HEC Université de Lausanne
Bachelor en Sciences Économiques
Macro II
Notes de cours∗
Prof. Pascal St-Amour†
5 septembre 2022
Avant-propos
Ces notes de cours sont destinées à titre de matériel pédagogique pour les étudiants de
Macro II. Les notes sont un complément au matériel vu en classe et ne constituent pas
un substitut à la présence active en cours. La notation et le traitement sont parallèles à
ceux retrouvés dans les livres de Wickens (2011); Sørensen and Whitta-Jacobsen (2005);
Romer (2012). Les étudiants sont encouragés à me rapporter toute erreur ou omission
(voir Annexe I pour les modifications apportées aux notes de cours).
∗
†
c 2022 Pascal St-Amour.
Faculté des Hautes Études Commerciales (HEC), Université de Lausanne, Internef 520, CH-1015 Lau-
sanne, Suisse. tel.: +41.(0)21.692.3477, fax.: +41.(0)21.692.3435. mail: Pascal.St-Amour@unil.ch, page
personnelle: http://people.unil.ch/pascalst-amour/.
Table des matières
1 Économie centralisée
8
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Règle d’Or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Allocation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.1
Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.2
Coûts d’investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2 Croissance économique
21
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Modèle croissance : Équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Modèle Solow-Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4
Croissance optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5
Croissance endogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5.1
Modèle AK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.5.2
Modèle capital humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3 Économie décentralisée
29
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
Consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3
Offre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Entreprises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5
Équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.5.1
Contraintes ménages et entreprises . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5.2
Équilibre marché du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5.3
Comparaisons économies centralisées et décentralisées . . . . . . .
39
1
3.6
Modèle générations imbriquées (OLG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Dépenses gouvernementales et finances publiques
39
44
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2
Contrainte budgétaire gouvernementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.3
Financement dépenses gouvernementales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.3.1
Financement fiscal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.3.2
Équivalence Ricardienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Soutenabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.4.1
Modèle soutenabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.4.2
Analyse état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.4.3
Dette et dynamique des déficits . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.4.4
Mécanismes de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Finances publiques optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.5.1
Optimum social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5.2
Équilibre compétitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Lissage fiscal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4
4.5
4.6
5 Économie ouverte
63
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2
Allocation optimale économie ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.1
Balance courante et balance des paiements . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.2
Soutenabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2.3
Allocation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.2.4
Application : Deux périodes (t, t + 1) . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.3
Biens échangés (T ) et non-échangés (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.4
Taux de change réels et termes de l’échange . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.5
Déficits jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2
6 Introduction économie monétaire
74
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.2
Perspectives historiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.3
Contrainte budgétaire avec monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.4
Modèle de liquidités en amont (CIA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.5
Modèle de services valorisés de la monnaie (MIU) . . . . . . . . . . . . .
80
6.6
Monnaie comme bien intermédiaire (MIG) . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6.7
Évidence empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
7 Politique monétaire
87
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
7.2
Inflation, croissance monétaire et taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . .
87
7.3
Structure à terme des taux d’intérêt et politique monétaire . . . . . . . .
89
7.4
Fondements Micro pour politique contra cyclique . . . . . . . . . . . . .
92
7.5
Politique monétaire en économie rétrospective . . . . . . . . . . . . . . .
99
7.5.1
Règles de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
7.6
Discussion politique monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
7.7
Incohérence dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
7.8
Seigneuriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
7.8.1
Inflation et seigneuriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
7.8.2
Hyperinflation et seigneuriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
8 Rigidités nominales
118
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
8.2
Faits empiriques prix, salaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
8.3
Compétition monopolistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
8.4
Rigidités nominales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
8.4.1
Modèle Taylor (1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
8.4.2
Modèle Calvo (1983) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
3
8.5
Courbe Philips Néo-Keynésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Chômage
129
132
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.2
Faits empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.3
Modèle de Recherche et Appariement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
9.3.1
Fonction d’appariement et dynamique de l’emploi . . . . . . . . .
135
9.3.2
Allocation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
9.3.3
État stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
Salaires d’efficience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
9.4.1
Resquillage et efficience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
9.4.2
Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Rigidités nominales et chômage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
9.4
9.5
10 Taux de change nominaux
152
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
10.2 Perspectives historiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
10.3 Parités taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
10.3.1 Neutralité au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
10.3.2 Aversion au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
10.4 Modèle Keynésien IS-LM-BP
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
10.4.1 Modèle Mundell-Fleming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
10.4.2 Modèle monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
10.4.3 Modèle Dornbusch (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
A Approximation de Hicks
170
B Expansions de Taylor
171
C Homogénéité de degré 1
171
4
D Rappels croissance
172
E Sommes infinies
175
F Opérateurs retards et futurs
175
G Distributions et anticipations
178
H Équations de différence de second ordre
179
I
180
Modifications et corrections
Liste des tableaux
3.1
Marchés, agents économiques et décisions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2
Comparaisons économies centralisée et décentralisées . . . . . . . . . . .
40
4.1
Hyperinflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2
Déficit et dette européenne, 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3
Allocation optimale vs équilibre compétitif . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.1
Contrainte ressources, deux secteurs, économie ouverte . . . . . . . . . .
69
6.1
Rendements sur obligations et sur monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.1
Effets des FF sur différentes maturités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.2
Revenus de seigneuriage et taux d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
Table des figures
1.1
Production, produit marginal et dépréciation . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Consommation et Règle d’Or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Allocation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
Allocation optimale vs Règle d’Or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Diagramme de phase et Sentier de Selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
5
1.6
Sentier de selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.7
Effets chocs technologiques positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.8
Allocation optimale vs Règle d’Or vs Coûts d’ajustement . . . . . . . . .
20
2.1
Solow-Swan et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2
Modèle AK et non-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1
Effets changement taux intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2
Taux intérêt et demande capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3
Taux intérêt et investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4
Salaire et demande main-d’oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.1
Part des dépenses publiques dans l’économie (US). . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Part de la dette publique dans l’économie (US). . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3
Soutenabilité dette publique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.1
Allocation optimale économie ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.2
Déficits jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.1
Contrainte de Clower (CIA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.2
MIG et temps de shopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.3
Demande de monnaie et taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.4
Demande de monnaie et changements salaires . . . . . . . . . . . . . . .
85
7.1
Inflation et croissance monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
7.2
Effets de long-terme hausse de croissance monétaire . . . . . . . . . . . .
90
7.3
Système progressif et distorsions fiscales de l’inflation . . . . . . . . . . .
93
7.4
Taux Effectif Fonds Fédéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7.5
Inflation optimale, offre agrégée de Lucas et courbe Phillips accélérationniste 97
7.6
Aversion au risque et coût utilitaire fluctuations consommation . . . . . .
99
7.7
Vélocité M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
7.8
Inflation et croissance monétaire : Pays à forte inflation . . . . . . . . . .
107
7.9
Inflation optimale : Modèle Kydland et Prescott . . . . . . . . . . . . . .
109
7.10 Inflation optimale et délégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
6
7.11 Indépendance banque centrale et inflation modérée . . . . . . . . . . . .
112
7.12 Indépendance banque centrale et inflation élevée . . . . . . . . . . . . . .
113
7.13 Revenus de seigneuriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
7.14 Hyperinflation et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
8.1
Elasticité de substitution et rente de monopole . . . . . . . . . . . . . . .
121
8.2
Contrats imbriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
8.3
Persistance des salaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
8.4
Dynamiques des salaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
9.1
Heures travaillées US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
9.2
Taux de chômage US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
9.3
Emploi US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
9.4
Salaires US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
9.5
Courbe de Beveridge 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
9.6
Courbe de Beveridge 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
9.7
Effets des coûts d’annonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
9.8
Effets des taux de remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
9.9
Effets des taux de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
9.10 Salaire d’efficience et condition de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
9.11 Effets du salaire d’efficience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
9.12 Effets de couverture assurance-chômage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
9.13 Effets de productivité (via prob. détection q) . . . . . . . . . . . . . . . .
148
9.14 Rigidités nominales et dynamique des salaires . . . . . . . . . . . . . . .
150
9.15 Rigidités nominales et dynamique de l’emploi 1 . . . . . . . . . . . . . .
150
9.16 Rigidités nominales et dynamique de l’emploi 2 . . . . . . . . . . . . . .
151
10.1 Mundell Fleming : Hausse de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
10.2 Mundell Fleming : Hausse de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
10.3 Modèle de sur-réaction de Dornbush
169
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Économie centralisée
1.1
Introduction
Modèle de croissance optimale de Ramsey (1928).
— Allocation optimale de l’output séparé entre la consommation et l’épargne
— Épargne = investissement. Détermine output et consommation futurs.
Simplification : Tous agents identiques.
— Agent représentatif
— Planificateur social : Cherche à maximiser bien-être agent représentatif.
1.2
Modèle
Trois équations fondamentales
1. Idendité comptable nationale
y t = ct + i t
— Economie privée : gt = 0
— Economie fermée : nxt = 0
2. Investissement brut = investissement net + dépréciation
it = ∆kt+1 + δkt
(1.1)
3. Production :
yt = F (kt )
— Restrictions : Monotonicité et concavité
F (0) = 0;
Fk ≡ F 0 ≥ 0;
F ≥ 0;
8
Fkk ≡ F 00 ≤ 0
— Inada :
lim Fk = ∞;
k→0
lim Fk = 0.
k→∞
— Exemple fonction de production Cobb-Douglas :
F (K, N ) = K α N 1−α ,
α ∈ (0, 1)
=⇒ F (k) ≡
F (K, N )
= kα,
N
où k ≡ K/N .
Contrainte dynamique de faisabilité (Graphique 1.1) :
F (kt ) = ct + ∆kt+1 + δkt .
(1.2)
Figure 1.1 – Production, produit marginal et dépréciation
Objectif du planificateur social : Etant donné kt , choisir variables de contrôle (ct , kt+1 )
pour maximiser utilité escomptée provenant de consommation sujet à (1.2).
9
— Si futur n’est pas escompté =⇒ Règle d’Or.
— Si futur est escompté =⇒ Croissance optimale.
— Dans les deux cas, kt : variable d’état (pré-déterminée, conditionnellement exogène).
Résultante des décisions passées.
1.3
Règle d’Or
Deux cas possibles :
1. Pas d’utilité pour consommation future (myope)
max ct = F (kt ) − kt+1 + (1 − δ)kt
{kt+1 }
solution : kt+1 = 0 =⇒ F (kt+1 ) = 0 =⇒ ct+1 = 0 ! Non soutenable.
2. Allocation soutenable à long terme. Consommation constante à chaque période
kt = k, ∀t (équilibre stationnaire, SS)
max c(k) = F (k) − δk
{k}
Solution : Règle d’Or (Graphique 1.2)
c0 (k # ) = F 0 (k # ) − δ = 0
Caractéristiques :
— Soutenable indéfiniment si pas de perturbations
— Exemple guerre : Réduit k < k # =⇒ F (k) < F (k # ). Si consomme toujours
c# , obtient ∆k = F (k) − δk − c# < 0. Non soutenable.
— Consommation excessive c > c# : Non-soutenable pour les mêmes raisons.
10
Figure 1.2 – Consommation et Règle d’Or
1.4
Allocation optimale
Cas plus réaliste : Non indifférence entre présent et futur. Ceteris paribus, préfère toujours consommation présente à future (impatience). Problème du planificateur social,
maximiser utilité escomptée sujet à contrainte de ressources (1.2) :
max
{ct+s ,kt+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
β s U (ct+s ),
sujet à
s=0
ct+s + kt+s+1 = F (kt+s ) + (1 − δ)kt+s ,
∀s ≥ 0
Restrictions :
— Escompte positive, monotonicité, concavité :
β≡
1
∈ (0, 1),
1+θ
Uc ≡ U 0 (c) ≥ 0,
11
Ucc ≡ U 00 (c) ≤ 0
— Transversalité :
lim β s U 0 (ct+s )kt+s+1 = 0.
s→∞
Implique que valeur marginale de l’épargne tend asymptotiquement vers zéro.
Solution : Par équation de Bellman (dès MSc), ou par Lagrangien
— Pose λt ≥ 0 est multiplicateur de Lagrange associé à contrainte de faisabilité (1.2)
∀t.
— Condition de premier ordre (CPO) :
β s U 0 (ct+s ) = λt+s
λt+s = λt+s+1 [F 0 (kt+s+1 ) + (1 − δ)]
tient ∀s ≥ 0, donc tient pour s = 0.
— Optimum dynamique (équation d’Euler) :
U 0 (ct )
| {z }
Coût marginal présent épargne
= βU 0 (ct+1 ) [F 0 (kt+1 ) + (1 − δ)]
|
{z
}
(1.3)
Bénéfice marginal escompté épargne
Discussion :
— De contrainte de faisabilité (1.2) :
ct+1 = F [F (kt ) − ct + (1 − δ)kt ] − kt+2 + (1 − δ) [F (kt ) − ct + (1 − δ)kt ]
(1.4)
(Courbe des possibilités inter-temporelles de production, IPPF) d’où :
dct+1
= −F 0 (kt+1 ) − (1 − δ) ≤ 0
dct
2
d ct+1
= F 00 (kt+1 ) ≤ 0
2
dct
IPPF décroissante et concave dans plan (ct , ct+1 ).
12
— Soit deux périodes s = 0, 1 :
Vt = max U (ct ) + βU (ct+1 )
fixé à V̄ sur courbe d’indifférence (IC). Par dérivée totale :
dct+1
−U 0 (ct )
=
≤0
dct
βU 0 (ct+1 )
= −F 0 (kt+1 ) − (1 − δ)
de équation d’ Euler (1.3). Donc, pente IPPF = pente IC (Graphique 1.3).
Figure 1.3 – Allocation optimale
Liens avec Règle d’Or :
13
— À long-terme, équilibre stationnaire ct = c∗ , ∀t =⇒ dans Euler (1.3) :
F 0 (k ∗ ) = β −1 − 1 + δ = θ + δ > 0
Par impatience θ > 0 =⇒ k ∗ < k # =⇒ c∗ < c# (voir Graphique 1.4).
Figure 1.4 – Allocation optimale vs Règle d’Or
Propriétés dynamiques :
— Optimum caractérisé par faisabilité (1.2) et Euler (1.3), où, par expansion de
Taylor (voir Annexe B) :
U 0 (ct+1 ) ≈ U 0 (ct ) + U 00 (ct )∆ct+1
U 0 (ct+1 )
≈ 1 − ARAt ∆ct+1 ;
U 0 (ct )
14
ARAt ≡
−U 00 (ct )
≥0
U 0 (ct )
Substitue dans condition optimum :
∆ct+1
1
1
≈
1−
ARAt
β[F 0 (kt+1 ) + (1 − δ)]
∆kt+1 = F (kt ) − δkt − ct



> 0 si F 0 (k) élevé,


< 0 si F 0 (k) faible,



> 0 si c faible,


< 0 si c élevé,
Déterminent propriétés dynamiques (diagramme de phase dans Graphique 1.5)
— À gauche (À droite) de k ∗ : F 0 (k) − δ trop élevé (trop faible) =⇒ ∆ct+1 > (<)0.
— Sous (Par dessus) courbe F (k)−δk : ct trop faible (trop élevé) =⇒ ∆kt+1 > (<)0.
— Sentier de selle (Saddle Path, voir Graphique 1.5) existe tel que k ∗ est stable en
termes dynamique (∆kt+1 = ∆ct+1 = 0).
Figure 1.5 – Diagramme de phase et Sentier de Selle
Effets des chocs technologiques :
15
20
0
−20
5
0
−2
−5 −4
0
2
4
Figure 1.6 – Sentier de selle
Notes: Exemple équation sentier de selle : z = x2 − y 2 .
— Choc positif permanent : F (k), F 0 (k) ↑, ∀k. Déplace F (k)−δk; k ∗ vers droite (Graphique 1.7)
— Choc négatif permanent : inverse.
— Choc temporaire : Pas d’effet à long-terme.
1.5
1.5.1
Extensions
Travail
Hypothèses :
— Dotation temps disponible ≡ 1 = nt (travail) + lt (loisirs).
— Production F (k, n) :
— Monotonicité, concavité, Inada :
Fi ≥ 0,
Fii ≤ 0,
Fij ≥ 0,
lim Fi = ∞,
i→0
16
pour facteurs i, j = k, n, i 6= j,
lim Fi = 0.
i→∞
Figure 1.7 – Effets chocs technologiques positifs
— Homogénéité (voir Annexe C) :
F (k, n) = Fk k + Fn n
F (λk, λn) = λF (k, n)
Fi (λk, λn) = Fi (k, n),
i = k, n.
— Contrainte de ressources avec travail :
ct + kt+1 = F (kt , nt ) + (1 − δ)kt
— Préférences U (c, l) : Monotonicité, concavité.
Ui ≥ 0,
Uii ≤ 0,
Uij ≥ 0,
17
i, j = c, l, i 6= j.
(1.5)
Problème planificateur social, maximiser utilité escomptée, sujet à contrainte de ressources avec travail (1.5) :
max
{ct+s ,nt+s ,kt+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
lt+s
z }| {
β U (ct+s , 1 − nt+s ),
s
sujet à
s=0
ct+s + kt+s+1 = F (kt+s , nt+s ) + (1 − δ)kt+s ,
∀s ≥ 0
Allocation optimale : Euler (1.3) inchangée :
Uc,t = βUc,t+1 [Fk,t+1 + (1 − δ)]
Optimum statique choix consommation et loisir.
Ul,t
|{z}
=
Utilité marginale loisir
Uc,t Fn,t
| {z }
Coût marginal loisir
— Si marchés compétitifs : Inputs payés leurs produits marginaux respectifs (voir
Section 3.4) :
Fk,t − δ = rt
Fn,t = wt
— De propriété homogénéité :
F (k, n) = Fk k + Fn n
= (r + δ)k + wn
w = F (k) − F 0 (k)k
si normalize n = 1.
18
(1.6)
1.5.2
Coûts d’investissement
Jusqu’ici, pas de coûts additionnels associés à l’investissement :
— Une unité non consommée = une unité investie.
— Pas entièrement réaliste : Coûts supplémentaires de l’investissement (remplacement et installation nouveaux équipements, arrêt production, . . .)
Modification : Coûts ajustement
it
F (kt ) = ct + 1 + 0.5φ
kt
it
φ ≥ 0.
(1.7)
Si investissement important par rapport à capital installé, alors coûts plus importants.
Problème planificateur social, maximiser utilité escomptée, sujet à investissement (1.1)
(avec multiplicateur de Lagrange µt ) et à contrainte de ressources avec coûts d’ajustement (1.7) (avec multiplicateur de Lagrange λt ) :
max
{ct+s ,it+s ,kt+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
β s U (ct+s ),
sujet à
s=0
kt+s+1 = it+s + (1 − δ)kt+s
it+s
F (kt+s ) = ct+s + 1 + 0.5φ
it+s
kt+s
Condition optimalité :
it
µt
= (1 + φ ) ≥ 1
λt
kt







2


0
U (ct+1 )
1
0
qt
=β 0
F (kt+1 ) + 0.5φ
(qt+1 − 1)
+ qt+1 (1 − δ)
|{z}
| {z }
| {z } 
U (ct ) 
φ



{z
} valeur résid. capital
coût marginal capital
Produit marginal |

qt ≡
réduction coûts margin. futurs
— µt : Valeur marginale de relâcher contrainte investissement = valeur marginale
capital.
19
— λt : Valeur marginale de relâcher contrainte de ressources.
— qt = µt /λt (Tobin’s-q) : Valeur marginale capital/valeur marginale ressource =
M RSk,y = prix capital 6= 1.
— Cas standard φ = 0 =⇒ qt = 1, ∀t.
— À long-terme :
i
=δ
k
=⇒ q = 1 + δφ ≥ 1
Fk = θ + δ + φδ(θ + 0.5δ) > θ + δ
implique que k ∗ ↓ par rapport à cas précédent (Graphique 1.8).
Figure 1.8 – Allocation optimale vs Règle d’Or vs Coûts d’ajustement
20
2
Croissance économique
2.1
Introduction
Dernier chapitre : Équilibre statique à long-terme
— ∆kt = ∆yt = 0
— Pas réaliste : Croissance non-nulle à long-terme.
— Doit modifier le modèle : Taux croissance stable à long-terme (US : 1929-2010 :
6.3%)
Trois sources de croissance :
1. Capital.
2. Changement technologique (µ) : R&D, éducation.
3. Croissance de la population (n).
(voir Annexe D pour rappels règles de croissance)
2.2
Modèle croissance : Équations de base
Production agrégée :
Yt = F (Kt , Nt , t),
= Ktα (At Nt )1−α ,
(agrégée)
α ∈ (0, 1)
At = (1 + µ)At−1
Nt = (1 + n)Nt−1
Production par unité efficace de main-d’oeuvre :
ỹt ≡
yt
Yt
=
= k̃tα .
At Nt
At
21
Identité comptable nationale Yt = Ct + It :
ỹt = c̃t + ĩt .
Investissement et épargne :
It = ∆Kt+1 + δKt ,
= St ,
(économie privée)
d’où
(1 + µ)(1 + n) k̃t+1 = ĩt + (1 − δ)k̃t ,
{z
}
|
η ≈µ+n
(1+η)
Contrainte de ressources par unité efficace de main-d’oeuvre :
k̃tα + (1 − δ)k̃t = c̃t + (1 + η)k̃t+1
Deux approches :
1. Épargne exogène (Solow-Swan : Règle d’Or)
2. Épargne endogène : Croissance optimale
2.3
Modèle Solow-Swan
Taux d’épargne :
St
s̃t
= , constant, exogène
Yt
ỹt
Ct
c̃t
=1−
=1−
Yt
ỹt
It
ĩt
=
=
Yt
ỹt
s=
22
(2.1)
Croissance :
∆k̃t+1
k̃t
sk̃ α−1 − (δ + η)
= t
1+η
∆kt+1
γ(kt ) ≡
= γ(At ) + γ(k̃t )
kt
α−1
s(A−1
− (δ + µ + n)
t kt )
=µ+
1+µ+n
γ(k̃t ) ≡
— γkt ≤ 0 : Pays moins développés (kt faible) ont croissance plus rapide que pays
riches (convergence, Graphique 2.1).
— γs ≥ 0 : Pays avec taux épargne élevé ont croissance plus rapide.
— γn , γδ ≤ 0 : Pays avec croissance population et/ou dépréciation élevée ont croissance plus faible.
— γµ ≥ 0 si kt élevé : Pays avec changement technologique élevé ont croissance plus
rapide si suffisamment riches.
Taux croissance équilibrée :
— Lorsque yt , kt (et donc ct ) ont toutes même taux de croissance constant.
— À l’état stationnaire : k̃t , ỹt (et donc c̃t ) sont constants. Peut solutionner :
k̃ =
s
δ+η
1
1−α
— Implique que :
γ(kt ) = γ(yt ) = γ(ct ) = γ(At ) = µ
(croissance équilibrée).
— Pas de croissance si µ = 0.
23
(2.2)
Figure 2.1 – Solow-Swan et convergence
2.4
Croissance optimale
Problème planificateur social, maximiser utilité escomptée, sujet à contrainte de ressources (2.1) :
max
∞
X
{c̃t+s ,k̃t+s+1 }∞
s=0
β s U (ct+s ) =
∞
X
β s U (At+s c̃t+s ) ,
sujet à
s=0
s=0
α
k̃t+s
+ (1 − δ)k̃t+s = c̃t+s + (1 + η)k̃t+s+1
Suppose utilité iso-élastique (CRRA) :
U (c) =



