Curso:
Modulo:
Tema:
Matemática preuniversitaria
Ecuaciones, inecuaciones y el plano coordenado
Ecuaciones I: Ecuaciones lineales y la recta.
Guion del video
Bienvenidos al módulo de ecuaciones e inecuaciones. Como bien sugiere el nombre de este módulo, ahora
nos dedicaremos al estudio de ecuaciones e inecuaciones, primero empezando con ecuaciones, las cuales son
cosas con las que ya han de tener cierto grado de familiaridad, tanto por lo visto en el curso, como por lo que
han visto en la escuela, pero para hacer memoria, una ecuación es una relación de igualdad entre dos
expresiones. En los casos más simples las ecuaciones establecen la afirmación de cierto enunciado, como el
hecho de que “uno más uno es igual a dos” (i.e. 1 + 1 = 2), pero esto cambia a medida se agregan variables
al juego, pues en ecuaciones de una variable lo que se establece es la búsqueda de los valores que debe tomar
la variable para que la ecuación sea cierta, es decir, la variable pasa a ser una incógnita, por ejemplo, la
ecuación 20 + 𝑥 = 5 es cierta si y solo si 𝑥 = 5.
Ahora bien, lo que pasa cuando agregamos otra variable al juego, es decir, cuando tenemos una ecuación de
dos variables lo que se establece es una relación entre esas dos variables, por ejemplo observa que 𝑥 − 𝑦 = 1
es cierto si y solo si para valores dados de 𝑥 y 𝑦 se cumple que la resta da como resultado 1, por ejemplo:
Si 𝑥 = 5, entonces 𝑦 = 4 ya que 5 − 4 = 1.
Si 𝑥 = 23.6873, entonces 𝑦 = 22.6873 ya que 23.6873 − 22.6873 = 1.
Si 𝑥 = 0, entonces 𝑦 = −1 ya que 0 − (−1) = 1
⋮
Aunque de una forma más general, podríamos decir que la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 1 lo que hace es establecer una
asignación entre los valores que “𝑥” puede tomar y valores que “𝑦” puede tomar, y viceversa, lo cual dicho
de manera más formal se tiene que: si 𝐷𝑥 es el conjunto de todos los valores que “𝑥” puede tomar talque la
expresión 𝑥 − 𝑦 este definida, y 𝐷𝑦 el conjunto de todos los valores que “𝑦” puede tomar talque la expresión
𝑥 − 𝑦 este definida, entonces 𝑥 − 𝑦 = 1 establece una relación entre elementos del conjunto 𝐷𝑥 y 𝐷𝑦 , donde
una relación entre 𝐷𝑥 y 𝐷𝑦 se define formalmente como un conjunto 𝑅 talque 𝑅 ⊂ (𝐷𝑥 × 𝐷𝑦 ) según lo que
estudiamos en el módulo de conjuntos, y si también se recuerdan de lo visto en el módulo de conjuntos
𝐷𝑥 × 𝐷𝑦 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐷𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷𝑦 }. Así que para concluir, la ecuación “𝑥 − 𝑦 = 1” establece y es
equivalente a una relación 𝑅 talque 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥 × 𝐷𝑦 |𝑥 − 𝑦 = 1}.
Se muy bien que esta forma de definir una relación no se ve que sea
muy útil más allá del proceso de formalizar, pero en realidad es el
paso fundamental para así proveer una mejor visualización de la
relación que establece una ecuación… literalmente. Estoy seguro que
a muchos se les hará familiar el término “plano cartesiano”, pero
igual, aunque ese sea el caso explicare brevemente lo que es. El plano
cartesiano es básicamente un sistema de coordenadas, el cual se
genera a partir de dos rectas numéricas perpendiculares entre si tal que
se cortan en un punto llamado origen y se representa como (0,0). La
recta numérica horizontal se le llama eje de abscisas o eje de las 𝑥, y
la recta numérica vertical se le llama eje de ordenadas o eje de las 𝑦.
También se suele decir que el sentido del eje positivo de las 𝑥 es a la “derecha”, el del eje negativo de las 𝑥
es a la “izquierda”, el del eje positivo de las 𝑦 es “arriba”, y el del eje negativo de las 𝑦 es “abajo”.
Como tal, un sistema de coordenadas lo que permite es poder determinar la posición de objetos geométricos,
como los puntos. La posición de estos se determina a partir de pares ordenados, los cuales aquí actúan como
pares de coordenadas del plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (2,3) representa un punto, donde su
posición es el resultado de moverse 2 unidades desde el origen, manteniendo el mismo sentido que el eje
positivo de las 𝑥, para luego moverse 3 unidades con el mismo sentido que en el eje positivo de las 𝑦.
Lo cual dicho de otra forma, el punto (2,3) se ubica en la intersección de las rectas 𝑥 = 2 y 𝑦 = 3.
Algunos ejemplos extras acerca de esto de la posición de los puntos son los siguientes:
Ahora bien, como dijimos anteriormente, La ecuación “𝑥 − 𝑦 = 1” establece una relación 𝑅, la cual es un
conjunto talque 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥 × 𝐷𝑦 |𝑥 − 𝑦 = 1}, por lo cual, podemos graficar a 𝑅 a partir de graficar
cada uno de los elementos de 𝑅, en otras palabras, podemos visualizar la ecuación “𝑥 − 𝑦 = 1”. Aunque cabe
aclarar que el graficar infinitos puntos uno por uno es una tarea imposible, pero aun así, empecemos
graficando algunos y veamos lo que resulta de eso.
