Chapter 3
Fourier Series and Fourier Transform
The Fourier Series
Joseph Fourier
1768 to 1830
Fourier studied the mathematical theory of heat
conduction. He established the partial differential
equation governing heat diffusion and solved it by
using infinite series of trigonometric functions.
Joseph Fourier
1768 to 1830
กค
ตศาสต
ใ แ ญหา
าง
การไหล ของ ค
ความ
อน →
.
ค น
ร์
ณิ
ลื่
ช้
3.1 บทนำ อนุกรมฟูเรียร์และการแปลงฟูเรียร์ ซึ่งนําเสนอโดย Jean Baptiste Joseph
Fourier นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ซึ่งได้ใช้อนุกรมดังกล่าวในการอธิบาย ปรากฏการณ์
การนําและการกระจายความร้อนผ่านวัตถุ ซึ่งต่อมานักวิทยาศาสตร์และ วิศวกรได้นํามา
ประยุกต์ใช้ในเรื่องต่าง ๆ มากมาย ซึ่งในบทนี้จะนํามาใช้ในการ วิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้า
ก้
นั
ร้
จ้
รื
ปั
The Fourier Series
อน
การ ค ท . ของ
.
ค นแ ห
แรง เค อนไ
การ
ค
โลก ราว
I/P
พา
-
ด
นางลออ
อา ต
-
Linear Circuit
Sinusoidal Inputs
O/P
OK
Nonsinusoidal Inputs
Nonsinusoidal Inputs
Sinusoidal Inputs
ย์
ทิ
ลื่
ลื่
ล็
ม่
สัญญาณไฟฟ้าส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติเกือบทั้งหมด จะสามารถแยกออกเป็น องค์
ประกอบของสัญญาณรูปซายน์หลายความถี่ ในกรณีสัญญาณมีคาบ การแยก องค์
ประกอบของสัญญาณเราจะเรียกว่า อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series) ส่วนกรณีสัญญาณ
ไม่มีคาบ การแยกองค์ประกอบของสัญญาณเรา จะเรียกว่า การแปลงฟูเรียร์ (Fourier
Transform) ดังนั้นในช่วงแรกนี้เราจะกล่าวถึงนิยามของฟังก์ชันมีคาบว่ามีนิยามอย่างไร
ฟฺ
นั้
นำขึ้
นำ
น นง
5
⑤
๒
ysn
การ
50
เ ม ง น 51h40
เ าไป ใน ญญาณ
input เ อ ใ ไ
นค น
ง
☒
=
f
6
✓
หา ความ
F. 5.
ง software
tphone
ค น
☆
ค
ใ
.
ง มาก ๆ ใ เ น
า
ชั
ก์
ย์
ห้
ลื่
ลื่
ลื่
ด้
ห้
ห้
ติ
ด
ข้
น
Magnitude
↓
พื่
h
↑
|
§
ป็
นำ
ฟั
สั
ก็ชิ
พั
ยั
ก็สู
ที่มี
ศู
พั
จุ
ค่
r
ก ของ ค
น
-12T )
%
fcttp
ifct)
i
1
T
I
↑
1
-
TT
fcx )
0
d
d
⑤⑧
↓
d
00
จน
fcx)
0
+
=
ฅุ๋
ศู๋
roro
ขุ่
ฑุ๋
ศํ๊
E #ง
%
#
^
0 •
( ancosnxtbnsinnx)
n
→
ฐิ
%☒
☆
ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาคาบของฟังก์ชันต่อไปนี้
indita
5in
sinx
-
naffgg
fysift
1
l
=
f☒
☆
1h3 ☒
7)
C
( ✗ +2T )
T
=
2T
SIN 2✗ 44T )
=
sin 2 ( × +21T )
% ×%)
^
lnnnบนนไง
µ
€$
+
=
5in
13 ✗ 46K)
←hrnnลไไงง
=
fc ✗ +7)
5in 31 ✗ 42K )
"
#
2T
L
=
§
Sudv
☆¥
ภั่
ฎู๋
T
=
uv
dvi [ W ]
-
Svdu
%
vdu
|
↓
ง
14
1
3
_
☐
Scosudussinu
Ssinuduesu
Iitaxx
a.
a.
#
#
5in
)
00s c- × า
=
=
10N
•
ง
⑦
④④
⑤
•
"
•
cp 1)
งุ๋
นั๋
ษุ์
วื
fcx )
-
sinx
cosx
←
0
dlnx )
a
=
0
a
dcnx )
⑧
00
inbnm
0
\
;
บาลาน
÷ ◦
µ
Cosn #
[× ]
"
=
e- ☐
พุ๋
fcx
%+
ancosnxtbnsinnx
)p
ssnttsrse
☐
☐
☐
II. ↑
ร
"""
วะ
☐
oxa
๐
◦
-25in ส ✗
0
⑤
☐
000
°
เล
☐
☒
⑤
พ
→
◦
*
°
⇐
T
=
⑦
2#
#
L
,
× <
*
=
1T
*
1
.tt
"
" ""
bn
→
→
-
☒
1☐
ค
ธ์
ณี
0
ม น
foiidgg.fc.sn
.
