МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Київський національний університет будівництва і архітектури
ОПІР МАТЕРІАЛІВ
Методичні вказівки
до виконання контрольних задач
і розрахунково-графічних робіт
Київ 2004
УДК 539.3
ББК 30.121
О-60
Укладачі: М.О. Шульга, д-р фіз.-мат. наук, професор
В.Ф. Корнієнко, канд. техн. наук
Рецензент В.С. Єременко, канд. техн. наук
Відповідальний за випуск Л.Т. Шкельов, канд. техн. наук, професор
Затверджено на засіданні кафедри опору матеріалів протокол № 9
від 20 травня 2004 року.
Видається в авторській редакції.
Опір матеріалів : Методичні вказівки до виконання контрольних задач і
розрахунково-графічних робіт / Уклад.: М. О. Шульга, В.Ф. Корнієнко.–
К.: КНУБА, 2005.-80 с.
Призначено для студентів архітектурного, санітарно-технічного
факультетів, але можуть використовуватися студентами інших факультетів зі
скороченим курсом опору матеріалів.
Зміст
Загальні вказівки...................…..................…............................................……4
1. Контрольні задачі..........................................................................................6
2. Розрахунково-графічні роботи і контрольні запитання до них..............11
3. Основні співвідношення початкового курсу опору матеріалів..............35
Список літератури.............................................................................................43
Додатки...............................................................................................................44
3
ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ
Перед виконанням вправи необхідно опрацювати відповідні розділи
теоретичного курсу опору матеріалів і засвоїти методи розв’язання задач, для
чого рекомендуються підручники, вказані в списку літератури.
Задачі і вправи виконуються за індивідуальними завданнями, дані для
яких вибираються відповідно до шифру, виданого викладачем у вигляді
тризначного числа. Перша цифра шифру відповідає варіанту розрахункової
схеми, друга і третя цифри шифру – значенням геометричних розмірів і
величин силових факторів. Умови вправ і контрольних задач наведені в
тексті методичних вказівок і в дод. 1-37. Більшість приведених задач мають
методичний характер і складені, в основному, викладачами кафедри опору
матеріалів.
При оформленні розв’язків контрольних задач і пояснювальної записки
до розрахунково-графічної вправи спочатку вказується шифр, наводиться
відповідна шифру схема і необхідні вихідні дані, потім викладається
розрахунок.
Терміни виконання розрахунково-графічних вправ і поточного
контролю установлюються відповідно до робочих планів по дисципліні.
При здачі вправи студент повинен захистити основні її положення,
відповісти на теоретичні питання і вміти розв’язувати задачі в обсязі
відповідного розділу курсу. При захисті можуть бути використані контрольні
задачі. Наступна вправа приймається після здачі попередньої.
До іспитів студент допускається тільки після здачі усіх вправ і
виконання завдань, передбачених робочим планом.
Розрахунки на кожному окремому етапі оформлюються в такій
послідовності: розрахункова формула, підстановка в неї конкретних даних,
остаточний результат і одиниця розмірності величини. Розв’язки задач і
вправ виконуються в одиницях СІ.
Кожен окремий етап розрахунку повинен мати заголовок.
Пояснювальна записка оформлюється на стандартних аркушах паперу
формату А4, текст і розрахунки повинні бути написані акуратно і без
помарок. Графічні ілюстрації виконуються з дотриманням масштабу і
нанесенням всіх необхідних розмірів.
4
До кожної вправи додається титульний лист. Титульний лист, текст
пояснювальної записки і креслення укладають в обкладинку і зшивають;
зразок титульного листа приведений у дод. 1.
В опорі матеріалів вихідні дані (довжина, площа, сила, модуль Юнга та
ін.) є наближеними. При розрахунках з наближеними даними обчислення
треба вести з точністю, яка відповідає точності вихідних даних.
Оцінки точності наближених обчислень ґрунтуються на абсолютних
похибках
a
x
a і відносних похибках
a
a
a
; тут a – наближене
значення числа, x – точне число.
В практичних обчисленнях треба вміти визначати число десяткових
знаків і число значущих знаків: число десяткових знаків дорівнює числу
знаків після коми, число значущих знаків дорівнює кількості знаків в числі
не рахуючи нулів зліва.
В практичних обчисленнях керуються такими правилами:
1) при додаванні (відніманні) в сумі зберігається стільки десяткових знаків,
скільки їх є в доданку з найменшим числом десяткових знаків;
2) при множенні (діленні) в добутку залишається стільки значущих цифр,
скільки їх має множник з найменшим числом значущих цифр.
При розрахунках в проміжних діях залишають на одну-дві цифри більше.
При алгебраїчних перетвореннях доводиться користуватися деякими
правилами дій із степенями
m
1
n
n
n
n
an
an m ,
a
b
ab
,
.
a
an am an m,
an
При арифметичних обчисленнях слід пам'ятати наступні залежності
між розмірними величинами
1кН
103 Н
1МПа 10 6 Па
Н
Па
м2
1м 10 2 см
1см 10 2 м
1м 2
10 4 см 2
1см 2
10
4
м2
1м 3
10 6 см 3
1см 3
10
6
м3
1м 4
10 8 см 4
1cм 4
10
8
м4
5
1. КОНТРОЛЬНІ ЗАДАЧІ
1. Геометричні характеристики плоских перерізів
Задача 1.1. Визначити положення центру ваги, осьові і відцентровий
моменти інерції перерізу, форма і розміри якого вказані в дод. 3.
Задача 1.2. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу,
форма і розміри якого вказані в дод. 4.
Задача 1.3. Для перерізу, форма і розміри якого вказані в дод. 5,
визначити положення центру ваги, головні центральні моменти інерції,
головні радіуси інерції і побудувати еліпс інерції.
Задача 1.4. Для перерізу, форма і розміри якого вказані в дод. 6,
визначити:
а) статичний момент площі перерізу відносно осі, що проходить через
основу;
б) положення центру ваги перерізу;
в) головні центральні моменти інерції;
г) момент опору відносно центральної осі, паралельної основі.
2. Осьове розтягування і стискування стержнів
Задача 2.1. Для стержня, схема якого і навантаження наведені в дод. 7,
побудувати епюри поздовжніх сил і нормальних напружень. Визначити
переміщення вільного кінця стержня. Власну вагу матеріалу стержня не
враховувати. Площу поперечного перерізу прийняти постійною: A 0,25 м 2 ,
модуль Юнга E
0,030 10 5 МПа .
Задача 2.2. Для ступінчатого стержня, схема і навантаження якого
наведені в дод. 8, визначити поздовжні зусилля N і нормальні напруження
в характерних перерізах по довжині стержня, побудувати епюри поздовжніх
зусиль і нормальних напружень, перевірити міцність, визначити переміщення
вільного кінця стержня, визначити переміщення заданого перерізу n n . При
розв’язанні
E
задачі
0,175 10 5 МПа ,
прийняти
adm
0,6 МПа ,
22 кН / м 3 .
Розв’язок задачі виконати:
а) без врахування власної ваги матеріалу стержня;
6
adm
6 МПа ,
б) з врахуванням власної ваги матеріалу стержня.
3. Пряме плоске згинання балок (побудова епюр внутрішніх
сил і моментів, визначення напружень, підбір перерізу)
Задача 3.1. Побудувати епюри Q та M для балки на двох опорах під
дією зосередженого навантаження (дод. 9). З умови міцності по нормальних
напруженнях підібрати балку двотаврового профілю при adm 160 МПа .
Задача 3.2. Побудувати епюри Q та M для консольної балки (дод. 10).
Визначити максимальні нормальні напруження в балці: а) квадратного
перерізу зі стороною a 20 см ; б) круглого перерізу діаметром d 20 см .
Перевірити міцність при
adm
30 МПа .
Задача 3.3. Побудувати епюри Q та M для балки на двох опорах з
постійним розподіленим навантаженням і зосередженими силами та
моментами. Розглянути випадки: а) дод.11; б) дод.12.
Задача 3.4. Побудувати епюри N , Q та M для балки на двох опорах
(дод.13).
Задача 3.5. Побудувати епюри Q та M для балки з проміжним
шарніром (дод. 14).
4. Пряме плоске згинання балок (визначення прогинів
і кутів повороту перерізу)
Задача 4.1. Для заданої в дод. 16 балки побудувати епюри кутів повороту
перерізів і прогинів, використовуючи метод початкових параметрів (МПП).
Задача 4.2. Для заданої в дод. 17 балки визначити прогин та кут повороту
перерізу в зазначеній точці методом фіктивних балок (МФБ).
Задача 4.3. Для заданої в дод. 18 балки визначити кут повороту перерізу
балки на опорах і прогин посередині балки методом Максвела-Мора (МММ).
5. Статично невизначені задачі при осьовому
розтягуванні і стикуванні
Задача 5.1. Для стержня, схема і навантаження якого наведені в дод.
19, побудувати епюри поздовжніх сил N і підібрати площу поперечного
перерізу. Допустиме напруження adm 160 МПа . Власну вагу стержня не
враховувати.
7
Задача 5.2. Для стержня, схема і навантаження якого наведені в дод.
20, побудувати епюри поздовжніх сил N і нормальних напружень . Власну
вагу стержня не враховувати.
Задача 5.3. Визначити найбільші нормальні напруження, що
виникають при зміні температури в стержні, вихідні дані для якого вказані в
дод. 21.
Задача 5.4. Для стержня, схема і навантаження якого вказані в дод. 22,
визначити розміри a і a1 поперечного перерізу.
Задача 5.5. Абсолютно твердий елемент конструкції закріплений за
допомогою системи пружних стержнів і навантажений силою F , як показано
в дод. 23. Підібрати площу поперечного перерізу пружних стержнів,
прийнявши допустиме напруження adm 160 МПа .
6. Статично невизначені задачі при згинанні балок
Задача 6.1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів
для один раз статично невизначеної балки, схема якої наведена в дод. 24.
Задача 6.2. Встановити ступінь статичної невизначеності і побудувати
епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, схема якої наведена
в дод. 25.
7. Кручення стержнів (статично визначені задачі)
Задача 7.1. Побудувати епюру крутильних моментів і підібрати
діаметр круглого стержня (дод. 26). Визначити кут закручування перерізу
відносно
опорного
перерізу.
Прийняти
n n
90 МПа ,
adm
G
0,8 10 5 МПа .
Задача 7.2. Консольний стальний стержень довжиною l 1м з
внутрішнім радіусом Dвн 50 мм і зовнішнім радіусом Dзн 75 мм
закручується на один градус моментом М
3,5 кНм на його вільному кінці.
Чому дорівнює найбільше дотичне напруження? Визначити модуль зсуву
матеріалу стержня.
Задача 7.3. Консольний стержень довжиною l 1м прямокутного
перерізу 2 см 3 см скручується моментом 200Нм на вільному кінці.
Визначити найбільше дотичне напруження і перевірити міцність при
8
adm
90 МПа . Знайти кут закручування стержня при G
8 10 4 МПа .
