Analisis Penyebaran COVID-19 Mempertimbangkan Kontak dengan
Permukaan Terkontaminasi
Almira Farahita Tabina1, Dipo Aldila1, Rahmi Rusin1
1
Departemen Matematika, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia
Email: almira.farahita @sci.ui.ac.id
Abstrak
Suatu virus jenis Corona pertama kali terdeteksi di Wuhan, Cina pada akhir tahun 2019, yang selanjutnya disebut
sebagai SARS-CoV-2. Penyakit menular yang disebabkan oleh virus SARS-CoV-2 ini diberi nama Coronavirus
Disease 2019, yang disingkat menjadi COVID-19. Per tanggal 29 Januari 2022, tercatat sebanyak kurang lebih
900.000 kasus terkonfirmasi positif COVID-19 di DKI Jakarta. Sejak saat itu, berbagai disiplin ilmu mencoba
memberikan kontribusi dalam upaya pengendalian dan pemahaman bagaimana penyakit COVID-19 menyebar,
salah satunya melalui pendekatan matematika. Berbagai pendekatan matematika telah diperkenalkan, salah
satunya menggunakan pendekatan sistem persamaan diferensial biasa. Dalam skripsi ini, akan dilakukan
pendekatan yang sama di mana populasi manusia akan dibagi berdasarkan status kesehatannya untuk mengetahui
bagaimana COVID-19 dapat menyebar. Beberapa hal dipertimbangkan dalam pengkonstruksian model antara lain
keberadaan individu terinfeksi dengan maupun tanpa gejala, proses infeksi secara tidak langsung, dan beberapa
upaya yang telah diterapkan oleh Pemerintah Kota DKI Jakarta diantaranya aturan pemberlakuan isolasi mandiri
dan perawatan khusus di rumah sakit bagi populasi terinfeksi. Dari model matematika tersebut, skripsi yang
dikerjakan akan mengulas penurunan model, analisis model secara analitik maupun numerik, dan pemberian
intepretasi. Data yang digunakan akan mengacu pada data kasus aktif COVID-19 di DKI Jakarta sejak tanggal 30
November 2020 sampai tanggal 31 Maret 2021.
Kata Kunci: COVID-19, Model Matematika, Permukaan Terkontaminasi, Isolasi Mandiri, Perawatan di Rumah
Sakit, DKI Jakarta.
Analysis of the Effects of the Spread of COVID-19 Considering Contact with
Contaminated Surface
Abstract
A type of Corona virus was first detected in Wuhan, China by the end of 2019, hereinafter referred to as SARSCoV-2. Infectious diseases caused by the SARS-CoV-2 virus was given the name Coronavirus Disease 2019,
which then shortened to COVID-19. As of January 29, 2022, there were about 900,000 positive confirmed cases
of COVID-19 only in DKI Jakarta. Since then, various disciplines trying to contribute to overcome and understand
how COVID-19 is spreading, one of which is through a mathematical approach. Various mathematical approaches
have been introduced, one of them uses the approach system of ordinary differential equations. In this thesis, the
same approach will be taken where the human population will be divided according to their health status to know
how COVID-19 can spread. Some discussions included in the construction of the model, among others, are the
presence of infected symptomatic or asymptomatic individuals, indirect virus transmission through contact with
contaminated surface, and several interventions that have been implemented by the DKI Jakrta City Government,
including the rules for implementing self-isolation and hospitalization for the infected population. From the
mathematical model, the thesis will review the derivation of the model, analyse the model both analytically and
numerically, and give the interpretation. The data will refer to the data on active COVID-19 cases in DKI Jakarta
from 30 November 2020 to 31 March 2021.
Keywords : COVID-19, Mathematical Model, Contaminated Surface, Self Isolation, Hospitalization, DKI Jakarta.
1
Pendahuluan
Penyakit menular disebabkan oleh mikroorganisme patogen, seperti bakteri, virus,
parasit atau jamur. Salah satu jenis penyakit menular dengan tingkat penyebaran yang tinggi
adalah penyakit yang disebabkan oleh suatu virus jenis Corona. Virus ini pertama kali terdeteksi
di Wuhan, Cina pada akhir tahun 2019, yang selanjutnya disebut sebagai SARS-CoV-2.
Penyakit menular yang disebabkan oleh virus SARS-CoV-2 ini selanjutnya diberi nama
Coronavirus Disease 2019, yang kemudian disingkat menjadi COVID-19.
Gejala paling umum yang dirasakan ketika terinfeksi COVID-19 adalah demam, batuk,
dan rasa lelah. Beberapa gejala lain yang seringkali dirasakan oleh penderita COVID-19 adalah
rasa nyeri, diare, ruam pada kulit, dan hilangnya indera rasa dan penciuman. Setiap individu
terinfeksi memiliki jenis dan tingkat keparahan gejala yang berbeda, sehingga jenis tindakan
yang dilakukan terhadap individu terinfeksi juga dibedakan berdasarkan tingkat status
kesehatan. Individu terinfeksi tanpa gejala diminta untuk melakukan isolasi mandiri di rumah,
sementara individu terinfeksi dengan gejala, terutama gejala yang cukup parah, maka harus
dirawat di rumah sakit dan mendapatkan perawatan khusus.
Penularan virus SARS-CoV-2 dapat terjadi melalui beberapa cara, yaitu kontak langsung
atau tidak langsung. Pertama, adanya kontak erat antara individu terinfeksi COVID-19 dengan
individu sehat. Kedua, virus dapat menyebar secara langsung melalui droplet yang dihasilkan
oleh individu terinfeksi ketika batuk, bersin, maupun berbicara, sehingga dapat mendarat pada
mulut ataupun hidung individu lainnya. Ketiga, virus menyebar secara tidak langsung melalui
permukaan terkontaminasi. Droplet yang dikeluarkan oleh individu terinfeksi COVID-19 dapat
dengan mudah mendarat pada suatu benda, sehingga individu lainnya yang menyentuh
permukaan benda tersebut tanpa membersihkan tangan, dapat terinfeksi COVID-19. Virus yang
menempel pada permukaan benda dapat bertahan selama jangka waktu tertentu, berdasarkan
material bahan yang ditempelinya.