เ ง
sinnxdx
<ำ
-
พั
=
ao
-
ชิ
สั
งุ๋
ณั้
กร
=
ตก
=
SSI "
"
dU
0h
Tg
xdx
0
=
{
0
,
ทน
mn
=
◦
|
ศู
ฏู๋
02K
Lปง
% 2L
0g
←
0
a-
T = 2T
li K
เ
flx )
Is
evenfunctbm
Fc
fc
-
fcx )
✗
an
#×
fc
×
✗
-
)
×)
✗
¥ᵈ
"
=
"
fis
.
=
×
=
#[
#[
-
_
×
-
fcx )
3
-
_
=
Fmctiต
fcx ) #
=
=
=
fcx )
even
=
)
c- × )
2
bn { {xsin ¥ dx
=
-09
2
) = 1- × )
=
is
×
2
=
f
=
×
f c- × )
fcx ) Is Oddfmctioh
#
①
-
-
3
3
☐
-
✗
fcx )
โ
#
oddfmctim
.
¥ # ¥/ I
✗ 5in "
+
+
"" "
ฑื่ ¥ | 1
""
อยนะ
นเ
การ
น
๐
bn
§
=
น
ง
วง
ง น
"
""
☆
ED
งง
""
คาบ
0
"
°
T
E.si
=
%
1)
=
u
innx
=
×
!
!
µฏํ๋
dv
#
2K
↳y
ญ
m
"
-
×
v.
↳
ชั
ลื่
ชั
ก์
/
_
฿
%แ
"" "
%ง
=
ก์
ฟั
ฟั
ช่
ฟั
ที่
ทั
ฃื
ยึ
นั้
ดั
คี่
ง
sinmso
cosn
งแ ↑
#[
0t 5inmt-OJsins-gi.in
-
+
sinnmsinnt
T -2T
)
COSEUT
cgn
=
=
L
C-
1T
=
~
% ×า
bvi
-
=
⑤
#[
ำ¥
i
( ancosnxxbnsinnx
+
"
ะ
-
c- ☐
c- 1)
[
ำ+
ฉู่
หื
พื่
ฒั้
ฎู๊
ทํ๊
ณื๋
•
0 ⇐
"
-
เ
]
]
ำ⇐
+
%
,
F. 5.
'
ม
=
{ §
"
"
sinnx
+
)
,
*
↓
→
-
£1 )
ใ-.my/-
% ×) ใน ทบ
×
น
วง
เอง
≤
๗
บ fix ) ใน
ศุ๋
หุ๋
ค๋
-2T
•
•
4 เห อน
.
2T
อ
-ะ
-
ง
มื
หั๋
ช่
ษุ๊
ทื๋
นั้
ดั
กั
§
☐
ใน
2*
×
×
๓
ย
.
.
ม
ม
F. ร
.
.
¥
.
"
% innx
ช่
พั
°
☒
◦
T
=
4
L= 2
FEX )
=
=
4- (a)
2
4- ×
$ 1 ✗]
=
§
ใน bn
ao
ล
%
วง
\
+
=
0
Find
2
=
ง
§
_
"
แแ
Cn F)
2
"
( 2ำ
,
an
จะไ
90
%✗ )
bn
า
1
=
[
=
{
%4
L 2
ใน
=
§
¥
""
an
=
=
ᵈ×
{
ญํ๋
2
4- ×
=
-
=
ง
% ×)
น
§]
¥]
{ { C 4- 2) dx
×
=
]
± [18 § ) {-8 § )
+
-
¥
=
Ifmcosrmffdx
-
ᵈ
¥ (
=
มา
=
ง¥
1
5
dx
*
×
ฆื๋
วะ
¥ sif-sincf.ms
-
-
[ sinm¥
¥
0
แทน
=
.
]
[
=
]
บ
1mn
2
=
¥นน
[☐ ☐
☐
ย
ธี
-
¥④
*
ด้
L
แ
ง
4- c-
0
=
[ 4×
± [
=
=
Ifmdx
-
นื่
วิ
คู่
กั
นี้
ดั
ท๋
หื๋
ฌู๋
ษุ้
ญํ๋
ภิ้
ว่
เ อง มา
ใน
งl ¥%
"
"
=
16
""
c- n
(หา5)
2
By
นะ ท
¥%
% 0}
"
u
-
_
Parts 1
×
2
"
¥
""
×
-
+
2
o
=
-4
#
"" "
{
1
¥
-
↳
ᵈ×
การ
1.[
¥ ⑧
¥
-
Byparts
dv
2
du
#④
sinn
=
=
dx
¥
§ๆ [
2 มา# C- 2) [ 0s C- ☒5)
ii.
*
[
inn
¥]
1
÷
%
ฒื๊"¥#
ⁿ
ฑ์
←
ญุ๋
ณํ๊
⇐
ภํ๋
=
]
ด้
=
2
uix
""
ฏื๋
วํ้
ฑุ
หื้
พิ
ตื๊ฟู้
วิ้
ฃุ์ษื๋
ฐิ้
จารณา
0
Quit
งํ๋
คู่
0
bvi 0
T
=
↳
"
2T
ศ
T
0
0
%
8
2
/#
ม่
☒
หื๊
ง
.
0
ป็
งิ๋
งิ๋
วุ
มี
กั
งึ๋
0
✓
ไ เ น พา
น
①
ท
AI
Ldlimrxf
↳
1
EJ
.
"
|
"
"
-2" " " "
3 3
แ
¢