 c1−σ −1 , si σ 6= 1
1−σ


log(c),
24
si σ = 1
(2.3)
Allocation optimale :
(1 + µ)1−σ
(1 + η) =
1+θ
c̃t+1
c̃t
−σ h
i
α−1
αk̃t+1
+ (1 − δ)
(2.4)
Euler (2.4) identique à (1.3) si µ, n = 0, sinon impact de croissance population et changement technologique sur allocation optimale.
État stationnaire : Peut évaluer Euler (2.4) à l’état stationnaire k̃t = k̃ :
α
n + σµ + θ + δ
α
n + σµ + θ + δ
k̃ =
ỹ =
1
1−α
α
1−α
ĩ = (η + δ)k̃
ce qui implique que :
s=
ĩ
(µ + n + δ)α
=
ỹ
n + σµ + θ + δ
est entièrement déterminé par les paramètres du modèle, plutôt que fixé de manière
exogène (Solow-Swan).
La croissance à l’état stationnaire est également donnée par (2.2) et demeure inchangée
par rapport au modèle Solow-Swan. Comme le taux µ est fixé (et non déterminé optimalement), on demeure dans un cadre de croissance exogène.
2.5
Croissance endogène
Modèle précédent : Croissance technologie µ est exogène
— Pas réaliste : Choix de R&D =⇒ choix de nouvelle technologie.
— Seul avantage des pays à coûts de main-d’oeuvre élevés (D, CH, . . .).
— Progrès technologiques surtout dans pays riches : Maintiennent avantage comparé.
25
2.5.1
Modèle AK
Production Yt = AKt , implique :
yt = Akt
∆kt+1 =
st yt − (δ + n)kt
(1 + n)
implique que
γ(kt ) =
st A − (δ + n)
(1 + n)
— Pas de main-d’oeuvre dans production.
— Rendements constants à l’échelle (technologie linéaire).
— Si paramètres s, A, δ, n identiques, croissance identique (pas de convergence, Graphique 2.2).
— Taux de croissance γ(kt ) dépend des paramètres (dont st ), pas exogène : Croissance
endogène.
2.5.2
Modèle capital humain
Technologie et investissement :
yt = Aktα ht1−α
= ct + ikt + iht
∆kt+1 = ikt − δkt
∆ht+1 = iht − δht .
— Sépare capital physique (kt ) de capital humain (ht ).
— Investissement en capital humain (iht ) : Éducation, formation au travail, . . ..
— Fait abstraction de main-d’oeuvre dans production.
26
Figure 2.2 – Modèle AK et non-convergence
Problème du planificateur social : Maximise utilité escomptée, sujet à contrainte de ressources :
max
{ct+s ,kt+s+1 ,ht+s+1 }∞
s=0
∞
X
β s U (ct+s ) ,
sujet à
s=0
α
1−α
kt+s+1 + ht+s+1 + ct+s = Akt+s
ht+s
+ (1 − δ)(kt+s + ht+s )
où suppose utilité CRRA (2.3).
Allocation optimale :
)
−σ (
α−1
kt+1
αA
+ (1 − δ)
1=β
ht+1
−σ α
ct+1
kt+1
=β
(1 − α)A
+ (1 − δ)
ct
ht+1
ct+1
ct
27
implique que
kt
α
=
,
ht
1−α
∀t
d’où :
1
γ(ct ) ≈
σ
(
αA
α
1−α
)
α−1
− (δ + θ)
— Taux de croissance γ(ct ) = γ(kt ) = γ(yt ) le long sentier équilibré.
— Endogène, dépend des paramètres du modèle à l’optimum :
— De équation Euler (1.3), utilisant rendement sur capital (1.6) et supposant
préférences iso-élastiques (2.3) :
1=β
ct+1
ct
−σ
(1 + rt+1 )
1
∂ ln(ct+1 /ct )
= ≡ EIS
∂rt+1
σ
où EIS est élasticité de substitution inter-temporelle.
— γEIS ≥ 0 si A élevé et/ou δ, θ faibles : Taux croissance plus élevé si forte réponse
de l’épargne à taux de rendement.
— γA ≥ 0 : Taux croissance plus élevé si technologie plus productive.
— γδ , γθ ≤ 0 : Taux croissance plus faible si forte dépréciation capital, impatience
élevée.
— Équivalence avec modèle AK :
yt = Aktα h1−α
t
α−1
kt
= Akt
ht
∗
= A kt ,
∗
A ≡A
28
α
1−α
α−1
.
3
Économie décentralisée
3.1
Introduction
Chapitres précédents : 1 seul agent
— Prend toutes les décisions.
— Épargne (investissement) et consommation
— Travail et loisir.
— Pas nécessaire de coordonner décisions.
Généralisations :
— Décisions des ménages :
— Consommation, offre de travail
— Détiennent entreprises.
— Entreprises :
— Choix investissement, demande travail.
— Paient dividendes aux actionnaires.
— Besoin mécanisme de coordination décisions décentralisées : Mécanisme de prix.
— Équilibres dans tous les marchés : Équilibre général dynamique (DGE).
— Simplification : Ménages identiques (représentatif) et entreprises identiques (représentative).
— Généralisation : Ménages différenciés par âge (OLG, Générations Imbriquées, Section 3.6).
3.2
Consommation
Problème ménage représentatif :
max
{ct+s ,at+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
s=0
29
β s U (ct+s ),
sujet à contrainte budgétaire (BC) :
revenus financiers
ct + at+1 =
z }| {
+ (1 + rt )at
xt
|{z}
(3.1)
autres revenus
Choix en investissement financier, plutôt que productif.
Allocation optimale :
1=β
Uc,t+1
Uc,t
[1 + rt+1 ] .
(3.2)
De comparaison Euler (3.2) avec Euler (1.3), et de discussion coût location du capital
equation (1.6) :
rt+1 = F 0 (kt+1 ) − δ
(prouvé formellement Section 3.4).
Discussion contrainte budgétaire :
— Contrainte (3.1) peut être ré-écrite par substitution prospective :
VAN consommation
z
n−1
X
at+n
+
j=1 (1 + rt+j )
s=0
|
{z
}
Qn−1
VAN actif/passif résiduel
VAN autres revenus
}|
{ z
}|
{
n−1
X
c
xt+s
Qs t+s
Qs
=
+at (1 + rt )
(1
+
r
)
t+j
j=1 (1 + rt+j )
j=1
s=0
|
{z
}
Wt : richesse totale ménages
— Ne peut financer consommation par emprunts perpétuels :
at+n
≥0
j=1 (1 + rt+j )
lim Qn−1
n→∞
(3.3)
(condition Non-Ponzi).
— Si suppose rendements constants rt = r, ∀t et que Non-Ponzi (3.3) tient avec
30
égalité, alors richesse totale définie par :
Wt =
∞
X
s=0
=
∞
X
s=0
xt+s
+ at (1 + r)
(1 + r)s
ct+s
(1 + r)s
i.e. richesse totale = VAN autres revenus + richesse financière = VAN consommation.
Discussion équation Euler (3.2)
— De discussion précédente, si suppose 2 périodes t, t + 1, alors pente IC donnée par :
−Uc,t
dct+1
=
= −(1 + rt+1 )
dct
βUc,t+1
— Si hausse taux rendement rt+1 , rotation contrainte budgétaire dans sens horaire
(Graphique 3.1). Deux effets :
1. Effet substitution : Consommation présente plus dispendieuse =⇒ ct ↓.
2. Effet revenu : Peut maintenir consommation future en augmentant consommation présente =⇒ ct ↑
Pas d’indication a-priori sur effet total = revenu + substitution.
— Si préférences iso-élastiques (2.3), substitue dans Euler (3.2),
1=
1
1+θ
ct+1
ct
−σ
(1 + rt+1 )
prends logs, utilise approximation Hicks, ln(1 + x) ≈ x :
ĉt+1 ≡
∆ct+1
rt+1 − θ
= ∆ log(ct+1 ) ≈
ct
σ
31
Figure 3.1 – Effets changement taux intérêt
— Élasticité de substitution inter-temporelle :
∂ĉt+1
1
= ≡ EIS
∂rt+1
σ
— Croissance positive seulement si rt+1 > θ.
— Cas spécial rt+1 = θ =⇒ ĉt+1 = 0 :
ct = r
∞
X
s=0
xt+s
+ rat
(1 + r)s+1
— Si en plus, autres revenus constants : xt = x, ∀t, alors ct = x + rat ,
(Fonction Keynésienne de consommation).
— Effets estompés de chocs lointains sur consommation.
— Si choc permanent xt =⇒ xt + z, ∀t, alors ∂ct /∂z = 1.
32
— De contrainte budgétaire (3.1), peut obtenir épargne :
st = ∆at+1
=
∞
X
−∆xt+s
s=1
(1 + r)s
si rt = θ, ∀t. Épargne pour compenser chute éventuelle de revenus.
3.3
Offre de travail
Doit caractériser davantage autres revenus xt . Comme dans Section 1.5.1 :
— Dotation temps disponible ≡ 1 = nt (travail) + lt (loisirs).
— Contrainte budgétaire avec travail :
ct + at+1 = wt nt + xt + (1 + rt )at
(3.4)
où xt est maintenant autres revenus hors travail. Note : Si rt = r, ∀t, peut ré-écrire
contrainte budgétaire pour définir richesse totale comme :
1+r
ct
Wt =
r
∞
∞
X
wt+s nt+s X xt+s
=
+
+ (1 + r)at
(1 + r)s
(1 + r)s
s=0
s=0
|
{z
} |
{z
}
richesse humaine
richesse financière
— Préférences U (c, l) : Monotonicité, concavité.
Ui ≥ 0,
Uii ≤ 0,
Uij ≥ 0,
i, j = c, l, i 6= j.
Problème ménages, maximiser utilité escomptée, sujet à contrainte budgétaireavec tra-
33
vail (3.4) :
max
{ct+s ,nt+s ,at+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
β s U (ct+s , 1 − nt+s ),
sujet à
s=0
ct+s + at+s+1 = wt+s nt+s + xt+s + (1 + rt+s )at+s ,
∀s ≥ 0
Allocation optimale : Euler (3.2) inchangée :
Uc,t = βUc,t+1 [1 + rt+1 ]
Optimum statique choix consommation et loisir :
M RSl,c,t ≡
3.4
Ul,t
= wt .
Uc,t
(3.5)
Entreprises
Simplifications : Pas de coûts d’ajustement (voir Section 1.5.2), taux rendements constants,
financement par dette à court-terme uniquement.
— Profits :
πt = F (kt , nt ) − wt nt − it +
bt+1
|{z}
nouvelle dette
− (1 + r)bt
| {z }
(3.6)
dette à maturité
où production croissante, concave, homogène (voir Section 1.5.1).
— Investissement : Identique à (1.1) :
kt+1 = it + (1 − δ)kt
— Fonction objective :
max
{nt+s ,kt+s+1 ,bt+s+1 }∞
s=0
sujet à (3.6) et (3.7).
34
∞
X
s=0
πt+s
(1 + r)s
(3.7)
— Conditions optimum :
Fk,t+1 = r + δ,
∀t
Fn,t = wt
(3.8)
(3.9)
identiques à conditions optimalité dans Section 1.5.1.
— Puisque Fkk ≤ 0 : kt+1 chute en r (fonction Keynésienne d’investissement)
et/ou δ (Graphiques 3.2 et 3.3).
— Puisque Fnn ≤ 0 : nt chute en w (fonction Keynésienne de demande de maind’oeuvre) (Graphique 3.4).
— Choix optimal de bt+1 non-défini, indépendant choix inputs (Modigliani and
Miller, 1958).
Figure 3.2 – Taux intérêt et demande capital
35
Figure 3.3 – Taux intérêt et investissement
3.5
Équilibre général
Allocations des ménages et entreprises coordonnées par mécanismes de marchés (Tableau 3.1). Équilibre général si tous les marchés sont en équilibre simultanément.
Définition 1 (Équilibre général dynamique) Un équilibre général dynamique est :
1. Une séquence de quantités : {ct , at+1 , nt , bt+1 , kt+1 }∞
t=0 ;
2. Une séquence de prix : {wt , rt }∞
t=0 ;
telles que :
1. Étant donné les prix, les ménages optimisent ;
2. Étant donné les prix, les entreprises optimisent ;
3. Tous les marchés sont en équilibre :
ct + it = yt = F (kt , nt ),
36
(marché biens)
(3.10)
Figure 3.4 – Salaire et demande main-d’oeuvre
nst = ndt ,
at = b t ,
(marché travail)
(3.11)
(marché financier)
(3.12)
Loi de Walras :
— Si j marchés, dont j − 1 sont en équilibre, alors le j e marché est nécessairement
en équilibre également.
— Ici : j = 3 : Peut normaliser Pt ≡ 1, ∀t et analyser les deux autres prix (wt , rt ).
Table 3.1 – Marchés, agents économiques et décisions
Marchés
Ménages
Prix
Entreprises
Travail
Biens
Financier
offre travail nst
demande bien conso. ct
offre fonds prêt. at+1
37
wt
Pt ≡ 1
rt
demande travail ndt
production output yt
demande fonds prêt. bt+1
3.5.1
Contraintes ménages et entreprises
Profits distribués aux actionnaires = Autres revenus :
— Substitue contrainte budgétaire (3.4), investissement (3.7) dans contrainte de ressources (3.10), obtient autres revenus :
xt = F (kt , nt ) − wt nt − ∆kt+1 − δkt + ∆at+1 − rt at
— Substitue investissement (3.7) dans profits des entreprises (3.6) :
πt = F (kt , nt ) − wt nt − ∆kt+1 − δkt + ∆bt+1 − rt bt
— Utilise condition équilibre marchés financiers (3.12), i.e. at = bt pour obtenir :
πt = x t ,
∀t.
i.e. profits distribués = autres revenus hors-travail des ménages-actionnaires.
Liens entre valeur capital, valeur dette et profits escomptés :
— Par homogénéité fonction de production (voir Section 1.5.1) et par maximisation
des profits (3.8) et (3.9) :
F (kt , nt ) = Fk,t kt + Fn,t nt
= (rt + δ)kt + wt nt .
— En supposant que les rendements sur le capital sont constants, i.e. rt = r, peut
substituer dans fonction de profits (3.6) pour obtenir :
k t = bt +
∞
X
s=0
πt+s
(1 + r)s+1
∴ Valeur stock du capital = valeur titres obligataires + profits escomptés.
38
3.5.2
Équilibre marché du travail
Offre de travail nst caractérisée par optimum statique (3.5). Demande de travail ndt caractérisée par (3.9). Utilise condition équilibre (3.11) :
M RSl,c,t ≡
Ul,t
= Fn,t
Uc,t
où lt = 1 − nt .
3.5.3
Comparaisons économies centralisées et décentralisées
Résumées dans Tableau 3.2. Deux résultats importants :
1. Si marché fluides (pas contrôle marché, taxes, biens publics, asymétrie informationnelle, . . .), allocation compétitive (dé-centralisée) est Pareto-optimale (allocation
centralisée), 1er Théorème Fondamental du Bien-être.
2. Si marché fluides, allocation Pareto-optimale (centralisée) peut être obtenue par
allocation compétitive (allocation dé-centralisée), 2e Théorème Fondamental
du Bien-être.
Importance : Peut analyser équilibre compétitif par analyse allocation centralisée :
— Maximise utilité agent représentatif, sujet à contrainte de ressources.
— Par second Théorème fondamental, allocation centralisée peut être répliquée par
dé-centralisation (voir Section 4.5).
— Plus facile : N’a pas à calculer les prix d’équilibre en même temps que les quantités
d’équilibre.
— Peut calculer les prix un fois l’allocation optimale obtenue (plus facile).
3.6
Modèle générations imbriquées (OLG)
Hétérogénéité des agents jusqu’ici mise de côté :
— Préférences
39
Table 3.2 – Comparaisons économies centralisée et décentralisées
Variables
Centralisée (Chs. 1 et 2)
Décentralisée (Ch. 3)
Travail
Capital
Salaires
Actifs financiers
Profits
Implicite : nt ≡ 1, ou explicite
endogène (Section 1.5.1)
Fk,t+1 = θ + δ
Implicites : wt = F (kt , 1) − (θ +
δ)kt
Absents at = bt = 0
Implicites πt = F (kt ) − wt − it
Explicite, endogène
Fk,t+1 = rt+1 + δ
Explicites : wt = M RSl,c,t = Fn,t
Explicites
Explicites
— Richesse
— Capital humain (éducation)
— Âge : Vieux côtoient jeunes, générations imbriquées.
Modèle OLG :
— Population :
Nt = N1,t + N2,t
|{z} |{z}
jeunes
vieux
N2,t = N1,t−1
N1,t = (1 + n)N1,t−1 ,
implique que population totale donnée par :
Nt = (1 + η)N1,t ,
η≡
1
1+n
— Consommation :
ci,t ≡
Ci,t
,
Ni,t
i = 1, 2,
Ct = C1,t + C2,t ,
(agrégée)
= (c1,t + ηc2,t )N1,t
40
(per-capita)
— Production : Homogène, seuls les jeunes travaillent :
Yt = F (Kt , N1,t )
1−α
= Ktα N1,t
Yt
Nt
f (k̃t )
,
=
1+η
yt ≡
où
f (x) ≡ F (x, 1)
k̃t ≡ (1 + η)kt .
— Faisabilité, peut démontrer que contrainte de ressources peut être ré-écrite comme :
f (k̃t ) = c1,t + ηc2,t + (1 + n)k̃t+1 − (1 − δ)k̃t
(3.13)
— Allocation entreprises : Par maximisation des profits, rt = f 0 (k̃t )−δ et wt = w1,t =
f (k̃t ) − f 0 (k̃t )k̃t , implique que :
rt = αk̃tα−1 − δ
(3.14)
wt = (1 − α)k̃tα .
(3.15)
et
— Contrainte budgétaire :
c1,t + s1,t = wt
c2,t+1 = (1 + rt+1 )s1,t .
41
i.e. jeunes travaillent, épargnent ; vieux ne travaillent pas, dés-épargnent. Implique
que contrainte budgétaire peut être ré-écrite comme :
c2,t+1
=
wt
c1,t +
.
|{z}
1 + rt+1
{z
} VAN revenus
|
(3.16)
VAN consommation
— Préférences :
max
{c1,t ,c2,t+1 }
Vt = U (c1,t ) + βU (c2,t+1 )
sujet à contrainte budgétaire (3.16), et où U (·) est supposé iso-élastique (2.3).
— Allocation optimale ;
"
c1,t = 1 +
(1 + rt+1 )
#−1
1
(1 + θ) σ
c2,t+1
1
−1
σ
1 + rt+1
=
1+θ
wt
(3.17)
σ1
c1,t .
(3.18)
Équilibre compétitif :
— Caractérisé par faisabilité (3.13), rendement capital (3.14), salaires (3.15) et allocation optimale (3.17) et (3.18).
— Non-linéarités et dynamiques complexes. Pas de solution analytique. Solution
numérique (voir OLG.m)
— Calcul de l’état stationnaire :
— Définit par c1,t = c1 , c2,t = c2 , k̃t = k̃, ∀t =⇒ solution (c1 , c2 , k̃) à
"
c1 = 1 +
1
(1 + r) σ −1
#−1
w;
1
(1 + θ) σ
w = (1 − α)k̃ α ;
1+r
c2 =
1+θ
σ1
c1
r = αk̃ α−1 − δ
k̃ α = c1 + ηc2 + (n + δ)k̃.
— Dynamiques :
42
— Variables pré-déterminées : (c2,t , k̃t ),
— Variables endogènes : (c1,t , c2,t+1 , k̃t+1 ),
— Algorithme :
1. Étant donné variables pré-déterminées (c2,t , k̃t ), utilise faisabilité (3.13) :
0= "
1+
(1 − α)k̃tα
α−1
−δ
1+αk̃t+1
1
(1+θ) σ
(
)
1
σ −1
# + ηc2,t + (1 + n)k̃t+1 − (1 − δ)k̃t − k̃tα
afin de solutionner pour k̃t+1 = k̃t+1 (c2,t , k̃t ),
2. Étant donné (k̃t , k̃t+1 ), solutionne pour c1,t = c1,t (k̃t , k̃t+1 ), ainsi que
c2,t+1 = c2,t+1 (k̃t , k̃t+1 ),
3. Passage t + 1 : c2,t = c2,t+1 (k̃t , k̃t+1 ), k̃t = k̃t+1 (c2,t , k̃t ), répète étapes 1
et 2.
43
4
Dépenses gouvernementales et finances publiques
4.1
Introduction
Doit introduire gouvernement dans analyse :
— Effets sur l’état stationnaire.
— Effets sur allocation optimale dynamique.
Rôle de l’état : Produire biens et services publics.
— Bien non-exclusif (ne peut exclure consommateur non-payeur) et non-rival
(consommation par un agent n’implique pas non-consommation de ce même bien
par un autre agent).
— Exemples : Phare de navigation maritime, défense nationale, . . .
— Problème du resquilleur : Biens publics ne sont pas produits par secteur privé
=⇒ rôle pour l’état.
— Biens autres que publics : Biens méritoires, ex, soutien des arts
— Transferts et redistribution.
Financement : Trois modes.
1. Taxation : Coût supporté par générations actuelles (taxes revenus, fortune, de
vente, . . .).
2. Emprunts : Coût supporté par générations futures.
3. Impression monnaie : Taxe d’inflation (Seigneuriage, Chapitre 6).
Poids de l’état :
— Environ 20-25% du PIB (Graphique 4.1).
— Forte hausse en temps de guerre.
— Relativement a-cyclique (transferts fortement contra-cycliques).
— Accroissement prononcé poids dette publique après 1980 (Graphique 4.2), de 30%
à plus de 100% du PIB. Très contra-cyclique.
44
Shares of gross domestic product: Government consumption
expenditures and gross investment
50
45
40
(Percent)
35
30
25
20
15
10
5
1940
1960
1980
2000
Source: U.S. Department of Commerce: Bureau of Economic Analysis
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 4.1 – Part des dépenses publiques dans l’économie (US).
Federal Debt: Total Public Debt as Percent of Gross Domestic
Product
110
100
(Percent of GDP)
90
80
70
60
50
40
30
1970
1980
1990
2000
2010
Source: Federal Reserve Bank of St. Louis, The White House: Office of Management and Budget
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 4.2 – Part de la dette publique dans l’économie (US).
45
4.2
Contrainte budgétaire gouvernementale
Contrainte nominale :
Pt gt
|{z}
biens services
+ Pt ht + (1 + Rt )Bt =
|{z}
| {z }
transferts
dette à maturité
Bt+1
|{z}
nouvelle dette
+
∆M
| {zt+1}
émission monnaie
+ Pt Tt
|{z}
taxes
Contrainte réelle :
gt + ht + (1 + Rt )bt = (1 + πt+1 )bt+1 + (1 + πt+1 )mt+1 − mt + Tt
Si utilise équation de Fisher [voir (6.2)] :
rt+1 ≈ Rr+1 − πt+1
obtient formulation équivalente contraintes nominales et réelle :
g
Pt gt + Pt ht + Btg = Ptb Bt+1
+ ∆Mt+1 + Pt Tt
gt + ht +
bgt
bgt+1
+ (1 + πt+1 )mt+1 − mt + Tt ,
=
1 + rt+1
où Ptb ≡ (1 + Rt+1 )−1 , Btg ≡ (1 + Rt )Bt .
4.3
Financement dépenses gouvernementales
Simplification temporaire : Mt = 0, ∀t =⇒ πt = 0, Rt = R.
46
(4.1)
4.3.1
Financement fiscal
Si suppose condition de Non-Ponzi (voir également (3.3)) :
bt+s
=0
s→∞ (1 + R)s+1
lim
alors peut ré-écrire contrainte réelle (4.1) comme :
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ht+s
(1 +
s=0
R)s
=
∞
X
s=0
Tt+s
(1 + R)s
(4.2)
Soit une hausse permanente des dépenses de ∆g à partir de la date t. On considère quatre
modes de financement :
1. Financée sans recours à la dette, par hausse permanente taxes de ∆T . De contrainte (4.2) :
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ∆g + ht+s
s=0
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ht+s
s=0
|
R)s
(1 +
{z
−
∞
X
s=0
=0, de (4.2)
(1 + R)s
=
∞
X
∆g
Tt+s
+
=
s
(1 + R)
(1 + R)s
s=0
}
∞
X
Tt+s + ∆T
s=0
∞
X
s=0
(1 + R)s
∆T
(1 + R)s
Ce qui implique que :
∆g = ∆T
i.e. la hausse de taxe couvre entièrement la hausse des dépenses.
2. Financée par dette, sans recours à hausse de taxes. De contrainte (4.2) :
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ht+s
s=0
|
(1 + R)s
{z
=0, de (4.2)
−
∞
X
s=0
∞
∞
X
X
Tt+s
∆g
0
=
+
s
s
(1 + R)
(1 + R)
(1 + R)s
s=0
s=0
} |
{z
}
>0
implique contradiction (⇒⇐) ! Ne respecte pas la contrainte budgétaire, nonsoutenable.
3. Financée par dette temporaire, puis hausse retardée, permanente des taxes. De
47
contrainte (4.2) :
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ht+s
s=0
|
(1 + R)s
{z
−
∞
X
s=0
=0, de (4.2)
∞
∞
X
X
∆g
Tt+s
∆T
+
=
(1 + R)s s=0 (1 + R)s
(1 + R)s
s=τ
}
En utilisant Lois Sommes Infinies (voir Annexe E), obtient que :
∆T =
∆g
> ∆g,
Θτ
Θ≡
1
∈ (0, 1).
(1 + R)
Hausse de taxes augmente en R, ainsi qu’en τ .
4. Financée par dette temporaire, puis hausse retardée, temporaire des taxes. De
contrainte (4.2) :
bt (1 + R) +
∞
X
gt+s + ht+s
s=0
|
(1 + R)s
{z
−
∞
X
s=0
=0, de (4.2)
κ>τ
∞
X
X
Tt+s
∆T
∆g
=
+
s
s
(1 + R)
(1 + R)
(1 + R)s
s=τ
s=0
}
En utilisant une fois de plus Lois Sommes Infinies (voir Annexe E), obtient que :
∆T =
Θτ
∆g
∆g
> τ > ∆g,
κ+1
−Θ
Θ
Θ≡
1
∈ (0, 1).
(1 + R)
i.e. la hausse de taxe est encore plus forte que la hausse précédente et cette hausse
diminue dans la durée des taxes κ − τ .
On retient donc qu’une hausse permanente des dépenses entraı̂ne nécessairement une
hausse éventuelle des taxes, alors qu’une hausse temporaire des dépenses entraı̂ne nécessairement
une hausse éventuelle des taxes et/ou une baisse éventuelle des dépenses futures.
4.3.2
Équivalence Ricardienne
Rappel Économie Décentralisée (Section 3) :
48
— Agent représentatif :
max
{ct+s ,at+s+1 }∞
s=0
Vt =
∞
X
β s U (cc+s ),
s=0
sujet à contrainte budgétaire (3.1)
revenus financiers
ct + at+1 =
xt
|{z}
z }| {
+ (1 + rt )at
autres revenus
— Si secteur public, alors (3.1) peut être ré-écrite comme :
ct + at+1 = xt + ht − Tt +(1 + rt )at ,
| {z }
transferts nets
— Équilibre :
rt = Rt − πt
at = b t
i.e. déficit public =⇒ dette =⇒ obligations gouvernementales =⇒ richesse
financière des ménages.
— De discussion Section 4.3.1, dette publique =⇒ hausse éventuelle des taxes.
Impact sur richesse nette est-il positif ?
— Non, les agents ne sont pas myopes (Équivalence Ricardienne).
— Même si pas horizon infini, se soucient des générations futures (altruisme).
— Pas de hausse de richesse nette =⇒
6
effets sur consommation.
— Oui, les agents sont myopes (Keynésiens)
— Ne se soucient pas des effets sur générations à venir (pas d’enfants et/ou comportement individualiste).
— Exemple : Modèle OLG (Section 3.6).
— Hausse dépenses gouvernementales =⇒ hausse revenus =⇒ hausse de la
49
pays
année
inflation annuelle
Argentine
Belarus
Bulgarie
1989
1992
1997
12’000%
159%
123%
Table 4.1 – Hyperinflation
consommation.
4.4
Soutenabilité
Pour que ménages acceptent de détenir dette publique, doit anticiper que repaiement
éventuel possible ⇐⇒ dette soutenable.
— Si Dette/PIB augmente trop rapidement =⇒ crainte de défaut =⇒ perte de
valeur dette =⇒ R ↑.
— Si dette peu valorisée, alors doit avoir recours à autres moyens ∆mt+1
=⇒
πt+1 =⇒ hyperinflation (voir Tableau 4.1, et Section 6).
— Mécanismes de contrôle :
— Pacte de Croissance et de Stabilité (PCS-UE) :
Bt
≤ 60%
Yt
DEFt
≤ 3%,
Yt
— Règle d’Or (GB) :
E
Bt
Yt
t
1 X Bs
B
=
= .
t s=1 Ys
Y
constant sur la durée du cycle.
4.4.1
Modèle soutenabilité
— De contrainte réelle (4.1), en % du PIB :
gt ht
bt
Tt
N
+
+ (1 + Rt ) =
+ (1 + γt+1
)
yt yt
yt
yt
50
bt+1 mt+1
+
yt+1
yt+1
−
mt
yt
(4.3)
où (1 + γtN ) ≡ (1 + πt )(1 + γt ) et γtN ≈ πt + γt est le taux de croissance nominal.
— Définition déficit nominal :
Pt Dt = Pt gt + Pt ht − Pt Tt − ∆Mt+1 +
{z
}
|
Pt dt : déficit primaire
Rt Bt
| {z }
.
(4.4)
intérêts sur dette
— De (4.3) et (4.4), on obtient poids nominal et réel du déficit comme :
bt+1
bt
Dt
N
= (1 + γt+1
)
−
yt
yt+1 yt
(4.5)
dt
bt+1
bt
N
= (1 + γt+1
)
− (1 + Rt )
yt
yt+1
yt
(4.6)
qui définissent des équations de différence en (bt /yt ). Déterminent si dette est
soutenable on non : (bt /yt ) n’explose pas.
Figure 4.3 – Soutenabilité dette publique
51
Soit Rt = r, πt = π, γt = γ, ∀t, alors peut ré-écrire (4.6) comme :
1 + R bt
1
dt
bt+1
=
+
N
N
yt+1
1+γ
yt
1+γ
yt
(4.7)
zt+1 = θzt + xt ,
où zt ≡ bt /yt taux d’endettement, θ ≡ (1 + R)/(1 + γ N ) et xt ≡ (dt /yt )/(1 + γ N ) taux de
déficit. Deux cas possibles :
1. Croissance forte et/ou taux intérêt faibles : γ N > R ⇐⇒ θ < 1 ;
2. Croissance faible et/ou taux intérêt élevés : γ N < R ⇐⇒ θ > 1.
Données européennes 2012 (voir Tableau 4.2) : Peu de pays dans cas 1 !
pays
D
GB
F
I
E
NL
P
GR
CH
−D/y
b/y
R
π
0.2 81.9 1.9 2.4
- 6.3 90.0 2.8 2.8
-4.8 90.2 2.5 2.2
-3.0 127.0 4.4 3.3
-10.6 84.2 4.5 2.4
-4.1 71.2 2.3 2.8
-6.4 123.6 6.6 2.8
-1.0 156.9 10.0 1.0
0.3 35.5 1.1 -0.7
γ
γN
0.4 2.8
0.6 3.4
-0.1 2.1
-1.3 2.0
-1.5 0.9
-0.8 2.0
-2.3 0.5
-4.2 -3.2
1.4 0.7
Table 4.2 – Déficit et dette européenne, 2012
Notes: (R, π, γ, γ N = γ + π) mesurés en pourcentage. Sources : Bloomberg, Eurostat, Office
fédéral de la statistique (CH), Administration fédérale des finances (CH).
4.4.2
Analyse état stationnaire
Simplification, suppose taux déficit constant xt ≡ (dt /yt )/(1 + γ N ) = x > 0, ∀t. Deux cas
possibles (Graphique 4.3)
52
Croissance forte (γ N > R ⇐⇒ θ < 1) Etat stationnaire pour taux d’endettement
existe, unique, est dynamiquement stable et donné par :
b
1
d
z≡ = N
>0
y
γ −R y
Sentier : H→I→J→K, . . .→ SS. Peut soutenir taux déficits constants parce que croissane
supérieure taux d’intérêt.
Croissance faible (γ N < R ⇐⇒ θ > 1) Etat stationnaire n’existe pas ; système
dynamiquement instable =⇒ dette explose si déficits constant ! Sentier : H→G→L,
. . .→ ∞. Données européennes 2012 (voir Tableau 4.2) : Peu de pays ont conditions
nécessaires pour stabilité !
4.4.3
Dette et dynamique des déficits
Relâche hypohèse que taux de déficit xt ≡ (dt /yt )/(1+γ N ) constants. Deux cas possibles :
Croissance forte (γ N > R ⇐⇒ θ < 1) De (4.7), peut ré-écrire poids de la dette
comme :
bt+1
=
yt+1
1
1 + γN
X
s
∞ 1+R
dt−s
N
1+γ
yt−s
s=0
{z
}
|
cumul escompté déficits passés
— Peut avoir soutenabilité même si dt /yt pas constant, pourvu que poids des déficits
n’augmente pas trop rapidement.
— Soutenabilité implique que taux d’endettement est fini, et que marché accepte de
détenir la dette. Si trop élevée, crainte de défaut implique hausse taux d’intérêt
R =⇒ remet en question soutenabilité (ex. récents : GR, I, P, E).
53
Croissance faible (γ N < R ⇐⇒ θ > 1) Peut calculer poids de la dette à partir de
(4.7) :
bt
=−
yt
|
1
1+R
X
∞ s=0
1 + γN
1+R
{z
s
−d/y=−DEF/Y =SU RP LU S/Y
dt+s
yt+s
}
i.e. requiert que surplus futurs soient suffisants pour rembourser la dette, sinon bt /yt
explose.
4.4.4
Mécanismes de contrôle
1. Frein à l’endettement (limite déficit) :
d̃t
dt
bt
=
−η
yt
yt
yt
où d̃t niveau exogène de déficit, et η > 0 est frein à endettement.
— Implique que dt /yt ↓ si bt /yt ↑.
— Substitue dans (4.7) :
"
#
d̃t
1 + R̃ bt
1
bt+1
=
+
N
N
yt+1
1+γ
yt
1+γ
yt
où R̃ ≡ R − η.
— Peut reprendre l’analyse précédente en remplaçant R par R̃ < R.
— Équivalent à réduire taux d’intérêt effectif. Aide à rétablir condition pour soutenabilité.
2. Pacte de Stabilité et Croissance (PSC-UE)
— De définition du déficit (4.4) :
Dt
yt
|{z}
déficit total
dt
yt
|{z}
=
déficit primaire
54
+
bt
R
y
|{z}t
intérêts sur dette
— Substitue dans (4.7) :
bt+1
1
=
yt+1
1 + γN
bt D t
+
yt
yt
stable si γ N > 0, et Dt /yt n’augmente pas trop rapidement.
— État stationnaire définit par :
bt
yt
|{z}
=
max PSC-UE : 0.60
1
γN
Dt
yt
|{z}
max PSC-UE : 0.03
Peut solutionner pour γ N ≥ 0.05.
— Pas atteint par la plupart des pays européens (Tableau 4.2).
— PSC-UE pas soutenable par rapport à croissance européenne trop faible.
4.5
Finances publiques optimales
Deux questions :
1. Quel niveau de dépenses publiques gt∗ ?
2. Comment financer ce niveau optimal gt∗ ?
— Taxes forfaitaires Tt .
— Taxes de consommation τtc .
— Taxes sur revenus de travail τtw .
— Taxes sur revenus de capital τtk .
— Dette bt+1 .
Préférences des ménages :
∞
X
β s U (ct+s , lt+s , gt+s )
s=0
où U monotone croissante, concave.
Contraintes et technologie :
55
(4.8)
— Contrainte budgétaire des ménages :
(1 + τtc )ct + kt+1 + bt+1 + Tt ≤ (1 − τtw )wt nt + (1 + rtb )bt + [1 + (1 − τtk )rtk ]kt (4.9)
où nt = 1 − lt .
— Contrainte budgétaire du gouvernement :
gt + (1 + rtb )bt ≤ Tt + τtc ct + τtw wt nt + τtk rtk kt + bt+1
(4.10)
— Technologie
yt = y(kt , nt )
homogène de degré-1. De (3.8) et (3.9), implique que :
yk,t = rtk + δ,
∀t
yn,t = wt
— Faisabilité : Additionne (4.9) et (4.10) :
ct + kt+1 + gt ≤ wt nt + (1 + rtk )kt
(4.11)
Note : Si utilise propriétés d’homogénéité de la production, peut ré-écrire contrainte
de ressource (4.11) comme :
ct + ∆kt+1 + δkt +gt ≤ yt
|
{z
}
(4.12)
it
— Contrainte (4.12) est identique à contrainte de faisabilité (1.2), mais avec secteur public (gt 6= 0).
— Taxes pas présentes dans contraintes de ressources : Transfert du secteur privé
à secteur gouvernemental.
56
4.5.1
Optimum social
Problème du planificateur social : Maximiser préférences (4.8), sujet à contrainte de
faisabilité (4.11) :
Vt =
∞
X
max
{ct+s ,nt+s ,kt+s+1 ,gt+s }∞
s=0
β s U (ct+s , 1 − nt+s , gt+s ),
s=0
sujet à
k
ct+s + kt+s+1 + gt+s = wt+s nt+s + (1 + rt+s
)kt+s
Allocation (Pareto–) optimale entièrement caractérisée par :
Ul,t = wt Uc,t
k
Uc,t = βUc,t+1 (1 + rt+1
)
Ug,t = Uc,t
ainsi que contrainte de faisabilité (4.11).
4.5.2
Équilibre compétitif
Ménages : Maximise préférences (4.8), sujet à contrainte de budget (4.9) :
Vt =
max
∞
X
{ct+s ,nt+s ,kt+s+1 ,bt+s+1 }∞
s=0
β s U (ct+s , 1 − nt+s , gt+s ),
s=0
sujet à :
c
w
b
k
k
(1+τt+s
)ct+s +kt+s+1 +bt+s+1 +Tt+s = (1−τt+s
)wt+s nt+s +(1+rt+s
)bt+s +[1+(1−τt+s
)rt+s
]kt+s
tiennent politique gouvernementale (gt , Tt , τtc , τtw , τtk ) comme exogènes.
57
Allocation optimale entièrement caractérisée par :
Ul,t = wt Uc,t
1 − τtw
1 + τtc
Uc,t+1
Uc,t
k
k
=β
[1 + (1 − τt+1
)rt+1
]
c
c
1 + τt
1 + τt+1
Uc,t
Uc,t+1
b
=β
[1 + rt+1
]
c
c
1 + τt
1 + τt+1
ainsi que contrainte de budget (4.9).
Optimum social
Ul,t = wt Uc,t
Équilibre compétitif
w
1−τ
Ul,t = wt Uc,t 1+τtc
t
k
Uc,t = βUc,t+1 [1 + rt+1
]
Uc,t = Ug,t
Uc,t
1+τtc
Uc,t
1+τtc
Uc,t+1
k
k
= β 1+τ
[1 + (1 − τt+1
)rt+1
]
c
t+1
Uc,t+1
b
= β 1+τ
[1 + rt+1
]
c
t+1
Table 4.3 – Allocation optimale vs équilibre compétitif
Comparaison allocation optimale vs équilibre compétitif (Tableau 4.3) :
— Taxes non-forfaitaires τtc , τtw , τtk 6= 0 imposent distorsion allocation compétitive
par rapport à allocation optimale.
— En absence de taxes τtc , τtw , τtk = 0 les deux allocations coı̈ncident (1er Théorème
Fondamental de Bien-Être).
— Taxes forfaitaires Tt n’imposent pas de distorsion. Seul effet est réduction du revenu
disponible.
— Pour minimiser distorsions, utiliser taxes forfaitaires et :
τtc = τ c , ∀t,
ainsi que τtc =



