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1001 EXERCICES CORRIGÉS POUR RÉUSSIR SA SPÉCIALITÉ
Konrad RENARD
Enseignant au Lycée René Cassin de Gonesse
Avant-propos
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Tout en préparant les élèves de terminale à l’épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, cet ouvrage sera utile à tous ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances
dans l’optique d’une poursuite d’études supérieures ayant une composante importante en mathématiques.
Cet ouvrage est un recueil d’exercices allant de la simple application du cours à des exercices difficiles. Il s’articule autour de 4 chapitres.
Dans chaque chapitre, vous trouverez :
• des sous-chapitres composés d’un bref résumé du cours, d’exercices d’application puis
d’exercices d’approfondissement ;
• des exercices de préparation au baccalauréat, exercices issus des annales du baccalauréat ;
• des exercices pour se préparer au supérieur, exercices issus de concours d’entrée en écoles
d’ingénieurs, du Concours général, ou abordant des thèmes qui ne sont plus au programme de
terminale mais dont la maîtrise sera un atout pour la poursuite d’études. Ces exercices, pour
certains très difficiles, ne pourront être abordés qu’après une parfaite maîtrise du chapitre.
Je remercie Anne LE VAN RA pour ses relectures attentives.
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Table des matières
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1 Suites numériques
1.1 Suites arithmétiques - Suites géométriques
1.1.1 Point de cours . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Exercices d’application de cours . .
1.1.3 Exercices d’approfondissement . .
1.2 Démonstration par récurrence . . . . . . .
1.2.1 Point de cours . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Exercices d’application de cours . .
1.2.3 Exercices d’approfondissement . .
1.3 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Point de cours . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Exercices d’application de cours . .
1.3.3 Exercices d’approfondissement . .
1.4 Comportement global d’une suite . . . . .
1.4.1 Point de cours . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Exercices d’application de cours . .
1.4.3 Exercices d’approfondissement . .
1.5 Vers le baccalauréat . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Vers le supérieur . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Fonctions
2.1 Fonctions dérivées . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.1.2 Exercices d’application de cours
2.1.3 Exercices d’approfondissement
2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.2.2 Exercices d’application de cours
2.2.3 Exercices d’approfondissement
2.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
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. 103
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26
26
27
30
39
39
39
44
52
68
TABLE DES MATIÈRES
4
2.3.2 Exercices d’application de cours
2.3.3 Exercices d’approfondissement
Limites de fonctions . . . . . . . . . . .
2.4.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.4.2 Exercices d’application de cours
2.4.3 Exercices d’approfondissement
Primitives - Equations différentielles . .
2.5.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.5.2 Exercices d’application de cours
2.5.3 Exercices d’approfondissement
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.6.2 Exercices d’application de cours
2.6.3 Exercices d’approfondissement
Fonctions trigonométriques . . . . . . .
2.7.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.7.2 Exercices d’application de cours
2.7.3 Exercices d’approfondissement
Fonctions exponentielles . . . . . . . .
2.8.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.8.2 Exercices d’application de cours
2.8.3 Exercices d’approfondissement
Fonctions logarithmes . . . . . . . . . .
2.9.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
2.9.2 Exercices d’application de cours
2.9.3 Exercices d’approfondissement
Vers le baccalauréat . . . . . . . . . . . .
Vers le supérieur . . . . . . . . . . . . . .
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173
173
174
177
195
240
3 Géométrie
3.1 Droites et plans de l’espace . . . . . . .
3.1.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
3.1.2 Exercices d’application de cours
3.1.3 Exercices d’approfondissement
3.2 Géométrique vectorielle dans l’espace
3.2.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exercices d’application de cours
3.2.3 Exercices d’approfondissement
3.3 Produit scalaire dans l’espace . . . . . .
3.3.1 Point de cours . . . . . . . . . . .
3.3.2 Exercices d’application de cours
3.3.3 Exercices d’approfondissement
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2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
TABLE DES MATIÈRES
5
3.4 Vers le baccalauréat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3.5 Vers le supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4 Dénombrement et probabilités
4.1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Point de cours . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Exercices d’application de cours .
4.1.3 Exercices d’approfondissement .
4.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Point de cours . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Exercices d’application de cours .
4.2.3 Exercices d’approfondissement .
4.3 Sommes de variables aléatoires . . . . . .
4.3.1 Point de cours . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Exercices d’application de cours .
4.3.3 Exercices d’approfondissement .
4.4 Concentration - Loi des grands nombres
4.4.1 Point de cours . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Exercices d’application de cours .
4.4.3 Exercices d’approfondissement .
4.5 Vers le baccalauréat . . . . . . . . . . . . .
4.6 Vers le supérieur . . . . . . . . . . . . . . .
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349
349
349
350
355
360
360
360
364
376
376
376
377
381
381
382
384
390
417
.
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439
439
502
648
720
s
a
r
u
D
I
F
L
5 Corrigés
5.1 Suites numériques
5.2 Fonctions . . . . . .
5.3 Géométrie . . . . .
5.4 Probabilités . . . .
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6
TABLE DES MATIÈRES
s
a
r
u
D
I
F
L
Chapitre 1
Suites numériques
s
a
r
u
D
I
F
L
1.1 Suites arithmétiques - Suites géométriques
1.1.1 Point de cours
Définition : une suite (u n ) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier
naturel n, u n+1 = u n + r . Le réel r est appelé raison de la suite (u n ).
Forme explicite : si la suite (u n ) est arithmétique de raison r et de premier terme u 0 , alors pour
tout entier naturel n, u n = u 0 + nr .
Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, u n = u p + (n − p)r .
Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique :
(n + 1)(u 0 + u n )
.
S = u0 + u1 + · · · + un =
2
¡
¢
nombre de termes × premier terme + dernier terme
Plus généralement : S =
.
2
Définition : une suite (u n ) est géométrique s’il existe un nombre réel q non nul tel que, pour
tout entier naturel n, u n+1 = qu n .
Le réel q est appelé raison de la suite (u n ).
Forme explicite : si la suite (u n ) est géométrique de raison q et de premier terme u 0 , alors pour
tout entier naturel n, u n = u 0 q n .
Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, u n = u p q n−p .
Somme des n premiers termes d’une suite géométrique :
• si q = 1, alors S = u 0 + u 1 + · · · + u n = (n + 1)u 0
1 − q n+1
.
• si q 6= 1, alors S = u 0 + u 1 + · · · + u n = u 0
1−q
8
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
1.1.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 1
10 minutes
Les suites u n sont-elles arithmétiques ? Si oui, donner la raison.
p
1. u n = 2n + 3.
3. u n+1 = u n − 2.
5. u n = 2017 − 2016n.
n +1
2. u n =
.
4. u n = n 2 + n + 3.
6. u n = u n−1 + n − 1.
n
E XERCICE 2
Déterminer le premier terme u 0 et la raison des suites arithmétiques suivantes :
1. u 10 = 6 et u 28 = 1, 5.
2. u 9 = 19 et u 18 = 2017.
5 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 3
5 minutes
Exprimer u n en fonction de n sachant que la suite (u n p
) est arithmétique de raison r :
1. u 0 = 3 et r = 2.
3. u 1 = 0 et r = 2.
2. u 0 = 0 et r = 1.
4. u 2 = 5 et r = −3.
E XERCICE 4
n(n + 1)
.
Démontrer que ∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + · · · + n =
2
5 minutes
E XERCICE 5
5 minutes
Calculer la somme des cent premiers termes de la suite arithmétique (u n ) de premier terme
u 0 = 3 et de raison r = 5.
E XERCICE 6
10 minutes
Le 1er septembre 2022, Tom décide de mettre de l’argent de côté pour ses vacances d’été. Il
dépose 500 ( le 1er septembre, puis 30 ( de moins par rapport au mois précédent chaque 1er
du mois.
Soit t n la somme mise de côté le n-ième mois. On pose t 0 = 500.
1. Exprimer t n+1 en fonction de t n . En déduire la nature de la suite (t n ).
2. En déduire t n en fonction de n.
3. Soit S n la somme totale mise de côté par Tom depuis le 1er septembre. Exprimer S n en fonction de n.
4. De combien disposera Tom le 14 juillet 2023.
E XERCICE 7
10 minutes
Les suites u n sont-elles géométriques ? Si oui, donner la raison.
p
1. u n = −7n+2 .
5. u n = 2016n .
3.
u
=
2u n .
n+1
n +1
.
2. u n =
6. u n = 2u n−1 + 2.
4. u n = n 2 + n + 3.
n
E XERCICE 8
5 minutes
Déterminer le premier terme u 0 et la raison (q > 0) des suites géométriques suivantes :
1. u 10 = 6 et u 12 = 1, 5.
2. u 9 = 81 et u 13 = 729.
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
9
E XERCICE 9
5 minutes
Exprimer u n en fonction de n sachant que la suite (u n )pest géométrique de raison q.
3. u 1 = 1 et q = 2.
1. u 0 = 3 et q = 2.
1
2. u 2 = 5 et q = −3.
4. u 0 = 3 et q = .
3
E XERCICE 10
10 minutes
Déterminer les progressions géométriques de sept termes (réels) telles que la somme des trois
premiers termes est égale à 2 et la somme des trois derniers termes est égale à 1 250.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 11
1 − q n+1
.
Démontrer que ∀n ∈ N et q 6= 1, 1 + q + q + · · · + q =
1−q
2
5 minutes
n
E XERCICE 12
5 minutes
Calculer la somme des cent premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u 0 = 2
1
et de raison q = .
2
E XERCICE 13
10 minutes
Le jeudi 8 septembre 2022, Matt promet à Tom de lui donner tous les jeudis du chocolat pour
son aide précieuse en mathématiques. Le 8 septembre, il lui offre un carré et dit qu’il doublera
la quantité toutes les semaines.
Soit c n le nombre de carrés reçus par Tom la n-ième semaine. On pose c 1 = 1.
1. Exprimer c n+1 en fonction de c n . En déduire la nature de la suite (c n ).
2. En déduire c n en fonction de n.
3. Soit S n le nombre total de carrés de chocolat reçus par Tom depuis le 8 septembre. Exprimer
S n en fonction de n.
4. Combien de tablettes de chocolat, au total, Matt aura-t-il donné à Tom le 29 décembre 2022
s’il respecte sa promesse ? (Les tablettes de chocolat de Matt ont 24 carrés).
E XERCICE 14
10 minutes
Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 , S n = u 0 + u 1 + · · · + u n .
n(n + 1)
.
1. Démontrer que S n = (n + 1)u 0 + r
2
u0 + un
.
2. En déduire que S n = (n + 1)
2
E XERCICE 15
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 200 et u n+1 = 0, 8u n + 3.
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. Vérifier que la suite (u n ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
3. Soit (v n ) la suite définie par v n = u n − 15.
10 minutes
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
premier terme.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
10
b. En déduire v n en fonction de n.
c. Exprimer u n en fonction de n.
E XERCICE 16
Soit (u n ) la suite définie par u 1 = 0 et u n+1 = 2u n − 7.
10 minutes
1. Calculer u 2 et u 3 .
2. Vérifier que la suite (u n ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
3. Soit (v n ) la suite définie par v n = u n − 7.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
premier terme.
b. En déduire v n en fonction de n.
c. Exprimer u n en fonction de n.
E XERCICE 17
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 2 et u n+1 = 0, 9u n + 3
10 minutes
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. Vérifier que la suite (u n ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
3. Soit (v n ) la suite définie par v n = u n + a.
a. Déterminer la valeur de a pour que la suite (v n ) soit une suite géométrique dont on
donnera la raison et le premier terme.
b. En déduire v n en fonction de n.
c. Exprimer u n en fonction de n.
E XERCICE 18
On considère la progression géométrique 1, 3, 9, 27, 81.
10 minutes
1. Quelle est la valeur du terme de rang n ?
2. Montrer que les différences entre deux termes successifs forment une progression géométrique.
3. Cette propriété peut-elle être généralisée ?
E XERCICE 19
10 minutes
Math s’entraîne 10 minutes à la première séance puis augmente la durée de 10% à chaque
séance. Soit u n la durée d’entraînement de la n ème séance.
1. Déterminer u n en fonction de n.
2. Sachant que son objectif est de courir 2 heures 30, à quelle séance, Maths atteindra-t-il son
objectif ?
3. Quel sera alors le temps total d’entraînement de Math pour atteindre son objectif ?
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
11
1.1.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 20
Soit (u n ) et (v n ) les suites définies, pour tout n ∈ N par :
10 minutes
u 0 = 1, u 1 = 3 et u n+2 = 2u n+1 − u n , v n = u n+1 − u n .
1.
2.
3.
4.
Démontrer que la suite (v n ) est stationnaire.
En déduire que la suite (u n ) est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer u n en fonction de n.
Calculer la somme S n = u 0 + u 2 + · · · + u n .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 21
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 2 et u n+2 = 6u n+1 − 5u n
où a et b sont deux réels (b 6= 0).
15 minutes
E XERCICE 22
10 minutes
1.
2.
3.
4.
Calculer u 2 , u 3 et u 4 .
Résoudre l’équation x 2 = 6x − 5.
Déterminer deux réels A et B tels que u n = A × 5n + B .
En déduire u 10 .
1
On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 et, ∀n ∈ N u n+1 = u n + 4.
3
On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = u n − 6.
1. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n . Quelle est la nature de
la suite (v n ) ?
µ ¶n
1
+ 6.
2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, u n = −5
3
3. Etudier la convergence de la suite (u n ).
E XERCICE 23
15 minutes
un + 6
Une suite (u n ) est définie par son premier terme u 1 et la relation de récurrence u n+1 =
.
un + 2
1. Montrer qu’il existe deux valeurs a et b de u 1 (a < b) pour lesquelles la suite est constante.
2. Montrer que si u 1 6= a et u 1 6= b, il en est de même de u n .
un − a
u n+1 − a
en fonction de
.
Dans ces conditions, calculer
u n+1 − b
un − b
un − a
3. En déduire que la suite (v n ) définie par v n =
est géométrique.
un − b
4. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
E XERCICE 24
20 minutes
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle
atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à
1
. Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer
3
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
12
4
. On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la
5
cible que de la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :
A n : « Alice atteint la cible au n e coup »,
B n : « Alice rate la cible au n e coup ».
On pose p n = P (A n ).
Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.
4
1. Déterminer p 1 et montrer que p 2 = .
15
2
1
2. Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, p n =
p n−1 + .
15
5
3
3. Pour n > 1 on pose u n = p n − . Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique, dont
13
on précisera le premier terme u 1 et la raison q.
4. Ecrire u n puis p n en fonction de n.
5. Déterminer lim p n , interpréter ce résultat.
suivant est égale à
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+ ∞
E XERCICE 25
10 minutes
On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, ∀n ∈ N∗ : nw n = (n +1)w n−1 +1 et w 0 = 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.
w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
w9
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
1. Détailler le calcul permettant d’obtenir w 10 .
2. Donner la nature de la suite (w n ). Calculer w 2009.
E XERCICE 26
Soit (u n ) la suite définie pour tout n > 2 par la relation (E ) : u n = 5u n−1 − 6u n−2 .
10 minutes
1. On donne la suite géométrique u n = r n . Montrer qu’il existe deux valeurs de r telles que la
suite vérifie la relation (E ).
On notera ces deux suites (a n ) et (b n ).
2. Montrer qu’il existe deux réels α et β tels que u 0 = αa 0 + βb 0 et u 1 = αa 1 + βb 1 .
3. Montrer que ∀n ∈ N, u n = αa n + βb n .
E XERCICE 27
10 minutes
Après ses trois entretiens d’embauche, Bob a reçu trois propositions, pour une embauche le 1er
juillet 2017 :
• L’entreprise A lui propose un salaire mensuel de 1 300 ( et une augmentation de 100 (
chaque 1er juillet.
• L’entreprise B lui propose un salaire mensuel de 1 400 ( et une augmentation de 5% chaque
1er juillet.
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
13
• L’entreprise C lui propose un salaire mensuel de 1 500 ( et une augmentation de 2% plus
30 ( chaque 1er juillet.
1. On désigne par a 0 le salaire de départ de Bob s’il choisit l’entreprise A.
a.
b.
c.
d.
Déterminer a 0 et a 1 .
Exprimer a n+1 en fonction de a n et en déduire la nature de la suite (a n ).
En déduire une expression de a n en fonction de a 0 et de n.
Soit (A n ) la suite représentant la somme de tous les salaires que Bob aura perçu du 1er
juillet 2017 au 31 juin de l’année 2017 + n, s’il choisit l’entreprise A.
Montrer que A n = 600(n + 1)(n + 26)
s
a
r
u
D
I
F
L
2. On désigne par b 0 le salaire de départ de Bob s’il choisit l’entreprise B .
a.
b.
c.
d.
Déterminer b 0 et b 1 .
Exprimer b n+1 en fonction de b n et en déduire la nature de la suite (b n ).
En déduire une expression de b n en fonction de b 0 et de n.
Soit (B n ) la suite représentant la somme de tous les salaires que Bob aura perçu du 1er
juillet 2017 au 31 juin de l’année 2017 + n, s’il choisit l’entreprise B .
¡
¢
Montrer que B n = 336 000 1, 05n+1 − 1 .
3. On désigne par c 0 le salaire de départ de Bob s’il choisit l’entreprise C .
a. Déterminer c 0 et c 1 .
b. Exprimer c n+1 en fonction de c n et en déduire la nature de la suite (c n ).
c. Soit (u n ) la suite définie par u n = c n +α. Déterminer la valeur de α pour que la suite (u n )
soit géométrique de raison 1, 02.
d. En déduire une expression de u n puis de c n en fonction de n.
e. Soit (C n ) la suite représentant la somme de tous les salaires que Bob aura perçu du 1er
juillet 2017 au 31 juin de l’année 2017 + n, s’il choisit l’entreprise C .
¡
¢
Montrer que C n = 1 800 000 1, 02n+1 − 1 − 18 000(n + 1).
4. En utilisant le tableur de la calculatrice et en se limitant aux 15 prochaines années, aider Bob
à choisir son entreprise en fonction du nombre d’années qu’il pense rester dans l’entreprise.
E XERCICE 28
1
3
1. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 0, u 1 = 3 et ∀n ∈ N, u n+2 = u n+1 − u n .
2
2
a. Calculer u 2 , u 3 et u 4 .
1
b. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, u n+1 = u n + 3.
2
15 minutes
1
c. Dans un repère orthonormé tracer les droites d’équations y = x et y = x + 3.
2
Placer u 0 , en utilisant ces deux droites, placer u 1 , u 2 et u 3 sur l’axe des abscisses.
Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
2. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n − 6.
a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme
et la raison.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
14
b. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
c. En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
E XERCICE 29
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 5 et ∀n ∈ N, par u n+1 =
On admet que u n+1 − 1 =
3 (u n − 1)
.
un + 2
Pour tout entier naturel n, on pose v n =
10 minutes
4u n − 1
.
un + 2
1
.
un − 1
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de raison
2. Pour tout entier naturel n, exprimer v n puis u n en fonction de n.
3. En déduire la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 30
La suite (u n ) est définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1
v n = 4u n − 8n + 24.
1
.
3
10 minutes
1
= u n + n − 1. On définit la suite (v n ) par
2
1. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le
premier terme.
µ ¶n
1
2. Démontrer que ∀n ∈ N, u n = 7
+ 2n − 6.
2
¡ ¢
3. Vérifier que ∀n ∈ N, u n = x n + y n où (x n ) est une suite géométrique et y n une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.
n
X
u k en fonction de n.
4. En déduire l’expression de S n =
k=0
E XERCICE 31
Un site internet propose un jeu en ligne :
•
•
15 minutes
si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à
2
;
5
4
si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à .
5
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G n l’évènement « l’internaute gagne la nième partie » et on note p n la probabilité de l’évènement G n .
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p 1 = 1.
1. Compléter l’arbre pondéré suivant :
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
pn
...
G n+1
...
G n+1
...
G n+1
...
G n+1
15
Gn
1 − pn Gn
1
1
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = p n + .
5
5
1
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u n = p n − .
4
1
a. Montrer que (u n )n∈N est une suite géométrique de raison et de premier terme u 1 à
5
préciser.
µ ¶n−1
1
1
3
+ .
b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n = ×
4
5
4
c. Déterminer la limite de p n .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 32
20 minutes
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La
1
probabilité que la première cible soit atteinte est .
2
3
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est .
4
1
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est .
2
On note, pour tout entier naturel n non nul :
•
•
•
•
A n l’évènement : « la n-ième cible est atteinte ».
A n l’évènement : « la n-ième cible n’est pas atteinte ».
a n la probabilité de l’évènement A n
b n la probabilité de l’évènement A n .
1. Donner a 1 et b 1 .
2. Calculer a 2 et b 2 . On pourra utiliser un arbre pondéré.
1
3
3. Montrer que, pour tout n ∈ N, n > 1 : a n+1 = a n + b n ,
4
2
1
1
puis : a n+1 = a n +
4
2
2
4. Soit (u n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ , par u n = a n − .
3
a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier
terme u 1 .
b. Exprimer u n en fonction de n, puis de a n en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite (a n ).
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
16
d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : a n > 0, 6665.
E XERCICE 33
20 minutes
1. Soit deux urnes U1 et U2 , la première contient 6 boules blanches et 4 boules noires, la seconde contient 8 boules blanches et 2 boules noires.
De l’une des deux urnes, choisie au hasard (il y a équiprobabilité pour ce choix), on extrait
une boule que l’on remet dans l’urne :
• si la boule est blanche on recommence le tirage dans la même urne ;
• si la boule est noire on recommence le tirage dans l’autre urne.
Cette règle est appliquée à chaque tirage et l’on suppose qu’à l’intérieur de chaque urne les
tirages sont équiprobables.
Soit P n la probabilité pour que le n i ème tirage se fasse dans l’urne U1 .
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer P 1 .
b. Déterminer P 2 : on se rappellera que le second tirage s’est fait dans U1 soit parce que
le premier tirage a été une boule blanche dans U1 , soit parce que le premier tirage a été
une boule noire dans U2 .
c. Démontrer qu’il existe une relation de récurrence vérifiée par la suite (P n ) de la forme :
∀n > 2, P n = aP n−1 + b, où a et b sont des réels que l’on déterminera.
2
1
1
2. Soit la suite (u n ) définie par u 1 = et ∀n > 2, u n = u n−1 + .
2
5
5
a. Déterminer le réel α tel que la suite (v n ) définie pour tout n ∈ N⋆ par v n = u n − α soit
géométrique.
b. En déduire une expression de u n puis de u n en fonction de n.
c. En déduire la valeur de P 10 arrondi au millième.
E XERCICE 34
9
On considère la fonction f définie sur ] − ∞ ; 6[ par f (x) =
6−x
½
u0
= −3
On définit pour tout entier naturel n la suite (u n ) par
u n+1 = f (u n )
1
.
On considère la suite (v n ) définie par : ∀ n ∈ N, v n =
un − 3
1
1. Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de raison − .
3
2. Déterminer v n puis u n en fonction de n.
3. Calculer la limite de la suite (u n ).
10 minutes
E XERCICE 35
10 minutes
Etant donné un réel α, on considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 ∈ R et ∀n ∈ N,
2
u n+1 = u n + 3, v n = u n + α.
5
1. Calculer v n+1 en fonction de v n et α. Comment choisir α pour que la suite (v n ) soit géométrique ?
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
17
2. On suppose la suite (v n ) géométrique, exprimer alors u n en fonction de u 0 et n. En déduire
la limite de u n lorsque n tend vers +∞.
E XERCICE 36
20 minutes
1
Soit (u n ) et (v n ) les suites définies pour tout n ∈ N par : u 0 = 9, u n+1 = u n − 3, v n = u n + 6.
2
1. a. Montrer que la suite (v n ) est géométrique à termes positifs.
n
X
b. Calculer la somme S n =
v k en fonction de n.
k=0
n
X
s
a
r
u
D
I
F
L
c. En déduire la somme
S n′
=
uk .
k=0
d. Déterminer lim S n et lim S n′ .
n→+∞
n→+∞
2. On définit la suite (w n ) , pour tout n ∈ N, par w n = ln (v n ).
a. Montrer que la suite (w n ) est arithmétique.
n
X
w k en fonction de n.
b. Calculer la somme S"n =
c. Déterminer lim S"n .
k=0
n→+∞
3. a. Calculer le produit P n = v 0 · v 1 · v 2 · · · v n en fonction de n.
b. En déduire lim P n .
n→+∞
E XERCICE 37
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et ∀n > 1, u n+1 = 10u n − 9u n−1 .
15 minutes
1. Calculer u 2 , u 3 et u 4 .
2. On pose, pour tout n ∈ N, v n = u n+1 − u n .
a. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b. Calculer v n , puis u n en fonction de n.
c. En déduire la limite de u n lorsque n tend vers +∞.
n
X
3. Calculer, en fonction de n, la somme S n =
uk .
k=0
E XERCICE 38
30 minutes
On définit une suite (u n ) par la donnée des deux premiers termes u 1 et u 2 et la relation de
récurrence : u n+1 = au n + bu n−1 (1)
a et b étant deux réels donnés non nuls.
1. Calculer u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 en fonction de u 1 , u 2 , a et b.
2. On suppose a 2 + 4b > 0
a. Montrer qu’il existe deux réels distincts α et β tels que α + β = a et αβ = −b.
b. Montrer que la suite (v n ) définie, pour n > 1, par v n+1 = u n+1 − αu n est une suite géométrique de raison β.
c. Qu’en déduit-on pour la suite (w n ) définie par w n+1 = u n+1 − βu n ?
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
18
d. Exprimer v n+1 et w n+1 en fonction de u 1 , u 2 , α, β et n.
e. En déduire l’expression de u n+1 en fonction de u 1 , u 2 , α, β et n.
E XERCICE 39
Partie A
30 minutes
(a + 2)x
, a étant un paramètre réel différent de −2 et 2.
x +2−a
³ →
− →
−´
On appelle Ca la courbe représentative de f a dans le repère orthonormé O, ı ,  .
Soit f a la fonction définie par f a (x) =
1. Montrer que toutes les courbes Ca passent par deux points indépendants de a.
2. Etudier les variations de f a .
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
Dans cette partie, on suppose que a appartient à l’intervalle I = [0 ; 2[.
Soit (u n ) la suite définie par u 0 ∈ [0 ; 2a] et ∀n ∈ N, u n+1 = f a (u n ).
1. a. Vérifier que la suite (u n ) est définie pour tout n ∈ N.
b. Que peut-on dire de la suite (u n ) si u 0 = 0 ou u 0 = 2a ?
2. On suppose que u 0 est différent de 0 et 2a (par suite a différent de 0).
a. Montrer que ∀n ∈ N, u n 6= 0 et u n 6= 2a.
un
.
u n − 2a
Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de
a.
c. Etudier l’existence et la valeur de la limite de la suite (v n ), en déduire l’existence et la
valeur de la imite de la suite (u n ).
b. Soit (v n ) la suite définie par : ∀n ∈ N, v n =
E XERCICE 40
10 minutes
2a n + b n
On définit les suites (a n ) et (b n ) par a 0 = 0, b 0 = 12 et pour tout entier naturel n, a n+1 =
3
a n + 3b n
et b n+1 =
.
4
On considère la suite (u n ) définie, pour tout entier naturel n, par u n = b n − a n .
1. Montrer que la suite (u n ) est géométrique. En préciser la raison.
2. Donner l’expression de u n en fonction de l’entier naturel n.
3. Déterminer la limite de (u n ).
E XERCICE 41
On considère la suite de nombres réels (u n ) définie sur N par :
u 0 = −1, u 1 =
1
1
et, pour tout entier naturel n, u n+2 = u n+1 − u n .
2
4
1. Calculer u 2 et en déduire que la suite (u n ) n’est ni arithmétique ni géométrique.
1
2. On définit la suite (v n ) en posant, ∀n ∈ N : v n = u n+1 − u n .
2
a. Calculer v 0 .
30 minutes
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
19
b. Exprimer v n+1 en fonction de v n . En déduire la nature de la suite (v n ).
c. Exprimer v n en fonction de n.
un
.
3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : w n =
vn
a. Calculer w 0 .
1
b. En utilisant l’égalité u n+1 = v n + u n , exprimer w n+1 en fonction de u n et de v n .
2
c. En déduire la nature de la suite (w n ).
d. Exprimer w n en fonction de n.
2n − 1
.
4. Montrer que pour tout entier naturel n ; u n =
2n
k=n
X
5. Pour tout entier naturel n, on pose : S n =
uk = u0 + u1 + · · · + un .
s
a
r
u
D
I
F
L
k=0
Démontrer par récurrence que pour tout n de N : S n = 2 −
2n + 3
.
2n
E XERCICE 42
Soit u la suite définie par u 0 = 2 et, ∀n ∈ N, par u n+1 = 2u n + 2n 2 − n.
On considère également la suite v définie, ∀n ∈ N, par v n = u n + 2n 2 + 3n + 5.
10 minutes
1. Voici un extrait de feuille de tableur :
1
2
3
4
5
6
7
A
n
0
1
2
3
4
B
u
2
4
9
24
63
C
v
7
14
28
56
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher
les termes des suites u et v ?
2. Déterminer, en justifiant, une expression de v n et de u n en fonction de n uniquement.
E XERCICE 43
20 minutes
1
1
1
1. Soit la suite (u n ) définie par u 1 = et par la relation de récurrence : u n+1 = u n + .
2
6
3
2
a. Soit la suite (v n ) définie pour n > 1 par v n = u n − . Montrer que (v n ) est une suite
5
géométrique dont on précisera la raison.
b. En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de u n .
2. On considère deux dés, notés A et B . Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces
blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
20
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on
obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite.
On désigne par A n l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par A n l’évènement
contraire de A n , par R n l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par R n l’évènement contraire de R n , par a n et r n les probabilités respectives de A n et R n .
a. Déterminer a 1 .
b. Déterminer r 1 . Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre.³
´
c. En remarquant que, pour tout n > 1, R n = (R n ∩ A n ) ∪ R n ∩ A n ,
1
2
montrer que r n = − a n + .
6
3
´
³
d. Montrer que, pour tout n > 1, A n+1 = (A n ∩ R n ) ∪ A n ∩ R n .
1
1
e. En déduire que, pour tout n > 1, a n+1 = a n + , puis déterminer l’expression de a n en
6
3
fonction de n.
f. En déduire l’expression de r n en fonction de n puis la limite de r n quand n tend vers
+∞.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 44
20 minutes
2
n
1. Calculer la somme de la progression géométrique A n = 1 + x + x + · · · + x .
2. En déduire la somme A ′n = 1 + 2x + 3x 2 + · · · + nx n−1 .
3. Obtenir également des expressions des sommes suivantes :
a. Un = 1 + 3x 2 + 5x 4 + · · · + (2n + 1)x 2n .
b. Wn = 1 + 4x + 9x 2 + 16x 3 + · · · + n 2 x n−1 .
E XERCICE 45
20 minutes
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1, u 1 = 5, 5 et ∀n ∈ N, u n+2 − u n+1 + 0, 25u n = 0 (1).
1. Déterminer le réel a tel que la suite (v n ) définie pour tout n ∈ N par v n+1 = u n+1 + au n soit
géométrique.
2. Déterminer une expression de u n en fonction de n.
3. Déterminer le plus petit entier n tel que u n < 10−6 .
E XERCICE 46
20 minutes
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = a et ∀n ∈ N, u n+2 = pu n+1 −(p−1)u n où p ∈ R+ \{0, 1, 2}.
1. On pose ∀n ∈ N, w n = u n+1 − u n . Montrer que la suite (w n ) est géométrique et exprimer w n
en fonction de p, n, a.
2. On pose ∀n ∈ N, t n = u n+1 − (p − 1)u n . Montrer que la suite (t n ) est constante et exprimer t n
en fonction de a.
3. Exprimer u n en fonction de w n et t n , puis en fonction de p, n, a.
1.1. SUITES ARITHMÉTIQUES - SUITES GÉOMÉTRIQUES
21
E XERCICE 47
20 minutes
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par p k la
probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 1 6 k 6 6).
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
• les six faces ne sont pas équiprobables,
• les nombres p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 , dans cet ordre, sont six termes consécutifs d’une suite
arithmétique de raison r ,
• les nombres p 1 , p 2 , p 4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
k
pour tout entier k tel que 1 6 k 6 6.
21
2. On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer que : p k =
— A : « le nombre obtenu est pair »
— B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 »
— C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».
a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements.
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est
pair.
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Les événements A et C sont-ils indépendants ?
E XERCICE 48
10 minutes
Soit a, b et c trois réels distincts, avec a 6= 0.
Sachant que a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique et que les trois
nombres 3a, 2b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, calculer la raison
de la suite géométrique.
E XERCICE 49
10 minutes
¡
¢
Déterminer les couples u 0 , q , d’entiers positifs premiers entre eux, sachant que les termes de
la suite géométrique u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , de raison q, vérifient l’égalité u 1 + 2u 3 = 44u 02 .
E XERCICE 50
Soit (u n ) la suite définie par u 1 = 1 et ∀n > 2, u n = e a · u n−1 + b ;
a et b sont deux réels (b 6= 0).
10 minutes
1. Pour quelles valeurs de a et de b la suite (u n ) est arithmétique ? géométrique ?
Calculer dans chacun des cas la somme des n premiers termes de la suite.
2. Les valeurs particulières de a et b obtenues à la question précédente étant exclues, on consib
.
dère la suite (v n ) définie, pour tout n ∈ N⋆ , par v n = u n −
1 − ea
Démontrer que la suite (v n ) est géométrique.
Exprimer v n , puis u n en fonction de n.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
22
1.2 Démonstration par récurrence
1.2.1 Point de cours
Principe : pour montrer qu’une propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n > n 0 (n 0
entier naturel donné), on procède en trois étapes.
1. Initialisation : on vérifie que la propriété Pn0 est vraie.
2. Hérédité : on suppose que la propriété Pn est vraie à un rang n > n 0 (hypothèse de récurrence) et on montre que, sous cette hypothèse, la propriété P n+1 est vraie.
3. Conclusion : la propriété Pn est vraie au rang n 0 et est héréditaire, donc la propriété Pn
est vraie pour tout entier naturel n > n 0 .
s
a
r
u
D
I
F
L
1.2.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 51
p
On considère la suite (u n ) définie sur N par u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 = 7u n .
Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, 0 6 u n 6 7.
5 minutes
E XERCICE 52
Soit la suite (u n ) définie sur N∗ par u 1 = 1 et ∀n ∈ N∗ , u n+1 = 0, 8u n + 0, 05.
Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , u n > 0, 25.
5 minutes
E XERCICE 53
5 minutes
E XERCICE 54
Soit k un entier strictement positif.
5 minutes
1
23
On considère la suite (u n ) définie sur N par u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + .
3
27
23
Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, u n > .
18
Démontrer par récurrence que : ∀n > k,
kn
kk
6 .
n!
k!
E XERCICE 55
Soit la suite (u n ) définie sur N par u 0 = a et ∀n ∈ N, u n+1 = u n (2 − u n )
avec a réel donné tel que 0 < a < 1.
Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, 0 < u n < 1.
E XERCICE 56
Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul,
1. 1 × 2 + 2 × 3 + · · · + n × (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
n(n + 1)
.
2
n(n + 1)(2n + 1)
3. 1 + 22 + · · · + n 2 =
.
6
2. 1 + 2 + · · · + n =
5 minutes
15 minutes
1.2. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE
µ
n(n + 1)
4. 1 + 2 + 3 + · · · + n =
2
3
3
3
¶2
23
.
E XERCICE 57
5 minutes
µ ¶n
n −1
2
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n > 2 par u n =
.
×
4
3
On pose S n = u 2 + u 3 + · · · + u n .
³n
´ µ 2 ¶n
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 2, on a S n = 1 −
+1 ×
2
3
E XERCICE 58
Démontrer par récurrence l’inégalité : soit un réel a > 0, ∀n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na
5 minutes
E XERCICE 59
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 5, 2n > n 2 .
5 minutes
E XERCICE 60
Soit Pn la propriété : « ∀n ∈ N, 7n + 1 est divisible par 6 ».
5 minutes
E XERCICE 61
1
Soit la suite numérique (u n ) définie sur N par u 0 = 2 et u n+1 = u n + 3 × 0, 5n .
5
15
n
∗
× 0, 5 .
Démontrer, par récurrence, que ∀n ∈ N on a u n >
4
5 minutes
E XERCICE 62
Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, 3n+6 − 3n est divisible par 7.
5 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer que Pn est héréditaire.
2. Calculer A = 7n + 1 pour n = 0, n = 1.
3. Conclure.
1.2.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 63

 u0
= 0
10 minutes
1
.
2 − un
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 . On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
2. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w
n
.
définie sur N par w n =
n +1
3. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, ∀n ∈ N, u n = w n .
Soit u la suite définie pour tout n ∈ N par :
 u n+1
=
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
24
E XERCICE 64
5 minutes
¢
1
1¡
et pour tout n ∈ N⋆ , p n+1 = 1 − p n .
3
3
µ
µ
¶ ¶
1
1 n
1. Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel n > 0, on a p n =
1− −
.
4
3
2. Déterminer lim p n .
On considère la suite (p n ), définie par : p 1 =
n→+∞
E XERCICE 65
15 minutes
1
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 3 et ∀n > 0, u n = u n−1 − 4.
3
1. Montrer par récurrence que la différence de deux termes consécutifs est de signe constant.
En déduire le sens de variation de cette suite.
2. Soit (v n ) la suite définie sur N par v n = u n + 6.
Démontrer que la suite (v n ) est géométrique et déterminer une expression de (v n ) en fonction de n.
3. Ecrire une fonction en Python permettant de déterminer le plus petit élément n 0 ∈ N tel que
n > n 0 =⇒ u n < −5, 99.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 66
15 minutes
n
X
4
1
uk .
On définit les suites (u n ) et (S n ) par : u 0 = 13 et, ∀n ∈ N, u n+1 = u n + et S n =
5
5
k=0
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n = 1 +
2. En déduire la limite de la suite (u n ).
3. a. Déterminer le sens de variation de la suite (S n ).
b. Calculer S n en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite (S n ).
12
.
5n
E XERCICE 67
20 minutes
1
On considère la suite (u n )n∈N définie par : u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + n − 2.
3
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n > 4, u n > 0.
b. En déduire que pour tout entier naturel n > 5, u n > n − 3.
c. En déduire la limite de la suite (u n )n∈N .
21
3. On définit la suite (v n )n∈N par : pour tout n ∈ N, v n = −2u n + 3n − .
2
a. Démontrer que la suite (v n )n∈N est une suite géométrique dont on donnera la raison et
le premier terme.
µ ¶
25 1 n 3
21
b. En déduire que : pour tout n ∈ N, u n =
+ n− .
4 3
2
4
n
X
c. Soit la somme S n définie pour tout entier naturel n par : S n =
uk .
Déterminer l’expression de S n en fonction de n.
k=0
1.2. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE
E XERCICE 68
On considère la suite (u n )n∈N définie par : u 0 = 5
25
20 minutes
¶
6
2
u n−1 + .
et ∀n ∈ N , u n = 1 +
n
n
∗
µ
1. a. Calculer u 1 .
b. Les valeurs de u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 , u 8 , u 9 , u 10 , u 11 sont respectivement égales à : 45, 77,
117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
A partir de ces données conjecturer la nature de la suite (d n )n∈N définie par
d n = u n+1 − u n .
2. On considère la suite arithmétique (v n )n∈N de raison 8 et de premier terme v 0 = 16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n 2 + 12n.
3. Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, u n = 4n 2 + 12n + 5.
4. Valider la conjecture émise à la question 1. b.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 69
25 minutes
2x + 1
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f (x) =
.
x +1
1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si x ∈ [1 ; 2] alors f (x) ∈ [1 ; 2].
2. (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par :
u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ).
v 0 = 2 et pour tout entier naturel n, v n+1 = f (v n ).
a. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :
i.
ii.
iii.
iv.
Pour tout entier naturel n,
Pour tout entier naturel n,
Pour tout entier naturel n,
Pour tout entier naturel n,
1 6 v n 6 2.
v n+1 6 v n .
1 6 u n 6 2.
u n 6 u n+1 .
v n − un
.
(v n + 1) (u n + 1)
1
c. En déduire que pour tout n ∈ N, v n − u n > 0 et v n+1 − u n+1 6 (v n − u n ).
4
µ ¶n
1
.
d. Montrer que pour tout entier naturel n, v n − u n 6
4
e. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel α.
f. Déterminer la valeur exacte de α.
b. Montrer que pour tout entier naturel n, v n+1 − u n+1 =
E XERCICE 70
20 minutes
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 3u n − 2n + 3.
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n > n.
b. En déduire la limite de la suite (u n ).
3. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n − n + 1.
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
26
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3n + n − 1.
E XERCICE 71
p
p
On pose u = 2 + 3 et v = 2 − 3
15 minutes
1. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N⋆ , il existe deux entiers positifs a n et b n tels
p
p
que u n = a n + b n 3 et v n = a n − b n 3.
Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n .
2. Etablir les égalités a n2 − 3b n2 = 1 et a n · b n+1 − a n+1 · b n = 1.
☛ Pour les options maths expertes
a n a n+1
b n+1
En déduire que les fractions
,
et
sont irréductibles.
bn an
bn
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 72
p
Soit (v n ) la suite définie par v 0 = 1 et ∀n ∈ N, v n+1 = 12 + v n .
15 minutes
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < v n < 4.
1
2. On pose w n = 4 − v n . Démontrer que w n+1 < w n .
µ4 ¶n+1
1
3. Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, w n <
w 0.
4
4. En déduire la limite de w n , puis celle de v n , lorsque n tend vers l’infini.
1.3 Limites de suites
1.3.1 Point de cours
Suites de référence
•Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par u n =
1
1
1
1
, v n = 2 , w n = 3 et t n = p
n
n
n
n
ont pour limite 0.
p
• Les suites définies sur N par u n = n, v n = n 2 , w n = n 3 et t n = n ont pour limite +∞.
Limites et comparaison : soit (u n ) et (v n ) deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à
un certain entier naturel n 0 :
• u n 6 v n et lim u n = +∞, alors lim v n = +∞.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
• u n 6 v n et lim v n = −∞, alors lim u n = −∞.
Théorème d’encadrement dit « Théorème des gendarmes » : soient les suites (u n ), (v n ) et (w n ).
Si pour tout entier naturel n supérieur à un certain entier naturel n 0 , v n 6 u n 6 w n et si les
suites (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite ℓ, alors la suite (u n ) converge vers ℓ.
1.3. LIMITES DE SUITES
27
Limite d’une somme
limite de (u n )
limite de (v n )
limite de (u n + v n )
ℓ
ℓ′
ℓ + ℓ′
ℓ ou +∞
+∞
+∞
ℓ ou −∞
−∞
−∞
+∞
−∞
B
Limite d’un produit
limite de (u n )
limite de (v n )
limite de (u n v n )
ℓ
ℓ′
ℓℓ′
ℓ 6= 0
∞
∞
∞
∞
∞
0
∞
B
s
a
r
u
D
I
F
L
Limite d’un quotient
limite de (u n )
ℓ
ℓ
limite de (v n )
ℓ′ 6= 0
∞
ℓ
ℓ′
0
µ
un
limite de
vn
¶
ℓ 6= 0 ou ∞
0 en gardant un
signe constant à partir
d’un certain rang
∞
∞
±∞
0
ℓ′ 6= 0
±∞
0
∞
B
B
n
Limite de la suite q : soit q un nombre réel.
Si q > 1 alors lim q n = +∞ ;
si −1 < q < 1 alors lim q n = 0 ;
n→+∞
Si q = 1 alors lim q n = 1.
n→+∞
n→+∞
1.3.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 73
10 minutes
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite de terme général u n .
2
4n − 2
3. u n =
5. u n =
1. u n = 2n 2 + 3n − 3
n +2
n +8
¢
1¡
3n 2 + 2
2. u n = n 2 − n + 1
6.
u
=
2 − 3n + 8n 2
4. u n =
n
n
n +3
E XERCICE 74
5 minutes
E XERCICE 75
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et pour tout n ∈ N, u n+1 = u n2 + 1.
5 minutes
(−1)n sin n
.
La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n > 1 par u n =
n3
1
1
1. Démontrer que pour pout n > 1, − 3 6 u n 6 3 .
n
n
2. En déduire la limite de la suite (u n ).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 4, u n > 2n .
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
28
2. En déduire la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 76
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite de terme général u n .
p
(−1)n
3. u n = n 2 − n 3 + 7
1. u n = 2 +
cos n
n p
p
4. u n =
2. u n = 2n + 1 − 2n − 1
n2
10 minutes
E XERCICE 77
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite
µ de¶nterme général u n .
µ ¶n
14
2n + 3n
3
3. u n = −5
5. u n =
1. u n = 2
15
5n n
n
4
n
7
−2
2
6. u n =
2. u n = 2n+1
4. u n = n
5n
3
10 minutes
E XERCICE 78
p
La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par u n = 5n + 2.
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Quel est le rôle de l’algorithme ci-dessous ?
p
U ←− 2
Tant que U 6 A
p
U ←− 5N + 2
N ←− N + 1
Fin du Tant que
2. Coder l’algorithme dans le langage Python, puis l’exécuter en saisissant en entrée A = 20,
puis A = 50.
3. Quelle conjecture peut-on émettre quant à la limite de la suite (u n ) ?
4. Démontrer, à l’aide de la définition, cette conjecture.
E XERCICE 79
10 minutes
n 1
X
.
1. Déterminer la limite de la suite (S n ) définie pour tout entier n > 1 par S n =
k
k=1 2
n µ 1 ¶k
X
2. Déterminer la limite de la suite (Tn ) définie pour tout entier naturel n par Tn =
−
.
2
k=0
E XERCICE 80 : Q. C. M.
On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ) vérifiant : ∀n ∈ N∗ : u n 6 v n 6 w n .
1. Si la suite (v n ) tend vers −∞, alors :
a. la suite (w n ) tend vers b. la suite (u n ) tend vers
−∞
−∞
2. Si w n = 2u n et lim u n = ℓ avec (ℓ > 0), alors :
c. la suite (w n ) n’a pas de
limite
n→+∞
a.
lim v n = ℓ
n→+∞
b. On ne peut rien dire sur
la limite de (v n )
10 minutes
c.
lim w n = ℓ
n→+∞
1.3. LIMITES DE SUITES
29
1
, alors :
n
a. On ne peut rien dire sur b. lim v n = −2
n→+∞
la convergence de la suite
(v n )
3. Si lim u n = −2 et w n = u n +
n→+∞
2n 2 + 3
2n 2 − 1
et
w
=
, alors :
n
n2
n2
a. lim w n = 0
b. lim u n = +∞
4. Si u n =
c. La suite (v n ) n’a pas de
limite
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
n→+∞
c.
lim v n = 2
n→+∞
E XERCICE 81
15 minutes
On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies sur N. Démontrer ou invalider par un contreexemple chaque affirmation.
Affirmation 1
Si lim u n = +∞ et si lim v n = −∞ alors lim (u n + v n ) = 0.
Affirmation 2
Si (u n ) converge vers un réel non nul et si
lim v n = +∞,
Affirmation 3
Affirmation 4
¢
¡
alors la suite u n, × v n ne converge pas.
Si (u n ) converge vers un réel non nul, si (v n ) est positive
µ ¶
un
et si lim v n = 0, alors la suite
ne converge pas.
vn
µ ¶
un
Si (u n ) et (v n ) convergent alors la suite
converge.
vn
E XERCICE 82
15 minutes
1. Restitution organisée des connaissances
Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini.
Démontrer le théorème de comparaison suivant :
Si (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N telles que :
(1) à partir d’un certain rang, u n > v n
(2) lim v n = +∞
n→+∞
alors lim u n = +∞.
n→+∞
1
2. La suite (u n ) est définie par u 0 = 1 et pour tout n ∈ N, u n+1 = u n + n − 1.
2
a. Vérifier que : u 1 = −0, 5 et u 2 = −0, 25.
b. Calculer u 3 .
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
30
c. On admet que pour tout n > 3, u n > 0.
En déduire que pour tout n > 4, u n > n − 2.
d. En déduire la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 83
2
Soit la suite (u n ) définie pour tout n ∈ N par u n =
.
(2n + 1)(2n + 3)
b
a
+
.
1. Déterminer deux réels a et b tels que ∀n ∈ N, u n =
2n + 1 2n + 3
n
X
2. En déduire une expression simple de la somme S n =
uk .
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Déterminer la limite de S n lorsque n tend vers +∞.
k=0
E XERCICE 84
Déterminer,
si p
elle ¶existe, la limite des
¶ un :
µ suites
µ
1
2n + (−1)n n
2. n sin
1.
n n>0
n +1
n∈N
15 minutes
µp ¶
n
3.
ln n n>1
1.3.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 85
Soit a un réel strictement positif différent de 1.
La suite (u n ) est définie par u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 =
1. Démontrer que pour tout n ∈ N, u n > 0.
10 minutes
1 + au n
.
a + un
2. Vérifier que la suite (v n ) définie, pour tout n ∈ N, par v n =
a −1
.
a +1
3. Etudier la limite de la suite (v n ).
4. En déduire la limite de la suite (u n ).
de raison
un − 1
est une suite géométrique
un + 1
E XERCICE 86
20 minutes
Soit n un entier naturel non nul, on considère la fonction f n définie sur [0 ; +∞[ par :
x −n
− e−x .
f n (x) =
x +n
1. Calculer f n′ (x) et donner son signe sur [0 ; +∞[. Préciser f n (0) et lim f n (x).
x→+∞
2. Dresser le tableau de variations de f n .
3. a. Calculer f n (n) ; quel est son signe ?
b. Démontrer, par récurrence que, pour tout n de N, en+1 > 2n + 1.
c. En déduire le signe de f n (n + 1).
d. Montrer que l’équation f n (x) = 0 admet une solution unique sur [n ; n + 1] ; cette solution sera notée u n
1.3. LIMITES DE SUITES
31
4. Calculer lim u n puis lim
n→+∞
n→+∞
un
.
n
E XERCICE 87
Z1
1
20 minutes
dx.
enx + e(n−1)x
1. Calculer u 1 puis montrer que u 0 + u 1 = 1. En déduire u 0 .
Z1
e−nx dx.
2. Démontrer que, pour tout entier n : 0 6 u n 6
0
Z1
3. Calculer l’intégrale
e−nx dx. En déduire que la suite (u n ) est convergente et préciser sa
On pose, pour tout entier naturel n :
un =
0
s
a
r
u
D
I
F
L
limite.
0
E XERCICE 88
³
→
−´
On considère une droite D munie d’un repère O ; ı .
Soit (A n ) la suite de points de la droite D ainsi définie :
•
•
•
20 minutes
A 0 est le point O ;
A 1 est le point d’abscisse 1 ;
pour tout entier naturel n, le point A n+2 est le milieu du segment [A n A n+1 ].
1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 et A 6 . On prendra 10 cm
comme unité graphique.
b. Pour tout entier naturel n, on note a n l’abscisse du point A n .
Calculer a 2 , a 3 , a 4 a 5 et a 6 .
a n + a n+1
.
c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : a n+2 =
2
1
2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, a n+1 = − a n + 1.
2
2
3. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = a n − .
3
1
Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison − .
2
4. Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (a n ).
E XERCICE 89
µ
¶
1
1
1
un +
.
Soit (u n ) définie par u 0 = et ∀n ∈ N, u n+1 =
2
2
un
1. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, u n > 0.
un − 1
.
2. On pose , ∀n ∈ N, w n =
un + 1
Etablir une relation entre w n+1 et w n .
3. En déduire la limite de w n , puis de u n , lorsque n tend vers +∞.
10 minutes
E XERCICE 90
15 minutes
Soit a un réel donné. Soit (u n ) la suite définie par ses deux premiers termes : u 0 = 0 et u 1 = 1, et
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
32
par la relation ∀n ∈ N⋆ , u n+1 = au n + (1 − a)u n−1 .
Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n = u n+1 − u n .
1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. Exprimer v n en fonction de a et de n.
2. En déduire une expression de u n en fonction de a et de n.
☞ On pourra considérer les n relations v p = u p+1 − u p pour 0 6 p 6 n − 1.
3. Comment choisir a pour que la suite (u n ) admette une limite finie lorsque n tend vers +∞ ?
E XERCICE 91
20 minutes
1
Soit la suite (u n ) définie par u 1 = 2 et ∀n > 1, u n = u n−1 + 1.
4
1. Déterminer le réel α tel que la suite (v n ) définie pour tout n > 0 par v n = u n +α soit une suite
géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. En déduire la limite de la suite (u n ).
3. Calculer en fonction de n la somme S n = u 1 + u 2 + · · · + u n .
Déterminer la limite de la suite (S n ) lorsque n tend vers +∞.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 92
2
= n.
Soit la suite (u n ) définie par u 1 = 1 et ∀n > 1, n 2 u n2 − (n − 1)2 u n−1
10 minutes
1. On considère la suite (v n ) définie pour tout n > 0 par v n = n 2 u n2 .
Exprimer v n en fonction de n.
2. En déduire la limite de (u n ) lorsque n tend vers +∞.
E XERCICE 93
15 minutes
·
x2
1
; +∞ par f (x) =
.
Soit la fonction définie sur
2
2x − 1
1
1. Démontrer que, pour tout x > , f (x) > 1.
2
On peut donc définir la suite (u n ) par u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ).
On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer u n en fonction de n.
un − 1
2. On considère les suites (v n ) et (w n ) telles que, pour tout n ∈ N, v n =
et w n = ln (v n ).
un
a. Vérifier que v n et w n sont définis pour tout n ∈ N.
b. Démontrer que la suite (w n ) est une suite géométrique.
1
c. Exprimer w n , puis v n en fonction de n. En déduire que u n =
¡ 1 ¢2n .
1− 2
d. En déduire la limite de la suite (u n ).
¸
E XERCICE 94
10 minutes
Soit [AB ] un segment de longueur a. Soit M 1 le milieu de [AB ], M 2 le milieu de [B M 1 ], M 3 le
milieu de [M 1 M 2 ], M 4 le milieu de [M 2 M 3 ], M n le milieu de [M n−2 M n−1 ].
1. Calculer la longueur AM n en fonction de n.
2. Montrer que, lorsque n tend vers l’infini, M n tend vers une position limite ℓ, que l’on déterminera.
1.3. LIMITES DE SUITES
33
E XERCICE 95
20 minutes
Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première
partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la partie suivante
est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu’elle perde la partie suivante est 0, 7. On
note, pour n entier naturel ou nul :
• G n l’évènement « Juliette gagne la n-ième partie »
• P n l’évènement « Juliette perd la n-ième partie »
1. a. Déterminer les probabilités p (G 1 ) , p G 1 (G 2 ) et p P 1 (G 2 ).
b. En déduire la probabilité p (G 2 ).
c. Calculer p (P 2 ).
2. On pose, pour n entier naturel non nul, x n = p (G n ) et y n = p (P n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer pour n entier naturel non nul les probabilités p G n (P n+1 ) et p P n (G n+1 ) .
b. Montrer que pour tout n entier naturel non nul :

 x n+1 = 0, 6x n + 0, 3y n

y n+1 = 0, 4x n + 0, 7y n
3. Pour n entier naturel non nul, on pose v n = x n + y n et w n = 4x n − 3y n .
a. Montrer que la suite (v n ) est constante de terme général égal à 1.
b. Montrer que la suite (w n ) est géométrique et exprimer w n en fonction de n.
4. a. Déduire du 3. l’expression de x n en fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (x n ).
E XERCICE 96
15
+ 8.
Soit (u n ) la suite définie pour tout n ∈ N par u n+1 = −
un
20 minutes
⋆
1. Démontrer que si u 1 6= 3, on a, pour tout n ∈ N⋆ , u n 6= 3.
2. Démontrer qu’il existe un nombre rationnel α indépendant de n tel que
3. Soit t n =
u n+1 − 5
un − 5
=α
.
u n+1 − 3
un − 3
un − 5
, calculer t n , puis u n , en fonction de n, du nombre α trouvé précédemment
un − 3
et de t 1 .
4. Déterminer la limite de u n quand n tend vers +∞ ?
E XERCICE 97
15 minutes
⋆
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et pour tout n ∈ N , u n+1 = 7u n + 8u n−1 .
1. Démontrer que la suite (s n ) définie par s n = u n+1 + u n est une suite géométrique dont on
précisera la raison.
En déduire l’expression de s n en fonction de n.
2. On pose v n = (−1)n u n et on considère la suite (t n ) définie par t n = v n+1 − v n .
Exprimer t n en fonction de s n .
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
34
3. Exprimer v n , puis u n , en fonction de n. (On pourra calculer, de deux manières, la somme
t 0 + · · · + t n−1 ).
un
4. Déterminer lim n .
n→+∞ 8
E XERCICE 98
15 minutes
1
Soit la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + 3.
4
1. Etudier le cas où u 0 = 4.
2. On suppose u 0 6= 4. Montrer qu’il existe une suite géométrique (v n ) telle que u n − v n soit
indépendant de n.
☞ On pourra recherche un réel a tel que v n = u n + a.
3. Exprimer u n en fonction de n et u 0 .
4. En déduire la limite de la suite (u n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 99
20 minutes
Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note R n l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et R n l’évènement
contraire. Soit x n la probabilité de R n et y n celle de R n .
La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0, 7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
— si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0, 8 ;
— si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant
vaut 0, 7.
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de X . (On pourra utiliser un arbre de probabilité)
b. Calculer l’espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X .
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles P Rn (R n+1 ) et P Rn (R n+1 ).
b. Montrer que, ∀n ∈ N∗ , on a : x n+1 = 0, 1x n + 0, 7.
3. Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel non nul par u n = 9x n − 7.
a. Déterminer la nature de la suite (u n ).
b. En déduire la limite de la suite (x n ).
E XERCICE 100
Soit (u n ) la suite définie par

 u0

10 minutes
= 4
u n+1 = 5 ln (u n + 3) ∀n ∈ N
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = 5 ln(x + 3).
1.3. LIMITES DE SUITES
35
1. a. Tracer dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C, courbe
représentative de la fonction g .
b. Construire sur l’axe des abscisses les termes u 0 , u 1 , u 2 de la suite (u n ) en utilisant la
droite D et la courbe C et en laissant apparents les traits de construction.
c. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite (u n )
2. a. Etudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Soit α un réel vérifiant g (α) = α. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n, on a 0 6 u n 6 α.
c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
d. Justifier que lim u n = α.
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
3. On considère l’algorithme suivant :
u ←− 4
Tant que u − 14,2 < 0
u ←− 5ln(u + 3)
Fin du Tant que
a. Justifier que cet algorithme se termine.
b. Donner la valeur de u en fin d’algorithme (on arrondira à 5 décimales).
E XERCICE 101
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par :
Z1
(x − 1)2n e −x dx.
un =
15 minutes
0
1. a. Démontrer que, pour tout x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul,
0 6 (x − 1)2n e −x 6 (x − 1)2n .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
1
0 6 un 6
.
2n + 1
2. En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
E XERCICE 102
25 minutes
On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A,
B et C. A l’instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier naturel n :
•
•
si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n + 1), elle est :
2
1
soit en B avec une probabilité égale à ; soit en C avec une probabilité égale à ;
3
3
si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n + 1), elle est :
soit en C, soit en A de façon équiprobable ;
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
36
•
si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note A n (respectivement B n , C n ) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C).
On note a n (respectivement b n , c n ) la probabilité de l’événement A n , (respectivement B n , C n ).
On a donc : a 0 = 1, b 0 = c 0 = 0.
Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.
1. Calculer a k , b k et c k pour k entier naturel tel que 1 6 k 6 3.
2. a. Montrer que, pour
tout entier naturel n,
1

 a n+1 =
bn
2
a n + b n + c n = 1 et
1

 b n+1 = = a n
3
1
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, a n+2 = a n .
6
c. 
En déduire
µ que,
¶p pour tout entier naturel p,
1


et a 2p+1 = 0
 a 2p =
6
µ ¶ .
1 1 p


 b 2p = 0
et b 2p+1 =
3 6
3. Montrer que lim a n = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
4. On admet que lim b n = 0. Quelle est la limite de c n lorsque n tend vers +∞ ?
n→+∞
E XERCICE 103
30 minutes
1 + 0, 5u n
On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 2 et, pour tout n ∈ N : u n+1 =
.
0, 5 + u n
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
u ←− 2
Pour i allant de 1 à n
1 + 0,5u
u ←−
0,5 + u
Fin Pour
Compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3. Les valeurs
de u seront arrondies au millième.
i
1
2
3
u
2. Pour n = 11, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
i
4
5
6
7
8
9
10
11
u
1,0083
0,9973
1,0009
0,9997
1,0001
0,99997
1,00001
0,999996
1.3. LIMITES DE SUITES
37
Conjecturer le comportement de la suite (u n ) à l’infini.
3. On considère la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par :
vn =
un − 1
.
un + 1
1
a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison − .
3
b. Calculer v 0 puis écrire v n en fonction de n.
4. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v n 6= 1.
1 + vn
.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n =
1 − vn
c. Déterminer la limite de la suite (u n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 104
1
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et telle que pour tout entier naturel n,
2
u n+1 =
25 minutes
3u n
.
1 + 2u n
1. a. Calculer u 1 et u 2 .
b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u n .
2. On admet que pour tout entier naturel n, u n < 1.
a. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
b. Démontrer que la suite (u n ) converge.
un
.
1 − un
Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 3.
Exprimer pour tout entier naturel n, v n en fonction de n.
3n
.
En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = n
3 +1
Déterminer la limite de la suite (u n ).
3. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n =
a.
b.
c.
d.
E XERCICE 105
Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b, λ et µ deux réels positifs.
15 minutes
u n + λv n
Soit (u n ) et (v n ) deux suites définies par : u 1 = a, v 1 = b et pour tout n ∈ N⋆ , u n+1 =
,
1+λ
u n + µv n
v n+1 =
.
1+µ
1. Comment doit-on choisir λ et µ pour que l’on ait u 1 < u 2 < v 2 < v 1 ?
2. λ et µ étant ainsi choisis, démontrer que les suites (u n ) et (v n ) ont une limite commune.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
38
E XERCICE 106
20 minutes
1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque,
elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit
qu’elle « fait un pas ».
a. La fourmi se trouve en A.
Après avoir fait deux pas, quelle est la proS
babilité qu’elle soit :
• en A ?
s
a
r
u
D
I
F
L
• en B ?
• en C ?
• en D ?
b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :
S n l’évènement « la fourmi est au sommet
S après n pas », et p n la probabilité de cet
évènement.
Donner p 1 .
D
A
¢
1¡
1 − pn .
3


 p1
2. On considère la suite (p n ), définie pour tout entier n > 0 par :

 p n+1
C
B
En remarquant que S n+1 = S n+1 ∩ S n , montrer que p n+1 =
1
3
¢ .
1¡
=
1 − pn
3
a. Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel n strictement positif, on a
µ
µ
¶ ¶
1 n
1
1− −
.
pn =
4
3
=
b. Déterminer lim p n .
n→+∞
E XERCICE 107
ln (n + 2−n )
1. a. Montrer que lim
= 0.
n→+∞
2n
n
ln (1 + n2 ) ln 2
=
.
b. En déduire que lim
n→+∞
2n
2
Z
1 2n x
dx.
2. Pour tout entier naturel n, on pose u n =
n
0 1+2 x
a. Calculer u 0 .
☞ On pourra remarquer que x = 1 + x − 1.
b. Calculer u n pour tout n > 1.
c. Déterminer lim u n .
n→+∞
20 minutes
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
39
1.4 Comportement global d’une suite
1.4.1 Point de cours
Monotonie : soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que :
• la suite (u n ) est croissante lorsque pour tout entier n, u n+1 > u n ;
• la suite (u n ) est décroissante lorsque pour tout entier n, u n+1 6 u n ;
• la suite (u n ) est monotone lorsque la suite est croissante ou décroissante.
Suites majorées - suites minorées : soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que :
• la suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n 6 M .
Un tel nombre M est appelé un majorant de la suite (u n ) ;
• la suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que, pour tout entier naturel n, u n > m.
Un tel nombre m est appelé un minorant de la suite (u n ) ;
• si la suite (u n ) est à la fois majorée et minorée, elle est dite bornée.
s
a
r
u
D
I
F
L
Théorème 1
1. Toute suite croissante majorée est convergente.
2. Toute suite décroissante minorée est convergente.
Théorème 2
1. Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞.
2. Toute suite décroissante non minorée a pour limite −∞.
Théorème 3
1. Si une suite (u n ) est croissante et admet pour limite ℓ, alors ∀n ∈ N, u n 6 ℓ.
2. Si une suite (u n ) est décroissante et admet pour limite ℓ, alors ∀n ∈ N, u n > ℓ.
1.4.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 108
5 minutes
p
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + 1.
Prouver par un raisonnement par récurrence que : ∀n ∈ N, u n > 0 et que la suite (u n ) est croissante.
E XERCICE 109
Etudier, dans chaque cas, le sens de variation de la suite (u n ).
p
1
1 1
1. u n = 3n + 1.
3. u n = 1 + + + · · · + .
2 3
n
2n
3 5 7
2n + 1
2. u n = n
4. u n = × × × · · · ×
.
3
2 4 6
2n
10 minutes
5. u 0 = 1 et u n+1 =
p
3u n + 1.
2
6. u 0 = 2 et u n+1 = u n .
3
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
40
E XERCICE 110
10 minutes
Démontrer, dans chaque cas, que la suite (u n ) définie sur N est bornée.
µ
¶
µ ¶n
1
1
1
3n 3
5.
u
=
2
−
sin
.
n
.
3. u n = 1 + + · · · +
1. u n = 3
.
n +1
3
3
n +1
1
2 cos n + 3
.
4. u n = 3 −
.
6. u n =
2. u n = 2 cos n + (−1)n .
n +1
5 − 2 sin n
E XERCICE 111
10 minutes
La suite (u n ) est bornée par −1 et 2, et la suite (v n ) est définie pour tout nombre entier naturel
2
n par : v n = 1 −
.
un + 2
1. Démontrer que la suite (v n ) est bornée.
2. Démontrer que, si (u n ) est décroissante, alors (v n ) est aussi décroissante.
3. La suite (v n ) est-elle convergente ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 112
15 minutes
u n+1 − u n
un + 5
, v n+1 =
.
Soit les suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1 =
3
3
1
1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison .
3
2. Soit (S n ) la suite définie, pour tout n ∈ N∗ , par S n = v 1 + v 2 + · · · + v n .
a. Montrer que (S n ) est convergente et déterminer sa limite.
b. En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
E XERCICE 113
Soit la suite (u n ) définies par u 0 6= 0 et ∀n ∈ N, u n+1 =
1.
2.
3.
4.
15 minutes
un
.
3 − 2u n
Déterminer le réel a non nul de telle sorte que la suite (v n ) définie, pour tout n ∈ N, par
un + a
vn =
, soit géométrique.
un
Déterminer la raison de cette suite.
Discuter suivant les valeurs de v 0 la limite de la suite (v n ) et son sens de variation.
En déduire la limite de la suite (u n ).
1
Etudier le sens de variation de la suite (u n ) pour u 0 = .
2
E XERCICE 114
Soit la suite (u n ) définie par u 1 = 1 et pour tout n > 1, 5u n+1 = u n + 8.
On pose v n = u n − 2.
1. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique.
2. En déduire l’expression explicite de u n .
3. Etudier les variations et la convergence de la suite (u n ).
15 minutes
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
41
E XERCICE 115
15 minutes
1. La suite (u n ) est croissante et non majorée.
a. Soit A un nombre réel donné, justifier qu’il existe un terme u N de la suite (u n ) qui vérifie
u N > A.
b. En déduire que la suite (u n ) a pour limite +∞.
2. La suite (v n ) est définie par v 0 = 3 et, ∀n ∈ N : v n+1 = v n2 − 3v n + 4.
a.
b.
c.
d.
Démontrer que la suite (v n ) est croissante.
Démontrer que si la suite (v n ) converge vers le réel ℓ, alors ℓ = 2.
La suite (v n ) peut-elle être majorée ?
En déduire la limite de la suite (v n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 116
¡ ¢
Deux suites (x n ) et y n sont définies pour n > 0 par les relations :
xn =
10 minutes
1
1
1
1
1
1
+
+··· +
et y n =
+
+··· +
.
n n +1
2n
n +1 n +2
2n
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration
pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à
fournir un contre exemple.
¡ ¢
1. Les suites (x n ) et y n sont toutes les deux croissantes.
19
37
2. x 3 =
et y 3 = .
20
60¡ ¢
3. Les suites (x n ) et y n ne sont pas majorées.
E XERCICE 117
15 minutes
On considère une suite (u n ), définie sur N dont aucun terme n’est nul. On définit alors la suite
−2
.
(v n ) sur N par v n =
un
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration
pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à
fournir un contre exemple.
1.
2.
3.
4.
Si (u n ) est convergente, alors (v n ) est convergente.
Si (u n ) est minorée par 2, alors (v n ) est minorée par −1.
Si (u n ) est décroissante, alors (v n ) est croissante.
Si (u n ) est divergente, alors (v n ) converge vers zéro.
E XERCICE 118
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 = 0 ; v 0 = 12 ;
u n+1 =
un + v n
2
et v n+1 =
10 minutes
u n + 2v n
.
3
1. Démontrer que la suite (w n ) définie par w n = v n −u n est une suite géométrique convergente
et que tous ses termes sont positifs.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
42
2. Montrer que la suite (u n ) est croissante puis que la suite (v n ) est décroissante.
3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et ont
la même limite.
4. On considère la suite (t n ) définie par t n = 2u n + 3v n . Montrer qu’elle est constante.
5. En déduire la limite des suites (u n ) et (v n ).
E XERCICE 119
2n 1
X
1
1
1
= +
+··· +
.
Soit (u n ) la suite définie sur N par u n =
k
n
n
+
1
2n
k=n
10 minutes
∗
s
a
r
u
D
I
F
L
−3n − 2
n(2n + 2)(2n + 1)
2. En déduire le sens de variation de la suite (u n ).
3. Etablir alors que (u n ) est une suite convergente.
1. Montrer que pour tout n de N∗ , u n+1 − u n =
E XERCICE 120
On définit :
15 minutes
1
4
— la suite (u n ) par : u 0 = 13 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + ,
5
5
n
X
— la suite (S n ) par : pour tout entier naturel n, S n =
uk = u0 + u1 + u2 + · · · + un .
k=0
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n = 1 +
En déduire la limite de la suite (u n ).
2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (S n ).
b. Calculer S n en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite (S n ).
12
.
5n
E XERCICE 121
10 minutes
Etant donné une suite (x n ), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère
n
X
la suite (S n ) définie par S n =
xk .
k=0
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.
Proposition 1 : si la suite (x n ) est convergente, alors la suite (S n ) l’est aussi.
Proposition 2 : les suites (x n ) et (S n ) ont le même sens de variation.
E XERCICE 122
On considère la suite (u n ) définie par :




 u1



 u n+1
10 minutes
=
=
1
1. Démontrer que la suite (u n ) est majorée par .
2
2. Démontrer que (u n ) est croissante.
2
5
1
2
u n + pour tout n > 1.
5
5
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
43
3. Justifier que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite.
E XERCICE 123
15 minutes
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
donnée. Soit (u n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par u n = (−1)n .
1. La suite (u n ) est bornée.
2. La suite (u n ) converge.
un
converge.
n
4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
3. La suite de terme général
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 124
15 minutes
p
Soit (u n ) la suite numérique définie sur N par : u 0 = 0 et pour tout n ∈ N u n+1 = 3u n + 4.
1. a.
b.
c.
2. a.
Montrer que (u n ) est minorée par 0 et majorée par 4.
Montrer que (u n ) est strictement croissante.
En déduire que (u n ) converge et déterminer sa limite.
Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
1
4 − u n+1 6 (4 − u n ).
2
b. Retrouver le résultat du 1. c.
E XERCICE 125
Les propositions suivantes sont fausses, le justifier par un contre-exemple.
1.
2.
3.
4.
5.
10 minutes
Si une suite n’est pas convergente alors elle n’est pas bornée.
Toute suite décroissante à termes strictement positifs converge vers 0.
Toute suite convergente est monotone.
Toute suite bornée est convergente.
Si une suite est croissante et majorée par M alors elle converge vers M .
E XERCICE 126
p
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 5 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + 12.
10 minutes
E XERCICE 127
p
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 5 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + 12.
1
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, u n+1 − 4 6 (u n − 4).
4
1
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 6 u n − 4 6 n .
4
3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
15 minutes
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, u n > 4.
2. Montrer que la suite est décroissante.
3. En déduire que la suite est convergente, puis déterminer sa limite.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
44
1.4.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 128
On considère la suite (v n ) définie par : v 0 = 6 et, ∀n ∈ N, v n+1 = 1, 4v n − 0, 05v n2 .
15 minutes
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1, 4x − 0, 05x 2 .
a. Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].
b. Montrer par récurrence que, ∀n ∈ N, 0 6 v n < v n+1 6 8.
2. En déduire que la suite (v n ) est convergente et déterminer sa limite ℓ.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 129
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u 1 = v 1 = 1 et ∀n > 1, u n =
vn = 1 +
1
1
1
+
+··· +
.
1×2 2×3
(n − 1)n
1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n > 1,
1
.
n
3. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
4. Démontrer que pour tout n > 1, u n 6 v n .
5. En déduire que la suite (u n ) est convergente.
2. En déduire que, pour tout n > 1, v n = 2 −
15 minutes
1
1
1
+
+ ··· + 2 ,
12 22
n
a
b
1
=
+ .
(n − 1)n n − 1 n
E XERCICE 130
2x n + 3
Soit la suite (x n ) définie par x 0 = 1 et ∀n ∈ N, x n+1 =
.
xn + 2
1. Démontrer que pour tout n ∈ N, x n > 0.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, x n2 < 3.
3. Démontrer que la suite (x n ) est croissante.
4. En déduire que la suite (x n ) est convergente et déterminer sa limite.
15 minutes
E XERCICE 131
15 minutes
¡ ¢
Soit la suite q n d’entiers naturels, croissante et dont le premier terme q 0 est supérieur ou égal
à 2.
1
1
1
1
1
1
+
, · · · , un =
+
+··· +
.
On construit la suite (u n ) : u 0 = , u 1 =
q0
q0 q0 q1
q0 q0 q1
q0 q1 · · · qn
1. Montrer que la suite (u n ) est croissante.
2. Montrer que la suite (u n ) est majorée par une suite convergente (ne dépendant par exemple
que de q 0 ).
3. En déduire que la suite (u n ) est convergente et que sa limite appartient à l’intervalle ]0 ; 1].
E XERCICE 132
µ
¶
3
2
1
Soit la suite (u n ) définie par u 1 = et ∀n ∈ N⋆ , u n+1 =
un +
.
2
2
un
1. Démontrer que la suite u n > 0.
20 minutes
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
2.
3.
4.
5.
45
p ¢2
¡
p
1 un − 2
. En déduire que ∀n ∈ N⋆ , u n > 2.
Démontrer que u n+1 − 2 =
2
un
p
p ¢ 1
1
1¡
−p .
Démontrer que u n+1 − 2 = u n − 2 +
2
un
2
p
1
⋆
En déduire que, ∀n ∈ N , u n − 2 < n (on pourra faire une démonstration par récurrence).
2
La suite (u n ) admet-elle une limite quand n tend vers +∞ ? Si oui, déterminer cette limite.
p
E XERCICE 133
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par :








 u0
 v0
= 0
= 2
et


3u n + 1
3v n + 1


 u
 v


n+1 =
n+1 =
4
4
20 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Calculer u 1 , u 2 , u 3 d’une part et v 1 , v 2 , v 3 d’autre part.
2. On considère la suite (s n ) définie pour tout entier naturel n par s n = u n + v n
a. Calculer s 0 , s 1 , s 2 , s 3 . A partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite (s n ) ?
b. En raisonnant par récurrence, montrer que la suite (s n ) est une suite constante.
3. On considère la suite (d n ) définie pour tout entier naturel n par d n = v n − u n .
a. Montrer que la suite (d n ) est une suite géométrique.
b. Donner l’expression de d n en fonction de n.
4. En utilisant les résultats des questions 2. b. et 3. b., donner l’expression de u n et v n en fonction de n.
5. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent. Préciser leurs limites.
E XERCICE 134
Soit la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n2 + u n .
20 minutes
1. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
2. Démontrer que si (u n ) converge alors lim u n = 0.
n→+∞
3.
4.
5.
6.
Démontrer que si u 0 + u 02 > 0 alors la suite (u n ) diverge.
Etudier la suite (u n ) lorsque u 0 + u 02 = 0.
Démontrer par récurrence que : si u 0 + u 02 < 0 alors ∀n ∈ N, −1 < u n < 0.
Conclure sur la convergence de la suite (u n ).
E XERCICE 135
20 minutes
µ
¶
4
1
1
un +
.
Soit la suite (u n ) définie par u 1 = et ∀n > 1, u n+1 =
2
2
un
1. Démontrer que tous les termes de la suite sont bien définis et strictement positifs.
un − 2
.
2. On pose, pour tout n > 1, v n =
un + 2
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
46
a. Calculer v n en fonction de v n−1 puis de v 1 .
b. En déduire la limite de v n , puis de u n lorsque n tend vers +∞.
µ
¶
1
a2
3. D’une manière générale, on considère la suite définie par w n+1 =
wn +
, avec a > 0
2
wn
et w 1 > a.
a. Montrer par récurrence que a 6 w n 6 w n−1 .
b. En déduire la convergence de la suite (w n ) et calculer sa limite.
E XERCICE 136
15 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
2u n + 3
.
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et ∀n ∈ N, u n+1 =
un + 4
1.
2.
3.
4.
Calculer u 1 et u 2 .
Démontrer que ∀n ∈ N⋆ , 0 < u n < 1.
Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
En déduire que la suite (u n ) est convergente.
5. On considère la suite (v n ) définie pour tout n ∈ N par v n =
Démontrer que la suite (v n ) est géométrique.
6. Exprimer v n , puis u n en fonction de n.
7. En déduire la limite de la suite (u n ).
un − 1
.
un + 3
E XERCICE 137
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et ∀n > 1, u n = u n−1 + n (−1)n+1 .
15 minutes
1. Calculer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 .
2. On pose, pour tout n > 1, v n = u 2n et w n = u 2n−1 .
a. Démontrer que les suites (v n ) et (w n ) sont arithmétiques.
b. Exprimer v n et w n en fonction de n.
c. Vérifier que pour tout n ∈ N⋆ , u 2n−1 = −u 2n .
3. Etudier la convergence de la suite (u n ).
E XERCICE 138
p
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et ∀n ∈ N, u n+1 = 3u n + 4.
1. a. Démontrer que la suite (u n ) est majorée par 4.
b. Démontrer que la suite (u n ) est strictement croissante.
c. En déduire que (u n ) est une suite convergente et préciser sa limite.
1
2. a. Démontrer que ∀n ∈ N, 4 − u n+1 6 (4 − u n ).
2 µ ¶n
1
b. En déduire que ∀n ∈ N, |4 − u n | 6 4 ×
.
2
c. Retrouver le résultat de la question 1.c..
d. Etudier la convergence de la suite (v n ) définie sur N par : v n = n 2 (4 − u n ).
15 minutes
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
E XERCICE 139
Soit la suite (u n ) définie sur N par u 0 = 1 et u n+1 = u n e −un .
47
20 minutes
1. a. Démontrer que pour tout n ∈ N, u n > 0.
b. Démontrer la suite (u n ) est décroissante.
c. En déduire que la suite (u n ) converge et déterminer sa limite.
n
X
up .
2. On pose S n =
p=0
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Démontrer que pour tout n ∈ N, u n+1 = e −S n .
b. En déduire que la suite (S n ) tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini.
E XERCICE 140
20 minutes
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec
remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux événements suivants :
A : « On obtient des boules des deux couleurs » ; B : « On obtient au plus une blanche ».
1. a. Calculer la probabilité de l’événement : « Toutes les boules tirées sont de même couleur ».
b. Calculer la probabilité de l’événement : « On obtient exactement une boule blanche ».
c. En déduire que les probabilités p(A ∩ B ), p(A), p(B ) sont :
1
n +1
n
p(A ∩ B ) = n , p(A) = 1 − n−1 , p(B ) = n .
2
2
2
2. Montrer que p(A ∩ B ) = p(A) × p(B ) si, et seulement si, 2n−1 = n + 1.
3. Soit (u n ) la suite définie pour tout n > 2 par u n = 2n−1 − (n + 1). Calculer u 2 , u 3 , u 4 .
Démontrer que la suite (u n ) est strictement croissante.
4. En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et B soient indépendants.
E XERCICE 141
On définit deux suites u et v par u 0 = 1, v 0 = 12 et pour tout entier naturel n :


1

 u n+1 =
(u n + 2v n )
3

1

 v n+1 =
(u n + 3v n )
4
1. On appelle w la suite définie pour tout n ∈ N par : w n = v n − u n .
25 minutes
a. Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison.
b. Déterminer la limite de la suite w .
2. a. Montrer que la suite u est croissante.
b. Montrer que la suite v est décroissante.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, u 0 6 u n 6 v n 6 v 0 .
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
48
3. On admet que les suites u et v convergent. Montrer qu’elles ont alors la même limite que
l’on appellera l .
4. On appelle t la suite définie pour tout n ∈ N par : t n = 3u n + 8v n .
a. Montrer que t est une suite constante. Déterminer cette constante.
b. Déterminer alors la valeur de l .
E XERCICE 142
20 minutes
p
2p
u n + 1.
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et ∀n ∈ N, u n+1 =
2
p
2
⋆
1. a. Montrer que, pour tout n ∈ N ,
6 u n 6 1.
2
b. Etudier les variations de la suite (u n ).
c. Etudier la convergence de la suite (u n ).
d. Déterminer la limite de la suite (u nr
).
³x´
1 + cos x
.
2. a. Montrer que pour tout réel x, on a
= cos
2
³ π 2´
b. Montrer alors que ∀n ∈ N, u n = cos n+1 .
2
c. Retrouver ainsi la limite de la suite (u n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 143
Soit n un entier naturel non nul, on considère la fonction f n définie sur R par :
x
x
e n − e− n
.
f n (x) =
2
On appelle Cn la courbe³ représentant
f dans
→
− →
−´
un repère orthonormé O, u , v .
On donne ci-contre les représentations graphiques des fonctions f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , et f 6 soit
respectivement les courbes C2 , C3 , C4 , C5 et
C6 obtenues à l’aide d’un logiciel.
1. Calculer l’intégrale I 1 =
Z1
0
20 minutes
0, 5
C2
0, 4
C3
0, 3
C4
0, 2
C5
C6
0, 1
O
0, 2
0, 4
0, 6
f 1 (x) dx.
2. On considère pour n entier naturel non nul l’intégrale I n =
Z1
0
f n (x) dx.
Interpréter géométriquement I n .
Calculer pour n entier naturel quelconque, I n en fonction de n.
3. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (I n ) ?
0, 8
1
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
Montrer que I n =

1
n
− n1
49


1
 eµ −¶1 − eµ −¶1  et en déduire la limite de la suite (I n ) en +∞.

1 
1
2
−
n
n
E XERCICE 144
4
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 −
.
x +1
½
u0
= 4
On considère la suite définie pour tout n ∈ N par :
u n+1 = f (u n )
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer par un raisonnement par récurrence que u n > 1 pour tout n ∈ N.
2. Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[. En déduire que pour tout entier naturel
n, on a : u n+1 6 u n .
3. Déduire des questions précédentes que la suite (u n ) est convergente et calculer sa limite.
E XERCICE 145
20 minutes
−x 2
On considère
f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = e
et on définit la suite
 la fonction
Z1
Z1
2

−x

 u0 =
e
dx
f (x) dx =
0
Z1 0
Z1
(u n ) par :
2

n

 ∀n ∈ N∗ , u n =
x f (x) dx =
x n e−x dx
0
0
1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1],
b. En déduire que
1
6 u 0 6 1.
e
1
6 f (x) 6 1.
e
2. Calculer u 1 .
3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 6 u n .
b. Etudier les variations de la suite (u n ).
c. En déduire que la suite (u n ) est convergente.
4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n 6
b. En déduire la limite de la suite (u n ).
1
.
n +1
E XERCICE 146
20 minutes
On considère l’ensemble (E) des suites (x n ) définies sur N et vérifiant la relation suivante :
∀n ∈ N∗ ,
x n+1 − x n = 0, 24x n−1 .
1. On considère λ ∈ R∗ et on définit sur N la suite (t n ) par t n = λn . Démontrer que la suite (t n )
appartient à l’ensemble (E) si et seulement si λ est solution de l’équation λ2 − λ − 0, 24 = 0.
En déduire les suites (t n ) appartenant à l’ensemble (E).
2. On admet que (E) est l’ensemble des suites (u n ) définies sur N par une relation de la forme :
u n = α(1, 2)n + β(−0, 2)n où α et β sont deux réels.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
50
a. On considère une suite (u n ) de l’ensemble (E). Déterminer les valeurs de α et β telles
que u 0 = 6 et u 1 = 6, 6.
3
39
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = (1, 2)n + (−0, 2)n .
7
7
c. Déterminer lim u n .
n→+∞
E XERCICE 147
Soit (u n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ non nul par


 u1

 u n+1
=
=
1
2
n +1
un
2n
25 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Calculer u 2 , u 3 et u 4 .
2. a. Démontrer que, pour tout n ∈ N∗ , u n est strictement positif.
b. Démontrer que la suite (u n ) est décroissante.
c. Que peut-on en déduire pour la suite (u n ) ?
un
.
3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n =
n
a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. On précisera sa raison et son premier
terme v 1 .
n
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n .
2
4. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) = ln x − x ln 2.
a. Déterminer la limite de f en +∞.
b. En déduire la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 148
On considère la suite (u n ) définie sur N par : u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 =
On admet que pour tout entier naturel n, u n > 0.
un + 2
.
2u n + 1
25 minutes
1. a. Calculer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . On pourra en donner une valeur approchée à 10−2 près.
b. Vérifier que si n est l’un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors u n − 1 a le même signe que (−1)n .
−u n + 1
c. Etablir que pour tout entier naturel n, u n+1 − 1 =
.
2u n + 1
d. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n − 1 a le même signe que
(−1)n
un − 1
.
2. Pour tout entier naturel n, on pose v n =
un + 1
−u n + 1
a. Etablir que pour tout entier naturel n, v n+1 =
.
3u n + 3
1
b. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison − .
3
En déduire l’expression de v n en fonction de n.
1 + vn
. Exprimer u n en fonction de n et
c. On admet que pour tout entier naturel n, u n =
1 − vn
déterminer la limite de la suite (u n ).
1.4. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE
51
E XERCICE 149
20 minutes
Soient deux suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 = 2 et v 0 = 10 et ∀n ∈ N,
u n + 3v n
2u n + v n
et v n+1 =
.
u n+1 =
3
4
5
1. a. Montrer que pour tout entier naturel n, v n+1 − u n+1 =
(v n − u n ).
12
b. Pour tout entier naturel n on pose w n = v n − u nµ. ¶
5 n
.
Montrer que pour tout entier naturel n, w n = 8
12
2. a. Démontrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante.
b. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel n on a
u n 6 10 et v n > 2.
c. En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes.
3. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) ont la même limite.
4. Montrer que la suite (t n ) définie par t n = 3u n + 4v n est constante.
46
.
En déduire que la limite commune des suites (u n ) et (v n ) est
7
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 150
20 minutes
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par :
u 0 = a, v 0 = b , où a et b sont
s deux réels tels que 0 < a < b et, pour tout entier naturel n :
u n2 + v n2
un + v n
et v n+1 =
.
2
2
1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u n > 0 et v n > 0.
³ u − v ´2
n
n
2
2
=
− u n+1
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : v n+1
.
2
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a u n 6 v n .
2. a. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
2
et v n2 . En déduire le sens de variation de la suite (v n ).
b. Comparer v n+1
3. Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes.
u n+1 =
E XERCICE 151
Soit a un nombre réel tel que −1 < a < 0.
On considère la suite u définie par u 0 = a, et pour tout n ∈ N, u n+1 = u n2 + u n .
15 minutes
1. Etudier la monotonie de la suite u.
2. a. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x 2 + x. Etudier le sens de variation de la fonction h.
b. En déduire que pour tout x appartenant à l’intervalle ]−1 ; 0[, le nombre h(x) appartient
aussi à l’intervalle ] − 1 ; 0[.
c. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N on a : −1 < u n < 0.
3. Etudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
52
E XERCICE 152
Soit la suite (u n ) de terme général u n =
Z1
0
15 minutes
n −x
x e
dx.
1. Montrer que quel que soit n ∈ N, u n > 0.
2. Montrer que la suite (u n ) est décroissante.
Z
Z1
1 1 n
3. Démontrer que quel que soit n ∈ N,
x dx 6 u n 6
x n dx.
e 0
0
4. En déduire la convergence de la suite (u n ) et préciser sa limite.
s
a
r
u
D
I
F
L
1.5 Vers le baccalauréat
E XERCICE 153
30 minutes
Partie A
Soit (u n ) la suite définie par son premier terme u 0 et, pour tout entier naturel n, par la relation
u n+1 = au n + b
(a et b réels non nuls et a 6= 1).
b
.
1−a
1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a.
On pose, pour tout entier naturel n,
v n = un −
b
2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ] − 1 ; 1[, alors la suite (u n ) a pour limite
.
1−a
Partie B
En mars 2020, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous
les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm
au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2021 avant que Max ne la taille ?
2. Pour tout entier naturel n, on note h n la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de
l’année (2020 + n).
a.
b.
c.
d.
Justifier que, pour tout entier naturel n, h n+1 = 0, 75h n + 30.
Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (h n ).
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
La suite (h n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
E XERCICE 154
25 minutes
Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit
à modéliser l’évolution de la population par la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par :
½
u0
u n+1
= 40
= 0, 008u n (200 − u n )
où u n désigne le nombre d’individus au début de l’année (2021 + n).
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
53
1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de
l’année 2022.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 100] par f (x) = 0, 008x(200 − x).
2. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 100] l’équation f (x) = x.
3. a. Démontrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 100] et dresser son tableau
de variations.
b. En remarquant que, pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ) démontrer par récurrence
que, pour tout entier naturel n : 0 6 u n 6 u n+1 6 100.
c. En déduire que la suite (u n ) est convergente.
d. Déterminer la limite ℓ de la suite (u n ). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. On considère l’algorithme suivant :
s
a
r
u
D
I
F
L
def seuil(p) :
n=0
u = 40
while u < p :
n =n+1
u = 0.008*u*(200-u)
return(n+2021)
L’exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.
E XERCICE 155
35 minutes
Partie A
On considère la fonction f définie pour tout réel x de ]0 ; 1] par : f (x) = e −x + ln(x).
1. Calculer la limite de f en 0.
2. On admet que f est dérivable sur ]0 ; 1]. On note f ′ sa fonction dérivée.
1 − xe −x
.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1], on a : f ′ (x) =
x
−x
3. Justifier que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1], on a xe < 1.
En déduire le tableau de variation de f sur ]0 ; 1].
4. Démontrer qu’il existe un unique réel ℓ appartenant à ]0 ; 1] tel que f (ℓ) = 0.
Partie B
1. On définit deux suites (a n ) et (b n ) par :


a0
 b
0
½
1
a n+1
10 et, pour tout entier naturel n,
b
n+1
= 1
=
= e−bn
= e−an
a. Calculer a 1 et b 1 . On donnera des valeurs approchées à 10−2 près.
b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
54
def termes (n) :
a=1/10
b=1
for k in range(0,n) :
c= ...
b = ...
a = c
return(a,b)
Compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule
les termes des suites (a n ) et (b n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
2. On rappelle que la fonction x 7−→ e−x est décroissante sur R.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, on a : 0 < a n 6 a n+1 6 b n+1 6 b n 6 1.
b. En déduire que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes.
3. On note A la limite de (a n ) et B la limite de (b n ).
On admet que A et B appartiennent à l’intervalle ]0 ; 1], et que A = e −B et B = e −A .
a. Démontrer que f (A) = 0.
b. Déterminer A − B .
E XERCICE 156
Partie A
On considère la fonction suivante écrite en langage Python :
40 minutes
def valeur(p) :
u=5
for k in range(1,p) :
u= 0.5*u+0.5*(k-1)-1.5
return u
Faire fonctionner ce programme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque
étape. Quelle est la valeur renvoyée en fin de programme ?
Partie B
Soit (u n ) la suite définie par son premier terme u 0 = 5 et, pour tout n ∈ N par
u n+1 = 0, 5u n + 0, 5n − 1, 5.
1. A l’aide de la fonction modifiée, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n
un
1
1
2
−0, 5
3
−0, 75
4
−0, 375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (u n ) est décroissante ? justifier.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u n+1 > u n .
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (u n ) ?
3. Soit (v n ) la suite définie pour tout n ∈ N par v n = 0, 1u n − 0, 1n + 0, 5.
Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0, 5 et exprimer alors v n en fonction
de n.
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
55
4. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 10 × 0, 5n + n − 5.
5. Déterminer alors la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 157
45 minutes
On considère deux suites de nombres réels (d n ) et (a n ) définies par d 0 = 300,
a 0 = 450 et, pour tout entier naturel n > 0


1

 d n+1 =
d n + 100
2

1
1

 a n+1 =
d n + a n + 70
2
2
1. Calculer d 1 et a 1 .
2. On souhaite écrire une fonction en langage Python qui permet d’afficher en sortie les valeurs
de d n et a n pour une valeur entière de n saisie par l’utilisateur.
La fonction suivante est proposée :
s
a
r
u
D
I
F
L
def suites (n) :
D=300
A=450
for k in range(0,n) :
D=D/2 +100
A= A/2+D/2+70
return(A,D)
a. Quels valeurs sont retournées par la fonction pour n = 1 ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1 ?
b. Expliquer comment corriger cette fonction pour qu’il affiche les résultats souhaités.
3. a. Pour tout entier naturel n, on pose e n = d n − 200.
Montrer que la suite (e n ) est géométrique.
b. En déduire l’expression de d n en fonction de n.
c. La suite (d n ) est-elle convergente
µ ¶n? Justifier.
µ ¶n
1
1
4. On admet que ∀n ∈ N, a n = 100n
+ 110
+ 340.
2
2
a. Montrer que pour tout n > 3, on a 2n 2 > (n + 1)2 .
2
b. Montrer par récurrence que pour tout n > 4, 2n >
µ n¶n.
100
1
6
.
c. En déduire que pour tout entier n > 4, 0 6 100n
2
n
d. Etudier la convergence de la suite (a n ).
E XERCICE 158
30 minutes
Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit
une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux
bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
56
•
•
•
au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ;
tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est
transféré vers le bassin A ;
tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est
transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
•
•
a n le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de
fonctionnement ;
b n le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de
fonctionnement.
s
a
r
u
D
I
F
L
On a donc a 0 = 800 et b 0 = 1400.
1. Par quelle relation entre a n et b n traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
3
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, a n+1 = a n + 330.
4
3. La fonction ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a n
est supérieur ou égal à 1 100. Recopier cette fonction en complétant les parties manquantes.
def valeur () :
a=800
n=0
while a < 1100 :
a= ...
n = ...
a = c
return(...)
4. Pour tout entier naturel n, on note u n = a n − 1 320.
a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme
et la raison.
b. Exprimer u n en fonction de n.
µ ¶n
3
.
En déduire que, pour tout entier naturel n, a n = 1 320 − 520 ×
4
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le
même volume d’eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
E XERCICE 159
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et ∀n ∈ N, u n+1 = u n + 2n + 2.
35 minutes
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Algorithme 2
u ←− 0
Pour i allant de 1 à n :
u ←− u + 2i + 2
Fin Pour
u ←− 0
Pour i allant de 0 à n − 1 :
u ←− u + 2i + 2
Fin Pour
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
57
De ces deux algorithmes, lequel permet d’obtenir la valeur de u n à la fin de l’exécution de
l’algorithme, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ?
3. A l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure
en abscisse et u n en ordonnée.
n
un
0
0
1
2
2
6
3
12
4
20
5
30
6
42
7
56
8
72
9
90
10
110
11
132
12
156
+
160
s
a
r
u
D
I
F
L
+
140
+
120
+
100
+
80
+
60
+
+
40
0
+
+
+
+
+
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n ) ? Démontrer
cette conjecture.
b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels
a, b et c tels que, ∀n ∈ N, u n = an 2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations
fournies.
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par : v n = u n+1 − u n .
a. Exprimer v n en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
n
X
vk = v0 + v1 + · · · + vn .
b. On définit, pour tout entier naturel n, S n =
k=0
Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = (n + 1)(n + 2).
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = u n+1 −u 0 , puis exprimer u n en fonction
de n.
E XERCICE 160
Soit la suite numérique (u n ) définie sur l’ensemble des entiers naturels N par :


u0 = 2
1
 ∀n ∈ N, u n+1 =
u n + 3 × 0, 5n .
5
45 minutes
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
58
1. a. A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (u n ) approchées à
10−2 près :
n
un
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (u n ).
15
2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a u n >
× 0, 5n .
4
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n+1 − u n 6 0.
c. Démontrer que la suite (u n ) est convergente.
3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (u n ).
Soit (v n ) la suite définie sur N par v n = u n − 10 × 0, 5n .
1
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison . On précisera le pre5
mier terme de la suite (v n ).
µ ¶n
1
+ 10 × 0, 5n .
b. En déduire, que pour tout n ∈ N, u n = −8 ×
5
c. Déterminer la limite de la suite (u n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 161
On définit la suite (u n ) de la façon suivante : ∀n ∈ N, u n =
1. Calculer u 0 =
Z1
0
1
dx.
1+x
Z1
0
30 minutes
xn
dx.
1+x
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n+1 + u n =
b. En déduire la valeur exacte de u 1 .
1
.
n +1
3. a. Compléter la fonction en langage Python afin que celle-ci retourne le terme de rang
n de la suite (u n ) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
def terme (n) :
u=...
for i in range(1,...) :
u= ...
return ...
b. A l’aide de cette fonction, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
n
un
0
1
2
3
4
5
10
50
100
0,693
0,306 9
0,193 1
0,140 2
0,109 8
0,090 2
0,047 5
0,009 9
0,0050
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (u n ) peut-on émettre ?
4. a. Démontrer que la suite (u n ) est décroissante.
b. Démontrer que la suite (u n ) est convergente.
5. On appelle ℓ la limite de la suite (u n ). Démontrer que ℓ = 0.
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
59
E XERCICE 162
45 minutes
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité minute par minute.
1. On effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du
médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note u n la quantité de
médicament, en ml, restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi u 0 = 10.
a. Quelle est la nature de la suite (u n ) ?
b. Pour tout n ∈ N, donner l’expression de u n en fonction de n.
c. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devientelle inférieure à 1 % de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que
20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe endessous de 5 ml, la machine réinjecte 4 ml de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la
machine.
Pour tout entier naturel n, on note v n la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang
à la minute n.
La fonction en langage Python suivante donne la quantité restante de médicament minute
par minute.
def quantite() :
v=10
for n in range(1,16) :
v= 0.8*v
if v<5 :
v=v+4
print(n,v)
a. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à 10−2 et
pour n supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute
obtenue avec la fonction.
n
0
1
2
vn
10
8
6,4
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8,15
6,52
5,21
8,17
6,54
5,23
8,18
6,55
5,24
b. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme ?
c. On souhaite programmer la machine afin qu’elle injecte 2 ml de produit lorsque la
quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 ml et qu’elle s’arrête
au bout de 30 minutes.
Recopier la fonction précédente en la modifiant pour qu’elle calcule la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
3. On programme la machine de façon que :
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
60
— à l’instant 0, elle injecte 10 ml de médicament,
— toutes les minutes, elle injecte 1 ml de médicament.
On estime que 20 % du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
Pour tout entier naturel n, on note w n la quantité de médicament, en ml, présente dans le
sang du patient au bout de n minutes.
a. Justifier que pour tout entier naturel n, w n+1 = 0, 8w n + 1.
b. Pour tout entier naturel n, on pose z n = w n − 5.
Démontrer que (z n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
c. En déduire l’expression de w n en fonction de n.
d. Quelle est la limite de la suite (w n ) ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 163
45 minutes
On considère la suite numérique (u n ) définie sur N par : u 0 = 2 et pour tout entier naturel
3
1
n, u n+1 = − u n2 + 3u n − .
2
2
Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u 1 et u 2 .
2. Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u 3 et u 4 .
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u n ).
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (v n ) définie pour tout entier naturel n, par : v n = u n − 3.
1
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 = − v n2 .
2
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, −1 6µv n 6 0. ¶
1
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 − v n = −v n v n + 1 .
2
b. En déduire le sens de variation de la suite (v n ).
4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite (v n ) converge ?
5. On note ℓ la limite de la suite (v n ). On admet que ℓ appartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie
1
l’égalité : ℓ = − ℓ2 .
2
Déterminer la valeur de ℓ.
6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
E XERCICE 164
40 minutes
4
.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 5 −
x +2
On admettra que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[.
On a tracé en fin d’énoncé dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f ainsi
que la droite D d’équation y = x.
+
1. Démontrer que f est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Résoudre l’équation f (x) = x sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note α la solution. On donnera la
valeur exacte de α puis on en donnera une valeur approchée à 10−2 près.
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
61
3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ).
Sur la figure ci-dessous, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points M 0 , M 1 et M 2
d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u 0 , u 1 et u 2 .
6
5
4
s
a
r
u
D
I
F
L
3
2
1
O
1 2 3 4 5 6 7
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (u n ) ?
4. a. Démontrer, par récurrence, que ∀n ∈ N, 0 6 u n 6 u n+1 6 α, où α est le réel défini dans
la question 2.
b. Peut-on affirmer que la suite (u n ) est convergente ? On justifiera la réponse.
n
X
uk = u0 + u1 + · · · + un .
5. Pour tout n ∈ N, on définit la suite (S n ) par S n =
k=0
a. Calculer S 0 , S 1 et S 2 . Donner une valeur approchée des résultats à 10−2 près.
b. Montrer que la suite (S n ) diverge vers +∞.
E XERCICE 165
40 minutes
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant
l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier naturel n > 1 , on note En l’évènement « Amélie est arrêtée par le n ème feu
rouge ou orange » et En , l’événement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu
rouge.
Soit p n la probabilité de En et q n celle de En . La probabilité que le premier feu tricolore soit
1
rouge ou orange vaut .
8
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• la probabilité que le (n + 1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, si le n ème feu est rouge ou
1
;
orange, vaut
20
• la probabilité que le (n + 1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, si le n ème feu est vert, est
9
égale à
.
20
1. On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.
a. Etablir l’arbre pondéré illustrant la situation.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
62
b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de X .
c. Calculer l’espérance mathématique de X .
2. On se place maintenant dans le cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles p E n (E n+1 ) et p E n (E n+1 ).
³
´
b. En remarquant que E n+1 = (E n+1 ∩ E n ) ∪ E n+1 ∩ E n , montrer que, pour tout n > 1,
9
1
p n + qn .
p n+1 =
20
20
c. En déduire l’expression de p n+1 en fonction de p n .
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Soit la suite (u n ) de nombres réels définie pour out entier naturel n > 1 par u n = 28p n − 9.
a. Montrer que (u n ) est une suite géométrique et déterminer sa raison k.
b. Exprimer u n , puis p n en fonction de n.
c. Déterminer la limite, si elle existe, de p n , quand n tend vers +∞ . Donner une interprétation de ce résultat.
E XERCICE 166
Partie A
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x ln(x).
50 minutes
1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
2. Montrer que f ′ (x) = ln(x) + 1.
3. Déterminer les variations de f sur ]0 ; +∞[.
Partie B
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses,
la courbe C et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aire A.
1
O
C
1
2
U ←− 0
V ←− 0
n ←− 4
Pour k allant de
µ 0 à n¶− 1
1
k
U ←− U + f 1 +
n µ
n
¶
1
k +1
V ←− V + f 1 +
n
n
Fin pour
1. a. Que représentent U et V sur le graphique précédent ?
b. Quelles sont les valeurs de U et V après exécution de l’algorithme (on donnera une valeur approchée de U par défaut à 10−4 près et une valeur approchée par excès de V à
10−4 près) ?
c. En déduire un encadrement de A.
2. Soient les suites (Un ) et (Vn ) définies pour tout entier n non nul par :
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
Un
=
Vn
=
63
·
µ
¶
µ
¶
µ
¶¸
1
1
2
n −1
f (1) + f 1 +
+ f 1+
+··· + f 1+
n· µ
n
n
¶
µ
¶
µ
¶ n ¸ .
1
2
n −1
1
f 1+
+ f 1+
+··· + f 1+
+ f (2)
n
n
n
n
On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, Un 6 A 6 Vn .
a. Trouver le plus petit entier n tel que Vn −Un < 0, 1.
b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de A d’amplitude inférieure à 0, 1 ?
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C
Soit F la fonction dérivable, définie sur ]0 ; +∞[ par F (x) =
x2
x2
ln x − .
2
4
1. Vérifier que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
2. Calculer la valeur exacte de A.
E XERCICE 167
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
u n+1 =
p
45 minutes
2u n .
1. On considère la fonction suivante :
def suite(n) :
for n in range(1,n+1) :
u= sqrt(2*u)
return u
a. Donner une valeur approchée à 10−4 de u après l’exécution de cette fonction lorsque
l’on choisit n = 3.
b. Que permet de calculer cette fonction ?
c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cette fonction
pour certaines valeurs de n.
n
Valeur affichée
1
1,414 2
5
1,957 1
10
1,998 6
15
1,999 9
20
1,999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (u n ) ?
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < u n 6 2.
b. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ).
c. Démontrer que la suite (u n ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On considère la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = ln u n − ln 2.
1
a. Démontrer que la suite (v n ) est la suite géométrique de raison et de premier terme
2
v 0 = − ln 2.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
64
b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v n en fonction de n, puis de u n
en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 168
On considère la suite numérique (v n ) définie ∀n ∈ N par
Partie A

 v0
 v n+1
=
35 minutes
1
9
6 − vn
=
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes
de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
v ←− 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
v ←−
6−v
Fin pour
Afficher v
Algorithme No 2
Pour i variant de 1 à n faire
v ←− 1
Algorithme No 3
v ←− 1
Pour i variant de 1 à n faire
Afficher v
9
v ←−
6−v
Fin pour
Afficher v
9
v ←−
6−v
Fin pour
Afficher v
2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
2,600
2,647
2,684
2,714
2,969
2,969
2,970
2,970
2,970
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (v n ) ?
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, 0 < v n < 3.
(3 − v n )2
.
b. Démontrer que, pour tout n ∈ N, v n+1 − v n =
6 − vn
La suite (v n ) est-elle monotone ?
c. Démontrer que la suite (v n ) est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite (v n )
On considère la suite (w n ) définie ∀n ∈ N par w n =
1
.
vn − 3
1
3
2. En déduire l’expression de (w n ), puis celle de (v n ) en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (v n ).
1. Démontrer que (w n ) est une suite arithmétique de raison −
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
65
E XERCICE 169
35 minutes
Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos
peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de
location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du
service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
D’après une étude statistique :
s
a
r
u
D
I
F
L
• Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin
suivant est égale à 0, 84 ;
• Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin
suivant est égale à 0, 76.
A l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A,
l’autre moitié au point B.
On considère un vélo de la société pris au hasard.
Pour tout entier naturel non nul n, on définit les événements suivants :
•
A n : « le vélo se trouve au point A le n-ième matin »
• B n : « le vélo se trouve au point B le n-ième matin ».
Pour tout entier naturel non nul n, on note a n la probabilité de l’événement A n et b n la probabilité de l’événement B n . Ainsi a 1 = 0, 5 et b 1 = 0, 5.
1. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
...
...
A1
B1
...
A2
...
B2
...
A2
...
B2
2. a. Calculer a 2 .
b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé
au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
3. a. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les n-ième et n +1ième matins.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
66
an
...
An
Bn
...
A n+1
...
B n+1
...
A n+1
...
B n+1
b. Justifier que pour tout entier naturel non nul n, a n+1 = 0, 6a n + 0, 24.
4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, a n = 0, 6 − 0, 1 × 0, 6n−1 .
5. Déterminer la limite de la suite (a n ) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
6. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que a n > 0, 599 et interpréter le résultat obtenu
dans le contexte de l’exercice.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 170
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u 0 = 16 ;
et pour tout entier naturel n :


3u n + 2v n


 u n+1 =
5

u
+
vn

n

 v n+1 =
2
45 minutes
v0 = 5 ;
1. Calculer u 1 et v 1 .
2. On considère la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = u n − v n .
a. Démontrer que la suite (w n ) est géométrique de raison 0,1.
En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de w n en fonction de n.
b. Préciser le signe de la suite (w n ) et la limite de cette suite.
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n+1 − u n = −0, 4w n .
b. En déduire que la suite (u n ) est décroissante.
On peut démontrer de la même manière que la suite (v n ) est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu’on a alors : pour tout entier naturel n, v n > v 0 = 5.
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u n > 5.
En déduire que la suite (u n ) est convergente. On appelle ℓ la limite de (u n ).
On peut démontrer de la même manière que la suite (v n ) est convergente. On admet ce
résultat, et on appelle ℓ′ la limite de (v n ).
4. a. Démontrer que ℓ = ℓ′ .
b. On considère la suite (c n ) définie pour tout entier naturel n par : c n = 5u n + 4v n .
Démontrer que la suite (c n ) est constante, c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, on
a : c n+1 = c n .
En déduire que, pour tout entier naturel n , c n = 100.
c. Déterminer la valeur commune des limites ℓ et ℓ′ .
1.5. VERS LE BACCALAURÉAT
67
E XERCICE 171
30 minutes
Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour
un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.
Partie A : modèle discret
Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.
Pour tout entier naturel n, on note u n la taille, en mètre, du bambou n jours après le début de
l’observation. On a ainsi u 0 = 1.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se
traduit par l’égalité :
s
a
r
u
D
I
F
L
u n+1 = u n + 0, 05 (20 − u n ) pour tout entier natureln.
1. Vérifier que u 1 = 1, 95.
2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 95u n + 1.
b. On pose pour tout entier naturel n, v n = 20 − u n .
Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial
v 0 et la raison.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 20 − 19 × 0, 95n .
3. Déterminer la limite de la suite (u n ).
Partie B : modèle continu
Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction
donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps t exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle
(E )
y ′ = 0, 05(20 − y)
où y désigne une fonction de la variable t , définie et dérivable sur [0 ; +∞[ et y ′ désigne sa
fonction dérivée.
Soit la fonction L définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par L(t ) = 20 − 19e −0,05t .
1. Vérifier que la fonction L est une solution de (E ) et qu’on a également L(0) = 1.
2. On prend cette fonction L comme modèle et on admet que, si on note L ′ sa fonction dérivée,
L ′ (t ) représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant t .
a. Comparer L ′ (0) et L ′ (5).
b. Calculer la limite de la fonction dérivée L ′ en +∞.
Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au
début de l’exercice ?
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
68
1.6 Vers le supérieur
E XERCICE 172
1. En intégrant deux fois par parties, calculer u n =
Z(n+1)π
nπ
15 minutes
e −x sin xdx (n ∈ N).
2. On pose S n = u 0 + u 1 + · · · + u n .
Montrer que lorsque n tend vers l’infini, S n tend vers une limite que l’on calculera.
E XERCICE 173
⋆
1
1
1
20 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
Soit la suite (S n ) définie sur N par : S n = 1 +
1
+
1
23
Zn+1
1
1
33
+··· +
1
n3
.
1
dx 6 1 .
n
(n Z
+ 1)
x Z
n3
n+1 1
n 1
dx 6 S n 6
dx.
2. En déduire l’encadrement :
1
1
1
1 x3
x3
Sn
3. Prouver que 2 admet une limite finie que l’on déterminera.
n3
1. Justifier, que pour n > 1,
1
3
6
1
3
E XERCICE 174
n
X
1
1
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies sur N par u n =
p et v n = p u n .
n
p=1 p
15 minutes
⋆
1. Démontrer les inégalités
 Zp+1
1