Tinjauan Teoritis
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan diferensial yang melibatkan hanya
turunan biasa yang berhubungan dengan sebuah variabel bebas (Nagle et. al, 2012). Dalam
skripsi ini dibahas persamaan diferensial autonomous.
2
Definisi 1. Suatu sistem persamaan differensial dikatakan autonomous jika variabel bebasnya
tdidak muncul secara eksplisit dalam persamaan. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut
𝑑𝐱
= 𝐟(𝐱),
𝑑𝑡
dengan
𝑔1 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
𝑥1 (𝑡)
𝑔2 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
𝑥2 (𝑡)
𝐱=[
] , 𝐟(t, 𝐱) = [
],
⋮
⋮
𝑔𝑛 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
𝑥𝑛 (𝑡)
(1)
𝑡 merupakan variabel bebas dan 𝐟(𝐱) dapat berupa fungsi linier atau nonlinier dari variabel 𝐱,
𝐟(𝐱) merupakan fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah asal
𝐟(𝐱) (Boyce & DiPrima, 2012).
Model Epidemi Susceptible-Infected-Recovered (SIR)
Pada subbab ini dibahas mengenai model SIR yang merupakan salah satu model
epidemiologi yang diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Model ini
dilakukan dengan mengelompokkan populasi ke dalam beberapa kelompok atau kompartemen
kelas..
Individu pada model SIR terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu:
1. Susceptible atau rentan (S) yaitu kelompok individu sehat yang rentan terkena penyakit.
2. Infected atau terinfeksi (I) yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit.
3. Recovered atau sembuh (R) yaitu kelompok individu yang telah sembuh dari penyakit.
Titik Keseimbangan dan Analisis Kestabilan
Definisi 1. Titik keseimbangan dari persamaan autonomous adalah suatu titik 𝐱̅ ∈ ℝ𝑛 yang
memenuhi persamaan 𝐟(𝐱̅) = 𝟎 . Dengan kata lain, titik keseimbangan merupakan solusi
persamaan autonomous yang sudah tidak berubah terhadap waktu.
Apabila telah diperoleh titik keseimbangan, selanjutnya dapat ditentukan sifat dan jenis
kestabilan dari titik tersebut. Kestabilan dari titik keseimbangan tersebut digunakan untuk
melihat perilaku sistem di sekitar titik keseimbangan. Untuk menganalisis kestabilan dari titik
keseimbangan, perlu dilakukan proses linierisasi sistem yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2. Misalkan sistem persamaan (1) merupakan sistem persamaan autonomous dengan f
nonlinear dan 𝐱̅ merupakan titik keseimbangannya. Sistem linear yang mendekati sistem
persamaan non linier autonomous di dekat 𝐱̅ disebut hasil pelinearan di titik 𝐱̅ yang berbentuk
𝑑
𝑑𝑡
(𝐱 − 𝐱̅ ) = D𝐟(𝐱̅ )(𝐱 − 𝐱̅ ) dengan
3
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝒇
𝐉 = 𝜕𝒙 (𝐱̅) =
𝜕𝑥1
𝜕𝑓𝑛
(𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
(𝐱̅)
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
(𝐱̅)
𝜕𝑥2
⋮
(𝐱̅)
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
(𝐱̅) ⋯
(𝐱̅)
…
⋮
⋱
(𝐱̅) ⋯
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓𝑛
(𝐱̅)
(𝐱̅)
(2)
⋮
(𝐱̅))
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝒇
̅) merupakan matriks Jacobi dari fungsi f di titik 𝐱̇ . (Boyce & DiPrima, 2012).
dan 𝐉 = 𝜕𝒙 (𝐱
Selanjutnya, dapat ditentukan sifat kestabilan titik keseimbangan dengan menganalisis nilai
eigen dari matriks Jacobian yang telah dibentuk.
Teorema 1. Misalkan nilai eigen dari matriks jacobian (2) adalah 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 . Titik
keseimbangan dari sistem linier dapat memiliki jenis kestabilan berikut Stabil asimtotik, jika
a. Stabil asimtotik, jika 𝑅𝑒(𝜆𝑖 ) < 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
b. Stabil, jika 𝑅𝑒(𝜆𝑖 ) ≤ 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
c. Tidak stabil, jika terdapat 𝜆𝑖 dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖 ) > 0.
Basic Reproduction Number
Basic reproduction number (ℛ0 ) merupakan jumlah kasus sekunder yang disebabkan oleh
setiap orang terinfeksi yang aktif menularkan penyakit selama satu periode infeksi dalam
suatu populasi yang berisikan individu rentan (Martcheva, 2015). Hal ini menandakan bahwa
Basic Reproduction Number (ℛ0 ) memegang peranan penting dalam menganalisis model
matematika penyakit menular, karena ℛ0 dapat dijadikan suatu nilai ambang batas untuk
dinamika sistem penyakit dalam menentukan apakah suatu penyakit seiring berjalannya waktu
dapat menjadi wabah atau hilang dalam suatu populasi.
Metode Numerik Runge – Kutta Orde 4
Diberikan persamaan differensial sebagai berikut
𝑦′ =
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 .
𝑑𝑡
Metode Runge-Kutta menyertakan rata-rata berbobot dari nilai 𝑓(𝑡, 𝑦) pada titik-titik yang
berbeda dalam interval 𝑡𝑛 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑛+1 . Formula metode Runge-Kutta dalam mencari solusi
numerik dari 𝑦 dengan nilai 𝑛 diketahui dituliskan pada persamaan berikut.
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ
(𝑘𝑛1 + 2𝑘𝑛2 + 2𝑘𝑛3 + 𝑘𝑛4 )
,
6
dengan
4
1
1
𝑘𝑛2 = 𝑓 (𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑘𝑛1 ) ,
2
2
1
1
𝑘𝑛3 = 𝑓 (𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑘𝑛2 ) ,
2
2
𝑘𝑛4 = 𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑘𝑛3 ).
Dengan ℎ merupakan stepsize.
