Le rendite finanziarie
Obiettivi
l
riconoscere e saper classificare una rendita
l
utilizzare le formule per il calcolo di montante e valore attuale di una rendita:
- immediata e differita
- temporanea e perpetua
l
saper risolvere problemi riguardanti le rendite
1. CHE COS'E' UNA RENDITA
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 26
1.1 Le definizioni e la classificazione
La parola rendita nel linguaggio comune ha il significato di una somma che periodicamente viene incassata; vivere di rendita, per esempio, significa avere a
disposizione una certa somma ogni mese che deriva da interessi su capitali, da
risparmi, da lasciti o altro.
In matematica finanziaria il termine rendita ha un significato piuÁ ampio ed eÁ
legato sia alla riscossione che al pagamento di somme stabilite a scadenze prefissate.
Supponiamo per esempio che un genitore si preoccupi di accantonare del denaro, diciamo E 1 000 all'anno, a partire dalla nascita del proprio figlio, che
possa consentirgli di completare il corso di studi; il figlio, una volta giunto all'universitaÁ, usufruirebbe della somma accantonata godendo di una rata annua
o mensile fino al completamento dei cinque anni del corso di studi.
Chiamiamo rendita una successione di importi (le rate) da riscuotere o da
pagare in epoche stabilite (le scadenze) ad intervalli di tempo determinati.
In figura 1 abbiamo rappresentato la situazione sulla retta dei tempi: in alto le
rate da riscuotere o pagare, in basso i tempi della riscossione o del pagamento.
Le rendite di cui ci occupiamo in questo capitolo sono le rendite certe, cioeÁ
quelle rendite che non sono condizionate dall'accadere o meno di eventi aleatori, ma che dipendono solo dal tipo di contratto stipulato.
Figura 1
I fattori che caratterizzano una rendita sono i seguenti.
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LE RENDITE FINANZIARIE
1
n La rata, cioeÁ l'importo che viene riscosso o pagato ad ogni periodo.
Si possono avere rendite con rata costante o rendite con rata variabile.
GLI ELEMENTI CARATTERISTICI
DI UNA RENDITA
n La numerositaÁ delle rate, cioeÁ il numero di rate che costituisce la rendita.
Si possono avere rendite con un numero finito di rate, per esempio 20, e in
questo caso si parla di rendite temporanee, o con un numero illimitato di
rate, le cosiddette rendite perpetue o vitalizie, nelle quali il soggetto incassa
la rendita fino a che eÁ in vita o, nel caso di enti, fino a che esiste.
n Il periodo, che indica l'intervallo di tempo tra la riscossione (o il pagamento)
di una rata e l'altra. Di solito il periodo eÁ costante e si possono avere:
l
l
l
rendite annue se il tempo che intercorre tra la riscossione di una rata e
l'altra eÁ di un anno
poliennali se il tempo eÁ di piuÁ anni
frazionate se il tempo eÁ una frazione di anno, per esempio rendite mensili,
trimestrali e cosõÁ via.
n La decorrenza, che indica quando puoÁ essere riscossa la prima rata.
Possiamo avere rendite immediate se il pagamento delle rate avviene entro
il primo periodo dopo la stipula del contratto, oppure differite se avviene dopo piuÁ periodi.
Per esempio, si puoÁ stipulare un contratto con una Assicurazione che prevede che, dietro il pagamento di E 30 000, si abbia diritto, a partire da subito, a una rendita vitalizia di E 1 000 all'anno; questa eÁ una rendita immediata. La pensione eÁ invece una rendita differita perche il pagamento avviene al termine della carriera lavorativa dopo aver raggiunto una certa etaÁ.
n La scadenza delle rate, che, una volta fissata la decorrenza, indica il momento in cui puoÁ essere riscossa la prima rata e, di conseguenza, tutte le altre.
Si possono avere rendite anticipate se il pagamento della rata avviene all'inizio di ogni periodo, oppure posticipate se avviene al termine.
Il contraente della polizza assicurativa portata come esempio di rendita immediata puoÁ avere il pagamento all'inizio dell'anno di decorrenza della polizza, e in questo caso la rendita eÁ anticipata, oppure alla fine dell'anno, e la
rendita eÁ allora posticipata.
Possiamo riassumere quanto detto in una tabella che costituisce anche una
classificazione delle rendite.
Relativamente al periodo
Annua
Frazionata
Relativamente
alla numerositaÁ delle rate
Temporanea
Perpetua
Relativamente alla decorrenza
Immediata
Differita
Relativamente alla scadenza
Anticipata
Posticipata
Poliennale
LA CLASSIFICAZIONE
Tornando all'esempio iniziale, il figlio del genitore avveduto, arrivato all'universitaÁ, avraÁ una rendita:
l
formata da 5 rate annue (oppure 60 mensili) di importo costante
l
temporanea perche la durata eÁ di soli 5 anni
l
differita perche inizieraÁ a percepirla al momento dell'iscrizione all'universitaÁ
l
2
anticipata perche eÁ stato disposto che la rata gli venga corrisposta all'inizio
di ogni anno (o mese).
LE RENDITE FINANZIARIE
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ESEMPI
1. Mario deve riscuotere E 500 all'inizio di ogni anno per 6 anni.
Si tratta di una rendita che eÁ: costante perche l'importo della rata eÁ fisso; annua perche il periodo che
intercorre tra una rata e l'altra eÁ di 1 anno; temporanea perche il numero delle rate eÁ 6, cioeÁ un numero
finito; anticipata perche la riscossione avviene all'inizio dell'anno, cioeÁ all'inizio del periodo di competenza.
2. Lucia deve pagare E 60 alla fine di ogni mese per 3 anni.
La rata eÁ di E 60 quindi si tratta di una rendita costante; il tempo che intercorre tra un periodo e l'altro eÁ di
1 mese e quindi la rendita eÁ frazionata; il numero delle rate eÁ 36, quindi eÁ una rendita temporanea; il
pagamento eÁ fatto alla fine del mese quindi eÁ una rendita posticipata.
3. Un artigiano ha in affitto un capannone per il quale paga, semestralmente, un canone di locazione di
E 5000. Il contratto scade fra 4 anni.
Si tratta di una rendita costante che eÁ: frazionata (il canone di affitto eÁ semestrale), temporanea (il contratto eÁ valido 4 anni), immediata e anticipata (l'affitto si paga alla stipula del contratto ed eÁ anticipato).
4. Fabio potraÁ riscuotere, a partire da oggi finche saraÁ in vita, E 1000 ogni tre mesi alla scadenza di ogni
periodo.
La rendita eÁ costante ed eÁ evidentemente frazionata, eÁ perpetua perche il numero delle rate non eÁ precisato, eÁ immediata, eÁ posticipata perche il pagamento avviene alla fine del trimestre.
1.2 Le ipotesi di lavoro
Per risolvere qualunque problema che riguardi movimenti di denaro, quindi
anche una rendita, eÁ necessario conoscere il regime finanziario in cui si opera;
nel caso delle rendite il regime eÁ quello di interesse o di sconto composto.
Supporremo inoltre che le rate di una rendita siano costanti e che vengano pagate o riscosse a periodi fissi stabiliti (una volta al mese, una volta all'anno e
cosõÁ via).
Il problema che si presenta con maggiore frequenza eÁ quello di valutare una
rendita ad un certo punto del contratto. Per esempio (figura 2), se una rendita
eÁ composta da 8 rate e vogliamo sapere qual eÁ il suo valore alla riscossione
della sesta, dobbiamo capitalizzare le prime cinque, aggiungere la sesta rata
e attualizzare le successive due.
Figura 2
Il valore di una rendita ad un'epoca t eÁ la somma dei montanti delle rate antecedenti a t , con i valori attuali delle rate che scadono in epoca successiva
a t, piuÁ la rata al tempo t.
Anche se una rendita puoÁ essere valutata in qualunque momento del contratto,
particolare interesse hanno le seguenti valutazioni:
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LE RENDITE FINANZIARIE
3
la valutazione posteriore a tutte le rate (o coincidente con l'ultima), che avviene calcolando il montante di tutte le rate
l
Figura 3
la valutazione antecedente a tutte le rate (o coincidente con la prima), che
avviene calcolando il valore attuale di tutte le rate.
l
a.
Nel fare queste valutazioni dobbiamo peroÁ ragionare in modo diverso a seconda che la rata sia anticipata o posticipata.
Consideriamo per esempio una rendita costante formata da quattro rate di
uguale importo R :
b.
se la rendita eÁ anticipata, le rate vengono pagate all'inizio dei periodi e possiamo rappresentare la situazione sulla retta dei tempi come in figura 3a;
l
Figura 4
se la rendita eÁ posticipata, le rate vengono versate alla fine dei periodi e la
situazione appare come in figura 3b (in pratica eÁ come se la rata venisse differita di un periodo).
l
a.
Di conseguenza:
n il calcolo del montante deve essere fatto:
l
l
b.
un periodo dopo il versamento dell'ultima rata se la rendita eÁ anticipata
(figura 4a)
Figura 5
all'atto del pagamento dell'ultima rata se la rendita eÁ posticipata (figura 4b).
n il calcolo del valore attuale deve essere fatto:
l
l
all'atto del pagamento della prima rata se la rendita eÁ anticipata (figura 5a)
a.
un periodo prima del pagamento della prima rata se la rendita eÁ posticipata (figura 5b).
b.
Nei prossimi paragrafi vediamo come risolvere questi problemi.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Accanto ad ogni descrizione barra le caselle che caratterizzano le seguenti rendite temporanee (Annua,
Frazionata, Immediata, Differita, Anticipata, Posticipata).
a. Luca riceveraÁ E 2000 all'inizio di ogni anno quando compiraÁ 20 anni e fino ai 25.
A
F
I
D
A
P
b. Per l'acquisto dell'auto Anna deve pagare E 220 al mese, a partire dalla stipula
del contratto, alla fine di ogni mese, fino al completo pagamento della stessa.
A
F
I
D
A
P
c. Per l'affitto della sua abitazione Marco paga E 800 al mese a partire dalla stipula
del contratto all'inizio di ogni mese.
A
F
I
D
A
P
d. Un Ente benefico riceve un lascito che comporta la riscossione di E 5000
alla fine di ogni anno per 10 anni.
A
F
I
D
A
P
2. IL MONTANTE DI UNA RENDITA IMMEDIATA
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 27
2.1 Il calcolo del montante alla scadenza
Il caso delle rendite posticipate
Riprendiamo ora lo studio delle rendite e poniamoci il seguente problema.
Versiamo una somma costante di E 700, per 4 anni e alla fine di ogni anno, in
un fondo che capitalizza annualmente al tasso del 2% annuo.
4
LE RENDITE FINANZIARIE
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Vogliamo sapere a quanto ammonteraÁ il nostro capitale dopo l'ultimo versamento fatto.
Si tratta di stabilire il montante di una rendita annua di E 700 per 4 anni; sappiamo che:
l
il periodo della rendita eÁ di 1 anno
l
il tasso di interesse eÁ annuo, conforme al periodo della rata
l
la rendita eÁ temporanea perche le rate sono 4
l
si tratta di una rendita posticipata perche ogni rata viene versata alla fine di
ciascun periodo.
Per calcolare il montante di questa rendita (figura 6), osserviamo che la somma
di E 700 versata all'anno 1 produce interesse per tre anni, la somma di E 700
versata all'anno 2 produce interesse per due anni, la somma di E 700 versata
all'anno 3 produce interesse per un anno, mentre la somma di E 700 versata
all'anno 4 non produce interesse.
Il montante finale saraÁ quindi dato dalla somma dei montanti prodotti dai quattro capitali, ciascuno di E 700, per il periodo di competenza; possiamo quindi
scrivere che
3
Figura 6
2
M ˆ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700
Se eseguiamo il calcolo con una calcolatrice troviamo che M ˆ 2885,12(E).
Generalizziamo il problema e consideriamo una rendita posticipata formata da
n rate di importo R; sia poi i il tasso di interesse che deve essere conforme al
periodo della rendita: interesse annuo se la rata eÁ annua, interesse semestrale
se la rata eÁ semestrale e cosõÁ via.
Il valore M della rendita al tempo n eÁ la somma dei montanti prodotti dalle singole rate (figura 7); la prima rata deve quindi essere capitalizzata per n 1 anni, la seconda per n 2 anni, la terza per n 3 e cosõÁ via fino all'ultima rata,
che non produce interesse in quanto viene versata esattamente al tempo n.
Otteniamo quindi che:
M ˆ R 1 ‡ i†
n 1
‡R 1 ‡ i †
n 2
‡R 1 ‡ i †
n 3
2
Ricordiamo le formule per
la conversione dei tassi:
k
i ˆ 1 ‡ ik † 1
p
ik ˆ k 1 ‡ i 1
jk ˆ k ik
1
‡::::::::::: ‡ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i † ‡R
Per arrivare ad una formula comoda da applicare raccogliamo dapprima l'importo R della rata:
n 1
n 2
n 3
2
1
M ˆ R 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡::::::::::: ‡ 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡1
Figura 7
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LE RENDITE FINANZIARIE
5
Osserviamo adesso che gli addendi all'interno della parentesi sono i termini di
una progressione geometrica il cui primo termine vale 1 e la ragione eÁ 1 ‡ i † :
1
1 ‡ i†
2
1 ‡ i†
:::::::::::::
1 ‡ i†
n 3
n
1 ‡ i†
La somma di questi termini vale 1 1 ‡ i†
montante M eÁ dato dalla formula:
MˆR
1 ‡ i†
i
n
1 ‡ i†
n 2
n 1
1 ‡ i†
n
1 ‡ i†
1
cioeÁ
i
1
1
, quindi il
1
La somma S dei primi n termini di una progressione
geometrica avente primo
termine uguale ad a e di ragione q eÁ data dalla formula:
qn 1
S ˆa
q 1
Nel nostro caso
aˆ1
q ˆ1‡i
n
1 ‡ i† 1
si indica con il simbolo s
i
pato, figurato n, al tasso i.
L'espressione
n i
che si legge s postici-
Essa rappresenta il montante prodotto da una rendita unitaria immediata posticipata per n periodi al tasso periodale i.
In definitiva:
il montante di una rendita immediata posticipata, formata da n rate di importo costante R, al tasso periodale i, all'atto del versamento dell'ultima rata, eÁ
uguale a:
n
1 ‡ i† 1
MˆRs
dove
s
ˆ
n i
n i
i
LA FORMULA
Per i ˆ 0 la formula non eÁ applicabile; tuttavia, se il tasso di interesse eÁ zero, il
montante equivale al valore delle n rate di importo R, cioeÁ M ˆ nR.
Per esempio, il valore di una rendita posticipata di rata R ˆ 800 euro, formata
da 15 rate mensili al tasso mensile dello 0,2% eÁ uguale a:
M ˆ 800 1 ‡ 0,002†
0,002
15
1
ˆ 12169,47(E)
Osserviamo che il tasso di interesse eÁ conforme al periodo della rata.
Il caso delle rendite anticipate
Riprendiamo l'esempio considerato all'inizio del paragrafo, in cui depositiamo
la somma di E 700 per 4 anni al tasso annuo del 2%, ma supponiamo questa
volta che i versamenti avvengano all'inizio di ogni anno.
Si tratta ancora di una rendita temporanea perche il numero delle rate eÁ finito,
ma in questo caso la rendita eÁ anticipata perche i versamenti sono effettuati all'inizio di ogni periodo. Il calcolo del montante deve allora tener conto che anche l'ultima rata ha prodotto interesse e la situazione puoÁ quindi essere rappresentata sull'asse dei tempi come in figura 8; in essa la somma di E 700 versata
all'anno 0 produce interesse per quattro anni, quella versata all'anno 1 produce interesse per tre anni, quella all'anno 2 produce interesse per due anni,
mentre all'anno 3 la stessa somma produce interesse per un anno.
Possiamo dunque considerare il montante di questa rendita come la somma dei
montanti prodotti dai quattro capitali, ciascuno di E 700, impiegati al 2% rispettivamente per quattro, tre, due, un anno.
6
LE RENDITE FINANZIARIE
Figura 8
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Abbiamo quindi che
4
3
2
M ˆ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700 1 ‡ 0,02† ‡ 700 1 ‡ 0,02†
Se eseguiamo il calcolo con una calcolatrice troviamo che M ˆ 2942,83(E).