p dx

x
p
Z
p
1



p dx
x
p−1
6
>
1
p
p
1
p
p
si
p ∈ N,
p >1
si
p ∈ N,
p >2
p
p
2. En déduire, pour tout n > 0, l’encadrement de u n : −2 + 2 n + 1 6 u n 6 −1 + 2 n.
3. Déterminer les limites éventuelles, lorsque n tend vers l’infini, des suites (u n ) et (v n ).
E XERCICE 175
Z1
xn
Pour n entier naturel, on pose u n =
dx.
2
0 1 + 2x + 4x
1. Démontrer que l’on définit ainsi une suite (u n ) à termes positifs ou nuls.
2. Etudier le sens de variation de la suite (u n ).
3. En déduire que la suite (u n ) converge.
1
6 a, pour tout x ∈ [0 ; 1].
4. Déterminer un réel a vérifiant :
1 + 2x + 4x 2
5. En déduire la limite de la suite (u n ).
E XERCICE 176
Soit les suites (u n ) et (v n ) définies sur N⋆ par
1
2
n
1
2
n
u n = sin 2 + sin 2 + · · · + sin 2 et v n = 2 + 2 + · · · + 2 .
n
n
n
n
n
n
20 minutes
20 minutes
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
69
1
1. Démontrer que la suite (v n ) converge vers .
2
x3
x2
+ cos x et h(x) = −x +
+ sin x.
2. On pose f (x) = x − sin x, g (x) = −1 +
2
6
Démontrer que les fonctions f , g et h ne prennent que des valeurs positives ou nulles sur
l’intervalle [0 ; +∞[. (On pourra utiliser les variations de chacune des trois fonctions).
3. Justifier que pour tout n > 1, 13 + 23 + · · · + n 3 6 n 4 .
1
1
4. Déduire de la question 2. l’inégalité : v n − × 2 6 u n 6 v n , pour tout n > 1.
6 n
5. Démontrer que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 177
30 minutes
1
e un
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = et ∀n ∈ N, u n+1 =
.
2
un + 2
ex
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) =
.
x +2
a. Calculer f ′ (x) et f ′′ (x).
b. Etudier les variations de f . Quelle est l’image du segment [0; 1] par f ?
2
1
c. Démontrer que, pour tout x ∈ [0; 1], 6 f ′ (x) < .
4
3
d. Etablir que l’équation f (x) = x admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1].
2. a. Démontrer que si la suite (u n ) admet une limite ℓ, alors f (ℓ) = ℓ. °
°
° u n+1 − ℓ ° 2
°
b. En utilisant le résultat de la question 1.c., démontrer que, ∀n ∈ N, °
° u −ℓ ° 6 3.
n
☞ Inégalité des accroissements finis : Soit f une application continue °sur [a; b], dérivable
sur
°
° f (b) − f (a) °
° ′ °
° 6 M.
]a; b[. S’il existe un réel M tel que : ∀x ∈]a; b[, ° f (x)° 6 m alors °
°
° b−a
µ ¶n
2
.
c. Démontrer que ∀n ∈ N, ku n − l k 6
3
d. En déduire que la suite (u n ) converge vers ℓ et déterminer le plus petit entier n tel que
|u n − ℓ| < 10−3 .
E XERCICE 178
∗
Pour tout entier n de N , on considère l’intégrale : I n =
Ze
1
20 minutes
n
(ln x) dx.
1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[,et pour tout n entier naturel, on a :
(ln x)n − (ln x)n+1 > 0.
b. En déduire que la suite (I n ) est décroissante.
2. a. Vérifier que F (x) = x ln x − x est une primitive de ln x. En déduire la valeur de I 1 .
b. On admet que ∀n ∈ N∗ , I n+1 = e − (n + 1)I n .
Calculer I 2 , I 3 et I 4 . Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs
approchées à 10−3 près par défaut.
3. a. Démontrer que, pour tout n ∈ N∗ , I n > 0.
b. Démontrer que, pour tout n ∈ N∗ , (n + 1)I n 6 e.
c. En déduire la limite de I n .
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
70
d. Déterminer la valeur de nI n + (I n + I n+1 ) et en déduire la limite de nI n .
E XERCICE 179
Pour tout n ∈ N, on considère I n =
Ze
1
20 minutes
n
(ln x) dx.
1. Calculer I 0 .
2. A l’aide d’une intégration par parties, établir une relation entre I n et I n+1 .
3. Montrer par récurrence que I n = a n e + b n ,
avec a n terme général d’une suite (a n ) définie par a 0 = 1 et ∀n ∈ N, a n+1 = 1 − a n (n + 1) ;
b n terme général d’une suite (b n ) définie par b 0 = −1 et ∀n ∈ N⋆ , b n = n! (−1)n+1 .
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Déterminer le signe de I n .
e
.
n +1
6. Etudier le comportement de I n lorsque n tend vers +∞.
5. A l’aide de la question 2. montrer que I n 6
E XERCICE 180
p
Etudier la convergence de la suite (u n ) définie par u 0 > 0 et u n+1 = u n +
E XERCICE 181
Calculer la limite de chaque suite (u n ) définie sur N∗ par :
1! + 2! + · · · + n!
1! + 2! + · · · + n!
1. u n =
,
2. u n =
,
(n − 1)!
(n)!
3. u n =
1
.
n +1
20 minutes
15 minutes
1! + 2! + · · · + n!
.
(n + 1)!
E XERCICE 182
20 minutes
Un père décide de distribuer à ses enfants une certaine quantité de pièces d’or. En toute équité,
il répartit ainsi les pièces : à l’aîné, il donne 5 pièces d’or ; au deuxième enfant, le double de
l’aîné moins 2 pièces et ainsi de suite. Au n ème enfant, le double du (n − 1)ème moins n pièces.
Le n ème enfant désire recevoir sa part immédiatement.
1. Peut-on exprimer le nombre de pièces d’or donnés au n ème enfant, en fonction de n ?
Quelle sera sa part si n = 10 ?
2. Soit a n le nombre de pièces d’or reçues par le n ème enfant.
Vérifier que a 1 = 5 et ∀n > 2, a n = 2a n−1 − n.
3. On pose v n = a n − n − 2. Montrer que la suite (v n ) est géométrique.
4. Conclure.
E XERCICE 183
un
.
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = q
2
un + 1
1. Calculer les cinq premiers termes de la suite.
2. Conjecturer une formule explicite pour u n .
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
15 minutes
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
71
E XERCICE 184
"
#
n
1 X
⋆
ln (n + k) − ln (n).
Soit (u n ) la suite définie sur N par u n =
n k=1
µ
¶
n
k i
1h X
ln 1 +
.
1. Démontrer que u n =
n k=1
n
2. a. Pour k entier, compris entre 0 et n − 1, démontrer que :
20 minutes
¶ Z1+ k+1
¶
µ
µ
n
1
1
k
k +1
6
ln (x)dx 6 ln 1 +
ln 1 +
n
n
n
n
1+ nk
Z2
1
b. En déduire que : u n − ln (2) 6
ln (x)dx 6 u n .
n
1
c. En déduire un encadrement de u n .
3. Déterminer la limite de la suite (u n ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 185
⋆
Soit (u n ) la suite définie sur N par u n =
Zπ
0
cos (nx)
5
4
− cos (x)
20 minutes
dx.
1. Justifier l’existence de u n (on ne cherchera pas à calculer u n ).
2π
4π
. Démontrer que u 1 =
.
2. On admet que u 0 =
3
3
3. a. Transformer la somme cos (n + 2)x + cos nx en un produit de cosinus.
5
b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ∀n ∈ N, u n + u n+2 = u n+1 .
2
µ ¶
4π 1 n
.
c. En déduire que ∀n ∈ N, u n =
3 2
4. On pose S n = u 0 + u 1 + · · · + u n .
Exprimer S n en fonction de n, puis déterminer la limite de la suite (S n ).
E XERCICE 186
³ nπ ´
20 minutes
diverge.
1. Démontrer que la suite de terme général u n = n. sin2
3 1
µ
¶
n
1
2. Démontrer que la suite de terme général v n = 1 + sin n converge.
2
E XERCICE 187
Zπ
Zπ
6
6
∗
On pose I 0 =
sin 3x dx et, ∀n ∈ N , I n =
x n sin 3x dx.
0
25 minutes
0
1. a. Calculer I 0 .
b. En utilisant une intégration par parties calculer I 1 .
2. a. En effectuant deux intégrations par parties successives, déterminer, lorsque n > 1, I n+2
en fonction de I n .
2
π2
− .
b. Vérifier que I 3 =
108 27
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
72
3. Sans calculer l’intégrale I n :
a. montrer que la suite (I n )n∈N est monotone ;
b. pour tout nombre n entier naturel non nul, comparer I n à
Zπ
6
0
x n dx ;
c. déterminer lim I n .
n→+∞
E XERCICE 188
25 minutes
Z1
1
(1 − x)n e −x dx.
n! 0
a. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1 .
Z
1 1 −x
b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul, 0 6 I n 6
e dx.
n! 0
En déduire lim I n .
1. On pose, pour tout entier naturel n non nul, I n =
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
c. Montrer, en utilisant une intégration par parties que :
1
− In .
∀n ∈ N∗ , I n+1 =
(n + 1)!
2. On considère la suite (a n ), définie par a 1 = 0 et, ∀n ∈ N∗ , a n+1 = a n +
1
a. Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N , a n = + (−1)n I n .
e
b. En déduire lim a n .
(−1)n+1
.
(n + 1)!
∗
n→+∞
E XERCICE 189
1
Z1
25 minutes
n
t
2
(1 − t ) e dt .
2n+1 n! 0
1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I 1 .
Pour tout naturel n > 1 on pose : I n =
2. Démontrer que pour tout naturel n > 1 on a : I n+1 = I n −
1
2n+1 (n + 1)!
.
1 1
1 1
e = 1+ · +· · ·+ n · + I n .
2 1!
2 n!
1
4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 6 I n 6 n A.
2 n!
t
On pourra déterminer A en majorant la fonction : t 7−→ (1 − t )n e 2 sur l’intervalle [0 ; 1].
1 1
1 1
En déduire la limite quand n tend vers l’infini de u n = 1 + · + · · · + n · .
2 1!
2 n!
3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n > 1 on a :
p
E XERCICE 190
On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par : I n =
2
1. a. Soit g la fonction définie par g (x) = xex .
Vérifier que la fonction G définie sur R par G(x) =
fonction g .
Z1
0
35 minutes
n x2
x e
dx.
1 x2
e est une primitive sur R de la
2
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
73
b. En déduire la valeur de I 1 .
c. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supén +1
1
In .
rieur ou égal à 1, on a : I n+2 = e −
2
2
d. Calculer I 3 et I 5.
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n > 0.
b. Montrer que la suite (I n ) est décroissante.
c. En déduire que la suite (I n ) est convergente. On note ℓ sa limite.
3. Déterminer la valeur de ℓ.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 191
Dans cet exercice :
*
*
*
20 minutes
I désigne l’intervalle [0,4 ; 0,7] ;
α est le réel tel que e −α = α ;
ϕ est la fonction définie sur R par ϕ(x) = e− x ;
*
u est la suite
½ récurrente
u0
= 0, 4
définie par
u n+1 = ϕ(u n )
Point de cours : Inégalité des accroissements finis : soit f une fonction
sur un
¯ continue
¯
¯
¯
intervalle [a, b], à valeurs¯dans R, dérivable
sur
]a,
b[.
Soit
M
telle
que
f
(x)
|
6
M
,
0
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
pour tout x ∈ [a, b], alors f (y) − f (x) 6 M y − x pour tout x, y ∈ [a, b].
1. Montrer qu’on a, pour tout x ∈ I .
a. ϕ(x) ∈ I.
b. |ϕ′ (x)| 6 0, 7.
c. |ϕ(x) − α| 6 0, 7|x − α|.
2. a. Montrer qu’on a, pour tout n ∈ N, |u n+1 − α| 6 0, 7 |u n − α|, puis en déduire par récurrence qu’on a, pour tout n ∈ N, |u n − α| 6 0, 3 × (0, 7)n .
b. Conclure alors quant à la convergence de la suite u.
3. Déterminer un entier p tel que, pour n > p, on ait |u n − α| 6 10−3 , puis donner à l’aide de la
calculatrice une valeur approchée de u p à 10−3 près.
E XERCICE 192
35 minutes
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x) = x − x ln x.
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +∞.
2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que g ′ (x) = − ln x.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g .
Partie B
Soit (u n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par u n =
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a. le sens de variation de la suite (u n ) ;
b. la limite éventuelle de la suite (u n ).
en
.
nn
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
74
2. Soit (v n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par v n = ln (u n ).
a. Montrer que v n = n − n lnn.
b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v n ).
c. En déduire le sens de variation de la suite (u n ).
3. Montrer que la suite (u n ) est bornée.
4. Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
E XERCICE 193
µ
ln (n + 1)
ln n
¶n. ln n
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
Calculer la limite de la suite (u n ) définie pour tout n > 1 par u n =
.
E XERCICE 194
Soit la suite (u n ) définies par u 0 ∈ N, u 0 > 4 et ∀n ∈ N, u n+1 = 2u n − 3.
20 minutes
E XERCICE 195
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f n définie sur R par :
40 minutes
1. On pose v n = u n − 3.
Montrer que la suite (v n ) est géométrique.
En déduire l’expression de v n , puis de u n en fonction de u 0 et de n.
2. Quels sont les entiers u 0 (u 0 > 4) tels que, pour tout n ∈ N, 3un soit le cube d’un entier naturel ?
3. On suppose u 0 = 4. Déterminer toutes les valeurs de n telles que 3un − 1 soit un multiple de
11.
f n (x) =
ex
.
enx (1 + ex )
Soit la suite u définie pour tout entier naturel n par : u n =
µ
¶
1+e
1. Montrer que u 0 = ln
.
2
2. Montrer que u 0 + u 1 = 1. En déduire u 1 .
3. Montrer que la suite u est positive.
4. On pose k(x) = f n+1 (x) − f n (x),
1 − ex
a. Montrer que, pour tout x réel, k(x) = nx
.
e (1 + ex )
b. Etudier le signe de k(x) pour x ∈ [0 ; 1].
c. En déduire que la suite u est décroissante.
5. a. Montrer que, ∀n > 2, on a : u n−1 + u n =
b. Calculer u 2 .
Z1
1 − e−(n−1)
.
n −1
6. Soit v la suite définie pour tout entier n > 2 par : v n =
a. Calculer la limite de v n quand n tend vers +∞.
0
f n (x) dx.
u n−1 + u n
.
2
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
75
b. Montrer que, pour tout entier n > 2, on a : 0 6 u n 6 v n .
c. En déduire la limite de u n quand n tend vers +∞.
E XERCICE 196
Partie A
50 minutes
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) =
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′ (x) =
³ x ´
1
.
+ ln
x +1
x +1
1
.
x(x + 1)2
s
a
r
u
D
I
F
L
Dresser le tableau de variations de la fonction f .
3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
Partie B
Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif par
1
1 1
+ + . . . + − ln n.
2 3
n
un = 1 +
1. On considère l’algorithme suivant :
u ←− 0
Pour i variant de 1 à n
1
u ←− u +
i
Fin Pour
Donner la valeur exacte contenue dans la variable u après l’exécution de cet algorithme
lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.
2. Compléter l’algorithme précédent afin qu’il calcule la valeur de u n lorsque l’utilisateur entre
la valeur de n.
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3 .
n
un
4
0,697
5
0,674
6
0,658
7
0,647
8
0,638
9
0,632
10
0,626
100
0,582
1 000
0,578
2 000
0,577
A l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (u n ) et
son éventuelle convergence.
Partie C
Cette partie permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (u n ) telle que
1
1 1
pour tout entier strictement positif n, u n = 1 + + + . . . + − ln n.
2 3
n
1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n, u n+1 − u n = f (n), où f est la fonction
définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite
(u ).
Zk+1 µ n ¶
1
1
dx > 0.
−
2. a. Soit k ∈ N∗ . Justifier l’inégalité
k x
k
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
76
b. En déduire que
Zk+1
k
1
1
dx 6 .
x
k
1
(1).
k
d. Ecrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que
1 1
1
pour tout n ∈ N∗ , ln(n + 1) 6 1 + + + . . . + .
2 3
n
e. En déduire que pour tout entier strictement positif n, u n > 0.
3. Prouver que la suite (u n ) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
c. Démontrer l’inégalité ln(k + 1) − ln k 6
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 197
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = x + e−x .
40 minutes
³ →
− →
−´
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, ı ,  .
Partie A
1. Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[.
2. Déterminer la limite de f en +∞.
3. Déterminer la limite de f (x) − x en +∞. Que peut-on en déduire graphiquement ?
Partie B
On considère la suite (u n )n >1 à termes positifs définie par :
u 1 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ) = u n + e −un
1. Démontrer que, pour tout réel x positif, ln(1 + x) 6 x.
On pourra étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = x − ln(1 + x).
1
2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n + 1) 6 ln(n) + .
n
1
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f [ln(n)] = ln(n) + .
n
4. Démontrer par récurrence que, pour tout n > 0, ln(n) 6 u n .
5. En déduire la limite de la suite (u n ).
1
1
Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n > 2, u n 6 1 + + · · · +
.
2
n −1
Zk
1
1
dx.
6. a. Démontrer que, pour tout entier k > 2, on a : 6
k
k−1 x
b. En déduire que, pour tout entier n > 2, on a : u n 6 1 + ln(n − 1).
7. Pour tout entier n > 2, on
que ln(n) 6 u n 6 1 + ln(n − 1).
µ a montré
¶
un
Démontrer que la suite
converge vers 1.
ln(n) n >2
E XERCICE 198
Soit la suite définie par : u 0 = 0 et ∀n ∈ N,
30 minutes
u 2n = u n et u 2n+1 = 1 − u n .
1. Calculer u 2018.
2. Déterminer le nombre d’indices n, inférieurs ou égaux à 2018, tels que u n = 0.
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
77
E XERCICE 199
Dans tout le problème, ǫ et q sont deux réels strictement positifs.
On considère une suite (x n ) telle que x 0 > 0 et ∀n ∈ N, 0 6 x n+1 − q x n 6 ǫ.
40 minutes
1. Pour tout entier naturel n, on pose b n = x n+1 − q x n .
Montrer que ∀n > 1, x n = q n x 0 + q n−1 b 0 + q n−2 b 1 + · · · + qb n−2 + b n−1 .
2. Dans cette question, on suppose que q > 1.
b n−1
b0 b1
+ 2 +··· + n .
Pour tout n ∈ N∗ , on pose u n =
q
q
q
Montrer que la suite (u n ) converge. On note s sa limite.
ǫ
3. Pour tout n > 1, montrer que 0 6 s − u n 6 n
.
q (q − 1)
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 200
35 minutes
¡ ¢
On considère les suites (x n ) et y n définies pour tout entier naturel n non nul par :
xn =
Z1
0
n
t cos t dt
et
yn =
Z1
0
t n sin t dt .
1. a. Montrer que la suite (x n ) est à termes positifs.
b. Etudier les variations de la suite (x n ).
c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x n ) ?
1
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n 6
.
n +1
b. En déduire la limite de la suite (x n ).
3. a. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non
nul, x n+1 = −(n + 1)y n + sin(1).
b. En déduire que lim y n = 0.
n→+∞
4. On admet que, pour tout n > 0, y n+1 = (n + 1)x n − cos(1).
Déterminer lim nx n et lim n y n .
n→+∞
E XERCICE 201
n→+∞
30 minutes
1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u n ) et (v n ) sont
deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
•
•
•
Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.
Propriété 1 : si deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes avec (u n ) croissante et (v n ) décroissante alors pour tout n ∈ N, v n > u n .
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
2. Dans les cas suivants, les suites (u n ) et (v n ) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ?
Justifier les réponses.
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
78
a. u n = 1 − 10−n et v n = 1 + 10−n ;
b. u n = ln(n + 1) et v n = ln(n + 1) +
1
;
n
(−1)n
1
et v n = 1 +
.
n
n
∗
3. On considère un nombre
réel
¶ a positif et les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout n ∈ N par :
µ
1
1
u n = 1 − et v n = ln a + .
n
n
Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?
c. u n = 1 −
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 202
45 minutes
On recense une population tous les 40 ans.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution de cette population suivant un modèle particulier
que l’on précise à partir de trois recensements.
Partie A : Présentation concrète
La population, pour la tranche d’âge de 0 à 80 ans, a été recensée en 1900, 1940 et 1980, en
séparant les deux classes d’âges suivantes :
• la classe A constituée par tous les individus d’âge inférieur ou égal à 40 ans ;
• la classe B constituée par tous les individus d’âge strictement supérieur à 40 ans et d’âge
inférieur ou égal à 80 ans.
Les recensements de 1900, 1940, 1980 ont donné les résultats suivants (effectifs en millions
d’habitants) :
Années
1900
1940
1980
Classe A
a 0 = 30
a 1 = 28
a 2 = 28, 8
Classe B
b 0 = 20
b 1 = 24
b 2 = 22, 4
Total
t 0 = 50
t 1 = 52
t 2 = 51, 2
On suppose que les classes ont évolué de telle sorte qu’il existe trois coefficients réels α, β et γ
tels que :
½
a1
b1
=
=
αa 0 + βb 0
γa 0
et
½
a2
b2
=
=
αa 1 + βb 1
γa 1
1. Déterminer α, β et γ.
2. On note a n l’effectif de la classe A au recensement de l’année (1900 + 40n).
On note b n l’effectif de la classe B au recensement de l’année (1900 + 40n).
On suppose que le modèle exposant le renouvellement des classes A et B se conserve pour
tous les recensements avec les mêmes coefficients α, β et γ.
Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n , b n , α, β et γ.
Partie B
On se propose d’étudier les suites v et w vérifiant :
½
v n+1 =
(1) ∀n ∈ N
w n+1 =
αv n + βw n
γv n
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
79
1. Démontrer que v n+2 = αv n+1 + βγv n .
¡
¢
En déduire que si q 1 et q 2 sont deux réels distincts de somme α et de produit −βγ , alors les
¢
¢ ¡
¡
suites v n+1 − q 1 v n et v n+1 − q 2 v n sont géométriques et de raisons respectives q 2 et q 1 .
2. En déduire v n+1 − q 1 v n , v n+1 − q 2 v n , puis v n en fonction de v 0, v 1 , q 1 , q 2 , n. (on ne cherchera pas à calculer q 1 et q 2 ici).
Exprimer de même w n .
3. Calculer q 1 et q 2 puis lim v n et lim w n dans le cas particulier suivant : α = 0, 6, β = 0, 5
n→+∞
n→+∞
et γ = 0, 8.
4. En déduire a n et b n en fonction de n. Exprimer t n = a n + b n en fonction de n et déterminer
sa limite.
Interpréter ce résultat.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C
α, β et γ sont toujours trois réels appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.
1. On suppose que les suites v et w ont des limites finies non nulles.
Démontrer, en utilisant les relations (1) que nécessairement α + βγ = 1.
2. Réciproquement, si α + βγ = 1, démontrer que les suites v et w sont convergentes. (On
pourra vérifier que q 1 et q 2 prennent les valeurs 1 et (α − 1).
☞ Remarque : la condition α + βγ = 1 est donc un critère permettant, pour ce modèle, de
prévoir l’existence à long terme d’un équilibre pour la population.
Si cette condition n’est pa vérifiée, on peut montrer que la population est :
• en voie d’expansion si α + βγ > 1,
• en voie d’extinction si α + βγ < 1.
E XERCICE 203
On se propose d’étudier l’ensemble E, des suites (u n ) telles que :
30 minutes
(1) ∀n ∈ N, 2u n+2 − 5u n+1 + 2u n = 0
1. Montrer qu’une progression géométrique (r n ), r réel non nul, appartient à E si et seulement
si, r vérifie la relation 2r 2 − 5r + 2 = 0.
Résoudre cette équation.
¡
¢
2. Montrer que toute suite λ2−n + µ2n , où λ et µ désignent deux réels arbitraires, appartient
à E.
3. Soit a et b deux réels. Montrer qu’il existe dans E au plus une suite (u n ) vérifiant u 0 = a et
u 1 = b.
4. Utiliser le résultat de la question précédente pour montrer qu’à chaque élément (u n ) de E
¡
¢
on peut associer un couple unique λ, µ de réels tels que u n = λ2−n + µ2n .
5. Soit a et b deux réels. Montrer qu’il existe dans E une suite (u n ) vérifiant u 0 = a et u 1 = b.
3
6. Application : calculer u 3 , u 4 , λ et µ quand a = 0, puis quand a = 2 et b = , puis quand a = 2
2
5
et b = .
2
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
80
E XERCICE 204
¡ ¢
On considère les suites (x n ) et y n définies sur N par
x 0 = y 0 = 2, x n+1 =
30 minutes
1
3
1
y n et y n+1 = x n + y n
4
4
2
¢
¡
Soit M n le point de coordonnées x n , y n .
1. On considère la suite (v n ) définie pour tout n ∈ N par v n = x n + y n .
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique.
b. Cette suite est-elle convergente ?
c. Exprimer x n + y n en fonction de n.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N : x n > 0 et y n > 0.
3. On considère les suites (u n ) et (w n ) définies sur N par u n =
u n − 13
xn
.
et w n =
yn
un + 1
1
.
3u n + 2
Démontrer que (w n ) est une suite géométrique.
Exprimer w n , puis u n en fonction de n.
En déduire que la suite (u n ) est convergente.
xn
et v n = x n + y n , donner les expressions de x n et y n en
En utilisant les valeurs de u n =
yn
fonction de n.
¡ ¢
En déduire les limites des suites (x n ) et y n et la position limite des points M n lorsque
n tend vers l’infini.
a. Démontrer que ∀n ∈ N, u n+1 =
b.
c.
d.
e.
f.
E XERCICE 205
On considère la suite (I n ) définie par : I 0 =
Z1
0
1
e dx et ∀n ∈ N par I n =
n!
x
⋆
Z1
Z
1 1
(1 − x)n dx.
n! 0
b. Sachant que pour tout x ∈ [0; 1], 1 6 e x 6 e,
1
e
démontrer que ∀n > 1 on a
6 In 6
.
(n + 1)!
(n + 1)!
c. En déduire que la suite (I n ) est convergente et déterminer sa limite.
2. a. Calculer I 0 , puis I 1 à l’aide d’une intégration par parties.
0
30 minutes
(1 − x)n e x dx.
1. a. Calculer
b. Etablir, en intégrant par parties, que pour tout n > 1 on a I n+1 − I n = −
1
1
+··· + .
1!
n!
a. En utilisant la relation (1) exprimer J n à l’aide de I 0 et I n .
b. En déduire la limite J de la suite (J n ).
1
e
c. Justifier l’encadrement :
6 J − Jn 6
.
(n + 1)!
(n + 1)!
3. On pose pour tout n > 1 : J n = 1 +
1
(1).
(n + 1)!
1.6. VERS LE SUPÉRIEUR
81
E XERCICE 206 : UN GRAND CLASSIQUE
20 minutes
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On considère les suites (a n ) et (b n ) définies par
p
an + bn
.
a 0 = a, b 0 = b et pour tout n ∈ N, a n+1 = a n b n et b n+1 =
2
1. Démontrer que ∀n ∈ N, a n > 0 et b n > 0.
1 ³p
p ´2
2. Démontrer que ∀n ∈ N, b n+1 − a n+1 =
bn − an .
2
En déduire que ∀n ∈ N, a n 6 b n .
³p
p ´p
bn − an an .
3. Démontrer que ∀n ∈ N, a n+1 − a n =
an − bn
4. Démontrer que ∀n ∈ N, b n+1 − b n =
.
2
5. Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes et ont la même limite.
s
a
r
u
D
I
F
L
82
CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES
s
a
r
u
D
I
F
L
Chapitre 2
Fonctions
s
a
r
u
D
I
F
L
2.1 Fonctions dérivées
2.1.1 Point de cours
Définitions :
f (x 0 + h) − f (x 0 )
tend vers
h
un nombre réel quand h tend vers 0. Cette limite réelle est appelée nombre dérivé de f en x 0
et noté f ′ (x 0 ).
f (x 0 + h) − f (x 0 )
= f ′ (x 0 )
• On note : lim
h→0
h
• La fonction f est dérivable sur un intervalle ]a; b[ lorsque f est dérivable en tout x 0 de ]a; b[.
• La fonction f est dérivable en x 0 lorsque le taux d’accroissement
Equation de la tangente : lorsque la fonction f est dérivable en x 0 , la droite T passant par
¡
¢
le point de coordonnées x 0 ; f (x 0 ) et de coefficient directeur f ′ (x 0 ) est appelée tangente à la
courbe C au point d’abscisse x 0 . L’équation réduite de T est y = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ).
Propriétés :
• les fonctions polynômes sont dérivables sur R ;
• les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ;
• la fonction racine carrée est dérivable sur ]0; +∞[ ;
• la somme et le produit de deux fonctions dérivables sur ]a; b[ sont dérivables sur ]a; b[ ;
• l’inverse d’une fonction dérivable qui ne s’annule pas sur ]a; b[ est dérivable sur ]a; b[.
Sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si ∀x ∈ I , f ′ (x) > 0 (resp. f ′ (x) < 0) sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où f ′ s’annule,
alors f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I .
• Si ∀x ∈ I , f ′ (x) = 0 alors f est constante sur I .
Propriété : soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à
I . Si f ′ s’annule en x 0 en changeant de signe, alors f (x 0 ) est un extremum local.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
84
Dérivées usuelles
Fonction f
k constante
x
xn
Domaine de dérivabilité
R
R
R
]−∞; 0[ ou ]0; +∞[
]0; +∞[
1
px
x
Fonction dérivée f ′
0
1
nx n−1
− x12
1
p
2 x
s
a
r
u
D
I
F
L
Fonctions composées : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur u(I ), alors la fonction v ◦ u est dérivable sur I .
Pour tout réel x de I , (v ◦ u)′ (x) = u ′ (x) × v ′ ◦ u(x).
Cas particuliers :
• si u est la fonction x → ax + b dérivable sur I et f est une fonction dérivable sur un intervalle
J = u(I ) alors la fonction g (x) = f (ax + b) est dérivable sur I et g ′ (x) = a × f ′ (ax + b) ;
p
• si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction u
¡p ¢′
u′
est dérivable sur I et u = p .
2 u
2.1.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 207
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3x 2 − 2x − 4.
5 minutes
E XERCICE 208
5 minutes
1. Calculer f (1) et f (1 + h).
f (1 + h) − f (1)
2. En déduire le rapport
.
h
3. Déterminer le nombre dérivé de f en 1.
4. Vérifier le résultat en utilisant directement la dérivée de f .
¡
3
3
¢
¡
¢¡
2
2
¢
1. Etablir la relation x − y = x − y x + x y + y pour tous réels x et y.
2. a. En déduire une factorisation de (3 + h)3 − 27.
b. Déterminer alors le nombre dérivé de la fonction f : x → x 3 en 3.
c. Vérifier le résultat en utilisant directement la dérivée de f .
E XERCICE 209
Déterminer f ′ (a) pour tout nombre réel a, avec :
1. f (x) = x + k avec k une constante réelle quelconque.
2. f (x) = x 2 .
10 minutes
3. a > 0, f (x) =
p
x.
1
4. a 6= 0, f (x) = .
x
2.1. FONCTIONS DÉRIVÉES
85
E XERCICE 210
5 minutes
Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C f d’une fonction f définie et
dérivable sur l’intervalle [−2 ; 4] ainsi que plusieurs tangentes à C f :
¡
¢
• T1 est la tangente au point A de coordonnées −1 ; e 2 ,
• T2 est la tangente au point B de coordonnées (0 ; 2e),
• T3 est la tangente au point C de coordonnées (1 ; 3).
On sait que la tangente T1 est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente T3 passe par le
point D de coordonnées (2 ; 1).
s
a
r
u
D
I
F
L
y
T3
T2
A
8
T1
b
7
6
b
B
5
4
3
b
C
2
1
-3
-2
-1
b
Cf
D
0
1
2
3
4
x
-1
1. Déterminer f ′ (−1), f ′ (0) et f ′ (1).
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point C .
E XERCICE 211
Par simple lecture graphique, déterminer les fonctions dérivables en 0.
y
y
C1
1
-2
-1
0
5 minutes
y
C2
1
1
x
-2
-1
0
C3
1
1
x
-2
-1
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
1
x
CHAPITRE 2. FONCTIONS
86
E XERCICE 212
15 minutes
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R, λ un réel donné. Pour la dernière
question, on supposera que la fonction g ne s’annule pas sur I .
¡
¢′
1. Démontrer que λ f (x) = λ f ′ (x).
¡
¢′
2. Démontrer que f (x) + g (x) = f ′ (x) + g ′ (x).
¡
¢′
3. Démontrer que f (x)g (x) = f ′ (x)g (x) + f (x)g ′ (x).
¶
µ
f (x) ′ f ′ (x)g (x) − f (x)g ′ (x)
=
4. Démontrer que
.
¡
¢2
g (x)
g (x)
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 213
15 minutes
Pour chaque fonction f , préciser l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité, puis
calculer f ′ (x).
p
1
4. f (x) = 4x 5 − 3x +
3
x4
x p
2
5. f (x) =
− 3x + − 2017
4
5
p
6. f (x) = x 2 + 1
1. f (x) = x 3 − x 2018 + 3
p
p
2. f (x) = x 4 + x − 2018
x 4 + 2x 3 − 3x
3. f (x) =
4
x3 + x
x2 − 3
8. f (x) = 4x 3p
(x 2 − 5)
2 x +3
9. f (x) = −
x
7. f (x) =
E XERCICE 214
10 minutes
La courbe représentative de la fonction f (x) = x 3 admet-elle des tangentes de coefficients directeurs 9 et −3 ?
E XERCICE 215
5 minutes
On donne ci-contre la représentation
graphique C d’une fonction f définie
sur [0 ; 10]. La tangente à la courbe C
au point A d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes ci-dessous,
déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée f ′ de
la fonction f .
3
2
0
-1
1
1
2
3
4
5 6
-2
b
1
A
-1 0
-1
1
2
3
-2
4
C
b
5
6
7
8
9 10
b
-3
-4
1
2
0
-1
3
7
8
9 10
3
2
2
1
1
0
-1
1
2
3 4
5
-3
0
-1
-2
-4
-2
-3
-3
-5
-3
-4
-4
-6
-4
-5
a. Courbe 1
b. Courbe 2
c. Courbe 3
d. Courbe 4
1
2
3
4
5
6
7 8
9 10
1
2
3
4 5
6
7
8
9 10
-2
6
7
8
9 10
2.1. FONCTIONS DÉRIVÉES
87
E XERCICE 216
1. Etablir la formule donnant la dérivée de
sur un intervalle I , de p
dérivée u ′ .
p
2. Calculer la dérivée de x 2 + 2x − 1.
p
5 minutes
u, u étant une fonction de x strictement positive
E XERCICE 217
10 minutes
C1 , C2 et C3 sont les courbes représentant les fonctions f , g et h définies sur R par : f (x) = x 2 +1,
1
1
g (x) = x 2 + x + et h(x) = −x 2 + 4x − 1.
2
2
1. Etablir les tableaux de variations de f , g et h.
2. Montrer que :
s
a
r
u
D
I
F
L
a. le point A(1; 2) est commun à C1 , C2 et C3 ;
b. les trois courbes admettent en A la même tangente T .
3. Ecrire une équation de T et étudier la position de chacune des courbes par rapport à T .
4. Chacune des courbes C1 , C2 et C3 admet-elle une tangente parallèle à la droite d’équation
y = x ? Si oui, préciser en quel point, et écrire son équation.
E XERCICE 218
10 minutes
5x 2 − 4x
.
Soit f la fonction définie sur R \ {−1 ; 1} par f (x) = 2
x −1
1. ³Etudier les´ variations de f et tracer sa courbe représentative C dans un repère orthonormé
→
− →
−
O, ı ,  .
2. Déterminer l’équation de la tangente en O à la courbe C. En quel autre point cette tangente
coupe la courbe C.
2.1.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 219
Soit f la fonction définie par f (x) =
orthonormé.
15 minutes
x
,
Γ
sa
courbe
représentative
dans
un repère
x 2 − 5x + 4
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Etudier les variations de la fonction f .
3. On désigne par A et B les points de la courbe Γ où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
a. Quelle est l’équation de la droite (AB ) ?
b. Quelle est l’abscisse du point C , distinct de A et de B , intersection de la droite (AB ) et
de la courbe Γ ?
E XERCICE 220
10 minutes
x 2 + (a − 5)x
, a étant un réel fixé.
On considère la fonction f définie sur R \ {1 ; 4} par f (x) = 2
x − 5x + 4
Comment choisir a pour que f :
CHAPITRE 2. FONCTIONS
88
1.
2.
3.
4.
soit une fonction toujours décroissante ;
présente un maximum et un minimum ;
ne présente qu’un minimum ;
soit une fonction homographique.
E XERCICE 221
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 − 2x, de courbe représentative C.
10 minutes
1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1.
2. Vérifier que pour tout nombre réel x : x 3 − 3x + 2 = (x − 1)(x 2 + x − 2)
3. En déduire la position de C par rapport à T .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 222
Démontrer par récurrence que :
15 minutes
1. Pour tout x ∈ R, (x n )′ = nx n−1 .
2. Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I de R, de dérivée u ′ , pour tout n ∈ N :
(u n )′ = nu ′ u n−1 .
E XERCICE 223
10 minutes
On cherche une courbe C qui passe par les points O(0; 0), B (3; −3) et qui admet pour tangentes
en O et B les droites (OC ) et (B D) avec C (−1; −5) et D(5; 1).
Soit f une fonction dérivable sur R dont C serait la courbe représentative.
Est-il possible de trouver f (x) sous la forme f (x) = ax 3 + bx 2 + c x + d où a, b, c et d sont des
nombres réels ?
E XERCICE 224
15 minutes
Tom veut fabriquer une boîte fermée de volume 1d m 3 ayant la forme d’un parallélépipède
rectangle de hauteur y et dont la base est un carré de côté x > 0. L’unité de longueur est le
décimètre.
1
1. Justifier que y = 2 .
x
4
2. En déduire que l’aire totale de la boîte est : S(x) = 2x 2 + .
x
4(x − 1)(x 2 + x + 1)
′
.
3. Montrer que pour x > 0, S (x) =
x2 ∗
4. a. En déduire le sens de variation de S sur R+ .
b. Donner les dimensions de la boîte d’aire minimale.
E XERCICE 225
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x 2 − 4 |x − 3|.
1. Etudier la dérivabilité de f .
2. Etudier les variations de la fonction f .
15 minutes
2.1. FONCTIONS DÉRIVÉES
89
E XERCICE 226
25 minutes
ℓ
R
α
h
R
s
a
r
u
D
I
F
L
Dans un disque en carton de rayon R , on découpe un secteur angulaire correspondant à un
angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On
souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal.
On appelle ℓ le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.
On rappelle que :
1
— le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire A et de hauteur h est A h,
3
— la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est r θ.
1. On choisit R = 20 cm.
a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est
¢
1 ¡
V (h) = π 400 − h 2 h.
3
b. Justifier qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette
valeur.
c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un
arrondi de α au degré près.
2. L’angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?
E XERCICE 227
15 minutes
Un point A se déplace sur une ligne droite (Ox) et la distance parcourue sur cette droite à partir
du point O et au bout d’un temps t est donné par la formule : d (t ) = 4t − 3t 2 .
1. Déterminer la vitesse et l’accélération du point A en fonction de t . On rappelle que la vitesse
du point est donnée par la dérivée et l’accélération par la dérivée seconde de la fonction d .
2. Au bout de quel temps le point A s’arrête-t-il pour rétrograder et après avoir parcouru quelle
distance ?
3. Au bout de quel temps le point A repasse-t-il par le point O ? Quelle est alors sa vitesse ?
4. Etudier les variations de la distance et de la vitesse en fonction du temps.
E XERCICE 228
20 minutes
On se propose de trouver dans quel cas la fonction f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c n’admet aucun
extremum sur R.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
90
¡
¢
1. Etudier le signe du trinôme 3x 2 + 2ax + b discuter en fonction des paramètres a et b .
2. Expliquer pourquoi les propriétés (P 1 ) et (P 2 ) sont équivalentes :
(P 1 ) : « f n’admet pas d’extremum sur R ».
(P 2 ) : « f ′ (x) est toujours du même signe ».
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f n’admette aucun extremum réel.
4. En déduire deux valeurs a et b pour lesquelles la fonction f n’admet aucun extremum réel.
E XERCICE 229
10 minutes
³ →
− →
−´
Dans le repère orthonormé O, ı ,  , on donne les points A(0, 4 ; 3, 6), B (3 ; 1), C (1 ; 1),
D(1 ; 2), E (0 ; 2), F (1 ; 0), G(3 ; 3), H (2 ; 1) et K (0 ; 2, 8)
Soit u et v deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; 3] de courbes représentatives respecA
tives Cu et Cv tracées ci-contre.
G
On donne les informations suivantes :
3
s
a
r
u
D
I
F
L
• La droite (O A) est tangente à Cu à l’origine du repère .
• La droite (K B ) est tangente à Cu au point
B.
K
Cv
D
2
E
• Les droites (E F ) et (G H ) sont tangentes à
Cv respectivement aux points E et G.
1
• Cu et Cv admettent respectivement aux
points D et C une tangente horizontale.
0
C
H
B
Cu
F
0
1
2
3
Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
µ ¶′
1
1. v ′ (3) = 3.
(1) = v ′ (1).
3.
v
2. u ′ (0) = 9.
4. (u × v)′ (3) = 1.
E XERCICE 230
15 minutes
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la propagation.
Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.
Temps en heure
Concentration en mg/l
0,5
1,6
1
2
1,5
1,9
2
1,6
3
1,2
4
0,9
5
0,8
6
0,7
7
0,6
8
0,5
9
0,4
10
0,4
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la
fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 10] par
g (t ) =
4t
t2 +1
.
Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g (t ) représente la concentration en mg/l de l’antibiotique.
2.1. FONCTIONS DÉRIVÉES
91
Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g .
1. Par lecture graphique donner sans justification :
a. les variations de la fonction g sur
[0 ; 10] ;
b. la concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières
heures ;
c. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieure à
1,2 mg/l.
2,0
+
+
+
1,5
+
s
a
r
u
D
I
F
L
2. a. La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; 10] et sa dérivée est g ′ .
Montrer ¡que : ¢
4 1− t2
g ′ (t ) = ¡
¢2 .
t2 +1
b. En utilisant l’expression de g ′ (t ),
montrer que la concentration
maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure
après l’injection.
+
1,0
+
+
+
+
0,5
+
+ +
t
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. On définit la CMI (concentration minimale inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la
concentration au-dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.
La CMI de l’antibiotique injecté est 1, 2 mg/l.
Déterminer, par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est-à-dire la durée pendant laquelle
la concentration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
E XERCICE 231
p
p
Soit la fonction f définie par f (x) = 1 − x + 1 + x.
10 minutes
1. Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité de la fonction f .
2. Etudier les variations de f et établir le tableau de variations.
p
p
3. En déduire la résolution et la discussion graphique de l’équation 1 − x + 1 + x = a, en
fonction de a réel donné.
E XERCICE 232
x 3 − 10x 2
Soit f la fonction définie sur R \ {1} par f (x) =
.
1−x
1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative C.
25 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
92
2. C coupe l’axe des abscisses en deux points, dont l’un noté A a une abscisse positive.
Calculer le coefficient directeur de la tangente en A à C.
3. Soit D la droite de coefficient directeur m passant par A.
Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de D et C.
Dans quels cas a-t-on deux points d’intersection ?
Quelles sont les coordonnées des points de contact de la tangente à C en A ?
4. Pour certaines valeurs de m, D et C se coupent en deux points M ′ et M ′′ .
¤
£
Calculer, en fonction de m, les coordonnées X et Y du point I , milieu du segment M ′ ; M ′′ .
Exprimer Y en fonction de X et en déduire P l’ensemble des points I .
Quels sont les points communs à C et P.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 233
15 minutes
ax 2 − x
où a est un réel positif donné.
Soit la fonction f définie sur R par f (x) =
ax 2 + 1
1. Montrer que f possède un maximum M et un minimum m.
2. Calculer M + m.
3. Etudier les variations de f pour a = 1.
E XERCICE 234
Soit f la fonction définie par f (x) =
³ →
− →
−´
normé O, ı ,  .
s
20 minutes
x3
, de courbe représentative Γ1 dans un repère ortho1−x
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Etudier les variations de f sur son ensemble de définition.
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ1 au point d’abscisse
1
.
2
4. Tracer Γ1 et T .
5. Sur le graphique précédent, tracer Γ2 courbe symétrique de Γ1 par la symétrie orthogonale
d’axe (Ox).
¡
¢
6. Soit Γ = γ1 ∪ Γ2 . Montrer que Γ est d’équation cartésienne : x x 2 + y 2 − y 2 = 0.
☞ Γ est appelée cissoïde de Dioclès.
2.2 Convexité
2.2.1 Point de cours
Définitions :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère.
• Dire que f est convexe sur I signifie que sur I , la courbe C est entièrement au-dessus de ses
tangentes.
• Dire que f est concave sur I signifie que sur I , la courbe C est entièrement au-dessous de ses
tangentes.
2.2. CONVEXITÉ
93
¡
¢
• Dire que le point A a; f (a) est un point d’inflexion de C signifie qu’en A la courbe C traverse
sa tangente.
Remarque : • Si f est convexe sur I alors la courbe C est entièrement au-dessous de ses cordes.
• Si f est concave sur I alors la courbe C est entièrement au-dessus de ses cordes.
Propriétés 1 : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• f est convexe sur I , si et seulement si f ′ est croissante sur I .
• f est concave sur I , si et seulement si f ′ est décroissante sur I .
Définition : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
Dire que f est deux fois dérivable sur I signifie que f ′ est elle-même dérivable.
La dérivée de f ′ , notée f ′′ , est appelée dérivée seconde de f .
s
a
r
u
D
I
F
L
Propriétés 2 : soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I .
• f est convexe sur I , si et seulement si, pour tout x ∈ I , f ′′ (x) > 0.
• f est concave sur I , si et seulement si, pour tout x ∈ I , f ′′ (x) 6 0.
¡
¢
• Le point A a; f (a) est un point d’inflexion de C si, et seulement si, f ′′ s’annule en a en
changeant de signe
2.2.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 235
5 minutes
Dans chaque cas, la fonction f , dérivable sur [−3 ; 3] est définie par sa courbe C. Lire graphiquement les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave et préciser les points d’inflexion
de C.
C2
1
1
b
C1
−3
−2
1
−1
−1
2
3
b
−3
−2
1
−1
2
3
2
3
−1
C4
1
1
b
−3
C3
−2
b
1
−1
−1
2
3
−3
−2
1
−1
b
−1
CHAPITRE 2. FONCTIONS
94
E XERCICE 236
Soit a un réel et f la fonction définie sur R par f (x) = ax 2 .
Démontrer que f est convexe sur R si a > 0 et concave que R si a < 0.
5 minutes
E XERCICE 237
10 minutes
1
Soit h une fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = . On note C sa courbe représentative dans
x
un repère orthonormé.
1. Etudier le signe de f ′′ . En déduire la convexité de f .
2. Etablir l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 1.
1
3. En déduire que pour tout nombre réel x > 0, > 2 − x.
x
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 238
Etudier la convexité de la fonction f définie sur R par f (x) = −8x 3 + 48x 2 .
5 minutes
E XERCICE 239
5 minutes
′
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée f d’une fonction f dérivable sur l’intervalle
[−7 ; 5].
x
−7
3
1
2
−2
5
f′
0
1
1. Déterminer le sens de variation de f .
2. Déterminer la convexité de f .
E XERCICE 240
5 minutes
Voici le tableau de signe de la fonction dérivée seconde f " d’une fonction f deux fois dérivable
sur ] − 10 ; 10[.
x
f (x)
′′
−10
+
−3
0
−
1
0
10
−
1. Déterminer le sens de variation de la dérivée f ′ de f .
2. Déterminer la convexité de f ainsi que les abscisses d’éventuels points d’inflexion.
E XERCICE 241
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = −x 4 − 2x 3 − 12x 2 + 8x + 6.
1. Conjecturer la convexité de f à l’aide de la calculatrice.
2. Déterminer le signe de f "(x) suivant les valeurs de x.
3. Infirmer ou confirmer la conjecture émise à la première question.
5 minutes
2.2. CONVEXITÉ
95
E XERCICE 242
5 minutes
Dans le repère ci-contre est représentée la
courbe représentative de la fonction f sur
3
1
[−4; 4] par : f (x) = x 2 + x − 1 ainsi que sa
2
4
tangente au point d’abscisse 2.
1. Déterminer graphiquement la convexité
de f sur l’intervalle [−4 ; 4].
2. En déduire que, pour tout réel x de
[−4 ; 4] :
1 2 3
11
x + x −1 >
x −3
2
4
4
2
puis que x > 4x − 4.
4
b
2
s
a
r
u
D
I
F
L
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
E XERCICE 243
5 minutes
Les propositions suivantes sont fausses. Infirmer chacune d’elle à l’aide d’un contre-exemple
éventuellement graphique.
1. Si une fonction n’est pas convexe sur un intervalle alors elle est concave sur cet intervalle.
2. Une fonction ne peut être convexe et concave sur un intervalle.
3. Si f est une fonction convexe sur un intervalle [a; b] avec a < b telle que f (a) = f (b) = 0,
alors f est positive sur l’intervalle [a; b]
E XERCICE 244
5 minutes
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
£
¤
Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle 0 ; 15 . On suppose que sa fonction dérivée, notée
£
¤
f ′ , est continue sur 0 ; 15 . Les variations de f ′ sont représentées dans le tableau ci-dessous.
x
0
5
30
15
20
f ′ (x)
−5
Affirmation 1 : La courbe représentative C f de la fonction f admet une et une seule tangente
parallèle à l’axe des abscisses.
£
¤
Affirmation 2 : La fonction f est convexe sur 5 ; 15 .
E XERCICE 245
5 minutes
Soit f une fonction dérivable et convexe sur R. Sa tangente au point d’abscisse 1 a pour équation y = −2x + 1.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
96
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. f (0) > 0
2. f (3) < −5
3. f (−2) > 5.
E XERCICE 246
5 minutes
On donne ci-dessous la courbe C représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 3]. On note f ′ la fonction dérivée de f .
La droite D est la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 ; elle passe par le point A de coordonnées (0, 5 ; 1).
La tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1 est parallèle à l’axe des abscisses.
s
a
r
u
D
I
F
L
T
A
+
1
+
C
0
0
1
2
3
Les réponses aux questions suivantes seront obtenues par lecture graphique.
1. Déterminer une équation de la droite D.
2. Donner la valeur de f ′ (1).
3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
E XERCICE 247 : QCM
On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f définie sur R.
Une des courbes ci-dessous représente la
fonction f ′′ . Laquelle ?
5 minutes
8
7
6
5
4
3
2
1
−5−4 −3−2−1
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8
2.2. CONVEXITÉ
97
a.
b.
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
s
a
r
u
D
I
F
L
−5−4−3 −2−1
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8
c.
1 2 3 4 5 6 7 8
d.
8
7
6
5
4
3
2
1
−5−4−3 −2−1
−1
−2
−3
−5 −4−3−2−1
−1
−2
−3
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
−5 −4−3−2−1
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8
2.2.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 248
10 minutes
p
Soit g une fonction définie sur ]0; +∞[ par g (x) = x, C sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
En utilisant la tangente à C au point d’abscisse 1, établir que pour tout nombre réel x > 0,
p
2 x 6 x + 1.
E XERCICE 249
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x 3 + 2x 2 − 20x + 24.
On note C la courbe représentative de f dans un repère.
15 minutes
1. Déterminer f ′ (x) et étudier le sens de variation de f ′ .
2. Déterminer la convexité de f et préciser les éventuels points d’inflexion.
3. Déterminer les équations des tangentes T−4 et T3 à la courbe
¸ d’abscisses −4 et 3.
¸ aux points
2
4. Déterminer la position relative de C et T−4 sur l’intervalle −∞ ; − .
3
CHAPITRE 2. FONCTIONS
98
·
·
2
5. Déterminer la position relative de C et T3 sur l’intervalle − ; +∞ .
3
E XERCICE 250
10 minutes
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 3] par f (x) = x 2 (1 − ln x).
On donne ci-dessous sa courbe représentative C.
2,0
s
a
r
u
D
I
F
L
1,5
1,0
C
0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
−0,5
−1,0
On admet que f est deux fois dérivable sur ]0 ; 3], on note f ′ sa fonction dérivée et on admet
que sa dérivée seconde f ′′ est définie sur ]0 ; 3] par : f ′′ (x) = −1 − 2 ln x.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une
seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
1. Sur ]0 ; 3], C coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
a. e
b. 2,72
c.
1
e +1
2
c.
p
2. C admet un point d’inflexion d’abscisse :
a. e
1
b. p
e
3. Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 3] on a :
2
a. f ′ (x) = x(1 − 2 ln x)
b. f ′ (x) = −
x
e
c. f ′ (x) = −2
4. Sur l’intervalle [1 ; 3] :
a. f est convexe
b. f est décroissante
c. f ′ est décroissante
2.2. CONVEXITÉ
99
5. Une équation de la tangente à C au point d’abscisse e s’écrit :
a. y = −x + e
b. y = −ex
c. y = −ex + e 2
E XERCICE 251
10 minutes
Les fonctions cube sont les fonctions définies sur R par : f (x) = ax 3 + bx 2 + c x + d , où a, b, c et
d sont des nombres réels fixés, a 6= 0.
1. Déterminer f "(x).
2. En déduire que la convexité d’une fonction cube est indépendante des valeurs de c et d .
3. Montrer que la courbe représentative d’une fonction cube admet toujours un point d’inflexion. Préciser son abscisse x 0 en fonction de a et b.
4. Discuter de la convexité d’une fonction cube suivant les valeurs de x (on distinguera les cas
a > 0 et a < 0).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 252
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
15 minutes
1. Si f est une fonction convexe et dérivable sur R, qui vérifie f ′ (0) = 0, alors pour tout x > 0,
f ′ (x) > 0.
2. Si f est une fonction dérivable sur R qui vérifie f ′ (x) = x 2 alors f est convexe sur R.
3. Toutes les fonctions convexes sur un intervalle I , dont la courbe est tangente à l’axe des
abscisses vérifient f (x) > 0 pour tout réel x de I .
4. Si f est une fonction convexe sur R qui vérifie f (0) = 0 alors pour tout réel x positif, on a
f (x) > 0.
E XERCICE 253
20 minutes
Dans une entreprise, le coût total de production, en milliers d’euros, de x milliers d’objets est
donné par : C (x) = x 3 − 12x 2 + 72x + 100 pour 0 6 x 6 10.
On définit la fonction coût marginal C m comme la dérivée de la fonction C .
C (x)
.
On définit la fonction coût moyen C M sur ]0; 10] par : C M (x) =
x
1. a. Etudier les variations de la fonction C .
b. Tracer la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1cm pour 1 000 objets en abscisses et 1cm pour 50 000 ( en ordonnées).
2. a. On dit que les rendements marginaux sont décroissants lorsque le coût marginal C m est
croissant.
Etudier les variations de la fonction C m puis déterminer le nombre d’objets à produire
à partir duquel les rendements marginaux deviennent décroissants.
b. A quoi cela correspond-il pour la fonction C ?
3. On dit que les rendements d’échelles sont décroissants lorsque le coût moyen C M est croissant.
On cherche à déterminer le nombre d’objets à produire à partir duquel les rendements
CHAPITRE 2. FONCTIONS
100
d’échelles deviennent décroissants.
Pour éviter l’étude de la fonction C M on utilise la méthode graphique suivante : le nombre
recherché est l’abscisse du point de la courbe de C où la tangente passe par l’origine.
Déterminer ce nombre.
4. Représenter les courbes des fonctions C m et C M dans le même repère que celui de la fonction C et vérifier que la méthode graphique précédente est correcte.
E XERCICE 254
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e 2x−cos x .
Démontrer que f est convexe sur R.
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 255
s5 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
1. On considère la fonction g deux fois dérivable sur [0, 1 ; 10] par :
g (x) = x 2 (2 ln(x) − 5) + 2.
A. g est concave sur [0, 1 ; 10]
B. g est concave sur [e ; 10]
C. g est convexe sur [0, 1 ; 7]
D. g est convexe sur [e ; 10]
2.
On considère une fonction g dérivable sur R et
de dérivée g ′ , dont la courbe représentative Cg ′
est donnée ci-contre.
La fonction g est :
A. convexe sur l’intervalle [−1 ; 5],
B. concave sur l’intervalle [−1 ; 5],
C. croissante sur l’intervalle [2 ; 5] ;
D. décroissante sur l’intervalle [2 ; 5].
4
3
Cg ′
2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
E XERCICE 256
10 minutes
Démontrer que si la courbe représentative de f est au-dessus de ces tangentes sur I alors
f "(x) > 0 sur un intervalle I .
E XERCICE 257
15 minutes
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−6 ; 4] et dont la courbe C est représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle [−6 ; 4].
On note f ′ sa dérivée et f ′′ sa dérivée seconde sur l’intervalle [−6 ; 4].
2.2. CONVEXITÉ
101
7
C
6
b
B
5
4
s
a
r
u
D
I
F
L
3
2
1
0
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
D
−3
On a représenté D, la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
La droite D passe par l’origine du repère et par le point B(4 ; 6).
1. Avec la précision permise par le graphique :
a. donner la valeur de f (0) ;
b. donner la valeur de f ′ (0) ;
c. conjecturer la convexité de la fonction f sur l’intervalle [−6 ; 4].
2. On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle [−6 ; 4] et que son expres1
sion est f (x) = 2x − 1 + e − 2 x .
a.
b.
c.
d.
Calculer f ′ (x) sur l’intervalle [−6 ; 4].
Montrer que l’ensemble des solutions de f ′ (x) > 0 est l’intervalle [−2 ln(4); 4].
Etablir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [−6 ; 4].
En déduire le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur l’intervalle [−6 ; 4].
3. Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l’équation f (x) = 0
sur l’intervalle [−6 ; 4].
4. Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
102
E XERCICE 258
15 minutes
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [−2 ; 4] par f (x) = (2x + 1)e −2x + 3.
On note C f la courbe représentative de f dans un repère. Une représentation graphique est
donnée ci-desous.
4
Cf
2
s
a
r
u
D
I
F
L
−3
−2
1
−1 0
2
3
4
−2
−4
−6
1. On note f ′ la fonction dérivée de f . Montrer que, pour tout x ∈ [−2 ; 4], f ′ (x) = −4xe −2x .
2. Etudier les variations de f .
3. On note f ′′ la fonction dérivée de f ′ .
a. Démontrer que, pour tout x ∈ [−2 ; 4], f ′′ (x) = (8x − 4)e −2x .
b. Etudier le signe de f ′′ sur l’intervalle [−2 ; 4].
c. En déduire le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.
E XERCICE 259
Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], on a 1 + x 6 e x 6 1 + x (e − 1).
15 minutes
E XERCICE 260
Soit la fonction f définie sur ]1 ; +∞[ par f (x) = ln (ln x).
³x +y ´ p
> ln (x) ln (y).
Démontrer que ∀x, y ∈ ]1 ; +∞[ , ln
2
15 minutes
E XERCICE 261
20 minutes
Soient n ∈ N⋆ et a 1 , a 2 , · · · , a n des réels strictement s
positifs. On définit la moyenne arithmén
n
Y
1 X
a k et la moyenne géométrique G n = n
ak .
tique A n =
n k=1
k=1
1. Démontrer par récurrence l’inégalité de Jensen : « si f une fonction convexe sur un intervalle
I , alors pour tous a 1 , · · · , a n Ãappartenant
à I et pour tous λ1 , · · · , λn appartenant à [0 ; 1] tels
!
n
n
X
X
que λ1 + · · · + λn = 1, on a f
λi a i 6
λi f (a i ) ».
i =1
i =1
2.3. CONTINUITÉ
103
2. Démontrer que A n > G n .
☞ on pourra d’abord montrer que la fonction x 7→ − ln x est convexe sur ]0 ; +∞[, puis utiliser l’inégalité de Jensen.
3. Démontrer que pour tous réels positifs a, b et c, a 3 + b 3 + c 3 > 3abc et (a + b + c)3 > 27abc.
p
n +1
n
.
4. Démontrer que ∀n ∈ N⋆ , n! 6
2
E XERCICE 262
25 minutes
x
1. Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = ln (1 + e ) est convexe.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N⋆ , pour tous x 1 , x 2 , · · · , x n réels strictement positifs,
s
a
r
u
D
I
F
L
1+
Ã
n
Y
k=1
!1
n
xk
6
n
Y
k=1
1
(1 + x k ) n
3. En déduire que pour tout n ∈ N⋆ , pour tous a 1 , a 2 , · · · , a n , b 1 , b 2 , · · · , b n réels strictement
positifs,
!1 Ã
!1
Ã
!1 Ã
n
n
n
n
n
n
Y
Y
Y
ak +
bk
ak + bk >
k=1
k=1
k=1
2.3 Continuité
2.3.1 Point de cours
Définition intuitive : on dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est
définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer « sans lever le crayon ».
Définition : on dit qu’une fonction f est continue en a (a ∈ R) si les trois conditions suivantes
sont vérifiées :
① f est définie en a.
② f (x) admet une limite finie quand x tend vers a.
③ lim f (x) = f (a)
x→a
Convention : dans un tableau de variations, lorsqu’on note une flèche pour une fonction croissante (ou décroissante) sur un intervalle, cette flèche signifie aussi la continuité de la fonction
sur l’intervalle.
Propriété : une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle I .
Danger : la réciproque est fausse.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
104
Définition : soit f une fonction définition sur un intervalle I , mais pas en x 0 (x 0 ∈ I ).
Si f admet une limite finie ℓ en x 0 , alors la fonction f˜ définie par :
f˜ (x 0 ) = ℓ et pour tout x ∈ I , x 6= x 0 , f˜(x) = f (x).
La fonction f˜ s’appelle le prolongement par continuité de f en x 0 .
Théorème des valeurs intermédiaires soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Soit
k un réel compris strictement entre f (a) et f (b). Alors l’équation f (x) = k admet au moins une
solution dans l’intervalle ouvert ]a, b[.
s
a
r
u
D
I
F
L
Cas d’une fonction strictement monotone : soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Soit k un réel tel que : f (a) < k < f (b). Alors l’équation f (x) = k
admet une unique solution dans l’intervalle ouvert ]a; b[.
Cas particulier important, k = 0 : soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec f (a)
et f (b) de signes contraires, alors l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle ouvert ]a; b[.
2.3.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 263
5 minutes
Dire pour chaque fonction tracée ci-dessous si elle est continue sur l’intervalle [−2; 2].
y
y
C1
1
-2
-1
0
y
C2
1
1
x
-2
-1
0
1
1
x
-2
-1
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
E XERCICE 264
Etudier la continuité de la fonction f définie sur R par : f (x) =
E XERCICE 265
C3















x2
x +2
1
2 − x2
2
x2 − 4
1
x
Etudier la continuité de la fonction f définie sur R par : f (x) =
x


 2
x −4
si
si
si
si
1
x
10 minutes
x 6 −1
−1 < x 6 0
0<x 62
x >2
10 minutes
si
si
si
x < −1
−1 6 x 6 3
x >3
2.3. CONTINUITÉ
105
E XERCICE 266
Soit f une fonction définie sur R par :
 2
x 6 −1
 x + a si
2x + 1 si −1 < x 6 1
f (x) =

bx + 2 si
x >1
Déterminer les réelles a et b pour lesquels la fonction f est continue sur R.
5 minutes
E XERCICE 267
Soit f une fonction définie sur R par :
 2
x 62
 x + 1 si
ax + b si 2 < x 6 4
f (x) =
 2
x + 4 si
x >4
Déterminer les réelles a et b pour lesquels la fonction f est continue sur R.
5 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 268
Démontrer que l’équation x 5 − 5x − 2 = 0 admet au moins une solution dans R.
10 minutes
E XERCICE 269
10 minutes
3
1. Démontrer que l’équation x + x − 1 = 0 admet une unique solution réelle.
2. Déterminer une valeur approchée à 10−2 de la solution.
E XERCICE 270
10 minutes
Démontrer la propriété « soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Soit k un réel tel que : f (a) < k < f (b). Alors l’équation f (x) = k admet une unique
solution dans l’intervalle ouvert ]a; b[ ».
E XERCICE 271
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
10 minutes
1. Une fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I .
2. Si u + v est continue sur un intervalle I alors u et v sont continues sur I .
3. Si lim+ f (x) = lim− f (x) alors f est continue en a.
x→a
x→a
4. Si u et v ne sont pas continues sur I alors u + v n’est pas continue sur I .
E XERCICE 272
10 minutes
3
2
1. Démontrer que l’équation x + 2x + 10x = 20 a une unique solution dans R.
2. Donner une valeur approchée de cette solution à 0, 0001 près par défaut.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
106
2.3.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 273
15 minutes
1. a. La fonction f représentée ci-dessous semble-t-elle continue sur [−5; 3] ?
y
3
2
1
s
a
r
u
D
I
F
L
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2 x
-2
-3
b. Montrer, en utilisant deux fois la propriété des valeurs intermédiaires, qu’il existe deux
réels α et β de [−5; 3] dont l’image par f est égale à 0.
c. Donner par lecture graphique des valeurs
approchées de α et β.

5

si x ∈ [−5; 1[, f (x) = − x + a
2. La fonction représentée est définie par :
6
 si x ∈ [1; 3],
f (x) = x 2 + ax + b
a. A l’aide du graphique, déterminer la valeur de a et de b.
b. Dresser le tableau de variations de f .
c. Résoudre dans [−5; 3] l’équation f (x) = 0.
3. Dérivabilité de f :
a. La fonction f est-elle dérivable sur l’intervalle [−5; 1] ? Calculer cette dérivée.
b. La fonction f est-elle dérivable sur l’intervalle [1; 3] ? Calculer cette dérivée.
c. La fonction f est-elle dérivable sur l’intervalle [−5; 3] ?
E XERCICE 274
Soit f la fonction définie sur [−4; 4] par f (x) = x 3 + 1, 5x 2 − 6x − 2.
On nomme C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;~
i ,~
j ).
On se propose de chercher les tangentes à la courbe C passant par O.
20 minutes
1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente T a à C au point d’abscisse a passe par
l’origine du repère si, et seulement si, f (a) − a f ′ (a) = 0.
2. Soit g la fonction définie sur [−4; 4] par g (x) = f (x) − x f ′ (x).
a. Donner l’expression de g (x) en fonction de x.
b. Déterminer g (−4) et g (4).
c. Après avoir étudié les variations de la fonction g , démontrer que la fonction g s’annule
une fois et une seule sur [−4; 4]. Donner une valeur approchée de cette solution à 0, 1
près.
d. En déduire l’existence d’une unique tangente à la courbe C passant par le point O.
2.3. CONTINUITÉ
107
E XERCICE 275
p
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 + x + 2.
15 minutes
1. Démontrer que l’équation f (x) = 5 n’a qu’une solution dans R.
2. On considère la fonction en langage Python suivante :
def sol(x) :
A=x**3+x+sqrt(2)
while A<5 :
x=x+0.1
A= x**3+x+sqrt(2)
return x
s
a
r
u
D
I
F
L
Faire fonctionner cette fonction pour x = 0, 5 en indiquant les valeurs des variables à chaque
étape. Quelle sera la valeur retournée à la fin de l’exécution du programme ?
Quel est le but de cette fonction ?
3. Modifier la fonction précédente afin de déterminer la solution au millième.
4. Modifier la fonction précédente afin de déterminer un encadrement de la solution.
E XERCICE 276
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = −x 3 + 3x 2 + 1.
15 minutes
1. Démontrer que la fonction f n’admet qu’une racine dans R.
2. On considère la fonction en langage Python suivante :
def solution(a,b) :
while b-a>0.1) :
m=(a+b)/2
fm=-m**3+3*m**2+1
if fm > 0:
a=m
else:
b=m
return a,b
Faire fonctionner ce programme pour a = 1 et b = 5 en indiquant les valeurs des variables à
chaque étape.
Quel est le but de ce programme ?
3. Modifier le programme précédent afin qu’il donne un encadrement de la solution au millième et qu’il affiche en plus le nombre d’étapes effectuées.
E XERCICE 277
x 2 − 4 |x − 3|
.
Soit la fonction f définie sur R − {1} par f (x) =
x −1
1. Etudier la continuité de f sur R.
2. Etudier la dérivabilité f .
10 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
108
E XERCICE 278
20 minutes
On considère les fonctions f et g définies sur [−5; 5] par f (x) = x|x| et g (x) = (2x + 1)|x|.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g sur votre calculatrice.
Les fonctions f et g sont-elles continues ?
Quelle conjecture peut-on émettre quant à la dérivabilité en 0 des fonctions f et g ?
Justifier les deux conjectures précédentes.
La fonction valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?
Peut-on énoncer une règle concernant la dérivabilité du produit d’une fonction dérivable
par une fonction non dérivable ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 279
10 minutes
On considère une fonction f définie et continue sur I = [0; 1] telle que ∀x ∈ I , f (x) ∈ I .
Montrer qu’il existe au moins un réel c ∈ I tel que f (c) = c.
E XERCICE 280
10 minutes
Soit n un entier naturel non nul.
Démontrer que l’équation x 2n − x 2n−1 = 1 admet exactement deux solutions réelles.
E XERCICE 281
15 minutes
³ x ´
où E est la fonction partie
On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par f (x) = E
x +1
entière.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur votre calculatrice. Que peut-on conjecturer ?
2. Démontrer la conjecture précédente.
3. Que peut-on en déduire quant à la continuité de la fonction f ?
E XERCICE 282
³ →
− →
−´
Le plan est muni d’un repère orthonormé O; i , j .
20 minutes
1. Une courbe C admet une équation du type : y = ax 3 + bx 2 + c x + d , où a, b, c et d sont des
réels.
Cette courbe :
• est tangente à la droite d’équation y = −1 au point A d’abscisse 0 ;
2
• admet au point B d’abscisse une tangente horizontale ;
3
• admet au point C d’abscisse 1 une tangente paralèle à la droite d’équation y = x + 3.
Déterminer les réels a, b, c et d .
2. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x 3 − x 2 − 1.
a.
b.
c.
d.
Calculer f ′ (x) et étudier les variations de f ;
Montrer que l’équation f (x) = 0 a une unique solution dans R. On note α cette solution.
Montrer que 1 < α < 2.
Donner, en expliquant la méthode utilisée, une valeur approchée de α à 10−2 près.
2.3. CONTINUITÉ
3.
109
³ →
− →
−´
a. Tracer dans le repère O; i , j les courbes F et G d’équations respectives y = x 2 et
y = x 3 − 1.
b. Montrer que F et G se coupent en un unique point M dont on exprimera les coordonnées en fonction de α.
E XERCICE 283
Partie A - Etude d’une fonction auxiliaire
x
La fonction d est définie sur ] − 1 ; +∞[ par d (x) = e x+1 .
35 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Calculer la fonction dérivée d ′ . En déduire les variations de d .
2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞.
3. Montrer que, pour tout x > −1, on a : 0 < d (x) < e.
Partie B - Etude de la fonction f
x
Soit la fonction f définie sur l’intervalle ] − 1 ; + ∞[ par f (x) = x + 1 − e x+1 .
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. On désigne par f ′ et
f ′′ les dérivées première et seconde de f .
1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x − e + 1 est asymptote à la courbe C.
Préciser la position relative de (D) et C.
2. a. Pour x ∈] − 1 ; + ∞[, calculer f ′ (x) et f ′′ (x).
2x + 1 x
Vérifier que f ′′ (x) =
e x+1 .
(x + 1)4
En déduire le sens de variations de f ′ .
b. Dresser le tableau de variations de f ′ .
(On admettra que lim f ′ (x) = lim f ′ (x) = 1.)
x→+∞
x→−1
3. Démontrer que l’équation f ′ (x) = 0 admet sur ] − 1 ; +∞[ deux solutions dont l’une est 0.
Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner une valeur approchée
de α au centième près.
4. a. Etudier les variations de f .
b. Dresser le tableau de variations de f . On admettra que lim f (x) = 0 et lim f (x) = +∞.
x→−1
x→+∞
Partie C - Prolongement de la fonction f en −1
On considère la fonction g définie sur ] − 1 ; +∞[ par :
½
g (−1)
g (x)
= 0
= f (x) pour tout x > −1.
On appelle C′ la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.
´
1³ x
x
g (x) − g (−1)
= 1−
e x+1 .
1. a. Montrer que l’on peut écrire
x − (−1)
x x +1
x
x
x
b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers −1 de
puis de
e x+1 .
x +1
x +1
c. En déduire que g est dérivable en - 1 et préciser son nombre dérivé g ′ (− 1).
2. Construire (D) et C′ . Préciser les tangentes à C′ aux points d’abscisses − 1, α, 0.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
110
E XERCICE 284
15 minutes
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x 3 − 3x 2 + m, on note C sa courbe représentative.
1. Pour quelles valeurs de m la courbe C coupe-t-elle l’axe des abscisses en trois points ?
2. Discuter, en fonction des valeurs de m, le nombre de points d’intersection de la courbe C
avec l’axe des abscisses.
3. Peut-on choisir m pour que l’abscisse de l’un de ces points soit supérieure à 2 ?
E XERCICE 285


p
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Etudier la continuité en 0 de la fonction f définie sur R par f (x) =
2. Etudier la continuité en 0 de la fonction g définie sur R par g (x) =
E XERCICE 286




3x +
3x +
2
p
2
4x 2
x
4x 2
|x|
si
si
si
si
x 6= 0
x =0
x 6= 0
x =0
25 minutes
2
1. Soit a un réel donné et f a la fonction définie par f a (x) =
(x + 1)
x 2 + ax + 1
.
a. Pour quelles valeurs de a la fonction f a est-elle définie sur R ?
b. En supposant a donné tel que f a définie sur R, étudier les variations de f a .
2. a. Construire C0 , la courbe représentative de la fonction f 0 .
b. Déterminer une tangente à C0 au point A d’abscisse 0.
3. a. En supposant toujours que a est choisi tel que f a soit définie
p sur R, déduire des variations de f a les variations de la fonction g a telle que g a (x) = f a (x).
b. Construire C′0 la courbe représentative de la fonction g 0 .
c. Déterminer les tangentes à la courbe C′0 aux points d’abscisses 0 et 1.
d. La fonction g 0 est-elle dérivable pour x = −1 ?
E XERCICE 287
20 minutes
2x + 1
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2
.
x +x +1
Etudier les variations de f .
|(x − 1)(2x + 1)|
¡
¢.
2. Soit g la fonction définie sur R \ {1} par g (x) =
(x − 1) x 2 + x + 1
1
a. La fonction g est-elle continue pour x = 1 ? pour x = − ?
2
1
b. La fonction g est-elle dérivable pour x = − ?
2
E XERCICE 288
4e |2x+3| − 6
.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = |2x+3|
6e
+3
10 minutes
2.3. CONTINUITÉ
111
3
Etudier la continuité et la dérivabilité de f au point d’abscisse x = − .
2
E XERCICE 289
15 minutes
⋆
Soit les intervalles E = [−1 ; 1] et E = [−1 ; 1] \ {0}.
On considère la fonction f définie pour x ∈ E ⋆ par f (x) = x 2 ln |x| − 1 et f (0) = a, où a est un
réel donné.
1. Est-il possible de choisir a pour que f soit continue sur E ?
☞ On rappelle que lim+ x ln x = 0.
x→0
Dans l’affirmative, montrer que f a alors une dérivée continue sur E .
2. Etudier les variations de f sur E .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 290
¯
¯
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ¯e 2x − e x ¯ − 2.
15 minutes
E XERCICE 291
15 minutes
1. La fonction f est-elle continue et dérivable en x = 0 ?
2. Etudier les variations de f sur R.
3. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation f (x) = 0. On notera α cette solution.
4. Déterminer un encadrement à 10−3 du réel α.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
(
xe
0
1
x
pour
pour
x <0
x >0
1. Montrer que la fonction f est continue en 0.
2. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
E XERCICE 292
25 minutes
−x 2 +1
On considère la fonction f définie
R par
f (x) = 1 + x − xe
, soit C sa courbe représenta³ sur
→
− →
−´
tive dans un repère orthonormé O, ı ,  .
¡
¢
2
1. a. Vérifier que pour tout réel x : f ′ (x) = 1 + 2x 2 − 1 e −x +1
Calculer f ′ (0).
b. Etablir l’équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
c. Etudier la position relative de la courbe C et de la droite T .
2. a. Démontrer que f "(x) est du signe de 6x − 4x 3 .
b. Démontrer que l’équation f ′ (x) = 0 admet une solution unique, notée α, dans l’intervalle [0; 1].
c. Montrer que 0, 51 < α < 0, 52.
d. Exprimer f (α) sous la forme d’un quotient de deux polynômes.
E XERCICE 293 : M ÉTHODE
L AGRANGE
30 minutes
1
x3
− x + et C sa courbe courbe représentative
Soit f la fonction définie sur [0; 2] par f (x) =
3
3
DES CORDES OU MÉTHODE DE
CHAPITRE 2. FONCTIONS
112
³ →
− →
−´
dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
1. Etudier les variations de f .
2. Construire la courbe C.
x3
1
3. Montrer que l’équation
− x + = 0 admet deux solutions dans [0; 2] dont une notée α
3
3
dans [1; 2].
4. Soit A et B les points de la courbe C d’abscisses respectives 1 et 2.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Construire la droite (AB ), qui coupe l’axe des abscisses en m 1 .
Placer le point M 1 de C ayant pour abscisse m 1 .
Construire la droite (B M 1) qui coupe l’axe des abscisses en m 2 .
Placer le point M 2 de C ayant pour abscisse m 2 .
Construire la droite (B M 2).
Que remarquez-vous ?
s
a
r
u
D
I
F
L
5. On se propose de calculer avec une calculatrice des valeurs approchées des abscisses de M 1 ,
M 2 , ...
Soit I le point de C d’abscisse a, avec a 6= 2.
−2a 3 + 9a − 2
.
Montrer que la droite (I B ) coupe l’axe des abscisses au point M d’abscisse x =
−a 3 + 3a + 2
3
−2a + 9a − 2
6. Soit la fonction g définie sur [0; 2[ par g (a) =
−a 3 + 3a + 2
Soit a 0 = 1 l’abscisse de A.
a. Déterminer en fonction des termes de la suite (a n ) : g (a 0 ), g (a 1 ), g (a 2 ).
b. En utilisant la touche « Rep » de la calculatrice, déterminer les premiers termes de la
suite (a n ).
c. Pour obtenir un encadrement de α à 10−1 près, à partir de quelle valeur de n le nombre
a n appartient-il à l’intervalle correspondant ?
d. Même question en remplaçant 10−1 par 10−2 , puis par 10−4 .
E XERCICE 294
15 minutes
En utilisant la méthode de Lagrange, déterminer une valeur approchée à 10−3 près d’une racine
de la fonction f (x) = x 3 − x + 1 dans l’intervalle [−2 ; 0].
E XERCICE 295
15 minutes
−3
En utilisant la méthode de Lagrange, déterminer une valeur approchée à 10 près de la racine
de la fonction f (x) = x 4 + x − 2 dans l’intervalle [−2 ; 0].
E XERCICE 296 : M ÉTHODE
N EWTON
25 minutes
x3
1
Soit f la fonction définie sur [0; 2] par f (x) =
− x + et C sa courbe courbe représentative
3
³ 3→
− →
−´
dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
DES TANGENTES OU MÉTHODE DE
1. Etudier les variations de f .
2. Construire la courbe C ainsi que les tangentes aux points d’abscisses 0 et 2.
2.4. LIMITES DE FONCTIONS
3. Montrer que l’équation
113
1
x3
− x + = 0 admet deux solutions dans [0; 2] dont une notée α
3
3
dans [1; 2].
4. a. Tracer la tangente à la courbe C au point B , elle coupe l’axe des abscisses en t 1 .
b. Tracer la tangente à la courbe C au point T1 , d’abscisse t 1, elle coupe l’axe des abscisses
en t 2 .
c. Tracer la tangente à la courbe C au point T2 , d’abscisse t 2, elle coupe l’axe des abscisses
en t 3 . Quelle remarque peut-on faire ?
5. Soit J un point quelconque de la courbe C, soit b son abscisse (b 6= 1).
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer une équation de la tangente à C au point J .
b. En déduire que l’abscisse du point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses
2b 3 − 1
¢.
vérifie : x = ¡ 2
3 b −1
2b 3 − 1
S
¢ , Soit b 0 = 2 l’abscisse de B .
6. Soit la fonction h définie sur [0; 1[ ]1; 2[ par h(b) = ¡ 2
3 b −1
a. Déterminer en fonction des termes de la suite (b n ) : h (b 0 ), h (b 1 ), h (b 2 ).
b. En utilisant la touche « Rep » de la calculatrice, déterminer les cinq premiers termes de
la suite (b n ).
c. Comparer b 5 avec la valeur obtenue avec la commande « solve » de la calculatrice.
E XERCICE 297
15 minutes
En utilisant la méthode de Newton, déterminer une valeur approchée à 10−3 près de la racine
de la fonction f (x) = 3x 3 + 2x − 1 dans l’intervalle [0 ; 2].
E XERCICE 298
15 minutes
En utilisant la méthode de Newton, déterminer une valeur approchée à 10−3 près du zéro de la
fonction f (x) = e x + x dans l’intervalle [−2 ; 0].
2.4 Limites de fonctions
2.4.1 Point de cours
Somme de deux fonctions
Limite de f en a
ℓ
ℓ
+∞
−∞
+∞
Limite de g en a
ℓ′
+∞
+∞
−∞
−∞
Limite de f + g en a
ℓ + ℓ′
+∞
+∞
−∞
On ne peut pas conclure
CHAPITRE 2. FONCTIONS
114
Produit de deux fonctions
Limite de f en a
ℓ
ℓ 6= 0
+∞
−∞
+∞
0
Limite de g en a
ℓ′
±∞
+∞
−∞
−∞
±∞
Limite de f g en a
ℓℓ′
±∞
+∞
+∞
−∞
On ne peut pas conclure
s
a
r
u
D
I
F
L
Quotient de deux fonctions
Limite de f en a
Limite de g en a
Limite de
en a
ℓ
ℓ′
′
ℓ 6= 0
±∞
±∞
0
0
ℓ
ℓ
±∞
0
ℓ 6= 0
f
g
0
On ne peut pas conclure
On ne peut pas conclure
±∞
Composée : si lim f (x) = b et lim g (x) = L alors lim g ( f (x)) = L (a, b et L étant finis ou infinis).
x→a
x→a
x→b
Théorème de comparaison : soit a et ℓ deux nombres réels ou ±∞, f , g et h trois fonctions.
Si pour tout x réel voisin de a :
• g (x) 6 f (x) 6 h(x) et si lim g (x) = lim h(x) = ℓ, alors lim f (x) = ℓ.
x→a
x→a
• g (x) 6 f (x) et si lim g (x) = +∞, alors lim f (x) = +∞.
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
• f (x) 6 h(x) et si lim h(x) = −∞, alors lim f (x) = −∞.
Asymptote horizontale : lorsque lim f (x) = b (resp. lim f (x) = b), on dit que la droite
x→+∞
x→−∞
d’équation y = b est une asymptote horizontale à la courbe C f en +∞ (resp. en −∞).
Asymptote verticale : lorsqu’une fonction f admet une limite infinie en un réel a (à droite ou
à gauche en a), on dit que la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe
représentative de la fonction f .
Asymptote oblique : lorsque lim f (x)−(ax +b) = 0 (resp. lim f (x) − (ax + b) = 0), on dit que
x→+∞
x→−∞
la droite d’équation y = ax +b est une asymptote oblique à la courbe C f en +∞ (resp. en −∞).
2.4. LIMITES DE FONCTIONS
115
2.4.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 299
Déterminer les limites suivantes :
¢
x 2 + x + 2018
x→+∞ µ
¶
2
1
2. lim − 5 + − 2017
x→+∞
x ¶
µ x
1
3. lim 2x + 1 −
x→+∞
x
1.
lim
¡
10 minutes
¶
2018
7. lim+ x + x +
x→0 µ
x ¶
1
2
8. lim− 5 + − 2017
x→0
x
µx
¶
1
9. lim+ 2x + 1 −
x→0
x
µ
¢
x 2 − x + 2018
x→−∞ µ
¶
2
1
5. lim − 5 + − 2017
x→−∞
x ¶
µ x
1
6. lim 2x + 1 −
x→−∞
x
4.
lim
¡
2
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 300
5 minutes
Pour chacune des trois fonctions f dont on a tracé la courbe représentative et les asymptotes
horizontales, retrouver par lecture graphique les limites de f .
y
y
y
3
3
2
C1
2
2
1
-3
-2
-1
0
1
C2
1
1
2
x -3
-2
-1
0
-3
1
2
-2
-1
0
-1
-2
-2
-2
-3
E XERCICE 301
Déterminer les limites en +∞ et en −∞ des fonctions suivantes :
2. f (x) = x 3 + x 2
µ ¶
1
+2
3. f (x) = cos
x
4. f (x) =
5. f (x) =
6. f (x) =
x2 + x + 3
2x 3 − 3x
x 5 − 2x 3 − 6
x2 + x + 1
x 3 + 2x 2 − 4
x6 + 3
E XERCICE 302
Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a.
1
x2 + 3
, a=3
, a = −2
1. f (x) =
3. f (x) =
x −3
x +2
x +3
x3 + 1
2. f (x) =
, x =5
4. f (x) = 2
, a=1
5−x
x −1
1
2
x
-1
x
-1
1. f (x) = x 2 − 2x + 3
C3
15 minutes
7. f (x) = 3x 3 − x 5
s
4x 2 + 9
8. f (x) =
x2 + x
s
x 4 + 9x 2 + 1
9. f (x) =
x2 + x
15 minutes
5. f (x) =
6. f (x) =
x2 − 4
, a =2
x −2
x 2 + 5x + 6
, a = −3
x +3
CHAPITRE 2. FONCTIONS
116
E XERCICE 303
10 minutes
Rechercher les asymptotes horizontales (et étudier la position relative de la courbe et de l’asymptote) ou verticales que peuvent présenter les courbes représentatives des fonctions suivantes :
2x + 1
x
3
2. f (x) = 3
x
1. f (x) =
2018
3. f (x) = 2 − p
x
5. f (x) =
1
+x
x +3
6. f (x) =
4. f (x) =
1
x2 + 1
3x 2 + 2x − 4
x 2 − 3x + 2
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 304
10 minutes
ax 2
Soit la fonction f définie par f (x) = 2
.
x + bx + c
Déterminer les réels a, b et c tels que la courbe représentative de f admette trois asymptotes
d’équations y = 2, x = 2 et x = −5.
E XERCICE 305
En utilisant
p la définition du nombre dérivé,
p déterminer les limites suivantes :
sin x
2x + 1 − 1
9 − x2 − 3
3. lim
2. lim
1. lim
x→0
x
x→0
x→0
x
x
10 minutes
E XERCICE 306
Dans chaque cas, déterminer si c’est possible la limite de la fonction f en +∞.
3x
3x + 1
1. f est telle que, pour tout x ∈ ]2; +∞[,
6 f (x) 6
.
x −2
x −2
2
2. f est telle que, pour tout x ∈ R, f (x) > x + 3.
p
3. f est telle que, pour tout x ∈ R+ , f (x) < 5 − x.
3x + 2
2x + 3
< f (x) <
.
4. f est telle que, pour tout x > 0,
x
x
10 minutes
E XERCICE 307
10 minutes
Pour chaque affirmation dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
1
1. Si une fonction f est telle que, pour tout x > 0, f (x) < 2 , alors lim f (x) = 0.
x→+∞
x
2. Si une fonction f est strictement croissante alors lim f (x) = +∞.
x→+∞
3. Si une fonction f est strictement décroissante alors lim f (x) = −∞.
x→+∞
4. Si une fonction f est telle que, pour tout réel x, f (x) < x alors lim f (x) = −∞
x→−∞
2.4.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 308
15 minutes
Déterminer
la
limite
en
+∞
des
fonctions
suivantes
:
p
p
p
p
3. f (x) = x + 1 − x − 1
1. f (x) = x + 3 − x + 2
p
p
p
p
2. f (x) = x 2 + 3x − 2 − x 2 + 2x + 4
4. f (x) = x 2 − 5x + 7 − x 2 + 2x + 9
2.4. LIMITES DE FONCTIONS
117
E XERCICE 309
Déterminer la limite en 0 des fonctions suivantes :
p
p
x +1− 1−x
1. f (x) =
x p
p
1 + xm − 1 − xm
, m et n deux entiers positifs
2. f (x) =
xn
p
x2 + x + 1 − 1
3. f (x) =
x
15 minutes
E XERCICE 310
5 minutes
Démontrer que la limite à l’infini d’une fonction polynôme est la limite du terme de plus haut
degré.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 311
10 minutes
Démontrer que la limite à l’infini d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes
de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
E XERCICE 312
p
x 2 + 2x + 3
.
Soit la fonction f définie par f (x) =
x
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
2. Déterminer la limite de f en 0.
q
3. Montrer que pour tout x 6= 0, f (x) =
|x|
1 + x2 + x3
x
15 minutes
.
En déduire la limite de f en −∞ et en +∞.
4. Donner les équations des éventuelles asymptotes.
E XERCICE 313
p
Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, par f (x) = x 2 − 1 + x.
1. Déterminer les limites suivantes :
f (x)
a. lim f (x)
b. lim
x→+∞
x→+∞ x
2. Démontrer que lim f (x) = 0.
x→−∞
c. lim
x→+∞
¡
10 minutes
¢
f (x) − 2x .
f (x)
lorsque x → +∞.
3. Déterminer la limite de p
x2 − 1
E XERCICE 314
10 minutes
On considère la fonction f définie sur R des nombres réels par f (x) = e x−1 + x −³1.
→
− →
−´
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
1. a. Calculer la limite de f en −∞.
b. Montrer que la droite D d’équation y = x − 1 est asymptote oblique à la courbe C.
2. Calculer la limite de f en +∞.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
118
E XERCICE 315
10 minutes
La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie sur l’intervalle I = ]0; +∞[.
On sait que :
— lim f (x) = 0 ;
x→0
— la courbe (C ) coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (2; 0) ;
— la courbe (C ) admet pour asymptote l’axe des abscisses.
y
s
a
r
u
D
I
F
L
1
0
1
Cf
x
1. Déterminer lim f (x).
x→+∞
2. La droite d’équation x = 0 est-elle asymptote à la courbe C f ?
3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g définie sur
1
l’intervalle ]2; +∞[ par g (x) =
.
f (x)
a. Déterminer, en justifiant avec soin, lim g (x).
x→+∞
b. Laquelle de ces trois courbes est la courbe représentative de la fonction g ?
y
1
0
1
x
2
C3
C2
C1
2.4. LIMITES DE FONCTIONS
119
E XERCICE 316
10 minutes
(x + 2)(x + 6)
.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = p
x 2 + 4x + 5
1. Déterminer la limite de f aux infinis.
2. Démontrer que f (x) − x − 6 tend vers zéro lorsque x tend vers +∞.
3. Démontrer que f (x) + x + 6 tend vers zéro lorsque x tend vers −∞.
4. En déduire que la courbe représentative de f admet deux asymptotes obliques, dont on
donnera les équations réduites.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 317
p
On considère la fonction f définie par f (x) = x + x 2 − 1.
10 minutes
1. Préciser les intervalles sur lesquels f est définie.
2. Déterminer la limite de f aux infinis.
3. Démontrer que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale et une asymptote oblique, dont on donnera les équations réduites.
E XERCICE 318
10 minutes
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé, les courbes C1 et C2
représentatives de deux fonctions f 1 et f 2 définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On sait que :
3
— l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et
C1
C2
2
1
— l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C2
— la fonction f 2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[
— la fonction f 1 est continue et strictement croissante
sur l’intervalle ]0 ; +∞[
— la limite quand x tend vers +∞ de f 1 (x) est +∞.
C2
O
1
2
3
4
−1
Pour chacune des quatre questions, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
1. La limite quand x tend vers 0 de f 2 (x) est :
•0
• +∞
• On ne peut pas conclure
2. La limite quand x tend vers +∞ de f 2 (x) est :
•0
• 0, 2
• On ne peut pas conclure
3. En +∞, C1 admet une asymptote oblique :
• Oui
• Non
• On ne peut pas conclure
CHAPITRE 2. FONCTIONS
120
4. Le tableau de signes de f 2 (x) − f 1 (x) est :
x
•
f 2 (x) − f 1 (x)
0
+
x
+∞
•
0
f 2 (x) − f 1 (x)
x
+∞
−
•
0
f 2 (x) − f 1 (x)
E XERCICE 319
2x 2 + 3x − 5
On considère la fonction f définie sur R − {2} par f (x) =
.
x −2
+∞
+0 −
25 minutes
c
.
x −2
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de R − {2}, on ait f (x) = ax + b +
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
¡
¢
3. Déterminer lim f (x) − (ax + b) .
x→+∞
4. Soit la fonction g définie sur R par g (x) = 2x + 7.
a. Etudier le signe de f (x) − g (x) suivant les valeurs de x.
b. En déduire les positions relatives des courbes représentatives de f et g suivant les valeurs de x.
E XERCICE 320
x 3 + 3x 2 − 2x − 10
.
On considère la fonction f définie sur R \ {−3} par f (x) =
x +3
25 minutes
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de R \ {−3}, on ait f (x) = ax 2 + b +
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
¡
¡
¢¢
3. Déterminer lim f (x) − ax 2 + b .
c
.
x +3
x→+∞
4. Soit la fonction g définie sur R par g (x) = x 2 − 2.
a. Etudier le signe de f (x) − g (x) suivant les valeurs de x.
b. En déduire les positions relatives des courbes représentatives de f et g suivant les valeurs de x.
E XERCICE 321
Soit f la fonction définie sur R \ {1} par f (x) =
p
¡p
¢
x2 3 − 3 + 3 x − 3
3 (x − 1)
25 minutes
.
c
.
x −1
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
¡
¢
3. Déterminer lim f (x) − (ax + b) .
1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que f (x) = ax + b +
x→+∞
4. Soit la fonction g définie sur R par g (x) = ax + b.
a. Etudier le signe de f (x) − g (x) suivant les valeurs de x.
b. En déduire les positions relatives des courbes représentatives de f et g suivant les valeurs de x.
2.4. LIMITES DE FONCTIONS
E XERCICE 322
Déterminer les limites suivantes :
!
Ãr
q
p
p
x+ x+ x− x
1. lim
x→+∞
2. lim
x→a
x n+1 − a n+1
xn − an
121
20 minutes
3. lim xE (x) où E (x) est la fonction partie entière
x→0
p
p
p
x − a− x −a
, a réel strictement positif
4. lim+
p
x→a
x2 − a2
E XERCICE 323
25 minutes
p
2
On considère la fonction u définie sur R par u(x) = x + 1 − x et on désigne par C sa courbe
représentative.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. a. Déterminer la limite de u en −∞.
b. Montrer que, pour tout x réel, on a u(x) = p
1
x2 + 1 + x
.
En déduire la limite de u en +∞.
2. a. Montrer que [u(x) + 2x] tend vers 0 quand x tend vers −∞.
b. Montrer que pour tout x réel, on a u(x) > 0. En déduire le signe de [u(x) + 2x].
c. Interpréter graphiquement ces résultats.
E XERCICE 324
Soit f la fonction définie sur R \ {−2 ; 2} par f (x) =
3
2
2x − x − 8x + 7
.
x2 − 4
15 minutes
1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
c
pour tout x ∈ R \
2. Démontrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que f (x) = ax + b + 2
x −4
{−2 ; 2}.
3. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote.
E XERCICE 325
20 minutes
1p 2
6x + 24x.
Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; −4] ∪ [0 ; +∞[ par f (x) = x + 3 +
2
1. Etudier les limites de f en +∞ et p
en −∞.
f (x)
6
2. Démontrer que lim
= 1−
x→−∞ x
2
Ã
p !
6
x en −∞.
3. Etudier la limite de f (x) − 1 −
2
4. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique dont on donnera l’équation.
f (x) − f (0)
f (x) − f (−4)
5. Calculer lim+
et lim −
.
x→−4
x→0
x
x +4
Interpréter les résultats obtenus.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
122
2.5 Primitives - Equations différentielles
2.5.1 Point de cours
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I .
On appelle primitive de f sur I , une fonction F dérivable sur I telle que ∀x ∈ I , F ′ (x) = f (x).
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives.
Propriétés : Soit f une fonction continue sur un intervalle I .
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Si F est une primitive de f sur un intervalle I , alors toutes les primitives de f sont les fonctions G définies sur I par G(x) = F (x) + c où c est un réel.
2. Soit x 0 un réel de l’intervalle I et y 0 un réel, il existe une unique primitive de f qui prend en
x 0 la valeur y 0 .
Primitives de fonctions usuelles
Fonction f
Primitives F
Intervalle de validité
f (x) = a
F (x) = ax + c
R
f (x) = x n
pour n entier différent de −1
F (x) =
1
x n+1 + c
n +1
R lorsque n > 0
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[ lorsque n < −1
1
x2
1
F (x) = − + c
x
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
1
f (x) = p
x
p
F (x) = 2 x + c
]0; +∞[
f (x) = e x
F (x) = e x + c
R
1
x
F (x) = ln x + c
]0; +∞[
f (x) =
f (x) =
2.5. PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
123
Formes remarquables
Soit c une constante réelle, I un intervalle de R et u une fonction définie et dérivable sur I .
Fonction f
Primitives F sur I
u ′u n , n ∈ N
1
u n+1 + c
n +1
u′
,n >2
un
1
1
× n−1 + c
n −1 u
Remarque
s
a
r
u
D
I
F
L
−
u′
p
u
p
2 u +c
Pour tout x ∈ I , u(x) 6= 0
Pour tout x ∈ I , u(x) > 0
Equations différentielles
Définition : Soient I un intervalle de R, a et b deux réels.
Une équation y ′ +a y = b s’appelle une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients
constants .
Résoudre une telle équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I vérifiant, ∀x ∈ I , y ′ (x) + a y(x) = b.
L’équation homogène associée est l’équation y ′ + a y = 0. Cette équation est aussi appelée
équation sans second membre.
Théorème : Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions x 7→ ke −ax , k étant une
constante réelle.
2.5.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 326
5 minutes
Dans chaque cas, vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle R.
2
2
1. f (x) = 5x 4 + 2xe x , F (x) = x 5 + e x + 3.
3x + 2
15 − 4x − 3x 2
.
¡
¢2 , F (x) = 2
2
x +5
x +5
p
p
(6x + 1) 6x 2 + 2x + 1
6x 2 + 2x + 1.
,
F
(x)
=
3. f (x) =
6x 2 + 2x + 1
2. f (x) =
E XERCICE 327
5 minutes
4
2
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie par f (x) = 15x − 6x + 2x + 4.
2. En déduire deux primitives de la fonction h définie par h(x) = 60x 3 − 12x + 2.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
124
E XERCICE 328
3
2
p
5 minutes
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie par f (x) = 4x + x − x + 3.
2. En déduire deux primitives de la fonction h définie par h(x) = 12x 2 + 2x − 1.
E XERCICE 329
10 minutes
Déterminer les primitives, sur R, des fonctions suivantes :
4. f (x) = 1 + x + x 2 + x 4 + x 6
1. f (x) = 6x 2 + 4x
3 p
2. f (x) = 4x 3 − e x
5. f (x) = 3x 6 − 3x 5 + 4x − 3 + 3, x 6= 0
x
x2
1
2
−5
3. f (x) = x 5 +
6. f (x) = x + x + 1 + 2 , x 6= 0
6
x
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 330
Déterminer les primitives sur I de la fonction f
4.
1. f (x) = 5(x + 2)6 , I = R
7
2. f (x) = (3x + 5) , I = R
5.
3. f (x) = cos x sin5 x, I = R
6.
E XERCICE 331
10 minutes
de la forme u ′ u n :
¡
¢8
f (x) = (x + 1) x 2 + 2x , I = R
¡
¢−4
f (x) = 2x x 2 + 1 , I = R
¡ 2
¢¡ 3
¢−3
f (x) = x + 1 x + 3x , I = R⋆
u′
Déterminer les primitives sur I de la fonction f de la forme 2 :
u
½ ¾
½ ¾
5
2
2
5
1. f (x) =
,
I
=
R
\
−
4.
f
(x)
=
,
I
=
R
\
2
2
(5x + 2)
5
(5 − 3x)
3
½ ¾
1
6
4x 3 + 2x + 6
, I = R\ −
2. f (x) =
5. f (x) = ¡
¢2 , I = R
2
(3x + 1)
3
x 4 + x 2 + 6x + 8
4x
cos x
3. f (x) = ¡
¢2 , I = R
, I = ]0 ; π[
6. f (x) =
2
2x + 1
sin2 x
E XERCICE 332
Déterminer les primitives sur I de la fonction f
·
¸
5
3
1. f (x) = p
, I = − ; +∞
4.
5
5x + 3
·
¸
3
1
5.
, I = −∞ ;
2. f (x) = p
2
3 − 2x
¸
·
1
2
6.
3. f (x) = p
,I=
; +∞
3
3x − 2
u′
de la forme p :
u
2x + 1
, I =R
f (x) = p
x2 + x + 1
x
, I =R
f (x) = p
x2 + 1
cos x
f (x) = p
, I =R
sin x + 4
10 minutes
10 minutes
2.5. PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
E XERCICE 333
Déterminer les primitives sur I de la fonction f
u′
:
de la forme
u
2x + 1
, I =R
f (x) = 2
x +x +1
x
f (x) = 2
, I =R
x +1
cos x
f (x) =
, I = ]0 ; π[
sin x
125
10 minutes
5
, I = ]−2 ; +∞[
4.
5x + 10
1
2. f (x) =
, I = ]−∞ ; 3[
5.
6 − 2x
¸
·
1
2
6.
3. f (x) =
,I=
; +∞
3x − 2
3
u ′ (x)
☞ si f (x) =
avec u(x) > 0 sur un intervalle I alors F (x) = ln (u(x)) + c (c ∈ R) sur I .
u(x)
1. f (x) =
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 334
10 minutes
′ u
Déterminer les primitives sur R de la fonction f de la forme u e :
2
1. f (x) = 2e x
3. f (x) = 2e 2x
5. f (x) = xe x
p
¡
¢
3
2
2. f (x) = e −x
4. f (x) = x 2 + 1 e x +3x+1
6. f (x) = (3x + 1) e 3x +2x− 3
☞ si f (x) = u ′ (x)e u(x) sur un intervalle I alors F (x) = e u(x) + c (c ∈ R) sur I .
E XERCICE 335
Déterminer la primitive F de f sur I vérifiant la condition donnée :
10 minutes
1. f (x) = 1 + x − x 2 + x 3 , I = R et F (1) = 0
2
1
2. f (x) = 2 + 2x + 2 − p , I = ]0 ; +∞[ et F (1) = 1.
x
x
2
3. f (x) = xe x +1 + cos (2x), I = R et F (0) = 0.
E XERCICE 336
Déterminer les solutions de l’équation y ′ + 2y = 0.
5 minutes
E XERCICE 337
Déterminer les solutions de l’équation y ′ − 5y = 0.
5 minutes
E XERCICE 338
3
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x + 6 − 2 .
x
Déterminer la primitive F de f sur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour x = 1.
5 minutes
2
2.5.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 339
3x + 4
.
Soit f une fonction définie sur R \ {−1} par f (x) =
(x + 1)3
B
A
+
.
1. Déterminer les réels A et B tels que f (x) =
2
(x + 1)
(x + 1)3
2. En déduire une primitive de f sur R \ {−1}.
10 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
126
E XERCICE 340
·
1
1
; +∞ par f (x) = 2
.
Soit f une fonction définie sur
2
4x − 1
1
A
B
1. Déterminer les réels A et B tels que 2
=
+
.
4x − 1 2x + 1 2x − 1
2. En déduire une primitive de f .
10 minutes
E XERCICE 341
Déterminer les primitives sur I des fonctions suivantes :
p
2
x +1
1. f (x) = 3xe x +1 − 5x 2 + 2020, I = R
, I =R
4. f (x) = 2
x + 2x + 5
3x 2 + 4x + 1
2. f (x) = ¡
¢2 , I = R \ {1}
x 3 + 4x 2 − 3
5. f (x) =
, I = ]0 ; +∞[
x 3 + 2x 2 + x − 4
x
i π πh
6
7
5
3. f (x) = + 2 − p , I = ]0 ; +∞[
6. f (x) = tan x, I = − ;
x x
x
2 2
10 minutes
E XERCICE 342
On se propose de résoudre l’équation différentielle y ′ + y = x + 1
y étant une fonction de la variable réelle x et y ′ sa dérivée.
10 minutes
¸
s
a
r
u
D
I
F
L
(E ),
1. On pose z = y − x, écrire l’équation différentielle (E 0 ) satisfaite par z.
2. Résoudre (E 0 ) puis (E ).
3. Déterminer la solution de (E ) qui prend la valeur 1 pour x = 0.
E XERCICE 343
10 minutes
Démontrer que deux primitives d’une fonction f continue sur un intervalle [a ; b] diffèrent
d’une constante.
E XERCICE 344
15 minutes
′
On se propose de résoudre l’équation homogène (E ) : y + a y = 0 (a constante réelle).
1. Montrer que la fonction f (x) = λe −ax (λ réel quelconque) vérifie (E ).
2. Soit y une fonction définie sur R et z la fonction définie par z(x) = y(x)e ax .
Montrer que y vérifie (E ) si, et seulement si, z est constante sur R.
En déduire que toutes les solutions de (E ) sont les fonctions f (x) = λe −ax .
E XERCICE 345
15 minutes
On considère l’équation différentielle (E ) y ′ + y = 2xe −x , dans laquelle x est une variable réelle
quelconque, y une fonction inconnue de la variable x.
1. Montrer que y = e −x est une solution particulière de l’équation sans second membre (c’està-dire de y ′ + y = 0).
2. On pose alors y = ze −x , définissant ainsi une nouvelle fonction z.
Calculer y ′ en fonction de x, z et z ′ et former l’équation satisfaite par z ′ en reportant y ′ et y
dans (E ).
3. En déduire toutes les solutions de (E ).
2.5. PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
127
4. Déterminer la fonction particulière qui s’annule pour x = 0.
E XERCICE 346
10 minutes
x
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = (2x + 3)e .
Déterminer les réels a et b tels que la fonction f , définie sur R par F (x) = (ax + b)e x soit une
primitive de f .
E XERCICE 347
5
Soit la fonction f définie sur R par f (x) =
.
1 + e −x
5e x
1. Vérifier que ∀x ∈ R, f (x) =
.
1 + ex
2. En déduire la primitive F de f qui s’annule pour x = 0.
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 348
2ax 2
, a étant un réel positif.
Soit f la fonction définie sur ]a ; +∞[ par f (x) = 2
x − a2
C
B
+
.
1. Déterminer trois réels A, B et C tels que f (x) = A +
x −a x +a
2. En déduire une primitive de f .
10 minutes
E XERCICE 349
10 minutes
¡ 2
¢ x
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x + 1 e .
¡
¢
Déterminer les entiers a, b, c tels que la fonction F , définie par F (x) = ax 2 + bx + c e x soit une
primitive de f .
E XERCICE 350
10 minutes
On s’intéresse dans cet exercice à l’ensemble des solutions de l’équation différentielle
(E ) y ′ − 2y = 8x 2 − 8x, c’est-à-dire à l’ensemble S des fonctions f dérivables sur R et vérifiant
∀x ∈ R, f ′ (x) − 2 f (x) = 8x 2 − 8x.
1. Démontrer qu’il existe dans S une fonction polynôme du deuxième degré et une seule. Préciser cette fonction.
2. Vérifier que si f et g sont des éléments de S, alors h = f − g est un élément de S0 , où S0
désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E 0 ) y ′ − 2y = 0.
3. En déduire l’ensemble des solutions de S.
E XERCICE 351
On considère l’équation différentielle (E ) : y" − ω2 y = 0 avec ω réel non nul.
10 minutes
1. Montrer que, quels que soient les réels A et B , la fonction f (x) = Ae ωx + B e −ωx vérifie (E ).
2. Soit y une fonction vérifiant (E ) et z la fonction définie par z(x) = y(x)e −ωx .
a. Montrer que z" + 2ωz ′ = 0.
b. Déduire de l’exercice 344 qu’il existe un réel k tel que z ′ (x) = ke −2ωx .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
128
c. Exprimer la fonction z en fonction de x.
d. En déduire qu’il existe deux réels A et B tels que : y(x) = Ae ωx + B e −ωx
E XERCICE 352
On considère l’équation différentielle (E ) : y" + ω2 y = 0 avec ω réel non nul.
15 minutes
1. a. Montrer que les fonctions f 0 (x) = 0, f 1 (x) = cos (ωx), f 2 (x) = sin (ωx) vérifient (E ).
b. Démontrer que si f et g vérifient (E ) alors quels que soient les réels A et B , la fonction
h définie par h(x) = A f (x) + B g (x) vérifie (E ).
c. En déduire que la fonction h(x) = A cos (ωx) + B sin (ωx) est solution de (E ).
2. a. Démontrer que si y vérifie (E ), la fonction ω2 y 2 + y ′2 est constante sur R.
☞ calculer sa dérivée.
b. Soit y une fonction vérifiant (E ) telle que y(0) = y ′ (0) = 0.
Déduire de la question précédente que y est la fonction nulle.
3. Soit y une fonction vérifiant (E ) et z la fonction définie par :
s
a
r
u
D
I
F
L
z(x) = y(x) − y(0) cos (ωx) −
y ′ (0)
sin (ωx)
ω
a. Démontrer que z vérifie (E ).
b. Calculer z(0) et z ′ (0) et en déduire que z est la fonction nulle.
c. Démontrer alors que les fonctions solutions de (E ) sont les fonctions de la forme
f (x) = A cos (ωx) + B sin (ωx) avec A et B deux réels quelconques.
E XERCICE 353
¡
¢
On considère l’équation différentielle : (E ) : y ′ = x 2 + e x y 2 .
1. Vérifier que la fonction nulle est solution de (E ).
2. On suppose que y ne s’annule pas, vérifier alors que (E ) s’écrit encore
y′
.
y2
4. Déterminer les primitives de la fonction x 7→ x 2 + e x .
5. En déduire les solutions de l’équation (E ).
10 minutes
y′
= x2 + e x.
y2
3. Déterminer les primitives de la fonction x 7→
E XERCICE 354 : Equation de Bernoulli
15 minutes
Soient a et b deux nombres réels et n un entier naturel différent de 1.
On considère l’équation différentielle (E ) : y ′ = a y + b y n
On se propose, dans cet exercice, de rechercher les solutions strictement positives de (E ) sur R.
1. On pose sur R : z = y 1−n
☞ Ceci a bien un sens puisque y est strictement positif.
Déterminer une équation différentielle satisfaite par z et la résoudre.
2. En déduire les solutions, strictement positives, de (E ) sur R.
Que donne le cas n = 0 ?
2.5. PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
129
E XERCICE 355 : Loi logistique continue
35 minutes
On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de ces
plantes est de 1 m.
On note f (t ) la taille, en m, d’un plant après t jours. (On a donc f (0) = 0, 1).
Le modèle de Verhulst consiste à considérer que la vitesse de croissance de la plante évolue
¡
¢
suivant la relation : f ′ (t ) = a f (t ) 1 − f (t ) où a est une constante dépendant des conditions
expérimentales.
Autrement dit, f est une solution, sur R+ , de l’équation différentielle : y ′ = a y(1 − y).
1
1. On pose, pour tout t de R+ : z(t ) =
.
f (t )
Déterminer une équation différentielle satisfaite par z, puis la résoudre sur R+ .
1
.
En déduire que pour tout réel t de R+ , on a : f (t ) = −at
9e
+1
2. On observe qu’au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm. Calculer a (on arrondira à 10−2 ).
3. Etudier la limite de f en +∞ et préciser son sens de variation.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 356
20 minutes
Soit E l’ensemble des fonctions f trois fois dérivables, de dérivées successives f ′ , f " et f (3)
continues sur R et vérifiant l’équation différentielle (x − 1)y" − x y ′ + y = 0.
1. Démontrer que si f appartient à E alors ∀x ∈ R \ {1} : f (3) (x) = f "(x).
En déduire que si f appartient à E alors ∀x ∈ R : f (3) (x) = f "(x).
En déduire alors que f " est solution d’une équation différentielle de la forme : y ′ − m y = 0
avec m un réel que l’on déterminera.
2. A l’aide de deux intégrations, démontrer que les éléments de E sont de la forme :
f (x) = be x + ax avec a et b deux réels.
E XERCICE 357
On considère l’équation différentielle (E ) : y ′ − 3y = sin x
15 minutes
1. Résoudre, sur R, l’équation sans second membre associé (E 0 ) : y ′ − 3y = 0.
2. Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur R par p(x) = a cos x +b sin x
soit solution de (E ) sur R.
3. Démontrer que f est une solution de (E ) sur R si et seulement si f − p est une solution de
(E 0 ) sur R.
4. En déduire les solutions de (E ) sur R.
E XERCICE 358
15 minutes
A l’instant t = 0, on place un corps à 100°C (casserole d’eau bouillante par exemple) dans une
pièce à 20° C. On désigne par θ(t ) la température du corps à l’instant t en heures. La loi de
refroidissement de Newton est telle que la vitesse de refroidissement du corps θ³′ (t ) est propor´
tionnelle à la différence de température entre le corps et la pièce, soit θ ′ (t ) = −k θ(t )−20 (avec
k coefficient de refroidissement égal à 2, 08h −1 ).
CHAPITRE 2. FONCTIONS
130
1. Déterminer la solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale.
2. Quelle est la température du corps après 30 minutes ?
3. Après combien de temps la température tombera-t-elle à 30°C ?
2.6 Intégration
2.6.1 Point de cours
s
a
r
u
D
I
F
L
Définition : soit f une fonction continue sur un intervalle I , F une primitive de f , et a, b deux
réels quelconques de l’intervalle I .
On appelle intégrale de f entre a et b la différence F (b) − F (a).
Zb
h
ib
On note
f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a).
a
a
Théorème fondamental : soit Z
f est une fonction continue sur un intervalle I et a ∈ I , la fonction F définie sur I par F (x) =
′
x
a
f (t ) dt est la primitive de f qui s’annule pour x = a.
On a ainsi ∀x ∈ [a; b], F (x) = f (x).
Intégration par parties : soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur l’intervalle
[a
Zb; b], alors
h
ib Zb
u ′ (x)v(x) dx.
u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −
a
a
a
Applications du calcul intégral : calcul d’aires
1. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sa courbe représentative
dans un repère orthogonal.
L’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée par la courbe C, l’axe des abscisses
Zb
f (x) dx.
et les droites d’équations x = a et x = b est égale à
a
2. Si la fonction f est continue et négative sur [a; b], l’aire exprimée en unités d’aire de la surface plane délimitée par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et
Zb
x = b, est égale à −
f (x) dx.
a
3. Si f et g sont deux fonctions continues telles que f (x) 6 g (x) sur [a; b], alors l’aire, exprimée
en unités d’aire, de la surface comprise entre les courbes C f et Cg est les droites d’équation
Zb
¡
¢
g (x) − f (x) dx
x = a et x = b est égale à
a
Valeur moyenne d’une fonction
Pour toute fonction f continue sur un intervalle [a; b], on appelle valeur moyenne de f sur
Zb
1
f (x) dx.
[a; b] le réel µ tel que µ =
b−a a
2.6. INTÉGRATION
131
2.6.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 359
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 2x + 1 et C sa courbe représentative.
5 minutes
Représenter les surfaces dont les aires, en unités d’aire, sont égales aux intégrales I =
Z3
f (x) dx.
et J =
Z1
0
f (x) dx
2
Déterminer graphiquement ces intégrales.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 360
Soit F la fonction définie sur R pat F (x) =
Zx
0
10 minutes
e
t2
dt .
1. Déterminer la dérivée de la fonction F sur R.
2. Déterminer le sens de variation de F sur R.
3. Donner la valeur de F (0), en déduire le signe de la fonction F sur R.
E XERCICE 361
10 minutes
p
Soit C, la courbe représentative de la fonction f définie sur [−1; 1] par f (x) = 1 − x 2 et A l’aire
comprise entre cette courbe et l’axe des abscisses.
1. Prouver que C est un demi-cercle.
Z1 p
1 − x 2 dx
2. En déduire
−1
E XERCICE 362 ³
10 minutes
→
− →
−´
Dans le repère O, ı ,  , on a tracé la courbe P représentative d’une fonction g définie sur R
par g (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels.
3
S
2
1. a. Déterminer graphiquement g (0), g (1), g ′ (1)
A1
B
b. En déduire les valeurs de a, b, c
→
−
0
2. Sachant que g (x) = −x 2 + 2x + 1, déterminer la
→
− 1 2 3 4
-2 -1
O 0
primitive G de la fonction g , définie sur R et vé-1
ı
rifiant
G(0) = 0.
Z
-2
-3
-4
P
3. Calculer l’intégrale I=
2
0
g (x) dx.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
132
E XERCICE 363
Calculer les intégrales suivantes :
Z1
Z3
¡ 2
¢
¡ 2
¢
3x + 2x + 1 dx
1. I =
3x − 2x dx 4. I =
Z−1
Z13
1
1
2
dx
5.
I
=
p
2. I =
x dx
0
3x + 2
−2
Z
Z2
2
2x + 4
1
6. I =
dx
3. I =
¡
¢2 dx
2
0 x 2 + 4x + 1
1 x
20 minutes
7. I =
8. I =
Z2
Z−2
2
¡
3t 2 + 2t
6x
¢¡
¢5
t 3 + t 2 + 1 dt
dx
2
Z01 p3x + 1
¡
¢2
x 2018 + 2017x x 2 + 1 dx
9. I =
p
1
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 364
10 minutes
Soit f une fonction dérivable sur R dont le tableau de variations est donné ci-dessous où a et b
désignent deux réels.
x
a
−∞
b
+∞
f (x)
−∞
−∞
1. Déterminer le signe de f ′ (x) selon les valeurs
x. ´
³ de→
− →
−
2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , on a tracé deux courbes C1 et C1 .
1
Elles coupent l’axe des ordonnées aux points A et B d’ordonnées respectives −2 et .
2
L’une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée f ′ de f et l’autre la
courbe représentative d’une primitive F de la fonction f sur R.
C2
→
−
 B
O
C1
→
−
ı
A
a. Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction f ′ .
Justifier la réponse.
b. A l’aide des courbes C1 et C2 , prouver que 1 < a < 2 et b > 0.
2.6. INTÉGRATION
133
E XERCICE 365
En découpant la fraction, calculer l’intégrale I =
Z3
1
x 3 − 2x 2 − x + 1
dx.
x2
E XERCICE 366
5 minutes
15 minutes
1. Démonstration de la formule d’intégration par parties :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle [a ; b] telles que u ′ et v ′ soient continues sur [a ; b].
a. Quelle est la dérivée de la fonction uv sur [a ; b] ?
Zb
¡ ′
¢
b. En déduire une expression de
u (x)v(x) + u(x)v ′ (x) dx.
a
Zb
h
ib Zb ¡
¢
¡
¢
′
u ′ (x)v(x) dx.
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −
c. En déduire alors que
s
a
r
u
D
I
F
L
a
a
a
2. Calculer l’intégrale suivante en utilisant une intégration par parties et en posant u(x) = x,
v ′ (x) = cos x
Zπ
2
(x cos x) dx
0
E XERCICE 367
5 minutes
Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties en tenant compte des indications
Z1
I=
xe x dx.
0
☞ u(x) = x et v ′ (x) = e x .
E XERCICE 368
5 minutes
Calculer
Z l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties en tenant compte des indications
I=
e
1
ln (x) dx
☞ u(x) = ln (x) et v ′ (x) = 1.
E XERCICE 369
5 minutes
Calculer
l’intégrale
à
l’aide
d’une
intégration
par
parties
en
tenant
compte
des
indications
Zπ
I=
(2x − 1) cos x dx
0
☞ u(x) = 2x − 1 et v ′ (x) = cos x.
E XERCICE 370
Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties. I =
E XERCICE 371
Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties. I =
Zπ
2
0
Ze
1
5 minutes
2x sin (2x) dx.
5 minutes
x ln x dx.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
134
E XERCICE 372
Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties. I =
Z3
1
5 minutes
(3x + 2) e
2x
dx.
E XERCICE 373
10 minutes
1. Calculer la valeur moyenne sur [0; 4] de la fonction f définie par f (x) = 2x.
2. Calculer la valeur moyenne sur [−1; 2] de la fonction g définie par g (x) = x 2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 374
Voici une fonction en langage Python :
15 minutes
def truc(a,b,n) :
h=(b-a)/n
x=a
u=0
for k in range(n):
u=u+h*(f(x)+f(x+h))/2
x=x+h
print(u)
p
1. a. Exécuter cet programme pour a = 0, b = 2, n = 4 et f (x) = x.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur [0; 2].
c. Interpréter le résultat trouvé à la question 1.a comme une aire et colorer la surface correspondante.
2. a. Que fait ce programme ?
b. Ecrire une fonction en langage Python pour que le programme fonctionne pour toute
fonction f .
c. Programmer les deux fonctions en Python pour la fonction racine carrée pour déterminer une valeur approchée à 0, 001 de l’aire de la surface située entre la courbe représentative de la fonction racine carrée, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et
x = 3.
2.6.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 375
10 minutes
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (unité graphique : 1 cm), on donne les tableaux de
variations et les trois représentations graphiques C f , Cg , Ch respectives des fonctions f , g , h
définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2.6. INTÉGRATION
135
5
x
f (x)
0
1
+∞
1
1
g (x)
3
5
1/5
4
4
+∞
3
Ch
2
0
A1
1
1/5
−∞
0
-1O 0
-1
−∞
Cf
1
2
3
4
5
6
7
8
s
a
r
u
D
I
F
L
h(x)
6
0
0
+∞
A2
-2
−3/2
Cg
-3
1. Exprimer à l’aide d’intégrales, les mesures, exprimées en cm2 , des aires des domaines plans
A1 et A2 .
1
2. Sachant que f (x) = , calculer à 0, 1cm2 près, la mesure de l’aire du domaine plan limité
x
par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 3.
3. Sachant que sur l’intervalle [1 ; 3], 1 6 g (x) 6 4,
Z3
g (x) dx.
en déduire un encadrement de
1
4. Déterminer le signe des intégrales suivantes en justifiant précisément chacune des réponses
Z2
Z3
Z2
h(x) dx.
−g (x) dx
f (x) dx
1
1
1
Z3
Z3
Z3
5. Comparer les nombres I , J , K définis par : I =
f (x) dx J =
g (x) dx K =
h(x) dx.
1
1
6. Calculer, à 0, 1 près, la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1 ; 4].
1
E XERCICE 376
15 minutes
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I , a, b et c trois réels de l’intervalle I , α et
β deux réels.
Démontrer les propriétés suivantes :
Za
f (x) dx = 0.
1.
a
Za
Zb
2.
f (x) dx = −
f (x) dx.
b
Zb
Zb
Zb a
¡
¢
α f (x) + βg (x) dx = α
f (x) dx + β g (x) dx.
3. Linéarité :
a
Zb
Zc a
Zc a
4. Relation de Chasles :
f (x) dx +
f (x) dx =
f (x) dx.
a
b
a
Z
b
f (x) dx > 0.
5. Positivité : soit a < b, si ∀x ∈ [a; b] f (x) > 0 alors
a
CHAPITRE 2. FONCTIONS
136
6. Si f (x) > g (x) sur [a; b] alors
Zb
a
f (x) dx >
Zb
a
g (x) dx.
E XERCICE 377
15 minutes
On appelle valeur efficace U de la fonction u(x), la racine carrée de la valeur moyenne du carré
de u(x). s
Zb
1
u 2 (x) dx.
Soit U =
b−a a
s Z
1 T 2
Si la fonction u est périodique, de période T alors U =
u (t ) dt .
T 0
Calculer la valeur efficace de la fonction u(t ) = sin t sur [0 ; 2π].
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 378
Z2
Calculer I =
[1 − |x − 1|]3 dx.
10 minutes
0
E XERCICE 379
15 minutes
Soit f une fonction continue sur [a; b] et telle que pour tout x ∈ [a; b], m 6 f (x) 6 M .
Zb
1
f (x) dx 6 M .
1. Démontrer que m 6
b−a a
2. Déterminer un encadrement sur [0; 3] de la valeur moyenne de la fonction f définie par
1
f (x) =
.
1 + x2
3. Déterminer
un encadrement sur [0; 3] de la valeur moyenne de la fonction f définie par
p
f (x) = 1 + x 2 .
E XERCICE 380

 4x + 8
x2 − x + 2
Soit la fonction f définie sur [−2; 5] par : f (x) =

−4x + 20
si
si
si
15 minutes
x < −1
−1 6 x 6 3
x >3
1. Tracer l’allure de la courbe dans un repère orthonormé d’unité graphique 3 cm.
Z5
2. Calculer
f (x) dx, en déduire l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe de f .
−2
E XERCICE 381
Soit f et g les fonctions définies sur
(x + 4)(x − 4)
et
[−6; 4] par f (x) =
8
(x + 4)(4 − x)
g (x) =
et de courbes re8
présentatives C f et Cg représentées
ci-contre.
Calculer la surface du Poisson.
10 minutes
Cf
3
2
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
Cg
−2
−3
−4
b
1
2
3
4
5
2.6. INTÉGRATION
137
E XERCICE 382
15 minutes
Soit la fonction f définie sur [−1; 3] par f (x) = x(x +1)(x −1)(x −2)(x −3), C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités 2 cm en abscisses et 3 cm en ordonnées.
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.
E XERCICE 383
15 minutes
2
Soit les fonctions f et g définies sur R par f³(x) = −2x´ + 8x et g (x) = ax, de courbes représen→
− →
−
tatives C et ∆ dans un repère orthonormé O, ı ,  . Soit A l’aire comprise entre les axes, la
courbe C et la droite d’équation x = 4.
Déterminer la valeur de a pour que ∆ coupe l’aire A en deux parts égales.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 384 ³
10 minutes
−´
→
− →
− →
Propriété : Soit O, ı ,  , k un repère orthonormé de l’espace. Dans le plan d’équation
z = 0, on note C f la courbe représentant une fonction f continue sur un intervalle [a; b] (avec
a < b).En faisant pivoter C f autour de l’axe des abscisses , la courbe engendre un solide de réZb
£
¤2
volution dont le volume est : V = π
f (t ) dt .
a
p
Application : Soit la fonction f définie sur [−1; 1] par f (x) = 1 − x 2 , C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On note V le volume du solide de révolution engendré par la
rotation de C f autour de l’axe des abscisses.
1. Tracer la courbe C f .
2. Calculer le volume V .
E XERCICE 385
1
1 1
On considère la suite S n définie pour tout n ∈ N par S n = 1 + + + · · · + .
2 3
n
1. Soit k un entier naturel strictement positif.
Zk+1
1
1
Démontrer que pour tout x ∈ [k; k + 1],
dx 6 .
x
k
k
Zn
1
1
1
2. Démontrer que pour tout n > 2,
dx 6 1 + + · · · +
.
2
n −1
1 x
1
3. En déduire que, pour tout n > 2, ln(n) + 6 S n .
n
4. Déterminer lim S n .
20 minutes
∗
n→+∞
E XERCICE 386
1
Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par : u n =
.
n(n + 1)
Zn+1
1
dx.
1. Démontrer que pour tout n ∈ N∗ : u n =
2
x
n
2. On considère la série (S n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : S n =
∗
a. Démontrer que ∀n ∈ N : S n =
Zn+1
1
1
dx.
x2
20 minutes
n
X
uk .
k=1
CHAPITRE 2. FONCTIONS
138
b. En déduire une expression de S n en fonction de n.
c. Démontrer que la suite (S n ) est convergente et préciser sa limite.
1
1
.
3. a. Vérifier que ∀n ∈ N∗ , u n = −
n n +1
b. En déduire une expression de S n en fonction de n.
c. Retrouver le résultat de la question 2.c..
E XERCICE 387
Zx
1
Soit u la fonction définie sur R par u(x) =
dt .
2
0 1+t
1. Montrer que u est dérivable
R et calculer u ′ (x).
i π sur
πh
2. On pose, pour tout x ∈ − ; , F (x) = u (tan x).
2 2
a. Préciser F (0).
i π πh
b. Montrer que F est dérivable et calculer F ′ (x) pour x ∈ − ; .
2 2
i π πh
c. En déduire que : ∀x ∈ − ; , F (x) = x.
2 2
Z1
1
d. Déduire de l’égalité précédente la valeur de I 0 =
dt .
1
+
t2
0
25 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 388
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; 1[ par f (x) =
Zx
0
1
dt .
1− t2
1. Démontrer qu’il existe deux réels a et b tels que ∀x ∈ ]−1 ; 1[ ,
2. En déduire l’expression de f en fonction de x.
10 minutes
a
b
1
=
+
.
2
1−t
1−t 1+t
E XERCICE 389
15 minutes
3
1. Soit f la fonction définie sur R \ {1} par f (x) =
2
x − 3x + x
.
1−x
d
.
a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x 6= 1 : f (x) = ax 2 + bx + c +
1
−
x
Z1
2
b. En déduire I =
f (x)dx.
0
2. Calculer à l’aide d’une intégration par parties J =
Z1
2
0
¡ 2
¢
3x − 6x + 1 ln (1 − x)dx.
E XERCICE 390
25 minutes
¡ 2
¢
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = ln x − 2x +³2 . On désigne
par C sa courbe représen→
− →
−´
tative dans le plan est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
1
On désigne par A l’aire du domaine compris entre les droites d’équation x = 0, x = , l’axe des
2
abscisses et la courbe C.
On se propose de déterminer une valeur approchée de A en unités d’aire.
2.6. INTÉGRATION
139
1. Montrer que la tangente T à la courbe C au point d’abscisse
y =−
6
25
24
x+
+ ln .
25
25
16
1
a pour équation :
4
1
de la courbe C.
2µ
¶
5
Montrer que la droite (E F ) a pour équation y = 2 ln x + ln 2.
8
·
¸
1
3. On admet que sur l’intervalle 0 ;
la courbe C est au-dessus de T et en dessous de (E F ).
2
¶
¶
¶
Z1 µ µ
Z1 µ
2
2
6
25
24
5
dx 6 A 6
+ ln
− x+
2 ln x + ln 2 dx.
a. Montrer que
25
25
16
8
0
0
5
1 5
b. En déduire que ln 6 A 6 ln .
4
4 2
Donner un encadrement de A à 10−3 près.
2. Soient les points E d’abscisse 0 et F d’abscisse
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 391
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x 2 e −x .
Z1
xe −x dx.
1. Calculer J =
15 minutes
0
2. Vérifier que pour tout x ∈ R, f ′ (x) + f (x) = 2xe −x .
Z1
Z1
f (x) dx.
f (x) dx = 2J − f (1). En déduire la valeur exacte de
3. Démontrer que
0
0
E XERCICE 392
Z1
xe x
15 minutes
On se propose de calculer l’intégrale J =
dx.
3
0 (1 + e x )
Z1
Z1
ex
ex
dx.
1. Calculer A =
dx
et
B
=
2
x
0 1+e
0 (1 + e x )
2. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout réel t positif ou nul on ait :
1
bt
ct
(1)
=a+
+
(1 + t )2
1 + t (1 + t )2
Z1
1
dx.
3. En posant t = e x dans l’égalité (1), calculer l’intégrale I =
2
0 (1 + e x )
4. A l’aide d’une intégration par parties exprimer J en fonction de I .
5. En déduire la valeur exacte de J .
E XERCICE 393
15 minutes
Sur la figure
ci-dessous,
sont
représentées
la
courbe
représentative
C
dans
un
repère
ortho³ →
− →
−´
−x 2 +1
normé O, ı ,  , d’une fonction f définie et dérivable sur R par f (x) = 1 + x − xe
, ainsi
que son asymptote D.
La courbe C est très proche de son asymptote pour les points d’abscisses supérieure à 2, 4.
On se propose de préciser cette situation en calculant, pour tout réel λ positif ou nul, l’aire
A (λ), exprimée en unités d’aire, du domaine limité par C, D et les droites d’équations x = 0 et
x = λ.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
140
D
3
2
C
1
1
2
3
s
a
r
u
D
I
F
L
−4
−3
−2
−1
−1
−2
−3
−4
1.
2.
3.
4.
Déterminer graphiquement une équation de D.
Exprimer A (λ) en fonction de λ.
Déterminer la limite A de A (λ) lorsque λ tend vers +∞.
A partir de quelle valeur de λ a-t-on |A (λ) − A| 6 10−2 ?
E XERCICE 394
25 minutes
Question préliminaire :
On admet que, pour tout réel x > 0, e x > x + 1 et ln x 6 x − 1.
En déduire que, pour tout x > 0 : e x − ln x > 2
(1)
x
. On désigne par C sa courbe repréSoit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x
e − ln³x
→
− →
−´
sentative dans le plan est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  (unité graphique 4 cm).
Zn
f (x) dx.
Soit la suite (u n ) définie par : ∀n > 1, u n =
1
1. Interpréter graphiquement u n .
2. Etudier le sens de variation de la suite (u n ).
3. Soit φ la fonction définie sur l’intervalle [1; +∞[ par : φ(x) = e x − x ln x − ln x.
Calculer φ′ (x). En utilisant l’inégalité (1) de la partie préliminaire, démontrer que, pour tout
réel x > 1, φ′ (x) > 0.
En déduire que, pour tout réel x > 1, φ(x) > 0.
1+x
4. a. En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout réel x > 1, f (x) − x 6 0.
e
b. Montrer que pour tout réel x > 1, f (x) > xe −x .
c. En effectuant une intégration par parties,
Z de l’entier naturel non
Z calculer, en fonction
nul n, les deux intégrales suivantes : A =
n
1
xe −x dx et B =
n
1
(1 + x)e −x dx
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
141
5. a. Montrer que la suite (u n ) est majorée.
b. Montrer que la suite (u n ) converge.
On appelle ℓ sa limite.
3
2
c. Démontrer que 6 ℓ 6 .
e
e
E XERCICE 395
25 minutes
2x − ln x
, on note C sa courbe représentative
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) =
p
2 x
³ →
´
− →
−
dans un repère orthonormé O, ı ,  .
¶
n 1 µ
X
k
f 1+ .
Soit (Un ) la suite définie par Un =
n
k=0 n
Z2
1. Soit J =
f (x) dx.
s
a
r
u
D
I
F
L
1
Z2
ln x
p x à l’aide d’une intégration par parties.
1 2 x
b. En déduire J .
a. Calculer
2. Soit k un entier naturel tel que : 0 6 k 6 n − 1
En utilisant les variations de f sur [1 ; +∞[, montrer que :
¶ Z1+ k+1
¶
µ
µ
n
1
1
k
k +1
6
f (x) dx 6 f 1 +
f 1+
n
n
n
n
1+ nk
3. En déduire que : Un −
4. Calculer lim Un .
f (1)
f (1)
f (2)
f (2)
6 J 6 Un −
, puis que : J +
6 Un 6 J +
.
n
n
n
n
n→+∞
2.7 Fonctions trigonométriques
2.7.1 Point de cours
Définitions
1. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x, associe sin x.
2. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x, associe cos x.
Propriétés
1. Les fonctions sin x et cos x sont continues sur R.
2. Les fonctions sin x et cos x sont dérivables sur R
sin ′ (x) = cos (x)
cos ′ (x) = − sin (x)
CHAPITRE 2. FONCTIONS
142
3. Soient a et b deux réels. Les fonctions f (x) = sin (ax + b) et g (x) = cos (ax + b) sont dérivables sur R et pour tout réel x :
f ′ (x) = a cos (ax + b)
et
g ′ (x) = −a sin (ax + b)
Périodicité : ∀x ∈ R, sin (x + 2π) = sin (x)
et
cos (x + 2π) = cos (x).
On dit que les fonctions si nus et cosi nus sont périodiques, de période 2π.
Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction si nus, il suffit de la tracer sur
un intervalle d’amplitude 2π, puis de la compléter par des translations successives de vecteur
2π~
i ou −2π~
i.
s
a
r
u
D
I
F
L
Parité : ∀x ∈ R, sin (−x) = − sin (x)
et
cos (−x) = cos (x).
On dit que la fonction si nus est impaire et la fonction cosi nus est paire.
Conséquence : Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction si nus est symétrique par
rapport à l’origine du repère. La courbe représentative de la fonction cosi nus est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées.
sin (x)
= 1.
lim
x→0
x
Limite :
Primitives :
Fonction f
Primitives F
Intervalle de validité
f (x) = cos x
F (x) = sin x + c
R
f (x) = sin x
F (x) = − cos x + c
R
f (x) = cos (ax + b) (a 6= 0)
f (x) = sin (ax + b) (a 6= 0)
F (x) =
1
sin (ax + b) + c
a
1
F (x) = − cos (ax + b) + c
a
R
R
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
143
2.7.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 396
15 minutes
Déterminer la dérivée de la fonction f , définie et dérivable sur R dans les cas suivants :
7. f (x) = sin5 (2 − 7x)
1. f (x) = cos x sin x
4. f (x) = cos (2x + 1)
sin x
8. f (x) = x cos (2x)
5. f (x) = 4x − cos x
2. f (x) =
cos x
sin x + 2
sin (2x) + 1
6. f (x) =
9. f (x) =
3. f (x) = (sin x)3
sin x + 3
cos (2x) + 1
E XERCICE 397
Déterminer les limites suivantes :
cos x
1. lim
x→+∞ x
sin x
2. lim
x→−∞ x 2
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
3.
lim cos x + 2x
cos x + 2
4. lim
x→+∞ cos x + x
x→+∞
E XERCICE 398
15 minutes
E XERCICE 399
Résoudre dans ] − π; π] les inéquations suivantes :
3. ³sin x cos x > 0 ´³
´
1. 1 − 2 sin x > 0
p
4. 2 cos (2x) + 3 1 + sin (4x) < 0
2. 1 + 2 cos x > 0
15 minutes
sin (x)
cos (x) − 1
1. Démontrer que lim
= 1 et lim
= 0.
x→0
x→0
x
x
2. En déduire les limites suivantes :
µ
µ
¶
¶
3 sin x
cos(2x) − 1
c. lim
a. lim
x→0
x→0
x
¶
µ
µ x ¶
2 sin x − 5x
sin 3x
b. lim
d. lim
x→0
x→0
4x
x
E XERCICE 400
Résoudre dans R les équations suivantes :
15 minutes
1. 2 cos2 x −
à 3 cos
p x!+ 1 = 0 ; p
3 2
2
2. sin2 x − 3 +
sin x +
= 0.
2
2
E XERCICE 401
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = cos 2x + 2 sin x.
15 minutes
1. Démontrer que la fonction f est de période 2π. En déduire une restriction de l’intervalle
d’étude de la fonction.
2. Vérifier que la fonction f n’est ni paire, ni impaire.
3. Etudier les variations de f .
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
144
E XERCICE 402
Calculer les intégrales suivantes :
Zπ
4
1.
(sin 2x + cos 3x) dx
π
6
Z1
2.
cos (πx) dx
15 minutes
3.
4.
0
Zπ
4
0
Zπ
3
0
sin4 x cos x dx
sin x cos3 x dx
E XERCICE 403
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = cos (2x) − x.
15 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer que ∀x ∈ R, −(1 + x) 6 f (x) 6 1 − x
En déduire les limites en −∞ et en +∞ de
h f .π i
2. Dresser le tableau de variations de f sur 0; .
2
3. Montrer
h π i que l’équation (E ) : cos (2x) = x admet une unique solution α dans l’intervalle
0; .
2
4. Déterminer une valeur approchée au centième par défaut de cette solution.
2.7.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 404
15 minutes
1. Résoudre dans R l’équation (E ) : 8x 4 − 8x 2 + 1 = 0.
2. Résoudre l’équation cos 4z = 0.
3. Exprimer cos 4z en fonction de cos z.
4. Déduire des questions précédentes la valeur de cos
3π
π
et cos
.
8
8
E XERCICE 405
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos 3x · cos3 x.
15 minutes
E XERCICE 406 : MATHS EXPERTES
1
5
5
1. a. Démontrer que sin5 x =
sin 5x −
sin 3x + sin x
16
16
8
Zπ
15 minutes
1. Etudier hla périodicité
et la parité de f , en déduire que l’on peut réduire l’étude de f à l’inπi
tervalle 0 ;
.
2
2. Etudier³les variations
de f et construire sa courbe représentative C dans un repère ortho→
− →
−´
normé O, ı ,  .
b. En déduire I =
2
0
sin5 x dx.
3
1
2. a. Démontrer que cos3 x = cos 3x + cos x.
4
4
Zπ
3
b. En déduire I =
cos x dx.
π
2
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
E XERCICE 407
³
´
Soit la fonction f définie sur [−π ; π] par f (x) = sin x 7 + cos 2x .
145
15 minutes
1. Comparer f (−x) et f (x).
2. Comparer f (π − x) et f (x).
h πi
.
3. Etudier les variations de f sur l’intervalle 0 ;
2
h πi
.
4. Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle 0 ;
2
5. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, compléter la courbe représentative de f sur
l’intervalle [−π ; π].
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 408
20 minutes
sin nx
Soit n un entier naturel. On considère la fonction f n définie sur ]−π ; π[ par f n (x) =
si
sin x
x 6= 0 et f n (0) = n.
sin nx
sin nx
sin nx
, ainsi que lim+
et lim −
.
x→−π sin x
x→π sin x
sin x
2. La fonction f n est-elle continue en x = 0 ?
3. Etudier la fonction f 3 (on pourra commencer par exprimer sin 3x en fonction de sin x).
4. On désigne par F n une primitive de f n (x).
p +q
p −q
cos
.
a. Vérifier que sin p − sin q = 2 sin
2
2
b. En déduire que f n (x) − f n−2 (x) = 2 cos (n − 1) x pour n > 2.
c. En déduire l’expression de F n (x) − F n−2 (x), à une constante près.
d. Calculer directement F 2 (x).
e. En déduire F 4 (x) et F 6 (x).
1. Déterminer lim
x→0
E XERCICE 409
sin x
.
Soit f la fonction définie par f (x) = tan x =
cos x
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
2. Etudier la parité et la périodicité de la fonction
i π πf h.
3. Déterminer les limites aux bornes de I = − ; .
2 2
1
2
=
1
+
tan
x.
4. Démontrer que sur I , f ′ (x) =
cos2 x
5. En déduire les variations de f .
6. Tracer la courbe représentative de f sur [−2π; 2π].
15 minutes
E XERCICE 410
10 minutes
Le service commercial d’une usine d’eau minérale a adopté pour les étiquettes des bouteilles
la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.
La forme de ces étiquettes
h π πest
i délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C d’équation
y = a cos x avec x ∈ − ;
et a un réel strictement positif.
2 2
CHAPITRE 2. FONCTIONS
146
Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les informations
données aux acheteurs. On
³
a´
a
considère le disque de centre le point A de coordonnées 0 ;
et de rayon . On admettra que
2
2
ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe C pour des valeurs de a < 1, 4.
1. Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, les droites d’équation
π
π
x = − et x = , et la courbe C est égale à 2a unités d’aire.
2
2
2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface
grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel a pour respecter cette contrainte ?
s
a
r
u
D
I
F
L
a
b
A
C
−
π
2
O
π
2
E XERCICE 411
Démontrer que la fonction cos x n’a pas de limite lorsque x tend vers +∞.
10 minutes
E XERCICE 412
15 minutes
1. Restitution organisée de connaissances
sin h
Prérequis : lim
= 1.
h→0 h
• sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a.
• cos (a + b) = cos a cos b − sin a sinb.
α
• 1 − cos α = 2 sin2 .
2
a. a et h désignent des nombres réels, avec h 6= 0.
h
¶
µ
sin (a + h) − sin a sin 2
h
Montrer que
=
× cos a + .
h
h
2
2
b. Etudier la dérivabilité en a de la fonction sinus et déduire que, ∀x ∈ R, sin′ x = cos x.
2. Application
sin x
x −π
a. Conjecturer à l’aide de la calculatrice, la limite de f (x) quand x tend vers π.
b. Utiliser la question 1 pour démontrer cette conjecture.
Soit f la fonction définie sur ]π; 2π] par : f (x) =
E XERCICE 413
1. n étant un entier naturel non nul, calculer l’intégrale I n =
Zπ
0
20 minutes
x cos (2nx) dx.
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
147
2. Démontrer que 32 sin6 x = − cos 6x + 6 cos 4x − 15 cos 2x + 10.
☞ Les élèves suivant l’option maths expertes utiliseront les formules d’Euler.
☞ Les élèves ne suivant pas l’option pourront utiliser les relations suivantes :
1 + cos 2x
1
1 − cos 2x
, cos2 x =
, cos a cos b = (cos (a + b) + cos (a − b)).
sin2 x =
2
2
2
Zπ
3. En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer l’intégrale I =
0
E XERCICE 414
x sin6 x dx.
25 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
B
A
E
T
x
Limite du terrain
Terrain vu de dessus
Ligne médiane
Lors d’un match de rugby, un joueur doit
transformer un essai qui a été marqué au
point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB ].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T
que le joueur a le droit de choisir n’importe
où sur le segment [E M ] perpendiculaire à
la droite (AB ) sauf en E . La transformation
est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la
figure.
M
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T

qui rend l’angle AT
B le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment

[E M ] pour laquelle l’angle AT
B est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur E T , que l’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : E M = 50 m, E A = 25 m et AB = 5, 6 m . On note
α la mesure en radian de l’angle E
T A, β la mesure en radian de l’angle E
T B et γ la mesure en

radian de l’angle AT B.
1. En utilisant les triangles rectangles E T A et E T B ainsi que les longueurs fournies, exprimer
tanα et tanβ en fonction de x.
i πh
sin x
La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ;
.
par tan x =
2
cosix
πh
.
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ;
2
i πh

, résultat admis ici, que
3. L’angle AT
B admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 0 ;
2
l’on peut observer sur la figure.
i πh
tan a − tanb
On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ;
, tan(a − b) =
.
2
1 + tan a × tanb
5, 6x
.
Montrer que tanγ = 2
x + 765
CHAPITRE 2. FONCTIONS
148

4. L’angle AT
B est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond
765
à un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = x +
.
x

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle AT
B est maximum et dé
terminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle AT
B à 0, 01 radian
près.
E XERCICE 415
20 minutes
1. Soit p et q deux réels quelconques, démontrer les relations suivantes :
³p −q´
³p +q´
cos
a. cos p + cos q = 2 cos
³ p2− q ´
³ p2+ q ´
sin
b. cos p − cos q = −2 sin
³ p + q2´
³ p − q2 ´
c. sin p + sin q = 2 sin
cos
2 ´
2 ´
³p −
³p +
q
q
d. sin p − sin q = 2 sin
cos
2
2
2. Transformer l’expression suivante en produit : cos x + 2 cos 2x + cos 3x.
3. Transformer l’expression suivante en produit : sin x + sin 2x + sin 7x + sin 8x.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 416
Pour tout entier naturel n non nul, on pose I n =
Zπ
4
0
20 minutes
tann x dx.
1. a. Justifier l’existence de I n .
b. Sans calculer I n , montrer que la suite (I n ) est une suite décroissante dont tous les termes
sont positifs.
c. Calculer I 1 et I 2 .
π
Pour le calcul de I 2 , on rappelle que ∀x 6= + kπ, (k ∈ Z), (t anx)′ = 1 + tan2 x.
2
2. a. Pour tout entier naturel n, calculer la dérivée de la fonction x 7→ tann+1 x.
1
b. En déduire que ∀n ∈ N∗ , I n + I n+2 =
.
n +1
1
1
6 In 6
.
c. Montrer que ∀n ∈ N∗ ,
2(n + 1)
n +1
d. En déduire la limite de la suite (I n ) lorsque n tend vers +∞.
E XERCICE 417
20 minutes
Démontrer les égalités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité :
1 − cos x
x
1.
= tan
sin
x
¶ 2
µ
¶
µ
2π
2π
+ sin x + sin x +
=0
2. sin x −
3
3
1
2
3. tan x +
=−
.
tan x
tan2x
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
E XERCICE 418
149
20 minutes
1. Résoudre et discuter l’équation (E ) : a cos x + b sin x = c.
1
2. Application : (m − 1) cos x + (m − 1) sin x = (3m + 1).
2
Pour quelles valeurs de m cette équation a-t-elle des solutions ?
E XERCICE 419
45 minutes
³ →
− →
−´
Le plan est rapporté à un repère orthogonal O, ı ,  . L’unité graphique est 4 cm sur l’axe des
abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
Soit f la fonction définie
sur ´R par : f (x) = (2 + cos x)e 1−x . On note C la courbe représentative
³ →
− →
−
de f dans le repère O, ı ,  .
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Montrer que, pour tout x de R : f (x) > 0. ³
p
π´
2. a. Vérifier que, pour tout x de R : 2 cos x −
= cos x + sin x.
4
b. En déduire que, pour tout x de R : 2 + cos x + sin x > 0.
c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.
3. a. Montrer que, pour tout x de R : e 1−x 6 f (x) 6 3e 1−x .
b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞.
c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en +∞.
4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; π], l’équation f (x) = 1 admet une solution unique α.
b. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2 .
Partie B
On veut calculer l’aire, A, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C, l’axe
des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
Z1
1. Montrer que : A = 2e − 2 +
cos xe 1−x dx.
0
Z1
Z1
2. On pose I =
cos x e 1−x dx et J =
sin x e 1−x dx.
0
0
a. A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I = − cos 1+e − J et J = − sin 1+ I .
b. En déduire la valeur de I .
3. Déterminer la valeur exacte de A en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A
en cm2 à 10−2 près par défaut.
E XERCICE 420
45 minutes
Partie A
On considère la fonction numérique f , de la variable réelle x, définie sur R par : f (x) =³ e −x sin x.´
→
− →
−
On appelle C f la courbe de la fonction f (x) dans le plan muni d’un repère orthogonal O, ı ,  .
1. Montrer que, pour tout réel x, − e−x 6 f (x) 6 e−x .
En déduire lim f (x) et l’existence d’une asymptote pour la courbe C f .
x→+ ∞
CHAPITRE 2. FONCTIONS
150
³
p
π´
2. Montrer que la fonction dérivée de f vérifie : f ′ (x) = − 2e−x cos x + , pour x ∈ R.
4
h π
i
³
π´
sur l’intervalle − ; π .
3. Etudier le signe de cos x +
4
2
i
h π
En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − ; π .
2
i
h π
4. Représenter la fonction f sur l’intervalle − ; π ainsi que les courbes C1 et C2 d’équations
2
y = −e −x et y = e −x .
h π
i
5. Déterminer algébriquement sur R, puis sur − ; π , lesabscisses des points communs à :
2
a. (C f ) et l’axe des abscisses.
b. (C f ) et (C1 ).
c. (C f ) et (C2 ).
¯
¯
6. Déterminer un réel α tel que, pour x > α, on ait ¯ f (x)¯ 6 10−2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
Le but de cette partie est de déterminer une primitive F de la fonction f sur R.
1. En calculant les dérivées successives de la fonction f jusqu’à l’ordre 4 (on rappelle que
f (x) = e − x sin x), trouver une relation entre la fonction f et sa dérivée d’ordre 4 notée f (4) .
1
2. En déduire qu’on peut choisir F (x) = − f (3) (x).
4
Zπ
e −π + 1
−x
.
e sin x dx. Montrer que I =
3. On pose I =
2
0
Partie C
Z
Pour tout entier naturel n, on pose : I n =
(2n+1)π
2nπ
f (x) dx.
1. Vérifier que I 0 = I et interpréter I 0 comme l’aire d’un domaine plan.
e −2nπ −π
2. Montrer que, pour tout naturel n, I n =
(e + 1) .
2
3. Prouver que la suite (I n )n∈N est une suite géométrique. Calculer sa raison.
4. Prouver que la suite (I n )n∈N converge et préciser sa limite.
E XERCICE 421
Partie A - Etude d’une fonction
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = e −x (cos x + sin x).
³
π´
en fonction de sin x et cos x.
1. a. Exprimer sin x −
4
³
p
π´
En déduire que, pour tout nombre réel x, on a f (x) = 2e −x sin x + .
4
b. Résoudre dans R l’équation f (x) = 0.
c. Justifier que la limite de f en +∞ est 0.
2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur R.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′ (x) = −2e −x sin x.
b. Résoudre dans R l’équation f ′ (x) = 0.
35 minutes
2.7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
151
¸
·
π 7π
.
3. On note I l’intervalle − ;
4 4
′
Etudier le signe de f (x) sur l’intervalle I et dresser le tableau de variations de f sur I .
Partie B - Calcul d’intégrales
µ
¶
1
1. a. Vérifier qu’une primitive de f est − f − f ′ .
2
b. En déduire que la fonction G, définie sur R par G(x) = −e −x cos x, est une primitive de la
fonction f sur R.
c. Démontrer que, pour tout nombre réel x, G(x + π) = −e −πG(x).
R 3π +kπ
2. On considère la suite (I k ) définie pour tout k ∈ N, par I k = −4π +kπ f (x) dx.
s
a
r
u
D
I
F
L
4
a. Calculer I 0 et I 1.
b. Interpréter géométriquement |I 0 | + |I 1 |.
c. Démontrer que,pour tout k ∈ N, I k+1 = −e −π I k .
En déduire l’expression de I k en fonction de k et de I 0 .
E XERCICE 422
20 minutes
1. Transformer en produits les expressions :
A = sin p + sin q ; B = sin p − sin q ; C = cos p + cos q ; D = cos p − cos q.
2. Transformer en produits les expressions :
a. sin a − 2 sin 2a + sin 3a
b. cos (a + b + c) + cos a + cos b + cos c.
E XERCICE 423
10 minutes
1. Calculer la dérivée de la fonction u(x) = sin x.
2. Soit v(x) = cos x, en utilisant la relation u 2 + v 2 = 1, calculer la dérivée de la fonction v.
E XERCICE 424
Soit f la fonction définie par f (x) = ln (sin x).
15 minutes
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Démontrer que f est 2π−périodique.
3. Etudier les variations de f sur ]0 ; π[.
E XERCICE 425
15 minutes
cos x
.
Soit f la fonction définie sur R \ {kπ, k ∈ Z} par f (x) =
sin2 x
1. Démontrer que la fonction f est périodique et paire. En déduire une réduction de l’intervalle
d’étude, on notera I cet intervalle.
2. Calculer les limites de f en 0 et en π.
3. Etudier la fonction f sur I .
Zπ
2
4. Calculer
f (x)dx.
π
6
CHAPITRE 2. FONCTIONS
152
E XERCICE 426
15 minutes
sin x + sin 3x + sin 5x
1. Simplifier l’expression
.
cos x + cos 3x + cos 5x
2. Déterminer les intervalles de définition de la fonction f définie par
f (x) =
sin x + sin 3x + sin 5x
cos x + cos 3x + cos 5x
3. La fonction f peut-elle prendre la valeur 0, la valeur 1 ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 427
45 minutes
1. Soit g la fonction définie sur [0 ; π] par g (x) = x cos x − sin x.
a. Etudier les variations et établir le tableau de variations de g .
b. En déduire le signe de g (x) sur [0 ; π].
sin x
2. Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (x) =
si x ∈ ]0 ; π] et f (0) = 1.
x
a. Démontrer que f est continue sur [0 ; π].
b. Etudier les variations de f sur ]0 ; π].
h πi
2
on a 6 f (x) 6 1.
c. En déduire que pour tout x ∈ 0 ;
2
π
Zπ
3. On se propose d’étudier la fonction f définie sur [0 ; π] par F (x) =
f (t ) dt .
x
a. En utilisant la question 2.c, démontrer que pour 0 < x 6 π,
¶
Zπ µ
2
sin t 2
2 2x
dt .
on a − 2 6
x
π π
t
2
Zπ µ
2
sin t
t
¶2
dt
b. Calculer la valeur en π des fonctions définies sur ]0 ; π] par : x 7→
x
2
Zπ
³ ´
2
2 u
et x 7→
du, puis calculer leur fonction dérivée.
sin
2
2
x u
En déduire l’égalité des deux fonctions.
Zπ
³ ´
π
2
2 2x
2 u
du 6 .
sin
Déduire des questions précédentes que − 2 6
2
π π
2
2
x u
4. a. En prenant t 7→ 1 − cos t comme primitive
de
t
→
7
sin
t
et
en
intégrant
par parties, déZπ
Zπ
sin t
1 − cos t
2 cos x − 1
montrer que pour tout x de ]0 ; π] :
dt = +
+
dt .
t
π
x
t2
x
x
cos x − 1
lorsque x tend vers 0.
b. Calculer la limite de
x
µ ¶
Zπ
Zπ
1 − cos t
2
2 t
dt .
c. Démontrer que
dt
=
sin
2
t2
2
x
x tZ
π sin t
4 2x cos x − 1
π 2 cos x − 1
d. En déduire que : − 2 +
6
dt 6 + +
.
π Z
π
x
t
2 π
x
x
π
4
2 π
e. En déduire que 6
f (t ) dt 6 + .
π
π
2
0
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
153
2.8 Fonctions exponentielles
2.8.1 Point de cours
Définition : il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f ′ = f et f (0) = 1. C’est la
fonction exponentielle, notée exp.
Propriétés : Pour tous réels x et y, et tout entier relatif k,
• ex > 0 x
• e0 = 1
e
1
• e x−y = y
• e −x = x
e
e
• e x+y = e x × e y
• (e x )k = e k x
s
a
r
u
D
I
F
L
Dérivées et primitives : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et g la fonction définie
par g (x) = e u(x) .
• La fonction g est dérivable sur I et, pour tout réel x de I , g ′ (x) = u ′ (x)e u(x) .
• Une primitive de u ′ (x)e u(x) est e u(x) .
Limites : lim e x = +∞
lim e x = 0
x→+∞
ex
= +∞
x→+∞ x
lim
x→−∞
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim xe x = 0
lim
x→−∞
2.8.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 428
Simplifier les expressions suivantes :
¢2
¡
¢3 ¡
e × e 2x
1. e 2x+1 × e −3x
5.
e x + e −x
e x+1
2.
e 4x
ex
6.
3. (e x + e −x )2 − (e x − e −x )2
(e x )2 × e
2x+3
e
7. (e x )5 × e −2x
4. 2x−1
8. e 2x + e −2x − (e x − e −x )2
e
E XERCICE 429
Résoudre, dans R, les équations et inéquations suivantes :
2
1. e x = −2
4. e x +12x+35 = 1
2. e 2x = e
5. (e x − 2) (e x − 3) = 0
x
−x
3. 3e = e
6. e x − e −x < 0
5 minutes
e x + e −x
e −x
10. ep0 × e 3x × e 2−3x × e
¡ p ¢2
3
11. e 4 × 3 e
p
e e
12. 1,2 p
e 3e
9.
15 minutes
7. (e x − 1) (e −x − 1) > 0
8. 2xe x − 6e x > 0
2
9. e x + 1 6 2
E XERCICE 430
10 minutes
Calculer la dérivée de chaque fonction après avoir déterminé son intervalle de dérivabilité.
ex − 1
1. f (x) = e x − e −x
4. f (x) = x
e −x
+1
2. f (x) = e 3x + e −2x
xe + 1
x
−x
5. f (x) = 2
e +e
x 2 +1
3. f (x) = x
¡
¢
−x
e −e
6. f (x) = e 3x +4x−1 + x 2 + 2 e 1−2x
CHAPITRE 2. FONCTIONS
154
E XERCICE 431
Résoudre dans R les équations suivantes :
1. e 2x − 4e x + 3 = 0
2. 4e −5x + 3e −3x − e −x = 0
E XERCICE 432
Déterminer les limites suivantes :
e 3x − e x
4.
1. lim
x→+∞
x
5.
ex − 1
2. lim
x→1 x − 1
6.
3. lim 3x + xe x
15 minutes
3. 3e x − 7e −x − 20 = 0
4. e 3x − 3e 2x + 3e x − 1 = 0
15 minutes
ex − 1
x→0 sin x
x +1 1
8. lim
ex
x→0 x
x +1 1
9. lim
ex
x→+∞ x
lim 3x + xe x
x→−∞
lim e
7. lim
2x+3
x+1
s
a
r
u
D
I
F
L
x→+∞
x→+∞
ex − 2
x→+∞ e x + 1
lim
E XERCICE 433
10 minutes
1. Soit les fonctions f et F µdéfinies¶ sur R par :
1
f (x) = 3xe −3x et F (x) = −x − e −3x .
3
a. Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur R.
b. Soit la fonction g définie sur R par g (x) = xe −3x
µ. ¶
1
Déterminer la primitive de g sur R telle que G − = 2
3
2. Soit la fonction h définie sur R par h(x) = xe x+4.
Déterminer les réels a et b tels que la fonction f définie sur R par H (x) = (ax + b) e x+4 soit
une primitive de la fonction h.
E XERCICE 434
Calculer les intégrales suivantes :
Z2
1. I =
e x dx
1
Z1
3e 3x dx
2. I =
0
Z2
3. I =
7e −x dx
1
E XERCICE 435
15 minutes
4. I =
Z2
2
xe x dx
Z−1
3
1 1 dx
ex
2
Z14 x
3
6. I =
(x 2 + 2)e x +6x+1 dx
5. I =
1
10 minutes
1. Démontrer que pour tout x réel : e x > x.
2. En déduire la limite de e x en +∞.
3. Démontrer que lim e x = 0.
x→−∞
E XERCICE 436
10 minutes
x
e −1
= 1.
x→0
x
1. Démontrer que lim
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
2. En déduire les limites suivantes :
e 2x − 1
a. lim
x→0
x
e 2x − e x
b. lim
x→0
x
155
´
³ 1
lim x e x − 1
x→+∞
´
³ 3
d. lim x 3 e x − 1
c.
x→−∞
2.8.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 437
15 minutes
x
1. Soit m un réel donné, déterminer les valeurs de x réel telles que e + me
2. Résoudre l’équation pour m = −12.
−x
= 1.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 438
10 minutes
On considère la fonction f définie sur R
dont la courbe représentative C f est tracée
ci-contre dans un repère orthonormé.
On suppose que f est de la forme
f (x) = (b − x)e ax où a et b désignent deux
constantes.
On sait que :
y
A
D
x
• Les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f .
• La tangente à la courbe C f au point A
est parallèle à l’axe des abscisses.
Cf
On note f ′ la fonction dérivée de f , définie sur R.
1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f ′ (0).
2. Calculer f ′ (x).
3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système sui½
b −2 = 0
vant :
ab − 1 = 0
4. Calculer a et b et donner l’expression de f (x).
E XERCICE 439
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = (−x + 2)e 0,5x .
15 minutes
1. A l’aide du graphique de l’exercice précédent, justifier que la valeur de l’intégrale
Z2
0
f (x)dx
est comprise entre 2 et 4.
2. a. On considère F la fonction définie sur R par F (x) = (−2x + 8)e 0,5x .
Vérifier que F est une primitive de la fonction f sur R.
Z2
b. Calculer la valeur exacte de
f (x) dx et en donner une valeur approchée à 10−2 près.
0
CHAPITRE 2. FONCTIONS
156
3. On considère G une autre primitive de f sur R.
Parmi les trois courbes C 1 ,C 2 et C 3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de
la fonction G.
Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.
C1
s
a
r
u
D
I
F
L
C3
C2
E XERCICE 440
20 minutes
−x
On note f la fonction définie pour tout réel x par : f (x) = (2x − 1)e
.
³ →
− →
−´
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal O, ı ,  . Unités graphiques :
1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.
1. Etude des limites.
a. Déterminer la limite de f en −∞.
b. En écrivant, pour tout réel x, f (x) = 2xe −x − e −x , déterminer la limite de f en +∞.
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe C ?
2. Etude des variations de f
a. Calculer la fonction dérivée f ′ de la fonction f , puis démonter que, pour tout réel x, f ′ (x)
est du signe de (−2x + 3).
b. Dresser le tableau de variations de la fonction f
3. Représentations graphiques.
a. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.
b. Déterminer une équation de chacune des tangentes T1 et T2 à la courbe C aux points
1
3
d’abscisses et .
2
2
³ →
− →
−´
c. Tracer T1 , T2 et la courbe C dans le repère O, ı ,  .
4. a. Vérifier que, pour tout réel x, f (x) = − f ′ (x) + 2e −x .
b. En déduire une primitive de la fonction f sur R.
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
157
E XERCICE 441
2 x−1
Soit f la fonction définie dur R par f (x) = x e
x2
− .
2
25 minutes
1. Tracer la courbe sur une calculatrice.
A l’observation de cette courbe, conjecturer :
a. Le sens de variation de f .
b. La position de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.
2. Première conjecture.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Calculer f ′ (x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de la fonction g (x), où g est la fonction définie sur R par g (x) = (x + 2)e x−1 − 1.
b. Etablir le tableau de variations de g (limites comprises).
c. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution unique dans R que l’on notera α.
d. Montrer que 0, 20 < α < 0, 21.
e. Déterminer le signe de g (x) en fonction de x.
f. En déduire le signe de f ′ (x).
g. Que penser de la première conjecture ?
3. Deuxième conjecture.
a. Sachant que g (α) = 0, démontrer que f (α) =
−α3
.
2(α + 2)
−x 3
.
2(x + 2)
Etablir le tableau de variations de h sur [0; 1] et en déduire un encadrement de f (α).
c. Démontrer que, sur ]0; +∞[, l’équation f (x) = 0 admet une solution unique, que l’on
notera β.
d. Déterminer une valeur approchée de β à 10−2 près.
e. Que penser de la deuxième conjecture ?
b. On considère la fonction h définie sur [0; 1] par h(x) =
4. Tracé de la courbe.
Compte-tenu des résultats précédents, tracer la courbe C sur l’intervalle [−0, 2; 0, 4] avec les
unités : 1 cm pour 0, 05 unité en abscisses, 1 cm pour 0, 001 unité en ordonnées.
E XERCICE 442
20 minutes
ex
et C sa représentation graphique dans un
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x +
1 + ex
³ →
− →
−´
repère orthonormé O, ı ,  .
1. Déterminer la limite de f en +∞.
2. Soit la droite ∆ d’équation y = x + 1.
a. Etudier le signe de f (x) − y sur [0 ; +∞[.
b. Déterminer la limite de f (x) − y en +∞.
c. Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
3. Etudier les variations de f sur R+ .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
158
4. Tracer la courbe C et la droite ∆.
5. Calculer l’aire de l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées x et y vérifient
½
0
6 x 6
α
où α est un réel positif donné.
f (x) 6 y 6 x + 1
6. Calculer la limite de cette aire lorsque α tend vers +∞.
E XERCICE 443
20 minutes
£
¤
¡
¢ −0,5x
2
Soit f la fonction définie sur l’intervalle −4 ; 10 par : f (x) = 1 + −4x − 10x + 8 e
.
1. On note f ′ la fonction dérivée de f .
£
¤
¡
¢
Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle −4 ; 10 : f ′ (x) = 2x 2 − 3x − 14 e −0,5x .
£
¤
2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de f sur l’intervalle −4 ; 10 .
On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
£
¤
3. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle −4 ; −2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
b. On considère l’algorithme ci-contre.
Compléter la deuxième ligne du tableau cidessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
a ← −4
b ← −2
Tant que (b − a) > 10−1
a +b
m←
2
p ← f (a) × f (m)
Si p > 0 alors
a ←m
Sinon
b ←m
Fin Si
Fin Tant que
m
Signe de p
a
b
b−a
b − a > 10−1
Initialisation
XXXXXXX
XXXXXXX
−2
2
VRAI
Après le 1er passage
dans la boucle
−4
−3
Négatif
−4
−3
1
VRAI
Après le 2e passage
dans la boucle
c. A la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables a et b contiennent les valeurs −3,187 5
et −3, 125. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
£
¤
4. On admet qu’une primitive de la fonction f sur l’intervalle −4 ; 10 est la fonction F définie
¡ 2
¢ −0,5x
par F (x) = x + 8x + 52x + 88 e
.
£
¤
Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle −4 ; 10 . Arrondir au centième.
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
159
E XERCICE 444
20 minutes
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé en vendant x
centaines d’objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l’intervalle
[1 ; 15] par : B (x) = (x − 5)e u(x) + 2 avec u(x) = −0, 02x 2 + 0, 2x − 0, 5.
Si B (x) est positif il s’agit d’un bénéfice, s’il est négatif il s’agit d’une perte.
1. On note B ′ la fonction dérivée de la fonction B et u ′ la fonction dérivée de la fonction u.
a. Calculer u ′ (x) et démontrer que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 15], on a :
B ′ (x) = (−0, 04x 2 + 0, 4x)eu(x)
s
a
r
u
D
I
F
L
b. Etudier le signe de B ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 15] puis dresser le tableau de variations de
la fonction B .
2. Déterminer le nombre minimum d’objets que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice.
Pour quel nombre d’objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal
(arrondi à l’euro près) ?
3. La valeur moyenne m d’une fonction f qui admet des primitives sur un intervalle [a ; b]
Zb
1
f (t ) dt .
avec a < b est : m =
b−a a
a. Vérifier que B (x) = −25 × u ′ (x)eu(x) + 2.
b. En déduire l’arrondi au millième de la valeur moyenne de B sur [1 ; 15].
c. Interpréter ce résultat pour l’entreprise.
E XERCICE 445
20 minutes
Partie A
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = (8x + 6)e −0,8x .
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Donner une interprétation graphique de cette
limite.
2. Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; +∞[ : f ′ (x) = (−6, 4x + 3, 2)e −0,8x .
3. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Dresser son tableau de variations.
4. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0 ; +∞[ et
donner un encadrement de α d’amplitude 10−1 .
5. Vérifier que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F (x) = −10(x + 2)e −0,8x est une
primitive de la fonction f .
Partie B
L’objet de cette partie est d’étudier les ventes d’un nouveau baladeur numérique.
On considère que le nombre de baladeurs numériques
Zvendus par un fabricant à partir du début des ventes jusqu’au temps t est donné par B (t ) =
t
0
f (x) dx.
Le temps t est exprimé en année, le début des ventes ( t = 0) étant le 1er janvier 2000.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
160
Le nombre de baladeurs numériques est exprimé en centaines de milliers.
A l’aide de la partie A, décrire l’évolution du rythme des ventes au cours des années. En quelle
année le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l’année est-il devenu inférieur à
100 000 ?
E XERCICE 446
Soit a un réel, on désigne par f a la fonction définie sur R par f a (x)³ = e −x + ax.
→
− →
−´
On note Ca sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, ı ,  .
15 minutes
E XERCICE 447
15 minutes
1. Etudier les variations de f a . Quel est l’ensemble A des valeurs de a pour lesquelles f a présente un extremum ?
2. Pour tout a ∈ A, on désigne par I a le point de Ca correspondant à l’extremum. Déterminer
en fonction de a les coordonnées de I a .
3. Démontrer que l’ensemble E des points I a lorsque a décrit A, est la courbe représentative
d’une fonction g que l’on déterminera.
4. Etudier les variations de g .
s
a
r
u
D
I
F
L


