Tên: Nguyễn Châu Cao MSSV: 2112915 Bài kiểm tra Blended tuần 5 Môn: Phương pháp tính & lập trình C Đề: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 𝑒 𝑥 − 10𝑥 + 7 = 0 trong [0; 1] bằng phương pháp chia đôi và phương pháp lặp đơn, Đối với phương pháp lặp đơn lấy 𝑥0 = 0. Lập bảng giá trị cho mỗi lần lặp, số lần lặp là 10. Đánh giá kết quả của 2 phương pháp này (về sai số, về tốc độ hội tụ,…). Bài làm Phương pháp chia đôi: Ta có công thức tính: ∆𝑛 = |𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 | 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ; 𝑥 = 𝑛 2𝑛+1 2 n 𝒂𝒏 𝒇(𝒂𝒏 ) 𝒃𝒏 𝒇(𝒃𝒏 ) 𝒙𝒏 𝒇(𝒙𝒏 ) ∆𝒏 0 0 8 1 -0,2817 0,5 3,6487 0,5 1 0,5 3,6487 1 -0,2817 0,75 1,6170 0,125 2 0,75 1,6170 1 -0,2817 0,875 0,6489 0,0313 3 0,875 0,6489 1 -0,2817 0,9375 0,1786 0,0078 4 0,9375 0,1786 1 -0,2817 0,9688 -0,0532 0,0020 5 0,9375 0,1786 0,9688 -0,0532 0,9532 0,0620 0,0005 6 0,9532 0,0620 0,9688 -0,0532 0,9610 0,0043 0,0001 7 0,9610 0,0043 0,9688 -0,0532 0,9649 -0,0245 0,00003 8 0,9610 0,0043 0,9649 -0,0245 0,9630 -0,0105 0,000008 9 0,9610 0,0043 0,9630 -0,0105 0,962 -0,0031 0,000002 10 0,9610 0,0043 0,962 -0,0031 0,9615 -0,0006 0,0000005 Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là 𝑥10 = 0,9615 với sai số tuyệt đối ∆𝒏 = 0,0000005 Phương pháp lặp đơn: - Chuyển phương trình về dạng x=g(x) 𝑥= 𝑔 ′ (𝑥 ) = 𝑒𝑥 7 + = 𝑔(𝑥) 10 10 𝑒𝑥 𝑒1 ⇒ |𝑔′(𝑥)| ≤ ≤ 0,2718 = 𝑞, ∀𝑥 ∈ [0; 1] 10 10 𝑞 ≈ 0,2718 < 1 nên là hàm co - Xây dựng dãy lặp: 𝑥0 = 0 𝑒 7 { 𝑥𝑛 = + , ∀𝑛 = 1,2, … 10 10 Với công thức tính sai số: 𝑞𝑛 |𝑥 − 𝑥0 | ∆𝑛 (𝑡𝑖ê𝑛 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) = 1−𝑞 1 𝑞 |𝑥 − 𝑥𝑛−1 | ∆𝑛 (ℎậ𝑢 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) = 1−𝑞 𝑛 Với 𝑞 ≈ 0,2718 𝑥𝑛−1 - Bảng giá trị cho phương pháp lặp đơn n 𝑥𝑛 ∆𝑛 (𝑡𝑖ê𝑛 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) ∆𝑛 (ℎậ𝑢 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) 0 0 1,0990 0 1 0,8 0,2990 0,2956 2 0,9226 0,0812 0,0457 3 0,9516 0,0221 0,0108 4 0,9590 0,0060 0,0028 5 0,9609 0,0016 0,0007 6 0,9614 0,0004 0,0002 7 0,96154 0,0001 0,00005 8 0,96157 0,00003 0,00001 9 0,96158 0,000009 0,000004 10 0,961583 0,000002 0,000001 Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là 𝑥10 = 0,961583 với sai số ∆10 (𝑡𝑖ê𝑛 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) = 0,000002 ∆10 (ℎậ𝑢 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) = 0,000001 Đánh giá kết quả của 2 phương pháp trên: - Kết quả của 2 phương pháp trên sau 10 là gần tương tự nhau - Kết quả sai số cho ta thấy rằng phương pháp lặp đơn cho sai số nhỏ hơn. - Về tốc độ hội tụ thì ở phương pháp lặp đơn với phụ thuộc vào q, so với phương pháp chia đôi thì phương pháp lặp đơn tốc độ hội tụ nhanh hơn. - Nếu được chọn 1 trong 2 phương pháp trên thì ta nên chọn phương pháp lặp đơn, tuy nhiên cách làm đòi hỏi một chút tư duy và phải thử nhiều dạng phương trình x=g(x). - Nhược điểm của phương pháp chia đôi thì dễ bị nhầm lần giữa các lần tính toán, thao tác tính toán đại số nhiều hơn.