Anche in questo caso possiamo giungere ad una formula che esprime il valore
di M; il ragionamento da seguire eÁ analogo a quello del paragrafo precedente:
l
Il valore della rendita al tempo n eÁ la somma dei montanti prodotti dalle singole rate (figura 9); la prima rata deve essere capitalizzata per n anni, la seconda per n 1 anni, la terza per n 2 e cosõÁ via fino all'ultima rata, che
produce interesse solo per un anno.
Figura 9
l
Il montante complessivo si calcola quindi con la formula
n
M ˆ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i †
l
l
n 1
‡R 1 ‡ i †
n 2
2
1
‡::::::::::: ‡ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i †
Raccogliamo il fattore R 1 ‡ i † comune a tutti gli addendi:
n 1
n 2
n 3
1
M ˆ R 1 ‡ i † 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡::::::::::: ‡ 1 ‡ i † ‡1
L'espressione all'interno della parentesi quadra eÁ la somma dei termini della
stessa progressione geometrica precedente, quindi
MˆR 1 ‡ i†
i
n
1
1 ‡ i†
n
1 ‡ i† 1
1 ‡ i † si indica con il simbolo s
che si legge s
n i
i
anticipato, figurato n, al tasso i.
L'espressione
Essa rappresenta il montante prodotto da una rendita unitaria immediata anticipata per n periodi al tasso periodale i.
In definitiva:
LA FORMULA
il montante di una rendita immediata anticipata, formata da n rate di importo
costante R, al tasso periodale i, un periodo dopo l'ultimo versamento, eÁ
uguale a:
n
1 ‡ i† 1
1 ‡ i†
M ˆ R s
dove s ˆ
n i
n i
i
Anche in questo caso per i ˆ 0 la formula non eÁ applicabile; tuttavia, come nel
caso precedente, se il tasso di interesse eÁ zero il montante equivale al valore
delle n rate di importo R, cioeÁ M ˆ nR.
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LE RENDITE FINANZIARIE
7
Per esempio, il valore di una rendita anticipata di rata R ˆ 1200 E, formata da
8 rate trimestrali al tasso trimestrale dello 0,4% eÁ uguale a:
1 ‡ 0,004†
0,004
M ˆ 1200 8
1
1 ‡ 0,004† ˆ 9774,42(E)
Osserviamo che il tasso di interesse eÁ conforme al periodo della rata.
Riassumiamo in una tabella le formule che abbiamo imparato:
Tipo di rendita
posticipata
Montante della rendita
MˆRs
s
n i
n i
ˆ
I simboli s
1 ‡ i†
i
n
anticipata
M ˆ R s
s
n i
n i
1 ‡ i†
ˆ
i
n
1
e s
n i
sono
legati dalla relazione
1 ‡ i†
s ˆ s
n i
1
n i
n i
1 ‡ i†
Come risolvere i problemi
In un problema di capitalizzazione sulle rendite, le variabili in gioco sono 4:
M, R, n e i; conoscendo tre di esse, eÁ sempre possibile trovare la quarta risolvendo l'equazione che si ottiene sostituendo i valori delle variabili note nelle
formule. Negli esempi che seguono affrontiamo problemi di:
l
calcolo del montante
l
calcolo della rata
l
calcolo del numero di rate.
Non possiamo ancora affrontare problemi relativi al calcolo del tasso di interesse in quanto di solito si ottengono equazioni di grado molto alto che non sappiamo risolvere.
Per esempio, se volessimo determinare a quale tasso eÁ stata valutata una rendita posticipata in cui M ˆ 12000, R ˆ 1500, n ˆ 20, dovremmo risolvere l'equazione
20
1 ‡ i† 1
12000 ˆ 1500 i
cosa che non siamo in grado di fare.
Vedremo verso la fine del capitolo come sia possibile risolvere in modo approssimato questo tipo di equazioni.
ESEMPI
Esempi sul calcolo del montante
1. Carla versa in un fondo che capitalizza a un tasso dell'1,5% annuo E 2000 per 10 anni alla fine di ogni
anno. Qual eÁ il montante di questa rendita?
Si tratta di una rendita annua posticipata dove il tasso di interesse eÁ giaÁ conforme al periodo della rata; i
dati del problema sono: R ˆ 2000
n ˆ 10
i ˆ 0,015. Vogliamo trovare M.
Applichiamo la formula M ˆ R s
M ˆ 2000 s
8
LE RENDITE FINANZIARIE
n i
:
10
,
10 0 015
ˆ 2000 1 ‡ 0,015†
0,015
1
ˆ 21405,44 E†
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2. Dario ha depositato in un fondo di investimento, 6 anni fa e con un unico versamento, la somma di E 4000
e poi, dall'anno seguente per altri 6 anni, cioeÁ fino ad oggi, ha versato E 600 alla fine di ogni anno. Il tasso
di interesse del fondo eÁ del 2% annuo netto. Se Dario deve estinguere un debito di E 9000, la somma accumulata fino all'ultimo versamento fatto eÁ sufficiente a coprire tale debito?
Il capitale di cui potraÁ disporre Dario
eÁ dato dal montante di E 4000 capitalizzato per 6 anni, cui si deve aggiungere il montante di una rendita
immediata temporanea posticipata
di E 600 per 6 rate (figura 10); allora
6
M ˆ 4000 1 ‡ 0,02† ‡ 600 Figura 10
1 ‡ 0,02†
0,02
6
1
cioeÁ
M ˆ 8 289,52 E†
La somma a disposizione non eÁ dunque sufficiente per pagare il debito.
Esempi sulla ricerca dell'importo della rata
3. Il montante di una rendita annuale valutato al tasso annuo del 2,4% eÁ di E 100000. Se le rate sono 10,
costanti e posticipate, qual eÁ l'importo della rata?
Sappiamo che: M ˆ 100000
Vogliamo trovare R.
i ˆ 0,024 tasso annuo, conforme al periodo della rata
Applichiamo la formula del montante per le rendite posticipate M ˆ R nostra disposizione e risolvendo l'equazione ottenuta:
100000 ˆ R 1 ‡ 0,024†
0,024
10
1
!
100000 ˆ R 11,152
1 ‡ i†
i
n
1
n ˆ 10
, sostituendo i dati a
R ˆ 8967 E†
!
4. Calcoliamo quale rata trimestrale eÁ necessario versare per 6 anni consecutivi per avere, un periodo dopo
l'ultimo versamento, un montante di E 6 630,49 se la capitalizzazione eÁ al tasso annuo del 3,2%.
Poiche la valutazione della rendita eÁ stata fatta un periodo dopo l'ultimo versamento, possiamo usare la
formula per la rendita anticipata sapendo che:
M ˆ 6630,49
n ˆ 24 (4 rate ogni anno per 6 anni)
i ˆ 0,032 tasso annuo, non conforme al periodo della rata
Trasformiamo prima di tutto il tasso annuo in tasso trimestrale: i4 ˆ
Applichiamo la formula M ˆ R s
6630,49 ˆ R 1 ‡ 0,0079†
0,0079
24
1
n i
p

4
1 ‡ 0,032
1 ˆ 0,0079
e risolviamo l'equazione ottenuta:
1 ‡ 0,0079†
!
6630,49 ˆ R 26,52
!
R ˆ 250 E†
Esempi sulla ricerca del numero delle rate
5. Antonio riesce a risparmiare E 3000 ogni anno e decide di depositare questa somma in un fondo di investimento che rende il 5% annuo. Quante rate deve versare per avere un montante di almeno E 40 000?
Poiche i risparmi si valutano e quindi si versano alla fine dell'anno, si tratta di una rendita posticipata in
cui:
R ˆ 3000
M ˆ 40000
i ˆ 0,05 tasso annuo, conforme al periodo della rata
Vogliamo calcolare n.
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9
La formula da applicare eÁ M ˆ R 40000 ˆ 3000 1 ‡ 0,05†
0,05
n
1
1 ‡ i†
i
!
n
1
1,05n
e quindi l'equazione da risolvere eÁ:
1ˆ
40000 0,05
3000
1,05n ˆ 1,6666667
!
Si tratta di un'equazione esponenziale che risolviamo ricorrendo ai logaritmi decimali:
log 1,05n ˆ log 1,6666667
!
n log 1,05 ˆ log 1,6666667
!
nˆ
log 1,6666667
ˆ 10,47
log 1,05
Il risultato ottenuto indica che il numero di rate, necessariamente un numero intero, deve essere maggiore
di 10; diciamo quindi che si potraÁ ottenere un montante di almeno E 40000 con 11 rate.
2.2 Il calcolo del montante in un'epoca posteriore alla scadenza
Se la somma che si accumula in una rendita non viene ritirata alla scadenza ma
rimane in deposito per un altro tempo t, il suo valore deve essere capitalizzato
per il tempo t.
Vediamo qualche esempio.
I esempio
Marco versa E 1 200 all'anno per 4 anni ad un tasso di interesse annuo del 3%.
Dopo aver fatto l'ultimo versamento lascia l'intera somma in deposito per altri
3 anni. Quale capitale avraÁ alla fine?
Per risolvere questo problema dobbiamo:
l
trovare il montante M della rendita alla scadenza
l
capitalizzare M per 3 anni.
Poiche non ci eÁ stato detto se la rendita eÁ anticipata o posticipata, distinguiamo
due casi.
n Caso di rendita posticipata
In questo caso Marco fa i versamenti alla fine di ogni anno. Il montante M
della rendita al tempo 4 eÁ quindi (figura 11)
M ˆ 1200 s
Figura 11
,
4 0 03
Poiche l'ultima rata eÁ stata versata al tempo 4, il valore ottenuto deve poi
essere capitalizzato per 3 anni e percioÁ, alla fine, si ha un montante finale
M 0 pari a
3
1 ‡ 0,03†
da cui
M 0 ˆ 5485,87 E†
M 0 ˆ 1200 s
4 0,03
n Caso di rendita anticipata
In questo caso Marco effettua i versamenti all'inizio di ogni anno (figura
12); il montante M alla scadenza (cioeÁ al tempo 4) eÁ quindi:
M ˆ 1200 s
,
4 0 03
ˆ 1200 Figura 12
1,034 1
1,03 ˆ 5170,96 E†
0,03
Il ritiro del capitale viene fatto tre anni dopo il versamento dell'ultima rata,
versamento che eÁ avvenuto al tempo 3; dobbiamo quindi capitalizzare M
10
LE RENDITE FINANZIARIE
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fino al tempo 6, cioeÁ per due anni. Otteniamo cosõÁ che il capitale che Marco
avraÁ alla fine eÁ:
2
M 0 ˆ 5170,96 1 ‡ 0,03† ˆ 5485,87 E†
II esempio
Abbiamo versato E 500 all'inizio di ogni anno per 7 anni in un fondo di investimento garantito, al tasso annuo del 2,3%. Oggi, un periodo dopo l'ultimo
versamento, ritiriamo il capitale accumulato e lo reinvestiamo al tasso annuo
del 3,2%. Che somma avremo a disposizione fra 3 anni?
Con riferimento alla figura 13, dobbiamo calcolare il montante di una rendita
anticipata di E 500 per 7 anni al tasso annuo del 2,3% e poi capitalizzare il
valore ottenuto per altri 3 anni al tasso annuo del 3,2%; in definitiva, fra 3 anni
avremo a disposizione una somma pari a
h
i
3
M ˆ 500 s
1 ‡ 0,032† ˆ 4217,54 E†
7 0,023
Figura 13
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Il montante di una rendita posticipata, formata da 7 rate annue di importo E 750, capitalizzate al tasso del
4% annuo eÁ uguale a euro:
a. 6160,67
b. 5923,72
c. 5824,32
d. 6215,36
2. Il montante di una rendita anticipata mensile di rata pari a E 200, al tasso dello 0,3% mensile di durata 2
anni eÁ uguale a euro:
a. 4980,16
b. 4814,40
c. 4969,30
d. 4984,21
3. Se il montante di una rendita anticipata costituita da 8 rate annue, valutate al tasso del 5% annuo, eÁ
E 9324,70, l'importo della rata, arrotondata all'euro piuÁ vicino eÁ uguale a:
a. 930
b. 976
c. 864
d. 942
3. IL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA IMMEDIATA
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 32
3.1 Il caso delle rendite posticipate
Mara ha diritto a riscuotere 4 rate annue posticipate di E 2 500 ciascuna; avendo necessitaÁ di acquistare un'auto, cede tale diritto a una banca che valuta la
rendita al 2,5% annuo. Quale somma riceve oggi Mara in sostituzione della
rendita?
Rappresentiamo la situazione sull'asse dei tempi (figura 14); il valore attuale della rendita si ottiene attualizzando ogni rata per il periodo di competenza: la prima rata per un anno, la seconda per due, la terza per tre, la quarta per quattro:
1
2
3
V ˆ 2500 1 ‡ 0,025† ‡2500 1 ‡ 0,025† ‡2500 1 ‡ 0,025† ‡2500 1 ‡ 0,025†
Figura 14
4
cioeÁ V ˆ 9404,94 E†.
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LE RENDITE FINANZIARIE
11
Generalizziamo il problema e consideriamo una rendita posticipata formata da
n rate di importo R; sia poi i il tasso di interesse che, come al solito, deve essere
conforme al periodo della rendita.
Il valore V della rendita al tempo 0 eÁ la somma dei valori attuali prodotti dalle
singole rate (figura 15); l'ultima rata deve quindi essere attualizzata per n anni,
la penultima per n 1 anni, e cosõÁ via fino alla prima rata, che deve essere attualizzata per un solo anno.
Il valore attuale di una somma S disponibile al tempo t
si calcola con la formula
V ˆ S 1 ‡ i†
t
Figura 15
Otteniamo quindi che:
n
V ˆ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i †
1 n
‡R 1 ‡ i †
2 n
2
‡::::::::::: ‡ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i †
1
1
Raccogliamo l'importo R della rata e il fattore 1 ‡ i † :
1
1 n
2 n
3 n
1
V ˆ R 1 ‡ i † 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡::::::::::: ‡ 1 ‡ i † ‡1
Gli addendi all'interno della parentesi sono i termini di una progressione geo1
metrica il cui primo termine vale 1 e la ragione eÁ 1 ‡ i † .
La somma di questi termini vale
dato dalla formula:
1
1 ‡ i†
1 ‡ i†
1
V ˆ R 1 ‡ i† n
1
1
1
1 ‡ i†
1 ‡ i†
quindi il valore attuale eÁ
n
1
1
1
Sviluppiamo il calcolo dell'espressione in cui compare il tasso i in modo da
ottenere una forma piuÁ semplice:
1
1 ‡ i† 1 ‡ i†
1 ‡ i†
n
1
1
1
1
ˆ 1 ‡ i† 1 ‡ i†
1
1‡i
n
1
1
1
ˆ 1 ‡ i† 1 ‡ i†
i
n
1
1 ‡ i† ˆ
1
1 ‡ i†
i
n
In definitiva, il valore attuale della rendita eÁ dato dalla formula
V ˆR
1
1 ‡ i†
i
n
n
1 ‡ i†
si indica con il simbolo
i
posticipato, figurato n, al tasso i
L'espressione
1
a
n i
che si legge a
Essa rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria immediata posticipata
per n periodi al tasso periodale i.
In definitiva:
12
LE RENDITE FINANZIARIE
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il valore attuale di una rendita immediata posticipata, formata da n rate di
importo costante R, al tasso periodale i eÁ uguale a:
MˆRa
dove
n i
a
n i
ˆ
1
1 ‡ i†
i
LA FORMULA
n
Anche in questo caso per i ˆ 0 la formula non eÁ applicabile; tuttavia, se il tasso
di interesse eÁ zero, il valore attuale equivale al valore delle n rate di importo R,
cioeÁ V ˆ nR.