 f (x)
f (0)
Soit f la fonction définie sur R par


f (x)
=
=
=
1
ex
0
xe
x−1
x2
si x < 0
pour
si x > 0
1. f est-elle continue sur R ?
2. f est-elle dérivable en 0.
3. Etudier les variations de f .
ex − 1
4. a. Démontrer que lim
= 1.
x→0
x
b. Démontrer que la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe représentative
de f .
E XERCICE 448
Partie A : Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = 0, 5x + e −0,5x+0,4.
20 minutes
1. Calculer f ′ (x) où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; +∞[ et vérifier que f admet un minimum en
0,8.
Partie B : Application économique
Une entreprise fabrique des objets. f (x) est le coût total de fabrication, en milliers d’euros, de
x centaines d’objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6 (.
1. Quel nombre d’objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ?
2. Le résultat (recette moins coûts), en milliers d’euros, obtenu par la vente de x centaines
d’objet est : R(x) = 0, 1x − e−0,5x+0,4.
a. Etudier les variations de R sur l’intervalle [0 ; +∞[ .
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
161
b. Montrer que l’équation R(x) = 0 a une unique solution α dans l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer un encadrement de α à 10−2 près.
c. En déduire la quantité minimale d’objets à produire afin que cette entreprise réalise un
bénéfice sur la vente des objets.
E XERCICE 449
20 minutes
5x − 5
.
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) =
ex
(C) sa représentation graphique dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé
³On nomme
→
− →
−´
O, ı ,  d’unité graphique 2 cm.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Calculer f (0).
2. a. Vérifier que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x) =
5 − x5
ex
x
.
b. En déduire la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
−5x + 10
a. Démontrer que pour tout nombre réel x positif : f ′ (x) =
.
ex
′
b. Etudier le signe de la fonction f .
c. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
4. On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : F (x) = −5xe −x .
a. Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. On considère l’aire A, exprimée en cm2 , du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe
des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.
Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10−2 près par
défaut.
E XERCICE 450
20 minutes
−nx 2
Soit la fonction f n définie sur R par f n (x) = e
où n est un entier naturel
positif.
³ strictement
→
− →
−´
On appelle Cn la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé O, ı ,  .
1. Etablir le tableau de variations de f n .
2. a. Montrer que la dérivée seconde de f n s’annule pour deux valeurs opposées a n et b n . On
note A n et B n les points de Cn d’abscisses respectives a n et b n .
b. Montrer que quand n varie dans N∗ , les points A n et B n restent sur une même droite.
c. Montrer que quand n varie dans N∗ , les tangentes en A n et B n à la courbe Cn passent
par un point fixe que l’on déterminera.
3. Tracer les courbes C1 et C3 . On placera en particulier les points A 1 , B 1 , A 3 et B 3 .
E XERCICE 451
20 minutes
x
Soit la fonction f définie sur l’ensemble R des nombres réels par f (x) = (1 − x)e .
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (figure
ci-après).
CHAPITRE 2. FONCTIONS
162
y
2
1
x
0
−3
−2
1
0
−1
2
s
a
r
u
D
I
F
L
−1
−2
Partie A
1. Calculer la limite de f en −∞ (on rappelle que lim xe x = 0).
x→−∞
Interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer la limite de f en +∞.
3. Déterminer le signe de f (x) selon les valeurs du réel x.
Partie B
Soit F la fonction définie pour tout réel x par F (x) = (−x + 2)ex .
1. Vérifier que F est une primitive de f sur R.
2. On appelle A l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = −1 et x = 0.
Z0
a. Justifier l’égalité : A =
f (x) dx.
−1
Z0
b. A l’aide du graphique ci-dessus, justifier que : 0 <
f (x) dx < 1.
−1
c. Déterminer, en unités d’aire, la valeur exacte de A puis sa valeur décimale arrondie au
centième.
E XERCICE 452
15 minutes
Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions f k définies sur R par :
f k (x) = x + ke −x .
On note Ck la courbe représentative de la fonction f k dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes Ck pour différentes valeurs de k.
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
163
8
7
6
5
4
s
a
r
u
D
I
F
L
3
2
b
b
b
b
b
b
b
b
1
b
b
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Pour tout réel k strictement positif, la fonction f k admet un minimum sur R. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté A k de la courbe Ck . il semblerait que,
pour tout réel k strictement positif, les points A k soient alignés.
Est-ce le cas ?
E XERCICE 453
Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par
f (x) = e x
et
15 minutes
g (x) = e −x
On note C f la courbe représentative de la fonction f et Cg celle de la fonction g dans un repère
orthonormé du plan.
Pour tout réel a, on note M le point de C f d’abscisse a et N le point de Cg d’abscisse a.
La tangente en M à C f coupe l’axe des abscisses en P , la tangente en N à Cg coupe l’axe des
abscisses en Q.
A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes
valeurs de a et on a relevé dans un tableur la longueur du segment [PQ] pour chacune de ces
valeurs de a.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
164
3
Cf
2
M
1
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
B
Abscisse a
Longueur PQ
−3
−2, 5
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s
a
r
u
D
I
F
L
Cg
−2
−1 P
1
Q
2
Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.
1. Démontrer que la tangente en M à C f est perpendiculaire à la tangente en N à Cg .
2. a. Que peut-on conjecturer pour la longueur PQ ?
b. Démontrer cette conjecture.
E XERCICE 454
25 minutes
Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée
d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est
´
d³
a
1 − e − 80 t
modélisée par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : C (t ) =
a
où :
•
•
•
•
C désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
t le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
a un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre a est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle « plateau » la limite en +∞ de la fonction C .
Partie A : Etude d’un cas particulier
La clairance a d’un certain patient vaut 7, et on choisit un débit d égal à 84.³
´
7
Dans cette partie, la fonction C est donc définie sur [0 ; +∞[ par : C (t ) = 12 1 − e − 80 t .
1. Etudier le sens de variation de la fonction C sur [0 ; +∞[.
2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
165
Partie B : Etude de fonctions
´
105 ³
3
1 − e − 40 x .
x
105g (x)
′
Démontrer que, pour tout réel x de ]0 ; +∞[, f (x) =
, où g est la fonction définie
x2
sur [0 ; +∞[ par :
1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) =
3
3x − 3 x
e 40 + e − 40 x − 1.
40
2. On donne le tableau de variations de la fonction g :
g (x) =
s
a
r
u
D
I
F
L
x
0
+∞
0
g (x)
−1
En déduire le sens de variation de la fonction f .
On ne demande pas les limites de la fonction f .
3. Montrer que l’équation f (x) = 5, 9 admet une unique solution sur l’intervalle [1 ; 80].
En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
Partie C : Détermination d’un traitement adéquat
Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à 15.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance a de ce patient. A cette fin, on règle provisoirement le débit d à 105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction C est définie sur l’ intervalle [0 ; +∞[ par :
´
a
d³
1 − e − 80 t
a
1. On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à 105.
C (t ) =
a. Exprimer en fonction de a la concentration du médicament 6 heures après le début de
la perfusion.
b. Au bout de 6 heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à 5, 9 micromole par litre.
Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce
patient.
2. Déterminer la valeur du débit d de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
E XERCICE 455
On se propose de calculer l’intégrale J =
Z1
0
xe x
(1 + e x )3
20 minutes
dx.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
166
Z1
Z1
ex
ex
dx.
1. Calculer les intégrales : A =
dx
et
B
=
x
x 2
0 1+e
0 (1 + e )
2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel t > 0 on ait :
1
bt
ct
=a+
+
2
(1 + t )
1 + t (1 + t )2
(1).
Z1
1
dx.
3. En posant t = e x dans l’égalité (1), calculer l’intégrale I =
x 2
0 (1 + e )
Zx
1
x
−
du.
4. Soit G(x) =
2
2
x
(1 + e )
0 (1 + e u )
a. Calculer G ′ (x) et en déduire une expression de J en fonction de I .
b. En déduire la valeur exacte de J , puis une valeur approchée au centième.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 456
30 minutes
e x + e −x
.
La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est définie sur R par : chx =
2
x
−x
e −e
La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est définie sur R par : shx =
.
2
On note C et S les courbes représentatives respectives des fonctions ch et sh dans un repère
orthogonal.
1. Etude de la fonction ch
a.
b.
c.
d.
Démontrer que l’axe des ordonnées est axe de symétrie de C.
Etudier la limite de ch en +∞.
Démontrer que pour tout x réel, ch ′ x = shx.
Etudier le sens de variation de la fonction ch sur l’intervalle [0; +∞[.
2. Etude de la fonction sh
a.
b.
c.
d.
Démontrer que l’origine du repère est centre de symétrie de S.
Etudier la limite de sh en +∞.
Démontrer que pour tout x réel, sh ′ x = chx.
Etudier le sens de variation de la fonction sh sur l’intervalle [0; +∞[.
3. Représentations graphiques
a. Démontrer que la courbe C est au-dessus de la courbe S.
b. Etudier la limite en +∞ de la fonction x → chx − shx.
c. Tracer les courbes C et S.
4. a. Démontrer que chx est une primitive de shx et que shx est une primitive de chx.
Z2
Z2
b. En déduire C =
chxdx et S =
shxdx.
0
0
c. Calculer l’aire délimitée par les deux courbes, l’axe des ordonnées et la droite d’équation
x = 2.
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
167
5. Des formules
a. Vérifier que pour tous nombres réels a et b,
ch(a + b) = cha chb + sha shb ;
sh(a + b) = sha chb + shb cha.
b. En déduire que pour tout réel x :
ch(2x) = ch 2 x + sh 2 x
et
sh(2x) = 2shx chx.
2
c. Démontrer que pour tout réel x : ch x − sh 2 x = 1.
E XERCICE 457
35 minutes
³ →
− →
−´
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  (unité graphique : 5 cm).
Partie A
2
On considère la fonction f 1 définie sur [0 ; +∞[ par f 1 (x) = xe −x et on appelle C1 sa courbe
représentative.
s
a
r
u
D
I
F
L
2
2
1. Montrer que, pour tout réel positif x, f 1′ (x) = e − x − 2x 2 e − x .
En déduire le sens de variation de f 1 .
2. Calculer la limite de f 1 en + ∞ (on pourra poser u = x 2 ). Interpréter graphiquement ce
résultat.
3. Dresser le tableau de variations de f 1 .
4. On appelle ∆ la droite d’équation y = x.
Déterminer la position de C1 par rapport à ∆.
5. Tracer C1 et ∆.
Partie B
2
On considère la fonction f 3 définie sur [0 ; +∞[ par f 3 (x) = x 3 e −x et on appelle C3 sa courbe
représentative.
1. Montrer que, pour tout réel x positif, f 3′ (x) a même signe que 3 − 2x 2 .
En déduire le sens de variation de f 3 .
2. Déterminer les positions relatives de C1 et C3 .
3. Tracer C3 dans le même repère que C1 (on admettra que C3 a la même asymptote que C1 en
+ ∞).
4. On appelle D la droite d’équation x = 1. Soit A1 l’aire en unités d’aire du domaine limité par
la courbe C1 , les deux axes de coordonnées et la droite D et soit A3 l’aire en unités d’aire du
domaine limité par la courbe C3 les axes et la droite D.
a. Calculer A1 .
b. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que A3 = −
1
+ A1 .
2e
Partie C
On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction f définie sur [0 ; + ∞[
2
par f n (x) = x n e − x .
³ →
− →
−´
On note Cn la courbe représentative de f dans le repère O, ı ,  .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
168
1. Montrer que, pour tout entier n > 1, f n admet un maximum pour x =
maximum.
r
r
n
. On note αn , ce
2
n
.
2
Montrer que, pour tout n, Cn passe par S 2 .
Placer S 1 , S 2 , S 3 sur la figure.
2. On appelle S n le point de Cn d’abscisse
E XERCICE 458
30 minutes
³ →
− →
−´
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  ; (unité graphique : 2 cm).
Soient les fonctions f et g définies sur l’ensemble des nombres réels par :
s
a
r
u
D
I
F
L
f (x) = x − e x
et
g (x) = (1 − x)e x .
On appelle C et C′ leurs courbes représentatives respectives.
1. a. Déterminer les limites des fonctions f et g en +∞ et en −∞.
b. Montrer que la droite ∆ d’équation y = x est asymptote à la courbe C.
c. Etudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g , sur R.
2. Pour tout réel x, on pose h(x) = f (x) − g (x).
a. Montrer que, pour tout réel x, h ′ (x) = 1 − g (x).
b. En déduire le sens de variations de la fonction h sur R.
c. Démontrer que les courbes C et C′ admettent un unique point d’intersection, dont l’abscisse notée α, appartient à l’intervalle [1 ; 2].
Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1 .
d. Etudier, suivant les valeurs de x, la position relative de C et C′ .
3. Tracer la droite ∆ et les courbes Z
C xet C′ .
4. Pour tout réel x, on pose θ(x) =
0
h(t ) dt .
a. A l’aide d’une intégration par parties, calculer θ(x).
b. En déduire, sous la forme d’une expression rationnelle en α, l’aire en cm2 du domaine
limité sur le graphique par les courbes C et C′ , l’axe des ordonnées et la droite d’équation
x = α.
E XERCICE 459
35 minutes
Le but du problème est l’étude d’une fonction g k , où k est un réel fixe qui vérifie : 0 < k < e.
Partie A
Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par f (x) = (2 − x)ex − k.
1. Etudier les limites de f en − ∞ et en + ∞.
2. Calculer f ′ (x). En déduire le tableau de variations de f . Calculer f (1)
3. a. Etablir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, une notée αk appartenant à l’intervalle
] − ∞ ; 1[ et une autre notée βk appartenant à l’intervalle ]1 ; + ∞[.
b. Montrer que e αk − kαk = (e αk − k) (αk − 1).
¡
¢
On démontrerait de même que βk vérifie l’égalité e βk − kβk = e βk − k (βk − 1).
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
169
4. Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
Partie B
1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur R par u(x) = e x − k x.
a. Etudier le sens de variation de u.
b. On rappelle que 0 < k < e. Justifier la propriété suivante : pour tout réel x, e x − k x > 0.
ex − k
.
2. Soit g k la fonction définie sur R par : g k (x) = x
e −kx
On note Ck la courbe représentative de la fonction g k dans le plan rapporté à un repère
orthogonal.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer la limite de g k en − ∞ et en + ∞.
k f (x)
b. Prouver que : g k′ (x) =
.
x
(e − k x)2
c. En déduire le tableau de variations de g k . Calculer g k (1).
3. On nomme M k et Nk les points de la courbe Ck d’abscisses respectives αk et βk .
1
a. En utilisant la question A.3.b, montrer que g k (αk ) =
.
αk − 1
b. Donner de même g k (βk ).
c. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points M k et Nk sont sur une
courbe fixe H dont on donnera une équation.
4. Représentations graphiques pour des valeurs particulières de k :
a. Déterminer la position relative des courbes C1 et C2 .
b. Prouver que α2 = 0.
c. Construire les courbes C1 , C2 et H sur le même graphique.
E XERCICE 460
Soient a et b deux réels tels que 2a + e −b − e b = 0.³
´
p
Montrer que cette égalité entraîne l’égalité b = ln a + a 2 + 1 .
E XERCICE 461
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e 2x sin 2x.
10 minutes
15 minutes
1. Démontrer que lim f (x) = 0.
x→−∞
2. Calculer la dérivée de f .
h πi
.
3. Etudier les variations de f sur 0 ;
2
E XERCICE 462
25 minutes
Soit f λ la fonction définie sur R par f λ (x) = λ (x + 1)−e x , λ étant un réel donné. Soit Cλ la courbe
représentative de la fonction f λ dans un repère orthonormé.
1. Etudier les variations des fonctions f 1 et f −1 .
2. Tracer les courbes C1 et C−1 .
170
CHAPITRE 2. FONCTIONS
3. Démontrer que Cλ passe par un point fixe, noté B .
4. Démontrer que, lorsque x tend vers −∞, Cλ admet une asymptote, qui passe par un point
fixe, A.
5. Quel est l’ensemble, E 1 , des valeurs de λ pour lesquelles f λ admet un maximum ?
Soit M λ le point correspondant de Cλ .
a. Déterminer et construire Γ, l’ensemble des points M λ .
b. Quelle est, en fonction de λ, l’équation de la tangente à Γ au point M λ ?
c. En déduire les coordonnées du point P λ , intersection de cette tangente avec l’axe des
ordonnées.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 463
ex − 1
On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par f (x) = x
xe + 1
On désigne par C sa courbe représentative.
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 10] par g (x) = x + 2 − e x .
30 minutes
1. Etudier le sens de variation de g sur [0 ; 10].
2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule dans [0 ; 10].
On note α cette solution.
b. Prouver que 1, 14 < α < 1, 15.
3. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.
Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C
e x g (x)
.
(xe x + 1)2
b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; 10].
1
2. a. Etablir que f (α) =
.
α+1
b. En utilisant l’encadrement de α établi dans la question A.2., donner un encadrement de
f (α) d’amplitude 10−2 .
3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe C au point d’abscisse 0.
(x + 1) u(x)
4. a. Etablir que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10], f (x) − x =
xe x + 1
u(x) = e x − xe x − 1.
b. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle [0 ; 10]. En déduire le signe
de u(x).
c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite (T ).
1. a. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; 10], f ′ (x) =
E XERCICE 464
Partie A
ex − 1
xe 2x
1. a. Etudier sur R les variations de la fonction h définie par h(x) = e x − x − 1.
b. En déduire que, pour tout α ∈ R, e α > α + 1 (1).
Soit g la fonction définie sur R⋆
+ par g (x) =
35 minutes
2.8. FONCTIONS EXPONENTIELLES
171
2. a. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que, pour tout x > 0, e −2x 6 g (x).
1 − e −x
.
b. Justifier l’écriture : g (x) = e −x
x
En déduire à l’aide de l’inégalité (1), que, pour tout x > 0, g (x) 6 e −x .
c. Déduire des questions précédentes que la fonction g est prolongeable par continuité au
point d’abscisse x = 0.
3. a. Calculer la dérivée g ′ de g .
b. En utilisant l’inégalité (1), montrer que pour tout x > 0, g ′ (x) 6 −e −2x .
En déduire le sens de variations de la fonction g .
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
Soit f la fonction définie sur R+ par :
½
f (0) =
f (x) =
1
g (x), pour
x
2
− 2x
x >0
e −e
.
x x
x
−
b. Soit u la fonction définie sur R+ par u(x) = e 2 + e 2 .
Etudier le sens de variation de u.
c. Soit a un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout réel t , tel que 0 6 t 6 a :
t
a
a
t
2 6 e 2 + e− 2 6 e 2 + e− 2 .
d. En appliquant l’inégalité de la moyenne à la fonction u sur l’intervalle [0 ; a], démontrer
a
a
a
a
e 2 − e− 2
e 2 + e− 2
que 1 6
6
(2)
a
2
e −x + e −2x
3x
e. En déduire, à l’aide des inégalités (2), que pour tout x > 0 : e − 2 6 g (x) 6
2
(3)
g (x) − 1
lorsque x tend vers 0.
f. En utilisant les inégalités (3), étudier la limite de
x
En déduire que la fonction f est dérivable au point d’abscisse 0.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
3. Soit D le domaine du plan délimité par la courbe C, les axes du repère et la droite d’équation
x = 1.
En utilisant les inégalités (3), donner un encadrement de l’aire A de D.
3x
1. a. Justifier l’écriture, pour x > 0, g (x) = e − 2 ×
E XERCICE 465
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = e 2x (e x − 2)2 .
³ →
− →
−´
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, ı ,  .
Partie A
1. a. Préciser lim f (x).
x→+∞
b. Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote à C.
2. On désigne par f ′ la dérivé de f .
a. Démontrer que, pour tout réel x, on a f ′ (x) = 4e 2x (e x − 1) (e x − 2).
b. Etudier les variations de f et dresser la tableau de variations de f .
3. En prenant comme unité graphique 4 cm , tracer la courbe C.
25 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
172
Partie B
Soit F la fonction définie sur R par F (x) =
Zx
ln 2
f (t ) dt
1. Etudier le sens de variation de F .
2. Calculer F (x)
3. Soit Γ la courbe représentative de la fonction F .
a. Démontrer que Γ admet une asymptote, parallèle à l’axe des abscisse, dont on précisera
une équation.
b. Tracer Γ sur la même figure que C.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 466
Pour tout n ∈ N⋆ , soit f n la fonction définie sur R par f n (x) = x n e −x .
25 minutes
³ →
− →
−´
On appelle Cn la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé O, ı ,  , d’unité
2 cm.
1. a. Calculer la dérivée de f n et préciser la valeur de f n′ (0) lorsque n = 1 puis lorsque n > 2.
Dresser le tableau de variations de f n pour n = 1, n pair, n impair supérieur à 1.
b. Démontrer que, pour tout n et pour tout x ∈ [0 ; +∞[, f n (x) 6 f n (n) = n n e −n .
ZX
f n (x)dx.
2. Pour tout réel X 6 0, on pose F n (X ) =
0
a. Déterminer les réels a 0 , a 1 , · · · , a n tels que la fonction G n (X ) = e −x (a n x n + · · · + a 1 x + a 0 )
soit une primitive de la fonction f n sur [0 ; +∞[.
b. En déduire l’expression de F n (X ) en fonction de X et de n.
c. L’entier n étant donné, montrer que F n (X ) admet une limite I n lorsque X tend vers +∞
et que I n = n!
E XERCICE 467
45 minutes
2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e −x , on note C sa courbe
représentative.
Z
On se propose d’étudier la fonction F définie sur R par F (x) =
Partie A
x
0
2
e −t dt .
1. a.
b.
2. a.
b.
c.
Etudier la fonction f .
Etablir le tableau de variations de la fonction f .
Justifier l’existence de F (x) pour tout x réel.
Montrer par des considérations d’aires relatives à C que F est une fonction impaire.
Vérifier que pour tout réel t on a t 2 > 2t − 1.
e
En déduire que pour tout réel x ∈ R+ on a F (x) 6 .
2
d. Justifier que la fonction F admet une limite finie en +∞.
On pose lim F (x) = ℓ. Donner un encadrement de ℓ.
x→+∞
Partie B
On se propose dans cette partie d’obtenir un encadrement de F (1).
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
173
1. k désigne un réel strictement positif. Soit la fonction ϕk définie sur [0 ; 1] par
¢
¡
ϕk (x) = e −x − 1 − x + k x 2
Calculer ϕ′k (x) et ϕ′′k (x).
2. a. Montrer à l’aide des variations de ϕ′1 et ϕ 1 que ϕ 1 est négative sur [0 ; 1].
2
b. Etudier les variations de ϕ′1 .
2
2
s
a
r
u
D
I
F
L
e
c. Montrer qu’il existe un réel unique α de ]0 ; 1] tel que ϕ′1 (α) = 0.
e
d. Montrer alors à l’aide de ses variations que ϕ 1 est positive sur [0 ; 1].
e
x4
x4
2
e. En déduire que ∀x ∈ [0 ; 1], 1 − x +
6 e −x 6 1 − x 2 + ,
e
2
donner un encadrement de F (1).
2
Partie C
On se propose maintenant de donner une valeur approchée de ℓ.
9
1. On pose λ(x) = e −
(2x + 1)
10
Déterminer le sens de variations de λ sur [1 ; +∞[.
9
2
2
2. Prouver que pour tout réel x > 1, on a
(2x + 1) e −x −x 6 e −x .
10
3. a. A l’aide des questions A.2 et C.2 déterminer un encadrement de f (t ) sur [1 ; +∞[ puis
un encadrement de F (x) − F (1) sur [1 ; +∞[.
b. En déduire une valeur approchée de ℓ à 10−1 près.
x
2.9 Fonctions logarithmes
2.9.1 Point de cours
Définitions :
• On appelle logarithme népérien du réel strictement positif x, l’unique solution de l’équation
d’inconnue y : e x = y. On note cette solution ln x qui se lit « logarithme népérien de x ».
• La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur R∗+ =] 0; +∞[ qui à tout
réel x > 0 associe y = ln x.
Conséquence : y = ln x et x > 0 équivaut à e y = x.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
174
On dit que la fonction ln est la
fonction réciproque de l’exponentielle.
Les courbes C1 et C2 , représentatives respectivement des
fonctions ln et exponentielle
sont symétriques par rapport à
la droite d’équation y = x (la
première bissectrice).
y =x
x = ey
C2
1•
y = ln x
O
y •1
x
s
a
r
u
D
I
F
L
C1
Propriétés algébriques : Pour tous réels µa et¶ b strictement positifs, n ∈ Z
³a ´
1
= − ln(a),
• ln
= ln(a) − ln(b)
• ln(ab) = ln(a) + ln(b),
• ln
a
b
p
1
• ln(a n ) = n ln(a),
• ln( a) = ln(a).
2
Dérivées :
1
• La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ] 0; +∞[, et pour tout x > 0, ln′ (x) = .
x
³
´′ u ′
• Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I telle que u > 0 on a : ln(u) =
u
Limites : • lim ln(x) = +∞
• lim+ ln(x) = −∞
x→+∞
x→0
ln(x)
ln(x)
• lim
= 0 et plus généralement, pour tout entier n, lim
=0
x→+∞ x
x→+∞ x n
ln(1 + x)
• lim+ x ln(x) = 0
• lim+
= 1.
x→0
x→0
x
Primitives :
1
• Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, les primitives de la fonction x 7→ sont les fonctions x 7→ ln x + c, (c
x
constante réelle).
u ′ (x)
admet
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , u(x) > 0 sur I , la fonction f (x) =
u(x)
des primitives de la forme F (x) = ln (u(x)) + c, (c constante réelle).
2.9.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 468
Simplifier les expressions suivantes :
1
1. A = e ln4
4. D = e ln 2
¡ 7¢
2. B = ln e
5. E = ln 6 − ln 3
¡
¢
3. C = ln e −2
6. F = ln 32 − 4 ln 2
5 minutes
7. G = 2 ln 4 + 4 ln 2
8. H = ln(25) − ln(45) + ln(625)
9. I = ln(8) − ln(16) + ln(256)
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
175
E XERCICE 469
Résoudre les équations et inéquations :
1
1. e x = 3
4. ln x = − ln 3
2
2. e x = −4
5. ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(x + 7)
3. ln x = 3 ln 2
6. ln(x 2 − 3) 6 ln(x) + ln(2)
15 minutes
7. ln (x + 3) + ln (x + 2) = ln (x + 11)
¡
¢
8. ln x 2 + 5x + 6 = ln (x + 11)
9. ln (x + 2) = ln (−x − 11) − ln (x + 3)
E XERCICE 470
Résoudre dans R, les équations et inéquations suivantes :
4. 2(ln(x))2 + 5 ln(x) − 3 = 0
1. (ln x)2 − 2 ln x − 15 = 0
2
5. 2(ln(x))2 + 5 ln(x) − 3 > 0
2. 3 (ln x) + 2 ln x − 1 = 0
6. 3 (ln x)2 + 2 ln x − 1 6 0
3. (ln(2x))2 − 5 ln(2x) + 6 = 0
10 minutes
E XERCICE 471
15 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Déterminer le paramètre a pour que le polynôme P (x) = x 3 + ax 2 + x + 6 soit divisible par
x − 2.
¡
¢
2. Résoudre l’équation 3 ln (x − 1) = ln x 2 + 2x − 7 .
E XERCICE 472
¡
¢
¡
¢
Résoudre dans R, l’équation x 2 − 1 e ln(x−2) = ln e x+1 .
10 minutes
E XERCICE 474
Calculer la limite en +∞ des fonctions suivantes :
15 minutes
E XERCICE 473
15 minutes
Déterminer l’ensemble de définition puis le signe de la fonction sur cet ensemble :
³x´
ln(2x − 1)
1. f (x) = ln
3. f (x) =
e
1¡− ln x
¢
2. f (x) = (ln x − 1) (3 − ln x)
4. f (x) = ln x 2 − 7x + 12
1. f (x) = ln(x) − x
ex
2. f (x) =
ln x
ln(x)
3. f (x) = 2
x + 5x + 7
4. f (x) = ln (2x) − (x + 1) ln x
E XERCICE 475
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :
1. f (x) = 2 ln x
2. f (x) = ln(2x)
3. f (x) = ln(x 2 − 7x + 12)
ln(1 + 3x)
x
ln(x) − 3x
6. f (x) =
¡3x2 3 ¢
ln x + 1
7. f (x) =
¡ x
¢
8. f (x) = ln 2x 3 + 3x 2 − 5
5. f (x) =
¡
¢
4. f (x) = ln µx 4 + 3x¶2 + 4
2x + 3
5. f (x) = ln
3x + 2
ln (2x + 3)
6. f (x) =
ln (3x + 2)
15 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
176
E XERCICE 476
Calculer les intégrales suivantes :
Z2
Z1
1
x
1. I =
dx
2. J =
dx
2
0 x +2
0 2x + 3
10 minutes
3. K =
Z1
0
e −x
dx
e −x + 3
E XERCICE 477
10 minutes
Dans ce questionnaire à choix multiples, sur chaque ligne, deux affirmations sont proposées,
au moins une est vraie. On demande d’écrire dans chaque case si le résultat proposé est vrai
ou faux. Aucune justification n’est demandée.
s
a
r
u
D
I
F
L
Soit a un réel strictement positif
µ
¶
a2
ln
= ...
25
L’inéquation 2 ln(1 − x) − ln(x + 5) 6 0 a pour
ensemble de solutions :
La dérivée de la fonction g , définie sur
]0 ; +∞[ par g (x) = (−1 + ln x)2 est donnée
par g ′ (x) = · · ·
Dans le plan muni d’un repère orthonormé,
D est la droite d’équation y = x + 3 et C la
courbe représentative de la fonction f , défiln x
nie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3 + x − 2
x
2(ln a − ln 5)
¡ ¢
ln a 2 − 2 ln 5
[−2 ; 1[
[−1 ; 1[
−2 + 2 ln x
−2 + 2 ln x
x
lim f (x) = +∞
La droite D est
asymptote oblique
à C en +∞.
x→+∞
E XERCICE 478
1
Démontrer que pour tout réel x > 0, ln (x) = .
x
10 minutes
′
E XERCICE 479
10 minutes
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x ln x.
2. En écrivant ln x = (ln x + 1) − 1, calculer une primitive de ln x.
E XERCICE 480
15 minutes
p
1. a. Démontrer que pour tout réel x strictement positif, ln x − 2 x < 0.
ln x
lorsque x tend vers +∞.
b. En déduire la limite de
x
c. Démontrer que lim+ ln(x) = −∞.
x→0
2. Démontrer que lim+
x→0
ln(1 + x)
= 1.
x
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
3. En déduire les limites suivantes :
ln(1 + x)
;
a. lim+
x→0
3x
177
b.
lim
x→−1+
ln(2 + x)
.
x +1
E XERCICE 481 : QCM
5 minutes
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par f (x) = −1, 5x 2 + x 2 ln(x).
La fonction dérivée de f est donnée pour tout x de ]0 ; +∞[ par :
a. f ′ (x) = −x + 1
c. f ′ (x) = −3x + 2
b. f ′ (x) = 2x ln(x) − 2x
d. f ′ (x) = −x ln(x) − 0, 5x
s
a
r
u
D
I
F
L
2.9.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 482
x +5
On considère la fonction f définie sur I = [0 ; 1] par f (x) =
.
(x +´2)(2x + 1)
³ →
− →
−
On note C f sa courbe représentative dans un repère O, ı , 
10 minutes
α
β
+
.
x + 2 2x + 1
2. Calculer l’aire du plan comprise entre l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la courbe C f
et la droite d’équation y = 1.
1. Déterminer deux réels α et β tels que, pour tout x ∈ I , f (x) =
E XERCICE 483
Soit n ∈ N∗ , et un réel a > 0.
10 minutes
1. Montrer que l’équation x n = a admet une unique solution sur R+ .
2. Définition : Soit un réel a > 0. L’unique réel positif x tel que x n = a est appelé racine n-ième
p
de a, et est notée n a.
Calculerples expressions suivantes :
p
p
3
4
n
a. A = 8
c. C = 25
e. E = 1
p
p
p
4
n
10
b. B = 81
d. D = 0
f. F = 1024.
p
1
3. Démontrer que pour tout a > 0, n a = a n .
4. Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :
2
p
3
a. f (x) = p
b. g (x) = x 2 + 1.
4
x
E XERCICE 484
10 minutes
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou
fausse, en justifiant la réponse.
1. Affirmation 1¡ : ¢
2. Z
Affirmation 2 :
µ ¶
³p ´ ln e 9
ln 3 e x
e ln2+ln3
3
7
ln e + ¡ 2 ¢ = ln3−ln4
dx = − ln
x
ln e
e
e +2
5
0
3. Affirmation 3 :
L’équation ln(x − 1) − ln(x + 2) = ln 4 admet une solution unique dans R.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
178
E XERCICE 485
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par f (x) =
1. Déterminer les limites de f en −1 et en +∞.
10 minutes
x(1 − x)
, on note C sa courbe représentative.
1+x
2. Déterminer trois réels A, B et C tels que f (x) = Ax + B +
3. Calculer lim f (x) − (Ax + B ). Que peut-on en déduire ?
x→+∞
C
.
1+x
4. Etudier les variations de f sur ]−1 ; +∞[.
5. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une primitive de f .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 486
10 minutes
ln x
1. Rappeler, sans démonstration, la limite de
lorsque x tend vers +∞.
x
xn
2. En déduire les limites, lorsque x tend vers +∞, de x − n ln x puis de x (n ∈ N⋆ ).
e
E XERCICE 487
15 minutes
Pour tout nombre réel α strictement positif, on désigne par f α la fonction définie sur ]0 ; +∞[
ln(αx)
par f α (x) =
et par Cα la courbe représentative de f α dans un repère orthonormé.
x
1. Etudier les variations de f 1 et construire C1 .
2. Plus généralement, étudier les variations de f α . Préciser les asymptotes à la courbe Cα et
déterminer son intersection avec l’axe des abscisses.
3. Calculer en fonction de α l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et la
e
droite d’équation x = .
α
E XERCICE 488
On considère la fonction f définie sur R+ par
½
f (0) =
f (x) =
0
x (1 − ln x) , si x > 0
15 minutes
1. Déterminer, pour x > 0, la dérivée de f .
2. La fonction f est-elle continue à droite pour x = 0 ? La fonction f est-elle dérivable à droite
en ce point ?
3. Etudier les variations de f .
4. Tracer la courbe représentative de f .
E XERCICE 489
On considère la fonction f définie sur R par
½
f (0)
f (x)
= 0
= x (ln |x|)2 , pour x 6= 0
20 minutes
1. Etudier les variations de f . On précisera en particulier la continuité et la dérivabilité en 0.
2. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé en prenant 4cm pour unité
de longueur.
1 ³
1´
est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
3. Vérifier que F (x) = x 2 (ln x)2 − ln x +
2
2
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
4. Calculer l’intégrale I (a) =
Z1
e
a
179
f (x) dx pour a > 0.
5. Déterminer la limite de I (a) lorsque a tend vers 0.
E XERCICE 490
20 minutes
³ →
− →
−´
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  (unité graphique : 2 cm).
Soit une fonction f définie sur un intervalle I . On a déterminé expérimentalement des valeurs
de f qui ont permis d’obtenir une partie de la courbe C, représentative de la fonction f , et sa
tangente T au point O.
s
a
r
u
D
I
F
L
1 y
0
-1
−1
0,5
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
x7
-1
−1
-2
−2
C
-3
−3
-4
−4
−4, 75
-5
−5
M
(T)
-6
−6
Partie A
1. A l’aide du graphique, déterminer f (0) et f ′ (0).
2. On admet que l’expression de f (x) est de la forme f (x) = ax + b − ln(10x + 1) où a et b sont
des réels.
a. Déterminer f ′ (x) en fonction de a.
b. En utilisant les résultats du 1, déterminer les réels a et b.
Partie B
On admet que la fonction f est définie sur I =] − 0, 1 ; 10] par f (x) = 0, 5x − ln(10x + 1).
1. Calculer lim f (x). Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
x→−0,1
x>−0,1
2. Calculer la fonction f ′ (x) dérivée de la fonction f (x). Montrer que f ′ (x) a le même signe que
5x − 9, 5 sur l’intervalle I .
Etudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle I .
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
180
4. Justifier que l’équation f (x) = 0 a dans l’intervalle [6; 10] une solution unique, que l’on notera α.
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2 .
5. Soit F la fonction définie sur l’intervalle I par : F (x) = 0, 25x 2 + x − (x + 0, 1) ln(10x + 1).
a. Vérifier que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I .
Z1
f (x) dx. On donnera la valeur exacte.
b. Calculer l’intégrale J =
0
c. On considère dans le repère défini initialement, l’ensemble des points M de coordon½
0
6 x 6 1
nées (x ; y) tels que :
f (x) 6 y 6 0
Utiliser la question précédente pour déterminer l’aire A en cm2 de cette région. On en
donnera la valeur décimale arrondie à 10−2 près.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 491
15 minutes
³x´
.
Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par f (x) = 2 − ln
2
La courbe représentative C f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O
ci-dessous :
6
4
M
Q
2
Cf
O
P2
4
6
8
10
12
14
A tout point M appartenant à C f on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des
abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
•
•
L’aire du rectangle OP MQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur C f ?
L’aire du rectangle OP MQ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.
Justifier les réponses.
E XERCICE 492
10 minutes
n
1. Calculer la fonction dérivéeZde la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x ln x (n ∈ N⋆ ).
2. En déduire la valeur de I =
e
1
x n−1 ln xdx.
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
181
E XERCICE 493
Soit f la fonction définie sur ]0 ; e] par f (x) = (ln x)2 − 2x ln x.
15 minutes
1. Etudier les variations de f sur ]0 ; e] .
2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur ]0 ; e] par g (x) = x (ln x)2 − 2x ln x +
Z2x.
3. En utilisant la question précédente et une intégration par parties, déterminer I =
E XERCICE 494
1. Résoudre l’inéquation ln |x| < 1.
e
1
f (x) dx.
15 minutes
½
s
a
r
u
D
I
F
L
f (x) = 2x − x ln |x|
f (0) =
0
Etudier la continuité et la dérivabilité de f .
3. Démontrer que la fonction f est impaire.
4. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers +∞.
5. Etudier les variations de f sur R.
2. On considère la fonction f définie par
pour x 6= 0
0
E XERCICE 495
15 minutes
−x
x
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ³e ln (1 +´e ). On note C sa courbe représentative
→
− →
−
dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
X
− ln (1 + X ) < 0.
X +1
En déduire le sens de variation de f .
2. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.
1. Démontrer que pour tout X > 0,
E XERCICE 496
25 minutes
Soit f une fonction définie et dérivable sur ] 0; +∞[, strictement positive et vérifiant la relation
(1) : Pour tous réels strictement positifs x et y, f (x y) = f (x) f (y).
On cherche à déterminer toutes les fonctions f vérifiant cette condition.
1. Montrer que f (1) = 1.
2. Soit x un réel strictement positif, soit g la fonction définie par : ∀y ∈ R+∗ , g (y) = f (x y).
a. Vérifier que ∀y ∈ R+∗ , g ′ (y) = x f ′ (x y).
b. En déduire que ∀y ∈ R+∗ , x f ′ (x y) = f (x) f ′ (y).
c. Montrer que ∀x ∈ R+∗ , x f ′ (x) = f ′ (1) f (x).
¡
¢
3. Soit h la fonction définie sur ]0; +∞[ par h(x) = ln f (x) − f ′ (1) ln x.
a. Montrer que h est constante.
b. En déduire que h est nulle.
4. On pose a = f ′ (1). Montrer que ∀x ∈ R+∗ , f (x) = x a .
5. Démontrer que f est solution de (1) si, et seulement si, ∃a ∈ R tel que ∀x ∈ R+∗ , f (x) = x a .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
182
E XERCICE 497
30 minutes
On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées f n , qui
1 + n ln x
sont définies pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; + ∞[ par : f n (x) =
.
x2
1. Etude des fonctions f n .
a. Calculer f n′ (x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient
dont le numérateur est n − 2 − 2n ln x.
b. Résoudre l’équation f n′ (x) = 0. Etudier le signe de f n′ (x).
c. Déterminer la limite de f n en +∞.
d. Etablir le tableau de variations de la fonction f n et calculer sa valeur maximale en fonction de n.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Représentation graphique de quelques fonctions
fn . ´
³ →
− →
−
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , (unité graphique : 5 cm).
On note Cn la courbe représentative de la fonction f n dans ce repère.
a. Tracer C2 et C3 .
b. Calculer f n+1 (x) − f n (x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n ?
c. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe C4 à partir de
C2 et tracer C3 . Tracer C4 .
3. Calculs d’aires.
a. Déterminer la valeur des réels a et b pour que G(x) =
g (x) =
ln x
.
x2
b. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I =
Ze
1
a ln x + b
soit une primitive de
x
ln x dx.
c. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par les courbes Cn , Cn+1 et les
droites d’équations x = 1 et x = e.
d. On note An l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe Cn , et les droites
d’équations y = 0, x = 1 et x = e.
i.
ii.
Calculer A2 .
Déterminer la nature de la suite An en précisant l’interprétation graphique de la
raison.
E XERCICE 498
Z1
Z1
Z1 p
x2
1
2
1 + x dx, J =
dx, K =
dx.
On pose I =
p
p
0
0
1 + x2 ³
1´+ x 2
p0
Soit f la fonction définie dans R par f (x) = ln x + 1 + x 2 .
1.
2.
3.
4.
Calculer f (−x) + f (x).
Etudier les variations de f .
Déduire de l’expression de f ′ (x) la valeur de K .
A l’aide d’une intégration par parties, exprimer I en fonction de J .
15 minutes
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
183
5. Vérifier que I = J + K . En déduire les valeurs de I et J .
E XERCICE 499
³ →
− →
−´
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
20 minutes
1. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x) = ln x + 2x 2 − 3.
Le tableau de variations de la fonction g est donné ci-dessous :
x
0
α
+∞
+∞
s
a
r
u
D
I
F
L
g
0
−∞
En utilisant une calculatrice, on a obtenu α ≈ 1, 19.
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2 ln x
2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = −
+ 2x − 5.
x ´
³ x→
− →
−
On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, ı ,  .
a. Déterminer la limite de la fonction f en 0.
b. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
g (x)
.
x2
b. En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser son tableau de
variations.
c. Déterminer le signe de f (x) pour tout réel x supérieur ou égal à e.
a. Calculer f ′ (x) et montrer que pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, on a f ′ (x) =
4. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (ln x)2 .
a. Calculer la dérivée h ′ de h.
b. En remarquant que pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, on a f (x) =
2 1 ′
− h (x) + 2x − 5,
x 2
trouver une primitive F de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
c. Déterminer l’aire en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la courbe C f , l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = e et x = e 2 (on donnera la valeur exacte, puis
une valeur décimale arrondie au dixième).
E XERCICE 500
20 minutes
Partie A
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1 000] par f (x) = 89, 5 − 8, 9 ln(x + 0, 3) et dont on
donne, en fin de partie, la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle [0; 1 000].
2. Montrer que résoudre l’inéquation f (x) 6 45 revient à résoudre l’inéquation ln(x + 0, 3) > 5.
Résoudre cette inéquation.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
184
3. a. Vérifier que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 1 000] par
g (x) = 98, 4x − 8, 9(x + 0, 3) ln(x + 0, 3) est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 1 000]
b. Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [200 ; 800] (on donnera une valeur
approchée de ce résultat arrondi à l’unité).
y
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
O
s
a
r
u
D
I
F
L
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
x
Partie B
Une éolienne doit être installée à proximité d’un village dont les habitants s’inquiètent de la
nuisance sonore occasionnée. L’entreprise chargée de la fabrication de l’éolienne transmet
donc les renseignements suivants :
— au centre de l’éolienne (centre du rotor), le niveau sonore est d’environ 100 décibels (dB),
— lorsqu’on s’éloigne de x mètres du centre de l’éolienne, le niveau sonore est donné, en
dB, par f (x) (défini à la partie A).
70 m
1. En utilisant le graphique donné ci-dessous, déterminer à quelle distance du centre de l’éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40 dB.
2. Le centre du rotor de l’éolienne est situé à 70 m de hauteur (voir le schéma ci-dessous).
Sonomètre
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
185
Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du
pied de l’éolienne. A quelle distance du pied de l’éolienne doit-t-on le placer pour que le
niveau sonore enregistré soit égal à 45 dB (le résultat sera arrondi à l’unité) ? Expliquer la
démarche suivie.
E XERCICE 501
20 minutes
3
1
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 20] par f (x) = x + 4 + ln(4x + 10) − 3 ln x.
2
4
³ →
− →
−´
On appelle C la courbe ci-dessous représentative de f dans un repère orthogonal O, ı ,  .
s
a
r
u
D
I
F
L
y
16
Partie A
12
8
4
0
C
1. Déterminer la limite de f en
0. Quelle interprétation graphique
peut-on en donner ?
2. Montrer que pour tout x de l’interx 2 − 2x − 15
valle ]0 ; 20], f ′ (x) =
.
x(2x + 5)
3. Déterminer les variations de la
fonction f sur l’intervalle ]0 ; 20] et
dresser son tableau de variations.
x
0
5
10
15
On admet que l’équation f (x) = 6 possède exactement deux solutions α et β dans l’intervalle
]0 ; 20] telles que α ≈ 1, 242 et β ≈ 13, 311.
Partie B
Une entreprise produit au maximum 20 000 objets par jour.
On note x le nombre de milliers d’objets produits chaque jour travaillé : x ∈]0 ; 20].
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d’un objet est égal à f (x), où f
est la fonction définie ci-dessus.
1. a. Pour combien d’objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?
b. Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.
2. Le prix de vente d’un objet est de 6 (. Pour quelles productions journalières l’entreprise
réalise-t-elle un bénéfice ?
3. Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d’euros, pour une production de
5 000 objets par jour.
4. L’année suivante, le coût moyen augmente de 2 %. Le prix de vente est alors augmenté de
2 %. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier.
E XERCICE 502
On considère la fonction f définie sur ] − 1 ; +∞[ par f (x) = −3x + 4 + 8 ln(x + 1).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
10 minutes
1. a. Calculer la limite de f en −1. Donner l’interprétation graphique du résultat obtenu.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
186
ln(x + 1)
= 0).
x
5
−
3x
2. a. On note f ′ la dérivée de f sur ] − 1 ; +∞[. Démontrer que f ′ (x) =
.
x +1
′
b. Etudier le signe de f et dresser le tableau de variations de f . On donnera une valeur
arrondie au dixième du maximum
· de f sur ] − 1 ; +∞[.
·
5
; +∞ .
3. On se place dans l’intervalle
3
Démontrer que dans cet intervalle, l’équation f (x) = 0 admet une solution unique notée x 0 .
Donner une valeur approchée de x 0 à 10−2 près.
3
4. a. Vérifier que la fonction F définie par F (x) = − x 2 −4x +8(x +1) ln(x +1) est une primitive
2
de f sur ] − 1 ; +∞[.
b. Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 5 (on donnera la valeur exacte de
cette aire et une valeur approchée au dixième près).
b. Déterminer la limite de f en +∞ (on pourra utiliser lim
x→+∞
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 503
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par f (x) = x + ln (x + 1).
15 minutes
E XERCICE 504
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
15 minutes
1. Déterminer les limites de f en −1 et +∞.
2. Etudier les variations de f sur ]−1 ; +∞[.
3. En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire A(α) du domaine délimité par la
courbe représentative de f , l’axe des abscisses et la droite d’équation x = α
où α ∈ ]−1 ; 0].
4. Calculer la limite de A(α) lorsque α tend vers −1.
¶
2+x
− n ln(x + n).
On désigne par f n la fonction définie par f n (x) = ln
2−x
1. Quel est l’ensemble de définition de f n ?
2. Déterminer les limites de f n aux bornes de son ensemble de définition.
3. Etudier les variations de f n (on distinguera le cas n = 2).
4. Justifier que pour tout x ∈ [0 ; 2[, f n (x) > f n (0).
³
x ´n 2 + x
6
.
5. En déduire que ∀n > 2, ∀x ∈ [0 ; 2[, 1 +
n
2−x
µ
E XERCICE 505
30 minutes
10(x − 8)
On considère la fonction f définie sur ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ par : f (x) =
et on désigne par
x(x − 1)
³ →
− →
−´
C sa courbe représentative relative à un repère orthogonal O, ı ,  .
1. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
b. Déterminer les limites de f quand x tend vers 1 par valeurs inférieures et quand x tend
vers 1 par valeurs supérieures.
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
187
c.
2. a.
b.
c.
En déduire les asymptotes la courbe C.
Déterminer la dérivée f ′ de la fonction f .
p
p
Montrer que f ′ (x) s’annule pour α = 8 + 2 14 et pour β = 8 − 2 14.
Dresser le tableau de variations de f
1
3. Soit I le point de la courbe C d’abscisse .
2
a. Déterminer une équation de la droite ∆ tangente en I à la courbe C.
b. Montrer que le point L, intersection de la courbe C avec son asymptote horizontale,
appartient à la droite ∆.
s
a
r
u
D
I
F
L
4. a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x élément de l’intervalle ]1 ; +∞[, on ait
a
b
f (x) = +
.
x x −1
b. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 8.
Calculer, en unités d’aire, en fonction de λ, l’aire A(λ) du domaine limité par la courbe
C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x = λ.
c. Calculer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
E XERCICE 506
45 minutes
L’objet de ce problème est d’étudier, à l’aide d’une fonction auxiliaire, une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est solution.
A. Etude d’une fonction auxiliaire
ex
− ln (1 + 2e x ).
1 + 2e x
Calculer g ′ (x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x réel.
Déterminer les limites de g en −∞ et + ∞.
Dresser le tableau de variations de g .
Donner le signe de g (x).
Soit g la fonction définie sur R par g (x) =
1.
2.
3.
4.
B. Etude d’une fonction et calcul d’une aire
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e −2x ln (1 + 2e x ).
On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).
1. Calculer f ′ (x) et montrer que pour tout réel x, f ′ (x) = 2e −2x g (x).
2. a. Déterminer la limite de f en −∞.
b. Déterminer la limite de f en +∞.
On pourra remarquer que : si on pose X = 1 + 2e x , f (x) s’écrit 4
3. Dresser le tableau de variations de f .
4. Soit α un réel strictement positif.
e −x
e −x
−x
=
e
−
2
.
−x
1 + 2e x
Zα e−x + 2
e
En déduire la valeur de l’intégrale I (α) =
dx.
x
0 1 + 2e
a. Vérifier que, pour tout réel x,
ln X
X
.
2
(X − 1) X
CHAPITRE 2. FONCTIONS
188
b. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale : J (α) =
Donner une interprétation graphique de J (α).
Zα
0
f (x) dx.
C. Résolution d’une équation différentielle
e −x
.
1 + 2e x
1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B est solution de (E ).
2. Montrer qu’une fonction ϕ est solution de (E ) si et seulement si ϕ− f est solution de l’équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E ) : y ′ + 2y = 2
s
a
r
u
D
I
F
L
(E ′ ) : y ′ + 2y = 0.
3. Résoudre (E ′ ) et en déduire les solutions de (E ).
E XERCICE 507
30 minutes
´
³
p
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = ln x + x 2 + 9 et C sa représentation
³ →
− →
−´
graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
1. Déterminer les images de 0 et de 4 par f , puis l’antécédent de 0 par f .
2. a. Calculer la limite de f en + ∞.
p
9
b. Montrer que, ∀x ∈ R, x 2 + 9 + x = p
et en déduire la limite de f en −∞.
x2 + 9 − x
1
et en déduire le tableau de variations de la
3. Montrer que, pour tout réel, f ′ (x) = p
x2 + 9
fonction f .
1
9
4. On considère la fonction g définie, pour tout x réel, par g (x) = e x − e −x et C′ sa représen2
2
³ →
− →
−´
tation graphique dans le même repère O, ı ,  .
a. Démontrer que, pour tout x réel, (g ◦ f )(x) = x.
On admettra de même que, pour tout x réel, ( f ◦ g )(x) = x.
b. En déduire que le point M (x ; y) appartient à C si, et seulement si, le point M ′ (y ; x)
appartient à C′ .
c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0 ; ln 3].
5. Soit D 1 et D 2 les domaines définis par :
¯
½
¾
¯ 0 6 x 6 ln 3
D 1 = M (x ; y) ¯¯
g (x) 6 y 6 0
;
¯
½
¾
¯ −46x 60
D 2 = M (x ; y) ¯¯
.
0 6 y 6 f (x)
Les domaines D 1 et D 2 ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d’aire.
E XERCICE 508
Partie A - Préliminaires
1. Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par g (t ) = e t − t − 1.
Quel est le minimum de la fonction g sur R ?
40 minutes
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
189
2. En déduire les inégalités suivantes :
a. Pour tout réel t , e t > t + 1, e t > t et − t e − t > −1.
b. Pour tout réel t tel que t > − 1, ln(1 + t ) 6 t .
3. En déduire que pour tout réel x, ln (1 − xe −x ) < −xe −x .
Partie B - Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 2 − 2 ln (e x − x).
1. Montrer que f (x) = x 2 − 2x − 2 ln (1 − xe −x ). Quelle est la limite de f en +∞ ? On admettra
que la limite de la fonction f en −∞ est +∞.
2(x − 1)(e x − x − 1)
.
2. Calculer f ′ (x) et montrer que f ′ (x) =
ex − x
Dresser le tableau de variations de la fonction f .
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Dans un repère orthonormé (unité : 3 cm), on considère la parabole P d’équation y = x 2 −2x
et C la courbe représentative de f .
Montrer que P et C sont asymptotes en + ∞.
Etudier les positions relatives des courbes P et C.
4. Donner une équation de chacune des tangentes D et ∆ respectivement aux courbes P et C
aux points d’abscisse 0.
5. Tracer dans un même repère les courbes P et C et leurs tangentes D et ∆ .
Partie C - Etude d’une intégrale
1. Soit n un entier naturel, on pose u n =
Zn
0
xe −x dx.
a. Démontrer que la suite u de terme général u n est croissante.
b. Calculer u n à l’aide d’une intégration par parties.
c. Déterminer la limite de la suite u n .
2. L’aire du domaine (en unités d’aire) limité par les droites d’équation x = 0, x = n, la parabole
P et la courbe C est définie par
In = − 2
Zn
0
¡
¢
ln 1 − xe −x dx
a. Montrer en utilisant la question 3 des préliminaires que I n > 2u n .
b. On admet que la suite (I n ) a pour limite l . Montrer que l > 2.
E XERCICE 509
Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f (x) =
Partie A - Etude de fonctions auxiliaires
¡
¢
ln e 2x − 1
ex
30 minutes
.
1. On définit la fonction g sur l’intervalle ]1 ; + ∞[ par g (x) = 2x − (x − 1) ln(x − 1).
a. On admet le résultat suivant : lim x ln x = 0. En déduire la limite de g (x) lorsque x tend
vers 1.
x→0
CHAPITRE 2. FONCTIONS
190
Calculer g ′ (x) pour x appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[.
Résoudre l’inéquation 1−ln(x −1) > 0, d’inconnue x appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[.
Etudier le sens de variation de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
£
¤
Montrer que l’équation g (x) = 0 a une solution unique, notée α, dans e + 1 ; e 3 + 1 et
étudier le signe de g (x) sur chacun des intervalles ]1 ; α[ et ]α ; + ∞[.
¡
¢
ln x 2 − 1
2. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par ϕ(x) =
.
x
a. Déterminer lim ϕ(x) et prouver que lim ϕ(x) = 0.
b.
c.
d.
e.
x→+ ∞
x→1
b. Calculer ϕ′ (x) et montrer que ϕ′ (x) est du signe de g (x 2 ) sur l’intervalle ]1 ; + ∞[.
¤ p £
c. Montrer que ϕ est croissante sur l’intervalle 1 ; α et décroissante sur l’intervalle
£
¤p
α; +∞ .
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B - Etude de la fonction f
1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a f (x) = ϕ (e x ).
2. En déduire :
a. La limite de f (x) lorsque x tend vers 0.
b. La limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.
c. Le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que f admet un maximum en
¡p ¢
ln α .
p
2 α
3. Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x) 6
.
α−1
4. Compléter en donnant des valeurs approchées à 10−2 près :
x
f (x)
0,1
0,5
1
1,5
2
3
Partie C - Recherche de primitives de f
1. Vérifier que f est solution de l’équation différentielle : y ′ + y =
ex
ex
−
.
ex − 1 ex + 1
a. Trouver une primitive H de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
b. En déduire les primitives F de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2. On pose h(x) =
ex
ex
−
.
ex − 1 ex + 1
E XERCICE 510
Partie A - Etude d’une fonction
60 minutes
ln x
.
x
³ →
− →
−´
Soit C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  ;
unité graphique : 5 cm.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f (x) = 1 +
1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Déterminer les asymptotes de C.
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
191
2. Etudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de·variations
de f .
¸
1
; 1 une solution unique, notée α.
3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle
e
4. Déterminer un encadrement de α, d’amplitude 10−2 .
5. Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[.
Partie B - Calcul d’aire
1. Déterminer une équation de la tangente (D) à C au point d’abscisse 1.
2. a. Soit ϕ la fonction définie, pour tout x > 0, par ϕ(x) = x − x 2 + ln x.
Calculer ϕ′ (x).
En déduire le sens de variation de ϕ, puis le signe de ϕ(x), sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
ϕ(x)
b. Montrer que, pour tout x > 0, f (x) − x =
.
x
c. En déduire la position relative de C et de (D).
3. On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe C et la
tangente (D).
Soit A son aire, en cm2 .
Ecrire la valeur exacte de A comme expression polynomiale du second degré en α.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C - Etude d’une suite
¸
1
Soit x 0 un réel appartenant à l’intervalle
; α . On note M 0 le point de C d’abscisse x 0 .
e
1. a. Donner une équation de la tangente (T0 ) à C en M 0 , en fonction de x 0 , f (x 0 ) et f ′ (x 0 ).
b. Soit x 1 l’abscisse du point d’intersection de (T0 ) avec l’axe des abscisses. Ecrire x 1 en
fonction de x 0 , f (x 0 ) et f ′ (x 0 ).
¸
¸
f (x)
1
; α par h(x) = x − ′ .
2. On considère la fonction h définie sur
e
f (x)
On remarquera que h (x 0 ) = x 1 .
a. Montrer que h ′ (x) =
b.
c.
d.
3. a.
b.
c.
¸
f ′′ (x) × f (x)
.
[ f ′ (x)]2
¸
1
;α .
Calculer f (x) et étudier son signe sur
e
¸
¸
1
; α , puis montrer que x 1 < α.
En déduire que h est strictement croissante sur
e
¸
¸
f (x)
1
En écrivant h(x) − x = − ′ , étudier le signe de h(x) − x sur
;α .
f (x)
e
1
En déduire que < x 0 < x 1 < α.
e
¸
¸
¸
¸
1
1
; α , h(x) appartient à
;α .
Démontrer que, pour tout x appartenant à
e
e
On considère la suite (x n ) de réels définie par x 0 et x n+1 = h(x n ) pour tout n ∈ N.
Montrer que la suite (x n ) est strictement croissante.
En déduire que la suite (x n ) est convergente.
′′
¸
CHAPITRE 2. FONCTIONS
192
E XERCICE 511
25 minutes
¶
3+x
.
Soit la fonction g définie sur ] − 3 ; 3[ par : g (x) = ln
3−x
1. Etudier la parité de la fonction g .
2. a. Calculer les limites de g en −3 et en 3.
b. Etudier le sens de variation de g sur [0 ; 3[.
Dresser
son tableau de variations sur ] − 3 ; 3[.
³ →
− →
−´
3. Soit O, ı ,  un repère orthonormé d’unité graphique 4 cm. Soit C la courbe représentative de la fonction g dans ce repère.
µ
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à C au point d’abscisse 0.
b. Tracer dans le repère la courbe C et sa tangente (T ).
4. Etudier le signe de g (x) suivant les valeurs de x.
5. a. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ xg (x).
b. Calculer l’aire, exprimée en cm2 , de la portion de plan délimitée par la courbe C, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On donnera la valeur exacte de
cette aire, puis une valeur approchée au mm2 près.
E XERCICE 512
¡ ¢
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f (x) = x ln x 2 − 2x.³
30 minutes
→
− →
−´
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, ı ,  ; unité graphique 1 cm.
Partie A - Etude de f
x
1. Montrer que, pour x > 0, f (x) = 2x ln x − 2x puis que f (x) = 2x ln .
e
2. a. Etudier la limite de f en + ∞.
b. Montrer que f est dérivable en tout x > 0 ; calculer f ′ (x) pour x > 0.
c. Etudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ .
d. Donner le tableau de variations de f sur ]0 ; +∞[.
3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe C avec l’axe des
abscisses.
4. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet sur l’intervalle [1 ; 5] une unique solution et en donner la valeur décimale arrondie à 10− 2 .
Partie B - Calcul d’aires
1. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par

 F (0)
= 0
 F (x) =
x 2 ln x −
3x 2
2
si x > 0
a. On admet que lim x ln x = 0 ; montrer que F est dérivable en 0 et préciser F ′ (0).
x→0
b. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; + ∞[, F ′ (x) = f (x).
2.9. FONCTIONS LOGARITHMES
193
2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite D n d’équation y = nx.
a. Déterminer les coordonnées du point I n , d’abscisse strictement positive, intersection
de C et de D n .
On appelle P n le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I n .
Tracer la courbe C et les droites D 0 , D 1 , D 2 , puis placer les points I 0 , I 1 , I 2 , P 0 , P 1 , P 2
sur la figure ci-dessus.
b. Déterminer la position relative de C et de D n pour les abscisses appartenant à ]0 ; +∞[.
3. Pour tout n > 1 , on considère le domaine A n situé dans le quart de plan défini par x > 0 et
y > 0, délimité par C, D n−1 et D n .
On note a n son aire, exprimée en unités d’aire.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Faire apparaître les domaines A 1 et A 2 sur la figure.
b. Calculer l’aire t n du triangle OP n I n , en unités d’aire.
c. Calculer l’aire u n , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par
x > 0 et y > 0, délimité par C, l’axe des abscisses, et les parallèles à l’axe des ordonnées
passant par P 0 et P n .
d. Vérifier que l’aire v n en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par
1
x > 0 et y > 0 , délimité par C , l’axe des abscisses et D n , est v n = t n − u n = e2 (en − 1).
2
e. Calculer alors a n .
4. Montrer que la suite (a n ) est une suite géométrique.
En préciser la raison et le premier terme.
E XERCICE 513
30 minutes
On rappelle qu’une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est
minorée par f ) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x appartenant à I , f (x) < g (x).
Partie A
2x
.
Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; + ∞[ par f (x) = ln(1 + x) et g (x) =
2+x
On notera C la
graphique de f et Γ celle de g dans un plan rapporté à un repère
³ représentation
→
− →
−´
orthonormé O, ı ,  (unité graphique 2 cm).
On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0 ; +∞[.
Soit h la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par h(x) = f (x) − g (x).
1. Etudier le sens de variation de h sur [0 ; + ∞[ ; calculer h(0). (L’étude de la limite de h en
+ ∞ n’est pas demandée.)
2x
2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul, (1)
6 ln(1 + x).
x +2
3. Montrer que les courbes C et Γ admettent en 0 une même tangente D.
Partie B
k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x 7→ k x , majorant la fonction f : x 7→ ln(1 + x) sur [0 ; + ∞[.
Soit f k la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f k (x) = ln(1 + x) − k x.
1. Etudier le sens de variation de f 1 , définie sur [0 ; + ∞[ par f 1 (x) = ln(1 + x) − x.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
194
2.
3.
4.
5.
Etudier la limite de f , en +∞[ et donner la valeur de f 1 en 0.
Montrer que pour tout réel x positif ou nul (2)
ln(1 + x) 6 x.
En déduire que si k > 1 alors : pour tout x > 0, f (x) 6 k x.
Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1 .
1−k
Montrer que la dérivée de f k s’annule pour x =
et étudier le sens de variation de f k .
k
(L’étude de la limite de f k en + ∞ n’est pas demandée.)
6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout x > 0, f (x) < k x.
Partie C
Z1
s
a
r
u
D
I
F
L
1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I =
☞ On pourra remarquerque :
1
x
= 1−
.
1+x
1+x
0
ln(1 + x) dx.
¸
Z1 ·
2x
ln(1 + x) −
(x − ln(1 + x) dx puis de K =
2. En déduire le calcul de J =
dx.
x +2
0
0
4
2x
= 2−
.
☞ Pour le calcul de K on pourra vérifier que :
x +2
2+x
Z1
3. Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C, Γ
et la droite D obtenues dans la partie A.
E XERCICE 514
1. Soit f la fonction définie sur R+ par
½
35 minutes
f (0)
f (x)
=
=
0
x ln x
pour
x >0
.
a. Etudier la dérivabilité et la continuité de f en 0.
b. Etudier les variations de f .
c. Déterminer l’équation des tangentes aux points d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.

0
 g (0) =
.
2. Soit g la fonction définie sur R+ par
x2
x2
 g (x) =
ln x −
pour x > 0
2
4
a. Etudier la dérivabilité et la continuité de f en 0.
b. Etudier les variations de f .
c. Déterminer l’équation des tangentes aux points d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.
3. Recherche des solutions non nulles de l’équation f (x) = g (x).
a. Démontrer que les solutions non nulles de l’équation f (x) = g (x) sont les abscisses des
points d’intersection des courbes représentatives de la fonction k(x) = ln x et de la foncx
.
tion h, définie sur R \ {2} par h(x) =
2(x − 2)
b. Comparer les signes de h(3) − k(3) et de h(4) − k(4).
En déduire l’existence d’une solution de l’équation f (x) = g (x), comprise entre 3 et 4.
Démontrer qu’elle est unique dans cet intervalle.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
195
c. ¸
Démontrer,
de même, l’existence et l’unicité d’une solution, notée α, appartenant à
·
1
;1 .
2
Déterminer la valeur approchée, à 10−1 près par défaut, du réel α.
4. Soit t un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; α[, où α est le réel défini précédemment.
Zα
¡
¢
g (x) − f (x) dx.
a. Calculer, en fonction de t et de α ; l’intégrale I (t , α) =
t
b. Démontrer que I (t , α) a une limite finie lorsque t tend vers 0.
E XERCICE 515
30 minutes
Soit n un entier strictement positif, on note g n la fonction qui, à tout réel x > n, associe
s
a
r
u
D
I
F
L
g n (x) = (x − n) ln x − x ln (x − n)
1. Résoudre dans R l’inéquation (x + 1)2 < 2x 2 .
En déduire à l’aide d’un raisonnement par récurrence que l’inégalité (p + 1)2 < 2p 2 est vérifiée pour tout entier p > 5.
Déterminer les signes de g n (n + 1) et de g n (n + 2) selon les valeurs de n.
2. Calculer les dérivées première et seconde, g n′ (x) et g n′′ (x), de g n (x) par rapport à x.
En déduire le signe de g n′′ (x) et le sens de variation de g n′ , puis le sens de variation de g n .
3. Déterminer les limites de g n (x) lorsque x³tend vers
n et lorsque x tend vers +∞.
n´
☞ On pourra écrire g n (x) = −n ln x − x ln 1 − .
x
4. Démontrer que l’équation gZ
n (x) = 0 a une racine, et une seule, notée x n .
5. Calculer l’intégrale F (a) =
lorsque a tend vers 2.
x2
a
g 2 (x)dx, pour 2 < a 6 x 2 , et déterminer la limite de F (a),
2.10 Vers le baccalauréat
E XERCICE 516
ex
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = .
x
On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
1. a. Préciser la limite de la fonction f en +∞.
b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe C f .
2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, on a : f ′ (x) =
30 minutes
ex (x − 1)
x2
où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .
3. Déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites.
4. Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de
solutions de l’équation f (x) = m.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
196
5. On note ∆ la droite d’équation y = −x.
On note A un éventuel point de C f d’abscisse a en lequel la tangente à la courbe C f est
parallèle à la droite ∆.
a. Montrer que a est solution de l’équation e x (x − 1) + x 2 = 0.
On note g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = e x (x − 1) + x 2 .
On admet que la fonction g est dérivable et on note g ′ sa fonction dérivée.
b. Calculer g ′ (x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, puis dresser le tableau de
variations de g sur [0 ; +∞[.
c. Montrer qu’il existe un unique point A en lequel la tangente à C f est parallèle à ∆.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 517
20 minutes
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = x + 4 − 4 ln(x) −
où l n désigne la fonction logarithme népérien.
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
3
x
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
x 2 − 4x + 3
.
Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0, on a : f ′ (x) =
x2
3. a. Donner le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On y fera figurer les valeurs exactes des extrema et les limites de f en 0 et en +∞.
On admettra que lim f (x) = −∞.
x→0
b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équa5
tion f (x) = .
3
4. Etudier la convexité de la fonction f c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle ]0 ; +∞[
sur lesquelles f est convexe, et celles sur lesquelles f est concave.
On justifiera que la courbe C admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
E XERCICE 518
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x) = ln(x) + 2x − 2.
1.
2.
3.
4.
Déterminer les limites de g en +∞ et 0.
Déterminer le sens de variation de la fonction g sur ]0 ; +∞[.
Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 ; +∞[.
Calculer g (1) puis déterminer le signe de g sur ]0 ; +∞[.
Partie B : Etude d’une fonction f
¶
µ
1
On considère la fonction f , définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2 −
(ln(x) − 1).
x
30 minutes
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
197
1. a. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa dérivée.
g (x)
Démontrer que, pour tout x de ]0 ; +∞[, on a : f ′ (x) = 2 .
x
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[. Le calcul des limites n’est
pas demandé.
2. Résoudre l’équation f (x) = 0 sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de signes de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Partie C : Etude d’une fonction F admettant pour dérivée la fonction f
On admet qu’il existe une fonction F dérivable sur ]0 ; +∞[ dont la dérivée F ′ est la fonction f .
Ainsi, on a : F ′ = f .
³ →
− →
−´
On note CF la courbe représentative de la fonction F dans un repère orthonormé O, ı ,  .
On ne cherchera pas à déterminer une expression de F (x).
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Etudier les variations de F sur ]0 ; +∞[.
2. La courbe CF représentative de F admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?
Justifier la réponse.
E XERCICE 519
20 minutes
Le graphique
ci-contre
représente, dans
un repère
orthogonal, les
courbes C f et Cg
des fonctions f et
g définies sur R
par :
f (x) = x 2 e−x
8
Cg
Cf
6
4
et g (x) = e−x .
−2
b
M
b
N
−1
2
1
2
La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.
1. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C f et Cg .
b. Etudier la position relative des courbes C f et Cg .
2. Pour tout nombre réel x de l’intervalle [−1 ; 1], on considère les points M de coordonnées
(x ; f (x)) et N de coordonnées (x ; g (x)), et on note d (x) la distance M N . On admet que :
d (x) = e −x − x 2 e −x .
On admet que la fonction d est dérivable sur l’intervalle [−1 ; 1] et on note d ′ sa fonction
dérivée.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
198
¡
¢
a. Montrer que d ′ (x) = e −x x 2 − 2x − 1 .
b. En déduire les variations de la fonction d sur l’intervalle [−1 ; 1].
c. Déterminer l’abscisse commune x 0 des points M 0 et N0 permettant d’obtenir une distance d (x 0 ) maximale, et donner une valeur approchée à 0, 1 près de la distance M 0 N0 .
3. Soit ∆ la droite d’équation y = x + 2.
On considère la fonction h dérivable sur R et définie par : h(x) = e −x − x − 2.
En étudiant le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0, déterminer le nombre de points
d’intersection de la droite ∆ et de la courbe Cg .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 520
25 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Aucune justification n’est demandée.
−2x 2 + 3x − 1
admet pour
1. La courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) =
x2 + 1
asymptote la droite d’équation :
a. x = −2 ;
c. y = −2 ;
b. y = −1 ;
d. y = 0
2
2. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = xe x .
La primitive F de f sur R qui vérifie F (0) = 1 est définie par :
x 2 x2
e ;
2
¡
¢ 2
c. F (x) = 1 + 2x 2 e x ;
1 2
b. F (x) = e x
2
1 2 1
d. F (x) = e x +
2
2
a. F (x) =
3.
On donne ci-contre la représentation graphique C f ′ de la fonction dérivée f ′ d’une fonction f définie sur
R.
On peut affirmer que la fonction f
est :
a. concave sur ]0 ; +∞[ ;
b. convexe sur ]0 ; +∞[ ;
c. convexe sur [0 ; 2] ;
d. convexe sur [2 ; +∞[.
1
0
1
2
Cf ′
2
4. Parmi les primitives de la fonction f définie sur R par f (x) = 3e −x + 2 :
a. toutes sont croissantes sur R ;
b. toutes sont décroissantes sur R ;
c. certaines sont croissantes sur R et d’autres décroissantes sur R ;
d. toutes sont croissantes sur ] − ∞ ; 0] et décroissantes sur [0 ; +∞[.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
199
5. La limite en +∞ de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =
à:
a.
2
;
3
b. +∞ ;
2 ln x
est égale
3x 2 + 1
c. −∞ ;
d. 0.
c. une seule solution ;
d. aucune solution.
6. L’équation e2x + ex − 12 = 0 admet dans R :
a. trois solutions ;
b. deux solutions ;
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 521
20 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Aucune justification n’est demandée.
¢
¡
1. On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = ln 1 + x 2 .
Sur R, l’équation f (x) = 2 022
a. n’admet aucune solution.
c. admet exactement deux solutions.
b. admet exactement une solution.
d. admet une infinité de solutions.
2. Soit la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par : g (x) = x ln(x) − x 2 .
On note Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.
a. La fonction g est convexe sur ]0 ; +∞[
b. La fonction g est concave sur ]0 ; +∞[
c. La courbe Cg admet exactement un point d’inflexion sur ]0 ; +∞[
d. La courbe Cg admet exactement deux points d’inflexion sur ]0 ; +∞[.
x
3. On considère la fonction f définie sur ] − 1 ; 1[ par f (x) =
1 − x2
Une primitive de la fonction f est la fonction g définie sur l’intervalle ] − 1 ; 1[ par :
¢
1 ¡
a. g (x) = − ln 1 − x 2
2
x2
c. g (x) = µ
¶
x3
2 x−
3
1 + x2
b. g (x) = ¡
¢2
1 − x2
¢
x2 ¡
d. g (x) =
ln 1 − x 2
2
a. ] − 3 ; 2[
c. ]0 ; +∞[
¡
¢
4. La fonction x 7−→ ln −x 2 − x + 6 est définie sur
b. ] − ∞ ; 6]
d. ]2 ; +∞[
5. On considère la fonction f définie sur ]0, 5 ; +∞[ par f (x) = x 2 − 4x + 3 ln(2x − 1)
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
CHAPITRE 2. FONCTIONS
200
a. y = 4x − 7
c. y = −3(x − 1) + 4
b. y = 2x − 4
d. y = 2x − 1
6. L’ensemble S des solutions dans R de l’inéquation ln(x + 3) < 2 ln(x + 1) est :
a. S =] − ∞ ; −2[∪]1 ; +∞[
c. S = ;
b. S =]1 ; +∞[
d. S =] − 1 ; 1[
E XERCICE 522
Partie A : Etudes de deux fonctions
On considère les deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
40 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
¡
¢
f (x) = 0, 06 −x 2 + 13, 7x
et g (x) = (−0, 15x + 2, 2)e 0,2x − 2, 2.
On admet que les fonctions f et g sont dérivables et on note f ′ et g ′ leurs fonctions dérivées
respectives.
1. On donne le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
x
0
6, 85
f (6, 85)
f (x)
0
+∞
−∞
a. Justifier la limite de f en +∞.
b. Justifier les variations de la fonction f .
c. Résoudre l’équation f (x) = 0.
2. a. Déterminer la limite de g en +∞.
b. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; +∞[ on a :
g ′ (x) = (−0, 03x + 0, 29)e 0,2x .
c. Etudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
Préciser une valeur approchée à 10−2 près du maximum de g .
d. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution non nulle et déterminer, à
10−2 près, une valeur approchée de cette solution.
Partie B : trajectoires d’une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions f et g étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons
différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que 13, 7 est la valeur qui annule la fonction f et une approximation de la valeur
qui annule la fonction g .
On donne ci-dessous les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle [0 ; 13,7].
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
201
Cg
Cf
1
0
1
13,7
Pour x représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la
frappe, (avec 0 < x < 13, 7), f (x) (ou g (x) selon le modèle) représente la hauteur correspondante
de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0, 914 mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la
courbe (C f ou Cg selon le modèle) en son point d’abscisse 0. Une mesure de l’angle de décollage
de la balle est un nombre réel d tel que tan(d ) est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la
tangente à la courbe (C f ou Cg selon le modèle) en son point d’abscisse 13, 7. Une mesure
de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel a tel que tan(a) est égal à l’opposé du
coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
s
a
r
u
D
I
F
L
Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la
courbe C f
Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe Cg .
Cf
d
a
d
13,7
a
13,7
1. Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la
distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et f (x) la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
b. Vérifier que f ′ (0) = 0, 822.
c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.
(On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
d. Quelle propriété graphique de la courbe C f permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
2. Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la
distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et g (x) la hauteur correspondante de la balle.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
202
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que g ′ (0) = 0, 29 et g ′ (13, 7) ≈ −1, 87.
b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.
(On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
c. Justifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré
de l’angle d’atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on
connait sa tangente :
s
a
r
u
D
I
F
L
1
2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
tan(θ) 0,815 0,816 0,817 0,818 0,819 0,82 0,821 0,822 0,823 0,824 0,825 0,826
θ en
39,18 39,21 39,25 39,28 39,32 39,35 39,39 39,42 39,45 39,49 39,52 39,56
degrés
3
4
5
tan(θ) 0,285 0,286 0,287 0,288 0,289 0,29 0,291 0,292 0,293 0,294 0,295 0,296
θ en
15,91 15,96 16,01 16,07 16,12 16,17 16,23 16,28 16,33 16,38 16,44 16,49
degrés
Partie C : interrogation des modèles
A partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a
obtenu les résultats moyens suivants :
Angle de décollage en
degré
Hauteur maximale en
yard
Angle d’atterrissage en
degré
Distance horizontale en
yard au point de chute
24
32
52
137
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la
frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
E XERCICE 523
20 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Aucune justification n’est demandée.
x
.
ex
On suppose que f est dérivable sur R et on note f ′ sa fonction dérivée.
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
a. f ′ (x) = e−x
c. f ′ (x) = (1 − x)e−x
b. f ′ (x) = xe−x
d. f ′ (x) = (1 + x)e−x
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
203
2. Soit f une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle [−3 ; 1]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde f ′′ .
3
2
1
−3
−2
−1
1
−1
s
a
r
u
D
I
F
L
−2
−3
On peut alors affirmer que :
a. La fonction f est convexe sur l’intervalle
[−1 ; 1]
c. La fonction f ′ est décroissante sur l’intervalle [−2 ; 0]
b. La fonction f est concave sur l’intervalle
[−2 ; 0]
d. La fonction f ′ admet un maximum en
x = −1
2
3. On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x 3 e −x .
Si F est une primitive de f sur R,
¢
1¡ 3
2
x + 1 e−x
6
¢
1¡ 2
2
c. F (x) = − x + 1 e−x
2
1
2
b. F (x) = − x 4 e−x
4
¡
¢
2
2
d. F (x) = x 3 − 2x 2 e−x
a. −1
c. +∞
a. F (x) = −
ex + 1
?
x→+∞ ex − 1
4. Que vaut lim
b. 1
d. n’existe pas
5. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = e 2x+1 .
La seule primitive F sur R de la fonction f telle que F (0) = 1 est la fonction :
a. x 7−→ 2e 2x+1 − 2e + 1
1
1
c. x 7−→ e 2x+1 − e + 1
2
2
b. x 7−→ 2e 2x+1 − e
d. x 7−→ e x
2
+x
6.
y
Dans un repère, on a tracé ci-contre la
courbe représentative d’une fonction f
définie et deux fois dérivable sur [−2 ; 4]
1
1
x
CHAPITRE 2. FONCTIONS
204
Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction f ′′ , dérivée seconde de f ?
y
y
y
1
y
1
x
1
1
x
1
1
x
1
a.
b.
1
x
d.
c.
E XERCICE 524
30 minutes
Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On considère les points A(1 ; 3) et B(3 ; 5).
On donne ci-dessous C f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, ainsi
que la tangente (AB) à la courbe C f au point A.
s
a
r
u
D
I
F
L
Cf
B
+
5
3
+
4
A
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
−2
Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1. Déterminer graphiquement les valeurs de f (1) et f ′ (1).
¡
¢
2. La fonction f est définie par l’expression f (x) = ln ax 2 + 1 + b, où a et b sont des nombres
réels positifs.
a. Déterminer l’expression de f ′ (x).
b. Déterminer les valeurs de a et b à l’aide des résultats précédents.
Partie B
¡
¢
On admet que la fonction f est définie sur R par f (x) = ln x 2 + 1 + 3 − ln(2).
1. Montrer que f est une fonction paire.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
205
2. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
3. Déterminer l’expression de f ′ (x).
Etudier le sens de variation de la fonction f sur R.
Dresser le tableau des variations de f en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi
que les limites de f en −∞ et +∞.
4. A l’aide du tableau des variations de f , donner les valeurs du réel k pour lesquelles l’équation f (x) = k admet deux solutions.
5. Résoudre l’équation f (x) = 3 + ln 2.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C
¡
¢
On rappelle que la fonction f est définie sur R par f (x) = ln x 2 + 1 + 3 − ln(2).
1. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe
Cf .
¢
¡
2 1 − x2
′′
2. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : f (x) = ¡
¢2 .
x2 + 1
3. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe.
E XERCICE 525
20 minutes
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant
la réponse.
¤
£
1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞ par : u(x) = 3 ln(x) − 2x + 1.
Soit Cu la courbe représentative de la fonction u dans un repère.
Affirmation 1 : y = x − 2 est l’équation réduite de la tangente à Cu au point d’abscisse 1.
¤
£
1
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle e ; e 2 par f (x) = 2 ln(x).
e
On admet que la fonction x 7−→ x ln(x) − x est une primitive de la fonction x 7−→ ln(x) sur
£
¤
l’intervalle e ; e 2 .
Ze 2
f (x) dx = 1.
Affirmation 2 :
e
3. Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = 3e −2x+1.
Affirmation 3 : La fonction G définie sur R par G(x) = −6e −2x+1 + 6 est la primitive de g qui
1
s’annule en .
2
£
¤
4x + 1
.
4. Soit h la fonction définie sur l’intervalle −8 ; −0, 5 par : h(x) =
x 2¤
£
Affirmation 4 : La fonction h est concave sur l’intervalle −8 ; −0, 75 .
E XERCICE 526
20 minutes
Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note C f la courbe représentative d’une fonction f définie sur
l’intervalle [−10 ; 2]. On a placé les points A(0 ; 2), B(2 ; 0) et C(−2 ; 0).
On dispose des renseignements suivants :
CHAPITRE 2. FONCTIONS
206
• Le point B appartient à la courbe C f .
• La droite (AC) est tangente en A à la courbe C f .
• La tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 est une droite horizontale.
3
2
Cf
+A
s
a
r
u
D
I
F
L
1
C
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
+
−2
−1
1
+2 B
−1
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Indiquer les valeurs de f (0) et de f (2).
Indiquer la valeur de f ′ (1).
Donner une équation de la tangente à la courbe C f au point A.
Indiquer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 dans l’intervalle [−10 ; 2].
Indiquer les variations de la fonction f sur l’intervalle [−10 ; 2].
Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
Z2
f (x) dx.
7. On s’intéresse au nombre I =
0
Donner un encadrement du nombre I par deux entiers consécutifs.
Partie B
Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la
partie A.
On sait désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle [−10 ; 2] par : f (x) = (2 − x)ex .
1. Calculer f (0) et f (2).
2. a. Calculer f ′ (x) pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [−10 ; 2].
b. En déduire la valeur de f ′ (1).
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.
4. a. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [−10 ; 2].
b. En déduire le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 dans l’intervalle [−10 ; 2], puis
donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
5. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :
1
2
f (x) := (2 − x) ∗ exp(x)
f (x) := (−x + 2)ex
Simplifier(Dérivée(Dérivée( f (x))))
−xex
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
207
Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction f sur [−10 ; 2].
6. On considère la fonction F définie sur l’intervalle [−10 ; 2] par : F (x) = (3 − x)e x .
a. Vérifier que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [−10 ; 2].
Z2
f (x) dx.
b. En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième de I =
0
E XERCICE 527
40 minutes
Partie A - Etude préliminaire : mise en place d’une inégalité.
³ →
− →
−´
1. Le plan est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
On désigne par ∆ la droite d’équation y = x + 1 et par Γ la courbe d’équation y = e x .
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Que représente la droite
pour´ la courbe Γ ?
³ ∆→
− →
−
b. Tracer dans le repère O, ı ,  la droite ∆ et donner l’allure de Γ.
2. a. Démontrer que pour tout réel t , e t > t + 1. Interpréter graphiquement ce résultat.
1
b. En déduire que pour tout réel t , e −t + t + 1 > 2, et que ∀x ∈ R∗+ on a : + ln x + 1 > 2.
x
Partie B - Etude d’une fonction.
On considère la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par g (x) = (x + 1) ln x.
³ →
− →
−´
On appelle C la courbe représentative de g dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı , 
(unité graphique : 2 cm).
1. a.
b.
2. a.
b.
Etudier le sens de variations de g en utilisant la partie A.
Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en + ∞.
Déterminer une équation de la tangente D à C au point d’abscisse 1.
On appelle h la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : h(x) = g (x) − 2x + 2.
Etudier le sens de variations de h. On pourra utiliser la question A 2 b.
En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.
c. Etudier la position de C par
à D.
³ rapport
→
− →
−´
3. Tracer C et D dans le repère O, ı ,  .
Zn+1
g (x) dx.
4. Pour tout n de N∗ , on pose Un =
n
a. Donner une interprétation géométrique de Un .
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a : g (n) 6 Un 6 g (n + 1).
c. En déduire le sens de variation de la suite (Un ).
d. La suite (Un ) est-elle convergente ?
Partie C - Etude d’une primitive.
G désigne la primitive de g sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1.
On a donc : pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, G(x) =
1. Quel est le signe de G(x) suivant les valeurs de x ?
2. Calculer G(x) à l’aide d’une intégration par parties.
Zx
1
g (t ) dt .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
208
3. Déterminer les limites de G en 0 et en + ∞.
Pour l’étude en +∞, on pourra mettre x en facteur dans l’expression G(x).
Pour l’étude en 0, on admettra que lim x ln x = 0.
x→0
E XERCICE 528
20 minutes
4
On a représenté ci-contre la courbe
C représentative d’une £fonction
f
¤
définie et dérivable sur 0, 5 ; 12 , la
tangente T1 à C au point A d’abscisse 1 et la tangente T2 à C au point
B d’abscisse 2. La tangente T1 est
parallèle à l’axe des abscisses.
T2
3
s
a
r
u
D
I
F
L
C
2
B
1
+
A
+
−1
1
2
T1
3
4
5
6
7
8
9
10 11
1. Par lecture graphique :
a. Déterminer f ′ (1).
b. Déterminer les éventuels points d’inflexion de C.
Z8
c. Déterminer un encadrement de
f (x)x. par deux entiers consécutifs.
6
£
¤
1
2. On admet que la fonction f est définie sur 0, 5 ; 12 par : f (x) = ln(x) + .
x
£
¤ ′
x −1
a. Vérifier que, pour tout x ∈ 0, 5 ; 12 , f (x) = 2 .
x
b. Déterminer le signe de f ′ (x) et en déduire le tableau de variations de f .
Si nécessaire, on arrondira à 0, 1 les valeurs numériques.
3. Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel f est concave.
£
¤
4. Soit F la fonction définie sur 0, 5 ; 12 par F (x) = (x + 1) ln(x) − x.
£
¤
a. Vérifier que F est une primitive de f sur 0, 5 ; 12 .
b. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de
£
¤
f sur l’intervalle 0, 5 ; 12 .
E XERCICE 529
20 minutes
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A
Une entreprise produit chaque année entre 100 et 900 pneus pour tracteurs.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 9] par f (x) = 0, 5x 2 − 7x + 14 + 6 ln(x).
On admet que la fonction f modélise le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu, exprimé
en centaines d’euros, pour x centaines de pneus produits.
1. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 9] et on note f ′ sa fonction dérivée.
x 2 − 7x + 6
Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 9] on a : f ′ (x) =
.
x
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
209
2. a. Justifier les variations suivantes de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 9] :
x
1
6
9
Variations de f
b. Justifier que, sur l’intervalle [1 ; 9], l’équation f (x) = 5 admet une unique solution α.
c. Donner un encadrement au centième près de α.
d. On considère la fonction écrite en langage Python ci-après :
s
a
r
u
D
I
F
L
def truc() :
X =1
Y = 7, 5
while Y > 5
X = X + 0, 01
Y = 0, 5X 2 − 7X + 14 + 6 ∗ ln(X )
return X
A la fin de l’exécution de la fonction, quelle valeur numérique est retournée ?
3. Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est-il minimal ? A combien s’élève-t-il ?
Partie B
Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 100] par g (x) = 2x − 1 + e 0,05x
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d’euros, de x semoirs.
1. Donner une primitive G de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 100].
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 100].
3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
E XERCICE 530
30 minutes
³ →
− →
−´
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, u , v .
Pour tout entier n > 4, on considère P n un polygone régulier à n côtés, de centre O et dont
l’aire est égale à 1. On admet qu’un tel polygone est constitué de n triangles superposables à
un triangle OAn Bn donné, isocèle en O.
On note r n = OAn la distance entre le centre O et le sommet An d’un tel polygone.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
210
Partie A : Etude du cas particulier n = 6
On a représenté ci-contre un polygone P 6 .
C6
1. Justifier le fait que le triangle OA6 B6 est
1
équilatéral, et que son aire est égale à .
6
2. Exprimer en fonction de r 6 la hauteur du
triangle OA6 B6 issues
du sommet B6 .
2
3. En déduire que r 6 =
p .
3 3
×
×
B6
×
D6
A6
O
×
×
s
a
r
u
D
I
F
L
×
E6
F6
Partie B : Cas général avec n > 4
Dans cette partie, on considère le polygone P n avec
n > 4, construit de telle sorte que le point An soit
situé sur l’axe réel, et ait pour affixe r n .
On note alors ir n eiθn il’affixe de Bn où θn est un réel
π
.
de l’intervalle 0 ;
2
Bn
rn
θn
rn
An
1. Exprimer en fonction de r n et θn la hauteur issue de Bn dans le triangle OAn Bn puis établir
r2
que l’aire de ce triangle est égale à n sin (θn ).
2
2. On rappelle que l’aire du polygone P n est égale à ³1.
−−−→ −−−→´
Donner, en fonction de n, une mesure de l’angle OAn , OBn , puis démontrer que :
v
u
u
rn = u
t
2
µ ¶.
2π
n sin
n
Partie C : Etude de la suite (r n )
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; π[ par f (x) =
x
.
sin x
On admet que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; π[.
s
µ ¶
2π
1
f
1. Montrer que r n =
π
n
2. Montrer que la suite (r n ) est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer
2π
2π
que pour tout n > 4, on a : 0 <
<
< π.
n +1
n
3. En déduire que la suite (r n ) converge. On ne demande pas de déterminer sa limite L, et on
1
admet que L = p .
π
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
211
E XERCICE 531
30 minutes
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.
Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le
cahier des charges suivant :
•
•
•
•
5m
elle doit être située à deux mètres de sa maison ;
la profondeur maximale doit être de deux mètres ;
elle doit mesurer cinq mètres de long ;
elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
2m
s
a
r
u
D
I
F
L
Cette cuve est schématisée ci-contre.
La partie incurvée est modélisée par la courbe C f de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie
³x´
par : f (x) = x ln
− x + 2.
2
La courbe C f est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue
une vue de profil de la cuve.
On considère les points A(2 ; 2), I (2 ; 0) et B (2e ; 2).
A
2
1
B
b
Cuve
Terrain
Terrain
Cf
O
1
T
b
I
2
3
D
4
5
6
Partie A
L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.
1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe C f et que l’axe des abscisses est
tangent à la courbe C f au point I .
2. On note T la tangente à la courbe C f au point B , et D le point d’intersection de la droite T
avec l’axe des abscisses.
a. Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.
b. On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe C f , les droites d’équations
y = 2, x = 2 et x = 2e.
S peut être encadrée par l’aire du triangle AB I et celle du trapèze AI DB .
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
x2 ³ x ´ x2
−
ln
est
3. a. Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par G(x) =
2
2
4
³x´
.
une primitive de la fonction g définie par g (x) = x ln
2
b. En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].
c. Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V
de la cuve au m3 près.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
212
Partie B
Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note
v(x) le volume d’eau, exprimé en m3 , se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans
la cuve est égale à f (x).
On admet que, pour tout réel x de l’intervalle
[2 ; 2e], ·
¸
³ x ´ x2
x2 ³ x ´
− 2x ln
−
ln
+ 2x − 3 .
v(x) = 5
2
2
2
4
3
2
f (x)
1
0
2
1
0
3
4
x5
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve
est de un mètre ?
2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice
et v la fonction définie dans la partie B.
def truc() :
a=2
b = 2e
while v(b) − v(a) > 10−3 :
c = (a + b)/2
if v(c) < V /2 :
a=c
else :
b=c
return c
Interpréter le résultat obtenu à la fin de l’exécution
de cette fonction en langage Python
E XERCICE 532
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; 16] par
15 minutes
f (x) = ln(x + 1) et g (x) = ln(x + 1) + 1 − cos(x).
³ →
− →
−´
Dans un repère du plan O, ı ,  , on a représenté C f et Cg les courbes représentatives des
fonctions f et g .
Cg
b
b
→
−

Cf
B
A
−
O →
ı
Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
213
E XERCICE 533
25 minutes
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque
réponse.
2
1 − ex
=
.
1 + e x 1 + e −x x
e
.
On considère la fonctiong définie sur R par g (x) = x
e +1
1
Affirmation 2 : L’équation g (x) = admet une unique solution dans R.
2
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 2 e −x et on note C sa courbe dans un
repère orthonormé.
Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe C en un seul point.
¡
¢
On considère la fonction h définie sur R par h(x) = e x 1 − x 2 .
Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la
fonction h n’admet pas de point d’inflexion.
ex
= 0.
Affirmation 5 : lim x
x→+∞ e + x
Affirmation 6 : Pour tout réel x, 1 + e 2x > 2e x .
1. Affirmation 1 : Pour tout réel x : 1 −
2.
3.
s
a
r
u
D
I
F
L
4.
5.
6.
E XERCICE 534
25 minutes
On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un
modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s−1 ,
de chute de la goutte en fonction de la durée de chute t est donnée par la fonction v définie
ainsi :
´
k
m³
1 − e− m t ; la constante m est la masse de la goutte
Pour tout réel positif ou nul t , v(t ) = 9, 81
k
en milligramme et la constante k est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.
On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.
Partie A - Cas général
1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.
2. La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?
m
3. Montrer que lim v(t ) = 9, 81 . Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.
t →+∞
k
5m
, la vitesse de la goutte
4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à
k
dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?
Partie B
Dans cette partie, on prend m = 6 et k = 3, 9. A un instant donné, la vitesse instantanée de cette
goutte est 15 m.s−1 .
1. Depuis combien de temps la goutte s’est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse
au dixième de seconde.
2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du
nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s−1 .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
214
E XERCICE 535
25 minutes
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A : Modélisation discrète
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degré Celsius de la boîte au bout de n
minutes. On a donc T0 = 25.
Pour n non nul, la valeur Tn est calculée grâce à la fonction en langage Python suivante :
s
a
r
u
D
I
F
L
def
f oncti on(n) :
T = 25
for i in range( n ) :
T = 0,85 × T + 15
return T
1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a Tn = 100 − 75 × 0, 85n .
3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B : Modélisation continue
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est
ln 5
donnée par f (t ) (exprimée en degré Celsius) avec : f (t ) = 100 − 75e − 10 t .
1. a. Etudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[.
b. Justifier que si t > 10 alors f (t ) > 85.
2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe
représentative C f de f .
On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unité
d’aire du domaine A(θ) est supérieure à 80.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
O
température (en °C)
y = 85
Cf
temps (en m)
5
10
15
20
25
30
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
215
a. Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.
Zθ
ln5
b. Justifier que, pour θ > 10, on a A(θ) = 15(θ − 10) − 75
e − 10 t dt .
c. La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
10
E XERCICE 536
25 minutes
Partie A
Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P 1 et P 2 de corpulences différentes la concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t
après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant t = 0 correspond au moment où les
deux individus ingèrent l’alcool.
C est exprimée en gramme par litre et t en heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.
s
a
r
u
D
I
F
L
1,5
C
C1
1,0
C2
0,5
t
O
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note C ′ sa fonction dérivée. A un
instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par C ′ (t ).
A quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans
son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (t ) = At e −t où A est
une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Déterminer f ′ (0).
b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
« A quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »
Partie B - Un cas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum.
La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t , exprimé en
heure, par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (t ) = 2t e −t .
1. Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
216
2. A quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est
alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.
et
3. Rappeler la limite de
lorsque t tend vers +∞ et en déduire celle de f (t ) en +∞.
t
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la
législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0, 2 g.L−1 pour un
jeune conducteur.
a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels t 1 et t 2 tels que f (t 1 ) = f (t 2 ) = 0, 2.
b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute
légalité ?
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
s
a
r
u
D
I
F
L
5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3 g.L−1 .
a. Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang
n’est plus détectable.
b. On donne l’a fonction en langage Python suivante où f est la fonction définie par f (t ) =
2t e−t .
def
truc(t) :
p = 0,25
C = 0,21
while C > 5 × 10−3 :
t = t +p
C = 2 ∗ t ∗ exp(−t)
return t
Compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant la fonction pour t = 3, 5. Arrondir
les valeurs à 10−2 près.
p
t
C
Initialisation
0,25
3,5
0,21
Etape 1
Etape 2
Que représente la valeur retournée à la fin de l’exécution de ce programme ?
E XERCICE 537
35 minutes
Partie A
2
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = xe 1−x .
1. Calculer la limite de la fonction f en +∞.
☞ on pourra remarquer que pour tout réel x différent de : 0, f (x) =
On admettra que la limite de la fonction f en −∞ est égale à 0.
e
x2
× 2.
x ex
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
217
2. a. On admet que f est dérivable sur R et on note f ′ sa dérivée.
¡
¢
2
Démontrer que pour tout réel x, f ′ (x) = 1 − 2x 2 e 1−x .
b. En déduire le tableau de variations de la fonction f .
Partie B
On considère la fonction g définie pour tout réel x par g (x) = e 1−x .
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives C f et Cg
respectivement des fonctions f et g .
s
a
r
u
D
I
F
L
2,5
2,0
1,5
Cg
1,0
0,5
−2,5 −2,0 −1,5 −1,0 −0,5 O
Cf
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
−0,5
−1,0
−1,5
Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes.
1. Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre ?
2. Justifier que, pour tout réel x appartenant à ] − ∞ ; 0], f (x) < g (x).
3. Dans cette question, on se place dans l’intervalle ]0 ; +∞[.
On pose, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) = ln x − x 2 + x.
a. Montrer que, pour tout réel x strictement positif, f (x) 6 g (x) équivaut à Φ(x) 6 0. On
admet pour la suite que f (x) = g (x) équivaut à Φ(x) = 0.
b. On admet que la fonction Φ est dérivable sur ]0 ; +∞[. Dresser le tableau de variations
de la fonction Φ. (Les limites en 0 et +∞ ne sont pas demandées.)
c. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) 6 0.
4. a. La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide ?
b. Montrer que C f et Cg ont un unique point commun, noté A.
c. Montrer qu’en ce point A, ces deux courbes ont la même tangente.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
218
Partie C
1. Trouver une primitive F de la fonction f sur R.
Z1 ³
´
2
2. En déduire la valeur de
e 1−x − xe 1−x dx.
0
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
E XERCICE 538
25 minutes
Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement
un colis muni d’un parachute.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie A
Soit v 1 la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : v 1 (t ) = 5 ×
e 0,3t − 1
.
e 0,3t + 1
1. Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 .
2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que
t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s−1 ) est égale, avant
d’atteindre le sol, à v 1 (t ).
On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6
m.s−1 .
Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
Partie B
On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s−1 ), t
¡
¢
secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 (t ) = 32, 7 1 − e −0,3t .
1. Quelle est la vitesse, exprimée en m.s−1 , atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s−1 .
2. Résoudre l’équation v 2 (t ) = 30 m.s−1 . Donner une interprétation concrète de la solution de
cette équation dans le cadre de cet exercice.
3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.
On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après
avoir été lâché par le passager, est donnée par :
d (T ) =
ZT
0
v 2 (t ) dt .
a. Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 ; 20],
¡
¢
d (T ) = 109 e −0,3T + 0, 3T − 1 .
b. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0, 1 s du temps mis par le colis pour atteindre le
sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
219
E XERCICE 539
30 minutes
Soit f une fonction définie sur l’intervalle
[0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle,
et a une réel tel que 0 < a < 1.
On note :
— C la courbe représentative de la fonction
f dans un repère orthogonal :
— A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe
des abscisses et la courbe C d’une part, les
droites d’équations x = 0 et x = a d’autre
part.
— A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe
des abscisses et la courbe C d’une part, les
droites d’équations x = a et x = 1 d’autre
part.
C
s
a
r
u
D
I
F
L
A1
A2
x
a
1
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f , une valeur du réel a
vérifiant la condition (E ) : « les aires A1 et A2 sont égales ».
On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.
Partie A : Etude de quelques exemples
1. Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E ) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.
a. f est une fonction constante strictement positive.
b. f est définie sur [0 ; 1] par f (x) = x.
2. a. A l’aide d’intégrales, exprimer, en unités d’aires, les aires A1 et A2 .
b. On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].
F (0) + F (1)
.
Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E ), alors F (a) =
2
La réciproque est-elle vraie ?
3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
a. La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = e x .
Vérifier que la condition (E ) est vérifiée pour un unique réel a et donner sa valeur.
1
b. La fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) =
.
(x + 2)2
2
Vérifier que la valeur a = convient.
5
Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a
Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = 4−3x 2 .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
220
1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E ), alors a est solution de l’équax3 3
tion : x =
+ . Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique
4
8
solution dans l’intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.
x3 3
2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de [0 ; 1] par g (x) =
+ et la suite (u n )
4 8
définie par : u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = g (u n ).
a.
b.
c.
d.
Calculer u 1 .
Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 6 u n 6 u n+1 6 1.
Prouver que la suite (u n ) est convergente.
A l’aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est a.
e. On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a − u 10 < 10−9 . Calculer u 10 à 10−8 près.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 540
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : f (x) =
Partie A
1
.
1 + e 1−x
25 minutes
1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].
ex
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], f (x) = x
(on rappelle que e = e 1 ).
e
+
e
Z
3. Montrer alors que
1
0
f (x) dx = ln(2) + 1 − ln(1 + e).
Partie B
1
.
1 + ne 1−x
On note Cn la courbe représentative de la fonction f n dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Z
Soit n un entier naturel. On considère les fonctions f n définies sur [0 ; 1] par : f n (x) =
On considère la suite de terme général u n =
1
0
f n (x) dx.
C1
0,4
C2
C3
C4
C5
0,2
0
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1. On a tracé ci-dessus les courbes représentatives des fonctions f n pour n variant de 1 à 5.
Compléter le graphique en traçant la courbe C0 représentative de la fonction f 0 .
2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement u n et préciser la valeur de u 0 .
3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (u n ) ?
Démontrer cette conjecture.
4. La suite (u n ) admet-elle une limite ?
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
221
E XERCICE 541
35 minutes
Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma
suivant de ce toboggan en perspective cavalière.
Voici ce schéma :
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie A : Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur
l’intervalle [1 ; 8] par
f (x) = (ax + b)e −x
où a et b sont deux entiers naturels.
La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale.
Déterminer la valeur de l’entier b.
2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3, 5 et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de l’entier a.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
222
Partie B : Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel
x ∈ [1 ; 8] par f (x) = 10xe −x .
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée
sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de
300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g (x) = 10(−x − 1)e −x .
Déterminer la fonction dérivée de la fonction g .
2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C : Une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point M de la courbe C, d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu
formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation.
M
P
α
L
Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.
1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour
tout x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) = 10(1 − x)e −x .
Etudier les variations de la fonction f ′ sur l’intervalle [1 ; 8].
2. Soit x un réel
l’intervalle
]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C. Justifier
¯ de
¯
′
¯
¯
que tanα = f (x) .
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
223
E XERCICE 542
40 minutes
b
B′
C′
b
b
B
A
b
C
b
b
D′
Une municipalité a décidé d’installer un
module de skateboard dans un parc de la
commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères
O AD ′ D, DD ′C ′C , et O AB ′ B sont des
rectangles.
Le plan de face (OB
est ´muni d’un re³ D)
→
− →
−
père orthonormé O, ı ,  .
L’unité est le mètre. La largeur du module
est de 10 mètres, autrement dit, DD ′ = 10,
sa longueur OD est de 20 mètres.
s
a
r
u
D
I
F
L
J
O I
b
b
D
Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie
sur l’intervalle [0 ; 20] par
f (x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7.
On note f ′ la fonction
dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f
³ →
− →
−´
dans le repère O, ı ,  .
Partie A
1. Montrer que pour tout réel x appartenant à
l’intervalle [0 ; 20], on a f ′ (x) = ln(x + 1) − 2.
2. En déduire les variations de f sur l’intervalle
[0; 20] et dresser son tableau de variations.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente
à la courbe C au point d’abscisse 0.
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au
point B.
B
J
O I
C
C
D
4. On admet que la fonction g est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par
1
1
1
g (x) = (x + 1)2 ln(x + 1) − x 2 − x
2
4
2
a pour dérivée la fonction g ′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g ′ (x) = (x + 1) ln(x + 1).
Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].
Partie B
Les trois questions de cette partie sont indépendantes.
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
224
P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est
au moins égale à 8 mètres.
P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.
2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture
rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
3.
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure
du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de
l’aire de la partie
à peindre,
on considère
³ →
− →
−´
dans le repère O, ı ,  du plan de face, les
points B k (k ; f (k)) pour k variant de 0 à 20.
Ainsi, B 0 = B.
C′
s
a
r
u
D
I
F
L
B′
B 1′
B 2′
′
B k′ B k+1
C
A
B
B1
B2
J
D′
B k B k+1
O I
D
h
i
On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de B k à B k+1 par le segment B k B k+1 .
Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du
′
B k′ (voir figure).
type B k B k+1 B k+1
a. Montrer que
q pour tout entier k variant de 0 à 19,
¡
¢2
B k B k+1 = 1 + f (k + 1) − f (k) .
b. Compléter la fonction suivante, écrite en langage Python, pour qu’elle affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.
def
long() :
S ←− 0
for k in range ( . . . ) :
Y = (k + 1) ∗ l n(k + 1) − 3 ∗ k + 7
S = ... ...
print( . . . )
E XERCICE 543
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : f (x) =
30 minutes
x
.
ex − x
On admet que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
225
Courbe C, représentative de la fonction f sur [0 ; 6]
0,5
0,4
0,3
C
0,2
s
a
r
u
D
I
F
L
0,1
0
−0,1
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
Courbe C, représentative de la fonction f sur [0 ; 1]
0,5
C
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,25
0,50
0,75
1,00
Partie A
Soit la suite (I n ) définie pour tout entier naturel n par I n =
Zn
0
f (x) dx.
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n en fonction de n.
1. Montrer que la suite (I n ) est croissante.
ex
2. On admet que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, e x − x > .
2
Zn
−x
2xe dx.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, I n 6
0 Z
n
b. En utilisant une intégration par parties, calculer
2xe −x dx.
0
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, I n 6 2.
3. Montrer que la suite (I n ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
226
Partie B
On considère la fonction en langage Python suivante :
def
truc (K ) :
A=0
x =0
h = 1/K
for i in range( 1, K ) :
A = A + h × x/(exp(x) − x)
x = x +h
print(A)
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner ce programme pour K = 4. Les valeurs
successives de A seront arrondies au millième.
i
1
2
3
4
A
x
2. Donner une interprétation graphique la valeur affichée à la fin de l’exécution de ce programme pour K = 8.
3. Que donne le programme lorsque K devient grand ?
E XERCICE 544
30 minutes
Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un
tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :
dans un repère orthonormé, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par
l’axe des abscisses et la courbe C.
montagne
C
zone de creusement
→
−
v
→
−
u
On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [−2, 5 ; 2, 5]
¡
¢
par : f (x) = ln −2x 2 + 13, 5 .
L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de
creusement.
O
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
227
Partie A : Etude de la fonction f
1. Calculer f ′ (x) pour x ∈ [−2, 5 ; 2, 5].
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f sur [−2, 5 ; 2, 5].
En déduire le signe de f sur [−2, 5 ; 2, 5].
Partie B : Aire de la zone de creusement
On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.
1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.
2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est A = 8
Z2,5
f (x) dx.
s
a
r
u
D
I
F
L
0
3. La fonction en langage Python suivante permet de calculer une valeur approchée par défaut
Z2,5
de I =
f (x) dx, notée a.
0
def
integrale(n) :
S =0
for k in range(1, n ) :
X = k ∗ 2.5/n
Y = l n(−2 ∗ X ∗ ∗2 + 13.5)
R = 2.5/n × Y
S = S +R
print(R, S)
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6 , obtenues lors de
l’exécution du programme pour n = 50.
Etape k
1
2
3
4
..
.
24
25
..
.
49
50
R
...
0,130060
0,129968
0,129837
0,118 137
0,116970
0,020106
...
S
...
0,260 176
0,390144
...
..
.
3,025705
3,142675
..
.
5,197538
...
f (0) − f (2, 5)
× 2, 5.
n
a. Le tableau ci-dessus, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l’exécution
de l’algorithme pour n = 50.
Compléter ce tableau en calculant les cinq valeurs manquantes.
b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
On admet que : a 6 I 6 a +
CHAPITRE 2. FONCTIONS
228
E XERCICE 545
30 minutes
La pharmacocinétique étudie l’évolution d’un médicament après son administration dans l’organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c’est-à-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l’évolution de la concentration plasmatique chez un patient d’une
même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.
Partie A : Administration par voie intraveineuse
On note f (t ) la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre (µg.L−1 ), du
médicament, au bout de t heures après administration par voie intraveineuse.
Le modèle mathématique est : f (t ) = 20e −0,1t , avec t ∈ [0 ; +∞[.
La concentration plasmatique initiale du médicament est donc f (0) = 20 µg.L−1 .
s
a
r
u
D
I
F
L
1. La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale.
Déterminer cette demi-vie, notée t 0,5.
2. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à 0, 2µg.L−1 .
Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième.
3. En pharmacocinétique,
on appelle ASC (ou « aire sous la courbe »), en µg.L−1 , le nombre
Z
lim
x→+∞ 0
x
f (t ) dt .
Vérifier que pour ce modèle, l’ ASC est égal à 200 µg.L−1 .
Partie B : Administration par voie orale
On note g (t ) la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par
litre (µg.L−1 ), au bout de t heures après ingestion par voie orale.
¡
¢
Le modèle mathématique est : g (t ) = 20 e −0,1t − e −t , avec t ∈ [0 ; +∞[.
Dans ce cas, l’effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale
est égale à : g (0) = 0 µg.L−1 .
¢
¡
1. Démontrer que, pour tout t de l’intervalle [0 ; +∞[, on a : g ′ (t ) = 20e −t 1 − 0, 1e 0,9t .
2. Etudier les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[. (On ne demande pas la limite
en +∞.)
En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
Partie C : Administration répétée par voie intraveineuse
On décide d’injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie
intraveineuse. L’intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demivie du médicament, c’est-à-dire au nombre t 0,5 qui a été calculé en A - 1.
Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de 20µg.L−1 .
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
229
On note u n la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la n-ième injection.
Ainsi, u 1 = 20 et, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a : u n+1 = 0, 5u n + 20.
On remarque qu’avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première
injection, soit 20µg.L−1 , est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soit f (0).
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n > 1 : u n = 40 − 40 × 0, 5n .
2. Déterminer la limite de la suite (u n ) lorsque n tend vers +∞.
3. On considère que l’équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse
38 µg.L-−1 .
Déterminer le nombre minimal d’injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 546
Partie A
On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : h(x) = xe −x .
30 minutes
1. Déterminer la limite de la fonction h en +∞.
2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser son tableau de
variations.
3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on a :
h(x) = e−x − h ′ (x)
où h ′ désigne la fonction dérivée de h.
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; +∞[ de la fonction x 7−→ e −x .
c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h sur l’intervalle
[0 ; +∞[.
Partie B
On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = xe −x + ln(x + 1)
et
g (x) = ln(x + 1).
On note C f et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère
orthonormé.
1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on appelle M le point de coordonnées (x ; f (x)) et N le point de coordonnées (x ; g (x)) : M et N sont donc les points
d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes C f et Cg .
a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance M N est maximale et donner cette
distance maximale.
b. Placer sur le graphique ci-dessous les points M et N correspondants à la valeur maximale de M N .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
230
2
Cf
Cg
1
O
λ
s
a
r
u
D
I
F
L
1
2
3
4
5
2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note D λ le domaine du plan délimité
par les courbes C f et Cg et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.
a. Hachurer le domaine D λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique.
b. On note A λ l’aire du domaine D λ , exprimée en unités d’aire. Démontrer que :
Aλ = 1 −
λ+1
eλ
.
c. Calculer la limite de A λ lorsque λ tend vers +∞ et interpréter le résultat.
3. On considère la fonction en langage Python suivante :
def
truc(S) :
l ambd a = 0
while 1 − (l ambd a + 1)/exp(l ambd a) < S :
l ambd a = l ambd a + 1
return lambda
a. Quelle est la valeur de λ à la fin de l’exécution de ce programme pourr S = 0, 8 ?
b. Quel est le rôle de cette fonction ?
E XERCICE 547
25 minutes
³
π´
2 cos θ − .
4
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = e −x cos(x) et g (x) = e −x .
On admet que, pour tout réel θ, cos(θ) + sin(θ) =
p
On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par h(x) = g (x) − f (x).
Les représentations graphiques C f , Cg et Ch des fonctions f , g et h sont données ci-dessous.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
231
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Cf
s
a
r
u
D
I
F
L
Cg
0,4
0,3
0,2
0,1
Ch
O
−0,1
1
2
3
4
5
6
1. Conjecturer :
a. les limites des fonctions f et g en +∞ ;
b. la position relative de C f par rapport à Cg ;
c. la valeur de l’abscisse x pour laquelle l’écart entre les deux courbes C f et Cg est maximal.
2. Justifier que Cg est située au-dessus de C f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
3. Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale aux courbes C f et Cg .
4. a. On note h ′ la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 h; +∞[. ³
i
p
π´
−1 .
Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, h ′ (x) = e −x 2 cos x −
4
h πi p
³
π´
b. Justifier que, sur l’intervalle 0 ;
, 2 cos x −
−1 > 0
2
4
³
i p
hπ
π´
− 1 6 0.
; 2π , 2 cos x −
et que, sur l’intervalle
2
4
c. En déduire le tableau de variations de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 2π].
1
5. On admet que, sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction H (x) = e −x [−2 + cos(x) − sin(x)] est
2
une primitive de la fonction h.
On note D le domaine du plan délimité par les courbes C f et Cg , et les droites d’équations
x = 0 et x = 2π.
Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités d’aire.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
232
E XERCICE 548
Partie A
30 minutes
C2
7
6
5
4
3
s
a
r
u
D
I
F
L
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
−2
−3
−4
C1
−5
Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction
f et de sa fonction dérivée, notée f ′ , toutes deux définies sur ]3 ; +∞[.
1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation f (x) = 3.
3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction f .
Partie B
¡
¢
1. Justifier que la quantité ln x 2 − x − 6 est bien définie pour les valeurs x de l’intervalle ]3 ; +∞[,
que l’on nommera I dans la suite.
¡
¢
2. On admet que la fonction f de la Partie A est définie par f (x) = ln x 2 − x − 6 sur I .
Calculer les limites de la fonction f aux deux bornes de l’intervalle I .
En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction f sur I .
3. a. Calculer f ′ (x) pour tout x appartenant à I .
b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur I .
Dresser le tableau des variations de la fonction f en y faisant figurer les limites aux
bornes de I .
4. a. Justifier que l’équation f (x) = 3 admet une unique solution α sur l’intervalle ]5 ; 6[.
b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de α à 10−2 près.
−2x 2 + 2x − 13
5. a. Justifier que f ′′ (x) = ¡
¢2 .
x2 − x − 6
b. Etudier la convexité de la fonction f sur I .
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
233
E XERCICE 549
30 minutes
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = 5e −x − 3e −2x + x − 3.
On note C f la représentation graphique de la fonction f et D la droite d’équation y = x −3 dans
un repère orthogonal du plan.
Partie A : Positions relatives de C f et D
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = f (x) − (x − 3).
1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, g (x) > 0.
2. La courbe C f et la droite D ont-elles un point commun ? Justifier.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B : Etude de la fonction g
On note M le point d’abscisse x de la courbe C f , N le point d’abscisse x de la droite D et on
s’intéresse à l’évolution de la distance M N .
1. Justifier que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, la distance M N est égale à g (x).
2. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, calculer g ′ (x).
3. Montrer que la fonction g possède un maximum sur l’intervalle [0 ; +∞[ que l’on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
Partie C : Etude d’une aire
On considère la fonction A définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par A(x) =
1.
2.
3.
4.
Zx
0
[ f (t ) − (t − 3)] dt .
Hachurer sur le graphique donné ci-dessous le domaine dont l’aire est donnée par A(2).
Justifier que la fonction A est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Pour tout réel x strictement positif, calculer A(x).
Existe-t-il une valeur de x telle que A(x) = 2 ?
Cf
1
0.5
O
-0.5
−1
-1.5
−2
-2.5
−3
D
1
2
3
4
CHAPITRE 2. FONCTIONS
234
E XERCICE 550
Partie A
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x − e −2x .
40 minutes
³ →
− →
−´
On appelle Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O, ı ,  .
1. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et en +∞.
2. Etudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R, dont on donnera une
valeur approchée à 10−2 près.
4. Déduire des questions précédentes le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
³ →
− →
−´
Dans le repère orthonormé O, ı ,  , on appelle C la courbe représentative de la fonction g
définie sur R par g (x) = e−x .
La courbes C et la courbe Γ (qui représente la fonction f de la Partie A) sont tracées sur le
graphique donné en fin d’énoncé qui est à compléter.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l’origine O du
repère et d’étudier la tangente à C en ce point.
¡
¢
1. Pour tout nombre réel t , on note M le point de coordonnées t ; e−t de la courbe C.
On considère la fonction h qui, au nombrepréel t , associe la distance OM .
On a donc : h(t ) = OM , c’est-à-dire h(t ) = t 2 + e −2t .
a. Montrer que, pour tout nombre réel t , h ′ (t ) = p
f (t )
t 2 + e −2t
.
où f désigne la fonction étudiée dans la Partie A.
b. Démontrer que le point A de coordonnées (α ; e −α ) est le point de la courbe C pour
lequel la longueur OM est minimale.
Placer ce point sur le graphique.
2. On appelle T la tangente en A à la courbe C.
a. Exprimer en fonction de α le coefficient directeur de la tangente T .
e −α
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à
.
α
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D ′ de coefficients directeurs respectifs m et m ′ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit mm ′ est égal à −1.
b. Démontrer que la droite (O A) et la tangente T sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique.
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
235
2,5
C
2,0
1,5
Γ
1,0
s
a
r
u
D
I
F
L
0,5
0,5
−0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
−0,5
E XERCICE 551
Partie A
35 minutes
2
1
Soit g la fonction définie sur R par g (x) = 2e − 3 x + x − 2.
3
1. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note g ′ sa fonction dérivée.
−2 − 1 x 2
e 3 + .
Montrer que, pour tout réel x : g ′ (x) =
3
3
2. En déduire le sens de variations de la fonction g sur R.
3. Déterminer le signe de g (x), pour tout x réel.
Partie B
1. On considère l’équation différentielle (E ) :
3y ′ + y = 0.
Résoudre l’équation différentielle (E ).
2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan,
passe par le point M (0 ; 2).
1
3. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = 2e − 3 x et C f sa courbe représentative.
a. Montrer que la tangente (∆0 ) à la courbe C f au point M (0 ; 2) admet une équation de la
2
forme : y = − x + 2.
3
b. Etudier, sur R, la position de cette courbe C f par rapport à la tangente (∆0 ).
Partie C
1. Soit A le point de la courbe C f d’abscisse a, a réel quelconque.
236
CHAPITRE 2. FONCTIONS
Montrer que la tangente (∆a ) à la courbe C f au point A coupe l’axe des abscisses en un point
P d’abscisse a + 3.
2. Expliquer la construction de la tangente (∆−2 ) à la courbe C f au point B d’abscisse −2.
E XERCICE 552
Partie A
Considérons l’équation différentielle y ′ = −0, 4y + 0, 4.
où y désigne une fonction de la variable t , définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
45 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
c. Déterminer la fonction g , solution de cette équation différentielle, qui vérifie g (0) = 10.
Partie B
Soit p la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par p(t ) =
1
1
=
.
g (t ) 1 + 9e −0,4t
1. Déterminer la limite de p en +∞.
3, 6e −0,4t
2. Montrer que p ′ (t ) = ¡
¢2 pour tout t ∈ [0 ; +∞[.
1 + 9e −0,4t
1
3. a. Montrer que l’équation p(t ) = admet une unique solution α sur [0 ; +∞[.
2
b. Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près à l’aide d’une calculatrice.
Partie C
1. p désigne la fonction de la partie B.
Vérifier que p est solution de l’équation différentielle y ′ = 0, 4y(1 − y) avec la condition ini1
tiale y(0) =
où y désigne une fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
10
2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, 10 % des écoles ont accès à Internet.
Une politique volontariste d’équipement est mise en øeuvre et on s’intéresse à l’évolution
de la proportion des écoles ayant accès à Internet.
On note t le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.
La proportion des écoles ayant accès à Internet à l’instant t est modélisée par p(t ).
Interpréter dans ce contexte la limite de la question B 1 puis la valeur approchée de α de la
question B 3. b. ainsi que la valeur p(0).
E XERCICE 553
Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
35 minutes
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative C d’une fonction f définie sur R :
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
237
y
3
C
2
A
1
B
s
a
r
u
D
I
F
L
−3
−2
−1
1
2
3
x
On considère les points A(0 ; 2) et B (2 ; 0).
Partie A
Sachant que la courbe C passe par A et que la droite (AB ) est la tangente à la courbe C au point
A, donner par lecture graphique :
1. La valeur de f (0) et celle de f ′ (0).
2. Un intervalle sur lequel la fonction f semble convexe.
Partie B
On note (E ) l’équation différentielle y ′ = −y + e −x .
On admet que g : x 7−→ xe −x est une solution particulière de (E ).
1. Donner toutes les solutions sur R de l’équation différentielle (H ) : y ′ = −y.
2. En déduire toutes les solutions sur R de l’équation différentielle (E ).
3. Sachant que la fonction f est la solution particulière de (E ) qui vérifie f (0) = 2, déterminer
une expression de f (x) en fonction de x.
Partie C
On admet que pour tout nombre réel x, f (x) = (x + 2)e −x .
1. On rappelle que f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .
a. Montrer que pour tout x ∈ R, f ′ (x) = (−x − 1)e −x .
b. Etudier le signe de f ′ (x) pour tout x ∈ R et dresser le tableau des variations de f sur R.
On ne précisera ni la limite de f en −∞ ni la limite de f en +∞.
On calculera la valeur exacte de l’extremum de f sur R.
2. On rappelle que f ′′ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .
a. Calculer pour tout x ∈ R, f ′′ (x).
b. Peut-on affirmer que f est convexe sur l’intervalle [0 ; +∞[ ?
238
CHAPITRE 2. FONCTIONS
E XERCICE 554
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
35 minutes
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 4] par : f (x) = −30x + 50 + 35 ln x.
1. On rappelle que f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .
a. Pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; 4], montrer que : f ′ (x) =
b. Dresser le tableau de signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 4].
c. En déduire les variations de f sur ce même intervalle.
35 − 30x
.
x
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution, notée α, sur l’intervalle [1 ; 4]
puis donner une valeur approchée de α à 10−3 près.
3. Etablir de signe de f (x) pour x ∈ [1 ; 4].
Partie B : Optimisation
Une entreprise vend du jus de fruits. Pour x milliers de litres vendus, avec x nombre réel de
l’intervalle [1 ; 4], l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice B (x) par l’expression
donnée en milliers d’euros par : B (x) = −15x 2 + 15x + 35x ln x.
1. D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend 2 500 litres de
jus de fruits.
On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.
2. Pour tout x de l’intervalle [1 ; 4], montrer que B ′ (x) = f (x) où B ′ désigne la fonction dérivée
de B .
3. a. A l’aide des résultats de la partie A, donner les variations de la fonction B sur l’intervalle
[1 ; 4].
b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de
réaliser un bénéfice maximal.
E XERCICE 555
35 minutes
Partie A
L’objet de cet exercice est l’étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.
La courbe C f donnée ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du
plan, de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5] par : f (x) = e −0,7x+2,1.
De même, la courbe Cg est la représentation graphique de la fonction g définie sur l’intervalle
[0 ; 5] par : g (x) = 0, 5x + 0, 7.
On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l’intervalle [0 ; 5].
2.10. VERS LE BACCALAURÉAT
239
10
10 y
9 prix
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
0
1
Cg
F
s
a
r
u
D
I
F
L
Cf
2
2
3
3
4
4
x
5
5 quantité
1. On appelle h la fonction définie par h(x) = f (x) − g (x).
a. Calculer h ′ (x) où h ′ désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 5].
b. Etudier le signe de h ′ (x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 5]. En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle.
c. Justifier que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 5] et
donner une valeur approchée de α à 10−3 prés.
d. Déduire de l’étude précédente les valeurs arrondies à 10−2 des coordonnées du point
d’intersection F de C f et Cg .
2. Dans la suite du problème, on prendra α = 2, 17 et f (α) = g (α) = 1, 79.
a. Soient les points C (0 ; f (α)) et E (α ; 0). Donner une valeur arrondie à 10−2 de l’aire du
rectangle OCFE exprimée en unités d’aire.
Z
α
f (x) dx.
b. Interpréter graphiquement le nombre
0
Zα
c. Calculer
f (x) dx en fonction de α et en donner la valeur arrondie à 10−2 .
0
Partie B
La fonction f définie dans la partie A représente la fonction de demande d’un produit ; elle
met en correspondance le prix f (x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée en
tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.
La fonction g définie dans la partie A est la fonction d’offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix g (x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que
sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.
On appelle prix d’équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p 0 le prix d’équilibre et q 0 la quan¡ ¢
¡ ¢
tité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : f q 0 = g q 0 .
1. Déduire des résultats donnés dans la partie A les valeurs de q 0 et de p 0 .
2. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix p 0 ) réalisent
une économie. Le montant économisé
par les consommateurs, appelé surplus des consomZ
mateurs, vaut par définition
q0
0
f (x) dx − p 0 × q 0 . Il s’exprime ici en milliers d’euros.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
240
a. Sur le graphique précédent :
— indiquer les valeurs q 0 et p 0 sur les axes de coordonnées ;
— hachurer le domaine dont l’aire s’écrit :
Zq0
0
f (x) dx − p 0 × q 0 .
b. Calculer, en milliers d’euros, le surplus des consommateurs.
s
a
r
u
D
I
F
L
2.11 Vers le supérieur
E XERCICE 556
Soit n un entier naturel, qui est le plus grand : n n+1 ou (n + 1)n ?
15 minutes
E XERCICE 557
20 minutes
+
Soit f la fonction définie sur R par
·
x
0
7
→
7→
x 2 ln x
0
pour x > 0
pour
1. Montrer que f est continue sur R+ . f est-elle dérivable en 0 ?
2. Etudier les variations de f sur R+ .
3. On désigne par α un réel strictement positif.
Zα
f (x) dx.
En utilisant une intégration par partie, calculer l’intégrale A (α) =
1
n
o
En déduire l’aire du domaine D du plan défini par : D = M (x; y), 0 6 x 6 1 et f (x) 6 y 6 0 .
E XERCICE 558
15 minutes
´
³
p
2
Soit f la fonction définie par f (x) = ln x + x + 1 .
´³
´
³
p
p
1. Démontrer que ∀x ∈ R, x + x 2 + 1 −x + x 2 + 1 = 1.
2. Déterminer l’ensemble de définition de f et montrer que f est une fonction impaire.
3. Déterminer la limite de f en +∞ et en −∞.
4. Etudier les variations de f sur R+ .
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse
0.
E XERCICE 559
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
Soit ϕ la fonction définie sur R par ϕ(x) = (x 2 + x + 1)e −x − 1.
25 minutes
1. a. Déterminer les limites de ϕ en −∞ et en +∞.
b. Etudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R.
2. Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle
[1 ; +∞[, qui sera notée α.
Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
241
3. En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau.
Partie B : Etude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire
Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions f et g .
1, 5
1
s
a
r
u
D
I
F
L
0, 5
−1
O
1
2
3
−0, 5
−1
2x + 1
Les fonctions f et g sont définies sur R par : f (x) = (2x + 1)e −x
et
g (x) = 2
.
x +x +1
³ →
´
− →
−
Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal O, ı ,  sont notées C f et Cg .
1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent
en ce point la même tangente.
(2x + 1)ϕ(x)
où ϕ est la fonction
2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)− g (x) =
x2 + x + 1
étudiée dans la partie A.
b. A l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x) − g (x) sur R.
c. En déduire la position relative des courbes C f et Cg .
¡
¢
3. a. Vérifier que la fonction h définie sur R par h(x) = (−2x − 3)e −x − ln x 2 + x + 1 est une
primitive sur R de la fonction x 7→ f (x) − g (x).
b. En déduire l’aire A, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par les deux
1
courbes C f et Cg et les droites d’équations x = − et x = 0.
2
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−4 de cette aire.
E XERCICE 560
On considère la suite (I n )n∈N définie par : I n =
Z1
0
2
e −t
dt .
1+n +t
1. a. Déterminer le sens de variations de cette suite.
b. Montrer que (I n )n∈N , est une suite positive.
25 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
242
2
1
1
e −t
6
et en déduire que 0 6 I n 6
.
1+t +n
1+n
n +1
Que peut-on en conclure quant à la convergence de (I n )n∈N ?
2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par :
x2
f (x) = e −x + x − 1
et
g (x) = 1 − x +
− e −x .
2
c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a
a. Etudier le sens de variations et le signe de f .
b. En déduire le sens de variations de g sur [0 ; 1].
c. Etablir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 1 − x 6 e −x 6 1 − x +
x2
.
2
s
a
r
u
D
I
F
L
2
d. En déduire un encadrement de e −t pour tout t appartenant à [0 ; 1].
2
23
e. Etablir l’encadrement :
6 In 6
.
3(n + 2)
30(n + 1)
f. Donner une valeur de p telle que I p 6 10−2 .
E XERCICE 561
On se propose de calculer l’intégrale I =
Zπ
0
20 minutes
|sin (nt )| dt , où n désigne un entier strictement
positif fixé.
Pour ceci, on commence par étudier le signe de sin (nπ) sur l’intervalle [0 ; π].
h π
πi
1. Soit un entier naturel k et soit l’intervalle J k = k ; (k + 1) .
n
n
a. Donner un encadrement du réel nt lorsque t ∈ J k .
b. En déduire que sin (nt ) garde un signe constant lorsque t décrit J k .
c. Préciser ce signe lorsque k = 2l (l ∈ N), puis lorsque k = 2l + 1, (l ∈ N).
Z (k+1)π
n
|sin (nt )| dt .
d. Calculer I k =
2. Calculer I =
Zπ
0
kπ
n
|sin (nt )| dt .
E XERCICE 562
1. Pour tout réel k > 0, on considère la fonction f k définie sur R par : f k (x) = x +
25 minutes
1 − ke x
.
1 + ke x
a. Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction f k est solution de l’équation
différentielle : (E )
: 2y ′ = (y − x)2 + 1.
b. En déduire le sens de variations de f k sur R.
³ →
− →
−´
2. On note Ck la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormé O, ı ,  .
On a représenté ci-dessous la droite D d’équation y = x − 1, la droite D′ d’équation y = x + 1
et plusieurs courbes Ck correspondant à des valeurs particulières de k.
4
3
2
1
0
1
2
3
4
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
243
D′
C′
A
→
−

b
s
a
r
u
D
I
F
L
C
O
→
−
ı
D
Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la
courbe C′ passant par le point A de coordonnées (1 ; 1).
3. On remarque que, pour tout x réel, on a :
2ke x
2
(1)
et
f
(x)
=
x
+
1
−
(2).
f k (x) = x − 1 +
k
1 + ke x
1 + kex
En déduire pour tout k strictement positif :
-3
-2
-1
012
— la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D ′ .
— les asymptotes de la courbe Ck .
4. Cas particulier : k = 1.
a. Justifier que f 1 est impaire
b. Soit la fonction F définie sur R par : F (x) =
Zx
0
f 1 (t ) dt .
Interpréter graphiquement le réel F (x) dans les deux cas : x > 0 et x < 0.
Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.
c. Déterminer les variations de F sur R.
d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F (x).
CHAPITRE 2. FONCTIONS
244
E XERCICE 563
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que : f (0) = 0 et f ′ (x) =
x de [0 ; 1].
On ne cherchera pas à déterminer f .
Partie A
25 minutes
1
pour tout
1 + x2
1. Déterminer le sens de variation
f sur [0 ; 1].
h de
πi
par g (x) = f (tan(x)).
2. Soit g la fonction définie sur 0 ;
4
h πi
h πi
a. Justifier que g est dérivable sur 0 ;
, puis que, pour tout x de 0 ;
, g ′ (x) = 1.
4
h πi4
, g (x) = x, en déduire que f (1) = π4 .
b. Montrer que, pour tout x de 0 ;
4
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 0 6 f (x) 6
Partie B
Soit (I n ) la suite définie par I 0 =
Z1
0
π
.
4
∗
f (x) dx et, pour tout n ∈ N , I n =
Z1
0
x n f (x) dx.
π 1
1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I 0 = − ln(2).
4 2
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n > 0.
π
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n 6
.
4(n + 1)
c. En déduire la limite de la suite (I n ).
E XERCICE 564
On a représenté
ci-dessus,
dans un repère
³ →
− →
−´
orthonormé O, ı ,  , la courbe représentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l’équation différentielle
20 minutes
A
B
→
−