Pembentukan Model
Model dikonstruksi dengan membagi populasi manusia menjadi enam kategori berdasarkan
status kesehatannya dan jenis tindakan yang diterimanya, yaitu; individu rentan terhadap
penyakit COVID-19 (S), individu terinfeksi tanpa gejala (A), individu terinfeksi dengan
gejala (I), individu yang terinfeksi tanpa gejala dan melakukan isolasi mandiri di rumah (Q),
individu yang terinfeksi dengan gejala dan mendapatkan perawatan khusus di rumah sakit
(H),
dan
individu
pulih
dari
penyakit
COVID-19
(R).
Terdapat
pula
satu kompartemen tambahan yaitu permukaan terkontaminasi (C) yang berisi virus di
lingkungan bebas yang diproduksi oleh individu terinfeksi, baik terinfeksi dengan gejala
maupun tanpa gejala. Maka, total populasi manusia diberikan sebagai berikut.
𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐴(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑄(𝑡) + 𝐻(𝑡) + 𝑅(𝑡).
Diagram model penyebaran COVID-19 dengan mempertimbangkan kontak dengan
permukaan terkontaminasi dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 2. Diagram transmisi penyebaran COVID-19 mempertimbangan kontak dengan
permukaan terkontaminasi
5
dengan keterangan parameter pada tabel berikut.
Tabel 1.
Parameter
Daftar Parameter
Keterangan
Syarat
Satuan
𝑚𝑎𝑛𝑢𝑠𝑖𝑎
ℎ𝑎𝑟𝑖
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
Λ
Jumlah kelahiran populasi manusia per hari
𝐴>0
𝛽1
Laju transmisi langsung penyakit COVID-19 dari individu
𝛽1 > 0
rentan (S)
𝛽2
Laju transmisi tidak langsung penyakit COVID-19 melalui
𝛽2 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖 × 𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
permukaan terkontaminasi (C)
𝜇
Laju kematian alami manusia
𝜇>0
𝛼1
Laju perpindahan individu dari kompartemen terinfeksi
𝛼1 > 0
tanpa gejala (A) menuju kompartemen terinfeksi dengan
gejala (I)
𝛼2
Laju perpindahan individu dari kompartemen terinfeksi
𝛼2 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝜖1 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝜖2 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝛿1 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝛿2 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝛾1 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝛾2 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝛾3 > 0
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝜉1 > 0
𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠
𝑚𝑎𝑛𝑢𝑠𝑖𝑎
tanpa gejala yang isolasi mandiri (Q) menuju kompartemen
terinfeksi dengan gejala yang dirawat di rumah sakit (H)
𝜖1
Laju kematian akibat penyakit COVID-19 bagi individu
terinfeksi dengan gejala
𝜖2
Laju kematian akibat penyakit COVID-19 bagi individu
terinfeksi dengan gejala yang dirawat di rumah sakit
𝛿1
Laju perpindahan individu dari kompartemen terinfeksi
tanpa gejala (A) menuju kompartemen terinfeksi tanpa
gejala yang isolasi mandiri (Q)
𝛿2
Laju perpindahan individu dari kompartemen terinfeksi
dengan gejala (I) menuju kompartemen terinfeksi dengan
gejala yang dirawat di rumah sakit (H)
𝛾1
Laju kesembuhan individu pada kompartemen terinfeksi
tanpa gejala yang isolasi mandiri (Q)
𝛾2
Laju kesembuhan individu pada kompartemen terinfeksi
dengan gejala (I)
𝛾3
Laju kesembuhan individu pada kompartemen terinfeksi
dengan gejala yang dirawat di rumah sakit (H)
𝜉1
Laju transmisi virus COVID-19 yang diproduksi oleh
individu terinfeksi tanpa gejala menuju permukaan
× ℎ𝑎𝑟𝑖
terkontaminasi
6
𝜉2
Laju transmisi virus COVID-19 yang diproduksi oleh
𝜉2 > 0
individu terinfeksi dengan gejala menuju permukaan
× ℎ𝑎𝑟𝑖
terkontaminasi
𝜁
Laju peluruhan virus dari permukaan terkontaminasi
𝜁>0
𝜂
Faktor reduksi jumlah virus pada kompartemen terinfeksi
𝜂>0
tanpa gejala
𝑝
𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠
𝑚𝑎𝑛𝑢𝑠𝑖𝑎
Proporsi individu terinfeksi penyakit COVID-19 tanpa
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
𝑝>0
Non Dimensi
1−𝑝>0
Non Dimensi
𝑞>0
Non Dimensi
1−𝑞 >0
Non Dimensi
gejala
1−𝑝
Proporsi individu terinfeksi penyakit COVID-19 dengan
gejala
𝑞
Proporsi individu terinfeksi penyakit COVID-19 tanpa
gejala dengan kontribusi kontak dengan permukaan
terkontaminasi
1−𝑞
Proporsi individu terinfeksi penyakit COVID-19 dengan
gejala dengan kontribusi kontak dengan permukaan
terkontaminasi
Berdasarkan gambar dan tabel parameter di atas, diperoleh sistem persamaan diferensial
sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝜂𝐴 + 𝐼
= 𝐴 − 𝛽1 𝑆
− 𝛽2 𝐶𝑆 − 𝜇𝑆,
𝑑𝑡
𝑁
𝑑𝐴
𝜂𝐴 + 𝐼
= 𝑝𝛽1 𝑆
+ 𝑞𝛽2 𝐶𝑆 − (𝛾1 + 𝛿1 + 𝛼1 )𝐴 − 𝜇𝐴,
𝑑𝑡
𝑁
𝑑𝐼
𝜂𝐴 + 𝐼
= (1 − 𝑝)𝛽1 𝑆
+ (1 − 𝑞)𝛽2 𝐶𝑆 + 𝛼1 𝐴 − (𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 )𝐼 − 𝜇𝐼
𝑑𝑡
𝑁
𝑑𝑄
= 𝛿1 𝐴 − (𝛼2 + 𝛾1 )𝑄 − 𝜇𝑄
𝑑𝑡
𝑑𝐻
= 𝛿2 𝐼 + 𝛼2 𝑄 − (𝜖2 + 𝛾3 )𝐻 − 𝜇𝐻
𝑑𝑡
𝑑𝑅
= 𝛾1 (𝐴 + 𝑄) + 𝛾2 𝐼 + 𝛾3 𝐻 − 𝜇𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝐶
= 𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼 − 𝜁𝐶
𝑑𝑡
(3)
dengan,
𝑆(0) > 0, 𝐴(0) ≥ 0, 𝐼(0) ≥ 0, 𝑄(0) ≥ 0, 𝐻(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0, 𝐶(0) ≥ 0
Model yang telah dibentuk pada persamaan sistem (3), menunjukkan kompartemen C
sebagai kompartemen yang mengandung virus bebas pada permukaan terkontaminasi.