8. Кручення стержнів (статично невизначені задачі)
Задача 8.1. Для круглого стержня з постійною жорсткістю GJ p , схема
якого наведена в дод. 27, побудувати епюру крутильних моментів.
Задача 8.2. Внутрішня частина консольного складеного
7,2 см
r
7,5 см мідна ( G м
стальна ( Gс
4 10 4 МПа ), а зовнішня 7,5 см
8 104 МПа ). Довжина стержня l
стержня
r
7,8 см
3 м . Крутильний момент на
вільному кінці дорівнює 1,2 кНм . Який розподілений момент між мідною і
стальною трубками? Чому дорівнюють найбільші дотичні напруження в
трубках? На який кут закрутиться стержень?
9. Складний опір
Задача 9.1. Визначити положення нейтральної лінії, якщо стержень
нецентрально стиснутий силою P , прикладеною в точці n поперечного
перерізу, наведеного у дод. 29.
Задача 9.2. Побудувати ядро перерізу для поперечних перерізів,
наведених у дод. 30.
Задача 9.3. Побудувати епюру нормальних напружень у поперечному
перерізі стержня, який стискується силою, прикладеною в точці n . Дані для
задачі взяти з дод. 31.
Задача 9.4. Визначити нормальні напруження в точках A і B при
косому згинанні балки двотаврового поперечного перерізу. Схема балки і
навантаження наведені в дод. 32. Визначити і показати на схемі поперечного
перерізу нейтральну лінію.
Задача 9.5. Для балки прямокутного поперечного перерізу, схема і
навантаження якої наведені в дод. 33, визначити з умов міцності розміри b і
h перерізу при заданому k h b . Допустиме напруження adm 12МПа .
Задача 9.6. Для балки довжиною l з прямокутним поперечним перерізом
( b 8 см, h k b ), схема і навантаження якої наведені в дод. 33, побудувати
епюру нормальних напружень у небезпечному перерізі і визначити повний
прогин вільного кінця балки. Модуль пружності E
9
0,12 105 МПа .
10. Стійкість стержнів
Задача 10.1. Визначити критичну силу для сталевого стержня
2 10 5 МПа ,
(E
adm
кінців (коефіцієнт
160 МПа ), для якого довжина l , умови закріплення
) і поперечний переріз вказані в дод. 36.
Задача 10.2. Визначити допустимі навантаження для сталевого
стержня, використовуючи дані із дод. 36.
Задача 10.3. Підібрати квадратний поперечний переріз сталевого
стержня за даними, наведеними у дод. 37.
11. Розрахунки при динамічних навантаженнях
Задача 11.1. Визначити першу частоту
1
вільних поздовжніх
коливань вертикального консольного стержня з вантажем Q на вільному
кінці
при:
1)
l 120 см ,
E
0,1 10 5 МПа (дерево), Q
E
2 10 5 МПа
80 80 ( см ) , E
(сталь),
діаметр
круглого
перерізу
d
15 см ,
2 кН ; 2) l 1,5 м , двотавровий переріз №20,
Q 15 кН ;
3)
l 1,8 м ,
3 10 3 МПа (цегельна кладка), Q
Задача 11.2. Визначити першу частоту
квадратний
переріз
8 кН .
1
вільних поперечних
коливань горизонтального консольного стержня з масою Q на вільному кінці
для вказаних в попередній задачі трьох випадків.
Задача 11.3. Визначити динамічні напруження в консольному стержні
при поздовжньому ударі вантажем Q , що падає з висоти H 3 м на його
вільний кінець; дані взяти з задачі 11.1.
Задача 11.4. Визначити динамічні напруження в консольній балці при
поперечному ударі вантажем Q , що падає з висоти H 3 м на її вільний
кінець; дані взяти з задачі 11.1.
10
2. РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНІ РОБОТИ І КОНТРОЛЬНІ
ЗАПИТАННЯ ДО НИХ
Розрахунково-графічна робота
Геометричні характеристики поперечного перерізу
Для поперечного перерізу складної форми визначити положення
головних центральних осей. Відносно цих осей обчислити моменти інерції,
моменти опору, радіуси інерції і побудувати еліпс інерції. Форма і розміри
поперечного перерізу вказані в дод. 2.
Порядок виконання роботи
1. Визначити центр ваги складного перерізу і центральні вісі.
2. Обчислити осьові і відцентровий моменти інерції перерізу відносно
центральних осей.
3. Визначити кут нахилу головних центральних осей інерції.
4. Обчислити головні центральні моменти інерції.
5. Обчислити моменти опору.
6. Визначити головні радіуси інерції і побудувати еліпс інерції.
7. Вміти визначати за допомогою еліпсу інерції центральні моменти інерції.
Контрольні запитання
1. Які позначення і розмірності мають геометричні характеристики (площа,
статичні моменти, осьові і відцентровий моменти інерції, полярний
момент інерції)?
2. Що таке центр ваги перерізу? Як знайти центр ваги складного перерізу?
3. Як користуватися залежностями між моментами інерції відносно
паралельних осей?
4. Як користуватися формулами перетворення моментів інерції при
повороті координатних осей? Які величини залишаються інваріантними
при повороті координатних осей?
5. Що таке головні центральні вісі?
6. Відносно яких осей моменти інерції приймають екстремальні значення?
7. Що таке радіуси інерції, еліпс інерції? Як визначати графічно радіуси
інерції з допомогою еліпсу інерції?
8. Як визначати головні центральні вісі при наявності осей симетрії фігури?
9. Що таке моменти опору?
11
З а д а ч а. Для поперечного
перерізу складної форми, що
складається із швелера №24 і
рівнобічного
кутика
y2
a2 125 125 14 мм, розташованих як
y0
a1 зазначено на рис.1, визначити
y1
положення головних центральних
осей.
Відносно
цих
осей
обчислити
моменти
інерції,
z1
z2
z0
моменти опору, радіуси інерції і
Рис.1
побудувати еліпс інерції.
Р о з в ’ я з о к. Задачу
розв’язуємо, дотримуючись наступного порядку обчислень.
1. Розбиваємо переріз на прості фігури (у нашому випадку швелер і
кутик). Вводимо локальні системи координат із початком у центрах ваги
простих фігур. Проводимо паралельні між собою вісі y1 , z1 (для швелера) і
y 2 , z 2 (для кутика).
Виписуємо необхідні геометричні характеристики простих фігур із
таблиць сортаменту
швелер №24
кутик 125 125 14 мм
A1 = 30,6 см2
A2 = 33,4 см2
h1 = 24 см,
b2 = 12,5 см,
b1 = 9 см
a 2 = 3,61 см
I y2 = I z2 = 482 см4
a1 = 2,42 см
I y1 = 208 см4
I max = 764 см4
I z1 = 2900 см4
I min = 200 см4
I y1z1 = 0
I y2 z 2
Значення
відцентрового
I max
I min
2
= 282 см4.
моменту інерції для рівнобічного кутика
I max I min
обчислюємо по формулі I y2 z 2
; знак вибираємо з умови, що
2
полички дають більший внесок у момент (знаки моментів поличок легко
визначити по рисунку: у нашому випадку полички лежать у першому і
12
третьому квадрантах, де добуток y 2 z 2
0 , отже I y2 z2
0 ).
Зображуємо переріз на рисунку в відповідно вибраному масштабі.
2. В цьому випадку зручно ввести допоміжну систему ( y0 , z0 ), як
показано на рис. 1. В цій системі просто визначаються центри ваги швелера
(фігура 1) і кутика (фігура 2):
h1
12 см ,
2
a1 2,42 см ,
y 01
z 01
y 02
a2
z 02
Площа поперечного перерізу
A
A1
A2
a2
3,61 см ,
3,61см .
30,6 33,4 64 см 2 .
Визначаємо координати y 0C , z 0C центру ваги перерізу в системі координат
( y 0 , z 0 ):
y 0i Ai
y 0C
A
z 0i Ai
z 0C
A
y 01 A1
A1
z 01 A1
A1
y 02 A2
A2
z 02 A2
A2
12 30,6 3,61 33,4
64
7,62 см ,
2,42 30,6 ( 3,61) 33,4
64
0,73 см .
3. Проводимо координатні вісі y C , z C з початком у центрі ваги
перерізу паралельно осям yi , z i . Знаходимо координати c yi , c zi центрів ваги
простих фігур в осях y C , z C :
c y1
y 01
y 0C
12 7,62 4,38 см ,
c z1
z 01
z 0C
2,42 ( 0,73) 3,15 см ,
c y2
y 02
y 0C
cz2
z 02
z 0C
3,61 7,62
4,01см ,
2,88 см .
3,61 ( 0,73)
4. Обчислюємо статичні моменти площі перерізу відносно центральних
осей y C , z C (вони повинні дорівнювати нулеві):
S yC
c zi Ai
0,198 см 3
S zC
0,1см3
c yi Ai
c z1 A1
c z 2 A2
30,6 3,15 33,4 ( 2,88) 96,39 96,192
0,
c y1 A1
c y 2 A2
30,6 4,38 33,4 ( 4,01)
134,03 133,93
0.
5. Обчислимо осьові і відцентровий моменти інерції відносно
центральних осей y C і z C :
13
I yC
c zi2 Ai ) ( I y1
( I yi
c 2yi Ai ) ( I z1
( I zi
482 33,4 ( 4,01) 2
I yC z C
( I yi z i
c z22 A2 ) 208 30,6 3,15 2
208 303,63 482 277,03 1271см 4 ,
482 33,4 ( 2,88) 2
I zC
c z21 A1 ) ( I y2
c 2y1 A1 )
( I y1z1
2900 30,6 4,38 2
482 537,08 4506 см 4 ,
2900 587,04
c zi c yi Ai )
c 2y 2 A2 )
(I z 2
c z1 c y1 A1 )
( I y2 z2
30,6 3,15 4,38 282 33,4 ( 2,88) ( 4,01)
c z 2 c y 2 A2 )
422,2
0
282 385,7 1090 см 4 .
6. Визначаємо положення головних центральних осей інерції, для чого
знаходимо кут 0
tg 2
2
2 I yC z C
0
I zC
I yC
34  ,
0
2 1090
4506 1271
2180
3235
0,6739
17  .
0
Визначивши попередньо значення тригонометричних функцій
sin
sin 17 
0
sin 2
0
0,2922 ,
sin 34 
cos
0,5588 ,
cos 2
cos17 
0
0
0,9564 ,
cos 34 
0,8293 ,
обчислюємо головні осьові моменти інерції
I yC cos 2
Iu
I zC sin 2
0
0
I yC zC sin 2
0
1271 0,9564 2
4506 0,2922 1090 0,5588 1162,6 384,7 609,1 938 см 4 ,
I yC sin 2
Iv
I zC cos 2
0
4506 0,9564 2
0
I yC zC sin 2
0
1271 0,2922 2
1090 0,5588 108,5 4121,6 609,1 4839 см 4 .