“Puntos” de 𝑅
Como pueden observar, todos estos puntos que graficamos son miembros de 𝑅 ya que para cualquiera de los
pares ordenados que hemos graficado al agarrar la primera coordenada de este y restarle su segunda
coordenada da como resultado 1. Además, también se puede observar un patrón el cual es que todos los
puntos graficados ahí son colineales, es decir, que pertenecen a una misma recta, lo cual se sigue confirmando
a medida graficamos más y más puntos de 𝑅. Por lo tanto, se puede concluir de forma intuitiva que la gráfica
de 𝑅 es la siguiente recta (la cual se extiende de forma infinita por el plano cartesiano)
Es por esto que a la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 1, y a todas las ecuaciones de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 *donde
𝐴, 𝐵, 𝐶 son números reales talque 𝐴, 𝐵 no sean iguales a cero al mismo tiempo* se les conoce como
ecuaciones lineales, debido a que sus graficas en el plano cartesiano son rectas. Algunos ejemplos de las
gráficas de ecuaciones de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 son los siguientes
𝑥 − 2𝑦 = 0
5𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
Aunque cabe aclarar que una ecuación de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es equivalente a una ecuación de la
forma 𝑦 = (−𝐴⁄𝐵)𝑥 + (−𝐶 ⁄𝐵), es decir, 5𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 es equivalente a 𝑦 = (−5⁄2)𝑥 + 2, la cual es
una forma más conveniente para graficar rectas, ya que a partir de darle un valor a “𝑥” se necesita solo realizar
una operación con ese valor, donde el resultado de esa operación será el valor que “𝑦” debe tener para cumplir
con la ecuación, permitiendo así obtener fácilmente pares ordenados (𝑥0 , 𝑦0 ) que cumplen la ecuación. Por
ejemplo, para la ecuación 𝑦 = (−5/2)𝑥 + 2: Si 𝑥 = 2, entonces 𝑦 = (−5⁄2) ∙ 2 + 2 = −3. Si 𝑥 = 0,
entonces 𝑦 = (−5⁄2) ∙ 0 + 2 = 2. Por lo tanto, (2, −3) y (0,2) son puntos de la recta que describe la
ecuación 𝑦 = (−5⁄2)𝑥 + 2, y al tener dos puntos de una recta es posible trazar la recta completa a partir de
conectar con una línea recta a esos dos puntos.
Como se puede ver, el proceso de obtener el grafico de la recta que representa una ecuación es simple, ya que
solo basta ir comprobando con la ecuación 2 pares ordenados (𝑎, 𝑏) diferentes entre si tal que cumplan la
ecuación, ya que esto es equivalente a que pertenezcan a la recta, pero ¿Y qué hay del caso contrario? ¿Es
posible a partir de una recta o de elementos de esta, el obtener su ecuación correspondiente? Para poder
responder a esta pregunta es necesario examinar algunas propiedades y también ver algunos ejemplos
concretos sobre ciertas cosas, y una de las primeras cosas que se le vienen a la cabeza a uno cuando piensa
sobre propiedades de la recta es que esta posee una inclinación constante, para entender mejor a lo que me
refiero veamos lo siguiente:
Las rectas rojas son rectas paralelas entre si, y la de color negro es una recta cualquiera que intersecta con las
rectas rojas, donde solo por el hecho de ser una recta, se da que los ángulos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son iguales. Básicamente,
esto es a lo que me refiero con que su inclinación sea constante, ya que no importa en que punto de la recta
negra se intersecte otra recta paralela a las rojas, pues el ángulo que formen entre si medido desde la recta
roja en sentido anti horario será siempre igual a los ángulos 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Mientras que por ejemplo, si vemos el
caso de algo que no es una recta, se tendrá que esa afirmación no es cierta.
Entonces la conclusión #1 que sacaremos es que si tenemos un punto de una recta y la inclinación que esta
recta posee, entonces podemos determinar su gráfica, ya que la inclinación de una recta es siempre constante,
pero veamos un ejemplo para comprender mejor el porqué de la conclusión #1, así que imaginate el siguiente
caso: Tenes que graficar una recta 𝐿 la cual tiene la misma inclinación que las rectas rojas paralelas que
aparecen en pantalla.
Observa que si no te dan más datos acerca de la recta, entonces es prácticamente imposible que determines
la recta 𝐿, pero todo esto cambia si también te dicen que la recta 𝐿 pasa por el punto (1,3), ya que entonces,
la gráfica de la recta 𝐿 seria aquella de color azul.
Como hemos podido ver, la inclinación que posee una recta es un elemento de interés a la hora de graficar a
la recta, por lo cual, el obtener una medida de la inclinación de una recta nos puede ser talvez de ayuda a la
hora de determinar la ecuación de esta, donde para obtener una medida de la inclinación de una recta lo que
podemos hacer es medir el ángulo en sentido anti horario que se forma con una recta horizontal, aunque como
tal, esto no sería tan practico ni exacto. Por lo tanto, necesitamos de un método más algebraico para este
asunto, así que en pos de realizar eso observemos lo siguiente:
Observa que a medida que varía el valor de “𝑦” cuando 𝑥 = 1, así también varia el ángulo de la recta, aunque
claro esto no aplica por ejemplo con las siguientes rectas:
Ya que en estas rectas cuando 𝑥 = 1, el valor de “𝑦” es 2 en una recta la cual llamare 𝐿1 , y 5 en la otra la
cual llamare 𝐿2 , pero aun así, la inclinación de 𝐿1 y 𝐿2 es la misma, ya que 𝐿2 es el resultado de trasladar 𝐿1
3 unidades hacia “arriba”, por lo cual, algo que podemos concluir de esto es que si la ecuación de la recta 𝐿1
es 𝑦 =?, entonces la ecuación de la recta 𝐿2 debe ser 𝑦 =? +3, por si acaso, nombraremos esto como la
conclusión #2 en caso de que sea necesario hacer referencia de ella.