7
Apabila dibandingkan dengan durasi hidup populasi manusia, durasi virus bertahan
di permukaan terkontaminasi terbilang singkat, dengan rata-rata 1-3 hari (World
Economic Forum, 2020). Berdasarkan hal tersebut, jumlah virus pada permukaan
terkontaminasi dapat dengan cepat mencapai titik ekuilibrium dibandingkan dengan
populasi manusia. Maka, metode Quasi-Steady State Approximation (QSSA) dapat
digunakan untuk mereduksi jumlah dimensi model, sebagai berikut.
𝑑𝐶
=0
𝑑𝑡
⟺ 𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼 − 𝜁𝐶 = 0
⟺ 𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼 = 𝜁𝐶
⟺
𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼
=𝐶
𝜁
Maka setiap persamaan pada sistem yang mengandung kompartemen C dapat direduksi dengan
mensubstitusi nilai C sehingga diperoleh sistem persamaan baru sebagai berikut.
𝑑𝑆
𝜂𝐴 + 𝐼
𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼
= 𝐴 − 𝛽1 𝑆
− 𝛽2
𝑆 − 𝜇𝑆,
𝑑𝑡
𝑁
𝜁
𝑑𝐴
𝜂𝐴 + 𝐼
𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼
= 𝑝𝛽1 𝑆
+ 𝑞𝛽2
𝑆 − (𝛾1 + 𝛿1 + 𝛼1 )𝐴 − 𝜇𝐴,
𝑑𝑡
𝑁
𝜁
𝑑𝐼
𝜂𝐴 + 𝐼
𝜉1 𝐴 + 𝜉2 𝐼
= (1 − 𝑝)𝛽1 𝑆
+ (1 − 𝑞)𝛽2
𝑆 + 𝛼1 𝐴 − (𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 )𝐼 − 𝜇𝐼
𝑑𝑡
𝑁
𝜁
𝑑𝑄
= 𝛿1 𝐴 − (𝛼2 + 𝛾1 )𝑄 − 𝜇𝑄
𝑑𝑡
𝑑𝐻
= 𝛿2 𝐼 + 𝛼2 𝑄 − (𝜖2 + 𝛾3 )𝐻 − 𝜇𝐻
𝑑𝑡
𝑑𝑅
= 𝛾1 (𝐴 + 𝑄) + 𝛾2 𝐼 + 𝛾3 𝐻 − 𝜇𝑅
𝑑𝑡
(4)
Teorema 2. Solusi 𝑆(𝑡), 𝐴(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑄(𝑡), 𝐻(𝑡), 𝑅(𝑡) adalah non-negatif untuk semua 𝑡 ≥ 0.
Analisis Model
Model pada sistem persamaan (4) memiliki dua titik keseimbangan, yaitu titik keseimbangan
bebas penyakit (DFE) dan titik keseimbangan endemik (EE). Diperoleh titik keseimbangan
bebas penyakit sebagai berikut.
8
𝑫𝑭𝑬 = (𝑺𝟎 , 𝑨𝟎 , 𝑰𝟎 , 𝑸𝟎 , 𝑯𝟎 , 𝑹𝟎 )
𝚲
= ( , 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎)
𝝁
Selanjutnya, dengan menggunakan metode Next Generation Matrix, diperoleh 𝓡𝟎 sebagai
berikut.
ℛ0 =
𝑑 𝑎 √𝑎2 − 2𝑑𝑎 + 4𝑐𝑏 + 𝑑 2
+ +
2 2
2
(5)
dengan nilai 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 sebagai berikut.
𝑞𝛽2 𝜉1 Λ
𝑞𝛽2 𝜉2 Λ
(𝑝𝛽1 𝜂 + 𝜁𝜇
) 𝛼1
𝜁𝜇
𝑎=
+
𝜇 + 𝛼1 + 𝛿1 + 𝛾1 (𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 + 𝜇)(𝜇 + 𝛼1 + 𝛿1 + 𝛾1 )
𝑝𝛽1 𝜂 +
𝑞𝛽2 𝜉2 Λ
𝜁𝜇
𝑏=
𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 + 𝜇
𝑝𝛽1 +
(1 − 𝑞)𝛽2 𝜉2 Λ
(1 − 𝑞)𝛽2 𝜉1 Λ
((1 − 𝑝)𝛽1 +
) 𝛼1
𝜁𝜇
𝜁𝜇
+
(𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 + 𝜇)(𝜇 + 𝛼1 + 𝛿1 + 𝛾1 )
𝜇 + 𝛼1 + 𝛿1 + 𝛾1
(1 − 𝑝)𝛽1 𝜂 +
𝑐=
(1 − 𝑞)𝛽2 𝜉2 Λ
𝜁𝜇
𝜖1 + 𝛾2 + 𝛿2 + 𝜇
(1 − 𝑝)𝛽1 +
𝑑=
Teorema 3. Model pada sistem persamaan (4) memiliki basic reproduction number (ℛ0 ) yang
ditunjukkan pada persamaan (5).
Titik endemik sistem persamaan (4) didefinisikan pada persamaan berikut.