Для перевірки обчислимо також відцентровий момент інерції (він повинен
дорівнювати нулю)
sin 2 0
I uv I yC zC cos 2 0 I yC I zC
1090 0,8293
2
(1271 4506) 0,5 0,5588 903,94 903,86 0,08 см 4 0.
Знайдемо екстремальні значення осьових моментів інерції, які вони
приймають відносно головних центральних осей:
I max
min
I yC
I zC
2
I yC
I zC
2
2
I y2C zC
14
1271 4506
2
1271 4506
2
4839 см 4
I max
2
1090 2
Iv ,
2888,5
I min
2616306,25 1188100
938 cм 4
Iu .
Перевіряємо умову інваріантості I u
Iu
Iv
938 4839 5777 cм 4 ,
2888,5 1950,5
Iv
I yC
I zC осьових моментів інерції
I yC
1271 4506 5777 см 4 .
I zC
На рисунку проводимо головні центральні вісі інерції, повернуті на кут
0
17  проти годинникової стрілки від центральних осей y C і z C .
7. Обчислюємо головні радіуси інерції
I u 938
14,7 см 2 ,
A 64
I v 4839
iv2
75,6 см 2 ,
A
64
і будуємо еліпс інерції
iu2
iu
3,8 см ,
iv
8,7 см
u2
v2
iv2
iu2
1.
Для цього скористаємось таблицею
u iv
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
v iu
1
0,98 0,92
0,8
0,6
0
І знайдемо координати точок еліпса в першому квадранті (при u
u , см
v , см
0
3,8
1,74 3,48 5,22 6,96
3,72 3,45 3,04 2,28
0, v
0 ).
8,7
0
Нанесемо ці точки на рис.2 і по властивості симетрії еліпса відносно осей u, v
побудуємо повний еліпс. На рисунку безпосередньо вимірюємо значення
радіусів інерції i yC та i zC відносно осей z C і y C (для цього треба провести
паралельні цим осям дотичні до еліпса інерції і виміряти відстань між осями і
дотичними)
i yC 4,5 cм ,
i zC 8,4 см .
По виміряних радіусах інерції обчислимо осьові моменти інерції відносно
центральних осей
15
I yC
i y2C A 4,5 2 64 1296 см 4 ,
I zC
i z2C A 8,4 2 64 4516 см 4
і порівняємо з аналітично визначеними раніше значеннями
I yC
1271 см 4 ,
I zC
4506 см 4 .
Невеликі розбіжності свідчать про правильність аналітичних обчислень і
геометричних побудов.
iv
y2
iu
yC
y0
17 
y1
i yC
u
B
A
i zC
z1
zC
z0
z2
v
Рис.2
8. Визначаємо головні моменти опору відносно осей u, v за формулами
Wu
Iu
,
v max
Wv
16
Iv
u max
,
в яких u max – відстань до найбільш віддаленої точки перерізу від осі v , v max –
відстань до найбільш віддаленої точки перерізу від осі u .
Для визначення umax , v max знаходимо координати точок А і В у
центральній системі координат y C , z C , а потім скористаємося формулами
uA
y CA cos
vA
y CA sin
z CA sin
0
0
z CA cos
0,
0,
перетворення координат при повороті координатних осей.
Для точки А знаходимо:
y CA
y1A
y1C
z CA
z1A
z1C
v max
h1
2
b1
y СA sin
0
24
( 4,38)
7,62 см ,
2
9 2,42 ( 3,15) 9,73 см ,
y1C
z 01
z1C
z CA cos
0
( 7,62) 0,2922 9,73 0,9564
2,23 9,3
11,53 см.
y CB
z CB
u max
Для точки В знаходимо:
h1
24
y1B y1C
y1C
( 4,38) 16,38 см ,
2
2
z1B z1C b1 z 01 z1C 9 2,42 ( 3,15) 9,73 см ,
y СB cos
0
z CB sin
0
16,38 0,9564 9,73 0,2922
15,66 2,84
18,5 см.
Обчислюємо моменти опору відносно головних осей
Iu
Iv
938
4839
Wu
81,4 см 3 ,
Wv
v max 11,53
u max 18,5
261,6 см 3 .
Розрахунково-графічна робота
Згинання статично визначеної балки
1. Для заданих балок побудувати епюри поздовжніх і поперечних сил
та згинальних моментів (епюри N , Q , M ). Вихідні дані наведені в дод. 9-14,
кількість конкретних задач визначається викладачем.
2. Підібрати поперечний переріз статично визначеної балки зі
сталевого прокатного двотавра, перевірити міцність балки, визначити
17
переміщення її перерізів (кути повороту і прогини). Схеми балки і
навантаження вибираються відповідно до дод. 15. Допустиме нормальне
напруження
допустиме
дотичне
напруження
adm 160 МПа ,
adm
100МПа , модуль Юнга E
2 10 5 МПа .
Порядок виконання роботи
1.1. Накреслити в масштабі схему балки і показати розміри і діючі
навантаження.
1.2. Скласти рівняння рівноваги, визначити значення і напрямок опорних
реакцій.
1.3. Розбити балку на ділянки, скласти вирази для визначення поздовжніх
сил N , поперечних сил Q і згинальних моментів M на кожній ділянці
балки (за вказівкою викладача).
1.4. Обчислити характерні ординати епюр для ряду перерізів балки в
кількості, необхідній для побудови цих епюр.
1.5. Побудувати епюри N , Q , M .
2.1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів, визначити
найбільші значення Qmax і M max .
2.2. З умови міцності по нормальних напруженнях підібрати по таблицях
сортаменту номер двотаврового профілю.
2.3. Перевірити міцність підібраного перерізу по нормальних, дотичних і
приведених напруженнях. Побудувати епюри і по висоті перерізу.
2.4. Обчислити прогини і кути повороту перерізів балки методом початкових
параметрів.
2.5. Побудувати епюри прогинів і кутів повороту перерізів.
Примітка. Графічне оформлення результатів розрахунку з
використанням методу початкових параметрів складається з креслення схеми
заданої балки з навантаженнями і послідовної побудови під нею епюр Q , M ,
EJ і EJw з позначенням на них значень характерних ординат.
Показати поперечний переріз балки та епюри нормальних і дотичних
напружень ( і ) по висоті перерізу.
Контрольні запитання
1.
За якими формулами визначаються нормальні і дотичні напруження при
18
згинанні балок?
Як визначаються максимальні нормальні напруження?
Як формулюється умова міцності по нормальних напруженнях?
Як підібрати поперечний переріз за необхідним моментом опору (на
прикладах)?
Як побудувати епюри Q та M (правило знаків; характерні особливості
епюр)? Як побудувати епюри для конкретних балок (консольних, на
двох опорах)?
Який вигляд має рівняння зігнутої осі балки?
Як визначаються прогини і кути повороту методом початкових
параметрів (МПП)? Що таке початкові параметри?
Як формулюються геометричні (кінематичні) умови при різних
закріпленнях балок (на прикладах)?
Як визначаються переміщення методом Максвела-Мора (МММ) (на
прикладах)?
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
З а д а ч а. Для балки на рис.4 підібрати поперечний переріз із
стального прокатного двотавру. Перевірити міцність по нормальних і
дотичних напруженнях. Методом початкових параметрів визначити прогини
і кути повороту перерізів і побудувати їх епюри по довжині балки. Для
двотавра допустимі напруження і модуль Юнга прийняти такими:
160 МПа , τ adm
σ adm
100 МПа , E
2 105 МПа .
Р о з в ’ я з о к.
1.
Визначаємо опорні реакції:
MA
0;
50 1,5 80 2 1,5 1 1
VB 4,5 0 ,
75 560
141,1 кН ;
4 ,5
VB
MB
VA
0;
50 3 80 2 1 V A 4,5 0 ,
150 160
4,5
Перевірка:
Fz
68,9 кН.
50
80 2 141,1 68,9
0.
Будуємо епюри Q та M . Для цього розбиваємо балку на три ділянки,
визначаємо Q x та M x в характерних точках і будуємо епюри.
Q0
68,9 кН
Q пр 1,5
68,9 50 18,9 кН
M 0
М 1,5
19
0
68,9 1,5 103,35 кН м
Q 2,5
Q 4,5
18,9 кН
М 2,5
68,9 2,5 50 1 122,25 кН м
M 4,5
0.
141,1 кН
В перерізі, де Q
0 , згинальний момент приймає екстремальне
значення M ext . Для його визначення з умови Q x l
a
0 знаходимо:
141,1 80 a 0 , a 1,76 м .
141,1 1,76 80 1,76 0,88 248,3 123,9 124,4 кН м .
Отже, M ext
Максимальні значення перерізуючої сили і згинального моменту
знаходимо з епюр:
141,1 кН (на правій опорі, x 4,5м ),
Qmax
M max
124,4 кН м (на відстані a 1,76 м від правої опори).
2.
Підбираємо двотавровий переріз з умови міцності по нормальних
напруженнях:
M max
.
max
adm ,
max
W
Знаходимо необхідний момент опору:
Wнб
124,4 10 3
M max
σ adm
160 10
6
777,5 10
6
м3
778 см 3 .
З таблиць сортаменту беремо двотавр № 36, для якого
Wy
743см 3 ,
Iy
13380см 4 ,
Sy
S max
h
423см 3 ,
36 см ,
b 14 ,5 см ,
d
0 ,75 см ,
t 1,23 см .
3.
Виконуємо перевірку міцності балки по нормальних і дотичних
напруженнях:
а) нормальне напруження
σ max
M max
Wy
124,4 10 3
167,4 10 6 Па 167,4 МПа
743 10 6
більше
але
перенапруження
σ adm 160 МПа ,
167,4 160
Δ
100% 4,6% 5% , що допустимо.
160
б) дотичне напруження
20
складає
Qmax S max
d Iy
τ max
141,1 10 3 423 10
0 ,75 10
2
6
13380 10
8
141,1 423
10 3
0 ,75 13380
6 2 8
59,4 10 6 Па 59,4 МПа
менше
а
значить
недонапруження
складає
τ adm 100 МПа ,
100 59,4
Δ
100% 40,6% .
100
0і
0 , виконується з використанням
в) Перевірка міцності в точках, де
умови міцності для приведеного напруження red
adm .
В перерізі x
2,5 м момент M
122 ,25 кН м , перерізуюча сила Q 18,9 кН .
В точці 2 (для стійки)
h
2
M
t
122,25 10 3 16,77 10
Iy
13380 10
2
8
153 МПа ,
Q Sп
18,9 10 3 310 10 6
5,8 МПа ,
d I y 0,75 10 2 13380 10 8
оскільки статичний момент полиці двотавру відносно нейтральної осі
Sп
Для
bt
h t
36 1,23
14,5 1,23
14,5 1,23 17 ,4 310 см 3 .
2
2
пластичних
матеріалів
по
четвертій
теорії
міцності
2
3 2
153 2 3 5,8 2 153 МПа 160 МПа .
4.
Будуємо епюри та (рис.3).