Per esempio, il valore attuale di una rendita posticipata di rata R ˆ 600 euro,
formata da 8 rate annue al tasso annuo del 3% eÁ uguale a:
1
V ˆ 600 1 ‡ 0,03†
0,03
8
ˆ 4211,82 E†
3.2 Il caso delle rendite anticipate
Riprendendo l'esempio precedente, supponiamo ora che la rendita di Mara abbia le rate anticipate; in questo caso la prima rata non deve essere attualizzata
e le altre tre devono essere attualizzate di uno, due, tre periodi (figura 16):
1
2
Figura 16
3
V ˆ 2500 ‡ 2500 1 ‡ 0,025† ‡2500 1 ‡ 0,025† ‡2500 1 ‡ 0,025† ˆ 9640,06
Ripetendo il ragionamento nel caso generale otteniamo che:
1
2
V ˆ R ‡ R 1 ‡ i † ‡R 1 ‡ i † ‡::::::: ‡ R 1 ‡ i †
cioeÁ
1 n
1
2
1 n
V ˆ R 1 ‡ 1 ‡ i † ‡ 1 ‡ i † ‡::::::: ‡ 1 ‡ i †
Di nuovo abbiamo una progressione geometrica con primo termine uguale a 1
1
e ragione 1 ‡ i † ; con calcoli analoghi ai precedenti si trova che la somma
dei suoi termini eÁ
1
1 ‡ i†
i
n
1 ‡ i †.
L'espressione del valore attuale eÁ quindi:
V ˆR
1
1 ‡ i†
i
n
1 ‡ i†
n
1 ‡ i†
1 ‡ i † si indica con il simbolo a che si legge a
n i
i
anticipato, figurato n, al tasso i.
L'espressione
1
Essa rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria immediata anticipata
per n periodi al tasso periodale i.
In definitiva:
il valore attuale di una rendita immediata anticipata, formata da n rate di importo costante R, al tasso periodale i eÁ uguale a:
V ˆ R a
n i
dove
a
n i
ˆ
1
1 ‡ i†
i
LA FORMULA
n
1 ‡ i†
La formula non eÁ applicabile per i ˆ 0 ma in questo caso il valore attuale equivale al valore delle n rate di importo R, cioeÁ ancora V ˆ nR.
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LE RENDITE FINANZIARIE
13
Per esempio, il valore attuale di una rendita anticipata di rata R ˆ 1000 euro,
formata da 10 rate trimestrali al tasso trimestrale dello 0,4% eÁ uguale a:
V ˆ 1000 1
1 ‡ 0,004†
0,004
10
1 ‡ 0,004† ˆ 9822,61 E†
Riassumiamo in una tabella le formule che abbiamo imparato:
Tipo di rendita
Valore attuale della rendita
Posticipata
V ˆRa
Anticipata
V ˆ R a
a
n i
a
n i
n i
ˆ
n i
ˆ
1
I simboli a
1 ‡ i†
i
1
1 ‡ i†
i
n
n i
e a
n i
sono le-
gati dalla relazione
a ˆ a 1 ‡ i †
n i
n
n i
1 ‡ i†
Anche in un problema di attualizzazione di una rendita, le variabili in gioco
sono 4: V , R, n e i; conoscendo tre di esse, eÁ sempre possibile trovare la quarta
risolvendo l'equazione che si ottiene sostituendo i valori delle variabili note
nelle formule.
Come nel caso della capitalizzazione, negli esempi che seguono affrontiamo
problemi relativi al calcolo delle diverse variabili di una rendita.
COME RISOLVERE I PROBLEMI
ESEMPI
Esempio sul calcolo del valore attuale
1. Calcoliamo il valore attuale di:
a. una rendita posticipata formata da 19 rate annue di E 380 al tasso annuo del 2,25%
b. una rendita trimestrale anticipata, con rata di E 4800, della durata di 6 anni, al tasso annuo del 3,5%
c. una rendita mensile anticipata, con rata di E 400, della durata di 3 anni, al tasso dell'1,5% annuo convertibile mensilmente.
a. Sappiamo che:
R ˆ 380
n ˆ 19
Applichiamo la formula V ˆ R b. Sappiamo che:
R ˆ 4800
i ˆ 0,0225 tasso annuo, conforme al periodo della rendita.
1 ‡ i†
i
1
n
: V ˆ 380 1
1 ‡ 0,0225†
0,0225
19
ˆ 5822,70 E†
n ˆ 4 6 ˆ 24 (4 rate all'anno per 6 anni)
i ˆ 0,035 tasso annuo, non conforme al periodo della rata.
Trasformiamo prima di tutto il tasso da annuo a trimestrale applicando la formula dei tassi equivalenti:
p
i4 ˆ 4 1,035 1 ! i4 ˆ 0,00863745
Applichiamo adesso la formula V ˆ R V ˆ 4800 1
c. Sappiamo che:
1 ‡ 0,00863745†
0,00863745
R ˆ 400
1
1 ‡ i†
i
n
1 ‡ i† :
24
1 ‡ 0,00863745† ˆ 104536,58 E†
n ˆ 12 3 ˆ 36 (12 rate all'anno per 3 anni)
j12 ˆ 0,015 tasso annuo nominale convertibile, non conforme al periodo della rata.
14
LE RENDITE FINANZIARIE
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0,015
ˆ 0,00125
12
Applichiamo la formula per le rendite con rata anticipata:
Trasformiamo il tasso j12 in tasso mensile:
V ˆ 400 1
i12 ˆ
1 ‡ 0,00125†
0,00125
36
1 ‡ 0,00125† ˆ 14089,80 E†
Esempio sul calcolo della rata
2. Il valore attuale di una rendita formata da 6 rate annue, al tasso annuo del 3%, all'atto del pagamento
della prima rata, eÁ di E 16 739,12. Troviamo l'importo delle rate costanti.
I dati a nostra disposizione sono:
V ˆ 16739,12
nˆ6
i ˆ 0,03 tasso annuo, conforme al periodo della rata
Vogliamo trovare R.
Il valore attuale eÁ riferito all'atto del pagamento della prima rata; si tratta quindi di una rendita anticipata e
n
1
1 ‡ i†
1 ‡ i † dalla quale otteniamo un'equazione di inpossiamo applicare la formula V ˆ R i
cognita R :
16739,12 ˆ R 1
1 ‡ 0,03†
0,03
6
1 ‡ 0,03†
!
R ˆ 3000 E†
Esempio sul calcolo del numero di rate
3. La cessione, al tasso annuo del 3%, di una rendita formata da rate annue posticipate di E 1500 viene
valutata E 10 529,54. Da quante rate eÁ formata?
Sappiamo che:
V ˆ 10529,54
R ˆ 1500
i ˆ 0,03 tasso annuo, conforme al periodo della rata
Vogliamo trovare n.
Applichiamo la formula del valore attuale per le rendite posticipate e risolviamo l'equazione in n che si
ottiene:
10529,54 ˆ 1500 1
1 ‡ 0,03†
0,03
n
!
n
1 ‡ 0,03† ˆ 1
10529,54 0,03
1500
!
1,03
n
ˆ 0,7894092
Si tratta di un'equazione esponenziale; ricorriamo ai logaritmi decimali:
log 1,03
n
ˆ log 0,7894092
!
n log 1,03 ˆ log 0,7894092
nˆ
!
log 0,7894092
ˆ8
log 1,03
La rendita eÁ formata da 8 rate.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Carlo eredita dallo zio una rendita di 10 rate annue anticipate di E 3 000 ciascuna ad un tasso annuo del
3%; suo fratello Luca eredita dallo stesso zio una rendita posticipata di 8 rate annue di E 4000 ciascuna
allo stesso tasso annuo.
a. La rendita di Carlo vale, in euro:
b. La rendita di Luca vale, in euro:
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
¬ 25 590,61
¬ 28 078,77
­ 24 845,25
­ 27 260,94
® 26358,33
® 28 921,13
LE RENDITE FINANZIARIE
15
2. Una rendita anticipata con rata costante di E 5 000 annua viene valutata E 35 010,27 al tasso annuo del
4%. Il numero di rate eÁ:
a. 9
b. 6
c. 8
d. 7
4. LE RENDITE DIFFERITE
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 36
Ricordiamo che:
una rendita si dice differita quando la prima rata viene pagata o riscossa dopo un certo numero p di periodi.
Il periodo che intercorre tra la stipula del contratto e il pagamento della prima
rata viene detto differimento (figura 17).
Figura 17
Il differimento di una rendita non ha alcuna influenza sul calcolo del montante,
in quanto questo viene calcolato al termine della rendita e la capitalizzazione
inizia al momento del versamento della prima rata.
Ha invece delle conseguenze sul calcolo del valore attuale.
Il caso della rendita posticipata
Cristina, che ha oggi 15 anni, avraÁ diritto alla riscossione di una rendita posticipata formata da 4 rate annue del valore di E 1 200 ciascuna a partire dal suo
diciottesimo compleanno. Se la rendita eÁ calcolata ad un interesse annuo del
4%, ci chiediamo quale sia il suo valore oggi.
Rappresentiamo la situazione sull'asse dei tempi, dove abbiamo posto l'etaÁ attuale di Cristina al tempo zero (figura 18). Per calcolare il valore V della rendita oggi dobbiamo:
Figura 18
l
l
calcolare il valore attuale V 0 della rendita al tempo 3, epoca in cui ha inizio
il diritto di riscossione
4
1
1 ‡ 0,04†
ˆ 1200 V 0 ˆ 1200 a
n i
0,04
attualizzare V 0 per tre anni:
4
1
1 ‡ 0,04†
3
1 ‡ 0,04†
V ˆ V 0 1 ‡ 0,04† ˆ 1200 0,04
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
3
V0
16
LE RENDITE FINANZIARIE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Svolgendo i calcoli troviamo che il valore attuale della rendita alla data odierna
eÁ di E 3 872,36.
Generalizziamo come al solito il problema.
Consideriamo una rendita posticipata, con periodo di differimento p, formata
da n rate di importo R al tasso periodale i conforme al periodo della rendita
e ripetiamo gli stessi calcoli fatti nell'esempio (figura 19):
Figura 19
l
valore attuale al tempo p, un periodo prima del pagamento della prima rata: V 0 ˆ R a
n i
l
attualizzazione del capitale per il periodo di differimento p:
In definitiva:
V ˆRa
L'espressione a
n i
n i
1 ‡ i†
1 ‡ i†
p
V ˆ V 0 1 ‡ i†
p
p
si indica con il simbolo
p=
a
n i
che si legge:
a posticipato, figurato n, al tasso i, differito p.
Essa rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria posticipata differita di
un tempo p.
In definitiva:
il valore attuale di una rendita differita posticipata, formata da n rate di importo costante R, al tasso periodale i eÁ uguale a:
V ˆ R p= a
dove
n i
p=
a
n i
ˆa
n i
1 ‡ i†
LA FORMULA
p
Il caso della rendita anticipata
Supponiamo ora che la rendita di Cristina dell'esempio precedente sia anticipata, cioeÁ che la prima rata le venga corrisposta al compimento del suo diciottesimo compleanno (figura 20); il differimento eÁ sempre di 3 anni ma questa
volta il valore da attualizzare eÁ il valore attuale di una rendita anticipata, quindi:
Figura 20
l
il valore attuale V 0 della rendita al tempo 3 eÁ uguale a:
V 0 ˆ 1200 a
n i
ˆ 1200 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1
1 ‡ 0,04†
0,04
4
1 ‡ 0,04†
LE RENDITE FINANZIARIE
17
l
il valore attuale V della rendita si ottiene capitalizzando V 0 per tre anni:
4
1
1 ‡ 0,04†
3
1 ‡ 0,04† 1 ‡ 0,04†
V ˆ V 0 1 ‡ 0,04† ˆ 1200 0,04
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
3
V0
Svolgendo i calcoli troviamo che il valore attuale della rendita alla data odierna
eÁ di E 4027,25.
Generalizziamo la procedura per una rendita anticipata di n rate di importo R,
al tasso periodale i conforme al periodo della rendita, differita di p periodi, e
ripetiamo gli stessi calcoli fatti nell'esempio:
l
valore attuale al tempo p, cioeÁ all'atto del pagamento della prima rata:
l
attualizzazione del capitale per il periodo di differimento p:
In definitiva:
V ˆ R a
L'espressione a
n i
n i
1 ‡ i†
1 ‡ i†
p
V 0 ˆ R a
V ˆ V 0 1 ‡ i†
n i
p
p
si indica con il simbolo
p=
a
che si legge:
n i
a anticipato, figurato n, al tasso i, differito p.
Essa rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria anticipata differita di
un tempo p. In definitiva:
LA FORMULA
il valore attuale di una rendita differita anticipata, formata da n rate di importo costante R, al tasso periodale i eÁ uguale a:
V ˆ R p= a
dove
n i
p=
a
n i
ˆ a
n i
1 ‡ i†
p
ESEMPI
1. Calcoliamo il valore attuale di una rendita:
a. posticipata, formata da 6 rate annue di E 2 000, con differimento 2 anni, valutata al tasso annuo del 4%
b. anticipata, formata da 4 rate semestrali di E 1 000 con differimento 3 anni e valutata al tasso annuo del
2,5%
c. formata da 5 rate annue di E 600, valutata al tasso annuo del 2% e la cui prima rata eÁ riscuotibile fra 4
anni.
a. Sappiamo che:
R ˆ 2000 posticipata
nˆ6
pˆ2
i ˆ 0,04 tasso annuo, conforme al periodo della rata e del differimento
Vogliamo calcolare V .
La rendita eÁ posticipata, applichiamo quindi la formula V ˆ R p= a
V ˆ 2000 1
1 ‡ 0,04†
0,04
n i
:
6
2
1 ‡ 0,04†
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
!
V ˆ 9693,30 E†
differimento
b. Sappiamo che:
R ˆ 1000 anticipata
n ˆ 4 semestrali
p ˆ 3 anni ˆ 6 semestri
i ˆ 0,025 tasso annuo, non conforme al periodo della rata
Vogliamo calcolare V .
18
LE RENDITE FINANZIARIE
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Troviamo innanzi tutto il tasso semestrale:
i2 ˆ
p
1 ‡ 0,025
1 ˆ 0,01242
Il periodo di differimento eÁ di 6 semestri se usiamo il tasso semestrale, eÁ di 3 anni se usiamo il tasso
annuo.
La rendita eÁ anticipata, applichiamo quindi la formula V ˆ R p= a
l
n i
:
differimento con tasso semestrale:
V ˆ 1000 1
1 ‡ 0,01242†
0,01242
4
6
1 ‡ 0,01242† 1 ‡ 0,01242†
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
V ˆ 3646,67 E†
!
differimento
l
differimento con tasso annuo:
V ˆ 1000 1
1 ‡ 0,01242†
0,01242
4
3
1 ‡ 0,01242† 1 ‡ 0,025†
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
!
V ˆ 3646,61 E†
differimento
I due valori, tenendo conto degli errori di arrotondamento, ovviamente coincidono.
c. Sappiamo che:
R ˆ 600
nˆ5
i ˆ 0,02
tasso annuo, conforme al periodo della rata e del differimento
Per la valutazione del periodo di differimento possiamo ragionare in due modi:
l
l
considerare la rendita anticipata con un periodo di differimento di 4 anni: p ˆ 4
considerare la rendita posticipata con un periodo di differimento di 3 anni: p ˆ 3.
Nel primo caso otteniamo che
V ˆ 600 1
1 ‡ 0,02†
0,02
5
4
1 ‡ 0,02† 1 ‡ 0,02† ˆ 600 |‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
1
1 ‡ 0,02†
0,02
5
1 ‡ 0,02†
3
differimento
Nel secondo caso otteniamo che
V ˆ 600 1
1 ‡ 0,02†
0,02
5
3
1 ‡ 0,02†
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
differimento
Le due espressioni sono evidentemente le stesse ed il valore attuale della rendita eÁ di E 2 664,96.
2. Il padre di Giovanni assegna al figlio una rendita di E 50000 all'anno per 5 anni al tasso annuo del 6% a
partire dal momento della sua laurea. Oggi peroÁ Giovanni vuole riscuotere la sua rendita e si accorda con
una banca per un valore attuale di E 198000. Fra quanto tempo dovraÁ laurearsi Giovanni per soddisfare
le richieste della banca?
