдамида тасвирлаймиз: dv ( t t ) ( t ) ( t t ) ( t ) lim lim . dt е0 t е0 t t Тенглама энди (t t ) (t ) t (t ) m кўринишни олади. Бу ердан ( t t ) ( t ) ( t )t . m Бу муносабат қўйилган масалани ҳал қилади, чунки бу тенглик ихтиѐрий вақт мометдидаги тезликни унинг бундан олдинги қиймати ѐрдамида топиш имконини беради. Яъни, бошланғич қийматдан бошлаб t вақтдан кейин, сўнгра яна t вақтдан кейин ва ҳоказо вақтдан кейин тезлик қанақа бўлишини аниқлаш мумкин. Ҳисоблаш натижалари. m, v0 1 деб оламиз. Бу ҳолда тенглама қуйидаги содда кўринишга эга бўлади: 29 Аналитик: v e t . Сонли: vt t vt 1 t , v0 1. Вақтнинг охирги моменти сифатида t 5 ни танлаймиз. Тезликнинг бу вақт моментидаги аналитик (амалда аниқ қиймати) қиймати қуйидагига тенг: v5 exp 5 0.0067379 . Тезликнинг шу қийматини сонли усулда топамиз. Қадамнинг турли қийматларидан фойдаланамиз. Ҳисоблаш натижалари қуйидаги жадвалда келтирилган: t v 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.0009766 0.0031712 0.0051538 0.0065705 0.0067211 0.0067363 Сонли ечишда t 0.0001 қадам учун олинган сонли натижа ( v 0.0067363 ) аниқ ечимга яқинлиги кўриниб турибди. Бу эса қадам кичрайганда сонли ечим аниқ ечимга интилишини билдиради. Буни қуйидаги графикдан ҳам кўриш мумкин. 30 МАЪРУЗА №4. ЭНЕРГИЯНИНГ САҚЛАНИШ ҚОНУНИ ВА МАССА (МАТЕРИЯ)НИНГ САҚЛАНИШ ҚОНУНИДАН ФОЙДАЛАНИБ, ОДДИЙ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАР ҚУРИШ. Энергиянинг сақланиш қонуни. Бу қонун қарийб икки асрлардан буѐн маълум бўлиб, табиатнинг буюк қонунлари орасида алоҳида ўринни эгаллайди. Бу қонунга таяниб, маятник 4.1-расм. Математик маятник. туридаги нисбатан осон қурилма - мустаҳкам ва эркин айланувчи енгил стерженга осилган юк (4.1-расм) дан фойдаланиб, тўппонча ўқининг тезлигини аниқлаш мумкин. Фараз қилайлик, m массали ўқ M массали юкка v тезлик билан отилсин. Ўқнинг отилиши натижасида юкда тиқилиб қолган ўқ «ўқ-юк» системасига ўзининг кинетик энергиясини беради. Ўз навбатида бу кинетик энергия стерженнинг вертикалдан энг юқори четлашиши моментида «ўқ-юк» системасининг потенциал энергиясига айланади. Энергиянинг бир турдан иккинчи турга айланиши қуйидаги тенгликлар орқали тасвирланади: mv 2 V2 M m M mgl 1 cos . 2 2 Бу ерда mv 2 / 2 v тезликка эга бўлган m массали ўқнинг кинетик энергияси, M юкнинг массаси, V «ўқ-юк» системасининг тўқнашувдан 31 кейинги тезлиги, g эркин тушиш тезланиши, l стерженнинг узунлиги, вертикалдан энг энг юқори четлашиш бурчаги. Ушбу формуладан изланаѐтган тезлик учун қуйидаги тенгликни аниқлаш мумкин: v 2 M mgl 1 cos . m Тезликнинг бу қиймати ўқ юкни иситиши, ҳавонинг қаршилигини енгиш, стерженни тезлаштириш ва ва ҳакозаларга сарф бўлган энергиялар унчалик катта бўлмаганида аниқ кўринишга эга бўлади. Бир қарашда ўринли бўлган мазкур мулоҳаза аслида тўғри эмас. Ўқ ва маятникнинг «ѐпишиш»и пайтида содир бўладиган жараѐнлар бу ҳолатда соф механик жараѐнлар эмас. Шу сабабли V катталикни ҳисоблашда қўлланилган механик энергиянинг сақланиш қонуни ўринли эмас: системанинг механик энергияси эмас, тўлиқ энергияси сақланади. У ўқнинг тезлигини баҳолаш учун қуйи чегарани беради, холос (бу содда масалани тўғри ечиш учун импульснинг сақланиш қонунидан ҳам фойдаланиш керак бўлади). 4.2-расм. Металлни лазер билан ўйишнинг бошланғич, оралиқ ва якуний босқичлари. 32 Юқорида келтирилган мулоҳазаларни L қалинликдаги металл қатламини нурланиши материалнинг сиртига перпендикуляр бўлган W қувватли лазер билан ўйиш вақти t k ни баҳолашда ҳам қўллаш мумкин. Агарда лазернинг энергияси LS ( S нурланувчи юза, LS устунчанинг ҳажми, модданинг зичлиги) массали металл устунчасининг буғланишига тўлиқ сарф бўлса, у ҳолда энергиянинг сақланиш қонуни қуйидаги тенглик билан ифодаланади: E0 Wt k hLS , (1) бу ерда h бирлик массанинг буғланиши учун керак бўладиган энергия. h энергия бир неча h Tэр T h1 h2 h3 . энергияларнинг Чунки материални йиғиндисидан кетма-кет иборат: равишда эриш температураси Tэр гача иситиш, сўнгра қизитиб, буғга айлантириш керак ( T бошланғич температура, h1 – солиштирма исслиқлик сиғими, h2 ва h3 мос равишда эриш ва буғ ҳосил қилишнинг солиштирма иссиқликлари). Ўйиш чуқурлиги l t нинг вақт ўтиши билан ўзгариши t дан t dt гача бўлган вақт оралиғидаги энергиянинг мувозанатидан аниқланади. Бу вақт ичида буғланган l t dt l t S dlS массага dl hS энергия сарф бўлиб, бу энергия лазер томонидан моддага узатиладиган Wdt энергияга тенг бўлади: dl hS Wdt . Бу ердан қуйидаги дифференциал тенгламани ҳосил қилиш мумкин: dl W . dt hS Бошланғич ўйиш чуқурлиги нолга тенглигини ҳисобга олган ҳолда тенгламани интеграллаш натижасида ўйиш чуқурлиги учун қуйидагига эга бўлиш мумкин: 33 l t W E t t . hS hS (2) Бу ерда E t лазер томонидан t вақт моментигача ажралган ҳамма энергияни ифодалайди. Демак, ўйиш чуқурлиги сарф бўлган энергияга пропорционалдир. Аслида ўйиш жараѐни ўрганиб чиқилган схемага қараганда анча мураккабдир. Негаки, энергия моддани иситиш, нотўғри шаклда бўлиши мумкин бўлган ўймадан буғларни йўқотиш учун сарф бўлади. Шунинг учун, таклиф этилган математик моделнинг тўғрилигига ишонч унчалик катта эмас. Модда массасининг сақланиш қонуни. Фараз қилайлик, унча кўп бўлмаган радиоактив модда (уран) «оддий» материал (қўрғошин) нинг қалин қатлами билан ўралган бўлсин. Ушбу ҳолат бўлинувчи материалларни сақлашда ѐки улардан энергетикада фойдаланишда учраб турадиган табиий ҳолдир. 4.3-расм. «Унча кўп бўлмаган» ибораси остида соддалаштирилган ҳол, аниқроғи, емирилишда қатнашган барча маҳсулотлар модданинг атомлари билан тўқнашмаган ҳолда I соҳани ҳеч қандай қийинчиликларсиз тарк этиши 34 тушунилади. Бошқа сўз билан айтганда, биринчи моддадаги емирилиш маҳсулотларининг эркин югуриб ўтиш узунлиги I материалнинг характерли ўлчами LI дан анчагина каттадир, яъни I LI . Агар иккинчи моддадаги емирилиш маҳсулотларининг эркин югуриб ўтиш узунлиги материалнинг характерли ўлчамидан анчагина катта, яъни II LII бўлса ажралувчи маҳсулотлар II соҳада тўла ютилади (4.3-расм). Шундай қилиб, I соҳадан учиб чиқадиган барча моддалар II соҳада ютилади ва иккала модданинг умумий массаси вақт ўтиши билан ўзгармайди. Айтиб ўтилган мулоҳазалар берилган вазиятга нисбатан тадбиқ этилган модданинг сақланиш қонунидир. Агарда бошланғич вақт моменти t 0 да моддаларнинг массалари мос ҳолда M I 0 ва M II 0 тенг бўлган бўлса, у ҳолда ихтиѐрий вақт моментида M I 0 M II 0 M I t M II t (3) мувозанат ўринли бўлади. Иккита M I t ва M II t массаларнинг жорий қийматларини аниқлаш учун (3) тенгламанинг ўзи етарли бўлмайди. Математик баѐнни охирига етказиш учун емирилиш жараѐнини қўшимча мулоҳазаларни жалб этган ҳолда ўрганиш керак. Ушбу мулоҳаза қуйидагича: емирилиш тезлиги (бирлик вақт ичида емирилувчи атомлар сони) радиоактив моддадаги атомларнинг умумий сонига пропорционал. t ва t dt моментлар орасидаги dt вақт оралиғида жами емирилувчи атомлар сони N I t dt N I t N I t dt , 0, 0 1 миқдорга тенг бўлади. Бу ерда модданинг сақланиш қонуни бутун жараѐнга эмас, фақатгина dt вақт оралиғи учун иккинчи маротаба қўлланилган. Атомларнинг мувозанатини таърифловчи мазкур тенгламанинг ўнг томонида модда камайишини англатувчи минус ишораси турибди, N I t dt катталик эса кўрилаѐтган вақт ичида атомлар сонининг ўртача қийматини ифодалайди. Уни дифференциал шаклда ѐзамиз: 35 dN I t N I t . dt M I t I N I t ( I - I модданинг атом оғирлиги) эканлиги ҳисобга олинса, қуйидагини ҳосил қилиш мумкин: dM I t M I t . dt (4) Ихтиѐрий радиоактивликда ҳар қандай атом ўзининг атрофидаги модданинг ҳолатига боғлиқ бўлмаган емирилиш эҳтимоллигига эга бўлади. Шунинг учун, радиоактив модда қанчалик кўп (кам) бўлса, бирлик вақт ичида шунчалик кўп (кам) маҳсулот ажралиб чиқади. Пропорционаллик коэффициенти 0 (емирилиш доимийси) ҳар бир конкрет модда учун турли қийматларга эга. II LII шартлар ҳамда M I 0 ва (3), (4) тенгламалар I LI , M II 0 катталиклар билан биргаликда ўрганилаѐтган объектнинг математик моделини ташкил этади. (4) ни интеграллаб, бўлинувчи (ажралувчи) модданинг массаси экспоненциал қонун бўйича камайишини кўриш мумкин: M I t M I 0e t . Ушбу тенгликдан кўриниб турибдики, t да I соҳада моддалар бутунлай ютилади, яъни I соҳадаги моддалар бутунлай II соҳага ўтиб кетади. Умумий масса (3) тенгликга кўра ўзгармасдан қолганлиги учун, II соҳадаги модда миқдори ортиб боради: M II t M II 0 M I 0 M I 0e t M II 0 M I 0 1 e t , бу тенгликдан кўриниб турибдики, вақт ўтиши билан, яъни t да I соҳадаги моддалар бутунлай емирилиб, II соҳага ўтиб кетади. 36 МАЪРУЗА №5. ИМПУЛЬСНИНГ САҚЛАНИШ ҚОНУНИДАН ФОЙДАЛАНИБ, МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАР ҚУРИШ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШДА АНАЛОГИЯ УСУЛИ. Импульснинг сақланиш қонуни Маълумки, денгиз сатҳида шамол бўлмаса қўзғалмасдан турган қайиқнинг бир учидан иккинчи учига қараб бир неча қадам қўйилса, қайиқ ҳаракатланишни бошлайди. Импульснинг сақланиш қонуни айнан шу ерда ўзини намоѐн қилади, бу қонунга кўра: система ташқи таъсирга учрамаса системанинг импульси сақланади. Эшкаклар ҳаракатга келтирилгандан сўнг қайиқ бу ҳаракатга қарама-қарши томонга силжиш билан ҳаракатланади. Кўпгина ажойиб техник қурилмалар реактив ҳаракат принципига асоланган. Масалан, сунъий йўлдошни Ер атрофидаги орбитага чиқарувчи ракета тезлигини биринчи космик тезлик – 8 км/с га етказиши зарур. Ракета ҳаракатининг энг содда математик модели ҳавонинг қаршилиги, ернинг тортиш кучини ҳисобга олмаган ҳолда импульснинг сақланиш қонунидан келиб чиқади. Ракета ѐқилғи бакидаги ѐниш маҳсулотларидан ҳосил бўлган газ ѐқилғи бакидан u тезлик (замонавий ѐқилғиларга нисбатан бу катталик 3-5 км/с га тенг) билан чиқиб кетсин. t ва t+t моментлар орасидаги кичик вақт оралиғи t да ѐнилғининг бир қисми ѐнади ва ракетанинг массаси m катталикка ўзгаради. Шунингдек, ракетанинг импульси ҳам ўзгаради, аммо «ракета плюс ѐқилғи маҳсулотлари» системасининг импульси t вақтдаги каби ўзгармасдан, сақланиб қолади, яъни mt vt mt t vt t mt mt t vt t u. Бу ерда v(t) – ракетанинг t вақтдаги тезлиги, vt t u t вақт оралиғида ѐқилғи бакидан ажралиб чиқадиган газларнинг ўртача тезлиги (иккала тезлик ҳам Ерга нисбатан олинади). Бу тенгликнинг ўнг қисмида турган биринчи ҳад – ракетанинг t+t вақт моментидаги импульсини, 37 иккинчиси – t вақт ичида ѐқилғи бакидан ажралиб чиқадиган газларнинг импульсини англатади. dm 2 o t , dt dv 2 vt t vt t o t dt тенгликларни ҳисобга олган ҳолда, импульснинг сақланиш қонунини mt t mt t қуйидаги дифференциал тенглама кўринишида ѐзиб олиш мумкин: m бу ерда – dv dm u. dt dt dm u ҳад ракета двигателининг тортиш кучи бўлиб, уни dt dv d ln m u dt dt кўринишга келтириб олгандан сўнг, осонгина интеграллаш мумкин: m vt v0 u ln 0 mt бу ерда v0, m0 – мос равишда ракетанинг t=0 вақт моментдаги тезлиги ва массаси. Агарда v0=0 бўлса, у ҳолда ракета ѐқилғисининг тўла ѐниб бўлганида эришиладиган ракетанинг максимал тезлиги m0 v u ln m m s p (5) га тенг. Бу ерда m p – фойдали масса (спутник массаси), ms – структура массаси (ракетанинг массаси ѐқилғи баклари, двигателлар, бошқарув тизимлари ва ҳ.к. ларнинг массаларидан ташкил топади). Циолковскийнинг (5) содда формуласи космик учишлар учун ракетанинг структураси қандай бўлиши кераклиги тўғрисида фундаментал хулосани чиқаришга имкон беради. 38 ms m0 m p катталикни киритайлик. Бу катталик m p 0 да ракетанинг структуравий ва бошланғич массалари нисбатини ифодалайди. У ҳолда ҳақиқий 0,1 ва u 3 км/с қийматларга нисбатан, m p 0 да 1 v u ln 7 км/с га эга бўламиз. Бу ердан ҳаттоки энг идеал вазият (фойдали масса нолга тенг, ернинг тортиш кучи ва ҳавонинг қаршилиги йўқ бўлган) да ҳам ўрганилаѐтган турдаги ракета биринчи космик тезликка эриша олмаслиги келиб чиқади. Шу туфайли, космонавтиканинг асосчилари келган хулосага кўра, кўп поғонали ракеталардан фойдаланиш лозимдир. Келтирилган мисол шу жумладан мураккаб объектларни математик моделлаштиришнинг бошланғич даврида қўлланиладиган «энг катта қулайлик» принципини намойиш қилади: агарда энг яхши шароитларга қўйилган объект керакли характеристикаларга эриша олмаса, у ҳолда объектга нисбатан ѐндашувни ўзгартириш ѐки унга қўйилган талабларни юмшатиш лозим; агарда талабларга эришиб бўлса, у ҳолда кейинги қадамлар объектга нисбатан қўшимча мураккаблаштирувчи омилларнинг таъсирини ўрганиш билан боғлиқдир. МАЪРУЗА №6. ИЕРАРХИЯ ПРИНЦИПИДАН ФОЙДАЛАНИБ, МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАР ҚУРИШ. Олдинги параграфда биз моделларни қуришда физик қонунларнинг тадбиқини ўрганиб чиққан эдик, бу параграфда эса модель қурилган, аммо эндиликда бу модель янада умумийроқ ҳолга нисбатан қўлланилиши мумкинлиги маълум бўлиб қолган вазиятни ўрганиб чиқамиз. Фақатгина айрим ҳолларда энг содда моделларнинг математик моделларини тўлиқ қўринишда, унинг ҳатти-ҳаракати учун мос бўлган барча омилларни қуриш 39 ўзини оқлайди. Шунинг учун «соддадан-мураккабликка қараб» тамойилини амалиѐтга тадбиқ этувчи ѐндашув ўринли бўлиб, бу ѐндашувга кўра кейинги қадамга мураккаб бўлмаган моделни синчковлик билан ўрганиб чиққандан сўнг ўтилади. Бунда ҳар бири олдинги моделларни умумлаштирувчи ва уларни ўзининг хусусий ҳоли сифатида ўзига бириктириб олувчи нисбатан тўла моделлар занжири (иерархияси) ҳосил бўлади. Бундай занжирни кўп поғонали ракетанинг модели мисолида ўрганмаиз. Олдинги маърузанинг охирида қайд қилинганидек, ҳақиқий бир поғонали ракета биринчи космик тезликка эриша олмайди. Бунинг сабаби ѐнилғининг керакли бўлмаган структуравий массани ҳаракатлантириб юборишга сарф бўлишидир. Демак, ракета ўзининг ҳаракати давомида даврий равишда балластдан қутулиб бориши лозим. Амалий конструкцияда эса бу ракета фойдаланиб бўлингандан сўнг ташлаб юбориладиган бир нечта поғоналардан ташкил топишини англатади. Қуйида келтириладиган белгилашлардан фойдаланмиз: mi i-чи поғонанинг умумий массаси, mi i-чи поғонага мос келувчи структура массаси (бунда ѐқилғининг массаси 1 mi катталикка тенг), m p - фойдали юк массаси. катталик ва газларнинг тезлиги u барча поғоналарга нисбатан бир хилдир. Аниқлик учун поғоналар сонини n=3 га тенг деб оламиз. Бундай ракетанинг бошланғич массаси m0 m p m1 m2 m3 га тенг. Биринчи поғонанинг ѐқилғиси сарф бўлган ва ракета массаси m p m1 m2 m3 га тенг бўлган моментни ўрганиб чиқамиз. У ҳолда Циолковскийнинг формуласига кўра, ракетанинг тезлиги m0 v1 u ln m m m m 1 2 3 p 40 га тенг бўлади. v1 тезликка эришилгандан сўнг, m1 структуравий масса ташлаб юборилади ва иккинчи поғона ишга киради. Бу моментда ракетанинг массаси mp+m2+m3 га тенг бўлади. Шу моментдан бошлаб, то иккинчи поғонадаги ѐқилғи тўла ѐниб битгунга қадар қурилган моделдан фойдаланишга ҳеч нарса ҳалақит бермайди. Импульснинг сақланиши тўғрисидаги барча мулоҳазалар ўз кучини сақлаб қолади (эндиликда ракетанинг бошланғич тезлиги v1 га тенг эканлигини ҳисобга олиш даркор). У ҳолда, Циолковскийнинг формуласига кўра, иккинчи поғонадаги ѐқилғи ѐниб тугагандан сўнг, ракета m p m2 m3 v2 v1` u ln m m m 2 3 p тезликка эришади. Ҳудди шу мулоҳазаларни ракетанинг учинчи поғонасига нисбатан ҳам қўллаш мумкин. Ракетанинг двигатели ўчирилгандан сўнг, ракетанинг тезлиги m p m3 v3 v2` u ln m m 3 p га тенг бўлади. Бу занжирни ихтиѐрий сондаги поғоналарга нисбатан давом эттириб, мос формуларни ҳосил қилиш мумкин. n=3 ҳолда эса охирги тезликка нисбатан m p m2 m3 m p m3 v3 m0 ln u m p m1 m2 m3 m p m2 m3 m p m3 41 тенгликни ҳосил қилиш мумкин. Бу тенгликда қуйидагича белгилашлар 1 m p m2 m3 m0 , 2 m p m1 m2 m3 m p m2 m3 3 m p m3 m p m3 киритиб, уни нисбатан соддароқ кўринишга келтириш мукин: v3 3 1 2 . ln u 1 1 1 1 1 1 1 2 3 Мазкур ифода 1 , 2 , 3 катталикларга нисбатан симметрик бўлиб, у ўзининг максимумига симметрик ҳолда, яъни 1 2 3 бўлганда эришади. Бунда, i =3 га нисбатан 1 , P v P exp 3 3u муносабат ўринлидир. 