𝑬𝑬 = (𝑺∗ , 𝑨∗ , 𝑰∗ , 𝑸∗ , 𝑯∗ , 𝑹∗ )
dengan
9
𝑺∗ =
𝑿(𝑨 + 𝑰 + 𝑸 + 𝑯 + 𝑹)
𝒀(𝜼𝑨 + 𝑰) − 𝑿
𝑨𝜹𝟏
𝑼
(𝜹
𝟏 𝑨 + 𝜹𝟐 𝑰)𝜶𝟐 + 𝑰𝜹𝟐 (𝝁 + 𝜸𝟏 )
𝑯∗ =
𝑼𝑽
𝑸∗ =
𝑹∗
=
𝑨𝜸𝟏 (𝜸𝟏 𝑽 + 𝝁𝟐 + 𝝁(𝝐𝟐 𝜶𝟐 + 𝜹𝟏 + 𝜸𝟑 ) + (𝜶𝟐 + 𝜹𝟏 )(𝝐𝟐 + 𝜸𝟑 )) + 𝑰𝑼(𝝁𝜸𝟐 + (𝜹𝟐 + 𝜸𝟐 )𝜸𝟑 + 𝜸𝟐 𝝐𝟐 ) + 𝜶𝟐 𝑨𝜹𝟏 𝜸𝟑
𝝁𝑼𝑽
dan
𝑿 = 𝑨(𝜶𝟏 + 𝜹𝟏 + 𝜸𝟏 + 𝝁)(𝝃𝟏 𝜷𝟐 𝑨 + 𝝃𝟐 𝜷𝟐 𝑰 + 𝜻𝝁) − 𝚲𝒒𝜷𝟐 (𝝃𝟏 𝑨 + 𝝃𝟐 𝑰)
𝒀 = (𝜷𝟏 𝜷𝟐 (𝒑 − 𝒒))(𝝃𝟏 𝑨 + 𝝃𝟐 𝑰) + 𝜻𝝁𝒑𝜷𝟏
𝑼 = 𝝁 + 𝜶𝟐 + 𝜸𝟏
𝑽 = 𝝁 + 𝝐𝟐 + 𝜸𝟑
Sementara nilai 𝑨∗ dan 𝑰∗ diberikan oleh solusi dari dua persamaan implisit 𝑿𝟏 dan 𝑿𝟐 yang
bergantung pada variabel 𝑨∗ dan 𝑰∗ sebagai berikut.
𝑿𝟏 = 𝒂𝟑 (𝑨∗ )𝑰∗ 𝟑 + 𝒂𝟐 (𝑨∗ )𝑰∗ 𝟐 + 𝒂𝟏 (𝑨∗ )𝑰∗ − 𝒂𝟎 (𝑨∗ ) = 𝟎
𝑿𝟐 = 𝒃𝟒 𝒂∗ 𝟒 + 𝒃𝟑 (𝑰∗ )𝑨∗ 𝟑 + 𝒃𝟐 (𝑰∗ )𝑨∗ 𝟐 + 𝒃𝟏 (𝑰∗ )𝑨∗ − 𝒃𝟎 (𝑰∗ ) = 𝟎.
(6)
Selanjutnya, disubstitusikan nilai parameter yang diperoleh pada tabel (3) ke
persamaan 𝑿𝟏 dan 𝑿𝟐 , di mana titik keseimbangan endemik ada jika 𝑿𝟏 dan 𝑿𝟐 memiliki titik
potong di kuadran 1 yang artinya terdapat 𝑨∗ , 𝑰∗ ∈ ℝ𝟐+ yang memenuhi 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = 𝟎.
Diperoleh titik potong 𝑿𝟏 dan 𝑿𝟐 di koordinat (𝑨∗ , 𝑰∗ ) = (𝟐𝟏, 𝟏𝟓), sehingga diperoleh titik
keseimbangan endemik sebagai berikut.
𝑬𝑬 = (𝑺∗ , 𝑨∗ , 𝑰∗ , 𝑸∗ , 𝑯∗ , 𝑹∗ ) = (𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟕. 𝟖𝟒𝟕, 𝟐𝟏, 𝟏𝟓, 𝟑𝟒𝟗, 𝟑𝟒𝟕, 𝟒𝟒𝟏. 𝟐𝟖𝟒).
Dengan melakukan cara yang similar, dilakukan percobaan menggunakan 5 kumpulan nilai
parameter sedemikian sehingga ℛ0 > 1 dan diperoleh hasil yang sama bahwa dihasilkan tepat
satu buah titik EE. Selain itu, dilakukan percobaan menggunakan 5 kumpulan nilai parameter
sedemikian sehingga ℛ0 < 1 dan diperoleh hasil yang sama bahwa tidak terdapat 𝐴∗ , 𝐼 ∗ ∈ ℝ+
2
yang memenuhi persamaan (6).
Konjektur 1. Jika ℛ0 > 1 maka model pada sistem persamaan (4) hanya memiliki tepat satu
titik endemik, dan jika ℛ0 < 1 maka model tidak memiliki titik endemik.
10
Setelah diperoleh titik keseimbangan, dilakukan analisis kestabilan titik keseimbangan
tersebut. Kestabilan titik keseimbangan bebas penyakit dianalisis menggunakan pendekatan
Van den Driessche dan Watmough.
Teorema 4. Apabila sistem persamaan memenuhi 5 aksioma yang diberikan, maka titik DFE
stabil asimtotik lokal ketika ℛ0 < 1 dan tidak stabil ketika ℛ0 > 1.
Sementara itu, titik keseimbangan endemik dianalisis menggunakan linierisasi sistem
persamaan (4) di sekitar titik EE secara numerik.
Konjektur 2. Jika ℛ0 > 1, model pada sistem persamaan (4) memiliki titik endemik yang
bersifat stabil asimtotik.
Simulasi Numerik
Penaksiran Parameter
Penaksiran parameter dilakukan untuk mengetahui nilai taksiran parameter yang
sesuai dengan kondisi nyata. Data yang digunakan merupakan data harian kasus aktif yang
diambil dari situs resmi pemantauan COVID-19 di DKI Jakarta (Dinas Kesehatan Provinsi
DKI Jakarta, 2022). Penaksiran parameter pada subbab ini dilakukan dengan bantuan
software MATLAB. Nilai taksiran yang digunakan adalah penjumlahan dari individu
terinfeksi tanpa gejala dan individu terinfeksi dengan gejala. Sedangkan nilai sebenarnya
adalah data positif aktif harian COVID-19 di DKI Jakarta. Diperoleh hasil taksiran parameter
dan nilai awal untuk data DKI Jakarta yang ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 2.
Parameter
𝛽1
𝛽2
𝜉1
𝜉2
𝜂
𝑝
1−𝑝
𝑞
1−𝑞
Hasil Taksiran Parameter
Nilai
0,007086437
3,30368𝑒 −07
0,287400161
0,026136622
0,374356336
0,243388026
0,756611974
0,475151444
0,524848556
Tabel 3.