(E )
:
y ′ + y = 0 et telle que
f (0) = e.
−
O →
ı
1. Déterminer f (x) pour tout x réel.
2. Soit t un réel donné de l’intervalle [1 ; e]. Résoudre dans R l’équation e 1−x = t d’inconnue x.
3. Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe.
On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de l’arc de courbe
–
AB comme représenté
Z ci-dessous. On note V son volume.
On admet que V = π
e
1
(1 − ln t )2 dt .
Calculer V à l’aide de deux intégrations par parties successives.
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
245
2
1
s
a
r
u
D
I
F
L
−2
−1
O
E XERCICE 565
Pour tout n ∈ N, on considère les intégrales : I n =
1
Zπ
2
0
e
−nx
sin x dx et J n =
1. Calculer I 0 et J 0 .
2. Soit n un entier naturel non nul.
Zπ
2
0
15 minutes
e
−nx
½
cos x dx.
In + n Jn
−nI n + J n
b. En déduire, pour n ∈ N∗ , l’expression de I n et de J n en fonction de n.
a. En intégrant par parties I n puis J n , montrer que I n et J n vérifient :
=
1
nπ
= e− 2
3. Déterminer lim I n et lim J n .
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 566
⋆
Pour tout n ∈ N , on considère l’intégrale : I n =
1
2n+1 n!
1. A l’aide d’une intégration par parties calculer I 1 .
Z1
0
2. Démontrer que pour tout entier n > 1, on a I n+1 = I n −
20 minutes
n
t
2
(1 − t ) e dt .
1
2n+1 (n + 1)!
.
p
1 1
1 1
e = 1 + · + · · · + n · + In .
2 1!
2 n!
1
4. Démontrer que l’on peut trouver une constante A telle que 0 6 I n 6 n A.
2 n!
t
On pourra déterminer A en majorant la fonction t 7→ (1 − t )n e 2 sur l’intervalle [0 ; 1].
1
1
1 1
5. En déduire la limite quand n tend vers l’infini de u n = 1 + · · · + · · · + n · .
2 1!
2 n!
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier n > 1 on a
E XERCICE 567
1. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : g (x) =
15 minutes
1
¡
¢.
x x2 − 1
a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x > 1 :
a
b
c
g (x) = +
+
.
x x +1 x −1
b. Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
246
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : f (x) = ¡
Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
2x
¢2 .
x2 − 1
3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : I =
Z3
2
¡
2x
¢2
x2 − 1
ln x dx.
On donnera le résultat exact sous la forme p ln2 + q ln 3, avec p et q rationnels.
E XERCICE 568
On considère les suites (I n ) et (J n ) définies pour tout entier naturel n par :
Z1 −nx
Z1 −nx
e
e
dx et J n =
In =
dx.
2
0 (1 + x)
0 1+x
20 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Tracer sur la calculatrice les fonctions f n définies sur l’intervalle [0 ; 1] par f n (x) =
de n allant de 0 à 4.
e −nx
pour
1+x
a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I n ) en expliquant la démarche.
b. Démontrer cette conjecture.
2. a. Montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 1] :
06
−nx
−nx
e
e
6 e −nx .
6
2
(1 + x)
1+x
b. Montrer que les suites (I n ) et (J n ) sont convergentes et déterminer leur limite.
3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n > 1 :
µ
¶
e −n
1
1−
− Jn .
In =
n
2
b. En déduire lim nI n .
n→+∞
E XERCICE 569
¢1
¡
Soit f la fonction définie sur R⋆ par f (x) = 1 + x 2 x 2 .
10 minutes
E XERCICE 570
60 minutes
1. Etudier la limite de f en 0.
2. En déduire le prolongement par continuité de f en 0.
1. Soit la fonction Q n−2 définie sur R, pour tout entier n supérieur à 2, par
Q n−2 (t ) = 1 − t + t 2 + · · · + (−1)n−2 t n−2 .
1 − (−1)n−1 t n−1
.
1+t
t n−1
1
= 1 − t + t 2 + · · · + (−1)n−2 t n−2 + (−1)n−1
.
b. En déduire que
1+t
1+t
a. Montrer que, quel que soit t 6= −1, Q n−2 (t ) =
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
247
c. En intégrant les deux membres de la relation précédente sur le segment [0 ; x] (0 6 x 6 1),
Zx n−1
t
dt , (I )
établir la relation ln (x + 1) = P n−1 (x) + (−1)n−1
1
+t
0
x n−1
x2
+ · · · + (−1)n−2
.
en posant P n−1 (x) = x −
2
n −1
ln (1 + x)
2. a. Soit la fonction φ définie sur ]0 ; 1] par φ(x) =
.
x
Montrer que l’on peut prolonger la fonction φ par continuité pour x = 0.
ln (1 + x)
Soit f le prolongement ainsi obtenu sur [0 ; 1], donné par : f (x) =
si x ∈ ]0 ; 1]
x
et f (0) = 1.
b. Etudier les variations de la fonction θ, définie sur [0 ; +∞[ par θ(x) = x − ln (1 + x).
c. En déduire que ∀x ∈ [0 ; 1] , x − ln (1 + x) > 0.
d. En utilisant cette dernière relation, montrer que ∀x ∈ [0 ; 1] , f (x) 6 1.
Z1
f (x) dx existe.
e. La fonction f étant continue sur [0 ; 1], on rappelle que l’intégrale
s
a
r
u
D
I
F
L
0
Soit L sa valeur.
n étant un entier naturel non nul, montrer que 0 6
Z1
n
f (x) dx = 0.
f. En déduire que lim
n→+∞ 0
Z1
f (x) dx = L.
g. Montrer que lim
n→+∞
1
n
Z1
n
0
f (x) dx 6
1
.
n
Zx
Zx
t n−1
dt 6
t n−1 dt .
0 Z1 + t
0
x t n−1
1
dt 6 .
b. En déduire que ∀x ∈ [0 ; 1] ,
n
0 1+t
c. En utilisant la relation (I ) de la question 1.c, montrer que
3. a. Montrer que, ∀x ∈ [0 ; 1] ,
∀x ∈ ]0 ; 1] , −
.
1
P n−1 (x)
1
6 f (x) −
6
nx
x
nx
¸
1
; 1 , établir la relation :
d. Par intégration sur l’intervalle
n
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
Z1
Z1
1
1
1
1
1
1
f (x) dx + ln
+ Sn
6 S n (1) 6 1 f (x) dx − ln
+ Sn
1
n
n
n
n
n
n
n
n
·
n−1
x2 x3
n−2 x
+
+
·
·
·
+
(−1)
, (n > 2).
22 32
(n − 1)2
xp
x p+1
e. Démontrer que, quels que soient p ∈ N⋆ et x ∈ [0 ; 1] : 2 >
.
p
(p + 1)2
¶
µ
¶
µ
x2
x3
x2
f. En utilisant des égalités de la forme : S 2 (x) = x; S 3 (x) = x − 2 ; S 4 = x − 2 + 2 ; · · ·
2
2
3
montrer que, quels que soient n > 2 et x ∈ [0 ; 1] : 0 6 S n (x).
en posant S n (x) = x −
CHAPITRE 2. FONCTIONS
248
µ 2
¶
x2
x3
x
g. En utilisant des égalités de la forme : x − S 3 (x) = 2 ; x − S 4 (x) = 2 − 2 ;
2
2
3
¶
µ 2
x3
x4
x
x − S 5 (x) = 2 − 2 + 2 ; · · · .
2
3
4
montrer que , quels que
µ ¶soient n > 2 et x ∈ [0 ; 1] : S n (x) 6 x.
1
h. Déterminer lim S n
.
n→+∞
n
Z1
i. Déduire des résultats précédents que lim S n (1) =
f (x) dx = L.
n→+∞
0
1
1
+· · ·+(−1)n−2
;
2
2
(n − 1)2
et en raisonnant comme aux questions 3.f et suivantes, montrer que, quel que soit n > 5,
s
a
r
u
D
I
F
L
4. En regroupant convenablement les termes de la somme S n (1) = 1−
1−
1
1
1
1
1
+ −
6 S n (1) 6 1 − 2 + 2 .
22 32 42
2
3
5. On admettra le théorème suivant :
Théorème : soit une suite convergente (u n ). S’il existe deux réels a et b (a 6 b) et un entier
naturel n 0 tel que, quel que soit n > n 0 , a 6 u n 6 b, alors a 6 lim u n 6 b.
n→+∞
Z1
En déduire un encadrement de
f (x) dx.
0
E XERCICE 571
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
x
La fonction d est définie sur ] − 1 ; +∞[ par : d (x) = e x+1 .
40 minutes
1. Calculer la fonction dérivée d ′ . En déduire les variations de d .
2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞.
3. Montrer que, pour tout x > −1, on a : 0 < d (x) < e.
Partie B : Etude de la fonction f
x
Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur ] − 1 ; + ∞[ par : f (x) = x + 1 − e x+1 .
On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, l’unité graphique
étant 5 cm. On désigne par f ′ et f ′′ les dérivées première et seconde de f .
1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x − e + 1 est asymptote à la courbe (C).
Préciser la position relative de (D) et (C).
2. a. Pour x ∈] − 1 ; + ∞[, calculer f ′ (x) et f ′′ (x).
2x + 1 x
e x+1 .
Vérifier que f ′′ (x) =
(x + 1)4
En déduire le sens de variations de f ′ .
b. Dresser le tableau de variations de f ′ .
(On admettra que lim f ′ (x) = lim f ′ (x) = 1).
x→−1
x→+∞
3. Démontrer que l’équation f ′ (x) = 0 admet sur ] − 1 ; +∞[ deux solutions dont l’une est 0.
Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner une valeur approchée
de α au centième près.
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
249
4. a. Etudier les variations de f .
b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
c. Dresser le tableau de variations de f
Partie C : Prolongement de la fonction f en −1
On considère la fonction g définie sur ] − 1 ; +∞[ par :
½
g (−1)
g (x)
= 0
= f (x) pour tout x > −1.
s
a
r
u
D
I
F
L
¡ ¢
On appelle C′ la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.
´
1³ x
g (x) − g (−1)
x
= 1−
e x+1 .
x − (−1)
x x +1
b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers −1 de
1. a. Montrer que l’on peut écrire
x
x
x
puis de
e x+1 .
x +1
x +1
c. En déduire que g est dérivable en − 1 et préciser son nombre dérivé g ′ (− 1).
¡ ¢
¡ ¢
2. Construire (D) et C′ . Préciser les tangentes à C′ aux points d’abscisses − 1, α, 0.
E XERCICE 572
On considère les intégrales I =
Zπ
0
4
cos x dx et J =
c.
2. a.
b.
c.
0
25 minutes
4
sin x dx.
Zπ
¡
¢
cos x cos x − cos x sin2 x dx.
0
Zπ
1
sin2 x dx − J .
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que I =
3
0
Zπ
1
2
Montrer de même que J =
cos x dx − I .
3
0
3π
.
Montrer que I + J =
4
Montrer que J − I = 0
En déduire les intégrales I et J .
1. a. Montrer que l’intégrale I peut s’écrire : I =
b.
Zπ
E XERCICE 573
Partie A : Résolution d’une équation différentielle
Soit l’équation différentielle du second ordre : (E 0 ) y ′′ − 2y ′ + y = 0.
60 minutes
1. Résoudre l’équation caractéristique de cette équation, c’est-à-dire l’équation r 2 −2r +1 = 0.
2. La solution générale d’une équation différentielle du type a y" + b y ′ + c = 0 (a 6= 0) sont données dans le formulaire suivant :
CHAPITRE 2. FONCTIONS
250
Equations
Equation différentielle
a y ′′ + b y ′ + c y = 0
Equation caractéristique :
ar 2 + br + c = 0 de discriminant ∆.
Solutions sur un intervalle I
Si ∆ > 0, f (t ) = λer 1 t + µer 2 t où r 1 et r 2 sont les racines de l’équation caractéristique.
Si ∆ = 0, f (t ) = (λt + µ)er t où r est la racine double
de l’équation caractéristique.
Si ∆ < 0,
f (t ) = [λ cos(βt ) + µ sin(βt )]eαt où r 1 = α + iβ et
r 2 = α − iβ sont les racines complexes conjuguées
de l’équation caractéristique.
s
a
r
u
D
I
F
L
En déduire la solution générale g de (E 0 ).
3. Soit l’équation différentielle (E ) : y ′′ − 2y ′ + y = x 2 − 4x + 2. Vérifier que le polynôme h défini
sur R par h(x) = x 2 est une solution particulière de (E ), c’est-à-dire que, pour tout x de R,
h ′′(x) − 2h ′ (x) + h(x) = x 2 − 4x + 2.
4. a. Montrer que si f est solution de (E), c’est-à-dire, si pour tout x réel,
f ′′ (x) − 2 f ′ (x) + f (x) = x 2 − 4x + 2, alors la fonction g = f − h, est solution de (E 0 ).
b. Réciproquement, montrer que si g est solution de (E 0 ) alors la fonction f , telle que
f = g + h, est solution de (E ).
c. En déduire la forme générale des solutions de (E ) sur R.
5. En déduire une solution ϕ de (E ) satisfaisant à ϕ(1) = 1 et ϕ′ (1) = 0.
Partie B : Etude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative
On considère la fonction définie sur R, par f (x) = x 2 − 2(x − 1)e (x−1)
³ .→
− →
−´
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, ı ,  ; (unité graphique :
2 cm).
¶
µ 2
2x 2
x x
−
+ .
1. a. Déterminer la limite de f en + ∞. On pourra montrer que : f (x) = e
ex
e
e
b. Déterminer la limite de f en - ∞.
c. Calculer f ′ (x) pour tout x réel et en déduire le sens de variation de f sur R.
2. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur R une solution unique. On note α cette solution.
b. Montrer que α appartient à l’intervalle ]1, 7; 1, 8[.
3. On appelle Γ la parabole d’équation y = x 2 .
a. Etudier la position relative de C et de Γ.
b. Calculer la limite de f (x) − x 2 quand x tend vers − ∞.
4. Tracer la courbe C et la parabole Γ.
Partie C : Calculs d’aires
Soit a un nombre réel strictement inférieur à 1. On appelle D a le domaine du plan limité par
les courbes C et Γ et les droites d’équations x = a et x = 1.
On note A(a) l’aire du domaine D a , exprimé en unités d’aire.
1. Déterminer les réels b et c tels que H (x) = (bx + c)e x−1 soit une primitive de la fonction
x 7→ −2(x − 1)e x−1 .
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
251
2. En déduire A(a).
3. Calculer l’aire A(0) du domaine D 0 .
4. Déterminer la limite de A(a) quant a tend vers −∞.
Partie D : Calcul de probabilités
Sur le graphique de la partie B, on place les points I (1 ; 0), J (0 ; 1) et K (1 ; 1). On utilise cette
feuille comme cible.
On admet que, pour chaque essai :
1
;
2
• sachant qu’un point du carré est atteint, la probabilité que ce point appartienne à D 0 est égale
à A(0).
s
a
r
u
D
I
F
L
• la probabilité d’atteindre un point du carré OI K J est égale à
1. Pour un essai, montrer que la probabilité d’atteindre un point du domaine D 0 est égale à
2
1− .
e
2. On effectue n essais (n entier naturel non nul), tous indépendants les uns des autres.
a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n d’atteindre au moins une fois un point du
domaine D 0 au cours de ces n essais.
b. Déterminer le nombre minimal n d’essais pour que cette probabilité p n soit supérieure
ou égale à 0, 99.
E XERCICE 574
Partie A - Lectures graphiques
60 minutes
C
1
−1
O
−1
1
F
2
3
4
5
−2
−3
−4
On donne dans un repère orthogonal les courbes C et F représentatives de deux fonctions définies et dérivables sur R. On sait que l’une de ces fonctions est la fonction dérivée de l’autre,
on peut donc les noter g et g ′ .
1. Associer à chacune des fonctions g et g ′ sa représentation
graphique.
On justifiera le résultat
¸
·
3
en donnant un tableau où figurera sur l’intervalle − ; 5 le signe de g ′ (x) et les variations
2
de g .
252
CHAPITRE 2. FONCTIONS
2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse 0 ?
Partie B
Soit l’équation différentielle (E ) : y ′ + y = 2(x + 1)e −x .
1. Vérifier que la fonction f 0 définie sur R par f 0 (x) = (x 2 +2x)e −x est une solution de l’équation
(E ).
2. Soit l’équation différentielle (E 0 ) : y ′ + y = 0.
y′
= −1.
y
b. En déduire les solutions de (E 0 ).
a. Vérifier que si y 6= 0 (E 0 ) s’écrit
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Soit u une solution de (E 0 ) . Montrer que la fonction f 0 + u est une solution de (E ).
On admettra que, réciproquement, toute solution f de (E ) est de la forme f = f 0 +u où u est
une solution de (E 0 ).
En déduire, pour x ∈ R , l’expression de f (x) lorsque f est solution de (E ).
4. Sachant que la fonction g de la partie A est solution de (E ) , déterminer g (x) pour x ∈ R.
5. Déterminer la solution h de l’équation (E ) dont la représentation graphique admet au point
d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.
Partie C
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = (x 2 + 2x + 2)e −x .
1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞ .
2. On sait que f est dérivable sur R : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de³ f .
→
− →
−´
3. Dans un repère orthonormé O, ı ,  , unité graphique 2 cm, on note C′ la représentation
graphique de f .
a. Déterminer une équation cartésienne de la tangente
à C′ au
point Ω d’abscisse −1.
³ T→
−
→
−´
′
b. Tracer la courbe C et la tangente T dans le repère O, ı ,  .
4. a. Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction F définie par F (x) = (ax 2 +bx +c)e −x
soit une primitive de la fonction f .
b. Soit α un réel positif. Calculer en cm2 l’aire notée A(α) de la zone du plan comprise entre
l’axe des abscisses, la courbe C′ et les droites d’équations respectives x = 0 et x = α.
E XERCICE 575
On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ′ sa fonction dérivée.
Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
£
¤2 £
¤2
(1) pour tout nombre réel x, f ′ (x) − f (x) = 1,
(2) f ′ (0) = 1,
(3) la fonction f ′ est dérivable sur R.
1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′ (x) 6= 0.
b. Calculer f (0).
45 minutes
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
253
2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que : (4) pour tout
nombre réel x, f ′′ (x) = f (x), où f ′′ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .
3. On pose : u = f ′ + f et v = f ′ − f .
a. Calculer u(0) et v(0).
b. Démontrer que u ′ = u et v ′ = −v.
c. En déduire les fonctions u et v.
e x − e −x
.
2
Etudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
Dresser le tableau de variations de la fonction f .
Soit m un nombre réel. Démontrer que l’équation f (x) = m a une unique solution α
dans R.
Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur
approchée décimale à 10−2 près).
d. En déduire que, pour tout réel x, f (x) =
4. a.
b.
5. a.
s
a
r
u
D
I
F
L
b.
E XERCICE 576
20 minutes
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 et f une fonction définie sur R par f (x) = x n −x −1.
µ
¶
1
1. A l’aide du binôme de Newton, démontrer que f 1 +
> 0.
n
¸
·
1
que l’on notera x n .
2. En déduire que f admet une unique racine dans l’intervalle 1 ; 1 +
n
3. Déterminer lim x n .
n→+∞
E XERCICE 577
20 minutes
′
L’objectif de cet exercice est la résolution d’équations différentielles du type a(x)y + b(x)y = 0,
d’inconnue y, avec a(x) et b(x) sont deux fonctions de x.
1. Soit (E ) l’équation x y ′ − y = 0.
y′ 1
= .
y
x
b. En intégrant chaque membre, en déduire les solutions de (E ) dans R⋆
+.
a. Vérifier que ∀x ∈ R⋆ , (E ) ⇐⇒
2. En utilisant la méthode précédente, résoudre dans l’intervalle I , les équations différentielles
suivantes :
a. y ′ + 2x y = 0 avec I = R.
£
¡
¢
¤p
b. x 2 − 2 y ′ − 6x y = 0 avec I = 2 ; +∞ .
h πh
c. cos x y ′ + sin x y = 0 avec I = 0 ;
.
2
E XERCICE 578
On considère la suite (I n ) définie pour tout entier naturel n par I n =
1. Calculer I 0 et I 1 .
Zπ
2. En intégrant par parties, montrer que, pour tout n > 2, on a : I n =
2
0
45 minutes
n
sin t dt .
n −1
I n−2
n
(1).
CHAPITRE 2. FONCTIONS
254
1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1) π
× .
2 × 4 × 6 × · · · × 2n
2
1
2 × 4 × 6 × · · · × 2n
×
.
Démontrer que pour n > 0 : I 2n+1 =
1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1) 2n + 1
Démontrer que la suite (I n ) est décroissante.
Démontrer que la suite (I n ) est convergente.
n −1
Etablir que
I n−1 6 I n 6 I n−1 .
n
☞ On pourra utiliser la relation (1) en comparant I n−1 et I n−2 .
I 2n+1
Montrer alors que lim
= 1.
n→+∞ I 2n
¶2
µ
π
1
2 × 4 × 6 × · · · × 2n
= .
×
Etablir la formule de Wallis : lim
n→+∞ 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
2n + 1 2
3. Démontrer pour n > 1 : I 2n =
4.
5.
6.
7.
8.
s
a
r
u
D
I
F
L
9.
E XERCICE 579
Partie A
45 minutes
1 − x2
.
2+x
3
.
1. Vérifier que ∀x ∈ R − {−2}, f (x) = −x + 2 −
x +2
2. Etudier les variations de f .
Soit f la fonction définie sur R \ {−2} par f (x) =
Partie B
Soit φ la fonction définie sur R par φ(t ) =
1. Montrer que, ∀t ∈ R, φ(π − t ) = φ(t ).
1 − sin2 t
.
2 + sin t
h π πi
permet de construire la
Expliquer que l’étude des variations de la restriction de φ à − ;
2 2
courbe représentative de φ.
2. Le but de cette question est
prouver que l’équation φ′ (t ) = 0 admet une solution, notée
i de
π πh
α, dans l’intervalle ouvert − ; .
2 2
a. Montrer que la dérivée f ′ de f est strictement décroissante sur [−1; 1]. Quelle est l’image
de [−1; 1] par f ′ ?
b. Prouver que ∀t ∈ R : φ′ (t ) = f ′ (sin t ) cos t .
c. Prouver l’unicité de α et calculer sa valeur exacte.
³π´ ³π´ ³π´
,φ
,φ
et φ′ (0).
3. a. Calculer les valeurs exactes de φ (0), φ
6
4
3
h πi
b. Etudier les variations de φ sur 0; .
2
4. a. En utilisant la fonction h définie sur R par h(t
=iφ(t )−t , prouver que l’équation φ(t ) = t
h )π
admet une unique solution, notée x 0 dans 0; .
2
b. Montrer que x 0 est la seule solution réelle de l’équation φ(t ) = t .
c. Déterminer un encadrement à 10−2 près de x 0 .
E XERCICE 580
45 minutes
x−1
On considère la fonction numérique f définie sur R par : f (x) = 2x + 1 − xe
. On note C sa
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
255
³ →
− →
−´
courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
A. Etude de la fonction f et construction de la courbe (C)
1
1. Etudier la limite de la fonction f en −∞ puis en +∞ (on pourra écrire xe x−1 = xe x ).
e
2. Démontrer que la droite ∆ d’équation y = 2x + 1 est asymptote à la courbe (C) en −∞ et
préciser la position de la courbe C par rapport à la droite ∆.
3. a. Calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ de la fonction f .
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f ′ en précisant la limite de la fonction f ′
en −∞.
c. Calculer f ′ (1) et en déduire le signe de f ′ pour tout réel x.
d. Dresser le tableau de variation de la fonction f .
4. Soit I l’intervalle [1,9 ; 2]. Démontrer que, sur I, l’équation f (x) = 0 a une solution unique, α.
s
a
r
u
D
I
F
L
B. Recherche d’une approximation de α
¶
µ
1
On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par : g (x) = 1 + ln 2 + .
x
1. Démontrer que, sur I, l’équation f (x) = 0 équivaut à l’équation g (x) = x.
2. Etudier le sens de variation de la fonction g sur I et démontrer que, pour tout x appartenant
à I, g (x) appartient à I.
1
3. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle I, |g ′ (x)| 6 .
9
4. Soit (u n ) la suite de nombres réels définie par : u 0 = 2 et, pour tout n de N, u n+1 = g (u n ).
On déduit de la question B 2 que tous les termes de cette suite appartiennent à l’intervalle
I. On ne demande pas de le démontrer.
Complément de cours : Inégalité des accroissements finis : soit f une fonction
¯ continue
¯
¯ f 0 (x)¯ | 6 M ,
sur un intervalle [a, b], à valeurs
dans
R
,
dérivable
sur
]a,
b[.
Soit
M
telle
que
0
¯
¯
¯
¯
pour tout x ∈ [a, b], alors ¯ f (y) − f (x)¯ 6 M ¯ y − x ¯ pour tout x, y ∈ [a, b].
1
a. Démontrer que, pour tout n de N, |u n+1 − α| 6 |u n − α|.
9
b. En déduire, en raisonnant par récurrence, que : pour tout n de N,
c. En déduire que la suite (u n ) converge et préciser sa limite.
C. Calcul d’aire
1. En intégrant par parties, calculer l’intégrale I =
Zα
1
µ ¶n
1
1
× .
|u n −α| 6
9
10
xe x−1 dx.
2. a. Déterminer, en unités d’aire, l’aire A de la portion de plan limitée par la courbe C, l’axe
des abscisses, la droite d’équation x = 1 et
µ la droite
¶ d’équation x = α.
1
b. Démontrer qu’on peut écrire A = (α − 1) α −
.
α
E XERCICE 581
Parie A
Soit la fonction g définie sur R, qui à tout x associe g (x) = e x (x − 1) + x 2 .
1. a. Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est g ′ (x) = x(e x + 2).
35 minutes
CHAPITRE 2. FONCTIONS
256
b. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞.
c. Etudier le signe de g ′ (x) sur R, et dresser le tableau de variation de g sur R.
2. Montrer que l’équation : g (x) = 0 admet· une solution
α et une seule sur l’intervalle [0 ; +∞[.
¸
1
;1 .
Montrer que α est dans l’intervalle I =
2
Partie B
ex
Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = x
e +x
1. Montrer que les équations : f (x) = x et g (x) = 0 sont équivalentes sur [0 ; + ∞[, et que, par
suite, l’équation f (x) = x admet α pour solution unique sur I .
2. a. Calculer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
b. Déterminer la limite de f en + ∞[.
c. Dresser le tableau de variations de f .
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C
1. Montrer que, pour tout x appartenant
à I , f (x) appartient à I .

1

u1 =
2. Soit la suite (u n )u∈N définie par
2
 u = f (u
n
n−1 ) pour tout n > 1
a. Montrer que, pour tout n ∈ N⋆ , u n ∈ I .
b.
c.
d.
e.
f.
1
Montrer que, pour tout x ∈ I , | f (x)| 6 .
2
En appliquant l’inégalité des accroissements finis (voir exercice précédent), démontrer
1
que pour tout n > 1, |u n − α| 6 |u n−1 − α|.
2
µ ¶n
1
.
En déduire, par un raisonnement par récurrence, que pour tout n ∈ N∗ , |u n − α| 6
2
En déduire que (u n ) converge vers α.
A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de α à 10−7 près ?
′
3. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−7 .
E XERCICE 582
15 minutes
Soit p et q deux réels tels que 0 < p < 1 et q = 1 − p.
Montrer que l’équation x 2 − q x − p q = 0 admet deux solutions réelles distinctes, notées a et b,
vérifiant −1 < a < 0 < b < 1.
E XERCICE 583
45 minutes
On note f (X ) l’aire de la région comprise entre la courbe d’équation y = ln x, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = 1 et x = X avec X > 1.
L’objet du problème est l’étude de quelques équations du type f (X ) = k où X est l’inconnue et
k un entier naturel fixé.
Partie A
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que f (X ) = X ln X − X + 1.
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
257
2. a. Calculer la limite de f (X ) quand X tend vers +∞.
b. Montrer que la fonction f est croissante sur [1 ; +∞[ et dresser son tableau de variations.
c. En déduire que pour tout entier naturel k, l’équation f (X ) = k a exactement une solution. On note X k cette solution.
3. Calculer X 0 et X 1 .
4. a. A l’aide des variations de la fonction f , montrer que la suite (X k ) est strictement croissante.
Z
b. Montrer que pour tout k ∈ N ,
X k+1
ln t dt = 1.
s
a
r
u
D
I
F
L
Xk
c. Sachant que ∀t ∈ [X k ; X k+1 ], on a ln X k 6 ln t 6 ln X k+1 ,
démontrer que ∀k ∈ N, (X k+1 − X k ) ln X k 6 1 6 (X k+1 − X k ) ln X k+1
1
1
6 X k+1 6 X k +
.
puis que ∀k ∈ N⋆ , on a X k +
ln X k+1
ln X k
1
.
d. Montrer que X 2 6 e + 1 puis que X 2 > e +
ln (e + 1)
Partie B
Dans cette partie, on se propose de rechercher une valeur approchée de X 2 à 10−2 près.
1. a. Vérifier que X 2 est dans l’intervalle I = [3 ; 4].
1
b. Montrer que X 2 est solution de l’équation x = e 1+ x .
1
2. Soit ϕ(x) = e 1+ x .
a. Etudier les variations de ϕ.
b. Montrer que l’image de I par ϕ est incluse dans I .
¯
¯ 4
c. Montrer que pour tout x de I on a ¯ϕ′ (x)¯ 6 .
9
3. Soit (Un ) la suite définie par U0 = 3 et, pour tout n ∈ N, Un+1 = ϕ (Un ).
a. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, Un ∈ I .
4
b. Montrer que ∀n ∈ N, |Un+1 − X 2 | 6 |Un − X 2 |.
9
☞ On se rappellera que ϕ (X 2 ) = X 2 .µ ¶
4 n
c. En déduire que ∀n ∈ N, |Un − X 2 | 6
.
9
d. Déterminer un entier n tel que Un soit une valeur approchée de X 2 à 10−2 près.
Donner cette valeur approchée de X 2 .
E XERCICE 584
Partie A
Soit f la fonction définie sur R+ \ {1} par
45 minutes


f (x)
 f (0)
=
=
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
2. Etudier les variations de f .
1
ln x
0
pour x > 0e t x 6= 1
.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
258
3. On pose, pour 0 6 x < 1, F (x) =
Zx
1
2
f (t ) dt et pour x > 1, G(x) =
Zx
2
f (t ) dt .
Que valent F ′ (x) et G ′ (x) ? (On ne cherchera pas à calculer les expressions de F (x) et de G(x).
Expliquer pourquoi on n’a pas le droit d’écrire F ′ (x) = G ′ (x).
Partie B
On pose, pour tout x strictement positif et distinct de 1 : H (x) =
définie dans la partie A.
Zx 2
x
f (t ) dt , f étant la fonction
1. a. Montrer que H (x) est toujours positif ou nul.
b. Montrer que H (x) s’exprime, suivant les cas, à l’aide de la fonction F ou à l’aide de la
fonction G.
En déduire l’expression de H ′ (x) pour 0 < x < 1, puis pour x > 1.
c. Soit ϕ une fonction définie et continue sur [0 ; 1[.
Zx 2
ϕ(t ) dt tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
Etablir que
s
a
r
u
D
I
F
L
x
☞ On pourra désigner par Φ une primitive de ϕ.
d. En déduire la limite de H (x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
Zx 2
1
dt .
2. On pose, pour x strictement positif et distinct de 1 : K (x) =
t
ln
t
x
a. Calculer la dérivée de la fonction qui, à x strictement positif et distinct de 1, fait correspondre ln |ln x|.
En déduire que K (x), que l’on calculera, garde une valeur constante, que l’on précisera,
lorsque x varie dans ]0 ; 1[ et dans ]1 ; +∞[.
x −1
.
b. On pose pour x strictement positif et distinct de 1 : ϕ1 (x) =
x ln x
Montrer que ϕ1 (x) tend vers une limite ℓ, que l’on précisera, lorsque x tend vers 1.
☞ On pourra poser x =
1 + X ou reconnaître un nombre dérivé.
½
ϕ1 (x) = ϕ1 (x) pour x > 0e t x 6= 1
.
c. Soit ϕ1 (x) définie par
ϕ1 (1) =
ℓ
Zx 2
En s’inspirant de B.1.c, montrer que
ϕ1 (t ) dt tend vers 0 lorsque x tend vers 1.
x
d. Montrer que H (x) − K (x) tend vers 0 lorsque x tend vers 1.
En déduire qu’on peut définir à partir de H une fonction H , définie et continue sur R+ ,
coïncidant avec H sur ]0 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
x2 − x
x2 − x
6 H (x) 6
.
3. a. Montrer que, ∀x > 0, x 6= 1,
2 ln x
ln x
b. En déduire la limite de H(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
H(x)
lorsque x tend vers +∞.
c. Déterminer les limites de H(x) et de
x
d. En utilisant tous les résultats obtenus dans la partie B, étudier les variations de H.
On précisera la demi-tangente au point d’abscisse 0. On admettra que la dérivée de H
′
′
existe au point d’abscisse 1 et que H (1) = lim H (x), on précisera la tangente au point
d’abscisse 1.
x→1
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
259
E XERCICE 585
Partie A
Soit ϕ la fonction définie sur R+ par ϕ(x) =
45 minutes
x
− ln (1 + x).
1+x
1. Montrer que ϕ est une fonction décroissante sur R+ .
2. Calculer ϕ(0). En déduire le signe de ϕ(x) pour tout x > 0.
3. Etudier la limite de ϕ(x) lorsque x tend vers +∞. µ
¶
1
☞ On pourra remarquer que pour x > 0, 1 + x = x + 1 .
x
Partie B
On considère la fonction f définie sur³ R par f (x)
= e −x ln(1 + e x ). Soit C la courbe représenta→
− →
−´
tive de f dans un repère orthonormé O, ı ,  .
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Démontrer que ∀x ∈ R, f (x) > 0. Que peut-on en déduire pour la courbe C.
2. Montrer que f ′ (x) a le même signe que ϕ (e x ). En déduire le sens de variation de la fonction
f.
3. Exprimer f (x) en fonction de u = e x . En déduire la limite de f lorsque x tend vers −∞.
4. En utilisantZ
l’égalité 1 + e x = e x (e −x + 1), déterminer la limite de f lorsque x tend vers +∞.
5. Soit F (a) =
a.
b.
c.
d.
a
0
f (x) dx.
c
ex
=b+
.
Démonter qu’il existe des réels b et c tels que ∀x ∈ R,
1 + ex
1 + ex
Au moyen d’une intégration par parties, ramener le calcul de F (a) au calcul de l’intégrale
Z
a ex
dx.
x
0 1+e
En déduire F (a).
On suppose a > 0. Que représente F (a) ? Etudier l’existence et donner s’il y a lieu, la
valeur de lim F (a).
a→+∞
Partie C
1
.
1 + ex
1. Démontrer que la fonction f définie dans la partie B vérifie la relation (1).
2. On considère les fonctions f vérifiant (1) de la forme f (x) = e −x g (x). Trouver la relation (2)
vérifiée par les fonctions g . Quelle est l’expression des fonctions g ?
3. En déduire l’ensemble des fonctions f vérifiant (1).
On considère les fonctions f vérifiant la relation (1) ∀x ∈ R, f ′ (x) + f (x) =
E XERCICE 586
Les trois parties de cet exercice sont largement indépendantes.
Partie A

1

ln (1 + x)
f (x) =
Soit f la fonction définie sur I = ]−1 ; +∞[ par
x
 f (0) =
1
45 minutes
,
∀x 6= 0
.
1. a. Montrer que la fonction ϕ définie sur I par ϕ(x) = x − (x + 1) ln (x + 1) présente un maximum absolu en 0.
CHAPITRE 2. FONCTIONS
260
b. En déduire le signe de ϕ(x) sur l’intervalle I .
1
2. a. Montrer que f est continue et dérivable en 0 et que l’on a f ′ (0) = − .
2
b. Etablir le tableau de variations de la fonction f .
Partie B
1. a. Montrer que l’équation f (x) − x = 0 admet une unique solution notée α.
b. Donner un encadrement de α dans un intervalle d’amplitude 10−3 .
¯
¯ 1
2. On se propose, dans cette question, de démontrer que ∀x > 0, on a ¯ f ′ (x)¯ 6 .
2
2
3
x
x
+ .
a. Soit la fonction Ψ définie sur R+ par Ψ(x) = x − (x + 1) ln (x + 1) +
2
2
′
′′
Calculer Ψ (x) et Ψ (x) et en déduire le signe de Ψ(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[.
1
b. Montrer que Ψ(x) et f ′ (x) + sont de même signe.
2
¯
¯ 1
En déduire que, pour tout x > 0, ¯ f ′ (x)¯ 6 .
2
3. Soit (u n ) définie par u 0 = 5 et pour tout n ∈ N u n+1 = f (u n ).
1
a. Démontrer que ∀n ∈ N on a |u n+1 − u n | 6 |u n − u n−1 |.
2
b. En déduire que lim |u n+1 − u n | = 0.
n→+∞
¢
¢
¡
¡
c. Démontrer par récurrence que la suite u 2p est décroissante et que la suite u 2p+1 est
croissante.
d. Démontrer en utilisant les questions précédentes que la suite (u n ) est convergente et a
pour limite α.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie C
Pour tout entier p > 1, on pose : I p =
1. a. Démontrer les inégalités :
b.
2. a.
b.
c.
Zp+1
p
¡
¢
ln p + 2
f (x)dx et S p =
Zp
1
f (x)dx.
¡
¢
ln p + 1
6 Ip 6
.
p +¡ 1 ¢
p
En déduire la limite de la suite I p lorsque p tend vers +∞.
¡ ¢
Montrer que la suite I p est décroissante.
Exprimer S p en fonction de I p .
Démontrer que S p tend vers l’infini lorsque p tend vers l’infini.
E XERCICE 587
Soit ∆ l’ensemble des réels différents de −1 et de 1.
35 minutes
x 3 − 9x
¢.
1. Etudier les variations de f définie sur ∆ par f (x) = ¡ 2
2 x −1
2. Soit a un réel donné de ∆.
a −3
a +3
Démontrer que a,
et −
sont les trois solutions de l’équation f (x) = f (a).
a +1
a −1
a +3
a −3
et v(a) = −
.
3. Soit i , u et v trois fonctions définies sur ∆ par i (a) = a, u(a) =
a +1
a −1
Etablir que f ◦ i = f ◦ u = f ◦ v.
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
261
Comparer v(a) et u(−a), u(a) et −v(−a).
4. Utiliser une propriété de f pour déduire de la question précédente les solutions de l’équation f (x) + f (a) = 0, a étant un réel donné de ∆.
5. Donner le domaine de définition et la représentation
dans un repère orthonormé
¯ 2 graphique,
¯
³ →
¯x − 9¯
− →
−´
.
O, ı ,  , de la fonction k, définie par k(x) = 2
½ x −9
g (x) = k(x) · f (x) pour x ∈ ∆ \ {−3 ; 3}
6. On considère la fonction g définie sur ∆ par
g (−3) = g (3) = 0
a. g est-elle continue au point d’abscisse 3 ?
b. g est-elle dérivable au point d’abscisse 3 ?
c. Donner le tableau de variations de g .
s
a
r
u
D
I
F
L
³ →
− →
−´
d. Construire la courbe représentative de g dans le repère O, ı ,  .
7. Soit m un réel strictement supérieur à 3. Calculer l’aire, Am , de l’ensemble des points M (x; y)
p
x
vérifiant 5 6 x 6 m et g (x) 6 y 6 .
2
Déterminer le réel m (m > 3) tel que Am = 6.
E XERCICE 588
On définit, pour t ∈ R⋆ , la fonction f t par
½
f t (x) = x ln |x| − (x − t ) ln |x − t | pour
f t (0) =
f t (t ) = t ln|t |
30 minutes
x ∈ R \ {0 ; t }
³ →
− →
−´
On appelle Ct , la courbe représentative de f t dans un repère orthonormé O, ı ,  .
1. a. Montrer que, ∀t ∈ R⋆ , ∀x ∈ R, on a f −t (x) = − f t (−x).
Que peut-on en déduire pour les courbes Ct et C−t .
On suppose dans toute
la¶suiteµdu problème
que t > 0.
¶
µ
t
t
− x = ft
+x .
b. Démontrer que f t
2
2
t
Que représente la droite d’équation x = par rapport à la courbe Ct .
2
·
·
t
2. Soit l’intervalle I t =
; +∞ .
2
ln (1 + ah)
= a.
a. Démontrer que pour tout réel a fixé, on a lim
h→0
h
b. Démontrer que f t est continue sur I t .
c. Etudier la dérivabilité de f t sur I t et en déduire le sens de variation de f t sur I t .
f t (x)
d. Démontrer que lim
= 0.
x→+∞ x
e. Tracer C1 , C4 et C 1 .
4
f. Déterminer l’image J t de I t par f t .
½
I t 7→
Jt
On pose
g t : x 7→ f t (x)
Démontrer que tout élément de I t a une image par g t et que tout élément de J t a un
unique antécédent par g t .
CHAPITRE 2. FONCTIONS
262
☞ On dira alors que g t est bijective.
On note h t la fonction réciproque de g t , c’est-à-dire la fonction telle que si x ∈ I t et y ∈ J t
tels que g t (x) = y alors h t (y) = x.
3. a. Démontrer que si t > 2, f t ne s’annule pas.
b. En combien de points s’annule f 2 ?
c. Démontrer que si 0 < t < 2, f t s’annule en deux points dont on appelle les abscisses α(t )
et β(t ) avec α(t ) < β(t ).
Montrer que α(t ) + β(t ) = t .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 589
45 minutes
3e x + 1
.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x
e +1
³ →
− →
−´
On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, ı ,  (unité graphique
2 cm).
Partie A : Etude et représentation graphique de la fonction f.
1. a. Soit A, M et M ′ trois points de la courbe C d’abscisses respectives 0, x et −x.
Démontrer que quelque soit x ∈ R, M ′ est le symétrique de M par rapport à A.
b. Déterminer la limite de f en −∞.
Déterminer la limite de f en +∞. (on pourra utiliser la question 1.a ou poser X = e x ).
En déduire que C possède deux asymptotes dont on précisera les équations.
c. Calculer f ′ (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f .
2. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C auµ point d’abscisse
0.
¶
1
b. On considère la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x) = f (x) − x + 2 .
2
¶
µ x
e −1 2
′
.
Montrer que, pour tout réel x, ϕ (x) = − x
e +1
En déduire le sens de variation de la fonction ϕ puis son signe (on précisera ϕ(0)).
c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite T .
3. Tracer la droite T , la courbe C et ses asymptotes.
Partie B : Calcul d’aire
1. a. Etudier les variations de la fonction h(x) = f (x) − x.
b. En déduire, que la droite D d’équation y = x coupe la courbe C en un seul point dont
l’abscisse α est comprise entre 2 et 3.
2e x
.
2. a. Montrer que pour tout x ∈ R, f (x) = 1 + x
e +1
En déduire une primitive F de f sur R.
b. Exprimer, en fonction de α, l’aire du domaine limité par la courbe C, la droite D et les
droites d’équations x = 0 et x = α.
Partie C : Approximation du réel α au moyen d’une suite
Dans cette partie, on désigne par I l’intervalle [2 ; 3].
¶
µ
1
1
′
−
.
1. a. Montrer que, pour tout x réel, f (x) = 2 x
e + 1 (e x + 1)2
2.11. VERS LE SUPÉRIEUR
263
¯
¯ 1
b. En déduire que, pour tout réel x ∈ I , ¯ f ′ (x)¯ 6 .
2
¯
¯ 1
¯
c. En déduire que, pour tout réel x ∈ I , f (x) − f (α)¯ 6 |x − α|.
2
2. On définit la suite (u n ) d’éléments de l’intervalle I par : u 0 = 3 et ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ).
1
a. Montrer que, pour tout n ∈ N, |u n − α| 6 n |3 − α|.
2
b. Déterminer un entier naturel p tel que u p soit une valeur approchée à α à 10−3 près.
s
a
r
u
D
I
F
L
c. Donner la valeur approchée de u p proposée par la calculatrice.
264
CHAPITRE 2. FONCTIONS
s
a
r
u
D
I
F
L
Chapitre 3
Géométrie
s
a
r
u
D
I
F
L
3.1 Droites et plans de l’espace
3.1.1 Point de cours
☞ Dans un plan de l’espace, tous les théorèmes de la géométrie du plan s’appliquent.
« Théorème du toit » : Soit P et P′ deux plans. Soient d une droite incluse dans P et d ′ une
droite incluse dans P′ telles que d parallèle à d ′ . Si P et P′ sont sécants en une droite ∆, alors
les droites ∆, d et d ′ sont parallèles.
3.1.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 590
On considère le cube ABC DE FG H . I est le milieu de [HG]
H
E
I
G
b
F
C
D
A
5 minutes
1. Démontrer que les droites (I D) et (CG) sont sécantes.
2. Démontrer que les droites (I D) et (EC ) ne sont pas
coplanaires.
B
E XERCICE 591
5 minutes
On considère un pavé droit ABC DE FG H . Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [AD] et
[AB ].
Démontrer que les droites (I J ) et (H F ) sont parallèles.
E XERCICE 592
5 minutes
On considère un tétraèdre ABC D. Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [AD] et [DC ].
266
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
1
1
AB et L le point de [BC ] tel que C L = C B .
3
3
Démontrer que les droites (I J ) et (K L) sont parallèles.
Soit K le point de [AB ] tel que AK =
E XERCICE 593
10 minutes
On considère un pavé droit ABC DE FG H . Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [HG] et
[AB ].
1. Démontrer que les droites (I D) et (F J ) sont parallèles.
2. Quelle est la nature du quadrilatère D I F J ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 594
On considère un pavé droit ABC DE FG H .
10 minutes
1. Démontrer que les droites (E F ) et (H D) sont orthogonales.
2. Démontrer que les droites (AB ) et (H D) sont orthogonales.
E XERCICE 595
Soient ABC D un tétraèdre régulier et I le milieu du segment [AB ].
10 minutes
1. Démontrer que la droite (AB ) est orthogonale au plan (D IC ).
2. En déduire que les droites (AB ) et (C D) sont orthogonales.
E XERCICE 596
5 minutes
1
On considère le cube ABC DE FG H . Soit I le point de [E H ] tel que E I = E H et J le point de
3
2
[FG] tel que F J = FG.
3
Construire la section du cube par le plan (AI J ).
E XERCICE 597
5 minutes
On considère un pavé droit ABC DE FG H . Soient I et J les milieux respectifs des segments [E H ]
1
et [HG]. Soit K le point de [DC ] tel que C K = C D.
4
Construire la section du pavé par le plan (I J K ).
E XERCICE 598
5 minutes
Soient ABC D un tétraèdre régulier, I et J les milieux respectifs des arêtes [AB ] et [AD], K le
1
point de [DC ] tel que C K = C D.
3
Construire la section du tétraèdre par le plan (I J K ).
E XERCICE 599
Soit ABC DE FG H un cube de côté 1.
1.
2.
3.
4.
Démontrer que la droite (H D) est orthogonale au plan (E FG).
En déduire la position relative des droites (EG) et (H D).
Quelle est la nature du triangle AEG ?
Calculer la distance AG.
10 minutes
3.1. DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
267
E XERCICE 600
10 minutes
Soient ABC DE FG H un cube de côté 1, I , J et K les milieux respectifs des segments [AC ], [AH ]
et [HC ].
1. Démontrer que les droites (I J ) et (DK ) sont orthogonales.
2. Calculer la distance I J .
3. Quelle est la nature du triangle I J K .
3.1.3 Exercices d’approfondissement
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 601
ABC DE FG H désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [B F ].
Le point J est le milieu du segment [BC ].
Le point K est le milieu du segment [C D].
On admet que les droites (I J ) et (CG) sont sécantes en un point L.
G
F
I
10 minutes
H
E
b
A
D
b
K
b
J
B
C
Construire, sur la figure en laissant apparents les traits de construction :
• le point L ;
• l’intersection D des plans (I J K ) et (C D H ) ;
• la section du cube par le plan (I J K ).
E XERCICE 602
10 minutes
S
On considère une pyramide équilatère
S ABC D (pyramide à base carrée dont toutes
les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre.
Les diagonales du carré ABC D mesurent
24 cm. On note O le centre du carré ABC D.
On admettra que OS = O A.
D
A
O
B
1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC ).
2. En déduire le volume, en cm3 , de la pyramide S ABC D.
C
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
268
E XERCICE 603 : QCM
5 minutes
La figure ci-dessous représente un cube ABC DE FG H . Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [G H ] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces AB F E et
BCGF .
I
H
b
G
b
Indiquer la bonne réponse :
s
a
r
u
D
I
F
L
b
E
b
J
b
F
Les droites (I J ) et (M N ) sont :
1.
2.
3.
4.
N
b
M
b
D
b
A
b
b
perpendiculaires
sécantes, non perpendiculaires
orthogonales
parallèles
C
b
B
E XERCICE 604
Indiquer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Soit ABC DE FG H un cube.
5 minutes
G
H
Proposition : Les droites (EC ) et (BG) sont orthogonales.
E
F
C
D
A
B
E XERCICE 605
Indiquer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
L
ABC DE FG H est un cube de côté 1. Le point L ap1
partenant au segment [E F ] tel que E L = E F .
3
Proposition : La section du cube par le plan (BDL)
est un triangle.
5 minutes
H
E
b
G
F
A
B
D
C
3.1. DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
269
E XERCICE 606
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.
−→ 3 −−→ −→ 1 −−→
On définit les points I et J respectivement par HI = HG et JG = CG .
4
4
E
15 minutes
b
F
b
s
a
r
u
D
I
F
L
H
I
b
b
D
b
G
b
J
b
A
b
C
b
B
b
1. Tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF].
2. Tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF).
3. Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un
triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.
E XERCICE 607
15 minutes
Dans l’espace, on considère une pyramide S ABC E à base carrée ABC E de centre O telle que
O A = OB = 1. Soit D le point du segment [OS] tel que OD = 1
S
D
b
C
E
O
A
B
1. Soit U le point de la droite (SB ) de cote 1. Construire
le point U sur la figure.
2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU ) et de la
droite (SC ). Montrer que les droites (UV ) et (BC ) sont
parallèles. Construire le point V sur la figure.
Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U
dans le trapèze AUV E .
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
270
E XERCICE 608
10 minutes
ABC DE FG H est un cube. I est le milieu du segment [AB ], J est le milieu du segment [E H ], K
est le milieu du segment [BC ] et L est le milieu du segment [CG].
J
E
H
b
F
b
b
b
b
G
1. Les droites (I J ) et (K L) sont-elles sécantes ?
2. Tracer la section du cube par le plan (I K L).
L
b
s
a
r
u
D
I
F
L
A
b
I
b
D
b
b
B
b
K
b
C
E XERCICE 609
10 minutes
On considère un cube ABC DE FG H . Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [G H ] et [B F ],
P le point d’intersection des droites (EG) et (F I ) ; Q le point d’intersection des droites (FC ) et
(G J ).
Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale aux droites (EG) et (FC ).
E XERCICE 610
20 minutes
On considère un cube ABC DE FG H de côté a.
Les deux questions sont indépendantes.
1. Les points I , J et K sont trois points respectivement des faces (BCGF ), (AB F E ) et (E FG H )
(voir figure ci-contre).
a. Construire l’intersection de la droite (I J ) et
du plan (E FG).
b. En déduire l’intersection du plan (I J K )
avec les faces du cube.
G
H
K
b
E
F
b
I
b
2. On suppose que les points I , J et K sont les
centres respectifs des faces (BCGF ), (AB F E ) et
(E FG H )
a.
b.
c.
d.
Quelle est la nature du triangle I J K ?
Démontrer que F I = F J = F K .
Démontrer que D I = D J = DK .
En déduire que la droite (F D) est perpendiculaire au plan (I J K ).
D
A
J
C
B
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
271
E XERCICE 611
20 minutes
On considère un cube ABC DE FG H de côté a.
Les deux questions sont indépendantes.
1. Les points I , J et K sont trois points respectivement des arêtes [FG], [AB ] et [D H ] (voir figure
ci-contre).
Construire l’intersection du plan (I J K ) avec les
faces du cube.
2. On suppose que les points I , J et K sont les milieux respectifs de [FG], [AB ] et [D H ].
G
H
b
I
E
K
F
b
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Démontrer que la droite (EC ) est perpendiculaire au plan (I J K ).
b. Démontrer que I J K est un triangle équilatéral.
C
D
b
A
J
B
3.2 Géométrique vectorielle dans l’espace
3.2.1 Point de cours
Propriété 1 : Caractérisation vectorielle d’une droite
Soient A et B deux points distincts de l’espace. Un point M appartient à la droite (AB ) si et
−−−→
−−→
seulement si il existe un réel k tel que AM = k AB .
−−→
Remarque : le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite (AB ).
Propriété 2 : Caractérisation vectorielle d’un plan
Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace. Un point M appartient au plan (ABC ) si et
−−−→
−−→
−−→
seulement si il existe deux réels x et y tels que AM = x AB + y AC .
−−−→
−−→ −−→
Remarque : AM est une combinaison linéaire de AB et AC .
Propriété 3 : Vecteur coplanaire
→
− →
−
−
→
→
−
→
−
Soient u , v et w trois vecteurs de l’espace tels que u et v ne sont pas colinéaires.
→
− →
−
−
→
−
→
→
−
→
−
u , v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que w = x u + y v .
Définitions : Base et repère de l’espace ³
−´
→
− →
− →
• On appelle base de l’espace tout triplet i , j , k de vecteurs non coplanaires.
³ →
³→
−´
−´
− →
− →
− →
− →
• Tout quadruplet O, ı ,  , k , où O est un point de l’espace et i , j , k une base, est un
repère de l’espace.
Remarque
³→
−´
→
− →
− →
− →
→
−
→
−
−
Le triplet i , j , k est une base de l’espace signifie que si α i + β j + γ k = 0
alors α = β = γ = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
272
4 : coordonnées d’un vecteur relativement à une base
³Propriété
−´
→
− →
− →
→
−
i , j , k désignant une base de l’espace, pour tout vecteur u de l’espace, il existe un unique
¡
¢
→
−
→
−
→
−
→
−
triplet x, y, z de nombres réels tels que u = x i + y j + z k ³.
¡
¢
−´
→
− →
− →
→
−
On dit que x, y, z sont les coordonnées de u dans la base i , j , k .
Propriété
5 : Coordonnées
d’un point
³ →
−´
− →
− →
Soit O, ı ,  , k un repère de l’espace.
¡
¢
→
−
→
−
→
−
−−−→
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet x;
y; z tel que
OM = x i + y j + z k .
³
´
¡
¢
−
→
− →
− →
x; y; z sont les coordonnées du point M dans le repère O, ı ,  , k .
s
a
r
u
D
I
F
L
Propriété 6
¢
¢
¡
¡
Soient A x A ; y A ; z A et B x B ; y B ; z B deux points de l’espace, I milieu du segment [AB ]. On a
¢
x A + xB
y A + yB
z A + zB
−−→ ¡
AB x B − x A ; y B − y A ; z B − z A et x I =
, yI =
et z I =
.
2
2
2
Propriété 7 : Représentation
paramétrique d’une droite
³ →
¡
−´
− →
− →
Dans un repère O, ı ,  , k de l’espace, on considère un point A x A ;
→
−
→
−
nul u (a; b; c) et la droite d passant par A et de vecteur directeur u .

 x
¡
¢
y
Pour tout point M x; y; z de l’espace : M ∈ d ⇐⇒ ∃t ∈ R tel que

z
Ce système s’appelle une représentation paramétrique de la droite .
¢
y A ; z A , un vecteur non
=
=
=
xA
yA
zA
+
+
+
at
bt .
ct
Propriété 8 : Représentation
paramétrique d’un plan
³ →
¢
¡
−´
− →
− →
Dans un repère O, ı ,  , k de l’espace, on considère un point A x A ; y A ; z A , deux vecteurs
¢
→
−
→
−¡
non nuls u (a; b; c) et v a ′ ; b ′ ; c ′ .
¡
¢
→
−
→
−
Soit P le plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v . Pour tout point M x; y; z :

′ ′
 x = x A + at + a t
′ ′
′
y = y A + bt + b t
M ∈ P ⇐⇒ il existe deux réels t et t tels que

z = z A + c t + c ′t ′
Ce système s’appelle une représentation paramétrique du plan P .
Définition et propriété du barycentre : Soit ( A i ; αi ), (1 6 i 6 n), un système de points pondérés
n
X
αi non nulle.
de masse totale m =
i =1
n
X
−−−→ →
−
(1) Il existe un unique point G, appelé barycentre du système, tel que
αi G A i = 0 .
i =1
o
n
On peut noter : G = bar (A 1 ; α1 ) , (A 2 ; α2 ) , · · · , (A n ; αn ) .
n
−−−→ 1 X
−−−→
(2) Pour tout point M , on a MG =
αi M A i .
m i =1
Remarque : Si ∀i ∈ N⋆ , αi = 1, G est le centre de gravité de A 1 A 2 · · · A n .
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
273
3.2.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 612
5 minutes
Soit un cube ABC DE FG H . Construire les points M , N et P tels que :
−−→ −−→ −−→
−−→
−−→ −−→ −−→
−−−→ −−→ −−→ 1 −−→
2. AN = FG + DC + 2F E
3. P A + P B = P F .
1. AM = AB + AE + AD
2
E XERCICE 613
Soit un tétraèdre régulier ABC D.
5 minutes
−−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→ −−→ 1 −−→
1. Construire les points E et F tels que : AE = AB + AD et AF = AC − DC .
2
2
2
−−→
−−→
2. Exprimer le vecteur E F en fonction de BC .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 614
Soient ABC DE FG H un pavé, I et J les milieux respectifs de [E B ] et de [EC ].
−→ −−→
Montrer que les vecteurs I J et E H sont colinéaires.
E XERCICE 615
Soit ABC D un tétraèdre.
5 minutes
10 minutes
1. Placer les points I , G et F tels que :
•
•
•
I milieu de [B D].
−−→ −−→ −−→ →
−
GB + GC + GD = 0
−−→ 1 −−→
AF = AC .
3
−→ −−→
2. Démontrer que les vecteurs AI et FG sont colinéaires.
E XERCICE 616
On considère un cube ABC DE FG H de centre O. Soit I le milieu de [G H ].
−−→ −−→ −−→
1. Justifier que les vecteurs AB , AC et AE ne sont pas coplanaires.
−−→ −→ −−→
−−→ −−→ −−→
2. Exprimer les vecteurs AG , AI , DO en fonction de AB , AC et AE .
10 minutes
E XERCICE 617
Soit ABC D un tétraèdre, I et J les milieux respectifs de [C D] et [B D].
−−→ −−→ −−→
1. Justifier que les vecteurs AB , AC et AD ne sont pas coplanaires.
−→ −→ −−→
−−→ −−→ −−→
2. Exprimer les vecteurs AI , B J , B D en fonction de AB , AC et AD .
10 minutes
E XERCICE 618
15 minutes
Soit ABC DE FG H un parallélépipède. Soient I et J les milieux respectifs de [G H ] et [AG] et K
−−→ 3 −−→
le point tel que E K = E F .
2
³ −−→ −−→ −−→´
1. Justifier que A; AB ; AD ; AE est un repère de l’espace.
2. Donner les coordonnées des points A, B , D et E .
3. Déterminer les coordonnées des points G, H , I , J et K .
274
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
−−→ −→ →
− −→
−−→
4. Déterminer les coordonnées des vecteurs K J , I J et u = G I + 3 I K .
E XERCICE 619
On considère le cube ABC DE FG H de centre O.
³ −−→ −−→ −−→´
1. Justifier que O; O A ; OC ; OF est un repère de l’espace.
2. Donner les coordonnées des points O, A, C et F .
3. Déterminer les coordonnées des points B , D, E , G et H .
15 minutes
E XERCICE 620
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
→
−
Dans l’espace muni d’un repère O, ı ,  , k , on considère les vecteurs u (2; −1; 0),
→
−
−
→
v (1; 0; 5) et w (1; 2; 3).

 2a + b + c = 0
→
−
→
−
−
→ →
−
1. Vérifier que la relation a u + b v + c w = 0 s’écrit
−a + 2c
= 0

5b + 3c
= 0
2. Résoudre ³le système´précédent.
→
− →
− −
→
3. Le triplet u ; v ; w définit-il une base de l’espace ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 621
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
−→
Dans l’espace muni d’un repère O, ı ,  , k , on considère les vecteurs u 1 (1; −2; 1),
−→
−→
−→
u 2 (1; 2; −3), u 3 (−1; −6; 7) et u 4 (0; 1; 1).
³−→ −→ −→´
1. Le triplet u 1 ; u 2 ; u 3 définit-il une base de l’espace ?
³−→ −→ −→´
2. Le triplet u 1 ; u 2 ; u 4 définit-il une base de l’espace ?
E XERCICE 622
15 minutes
¢
¡
→
−
1. Soit
∆ la droite
de vecteur directeur u (a; b; c) passant par A x A ; y A ; z A dans un repère
³ →
−´
− →
− →
O, ı ,  , k de l’espace. Soit M (x; y; z) un point de l’espace

 x = x A + at
y = y A + bt , où t est un réel.
Démontrer que M ∈ ∆ ⇐⇒

z = zA + ct
→
−
2. Ecrire la représentation paramétrique de la droite de vecteur directeur u (2; 3; −4) passant
par A (4; −2; 5).
3. Déterminer un vecteur directeur et deux points de la droite D de représentation paramé
 x = 1 + 2t
y = −3 + t , où t est un réel.
trique

z = 9 − 3t
E XERCICE 623
15 minutes
→
−
1. Ecrire la représentation paramétrique de la droite D de vecteur directeur u (1; 2; −5) passant par A (1; 1; 0).
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
275
→
−
2. Ecrire la représentation paramétrique de la droite ∆ de vecteur directeur v (−2; 1; 4) passant
par A (2; −2; 1).
3. Les droites D et ∆ sont-elles sécantes ?
E XERCICE 624
10 minutes
1. Retrouver la formule de la représentation paramétrique d’un plan.
→
−
2. Ecrire la représentation paramétrique du plan P dirigé par les vecteurs u ( 2; 3; −4) et
→
−
v ( 1; 2; 3) passant par A ( 4; −2; 5).
3. Déterminer trois points différents de A appartenant au plan P.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 625
15 minutes
→
−
→
−
1. Ecrire la représentation paramétrique du plan Π dirigé par les vecteurs u (1; 0; 2) et v (2; 1; 1)
passant par A (1; 2; 3).
→
−
2. Ecrire la représentation paramétrique du plan P dirigé par les vecteurs a ( −2; 2; 1) et
→
−
b ( 0; 1; −4) passant par B (2; −2; 0).
3. Les plans Π et P sont-ils sécants ?
E XERCICE 626
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère O, ı ,  , k , on considère les points A(1; 1; 0), B (2; 0; 1),
C (0; 1; 1), D(2; 3; 3) et G(−6; 0; 1).
−−→
−−→ −−→
−−→
1. Déterminer les coordonnées des points P et Q tels que AP = 2C B et C D = 3QB .
2. En déduire que les points P , Q et G sont alignés.
E XERCICE 627
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère O, ı ,  , k , on considère les points A(1; 1; 1), B (2; 0; 1),
C (0; 1; 1), D(3; −2; 1).
Démontrer que les points A,B , C et D sont coplanaires.
E XERCICE 628
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
→
−
→
−
Dans l’espace muni d’un repère O, ı ,  , k , on considère les vecteurs u (1; 5; −3), v (2; 1; 1),
−
→
→
−
w (1; 1; 1), et t (−2; −5; 3).
→
− →
−
−
→
1. Démontrer que les vecteurs u , v et w ne sont pas coplanaires.
→
−
→
− →
−
−
→
2. Exprimer le vecteur t en fonction de u , v et w .
E XERCICE 629
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
On se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace. On considère les points
A(1; 2; 3), B (1; 3; 6), C (−2; 0; 1) et D(3; 1; −1).
1. Etablir une représentation paramétrique des droites (AB ) et (C D).
2. Les droites (AB ) et (C D) sont-elles sécantes ?
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par le point C et parallèle à la droite (AB ).
276
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
E XERCICE 630
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
On se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace. On considère les points
A(1; 2; 3), B (1; 3; 6), C (−2; 0; 1), D(3; 1; −1) et E (1; 1; 1).
1.
2.
3.
4.
Etablir une représentation paramétrique du plan (ABC ).
Etablir une représentation paramétrique de la droite (DE ).
Le plan (ABC ) et la droite (DE ) sont-ils sécants ?
Déterminer une représentation paramétrique du plan P passant par le point E et parallèle
plan (ABC ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 631
On considère les points A(2; 3; 4) et B (5; −1; 0).
10 minutes
1. Etablir une représentation paramétrique de la droite (AB ).
2. Les points C (4; −1; 0) et D(5; −1; 0) appartiennent-ils à la droite (AB ) ?
3.2.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 632
25 minutes
On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de
surveiller deux routes aériennes représentées par
droites
de l’espace.
³ deux
³ →
−´
→
− →
− →
− →
−´
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k d’unité 1 km. Le plan O, ı , 
représente le sol.
Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites (D1 ) et (D2 ) , dont
on connaît des représentations paramétriques :


 x = 3+a
 x = 0, 5 + 2b
y = 4+b
(D1 ) y = 9 + 3a avec a ∈ R (D2 )
avec b ∈ R.


z = 2
z = 4−b
−→
−→
1. a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur u 1 directeur de la droite (D1 ) et d’un vecteur u 2
directeur de la droite (D2 ).
b. Prouver que les droites (D1 ) et (D2 ) ne sont pas coplanaires.
2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S(3 ; 4 ; 0,1), un appareil
de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée (R) . Soit (P1 ) le plan
contenant S et (D1 ) et soit (P2 ) le plan contenant S et (D2 ).
a. Montrer que (D2 ) coupe(P1 ).
b. Montrer que (D1 ) coupe (P2 ).
c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette
droite coupe chacune des droites (D1 ) et (D2 ).
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
E XERCICE 633
On considère dans le plan P un triangle
ABC .
n
277
10 minutes
o
Soit G le barycentre du système (A, 3), (B, 1), (C , 1) ,
n
o
n
o
Q le barycentre du système (A, 3), (C , 1) et R le barycentre du système (A, 3), (B, 1) .
1. Démontrer que les droites (BQ) et (C R) passent par G.
2. Soit P le milieu de [BC ], démontrer que les points A, P et G sont alignés.
−−→
−−→
Exprimer PG en fonction de P A .
3. On suppose que³les points B
et C sont fixes et le point A décrit l’ensemble E des points M
−−−→ −−−→´ π
du plan tels que M B , MC = modulo π.
2
Déterminer alors l’ensemble E′ décrit par le point G.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 634
Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
−−→ 1 −−→
ABC DE FG H est un cube de côté 1. Le point L est tel que E L = E F .
3
Proposition : Le triangle DB L est rectangle en B .
10 minutes
E XERCICE 635
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
On se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace et l’on considère la droite d

 x = 1+t
y = 2,
dont une représentation paramétrique est :
t ∈ R. Soit ∆ la droite passant par

z = 3 + 2t
→
−
le point D(1 ; 4 ; 1) et de vecteur directeur v (2 ; 1 ; 3).
On considère les points A, B et C avec A(−2 ; 2 ; 3), B (0 ; 1 ; 2) et C (4 ; 2 ; 0).
1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Les droites d et ∆ sont-elles coplanaires ?
E XERCICE 636
5 minutes
Dans un repère de l’espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3), B (−1 ; 5 ; 4) et C (−1 ; 0 ; 4).
La droite parallèle à la droite (AB ) passant par le point C a pour représentation paramétrique :




x
=
−2t
−
1


x = −1

a.
y = 3t


z = t + 4



x = −1 − 2t
c. y = 5 + 3t


z = 4 + t
,t ∈ R
,t ∈ R
b.
,t ∈ R
y = 7t


z = 7t + 4



x = 2t
d. y = −3t , t ∈ R


z = −t
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
278
E XERCICE 637 QCM
10 minutes
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(2 ; 5 ; −1), B(3 ; 2 ; 1) et
C(1 ; 3 ; −2). Le triangle ABC est :
1. rectangle et non isocèle
3. rectangle et isocèle
2. isocèle et non rectangle
4. équilatéral
E XERCICE 638
10 minutes
L’espace est rapporté à un repère orthonormé et l’on considère les droites D1 et D2 qui admettent
pour représentations paramétriques respectives :


′


 x = −5t + 3
x = 1 + 2t


, t′ ∈ R
et
y = 2t ′
y = 2 − 3t , t ∈ R




z = t ′ + 4
z = 4t
s
a
r
u
D
I
F
L
Les droites D1 et D2 sont -elles sécantes ?
E XERCICE 639
20 minutes
Définition et propriété du barycentre : Soit ( A i ; αi ), (1 6 i 6 n), un système de points pondérés
n
X
αi non nulle.
de masse totale m =
i =1
n
X
(1) Il existe un unique point G, appelé barycentre du système, tel que
i =1
o
n
On peut noter : G = bar (A 1 ; α1 ) , (A 2 ; α2 ) , · · · , (A n ; αn ) .
n
−−−→ 1 X
−−−→
(2) Pour tout point M , on a MG =
αi M A i .
m i =1
Remarque : Si ∀i ∈ N⋆ , αi = 1, G est le centre de gravité de A 1 A 2 · · · A n .
−−−→ →
−
αi G A i = 0 .
1. Démontrer l’unicité du point G.
2. Démontrer la relation
(2). ´
³ →
¡
¢
−
− →
− →
3. Dans un repère O, ı ,  , k , on pose A i x A i ; y A i ; z A i . Déduire de la question précédente
les coordonnées de G.
4. Démontrer qu’on ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains
d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.
5. Soit ABC D un parallélogramme. Construire le point G = bar {(A; 1) , (B ; 1) , (C ; 2) , (D; 4)}.
E XERCICE 640
10 minutes
Soit A, B, C , trois points distincts de l’espace E, on définit une application de E dans R par :
−−−→
−−−→
−−−→
f (M ) = 2kM A k2 + 3kM B k2 − 2kMC k2 .
1. Justifier l’existence de G barycentre des points A, B, C , affectés respectivement des coefficients 2, 3, −2.
−−→ −−→ −−→
Donner une relation vérifiée par les vecteurs G A , GB et GC .
2. Montrer que f (M ) = 3kMGk2 + k où k = f (G).
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
279
3. Discuter suivant les valeurs de k, la nature de l’ensemble des points M tels que f (M ) = 4.
E XERCICE 641
15 minutes
Soit A, B, nC , trois points non alignés
de
l’espace
E
,
on
désigne
par
G
le
barycentre
du systèmeo
1
o
n
de points (A, 3), (B, 2), (C , −1) et G 2 le barycentre du système de points (A, 2), (B, 1), (C , 1) .
−−−−→
−−→ −−→
1. Calculer G 1G 2 en fonction de AB et AC . En déduire que G 1 6= G 2 .
−−−−→
−−−→
−−−→ −−−→
2. A tout point M de E, on fait correspondre le point M 1 tel que : M M 1 = 3M A + 2M B − MC
−−−−→
−−−→ −−−→ −−−→
et le point M 2 tel que : M M 2 = 2M A + M B + MC .
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Montrer que si M décrit une droite de l’espace E, il en est de même de M 1 .
−−−−−→
b. Montrer que le vecteur M 1 M 2 reste constant lorsque M décrit l’espace E.
E XERCICE 642
Soit ABC D un tétraèdre régulier : AB = BC = C D = D A = AC = B D.
1. Montrer que les droites (AC ) et (B D) sont orthogonales.
2. Soit I le milieu de [AB ] et P le plan passant par I , parallèle à (AC ) et (B D).
a. Montrer que P coupe les autres arêtes du tétraèdre en J , K , L milieux respectifs de [BC ],
[C D], [D A].
b. Montrer que I J K L est un carré.
3. Soit G l’isobarycentre de A, B, C , D. Montrer que G est le centre du carré I J K L.
4. a. Soit ∆ la droite orthogonale au plan P passant par G.
Montrer que ∆ passe par M et N , milieux respectifs des arêtes [AC ] et [B D].
b. Soit s la symétrie orthogonale d’axe ∆. Montrer que s laisse ABC D globalement invariant.
E XERCICE 643
On considère un cube ABC DE FC H ci-dessous
P
H
20 minutes
+
G
+
M
F
+
E
D
A
N
C
B
−−→ 1 −−→
On note M le milieu du segment [E H ], N celui de [FC ] et P le point tel que HP = HG .
4
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
280
Partie A : Section du cube par le plan (MNP)
1. Justifier que les droites (M P ) et (FG) sont sécantes en un point L.
Construire le point L
2. On admet que les droites (LN ) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN ) et (B F ) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.
a. Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
b. Construire l’intersection des plans (M N P ) et (AB F ).
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (M N P ).
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
³
−−→ −−→ −−→´
L’espace est rapporté au repère A ; AB , AD , AE .
1. Donner les coordonnées des points M , N et P dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du point L.
¶
µ
5
.
3. On admet que le point T a pour coordonnées 1 ; 1 ;
8
Le triangle T P N est-il rectangle en T ?
E XERCICE 644
+
F
+
E
O1
15 minutes
G
H
D
O2
C
On considère un cube ABC DE FG H , on appelle O 1 et O 2 les centres respectifs des faces
AD H E et B DGF .
Soit N un point du segment [H F ] et P un
point du segment [AC ] définis par
−−−→
−−→ −−→
−−→
H N = k H F et AP = k AC où k ∈ [0; 1].
½
¾
A
B
1. Montrer que N est barycentre du système des points pondérés (H , 1 − k) , (F, k) et que
½
¾
P est barycentre du système des points pondérés (A, 1 − k) , (C , k) .
2. Soit d le demi-tour d’axe (O 1O 2 ).
Quelles sont les images par d des points A, C et P ?
−−−→ −−→
−−→
3. I étant le milieu du segment [N P ], montrer que H N + AP = 2O 1 I
−−→ −−→
−−−−→
puis que H F + AC = 2O 1O 2 .
−−→
−−−−→
En déduire que O 1 I = k O 1O 2 avec k ∈ [0; 1].
Quel est l’ensemble des points I lorsque k décrit l’intervalle [0; 1] ?
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
281
E XERCICE 645
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère O, ı ,  , k .
20 minutes
Soit P le plan d’équation cartésienne : 2x − z − 3 = 0.
¡
¢
On note A le point de coordonnées 1 ; a ; a 2 où a est un nombre réel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur de a, le point A n’appartient pas au plan P.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre t ) passant
par le point A et orthogonale au plan P.
b. Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre dans la
représentation paramétrique précédente.
Exprimer la distance AM en fonction du réel t .
s
a
r
u
D
I
F
L
On note H le point d’intersection du plan P et de la
droite D orthogonale à P et
passant par le point A. Le
point H est appelé projeté
orthogonal du point A sur le
plan P et la distance AH est
appelée distance du point A
au plan P.
D
b
P
A
H
¡
¢
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées 1 ; a ; a 2
au plan P est minimale ? Justifier la réponse.
E XERCICE 646
20 minutes
Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH] tel que
AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour unité.
1. En justifiant la construction, placer le point G, barycentre du système de points pondérés
{(A ; 2); (B ; 1); (C ; 1)}.
2. On désigne le point M un point quelconque de (P).
−
→
−−→ −−→ −−→
a. Montrer que le vecteur V = 2M A − M B − M C est un vecteur dont la norme est 8.
b. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan tels que
° −−→ −−→ −−→° ° °
°
°
~°
°2M A + M B + M C° = °V
3. On considère le système de points pondérés {(A ; 2); (B ; n); (C ; n)} où n est un entier naturel
fixé.
a. Montrer que le barycentre Gn de ce système de points pondérés existe. Placer G0 , G1 , G2 .
b. Montrer que le point Gn appartient au segment [AH].
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
282
c. Calculer la distance AGn en fonction de n et déterminer la limite de AGn quand n tend
vers + ∞.
Préciser la position limite de Gn quand n tend vers
°
°→
° +−−∞.
−−→
−−→°
°− °
°
° →
d. Soit En l’ensemble des points M du plan tels que °2M A + n M B + n M C° = n ° V °.
Montrer que En est un cercle qui passe par le point A.
En préciser le centre et le rayon, noté Rn .
e. Construire E2 .
E XERCICE 647
20 minutes
Soit un cube ABC
FG H d’arête 1.
³ DE
−−→ −−→ −−→´
Dans le repère A ; AB , AD , AE , on considère les points M , N et P de coordonnées respecµ
¶ µ
¶
¶ µ
3
1
5
tives M 1 ; 1 ;
, N 0; ; 1 , P 1; 0; − .
4
2
4
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Placer M, N et P sur la figure ci-dessous.
H
G
E
F
D
C
A
B
−−−→ −−→
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs M N et M P .
En déduire que les points M , N et P ne sont pas alignés.
3. On considère la fonction en langage Python suivante :
def truc(xM , yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP) :
d = xN − xM
e = yN − yM
f = zN − zM
g = xP − xM
h = yP − yM
i = zP − zM
k = d ×g +e ×h + f ×i
return k
a. Exécuter à la main ce programme avec les coordonnées des points M , N et P données
ci-dessus.
3.2. GÉOMÉTRIQUE VECTORIELLE DANS L’ESPACE
283
b. A quoi correspond le résultat retourné par la fonction ? Qu’en déduire pour le triangle
MNP ?
4. Ecrire une fonction en langage Python qui teste et affiche si un triangle M N P est rectangle
et isocèle en M .
E XERCICE 648
Soit ABC DE FG H un cube d’arête de longueur
1.
³
−−→ −−→ −−→´
On se place dans le repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
15 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Montrer que la droite (DB ) admet pour représentation paramétrique

s
 x =
y = 1 − s, , où s décrit l’ensemble R des nombres réels.

z =
0
2. Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées (t ; t ; t ) où t est un
réel.
E XERCICE 649
10 minutes
1. Donner la représentation paramétrique de la droite passant par les points A(1; 2; 3) et
B (3; 2; 1).
MA
= 3.
2. Déterminer les coordonnées des points M de la droite (AB ) tels que
MB
E XERCICE 650
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
−
→
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , k , soit la droite (d ) de vecteur directeur V (−1; 3; 1)
passant par le point A(1; 2; −3) et le plan P d’équation x − 3y + z − 1 = 0.
Calculer les coordonnées du point d’intersection de la droite (d ) et du plan P.
E XERCICE 651
15 minutes
On considère un cube ABC DE FG H d’arête
de
longueur
1.
³
−→ −−→ −→´
On se place dans le repère orthonormé A ; AB ; AD ; AE .
¶ µ
¶ µ
¶
µ
2
3
1
; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre
On considère les points I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K
3
3
4
réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (I J ).
2. Démontrer que la droite (K L) a pour représentation paramétrique
µ
¶

3
3

′

a
−
+
t
x
=

4
4
, t′ ∈ R
′
y
=
t



z = 1− t′
1
3. Démontrer que les droites (I J ) et (K L) sont sécantes si, et seulement si, a = .
4
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
284
E XERCICE 652
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les
trois points non alignés A, B , C suivants, donnés par leurs coordonnées :
A(1 ; 0 ; −1) B (3 ; −1 ; 2) C (2 ; −2 ; −1), et le point E de coordonnées : E (4 ; −1 ; −2).
1.
2.
3.
4.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (C E ).
Déterminer une représentation paramétrique du plan P passant par A, B et C .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AE ).
On considère la droite D dont un système d’équations paramétriques est :
s
a
r
u
D
I
F
L
D:

 x
y

z
= 0
= 2+t
= −1 + t
t ∈R
−
→
a. Donner un point J et un vecteur directeur w de D.
b. Expliquer pourquoi la droite D est contenue dans le plan P.
E XERCICE 653
15 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère la droite D1 pas−→
sant par A(−4; −2; 2) et de vecteur directeur u 1 (1; 0; 2).
1. Etablir une représentation paramétrique de la droite D1 .
2. On considère la droite D2 définie par le système d’équations paramétriques suivant :

 x
y

z
= 5
= k
= −2 + k
avec k ∈ R.
−→
Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u 2 de la droite D2 .
3. Justifier que les droites D1 et D2 ne sont pas parallèles.
4. Montrer que l’intersection D1 ∩ D2 est vide. Que peut-on en conclure ?
3.3 Produit scalaire dans l’espace
3.3.1 Point de cours
→
−
→
−
→
− −−→
Définition 1 : Soient u et v deux vecteurs de l’espace, A, B et C trois points tels que u = AB
→
− −−→
et v = AC .
→
−
→
−
Soit P un plan contenant les points A, B et C . On appelle produit scalaire de u et v , noté
→
− →
−
−−→ −−→
u · v , le produit scalaire AB · AC calculé dans le plan P.
Propriété 1 : Expressions du produit scalaire
³→
− →
−
→
−
→
− ´
→
− →
−
− →
−´
→
− →
− 1³ →
• u · v = kuk × kvk × cos u ; v
• u · v = k u + v k2 − k u k2 − k v k2 .
2
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
285
³ →
¢
¢ →
−´
− →
− →
→
−¡
−¡
• Soient les vecteurs u x; y; z et v x ′ ; y ′ ; z ′ dans un repère orthonormé O, ı ,  , k alors
→
− →
−
u · v = xx ′ + y y ′ + zz ′ .
→
−
→
−
→
− →
−
Propriété 2 : Si deux vecteurs u et v sont orthogonaux alors u · v = 0.
Définition 2³ : Base orthonormée
de l’espace
−´
−
→
− →
− →
→
− →
− →
Toute base i , j , k de l’espace dans laquelle les vecteurs i , j , k sont de norme 1 et sont
deux à deux orthogonaux est appelée base orthonormée de l’espace.
→
−
→
−
Définition 3 : Soit un planP, un vecteur n est dit normal à P lorsque n est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
s
a
r
u
D
I
F
L
Propriété 3 : Soit un plan P de vecteur normal ~
n , A un point de P et M un point de l’espace.
−−−→ →
−
M ∈ P ⇐⇒ AM · n = 0.
Propriété 4 : Equation cartésienne d’un³plan
−´
→
− →
− →
On se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k . Soient a, b et c trois réels non simultanément nuls.
¡
¢
L’ensemble des points M x; y; z tels que ax + b y + c z + d = 0 est un plan de vecteur normal
→
−
n (a; b; c).
3.3.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 654
15 minutes
On considère le cube ABC DE FG H d’arête de longueur 1. Soient I et J les milieux respectifs de
[B F ] et de [D H ].
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
1. Déterminer les produits scalaires : AD · B F , AD · GF , AD · AF et AD · AG .
−−→ −−→
2. Déterminer par deux méthodes
différentes le´produit scalaire AH · B F .
³ −
−→ −−→ −−→
−→ −→
3. En se plaçant dans le repère A; AB , AD , AE , calculer les produits scalaires AI · A J et
−→ −−→
AI · B F .
E XERCICE 655
On considère le cube ABC DE FG H d’arête de longueur 1. Soit I le milieu [D H ].
−→ −−→
1. Exprimer le produit scalaire AI · AG
deux manières différentes.
³ de
−−→ −−→ −−→´
On pourra se placer dans le repère A; AB , AD , AE .
2. En déduire l’angle 
I AG.
E XERCICE 656
On considère le cube ABC DE FG H d’arête de longueur 1. Soit I le milieu [D H ].
−→ −→
1. Exprimer le produit scalaire I A · IC de deux manières différentes.
2. En déduire l’angle 
AIC .
10 minutes
10 minutes
286
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
E XERCICE 657
10 minutes
On considère le cube ABC DE FG H d’arête de longueur 1. Soit O le centre du cube.
−−→ −−→
1. Exprimer le produit scalaire OH · OG de deux manières différentes.
ƒ
2. En déduire l’angle HOG.
E XERCICE 658
³ →
−´
− →
− →
On se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k .
→
−
→
−
1. Démontrer que les vecteurs u (2; 1; −2) et v (2; 4; 4) sont orthogonaux.


′
 x = 1 + 2t
 x = −2 + 3t
′
y = 2−t
y = 2 + 3t
2. Démontrer que les droites D1 :
t ∈ R et D2 :


z = 1+ t′
z = −3 − 3t
orthogonales. Sont-elles perpendiculaires ?
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
t ′ ∈ R sont
E XERCICE 659
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace, on considère les points A(1; 2; −1),
B (2; −2; 3) et C (0; −1; 2).
1.
2.
3.
4.
Démontrer que les points A, B et C définissent un plan P.
→
−
Démontrer que le vecteur u (0; 1; 1) est un vecteur normal au plan P.
Déterminer un autre vecteur normal au plan P.
Déterminer une équation cartésienne de P.
E XERCICE 660
10 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère la droite D passant par les points
−→
A(2; 1; −3) et B (3; 6; 4), le plan P1 de vecteur normal n 1 (2; 1; −1) et le plan P2 d’équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0.
1. Démontrer que D est orthogonale à P1 .
2. Etudier la position relative des plans P1 et P2 .
E XERCICE 661
10 minutes
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse.
On munit l’espace d’un repère orthonormé, et on considère les plans P1 et P2 d’équations respectives x + y + z − 5 = 0 et 7x − 2y + z − 2 = 0.
1. Affirmation 1 : les plans P1 et P2 sont perpendiculaires.
2. Affirmation 2 : les plans P1 et P2 se coupent suivant la droite D , de représentation paramétrique :

t
 x =
y =
2t + 1 , t ∈ R.

z = −3t + 4
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
E XERCICE 662
ABCDEFGH est un cube.
J
E
H
b
F
b
b
b
G
I
b
B
b
A
b
L
b
b
b
b
C
b
D
287
10 minutes
I est le milieu du segment [AB ], J est le milieu du segment
[E H ], K est le milieu du segment [BC ] et L est le milieu du segment [CG].
³
−−→ −−→ −−→´
On munit l’espace du repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
1. Démontrer que la droite (F D) est orthogonale au plan (I J K ).
2. En déduire une équation cartésienne du plan (I J K ).
s
a
r
u
D
I
F
L
K
E XERCICE 663
5 minutes
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé et l’on considère la droite D qui admet pour
représentation paramétrique :

 x = −5t + 3
y = 2t
, t ∈R

z = t +4
Affirmation : La droite D est parallèle au plan d’équation x + 2y + z − 3 = 0.
E XERCICE 664
5 minutes
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou
en ´justifiant la réponse.
³ fausse,
−
→
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . Soit le plan P d’équation cartésienne
x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1 ; −2 ; −2).
Affirmation : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour représenta
 x = 2+t
y = −1 + t , t ∈ R.
tion paramétrique

z = 1 + 3t
E XERCICE 665 : QCM
5 minutes
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère la droite ∆ de représentation paramé
 x = t −7
y = t + 3 , t ∈ R et le plan P passant par le point D(−1 ; 2 ; 3) et de vecteur normal
trique

z = 2t + 5
→
−
n (3 ; −5 ; 1).
Une seule des affirmations suivantes est exacte. Laquelle ?
1. La droite ∆ est perpendiculaire au plan P.
2. La droite ∆ est parallèle au plan P et n’a pas de point commun avec le plan P.
3. La droite ∆ et le plan P sont sécants.
4. La droite ∆ est incluse dans le plan P.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
288
E XERCICE 666 : QCM
5 minutes
Une seule des affirmations suivantes est exacte. Laquelle ?
Soit A et B deux points distincts de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que
−−−→ −−−→
M A · M B = 0 est :
a. l’ensemble vide
b. le plan médiateur
du segment [AB ]
c. la sphère de diamètre [AB ]
E XERCICE 667
d. la droite (AB )
5 minutes
G
H
s
a
r
u
D
I
F
L
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie
ou fausse, en justifiant la réponse.
Dans le cube ABC DE FG H , le point T est le
milieu du segment [H F ].
Affirmation : les droites (AT ) et (EC ) sont
orthogonales
T
E
F
C
D
A
B
E XERCICE 668
5 minutes
Indiquer si l’affirmation suivante
est
vraie
ou
fausse,
en
justifiant
la
réponse.
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère O, ı ,  , k . On considère les points I (1 ; 0 ; 0), J (0 ; 1 ; 0) et
K (0 ; 0 ; 1).

 x = 2−t
y = 6 − 2t où t ∈ R, coupe le
Affirmation : la droite D de représentation paramétrique

z = −2 + t
¶
µ
1
1
.
plan (IJK) au point E − ; 1 ;
2
2
E XERCICE 669
10 minutes
Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte. Donner la bonne réponse en justifiant son choix.
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k .

 x = 5 − 2t
y = 1 + 3t , t ∈ R.
La droite D est définie par la représentation paramétrique

z = 4
1. On note P le plan d’équation cartésienne 3x + 2y + z − 6 = 0.
a. La droite D est perpendiculaire au plan P.
b. La droite D est parallèle au plan P.
c. La droite D est incluse dans le plan P.
2. On note D′ la droite qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 1 ; 1) et a pour vecteur
→
−
→
− →
−
→
−
directeur u = 2 i − j + 2 k .
a. Les droites D et D′ sont parallèles.
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
289
b. Les droites D et D′ sont sécantes.
c. Les droites D et D′ ne sont pas coplanaires.
E XERCICE 670
15 minutes
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant
la réponse.
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les points A(1 ; 2 ; 5),
B (−1 ; 6 ; 4), C (7 ; −10 ; 8) et D(−1 ; 3 ; 4).
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.
2. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (AB D) est x − 2z + 9 = 0.
3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC ) est



x


y



 z
3
t −5
2
= −3t + 14
3
= − t +2
2
=
t ∈R
4. Soit P le plan d’équation cartésienne 2x − y + 5z + 7 = 0 et P′ le plan d’équation cartésienne
−3x − y + z + 5 = 0.
Proposition 4 : Les plans P et P′ sont parallèles.
E XERCICE 671
15 minutes
1. On considère dans le plan un cercle C de centre O et de rayon R.
Soit M un point du plan et D une droite passant par M et coupant le cercle C en deux points
A et B .
Soit A ′ le symétrique de A par rapport à O.
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
−−−→ −−−→
Etablir que M A · M B = M A · M A ′ , et en déduire que M A · M B = MO 2 − R 2 .
2. Soit E FG H un quadrilatère inscrit dans un cercle et dont les diagonales (EG) et (F H ) se
coupent en un point I .
−→ −→ −→ −−→
Démontrer la relation : I E · IG = I F · I H .
3. Soit C1 et C2 deux cercles de centres O 1 et O 2 distincts, de rayons R 1 et R 2 .
Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que MO 12 − R 12 = MO 22 − R 22 .
E XERCICE 672
15 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les points A(3; 2; 3),
B (9; 2; 11) et C (6; −3; 7).
−−→ −−→
1. Montrer que les vecteurs AC et BC sont orthogonaux.
290
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
2. Donner une représentation paramétrique du plan passant par les points A, B et C .
→
−
−−→ −−→
3. Vérifier que le vecteur n (4; 0; −3) est orthogonal aux vecteurs AC et BC . En déduire une
équation cartésienne du plan passant par les points A, B et C .
4. Déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB ] et préciser les coordonnées de son
centre et son rayon.
E XERCICE 673
15 minutes
Dans l’espace, les points A, B, C , I et J sont fixés, M étant un point quelconque, on construit
−
→ −→ −−→
−
→ −−−→ −−−→ −−−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
les vecteurs V , V ′ et V " , tels que V = M A − 3M B + MC , V ′ = M I + M J et V " = M I − M J .
−
→ −→
1. Déterminer l’ensemble E′ des points M , tels que V · V ′ = 0.
−
→ −−→
2. Déterminer l’ensemble E" des points M , tels que V · V " = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
3.3.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 674
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est rapporté au repère orthonormé O, ı ,  , k .
On rappelle que deux droites de l’espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont
orthogonales et sécantes.
 
1
−→
Soient le point A 1 de coordonnées (0 ; 2 ; −1) et le vecteur u 1 de coordonnées 2.
3
−→
On appelle D 1 la droite passant par A 1 et de vecteur directeur u 1 .
On appelle D 2 la droite qui admet pour représentation paramétrique

 x = 1+k
y = −2k (k ∈ R).

z = 2
Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’une droite perpendiculaire à la fois à D 1 et D 2 .
1. a. Donner une représentation paramétrique
de D 1 . ´
³
−→
b. Donner un vecteur directeur de D 2 on le notera u 2 .
c. Le point A 2 (−1 ; 4 ; 2) appartient-il à D 2 ?
2. Démontrer que les droites D 1 et D 2 sont non coplanaires.
 
−6
→
− 
→
−
3. Soit le vecteur v −3 . On définit la droite ∆1 passant par A 1 et de vecteur directeur v et la
4
droite ∆2 passant par A 2 et parallèle à ∆1 .
Justifier que les droites D 1 et ∆1 sont perpendiculaires.
Dans la suite, on admettra que les droites D 2 et ∆2 sont perpendiculaires.
4. Soit P 1 le plan défini par les droites D 1 et ∆1 et P 2 le plan défini par les droites D 2 et ∆2 .
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
291


17
→
−
→
−
a. Soit le vecteur n −22. Vérifier que n est un vecteur normal au plan P 1 .
9
b. Montrer que P 1 et P 2 ne sont pas parallèles.
→
−
5. Soit ∆ la droite d’intersection des plans P 1 et P 2 . On admettra que le vecteur v est un vecteur
directeur de ∆.
Utiliser les questions précédentes pour prouver qu’il existe une droite de l’espace perpendiculaire à la fois à D 1 et à D 2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 675
20 minutes
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque
réponse.
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé. On donne les points A(1 ; 1; 0),
B (3 ; 0 ; −1) et C (7 ; 1 ; −2).
On considère le planP d’équation x − y + 3z + 1 = 0 et la droite D dont une représentation
x =
2k


paramétrique est
y = 1+k ,


 z = −5 + 3k
k ∈R
Proposition 1 : Une représentation paramétrique de la droite (AB ) est
Proposition 2 : Les droites D et (AB ) sont orthogonales.


x = 5 − 2t

y = −1 + t


z = −2 + t
,
t ∈R
Proposition 3 : Les droites D et (AB ) sont coplanaires.
Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées (8; −3; −4).
Proposition 5 : Les plans P et (ABC ) sont parallèles.
E XERCICE 676
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni du repère orthonormé direct O, ı ,  , k , nous considérons les points A
de coordonnées (0 ; 6 ; 0), B de coordonnées (0 ; 0 ; 8), C de coordonnées (4 ; 0 ; 8).
1. a. Démontrer que :
• les droites (BC) et (BA) sont perpendiculaires ;
• les droites (CO) et (OA) sont perpendiculaires ;
• la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB).
b. Déterminer le volume, en cm3 , du tétraèdre OABC.
c. Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
292
2. A tout réel k de l’intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point M (0 ; 0 ; k).
Le plan (Π) qui contient M et est orthogonal à la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC),
(AB) respectivement en N , P, Q.
a. Déterminer la nature du quadrilatère M N PQ.
b. La droite (P M ) est-elle orthogonale à la droite (OB ) ? Pour quelle valeur de k, la droite
(M P ) est-elle orthogonale à la droite (AC ) ?
c. Déterminer M P 2 en fonction de k. Pour quelle valeur de k, la distance P M est-elle minimale ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 677
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère le tétraèdre ABC D
dont les sommets ont pour coordonnées :
³
´
³ p
´
³
p ´
p
A 1 ; − 3 ; 0 ; B 1 ; 3 ; 0 ; C (−2 ; 0 ; 0) ; D 0 ; 0 ; 2 2 .
p
1. Vérifier que le plan (AB D) a pour équation cartésienne 4x + z 2 = 4.
2. On note D la droite dont une représentation paramétrique est

 x
y

z
= t
= 0
, t ∈R
p
= t 2
a. Démontrer que D est la droite qui est parallèle à (C D) et passe par O.
b. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (AB D).
3. a. On note L le milieu du segment [AC ].
Démontrer que la droite (B L) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC ).
b. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABC D est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes
ont la même longueur.
E XERCICE 678
On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1.
20 minutes
−−→ −−→ −→
1. a. Exprimer plus simplement le vecteur AB + AD + AE .
−−→ −−→
b. En déduire que le produit scalaire AG · BD est nul.
−−→ −→
c. Démontrer de même que le produit scalaire AG · BE est nul.
d. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
−−→ −−→ −→
2. Dans cette question, l’espace est orienté par le repère orthonormé direct (A ; AB , AD , AE ).
a. Ecrire une équation du plan (BDE).
b. Ecrire une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
293
c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite ∆ avec le plan (BDE).
d. En déduire la distance du point H au plan (BDE).
E
H
F
G
s
a
r
u
D
I
F
L
A
D
B
C
E XERCICE 679
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct O, ı ,  , k . On considère les quatre points
→
−
A(−1 ; 2; 1), B(−3; −6; −1), C(2; 2; 2) et I(0; 1; −1) et n le vecteur de coordonnées (2; 1; −6)
→
−
1. a. Démontrer que le vecteur n est normal au plan (ABC).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soit (Q) le plan d’équation : x + y − 3z + 2 = 0.
a. Pourquoi (Q) et (ABC) sont-ils sécants ?
→
−
b. Donner un point E et un vecteur directeur u de la droite d’intersection (∆) des plans (Q)
et (ABC).
3. Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.
4. On considère les points J(−2; 0; 0) et K(1; 0; 1).
Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite (JK).
E XERCICE 680
20 minutes
¢
−
→¡
→
−
Soit P et P′ les plans , non parallèles, de vecteurs normaux respectifs n (a; b; c) et n ′ a ′ ; b ′ ; c ′
passant par O(0; 0; 0).
→
−
1. a. Donner un vecteur directeur u de la droite ∆, intersection de P et P′ . On exprimera les
coordonnées sous forme non fractionnaire.
→
→
− →
−
→
− −
b. Justifier que u ⊥ n et u ⊥n ′ .
−
→
→
−
→
−
Point de cours : Le vecteur u est le produit vectoriel des vecteurs n et n ′
→
→
− →
− −
On le note u = n ∧ n ′
2. En appliquant la formule trouvée à la question 1.a, déterminer les coordonnées d’un vecteur
−
→
→
−
→
−
w orthogonal aux vecteurs u (2; 1; 5) et v (−1; 3; 2).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
294
E XERCICE 681
20 minutes
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :
— les points A(12 ; 0 ; 0), B (0 ; −15 ; 0), C (0 ; 0 ; 20), D(2 ; 7 ; −6), E (7 ; 3 ; −3) ;
— le plan P d’équation cartésienne : 2x + y − 2z − 5 = 0.
Affirmation 1
Une équation cartésienne du plan parallèle à P et passant par le point A est : 2x + y +2z −24 = 0.
Affirmation 2

 x = 9 − 3t
y = 0
Une représentation paramétrique de la droite (AC ) est :
, t ∈ R.

z = 5 + 5t
Affirmation 3
La droite (DE ) et le plan P ont au moins un point commun.
Affirmation 4
La droite (DE ) est orthogonale au plan (ABC ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 682
ABC DE FG H désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [B F ].
Le point J est le milieu du segment [BC ].
Le point K est le milieu du segment [C D].
L’espace
est rapporté au repère
³
−−→ −−→ −−→´
A ; AB , AD , AE .
G
F
I
20 minutes
H
E
b
A
D
b
K
b
B
J
C
1. Donner les coordonnées de A, G, I , J et K dans ce repère.
−−→
2. a. Montrer que le vecteur AG est normal au plan (I J K ).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (I J K ).
−−−→
−−→
3. On désigne par M un point de [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que AM = t AG .
5
a. Démontrer que M I 2 = 3t 2 − 3t + .
4
¶
µ
1 1 1
.
b. Démontrer que la distance M I est minimale pour le point M
; ;
2 2 2
¶
µ
1 1 1
:
; ;
4. Démontrer que pour ce point M
2 2 2
a. M appartient au plan (I J K ) ;
b. la droite (IM ) est perpendiculaire aux droites (AG) et (B F ).
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
295
E XERCICE 683
20 minutes
→
−
On désigne par P le plan passant par un point A et de vecteur normal n . Soit M un point de
l’espace et M ′ son projeté orthogonal sur P.
1. Etablir les résultats suivants :
a. Pour tout
N de P distinct de M ′ : M M ′ < M N ;
¯−−point
− ¯¯
¯ −→ →
¯ AM · n ¯
.
b. M M ′ =
→
−
kn k
2. Si P est d’équation cartésienne ax+b y+c z+d = 0 et le point
¯ M de coordonnées¯(x M ; y M ; z M ).
¯ax M + b y M + c Z M + d ¯
Montrer que la distance de M à P est égale à d (M ; P) =
.
p
a2 + b2 + c 2
→
−
3. Soit P le plan passant par A(1; 2; 3) et de vecteur normal n (−2; 1; 3).
Déterminer la distance du point O au plan P.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 684
³ →
−´
− →
− →
L’espace est rapporté au repère orthonormél O, ı ,  , k .
20 minutes
¶
2 1
2
.
;− ;
3
3 9
On se propose de déterminer de deux façons la distance δE du point E au plan (ABC ).
On considère les points : A(4 ; 0 ; 0), B (0 ; 2 ; 0),
C (0 ; 0 ; 3) et E
µ
Complément de cours : Soit P un plan d’équation ax +b y +c z +d = 0 où a, b, c et d sont des
nombre réels avec, a, b
¢
¡
et c non tous nuls et M
x M ; y M ; z M la distance δM du point M
¯ un point de coordonnées
¯
¯ax M + b y M + c z M + d ¯
au plan P est égale à :
.
p
a2 + b2 + c 2
1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
→
−
b. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4).
→
−
Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC ).
c. Montrer qu’une équation du plan (ABC ) est : 3x + 6y + 4z − 12 = 0.
d. Déduire des questions précédentes la distance δE .


x = 1+t


y = 2t
2. a. Montrer que la droite D de représentation paramétrique :
t ∈ R,

5 4

 z= + t
9 3
est perpendiculaire au plan (ABC ) et passe par le point E .
b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC ).
c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance δE .
E XERCICE 685
10 minutes
³ →
− →
−´
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  .
Soit m un nombre réel et Em l’ensemble des points M du plan P, de coordonnées (x; y) vérifiant
l’équation : (m − 1)x 2 + 3m y 2 + 2(m − 14)x + m + 3 = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
296
1. Déterminer Em pour les valeurs particulières m = 0 et m = 1.
2. Pour quelle valeur de m l’ensemble Em est-il un cercle ? Préciser dans ce cas son centre et
son rayon.
E XERCICE 686
10 minutes
Soit A, B , C et D quatre points de l’espace E.
n
o
1. Soit G le barycentre du système (A, 1), (B, 2), (C , 3) . Déterminer géométriquement l’en³−−−→ −−−→
−−−→´ ³−−−→ −−−→´
semble des points M tels que M A + 2M B + 3MC · M D + M A = 0.
2. On suppose que les quatre points A, B,µC et D ont
¶ pour coordonnées, dans un repère or³ →
−´
1
− →
− →
thonormé O, ı ,  , k , A (2; −2; 3), B ; −2; 3 , C (3; 0; −3) et D (−4 : 2; 3).
2
Etablir l’équation de l’ensemble des points M caractérisés comme précédemment.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 687
15 minutes
1. Soit A, B, C et D quatre points distincts de l’espace.
Démontrer que les droites (AB ) et (C D) sont orthogonales si et seulement si :
AC 2 + B D 2 = AD 2 + BC 2
2
2
2
2
☞ On pourra par exemple exprimer AC − AD ainsi que BC −B D sous forme de produits
scalaires.
2. On considère un tétraèdre ABC D tel que (AB ) est orthogonale à (C D) et (BC ) est orthogonale à (AD) .
Montrer que (B D) est orthogonale à (AC )
E XERCICE 688
Soit ABC D un losange de centre O et tel que OB = 2O A.
20 minutes
1. Montrer que le barycentre I des points B , C et D affectés respectivement des coefficients
2, −1 et 1 est le milieu du segment [AB ].
2. Soit k un nombre réel.
a. Déterminer l’ensemble E1 des barycentres G des points A, B , C et D affectés respectivement des coefficients k, 2, k − 1 et 1 − 2k.
b. Préciser la valeur de k pour laquelle G est un point de la droite (AC ).
3. Déterminer :
a. l’ensemble E2 des points M du plan tels que :
³−−−→ −−−→
−−−→´ ³ −−−→ −−−→ −−−→´
M A + MC − 2M D · 2M B − MC + M D = 0
b. l’ensemble E3 des points M du plan tels que : M A 2 + MC 2 − 2M D 2 = −6O A 2 .
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
297
E XERCICE 689
20 minutes
Soient A, B, C trois points du plan non alignés tels que le triangle ABC ne soit pas équilatéral.
On désigne par A ′ , B ′ et C ′ les milieux respectifs des segments [BC ], [C A] et [AB ].
On pose a = BC , b = C A et c = AB .
→
−
−−→
−−→
−−→
1. On considère le vecteur u = a 2 BC + b 2C A + c 2 AB .
¢
¢
¡
¡
−−→
−−→
→
−
Montrer que u = a 2 − b 2 AC + c 2 − a 2 AB .
→
−
En déduire que u n’est pas le vecteur nul.
2. Pour tout point M du plan, on pose :
s
a
r
u
D
I
F
L
−−→ −−−→
−−→ −−−→
−−→ −−−→
f (M ) = a 2 BC · M A ′ + b 2C A · M B ′ + c 2 AB · MC ′
a. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , calculer f (O).
¢
−−→ −−→ 1 ¡
b. Soit G le centre de gravité du triangle ABC . Montrer que BC · G A ′ = b 2 − c 2 .
6
En déduire la valeur de f (G).
c. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que f (M ) = 0.
E XERCICE 690
15 minutes
Dans le plan P, on considère le triangle équilatéral ABC . On pose AB = BC = C A = a, a réel
strictement positif.
n
o
1. Construire le point G barycentre du système (A, 2), (B, 1), (C , 1) .
2. Déterminer et construire l’ensemble E1 , des points M du plan tels que
2M A 2 + M B 2 + MC 2 = 2a 2 .
3. Déterminer et construire l’ensemble E2 , des points M du plan tels que
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ 3a 2
2M A 2 + M A · M B + M A · MC =
2
☞ on pourra utiliser le point G, puis le milieu K du segment [AG].
E XERCICE 691
15 minutes
Dans le plan P, on considère le triangle équilatéral ABC . On pose AB = BC = C A = a, a réel
strictement positif.
n
o
1. Soit m un réel différent de −2. On note G m le barycentre du système (A, m) , (B, 1) , (C , 1) .
Déterminer l’ensemble E1 des points G m lorsque m décrit R en restant différent de −2.
2. On note G l’isobarycentre des trois points A, B, C .
a. Déterminer l’ensemble E2 des points M du plan tels que M A 2 + M B 2 + MC 2 = 2a 2 .
b. Déterminer l’ensemble E3 des points M du plan tels que −2M A 2 + M B 2 + MC 2 = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
298
E XERCICE 692
20 minutes
Dans le plan P, soit le triangle ABC rectangle en A et isocèle tel que AB = AC = a, où a est un
réel positif. Soit m un réel.
1. Donner
une condition nécessaire
et suffisante sur m pour que le système des points pondén
o
rés (A, 2) , (B, −1) , (C , m) admette un barycentre m.
p
2a 2
2. Construire G 0 puis G 2 . Vérifier que G 0G 2 =
.
3
3. Déterminer les ensembles suivants :
°o
°
° −−−→ −−−→
n
−−−→°
° °−−−→ −−−→ −−−→°
°
a. Γ1 = M ∈ P; °2M A − M B + 2MC ° = °M A + M B + MC ° .
n
o
b. Γ2 = M ∈ P; 2M A 2 − M B 2 + 2M A 2 = a 2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 693
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , soit A(6; 0; 0) et B (0; 6; 0) deux
points.
n
o
1. Déterminer le barycentre G du système (O, 1) , (A, 2) , (B, 3) .
2. Soit C (0; 0; 4). Déterminer l’ensemble S des points M de l’espace définis par
³−−−→ −−−→ −−−→´ −−−→
MO + 2M A + 3M B · MC = 0.
Donner une équation cartésienne de S.
3. Déterminer l’intersection de S et du plan d’équation x = 0.
4. Soit P l’ensemble des points M de l’espace tels que MO 2 + 2M A 2 − 3M B 2 = −24. Montrer
que G appartient à P. Déterminer P.
E XERCICE 694
20 minutes
On considère une pyramide équilatère S ABC D (pyramide à base carrée dont toutes les faces
latérales sont des triangles équilatéraux).
Les diagonales du carré ABC D mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABC D. On admettra que OS = O A.
³
−−→ −−→ −−→´
On considère le repère orthonormé O ; O A , OB , OS .
1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [B S].
→
−
a. Justifier que n (1 ; 1 ; −3) est un vecteur normal au plan (PQC ).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC ).
2. Soit H le point du plan (PQC ) tel que la droite (S H ) est orthogonale au plan (PQC ).
a. Donner une représentation paramétrique de la droite (S H ).
b. Calculer les coordonnées du point H .
p
2 11
c. Montrer alors que la longueur S H , en unité de longueur, est
.
11
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
299
p
3 11
3. On admettra que l’aire du quadrilatère PQC D, en unité d’aire, est égale à
.
8
Calculer le volume de la pyramide SPQC D, en unité de volume.
E XERCICE 695
25 minutes
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; I , J , K ).
On considère les points A(−1 ; −1 ; 0), B (6 ; −5 ; 1), C (1 ; 2 ; −2) et S(13 ; 37 ; 54).
1. a. Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
 
5
→
− 
b. Prouver que le vecteur n 16 est un vecteur normal au plan (ABC ).
29
c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC ).
2. a. Déterminer la nature du triangle ABC .
s
a
r
u
D
I
F
L
p
1122
.
b. Démontrer que la valeur exacte de l’aire du triangle ABC est, en unités d’aire,
2
3. a. Prouver que les points A, B , C et S ne sont pas coplanaires.
b. La droite ∆ perpendiculaire au plan (ABC ) passant par le point S coupe le plan (ABC )
en un point noté H .
Déterminer les coordonnées du point H .
4. Déterminer le volume du tétraèdre S ABC .
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
Aire de la base × hauteur
.
3
E XERCICE 696
30 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les points A(−1 ; 2 ; 0),
B (1 ; 2 ; 4) et C (−1 ; 1 ; 1).
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
−−→ −−→
b. Calculer le produit scalaire AB · AC .
c. En déduire la mesure de l’angle B
AC , arrondie au degré.
 
2
→
−
2. Soit n le vecteur de coordonnées −1.
−1
→
−
a. Démontrer que n est un vecteur normal au plan (ABC ).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC ).
3. Soient P1 le plan d’équation 3x + y − 2z + 3 = 0 et P2 le plan passant par O et parallèle au
plan d’équation x − 2z + 6 = 0.
a. Démontrer que le plan P2 a pour équation x = 2z.
b. Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
300
c. Soit la droite D dont un système d’équations paramétriques est

 x
y

z
=
2t
= −4t − 3, t ∈ R.
=
t
Démontrer que D est l’intersection des plans P1 et P2 .
4. Démontrer que la droite D coupe le plan (ABC ) en un point I dont on déterminera les coordonnées.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 697
25 minutes
Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH4 de la façon
suivante :
• Les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre
sommets d’un tétraèdre régulier.
• Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des
quatre atomes d’hydrogène.
L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone- hydrogène.
Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABC DE FG H en positionnant deux
atomes d’hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d’hydrogène
sur deux autres sommets du cube.
Représenter la molécule dans le cube suivant :
H
b
E
b
b
A
F
b
b
G
b
D
b
b
C
B
³
−→ −−→ −→´
Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère A ; AB ; AD ; AE .
2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre Ω du cube.
3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les
.
liaisons carbone-hydrogène, c’est-à-dire l’angle AΩC
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
301
E XERCICE 698
30 minutes
Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand
le soleil est au zénith. Cette
véranda´est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans
³ →
−
− →
− →
un repère orthonormé O, ı ,  , k . Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SE F et SFG.
• Les plans (SO A) et (SOC ) sont perpendiculaires.
• Les plans (SOC ) et (E AB ) sont parallèles, de même que les plans (SO A) et (GC B ).
• Les arêtes [UV ] et [E F ] des toits sont parallèles.
s
a
r
u
D
I
F
L
Le point K appartient au segment [SE ], le plan (UV K ) sépare la véranda en deux zones, l’une
éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UV K ) coupe la véranda selon la ligne polygonale K M N P
qui est la limite ombre-soleil.
U
V
K
S
M
G
E
A
F
N
→
−
→
−
k
→
−O 
ı
B
C
P
1. Sans calcul, justifier que :
a. le segment [K M ] est parallèle au segment [UV ] ;
b. le segment [N P ] est parallèle au segment [U K ].
³ →
−´
− →
− →
2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé O, ı ,  , k . Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ; 0 ; 0), B (4 ; 5 ; 0), C (0 ; 5 ; 0),
E (4 ; 0 ; 2, 5), F (4 ; 5 ; 2, 5), G(0 ; 5 ; 2, 5), S(0 ; 0 ; 3, 5), U (0 ; 0 ; 6) et V (0 ; 8 ; 6).
On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le
plan (UV K ) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
a. Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1, 2. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1, 2 ; 0 ; 3, 2).
→
−
b. Montrer que le vecteur n de coordonnées (7 ; 0 ; 3) est un vecteur normal au plan (UVK)
et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).
c. Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UV K ) avec la droite (FG).
d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
302
3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment [SG] avec l’horizontale
doit être supérieur à 7°. Cette condition est-elle remplie ?
E XERCICE 699
On considère le pavé droit ABC DE FG H ci-contre,
pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.
−→ 1 −−→
I , J et K sont les points tels que AI = AB
6
−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→
A J = AD , AK = AE .
4
2
On
se place ´dans le repère orthonormé
³
−→ −→ −−→
A ; AI , A J , AK .
20 minutes
H
G
F
E
D
K J
C
s
a
r
u
D
I
F
L
1.
2.
3.
4.
b
b
b
A
I
B
→
−
Vérifier que le vecteur n de coordonnées (2; 2; −9) est normal au plan (I JG).
Déterminer une équation du plan (I JG).
Déterminer les coordonnées du point d’intersection L du plan (I JG) et de la droite (B F ).
Tracer la section du pavé ABC DE FG H par le plan (I JG). On ne demande pas de justification.
E XERCICE 700
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni du repère orthonormé O, ı ,  , k d’unité 1 cm, on considère les points
A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; −1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; −2).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
2. Soit M un point de la droite (CD).
a. Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
b. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; −1).
Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l’aire du triangle BCD est égale à 12 cm2 .
 
2
→
−
3. a. Démontrer que le vecteur n 1 est un vecteur normal au plan (BCD).
2
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
d. Démontrer
que¶ le point I, intersection de la droite ∆ et du plan (BCD) a pour coordonµ
2 1 8
nées
.
; ;
3 3 3
4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
E XERCICE 701
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :
• les points A(0 ; 1 ; −1) et B(−2 ; 2 ; −1) ;
25 minutes
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE

 x
y
• la droite D de représentation paramétrique

z
303
−2 + t
1 + t , t ∈ R.
−1 − t
=
=
=
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB ).
2. a. Montrer que les droites (AB ) et D ne sont pas parallèles.
b. Montrer que les droites (AB ) et D ne sont pas sécantes.
Dans la suite la lettre u désigne un nombre réel.
On considère le point M de la droite D de coordonnées (−2 + u ; 1 + u ; −1 − u).
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Vérifier que le plan P d’équation x + y − z − 3u = 0 est orthogonal à la droite D et passe par
le point M .
4. Montrer que le plan P et la droite (AB ) sont sécants en un point N (−4 + 6u ; 3 − 3u ; −1).
5. a. Montrer que la droite (M N ) est perpendiculaire à la droite D.
b. Existe-t-il une valeur du nombre réel u pour laquelle la droite (M N ) est perpendiculaire
à la droite (AB ) ?
6. a. Exprimer M N 2 en fonction de u.
b. En déduire la valeur du réel u pour laquelle la distance M N est minimale.
E XERCICE 702
15 minutes
Soit A, B, C et D quatre points non coplanaires de l’espace, I est le milieu de [AB ], J le milieu
de [C D], G le milieu de [I J ].
1. Peut-on avoir I = J ?
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
Existe-t-il des points de l’espace tels que : M A + M B = MC +° M D ? Justifier
° réponse. °
° la
°−−−→ −−−→° °−−−→ −−−→°
2. Déterminer l’ensemble P1 des points M de l’espace tels que : °M A + M B ° = °MC + M D °.
3. Déterminer l’ensemble P2 des points M de l’espace tels que : M A 2 + M B 2 = MC 2 + M D 2 .
4. Peut-on avoir P1 = P2 ?
E XERCICE 703
ABC DE FG H est un cube. I est le milieu de
[AB ], J est le milieu de [H D] et K est le milieu de [HG].
On
se
place
dans
le
repère
³
−−→ −−→ −−→´
A ; AB , AD , AE .
20 minutes
H
E
K
b
G
F
J
b
D
C
b
A
I
B
−−→
1. Démontrer que le vecteur C E est un vecteur normal au plan (I J K ).
2. Démontrer que la droite (B D) est parallèle au plan (I J K ).
3. Soit M un point de la droite (C E ). Quelle est la position du point M sur la droite (C E ) pour
laquelle le plan (B DM ) est parallèle au plan (I J K ) ?
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
304
E XERCICE 704
30 minutes
Soit ABC D un tétraèdre régulier, c’est-à-dire tel que AB = AC = AD = BC = B D = C D = a.
1. Soit A ′ l’isobarycentre du triangle BC
½ D. Déterminer le réel m tel¾que le point G, milieu de
[A A ′ ], soit le barycentre du système (A, m) , (B, 1) , (C , 1) , (D, 1) .
Calculer G A 2 et GB 2 en fonction de a.
2. Déterminer l’ensemble Σ des points M de l’espace tels que
6M A 2 + 2M B 2 + 2MC 2 + 2M D 2 = 5a 2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Déterminer l’ensemble Π des points M de l’espace tels que M B 2 +MC 2 +M D 2 −3M A 2 = a 2 .
Vérifier que Π est le plan médiateur de [A A ′ ].
4. Déterminer l’intersection Γ de Σ et Π et prouver que les milieux I , J , K des segments [AB ],
[AC ], [AD] appartiennent à Γ.
E XERCICE 705
20 minutes
Soit ABC un triangle isocèle de l’espace tel que AB = AC . On note I le milieu de [BC ] et on
donne AI = 4a et BC = 2a, où a est un
½ réel strictement positif.
¾
On note G le barycentre du système (A, 2) , (B, 1) , (C , 1) .
1. En utilisant le point G, déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que
° −−−→ −−−→ −−−→° ° −−−→ −−−→ −−−→°
°
° °
°
°2M A + M B + MC ° = °2M A − M B − MC ° .
2. k étant un nombre réel déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que
2M A 2 + M B 2 + MC 2 = k a 2. On discutera suivant les valeurs de k.
E XERCICE 706
20 minutes
Soit ABC D un tétraèdre régulier, c’est-à-dire tel que AB = AC = AD = BC = B D = C D = a. Soit
A ′ l’isobarycentre du triangle BC D et G l’isobarycentre du tétraèdre ABC D.
1. Déterminer A A ′ et AG.
2. Vérifier que AG = BG = CG = DG. En déduire le rayon et le centre de la sphère circonscrite
au tétraèdre ABC D.
3. Calculer le volume compris entre la sphère et le tétraèdre.
E XERCICE 707
30 minutes
suivantes
:
et
Soient x, y et z trois nombres
réels.
On
considère
les
implications
)
)
(P
(P
2¶
1
µ
¶
µ
1
1
x2 + y 2 + z2 >
⇒ (x + y + z = 1)
(x + y + z = 1) ⇒ x 2 + y 2 + z 2 >
(P 2 )
(P 1 )
3
3
Partie A
L’implication (P 2 ) est-elle vraie ?
Partie B
Dans l’espace, on considère le cube
DE FG H .
³ ABC
−−→ −−→ −−→´
On définit le repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
305
1. a. Vérifier que le plan d’équation x + y + z = 1 est le plan (B DE ).
b. Montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (B DE ).
c. Montrer que
de la droite (AG) avec le plan (B DE ) est le point K de coor¶
µ l’intersection
1 1 1
.
; ;
données
3 3 3
2. Le triangle B DE est-il équilatéral ?
3. Soit M un point de l’espace.
a. Démontrer que si M appartient au plan (B DE ), alors AM 2 = AK 2 + M K 2 .
b. En déduire que si M appartient au plan (B DE ), alors AM 2 > AK 2 .
c. Soient x, y et z des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point M de coordonnées (x ; y ; z), montrer que l’implication (P 1 ) est vraie.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 708
30 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O, ı ,  , k , on considère les points
A (1 ; 2 ; 2), B (3 ; 2 ; 1) et C (1 ; 3 ; 3).
1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
→
−
2. Démontrer que le vecteur n (1; −2; 2) est normal au plan ABC . En déduire une équation
cartésienne de ce plan.
3. On considère les plans P1 et P2 d’équations respectives :
P1 : x − 2y + 2z − 1 = 0 ; P2 : x − 3y + 2z + 2 = 0.
a.
b.
c.
d.
Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants. On notera ∆ leur droite d’intersection.
Montrer que le point C appartient à la droite ∆.
→
−
Démontrer que le vecteur u (2 ; 0 ; −1) est un vecteur directeur de la droite ∆.
En déduire une représentation paramétrique de la droite ∆.
4. Pour déterminer la distance du point A à la droite ∆ de représentation paramétrique :

 x
y

z
= 2k + 1
=
3
= −k + 3
(k ∈ R),
on considère le point M de paramètre k de la droite ∆.
−−→ →
−
a. Déterminer la valeur de k pour que les vecteurs AM et u soient orthogonaux.
b. En déduire la distance du point A à la droite ∆.
E XERCICE 709
30 minutes
Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. A chaque question, une
seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d’indiquer sur sa
copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
306
z
G
Dans
l’espace´ rapporté à un repère orthonormé
³ →
−
− →
− →
O, ı ,  , k , on considère les points : A(1 ; 0 ; 0),
B(1 ; 1 ; 0), C(1 ; 2 ; 0), D(1 ; 0 ; 1), E(1 ; 1 ; 1), F(1 ; 2 ; 1),
G(0 ; 0 ; 1), H(0 ; 1 ; 1), I(0 ; 2 ; 1), J(O ; 1 ; 0), K(0 ; 2 ; 0)
comme indiqués sur la figure ci -contre :
D
O
x
A
H
E
I
F
J
B
K
y
C
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Question 1 : Le triangle GBI est :
Réponse a : isocèle.
Réponse b : équilatéral.
Réponse c : rectangle.
2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, −1), (C, 1)} est :
Réponse a : le point K.
Réponse b : le point I.
−−→ −→
3. Question 3 : Le produit scalaire AH · FC est égal à :
Réponse a : 1.
Réponse b : −1.
Réponse c : le point J.
Réponse c : 2.
4. Question 4 : Les points B, C, I, H :
Réponse a :
sont non coplanaires.
Réponse b :
forment un rectangle.
Réponse c :
forment un carré.
5. Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre t de la droite (KE) est :
Réponse a :

t
 x =
y = 2+t .

z =
t
Réponse b :

x
= 3 + 4t

y =
t .

z =
4t
Réponse c :

 x = 1−t
y = 1+t .

z = 1−t
Réponse a :
2x + 2y − z − 2 = 0.
Réponse b :
x + y − 3 = 0.
Réponse c :
x + y + 2z = 2.
6. Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est :
7. Question 7 : La distance du point C au plan (ADH) est :
p
Réponse b : 2.
Réponse a : 2.
8. Question 8 : Le volume du tétraèdre HJKB est égal à :
1
1
Réponse a : .
Réponse b : .
2
6
Réponse c :
1
.
2
Réponse c :
1
.
3
3.3. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
307
E XERCICE 710
30 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni du repère orthonormé direct O, ı ,  , k , on considère les points : A(4 ; 0 ; 0),
B(2 ; 4 ; 0), C(0 ; 6 ; 0), S(0 ; 0 ; 4), E(6 ; 0 ; 0) et F(0 ; 8 ; 0).
1. Montrer que E est le point d’intersection des droites (BC) et (OA).
2. On admettra que F est le point d’intersection des droites (AB) et (OC).
→
−
−→ −→
a. Démontrer que le vecteur n (4, 3, 6) est orthogonal aux vecteurs SE et EF .
En déduire l’équation cartésienne du plan (SEF).
b. Calculer les coordonnées du point A′ barycentre des points pondérés (A, 1) et (S, 3).
c. On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A′ .
Vérifier qu’une équation cartésienne de P est 4x + 3y + 6z − 22 = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC respectivement aux
points O′ , A′ , B′ et C′ .
a. Déterminer les coordonnées de O′ . µ
¶
8
.
b. Vérifier que C a pour coordonnées 0, 2,
3
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B′ .
′
4. Vérifier que O′ A′ B′ C′ est un parallélogramme.
E XERCICE 711
30 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans le repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace, on considère pour tout réel m, le plan
1
1
P m d’équation m 2 x + (m − 1)y + mz − 3 = 0.
4
2
1. Pour quelle(s) valeur(s) de m le point A(1 ; 1 ; 1) appartient-il au plan P m ?
2. Montrer que les plans P 1 et P −4 sont sécants selon la droite (d ) de représentation paramétrique

 x = 12 − 2t
y = 9 − 2t
(d )

z=t
avec t ∈ R
3. a. Montrer que l’intersection entre P 0 et (d ) est un point noté B dont on déterminera les
coordonnées.
b. Justifier que pour tout réel m, le point B appartient au plan P m .
c. Montrer que le point B est l’unique point appartenant à P m pour tout réel m.
4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs m et m ′ tels que
−10 6 m 6 10 et
− 10 6 m ′ 6 10.
On souhaite déterminer les valeurs de m et de m ′ pour lesquelles P m et P m ′ sont perpendiculaires.
a. Vérifier que P 1 et P −4 sont perpendiculaires.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
308
b. Montrer que les plans P m et P m ′ sont perpendiculaires si et seulement si
µ
mm ′
4
¶2
¡
¢ mm ′
+ (m − 1) m ′ − 1 +
= 0.
4
c. On donne la fonction suivante écrite en langage Python :
def truc() : :
for m in range(−10 , 11) :
for n in range(−10 , 11) :
A = (mn)2 + 16(m − 1) (n − 1) + 4mn = 0
if A == 0 :
print (m , n)
s
a
r
u
D
I
F
L
Quel est le rôle de cette fonction ?
d. Cette fonction affiche six couples d’entiers dont (−4 ; 1), (0 ; 1) et (5 ; −4).
Ecrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.
3.4 Vers le baccalauréat
E XERCICE 712
15 minutes
H
E
On considère un cube ABC DE FG H .
L’espace
rapporté
au
repère
³ −−→ −−→est
−→´
A ; AB , AD , AE .
On note P le plan d’équation :
1
1
x + y + z − 1 = 0.
2
3
Construire, sur la figure ci-contre, la section
du cube par le plan P. La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
G
F
A
D
B
C
E XERCICE 713
25 minutes
H
On considère un cube ABC DE FG H dont la
représentation graphique en perspective cavalière est donné ci-contre.
Les arêtes sont de longueur 1.
L’espace
est rapporté au repère orthonormé
³
−−→ −−→ −−→´
D ; D A , DC , D H .
G
b
E
b
F
b
b
b
D
M
b
b
A
b
b
B
C
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
309
Partie A
−−→
Montrer que le vecteur DF est normal au plan (E BG).
Déterminer une équation cartésienne du plan (E BG).
En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF ) et du plan (E BG).
Démontrer
que¶ le point J intersection de la droite (DF ) et du plan (AHC ) a pour coordonµ
1 1 1
.
; ;
nées
3 3 3
Partie B
−−−→
−−→
A tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF ] tel que DM = x DF .
 lorsque le point M parcourt
On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radian de l’angle EMB
le segment [DF ]. On a 0 6 θ 6 π.
1.
2.
3.
4.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?
2. a. Justifier que les coordonnées du point M sont (x ; x ; x).
3x 2 − 4x + 1
. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire
b. Montrer que cos(θ) = 2
3x − 4x + 2
−−→ −−−→
des vecteurs M E et M B .
3x 2 − 4x + 1
3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f : x 7−→ 2
.
3x − 4x + 2
x
0
1
3
2
3
1
2
Variations
de f
1
0
0
− 21
Pour quelles positions du point M sur le segment [DF ] :
a. le triangle M E B est-il rectangle en M ?
b. l’angle θ est-il maximal ?
E XERCICE 714
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k .
On considère deux droites d 1 et d 2 définies par les représentations paramétriques :

 x
y
d1 :

z

= 2+t
 x
= 3 − t , t ∈ R et d 2 :
y

z
= t
= −5 + 2t ′
= −1 + t ′ , t ′ ∈ R.
= 5
On admet que les droites d 1 et d 2 sont non coplanaires.
Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite ∆ qui soit à la fois
sécante avec les deux droites d 1 et d 2 et orthogonale à ces deux droites.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
310
1. Vérifier que le point A(2 ; 3 ; 0) appartient à la droite d 1 .
−→
−→
2. Donner un vecteur directeur u 1 de la droite d 1 et un vecteur directeur u 2 de la droite d 2 .
Les droites d 1 et d 2 sont-elles parallèles ?
→
−
−→ −→
3. Vérifier que le vecteur v (1 ; −2 ; −3) est orthogonal aux vecteurs u 1 et u 2 .
−→ →
−
4. Soit P le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs u 1 et v .
On étudie dans cette question l’intersection de la droite d 2 et du plan P.
a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : 5x + 4y − z − 22 = 0.
b. Montrer que la droite d 2 coupe le plan P au point B (3 ; 3 ; 5).
→
−
5. On considère maintenant la droite ∆ dirigée par le vecteur v (1; −2; −3), et passant par le
point B (3 ; 3 ; 5).
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Donner une représentation paramétrique de cette droite ∆.
b. Les droites d 1 et ∆ sont-elles sécantes ? Justifier la réponse.
c. Expliquer pourquoi la droite ∆ répond au problème posé.
E XERCICE 715
20 minutes
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque
réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le planP d’équation x − y + 3z + 1 = 0 et la droite D dont une représentation

2t

x =
paramétrique est
y = 1+t ,


z = −5 + 3t
t ∈R
On donne les points A(1 ; 1; 0), B (3 ; 0 ; −1) et C (7 ; 1 ; −2)



 x = 5 − 2t
Proposition 1 : Une représentation paramétrique de la droite (AB ) est y = −1 + t ,


 z = −2 + t
t ∈R
Proposition 2 : Les droites D et (AB ) sont orthogonales.
Proposition 3 : Les droites D et (AB ) sont coplanaires.
Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées (8; −3; −4).
Proposition 5 : Les plans P et (ABC ) sont parallèles.
E XERCICE 716
20 minutes
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : A(1 ; 2 ; 7), B (2 ; 0 ; 2),
C (3 ; 1 ; 3), D(3 ; −6 ; 1) et E (4 ; −8 ; −4).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
→
−
2. Soit u (1 ; b ; c) un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux nombres réels.
→
−
a. Déterminer les valeurs de b et c telles que u soit un vecteur normal au plan (ABC ).
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
311
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC ) est : x − 2y + z − 4 = 0.
c. Le point D appartient-il au plan (ABC ) ?
3. On considère la droite D de l’espace dont une représentation paramétrique est :

 x
y

z
=
=
=
2t + 3
−4t + 5 où t est un nombre réel.
2t − 1
a. La droite D est-elle orthogonale au plan (ABC ) ?
b. Déterminer les coordonnées du point H , intersection de la droite D et du plan (ABC ).
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Etudier la position de la droite (DE ) par rapport au plan (ABC ).
E XERCICE 717
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(5 ; −5 ; 2),
C (0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; −1).
30 minutes
B (−1 ; 1 ; 0),
1. Déterminer la nature du triangle BC D et calculer son aire.
→
−
2. a. Montrer que le vecteur n (−2; 3; 1) est un vecteur normal au plan (BC D).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BC D).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (BC D) et
passant par le point A.
4. Déterminer les coordonnées du point H , intersection de la droite D et du plan (BC D).
5. Déterminer le volume du tétraèdre ABC D.
1
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule V = B × h, où B est l’aire
3
d’une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.
p
p
6. Vérifier que AB = 76 et AC = 61. En déduire une valeur approchée au dixième de degré
près de l’angle B
AC .
E XERCICE 718
20 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; −1 ; −1),
B (1 ; 1 ; 1), C (0 ; 3 ; 1) et le plan P d’équation 2x + y − z + 5 = 0.
Question 1
→
−
Soit D1 la droite de vecteur directeur u (2 ; −1 ; 1) passant par A.
Une représentation paramétrique de la droite D1 est :


2+t
 x =
 x = −1 + 2t
y = −1 − t
y =
1−t
a.
(t ∈ R)
b.


z =
1−t
z =
1+t


x
=
5
+
4t
x
=
4
−
2t


y
=
−3
−
2t
y
=
−2
+
t
c.
(t ∈ R)
d.


z =
1 + 2t
z = 3 − 4t
(t ∈ R)
(t ∈ R)
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
312
Question 2

 x = 1+t
y = −3 − t
Soit D2 la droite de représentation paramétrique

z = 2 − 2t
a. La droite D2 et le plan P ne sont pas sécants
b. La droite D2 est incluse dans le plan P.
¶
µ
1
7 10
.
c. La droite D2 et le plan P se coupent au point E ; − ;
3 3 ¶
µ3
4
1 22
d. La droite D2 et le plan P se coupent au point F ; − ;
.
3
3 3
Question 3
a. L’intersection du plan P et du plan (ABC) est réduite à un point.
b. Le plan P et le plan (ABC) sont confondus.
c. Le plan P coupe le plan (ABC) selon une droite.
d. Le plan P et le plan (ABC) sont strictement parallèles.
(t ∈ R).
s
a
r
u
D
I
F
L
Question 4
 arrondie au dixième de degré est égale à :
Une mesure de l’angle BAC
a. 22,2 °
b. 0,4 °
c. 67,8 °
d. 1,2 °
E XERCICE 719
40 minutes
Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m,
de longueur 8 m et de hauteur 4 m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBC DE FG H où OB = 6 m, OD = 8 m et
OE = 4 m.
³ →
− 1 −−→
−´
− 1 −−→ →
− →
− →
→
− 1 −−→ →
On utilise le repère orthonormé O, ı ,  , k tel que ı = OB ,  = OD et k = OE .
6
8
4
E
T
F
A
H
R
→
−
k
→
−
ı
→
−

G
O
b
B
S
D
C
Dans ce repère on a, en particulier C (6 ; 8 ; 0), F (6 ; 0 ; 4) et G(6 ; 8 ; 4).
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART µqui a pour
¶
5
sommets A(6 ; 0 ; 2), R(6 ; 3 ; 4) et T (3 ; 0 ; 4), Enfin, S est le point de coordonnées 3 ; ; 0 .
2
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
313
1. a. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.
−−→ −−→
b. Calculer le produit scalaire AR · AT .

c. En déduire une valeur approchée à 0, 1 degré près de l’angle R
AT .
 