0,
ou


−τtw .
i.e. impose taxe consommation constantes et subventionne travail. Taxe optimale
58
sur capital donnée par :
k
=
τt+s



1, si s = 0


0, si s > 0
Approprie entièrement revenu de capital contemporain (kt variable d’état, prédéterminé, immuable), ne taxe pas capital autres périodes. Implique que rendements sur capital et obligations sont égalisés aux autres périodes.
Effets des politiques fiscales optimales sur les contraintes :
— Si impose dans contrainte budgétaire ménages (4.9) :
(1 + τ c )(ct+s − wt+s nt+s ) + kt+s+1 + bt+s+1 + Tt+s



b
(1 + rt+s
)bt+s + kt+s
si s = 0
=


k
(1 + rt+s
)(bt+s + kt+s ) si s > 0
paie taxe sur consommation seulement si consommation élevée par rapport à revenus de travail, paie taxe sur revenu de capital en t uniquement.
— Si impose dans contrainte budgétaire gouvernement (4.10) :
b
gt+s + (1 + rt+s
)bt+s + τ c (wt+s nt+s − ct+s )



k
Tt+s + rt+s
kt+s + bt+s+1 , si s = 0
=


Tt+s + bt+s+1 ,
si s > 0
Doit subventionner travail si consommation insuffisante, reçoit taxes sur capital
en t uniquement.
4.6
Lissage fiscal
Coûts à modifier taxes :
— Politiques,
— Législatifs et administratifs,
59
— Raisons supplémentaires pour conserver taxes constantes.
Modèle
— Coûts croissants, convexes :
Φ(Tt ) = 0.5φTt2
— Fait abstraction taxes non-forfaitaires τt et transferts ht .
— Dépenses gouvernementales stochastiques :
gt = g + t ,
où Et (t+s ) =