Mz
Для побудови епюри нормальних напружень
(пряма лінія) по висоті
I
перерізу x 4,5 1,76 2,74 м використовуємо значення σ max 167,4 МПа .
red
Для побудови епюри дотичних напружень τ
QS(z)
(в нашому випадку це
Ib(z)
парабола) по висоті стійки знаходимо значення
перерізу за формулою Журавського
В точці 1
S1
0
В точці 2 (для стійки)
в характерних точках
0.
1
2
141,1 10 3 310 10
Qmax S п
d Iy
0,75 10
2
6
13380 10
8
43 МПа ,
оскільки статичний момент полиці двотавру відносно нейтральної осі
21
h t
2
В точці 3
Sп
bt
36 1,23
14,5 1,23 17 ,4 310 см 3 .
2
τ max
59,4 МПа .
14,5 1,23
τ3
Знаки на епюрах
і
визначаються по епюрах M (x) та Q (x ) і формулах
для напружень.
5.
Обчислюємо
переміщення
балки
методом
початкових
параметрів.
Запишемо загальні формули для прогину і кута повороту перерізу:
EI w ( x)
EI
( x)
w0
0
0x
68,9
x3
6
50
( x 1,5) 3
6
( x 1,5) 2
50
2
x2
68,9
2
80
(x
80
(x
2,5) 4
;
24
2,5) 3
.
6
Еп.
МПа
Еп.
МПа
43
3
59,4
y
2
43
1
167,4
z
Рис.3
При обчисленні w(x) ,
(x) в точці x k в цих формулах враховуємо
тільки силові фактори, що лежать лівіше від x k .
Початкові параметри:
Q0
68,9 кН ,
w0
0,
M0
0
(визначаються з умов закріплення балки).
?
Для визначення
балки (при x
(визначаються з епюр);
0
0
користуємося умовою закріплення правого кінця
4 ,5 м прогин w (4,5)
З умови w 4,5
0 ).
0 маємо
22
EI w (4,5) 0
4,5EI
0
4,5
(4,5 1,5) 3
50
6
4,5 3
68,9
6
0
1046,4 225 53,3 ;
EI
0
(4,5 2,5) 4
;
80
24
170,68 (кН м 2 ) .
Таким чином, прогин і кут повороту вираховуємо за формулами
( x 1,5) 3
50
6
x3
68,9
6
EIw ( x) 170,68 x
( x 1,5) 2
50
2
x2
EI ( x) 170,68 68,9
2
80
80
(x
(x
2,5) 4
;
24
2,5) 3
.
6
Вибираємо на осі балки декілька точок і обчислюємо w (x) ,
кожній точці. Результати збираємо в таблицю і будуємо епюри w (x) ,
x, м
EI ( x), кН м 2 рад
EIw( x), кН м3
0
1
1,5
2,5
3,5
4,5
170,68
136,23
93,17
-19,63
-138
-195,3
0
159,2
217,26
255,6
195,4
0
(x) в
(x ) .
Обчислюємо дійсні значення кута повороту та прогину в перерізі x 1,5 м ,
поділивши
Е
EI
знайдені
значення
на
жорсткість
балки
(модуль
Юнга
2 10 5 МПа )
2 10 5 10 6 13380 10
93,17 10 3
26760 10
3
3,48 10
3
8
26760 10 3 Н м 2 ;
рад ;
w
217,26 103
26760 10
23
3
8,1 10
3
м
8,1 мм .
P = 50 кH
q = 80 кH/м
VA
VB
A
HA
1,5 м
1м
x
B
2м
z
50 кH
68,9 кH
80 кH/м
141,1 кH
141,1
Еп. Q, кН
18,9
68,9
a
68,9
0
0
Еп. M, кН·м
103,35
138
195,3
195,4
0
93,17
217,26
19,63
136,23
159,2
Еп. EI , кН·м2
255,6
170,68
0
122,25 124,4
Еп. EIw, кН·м3
Рис.4
24
Розрахунково-графічна робота
Нецентральне стиснення колони і стійкість стержня
1. Визначити допустиме навантаження нецентрально стиснутої
колони масивного профілю, побудувати ядро перерізу і еліпс інерції. Схема і
розміри поперечного перерізу, точка прикладання сили приведені в дод. 28.
Допустимі напруження
adm
3000 кПа (на стиснення) і
adm
300 кПа (на
розтягування).
2. Підібрати і розташувати елементи поперечного перерізу
центрально стиснутого гнучкого сталевого стержня, виходячи з вимог
рівностійкості відносно головних осей. Визначити коефіцієнт запасу
стійкості. Тип поперечного перерізу стержня, довжина l і спосіб закріплення
його кінців, поздовжня стискаюча сила P наведені в дод. 35. На схемі
поперечного перерізу стержня жорсткі сполучні планки умовно показані
пунктиром.
Порядок виконання роботи
1.1. Визначити положення головних центральних осей інерції і головних
центральних моментів інерції.
1.2. Побудувати еліпс інерції.
1.3. Побудувати ядро перерізу.
1.4. Визначити положення нейтральної лінії і координати небезпечних точок
у розтягнутій і стиснутій зонах перерізу.
1.5. Визначити допустиму силу з умов міцності при розтягуванні і
стискуванні.
1.6. Обчислити напруження у небезпечних точках перерізу і побудувати
епюри нормальних напружень.
2.1. Підібрати поперечний переріз колони способом послідовних наближень.
2.2. Визначити відстані a між окремими елементами поперечного перерізу
колони.
2.3. Визначити критичну силу Pкр і коефіцієнт запасу на стійкість.
2.4. Накреслити в масштабі визначений поперечний переріз колони.
25
1.
Контрольні запитання
Коли і як користуватися формулою для визначення нормальних
напружень
P
1
A
y yp
z zp
i z2
i y2
?
2.
Коли треба користуватися формулою для визначення нормальних
напружень
N My z Mz y
?
A
Iy
Iz
3.
Що таке нейтральна лінія? Рівняння нейтральної лінії. Для чого
знаходиться нейтральна лінія?
Що таке ядро перерізу?
Як знаходиться ядро перерізу способом “обкатки” контуру перерізу?
4.
5.
2
6.
7.
Коли і як користуватися формулами
визначення критичного напруження?
l
Що таке
? Графік залежності
i min
кр
кр
від
8.
Як знайти критичну силу?
9.
Як знайти допустиму силу (при заданому
Е
2
,
кр
a b
для
.
adm ;
при заданому
коефіцієнті запасу стійкості n кр )?
10. Як формулюється умова міцності при стискуванні гнучких стержнів?
11. Як проводиться розрахунок на підбір перерізу (проектувальний) при
стискуванні гнучкого стержня?
26
З а д а ч а. Колона, показана на рис.5 поперечного перерізу (розміри
дані в дм), стискується силою P , прикладеною в заданій точці перерізу.
Визначити допустиму стискуючу силу при
adm
0,3 МПа ,
adm
3 МПа .
Побудувати еліпс інерції, ядро перерізу, епюру нормальних напружень.
y0
А
z0
2
y3
2,78
z3
y2
Р
z2
С
y 2
2
y1
z1
В
2
1
2
1
2
z
Рис. 5
Р о з в ’ я з о к. Переріз має вертикальну вісь симетрії, яка буде
головною центральною віссю. Друга головна центральна вісь проходить
перпендикулярно до неї через центр ваги перерізу. Для визначення
координати центру ваги перерізу розбиваємо його на три прямокутники і
вводимо локальні системи координат yi , z i з початком в центрі ваги
прямокутників. Знаходимо площі і осьові моменти інерції для кожного
прямокутника (відцентрові моменти інерції дорівнюють нулеві):
A1
I y1
I z1
4 2 8 дм 2 ,
4 23
12
A2
4
2,67дм ,
8 4 32 дм 2 ,
I y2
8 43
12
A3
2 2 4 дм 2 ,
4
42,67дм ,
2 43
4 83
4
,
10,67дм
I z2
170,67дм 4 ,
12
12
Вводимо допоміжну систему координат
I y3
2 23
12
1,33дм 4 ,
2 23
I z3
1,33дм 4 .
12
y0 , z0 , в якій просто
визначаються координати z0i центрів ваги локальних фігур (прямокутників):
27
z01
А
z0c
5 дм ,
А1
2 дм ,
z02
А2
8 32 4 36 дм 2 ,
А3
z01 A1
z03 1дм ,
z02 A2
A
z03 A3
5 8 2 32 1 4
36
2,78 дм .
Вводимо головні центральні осі y, z і знаходимо головні центральні
моменти інерції і радіуси інерції. Визначивши координати с zi центрів ваги ітих прямокутників в центральних координатах y, z
сz1
z01
z0c
5 2,78 2,22 дм ,
сz 2
z02
z 0c
2 2,78
сz3
z03
z0c 1 2,78
0,78 дм ,
1,78 дм ,
знаходимо
Iy
I y1 cz21 A1
2,67
I y2
cz22 A2
2,22 2 8 42,67
0,78
2,67 39,43 42,67 19,47
Iz
I z1
I z2
I z3
cz23 A3
I y3
2
32
1,33
1,33 12,67
1,78
2
4
90,24 дм 4 ,
10,67 170,67 1,33 180,01 дм 4 .
Для радіусів інерції одержимо значення
i y2
i z2
Iy
A
Iz
A
90,24
36
2,51 дм 2 ,
iy
1,58 дм ,
180,01
5,00 дм 2 ,
36
iz
2,24 дм .
Будуємо еліпс інерції
y2
2,24
Знаходимо
координати
z2
2
yp
1,58
1 дм ,
2
1.
zp
прикладання сили в центральних координатах.
Рівняння нейтральної лінії
y
z
1
a y az
в нашому випадку набирає вигляду
28
2 2,78
0,78 дм
точки
y
5,00
оскільки a y
5,00
1
z
1,
3,22
2,51
3,22 дм .
0,78
5,00 дм , a z
Проводимо нейтральну лінію і визначаємо найбільш віддалені точки
від неї: в стиснутій зоні точка A з координатами y A
4 дм , z A
2,78 дм , в
розтягнутій зоні точка В з координатами y В
2 дм , z B
6 2,78 3,22 дм .
Запишемо умову міцності в точці A і знайдемо силу P :
z z
P
1 P2 A
A
iy
P 1
yP y A
adm ,
i z2
0,78
2,78
2,51
2,66 P 108 10 4 ,
1
4
5,00
P
3,0 10 6 36 10
406 10 3 H
2
,
406 кН .
Запишемо умову міцності в точці В і знайдемо силу Р :
z z
P
1 P2 В
A
iy
P 1
yP yВ
i z2
0,78 3,22
2,51
0,40 P 10,8 10 4 ,
Padm
adm ,
1 2
5,00
P
0,3 10 6 36 10
270 10 3 H
2
,
270 кН .
За допустиме значення сили приймаємо меншу з двох знайдених, тобто
270 кН .