3 1 2 3 кўпайтма m0 m p га тенг эканлигини осонгина текшириб кўриш мумкин. Бундан қуйидагига эга бўлиш мумкин: m0 1 3 . m p P 3 3 Кўп поғонали ракетага нисбатан шунга ўхшаш равишда m0 1 , mp P n v P exp n nu муносабатлар ўринли, бу ерда n — поғоналар сони. Охирги ҳосил қилинган формулани таҳлил қилайлик. vn = 10,5 км/с, = 0,1 деб оламиз. У ҳолда n = 2,3,4 ларга нисбатан мос равишда m0=149mр, m0=77mp, m0=65mp ларни ҳосил қилиш мумкин. Бу дегани, икки поғонали ракета фойдали массани орбитага чиқаришга лайоқатлидир (аммо бир тоналлик фойдали юкда 149 тонналик вазнли ракетага эга бўлиш даркор). 42 Учинчи поғонага ўтиш ракетанинг массасини деярли икки мартага камайтиради (аммо унинг тузилмасини муракаблаштиради), тўрт поғонали ракета эса уч поғоналига нисбатан сезиларли ютуқни бермайди. Иерархик занжирни қуриш бу каби муҳим хулосаларга нисбатан осон йўл билан келиш имконини берди. Математик моделларнинг иерархияси тескари тартибда ―мураккабликдан соддаликка‖ тамойили бўйича ҳам қурилади. Бундай ҳолатда ―юқоридан пастга‖ принципи асосида иш кўрилади умумий ва мураккаб моделдан соддалаштирувчи фаразлар асосида нисбатан содда (аммо тадбиқ этилиш доираси анча тор бўлган) моделлар кетма-кетлиги ҳосил қилинади. МАЪРУЗА №7. МАЛЬТУС ВА ФЕРХЮЛЬСТ-ПЕРЛЬ МОДЕЛЛАРИ. Мальтус модели. Мальтус моделлари универсалдир у геометрик прогрессия ва регрессияларга тааллуқли барча ҳодисаларни ифодалайди. Унинг тадбиқ этилиш доирасига радиоактив емирилиш қонуни ҳам, озуқа билан тўйинган муҳитда микроорганизмларнинг сони ҳам киради. Қуйидаги масалани ўрганиб чиқамиз: Бизга қандайдир озуқавий муҳит билан тўлдирилган банка берилган бўлсин. Ярим тунда 00 соат, 00 минут, 00 сонияда банкага маълум миқдордаги бактерия жойлаштирилгандан сўнг улар бўлинишни бошлайди. Банка кейинги куннинг 00 соат, 00 минут, 00 сониясида, яъни 24-соатдан кейин бактериялар билан тўлдирилиши маълум. Шунингдек, ҳар сонияда банкадаги бактериялар сони икки баравар кўпайиши ҳам маълум. Банка қачон (соат, минут ва сонияда) ярмигача тўлишини аниқланг (7.1-расм). 43 7.1-расм. Бактерияли банканинг модели. T = 0 –тажрибанинг бошланиш вақти, T = E – тугаш вақти (E алоҳида олинган бирлик системасидаги 24 соатга тўғри келади), T = ? – изланаѐтган вақт моменти. Бу масалани ечишнинг анъанавий усули бир секундда бактериялар сони икки баравар ортиш фактидан фойдаланишдир. Шундай қилиб, Е вақтгача бир секунд қолганда (7.1-расмга қаранг) бактериялар сони Е моментдагига қараганда икки баравар кам бўлади (тўла банка), яъни 23:59:59 да банка ярмигача тўлган бўлади. Қандай қилиб бу ажойиб қонуниятни янада кўпроқ масалаларга нисбатан кенгайтириш мумкин? Мальтус модели айнан шундай ечимни таклиф этади. Мальтус модели қуйидаги дифференциал тенглама билан ифодаланади: dN N . dt Бу тенглама қуйидаги умумий ечимга эга: N N 0 e t . Келтирилган дифференциал тенглама тезлиги (тенгламанинг чап қисми) жорий вақт моментдаги миқдорга пропорционал бўлган жараѐнни ифодалайди. Бизнинг масаламизга нисбатан у k=- коэффициентни киритиш билан қайта баѐн этилиши мумкин. Жумладан, масаланинг шартига кўра, k =2 эканлиги келиб чиқади, чунки бир секунд ичида бактериялар сони икки марта кўпаяди. Ва биз масаланинг хусусий ҳолига эга бўламиз: dN 2N dt ва унинг ечими: 44 N N 0 e 2t бўлади. Бу ечимдан ихтиѐрий вақт моментидаги бактериялар сонини ҳосил қилиб олиш мумкин. Бу моделнинг тадбиқ этилиш доирасининг чегараларини аниқлаш учун, унинг ва параметрларнинг ҳар хил қийматларидаги ҳатти-харакатини ўрганиб чиқамиз. Мальтус модели идеал ҳолда аҳоли сонини моделлаштириш учун тадбиқ этилиши мумкин, бунда ва параметрлар мос равишда туғилиш ва ўлиш коэффициентларини ифодалайди. Мазкур модельнинг ҳар хил қийматли коэффициентлардаги табиатини ўрганиб чиқамиз (7.2-7.3-расмлар). 7.2-расм. Мальтус модели. =0,43; =0,48; N0=1000000 (абсцисса ўқи бўйича вақт, ордината ўқи бўйича аҳоли сони жойлашган). Кўриниб турибдики, агар ўлимлар сони туғилишларга қараганда кўпроқ бўлса, у ҳолда Мальтус модели аҳоли сонининг экспоненциал равишда камайишига ишора қилади (7.2-расм). 45 7.3-расм. Мальтус модели =0,05; =0,01; N0=1000000 (абсцисса ўқи бўйича вақт, ордината ўқи бўйича аҳоли сони жойлашган). Эндиликда, агар туғилишлар сони ўлимлар сонига нисбатан кўп бўлса, у ҳолда Мальтус модели аҳоли сонининг экспоненциал равишда ўсишига ишора қилади (7.3-расм). 7.4-расмда туғилишлар ва ўлимлар сони ўзаро тенг бўлиб, Мальтус моделининг кўрсатишича, система мувозанат ҳолда бўлади: аҳоли сони бутун вақт оралиғида ўзгармасдан қолади. 46 7.4-расм. Мальтус модели. =0,1; =0,1; N0=1000000 (абсцисса ўқи бўйича вақт, ордината ўқи бўйича аҳоли сони жойлашган). Мальтус модели ватарлар усули билан аппроксимацияланишида ўзини қандай қилиб тутишини ўрганиб чиқамиз: 7.5-расм. Мальтус модели. =0,43; =0,48; N0=1000000. Ватарлар усули ѐрдамида n=7 қадам билан аппроксимациялаш (абсцисса ўқи бўйича вақт, ордината ўқи бўйича аҳоли сони жойлашган). Кўриниб турганидек, ҳаттоки кичик қадам билан ҳам Мальтус модели аналитик моделга етарлича яхши яқинлашади (7.5-расмга қаранг). Ўрганиб чиқилган мисол демография масалаларига нисбатан қўлланилган Мальтус модели аҳолининг чексиз экспоненциал ўсишини башорат қилишини кўрсатиб берди, бундай ўсиш эса табиатда содир бўлмайди. Мазкур модель кичик вақт ораликларида ҳамда ва коэффициентлар муҳит параметрлари ва N нинг қийматларига боғлиқ бўлмаган вазиятда қўлланилиши мумкин. Ферхюльст-Перл модели. Эндиликда бу моделнинг такомиллаштирилган версиясини Ферхюльст-Перл моделини (логистик модель) ўрганиб чиқамиз. 47 – Логистик модель Ферхюльст-Перлнинг дифференциал тенгламаси орқали тасвирланади: N t - t2. Бу тенглама қуйидаги умумий ечимга эга: N 0 e t N . N 0 e t 1 Логистик модель ҳаѐтни таъминловчи ресурслар чекланган ҳолдаги (мисол тариқасида аҳоли сони олинса) Мальтус моделининг умумлашган кўринишидир. Шундай қилиб, эндиликда логистик модель Мальтус модели сингари чексиз ўсишга йўл қўймайди. Ўсиш / катталик билан чегараланган бўлади Модельнинг >, < и = даги ҳатти-ҳаракатини ўрганиб чиқамиз. 7.6-расм. Логистик модель =0,4; =0,2; N0=100 (юқори тўғри чизиқ - N=/ асимптота). 48 7.7-расм. Логистик модель =0,2; =0,4; N0=1000. 7.8-расм. Логистик модель =0,4; =0,4; N0=1000. Кўриниб турганидек, охирги иккита ҳолда логистик модель ўзини Мальтус модели сингари тутмоқда. 49 7.9-расм. Аҳолининг бошланғич сони бир хил N0=3000 бўлган ҳолдаги логистик моделлар. (Юқоридан пастга қараб: N=/ асимптота, модельнинг =0,45, =0,25; =0,2, =0,2; =0,25, =0,45 коэффициентлардаги ҳатти-ҳаракати) . Агарда Ферхюльст-Перл тенгламаларини дискрет шаклда ѐзиб олсак, у ҳолда арифметик алмаштиришлардан сўнг қуйидаги муносбатга эга бўламиз: x n + 1 = 4r(1 xn ) xn Бу ерда xn – ечимнинг жорий қадамдаги қиймати, xn+1 – ечимнинг кейинги қадамдаги қиймати, r –ўзгарувчи параметр. Ечимнинг кичик r лардаги ҳатти-ҳаракатини ўрганиб чиқамиз. 50 7.10-расм. Фрехюльст-Перл дискрет тенглама ечимининг эволюцияси x0=0,5, r=0,2 (бу ерда ва келгусида: t ўқи бўйича қадамлар (2:5 масштабда), X(t) ўқи бўйича эса n-қадамдаги ечим ажратилган). 7.11-расм. Ферхюльст-Перл дискрет тенглама ечимининг эволюцияси x0=0,1, r=0,35. Қайд этиш жоизки, r қанчалик кичик бўлса, дискрет модель ўзини шунчалик узлуксиз модель сингари тутади. 51 Аммо r нинг ортиб бориши биланоқ, Ферхюлст-Перл тенгламанинг дискрет ечими ўзининг узлуксиз аналогидан тобора четлашиб боради – r>0,75 да у иккита қиймат орасида тебранишни бошлайди, бифуркация ҳодисаси бошланади (7.12-расм) 7.12-расм. Ферхюльст-Перл дискрет тенглама ечимининг эволюцияси x0=0,5, r=0,81. R нинг қиймати тобора ортиб бориши биланоқ, ечим яна бир нечта бифуркациядан ўтади (4,8,.... қийматлар орасида тебранади) ва r>0,893 да тартибсиз бўлиб қолади (7.13-расм). 7.13-расм. Ферхюльст-Перл дискрет тенглама ечимининг эволюцияси. x0=0,2, r=0,978. 52 Агарда абсциссалар ўқи бўйича r параметрнинг қийматларини кичик қадам билан, ордината ўқи бўйича эса дискрет тенгламанинг ечимини катта қадамлар билан (идеал кўринишда - чексиз қадамлардан сўнг) ажратиб, уни RХ фазодаги нуқта билан белгиласак, натижада биз дискрет моделнинг аттрактлар тўпламига эга бўламиз. 7.14-расмда биринчи ва иккинчи бифуркация нуқталарини кўриш мумкин, шунингдек, бу ерда тартибсиз ҳаракатлардаги аттракторнинг мураккаб тузилмаси яққол кўзга ташланмоқда. 7.14-расм. r нинг ҳар хил қийматлари (абсциссалар ўқи) га нисбатан катта n ларда Ферхюльст-Перл дискрет модели ечимининг (ординаталар ўқи) ҳатти-ҳаракати. МАЪРУЗА №8. ПОПУЛЯЦИЯ ЧИЗИҚСИЗ МОДЕЛИНИНГ УЧ ТУРДАГИ РЕЖИМИ. Кўпгина реал жараѐнлар ва уларга мос келувчи математик моделлар чизиқсиздир. Чизиқли моделлар реал жараѐнларнинг хусусий ҳоли бўлиб, улар реал воқеликка биринчи яқинлашиш сифатида хизмат қилади. Агар яшавчанлик ресурсларининг чекланганлиги эътиборга олинадиган бўлса, популяция моделлари ҳам чизиқсиз тенгламага айланади. Уларни ҳосил қилиш учун қуйидагича фараз қилинади: 53 1. атроф муҳит томонидан таъминланадиган «мувозанатли» популяция сони N P мавжуд; 2. популяция сонининг ўзгариш тезлиги мувозанат қийматидан оғиш миқдорига кўпайтирилган популяция сонига пропорционал, яъни dN N N, (1) 1 0. dt N P Ушбу тенгламада 1 N N P ҳад популяция сонининг «тўйинганлик» механизмини таъминлайди, яъни N N P N N P да популяция сонининг ўсиш тезлиги мусбат (манфий) ва агар N N P да нолга интилади. 8.1-расм. Ҳар хил бошланғич популяция сони N 0 га мос келувчи логистик эгри чизиқлар. (1) тенгламани қуйидагича ўзгартирамиз: dN dN dt . NP N N Ушбу тенгламани интеграллаб, қуйидагига эга бўлиш мумкин: ln N P N ln N t C . N t 0 N 0 шартдан интеграллаш доимийсининг қийматини аниқлаймиз: С ln N P N 0 N 0 . 1 Натижада популяция сони учун қуйидаги тенгликка эга бўлиш мумкин: 54 N NP N 0 N 0 e t N e t N P N 0 N P N 0 ѐки N P N 0 e t . N t N P N 0 1 e t Ушбу функция билан ифодаланадиган N t функциянинг табиати расмда кўрсатилган логистик эгри чизиқ билан ифодаланади. Ихтиѐрий бошланғич популяция сони N 0 да популяция сони мувозанат қиймати N P га интилади. Мальтус моделидан фарқли ўлароқ ушбу ҳолда мувозанат турғун бўлади. Яъни, Мальтус моделига нисбатан ушбу модель популяция динамикасини реалроқ ифодалайди. МАЪРУЗА №9. РАҚОБАТНИНГ АЙРИМ МОДЕЛЛАРИ. «Йиртқич – ўлжа» системасининг ўзаро муносабат модели. Йиртқич ва ўлжанинг системасининг ўзгариши бир – бирига боғлиқ, яъни улар ўзаро таъсир билан яшайди. «Йиртқич–ўлжа» системасининг оддий математик модели қуйидаги фаразларга асосланган: 1) Ўлжа популяциясининг сони N ва йиртқич популяциясининг сони M фақат вақтнинг функцияларидир: N t , M t ; 2) Ўзаро таъсир бўлмаса, популяция сонлари Мальтус модели асосида ўзгаради ва бунда йиртқичлар сони камаяди, ўлжалар сони эса ўсади, яъни: dM dN N , M , 0, 0; dT dt 3) Популяция сонларининг табиий ўзгаришлари, яъни ўлжаларнинг табиий ўлиши ва йиртқичларнинг табиий кўпайиши аҳамиятга эга эмас; 4) Иккала популяция сонларининг тўйинганлик эффекти ҳтисобга олинмайди; 55 5) Ўлжалар сонининг ўсиш тезлиги йиртқичлар сонига, яъни сМ с 0 миқдорга нисбатан пропорционал равишда камаяди, йиртқичлар сонининг ўсиши эса ўлжалар сони, яъни dN d 0 миқдорга нисбатан пропорционал кўпаяди. Юқорида келтирилган фаразларни бирлаштириб, тенгламалар системасини ҳосил қилиш мумкин: Лотка-Вольтер dN dt ( сM ) N dM ( dN ) M dt (1) Ушбу тенгламалар системасидан N 0 N t 0, M 0 M t 0 бошланғич шартлар асосида ихтиѐрий вақт t 0 моменти учун популяциялар сонини аниқлаш мумкин. (1) тенгламалар системаси мувозанат ҳолатига, яъни вақтга боғлиқ бўлмаган ечимга эга: M0 c , N0 d . (2) Системанинг мувозанат ҳолати (2) ни турғунлигини ўрганамиз. Бунинг учун қуйидаги саволларга жавоб бериш лозим бўлади: агар популяцияларнинг бошланғич сонлари (2) билан бир хил бўлса, вақт ўтиши билан уларнинг сони қандай ўзгаради; қандайдир сабабга кўра популяциялар сонлари M 0 , N 0 миқдорлардан оғса, улар мувозанат ҳолатига қайтадими; агар популяцияларнинг бошланғич сонлари N 0, M 0 системанинг мувозанат ҳолати M 0 , N 0 лардан сезиларли фарқ қилса, система вақт ўтиши билан M 0 , N 0 миқдорларга нисбатан қандай ўзгаради. Юқорида келтириладиган келтирилган саволларга мулоҳазалардан жавоб фойдаланамиз. топиш Чизиқсиз учун қуйида тенгламалар системаси (1) ни N, M ўзгарувчилар текислигида ўрганиш қулайроқдир. Шу 56 мақсадда системанинг биринчи тенгламасини иккинчи тенгламасига бўламиз: сM N . dN dM dN M (3) (2) тенгламани қўйидагича алмаштирамиз: d N MdN сM NdM . (*) (*) ни ҳар иккала томонини NM га бўлиб, уни қуйидаги кўринишга келтирамиз: dN dM d dN c dM 0 . N M (4) (4) ни интеграллаймиз: ln N d N ln M cM const . Интеграллаш доимийси сonst бошланғич шартлар N 0 ва M 0 билан аниқланади. Шундай қилиб, (1) система қўйидаги ечимга эга: ln N ln ed N ln M ln ecM ln С ѐки N e d N С M ecM , С 0. (5) (5) дан қўйидагича ҳулоса қилиш мумкин: а) агар N 0 N0 , M 0 M 0 бўлса, ҳамма вақт мобайнида популяциялар сони ўзгармасдан қолади. б) йиртқич ва худди шунингдек, ўлжанинг популяция сонлари мувозанат ҳолатидан озгина ўзгариши, бу популяция сонларининг вақт ўтиши билан мувозанат ҳолатига қайтмаслигига олиб келади. в) агар бошланғич мувозанат ҳолатидан оғиш катта бўлса, N t , M t функцияларнинг табиати худди б) дагидек, яъни система вақт ўтиши билан мувозанат ҳолатига қайтмайди. Ушбу хулосалар шуни англатадики, йиртқич ва ўлжалар популяция сонлари мувозанат ҳолати атрофида даврий тебраниб туради. Тебраниш амплитудаси ва унинг даври популяцияларнинг бошланғич сонлари 57 N 0, M 0 орқали аниқланиб, N t нинг максимал қийматига M t нинг минимал қиймати мос келади ва аксинча. Икки тур ўртасидаги ўзаро муносабатни математик жиҳатдан тўлароқ характерлаш учун популяция сонларининг эгаллаб турган ҳудудларида нотекис тақсимланганлигини ҳисобга олиш лозим бўлади (ушбу ҳолга хусусий ҳосилали тенгламалар системаси мос келади). Вольтер-Лотка модели ―Йиртқич-ўлжа‖ системасининг ўзаро таъсирлашув моделини 