Pero volviendo al asunto de encontrar una medida de la inclinación, lo que si podemos ver es que cuando se
produce un cambio en la coordenada 𝑥 del punto (0,0) de exactamente 1 unidad, entonces también se debe
producir un cambio de exactamente 2 unidades para que así el punto resultante de estos cambios sea un punto
que pertenece a la recta 𝐿1 , lo cual se aplica de forma equivalente para la recta 𝐿2 y el punto (0,3).
Básicamente a lo que quiero llegar es que estos triángulos auxiliares son en si una forma de determinar la
inclinación de las rectas, pues observa que cuando las “bases” de estos triángulos vale 1, pero su “altura” vale
2, 5.34, o algún otro número, entonces el ángulo 𝜃 también varia, y que de forma similar si el ángulo 𝜃 varia
mientras que la base vale 1, entonces la altura variara también. Esta será la conclusión #3
Donde para aclarar las cosas, el valor de la “base” de estos triángulos indican el cambio en la coordenada “𝑥”
*indicaremos generalmente como ∆𝑥 al cambio en 𝑥*, mientras que el valor de la “altura” indica el cambio
en la coordenada“𝑦” *indicaremos generalmente como ∆𝑦 al cambio en 𝑦*. Estos cambios en conjunto
determinan lo necesario para pasar de un punto de la recta a otro. Y para aclarar incluso aún más, cuando
digo “base” y “altura” no lo digo en un sentido literal en términos geométricos, sino más bien como uno
interpretativo, debido a que en algunos casos puede darse que ∆𝑥 y ∆𝑦 den como resultado números
negativos, y pues como una base y una altura en geometría son longitudes, entonces no pueden poseer una
magnitud negativa.
Ahora observemos lo siguiente:
Sea 𝐿 la recta verde que que se muestra en pantalla y 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 puntos de 𝐿, entonces observese que para
pasar del punto 𝐷 al punto 𝐸 el cambio en la coordenada “𝑥” es de 2 unidades *∆𝑥 = 2* y en la coordenada
“𝑦” es de 1 unidad *∆𝑦 = 1*. Para pasar del punto 𝐷 al punto 𝐹 el cambio en la coordenada “𝑥” es de 4
unidades *∆𝑥 = 4* y en la coordenada “𝑦” es de 2 unidades *∆𝑦 = 2*. Para pasar del punto 𝐷 al punto 𝐺 el
cambio en la coordenada “𝑥” es de 6 unidades *∆𝑥 = 6* y el cambio en la coordenada “𝑦” es de 3 unidades
*∆𝑦 = 3*. Para pasar del punto 𝐸 al punto 𝐷 el cambio de la coordenada “𝑥” es de −2 unidades *∆𝑥 = −2*,
y en la coordenada “𝑦” es de −1 unidad *∆𝑦 = −1*… Y así un largo etcétera.
Por lo tanto, es plausible intuir que para pasar de un punto cualquiera de la recta 𝐿 a otro punto de 𝐿, entonces
∆𝑥 = ±2𝑐 y ∆𝑦 = ±𝑐 donde 𝑐 ∈ ℝ, por lo cual, a partir de un simple despeje se tiene que ∆𝑥⁄2 = ∆𝑦
⇒ ∆𝑦⁄∆𝑥 = 1⁄2, lo cual si notan, es una buena forma de medir la inclinación de la recta, ya que ∆𝑦⁄∆𝑥
básicamente nos dice cuanto cambia “𝑦” respecto a un cambio en “𝑥”, además de ser constante como la
inclinación de la recta. Aunque eso sí, antes de afirmar al cálculo de ∆𝑦⁄∆𝑥 como la solución al problema,
debemos demostrar que esta medida sea en realidad correcta para cualquier recta. Como tal, en este video no
nos enfrascaremos en la extenuante rigurosidad de una demostración formal, sino más bien por una
"demostración" informal, o como me gusta decirle, generaremos una intuición fuerte sobre la afirmación que
se realiza. Así que lo que debemos hacer es generar una intuición fuerte de que el valor calculado de ∆𝑦⁄∆𝑥
para un par de puntos pertenecientes a una recta 𝐿, es en efecto, igual al valor calculado de ∆𝑦⁄∆𝑥 para
cualquier otro par de puntos pertenecientes a la recta 𝐿, así que empecemos a hacer esto a partir de imaginar
el siguiente caso.
Tenes dos puntos cualesquiera 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ) donde se tiene que “𝑑𝑥” es un numero
cualquiera y “𝑑𝑦” es un numero talque 𝑃2 = (𝑥1 + 𝑑𝑥, 𝑦1 + 𝑑𝑦), entonces:
•
•
∆𝑦 = 𝑑𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 y ∆𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 para los puntos 𝑃1 ,𝑃2 , donde 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥 es igual a un número
que denotaremos por “𝑚”.
Al definirse una recta 𝐿 a partir de 𝑃1 , 𝑃2 se obtiene que el ángulo entre 𝐿 y una horizontal vale 𝜃, donde
por horizontal me refiero a una recta o segmento que sea paralela al eje 𝑥 como la base del triángulo
auxiliar que está en pantalla.