t , s = 0


0
s > 0.
— Contrainte budgétaire gouvernementale :
gt + (1 + rtb )bt = Tt + bt+1
(4.13)
— Objectif : Minimiser les coûts escomptés anticipés, sujet à contrainte budgétaire (4.13) :
min
{Tt+s ,bt+s+1 }∞
s=0
Et
∞
X
β s Φ(Tt+s ),
sujet à
s=0
b
gt+s + (1 + rt+s
)bt+s = Tt+s + bt+s+1
— En sachant que β = (1 + θ)−1 , allocation optimale caractérisée par :
Tt = Et Tt+1
b
1 + rt+1
1+θ
(4.14)
ainsi que contrainte budgétaire gouvernementale (4.13).
— Si rtb = θ, ∀t, alors, en utilisant Loi Anticipations Itératives (voir Annexe G)
60
l’équation (4.14) se simplifie en
Tt = Et [Tt+1 ]
= Et [Tt+s ],
∀s > 0
i.e. les taxes optimales sont constantes en anticipation dans le temps, taxes suivent
marche aléatoire.
— Peut reprendre contrainte budgétaire (4.2), avec incertitude :
bt (1 + R) + Et
∞
X
s=0
∞
X Tt+s
gt+s
=
E
t
(1 + R)s
(1 + R)s
s=0
Si R = θ impliquant que Et (Tt+s ) = Tt , ∀t, alors on obtient que :
Et (bt+s ) = bt + Θt ,
Θ≡
1
1+R
i.e. la dette suit une marche aléatoire et absorbe une portion Θ du choc de dépenses
t , ainsi que :
Tt = g + Rbt +
R
1+R
t
i.e. les taxes sont ciblées sur les dépenses fixes g (e.g. santé, éducation, . . .) et
absorbent partiellement les chocs de dépenses t .
— Implique que les déficits doivent être contra-cycliques.
Résumé, fiscalité optimale :
1. Trois raisons pour dépenses gouvernementales :
(a) Biens publics,
(b) Stabilisateurs contra-cycliques,
(c) Transferts (équité).
2. Hausses permanentes (temporaires) des dépenses sont financées par taxes (dette).
3. Taxes forfaitaires non distorsionnaires, mais régressives
61
=⇒
pas défendables
politiquement.
4. Taxes optimales sur le capital :
— 100% à court-terme (capital captif),
— 0% par la suite
— Peuvent détruire les incitatifs à épargner si taxes anticipées.
5. Déficits soutenables seulement si valeur actualisée des surplus futurs couvre la
dette.
6. Fiscalité optimale implique τtc = −τtw = τ c , ∀t.
62
5
Économie ouverte
5.1
Introduction
Différences fondamentales économies fermées et ouvertes :
— Accès marchés et production extérieurs.
— Accès facteurs de production extérieurs (capital, main-d’oeuvre, ressources naturelles, . . .).
Différences biens et services :
— Non-échangeables : Produits/consommés localement (ex. coupe cheveux).
— Échangeables
Mobilité des facteurs :
— Parfaite : Prix égalisés (ex. rendements sur capital).
— Imparfaite : Différentiels persistants (ex. salaires).
5.2
Allocation optimale économie ouverte
5.2.1
Balance courante et balance des paiements
Identité comptabilité nationale en économie ouverte, privée :
yt = ct + it + xt − Qt xm
t
(5.1)
Taux de change réels :
Qt = St
Pt∗
Pt
où
m
xt − Qt xm
t : Balance commerciale, xt importations en devises étrangères,
Qt : Taux change réel, St : taux nominal : Valeur devise étrangère en unités de devises
domestiques, ex. St = CHF 1.2207/e 1.0 (04/06/2014).
Pt∗ /Pt : Prix relatifs étrangers/domestiques.
63
— Suppose petite économie ouverte (PEO). Implique rendements sur capital
égalisés
rt = rt∗
Fait abstraction mobilité de la main-d’oeuvre (pas d’égalisation des salaires).
— Solde du compte courant :
paiements nets facteurs
cat =
Qt xm
t
xt −
| {z
z}|{
rt∗ ft
+
(5.2)
}
balance commerciale
où ft Q 0 est position financière nette.
— Balance des paiements : Compte courant + compte financier = 0 :
cat = −f at
= ∆ft+1 = ft+1 − ft .
— Convention comptable : Sortie (entrée) de fonds prêtables =⇒ f at < 0, (f at > 0).
— Ex. : Surplus balance commerciale
=⇒
déficit compte courant étranger ca∗t
=⇒ économie domestique créditrice =⇒ sortie de fonds prêtables domestiques
=⇒ f at < 0 =⇒ ∆ft+1 > 0 (acquisition titres étrangers).
— Lien avec épargne :
ft+1 = xt − Qt xm
+(1 + rt∗ )ft
| {z t}
(5.3)
yt −ct −it
i.e. nouvelle position financière nette = output - absorption + principal et intérêts
sur position financière existante. Implications :
∆ft+1 = yt + rt∗ ft − ct − it
= st − it
i.e. si st > it : excédent d’épargne sur besoins domestiques =⇒ sortie de fonds
64
prêtables =⇒ acquisition titres étrangers ∆ft+1 > 0.
— Contrainte de ressources, économie ouverte, privée :
yt = F (kt ) = ct + kt+1 − (1 − δ)kt + ft+1 − (1 + rt∗ )ft
5.2.2
(5.4)
Soutenabilité
De balance des paiements (5.3), en pourcentage du PIB, on obtient :
xt − Qt xm
ft
ft+1
t
+(1 + r∗ ) = (1 + γ)
,
yt
yt
yt+1
| {z }
(5.5)
Zt
où suppose taux rendements et croissance constants rt∗ = r∗ , γt = γ, ∀t. Comme dans
analyse finances publiques (Section 4), la soutenabilité implique que ft /yt n’explose pas.
Deux cas possibles :
1. Forte croissance γ > r∗ (ex. D). Solution rétrospective. Peut ré-écrire (5.5) comme :
s ∞ xt−s − Qt−s xm
ft+1
1 X 1 + r∗
t−s
=
yt+1
1 + γ s=0 1 + γ
yt−s
existe, fini même en présence de déficits balance commerciale. Exemple : Zt =
Z, ∀t :
ft+1
Z
=
yt+1
γ − r∗
2. Faible croissance γ < r∗ (ex. I, F, E, . . .). Solution prospective de (5.5) :
s ∞ xt+s − Qt+s xm
ft
−1 X 1 + γ
t+s
=
yt
1 + r∗ s=0 1 + r∗
yt+s
existe, fini si Zt n’augmente pas trop.
— Pour position financière nette négative (ex. US), requiert que valeur actualisée
des surplus balance commerciale soit positive.
— Pour position financière nette positive (ex. CH), peut soutenir valeur actualisée
65
déficit balance commerciale, ex. Zt = Z, < 0, ∀t :
ft
−Z
=
>0
yt
r−γ
5.2.3
Allocation optimale
Problème du planificateur social : Maximiser utilité escomptée sujet à contrainte de ressources (5.4) :
∞
X
max
{ct+s ,kt+s+1 ,ft+s+1 }∞
s=0
β s U (ct+s ),
(5.6)
s=0
sujet à
∗
F (kt+s ) + (1 + rt+s
)ft+s + (1 − δ)kt+s = ct+s + kt+s+1 + ft+s+1
Allocation optimale entièrement caractérisée par :
Uc,t = βUc,t+1 [1 + F 0 (kt+1 ) − δ]
∗
Uc,t = βUc,t+1 1 + rt+1
(5.7)
impliquant :
F 0 (kt ) = rt∗ + δ,
∀t
(5.8)
ainsi que contrainte de ressources (5.4). Condition (5.8) pour économie ouverte identique
à condition (3.8) en économie fermée.
5.2.4
Application : Deux périodes (t, t + 1)
— Des préférences (5.6)
Vt = U (ct ) + βU (ct+1 )
= V̄
66
sur courbe d’indifférence. Par différentiation totale, on obtient :
∂ct+1
−Uc,t
=
∂ct
βUc,t+1
∗
= −(1 + rt+1
)≤0
de Euler (5.7).
— Pour une économie fermée, ft = 0, ∀t. De contrainte de ressources (5.4) pour
modèle deux périodes, on obtient Courbe des possibilités inter-temporelles de production, IPPF, voir (1.4) :
ct+1 = F [F (kt ) + (1 − δ)kt − ct ] + (1 − δ)[F (kt ) + (1 − δ)kt − ct ]
|
{z
}
kt+1
d’où
∂ct+1
= −F 0 (kt+1 ) − (1 − δ)
∂ct
∗
= −(1 + rt+1
)≤0
∂ 2 ct+1
= F 00 (kt+1 ) ≤ 0
∂c2t
par concavité de la fonction de production, i.e. la IPPF est une fonction décroissante
et concave dans le plan (ct , ct+1 ).
— Solution (Graphique 5.1) :
∗
1. Étant donné rt+1
, exogène, utilise condition (5.8) pour trouver kt+1 .
2. Étant donné kt , kt+1 , utilise condition ressources économie fermée pour deux
périodes :
ct = F (kt ) + (1 − δ)kt − kt+1
ct+1 = F (kt+1 ) + (1 − δ)kt+1
67
pour identifier (c̃t , c̃t+1 ) qu’on aurait obtenus en économie fermée.
3. Étant donné (c̃t , c̃t+1 ), trouve intercepte ãt dans contrainte budgétaire BC1 :
∗
ct+1 = (1 + rt+1
)(ãt − ct )
(5.9)
#
4. Étant donné contrainte budgétaire (5.9), utilise Euler (5.7) pour trouver (c#
t , ct+1 ).
5. Étant donné (c#
t , c̃t ), obtient balance commerciale :
m
c#
t − c̃t = yt − it − (xt − Qt xt ) − (yt − it )
= −(xt − Qt xm
t )
m
c#
t+1 − c̃t+1 = −(xt+1 − Qt+1 xt+1 )
∗
= −(1 + rt+1
) × −(xt − Qt xm
t )
Figure 5.1 – Allocation optimale économie ouverte
68
5.3
Biens échangés (T ) et non-échangés (N )
Certains biens peu/pas échangés :
— Ex. barbier, notaire, . . .
— Produits/consommés localement.
Modèle :
— Préférences : Utilité CRRA (2.3), avec ct bien composite obtenu de biens échangés
et non-échangés :
U (ct ) =
c1−σ
−1
t
,
1−σ
ct =
ct (cTt , cN
t )
où
1
h
1i
1
N 1− γ 1− γ1
T 1− γ
+ (1 − α)ct
= αct
i.e. le bien composite utilise une technologie CES (Constant Elasticity of Substitution).
— De utilisation de l’output (voir Tableau 5.1), on obtient la contrainte de ressources :
ft+1 − (1 + rt∗ )ft =
X Pi t
i
F i (kti ) − cit − kt+1
+ (1 − δ i )kti
Pt
i=T,N
Secteur i
Faisabilité
Prix
T
N
T
F T (ktT ) = cTt + kt+1
− (1 − δ T )ktT
N
N
N
N
F (kt ) = ct + kt+1 − (1 − δ N )ktN
PtT
PtN
Table 5.1 – Contrainte ressources, deux secteurs, économie ouverte
— Allocation optimale :
∞
X
max
i
{cit+s ,kt+s+1
,ft+s+1 }∞
s=0
U (cTt+s , cN
t+s ),
s=0
sujet à contrainte de ressources (5.10).
— Optimum statique :
cTt
=
cN
t
69
α PtN
1 − α PtT
γ
i = T, N
(5.10)
en sachant que valeur consommation agrégée :
Pt ct = PtT cTt + PtN cN
t
on peut démontrer que niveau agrégée des prix est donnée par :
1
Pt = αγ (PtT )1−γ + (1 − α)γ (PtN )1−γ 1−γ
i.e. le prix agrégé est également obtenu par une CES.
— Optimum dynamique :
(1 +
∗
rt+1
)
N
T
Pt+1
1 + πt+1
T
T
N
FT
+ (1 − δ ) + T FkT ,t+1
=
1 + πt+1 k ,t+1
Pt+1
N
T
1 + πt+1
Pt+1
N
T
N
FN
=
+ (1 − δ ) + N FkN ,t+1
1 + πt+1 k ,t+1
Pt+1
Si simplifie tel que capital i utilisable dans secteur i uniquement, i.e. FkTN = FkNT =
0, alors, par approximation de Hicks :
N
T
+ FkNN ,t+1 − δ N
πt+1
+ FkTT ,t+1 − δ T = πt+1
{z
}
{z
}
|
|
T
rk,t+1
N
rk,t+1
i.e. égalise rendements nominaux secteurs T, N , sinon déplace ressources d’un secteur à un autre (Condition de Non-Arbitrage).
5.4
Taux de change réels et termes de l’échange
Quelques définitions :
Taux réels
Q=S
où P, P ∗ incluent tous les biens (N, T ).
70
P∗
P
(5.11)
Termes de l’échange (ToT)
QT = S
P T∗
PT
(5.12)
i.e. taux réels sur biens échangés uniquement.
Loi du Prix Unique (LOP)
QT = 1
(5.13)
i.e. prix biens échangés étrangers (en devise domestique) = prix biens échangés
domestiques.
Parité du Pouvoir d’Achat (PPP) De termes de l’échange (5.12) et de Loi du
prix unique (5.13),
0 = st + pTt ∗ − pTt
(5.14)
De façon plus générale, si on suppose que les taux réels sont fixes à long terme,
i.e. Q̂t = 0 dans (5.11), alors on obtient :
Ŝt = πt − πt∗
À long-terme, pas d’érosion du pouvoir d’achat domestique par rapport à celui de
l’étranger (Q̂t = 0). Si produits domestiques trop chers (πt > πt∗ ), alors nécessite
appréciation (dépréciation) devise étrangère (domestique) pour rétablir l’équilibre.
De discussion précédente, prix agrégé Pt = P (PtT , PtN ) suit une CES. Suppose que α∗ =
α, γ ∗ = γ. Peut démontrer que :

Qt =
P T∗ 1 +
St t T 
P
1+
| {zt }
=1, sous LOP
1−α γ
α
PtN ∗
PtT ∗
1
1−γ  1−γ

N 1−γ 
1−α γ Pt
α
PtT
— Si choc négatif compétitivité secteur T domestique, alors P T /P N ↑ =⇒ Q ↑.
— Taux de change réel doit augmenter pour rétablir compétitivité ⇐⇒ valeur réelle
devise domestique doit chuter pour rétablir compétitivité.
71
5.5
Déficits jumeaux
Pays à forts déficits publics ont souvent forts déficits balance extérieure.
— Identité comptabilité nationale en économie ouverte et privée-publique :
yt = ct + it + gt + xt − Qt xm
t
(5.15)
— De contrainte budgétaire (4.13) :
gt + (1 + rtb )bt = Tt + bt+1
où, de (4.5), déficit public donné par :
Dt = gt − Tt + rtb bt
= dt + rtb bt
— Solde du compte courant (5.2) :
∗
cat = xt − Qt xm
t + rt ft
— En substituant dans contrainte de ressource (5.15) où rtb = rt∗ pour petite économie
ouverte :
cat = [yt + rt∗ (bt + ft ) − Tt −ct ] − it − [gt − Tt + rt∗ bt ]
|
{z
}
revenu disponible
= spt − it − Dt
= spt + sgt − it
= st − it
i.e. déficit compte courant élevé si déficit gouvernemental élevé, sgt 0 ⇐⇒
72
épargne publique faible =⇒ épargne domestique faible (Théorie Déficits Jumeaux).
— Évidence empirique (Graphique 5.2) : Cohérente avec Déficits Jumeaux
Total Current Account Balance for the United States© (right)
Federal Surplus or Deficit [-] as Percent of Gross Domestic Product
(left)
3
2.5
1
-1
-2.5
-3
-5.0
-5
-7.5
-7
-10.0
1960
1970
1980
1990
2000
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 5.2 – Déficits jumeaux
73
2010
(Percent of GDP)
(Percent of GDP)
0.0
6
Introduction économie monétaire
6.1
Introduction
Rôle de monnaie dans analyse macroéconomique : Introduit niveau de prix et inflation :
— Traités comme fixes dans analyse fiscale (Section 4).
— Traités comme exogènes dans analyse économie ouverte (Section 5).
Perspectives historiques :
— Différents rôles de la monnaie
— Tendance vers économie sans liquidités =⇒ conduite de la politique monétaire.
Focus sur demande de monnaie : 5 modèles, couvre 3 premiers :
1. Liquidités en amont (Cash-in-advance, CIA, contrainte Clower).
2. Services valorisés de monnaie (Money in the utility function, MIU).
3. Monnaie comme bien intermédiaire (Money as intermediate good, MIG).
4. Coûts de transactions réduits par monnaie.
5. Crédit, CIA et demande de monnaie.
6.2
Perspectives historiques
Trois rôles fondamentaux pour la monnaie :
1. Instrument de transactions :
— Évite double coı̈ncidence des besoins (troc).
— Pas en quantité fixe comme métaux précieux =⇒ ajustable en fonction de la
croissance économique.
2. Réserve de valeur :
— Transfert du pouvoir d’achat d’aujourd’hui à demain.
— Peut être prêtée/empruntée pour consommation aujourd’hui, repayée (avec
intérêts) demain.
3. Unité comptable :
74
— Prix dénominés en unité de numéraire (ex. CHF 1.80 pour 1 litre d’essence
diesel, CHF 3.60 pour 1 pain mi-blanc).
— Établit prix relatif des biens et services (2 litres d’essence diesel pour 1 pain
mi-blanc).
Premières monnaies papier : Reconnaissances de dette (I owe you, IOU)
— Échangeables contre métaux précieux ou biens/services fournis par le débiteur
(émetteur de papier).
— Reposent sur confiance dans capacités à rembourser créance :
— Marchands établis (inventaires).
— Propriétaires terriens (biens immobiliers).
— État (capacité fiscale).
— Banques (dépôts, métaux précieux).
Émergence des banques : Intermédiaires entre créditeurs et débiteurs :
— Acceptent métaux précieux en dépôt, émettent billets bancaires (escomptés) sur
ces dépôts pour assurer demandes de liquidités.
— Banques plus importantes deviennent banques pour l’état.
— Éventuellement monopole pour émission des billets (Banques centrales).
— Initialement dénomination en or/argent.
— Éventuellement conversion suspendue lorsque confiance suffisante : Monnaie
par décret (Fiat money).
— Monnaie exclusivement émise par Banque centrale (passif : outside money).
— Détenue par public sous forme de liquidités ou de dépôts (inside money).
— Dépôts prêtés à d’autres clients (crédit bancaire).
= masse monétaire
billets
{z
}
| {z } + |dépôts
{z } |
outside
inside
passif système bancaire
Développements récents :
1. Monnaie plastique/électronique : Économie sans liquidités.
75
2. Diversification activités bancaires :
— Banques : Autres secteurs d’activité (gestion de fortune, . . .).
— Non-banques : Activités bancaires (ex. hypothèques, . . .).
Affectent conduite de la politique monétaire :
— Plus seulement cantonnée contrôle des agrégats monétaires.
— Davantage recours aux taux d’intérêt, conditions de crédit.
— Doit tenir compte des effets sur composition des portefeuilles, décisions de consommation des ménages.
6.3
Contrainte budgétaire avec monnaie
Contrainte nominale :
Pt ct + Qt bt+1 + Mt+1 ≤ Pt xt + Pt bt + Mt
où Qt : prix d’une obligation 1-période, Mt+1 liquidités pour prochaine période, xt autres
revenus, Mt liquidités disponibles.
Contrainte réelle, divise par Pt :
ct + qt bt+1 + mt+1 (1 + πt+1 ) ≤ xt + bt + mt
Titre
Nominal/Réel
bons :
nominal :
réel :
nominal :
réel :
monnaie :
Valeur en t Valeur en t + 1
Qt
t
qt ≡ Q
Pt
Mt+1
Pt+1
1
Mt+1
Mt+1
Pt
Mt+1
Pt+1
(6.1)
Rendement
Pt+1
= 1 + Rt+1
Qt
1
= 1 + rt+1
qt
Mt+1
=1
Mt+1
Pt
= 1+π1t+1
Pt+1
Table 6.1 – Rendements sur obligations et sur monnaie
Rendements contrastés nominaux/réels sur titres obligataires et sur monnaie (Tableau 6.1)
— Rendement positif sur monnaie seulement si πt+1 < 0 (déflation), sinon, rendement
76
négatif (πt+1 > 0 : Taxe de Seigneuriage).
— Équation de Fisher :
1 + rt+1 =
1
Pt+1 /Pt+1
1 + Rt+1
=
=
qt
Qt /Pt
1 + πt+1
(6.2)
d’où rt+1 ≈ Rt+1 − πt+1 par approximation de Hicks.
— Rendements réels sur bons vs sur monnaie :
1 + rt+1 =
1 + Rt+1
1
m
,
≥
≡ 1 + rt+1
1 + πt+1
1 + πt+1
si Rt+1 ≥ 0
i.e. monnaie toujours dominée par bons en tant qu’actif =⇒ pas détenue =⇒
doit modifier modèle pour justifier détention de monnaie observée en réalité.
6.4
Modèle de liquidités en amont (CIA)
Suppose que doit toujours détenir monnaie en quantité suffisante pour financer achats
Mtd ≥ Pt ct , impliquant :
mdt ≥ ct ,
∀t
(6.3)
Problème des ménages : Maximiser utilité escomptée sujet à contrainte budgétaire (6.1)
et contrainte Clower (6.3) :
∞
X
max
{ct+s ,bt+s+1 ,mt+s+1 }∞
s=0
β s U (ct+s )
s=0
sujet à :
xt+s + bt+s + mt+s ≥ ct+s + qt+s bt+s+1 + (1 + πt+s+1 )mt+s+1
mt+s ≥ ct+s
Peut solutionner par Lagrangien avec λt+s ≥ 0 : le multiplicateur associé à la contrainte
budgétaire (6.1) et µt+s ≥ 0 : le multiplicateur à la contrainte Clower (6.3). Deux cas
77
possibles :
µt+s



> 0 si contrainte liante, i.e. mt+s = ct+s


= 0 si contrainte non-liante, i.e. mt+s > ct+s
Allocation optimale :
β s Uc,t+s = λt+s + µt+s
λt+s qt+s = λt+s+1
λt+s (1 + πt+s+1 ) = λt+s+1 + µt+s+1
impliquant :
βUc,t+1 − µt+1
1=
(1 + rt+1 )
Uc,t − µt
βUc,t+1
1
1=
Uc,t − µt
1 + πt+1
{z
}
|
(6.4)
(6.5)
m
1+rt+1
Interprétation (Graphique 6.1) :
1. Contrainte liante : µt+s > 0, mt+s = ct+s . Coût d’opportunité de consommation
augmente à cause de contrainte CIA =⇒ doit détenir la monnaie qui est dominée
par autres actifs financiers =⇒ réduit la consommation (voir Graphique 6.1).
— Équation d’Euler (6.4) différente de cas standard.
— Valorisation différente des actifs financiers (6.4) vs monétaires (6.5).
2. Contrainte non-liante : µt+s = 0, mt+s > ct+s . Retrouve cas standard
Allocation de long-terme :
— De contrainte budgétaire (6.1) :
ct +
at+1 + Rt+1 mt+1
= x t + at
1 + rt+1
où at ≡ mt + bt est la richesse financière qui peut être solutionnée de manière
78
Figure 6.1 – Contrainte de Clower (CIA)
prospective en supposant rt , Rt constants :
s ∞ X
1
Rmt+s+1
at =
ct+s − xt+s +
1+r
1+r
s=0
— Si ct , mt , xt constants à l’équilibre de long-terme, alors on obtient :
ct = x t +
r
1+r
bt −
π
1+r
mt
— Rendements sur liquidités détenues seulement si π < 0 (déflation).
— Non-neutralité : Valeurs réelles affectées par l’inflation si liquidités détenues
(vrai si CIA).
— Consommation chute si π > 0 (taxe seigneuriage).
79
6.5
Modèle de services valorisés de la monnaie (MIU)
Services implicites de monnaie (ex. liquidités) sont valorisés =⇒ monnaie dans fonction
d’utilité :
où Ui ≥ 0, Uii ≤ 0,
Ut = U (ct , mt ),
i = c, m.
(6.6)
Problème des ménages : Maximiser utilité escomptée, avec services valorisés (6.6), sujet
à contrainte budgétaire (6.1) :
∞
X
max
{ct+s ,bt+s+1 ,mt+s+1 }∞
s=0
β s U (ct+s , mt+s )
s=0
sujet à :
ct+s + qt+s bt+s+1 + (1 + πt+s+1 )mt+s+1 ≤ xt+s + bt+s + mt+s
Allocation optimale :
1=β
1=β
Uc,t+1
Uc,t
(1 + rt+1 )
Uc,t+1 + Um,t+1
Uc,t
(6.7)
1
(1 + πt+1 )
(6.8)
— Euler (6.7) standard pour titre obligataire.
— Euler (6.8) différente pour monnaie : Gain service valorisé Um ≥ 0 vient augmenter
bénéfice marginal attendu =⇒ justifie détention de monnaie, même si titre dominé
par obligation.
— Exemple :
U (c, m) =
c1−σ
m1−σ
+η
1−σ
1−σ
dans Euler (6.8) :
1= β
|
ct+1
ct
{z
−σ "
1+η
}
(1+rt+1 )−1 de (6.7)
80
mt+1
ct+1
−σ #
1
(1 + πt+1 )
qui se simplifie en :
mt+1
=
ct+1
η
Rt+1
σ1
— Ratio liquidités sur consommation 6= 1 pour cas général, alors que dans cas où
CIA est liante, on a mt = ct .
— Demande de liquidité décroı̂t en Rt+1 : Coût d’opportunité de détention de
monnaie.
— Augmente en η (services monétaires).
6.6
Monnaie comme bien intermédiaire (MIG)
Alternative à monnaie pour échanges : Troc
— Pas efficient : Nécessite double coı̈ncidence des besoins.
— Monnaie évite ce problème, réduit temps de transaction (recherche de contrepartie
à l’échange).
— Monnaie comme bien intermédiaire, réduit temps consacré au shopping (Ljungvist
and Sargent, 2004)
Allocation temps disponible entre travail nt , loisir lt et shopping St :
1 = nt + lt + S(ct , mt )
| {z }
(6.9)
shopping
— Suppose S, Sc , Scc ≥ 0, temps de shopping positif, croissant, convexe dans besoins
de consommation.
— Suppose Sm , Scm ≤ 0, alors que Smm ≥ 0, temps de shopping diminué par détention
de monnaie (Graphique 6.2), rendements décroissants à monnaie.
Problème des ménages : Maximiser utilité escomptée, sujet à contrainte budgétaire (6.1),
avec revenus de travail xt = wt nt , et à contrainte d’allocation de temps (6.9) :
∞
X
max
{ct+s ,lt+s ,nt+s ,bt+s+1 ,mt+s+1 }∞
s=0
81
s=0
β s U (ct+s , lt+s )
Figure 6.2 – MIG et temps de shopping
sujet à :
wt+s nt+s + bt+s + mt+s ≥ ct+s + qt+s bt+s+1 + (1 + πt+s+1 )mt+s+1
1 = nt+s + lt+s + S(ct+s , mt+s )
Allocation optimale :
1=β
1=β
Uc,t+1
Uc,t
Uc,t+1
Uc,t
1 + wt Sc,t
1 + wt+1 Sc,t+1
1 + wt Sc,t
1 + wt+1 Sc,t+1
(1 + rt+1 )
[1 − wt+1 Sm,t+1 ]
1
(1 + πt+1 )
(6.10)
(6.11)
— Euler (6.10) différente de cas standard si Sc,t 6= 0.
— Coût additionnel de consommation (temps de shopping), affecte valorisation
des actifs.
82
— Dépend du coût d’opportunité du temps (salaire).
— Euler (6.11) différente de cas standard si Sm,t 6= 0.
— Service positif additionnel de monnaie (Sm,t ≤ 0) : Réduit temps de shopping,
augmente valorisation de monnaie.
— Peut démontrer que :
−wt Sm,t = Rt
Ex. S(c, m) = ψc/m. Implique que :
mt
wt ψ
=
ct
Rt mt
— Décroı̂t en Rt (coût opportunité monnaie).
— Augmente en wt (coût opportunité temps shopping).
— Optimum statique :
M RS`,c,t ≡
P`,t
wt
U`,t
=
=
< wt
Uc,t
Pc,t
1 + wt Sc,t
différent de cas standard si Sc,t 6= 0. Coût d’opportunité du temps consacré au
shopping réduit coût d’opportunité du loisir.
Autres modèles : Non couverts
— Coûts de transaction : Similaires à coûts shopping.
— Achats cash et crédit : CIA sur biens cash, pas sur achats à crédit.
83
6.7
Évidence empirique
Prévisions des modèles :