2
→
−
2. a. Justifier que le vecteur n −2 est un vecteur normal au plan (ART ).
3
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ART ).
3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet
que ce rayon est orthogonal au plan (ART ).
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Soit ∆ la droite orthogonale au plan (ART ) et passant par le point S.
Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite ∆ :


x = 3 + 2k


5
− 2k , avec k ∈ R.
y =

2


z =
3k
b. Soit L le point d’intersection de la droite
µ ∆, avec¶ le plan (ART ).
1
Démontrer que L a pour coordonnées 5 ; ; 3 .
2
4. L’artiste installe un rail représenté par le segment [DK ] où K est le milieu du segment [E H ].
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK ] et il
oriente ce second rayon laser vers le point S.
E
K
T
F
b
A
L
R →
−
b
N
H
k
→
−

→
−
ı
G
O
b
B
S
D
C
a. Montrer que, pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1], le point N de coordonnées (0 ; 8 −
4t ; 4t ) est un point du segment [DK ].
b. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés
par les segments [SL] et [S N ] soient perpendiculaires.
E XERCICE 720
40 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace, on considère les points A(−3 ; 1 ; 3),
B (2 ; 2 ; 3), C (1 ; 7 ; −1), D(−4 ; 6 ; −1) et K (−3 ; 14 ; 14).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
314
−−→ −−→ −−→
Calculer les coordonnées des vecteurs AB , DC et AD .
Montrer que le quadrilatère ABC D est un rectangle.
Calculer l’aire du rectangle ABC D.
Justifier que les points A, B et D définissent un plan.
→
−
Montrer que le vecteur n (−2 ; 10 ; 13) est un vecteur normal au plan (AB D).
En déduire une équation cartésienne du plan (AB D).
Donner une représentation paramétrique de la droite ∆ orthogonale au plan (AB D) et
qui passe par le point K .
b. Déterminer les coordonnées du point I , projeté orthogonal du point K sur le plan (AB D).
c. Montrer que la hauteur de la pyramide K ABC D de base ABC D et de sommet K vaut
p
273.
4. Calculer le volume V de la pyramide K ABC D.
On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule :
1
V = × aire de la base × hauteur.
3
1. a.
b.
c.
2. a.
b.
c.
3. a.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 721
30 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k .
On considère les points A(5 ; 0 ; −1), B (1 ; 4 ; −1), C (1 ; 0 ; 3), D(5 ; 4 ; 3) et E (10 ; 9 ; 8).
1. a. Soit R le milieu du segment [AB ].
−−→
Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur AB .
−−→
b. Soit P1 le plan passant par le point R et dont AB est un vecteur normal. Démontrer
qu’une équation cartésienne du plan P1 est x − y − 1 = 0.
c. Démontrer que le point E appartient au plan P1 et que E A = E B .
2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne x − z − 2 = 0.
a. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants.
b. On note ∆ la droite d’intersection de P1 et P2 .
Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite ∆ est :

 x
y

z
=
=
=
2+t
1 + t (t ∈ R).
t
3. On considère le plan P3 d’équation cartésienne y + z − 3 = 0.
Justifier que la droite ∆ est sécante au plan P3 en un point Ω dont on déterminera les coordonnées.
Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de
l’espace tels que M S = M T est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST ]. On admet que
les plans P1 , P2 et P3 sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB ], [AC ] et [AD].
4. a. Justifier que ΩA = ΩB = ΩC = ΩD.
b. En déduire que les points A, B , C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
315
E XERCICE 722
25 minutes
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les points A(3 ; −2 ; 2),
B (6 ; 1 ; 5), C (6 ; −2 ; −1) et D(0 ; 4 ; −1).
1. Démontrer que les points A, B , C et D ne sont pas coplanaires.
2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC ).
c. En déduire le volume du tétraèdre ABC D.
3. On considère le point H (5 ; 0 ; 1).
−−→
−−→
−−→
a. Montrer qu’il existe des réels α et β tels que B H = αBC + βB D .
b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BC D).
c. En déduire la distance du point A au plan (BC D).
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle BC D.
E XERCICE 723
40 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère :
• le point A de coordonnées (−1 ; 1 ; 3),

 x = 1 + 2t
y = 2 − t , t ∈ R.
• la droite D dont une représentation paramétrique est :

z = 2 + 2t
On admet que le point A n’appartient pas à la droite D.
→
−
1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u de la droite D.
b. Montrer que le point B (−1 ; 3 ; 0) appartient à la droite D.
−−→ →
−
c. Calculer le produit scalaire AB · u .
2. On note P le plan passant par le point A et orthogonal à la droite D, et on appelle H le point
d’intersection du plan P et de la droite D. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite
D.
a. Montrer que le plan P admet pour équation cartésienne
: 2x¶ − y + 2z − 3 = 0.
µ
7 19 16
.
;
;
b. En déduire que le point H a pour coordonnées
9 9
9
c. Calculer la longueur AH . On donnera une valeur exacte.
3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H , projeté orthogonal du point A sur la droite D, par une autre méthode.
→
−
On rappelle que le point B (−1 ; 3 ; 0) appartient à la droite D et que le vecteur u est un
vecteur directeur de la droite D.
−−→
→
−
a. Justifier qu’il existe un nombre réel k tel que H B = k u .
−−→ →
−
AB · u
b. Montrer que k = ° °2 .
−°
°→
°u °
c. Calculer la valeur du nombre réel k et retrouver les coordonnées du point H .
4. On considère un point C appartenant au plan P tel que le volume du tétraèdre ABC H soit
8
égal à .
9
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
316
Calculer l’aire du triangle AC H .
E XERCICE 724
20 minutes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les points A(1 ; 0 ; 2),
B (2 ; 1 ; 0), C (0 ; 1 ; 2) et la droite ∆ dont une représentation paramétrique est :

 x = 1 + 2t
y = −2 + t , t ∈ R.

z =
4−t
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite ∆ ?
Réponse A : M (2 ; 1 ; −1) ;
Réponse C : P (−3 ; −4 ; 2) ;
Réponse B : N (−3 ; −4 ; 6) ;
Réponse D : Q(−5 ; −5 ; 1).
−−→
2. Le vecteur AB admet pour coordonnées :
 
1, 5

Réponse A : 0, 5 ;
1


−1
Réponse B :−1
2


1
Réponse C :  1 
−2
 
3

Réponse D : 1.
2
3. Une représentation paramétrique de la droite (AB ) est :

 x = 1 + 2t
Réponse A : y = t
,t ∈ R

z =2

 x = 2+t
y = 1+t ,t ∈ R
Réponse C :

z = 2t

 x = 2−t
y = 1−t ,t ∈ R
Réponse B :

z = 2t

 x = 1+t
y = 1+t ,t ∈ R
Réponse D :

z = 2 − 2t
Réponse A : x − 2y + 4z − 6 = 0 ;
Réponse C : 2x + y − z − 1 = 0 ;
Réponse B : 2x + y − z + 1 = 0 ;
Réponse D : y + 2z − 5 = 0.
4. Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite ∆ est :
−−→
−−→ −−→ −−→
5. On considère le point D défini par la relation vectorielle OD = 3O A − OB − OC .
−−→ −−→ −−→
Réponse A : AD , AB , AC sont
coplanaires ;
Réponse C : D a pour coordonnées
(3 ; −1 ; −1) ;
−−→ −−→
Réponse B : AD = BC ;
Réponse D : les points A, B , C et D
sont alignés.
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
317
E XERCICE 725
20 minutes
On considère le cube ABC DE FG
H
,
d’arête
de
longueur
1,
représenté
ci-dessous
et
on munit
³
−−→ −−→ −−→´
l’espace du repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
E
H
F
K
b
G
A
s
a
r
u
D
I
F
L
D
B
C
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (F D).
→
−
2. Démontrer que le vecteur n (1; −1; 1) est un vecteur normal au plan (BGE ) et déterminer
une équation du plan (BGE ).
3. Montrer
que¶ la droite (F D) est perpendiculaire au plan (BGE ) en un point K de coordonnées
µ
2 1 2
.
; ;
K
3 3 3
4. Quelle est la nature du triangle B EG ? Déterminer son aire.
5. En déduire le volume du tétraèdre B EGD.
E XERCICE 726
P
A
Q
G
I
D
+
F
+
+
J
+
Soit ABC DE FG H un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
On appelle respectivement I , J et P les milieux respectifs des segments [C D], [E F ] et
[AB ].
−−→ 1 −−→
On note Q le point défini par AQ = AD .
3
20 minutes
H
E
B
C
On appelle plan médiateur d’un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par
son milieu.
L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite
au tétraèdre AB I J (c’est-à-dire une sphère qui
par les quatre points A, B , I , J ).
³ passe
−−→ −−→ −−→´
L’espace est rapporté au repère orthonormé A ; AP , AQ , AE .
1. Justifier que les quatre points A, B , I et J ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P 1 ) du segment [AB ].
3. Soit (P 2 ) le plan d’équation cartésienne 3y − z − 4 = 0.
Montrer que le plan (P 2 ) est le plan médiateur du segment [I J ].
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
318
4. a. Démontrer que les plans (P 1 ) et (P 2 ) sont sécants.
b. Montrer que leur intersection est une droite (∆) dont une représentation paramétrique

 x =1
y =t
est
où t ∈ R.

z = 3t − 4
c. Déterminer les coordonnées du point Ω de la droite (∆) tel que ΩA = ΩI.
d. Montrer que le point Ω est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre AB I J .
E XERCICE 727
20 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
K
On considère un solide ADEC B F
constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le
carré ABC D de centre I . Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les
arêtes sont de longueur 1.
L’espace
au repère ortho³ est−rapporté
−→ −−→ −−→´
normé A ; AB , AD , AK .
b
E
D
I
A
C
B
b
F
p
2
. En déduire les coordonnées des points I , E et F .
2
p ¢
→
−¡
b. Montrer que le vecteur n 0; −2; 2 est normal au plan (AB E ).
c. Déterminer une équation cartésienne du plan (AB E ).
2. On nomme M le milieu du segment [DF ] et N celui du segment [AB ].
1. a. Montrer que I E =
a. Démontrer que les plans (F DC ) et (AB E ) sont parallèles.
b. Déterminer l’intersection des plans (E M N ) et (F DC ).
c. Construire la section du solide ADEC B F par le plan (E M N ).
E XERCICE 728
On considère la pyramide régulière
S ABC D de sommet S constituée de
la base carrée ABC D et de triangles
équilatéraux représentée ci-contre. Le
point O est le centre de la base ABC D
avec OB = 1.
On rappelle que le segment [SO] est la
hauteur de la pyramide et que toutes
les arêtes ont la même longueur.
20 minutes
S
b
I
b
D
b
b
b
b
A
³
−−→ −−→ −−→´
1. Justifier que le repère O ; OB , OC , OS est orthonormé.
C
O
b
B
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
319
³
−−→ −−→ −−→´
Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère O ; OB , OC , OS .
−−→ 1 −−→
2. On définit le point K par la relation SK = SD et on note I le milieu du segment [SO].
3
a. Déterminer les coordonnées du point K .
b. En déduire que les points B , I et K sont alignés.
c. On note L le point d’intersection de l’arête [S A] avec le plan (BC I ).
Justifier que les droites (AD) et (K L) sont parallèles.
d. Déterminer les coordonnées du point L.
³
→
−
−−→ −−→ −−→´
3. On considère le vecteur n (1; 1; 2) dans le repère O ; OB , OC , OS .
s
a
r
u
D
I
F
L
→
−
a. Montrer que n est un vecteur normal au plan (BC I ).
→
− −−→ −−→
b. Montrer que les vecteurs n , AS et DS sont coplanaires.
c. Quelle est la position relative des plans (BC I ) et (S AD) ?
E XERCICE 729
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k on donne les points :
A(1 ; 2 ; 3), B (3 ; 0 ; 1), C (−1 ; 0 ; 1), D(2 ; 1 ; −1), E (−1 ; −2 ; 3) et F (−2 ; −3, 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Affirmation 1 : Les trois points A, B , et C sont alignés.
→
−
Affirmation 2 : Le vecteur n (0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (ABC ).
Affirmation 3 : La droite (E F ) et le plan (ABC ) sont sécants et leur point d’intersection est le
milieu du segment [BC ].
Affirmation 4 : Les droites (AB ) et (C D) sont sécantes.
E XERCICE 730
ABC DE FG H est un cube d’arête égale à 1.
L’espace est muni du repère orthonormé
−−→ −−→ −−→
(D ; DC , D A , D H ).
Dans ce repère, on a :
D(0 ; 0 ; 0), C (1 ; 0 ; 0), A(0 ; 1 ; 0),
H (0 ; 0 ; 1) et E (0 ; 1 ; 1).
Soit I le milieu de [AB ].
Soit P le plan parallèle au plan (BGE ) et passant
par le point I .
20 minutes
L
G
H
M
E
b
b
b
b
b
b
K
F
b
N
b
D
b
b
A
b
b
b
C
J
b
I
B
On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les
sommets I , J , K , L, M , et N appartiennent respectivement aux arêtes [AB ], [BC ], [CG], [G H ],
[H E ] et [AE ].
−−→
1. a. Montrer que le vecteur DF est normal au plan (BGE ).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
320
b. En déduire une équation cartésienne du plan P.
2. Montrer que le point N est le milieu du segment [AE ].
3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (H B ).
b. En déduire que la droite (H B ) et le plan P son sécants en un point T dont on précisera
les coordonnées.
4. Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre F BGE .
E XERCICE 731
20 minutes
Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube »,
les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains
véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.
³ −−→ −−→ −−→´
Les points O, A, B et C sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère O ; O A , OB , OC
soit un repère orthonormé.
On utilisera ce repère dans tout l’exercice.
Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (O AB ), (OBC ) et (O AC ). Les
rayons lumineux sont modélisés par des droites.
s
a
r
u
D
I
F
L
Règles de réflexion d’un rayon lumineux (admises) :
→
−
• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (O AB ),
→
−
un vecteur directeur du rayon réfléchi est v (a ; b ; −c) ;
→
−
• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (OBC ),
→
−
un vecteur directeur du rayon réfléchi est v (−a ; b ; c) ;
→
−
• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (O AC ),
→
−
un vecteur directeur du rayon réfléchi est v (a ; −b ; c) ;
Vue en perspective cavalière de la réflexion
d’un rayon lumineux sur le plan (O AB )
C
→
−
n (0; 0; 1)
O
B
A
1. Propriété des catadioptres
En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur
→
−
v (a ; b ; c) est réfléchi successivement par les plans (O AB ), (OBC ) et (O AC ), le rayon final
est parallèle au rayon initial.
Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite d 1 de vecteur directeur
−→
v 1 (−2 ; −1 ; −1) qui vient frapper le plan (OAB) au point I1 (2 ; 3 ; 0). Le rayon réfléchi est
−→
modélisé par la droite d 2 de vecteur directeur v 2 (−2 ; −1 ; 1) et passant par le point I 1 .
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
321
2. Réflexion de d 2 sur le plan (OBC )
a. Donner une représentation paramétrique de la droite d 2 .
b. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC ) et une équation cartésienne de ce plan.
c. Soit I 2 le point de coordonnées (0 ; 2 ; 1).
Vérifier que le plan (OBC ) et la droite d 2 sont sécants en I 2.
On note d 3 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC ). d 3 est
−→
donc la droite de vecteur directeur v 3 (2 ; −1 ; 1) passant par le point I 2 (0 ; 2 ; 1).
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Réflexion de d 3 sur le plan (O AC )
Calculer les coordonnées du point d’intersection I 3 de la droite d 3 avec le plan (O AC ).
On note d 4 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (O AC ). Elle
est donc parallèle à la droite d 1 .
4. Étude du trajet de la lumière
→
−
On donne le vecteur u (1 ; −2 ; 0), et on note P le plan défini par les droites d 1 et d 2 .
→
−
a. Démontrer que le vecteur u est un vecteur normal au plan P.
b. Les droites d 1 , d 2 et d 3 sont-elles situées dans un même plan ?
c. Les droites d 1 , d 2 et d 4 sont-elles situées dans un même plan ?
E XERCICE 732
20 minutes
On relie les centres de chaque face d’un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme
sur la figure ci-après.
H
G
N
E
F
K
L
J
M
D
C
A
I
B
Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD,
BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
322
1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que
les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
³ −−→ −−→ −→´
Dans la suite, on considère le repère orthonormé A ; AB ; AD ; AE dans lequel, par exemple,
¶
µ
1 1
; ;1 .
le point N a pour coordonnées
2 2
2. a.
b.
c.
3. a.
b.
c.
−−→ −−→
Donner les coordonnées des vecteurs NC et ML .
En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.
Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (NJM) est : x − y + z = 1.
La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM) ? Justifier.
Montrer que l’intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un
point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points
de la figure.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 733
20 minutes
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A.
Soit d la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de
cette droite distinct du point B.
d
D
P
B
C
A
1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).
On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.
2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.
3. a. Justifier que l’arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.
b. On note I le milieu de l’arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets
du bicoin ABCD.
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
323
Partie B
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point A(3 ; 1 ; −5) et la droite d de

2t + 1
 x =
y
=
−2t
+ 9 où t ∈ R.
représentation paramétrique

z =
t −3
1. Déterminer une équation cartésienne du plan P orthogonal à la droite d et passant par le
point A.
2. Montrer que le point d’intersection du plan P et de la droite d est le point B(5 ; 5 ; −1),
3. Justifier que le point C(7 ; 3 ; −9) appartient au plan P puis montrer que le triangle ABC est
un triangle rectangle isocèle en A.
4. Soit t un réel différent de 2 et M le point de paramètre t appartenant à la droite d .
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Justifier que le triangle ABM est rectangle.
b. Montrer que le triangle ABM est isocèle en B si et seulement si le réel t vérifie l’équation
t 2 − 4t = 0.
c. En déduire les coordonnées des points M 1 et M 2 de la droite d tels que les triangles
rectangles ABM 1 et ABM 2 soient isocèles en B.
Partie C
On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4. c. de la partie
B. Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère.
En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.
E XERCICE 734
R
20 minutes
H
G
b
E
F
Dans l’espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre Ω et d’arête de longueur 6.
Les points P, Q et R sont définis par :
−→ 1 −−→ −−→ 1 −→ −−→ 1 −−→
AP = AB , AQ = AE et HR = HE .
3
3
3
Q
b
D
C
b
A
P
B
Dans tout ³ce qui suit on
utilise le repère or−´
→
− →
− →
thonormé A ; ı ,  , k avec :
− 1 −→
− 1 −−→ →
→
− 1 −−→ →
ı = AB ,  = AD et k = AE .
6
6
6
1. a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et Ω.
→
−
b. Déterminer les nombres réels b et c tels que n (1 ; b ; c) soit un vecteur normal au plan
(PQR) .
c. En déduire qu’une équation du plan (PQR) est : x − y + z − 2 = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
324
2. a. On note ∆ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point Ω, centre du
cube.
Donner une représentation paramétrique de la droite ∆.
µ
¶
8 10 8
b. En déduire que la droite ∆ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées
.
;
;
3 3 3
c. Calculer la distance ΩI.
3. On considère les points J(6 ; 4 ; 0) et K(6 ; 6 ; 2).
a. Justifier que le point J appartient au plan (PQR).
b. Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
c. Sur la figure donnée en début d’exercice, tracer la section du cube par le plan (PQR).
On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 735
20 minutes
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Alex et Elisa, deux pilotes de drones, s’entraînent sur un terrain constitué d’une partie plane
qui est bordée par un obstacle.
³ →
−´
− →
− →
On considère un repère orthonormé O, ı ,  , k , une unité correspondant à dix mètres. Pour
modéliser le relief de la zone, on définit six points O, P, Q, T, U et V par leurs coordonnées dans
ce repère :
O(0 ; 0 ; 0), P(0 ; 10 ; 0), Q(0 ; 11 ; 1), T(10 ; 11 ; 1), U(10 ; 10 ; 0) et V(10 ; 0 ; 0)
La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l’obstacle par le rectangle PQTU.
z
4
b
2
b
0
b
b
b
10
y
b
Obstacle
b
b
O
b
0
Partie plane
b
2
−2
6
4
2
8
b
4
b
6
b
8
x
b
10
Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu’ils suivent des trajectoires
rectilignes :
• le drone d’Alex suit la trajectoire portée par la droite (AB) avec A(2 ; 4 ; 0,25) et B(2 ; 6 ; 0,75) ;
• le drone d’Elisa suit la trajectoire portée par la droite (CD) avec C(4 ; 6 ; 0,25) et D(2 ; 6 ; 0,25).
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
325
Partie A : Etude de la trajectoire du drone d’Alex
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
→
−
2. a. Justifier que le vecteur n (0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (PQU).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQU).
¶
µ
37 7
.
;
3. Démontrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I 2 ;
3 3
4. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires
Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Elisa imposent une distance minimale de 4 mètres entre les trajectoires de leurs drones.
L’objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée.
Pour cela, on considère un point M de la droite (AB) et un point N de la droite (CD).
−−→
−−→ −−→
−−→
Il existe alors deux réels a et b tels que AM = a AB et CN = b CD .
On s’intéresse donc à la distance M N .
−−−→
1. Démontrer que les coordonnées du vecteur M N sont (2 − 2b ; 2 − 2a ; −0, 5a).
2. On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires. On admet également que la
distance M N est minimale lorsque la droite (M N ) est perpendiculaire à la fois à la droite
(AB) et à la droite (CD).
16
Démontrer alors que la distance M N est minimale lorsque a =
et b = 1.
17
3. En déduire la valeur minimale de la distance M N puis conclure.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 736
20 minutes
Sur la figure ci-dessous :
• ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 12, AD = 18 et AE = 6
• EBDG est un tétraèdre.
H
E
G
F
D
A
C
B
L’espace est rapporté à un repère orthonormé d’origine A dans lequel les points B, D et E ont
pour coordonnées respectives B(12 ; 0 ; 0), D(0 ; 18 ; 0) et E(0 ; 0 ; 6).
1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne 3x + 2y + 6z − 36 = 0.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
326
b. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4 ; 6 ; 2).
3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.
4. a. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.
b. Construire alors le point K sur la figure.
5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.
a. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).
b. Construire alors l’intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
E XERCICE 737
20 minutes
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer
le numéro de la question correspondant à l’affirmation exacte.
³ →
−´
− →
− →
Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé O, ı ,  , k de l’espace.
Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justification n’est demandée.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On considère le plan P d’ équation cartésienne 3x + 2y + 9z − 5 = 0 et la droite d dont une

 x = 4t + 3
y = −t + 2 , t ∈ R.
représentation paramétrique est :

z = −t + 9
Affirmation A : l’intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées
(3 ; 2 ; 9).
Affirmation B : le plan P et la droite d sont orthogonaux.
Affirmation C : le plan P et la droite d sont parallèles.
Affirmation D : l’intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées
(−353 ; 91 ; 98).
2.
On considère le cube ABCDEFGH représenté cicontre et les points I, J et K définis par les égalités
vectorielles :
−
→ 3 −−→ −→ 1 −−→ −−→ 3 −−→
AI = AB , DJ = DC , HK = HG .
4
4
4
K
H
D
Affirmation A : la section du cube ABCDEFGH par le
plan (IJK) est un triangle.
Affirmation B : la section du cube ABCDEFGH par
le plan (IJK) est un quadrilatère.
Affirmation C : la section du cube ABCDEFGH par A
le plan (IJK) est un pentagone.
Affirmation D : la section du cube ABCDEFGH par
le plan (IJK) est un hexagone.
G
b
C
b
J
E
F
I
b

 x
y
3. On considère la droite d dont une représentation paramétrique est

z
t ∈ R, et le point A(−2 ; 1 ; 0). Soit M un point variable de la droite d .
B
=
t +2
=
2 , avec
= 5t − 6
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
327
p
Affirmation A : la plus petite longueur AM est égale à 53 .
p
Affirmation B : la plus petite longueur AM est égale à 27.
Affirmation C : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (−2 ; 1 ; 0).
Affirmation D : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (2 ; 2 ; −6).
4. On considère le plan P d’équation cartésienne x + 2y − 3z + 1 = 0 et le plan P ′ d’équation
cartésienne 2x − y + 2 = 0.
Affirmation A : les plans P et P ′ sont parallèles.
Affirmation B : l’intersection des plans P et P ′ est une droite passant par les points A(5 ; 12 ; 10)
et B (3 ; 1 ; 2).
Affirmation C : l’intersection des plans P et P ′ est une droite passant par le point C(2 ; 6 ; 5)
→
−
et dont un vecteur directeur est u (1 ; 2 ; 2).
Affirmation D : l’intersection des plans P et P ′ est une droite passant par le point D(−1 ; 0 ; 0)
→
−
et dont un vecteur directeur est v (3 ; 6 ; 5).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 738
20 minutes
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
On considère un cube ABC DE FG H d’arête de longueur 1, dont la figure est ci-dessous.
E
A
H
J•
D
K
•
G
I
•
F
C
B
On note I le milieu du segment [E F ], J le milieu du segment [E H ] et K le point du segment
−−→ 1 −−→
[AD] tel que AK = AD .
4
On note P le plan passant pat I et parallèle au plan (F H K ).
Partie A
Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification.
1. Le plan (F H K ) coupe la droite (AE ) en un point qu’on note M . Construire le point M .
2. Construire la section du cube par le plan P.
Partie B
−−→ −−→ −−→
Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé (A; AB , AD , AE ).
On rappelle que P est le plan passant par I et parallèle au plan (F H K ).
1. a. Montrer que le vecteur ~
n (4; 4; −3) est un vecteur normal au plan (F H K ).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (F H K ) est : 4x + 4y − 3z − 1 = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
328
c. Déterminer une équation du plan P.
d. Calculer les coordonnées du point M ′ , point d’intersection du plan P et de la droite
(AE ).
2. On note ∆ la droite passant par le point E et orthogonale au plan P.
a.
b.
c.
d.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
Calculer les coordonnées du point L, intersection de la droite ∆ et du plan (ABC ).
Tracer les droite ∆ sur la figure.
Les droites ∆ et (B F ) sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites ∆ et (CG) ? Justifier.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 739
20 minutes
Sur la figure donnée
ci-dessous,
on
considère
le
cube
ABCDEFGH
de
côté
6
cm
dans
le repère
³ →
−´
− →
− →
orthonormé A, ı ,  , k , l’unité étant le cm.
E
b
F
b
b
L
H
b
b
G
b
b
b
I
b
b
b
B
b
b
b
b
b
→
−
k A
→
−
→
−

ı
b
b
b
b
b
b
b
b
D
b
C
On admet que le point I a pour coordonnées (6 ; 0 ; 3) dans ce repère.
On appelle L le milieu du segment [FG] et P le plan défini par les trois points E, I et L.
aire de la base × hauteur
.
On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule V =
3
→
−
1. a. Montrer que le vecteur n (1; −2; 2) est un vecteur normal au plan P.
b. Déterminer une équation cartésienne du plan P.
2. Justifier que le volume du tétraèdre FELI est 9 cm3 .
3. a. Soit ∆ la perpendiculaire au plan P passant par le point F. Justifier que la droite ∆ admet

t +6
 x =
y = −2t
pour représentation paramétrique :
avec t ∈ R.

z =
2t + 6
¶
µ
16 4 14
; ;
.
b. Montrer que l’intersection de la droite ∆ et du plan P est le point K
3 3 3
4. Calculer l’aire en cm2 du triangle ELI.
5. Tracer sur le graphique la section du cube ABCDEFGH par le plan parallèle au plan P passant par le point G et en donner la nature précise sans justification.
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
329
E XERCICE 740
³ →
−´
− →
− →
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k .
On considère les points A(10 ; 0 ; 1), B(1 ; 7 ; 1) et C(0 ; 0 ; 5).
z
C
20 minutes
b
E
b
D
b
b
F
b
B
y
s
a
r
u
D
I
F
L
b
O
b
A
x
1. a. Démontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.
 arrondie au dixième.
b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle AOB,
2. Vérifier que 7x + 9y − 70z = 0 est une équation cartésienne du plan (OAB).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA).
4. Soit D le milieu du segment [OC]. Déterminer une équation du plan P parallèle au plan
(OAB) passant par D.
5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.
Déterminer les coordonnées du point F.
¶
µ
1 7
; ;3 .
On admet que le point E a pour coordonnées
2 2
6. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
E XERCICE 741
20 minutes
On considère un cube ABCDEFGH. Le point M est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le
−−→ 1 −−→
point N est défini par la relation CN = GC et le point P est le centre de la face ADHE.
2
E
H
G
+
F
P
+
M
A
+
C
I
+
B
D
N
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
330
Partie A
1. Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.
2. Construire, sur la figure ci-dessus, la section du cube par le plan (MNP).
Partie B
³ −−→ −−→ −→´
On munit l’espace du repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
→
−
1. Justifier que le vecteur n (1; 2; 2) est un vecteur normal au plan (MNP).
En déduire une équation cartésienne du plan (MNP).
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (d ) passant par G et orthogonale au plan (MNP).
µ
¶
2 1 1
3. Montrer que la droite (d ) coupe le plan (MNP) au point K de coordonnées
.
; ;
3 3 3
En déduire la distance GK.
4. On admet que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires et que l’aire du quadrilatère
9
MEDI est unités d’aire.
8
Calculer le volume de la pyramide GMEDI.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 742
20 minutes
Soit ABCDEFGH un cube et I le centre du carré ADHE, c’est-à-dire, le milieu du segment [AH]
et du segment [ED]. Soit J un point du segment [CG].
La section du cube ABCDEFGH par le plan (FIJ) est le quadrilatère FKLJ.
E
H
K
I
I
+
G
+
F
K
F
A
A
B
J
L
D
J
B
C
Figure 1
C
Figure 2
³ −−→ −−→ −→´
On se place dans le repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
On a donc A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0) et E(0 ; 0 ; 1).
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
µ
¶
2
Dans cette partie, le point J a pour coordonnées 1 ; 1 ;
5
µ
¶
1 1
1. Démontrer que les coordonnées du point I sont 0 ; ;
.
2 2
L
D
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
331
→
−
2. a. Démontrer que le vecteur n (−1; 3; 5) est un vecteur normal au plan (FIJ).
b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (FIJ) est −x + 3y + 5z − 4 = 0.
3. Soit d la droite orthogonale au plan (FIJ) et passant par B.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d .
b. On note M le pointµd’intersection
de la droite d et du plan (FIJ).
¶
6 3 5
.
; ;
Démontrer que M
7 7 7
s
a
r
u
D
I
F
L
E
H
K
M
G
I
+
+
F
A
J
B
L
D
C
Figure 1
−−→ −→
4. a. Calculer BM .BF .

b. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle MBF.
Partie B
Dans cette partie, J est un point quelconque du segment [CG].
Ses coordonnées sont donc (1 ; 1 ; a), où a est un réel de l’intervalle [0 ; 1].
1. Montrer que la section du cube par le plan ³(FIJ) est un
parallélogramme.
a´
.
2. On admet alors que L a pour coordonnées 0 ; 1 ;
2
Pour quelle(s) valeur(s) de a le quadrilatère FKLJ est-il un losange ?
E XERCICE 743
Soit ABCDEFGH le cube représenté ci-dessous.
20 minutes
On considère :
• I et J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC] ;
• P le centre de la face ABFE, c’est-à-dire l’intersection des diagonales (AF) et (BE) ;
• Q le milieu du segment [FG].
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
332
H
G
Q
E
F
P
D
s
a
r
u
D
I
F
L
C
I
A
J
B
µ
¶
1 −−→ 1 −−→ 1 −−→
On se place dans le repère orthonormé A ; AB , AD , AE .
2
2
2
Dans tout l’exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (IJ) est

 x = r
y = 1 ,

z = 0
r ∈R
1. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite (PQ) est

 x = 1+t
y =
t ,

z = 1+t
t ∈R
Soient t un nombre réel et M (1 + t ; t ; 1 + t ) le point de la droite (PQ) de paramètre t .
2. a. On admet qu’il existe un unique point K appartenant à la droite (IJ) tel que (MK) soit
orthogonale à (IJ).
Démontrer que les coordonnées
de ce point K sont (1 + t ; 1 ; 0).
p
b. En déduire que MK = 2 + 2t 2 .
3. a. Vérifier que y − z = 0 est une équation cartésienne du plan (HGB).
b. On admet qu’il existe un unique point L appartenant au plan (HGB) tel que (ML) soit
orthogonale à (HGB).
¶
µ
1
1
Vérifier que les coordonnées de ce point L sont 1 + t ; + t ; + t .
2
2
c. En déduire que la distance ML est indépendante de t .
4. Existe-t-il une valeur de t pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML ?
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
333
E XERCICE 744
20 minutes
Deux espèces de tortues endémiques d’une petite île de l’océan pacifique, les tortues vertes
et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des
plages de l’île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des
spécialistes ont décidé d’en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l’océan par chacune
des deux espèces pour arriver sur l’île pouvaient être assimilés
des trajectoires
rectilignes.
³ à→
−´
− →
− →
Dans la suite, l’espace est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k d’unité 100 mètres.
³ →
− →
−´
Le plan O, ı ,  représente le niveau de l’eau et on admet qu’un point M (x ; y ; z) avec z < 0
se situe dans l’océan.
La modélisation des spécialistes établit que :
s
a
r
u
D
I
F
L
• la trajectoire empruntée dans l’océan par les tortues vertes a pour support la droite D1
dont une représentation paramétrique est :

 x
y

z
= 3+t
=
6t avec t réel ;
= −3t
• la trajectoire empruntée dans l’océan par les tortues imbriquées a pour support la droite
D2 dont une représentation paramétrique est :

 x
y

z
=
=
=
10k
2 + 6k avec k réel ;
−4k
1. Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
2. L’objectif de cette question est d’estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
 
3
→
− 
a. Vérifier que le vecteur n 13 est normal aux droites D1 et D2 .
27
b. On admet que la distance minimale entre les droites D1 et D2 est la distance HH′ où
−−−→′
→
−
HH est un vecteur colinéaire à n avec H appartenant à la droite D1 et H′ appartenant
à la droite D2 .
Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.
On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
⊲ Calcul formel
1 Résoudre({10∗k
−3−t = 3∗l , 2+6∗k
½½
¾¾ −6∗t = 13∗l , −4∗k +3∗t = 27∗l }, {k, l , t })
675
17
603
→ k=
, ℓ=
,t=
1 814
907
907
3. Les scientifiques décident d’installer une balise en mer. Elle est repérée par le point B de
coordonnées (2 ; 4 ; 0).
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
334
a. Soit M un point de la droite D1 .
Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
b. En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
E XERCICE 745
³ −−→ −−→ −→20
´ minutes
On considère un cube ABCDEFGH. L’espace est rapporté au repère A ; AB , AD , AE .
La figure est donnée ci-dessous.
H
s
a
r
u
D
I
F
L
E
I
J
D
A
B
On rappelle les formules suivantes :
Aire d’un trapèze :
grande base) × hauteur
1
2 (petite base +
L
G
K
C
hau t
eu r d
u pr i
sme
base du prisme
F
Volume d’un prisme :
aire de la base × hauteur
On note P1 le plan d’équation 4x + 15z − 9 = 0.
La section IJKL du cube ABCDEFGH par le plan P1 est représentée sur la figure.
1. Déterminer les coordonnées des points I et J.
2. Le plan P1 partage le cube en deux prismes. Calculer le volume de chacun de ces deux
prismes.
3. Soit M un point du segment [EI]. On cherche un plan P2 parallèle à P1 et passant par M qui
partage le cube en deux prismes de même volume.
Déterminer une équation cartésienne de P2 .
E XERCICE 746
20 minutes
Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont
concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.
On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M
orthogonale au plan (NPQ).
Partie A : Etude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH. On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées
« grandes diagonales » du cube, sont concourantes.
3.4. VERS LE BACCALAURÉAT
335
1. On considère le tétraèdre ABCE.
a. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
b. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
³ −−→ −−→ −→´
2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère A ; AB , AD , AE .
a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ACH) est : x − y + z = 0.
b. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues
respectivement des sommets A, C et H.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
s
a
r
u
D
I
F
L
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé
un tétraèdre orthocentrique.
Partie B : Une propriété des tétraèdres orthocentriques
Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M
et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans
(NPQ) et (MPQ) respectivement.
M
K
N
Q
P
1. a. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les
droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan
(MNK) ? Justifier la réponse.
2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Ainsi, on obtient la propriété suivante : si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes
opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet
commun.)
Partie C : Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points : R(−3 ; 5 ; 2), S(1 ; 4 ; −2), T(4 ; −1 ; 5) et
U(4 ; 7 ; 3).
Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
336
3.5 Vers le supérieur
E XERCICE 747
20 minutes
Soit ABC DE FG H un cube, I et J les milieux respectifs des arêtes [G H ] et [B F ] ; P et Q les points
d’intersection respectifs des droites (EG) et (F I ), (FC ) et (G J ).
Montrer que la droite (PQ) est orthogonale aux droites (EG) et (FC ).
On recherchera une méthode différente de celle utilisée dans la résolution de l’exercice 609.
E XERCICE 748
15 minutes
Soient ABC un triangle quelconque, H son orthocentre et S un point distinct de H appartenant
à la perpendiculaire au plan (ABC ) en H .
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
Montrer que S A · BC = SB · C A = SC · AB = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 749
20 minutes
On considère un tétraèdre régulier ABC D. Le but de l’exercice est de montrer que quels que
ƒ
soient les points M de [BC ] et N de [B D], la mesure de l’angle M
AN est inférieure ou égale à
π
.
3
On pose x = B M , y = B N et AB = a.
1. Montrer que M A 2 = a 2 + x 2 − ax et N A 2 = a 2 + y 2 − a y.
−−−→ −−→ a 2 + (a − x)(a − y)
.
2. Montrer que AM · AN =
2
−−−→ −−→ a 2
3. En déduire les inégalités : AM 6 a, AN 6 a et AM · AN >
.
2
4. Conclure.
E XERCICE 750
20 minutes
G
F
E
D
C
O
B
A
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
³
−−→ −−→ −−→´
L’espace est orienté par le repère orthonormé direct O ; O A , OC , OD .
−−→
−−→
On désigne par a un réel strictement positif. L, M et K sont les points définis par OL = a OC ,
−−−→
−−→
−−→
−−→
OM = a O A , et B K = a B F .
1. a. Calculer les distances DM , DL et M L.
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
337
b. En utilisant la formule de Héron, calculer l’aire du triangle DLM .
☞ Soit a, b, c lap
longueur des côtés d’un triangle et p son demi-périmètre, l’aire du
triangle est alors p(p − a)(p − b)(p − c).
c. Démontrer que la droite (OK ) est orthogonale au plan (DLM ).
2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K ) sur le plan (DLM ).
−−−→ −−→ −−→ −−→
a. Démontrer que OM · OK = OH · OK .
−−→ −−→
b. Les vecteurs OH et OK étant colinéaires, on note λ le réel tel que
−−→
−−→
OH = λOK .
a
.
Démontrer que λ = 2
a +2
En déduire que H appartient au segment [OK ].
c. Déterminer les coordonnées de H .
a2 − a + 2
−−→
−−→
.
d. Exprimer H K en fonction de OK . En déduire que H K = p
a2 + 2
3. A l’aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLM K en fonction
de a.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 751
Soit A, B et C trois points alignés deux à deux distincts dans un plan P.
−−→
−−→
On pose AC = λ AB , où λ ∈ R.
20 minutes
¡
¢
1. a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le triplet α, β, γ pour que la
n¡
o
¢ ¡
¢
propriété suivante soit vérifiée : A barycentre du système B, β , C , γ , B barycentre
n
n
¡
¢o
¡
¢o
du système (A, α) , C , γ , et C barycentre du système (A, α) , B, β .
¡
¢
b. Vérifier que l’ensemble X des triplets α, β, γ satisfaisant à cette condition est la droite
→
−
de vecteur directeur u (λ − 1; −λ; 1).
¡
¢
2. Soit α, β, γ un élément de X .
−−−→
−−−→
−−−→
a. Soit f la fonction définie par ∀M ∈ P, f (M ) = αM A + βM B + γMC .
Déterminer l’image de P par f .
b. On considère la fonction Φ définie par ∀P, Φ(M ) = αM A 2 + βM B 2 + γMC 2 .
Démontrer que Φ est constante.
E XERCICE 752
20 minutes
−−→ −−→
Dans le plan P, on considère un carré ABC D tel que AB = DC , soit I et J les milieux respectifs
des segments [BC ] et [AD].
n
o
1. Déterminer le barycentre du système (A, 1), (B, −3), (C , −3), (D, 1) .
2. Déterminer l’ensemble des points M du plan P tels que :
−−−→2
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
M A − 3M A · M B − 3M A · MC + M A · M D = 0
3. Soit f l’application du plan P dans lui-même qui, au point M fait correspondre le point M ′
défini par :
−−−−→ −−−→
−−−→
−−−→ −−−→
f (M ) = M M ′ = M A − 3M B − 3MC + M D .
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
338
a. Calculer f (G).
−−−→
−−−→
b. Démontrer qu’il existe un réel α tel que G M ′ = αG M .
c. En déduire la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques.
E XERCICE 753
Une unité de longueur étant choisie
dans l’espace, on considère un pavé
droit ABC DE FG H tel que AB = 1,
AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD].
L’espace
muni du repère
ortho³ est−−→
−→ −−→´
normé A ; AB ; AI ; AE .
20 minutes
E
H
F
G
s
a
r
u
D
I
F
L
A
B
D
I
C
1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F , G, H .
1
2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GF I H est égal à .
3
b. Montrer que le triangle F I H est rectangle en I .
En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (F I H ).
→
−
3. Soit le vecteur n de coordonnées (2 ; 1 ; −1).
→
−
a. Montrer que le vecteur n est normal au plan (F I H ).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (F I H ).
c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (F I H ).
4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (F I H ) ?
b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.
c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (F I H ).
5. Soit Γ la sphère de centre G passant par K . Quelle est la nature de l’intersection de Γ et du
plan (F I H ) ?
(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)
E XERCICE 754
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère :
25 minutes
• le point A de coordonnées (−4 ; 2 ; 1) ;
• la droite D1 définie par le système d’équations paramétriques :

 x
y

z
= 7+k
= 6+k
, avec k ∈ R ;
= −3 − k
−→
• la droite D2 passant par le point A et de vecteur directeur u 2 (1 ; 0 ; 2).
−→
1. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u 1 de la droite D1 .
2. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite D2 . On notera t le paramètre.
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
339
3. Dans cette question on va montrer que les droites D1 et D2 ne sont pas coplanaires.
a. Justifier que les droites D1 et D2 ne sont pas parallèles.
b. Montrer que l’intersection des droites D1 et D2 est vide.
−
→
4. On considère le vecteur w de coordonnées (−2 ; 3 ; 1).
−
→
−→
−→
Montrer que w est orthogonal à u 1 et à u 2 .
−
−−→ −
→ −−→ −→ →
5. Soient B et C les points définis par AB = w et AC = u 2 et n le vecteur de coordonnées
(6 ; 5 ; −3). On nomme P le plan contenant les points A, B et C .
→
−
a. Montrer que n est un vecteur normal au plan P.
b. P a donc une équation cartésienne de la forme : 6x + 5y − 3z + d = 0, où d désigne un
réel. Montrer que d = 17.
s
a
r
u
D
I
F
L
6. On nomme E le point d’intersection du plan P et de la droite D1 .
¢
¡
Déterminer les coordonnées x E ; y E ; z E du point E .
−
→
7. Soit ∆ la droite passant par E et de vecteur directeur w .
a.
b.
c.
d.
Quel est le point d’intersection des droites ∆ et D1 ?
Justifier que les droites ∆ et D1 sont perpendiculaires.
Justifier que la droite ∆ est incluse dans le plan P.
En déduire que les droites ∆ et D2 sont perpendiculaires.
En conclusion, on a démontré que la droite ∆ est une perpendiculaire commune aux droites
D1 et D2 .
E XERCICE 755
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère :
—
—
—
—
25 minutes
le point A de coordonnées (3 ; 2 ; 2),
le point C de coordonnées (−1 ; −1 ; 0),
le point D de coordonnées (1 ; −3 ; 2),
le plan P d’équation cartésienne : x + 2y + z + 3 = 0,

 x = −3 + 2t
y = −6 + 5t , t ∈ R.
— la droite ∆ définie par le système d’équations paramétriques suivant :

z =0
1. P et ∆ sont sécants en un point E .
¢
¡
Déterminer les coordonnées x E ; y E ; z E du point E .
2. a. Vérifiez que la droite (C D) est incluse dans le plan P.
b. On note B le point tel que ABC D soit un parallélogramme.
¡
¢
Déterminer les coordonnées x B ; y B ; z B du point B . Détailler le calcul.
c. Justifier que le point B appartient à la droite ∆.
→
−
3. a. Donner les coordonnées du vecteur directeur u de la droite (C D) d’abscisse 1.
b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite (C D).
c. On désigne par H le point de la droite (C D) tel que la droite (AH ) soit perpendiculaire à
la droite (C D).
¢
¡
Déterminer les coordonnées x H ; y H ; z H de H . Détailler le calcul.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
340
4. Déterminer la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire A du parallélogramme ABC D.
E XERCICE 756
25 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les plans P1 et P2
d’équations cartésiennes respectives :
P1 :
−2x + y + z = 8 et P2 2x + 5y − z = −20.
−→
−→
1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur n 1 normal au plan P1 et d’un vecteur n 2 normal
au plan P2 .
b. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants.
2. On note D1 la droite d’intersection des plans P1 et P2 .
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Justifier que le point A(−4 ; −2 ; 2) appartient à D1 .
−→
b. Montrer que le vecteur u 1 (1 ; 0 ; 2) est un vecteur directeur de la droite D1 .
3. Donner un système d’équations paramétriques de la droite D1 en notant t le paramètre.
4. On considère la droite D2 définie par le système d’équations paramétriques suivant :

 x = 5
y = k
avec k ∈ R.

z = −2 + k
Dans cette question, on va montrer que les droites D1 et D2 sont non coplanaires.
−→
a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u 2 de la droite D2 .
b. Justifier que les droites D1 et D2 ne sont pas parallèles.
c. Montrer que l’intersection D1 ∩ D2 est vide.
5. Soit H un point de la droite D1 et K un point de la droite D2 .
−−→
a. Donner les coordonnées du vecteur H K en fonction des paramètres t et k.
b. Montrer que la droite (H K ) est perpendiculaire à D1 si et seulement si on a : 5t − 2k = 1.
c. De même, la droite (H K ) est perpendiculaire à D2 si et seulement si t et k vérifient la
condition at + bk = c où a, b, c sont trois réels.
Donner les valeurs de ces trois réels.
d. Pour quelles valeurs de t et k la droite (H K ) est-elle perpendiculaire aux deux droites
D1 et D2 ? Donner alors les coordonnées de H et de K .
e. Cette perpendiculaire commune (H K ) aux droites D1 et D2 permet de définir la distance entre les droites D1 et D2 . Cette distance d est égale à la longueur H K .
Donner la valeur exacte de d .
E XERCICE 757
25 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O, ı ,  , k , on considère les points E
et F de coordonnées : E (2 ; 2 ; 0) et F (0 ; 2 ; 4) et la droite ∆ définie par le système d’équations paramétriques :

 x = t +3
y = −t − 1 , t ∈ R.

z = 4
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
341
→
−
1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u de la droite ∆.
b. Justifier que le point E n’appartient pas à ∆.
c. Justifier que le point F appartient à ∆.
d. En déduire la position relative des droites (E F ) et ∆.
2. On considère le plan P contenant les deux droites (E F ) et ∆.
→
−
Soit le vecteur n (2 ; 2 ; 1).
→
− −−→ →
− →
−
a. Donner les produits scalaires n · E F et n · u .
→
−
b. Que peut-on en déduire pour le vecteur n par rapport au plan P ?
c. Déterminer une équation cartésienne du plan P. Justifier la réponse.
s
a
r
u
D
I
F
L
3. On note H le projeté orthogonal du point E sur la droite ∆.
−−→ →
−
a. Donner la valeur du produit scalaire E H · u .
¡
¢
b. Justifier alors que les coordonnées x H ; y H ; z H de H vérifient : x H − y H = 0
c. Donner alors les coordonnées de H .
−−→
→
−
4. On note G le point de l’espace vérifiant : FG = 2 n .
a. Donner les coordonnées de G.
b. Ecrire une représentation paramétrique de la droite ∆′ parallèle à ∆ et passant par G.
c. Que dire précisément sur la position relative des deux droites ∆′ et (E H ) ?
E XERCICE 758
25 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les points
A(1 ; 0 ; −1), B (0 ; 2 ; −2) et
C (2 ; 2 ; 2)
−→
−→ −−→ −→ −−→
1. a. Soit le vecteur n 1 (4 ; 1 ; −2). Calculer n 1 · AB et n 1 · AC .
→
−
Que peut-on dire de n 1 par rapport au plan (ABC ) ?
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC ).
2. Soit le plan P d’équation cartésienne : x − 2y + z = 0.
−→
a. Donner les coordonnées d’un vecteur n 2 normal au plan P.
b. Justifier que les plans P et (ABC ) sont perpendiculaires.
c. Parmi les points A, B et C , préciser ceux qui appartiennent à P.
d. On note D 1 la droite intersection des deux plans P et (ABC ). Quelle est cette droite D 1 ?
→
−
Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u de la droite D 1 .

 x = 1+α
y =α
3. Soit la droite D 2 définie par la représentation paramétrique suivante :
α ∈ R.

z = 2−α
On note N le point d’intersection de la droite D 2 et du plan P.
¡
¢
Déterminer les coordonnées x N ; y N ; z N de N . Justifier le calcul.
4. Montrer que le point
µ K (3 ; 2 ;¶0) appartient à la droite D 2 .
10 4 1
−−→
. Montrer que le vecteur K L est normal au plan P.
; ;
5. a. Soit le point L
3 3 3
b. Montrer que les points K et L sont symétriques par rapport au plan P.
342
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
c. On désigne par H le projeté orthogonal du point K sur le plan P. Déterminer les coor¢
¡
données x H ; y H ; z H de H .
6. Justifier que les droites D 1 et D 2 sont orthogonales.
E XERCICE 759
25 minutes
³ →
−´
− →
− →
On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k .
On considère les trois points non alignés A, B , C suivants, donnés par leurs coordonnées :
A(1 ; 0 ; −1) B (3 ; −1 ; 2) C (2 ; −2 ; −1) et le point E de coordonnées : E (4 ; −1 ; −2).
1. a. Montrer que la droite (C E ) est orthogonale à la droite (AB ) et à la droite (AC ).
b. En déduire une équation cartésienne du plan P passant par A, B et C .
c. Calculer la distance d (E ; P) du point E au plan P.
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (AE ).
3. On considère la droite D dont un système d’équations paramétriques est :

 x = 0
D:
y = 2+t
t ∈R

z = −1 + t
−
→
a. Donner un point J et un vecteur directeur w de D.
b. Expliquer pourquoi la droite D est contenue dans le plan P.
−−→ →
−
4. a. Déterminer le point M de D tels que les vecteurs E M et v (0 ; 1 ; 1) soient orthogonaux.
b. En déduire la distance d (E ; D) du point E à la droite D.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 760
15 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k ,
on considère les points : A(3 ; −2 ; 1), B (5 ; 2 ; −3), C (6 ; −2 ; −2) et D(4 ; 3 ; 2).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et
rectangle.
→
−
2. a. Montrer que le vecteur n (2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (ABC ).
b. En déduire une équation du plan (ABC ).
c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC ) est égale à 3.
3. Calculer le volume du tétraèdre ABC D en unités de volume.
+
E XERCICE 761
30 minutes
On donne la propriété suivante : « Par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal
à une droite donnée. »
J
E
H
Sur la figure donnée ci-contre, on a représenté le cube
F
ABCDEFGH d’arête 1.
G
On a placé :
→ 2 −−→
−
→ 2 −−→ −
K
• les points I et J tels que BI = BC et EJ = EH
3
3
• le point K milieu de [I J ].
A
D
On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).
B
C
I
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
343
Partie A
1. Démontrer que le triangle F I J est isocèle en F .
En déduire que les droites (F K ) et (I J ) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK ) et (I J ) sont orthogonales.
2. Démontrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (FGK ).
3. Démontrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (FGP ).
4. a. Montrer que les points F , G, K et P sont coplanaires.
b. En déduire que les points F , P et K sont alignés.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
³
−−→ −−→ −−→´
L’espace est rapporté au repère orthonormé A ; AB , AD , AE . On appelle N le point d’intersection de la droite (GP ) et du plan (ADB ). On note (x; y; 0) les coordonnées du point N .
1. Donner les coordonnées des points F , G, I et J .
2. a. Montrer que la droite (G N ) est orthogonale aux droites (F I ) et (F J ).
−−→ −→ −−→ −→
b. Exprimer les produits scalaires G N · F I et G N · F J en fonction de x et y.
c. Déterminer les coordonnées du point N .
3. Placer alors le point P sur la figure.
E XERCICE 762
15 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les points A(1 ; 2 ; 3),
→
−
B (0 ; 1 ; 4), C (−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur n (2 ; −1 ; 1).
1. a. Démontrer que les points A, B , C ne sont pas alignés.
→
−
b. Démontrer que n est un vecteur normal au plan (ABC ).
c. Déterminer une équation du plan (ABC ).

 x = 2 − 2t
y = −1 + t avec t ∈ R.
2. Soit ∆ la droite dont une représentation paramétrique est :

z =
4−t
Montrer que le point D appartient à la droite ∆ et que cette droite est perpendiculaire au
plan (ABC ).
3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC .
E XERCICE 763
20 minutes
³ →
− →
−´
Dans le plan P muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , on appelle disque unité :
n
o
D = M ∈ P/OM 6 1
On appelle distance d’un point M à D, et on note d (M , D), la plus petite des distances de M
aux points de D.
1. Démontrer que si M est extérieur au disque, alors d (M , D) = M M 0 où M 0 est l’intersection
du cercle unité avec le segment [OM ].
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
344
p
2. En déduire que si x et y sont les coordonnées de M , on a alors d (M , D) = x 2 + y 2 − 1.
3. Soit ∆ la droite d’équation y = −2. Chercher alors l’ensemble des points M du plan tels que :
d (M , D) = 2d (M , ∆).
Représenter D, ∆ et l’ensemble obtenu sur une même figure.
E XERCICE 764
20 minutes
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : A(−4 ; 0 ; 1) ; B (3 ; 3 ; −1) ;
C (1 ; 5 ; 1) et D(0 ; 2 ; 6).
1. Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés.
2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C, puis calculer son aire.
 
1
→
− 
3. Soit n b un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux réels.
c
→
−
a. Déterminer les valeurs de b et c pour que n soit un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Soit d la droite orthogonale à (ABC) passant par D.
a. Donner une représentation paramétrique de d .
b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H de d et de (ABC).
5. a. Calculer la distance DH (On donnera la valeur exacte).
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD (on donnera la valeur exacte)
 arrondie au degré près.
6. Calculer une mesure de l’angle ADB
E XERCICE 765
20 minutes
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère les points A(1 ; 1 ; 0),
B (1 ; 2 ; 1) et C (3 ; −1 ; 2).
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le plan (ABC ) a pour équation cartésienne 2x + y − z − 3 = 0.
2. On considère les plans P et Q d’équations respectives x +2y − z −4 = 0 et 2x +3y −2z −5 = 0.
Démontrer que l’intersection des plans P et Q est une droite D, dont une représentation

 x = −2 + t
y = 3
paramétrique est :
oùt ∈ R

z = t
3. Quelle est l’intersection des trois plans (ABC ), P et Q ?
4. Déterminer la distance du point A à la droite D.
E XERCICE 766
25 minutes
L’objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d’objets de l’espace.
→
−
P est le plan passant par A(3 ; 1 ; 2) et de vecteur normal n (1 ; −4 ; 1) ;
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
345
→
−
D est la droite passant par B(1 ; 4 ; 2) de vecteur directeur u (1 ; 1 ; 3).
S est la sphère de centre Ω(1 ; 9 ; 0) passant par A.
1. Intersection du plan P et de la droite D.
a. Démontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x − 4y + z − 1 = 0.
b. Montrer que la droite D est strictement parallèle au plan P.
2. Intersection du plan P et de la sphère S.
a. Calculer la distance d du point Ω au plan P.
b. Calculer le rayon de la sphère S. En déduire l’intersection du plan P et de la sphère S.
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Intersection de la droite D et de la sphère S.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.
b. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S.
c. En déduire que la droite D coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on
ne cherchera pas à déterminer les coordonnées.
E XERCICE 767
25 minutes
Partie A -Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.
Rappel des notations :
•
•
P1 ∩ P2 désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2 .
L’écriture P1 ∩ P2 = ; signifie que les plans P1 et P2 n’ont aucun point commun.
1. Si P1 , P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : P1 ∩ P2 6= ; et P2 ∩ P3 6= ;,
alors on peut conclure que P1 et P3 vérifient : P1 ∩ P3 6= ;.
2. Si P1 , P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : P1 ∩ P2 ∩ P3 = ;,
alors on peut conclure que P1 , P2 et P3 sont tels que : P1 ∩ P2 = ; et P2 ∩ P3 = ;.
3. Si P1 , P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : P1 ∩ P2 6= ; et P1 ∩ P3 = ;,
alors on peut conclure que P2 et P3 vérifient : P2 ∩ P3 6= ;.
4. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant :
P1 ∩ D 6= ; et P1 ∩ P2 = ;,
alors on peut conclure que P2 ∩ D 6= ;
Partie B - Intersection de trois plans donnés
Dans un repère orthonormé de l’espace on considère les trois plans suivants :
•
•
•
P1 d’équation x + y − z = 0
P2 d’équation 2x + y + z − 3 = 0,
P3 d’équation x + 2y − 4z + 3 = 0.
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
346
1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆.
2. En déduire la nature de l’intersection P1 ∩ P2 ∩ P3 .
E XERCICE 768
25 minutes
Partie A
On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].
−−−→ −−−→
1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, M D · M A = M I 2 − I A 2 .
−−−→ −−−→
2. En déduire l’ensemble (E ) des points M de l’espace, tels que M D · M A = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
³ →
−´
− →
− →
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé O, ı ,  , k , les points A, B , C et D ont pour
coordonnées respectives : A(3 ; 0 ; 0), B (0 ; 6 ; 0), C (0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).
→
−
1. a. Vérifier que le vecteur n (4; 2; 3) est normal au plan (ABC ).
b. Déterminer une équation du plan (ABC ).
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan (ABC )
passant par D.
b. En déduire les coordonnées du point H , projeté orthogonal de D sur le plan (ABC ).
c. Calculer la distance du point D au plan (ABC ).
d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E ) défini dans la partie A.
E XERCICE 769
On considère un cube ABCDEFGH de
r côté 1 et le point M de
3 −→
−−→
la demi-droite [AE) défini par AM =
AE .
2
E
25 minutes
F
C
D
A
1. Déterminer le volume du tétraèdre ABDM.
½µ
G
H
B
¶
¾
2
2. I est le barycentre du système de points M ;
; (B ; 1) ; (D ; 1) .
3
−
→
−−→
−−→
a. Exprimer BI en fonction de BM et de BD
−
→ −−→
→ −−→
−
→ −−→ −
b. Calculer BI · AM et BI · AD et en déduire BI · MD .
−→ −−→
c. On admettra que DI · MB = 0, préciser ce que représente I pour le triangle BDM.
−
→ −−→
−
→ −−→
3. Démontrer les égalités AI · MB = 0 et AI · MD = 0.
En déduire une propriété de la droite (AI)
4. a. Montrer que le triangle BDM est isocèle.
b. Calculer l’aire du triangle B DM .
c. Déterminer la distance du point A au plan (B DM ).
d. En déduire le volume du tétraèdre AB DM .
3.5. VERS LE SUPÉRIEUR
347
E XERCICE 770
On considère un tétraèdre ABC D.
On note I , J , K , L, M , N les milieux respectifs des arêtes [AB ], [C D], [BC ], [AD], [AC ]
et [B D].
On désigne par G l’isobarycentre des
points A, B, C et D.
20 minutes
B
A
C
D
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Montrer que les droites (I J ), (K L) et (M N ) sont concourantes en G.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB = C D, BC = AD et AC = B D.
☞ On dit que le tétraèdre ABC D est équifacial, car ses faces sont isométriques.
2. a. Quelle est la nature du quadrilatère I K J L ? Préciser également la nature des quadrilatères I M J N et K N LM .
b. En déduire que (I J ) et (K L) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites
(I J ) et (M N ) sont orthogonales et les droites (K L) et (M N ) sont orthogonales.
3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (M K N ).
−→ −−−→
b. Quelle est la valeur du produit scalaire I J · M K ? En déduire que (I J ) est orthogonale à
la droite (AB ). Montrer de même que (I J ) est orthogonale à la droite (C D).
c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB ] et [C D].
d. Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre
ABC D ?
E XERCICE 771
25 minutes
³ →
¢
− →
−´ ¡
Un plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  . p; q étant un couple de réels, à
¡
¢
chaque point C p; q du plan on fait correspondre l’isobarycentre, G, du système des trois
points A(q; 0), B (0; p), C (p; q).
1. a. Calculer les coordonnées de G, en fonction de p et q.
¡
¢
b. Quel est l’ensemble D des points G lorsque le couple p; q varie ?
c. Soit G 0 un point de D d’abscisse λ. Trouver l’ensemble ∆ des points C qui ont pour
correspondant le point G 0 ?
2. Etant donné un couple (p; q) fixe, montrer que l’ensemble des points M du plan tels que
¢
¡
M A 2 + M B 2 + MC 2 = 2 p 2 + q 2 est un cercle Γ passant par O.
¡
¢
Quel est l’ensemble des cercles Γ lorsque le couple p; q varie ?
E XERCICE 772
30 minutes
³ →
− →
−´
Soit Π un plan orienté rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  .
° ° °
³−→ −→´
−→ −→
−→ −→ °
°−→° °−→°
A tous vecteurs v 1 et v 2 on associe le nombre réel noté v 1 △ v 2 = °v 1 ° × °v 2 ° × sin v 1 , v 2 .
³−→ −→´
³ −→´ ³ −→´
1. a. Démontrer que, quels que soient les réels λ et µ, λv 1 △ µv 2 = λµ v 1 △ v 2 .
348
CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE
³→
− −→´
−→ −→
b. Soient u 1 et u 2 deux vecteurs de norme 1, tels que i , u 1 = θ1 (mod 2π)
³→
− −→´
et i , u 2 = θ2 (mod 2π).
−→ −→
Calculer u 1 △ u 2 en fonction de θ1 et θ2 .
¢
¢ −→ ¡
−→ −→
−→ ¡
c. Démontrer que si V1 x 1 ; y 1 et V2 x 2 ; y 2 on a V1 △ V2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 .
¡
¢
2. Dans le plan Π, on définit les points M 1 (X 1 ; Y1 ), M 2 (X 2 ; Y2 ), M 3 (X 3 ; Y3 ) et I x; y et trois
−→ −−−→ −→ −−−→
−→ −−−→
vecteurs V1 = I M 1 , V2 = I M 2 , et V3 = I M 3 .
a. Exprimer, en fonction de x y, X 1 , Y1 , X 2 , Y2 , X 3 , Y3 , la somme
1 ³−→ −→ −→ −→ −→ −→´
S = V1 △ V2 + V2 △ V3 + V3 △ V1
2
b. Le nombre réel S est indépendant du point I . On l’appellera l’aire algébrique du triangle
orienté M 1 M 2 M 3 et on le notera Ai r e (M 1 M 2 M 3 ).
Démontrer que Ai r e (M 1 M 2 M 3 ) = 0 si, et seulement si, les points M 1 , M 2 , M 3 sont alignés.
s
a
r
u
D
I
F
L
3. Application : Soit les points A(1; 2), B (3; 9) et C (−6; 6).
Calculer l’aire du triangle ABC .
E XERCICE 773
30 minutes
³ →
− →
−´
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  . Soit E et E ′ les points de coordonnées
respectives (1; 0) et (−1; 0).
1. Soit un point M (x; y), on appelle M 1 son image par la symétrie orthogonale d’axe (Ox).
−−→ −−−−→
a. Former une relation entre x et y équivalente à M E · M 1 E ′ = 0.
b. Montrer que l’ensemble des points M qui satisfont à cette condition est l’hyperbole
équilatère H de sommets E et E ′ .
¡
¢
¡
¢
2. Etant donné deux points M x; y et M ′ x ′ ; y ′ de H, distincts ou non, on définit le point
½
X = xx ′ + y y ′
S (X ; Y ) par
Y = x y ′ + y x′
On dit que S est le « produit » de M par M ′ et on pose S = M ⋆ M ′ .
Etablir les propriétés suivantes :
a. S appartient à H ;
b. M ⋆ M ′ = M ′ ⋆ M ;
¡
¢
c. Etant donné un troisième point M ′′ x ′′ ; y ′′ , de H, vérifier que
¡
¢
¡
¢
M ⋆ M ′ ⋆ M ′′ = M ⋆ M ′ ⋆ M ′′
¡
¢
d. Calculer M ⋆ E et montrer que, pour tout point M x; y de H il existe un point M de H,
que l’on précisera, tel que M ⋆ M = E .
☞ On dira alors que le « produit » noté ⋆ munit H d’une structure de groupe commutatif.
3. Etant donné deux points distincts, M et M ′ , de H, on pose S = M ⋆ M ′ .
a. Vérifier que S est le point de H tel que les cordes E S et M M ′ soient parallèles.
b. Trouver la propriété de la corde M M ′ qui équivaut à S = E ′ .
Chapitre 4
Dénombrement et probabilités
s
a
r
u
D
I
F
L
4.1 Dénombrement
4.1.1 Point de cours
Vocabulaire : Une partition d’un ensemble fini E est un ensemble de parties non vides de E ,
deux à deux disjointes et dont la réunion est égale à E .
Le cardinal d’un ensemble E est le nombre d’éléments de cet ensemble, on le note C ar d (E ).
Règle de la somme : Si A 1 , · · · , A k constituent une partition d’un ensemble fini E , alors :
k
X
C ar d (A i ).
C ar d (E ) = C ar d (A 1) + · · · +C ar d (A k ) =
i =1
Règle du produit : Si une situation comporte k étapes offrant respectivement n 1 , n 2 , · · · , n k
possibilités, chaque n i ne dépendant que de l’étape i , alors le nombre total de possibilités est :
k
Y
N = n1 × n2 × · · · nk =
ni .
i =1
Soit encore C ar d (A 1 × A 2 × · · · × A k ) = C ar d (A 1 ) ×C ar d (A 2 ) × · · · × (A k ).
Dénombrement des k-uplets : Un k-uplet d’éléments d’un ensemble fini E est une liste
ordonnée de k éléments de E (non nécessairement distincts).
Le nombre de k-uplets d’un ensemble à n éléments est n k .
Permutations : On appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, un n-uplet d’éléments de E deux à deux distincts.
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments (n > 0) est le nombre n(n − 1) × · · · ×
2 × 1, noté n! (se lit « factorielle n »).
Combinaisons : Soit E un ensemble fini de n éléments et k un entier vérifiant (0 6 k 6 n), on
appelle
à !combinaisonÃde! k éléments de E toute partie de E ayant p éléments, ce nombre est
n!
n
n
.
noté
. Il est égal à
=
k!(n − k)!
k
k
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
350
4.1.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 774
5 minutes
Dans une classe de 35 élèves 15 suivent la spécialité A, 25 la spécialité B et 10 les deux spécialités.
1. Compléter le diagramme suivant :
A
B
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Combien d’élèves de cette classe ne suivent aucune de ces deux spécialités ?
E XERCICE 775
5 minutes
Le jeu consiste à lancer un dé à 6 faces et à faire la somme des nombres obtenus sur les deux
faces supérieures.
1. Compléter la tableau suivant :
Dé 1 \ Dé 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2. Quelle est la somme la plus représentée ?
E XERCICE 776
5 minutes
Dans un centre de vacances, chaque personne doit choisir au moins une activité sportive parmi
les trois proposées par le centre : natation, vélo, course à pied.
31 personnes ont choisi la natation ; 20 personnes ont choisi le vélo ; 29 personnes ont choisi la
course à pied ; 8 personnes ont choisi la natation et la course à pied ; 3 personnes ont choisi la
natation et le vélo ; 5 personnes ont choisi le vélo et la course à pied ; 3 personnes ont choisi les
trois sports.
1. Combien de personnes ne pratiquent que la natation et le vélo ?
2. Combien de personnes ne pratiquent que la course à pied ?
3. Combien de personnes sont accueillies dans le centre ?
4.1. DÉNOMBREMENT
351
E XERCICE 777
Dans la vitrine d’une pâtisserie il y a 50 gâteaux,
10 minutes
— 60 % des gâteaux sont à base de crème ;
— parmi ceux qui sont à base de crème, 30 % ont aussi des fruits ;
— parmi les gâteaux qui n’ont pas de crème, 80 % ont des fruits.
Notons C l’événement « le gâteau est à base de crème » et F l’événement « le gâteau contient
des fruits », C et F sont les événements contraires respectivement de C et F .
1. Compléter le tableau suivant :
s
a
r
u
D
I
F
L
F
F
C
C
Total
Total
50
2. Combien de gâteaux contiennent des fruits et de la crème ?
3. Combien de gâteaux contiennent des fruits ?
4. Combien de gâteaux ne contiennent ni crème, ni fruits ?
E XERCICE 778
10 minutes
Un constructeur de moteurs de « Formule 1 » fabrique 400 moteurs de compétition.
80% de ces moteurs n’ont pas de défaut, et par suite ne « casse » pas lors d’un Grand Prix, est
0, 8.
On dira pour simplifier qu’un tel moteur est « bon » et on notera B l’événement : « le moteur est
bon ».
Avant chaque Grand Prix, un contrôle très sévère est effectué : soit le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté.
On note U l’événement : « le contrôle déclare le véhicule utilisable ».
Ce contrôle n’est pas infaillible :
— sachant qu’un moteur est bon, il est déclaré utilisable dans 95 % des cas ;
— sachant qu’un moteur a un défaut, il est rejeté dans 80 % des cas.
1. Compléter le tableau suivant :
B
B
U
U
Total
2. Déterminer C ar d (B ), C ar d (B ∩U ) et C ar d (U ).
3. En déduire C ar d (B ∪U ).
Total
400
352
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 779
10 minutes
Un libraire vend des livres scientifiques, des livres de littérature et divers autres livres dans les
proportions suivantes :
— livres scientifiques : 20 % des ventes ;
— livres de littérature : 38 % des ventes ;
Dans chacune des trois catégories, il y a des livres scolaires et des livres non scolaires.
Pour chaque livre vendu, le libraire remplit une fiche de renseignements. Il a constaté que :
s
a
r
u
D
I
F
L
— 80 % des livres scientifiques sont des livres scolaire ;
— 70 % des livres de littérature ne sont pas scolaires ;
— 50 % des divers autres livres ne sont pas scolaires.
Le libraire a vendu 1000 livres au mois de septembre.
1.
2.
3.
4.
Combien a-t-il vendu de livres scientifiques ? de livres scolaires scientifiques ?
Combien a-t-il vendu de livres de littérature ? de livres scolaires de littérature ?
Combien a-t-il vendu de divers autres livres ? de divers autres livres scolaires ?
En déduire le nombre de livres scolaires et de livres non scolaires vendus.
E XERCICE 780
10 minutes
Un produit est vendu en pots ou en vrac. Un sondage donne les indications suivantes :
• un tiers des personnes interrogées n’achètent pas ce produit en vrac ;
• deux cinquièmes des personnes interrogées n’achètent pas ce produit en pots ;
• 430 personnes achètent ce produit à la fois en pots et en vrac ;
• un septième des personnes interrogées n’achètent pas ce produit.
Combien de personnes ont été interrogées lors de ce sondage ?
E XERCICE 781
5 minutes
Combien y a-t-il de carrés dont les côtés
sont matérialisés sur la figure ci-contre ?
E XERCICE 782
5 minutes
Un QR code peut être considéré comme un quadrillage dans lequel chaque case est noire ou
blanche. On sait que trois coins de taille 8 × 8 ont un motif fixé. De plus le format ( le taux de
correction d’erreurs et le numéro du masque à appliquer) est contenu sur 5 bits de données
et 10 bits de redondance, soit au total 15 bits. Comme ces 15 bits sont très importants, ils sont
codés à deux endroits dans le QR code donc 30 cases supplémentaires sont fixées.
Dans ces conditions, combien peut-on créer (en théorie) de QR codes de taille 21 × 21.
E XERCICE 783
1. Combien peut-on former de codes de quatre chiffres non nuls et d’une lettre.
5 minutes
4.1. DÉNOMBREMENT
353
2. Combien peut-on former de codes de trois chiffres non nuls distincts et de trois lettres distinctes.
E XERCICE 784
10 minutes
On considère le mot SUITE, on forme des « mots » (ayant un sens ou non), de une à cinq lettres,
à partir des lettres du mot SUITE. Chaque lettre intervient au plus une fois dans un même
« mot ».
1. Combien de « mots » de cinq lettres peut-on former ?
2. Combien de « mots » peut-on former ?
3. Déterminer le nombre de « mots » de cinq lettres dans lesquels il n’y a pas deux voyelles
consécutives.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 785
Une course se dispute entre 15 concurrents, tous franchissent la ligne d’arrivée.
5 minutes
1. Combien y a-t-il de podiums possibles ?
2. Combien y a-t-il de classements possibles ?
E XERCICE 786
5 minutes
Le nombre d’atomes dans l’univers visible est estimé à 1080 . Combien de cartes différentes
devrait contenir un jeu pour que le nombre des permutations possibles dépasse le nombre
d’atomes visibles dans l’univers ?
E XERCICE 787
5 minutes
A la cantine, il y a trois entrées, deux plats chauds, trois laitages et quatre desserts différents.
Sachant qu’un plateau est composé d’une entrée, d’un plat chaud, d’un laitage et d’un dessert,
combien y a-t-il de plateaux différents ?
E XERCICE 788
5 minutes
On colorie chaque carreau d’un quadrillage rectangulaire de 30 carreaux soit en rouge, soit en
jaune, soit en rose.
Combien y a-t-il de coloriages possibles ?
E XERCICE 789
5 minutes
Les initiales d’une personne sont le couple formé par la première lettre de son prénom et la
première lettre de son nom.
Montrer que, dans un village d’au moins 677 habitants, il existe toujours deux personnes ayant
les mêmes initiales.
E XERCICE 790
5 minutes
Une plaque minéralogique est composée de 2 lettres (excepté le O) - 3 chiffres - 2 lettres (excepté le O).
Combien de plaques d’immatriculation différentes peuvent exister ?
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
354
E XERCICE 791
5 minutes
On joint chaque lettre de l’ensemble A à l’un quelconque des chiffres de l’ensemble B.
X
B
A
×
C
×
E
D
Y
×
×
×
1
×
×4
×
×
2
6
×
×
3
×
5
7
Combien y a-t-il de liaisons possibles dans
chaque cas :
1. deux lettres distinctes sont reliées à des
chiffres distincts ;
2. des lettres distinctes peuvent être reliées
au même chiffre.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 792
5 minutes
De combien de façons 2 personnes peuvent-elles occuper 6 sièges alignés ? en cercle ?
E XERCICE 793
De combien de façons peut-on placer 18 personnes autour d’une table ronde ?
5 minutes
E XERCICE 794
10 minutes
On appelle « mot » toute permutation de lettres données. Par exemple avec a, i, m et r, les mots
rima, mari, mria, · · · , airm, · · · .
Avec les lettres du mot « François », combien peut-on former de mots :
1. commençant et finissant par une voyelle ;
2. commençant par une voyelle et finissant par une consonne ?
E XERCICE 795
5 minutes
Combien d’équipes de basket (5 joueurs) peut-on former avec les 35 élèves d’une classe ?
E XERCICE 796
A un examen, on doit traiter 5 exercices au choix parmi les 8 proposés.
5 minutes
1. Combien y a-t-il de choix possibles ?
2. Le premier exercice est finalement imposé. Combien y a-t-il alors de choix possibles ?
E XERCICE 797
5 minutes
Soit n points du plan (n > 3) tels que 3 points quelconques ne sont pas alignés.
Combien peut-on construire de triangles distincts dont les sommets sont parmi ces n points.
E XERCICE 798
10 minutes
1. Un comité comprend 11 membres : de combien de façons peut-on choisir un président, un
vice-président et un secrétaire, parmi ces 11 membres ?
2. De combien de façons peut-on choisir 3 membres parmi les 11 sans distinguer les fonctions
qu’auront ces trois membres ?
4.1. DÉNOMBREMENT
355
E XERCICE 799
Soit n points sur un cercle.
10 minutes
1. Combien ces n points déterminent-ils de cordes ?
2. Quel est le nombre de points d’intersection situés à l’intérieur du cercle lorsque, en chaque
point, passent au plus deux cordes ?
E XERCICE 800
10 minutes
On dira que des points de l’espace sont en position générale si trois quelconques de ces points
ne sont pas alignés et quatre quelconques de ces points ne sont pas coplanaires.
Soit n points de l’espace en position générale (n > 4).
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Combien de droites passent par deux de ces points ?
2. Combien de plans passent par trois de ces points ?
E XERCICE 801
10 minutes
b
Une fourmi se déplace uniquement sur le
quadrillage, vers la droite et vers le haut.
De combien de façons différentes peut-elle
aller du départ à l’arrivée ?
arrivée
b
départ
E XERCICE 802
Calculer,
les combinaisons
suivantes
à ! SANS calculatrice,
à !
à !
Ã
!:
7
10
10
100
A=
B=
C=
D=
3
4
5
0
10 minutes
Ã
!
100
E=
99
Ã
!
1000
F=
999
4.1.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 803
Soit A et B deux parties d’un ensemble E . Démontrer les propriétés suivantes :
15 minutes
1. Si A et³B ´sont disjoints alors C ar d (A ∪ B ) = C ar d (A) +C ar d (B ) ;
2. C ar d A = C ar d (E ) −C ar d (A) ;
3. C ar d (A ∪ B ) = C ar d (A) +C ar d (B ) −C ar d (A ∩ B ).
E XERCICE 804
10 minutes
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E . Démontrer que :
C ar d (A ∪ B ∪C ) = C ar d (A) +C ar d (B ) +C ar d (C ) −C ar d (A ∩ B ) −C ar d (B ∩C )
−C ar d (C ∩ A) +C ar d (A ∩ B ∩C ).
356
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 805
Vérifier
à ! que,
à ! quelque soit n et p Ãentiers
! Ã tels que
! 06p 6n :
n
n
n
n
1.
=
=1
2.
=
=n
0
n
1
n −1
10 minutes
à ! Ã
!
n
n
3.
=
p
n−p
E XERCICE 806 Ã
!
à !
k n
n −1
Démontrer que
=
.
k −1
n k
10 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 807
Soit n et p deux entiers tels
à que
!Ã0 6
! p Ã6 n !Ã
!
n +k n
n +k p +k
Démontrer que ∀k ∈ N,
=
.
k
p
p +k
p
E XERCICE 808
à !
n n
X
Démontrer par dénombrement que
= 2n .
k
k=0
E XERCICE 809
Démontrer la relation de Pascal :
10 minutes
5 minutes
15 minutes
à ! Ã
! Ã
!
n
n −1
n −1
pour tous entiers n et k tels que 1 6 k 6 n − 1,
=
+
.
k
k
k −1
1. Par le calcul.
2. Par une méthode combinatoire.
E XERCICE 810
15 minutes
Formule du binôme
:
Soit
a
et
b
deux
nombres
réels
et
n
un
entier
naturel
strictement
positif.
à !
n n
X
a n−p b p .
On a (a + b)n =
p=0 p
5
5
1. En déduire un développement
à de
! (a + b) età (a −
! b)
Ã
!
n n
n
n
X
X
X
n
n
2. Calculer les sommes S 0 =
, S1 =
et S 2 =
.
p=0 p
2p=0 2p
2p+1=1 2p + 1
à !
n
X
n
3. Calculer la somme S =
p
p
p=0
E XERCICE 811
15 minutes
Le Loto « ancienne version » consiste à cocher 6 numéros sur une grille comportant les entiers
de 1 à 49. Lors du tirage, 6 numéros sont tirés au hasard, est déclaré vainqueur celui qui a coché
ces 6 numéros.
1. Combien y a-t-il de grilles possibles ?
2. Combien de grilles ne comportent que 5 des 6 numéros tirés ?
3. Combien de grilles ne comportent que 3 des 6 numéros tirés ?
4.1. DÉNOMBREMENT
357
E XERCICE 812
15 minutes
Une urne contient sept boules, cinq noires et deux rouges, indiscernables au toucher.
1. On extrait simultanément deux boules de l’urne.
a. Déterminer le nombre de tirages composés de deux boules rouges.
b. Déterminer le nombre de tirages composés de boules de couleurs différentes.
2. On extrait cette fois les sept boules, l’une après l’autre, sans remise.
Déterminer le nombre de tirages pour lesquels :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
la première boule tirée est rouge ;
la première boule tirée est noire et la deuxième rouge ;
la première boule rouge tirée est en troisième position ;
la première boule rouge tirée est en quatrième position ;
la première boule rouge tirée est en cinquième position ;
la première boule rouge tirée est en sixième position.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 813
à !
n!
n
.
Soit n et p deux entiers naturels tels que p 6 n, on rappelle que
=
p!(n − p)!
p
à ! Ã
!
à !Ã
!
p
n
X
X
k
n +1
n n −k
1. Démontrer que
=
.
2. Calculer
.
p +1
k=p p
k=0 k p − k
15 minutes
E XERCICE 814
20 minutes
Un Q.C.M. est constitué de 8 questions. Pour chacune d’elles, 4 réponses sont proposées dont
une seule est exacte.
Un candidat répond au hasard.
1. Déterminer le nombre de réponses possibles à ce Q.C.M.
2. a. Déterminer le nombre de cas où les réponses du candidat aux 6 premières questions
sont exactes et aux deux autres fausses.
b. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à 6 questions.
3. Déterminer le nombre de cas où le candidat donne au moins 6 réponses exactes.
4. Le candidat est reçu s’il donne au-moins 6 réponses exactes. Qu’elle est la probabilité qu’il
soit reçu en répondant au hasard ?
E XERCICE 815
10 minutes
On choisit 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Combien y a-t-il de résultats comprenant :
1. exactement 2 rois ;
2. aucune dame ;
3. au moins 3 valets ;
4. 2 trèfles et 3 piques ;
5. 3 as et 2 rois ;
6. 3 piques et 2 rois.
358
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 816
Combien y a-t-il de mots de passe possibles, suivants les cas :
10 minutes
1. composé de huit lettres minuscules ;
2. composé de huit lettres dont deux majuscules ;
3. composé de huit caractères (lettres ou chiffres) dont une majuscule et un chiffre.
E XERCICE 817
5 minutes
3 guides et 5 touristes partent à l’ascension d’une montagne. Ces 8 personnes forment une
cordée dont la première et la dernière personne sont des guides.
De combien de façons différentes peut-être constituée la corde ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 818
10 minutes
Pour entrer dans son immeuble Math doit composer un code à 5 caractères sur un clavier composé des dix chiffres et des lettres A et B.
1. Combien y a-t-il de codes composés de 4 chiffres puis d’une lettre.
2. Combien y a-t-il de codes composés de 4 chiffres et d’une lettre (non nécessairement à la
fin).
3. Les chiffres 3 et 8 ne fonctionnent plus, combien y a-t-il de codes composés de 3 chiffres et
de 2 lettres.
E XERCICE 819
20 minutes
On prend six cartons identiques. Sur chaque carton, on écrit une et une seule des six lettres du
mot FRANCE, chacune des lettres de ce mot est utilisée. On place ces cartons dans une urne, on
les en extrait au hasard un à un et on note les lettres obtenues dans l’ordre de leur apparition.
1. Calculer, dans l’hypothèse où ces six tirages se font sans remise :
a. le nombre de mots de six lettres ;
b. on obtient dans l’ordre de leur apparition, les trois premières lettres FRA et les trois
autres lettres dans le désordre.
2. Reprendre les questions précédentes lorsque les six tirages s’effectuent en remettant à chaque
fois dans l’urne le carton obtenu.
E XERCICE 820
20 minutes
Une main au Poker est formée de 5 cartes extraites d’un jeu de 52 cartes. Cœur, carreau, trèfle et
pique sont appelées couleurs, as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 sont les valeurs rangées
par ordre décroissant.
Dénombrer les mains suivantes :
1. Une quinte floche : main formée de 5 cartes de valeurs consécutives et de même couleur
(par exemple : roi, dame, valet, dix, neuf de pique).
2. Un carré : main contenant 4 cartes de même valeur.
3. Un full : main formée de 3 cartes de même valeur et de deux autres de même valeur (par
exemple : 3 dames et 2 dix).
4.1. DÉNOMBREMENT
359
4. Une quinte : main formée de 5 cartes de valeurs consécutives et qui ne sont pas toutes de la
même couleur.
5. Un brelan : main comprenant 3 cartes de même valeur et qui n’est ni un carré, ni un full (par
exemple : 3 rois, 1 dame et 1huit).
E XERCICE 821
20 minutes
1. On considère n boules (n > 1) et deux urnes U1 et U2 .
Un échantillon est constitué d’une boule dans l’urne U1 et de p − 1 boules dans l’urne U2 ,
avec p entier tel que 0 6 p 6 n.
En dénombrant de deux manières différentes ces échantillons, établir la relation
Ã
!
à !
n −1
n
n
=p
p −1
p
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Soit a et b deux réels
à et n !un entier strictement positif.
n n −1
X
Démontrer que
a k−1 b n−k = (a + b)n−1 .
k=1 k − 1
☞ On pourra poser p = k − 1.
3. En utilisant le résultat de la première question, montrer que si a + b = 1, on a
à !
n
X
n k n−k
k
a b
= na
k
k=0
E XERCICE 822
Déterminer les trois derniers chiffres de N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2021! =
E XERCICE 823
n
2021
X
15 minutes
n!
n=1
20 minutes
1. Ecrire la formule donnant le développement du binôme (1 + x) .
2. En donnant à x deux valeurs particulières, que l’on choisira, en déduire la valeur des sommes :
à !
à ! à ! à !
à !
n n
X
n
n
n
n
N1 =
+
+
+··· +
=
0
1
2
n
k=0 k
à !
à !
à ! à ! à !
n
X
n
n
n
k n
n n
(−1)
=
N2 =
−
+
− · · · + (−1)
k
n
0
1
2
k=0
3. Déduire de la dernière formule la valeur de la somme :
S=
1
1
1
1
1
−
+
−
+ · · · + (−1)n
.
0!n! 1!(n − 1)! 2!(n − 2)! 3!(n − 3)!
n!0!
par convention 0! = 1.
360
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 824
20 minutes
1. Développer, en utilisant la formule du binôme de Newton, les polynômes suivants :
¡
¢2n
P 1 (x) = (x + 1)2n , P 2 (x) = (x − 1)2n et P 3 (x) = x 2 − 1 .
à !2
2n
X
(n + 1)(n + 2) · · · 2n
k 2n
.
2. En déduire que
= (−1)n
(−1)
n!
k
k=0
Pour cela, on étudiera le coefficient du terme en x 2n dans le produit P 1 (x)P 2 (x), puis dans
P 3 (x).
s
a
r
u
D
I
F
L
4.2 Loi binomiale
4.2.1 Point de cours
Définitions :
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p, toute expérience aléatoire admettant deux
issues exactement :
− l’une appelée « succès » notée S, dont la probabilité d’apparition est p ;
− l’autre appelée « échec » notée E ou S, dont la probabilité est 1 − p.
On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, toute expérience aléatoire
consistant à répéter n fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Propriété : Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X
qui compte le nombre de succès a pour loi de probabilité :
µ
¶
n
P (X = k) =
p k (1 − p)n−k où k prend les valeurs 0, 1, · · · , n.
k
p
Son espérance est E (X ) = np et son écart type est σ (X ) = np(1 − p).
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n; p).
4.2.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 825
Compléter l’arbre ci-contre.
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
5 minutes
•
0, 6
B
0, 2
···
A
A
··· ···
B
B
0, 9
B
4.2. LOI BINOMIALE
361
E XERCICE 826
L’arbre pondéré ci-contre représente un schéma
de 3 épreuves de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout prélèvement,
associe le nombre de succès S obtenus.
10 minutes
•
0, 7
S
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser
ses paramètres.
0, 7
0, 3
2. Interpréter,
à ! dans la situation de l’exercice, le
3
S
S
nombre
.
2
3. A
correspond l’expression
à quoi
!
3
S
S
S
S
× 0, 72 × 0, 3 ? Calculer cette expression.
2
0, 3
S
0, 7
0, 3
s
a
r
u
D
I
F
L
S
S
S
E XERCICE 827
Dans chaque cas, s’agit-il d’une loi binomiale ?
S
S
S
5 minutes
1. Une branche présente 15 fleurs blanches ou roses réparties au hasard. On compte 5 fleurs
blanches et 10 fleurs roses. On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, on compte le
nombre de fleurs blanches obtenues.
2. On joue à « Pile - Face » avec une pièce bien équilibrée, jusqu’à l’obtention d’un « Pile ».
3. On lance 5 fois de suite, un dé tétraédrique, dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et on
note la somme des faces visibles.
4. On lance un dé non truqué, 8 fois de suite et on note le nombre de 6 obtenus.
E XERCICE 828
5 minutes
On estime que 2 % des êtres humains sont gauchers, calculer la probabilité que parmi 100 personnes, 5 soient gauchères.
E XERCICE 829
5 minutes
Un escargot descend le long d’un grillage. A chaque épissure, il prend la maille de droite une
fois sur trois, celle de gauche deux fois sur trois. Il descend ainsi dix niveaux.
1. Quelle est la probabilité que l’escargot ait pris quatre fois la maille de droite ?
2. Quelle est la probabilité que l’escargot ait pris quatre fois la maille de gauche ?
E XERCICE 830
Un concours consiste à passer 3 épreuves indépendantes :
Epreuve 1 : on a 70 % de chances de réussir au vu des dernières années ;
Epreuve 2 : on a 55 % de chances ; Epreuve 3 : on a 35 % de chances ;
On est reçu au concours si on réussit au moins deux épreuves sur les trois.
Quelle est la probabilité de réussir le concours ?
5 minutes
362
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 831
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 15.
Calculer les probabilités suivantes :
3. P (X > 3) et P (X > 5)
1. P (X = 2) et P (X = 10)
4. P (2 6 X 6 6) et P (2 < X < 9).
2. P (X 6 3) et P (X 6 9)
10 minutes
E XERCICE 832
15 minutes
Dans une population donnée, 56% des familles occupent une maison individuelle. Parmi elles,
78 % en sont propriétaires.
Parmi les familles n’occupant pas une maison individuelle, 24% sont propriétaires de leur
logement.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On choisit une famille au hasard dans la population considérée.
Démontrer que la probabilité pour qu’elle soit propriétaire de son logement est égale à
0, 5424.
2. On interroge cinq familles au hasard dans la population considérée. On suppose que les
choix successifs sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout prélèvement, associe le nombre de familles propriétaires de le logement.
a.
b.
c.
d.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
Donner l’expression de P (X = k) en fonction de k.
Calculer P (X = k) pour 0 6 k 6 5, arrondir les résultats à 10−4 .
Calculer E (X ) et V (X ) par deux méthodes.
E XERCICE 833
10 minutes
Une urne contient une boule rouges, deux boules blanches et trois boules noires. On extrait
successivement six boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite
dans l’urne. On suppose tous les tirages équiprobables.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 boules blanches ?
3. Combien peut-on espérer obtenir de boules blanches en moyenne ?
E XERCICE 834
10 minutes
Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5 % de ce cheptel (ou 5
pour mille).
1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire
égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale
dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.
b. On désigne par A l’évènement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ».
On désigne par B l’évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ».
Calculer les probabilités de A et de B
4.2. LOI BINOMIALE
363
E XERCICE 835
5 minutes
Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires.
On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque
tirage.
Déterminer la plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins
une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0, 999 9.
E XERCICE 836
On considère une urne contenant 5 boules rouges et 7 boules noires.
15 minutes
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On tire simultanément 2 boules de l’urne, on admet que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité des événements suivants :
a. on a tiré 2 boules rouges ;
b. on a tiré 2 boules de même couleur.
2. On répète 6 fois l’épreuve qui consiste à tirer simultanément 2 boules de l’urne, en remettant
les boules dans l’urne après tirage (les épreuves successives sont donc indépendantes). On
considère comme un succès le tirage de 2 boules rouges à une épreuve.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout prélèvement, associe le nombre de succès obtenus au
cours des 6 épreuves.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
b. Déterminer l’espérance mathématique et la variance de X .
c. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 4 succès.
E XERCICE 837
15 minutes
Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l’expérience suivante :
On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le
jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l’urne ; si le jeton tombe sur
la face noire, on ajoute une boule noire dans l’urne.
Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l’urne.
1. On appelle E 0 l’évènement : « Aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tirées »
et B l’événement : « Le jeton est tombé sur la face blanche ».
´
³
a. Calculer P (E 0 ∩ B ), P E 0 ∩ B , puis P (E 0 ).
b. On tire trois boules de l’urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est
la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ?
2. On appelle E 1 l’événement : « Une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules
tirées » et B l’évènement : « Le jeton est tombé sur la face blanche ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement E 1 .
b. On effectue successivement quatre fois l’expérience décrite au début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir, au moins une fois, une et une seule boule blanche ?
364
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
4.2.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 838
10 minutes
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p. Démontrer que pour k entier
µ
¶
n
tel que 0 6 k 6 n, P (X = k) =
p k (1 − p)n−k
k
E XERCICE 839
15 minutes
Soit X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois bino¡
¢
¡
¢
miales B n 1 ; p et B n 2 ; p .
¡
¢
Démontrer que la variable aléatoire X 1 + X 2 suit la loi binomiale B n 1 + n 2 ; p .
Remarque : plus généralement, on peut démontrer par récurrence, que (X i )16i 6k est
!
à une suite
k
k
X
X
¡
¢
de variables aléatoires indépendantes suivant la loi B n i ; p alors
ni ; p .
X i suit la loi B
s
a
r
u
D
I
F
L
i =1
i =1
E XERCICE 840
10 minutes
Lorsque Math plante des bulbes de tulipes, il y a 20% de chance que le bulbe ne donne pas de
fleurs. Math choisit 30 bulbes dans un énorme bac rempli de bulbes.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de bulbes n’ayant pas donné de fleurs.
1. Quelle loi suit X ? Donner les paramètres de cette loi.
2. Quelle est la probabilité que les deux tiers des bulbes ne donnent pas de fleurs ?
3. Quelle est la probabilité qu’au plus 5 bulbes ne donnent pas de fleurs ?
E XERCICE 841
5 minutes
Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une
étude sur un lot des 500 dernières bouteilles de jus de fruits vendues.20% des bouteilles de jus
de fruits vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
On note X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de « pur jus » dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces 500 bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec
remise.
1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X . On en donnera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité pour qu’au moins 75 bouteilles de cet échantillon de 500 bouteilles soient de « pur jus ». On arrondira le résultat au millième.
E XERCICE 842
10 minutes
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l’industrie informatique. On prélève
au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez
grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.
On admet que la probabilité qu’une clé USB préléve au hasard dans la production d’une journée soit défectueuse est égale à 0,015.
4.2. LOI BINOMIALE
365
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de
clés défectueuses de ce prélèvement.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer les probabilités P (X = 0) et P (X = 1).
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.
E XERCICE 843
15 minutes
Un lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent
que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension
de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à
10−3 .
b. Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de
garantie ? Arrondir à 10−3 .
2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le
client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on
note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client
par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.
a. Justifier que Y prend les valeurs 65 et −334 puis donner la loi de probabilité de Y .
b. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.
E XERCICE 844
20 minutes
Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». A la fin d’une journée, il
trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. Il constate que la caisse
du rayon « journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 ( que celle du rayon « souvenirs ».
Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays
utilisant la monnaie unique.
Ainsi, 40 % des pièces de 1 ( dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celle du rayon « journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).
1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une
face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse
366
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
« souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre
de pièces portant une face « étrangère ».
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
c. Calculer la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
2. Les pièces de 1 ( issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.
On prélève au hasard une pièce du sac.
On note S l’évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E l’évènement « la pièce
porte une face étrangère ».
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer P (S), P S (E ) ; en déduire P (S ∩ E ).
b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.
c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».
3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16.
Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec
remise.
Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
E XERCICE 845
15 minutes
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans les questions
1. et 2. on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données
sous forme de fractions irréductibles.
1. Soit les évènements suivants :
A « Les trois boules sont rouges. »
B « Les trois boules sont de la même couleur. »
C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a. Calculer les probabilités p(A), p(B ) et p(C ) .
b. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs
obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer E (X ).
2. Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier
supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2
vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les évènements
suivants :
D « Tirer deux boules rouges. »E « Tirer deux boules de la même couleur. »
n(n − 1)
.
a. Montrer que la probabilité de l’évènement D est p(D) =
(n + 5)(n + 4)
b. Calculer la probabilité de l’évènement E , p(E ) en fonction de n.
4.2. LOI BINOMIALE
367
c. Pour quelles valeurs de n a-t-on p(E ) >
1
?
2
E XERCICE 846
20 minutes
Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.
A
8
9
1
9
s
a
r
u
D
I
F
L
C (10 pts)
B (0 pt)
8
9
1
9
8
9
1
9
D (0 pt)
E (10 pts)
F (0 pt)
G (10 pts)
On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après
être passé par un nœud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la
bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue
d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.
1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance de X.
c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu
exactement 10 points.
2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On
considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.
a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi
au millième.
b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi
au millième.
E XERCICE 847
15 minutes
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 5km de son domicile à une vitesse supposée constante
de 15km/h. Sur le parcours, il rencontre 8 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu,
1
2
la probabilité qu’il soit au vert est et celle qu’il soit au rouge ou à l’orange est . Un feu rouge
3
3
368
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
ou orange fait perdre une minute et demie. Il lui faut de plus 2 minutes pour garer et attacher
son vélo.
On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève
sur son parcours et T la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l’élève pour se
rendre au lycée.
1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. a. Exprimer T en fonction de X .
b. Déterminer E (T ) et interpréter ce résultat.
3. L’élève part 25 minutes avant le début des cours.
s
a
r
u
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I
F
L
a. Peut-il espérer être à l’heure ?
b. Calculer la probabilité qu’il arrive en retard.
E XERCICE 848
15 minutes
Soit un dé ayant la forme d’un tétraèdre régulier, sur les faces sont marquées les nombres 1, 2, 5
et 10.
Lorsque le dé est posé, trois faces sont visibles.
Lorsqu’on lance le dé, la probabilité pour qu’il se pose sur une face donnée ne dépend pas de
cette face.
1. On lance le dé une fois. Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres visibles
soit supérieure ou égale à 13,
2. Soit n et k deux entiers vérifiant n > 1 et 0 6 k 6 n. On effectue n lancers du dé et après
chacun d’eux, on regarde la somme des nombres visibles. Calculer la probabilité p k pour
qu’on ait exactement k lancers tels que S > 13 ?
3. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle p n < 10−10 .
E XERCICE 849
15 minutes
Dans une fête foraine, on a organisé une loterie. A cette loterie, il y a plusieurs carnets identiques de 100 billets.
Dans chaque carnet, il a y 1 billet permettant de gagner 100 (, 2 billets permettant de gagner
50 (, 7 billets permettant de gagner 20 (, les autres dont perdants.
1. Première situation : une personne prend un billet au hasard dans un carnet complet.
Soit X la variable aléatoire associe la somme gagnée par cette personne.
a. Etablir la loi de probabilité de X .
b. Déterminer la probabilité de l’événement E : « la personne gagne au moins 20 ( ».
2. Deuxième situation : on présente à une autre personne n carnets complets (n > 1) et cette
personne choisit, au hasard, un billet dans chaque carnet. Ces n choix sont supposés indépendants les uns des autres et la probabilité de gagner est la même pour chaque carnet.
a. Quelle est la probabilité P n pour que cette personne ait au moins un billet gagnant ?
b. Calculer le plus petit entier n tel que P n > 0, 5.
4.2. LOI BINOMIALE
369
E XERCICE 850
15 minutes
Une urne contient n +8 boules indiscernables au toucher, de trois couleurs : n bleues, 5 rouges
et 3 vertes.
1. On tire deux boules de l’urne sans remise. On gagne quand on tire deux boules de même
couleur.
Calculer, en fonction de n, la probabilité p n de gain puis la probabilité q n de perte.
Calculer lim p n . Ce résultat était-il prévisible ?
n→+∞
2. On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boules comme à la question précédente, en remettant les deux boules dans l’urne après chaque tirage.
Calculer, en fonction de n, la probabilité P n d’obtenir exactement 9 fois un tirage avec deux
boules de même couleur.
Calculer lim P n . Ce résultat était-il prévisible ?
s
a
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u
D
I
F
L
n→+∞
E XERCICE 851
15 minutes
On lance simultanément un dé cubique bleu et un dé cubique rouge. Les faces de chacun de
ces deux dés sont numérotées de 1 à 6.
A chaque lancer apparaît donc un couple de nombres. On suppose tous les résultats équiprobables.
On désigne par E l’événement « la somme des deux nombres est supérieure ou égale à 10 ».
1
1. Montrer que la probabilité de E est égale à .
6
2. On lance ces deux dés 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que l’événement E soit réalisé
exactement 3 fois ? (on donnera une valeur décimale arrondie à 10−3 près).
3. On lance les deux dés n fois de suite.
µ ¶n
5
.
a. Montrer que la probabilité p n que E soit réalisé au moins une fois est égale à 1 −
6
b. Quel est le nombre minimum de lancers pour que cette probabilité p n soit supérieure à
0, 9 ?
c. Quelle est la limite de p n quand n tend vers +∞ ?
E XERCICE 852 : PROGRAMMATION
On ne dispose que des opérations élémentaires !
25 minutes
1. Ecrire une fonction en langage Python prenant un paramètre n en entrée et retournant sa
factorielle.
2. Ecrire une fonction en langage
prenant deux paramètres n et k en entrée et retourà Python
!
n
nant le coefficient binomiale
. On fera appel à la fonction précédente.
k
3. Ecrire une fonction en langage Python prenant quatre paramètres n, p, a, b en entrée et
retournant P (a 6 X 6 b) pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n, p). On
pourra commencer par écrire une fonction retournant P (X = a).
370
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 853 : PROGRAMMATION
25 minutes
Soit X une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n, p).
Ecrire une fonction en langage Python prenant trois paramètres n, p, α en entrée et retournant
le valeur de k tel que P (X > k) 6 α.
E XERCICE 854
15 minutes
Un laboratoire annonce qu’un médicament sauve 40% des patients atteints d’une maladie rare.
Pour contrôler cette affirmation, on le teste sur 100 patients atteints de cette maladie.
Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans un échantillon aléatoire de malades et assimilé à un tirage avec remise de taille 100.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Quelle loi suit X ?
2. Déterminer les entiers a et b tels que a soit le plus petit entier tel que P (X 6 a) > 0, 025 et b
est le plus petit entier tel que P (X 6 b) > 0, 975 .
3. Sur les 100 malades auxquels on a administré ce médicament, on en a sauvé 30.
On considère
que
·
¸ si la fréquence des malades sauvés dans l’échantillon appartient à l’intera b
valle I =
, l’annonce est exacte, au seuil de confiance de 95%.
;
n n
Que peut-on dire de l’annonce faite par le laboratoire ?
E XERCICE 855 : L OI GÉOMÉTRIQUE TRONQUÉE
20 minutes
Math cherche à joindre par téléphone un service médical. La probabilité que son appel soit pris
sans attente est de 0, 3 . Si son appel n’est pas pris sans attente, Math raccroche son téléphone
et fait une autre tentative. Il fait au maximum trois tentatives.
On note X la variable aléatoire qui associe le rang de son premier appel aboutissant sans attente. Si au bout de trois appels Math n’a pas réussi à joindre le service médical sans attente, on
convient alors que X = 0 .
On note R l’événement : « Math est mis en relation avec le service médical sans attente ».
1.
2.
3.
4.
5.
Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ?
Déterminer alors la loi de probabilité de X .
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X , et interpréter ce résultat.
Reprendre la loi de probabilité (sans faire l’arbre de probabilités) en supposant que Math
s’accorde au maximum six tentatives.
E XERCICE 856 : L OI GÉOMÉTRIQUE
20 minutes
On jette un dé truqué jusqu’à ce que le 6 apparaisse pour la première fois.
On appelle X la variable aléatoire, qui à tout prélèvement, associe le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6.
On suppose que la probabilité d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à p avec p ∈ ]0; 1[.
1. Calculer, en fonction de p, la probabilité que le 6 apparaisse au k ème lancer.
2. Démontrer que P (X 6 k) = 1 − (1 − p)k
4.2. LOI BINOMIALE
371
3. Démontrer que la loi géométrique est sans mémoire, c’est-à-dire que :
Pour tous entiers naturels non nuls n et k, P X >k (X > n + k) = P (X > n).
1
4. Démontrer que E (X ) = .
p
5. On suppose que p = 0, 2
a. Calculer la probabilité que le 6 apparaisse au 3e lancer.
b. Calculer P (X 6 4). Interpréter le résultat.
c. Calculer E (X ). Interpréter le résultat.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 857
15 minutes
Une fabrique de desserts glacés dispose d’une chaîne automatisée pour remplir des cônes de
glace.
Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2 000 pour la
vente en gros.
On considère que la probabilité qu’un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à 0, 003.
On nomme X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2 000 cônes prélevés au hasard dans la
production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot.
On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être
supposés indépendants les uns des autres.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
2. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l’entreprise procède alors
à un échange de celui-ci.
Déterminer la probabilité qu’un lot ne soit pas échangé (le résultat sera arrondi au millième).
E XERCICE 858
25 minutes
Un entraîneur d’une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but de ses joueurs.
Il a remarqué que pour une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe
marque :
− 5 buts avec une probabilité de 0, 2 ;
− 4 buts avec une probabilité de 0, 5 ;
− 3 buts avec une probabilité de 0, 3.
Chaque joueur, à l’entraînement, tire deux séries de cinq ballons. On admet que les résultats
d’un joueur à chacune des séries sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs au but réussis par un joueur au cours de
l’entraînement.
1. a. Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs au but à
l’entraînement.
b. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2. L’entraîneur considère que le joueur a réussi l’épreuve des tirs au but lorsque X > 8, sinon il
y a échec.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
372
Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d’un entraînement
est 0, 61.
3. Chaque joueur participe à dix séances d’entraînement. On admet que les épreuves de tirs au
but sont indépendantes les unes des autres. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de
succès d’un joueur à l’épreuve des tirs au but au cours de ces 10 entraînements. On donnera
les résultats arrondis à 10−4 près.
Calculer pour un joueur la probabilité :
a. de n’avoir aucun échec lors des dix séances ;
b. d’avoir exactement 6 succès :
c. d’avoir au moins un succès.
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Déterminer le nombre minimal d’entraînements auxquels doit participer le joueur pour que
la probabilité d’avoir au moins un succès soit supérieure à 0, 99.
E XERCICE 859
15 minutes
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de
personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge
un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque
personne. On admet dans cette partie que la probabilité qu’une personne interrogée accepte
de répondre à la question est égale à 0,6.
1. L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant
au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.
a. Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse.
b. Quelle est la meilleure approximation de P (X > 400) parmi les nombres suivants ?
0, 92
0, 93
0, 94
0, 95.
2. Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur
ou égal à 400.
E XERCICE 860
25 minutes
On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le
nombre sur la face cachée.
Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4}, on note p i la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée. Le
dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p 1 , p 2 , p 3 et p 4 dans cet ordre, forment une
progression arithmétique.
1. Sachant que p 4 = 0, 4 démontrer que p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2 et p 3 = 0, 3.
2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?
4.2. LOI BINOMIALE
373
3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note
X la variable aléatoire, qui à tout prélèvement, associe le nombre de fois où le chiffre 4 est
obtenu.
a. Pour 1 6 i 6 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l’évènement (X = i ).
b. Calculer l’espérance mathématique de X . Interpréter le résultat obtenu.
c. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 1). On donnera une valeur arrondie au millième.
4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés
indépendants deux à deux.
On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Montrer que (Un ) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.
n
X
b. Calculer S n =
Ui puis étudier la convergence de la suite (S n ).
i =1
c. Déterminer le plus petit entier n tel que S n > 0, 999.
E XERCICE 861
25 minutes
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
•
•
•
Le joueur mise 1 ( et lance la roue A.
S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la
partie s’arrête.
S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la
partie s’arrête.
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Soient E et F les évènements :
E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
Montrer que P (E ) = 0, 02 et P (F ) = 0, 17.
3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 ( ; si une seule des cases est rouge le
joueur reçoit 2 ( ; sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur
mise 1 ().
a. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
374
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
a. Démontrer que la probabilité p n qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que
p n = 1 − (0, 9)n .
b. Justifier que la suite de terme général p n est convergente et préciser sa limite.
c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle p n > 0, 9 ?
E XERCICE 862
30 minutes
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure
retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier.
40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés
passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont
convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 %
des candidats rencontrés.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les évènements suivants :
— D : « Le candidat est retenu sur dossier »,
— E 1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,
— E 2 : « Le candidat est recruté ».
a. Etablir l’arbre pondéré illustrant la situation.
b. Calculer la probabilité de l’évènement E 1 .
c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».
Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0, 93.
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier
sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun
d’eux soit recruté est égale à 0, 07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces
cinq candidats.
a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira
à 10−3 .
3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour
que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0, 999 ?
E XERCICE 863
30 minutes
La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se
baigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest.
Partie A
Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise.
Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions.
Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise
la veille vaut 0,8.
Pour i = 1 ou i = 2, on note E i l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i -éme jour » et
O i l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Ouest le i -ème jour ».
4.2. LOI BINOMIALE
375
1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.
2. Déterminer les probabilités suivantes : P (E 1 ) ; P E 1 (O 2 ) ; P (E 1 ∩ E 2 ) .
3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs.
Partie B
On suppose maintenant que n touristes (n > 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise.
Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépendamment
des autres l’une des deux directions. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces
touristes qui choisissent la plage à l’Est.
1. Déterminer la probabilité que k touristes (0 6 k 6 n) partent en direction de l’Est.
2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Peut-il y avoir deux touristes heureux ?
b. Démontrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n toun
ristes vaut : p = n−1 .
2
c. Application numérique : Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10.
E XERCICE 864
30 minutes
Dans une foire, une publicité annonce : « Un billet sur deux est gagnant. Achetez deux billets ».
Dans cet exercice, on suppose qu’effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement
un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.
Partie A
Il est mis en vente chaque jour cent billets.
1. Xavier acheté deux billets. Calculer la probabilité qu’il achète au moins un billet gagnant.
Le résultat sera donné sous forme d’une fraction irréductible, puis à 10−3 près.
2. Xavier revient chaque jour, pendant trois jours, acheter deux billets Quelle est la probabilité
qu’il achète au moins un billet gagnant sur les trois jours ? Le résultat sera donné à 10−3 près.
3. Un autre tour, Xavier achète six billets. Quelle est la probabilité qu’il achète au moins un
billet gagnant. Le résultat sera donné à 10−3 près.
Partie B
Désormais, il est mis en vente 2n billets (n > 0). Xavier achète deux billets.
3n − 1
.
1. Démontrer que la probabilité p n , qu’il achète au moins un billet gagnant est p n =
4n − 2
¡ ¢
2. a. Etudier les variations de la suite p n n∈N .
b. Déterminer la limite de p n , quand n tend vers +∞.
E XERCICE 865
10 minutes
Math lance 200 fois de suite une pièce de 1 ( et obtient 130 « Pile ». Math pense que sa pièce est
truquée, a-t-il raison ?
☞ S’inspirer de l’exercice 854.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
376
4.3 Sommes de variables aléatoires
4.3.1 Point de cours
Définition : Soient a et b deux réels. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x 1 , x 2 , x n .
La variable aléatoire Y définie par Y = a X + b est la variable qui prend pour valeurs les réels
y i = ax i + b pour 1 6 i 6 n.
Propriétés : L’espérance de Y est E (Y ) = E (a X + b) = aE (X ) + b
La variance de Y est V (Y ) = V (a X + b) = a 2V (X )
s
a
r
u
D
I
F
L
Propriété : Soit X et Y deux variables aléatoires
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).
Définition : On dit que deux variables aléatoires sont indépendantes lorsqu’elles sont associées
à deux expériences aléatoires dont les conditions de réalisation sont indépendantes.
Propriété : Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes
V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ).
4.3.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 866
5 minutes
Soit X et Y deux variables aléatoires d’espérances respectives E (X ) = 6 et E (Y ) = 2, de variances
respectives V (X ) = 2 et V (Y ) = 0, 4.
Calculer E (Z ) et V (Z ) dans chaque cas :
1. Z = 2X + 3
3. Z = −5X + 2
2. Z = 4Y − 2
4. Z = X + Y
E XERCICE 867
5 minutes
Un paquet de 10 cartes à jouer contient 5 as, 3 rois et 2 dames. Le tirage d’un as rapporte
5 points, celui d’un roi rapporte 2 points et celui d’une dame coûte 1 point.
On tire simultanément 2 cartes du paquet et on désigne par X le total des points marqués. On
suppose que les tirages sont équiprobables.
1. Etablir la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de X .
E XERCICE 868
Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :
xi
P (X = x i )
0
0, 1
1
0, 2
1. Calculer l’espérance et la variance de X .
2. Soit Y = 2X − 3, calculer E (Y ) et V (Y ).
2
0, 3
3
0, 2
4
0, 15
5
0, 05
10 minutes
4.3. SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES
377
E XERCICE 869
15 minutes
On jette 2 dés à 6 faces parfaitement équilibrés et on note respectivement X 1 et X 2 les variables
aléatoires donnant le numéro de la face supérieure du dé 1 et du dé 2.
On pose Y = max (X 1 , X 2 ) et Z = mi n (X 1 , X 2 ).
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer E (X 1 ) et V (X 1 ).
Déterminer la loi de probabilité de Y .
Calculer E (Y ) et V (Y ).
Déterminer la loi de probabilité de Z .
Calculer E (Z ) et V (Z ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 870
Soit X la variable aléatoire définie par :
P (X = 0) = (1 − p)2 , P (X = 1) = 2p(1 − p) et P (X = 2) = p 2
où p est un paramètre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
10 minutes
1. Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.
2. Calculer l’espérance et la variance de X .
3. On pose Y = −2X + 3. Déterminer l’espérance et la variance de Y ?
E XERCICE 871
10 minutes
Une famile de dauphins est composée de 7 femelles et 5 mâles. On choisit au hasard dans cette
famille 4 dauphins.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de femelles observées dans ce groupe.
1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance et la variance de X .
E XERCICE 872
5 minutes
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 30 et 0, 3 et Y une variable
aléatoire qui prend ses valeurs de manière équiprobable dans ‚0 ; 16ƒ.
1. Justifier que X et Y ont la même espérance.
2. Calculer la variance de X et de Y .
E XERCICE 873
X une variable aléatoire
prenant
x1 , x2 , · · · , xn .
´ les¡valeurs
³
¢
2
2
Démontrer que E (X − E (X )) = E X − (E (X ))2
5 minutes
4.3.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 874
10 minutes
Soient a et b deux réels. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x 1 , x 2 , · · · , x n .
Démontrer que E (a X + b) = aE (X ) + b et V (a X + b) = a 2V (X )
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
378
E XERCICE 875
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Démontrer que E (X ) = np et V (X ) = np(1 − p).
10 minutes
E XERCICE 876
20 minutes
Soit X 1 , X 2 , · · · , X n , n variables aléatoires indépendantes d’espérance µ et de variance σ2 . On
Sn
pose S n = X 1 + X 2 + · · · + X n et M n =
.
n
1. Démontrer que ∀n ∈ N⋆ , E (S n ) = nµ et V (S n ) = nσ2 .
σ2
2. En déduire que E (M n ) = µ et V (M n ) =
n
3. Pour chaque situation, déterminer l’espérance, la variance et l’écart type des variables aléatoires S n et M n
s
a
r
u
D
I
F
L
a. (X 1 , X 2 , · · · , X 30 ) est un échantillon de taille 30 de variables indépendantes suivants la
loi B(20; 0, 4).
b. (X 1 , X 2 , · · · , X 25 ) est un échantillon de taille 25 de variables indépendantes X i prenant
leurs valeurs de manière équiprobables dans ‚0 ; 15ƒ.
E XERCICE 877
Soit X et Y deux variables aléatoires.
15 minutes
1. Démontrer que si X et Y sont indépendantes alors E (X Y ) = E (X )E (Y ).
Pour toute la suite de l’exercice les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
2. En déduire que V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ).
3. Exprimer V (X − Y ) en fonction de V (X ) et V (Y ).
4. Soit a et b deux réels, exprimer V (a X + bY ) en fonction de V (X ) et V (Y ).
E XERCICE 878
On lance à deux reprises un dé à six faces numérotés de 1, 1, 2, 2, 3, 3.
Soit X et Y les variables aléatoires telles que :
½
X = 0 si la face est paire au premier lancé
X = le numéro de la face supérieure sinon
½
Y
Y
20 minutes
= 0 si la face est impaire au second lancé
= le numéro de la face supérieure sinon
1. Calculer l’espérance et la variance de X et de Y .
2. Déterminer les lois des variables X + Y et X Y .
3. Calculer l’espérance et la variance de X + Y et de X Y .
E XERCICE 879
20 minutes
Soit λ un réel strictement positif, n un entier strictement positif et X une variable aléatoire à
valeurs comprises entre 1 et n telle que P (X = k) = λk.
4.3. SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES
379
Déterminer λ, E (X ) et V (X ).
¶
µ
n
n
n
X
X
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1) 2
n(n + 1) X
.
,
et
k2 =
k3 =
☞ on rappelle que
k=
2
6
2
k=1
k=1
k=1
E XERCICE 880
15 minutes
Soit (X ; Y ) un couple de variables aléatoires de loi de probabilité donnée ci-dessous :
X \Y
1
2
total
1
0, 15
0, 1
2
0, 25
0, 2
3
0, 05
0, 25
total
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Compléter le tableau précédent. Les valeurs trouvées définissent les lois de probabilité de X
et Y , appelées lois marginales de (X , Y ).
2. Compléter les tableaux suivants :
xj
0
1
yi
1
2
3
P (X = x j ) 0,45 0,55
P (Y = y i ) 0,25 0,45 0,3
3. Calculer l’espérance et la variance de X et Y .
4. Calculer l’espérance et la variance de X Y .
5. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
E XERCICE 881
15 minutes
Soit (X ; Y ) un couple de variables aléatoires de loi de probabilité donnée ci-dessous :
X \Y
0
1
total
1
0, 05
0, 15
2
0, 125
0, 375
3
0, 075
0, 225
total
1. Compléter le tableau précédent. Les valeurs trouvées définissent les lois de probabilité de X
et Y , appelées lois marginales de (X , Y ).
2. Compléter les tableaux suivants :
xj
1
2
yi
1
2
3
P (X = x j ) 0,45 0,55
P (Y = y i ) 0,25 0,45 0,3
3. Calculer l’espérance et la variance de X et Y .
4. Calculer l’espérance et la variance de X Y .
5. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
E XERCICE 882
15 minutes
On lance deux dés équilibrés à six faces. Soit X le plus grand des deux numéros obtenus et Y
leur somme.
1. Déterminer la loi du couple (X ; Y ) et les lois marginales.
2. Calculer E (X ), E (Y ) et E (X Y ). Que peut-on en conclure ?
3. Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de Y sachant que X = 6.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
380
E XERCICE 883
20 minutes
La loi géométrique de paramètre p avec (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.
On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu’au premier succès.
On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès.
n
X
nx n+1 − (n + 1)x n + 1
k p k−1 =
.
1. Démontrer que pour tout 6= 1,
(x − 1)2
k=1
2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p avec 0 < p < 1.
1
Démontrer que E (X ) = .
p
☞ on admettra que si 0 < x < 1, lim nx n = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
3. Application : Le jeu consiste à lancer un dé bien équilibré jusqu’à obtenir un 6.
En moyenne, combien de lancés seront nécessaires ?
E XERCICE 884
20 minutes
Y
X
(S)
Z
Dans les modèles simples, l’état S d’un système (S) peut être décrit par :
• le système (S) fonctionne, notons S = 1 cet événement,
• le système (S) est en panne, notons S = 0 cet événement.
L’état S du système représenté ci-dessus se définit à partir de l’état X , Y et Z de ses composants
(X ), (Y ) et (Z ) par la formule logique, dans l’algèbre de Boole : S = X · Y + Z
Les variables X , Y et Z suivent des épreuves de Bernoulli de paramètre respectif p, q et r .
Les pannes sont mutuellement indépendantes.
1. Montrer que la variable aléatoire X Y suit une épreuve de Bernoulli dont on précisera le
paramètre.
2. Compléter le tableau ci-dessous, donnant l’état S du système (S)
+
Z =0
Z =1
X ·Y = 0
X ·Y = 1
3. Déterminer la probabilité que le système fonctionne.
4. Le système est en panne, quelle est la probabilité que le composant X en soit la cause ?
4.4. CONCENTRATION - LOI DES GRANDS NOMBRES
381
E XERCICE 885
10 minutes
Une entreprise vend deux produits A et B. Chaque produit vendu rapporte 100 ( pour le produit
A et 250 ( pour le produit B. Les coûts fixes atteignent 700 000 (par an.
Les ventes annuelles, en nombre de produits vendus, sont des variables aléatoires X A et X B
vérifiant :
E (X A ) = 7 000, E (X B ) = 5 000, σ (X A ) = 1 300, σ (X B ) = 800.
Soit Y le bénéfice annuel de l’entreprise.
1. Exprimer Y en fonction de X A et X B .
2. En déduire E (Y ) et σ(Y ).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 886
15 minutes
Soit X 1 une variable aléatoire réelle dont la loi de probabilité est donnée explicitement par :
P (X 1 = 1) = p ; P (X 1 = −1) = q ; P (X 1 = 0) = 1 − p − q.
Soit deux variables aléatoires X 2 et X 3 réelles, définies par la même loi de probabilité que X 1 .
On suppose les trois variables aléatoires X 1 , X 2 et X 3 indépendantes.
On désigne par S la variable aléatoire S = X 1 + X 2 + X 3 .
1.
2.
3.
4.
Déterminer l’espérance mathématique et la variance de S.
Démontrer que S prend les valeurs −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Déterminer la loi de probabilité de S.
En déduire P (S > 0) .
4.4 Concentration - Loi des grands nombres
4.4.1 Point de cours
Inégalité de Markov : Soit X une variable aléatoire à valeurs strictement positives, d’espérance
E (X ), quelque soit le réel δ > 0 :
E (X )
P (X > δ) 6
δ
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Soit X une variable aléatoire d’espérance µ et de variance
V (X ), quelque soit le réel δ > 0 :
¯
¡¯
¢ V (X )
P ¯ X − µ¯ > δ 6
δ2
Inégalité de concentration : Si M n est la valeur moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire d’espérance µ et de variance V , alors pour tout δ > 0 :
¯
¡¯
¢
V
P ¯ M n − µ¯ > δ 6
nδ2
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
382
Loi des grands nombres : Soit (X n ) une suite de variables aléatoires d’espérance µ, de variance
X1 + X2 + · · · + Xn
V et M n =
.
n
¯
¡¯
¢
Alors pour pour δ > 0, lim P ¯M n − µ¯ > δ = 0.
n→+∞
qui
Cas particulier : Si (X n ) est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes
¯
¡¯
¢
¯
¯
suivent la loi de Bernoulli de paramètre p, alors pour pour δ > 0, lim P M n − p > δ = 0.
n→+∞
s
a
r
u
D
I
F
L
4.4.2 Exercices d’application de cours
E XERCICE 887
Exprimer sous la forme |X − m| > λ ou |X − m| 6 λ, les expressions suivantes :
1. (X − 3 > 2 ou X − 3 6 −2).
7. (X − 1)2 > 4
2. (X + 1 > 5 ou X + 1 6 −5).
8. (X + 3)2 > 25
3. (X > 6 ou X 6 −2).
9. (−1 6 X 6 5).
4. (−5 6 X − 2 6 5).
10. (0 6 X 6 3).
5. La distance entre X et 6 est supérieure ou égale à 3.
6. La distance entre X et −3 est supérieure ou égale à 4.
E XERCICE 888
Exprimer sans valeur absolue les expressions suivantes :
1. |X − 4| 6 2
3. |X − 3| > 2
2. |X + 2| 6 5
4. |X + 1| > 4
10 minutes
5 minutes
E XERCICE 889
5 minutes
Soit X une variable aléatoire. Déterminer l’événement contraire de chacun des événements
suivants :
1. (|X − 2| < 0, 3)
2. (|X + 3| 6 0, 1)
3. (|X − 2| > 1)
4. (|X + 1| > 0, 3)
5. (|X + 0, 3| > 0, 01)
6. (|X − 0, 8| 6 0, 9999)
E XERCICE 890
5 minutes
Soit X une variable aléatoire d’espérance 20 et de variance 25.
A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, estimer la probabilité d’avoir |X − 20| > 10.
E XERCICE 891
5 minutes
Soit X une variable aléatoire d’espérance 10 et de variance 2.
A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, estimer la probabilité d’avoir |X − 7| > 2.
E XERCICE 892
Soit X une variable aléatoire d’espérance et de variance toutes deux égales à 20.
Que peut-on dire de P (0 < X < 40) ?
5 minutes
4.4. CONCENTRATION - LOI DES GRANDS NOMBRES
E XERCICE 893
Soit X une variable aléatoire d’espérance E (X ) et d’écart type σ.
383
10 minutes
1. Donner une majoration des probabilités suivantes :
a. P (|X − E (X )| > σ)
b. P (|X − E (X )| > 2σ)
c. P (|X − E (X )| > 3σ).
2. En déduire une minoration des probabilités suivantes :
s
a
r
u
D
I
F
L
a. P (−σ < X − E (X ) < σ)
b. P (−2σ < X − E (X ) < 2σ)
c. P (−3σ < X − E (X ) < 3σ).
E XERCICE 894
10 minutes
On lance 1000 fois un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4, on note le numéro de la face au sol.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face au sol porte le numéro 3 au cours
des 1000 lancers.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une majoration de
P (201 6 X 6 299).
E XERCICE 895
10 minutes
On suppose que le nombre de pièces sortant d’une usine donnée chaque semaine est une variable aléatoire d’espérance 50 et de variance 10.
1. A l’aide de l’inégalité de Markov, estimer la probabilité cumulée que la production dépasse
90 pièces.
2. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev estimer la probabilité que la production de
la semaine prochaine soit comprise entre 40 et 60 pièces.
E XERCICE 896
10 minutes
On suppose que le nombre de d’objets vendus par une entreprise donnée chaque mois est une
variable aléatoire d’espérance 2 000 et de variance 300.
1. A l’aide de l’inégalité de Markov, estimer la probabilité cumulée que les ventes dépassent
2 500 objets.
2. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev estimer la probabilité que le nombre d’objets vendus soit compris entre 1 500 et 2 500 objets.
E XERCICE 897
5 minutes
Le nombre de caleçons molletonnés fabriqués en une semaine dans le petit atelier de Maths
est une variable aléatoire d’espérance 50 et de variance 25.
1. Majorer la probabilité que la production de la semaine à venir dépasse 75 caleçons molletonnés.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
384
2. Minorer la probabilité que la production de la semaine à venir soit strictement comprise
entre 40 et 60.
E XERCICE 898
10 minutes
Soit X 1 , · · · , X n des variables aléatoires indépendantes de loi d’espérance 2 et de variance 1. On
n
1X
pose Yn =
Xi .
n i =1
1. Déterminer
µ E (Yn ) et V ¶(Yn ).
1
2. Majorer P |Yn − 2| > . En déduire une minoration de P (1, 9 < Yn < 2, 1).
4
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 899
10 minutes
Justifier qu’en lançant une pièce de monnaie un très grand nombre de fois, on peut estimer la
probabilité qu’elle retombe sur le côté « Pile ».
4.4.3 Exercices d’approfondissement
E XERCICE 900
15 minutes
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité donnée dans le tableau suivant :
xi
P (X = x i )
−2
0, 10
−1
0, 65
3
0, 15
4
0, 10
1. Calculer l’espérance et la variance V de X .
2. Déterminer suivant les valeurs de h la probabilité P (h) de l’inégalité |X | > h, où h est un réel
strictement positif donné.
3. Tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions h 7→ P (h) et
V
h 7→ 2 .
h
V
Comparer P (h) et 2 .
h
E XERCICE 901
10 minutes
On lance un dé 10 fois de suite. Soit X i (i ∈ ‚1 ; 10ƒ) la variable aléatoire associée au numéro
obtenu au i ème lancer et S la somme des numéros obtenus.
1. Calculer l’espérance mathématique et la variance des variables X i et S.
2. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner un majorant de la probabilité d’avoir
|S − 35| > 10.
E XERCICE 902
10 minutes
D’une urne contenant n boules blanches et n boules noires, un joueur tire successivement
6 boules en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage.
S’il tire une boule blanche, il marque 2 points, dans le cas contraire il perd 3 points.
4.4. CONCENTRATION - LOI DES GRANDS NOMBRES
385
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées lors des 6 tirages.
Soit S la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus par le joueur en une partie.
1. a. Déterminer E (X ) et V (X ).
b. Exprimer S en fonction de X .
c. En déduire³ E (S) et V (S). ´
2. a. Calculer P |S − E (S)| > 9 .
b. En déduire la probabilité de l’événement |S − E (S)| < 9.
c. Comparer le résultat de la question a. à la majoration obtenue en utilisant l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 903
10 minutes
On lance n fois un dé à 6 faces.
Comment choisir n pour que la probabilité d’obtenir un nombre de 6 compris strictement
1
n
entre 0 et soit supérieure à ?
3
2
E XERCICE 904
15 minutes
On effectue n lancers successifs supposés indépendants d’une pièce parfaitement équilibrée.
1. Soit S n le nombre de piles obtenues au cours des n lancers.
Quelle est la loi de S n ? Calculer son espérance E (S n ) et sa variance V (S n ).
Sn
2. Soit M n =
la proportion de piles obtenues au cours des n lancers.
n
Calculer E (M n ) et V (M n ).
3. Pour quels nombres n de lancers peut-on affirmer, avec un risque de se tromper inférieur à
1
5%, que la proportion de piles au cours de ces n lancers diffère de d’au plus un centième.
2
E XERCICE 905
20 minutes
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité P et ne prenant que des valeurs
positives x 1 < x 2 < · · · < x n .
Soit λ un nombre strictement positif vérifiant x k−1 < λ 6 x k .
n
X
1. Montrer E (X ) > λ P (X = x i ).
i =1
E (X )
.
λ
E (X )
3. En déduire cette autre formulation : P (X < λ) > 1 −
.
λ
4. Exprimer la variance V (X ) comme l’espérance d’une certaine variable aléatoire Y .
5. Appliquer l’inégalité de Markov à la variable Y pour obtenir l’inégalité de Bienaymé
³
´ V (X )
Tchebychev : P |X − E (X )| > λ 6
.
λ2
2. En déduire l’inégalité de Markov : P (X > λ) 6
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
386
E XERCICE 906
15 minutes
Démontrer la loi des grands nombres : soit (X i ) où i ∈ ‚1 ; nƒ, une suite de variables aléatoires
X1 + X2 + · · · + Xn
d’espérance µ, de variance V et M n =
.
¯
¡¯
¢ n
Alors pour pour δ > 0, lim P ¯M n − µ¯ > δ = 0.
n→+∞
E XERCICE 907
10 minutes
Une cantine scolaire propose un plat au choix : pizza, poisson ou lapin. L’expérience permet de
supposer que mille élèves vont manger ce jour-là, et que chaque élève demandera la pizza avec
probabilité 0, 5, le plat de poisson avec probabilité 0, 4 et le lapin chasseur avec probabilité 0, 1.
Soit X la variable aléatoire qui prend comme valeur le nombre d’élèves parmi les 1000 qui vont
demander le plat de poisson.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Donner la loi, l’espérance et la variance de X .
2. Minorer la probabilité de l’événement (365 < X < 435).
E XERCICE 908
10 minutes
Soit n un entier strictement positif. On tire n fois avec remise une boule dans une urne composée de 30 boules rouges et 70 boules blanches. Soit X n la variable aléatoire qui prend comme
Xn
.
valeur le nombre de boules rouges tirées lors des n tirages. On pose Yn =
n
1. Donner la loi de X n .
2. Déterminer E (Yn ) et V (Yn ).
3. Minorer la probabilité que Y1000 soit dans l’intervalle ]0, 25 ; 0, 35[.
4. Trouver un entier n pour lequel la probabilité que Yn soit dans l’intervalle ]0, 27 ; 0, 33[ est
9
.
au moins
10
E XERCICE 909
15 minutes
Une urne contient 12 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule, on note
sa couleur et on la remet dans l’urne. On répète cette opération quatre fois de suite. On note X
la variable aléatoire associée au nombre de boules noires tirées.
1. Si on tire une boule de l’urne, quelle est la probabilité que cette boule soit noire ?
2. a. Préciser la loi de la variable aléatoire X .
b. Quelles sont les valeurs prises par la variable X ?
Que vaut P (X = k) lorsque k est une valeur prise par X ?
c. Déterminer la probabilité d’obtenir au moins une fois une boule noire.
3. Calculer l’espérance et la variance de X .
4. En
de Bienaymé-Tchebychev déterminer le plus petit r > 0 pour lequel
³ utilisant l’inégalité
´
P |X − 0, 8| > r 6 10−2 .
Que vaut cette probabilité ?
4.4. CONCENTRATION - LOI DES GRANDS NOMBRES
387
E XERCICE 910
10 minutes
Une montre subit des écarts quotidiens (positifs ou négatifs) que l’on suppose indépendants
d’un jour à l’autre et qui suivent tous la même loi de moyenne nulle et de variance 16 secondes.
En supposant la montre bien réglée au départ, déterminer la probabilité que l’écart sur une
année (365 jours) soit inférieure à deux minutes.
Déterminer un minorant de cette probabilité à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Conclure.
E XERCICE 911
10 minutes
On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre
boules bleues. A chaque tirage i = 1, · · · , n, on associe la variable aléatoire X i valant 1 si la
boule tirée est blanche, 0 sinon.
n
1X
Xi .
1. Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire M n =
n i =1
2. En utilisant l’inégalité
de Bienaymé-Tchebychev,
déterminer le nombre de tirages néces¯
¶
µ¯
¯
¯
1
saires pour que P ¯¯M n − ¯¯ > 0, 9 6 0, 05.
3
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 912
10 minutes
On lance de manière aléatoire une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. Soit F n la variable aléatoire associée au nombre de côtés « Face » obtenu au bout de n lancers.
Fn
On note M n =
.
n
1. Quelle est la loi suivie par F n ?
³
2. On suppose que n = 1000. Donner une valeur approchée à 10−3 près de P 0, 49 < M n <
´
0, 51 .
³
´
En déduire une valeur approchée de P |M n − 0, 5| > 0, 1 .
3. Mêmes questions pour n = 104 .
³
´
4. Soit la suite (u n ) définie pour n > 0 par u n = P 0, 49 < M n < 0, 51 .
Que peut-on dire de cette suite ?
E XERCICE 913
Soit X une variable aléatoire d’espérance 0, 8 et de variance 4.
V (X )
= 0, 25.
1. Déterminer la valeur de λ > 0 telle que
λ2 ´
³
2. En déduire une majoration de P |X − 0, 8| > 4 .
10 minutes
3. Vérifier que la probabilité que X prenne une valeur dans l’intervalle ] − 3, 2 ; 4, 8[ est supérieure à 0, 75.
☞ On dit que ] − 3, 2 ; 4, 8[ est un intervalle de fluctuation de X au seuil de 75%.
388
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 914
5 minutes
Combien de fois faut-il lancer une pièce bien équilibrée pour être sûr à 99 % que la proportion
de côté « Pile » est dans l’intervalle ]0, 48 ; 0, 52[ ?
E XERCICE 915
15 minutes
On dispose d’une urne contenant des boules rouges en proportion inconnue p et des boules
vertes en proportion inconnue q = 1 − p. On effectue n tirages d’une boule avec remise.
On se propose d’estimer le paramètre p inconnu à partir des observations X i (ω), 1 6 i 6 n,
les variables aléatoires X i indépendantes suivent des lois de Bernoulli de paramètre p. Notons
n
1X
Mn =
Xi .
n i =1
¯
¯
1. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer la probabilité de ¯M n − p ¯ > λ.
1
2. Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], x(1 − x) 6 .
¯
¡¯
¢4
3. En déduire une majoration de P ¯M n − p ¯ > λ indépendante de p.
¡
¢
4. En déduire une expression de α tel que P M n − λ < p < M n + λ > α.
5. En pratique
on remplace Mhn par la valeur réellement observée M n (ω) et on dit que
i
s
a
r
u
D
I
F
L
I = M n (ω) − λ ; M n (ω) + λ est un intervalle de confiance au niveau α.
Déterminer n pour que l’intervalle I soit d’amplitude 0, 1 au seuil de confiance de 95 %.
E XERCICE 916
20 minutes
Avant le second tour d’une élection opposant les candidats A et B , un institut de sondage interroge au hasard 1 000 personnes. On note p la proportion d’électeurs décidés à voter pour A
dans la population totale. Dans l’échantillon sondé, cette proportion est égale à 0, 54.
L’objectif est de déterminer un intervalle de confiance pour p au
i niveau 0, 95.
h
On utilisera le résultat obtenu dans l’exercice précédent : I = M n (ω) − λ ; M n (ω) + λ est un
1
intervalle de confiance au niveau α > 1 −
4nt 2
1. Déterminer λ pour obtenir α > 0, 95.
2. En déduire l’intervalle I au seuil de confiance de 95 %. Quelle remarque peut-on faire ?
3. L’institut de sondage désire présenter à ses clients une fourchette à ±1 % avec un niveau de
confiance égal au moins à 95 %. Combien de personnes doit-il interroger ?
E XERCICE 917
10 minutes
Un pas consiste en un déplacement d’une unité, à droite (+1) avec une probabilité
1
ou à
2
1
gauche (−1) avec une probabilité .
2
On part de zéro, et on fait n pas. Soit S n la variable aléatoire donnant la position au bout de n
pas.
1. Démontrer que E (S n ) = 0 et V (S n ) = n.
4.4. CONCENTRATION - LOI DES GRANDS NOMBRES
389
2. On suppose n grand. On se donne un intervalle I = ]−h ; h[ centré en 0. Calculer la limite de
P (S n ∈ I ).
E XERCICE 918
20 minutes
On cherche à observer des mutations sur des cellules identiques en les soumettant à une source
de radio-activité. A l’issue de chaque expérience, la cellule testée a une probabilité p d’avoir
muté.
1. Si on a réalisé n expériences indépendamment les unes des autres, quelle est la loi du nombre
S n de cellules mutées parmi les n testées ?
Sn
?
2. Quelle est l’espérance et la variance de
n
3. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, donner une majoration, en fonction de n
Sn
et de la proportion
et de p, de la probabilité que l’écart entre la proportion observée
n
théorique p soit supérieure à ǫ.
Application numérique : p = 8%, n = 50 et ǫ = 0, 05.
4. Pour ces valeurs de p, n et ǫ, calculer la probabilité que l’écart entre la proportion observée
Sn
et la proportion théorique p soit supérieure à ǫ.
n
Comparer à la majoration obtenue à la question précédente ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 919
10 minutes
Dans un jeu de 32 cartes il y a douze « figures » (valets, dames et rois) et vingt « nombres » (1, 7,
8, 9,10).
1. On appelle épreuve le tirage d’une carte du jeu. On suppose que toutes les cartes ont la
même chance d’être tirées. Calculer la probabilité pour que la carte tirée soit une figure.
2. On réalise trois épreuves successives, en remettant à chaque fois la carte tirée dans le jeu, et
en battant les cartes avant de procéder au tirage suivant. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre figures tirées.
Calculer les probabilités pour que lors des trois épreuves on ait tiré :
a. trois fois figures ;
b. exactement deux figures ;
c. au moins deux figures.
3. On réalise à présent N = 1600 épreuves successives. On admet que les épreuves sont indépendantes.
a. Calculer E (X ) et V (X ).
b. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, calculer un majorant de la probabilité
d’avoir au moins autant de figures que de nombres lors des 1600 épreuves.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
390
4.5 Vers le baccalauréat
E XERCICE 920
25 minutes
Selon les autorités sanitaires d’un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie. Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :
• Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20 % des cas ;
• Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1 % des cas.
s
a
r
u
D
I
F
L
Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les événements suivants :
•
M « la personne est malade » ;
• T « le test est positif ».
1. Calculer la probabilité de l’événement M ∩ T . On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, et de
0,065 3.
3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître P M (T ) ou
P T (M ) ?
4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à 10−2 près.
5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays
permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi
les 10 personnes.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X .
b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On
arrondira le résultat à 10−2 près.
6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité
qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à 99 %.
E XERCICE 921
20 minutes
Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine
marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :
• 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
• 2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
• 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de
la marque. On considère les événements suivants :
• C : « le casque est contrefait » ;
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
391
• D : « le casque présente un défaut de conception » ;
• C et D désignent respectivement les événements contraires de C et D.
Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à 10−3 si nécessaire.
Partie A
1. Calculer P (C ∩ D). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que P (D) = 0, 036.
3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
Partie B
On commande n casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un
tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de casques
présentant un défaut de conception dans ce lot.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Dans cette question, n = 35.
a. Justifier que X suit une loi binomiale B(n, p) où n = 35 et p = 0, 036.
b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque
présentant un défaut de conception.
c. Calculer P (X 6 1).
2. Dans cette question, n n’est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au
moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0, 99 ?
E XERCICE 922
25 minutes
Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel. Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.
1. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le
stage.
On interroge au hasard un salarié de l’entreprise et on considère les événements :
• F : « le salarié interrogé est une femme »,
• S : « le salarié interrogé a suivi le stage ».
F et S désignent respectivement les événements contraires des événements F et S.
a. Donner la probabilité de l’événement S.
...
b. Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
F
c. Démontrer que la probabilité que la personne in...
...
terrogée soit une femme ayant suivi le stage est
égale à 0, 208.
d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
...
e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salaF
riés de l’entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage.
Justifier l’affirmation du directeur.
S
S
S
S
392
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
2. On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de 20 salariés de cette entreprise choisis
au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose
que l’effectif des salariés de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix
à un tirage avec remise.
a. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X .
b. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient
suivi le stage.
c. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i , n, p)
créée pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilité P (X = i ) dans le cas où la
variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
s
a
r
u
D
I
F
L
def proba(k) :
P=0
for i in range(0,k+1) :
P=P+binomiale(i,20,0.25)
return P
Déterminer, à 10−3 près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit proba(5)
dans la console Python.
Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
d. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité qu’au moins 6 salariés dans un échantillon de 20
aient suivi le stage.
3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
Pour inciter les salariés à suivre le stage, l’entreprise avait décidé d’augmenter les salaires
des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d’augmentation pour les salariés n’ayant
pas suivi le stage.
Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces
conditions ?
E XERCICE 923
30 minutes
Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements
notés T1 et T2.
Partie A
On prélève au hasard une paire de verres dans la production.
On désigne par A l’événement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».
On désigne par B l’événement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».
On note respectivement A et B les événements contraires de A et B .
Une étude a montré que :
— la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée P (A)
est égale à 0,1.
— la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée P (B )
est égale à 0,2.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
393
— la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.
1. Compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.
A
B
B
Total
A
Total
1
2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au
hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements
T1 ou T2.
b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production,
présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut
pour le traitement T1.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose
que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires
de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette
loi.
2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon,
exactement 10 paires de verres qui présentent ce défaut.
Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10−3 .
3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?
E XERCICE 924
25 minutes
Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l’état d’Oklahoma, aux Etats-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée
ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote,
son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
• Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
• Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
394
Partie A
Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.
On considère les événements suivants :
•
M : « le coyote est malade » ;
• T : « le test du coyote est positif ».
On note M et T respectivement les événements contraires de M et T .
s
a
r
u
D
I
F
L
1.
2.
3.
4.
Etablir un arbre pondéré qui modélise la situation.
Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
Démontrer que la probabilité de T est égale à 0, 694.
On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement
malade sachant que son test est positif.
Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
5. a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de
0, 694.
1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard
associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier et préciser ses paramètres.
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un
seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
c. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes
sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant
un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins
l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à 0, 99 ?
E XERCICE 925
30 minutes
Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette
urne.
On établit la règle de jeu suivante :
• un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
• un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
395
• un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
1. On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.
a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité de perdre 9 ( sur une partie.
2. On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs
mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera N le nombre de jetons
noirs.
a. Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
b. Résoudre l’inéquation pour x réel : −x 2 + 30x − 81 > 0.
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs
que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?
s
a
r
u
D
I
F
L
3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec
3 jetons blancs).
Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?
E XERCICE 926
30 minutes
Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre
cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les
numéros 1, 2, 3, 4 et 5.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d’être obtenue,
puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :
• si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac ;
• si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans
remise deux jetons du sac.
Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.
1. Un joueur fait une partie et on note B l’événement « la case obtenue est blanche », R l’événement « la case obtenue est rouge » et G l’événement « le joueur gagne la partie ».
a. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle P B (G).
b. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à 0, 3.
Etablir un arbre de probabilités illustrant la situation.
2. a. Montrer que P (G) = 0, 4.
b. Un joueur gagne la partie.
Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?
396
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
3. Les événements B et G sont-ils indépendants ? Justifier.
4. Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b. Calculer la probabilité, arrondie à 10−3 près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
c. Calculer P (X > 4) arrondie à 10−3 près.
Donner une interprétation du résultat obtenu.
s
a
r
u
D
I
F
L
5. Un joueur fait n parties et on note p n la probabilité de l’événement « le joueur gagne au
moins une partie ».
a. Montrer que p n = 1 − 0, 6n .
b. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilité de gagner au
moins une partie est supérieure ou égale à 0, 99.
E XERCICE 927
25 minutes
Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail
en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa
voiture.
1. Lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur 50 alors
que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train
qui le conduira au travail.
On note :
• V l’événement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;
• R l’événement « Paul rate son train ».
a. Etablir un arbre pondéré résumant la situation.
7
.
150
c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo
pour rejoindre la gare.
b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à
2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.
On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces
20 jours.
a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X . Préciser ses paramètres.
b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces 20 jours
pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à 10−3 .
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
397
c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur ces 20 jours
pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à 10−3 .
d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se
rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note T la variable aléatoire donnant le
temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes,
arrondie à la minute. La loi de probabilité de T est donnée par le tableau ci-dessous :
k (en minutes)
P (T = k)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,14
0,13
0,13
0,12
0,12
0,11
0,10
0,08
0,07
s
a
r
u
D
I
F
L
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire T et interpréter cette valeur dans le contexte
de l’exercice.
E XERCICE 928
30 minutes
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Julien doit prendre l’avion ; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de 0, 8.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées ; il a
alors une probabilité de 0, 5 d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :
• B l’événement : « Julien réussit à prendre son bus » ;
• V l’événement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».
1.
2.
3.
4.
Donner la valeur de P B (V ).
Représenter la situation par un arbre pondéré.
Montrer que P (V ) = 0, 6.
Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à
l’aéroport en bus ? Justifier.
Partie B
Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On
appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager
a 5 % de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On
suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
398
passagers et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant
à l’embarquement.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera
arrondi à 10−3 près.
4. Calculer P (X 6 200), le résultat sera arrondi à 10−3 près. Interpréter ce résultat dans le
contexte de l’exercice.
5. La compagnie aérienne vend chaque billet à 250 euros.
Si plus de 200 passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le
billet d’avion et payer une pénalité de 600 euros à chaque passager lésé.
On appelle :
s
a
r
u
D
I
F
L
Y la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien
qu’ayant acheté un billet ;
C la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
On admet que Y suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
y
¡ i
¢
P Y = yi
0
0,947 75
1
0,030 63
2
0,014 41
3
0,005 39
4
0,001 51
5
0,000 28
6
a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant P (Y = 6).
b. Justifier que : C = 51 500 − 850Y .
c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire C sous forme d’un tableau.
Calculer l’espérance de la variable aléatoire C à l’euro près.
d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
E XERCICE 929
20 minutes
Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles :
« positif » ou bien « négatif ».
On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note p(E ) la probabilité d’un événement E .
On considère les événements suivants :
— D : « la pièce est défectueuse » ;
— T : « la pièce présente un test positif » ;
— D et T désignent respectivement les événements contraires de D et T .
Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
399
— La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle est défectueuse est
égale à 0, 98 ;
— la probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse
est égale à 0, 97.
PARTIE A
1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne
soit défectueuse et présente un test positif.
b. Démontrer que : p(T ) = 0,077 5.
3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse
sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une
valeur prédictive positive supérieure à 0, 95.
Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
s
a
r
u
D
I
F
L
PARTIE B
On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix
à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que : p(D) = 0, 05.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
On donnera un résultat arrondi au centième.
3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu.
E XERCICE 930
25 minutes
Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs ! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille 3 × 3
sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
♥
♥
♥
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une
même colonne ou sur une même diagonale.
1. Justifier qu’il y a exactement 84 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une
grille.
400
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
2
.
21
3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève 1 ( sur son compte en banque. Si le
ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 5 (. Le jeu est-il favorable au joueur ?
4. Un joueur décide de générer 20 tickets sur cette application. On suppose que les générations
des tickets sont indépendantes entre elles.
2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à
a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de tickets
gagnants parmi les 20 tickets générés.
b. Calculer la probabilité, arrondie à 10−3 , de l’événement (X = 5).
c. Calculer la probabilité, arrondie à 10−3 , de l’événement (X > 1) et interpréter le résultat
dans le contexte de l’exercice.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 931
30 minutes
Dans une fête foraine, une loterie utilise une roue circulaire tournant autour d’un axe et une
flèche fixe déterminant la position d’arrêt de la roue. Cette roue est partagée en 10 secteurs tel
que :
• le secteur 1 occupe le premier quart de la
roue ;
• les secteurs 2 et 3 se partagent également
le deuxième quart ;
• les secteurs 4, 5 et 6 se partagent également le troisième quart ;
• les secteurs 7, 8, 9 et 10 se partagent également le dernier quart.
2
1
3
10
4
5
9
6
7
8
Quand la roue est lancée, elle s’arrête de façon aléatoire, et la flèche ne peut indiquer qu’un
seul secteur.
1. Le nombre n étant un entier de [1 ; 10], la probabilité pour que la flèche indique le secteur n
est notée p n .
On suppose qu’elle est proportionnelle à l’angle au centre de ce secteur.
Calculer p 1 , p 2 , p 4 , p 7 . (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.)
2. Le jeu proposé est le suivant :
Le joueur mise une certaine somme.
Il perd sa mise si la flèche indique les secteurs 1, 2, 4 ou 7.
Sa mise lui est remboursée si la flèche indique 3, 5 ou 8.
Il gagne le double de sa mise si la flèche indique un autre secteur.
25
a. Montrer que la probabilité p 1′ , pour que le joueur perde est égale à
, et que la proba48
13
.
bilité p 2′ pour qu’il soit remboursé vaut
48
′
b. Calculer la probabilité p 3 pour que le joueur gagne et celle p 4′ pour qu’il ne perde pas.
3. Un joueur joue 5 parties.
Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à 0, 001 près.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
401
a. Calculer la probabilité p 5′ pour qu’il gagne au moins quatre fois.
b. Calculer la probabilité p 6′ pour qu’il perde exactement deux fois.
c. Calculer la probabilité p 7′ pour qu’il gagne deux fois et qu’il ne perde pas trois fois.
E XERCICE 932
25 minutes
Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de
trois urnes U1 , U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur
ou égal à 3.
Il y a trois boules noires dans l’urne U1 , deux boules noires dans l’urne U2 et une boule noire
dans l’urne U3 , et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules
sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé,
• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1 , note sa couleur et la
remet dans l’urne U1 ;
• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U2 , note sa couleur
et la remet dans l’urne U2 ;
• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule
dans l’urne U3 , note sa couleur et la remet dans l’urne U3 .
On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants :
A : « Le dé porte le numéro 1. »
B : « Le dé porte un numéro multiple de trois. »
C : « Le dé porte un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. »
N : « La boule tirée est noire. »
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Le joueur joue une partie.
5
.
3k
b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.
1
c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit supérieure à .
2
1
d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale à
.
30
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule noire en jouant
1
.
une partie soit égale à
30
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3 , la probabilité qu’il obtienne au moins une
fois une boule noire.
a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à
E XERCICE 933
25 minutes
Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants
(non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).
12 % des personnels sont des médecins et 71 % sont des soignants.
402
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
67 % des médecins sont des hommes et 92 % des soignants sont des femmes.
On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10−4 près.
1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?
b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?
c. On sait que 80 % du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une
femme AT.
En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée
fait partie du personnel AT.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une
heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément
répartie sur [0; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité
pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?
3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans
cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit
au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit
de 40 tirages successifs indépendants avec remise).
Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par
des médecins ?
E XERCICE 934
20 minutes
Un organisme financier propose un placement attractif, au taux garanti de 5 % par an. On
considère un club d’investissement dont on décide de numéroter les adhérents (1, 2, . . . , n, . . . ).
Soit p un réel donné de l’intervalle ]0 ; 1[.
La personne numéro 1 décide d’investir dans ce placement et en parle à la personne numéro 2
qui fait de même avec la probabilité p ou décide de ne pas le faire avec la probabilité q = 1 − p.
Le processus se poursuit ainsi :
La personne numéro n informe de sa propre décision la personne numéro (n + 1).
La personne numéro (n +1) fait le même choix que la personne numéro n avec la probabilité p
ou fait le choix contraire avec la probabilité q = 1 − p.
Soit R n l’évènement : « La personne numéro n investit dans le placement » et p (R n ) = p n la
probabilité de cet évènement.
1. Donner la valeur de p 1 .
Montrer que pour tout entier naturel n strictement positif, p n+1 = (2p − 1)p n + 1 − p.
1
2. Que se passe-t-il si p = ?
2
1
1
3. On suppose désormais p 6= et on pose w n = p n − pour tout entier naturel n strictement
2
2
positif.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
403
a. Montrer que (w n ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier
terme.
b. Exprimer w n puis p n en fonction de n, pour tout entier naturel n strictement positif.
¡ ¢
c. Déterminer la limite de la suite p n . Interpréter ce résultat.
4. Soit p = 0, 08.
a. Quelle est la probabilité que la 20e personne investisse dans ce placement ?
b. Quelle est la plus petite valeur de l’entier naturel n non nul, à partir de laquelle la probabilité que la personne numéro n investisse dans le placement soit comprise entre
0,499 99 et 0,500 01 ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 935
20 minutes
Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Un CD comprenant 8 morceaux est introduit dans le tiroir CD d’une chaîne hi-fi.
La touche RANDOM de la chaîne hi-fi permet d’écouter, lorsqu’on sélectionne cette option, les
8 morceaux du disque compact dans un ordre aléatoire.
On sélectionne l’option RANDOM et on écoute l’enchaînement proposé par la chaîne.
1. Combien d’enchaînements distincts la chaîne peut-elle présenter ?
2. Quelle est la probabilité p 1 que la chaîne propose l’enchaînement que vous souhaitiez entendre ?
3. On note A l’événement : « la chaîne propose le morceau no 8 en première position ».
Calculer p(A).
4. On note B l’événement : « la chaîne propose le morceau no 7 en deuxième position ».
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
5. Le disque compact comprend 3 morceaux du groupe Zebra, 4 de Pierjanjak et 1 du groupe
Interphone.
On écoute 3 morceaux choisis aléatoirement grâce à la touche RANDOM de la chaîne hi-fi.
a. Soit X le nombre de morceaux du groupe Zebra présents dans la séquence écoutée.
Quelles sont les valeurs prises par X ?
15
b. Montrer que p(X = 2) = .
56
c. Donner la loi de probabilité de X .
E XERCICE 936
25 minutes
Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont normaux : ils possèdent six faces
numérotées de 1 à 6. Le troisième est truqué : il possède deux faces numérotées 1 et quatre
faces portant le numéro 6. On prend un dé au hasard dans l’urne et on effectue de manière
indépendante des lancers successifs de celui-ci. On note
• N l’événement : le dé tiré est normal ;
• U l’événement : on obtient 1 au premier lancer ;
• pour n entier non nul, S n l’événement : on obtient 6 à chacun des n premiers lancers.
Justifier ou infirmer les affirmations suivantes.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
404
2
1. On a : P (U) = .
9
µ ¶
µ ¶
2 1 n 1 2 n
+
.
3 6
3 3
Pour n entier non nul, on note p n la probabilité d’avoir tiré le dé truqué, sachant qu’on a obtenu
le numéro 6 à chacun des n premiers lancers.
1
3. Pour tout entier n non nul, on a : p n = µ ¶n
.
1
2
+1
4
4. On a : lim p n = 0.
2. Pour tout entier n non nul, on a : P (S n ) =
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
E XERCICE 937
40 minutes
On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune
un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient 3
ou 4, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux
pièces.
Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.
1. Dans la fonction en langage Python ci-dessous, 0 code le côté face d’une pièce et 1 code le
côté pile. Si a code le côté de la pièce A à un instant donné, alors 1−a code le côté de la pièce
A après l’avoir retournée.
def Pi l eF ace(n) :
a ←− 0
b ←− 0
for i in range( 1, n + 1) :
d = r andi nt(1;6)
if d 6 2 :
a = 1−a
elif d 6 4 :
b = 1−b
s = a +b
a. On exécute cet algorithme en saisissant n = 3 et en supposant que les valeurs aléatoires
générées successivement pour d sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné
ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
Variables
i
d
a
b
s
Initialisation
1er passage boucle Pour
2e passage boucle Pour
3e passage boucle Pour
b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
405
2. Pour tout entier naturel n, on note :
• X n l’évènement : « à l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté face »,
• Yn l’évènement : « à l’issue de n lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du
côté face »,
• Zn l’évènement : « à l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile ».
De plus on note, x n = P (X n ) ; y n = P (Yn ) et z n = P (Zn ) les probabilités respectives des évènements X n , Yn et Zn .
a. Donner les probabilités x 0 , y 0 et z 0 respectives qu’au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces
du côté pile.
1
b. Justifier que P X n (X n+1 ) = .
3
c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines
pouvant être nulles :
s
a
r
u
D
I
F
L
X n+1
Xn
xn
Yn+1
Zn+1
X n+1
yn
Yn
zn
Yn+1
Zn+1
X n+1
Zn
Yn+1
Zn+1
d. Pour tout entier naturel n, exprimer z n en fonction de x n et y n .
2
1
e. En déduire que, pour tout entier naturel n, y n+1 = − y n + .
3
3
1
f. On pose, pour tout entier naturel n, b n = y n − .
2
Montrer que la suite (b n ) est géométrique.
µ ¶n
1 1
1
En déduire que, pour tout entier naturel n, y n = − × −
.
2 2
3
g. Calculer lim y n .
n→+∞
Interpréter le résultat.
406
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 938
20 minutes
Une compagnie aérienne utilise un avion qui peut transporter au maximum 400 passagers. La
probabilité pour qu’un passager, ayant réservé pour un vol donné, ne se présente pas à l’embarquement est de 0,08.
1. La compagnie accepte pour un vol 420 réservations. On note X la variable aléatoire égale au
nombre de passagers qui se présentent à l’embarquement.
a. Quelle est la loi suivie par X ?
b. Calculer P (X 6 400). Le risque pris par la compagnie en prenant 420 réservations paraîtil important ?
s
a
r
u
D
I
F
L
2. La compagnie accepte pour un vol donné n réservations (avec n > 400).
Déterminer la valeur maximale de n pour que la probabilité de l’événement (X 6 400) soit
supérieure ou égale à 0, 95.
E XERCICE 939
25 minutes
Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant
des tulipes de couleurs variées.
1
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à .
4
1
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à .
2
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit n un entier naturel vérifiant 0 6 n 6 50.
On définit les évènements suivants :
— A : « le jardinier a choisi le lot 1 »
— B : « le jardinier a choisi le lot 2 »
— J n : « le jardinier obtient n tulipes jaunes ».
1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
a. Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes
du lot 1 ?
b. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?
c. Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes,
d. Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l’arrondi
au millième du résultat.
2. Probabilités conditionnellesà !
50 −50
2 .
a. Montrer que : P B (J n ) =
n
b. En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes.
c. On note p n la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que J n est réalisé.
établir que :
pn =
350−n
.
350−n + 250
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
407
d. Pour quelles valeurs de n a-t-on p n > 0, 9 ?
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
E XERCICE 940
20 minutes
Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher.
On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on tire une
seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac.
Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.
A
tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère orthonormé
³ chaque
→
− →
−´
O, ı ,  , le point M de coordonnées (x ; y).
p
On désigne par D le disque de centre O et de rayon 2
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
³ →
− →
−´
1. Placer dans le repère O, ı ,  les points correspondant aux différents résultats possibles.
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ;
B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».
3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x 2 + y 2 .
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique.
b. Montrer que la probabilité de l’événement « le point M appartient au disque D » est
4
égale à .
9
4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise.
On obtient ainsi 5 points du plan.
Quelle est la probabilité de l’événement C : « Au moins un de ces points appartient au disque
D »?
5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan.
Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’événement
« au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,999 9.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 941
20 minutes
Un tournoi oppose deux équipes A et B qui jouent trois parties successives d’un même jeu.
Le vainqueur du tournoi est l’équipe qui a gagné le plus de parties. Chaque partie est notée
respectivement A, B ou N suivant que l’équipe A gagne, B gagne ou la partie est nulle.
A chaque partie, l’équipe A a une probabilité de 0, 5 de gagner, l’équipe B a une probabilité de
0, 4 de gagner et la probabilité pour que la partie soit nulle vaut 0, 1.
1. Dresser la liste des tournois sans vainqueur : justifier qu’ils sont au nombre de 7.
Montrer que la probabilité pour que le tournoi soit sans vainqueur est égale à 0, 121.
2. a. Calculer la probabilité pour que l’équipe A gagne exactement une partie du tournoi et
remporte le tournoi.
408
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
b. Montrer que la probabilité pour que l’équipe A soit vainqueur du tournoi est 0, 515.
3. Sachant que l’équipe B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité que l’équipe B ait
gagné exactement deux parties.
E XERCICE 942
25 minutes
Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n > 3), dont deux et deux
seulement sont gagnants.
1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billets dans l’urne.
a. On suppose ici n = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets
gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de X .
b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité notée p n , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux
choisis.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tiré avant de tirer le second.
a. On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets
gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de Y .
b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité, notée q n d’avoir exactement un billet gagnant parmi les deux
choisis.
3. a. Montrer que pour tout n > 3, on a :
p n − qn =
4(n − 2)
.
n 2 (n − 1)
b. En remarquant que pour tout entier n, n − 2 < n − 1, déterminer un entier naturel n 0 tel
que pour tout n > n 0 , on ait p n − q n < 10− 3 .
c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie,
est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’un après l’autre en remettant
le premier billet tiré ?
E XERCICE 943
20 minutes
Une boîte contient 4n trombones de deux couleurs différentes : 2n +1 sont jaunes et 2n −1 sont
verts (n ∈ N, n > 1).
On prélève simultanément deux trombones au hasard.
1. Dans cette question on suppose que n = 10. Calculer la probabilité des événement suivants
(on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième).
a. A : les deux trombones sont de couleurs différentes.
b. B : les deux trombones sont verts.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
409
c. C : les deux trombones sont de même couleur.
2. Dans cette question, n désigne un entier quelconque supérieur ou égal à 1.
On note p n la probabilité de l’événement « les deux trombones sont de couleurs différentes ».
a. Montrer que p n =
4n 2 − 1
.
8n 2 − 2n
·
4x 2 − 1
1
; +∞ définie par f (x) = 2
,
b. On considère la fonction f sur
4
8x − 2x
Etudier les variations de la fonction f et en déduire l’entier naturel n pour lequel la
probabilité p n est maximale.
¸
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 944
20 minutes
Pour les questions 1 et 2 ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On demande à chaque fois d’indiquer laquelle est exacte, sans donner de justification.
1. a. On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à chaque lancer, le nom du
côté visible (Pile ou Face).
Le nombre de résultats possibles est :
6
2
6!
à !
6
.
2
2
6
b. On prend simultanément deux cartes au hasard parmi six cartes distinctes et on note
l’ensemble de deux cartes obtenu. Le nombre de tirages possibles est :
26
6!
à !
6
.
2
62
c. Six personnes s’installent sur une rangée de six sièges. Le nombre de dispositions possibles est :
6
2
6!
à !
6
.
2
2
6
2. Une urne contient six boules indiscernables au toucher : trois blanches, deux noires et une
rouge. On tire simultanément trois boules de l’urne au hasard.
a. La probabilité d’obtenir trois boules blanches est :
1
20
3
20
1
3
1
.
2
b. La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche est :
1
6
1
3
9
20
1
.
20
410
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
c. La probabilité d’obtenir au moins une boule blanche est :
1
2
17
19
.
2
3
20
20
Dans la question 3. , toutes les réponses devront être justifiées.
3. Un élève a répondu au hasard et de façon indépendante aux six questions précédentes.
a. Quelle est la probabilité qu’il ait au moins une réponse exacte ?
b. Quelle est la probabilité qu’il ait exactement cinq réponses exactes.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 945
20 minutes
Un hypermarché, à l’occasion de son 25e anniversaire, organise le jeu suivant :
dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter.
Chaque client doit gratter seulement 3 cases.
• si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d’achat de 100 euros,
• si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d’achat de 5 euros,
• dans tous les autres cas, le bulletin est perdant.
Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans
une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu’un seul bulletin dans cette
urne.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Calculer les probabilités des événements suivants :
a. A : « un client du magasin gagne un bon d’achat de 100 euros après un passage en
caisse ».
b. B : « un client du magasin gagne un bon d’achat de 5 euros après un passage en caisse ».
3
2. En déduire que la probabilité de l’événement C « un client ne gagne rien au grattage » est .
4
3. Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu.
Determiner la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d’achats.
4. Pour la loterie, 30 000 bulletins ont été déposés dans l’urne. On tire successivement et sans
remise 100 bulletins de l’urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d’achat de 100 euros.
a. Déterminer la probabilité qu’un bulletin déposé dans l’urne soit gagnant lors de ce tirage.
b. Démontrer que la probabilité qu’un bulletin soit perdant après le grattage et gagnant
1
.
après le tirage est
400
E XERCICE 946
25 minutes
Les trois parties de l’exercice sont indépendantes. Les résultats demandés seront donnés sous
forme de fractions irréductibles.
Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit
cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d’un jeu de cartes.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
411
Préliminaire :
à !
n
Ecrire le triangle de Pascal donnant les nombres
pour n inférieur ou égal à 8.
p
Partie A - Première modalité
On tire simultanément au hasard trois cartes parmi les huit cartes.
1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. Déterminer le nombre de tirages qui comprennent trois rois.
3. Déterminer la probabilité de réaliser, un tirage de trois cartes de même niveau, c’est-à-dire
trois rois ou trois dames.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B - Deuxième modalité : on pourra s’aider d’un arbre.
On tire successivement au hasard deux cartes parmi les huit cartes. Le tirage est sans remise.
1. Calculer la probabilité de l’événement R1 « La première carte tirée est un roi ».
2. Sachant que la première carte tirée est un roi, calculer la probabilité d’obtenir encore un roi
pour la deuxième carte.
3. Déterminer la probabilité d’obtenir deux rois.
4. Quelle est la probabilité d’obtenir deux figures de même niveau, c’est-à-dire deux rois ou
deux dames ?
5. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux figures de même niveau ?
Partie C - Troisième modalité
On tire une carte que l’on remet dans le paquet de huit cartes avant d’effectuer le tirage suivant.
Les tirages sont indépendants.
1. Calculer la probabilité d’obtenir un cœur quand on tire une carte parmi les huit choisies.
2. On effectue quatre tirages successifs.
a. Déterminer la probabilité p 1 d’obtenir quatre fois un coeur.
b. Déterminer la probabilité p 2 d’obtenir exactement deux fois un cœur.
3. A l’aide de la calculatrice, donner le nombre de tirages nécessaires pour que la probabilité
de n’obtenir que des cœurs soit inférieure à 10−6 .
E XERCICE 947
5 minutes
Pour se rendre à l’arrêt du bus qui passe à 7 h 30 et qui l’amène au lycée, Valérie a le choix entre
trois itinéraires A, B ou C.
1
1
La probabilité qu’elle choisisse l’itinéraire A est , celle qu’elle choisisse l’itinéraire B est ,
2
3
3
,
la probabilité qu’elle rate le bus qui passe à 7 h 30 sachant qu’elle a choisi l’itinéraire A est
10
2
la probabilité qu’elle rate le bus qui passe à 7 h 30 sachant qu’elle a choisi l’itinéraire B est ,
5
1
la probabilité qu’elle rate le bus qui passe à 7 h 30 sachant qu’elle a choisi l’itinéraire C est .
2
1. Dans cette partie, on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
a. Calculer la probabilité que Valérie choisisse l’itinéraire C.
412
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
b. Construire un arbre de probabilités donnant les diverses possibilités.
Reporter les probabilités donnés dans l’énoncé.
c. Calculer la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe à 7 h 30 et qu’elle ait choisi
l’itinéraire B.
19
d. Montrer que la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe à 7 h 30 est
.
30
e. Sachant que Valérie a pris le bus qui passe à 7 h 30, calculer la probabilité qu’elle ait
choisi l’itinéraire C.
2. Dans cette partie, on donnera les résultats sous forme d’une valeur approchée à 10−3 .
Valérie essaie de prendre le bus qui passe à 7 h 30 quatre jours par semaine dans les mêmes
conditions.
On suppose que pour Valérie, prendre ou rater le bus qui passe à 7 h 30, un jour donné dans
la semaine est indépendant du fait de prendre ou rater le bus qui passe à 7 h 30 un autre jour
dans la semaine.
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Calculer la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe à 7 h 30 quatre fois dans la
semaine.
b. Calculer la probabilité qu’elle prenne le bus qui passe à 7 h 30 exactement deux fois dans
la semaine.
On rappelle la formule donnant la probabilité de E sachant F : p F (E) =
p(E ∩ F)
.
p(F)
E XERCICE 948
20 minutes
Les résultats d’une enquête menée auprès d’une population dont 52 % des personnes sont des
femmes et 48 % des hommes, montrent que 80 % des femmes et 70 % des hommes jouent au
Loto au moins une fois par mois.
1. On choisit au hasard un individu de cette population. Tous les choix sont équiprobables.
On note :
H l’événement « L’individu choisi est un homme. »,
L l’événement « L’individu joue au Loto au moins une fois par mois. »,
On pourra représenter un arbre de probabilités.
a. Calculer la probabilité de l’événement H ∩ L puis celle de l’événement H ∩ L.
b. Montrer que la probabilité de L est égale à 0,752.
c. Déterminer p L (H), probabilité que l’individu choisi soit un homme sachant qu’il joue
au moins une fois par mois au Loto. Donner le résultat arrondi à 10−4 .
2. Cette population étant suffisamment nombreuse, on répète quatre fois, de manière indépendante, dans des conditions identiques (ou que l’on peut considérer comme telles), l’expérience de la première question « Choisir au hasard un individu de cette population ».
a. Déterminer la probabilité qu’un et un seul des quatre individus choisis joue au moins
une fois par mois au Loto, les trois autres jouant moins d’une fois par mois. Donner le
résultat arrondi à 10−4 .
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
413
b. Déterminer la probabilité qu’un, au moins, des quatre individus choisis joue au Loto au
moins une fois par mois. Donner le résultat arrondi à 10−4 .
E XERCICE 949
Une urne contient 11 jetons (indiscernables au toucher) numérotés de 1 à 11.
On tire simultanément trois jetons de l’urne.
20 minutes
1. Démontrer que le nombre de tirages possibles est égal à 165.
2. a. Déterminer le nombre de tirages ne comportant que des jetons ayant un numéro impair.
b. En déduire le nombre de tirages ayant au moins un jeton dont le numéro est pair.
3. a. Déterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un numéro pair.
b. Déterminer le nombre de tirages comportant le jeton numéroté 2 et aucun autre jeton
ayant un numéro pair. En déduire le nombre de tirages avec un seul jeton portant un
numéro pair.
c. Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un numéro pair est
égal à 60.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 950
20 minutes
On donnera les résultats sous forme irréductible.
On dispose d’un damier dont chacune des neuf cases est marquée d’un des trois nombres 1, 2
et 3 selon le schéma ci-contre :
1
2
3
2
3
1
3
1
2
On répartit au hasard trois pions indiscernables sur le damier (un pion par case) et on appelle
S la somme des trois nombres marqués sur les trois cases occupés par les pions.
Les répartitions sont toutes équiprobables.
à !
9
1. Ecrire le triangle de Pascal jusqu’à la dixième ligne et en déduire
.
3
n/p
0
1
2
3
4
0
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
5
6
7
8
9
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
414
2. On considère les événements E, F et G suivants :
E : « La somme S est égale à 3 » ;
F : « La somme S est égale à 9 » ;
G : « La somme S est égale à 6 ».
a. Déterminer les probabilités p(E) et p(F).
1
b. Montrer que la probabilité de l’événement G est égale à .
3
3. Soit A l’évènement : « La somme S est divisible par 3 » et B l’évènement : « Les trois pions
sont alignés en colonne, en ligne ou en diagonale ».
s
a
r
u
D
I
F
L
a. Déterminer les probabilités p(A) et p(B) des événements A et B.
b. Calculer la probabilité p A (B) de l’événement B sachant que A est réalisé.
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
E XERCICE 951
20 minutes
Un jeu consiste à cocher 8 cases sur une grille A (no 1 à 20) et 1 case sur une grille B (no 1 à 4)
1
6
11
16
GRILLE A
2
3
4
7
8
9
12 13 14
17 18 19
5
10
15
20
1
GRILLE B
2
3
4
Les résultats des calculs de probabilité seront donnés à 0, 000 1 près
1. Déterminer le nombre de façons possibles de cocher 8 cases dans la grille A.
Un tirage détermine 8 « bons numéros » dans la grille A et 1 « bon numéro » dans la grille B.
2. Cas 1 : le joueur récupère sa mise lorsqu’il a coché 4 « bons numéros » dans la grille A et 1
« bon numéro » dans la grille B.
a. Combien de grilles cochées A comportent 4 « bons numéros » et 4 « mauvais numéros » ?
En déduire la probabilité de cocher 4 « bons numéros » dans la grille A.
b. Déterminer la probabilité de cocher le « bon numéro » dans la grille B.
c. En déduire que la probabilité que le joueur récupère sa mise est de 0, 068 8.
3. Cas 2 : le joueur gagne s’il a coché 5, 6, 7 et 8 « bons numéros » dans la grille A (avec ou sans
le numéro gagnant de la grille B).
a. Combien de grilles cochées A comportent 5 « bons numéros » et 3 « mauvais numéros » ?
b. En déduire la probabilité de cocher 5 « bons numéros » dans la grille A.
2
. Un joueur décide de jouer les mêmes
4. On admet que la probabilité d’être gagnant est de
11
numéros sur 4 tirages consécutifs.
Déterminer la probabilité que ce joueur soit gagnant 2 fois sur les 4 tirages.
4.5. VERS LE BACCALAURÉAT
415
E XERCICE 952
40 minutes
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche,
ou rouge.
On sait de plus qu’il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne.
On tire au hasard simultanément 2 boules dans l’urne et on note leur couleur.
Soit l’évènement G : « obtenir deux boules de même couleur ».
Partie A
On suppose que l’urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches.
Calculer la probabilité de l’évènement G.
s
a
r
u
D
I
F
L
Partie B
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans
l’urne.
1. On note g (n, b, r ) la probabilité en fonction de n, b et r de l’évènement G.
1
Démontrer que g (n, b, r ) =
[n(n − 1) + b(b − 1) + r (r − 1)].
210
2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r afin que la probabilité g (n, b, r ) soit
minimale.
³ →
−´
− →
− →
L’espace est muni d’un repère O, ı ,  , k orthonormal.
Soient les points N , B et R de coordonnées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et
soit M le point de coordonnées (n, b, r ). On pourra se rapporter à la figure ci-dessous.
a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (NBR) est x + y + z − 15 = 0.
b. En déduire que le point M est un point du plan (NBR).
¢
1 ¡
OM 2 − 15 .
c. Démontrer que g (n, b, r ) =
210
d. Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées
du point H.
e. En déduire tes valeurs de n, b et r afin que la probabilité g (n, b, r ) soit minimale.
2
Justifier que cette probabilité minimale est égale à .
7
Partie C
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’organisateur
2
d’un jeu, de telle sorte que la probabilité de l’évènement G soit .
7
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux
boules de l’urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ.
S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise, avec k
nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. Calculer l’espérance E(X ) de la variable X en fonction de x et de k.
2. Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
416
R
z
−
→
− →
k 
→
− O
ı
B y
s
a
r
u
D
I
F
L
N
x
E XERCICE 953
Pour sortir d’une maison hantée, Maria doit passer
par un étrange couloir le long duquel se trouvent
trois portes fermées, notées S1 , S2 et S3 . On accède
à ce couloir par le portail E. Au moment où on ouvre
ce portail, chacune des trois portes a une chance sur
deux de s’ouvrir par enchantement. L’étroitesse du
couloir oblige Maria à sortir du couloir par la première porte ouverte qu’elle rencontre ; si les trois
portes sont fermées, elle doit sortir du couloir par
l’issue notée S. Quand Maria a quitté le couloir, le
portail et toutes les portes ouvertes se referment.
30 minutes
S3
S2
S1
S
E
1. Maria ouvre le portail.
a. Calculer la probabilité que Maria soit confrontée à la configuration : S1 est fermée S2 est
fermée S3 est ouverte
b. Calculer la probabilité qu’exactement deux des trois portes soient ouvertes.
c. On note p i la probabilité de sortir du couloir par la porte S i . Calculer p 1 , p 2 et p 3 .
d. Sachant que S2 est ouverte, calculer la probabilité que Maria sorte du couloir par la porte
S3 .
2. Lorsque Maria passe par les portes S1 ou S3 , son chemin la ramène au portail E. En revanche,
si elle passe par S2 ou par S, elle sort définitivement de la maison hantée.
a. Quelle est la probabilité que Maria sorte de la maison en ne passant qu’une seule fois
dans le couloir ?
b. Quelle est la probabilité que Maria passe au plus trois fois dans le couloir avant de sortir
de la maison ?
c. Sachant qu’au deuxième passage Maria a franchi la porte S1 , calculer la probabilité
qu’elle sorte de la maison au quatrième passage.
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
417
3. Cette fois, 8 personnes franchissent successivement le portail E. Quelle est la probabilité
qu’exactement 6 de ces personnes passent par S2 à leur premier passage ?
4. On suppose maintenant que n personnes franchissent une seule fois chacune le portail E.
Calculer la plus petite valeur de n telle que la probabilité qu’au moins une de ces personnes
sorte de la maison hantée par S 2 soit supérieure à 95 % ?
4.6 Vers le supérieur
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 954
5 minutes
Jean possède, dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes vertes et 2 paires de chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le
plus grand désordre et indiscernables au toucher.
Lorsque Jean est en train de s’habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est pressé et qui
n’a pas de lampe de poche, prend au hasard deux chaussettes dans le tiroir.
1. Calculer, à 0, 01 près par défaut, la probabilité pour que Jean ait tiré deux chaussettes noires.
2. Calculer, à 0, 01 près par défaut, la probabilité pour que Jean ait tiré deux chaussettes de
même couleur.
3. En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaussettes rouges restent inchangés, quel devrait être le nombre n de chaussettes noires (n ∈ N⋆ ) contenues dans
2
le tiroir pour que la probabilité d’avoir deux chaussettes noires soit égale à ?
7
E XERCICE 955
20 minutes
Un examen comporte deux épreuves obligatoires : une d’histoire et une d’économie. La question d’histoire est choisie au hasard parmi 30 sujets possibles et la question d’économie choisie
au hasard parmi 20 sujets. On suppose que tous les couples de questions possibles ont la même
probabilité d’être obtenus.Un candidat est reçu s’il connaît à la fois le sujet d’histoire et le sujet
d’économie.
1. Un candidat se présente à cet examen en ignorant 6 sujets d’histoire et 5 sujets d’économie.
Quelle est la probabilité pour que le candidat soit reçu ?
2. Trois candidats se présentent à cet examen. Ils ignorent tous 6 sujets d’histoire et 5 sujets
d’économie. On suppose que le résultat de l’examen pour les trois candidats sont des événements indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui associe à cet examen le nombre des candidats reçus.
Définir la loi de probabilité de X . Calculer l’espérance mathématique de X et sa variance
E XERCICE 956
15 minutes
Deux urnes contiennent dix boules indiscernables au toucher. Sur les boules de la première
urne sont inscrits respectivement les nombres : 1,1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5 et sur celles de la deuxième
urne les nombres 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4,5, 5.
418
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
1. On tire une boule dans chaque urne et on définit la variable aléatoire X qui,au couple de
boules tirées, fait correspondre la somme des nombres inscrits sur ces deux boules.
a. Etudier la loi de probabilité de X .
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable X .
2. On effectue dix fois le tirage décrit à la question précédente, les boules étant remises dans
leurs urnes respectives après chaque tirage.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement sept fois une somme paire au cours des dix
tirages
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 957
20 minutes
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N (N > 1).
On effectue dans cette urne deux tirages au hasard avec remise (le numéro de chaque boule
tirée est noté et la boule est remise dans l’urne).
On considère les variables aléatoires : X 1 prenant pour valeur le numéro de la boule tirée en
premier, et X 2 prenant pour valeur le numéro de la boule tirée en second.
1. Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables X 1 et X 2 .
Calculer l’espérance mathématique et la variance de X 1 et de X 2 .
2. On suppose désormais que N = 5.
a. On considère la variable aléatoire Y = X 1 + X 2 . Calculer l’espérance mathématique de Y
ainsi que sa variance.
b. Minorer la probabilité de l’événement 2 < Y < 10 en utilisant l’inégalité de BienayméTchebychev.
E XERCICE 958
20 minutes
Au cours d’une expérience sur les animaux, on place un rat au départ d’un parcours et il doit
choisir une porte de sortie parmi trois portes :
— s’il emprunte la porte A, il sort ;
— s’il emprunte l’une des portes B ou C, il est ramené au départ, et cela jusqu’à ce qu’il
choisisse la porte A.
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On suppose que le rat n’a aucune mémoire : il choisit une porte au hasard et peut emprunter la
même porte plusieurs fois de suite.
Chaque porte a donc la même probabilité d’être choisie.
1. Quelle est la probabilité pour qu’il sorte dès le premier essai ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’il ne sorte qu’au deuxième essai (le premier étant manqué
et le deuxième est réussi) ?
3. Quelle est la probabilité pour qu’il ne sorte qu’au quatrième essai ?
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
419
Partie B
On suppose que le rat a une mémoire parfaite : à chaque étape, il choisit au hasard l’une des
portes qu’il n’a jamais empruntée.
1. Compléter l’arbre de probabilités suivant :
A
1
3
...
A
s
a
r
u
D
I
F
L
...
B
...
...
...
C
...
A
A
C
...
B
...
A
2. X désigne le nombre d’essais qu’il lui faut pour sortir. Quelles valeurs peut prendre le nombre
X?
3. Etablir la loi de probabilité de X et calculer E (X ).
E XERCICE 959
15 minutes
Un promeneur suit une route indéfiniment bordée d’arbres alignés, distants les uns des autres
de 10 mètres.Il décide au cours de sa promenade, de jouer au jeu suivant : devant chaque arbre,
il lance son unique pièce de monnaie ; si c’est pile, il continue dans la même direction, si c’est
face, il rebrousse chemin, jusqu’à l’arbre voisin. Au bout de 6 déplacements, il s’endort au pied
de l’arbre où il est.
On appelle x la distance arithmétique, en mètres, entre l’arbre devant lequel il commence son
jeu et l’arbre d’arrivée.
1.
2.
3.
4.
Quelles sont les valeurs possibles prises par x ?
Dresser la loi de probabilité de cette variable aléatoire sachant que la pièce n’est pas truquée.
Quelle est la distance ayant la plus grande probabilité ?
Calculer l’espérance et la variance de cette variable aléatoire.
E XERCICE 960
30
X
Calculer N =
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 5).
10 minutes
k=1
E XERCICE 961
15 minutes
Lorsque les éléphants passent le col d’une montagne en hiver, ils chaussent des raquettes pour
ne pas s’enfoncer. Ils disposent de deux types de raquettes : les modèles S et les modèles XL.
Les modèles S se portent par 4, une raquette à chaque patte. Les modèles XL se portent par 2,
420
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
une raquette pour chaque côté, attachée sur la patte avant.
Les fixations sont les mêmes sur tous les modèles. La probabilité pour qu’une raquette se détache avant le passage du col est notée p.
1. Un éléphant a choisi le modèle S.
Quelle est la probabilité P S qu’il ait strictement moins de 2 raquettes aux pattes avant la fin
du passage ?
2. Un éléphant a choisi le modèle XL.
Quelle est la probabilité P X L qu’il n’ait plus de raquette aux pattes avant la fin du passage ?
3. Sachant qu’un éléphant ne peut plus avancer dans la neige s’il a perdu plus de la moitié de
son équipement, comparer en fonction de p, les probabilités de rester bloqué dans la neige
avec chaque modèle de raquettes.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 962
30 minutes
Un espion consulte trois dossiers parmi huit, serrés verticalement l’un contre l’autre.
Au moment de les remettre en place, il ne se souvient plus de l’endroit où ils se trouvaient. Il
se souvient seulement qu’il n’a pris ni le premier, ni le dernier, ni deux dossiers l’un à côté de
l’autre.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de dossiers correctement remis à leur place.
1. Etablir la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance et la variance de X .
E XERCICE 963
20 minutes
Soit n un entier naturel strictement positif. On considère une urne dans laquelle se trouvent :
• une boule portant le numéro 1 ;
• deux boules portant le numéro 2 ;
• trois boules portant le numéro 3 ;
• etc
• n boule portant le numéro n.
1. Combien l’urne contient-elle de boules ?
2. On tire au hasard une boule de l’urne, tous les tirages sont supposés équiprobables.
a. On suppose dans cette question que n est pair.
Exprimer en fonction de n la probabilité que la boule tirée porte :
• un numéro pair ;
• un numéro impair.
b. Dans cette question, on suppose que le nombre total de boules dans l’urne est égal à 21.
Quelle est la probabilité que la boule tirée porte un numéro strictement supérieur à 4 ?
E XERCICE 964
Une urne contient neuf jetons numérotés de 1 à 9, indiscernables au toucher.
25 minutes
1. On tire simultanément deux jetons de l’urne et on note leurs numéros : a et b. On suppose
qu’il y a équiprobabilité de sortie pour chaque jeton. On considère la variable aléatoire X
associant à chaque paire de jetons tirés, a, b, le plus grand diviseur commun de a et de b.
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
421
a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X .
55
.
81
c. Déterminer la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition. Représenter graphiquement la fonction de répartition.
d. Question pour les élèves suivant l’option « maths expertes »
Déduire de la question précédente les probabilités des événements suivants :
A : « l’équation (x, y) ∈ Z et ax + b y = 1 admet des solutions »,
B : « l’équation (x, y) ∈ Z et ax + b y = 2 admet des solutions »,
C : « l’équation (x, y) ∈ Z et ax + b y = 12 admet des solutions ».
b. En s’aidant d’un tableau par exemple, vérifier que P (X = 1) =
s
a
r
u
D
I
F
L
2. On effectue maintenant l’épreuve suivante : on tire une paire de jetons, on note a et b, on
remet les jetons dans l’urne, on effectue un nouveau tirage, et ainsi de suite.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement trois fois PGC D(a; b) = 1 au cours de
quatre tirages successifs ?
b. Combien faut-il effectuer de tirages pour que la probabilité d’avoir au-moins une fois
PGC D(a; b) = 1 au cours de n tirages successifs soit supérieure à 0, 999 ?
E XERCICE 965
30 minutes
La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes :
40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.
On admet qu’au début de chaque année :
• chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle
plante de type A, B ou C,
• chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle
plante de type A, B ou C,
• chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle
plante de type C.
La probabilité qu’une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0, 6 et
celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0, 3.
La probabilité qu’une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0, 6 et
celle qu’elle le soit par une plante de type A est 0, 3.
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son
type.
Pour tout entier naturel n non nul, on note :
• An l’évènement « la plante choisie la n-ième année est de type A »,
• Bn l’évènement « la plante choisie la n-ième année est de type B »,
• Cn l’évènement « la plante choisie la n-ième année est de type C ».
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
422
On désigne par p n , q n et r n les probabilités respectives des évènements An , Bn et Cn .
Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l’année n ◦ 0) on pose :
p 0 = 0, 40, q 0 = 0, 41 et r 0 = 0, 19.
1. Etablir un arbre pondéré illustrant cette situation.
2. a. Montrer que p 1 = 0, 363 puis calculer q 1 et r 1 .
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
½
p n+1
q n+1
= 0, 6p n + 0, 3q n
= 0, 3p n + 0, 6q n
s
a
r
u
D
I
F
L
3. On définit les suites (S n ) et (D n ) sur N par S n = q n + p n et D n = q n − p n .
a. Montrer que (S n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Dans la suite, on admet que (D n ) est une suite géométrique de raison 0, 3.
b. Déterminer les limites des suites (S n ) et (D n ).
¡ ¢ ¡ ¢
c. En déduire les limites des suites p n , q n et (r n ). Interpréter le résultat.
E XERCICE 966
25 minutes
On envisage une particule π pouvant occuper deux positions A et B se déplaçant aléatoirement
de la façon suivante :
• la position initiale (à l’instant 0) de la particule π est A. Au temps n, n ∈ N⋆ , la particule π est
soit en A soit en B ;
• entre deux instants successifs, n et (n + 1), la particule π saute éventuellement d’une position
à l’autre ;
• les divers facteurs influant sur cette évolution ne varient pas au cours du temps. L’éventualité
d’un saut est par ailleurs indépendante de la position de la particule π au temps n.
On note A n l’événement « la particule π est en A à l’instant n » et B n l’événement « la particule
π est en B à l’instant n »
Ainsi A n ∩ A n+1 est l’événement t « la particule π est en A à l’instant n et à l’instant (n + 1) »
Soit respectivement αn et βn la probabilité des événements A n et B n .
Soit θ un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.
Nous exprimerons les positions définies ci-dessus par les hypothèses :
α0 = 1 et αn + βn = 1
P (A n ∩ A n+1 ) = θαn et P (B n ∩ B n+1 ) = θβn
1. Calculer, en fonction de θ et βn , la probabilité de l’événement P (B n ∩ A n+1 ).
2. Montrer que, pour tout n ∈ N⋆ , αn+1 = (2θ − 1) αn + (1 − θ).
1
1
3. Du résultat précédent et de α0 = 1, déduire que, pour tout n ∈ N⋆ , αn = (2θ − 1)n + .
2
2
Quelle est la limite de la suite (αn ) quand n tend vers +∞ ?
E XERCICE 967
30 minutes
On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carrefour. Il est alors
possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
423
une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire S n qui totalise
le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale. On
estime que l’espérance mathématique de S n notée E (S n ) est égale à 10. Soit p la probabilité
pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.
à !µ ¶ µ
¶
10 n−k
n 10 k
où k est un entier natu1−
1. Calculer p, puis justifier l’égalité P (S n = k) =
n
k n
rel tel que 0 6 k 6 n.
µ
¶
10
ln 1 −
³
´
n
2. a. Etablir l’égalité ln P (S n = 0) = −10 ×
où ln désigne la fonction logarithme
−10
n
népérien. En déduire que lim P (S n = 0) = e −10.
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
b. Démontrer que P(S n = k + 1) = P (S n = k) ×
que 0 6 k 6 n − 1.
c. Démontrer que si lim P (S n = k) = e −10
n→+∞
n −k
10
×
, où k est un entier naturel tel
n − 10 k + 1
10k
pour 0 6 k 6 n, alors on a également
k!
10k+1
pour 0 6 k + 1 6 n.
n→+∞
(k + 1)!
d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur k ∈ N que
10k
lim P (S n = k) = e −10
où k est un entier naturel tel que 0 6 k 6 n.
n→+∞
k!
3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse admettre que
10k
est une approximation acceptable de P (S n = k). Utiliser cette approximation pour
e −10
k!
calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois
accidents de scooters à ce carrefour.
lim P (S n = k + 1) = e −10
E XERCICE 968
30 minutes
Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun,
pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes
que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade.
Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes ins1
crits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à . On admettra que les groupes
8
inscrits se présentent indépendamment les uns des autres.
Les probabilités demandées seront arrondies au 100e le plus proche.
1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents
est comprise entre 0,20 et 0,21.
b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours.
i.
Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
424
ii.
iii.
iv.
Donner la signification des événements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité
de ces événements.
Préciser l’espérance mathématique E (X ).
Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?
c. Une somme de 1 crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.
Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le crédit que ce groupe aurait versé pour la journée.
On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en crédits, perçue par l’association
un jour donné.
Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11].
Préciser l’espérance mathématique de S.
2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre
chaque jour une réservation supplémentaire. Evidemment si les 13 groupes inscrits se
présentent, le 13e groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette
activité de remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l’association.
Quelle est la probabilité P 13 qu’un jour donné il n’y ait pas de désistement, c’est-à-dire
que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ?
b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.
Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathématique.
c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :
!
à !µ ¶ µ ¶
Ã
13
X
k 7 k 1 13−k
− 2P13 .
k·
8
13 8
k=0
s
a
r
u
D
I
F
L
Calculer ce gain.
d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?
E XERCICE 969
30 minutes
1. Une fourmi se déplace sur les arêtes d’une pyramide régulière ABCDS. Depuis un sommet
quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet
voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ».
a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit :
• en A ? • en B ? • en C ? • en D ?
b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note : Sn l’évènement « la
fourmi est au sommet S après n pas », et p n la probabilité de cet évènement.
¢
1¡
Donner p 1 . En remarquant que Sn+1 = Sn+1 ∩ Sn , montrer que p n+1 = 1 − p n .
3
2. On considère la suite (p n ), définie pour tout nombre entier n strictement positif par :
p1 =
¢
1
1¡
et p n+1 = 1 − p n
3
3
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
425
a. Montrer
que, pout tout entier naturel n strictement positif, on a
µ parµ récurrence
¶ ¶
1 n
1
1− −
.
pn =
4
3
b. Déterminer lim p n .
n→+∞
E XERCICE 970
15 minutes
x n−1
dx.
1. Calculer, pour tout entier n > 0 : I n =
n
0 1+x
2. Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit α un nombre réel et soit p la fonction de Ω dans R définie, pour
tout n ∈ Ω par : p(n) = n 2 αI n .
Déterminer α pour qu’il existe une probabilité P telle que, pour tout n ∈ Ω, on ait
P ({n}) = p(n).
Z1
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 971
Soit k un entier naturel strictement positif.
Une urne contient 5k boules blanches et 3k boules rouges.
20 minutes
1. On tire simultanément trois boules de l’urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables. On note p(k) la probabilité de l’évènement E : « tirer plus de boules rouges que de
blanches ».
a. Calculer p(1), puis p(k).
b. Etudier la limite de p(k) quand k tend vers +∞.
2. On tire successivement trois boules de l’urne en notant chaque fois la couleur de la boule,
puis en la remettant dans l’urne. On admet l’équiprobabilité des tirages. On note p ′ (k) la
probabilité de l’évènement E ′ : « tirer plus de boules rouges que de boules blanches ».
a. Montrer que p ′ (k) est indépendant de k.
b. Vérifier que p ′ (k) = lim p(k).
k→+∞
E XERCICE 972
20 minutes
Je joue avec 4 dés à 20 faces. Chacun de ces dés, dont la forme est un icosaèdre, a ses faces
numérotées de 1 à 20. Lorsqu’on le lance, chaque face apparaît sur le dessus avec la même pro1
babilité de
.
20
Lorsque, parmi les 4 dés, une face apparaît au moins deux fois, je marque le nombre de points
correspondant à cette face. Ainsi :
•
•
•
•
•
avec la combinaison 3 − 4 − 12 − 16, je ne marque rien ;
avec la combinaison 2 − 8 − 11 − 11, je marque 11 points ;
avec la combinaison 4 − 9 − 9 − 9, je marque 9 points ;
avec la combinaison 7 − 7 − 14 − 14, je marque 21 points ;
avec la combinaison 2 − 2 − 2 − 2, je marque 2 points.
1. Quelle est la probabilité que je ne marque rien ?
426
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
2. Soit a un entier compris entre 1 et 20. Déterminer pour tout k 6 4 la probabilité d’avoir
exactement k nombres a parmi les dés lancés.
3. Pour tout a entier compris entre 1 et 20, on note X a la variable aléatoire qui vaut 1 s’il y a au
moins deux dés égaux à a parmi les quatre du lancer, et 0 sinon.
Préciser la loi de X a et exprimer le gain G à l’aide de ces variables.
Combien de points puis-je espérer en moyenne ?
4. Quelle est la probabilité que je marque exactement 8 points ?
On suppose à partir de maintenant qu’après avoir lancé les 4 dés, je suis autorisé à relancer
entre 0 et 4 dés pour améliorer mon score.
s
a
r
u
D
I
F
L
5. J’ai obtenu 11 − 7 − 2 − 2. J’hésite entre tout relancer, garder le 11 et garder les deux 2. Que
dois-je faire ?
E XERCICE 973
20 minutes
Franck doit réussir un examen qui consiste en un Q.C.M. de dix questions numérotés de 1 à 10.
Il doit répondre à ces questions dans l’ordre et s’il ne répond pas à une question, on ne prendra
pas en compte les réponses qu’il pourrrait apporter aux questions suivantes.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse fait perdre 1 point et ne
pas répondre à une question ne rapporte aucun point.
Franck réussira son examen si sa note finale est d’au moins sept points.
Franck connaît les bonnes réponses des six premières questions. Par contre, pour chacune des
quatre questions suivantes, il a une probabilité p de trouver la bonne réponse, avec 0 < p < 1.
1. Prouver que si Franck ne répond pas à la question numéroté 9, il a intérêt à ne pas répondre
à la question numéroté 8 pour réussir son examen.
2. Franck a-t-il intérêt à répondre à la question numérotée 10 ?
3. Déterminer, selon la valeur de p, la meilleure stratégie pour Franck.
E XERCICE 974
25 minutes
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre
dans l’urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les
tirages sont indépendants.
On note p n , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n −1 premiers tirages
et une boule blanche lors du n-ième tirage.
1. Calculer les probabilité p 2 , p 3 et p 4 .
2. On considère les évènements suivants :
B n : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers tirages ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement B n .
b. Exprimer la probabilité de l’évènement Un en fonction de n.
µ ¶n
2
n −1
.
×
c. En déduire l’expression de p n en fonction de n et vérifier l’égalité : p n =
4
3
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
3. On pose : S n = p 2 + p 3 + · · · + p n .
a. Démontrer par récurrence que ∀n > 2, on a S n = 1 −
b. Déterminer la limite de la suite (S n ).
427
´ µ 2 ¶n
.
+1 ×
2
3
³n
E XERCICE 975
15 minutes
Un cinéphile a vu 30 films en 2017, assistant à au plus une séance par jour, selon les hasards
de la programmation et de ses humeurs. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un film au moins
deux jours de suite ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 976
25 minutes
On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.
Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2
et 3.
Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre
1 et un carton le nombre −1.
On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a
le nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V .
1. Justifier que les points pondérés (A, a), (B, b) et (C , 4) admettent un barycentre. On le note
G.
2. a. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 « G appartient à la droite (BC ) » ;
E2 « G appartient au segment [BC ] ».
b. Montrer que la probabilité de l’évènement E 3 : « G est situé à l’intérieur du triangle ABC
2
et n’appartient à aucun des côtés » est égale à . On pourra faire appel des considéra5
tions de signe.
3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui
consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre G
de la question 1.
On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de
l’évènement E 3 .
a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.
b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0, 999.
E XERCICE 977
Soit n un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2.
1. Soit f la fonction définie sur R par f (s) = (1 + s)n .
Exprimer f (s) en utilisant le développement
du binôme de Newton.
à !
n
X n
En déduire la valeur de la somme
.
k=0 k
25 minutes
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
428
à !
n
2. α désignant un réel fixé, on pose, pour tout entier k ∈ ‚0 ; nƒ, p k = α
.
k
Déterminer α pour que les p k définissent une loi de probabilité de la variable aléatoire X
dont les valeurs sont 0, 1, 2, · · · , n telle que, pour tout k, P (X = k) = p k .
n
X
3. Soit la fonction g définie sur R par g (s) =
pk sk .
k=0
Comparer l’espérance mathématique E (X ) de la variable aléatoire X et g ′ (1).
Trouver, pour tout réel s, une expression simple de g (s), puis de g ′ (s).
En déduire la valeur numérique de E (X ).
s
a
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D
I
F
L
E XERCICE 978
20 minutes
Un sac contient six jetons numérotés 0, 0, 1, 2, 3, 6.
On tire successivement trois jetons, en notant à chaque fois le numéro inscrit sur le jeton et en
remettant à chaque fois le jeton tiré dans le sac.
On admet que tous les tirages sont équiprobables.
On obtient ainsi un triplet de nombres (a, b, c) et à chacun d’eux on associe la fonction polynôme f (x) = ax 2 + bx + c.
On définit une variable aléatoire X en associant à chaque triplet obtenu le degré du polynôme
f (on conviendra que le polynôme nul est de degré 0).
1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance mathématique de X .
3. On a obtenu un polynôme du second degré, quelle est la probabilité que ce polynôme ait
deux racines réelles distinctes ?
E XERCICE 979 : I NÉGALITÉ DE KOLMOGOROV
20 minutes
Soit X une variable aléatoire discrète telle¡ qu’il
¢ existe un réel β > 0 vérifiant |X | 6 β.
E X 2 − α2
.
Montrer que ∀α ∈ [0 ; β], P (|X | > α) >
β2
E XERCICE 980
20 minutes
Soit (X n )n>0 une suite de variables aléatoires réelles telles que pour k ∈ ‚1 ; nƒ,
k2
P (X n 6 k) = 3 (3n − 2k) (On admet que l’on a bien défini une loi de probabilité).
n
Xn
.
On pose Yn =
n
⌊t ⌋ désigne la partie entière du réel t .
⌊nx⌋
1. Soit x un nombre réel donné. Déterminer lim
.
x→+∞ n
☞ par définition de ⌊nx⌋ : ⌊nx⌋ 6 nx < ⌊nx⌋ + 1.
⌊nx⌋2
2. Montrer que ∀x ∈ [0, 1], P (Yn 6 x) =
(3n − 2⌊nx⌋).
n3
3. En déduire, ∀x ∈ R, lim P (Yn 6 x).
n→+∞
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
429
E XERCICE 981
15 minutes
n
o
On considère l’ensemble E 4 = 0, 1, 2, 3, 4 et p la fonction définie pour k ∈ E 4 par p(k) = ln a k ,
où a est un réel strictement positif.
1. Déterminer a pour que p définisse une probabilité sur E 4 .
2. On donne à a la valeur trouvée dans la question précédente et on considère la variable aléatoire X qui à chaque k de E 4 associe le nombre p(k).
Calculer l’espérance mathématique de X , sa variance et son écart type.
n
o
3. Généraliser les résultats obtenus précédemment à l’ensemble E n = 0, 1, · · · , n , (n > 0).
s
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L
E XERCICE 982 : LOI GÉOMÉTRIQUE
25 minutes
Considérons une épreuve de Bernoulli dans laquelle le succès a une probabilité p. On note q la
probabilité 1 − p de l’échec.
On répète l’épreuve de Bernoulli de façon indépendante jusqu’à l’obtention d’un succès.
Soit X le nombre de répétitions nécessaires à l’obtention d’un succès. On dit que X suit la loi
géométrique de paramètre p.
1. Démontrer que P (X = n) = p q n−1 .
On place une souris dans une cage. Elle se trouve face à 9 portillons dont un seul lui permet de
sortir de la cage. A chaque essai infructueux, elle reçoit une décharge électrique et on la replace
à l’endroit initial.
2. En supposant que la souris ne soit pas douée d’apprentissage et qu’elle choisisse donc de
façon équiprobable entre les 9 solutions à chaque nouvel essai, déterminer la probabilité
des événements suivants :
a. la souris sort au premier essai,
b. la souris sort au quatrième essai,
c. la souris sort au dixième essai.
3. La souris mémorise maintenant les essais infructueux et choisit de façon équiprobable entre
les portillons qu’elle n’a pas encore essayé. On désigne par Y la variable aléatoire égale au
nombre d’essais effectués.
a. Quelles valeurs peut prendre Y ? Déterminer sa loi de probabilité.
b. Déterminer l’espérance mathématique E (Y ) et interpréter le résultat.
E XERCICE 983 : LOI DE P OISSON
20 minutes
¡
¢
Pour n « assez grand » (n > 30) et p « très petit » p 6 0, 1 on peut approcher la loi binomiale
B(n ; p) par la loi de Poisson P (λ), de paramètre λ = np.
λk −λ
e .
On a alors P (X = k) ≈
k!
Une entreprise fabrique un médicament générique. Le procédé n’étant pas parfait, on sait
qu’une boîte de ce médicament à une probabilité égale à 0, 03 d’être défectueux.
On teste 100 boîtes de ce médicament. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boîtes
défectueuses.
430
1.
2.
3.
4.
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
Définir la loi de probabilité suivie par X . Calculer l’espérance et la variance de X .
Calculer la probabilité pour que 10 boîtes soient défectueuses.
Comparer ce résultat à celui obtenu en utilisant l’approximation par la loi de Poisson.
En utilisant l’approximation par la loi de Poisson, calculer la probabilité pour qu’il y ait plus
de 10 boîtes défecteuses.
E XERCICE 984 : LOI DE P OISSON
20 minutes
Une société de location de scooters a calculé que la probabilité qu’un de ses scooters loués ait
un accident dans une journée est 0, 009 (la probabilité qu’un scooter ait plus d’un accident par
jour est supposée nulle). Les accidents sont supposés indépendants les uns des autres. Chaque
jour, 2 000 scooters de la société sont en circulation.
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de scooters de location de la société ayant un
accident dans une journée.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Définir la loi de probabilité suivie par X . Calculer l’espérance et la variance de X .
2. Montrer que la loi de probabilité suivie par X peut-être approchée par une loi de Poisson.
3. A l’aide de cette approximation, calculer la probabilité des événements suivants :
a. le nombre d’accidents dans une journée est égal à 6 ;
b. le nombre d’accidents dans une journée est au plus égal à 10 sachant qu’il est supérieur
ou égal à 3 ;
c. déterminer le plus petit réel k tel que P (X > k) 6 0, 01.
E XERCICE 985 : LOI DE P OISSON
10 minutes
Montrer que, si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les
lois de Poisson P(λ) et P(µ), alors X + Y suit la loi de Poisson P(λ + µ).
E XERCICE 986 : L OI DE P OISSON
10 minutes
Un bureau de réservations reçoit, entre 10 h et midi, en moyenne 1,2 appels téléphoniques par
minute.
On modélise le phénomène par une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.
1. Déterminer la probabilité qu’entre 11 h et 11h 01, on ait :
a. aucun appel ;
b. un appel ;
c. deux appels.
2. Déterminer la probabilité de recevoir 5 appels entre 11h et 11h 02.
E XERCICE 987 : LOI UNIFORME DISCRÈTE
15 minutes
La loi uniforme est la loi de l’absence d’information. Supposons qu’une variable aléatoire X
prenne les valeurs 1, 2, · · · , n, mais que nous n’ayons aucune idée de la loi de probabilité de X .
1
Dans ce cas, après justification, on peut affecter à chaque valeur le même poids : .
n
1
et ∀k ∈ ‚1 ; nƒ, P [X = k] = .
n
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
1. Déterminer E (X )
2. Démontrer que V (X ) =
431
n2 − 1
.
12
E XERCICE 988
15 minutes
Soit X , Y et Z trois variables deux à deux indépendantes suivants la même loi uniforme U‚1 ; nƒ.
k −1
1. a. Démontrer que ∀k ∈ ‚2 ; n + 1ƒ, P (X + Y = k) = 2 .
n
2n − k + 1
b. Démontrer que ∀k ∈ ‚n + 2 ; 2nƒ, P (X + Y = k) =
.
n2
n −1
.
2. En utilisant la formule des probabilités totales, en déduire que P (X + Y = Z ) =
2n 2
3. a. Démontrer que T = n + 1 − Z suit la loi U‚1 ; nƒ.
b. Pourquoi T est-elle indépendante de X et Y ?
c. En faisant intervenir la variable T et en utilisant la question 2, déterminer la probabilité
P (X + Y + Z = n + 1).
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 989 : L OI DE DENSITÉ
15 minutes
Si l’univers Ω dans lequel on travaille n’est pas dénombrable, il n’est plus possible de calculer
les probabilités comme nous l’avons fait jusqu’à présent. On utilise alors d’autres outils :
Définition et propriété : Soit X une variable aléatoire et F X sa fonction de répartition,
c’est-à-dire F X (x) = P (X 6 x).
On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f définie sur un
intervalle I , dite densité de probabilité de X , telle que :
1. ∀x ∈ I , f (x) > 0 ;
2. f est continue sur I ;
Zb
Zb
f (t ) t = 1 si I = [a ; +∞] ;
f (t ) t = 1 si I = [a ; b], lim
3.
b→+∞ a
a
Zb
f (t ) t = 1 si I =] − ∞ ; b]
lim
a
Za→−∞
x
f (t ) t = 1
4. F X =
a
Si I = [a ; b] et a 6 c 6 d 6 b alors P (c 6 X 6 d ) = F X (d ) − F X (c) =
Zd
c
f (t ) t .
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ax(1 − x) si 0 6 x 6 1 et f (x) = 0 sinon.
1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ?
2. Déterminer P (0, 2 6 X 6 0, 5).
3. Calculer E (X ) et V (X ).
432
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 990 : LOI DE DENSITÉ DE PROBABILITÉ
15 minutes
Tous les jours, mon voisin se rend au parc pour manger son déjeuner et y reste un quart d’heure.
Après de longues observation, on estime que l’instant T d’arrivée de mon voisin au parc se
situe entre midi et 14 heures, T , exprimée en heures, est une variable aléatoire réelle dont une
densité de probabilité est la fonction f définie par :
3
f (t ) = t (2 − t ) si t ∈ [0 ; 2] et f (t ) = 0 sinon.
4
1. Vérifier que f est une densité de probabilité (définition donnée dans l’exercice 989).
2. Quelle est la probabilité que mon voisin arrive au parc avant 12 heures 30 ?
3. Je vais au parc à 12 h 30 et y reste un quart d’heure. Quelle est la probabilité pour que je
rencontre mon voisin ?
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 991
20 minutes
1 −|x|
Soit f la fonction définie par f (x) = e
pour tout x ∈ R.
2
1. Vérifier que f est une densité de probabilité (définition donnée dans l’exercice 989).
2. Soit X une variable aléatoire de densité f .
a. Déterminer la fonction de répartition F de X .
b. Déterminer son espérance.
E XERCICE 992 : LOI UNIFORME CONTINUE
20 minutes
La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b], notée U[a ; b], si elle admet
pour densité de probabilité la fonction f définie par :
f (x) = λ si x ∈ [a ; b]
et
f (x) = 0 si x ∉ [a ; b].
1. Déterminer la valeur de λ.
2. Démontrer que pour tous c et d appartement à [a ; b], P (c 6 X 6 d ) =
d −c
.
b−a
3. Déterminer E (X ) et V (X ).
4. D’après une enquête effectuée, la durée du trajet entre le domicile d’un étudiant et son université est comprise entre 30 minutes et 1 heure 30 minutes.
Soit X la variable aléatoire égale au temps de trajet d’un étudiant. On suppose que X suit
une loi uniforme.
a. Calculer la fonction densité de X .
b. Quelle est la probabilité que la durée du trajet soit comprise entre une heure et une
heure et 30 minutes.
c. Calculer la durée moyenne du trajet domicile-université.
E XERCICE 993 : LOI DE DENSITÉ
20 minutes
Une agence de nettoyage propose à ses clients différents forfaits pour l’entretien de ses immeubles.
Le montant du forfait versé à l’agence, par un client choisi au hasard est une variable aléatoire
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
433
Y s’exprimant en milliers d’euros sous la forme Y = 3 + 0, 2X , où X est une variable aléatoire à
densité de fonction de répartition F définie par :