Algo que se deduce entonces de esto es que si se forma un triángulo rectángulo donde su base valga 𝑑𝑥 y su
altura 𝑑𝑦, entonces el angulo agudo adyacente a la base vale 𝜃 *adyacente significa “a la par”*, lo cual es
cierto debido a la equivalencia lógica que existe entre esa afirmación y esta: “Si el ángulo agudo adyacente a
la base de un triángulo rectángulo no vale 𝜃, entonces la base no vale ∆𝑥 o la altura no vale ∆𝑦”, lo cual es
cierto en base a la conclusión #3, en donde observamos ejemplos, en los cuales el valor de la base se mantenía
fijo, pero el valor de la altura no, y por ende el ángulo variaba
Me gustaría volver a aclarar antes de seguir que lo anterior y lo que veremos en el video no sirven como una
demostración, sino más bien como una forma de ver que es plausible que sea cierto, y tambien una forma de
generar intuición sobre ello, pero bueno, en base a la anterior afirmación observa lo siguiente:
¿Qué se puede decir acerca de los puntos 𝑃3 y 𝑃4 ? Y bueno, que son puntos de la recta 𝐿, pues observa que
los segmentos de recta que van de 𝑃2 a 𝑃3 y de 𝑃4 a 𝑃1 poseen la misma inclinación que la recta 𝐿 y también
al menos un punto en común con la recta 𝐿, por lo cual en base a la conclusión #1 estos segmentos deben
estar incluido en la recta 𝐿, y así, cada punto que conforman a esos segmentos también deben estar incluidos
en la recta 𝐿, y por ende, 𝑃3 y 𝑃4 deben ser puntos de 𝐿, donde lo interesante de esto es que sabemos que
𝑃4 = (𝑥1 − 𝑑𝑥, 𝑦1 − 𝑑𝑦) y también que 𝑃3 = (𝑥1 + 2 ∙ 𝑑𝑥, 𝑦1 + 2 ∙ 𝑑𝑦), y es incluso aun mas interesante
cuando este mismo proceso es repetido muchas veces como se muestra aquí:
O incluso una infinidad de veces, aunque eso no lo podemos representar gráficamente, pero si podemos
expresarlo de forma algebraica, y es que si 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) es un punto cualquiera de la recta 𝐿, entonces
𝑃 = (𝑥0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑦) es también un punto de la recta 𝐿 donde 𝑘1 ∈ ℤ. Esta es la conclusión #5,
donde al calcular ∆𝑦⁄∆𝑥 entre el punto 𝑃0 y el punto 𝑃 se tiene que:
∆𝑦 (𝑦0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑦) − 𝑦0 𝑘1 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑦
=
=
=
=𝑚
∆𝑥 (𝑥0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑥) − 𝑥0 𝑘1 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ahora, en base a la conclusión #5 observa que el punto 𝑄 = (𝑥0 + 𝑘2 ∙ 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑘2 ∙ 𝑑𝑦) *donde 𝑘2 ∈ ℤ*
pertenece a la recta 𝐿, y que al calcular ∆𝑦⁄∆𝑥 entre el punto 𝑃 y el punto 𝑄 se tiene que:
∆𝑦 (𝑦0 + 𝑘2 ∙ 𝑑𝑦) − (𝑦0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑦) (𝑘2 − 𝑘1 ) ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑦
=
=
=
=𝑚
∆𝑥 (𝑥0 + 𝑘2 ∙ 𝑑𝑥) − (𝑥0 + 𝑘1 ∙ 𝑑𝑥) (𝑘2 − 𝑘1 ) ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Por lo tanto, la conclusión #6 es que si (𝑥0 , 𝑦0 ) es un punto cualquiera de la recta 𝐿, entonces para cualquier
par de puntos no iguales 𝑃, 𝑄 que sean de la forma (𝑥0 + 𝑘 ∙ 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑘 ∙ 𝑑𝑦), se tiene que al calcular ∆𝑦⁄∆𝑥
para esos puntos da como resultado 𝑚, es decir, ∆𝑦⁄∆𝑥 = 𝑚. Siguiendo con otras observaciones sobre el
mismo asunto se tiene lo siguiente:
A partir de definir dos triángulos auxiliares talque tengan “base” 𝑑𝑥/2 y una misma inclinación que la recta
𝐿 como se muestra en la imagen, se determina necesariamente que esos triángulos deben ser congruenten en
base a que todos sus angulos son iguales y uno de sus lados también *Criterio de congruencia de triángulos
AAL*, por lo cual se tiene que ?1 =?2 , y como ademas se tiene que 𝑑𝑦 =?1 +?2, entonces 𝑑𝑦⁄2 =?1. Por lo
tanto, si 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) es un punto cualquiera de 𝐿, entonces (𝑥0 + (𝑑𝑥/2), 𝑦0 + (𝑑𝑦/2)) pertenece a 𝐿
también. Generalizando este mismo argumento pero para cuando “𝑑𝑥” se divide en “𝑛” segmentos iguales
se tiene que (𝑥0 + (𝑑𝑥/𝑛), 𝑦0 + (𝑑𝑦/𝑛)) pertenece a 𝐿 si (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenece a 𝐿, por lo cual en base a la
conclusión #5 se da que (𝑥0 + 𝑘(𝑑𝑥/𝑛), 𝑦0 + 𝑘(𝑑𝑦/𝑛)) pertenece a 𝐿, de lo cual se deduce en base a la
conclusión #6 que para cualquier par de puntos no iguales 𝑃, 𝑄 que sean de la forma
(𝑥0 + 𝑘(𝑑𝑥/𝑛), 𝑦0 + 𝑘(𝑑𝑦/𝑛)), es decir, de la forma (𝑥0 + (𝑘/𝑛)𝑑𝑥, 𝑦0 + (𝑘/𝑛)𝑑𝑦), se tiene entonces que
al calcular ∆𝑦⁄∆𝑥 para esos puntos da como resultado 𝑚. Toda esta serie de resultados la resumiré como la
conclusión #7.