≥ 1,
(CIA, Section 6.4)




m  m −
(MIU, Section 6.5)
: = c R
c 



− +


m

(MIG, Section 6.6)
= c R, w
M2 Money Stock/Personal Consumption Expenditures (left)
10-Year Treasury Constant Maturity Rate (right)
23.0
1.05
20.0
1.00
17.0
14.0
0.90
11.0
0.85
8.0
0.80
(Percent)
(Bil. of $/Bil. of $)
0.95
5.0
0.75
2.0
0.70
-1.0
0.65
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 6.3 – Demande de monnaie et taux d’intérêt
Lien avec taux d’intérêt (Graphique 6.3) :
— m/c < 1, contredit CIA.
— Pas de relation stable :
— Avant 1980, après 2005 : Covariance négative, en accord avec MIU, MIG.
— 1980–2005 : Covariance positive.
Lien avec salaires (Graphique 6.4) :
84
M2 Money Stock/Personal Consumption Expenditures (left)
Average Hourly Earnings of Production and Nonsupervisory
Employees: Total Private (right)
25.0
1.05
22.0
1.00
19.0
16.0
0.90
13.0
0.85
10.0
0.80
(Dollars per Hour)
(Bil. of $/Bil. of $)
0.95
7.0
0.75
4.0
0.70
1.0
0.65
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 6.4 – Demande de monnaie et changements salaires
— Pas de relation stable :
— Après 1995 : Covariance positive, en accord avec MIG.
— Avant 1995 : Covariance négative
Inflation et croissance monétaire :
— De Théorie Quantitative de Monnaie (TQM, Friedman, 1969) :
MV = P Y
(6.12)
ou V est vélocité de la monnaie et V n’a pas de trend (voir Graphique 7.7)
=⇒ V̂ = 0.
— De TQM (6.12), on a que :
M̂ − Ŷ = π
Inflation élevée si croissance excessive des agrégats monétaires.
— Souvent le cas lorsque base fiscale fragile (e.g. URSS, Allemagne, années 20, Zim85
bawe, Argentine, . . .) =⇒ Recours à taxe de seigneuriage pour financer dépenses
de l’état (voir Section 7).
— Position monétariste (e.g. Friedman) :
— Préférable de minimiser incertitudes : Annoncer taux µ = M̂ constant.
— Taxe de seigneuriage =⇒ distorsion, à minimiser :
— À l’état stationnaire : r = θ.
— Minimiser distorsions : rm = −π = r = θ =⇒ π = −θ =⇒ R = r+π = 0.
— Problèmes :
— Si pas de taxe de seigneuriage, doit augmenter autres taxes =⇒ crée autres
distorsions.
— Pas résultat d’équilibre général : Effets sur emploi, investissement, consommation, . . ., pas pris en compte.
— Déflation perpétuelle π = −θ pas souhaitable. Ex. si qualité ↑ =⇒ P ↑
=⇒ π > 0.
Super-neutralité
— Lorsque chocs nominaux n’affectent pas variables réelles.
— Implique que chocs monétaires affectant l’inflation n’ont pas d’effets sur consommation, output, . . ..
— Demande de monnaie MIU, MIG : m/c = m/c(R), où R = r + π. Dépend de
l’inflation, pas super-neutre.
— Pas de super-neutralité en équilibre partiel, pas nécessairement en équilibre général.
86
7
Politique monétaire
7.1
Introduction
Basé sur Romer (2012, ch. 11).
Analyse politique monétaire à court et à long-terme.
— À long-terme : Inflation presque toujours résultante de politique monétaire expansionniste.
— Doit analyser effets sur liquidités détenues, taux d’intérêt.
— Biais inflationniste : Pas d’arbitrage inflation vs output, utilise inflation comme
taxe de Seigneuriage.
— À court-terme : Peut être utilisée comme instrument de stabilisation macroéconomique.
— Coûts de variabilité output et inflation.
— Dépend de perspective prospective vs rétrospective.
7.2
Inflation, croissance monétaire et taux d’intérêt
Marché monétaire :
— Équilibre :
− +
M
= L( i , Y ) =⇒ P =
P
M
− +
(7.1)
L( i , Y )
— Hausse de P si :
— Hausse M ,
— Hausse de i,
— Chute de Y ,
— Autres facteurs (e.g. demande pour actifs autres que monnaie).
— À long-terme, M ↑ est cause probable de l’inflation.
— Pas de chute séculaire de Y
— i = r + π e incorpore déjà inflation, et r à peu près constant sur le long terme.
— Autres facteurs dans L peu probables à long-terme.
87
— Évidence empirique : Si suppose demande de monnaie donnée par demande de
liquidités de Cagan (1956),
L(it , Yt ) = kYtη exp [−βit ] = kYtη exp [−β(rt + πte )]
En substituant dans équilibre monétaire (7.1), on obtient :
πt dt = d ln(Mt ) − d ln(L(it , Yt ))
= d ln(Mt ) − η d ln(Yt ) + βdit .
Estimations empiriques : η ≈ 1.0, β ≈ 0.20, on obtient donc :
πt = 0.10 ⇐⇒