Rappresentiamo il problema sull'asse dei tempi (figura 21); dobbiamo in sostanza calcolare il
differimento di una rendita di 5
rate da E 50000 ciascuna al tasso del 6% in modo che il suo valore attuale sia oggi di E 198000.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Figura 21
LE RENDITE FINANZIARIE
19
Indicando con p il differimento e considerando le rate come anticipate, il modello del problema eÁ l'equazione
5
1
1 ‡ 0,06†
p
50000 p= a
1 ‡ 0,06† 1 ‡ 0,06† ˆ 198000
ˆ 198000 cioeÁ 50000 5 0,06
0,06
Svolgendo i calcoli e approssimando i risultati delle potenze coinvolte otteniamo
1,06 p ˆ 1,127552
da cui, ricorrendo ai logaritmi, ricaviamo che
p ˆ 2,06
Giovanni deve quindi laurearsi entro 2 anni e 21 giorni.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Il valore attuale di una rendita posticipata formata da 8 rate di E 3000 ciascuna, con differimento di 6
anni e tasso annuo del 2% eÁ uguale a euro:
a. 20 075,14
b. 19 710,95
c. 19 904,74
d. 19 514,45
2. Il valore attuale di una rendita anticipata formata da 4 rate di E 1000 ciascuna, con differimento 3 anni e
tasso annuo del 4% eÁ uguale a euro:
a. 3 526,24
b. 3 356,04
c. 3 422,16
5. LE RENDITE PERPETUE
d. 3 248,65
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 38
Come abbiamo giaÁ detto all'inizio dell'unitaÁ didattica, una rendita si dice perpetua quando ha un numero illimitato di rate oppure quando non si conosce a
priori quale sia il loro numero. Sono ad esempio rendite perpetue
n gli interessi prodotti da Buoni fruttiferi irredimibili (non eÁ cioeÁ precisato
quando lo Stato rimborseraÁ il capitale)
n l'usufrutto su terreni ceduti in uso perpetuo
n gli interessi prodotti da un lascito.
In tutti questi casi non ha senso parlare di montante della rendita in quanto,
non potendo stabilire un'ultima rata, non sapremmo in quale periodo calcolarlo; in relazione a rendite perpetue avremo quindi solo problemi di calcolo di
valore attuale.
Per determinare il valore attuale di una rendita perpetua ci serviremo delle formule giaÁ viste nei casi di rendite temporanee, in cui dovremo tenere peroÁ presente che n rappresenta un valore che puoÁ crescere indefinitamente; per esprimere questo fatto diremo che n tende all'infinito. I simboli finanziari che useremo sono quindi gli stessi usati per le rendite temporanee in cui, al posto di n,
scriviamo il simbolo 1.
Esaminiamo dunque i casi che si possono presentare.
Rendita perpetua immediata posticipata
20
ˆ
LE RENDITE FINANZIARIE
1
n
1 ‡ i†
che rappresenta il valore atn i
i
tuale di una rendita temporanea immediata posticipata. Osserviamo ora che,
Consideriamo la relazione a
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per n che tende all'infinito cioeÁ che diventa sempre piuÁ grande, il termine
n
1 ‡ i† diventa sempre piuÁ piccolo; infatti, un numero positivo minore di 1
1
quale eÁ 1 ‡ i† tende ad assumere valori sempre piuÁ piccoli quando eÁ elevato
ad una potenza che assume valori sempre piuÁ grandi. Prova, ad esempio, a caln
colare 1,05† per n ˆ 10, 100, 1000: ad un certo punto la calcolatrice ti restituisce il valore 0 perche il risultato eÁ talmente piccolo da non poter essere
evidenziato sul display.
Se nella formula ricordata trascuriamo tale valore commettiamo quindi, quando n tende all'infinito, un errore talmente piccolo che praticamente non influisce sul risultato finale. Possiamo allora dire che
a
1i
1
ˆ
i
Figura 22
R
Vˆ
i
e per una rendita di rata R
Il grafico della relazione ottenuta eÁ un ramo di iperbole equilatera ed appartiene al primo quadrante (ricorda che R ed i sono numeri positivi) (figura 22).
Ad esempio, il valore attuale di una rendita perpetua posticipata di rata E 100
al tasso annuo del 5% eÁ
100
ˆ 2000 E†
V ˆ
0,05
Rendita perpetua immediata anticipata
Se la rendita perpetua eÁ anticipata, con un procedimento analogo al precedente e tenendo presente la relazione a
ˆa
1 ‡ i†, si ottiene che
n i
a
1i
ˆ
1
1 ‡ i†
i
n i
e per una rendita di rata R
V ˆR
1
1 ‡ i†
i
Rendita perpetua differita
Infine se la rendita perpetua eÁ differita e la prima rata viene riscossa o pagata fra
p anni abbiamo le due relazioni (figura 23):
n
n
p 1=
p=
a
a
1i
1i
ˆ
ˆ
1
1 ‡ i†
i
1
1 ‡ i†
i
p 1†
p
Figura 23
se la rendita eÁ posticipata
se la rendita eÁ anticipata
In ogni caso vale comunque la relazione
p 1=
a
1i
ˆp= a
1i
ESEMPI
1. Calcoliamo il valore attuale di una rendita perpetua nei seguenti casi:
a. rendita posticipata con rata di E 3800 all'anno, valutata al tasso annuo dell'1,1%
b. rendita di E 250 da riscuotere all'inizio di ogni semestre e valutata al tasso annuo del 3%.
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LE RENDITE FINANZIARIE
21
a. Il tasso eÁ conforme al periodo della rata e poiche la rendita eÁ posticipata dobbiamo applicare la forR
3800
mula V ˆ : V ˆ
ˆ 345454,55 E†
i
0,011
b. Il tasso non eÁ conforme al periodo della rendita; trasformiamolo in tasso semestrale:
p
i2 ˆ 1 ‡ 0,03 1 ˆ 0,01489
Poiche la rendita eÁ anticipata (la riscossione avviene all'inizio di ogni semestre), dobbiamo applicare la
R
formula V ˆ 1 ‡ i † :
i
250
V ˆ
1 ‡ 0,01489† ˆ 17039,79 E†
0,01489
2. Dalla cessione di una rendita perpetua posticipata di rata trimestrale E 2400 ricaviamo E 127631,58.
Qual eÁ il tasso di valutazione annuo?
Sappiamo che:
R ˆ 2400
V ˆ 127631,58
R
R
dove i, dovendo essere conforme al periodo della rata, eÁ un
Dalla formula V ˆ ricaviamo che i ˆ
i
V
tasso trimestrale:
2400
i4 ˆ
ˆ 0,0188
127631,58
Applicando la formula dei tassi equivalenti troviamo il tasso annuo: i ˆ 1 ‡ 0,0188†
cioeÁ 7,73%.
4
1 ˆ 0,0773
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Il valore attuale di una rendita annua perpetua posticipata la cui rata eÁ di E 3000, al tasso del 5% annuo eÁ
uguale a euro:
a. 62 000
b. 75 000
d. 60 000
d. 90 000
2. Alcuni buoni irredimibili fruttano E 300 all'anno; se li vuoi vendere all'atto della scadenza della prima
cedola e la valutazione viene fatta al tasso annuo del 3,5% puoi ricavare:
a. E 8 572,14
b. E 8 871,43
c. E 8 571,43
6. L'INTERPOLAZIONE LINEARE PER RISOLVERE
I PROBLEMI
d. 8 642,72
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 40
Affrontando il problema della valutazione del tasso di interesse di una rendita
ci siamo accorti che l'equazione di incognita i non si puoÁ risolvere per via algebrica essendo spesso di grado molto maggiore di 2 (rivedi a questo proposito
l'equazione a pagina 45). In questi casi si puoÁ ricorrere a metodi di risoluzione
approssimata; vediamo come si puoÁ procedere con un esempio.
Un rendita annua eÁ formata da 9 rate ciascuna di E 1300. Determiniamo il tasso annuo di interesse i sapendo che il montante calcolato all'atto dell'ultimo
versamento eÁ di E 14373,59.
22
LE RENDITE FINANZIARIE
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Dalla relazione del montante possiamo scrivere l'equazione
9
14373,59 ˆ 1300
1 ‡ i†
i
dalla quale ricaviamo che
cioeÁ s
9i
9
1
1 ‡ i†
i
1
ˆ 11,056608
ˆ 11,056608.
Ci rendiamo conto immediatamente che non eÁ possibile risolvere algebricamente un'equazione di questo tipo. Possiamo allora seguire questo ragionamento.
Diamo ad i un valore compatibile con i dati del problema, per esempio diciamo che i ˆ 0,06; l'espressione al primo membro dell'equazione diventa cosõÁ
s
,
9 0 06
ˆ
1,069 1
ˆ 11,491316
0,06
Poiche 11,491316 > 11,056608, il tasso 0,06 usato eÁ troppo alto.
Diamo ad i un valore piuÁ basso, per esempio poniamo i ˆ 0,05 e ripetiamo gli
stessi calcoli:
1,059 1
ˆ 11,026564
s
ˆ
9 0,05
0,05
Poiche 11,026564 < 11,056608, il tasso 0,05 usato eÁ troppo basso.
Allora il tasso che eÁ la soluzione del problema eÁ compreso tra 0,05 e 0,06. Per
trovare un valore approssimato piuÁ preciso ricorriamo all'interpolazione lineare.
Si tratta di un procedimento che possiamo descrivere graficamente in questo
modo. Consideriamo un fenomeno rappresentato da una legge f x † che ha
un certo grafico; di questa curva sono note le coordinate di due punti A e B
e si vuole trovare l'ascissa di un punto P del quale si conosce solo l'ordinata
y (figura 24a).
Poiche non si riesce, con metodi algebrici, a trovare il valore di x che corrisponde a y, si puoÁ sostituire la curva con la retta che passa per i punti A e B
e poi trovare il valore di x che corrisponde al punto di ordinata y su tale retta
(figura 24b).
Figura 24
a.
La formula per scrivere l'equazione della retta (non
parallela agli assi cartesiani)
che passa per due punti eÁ
la seguente:
y y1
x x1
ˆ
y2 y1 x2 x1
b.
Questa operazione introduce naturalmente un errore che peroÁ si puoÁ ritenere
trascurabile se la curva si discosta poco dalla retta.
Dal punto di vista analitico la procedura eÁ la seguente:
l
l
si scrive l'equazione della retta passante per i punti A x1 , y1 † e B x2 , y2 †
si sostituisce il valore y nell'equazione trovata e si ricava x.
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LE RENDITE FINANZIARIE
23
Applichiamo questa procedura al problema:
l
i punti A e B sono quelli che hanno per ascissa rispettivamente i due tassi
0,05 e 0,06 e come ordinata i due valori s ; il valore di y eÁ 11,056608.
9i
Scriviamo i dati in una tabella:
i
l
s
9i
punto A
0,05
11,026564
punto B
0,06
11,491316
y
x
11,056608
la retta che passa per questi punti ha equazione:
y 11,026564
x 0,05
ˆ
11,491316 11,026564
0,06 0,05
l
per trovare il valore di x che rappresenta il tasso cercato sostituiamo al posto
di y il valore di y cioeÁ 11,056608:
11,056608
11,491316
11,026564
x 0,05
ˆ
11,026564
0,06 0,05
!
0,06464 ˆ
x
0,05
0,01
Risolvendo l'equazione troviamo che x ˆ 0,0506. Il tasso cercato eÁ dunque
pari al 5,06%.
Mettiamo in evidenza la procedura da seguire per risolvere equazioni di questo
tipo:
LA PROCEDURA
DI INTERPOLAZIONE
n si trova un valore dell'incognita che approssima per difetto la soluzione
n si trova un valore dell'incognita che approssima per eccesso la soluzione
n si esegue l'interpolazione lineare fra i valori trovati.
24
LE RENDITE FINANZIARIE
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I concetti e le regole
Le rendite
Una rendita eÁ una successione di importi (le rate) da riscuotere o da pagare in epoche stabilite (le scadenze) ad intervalli di tempo determinati (i periodi).
Una classificazione delle rendite puoÁ essere fatta secondo diversi parametri ed eÁ riassunta nella seguente tabella:
relativamente al periodo
ANNUA
FRAZIONATA
TEMPORANEA
PERPETUA
relativamente alla decorrenza
IMMEDIATA
DIFFERITA
relativamente alla scadenza
ANTICIPATA
POSTICIPATA
relativamente alla numerositaÁ delle rate
POLIENNALE
Le rendite temporanee
Il montante di una rendita si calcola con due formule diverse a seconda che la rata sia anticipata oppure posticipata:
n
l
l
montante di una rendita posticipata:
MˆRs
n i
montante di una rendita anticipata:
M ˆ R s
n i
dove
dove
1 ‡ i† 1
n i
i
n
1 ‡ i† 1
s
1 ‡ i†
ˆ
n i
i
s
ˆ
Il valore attuale di una rendita si calcola anch'esso con due formule diverse a seconda che la rata sia anticipata oppure posticipata:
n
1
1 ‡ i†
l
ˆ
dove
a
valore attuale di una rendita posticipata:
V ˆRa
n i
n i
i
n
1
1 ‡ i†
l
1 ‡ i†
valore attuale di una rendita anticipata:
V ˆ R a
dove
a
ˆ
n i
n i
i
Le rendite differite
In una rendita differita il periodo di differimento p influisce solo sul calcolo del valore attuale:
l
l
in caso di rata posticipata:
V ˆ R p= a
n i
in caso di rata anticipata:
V ˆ R p= a
n i
dove
p=
a
dove
p=
a
n i
ˆa
n i
1 ‡ i†
n i
ˆ a
n i
1 ‡ i†
p
p
Le rendite perpetue
Una rendita eÁ perpetua se ha un numero illimitato di rate; di questo tipo di rendite ha senso calcolare il solo valore
attuale e si ha che:
R
l
in caso di rata posticipata:
V ˆ
i
l
in caso di rata anticipata:
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Vˆ
R
1 ‡ i†
i
LE RENDITE FINANZIARIE
25
Le rendite finanziarie
CHE COS'EÁ UNA RENDITA
la teoria eÁ a pag. 1
Comprensione
1 Scegli le voci corrette.
La pensione a cui si ha diritto alla fine del periodo lavorativo eÁ una rendita:
a. annua
b. perpetua
c. immediata
d. anticipata
2 Scegli le voci corrette.
Franco paga l'affitto della casa dove abita una volta ogni sei mesi. Si tratta di una rendita:
a. differita
b. perpetua
c. frazionata
d. anticipata
3 Scegli le voci corrette.
Luca ha acquistato una nuova autovettura. Il concessionario gli propone di rateizzare l'importo dovuto
con 24 pagamenti mensili, pagabili alla fine di ogni mese, con il primo pagamento fra tre mesi. Si tratta di
una rendita:
a. biennale
b. differita
c. posticipata
d. temporanea
4 Con riferimento alla figura, il valore della rendita al tempo 3 si calcola:
a. capitalizzando tutte le rate fino al tempo 3
b. scontando le rate R4 e R5 al tempo 3
c. capitalizzando le rate R0 , R1 ,R2 e scontando le rate R4 e R5 al tempo 3 e sommando i valori ottenuti
d. capitalizzando le rate R0 , R1 ,R2 e scontando le rate R4 e R5 al tempo 3 e sommando a questi valori
l'importo della rata R3 .
5 La figura a lato rappresenta una rendita che si puoÁ considerare:
a.
b.
c.
d.
temporanea immediata con rate posticipate
temporanea differita di un periodo con rate anticipate
temporanea differita di un periodo con rate posticipate
temporanea immediata con rate anticipate.
V
F
V
F
V
F
V
F
Applicazione
Classifica le seguenti rendite in base alla durata, al periodo, alla data di decorrenza.
6 Una ereditaÁ che, a partire dall'anno prossimo, frutteraÁ E 200 al mese per 3 anni.
7 Un lascito che, fra 6 anni, cominceraÁ a fruttare in perpetuo E 1800 all'anno.
8 Un titolo che frutta E 380 ogni 6 mesi e che scade fra 4 anni.
9 Il diritto a riscuotere 10 rate annue costanti di E 300, la prima riscuotibile fra 2 anni.
26
LE RENDITE FINANZIARIE
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10 Un debito composto da 6 rate costanti pagabili a partire dall'anno prossimo per 6 anni.