Y ahora, con el fin de abordar la pregunta inevitable de “para que sirven todas estas conclusiones” veamos
lo siguiente:
Nuevamente, tenes una recta cualquiera 𝐿, en la cual el cambio en “𝑥” del punto 𝑃1 a 𝑃2 es “𝑑𝑥”, y el cambio
en “𝑦” del punto 𝑃1 a 𝑃2 es “𝑑𝑦”. Por lo cual, ∆𝑦⁄∆𝑥 = 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥 = 𝑚 Solo que en esta ocasión, supone que
𝑑𝑥 = 1, entonces 𝑑𝑦 = 𝑚, y pues en base a la conclusión #7 se tiene que:
•
•
Si (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenece a 𝐿, entonces todo punto de la forma (𝑥0 + 𝑐, 𝑦0 + 𝑐 ∙ 𝑚) pertenece a 𝐿 donde
𝑐 ∈ ℚ.
Si (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenece a 𝐿, entonces para cualquier par de puntos no iguales 𝑃, 𝑄 que sean de la forma
(𝑥0 + 𝑐, 𝑦0 + 𝑐 ∙ 𝑚) donde 𝑐 ∈ ℚ, se cumple entonces que al calcular ∆𝑦⁄∆𝑥 para esos puntos da como
resultado 𝑚.
Pero ¿y qué hay de los irracionales? ¿Se pueden afirmar las conclusiones anteriores también para los
irracionales? Esta pregunta es una muy importante, ya que en el caso afirmativo, tendríamos que calcular
∆𝑦⁄∆𝑥 para dos puntos cualesquiera de una recta sería en si una medida de la inclinación de esa recta. Y pues
es plausible intuir que esto sea cierto, pues a partir de los números racionales podemos aproximarnos tanto
como queramos a cualquier número irracional, lo cual si lo vemos en términos geométricos, se tiene lo
siguiente:
Así como 𝑠1 y 𝑠2 se aproximan a 𝑟, donde 𝑠1 , 𝑠2 ∈ ℚ y 𝑟 ∈ ℚ′, así también 𝑚 ∙ 𝑠1 y 𝑚 ∙ 𝑠2 se aproximan a ?,
por lo cual, si 𝑠 es un racional que se aproxima a un irracional 𝑟 tanto como se quiera, entonces 𝑚 ∙ 𝑠 se
aproxima a 𝑚 ∙ 𝑟 tanto como se quiera, es decir, ? ≈ 𝑚 ∙ 𝑟.
Y bueno, hoy si ya estamos en una mayor capacidad de afirmar que el cálculo de ∆𝑦⁄∆𝑥 es una medida
correcta de la inclinación de la recta, ya que sabemos que si (𝑥1 , 𝑦1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 ) son puntos de una recta 𝐿 y
que
∆𝑦
∆𝑥
𝑦 −𝑦
= 𝑥2 −𝑥1 = 𝑚, entonces todo punto de la recta 𝐿 es de la forma (𝑥1 + 𝑐, 𝑦1 + 𝑚 ∙ 𝑐) donde 𝑐 ∈ ℝ, y
2
1
por ende el ∆𝑦⁄∆𝑥 = 𝑚 para cualquier par de puntos de la recta 𝐿. Por lo tanto, si 𝑃 = (𝑥, 𝑦) es un punto
cualquiera del plano, entonces se tiene que 𝑃 pertenecerá a 𝐿 si y solo si el cálculo de ∆𝑦⁄∆𝑥 entre 𝑃 y un
∆𝑦
𝑦−𝑦
punto de 𝐿, como (𝑥1 , 𝑦1 ), da como resultado 𝑚, es decir, ∆𝑥 = 𝑥−𝑥1 = 𝑚, lo cual al “ajustarla” un poco se
1
tiene que:
𝑦 − 𝑦1
= 𝑚 ⇒ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + (𝑦
⏟ 1 − 𝑚𝑥1 ) ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑥 − 𝑥1
𝑏
Consiguiendo así al fin, una ecuación de la recta a partir de elementos de la recta, pues 𝑚 es una medida de
la inclinación de la recta, la cual normalmente se conoce como pendiente, y los números 𝑥1 , 𝑦1 son las
coordenadas de un punto de la recta. Por lo tanto, doy por finalizado este largo video. En el pdf que acompaña
a este video se continuaran viendo algunos otras aspectos que no se estudiaron en este video, y en la siguiente
lección veremos algunos ejercicios relacionados con el concepto de ecuación lineal.
Teoría
1. Ecuaciones lineales de una variable
Para este punto, ya deberías haber adquirido la habilidad de poder resolver este tipo de ecuaciones, pero si
este no es el caso, entonces recomiendo ver el siguiente link donde se habla sobre cómo resolver ecuaciones
lineales:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/sistemas/ecuaciones-lineales.html
2. Plano cartesiano
El plano cartesiano (o plano coordenado) es esa especie de vinculo que hay entre el algebra y la geometría,
pues este permite visualizar las relaciones algebraicas que se establecen entre 2 variables a partir de graficas.