Ŷt = −0.10, pas réaliste




dit = 0.5,






M̂t = 0.10,
pas réaliste
réaliste
Données en accord avec fort lien entre inflation et croissance monétaire (Graphique 7.1).
A- Effets de long-terme : Flexibilité parfaite des prix
— Soit demande de monnaie donnée par demande de liquidités de Cagan (1956).
Substitue dans équilibre monétaire (7.1), suppose Yt , rt , Mt /Pt constants et pas
d’erreurs d’anticipations, i.e. πte = πt :
ln(Pt ) = constante + ln(Mt ) + βπt
— Analyse hausse croissance monétaire de M̂t = µ0 à µ1 > µ0 à t = 1 (Graphique 7.2),
deux effets :
1. Hausse de it (effet de Fisher)
2. Hausse de Pt
88
Inflation, consumer prices (annual %, 2009-2013)
12
UGA
NPL
10
8
MNG
MDG
COD
NIC
LKA NAM
CRI
SLB
IDN
ROU DOM
GMB PRY
TUN
TCD
SAU
COG
MUS
GUY
OMN
GBR LTUPOL
CAF
KHM
PER
LBN
ISR
KSV
CIV
MLT
GRDUSA
DEU
FRA
BRN
CHE
JPN
6
4
2
0 IRL
−2
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Money and quasi money growth (annual %, 2009-2013)
Figure 7.1 – Inflation et croissance monétaire
Notes: Sources : The World Bank. Moyenne arithmétique, 2009-2013.
Mt
Pt ↑
↓= L(it ↑, Yt ) ↓
B- Effets de court-terme : Flexibilité imparfaite des prix
— À court-terme : Output flexible, prix rigides.
Mt ↑ =⇒ rt ↓ =⇒ it ↓ =⇒ It ↑ =⇒ Yt ↑
(effets de liquidités).
— Effet temporaire : À long-terme, retour à r̄, Ȳ =⇒ it ↑= r̄ + πte ↑ et
7.3
Mt
Pt ↑
↓.
Structure à terme des taux d’intérêt et politique monétaire
Soit un emprunt de maturité de n périodes, deux stratégies possibles :
89
2.5
4
3
it = r + πte
2
ln(Mt )
πte = πt
2
1.5
1
0
0.5
1
t
1.5
2
0
0.5
1
t
1.5
2
0
4
−0.2
ln(Pt )
−0.4
β[π1 − π0 ]
2
−0.6
ln(Mt /Pt )
−0.8
0
0.5
1
t
1.5
2
0
0.5
1
t
1.5
2
Figure 7.2 – Effets de long-terme hausse de croissance monétaire
1. Emprunt à taux long de n périodes. Coût total emprunt :
RtL (n) = 1 + iLt
n
où iLt est le taux long annualisé.
2. Séquence d’emprunts à taux courts RtC = RtC (1), re-financés à chaque périodes.
Coût total emprunt :
C
C
C
C
C
Rt+1
× Rt+2
× · · · × Rt+n
= 1 + iC
t+1 × 1 + it+2 × · · · × 1 + it+n
En équilibre, devrait être indifférent entre les deux stratégies :
RtL (n)
=
n
Y
j=1
90
C
Rt+j
Prends logs, utilise approximation de Hicks :
n
iLt =
1X C
i ,
n j=1 t+j
or, puisque ict+j est inconnu au temps t pour j ≥ 1, utilise anticipations, alloue pour
déviations :
n
iLt
1 X C
i + θn,t ,
= Et
n j=1 t+j
(Structure à terme des taux d’intérêt).
— Facteur θn,t capte déviations, e.g. dues à aversion au risque de liquidité.
— Taux longs reflètent anticipations quant à évolution des taux courts d’intérêt (e.g.
StockCharts.com: Dynamic Yield Curve).
— Si hausse Mt =⇒ taux courts chutent à court terme, puis hausse anticipée à
long-terme, peut obtenir que iLt ↑.
Application (Cook and Hahn, 1989; Kuttner, 2001)
— Cible de la Federal Reserve : Federal Funds (FF) Rate
— Taux de très court-terme (24h) auquel les banques se prêtent entre elles.
— Influencé par opérations directes (Open Market Operations) : Achats/ventes
de bons du Trésor américain ⇐⇒ Mt .
— Étudient influence des FF sur SAT :
∆Rt (j) = b1 (j) + b2 (j)∆F Ft + ujt
— Résultats estimations (Tableau 7.1) :
— Effets non symétriques (diminuent avec maturité).
— Effet positif à toutes les périodes, pas seulement à court-terme.
— Interprétation Kuttner (2001) : Dépend des anticipations par rapport aux politiques monétaires.
— Si pleinement anticipées : Déjà incorporées dans les prix au moment de l’an91
maturité j
effet FF b2 (j)
3 mois
1 an
5 ans
10 ans
0.55
0.50
0.21
0.10
Table 7.1 – Effets des FF sur différentes maturités
nonce de la politique monétaire =⇒ pas d’effet sur SAT.
— Si non-anticipées (news) =⇒ effet sur SAT.
— Peut utiliser marché à terme pour identifier les anticipations.
7.4
Fondements Micro pour politique contra cyclique
1. Stabilisation prix
(a) Coûts inflation :
i. Coûts de semelle (shoe leather costs) :
— Rendement nominal monnaie (= 0) vs titre obligataire (it = rt + πt > 0)
— Si πt > 0, minimise coût d’opportunité de détention de monnaie en
détenant le moins possible de liquidités =⇒ passages fréquents banque/guichet
=⇒ usure semelle des souliers.
— Probablement faibles (paiements directs par carte débit).
— Éliminés si pas de rendement nominal : it = 0 =⇒ πt = −rt < 0
(Friedman, 1969).
ii. Coûts d’ajustement non synchronisés :
— Pas de synchronisation ajustements prix individuels Pi,t à inflation :
— Prix relatifs Pi,t /Pj,t fluctuent =⇒ ajustements quantités consommées/produites
(non optimal).
— Probablement plus important si frictions pour ajustements des prix individuels.
iii. Coûts de menu :
92
— Doit constamment ajuster menus/catalogues en période d’inflation fluctuante =⇒ coûts additionnels.
— Probablement faible (catalogues informatisés, par internet).
iv. Distorsions fiscales :
— Taxes sur revenus (main-d’oeuvre, capital et intérêt), déduction paiements d’intérêts sur dette en termes nominaux.
— Système fiscal progressif : Hausse taux de taxation pour revenus nominaux plus élevés.
— Inflation =⇒ hausse nette des taxes sur capital it = rt +πt et rendement
net (1 − τ i )it =⇒ distorsions fiscales défavorisent épargne.
— Inflation
=⇒
hausse nette des taxes sur revenus de travail
=⇒
distorsions fiscales défavorisent travail (Graphique 7.3).
— Contrôlées par indexation système fiscal =⇒ probablement faibles.
Figure 7.3 – Système progressif et distorsions fiscales de l’inflation
93
v. Erreurs d’anticipation :
— Si πte > πt (πte < πt ) =⇒ redistribution vers prêteurs (emprunteurs).
— Données : ρ(πt , σ(πt )) > 0 =⇒ inflation plus difficile à prévoir lorsque
élevée =⇒ erreurs d’anticipation plus importantes en période d’inflation élevée.
— Défavorisent décisions de long-terme (ex. immobilier).
— Probablement importantes.
(b) Bénéfices inflation :
i. Flexibilisation marché du travail :
— Si rigidités salariales, wt =
W̄tn
Pt
rendu flexible uniquement par flexibilité
prix.
n
↓, j = 1, 2, . . . .
— Ex. récession Pt ↓ =⇒ wt ↑ =⇒ Ld (wt ) ↓ =⇒ Wt+j
ii. Borne à zéro intérêts nominaux it = rt + πte ≥ 0 :
— Taux nominaux s’éloignent de borne inférieure si inflation positive.
— Permet flexibilité politique monétaire via ajustement dans it (par ex.
via FF).
— En récession, pas de politique monétaire possible si it ≈ 0 (ex, après
2008, voir Graphique 7.4).
iii. Changements prix relatifs =⇒ πt > 0 :
— Ex. : Progrès technologie médicale Ptmed ↑ et IPC Pt =
P
ωi,t Pi,t =⇒
πt > 0.
— Pas nécessairement mauvaise inflation si correspond à changement qualité du produit.
∴ Zéro inflation pas souhaitable π ∗ ≈ 5% > π2013 = 1.5%.
2. Stabilisation output :
(a) Zéro fluctuations dans output non souhaitable :
— Causées par changements dans technologies, termes d’échange, préférences,
règlementation, . . ..
94
Effective Federal Funds Rate
20.0
17.5
15.0
(Percent)
12.5
10.0
7.5
5.0
2.5
0.0
-2.5
1970
1980
1990
2000
2010
Source: Board of Governors of the Federal Reserve System
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 7.4 – Taux Effectif Fonds Fédéraux
— Réponses optimales aux changements dans les prix relatifs, si prix flexibles
et marchés compétitifs =⇒ stabilisation non-souhaitable.
— Souhaitable si causée par changement pouvoir monopolistique =⇒ stabilisation centrée sur niveau walrasien yt∗ .
(b) Choix de yt dépend du choix de πt . Ex, Fonction de coût social :
Wt = −c(yt∗ − yt ) − f (πt )
(7.2)
où f 0 , f 00 ≥ 0 (coûts croissants convexes de l’inflation).
Deux modèles de courbe de Phillips :
A- Offre agrégée de Lucas :
yt = ytn + b(πt − πte ) + ut
95
(7.3)
où ytn est niveau de prix flexibles, πte est niveau anticipé d’inflation.
Substitue (7.3) dans fonction objective (7.2) :
min Wt = −c [yt∗ − ytn − b(πt − πte ) − ut ] − f (πt )
πt
avec CPO :
cb = f 0 (π ∗ )
Solution pour π ∗ existe, unique (Graphique 7.5). Obtient y ∗ en substituant
dans (7.3) .
B- Courbe Phillips accélérationniste :
πt = πt−1 + λ(yt − ytn ) + νt
(7.4)
Substitue (7.4) dans fonction objective (7.2) :
min Wt = −c(yt∗ − yt ) − f [πt−1 + λ(yt − ytn ) + νt ]
yt
avec CPO :
c = λf 0 (π ∗ )
Solution pour π ∗ existe, unique (Graphique 7.5). Obtient y ∗ en substituant
dans (7.4).
∴ Choix de stabilisation optimale ⇐⇒ choix de π ∗ . Output optimal y ∗ découle
de choix de π ∗ , étant donné courbe de Phillips (substitution output-inflation).
Coûts utilitaires des cycles (Lucas, 1987)
— Soit utilité CRRA (2.3) :
U (c) =
96
c1−γ
1−γ
Figure 7.5 – Inflation optimale, offre agrégée de Lucas et courbe Phillips
accélérationniste
où consommation est stochastique :
c = c̄ + c ,
c ∼ (0, σc2 )
— Par approximation de second ordre autour de c̄ :
U (c) ≈ U (c̄) + U 0 (c̄)(c − c̄) + 0.5U 00 (c̄)(c − c̄)2
=⇒ E[U (c)] ≈ U (c̄) + 0.5U 00 (c̄)σc2
97
d’où
V (c̄, σc2 ) ≡ E [U (c)] ≈
(c̄)1−γ
− 0.5γ(c̄)−γ−1 σc2
1−γ
∂V
= (c̄)−γ + 0.5σc2 γ(γ + 1)(c̄)−γ−2 ≥ 0
∂c̄
∂V
= −0.5γ(c̄)−γ−1 ≤ 0
2
∂σc
indiquant que les agents sont averses au risque de consommation σc2 dès que γ > 0.
— Par variation Hicksienne, le montant maximal (en % x de la consommation moyenne
c̄) que les agents sont prêts à payer pour éliminer le risque de consommation est
implictement donné par :
V c̄(1 − x), σc2 = 0 = V (c̄, σc2 > 0)
=⇒ U (c̄(1 − x)) = U (c̄) + 0.5σc2 U 00 (c̄)
En utilisant l’utilité CRRA et l’approximation de Hicks, on solutionne pour x
comme suit :
x = 0.5γ
σ 2
c
c̄
qui augmente dans l’aversion au risque γ et dans le coefficient de variation de la
consommation (σc /c̄) (Graphique 7.6). En substituant les valeurs historiques US :
σc /c̄ = 1.5% et une valeur d’aversion au risque élevée γ = 5, on obtient donc
x = 6.0e−4 , une valeur très faible (contre-intuitif).
— Contre-arguments :
1. On suppose ici que tous les agents ont la même aversion au risque γ. Ceci
n’est pas réaliste, elle peut être plus élevée au niveau individuel, impliquant
des coûts utilitaires des cycles plus élevés.
2. Les politiques de stabilisation affectent la volatilité de la consommation σc et
des heures travaillées σn . Si les préférences sont définies sur U (c, 1 − n), alors
98
Figure 7.6 – Aversion au risque et coût utilitaire fluctuations consommation
les gains utilitaires sont plus importants (Ball and Romer, 1990).
3. Un environnement économique stabilisé favorise l’investissement, impliquant
des hausses d’outputs futurs via un stock de capital plus important.
∴ La stabilisation macroéconomique joue un rôle important, mais les mécanismes
justifiant l’intervention ne sont que partiellement compris.
7.5
Politique monétaire en économie rétrospective
Basé sur modèles Svensson (1997); Ball (1999). Demande agrégée Keynésienne et offre
agrégée :
— Courbe IS :
yt = −βrt−1 + uIS
t
99
— Courbe Phillips :
n
πt = πt−1 + α(yt−1 − yt−1
)
— Chocs auto-régressifs :
2
IS
t ∼ (0, σIS )
IS
IS
uIS
t = ρI ut−1 + t ,
— Output prix flexibles :
n
ytn = ρy yt−1
+ yt ,
yt ∼ (0, σy2 ),
y
où Cov(IS
t , t ) = 0
— Écarts constants :
yt∗ − ytn = ∆
Problème de la Banque Centrale :
min Var(yt − yt∗ ) + λVar(πt ) ⇐⇒ min Var(ỹt ) + λVar(πt )
rt
rt
où ỹt ≡ yt − ytn est la déviation de l’output observé par rapport à son niveau naturel,
λ ∈ (0, ∞) est la sensibilitée (finie) de l’inflation et où :
πt = πt−1 + αỹt−1
— De la courbe IS, choix de rt ⇐⇒ choix de :
ỹt+1 = −βrt + uIS
− yn
| t+1 {z t+1}
inconnus en t
donc, la Banque Centrale choisit :
n
Et ỹt+1 = −βrt + ρIS uIS
t − ρy yt
100
— Aussi, πt est connu en t, ce qui implique que :
πt+1 = πt + αỹt
est également connu en t.
∴ La Banque Centrale choisit rt en t et par le fait même, choisit Et ỹt+1 , Et πt+2 .
Solution candidate :
Et ỹt+1 = −qπt+1 ,
∀t
où q est un paramètre de règle optimale à solutionner.
— On a :
y
ỹt = Et−1 ỹt + IS
t − t
= −qπt +
y
IS
t − t
| {z }
inconnus en t−1
πt+1 = πt + αỹt
y
= (1 − αq)πt + α(IS
t − t ),
∀t
ce qui implique que :
2
Var(πt+1 ) = (1 − αq)2 Var(πt ) + α2 (σIS
+ σy2 )
{z
}
|
constants en t
= Var(πt ),
=
∀t
2
α2 (σIS
+ σy2 )
1 − (1 − αq)2
— Par un même raisonnement :
y
Var(ỹt ) = q 2 Var(πt ) + Var(IS
t − t )
=
2
q 2 α2 (σIS
+ σy2 )
2
+ (σIS
+ σy2 )
1 − (1 − αq)2
101
— Le problème de la Banque Centrale peut donc être ré-écrit comme :
min Var(ỹt ) + λVar(πt ) =
q
2
2
q 2 α2 (σIS
+ σy2 )
λα2 (σIS
+ σy2 )
2
2
+
(σ
+
σ
)
+
IS
y
1 − (1 − αq)2
1 − (1 − αq)2
et a comme solution :
∗
q =
−λα +
√
α2 λ2 + 4λ
2
Et ỹt+1 = −q ∗ πt+1
en éliminant la racine négative.
Interprétation :
— q ∗ augmente en λ (réactivité inflation).
— Si λ = 0 =⇒ q ∗ = 0 : Pas de réactivité à l’inflation, Et ỹt+1 = 0 =⇒ Et yt+1 =
n
, alors que Et πt+2 = πt+1 , i.e. l’inflation suit une marche aléatoire.
Et yt+1
— Peut démontrer que :
lim q ∗ =
λ→∞
1
α
impliquant que Et πt+2 = 0, i.e. politique de zéro inflation anticipée (strict inflation
targetting).
— Puisque q ∗ ∈ (0, α1 ), on a donc que :
Et πt+2 = (1 − αq ∗ )πt+1 = φπt+1
πt+2 = φπt+1 + πt+2
et ainsi, le choix de q ∗ en fonction de la réactivité inflation λ correspond à un choix
de la persistance de l’inflation φ ∈ (0, 1).
— Les principales différences entre Banques Centrales concernent leur réactivité à
l’inflation et donc la persistance de l’inflation. Si λ est élevé (ex. Bundesbank),
alors φ est faible, impliquant un retour rapide de l’inflation à son niveau d’équilibre
102
(= 0) après un choc π .
7.5.1
Règles de Taylor
n
Le taux naturel d’intérêt rtn est celui impliquant que yt+1 = yt+1
. De la politique bancaire
optimale, ainsi que des courbes Phillips et IS, on obtient :
yt+1 = −βrt + uIS
t+1
n
= yt+1
,
rt = rtn ≡
si
−1 n
(y − uIS
t+1 ).
β t+1
Ceci implique que :
n
n
ỹt+1 ≡ yt+1 − yt+1
= −βrt + uIS
t+1 − yt+1
n
IS
= −βrt + uIS
t+1 − −βrt + ut+1
= −β [rt − rtn ]
d’où :
Et (ỹt+1 ) = −β [rt − Et (rtn )]
= −qπt+1
= −q [πt + αỹt ]
on égalise les deux expressions pour obtenir la Règle de Taylor :
rt = Et (rtn ) +
q
αq
πt +
ỹt
β
β
où q = q ∗ (λ).
— La réactivité inflation (resp. output gap) est donnée par q/β (resp. αq/β).
— Les autorités doivent réagir 1 :1 aux modifications dans Et rtn .
103
(7.5)
— Puisque q ∗ ∈ [0, 1/α], la réactivité inflation (resp. output) est limitée par [0, 1/(αβ)]
(resp. [0, 1/β]) et ne peut donc être négative.
— Une hausse de la réactivité output entraı̂ne une hausse de la réactivité inflation.
7.6
Discussion politique monétaire
Règles monétaires :
— Approche traditionnelle (Friedman, 1969) : M̂t = µ (constant).
— Pas réellement suivie en pratique :
— M2 difficile à contrôler (e.g. comptes épargne, dépôts à terme, . . .).
— Lien instable avec demande agrégée (ex. vélocité V = P Y /M , Graphique 7.7)
∴ Politique monétaire réalisée via taux d’intérêt (ex. Effective Funds Rate, Graphique 7.4), plutôt que via aggrégats monétaires (ex. Open Market Operations).
Velocity of M2 Money Stock
2.3
2.2
2.1
(Ratio)
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1960
1970
1980
1990
2000
Source: Federal Reserve Bank of St. Louis
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 7.7 – Vélocité M2
— Ne peut avoir politique passive :
— Ex. it constant.
104
2010
— Si output gap ỹt > 0, =⇒ πt ↑ =⇒ rt ↓= it − πt ↑ =⇒ ỹt 0, . . . (instable).
∴ Doit ajuster taux en fonction des conditions macroéconomiques ỹt , πt
— Ex. Règle Taylor (7.5) :
it = in + φπ (πt − π ∗ ) + φy ỹt
— Doit annoncer règles in , φπ , φy crédibles, maintenues dans le temps (cohérentes)
=⇒ prévisibles.
— Ex. rn = 2%, φπ = 1.5, φy = 0.5.
— Variation Règles Taylor :
— Règles Taylor prospectives (Clarida et al., 2000) :
it = in + φπ (Et πt+k − π ∗ ) + φy Et ỹt+k
— Inclusion autres variables (et : taux passés, de change, indices boursiers, . . .) :
it = in + φπ (πt − π ∗ ) + φy ỹt + φe et
Bornes à zéro :
— Deux stratégies pour transférer le pouvoir d’achat de t à t + 1 :
1. Épargne : Paie rendement nominal it .
2. Sous le matelas : Paie rendement nominal 0.
si it = 0, personne n’épargne. Nécessite it > 0 =⇒ borne à zéro taux d’intérêt.
— Depuis 2008, F Ft ≈ 0 (voir Graphique 7.4) =⇒ plus de marge de manoeuvre !
— Nécessite autres outils de politique Macro :
1. Politique fiscale : Effets sur déficits, dette.
2. Expansion Mt → rt ↓= it − πte ↑ :
— Pas clair que inflation anticipée augmente si masse monétaire additionnelle
placée sous le matelas.
105
— Si hausse perçue comme temporaire, pas de changement dans inflation anticipée.
3. Achats autres que Bons du Trésor de court-terme :
— Ex. Bons Trésor de long-terme, bons corporatifs, . . .
> 0, permet d’éviter borne à zéro.
— Ont généralement iLT
t
— Permettent autres objectifs : Ex. politique industrielle via coût réduit d’accès
au capital.
4. Interventions marché des changes :
— Évite hausse et/ou permet chute devise domestique (ex. BNS, taux plancher
CHF–e).
— Stimule exportations nettes.
5. Intervention directe marché des capitaux (credit policy) :
— Ex. achat/vente papier commercial, règlementation bancaire, hypothèques.
∴ Borne à zéro contraignante si outils alternatifs ne sont pas utilisés.
7.7
Incohérence dynamique
Politique monétaire sous-optimale plus fréquente qu’on ne le pense
— Épisodes fréquents de forte croissance monétaire =⇒ forte inflation (Graphique 7.8).
— Biais en faveur de l’inflation dans politique monétaire ?
Causes possibles :
1. Revenus de seigneuriage :
— Surtout pays pauvres : Système de perception fiscale pas en place, corruption,
. . ., =⇒ seigneuriage comme moyen de financement.
— Pas le pas pour pays développés.
2. Arbitrage inflation-chômage :
— Hausse inflation pour réduire chômage.
106
Inflation, consumer prices (annual %, 2009-2013)
High inflation countries
35
BLR
30
VEN
25
IRN
SDN
20
15
10
−10
MWI
SLE
AGO
GHA
0
YEM
SYR
STP
PAK
NGA
UGA
TZA
BDI
IND
NPLVNM
10
20
30
GIN
MNG
40
50
60
Money and quasi money growth (annual %, 2009-2013)
Figure 7.8 – Inflation et croissance monétaire : Pays à forte inflation
Notes: Sources : The World Bank. Moyenne arithmétique, 2009-2013.
— Vrai à court-terme seulement, pas d’arbitrage à long-terme : Y = Ȳ , r = r̄, π =
µ.
3. Problème de cohérence dynamique : Ne peut promettre de manière crédible de
respecter politique anti-inflationniste à long terme.
Modèle incohérence dynamique (Kydland and Prescott, 1977)
— Idée générale : Si π ≈ 0 =⇒ coût marginal de π > 0 est faible =⇒ incitatifs
pour hausser inflation =⇒ π ↑.
— Incitatifs internalisés par agents économiques :
— Politique anti-inflationniste pas crédible.
— Pas d’effets réels de la politique monétaire.
107
— Trois hypothèses :
1. Monnaie a effets réels.
2. Anticipations inflationnistes ont effet réel.
3. Output avec prix flexible inférieur output optimal (Walrasien) :
yn < y∗
— Offre agrégée de Lucas :
y = y n + b(π − π e )
(7.6)
min L = 0.5 (y − y ∗ )2 + a(π − π ∗ )2
(7.7)
— Fonction de perte sociale :
π
sujet à (7.6).
— Deux possibilités pour anticipations :
1. Promesses crédibles : π e = π. Dans offre de Lucas (7.6) =⇒ y = y n =⇒
dans (7.7) :
min L = 0.5 (y n − y ∗ )2 + a(π − π ∗ )2
π
implique que π = π ∗ : Inflation optimale est le niveau Walrasien.
2. Prends π e comme donnée, choix de π étant donné π e :
min L = 0.5 (y n + b(π − π e ) − y ∗ )2 + a(π − π ∗ )2
π
Implique inflation optimale linéaire en π e (voir Graphique 7.9) :
π = π∗ +
b
b2
∗
n
(y
−
y
)
+
(π e − π ∗ )
2
a + b2
a
+
b
| {z }
pente<1
108
(7.8)
et que la fonction de perte sociale à l’optimum est :
"
L = 0.5
2
2 #
2
a
ab
b
b
(y ∗ − y n ) +
(π e − π ∗ ) + a
(y ∗ − y n ) +
(π e − π ∗ )
a + b2
a + b2
a + b2
a + b2
et est minimisée lorsque π e = π ∗ . Solution d’équilibre :
π eq = π = π e
b
= π ∗ + (y ∗ − y n ) > π ∗
a
y = yn
Figure 7.9 – Inflation optimale : Modèle Kydland et Prescott
109
— Solution d’équilibre n’est pas Pareto-optimale :
L(y = y n , π = π ∗ ) < L(y = y n , π = π eq )
b2
n
∗ 2
n
∗ 2
0.5(y − y ) < 0.5(y − y ) 1 +
a
i.e. perte sociale sous politique 2.
— Annonce de politique 1. n’est pas cohérente en termes dynamiques :
— Annonce π = π ∗ =⇒ π e = π ∗ .
— Prends π e comme donné, choisit π 6= π ∗ donné par (7.8), i.e. renie
promesse.
— Agents anticipent que π = π ∗ est non crédible, anticipent π e > π ∗ .
∴ Politique monétaire discrétionnaire =⇒ incohérence dynamique.
— Autre cas : Taxe sur capital, annonce τk faible, I 0 =⇒ k ↑ =⇒ τk 0.
— Solution : Règles, plutôt que politiques discrétionnaires.
— Doit avoir règles contraignantes.
— Problème : Ne tient pas compte de circonstances imprévisibles (Tsunami, 11 septembre, . . .).
— Autres solutions :
a
(a) Réputation : Observe annonces πt−1
=⇒ politiques observées πt =⇒
e
a
si πt−1
= πt .
anticipations πt+1
(b) Délégation à agence indépendante, plus averse à l’inflation que gouvernement :
min L = 0.5 (y n + b(π − π e ) − y ∗ )2 + a0 (π − π ∗ )2 ,
π
π(a0 ) = π ∗ +
a0 > a
b
b2
∗
n
(y
−
y
)
+
(π e − π ∗ )
0
2
0
2
a +b
a +b
< π(a)
Réduit pente et intercepte =⇒ réduit π, L (voir Graphique 7.10).
110
Figure 7.10 – Inflation optimale et délégation
— Données délégation et inflation :
— Pays à inflation modérée (Graphique 7.11) en accord avec prédiction
indépendance banque centrale =⇒ π ↓.
— Pays à inflation élevée (Graphique 7.12) relation floue.
7.8
Seigneuriage
Hyperinflation lorsque inflation mensuelle supérieure à 50% (Cagan, 1956).
— Allemagne, années 1920
— Amérique Latine, anciens pays Bloc de l’Est années 1980.
Pas justifiable par arbitrage inflation chômage :
— Coûts réels hyperinflation trop importants =⇒ doit identifier autres motifs.
— Revenus de seigneuriage :