0
si x 6 0
x +5 −x
F X (x) =
 1−
e 5 si x > 0
5
1.
2.
3.
4.
Quelle est la probabilité pour que le forfait ne dépasse pas 5 000 ( ?
Quelle est la probabilité pour que le forfait soit compris entre 3 500 et 5 500 ( ?
Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la variable X .
Calculer l’espérance de X et en déduire le montant moyen d’un forfait.
s
a
r
u
D
I
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L
E XERCICE 994 : LOI DE DENSITÉ DE PROBABILITÉ
30 minutes
On dit qu’une fonction f définie sur [0 ; +∞[ est une densité de probabilité sur [0 ; +∞[ si :
• pour tout réel x de [0 ; +∞[, f (x) > 0 ;
• la fonction f est continue sur [0 ; +∞[ ;
Zx
• la limite lim
f (t ) dt existe et est égale à 1.
x→+∞ 0
On définit alors une loi de probabilité P sur [0 ; +∞[ de densité f : pour tout intervalle [a ; b]
Zb
f (t ) dt .
inclus dans [0 ; +∞[, la probabilité de l’intervalle [a ; b] est P ([a ; b]) =
a
Une variable aléatoire X à valeurs dans [0 ; +∞[ suit la loi de probabilité P si, pour tout interZb
valle [a ; b] inclus dans [0 ; +∞[, P (a 6 X 6 b) =
f (t ) dt .
a
λ est un réel strictement positif et on considère la fonction ϕλ : x 7−→ λe −λx définie sur [0 ; +∞[.
1. Déduire de ce qui précède que ϕλ est une densité de probabilité sur [0 ; +∞[.
☞ Soit X λ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité ϕλ .
X λ suit la loi exponentielle de paramètre λ.
2. a. On appelle espérance
de X λ le réel noté E(X λ ) défini par
Z
E(X λ ) = lim
x→+∞ 0
x
λt ϕλ (t ) dt .
Justifier l’existence de la limite précédente et donner une expression simple de E(X λ ) en
fonction de λ.
b. Le temps d’attente en minutes à un standard téléphonique est une variable aléatoire
Yλ qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. L’espérance E(Yλ ) représente alors le
temps moyen d’attente à ce standard. Sachant que ce temps moyen est de 5 minutes,
déterminer la probabilité d’attendre encore 5 minutes, sachant qu’on a déjà attendu
2 minutes.
3. On appelle variance de X λ le réel noté V (X λ ) défini par :
V (X λ ) = lim
Zx
x→+∞ 0
λt 2 ϕλ (t ) dt − [E(X λ )]2 .
Justifier l’existence de la limite précédente et déterminer une expression simple de V (X λ )
en fonction de λ.
434
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
E XERCICE 995 : LOI DE DENSITÉ DE PROBABILITÉ
20 minutes
La durée du processus d’atterrissage d’un avion est le temps T , en minutes, qui s’écoule entre la
prise en charge par la tour de contrôle et l’immobilisation sur la piste. On estime que le temps
T est une variable aléatoire de densité f définie par :
½
t e −t si t > 0
f (t ) =
0
sinon
1. Calculer l’espérance et la variance de T .
2. Déterminer la fonction de répartition de T , c’est-à-dire la fonction F telle que
F (t ) = P (T 6 t ).
3. Quelle est la probabilité que T soit supérieur à 2 minutes ?
4. Quelle est la probabilité que T soit compris entre 45 secondes et 1 minute 30 ?
5. Quelle est la probabilité que T soit inférieur à 5 minutes sachant qu’il dépasse 2 minutes ?
s
a
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L
E XERCICE 996
30 minutes
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent
être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui
mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci1
dent. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ = , appelé aussi loi de durée
82
de vie sans vieillissement.
ZA
1 −x
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : p(D 6 A) =
e 82 dx.
82
0
Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.
1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :
a. comprise entre 50 et 100 km ;
b. supérieure à 300 km.
2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité
qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?
3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.
x
a. Déterminer les réels a et b tels que F (x) = (ax + b)e− 82 soit une primitive de
1
x
f (x) =
xe− 82 .
82
ZA
x
1
b. Calculer I (A) =
xe− 82 dx où A est un nombre réel positif.
0 82
c. Calculer la limite de I (A) lorsque A tend vers +∞. (Cette limite représente la distance
moyenne cherchée).
4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre
l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux indé1
, d étant un réel positif, on
pendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ =
82
note X d la variable aléatoire égale au nombre d’autocars n’ayant subi aucun incident après
avoir parcouru d kilomètres.
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
435
a. Montrer que X d suit une loi binomiale de paramètres N0 et e−λd .
b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru
d kilomètres.
E XERCICE 997
20 minutes
Un fabricant de jouets vend un modèle de poupée qui « parle et marche » grâce à un mécanisme
électronique.
On appelle « durée de vie » d’une poupée, le temps pendant lequel le mécanisme fonctionne
correctement avant la première défaillance.
La variable aléatoire T , représentant la durée de vie exprimée en années d’une poupée prise au
1
hasard dans la production, suit une loi exponentielle de paramètre .
3
La probabilité P (T 6 t ) que la durée de vie de la poupée soit inférieure à t années est alors
donnée par :
s
a
r
u
D
I
F
L
1
P (T 6 t ) = 1 − e − 3 t .
Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte puis une
valeur approchée à 10−4 près.
1. a. Déterminer la probabilité p qu’une poupée ne fonctionne plus au bout d’une année.
b. Exprimer, en fonction de t , la probabilité P (T > t ) qu’une poupée n’ait aucune défaillance pendant t années.
2. J’ai acheté une poupée. On note A l’évènement : « la poupée n’a aucune défaillance pendant
une année » et B l’évènement : « la poupée n’a aucune défaillance pendant trois ans ».
a. Déterminer les probabilités P (A) et P (B ) des évènements A et B .
b. Sachant que la poupée fonctionne parfaitement au bout d’un an, quelle est la probabilité P A (B ) que la poupée fonctionne encore au bout de trois ans ? Justifier le calcul.
3. Le fabricant garantit les poupées pendant un an et s’engage à rembourser les poupées défectueuses.
a. Donner une valeur approchée à 10−2 près du pourcentage de poupées remboursées.
b. Quelle durée de garantie maximale t 0 devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de 8 % des poupées vendues ? Calculer la valeur exacte, exprimée en
années, de t 0 . Justifier le résultat.
Donner une valeur approchée, exprimée en mois, de t 0.
4. Un commerçant achète un lot de trois poupées et le fabricant offre, pour chaque poupée,
une garantie d’une année.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de poupées remboursées sur ce lot.
a. Exprimer, en fonction de p défini en 1. a, la probabilité P (X = 3) que les trois poupées
ne fonctionnent plus au bout d’un an.
b. Exprimer, en fonction de p, la probabilité P (X = 1) qu’une seule des trois poupées ne
fonctionne plus au bout d’un an.
436
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
c. Etablir le tableau donnant la loi de probabilité de X . Les probabilités seront exprimées
en fonction de p.
d. Déterminer, en fonction de p, l’espérance mathématique E(X ) de la variable X .
E XERCICE 998 : LOI EXPONENTIELLE
20 minutes
La loi exponentielle de paramètre λ > 0 a pour densité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f (x) = λe −λx .
Cette loi est aussi appelée loi de durée de vie sans vieillissement.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Vérifier que la fonction f défini bien une fonction de densité.
☞ la définition est donnée dans l’exercice 989.
2. Démontrer que P (a 6 X 6 b) = e −λa − e −λb .
1
3. Démontrer que E (X ) = .
λ
4. Application : La durée de vie d’un composant électronique est une variable aléatoire X ,
exprimée en jours, qui suit une loi exponentielle de paramètre 0, 001 .
a.
b.
c.
d.
Quelle est la durée de vie moyenne d’un composant électronique ?
Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant excède 365 jours ?
Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit inférieure à 2 ans ?
Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre trois et
cinq ans ?
E XERCICE 999 : LOI EXPONENTIELLE
20 minutes
Une variable aléatoire X > 0 est dite « sans vieillissement » lorsque, pour tous réels t et h positifs, P X >h (X > t + h) = P (X > t ).
1. Démontrer qu’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est
sans vieillissement.
2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ, on appelle demivie la durée τ telle que P (X 6 τ) = 0, 5.
ln 2
.
Démontrer que τ =
λ
3. La variable aléatoire X égale à la durée de vie , en jours, d’un atome radioactif d’iode 131
avant désintégration suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de
vie soit inférieure à deux jours est égale à 0, 160 à 10−3 près.
a. Calculer, à 10−3 près, le paramètre λ de cette loi exponentielle.
b. La demi-vie d’une substance radioactive est le temps t au bout duquel la moitié des
atomes initiaux sont désintégrés. Calculer, à 0, 1 près, la demi-vie de l’iode 131.
4. La durée de vie (exprimée en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 002.
Calculer, à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type :
a. n’ait pas de défaillance avant 100 h ;
4.6. VERS LE SUPÉRIEUR
437
b. fonctionne encore au bout de 600 h sachant qu’elle fonctionnait encore au bout de 55 h.
E XERCICE 1000
Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi exponentielle de paramètre 1.
15 minutes
1. Déterminer la fonction de répartition de −X .
2. En déduire la densité de −X .
E XERCICE 1001 : LOI EXPONENTIELLE
20 minutes
On dit que Z suit la loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est définie sur R par
s
a
r
u
D
I
F
L
1
f Z (x) = e −|x|
2
1. Soient Z1 et Z2 deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant la loi exponentielle
bilatérale.
Déterminer une fonction de densité de Z1 + Z2 .
2. Dans cette question X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les
deux la loi exponentielle de paramètre1et on pose Z = X − Y .
a. Déterminer la fonction de répartition, puis une densité de −Y .
b. Déterminer une fonction de densité de Z et vérifier que Z suit une loi exponentielle
bilatérale.
438
CHAPITRE 4. DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS
s
a
r
u
D
I
F
L
Chapitre 5
Corrigés
s
a
r
u
D
I
F
L
5.1 Suites numériques
E XERCICE 1
1. un+1 − un = 2, la suite un est arithmétique de raison
2.
1
2. un+1 −un = −
, la suite un n’est pas arithmén(n + 1)
tique.
3. un+1 −un = −2, la suite un est arithmétique de raison
−2.
4. u0 = 3, u1 = 5, u2 = 9, u1 − u0 6= u2 − u1 , la suite n’est
pas arithmétique.
5. un+1 − un = −2016, la suite un est arithmétique de
raison −2016.
6. un+1 − un = n, la suite un n’est pas arithmétique.
1. u28 − u10 = −4,5 et d’autre part u28 − u10 = 18r
−4,5
d’où r =
= −0,25
18
u10 = u0 + 10r d’où u0 = u10 − 10r = 8,5.
2. u18 − u9 = 1998 et d’autre part u18 − u9 = 9r
1998
d’où r =
= 222
9
u9 = u0 + 9r d’où u0 = u9 − 9 × 222 = −1979
2. un = n.
S = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1
en additionnant membre à membre les deux lignes on
obtient :
2S = (n +1)+(n +1)+(n +1)+· · · +(n +1)+(n +1) (somme
n(n + 1)
.
2
de n termes tous égaux à n + 1) d’où S =
E XERCICE 5
u0 = 3 et u99 = 498
99
X
100 × (u0 + u99 )
= 25050.
S=
uk =
2
k=0
E XERCICE 6
1. tn+1 = tn −30, la suite (tn ) est une suite arithmétique
de raison r = −30 et de premier terme t0 = 500.
E XERCICE 2
E XERCICE 3
1. un = 3 + 2n.
(
p
3. un = 2(n − 1).
4. un = 11 − 2n.
E XERCICE 4
Posons S = 1 + 2 + 3 + · · · + n
2. tn = 500 − 30n.
n
X
(n + 1) (t0 + tn )
tk =
= (n + 1) (500 − 15n).
2
k=0
4. S 10 = 11 × (500 − 150) = 3850.
3. S n =
Tom disposera de 3 850 ( le 14 juillet 2023.
E XERCICE 7
un+1
= 7, la suite (un ) est une suite
un
géométrique de raison q = 7.
3
4 u2
u3
2. u1 = 2, u2 = , u3 = ,
6=
. La suite (un ) n’est
2
3 u1
u2
pas une suite géométrique.
1. ∀n ∈ N, un 6= 0,
3. Si u0 = 0 alors pour tout n ∈ N, un = 0
On suppose que u0 6= 0 alors ∀n ∈ N, un 6= 0,
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
440
un+1 p
= 2, la suite (un ) est une suite géométrique
un
p
de raison q = 2.
u2
u1
6=
. La suite (un ) n’est
4. u0 = 3, u1 = 5, u2 = 9,
u0
u1
pas une suite géométrique.
un+1
5. ∀n ∈ N, un 6= 0,
= 2016, la suite (un ) est une
un
suite géométrique de raison q = 2016.
6. La suite (un ) est de la forme un+1 = aun + b, elle est
donc arithmético-géométrique.
E XERCICE 13
1. cn+1 = 2cn , la suite (cn ) est une suite géométrique de
raison q = 2 et de premier terme c1 = 1.
2. cn = c1 q n−1 = 2n−1 .
1 − 2n
3. S n =
= 2n − 1.
1−2
4. Il y a 17 jeudis soit :
S 17 = 217 − 1 = 131037, Matt aura donné 131037 carrés de chocolat soit 5461 tablettes et 7 carrés.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 8
1
1
=⇒ q = (car q > 0).
4
2
u10 = u0 q 10 =⇒ u0 = 6 × 210 = 6144.
p
2. u13 = q 4 u9 =⇒ q 4 = 9 =⇒ q = 3p(car q > 0).
¶9
µ
1
3
=
.
u9 = u0 q 9 =⇒ u0 = 81 × p
3
3
1. u12 = q 2 u10 =⇒ q 2 =
E XERCICE 9
1. un = u0 q n = 3 × 2n .
2. un = u2 q n−2 = 5 × (−3)n−2 .
¡p ¢n−1
3. un = u1 q n−1 = 2
.
µ ¶n
1
4. un = u0 q n = 3 ×
= 31−n .
3
E XERCICE 10
Soit a, aq, aq 2 les trois premiers termes de la progres-
E XERCICE 14
n
n
X
X
1. S n =
k
(u0 + kr ) = (n + 1)u0 + r
k=0
k=1
n(n + 1)
= (n + 1)u0 + r
.
2
u0 + (u0 + nr )
2u0 + nr
= (n + 1)
2. S n = (n + 1)
2
2
u0 + un
.
= (n + 1)
2
E XERCICE 15
1. u1 = 0,8 × 200 + 3 = 163, u2 = 0,8 × 163 + 3 = 133,4.
2. u1 − u0 6= u2 − u1 , la suite (un ) n’est pas arithméu1
u2
tique et
6=
, elle n’est donc pas non plus géou0
u1
métrique.
3. a. v n+1 = un+1 − 15 = 0,8un − 12 = 0,8(un − 15)
= 0,8v n , la suite (v n ) est géométrique de rai-
son q = 0,8 et de premier terme v 0 = 185.
sion et aq 4 , aq 5 , aq 6 les trois derniers,
(
¡
¢
a 1 + q + q2
=
2
¡
on a alors
¢
aq 4 1 + q + q 2
= 1250
( ¡
¢
a 1 + q + q2
=
2
on en déduit alors
q4
= 625
2
.
Soit q = 5 et a =
31
Les sept réels sont donc :
2 10 50 250 1250 6250 31250
,
,
,
,
,
,
.
31 31 31 31
31
31
31
1. u2 = 2 × 0 − 7 = −7, u3 = 2 × (−7) − 7 = −21.
2. u2 − u1 6= u3 − u2 , la suite (un ) n’est pas arithméu2
u3
tique et
6=
, elle n’est donc pas non plus géou1
u2
métrique.
E XERCICE 11
3. a. v n+1 = un+1 − 7 = 2un − 14 = 2(un − 7) = 2v n , la
Posons S = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + q n avec q 6= 1 ;
on a alors qS = q + q 2 + · · · + q n + q n+1
1 − q n+1
.
ainsi S − qS = 1 − q n+1 d’où S =
1−q
E XERCICE 12
µ ¶100
1
1 − q 100
S = u0 ×
= 1−
.
1−q
2
b. v n = v 0 q n = 185 × 0,8n .
c. un = v n + 15 = 185 × 0,8n + 15.
E XERCICE 16
suite (v n ) est géométrique de raison q = 2 et de premier terme v 1 = −7.
b. v n = v 1 q n−1 = −7 × 2n−1 .
c. un = v n + 7 = 7 − 7 × 2n−1 .
E XERCICE 17
1. u1 = 0,9 × 2 + 3 = 4,8, u2 = 0,9 × 4,8 + 3 = 7,32.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
2. u1 − u0 6= u2 − u1 , la suite (un ) n’est pas arithméu2
u1
6=
, elle n’est donc pas non plus géotique et
u0
u1
métrique.
3. a. v n+1 = un+1
µ + a = 0,9u¶n + 3 + a
3+a
= 0,9 un +
, la suite (v n ) est géomé0,9
3+a
=a
trique de raison q = 0,9 si et seulement si
0,9
donc si et seulement si a = −30. La suite (v n ) sera
alors de premier terme v 0 = −28.
b. v n = v 0 q n = −28 × 0,9n .
441
2. L’équation x 2 − 6x + 5 = 0 admet une solution évidente x1 = 1, la seconde solution est alors x2 = 5.
3. u0 = A + B = 1 et u1 = 5A + B = 2 on en déduit alors
1
3
que A = et B =
4
4
5n 3
+ .
ainsi un =
4
4
10
5
3
4. u10 =
+ = 2 441 407.
4
4
E XERCICE 22
s
a
r
u
D
I
F
L
c. un = v n + 30 = 30 − 28 × 0,9n .
E XERCICE 18
1. un = 3n .
2. un+1 − un = 2 × 3n .
3. Supposons que ∀n ∈ N, v n = v 0 q n , avec q différent
de 0 et de 1.
v n+1 − v n = v 0 (q − 1)q n . La propriété est donc géné-
ralisable.
E XERCICE 19
1. (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,1 et
de premier terme u1 = 10 d’où un = 10 × 1,1n−1 .
2. La suite (un ) est strictement croissante (car q > 1),
u29 ≈ 144 et u30 ≈ 158. Maths atteindra son objectif
lors de la séance 30.
q 31 − 1
3. S = 10 ×
= 1819,42 à 10−2 près
q −1
Math se sera alors entraîné 30 heures et 20 minutes.
E XERCICE 20
1. v n+1 = un+2 − un+1 = 2un+1 − un − un+1
= un+1 − un = v n
la suite (v n ) est donc stationnaire
et ∀n ∈ N, v n = v 0 = 2.
2. un+1 − un = v n = 2
la suite (un ) est arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 1.
3. un = u0 + nr = 2n + 1.
n
n
X
X
n(n + 1)
4. S n = 2
k+
1 = (n + 1) + 2
= (n + 1)2 .
2
k=0
k=0
E XERCICE 21
1. u2 = 7, u3 = 32 et u4 = 157.
1
1
1
un −2 = (un − 6) = v n , la suite
3
3
3
1
(v n ) est géométrique de raison q = et de premier
3
terme v 0 = −5. µ ¶
µ ¶n
1
1 n
d’où un = v n + 6 = 6 − 5
.
2. v n = v 0 q n = −5
3 µ ¶
3
n
1
1
3. 0 < < 1 d’où lim
= 0 ainsi lim un = 6.
n→+∞ 3
n→+∞
3
1. v n+1 = un+1 −6 =
E XERCICE 23
1. La suite est constante si un+1 = un .
un + 6
2 +u −6 = 0
= un =⇒ un
un+1 = un =⇒
n
un + 2
Cette équation admet deux solutions a = −3 et b = 2.
un−1 + 6
2. Supposons que un = 2 alors
=2
un+1 + 2
un−1 + 6
= 2 =⇒ 6+un−1 = 4+2un−1 =⇒ un−1 = 2
un+1 + 2
donc par récurrence u1 = 2 de même si un = −3 alors
u1 = −3
par contraposition, on en déduit alors que si u1 6= a
et u1 6= b, il en est de même de un .
un + 3
un+1 + 3
= −4
.
Dans ces conditions,
un+1 − 2
un − 2
3. D’après la question précédente, la suite (v n ) définie
un − a
par v n =
est géométrique de raison q = −4 et
un − b
u1 + 3
.
de premier terme v 1 =
u1 − 2
4. v n = v 1 (−4)n−1
2v n + 3 2v 1 (−4)n−1 + 3
.
=
un =
vn − 1
v 1 (−4)n−1 − 1
E XERCICE 24
1
1. p 1 = P (A 1 ) =
2
p 2 = P (A 1 ∩ A 2 ) + P (B 1 ∩ A 2 )
p 2 = P (A 1 ) × P A 1 (A 2 ) + P (B 1 ) × P B 1 (A 2 )
1
4
1 1 1 1 1
=
.
= × + × = +
2 3 2 5 6 10 15
2. ∀n > 2, p n = P (A n−1 ∩ A n ) + P (B n−1 ∩ A n )
p n = P (A n−1 ) × P A n−1 (A n ) + P (B n−1 ) × P B n−1 (A n )
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
442
µ
¶
1
1
1
2
+ 1 − p n−1 ×
p n−1 + .
=
3
5
15
5
2
2
3
=
pn −
3. Pour n > 1, un+1 = p n+1 −
65
µ 13 15
¶
2
3
2
=
un .
pn −
=
15
13
15
La suite (un ) est une suite géométrique de raison
2
7
q=
et de premier terme u1 =
.
15
26
µ ¶n−1
7
2
4. un = u1 q n−1 =
×
et
26
15
µ ¶n−1
3
3
2
7
+ .
p n = un +
=
×
13 26
15
13
µ ¶n−1
2
2
=0
< 1 d’où lim
5. 0 <
n→+∞ 15
15
3
.
ainsi lim p n =
n→+∞
13
Au bout d’un grand nombre de lancers, Alice attein-
p n = p n−1 ×
Ce système admet une unique solution
¡
¢
α , β = (3u0 − u1 , u1 − 2u0 ).
¡
¢
Ainsi, si le couple α , β convient, alors ses valeurs
sont données par la résolution du système et donc le
¡
¢
couple α , β sera unique.
3. Montrons
alors
par
récurrence,
la
propriété
P(n) : ∀n ∈ N, un = αa n + βbn .
• Initialisation : voir question précédente
• Hérédité : Supposons n ∈ N tel que P(n) et P(n + 1)
s
a
r
u
D
I
F
L
dra la cible trois fois sur treize.
vraies.
Par hypothése de récurrence, un = αa n + βbn et
un+1 = αa n+1 + βbn+1
donc un+2 = 5un+1 − 6un
¡
¢
¡
¢
= 5 αa n+1 + βbn+1 − 6 αa n + βbn
= α (5a n+1 − 6un ) + β (5a n − 6bn )
= αa n+2 + βbn+2
E XERCICE 25
1. 10w 10 = 11w 9 + 1 = 11 × 19 + 1 = 210 d’où w 10 = 21.
2. On conjecture que la suite (w n ) est arithmétique de
raison r = 2 et de premier terme w 0 = 1, autrement
dit ∀n ∈ N, on a w n = 2n + 1. Démontrons par récur-
rence la proposition Pn : « ∀n ∈ N, w n = 2n + 1 ».
Ainsi on a P(n + 2) vraie
• Conclusion : La relation est vraie aux rangs 0 et 1 et
si elle est vraie aux rangs n et n + 1, elle l’est au rang
n + 2. On a donc démontré par récurrence que pour
tout nombre entier naturel n, un = αa n + βbn .
• Initialisation : w 0 = 1 et 2 × 0 + 1 = 1 donc P0 est
vraie.
E XERCICE 27
• Hérédité : soit n un entier quelconque dans N tel
que Pn vraie. Montrons qu’alors Pn+1 est vraie.
(n + 1)w n+1 = (n + 2)w n + 1 = (n + 2)(2n + 1) + 1
= 2n 2 + 5n + 3 = (2n + 3)(n + 1).
Or n + 1 6= 0, on en déduit que w n+1 = 2n + 3
soit w n+1 = 2(n + 1) + 1 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N, à savoir que, w n = 2n + 1 d’où w 2009 = 4019.
E XERCICE 26
1. On donne la suite géométrique un = r n , la relation
¡
¢
(E ) s’écrit alors r n−2 r 2 − 5r + 6 = 0
r 6= 0, il vérifie alors l’équation r 2 − 5r + 6 = 0
la résolution de cette équation permet d’obtenir
deux solutions r 1 = 2 et r 2 = 3.
On notera a n = 2n et bn = 3n .
2. Supposons qu’il existe deux réels α et β tels que
u0 = α + β et u1 = 2α + 3β.
1. a. a 0 = 1 300 et a 1 = 1 300 + 100 = 1 400.
b. a n+1 = a n +100, la suite (a n ) est une suite arithmétique de raison 100 et de premier terme a 0 = 1 300.
c. D’après la question précédente,
a n = a 0 + nr = 1 300 + 100n.
n
X
a0 + an
d. A n =
12a k = 12(n + 1)
2
k=0
2 600 + 100n
= 600(n + 1)(n + 26).
= 12(n + 1)
2
µ
¶
5
2. a. b0 = 1 400 et b1 = 1 +
× 1 400 = 1 470.
100
b. bn+1 = 1,05bn , la suite (bn ) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme b0 = 1 400.
c. D’après la question précédente,
bn = b0 q n = 1 400 × 1,05n .
n
X
q n+1 − 1
12bk = 12b0
d. B n =
q −1
k=0 ¡
¢
= 336 000 1,05n+1
−
1
. ¶
µ
2
× 1 500 + 30 = 1 560.
3. a. c0 = 1 500 et c1 = 1 +
100
b. cn+1 = 1,02cn + 30, la suite (cn ) est une suite
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
443
arithmético-géométrique.
c. un+1 = cn+1
¶ n + 30 + α
µ + α = 1,02c
30 + α
= 1,02un car la suite (un )
= 1,02 cn +
1,02
30 + α
est géométrique, ce qui implique
= α soit
1,02
α = 1500.
d. D’après la question précédente
un = u0 q n = 3 000 × 1,02n et
n
cn = un − 1500 = 3 000
Ã × 1,02 − 1500
!
n
X
1,02n+1 − 1
e. C n =
12ck = 12 3 000
− 1500(n + 1)
1,02 − 1
k=0
¡
¢
C n = 1 800 000 1,02n+1 − 1 − 18 000(n + 1).
¶
µ
3 1
1
1
9
up + 3 − up = up + .
2 2
2
4
2
En utilisant la relation (*), on obtient :
¡
¢ 9 1
1
u p+2 = × 2 u p+1 − 3 + = u p+1 + 3.
4
2 2
La relation est vraie au rang p + 1.
=
• Conclusion : La relation est vraie au rang 0 et si elle
est vraie au rang p, elle l’est au rang p + 1. On a donc
démontré par récurrence que pour tout nombre en1
tier naturel n, un+1 = un + 3.
2
s
a
r
u
D
I
F
L
c.
n
4
an
1700
bn
1701, 71
cn
1747, 30
An
90 000
Bn
92 830
Cn
97 345
5
1800
1786, 79
1812, 24
111 600
114 272
119 092
6
1900
1876, 13
1878, 49
134 400
136 785
141 634
7
2000
1969, 94
1946, 06
158 400
160 425
164 986
8
2100
2068, 44
2014, 98
183 600
185 246
189 166
9
2200
2171, 86
2085, 28
210 000
211 308
214 189
10
2300
2280, 45
2156, 98
237 600
238 674
240 073
11
2400
2394, 48
2230, 12
266 400
267 407
266 835
12
2500
2514, 20
2304, 73
296 400
297 578
294 491
13
2600
2639, 91
2380, 82
327 600
329 257
323 061
14
2700
2771, 90
2458, 44
360 000
362 519
352 563
15
2800
2910, 50
2537, 61
393 600
397 445
383 014
y
=
x
4. En utilisant un tableur (les sommes B n et C n sont
tronquées à l’euro), on obtient :
1 x +3
=
2
y
O
u0
u1 u2u3
Si Bob pense changer d’emploi dans les 10 ans à venir, il
devrait choisir le contrat C , s’il compte rester plus de 10
ans, il devrait choisir le contrat B.
E XERCICE 28
3
1
9
3 9 1
21
1. a. u2 = × 3 − × 0 = u3 = × − × 3 =
2
2
2
2 2 2
4
3 21 1 9 63 9 45
×
− × =
− =
.
2
4
2 2
8
4
8
b. Démontrons par récurrence de la propriété Pn :
1
« ∀n ∈ N∗ ,un+1 = un + 3 ».
2
1
1
• Initialisation : u1 = 3 = × u0 + 3 = × 0 + 3, P1 est
2
2
vraie ;
u4 =
• Hérédité : Supposons qu’il existe p ∈ N∗ tel que Pp
soit vraie, c’est-à-dire tel que
1
u p+1 = u p + 3.
2
Montrons qu’alors Pp+1 sera vraie.
1
1
u p+1 = u p + 3 ⇐⇒ u p+1 − 3 = u p
2 ¡
2
¢
⇐⇒ u p = 2 u p+1 − 3 (∗)
3
1
On a par définition : u p+2 = u p+1 − u p
2
2
La suite semble être croissante, convergente vers
l’ordonnée du point commun aux deux droites c’està-dire 6.
1
1
un + 3 − 6 = un − 3
2
2
1
1
= (un − 6) = v n , la suite (v n ) est géomé2
2
1
trique de raison et de premier terme v 0 = −6.
2
µ ¶n
1
6
6
b. v n = v 0 ×
= − n , un = v n + 6 = 6 − n .
2
2
2
1
c. Comme −1 < < 1, lim v n = 0, on en déduit
n→+∞
2
lim un = 6.
2. a. v n+1 = un+1 − 6 =
n→+∞
E XERCICE 29
1
1
−
.
un+1 − 1 un − 1
3(un − 1)
Sachant que un+1 − 1 =
, on obtient
un + 2
un + 2
un + 2 − 3
1
v n+1 − v n =
=
−
3(un − 1) un − 1 3(un − 1)
1. On a v n+1 − v n =
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
444
2
5
un − 1
1
v n+1 − v n =
= .
3(un − 1) 3
pn
Gn
Ceci montre que la suite (v n ) est une suite arithmé1
1
tique de raison , de premier terme v 0 = .
3
4
1 n 3 + 4n
1 1 1
.
2. v n = v 0 + n × = + × n = + =
3 4 3
4 3
12
1
1
Or ∀n ∈ N, v n =
⇐⇒ un − 1 =
un − 1
vn
1
15 + 4n
⇐⇒ un =
+1 =
.
vn
3 + 4n
4 + 15
n
d’où
3. Pour n > 0 on peut écrire un =
4 + n3
lim un = 1.
3
5
1
5
1 − pn
G n+1
G n+1
G n+1
Gn
4
5
G n+1
2. D’après la loi des probabilités totales³:
´
p n+1 = p (G n+1 ) = p (G n ∩G n+1 ) + p G n ∩G n+1
¢ 1
1¡
1
2
= pn + 1 − pn = pn + .
5
5
5
5
1 1
1
3. a. ∀n ∈ N∗ , un+1 = p n+1 − = p n −
4 ¶5
20
µ
1
1
1
=
pn −
= un .
5
4
5
1
L’égalité un+1 = un montre que la suite (un )n∈N
5
1
est une suite géométrique de raison et de premier
5
1
1 3
terme u1 = p 1 − = 1 − = .
4
4 4
b. On sait que pour tout n > 1 :
µ ¶n−1
µ ¶n−1
3
1
1
= ×
.
un = u1 ×
5
4
5
1
1
Comme un = p n − ⇐⇒ p n = un + , on a finale4
4
µ ¶n−1
3
1
1
ment : p n = ×
+ .
4
5
4
¯ ¯
µ ¶n−1
¯1¯
1
= 0 et
c. Comme ¯¯ ¯¯ < 1, lim
n→+∞ 5
5
µ ¶n−1
1
3 1
×
= 0, il en résulte que lim p n = .
lim
n→+∞
n→+∞ 4
5
4
Au bout d’un très grand nombre de parties, la proba-
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
E XERCICE 30
1. v n+1 = 4un+1 − 8(n + 1) + 24 = 2un − 4n + 12
=
1
1
(4un − 8n + 24) = v n .
2
2
1
et de pre2
mier terme v 0 = 28.
µ ¶n
1
2. D’après la question précédente, v n = 28
et
2
µ ¶n
µ ¶n
1
28 1
+ 2n − 6 = 7
+ 2n − 6.
un =
4 2
2
µ ¶n
1
3. On pose xn = 7
, la suite (xn ) est une suite géo2
1
métrique de raison q = et de premier terme x0 = 7
2
¡ ¢
On pose y n = 2n − 6, la suite y n est une suite arithLa suite (v n ) est géométrique de raison
métique de raison r = 2 et de premier terme y 0 = −6.
n
n
X
X
4. S n =
xk +
yk .
k=0
k=0
µ ¶n+1 ¶
1
et
xk = 14 1 −
2
k=0
n
n
n
X
X
X
yk = 2
k−
6 = (n + 1)(n − 6)
n
X
µ
k=0
k=0
d’où
k=0
µ
µ ¶n+1 ¶
1
uk = 14 1 −
+ (n + 1)(n − 6)
2
k=0
n
X
E XERCICE 31
1. Arbre de probabilité :
bilité de gagner sera proche d’une chance sur quatre.
E XERCICE 32
1
1
et b1 = P (B 1 ) = .
2
2
2. a 2 = P (A 2 ) = P (A 1 ∩ A 2 ) + P (B 1 ∩ A 2 )
1. a 1 = P (A 1 ) =
= P (A 1 ) × P A 1 (A 2 ) + P (B 1 ) × P B 1 (A 2 )
1 3 1 1 5
= × + × = .
2 4 2 2 8
3
b2 = P (B 2 ) = 1 − P ( A 1 ) = .
8
3. a n+1 = P (A n+1 ) = P (A n ∩ A n+1 ) + P (B n ∩ A n+1 )
= P (A n ) × P A n (A n+1 ) + P (B n ) × P B n (A n+1 )
3
1
a n + bn .
4
2
D’autre part a n + bn = 1 d’où
3
1
1
1
a n+1 = a n + (1 − bn ) = a n + .
4
2
4
2
=
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
µ
¶
1
1
1
2
1
2
= an − =
an −
= un .
3
4
6
4
3
4
1
La suite (un ) est géométrique de raison q = et de
4
1
premier terme u1 = − .
6
µ ¶
1 1 n−1
b. On en déduit que un = u1 q n−1 = −
6 4
µ ¶
2 1 1 n−1
.
puis que a n = −
3 6 4
µ ¶n−1
1
1
c. 0 < < 1 donc lim
=0
x→+∞ 4
4
2
d’où lim a n = .
x→+∞
3
µ ¶
2 1 1 n−1
d. a n > 0,6665 ⇐⇒ −
> 0,6665
3 6 4
µ
¶
µ ¶n−1
2
1
⇐⇒ 6
− 0,6665 >
¶¶ 4
µ ¶
µ3 µ
1
2
− 0,6665 > (n − 1) ln
,
⇐⇒ ln 6
3
4
on obtient finalement :
4. a. un+1 = a n+1 −
445
1
v n+1 = − + v n , la suite (v n ) est arithmétique de rai3
1
1
son r = − et de premier termne v 0 = − .
3
6
1
1
2. On en déduit que v n = − n − puis que
3
6
6
un = 3 −
.
µ 2n + 1¶
6
3. lim
= 0 d’où lim un = 3.
n→+∞ 2n + 1
n→+∞
E XERCICE 35
µ
¶
2
15 + 3α
1. v n+1 =
un + α +
5
2
µ
¶
15 + 3α
2
vn +
.
d’où v n+1 =
5
2
La suite (v n ) sera géométrique lorsque 15+3α = 0 sot
s
a
r
u
D
I
F
L
ln (4 − 6 × 0,6665)
> 5,98.
ln (4)
Le plus petit entier naturel n tels que a n > 0,6665
est donc 6.
n > 1−
E XERCICE 33
1
1. a. P 1 = .
2
α = −5.
2. D’après la question précédente, v n = v 0
v 0 = u0 − 5
µ ¶n
2
avec
5
µ ¶n
2
.
d’où un = v n + 5 = 5 + (u0 − 5)
µ ¶n 5
2
2
0 < < 1 donc lim
= 0 on en déduit alors
n→+∞ 5
5
que un tend vers 5 lorsque n tend vers +∞.
E XERCICE 36
1 3 1 1
4
× + × =
.
2 5 2 5 10
c. Notons Ui(n) l’événement « la boule est tirée dans
l’urne Ui au n ème tirage,
b. P 2 = P (U1 ∩ B) + P (U2 ∩ N) =
En utilisant un arbre de probabilités, on obtient
¡
¢
¡
¢
P n = P U1(n−1) ∩ B + P U2(n−1) ∩ N
= P n−1 ×
3
1
1 2
+ (1 − P n−1 ) × = P n−1 + .
5
5 5
5
1
2
, la suite (v n ) est géométrique de raison et
3
5
1
de premier terme .
6
µ ¶
1 2 n−1
b. v n =
6 5
µ ¶
1 2 n−1 1
un = v n + α =
+ .
6 5
3
c. P 10 = 0,333 arrondi au millième.
2. a. α =
E XERCICE 34
6 − un
=
= 9
1. v n+1 =
un+1 − 3
3u
n −9
−3
µ
¶6−u n µ
¶
1
−3
1 un − 6
= − 1+
=−
3 un − 3
3
un − 3
1
1
1
vn .
2
D’autre part v 0 = u0 + 6 = 15, on en déduit alors que
1. a. On montre facilement que v n+1 =
la suite (v n ) est géométrique à termes positifs.
µ ¶n
1
d’où
b. D’après la question précédente v n = 15
2
µ
µ ¶n+1 ¶
1
.
S n = 30 1 −
2
′
c. S n = S n + 6(n + 1).
′
d. lim S n = 30 et lim S n
= +∞.
n→+∞
µ n→+∞¶
µ ¶
v n+1
1
2. a. w n+1 − w n = ln
= −ln 2
= ln
vn
2
La suite (w n ) est arithmétique de raison −ln 2 et de
premier terme w 0 = ln 15.
b. D’après la question précédente w n = ln 15 − n ln 2
2ln 15 − n ln 2
.
2
c. lim S"n = −∞ (produit des limites).
d’où S"n = (n + 1)
n→+∞
3. a. ln P n = S"n d’où P n = e S"n .
b. On en déduit alors lim P n = 0.
n→+∞
E XERCICE 37
1. u2 = 10, u3 = 91 et u4 = 820.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
446
2. a. v n+1 = 9v n , la suite (v n ) est géométrique, de raison 9 et de premier terme v 0 = 1.
b. D’après la question précédente v n = 9n
n−1
X
On remarque que
v k = un − u0 , d’autre part
k=0
9n − 1
vk =
9−1
k=0
¢
1¡ n
9 −1 .
d’où un =
8
c. lim 9n = +∞ d’où un tend vers +∞ lorsque n
n→+∞
tend vers +∞.
Ã
!
´ 1 9n+1 − 1
n ³
1
1 X
k
− (n + 1)
9 −1 =
3. S n =
8 k=0
8
9−1
8
n−1
X
f 0 (x) = f 1 (x) =⇒ x 2 + 4x = 0 =⇒ x = 0 ou x = −4.
On vérifie alors que f a (0) et f a (−4) sont indépendants de a.
En effet f a (0) = 0 et f a (−4) = 4.
Toutes les courbes Ca passent par l’origine du repère
et par le point A(−4;4).n
o
2. f a est dérivable sur R \ a − 2 .
(a + 2)(2 − a)
f ′ (a) =
de signe constant.
(x + 2 − a)2
′
Si −2 < a < 2 alors f a (x) > 0, f a est strictement crois-
s
a
r
u
D
I
F
L
Sn =
9n+1 − 8n − 9
.
64
E XERCICE 38
1. u3 = au2 + bu1
¡
¢
u4 = a 2 + b u2 + abu1
¡ 3
¢
¡
¢
u5 = a + 2ab u2 + a 2 b + b 2 u1
¡ 4
¢
¡
¢
u6 = a + 3a 2 b + b 2 u2 + a 3 b + 2ab 2 u1
¡
¢
u7 = a 5 + 3a 2 b + 3ab 2 + a 3 b u2
¡ 4
¢
+ a b + 3a 2 b 2 + b 3 u1 .
2. a. Par hypothèse a 2 + 4b > 0, l’équation
x 2 −ax −b = 0 admet donc deux solutions réelles dis-
tinctes de somme a et de produit −b.
sante.
Si a < −2 ou a > 2 alors f a′ (x) < 0, f a est strictement
décroissante.
Partie B
1. a. Pour tout n ∈ N, un + 2 − a 6= 0.
b. Si u0 = 0 alors u1 = f a (0) = 0
Si u0 = 2a alors u1 = f a (2a) = 2a
Dans les deux cas la suite (un ) est constante.
2. a. On montre par récurrence que ∀n ∈ N, un 6= 0 et
un 6= 2a.
un+1
(a + 2)un
b. ∀n ∈ N, v n+1 =
=
un+1 − 2a (2 − a) (un − 2a)
a +2
=
vn .
2−a
b. v n+1 = (a − α)un − bun−1 = β (un − αun−1 )
(v n ) est une suite géométrique de raison q =
La suite (v n ) est une suite géométrique de raison β.
c. Soit g (x) =
= βv n−1
c. On démontre de même que la suite (w n ) est une
suite géométrique de raison α.
d. D’après les questions précédentes :
v n+1 = v 2 βn−1 = (u2 − αu1 ) βn−1
¡
¢
w n+1 = u2 − βu1 αn−1 .
e. On en déduit alors
βv n+1 − αw n+1
un+1 =
¡ n β−
¢α
¡
¢
β − αn u2 + βαn − αβn u1
.
=
β−α
E XERCICE 39
Partie A
1. Si toutes les courbes Ca passent par deux points indépendants de a, c’est vrai en particulier pour a = 0
et a = 1.
a +2
.
2−a
x +2
la fonction g est dérivable sur
2−x
4
]0;2[ et g ′ (x) =
>0
(2 − x)2
La fonction g est donc strictement croissante sur
[0;2[, de plus g (0) = 1
On en déduit alors que pour tout a ∈]0;2[, q > 1 la
suite (v n ) tend donc vers +∞ lorsque n tend vers
+∞.
vn
,
vn − 1
la suite (un ) tend vers 2a lorsque n tend vers +∞.
Par définition de v n , on obtient un = 2a
E XERCICE 40
5
5
un , la suite
(bn − a n ) =
12
12
5
et
(un ) est une suite géométrique de raison q =
12
de premier terme u0 = 12.
µ ¶n
5
2. D’après la question précédente, un = 12
.
12
1. un+1 = bn+1 − a n+1 =
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
¶
5 n
= 0 ainsi lim un = 0.
n→+∞
n→+∞ 12
3. 0 < q < 1 donc lim
µ
E XERCICE 41
(
u2 − u1 = 41
1
3
1. u2 = u1 − u0 = ,
4
4
u1 − u0 = 23
u2 −u1 6= u1 −u0 , la suite (un ) n’est pas arithmétique.

u2




 u1
=
3
2
u2
u1
,
6
=
, la suite (un ) n’est pas

u
u

1
0
u
1


 1 = −
u0
2
géométrique.
447
2. v n+1 = un+1 + 2(n + 1)2 + 3(n + 1) + 5
¡
¢
= 2 un + 2n 2 + 3n + 5 = 2v n , la suite (v n ) est
une suite géométrique de raison q = 2 et de premier
terme v 0 = 7.
Ainsi v n = 7 × 2n et un = 7 × 2n − 2n 2 − 3n − 5.
E XERCICE 43
1. a. v n+1 = un+1 −
µ
¶
2 1
1
1
2
= un −
=
un −
5 6
15 6
5
s
a
r
u
D
I
F
L
1
2. a. v 0 = u1 − u0 = 1.
2
µ
¶
1
1
1
1
1
un+1 −
= vn .
b. v n+1 = un+1 − un =
2
4
2
2
2
La suite (v n ) est une suite géométrique de raison
1
q = et de premier terme v 0 = 1.
2
µ ¶n
1
c. D’après la question précédente, v n =
.
2
u0
3. a. w 0 =
= −1.
v0
un+1
un
b. w n+1 =
= 2+
.
v n+1
vn
c. w n+1 = 2 + w n , la suite (v n ) est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme w 0 = −1.
d. D’après la questionµprécédente,
w n = 2n − 1.
¶
1 n
2n − 1
.
× (2n − 1) =
4. ∀n ∈ N, un = v n w n =
2
2n
2n + 3
5. Notons Pn la proposition « ∀n ∈ N,S n = 2−
».
2n
• Initialisation : u0 = −1 et 2 − 3 = −1 donc P0 est
vraie.
• Hérédité : soit n un entier quelconque dans N tel
que Pn vraie, montrons qu’alors Pn+1 est vraie.
2n + 3 2(n + 1) − 1
S n+1 = S n + un+1 = 2 −
+
2n
2n+1
2(n + 1) + 3
2n + 5
= 2 − n+1 = 2 −
2
2n+1
ainsi Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
2n + 3
dans N, à savoir que, S n = 2 −
.
2n
E XERCICE 42
1. C 2 = B2 + 2 ∗ A2 ∗ A2 + 3 ∗ A2 + 5 et
B3 = 2 ∗ B2 + 2 ∗ A2 ∗ A2 − A2
1
v n , ce qui prouve que la suite (v n ) est une
6
1
et de premier
suite géométrique de raison q =
6
1
terme v 1 =
.
10
µ ¶
1 1 n−1
b. v n = v 1 q n−1 =
et
10 6
µ ¶n−1
2
1 1
2
.
un = + v n = +
5
5 10 6
2. a. Il y a deux dés, au premier lancer on a alors
1
a1 = .
2
³
´ 7
b. r 1 = P (R1 ) = P (A 1 ∩ R1 ) + P A 1 ∩ R1 =
.
´ 12
³
c. r n = P (Rn ) = P (Rn ∩ A n ) + P Rn ∩ A n
1
4
2
3
= × a n + × (1 − a n ) = − a n + .
6
6
6
3
d. Pour lancer le dé A au (n + 1)−ième lancer, il faut
=
avoir lancé le dé A au n-ième lancer et avoir obtenu
une face rouge ou avoir lancé le dé B et avoir obtenu une face blanche.
³ Ce qui´s’écrit, pour tout n > 1,
A n+1 = (A n ∩ Rn ) ∪ A n ∩ Rn .
e. D’après la question précédente :
pour tout n > 1, a n+1 =³ P (A n+1´)
a n+1 = P (A n ∩ Rn ) + P A n ∩ Rn
3
1
2
1
= × a n + × (1 − a n ) = a n + .
6
6
6
µ3 ¶
1 1 n−1
2
.
D’après la question 1.b., a n = +
5 10 6
µ
µ ¶n−1 ¶
µ ¶n−1
1 2
1 1
1 1
2 3
f. r n = −
.
+
+ = −
6 5 10 6
3 5 60 6
µ ¶n−1
1
1
0 < < 1 donc lim
=0
n→+∞ 6
6
3
d’où lim r n = = 0,6.
n→+∞
5
E XERCICE 44
1. Pour tout x 6= 1, A n = 1 + x + x 2 + · · · + x n =
x n+1 − 1
.
x −1
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
448
Ã
x n+1 − 1
2. A ′n = 1 + 2x + 3x 2 + · · · + nx n−1 =
x −1
!′
premier terme w 0 = a
On en déduit alors que ∀n ∈ N, w n = a(p − 1)n .
nx n+1 − (n + 1)x n + 1
d’où A ′n =
.
(x − 1)2
3
5
2n+1
3. a. Soit B n = x + x + x + · · · + x
.
¡
¢
B n = A 2n+1 − 1 + x 2 + x 4 + · · · + x 2n
2n+2
2n+2
−1
x
−1 x
−
=
x −1
x2 − 1
x 2n+3 − x
=
.
x2 − 1
On en déduit alors Un = B n′
(2n + 1)x 2n+4 − (2n + 3)x 2n+2 + x 2 + 1
.
Un =
¡
¢2
x2 − 1
nx n+2 − (n + 1)x n+1 + x
b. Soit C n = x A ′n =
.
(x − 1)2
′
On en déduit alors que Wn = C n
2. tn+1 = un+2 − (p − 1)un+1
= pun+1 − (p − 1)un − (p − 1)un−1
= un+1 − (p − 1)un = tn
La suite (tn ) est constante et tn = t0 = a.
¢
1
a ¡
3. un =
(p − 1)n − 1 .
(w n − tn ) =
p −2
p −2
E XERCICE 47
s
a
r
u
D
I
F
L
Wn =
1. D’après l’énoncé : p 2 = p 1 + r , p 3 = p 1 + 2r ,
p 4 = p 1 + 3r , p 5 = p 1 + 4r , p 6 = p 1 + 5r
p 2 = qp 1 et p 4 = q 2 p 1
d’où p 1 + r = qp 1 (a) et p 1 + 3r = q 2 p 1 (b)
on en déduit alors
¡
¢
n 2 x n+2 − 2n 2 + 2n − 1 x n+1 + (n + 1)2 x n − x − 1
(x − 1)3
E XERCICE 45
.
¡
¢
r = p 1 (q − 1) (a ′ ) et 3r = p 1 q 2 − 1 (b ′ )
La somme des probabilités permet d’obtenir la rela-
tion 6p 1 + 15r = 1 (c)
En utilisant les relations (a ′ ) et (c), puis (b ′ ) et (c), on
obtient :
µ
¶
0,25
1. v n+2 = un+2 + aun+1 = (a + 1) un+1 −
un
a +1
(v n ) est une suite géométrique si et seulement si
0,25
.
a =−
a +1
Cette égalité s’écrit encore a 2 + a + 0,25 = 0, cette
équation admet une solution double a 0 = −0,5.
Ainsi (v n ) est une suite géométrique de raison 0,5 et
v
n

v n = un − 0,5un−1



 0,5v
2
n−1 = 0,5un−1 − 0,5 un−2
2.