11 Una assicurazione sulla vita costituita da rate annuali che pagheremo finche saremo in vita.
12 Un canone di locazione semestrale di E 6000 per l'affitto di un magazzino che scade fra 5 anni.
IL MONTANTE DI UNA RENDITA IMMEDIATA
la teoria eÁ a pag. 4
RICORDA
n Il montante di una rendita, all'atto della sua scadenza, si calcola con le seguenti formule:
n
l
l
Á posticipata:
se la rendita e
M ˆR s
Á anticipata:
se la rendita e
M ˆ R s
dove
n i
dove
n i
1 ‡ i† 1
n i
i
n
1 ‡ i† 1
1 ‡ i†
s ˆ
n i
i
s
ˆ
Á:
n Il montante M 0 , k periodi dopo la scadenza, si ottiene capitalizzando M per k periodi, cioe
l
Á posticipata:
se la rendita e
M 0 ˆ M 1 ‡ i†
k
l
Á anticipata:
se la rendita e
M 0 ˆ M 1 ‡ i†
k 1
Comprensione
13 Il montante di una rendita immediata posticipata formata da 3 rate annue di E 250 al tasso annuo del 2%
eÁ di euro:
a. 780,40
b. 750
c. 765,10
d. 798,32
14 Il montante di una rendita immediata anticipata formata da 4 rate annue di E 200 al tasso annuo del 4% eÁ
di euro:
a. 883,26
b. 918,60
c. 1 000
d. 991,50
15 Il montante di una rendita immediata posticipata formata da 3 rate semestrali di E 100 al tasso semestrale
del 2% eÁ di euro:
a. 300
b. 305,50
c. 312,16
d. 306,04
16 Il montante di una rendita immediata posticipata formata da 4 rate annue, al tasso annuo del 3%, eÁ di
E 836,73. L'importo della rata annua in euro eÁ uguale a:
a. 190
b. 200
c. 205
d. 195
17 Il montante di una rendita immediata anticipata formata da 3 rate annue, al tasso annuo del 5%, eÁ di
E 1 986,08. L'importo della rata annua in euro eÁ uguale a:
a. 650
b. 605
c. 600
d. 590
18 Una rendita immediata di rata E 150, al tasso annuo del 3%, produce, all'atto dell'ultimo versamento, un
montante di E 796,37. Il numero delle rate eÁ:
a. 7
b. 6
c. 5
d. 4
19 Il montante, calcolato 3 anni dopo l'ultimo versamento di una rendita immediata posticipata, formata da
10 rate annue di E 480, al tasso annuo del 6% eÁ di euro:
a. 7 108,77
b. 7 535,30
c. 6 706,39
d. 7 987,42
20 Il montante calcolato 5 anni dopo l'ultimo versamento di una rendita immediata anticipata, formata da 6
rate annue di E 300, al tasso annuo del 4% eÁ di euro:
a. 2421,01
b. 2327,89E
c. 2517,85
d. 2069,49
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
LE RENDITE FINANZIARIE
27
Applicazione
Risolvi i seguenti esercizi sul calcolo del montante.
21 Calcola il montante di una rendita posticipata:
a. formata da 8 rate annue di E 500 al tasso annuo del 4%
b. formata da 6 rate annue di E 800 al tasso annuo del 2%
c. formata da 12 rate annue di E 1 000 al tasso annuo del 3%.
[E 4 607,11]
[E 5 046,50]
[E 14 192,03]
22 Calcola il montante di una rendita anticipata:
a. formata da 5 rate annue di E 100 al tasso annuo del 5%
b. formata da 11 rate annue di E 550 al tasso annuo del 2,5%
c. formata da 4 rate annue di E 670 al tasso annuo del 1,3%.
[E 580,19]
[E 7 037,55]
[E 2 768,24]
23 Calcola il montante delle seguenti rendite all'atto dell'ultimo versamento:
a. 12 rate annue di E 3350 ciascuna al tasso del 13,5% annuo
b. 7 rate annue di E 1300 ciascuna al tasso del 7% annuo
c. 18 rate annue di E 750 ciascuna al tasso del 9% annuo.
‰E 88597,80Š
‰E 11250,23Š
‰E 30976Š
24 Calcola il montante delle seguenti rendite all'atto dell'ultimo versamento:
a. 8 rate annue di E 1750 ciascuna al tasso del 9; 5% annuo
b. 10 rate annue di E 925 ciascuna al tasso del 10,25% annuo
c. 5 rate annue di E 3350 ciascuna al tasso del 7,25% annuo.
‰E 19652,85Š
‰E 14920Š
‰E 19361,31Š
25 Marco versa E 500 alla fine di ogni trimestre per 3 anni. Quale montante avraÁ a disposizione all'atto del‰E 6520,61Š
l'ultimo versamento se il tasso di interesse eÁ dell'1,5% trimestrale?
26
ESERCIZIO GUIDA
Calcola il montante, all'atto dell'ultimo versamento, di una rendita di rata semestrale di E 2000 della
durata di 4 anni al tasso annuo del 4%.
Si tratta di una rendita semestrale posticipata:
l
il numero delle rate eÁ 8 (rate semestrali per 4 anni)
l
il tasso deve essere convertito in tasso semestrale:
Applichiamo adesso la formula del montante:
i2 ˆ
M ˆ 2000 p
1,04
1 ˆ 0,0198
1 ‡ 0,0198†
0,0198
8
1
ˆ 17153,81 E†
27 Calcola il montante di una rendita posticipata di E 750 bimestrali della durata di 16 mesi ai seguenti
tassi:
‰E 9224,77Š
a. 12% bimestrale
‰E 6437,23Š
b. 12% annuo convertibile bimestralmente
‰E 6416,06Š
c. 12% annuo.
28 Calcola il montante di una rendita anticipata di E 400 trimestrali della durata di 3 anni ai seguenti tassi:
‰E 7152,85Š
a. 6% trimestrale
‰E 5294,73Š
b. 6% annuo convertibile trimestralmente
‰E 5283,38Š
c. 6% annuo.
29 Una persona vuole costituire una somma che gli consenta, fra 4 anni, di poter cambiare l'auto; per questo versa E 1350 ogni quadrimestre a partire da oggi, ad un tasso annuo nominale convertibile quadri‰E 18468,45Š
mestralmente del 6%. Quale somma avraÁ a disposizione all'epoca stabilita?
30 Hai versato in banca E 8000 alla fine di ogni anno e per 6 anni, al tasso annuo del 2,5%. Se decidi di
ritirare il capitale all'atto dell'ultimo versamento, di quale somma potrai disporre?
‰E 51101,89Š
28
LE RENDITE FINANZIARIE
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Risolvi i seguenti esercizi sul calcolo della rata.
31
ESERCIZIO GUIDA
Mediante dei versamenti trimestrali posticipati di importo costante in un fondo remunerato al tasso
annuo del 2,5%, si vuole ottenere un montante di E 12000 in 5 anni. Qual eÁ l'importo di ciascun versamento?
I dati a nostra disposizione sono:
Calcoliamo il tasso:
i4 ˆ
M ˆ 12000
n ˆ 20 (4 rate all'anno per 5 anni)
i ˆ 0,025 tasso annuo da convertire in tasso trimestrale
p

4
1 ‡ 0,025
1 ˆ 0,006192
Scriviamo la formula del montante per una rendita posticipata e calcoliamo la rata: M ˆ R s
!
1 ‡ 0,006192†
12000 ˆ R 0,006192
20
1
!
12000 ˆ R 21,22136
!
,
20 0 006192
R ˆ 565,47 E†
32 Fra 5 anni avremo bisogno di una somma E 5200 per restituire un prestito che ci eÁ stato fatto. Decidiamo
allora di depositare ogni anno, alla fine dell'anno, una somma che sia in grado di costituire questo capitale. Qual eÁ il valore di questa somma al tasso annuo del 4%?
‰E 960,06Š
33 Calcola il valore della rata nelle seguenti rendite:
a. 8 rate annue posticipate al tasso annuo del 7,25%, montante di E 5000
b. 5 rate annue anticipate al tasso annuo del 9%, montante di E 8500
c. 6 rate annue anticipate al tasso annuo del 6,5%, montante di E 6500.
‰E 482,97Š
‰E 1303,01Š
‰E 864,03Š
34 Una rendita annua del valore di E 11862,88 eÁ costituita da 7 rate posticipate calcolate ad un tasso del
7,5% annuo. Qual eÁ il valore della rata?
‰E 1350Š
35 Diego e Christian intendono comperare una licenza per avviare un'attivitaÁ. Quanto dovranno versare
annualmente a partire da oggi stesso in un istituto di credito che applica un tasso annuo del 5%, se
fra 3 anni vogliono avere accumulato una somma di E 50000?
‰E 15105,17Š
36 Riccardo sa che fra 6 anni avraÁ bisogno di E 10000 per festeggiare con un viaggio i suoi 25 anni di matrimonio. Calcola la rata annua anticipata al tasso dell'1,15% quadrimestrale che Riccardo deve versare
per poter costituire questo capitale.
‰E 1475,57Š
37 Elena intende costituire, all'atto dell'ultimo versamento, la somma di E 6000 mediante 16 versamenti
semestrali al tasso del 4% annuo nominale convertibile semestralmente. Calcola la rata semestrale di costituzione del capitale.
‰E 321,90Š
Risolvi i seguenti esercizi sul calcolo del numero delle rate.
38
ESERCIZIO GUIDA
Versando alla fine di ogni anno una rata posticipata di E 300 al tasso annuo del 5%, si ottiene un montante di E 3 773,36. Da quante rate eÁ formata la rendita?
Sappiamo che:
M ˆ 3773,36
i ˆ 0,05
R ˆ 300
dobbiamo calcolare n
La rata e il tasso sono entrambi annui, possiamo quindi subito applicare la formula del montante dalla
quale ricavare il valore di n :
n
1 ‡ 0,05† 1
! 3773,36 ˆ 300 MˆRs
n 0,05
0,05
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LE RENDITE FINANZIARIE
29
n
Isoliamo il termine 1 ‡ 0,05† e risolviamo l'equazione usando i logaritmi decimali:
1,05n ˆ
3773,36 0,05
‡1
300
log 1,05n ˆ log 1,628893333
!
1,05n ˆ 1,628893333
!
nˆ
log 1,628893333
ˆ 10
log 1,05
39 Versando una rata anticipata di E 750, al tasso annuo del 3%, si ottiene un montante di E 5919,25. Cal‰7Š
cola il numero delle rate.
40 Versando un certo numero di rate costanti posticipate dell'importo di E 100 ciascuna, si ottiene un montante di E 312,16. Calcola il numero delle rate se eÁ stato applicato un tasso annuo del 4%.
‰3Š
41 Calcola il numero di rate costanti posticipate dell'importo di E 300 ciascuna necessarie ad ottenere, al
‰5Š
tasso annuo del 2%, un montante di E 1561,21.
42 Calcola il numero di rate costanti anticipate dell'importo di E 600 necessarie ad ottenere, al tasso annuo
‰10Š
del 4,2%, un montante di E 7576,21.
43 Il montante, al tasso del 7% annuo, di una rendita posticipata formata da rate annue di E 4800 ciascuna,
‰10Š
eÁ di E 66318,95. Determina il numero delle rate.
Il montante calcolato k anni dopo il versamento dell'ultima rata
44
ESERCIZIO GUIDA
Una rendita eÁ costituita da 5 rate annue di E 3800, valutate al tasso annuo del 5%. Calcoliamo il montante 3 anni dopo il versamento dell'ultima rata.
Il problema puoÁ essere risolto considerando:
a. una rendita posticipata con capitalizzazione del montante per altri 3 anni
b. una rendita anticipata con capitalizzazione del montante per altri 2 anni.
5
a. montante alla scadenza:
capitalizzazione per 3 anni:
M ˆ 3800 1 ‡ 0,05†
0,05
capitalizzazione per 2 anni:
ˆ 20997,40 E†
3
M 0 ˆ M 1 ‡ 0,05† ˆ 24307,11 E†
5
b. montante alla scadenza:
1
M ˆ 3800 1 ‡ 0,05†
0,05
1
1 ‡ 0,05† ˆ 22047,27 E†
2
M 0 ˆ M 1 ‡ 0,05† ˆ 24307,11 E†
45 Una rendita eÁ costituita da 7 rate annue posticipate di E 1300 ciascuna al tasso annuo del 6,5%. Determiniamo il suo valore 4 anni e 3 mesi dopo la sua scadenza.
‰E 14479,88Š
30
LE RENDITE FINANZIARIE
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46 Una rendita eÁ costituita da 10 rate annue di E 1800 ciascuna al tasso annuo del 5%; determina il suo
‰E 30340,04Š
valore 6 anni dopo la scadenza dell'ultima rata.
47 Calcola il montante di una rendita di 7 rate da E 1850 ciascuna al tasso del 6,5% annuo, 4 anni dopo la
‰E 20284,11Š
scadenza dell'ultima rata.
48 Una persona ha depositato in una banca, a partire da 10 anni fa e per 6 anni consecutivi, una rata annua
di E 730 ad un tasso annuo dell'1,8%. Calcola quale somma puoÁ riscuotere oggi se non sono mai stati
eseguiti dei prelevamenti.
‰E 5009,38Š
49 Un padre, alla nascita del figlio, decide di versare a nome del bimbo E 5000 presso un banca al tasso
annuo del 2%; successivamente, ad ogni suo compleanno e fino al raggiungimento della maggiore etaÁ,
verseraÁ sullo stesso conto E 800. Quanto potraÁ riscuotere il ragazzo al raggiungimento della maggiore
‰E 24271,08Š
etaÁ?
Risolvi i seguenti problemi riassuntivi sul montante di una rendita.
50
ESERCIZIO GUIDA
Sette anni fa Marta ha versato E 9500 presso una banca che capitalizza al 2,5% annuo e, a partire da
4 anni fa fino ad oggi, ha prelevato annualmente E 650 per pagare la rata di un acquisto di mobili.
Oggi dopo aver fatto l'ultimo prelievo, quanto le resta in Banca?
Visualizziamo la situazione sull'asse dei
tempi, in cui abbiamo indicato con un
segno positivo le somme versate e con
un segno negativo quelle prelevate.
Tutte le somme indicate devono essere valutate ad oggi, cioeÁ al tempo 0; questo significa che:
l
l
dobbiamo capitalizzare E 9500 per 7 anni:
7
M1 ˆ 9500 1 ‡ 0,025† ˆ 11292,51 E†
dobbiamo calcolare il montante di una rendita composta da 5 rate annue, posticipate in quanto la
valutazione viene fatta all'atto dell'ultimo prelievo:
M2 ˆ 650 s
,
5 0 025
ˆ 650 1 ‡ 0,025†
0,025
5
1
ˆ 3416,61 E†
La somma a disposizione dopo l'ultimo prelevamento eÁ la differenza fra i due montanti e vale
E 7875,90.
51 Calcola la rata bimestrale anticipata di una rendita della durata di 5 anni e 6 mesi che, impiegata al tasso
del 4,5% effettivo annuo, produce un montante di E 15000.
‰E 400,27Š
52 Quale rata semestrale deve versare Antonella, per 5 anni, in una Banca che corrisponde il tasso del 2,5%
annuo, per trovare un montante di E 5000:
‰E 472,68Š
a. all'atto dell'ultimo versamento
b. un semestre dopo l'ultimo versamento
‰E 466,88Š
c. 3 anni dopo l'ultimo versamento.
‰E 438,93Š
53 Luca ha versato presso una banca E 1300 per 5 anni consecutivi ed alla fine di ogni anno, al tasso annuo
del 3%. Ritira il montante un anno dopo la scadenza dell'ultima rata e lo versa per saldare anticipatamente un debito di E 8000 che scade dopo 2 anni.
Dopo aver calcolato il montante ritirato dalla banca, stabilisci a quale tasso di interesse eÁ stato saldato il
debito.
‰E 7108,93; 6,08%Š
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LE RENDITE FINANZIARIE
31
54 Una persona ha iniziato a versare 15 anni fa presso una banca E 800 all'anno ed ha proseguito i versamenti fino ad oggi; 4 anni fa, inoltre, ha depositato presso la stessa banca E 9800. Per tutta la durata
dell'operazione, la banca ha mantenuto costante il tasso d'interesse al 2,5% annuo. Se oggi questa persona preleva E 23000 qual eÁ il saldo del suo conto?
‰E 2162,91Š
55 Maria ha fatto le seguenti operazioni: ha versato 7 anni fa e fino all'anno scorso la somma di E 950 all'anno presso una banca in capitalizzazione composta al tasso del 2%, inoltre 6 anni fa ha versato un
capitale C presso un altro istituto di credito che applica un tasso annuo composto di mezzo punto percentuale in piuÁ rispetto alla banca. Se oggi Maria riscuote le somme depositate e incassa complessivamente E 9740, qual era il valore del capitale C ?