Parameter
𝛾1
𝛾2
𝛾3
𝛿1
𝛿2
𝛼1
𝛼2
𝜖1
𝜖2
Nilai
1,83813𝑒 −05
0,079590958
0,044362401
0,452779419
0,670688918
0,030561146
0,026429485
0,025579155
0,01105582
Hasil Taksiran Nilai Awal
Nilai Awal
Nilai Taksiran
Nilai Pembulatan ke Atas
𝑺
𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟗. 𝟖𝟓𝟕, 𝟗𝟓
𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟗. 𝟖𝟓𝟖
𝑨
𝟔. 𝟎𝟗𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟓
𝟔. 𝟏𝟎𝟎
11
𝑰
𝟒. 𝟎𝟗𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟕𝟔
𝟒. 𝟏𝟎𝟎
𝑸
𝟕. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟏𝟗𝟕
𝟕. 𝟓𝟎𝟏
𝑯
𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟕
𝟐. 𝟎𝟎𝟏
𝑹
𝟗𝟎𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟒𝟑𝟕𝟔
𝟗𝟎𝟏
Grafik perbandingan antara data asli kasus positif aktif harian dengan taksiran nilai awal dan
parameter ditunjukkan pada gambar berikut, dengan nilai 𝓡𝟎 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟓𝟑𝟑𝟏𝟗𝟗𝟎 > 𝟏.
Gambar 3 Diagram transmisi penyebaran COVID-19 mempertimbangan kontak dengan
permukaan terkontaminasi
Analisis Elastisitas dan Sensitivitas basic reproduction number
Nilai elastisitas ℛ0 dihitung terhadap semua parameter pada sistem (4) dengan
mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel (3) yang memberikan nilai ℛ0 > 1 ke dalam
rumus berikut.
𝜖𝑅𝑝0 =
𝜕ℛ0
𝑝
%∆ℛ0
×
≈
𝜕𝑝
ℛ0
%∆𝑝
Dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1 ke hasil 𝜺𝑷𝓡𝟎 , maka diperoleh nilai
elastisitas 𝓡𝟎 terhadap sembarang parameter 𝑷. Dibentuk diagram tornado untuk data DKI
Jakarta sebagai berikut.
12
Gambar 4. Diagram Tornado Elastisitas 𝓡𝟎
Apabila hasil nilai elastisitas dari ℛ0 terhadap suatu parameter P bernilai positif,
maka hubungan antara ℛ0 dengan parameter pada P tersebut berbanding lurus. Sebaliknya,
apabila hasil nilai elastisitas dari ℛ0 terhadap suatu parameter P bernilai negatif, maka
hubungan antara ℛ0 dengan parameter pada P tersebut berbanding terbalik.
Selanjutnya ingin diketahui bagaimana efek dari upaya isolasi mandiri dan
perawatan di rumah sakit dalam mempengaruhi nilai ℛ0 di Jakarta. Untuk menganalisis
kedua upaya tersebut, ditampilkan grafik perilaku ℛ0 terhadap δ1 dan δ2 pada Gambar
(4), dengan asumsi bahwa laju transmisi δ1 dan δ2 berada di dalam interval [0,1].
13
Gambar 5. Grafik sensitivitas 𝓡𝟎 terhadap 𝜹𝟏 dan 𝜹𝟐
Dapat dilihat bahwa terdapat 4 kombinasi antara upaya isolasi mandiri dan perawatan khusus
di rumah sakit yang dapat dilakukan dengan penjelasan sebagai berikut.
1. Daerah 1 menunjukkan bahwa apabila nilai 𝜹𝟏 memenuhi 𝜹𝟏 ∈ (𝟎, 𝟗𝟑𝟏𝟎𝟐𝟗𝟎𝟏𝟔𝟐, 𝟏],
maka akan selalu menyebabkan nilai 𝓡𝟎 < 𝟏 tanpa mempertimbangkan nilai 𝜹𝟐 ,
sementara daerah 4 menunjukkan bahwa apabila nilai 𝜹𝟏 memenuhi 𝜹𝟏 ∈
[𝟎, 𝟎, 𝟒𝟕𝟎𝟒𝟕𝟐𝟒𝟏𝟑𝟏), maka akan selalu menyebabkan nilai 𝓡𝟎 > 𝟏 tanpa
mempertimbangkan nilai 𝜹𝟐 .
2. Daerah 2 menunjukkan bahwa pemberlakuan upaya isolasi mandiri dan perawatan
khusus di rumah sakit dapat menyebabkan 𝓡𝟎 < 𝟏 apabila kombinasi nilai laju
perpindahan individu terinfeksi tanpa gejala menuu kelas isolasi mandiri berada pada
interval 𝜹𝟏 ∈ (𝟎, 𝟒𝟕𝟎𝟒𝟕𝟐𝟒𝟏𝟑𝟏, 𝟎, 𝟗𝟑𝟏𝟎𝟐𝟗𝟎𝟏𝟔𝟐) dan batas bawah nilai laju
perawatan khusus di rumah sakit memenuhi persamaan berikut.
𝜹𝟐 = 𝒇(𝜹𝟏 ) =
𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐 (−𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟐𝟏 𝜹𝟏 + 𝟗, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟓√𝟒, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟑𝟖 𝜹𝟐𝟏 + 𝟐, 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑𝟕 𝜹𝟏 + 𝟑, 𝟐 × 𝟏𝟎𝟑𝟓 ) (7)
𝟏𝟎𝟏𝟏 𝜹𝟏 − 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎𝟏𝟎
Dapat berlaku pula apabila kombinasi laju perawatan khusus di rumah sakit berada pada
interval 𝜹𝟐 ∈ [𝟎, 𝟏] dan batas bawah laju perpindahan individu terinfeksi tanpa gejala
menuju kelas isolasi mandiri memenuhi persamaan berikut.
𝜹𝟏 = 𝒇−𝟏 (𝜹𝟐 ).