Знаходимо напруження в точках A і B
zP z A
yP y A
A
Padm
1
A
i y2
i z2
В
Padm
1
A
zP zВ
yP yВ
i y2
i z2
270 10 3
36 10
2
270 10 3
36 10
2
2,66
0,40
2 МПа ,
0,3 МПа
і будуємо епюру напружень на лінії, перпендикулярній до нейтральної лінії
перерізу.
Для побудови ядра перерізу проводимо дотичні до його контуру і
знаходимо відповідні координати вершин ядра перерізу:
29
– дотична І-І
, yЯ
ay
0,
2,51
2,78
2,78 дм , z Я
az
0,90 дм ;
– дотична ІІ-ІІ
, zЯ
az
– дотична ІІІ-ІІІ
ay
az
0;
5,00
0,96 дм ,
5,22
2,51
0,48 дм ;
5,22
5,22 дм , y Я
4 1,22
1,22 2 2 5,22 дм ,
– дотична ІV-ІV
, yЯ
ay
az
5,00
1,25 дм ,
4
4 дм , y Я
ay
zЯ
0,
2,51
3,22
1,22 2 3,22 дм , z Я
VI
0,78 дм .
II
А
I
I
2
Р
4
3
y
III
5
2
6
2
1,22
2
1
VI
II
2
В
IV
IV
2
1
1
1
III
1
2
Еп. , МПа
н.л.
V
0,3
z
Рис.6
30
Вершини ядра для дотичних V-V та VІ-VІ симетричні до вершин ядра для
дотичних відповідно ІІІ-ІІІ та ІІ-ІІ.
Наносимо вершини ядра перерізу на рисунок і будуємо ядро перерізу.
Еліпс інерції, ядро перерізу, нейтральна лінія, епюра напружень
показані на рис.6
З а д а ч а. Підібрати рівностійкий в обох
P
головних напрямках стержень довжиною l 8 м з
двох швелерів, з’єднаних жорсткими планками
(рис.7). Стискуюча сила P 600 кН , допустиме
напруження
E
160 МПа ,
adm
2 105 МПа ,
модуль
коефіцієнти
Юнга
310 МПа,
a
b 1,14 МПа .
Р о з в ’ я з о к. Площа складеного
поперечного перерізу стержня А 2 Ашв . Головні
a
центральні моменти інерції
Iu
u
2 I y.шв ,
a2
I v 2 I z.шв
Aшв .
4
Стержень буде рівностійким в обох головних
напрямках, якщо I u I v . З цієї умови знаходиться
відстань між центрами ваги перерізу
a
2
I y.шв
I z.шв
Aшв
y
z
v
Рис. 7
.
Радіус інерції перерізу
2 I y.шв
Iu
i y.шв .
A
2 Aшв
Поперечний переріз стержня підбираємо з умови міцності при
стискуванні гнучких стержнів
P
adm .
A
Так як в цій формулі невідомі площа A і коефіцієнт зменшення основного
i
iu
допустимого напруження
iv
adm ,
то задачу розв’язуємо методом послідовних
наближень. Рекомендується притримуватися наступного порядку обчислень:
31
0
перше наближення. Задаємося початковим значенням
послідовно знаходимо AI ,
I,
I . Якщо розбіжність між
0,5 0,7 і
I
0
і
I
I
велика, то
виконуємо друге наближення.
друге наближення. Приймаємо
AII ,
0
II . Якщо розбіжність між
II ,
0
0,5
II
0
і
II
II
і послідовно знаходимо
I
I
велика, то аналогічним чином
виконуємо третє наближення.
Цей процес продовжуємо до тих пір, поки розбіжність між
0
N
і
N
буде незначна. Практично необхідно виконати три-чотири наближення.
0
При незначній розбіжності між
P AN і допустиме
факт
факт
від
доп
доп
N
N
adm
і
N
знаходимо фактичне
напруження. Якщо відхилення
не перевищує 5%, то розв’язок буде закінченим.
Зауваження. Для прокатних профілів цього не завжди вдається досягти
і тоді оцінюємо два сусідні номери прокатних профілів: беремо той з них, для
якого факт
доп .
На закінчення розрахунку визначаємо критичну силу Pкр і коефіцієнт
запасу стійкості nкр
Перейдемо
Pкр P .
до
наближенні задаємо
безпосереднього
0
I
розв’язку
задачі.
В
першому
0,6 .
Знаходимо відповідну площу
A
P
0
I
По
i y.шв
600 10 3
adm
0,6 160 10
сортаменту
беремо
6
62,5 10
швелер
4
м2
62,5 см 2 , Ашв
№ 24,
для
0,7 800
9,73
58 .
9,73 см .
Гнучкість стержня
l
i
32
якого
31,25 см 2 .
Ашв
30,60 см 2 ,
Застосовуючи лінійну апроксимацію, для
0,89
I
58 50
0,86 0,89
60 50
оскільки по таблиці (дод. 34)
0
Розбіжність між
50 ,
1
0,6 та
I
58 одержимо
I
0,89 0,8 0,03 0,866 ,
0,89 ,
1
60 ,
2
2
0,86 .
0,866 велика. Робимо друге наближення.
В другому наближенні покладаємо
0
0
0,6
I
I
II
2
0,866
2
0,733 .
Знаходимо відповідну площу
600 10 3
A
По
0,733 160 10
сортаменту
i y.шв
51,16 10
6
беремо
4
швелер
м2
51,16 см 2 , Aшв
№ 20а,
для
якого
25,58 см 2 .
Ашв
25,20 см 2 ,
8,15см .
Гнучкість стержня
0,7 800
8,15
69 .
Застосовуючи лінійну апроксимацію, для
II
69 60
0,81 0,86
70 60
0,86
оскільки по таблиці
69 одержимо
1
60 ,
1
0,86 ,
Зважаючи на невелику розбіжність між
0,86 0,9 0,05 0,815 ,
70 ,
2
0
II
та
0,81.
2
II ,
визначимо фактичне і
допустиме напруження.
600 10 3
факт
P
2 Aшв
2 25,20 10
доп
II
0,815 160 130 МПа .
adm
Недонапруження складає
4
119 10 6 Па 119 МПа ,
130 119
100% 8% . Третє наближення не
130
33
робимо, а зменшимо поперечний переріз стержня, вибравши швелер № 20
23,4 см 2 , i y.шв
(попередній переріз № 20а), для якого Ашв
8,07см .
Гнучкість стержня
0,7 800
8,07
69 .
Застосовуючи лінійну апроксимацію, для
69 60
0,81 0,86
70 60
0,86
III
оскільки по таблиці
69 одержимо
1
60 ,
1
0,86 ,
0,86 0,9 0,05 0,815 ,
2
70 ,
2
0,81.
Знаходимо фактичне і допустиме напруження
факт
P
2 Aшв
доп
III
600 10 3
2 23,4 10
adm
128 10 6 Па 128 МПа ,
4
0,815 160 130МПа .
Розбіжність між фактичним і допустимим напруженнями не перевищує 5%.
Поперечний переріз складається з двох швелерів № 20, для якого
Ашв
23,4 см 2 , I y.шв
113см 4 . Відстань
1520 см 4 , I z.шв
a
2
1520 113
15,5 см .
23,4
Знайдемо критичну силу Pкр і коефіцієнт запасу стійкості. Оскільки
гнучкість
69 , то користуючись формулою Тетмаєра при a
310 МПа ,
b 1,14 МПа , знайдемо критичне напруження
кр
a b
310 1,41 69 231 МПа .
Критична сила
Pкр
2 Aшв
кр
2 23,4 10
4
231 10 6
Коефіцієнт запасу стійкості
34
1081 10 3 Н
1081 кН .
n кр
Pкр
P
1081
1,8 .
600
35
3. ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ПОЧАТКОВОГО КУРСУ
ОПОРУ МАТЕРІАЛІВ
I.
Поздовжнє розтягування (стискування) стержнів:
рівняння рівноваги
поздовжня сила
du
N EA ,
dx
dN
n x 0,
dx
N зв’язана з осьовим переміщенням u
рівнянням
N
,
A
формула для нормальних напружень
N max
(при постійній площі A ),
max
max
A
du
видовження стержня визначається з рівняння EA
N ; при постійних N та
dx
Nl
,
EA на відрізку l видовження u l
EA
умова жорсткості u max u adm ,
умова міцності
adm ;
потенціальна енергія U
1
2
x2
x1
N2
dx .
EA
II. Кручення стержнів круглого перерізу:
dM k
mk x 0 ,
dx
крутильний момент M k зв’язаний з кутом закручування
рівняння рівноваги
Mk
GI p
рівнянням
d
,
dx
Mkr
,
GI p
формула для дотичних напружень
умова міцності
max
adm ;
max
M k . max
(при постійному полярному
Wp
моменті опору W p ),
36
d
dx
M kl
,
GI p
кут закручування визначається з рівняння GI p
та GI p на відрізку l кут закручування
умова жорсткості
l
M k ; при постійних M k
adm ,
max
x
2
1 2 Mk
dx .
2 x GI p
потенціальна енергія U
1
Кручення стержнів некруглого масивного профілю
Mk
Mk
,
,
max
відн.
GI k
Wk
для витягнутого ( h
3b ) прямокутного профілю I k
hb 3 3 , Wk
hb 2 3 .
Кручення тонкостінних стержнів відкритого профілю
Mk
Mk
I k s1 13 ... s n 3n 3 .
,
,
max
max
відн.
Ik
GI k
Кручення тонкостінних стержнів закритого профілю
M k ds
Mk
2 (площа охоплена контуром ) .
,
,
відн.
max
G 2
III. Плоске (пряме) згинання:
рівняння рівноваги
dM
dx
Q
0,
dQ
dx
qx
0,
згинальний момент M зв’язаний з прогином w рівнянням M
формула для дотичного напруження
bz
z
Рис. 8
(формула Журавського),
умова міцності по нормальних
max
adm
dx 2
,
Mz
,
I
формула для нормального напруження
y
EI
d 2w
(при
0 );
постійному моменті опору W ),
37
max
QS z
Ib z
напруженнях
M max
(при
W
умова міцності по дотичних напруженнях
загальна умова міцності
red
1
2
потенціальна енергія U

x2
x1
adm
max
(при
adm
0,
(при
0 );
0 ),
x
1 2 Q2
k
dx .
2 x GA
M2
dx
EI
1
dw
перерізу можна визначити:
dx
a) методом початкових параметрів (МПП); при постійних q та EI
прогини w і кути повороту
справедливі формули (додатні напрямки сил і моментів показані на
рис. 9)
P
Q0
M0
xP
q
M
x
xM
x qп
x qк
z
Рис. 9
EI
x
q
0
x
xq
3
x
6
EI w x
q
x2
M 0 x Q0
2
x
w0
xq
4
xq
24
P
2
;
x2
M0
2
x
x
x
2
3
6
0x
24
xq
M x
x
x3
Q0
6
M
x
x
2
2
P
x
x
6
3
4
;
b) методом Максвела-Мора (МММ)
M pMi
dx ;
EI
одиничне навантаження при визначенні прогину – одинична сила, одиничне
навантаження при визначенні кута повороту – одиничний момент.
