1. 甚麼是有限元素法 有限元素法是用於解決工程學和數學物理學問題的一種數值方法。將連續的 介質(如零件、結構等)看作由在有限個節點處連接起來的有限個小塊或單元所 組成，然後對每個元素通過取定的差值函數，將其內部每一點的位移用元素 節點的位移來表示，隨後根據介質整體的協調關係，建立包括所有節點的這 些未知量的聯立方程組，最後用電腦求解該聯立方程組，以獲得所需的解 答。當元素足夠小時，可以得到十分精確的解答。 2. 有限元素法的歷史 時間 事件 1943 McHenry 用線單元求出連續體中應力的解 1947 Levy 建立柔度法或力法 1954 Angyris, Kelsey 利用能量原理建立了矩陣結構分 析方法 1956 Turner 等人首次使用的二維單元 1960 Clough 用三角形單元和矩形單元進行平面應力 分析時引進了有限元習慣用語 1961 Melosh 建立了平面矩形板彎曲單元剛度矩陣 1963 Melosh 利用四面體剛度的矩陣方法將有限元素 方法延伸到三維問題 1965 Archer 通過建立一致質量矩陣進行動力分析， 用於分析分布質量系統 1965~1968 求解了場問題，如確定軸的扭轉、流體流動和 熱傳導 1969 Szabo, Lee 推導已知的用於結構分析的彈性方程 1976 Belytschko 考慮了與大位移非線性動力特性有關 的問題 有限元方法在工程上得到了廣泛應用，經歷了幾十年的發展歷史，理論和演 算法都日趨完善。隨著電腦技術的普及和計算速度的不斷提高，有限元分析 在工程設計和分析中得到了越來越廣泛的重視，已經成為解決複雜的工程分 析計算問題的有效途徑。 3. 有限元素法應用領域 可用於結構與非結構問題的分析。 結構問題如下: (1) 應力分析(橋、高層建築、風力發電塔)以及孔、圓角或物體(汽車零件、壓 力容器等)內幾何形狀改變的應力集中問題。 (2) 屈曲，如柱、框架和容器中。 (3) 振動分析。如振動設備。 (4) 碰撞問題。如車輛碰撞 非結構問題如下: (1) 熱傳遞。 (2) 流體流動。 (3) 電勢或磁勢的分布。 此外，也可應用某些生物力學工程問題。 4. 有限元素法的優點 (1) 精確表示複雜的幾何形狀。 (2) 可以描述多樣的材料特性。 (3) 輕鬆表示整體解決方案。 (4) 精確描述局部現象。 (5) 能夠處理各種數量和類型的邊界條件 (6) 單元的大小是可變的，必要時可以使用小單元。 (7) 可包含動力效應。 (8) 可處理大變形和非線型材料帶來的非線性問題。 5. 有限元素法(FEM)、有限差分法(FDM)、邊界元素法(BEM)比較 Boundary Element Finite Element Finite Difference Method (BEM) Method (FEM) Method (FDM) Theoretical basis Based on Based on Based on finite Advantages Disadvantages approximation on equivalent governing integral relation using boundary segments approximation on equivalent governing integral relation using finite segments. Discretisation of the boundary only Ideal for infinite problem Less computational time Mostly nonsymmetrical matrices Requires complicated integral relation Difficult treatment of inhomogeneous nonlinear problems Integration of simple function Symmetrical and sparse matrices Requires domain meshes Not suitable for infinite problems Requires integral relation from variational principle or weighted residual formulation Computation process is time consumings difference approximation on governing differential equation using a grid of uniformly spaced nodes. Easiest method to implement No numerical integration Requires domain meshes Not suitable for infinite problems Requires very find grids Computation process is time consuming