‰E 2186,94Š
56 Alessandro ha versato in una banca E 1200 all'inizio di ogni anno per 9 anni al tasso annuo del 4,5%.
Quale somma unica avrebbe dovuto depositare all'inizio per avere alla fine lo stesso montante?
‰E 9115,06Š
57 Il montante di una rendita di 8 rate annue eÁ, all'atto dell'ultimo versamento, di E 153500 e un anno dopo eÁ di E 165780. Determina il tasso di interesse annuo e l'importo della rata.
‰8%; E 14431,27Š
58 Una persona ha effettuato un deposito su un libretto bancario di E 1000 per 6 anni al 2; 5% annuo e
l'ultimo versamento lo ha fatto 4 anni fa. Dopo l'ultimo versamento, la banca ha aumentato il tasso annuo al 3%. Di quale somma puoÁ disporre oggi questa persona?
‰E 7189,45Š
IL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA IMMEDIATA
la teoria eÁ a pag. 11
RICORDA
n Il valore attuale di una rendita si calcola con le formule:
l
l
Á posticipata:
se la rendita e
V ˆR a
Á anticipata:
se la rendita e
V ˆ R a
n i
n i
dove
a
dove
a
n i
n i
ˆ
ˆ
1
1 ‡ i†
i
n
1
1 ‡ i†
i
n
1 ‡ i†
Comprensione
59 A paritaÁ di tasso, importo e numero delle rate, il valore attuale di una rendita anticipata eÁ:
a. maggiore del valore attuale di una rendita posticipata
b. minore del valore attuale di una rendita posticipata
c. uguale al valore attuale di una rendita posticipata.
Qual eÁ la risposta corretta?
60 Il valore attuale di una rendita formata da 6 rate di E 2300, al tasso annuo del 5%, calcolato un periodo
prima del versamento della prima rata eÁ:
a. E 12 257,79
b. E 12 568,79
c. E 11 974,09
d. E 11 674,09
61 Una rendita immediata anticipata eÁ formata da 10 rate annue di E 3 000; il suo valore ad un tasso annuo
del 3% si calcola con la formula:
1 1,03 10
1,0310 1
b. 3000 a
a. 3000 c. 3000 a
d. 3000 10 0,03
10 0,03
0,03
0,03
62 Per determinare il capitale derivante dalla cessione di una rendita le cui rate sono trimestrali e la cui prima rata eÁ pagabile fra 3 mesi, si deve:
a. calcolare il valore attuale di una rendita all'atto del versamento della prima rata, cioeÁ al tempo 3
32
LE RENDITE FINANZIARIE
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b. ipotizzare che la rendita sia posticipata, calcolare il valore attuale al tempo 3 e moltiplicare tale ri3
sultato per il fattore 1 ‡ i †
c. ipotizzare che la rendita sia posticipata, calcolare il valore attuale al tempo 3 e moltiplicare tale ri2
sultato per il fattore 1 ‡ i †
d. ipotizzare che la rendita sia posticipata, calcolare il valore attuale al tempo 2 e moltiplicare tale risultato per il fattore 1 ‡ i †
2
63 Una rendita eÁ costituita da 5 rate semestrali di E 300 al tasso annuo del 6%. Per poter calcolare il suo
valore attuale all'atto del versamento della prima rata si deve:
a. trasformare la rata da semestrale a annua considerandola di importo uguale a E 600
2
b. trasformare il tasso da annuo a semestrale applicando la formula 1 ‡ 0,06 ˆ 1 ‡ i2 †
c. trasformare il tasso da annuo a semestrale applicando la formula i2 ˆ
0,06
2
d. moltiplicare per 5 l'importo della rata.
64 Un appartamento viene affittato per un anno ad un canone mensile di E 2 000. Volendo pagare anticipatamente l'intero ammontare del canone, quanto si deve versare al proprietario se la valutazione viene
fatta al 2%?
a. E 22 036,42
b. E 21 150,68
c. E 21 573,70
d. E 21 412,52.
Applicazione
Risolvi i seguenti problemi sul calcolo del valore attuale.
65 Calcola il valore attuale delle seguenti rendite un anno prima della scadenza della prima rata:
‰E 3541,07Š
a. 13 rate annue da E 400 al tasso del 6% annuo
b. 8 rate annue da E 1400 al tasso del 9,25% annuo
‰E 7677,27Š
c. 3 rate annue da E 5000 al tasso del 6,75% annuo.
‰E 13181,75Š
66 Calcola il valore attuale delle seguenti rendite un anno prima della scadenza della prima rata:
a. 7 rate annue da E 850 al tasso del 5% annuo
‰E 4918,42
b. 15 rate annue da E 780 al tasso del 4,75% annuo
‰E 8234,7Š
c. 10 rate annue da E 4200 al tasso dell'8,5% annuo.
‰E 27557,66Š
67 Calcola il valore attuale delle seguenti rendite all'atto del primo versamento:
a. 5 rate annue da E 1600 al tasso dell'8,5% annuo
b. 20 rate annue da E 800 al tasso del 4,5% annuo
c. 7 rate annue da E 2500 al tasso del 9,75% annuo.
‰E 6840,95Š
‰E 10874,63Š
‰E 13468,39Š
68 Per pagare un debito, Paolo dovraÁ versare alla fine di ogni anno E 5 319,68 per 6 anni consecutivi. A
quanto ammonta il suo debito se il tasso eÁ dell'1,8% annuo?
‰E 30000Š
69 Quale debito potresti contrarre oggi sapendo che hai la possibilitaÁ di rimborsare E 1300 alla fine di ogni
‰E 10464,48Š
anno e per 12 anni, al tasso annuo del 6,75%?
70 Due fratelli ricevono in ereditaÁ dal nonno due rendite rispettivamente di 36 rate annue da E 8500 ciascuna al tasso del 2% annuo e di 45 rate da E 7350 ciascuna al tasso del 2,5%. Qual eÁ il valore delle due
ereditaÁ? Quale fratello eÁ stato meglio trattato?
‰E 220988,26; E 202153,29Š
71 Due anni fa hai contratto un debito che oggi ammonta a E 12 000. Per far fronte agli impegni presi, cedi
una rendita formata da 10 rate annue anticipate al tasso annuo del 2,2%. L'importo della rata eÁ di E 1400.
[si avanzano E 718,83]
EÁ sufficiente per pagare il debito?
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LE RENDITE FINANZIARIE
33
72
ESERCIZIO GUIDA
Una rendita eÁ formata da 10 rate mensili di importo E 1200; calcola:
a. il valore attuale all'atto del versamento della prima rata al tasso annuo nominale convertibile mensilmente dell'8,4%
b. il valore attuale un periodo prima del versamento della prima rata al tasso annuo dello 6%.
a. La rendita eÁ anticipata con rata mensile; trasformiamo il tasso j12 in tasso mensile:
0,084
ˆ 0,007
i12 ˆ
12
Applichiamo la formula:
10
1
1 ‡ 0,007†
V ˆ 1200 a
1 ‡ 0,007† ˆ 11631,50 E†
ˆ 1200 10 0,007
0,007
b. La rendita eÁ posticipata; trasformiamo il tasso da annuo a mensile:
p
i12 ˆ 12 1 ‡ 0,06 1 ˆ 0,00486755
1
1 ‡ 0,00486755†
Applichiamo la formula: V ˆ 1200 a
ˆ 1200 10 0,00486755
0,00486755
10
ˆ 11684,90 E†
73 Calcola il valore attuale di una rendita posticipata di E 1200 quadrimestrali e della durata di 2 anni ai
seguenti tassi:
‰E 5547,46Š
a. 8% quadrimestrale
‰E 6573,06Š
b. 8% annuo convertibile quadrimestralmente
‰E 6588,01Š
c. 8% annuo.
74 Calcola il valore attuale di una rendita anticipata di E 600 mensili della durata di 15 mesi ai seguenti
tassi:
‰E 8126,03Š
a. 1,5% mensile
‰E 8126,03 Š
b. 18% annuo convertibile mensilmente
‰E 8126,03Š
c. 19,562% annuo.
Perche ottieni lo stesso valore in tutti e tre i casi?
75 Calcola il valore attuale di una rendita posticipata formata da 12 rate trimestrali di E 2 500, valutate al
‰E 28137,69Š
tasso annuo del 4%.
76 Acquisti un'automobile convenendo il pagamento di 36 rate mensili da E 1160 a partire dal prossimo
mese. Quale somma avresti dovuto pagare in contanti se si eÁ convenuto un tasso mensile dell'1,25%?
‰E 33462,83Š
Risolvi i seguenti problemi sul calcolo della rata.
77
ESERCIZIO GUIDA
Il valore attuale di una rendita formata da 10 rate annue, valutate al tasso annuo del 3,5%, eÁ di E 25 000.
Calcoliamo l'importo di ciascuna rata:
a. nel caso di rendita posticipata
b. nel caso di rendita anticipata.
I dati a nostra disposizione sono:
V ˆ 25000
n ˆ 10
i ˆ 0,035 tasso conforme al periodo della rata.
34
LE RENDITE FINANZIARIE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
a. Utilizziamo la formula V ˆ R a
25000 ˆ R 1
1 ‡ 0,035†
0,035
,
10 0 0035
10
!
b. Utilizziamo la formula V ˆ R a
,
10 0 0035
25000 ˆ R 1
1 ‡ 0,035†
0,035
e da essa ricaviamo il valore di R :
25000 ˆ R 8,316605
!
R ˆ 3006,03 E†
e troviamo R :
10
1 ‡ 0,035†
!
25000 ˆ R 8,607687
!
R ˆ 2904,38 E†
Notiamo come, a paritaÁ di valore attuale, tasso e numero di rate, l'importo della rata di una rendita
posticipata eÁ maggiore rispetto all'importo della rata di una rendita anticipata.
78 Calcola l'importo della rata di una rendita formata da 7 rate posticipate sapendo che:
a. V ˆ 3761,14 E†
i ˆ 0,05
b. V ˆ 6230,28 E†
i ˆ 0,03
c. V ˆ 7745,32 E†
i ˆ 0,042.
79 Calcola la rata di una rendita anticipata sapendo che:
a. V ˆ 1569,15 E†
n ˆ 12
i ˆ 0,026
b. V ˆ 3647,48 E†
n ˆ 20
i ˆ 0,031
c. V ˆ 4083,27 E†
n ˆ 14
i ˆ 0,043.
‰E 650Š
‰E 1000Š
‰E 1300Š
‰E 150Š
‰E 240Š
‰E 378Š
80 Calcola la rata costante di una rendita anticipata immediata formata da 9 rate che, al tasso annuo del 3%,
produce un valore attuale di E 1603,94.
‰E 200Š
81 Calcola la rata costante di una rendita posticipata immediata formata da 10 rate che, al tasso annuo del
3,2%, produce un valore attuale di E 2110,95.
‰E 250Š
82 Cedendo ad un Istituto di Credito una rendita annua formata da 15 rate anticipate, si ottiene la somma di
E 5449,32. Calcola l'importo della rata costante sapendo che il tasso di valutazione eÁ del 5%. ‰E 500Š
83 Per rimborsare un prestito di E 25000 al tasso annuo del 3,5%, una persona deve pagare 12 rate annue
di cui la prima saraÁ versata fra un anno. Qual eÁ l'importo della rata?
‰E 2587,09Š
Risolvi i seguenti problemi sulla determinazione del numero delle rate.
84
ESERCIZIO GUIDA
Il valore attuale di una rendita, calcolato un periodo prima della scadenza della prima rata, eÁ di
E 6 720,86; l'importo della rata eÁ di E 800 e il tasso di valutazione eÁ del 3,3% annuo. Calcola il
numero delle rate.
Conosciamo: V ˆ 6720,86
R ˆ 800
i ˆ 0,033
dobbiamo trovare n.
La rendita eÁ posticipata; il periodo della rata e il tasso sono omogenei, possiamo applicare subito la
dalla quale ricavare poi n :
formula V ˆ R a
n 0,033
n
1
1 ‡ 0,033†
6720,86 ˆ 800 0,033
6720,86 0,033
800
Passiamo ai logaritmi decimali dei due membri:
Isoliamo il termine 1,033
log 1,033
n
n
:
ˆ log 0,722764
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1,033
!
n
ˆ1
nˆ
!
1,033
n
ˆ 0,722764
log 0,722764
ˆ 10
log 1,033
LE RENDITE FINANZIARIE
35
85 Versando un certo numero di rate costanti posticipate dell'importo di E 100 ciascuna, si ottiene un valore
attuale di E 277,51. Calcola il numero delle rate sapendo che eÁ stato applicato il tasso annuo del 4%.‰3Š
86 Calcola il numero di rate costanti posticipate dell'importo di E 300 ciascuna necessarie ad ottenere, al
‰5Š
tasso annuo del 2%, un valore attuale di E 1414,04.
87 Calcola il numero di rate costanti anticipate dell'importo di E 600 ciascuna necessarie ad ottenere, al
‰10Š
tasso annuo del 4,2%, un valore attuale di E 5020,82.
88 Un tale acquista una villetta per E 270000 e concorda con il venditore di pagare rate annue da E 28831
ciascuna, di cui la prima da pagare subito. Quante rate pagheraÁ se eÁ stato concordato un tasso del 10%
‰20Š
annuo?
Risolvi i seguenti problemi riassuntivi sul valore attuale di una rendita.
89 Hai diritto a riscuotere, a partire da oggi, E 3300 all'anno per 8 anni, tuttavia devi cedere la tua rendita
per pagare un debito di E 22000; tre persone ti offrono di rilevarla rispettivamente al tasso del 10%, del
7% e del 3%. Calcola cosa ricaveresti nei tre casi e quale persona ti consente di poter estinguere il debito.
‰la terzaŠ
90 Devi riscuotere E 1200 all'anno per 9 anni a partire dall'anno prossimo. Quanto potresti riscuotere oggi
se cedessi il diritto ad una banca che lo valuta al 2,25% annuo? E se invece tu cedessi il diritto l'anno
prossimo?
‰E 9678,84; E 9896,62Š
91 Carlo ha acquistato un appartamento stabilendo di pagarlo con 15 rate posticipate di E 15000 ciascuna,
sulle quali eÁ applicato un tasso del 5% annuo; al momento della stipula del contratto ha versato
E 100000 come acconto. Qual eÁ il costo dell'appartamento?
‰E 255694,87Š
92 Un immobile del valore di E 200000 viene venduto convenendo i seguenti pagamenti:
l E 70000 subito
l E 80000 fra 5 anni
l 22 semestralita
Á, la prima esigibile fra 6 mesi.
Se il tasso dell'operazione eÁ del 3,25% semestrale con capitalizzazione semestrale, qual eÁ l'importo di
‰E 4625,17Š
ciascuna rata?
93 Per l'acquisto di un macchinario si puoÁ scegliere una delle seguenti modalitaÁ di pagamento:
a. E 25000 in contanti subito
b. E 2500 subito, 48 rate mensili posticipate, E 3000 fra 4 anni e 4 mesi.
Determina, al tasso dell'1,15% mensile l'importo delle rate.
(Suggerimento: osserva che le due forme di pagamento devono essere equivalenti, cioeÁ la somma di
‰E 567,52Š
E 25000 deve essere uguagliata al valore attuale dei pagamenti dell'ipotesi b.)
LE RENDITE DIFFERITE
la teoria eÁ a pag. 16
RICORDA
n Il valore attuale di una rendita differita di un periodo p si calcola con le formule:
l
l
36
in caso di rata posticipata:
V ˆ R p= a
in caso di rata anticipata:
V ˆ R p= a
LE RENDITE FINANZIARIE
n i
n i
a
dove
p=
dove
p=
a
n i
n i
ˆa
ˆ a
n i
n i
1 ‡ i†
p
1 ‡ i†
p
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Comprensione
94 Una rendita la cui prima rata scade fra 6 anni eÁ una rendita:
a. formata da 6 rate
b. differita di 6 anni se la rendita eÁ anticipata
c. differita di 6 anni se la rendita eÁ posticipata
d. differita di 6 anni comunque sia la rendita.
95 Il valore di una rendita di 8 rate, la cui prima rata di E 1 000 si puoÁ riscuotere fra 5 anni, valutata al tasso
annuo eÁ del 3% eÁ:
a. E 6 055,25
b. E 7 230,28
c. E 6 236,91
d. E 5 878,88
Applicazione
96
ESERCIZIO GUIDA
Fra tre mesi il figlio di Giovanni dovraÁ effettuare il primo di 8 pagamenti mensili consecutivi di E 4000.