19251927 йилларда Лотка ва Вольтерралар бир-биридан мустақил равишда таклиф этдилар. Иккита дифференциал тенглама воситасида ўлжа х1 ва х2 йиртқичнинг иккита биологик популяциянинг вақт бўйича ўсиш динамикасини моделлаштиради. Ўлжалар ўзгармас а тезлик билан кўпаяди, уларнинг сони эса йиртқичлар томонидан еб қўйилиши туфайли камаяди деб фараз қилинади. Йиртқичлар озуқанинг миқдорига пропорционал тезлик билан (d га тенг бўлиши шарт бўлмаган b коэффициент билан) кўпаяди ва табиий равишда ўлади (ўлими с константа билан аниқланади): dx 1 =(a dt dx 2 dt b x2 ) x1 =( c + d x 1 ) x 2 (x 1 )2 (x 2 )2 , 58 бу ерда – тур ичидаги ўзаро таъсирлашув коэффициенти (муҳит учун кураш), таҳлилни соддалаштириш мақсадида биз уни йиртқич ва ўлжа учун бир хил деб деб фараз қиламиз. Мувозанат нуқтаси яқинида моделни таҳлил қиламиз, бунинг учун системанинг мувозанат ҳолатини топамиз: dx 1 dt dx 2 dt =0 (x 1 )2 = 0 (x 2 )2 = 0 (a b x 2 ) x 1 ( c + d x1 ) x2 =0 Бундай система тўртта стационар нуқтага эга: ( 0, 0 ) c 0, a bc+ bd+ , 0 a ad , 2 bd+ c 2 Биринчи нуқта ҳеч қандай қизиқиш уйғотмайди; икинчи ва учунчи нуқталар билан таърифланувчи вазият моделнинг шартига (урғочилар сони нольга тенг), айрим шароитларда эса физик ҳақиқатга ҳам (урғочиларнинг сони манфий) тўғри келмайди. Шунинг учун, тўртинчи стационар нуқтага тўхталамиз. Масалан, системани иккинчи нуқтадан кўринишга келтирамиз (x=x1, y=x2 бўлсин): =x + =y + bc+ a bd+ ad 2 bd+ 2 59 c фойдаланиб, каноник У ҳолда ( bd+ d = dt ( bd+ d = dt 2 2 a) ( b bc bd+ 2 a d + c) ( d bd+ 2a+ 2c ) ) 2 , га эга бўламиз. =0 бўлгандаги хусусий ҳолни ўрганиб чиқамиз: d ( bd = dt d ( bd = dt bc ) ( b bd ad ) ( d bd 2a ) 2c ) У ҳолда: ac d 2a ad b 2 =0 + 2 (c a) 3ac = 0 2c + Характеристик тенгламанинг илдизлари қуйидаги кўринишга эга бўлади: 1,2 =a c c 2 + a 2 + ac Шундай қилиб, агар c2+a2+ac>0 бўлса, у ҳолда иккала хусусий қиймат– ҳақиқий сон ва ўзига хос нуқта-тугун бўлади. c2+a2+ac>0 да эса фокусга ва хос сонлар мавҳум бўлган хусусий ҳолда марказга эга бўламиз. Агарда >0 ѐки <0 бўлса, у ҳолда моделнинг мос равишда турғунлиги ва турғунсизлигини кузатиш мумкин. Агарда тур ичидаги рақобат йўқ деб қаралса (=0), у ҳолда системанинг ечими циклик равишда эволюцияга учрайди ва натижада биз фазали текисликда марказга эга бўламиз: 60 Йиртқич ва ўлжалар (х100) Вақт Ўлжалар 9.2-расм. Тур ичида рақобат бўлмаган ҳолда Вольтер-Лотка моделининг эволюцияси, йиртқичларнинг бошланғич сони x01=500 ва ўлжаларнинг сони эса x02=400, a=4, b=2,5, c=2, d=1. Йиртқичлар 9.3.-расм. 9.2-расмнинг фазали тасвири. Агарда тур ичидаги рақобат муҳитнинг бирлашуви (туташиш) га олиб келса (=0.1), у ҳолда йиртқич ва ўлжаларнинг сони вақт ўтиши билан камаяди ва биз сўнувчи тебранишларга эга бўламиз. 61 Йиртқич ва ўлжалар (х100) 9.4-расм. x01=1000, x02=150(1); x01=1000, x02=400(2); x01=1000, x02=800(3) даги фазали тасвирлар. Вақт 9.5-расм. Вольтер-Лотка моделининг мусбат коэффициентли (=0.1) рақобат билан эволюцияси, йиртқичларнинг бошланғич сони x01=500, ўлжаларники эса x02=400, a=4, b=2,5, c=2, d=1. Ўлжалар Фазали тасвир бўлиб эса турғун фокус хизмат қилади. Йиртқичлар 62 9.6-расм. 9.5-расмнинг фазали тасвири. Агарда рақобат муҳитнинг бойишига олиб келса, яъни энг кучлиларгина тирик қолса (<0, =-0.04), у ҳолда йиртқич ва ўлжаларнинг сони циклик тебранишларни амалга оширган равишда вақт ўтиши билан Йиртқич ва ўлжалар кўпаяди (6-расм). Йиртқичлар Вақт 9.7-расм. Манфий коэффициентли (=-0.04) рақобат асосида Вольтер-Лотка моделининг эволюцияси, йиртқичларнинг бошланғич сони x01=500, ўлжаларнинг сони эса x02=400, a=4, b=2,5, c=2, d=1. Ўлжалар Бу ҳолда фазовий тасвир турғун бўлмаган фокус кўринишида бўлади: Йиртқичлар 63 9.8-расм. 9.7-расмнинг фазали тасвири. Сонли тажрибалардан қуйидаги хулосага келиш мумкин: ечим циклик равишда тараққий этади, жумладан, =0 да цикл тўлалигича туташади (марказ фазали текисликда), >0 да циклнинг ҳар бир қадамида ечим тобора камайиб боради (турғун фокус), <0 да эса – ортади (турғун бўлмаган фокус). Табиийки, моделнинг ҳеч бир ўрнида муҳитнинг сиғими ҳисобга олинмайди, шунинг учун, бу ерда Мальтус моделидаги каби, биз ҳақиқатда бироз фарқ қилувчи тасвирга эга бўламиз: на йиртқичлар сони, на ўлжалар сони чексиз равишда ўсиб бориши мумкин эмас. Вольтер-Лотка моделини ўрганиб чиқиш давомида унинг дискрет аналоги тўғрисида ҳам айтиб ўтиш лозим: xn + 1 = xn + rx yn + 1 = yn + ry t (1 x n t y* yn x yn ) xn y xn yn Ферхюльст-Перл моделидаги каби, дискрет модель кичик t ларда ўзининг узлуксиз аналогидан фарқ қилмайди. Масалан, t=0,5 да биз тугунга эга бўламиз (8-расм). Аммо вақт бўйича қадам ортиб бориши биланоқ, дискрет модель узлуксиз моделга нисбатан тобора узоқлашиб боради ва t>2 да бифуркация ҳодисаси кузатилади. t>2.4 да системанинг ҳатти-ҳаракати тартибсиз бўлиб қолади (9.12-9.13 расмлар). 64 9.9-расм. Вольтер-Лотка дискрет моделининг x0=0,2, y0=0,5, t=0,5 даги ҳатти-ҳаракати (1 – y(t); 2 – x(t) эгри чизиқлар. Бу ерда ва келгусида rx= ry=1, y*=1,1, x=0,5, y=0,7 деб олинади). 9.10-расм. 9.9-расмнинг фазали тасвири. 65 9.11-расм. Вольтер-Лотка дискрет моделининг x0=0,2, y0=0,5, t=2,2 даги ҳатти-ҳаракати (1 – x(t); 2 – y(t) эгри чизиқлар). 9.12-расм. 9.11-расмнинг фазали тасвири. 66 9.13-расм. Вольтер-Лотка моделининг x0=0,2, y0=0,5, t=2,7 даги ҳатти-ҳаракати (1 – x(t); 2 – y(t) эгри чизиқлар). 9.14-расм. 9.13-расмнинг фазали тасвири. 67 МАЪРУЗА №10. ИККИ ДАВЛАТ ОРАСИДАГИ ҚУРОЛЛАНИШ ПОЙГАСИ МОДЕЛИ. Ушбу моделни ҳосил қилишда вақт ўтиши билан ҳар бир давлатдаги қуроллар миқдори учта факторга боғлиқ ҳолда ўзгаради деб фараз қилинди: 1) рақиб давлатдаги қуроллар миқдори; 2) мавжуд қуролларнинг эскириши; 3) рақиблар ўртасидаги ўзаро ишончсизлик даражаси. Қуролланишнинг ўсиши ва камайиши кўрсатилган факторларга пропорционал бўлади, яъни dM 1 dt 1 (t ) M 2 1 (t ) M 1 1 (t ) dM 2 (t ) M (t ) M (t ) 2 1 2 2 2 dt (1) (5)да қуйидаги белгилашлар қўлланилган: M1, M2>0 қуроллар миқдорлари, α1(t)>0, α2(t)>0 – қуролларни эскириш тезлигини характерловчи коэффициентлар, γ1≥0, γ2≥0 функциялар қурол миқдорига боғлиқ эмас деб ҳисобланилади ва бошқа сабаблар билан аниқланиб, рақиблар ўртасидаги ишончсизлик даражасини ифодалайди. Бу модель қуролланиш пойгаси динамикасига таъсир этувчи кўпгина муҳим фактларни ҳисобга олмасада, лекин бир қатор керакли маълумотларни таҳлил қилиш имконини беради. Агар αi, βi (i = 1,2) функциялар вақтга боғлиқ бўлмаса, (1) модел қуйидаги кўринишга келади. dM 1 1 M 2 1 M 1 1 dt dM 2 2M1 2M 2 2 dt (1) тенглама (2) dM 1 dM 2 0, 0 мувозанат ҳолатларига эга. М10, М20 – dt dt мувозанат қийматлари қуйидаги шартдан аниқланади: 68 1 M 2 1 M 1 1 0 2 M 1 2 M 2 2 0 M 10 1 2 2 1 1 2 , M 20 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 (3) (3) дан кўриниб турибдики, М10>0, М20>0 ларда мувозанат ҳолат мавжуд бўлиши учун β1β2>α1α2 (4) шарт бажарилиши керак. 10.1-расм. Агар α1, β1, β2 лар ўзгармас бўлса, α2 эса ўсса, бу шуни билдирадики, биринчи давдат қуролланиш соҳасига қарашларини, стратегиясини ўзгартирмайди, иккинчи давлат эса қуроллар эскириши билан қуролланишга зўр беради. У холда α2 етарлича катта қийматга эришса, мувозанат холати бузилади ва (4) тенгсизлик бажарилмайди. Агар γ1 ва γ2 нолга тенг бўлса, мувозанат ҳолати иккала давлатда ҳам қуроллар йўқлигига мос келади. М1(t) ва М2(t) функциялар t усиши билан (4) шарт бажарилган вақтларда мувозанат қийматларига интилади. Шундай қилиб, мувозанат турғун, яъни мувозанат ҳолатидаги оғишлар вақт ўтиши билан кичик миқдорларга айланиб боради. 69 МАЪРУЗА №11. БИОЛОГИК МОДЕЛЛАР. Ушбу мавзуда биологик системалар ва жараѐнларни моделлаштиришни келтириб ўтамиз. Маълумки, ҳар бир организмлар жўфтлиги етуклик давригача тирик қоладиганларига қараганда анча кўпроқ насл қолдиришига ўз вақтида Ч.Дарвин эътибор берган эди. Яъни, ҳар бир биологик тур геометрик прогрессия билан кўпайишга мойил экан. Оддий ҳолатда кўпайиш прогрессиясини ўрганиш учун популяция сони N вақт t бўйича ўзгаради деб фараз қиламиз. Бунда популяциянинг генетик структураси эътиборга олинмайди. Популяциянинг табиий ўсиш тезлиги r маълум бир турга тегишли популяцияни ҳарактерловчи асосий кўрсаткичдир. У битта урғочидан бирлик вақт ичида пайдо бўладиган авлодларнинг ўртача сонини англатади: r b-d , бу ерда b – битта урғочига бирлик вақт ичида тўғри келадиган ўртача туғилишлар сони; d – битта урғочига нисбатан бирлик вақт ичига тўғри келадиган ўртача ўлимлар сони. Мисол. 800 та урғочидан иборат популяция мавжуд. Ушбу популяцияда бир йилда ўртача 150 та урғочи туғилиб, 50 та урғочи вафот этса, популяциянинг табиий кўпайиш тезлиги r ни аниқлаш талаб этилсин. Жавоб: r = 150/800 – 50/800 = 0,125 /йил. Популяция сонининг вақт бўйича ўсиш тезлигини v dN dt сифатида ифодалаш мумкин. Популяция сони каби унинг ўсиш тезлиги ҳам вақтнинг функциясидир. Шу сабабли популяциянинг айни пайтдаги сони қанча катта бўлса, популяциянинг ўсиш тезлиги ҳам шунчалик катта бўлади. Популяция сони N га ҳеч қандай чекланишлар бўлмаганда, популяция кўпайишини қуйида келтириладиган тенглама билан ифодалаш мумкин: v dN ( b d )N rN . dt 70 N t 0 N0 Агар популяциянинг бошланғич сони бўлса, ушбу тенгламанинг ечими N N0 e r t кўринишда бўлади. Унинг графиги 11.1-расмда келтирилган. N N0 t 11.1-расм. Масала. Биринчи популяциянинг табиий ўсиш тезлиги r1 0,1/йил ва иккинчи популяцияники r2 0,05/йилга тенг эканлиги маълум. Иккинчи популяциянинг бошланғич сони биринчи популяциянинг бошланғич сонига нисбатан 2,72 марта кўп бўлса, қанча вақтдан кейин иккала популяциялар сонлари тенглашиб қолади? Ечиш. Масала шартига кўра r1 0,1/йил, r2 0,05/йил ва N 20 2,72 N10 . N 2 t N 20e r2 t 1 1 N1 t N10e r1t Охирги тенгликдан t = 20 эканлигини осонгина аниқлаш мумкин. Жавоб: t = 20 йил. Популяция сонининг ўсиши яшаш учун популяциялар ичида рақобатни ва турлар ўртасида курашни келтириб чиқаради. Табиий абиотик ва биотик омиллар натижасида популяция сонининг ўсиш тезлигига нисбатан чекланишлар пайдо чегараланганлиги бўлиши сабабли). мумкин (масалан, Ушбу ҳолатда яшаш майдони моделлаштириш методологиясидан фойдаланиб, популяциянинг мумкин бўлган максимал ўсиши Kmax га популяция сони N ни яқинлаштириш (мувозанатлаштириш) катта аҳамиятга эга. Ушбу яқинлаштиришни кўпайиш тезлигини ифодаловчи 71 дифференциал тенгламанинг ўнг томонига 1 - N K max кўпайтувчини қўшиш орқали амалга ошириш мумкин: dN N rN (1 ). dt K max N Kmax N0 11.2-расм. t Популяция сони N нинг унчалик катта бўлмаган қийматларида қўшимча кўпайтувчининг қиймати бирга яқинлашиб, популяция сонининг вақтга боғлиқлигига деярли таъсир кўрсатмайди. Популяция сонининг ўсиб бориши ва унинг Kmax га тобора яқинлашиб бориши билан тенгламанинг ўнг қисми нолга яқинлашади. Ушбу ҳолатда популяциянинг ўсиш тезлиги ҳам нолга яқинлашади ва популяция ўсишининг эгри чизиғи N = Kmax тўғри чизиққа яқинлашади (11.2-расм). Ўзаро таъсирлашувчи популяциялар сонини моделлаштириш. Маълумки, экология учун қизиқарли ва муҳим вазиятлар ҳар хил турдаги популяцияларнинг ўзаро таъсирлашуви ѐки ташқи шароитларнинг ўзгариши билан боғлиқ бўлади. Ушбу вазиятларда ҳаѐт тўлқинлари деб номланувчи популяцияни вақт бўйича ўзгаришини характерловчи популяция тўлқинлари ҳосил бўлади. Популяция тўлқинлари қуйида келтирилган хусусиятларга эга бўлиши мумкин: 1. Популяция сони даврий тебранишларга эга бўлиши мумкин (масалан, мавсумий); 72 2. Йиртқич ва ўлжа популяцияларининг ўзаро таъсирлашуви ҳисобига популяция сонининг даврий бўлмаган ѐки даврий тебранишлари содир бўлиши мумкин; 3. Популяция сони ортиб кетиши (популяция қулай шароитларга тушиб қолганида) мумкин; 4. Популяция сони жадал суръатлар билан қисқариши (эпифитотиялар, талофатлар таъсирида) мумкин. Турли хилдаги иккита популяция бир-бири билан бир неча хил кўринишдаги ўзаро муносабатда бўлиши мумкин: (-, -) – ўзаро рақобат, бунда иккала популяциянинг яшаш шароитлари салбий томонга ўзгаради; (+,+) – симбиоз; (+,-) – йиртқич-ўлжа ва ҳ.к. «Йиртқич-ўлжа» популяцияларининг ўзаро муносабатини ўрганамиз. Ўлжа учун етарли даражадаги озуқа солинган чекли ҳажмдаги муҳитга йиртқич ва ўлжа жойлаштирилса, уларнинг сони қандай қилиб ўзгаришини кузатамиз. Бу ҳолда моделлаштиришда Лотка-Вольтер тенгламаларидан фойдаланиш мумкин: x dx rx ( 1 ) cxy K max dt . dy gxy fy dt Бу ерда x – ўлжалар сонини, y – йиртқичлар сонини, xy – ўлжа ва йиртқичнинг чекли ареалда учрашиш частотасини, r – ўлжа популяциясининг табиий ўсиш тезлиги (йиртқичларнинг таъсирини ҳисобга олмаган ҳолда), Kmax – чекли ареалда ўлжалар сонининг максимал кўпайиш миқдори (одатда, йиртқичлар сони ўлжаларнинг сонига нисбатан анча кам бўлади); c – йиртқичлар томонидан овни муваффақиятли тарзда тугалланиш коэффициенти; g– йиртқичларга нисбатан туғилиш коэффициенти (уларнинг кўпайиш тезлиги нафақат x га, балки y га ҳам боғлиқ, аниқроқ 73 қилиб айтганда у xy га пропорционал бўлади), f – йиртқичларнинг табиий ўлиш коэффициенти характерлайди. Юқорида келтирилган тенгламаларнинг ечимлари йиртқич ва ўлжалар сонининг тўлқинли тебранишларини ифодалайди. Ушбу тўлқинларнинг шакли ва даврийлиги x0 , y0 бошланғич шартларга ҳамда тенгламада иштирок этувчи коэффициентларнинг қийматларига боғлиқ бўлади. Бу ерда бир неча ҳолатлар бўлиши мумкин: 1. Мувозанатли босқич (11.3-расм). Бундай вазият йиртқичлар сони y const бўлиши учун ўзгармас миқдордаги ўлжалардан кўпроқ ейилиши сабабли миқдордаги ўлжалар туғилишини англатади. x,y x0 y0 2. Ўлжаларнинг жадал 11.3-расм. t суръатлар билан йиртқичларнинг очликдан ўлиши кузатилади. Ўлжалар сони x нолга тенглашишигача популяция тўлқинлари амплитудалар бўйича ѐйилиб боради (11.4-расм). x,y x0 y0 11.4-расм. 74 t 3. Ўзгармас амплитудали мувозанатли тўлқинлар (11.5-расм). Бу ҳолатда гоҳида ўлжалар кўпайиб (камайиб), йиртқичлар камайиб (кўпайиб) кетиши кузатилади. x,y x0 y0 t 11.5-расм. Илмий манбалардан маълум бўлишича, математик моделни текшириш мақсадида тажриба сифатида ўлжалар учун етарли даражадаги озуқа солинган чекли ҳажмдаги суюқликка (колбага) киприксимонларнинг иккита тури (бири йиртқич, иккинчиси ўлжа сифатида) жойлаштирилди. Тажриба натижасида қуйидагилар кузатилган: 1. Агарда колбада йиртқичлар бўлмаса, у ҳолда ўлжалар сонининг ўсиши суюқлик ҳажми билан белгиланадиган Kmax гача яқинлашади. 2. Колбага йиртқич популяцияси қўшилганда, улар ўлжаларни тезда еб, йиртқичлар ўзларининг сонини кўпайтирар эдилар. Ўлжалар сонининг камайиши ўлжалар бутунлай йўқолиб кетгунича давом этиб, ўлжалар қирилиб кетиши натижасида, ахири йиртқич популяцияси очликдан ўлиб кетади (11.6-расм). x,y x0 y0 t 11.6-расм. 75 3. Тажрибада суюқликка целлюлоза қўшилди. Целлюлоза эритманинг қовушқоқлигини ошириш учун қўшилган эди. Натижада йиртқичлар томонидан овни муваффақиятли тарзда тугалланиш коэффициенти c ва йиртқичга нисбатан туғилишлар коэффициенти эришилди. g ни пасайтиришга Бу ҳолатда барча ўлжалар еб бўлингунига x 0 қадар йиртқичлар популяцияси учун ўсиб борувчи амплитудали тўлқинлар пайдо бўлиб, охир-оқибат йиртқичлар қирилиб, нобуд бўлишни бошлар эди (11.4расм). 