··· = ···




0,5n−1 v 1 = 0,5n−1 u1 − 0,5n u0
En soustrayant membre à membre les deux égalités,
on obtient :
¡
¢
5p 1 3q − 3 − q 2 + 1 = 0 =⇒ q 2 − 3q + 2 = 0 cette
équation admet deux solutions q1 = 1 et q2 = 2
La première solution ne convient pas (p n n’est pas
constante), donc q = 2
On en déduit alors d’après (a) p 1 = r
de premier terme v 1 = 5.
= 5 × (0,5)n−1 .
¡
¢
6p 1 + 15p 1 (q − 1) = 1 et 6p 1 + 5p 1 q 2 − 1 = 1
La somme des probabilités permet d’obtenir la rela-
=
5 × 0,5n−1
=
5 × 0,5n−1
=
5 × 0,5n−1
=
···
Par somme des lignes, nous obtenons :
un − 0,5n−1 u0 = 5n × 0,5n−1
d’où un = 0,5n−1 + 5n × 0,5n−1 .
3. La suite (un ) est strictement décroissante, u28 > 10−6
et u29 < 10−6
on déduit alors que n = 29.
E XERCICE 46
1. w n+1 = un+2 −un+1 = (p −1) (un+1 − un ) = (p −1)w n
La suite (w n ) est géométrique de raison (p − 1) et de
tion 6p 1 + 15r = 1
1
1
et r =
21
21
k
ainsi p k =
pour tout entier k tel que 1 6 k 6 6.
21
12 4
=
2. a. P(A) = p 2 + p 4 + p 6 =
21 7
18 6
P(B) = p 3 + p 4 + p 5 + p 6 =
=
21 7
7
1
P(C ) = p 3 + p 4 =
= .
21 3
b. On cherche P A (B).
10
P(A ∩ B) = p 4 + p 6 =
21
P(A ∩ B) 10 5
=
= .
d’où P A (B) =
P(A)
12 6
10
24
c. P (A ∩ B) =
et P(A) × P(B) =
21
49
P (A ∩ B) 6= P(A)×P(B), les événements A et B ne sont
d’où p 1 =
pas indépendants.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
449
4
4
et P(A) × P(C ) =
21
21
P (A ∩C ) 6= P(A) × P(C ), les événements A et C sont
P (A ∩C ) = p 4 =
indépendants.
E XERCICE 51
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, 0 6 un 6 7 ».
• Initialisation : u0 = 2 donc P0 est vraie.
E XERCICE 48
b c
D’après l’énoncé 3a − 2b = 2b − c (1) et = = q (2)
a b
a c
(1) =⇒ 3a + c = 4b =⇒ 3 + = 4
b b
3
Soit en utilisant (2) + q − 4 = 0 =⇒ q 2 − 4q + 3 = 0
q
Cette équation admet deux solutions 1 et 3.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
p
On sait que un+1 = w n . Or par hypothèse de récur-
rence, 0 6 un 6 7 donc 0 6 7un 6 49, on en déduit que
0 6 un+1 6 7 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est hé-
s
a
r
u
D
I
F
L
Les réels a, b, c étant distincts, seul q = 3 convient.
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N.
E XERCICE 52
E XERCICE 49
¡
q et u0 vérifient la relation q 1 + 2q
¢
2
= 44u0 .
Sachant que q et u0 sont premiers entre eux alors les
possibilités sont :
q
1
1 + 2q 2
44u0
u0
3
44
9
22
2
22u0
4
11u0
3
11
4u0
22
2u0
243
4
969
2
44
u0
3873
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N∗ , un > 0,25 ».
• Initialisation : u1 = 1 donc P1 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N∗ tel que Pn vraie.
On sait que un+1 = 0,8un +0,05. Or par hypothèse de ré-
currence, un > 0,25
donc 0,8un + 0,05 > 0,8 × 0,25 + 0,05, on en déduit que
un+1 > 0,25 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est hé-
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N∗ .
E XERCICE 53
Les deux couples solutions sont donc (3; 4) et (3873; 44).
E XERCICE 50
1. La suite (un ) est arithmétique lorsque e a = 1 c’est-àdire a = 0.
µ
¶
n −1
On a alors un = u1 + (n − 1)b et S = n u1 +
b
2
La suite (un ) est géométrique lorsque b = 0.
na
e −1
On a alors un = u1 e (n−1)a et S = u1 a
e −1
b
be a
2. v n+1 = un+1 −
= e a un −
a
1−e ¶
1 − ea
µ
b
a
a
= e vn
= e un −
1 − ea
la suite (v n ) est géométrique de raison e a et de preb
mier terme v 1 = 1 −
.
1 − eµa
¶
b
On en déduit alors v n = 1 −
e a(n−1) ,
a
¶
µ1 − e
b
b
b
e a(n−1) .
=
+
1
−
un = v n +
1 − ea
1 − ea
1 − ea
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
23
« ∀n ∈ N, un >
».
18
• Initialisation : u0 = 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
1
23
On sait que un+1 = un +
. Or par hypothèse de ré3
27
23
currence, un >
18
1
23
1 23 23
donc un +
> × + ,
3
27
3 18 27
23
et donc Pn+1 est vraie.
on en déduit que un+1 >
18
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est hé-
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N.
E XERCICE 54
Soit k ∈ N∗ , démontrons par récurrence la proposition
kn
kk
Pn : « ∀n > k,
6
».
n!
k!
• Initialisation : Pk est vraie.
• Hérédité : soit n > k tel que Pn vraie.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
450
k n+1
kn
k
=
×
. Or par hypothèse de
(n + 1)!
n!
n +1
kk
k
kn
6
et
61
récurrence,
n!
k!
n +1
n+1
n
k
k
k
k
donc
6
6
et donc Pn+1 est vraie.
(n + 1)!
n!
k!
• Conclusion : Pk est vraie et la proposition Pn est héOn sait que
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n > k.
E XERCICE 55
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N∗ .
3. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
n(n + 1)(2n + 1)
« ∀n ∈ N∗ , 12 + 22 + · · · + n 2 =
».
6
1×2×3
• Initialisation : si n = 1
= 1 donc P1 est
6
vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N∗ tel que Pn vraie.
n(n + 1)(2n + 1)
+(n +1)2
12 +22 +· · · +n 2 +(n +1)2 =
6
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
=
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
et donc
=
6
Pn+1 est vraie.
s
a
r
u
D
I
F
L
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, 0 < un < 1 ».
• Initialisation : u0 = a et 0 < a < 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
On sait que un+1 = un (2 − un ). Or par hypothèse de récurrence, 0 < un < 1 donc 1 < 2 − un < 1, on en déduit
que 0 < un+1 < 1 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est hé-
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N.
E XERCICE 56
1. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N∗ , 1 × 2 + 2 × 3 + · · · + n × (n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
=
».
3
1×2×3
= 2 donc P1
• Initialisation : si n = 1, 1×2 =
3
est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N∗ tel que Pn vraie.
1 × 2 + 2 × 3 + · · · + n × (n + 1) + (n + 1) × (n + 2)
n(n + 1)(n + 2)
=
+ (n + 1)(n + 2)
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
et donc Pn+1 est vraie.
=
3
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N∗ .
2. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
n(n + 1)
« ∀n ∈ N∗ , 1 + 2 + · · · + n =
».
2
1×2
= 1 donc P0 est vraie.
• Initialisation : si n = 1,
2
• Hérédité : soit n un entier dans N∗ tel que Pn vraie.
n(n + 1)
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
+ (n + 1)
2
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
et donc Pn+1
=
2
2
est vraie.
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N∗ .
4. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
µ
¶
n(n + 1) 2
« ∀n ∈ N∗ , 13 + 23 + · · · + n 3 =
».
2
µ
¶2
1×2
• Initialisation : si n = 1,
= 1 donc P1 est
2
vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N∗ tel que Pn vraie.
µ
¶
n(n + 1) 2
13 + 23 + · · · + n 3 + (n + 1)3 =
+ (n + 1)3
2¡
¢
n 2 (n + 1)2 + 4(n + 1)3 (n + 1)2 n 2 + 4n + 4
=
=
4 ¶
4
µ
(n + 1)(n + 2) 2
=
et donc Pn+1 est vraie.
2
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N∗ .
E XERCICE 57
Démontrons par récurrenceµla ¶proposition Pn :
´
³n
2 n
+1 ×
».
« ∀n > 2, S n = 1 −
2
3
µ ¶2
2
1
1
= donc P2
• Initialisation : S 2 = u2 = et 1−2×
9
3
9
est vraie.
• Hérédité : soit n > 2 tel que Pn vraie.
S n+1 = u2 + u3 + · · · + un + un+1 = S n + un+1
³n
´ µ 2 ¶n n µ 2 ¶n+1
= 1−
+ ×
+1 ×
2
3
4
3
¶ µ ¶n+1
µ
2
3n 3 n
+ −
×
= 1−
4
2 4
3
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
¶ µ ¶n+1
2
n +1
+1 ×
2
3
et donc Pn+1 est vraie.
S n+1 = 1 −
µ
• Conclusion : P2 est vraie et la proposition Pn est héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n > 2.
E XERCICE 58
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na ».
• Initialisation : si n = 0, (1+ a)0 = 1 et 1+0 = 1 donc P0
451
19
× 0,5
5
19
15
d’autre part
= 3,8 et
= 3,75
5
4
15
19
× 0,5 >
× 0,5
on en déduit que u1 =
5
4
donc P1 est vraie.
u1 =
• Hérédité : soit n > 1 tel que Pn vraie.
1
3
un + 3 × 0,5n > × 0,5n + 3 × 0,5n (hypothèse
5
4
de récurrence)
15
15
=⇒ un+1 >
× 0,5n >
× 0,5n+1
4
4
donc Pn+1 est vraie.
un+1 =
s
a
r
u
D
I
F
L
est vraie.
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
(1 + a)n+1 = (1 + a) × (1 + a)n
> (1 + a)(1 + na),
d’autre part (1+a)(1+na) = 1+(n+1)a +a 2 > 1+(n+1)a
d’où (1 + a)n+1 > 1 + (1 + n)a et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est hé-
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est hé-
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N∗ .
E XERCICE 62
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, un > est divisible par 7 ».
réditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N.
E XERCICE 59
• Initialisation : si n = 0, 36 −30 = 728 = 7×104 donc P0
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
est vraie.
« ∀n > 5, 2n > n 2 ».
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
¡
¢
3n+2 − 3n+1 = 3 3n+1 − 3n = 3 × 7k = 7 × (3k), donc
• Initialisation : si n = 5, 25 = 32 et 52 = 25 donc P5 est
vraie.
• Hérédité : soit n > 5 tel que Pn vraie.
2n+1 = 2 × 2n > 2 × n 2 , d’autre part (n + 1)2 = n 2 + 2n + 1
d’où 2n+1 > (n + 1)2 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P5 est vraie et la proposition Pn est héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n > 5.
E XERCICE 60
1. Soit n ∈ N tel que Pn vraie c’est-à-dire qu’il existe un
entier relatif k tel que 7n + 1 = 6k.
7n+1 + 1 = 7 × 7n + 1 = 7(6k − 1) + 1 = 6(7k + 1) ainsi
Pn+1 est vraie. La propriété Pn est héréditaire.
2. Pour n = 0, A = 2, pour n = 1, A = 8.
3. La propriété Pn est héréditaire mais n’est vérifiée ni
au rang 0, ni au rang 1. 7n n’est donc pas divisible par
6 pour tout n ∈ N.
E XERCICE 61
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
15
« ∀n ∈ N∗ on a un >
× 0,5n ».
4
µ
¶
2
4
• Initialisation : si n = 1, u1 = + 3 × 0,5 =
+ 3 × 0,5
5
5
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N.
E XERCICE 63
1
1
2
1
3
1
= , u2 =
= , u3 =
= .
1. u1 =
2 − u0 2
2 − u1 3
2 − u2 4
1
2
3
2. w 0 = 0 = u0 , w 1 = = u1 , w 2 = = u2 , w 3 = = u3 .
2
3
4
3. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, un = w n ».
• Initialisation : d’après la question précédente, si
n = 0, u0 = w 0 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
1
1
n +1
un+1 =
=
= w n+1 , donc
=
n
2 − un
n +2
2 − n+1
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
E XERCICE 64
1. Démontrons la proposition
µ µ
¶P¶n :
1 n
1
∗
1− −
».
« ∀n ∈ N , p n =
4
3
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
452
• Initialisation : si n = 1,
P1 est vraie.
µ µ
¶¶
1
1
1
1− −
= = p 1 donc
4
3
3
• Hérédité : soit n > 1 tel
µ queµPn µvraie.
¶ ¶¶
¢ 1
1
1 n
1¡
1 − pn =
1−
1− −
p n+1 =
3
3
4
3
µ
µ
¶
¶
1
1 n+1
=
1− −
, donc Pn+1 est vraie.
4
3
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N∗ µ.
¶
1 n
1
2. lim −
= 0 d’où lim p n = .
n→+∞
n→+∞
3
4
¶
µ
1
4
4
1
12
12
un + =
1 + n + = 1 + n+1 , donc
5
5
5
5
5
5
Pn+1 est vraie.
un+1 =
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N. µ ¶
12
2. lim
= 0 d’où lim un = 1
n→+∞ 5n
n→+∞
3. a. S n+1 − S n = un+1 > 0, la suite (S n ) est croissante.
Ã
¶
1 !
n µ
1 − n+1
X
12
5
b. S n =
1+
= (n + 1) + 12 ×
5k
1 − 51
k=0
¶
µ
1
= (n + 1) + 15 1 − n+1 .
5
¶
µ
1
1
c. lim n+1 = 0 d’où lim 15 1 − n+1 = 15
n→+∞
n→+∞ 5
5
d’autre part lim (n + 1) = +∞
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 65
1. Démontrons la proposition Pn :
« ∀n ∈ N∗ , un − un−1 < 0 ».
• Initialisation : si n = 1, u1 − u0 = −6 donc P1 est
vraie.
• Hérédité : soit n > 1 tel que Pn vraie.
1
un+1 − un = (un − un−1 ) < 0
3
donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N∗ .
Le suite (un ) est strictement décroissante.
1
2. v n+1 = v n .
3
1
La suite (v n ) est géométrique de raison q = et de
3
premier
v 0 = 9,
µ terme
¶
1 n
vn = 9
.
3
3. de f pluspetit() :
u =3
n =0
while u > −5,99 :
1
u = ∗u −4
3
n = n +1
print(n)
E XERCICE 66
1. Démontrons la proposition Pn :
12
« ∀n ∈ N, un = 1 + n ».
5
12
• Initialisation : si n = 0, alors 1 + 0 = 13
5
donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
n→+∞
d’où lim S n = +∞.
n→+∞
E XERCICE 67
5
14
14
1. u1 = − , u2 = −
et u3 = − .
3
9
27
2. a. Démontrons la proposition Pn :
« ∀n > 4, un > 0 ».
67
• Initialisation : u4 =
> 0 donc P4 est vraie.
81
• Hérédité : soit n > 4 tel que Pn vraie.
1
un+1 = un + n − 2 > n − 2 > 2, donc Pn+1 est vraie.
3
• Conclusion : P4 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n > 4.
b. D’après la question précédente,
∀n > 5, un > 0 + (n − 1) − 2 soit encore un > n − 3
c. lim n − 3 = +∞ et
x→+∞
∀n > 5, un > n−3 donc d’après le théorème de comparaison lim un = +∞.
n→+∞
2
7
21
= − un + n −
3. a. v n+1 = −2un+1 + 3(n + 1) −
3
2
µ
¶ 2
1
21
=
−2un + 3n −
.
3
2
La suite (v n ) est une suite géométrique de raison
25
1
q = et de premier terme v 0 = − .
3
2
µ ¶
25 1 n
b. D’après la question précédente, v n = −
2 3
d’où µ
¶
µ ¶n
3
21
21
25 1
1
+ n− .
−v n + 3n −
=
un =
2
2
4 3
2
4
n ³ 25 µ 1 ¶k 3
n
X
X
21 ´
uk =
c.
+ k−
2
4
k=0 4 3
k=0
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
n
X
k=0
uk =
µ ¶
75 25 1 n+1 3(n + 1)(n − 7)
−
.
+
8
8 3
4
E XERCICE 68
1. a. u1 = 21.
b. d0 = u1 − u0 = 16, d1 = u2 − u1 = 24,
d2 = u3 − u2 = 32, la suite (dn ) semble croissante.
2. Par définition d’une suite arithmétique, v n = 16+8n,
n−1
X
(n − 1)n
d’où
v n = 16n + 8
= 4n 2 + 12n.
2
k=0
3. Démontrons la proposition Pn :
453
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
v n+1 = f (v n ) ∈ [1;2] d’après la question 1., Pn+1 est
vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
ii. Démontrons la proposition Pn :
« ∀n > 0, v n+1 6 v n ».
5
donc P0 est vraie.
3
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie, c’est-à-dire
• Initialisation : Si v 0 = 2 et v 1 =
s
a
r
u
D
I
F
L
« ∀n > 0, un = 4n 2 + 12n + 5 ».
• Initialisation : Si n = 0, 4n 2 + 12n + 5 = 5 donc P0
est vraie.
• Hérédité
µ : soit n ¶> 0 tel que Pn vraie.
2
6
un+1 = 1 +
un +
n +1¶
n +1
µ
¡ 2
¢
2
6
= 1+
4n + 12n + 5 +
n +1
n +1
(n + 3)(4n 2 + 12n + 5) + 6
=
n +1
4n 3 + 24n 2 + 41n + 21
=
¡ n +1
¢
(n + 1) 4n 2 + 20n + 21
=
n +1
= 4(n 2 + 2n + 1) + 12(n + 1) + 5
= 4(n + 1)2 + 12(n + 1) + 5,
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
4. ∀n ∈ N, un+1 −un = 8n +16 > 0, ce qui démontre que
la suite (un ) est croissante.
E XERCICE 69
1. La fonction f est une fonction rationnelle définie sur
[0;2], elle est donc continue et dérivable sur [0;2].
1
f ′ (x) =
> 0, la fonction f est strictement
(x + 1)2
croissante sur [0;2].
La fonction f étant continue, l’image de [1;2] par f
est
¸
·
£
¤
3 5
;
⊂ [1;2], ainsi si x ∈ [1;2] alors
f (1); f (2) =
2 3
f (x) ∈ [1;2].
2. a.i. Démontrons la propriété Pn :
« ∀n > 0, 1 6 v n 6 2 ».
• Initialisation : Si n = 0, v 0 = 2 donc P0 est vraie.
v n+1 6 v n , la fonction f étant croissante sur l’inter-
valle [1;2].
On a alors f (v n+1 ) 6 f (v n ) c’est-à-dire v n+2 6 v n+1
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
iii. Démontrons la propriété Pn :
« ∀n > 0, 1 6 un 6 2 ».
• Initialisation : Si n = 0, u0 = 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie.
un+1 = f (un ) ∈ [1;2] d’après la question 1., Pn+1 est
vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
iv. Démontrons la proposition Pn :
« ∀n > 0, un 6 un+1 ».
3
• Initialisation : Si u0 = 1 et u1 = donc P0 est vraie.
2
• Hérédité : soit n > 0 tel que Pn vraie, c’est-à-dire
un 6 un+1 , la fonction f étant croissante sur l’intervalle [1;2].
On a alors f (v n ) 6 f (v n+1 ) c’est-à-dire v n+1 6 v n+2
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n ∈ N.
2v n + 1 2un + 1
−
vn + 1
un + 1
v n − un
.
=
(v n + 1)(un + 1)
c. D’après la question 2.a, 1 6 un 6 2 et
b. ∀n ∈ N, v n+1 − un+1 =
1 6 v n 6 2 donc un − v n > 0 et (un + 1)(v n + 1) > 4
1
1
d’où
6
(un + 1)(v n + 1)
4
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
454
1
(v n − un ).
4
d. Par récurrence,
on
démontre
que ∀n ∈ N :
µ ¶n
1
(v 0 − u0 )
v n − un 6
4
µ ¶n
1
.
or v 0 − u0 = 1 d’où v n − un 6
4
e. La suite (un ) est croissante et majorée par 2, elle
ainsi v n+1 − un+1 6
est donc convergente.
La suite (v n ) est décroissante et minorée par 1, elle
est donc convergente.
la suite (un ) est donc croissante.
4. a. v n+1 = un+1 −n = 3(un − n + 1) = 3v n , la suite (v n )
est une suite géométrique de raison 3 et de premier
terme v 0 = 1.
b. D’après la question précédente,
on a v n = v 0 × q n = 3n ,
et un = v n + n − 1 = 3n + n − 1.
E XERCICE 71
s
a
r
u
D
I
F
L
D’après les questions
µ ¶n précédentes,
1
0 6 v n − un 6
,
4
µ ¶n
1
1
d’autre part 0 6 6 1 alors lim
= 0, ainsi
x→+∞ 4
4
d’après le théorème des gendarmes
lim (v n − un ) = 0.
Les deux suites étant convergentes on en déduit alors
x→+∞
que
lim un =
x→+∞
lim v n . Les deux suites (un ) et
x→+∞
(v n ) convergent donc vers la même limite α.
f. La fonction f est continue, un+1 = f (un ) et la suite
(un ) converge vers α, alors :
2α + 1
α = f (α) ⇐⇒ α =
α+1
⇐⇒ α(α + 1) = 2α + 1
⇐⇒ α2 − α −p1 = 0
p
1− 5
1+ 5
ou α =
⇐⇒ α =
2
2 p
1+ 5
Or 1 6 un 6 2 on en déduit alors α =
2
E XERCICE 70
1. u1 = 3u0 − 0 + 3 = 3 et u2 = 3u1 − 2 + 3 = 10.
2. a. Notons Pn la proposition « ∀n ∈ N, un > n ».
• Initialisation : u0 = 0 donc P0 est vraie.
1. Notons Pn la proposition « ∀n ∈ N∗ ,
p
u n = a n + bn 3 ».
p
• Initialisation : Pour n = 1, u = 2 + 3 donc P1 est
vraie avec a 1 = 2 et b1 = 1.
• Hérédité : soit n un entier naturel tel que Pn vraie,
montrons qu’alors Pn+1 sera vraie.
p
u n+1 = u × u n = (2a n + 3bn ) + (a n + 2bn ) 3
ainsi Pn+1 est vraie
avec a n+1 = 2a n + 3bn et bn+1 = a n + 2bn .
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
p
dans N∗ , à savoir que, u n = a n + bn 3.
p
On démontre de même que ∀n ∈ N∗ , v n = a n −bn 3
p
p
¡
¢
¡
¢
2 = a +b
n n
2. a n2 − 3bn
n
n 3 a n − bn 3 = u v
= (uv )n = 1
a n · bn+1 − a n+1 · bn = a n (a n + 2bn ) − (2a n + 3bn ) bn
2 = 1.
= a n2 − 3bn
On applique le théorème de Bézout, on en déduit que
a n et bn sont premiers entre eux , de même pour a n
et a n+1 puis bn et bn+1 .
a n a n+1
bn+1
Les fractions
,
et
sont donc irréducbn
an
bn
tibles.
• Hérédité : soit n un entier naturel tel que Pn vraie,
E XERCICE 72
un+1 = 3un − 2n + 3 > n + 3 > n + 1 ainsi Pn+1 est
1. Notons Pn la proposition « ∀n ∈ N, 0 < v n < 4 ».
montrons qu’alors Pn+1 sera vraie.
vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N, à savoir que, un > n.
b. D’après la question précédente un > n, d’autre
part
lim n = +∞ d’après le théorème de compa-
n→+∞
raison on déduit que lim un = +∞.
n→+∞
3. un+1 − un = 2un − 2n + 3 > 3 car un > n,
• Initialisation : u0 = 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier naturel tel que Pn vraie,
montrons qu’alors Pn+1 sera vraie.
p
p
p
0 < v n < 4 =⇒ 12 < 12 + v n < 12 + 4
=⇒ 0 < v n+1 < 4
ainsi Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
dans N, à savoir que, 0 < v n < 4.
p
2. 4w n+1 − w n = 12 + v n − 4 12 + v n
¡p
¢
p
= 12 + v n 12 + v n − 4 < 0
1
donc w n+1 < w n .
4
3. Notons Qn la proposition
µ ¶n+1
1
« ∀n ∈ N, w n <
w 0 ».
4
p
• Initialisation : w 0 = 3 et w 1 = 4 − 13 < 0,4
1
on a donc w 1 < w 0 donc Q0 est vraie.
4
• Hérédité : soit n un entier naturel tel que Qn vraie,
455
E XERCICE 74
1. ∀n ∈ N∗ , −1 6 (−1)n 6 1 et −1 6 sin n 6 1 d’où
1
1
−1 6 (−1)n sin n 6 1 et ainsi − 3 6 un 6 3 .
n
n
1
1
2. lim − 3 = 0 et lim
= 0 d’où d’après le théon→+∞ n
n→+∞ n 3
rème des gendarmes lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 75
1. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
s
a
r
u
D
I
F
L
« ∀n > 4, un > 2n ».
montrons qu’alors Qn+1 sera vraie.
µ ¶n+1
1
1
1
w0
w n+1 < w n < ×
4
4
4
µ ¶n+2
1
soit w n+1 <
w0
4
ainsi Qn+1 est vraie.
•
Initialisation : u4 = 26 et 24 = 16 donc P4 est
vraie.
•
Hérédité : soit n > 4 tel que Pn vraie.
2 + 1. Or par hypothèse de
On sait que un+1 = un
récurrence, un > 2n .
Donc un+1 > 22n +1 > 22n , or ∀n > 4, 2n > n+1,
• Conclusion : Q0 est vraie et la proposition Qn est
héréditaire, la proposition Qn est vraie pour tout n
µ ¶n+1
1
dans N, à savoir que, w n <
w0.
4
µ ¶n+1
1
4. lim
= 0 et w n > 0 donc lim w n = 0
n→+∞ 4
n→+∞
on en déduit alors que lim v n = 4.
on en déduit que un+1 > 2n+1 et donc Pn+1 est
vraie.
1.
lim 2n 2 = +∞ et
n→+∞
lim (3n − 3) = +∞ d’où par
n→+∞
n→+∞
lim (n + 2) = +∞ d’où par quotient des limites
n→+∞
lim un = 0.
n→+∞
3 + 22
n
par opérations sur les limites
1 + n3
lim un = +∞.
4. un = n
n→+∞
5. un =
4 − n2
par opérations sur les limites
1 + n8
lim un = 4.
n→+∞
2
6. un = 8n − 3 +
par opérations sur les limites
n
lim un = +∞.
n→+∞
2.
lim 2n = +∞ d’où d’après le théorème de compa-
n→+∞
raison lim un = +∞.
n→+∞
somme des limites lim un = +∞.
n→+∞
¶
µ
1
1
2
lim n 2 = +∞ et
2. un = n 1 − + 2 ,
n→+∞
n¶ n
µ
1
1
lim 1 − + 2 = 1 d’où par produit des limites
n→+∞
n n
lim un = +∞.
3.
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout
n > 4.
n→+∞
E XERCICE 73
Conclusion : P4 est vraie et la proposition Pn est
•
E XERCICE 76
1
(−1)n
1
6
6 ,
n
n
n
1
1
d’autre part lim − = 0 et lim
= 0.
n→+∞ n
n→+∞ n
Il en résulte donc d’après le théorème des gendarmes
(−1)n
= 0 et donc lim un = 2.
lim
n→+∞
n→+∞ n
2. En appliquant directement la limite d’une somme,
1. ∀n ∈ N∗ ,−
nous obtenons une forme indéterminée, il faut donc
modifier l’expression en utilisant l’expression conjuguée :
p
p
2
2n + 1 − 2n − 1 = p
.
p
2n + 1 + 2n − 1
³p
´
p
2
=0
lim
2n + 1 + 2n − 1 = +∞ et lim
n→+∞
N→+∞ N
d’où lim un = 0.
un
=
n→+∞
3. En appliquant directement la limite d’une somme,
nous obtenons une forme indéterminée, il faut donc
modifier l’expression en utilisant l’expression conjuguée :
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
456
n4 − n3 − 7
p
n2 + n3 + 7
1 − n1 − 74
1 − n1 − 74
n
n
= n2
.
= n4
q
p
1
n2 + n3 + 7
1 + n + 74
n
à s
!
µ
¶
1
1
7
7
lim 1 +
+ 4 = 1, lim 1 − − 4 = 1
n→+∞
n→+∞
n n
n n
un = n 2 −
p
E XERCICE 79
n3 + 7 =
lim n 2 = +∞ d’où lim un = +∞.
n→+∞
4. ∀n ∈ N∗ ,−1
n→+∞
6 cos n 6 1, d’où −
1
n2
1
6 un 6
1
n2
1
= 0.
d’autre part lim − 2 = 0 et lim
n→+∞ n 2
n→+∞ n
Il en résulte donc d’après le théorème des gendarmes
³ ´n
1
µ ¶n
1 1− 2
1
1. S n = ×
7→ 1
=
1
−
2
2
1 − 21
µ ¶n
1
1
car 0 < < 1 =⇒ lim
= 0.
n→+∞ 2
2³ ´
n
1 − − 12
2 ³ ³ 1 ´n ´
2
=
1− −2
7→
2. Tn =
1
3
3
1+ 2
¶
µ
1
1 n
= 0.
car −1 < − < 1 =⇒ lim −
n→+∞
2
2
s
a
r
u
D
I
F
L
lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 77
µ ¶n
3
3
< 1 d’où lim
= 0 ainsi lim un = 0.
n→+∞ 4
n→+∞
4
n
2 > 1 d’où lim 2 = +∞ ainsi lim un = +∞.
n→+∞
µ ¶n n→+∞
14
14
< 1 d’où lim
= 0 ainsi lim un = 0.
0<
n→+∞ 15
15µ ¶
µ n→+∞
¶
2 n
2 n
2
un =
, 0 <
= 0 ainsi
< 1 d’où lim
n→+∞ 3
3
3
lim un = 0.
n→+∞
µ ¶n
µ ¶n µ ¶n
2
3
2
2
+
, 0 < < 1 d’où lim
= 0 et
un =
n→+∞ 5
5
5
5
µ ¶n
3
3
= 0 ainsi lim un = 0.
0 < < 1 d’où lim
n→+∞
5µ ¶
5
µ ¶n
µ n→+∞
¶n
n
7
7
2
7
un =
−
, > 1 d’où lim
= +∞ et
n→+∞ 5
5
5
5µ ¶
n
2
2
= 0 ainsi lim un = +∞.
0 < < 1 d’où lim
n→+∞ 5
n→+∞
5
1. 0 <
2.
3.
4.
5.
6.
E XERCICE 78
1. L’algorithme va déterminer le plus petit entier n à
partir duquel un est strictement supérieur à une valeur A donnée.
2. Pour A = 20 (respectivement 50), on obtient N = 80
(respectivement 500).
3. Il semble que la suite (un ) tende vers +∞.
4. Soit n ∈ N, soit A ∈ R, n ∈]A;+∞[ si, et seulement si,
n > A.
(E (A) + 1)2 − 2
En posant k =
, (E (A) étant la par5
tie entière de A) alors pour tout entier n > k, on a
p
un = 5n + 2 > E (A) + 1 > A.
L’intervalle ouvert ]A;+∞[ contient toutes les valeurs
de n à partir du rang k.
E XERCICE 80
1. Réponse b en utilisant le théorème de comparaison.
2. Réponse b en effet on a ℓ 6 lim v n 6 2ℓ ce qui ne
n→+∞
permet pas de conclure.
3. Réponse b en effet lim un = lim w n = −2
n→+∞
n→+∞
le théorème des gendarmes permet de conclure.
4. Réponse c en effet lim un = lim w n = 2
n→+∞
n→+∞
le théorème des gendarmes permet de conclure.
E XERCICE 81
1. L’affirmation est fausse, en effet si on pose ∀n ∈ N :
un = 2n et v n = −n,
on a lim un = +∞, lim v n = −∞ et
n→+∞
n→+∞
lim (un + v n ) = lim n = +∞.
n→+∞
n→+∞
2. L’affirmation est vraie, en effet si lim un = ℓ 6= 0 et
n→+∞
lim v n = +∞,
n→+∞
alors lim (un × v n ) = ±∞ (suivant le signe de ℓ), la
n→+∞
suite (un × v n ) diverge.
3. L’affirmation est vraie, en effet
et
+
lim un = ℓ 6= 0
n→+∞
lim v n = 0 alors par quotient des limites
n→+∞
µ
¶
µ
¶
un
un
lim
= +∞, la suite
diverge.
n→+∞ v n
vn
4. L’affirmation est fausse, cf. réponse précédente.
E XERCICE 82
1. Par hypothèse lim v n = +∞ , soit A un réel il existe
n→+∞
un rang n0 à partir duquel v n 0 > A.
Or ∀n ∈ N, un > v n , on a alors un 0 > v n 0 > A c’est-à-
dire lim un = +∞
n→+∞
1
1
2. a. u1 = u0 − 1 = −0,5 et u2 = u1 + 1 − 1 = −0,25.
2
2
1
7
b. u3 = u2 + 2 − 1 = .
2
8
1
c. ∀n > 4, un = un−1 +n−1−1 > n−2 car un−1 > 0.
2
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
457
d. ∀n > n − 2 et lim (n − 2) = +∞ d’après le théon→+∞
rème de comparaison lim un = +∞
n→+∞
1 + vn
, on déduit de la question précédente
1 − vn
que lim un = 1.
4. un =
n→+∞
E XERCICE 83
E XERCICE 86
1
1
2n + 3 − (2n + 1)
=
−
.
(2n + 1)(2n + 3)
2n + 1 2n + 3
n
X
1
.
2. S n =
uk = 1 −
2n
+3
k=0
1
3. lim
= 0 d’où lim un = 1.
n→+∞ 2n + 3
n→+∞
1. La fonction f n , somme d’une fraction rationnelle et
1. un =
d’une fonction exponentielle et définie et dérivable
sur [0;+∞[.
f n′ (x) =
2n
+ e −x > 0
f n (0) = −2 et
Ã
!
n
1− x
lim f n (x) = lim
− e −x = 1.
x→+∞
x→+∞ 1 + n
x
2. Tableau de variations de la fonction f :
(x + n)2
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 84
n
1. un =
p
2 + (−1)
1
n
, ∀n > 0, − p
1
n
1+ n
µ
µ
¶
(−1)n
6 p
¶
n
1
6p
1
1
−p
= lim p
= 0 donc en apn→+∞
n
n
pliquant
des gendarmes on en déduit
¶
µ le théorème
(−1)n
= 0 d’où par opérations sur les limites
lim
p
n→+∞
n
lim un = 2.
n→+∞ ³ ´
sin n1
1
=0
, lim
2. un =
1
n→+∞ n
n
³ ´
sin n1
sin (X )
= 1.
d’où lim
= lim
1
n→+∞
X
X →0
n
p
n
1
,
3. un =
=
ln(n)
ln (n)
p
n
µ
¶
ln(n)
1
= +∞
lim
= 0+ et lim
p
n→+∞
n
N→0+ N
d’où par composition des limites lim un = +∞.
et
lim
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 85
1. On utilise une récurrence.
1 + aun − a − un
(a − 1) (un − 1)
2. v n+1 =
=
1 + aun + a + un
(1 + a) (1 + un )
a −1
=
vn .
1+a
La suite (v n ) est une suite géométrique de raison
a −1
.
q=
a +1
x −1
3. On étudie les variations de la fonction f (x) =
x +1
sur R+ ,
2
f est dérivable sur [0 ; +∞[, f ′ (x) =
>0
(x + 1)2
+
donc f est strictement croissante sur R , f (0) = −1
et lim f (x) = 1.
x→+∞
x
n
On en déduit alors que −1 < q < 1 d’où lim v n = 0.
n→+∞
0
f ′ (x)
+
+∞
1
f
−2
3. a. f n (n) = −e −n < 0.
b. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, e n+1 > 2n + 1 ».
• Initialisation : Si n = 0, e 1 = e > 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier positif tel que Pn vraie.
¡
¢
e n+2 = e e n+1 > e(2n + 1) > 2n + 3 et donc Pn+1
est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N.
1
1
,
−
2n + 1 e n+1
d’après la question précédente
c. f n (n + 1) =
1
1
>
2n + 1 e n+1
on en déduit alors que f n (n + 1) > 0.
∀n ∈ N,e n+1 > 2n + 1 > 0 donc
d. f n est continue et strictement croissante sur R+ ,
f n (n) < 0 et f n (n+1) > 0 d’après le corollaire du théo-
rème des valeurs intermédiaires il existe un unique
un appartenant à [n;n + 1] tel que f n (un ) = 0.
4. n < un < n + 1 et lim n = lim (n + 1) = +∞
n→+∞
n→+∞
en utilisant le théorème des gendarmes on déduit
lim un = +∞.
µ
¶
1
1
1<
< 1 + et lim 1 +
= 1 en utilisant le
n→+∞
n
n
n
théorème
´ gendarmes on déduit
³ u des
n
= 1.
lim
n→+∞ n
n→+∞
un
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
458
E XERCICE 87
¶
Z1
Z1 µ
1
ex
1. u1 =
1
−
d
x
=
dx
x
ex + 1
0 e +1
0
h
¡ x
¢i1
= 1 − ln(e + 1) + ln(2).
= x − ln e + 1
0
Z1
Z1
1
1
u0 + u1 =
d
x
+
dx
−x
x +1
e
0
0 Ã1 + e
Ã
!
!
x
x
Z1
Z
1
e− 2
e2
=
d
x
+
x
x dx
x
x
0 e− 2 + e− 2
0 e− 2 + e− 2
Ã
!
x
x
Z1
Z1
h i1
e− 2 + e 2
1d x = x = 1.
u0 + u1 =
x dx =
x
0
0 e− 2 + e− 2
0
On en déduit alors u0 = 1 − u1 = ln (e + 1) − ln (2).
1
héréditaire, d’où ∀n ∈ N, a n+1 = − a n + 1.
2
µ
¶
2
1
1
1
2
3. ∀n ∈ N, v n+1 = a n+1 − = − a n + = − a n −
3
2
3
2
3
1
= − v n . La suite (v n ) est une suite géo2
1
2
métrique de raison − et de premier terme v 0 = − .
2
µ
¶3n
2
1
4. D’après la question précédente, v n = − −
,
3
2
µ
¶n
1
1
= 0 et donc
comme −1 < − < 1 on a lim −
n→+∞
2
2
lim v n = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
2. Pour tout n ∈ N, e nx + e (n−1)x > e nx
1
d’où 0 6
6 e −nx soit en intégrant sur
e nx + e (n−1)x
[0;1],
Z1
e −nx d x.
0 6 un 6
0
Z1
i1
h
¢
1¡
1
=
1 − e −n
et
e −nx d x =
− e −nx
3.
n
0
0
µ
¶ n
¢
1¡
1 − e −n = 0 on en déduit en utilisant
lim
n→+∞ n
le théorème des gendarmes que lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 88
n→+∞
2
+ v n par opération sur les li3
2
mites, nous en déduisons lim a n = .
n→+∞
3
Par définition a n =
E XERCICE 89
1. Démonstration par récurrence très simple.
µ
¶
u 2 + 1 − 2un
un − 1 2
2. w n+1 = n
=
2 + 1 + 2u
un + 1
un
n
soit w n+1 = w n2 .
µ ¶n
¶
µ
1
1 2n
=
.
On en déduit alors : w n = (w 0 )2n = −
3
9
3. lim w n = 0 d’où lim un = 1.
n→+∞
n→+∞
1. a.
E XERCICE 90
A0
×
bc
0
A2
bc
A4 A5 A3
bc
bc
bc
A6
bc
A1
bc
bc
1
a0 + a1 1
a1 + a2 3
b. a 2 =
= , a3 =
= ,
2
2
2
4
a2 + a3 5
11
21
a4 =
= , a5 =
, a6 =
.
2
8
16
32
c. Le point A n+2 étant le milieu du segment
[A n A n+1 ] cela se traduit en abscisses par
a n + a n+1
.
a n+2 =
2
2. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
1
« ∀n ∈ N, a n+1 = − a n + 1 ».
2
1
• Initialisation : Si n = 0, − a 0 + 1 = 1 = a 1 donc P0
2
est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie,
1
c’est-à-dire a n+1 = − a n + 1
2
ou encore a n = −2a n+1 + 2.
a n + a n+1 −a n+1 + 2
On a alors a n+2 =
=
2
2
1
= − a n+1 + 1 et donc Pn+1 est vraie.
2
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
1. v n+1 = (a − 1)v n
la suite (v n ) est géométrique de raison a −1 et de premier terme v 0 = 1.
On en déduit alors que v n = (a − 1)n .
n−1
X
2.
v p = un − u0 et
p=0
• si a 6= 2
n−1
X
p=0
d’où un =
vp =
(a − 1)n − 1
a −2
(a − 1)n − 1
a −2
• si a = 2 alors v n = 1 et
d’où un = n.
n−1
X
p=0
vp = n
3. La suite (un ) admet une limite fini si et seulement si
−1 < a − 1 < 1 c’est-à-dire 0 < a < 2
1
.
n→+∞
2−a
On a alors lim un =
E XERCICE 91
1
1. v n+1 = (un + 4(α + 1)),
4
La suite (v n ) est géométrique si et seulement si
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
459
4
4(1 + α) = α c’est-à-dire α = − .
3
La suite (v n ) est géométrique de premier terme
2
1
v 1 = et de raison q = .
3
4
µ ¶
2 1 n−1
et
2. D’après la question précédente v n =
3 4
µ ¶n−1
4 2 1
un = +
.
3 3 4
4
0 < q < 1 donc lim un = .
n→+∞
3
³ ´n
1
µ ¶
¶
n µ4
X
2 1 p−1
4n 2 4 − 1
3. S n =
+
+ · 1
=
3 4
3
3
p=1 3
4 −1
µ ¶
4n 8 8 1 n
+ −
.
=
3
9 9 4
4n
lim S n = lim
= +∞.
n→+∞
n→+∞ 3
On démontre que un = 1 =⇒ un+1 = 1 or u0 6= 1
donc ∀n ∈ N, un > 1.
On en déduit alors que v n > 0 donc w n est défini
pour tout n ∈ N.
µ
¶
un+1 − 1
b. w n+1 = ln (v n+1 ) = ln
¡ 2
¢un+1¡ 2 ¢
= ln un
− 2un + 1 − ln un
¡ 2¢
= ln (uµn − 1)2 −
¶ ln un
un − 1
= 2ln
un
w n+1 = 2ln (v n ) = 2w n
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 92
2 = n + (n − 1)2 u 2
1. v n = n 2 un
n−1 = n + v n−1 .
soit encore tn = v n − v n−1 = n
n
X
On en déduit alors,
tn = v n − v 1
p=2
n
X
n
X
n(n + 1)
−1
p=
tn =
d’autre part
2
p=2
p=2
n(n + 1)
.
d’où v n =
2
vn
1
1
1
2
2
2. un = 2 = +
donc lim un
=
n→+∞
2 2n
2
n
étant à termes positifs, on en déduit que
La suite (un )p
2
lim un =
.
n→+∞
2
E XERCICE 93
¸
·
1
2x(x − 1)
1. f est dérivable sur
; +∞ , f ′ (x) =
2
(2x − 1)2
1
2
x
f ′ (x)
f
+∞
1
−
0
+
+∞
+∞
1
1
f admet un minimum en x = 1 donc pour tout x > ,
2
f (x) > 1.
2. a. En utilisant une démonstration par récurrence et
le résultat de la question précédente, on démontre
que ∀n ∈ N,un > 1
donc v n est définie pour tout n ∈ N.
La suite (w n ) est une suite géométrique de raison 2
et de premier terme w 0 = −ln 2.
c. w n = −ln 2 × 2n ,
n
v n = e w n = e − ln 2×2 =
µ ¶2n
1
.
2
On en déduit alors que un =
1
=
1 − vn
µ ¶n
1
= 0 d’où lim un = 1.
d. lim
n→+∞
n→+∞ 2
1
³ ´ 2n .
1
1− 2
E XERCICE 94
1. On démontre que
µ
¶
µ
µ
¶ ¶
n−1
X
1 p 2a
1 n
−
AMn = a
=
1+ −
.
2
3
2
p=0
2a
.
2. lim AMn =
n→+∞
3
E XERCICE 95
1. a. p (G 1 ) = 0,5 ,p G 1 (G 2 ) = 0,6 et p P 1 (G 2 ) = 0,7.
b. p (G 2 ) = p (G 2 ∩G 1 ) + p (G 2 ∩ P 1 )
= p (G 1 ) × p G 1 (G 2 ) + p (P 1 ) × p P 1 (G 2 )
= 0,65.
c. p (P 2 ) = 1 − p (G 2 ) = 0,35.
2. a. p G n (P n+1 ) = 1 − 0,6 = 0,4
p P n (G n+1 ) = 1 − 0,7 = 0,3.
b. p (G n+1 ) = p (G n ∩G n+1 ) + p (P n ∩G n+1 )
= p (G n ) p G n (G n+1 ) + p (P n ) p P n (G n+1 )
= 0,6xn + 0,3y n .
On démontre de même que y n+1 = 0,4xn + 0,7y n
3. a. v n+1 = 0,6xn + 0,3y n + 0,4xn + 0,7y n
= xn + y n = v n .
La suite (v n ) est constante de terme général égal à
v 1 = x1 + y 1 = 1.
b. w n+1 = 2,4xn + 1,2y n − 1,2xn − 2,1y n
¡
¢
= 0,3 4xn − 3y n = 0,3w n
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
460
La suite (w n ) est géométrique de raison 0,3 et de premier terme w 1 = 0,5.
w n = 0,5(0,3)n−1
4. a. D’après la question précédente,
¢
1
1¡
xn = (w n + 3v n ) =
3 + 0,5 × 0,3n−1
7
7
b. 0 < 0,3 < 1 donc lim 0,3n−1 = 0
n→+∞
E XERCICE 98
1. On démontre par récurrence que si u0 = 4 alors
∀n ∈ N, un = 4.
1
2. On pose v n = un + a, alors v n+1 = (un + 4(a + 3))
4
La suite (v n ) est géométrique si et seulement si
4(a + 3) = a c’est-à-dire a = −4.
1
On a alors v n+1 = v n
4
et un − v n = 4.
3
d’où lim xn = .
n→+∞
7
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 96
1. On démontre par récurrence que si u1 6= 3, on a, pour
tout n ∈ N⋆ , un 6= 3.
µ
¶
un+1 − 5 −15 + 3un
3 un − 5
2.
=
=
.
un+1 − 3 −15 + 5un
5 un − 3
3. D’après la question précédente, (tn ) est une suite
3
géométrique de raison et de premier terme t1
5
µ ¶n−1
3
d’où tn = t1
.
5
µ ¶n−1
3
−5
3t1
3tn − 5
5
=
On en déduit alors un =
µ ¶n−1
tn − 1
3
t1
−1
5
3
4. 0 < < 1 donc lim tn = 0 et lim un = 5
n→+∞
n→+∞
5
3. D’aprèsµla question
précédente
µ ¶n
¶
1 n
1
vn = v0
= (u0 − 4)
4
4
µ ¶n
1
alors un = v n + 4 = 4 + (u0 − 4)
.
4
µ ¶n
1
1
= 0 par opération sur les
4. 0 < < 1 donc lim
n→+∞ 4
4
limites, on en déduit alors lim un = 4.
n→+∞
E XERCICE 99
1. a. On a l’arbre de probabilités suivant :
0,8
R
2
0,7
E XERCICE 97
R1
0,2
R2
0,7
R2
b
1. s n = un+1 + un = 8s n−1 , la suite (un ) est une suite
0,3
géométrique de raison 8 et de premier terme s 0 = 1.
s n = 8n .
R2
0,3
On a p(X = 2) = 0,7 × 0,8 = 0,56 ;
2. tn = v n+1 − v n = −(−1)n un+1 − (−1)n un
= (−1)n+1 s n .
3. t0 + · · · + tn−1 = v n − v 0 = v n − 1
n−1
X
D’autre part t0 + · · · + tn−1 = −
(−1)k 8k
R1
p(X = 1) = 0,7 × 0,2 + 0,3 × 0, 7 = 0,35 ;
p(X = 0) = 0,3 × 0,3 = 0,09.
b. E(X ) = 2 × 0,56 + 1 × 0,35 + 0 × 0, 09 = 1,47 ≈ 1,5.
2. a. On construit un arbre représentant la situation :
k=0
d’où v n = 1 +
(−8)n − 1
9
(−8)n − 1 (−8)n − 1
=−
=
−8 − 1
9
8n − (−1)n
vn
= (−1)n +
.
(−1)n
9
(−1)n
(−1)n
= 0 et lim
=0
4. lim
n→+∞ 9 × 8n
n→+∞ 8n
un =
un
1
= .
n→+∞ 8n
9
Par somme des limites lim
xn
0,8
Rn+1
0,2
Rn+1
0,7
Rn+1
Rn
b
1 − xn
R1
Rn+1
0,3
D’après l’énoncé P Rn (Rn+1 ) = 0,8 et
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
461
est vrai au rang n, il l’est aussi au rang n+1. On a donc
P R (Rn+1 ) = 0,7.
n
b. En utilisant l’arbre de probabilités, on peut écrire :
démontré que ∀n ∈ N,0 6 un 6 α.
xn+1 = xn × 0,8 + (1 − xn ) × 0,7
tel que 0 6 un 6 α,
= 0,8xn − 0,7xn + 0,7 = 0,7 + 0,1xn .
3. a. ∀n ∈ N∗ , un+1 = 9xn+1 − 7 = 9(0,7 + 0,1xn ) − 7
= 0,9xn − 0,7 = 0,1(9xn − 7) = 0,1un .
un+1 = 0,1un quel que soit le naturel n non nul si-
gnifie que la suite (un ) est une suite géométrique de
raison 0,1 et de premier terme u1 = 9x1 − 7 = −0,7.
c. Sur l’intervalle [0 ; α[, f (x) > 0, donc pour tout un
ln (un + 3) − un > 0 ⇐⇒ ln (un + 3) > un
⇐⇒ g (un ) > un ⇐⇒ un+1 > un ,
ce qui démontre que la suite (un ) est croissante.
Cette suite est croissante et majorée par α : elle
converge donc vers une limite ℓ telle que ℓ 6 α.
s
a
r
u
D
I
F
L
b. ∀n ∈ N, un = u1 × r n−1 = −0,7 × 0,1n−1 .
0 < 0,1 < 1 donc lim 0,1n−1 = 0,
d. La relation un+1 = 5ln (un + 3) donne par continuité de la fonction dérivable g et par limite en plus
l’infini :
n→+∞
ainsi lim un = 0.
n→+∞
un + 7
Par suite, comme xn =
,
9
7
alors lim xn = ≈ 0,777 778.
n→+∞
9
Sur un très grand nombre de services le pourcentage
de services réussis se rapproche de 77,8 %.
ℓ = ln(ℓ + 3) ⇐⇒ ln(ℓ + 3) − ℓ = 0 ⇐⇒ f (ℓ) = 0.
Or la fonction g est continue et strictement crois-
sante donc d’après le corollaire du théorème des va-
leurs intermédiaires l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution sur [0 ; +∞[. Conclusion ℓ = α. On a
donc lim un = α.
n→+∞
3. a. Cet algorithme calcule successivement u1 , u2 , ....
E XERCICE 100
On a vu que cette suite converge vers le nombre α
1. a.b.
D
14
12
10
8
6
4
2
C
supérieur à 14,2. La condition u − 14,2 < 0 sera donc
réalisée et l’algorithme affichera la première valeur
de la suite supérieure à 14,2.
b. En utilisant la calculatrice,
on obtient u6 ≈ 14,223 15 > 14,2.
u0
u1
u2
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c. La suite semble être croissante.
E XERCICE 101
1. a. On sait que 0 6 x 6 1, d’où −1 6 −x 6 0 et par
croissance de la fonction exponentielle on déduit
b. • Initialisation : On a 0 6 4 6 α, l’encadrement est
e −1 6 e −x 6 e 0 ou encore e −1 6 e −x 6 1 (1).
£
¤n
Or (x − 1)2n = (x − 1)2 > 0 puisque (x − 1)2 > 0.
• Hérédité : Supposons qu’il existe p ∈ N, tel que
e −1 (x − 1)2n 6 e −x (x − 1)2n 6 1 × (x − 1)2n
Comme la fonction g est croissante sur [0 ; +∞[ donc
b. Par intégration des trois fonctions de l’encadre-
2. a. La fonction g a même sens de variation que la
fonction ln, soit croissante.
vrai au rang 0.
0 6 u p 6 α.
en particulier sur [0 ; α],
¡ ¢
on a alors : g (0) 6 g u p 6 g (α) c’est-à-dire
5ln 3 6 u p+1 6 α.
On a donc a fortiori : 0 6 u p+1 6 α.
L’encadrement est vrai au rang p + 1.
• Conclusion : L’encadrement est vrai au rang 0, et s’il
Donc en multipliant chaque membre de l’encadrement (1) par (x − 1)2n > 0, on obtient :
(1)
et finalement 0 6 (x − 1)2n e −x 6 (x − 1)2n .
ment
obtient
Z1
Z1 du a,Zon
1
(x − 1)2n dx
(x − 1)2n e−x dx 6
0 dx 6
0 "
0
#1 0
(x − 1)2n+1
⇐⇒ 0 6 un 6
2n + 1
0
⇐⇒ 0 6 un 6 −
(−1)2n+1
(−1)2n
⇐⇒ 0 6 un 6
2n + 1
2n + 1
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
462
1
.
2n + 1
précédent
et
et finalement 0 6 un 6
2. L’encadrement
le fait que
1
lim
= 0 montre par application du théon→+∞ 2n + 1
rème des gendarmes, que lim un = 0.
E XERCICE 103
1.
n→+∞
i
1
2
3
u
0,800
1,077
0,976
2. Il semble que la suite converge vers 1 par valeurs al-
E XERCICE 102
1. A partir de a 0 = 1, b0 = 0, c0 = 0, on obtient :
1
2
1
5
a 1 = 0, b1 = , c1 = ,
a 2 = , b2 = 0, c2 =
3
3
6
6
1
17
a 3 = 0, b3 =
, c3 =
.
18
18
2. a. Trois possibilités : la puce est en A, ou elle est en B,
ternativement supérieures et inférieures.
1+0,5u n
un+1 − 1
0,5 − 0,5un
0,5+u − 1
3. a. Vn+1 =
=
= 1+0,5un
n
un+1 + 1
1,5 + 1,5un
0,5+u n + 1
−0,5(un − 1)
1
=
= − vn .
1,5(un + 1)
3
1
La suite (v n ) est donc géométrique de raison − .
3
2−1 1
b. On a v 0 =
= .
2+1 3
µ
¶
1
1 n
Alors pour tout naturel n, v n = × −
.
µ 3 ¶n 3
1
6 1,
4. a. Quel que soit le naturel n, −
3
1
donc v n 6 et par conséquent v n 6= 1.
3
un − 1
b. v n =
⇐⇒ v n (un + 1) = un − 1
un + 1
s
a
r
u
D
I
F
L
ou elle est en C d’où a n + bn + cn = 1.
D’autre part elle ne peut être en A que si elle était
1
précédemment en B : a n+1 = bn et elle ne peut
2
être en B que si elle était précédemment en A, soit
1
bn+1 = a n .
3
1
b. D’après la question précédente : a n+2 = bn+1 et
2
1
bn+1 = a n ;
3
¶
µ
1 1
1
donc ∀n ∈ N, a n+2 =
an = an .
2 3
6
µ ¶0
1
.
c. • Initialisation : On a a 2×0 = 1 =
6
µ ¶p
1
• Hérédité : supposons que a 2p =
, alors
6
µ ¶p µ ¶p+1
1
1
1
1
=
. La formule est
a 2p+2 = a 2p = ×
6
6
6
6
donc vraie au rang p + 1.
• Conclusion : La propriété est initialisée et hérédi-
taire, la récurrence est ainsi établie.
D’autre part par récurrence immédiate :
a 1 = a 3 = · · · = a 2p+1 = 0.
1
Il suit que b2p = a 2p−1 = 0 quel que soit p.
3 µ ¶
1
1 1 p
et b2p+1 = a 2p =
.
3
3 6
de
rang
impair sont nuls, et on
3. Pour (a n ) : les termes
µ ¶n
1
= 0.
sait que lim
n→+∞ 6
Donc lim a n = 0.
n→+∞
4. Pour la même raison lim bn = 0.
n→+∞
Or cn = 1 − a n − bn donc lim cn = 1.
n→+∞
Au bout d’un certain temps la puce sera pratiquement toujours dans la case C.
⇐⇒ v n un + v n = un − 1
⇐⇒ un (v n − 1) = −1 − v n
et comme v n 6= 1, on en déduit :
1 + vn
−1 − v n
.
=
un =
vn − 1
1 − vn
µ
¶
1
1 n
c. Comme −1 < − < 1, alors lim −
= 0,
n→+∞
3
3
soit lim v n = 0, donc d’après le résultat précédent
n→+∞
lim un = 1.
n→+∞
E XERCICE 104
1
3× 2
3
3 × u0
=
=
1 + 2u0 1 + 2 × 1
4
2
3
3× 4
9
3 × u1
=
=
.
u2 =
1 + 2u1 1 + 2 × 3
10
4
b. Pour tout entier naturel n, notons Pn la propriété :
1. a. u1 =
un > 0.
• Initialisation : Si n = 0, u0 =
vraie.
1
> 0, donc P0 est
2
• Hérédité : Supposons que pour k entier naturel
quelconque, on ait Pk vraie, c’est-à-dire uk > 0.
Montrons que Pk+1 est vraie c’est-à-dire uk+1 > 0.
Par hypothèse de récurrence uk > 0 donc 3uk > 0
et 1 + 2uk > 0. Ainsi, uk+1 est le quotient de deux
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
nombres strictement positifs, donc uk+1 > 0 et Pk+1
est vraie.
• P0 est vraie et Pn est héréditaire, par le principe de récurrence on a bien pour tout entier naturel
463
¡
¢
u2 < v 2 =⇒ µ − λ (u1 − v 1 ) < 0
or u1 − v 1 < 0 donc µ − λ > 0 c’est-à- dire µ > λ.
2. On démontre que la suite (un ) est croissante et la
suite (v n ) est décroissante. Les deux suites sont bor-
n, un > 0.
nées, elles sont donc convergentes et admettent une
étudier les variations de la suite, on peut comparer
un+1
et 1.
un
3un
3
un+1
1 + 2un
=
=
.
un
un
1 + 2un
3
Mais, un < 1 ⇐⇒ 1 + 2un < 3 ⇐⇒
>1
1 + 2un
car 1 + 2un > 0.
Soit lim un = u et lim v n = v
n→+∞
n→+∞
u + λv
alors u =
=⇒ u + λu = u + λv =⇒ u = v .
1+λ
2. a. Comme pour tout entier naturel n,un 6= 0, pour
limite.
s
a
r
u
D
I
F
L
Finalement la suite (un ) est croissante.
b. La suite (un ) est croissante et majorée par 1, elle
converge donc vers ℓ ≤ 1.
3. a. Pour tout entier naturel n,
3un
3un
un+1
1 + 2un
1 + 2un
v n+1 =
=
=
1 + 2un − 3un
3un
1 − un+1
1−
1 + 2un
1 + 2un
3un
= 3v n .
=
1 − un
La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison 3.
b. Pour tout entier naturel n, v n = v 0 q n = 3n .
c. Pour tout entier naturel n,
un
vn =
⇐⇒ v n = un + un v n
1 − un
3n
vn
⇐⇒ un = n
.
⇐⇒ un =
1 + vn
3 +1
n
d. Comme 3 > 1, lim 3 = +∞.
n→+∞
L’étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée.
3n
un = n
=
3 +1
1
1
=
µ ¶n ,
1
1
1+ n
1+
3
3
µ ¶n
1
1
=0
comme −1 < < 1, lim
n→+∞ 3
3
µ ¶n
1
Par somme lim 1 +
= 1, enfin, par quotient
n→+∞
3
lim un = 1.
n→+∞
E XERCICE 105
1. On vérifie que quelque soient λ et µ réels positifs, les
inégalités u1 < u2 et v 2 < v 1 sont toujours vérifiées.
¡
¢
¡
¢
u2 < v 2 =⇒ 1 + µ (u1 + λv 1 ) < (1 + λ) u1 + µv 1
E XERCICE 106
1. a. En utilisant un arbre de probabilités, on obtient :
1 1 1 1 11
p(A) = 2 × × + × =
3 3 3 4 36
1 1
1
p(B) = × =
3 4 12
1 1 1 1 11
p(C ) = 2 × × + × =
3 3 3 4 36
1 1
1
p(D) = × =
3 4 12
1
b. p 1 = .
3
Pour arriver en S, la fourmi vient d’un des sommets
A, B, C ou D. Pour chaque sommet la probabilité
1
d’atteindre S est égale à et la probabilité de ne pas
3
¡
¢
être en S après n pas est égale à 1 − p n
³
´ 1¡
¢
d’où p n+1 = p S n+1 ∩ S n =
1 − pn .
3
2. a. Récurrence très simple,
µ
¶
µ
¶
1 n
1 n+1
1
=− −
.
☞ penser que −
3
3
3
1
b. lim p n = .
n→+∞
4
E XERCICE 107
1. a. ∀n ∈ N∗ , ¡1 < n + 2¢−n < 2n
ln n + 2−n
ln (2n)
<
donc 0 <
2n
2n
µ
¶
ln (2n)
lim
= 0 (croissances comparées),
n→+∞
2n
donc d’après
¡
¢le théorème des gendarmes
ln n + 2−n
= 0.
lim
n→+∞
2n
¡
¢
¡ ¡
¢¢
b. ln 1 + n2n = ln 2n n + 2−n
¡
¢
−n
¡
¢
¡= n ln 2n+¢ ln n + 2 ³
ln 1 + n2
ln 2 ln n + 2−n ´
= lim
+
d’où lim
n→+∞ 2
n→+∞
2n
2n
ln 2
=
.
¶
Z1
Z1 µ 2
1
x
2. a. u0 =
dx =
1−
dx
1+x
0 1+x
0
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
464
h
i1
u0 = x − ln (x + 1) = 1 − ln 2.
0
¶
Z1
Z1 µ
2n x
1
b. un =
dx
=
1
−
dx
n
1 + 2n x¡
0 1+2 x
0
¢
h
i
¡
¢ 1
ln 1 + 2n
−n
n
= 1−
= x − 2 ln 1 + 2 x
2n
0
¡
¢
ln 1 + 2n
c. lim
= 0 d’où lim un = 1.
n→+∞
n→+∞
2n
5. On montre par récurrence que ∀n ∈ N, un > 1 et
un+1 − un > 0 (voir l’exercice précédent), ce qui
prouve que la suite (un ) est croissante.
un+1 2
6. ∀n ∈ N,
= < 1, ce qui prouve que la suite (un )
un
3
est décroissante.
E XERCICE 110
E XERCICE 108
Démontrons par récurrence la proposition Pn :
1. ∀n ∈ N, 0 6 n 3 6 n 3 + 1 d’où 0 6 un 6 3.
s
a
r
u
D
I
F
L
« ∀n ∈ N, un > 0 ».
• Initialisation : u0 = 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
p
On sait que un+1 = un + 1. Or par hypothèse de récurp
rence, un > 0 d’où un + 1 > 1 > 0, et donc Pn+1 est
2. ∀n ∈ N, −1 6 cos (n) 6 1 et −1 6 (−1)n 6 1
3.
vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est hé-
réditaire, donc ∀n ∈ N, un > 0.
4.
5.
Démontrons par récurrence la proposition Qn :
« ∀n ∈ N, un+1 − un > 0 ».
• Initialisation : u1 − u0 =
p
2 − 1 > 0 donc Q0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Qn vraie.
p
p
un+1 + 1 − un + 1
un+1 − un
=p
, or par hyp
un+1 + 1 + un + 1
pothèse de récurrence, un+2 − un > 0 et donc Qn+1 est
On a alors un+2 − un+1 =
vraie.
• Conclusion : Q0 est vraie et la proposition Qn est hé-
réditaire, donc ∀n ∈ N, (un ) est croissante.
E XERCICE 109
p
p
3n + 4 − 3n + 1
3
> 0, ce qui
= p
p
3n + 4 + 3n + 1
prouve que la suite (un ) est croissante.
2n + 2 2n
2 − 4n
2. un+1 − un = n+1 − n = n+1 6 0 pour tout
3
3
3
n > 1, ce qui prouve que la suite (un ) est décroissante
1. ∀n ∈ N, un+1 − un =
pour tout n > 1.
1
> 0, ce qui prouve que la
n +1
suite (un ) est croissante.
2n + 3
un+1
=
> 1 (en effet le dénomina4. ∀n ∈ N∗ ,
un
2n + 2
teur est inférieur au numérateur), ce qui prouve que
3. ∀n ∈ N, un+1 − un =
la suite (un ) est croissante.
6.
d’où −3 6 un 6 3.
³ ´n+1
µ
µ ¶n+1 ¶
1 − 13
1
3
3
un =
1
−
6
=
2
3
2
1 − 31
et un est somme de termes positifs donc un > 0
3
ainsi 0 < un 6 .
2
1
∀n ∈ N, 0 6
6 1 d’où 2 6 un 6 3.
n + 1µ
¶
1
∀n ∈ N, −1 6 sin
6 1 d’où 1 6 un 6 3.
n +1
∀n ∈ N, −1 6 cos n 6 1 et −1 6 sin n 6 1
d’où 1 6 2cos n + 3 6 5 et 3 6 5 − 2sin n 6 7
5
1
ainsi 6 un 6 .
7
3
E XERCICE 111
1
2
6−
un + 2
2
1
=⇒ −1 6 un 6 .
2
2. Supposons un décroissante soit un > un+1 ,
2
2
on a alors
6
un + 2
un+1 + 2
2
2
> 1−
=⇒ 1 −
un + 2
un+1 + 2
soit v n > v n+1 c’est-à-dire (v n ) décroissante.
1. −1 6 un 6 2 =⇒ −2 6 −
3. La suite (v n ) est bornée mais son sens de variation
dépend de celui de un ,
si (un ) décroissante alors (v n ) décroissante et mino-
rée donc convergente ;
si (un ) croissante alors (v n ) croissante et majorée
donc convergente ;
si (un ) n’est ni croissante, ni décroissante alors (v n )
n’est ni croissante, ni décroissante et on ne peut pas
conclure.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
465
E XERCICE 112
un − un−1 1
un+1 − un
=
= vn
1. v n+1 =
3
9
3
La suite (v n ) est géométrique de raison
mier terme v 1 =
1
.
3
n µ 1 ¶k
X
2. a. S n = v 1 + v 2 + · · · + v n =
k=1 3
µ µ ¶n+1 ¶
1
3
1−
−1
=
2
3
1
et de pre3
µ ¶n−1
1
2. D’après la question précédente, v n = −
5
µ ¶n−1
1
et un = 2 + v n = 2 −
.
5
µ ¶n−1
4 1
> 0 et un < 2
3. un+1 − un =
5 5
La suite (un ) est croissante et majorée donc conver-
gente.
µ ¶n−1
1
= 0 d’où lim un = 2.
n→+∞ 5
n→+∞
lim
3
, elle est donc
2
s
a
r
u
D
I
F
L
(S n ) est croissante et majorée par
convergente
µ ¶n+1
1
1
1
= 0 et lim S n = .
0 < < 1 donc lim
n→+∞ 3
n→+∞
3
2
b. On remarque que 3S n = un −u0 donc un = 1+3S n .
La suite (S n ) étant convergente, on en déduit alors
que (un ) est convergente
5
et lim un = 1 + 3 × lim S n = .
n→+∞
n→+∞
2
E XERCICE 113
3a
1. v n+1 =
un + 1−2a
un + 3a − 2aun
= (1 − 2a)
un
un
3a
=a
1 − 2a
c’est-à-dire après résolution de l’équation a = −1 car
E XERCICE 115
1. a. En utilisant la négation de la définition d’une suite
majorée, pour tout réel A, il existe un rang N pour
lequel u N > A.
b. La suite (un ) est croissante, donc ∀n > N,
un > u N > A, l’intervalle ]A;+∞[ contient tous les
un à partir du rang N.
Autrement dit lim un = +∞.
n→+∞
2. a.∀n ∈ N, v n+1 − v n = v n2 − 4v n + 4 = (v n − 2)2 > 0, la
suite (v n ) est donc strictement croissante.
b. Supposons que la suite (un ) converge vers le réel
La suite est géométrique si et seulement si
ℓ, celui-ci vérifie alors l’équation ℓ = ℓ2 − 3ℓ + 4 soit
la seconde solution (a = 0) est exclue.
qui implique ℓ = 2.
(v n ) est alors une suite géométrique de raison q = 3
u0 − 1
et de premier terme v 0 =
.
u0
n
2. v n = v 0 3 ,
• si v 0 > 0, (v n ) est croissante et lim v n = +∞
n→+∞
• si v 0 < 0, (v n ) est décroissante et lim v n = −∞
n→+∞
1
d’après la question précédente et les
1 − vn
opérations sur les limites, lim un = 0.
3. un =
n→+∞
1
4. u0 = donc v 0 = −1 < 0 donc d’après la question
2
précédente (v n ) est décroissante.
Donc ∀n ∈ N, v n+1 < v n =⇒ 1 − v n+1 > 1 − v n
1
1
<
=⇒
1 − v n+1 1 − v n
c’est-à-dire un+1 < un , la suite (un ) est donc décrois-
sante.
E XERCICE 114
1
1
1. v n+1 = (un − 2) = v n , la suite (v n ) est géomé5
5
1
trique de raison q = et de premier terme v 1 = −1.
5
après simplifications et factorisation (ℓ − 2)2 = 0 ce
c. Nous avons démontré que la suite (un ) est crois-
sante donc ∀n ∈ N, un > u0 d’où un > 3. La suite ne
peut donc pas avoir pour limite ℓ = 2. La suite (un )
est croissante et n’admet pas de limite réel, elle n’est
donc pas majorée.
d. La suite (un ) est croissante et non majorée donc
en appliquant le résultat de la question 1.b, la suite a
pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞
E XERCICE 116
1
1
1
+
−
2n + 1 2n + 2 n
3n + 2
< 0, la suite (xn ) est
=−
n(2n + 1)(2n + 2)
donc décroissante pour tout entier n non nul.
1. xn+1 − xn =
La proposition est donc fausse.
1 1 1 1 19
1 1 1 37
2. x3 = + + + =
et y = + + =
.
3 4 5 6 20
4 5 6 60
La proposition est donc vraie.
3. La suite (xn ) est décroissante donc majorée par son
premier terme x1 .
La proposition est donc fausse.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
466
E XERCICE 117
décroissante et la limite de leur différence est nulle.
1. Considérons la suite u définie pour tout n par :
1
. Alors aucun terme de un n’est nul, et (un )
un =
n +3
−2
converge vers 0. Mais v n =
= −2(n +3), donc (v n )
un
diverge vers −∞.
La proposition est donc fausse.
2. Si (un ) est minorée par 2, alors pour tout entier n, on
a : 2 6 un , la fonction inverse étant décroissante sur
1
1
[2 ; +∞[, alors >
=⇒ −1 6 v n .
2
un
Ainsi (v n ) est minorée par −1.
Les deux suites convergent vers la même limite ℓ.
4. On a tn+1 = 2un+1 + 3v n+1 = un + v n + un + 2v n
= 2un + 3v n = tn , la suite (tn ) est
constante. En particulier tn = t0 = 2u0 + 3v 0 = 36.
5. D’après les questions précédentes 5ℓ = 36 d’où
36
lim un = lim v n =
= 7,2.
n→+∞
n→+∞
5
E XERCICE 119
s
a
r
u
D
I
F
L
La proposition est donc vraie.
1
. Cette
n +3
suite est décroissante (avec aucun terme nul) et la
−2
suite (v n ) définie par v n =
= −2(n+3) est décroisun
sante non constante.
3. Soit (un ) la suite définie par :
un =
La proposition est donc fausse.
4. Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.
Donc soit elle tend vers ±∞, soit elle n’a pas de limite.
Soit un = −2(−1)n alors v n = (−1)n .
Comme la suite de terme général (−1)n diverge alors
(un ) et (v n ) divergent.
La proposition est donc fausse.
E XERCICE 118
un + 2v n un + v n
−
3
2
1
2un + 4v n − 3un − 3v n
= (v n − un )
=
6
6
1
= wn .
6
La suite (w n ) est donc une suite géométriqueµ de
¶ rai1
1 n
son . Or w 0 = v 0 − u0 = 12, donc w n = 12 ×
.
6
6
Tous les termes de la suite sont positifs et la raison
1. Soit w n+1 = v n+1 − un+1 =
étant comprise entre −1 et 1, cette suite converge
vers 0.
−un + v n
1
un + v n
2. un+1 − un =
− un =
= wn > 0
2
2
2
d’après la question précédente. La suite (un ) est donc
croissante.
De même :
un − v n
1
un + 2v n
vn =
= − w n < 0,
3
3
3
d’après la question précédente.
v n+1 − v n =
3. D’après les deux questions précédentes les deux
suites sont adjacentes car l’une est croissante, l’autre
1. Pour tout entier n > 0,
1
1
1
−3n − 2
un+1 − un =
+
− =
.
2n + 1 2n + 2 n n(2n + 1)(2n + 2)
2. un+1 − un < 0, la suite (un ) est donc décroissante.
3. un > 0, la suite (un ) est décroissante et minorée, elle
est donc convergente.
E XERCICE 120
12
1. • Initialisation : u0 = 1 + 0 = 1 + 12 = 13, vrai.
5
• Hérédité : supposons qu’il existe un naturel p > 0
12
tel que u p = 1 + p ;
5
¶
µ
1
4
4 1
12
alors u p+1 = u p + =
1+ p +
5
5 5
5
5
12
12
1 4
= + + p+1 = 1+ p+1 : l’hérédité est
5 5 5
5
bien démontrée.
12
• Conclusion : On a ∀n ∈ N,un = 1 + n .
5
12
Comme lim n = 0, lim un = 1.
n→+∞
n→+∞ 5
2. a. On a S n+1 − S n = un+1 > 0, ce qui entraîne que la
suite (S n ) est croissante.
b. D’après la question 1,
n 12
X
12
12
S n = 1 + 0 + · · · + 1 + n = (n + 1) × 1 +
k
5
5
k=0 5
n 1
X
= (n + 1) + 12
.
k
k=0 5
Le deuxième terme de la somme précédente est la
somme des (n + 1) premiers termes d’une suite géon µ 1 ¶k
X
1
métrique de raison , soit Tn =
,
5
k=0 5
³ ´n+1
µ
¶
1 − 51
1
5
1
−
=
Tn =
.
4
5n+1
1 − 51
¶
µ
n 1
X
5
1
= 12 ×
1 − n+1
D’où 12
k
4
5
k=0 5
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
467
¶
µ
3
1
= 15 1 − n+1 = 15 − n
k
5
5
k=0 5
3
3
On a donc : S n = (n + 1) + 15 − n = n + 16 − n .
5
5
c. lim S n = lim n = +∞.
12
n 1
X
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 121
Proposition 1 : Fausse. En effet la suite (un ) de l’exercice
ci-dessus est convergente, alors que (S n ) diverge.
1
Proposition 2 : Fausse. En effet, si un =
, la suite
n +1
(un ) est décroissante et la suite (S n ) est croissante.
4. La suite de terme général un = 2+
sitifs, décroissante et tend vers 2.
1
est à termes pon
La proposition est donc fausse.
E XERCICE 124
1. a. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, 0 6 un 6 4 ».
• Initialisation : u0 = 0 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie,
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 122
1. • Initialisation : u1 =
au rang 1.
2 1
< : vrai. La relation est vraie
5 2
• Hérédité : soit un naturel n > 1 tel que un <
1
;
2
1
1
1
2
1
2
alors un <
⇐⇒ un + <
+
5
10
5
5 10 5
5
⇐⇒ un+1 <
.
10
1
Soit finalement un+1 < . La relation est vraie au
2
rang n + 1.
• Conclusion : La relation est vraie au rang 1 et est hé1
réditaire. Ainsi pour tout n > 1, un 6 .
2
2. Pour tout naturel n > 0,
µ
¶
1
2
2 4
4 1
un+1 − un = un + − un = − un =
− un .
5
5
5 5
5 2
1
D’après la question précédente un 6 ,
2
donc un+1 − un > 0.
La suite (un ) est croissante
3. La suite est croissante et majorée par 1 : elle converge
vers une limite ℓ telle que ℓ 6 1.
ℓ vérifie la relation :
1
2
1
ℓ = ℓ + ⇐⇒ 5ℓ = ℓ + 2 ⇐⇒ 4ℓ = 2 ⇐⇒ ℓ = .
5
5
2
E XERCICE 123
1. La suite (un ) vérifie ∀n ∈ N, −1 6 un 6 1.
La proposition est donc vraie.
2. Si n = 2p alors u2p = 1.
Si n = 2p +1 alors u2p+1 = −1, la suite (un ) n’a pas de
limite quand n tend vers l’infini.
La proposition est donc fausse.
1
un
1
un
3. ∀n > 1,− 6
6 , la suite de terme général
n
n
n
n
converge vers 0, d’après le théorème des gendarmes.
La proposition est donc vraie.
c’est-à-dire 6 un 6 4.
p
p
On a alors 0 6 3un + 4 6 16 on en déduit que
0 6 un+1 6 4 et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc pour tout entier naturel n, la suite
(un ) est minorée par 0 et majorée par 4.
b. Démontrons que la suite (un ) est croissante c’està-dire Pn : « ∀n ∈ N, un+1 − un > 0 ».
• Initialisation : u1 − u0 = 2 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
On a alors
un+2 − un+1 =
p
p
3un+1 + 4 − 3un + 4
un+1 − un
> 0 et donc
= 3p
p
3un+1 + 4 + 3un + 4
Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc pour tout entier naturel n, la suite
(un ) est croissante.
c. La suite (un ) est croissante et majorée, elle est donc
convergente vers une limite ℓ ∈ [0;4].
p
3ℓ + 4 =⇒ ℓ2 −3ℓ−4 = 0 cette équation
ℓ vérifie ℓ =
admet deux solutions ℓ1 = −1 et ℓ2 = 4. Seule la so-
lution ℓ2 appartient à l’intervalle [0;4], la suite (un )
admet pour limite 4.
p
16 − 3un − 4
2. a. 4 − un+1 = 4 − 3un + 4 =
p
4 + 3un + 4
4 − un
1
=3
6 (4 − un ) car un > 0
p
2
4 + 3un + 4
1
1
6 .
d’où
p
6
4 + 3un + 4
µ ¶n
1
b. Par récurrence, on obtient 4 − un 6
(4 − u0 ).
2
µ ¶n
1
1
0 < < 1 donc lim
= 0.
n→+∞ 2
2
D’autre part, d’après la question 1.a,
4−un > 0, on en déduit d’après le théorème des gendarmes que lim (4 − un ) = 0 d’où lim un = 4.
n→+∞
n→+∞
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
468
• Initialisation : v 0 = 6, v 1 = 1,4v 0 − 0,005v 02 = 6,6.
E XERCICE 125
1. La suite définie sur N par un = (−1)n n’est pas
convergente et −1 6 un 6 1.
1
2. La suite définie sur N∗ par un = 2 +
est décroisn
sante à termes positifs et lim un = 2.
n→+∞
3. La suite définie sur N∗ par un =
0 et n’est pas monotone.
sin n
converge vers
n
4. Voir l’exemple de la question 1.
1
5. La suite définie sur N∗ par un = 2 − est croissante
La propriété est vraie au rang 0.
On a bien 0 < v 0 < v 1 6 8.
• Hérédité : Supposons qu’il existe n ∈ N tel que
0 < v n < v n+1 6 8.
On a v n+2 = f (v n+1 ). D’après la question précé-
dente la fonction f est croissante sur ] −∞ ; 14] donc
0 < v n < v n+1 6 8 ⇐⇒ 0 < f (v n ) < f (v n+1 ) 6 f (8)
⇐⇒ 0 < v n+1 < v n+2 6 f (8).
s
a
r
u
D
I
F
L
et majorée par 3 et lim un = 2.
n
n→+∞
turel n, 0 < v n < v n+1 6 8.
2. D’après la question précédente, (v n ) est croissante et
1. Démonstration par récurrence très simple.
2
p
12 + un − un
2. un+1 − un = un + 12 − un = p
un + 12 + un
(un + 3) (4 − un )
= p
<0
un + 12 + un
La suite (un ) est donc décroissante.
majorée, la suite converge donc vers une limite ℓ in-
férieure ou égale à 8.
La relation v n+1 = 1,4v n −0,05v n2 entraîne par limite
à l’infini :
3. La suite (un ) est décroissante et minorée donc
Soit ℓ sa limite, elle vérifie ℓ =
• Conclusion : La propriété P est vraie et est hérédi-
taire : on a donc démontré que pour tout entier na-
E XERCICE 126
convergente.
Or f (8) = 8. L’hérédité est donc démontrée.
ℓ = 1,4ℓ − 0,05ℓ2 ⇐⇒ 0,4ℓ = 0,05ℓ2
⇐⇒ ℓ = 0 ou ℓ = 8.
La suite est croissante à partir du rang 6, sa limite ne
p
ℓ + 12.
peut donc être nulle.
Cette équation s’écrit encore ℓ2 − ℓ − 12 = 0.
Les solutions sont −3 et 4, or un > 4 donc ℓ = 4.
La suite (v n ) converge vers 8.
E XERCICE 129
E XERCICE 127
un − 4
p
1. ∀n ∈ N, un+1 − 4 = un + 12 − 4 = p
un + 12 + 4
p
d’autre part un + 12 + 4 > 4
1
on en déduit alors que un+1 − 4 6 (un − 4).
4
2. On utilise une démonstration par récurrence.
1
3. lim n = 0 donc d’après le théorème des genn→+∞ 4
darmes, lim (un − 4) = 0
n→+∞
on en déduit alors que lim un = 4.
n→+∞
E XERCICE 128
£
¤
1. a. f (x) = 1,4x − 0,05x 2 = −0,05 (x − 14)2 − 196 .
1
n +1−n
1
1
=
=
− .
(n − 1)n
(n − 1)n
n −1 n
2. Il s’agit ici d’une somme télescopique, les fractions
1. Pour tout n > 1,
s’éliminent deux à deux, il ne reste que les premier et
dernier termes :
1 1 1
1
1
1
∀n > 1, v n = 1+1− + − +· · · +
− = 2− .
2 2 3
n −1 n
n
1
3. un+1 − un =
> 0, la suite (un ) est donc crois(n + 1)2
sante.
1
1
4. Pour tout n > 1, 2 <
d’où un 6 v n .
(n − 1)n
n
⋆
5. D’après la question 2., ∀n ∈ N , v n 6 2, la suite (un )
est croissante et majorée par 2, la suite est donc
convergente.
La fonction trinôme f a donc un maximum (car
−0,05 < 0) pour x = 14, f (14) = 9,8.
E XERCICE 130
La fonction est donc croissante sur ] − ∞ ; 14] et dé-
1. Démonstration par récurrence très simple (voir exer-
b. Démontrons la propriété Pn :
2. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
croissante sur [14 ; +∞[.
« ∀n ∈ N, 0 6 v n < un+1 6 8 ».
cice 108).
« ∀n ∈ N, xn2 < 3 ».
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
469
• Initialisation : x0 = 1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
x2 − 3
(2xn + 3)2 − 3(xn + 2)2
2
= n
<0
xn+1
−3 =
2
(xn + 2)
(xn + 2)2
donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc ∀n ∈ N, xn2 < 3.
3. ∀n ∈ N, xn+1 − xn =
3 − xn2
xn + 2
> 0 (d’après la question
p
2.
p
µ
¶ p
p
1
2
2
2
3. un+1 − 2 =
−
un +
−
2
un
2
2
p ¢
1
1
1¡
−p .
un − 2 +
=
2
un
2
1
1
− p < 0 donc
4. D’après les questions précédentes
un
2
p
p ¢
1¡
∀n ∈ N∗ , un − 2 <
un−1 − 2
2
On montre alors par récurrence que
µ ¶n−1
p
p ¢
¡
1
∀n ∈ N∗ , un − 2 <
u1 − 2
2
p
1
de plus u1 − 2 < .
2
p
1
On en déduit alors que ∀n ∈ N∗ , un − 2 < n .
2
p
1
1
5. On a ∀n ∈ N∗ , 0 < un − 2 < n et lim n = 0
n→+∞ 2
2
donc ³ d’après ´ le théorème des gendarmes
p
p
lim un − 2 = 0 d’où lim un = 2
un >
s
a
r
u
D
I
F
L
précédente).
La suite (xn ) est donc croissante.
4. La suite (xn ) est croissante et majorée donc conver2ℓ + 3
gente, soit ℓ sa limite, alors ℓ =
.
ℓ+2
Après simplification cette équation s’écrit ℓ2 = 3 or
p
d’après la question 1, ℓ > 0 donc ℓ = 3.
E XERCICE 131
1
>0
q0 q1 · · · qn+1
La suite (un ) est donc croissante.
¡ ¢
2. Par hypothèse, la suite qn est croissante donc
µ ¶2
µ ¶n
1
1
1
∀n ∈ N, un <
+
+··· +
q0
q0
q0
³ ´n+1
1
µ ¶2
µ ¶n
−1
1
1
1
q0
−1
de plus
=
+
+··· +
1
q0
q0
q0
q0 − 1
³ ´n
1 − q10
=
.
q −1
³ ´n 0
1 − q1
0
On en déduit alors que un <
q0 − 1
la suite (u³n ) est
´ donc majorée par la suite
1. ∀n ∈ N, un+1 − un =
n
1 − q1
1
qui converge vers
.
Qn =
q0 − 1
q0 − 1
3. La suite (un ) est croissante et majorée, elle est donc
0
convergente vers une limite ℓ.
D’après les questions précédentes 0 < ℓ 6
de plus q0 > 2 donc 0 < ℓ 6 1.
1
q0 − 1
E XERCICE 132
1. On démontre facilement par récurrence que
∀n ∈ N, un > 0.
Ã
!
p ¢2
¡
p
2 + 2 − 2 2u
p
1 un − 2
1 un
n
.
=
2. un+1 − 2 =
2
un
2
un
p
On en déduit alors que ∀n ∈ N∗ , un+1 − 2 > 0 donc
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 133
1. u1 =
7
37
1
, u2 =
, u3 =
4
16
64
7
25
91
v1 = , v2 =
, v3 =
.
4
16
64
2. a. s 0 = 2, s 1 = 2, s 2 = 2, s 3 = 2.
Il semblerait que la suite (s n ) soit constante et s n = 2.
b. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, s n = 2 ».
• Initialisation : s 0 = 2 donc P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
3s n + 2
On sait que s n+1 = un+1 + v n+1 =
.
4
Or par hypothèse de récurrence, s n = 2 d’où s n+1 = 2,
et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc ∀n ∈ N, s n = 2.
3
3
(v n − un ) = dn .
4
4
3. a. dn+1 = v n+1 − un+1 =
la suite (dn ) est une suite géométrique de raison
de premier terme d0 = 2.
3
et
4
µ ¶n
3
.
4
4. En utilisant les résultats
µ ¶n2. b. et 3. b., on
µ ¶n des questions
3
3
et v n = 1 +
.
obtient : un = 1 −
4
4
µ ¶n
3
5. lim
= 0, on en déduit alors que les suites (un )
n→+∞ 4
et (v n ) convergent vers la même limite 1.
b. D’après la question précédente dn = 2
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
470
E XERCICE 134
2 > 0, la suite (u ) est donc
1. ∀n ∈ N, un+1 − un = un
n
croissante.
2. Si (un ) converge alors sa limite ℓ vérifie l’équation
ℓ = ℓ2 + ℓ c’est-à-dire ℓ = 0.
3. Si u0 + u02 > 0 alors u1 > 0, de plus la suite (un ) est
croissante donc ∀n ∈ N∗ , un > 0 donc ℓ > 0
par contraposition du résultat de la question précédente, on en déduit alors que la suite (un ) diverge.
!
!
Ã
Ã
w 12
1
1
a2
• Initialisation : w 2 =
6 w1 +
w1 +
2
w1
2
w1
c’est-à-dire w 2 6 w 1 .
1
d’autre part w 2 − a = (w 1 − a)2 > 0
2
donc w 2 > a
Ainsi a 6 w 2 6 w 1 , P1 est vraie.
• Hérédité Ã: soit n un!entierÃdans N tel!que Pn vraie.
w2
1
a2
1
w n+1 =
wn +
6 wn + n
2
wn
2
wn
c’est-à-dire w n+1 6 w n .
1
d’autre part w n+1 − a = (w n − a)2 > 0
2
donc w n+1 > a
s
a
r
u
D
I
F
L
4. u0 + u02 = 0 =⇒ u1 = 0, on peut alors démontrer par
récurrence que la suite (un ) est nulle.
5. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« u0 + u02 < 0 =⇒ ∀n ∈ N, −1 < un < 0 ».
• Initialisation : u0 (u0 + 1) < 0 =⇒ −1 < u0 < 0 donc
P0 est vraie.
• Hérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
On sait que un+1 = un (un + 1).
Or par hypothèse de récurrence, −1 < un < 0 d’où
−1 < un+1 < 0, et donc Pn+1 est vraie.
ainsi a 6 w n 6 w n+1 , c’est-à-dire Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P1 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc ∀n > 1, a 6 w n+1 6 w n .
b. La suite (w n ) est décroissante et minorée, elle est
donc convergente.
Ã
!
a2
1
ℓ+
.
Soit ℓ la limite de cette suite, ℓ vérifie ℓ =
2
ℓ
Après simplifications, cette équation devient ℓ2 = a 2
d’après les questions précédentes ℓ > 0 donc ℓ = a.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, donc
u0 + u02 < 0 =⇒ ∀n ∈ N, −1 < un < 0.
6. D’après les questions précédentes :
• si u0 + u02 < 0, la suite (un ) converge vers 0.
• si u0 +u02 = 0, la suite (un ) est nulle pour tout n > 1.
• si u0 + u02 > 0, la suite (un ) diverge.
E XERCICE 135
E XERCICE 136
18
3
et u2 =
.
4
19
2. On peut démontrer par récurrence que :
1. u1 =
∀n ∈ N⋆ , 0 < un puis que un − 1 < 0.
(un + 3) (1 − un )
> 0 ( d’après la question
3. un+1 −un =
un + 4
précédente)
la suite (un ) est donc croissante.
1. On démontre récurrence que ∀n > 1, un > 0 donc la
suite estµ bien définie.
¶
un−1 − 2 2
2
2. a. v n =
= v n−1
un−1 + 2
Par récurrence, on obtient
µ ¶2(n−1)
3
v n = (v 1 )2(n−1) =
.
5
3
b. 0 < < 1 donc lim v n = 0
n→+∞
5
on en déduit alors que lim un = 2.
n→+∞
3. D’une manière générale,
on !considère la suite défiÃ
a2
1
wn +
, avec a > 0 et w 1 > a.
nie par w n+1 =
2
wn
a. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n > 1, a 6 w n+1 6 w n ».
4. La suite (un ) est croissante et majorée, elle est donc
convergente.
5. ∀n ∈ N, v n+1 =
1
vn .
5
La suite (v n ) est géométrique de raison q =
1
premier terme v 0 = − .
3
1
et de
5
µ ¶
1 1 n
,
6. D’après la question précédente v n = −
3 5
³ ´n
1
3−3 5
1 + 3v n
un =
=
³ ´n .
1 − vn
3 + 15
µ ¶n
1
1
= 0, on en déduit par opé7. 0 < < 1 donc lim
n→+∞ 5
5
ration sur les limites que lim un = 1.
n→+∞
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
471
E XERCICE 137
1. u1 = 1, u2 = −1, u3 = 2, u4 = −2, u5 = 3.
2. a. ∀n ∈ N,
v n+1 − v n = u2n+2 − u2n
= u2n+1 + (2n + 2)(−1)2n+3 − u2n
= u2n +(2n +1)(−1)2n+2 +(2n +2)(−1)2n+3 −u2n
= 2n + 1 − 2n − 2 = −1
La suite (v n ) est arithmétique de raison −1 et de premier terme v 0 = u0 = 0
n2
d. D’après la question 2.b, kv n k 6 4 × n .
2
n2
lim
= 0, on en déduit alors que lim v n = 0.
n→+∞ 2n
n→+∞
E XERCICE 139
1. a. Démonstration par récurrence, très simple.
¡
¢
b. ∀n ∈ N, un+1 − un = un e −u n − 1 6 0 (car un > 0
donc e −u n 6 1)
La suite (un ) est donc décroissante.
s
a
r
u
D
I
F
L
On montre de manière analogue que (w n ) est une
suite arithmétique de raison 1 et de premier terme
w 1 = u1 = 1.
w n = w 1 + (n − 1) = n.
c. Se déduit de la question précédente.
3. La suite (un ) est constituée de deux sous-suites di-
vergentes, l’une vers +∞ et l’autre vers −∞, elle est
donc divergente et n’a pas de limite.
1. a. On démontre par récurrence que ∀n ∈ N, un < 4.
(4 − un ) (1 + un )
b. un+1 − un = p
> 0,
3un + 4 + un
La suite (un ) est donc strictement croissante.
c. La suite (un ) est une suite croissante et majorée
p
3ℓ + 4
après simplification on obtient : ℓ2 − 3ℓ − 4 = 0.
Cette équation admet deux solutions distinctes −1 et
4, or la suite est croissante et de premier terme nul,
elle est donc à termes positif, il en va de même pour
sa limite.
On en déduit alors que lim un = 4.
n→+∞
p
2. a. ∀n ∈ N, 4 − un+1 = 4 − 3un + 4
3(4 − un )
=
p
4 + 3up
n +4
or un > 0 donc 4 + 3un + 4 > 6
1
on en déduit alors que 4 − un+1 6 (4 − un ).
2
b. On démontre par récurrence.
µ ¶n
1
.
∀n ∈ N, |4 − un | 6 4 ×
2
µ ¶n
1
= 0 donc d’après le théorème des genc. lim
n→+∞ 2
darmes lim (4 − un ) = 0 ainsi lim un = 4.
n→+∞
³
´
ℓ vérifie l’équation ℓ = ℓe −ℓ ⇐⇒ ℓ e −ℓ − 1 = 0
2. a. ∀n ∈ N,un 6= 0, on peut donc écrire :
un+1
un
u1
×
×··· ×
= e −u n × e −u n−1 × · · · × e −u 0 .
un
un−1
u0
un+1
un
u1 un+1
D’autre part
×
×··· ×
=
= un+1
un
un−1
u0
u0
−u
−u
−u
−u
−u
−···−u
n
n−1
0
n
n−1
0
et e
×e
×··· ×e
=e
= e −S n
d’où pour tout n ∈ N, un+1 = e −S n .
E XERCICE 138
Soit ℓ sa limite, alors ℓ =
converge vers une limite ℓ finie.
=⇒ ℓ = 0 ou e −ℓ = 1 donc ℓ = 0.
b. v n = v 0 − n = −n
donc convergente.
c. La suite (un ) est décroissante et minorée donc
n→+∞
On retrouve le résultat de la question 1.c..
b. S n = −ln un+1 , d’après le 1.c, lim un = 0+
de plus lim ln x = −∞
n→+∞
x→0+
on en déduit donc par composition des limites que
lim S n = +∞
n→+∞
E XERCICE 140
1. a. Toutes les boules sont de même couleur, elles sont
donc soit toutes blanches, soit toutes noires d’où
³ ´ µ 1 ¶n µ 1 ¶n µ 1 ¶n−1
+
=
.
p A =
2
2
2
b. Soit p la probabilité d’obtenir une seule boule
µ ¶ µ ¶n−1
1
1
n
blanche, p = n
= n.
×
2
2
2
³ ´
1
n
c. p (A ∩ B) = p = n , p (A) = 1 − p A = 1 − n−1 et
2
2
µ ¶n
1+n
1
+p = n .
p (B) =
2
2
2. p (A ∩ B) =Ãp (A) × p (B)
! µ
¶
n
n +1
2n−1 − 1
⇐⇒ n =
×
2
2n
2n−1
!
Ã
n−1
2
−1
× (n + 1)
⇐⇒ n =
2n−1
⇐⇒ 2n−1 n = 2n−1 (n + 1) − n − 1
⇐⇒ 2n−1 = n + 1.
3. u2 = −1, u3 = 0, u4 = 3.
un+1 − un = 2n − n − 2 − 2n−1 + n + 1 = 2n−1 − 1 > 0.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
472
La suite (un ) est donc strictement croissante pour
b. La limite des suites u et v vérifie donc :
tout entier n > 2.
3ℓ + 8ℓ = 99 ⇐⇒ 11ℓ = 99 ⇐⇒ ℓ = 9.
4. Les événements A et B sont indépendants si et seulement si p (A ∩ B) = p (A) × p (B) donc d’après les
questions précédentes si et seulement si un = 0 soit
lorsque n = 3.
E XERCICE 141
E XERCICE 142
1. a. Démontrons
p par récurrence la proposition Pn :
2
6 un 6 1 ».
« ∀n ∈ N∗ ,
2
p
2
• Initialisation : u1 =
donc P1 est vraie.
2
•pHérédité : soit n un entier dans N tel que Pn vraie.
2
6 un 6 1
2
p
p sp
p
p
2
2
2p
2
un + 1 6 2
=⇒
+1 6
2
2s
2
2
p
p
p
p
p 2
2
2
2
6
+ 1 et 2
=1
or
2p 2
2
2
2
d’où
6 un+1 6 1
2
donc Pn+1 est vraie.
s
a
r
u
D
I
F
L
1. a. Pour tout entier naturel n :
w n+1 = µv n+1 − un+1 ¶
1
1
=
(un + 3v n ) − (un + 2v n )
4
3
1
=
(v n − un ) d’où :
12
1
w n+1 =
w n , ce qui montre que la suite w est une
12
1
suite géométrique de raison
.
12
Le premier terme est w 0 = v 0 − u0 = 2 − 1 = 11 > 0.
On sait que
µ quel
¶ que soit le naturel n :
1 n
un = 11 ×
positif car produit de deux facteurs
12
positifs.
µ ¶n
1
1
< 1, lim
= 0 , d’où par
b. Comme −1 <
n→+∞ 12
12
produit de limites lim w n = 0.
n→+∞
2. a. Pour tout n ∈ N :
2
2
un+1 − un = (v n − un ) = w n > 0, (car produit de
3
3
deux facteurs positifs) ce qui prouve que la suite u est
croissante.
b. Pout tout n ∈ N :
1
1
v n+1 − v n = − (v n − un ) = − w n < 0, (car produit
4
4
d’un facteur négatif par un facteur positif ) ce qui
prouve que la suite v est décroissante.
c. La suite u croissante est minorée par u0 = 1 et la
suite v décroissante est majorée par v 0 = 12.
D’autre part w n > 0 ⇐⇒ v n − un > 0
⇐⇒ un < v n , donc finalement quel que soit le naturel n : u0 6 un 6 v n 6 v 0 .
3. Soit ℓ la limite de u et ℓ′ la limite de la suite v .
On sait que lim w n = 0 ⇐⇒
n→+∞
soit lim v n − lim un = 0
n→+∞
lim (v n − un ) = 0,
n→+∞
n→+∞
et enfin ℓ − ℓ′ = 0 ⇐⇒ ℓ = ℓ′ .
4. a. Pour tout entier naturel n :
tn+1 = 3un+1 + 8v n+1 = 3un + 8v n = tn : la suite t est
donc constante et t0 = 3u0 + 8v 0 = 3 + 96 = 99.
• Conclusion : P1 est vraiep
et la proposition Pn est
2
∗
6 un 6 1.
héréditaire, donc ∀n ∈ N ,
2
p s
2
1
un+1
1
b.
=
+ 2 >1
un
2
un un
La suite (un ) est donc croissante.
c. La suite (un ) est croissante et majorée donc
convergente.
d. Laplimite de la suite (un ) vérifie l’égalité
2p
ℓ=
ℓ + 1.
2
Après simplification, nous obtenons 2ℓ2 − ℓ − 1 = 0
1
Cette équation admet deux solutions 1 et −
2
d’après la question 1.a, on déduit que ℓ = 1.
2. a. cos (2a) = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a ³− 1.´
x
1 + cos x
x
On pose a = , on obtient alors cos2
=
.
2
2
2
π
π x
On remarque que si −π < x <6 π alors − < 6
2
2
2
³x ´
>0
donc cos
2
r
³x ´
1 + cos x
d’où pour tout réel x , on a
= cos
.
2
2
b. On montre
par
récurrence
que
∀n
∈
N
,
µ
¶
π
un = cos n+1 .
2
π
c. lim n+1 = 0 et cos 0 = 1 donc par composition
n→+∞ 2
des limites, on en déduit que lim un = 1
n→+∞
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
473
E XERCICE 143
· x
¸
Z1 x
Z1
e + e −x 1
e − e −x
=
f 1 (x) dx =
1. I 1 =
2
2
0
0
0
e + e −1 − 2
=
.
2
2. Pour x ∈ [0 ; 1], on a successivement :
x
x
x
x
x
x
x > −x =⇒ > − =⇒ e n > e − n =⇒ e n − e − n > 0.
n
n
La fonction f n est donc positive sur [0 ; 1] et par
• Initialisation : u1 = 2,2 < u0 = 4. La relation est
conséquent l’intégrale I n est en unité d’aire, l’aire de
3. D’après les questions précédentes, la suite (un ) est
la surface limitée par Cn , l’axe des abscisses et les
décroissante et minorée par 1 : elle est donc conver-
droites d’équations x = 0 et x = 1.
" x
x !
x #1
Z1 Ã x
e n − e− n
ne n + ne − n
In =
dx =
2
2
0
gente vers un nombre ℓ supérieur ou égal à 1.
vraie au rang 0.
• Hérédité : Supposons qu’il existe un naturel n > 0
tel que un < un−1 ; la fonction f étant croissante, on
a f (un ) < f (un−1 ) donc un+1 < un .
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est
héréditaire donc ∀n ∈ N, un+1 < un .
s
a
r
u
D
I
F
L
1
1
0
ne n + ne− n − 2n
.
=
2
1
1
1
1
en
e− n
3. ne n = 1 ; ne − n = − 1 .
−n
n
´
1
1³ 1
n
ne − n + e − n − n
Donc I n =
2 Ã
!
1
1
1 e n − 1 e− n − 1
=
−
.
1
2
− n1
n
µ
¶
1 e ǫ − 1 e −ǫ − 1
1
−
.
En posant ǫ = , on obtient I n =
n
2
ǫ
−ǫ
Quand n tend vers l’infini, ǫ tend vers zéro.
eǫ − 1
eǫ − e0
Or lim
= lim
. Cette limite est égale
ǫ→0
ǫ→0 ǫ − 0
ǫ
x
nombre dérivé de
e en zéro soit e 0 = 1.
e −ǫ − 1
De même lim
= 1, donc lim I n = 0.
n→+∞
ǫ→0 −ǫ
E XERCICE 144
1. • Initialisation : u0 = 4 > 1. L’inégalité est vraie au
rang 0.
• Hérédité : Supposons qu’il existe un naturel n > 0
tel que un > 1.
1
1
4
< =⇒
<2
un + 1 2
un + 1
4
4
> −2 =⇒ 3−
> 1.
=⇒ −
un + 1
un + 1
Alors un + 1 > 2 =⇒
4
Or 3 −
= un+1 d’où un+1 > 1.
un + 1
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est
héréditaire donc quel que soit n ∈ N, un > 1.
2. La fonction f , somme de fonctions dérivables sur
]−1 ; +∞[, est dérivable sur cet intervalle et
4
> 0.
f ′ (x) =
(x + 1)2
La fonction f est donc croissante sur ]−1 ; +∞[.
Montrons par récurrence la décroissance de la suite :
La fonction f est continue sur ]−1 ; +∞[ car déri-
vable sur cet intervalle.
La relation de récurrence un+1 = f (un ) entraîne par
4
passage à la limite ℓ = f (ℓ) ⇐⇒ ℓ = 3 −
ℓ+1
ce qui après simplification donne ℓ = 1.
La suite (un ) converge vers 1.
E XERCICE 145
1. a. f est la composée de la fonction x 7−→ −x 2 , dé-
croissante sur [0 ; 1] et de la fonction exponentielle
croissante sur R. f est donc décroissante sur [0 ; 1].
On en déduit que, pour tout x de [0 ; 1],
1
f (1) 6 f (x) 6 f (0) ⇐⇒ 6 f (x) 6 1.
e
b. Par croissance de l’intégrale, on déduit de la question précédente :
Z1
Z1
Z1
1
1
dx 6
f (x) dx 6
1 d x ⇐⇒ 6 u0 6 1.
e
0 eZ
0
0
Z
2. u1 =
1
0
x f (x) d x =
1
0
2
xe −x d x
On pose u(x) = −x 2 , ainsi u ′ (x) = −2x
1
et (u ′ e u )(x) = −2x f (x) ⇐⇒ x f (x) = − u ′ (x)e u(x) .
2
·
¸
µ
¶
1 −x 2 1
1 1
1
1
On a donc : u1 = − e
=− + =
1−
.
2
2e 2 2
e
0
3. a. Comme la fonction exponentielle est positive sur
R, pour tout x de [0 ; 1], x n f (x) > 0
Z1
d’où
x n f (x) dx > 0 soit un > 0.
0
b. Pour tout nZ∈ N,
1
x n+1 f (x) − x n f (x) dx
un+1 − un =
0
Z1
(x − 1)x n f (x) dx 6 0 car la fonction inté=
0
grée est négative sur [0 ; 1].
La suite (un ) est décroissante.
c. La suite (un ) est décroissante et minorée par 0
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
474
donc elle converge.
• Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et elle
4. a. D’après la question 1. a, pour tout x de [0 ; 1],
est héréditaire : d’après le principe de récurrence
f (x) 6 1, par croissance de l’intégrale :
Z1
Z1
x n dx
x n f (x) dx 6
0 "
0
#1
Z1
x n+1
⇐⇒
x n f (x) dx 6
n +1
0
0
Z1
1
n
x f (x) dx 6
⇐⇒
n +1
0
b. D’après les questions 3. a et 4. a, on a
1
1
0 6 un 6
et lim
= 0.
n + 1 n→+∞ n + 1
D’après le théorème des gendarmes la suite (un )
pour tout entier naturel n non nul : un > 0.
un+1
n +1
n +1
b. Soit n ∈ N∗ , alors
=
=
6 1.
un
2n
n +n
Comme un > 0 on en déduit que un+1 6 un et donc
que la suite (un ) est décroissante.
c. La suite (un ) est décroissante, minorée par 0, elle
est donc convergente vers une limite ℓ > 0.
un+1 1 1
1
3. a. Soit n ∈ N∗ , v n+1 =
= × un = v n .
n +1 2 n
2
La suite (v n ) est donc une suite géométrique de rai1
1
son et de premier terme v 1 = u1 = .
2
2
b. Par propriété des suites géométriques, pour tout
µ ¶n−1
1
1
n ∈ N∗ : v n =
v1 = n .
2
2
n
On en déduit un = nv n = n .
2
4. a. On peut
µ écrire, pour
¶ tout réel x ∈ [1 ; +∞[ :
ln x
f (x) = x
− ln 2 .
x
ln x
= 0 (croissances comparées),
On sait que lim
x→+∞ x
donc, par opérations sur les limites :
s
a
r
u
D
I
F
L
converge vers 0.
E XERCICE 146
1. (tn ) appartient à l’ensemble (E) si et seulement si,
pour tout entier naturel n non nul,
tn+1 − tn = 0,24tn−1 ⇐⇒ λn+1 − λn = 0,24λn−1
⇐⇒ λ2 − λ = 0,24 (λ 6= 0).
Cette équation admet deux solutions réelles
λ = 1,2 et λ = −0,2.
Les suites (tn ) appartenant à (E) sont les suites
tn = 1,2n et tn = (−0,2)n .
2. a. un doit vérifier :
(
α+β = 6
⇐⇒
1,2α − 0,2β = 6,6
α(1,2)1 + β(−0,2)1 = 6,6
39 3
39
et β = 6 − α = 6 −
= .
b. On en déduit que α =
7
7
7
La suite s’écrit donc quel que soit n ∈ N,
39
3
un =
(1,2)n + (−0,2)n .
7
7
c. Comme −1 < −0,2 < 1, lim (−0,2)n = 0.
n→+∞
D’autre part lim (1,2)n = +∞ d’où lim un = +∞
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 147
1+1
1
2+1
3
1
1. u2 =
u1 = , u3 =
u2 = , u4 =
2×1
2
2×2
8
4
2. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, un > 0.
1
> 0, la propriété est vraie au
2
rang 1.
• Initialisation. u1 =
• Hérédité. Soit entier naturel n non nul on a un > 0,
n +1
n +1
alors, comme
> 0, on a
un > 0,
2n
2n
c’est-à-dire un+1 > 0, la propriété est donc vraie au
rang n + 1.
³n ´
¡ ¢
= ln n − ln 2n
2n
= ln n − n ln 2 = f (n).
b. Soit n ∈ N∗ , alors ln un = ln
On en déduit que :
(
α(1,2)0 + β(−0,2)0 = 6
lim f (x) = −∞.
x→+∞
lim ln un = −∞, puis, par application de la fonction exponentielle et de la limite
n→+∞
d’une composée : lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 148
4
14
1. a. u1 = = 0,8 ; u2 =
≃ 1,08 ;
5
13
122
40
≃ 0,98 ; u4 =
≃ 1,01.
u3 =
41
121
b. u0 − 1 > 0 ; u1 − 1 < 0 ; u2 − 1 > 0
u3 − 1 < 0 ; u4 − 1 > 0
ainsi :
si n pair, (−1)n = 1 et (un − 1) > 0
si n impair, (−1)n = −1 et (un − 1) < 0.
un + 2 − (2un + 1) −un + 1
c. un+1 − 1 =
=
.
2un + 1
2un + 1
d. Démontrons par récurrence la propriété Pn :
(un − 1) a le même signe que (−1)n :
• initialisation : u0 − 1 > 0, P0 est vraie.
• Hérédité : Supposons Pn vraie pour n > 0 c’est-à-
dire (un − 1) est du signe de (−1)n . Alors (1 − un ) a le
signe opposé de (un − 1) donc a le signe de (−(−1)n )
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
475
donc de (−1)n+1 et (2un + 1) > 0, car tous les un sont
1 − un
a le
strictement positifs, donc la fraction
2un + 1
n+1
signe de (−1)
et comme elle est égale à (un+1 − 1),
b. D’après la question 1, pour tout n, w n > 0.
rédité est prouvée.
La suite (v n ) est décroissante donc, pour tout n ∈ N,
on a prouvé que (un+1 − 1) a le signe de (−1)n+1 , l’hé-
• Conclusion : On a montré que u0 − 1 > 0 et pour
tout n de N, (un − 1) a le signe de (−1)n entraîne
que (un+1 − 1) a le signe de (−1)n+1 , donc d’après le
pour tout n.
Donc la suite (v n ) est décroissante.
Donc v n − un > 0 c’est-à-dire v n > un .
v n 6 v 0 =⇒ v n 6 10.
)
un > v n
=⇒ un 6 10.
Pour tout n ∈ N,
v n 6 10
principe de récurrence pour tout n ∈ N, (un − 1) a le
s
a
r
u
D
I
F
L
même signe que (−1)n .
2. a. v n+1 =
u +2
La suite (un ) est croissante donc pour tout n,
n
un+1 − 1
−un + 1
2u +1 − 1
=
= u n+2
.
n
un+1 + 1
+ 1 3un + 3
2u n +1
−un + 1 −1 (un − 1) −1
b. v n+1 =
=
=
vn .
3un + 3
3 un + 1
3
La suite (v n )n∈N est donc géométrique de raison
u0 − 1 1
et de premier terme v 0 =
=
u0 + 1µ 3 ¶
1 −1 n
.
donc pour tout n de N, v n = ·
3
3
c. On admet que pour tout n ∈ N, un =
−1
3
un > u0 =⇒ un > 2.
)
v n > un
=⇒ v n > 2.
Pour tout n ∈ N,
un > 2
c. La suite (un ) est croissante majorée par 10 donc,
d’après le théorème de la convergence monotone, la
suite (un ) est convergente vers un réel ℓu .
La suite (v n ) est décroissante minorée par 2 donc,
d’après ce même théorème, la suite (v n ) est conver-
1 + vn
.
1³− v n´
n
1 + 13 · −1
3
Donc, pour tout n de N, on a un =
³ ´n .
1 − 13 · −1
3
Comme la suite (v n ) est géométrique de raison
−1
q=
∈ ]−1;1[ , (v n ) tend vers 0, ainsi (un ) converge
3
vers 1.
E XERCICE 149
1. a. Pour tout entier naturel n,
un + 3v n 2un + v n
5
v n+1 − un+1 =
−
=
(v n − un )
4
3
12
b. Pour tout entier naturel n on pose w n = v n − un .
D’après la question précédente, la suite (w n ) est une
5
et de premier terme
suite géométrique de raison
12
w 0 = 8.
µ ¶n
5
Ainsi, pour tout entier naturel n, w n = 8
.
12
v n − un
wn
2un + v n 3un
−
=
=
2. a. un+1 − un =
3
3µ ¶ 3
3
5 n
On a vu que, ∀n ∈ N, w n = 8
. On peut en dé12
duire que ∀n ∈ N, w n > 0 et donc un+1 − un > 0.
La suite (un ) est donc croissante.
un + 3v n 4v n
un − v n
−w n
v n+1 − v n =
−
=
=
4
4
4
4
Et comme w n > 0, on peut dire que v n+1 − v n < 0
gente vers un réel ℓv .
3. La suite (w n ), définie par w n = v n − un , est conver-
gente comme différence de deux suites convergentes, et sa limite est égale à ℓv − ℓu .
5
Or la suite (w n ) est géométrique de raison
et
12
5
< 1 ; donc on peut dire que la suite (w n ) est
−1 <
12
convergente vers 0.
La limite d’une suite est unique donc ℓv − ℓu = 0
et donc ℓv = ℓu ; les suites (un ) et (v n ) ont donc la
même limite qu’on appelle ℓ.
2un + v n
un + 3v n
4. tn+1 = 3un+1 + 4v n+1 = 3 ×
+4×
3
4
= 2un + v n + un + 3v n
= 3un + 4v n = tn
donc la suite (tn ) est constante.
Comme la suite (tn ) est constante, pour tout n,
tn = t0 = 46.
La suite (tn ) est donc convergente vers 46.
Les suites (un ) et (v n ) sont toutes les deux conver-
gentes vers ℓ donc la suite (tn ) définie par
tn = 3un + 4v n est convergente vers 3ℓ + 4ℓ = 7ℓ.
La limite d’une suite est unique donc 7ℓ = 46
46
.
d’où ℓ =
7
46
Les suites (un ) et (v n ) convergent vers
.
7
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
476
E XERCICE 150
E XERCICE 151
1. a. • Initialisation : Pour n = 0, on a bien u0 > 0 et
2 > 0, la suite est donc croissante.
1. un+1 − un = un
2
′
2. a. h(x)
¸ = x + x·; h est dérivable et h (x) = 2x + 1.
1
′
Sur −∞ ; − , h (x) < 0 =⇒ h est décroissante ;
2·
¸
1
Sur − ; +∞ , h ′ (x) > 0 =⇒ h est croissante.
¶2
µ
1
′
= 0, la fonction admet en ce point un minih −
2 µ
¶
1
1
mum h − = − .
2
·4
¸
1
1
la fonction décroît de 0 à − et sur
b. Sur −1 ; −
2
4
¸
·
1
1
− ; 0 , la fonction croît de − à 0.
2
4
1
Conclusion : si x ∈ ]−1 ; 0[, alors −1 < − < h(x) < 0.
4
c. • Initialisation : on a −1 < a = u0 < 0. L’encadre-
v 0 > 0. L’hypothèse de récurrence est vérifiée pour
n = 0.
• Hérédité : Supposons que pour n ∈ N, un > 0 et
v n > 0. Alors :
un + v n
un + v n > 0 =⇒
> 0 =⇒ un+1 > 0
2
2
2
2 > 0 et v 2 > 0 =⇒ u 2 + v 2 > 0 =⇒ un + v n > 0
un
n
n
n
2
s
2 + v2
un
n
=⇒
> 0 =⇒ v n+1 > 0
2
La proposition est donc vérifiée au rang n + 1.
s
a
r
u
D
I
F
L
• Conclusion : Ainsi, la proposition est vraie au rang
0 et est héréditaire, d’après le principe de récurrence,
on en déduit que : un > 0 et v n > 0 pour tout n ∈ N.
u 2 + v n2 ³ un + v n ´2
2
2
b. v n+1
− un+1
= n
−
2
2
2
un − 2un v n + v n2
=
³ u − v 4´2
n
n
=
.
2
2
2
D’où, pour tout n ∈ N : v n+1 − un+1
>0
2
2
=⇒ v n+1
> un+1
=⇒ v n+1 > un+1 =⇒ v n
> un .
Par construction, v 0 > u0 . Conclusion : v n > un .
v n − un
un + v n
− un =
> 0 d’après
2. a. un+1 − un =
2
2
la question précédente. La suite (un ) est donc croissante.
2 6 v 2 =⇒ u 2 + v 2 6 v 2 + v 2
b. 0 < un 6 v n =⇒ un
n
n
n
n
n
2
2
u + vn
2
6 v n2 =⇒ v n+1
6 v n2 =⇒ v n+1 6 v n (car
=⇒ n
2
ment est vrai au rang 0.
• Hérédité : soit un naturel n tel que n, −1 < un < 0.
D’après la question précédente si un ∈ [−1 ; 0[, alors
un+1 = h (un ) appartient elle aussi à cet intervalle.
• Conclusion : l’encadrement est vrai au rang 0 et s’il
est vrai au rang n, il est vrai au rang n+1. On a montré
par récurrence que pour tout naturel n, −1 < un < 0.
3. La suite u est croissante et majorée par 0, elle est
donc convergente et sa limite ℓ est telle que ℓ 6 0.
Or la fonction h, dérivable est continue : la relation
2 + u entraîne par passage à la limite
un+1 = un
n
ℓ = ℓ2 + ℓ ⇐⇒ ℓ2 = 0 ⇐⇒ ℓ = 0.
Ainsi lim un = 0.
n→+∞
v n 6 0).
La suite (v n ) est donc décroissante.
3. On a montré que :
• la suite un est croissante donc u0 6 un pour tout
entier naturel n,
• la suite v n est décroissante donc v n 6 v 0 pour tout
entier naturel n,
• pour tout entier naturel n, un 6 v n .
On en déduit
( que ∀n ∈ N,u0 6 un 6 v n 6 v 0 d’où en
un 6 v 0
particulier
v n > u0
La suite (un ) est croissante majorée par v 0 donc elle
est convergente.
La suite (v n ) est décroissante minorée par u0 donc
elle est convergente.
E XERCICE 152
1. ∀x ∈ [0 ; 1] , ∀n ∈ N, x n e −x > 0, donc un > 0.
2. ∀x ∈ [0 ; 1] , ∀n ∈ N, Z
x n > x n+1
1
=⇒
x n e −x dx >
Z1
x n+1 e −x dx
0
0
soit encore un+1 > un , la suite (un ) est donc décrois-
sante.
0
3. ∀x [0 ;Z1] ,e −1 6 e −x 6
Z1
Ze1
1
x n dx
x n e x dx 6
x n e −1 dx 6
donc
0
0
Z1 0
Z1
1
ainsi ∀n ∈ N,
x n dx.
x n dx 6 un 6
e 0
0
4. La suite (un ) est décroissante et minorée donc
converge
Z1
h x n+1 i1
1
x n dx =
=
n +1 0 n +1
0
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
477
1
1
6 un 6
e(n + 1)
n +1
1
1
= 0 et lim
=0
lim
n→+∞ n + 1
n→+∞ e(n + 1)
donc d’après le théorème des gendarmes
d’où
lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 153
La plante aura donc une taille inférieure à 120 cm.
On utilise le résultat de la partie A avec la suite (h n )
et les coefficients a = 0,75 et b = 30.
Comme −1 < 0,75 < 1, la suite (h n ) converge vers
b
30
=
= 120.
1 − a 1 − 0,75
E XERCICE 154
Partie A
1. On a pour tout naturel n,
b
b
v n+1 = un+1 −
= aun + b −
1−a
1−a
b(1 − a) − b
b
= aun +
= aun − a
1 − ¸a
1−a
·
b
= a un −
= av n .
1−a
L’égalité v n+1 = av n , vraie pour tout naturel n
1. L’année 2022 correspond à u1 .
u1 = 0,008u0 (200 − u0 ) = 51,2.
s
a
r
u
D
I
F
L
montre que la suite (v n ) est une suite géométrique
de raison a.
2. D’après la question précédente, on a v n = v 0 × a n ;
n
donc si a ∈] − 1 ; 1[, alors lim a = 0, donc
n→+∞
lim v n = 0 ⇐⇒
b
lim un =
.
n→+∞
1−a
n→+∞
lim un −
n→+∞
b
= 0 soit
1−a
Partie B
¶
µ
1
= 60 cm.
1. Après la taille la plante mesure 80 × 1 −
4
Au bout de 1 an elle a poussé de 30 cm. En mars 2021,
elle mesurera donc 60 + 30 = 90 cm avant la taille.
L’estimation est donc de 51 oiseaux arrondi à l’unité.
2. f (x) = x ⇐⇒ 0,008x(200 − x) = x
⇐⇒ x(0,008x − 0,6) = 0
⇐⇒ x = 0 ou 0,008x − 0,6 = 0
0,6
= 75
0,008
L’équation admet deux solutions : 0 et 75.
⇐⇒ x = 0 ou x =
3. a. Pour tout x ∈ [0;100], f (x) = −0,008x 2 + 1,6x.
f est une fonction polynôme de degré 2, dont le co-
efficient dominant est négatif.
Le sommet de la parabole représentant la fonction
−1,6
définie sur R a pour abscisse :
= 100.
2 × (−0,008)
La fonction définie sur R est donc croissante sur l’intervalle ] − ∞ ; 100] et décroissante sur [100 ; +∞[,
donc f , qui est définie sur [0 ; 100] est bien stricte-
ment croissante sur [0 ; 100].
x
2. a. D’une année sur l’autre, tailler le quart revient à
100
80
multiplier par 0,75 et la pousse annuelle est de 30 cm,
donc h n+1 = 0,75h n + 30.
0
f
0
b. Mars 2020 correspondant à n = 0, on a :
b. Pour tout entier naturel n, soit Pn la propriété :
semble être croissante.
• Initialisation : On a u0 = 40 et u1 = 51,2, donc on
h 0 = 80 ; h 1 = 90, h 2 = 0,75 × 90 + 30 = 97,5 : la suite
c. Initialisation : on sait déjà que h 0 < h 1 .
Hérédité : supposons n ∈ N, tel que h n < h n+1 , alors
0,75h n + 30 < 0,75h n+1 + 30
donc h n+1 < h n+2 l’hérédité est démontrée.
Conclusion : h 0 < h 1 et la propriété est héréditaire,
on a démontré que pour tout naturel n, h n < h n+1 .
La suite (h n ) est croissante.
d. Si la suite (h n ) converge vers ℓ, par continuité
l’égalité : h n+1 = 0,75h n + 30 donne en passant aux
« 0 6 un 6 un+1 6 100 ».
a bien 0 6 u0 6 u1 6 100, la propriété P0 est donc
vraie.
• Hérédité : Supposons n un entier naturel tel que Pn
vraie.
La fonction f étant croissante sur [0;100]
0 6 un 6 un+1 6 100
=⇒ f (0) 6 f (un ) 6 f (un+1 ) 6 f (100)
f (0) = 0 et f (100) = 80
donc 0 6 un+1 6 un+2 6 80 6 100
limites à l’infini :
Pn+1 est vérifiée.
ℓ = 0,75ℓ + 30 ⇐⇒ 0,25ℓ = 30 ⇐⇒ ℓ = 120.
Ainsi, la propriété Pn est héréditaire.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
478
• Conclusion : La propriété P0 est vraie et Pn est héré-
ditaire donc, d’après l’axiome du raisonnement par
récurrence : ∀n ∈ N;
0 6 un 6 un+1 6 100.
c. D’après les résultats précédents, la suite est croissante et majorée par 100, donc elle converge vers une
limite ℓ ∈ [40;100].
4. La fonction f est continue et strictement croissante
sur ]0 ; 1] à valeurs dans ] − ∞ ; e −1 ].
Or 0 ∈] − ∞ ; e −1 ] donc d’après le corollaire du théo-
rème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0
admet une unique solution, notée ℓ, appartenant à
]0 ; 1].
d. La suite est convergente et définie par récurrence,
la fonction de récurrence f est continue sur [0 ; 100],
intervalle contenant la limite ℓ, d’après le théorème
Partie B
1. a. a 1 = e −b0 = e −1 ≈ 0,37
1
b1 = e a 0 = e − 10 ≈ 0,90.
s
a
r
u
D
I
F
L
du point fixe, ℓ est solution de l’équation f (x) = x.
D’après la question 2, cette équation n’a que deux so-
b.
def termes(n) :
a = 1/10
b = 1
for k in range(0, n) :
c = exp(-b)
b = exp(-a)
a = c
return(a, b)
lutions dans [0 ; 100], 0 et 75, et que l’on a établi que
ℓ ∈ [40;100] donc ℓ = 75.
La suite converge donc vers 75.
4. La fonction seuil(p) doit renvoyer l’année où l’es-
timation dépasse le seuil p, notre suite est croissante
et converge vers 75, donc elle est majorée par 75.
Ainsi, aucun terme ne dépassera 75, et le test de la
boucle while sera toujours satisfait, donc on aura
une boucle infinie et aucun résultat ne sera renvoyé.
E XERCICE 155
Partie A
1. La fonction x 7→ e −x est continue en 0 et e −0 = 1.
lim ln(x) = −∞ donc lim f (x) = −∞.
x→0+
x→0+
2. La fonction f est continue et dérivable sur ]0 ; 1]
1 −xe −x + 1 1 − xe −x
∀x ∈]0 ; 1], f ′ (x) = −e −x + =
=
x
x
x
−x
3. La fonction x 7→ e
est continue, dérivable de déri-
2. a. Montrons par récurrence la propriété Pn : ∀n ∈ N,
0 < a n 6 a n+1 6 bn+1 6 bn 6 1.
1
1
a 1 = e −1 =
10
e
1
b1 = e − 10 .
• Initialisation : a 0 =
b0 = 1 = e 0
La fonction x 7→ e x est strictement croissante sur R et
1
1
1
1
−1 6 −
6 0 donc , e −1 6 e − 10 6 e 0 et >
donc
10
e 10
on peut alors affirmer que 0 < a 0 6 a 1 6 b1 6 b0 6 1.
P0 est vérifiée.
• Hérédité : Supposons n ∈ N∗ tel que
0 < a n 6 a n+1 6 bn+1 6 bn 6 1.
vée x 7→ −e −x . Or ∀x ∈]0 ; 1], −e −x < 0, la fonction
Montrons alors que
Donc ∀x ∈]0 ; 1], e −1 6 e −x < e 0 < 1 donc 0 < e −x <
e 0 < 1. De plus 0 < x 6 1 donc 0 < xe −x < 1.
La fonction x 7−→ e −x est décroissante sur R. Donc
x 7→ e −x est donc strictement décroissante sur ]0 ; 1].
Cela signifie que ∀x ∈]0 ; 1], 1−xe −x > 0 donc f ′ (x) >
0 < a n+1 6 a n+2 6 bn+2 6 bn+1 6 1.
0 < a n 6 a n+1 6 bn+1 6 bn 6 1
⇐⇒ e −0 > e −a n > e −a n+1 > e −bn+1 > e −bn > e −1
0 donc f est strictement croissante sur ]0 ; 1]. f (1) =
soit
Ci-dessous le tableau de variation de la fonction f :
donc 0 < a n+1 6 a n+2 6 bn+2 6 bn+1 6 1.
e −1 + ln(1) = e −1 .
x
0
1
f ′ (x)
+
e−1
0 < e −1 6 e −bn 6 e −bn+1 6 e −a n+1 6 e −a n < 1 6 1
L’hérédité est démontrée.
• Conclusion : P0 est vraie et Pn est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence Pn est vraie, ainsi
∀n ∈ N, 0 < a n 6 a n+1 6 bn+1 6 bn 6 1.
b. D’après les résultats précédents, la suite (a n ) est
f
−∞
croissante et majorée par 1. D’après le théorème de
convergence monotone, la suite (a n ) converge.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
479
De même, la suite (bn ) est décroissante et minorée
par 0, elle est donc convergente.
3. a. Par hypothèse, A = e −B et B = e −A .
A = e −B ⇐⇒ ln(A) = −B = −e −A
donc ln(A) + e −A = 0 soit f (A) = 0.
b. De même B = e −A ⇐⇒ ln(B) = −A = −e B
donc ln(B) + e −B = 0 donc f (B) = 0.
Donc A et B sont solutions de l’équation f (x) = 0.
Or d’après la question A.4, cette équation admet une
4. On a v n = 0,1un − 0,1n + 0,5
⇐⇒ 0,5n = 0,1un − 0,1n + 0,5
⇐⇒ un = 10 × 0,5n + n − 5.
5. Comme −1 < 0,5 < 1, on a
lim n = +∞,
lim 0,5n = 0 de plus
n→+∞
n→+∞
on a donc lim un = +∞.
n→+∞
E XERCICE 157
1
1
1
1. d1 = d0 + 100 = 250 et a 1 = d0 + a 0 + 70 = 445.
2
2
2
2. a. On obtient D = 250 et A = 420. Ces résultats ne
s
a
r
u
D
I
F
L
unique solution, donc A = B ou encore A − B = 0.
sont pas cohérents avec ceux obtenus à la question
E XERCICE 156
précédente.
Partie A
b. Le problème de l’algorithme proposé est qu’il
valeur de k
1
valeur de u
1
2
−0,5
La fonction retourne −0,5.
Partie B
1. Puisque u4 > u3 la suite (un ) n’est pas décroissante
pour tout entier n.
2. Démontrons par récurrence que : ∀n > 3, un+1 > un .
• Initialisation : On vient de voir que u4 > u3 : la re-
lation est vraie pour n = 3.
• Hérédité : On suppose qu’il existe p > 3 tel que
u p+1 > u p .
On a alors 0,5u p+1 > 0,5u p .
D’autre part : p + 1 > p =⇒ 0,5(p + 1) > 0,5p d’où par
somme des ces deux dernières inégalités :
0,5u p+1 + 0,5(p + 1) > 0,5u p + 0,5p et en ajoutant
−1,5 à chaque membre :
0,5u p+1 + 0,5(p + 1) − 1,5 > 0,5u p + 0,5p − 1,5 soit
u p+2 > u p+1 : la relation est vraie au rang p + 1.
• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 3 et est
héréditaire ce qui montre d’après le principe de ré-
currence que la suite (un ) est croissante à partir du
rang 3.
3. Pour tout naturel n, on a :
v n+1 = 0,1un+1 − 0,1(n + 1) + 0,5
= 0,5(0,1un − 0,1n + 0,5) = 0,5v n .
réutilise la variable D pour le calcul de A alors qu’elle
a été modifiée. On peut simplement inverser les deux
instructions d’affectation à A et à D.
1
1
3. a. e n+1 = dn+1 − 200 = dn − 100 = (dn − 200)
2
2
1
= en .
2
1
La suite (e n ) est donc géométrique de raison et de
2
premier terme e 0 = 100.
b. D’après la question
précédente, µ ¶
µ ¶n
1
1 n
on a e n = 100
et donc dn = 100
+ 200.
2
µ 2
¶n
1
1
= 0 et donc
c. Comme 0 < < 1, on a lim
n→+∞ 2
2
lim dn = 200.
n→+∞
vers 200. ´
La suite (dn ) est donc
³¡p convergente
´³¡p
¢
¢
4. a. 2n 2 − (n + 1)2 =
2−1 n −1
2+1 n +1 .
D’après les résultats de première sur les trinômes du
second degré,
2n 2 − (n + 1)2 est donc positif pour n 6 − p
1
2+1
ou
1
≃ 2,4.
n> p
2−1
Donc, pour n > 3, on a 2n 2 −(n+1)2 > 0, c’est-à-dire :
2n 2 > (n + 1)2 .
b. • Initialisation : Pour n = 4, on a 24 > 42 donc la
propriété est initialisée.
• Hérédité : Supposons k > 4 tel que 2k > k 2 .
En multipliant les deux membres de l’inéquation par
La suite (v n ) est donc géométrique de raison 0,5 et de
2 et en utilisant le résultat de la question précédente,
premier terme v 0 = 1.
on obtient : 2k+1 > 2k 2 > (k + 1)2 .
On a donc pour tout naturel n, v n = 0,5n .
La propriété est donc vraie au rang k + 1
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
480
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 4 et est
héréditaire, la propriété 2n > n 2 est donc vraie pour
µ ¶n
3
.
4
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bas-
tout entier supérieur ou égal à 4 d’après le principe
sins peuvent avoir, au mètre cube près, le même vo-
de récurrence.
lume d’eau.
c. D’après la question précédente, si n est un entier
supérieur ou égal à 4, on 0 < n 2
6 2n . En composant,
cette inégalité par la fonction inverse, décroissante
sur R∗
+ et en multipliant par 100, on obtient alors :
µ ¶n
1
1
1
100n 100
0 < n 6 2 =⇒ 0 < 100n
6 2 =
2
2
n
n
n
a n = 1 320 + un = 1 320 − 520 ×
Si ce jour arrive, on aura a n = bn =
2 200
= 1 100.
2
Il faut donc résoudre
µ ¶n l’équation :
3
1 320 − 520 ×
= 1 100.
µ 4 ¶n
µ ¶n
3
3
1 320 − 520 ×
= 1 100 ⇐⇒ 520 ×
= 220
4
4
µ ¶n
11
3
=
⇐⇒
4 µ ¶ 26 µ ¶
3
11
⇐⇒ n ln
= ln
4³ ´ 26
ln 11
26
³ ´ ≈ 2,99
⇐⇒ n =
ln 43
On vérifie : a 3 = 1 100,625 et b3 = 1 099,375 donc
s
a
r
u
D
I
F
L
d. D’après la question précédente et les théorèmes
d’encadrement
µ ¶n
1
100
lim 100n
= lim
= 0 et d’après les rén→+∞
n→+∞ n
2
sultats sur les limites des suites géométriques de
raison µstrictement
inférieure à 1 en valeur absolue
¶
1 n
= 0.
lim
n→+∞ 2
D’après les résultats sur les limites de sommes, on
obtient alors : lim a n = 340.
n→+∞
1. « Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti
entre deux bassins A et B. » donc pour tout entier n :
a n + bn = 2 200.
2. Au début du (n + 1)ème jour, la bassin A contient a n ,
on ajoute 15% du volume d’eau présent dans le bas-
sin B soit 0,15bn et on enlève 10% du volume présent
dans A au début de la journée :
= a n + 0,15(2 200 − a n ) − 0,1a n =
3. Partie complétée de la fonction :
jamais le même volume d’eau, à un mètre cube près.
E XERCICE 159
E XERCICE 158
a n+1 = a n + 0,15bn − 0,1a n
a 3 − b3 = 1,25 > 1. Les deux bassins n’auront donc
3
a n + 330.
4
while a < 1100 :
a= 3/4*a+330
n = n+1
a = c
return(n)
4. a. ∀n ∈ N, on a un+1 = a n+1 − 1 320
3
3
= (a n − 1 320) = un
4
4
La suite (un ) est une suite géométrique de raison
et de premier terme est u0 = −520.µ ¶
3 n
b. On a donc, ∀n ∈ N, un = −520 ×
et
4
1. u1 = u0 = 2 × 0 + 2 = 2 et u2 = u1 + 2 × 1 + 2 = 6.
2. Le second algorithme calcule les valeurs de ui+1
pour i allant de 0 à n − 1 soit les valeurs de u1 à un . A
la fin de l’exécution de l’algorithme, u = un .
3. a. La suite (un ) semble être croissante.
Démonstration :
∀n ∈ N : un+1 − un = un + 2n + 2 − un = 2n + 2 > 0, la
suite

 (un ) est bien croissante.



 u0 = a × 02 + b × 0 + c = 0
 a +b = 2

2
b.
4a + 2b = 6
u1 = a × 1 + b × 1 + c = 2 =⇒




 c =0
 u = a × 22 + b × 2 + c = 6
2


 a =1

b =1


 c =0
4. a.v n+1 − v n = 2, la suite (v n ) est une suite arithmé=⇒
tique de raison r = 2 et de premier terme v 0 = 2.
n
X
b. S n =
vk = v0 + v1 + · · · + vn
k=0
n(n + 1)
×r
2
= 2(n + 1) + n(n + 1) = (n + 1)(n + 2)
= (n + 1)v 0 +
3
4
c. S n = (u1 − u0 ) + (u2 − u1 ) + · · · + (un − un−1 )
+(un+1 − un )
= un+1 − u0
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
481
¢ 1
1
1¡
un − 10 × 0,5n = v n .
un − 2 × 0,5n =
5
5
5
1
La suite (v n ) est donc géométrique de raison et de
5
premier terme v 0 = −8.
S n−1 = un − u0 ⇐⇒ un = S n−1 + u0 = n(n + 1).
v n+1 =
E XERCICE 160
1. a.
n
0
1
2
3
4
un
2
3,4
2,18
1,19
0,61
n
5
6
7
8
un
0,31
0,16
0,08
0,04
b. D’après
question précédente, on a, ∀n ∈ N :
µ ¶la
1 n
.
v n = −8
5
µ ¶n
1
On en déduit que un = −8 ×
+ 10 × 0,5n .
5
µ ¶n
1
1
= 0,
c. −1 < < 1, donc lim
n→+∞ 5
5
de même : −1 < 0,5 < 1, donc lim 0,5n = 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
b. Les résultats obtenus dans le tableau précédent,
laissent à penser que la suite (un ) est décroissante à
partir du rang 1.
2. a. Montrons la propriété P (n) :
15
× 0,5n ».
« ∀n ∈ N∗ , un >
4
• Initialisation : u1 = 3,4 et 15
4 × 0,5 = 1,875, donc
P (1) est vraie.
• Hérédité : Supposons un entier naturel k > 1 tel que
P (k).
On doit alors démontrer que la propriété P (k +1) est
vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence uk >
15
× 0,5k
4
1
3
u + 3 × 0,5k > × 0,5k + 3 × 0,5k
5 k
4
15
c’est-à-dire : uk+1 >
× 0,5k
4
Or, pour tout entier naturel k, 0,5k > 0,5k+1 , on en
=⇒
déduit donc que :
15
× 0,5k+1 , la propriété P (n) est donc héuk+1 >
4
réditaire.
• Conclusion : La propriété P (n) est initialisée et hé-
réditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel
n non nul.
b. Pour tout n > 0 :
µ
4
4 15
un+1 − un = 3 × 0,5n − un =
× 0,5n − un
¶
n→+∞
On en déduit par opérations sur les limites que
lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 161
1. Sur [0 ; 1], 1 6 1 + x 6 2, donc une primitive sur cet
intervalle de
1
x 7−→
est x 7−→ ln(1 + x).
1 + xZ
h
i1
1 1
D’où u0 =
dx = ln(1 + x) = ln 2.
0
0 1+x
2. a. Par linéarité de l’intégrale :
Z1 n+1
Z
1 x n (x + 1)
x
+ xn
un+1 + un =
dx =
dx
1+x
1+x
0
"
#10
Z1
x n+1
1
xn d x =
=
.
=
n +1
n +1
0
0
b. La relation précédente donne pour n = 0,
u1 = 1 − u0 = 1 − ln 2.
3. a. Partie complétée de la fonction :
def terme (n) :
u=ln (2)
for i in range(1,n+1) :
u= -u+ 1/i
return u
b. D’après le tableau, il semble que la suite (un ) soit
D’après la question 2.a, pour tout entier naturel n
15
non nul, un >
× 0,5n > 0, la suite est donc mi4
norée. On en déduit, d’après le théorème de conver-
décroissante et convergente vers zéro.
Z1 n
Z1 n+1
x
x
dx −
dx
4. a. ∀n ∈ N, un+1 − un =
0 1+x
0 1+x
Z1 n+1
Z1 n
n
x
−x
x (x − 1)
=
dx =
dx.
1+x
1+x
0
0
Or on a vu que sur [0 ; 1], 1+x > 0, x n > 0 et x −1 6 0,
x n (x − 1)
6 0.
donc finalement
1+x
L’intégrale de cette fonction négative sur [0 ; 1] est
gence des suites monotones, que la suite (un ) est
donc négative, la suite (un ) est donc décroissante.
convergente.
b. un intégrale d’une fonction positive sur [0 ; 1] est
5
5 4
D’après la question 1.a, on a un+1 − un 6 0.
c. D’après la question précédente la suite (un ) est dé-
croissante à partir d’un certain rang.
3. a. v n+1 = un+1
− 10 × 0,5n+1
quel que soit le naturel n, positive.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
482
La suite (un ) décroissante et étant minorée par zéro
c. D’après la question précédente, zn = 5 × 0,8n .
converge vers une limite ℓ, avec ℓ > 0.
1
1
5. ∀n ∈ N, un+1 + un =
=⇒ 0 6 un 6
,
n +1
n +1
puisque un+1 > 0.
1
= 0 donc lim un = ℓ = 0.
Or lim
n→+∞
n→+∞ n + 1
Or w n = zn + 5 donc, pour tout n, w n = 5 × 0,8n + 5.
E XERCICE 162
Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la
1. a. Comme 20% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80% donc un+1 = 0,8un .
d. −1 < 0,8 < 1 donc la suite (w n ) est convergente
vers 0. D’après les théorèmes sur les limites de suite,
on peut en déduire que la suite (w n ) est convergente
et a pour limite 5.
quantité de médicament présente dans le sang du
patient va se tendre vers 5 ml.
s
a
r
u
D
I
F
L
La suite (un ) est donc une suite géométrique de rai-
son 0,8 et de premier terme u0 = 10.
b. D’après la question précédente, pour tout n,
un = 10 × 0,8n .
c. La quantité de médicament est inférieure à 1% de
1
la quantité initiale quand un <
× u0 c’est-à-dire
100
un < 0,1 ⇐⇒ 10 × 0,8n < 0,1
⇐⇒ 0,8n < 0,01
⇐⇒ n ln 0,8 < ln 0,01
ln 0,01
⇐⇒ n >
ln 0,8
car ln 0,8 < 0
ln 0,01
≈ 20,6 donc c’est au bout de 21 minutes
ln 0,8
que la quantité de médicament dans le sang devient
Or
inférieure à 1% de la quantité initiale.
2. a. u3 = 5,12, u4 = 8,10, u5 = 6,48 et u6 = 5,18.
b. Les 15 premières minutes, le patient a absorbé
10 ml au début, puis 4 ml les minutes 4, 7, 10 et 13
soit 16 ml, soit un total de 26 ml.
c. La fonction détermine la quantité de médicament
restant dans le sang minute par minute :
def quantite() :
v=10
for n in range(1,31) :
v= 0.8*v
if v<= 6 :
v=v+2
print(n,v)
3. a. 20% du médicament est éliminé chaque minute,
il en reste donc 80% , de plus, toutes les minutes, on
rajoute 1 ml.
On a donc, pour tout n, w n+1 = 0,8w n + 1.
b. zn+1 = w n+1 −5 = 0,8w n −4 = 0,8(w n − 5) = 0,8 zn
La suite (zn ) est donc une suite géométrique de rai-
son q = 0,8 et de premier terme z0 = 5.
E XERCICE 163
Partie A : Conjecture
3 5
1
3 23
1
.
1. u1 = − u02 +3u0 − = et u2 = − u12 +3u1 − =
2
2 2
2
2
8
2. En utilisant la calculatrice et la fonction
1
3
f (x) = − x 2 + 3x − , on obtient :
2
µ ¶2
23
383
u3 = f (u2 ) = f
≈ 2,992 19
=
8
¶ 128
µ
383
≈ 2,999 97.
u4 = f (u3 ) = f
128
3. On peut conjecturer que la suite (un ) est croissante
et qu’elle converge vers 3.
Partie B : Validation des conjectures
9
1 2
+ 3un −
1. v n+1 = un+1 − 3 = − un
2
2
¢
1¡ 2
v n+1 = − un
− 6un + 9
2
1
1
= − (un − 3)2 = − v n2
2
2
1
On a donc pour tout entier naturel n, v n+1 = − v n2 .
2
2. Soit Pn la propriété : ∀n ∈ N, −1 6 v n 6 0.
• Initialisation : v 0 = u0 − 3 = 2 − 3 = −1
donc −1 6 v 0 6 0. La propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang
p > 0, c’est-à-dire −1 6 v p 6 0.
1
On sait que, pour tout p ∈ N, v p+1 = − v p2 .
2
1
1
−1 6 v p 6 0 =⇒ 0 6 v p2 6 1 =⇒ − 6 − v p2 6 0
2
2
1
=⇒ − 6 v p+1 6 0
2
Donc −1 6 v p+1 6 0 et la propriété est vraie au rang
p + 1.
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle
est héréditaire donc ∀n ∈ N, on aµ: −1 6 v n¶ 6 0.
1
1
3. a. v n+1 − v n = − v n2 − v n = −v n
vn + 1
2
2
b. Pour tout n ∈ N, v n 6 0 donc −v n > 0.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
483
1
1
6 vn 6 0
2
2
1
1
1
=⇒ 6 v n + 1 6 1 donc v n + 1 > 0.
2
2
 2
µ
¶
 −v n > 0
1
=⇒ −v n
vn + 1 > 0
1
 vn + 1 > 0
2
2
−1 6 v n 6 0 =⇒ −
On en déduit alors v n+1 − v n > 0
Pour tout n, v n+1 − v n > 0, donc la suite (v n ) est
croissante.
On peut conjecturer que la suite (un ) est croissante
et converge vers α.
4. a. Soit Pn la propriété « 0 6 un 6 un+1 6 α ».
• Initialisation : pour n = 0, u0 = 1 et
4
11
u1 = f (u0 ) = 5 −
=
. De plus α ≈ 4,37.
1+2
3
11
On a 0 6 1 6
6 α ce qui veut dire que la propriété
3
est vraie au rang 0.
• Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang
s
a
r
u
D
I
F
L
4. La suite (v n ) est croissante et majorée par 0 donc,
d’après le théorème de la convergence monotone, la
suite (v n ) est convergente.
¡
¢
1
5. ℓ = − ℓ2 ⇐⇒ ℓ 2 + ℓ = 0 ⇐⇒ ℓ = 0 ou ℓ = −2
2
Mais on sait que ℓ ∈ [−1; 0] donc ℓ = 0 et la limite de
la suite (v n ) est 0.
6. La suite (v n ) est croissante et, un = v n + 3 donc la
suite (un ) est croissante.
La suite (v n ) est convergente vers 0 donc, d’après les
théorèmes sur les limites, la suite (un ) est convergente vers 3.
Les conjectures faites dans la partie A sont donc validées.
strictement croissante sur [0; +∞[.
Donc 0 6 u p 6 u p+1 6 α
=⇒ f (0) 6 f (u p ) 6 f (u p+1 ) 6 f (α)
f (0) = 3 > 0, f (u p ) = u p+1 et f (u p+1 ) = u p+2 .
De plus, α est solution de l’équation f (x) = x donc
f (α) = α.
On a donc 0 6 u p+1 6 u p+2 6 α, la propriété est
vraie au rang p + 1.
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle
est héréditaire ; donc d’après le principe de récur-
rence la propriété est vraie pour tout entier naturel
n.
On a donc démontré que, pour tout entier naturel n,
E XERCICE 164
1. La fonction f est définie et dérivable sur [0;+∞[ et
4
f ′ (x) =
> 0 sur [0; +∞[.
(x + 2)2
Donc la fonction f est strictement croissante sur
[0; +∞[.
4
=x
x +2
2
5x + 10 − 4 − x − 2x
= 0 ⇐⇒ −x 2 + 3x + 6 = 0
⇐⇒
x +2
2
L’équation −x
6 = 0, admet deux solutions
p + 3x + p
3 + 33
3 − 33
réelles :
et
.
2
2
La seconde solution est négative donc l’unique solu-
2. f (x) = x ⇐⇒ 5 −
3.
p > 0, c’est-à-dire 0 6 u p 6 u p+1 6 α.
On sait d’après la question 1. que la fonction f est
tion de l’équation
f (x) = x dans l’intervalle [0; +∞[
p
3 + 33
≈ 4,37.
est α =
2
croissante.
Pour tout n > 0, un 6 α donc la suite (un ) est majorée par α.
Donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (un ) est convergente.
5. a. S 0 = u0 = 1 ; S 1 = u0 + u1 = 1 +
11
14
=
≈ 4,67
3
3
73 457
=
≈ 8,96.
17
51
b. On sait que la suite (un ) est croissante donc, pour
S 2 = u0 + u1 + u2 = S 1 +
tout n ∈ N, un > u0 .
Or u0 = 1, donc, pour tout n, un > 1 et donc S n =
u0 + u1 + ... + un > n + 1.
Or lim n + 1 = +∞ donc, d’après les théorèmes de
n→+∞
comparaison sur les limites :
u2
4
u1
lim S n = +∞.
3
n→+∞
2
1
α
O
0 6 un 6 un+1 6 α.
b. Pour tout n > 0, un 6 un+1 donc la suite (un ) est
M
10
2
3 M14M2 5
6
7
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
484
E XERCICE 165
d’où p n+1 =
1. a. Arbre pondéré de la situation :
9
2
− pn .
20 5
3. a. On a un+1 = 28p n+1 − 9 = 28
¶
9
2
− pn − 9
20 5
¢
2
2¡
28p n − 9 = − un , ce qui démontre
5
5
que la suite (un ) est une suite géométrique de raison
2
11
− , de premier terme u1 = − .
5
2
b. D’après la question précédente, pour n > 1,
¶n−1
µ
11
2
.
un = − × −
2
5
un + 9 un
9
et donc p n =
=
+
28
28µ 28
·
¶n−1 ¸
1
2
11
9
=
− × −
+ .
28
2
5
28
2
< 1, on sait que
c. Comme −1 < −
5
µ
µ
¶n−1
¶
2
2 n−1
11
lim −
× −
= 0 et lim −
= 0,
n→+∞
n→+∞ 2
5
5
donc par limite de somme :
9
≈ 0,32.
lim p n =
n→+∞
28
=−
11
20
E2
9
20
E2
19
20
2
1
20
E2
Sur un grand nombre de feux rencontrés la probabi-
feu
donc à peu près de 1 sur 3.
E1
7
8
µ
s
a
r
u
D
I
F
L
1
8
1
1er
2e
feu
b. D’après l’arbre :
1
1
1
• p(X = 0) = ×
=
;
8 20 160
E XERCICE 166
Partie A
• p(X = 1) =
9
82
1 19 7
×
+ ×
=
;
8 20 8 20 160
• p(X = 2) =
7 11
77
×
=
.
8 20 160
lim f (x) = 0.
x→0
x→+∞
1
20
9
.
n
20
b. D’après la loi des probabilités
³ totales ´:
p E (E n+1 ) =
p (E n+1 ) = p (E n+1 ∩ E n ) + p E n+1 ∩ E n
9
1
9
1
+ (1 − p n ) ×
=
p n + qn .
= pn ×
20
20 20
20
1
9
Pour tout naturel n > 1, p n+1 =
p n + qn .
20
20
¢
1
9 ¡
c. p n+1 =
1 − pn
pn +
20µ
20 ¶
9
9
8
9
1
−
=
− pn .
+
= pn
20 20
20 20 20
x→0