Giovanni decide di assumersi l'onere e versa oggi in banca una somma che possa coprire tutti i pagamenti futuri. Il tasso applicato dalla banca eÁ del 6% annuo nominale convertibile mensilmente.
Quanto dovraÁ versare?
Si tratta di una rendita mensile differita di tre mesi (quindi di 3 periodi); il tasso annuo deve quindi
essere convertito in tasso mensile:
0,06
i12 ˆ
ˆ 0,005
12
n Se interpretiamo la rendita come anticipata, il pagamento della prima rata eÁ al tempo 3, il valore
attuale si calcola al tempo 3, quindi il differimento eÁ di 3 periodi: p ˆ 3.
In questo caso
8
1
1 ‡ 0,005†
3
V ˆ R 3= a
1 ‡ 0,005† 1 ‡ 0,005† ˆ 30981,25 E†
: V ˆ 4000 8 0,005
0,005
n Se interpretiamo la rendita come posticipata, il pagamento della prima rata eÁ al tempo 3, il valore
attuale si calcola al tempo 2, quindi il differimento eÁ di 2 periodi: p ˆ 2.
In questo caso V ˆ R 2= a
,
8 0 005
:
V ˆ 4000 1
1 ‡ 0,005†
0,005
8
2
1 ‡ 0,005† ˆ 30981,25 E†
Il risultato ottenuto eÁ ovviamente identico.
97 Calcola il valore attuale di una rendita posticipata differita alle seguenti condizioni:
a. differimento di 9 anni, 7 rate di E 1500 ciascuna al tasso annuo del 9,75%
b. differimento di 5 anni, 10 rate di E 2500 ciascuna al tasso annuo del 7,25%
c. differimento di 3 anni, 7 rate di E 1200 ciascuna al tasso annuo del 6%
d. differimento di 10 anni, 9 rate di E 1000 ciascuna al tasso annuo dell'8%.
‰E 12232,37Š
98 Calcola il valore attuale di una rendita anticipata differita alle seguenti condizioni:
a. differimento di 6 anni, 9 rate di E 1700 ciascuna al tasso annuo dell'8%
b. differimento di 10 anni, 8 rate di E 5300 ciascuna al tasso annuo del 5,5%
c. differimento di 4 anni, 7 rate di E 2350 ciascuna al tasso annuo del 7,75%
d. differimento di 5 anni, 12 rate di E 1800 ciascuna al tasso annuo del 4,75%.
‰E 20735,79Š
‰E 3187,29Š
‰E 5624,49Š
‰E 2893,52Š
‰E 7227,60Š
‰E 10177,27Š
‰E 13439,86Š
99 Una persona, per saldare un debito contratto 8 anni fa al tasso del 5; 5% annuo, cede oggi ad una banca
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
LE RENDITE FINANZIARIE
37
il diritto alla riscossione di una rendita posticipata di 12 rate, ciascuna di E 1900 al tasso del 4% annuo,
‰E 9550,03Š
differita di 5 anni. A quanto ammonta il debito di questa persona?
100 Calcola il valore attuale di una rendita di 12 rate annue di E 900 ciascuna al tasso annuo del 6; 5% la cui
prima rata verraÁ pagata fra 3 anni.
(Suggerimento: se consideri la rendita anticipata il tempo di differimento eÁ ............. se la consideri posticipata il tempo di differimento eÁ ..............)
‰E 6473,89Š
101 Calcola il valore attuale, al tasso di valutazione del 5% annuo, di una rendita:
a. di 8 rate annue di E 100 la cui prima rata verraÁ pagata fra 2 anni
b. di 8 rate annue posticipate di E 100 e con differimento 2 anni
c. di 8 rate annue anticipate di E 100 e con differimento 2 anni.
‰E 615,54Š
‰E 586,23Š
‰E 615,54Š
102 Calcola il valore attuale di una rendita di 10 rate annue di E 400 ciascuna al tasso annuo del 7,5% la cui
prima rata verraÁ pagata fra 6 anni.
‰E 1912,49Š
103
ESERCIZIO GUIDA
Una rendita differita costituita da 10 rate anticipate da E 800 ciascuna, al tasso annuo del 7% vale
oggi E 4586,67. Qual eÁ il suo periodo di differimento?
L'equazione da impostare eÁ V ˆ R a
n i
1 ‡ i†
4586,67 ˆ 800 a
cioeÁ nel nostro caso
p
p
,
10 0 07
1 ‡ 0,07†
Dall'equazione ora scritta ricaviamo che 1,07† ˆ 800 cioeÁ
p
p
a
10 0,07
4586,67
1,07† ˆ 1,310795370
Passando ai logaritmi troviamo
pˆ
log 1,310795370
ˆ 4 (anni)
log 1,07
104 Calcola il differimento di una rendita di 12 rate annue posticipate di E 1350 l'una, il cui valore attuale, al
‰12 anniŠ
9% annuo, eÁ di E 3436,95.
105 Calcola il differimento di una rendita di 10 rate annue anticipate di E 1500 ciascuna, il cui valore attua‰8 anniŠ
le, al 9,5% annuo, eÁ di E 4989,64.
106 Laura dovrebbe riscuotere E 1650 annue per 10 anni; cede tale diritto ad una banca che le versa, al
tasso del 2,75% annuo, E 12114; 64. Fra quanto tempo Laura avrebbe dovuto riscuotere la prima rata?
‰7 anniŠ
LE RENDITE PERPETUE
la teoria eÁ a pag. 20
RICORDA
Á perpetua se ha un numero illimitato di rate; in questo tipo di rendite ha senso calcolare il
n Una rendita e
solo valore attuale e si ha che:
38
l
in caso di rata posticipata:
V ˆ
R
i
l
in caso di rata anticipata:
V ˆ
R
1 ‡ i†
i
LE RENDITE FINANZIARIE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Comprensione
107 Un lascito testamentario prevede una rendita annua perpetua di E 12 000 a favore di un ospedale per
bambini da pagarsi all'inizio di ogni anno. Il valore della rendita, al tasso del 2% annuo eÁ:
a. E 624 000
b. E 580 000
c. E 612 000
d. E 600 000
108 Il valore attuale di una rendita perpetua eÁ di E 8000 e la rata posticipata annua eÁ di E 400. Quali tra i
seguenti sono il tasso annuo e il tasso semestrale dell'operazione?
a. i ˆ 0,05
e
i2 ˆ 0,0247
c. i ˆ 0,05
e i6 ˆ 0,025
b. i ˆ 0,05
e
i6 ˆ 0,0247
d. i ˆ 0,05
e
i2 ˆ 0,025
Applicazione
109 Oggi, ti viene comunicato che hai ricevuto in ereditaÁ una rendita che alla fine dell'anno e cosõÁ per sempre, ti permetteraÁ di incassare E 5 000. Qual eÁ il valore di questo lascito ad una valutazione al 4% an‰E 125000Š
nuo?
110 Calcola il valore attuale delle seguenti rendite annue immediate perpetue:
‰E 47058,82Š
a. rata posticipata di E 4000 al tasso dell'8,5% annuo
b. rata annuale di E 5700 un anno prima della scadenza del primo versamento al tasso del 4,25%
‰E 134117,65Š
c. rata posticipata di E 2300 al tasso del 7,25%.
‰E 31724,14Š
111 Calcola il valore attuale delle seguenti rendite annue immediate perpetue:
a. rata anticipata di E 3540 al tasso del 9,75% annuo
b. rata annua di E 6300 alla scadenza del primo versamento al tasso del 6,4%
c. rata anticipata di E 8400 al tasso del 12%.
‰E 38834,61Š
‰E 104737,50Š
‰E 78400Š
112 Calcola la rata di una
a. V ˆ E 5000
b. V ˆ E 11000
c. V ˆ E 174000
rendita perpetua posticipata nei seguenti casi:
i ˆ 0,06
i ˆ 0,05
i ˆ 0,02.
113 Calcola il tasso annuo
a. V ˆ E 50000
b. V ˆ E 585000
c. V ˆ E 120000
a cui viene valutata una rendita perpetua posticipata nei seguenti casi:
R ˆ E 1000
R ˆ E 24570
R ˆ E 3000.
‰E 300Š
‰E 550Š
‰E 3480Š
‰2%Š
‰4,2%Š
‰2,5%Š
114 Un fondo che rende E 12000 all'anno eÁ ceduto al tasso annuo del 6%; calcola il suo valore nell'ipotesi
‰E 212000Š
che la prima rata scada oggi.
115 Una persona possiede una rendita perpetua di E 2150 annue; cede tale rendita ad una banca che gliela
valuta al tasso del 6,5%. Calcola l'importo che questa persona riceve sia nel caso di rendita con rata
‰E 35226,92; E 33076,92Š
anticipata che nel caso di rendita con rata posticipata.
116 Calcola il tasso semestrale di una rendita perpetua posticipata, con rata semestrale di E 720 e valore at‰i2 ˆ 0,03Š
tuale E 24 000.
117 Una rendita perpetua posticipata paga rate trimestrali di E 1 125 ed ha un valore attuale di E 93 750.
‰i4 ˆ 0,012Š
Calcola il tasso trimestrale applicato.
118 Il valore attuale, calcolato all'atto del versamento della prima rata, di una rendita perpetua eÁ di E 102 000;
la rata semestrale eÁ di E 2 000. Calcola il tasso semestrale e il corrispondente tasso annuo nominale convertibile semestralmente.
‰i2 ˆ 0,02; j2 ˆ 0,04Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
LE RENDITE FINANZIARIE
39
119 In una rendita perpetua anticipata, la rata bimestrale eÁ di E 1 230 e il valore attuale eÁ di E 209 704,58.
‰i6 ˆ 0,0059; i ˆ 0,036Š
Calcola il tasso bimestrale e l'equivalente tasso annuo.
120 Una rendita perpetua immediata annua posticipata con rata di E 1300 al tasso annuo del 7% eÁ equivalente ad un'altra rendita perpetua immediata posticipata al tasso annuo dell'11%. Qual eÁ la rata della
‰E 2042,86Š
seconda rendita?
L'INTERPOLAZIONE LINEARE PER RISOLVERE I PROBLEMI
la teoria eÁ a pag. 22
Applicazione
121
ESERCIZIO GUIDA
Facendo 4 versamenti annui posticipati di E 200 ciascuno, si ottiene un montante di E 836,73. Calcoliamo il tasso di interesse annuo a cui viene fatta l'operazione finanziaria.
Conosciamo: M ˆ 836,73
R ˆ 200
nˆ4
dobbiamo trovare il tasso annuo i
Periodo della rata e tasso sono conformi, possiamo subito applicare la formula per il calcolo del mon4
1 ‡ i† 1
tante M ˆ R s
: 836,73 ˆ 200 4 i
i
Non potendo risolvere algebricamente l'equazione, ricorriamo all'interpolazione lineare.
Troviamo due valori di i che approssimano il montante per difetto e per eccesso:
l
se i ˆ 0,035 il montante eÁ:
poiche 842,99 > 836,73
l
200 !
se i ˆ 0,025 il montante eÁ:
poiche 830,50 < 836,73
4
1
ˆ 842,99
0,035 eÁ un valore approssimato per eccesso del tasso cercato
200 !
1 ‡ 0,035†
0,035
1 ‡ 0,025†
0,025
4
1
ˆ 830,50
0,025 eÁ un valore approssimato per difetto del tasso cercato
Disponiamo le coordinate dei punti in una tabella e riportiamo in essa anche il valore corretto del
montante:
i
M
punto A
0,035
842,99
punto B
0,025
830,50
y
x
836,73
Scriviamo l'equazione della retta che passa per i punti A e B:
y 842,99
x 0,035
ˆ
830,50 842,99
0,025 0,035
Per trovare il valore di x che rappresenta il tasso cercato sostituiamo al posto di y il valore di y:
836,73
830,50
842,99
x 0,035
ˆ
842,99
0,025 0,035
!
x ˆ 0,03
Il tasso cercato eÁ dunque pari al 3%.
40
LE RENDITE FINANZIARIE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
122 Abbiamo depositato 6 rate annue da E 5700 ottenendo cosõÁ un montante di E 37055,57. Determiniamo
‰ 3,2%Š
a quale tasso eÁ stata fatta l'operazione, supponendo che la rendita sia posticipata.
123 Il montante disponibile dopo aver fatto l'ultimo di 5 versamenti annui posticipati di E 2000 eÁ di
‰ 8%Š
E 11733,20. Calcola a quale tasso eÁ stata condotta l'operazione.
124 La cessione del diritto ad incassare 9 rate annue di E 1600 eÁ stata pagata E 10300. Calcola a quale tasso
‰ 7,3%Š
si eÁ svolta l'operazione considerando le rate posticipate.
125 Con 5 versamenti annui posticipati di E 1 643,17 ciascuno, si ottiene un montante di E 8 500. Calcola il
‰ 1,7%Š
tasso di interesse annuo a cui viene fatta l'operazione finanziaria.
126 Versando 6 rate anticipate annue di E 2 307 si ottiene un montante di E 15 000. Calcola il tasso di inte‰ 2,3%Š
resse annuo a cui viene fatta l'operazione finanziaria.
127 Versando alla fine di ogni anno e per 9 anni E 1 033,49, si ottiene un montante di E 10 000. Calcola il
‰ 1,8%Š
tasso di interesse annuo a cui viene fatta l'operazione finanziaria.
128 Facendo 5 versamenti annui anticipati di E 4 653,99 ciascuno, si ottiene un montante di E 25 000. Cal‰ 2,4%Š
cola il tasso di interesse annuo a cui viene fatta l'operazione finanziaria.
129 Il valore attuale di una rendita posticipata composta da 7 rate annue di E 1500 ciascuna eÁ di E 7944,90.
Calcola il tasso dell'operazione.
7
1
1 ‡ i†
‰ 7,5%Š
(Suggerimento: devi risolvere l'equazione 7944,90 ˆ 1500 )
i
130 Una rendita annua anticipata di 6 rate di E 3500 produce un montante di E 29199,27. A quale tasso eÁ
‰ 9,5%Š
stata condotta l'operazione?
131 In cambio di una rendita di 10 rate annue posticipate di E 780 ciascuna, ti viene offerta la somma di
‰4,2%Š
E 6 263,98. A quale tasso eÁ stata fatta la valutazione della rendita?
ESERCIZI RIASSUNTIVI SULLE RENDITE
132 Giacomo ha versato presso una banca E 1750 all'anno per 15 anni al tasso annuo del 2,5%; l'ultimo
versamento eÁ stato fatto 3 anni fa. Un anno fa ha poi pagato un debito di E 25000 e 6 mesi fa ha depositato E 3500. Qual eÁ l'ammontare del suo conto in banca oggi?
‰E 11712,25Š
133 Una rendita annua eÁ costituita da 9 rate di importo E 800 e da 9 rate successive di importo E 1300. Calcola il montante di questa rendita, nel momento in cui scade l'ultima rata, nell'ipotesi che:
‰E 30470,18Š
a. tutte le operazioni vengano fatte al 6%
‰E 32472,43Š
b. le prime 9 rate vengano calcolate al 6% e le successive al 7%.
134 Per pagare fra due anni la somma di E 50000, una persona riscuote oggi il valore attuale di una rendita
posticipata di E 5200 della durata di 14 anni al tasso del 3,75% annuo. Impiega il capitale ottenuto in
una forma di investimento che rende il 4,33%. Quanto ricava da questo investimento in due anni? RiusciraÁ ad estinguere il debito?
‰E 60786,99Š
135 Dieci anni fa Luca chiese un prestito di E 900 all'anno che incassoÁ costantemente per 7 anni. Oggi, desiderando saldare il debito, egli si impegna a versare per 5 anni a partire da subito una rata costante annua
e per i successivi 5 anni una rata doppia della precedente. Il prestito fu concesso ad un tasso iniziale del
3%, salito 6 anni fa al 4%; oggi Luca ha convenuto un tasso del 4,5% per i primi 5 anni e del 5% per le
rate successive. Qual eÁ l'ammontare delle rate che deve pagare?