4. Ўлжа популяциясининг табиий ўсиш тезлиги r ни қисқартириш мақсадида ўлжа озуқаси 2 бараварга камайтирилди. Бу ҳолатда ўлжа популяцияси амплитудасининг ўсиши анча камайди. Бунинг натижасида йиртқич популяцияси сонининг тез суръатлар билан ўсиши ва оқибатда ўлжа популяцияси сонининг тезда камайиб кетиши кузатилмади. x ва y лар бўйича барқарор тўлқинлар пайдо бўлди (11.5-расм). Модда ва энергия мувозанатининг модели. Энг қулай шароитларда ҳам дарахтнинг ўсиши маълум бир чегарадан ошмаслиги барчага маълум. Шу сабабли нима учун аксарият ҳамма дарахтлар қанақа бўлишидан қатъий назар, аввалига тез ўсиб, маълум бир вақтдан кейин дарахтнинг ўсиши секинлашади ва ниҳоят умуман ўсишдан тўхтаб қолади? Бу саволга жавоб бериш учун модда ва энергия мувозанатини ифодалайдиган математик моделни таҳлил қиламиз. Маълумки, дарахт ўсиши билан фотосинтез сабабли энергия кўпаяди, бу энергиянинг анчагина қисми озуқавий моддаларни дарахтнинг бутун ҳажми бўйича узатишга сарфланади. Маълум бир вақтдан кейин дарахт ўсиши билан пайдо бўладиган янги энергия озуқавий моддаларни дарахтнинг бутун ҳажми бўйича узатиш учун етарли бўлмай қолади ва оқибатда дарахт ўсишдан тўхтайди. 76 Модда ва энергия мувозанатини ифодалайдиган математик модель қуйидаги фаразларга асосланган: 1. Етуклик ѐшидаги дарахт ўсиш жараѐнида геометрик ўхшашликни сақлаб қолади. Яъни, етуклик ѐшидаги дарахтнинг ўсиши давомида унинг геометрик ўлчамларининг нисбати, масалан, баландликнинг диаметрга нисбати ўзгармасдан h d const қолади. 2. Дарахт эркин энергияни (дарахт учун зарур бўлган моддани) фақатгина фотосинтез жараѐни сабабли олади. 3. Эркин энергия фотосинтезга, тирик танани шакллантириш (ўсиш) ва эритмани тупроқдан кўтариш учун сарф бўлади. 4. Дарахт катта вақт оралиқларида танасининг бирлик юзасига тўғри келувчи ўзгармас миқдордаги ѐруғликни олади (кунлик ва мавсумий тебранишларни ҳисобга олмаган ҳолда) ва тупроқдаги чегараланмаган заҳирадан керакли моддаларни ютади. x билан дарахтнинг баландлиги белгиланса, 1-фаразга кўра, барглар сатҳининг юзаси x 2 га, ўсимлик ҳажми эса x 3 катталикка пропорционал бўлади. Маълумки, дарахтнинг баландлиги x вақт ўтиши билан ўзгаради, яъни x xt . Мувозанат тенгламасини ҳосил қилиш учун катталикларни х орқали ифодалаш лозим. Биринчи навбатда барча фотосинтез жараѐни сабабли ҳосил бўладиган E эркин энергияга мос келувчи ифодани аниқлаш керак. Бу энергия фотосинтез туфайли ҳосил бўлади. Дарахтнинг яшил қисми қанчалик кўп бўлса, энергия шунчалик катта бўлади. Шу боис, E эркин энергияни x 2 га пропорционал деб ҳисоблаш мумкин: E x 2 . Бу ерда - пропорционаллик коэффициенти (у баргларнинг ўлчами ва шаклига боғлиқ бўлиб, конкрет дарахт учун уни ўзгармас деб ҳисоблаш мумкин). 2-фаразга кўра бошқа энергия манбалари йўқ. Шу сабабли фотосинтез жараѐни сабабли ҳосил бўладиган энергиянинг бир қисми авваламбор, 77 фотосинтез жараѐнини ўзини амалга ошириш учун сарф бўлади. Энергиянинг бу сарфи x 2 га боғлиқ бўлиб, уни x 2 билан ифодалаш мумкин ( коэффициент дан кичик бўлган пропорционаллик коэффициенти). Шунингдек, энергия озуқавий эритмани дарахтнинг барча қисмларига етказиб бериш учун сарф бўлади. Энергия етказиб берилувчи йўллар, яъни, дарахтнинг ҳажми қанчалик катта бўлса, энергия сарфи ҳам шунчалик катта бўлади. Бундан ташқари, озуқавий моддаларни дарахт танаси бўйича етказиш учун озуқавий моддаларни дарахт баландлиги бўйича юқори баландликка кўтариш керак бўлади. Дарахт бўйи ѐки баландлиги қанчалик катта бўлса, озуқавий моддаларни юқори баландликка кўтариш учун сарф бўладиган энергия сарфи ҳам шунчалик катта бўлади. Бу энергия сарфи x 3 ҳажмга ва x баландликка боғлиқ бўлганлиги сабабли бу энергия сарфини ҳажм ва баландликларнинг кўпайтмаси, яъни x 3 x га пропорционал деб ҳисоблаш мумкин. Шунингдек, энергиянинг бир қисми дарахт массасини ортишига, яъни дарахтни ўсишига сарф бўлади. Энергиянинг бу сарфи ўсиш тезлигига, яъни массанинг вақт бўйича олинган ҳосиласига пропорционал ( m x 3 , бу ерда - дарахтнинг ўртача зичлиги, x 3 – дарахт ҳажми). Демак, ушбу энергия сарфини қуйидагича ифодалаш мумкин: d x 3 , dt бу ерда – пропорционаллик коэффициенти. Энергиянинг сақланиш қонунига кўра ихтиѐрий вақтдаги сарф бўлган энергиялар йиғиндиси энергиянинг бошланғич миқдорига (дарахт мисолида энергиянинг сарф бўлиши энергиянинг келиб тушишига) тенг бўлиши керак: x 2 x 2 x 4 ѐки 78 d x3 dt x 2 x 2 x 4 3x 2 dx . dt (1) Бу математик модель xt га нисбатан дифференциал тенгламани ифодалайди ва у И.А.Полетаев томонидан таклиф этилган. Ушбу тенгламани ҳар икки томонини 3x 2 0 ифодага бўлиб, а 0, 3 b 0 3 белгилашлар киритилгандан сўнг уни қуйидаги кўринишга келтириш мумкин: dx a bx 2 , dt x0 0 (2) муносабатларга эга бўлиш мумкин. Дарахт ўсиб бораѐтганлиги сабабли dx dt 0 , яъни a bx 2 0 . Демак, x 2 a b . (2) дифференциал тенгламани интеграллаб, қуйидагига эга бўлиш мумкин: ln a x b 2 ab t t0 a x b Бу муносабатдан дарахт баландлигини аниқлаш мумкин: xt a 1 e 2 b 1 e 2 ab t - t0 ab t - t0 . (3) Агарда а ва b коэффициентлар маълум бўлса (улар дарахтнинг турига боғлиқ бўлади), у ҳолда ушбу формула бўйича берилган турдаги дарахтнинг ѐшига қараб ўртача ўсишини аниқлаш мумкин. Модель реал тажрибаларда синовдан ўтказилган. Тажриба натижалари моделнинг адекватлигини, моделни ҳосил қилишда юқорида келтирилган фаразлар ҳақиқатга зид эмаслигини кўрсатди. 79 (3) формула бўйича дарахтнинг вақт бўйича ўсиши 11.7-расмда келтирилган. x ab 0 t 11.7-расм. Масала. Ўрмондаги дарахтларнинг максимал баландлиги 50 м. 40-ѐшли дарахтларни кесиб, целлюлоза тайѐрлашда хом-ашѐ сифатида ишлатадилар. Бу дарахтларнинг ўртача баландлиги 15 м. а ва b коэффициентларни аниқланг ва моделни қуринг. Ечиш. Дарахтни ѐши t ортиб бориши билан унинг баландлиги xt a/b миқдорга яқинлашиб бориши (3) формуладан ва 11.7-расмдан кўриниб турибди. Ушбу фактга ва масаланинг шартига кўра қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қилиш мумкин: a 50 b . 2 ab 40 a 1 e b 1 e 2 ab 40 15 Бу системани ечиб, a ва b коэффициентларнинг қийматларини аниқлаш мумкин, буни эса жиддий қийинчиликларсиз амалга оширишни ўқувчига ишониб топшириш мумкин. Эпидемия модели. Маълумки, кўп асрлар давомида инсонларнинг кўпчилиги турли хил эпидемиялар туфайли вафот этганлар. Эпидемияларга қарши курашиш учун турли тиббий тадбирлар (карантин, эмлашлар ва ҳ.к) ни ўз вақтида амалга ошириш керак бўлади. Бундай тиббий 80 тадбирларни самарадорлиги эпидемиянинг турини аниқ билиш, эпидемияга чалинган беморлар сонининг вақт бўйича ўзгаришини башорат қилиш билан боғлиқ. Фараз қилайлик, бир ҳудудда N та соғлом одам мавжуд бўлиб, t 0 вақт моментида бу гуруҳга битта касал одам (инфекция манбаи) келиб қўшилсин. Гуруҳдан беморлар чиқариб ташланмайди (тузалиш ҳам, ўлиш ҳам, изоляция ҳам йўқ). Шунингдек, одам кассаликни ўзига юқтириши биланоқ, инфекция манбаига айланади деб фараз қилинади. t вақт моментидаги касаллар сонини xt билан, соғлом бўлганлар сонини эса y t билан белгилаймиз. Демак, ихтиѐрий вақт моментида xt yt N 1 (1) тенглик ўринли эканлиги ва t 0 да x0 1 шарт бажарилиши кўриниб турибди. t dt ( dt – кичик вақт оралиғи) вақт оралиғида нечта янги касал пайдо бўлишини аниқлаш мумкин. Уларнинг сони dt вақт оралиғига, соғлом ва бемор кишиларнинг ўзаро учрашувлар сонига, яъни x ва y катталикларнинг кўпайтмаси xy га пропорционал бўлади деб фараз қилиш мумкин: dx xydt , (2) бу ерда – пропорционаллик коэффициенти (инфекцияни бошқа одамга юқтириш коэффициенти). x(t) N+1 1 t 11.8-расм. 81 (1) ва (2) формулалар асосида қуйидаги дифференциал тенгламани ҳосил қилиш мумкин: dx x N 1 x dt Бу тенгламанинг ечими қуйидагича: xt N 1 Ne N 1t 1 . Ушбу формула асосида гуруҳдаги беморлар сонининг вақт бўйича ўзгариши 11.8-расмда келтирилган. Масала. Агар = 0,001, N+1=1101 киши бўлса, у ҳолда 6 суткадан кейинги беморлар сони қанча бўлишини ва 6 кун ичида қанча одам касал бўлишини аниқланг. Масалага жавоб топиш учун тенгламанинг ечимидан фойдаланишни ўқувчиларга тавсия қиламиз. Эпидемия моделини тузишда бактерия катакчаларининг фаолиятини бошқарувчи қонунларни, алоҳида олинган кишиларнинг инфекцияларга нисбатан сезувчанлик даражасини, инфекция ташувчиларнинг соғлом кишилар билан учрашиб қолиш эҳтимоли ва бошқа омилларни ҳисобга олиш мумкин эди. Лекин, масалани соддалаштириш учун ушбу омиллар эътиборга олинмади. x(t) b t 11.9-расм. Модельни янада мураккаблаштириш мақсадида t вақт моментида 1 та эмас, бир нечта, яъни b сондаги одам касалланган деб фараз қилинади. 82 Шунингдек, кичик вақт оралиғидан сўнг бемор тузалиб, иммунитетга эга бўлади деб ҳисоблаш мумкин. z(t) билан t вақт моментигача касал бўлиб, сўнгра тузалган беморлар сони белгиланса, юқоридагиларга асосланиб, қуйидагига эга бўлиш мумкин: x y z N b, dx xy x dt . dy xy dt Бу ерда х – тузалганлар сони. У ҳолда беморлар сонини башорат қилиш 11.9-расмда келтирилган шаклга эга бўлади. Эгри чизиқнинг аниқ кўриниши N, b, α, γ ларнинг қийматларига боғлиқ бўлади. 83 МАЪРУЗА №12. РЕКЛАМА КОМПАНИЯСИНИ ТАШКИЛЛАШТИРИШ. Фараз қилайлик, фирма янги товари ѐки хизматини реклама қилишни режалаштирмоқда. Иш бошланишида янгиликдан истеъмолчиларнинг озгина қисми хабордорлиги сабабли рекламага сарф этиладиган харажатлар реклама компанияси оладиган фойдага нисбатан кўпроқ бўлиши мумкин. Кейинчалик, вақт ўтиши билан истеъмолчилар сонини ошиши туфайли сезиларли фойдага умид қилиш мумкин. Шундай вақт моменти келадики, бу вақтда фирма янги товари ѐки хизмати тури билан истеъмолчилар бозори тўйинган бўлади ва энди товарни ѐки хизматни реклама қилиш маънога эга бўлмай қолади. Бундан кейин мавзуни баѐн қилишда товар ѐки хизмат тури иборалари ўрнига қулайлик учун фақат товар сўзидан фойдаланамиз. Реклама компаниясининг математик моделини тузишда қуйидаги белгилашлардан фойдаланилади: t - реклама компанияси бошланганидан кузатувгача бўлган вақт; N t - фирма товаридан хабордор мижоз ѐки истеъмолчиларнинг t вақтдаги сони; N 0 - фирма товарига пул тўлаши мумкин бўлган харидорларнинг умумий сони. Математик моделни қуриш қуйидаги асосий фаразларга асосланади. Товар ҳақида хабордор бўлган ва уларни сотиб олишга қурби етган истеъмолчилар сонининг вақт бўйича ўзгариш тезлиги dN dt товар ҳақида хабари бўлмаган харидорлар сони 1 t N0 N t га пропорционал. Бу ерда 1 t 0 - реклама компанияси ишини жадаллиги (ушбу вақт моментида рекламага сарф этилган харажатлар) ни англатади. Шунингдек, товар ҳақида хабардор бўлган харидорлар товар ҳақида хабардор бўлмаган харидорларга у ѐки бу тарзда товар ҳақида ахборот тарқатиб, фирмани қўшимча реклама агенти сифатида иштирок этади деб фараз қилинади. Уларнинг улуши 2 t N t N0 N t миқдорга тенг бўлиб, агентлар сони ошиши билан бу миқдор ҳам ошиб боради. 2 t 0 миқдор харидорлар ўртасидаги ўзаро муомала (ахборот алмашиш) даражасини характерлайди (бу миқдорни қиймати, масалан, сўровнома ўтказиш йўли билан ҳам аниқланиши мумкин). Юқоридаги фаразларга асосан реклама компаниясининг математик модели қуйидаги кўринишда бўлади: dN 1 t 2 t N t N 0 N . dt 84 (1) Агар 1 t 2 t N t бўлса, (1) моделдан Мальтус типидаги моделга эга бўлиш мумкин, аксинча тенгсизликда популяциянинг қуйидаги моделини ҳосил қилиш мумкин: dN N N 0 N , d d 2 t dt . Ушбу моделни ва популяция моделини тузишда қандайдир миқдорнинг вақт бўйича ўсиш тезлиги ушбу миқдорнинг жорий вақтдаги N t қийматини мувозанат ҳолати (популяцияда) дагидан ѐки харидорларнинг максимал қийматидан жорий вақтдаги N t қийматини айирмаси - N0 N t кўпайтмасига пропорционал деган фаразга таянилган эди. Шу сабабли уларни анологиясидан фойдаланиш мумкин. Агар 1 t 2 t N t миқдор вақтнинг кандайдир моментида нолга тенглашса ѐки манфий қийматга эга бўлса (бунинг учун 1 t , 2 t коэффициентларнинг бирортаси ѐки иккаласи хам манфий ишорага эга бўлиши лозим) ушбу жараѐнлар ўртасидаги аналогия тугайди. Шунга ўхшаш негатив ҳолатлар турли реклама компанияларида тез-тез учраб туради. Бундай ҳолларда рекламани характерини ўзгартириш ѐки бўлмаса рекламадан бутунлай воз кечиш лозим бўлади. Товарни оммавийлигини ошириш тадбири 1 t , 2 t , N t миқдорларни қийматларига боғлиқ ҳолда тўғридан-тўғри ( 1 t параметр) ѐки икқиламчи тарзда ( 2 t параметр) реклама натижасини яхшилашга йўналтирилиши мумкин. (1) математик модель чекли вақт моментларида нолга айланадиган ечимларга эга эмас. Популяция сонини вақт бўйича ўзгаришидан маълумки, t да N t 0 . Реклама компаниясига нисбатан бу нарса шуни англатадики, реклама бошланишидан олдинрок харидорларнинг бир қисми янги товардан хабардор бўлишган. 85 Агар N N0 , 2 t N 1 t деб ҳисоблаб, (1) математик моделни N t 0 N 0 0 ( t 0 - рекламани бошланиш вақти) нуқта атрофида қарайдиган бўлсак, (1) тенглама қуйидаги кўринишга келади: dN 1 t N 0 dt ва у t 0 даги бошланғич шартни қаноатлантирувчи t N t N 0 1 t dt (2) 0 ечимга эга. Энди, битта товардан тушадиган фойдани p оркали белгилаймиз. Соддалик учун ҳар бир харидор фақатгина битта товар сотиб олсин деб ҳисоблаймиз. Маълумки, 1 t коэффициент маъноси бўйича реклама учун вақт бирлиги ичида қилинадиган ҳаракатлар сонига тенг (масалан, бир турдаги афишаларни елимлаш). s оркали элементар реклама ҳаракатининг нархини белгилаймиз. У ҳолда жами фойда қуйидагига тенг бўлади: t P pN t pN 0 1 t dt , (3) 0 сарф қилинган харажатлар эса t S s 1 t dt . 0 Кўриниб турибдики, pN 0 s бўлгандагина фойда харажатларга нисбатан юқори бўлади. Жуда самарали бўлмаган ѐки қиммат рекламадан фирма биринчи қадамидаѐқ камомадга учрайди. Аммо, бу ҳолат рекламани тўхтатиш учун асос бўла олмайди. Ҳақиқатдан ҳам (3) ифода ва pN 0 s шарт фақатгина N t нинг кичик қийматларида ҳамда P ва S вақт бўйича бир хил қонуният асосида ўсиб борсагина ўринли бўлади. N t нинг ўсиши билан (1) формулада ташлаб юборилган ҳадлар сезиларли қийматларга эга 86 бўлади, хусусан икқиламчи рекламанинг таъсири кучаяди. Шунинг учун N t функция (3) формуладагига нисбатан вақт бўйича тез ўсувчи функция бўлиб қолиши мумкин. N t миқдорнинг ўзгаришидаги бу чизиқсиз эффект харажатларнинг ўзгармас темпда ўсишида реклама компаниясининг бошланғич босқичидаги молиявий муваффақиятсизлигини компенсация қилиш имконини беради. Ушбу тасдиқни (1) тенгламанинг хусусий ҳоли, яъни 1 t , 2 t коэффициентлар ўзгармас бўлганда изоҳлаймиз. Қуйидаги N 1 / 2 N белгилаш оркали (1) тенглама dN 2 N N 0 N , dt N0 1 N0 2 (4) кўринишга келади. Ушбу тенгламани ечими қуйидагидан иборат: N t 1 N0 2 1 1 exp 2tN0 . 