lim x ln(x) = +∞ (par prolim ln(x) = +∞  x→+∞
x→+∞
p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 1.
1
82
77
59
c. E (X ) = 0 ×
+1×
+2×
=
≈ 1,5.
160
160
160 40
Sur 20 feux rencontrés on aura en moyenne 15 feux
verts.
1. D’après le cours, on sait que lim x ln(x) = 0 donc
lim x = +∞
On a bien :
2. a. D’après l’énoncé p E n (E n+1 ) =
lité qu’Amélie rencontre un feu orange ou rouge est
duit) donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
2. La fonction f est dérivable sur ]0 ;+∞[ comme pro-
duit de fonctions dérivables et
1
f ′ (x) = 1 × ln(x) + x × = ln(x) + 1.
x
3. On étudie le signe de f ′ (x) sur ]0 ;+∞[ :
ln(x) + 1 > 0 ⇐⇒ ln(x) > −1 ⇐⇒ x > e −1
donc
• La fonction f est strictement décroissante sur
¤
¤
0 ;e −1 ;
• la fonction f
£ −1
£
e ;+∞ .
est strictement croissante sur
Partie B
1. a. Sur la figure, le nombre U représente la somme
des aires des rectangles inférieurs, cette somme mi-
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
485
nore l’aire sous la courbe. Le nombre V représente
b. Cet algorithme permet le calcul du terme n ème
la somme des aires des rectangles supérieurs, cette
terme.
somme majore l’aire sous la courbe.
c. D’après le tableau des valeurs approchées obte-
b. En faisant tourner l’algorithme, on obtient :
k
U
V
n
0
0
4
0
0
0,069 8
4
1
0,069 7
0,221 8
4
2
0,221
0,466 7
4
3
0,466 6
0,813 2
4
nues pour certaines valeurs de n, on peut conjecturer
que la suite (un ) est croissante et majorée par 2.
2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, 0 < un 6 2.
• Initialisation : On a u0 = 1 donc 0 < u0 6 2.
• Hérédité : Supposons la propriété vrai au rang n,
s
a
r
u
D
I
F
L
U contient 0,466 6 et V contient 0,813 2
c. On en déduit
queµ0,466 ¶6 < A < 0,813
2.
·
µ
¶¸
1
1
n −1
2. a. Un =
f (1) + f 1 +
+··· + f 1+
n
n
n
et
· µ
¶
µ
¶
¸
1
n −1
1
f 1+
+··· + f 1+
+ f (2) ,
Vn =
n
n
n
alors
¢ 2ln(2)
1¡
Vn −Un =
f (2) − f (1) =
.
n
n
2ln(2)
< 0,1
Vn −Un < 0,1 ⇐⇒
n
2ln(2)
<n
0,1
2ln(2)
Or
≈ 13,86 donc le plus petit entier n tel que
0,1
Vn −Un soit inférieur à 0,1 est 14.
Vérification : V13 −U13 ≈ 0,107 > 0,1
et V14 −U14 ≈ 0,099 < 0,1.
b. Pour obtenir un encadrement de A d’amplitude
inférieure à 0,1 dans l’algorithme, il suffit d’entrer
14 comme valeur de n. Autrement dit, au lieu de « n
prend la valeur 4 », on entrera « n prend la valeur 14 ».
Partie C
x 2 1 2x
x x
2x
1. F ′ (x) =
× ln(x) +
× −
= x ln(x) + −
2
2
= x ln(x) = f (x)
x
4
2
2
Donc F est une primitive de f sur ]0 ;+∞[.
2. La fonction f est croissante sur [1;2] et f (1) = 0 donc
la fonction f est positive sur [1 ;2] ; on peut donc dire
Z2
f (t)dt.
que A =
Z2 1
3
f (t)dt = F (2) − F (1) = 2ln(2) − .
A=
4
1
E XERCICE 167
p
p
1. a. On a : u0 = q
1, u1 = 2u0 = 2,
p
p
u2 = 2u1 = 2 2 et
r q
p
p
u3 = 2u2 = 2 2 2 = 1,8340 à 10−4 près.
c’est-à-dire 0 < un 6 2.
0 < un 6 2 ⇐⇒ 0 < 2un 6 4 ⇐⇒ 0 <
p
p
2un 6 4
⇐⇒ 0 < un+1 6 2.
• Conclusion : 0 < u0 6 2 et 0 < un 6 2
=⇒ 0 < un+1 6 2, on a donc pour tout entier naturel
n, 0 < un 6 2.
b. Pour tout entier naturel n, un > 0, on peut donc
un+1
calculer
.
un
s
s
p
2un
2un
2
un+1
=
On a :
=
=
.
2
un
un
u
un
n
Et comme on a démontré
s précédemment que
2
2
> 1 et
> 1.
un 6 2, alors
un
un
un+1
On en déduit que ∀n ∈ N,
> 1 la suite (un ) est
un
croissante.
c. Nous avons démontré que la suite (un ) est strictement croissante et qu’elle est majorée par 2. La suite
(un ) est convergente.
3. a. Pour tout entier naturel n, par v n = ln un − ln 2
donc en particulier :
u0 = ln (u0 ) − ln 2 = ln 1 − ln 2 = −ln 2.
On a aussi pour tout entier naturel n,
p
v n+1 = ln un+1 − ln 2, mais un+1 = 2un .
p
1
Alors : v n+1 = ln 2un − ln 2 = (ln(un ) + ln 2) − ln 2
2
1
1
= (ln(un ) − ln 2) = v n
2
2
On peut en conclure que la suite (v n ) est la suite géo1
métrique de raison et de premier terme v 0 = −ln 2.
2
b. On déduit de ce qui µprécède
que pour tout entier
¶
1 n
naturel n, v n = −ln 2 ×
.
2³
un ´
v n = ln(un ) − ln 2 ⇐⇒ ln
= vn
2
¡ 1 ¢n
un
= e v n ⇐⇒ un = 2e v n = 2e − 2 ×ln 2 .
⇐⇒
2
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
486
µ ¶n
1
1
= 0 et lim (v n ) = 0
< 1 donc lim
n→+∞
n→+∞ 2
2
¡ x¢
On sait que lim e = 1, alors par composition des
x→0
¡
¢
limites lim e v n = 1 ainsi lim (un ) = 2.
c. 0 <
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 168
Partie A
1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v 0 à v n
mais n’affiche que le dernier v n .
L’algorithme no 2 réinitialise v à 1 à chaque boucle il
1
1
1 1
− n = − − n.
1−3 3
2 3
1
Comme w n =
,
vn − 3
1
1
6
+3 = 1 1 +3 =
+ 3.
on a v n =
wn
−3 − 2n
−2 − 3n
6
= 0, donc lim v n = 3.
3. lim
n→+∞
n→+∞ −3 − 2n
2. w n = w 0 + nr =
E XERCICE 169
s
a
r
u
D
I
F
L
1. L’arbre complété :
calcule n fois de suite v 1 à partir de v 0 .
L’algorithme
no 3
calcule et affiche tous les termes de
0,5
0 à vn .
0,84
A2
0,16
B2
0,24
A2
A1
2. D’après les tables de valeurs de la suite, il semblerait
que la suite soit croissante et converge vers 3.
3. a. Montrons par récurrence la propriété Pn : pour
tout entier naturel n, 0 < v n < 3.
• Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie,
puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang
n > 0, montrons alors que P n+1 est vraie.
0 < v n < 3 =⇒ −3 < −v n < 0 =⇒ 3 < −v n < 6
1
1
1
3
9
=⇒ 9 × < 9 ×
< 9 × , soit <
< 3 et
6
6 − vn
3
2 6 − vn
3
enfin 0 < < v n+1 < 3. L’hérédité est établie puisque
2
P n+1 est vraie.
• Conclusion : P 0 est vraie et pour tout naturel n, P n
vraie entraîne P n+1 vraie, donc on a démontré que
pour tout naturel n, P n : 0 < v n < 3.
9
9 − v n (6 − v n )
b. v n+1 − v n =
− vn =
6 − vn
6 − vn
9 − 6v n + v n2
(v n − 3)2
=
=
.
6 − vn
6 − vn
Or, d’après la question précédente, 0 < v n < 3 pour
0,5
B1
B2
0,76
2. a. Utilisons la formule des probabilités totales pour
calculer a 2 = p(A 2 ) :
a 2 = p(A 2 ∩ A 1 ) + p(A 2 ∩ B 1 )
= p A 1 (A 2 ) × p(A 1 ) + p B 1 (A 2 ) × p(B 1 )
= 0,84 × 0,5 + 0,24 × 0,5 = 0,54.
Donc a 2 = 0,54.
p(A 2 ∩ B 1 ) p B 1 (A 2 ) × p(B 1 )
=
b. p A 2 (B 1 ) =
p(A 2 )
p(A 2 )
0,24 × 0,5
≈ 0,222.
=
0,54
3. a. On remarque que, ∀n ∈ N∗ , a n + bn = 1.
an
elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.
Partie B
1
1
6 − vn − 3
−
=
v n+1 − 3 v n − 3
3v n − 9
1
−v n + 3
=− .
=
3v n − 9
3
1. w n+1 − w n =
1
Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − .
3
1 − an
A n+1
0,16
B n+1
0,24
A n+1
An
tout n entier naturel d’où (v n − 3)2 > 0 et 6 − v n > 0
(v n − 3)2
donc v n+1 − v n =
> 0, ainsi la suite (v n ) est
6 − vn
strictement croissante.
c. La suite (v n ) est majorée par 3 et croissante, alors
0,84
Bn
B n+1
0,76
b. D’après la formule des probabilités totales,
∀n ∈ N∗
a n+1 = p(A n+1 ∩ A n ) + p(A n+1 ∩ B n )
= p A n (A n+1 ) × p(A n ) + p B n (A n+1 ) × p(B n )
= 0,84 × p(A n ) + 0,24 × p(B n )
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
487
a n+1 = 0,84 a n + 0,24 bn .
E XERCICE 170
Donc ∀n ∈ N∗ , a n+1 = 0,84 a n + 0,24(1 − a n )
1. u1 =
Or ∀n ∈ N∗ , bn = 1 − a n .
soit a n+1 = 0,6 a n + 0,24
4. Montrons par récurrence que ∀n ∈ N∗ ,
a n = 0,6 − 0,1 × 0,6n−1 .
• Initialisation : a 1 = 0,6 − 0,1 × 0,61−1 = 0,5.
L’initialisation est vérifiée.
• Hérédité :
3 × 16 + 2 × 5 58
=
5
5
16 + 5 21
v1 =
=
.
2
2
2. a. On a pour tout n ∈ N,
3un + 2v n un + v n
w n+1 = un+1 − v n+1 =
−
5
2
un − v n
6un + 4v n − 5un − 5v n
=
= 0,1w n .
=
10
10
Pour tout n ∈ N, w n+1 = 0,1w n , la suite (w n ) est géo-
s
a
r
u
D
I
F
L
Supposons n ∈ N∗ tel que a n = 0,6 − 0,1 × 0,6n−1
Montrons qu’alors a n+1
= 0,6 − 0,1 × 0,6n .
D’après la question précédente,a n+1 = 0,6 a n +0,24,
donc en utilisant l’hypothèse de récurrence :
¡
¢
a n+1 = 0,6 0,6 − 0,1 × 0,6n−1 + 0,24
= 0,36 − 0,1 × 0,6 × 0, 6n−1 + 0,24
= 0,6 − 0,1 × 0,6n .
On obtient ce qu’il fallait démontrer, l’hérédité est
démontrée.
• Conclusion : La proposition est vraie au rang 0 et
elle est héréditaire. D’après l’axiome de récurrence
la proposition est donc vraie pour tout entier strictement positif.
5.
Ainsi ∀n ∈ N∗ , a n = 0,6 − 0,1 × 0,6n−1 .
n−1
lim 0,6
n→+∞
= 0 car −1 < 0,6 < 1.
Donc lim a n = 0,6.
n→+∞
Cela signifie qu’au bout d’un certain temps, la probabilité qu’un vélo soit à la station A est de 60 %.
6. a n > 0,599 ⇐⇒ 0,6 − 0,1 × 0,6n−1 > 0,599
⇐⇒ −0,1 × 0,6n−1 > −0,001
−0,001
6
−0,1
1
n−1
⇐⇒ 0,6
6
.
100
Sachant que la fonction x 7→ ln(x) est strictement
⇐⇒ 0,6n−1
croissante sur R∗
+,
µ
¶
¡
¢
1
1
⇐⇒ ln 0,6n−1 6 ln
0,6n−1 6
100
100
⇐⇒ (n − 1) × ln(0,6) 6 −ln(100).
Or ln(0,6) < 0,
2ln(10)
−ln(100)
⇐⇒ n > 1 −
.
ln(0,6)
ln(0,6)
2ln(10)
1−
≈ 10,02 donc n > 11.
ln(0,6)
La probabilité que le vélo se trouve au point A est sudonc n − 1 >
périeure à 0,599 à partir du 11-ième jour.
métrique de raison 0,1 et de premier terme
w 0 = u0 − v 0 = 11.
On en déduit alors que ∀n ∈ N, w n = 11 × (0,1)n .
b. Comme 0,1n > 0 et 11 > 0 alors la suite (w n ) est
une suite de nombres supérieurs à zéro.
D’autre part 0 < 0,1 < 1 entraine que lim 0,1n = 0
et donc lim w n = 0.
n→+∞
n→+∞
3. a. Pour tout entier naturel n, on a :
3un + 2v n
3un + 2v n 5un
un+1 − un =
− un =
−
5
5
un
−2un + 2v n
2
=
= − (un − v n )
5
5
2
= − w n = −0,4w n .
5
D’après la question 2. b, pour tout n ∈ N, w n > 0,
donc −0,4w n < 0 et par conséquent :
un+1 − un < 0 ⇐⇒ un+1 < un , ainsi la suite (un ) est
décroissante.
c. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, on a : un > 5.
• Initialisation : On a u0 = 16 > 5 : la proposition est
vraie au rang n = 0.
• Hérédité : supposons n ∈ N tel que un > 5.
On a donc 3un > 15 (1) et comme on a admis que
v n > 5, on a 2v n > 10 (2).
On peut ajouter membre à membre les inégalités (1)
et (2) pour obtenir :
3un + 2v n > 25 ⇐⇒
finalement un+1 > 5.
3un + 2v n
>5
5
• Conclusion : la proposition est vraie au rang 0 et elle
est héréditaire, d’après le principe de récurrence on
a donc pour tout n ∈ N, un > 5.
La suite (un ) est décroissante et minorée par 5,
d’après le théorème de la convergence monotone, la
suite (un ) converge vers une limite ℓ > 5.
4. a. D’après la question 2.b, lim w n = 0 soit encore
n→+∞
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
488
lim (un − v n ) = 0.
Donc L est bien solution de (E ).
n→+∞
Les deux suites (un ) et (v n ) étant convergentes, on en
déduit que lim un = lim v n et donc ℓ = ℓ′ .
n→+∞
n→+∞
b. Soit la suite (cn ) définie pour tout entier naturel n
par : cn = 5un + 4v n .
Alors cn+1 = 5un+1 + 4v n+1
= 3un + 2v n + 2(un + v n )
= 3un + 2v n + 2un + 2v n
Donc cn+1 = 5un + 4v n = cn .
De plus L(0) = 20 − 19e −0,05×0 = 20 − 19 × 1 = 1.
2. a. • L ′ (0) = 0,95e −0,05×0 = 0,95.
• L ′ (5) = 0,95e −0,05×5 = 0,95 × e −0,25 ≈ 0,74.
Donc L ′ (0) > L ′ (5).
b. lim e −0,05t = 0, donc lim L ′ (t) = 0.
t →+∞
t →+∞
Ce résultat est bien en cohérence avec la description
du modèle de croissance du bambou : celui-ci a une
taille croissante (L ′ (t) > 0) de 1 m (taille initiale) à
s
a
r
u
D
I
F
L
La suite (cn ) est constante.
20 m (taille finale), la dérivée donc la vitesse de crois-
Pour tout n ∈ N, cn = c0 = 5u0 + 4v 0 = 100.
sance se rapprochant de zéro.
c. Puisque cn = 5un + 4v n et que (un ) et (v n ) ont
même limite ℓ, on a donc :
lim cn = lim 100 = 100 = 5ℓ + 4ℓ = 9ℓ.
n→+∞
n→+∞
9ℓ = 100 donc ℓ =
100
.
9
E XERCICE 171
Partie A
1. u1 = u0 + 0,05(20 − u0 ) = 1 + 0,05 × 19 = 1,95.
2. a. Pour tout entier naturel n
un+1 = un + 0,05(20 − un ) = un + 1 − 0,05un
= un (1 − 0,05) + 1 = 0,95un + 1.
b. Pour tout entier naturel n,
v n+1 = 20 − un+1 = 20 − (0,95un + 1)
= 20 − 0,95un − 1 = 19 − 0,95un
= 0,95 × 20 − 0,95u n = 0,95(20 − un ) = 0,95v n .
Ainsi pour tout naturel n, v n+1 = 0,95v n , la suite
(v n ) est une suite géométrique de raison 0,95 et de
terme initial v 0 = 20 − u0 = 19.
c. D’après la question précédente, pour tout n ∈ N,
v n = v 0 × q n = 19 × 0,95n .
Donc v n = 20−un ⇐⇒ un = 20−v n = 20−19×0,95n .
3. On vient de démontrer que ∀n ∈ N, un = 20 − 19 ×
0,95n .
Comme 0 < 0,95 < 1, alors lim 0,95n = 0,
n→+∞
d’où par somme de limites lim un = 20.
n→+∞
Partie B
1. L est la somme de fonctions dérivables sur [0 ; +∞[
¡
¢
et L ′ (t) = −0,05 × −19e −0,05t = 0,95e −0,05t .
0,05(20 − L(t)) = 0,05 × 19e −0,05t
= 0,95e −0,05t = L ′ (t).
E XERCICE 172
1. En intégrant deux fois par parties, on obtient
h
i(n+1)π
− un
un = − cos xe −x − sin xe −x
nπ
´
1³
d’où un =
−(−1)(n+1) e −(n+1)π + (−1)n e −nπ
2
1 + e −π ¡ −π ¢n
=
−e
.
2Ã
¡ −π ¢n+1 !
¡
¢n+1
−π
1− e
1 − e −π
1+e
×
=
.
2. S n =
2
1 + e −π
2
¡
¢n+1
1
lim e −π
= 0 d’où lim S n = .
n→+∞
n→+∞
2
E XERCICE 173
1. Pour n > 1,n 6 x 6 n + 1 =⇒
1
1
(n + 1) 3
6
1
1
3
6
1
1
x
n3
d’où par passage à l’intégrale et le fait que
Zn+1
1
1
dx = 1 , on obtient :
1
n
n3 Z n3
n+1 1
1
1
6
dx 6 1 .
1
1
n
(n + 1) 3
x3
n3
Zn+1
n−1
X
1
1
>
dx
2. S n =
1
1
1
3
3
k=0 (k + 1)
xZ
n 1
n 1
X
6
dx
d’autre part S n =
1
1
1 x3
k=1 k 3
Zn+1
Zn
1
1
dx 6 S n 6
dx.
ainsi
1
1
1
1 x3
x 3´
Zn
i
h
³
n
1
3 2
3 2
3.
dx = x 3 =
n 3 −1
1
2
2
1
1 x3
Donc d’après la question précédente
Ã
!
õ
!
¶2
2 n +1 3
1
Sn
3
1
1− 2 6 2 6
− 2 .
2
n
n 3Ã
n 3! 3
n3
1
3
3
1− 2 =
lim
n→+∞ 2
2
õ n 3 ¶ 2
!
2 n +1 3
3
1
et lim
− 2 =
n→+∞ 3
n
2
n3
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
489
donc d’après le théorème des gendarmes
3
Sn
= .
lim
n→+∞ 23
2
n
2. Les fonctions f , g et h sont dérivables sur [0 ; +∞[
f ′ (x) = 1 − cos x > 0,la fonction f est donc stricte-
ment croissante
f (0) = 0 donc ∀x > 0, f (x) > 0.
E XERCICE 174
1. La méthode est la même que dans l’exercice précédent.
2. D’après la question précédente, pour tout n > 0,
Zn+1
1
• un >
p dx
x
1
Zn+1
h p in+1
p
1
= 2 (n + 1) − 2
p dx = 2 x
1
x
1
Zn
n
X
1
1
• un = 1 +
p 6 1+
p dx
x
1
k
k=2
On en déduit alors que ∀n > 0,
p
p
−2 + 2 n + 1 6 un 6 −1 + 2 n.
p
3. lim
n + 1 = +∞ donc d’après le théorème de
g ′ (x) = x −sin x = f (x), la fonction g est donc stricte-
ment croissante sur [0 ; +∞[
g (0) = 0 donc ∀x > 0, g (x) > 0.
x2
h ′ (x) = −1 +
+ sin x = g (x), la fonction h est donc
2
strictement croissante sur [0 ; +∞[
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
comparaison lim un = +∞
r n→+∞
n +1
2
1
∀n > 0, 2
− p 6 un 6 2 − p .
n
n
n
r
n +1
1
lim
= 1 et lim p = 0
n→+∞
n→+∞ n
n
D’après le théorème des gendarmes lim v n = 2.
n→+∞
E XERCICE 175
1. ∀x ∈ [0 ; 1], x n > 0 et 4x 2 + 2x + 1 > 0 (car ∆ < 0)
xn
> 0 et donc par
On en déduit alors que
1 + 2x + 4x 2
propriété de l’intégrale un > 0.
Z1
x n (x − 1)
2. un+1 − un =
dx 6 0 (car x − 1 < 0)
0 1 + 2x + 4x 2
La suite (un ) est donc décroissante.
3. La suite (un ) est minorée et décroissante, elle est
donc convergente.
4. ∀x ∈ [0 ; 1], 1 6 1 + 2x + 4x 2 6 7
1
donc
6 1.
1 + 2x + 4x 2
Z1
5. D’après les questions précédentes 0 6 un 6
x n dx
0
¸1
·
Z1
1
1
x n+1 =
x n dx =
n +1
n
+
1
0
0
1
= 0 donc d’après le théorème des genlim
n→+∞ n + 1
darmes lim un = 0.
n→+∞
E XERCICE 176
n(n + 1)
n(n + 1)
et lim
=1
1. v n =
n→+∞
2n 2
n2
1
d’où lim v n = .
n→+∞
2
h(0) = 0 donc ∀x > 0, h(x) > 0.
3. Pour tout 1 6 k 6 n, k 3 6 n 3
donc 13 + 23 + · · · + n 3 6 n × n 3
soit 13 + 23 + · · · + n 3 6 n 4 .
4. D’après la question 2. ∀x > 0, x −
x3
6 sin x 6 x
6
k
donc en posant x = 2 , on obtient
n
n k
n k
n
n µ k ¶3
X
X
X
1 X
k
−
6
sin 2 6
2
2
2
6 k=1 n
n
k=1 n
k=1 n
k=1
2
2
2
n µ k ¶3
X
n (n + 1)
(n + 1)
1
=
de plus
=
> 2
2
6
4
n
4n
4n
n
k=1
1
1
6 un 6 v n , pour tout n > 1.
×
6 n2
1
1
1
5. lim
× 2 = 0 et lim v n =
n→+∞ 6
n→+∞
2
n
donc d’après le théorème des gendarmes, la suite
1
(un ) est convergente vers .
2
d’où v n −
E XERCICE 177
1. a. La fonction f est deux fois¡ dérivable sur
¢ [0 ; 1]
2 + 2x + 2 e x
x
x
(x
+
1)e
f ′ (x) =
et f ′′ (x) =
.
(x + 2)2
(x + 2)3
b. ∀x ∈ [0 ; 1], f ′ (x) > 0 , la fonction f est donc stric-
tement croissante sur [0 ; 1]
1
e
f (0) = et f (1) =
2
3
L’image
¸ du segment [0;1] par f est donc le segment
·
1 e
;
.
2 3
c. f "(x) > 0 sur [0 ; 1] donc f ′ est strictement croissante, on en déduit alors que ∀x ∈ [0 ; 1],
f ′ (0) 6 f ′ (x) 6 f ′ (1)
2e 2
1
<
f ′ (0) = et f ′ (1) =
4
9
3
1
2
ainsi, pour tout x ∈ [0;1], 6 f ′ (x) < .
4
3
d. Soit g (x) = f (x) − x, g est définie et dérivable sur
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
490
[0 ; 1] et g ′ (x) = f ′ (x) − 1
3
1
6 g ′ (x) < −
4
3
la fonction g est donc continue et strictement déD’après la question précédente −
croissante sur [0 ; 1]
e
1
g (0) = et g (1) = − 1 > 0
2
3
D’après le théorème des valeurs intermédiaires il
existe un unique réel α ∈ [0 ; 1] tel que g (α) = 0 ou
encore f (α) = α.
2. a. Si la suite (un ) admet une limite ℓ, alors ℓ vérifie
eℓ
ℓ=
c’est-à-dire f (ℓ) = ℓ.
ℓ+2
b. f est continue sur [0;1] et dérivable sur ]0;1[,
° ′ °
° f (x)° 6 2 donc d’après l’inégalité des accroisse3
ments
° finis en prenant
° a = un et b = ℓ
° f (un ) − f (ℓ) ° 2
°
°6
on a °
° 3
un − ℓ
de plus f°(un ) = un+1
° et f (ℓ) = ℓ d’où
° un+1 − ℓ ° 2
°
∀n ∈ N, °
° u −ℓ ° 6 3.
n
c. D’après la question précédente
µ ¶2
2
2
kun−1 − ℓk
∀n ∈ N, kun+1 − ℓk 6 kun − ℓk 6
3
3
on en déduit
µ par
¶ récurrence que
2 n
kun − ℓk 6
ku0 − ℓk
3
µ ¶n
2
.
De plus ku0 − ℓk < 1 d’où ∀n ∈ N, 0 6 un − l 6
3
µ ¶n
2
d. lim
= 0 donc d’après le théorème des genn→+∞ 3
darmes lim (un − ℓ) = 0, la suite (un ) converge
(somme et produit de fonctions dérivables sur [1;e])
1
−1 = ln x. La fonction F est bien
x
une primitive
de
ln
x.
Ze
h
ie
I1 =
ln xd x = x ln x − x = 1.
et F ′ (x) = ln x +x ×
1
1
b. I 2 = e − 2I 1 = e − 2 ≈ 0,718,
I 3 = e − 3I 2 = 6 − 2e ≈ 0,563
I 4 = e − 4I 3 = 9e − 24 ≈ 0,464.
∗
3. a. ∀x ∈ [1;e] et
Z ∀n ∈ N on a
ln x > 0 =⇒
e
ln x d x > 0 soit I n > 0.
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
donc vers ℓ
µ ¶n
2
On recherche le plus petit n tel que
< 10−3
3
µ ¶n
−3ln 10
2
< 10−3 ⇐⇒ n >
3
ln 23
on en déduit alors que n = 18.
1. a. (ln x)n − (ln x)n+1 = (ln x)n (1 − ln x)
∀x ∈ [1;e] et ∀n ∈ N, 0 < ln x < 1 donc (ln x)n > 0 et
1 − ln x > 0 =⇒ (ln x)n − (ln x)n+1 > 0.
b. D’après la question précédente pour 1 < x < e on a
par passage à l’inx)n+1 ce qui
(ln x)n >
Zentraîne
Z(ln
e
e
tégrale
(ln x)n+1 d x
(ln x)n d x >
1
b. D’après les questions 2 et 3.a, on peut écrire que
∀n ∈ N∗ , I n+1 = e − (n + 1)I n > 0 donc (n + 1)I n 6 e.
c. Les deux questions précédentes permettent d’obe
tenir pour tout n > 0 : 0 6 I n 6
.
n +1
e
= 0 d’où d’après le théorème des genlim
n→+∞ n + 1
darmes on déduit que lim I n = 0.
n→+∞
d. nI n + (I n + I n+1 ) = (n + 1)I n + (e − (n + 1)I n )
= e.
D’après la question précédente
lim I n = lim I n+1 = 0 d’où lim nI n = e.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 179
Z1
1 dx = [x]10 = e − 1.
1. I 0 =
0
2. A l’aideZ
d’une intégration par parties, on obtient :
e
(ln x)n+1 dx
Ze
h
ie
= x (ln x)n+1 − (n + 1)
(ln x)n dx
I n+1 =
1
1
d’où I n+1 = e − (n + 1)I n .
1
3. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
« ∀n ∈ N, I n = a n e + bn ».
• Initialisation : I 0 = e − 1 = a 0 e + b0 donc P0 est
vraie.
• Hérédité : supposons n un entier dans N tel que Pn
E XERCICE 178
c’est-à-dire I n > I n+1
1
1
ce qui prouve que la suite (I n ) est décroissante.
2. a. La fonction F est définie et dérivable sur [1;e]
vraie.
On a alors I n+1 = e − (n + 1)I n = e − (n + 1) (a n e + bn )
= (1 − (n + 1)a n ) e − (n + 1)bn
= a n+1 e + bn+1
donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, ainsi pour tout n dans N, I n = a n e + bn .
avec a n terme général d’une suite (a n ) définie par
a 0 = 1 et ∀n ∈ N, a n+1 = 1 − a n (n + 1) ;
bn terme général d’une suite (bn ) définie par b0 = −1
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
491
et ∀n ∈ N⋆ , bn = n! (−1)n+1 .
4. ∀x ∈ [1;n], ln x > 0 on en déduit alors que I n > 0.
5. D’après les questions précédentes
I n+1 = e − (n + 1)I n > 0
e
.
ce qui implique I n 6
n +1
e
e
6. On a 0 6 I n 6
et lim
= 0 donc d’après
n→+∞ n + 1
n +1
le théorème des gendarmes lim I n = 0.
1
2!
(n − 1)!
+ +··· +
+ 1.
n! n!
n!
En procédant de manière analogue à la question pré-
2. un =
cédente, on obtient lim un = 1.
n→+∞
2!
(n − 1)!
1
1
+
+··· +
+
.
3. un =
(n + 1)! (n + 1)!
(n + 1)! n + 1
En procédant de manière analogue à la question précédente, on obtient lim un = 0.
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 182
E XERCICE 180
s
a
r
u
D
I
F
L
On démontre par récurrence que la suite (un ) existe et
que pour tout n > 0, un > 1.
Si la suite (un ) converge vers une limite ℓ, alors ℓ > 1 vép
rifie l’équation ℓ = ℓ d’où ℓ = 1 (ℓ = 0 est exclu).
En conclusion, la suite (un ) converge vers 1 ou diverge.
En calculant les premiers termes de la suite avec diverses
valeurs de u0 , il semble que la suite (un ) soit décroissante à partir d’un certain rang et converge alors vers 1.
un − un−1
1
Pour n > 0, un+1 − un = p
−
ainsi
p
un + un−1 n(n + 1)
si un − un−1 6 0 alors un+1 − un 6 0.
En conséquence, si à un rang p = n0 , on a u p+1 − u p 6 0
la propriété est vraie pour tout n > p > n0 , ainsi la suite
(un ) est décroissante et minorée elle est donc convergente.
S’il n’existe pas un tel n0 alors pour tout n, un+1 −un 6 0
la suite est donc strictement croissante et non majorée
(car la suite aurait alors une limite finie strictement su-
périeure à 1), d’où lim un = +∞.
n→+∞
p ¡
p ¢
Mais on a alors un+1 − un = un 1 − un +
aurait pour limite −∞ ce qui contredit un > 1.
1
qui
n +1
On en déduit que la suite (un ) est décroissante à partir
d’un certain rang et converge vers 1.
E XERCICE 181
1. un =
1
2!
(n − 3)!
1
+
+··· +
+
+ 1 + n.
(n − 1)! (n − 1)!
(n − 1)! n − 1
Pour tout k tel que 1 6 k 6 n − 2 on a
k!
1
0<
6
(n − 1)!
n −1
donc lim
1!
n→+∞ (n − 1)!
= lim
(n − 2)!
n→+∞ (n − 1)!
=0
et lim (n + 1) = +∞ d’où lim un = +∞.
n→+∞
n→+∞
1. La somme du n ème est dépend de la somme du (n −
1)ème enfant et de n, cette suite n’est ni arithmétique,
ni géométrique, on ne peut la définir directement en
fonction uniquement de n.
Si n = 10, le 10ème enfant obtiendra 1036 pièces d’or.
2. L’aîné aura 5 pièces soit a 1 = 5, le n ème enfant aura
le double du (n − 1)ème enfant moins n ce qui s’écrit
pour n > 2, a n = 2a n−1 − n.
3. v n+1 = a n+1 − n − 3 = 2(a n − n − 2) = 2v n , la suite
(v n ) est une suite géométrique de raison 2 et de première terme v 1 = 2.
4. D’après la question précédente v n = 2n et donc
a n = 2n + n + 2
E XERCICE 183
1
1
1
1
1. u1 = p , u2 = p , u3 = , u4 = p .
2
2
3
5
1
.
2. Il semblerait que ∀ ∈ N, on ait un = p
n +1
3. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
1
».
« ∀n ∈ N, un = p
n +1
1
• Initialisation : u0 = 1 = p
donc P0 est vraie.
0+1
• Hérédité : supposons n un entier tel que Pn vraie.
On a alors un+1 = q
donc Pn+1 est vraie.
un
2 +1
un
= q
p1
n+1
1
n+1 + 1
1
= p
n +2
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
1
.
héréditaire, ainsi pour tout n dans N, un = p
n +1
E XERCICE 184
#
"
n
1 X
1
1. un =
ln (n + k) − n × ln (n)
n k=1
n
#
"
n
X
1
=
(ln (n + k) − ln n)
n k=1
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
492
µ
¶
n
5
1h X
k i
d’où ∀n ∈ N, un + un+2 = un+1 .
ln 1 +
.
2
n k=1
n
c. On peut le démontrer par récurrence.

³ ´n+1 
2. a. La méthode
est
celle
de
l’exercice
173
µ
µ
¶ Z2
¶
1
µ
µ ¶n+1 ¶
n−1
n−1
X 1
X 1
k
k +1
4π  1 − 2
1
 8π
b.
ln 1 +
ln 1 +
ln (x)dx 6
6
=
4. S n =
1
−
.


1
n
n
n
n
1
3
3
2
k=0
k=0
1− 2
d’autre part
µ
µ
¶
¶
8π
n−1
n 1
X 1
X
k
k
n´
1 ³
.
lim S n =
ln 1 +
ln 1 +
=
− ln 1 +
n→+∞
3
n
n
n
n
k=0 n
k=1 n
un =
1
ln 2
n
µ
µ
¶
¶
n−1
n 1
X 1
X
k +1
k
ln 1 +
ln 1 +
=
= un
n
n
n
k=0 n
Zk=1
2
1
ln (x)dx 6 un .
d’où un − ln (2) 6
n
1
c. D’après la question précédente
Z2
Z2
1
ln (x)dx + ln 2.
ln (x)dx 6 un 6
n
1
1
En intégrant par parties :
Z2
h
i2 Z2
xdx
ln (x)dx = x ln x −
1
1
1
h
i2
= x ln x − x = 2ln 2 − 1
E XERCICE 186
= un −
1
1
1. Soit p = n et q = (n − 1),
6
6
comme lim p = lim q = +∞
s
a
r
u
D
I
F
L
On en déduit alors que
p→+∞
lim un = lim u p = lim u q = ℓ.
p→+∞
q→+∞
¡
¢
u p = 6p.sin2 2pπ = 0 d’où lim u p = 0.
p→+∞
³
π´ 3
2
u q = (6q + 1).sin 2qπ +
= (6q + 1)
3
4
d’où lim u q = +∞.
n→+∞
q→+∞
Les deux limites sont différentes, nous en déduisons
que la suite (un ) n’admet pas de limite lorsque n tend
1
1
2ln 2 − 1 6 un 6 2ln 2 − 1 + ln 2.
n
¶
µ
1
ln 2 = 0 donc d’après le théorème des gen3. lim
n→+∞ n
darmes lim un = 2ln 2 − 1.
n→+∞
E XERCICE 185
1. ∀x ∈ R, −1 6 cos x 6 1, le dénominateur de la frac-
tion ne s’annule jamais, un est toujours définie.
Zπ
Zπ
cos (x) − 54 + 45
cos (x)
2. u1 =
dx
=
dx
5 − cos (x)
0 5
0
− cos (x)
4
4
Z
Zπ
1
5 π
=−
1dx +
dx
4 0 5 − cos (x)
0
4
2π
5
.
= −π + u0 =
4
3
3. a. On utilise les formules cos (a + b) et cos (a − b) avec
a = (n + 1)x et b = x
on obtient alors
cos (n + 2)x + cosZ
nx = 2cos (n + 1)x × cos x.
π cos ((n + 1)x) cos x
dx
5 − cos (x)
0
4
Zπ
0
cos ((n + 1)x) cos x − 54 cos ((n + 1)x) + 45 cos ((n + 1)x)
Zπ
vers l’infini, elle est donc divergente.
1
1
3
2. ∀n ∈ N∗ , 6 1 + sin n 6
2
2
2
µ ¶1
µ ¶1
1 n
3 n
donc
6 vn 6
2
2
1
car la fonction x 7→ x n est croissante sur R∗
+.
µ ¶1
µ ¶0
1 n
1
= 1 et
lim
= lim
n→+∞ 2
N→0 2
1
µ ¶0
µ ¶
3
1
3 n
= lim
= 1 en posant N = .
lim
n→+∞ 2
n
N→0 2
On en déduit donc d’après le théorème des gendarmes que lim v n = 1.
n→+∞
E XERCICE 187
·
¸π
6
1
1
= .
1. a. I 0 = − cos 3x
3
3
0
Zπ
6
x sin 3xdx.
b. I 1 =
0
b. un + un+2 = 2
=2
5
(x)
4 − cos
Z
5 π cos ((n + 1)x)
dx
cos ((n + 1)x)dx +
= −2
5 − cos (x)
2 0
0
4
h
iπ 5
= −2 sin ((n + 1)x) + un+1
2
0
q→+∞
on en déduit que si la suite (un ) converge alors
dx
On pose u(x) = x et v ′ (x) = sin 3x, les
u et
h fonctions
πi
, on a alors
v ′ sont continues et dérivables sur 0;
6
1
u ′ (x) = 1 et v (x) = − cos 3x. En utilisant une inté3
gration par parties, nous obtenons
·
¸π
Zπ
6
1 6
1
+
I 1 = − x cos 3x
cos 3xdx
3
3 0
0
¸π
·
6
1
1 1
= .
= 0+
sin 3x
3 3
9
0
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
2. a. Pour n > 1, I n+2 =
Zπ
6
0
x n+2 sin 3xdx.
On pose u(x) = x n+2 et v ′ (x) = sin 3x, les
h fonctions
πi
′
u et v sont continues et dérivables sur 0;
, on a
6
1
alors u ′ (x) = (n + 2)x n+1 et v (x) = − cos 3x.
3
En utilisant une intégration par parties, nous obte-
493
Z1
£
¤1
1
e −x dx = 1 + e −x 0 = e −1 = .
e
0
b. Pour 0 6 x 6 1, on a :
I1 = 1 −
0 6 1 − x 6 1 ⇒ 0 6 (1 − x)n 6 1 car n > 1
et, compte tenu du fait que e −x > 0 , on obtient :
0 6 (1 − x)n e −x 6 e −x ;
la positivité de l’intégrale nous permet alors d’écrire :
Z1
Z1
·
¸π
n −x
Zπ
e −x dx
(1
−
x)
e
dx
6
0
6
6
1
1
6 n+1
0 Z
0
x
cos 3xdx
I n+2 = − x n+2 cos 3x + (n+2)
3
0
1 1 −x
0 3
¸π ·
¸π
·
et, finalement : 0 6 I n 6
e dx.
6
6
1
1
n! 0
+ x n+1 sin3x
= − x n+2 cos 3x
Conséquence :
3
3
Z1
0
0
£
¤1
Zπ
e −1
1
6 n
et l’inégaOn a
e −x dx = e −x 0 = 1 − e −1 =
− (n + 1)
x sin 3xdx.
e
0
3
0
lité, précédemment obtenue, s’écrit :
Ainsi après simplifications,
1 e −1
1
³ π ´n+1 1
1
0 6 In 6
or lim
= 0 donc lim I n = 0.
− (n + 1)(n + 2)I n .
I n+2 = (n + 2)
n→+∞
n→+∞
n! e
n!Z
9
6
9
1
1
n+1 −x
b. En posant n = 1 dans la relation précédente on obc. Pour n > 1, I n+1 =
(1 − x)
e dx.
(n + 1)! 0
π2
2
tient I 3 =
− .
Intégrons par parties en posant :
108 27
h πi
u(x) = (1 − x)n+1 u ′ (x) = −(n + 1)(1 − x)n
on a x n > x n+1 et 0 6 sin 3x 6 1 donc
3. a. ∀x ∈ 0;
6
v ′ (x) = e −x
v (x) = −e −x
n
3x > x n+1 sin 3x et donc par intégration sur
Toutes
ces
fonctions
étant
continues sont intégrables
hx sin
i
π
0;
on en déduit I n > I n+1 , la suite (I n ) est désur [0 ; 1] et
6
£
¤1
1
croissante.
I n+1 =
−(n + 1)e −x (1 − x)n 0
h πi
(n
+
1)!
Z1
b. ∀x ∈ 0;
, 0 6 sin 3x 6 1 d’où par intégration sur
1
6
Zπ
(n + 1)(1 − x)n e −x dx
−
h πi
6 n
(n
+
1)!
0
Z
x d x.
, 0 6 In 6
0;
1 1
1
6
0
−
(1 − x)n e −x dx
=
·
¸π
Zπ
³
´
1
π n+1
1
6 n
(n + 1)! n! 0
n+1 6
x dx =
x
.
c.
=
1
n +1
n +1 6
0
− In .
Finalement : I n+1 =
0
(n + 1)!
1 ³ π ´n+1
.
On en déduit alors que 0 6 I n 6
2. a. Soit Pn la propriété :
n +1 6
1
1
π
« Pour tout n > 1, a n = + (−1)n I n ».
lim
= 0 et comme 0 6
6 1 alors
e
n→+∞ n + 1
6
1
³ π ´n+1
1
• Initialisation : a 1 = 0 et + (−1)1 I 1 = − I 1 = 0 : la
= 0, par produit des limites nous oblim
e
e
n→+∞ 6
relation est vraie pour n = 1.
1 ³ π ´n+1
= 0 d’où en appliquant le
tenons lim
• Hérédité : supposons qu’il existe n ∈ N∗ tel que la
n→+∞ n + 1 6
théorème des gendarmes lim I n = 0.
relation soit vérifiée au rang n, on a alors
n→+∞
(−1)n+1 1
(−1)n+1
a n+1 = a n +
= + (−1)n I n +
(n + 1)!·
e
(n + 1)!
E XERCICE 188
¸
1
1
1
Z1
n+1
− I n = +(−1)n+1 I n+1
= +(−1)
e
(n + 1)!
e
1. a. I 1 =
(1 − x)e −x dx ;
d’après la question 1. c.
0
Faisons une intégration par parties en posant
• Conclusion : la relation est vraie au rang 1 et est hé(
réditaire
donc elle est vraie pour tout n ∈ N⋆ .
′
u(x) = 1 − x u (x) = −1
b. D’après la question 1.b lim I n = 0 et donc
v ′ (x) = e −x v (x) = −e −x
n→+∞
¯
¯
lim ¯(−1)n I n ¯ = 0.
Toutes ces fonctions étant intégrables sur [0 ; 1], on
n→+∞
1
obtient
Finalement lim a n = .
h :
i1 Z1
n→+∞
¡
¢
e
(−1) −e −x dx
I 1 = − (1 − x)e −x −
nons :
s
a
r
u
D
I
F
L
0
0
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
494
E XERCICE 189
Z
t
1 1
1. I 1 =
(1 − t)e 2 dt
4 0
Par intégration par parties en posant :
(
u(t) = (1 − t) u ′ (t) = −1
.
t
t
v ′ (x) = e 2
v (x) = 2e 2
p
3
e− .
2
2. Par intégration par parties I n+1 en posant :
(
u(t) = (1 − t)n+1 u ′ (x) = −(n + 1)(1 − t)n
.
t
t
v (x) = 2e 2
v ′ (t) = e 2
On obtient I 1 =
on obtient, pour tout entier naturel n, supérieur ou
1
n +1
égal à 1, on a : I n+2 = e −
In .
2
2
1
1
d. I 3 = et I 5 = e − 1.
2
2
2. a. Pour tout x ∈ [0;1] et pour tout entier naturel non
2
nul n, x n e x > 0 d’où par intégration sur [0;1] on dé-
duit I n > 0.
b.
I n+1 − I n
2
(x − 1) x n e x
=
Z1
0
2
(x − 1) x n e x dx
6 0 car
6 0 sur [0;1]
s
a
r
u
D
I
F
L
1
.
On obtient I n+1 = I n − n+1
2
(n + 1)!
3. En utilisant la question précédente, nous obtenons
les égalités :
p
1
I1 = e − 1 −
2 · 1!
1
I2 = I1 − 2
2 · 2!
1
I3 = I2 − 3
2 · 3!
..
..
.
.
1
I n = I n−1 − n
2 · n!
En additionnant membre à membre les égalités,
nous obtenons
p
1
1
1
In = e − 1 −
− ··· − n
−
d’où ∀n > 1
2 · 1! 22 · 2!
2 · n!
p
1 1
1 1
on a : e = 1 + · + · · · + n · + I n .
2 1!
2 n!
t
p
4. Pour tout t ∈ [0;1], 0 6 (1 − t) n+1 6 1 et 1 6 e 2 6 e
d’où par intégration sur [0;1] :
Z1
t
p
1 p
06
e.
(1 − t) n+1 e 2 dt 6 e, ainsi 0 6 I n 6 n
2 n!
0
1 p
e = 0 donc en appliquant le théorème
lim
n→+∞ 2n n!
des gendarmes on obtient lim I n = 0.
n→+∞
En utilisant la relation de la question 3, nous obtep
nons lim un = e.
n→+∞
E XERCICE 190
1. a. La fonction G est définie et dérivable sur R,
1
2
2
G ′ (x) = × 2xe x = xe x = g (x), la fonction G est
2
donc une primitive sur R de la fonction g .
Z1
1
1
g (x)d x = e − .
b. I 1 =
2
2
0
c.
 A l’aide d’une intégration par parties, en posant :
 u(x) = x n+1 u ′ (x) = (n + 1)x n
 v ′ (t) = xe x 2 v (x) = 1 e x 2
2
La suite (I n ) est donc décroissante.
c. La suite (I n ) est décroissante et minorée, elle est
donc convergente vers une limite ℓ.
3. D’après la relation obtenue à la question 1.c
3e
ℓ = lim
= 0.
n→+∞ n + 2
E XERCICE 191
1. a. On a pour tout réel x, ϕ′ (x) = −e −x < 0, donc ϕ
est décroissante sur R donc sur I .
0,4 6 x 6 0,7 =⇒ ϕ(0,7) 6 ϕ(x) 6 ϕ(0,4)
soit 0,496 < ϕ(x) < 0,671, donc ϕ(x) ∈ I
b. ϕ′ (x) = −e−x , donc en reprenant les encadrements
précédents :
0,4 6 x 6 0,7 =⇒ 0,496 < ϕ(x) < 0,671
=⇒ −0,671 < −ϕ(x) < −0,496 =⇒ |ϕ′ (x)| < 0,7.
c. Par hypothèse e −α = α.
L’inégalité des accroissements finis appliquée à la
fonction ϕ, avec x ∈ I et α ∈ I ,
¯
¯
¯ϕ(x) − ϕ(α)¯ 6 0,7|x − α|
¯
¯
⇐⇒ ¯ϕ(x) − α¯ 6 0,7|x − α|.
2. a. On a vu que pour x ∈ I , ϕ(x) ∈ I : tous les termes
de la suite appartiennent donc à I , le premier terme
appartenant lui aussi à I .
L’inégalité des accroissement finis précédente s’écrit
¯
¯
donc : ¯ϕ(un ) − α¯ 6 0,7|un − α| soit
|un+1 − α| 6 0,7|un − α|.
• Initialisation : De 0,4 <6 α 6 0,7, on déduit que
|u0 − α| = |0,4 − α| 6 0,3, donc on a bien
|u0 − α| 6 0,3 × 0,40 .
• Hérédité : Supposons qu’il existe un naturel n tel
que :
|un − α| 6 0,3 × (0,7)n .
Or d’après le résultat précédent :
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
495
|un+1 − α| 6 0,7|un − α| = 0,7 × 0,3 × (0,7)n ou
|un+1
− α| 6 0,3 × 0,7n+1 .
• Conclusion : On a donc démontré par récurrence
que pour tout n ∈ N, |un − α| 6 0,3 × (0,7)n .
b. Comme −1 < 0,7 < 1, on sait que lim 0,7n = 0,
on en déduit que
n→+∞
lim |un − α| = 0, ce qui signifie
n→+∞
que la suite u a pour limite α.
3. On a |un − α| 6 10−3 lorsque 0,3 × (0,7)n < 10−3 ou
10−3
d’où par croissance du logarithme né0,7n <
0,3
périen :
³ −3 ´
Ã
!
ln 10
10−3
0,3
.
n ln 0,7 < ln
⇐⇒ n >
0,3
ln 0,7
³ −3 ´
ln 10
0,3
Or
≈ 15,99.
ln 0,7
Il faut donc prendre au moins p = 16.
n
1
2
3
4
5
un
2,718
1,847
0,744
0,213
0,047
8
9
n
6
7
un
0,0865
0,00178
0,000178 0,000002
On peut donc conjecturer que :
a. La suite (un ) est décroissante ;
b. La suite (un ) converge versµ 0. ¶
¡ ¢
¡ ¢
en
2. a. ∀n ∈ N∗ : v n = ln(un ) = ln n = ln e n − ln n n
n
= n ln e − n ln n = n − N ln n = g (n).
s
a
r
u
D
I
F
L
g (1) > g (n) > g (n + 1) ⇐⇒ 1 > v n > v n+1 .
Ceci prouve que la suite (v n ) est décroissante.
c. Pour tout n ∈ N∗ , v n = ln(un ), donc un = e v n .
De plus, d’après la question précédente, v n > v n+1 ,
donc par application de la fonction exponentielle
dire un > un+1 et la suite (un ) est donc décroissante.
Partie A
3. La suite (un ) est positive de façon évidente, elle est
donc minorée.
1. Limite en 0.
D’après le théorème des croissances comparées
lim x ln x = 0, donc, par opérations sur les limites :
x→0
lim g (x) = 0.
La suite (un ) est décroissante, elle est donc majorée
par son premier terme u1 = e.
La suite (un ) est donc bornée.
4. La suite (un ) est décroissante et minorée, elle est
x→0
Limite en +∞.
On peut écrire, pour tout réel x > 0 : g (x) = x(1−ln x).
Or lim x = +∞ et lim (1 − ln x) = −∞, donc, par
x→+∞
x→+∞
produit des limites : lim g (x) = −∞.
x→+∞
2. La fonction g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[
comme combinaison simple deµ fonctions qui
¶ le sont,
1
′
et, pour tout x > 0 : g (x) = 1 − ln x + x ×
= −ln x.
x
3. Soit x > 0, on sait que ln x > 0 ⇔ x > 1 d’où le tableau
de variations de g :
0
1
g ′ (x)
+
0
1
−
+∞
g
0
−∞
Partie B
1. A l’aide de la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes :
tion g est strictement décroissante sur [1;+∞[, alors :
(strictement croissante sur R) : e v n > e v n+1 , c’est-à-
E XERCICE 192
x
b. Soit n ∈ N∗ , alors 1 6 n < n + 1, et comme la fonc-
donc convergente.
Par ailleurs, pour tout n ∈ N∗ : un = e v n = e g (n) .
D’après la partie A, lim g (n) = −∞
n→+∞
et
lim e X = 0, donc, par composition des limites,
X →−∞
lim e g (n) = 0, ce qui prouve que la suite (un ) a
n→+∞
pour limite 0.
E XERCICE 193
¶
ln (1 + n)
ln n
´´ 
 ³ ³
ln n 1 + n1

= n ln n × ln 
ln n
´
³

ln 1 + n1
.
= n ln n × ln 1 +
ln n
³
´
ln 1 + n1
= 0,
On remarque que lim
n→+∞
ln n
ln (un ) = n ln n × ln
µ
l’idée est de faire apparaître l’expression
tend vers 1 lorsque h tend vers 0.
ln(1 + h)
qui
h
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
496
ainsi ln (un ) = n ln n ×
µ
¢¶
¡
ln 1+ 1
ln 1 + ln n n
¢
¡
ln 1+ n1
ln n ³
ln 1 + n1
lim ln (un ) = lim n ln n ×
n→+∞ µ
¶ ln n
1
= lim n ln 1 +
n→+∞
n
³
´
ln 1 + n1
= lim
=1
1
n→+∞
n→+∞
d’où lim un = e.
×
³
´
ln 1 + n1
ln n
´
n
intégrales de ces fonctions positives sur l’intervalle
[0 ; 1] sont donc des nombres supérieurs à zéro.
4. a. Quel que soit le réel x,
k(x) = f n+1 (x) − f n (x)
ex
ex
=
− nx
e (n+1)x (1 + e x ) e (1 + e x )
1
ex
= nx
−
e (1 + e x ) e nx (1 + e x )
1 − ex
.
= nx
e (1 + e x )
b. Le dénominateur est supérieur à zéro comme pro-
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
E XERCICE 194
1. v n+1 = 2un − 6 = 2v n .
La suite (v n ) est géométrique de raison q = 2 et de
premier terme v 0 = u0 − 3.
On en déduit que v n = (u0 − 3) × 2n
et un = 3 + (u0 − 3) × 2n .
2. Pour tout n ∈ N, 3u n est le cube d’un entier naturel si
et seulement si un est un multiple de 3.
¡
¢
or un = 3 1 − 2n u0 +2n u0 , il faut donc que 2n u0 soit
un multiple de 3 or quel que soit n ∈ N, 2n n’est ja-
mais multiple de 3, on en déduit alors que u0 doit
être un multiple de 3.
3. 3u n − 1 ≡ 0 [11] ⇐⇒ 3u n ≡ 1 [11]
On démontre que 35k ≡ 1 [11]
il faut donc que un = 2n + 3 soit un multiple de 5 ou
encore que 2n ≡ 2 [5]
20 ≡ 1 [5], 21 ≡ 2 [5], 22 ≡ 4 [5], 23 ≡ 3 [5], 24 ≡ 1 [5]
¡ ¢p
on démontre que 24p+1 = 24 × 2 ≡ 1p × 2 ≡ 3 [5]
Les entiers n sont donc tous les entiers de la forme
4p + 1 avec p ∈ N.
E XERCICE 195
Z1
ex
1. u0 =
dx : le numérateur étant la dérivée du
x
0 1+e
dénominateur, on a :
µ
¶
£ ¡
¢¤1
1+e
u0 = ln 1 + e x 0 = ln(1 + e) − ln(1 + 1) = ln
.
2
Z1
Z1
x
1
e
dx +
dx
2. u0 + u1 =
x
1
+
e
1
+
ex
0
0
Z1
Z1
x
1+e
=
1 dx = 1.
dx =
x
0 1+e
¶
µ0
1+e
.
Donc u1 = 1 − u0 = 1 − ln
2
3. Quel que soit le naturel n, f n quotient de termes su-
périeurs à zéro est un nombre supérieur à zéro ; les
duit de deux nombres supérieurs à zéro ; le signe de
k(x) est donc celui du numérateur 1 − e x .
1 − e x > 0 ⇐⇒ 1 > ex ⇐⇒ 0 > x ; k(x) > 0 si x < 0 ;
1 − e x < 0 ⇐⇒ 1 < ex ⇐⇒ 0 < x ; k(x) < 0 si x > 0.
k(x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
c. D’après la question précédente l’intervalle d’inté-
gration ne contient que des valeurs positives, donc
¡ ¢
k(x) < 0, ce qui signifie que la suite f n , donc aussi
(un ) est décroissante.
5. a. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
Z1
Z1
ex
ex
un−1 +un =
dx
dx+
nx
x
(n−1)x
x
(1
(1 + e )
0 e·
0 e
¸ +e )
Z
x
x
x
1
e ×e
e
=
+ nx
dx
nx
x
e (1 + e x )
0 e ¡ (1 + e¢ )
Z1 x
x
e 1+e
=
nx (1 + e x ) dx
0 e
"
#1
Z1
e (1−n)x
e (1−n)x dx =
=
1−n
0
0
e (1−n) − 1 1 − e −(n−1)
=
.
=
1−n
n −1
b. Avec n = 3, la relation précédente donne :
1 − e −(3−1) 1 − e −2
=
,
u2 + u1 =
3−1
2
µ
¶
−2
−2
1−e
1−e
1+e
soit u2 =
− u1 =
− 1 + ln
.
2
2
2
6. a. On sait que lim un = 0, donc lim v n = 0.
n→+∞
n→+∞
b. On a démontré que la suite (u) est décrois-
sante,donc pour n supérieur ou égal à 2, soit
un < un−1 =⇒ un + un < un−1 + un
un−1 + un
=⇒ un <
,
2
soit un < v n .
c. D’après la question précédente la suite (un ) positive est majorée par une suite positive qui a pour li-
mite 0 en plus l’infini. D’après le théorème des gendarmes la suite (un ) converge elle aussi vers 0.
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
497
E XERCICE 196
Partie A
x +1−1
1
x
=
= 1−
.
1. •
x +1
x +1
x +1
−1
x
Comme lim
= 0, on a donc lim
=1
x→+∞
x→+∞
x
+
1
x
+
1
³ x ´
et lim ln
= 0.
x→+∞
x +1
• On a par somme de limites : lim f (x) = 0.
x→+∞
x
> 0 la fonc2. Comme sur [1 ; +∞[ , x + 1 > 0, et
x +1
tion f est la somme de deux fonctions dérivables sur
tive est un nombre positif.
¶
Zk+1
Zk+1
Zk+1 µ
1 1
1
1
−
dx >
dx
dx > 0 ⇐⇒
•
k x
k
x
k
k
k
(par linéarité de l’intégrale.
Zk+1
1
1
1
Or
dx = × (k + 1 − k) = .
k
k
k
k
Zk+1
1
1
dx 6 .
L’inégalité précédente s’écrit donc :
x
k
k
Zk+1
1
• On a
dx = [ln x]kk+1 = ln(k + 1) − ln k.
x
k
1
Donc l’inégalité précédente s’écrit ln(k +1)−ln k 6
k
(1).
s
a
r
u
D
I
F
L
[1 ; +∞[ et sur cet intervalle :
u ′ (x)
1
x
+
f ′ (x) = −
avec u(x) =
.
2
u(x)
x +1
(x + 1)
1 × (x + 1) − x × 1
1
Or u ′ (x) =
=
.
(x + 1)2
(x + 1)2
1
1
1
+
.
=
Donc f ′ (x) = −
(x + 1)2 x(x + 1) x(x + 1)2
x
1
f ′ (x)
−
+∞
0
f
1
2 − ln 2
3. Le tableau montre que f (x) < 0 sur [1 ; +∞[.
Partie B
11
.
6
2. Il suffit d’ajouter après le Fin Pour « u ←− u − ln n ».
1. u contient
3. On peut conjecturer que pour n allant de 4 à 2000
la suite est décroissante et converge vers une valeur
proche de 0,577.
Partie C
·
¸
1 1
1
1
1. un+1 − un = 1 + + + ... +
− ln(n + 1) −
2 3 ¸ n n +1
·
1
1 1
1 + + + ... + − ln n
2 3
n
1
+ ln n − ln(n + 1)
=
n +1
³ n ´
1
=
= f (n).
+ ln
n +1
n +1
On a vu que pour x > 1, f (x) < 0,
donc un+1 −un = f (n) < 0 montre que un+1 < un , ce
qui signifie que la suite (un ) est décroissante.
2. a. Puisqu’on intègre de k strictement positif à k + 1,
on a donc
1
1
1
6 6
k +1
x
k
1
1
1 1
On a donc en particulier 6 ⇐⇒ − > 0. L’inx
k
k x
tégrale sur [k ; k + 1] de la fonction continue et posi0 < k 6 x 6 k + 1 ⇐⇒ 0 <
b. On obtient les inégalités suivantes :
1
ln(1 + 1) − ln 1 6
1
1
ln(2 + 1) − ln 2 6
2
1
ln(3 + 1) − ln 3 6
3
........................
1
ln(n) − ln(n − 1) 6
n −1
1
ln(n + 1) − ln n 6
n
D’où par somme membres à membres et effet de « télescopage » :
1
1 1
+ + ... + ou encore
2 3
n
1 1
1
ln(n + 1) 6 1 + + + ... + .
2 3
n
c. La fonction ln étant croissante, on a ln n < ln(n +1)
1
1 1
et comme ln(n + 1) 6 1 + + + ... + .
2 3
n
1 1
1
d. On en déduit que ln n < 1 + + + ... + .
2 3
n
1 1
1
e. Soit encore 0 < 1 + + + ... + − ln n.
2 3
n
Ainsi finalement un > 0.
ln(n + 1) − ln 1 6 1 +
3. On a vu que la suite est décroissante et ensuite qu’elle
est minorée par 0 : elle converge donc vers une limite
positive.
E XERCICE 197
Partie A
1. La fonction est dérivable sur [0 ; +∞[ et sur cet intervalle :
f ′ (x) = 1 − e −x .
Or f ′ (x) > 0 ⇐⇒ 1 − e −x > 0 ⇐⇒ 1 > e −x
⇐⇒ 0 > −x ⇐⇒ x > 0.
Conclusion : f ′ (x) > sur [0 ; +∞[ : la fonction est
croissante sur cet intervalle.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
498
2. On sait que lim e−x = 0, donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
3. Soit d la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
lim un = +∞. La suite est divergente.
n→+∞
6. a. Illustrons la situation :
d(x) = f (x) − x = e−x .
On a vu que
y = x1
lim e−x = 0 ce qui signifie que la
x→+∞
droite d’équation y = x est asymptote oblique à (C)
au voisinage de plus l’infini.
1
k
Partie B
1. La fonction g est dérivable sur [0 ; +∞[ et sur cet in-
s
a
r
u
D
I
F
L
tervalle :
1
1+x −1
x
=
=
.
1+x
1+x
1+x
Comme x > 0 et 1 + x > 1 > 0, le quotient g ′ (x) est
g ′ (x) = 1 −
positif ou nul : la fonction g est donc croissante sur
[0 ; +∞[.
Comme g (0) = 0 on en déduit que pour tout x de
[0 ; +∞[
b. On a admis que, pour tout entier n supérieur ou
⇐⇒ ln(1 + x) 6 x.
2. En appliquant l’inégalité trouvée à x =
1
∈ ]0 ; +∞[,
n
onµobtient
µ
¶
¶
1
n +1
1
1
ln 1 +
6 ⇐⇒ ln
6
n
n
n
n
1
⇐⇒ ln(n + 1) − ln n 6
n
1
⇐⇒ ln(n + 1) 6 ln n + .
n
3. On a pour tout réel positif x, f (x) = x +e −x d’où avec
f (ln n) = ln n + e − ln n = ln n +
car pour n > 1, e ln n = n.
1
e ln n
= ln n +
1
,
n
4. • Initialisation : ln 1 6 u1 = 0 + e −0 = 1 est vraie.
• Hérédité : Supposons qu’il existe n ∈ N, n > 1 tel que
ln n 6 un . Donc :
f (ln n) 6 f (un ) car la fonction f est croissante sur
[0 ; +∞[. Mais d’après la question 3.
1
f (ln n) = ln n + ,
n
1
1
donc ln n + 6 f (un ) ⇐⇒ ln n + 6 un+1 .
n
n
1
Mais d’après la question 2. : ln(n +1) 6 ln n + , d’où
n
finalement par transitivité :
ln(n + 1) 6 un+1 .
• Conclusion : On a donc démontré par récurrence
que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n) 6 un .
5. Comme
lim ln n = +∞, par comparaison :
n→+∞
k
1
Le rectangle gris a une largeur de et une longueur
k
1
de 1, donc une aire de .
k
1
étant décroissante et positive,
La fonction x 7−→
x
l’intégrale ci-dessus est égale à l’aire de la surface hachurée, d’où l’inégalité.
g (x) > 0 ⇐⇒ x − ln(1 + x) > 0
n > 1,
k −1
égal à 2,
1
1
+··· +
.
2
n −1
On vient de démontrer que pour k > 2,
Zk
1
1
6
dx, donc l’inégalité précédente devient :
k
k−1Zx
Zn−1
2 1
1
dx + · · · +
dx
un 6 1 +
n−2 x
1 x
d’où d’après la linéarité de l’intégrale :
Zn−1
1
un 6 1 +
dx
x
1
Zn−1
1
dx = [ln x]n−1
= ln(n − 1)
1
x
1
Ainsi finalement un 6 1 + ln(n − 1).
un 6 1 +
7. On a pour n > 1 ln(n) 6 un 6 1 + ln(n − 1)
un
1 + ln(n − 1)
⇐⇒ 1 6
6
.
ln(n)
ln(n)
1 + ln(n − 1)
1
ln(n − 1)
Or
=
+
ln(n)
ln n
ln n
ln[n(1 − n1 )]
1 + ln(n − 1)
1
=
+
ln(n)
ln n
ln n
ln n + ln(1 − n1 )
1
+
=
ln n
ln n
ln(1 − n1 )
1 + ln(n − 1)
1
Donc
=
+1+
.
ln(n)
ln n
ln n
Il reste à écrire les limites.
1 + ln(n − 1)
On trouve lim
= 1.
n→+∞
ln(n)
Finalement,
d’après
le
théorème
des « gendarmes »,
µ
¶
un
lim
= 1.
n→+∞ ln(n)
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
499
Ceci signifie que pour n assez grand un ≈ ln n.
E XERCICE 198
1. u2018 = u1009 = 1 − u504 − 1 − u252 = 1 − u126
= 1 − u63 = u31 = 1 − u15 = u7 = 1 − u3 = u1 = 1.
2. u2n+1 = 1 − un oo un = u2n on en déduit alors que
pour tout n ∈ N : u2n+1 + u2n = 1, ainsi

 u0
+
u1
= 1



 u
+
u
= 1
2
3
donc croissante.
bn−1
ǫ
b0 b1
ǫ
ǫ
un =
+ 2 +··· + n 6 + 2 +··· + n
q
q
q q
q
q
³ ´n+1
1
1
−
ǫ
ǫ
q
ǫ
D’autre part + 2 + · · · + n = ǫ
q q
q
1 − q1
³ ´n+1
1 − q1
qǫ
6
= qǫ
q −1
q −1
qǫ
d’où un 6
, ce qui prouve que la suite (un ) est
q −1
majorée.
s
a
r
u
D
I
F
L

...
...
...




u2n + u2n+1 = 1
en additionnant membre à membre, on en déduit
2n+1
2017
X
X
uk = n + 1 d’où
uk = 1009.
k=0
k=0
On démontre par récurrence que pour tout
2017
X
uk = 1009 donc il existe
n ∈ N : un ∈ {0;1}, or
k=0
1009 indices n inférieurs ou égaux à 2017 tels que
un = 1 et 1009 indices n tels que un 6= 1 donc un = 0,
de plus u2018 = 1, il existe donc 1009 indices n, infé-
rieurs ou égaux à 2018, tels que un = 0.
La suite (un ) est croissante et majorée, elle est donc
convergente.
E XERCICE 200
1. a. Pour t ∈ [0 ; 1], on a t n > 0, 0 ≤ cos t ≤ 1
donc t n cos t > 0.
On en déduit que xn > 0 pour n ∈ N∗ .
∗ , on a :
b. Pour n ∈ NZ
xn+1 − xn =
=
E XERCICE 199
Dans tout le problème, ǫ et q sont deux réels strictement
positifs.
Z01
Z01
0
t n+1 cos tdt −
Z1
0
t n cos tdt
t n+1 cos t − t n cos tdt
t n (t − 1) cos tdt.
Pour t ∈ [0 ; 1], on a t n cos t > 0, t − 1 ≤ 0
et donc t n (t − 1) cos t ≤ 0,
On considère une suite (xn ) telle que :
x0 > 0 et ∀n ∈ N, 0 6 xn+1 − qxn 6 ǫ.


=
x1
−
qx0

 b0



b
=
x
−
qx1

1
2

1.
...
...
...




bn−2 = xn−1 − qxn−2




bn−1 =
xn
− qxn−1

n−1
n−1

b0 = q
x1 −

 q


n−2 b
n−2 x

q
=
q
−

1
2

=⇒
...
...




qbn−2
= qxn−1
−




bn−1
=
xn
−
=
1
par conséquent xn+1 −xn ≤ 0 ce qui démontre que la
suite (xn ) est décroissante.
c. La suite (xn ) est décroissante et minorée par 0,
donc elle converge vers ℓ, avec ℓ > 0 (théorème de
convergence monotone).
2. a. Pour t ∈ [0 ; 1], on a t n > 0, 0 ≤ cos t ≤ 1 et donc
q n x0
q n−1 x1
...
q 2 xn−2
qxn−1
Par addition membre à membre, on obtient
q n−1 b0 + q n−2 b1 +· · · + qbn−2 = bn−1 = x −n − q n x0
d’où ∀n > 1, xn = q n x0 + q n−1 b0 + q n−2 b1 + · · · +
qbn−2 + bn−1 .
bn
xn+1 − qxn
2. un+1 −un = n+1 =
> 0, la suite (un ) est
q
q n+1
0 ≤ t n cos t ≤ t n .
D’après le théorème de comparaison des intégrales,
on en déduit : Z
Z
1
1
t n cos tdt 6
t n dt,
0
0
"
#1
Z1
t n+1
1
n
t dt =
or
.
=
n +1
n +1
0
0
1
.
Par conséquent, 0 ≤ xn ≤ n+1
1
b. lim
= 0, donc d’après le théorème des
n→+∞ n + 1
« gendarmes » lim xn = 0.
n→+∞
3. a. On réalise une intégration par parties :
Z1
t n+1 cos tdt
xn+1 =
0
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
500
h
i 1 Z1
(n + 1)t n sin tdt
xn+1 = t n+1 sin t −
0
0
Z1
= 1n+1 sin(1) − (n + 1)
t n sin tdt
De plus :
lim (v n − un ) = lim
n→+∞
0
donc, pour tout n ∈ N⋆ , on a
xn+1 = −(n + 1)y n + sin(1).
sin(1) − xn+1
, or
n +1
lim xn+1 = lim xn = 0, donc lim y n = 0.
b. On a y n =
n→+∞
n→+∞
4. Pour tout entier n non nul, on a
n→+∞
xn+1 = −(n + 1)y n + sin(1) = −ny n − y n + sin(1).
n→+∞
¡
¢ ¡
¢
1 − 10−n − 1 + 10−n
= lim −2 × 10−n = 0.
n→+∞
Les suites (un ) et (v n ) sont adjacentes.
1
b. lim ln (n + 1) = +∞ et lim
= 0 ainsi
n→+∞
n→+∞ n
lim un = lim v n = +∞.
n→+∞
n→+∞
Elles ne sont donc pas adjacentes (sinon, la limite
commune serait réelle).
µ
¶
−1
1
= lim
= 0 et donc
c. lim
n→+∞ n
n→+∞ n
lim un = lim v n = 1.
s
a
r
u
D
I
F
L
lim xn+1 = 0 et limn→+∞ y n = 0
n→+∞
donc lim −y n + sin(1) = sin(1),
n→+∞
par conséquent lim ny n = sin(1).
n→+∞
De même, on a
y n+1 = (n + 1)xn − cos(1) = nxn + xn − cos(1).
lim y n+1 = 0 et lim xn = 0
n→+∞
donc lim nxn = cos(1).
n→+∞
n→+∞
E XERCICE 201
1. ROC
Soit (un ) et (v v ) deux suites adjacentes, avec (un )
croissante et (v n ) la décroissante.
Montrons que ces deux suites adjacentes convergent
et ont la même limite.
•
•
v n est décroissante, donc, ∀n ∈ N, v n 6 v 0 .
D’après la propriété 1, pour tout n, v n > un ;
par conséquent, un 6 v n 6 v 0 .
•
La suite (un ) est donc croissante et majorée par
v 0 donc convergente vers un réel ℓ. (propriété 2)
•
De même, v n > un > u0 donc (v n ) est décrois-
•
D’après la définition, lim (v n − un ) = 0 ;
sante minorée, donc convergente vers un réel ℓ′ .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
La suite (v n ) n’est pas monotone car v 1 = 0,
3
2
v 2 = > 1 et v 3 = < 1 donc elles ne sont pas adja2
3
centes. µ ¶
µ
¶
1
1
est décroissante, donc −
est crois3. La suite
nµ
n
¶
1
sante, donc 1 −
est croissante.
¶n
µ
¶
µ
1
1
est décroissante, donc ln a +
est
La suite a +
n
n
décroissante (car ln est une fonction croissante).
Pour que les suites (un ) et (v n ) soient adjacentes, il
faut que lim (v n − un ) = 0 c’est-à-dire
µ n→+∞
µ
¶ µ
¶¶
1
1
lim ln a +
− 1−
= 0.
n→+∞
n
n
Soit ln a − 1 = 0 donc a = e.
Les deux suites sont adjacentes pour a = e.
E XERCICE 202
Partie A : Présentation concrète
1. Il faut résoudre les systèmes :
(
(
24
28
= 30α + 20β
et
22,4
28,8 = 28α + 24β
=
=
2. a n+1 = 0,6a n + 0,5bn et bn+1 = 0,8bn .
ℓ = ℓ′ .
1. v n+2 = αv n+1 + βw n+1 = αv n+1 + βγv n .
¡
¢
v n+2 − q1 v n+1 = α − q1 v n+1 + βγv n
Les deux suites convergent, vers le même réel.
µ ¶n
1
2. a. 10−n =
est une suite géométrique de rai10
son comprise strictement entre −1 et 1 et donc
lim 10−n = 0 ainsi lim un = lim v n = 1.
n→+∞
¶n→+∞
µ
1
1
1
1
v n+1 −v n = 1+ n+1 − 1 + n = n+1 − n < 0
10
10
10
10
donc (v n ) est décroissante.
n→+∞
De même, (un ) est croissante..
28γ
La résolution donne α = 0,6, β = 0,5 et γ = 0,8.
or, lim (v n − un ) = ℓ′ − ℓ.
n→+∞
Par unicité de la limite, on a : ℓ′ − ℓ = 0 donc
30γ
Partie B
= q2 v n+1 − q1 q2 v n
¢
¡
= q2 v n+1 − q1 v n
¡
¢
La suite v n+1 − q1 v n est géométrique de raison q2
¡
¢
v n+2 − q2 v n+1 = α − q2 v n+1 + βγv n
= q1 v n+1 − q1 q2 v n
¡
¢
= q1 v n+1 − q2 v n
¡
¢
La suite v n+1 − q2 v n est géométrique de raison q1 .
5.1. SUITES NUMÉRIQUES
501
¡
¢
2. v n+1 − q1 v n = v 1 − q1 v 0 q2n
¡
¢ n
v n+1 − q2 v n = v 1 − q2 v 0 q1
2. Soit v n = λ2−n + µ2n
on en¡déduit alors
¢ que¡
¢
v 1 − q2 v 0 q1n − v 1 − q1 v 0 q2n
vn =
.
¡ q1 − q2 ¢ n−1 ¡
¢
v 1 − q2 v 0 q1 − v 1 − q1 v 0 q2n−1
.
w n = γv n−1 = γ
q1 − q2
2
3. q1 et q2 vérifient l’équation x −0,6x −0,4 = 0, on en
déduit alors que q1 = 1 et q2 = −0,4
2v n+2 − 5v n+1 + 2v n
= λ2−n (8 − 10 + 2) + µ2n (8 − 10 + 2)
=0
¡
¢
La suite λ2−n + µ2n appartient à E.
3. Supposons qu’il existe dans E deux suites (un ) et
(w n ) tels que u0 = w 0 = a et u1 = w 1 = b.
Les deux suites vérifient la relation (1) donc
2u2 = 5b − 2a et 2w 2 = 5b − 2a
s
a
r
u
D
I
F
L
(v 1 + 0,4v 0 ) − (v 1 − v 0 ) (−0,4)n
vn
=
d’où
1,4
v 1 + 0,4v 0
lim v n =
n→+∞
1,4
0,8(v 1 + 0,4v 0 )
.
lim w n = 0,8 lim v n =
n→+∞
n→+∞
1,4
n
40 + 2 × (−0,4)
32 + 1,6 × (−0,4)n−1
4. a n =
et bn =
1,4
1,4
72 − 2 × (−0,4)n
tn = a n + bn =
1,4
72
lim tn =
≈ 51,43 à 10−2 près.
n→+∞
1,4
A long terme, le nombre de personnes de 80 ans ou
moins stagnera à 51,43 millions.
Partie C
1. On suppose que les suites v et w ont des limites
finies non nulles donc en reprenant les formules de
v n et w n trouvées précédemment il faut que q1 = 0
et −1 < q2 < 1 (ou q2 = 1 et −1 < q1 < 1).
tion −1 < q2 < 1 est toujours réalisé.
q1 = 1 =⇒ q2 = α − 1 =⇒ −βγ = α − 1
soit encore α + βγ = 1.
Le raisonnement sur q2 = 1 amenait au même résul-
tat.
2. Réciproquement, si α + βγ = 1, alors βγ = 1 − α donc
q2 = α − 1 et q1 = α − q2 = 1
On a alors q1 = 1 et −1 < q2 < 1 les suites u et v sont
convergentes.
Cette équation admet deux solutions r 1 =
On démontre alors par récurrence que
∀n ∈ N, un = w n
donc s’il existe une suite, elle est unique.
4. D’après la question 2. la suite (un ) de terme général
un = λ2−n + µ2n appartient à E, de plus u0 = λ + µ,
1
u1 = λ + 2µ
2
D’après la question précédente, il existe une unique
suite vérifiant u0 = a et u1 = b.
Cette suite vérifie alors le système
(
λ+µ = a
1
2 λ + 2µ = b
Ce système
µ admet un unique ¶couple solution
¡
¢
2
1
2
4
λ, µ = a − b, − a + b .
3
3
3
3
5. D’après
µ ce qui¶ précède,
µ la suite ¶de terme général
4
2
1
2
−n
un =
a − b 2 + − a + b 2n est la solution
3
3
3
3
recherchée.
6. Application :
q2 = −βγ donc par hypothèses sur β et γ, la condi-
E XERCICE 203
¡ ¢
1. r n ∈ E ⇐⇒ 2r n+2 − 5r n+1 + 2r n = 0
¡
¢
⇐⇒ r n 2r 2 − 5r + 2 = 0
¡
¢
⇐⇒ 2r 2 − 5r + 2 = 0 car r 6= 0
c’est-à-dire u2 = w 2 .
• si a = 0 alors
2
21
85
2
b et u4 =
b
λ = − b, µ = b, u3 =
3
3
4
8
3
• si a = 2 et b = alors
2
5
1
23
87
λ = , µ = , u3 =
et u4 =
3
3
8
16
5
• si a = 2 et b = alors
2
65
257
λ = 1, µ = 1, u3 =
et u4 =
.
8
16
E XERCICE 204
3
v n , la suite (v n ) est une suite géomé4
3
trique de raison q = et de premier terme v 0 = 4
4
b. 0 < q < 1, la suite (v n ) est donc convergente.
µ ¶n
3
.
c. D’après ce qui précède, xn + y n = 4
4
2. Récurrence très simple.
1. a. v n+1 =
1
et r 2 = 2.
2
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
502
3. a. ∀n ∈ N, un+1 =
yn
1
= xn
3xn + 2y n
3 y +2
n
1
.
3un + 2
1
b. w n+1 = − w n donc (w n ) est une suite géomé3
1
1
trique de raison − et de premier terme w 0 = .
3
3
³ ´n 

µ
¶
1 + − 13
w n + 31
1
1 n
c. w n =
et un =
=
−
³ ´n 
3
3
1 − wn
3 − − 13
d. D’après la question précédente, la suite (un )
1
converge vers .
3
xn
et v n = xn + y n ,
e. En utilisant les valeurs de un =
yn
on obtient
¶ ¶
µ ¶n µ
µ
¶ ¶
µ ¶n µ µ
3
1 n
1 n
3
1+ −
, yn = 2
1− −
xn = 2
4
3
4
3
f. lim xn = 0 et lim y n = 0, la position limite des
d’où un+1 =
b. D’après les questions précédentes J = 1 + I 0 = e.
c. J − J n = I n donc d’après la question 1.b
1
e
6 J − Jn 6
.
(n + 1)!
(n + 1)!
E XERCICE 206
1. Démonstration par récurrence.
´
p
1³
2. ∀n ∈ N, bn+1 − a n+1 =
a n + bn − 2 a n bn
2
1 ³p
p ´2
=
bn − a n .
2
On en déduit alors que bn+1 > a n+1 de plus b0 > a 0 ,
s
a
r
u
D
I
F
L
n→+∞
n→+∞
points Mn lorsque n tend vers l’infini est donc l’ori-
gine du repère.
on démontre par récurrence que ∀n ∈ N, a n 6 bn .
¡p ¢2
3. Sachant que a n > 0, on peut écrire : a n =
an
d’où
p
¡ p ¢2
∀n ∈ N, a n+1 − a n = ³ a n bn − a
n
p
p ´p
=
bn − a n a n .
a n − bn
a n + bn − 2bn
=
.
4. ∀n ∈ N, bn+1 − bn =
2
2
5. D’après les questions précédentes, nous savons que
0 < a 6 a n 6 a n+1 6 bn+1 6 bn 6 b.
E XERCICE 205
Z1
h (1 − x)n+1 i1
1
(1 − x)n dx = −
1. a.
=
n
+
1
n
+
1
0
0
Z
1
1 1
n
.
(1 − x) dx =
d’où
n! 0
(n + 1)!
x
b. Pour tout x ∈ [0;1], 1 6 e 6 e
=⇒ (1 − x)n 6 (1 − x)n e x 6 (1 − x)n e,
d’où par passage à l’intégrale et le résultat de la ques1
e
tion précédente, on obtient :
6 In 6
.
(n + 1)!
(n + 1)!
1
e
c. lim
= 0 et lim
= 0,
n→+∞ (n + 1)!
n→+∞ (n + 1)!
d’après le théorème des gendarmes la suite (I n )
converge vers 0.
h i1
2. a. I 0 = e x = e − 1
Z10
h
i1
xe x dx = I 0 − xe x + I 0 = e − 2.
I1 = I0 −
0
0
b. En intégrantµpar parties, on obtient
h
i1
1
(1 − x)n+1 e x
I n+1 =
(n + 1)!
0
¶
Z1
(1 − x)n e x dx
+(n + 1)
0
1
+ In
(n + 1)!
1
ainsi I n+1 − I n = − .
n!
3. a. En utilisant la relation (1) pour µk de 1 à n, on a une
¶
1
1
1
somme télescopique : I n − I 0 = −
+ +··· +
1! 2!
n!
d’où J n = 1 + I 0 − I n
soit I n+1 = −
La suite (a n ) est croissante et majorée donc converge
vers une limite finie, soit ℓa cette limite.
La suite (bn ) est décroissante et minorée donc
converge vers une limite finie, soit ℓb cette limite.
Par définition de la suite (bn ), on obtient
ℓa + ℓb
ℓb =
donc ℓa = ℓb .
2
Ainsi, (a n ) et (bn ) convergent vers la même limite.
5.2 Fonctions
E XERCICE 207
1. f (1) = −3 et f (1 + h) = 3h 2 + 4h − 3.
f (1 + h) − f (1)
2. On en déduit alors
= 3h + 4.
h
f
(1
+
h)
−
f
(1)
3. f ′ (1) = lim
= lim (3h + 4) = 4.
h
h→0
h→0
4. La fonction f est dérivable sur R et f ′ (x) = 6x − 2
d’où f ′ (1) = 4.
E XERCICE 208
1. Pour tous réels x et y
¡
¢¡
¢
x − y x 2 + x y + y 2 = x 3 +x 2 y +x y 2 −x 2 y −x y 2 −y 3
= x3 − y3.
2. a. D’après la question précédente :
¡
¢
(3 + h)3 − 27 = (3 + h)3 − 33 = h h 2 + 9h + 27 .
5.2. FONCTIONS
f (3 + h) − f (3)
b. f ′ (3) = lim
h
h→0 ³
´
= lim h 2 + 9h + 27 = 27.
h→0
c. La fonction f est dérivable sur R et f ′ (x) = 3x 2
d’où f ′ (3) = 27.
E XERCICE 209
f (a + h) − f (a)
= 1 d’où par passage à la limte
1.
h
′
f (a) = 1.
f (a + h) − f (a)
2.
= 2a + h d’où f ′ (a) = 2a.
h
p
p
1
f (a + h) − f (a)
a +h − a
=
=p
3. a > 0,
p
h
h
a +h + a
1
d’où f ′ (a) = p .
2 a
1 −1
−1
1
a
=
d’où f ′ (a) = − 2 .
4. a 6= 0, f (x) = a+h
h
a(a + h)
a
503
A = lim
f (x + h) − f (x)
h
h→0
= f ′ (x) + g ′ (x)
+ lim
h→0
g (x + h) − g (x)
h
¡
¢′
d’où f (x) + g (x) = f ′ (x) + g ′ (x).
3. Soit la fonction u(x) = f (x)g (x)
lim
h→0
u(x + h) − u(x)
f (x + h)g (x + h) − f (x)g (x)
= lim
h
h
h→0
f (x + h)g (x + h) − f (x)g (x + h) + f (x)g (x + h) − f (x)g (x)
µ
¶h
¶
f (x + h) − f (x)
g (x + h) − g (x)
= lim
× g (x + h) + lim f (x) ×
h
h
h→0
h→0
= lim
h→0 µ
¡
¢′
d’où f (x)g (x) = f ′ (x)g (x) + f (x)g ′ (x).
s
a
r
u
D
I
F
L
4. Soit g une fonction dérivable sur I et ne s’annulant
pas sur cet intervalle.
µ
¶
1 ′
g′
Démontrons que
= −¡
¢2 .
g (x)
g (x)
lim
1
1
− g (x)
g (x+h)
h
h→0
= lim
E XERCICE 210
1. Par lecture graphique, on obtient f ′ (−1) = 0 (tan-
gente horizontale en A),
2e − 0
1−3
f ′ (0) =
= −e et f ′ (1) =
= −2.
0−2
2−1
2. T3 passe par le point de coordonnées (0 ; 5) et son
coefficient directeur est égal à −2 donc
l’équation de T3 est y = −2x + 5.
E XERCICE 211
La fonction f 1 n’est pas définie en 0, elle ne peut donc
pas être dérivable en 0.
La fonction f 2 est dérivable en 0.
La fonction f 3 n’est pas dérivable en 0, au point d’abs-
cisse 0 la courbe admet deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents.
E XERCICE 212
1. Soit la fonction u(x) = λf (x),
f (x + h) − f (x)
u(x + h) − u(x)
= lim λ
lim
h
h
h→0
h→0
f (x + h) − f (x)
= λ lim
h
h→0
¡
¢′
′
d’où λf (x) = λf (x).
2. Soit la fonction u(x) = f (x) + g (x),
u(x + h) − u(x)
Posons A = lim
h
h→0
f (x + h) + g (x + h) − f (x) − f (h)
= lim
h
h→0
g (x) − g (x + h)
h→0 hg (x) g (x + h)
= lim
−
g (x+h)−g (x)
h
h→0 g (x + h) g (x)
= −¡
g ′ (x)
¢2 .
g (x)
1
et en utilisant ce que nous
g (x)
venons de démontrer et la question précédente,
En posant u(x) =
on obtient :
µ
¶
¢′
f (x) ′ ¡
= f (x)u(x)
g (x)
= f ′ (x)u(x) + f (x)u ′ (x)
=
f ′ (x)g (x) − f (x)g ′ (x)
.
¡
¢2
g (x)
E XERCICE 213
1. f est définie et dérivable sur R car somme de fonctions définie et dérivable sur R.
f ′ (x) = 3x 2 − 2018x 2017 .
2. La fonction x →
7 x 4 est définie et dérivable sur R, la
p
fonction x 7→ x est définie sur R+ et dérivable sur
]0;+∞[ donc la fonction f est définie sur R+ et déri-
vable sur ]0;+∞[.
1
f ′ (x) = 4x 3 + p .
2 x
3. f est définie et dérivable sur R car somme de fonc-
tions définies et dérivables sur R.
4x 3 + 6x 2 − 3
f ′ (x) =
.
4
4. f est définie et dérivable sur R car somme de fonctions définies et dérivables sur R.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
504
p
f ′ (x) = 20x 4 − 3.
5. f est définie et dérivable sur R car somme de fonctions définies et dérivables sur R.
1
f ′ (x) = x 3 − 6x + .
5
6. La fonction x 7→ x 2 + 1 est définie, dérivable et stricp
tement positive sur R, la fonction X 7→ X est défi-
nie sur R+ et dérivable sur ]0;+∞[. Par composition,
la fonction f est donc définie et dérivable sur R et
x
.
f ′ (x) = p
x2 + 1
7. La fonction x 7→ x 3 + x est définie et dérivable sur R,
f ′ (5) = 1. La courbe est donc la courbe 3.
E XERCICE 216
¡p ¢′
u′
u = p , u étant une fonction de x strictement
2 u
positive sur un intervalle I , de dérivée u ′ .
p
2. ¸
u(x) = x 2· + 2x − 1, cette fonction est dérivable sur
1
; +∞
2
1
.
u ′ (x) = 2x + p
2x − 1
¸
·
1
La fonction f dérivable sur
; +∞
2
2x + p 1
2x−1
f ′ (x) = p
p
2 x 2 + 2x
p− 1
1 + 2x 2x − 1
= p
p
p
2 2x − 1 x 2 + 2x − 1
1.
s
a
r
u
D
I
F
L
la fonction x 7→ x 2 − 3 est définie et dérivable sur R et
p
p
s’annule en − 3 et en 3.
La fonction f est donc définie et dérivable sur
¤
p £ ¤ p p £ ¤p
£
−∞;− 3 ∪ − 3; 3 ∪ 3;+∞ et
x 4 − 10x 2 − 3
f ′ (x) = ¡
¢2 .
x2 − 3
8. La fonction f , produit de fonctions définies et dérivables sur R et définie et dérivable sur R,
f ′ (x) = 20x 2 (x 2 − 3).
p
9. La fonction x 7→ 2 x + 3 est définie sur R+ et dérivable sur ]0;+∞[, la fonction x 7→ x est définie et dé-
rivable sur R et s’annule en 0. La fonction f est donc
définie et
p dérivable sur ]0;+∞[,
x +3
′
f (x) =
.
x2
E XERCICE 217
1. La fonction f est définie et dérivable sur R,
f ′ (x) = 2x.
x
f ′ (x)
f
−∞
+∞
0
−
0
+
+∞
+∞
1
La fonction g est définie et dérivable sur R,
E XERCICE 214
La fonction f est dérivable sur R et f ′ (x) = 3x 2 .
g ′ (x) = x + 1.
• Une tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse a a pour coefficient directeur 9 si et seulep
ment si 3a 2 = 9 soit a = ± 3.
g ′ (x)
• Une tangente à la courbe représentative de f au point
g
Il existe donc deux tangentes de coefficient directeur 9.
d’abscisse a a pour coefficient directeur −3 si et seule-
ment si 3a 2 = −3 ce qui est impossible dans R. Il n’existe
donc pas de tangente de coefficient directeur −3.
E XERCICE 215
La fonction f est décroissante sur [0;3] et sur [7;10],
x
−∞
+∞
donc négative sur [0;3] et sur [7;10], positive sur [3;7] et
−1
0
+
+∞
+∞
0
La fonction h est définie et dérivable sur R,
h ′ (x) = −2x + 4.
x
h ′ (x)
−∞
croissante sur [3;7], la courbe admet au point A une tangente de coefficient directeur 1. La fonction dérivée sera
−
2
+
0
3
−
+∞
h
−∞
−∞
5.2. FONCTIONS
2. a. f (1) = 2, g (1) = 2 et h(1) = 2 ce qui prouve que le
point A(1;2) est commun à C1 , C2 et C3 ;
b. f ′ (1) = 2, g ′ (1) = 2 et h ′ (1) = 2 ceci signifie qu’au
505
f ′ (x) < 0 donc f décroissante sur
même coefficient donc les trois courbes admettent
6
C
4
en A la même tangente T .
3. T a pour équation réduite y = 2x.
f (x) − y = x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0, la courbe C1 est
·
1
; 1 ∪ ]1 ; 2[.
2
8
point A les trois courbes admettent une tangente de
• Etude de la position relative de C1 par rapport à T :
¸
2
−10 −8 −6 −4 −2
−2
2
4
6
8
s
a
r
u
D
I
F
L
donc au-dessus de T .
• Etude de la position relative de C2 par rapport à T :
1
1 1
g (x) − y = x 2 − x + = (x − 1)2 > 0, la courbe C2
2
2 2
est donc au-dessus de T .
• Etude de la position relative de C3 par rapport à T :
h(x) − y = −x 2 + 2x − 1 = −(x − 1)2 6 0, la courbe C3
est donc sous T .
4. • La courbe C1 admet une tangente parallèle à la
droite d’équation y = x si et seulement si f ′ (x) = 1
1
si et seulement si x = .
2
La courbe C1 admet une tangente parallèle à la droite
1
d’équation y = x au point d’abscisse , cette tan2
3
gente a pour équation réduite y = x + .
4
• La courbe C2 admet une tangente parallèle à la
droite d’équation y = x si et seulement si g ′ (x) = 1
si et seulement si x = 0.
La courbe C2 admet une tangente parallèle à la droite
d’équation y = x au point d’abscisse 0, cette tangente
1
a pour équation réduite y = x + .
2
• La courbe C3 admet une tangente parallèle à la
droite d’équation y = x si et seulement si h ′ (x) = 1
3
si et seulement si x = .
2
La courbe C3 admet une tangente parallèle à la droite
3
d’équation y = x au point d’abscisse , cette tan2
5
gente a pour équation réduite y = x + .
4
E XERCICE 218
1. La fonction f est dérivable sur ]−∞ ; −1[ sur ]−1 ; 1[
(x − 2)(4x − 2)
et sur ]1 ; +∞[, f ′ (x) = ¡
¢2
x2 − 1
¸
¸
1
f ′ (x) > 0 donc f croissante sur ]−∞ ; −1[∪ −1 ;
∪
2
]2 ; +∞[
−4
−6
2. f (0) = 0 et f ′ (0) = 4 donc l’équation réduite de la tangente en O à la courbe C : y = 4x.
L’abscisse des points d’intersection de cette tangente
5x 2 − 4x
avec C vérifie pour x 6= −1 et x 6= 1 : 4x = 2
.
x −1
2
5x − 4x
4x = 2
⇐⇒ 4x 3 − 5x 2 = 0 ⇐⇒ x 2 (4x − 5) = 0
x −1
5
Cette équation admet deux solutions x1 = 0 et x2 =
4
5
l’abscisse du point recherché est donc .
4
E XERCICE 219
1. L’équation x 2 − 5x + 4 = 0 admet deux solutions distinctes x1 = 1 et x2 = 4
La fonction f est définie et dérivable sur
]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; 4[ ∪ ]4 ; +∞[
2. f ′ (x) = ¡
−x 2 + 4
¢
2
x 2 − 5x + 4
′
f (x) est du signe du numérateur donc
• positive sur [−2 ; 1[ et sur ]1 ; 2].
La fonction f est donc croissante sur [−2 ; 1[ et sur
]1 ; 2],
• décroissante sur ]−∞ ; −2], sur [2 ; 4[ et sur
]4 ; +∞[.
3. a. Soit A est le point d’abscisse −2 et B le point d’abscisse 2.
1
f (2) = −1 et f (−2) = − . Le coefficient de la droite
9
2
f (2) − f (−2)
=− .
(AB) est donc a =
2 − (−2)
9
Le point A appartient à la droite (AB) donc ces coor2
données vérifient son équation : y = − x + b
9
5
On en déduit alors que b = − .
9
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
506
2
5
L’équation de la droite (AB) est donc y = − x − .
9
9
b. L’abscisse du point C , distinct de A et de B, inter-
¡
¢
f (x) − y = x 3 − 3x + 2 = (x − 1) x 2 + x − 2
section de la droite (AB) et de la courbe Γ vérifient
x
2
5
l’équation 2
=− x−
9
9
x − 5x + 4
soit encore après simplification 2x 3 −5x 2 −8x+20 = 0
pour tout x > −2. La courbe C est donc au-dessus
= (x − 1)2 (x + 2) cette expression est positive
de la tangente T sur ]−2;+∞[, au-dessous de T sur
]−∞ ; −2[.
2 et −2 sont solutions de cette équation, car les points
A et B appartiennent à la droite (AB) et à la courbe Γ.
¡
¢
ainsi 2x 3 − 5x 2 − 8x + 20 = x 2 − 4 (2x − 5).
On en déduit alors que l’abscisse du point C est égale
5
à .
2
E XERCICE 222
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 220
La fonction f est dérivable sur ]−∞ ; 1[, sur ]1 ; 4[ et sur
]4 ; +∞[
−ax 2 + 8x + 4(a − 5)
f ′ (x) =
.
¡
¢2
x 2 − 5x + 4
f ′ (x) est du signe de P(x) = −ax 2 + 8x + 4(a − 5).
¡
¢
∆ = 16 a 2 − 5a + 4 = 16(a − 1)(a − 4)
1. La fonction f est toujours décroissante si P(x) < 0
¡
¢
P(x) < 0 =⇒ a > 0 et ∆ = 16 a 2 − 5a + 4 < 0
=⇒ 1 < a < 4.
2. Si a < 1 et a 6= 0 ou a > 4, P est un polynôme du se-
cond degré admettant deux racines réelles distinctes,
f ′ (x) s’annule alors deux fois en changeant de signe,
donc la fonction f présente un maximum et un mi-
nimum.
3. Si a = 0, P est un polynôme de degré un, il s’annule
5
5
5
en , il est négatif si x < et positif si x > , la fonc2
2
2
tion f ne présente alors qu’un minimum.
4. La fonction f est homographique
ax + b
x(x + a − 5)
est de la forme
si f (x) =
(x − 1)(x − 4)
cx + d
il faut donc que x + a − 5 = x − 1 ou x + a − 5 = x − 4
c’est-à-dire a = 1 ou a = 4.
E XERCICE 221
1. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
¡ ¢′
« ∀x ∈ R, ∀n ∈ N, 0 6 x n = nx n−1 ».
¡ 0 ¢′
• Initialisation : x
= (1)′ = 0 = 0x −1 donc P0 est
vraie.
• Hérédité : supposons n > 0 tel que Pn vraie.
On remarque que x n+1 = x × x n , d’où en appliquant
la formule de la dérivée d’un produit de fonctions, on
obtient :
¡ n+1 ¢′
¡ ¢′
x
= x ′ × x n + x × x n = x n + x × nx n−1
= (n + 1)x n et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N.
2. Démontrons par récurrence la proposition Pn :
¡ ¢′
« ∀x ∈ I , ∀n ∈ N, u n = nu ′ u n−1 ».
¡ ¢′
• Initialisation : u 0 = (1)′ = 0 = 0u ′ u −1 donc P0
est vraie.
• Hérédité : supposons n > 0 tel que Pn vraie.
On remarque que u n+1 = u × u n , d’où en appliquant
la formule de la dérivée d’un produit de fonctions, on
obtient :
¡ n+1 ¢′
¡ ¢′
u
= u ′ × u n + u × u n = u n + u × nu ′ u n−1
= (n + 1)u ′ u n et donc Pn+1 est vraie.
• Conclusion : P0 est vraie et la proposition Pn est
héréditaire, la proposition Pn est vraie pour tout n
dans N.
1. La fonction f est définie et dérivable sur R et
f ′ (x) = 3x 2 − 2. L’équation réduite de la tangente T à
la courbe C au point d’abscisse 1 est y = x − 2.
E XERCICE 223
La fonction f vérifie f (0) = 0, f (3) = −3, f ′ (0) = 5 (coeffi-
2. (x−1)(x 2 +x−2) = x 3 +x 2 −2x−x 2 −x+2 = x 3 −3x+2,
cient directeur de la droite (OC )) et f ′ (3) = 2 (coefficient
3. La position de C par rapport à T est obtenue en étu-
La fonction f est dérivable sur R et f ′ (x) = 3ax 2 +2bx+c.
l’égalité est bien vérifiée.
diant le signe de f (x) − y.
directeur de la droite (BD)).
Il suffit donc de résoudre le système :
5.2. FONCTIONS



a =1

d =0






 b = −5
 27a + 9b + 3c + d = −3
=⇒


c =5
c =5








d =0
27a + 6b + c = 2
507
x
−∞
f ′ (x)
+∞
f
−
La fonction recherchée est ainsi f (x) = x 3 − 5x 2 + 5x.
E XERCICE 224
1
1. Le volume vérifie la relation x 2 y = 1 d’où y = 2 .
x
2. L’aire totale de la boîte est :
4
S(x) = 4x y + 2x 2 = 2x 2 + .
x
3. La fonction S est dérivable
¡ 3
¢ sur ]0;+∞[,
4 x −1
4
′
S (x) = 4x − 2 =
.
x
x2
D’autre part, en utilisant la formule de la somme des
3
−2
0
+
||
+∞
+
+∞
−16
E XERCICE 226
1. a. D’après le théorème de Pythagore, on a
ℓ2 = R 2 − h 2 = 202 − R 2 = 400 − h 2 .
¡
¢
L’aire de base vaut A = πℓ2 = π 400 − h 2 .
¢
1 ¡
Le volume du cône est alors V (h) = π 400 − h 2 h.
3
b. La fonction V est définie et dérivable sur [0 ; 20] et
¢
π ¡
V ′ (h) = × 400 − 3h 2 .
3
p
r
400
20 3
V ′ (h) a deux racines h 1 = −
=−
∉ [0 ; 20]
3
3
p
20 3
et h 2 =
∈ [0 ; 20].
3
L’étude du signe du trinôme permet de
" conclure.
p #
20 3
Ainsi, la fonction est donc croissante sur 0 ;
3
#
" p
20 3
; 20 .
puis décroissante sur
3
s
a
r
u
D
I
F
L
termes d’une suite géométrique,
x3 − 1
x2 + x + 1 =
x −1
¡
¢
soit encore x 3 − 1 = (x − 1) x 2 + x + 1 d’où
4(x − 1)(x 2 + x + 1)
.
S ′ (x) =
x2
2
4. a. x +x+1 > 0 car le discriminant est négatif, le signe
de S ′ ne dépend que du signe de (x − 1).
• S ′ (x) 6 0 donc S décroissante sur ]0;1] ;
• S ′ (x) > 0 donc S croissante sur [1;+∞[.
x
b. D’après la question précédente l’aire sera mini-
V ′ (h)
male pour x = 1, est sera égale à 6 dm2 .
V (h)
E XERCICE 225
1. Si x < 3 alors x − 3 < 0 donc |x − 3| = −x + 3
Si x > 3 alors x − 3 > 0 donc |x − 3| = x − 3
On en déduit
alors, après simplifications
(
x 2 + 4x − 12 si x < 3
f (x) =
x 2 − 4x + 12 si x > 3
La fonction u(x) = x 2 + 4x − 12 est définie est déri-
vable sur R et u ′ (x) = 2x + 4.
La fonction v (x) = x 2 −4x +12 est définie et dérivable
sur R et v ′ (x) = 2x − 4.
u ′ (3) = 10 et v ′ (3) = 2, u ′ (3) 6= v ′ (3), la fonction f
n’est donc pas dérivable en 3. Au point d’abscisse 3
la courbe admet deux demi-tangentes de coefficients
directeurs différents.
2. Variations de la fonction f :
p
20 3
3
0
+
0
³ p ´
V 203 3
✒
0
20
−
❅
❅
❅
❘
0
Le volume maximum est
à p !
p
20 3
16 000π 3
V
≈ 3 224 cm 3 .
=
3
27
c. D’après la question 1 le rayon du cercle de base est
p
ℓ = 400 − h 2 .
p
20 3
on a
Le volume est maximum pour h = h 2 =
3
p
p
q
20 2 20 6
.
alors ℓ2 = 400 − h 22 = p =
3
3
Le périmètre du cercle
de base est alors
p
6
p 2 = 2πℓ2 = 40π
.
3
La longueur du cercle de base est aussi la longueur de
l’arc de cercle du carton restant après avoir ôté le secteur circulaire d’angle au centre α p
: p 2 = R (2π − α).
6
Par conséquent : 20(2π − α) = 40π
3
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
508
d’où 2π − α = 2π
Ã
p
p !
6
3− 6
ainsi α = 2π
radians.
3
3
Soit enÃdegrés :!
p
p ¢
¡
3− 6
180
α = 2π
= 120 3 − 6 ≈ 66,06 ˚
×
3
π
2. On reprend les calculs précédents avec R quelconque en conservant les notations.
¢
¢
π¡ 2
π¡ 2
R h − h 3 et V ′ (h) =
R − 3h 2
3
3
p
R 3
Les racines de V ′ sont h 1 = −
∉ [0 ; R] et
3
p
R 3
∈ [0 ; R]
h2 =
3
Les variations sont les mêmes que dans le cas parti-
V (h) =
donc strictement décroissante.
E XERCICE 228
1. ∆ = 4(a 2 − 3b)
• Si b 6 0 ou a 2 > 3b alors
p ∆ > 0, le trinôme admet
−a − a 2 − 3b
deux racines x1 =
3
p
−a + a 2 − 3b
et x2 =
.
3
s
a
r
u
D
I
F
L
culier R = 20.
p
R 3
Le maximum est atteint pour h 2 =
3
Le rayon correspondant
du cercle de base est
p
q
6
ℓ2 = R 2 − h 22 =
3
Le périmètre du cercle
de base vaut alors
p
6
p 2 = 2πℓ2 = 2πR
.
3
Ã
p !
p
3− 6
6
d’où α = 2π
On a alors : R(2π−α) = 2πR
3
3
qui est la valeur obtenue à la question précédente. La
x
signe du trinôme
−∞
x1
+
0
x2
−
0
+
+∞
Si a 2 = 3b alors ∆ = 0, 3x 2 + 2ax + b > 0.
Si a 2 < 3b alors ∆ < 0, 3x 2 + 2ax + b > 0.
2. Propriété du cours : f admet un extremum en x0 si et
seulement si f ′ s’annule en x0 et change de signe.
La contraposée de cette propriété est : f ′ est de signe
constant (ne s’annule pas et ne change pas de signe)
si et seulement si f n’admet pas d’extremum.
Les propriétés (P 1 ) et (P 2 ) sont donc équivalentes.
3. D’après les questions précédentes f n’admet aucun
extremum réel si et seulement si a 2 < 3b.
4. La fonction f n’admet aucun extremum réel
valeur de α ne dépend pas de R.
si par exemple a = b = 1.
E XERCICE 227
1. La fonction d est définie et deux fois dérivable sur R,
la vitesse du point A est v (t) = d ′ (t) = 4 − 6t, son accélération est a(t) = v ′ (t) = −6.
2. Le point A s’arrête lorsqueµv (t)
¶ = 0 c’est-à-dire pour
2
2
4
t = . Il a alors parcouru d
= .
3
3
3
3. Le point A repasse par le point O lorsque d(t) = 0.
L’équation 4t − 3t 2 = 0 a deux solutions t1 = 0 et
4
t2 = , la première solution correspond à l’instant
3
4
initial, la valeur recherchée est donc t = . A cet ins3
µ ¶
4
tant la vitesse sera v
= −4.
3
4. Variations de la distance :
t
2
3
0
d ′ (t)
+
0
4
3
4
3
−
E XERCICE 229
1. Affirmation fausse : la tangente à Cv au point G est
de coefficient directeur 2 donc v ′ (3) = 2.
2. Affirmation vraie : la tangente à Cu au point O est de
coefficient directeur 9 donc u ′ (0) = 9.
3. Affirmation vraie : v ′ (1) = 0 car Cv admet une tan-
gente horizontale au point C .
µ ¶′
1
v ′ (1)
D’autre part
(1) = −
= 0.
v
(v (1))2
4. Affirmation fausse :
(uv )′ (3) = u ′ (3)v (3) + u(3)v ′ (3) = −
3
× 3 + 1 × 2 6= 1.
2,8
E XERCICE 230
1. D’après le graphique :
a. la fonction g est strictement croissante sur [0; 1],
puis strictement décroissante sur [1; 10] ;
d
b. la concentration maximale d’antibiotique lors des
0
0
Variations de la vitesse : v ′ (t) = −6 < 0 la vitesse est
10 premières heures est de 2 mg/l et elle est atteinte
au bout d’une heure ;
5.2. FONCTIONS
509
c. l’intervalle de temps pendant lequel la concentrax
tion de l’antibiotique dans le sang est supérieure à
f ′ (x)
1,2 mg/l est à peu près [0,3; 3].
2. a. La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; 10]
et sa dérivée est
4(t 2 + 1) − 4t × 2t
4t 2 + 4 − 8t 2
4(1 − t 2 )
g ′ (t) =
=
=
.
(t 2 + 1)2
(t 2 + 1)2
(t 2 + 1)2
2
2
′
b. Pour tout réel t, (t +1) > 0 donc g (t) est du signe
de 1 − t 2 . Le polynôme 1 − t 2 admet deux racines −1
f
−1
p
0
+
0
2
1
−
p
2
2
p
3. Si a < 2 ou a > 2, l’équation n’admet aucune solution,
si a = 2, l’équation admet l’unique solution x = 0,
p
2 6 a < 2, l’équation admet deux solutions dis-
et 1 (−1 n’étant pas dans l’intervalle [0;10]). Nous en
si
déduisons le tableau de variations :
tinctes.
s
a
r
u
D
I
F
L
t
0
g ′ (t)
1
+
0
2
10
−
g
0
40
101
La concentration maximale de 2 mg/l est donc
atteinte 1 heure après l’injection.
3. Pour calculer le temps d’antibiotique utile, il faut ré-
E XERCICE 232
1. La fonction f est dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur
−x(x − 4)(2x − 5)
.
]1 ; +∞[, f ′ (x) =
(x − 1)2
¸
·
5
;4
f ′ (x) > 0 donc f croissante sur ]−∞ ; 0] et
¸2
·
5
′
f (x) < 0 donc f décroissante sur ]0 ; 1[, 1 ;
et
2
]4 ; +∞[.
soudre l’inéquation g (t) > 1,2.
4t
g (t) > 1,2 ⇐⇒ 2
> 1,2
t +1
⇐⇒ 4t > 1,2(t 2 + 1) car t 2 + 1 > 0 sur R
30
⇐⇒ 1,2t 2 − 4t + 1,2 < 0
Le polynôme 1,2t 2 − 4t + 1,2 a pour discriminant
20
∆ = 10,24 = 3,22 donc ce polynôme admet deux ra4 + 3,2
4 − 3,2 1
= et t2 =
= 3.
cines t1 =
2 × 1,2 3
2,4
Le polynôme est du signe du coefficient de t 2 donc
10
positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.
¸
·
1
L’ensemble solution recherché est donc
;3 .
3
2
1
On remarque que 3 − = 2 +
3
3
La durée pendant laquelle la concentration de l’anti-
biotique est supérieure à 1,2 mg/l est 2 h 40 minutes.
E XERCICE 231
1. La fonction f est définie sur [−1 ; 1] et dérivable sur
]−1 ; 1[.
1
1
2. f ′ (x) = p
− p
2 1 +p
x 2 1p
−x
f ′ (x) > 0 =⇒ 1 − x > 1 + x =⇒ −1 < x < 0
f est donc strictement croissante sur ]−1 ; 0[ et dé-
croissante sur ]0 ; 1].
10
C
−10
2. f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 10. Le point A a donc pour
abscisse x A = 10.
100
.
9
3. Equation de D : y = mx − 10m.
f ′ (10) = −
L’abscisse des points d’intersection de ∆ et C vérifient
x 3 − 10x 2
l’équation
= mx − 10m.
1−x
3
2
x − 10x
= mx − 10m
Pour x 6= 1,
1−x
3
2
⇐⇒ x − 10x = mx − 10m − mx 2 + 10mx
x 3 + (m − 10)x 2 − 11mx + 10m = 0
¡
¢
⇐⇒ (x − 10) x 2 + mx − m = 0 (E )
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
510
∆ = m 2 + 4m = m(m + 4)
Il y a deux points d’intersection lorsque ∆ > 0 c’est-àdire lorsque m < −4 ou m > 0
100
9
L’équation (E ) s’écrit alors (x − 10)2 (9x − 10) = 0.
D est tangente à C en A si m = −
Cette équation a une racine double x = 10 (abscisse
10
du point A) et une racine simple x =
9
µ ¶
10
8000
f
=
9
81
La tangenteµ à C en A coupe
la courbe au point de co¶
10 8000
ordonnées
;
.
81 ¶
µ 9
100
ou m > 0, D et C se coupent
4. Si m < −4 m 6= −
9
′
′′
en deux points
p M et M .
p
−m
+
−m − m 2 + 4m
m 2 + 4m
′
x =
et x" =
2
2
m
x ′ + x"
=−
donc X =
2
2 p
2
¡ ′ ¢ −m − 20m + m m 2 + 4m
f x =
et
2 p
−m 2 − 20m − m m 2 + 4m
f (x") =
2
−m 2 − 20m
donc Y =
2
m = −2X d’où Y = −2X 2 + 20X
x
f ′ (x)
−∞
x2
+
0
M
x1
−
0
+
+∞
1
f
1
m
p
−2a 2 + 2a + 4 − (2a + 2) a 2 + a
2. f (x1 ) =
4a + 4
p
−2a 2 + 2a + 4 + (2a + 2) a 2 + a
f (x2 ) =
4a + 4
s
a
r
u
D
I
F
L
Les points I sont donc sur une parabole.
Les abscisses des points communs à C et P vérifient
x 3 − 10x 2
l’équation −2x 2 + 20x =
1−x
Après simplification, l’équation devient :
x (x − 2) (x − 10) = 0
Les courbes C et P se coupent aux points O, au point
A et au point B (2 ; 32).
E XERCICE 233
1. La fonction f est dérivable sur R,
ax 2 + 2ax − 1
f ′ (x) = ¡
¢2
ax 2 + 1
2
∆ = 4a +4a > 0, le numérateur admet donc deux racines réelles
p
p distinctes :
−a − a 2 + a
−a + a 2 + a
, x2 =
x1 =
a
a
′
Le signe de f ne dépend que du signe de ax 2 +2ax −
1 (a > 0),
On en déduit le tableau de variations de la fonction
f :
On en déduit alors que M +m = f (x1 )+ f (x2 ) = 2−a.
x2 − x
est dé3. La fonction f définie sur R par f (x) = 2
x +1
rivable sur R,
x 2 + 2x − 1
f ′ (x) = ¡
¢2
x2 + 1
f ′ (x) est du signe de x 2 + 2x − 1, ce polynôme admet
deux racines réelles distinctes :
p
p
x1 = −1 + 2 et x2 = −1 − 2.
p
p
1+ 2
1− 2
et f (x2 ) =
f (x1 ) =
2
2
lim f (x) = 1 et lim f (x) = 1
x→+∞
x→−∞
E XERCICE 234
1. La fonction f est définie si et seulement si
et 1 − x 6= 0
x3
>0
1−x
En établissant le tableau de signe du quotient, on obtient D f = [0 ; 1[.
2. La fonction f est dérivable sur ]0 ; 1[,
r
x 2 (3 − 2x) 1 − x
′
f (x) =
> 0.
2(1 − x)2
x3
La fonction f est donc strictement croissante sur
[0 ; 1[.
1
3. T est d’équation y = 2x − .
2
4. Voir graphique en fin d’exercice.
5. Voir graphique en fin s
d’exercice.
6. M(x ; y) ∈ Γ ⇐⇒ y =
s
x3
x3
ou y = −
1−x
1−x
x3
=⇒ y 2 =
1 − x¢
¡
soit encore x x 2 + y 2 − y 2 = 0.
5.2. FONCTIONS
511
T
Γ1
nombre réel x > 0,
1
> 2 − x.
x
2
E XERCICE 238
1
La fonction f est une fonction polynôme, elle est donc
deux fois dérivable sur R
−2
1
−1
−1
f ′ (x) = −24x 2 + 96x et f ′′ (x) = −48x + 96.
x
2
−∞
+∞
s
a
r
u
D
I
F
L
f ′′ (x)
−2
Γ2
−3
E XERCICE 235
• La courbe C1 est concave sur [−3 ; 1[, convexe sur
]1 ; 3] et admet un point d’inflexion d’abscisse 1.
• La courbe C2 est concave sur [−3 ; 0[, convexe sur
]0 ; 3] et admet un point d’inflexion d’abscisse 0.
• La courbe C3 est concave sur [−1,2 ; 1,2[, convexe sur
[−3 ; −1,2[ et sur ]1,2 ; 3] et admet deux points d’inflexion d’abscisses −1,2 et 1,2.
• La courbe C4 est concave sur [−3 ; −1[, convexe sur
]−1 ; 3] et admet un point d’inflexion d’abscisse −1.
f
+
0
convexe
−
concave
Point d’inflexion d’abscisse 2.
E XERCICE 239
1. f ′ (x) > 0 sur [−7 ; 5], la fonction f est donc croissante sur cet intervalle..
2. f ′ est décroissante sur [−7 ; −2[ et sur ]2 ; 5], la fonction f est donc concave sur ces intervalles.
f ′ est croissante sur ]−2 ; 1[, la fonction f est donc
convexe sur cet intervalle.
f ′ admet in minimum pour x = −2 et un maximum
pour x = 1, la courbe de f admet donc deux points
d’inflexion, d’abscisses −2 et 1.
E XERCICE 240
E XERCICE 236
La fonction f est deux fois dérivable sur R,
f ′ (x) = 2ax et f ′′ (x) = 2a
Si a > 0 alors f ′′ (x) > 0 donc f est convexe sur R
Si a < 0 alors f ′′ (x) < 0 donc f est concave sur R.
E XERCICE 237
1. La fonction f est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[
1
2
f ′ (x) = − 2 et f ′′ (x) = 3
x
x
f ′′ (x) > 0 sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la fonction f est
donc convexe sur cet intervalle.
2. L’équation de la tangente à C au point d’abscisse 1 est
y = −x + 2.
3. La fonction f est convexe sur ]0 ; +∞[, sa courbe
est donc au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle, donc en particulier au-dessus de la tangente au
point d’abscisse 1, on en déduit alors que pour tout
1. La fonction f ′ est croissante sur [−10 ; −3[ et décroissante sur ]−3 ; 10].
2. La fonction f ′ est convexe sur [−10 ; −3[ et concave
sur ]−3 ; 10], présence d’un seul point d’inflexion, au
point d’abscisse −3.
En effet la dérivée seconde s’annule en 1 mais ne
change pas de signe, il n’y a donc pas de point d’inflexion.
E XERCICE 241
1. Conjecture : la fonction f semble concave sur R.
2. La fonction f est une fonction polynôme, elle est
donc deux fois dérivable sur R
f ′ (x) = −4x 3 − 6x 2 − 24x + 8
¡
¢
f ′′ (x) = −12x 2 − 12x − 24 = −12 x 2 + x + 2 < 0 sur R
car le discriminant du polynôme x 2 + x + 2 est stric-
tement négatif.
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
512
3. f ′′ (x) < 0 sur R, la fonction f est donc concave sur
R, ce qui confirme la conjecture émise à la première
points, la courbe serait donc concave entre ces deux
points.
question.
E XERCICE 242
1. La fonction f est convexe sur l’intervalle [−4 ; 4].
2. D’après la question précédente, la courbe de f est
au-dessus de ses tangentes donc en particulier audessus de T , la tangente au point d’abscisse 2.
3
11
5
f ′ (x) = x + , f ′ (x) =
et f (2) =
4
4
2
11
L’équation de T est donc y =
x −3
4
on en déduit alors que, pour tout réel x de [−4 ; 4] :
11
1 2 3
x + x −1 >
x −3
2
4
4
1 2
soit x > 2x − 2
2
On en déduit ainsi que x 2 > 4x − 4.
E XERCICE 246
1. D est d’équation y = 2x
2. f ′ (1) = 0.
3. La fonction semble concave sur [0 ; 1,82[.
s
a
r
u
D
I
F
L
E XERCICE 243
1. Une fonction constante sur un intervalle, n’est ni
convexe ni concave sur cet intervalle.
2. Voir courbe C1 de l’exercice 235.
3. Soit f (x) = (x −a)(x −b) = x 2 −(a +b)x +ab, f est une
fonction convexe sur un intervalle [a;b] avec a < b
telle que f (a) = f (b) = 0, et f est négative sur l’intervalle [a;b]
E XERCICE 244
Affirmation 1 : Fausse, en effet la dérivée s’annule deux
fois, la courbe représentative C f de la fonction f admet
donc deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
Affirmation
en effet la fonction f ′ est croish 2 : Vraie,
i
sante sur 5 ; 15 , la fonction f est donc convexe sur
h
i
5 ; 15 .
E XERCICE 245
Soit g (x) = −2x + 1
1. Vrai, en effet la fonction f est convexe donc la courbe
est au-dessus de ses tangentes, on a donc f (0) > g (0)
or g (0) = 1 on a donc f (0) > 1 > 0.
2. Faux, en effet pour les mêmes raisons que précédemment, f (3) > g (3) et g (3) = −5.
3. Faux, f (−2) > 5, il n’y a pas d’égalité possible, en effet
s’il y avait égalité la tangente serait commune à deux
E XERCICE 247 : QCM
¤
£
La fonction f est convexe sur ]−∞ ; α[ et sur β ; +∞ ,
¤
£
concave sur α ; β avec α très proche de 0 et 3,5 < β < 4
La fonction f " est donc positive sur ]−∞ ; α[ et sur
¤
£
¤
£
β ; +∞ , négative sur α ; β .
Il s’agit donc de la courbe d.
E XERCICE 248
La fonction g est deux foispdérivable sur ]0;+∞[
1
x
g ′ (x) = p et g ′′ (x) = − 2
2 x
4x
g ′′ (x) < 0 sur ]0 ; +∞[, la fonction g est donc concave
sur ]0 ; +∞[.
L’équation de la tangente à C au point d’abscisse 1 est
1
1
y = x+
2
2
La fonction g est concave sur ]0 ; +∞[, la courbe C est
donc au-dessous de ses tangentes donc en particulier
au-dessous de la tangente au point d’abscisse 1, ainsi
p
1
1
∀x > 0, x 6 x +
2
p2
ou encore 2 x 6 x + 1.
E XERCICE 249
1. f est dérivable sur R, f ′ (x) = 3x 2 + 4x − 20
La fonction f ′ est un trinôme du second degré dont
le coefficient de terme¸ de degré· 2 est positif, donc
2
est décroissante sur −∞ ; −
et croissante sur
3
¸
·
2
− ; +∞ .
3
2. D’après
la·question précédente
f est
· concave sur
¸
¸
2
2
et convexe sur − ; +∞ ,
−∞ ; −
3
3
2
point d’inflexion d’abscisse − .
3
3. T−4 : y = 12x + 120
T3 : y = 19x − 48.
5.2. FONCTIONS
513
¸
¸
2
4. La fonction f est concave sur −∞ ; − , la courbe
3¸
¸
2
C est sous la tangente T−4 sur l’intervalle −∞ ; − .
3
·
·
2
5. La fonction f est convexe sur − ; +∞ , la courbe
3
C est au-dessus
de la tangente T3 sur l’intervalle
·
·
2
− ; +∞ .
3
2. Faux, si f ′ (x) = x 2 alors f ′ est décroissante sur
]−∞ ; 0[, elle est donc f est concave sur ]−∞ ; 0[.
3. Vrai, si une fonction est convexe sur un intervalle I ,
sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes, donc en particulier au-dessus de l’axe des
abscisses, ainsi ∀x ∈ I , f (x) > 0.
4. Faux, f (x) = x 2 − 3x est une fonction convexe sur R
qui vérifie f (0) = 0, mais on a f (1) = −2.
E XERCICE 250
s
a
r
u
D
I
F
L
1. Réponse a.
E XERCICE 253
2. Réponse b.
1. a. La fonction C est dérivable sur [0 ; 10],
3. Réponse a.
C ′ (x) = 3x 2 − 24x + 72 = 3(x − 4)2 + 24 > 0
4. Réponse c.
La fonction C est donc croissante sur [0 ; 10].
5. Réponse c.
b.
E XERCICE 251
1.
2.
3.
4.
581
580
579
578
577
576
575
574
573
572
571
570
569
568
567
566
565
564
563
562
561
560
559
558
557
556
555
554
553
552
551
550
549
548
547
546
545
544
543
542
541
540
539
538
537
536
535
534
532
531
530
529
528
527
526
525
524
523
522
521
520
La fonction f est un polynôme donc deux fois déri- 533
519
518
517
516
515
514
513
512
511
510
509
508
507
506
505
504
503
502
501
500
499
498
497
496
495
494
493
492
491
490
489
488
487
486
485
484
483
482
481
480
479
478
477
476
475
474
473
vable sur R, f "(x) = 6ax + 2b.
472
471
470
469
468
467
466
465
464
463
462
461
460
459
458
457
456
455
454
453
452
451
450
449
448
447
446
445
444
443
442
441
440
439
438
437
436
435
433
432
431
430
429
428
427
426
Le signe de f "(x) ne dépend que de a et b, la 434
425
424
423
422
421
420
419
418
417
416
415
414
413
412
411
410
409
408
407
406
405
404
403
402
401
400
399
398
397
396
395
394
393
391
390
389
388
387
386
385
384
383
382
381
380
379
convexité d’une fonction cube est donc indépen- 392
378
377
376
375
374
373
372
371
370
369
368
367
366
365
364
363
362
361
360
359
358
357
356
355
354
353
352
351
350
349
348
347
346
345
344
343
342
341
340
339
338
337
336
335
334
333
332
dante des valeurs de c et d.
331
330
329
328
327
326
325
324
323
322
321
320
319
318
317
316
315
314
313
312
311
310
309
308
307
306
305
304
303
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
292
291
290
289
288
287
286
285
La fonction f "(x) s’annule et change de signe en
284
283
282
281
280
279
278
277
276
275
274
273
272
271
270
269
268
267
266
265
264
263
262
261
260
259
258
257
256
255
254
253
b
252
251
250
249
248
247
246
245
244
243
242
241
240
239
238
236
235
234
233
232
231
x0 = − , la courbe représentative d’une fonction 237
230
229
228
227
226
225
224
223
222
221
220
219
218
217
216
215
214
213
212
211
210
209
3a
208
207
206
205
204
203
202
201
200
199
198
197
196
194
193
192
191
190
189
188
187
186
185
184
cube admet donc toujours un point d’inflexion au 195
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
170
169
168
167
166
165
164
163
162
161
160
159
158
157
156
155
154
153
152
b
151
150
149
148
147
146
145
144
143
142
141
140
139
138
137
136
135
134
133
132
131
point d’abscisse x0 = − .
130
129
128
127
126
125
124
123
122
121
120
119
118
117
116
115
114
113
112
111
110
109
108
107
106
105
104
¸3a
103
·
102
101
100
99
98
97
96
95
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
b
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
• Si a < 0, f "(x) > 0 sur −∞ ; −
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
3a
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
·
¸
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
b
9 .
8
7
6
5
4
3
2
1
; +∞
3a ¸
·
b
f est donc convexe sur −∞ ; −
3a
·
¸
b
; +∞ .
et concave sur −
3a ¸
·
b
• Si a > 0, f "(x) < 0 sur −∞ ; −
3a
·
¸
b
; +∞
et f "(x) > 0 sur −
3a ¸
·
b
et
f est donc concave sur −∞ ; −
3a
·
¸
b
; +∞ .
convexe sur −
3a
et f "(x) < 0 sur −
C
T
Cm
CM
′ (x) = 6(x − 4),
2. a. C m
′
C m (x) > 0 ⇐⇒ x > 4, la fonction C m est donc dé-
croissante sur [0 ; 4] et croissante sur [4 ; 10].
A partir de 4 000 objets, les rendements marginaux
deviennent décroissants.
b. x = 4 correspond au point d’inflexion pour la fonction C .
3. Graphiquement, on obtient x = 7 soit 7000 objets à
produire.
4. Voir graphique précédent. x = 7 correspond à l’abs-
cisse du minimum de la courbe C M , la méthode graphique précédente est correcte.
E XERCICE 252
On remarque qu’il s’agit aussi de l’abscisse du point
1. Vrai, en effet f est convexe donc f ′ est croissante sur
R de plus f ′ (0) = 0, donc pour tout x
> 0, f ′ (x) > 0.
d’intersection de C m et C M , en effet l’abscisse de ce
point vérifie l’équation f (x) = x f ′ (x) ou encore pour
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
514
f (x)
x 6= 0, f ′ (x) =
.
x
x
e 3 − 13
E XERCICE 254
La fonction f est deux fois dérivable sur R
−6
f ′ (x)
f
−2ln 4
0
−
f ′ (x) = (2 + sin x) e 2x−cos x
¡
¢
f ′′ (x) = (2 + sin x)2 + cos x e 2x−cos x .
∀x ∈ R, e 2x−cos x > 0
De plus −1 6 cos x 6 1 et −1 6 sin x 6 1
donc (2 + sin x)2 + cos x > 0
4
+
7 + e −2
3 − 4ln 4
d. f (−6) > 0, f (−2ln(4)) < 0 et f (4) > 0 donc, d’après
le tableau de variations, l’équation f (x) = 0 admet
deux solutions sur [−6;4] : une dans [−6;−2ln(4)] et
l’autre dans [−2ln(4) ;4].
s
a
r
u
D
I
F
L
On en déduit que ∀x ∈ R, f ′′ (x) > 0,
la fonction f est donc convexe sur R.
E XERCICE 255
1. Réponse D
g ′ (x) = 4x (ln x − 2) et g "(x) = 4(ln x − 1)
3. f (0) = 0 − 1 + e 0 = 0 et 0 ∈ [−2ln(4) ;4] donc 0 est la
solution de l’équation dans [−2ln(4) ;4].
La solution non nulle est donc dans l’intervalle
[−6;−2ln(4)] ; on l’appelle α.
A la calculatrice, on trouve successivement :
f (−5) ≈ 1,18 > 0 et f (−4) ≈ −1,6 < 0
g "(x) > 0 ⇐⇒ e < x 6 10.
donc α ∈ [−5;−4].
En effet g ′ (x) > 0 sur [2 ; 5].
donc α ∈ [−4,7;−4,6].
2. Réponse C
E XERCICE 256
Si la courbe représentative de f est au-dessus de ces tan-
gentes sur I alors pour tout x et a appartenant à I
f (x) >
f ′ (a)(x − a) + f (a)
Pour tout x et y éléments de I l’inégalité précédente permet d’écrire :
f (x) > f (y) + f ′ (y)(x − y) et f (y) > f (x) + f ′ (x)(y − x)
d’où f ′ (x)(y − x) 6 f (y) − f (x) 6 f ′ (y)(y − x)
¡ ¡ ¢
¢
et donc (y −x) f ′ y − f ′ (x) > 0 ce qui montre de f ′ est
croissante donc f "(x) > 0 sur l’intervalle I .
E XERCICE 257
1. a. f (0) = 0
3
b. f ′ (0) =
2
c. La fonction f semble convexe sur l’intervalle
[−6 ; 4].
2. a. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [−6 ; 4]
´
1
1³
f ′ (x) =
4 − e− 2 x .
2
1
1
b. f ′ (x) > 0 ⇐⇒ 4 > e − 2 x ⇐⇒ ln(4) > − x
2
⇐⇒ x > −2ln(4)
Donc l’intervalle solution est [−2ln(4) ;4].
c. On en déduit le tableau des variations de f sur
[−6;4] :
f (−4,7) ≈ 0,086 > 0 et f (−4,6) ≈ −0,226 < 0
f (−4,68) ≈ 0,021 > 0 et f (−4,67) ≈ −0,01
donc α ∈ [−4,68;−4,67].
1 1
4. f ′ (x) = 2 − e − 2 x donc
2 µ
¶
1
1
1
1 1
f ′′ (x) = 0 − × − e − 2 x = e − 2 x .
2
2
4
Sur [−6;4], f ′′ (x) > 0 donc la fonction f est convexe
sur cet intervalle.
E XERCICE 258
1. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [−2; 4]
¡
¢
f ′ (x) = 2 × e −2x + (2x + 1) × −2e −x = −4xe −2x .
2. ∀x ∈ [−2; 4], e −2x > 0 donc f ′ (x) est du signe de −4x.
Le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [−2; 4] est :
x
f ′ (x)
−2
0
+
0
4
4
−
f
3 − 3e 4
3 + 9e −8
3. a. f ′ est dérivable sur [−2 ; 4]
f "(x) = −4e −2x − (−2)4xe −2x = (8x − 4) e −2x
b. ∀x ∈ [−2; 4], e −2x > 0
donc f ′′ (x) est du signe de 8x − 4.
5.2. FONCTIONS
515
8x − 4 > 0 ⇐⇒ x >
1
.
2
Le tableau suivant donne le signe de f ′′ (x) sur l’in-
∀x, y ∈ ]1 ; +∞[ , ln
tervalle [−2; 4] :
E XERCICE 261
x
f ′′ (x)
−2
1
2
−
0
³x+y ´
2
>
p
ln (x) ln (y).
4
+
c. D’après le tableau ·de signe
précédent, f est
¸
1
convexe sur l’intervalle
;4 .
2
1. Initialisation : pour n = 1, λ1 = 1
et donc f (λ1 a 1 ) = f (a 1 ) 6 λ1 f (a 1 ).
La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n et
montrons qu’alors qu’elle sera vrai au rang n + 1
E XERCICE 259
s
a
r
u
D
I
F
L
La fonction f (x) = e x est convexe sur R donc sur [0 ; 1],
sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en 0 et en
dessous de la corde.
L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est
y = x +1
Déterminons l’équation de la corde d’extrémités
M0 (0 ; 1) et M1 (1 ³; e) : Soit M(x ´; y) un point de la
−−−−→ −−−−−→
corde, il vérifie det M0 M ; M0 M1 = 0.
¯
¯
³ −−−−→ −−−−−→´ ¯ x
1 ¯¯
¯
det M0 M ; M0 M1 = ¯
¯ = (e − 1)x + 1 − y
¯ y −1 e −1 ¯
L’équation de la corde est alors : y = 1 + (e − 1)x
Ainsi pour tout x ∈ [0 ; 1], on a 1 + x 6 e x 6 1 + x (e − 1).
E XERCICE 260
1
x ln x
les fonctions x →
7 x et x 7→ ln x sont croissantes et stricLa fonction f est dérivable sur ]1 ; +∞[, f ′ (x) =
tement positives sur ]1 ; +∞[, la fonction f ′ (x), inverse
de deux fonctions croissantes strictement positives est
donc décroissante sur ]1 ; +∞[.
La fonction f est donc concave sur ]1 ; +∞[.
Sa courbe représentative est donc au-dessus de sa corde
sur tout intervalle [x ; y] inclus dans ]1 ; +∞[.
Le milieu du segment vérifie donc
f
³x+y ´
2
³ ³ x + y ´´
³x+y ´
= ln ln
f
2
2
>
f (x) + f (y)
2
¡
¢¢
¡p
¢
f (x) + f (y) 1 ¡
= ln (ln x) + ln ln y = ln
ln x ln y
2
2
On³ en³ déduit
alors que ∀x, y ∈ ]1 ; +∞[ ,
¢
¡p
x + y ´´
> ln ln x ln y
ln ln
2
soit par composition par la fonction exponentielle, fonction strictement croissante,
Onà doit prouver que : !
n
X
f
i=1
s avec
λi a i + λn+1 a n+1 6
n+1
X
i=1
n
X
i=1
¡ ¢
λi f a i + λn+1 f (a n+1 )
λi = 1.
λi
1 − λn+1
l’inégalité
à prouver s’écrit alors !
Ã
n
X
f (1 − λn+1 )
λ′i a i + λn+1 a n+1
On pose λ′i =
i=1
6 (1 − λn+1 )
n
X
¡ ¢
λ′i f a i + λn+1 f (a n+1 )
i=1
Par définition de la convexité, on a
Ã
!
n
X
′
f (1 − λn+1 )
λi a i + λn+1 a n+1
i=1
Ã
!
n
X
′
6 (1 − λn+1 ) f
λi a i + λn+1 f (a n+1 )
i=1
l’hypothèse de récurrence nous permet alors de
conclure, puisque
(1 − λn+1 ) f
Ã
!
n
X
′
λi a i + λn+1 f (a n+1 )
i=1
6 (1 − λn+1 )
n
X
¡ ¢
λ′i f a i + λn+1 f (a n+1 )
i=1
n+1
X
=
i=1
¡ ¢
λi f a i .
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n > 0.
2. La fonction x 7→ ln x est concave sur ]0 ; +∞[, la
fonction x 7→ −ln x est donc convexe sur ]0 ; +∞[
1
et d’après l’inégalité de Jensen, avec λi = , on a
n
Ã
!
n a
n 1¡
X
X
¡ ¢¢
i
−ln
−ln a i .
6
n
n
i=1
i=1
En multipliant par −1 puis en composant chaque
membre par l’exponentielle (fonction croissante), on
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
516
Ã
!1
n
n a
n
X
Y
k
soit A n > G n (∗).
>
ai
i=1 n
i=1
3. En prenant a 1 = a 3 , a 2 = b 3 et a 3 = c 3 , l’inégalité (∗)
p
a 3 + b3 + c 3
3
s’écrit
> a 3 b 3 c 3 = abc
3
soit a 3 + b 3 + c 3 > 3abc
obtient :
En prenant a 1 = a, a 2 = b et a 3 = c, l’inégalité (∗)
p
a +b +c
3
> abc
s’écrit
3
soit en élevant au cube (a + b + c)3 > 27abc.
La fonction f est donc continue en −1.
1
• La fonction x 7→ 2 − x 2 est continue sur ]0;2[,
2
¶
µ
1
lim 2 − x 2 = f (2) = 0 et
x→2− µ
2 ¶
1
lim 2 − x 2 = 2 = f (0) = lim− f (x)
x→0
2
x→0+
La fonction f est donc continue en 0.
• La fonction x 7→ x 2 − 4 est continue sur ]2;+∞[ et
lim (x 2 − 4) = 0 = f (2) = lim− f (x) la fonction f est
x→2
x→2+
donc continue en 2.
s
a
r
u
D
I
F
L
4. On utilise cette fois a i = i d’où
n
p
1 X
n +1
n
> n!.
k=
n i=1
2
La fonction f est donc continue sur R.
E XERCICE 262
1. La fonction f est deux fois dérivable sur R
ex
ex
f ′ (x) =
et f "(x) =
>0
x
1+e
(1 + e x )2
La fonction f est donc convexe sur R.
 Ã
Ã
Ã
!!
!1
n
n
n
Y
1 X
yk
xk  = ln 1 + exp
2. ln 1 +
n k=1
k=1
6
¡ ¢
y k = ln xk
n
¡
¡ ¢¢
1 X
ln 1 + exp y k avec
n k=1
¡
¢
La fonction f définie par f (x) = ln 1 + e x étant
convexe on en déduit le résultat :
Ã
!1
n
n ¡
n
Y
Y
¢1
6
1 + xk n .
1+
xk
k=1
k=1
a
3. On pose xk = k , l’inégalité précédente s’écrit alors :
bk
Ã
!1
¶1
n
n
n µ
Y ak
Y
a n
1+
1+ k
6
bk
k=1 bk
k=1
!1 Ã
!1
Ã
!1 Ã
n
n
n
n
n
n
Y
Y
Y
+
bk
6
a k + bk .
=⇒
ak
k=1
k=1
k=1
E XERCICE 265
1
• La fonction x 7→
est continue sur ]−∞;−1[ et
x
µ ¶
1
= −1.
lim
x→−1− x
• La fonction x 7→ x est continue sur [−1;3],
lim x = f (−1) = −1 = lim − f (x)
x→−1
x→−1+
La fonction f est donc continue en −1. lim (x) = 3 =
x→3+
f (3).
• La fonction x 7→ x 2 − 4 est continue sur ]3;+∞[ et
lim (x 2 − 4) = 5 6= f (3)
x→3+
La fonction f n’est donc pas continue en 3.
La fonction f est donc continue sur ]−∞;3[ et sur
]3;+∞[.
E XERCICE 266
La fonction
³ f est ´continue sur R si et seulement si

 lim − x 2 + a = lim (2x + 1) = f (−1)
x→−1

x→−1+
lim (2x + 1) = lim (bx + 2) = f (1)
x→1−
x→1+
(
(
a = −2
1 + a = −1
=⇒
=⇒
b =1
b +2 = 3
E XERCICE 263
E XERCICE 267
• La fonction f 1 n’est pas définie en 0, elle n’est donc pas
La fonction
³ f est
´ continue sur R si et seulement si

 lim− x 2 + 1 = lim (ax + b) = f (2)
x→2
x→2+ ³
´
 lim (ax + b) = lim x 2 + 4 = f (4)
−
+
x→4
x→4

(
 a = 15
2a + b = 5
2
=⇒
=⇒
 b = −10
4a + b = 20
continue sur l’intervalle [−2;2].
• Les fonctions f 2 et f 3 sont continues sur [−2;2].
E XERCICE 264
• La fonction x 7→ x 2 est continue sur ]−∞;−1[ et
lim x 2 = f (−1) = 1.
x→−1−
• La fonction x 7→ x + 2 est continue sur ]−1;0[,
lim− (x + 2) = f (0) = 2 et
x→0
lim (x + 2) = 1 = f (−1) = lim − f (x)
x→−1+
x→−1
E XERCICE 268
La fonction f (x) = x 5 − 5x − 2 est définie, continue et
dérivable sur R,
5.2. FONCTIONS
517
¡
¢
f ′ (x) = 5x 4 − 5 = 5 x 2 + 1 (x − 1) (x + 1)
On en déduit le tableau de variations de la fonction f :
x
f ′ (x)
−∞
+
−1
0
2
1
0
−
f
−∞
+
+∞
+∞
−6
]a;b[. Supposons que l’équation f (x) = k a deux solu-
tions distinctes notées α et β avec α < β.
Si f est strictement croissante alors
¡ ¢
α < β =⇒ f (α) < f β =⇒ k < k ce qui est absurde,
Si f est strictement décroissante alors
¡ ¢
α < β =⇒ f (α) > f β =⇒ k > k ce qui est absurde.
La solution est donc unique.
E XERCICE 271
s
a
r
u
D
I
F
L
La fonction f est continue de R dans R et 0 ∈ R, alors
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans R.
1. L’affirmation est fausse : la fonction f (x) = |x| est
continue sur [−1;1] mais n’est pas dérivable en 0
donc n’est pas dérivable sur [−1;1].
2. L’affirmation est fausse : soit u(x) = x + E (x) et
v (x) = x −E (x) (E (x) étant la fonction partie entière),
E XERCICE 269
1. La fonction f (x) = x 3 + x − 1 est définie, continue et
dérivable sur R. f ′ (x) = 3x 2 + 1 > 0.
x
f ′ (x)
−∞
+
f
+∞
les fonctions u et v ne sont pas continues sur [0;2]
mais (u + v )(x) = 2x est continue sur [0;2].
3. L’affirmation
µ ¶ est fausse
µ ¶:
1
1
lim
=
lim
= +∞ et f n’est pas définie
x→0− x 2
x→0+ x 2
en 0 donc n’est pas continue en a.
4. L’affirmation est fausse : c’est la contraposée de l’af-
+∞
−∞
La fonction f est continue et strictement croissante
de R dans R, 0 ∈ R donc le théorème des valeurs in-
termédiaires dans le cas d’une fonction strictement
monotone, il existe un unique α réel tel que f (α) = 0.
2. En utilisant le tableur de la calculatrice et la tech-
firmation 2.
E XERCICE 272
1. La fonction f (x) = x 3 + 2x 2 + 10x est définie et continue sur R. f ′ (x) = 3x 2 + 4x + 10.
Le discriminant est négatif et le coefficient du terme
de degré 2 est positif donc f ′ (x) > 0.
x
f ′ (x)
nique du balayage :
on recherche un encadrement à l’unité f (0) < 0 et
f (1) > 0 donc 0 < α < 1
puis un encadrement au dixième f (0,6) < 0 et
f (0,7) > 0 donc 0,6 < α < 0,7
puis un encadrement au centième f (0,68) < 0 et
f (0,69) > 0 donc 0,68 < α < 0,69
et enfin au millième f (0,682) < 0 et f (0,683) > 0
donc 0,682 < α < 0,683
d’où α = 0,68 à 10−2 près.
−∞
+
f
+∞
+∞
−∞
La fonction f est continue et strictement croissante
de R dans R, 0 ∈ R donc le théorème des valeurs inter-
médiaires dans le cas d’une fonction strictement monotone, il existe un unique α réel tel que f (α) = 20.
2. En utilisant le tableur de la calculatrice on obtient
α = 1,3688 à 10−4 près par défaut.
E XERCICE 270
E XERCICE 273
f est continue sur [a;b], f (a) < k < f (b) alors d’après le
1. a. La courbe semble avoir été tracée « sans lever le
théorème des valeurs intermédiaires l’équation
crayon », la fonction f semble donc continue sur
f (x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle
[−5;3].
CHAPITRE 5. CORRIGÉS
518
b. La fonction f est continue et strictement décroissante sur [−5;1], f (−5) = 3 et f (1) = −2,
¤
£
0 ∈ f (1); f (−5) on en déduit donc d’après le théo-
rème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions strictement monotones que la fonction f admet une unique solution notée α vérifiant f (α) = 0.
En procédant de manière analogue, on montre qu’il
¡ ¢
existe un unique β ∈ ]1;3[ tel que f β = 0.
c. Par lecture graphique : α ≈ −1,5 et β ≈ 2.
(
f (−5) = 3
2. a. Par lecture graphique :
f (1) = −2


7
25


 a =−
+a = 3
6
6
=⇒
=⇒
11
 1 + a + b = −2

 b =−
6

5
7

 si x ∈ [−5;1[ f (x) = − x −
6
6
ainsi
7
11

 si x ∈ [1;3]
f (x) = x 2 − x −
6
6
7
5
b. • x 7→ − x − est une fonction affine stricte6
6
ment décroissante sur R (coefficient directeur néga-
5
donc sur l’intervalle [−5;1], f ′ (x) = − .
6
b. La fonction f , fonction polynôme est dérivable sur
7
R donc sur l’intervalle [1;3], f ′ (x) = 2x − .
6
5
f (1 + h) − f (1)
=− ,
c. lim
h
6
h→0−
f (1 + h) − f (1) 5
= .
h
6
Les deux limites sont différentes, la fonction f n’est
lim
h→0+
donc pas dérivable sur l’intervalle [−5;3].
s
a
r
u
D
I
F
L
tif ), donc f est strictement décroissante sur l’intervalle [−5;1[.
• x 7→ est une fonction polynôme de degré 2, de
−7
7
minimum x = − 6 =
, elle est décroissante sur
2
12
¸
·
¸
·
7
7
−∞ ;
; +∞ donc f est
et croissante sur
12
12
croissante sur l’intervalle [1;3].
On en déduit le tableau de variations de f :
x
−5
1
1. L’équation d’une tangente à la courbe C au point
d’abscisse a est : y = f ′ (a)(x −a)+ f (a) si cette droite
passe par l’origine alors pour x = 0 on aura y = 0 d’où
f (a) − a f ′ (a) = 0.
2. Soit g la fonction définie sur [−4;4] par
g (x) = f (x) − x f ′ (x).
¡
¢
a. g (x) = x 3 + 1,5x 2 − 6x − 2 − x 3x 2 + 3x − 6
= −2x 3 − 1,5x 2 − 2.
b. g (−4) = 102 et g (4) = −154.
c. La fonction g est dérivable sur [−4;4],
g ′ (x) = −6x 2 − 3x = −3x(2x + 1).
Tableau de variations de f :
x
g ′ (x)
3
11
3
3
E XERCICE 274
f
−2
c. • Sur l’intervalle [−5;1[,
7
7
5
f (x) = 0 ⇐⇒ − x − = 0 =⇒ x = − .
6
6
5
• Sur l’intervalle [1;3],
7
11
f (x) = 0 ⇐⇒ x 2 − x −
= 0 ⇐⇒ 6x 2 − 7x − 11 = 0
6
6
∆ = 313, l’équation admet deux solutions
p
p
7 − 313
7 + 313
∉ [1;3] et x2 =
.
12
12
Les solutions de l’équation
f (x) = 0 sont donc
p
7 + 313
7
.
α = − et β =
5
12
3. Dérivabilité de f :
x1 =
a. La fonction f , fonction affine, est dérivable sur R
−4
102
−
− 12
0
g
0
+
0
−2
4
−
− 17
−154
8
·
¸
1
g (x) < 0 sur l’intervalle − ;4 , elle ne s’annule donc
2
pas sur cet intervalle.
La fonction
· g est ¸continue et strictement
µ
¶ décrois1
1
17
sante sur −4;− , g (−4) = 102 et g −
=− ,
2 ·
2
8
¶
¸ µ
1
; g (−4) . D’après le théorème des va0∈ g −
2
leurs intermédiaires dans le cas des fonctions stricte-
ment monotones on en déduit qu’il existe un unique
x0 tel que g (x0 ) = 0.
La fonction g s’annule une fois et une seule sur
[−4;4]. En utilisant le tableur de la calculatrice, on
obtient x0 = −1,3 à 0,1 près.
5.2. FONCTIONS
519
d. D’après la question précédente, l’équation
tervalle.
f (a) − a f ′ (a) = 0 admet une unique solution. Cette
La fonction f est continue et strictement décrois-
courbe C passant par l’origine, il existe donc une
D’après le théorème des valeurs intermédiaires dans
équation correspond à l’équation des tangentes à la
sante sur [2;+∞[, f (2) = 5 > 0 et lim f (x) = −∞
x→+∞
le cas des fonctions strictement monotones, on en
unique tangente à la courbe C passant par O.
déduit qu’il existe un unique α tel que f (α) = 0.
E XERCICE 275
La fonction f n’admet donc qu’une racine dans R.
1. La fonction f est dérivable sur R et f ′ (x) = 3x 2 +1 > 0,
la fonction f est donc strictement croissante sur R.
2. Valeurs obtenues à chaque étape :
s
a
r
u
D
I
F
L
a
1
3
b
5
5
intermédiaires dans le cas des fonctions strictement
b−a
4
2
monotones on en déduit qu’il existe un unique α tel
Test
vrai
vrai
m
3
4
f (m)
1
−15
La fonction f est continue et strictement croissante
de R sur R, 5 ∈ R d’après le théorème des valeurs
que f (α) = 5
2. Valeurs obtenues à chaque étape :
x
0,5
0,6
0,7
f (x)
1,79
1,99
2,25
Test
vrai
vrai
vrai
···
···
···
1,1
1,2
1,3
3,96
4,58
5,30
vrai
vrai
faux
Cette fonction permet de déterminer une solution de
l’équation f (x) = 5, solution approchée à 0,1 près par
faux
3,0625
−0,22
0,414
···
def solution(a,b) :
n=0
while b-a>0.001) :
m=(a+b)/2
fm=-m**3+3*m**2+1
n=n+1
if fm > 0:
a=m
else:
b=m
return a,b, n
1. La fonction f est dérivable sur R ,
f ′ (x) = −3x 2 + 6x = 3x(2 − x),
E XERCICE 277
Tableau de