Інтеграли Мора обчислюються способом множення епюр
i
38
M p M i dx
p
M i.ср
або за формулою Сімпсона-Корноухова
l
M p M i dx
M p, M i ,
4M p,C M i ,C
6
Умова жорсткості wmax wadm , max
adm .
M p, M i ,
.
IV. Побудова епюр.
Поздовжня сила – це проекція зовнішніх сил на вісь стержня.
Крутильний момент – це момент зовнішніх сил, які лежать в
перпендикулярній до осі стержня площині, відносно осі стержня.
Перерізуюча (поперечна) сила – це проекція зовнішніх сил на вісь,
перпендикулярну до осі балки.
Згинальний момент – це момент зовнішніх сил, які лежать в осьовій площині
балки, відносно точки на осі балки.
При побудові епюр треба враховувати всі зовнішні сили по один бік перерізу
і користуватись правилом знаків. Додатні напрямки проекцій зовнішніх сил і
моментів при побудові епюр показані на рис. 10.
поздовжня сила
перерізуюча сила,
згинальний момент
крутильний момент
Рис. 10
V.
Складний опір.
При складному опорі використовуються головні центральні координати
(y, z).

При розтягуванні (стискуванні) і просторовому згинанні нормальне
Nx M yz M z y
напруження
;
x
A
Iy
Iz
переміщення визначаються з рівнянь
39
du
EA
dx
Nx,
d 2w
EI y
M y,
dx 2
u2
повне переміщення f

EI z
v2
d 2v
Mz,
dx 2
w2 .
При нецентральному розтягуванні (стискуванні) силою, прикладеною в
точці ( y p , z p ) перерізу, нормальне напруження
P
1
A
x
y yp
z zp
i z2
i y2
,
рівняння нейтральної лінії
yн y p zн z p
1
0
i z2
i y2
i z2 / y p
умова міцності
adm ,
adm
yн
zн
1,
i y2 / z p
ядро перерізу будується способом обкатки нейтральною лінією його
контуру, користуючись формулами y Я

x
i z2 a y , z Я
л.п.
При косому згинанні нормальне
напруження
M
z sin
Iy
y cos
Iz
причому tg
tg
Iy
Iz
л.д.с.
,
рівняння нейтральної лінії z
i y2 a z .
y tg , y
0.
н.л.
z
Рис. 11
VI. Стійкість стержнів.
2
Формула Ейлера для критичної сили Pкр
EI min
l
l
В залежності від гнучкості стержня
i min
2
визначається за формулою Ейлера
кр
2
E
2
при
.
критичне напруження
пр
або за формулою
Тетмаєра кр a b при 0
пр .
Розрахунок на міцність при стискуванні гнучкого стержня ведеться за
40
формулою
P
A
adm .
VII. Визначення геометричних характеристик плоских перерізів.
Центр ваги перерізу визначається за формулами yC
S z A , zC
S y A;
yi Ai A , zC
zi Ai A , де ( yi , zi ) –
для складених перерізів yC
координати центру ваги і-ої частини.
При визначенні положення головних центральних осей використовуються
також формули перетворення для моментів інерції при паралельному
перенесенні
I y= I yc + c z2 A,
I z= I zc + c 2y A,
I yz= I yc
z c+
c y cz A ,
де ( c y , c z ) – координати центру ваги перерізу в координатах ( y, z ), і повороті
координатних осей
Iy
I y cos 2
I z sin 2
I yz sin 2 ,
y
Iz
I y sin 2
I z cos 2
I yz sin 2 ,
y
I yz
z
I yz cos 2
Iz
Iy
2
sin 2 .
z
Рис. 12
VIII. Статично невизначені задачі розв’язуються, застосовуючи:
– метод сумісності деформацій (механіко-геометричний підхід);
– метод сил (аналітичний підхід);
– рівняння трьох моментів (аналітичний підхід);
– метод переміщень (аналітичний підхід).
IX. Розрахунки за граничним навантаженням (несучою здатністю)
– при крученні круглого стержня
D3
;
M к.гр
тWк.пл , Wк.пл
12
– при плоскому згинанні балки
M гр
тWпл , Wпл 1,2...1,5W y .
41
X.
Розрахунки при динамічних навантаженнях
при вільних коливаннях вантажу вагою Q на стержні перша (основна)
частота
1
2
f1
g/
;
ст
при вимушених коливаннях зі збурюючою силою P cos t динамічна сила
Pд
Q
P
, причому
2
1 1
2
1
;
при падінні вантажу вагою Q з висоти H на пружний стержень σ д
кд
ст ,
де коефіцієнт динамічності
кд 1
1
кд
1
1
2
2H
1
1
g
ст
2H
ст
1
Qстер
;
ст
, причому
1 / 3 при поздовжньому ударі,
Q
1 / 2 при поперечному ударі;
при падінні пружного стержня на жорстку плиту σ д
6 EHQ
;
Al
при раптовій зупинці маховика з інерційним моментом I м у валу довжиною
l напруження
1.
2.
3.
4.
max
2GI м
.
lA
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Які позначення і розмірності мають геометричні характеристики (площа,
статичні моменти, осьові і відцентровий моменти інерції, полярний
момент інерції)?
Що таке центр ваги перерізу? Як знайти центр ваги складного перерізу?
Що таке головні центральні вісі? Як визначаються головні центральні вісі
при наявності осей симетрії фігури? За якими формулами перетворюються
моменти інерції при паралельному перенесенні і повороті системи
координат? Що таке радіуси інерції, еліпс інерції, моменти опору?
Який вигляд має експериментальна діаграма
~ для пластичних і
крихких матеріалів? Що таке пружне і пластичне деформування? Як
формулюється закон Гука? Що таке граничні напруження? Що таке
допустимі напруження?
42
5. Як формулюється гіпотеза плоских перерізів в теорії деформування
стержнів?
6. За якими формулами визначаються нормальні напруження при
розтягуванні (стискуванні) стержнів? Як визначаються максимальні
напруження? Як формулюються умови міцності?
7. Як визначається осьове видовження стержня? Які умови жорсткості?
8. За якими формулами визначаються напруження при крученні круглих
стержнів? Як визначаються максимальні напруження? Як формулюються
умови міцності?
9. Як визначається кут закручування круглого стержня? Як формулюються
умови жорсткості?
10. За якими формулами визначаються нормальні і дотичні напруження при
прямому згинанні балки? Як визначаються максимальні напруження? Як
формулюються умови міцності?
11. Як визначаються прогини і кути повороту перерізів балки методом
початкових параметрів (МПП)? Які умови жорсткості балки?
12. Як визначаються переміщення при розтягуванні (стискуванні)), крученні і
згинанні стержнів методом Максвела-Мора (МММ)?
13. Що таке статично визначувані і статично невизначувані системи?
14. В чому полягає метод сил розв’язання статично невизначених задач?
15. Як визначаються нормальні напруження і повні переміщення при
складному опорі? Як знайти нейтральну лінію і максимальні напруження ?
Що таке ядро перерізу при нецентральному розтягуванні (стискуванні)?
Що таке косе згинання?
16. Що таке стійкість стержнів? Який вигляд має діаграма кр ~
при
стискуванні гнучких стержнів (її характерні ділянки)? В яких випадках
2
Е
використовуються формули
,
a b для визначення
кр
кр
2
критичного напруження?
17. Як визначається критична сила? Як визначається допустима сила (при
_
заданому adm
або при заданому n кр )? Як підбирається переріз гнучкого
стержня при стискуванні методом послідовних наближень?
18. Як визначається частота вільних коливань стержня з зосередженим
вантажем?
19. Як визначаються динамічні напруження при поздовжньому і
поперечному ударах?
43
1.
2.
3.
Список літератури
Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн.
/ За ред. В.Г. Піскунова. – К.: Вища школа. – Ч. 1., кн. 1. Загальні основи
курсу. – 1994. – 204 с.; ч. 1., кн. 2. Опір бруса. – 1994. – 335 с. ; ч.1. кн. 3.
Опір дво- і тривимірних тіл. – 1995. – 271 с.; ч. 2. кн. 4. Приклади і
задачі. – 1995. – 303 с.; ч.2. кн. 5. Розрахунково-проектувальні та
лабораторні роботи. – 1995. – 207 с.
Шкелев Л.Т. Сопротивление материалов и основы строительной
механики. – К.: Выща школа, 1989. – 248 с.
Шульга М.О. Опір матеріалів при статичних навантаженнях. – К.:
КНУБА. – 2002. – 140 с.
44
Додаток 1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Київський національний університет будівництва і архітектури
Кафедра опору матеріалів
200_ - 200_ навчальний рік
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА №
(назва роботи).
Шифр_________
Факультет ____________________
Курс ________________________
Група ________________________
Студент (П.І.Б.)
.
Керівник (П.І.Б.)
.