1 Бунда (5) N 0 0 , яъни бошланғич шарт N0 1 2 . Шундай қилиб, бажарилмоқда. (4) дан кўриниб турибдики, N t функциянинг ҳосиласи, хусуан N t функция t 0 бўлганда бошланғич қийматларидан катта бўлиши мумкин ( N0 21 2 ѐки N0 1 2 шартларда). N N 0 / 2, N 1 2 N0 / 2 қийматларда N t функциянинг ҳосиласи максимумга эришади: N 0 . N dN dN 2 0 2 1 2 4 4 dt m dt m 2 2 Бу вақтга келиб вақт бирлиги ичида олинадиган жорий фойда қуйидагига тенг: N 0 . dN Pm p p 2 1 2 dt 4 2 87 Pm жорий фойдадан бошланғич жорий фойда P0 pdN dt t 0 1 N0 ни айириб, қуйидагига эга бўлиш мумкин: Pm P p 2 2 N0 2 1 0 4 . Бундан кўриниб турибдики, бошланғич жорий фойда ва максимал жорий фойданинг фарқи етарли даражада сезиларли бўлиши мумкин. (4) тенгламадан яна шуни таъкидлаш мумкинки, кандайдир вақтдан бошлаб рекламани давом эттириш фойдасиз бўлиб колади. Ҳакикатдан ҳам, N t нинг N 0 га яқин қийматларида (4) тенгламани dN 2 N 0 N 0 N dt кўринишда ѐзиш мумкин. Бу тенгламанинг (6) ечими t да секин экспоненциал қонун бўйича N 0 чекли қийматга ( N t функция эса N 0 га) интилади. Вақт бирлиги ичида унча кўп бўлмаган сондаги янги харидорлар пайдо бўлади ва товарни сотишдан тушаѐтган фойда ихтиѐрий шартларда ҳам давом этаѐтган харажатларни қопламай қолади. МАЪРУЗА №13-14. КОРХОНАЛАР ЎЗАРО ҚАРЗЛАРИНИ БАРТАРАФ ЭТИШИ. Ихтиѐрий иқтисодий тизим бир-бири билан товар ва хизматлар алмашинувчи ўн минглаб корхона (фирма, корпорация ва бошқалар) ларни ўз ичига олади. Ҳаттоки, нисбатан унча кўп бўлмаган бевосита ҳамкорларга эга бўлган кичиқ бир корхона икқиламчи тарзда (икқиламчи ҳамкорлари алоқалари орқали) катта миқдордаги корхоналар билан боғланган. Ушбу корхонанинг иқтисодий ўсиши ҳамкорларнинг иқтисодий ҳолатига тўғридантўғри боғлиқ. Айнан бу тасдиқ юзлаб ва минглаб ҳамкорлар билан алоқа қилувчи катта корпорация ва корхоналар учун жуда ўринли. 88 Иқтисодий системани барча звеналарининг бир-бирига ўзаро боғлиқлиги сотилган товарлар ѐки кўрсатилган хизматлар учун тўловларни амалга оширишда корхоналар ўртасида бўладиган ҳисоб-китобда яққол кўринади. Ҳақиқатдан ҳам, корхона сотилган товари учун мижозлардан олинадиган тўловни корхонани фаолиятини самарали юритиш мақсадида бошқа фирмалардан янги маҳсулотлар ва машиналар сотиб олишга, ойлик маоши тўлашга (яъни, ишчи кучи сотиб олишга), рекламага ва бошқа ҳаракатларга сарфлайди. Шу сабабли ушбу корхона ҳамкорларининг каттагина қисми қўшимча тарзда иқтисодий айланма (оборот)га жалб этилади. Ўз навбатида корхонадан товар сотиб олган мижоз ушбу товардан қайта сотиш ѐки ўзини маҳсулотини ишлаб чиқариш ва бошқа мақсадлар учун фойдаланиб, иқтисодий фаолиятда иштирок этувчи агентлар сонини оширади. Агар товарлар ўз вақтида мижозларга етказиб берилса ва ўз навбатида мижозлар ушбу товарларга тўловларни вақтида амалга оширсалар молиявий томондан иқтисодий системага ҳеч нарса хавф солмайди. Шу сабабли корхоналар ўз рақамларидаги фаолиятларини молиявий давом эттириш ресурсларини учун банк каттагина ҳисоб қисмини фойдаланишларига, боз устига асосий фондларини (ер, кўчмас мулк, қурилма, технология) сотишларига ҳеч нарса тўсқинлик қила олмайди. Амалда товарни етказиб бериш ва уни тўлови (ѐки барча товарлар учун ѐхуд бундан кейин етказиб бериладиган товарлар учун олдиндан тўловлар) ўртасида доимо вақт бўйича кечикиш мавжуд. Бу кечикишнинг минимал қиймати соф техник сабаблар билан аниқланади, чунки товарни транспортировка ва расфасовка қилиш, банкдан пул кўчириш учун доимо вақт талаб қилинади. Аммо, шундай ҳолатлар ҳам мавжудки, қандайдир иқтисодий, молиявий, ички ва ташқи сиѐсат, ижтимоий ва бошқа сабабларга кўра тўловларни (товарларни етказиб беришни) кечикиш вақтини молиявий оборот вақти билан таққослаш мумкин бўлиб қолади. Амалга оширилмаган 89 тўловлар ѐки етказиб берилмаган товарларнинг ҳажми эса корхонанинг эркин оборотдаги воситалари билан таққослаш мумкин бўлган даражадаги микдорга эга бўлади. Бу ҳолда бутун иқтисодий системани жиддий кризисга олиб келувчи тўлай олмаслик (кризис неплатежей) кризиси келиб чиқади. Ҳакикатдан ҳам, етказиб берилган товарга пул олмаган (ѐки товарга пул тўлаган, аммо уни олмаган) корхона товарни сотганлар (биринчи сотувчилар) га товар учун тўлаши лозим бўлган тўловни амалга ошира олмайди (чунки корхонанинг қарзлари ҳажми эркин оборотдаги воситалари билан таққослаш мумкин бўлган даражада, улардан фойдаланиш ситуацияни яхши томонга ўзгартира олмайди). Ўз навбатида товарни етказиб берувчилар ўз мижозлари билан, бу мижозлар эса ўзларини мижозлари билан ва х.к. ҳисоб-китоб қила олмайдилар. Натижада бутун иқтисодий системада (неплатежей) тўлай олмасликнинг узун занжири пайдо бўлади. Бу занжир N та звенодан иборат бўлиб, уларнинг умумий сони N! ( N - корхоналарнинг умумий сони) га етиши мумкин. Занжирдаги қарзлар микдорларининг абсолют қийматлари йиғиндиси корхонанинг нафақат эркин оборотдаги воситаларидан ошиб кетади, балки уларнинг асосий фондлари нархлари билан солиштириш мумкин бўлган даражага етади (ихтиѐрий корхона бир вақтнинг ўзида ўз ҳамкорларининг қарздори ва кредитори бўлиши мумкин, шу сабабли бу ерда гап айнан қарзлар микдорларининг абсолют қийматлари йиғиндиси ҳақида кетмоқда). Бу ҳолатда система боши берк кўчага кириб қолади – корхона ишлаб чиқаришни тўхтатиши керак ѐки жами қарзлар микдорини ошириб, бир-биридан қарз олиб, фаолиятини давом этириши мумкин. Умуман олганда, ситуациядан чиқиш учун қуйидагича ѐндошиш мумкин: қандайдир ваколатли муассаса (масалан, марказий банк) барча корхоналарга қарзлари микдорида бир вақтнинг ўзида кредит бериш. У ҳолда бу корхоналар бир-бири билан ҳисоб-китоб қилиб, кредитларни қайтаришади. Аммо, бундай кредит сиѐсати салбий оқибатларга олиб келувчи, кучли инфиляцияни пайдо бўлишига туртки бўлиши мумкин 90 (товарларни ишлаб чиқариш кўпайтирилмади, оборотдаги пул эса бирданига кўпайиб кетди). Ихтиѐрий тўлайолмаслик кризисида ҳисоб-китоблар процедурасини ўзини номукамаллиги билан боғлиқ бўлган соф «техник» компоненталар доимо ҳал қилувчи ролни бажаради. Кейинчалик иқтисодий, сиѐсий ва бошқа сабаблар билан пайдо бўлмаган кризисларни, яъни айнан ҳисобкитоблар процедурасини номукамаллиги билан боғлиқ бўлган кризисларни ўрганамиз. Масаланинг моҳиятини аввал учта корхонадан ташкил топган система учун сонли мисолда тушунтирамиз. Ушбу корхоналардан ҳар бири шартли битта молиявий бирликка тенг бўлган эркин оборот воситасига ва 10 бирликка тенг асосий фондларга эга. Биринчи корхона иккинчисига 100 бирлик, иккинчиси учинчисига 100 бирлик ва учинчиси биринчисига 100 бирлик қарз бўлсин. Корхоналарнинг қарзлари абсолют йиғиндилари 600 бирликка тенг бўлиб, уларнинг асосий фондлари (30 бирлик) га нисбатан анча катта, эркин оборот воситалари (3 бирлик) га нисбатан солиштирмаса ҳам бўлади. Шу билан бир вақтда ушбу системанинг молиявий аҳволи жуда яхши, чунки корхоналар ҳар бирининг алоҳида жами қарзлари (яъни, корхона бериши лозим бўлган ва олиши лозим бўлган воситалар) йиғиндиси нолга тенг. Бу ҳолатда ўзаро ҳисоб-китоб қилиш процедураси бир вақтнинг ўзида барча қарзларни бекор қилишдан иборат: ҳеч ким ҳеч кимдан қарз эмас ва қарз ғавғосидан ҳолис ҳолда ҳамкорлар ўз ишини давом эттириши эълон қилинади. Бу ҳолда марказлашган кредитга ҳожат қолмайди. Катта молиявий мажбуриятлар зиммасида бўлган кўп сондаги корхоналар учун бу ѐндошишни амалга ошириб бўлмайди. Бунинг учун масалани формаллаштириш ва чуқур таҳлил қилиш лозим бўлади. Иқтисодий тизим ўзаро бир-бирига қарз бериши ва бир-биридан қарз олиши мумкин бўлган N та молиявий бақувват корхоналардан иборат бўлсин. xnm M орқали n -чи корхонанинг m -чи корхонадаги қарзини (агар 91 xnm 0 бўлса биринчи корхона иккинчисидан қарздор бўлади ва xnm 0 бўлса аксинча бўлади) белгилаймиз. Бу белгилашга асосан xnm xmn , xnn 0 эканлиги куриниб турибди. Демак, жами қарзлар тўпламини диагонали ноллардан иборат (чунки, xnn 0 , яъни корхона ўзидан қарздор бўла олмайди) бўлган N N размерли кососемметрик матрица кўринишида ифодалаш мумкин. Барча ўзаро қарзлар йиғиндисини индивидуал қарзлар орқали қуйидаги формула ѐрдамида ҳисоблаш мумкин: N N X xnm . (1) n 1 m1 Агар (1) формула билан аниқланадиган микдорни корхоналарнинг барча эркин воситалари йиғиндиси X 0 билан таққослаш мумкин бўлса, у ҳолда бу микдор тизим молиявий ҳолатининг микдорий ҳарактеристикаси сифатида хизмат қилиши мумкин, яъни N X X 0 xn . (2) n 1 (2) тенгсизлик билан ифодаланадиган ҳолат тўлай олмаслик кризисини англатади, бу ерда xn 0 билан n -чи корхонанинг индивидуал эркин воситаси белгиланган. Ҳар бир корхонанинг кредит ва қарзлари (сальдо) баланси корхоналарнинг яна битта муҳим бўлган ҳарактеристикасидир, у қуйидагича аниқланади: N S n xnm . (3) m1 (3) тенгликка асосан қуйидаги ҳоллардан бири бўлиши мумкин: S n 0 , S n 0 ва S n 0 . S n 0 да корхона S n 0 балансга эга бўлган 92 қарздор корхоналар учун қарз берувчи – кредитор вазифасини ўтайди. S n 0 корхонани кредитор ҳам дебитор ҳам эмаслигини, яъни корхона ҳеч кимдан ҳеч қанақа қарзи йўқлигини англатади. S n xn бўлган ҳол корхонанинг индивидуал молиявий ҳолати нормал ҳолатда эканлигини, корхонани қарзлари (ѐки унинг бошқа корхоналарга берган кредитлари)нинг реал йиғиндиси унинг эркин воситаларидан кичиқ эканлигидан далолат беради. Худди шунга ўхшаш, иқтисодий тизимнинг абсолют сальдолари йиғиндиси N S Sn (4) n 1 бу системанинг молиявий аҳволини англатувчи макрокўрсаткич сифатида хизмат қилади. Агар S X 0 бўлса, ушбу иқтисодий тизимда эркин воситалар қарзлар ҳажмидан катта бўлиб, бу система нормал фаолият юритиши мумкин (юкорида келтирилган мисолдаги учта корхонадан иборат система каби). Х ва S микдорлар ўртасида доимо маълум муносабат мавжуд. Ихтиѐрий қарзлар матрицаси учун X S, (5) ўринли, яъни қарзлар йиғиндиси ҳеч качон сальдолари йиғиндисидан кичиқ бўлиши мумкин эмас. Ўзаро қарзларни бартараф қилиш масаласи xnm лар матрицасини лардан ташкил билган ҳолда X X шартни каноатлантирувчи «янги» xnm тоган қарзлар матрицасини топишдан иборат. (5) тенгсизликдан кўриниб турибдики, X S бу масаланинг идеал ечимидир. У ҳолда нормал молиявий ҳолат ( S X 0 ) даги система учун X S X 0 муносабат бажарилади ва ўзаро қарзлар узилгандан кейин бу система нормал фаолиятини юритиши мумкин. Ўзаро қарзларни узиш (бартараф этиш) процедурасининг математик моделини қуришда қуйидаги кетма-кет ҳаракатлардан фойдаланилади. 93 Биринчи навбатда маълум бир босқичда индивидуал қарзлар тўпламини ва корхоналар ўртасидаги алоқаларни чуқур таҳлил қилишдан воз кечиш лозим. Юкорида келтирилган мисолда учта корхонага қўлланилган қарзларни тўлай олмаслик занжирини кузатиш процедурасини N та корхона учун нафакат бажариш кийин, балки бу процедура камчиликлардан ҳоли эмас. M та корхонанинг ҳар бири иккинчисига, иккинчиси учинчисига ва ҳаказо M чиси биринчисига бир хил микдордаги қарздор бўлган занжирни қараймиз (13.1-расм). Кўриниб турибдики, бу ѐпик занжир ва ҳар бир корхона қарзларидан қутилишлари мумкин, яъни корхоналарни қарзлари бекор қилинади. Агар M -чи корхона биринчисига қарздор бўлмаса, хосил бўлган занжир очиқ бўлиб (5.2-расм), энди занжирга қўллаб юкоридаги бўлмайди. усулни Бу бу ҳолда қарздорликдан қутилишни йўли иккинчи, 13.1 – рaсм. учинчи ва хоказо M 1 чи корхоналарни қарзлари бекор қилиниб, биринчи корхона ўз қарзини M -чи корхонага тўлашни биринчи корхона зиммасига юклашдан иборат (13.3-расм). 13.2 – рaсм . 13.3 – рaсм . 94 Қарзни бир корхонадан иккинчи корхонага йуналтириш моҳияти ва мазмуни бўйича вексель билан муомала қилишга мос келади. Бу ҳолда қарз берган хўжайин ўзгариб, натижада қарздор корхона (биринчи) да янги кредитор ( M -чи корхона) пайдо бўлади. Қарздорликнинг ѐпиқ занжири (13.1-расм) да xnm xmn эканлигини ҳисобга олсак, қуйидагини хосил қилиш мумкин: N N xnm 0 . n 1 m1 Бу тенгликдан S n m1 xnm эканлигини назарда тутиб, ҳар бир корхонанинг N кредитлари ва қарзлари (сальдо) баланси учун қуйидагига эга бўлиш мумкин: N Sn 0 (6) n 1 ѐки S Sn Sn 2 . S n 0 (7) S n 0 (6) муносабатдан кўриниб турибдики, корхонанинг мусбат сальдолари йиғиндиси унинг манфий сальдолари йиғиндисига тенг. Кўриб чиқилган ўзаро қарзлардан қутилиш тизими «симметрик консервативлик» (7) хусусиятига эга, шунингдек бу тизим учун «сакланиш конунлари» (массанинг, энергиянинг ва бошқаларнинг сакланиш конунлари) - (6) ўринли бўлади. (7) муносабатга асосланиб, ўзаро қарзлардан идеал қутилишнинг математик моделини қуришда қуйидаги шартлардан фойдаланиш мумкин: 1) барча xnm қарзлар маълум ва бу қарзларни корхоналар тан олишади; 2) ўзаро қарзларни узишда корхоналарни S n сальдоси ўзгармасдан қолади: S n S n , яъни бу ҳолда корхоналарнинг индивидуал молиявий ҳолати ўзгармайди; 95 3) xnm қарзларни бир қисми бекор қилинади, бир қисми бошқа корхоналарга йўналтирилиши мумкин, яъни корхона янги дебиторларга ва кредиторларга эга бўлиши ҳамда эски қарзларининг бир қисмидан қутилиши мумкин. Ўзаро қарзлардан қутилиш процедурасининг моҳияти xnm қарзларни ўрнига корхоналарни S n сальдосини ўрганишдан иборат. S n 0 бўлган корхоналар қарздор, сальдоси S n 0 корхоналар кредитор деб эълон қилинади. Кейин эса сальдоси S n 0 бўлган корхоналарнинг қарзлари кредиторлар ўртасида қанақадир йўллар билан тақсимланади, яъни «янги» қарзлар тизими топилади. Бунда (6) сакланиш конуни ва 2) шарт ҳамда xnm X S тенглик бажарилади. Шу сабабли ўзаро қарзлардан қутилиш масаласининг бу ечими оптимал ечим деб аталади. Юкорида келтирилган оптимал ечим жуда кўплаб вариантда бўлиши мумкин. Чунки кредиторлар ўртасида қарзларни ҳар хил йўллар билан тақсимлаш мумкин. Бунга иккита содда мисол келтирамиз. Биринчисида янги қарзлар эскилари орқали қуйидаги формула бўйича ҳисобланади: xnm Sn Sm Sm Sn . S (8) (8) формулага асосан қарзи S n ( S n 0 ) бўлган ихтиѐрий корхонанинг қарзи кредитор корхоналар ўртасида уларнинг сальдолари ( S m 0 ) га пропорционал равишда тақсимланади. Мусбат сальдоси катта бўлган корхоналар зиммасига ҳар бир қарздор корхоналар қарзларининг каттагина қисми юкланади. Бу қарзларнинг умумий микдори S m га тенг бўлади. Агар S n 0, S m 0 ѐки S n 0, S m 0 бўлса (8) формулага асосан 0 (яъни, корхоналар ўзаро қарзларидан қутилганларидан янги қарзлар xnm сўнг қарздорлар қарздорларга, кредиторлар кредиторларга қарз эмас). Бу шуни англатадики, корхоналар ўзаро қарзларидан қутилганларидан сўнг ҳосил бўлган молиявий алоқалар сони ҳар бир корхона бошқа корхона учун 96 дебитор ѐки қарздор бўлган, яъни қарзлар матрицаси ноль бўлмаган (бош диагонал элементларидан бошқа) элементлардан иборат ҳолдаги молиявий алокалар сонидан анча кам. 13.1-жадвал. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Бошлангич қарз матрицаси ( X 3729) 2 -25 3 -1 -20 4 4 25 -2 5 25 -450 25 30 6 -15 150 -30 20 -928 7 3 -40 3 3 5 25 8 1 -22 -2 -2 4 -15 5 9 10 322 -15 -25 498 -800 -10 20 10 1 -25 -2 1 -20 15 -1 -3 30 Охирги қарз матрицаси ( X S 62) 2 2 3 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 -28 7 1 0 0 0 0 0 8 0 -7 0 0 0 0 0 9 0 -18 0 0 -2 0 0 0 10 0 0 0 0 0 4 0 0 0 Корхоналарни улар сальдоларининг абсолют қийматлари бўйича тартиблаб, бир хил масштабдаги қарздорлар ва кредиторлар ўртасида қарзларни тўлаш мақсадида бевосита алоқалар ўрнатилса, молиявий алоқалар сонини анча камайтириш мумкин. 