El plano cartesiano se forma a través de 2 rectas numéricas las cuales son perpendiculares entre si (i.e. forman
un ángulo de 90° entre si), donde el punto donde estas rectas se cortan se le denomina origen y se representa
con el par ordenado (0,0). Por lo general, una recta es horizontal con dirección positiva a la derecha y se
llama “eje 𝑥, la otra recta es vertical con direccion positiva hacia arriba y se denomina “eje 𝑦”. Cualquier
punto 𝑃 del plano puede ser determinado por un par ordenado de números (𝑎, 𝑏) donde “𝑎” corresponde a la
coordenada en 𝑥 y “𝑏” a la coordenada en 𝑦. Algunos ejemplos son:
2.1 Teoremas sobre el plano cartesiano
Teorema 46 (Formula de distancia): Sean 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ) puntos cualesquiera del
plano, entonces 𝑑(𝑃1 , 𝑃2 ) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 donde “𝑑(𝑃1 , 𝑃2 )” es la distancia entre el
punto 𝑃1 y 𝑃2 .
Demostración: Sean 𝑃1 y 𝑃2 puntos cualesquiera, entonces al formar el triángulo rectángulo con vértices
(𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 ) se tiene que la hipotenusa es el segmento que conecta a los puntos 𝑃1 y 𝑃2
Por lo cual, aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que:
2
𝑑(𝑃1 , 𝑃2 ) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )
L.Q.Q.D.
Teorema 47 (Formula del punto medio): Sean 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ) puntos cualesquiera del
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
plano. Si 𝑃𝑚 es el punto medio de 𝑃1 y 𝑃2 , entonces 𝑃𝑚 = (
2
,
2
)
Demostración: Sean 𝑃1 y 𝑃2 puntos cualesquiera, y sea 𝑃𝑚 = (𝑥, 𝑦) el punto medio de 𝑃1 y 𝑃2 , entonces:
Observa que ambos triángulos rectángulos son congruentes ya que 𝑑(𝑃1 , 𝑃𝑚 ) = 𝑑(𝑃𝑚 , 𝑃2 ) y que sus angulos
son iguales, por lo cual, las “bases” y “alturas” de ambos triángulos son iguales respectivamente, es decir:
𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 ⇒ 𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
, 2 ).
2
Por lo tanto, 𝑃𝑚 = (
𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦 ⇒ 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
L.Q.Q.D.
2.2 Graficas de ecuaciones con dos variables
Una ecuación con dos variables , como por ejemplo 𝑥 − 𝑦 = 1, expresa una relación entre dos variables. Un
punto (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenece a la gráfica de una ecuación si y solo si (𝑥0 , 𝑦0 ) satisface la ecuación, donde un
punto satisface la ecuación si se cumple que al sustituir “𝑥” y “𝑦” por “𝑥0 ” y “𝑦0 ” (respectivamente) la
ecuación se cumple. La forma poco ortodoxa y poco efectiva de graficar es localizar tantos puntos como se
pueda y luego enlazarlos con una curva sin cambios bruscos de dirección. Un ejemplo de esto lo podemos
ver con la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 1.
Puntos de 𝑥 − 𝑦 = 1
Y otro ejemplo se puede observar con la ecuación 𝑦 = 𝑥 2 − 2
Puntos de 𝑦 = 𝑥 2 − 2
Un consejo útil a la hora de graficar de esta manera es el encontrar los puntos en los que la gráfica interseca
al eje 𝑥 (i.e. corta al eje 𝑥) e interseca con el eje 𝑦 (i.e. corta el eje 𝑦). Para encontrar los puntos de intersección
que la gráfica de una ecuación tiene con el eje 𝑥 se debe partir por el hecho de que cualquier punto del eje 𝑥
es de la forma (𝑥, 0), es decir, la coordenada “𝑦” siempre vale cero en el eje 𝑥, por lo cual, en la ecuación se
debe sustituir “𝑦” por “0”, y solucionar la ecuación resultante en términos de 𝑥, para así encontrar los puntos
de intersección que la gráfica tiene con el eje 𝑥. De forma algo similar, para encontrar los puntos de
intersección que la gráfica de una ecuación tiene con el eje 𝑦 se parte del hecho de que cualquier punto del
eje 𝑦 es de la forma (0, 𝑦), por lo cual, en la ecuación se debe sustituir “𝑥” por “0”, y solucionar la ecuación
resultante en términos de 𝑦, para así encontrar los puntos de intersección que la gráfica tiene con el eje 𝑦.
3. Recta y Ecuaciones lineales de dos variables
En la geometría Euclidiana (i.e. la geometría de toda la vida) la recta se define como una línea que se extiende
siempre en una misma dirección. Lo interesante de las rectas es que al hablar de estas en el plano cartesiano,
se permite el espacio a poder alternar a un punto de vista más algebraico, es decir, en términos de ecuaciones
que relacionan 2 variables así como se ha visto en el video que acompaña a esta lección. Como no hay mucho
nuevo que decir acerca del punto de vista geométrico de la recta, se empezará a hablar sobre el punto de visto
algebraico de esta, y para ello será necesario hablar del concepto de pendiente.
3.1 Pendiente de una recta
La pendiente de una recta es una medida de la inclinación que esta posee, así como un ángulo permite medir
también la inclinación. La pendiente de una recta (no vertical) que contiene a los puntos 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y
𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ) se define como el numero ∆𝑦⁄∆𝑥 donde ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 y ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 . El cálculo de ∆𝑦⁄∆𝑥
para una recta dada lo que dice es cuanto incrementa (cuando ∆𝑦⁄∆𝑥 es positivo) o cuanto disminuye (cuando
∆𝑦⁄∆𝑥 es negativo) “𝑦” cuando “𝑥” aumenta una unidad. Si ∆𝑦⁄∆𝑥 = 0, entonces quiere decir que a medida
que “𝑥” cambia, “𝑦” no lo hace (i.e. ∆𝑦 = 0).