Дата здачі завдання _____________
Оцінка ________________________
44
Додаток 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
друга
№ двотавра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
60
55
50
40
36
30
24
22
20
10
третя
№ швелера розміри листа, мм розміри кутика, мм
200х10
200х12
220х14
220х16
300х18
300х20
350х18
400х16
420х14
440х12
14
16
18
20
22
24
27
30
36
40
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
45
250х20
220х14
200х20
180х12
140х10
125х10
110х8
100х10
90х8
80х8
Додаток 3
Числові
значення по
Цифра цифрах шифру
шифру
друга третя
a, b, м
J
0
1, 2
Jy
1
2, 1
Jz
2
3, 1
Jy
3
2, 1
Jzy
4
1, 3
Jzy
5
2, 1
1
0
a
a
a
1,5 a
a
y
y
b
b
b
z
2
b
b
3
a
a
a
Jz
6
3, 2
Jy
y a
7
1, 3
Jzy
a
8
2, 1
Jz
9
3, 1
Jzy
a
y
1,5 a
b
b
b
z
4
5
b
z
b
b
b
z
b
b
b
z
b
b
6
a
a
a
a
0,5 a
a
y a
y
b
z
a
1,5 a
a
y
a
a
b
z
b
b
7
b
z
8
0,5 a
a
y
y a
b
b
9
a
a
a
a
y
1,5 a
a
z
b
b
b
b b b
z 2
46
b
2
a
Додаток 4
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
№ прокатного профілю
Ju
Jv
22
24
27
30
30
22
24
22
30
30
47
40
36
33
30
27
36
40
36
33
30
9
7,5
6,3
10
5,6
14
12,5
5
7
8
12,5/8
14/9
5,6/3,6
6,3/4
7/4,5
7,5/5
8/5
9/5,6
10/6,3
11/7
0,75
0,5
1
2
1
2
0,5
0,75
1
0,95
Додаток 5
0, 1
2, 3
a
a
b
b
a
b
a
a
2b
b
2b
a
6, 7
4, 5
a
2a
b
b
b
a
a
a
b
2b
a
Цифра
шифру
b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b
b
a
a
2b
a
a
b
8, 9
b
a
a
48
Числові значення по
цифрах шифру
третя
друга
а, м
b, м
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
0,2
0,2
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
0,2
0,2
0,1
Додаток 6
0, 1
R
Цифра
шифру
2a
a
2, 3
R
1,5a
1,5a
4, 5
R
Числові значення
по цифрах шифру
друга
третя
R
a, м
0
3a
2
1
3a
3
2
2a
1
3
3a
2
4
2a
1
5
3a
2
6
3a
3
7
2a
1
8
3a
3
9
3a
2
3a
6a
6, 7
8, 9
R
R
4a
a
1,5a
6a
49
Додаток 7
0
1
F1
a
b
F2
2
F1
b
F2
b
a
F1
F2
F2
a
F1
F3
b
F2
F2
F1
b
a
7
a
b
F2
F3
6
F3
b
a
F3
5
b
b
a
F3
F1
F1
a
a
F3
4
3
F1
a
a
a
F2
b
b
F3
b
F3
8
9
F1
F1
F2
b
F2
b
b
F3
a
a
F3
a
Числові значення по цифрах
шифру
Цифра
шифру
друга
третя
а, м b, м F1, кH F2, кH F3, кH
0
1,0 0,5
150
50
100
1
0,2 0,3
60
100
50
2
0,8 0,2
100
50
150
3
0,5 1,0
50
100
150
4
0,3 0,5
150
50
100
5
0,5 0,3
150
100
50
6
1,0 0,2
100
50
150
7
0,2 0,6
50
100
150
8
0,3 1,0
150
50
100
9
0,5 0,2
150
100
50
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
50
Додаток 8
0
1
A1
F1
b
2
A2
A1
n
a
n
n
A2
b
A1
F2
a
A1
n
F1
n
b
n
a
F2
A1
F1
n
n
A2
6
n
F1
a
a
n
a
n
b
A1
a
F2
A1
b
a
7
F2
n
A2
n
F1
a
a
A2
A1
a
b
F1
F1
F2
A1
n
A2
A2
F2
5
b
a
a
A2
4
3
b
A2
A1
n
A2
b
F1
n
F2
b
a
F2
8
A2
b
F2
a
n
A1
n
F1
a
F1
9
A2
a
A1
n
A2
b
n
F2
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
2
2
а, м b, м A1, м A2, м F1, кH F2, кH
0,5 1,0
0,2
0,4
100
200
1,0 0,5
0,1
0,3
200
100
1,0 2,0
0,1
0,2
100
300
2,0 1,5
0,2
0,5
300
100
1,5 1,0
0,3
0,5
100
200
1,0 2,0
0,5
0,7
200
100
2,0 1,5
0,2
0,5
200
300
1,0 0,5
0,4
0,8
300
100
0,5 1,0
0,1
0,4
100
200
1,0 1,5
0,2
0,5
200
100
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
a
51
Додаток 9
Загальні дані для всіх задач додатків 9-14
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
розмір
навантаження
F, кH q, кH/м M, кH·м
a, м
b, м
1
2
10
2
15
2
1
12
3
20
2
2
16
4
18
3
2
18
6
16
2
4
20
4
10
2
1
18
3
12
1
3
16
2
16
2
2
12
4
18
3
2
16
3
20
3
1
10
6
15
Цифра
шифру
l, м
8
6
8
10
12
10
12
14
16
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
M
F
1
a
F
b
a
F
b
F
M
2
M
3
a
b
F
M
4
a
b
M
F
5
a
6
M
a
M
a
a
2M
a
b
F
8
a
7
a
a
M
2M
a
M
9
b
M
M
a
52
b
M
b
Додаток 10
F
q
0
1
M
F
2a
2a
l
2
q
l
F
a
M
q
3
b
a
b
l
l
q
4
a
F
F
5
2a
b
l
l
M
6
q
a
F
7
q
b
a
b
l
l
M
8
q
a
M
9
F
F
q
b
2a
l
l
53
Додаток 11
F
0
M
a
F
q
M
a
l
l
F
a
1
b
M
2
q
q
3
F
M
q
a
b
b
l
4
F
q
a
l
M
q
F
5
b
F
a
a
b
l
M
q
7
b
M
F
a
q
F
q
a
b
l
8
M
q
l
6
b
a
l
M
b
a
l
F
M
9
b
l
54
q
Додаток 12
q
0
F
M
a
a
F
q
1
a
b
b
q
q
M
a
b
F
q
3
a
a
b
a
l
l
q
4
F
M
a
F
q
5
b
a
q
a
b
l
6
l
F
M
a
q
a
7
F
a
b
M
q
b
l
l
8
F
M
a
a
l
l
2
F
a
q
9
F
a
b
q
M
a
b
l
l
55
Додаток 13
F
0
q
60
a
1
a
b
l
F
F
q

3
60
60
a
a
F
4
a
M
6
a
45
M
b
60
5
b
a
l
l
q
F
7

45
F
a
b
b
b
l
F
30
q
q
M
45
l
2a
M
F
F
60
q
l
l
8
45
2b
l
2
F
q
9
F
q
30
2a
b
l
l
56
Додаток 14
0
q
M
a
b
2a
a
a
a
a
5
b
a
a
2a
a
a
2a
a
b
a
2a
M
a
a
b
F
q
a
57
b
q
9
b
b
q
2a
M
a
F
7
q
8
a
a
q
b
M
a
2a
F
a
F
a
q
b
M
a
3
b
F
4
6
2a
F
q
2
F
1
b
a
2a
a
Додаток 15
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F
q
0
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
розмір
навантаження
F, кH q, кH/м M, кH·м
а, м
b, м
2
1
10
5
20
2
2
20
10
20
1
2
30
10
10
1
3
20
5
10
3
2
10
2
30
2
3
20
20
30
1
3
30
10
20
2
1
20
5
10
2
2
10
2
20
1
3
10
4
30
a
q
a
F
F
q
1
b
a
M
q
2
M
M
b
b
F
3
q
M
b
4
a
F
M
5
b
a
a
a
F
M
b
a
M
a
q
b
M
F
q
b
b
F
M
9
58
F
b+2a
a
b+a
a
q
7
b
q
b
a
M
F
q
6
2a
q
b
8
b
b
a
Додаток 16
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
розмір
навантаження
а, м
b, м
F1, кH F2, кH M, кH·м
1
2
20
0
40
2
1
0
10
30
1
3
10
0
20
2
2
10
0
40
2
1
0
20
20
3
2
20
0
10
1
3
0
10
20
1
2
0
10
40
2
1
20
0
30
3
2
0
10
20
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F1
0
a
b
F1
2
F1
6
M
a
F1
b
8
F1
5
a
a
b
b
a
M
9
b+a
F1
b
F1
F2
b
a
F2
M
a
59
M
M
b
b
F2
7
M
a
F1
b
b
F2
b
F2
F2
b
a
F2
a
F1
3
F2
M
a
b
F2
b
F1
M
1
b
M
b
4
F2
M
b
b
Додаток 17
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
а, м
b, м
F, кH M, кH·м переміщення
W3
2
1
20
10
1
W3
2
2
10
20
2
W3
3
2
20
20
3
W4
2
1
30
10
4
W4
1
1
10
30
1
W3
3
2
20
20
2
W3
3
2
10
20
3
W3
2
1
30
10
4
W3
3
1
10
20
1
W4
2
2
20
30
2
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
F
M
3
1
4
b
2
1
a
4
M
a
F
a
a
1
2
a
8
M
1
b
F
3
b
a
a
5
2
3
4
b
b
F
1
3
1
a
b
M
2
4
a
b
F
M
1
3
M
2
4
F
3
b
60
4
a
a
9
a
2
b
7
2
M
b
a
2
4
3
1
a
M
4
1
F
b
F
6
3
2
M
4
F
M
a
F
a
3
1
3
a
4
F
1
2
b
F
3
M
F
4
b
2
b
b
Додаток 18
Цифра
шифру
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
b, м
c, м
F, кH
q, кH/м M, кH·м
3
1
10
5
18
4
2
12
8
20
2,5
1
15
6
10
3
2,5
20
10
16
3,5
2
25
15
20
2
1
30
4
30
3
1,5
18
5
12
2,5
2
20
8
10
2
1
16
10
15
3
2
8
4
30
а, м
2,5
3
2
2
2
2,5
1,5
2
3
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F
F
0
a
b
a
F
2
4
6
c
q
M
b
a
8
q
a
c
M
3
b
c
b
F
M
q
M
1
M
b
a
c
F
F
5
a
c
F
M
q
7
b
a
a
b
c
M
M
c
b
2q
9
b
b
61
Додаток 19
0
1
F1
a
b
F2
2
F1
b
F2
b
a
4
b
F2
a
F2
b
F2
b
F1
b
a
F2
F1
a
F2
F1
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b
a
a
a
a
a
b
a
b
7
9
F2
b
a
a
b
8
F1
F2
6
F1
F1
a
a
5
F1
3
b
F2
F1
b
b
Числові значення по цифрах
шифру
друга
третя
а, м
b, м F1, кH F2, кH
1,0
0,5
150
50
0,2
0,3
60
100
0,8
0,2
100
50
0,5
1,0
50
100
0,3
0,5
150
50
0,5
0,3
150
100
1,0
0,2
100
50
0,2
0,6
50
100
0,3
1,0
150
50
0,5
0,2
150
100
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
62
Додаток 20
0
1
1
A1
F1
b
2
A2
b
2
2
A2
F1
A1
1
1
A1
a
3
F1
b
b
2
A2
F1
b
b
a
A2
A1
1
F2
a
A2
4
F2
2
F2
a
2
5
1
a
6
1
A1
F2
b
A1
A1
F1
A1
a
F1
a
a
A2
1
F2
a
F1
b
7
1
a
2
F1
a
F2
b
A2
2
1
A1
b
A2
F2
A2
b
2
a
2
A1
1
A2
2
F2
a
8
2
F2
A2
a
1
A1
b
F1
a
9
A2
2
a
A1
1
A2
F1
F2
2
b
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
2
2
а, м b, м A1, м A2, м F1, кH F2, кH
0,5 1,0
0,2
0,4
100
200
1,0 0,5
0,1
0,3
200
100
1,0 2,0
0,1
0,2
100
300
2,0 1,5
0,2
0,5
300
100
1,5 1,0
0,3
0,5
100
200
1,0 2,0
0,5
0,7
200
100
2,0 1,5
0,2
0,5
200
300
1,0 0,5
0,4
0,8
300
100
0,5 1,0
0,1
0,4
100
200
1,0 1,5
0,2
0,5
200
100
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
a
63
E1/E2
2,0
1,5
0,5
0,25
3,0
0,75
2,5
2,0
0,5
1,5
Додаток 21
A2
A1
1
A2
A1
1
1
2
a
2
b
a
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
b
0, 1, 2, 3, 4
A2
A1
a
b
5, 6, 7, 8, 9
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
а, м
b, м
A1, м2
A2, м2
ΔT, oC
0,10
0,20
0,15
0,30
0,20
0,10
0,15
0,20
0,30
0,25
0,20
0,20
0,25
0,10
0,10
0,15
0,20
0,30
0,20
0,15
4· 10-3
6· 10-3
3· 10-3
6· 10-3
6· 10-3
5· 10-3
4· 10-3
4· 10-3
8· 10-3
5· 10-3
6· 10-3
8· 10-3
6· 10-3
9· 10-3
10· 10-3
10· 10-3
9· 10-3
8· 10-3
10· 10-3
9· 10-3
60
50
20
30
40
60
40
30
50
20
E1
2 10 5 МПа ,
125 10 7 град
1
1
E2
1 10 5 МПа ,
165 10 7 град
1
2
64
Додаток 22
0, 1, 2
3, 4, 5
6, 7, 8, 9
A1
A1
A1
A2
A2
A2
a1
a
a1
a
a1
a
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
F
l
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
друга
A1/A2
E1/E2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
0,5
0,6
0,4
0,2
0,1
0,7
1,2
1,5
2,0
3,0
третя
F, кН σadm1, МПа σadm2, МПа
150
200
300
100
140
200
300
150
250
400
100
120
140
150
120
80
90
110
60
70
80
40
100
50
60
120
150
70
100
120
Номер схеми береться по першій цифрі шифру
65
Додаток 23
F
F
a
a
3
b
b
a
2
b
6
b
a
b
7
2
2
a
a
b
b
a
2a
b
b
2b
2
b
Цифра
шифру
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F
b
b
b
66
1
F
F
b
a
1
2
9
a
a
8
F
a
b
F
F
a
1
b
b
1
a
2a
2
a
2a
a
5
F
1
a
4
1
2
F
b
a
1
2b
b
2
a
1
b
b
2b
2
2
2
b
1
1
2b
0
2b
a
Числові значення по
цифрах шифру
друга
третя
a, м
1
2
1,5
2
1
1,5
2
1
2
1
b, м
2
3
2
2,5
2
2
3
3
2
2
F, кН
500
100
300
250
350
450
200
300
350
400
A1/A2
2
1
0,5
0,5
1
2
2
1
0,5
2
Додаток 24
0
a
2
4
b
a
b
a
2b
F
c
9
c
2b
2a
c
q
c
b
3a
F
M
c
2a
b
Розміри і навантаження взяти із додатка 18.