— Taxe d’inflation utilisée pour financer dépenses publiques.
111
A. Moderate inflation countries
20
VEN
CHL
18
NGA
Inflation, (annual %)
16
PRT
14
12
10
8
6
4
GRC
EGY
ZAF
PHL
ZIMNZL WSA
ITA
NPL ESP
KEN
BWA
HUN
IDN IND
IRL
NOR
KOR
SWE
CHN AUS
MAR PAK
FRA
GBR
FIN
BRBHND DNK
THA
BHSCAN
BELTAI
LUX
USA
QAT
ROU MYS
ETH
JPNPAN SGP
NLD
MLT
2
0.1
0.2
AUT
CHEDEU
0.3
0.4
0.5
0.6
Central Bank Independence Index
0.7
0.8
Figure 7.11 – Indépendance banque centrale et inflation modérée
Notes: Sources : A. Cukierman, S. Webb and B. Neyapti. ”Measuring the Independence of Central Banks and Its Effect on Policy Outcomes ”, World Bank Economic Review , 6, September
1992, 353-398.
— Imprime billets =⇒ acquiert biens et services réels en échange de monnaie
dévalorisée rapidement ⇐⇒ taxe.
— Nécessaire lorsque dépenses très élevées (ex. guerre) et/ou outils fiscaux peu
développés (ex. marché noir, pays en voie de développement, . . .).
— Nécessaire lorsque décote élevée sur marchés des capitaux (ex. Argentine).
112
B. High inflation countries
160
ARG
140
Inflation, (annual %)
NIC
120
BRA
BOL
PER
100
80
YUL
UGA
IDR
60
40
POL
20
0.1
MEX
URY
GHA
0.15
ZAI
TUR
ISL
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Central Bank Independence Index
0.45
0.5
Figure 7.12 – Indépendance banque centrale et inflation élevée
Notes: Sources : A. Cukierman, S. Webb and B. Neyapti. ”Measuring the Independence of Central Banks and Its Effect on Policy Outcomes ”, World Bank Economic Review , 6, September
1992, 353-398.
7.8.1
Inflation et seigneuriage
Équilibre marché monétaire :
M
= L(i, Y ),
P
où Li ≤ 0, LY ≥ 0
= L(r + π e , Y ) ≥ 0
— Focus sur état stationnaire : r = r̄, Y = Ȳ , π e = gM = M̂ = Ṁ /M :
M
= L(r̄ + gM , Ȳ ) ≥ 0
P
Dépenses gouvernementales, financées par taxes et par création de monnaie (seigneu113
riage) :
Ṁ
Ṁ M
=
P
M P
taux taxe
z}|{
= gM
L(r̄ + gM , Ȳ )
{z
}
|
S≡
montant assujetti à taxe
d’où :
∂S
= L(r̄ + gM , Ȳ ) + gM Li (r̄ + gM , Ȳ ) R 0
|
{z
} |{z} |
{z
}
∂gM
(+)
(+)
(−)
∂S
= L(r̄, Ȳ ) ≥ 0
gm →0 ∂gM
lim
— Si taux de taxation élevés (faibles) : Revenus de seigneuriage augmentent (chutent)
dans taux de taxation (courbe de Laffer des revenus de seigneuriage).
— Exemple : Demande de Cagan (1956)
L(i, Y ) = AY exp(−bi)
S = gM AȲ exp[−b(r̄ + gM )]
= CgM exp(−bgM )
(voir Graphique 7.13)
— Maximum de revenus atteint à gM = 1/b.
— Peut financer même niveau de dépenses G par deux niveaux d’inflation g1 , g2 .
— Estimés Cagan (1956) : b̂ ∈ [0.33, 0.50]; Ŝmax /Y = 0.10. Peut déduire C et
calculer revenus de seigneuriage anticipés (voir Tableau 7.2) :
S
Y
gM
0.02
0.05
0.08
0.24
0.70
1.42
Table 7.2 – Revenus de seigneuriage et taux d’inflation
114
Figure 7.13 – Revenus de seigneuriage
∴ Revenus de seigneuriage modérés vs inflation substantielle.
7.8.2
Hyperinflation et seigneuriage
Analyse précédente tient à l’état stationnaire : r̄, Ȳ et π e = gM , i.e. ajustement instantané
des anticipations à un changement de politique monétaire :
— Implique que Sg ≤ 0 pour gM ≥ 1/b (voir Graphique ??).
— Peut avoir Sg ≥ 0, ∀gM si anticipations retardées =⇒ danger d’hyperinflation si
G > Smax :
— Même résultat si ajustement retardé de demande de liquidité.
Modèle :
— Demande souhaitée de liquidités :
m∗t ≡
Mt∗
= C exp[−bπt ]
Pt
115
— Ajustements graduels vers demande souhaitée :
ṁt
∂ ln(mt )
≡
mt
∂t
= gM − πt
= β [ln(m∗t ) − ln(mt )]
= β [ln(C) − bπt − ln(mt )]
où βb ∈ (0, 1) et où ṁt /mt est croissance réelle (i.e. nominale - inflation).
— Besoins en dépenses publiques élevés :
G > Smax
— Revenus de seigneuriage :
St = gM mt
ṁt
=
+ πt m t
mt
=G
— Croissance à l’équilibre :
ṁt
β
=
mt
1 − bβ
| {z }
β
=
1 − bβ
b
mt
[St − G] ≤ 0
| {z }
(−)
(+)
Gb
ln(C) − ln(mt ) −
mt
puisque G > Smax .
— Incompatible avec état stationnaire : Demandes réelles =⇒ 0 !
— Implique que inflation plus rapide que croissance nominale (hyperinflation).
— Solution : Doit réduire G < Smax pour obtenir équilibre souhaitable =⇒ Deux
116
équilibres possibles, un seul est stable (voir Graphique 7.14).
Figure 7.14 – Hyperinflation et stabilité
∴ Dépenses trop élevées + fiscalité imparfaite + accès au crédit imparfait =⇒ recours à
taxe de seigneuriage pour financer dépenses publiques =⇒ hyperinflation si anticipation
et/ou demande de liquidités retardées.
117
8
Rigidités nominales
8.1
Introduction
Principale différence entre modèles Keynésiens et Néoclassiques : Vitesse d’ajustement
des prix.
— Néoclassiques : Ajustement instantané
— Retour à l’équilibre très rapide (ex. plein emploi)
— Pas de justification pour intervention.
— Keynésiens : Prix rigides
— Ajustements lents et coûteux
— Justification pour intervention pour accélérer processus.
Problèmes théories Keynésiennes :
— Peu/pas de fondements Micro, rigidités nominales ad-hoc.
— Alternatives : Modèles d’équilibre général dynamique stochastique (DSGE).
— Fondements Micro.
— Chocs stochastiques.
— Rigidités nominales : Modèles Néo-Keynésiens.
Fondements modèles Néo-Keynésiens :
1. Optimisation dynamique.
2. Compétition imparfaite → P ↑, Y ↓ :
— Producteurs : Monopoles.
— Offre de travail : Syndicats.
3. Rigidités nominales endogènes.
Différences avec chapitres précédents : Analyse sectorielle, plutôt qu’agrégée.
— Biens intermédiaires de production (Pi , Yi ), i = 1, 2, . . . , N .
— Production de bien final Y = Y (Yi ), P = P (Pi ).
118
8.2
Faits empiriques prix, salaires
Source : Bils and Klenow (2004)
1. Changements infréquents niveaux de prix
— Environ 6 mois en moyenne.
— Dépend du secteur :
— Biens : 3.2 mois
— Services : 7.8 mois
— Plus fréquents biens échangeables.
— Rigidités nominales temporaires, pas permanentes.
2. Changements plus fréquents en période inflationniste.
3. Changements dé-synchronisés entre les secteurs.
4. Prix et coûts de production dé-phasés par rapport aux cycles Macro :
— Expansion : ∆C > ∆P → profits chutent.
8.3
Compétition monopolistique
Modification hypothèse de compétition parfaite utilisée jusqu’ici
— Changement ∆Ci =⇒
6
∆P :
— Consommateurs se tournent vers autre producteur j 6= i.
— Coût total pas affecté par choc idiosyncrasique.
— Nécessite compétition imparfaite pour avoir ∆Ci =⇒ ∆Pi =⇒ ∆P .
Principales hypothèses Modèle Compétition Imparfaite :
— Pas de capital =⇒ I = 0 : Modèle statique.
— N + 1 secteurs :
— N secteurs biens intermédiaires : Monopoles.
— 1 secteur bien final : Compétition parfaite.
— Équilibre général :
— Prix : Biens intermédiaires, final, salaires.
119
— Quantités : Biens intermédiaires, final, main-d’oeuvre.
1. Secteur bien final :
— Technologie de production :
"
y = y(yi ) =
N
X
φ−1
φ
φ
# φ−1
yi
"
=
N
X
i=1
1
ρ
#ρ
yi
(8.1)
i=1
où φ > 1 est l’élasticité de substitution, constante (Constant Elasticity of
Substitution, CES) et ρ > 1 est défini implicitement.
— Problème entreprise bien final :
max π = P y(yi ) −
{y,yi }N
i=1
N
X
Pi yi
i=1
sujet à (8.1).
— Conditions de premier ordre :
"
P
N
X
1
ρ
#ρ−1
1
yiρ
yi
−1
∀i = 1, 2, . . . , N
= Pi ,
(8.2)
i=1
Implications CPO (8.2) :
(a) Technologie homogène de degré 1 =⇒ π = 0 à l’équilibre :
P
" N
X
1
ρ
#ρ
yi
=
N
X
Pi yi
i=1
i=1
(b) Prix output est CES également :
"
P =
N
X
i=1
120
1
1−ρ
Pi
#1−ρ
(8.3)
(c) Élasticité de substitution est constante :
yi = y
Pi
P
−φ
,
d’où
yi
=
yj
Pi
Pj
−φ
(8.4)
— Lien avec pouvoir monopolistique, de CPO (8.2) :
−1
yi φ
Ri (yi )
= Pi (yi ) = P
ARi (yi ) =
yi
y
∂Ri (yi )
φ−1
M Ri (yi ) =
=
ARi (yi )
∂yi
φ
Hausse de élasticité de substitution φ =⇒ chute de pouvoir de monopole (voir
Graphique 8.1).
Figure 8.1 – Elasticité de substitution et rente de monopole
121
— Transmission partielle de l’inflation individuelle à inflation agrégée, de (8.3) :
1
∂ ln(P )
P 1−ρ
≡
=P i
<1
1
∂ ln(Pi )
N
1−ρ
i=1 Pi
ηP,Pi
2. Secteur biens intermédiaires :
— Technologie linéaire :
∀i
y i = A i ni ,
(8.5)
— Salaire nominal W identique pour toutes les entreprises i.
— Décisions des entreprises :
max πi = Pi (yi )yi − W ni
sujet à demande pour bien intermédiaire (8.4) et à technologie (8.5) :
⇐⇒ max
ni
φ−1
1
πi
= y φ (Ai ni ) φ − wni
P
— Des CPO, on obtient :
N
X
ni = w
−φ
n
yZ ,
n
Z ≡
i=1
"
N
X
1
ρ
N
X
Zin ,
Zin
≡
i=1
#ρ
yi
"
=w
−φ
y
y
Z ≡
yZ ,
N
X
i=1
(Ziy )
1
ρ
φ−1
φ
#ρ
,
Ziy
≡
i=1
N
X
πi
i=1
P
=w
1−φ
π
yZ ,
π
Z ≡
N
X
Ziπ ,
i=1
3. Ménages :
— Fonction objective :
max U (c, l)
122
φ
Ziπ ≡ (Ziy )
Aφ−1
i
φ−1
φ
φ−1
φ
φ
− Zin
Aφi
sujet à
Pc ≤
N
X
W ni +
N
X
i=1
l+
N
X
πi
i=1
ni ≤ 1
i=1
— CPO :
M RSl,c ≡
Ul
=w
Uc
— Ex. Utilité logarithmique, séparable :
U (c, l) = log(c) + η log(l)
Implique que solutions optimales données par :
η
l=
1+η
1
c=
1+η
N
1 X πi
1+
w i=1 P
w+
N
X
πi
i=1
!
!
P
Équilibre général :
— Caractérisé par un ensemble de prix réels (Pi /P, w) et de quantités (y, yi ) pour
i = 1, 2, . . . , N , tels que :
(a) Entreprise bien final optimise, prend prix inputs intermédiaires comme
donnés ;
(b) Entreprises biens intermédiaires optimisent, prennent salaires comme donnés,
internalisent prix biens intermédiaires (parce que monopole) ;
(c) Ménages optimisent, prennent salaires comme donnés :
123
(d) Marchés en équilibre :
"
c=y=
l =1−
N
X
1
ρ
#ρ
yi
i=1
N
X
ni
i=1
— Solution :
1
w = (Z y ) φ
Zy
ηZ π + (1 + η)Z n
Ziy
yi =
ηZ π + (1 + η)Z n
y=
1
Pi
(Z y ) φ
=
φ−1
P
A
φ
i
caractérisent conjointement et entièrement l’équilibre général.
8.4
Rigidités nominales
Éléments principaux :
— Niveau de prix agrégé dépend des prix sectoriels :
P = P (Pi )
— Ajustements sectoriels aux changements de coûts à des vitesses différentes selon
les secteurs =⇒ inertie dans ∆P .
— Changements prix sectoriels : Facteurs exogènes et endogènes.
8.4.1
Modèle Taylor (1979)
Hypothèses :
— Salaires : Principaux déterminants des coûts de production.
124
— Prix : Marge bénéficiaire appliquée aux coûts de production.
— Contrats de travail imbriqués (staggered wage contracts, voir Graphique ??) :
— Déterminés à différentes périodes par maximisation des profits escomptés.
— Salaires en t : Moyenne des salaires actuels (décidés aux périodes précédentes)
et salaires actuels des nouveaux contrats de travail (Graphique 8.2).
Figure 8.2 – Contrats imbriqués
— Notation :
xt ≡ ln(wtN )
x̂t ≡ Et−1 xt ,
x̂t+1 ≡ Et−1 xt+1
où wtN est salaire nominal négocié en t − 1, payé en t.
125
— Salaires négociés :
xt = bxt−1 + dx̂t+1 + γ (bŷt + dŷt+1 ) + t
(8.6)
où b, d, γ > 0, b + d = 1, ŷt est l’output gap et t est un choc stochastique.
— Demande de monnaie, de Théorie Quantitative de Monnaie (M V = P Y ) :
mt = yt + wt − νt
— Offre de monnaie et équilibre monétaire :
mt = gwt
où g > 0 est degré d’accommodement de la politique monétaire. À l’équilibre, on
a donc :
yt = −βwt + νt ,
β ≡ (1 − g)
— Salaires agrégés :
wt = 0.5 (xt + xt−1 )
— Output gap et salaires d’équilibre :
yt = −0.5β (xt + xt−1 ) + νt
ŷt ≡ Et−1 yt = −0.5β (x̂t + xt−1 )
ŷt+1 ≡ Et−1 yt+1 = −0.5β (x̂t+1 + x̂t )
Substitue dans salaires négociés (8.6) :
xt = b (1 − 0.5γβ) xt−1 + d (1 − 0.5γβ) x̂t+1 − 0.5γβ x̂t + t
126
puisque b + d = 1 et d’où obtient équation de différence de second ordre :
0 = dx̂t+1 − cx̂t + (1 − d)xt−1 ,
c≡
1 + 0.5γβ
>1
1 − 0.5γβ
avec solution : 1
xt = αxt−1 + t ,
α≡
c−
p
c2 − 4d(1 − d)
2d
(8.7)
— De (8.7), dynamique des salaires dépend de degré de prospective (d, forwardlooking) et de politique monétaire via α = α[c(β)], où β = 1 − g (voir Graphiques 8.3 et 8.4).
— Si d élevé, prospective plus important que rétrospective b = 1 − d, =⇒ persistance plus faible.
— Si accommodement g élevé =⇒ β faible =⇒ salaires très persistants.
— Arbitrage output/inflation : Réduit persistance par choix de g faible (β élevé),
mais ce faisant, on augmente la réactivité à l’output gap yt = −βwt + νt .
8.4.2
Modèle Calvo (1983)
Ajustements décalés des prix pt ≡ ln(Pt ). À chaque période t :
— Avec probabilité ρ peut changer les prix =⇒ p#
t .
— Avec probabilité 1 − ρ ne peut changer les prix =⇒ pt−1 .
— Prix optimal (souhaité) agrégé p∗t : Si toutes les entreprises choisissent de manière
optimale, sans décalage. Tenu comme exogène au niveau individuel.
Objectif entreprise : Minimiser erreur par rapport à prix optimal si ne peut changer les
prix :
∞
2
1 X s
∗
β (1 − ρ)s p#
−
p
min Et
t+s
2 s=0 | {z } t
p#
t
γs
1. Voir Annexe H, ainsi que (Chiang, 1984, Ch. 17). Puisque c > 1, on élimine la racine supérieure à
1.0 afin d’éviter les dynamiques explosives.
127
1
β = 0.1
β = 0.5
β = 0.9
0.9
0.8
0.7
α
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
d
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 8.3 – Persistance des salaires
De la CPO, on obtient :
p#
t
= (1 − γ)Et
∞
X
γ s p∗t+s
s=0
= (1 − γ)p∗t + γEt p#
t+1
Équilibre : ρ peuvent changer leur prix =⇒ p#
t et (1 − ρ) ne peuvent changer leurs prix
=⇒ pt−1 :
pt = ρp#
t + (1 − ρ)pt−1
alors que de la CPO, on a :
∗
p#
t (1 − γF ) = (1 − γ)pt
128
1
β = 0.1
β = 0.5
β = 0.9
0.9
0.8
0.7
x
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
Figure 8.4 – Dynamiques des salaires
En substituant et en utilisant la définion de l’inflation πt = pt − pt−1 , on obtient donc :
(1 − ργ)πt =
ρ(1 − γ)(p∗t − pt−1 )
|
{z
}
déviation prix imposé vs souhaité
+
γEt πt+1
| {z
}
(8.8)
inflation anticipée
— L’équation (8.8) indique que la présence d’ajustements décalés est suffisante pour
générer de la persistance (via pt−1 ) et des anticipations (via Et πt+1 ) dans l’inflation,
i.e. backward and forward-looking inflation.
— À long terme, il n’y a pas d’erreur d’ajustement, i.e. p∗t = pt−1 , ∀t et l’inflation
d’équilibre dans (8.8) est πt = 0, i.e. l’inflation est uniquement un phénomène de
court terme causé par des déviations entre le prix actuel et le prix souhaité.
8.5
Courbe Philips Néo-Keynésienne
Interprétation de p∗t dans (8.8) : Prix optimal en l’absence de décalage =⇒ à caractériser.
— De analyse précédente compétition imparfaite (Section 8.3), le monopole solu129
tionne :
max π(Y ) = P (Y )Y − C(Y )
Y
= AR(Y )Y − C(Y )
= R(Y ) − C(Y )
où P 0 ≤ 0, C 0 ≥ 0, avec CPO :
P (Y ) = C 0 (Y ) − P 0 (Y )Y > C 0 (Y )
= M C(Y ) [1 + ν(Y )]
puisque P 0 (Y ) ≤ 0. Le terme ν(Y ) ≡ −P 0 Y /C 0 ≥ 0 est défini comme la marge
bénéficiaire de monopole.
— De l’approximation de Hicks, on obtient
p∗t = mct + νt
qui, substitué dans (8.8) révèle que :
πt =
ρ(1 − γ)
γ
(mct + νt − pt−1 ) +
Et πt+1
1 − ργ
1 − ργ
(8.9)
L’équation (8.9) est la Courbe Philips Néo-Keynésienne (NKPC).
— Puisque mc0t = mc0 (Yt ) ≥ 0, la NKPC décrit la relation positive entre l’inflation
et l’output et est donc bien une courbe de Phillips.
— L’inflation dépend des décalages dans les ajustements ainsi que du degré de compétition
monopolistique. Elle est donc bel et bien une courbe Néo-Keynésienne.
Variantes NKPC :
1. En l’absence de données sur coût marginal mct , utilise déviations output par rap-
130
port à output potentiel (output gap) :
πt =
ρ(1 − γ)
γ
(yt − ȳt ) +
Et πt+1
1 − ργ
1 − ργ
(8.10)
2. Inflation de long terme positive πt = π 6= 0 (avancées technologiques, nouveaux
produits, . . .) :
πt =
1
{[1 − γ(1 + ρ)]π + ρ(1 − γ))(p∗t − pt−1 ) + γEt πt+1 }
1 − ργ
131
9
Chômage
9.1
Introduction
Principaux modèles de chômage :
1. Recherche et appariement (Search and Matching) :
— Difficulté de jumeler aptitudes offertes et demandées.
— Modélise chômage frictionnel :
— Problème d’appariement entre postes vacants et demandeurs d’emploi.
— Lorsque l’appariement n’est pas réalisé =⇒ chômage de friction.
2. Salaire d’efficience :
— Productivité dépend du salaire offert (+) :
— Si trop bas =⇒ employé quitte son emploi pour option de réserve.
— Peut apporter du chômage en équilibre.
3. Rigidités nominales :
— Prix et salaires lents à s’ajuster =⇒ déséquilibres persistants =⇒ chômage
persistant.
— Adapté au chômage conjoncturel :
— En récession, chute demande de main-d’oeuvre, mais salaires réels ne chutent
pas =⇒ nd (w) < ns (w) =⇒ U > 0.
9.2
Faits empiriques
Données US (Sources : Federal Reserve Database, FRED)
Heures travaillées (voir Graphique 9.1) :
— Tendance à la baisse.
— Pro-cycliques : Chutent en récession.
Taux de chômage (voir Graphique 9.2) :
— Tendance à la hausse (faible).
132
Average Weekly Hours Of Production And Nonsupervisory
Employees: Total private
39
38
(Hours)
37
36
35
34
33
32
1970
1980
1990
2000
2010
Source: U.S. Department of Labor: Bureau of Labor Statistics
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 9.1 – Heures travaillées US
— Contra-cyclique : Augmente en récession.
Emploi (voir Graphique 9.3) :
— Tendance à la hausse .
— Pro-cyclique : Chute en récession.
Salaires (voir Graphique 9.4) :
— Tendance à la hausse .
— Peu cycliques : Croissance plus lente en récession.
— Peu volatiles
∴ Emploi beaucoup plus volatile, cyclique que salaires. Cohérent avec modèle de Rigidités
Nominales pour prix et salaires.
9.3
Modèle de Recherche et Appariement
Très important en Macro : Diamond (1982b,a); Mortensen and Pissarides (1994), prix
Nobel 2010 en Économie.
133
Civilian Unemployment Rate
11
10
9
(Percent)
8
7
6
5
4
3
2
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Source: U.S. Department of Labor: Bureau of Labor Statistics
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 9.2 – Taux de chômage US
Intuition générale :
— Chocs négatifs (demande, productivité) =⇒ mises à pied :
— Débutent recherche autre emploi.
— Processus long =⇒ chômage persistant.
— Chocs positifs =⇒ annonces de postes disponibles :
— Processus d’appariement est long, coûteux.
— Probabilité d’appariement dépend nombre de postes disponibles et nombre de
demandeurs d’emploi.
— Risques de chômage et non-emploi incorporés dans décisions des ménages et entreprises.
— Salaire d’équilibre dépend du pouvoir de négociation des ménages et entreprises :
— Dépend de la répartition des coûts de recherche et appariement (pas couverts
ici).
134
All Employees: Total nonfarm
160,000
(Thousands of Persons)
140,000
120,000
100,000
80,000
60,000
40,000
20,000
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Source: U.S. Department of Labor: Bureau of Labor Statistics
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 9.3 – Emploi US
9.3.1
Fonction d’appariement et dynamique de l’emploi
Modèle d’appariement :
— Rencontres aléatoires entre demandeurs d’emploi et entreprises.
— Appariement (mt : match positif) dépend du nombre d’annonces (vt ) et du nombre
de demandeurs d’emploi (Ut = 1 − nt : taux de chômage) :
mt = m(vt , Ut )
= vtα Ut1−α ,
α ∈ (0, 1)
= θtα (1 − nt ),
= µ(θt )(1 − nt ).
où θt ≡ vt /Ut est une mesure de tension de marché de l’emploi (labor market
tightness).
135
Nonfarm Business Sector: Real Compensation Per Hour
110
100
(Index 2009=100)
90
80
70
60
50
40
30
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Source: U.S. Department of Labor: Bureau of Labor Statistics
Shaded areas indicate US recessions - 2014 research.stlouisfed.org
Figure 9.4 – Salaires US
— Note : Pour mt = m donné, obtient relation inverse entre taux de chômage et taux
de vacances :
1
1
1− α
vt = m α Ut
(Courbe de Beveridge, voir Graphiques 9.5 et 9.6). Plus chômage est élevé,
moins d’annonces d’emploi disponibles.
Dynamique de l’emploi :
∆nombre emplois = −séparations + appariements
∆nt+1 = −s̃nt + mt
où s̃ est le taux de séparation, impliquant :
nt+1 = (1 − s̃)nt + µ(θt )(1 − nt )
136
(9.1)
Figure 9.5 – Courbe de Beveridge 1
9.3.2
Allocation optimale
Variante Shimer (2004), problème du planificateur social :
max Vt =
∞
X
β s U (ct+s ),
s=0
où U (c) = c, linéaire, sujet à
yn
|{z}t
revenus travail
+ z(1 − nt ) =
| {z }
revenus chômage
ct
|{z}
consommation
+
cvt
|{z}
coûts d’annonce
et à la dynamique de l’emploi (9.1).
— Peut définir revenus de chômage et coût d’annonce comme :
z = ηz y,
c = ηc y,
137
ηz , ηc ∈ (0, 1).
Figure 9.6 – Courbe de Beveridge 2
Notes: Sources : Eurostat, Job vacancy and unemployment rates - Beveridge curve, 2013.q22014.q1.
— Obtient que l’allocation optimale est définie par l’Euler :
ηc y
ηc y
= βy[1 − ηz + ηc θt+1 ] + 0
[1 − s̃ − µ(θt+1 )]
0
µ (θt )
µ (θt+1 )
En sachant que
∂ct
= y[1 − ηz + ηc θt+1 ], ∀t
∂nt
∂nt+1
= 1 − s̃ − µ(θt ), ∀t
∂nt
on peut ré-interpréter l’Euler (9.2) comme :
Zt ≡
ηc y
∂ct+1
∂nt+2
=
β
+
β
Zt+1 .
µ0 (θt )
∂nt+1
∂nt+1
138
(9.2)
En substituant de manière prospective, pour Zt on obtient :
ηc y
∂ct+1
2 ∂nt+2 ∂ct+2
3 ∂nt+3 ∂nt+2 ∂ct+3
=
β
+
β
+
β
+ ...
µ0 (θt )
∂nt+1
∂nt+1 ∂nt+2
∂nt+2 ∂nt+1 ∂nt+3
∞
X
∂ct+s
=
βs
∂nt+1
s=0
i.e. ηc /µ0 (θt ) qui est le coût marginal d’annonce ηc divisé par le gain marginal
provenant de la probabilité de match µ0 (θt ) est égal au bénéfice marginal anticip du flux de consommation ultérieure générée par l’emploi supplémentaire.
Donc, le coût marginal d’annonce par unité marginale de probabilité d’appariement
supplémentaire est égal au bénéfice marginal du travail supplémentaire escompté
durant la durée anticipée de l’emploi.
9.3.3
État stationnaire
Obtenu par θt = θ et nt = n, ∀t dans l’équation d’Euler (9.2) :
0 = µ0 (θ)β[1 − ηz + ηc θ] − ηc {1 − β[1 − s̃ − µ(θ)]},
(9.3)
alors que de (9.1), on obtient l’emploi :
n=
µ(θ)
s̃ + µ(θ)
— Pour µ(θ) = θα , solutionne numériquement (9.3) pour θ (voir code Matlab search.m).
— Obtient taux de chômage U = 1 − n = 9.98% > 0 : Chômage raisonnable positif
à l’état stationnaire.
— Obtient taux de tension sur marché de l’emploi θ = 69% < 1 =⇒ v < U : Moins