Para terminar de aclarar algunas cosas, el cálculo de la pendiente es independiente del par de puntos que se
escojan de la recta, es decir, si 𝑃1 , 𝑃2 es un par de puntos cualquiera de la recta 𝐿 y 𝑃3 , 𝑃4 otro par de puntos
cualquiera de la recta 𝐿, entonces
∆𝑦
∆𝑥
𝑦 −𝑦
𝑦 −𝑦
= 𝑥2 −𝑥1 = 𝑥4 −𝑥3 , esto debido a que los triángulos auxiliares descritos
2
1
4
3
son semejantes, por lo cual, sus lados son proporcionales respectivamente, o en otras palabras, existe un
número real 𝑘 talque:
𝑥2 − 𝑥1 = 𝑘(𝑥4 − 𝑥3 )
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑘(𝑦4 − 𝑦3 )
3.2 Forma punto pendiente de la ecuación de la recta
Sea 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) un punto de una recta 𝐿 la cual posee pendiente “𝑚” y sea 𝑃 = (𝑥, 𝑦) un punto cualquiera
𝑦−𝑦
del plano, entonces: 𝑃 pertenece a 𝐿 si y solo si 𝑥−𝑥1 = 𝑚, de lo cual se deduce la siguiente ecuación:
1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Se denomina entonces a 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) como la ecuación de la recta 𝐿 de la forma punto-pendiente,
donde 𝑥1 , 𝑦1 son las coordenadas 𝑥, 𝑦 (respectivamente) de un punto de 𝐿, y “𝑚” la pendiente de 𝐿.
3.3 Forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta
Sea (0, 𝑏) un punto de una recta 𝐿 la cual posee pendiente “𝑚”, entonces en base a la ecuación de la forma
punto pendiente:
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0) ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Se denomina entonces a 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 como la ecuación de la recta 𝐿 de la forma pendiente-intersección,
donde “𝑏” es la coordenada “𝑦” del punto de intersección de la recta con el eje 𝑦, y “𝑚” la pendiente de 𝐿.
3.4 Rectas verticales y horizontales
Una recta vertical se da cuando “𝑥” no varía (i.e. ∆𝑥 = 0) pero “𝑦” si lo hace. Una recta horizontal se da
cuando “𝑦” no varía (i.e. ∆𝑦 = 0) pero “𝑥” si lo hace. Algunos ejemplos de rectas horizontales y verticales
son los mismos ejes, pues el eje 𝑥 es básicamente la recta 𝑦 = 0, y el eje 𝑦 es la recta 𝑥 = 0. Algunos
ejemplos son
3.5 Ecuación general de la recta
Una ecuación lineal es de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 son constantes talque 𝐴 y 𝐵 no son 0 al
mismo tiempo. La ecuación de una recta es una ecuación lineal.
•
•
Una recta cualquiera que no sea vertical es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, lo cual es equivalente a
−𝑚𝑥 + 𝑦 − 𝑏 = 0, por lo cual, esa ecuación es una ecuación lineal donde 𝐴 = −𝑚, 𝐵 = 1, 𝐶 = −𝑏.
Una recta cualquiera que sea vertical es de la forma 𝑥 = 𝑎, lo cual es equivalente a 𝑥 − 𝑎 = 0, por lo
cual, esa ecuación es una ecuación lineal donde 𝐴 = 1, 𝐵 = 0, 𝐶 = −𝑎.
•
•
En base a 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. Si 𝐵 ≠ 0, entonces al despejar se tiene que 𝑦 = (−𝐴⁄𝐵)𝑥 + (−𝐶 ⁄𝐵), la
cual es la ecuación de una recta de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 con 𝑚 = −𝐴⁄𝐵 y 𝑏 = −𝐶 ⁄𝐵.
En base a 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. Si 𝐵 = 0, entonces al despejar se tiene que 𝑥 = −𝐶 ⁄𝐴, lo cual representa
una recta vertical
Por lo tanto, la gráfica de toda ecuación lineal 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es una recta, y así mismo, toda recta es la
gráfica de una ecuación lineal.
3.6 Traslado de graficas en el plano
Dada un figura hay muchas “operaciones geométricas” que se pueden realizar en ella, como rotar la figura,
reflejar la figura respecto a un eje, etc. Una de estas operaciones geométricas que serán de interés estudiar
para este módulo es el de trasladar una figura. El traslado de una figura consiste en mover cada uno de los
puntos de la figura original hacia otro lugar talque se mantenga la misma forma, para lograr esto, cada punto
que se traslada se mueve en la misma dirección relativo a su posición original, y también cada punto se
mueven una misma distancia.
Toda traslación puede describirse a partir de una combinación de traslados horizontales y verticales, por lo
cual, para entender el traslado de una gráfica solo se estudiarán los traslados horizontales y los traslados
verticales, y para hacer más entendible esto, se realizará a partir de rectas, pero estos “resultados” pueden ser
aplicados para cualquier gráfica de una ecuación, no solo para la gráfica de una recta.