3. Daerah 3 menunjukkan bahwa pemberlakuan upaya isolasi mandiri dan perawatan
khusus di rumah sakit dapat menyebabkan 𝓡𝟎 > 𝟏 apabila kombinasi nilai laju
perpindahan individu terinfeksi tanpa gejala menuju kelas isolasi mandiri berada pada
interval 𝜹𝟏 ∈ (𝟎, 𝟒𝟕𝟎𝟒𝟕𝟐𝟒𝟏𝟑𝟏, 𝟎, 𝟗𝟑𝟏𝟎𝟐𝟗𝟎𝟏𝟔𝟐) dan batas atas nilai laju
perpindahan individu terinfeksi dengan gejala menuju kelas perawatan khusus di
rumah sakit memenuhi persamaan (7). Dapat berlaku pula apabila kombinasi laju
14
(8)
perpindahan individu terinfeksi dengan gejala menuju kelas perawatan khusus di
rumah sakit berada pada interval 𝜹𝟐 ∈ [𝟎, 𝟏] dan batas atas laju perpindahan individu
terinfeksi tanpa gejala menuju kelas isolasi mandiri memenuhi persamaan (8).
Simulasi autonomous
Simulasi autonomous dilakukan dengan bantuan software MATLAB, dengan tujuan untuk
memahami hasil kajian analitik dan numerik yang telah dilakukan sebelumnya. Dalam
melakukan simulasi, dibentuk beberapa skenario sehingga dilakukan simulasi terhadap
beberapa variasi nilai parameter 𝜹𝟏 , 𝜹𝟐 , 𝝃𝟏 , dan 𝝃𝟐 .
Simulasi autonomous terhadap perubahan 𝜹𝟏
Simulasi dilakukan dengan mempertimbangkan 3 buah nilai parameter 𝜹𝟏 yang berbeda, yaitu
0,452779419, 0,4, dan 0,5, yang memberikan nilai 𝓡𝟎 sebesar 1,0553, 1,1767, dan 0,9671
secara berurutan . Visualisasi hasil simulasi pada 3 kasus tersebut dapat dilihat pada gambar
(6) di mana setiap warna merepresentasikan nilai 𝜹𝟏 yang berbeda.
Gambar 6. Simulasi autonomous dengan perubahan 𝜹𝟏
Dapat dilihat apabila laju perpindahan individu terinfeksi tanpa gejala diturunkan, maka
memberikan total populasi sehat yang lebih sedikit, dan apabila laju perpindahan dinaikkan
maka memberikan total populasi sehat yang lebih banyak. Selain itu, apabila laju perpindahan
semakin kecil maka semakin rendah pula total populasi manusia terinfeksi, dan apabila laju
perpindahan semakin besar maka semakin tinggi total populasi manusia terinfeksi.
15
Simulasi autonomous terhadap perubahan 𝜹𝟐
Simulasi dilakukan dengan mempertimbangkan 3 buah nilai parameter 𝜹𝟐 yang berbeda, yaitu
0,670688918, 0,5, dan 0,8, yang memberikan nilai 𝓡𝟎 sebesar 1,0553, 1,0746, dan 1,0455
secara berurutan. Visualisasi hasil simulasi pada 3 kasus tersebut dapat dilihat pada gambar
(7) di mana setiap warna merepresentasikan nilai 𝜹𝟐 yang berbeda.
Gambar 7. Simulasi autonomous dengan perubahan 𝜹𝟐
Dapat dilihat bahwa apabila laju perpindahan individu terinfeksi dengan gejala menuju kelas
perawatan di rumah sakit diturunkan maka memberikan total populasi sehat yang lebih
sedikit, dan apabila dinaikkan maka memberikan total populasi sehat yang lebih banyak.
Selain itu, dapat dilihat bahwa apabila laju perpindahan semakin kecil maka total populasi
terinfeksi akan semakin tinggi, sementara apabila laju perpindahan semakin besar maka total
populasi manusia terinfeksi akan semakin rendah.
Simulasi autonomous terhadap perubahan 𝝃𝟏 dan 𝝃𝟐
Simulasi dilakukan dengan mempertimbangkan 3 buah nilai parameter 𝝃𝟏 dan 𝝃𝟐 yang
berbeda, yaitu 0,287400161, 0,2, dan 0,3, yang memberikan nilai 𝓡𝟎 sebesar 1,0553, 0,7557,
dan 1,0985 secara berurutan untuk 𝝃𝟏 dan 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟏𝟑𝟔𝟔𝟐𝟐, 0,02, dan 0,03, yang memberikan
nilai 𝓡𝟎 sebesar 1,0553, 1,0399, dan 1,0650 secara berurutan untuk 𝝃𝟐 . Visualisasi hasil
simulasi pada 3 kasus tersebut dapat dilihat pada gambar (8) yang merepresentasikan nilai 𝝃𝟏
yang berbeda dan gambar (9) yang merepresentasikan nilai 𝝃𝟐 yang berbeda.
16
Gambar 8. Simulasi autonomous dengan perubahan 𝝃𝟏
Gambar 9. Simulasi autonomous dengan perubahan 𝝃𝟐
Dapat dilihat pada gambar (8) dan (9) bahwa apabila produksi virus bebas semakin besar, maka
total populasi sehat akan semakin sedikit dan total populasi terinfeksi akan semakin banyak.
Sementara itu, apabila produksi virus bebas semakin kecil, maka total populasi sehat akan
semakin banyak dan total populasi terinfeksi akan semakin sedikit. Hal ini menandakan bahwa
apabila dilakukan upaya seperti penggunaan hand sanitizer, maka virus yang diproduksi oleh
individu terinfeksi dan kemudian menempel pada suatu permukaan benda akan berkurang
sehingga penyebaran COVID-19 pun dapat diminimalkan.