13.1-жадвалда N 10 та корхоналар ўртасидаги қарзлардан юқорида келтирилган алгоритм асосида амалга 97 оширилган. Кўриниб турибдики, бошланғич қарз матрицаси X 90 та ноль бўлмаган элементлардан иборат, охирги қарз матрицаси X эса бор 14 та нолдан фаркли элементлардан ташкил топган. Шуни таъкидлаш жоизки, корхоналарни ўзаро қарзларидан қутилишининг юқорида келтирилган ва бошқа процедуралари фақатгина 1)3) шартлар бажарилгандагина, яъни корхоналар ўртасидаги маълум бир келишувлардагина маънога эга. Бу келишувга амал қилмаслик сабаблари турлича бўлиши мумкин. Масалан, қарзларни қандайдир халкаро ѐки бошқа ташкилотлар санкциясигача (яъни, корхона ҳисоб рақамини музлатиб қўйгунча) қарзларни тўламаслик қарздор корхона учун молиявий томондан аҳамиятли бўлиши мумкин. МАЪРУЗА №15-16. БОЗОР ИҚТИСОДИЁТИ МУВОЗАНАТИНИНГ МАКРОМОДЕЛИ. Бозор иқтисодиѐти жараѐнида ихтиѐрий иштирок этувчи ўзининг индивидуал манфаатдорлигига бўйича ҳаракат қилади (яъни фойда олиш, меҳнат шароитини яхшилаш, иқтисодий хавфни камайтириш, воситаларни тежаш ва бошқалар). Ҳар бир субъект иқтисодий ночор аҳволда, яъни ишлаб чиқаришга, нархларга, ойлик маошига ва бошқа макрокўрсаткичларга бевосита таъсир қила олмайдиган даражада бўлса, бундай тизимнинг энг содда варианти – ракобатдан иқтисод қилишдир. Шу билан биргаликда иқтисодий тизимда мавжуд олди-сотди муносабатлари иш берувчилар ва ѐлланма ишчилар, молиячилар ҳамда сармоя киритувчилар ва бошқаларнинг мувофиқлашган ҳаракати иқтисодий агентларнинг ҳаракати натижасида бўлиши мумкин. Агар бундай жамоавий ўзаро харакат натижасида тизимда товар ва хизматларни умумий ишлаб чиқариш уларга бўлган умумий эхтиѐжларга мувофиқлашса, у ҳолда иқтисодиѐтни бундай ҳолати мувозанатли, бу ҳолдаги турғун нархлар турғун бозор нархлари дейилади. Талаб ва таклиф ўртасидаги баланс айнан шу турғун бозор нархларида 98 ўринли бўлиб, хусусан, талабни тўлаш қодирлигини (платежеспособность спроса) англатади. Иқтисодий фанларни муҳим масалаларидан бири – иқтисодиѐтни мувозанат шартларини, шу жумладан, турғун бозор нархларини аниқлашдан иборат. Иқтисодий мувозанатнинг энг содда математик моделлари қуйидаги фаразларга асосланиб қурилади: 1) йирик ишлаб чиқарувчи корпорация (яъни, монополия) ларни шунингдек, бутун система учун ўзларини шартларини ҳимоя (диктовка) қиладиган ишчилар бирлашмасининг мавжуд эмаслиги англатувчи совершенная бозор ракобати 2) система ишлаб чиқариш имкониятининг ўзгармаслиги: асбобускуналар, ишлаб чиқариш иншоотлари ва технологиялари вақт ўтиши билан ўзгармайди; 3) вақт ўзгармаслиги: ўтиши билан тадбиркорларни ҳамкорлар ўз иқтисодий фойдаларини, манфаатдорлигини ишчилар ўз ойлик маошларини оширишга интилмасликлари ҳамда инвесторларни қимматли коғозлардан ва бошқалардан тушаѐтган фоизларни қаноатлантириши. Юқорида кўрсатилган фаразларга жавоб берувчи моделлар идеал бозор иқтисодиѐтининг вақт бўйича «қотиб қолган» (совуб қолган) ҳолларини ифодалайди. Аммо, бу моделлар бозор «хаос»идан шаклланувчи иқтисодий мувозанатни мавжудлик имконияти ҳақидаги саволга жавоб беради ва бундан ташқари иқтисодий системанинг асосий макрокўрсаткичларини ўзаро боғлайди. Ушбу моделлардан биттаси – Кейнс моделидир. Ушбу моделда ишга ѐлловчилар ва ѐлланувчилар, истеъмолчилар ва жамғарувчилар, ишлаб чиқарувчилар ва ишчи кучи бозорида ҳаракат қилувчи инвесторлар, маҳсулотлар ва пул, яъни бу товар (меҳнат, маҳсулот, пул) ларни ўзаро тақсимловчилар ва алмашувчилар агентлар сифатида қаралади. Миллий даромад Y системанинг биринчи макрокўрсаткичи бўлиб, вақт бирлиги ичида ишлаб чиқариладиган ягона маҳсулотдир. Ушбу маҳсулот 99 иқтисодиѐтнинг ишлаб чиқариш секторида ишлаб чиқарилади, унинг миқдори F функция орқали ифодаланади. F функция ресурс (восита) ларни миқдори ва сифатига, асосий фондлар таркибига ва банд бўлган ишчилар сони R (иккинчи макрокўрсаткич) билан боғлик. 2) фаразга асосан иқтисодий мувозанат ҳолатида ишлаб чиқариш функцияси R ва Y фақатгина бандлик орқали аниқланади, яъни Y F R . (3.1) F R 0, R 0 нисбатан қуйидагилар уринли деб хисобланилади: F 0 0 , F R 0, R 0 ва F R 0, R 0 да (15.1 – расм). F R функцияси тўйинганлик хусусиятига эга: R ошиши билан товар ишлаб чиқариш секинлашади. Бундай ѐндашиш амалда ўзини оқлайди: ишлаб чиқаришда банд бўлганлар сони ҳаддан ташқари ошиб кетса, уларга мос келувчи иш фронтини топиш анча мушкуллашади. Шунингдек, 15.1 – расм. ишчилар сони меъѐрига нисбатан кўпчиликни ташкил этса, улар бир-бирига халақит бера бошлайди ва индивидуал фойдали иш коэффициенти тушиб кетади. (3.1) муносабат меҳнат бозори R ва Y маҳсулотлар ўртасидаги ўзаро алоқани ифодалайди. Қўшимча муносабатлар эса классик сиѐсий иқтисоднинг асосий постулатларидан биттаси орқали аниқланади: 4) ишчининг s меҳнат ҳақи иш ўрнини битта бирликка камайтирилганда йўқотилган маҳсулотни нархига тенг. Шуни таъкидлаш лозимки, 4) постулатда иш ўрнини биттага камайтиришдан ҳосил бўладиган зарарлар (ресурсларга, асбоб-ускуналарга ва бошқаларга сарфланадиган харажатлар) ҳисобга олинмаган. Шундай қилиб, 4) постулатдан қуйидагига эга бўлиш мумкин: Y 1 p s , 100 бу ерда Y 1 – иш ўрнини битта бирликка камайтирилганда йўқотилган маҳсулотлар сонини, p – йўқотилган маҳсулот нархи. Агар иш билан бандлик R миқдорга ўзгарса, охирги тенгликдан қуйидагини ҳосил қилиш мумкин: Y p s R , бу ерда Y Y 1 R ишчилар сони R миқдорга ўзгарганда йўқотиладиган ѐки қўшимча пайдо бўладиган нарх. R ва Y миқдорларни R ва Y миқдорларга таққослаганда кичик деб ҳисоблаб, охирги тенгликни дифференциал кўринишда ѐзиш мумкин: Y s . R p (3.1) тенгликни эътиборга олсак, охирги тенгликдан қуйидагини ҳосил қилиш мумкин: F R s . p (3.2) F R функция берилган (бунга асосан ( F R ни ҳам аниқлаш мумкин) лигини ҳисобга олсак, s ва p макрокўрсаткичларнинг маълум қийматларида (3.2) дан бандлик даражаси R ни ва (3.1) дан маҳсулотлар миқдори Y ни аниқлаш мумкин. Бу ерда аниқланган бандлик даражаси иқтисодий системада мавжуд нархлар ва бошқа характеристикаларга мос келувчи ушбу кундаги ойлик маошларига рози бўлиб, ишлаѐтган ишловчилар сонини ифодалашини таъминловчи, таъкидлаш мавжуд жоиз. Бандлик шароитларда даражаси ишлашни мувозанатини хоҳловчиларни ҳамма вақтларда ҳам топиш мумкин, яъни куйидагича фараз қилинади: 5) (3.1) ва (3.2) тенгламаларда тўртта миқдорлар қатнашмокда. Ишчининг s мехнат ҳақига нисбатан куйидагилар фараз килинади: 6) моделда ишчининг s мехнат ҳақи берилган деб хисобланади. 101 s миқдор иш берувчилар ва ѐлланувчилар ўртасидаги компромисс натижасида аниқланади (реал иш ҳақи нархлар даражасига ҳам боғлик). Ёпиқ математик модел қуриш учун маҳсулот бозорлари ва молиявий бозорларни ҳам ўрганиш лозим бўлади. Ишлаб чиқарилган маҳсулотни бир қисми эхтиѐжни қондиришга ва маълум бир қисми жамғарилиб борилади: Y S , бу ерда - маҳсулотнинг истеъмол қилинадиган (иқтисодиѐтга қайтмайдиган) қисми, S эса иқтисодий системага қайтувчи, жамғариб бориладиган (ѐки ифодалайди. S фондни ва ташкил миқдорлар қилувчи маҳсулотлар) ўртасидаги муносабат қисмини қуйидаги мулоҳазалардан аниқланади. миқдорга нисбатан қуйидагилар фараз қилинади: 7) ишлаб чиқарилган маҳсулотнинг истеъмол қилинадиган қисми ишлаб чиқарилган маҳсулот миқдори Y нинг ўзига боғлик, яъни Y . Бу ерда Y функцияси F R функциясига ўхшаб тўйинганлик хусусиятига эга: ишлаб чиқарилган маҳсулот миқдори канча катта бўлса, истеъмол қилишга сарфланадиган қўшимча ишлаб чиқариладиган маҳсулот миқдори Y нинг улуши шунча кичик бўлади (15.1–расм) ва катта қисми жамғарилиб борилади. d dY cY миқдор истеъмол қилишга мойиллик дейилади. 0 c 1, акс ҳолда кичик миқдорда ишлаб чиқарилган маҳсулотларда ишлаб чиқарилган миқдорига нисбатан кўпрок истеъмол талаб килинар эди. d 1 c миқдор жамғариш (йиғиш) га мойилликни англатади. S Y Y (3.3) фондни ташкил қилувчи маҳсулот келгусида фойда олиш мақсадида инвестиция сифатида инвесторлар томонидан иқтисодиѐтга киритилади. Математик моделда киритилаѐтган инвестиция келгусида истеъмол учун ташлаб кўйилган маҳсулотга эквивалент деб ҳисобланилади ва шу сабабли системанинг яна битта молиявий макрокўрсаткичи – банк фоизининг нормаси r билан аниқланади. Ҳакикатдан ҳам A размерда инвестия килиб, 102 бир йилдан кейин D A r даромад олиб, ушбу воситаларни банкка r фоизга қўйишга солиштириладиган бўлса, инвестор ҳеч нарса ютқазмайди (бу мисолда ютмайди ҳам). Иккала ҳолда ҳам кейинги йилда катта миқдордаги истеъмоллик имконияти сабабли бугунги истеъмол кейинга қолдирилмокда. Инвестицияга талаб Ar функция билан берилади. Агар 0 r r1 бўлса Ar 0 ва r r1 бўлса Ar 0 бўлади – инвестициянинг катта фоизли нормасида инвестицияга талаб бўлмайди (15.3 – расм). Мувозанат шароитида фондни ташкил қилувчи маҳсулотга бўлган талаб S Y инвестицияга бўлган талаб Ar билан баланслашади: S Y Ar . Агар (3.3) ни эътиборга олсак, Y Y Ar . (3.4) Моделни ѐпик кўринишда ифодалаш учун молиявий бозор ўрганилади. Иқтисодий агентлар учун пул фондни ташкил қилувчи маҳсулотлар сотиб олишга, истеъмол учун, шунингдек, жамғаришнинг бир воситаси сифатида керак. Фараз қилинадики, пулни давлат чиқаради ва уларнинг микдори (таклиф) Z иқтисодий системанинг берилган бошқарилувчи параметри дейилади. Пулга булган талабга нисбатан қуйидагича фараз килинади: 8) пулга бўлган талаб операцион ва чайқовчилик талаблари йиғиндисидан иборат. Операцион талаб Y товарни сотиб олиш учун (ҳам фондни ташкил қилувчи сифатида ҳамда истеъмол учун) қўлда бўлиши лозим бўлган пул миқдори билан аниқланади. Агар маҳсулот нархи p га тенг, муомала вақти га тенг булса, у ҳолда операцион талаб pY миқдорга тенг. Чайқовчилик талаби фоиз нормаси миқдори r билан боғлик. Агар фоиз нормалари юқори бўлса, катта пулга эга бўлган пулдорлар яхши даромаддан умид қилиб, пулларининг анчагина қисмини банкда сақлайдилар. Бунда улар банкга нисбатан банкнотларни юқори даражада ликвидация 103 5.5 – расм. қилиш (бу пулларни алмаштириш) қиладилар. маҳсулотларга имкониятини Кичкина фоиз қурбон ставкасида чайқовчилик талаби ошади: пулдорлар ўз қўлларига кўпрок миқдордаги пулларни ушлаб туришни хоҳлайдилар. Шунинг учун чайқовчилик талаби I (r ) функция орқали берилади (5.5– расм). r r2 бўлганда I r 0 бўлади, r r2 да I r функция жуда тез ўсади ( r r2 да lim I r ; пул эгалари банк мажбуриятларига эга бўла олмайдилар). r2 r1 деб ҳисоблаш табиий, акс ҳолда ѐки инвестиция нолга тенг ва иктисодий мувозанат ҳақида гапиришга ҳожат қолмайди ѐхуд I r функция аниқланмаган ва уни ўрганиш маъно касб этмайди. Молиявий бозор мувозанат ҳолатида бўлганида пулларни баланси («сақланиш қонуни») иқтисодий тизимда қуйидаги тенглама билан ифодаланади Z pY I r . (3.5) (3.1)-(3.5) тенгламаларни бирлаштириб, 1)-8) фаразлар асосида ҳосил қилинган бозор мувозанатининг математик моделига эга бўлиш мумкин: Y F R , F R s , p (3.6) Y Y Ar Z pY I r (3.6) математик моделда системанинг параметри s (ойлик маош ставкаси) ва техник параметрлар берилади. F , F , , A, I функциялар ҳар бири ўз аргументларининг маълум функциялари бўлиб, улар юқорида баѐн 104 этилган хоссаларга эга. Ушбу берилганларга асосан моделдан тўртта номаълум миқдорлар: Y (ишлаб чиқарилган маҳсулот миқдори), R (бандлик), p (маҳсулот нархи) ва r (даромад нормаси) аниқланади. (3.6) дан p, r , Y микдорларни йўқотиб, (3.6) тенгламани R га нисбатан қуйида келтирилган битта тенглама кўринишида ифодалаш мумкин: sF R F R Z I A1 F R F R , (3.7) бу ерда A1 функция A функцияга тескари функциядир. (3.7) дан R ни қийматини аниқлаб, (3.6) тенгламалардан бошка номаълум миқдорларни ҳам аниқлаш мумкин. 5.6 – расм. 5.7 – расм. (3.7) тенгламани чап ва ўнг томонларига кирувчи функцияларни графиклари таҳлилига асосланиб, бу тенглама ягона ечимга эга эканлигини кўрсатамиз. F R F R функция R 0 да нолга тенг бўлиб, R нинг монотон ўсувчи функциясидир (5.6–расм). Унинг монотонлиги dF R d F R c 1 шартдан, бу функция R ни ўсиши билан ўсувчи эканлиги dF R dR 0 шартдан эса келиб чиқади. Шунингдек, бу функция A1 монотон функциянинг аргументидир. A функциянинг хоссасидан (5.7– расм) A1 функциянинг R аргументга сифат жиҳатдан қайси кўринишда 105 боғликлигини кўриш мумкин (5.7–расм). Расмдан кўриниб турибдики, R R1 ( R1 R нинг қандайдир қиймати бўлиб, 0 R1 ) шарт бажарилса, A1 0 . Ўз навбатида A1 функция тенгламада I функциянинг аргументи сифатида иштирок этаяпти. I функциянинг хоссаси 3–расмда келтирилган. 5.8–расмда бу функциянинг графиги келтирилган бўлиб, у R R2 да аниқланмаган. 5.8–расм . 5.9–расм . Энди (3.7) тенгламанинг чап томонини кўриб чиқамиз. sF R F R функция R 0 да нолга тенг ( F R 0 деб фараз қилинади) (5.4–расмга каралсин). унинг R бўйича биринчи тартибли ҳосиласи функциянинг F R 0 , F R 0 хоссаларига асосан манфий, яъни бу функция монотон камаювчидир (6 –расм). (3.7) тенглама учун ва чап кисмлари графигини (уларнинг графиги мос ҳолда 1 ва 2 эгри чизиклар) бирлаштириб (5.10–расм), шунга ишонч ҳосил қилиш мумкинки, бошқарувчи параметр Z нинг етарлича катта қийматларида бу эгри чизиқлар қандайдир R0 0 R0 нуқтада кесишади. Графикларнинг монотонлигига асосан кесишиш нуқтаси ягонадир. Хусусан, (3.6) математик модел ҳақикатдан хам иқтисодиѐтнинг мувозанат ҳолатини ифодаловчи ягона ечимга эга. (3.6) математик модел мувозанат ҳолатига яқин бўлган турли ҳолатларни қиѐсий таҳлили учун ҳам 106 ишлатилиши мумкин (қандай килиб система мувозанат ҳолатига келади ѐки мувозанат ҳолатидан чиқади деган саволларга жавоб бермасдан). 