Sea 𝐿1 una recta cualquiera y 𝐿2 el resultado de trasladar “𝑐” unidades a la derecha a la recta 𝐿1 . Si la ecuación
de 𝐿1 es 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, entonces la ecuación de la gráfica de 𝐿2 es la misma que la de 𝐿1 solo que
remplazando “𝑥” por “𝑥 − 𝑐”, es decir, 𝐴(𝑥 − 𝑐) + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación de la recta 𝐿2 . Para demostrar
esto observa que si (𝑥1 , 𝑦1 ) es un punto cualquiera de 𝐿1 , y (𝑥2 , 𝑦2 ) el punto resultante de trasladar “𝑐”
unidades a la derecha al punto (𝑥1 , 𝑦1 ), entonces (𝑥2 , 𝑦2 ) es un punto cualquiera de 𝐿2 , y por ende, debe
satisfacer la ecuación 𝐴(𝑥 − 𝑐) + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 si y solo si 𝐴(𝑥 − 𝑐) + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es verdaderamente la
ecuación de la recta 𝐿2 . Como 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑐 y 𝑦2 = 𝑦1 , entonces 𝐴(𝑥2 − 𝑐) + 𝐵𝑦2 + 𝐶 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶,
donde 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 = 0, ya que recordemos que (𝑥1 , 𝑦1 ) es un punto de 𝐿1 y “𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0” la
ecuación de 𝐿1 , por ende, se tiene que 𝐴(𝑥2 − 𝑐) + 𝐵𝑦2 + 𝐶 = 0. Y por lo tanto se concluye que
𝐴(𝑥 − 𝑐) + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación de la recta 𝐿2 . De forma similar, se puede ver que:
•
•
•
𝐴(𝑥 + 𝑐) + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 representa al traslado de 𝐿1 “𝑐” unidades a la izquierda.
𝐴𝑥 + 𝐵(𝑦 − 𝑐) + 𝐶 = 0 representa el traslado de 𝐿1 “𝑐” unidades hacia arriba.
𝐴𝑥 + 𝐵(𝑦 + 𝑐) + 𝐶 = 0 representa el traslado de 𝐿1 “𝑐” unidades hacia abajo.
3.7 Relaciones entre rectas: Paralelismo y perpendicularidad
Dos rectas son paralelas entre si cuando tienen la misma inclinación, y dos rectas son perpendiculares entre
si cuando forman un ángulo de 90° grados al cruzarse. Como la pendiente de una recta mide la inclinación
de esta, entonces cuando las pendientes de dos rectas sean iguales, se dará que sus inclinaciones son iguales
(y viceversa), y por ende serán rectas paralelas. Por lo tanto, dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes
son iguales.
Para el caso de la perpendicularidad, imagina que tenes dos rectas 𝐿1 : 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑏1 y 𝐿2 : 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑏2
talque 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares. Trasladando ambas rectas talque crucen por el origen se tiene que
𝐿1 : 𝑦 = 𝑚1 𝑥 y 𝐿2 : 𝑦 = 𝑚2 𝑥
Por Teorema 46 y Pitágoras:
Desarrollando y simplificando:
Simplificando:
Dividiendo por “−2”
(𝑚1 − 𝑚2 )2 = ((1 − 0)2 + (𝑚1 − 0)2 ) + ((1 − 0)2 + (𝑚2 − 0)2 )
𝑚12 − 2𝑚1 𝑚2 + 𝑚22 = 𝑚12 + 2 + 𝑚22
−2𝑚1 𝑚2 = 2
𝑚1 𝑚2 = −1
Por lo tanto, si 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares, entonces 𝑚1 𝑚2 = −1 donde 𝑚1 , 𝑚2 son las pendientes de 𝐿1 , 𝐿2
respectivamente. Además, observa que cuando 𝑚1 𝑚2 = −1, el Teorema de Pitágoras se cumple, lo cual
implica que el triángulo es un triángulo rectángulo, y por ende, implica que las rectas son perpendiculares.
Estos resultados acerca de relaciones entre rectas se resumen en el siguiente teorema
Teorema 48 (relación entre rectas): Sean 𝐿1 , 𝐿2 dos rectas cualesquiera donde 𝑚1 , 𝑚2 son sus
respectivas pendientes, entonces:
•
•
𝐿1 y 𝐿2 son rectas paralelas si y solo si 𝑚1 = 𝑚2
𝐿1 y 𝐿2 son rectas perpendiculares si y solo si 𝑚1 𝑚2 = −1
Evaluación
1. Determine las coordenadas de los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
a. 𝐴 = (3,2), 𝐵 = (−2, −1), 𝐶 = (1, −3)
b. 𝐴 = (2,3), 𝐵 = (1, −2), 𝐶 = (3,1)
c. 𝐴 = (2,3), 𝐵 = (−1, −2), 𝐶 = (−3,1)
d. Ninguna de las anteriores
2. Indique a cuál de las siguientes ecuaciones satisface el punto (1.25, −2.75)
a. (−2/5)𝑥 + 𝑦 = −13/4
b. −0.4𝑥 + 𝑦 = −3
c. 0.4𝑥 + 𝑦 = 13/4
d. Ninguna de las anteriores.
3. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (12,1), (19, −5)
a. 𝑦 = (−6/7)𝑥 + (79/7)
b. 𝑦 = (−7/6)𝑥 + 15
c. 𝑦 = (6/7)𝑥 − (149/7)
d. Ninguna de las anteriores
𝑦 −𝑦
4. Sean (2,3) y (4,6) puntos de una recta 𝐿. Calcule 𝑥2 −𝑥1 cuando 𝑃1 = (2,3), 𝑃2 = (4,6) y también cuando
2
1
𝑃1 = (4,6), 𝑃2 = (2,3), luego indique la opción correcta
𝑦 −𝑦
a. 𝑥2 −𝑥1 es igual en ambos casos
2
b.
1
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
no es igual en ambos casos.
5. Sean 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (3,4) y 𝐶 = (6,0). Determine el perímetro del triángulo que tiene como vértices a
los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
a. 5
b. 16
c. 6
d. 15
Bibliografía
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2012). Precálculo: Matemáticas para el cálculo. CENGAGE Learning.