‰5 rate a E 689,52; 5 rate a E 1379,05Š
136 Attilio ha un fondo agricolo che gli frutta E 500 ogni 6 mesi. Per i primi 6 anni cede tale rendita al figlio
maggiore. Dalla rata successiva, l'introito della rendita passa al figlio minore che ne potraÁ usufruire in
perpetuo. Se la valutazione della rendita eÁ all'8% annuo nominale convertibile semestralmente, quale
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
LE RENDITE FINANZIARIE
41
figlio riceve di piuÁ? Non volendo peroÁ fare ingiustizie, Attilio daÁ in contanti la differenza al figlio che
‰E 3114,92Š
ricava di meno. Quanto deve dare il padre all'altro figlio?
137 Il montante di una rendita di 12 rate eÁ, all'atto dell'ultimo versamento, di E 129 948; 97 ed il suo valore
attuale un anno prima del primo versamento eÁ di E 48 822,04. Determina il tasso di interesse annuo e
‰8,5%; E 6647,26Š
l'importo della rata.
138 Si sono acquistati dei terreni stabilendo i seguenti pagamenti: 8 rate annue anticipate, a partire dalla stipula del contratto, di E 15800 ciascuna e E 25000 due anni dopo la stipula stessa. Qual eÁ il prezzo dei
terreni al momento dell'acquisto in base ad un tasso di valutazione dell'8,5% annuo?
‰E 117908,89Š
139 Per estinguere un debito, un tale deve versare 12 rate dell'importo di E 2800. Dopo il versamento della
quarta rata, chiede di saldare anticipatamente le 8 rate che gli rimangono ad un tasso del 4% annuo.
Quale somma deve pagare?
‰E 18851,69Š
140 Hai depositato annualmente E 1000 presso una banca, al tasso annuo del 2% per 10 anni. Quale rata
annua costante potrai prelevare per esaurire il tuo credito, a partire da 5 anni dopo l'ultimo versamento,
‰E 1345,86Š
se vuoi che i prelievi avvengano una volta all'anno per 10 anni consecutivi?
141 Hai depositato presso una banca 10 rate annue di E 900 ciascuna, al tasso del 2,5% annuo; trascorso un
certo tempo dopo l'ultimo versamento fatto, hai incominciato a ritirare E 1000 all'anno per 10 anni consecutivi, fincheÁ hai esaurito il tuo credito. Quanto tempo eÁ passato dall'ultimo versamento fatto al primo
prelievo?
‰4a 3m 6gŠ
142 Un Ente benefico ha ricevuto un lascito perenne, da riscuotere immediatamente, di E 10000 all'anno.
L'Ente decide di acquistare un immobile e per far cioÁ cede tale lascito ad una Banca ad un tasso di
valutazione del 5% e in piuÁ contrae un debito che rimborseraÁ in 15 anni con rate annue posticipate
di E 3000 al tasso annuo del 6%. Qual eÁ il valore dell'immobile? Dopo aver pagato 10 rate del debito,
il tasso viene portato al 6,5%. All'atto dell'ultimo versamento quale somma dovraÁ aggiungere l'Ente per
pagare il debito?
[E 229136,75; E 233]
143 Calcola il valore attuale, all'8% annuo convertibile quadrimestralmente, di una rendita perpetua di rata
‰E 18750Š
quadrimestrale posticipata di importo pari a E 500.
144 Un tale avrebbe diritto a riscuotere 20 rate quadrimestrali di E 850 ciascuna, al 4% annuo, di cui la prima fra 6 anni, ma cede oggi tale diritto ad una banca. Calcola la somma che ha diritto a ricevere.
‰E 11899,90Š
145 Una persona ha versato dieci anni fa E 70000 presso un istituto di credito al 6,2% annuo nominale convertibile semestralmente e due anni fa ha poi prelevato E 15000. Oggi ritira quanto rimasto e lo versa
come anticipo per l'acquisto di un immobile per il quale si impegna a pagare ancora 6 rate annue di
E 15000 ciascuna, di cui la prima scade fra 3 anni. Se sulla rendita viene applicato un tasso di interesse
‰E 168592,80Š
del 9% annuo, quanto vale oggi l'immobile?
146
ESERCIZIO GUIDA
Andrea ha ricevuto in ereditaÁ il diritto a riscuotere una rendita formata da 20 rate annue di cui le prime
12 di E 1500 e le successive di E 1700. Se cede tale diritto ad un tasso di valutazione annuo del 6% e
la prima rata scade fra un anno, quale somma ha diritto di avere in cambio?
Dobbiamo considerare due rendite: la prima di 12 rate posticipate da E 1500 ciascuna; la seconda di
8 rate posticipate di E 1700 ciascuna, differita di 12 anni. Il valore attuale complessivo eÁ dunque la
somma dei valori attuali delle singole rendite al tasso comune del 6%. Si ha allora che
V ˆ 1500 42
1
LE RENDITE FINANZIARIE
1 ‡ 0,06†
0,06
12
‡ 1700 1
1 ‡ 0,06†
0,06
8
1 ‡ 0,06†
12
ˆ 17822,10 E†
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
147 Nel contratto di acquisto di un macchinario eÁ previsto il pagamento di 16 rate annue di cui le prime 10
di E 8000 ciascuna e le successive di E 10000 ciascuna. Se il tasso di interesse applicato eÁ del 5% an‰E 92934,22Š
nuo e la prima rata scade fra un anno, calcola il prezzo di listino del macchinario.
148 Per costituire un capitale, una persona ha versato, per 7 anni consecutivi ed alla fine di ogni anno,
E 3200; successivamente, per altri 3 anni consecutivi, E 2800; entrambe le operazioni sono state fatte
al tasso del 3% annuo. A quanto ammonta il capitale cosõÁ costituito all'atto dell'ultimo versamento?
‰E 35448,05Š
149 Un tale versa annualmente E 800 per 6 anni e poi E 950 per i successivi 5 anni. Calcola:
a. il valore attuale complessivo, al tasso del 2% annuo, un anno prima della scadenza della prima rata
‰E 8457,29Š
‰E 10775,22Š
b. il montante complessivo, al tasso del 2,5% annuo, all'atto dell'ultimo versamento
c. la rata costante annuale posticipata che avrebbe dovuto versare per 11 anni, al tasso del 2,5% annuo,
‰E 863,16Š
per costituire il montante di cui al punto b..
150 Un tale ha contratto un debito di E 20000 al 6% annuo convenendo di restituirlo con le seguenti modalitaÁ:
l 4 rate consecutive di E 900 ciascuna, la prima fra un anno
l nessun pagamento nei due anni successivi
l 7 rate annue costanti negli anni successivi di importo tale da estinguere il debito.
‰E 4289,67Š
Qual eÁ l'importo della rata?
151 Carlo ha contratto oggi un debito di E 15000 al tasso del 9% annuo convenendo col creditore la seguente serie di pagamenti:
l una certa somma C fra 6 anni
1
l a partire dall'anno prossimo una somma pari a
C per quattro anni consecutivi.
5
‰E 12055,83; E 2411,17Š
Qual eÁ l'importo della somma iniziale e delle quattro rate?
152 Hai contratto oggi un debito di E 10200; per saldarlo ti sei impegnato a versare, per 10 anni, E 1200
all'anno a partire dal prossimo. A quale tasso eÁ stata condotta l'operazione? Se potessi impiegare al
‰3,07%; E 3098,49Š
4% il capitale che ti eÁ stato prestato, ne avresti un vantaggio? Di che entitaÁ?
153 Fra 10 anni avrai bisogno di un capitale di E 100000 e per questo decidi di accantonare delle somme
periodiche, una all'anno alla fine di ogni anno, di E 8000. A quale tasso di interesse hai fatto il calcolo?
‰4,9%Š
Per la verifica delle competenze
1 Anna deposita E 100000 in banca ad un interesse annuo del 2% con capitalizzazione trimestrale e conviene che gli interessi maturati anno per anno vengano reinvestiti in una forma di risparmio che rende il
‰E 123462,79Š
3,5% annuo. A quanto ammonteraÁ il capitale di Anna fra 10 anni?
2 Vogliamo accantonare ogni anno, alla fine dell'anno, una certa rata in modo che, impiegandola ad un
tasso annuo del 2,4%, possiamo usufruire dopo 10 anni di un capitale di E 100000. Qual eÁ l'importo di
‰E 8966,91Š
tale rata?
3 Abbiamo la possibilitaÁ di accantonare E 12000 ogni anno alla fine dell'anno e vogliamo costituire un
capitale finale di almeno E 80000. Quante rate annuali dobbiamo versare, ad un tasso del 2,5% per raggiungere lo scopo?
[7 rate]
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LE RENDITE FINANZIARIE
43
4 Una banca riceve l'ordine da un suo cliente di pagare ad una associazione umanitaria una rendita di
E 5000 all'anno, alla fine di ogni anno, per 6 anni e si conviene un tasso annuo dell'1,7%. Qual eÁ il
‰E 31304,27Š
valore della rendita dopo l'ultimo versamento?
5 Dal 31 gennaio 2002 stai versando ogni mese E 300 presso un fondo che capitalizza con un tasso di
interesse annuo del 2,5%. Quanto avrai accumulato in data 31 dicembre 2016?
(Suggerimento: poicheÁ i versamenti avvengono alla fine di ogni mese, si tratta di una rendita posticipata
mensile; devi quindi prima di tutto convertire il tasso annuale in tasso mensile (arrotonda alla quarta cifra
decimale); il numero delle rate eÁ il numero di mesi compresi dal 31 gennaio 2002 al 31 dicembre 2016)
‰E 65540,66Š
6 All'inizio di ogni anno e per 7 anni, abbiamo versato E 500 presso un istituto di credito al tasso annuo del
2,2%. Oggi, un periodo dopo l'ultimo versamento ritiriamo il capitale accumulato e incassiamo contemporaneamente anche il montante di un capitale versato nello stesso istituto 4 anni fa allo stesso tasso di
interesse. Se la somma complessiva che ritiriamo eÁ di E 4912,87, a quanto ammonta la cifra versata 4
‰E 1000Š
anni fa?
7 Il pagamento di uno scooter viene convenuto mediante il pagamento di 10 rate quadrimestrali anticipate,
ciascuna di E 400, ad un tasso annuo del 5%, che si cominciano a pagare 6 mesi dopo la stipula del
‰E 4379,06Š
contratto. Quanto viene a costare lo scooter con questo tipo di pagamento?
8 Giovanni ha versato E 300 per 10 anni, all'inizio di ogni trimestre, in una banca che capitalizza trimestralmente al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 3,2%.
Oggi, un periodo dopo l'ultimo versamento, Giovanni ritira il montante e lo utilizza per acquistare un'automobile del valore di E 14000. EÁ sufficiente la somma ritirata dalla banca?
‰si, M ˆ 14189,19 E†Š
9 Cristina ha diritto ad incassare, quale risarcimento per i danni subiti in un incidente, E 1000 all'anno per
6 anni senza interessi. Man mano che riscuote le somme, le deposita in banca al tasso del 2,1% annuo.
‰E 6456,77Š
Di quanto potraÁ disporre un anno dopo l'ultimo versamento?
10 Luigi ha depositato per 7 anni consecutivi E 1500 al tasso annuo del 2,8% e cioÁ fino all'anno scorso. Ha
versato anche per 4 anni consecutivi E 2000 al tasso annuo del 3% e ha fatto l'ultimo versamento oggi.
Di quale somma puoÁ disporre oggi Luigi?
(Suggerimento: schematizza la situazione sulla retta dei tempi. Il capitale a disposizione di Luigi eÁ la
‰E 20111,46Š
somma di due montanti, il primo riguarda una rendita ... e il secondo una rendita ....)
Risultati di alcuni esercizi.
44
1 b., c.
2 c., d.
3 b., c., d.
4 d.
5 a. V, b. V, c. F, d. F
13 c.
14 a.
15 d.
16 b.
17 c.
18 c.
19 b.
20 a.
59 a.
60 d.
61 b.
62 d.
63 b.
64 c.
94 b.
95 c.
107 c.
108 a.
LE RENDITE FINANZIARIE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Testfinale di autovalutazione
1 Il montante di una rendita si trova calcolando:
a. la somma dei montanti di tutte le rate
b. la somma dei montanti di tutte le rate tranne l'ultima
c. la media dei montanti di tutte le rate
d. capitalizzando la prima rata fino al tempo n.
2 punti
2 In una rendita immediata posticipata, il montante calcolato 5 anni dopo la scadenza dell'ultima rata si calcola:
5
a. moltiplicando il montante alla scadenza dell'ultima rata per il fattore 1 i †
5
b. moltiplicando il montante un periodo prima della scadenza dell'ultima rata per il fattore 1 ‡ i †
5
c. moltiplicando il montante alla scadenza dell'ultima rata per il fattore 1 ‡ i †
4
d. moltiplicando il montante alla scadenza dell'ultima rata per il fattore 1 ‡ i † .
3 punti
3 Una rendita in cui la prima rata verraÁ riscossa tra 5 anni ha:
a. un differimento di 5 anni indipendentemente dalla data di decorrenza
b. un differimento di 4 anni indipendentemente dalla data di decorrenza
c. un differimento di 5 anni se la rendita eÁ posticipata
d. un differimento di 5 anni se la rendita eÁ anticipata.
3 punti
4 Il montante di una rendita calcolato un periodo dopo l'ultimo versamento indica:
a. che la rendita eÁ anticipata
b. che la rendita eÁ posticipata
c. che la rendita non eÁ temporanea
d. che il tasso fino a quel momento non eÁ cambiato.
Quale affermazione eÁ corretta?
2 punti
5 Il montante calcolato all'atto dell'ultimo di 12 versamenti annui di rata E 200 e al tasso annuo del 2% eÁ:
a. E 2736,07
b. E 2115,06
c. E 2157,37
d. E 2682,42
8 punti
6 Una rendita eÁ formata da 6 rate annue di E 100. Il valore attuale all'atto del versamento della prima rata con un
tasso annuo del 3%:
a. si calcola con la formula:
¬ V ˆ 100 a 6 0,03
­ V ˆ 100 s 6 0,03
® V ˆ 100 a 6 0,03
b. eÁ uguale a euro:
¬ 557,97
­ 541,72
® 575,38
10 punti
7 Il valore attuale in euro di una rendita perpetua posticipata, con 3 anni di differimento, di rata E 1000 e tasso
di valutazione del 4% eÁ:
a. E 22 224,91
b. E 23 113,91
c. E 24038,46
d. E 25000
10 punti
8 Una persona ha diritto ad incassare una rendita annua costituita da 10 rate ciascuna di E 900, ed una seconda rendita costituita da 7 rate di E 1300 ciascuna. Cede oggi le due rendite al tasso annuo del 7%. Che somma ricava se le rendite sono entrambe posticipate? E se fossero anticipate?
13 punti
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LE RENDITE FINANZIARIE
45
9 Fra due anni Angelo dovraÁ affrontare le spese di ristrutturazione di una parte della sua casa e prevede di dover
spendere E 30 000. Per accantonare tale somma egli pensa di versare in banca una rata costante R ogni tre
mesi ad un tasso concordato dell'1,69% annuo. Quale dovraÁ essere l'importo della rata?
13 punti
10 Per l'acquisto di un piccolo appartamento Michele ha giaÁ pagato E 30000 due anni fa, E 30000 un anno fa e
E 10000 sei mesi fa. Per saldare il conto, oggi Michele cede il diritto a riscuotere una rendita di 10 rate mensili
di E 4000 ciascuna di cui la prima esigibile fra 3 mesi. Qual eÁ il valore dell'appartamento, arrotondato all'euro, se viene applicato un tasso di interesse annuo del 6%?
13 punti
11 Carla ha diritto a riscuotere 12 rate annue di E 2500 ciascuna, di cui la prima rata eÁ esigibile fra un anno, e
altre 10 rate successive alle prime di E 3000 ciascuna. Cede questo diritto ad una banca al tasso annuo del
2% per poter usufruire fra 3 anni di E 40000 e fra 8 anni di una somma C. Qual eÁ il valore di C ?
13 punti
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Totale
Punteggio
Voto: totale ‡ 1 ˆ
10
Soluzioni
1 a.
2 c.
5 d.
6 a.
9 E 3 695,22
46
®; b. ¬
10 E 114 376,85
LE RENDITE FINANZIARIE
3 d.
4 a.
7 a.
8 E 13 327,30 e E 14 260,21
11 E 11 709,07
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