5.10 – расм. МАЪРУЗА №18. ИҚТИСОДИЙ ЎСИШИНИНГ МАКРОМОДЕЛИ. Ўсувчи иқтисодда вақт ўтиши билан ишловчилар сони кўпайиб боради. Энг оддий ҳолда иш билан таъминланганларнинг ўсиш суръати ишлаѐтганлар сони билан пропорционал. dR R(t ) dt (1) Шунинг учун Rt R 0 et вақтнинг маълум бир функцияси, R0 R0 бошланғич вақтдаги ишловчилар сони, α – пропорционаллик коэффициенти бўлиб, унинг қиймати ҳар бир иқтисодий ҳудуд учун маълум. Ишчилар меҳнати туфайли yt миллий даромад келтирсин. Бу даромад қисман эхтиѐжларни қондиришга ва жамғаришга кетади, яъни yt W A Бу ерда W – эхтиѐжларни қондиришга сарф буладиган, (2) A – жамғариладиган даромад қисмларидир. Жамғарилидаган A қисм эса ўз навбатида қатордан чиқиб қолган саноат қувватини тиклаш ва янги қувватлар яратиш учун сарф этилиб, яна иқтисодга қайтади. M t қувват дейилганда махсулотни мумкин қадар максимал ишлаб чиқариш тушунилади. Маҳсулотни реал ишлаб чиқариш ишловчилар сонига боғлиқ бўлади. yt M t f xt 107 (3) (3) да - xt Rt / M t – бир бирлик қувватда ишловчилар сони. f x функция тўғрисида қуйидагига фараз қилинади: f 0 0, f x 0 , яъни ишловчилар сони ошиши билан ишлаб чиқарилаѐтган маҳсулот ҳам ошиб боради ва f x 0 иқтисодни маҳсулот билан тўлганлигини (таъминланганлигини) билдиради. f x функция x 0; X M да аниқланган, X M RM / M , RM t – M t қувватни таъминловчи хўжаликдаги ишчилар сони. Агар ҳамма иш жойлари ишчилар билан таъминланган бўлса, у ҳолда махсулотни ишлаб чиқариш миқдори Y t таърифга кўра Y t M t , яъни f X M 1 бўлади. Ишлаб чиқаришдан топилган даромадни эхтиѐжни қондиришга ва жамғаришга ажратишнинг оптимал усулларини аниқлаш иқтисодиѐт масалаларининг асосий масалаларидан биридир. Оптималликни критерияси сифатида жон бошига (бир ишчига) сарф бўладиган эхтиѐжни C t W t / Rt ни қабул қилиш мумкин. Вақт бирлиги ичида жамғарилган At даромад янги қувватларни яратишга сарф бўлади: At aI t (4) Бу ерда a 0 янги қувват бирлигини яратиш учун зарур бўладиган фондни ташкил этувчи берилган ўзгармас миқдор. I t – янги қувват бирлиги сони. Мавжуд қувватни ишдан чиқиш тезлиги қувватнинг ўзига пропорционал, яъни M t деб ҳисобланади, у ҳолда қувват қуйидагича ўзгаради: dM I t M t , dt (5) бу ерда 0 - ишдан чиқиш коэффициенти. (2), (3) ва (5) тенгламаларда 4 та номаълум yt , W t , M t , I t лар қатнашаяпти. Моделни тўлдириш учун янги қувват миқдори мавжуд қувват 108 миқдорига пропорционал I t M t деб фараз қиламиз, γ - берилган ўзгармас миқдор бўлиб, . У ҳолда (5) тенглама қуйидаги ечимга эга бўлади: M t M 0e t (6) ва шу орқали бошқа миқдорлар ҳам аниқланади. Оддий (7) ҳолни қараймиз. Бу эса қувват yt функция t , I t функциялар билан бир хил суръат билан ўсар экан, чунки f xt f x R0 M 0 const . Ишловчиларни жон бошига сарф бўладиган эхтиѐжни максимал даражасини таъминлаш учун ишловчилар сонини ва эҳтиѐжни жамғаришга бўлган нисбатини аниқлаймиз. Таърифга асосан C t W t yt At . Rt Rt (3 – 4) ва (6 – 7) ларни ҳисобга олсак C t c f x const . x Яъни, жон бошига тўғри келадиган эҳтиѐж вақт ўтиши билан ўзгармасдан қолар экан. Унинг максимуми қуйидаги шартдан топилади: dC d f x 0. dx dx x Бу тенгламадан изланаѐтган xm учун қуйидаги тенгламани ҳосил қилиш мумкин: xm f ( xm ) f ( xm ) ( ) 0 . 109 (8) Бу тенгламадан 0 xm xM ва R0 M 0 xm бошланғич шартни қаноатлантирувчи ягона ечимни аниқлаш мумкин. Жон бошига сарф бўладиган максимум эхтиѐж Cm ни таъминлайдиган жамғариш нормаси қуйидагича: nm Am . ym Ёки ym M m f xm , Am M m ва (7), (8) ларга асосан жамғариш нормаси учун қуйидагига эга бўлиш мумкин: nm 1 xm f ( xm ) . f ( xm ) (9) Бу норма иқтисод ўсишини олтин қоидасининг нормаси (Солоу) дейилади. Агар (7) шарт бажарилмаса, иқтисод ўсиши режими мураккаб процессдан иборат бўлади. 110 НАЗОРАТ САВОЛЛАРИ 111 Якуний баҳолаш ва оралиқ баҳолашлар бўйича саволномалар Билет №1 1. Модель ва моделлаштириш тушунчалари. 2. Моделлаштиришнинг иерархия принципи. Билет №2 1. Математик моделлаштиришнинг вариацион принципи. 2. Математик моделлаштиришда аналогия усули. Билет №3 1. Математик модел тушунчаси. Математик Математик моделни ифодалаш шакллари. 2. Йиртқич-ўлжа модели. Волтерра модели. моделга мисоллар. Билет №4 1. Хисоблаш эксперименти ва унинг босқичлари. 2. Ер шари аҳолисининг ўсиши планетамиздаги эркаклар ва аѐллар сонларининг кўпайтмасига пропорционал деб ҳисоблаб, ер шари аҳолиси ўсишининг математик моделини қуринг. Билет №5 1. Энергиянинг сақланиш қонунидан фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблар. Билет №6 1. Масса (материя)нинг сақланиш қонуни фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Мальтус ва Фьюрхст-Перл моделлари. Билет №7 1. Импульснинг сақланиш қонунидан фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси модели. Билет №8 1. Математик моделларнинг универсиаллиги, математик моделлаштиришнинг умумий қонунлари ва усулларини конкрет мисолларда кузатиш. 2. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблар. Билет №9 1. Емирилувчи модданинг емирилиш тезлиги унинг миқдорига пропорционал деб ҳисоблаб, модданинг емирилиш жараѐнининг математик моделини қуринг. 2. Мураккаб жараѐнларни математик моделлаштириш. 112 Билет №10 1. Моделлаштириш ва моделларнинг турлари. 2. Иқтисодиѐт ўсишининг макромодели. Билет №11 1. Модель ва моделлаштириш тушунчалари. 2. Моделлаштиришнинг иерархия принципи. Билет №12 1. Математик моделлаштиришнинг вариацион принципи. 2. Математик моделлаштиришда аналогия усули. Билет №13 1. Математик модел тушунчаси. Математик Математик моделни ифодалаш шакллари. 2. Йиртқич-ўлжа модели. Волтерра модели. моделга мисоллар. Билет №14 1. Хисоблаш эксперименти ва унинг босқичлари. 2. Икки армия жанговар харакати модели. Билет №15 1. Энергиянинг сақланиш қонунидан фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблар. Билет №16 1. Масса (материя)нинг сақланиш қонуни фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Мальтус ва Фьюрхст-Перл моделлари. Билет №17 1. Импульснинг сақланиш қонунидан фойдаланиб, ММ қуриш. 2. Икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси модели. Билет №18 1. Корхоналар ўзаро қарзларини бартараф этиши. 2. Математик моделларга қўйиладиган асосий талаблар. Билет №19 1. Мураккаб жараѐнларни математик моделлаштириш. 2. Реклама компаниясини ташкиллаштириш. Билет №20 1. Моделлаштириш ва моделларнинг турлари. 2. Модда ва энергия мувозанатининг модели. 113 Билет №21 1. Эпидемия модели. 2. Емирилувчи модданинг емирилиш тезлиги унинг миқдорига пропорционал деб ҳисоблаб, модданинг емирилиш жараѐнининг математик моделини қуринг. Билет №22 1. Математик моделларнинг универсиаллиги, математик моделлаштиришнинг умумий қонунлари ва усулларини конкрет мисолларда кузатиш. 2. Бозор иқтисодиѐти мувозанатининг макромодели. Билет №23 1. Иерархия принципидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2. Популяция чизиқсиз моделининг уч турдаги режими. Билет №24 1. Аналогия усулидан фойдаланиб, математик моделлар қуриш. 2. Математик моделлаштиришда вариацион принципдан фойдаланиш. Билет №25 1. Жамият ривожланишининг демографик моделлари. 2. Биологик моделларга доир мисоллар. 114 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан тест саволлари 115 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан тест саволлари 1. Модель лотинча ―modulus‖ сўзидан олинганлиги маълум, у қандай маънони англатади? а) барча жавоблар тўғри; б) ўлчов; в) намуна. 2. Моделни таърифини кўрсатинг. а) барча жавоблар тўғри; б) модель – бу реал объектни алмаштириши мумкин бўлган, тадқиқот ва тажриба ўтказиш учун қулай ва арзон бўлган бошқа бир реал ѐки абстракт объектдир; в) модель реал объектнинг соддалаштирилган кўриниши бўлиб, унинг ҳамма хоссаларини эмас, балки асосий хоссаларинигина ўзида мужассам этган бошқа бир реал ѐки абстракт объектдир. 3. Ҳозирги кунда фан оламида маълум бўлган маълумотларни кўриниши ва маъносига қараб қандай турларга бўлиш мумкин? а) физик, графикли, математик; б) графикли, математик; в) математик, физик. г) физик, графикли. 4. Тажриба ўтказишга мўлжалланган тажриба участкалари, лаборатория машғулотларини ўтказишга мўлжалланган асбоб ускуналар қандай моделларга мисол бўлади? а) физик; б) математик; в) графикли. 5. Схемалар, чизмалар, расмлар, илмий ва тарихий асарлар қандай моделларга мисол бўла олади? а) графикли; б) математик; в) физик. 6. Ньютон қонунлари, сақланиш қонунлари қандай моделларга мисол бўла олади? а) математик; б) физик; в) графикли. 116 7. ... модель реал объектни тасавуримиздаги абстракт кўриниши бўлиб, у математик белгилар ва баъзи бир қонун–қоидалар билан ифодаланган бўлади. а) математик; б) физик; в) графикли. 8. Масаланинг ечилиши ҳусусиятларига қараб математик моделлар қандай турларга бўлиниши мумкин? а) функционал моделлар, структурали моделлар; б) структурали моделлар; в) функционал моделлар. 9. Функционал моделларни моҳияти нимада? а) барча жавоблар тўғри; б) функционал моделларда ҳодиса ѐки обектни ҳарактерловчи барча катталиклар миқдорий ифодаланилади; в) функционал моделларда катталикларнинг айримлари эркли ўзгарувчилар сифатида, бошқалари эса шу миқдорларнинг функциялари сифатида қаралади. 10. Математик моделлар қуйида келтирилганларнинг қайси бири билан ифодаланиши мумкин? а) дифференциал, алгебраик тенгламалар ѐки тенгсизликлар системаси кўринишида; б) дифференциал тенгламалар ѐки тенгламалар системаси кўринишида; в) алгебраик тенгламалар ѐки тенгламалар системаси кўринишида; г) алгебраик тенгсизликлар ѐки тенгсизликлар системаси кўринишида. 11. Структурали моделларнинг моҳияти нимадан иборат? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) структурали моделларда математик модель мураккаб обектнинг структурасини ифодалайди; в) структурали моделларда мураккаб объект одатда турли қисмлардан тузилган бўлиб, бу қисмлар орасидаги боғланишларни одатда миқдорий ифодалаб бўлмайди; 12. Математик моделдаги берилганлар ва башоратлаш натижаларининг характерига кўра моделлар қандай турларга ажратилиши мумкин? а) детерминистик, эҳтимолли-статистик моделлар; б) эҳтимолли-статистик, алгебраик моделлар; в) детерминистик моделлар; г) дифференциал моделлар. 13. Детерминистик моделлар нима билан характерланади? 117 а) детерминистик моделларда аниқ, бир қийматли башорат қилинади; б) детерминистик моделлар статистик маълумотларга асосланган бўлиб, улар ѐрдамидаги башоратлар эҳтимолли ҳарактерда бўлади; в) келтирилганларнинг барчаси тўғри. 14. Эҳтимолли-статистик моделлар нима билан характерланади? а) эҳтимолли-статистик моделлар статистик маълумотларга асосланган бўлиб, улар ѐрдамидаги башоратлар эҳтимолли ҳарактерда бўлади; б) эҳтимолли-статистик моделларда аниқ, бир қийматли башорат қилинади; в) келтирилганларнинг барчаси тўғри. 15. Математик моделга қўйиладиган асосий талабларни кўрсатинг. а) универсаллик, компактлик, соддалик, паст сезгирлик даражасига эга бўлиши, мослашиш даражаси юқори бўлиши; б) универсаллик, паст сезгирлик даражасига эга бўлиши, мослашиш даражаси юқори бўлиши; в) компактлик, соддалик, паст сезгирлик даражасига эга бўлиши, мослашиш даражаси юқори бўлиши; г) универсаллик, компактлик, соддалик, мослашиш даражаси юқори бўлиши. 16. Математик моделни қуришнинг асосий босқичларини кўрсатинг. а) объектни ўрганиш, йиғилган маълумотларни системалаштириш, йиғилган маълумотлар асосида объект бўйсунадиган қонун ѐки қонуниятлар танлаш; объектни таклиф этилаѐтган математик моделини ―жиҳозлаш‖, математик модель асосида дискрет модель қуриш ва дискрет модель асосида дастур тузиб, компьютерда қўйилган математик масалани ечиш; б) объектни ўрганиш, йиғилган маълумотлар асосида объект бўйсунадиган қонун ѐки қонуниятлар танлаш; объектни таклиф этилаѐтган математик моделини ―жиҳозлаш‖, математик модель асосида дискрет модель қуриш ва дискрет модель асосида дастур тузиб, компьютерда қўйилган математик масалани ечиш; в) объектни ўрганиш, йиғилган маълумотлар асосида объект бўйсунадиган қонун ѐки қонуниятлар танлаш; объектни таклиф этилаѐтган математик моделини ―жиҳозлаш‖, дастур тузиб, компьютерда қўйилган математик масалани ечиш. 17. Математик модель ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик дейилганда нима тушунилади? а) математик модель ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик дейилганда объект ва унинг математик модели динамикаларининг сифат ва миқдор жиҳатдан ўхшашлиги ва яқинлиги тушунилади; б) математик модель ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик дейилганда объект ва унинг математик модели динамикаларининг сифат жиҳатдан ўхшашлиги ва яқинлиги тушунилади; 118 в) математик модел ва унинг реал объекти орасидаги мувофиқлик дейилганда объект ва унинг математик модели динамикаларининг миқдор жиҳатдан ўхшашлиги ва яқинлиги тушунилади. 18. Объект ва унинг математик модели динамикалари орасида мувофиқликни ўрнатишнинг усулларини кўрсатинг. а) келтирилганларнинг барчаси тўғри б) математик моделда иштирок этаѐтган ўзгармас катталикларни қайтадан баҳолаш; в) математик моделни ѐзишда қабул қилинган ишчи гипотезаларни қайтадан кўриб чиқиш; г) реал объект ҳақида қўшимча маълумотлар йиғиш ва янги йиғилган маълумотлар асосида моделни қайтадан кўриб чиқиш. 19. Агар M I 0 ва M II 0 моддаларнинг бошланғич, M I t ва M II t жорий массалари бўлса, M I 0 M II 0 M I t M II t формула нимани ифодалайди? а) моддалар массасининг сақланиш қонунини; б) энергияни сақланиш қонуни; в) импульсни сақланиш қонуни. 20. Радиактив емирилувчи модда массасининг вақт бўйича ўзгариш қонунини кўрсатинг. а) M I t M I 0e t ; б) M I t M I 0e t ; в) M I t M I 0 e t e t . 21. Радиактив модданинг емирилиш тезлиги қандай формула билан ифодаланади? dM I t M I t ; а) dt dM I t M I t ; б) dt dM I t M I 0 . в) dt 22. Ракета ҳаракати учун импульснинг сақланиш қонуни қандай ифодаланади? а) mt vt mt t vt t mt mt t vt t u; б) mt vt mt t vt t ; в) mt vt mt mt t vt t u. 119 23. Ракета ҳаракати учун импульснинг сақланиш қонуни қандай ифодаланади? dv dm u; а) m dt dt dv dm u; б) dt dt dv в) m u . dt 24. Бир поғонали ракетанинг тезлиги қандай қонун асосида ўзгаради? m а) vt v0 u ln 0 ; mt б) vt v0 u lnmt ; m в) vt v0 ln 0 . mt 25. Бир поғонали ракеталардан нега фойдаланилмайди? а) ракеталарнинг тезлиги кичик бўлганлиги сабабли, яъни бу ракеталар ҳаттоки биринчи космик тезликка ҳам эриша олмаслиги сабабли; б) бундай ракеталарнинг массалари нисбатан кичик бўлганлиги сабабли; в) ракеталарнинг конструкцияси содда бўлганлиги сабабли. 26. Иерархия принципидан фойдаланиб, математик моделлар қурилганда ҳосил бўлган моделлар қандай хусусиятларга эга бўлади? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) ҳар бири олдинги моделларни умумлаштирувчи ва уларни ўзининг хусусий ҳоли сифатида ўзига бириктириб олувчи нисбатан тўла моделлар занжири (иерархияси) ҳосил бўлади; в) кейингилари олдингиларини ўз ичига олган, яъни олдинги моделлар кейинги моделларнинг хусусий ҳоли бўлган нисбатан тўлиқ бўлган моделлар занжири ҳосил бўлади. 27. m0 m p m1 m2 m3 ифода нимани англатади? а) уч поғонали ракетанинг бошланғич массасини; б) мураккаб конструкцияли ракетанинг бошланғич массасини; в) ракетанинг структура массасини. 28. Кўп поғонали ракеталарда mi i-чи поғонага мос келувчи структура массаси бўлса, 1 mi ифода нимани англатади? а) i-чи поғонага мос келувчи ѐқилғи массаси; б) i-чи поғонага мос келувчи фойдали юк массаси; 120 29. Уч поғонали ракеталар учун m p m1 m2 m3 ифода нимани англатади? а) ракета биринчи поғонасининг ѐқилғиси сарф бўлган, ракетанинг тезлиги m0 га тенг бўлгандаги массаси; v1 u ln m m m m 1 2 3 p б) иккинчи поғонанинг бошланғич массаси. m p m2 m3 ифода 30. Уч поғонали ракеталар учун v2 v1` u ln m m m 2 3 p нимани англатади? а) барча жавоблар тўғри; б) иккинчи поғонадаги ѐқилғи ѐниб тугагандан кейинги ракетанинг тезлигини; в) ракетанинг учинчи поғонаси ишга тушгандаги бошланғич тезлигини. 31. Уч поғонали ракеталар учун бошланғич массани фойдали юк массасига нисбати нимага тенг? m0 1 3 а) ; m p P 3 б) m0 1 ; m p P m0 1 2 в) . m p P 2 32. Нега косманавтикада икки ва тўрт поғонали ракеталардан фойдаланилмасдан уч поғонали ракетадан фойдаланилади? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) икки поғонали ракета фойдали массани орбитага чиқаришга лайоқатлидир, аммо бир тонналик фойдали юк учун ракета массаси 149 тонна бўлиши талаб этилади; в) уч поғонадан фойдаланиш ракета массасини деярли икки мартага камайтиради, аммо унинг структурасини икки поғонали ракетага нисбатан муракаблаштиради; г) тўрт поғонали ракета эса уч поғоналига нисбатан сезиларли ютуқни бермаса-да, ракетанинг структурасини уч поғонали ракетага нисбатан анча муракаблаштиради. 33. Иерархия принципидан фойдаланиб математик моделлар қуриш қандай тамойилларга асосланади? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) «соддадан-мураккабликка қараб» тамойилига; 121 в) «мураккабликдан соддаликка қараб» тамойилига. 34. Мальтус модели қуйидагилардан қайси бири билан ифодаланади? dN а) N ; dt dN б) N N ; dt dN в) N 2 . dt 35. Қуйидаги ифодалардан қайси бири Мальтус моделининг ечимини ифодалайди? а) N N 0 e t ; б) N N 0 e t в) N N 0 e t . 36. Мальтус модели асосида популяция сонининг вақт бўйича ўзгариши қандай бўлади? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) агар ўлимлар сони туғилишларга қараганда кўпроқ бўлса, у ҳолда Мальтус модели популяция сонининг экспоненциал равишда камайишига ишора қилади; в) туғилишлар ва ўлимлар сони ўзаро тенг бўлса, Мальтус моделининг кўрсатишича, популяция сони бутун вақт оралиғида ўзгармасдан қолади; г) агар туғилишлар сони ўлимлар сонига нисбатан кўп бўлса, у ҳолда Мальтус модели популяция сонининг экспоненциал равишда ўсишига ишора қилади. 37. Мальтус моделини қайси ҳолларда қўллаш мумкин? а) ҳаѐтни таъминловчи ресурсларга чекланишлар бўлмаган ҳолларда; б) популяция сони муҳит сиғимига яқинлашганда; в) популяция сони муҳит сиғимига яқинлашмаганда. 38. Ферхюльст-Перл ифодаланади? dN N N ; а) dt dN N ; б) dt dN N 2 . в) dt модели қуйидагилардан 122 қайси бири билан 39. Қуйидаги ифодалардан қайси бири Ферхюльст-Перл тенгламасининг ечимини ифодалайди? N 0 e t а) N ; N 0 e t 1 б) N N 0 e t ; в) N N 0 e t . 40. Ферхюльст-Перл модели асосида популяция сонининг вақт бўйича ўзгариши қандай бўлади? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; билан чегараланган бўлади; в) агар ўлимлар сони туғилишларга қараганда кўпроқ бўлса, у ҳолда Мальтус модели популяция сонининг экспоненциал равишда камайишига ишора қилади; г) туғилишлар ва ўлимлар сони ўзаро тенг бўлса, Мальтус моделининг кўрсатишича, популяция сони бутун вақт оралиғида ўзгармасдан қолади. 41. Ферхюльст-Перл моделини қайси ҳолларда қўллаш мумкин? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) популяция сони муҳит сиғимига яқинлашганда; в) ҳаѐтни таъминловчи ресурслар чекланган ҳолда. 42. Популяциянинг чизиқсиз модели dN N N, 0 1 dt N P қандай фаразларга асосланган? а) атроф муҳит томонидан таъминланадиган «мувозанатли» популяция сони N P мавжуд ва популяция сонининг ўзгариш тезлиги мувозанат қийматидан оғиш миқдорига кўпайтирилган популяция сонига пропорционал; б) популяция сонининг ўзгариш тезлиги мувозанат қийматидан оғиш миқдорига кўпайтирилган популяция сонига пропорционал; в) популяция сонининг ўзгариш тезлиги мувозанат қийматидан оғиш миқдорига кўпайтирилган популяция сонига пропорционал. 43. Популяциянинг чизиқсиз модели dN N N, 0 1 dt N P нинг ечими қандай тенглик билан ифодаланади? N P N 0 e t а) N t ; N P N 0 1 e t 123 N 0 e t б) N t ; 1 N 0 1 e t в) N t N P N 0 . N P N 0 1 e t dN N N , 0 га асосан 1 dt N P популяция сони вақт ўтиши билан қандай ўзгаради? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) бошланғич популяция сони N 0 нинг ихтиѐрий қийматида популяция сони мувозанат қиймати N P га интилади; в) Мальтус моделидан фарқли ўлароқ ушбу ҳолда мувозанат турғун бўлади; г) Мальтус моделига нисбатан ушбу модель популяция динамикасини реалроқ ифодалайди. 44. Популяциянинг чизиқсиз модели dN dt ( сM ) N 45. дифференциал тенгламалар системаси қандай dM dt ( dN ) M жараѐнни ифодалайди? а) йиртқич-ўлжа системасининг ўзаро муносабати моделини; б) икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси моделини; в) икки армия ўртасидаги жанговар ҳаракат моделини. 46. Лотка-Вольтер тенгламалар системасининг ечими асосида қандай хулосага келиш мумкин? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) агар N 0 N0 , M 0 M 0 ( N 0 , M 0 - популяциянинг мувозанатини таъминловчи қийматлар) бўлса, ҳамма вақт мобайнида популяциялар сони ўзгармасдан қолади; в) йиртқич ва худди шунингдек, ўлжанинг популяция сонлари мувозанат ҳолатидан озгина ўзгариши, бу популяция сонларининг вақт ўтиши билан мувозанат ҳолатига қайтмаслигига олиб келади; г) агар бошланғич мувозанат ҳолатидан оғиш катта бўлса, система вақт ўтиши билан мувозанат ҳолатига қайтмайди. 47. Йиртқич-ўлжа системасининг ўзаро муносабати модели асосида қандай хулосага келиш мумкин? а) келтирилганларнинг барчаси тўғри; б) йиртқич ва ўлжалар популяция сонлари мувозанат ҳолати атрофида даврий тебраниб туради; 124 в) тебраниш амплитудаси ва унинг даври популяцияларнинг бошланғич сонлари N 0, M 0 орқали аниқланиб, N t нинг максимал қийматига M t нинг минимал қиймати мос келади ва аксинча. 48. Икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси модели қуйидаги фаразларнинг қайси бирига асосланган? а) ҳар бир давлатдаги қуроллар миқдорининг ўсиши ва камайиши рақиб давлатдаги қуроллар миқдорига, ўзидаги мавжуд қуролларнинг эскириши даражасига ва рақиблар ўртасидаги ўзаро ишончсизлик даражасига пропорционал бўлади деб фараз қилинади; б) ҳар бир давлатдаги қуроллар миқдорининг ўсиши ва камайиши рақиб давлатдаги қуроллар миқдорига ва рақиблар ўртасидаги ўзаро ишончсизлик даражасига пропорционал бўлади деб фараз қилинади; в) ҳар бир давлатдаги қуроллар миқдорининг ўсиши ва камайиши рақиб давлатдаги қуроллар миқдорига, ўзидаги мавжуд қуролларнинг эскириши даражасига пропорционал бўлади деб фараз қилинади. dM 1 dt 1 t M 2 1 t M 1 1 t 49. дифференциал dM 2 dt 2 t M 1 2 t M 2 2 t системаси қандай жараѐнни ифодалайди? а) икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси моделини; б) йиртқич-ўлжа системасининг ўзаро муносабати моделини; в) икки армия ўртасидаги жанговар ҳаракат моделини. тенгламалар 50. Икки армия ўртасидаги жанговар ҳаракат модели қуйидаги фаразларнинг қайси бирига асосланган? а) ҳар бир армиядаги қўшинлар сонининг камайиш тезлиги бевосита жанговар ҳаракатларга боғлиқ бўлмаган сабаблар билан, рақиб армиянинг жанговар ҳаракати ва ѐрдамчи кучларнинг қўшилиш тезлиги билан боғлиқ; б) ҳар бир армиядаги қўшинлар сонининг камайиш тезлиги рақиб армиянинг жанговар ҳаракати ва ѐрдамчи кучларнинг қўшилиш тезлиги билан боғлиқ; в) ҳар бир армиядаги қўшинлар сонининг камайиш тезлиги бевосита жанговар ҳаракатларга боғлиқ бўлмаган сабаблар билан, рақиб армиянинг жанговар ҳаракати билан боғлиқ. dM 1 dt -1 t M 1 2 t M 2 1 t 51. dM 2 t M t M t 2 2 1 1 2 dt системаси қандай жараѐнни ифодалайди? 125 дифференциал тенгламалар а) икки армия ўртасидаги жанговар ҳаракат моделини; б) икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси моделини; в) йиртқич-ўлжа системасининг ўзаро муносабати моделини. dM 1 dt -1 t M 1 2 t M 2 1 t 52. дифференциал тенгламалар dM 2 dt 2 t M 2 1 t M 1M 2 2 t системаси қандай жараѐнни ифодалайди? а) мунтазам армия ва партизан қисмлари ўртасидаги жанговар ҳаракат моделини; б) икки давлат ўртасидаги қуролланиш пойгаси моделини; в) йиртқич-ўлжа системасининг ўзаро муносабати моделини. 53. x 2 x 2 x 4 d x3 ифода қандай жараѐнни ифодалайди? dt а) модда ва энергия мувозанатини; б) массани сақланиш қонунини; в) популяцияларнинг ўзгариш қонунини. a 1 e 2 ab t -t0 ифода қандай жараѐнни ифодалайди? b 1 e 2 ab t -t0 а) дарахт баландлигини вақт ўтиши билан ўзгаришини (ўсишини); б) дарахт эркин энергиясини; в) озуқавий эритмани дарахтнинг барча қисмларига етказиб бериш учун сарф бўладиган энергияни. 54. xt 55. Модда ва энергия мувозанатини ифодалайдиган математик моделни ҳосил қилишда қуйида келтирилган қайси фаразлардан фойдаланилади? а) етуклик ѐшидаги дарахт ўсиш жараѐнида геометрик ўхшашликни сақлаб қолади; дарахт эркин энергияни (дарахт учун зарур бўлган моддани) фақатгина фотосинтез жараѐни сабабли олади ва бу энергия фотосинтезга, тирик танани шакллантириш (ўсиш) ва эритмани тупроқдан кўтариш учун сарф бўлади; б) дарахт эркин энергияни (дарахт учун зарур бўлган моддани) фақатгина фотосинтез жараѐни сабабли олади ва бу энергия фотосинтезга, тирик танани шакллантириш (ўсиш) ва эритмани тупроқдан кўтариш учун сарф бўлади; в) дарахт эркин энергияни (дарахт учун зарур бўлган моддани) фақатгина фотосинтез жараѐни сабабли олади ва бу энергия тирик танани шакллантириш (ўсиш) ва эритмани тупроқдан кўтариш учун сарф бўлади. 56. Модда ва энергия мувозанатини ифодалайдиган математик моделдан қандай хулосалар олиш мумкин? 126 а) аввал дарахт вақт ўтиши давомида тўхтовсиз ўсиб, маълум бир вақтдан кейин дарахтнинг ўсиши секинлашади ва ниҳоят умуман ўсишдан тўхтаб қолади; б) дарахт вақт ўтиши давомида тўхтовсиз ўсиб боради; в) дарахт вақт ўтиши давомида тўхтовсиз ўсиб боради, маълум бир вақтдан кейин дарахтнинг ўсиши секинлашади ва дарахт яна ўсишда давом этади. 57. xt yt N 1 ифода қандай жараѐнни ифодалайди? а) аҳолиси сони N га тенг бўлган ҳудудда эпидемияга чалинган 1 та касал келиб қўшилиши натижасида ҳудудда эпидемия тарқалиши жараѐнини ифодалайди; б) дарахт баландлигини вақт ўтиши билан ўзгаришини (ўсишини); в) дарахт эркин энергиясини. 58. dx xN 1 x ифода қандай жараѐнни ифодалайди? dt а) аҳолиси сони N га тенг бўлган ҳудудда эпидемияга чалинган 1 та касал келиб қўшилиши натижасида ҳудудда касаллар сонининг вақт бўйича ўзгаришини ифодалайли; б) дарахт баландлигини вақт ўтиши билан ўзгаришини (ўсишини); в) дарахт эркин энергиясини. 59. Аҳолиси сони N га тенг бўлган ҳудудда эпидемияга чалинган 1 та касал келиб қўшилиши натижасида ҳудудда касаллар сонининг вақт бўйича ўзгаришини қандай муносабат билан аниқланади? а) xt б) xt в) xt N 1 Ne Ne N 1t N 1 N 1 t 1 1 1 Ne N 1 t ; 1 . dN 1 t 2 t N t N 0 N ифода қандай жараѐнни ифодалайди? dt а) реклама компаниясини ташкиллаштириш моделини; б) чизиқсиз популяция моделини; в) Ферхюльст-Перл моделини. 60. 61. Битта товардан тушадиган фойда p , харидорлар сони N ва 1 t реклама учун вақт бирлиги ичида қилинадиган ҳаракатлар сони бўлса, у ҳолда товарни сотишдан тушадиган фойда нимага тенг? t а) P pN t pN 0 1 t dt ; 0 127 t б) P p N t p N 0 1 t dt ; 0 t в) P p N t N 0 1 t dt p . 0 62. Харидорлар сони N , 1 t реклама учун вақт бирлиги ичида қилинадиган ҳаракатлар сони, элементар реклама ҳаракатининг нархи s бўлса, у ҳолда сарф қилинган харажатлар нимага тенг? t а) S s 1 t dt ; 0 t б) S 1 t dt s ; 0 в) S s t 1 t dt . 0 128 Мустақил таълим учун мавзулар 129 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанидан мустақил таълим учун мавзулар 1. Моделлаштиришда табиатнинг сақланиш қонунларидан фойдаланишга доир мисоллар. 2. Юмшоқ ва қаттиқ математик моделлар. Уларга доир мисоллар. 3. Иқтисодий масалаларни ечишда чизиқли программалаштиришдан фойдаланиш. 4. Чизиқли программалаштиришнинг экстремал масалалари. 5. Чизиқсиз математик моделлар. 6. Атроф-мухитни муҳофаза қилиш моделлари. 7. Экология моделлари. 8. Имитацион моделлаштириш. 9. Товарларни мижозларга етказиб беришда маршрутларни оптималлаштириш. 10. Фильтрациянинг чизиқсиз моделлари. 130 СЛАЙДЛАР 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 Таълим технологияси 141 Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанини ўқитишда замонавий ахборот ва педагогик технологиялар Амалий масалаларни математик моделлаштириш фанини ўқитиш маъруза, амалий машғулотлар ҳамда мустақил топшириқлардан иборат бўлиб, улар биргаликда фаннинг бутунлилигини таъминлайди. Маърузалар орқали олинган билимни мустаҳкамлаш учун амалий машғулотлар муҳим аҳамиятга эга. Мустақил машғулотлар бу фан доирасида мустақил билим олиш, ўзлаштириш ҳисобланади. Ушбу фанни ўқитиш давомида ақлий хужум - ғояларни генерация (ишлаб чиқиш) методидан кенг фойдаланилади. «Ақлий ҳужум» методи бирор муаммони ечишда талабалар томонидан билдирилган эркин фикр ва мулоҳазаларни тўплаб, улар орқали маълум бир ечимга келинадиган энг самарали методдир. Ақлий хужум методининг ѐзма ва оғзаки шакллари мавжуд бўлиб, бу фанда оғзаки шаклидан фойдаланилади. Фанни ўзлаштиришда талабалар замонавий ахборот технологиялари ютуқларидан, шунингдек охирги йилларда яратилган таъминотлардан фойдаланадилар. 142 турли математик дастурий Глоссарий Glossariy (Изоҳли луғат) Модель - лотинча modulus сўзидан олинган бўлиб, ўлчов, намуна маъноларини англатади. Модель – бу реал объектни алмаштириши мумкин бўлган, тадқиқот ва тажриба ўтказиш учун қулай ва арзон бўлган бошқа бир реал ѐки абстракт объектдир. Модель реал объектнинг соддалаштирилган кўриниши бўлиб, унинг ҳамма хоссаларини эмас, балки асосий хоссаларинигина ўзида мужассам этади. Математик модель – реал объектни тасавуримиздаги абстракт кўриниши бўлиб, у математик белгилар ва баъзи бир қонун–қоидалар билан ифодаланган бўлади. Масалан, Ньютон қонунлари, массанинг сақланиш қонуни. Математик модель - ўрганилаѐтган жараѐнларни алгебраик, дифференциал ѐки интеграл тенгламалар кўринишидаги тақрибий ифодаси; Факторлар - моделлаштиришда ташқи муҳитнинг текширилаѐтган объект параметрларига таъсир қилувчи кўрсаткичлари. Математик моделлаштириш - реал объект ѐки жараѐнларни математик усуллар воситасида назарий тадқиқ қилиш усули. Моделлаштиришнинг моҳияти - объектни бошқа соддароқ объект (модель) билан алмаштириб, моделни хусусиятини тадқиқ қилиш орқали оригинал объектни ўрганишдан иборат. Реал объект ва унинг математик моделининг мувофиқлиги - объект ва унинг математик модели динамикаларининг сифат ва миқдор жиҳатдан ўхшашлиги. Авж олувчи режимлар - вақтнинг чекли қийматида қандайдир миқдор чексизликка айланувчи жараѐнлар. 143 Фойдаланилган адабиѐтлар 1. А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Математическое моделирование. М., Наука, 1997. 2. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. –М., УРСС, 2003. 3. Музафаров Х.А., Баклушин М.Б., Абдураимов М.Г. Математическое моделирование. –Т., Университет. 2002. 4. Ю.Ю.Тарасевич. Математическое и компьютерное моделирование. –М., УРСС, 2003. 5. Введение в математическое моделирование. Под ред. В. П. Трусова. -М., Логос, 2005. 6. М.И.Исраилов. Ҳисоблаш методлари, I. Тошкент, Ўзбекистон, 2003; Ҳисоблаш методлари, II. Тошкент, 2008. 7. Д.Кирьянов MathCAD. С.Петербург, «БХВ». 2005. 8. Арнольд В.И. Жѐсткие и мягкие математические модели. -М., - МЦНМО. 2000. 9. Осипов Г.В., Андреев Э.П. Методы измерения в социологии. М., 1977, Наука. 10. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание, 1991. 11. М.И.Ғуломов. Математик моделлаштириш элементлари. ―Бухоро‖, 2001. -62 бет. 12. Боголюбов А.Н. Основы математического моделирования. –М., МГУ. 13. httр://lib/ru. 14. httр://ziуo.net. 15. www.mathphys.ru. 144