67
c
q
c
3c
a
q
M
q
2a
a
7
M
M
5
a
b
2b
M
c
b
M
3
F
a
8
c
q
F
q
c
q
3c
6
b
F
2a
1
F
M
b
Додаток 25
0
c
2
4
b
a
b
c
2b
F
c
9
c
2c
2a
b
q
a
c
3b
F
M
c
2a
b
Розміри і навантаження взяти із додатка 18.
68
a
q
b
3b
a
q
M
q
2a
b
7
M
M
5
b
a
2c
M
a
c
M
3
F
c
8
a
q
F
q
a
q
3a
6
b
F
2c
1
F
M
c
Додаток 26
Mk1
0
Mk2
1
Mk3
b
c
Mk1
Mk2
Mk3
1
c
a
Mk1
Mk2
Mk3
1
c
a
b
Mk1
Mk2
Mk3
6
1
c
b
Mk1
Mk2
Mk3
1
b
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
5
c
Mk2
Mk3
1
2
3
b
c
Mk1
Mk2
Mk3
1
2
3
c
a
Mk1
Mk2
Mk3
1
2
3
c
c
b
Mk1
7
9
Mk3
3
2
b
3
2
1
a
3
2
a
8
3
3
2
Mk2
a
3
2
b
4
1
3
2
a
2
Mk1
a
b
Mk1
Mk2
Mk3
1
2
3
c
b
a
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
Mk1, кH·м Mk2, кH·м Mk3, кH·м а, м b, м c, м переріз
2
3
1
1
3
2
2
1
2
3
1,5
2
1
3
3
2
1
2
3
1
1
2
1
3
1,5
1
3
2
1
3
2
1
3
2
3
3
2
1
2
2
3
1
2
3
2
1,5
1,5
2
3
1
2
3
2
1
2
2
3
1
3
1
2
1
1
2
3
2
1,5
3
2
2
69
Додаток 27
Mk1
0-9
1
a
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mk2
Mk3
3
2
b
a
c
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
Mk1, кH·м Mk2, кH·м Mk3, кH·м а, м
b, м
2
3
-1
1
2
-2
3
-2
2
2
3
-3
-3
0,5
3
-3
2
3
2
1
1
-2
2
0,5
2
-3
1
2
1
0,5
2
-3
1
0,5
3
-1
3
-2
1
2
3
-1
2
2
1
-2
1
3
0,5
2
70
c, м
3
3
1
2
3
3
2
1,5
3
1
0, 1
Додаток 28
2, 3
1
a
2
a
1
3
b
b
b
5
5
a
3
a
2b
2b
6, 7
1
2
a
3
2a
2
1
3
4
5
b
a
5
a
4
a
b
2b
Цифра
шифру
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
b
b
a
5
a
b
4
2b
a
a
a
a
b
8, 9
b
b
a
4, 5
b
4
4
a
b
2
a
71
Числові значення по
цифрах шифру
третя
друга
а, м
b, м
точка n
0,1
0,2
1
0,2
0,1
2
0,1
0,2
3
0,2
0,1
4
0,2
0,1
5
0,1
0,2
5
0,1
0,2
4
0,2
0,1
3
0,1
0,2
2
0,2
0,1
1
Додаток 29
1
0, 2, 4, 6, 8
4
5
6
b
2b
2
5
3
a
4
a
швелер
6
b
1
2
3
4
5
6
a
1
2
1, 3, 5, 7, 9
b
2b
a
a
3
4
4
6
b
двотавр
1
2
3
a
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
друга
третя
а, м
b, м
точка n
номер профілю
1
1
2
2
1,5
1
2
1,5
2
3
1
2
1
2
2
1,5
1,5
1
3
2
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
33
27
16
40
14
24
36
20
22
18
72
Додаток 30
0-9
Числові значення по цифрах шифру
перша
друга
третя
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
номер профілю
30
22
24
40
20
18
36
16
33
27
45
55
30
50
27
60
24
36
40
33
73
220х14
110х7
250х16
80х6
160х10
90х6
200х12
100х10
180х12
140х10
Додаток 31
5
4
61
4
1
1
u
2
1
a
b
b
3
7 1
4
18
4
1a
a
4
1
0-9
b
b
a
v
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
друга
третя
а, м
b, м
Точка n
F, кН
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,3
0,4
0,2
0,5
0,2
0,3
0,4
0,2
0,6
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
200
300
400
100
250
350
450
150
500
550
74
Додаток 32
F
0, 1
a
2, 3
q
2a
4, 5
2a
q
3a
a
a
q
8, 9
a
a
3a
поперечний переріз
двотавр № 40
3a
M
a
F
q
2a
a
M
a
F
6, 7
M
a
A
y
B
z
Загальні дані для задач додатків 32, 33
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
l, м
0,8
1,0
1,2
1,8
1,5
1,7
1,4
1,3
1,5
1,4
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
а, м
, град k = h/b F, кH Р, кH q, кH/м M, кH·м
0,4
45
1,8
8
10
20
15
0,5
30
1,6
10
15
18
20
0,8
60
2
12
6
16
30
0,9
45
1,5
6
8
10
10
0,5
60
1,5
5
8
8
20
0,6
30
1,7
4
12
15
15
0,7
60
1,8
6
14
12
30
0,8
45
2
12
7
10
40
1,0
60
1,6
7
8
14
20
0,9
30
2,2
6
6
16
10
75
Додаток 33
0
1
F
y
z
y
q
z
а
а
2
y
F
z
а
3
x
P
q
y
z
P
P
α
x
а
P
4
5
x
y
z
x
y
F
q
z
а
P
P
а
6
y
7
x
а
y
F
z
x
q
z
а
P
8
y
P
9
x
а
F
z
x
y
z
q
а
P
x
P
76
x
Додаток 34
Коефіцієнти зменшення
основного допустимого
напруження adm
(ст2, ст3, ст4)
Гнучкість
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Для проміжних нетабульованих значень
при
користуються лінійною
1
2
апроксимацією
λ
Коеф.
1,00
0,99
0,96
0,94
0,92
0,89
0,86
0,81
0,75
0,69
0,60
0,52
0,45
0,40
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
1
де
1
λ1
λ2
відповідає
1,
2
λ1
а
2
1
,
відповідає
2.
Якщо гнучкість
перевищує наведене в
таблиці найбільше значення, то
береться
рівним мінімальному табличному значенню
(в таких випадках іноді доводиться безпосередньо коригувати площу поперечного
перерізу).
Схеми закріплення кінців стержня
P
P
2
77
P
1
P
0,7
0,5
Додаток 35
0, 1, 2
3, 4, 5
6, 7, 8, 9
a
a
a
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Числові значення по цифрах шифру
друга
третя
довжина l, м коефіцієнт
сила F, кH
7
1
500
6
0,7
800
5
2
450
10
0,5
750
8
0,7
650
9
1
550
8,5
2
700
11
0,5
400
12
0,7
300
7,5
2
600
78
Додаток 36
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
перша
друга
третя
довжина
l, см
190
185
170
200
180
175
165
160
155
195
коефіцієнт
поперечний
переріз
№ 40
2
0,5
0,7
1,0
0,7
0,5
2
1
0,5
0,7
№ 36
№ 50
№ 33
№ 40
№ 45
№ 30
№ 33
№ 27
№ 36
Додаток 37
Числові значення по цифрах шифру
Цифра
шифру
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
перша
друга
третя
сила
F, кН
100
200
300
400
500
600
700
250
450
550
довжина
l, см
150
160
90
100
130
110
140
120
125
115
коефіцієнт
79
0,7
2
1
0,5
1
0,5
2
0,7
2
0,5
Навчально-методичне видання
ОПІР МАТЕРІАЛІВ
Методичні вказівки
до виконання контрольних задач
і розрахунково-графічних робіт
Укладачі
ШУЛЬГА Микола Олександрович
КОРНІЄНКО Вікторія Федорівна
Комп’ютерна верстка Ю.Г.Томащука
Підписано до друку
2.02.2005 Формат 60 84 1/16
Папір офсетний. Гарнітура Таймс. Друк на різографі.
Ум.-друк.арк.
4,65, обл.-вид.арк. 5,0. Фарбовідб. 41
Тираж 75 прим. Вид. № 112/ІІІ-04. Зам. № 21/1-05
КНУБА, Повітрофлотський проспект, 31 Київ-680, 03680
Віддруковано в редакційно-видавничому відділі
Київського національного університету будівництва і архітектури
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів
Видавничої справи ДК № 808 від 13.02.2002 р.
80