17
Kesimpulan
Pada skripsi ini, telah dikonstruksi model matematika penyebaran penyakit COVID-19
di DKI Jakarta, yaitu model 𝑆𝐴𝐼𝑄𝐻𝑅 yang mempertimbangkan kontak dengan permukaan
terkontaminasi dan dua jenis upaya penanganan bagi individu terinfeksi, yaitu pemberlakuan
aktivitas isolasi mandiri di rumah bagi individu terinfeksi tanpa gejala dan pemberlakuan
perawatan khusus di rumah sakit bagi individu terinfeksi dengan gejala. Model ini membagi
populasi manusia ke dalam 6 kategori berdasarkan status kesehatannya dan 1 kompartemen
tambahan yaitu permukaan terkontaminasi (𝐶) yang berisi virus di lingkungan bebas yang
diproduksi oleh individu terinfeksi. Namun, durasi virus bertahan pada suatu permukaan
benda jauh lebih singkat dibandingkan durasi hidup populasi manusia, sehingga jumlah virus
pada permukaan terkontaminasi dapat dengan cepat mencapai titik ekuilibrium. Oleh karena
itu, dilakukan metode Quasi-Steady State Approximation (QSSA) untuk mereduksi
kompartemen 𝐶 sehingga diperoleh model berdimensi 6.
Pada skripsi ini juga telah dilakukan kajian analitik dan simulasi numerik terhadap
model. Kajian analitik model 𝑆𝐴𝐼𝑄𝐻𝑅 meliputi analisis ℛ0 dan analisis eksistensi dan sifat
kestabilan titik-titik keseimbangan. Dengan menggunakan metode NGM, didapatkan ℛ0 yang
digunakan untuk mengetahui kriteria eksistensi dan kestabilan titik keseimbangan. Pada
analisis eksistensi titik keseimbangan, diperoleh dua jenis titik keseimbangan yaitu titik
keseimbangan bebas penyakit (DFE) dan titik keseimbangan endemik (EE). Setelah itu,
dibahas mengenai kestabilan masing-masing titik keseimbangan bergantung dengan nilai ℛ0 .
Dengan menggunakan metode Van den Driessche diketahui titik DFE selalu bersifat tidak
stabil saat ℛ0 > 1 dan bersifat stabil asimtotik saat ℛ0 < 1. Sementara itu, titik EE terjamin
ada dan bersifat stabil asimtotik saat ℛ0 > 1 dan tidak ada saat ℛ0 < 1.
Kajian numerik model 𝑆𝐴𝐼𝑄𝐻𝑅 yang dilakukan pada skripsi ini meliputi penaksiran
parameter, analisis elastisitas dan sensitivitas ℛ0 , dan simulasi autonomous. Penaksiran
parameter telah dilakukan menggunakan data kasus positif aktif COVID-19 di DKI Jakarta
sejak tanggal 30 November 2020 hingga 31 Maret 2021. Berdasarkan metode yang dilakukan,
upaya pemberlakuan isolasi mandiri dan perawatan khusus di rumah sakit, serta peraturan
pemakaian hand sanitizer terbukti sukses mereduksi penyebaran penyakit COVID-19 di DKI
Jakarta. Melalui analisis elastisitas ℛ0 , diketahui bahwa peningkatan kedua laju perpindahan
individu terinfeksi tanpa gejala menuju kelas isolasi mandiri dan laju perpindahan individu
terinfeksi dengan gejala menuju kelas perawatan khusus di rumah sakit dapat menyebabkan
penurunan pada nilai ℛ0 , dan melalui analisis sensitivitas ℛ0 , diperoleh informasi lebih lanjut
18
bahwa peningkatan laju perpindahan individu terinfeksi tanpa gejala menuju kelas isolasi
mandiri lebih dari 0.9310290162 dapat menyebabkan nilai ℛ0 < 1 tanpa mempertimbangkan
besar laju perpindahan individu terinfeksi dengan gejala menuju kelas perawatan khusus di
rumah sakit. Selain itu, dapat diketahui berdasarkan hasil simulasi autonomous bahwa
penerapan upaya isolasi mandiri, perawatan khusus di rumah sakit, dan penggunaan hand
sanitizer dapat menurunkan jumlah populasi terinfeksi COVID-19 di DKI Jakarta.
Saran
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada skripsi ini, dapat dilihat bahwa terdapat
potensi besar dari upaya pemberlakuan isolasi mandiri dan perawatan khusus di rumah sakit,
serta peraturan pemakaian hand sanitizer dalam mengontrol penyebaran penyakit COVID-19.
Semakin besar intensitas upaya yang dilakukan, maka akan semakin baik hasil yang
diperoleh. Akan tetapi, jenis upaya yang telah disebutkan tidak dapat dilakukan secara masif
karena adanya keterbatasan biaya. Oleh karena itu, pada penelitian selanjutnya, disarankan
untuk melanjutkan model matematika yang dibentuk dengan memfokuskan penelitian pada
masalah optimal kontrol pada upaya yang digunakan untuk menekan penyebaran penyakit
COVID-19.
19
Daftar Referensi
Anton, H. (2012). Elementary linear algebra (11th ed.). New York: John Wiley and Sons, Inc.
Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problems. New York: John Wiley and Sons, Inc.
Diekmann, O., Heesterbeek, J. A. P., dan Roberts, M. G. (2009). The construction of nextgeneration matrices for compartmental epidemic models. Journal or The Royal Society
doi:10.1098/rsif.2009.0386.
Kermack, W.O., McKendrick, A.G. (1927). A contribution to the mathematical theory of
epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of
a Mathematical and Physical Character Hal 700-721.
Martcheva, M. (2015). An Introduction to Mathematical Epidemiology. New York: Springer.
Verhulst, F.(1990). Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Berlin: SpringerVerlag.
World Health Organization (WHO). (2021). Coronavirus disease (COVID-19): QA for public.
https://www.who.int/indonesia/news/novel-coronavirus/qa/qa-for-public.
World Health Organization (WHO). (2022). WHO Coronavirus (COVID-19) Dashboard.
https://covid19.who.int/.
Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2nd
ed.). New York: Springer-Verlag
Dinas Kesehatan Provinsi DKI Jakarta. (2022). Data Pemantauan COVID-19 DKI Jakarta.
https://corona.jakarta.go.id/id/data-pemantauan.
Dinas Kesehatan Provinsi DKI Jakarta. (2021). Linimasa Kebijakan Pemprov DKI Jakarta
Terkait Penanganan COVID-19. https://corona.jakarta.go.id/id/kebijakan.
Centers
for
Disease
Control
and
Prevention.
Symptoms
of
COVID-19.
https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/symptoms-testing/symptoms.html.
20