Kasr differensial va integral operatorlarning yaqinlashishi
Kirish bobidan tenglamalarda aniqlangan Riman va Liuvil ma’nosidagi
(1.3.8) va (1.3.1) kasr integralini eslaylik, ya'ni
J  f  x 
1

x  t

  
x
0
1
f  t  dt .
(2.1.1)
Shubhasiz, J  integral operatordir. (1.3.9), (1.3.3) va (1.3.1) tenglamalardan
Rimann-Liouvil kasr hosilasi, ya'ni
RL
d n n
D f  x   n J f  x  , n    ,
dx

(2.1.2)
bu erda  eng yaqin butun songacha yaxlitlanadigan shift funktsiyasini bildiradi,
bu birinchi qarashda klassik differentsial operator va integral operatorning
birikmasidir, lekin mos f funksiyalar uchun u sof integral operator sifatida ham
yozilishi mumkin, ya'ni
RL
D f  x  
x
1
 1
x

t
f  t  dt ,


    0
(2.1.3)
[219]ga qarang. Bu yerda integral kuchli singulyarlikka ega (uning tartibi 1    1
) va u Hadamardning chekli qismli kontseptsiyasiga muvofiq talqin qilinishi kerak
[278]. Rimann-Liouvil hosilasining rasmiy ko'rinishi (2.1.3) Riemann-Liouville
integralining tasviridan (2.1.1) olinishi mumkin, agar oddiygina  ni a bilan
almashtirsak. Bundan tashqari, biz Caputo hosilasining ta'rifini (1.3.36) tenglikdan
eslaymiz, ya'ni
C
D f  x   J n D n f  x  , n    ,
(2.1.4)
bu erda Dn - n -tartibli (butun) klassik hosilani bildiradi. Ma'lumki, funksiyalarning
katta sinfi uchun bu Riemann-Liouville va Kaputo hosilalari o'rtasidagi aloqani
o'rnatadigan ekvivalent
C
D f  x  RL D  f  Tn1  f   x 
(2.1.5)
shaklida qayta yozilishi mumkin. Bu erda yana bir bor n    va
n 1
u k k 
f  0
k
!
k 0
Tn1  f   u   
markazi 0 nuqtada bo’lgan f funktsiya uchun D darajali Teylor ko'phadi. (2.1.5)
tenglamaning foydali natijasi shundaki, Kaputo hosilalari uchun har qanday sonli
yaqinlashish usuli darhol ularning Riemann-Liouville analoglari uchun mos
keladigan algoritmni beradi va aksincha. Kelgusi o'zgarishlarda biz faqat ushbu
ikkita kasr hosilalardan biri uchun yondashuvlarni aniq tasvirlab berishimiz kerak;
keyin ikkinchisi mumkin (2.1.5) tenglama yordamida osongina qurish mumkin.
2.1.1 Kvadratura nazariyasiga asoslangan usullar
(2.1.1), (2.1.3) va (2.1.4) tasvirlardan ko'rinib turibdiki, bizni qiziqtirgan barcha kasr
hosilalari va integrallarni qaysidir ma'noda integral operatorlar sifatida talqin qilish
mumkin. Shuning uchun biz bunday operatorlar uchun birinchi yaqinlashish usullari
juda tabiiy ko'rinadi Kvadratlar nazariyasi tamoyillariga asoslanadi, ya'ni sonli
integratsiya nazariyasi. (2.1.1) va (2.1.3) tenglamalarda ko'rinadigan integrallarda
integrallar har doim ikkita omildan iborat. Birinchi omil juda oson tasvirlangan, u
mos ravishda  x  t 
 1
yoki  x  t 
 1
funksiyasi bo‘lib, integratsiya oralig‘ining
bir oxirgi nuqtasida o‘ziga xoslikka ega. Boshqa omil f  t  odatda ancha murakkab
analitik ko'rinishga ega bo'ladi, lekin umuman olganda yagona bo'lmagan (va ko'p
hollarda qo'shimcha ma'lum silliqlik xususiyatlariga ega). Bunday sharoitda
mahsulot integratsiyasi g‘oyasi foydali yondashuv ekanligi sonli integratsiya
nazariyasidan [174] yaxshi ma’lum. Bu shuni anglatadiki, biz silliq, lekin murakkab
f omilni, aytaylik, oson hisoblab chiqiladigan va mos ravishda Jaf yoki RL Daf
miqdorini aniqlash oddiy masala bo'lgan f yaqinlashuvi bilan almashtiramiz.
Albatta, (2.1.5) munosabatini hisobga olgan holda, Riemann-Liouville Da hosilasi
uchun yondashuv yuqorida aytib o'tilganidek, Kaputo hosilasi uchun mos keladigan
usulni yaratish uchun osongina o'zgartirilishi mumkin.
Amaliy qo'llanmalarda ƒ dan f ni qurish uchun doimiy qadam kattaligi h bo'lgan
bo'lakli polinom interpolyatsiyasidan foydalanish g'oyasi juda foydali ekanligini
isbotladi. Biz e'tiborimizni ikkita eng muhim maxsus holatga, ya'ni 0 darajali
qismlarga bo'lingan polinomlarga (ya'ni, qadam funktsiyalari) va 1 darajali
(ko'pburchaklar) qaratamiz. Fundamental [0, b] oraliqda diskretlashtirish uchun ry
= jh, j = 1, 2,..., N toʻr nuqtalaridan foydalanamiz, bunda soddalik uchun h ni b
shunday tanlangan deb hisoblaymiz. = N = Nh ba'zi bir butun N bilan.
Riemann-Liouville integrali
J
uchun
f
ning bosqichli funksiyalarning
diskretlanishi [198] da batafsil o'rganilgan. Asosiy natijalar shundan iboratki, hosil
bo‘lgan to‘rtburchaklar formulasi deb ataladigan yaqinlashish
J

k 1
 f  xk   h J Re  f  xk   h  b j ,k f  x j 


(2.1.6)
j 0
shaklida yozilishi mumkin, bu erda
b j ,k 

1


k  j  k 1 j
 1   

(2.1.7)
va bu sxemaning yaqinlashish sifati quyidagicha ta'riflanishi mumkin (198-ning 2.4teoremasiga qarang, bu erda, xususan, dalilning tafsilotlarini topish mumkin).
Теорема 2.1.
(a) f  C1  0, b  bo’lsin. U holda

J   f  xk  h J Re
 f  xk  
1

sup f   x  xk h bo’ladi.
x0, b
(b) Ba'zi p   0,1 uchun f  x   x p bo'lsin. U holda

J   f   xk   h J Re
 f  xk   CRe , p xk  p1h bo’ladi.
bu erda C faqat a va p ga bog'liq bo'lgan doimiydir.
Shunday qilib xulosa qilamiz
Xulosa 2.1.
(a) f  C1  0, b  bo’lsin. U holda 0,b da

J   f  xk  h J Re
 f  xk   O  h  bir xilda bo’ladi.
(b) Ba'zi p   0,1 uchun f  x   x p bo'lsin. U holda

J   f  xk  h J Re
 f  xk   O  h  yo’nalishi bo’yicha 0,b bo’ladi.