d’annonce que de demandeurs d’emploi.
Statique comparée. Tension chute et chômage augmentent si :
— Coûts d’annonce ηc augmentent (voir Graphique 9.7)
— Réduit attractivité d’annoncer les postes disponibles.
139
— Taux de remplacement ηz augmentent (voir Graphique 9.8)
— Rend chômage plus attractif que travail.
— Problème récurrent UE, pas US.
— Taux de séparation s̃ augmentent (voir Graphique 9.9)
— Équivalents à chocs stochastiques demande agrégée.
— Moins d’appariements de long-terme à la suite de bouleversements de marché
de l’emploi (législation, immigration, . . .).
Figure 9.7 – Effets des coûts d’annonce
9.4
Salaires d’efficience
Modèle de Shapiro and Stiglitz (1984).
140
Figure 9.8 – Effets des taux de remplacement
9.4.1
Resquillage et efficience
Employés :
— Préférences sur salaire w et effort au travail a :
U = U (w, a)
= w − c(a)
où c(·) est le cout de l’effort, satisfaisant c0 , c00 ≥ 0, et c(0) = 0.
— Option extérieure ν : Quitte emploi si U < ν.
Entreprises :
— Offrent contrat (w, â), où â est l’effort attendu pour un salaire offert de w.
— Resquillage si effort fourni est moindre que l’effort attendu ã < â.
141
Figure 9.9 – Effets des taux de séparation
— Resquillage détectable avec probabilité q ∈ (0, 1).
— Si détecté =⇒ congédiement.
Contrainte incitative (IC) :
— Entreprise souhaite que employés soient incités à honnêteté (H), plutôt qu’au
resquillage (R) :
U H (a = â) ≥ U R (a = ã)
w − c(â) ≥ (1 − q)[w − c(ã)] + qν
{z
} |{z}
|
pas détecté
détecté
— Puisque pas détecté avec probabilité (1 − q), aucun incitatif à l’effort, peut fournir
ã = 0 =⇒ c(ã) = 0.
— Entreprise n’a pas d’incitatif à payer davantage que nécessaire =⇒ IC tient avec
142
égalité :
w=ν+
c(â)
q
(9.4)
— Doit payer au moins l’option de réserve ν.
— Doit payer coût de l’effort attendu c(â).
— Chute dans la probabilité de détection.
— Ex. coût de l’effort croissant, convexe :
1
c(a) = βa η ,
η ∈ (0, 1),
substitue dans contrainte IC (9.4) :
η
â = A(w − ν) = â(w),
η
q
où A ≡
= A(η, q).
β
(9.5)
∴ Effort (efficience) dépend positivement du salaire offert (salaire d’efficience).
9.4.2
Équilibre
Entreprises :
— Problème statique avec salaire d’efficience :
max F [a(w)n] − wn
w,n
sujet à salaire d’efficience (9.5).
— Des CPO, on obtient la Condition de Solow :
w=
a(w)
ν
=
0
a (w)
1−η
(9.6)
Maximise rendement sur effort/coût de l’effort a(w)/w (voir Graphique 9.10)
Équilibre :
— Option de réserve lorsque congédié : Retrouve un emploi au salaire w avec proba143
Figure 9.10 – Salaire d’efficience et condition de Solow
bilité n et reçoit prestations assurance-chômage b avec probabilité U = 1 − n
ν = nw + (1 − n)b
substitue dans condition de Solow (9.6), obtient courbe ES :
n=
w(1 − η) − b
w−b
(9.7)
— Note : Si prestations chômage sont proportionnelles au salaire b = zw, alors de
courbe ES :
U =1−n=
indépendant de w.
144
η
>0
1−z
— Si suppose technologie Cobb-Douglas :
F [a(w)n] = [a(w)n]α ,
α ∈ (0, 1)
alors, de CPO entreprise par rapport à choix de n et du salaire d’efficience (9.5),
on obtient :
w = α {A[w − ν]η }α nα−1
h n 1
oηα
i 1
α−1 1−ηα
η
= α A (1 − n)(1 − z)
n
et où A = A(η, q). Peut combiner avec courbe ES (9.7) pour caractériser entièrement
l’équilibre.
Statique comparée (voir code Matlab efficiency wage.m). :
— Hausse du degré d’importance de l’effet du salaire réel η (voir Graphique 9.11) :
— Hausse chômage.
— Chute salaire réel.
— Hausse du degré de couverture de l’assurance chômage z (voir Graphique 9.12)
— Augmente valeur de réserve.
— Hausse chômage.
— Hausse salaire réel.
— Hausse de productivité A (voir Graphique 9.13)
— Pas d’effet sur emploi.
— Hausse salaire réel.
9.5
Rigidités nominales et chômage
Rigidités nominales : Prix tardent à retourner aux valeurs d’équilibre, déséquilibres persistants.
— Si salaires wt > wt∗ =⇒ nd (wt ) < ns (wt ) =⇒ U (wt ) > 0.
145
Figure 9.11 – Effets du salaire d’efficience
— Chômage persistant tant que wt 6= wt∗ .
Modèle : Optimum statique, pas de salaire d’efficience, rigidités nominales.
— Entreprises :
max πt = At nαt − wt nt
nt
avec demande de main-d’oeuvre :
d
nt = n (wt ) =
— Augmente dans productivité At .
— Chute dans salaires réels wt .
146
αAt
wt
1
1−α
Figure 9.12 – Effets de couverture assurance-chômage
— Ménages :
max U (ct , nt ) =
ct ,nt
ct1−γ
(1 − nt )1−γ
+η
,
1−γ
1−γ
sujet à
ct ≤ w t n t
avec offre de main-d’oeuvre :
−1 1−γ γ1
η wt
nt = ns (wt ) =
1
1 + η −1 wt1−γ γ
— Dépend de wt : Effets revenus et de substitution, augment en wt si γ ∈ (0, 1).
— Chute en η (désutilité du travail).
147
Figure 9.13 – Effets de productivité (via prob. détection q)
— Équilibre, obtenu en égalisant nd (wt∗ ) = ns (wt∗ ) :
αAt
wt∗
1
1−α
−1 ∗ 1−γ γ1
η wt
=
1
1 + η −1 wt∗ 1−γ γ
(9.8)
Pas de solution analytique =⇒ solution numérique (voir code Matlab Stickiness.m).
— Rigidités nominales :
ln(wt ) = ρ ln(wt∗ ) + (1 − ρ) ln(wt−1 )
Rigidités à la Taylor (1979); Calvo (1983) : Degré de persistance capté par 1 − ρ.
Dynamiques des salaires et de l’emploi :
— Étant donné processus exogène pour {At }Tt=1 et w1 pré-déterminé, ∀t = 2, 3, . . . , T :
148
1. Calcule wt∗ par solution à condition d’équilibre (9.8) ;
1−ρ
2. Calcule wt = wt∗ ρ wt−1
;
3. Répète étapes 1, 2 =⇒ {wt }Tt=1 ;
4. Peut calculer ndt (wt ), nst (wt ), U (wt ) = 1 − ndt (wt )/nst (wt ).
— Application, choc positif temporaire de productivité (voir code Matlab Stickiness.m) :
t
At
1
1.0
2
1.5
3
1.0
4 ...
1.0 . . .
— Effets sur salaires (voir Graphique 9.14) et sur emploi (voir Graphiques 9.15, ainsi
que 9.16) :
t = 2 : Choc temporaire productivité A2 > A1
=⇒
nd2 ↑ et salaires rigides
w2 < w2∗ =⇒ U2 < 0.
t = 3 : Retour productivité initiale A3 = A1 et salaires rigides w3 > w3∗ =⇒ U3 >
0.
t = 4, 5, . . . : Productivité constante A4 , A5 = A1 et salaires rigides wt > wt∗ =⇒
Ut > 0, . . ...
∴ Chômage causé par rigidités nominales, empêchent retour à l’équilibre.
149
1.09
wt
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Figure 9.14 – Rigidités nominales et dynamique des salaires
0.5
ndt
nst
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
Figure 9.15 – Rigidités nominales et dynamique de l’emploi 1
150
10
Figure 9.16 – Rigidités nominales et dynamique de l’emploi 2
151
10
Taux de change nominaux
10.1
Introduction
Objectifs : Analyser détermination des taux de change.
— Fixes ou flexibles : Choix de politique économique.
— Avantages taux flexibles :
— Réduisent couts des fluctuations macro.
— Ajustement plus rapides termes de l’échange, taux de change réels.
— Inconvénients taux flexibles :
— Très volatiles.
— Amplifient effets des chocs externes sur l’économie domestique.
∴ Effets nets dépendent des rigidités nominales (prix, salaires) et comment ces
dernières sont affectées par les fluctuations des taux de change.
— Effets des différentiels des taux d’intérêt sur la détermination des taux de change :
— Parité couverte (CIP) et non-couverte (UIP) des taux d’intérêt : rt 6= rt∗ =⇒
f at =⇒ Qt = St Pt∗ /Pt .
— Doit analyser déterminants des taux d’intérêt (équilibre général, politique monétaire).
— Alternative : Taux fixes
— Bretton Woods : Fixes par rapport à $ US.
— Étalon-Or : Fixes par rapport à quantité or détenue.
— Euro-zone : Union monétaire.
— Hybride : Ex. CH, taux plancher (taux gérés).
Deux visions taux de change réels :
1. Prix relatifs import/export :
— Affectés par rigidités nominales.
2. Prix d’un actif financier (devise) :
— Pas affecté par rigidités nominales.
— Ajustements instantanés à nouvelle information macroéconomique.
152
10.2
Perspectives historiques
Étalon-or (1873-1937)
— Rendu possible après découvertes réserves aurifères Australie, Californie, milieu
du XIXe siècle.
— Principe général : Transactions internationales réglées en or/argent.
— Devises convertibles à taux fixes en or =⇒ taux fixes entre les devises.
— Si déficit compte courant CAt < 0 =⇒ chute réserves or du pays =⇒ doit
réduire M s pour maintenir parité =⇒ r ↑ =⇒ π ↓ =⇒ rétablit compétitivité
=⇒ CAt ↑.
— Problèmes fondamentaux :
— Doit augmenter réserves aurifères pour soutenir la croissance économique et
éviter déflation.
— Stocks aurifères mondiaux fixes =⇒ P or ↑.
— Fluctuations macro plus prononcées à cause des fluctuations automatiques M s .
Bretton Woods (1945-1971)
— Seuls US demeurent liés à Étalon-or, autres devises liées à $US.
— Majorité des transactions internationales en $US.
— Marge flexible de 0.5% taux de change.
— Dévaluation devise possible si déficits commerciaux prolongés :
— Ex. : GB, -30% (1949), -14% (1967).
— Aident à rétablir compétitivité.
— Ré-évaluation attendue si surplus prolongés : Pas observée en pratique, seulement
ajustements vers le bas.
— Combiné avec restrictions dans mouvements des capitaux :
— Réduisent pressions sur taux de change, mais . . .
— Pas cohérentes avec allocation optimale des facteurs de production.
— Pas de politique monétaire indépendante si devise liée à $US :
— Ex. Guerre du Vietnam M s ⇑ =⇒ π U S ⇑ =⇒ π autres ⇑.
153
— Réduit confiance en $US =⇒ retour à Étalon-or.
— Dévaluation $US pour rétablir compétitivité américaine
=⇒
abandon de
Bretton Woods.
Taux flottants (1973-2011). Plusieurs variantes :
1. Flexibilité complète :
— Pas d’intervention Banque Centrale pour fixer taux de change.
2. Taux ciblés :
— Zones délimitées de fluctuations tolérées (fourchettes) envers devises désignée
(ex. DM, taux plancher CHF-e, . . .).
3. Union monétaire (ex. Zone Euro)
— Abandon devises nationales en faveur de monnaie unique commune (ex. e).
— Permet flexibilité par rapport aux autres devises (ex. $US, U).
4. Dollarisation :
— Taux fixe par rapport à $US =⇒ abandon politique monétaire indépendante.
Discussion :
— Taux ciblés : Doit coordonner avec la politique monétaire de la devise désignée :
— Ex. Réunification allemande 1989 =⇒ Dt ↑ =⇒ rD ↑ =⇒ force rF ↑ pour
maintenir parité FFR-DM.
— GB : Abandonne parité et nouvelle politique monétaire axée sur le contrôle de
π GB =⇒ rGB ↑.
— Zone Euro : Cible inflation commune π =
1
N
PN
j=1
π j =⇒ i commun à tous pays
membres.
— Problème : Si π j 0 =⇒ rj = ij − π j < 0 =⇒ encourage pays à forte
inflation à emprunter davantage (GR, IRL, I, E, P, . . .).
— Si dévaluation pas possible, succès dépend de la capacité à réduire coûts de
production pour rétablir compétitivité.
— Pas le cas en pratique (Ex. F, E, I, . . .).
154
— Taux flexibles permet de rétablir compétitivité par dévaluation taux de change :
— Important si fortes rigidités nominales (ex. F).
— Ne règle pas source problème manque de compétitivité (ex. règlementation,
taxes, pratiques marché travail, . . .).
— Taux flexibles permettent de réduire risque d’attaques spéculatives contre monnaie liées à inadéquation taux fixe avec fondamentaux macroéconomiques.
— Problèmes taux flexibles :
— Économie domestique sujette aux chocs extérieurs via fluctuations devise.
— Si devise augmente, nécessite ajustements domestiques pour rétablir compétitivité,
peuvent être difficiles si marchés domestiques inflexibles.
— Mouvements dans balance des paiements dominés par compte capital :
— Taux de change davantage déterminés par mouvements de capitaux que par
balance commerciale.
— Importance des différentiels r − r∗ dans détermination taux de change.
10.3
Parités taux d’intérêt
10.3.1
Neutralité au risque
Soit deux stratégies d’investissement de 1.0 CHF, domestique ou étrangère :
Stratégie
Domestique
Étrangère
Valeur à t
Valeur à t + 1
1.0 CHF
1.0 CHF × (1 + it )
1.0 CHF ×
yt $
1.0 CHF
= (1 + it )
1.0 CHF × S1t × (1 + i∗t ) ×
=
1
(1
St
xt+1 CHF
1.0$US
+ i∗t )St+1
Par absence d’opportunités d’arbitrage, les rendements sur les deux stratégies devraient
être égalisés :
(1 + it ) = (1 + i∗t )
Taux futurs St+1 inconnus en t. Deux possibilités :
155
St+1
St
1. Couverture pour risque de change :
(1 + it ) = (1 + i∗t )
Ft
St
(10.1)
où Ft est le taux sur contrat futur (forward ). La parité (10.1) est dite couverte
(Covered Interest Rate Parity, CIP).
2. Absence de couverture :
(1 + it ) = (1 + i∗t )
e
St+1
St
(10.2)
e
où St+1
≡ Et St+1 . La parité (10.2) est dite non-couverte (Uncovered Interest
Rate Parity, UIP).
Implications parités :
it − i∗t = ft − st ,
de CIP (10.1)
= ∆set+1 ,
de UIP (10.2)
— ft − st : Forward Discount Premium/Discount.
— Si ∆set+1 > 0 : Hausse devise étrangère ( ⇐⇒ chute devise domestique) anticipée
=⇒ it > i∗t pour compenser chute de valeur placement domestique.
— Données EUR/CHF (voir Investing.com) : Prime forward négative =⇒ anticipe
chute e.
Parités nominales et réelles :
— De UIP (10.2), équation de Fisher (6.2) et définition taux de change réels (5.11),
on obtient la parité réelle non-couverte (UIP-R) :
(1 + rt ) = (1 + rt∗ )
Qet+1
e
=⇒ rt − rt∗ = ∆qt+1
Qt
d’où les différentiels des taux réels d’intérêt reflètent les mouvements des taux de
change réels :
156
— Sous CIP (10.1), obtient la parité réelle couverte (CIP-R) :
(1 + rt ) = (1 + rt∗ )
Ft Qet+1
e
St+1
Qt
d’où la prime forward est calculée comme :
e
∗e
ft − st = rt − rt∗ + πt+1
− πt+1
e
= rt − rt∗ + ∆set+1 − ∆qt+1
i.e. la prime forward reflète les différentiels des taux d’intérêt réels, ainsi que les
changements des taux spots nominaux et réels anticipés.
10.3.2
Aversion au risque
Stratégie investisseur domestique, averse au risque de taux de change, considérant une
stratégie non-couverte de choix de portefeuille ωt pour solutionner :
max Et [U (Wt+1 )] = Et (Wt+1 ) − 0.5γVar(Wt+1 )
sujet à :
P
Wt+1 = Wt Rt+1
P
∗
Rt+1
= ωt Rt+1 + (1 − ωt )Rt+1
St+1
St
∗
— La richesse Wt , les taux (bruts) d’intérêt Rt+1 ≡ (1 + it+1 ), Rt+1
≡ (1 + i∗t+1 ) ainsi
que le taux spot St sont connus en t ; le taux spot futur St+1 , et donc la richesse
future Wt+1 sont tous deux stochastiques.
— Le paramètre γ ≥ 0 capte l’aversion au risque.
— En utilisant les lois distributives (voir Annexe G), on obtient que le problème peut
157
être ré-écrit comme :
e
∗ St+1
ωt )Rt+1
St
max Wt ωt Rt+1 + (1 −
ωt
−
0.5γWt2 (1
2
− ωt )
∗2
Rt+1
Var
St+1
St
— La CPO pour ce problème peut être écrite comme :
Rt+1 =
e
∗ St+1
Rt+1
St
− γWt (1 −
∗2
ωt )Rt+1
Var
St+1
St
— Soit offre totale de titres étrangers :
Bt∗ = Wt (1 − ωt ) + Wt∗ ωt∗
|{z}
| {z }
exogène
exogène
peut substituer dans CPO pour obtenir qu’à l’équilibre :
Rt+1 =
e
∗ St+1
Rt+1
St
−
∗2
γBtr Rt+1
Var
St+1
St
(10.3)
où Btr ≡ Bt∗ − Wt∗ ωt∗ ≥ 0 est l’offre résiduelle de titres (exogène) non-absorbée par
les étrangers.
— Si on compare UIP (10.2) avec (10.3) on a que :
∗
Rt+1 ≤ Rt+1
e
St+1
St
(rendement sous UIP)
— Des taux domestiques inférieurs aux taux prédits par UIP sont acceptés parce
que averse au risque de change.
— Rationalise préférence domestique (home bias).
— Neutralité au risque, i.e. γ = 0 et/ou pas de risque de change, i.e. Var(St+1 = 0)
dans (10.3) =⇒ retrouve UIP (10.2).
158
10.4
Modèle Keynésien IS-LM-BP
Courbe IS. De comptabilité nationale en économie ouverte (5.1) :
0 = yt + c(yt , rt ) − i(yt , rt ) − gt − T B(Qt , yt , yt∗ )
(10.4)
où les variables x ≡ X/N sont mesurées par-capita, et sujet aux restrictions suivantes :
cy , iy ≥ 0;
cr R 0;
T BQ ≥ 0;
cy + iy < 1
ir ≤ 0;
cr + i r ≤ 0
T By ≤ 0;
T By∗ ≥ 0
— Note 2 : rt = Rt − πt =⇒ XR = Xr , ∀X.
— De dérivation totale PIB (10.4) :
∂R
1 − cy − iy − T By
=
≤ 0;
∂y
cr + i r
−T BQ
∂R
=
≥ 0;
∂Q
cr + i r
∂R
−1
=
≥0
∂g
cr + ir
−T By∗
∂R
=
≥0
∗
∂y
cr + ir
Caractérise entièrement courbe IS (Investment-Savings).
— Peut être approximé par relation log-linéaire :
yt = α[st + p∗t − pt ] − βRt + γgt + δyt∗
(10.5)
Courbe LM. De l’équilibre sur le marché monétaire :
0 = M − P L(y, R)
(10.6)
2. De manière à éviter la confusion avec le symbole de l’investissement per-capita i ≡ I/N , nous
utilisons le symbole R = i pour dénoter le taux net nominal d’intérêt.
159
où
Ly ≥ 0;
Lr ≤ 0
(voir Section 6).
— De dérivation totale équilibre monétaire (10.6) :
−Ly
∂R
=
≥ 0;
∂y
Lr
∂R
1
=
≤ 0;
∂M
P Lr
∂R
−L(y, r)
=
≥ 0;
∂P
P Lr
Caractérise entièrement courbe LM (Liquidity demand Money supply).
— Peut être approximé par relation log-linéaire :
m = p + y − λR
(10.7)
Courbe Philips (PC). De variante NKPC avec output gap (8.10) :
π = π e − ψ(y # − y)
(10.8)
— y # est niveau d’output de long terme.
— Inflation chute si y < y # .
— À long-terme y = y # =⇒ π = π e , inflation réalisée égale inflation anticipée.
Courbe BP. De définition du solde du compte courant et balance des paiements (5.3) :
T B(Q, y, y ∗ ) + r∗ f (R∗ , ŝ, R) = ∆f
sujet aux restrictions suivantes :
fR∗ ≥ 0;
T BQ ≥ 0;
fŝ ≥ 0;
T By ≤ 0;
160
fR ≤ 0
T By∗ ≥ 0
— Si solde compte courant à l’équilibre : ∆f = 0, par dérivation totale à l’équilibre :
∂R
−T By
= ∗
≤ 0;
∂y
r fR
−T BQ
∂R
= ∗
≥ 0;
∂Q
r fR
∂R
−T By∗
≥ 0;
=
∂y ∗
r ∗ fR
∂R
−r∗ fŝ
= ∗
≥ 0;
∂ŝ
r fR
Caractérise entièrement courbe BP (Balance of Payments)
— Peut être approximé par relation log-linéaire :
θ(s + p∗ − p) − φy + ηy ∗ + µ(R∗ + ŝ − R) = ∆f
(10.9)
— Cas spéciaux :
1. Peut ré-écrire (10.9) comme :
R − R∗ + ŝ =
1
[θ(s + p∗ − p) − φy + ηy ∗ − ∆f ]
µ
d’où cas limite :
lim R − R∗ + ŝ = 0
µ=∞
i.e. UIP (10.2) ⇐⇒ substitutabilité parfaite capital étranger et domestique.
2. De courbe BP (10.9), si µ = 0 :
θ(s + p∗ − p) − φy + ηy ∗ = ∆f
indépendant de R, i.e. courbe BP est parfaitement inélastique.
3. En comparant équation courbe IS (10.5) et celle de courbe BP (10.9) :
1
[y + βR − γg − δy ∗ ]
α
1
= [∆f + φy − ηy ∗ − µ(R∗ + ŝ − R)]
θ
s + p∗ − p =
161
d’où :
lim s + p∗ − p = lim s + p∗ − p = 0,
α→∞
θ→∞
soit la condition de PPP (5.14). Donc, une substitabilité parfaite entre les biens
domestiques et étrangers implique la PPP.
En bref, modèle IS-LM-BP :
— Équations : IS (10.5), LM (10.7), PC (10.8), BP (10.9).
— Variables endogènes : (y, R, π = p − p−1 , ∆f = f − f−1 , ∆s = s − s−1 ).
— Variables exogènes : (y ∗ , R∗ , g, m, p−1 , s−1 , f−1 , y # ).
∴ Système log-linéaire sous-identifié =⇒ nécessite hypothèses additionnelles pour être
solutionné.
Variantes IS-LM-BP :
1. Mundell-Fleming : µ = ∞ (UIP) et p = p̄ =⇒ π = 0.
2. Approche monétaire : µ = 0 (contrôle des capitaux) et y = ȳ.
3. Substitabilité imparfaite (pas couverte) : µ ∈ (0, ∞); p = p̄; y = ȳ.
4. Dornbusch : µ = ∞ (UIP) et y = ȳ.
10.4.1
Modèle Mundell-Fleming
Prix fixes, UIP, output flexible. Courbes IS, LM et BP caractérisées par :
yt = α(st + p∗t − pt ) − βRt + γgt + δyt∗
mt = pt + yt − λRt
Rt = Rt∗ + (set+1 − st )
— Solutionnent conjointement pour yt , Rt , étant donné pt , gt , p∗t , mt , Rt∗ .
162
— Peut solutionner st :
st = zt + θEt st+1
= Et
∞
X
θs zt+s
s=0
où
zt ≡
mt − (1 − α)pt − αp∗t + (β + λ)Rt∗ − γgt − δyt∗
,
α+β+λ
θ≡
β+λ
<1
α+β+λ
— État stationnaire. Obtenu par st = Et st+1 :
st =
zt
1−θ
Rt = Rt∗
yt = mt − pt + λRt∗
— Taux de change croissant en mt , Rt∗ , décroissant en pt , p∗t , gt yt∗ .
— Taux d’intérêt fixé à taux mondial (petite économie ouverte), indépendant de
gt , mt .
— Output croissant en mt , indépendant de gt .
— Analyse choc monétaire positif, m ↑ (voir Graphique 10.1) :
— Équilibre initial à E0 .
— De l’analyse courbe LM : Saut vers la droite de LM0 à LM1 .
— Équilibre temporaire à Etemp , caractérisé par R < R∗ =⇒ sortie de fonds vers
l’étranger =⇒ s ↑, f a < 0 ⇐⇒ cat > 0 et IS0 se déplace à IS1 .
— Nouvel équilibre de long-terme à E1 : E∆s = 0 =⇒ R = R∗ .
— Analyse choc fiscal positif, g ↑ (voir Graphique 10.2) :
— Équilibre initial à E0 ;
— De l’analyse courbe IS : Saut vers la droite de IS0 à IS1 .
163
Figure 10.1 – Mundell Fleming : Hausse de m
— Équilibre temporaire à Etemp , caractérisé par R > R∗ =⇒ entrée de fonds
vers l’étranger =⇒ s ↓, f a > 0 ⇐⇒ cat < 0 et IS1 se re-déplace vers IS0 .
— Retour à l’équilibre initial E0 : E∆s = 0 =⇒ R = R∗ .
10.4.2
Modèle monétaire
Modèle caractérisé par prix flexibles, output exogène. De UIP, PPP et LM :
Rt = Rt∗ + Et ∆st+1
pt = p∗t + st
mt = pt + yt − λRt
m∗t = p∗t + yt∗ − λRt∗
164
Figure 10.2 – Mundell Fleming : Hausse de g
— Implique que :
1
st =
Et st+1 +
(m̃t − ỹt )
1+λ
X
s
∞ λ
1
Et
(m̃t+s − ỹt+s )
=
1+λ
1+λ
s=0
λ
1+λ
où x̃ ≡ x − x∗ , pour x = y, m est la déviation par rapport aux niveaux étrangers.
— Suppose loi distributive pour déviations output, monnaie par rapport aux niveaux
étrangers :
m̃t+s = m̃t (1 + µ̃)s + m
t+s
ỹt+s = ỹt (1 + γ̃)s + yt+s
165
substitue dans expression pour taux de change :
st =
m̃t
ỹt
−
1 − λµ̃ 1 − λγ̃
— Taux de change s augmente (i.e. valeur devise domestique chute) si m̃ ↑ et/ou ỹ ↓.
10.4.3
Modèle Dornbusch (1976)
Modèle de sur-réaction des taux de change (Overshooting), avec output exogènes et rigidités nominales. De demande agrégée ( ⇐⇒ IS), courbes Phillips, LM et UIP :
dt = α (st + p∗t − pt ) − βRt + γyt + gt
pt = pt−1 + θ (dt − yt ) + νt
mt = pt + yt − λRt + Ut
Rt = Rt∗ + Et ∆st+1 .
où νt , Ut sont des chocs stochastiques.
— Pr substitution, obtient système bi-varié d’équations de différence dans les prix et
taux de change :
pt = µpt+1 + φst + at
st = Et st+1 −
pt
+ bt
λ
où :
−1
β
µ≡ 1+θ α+
∈ (0, 1); φ ≡ µθα
λ
β
β
∗
at ≡ µθ αpt + γ − − 1 yt − (Ut − mt ) + gt + µνt
λ
λ
yt + Ut − mt
∗
bt ≡ R t −
.
λ
166
— Peut calculer l’état stationnaire déterministe (SS), pt = p̄, st = s̄, et νt , Ut = 0, ∀t :
p̄ = λb̄;
λb̄(1 − µ) − ā
,
φ
s̄ =
et définir déviations par rapport au SS, x̃t ≡ xt − x̄ :
s̃t = Et s̃t+1 −
p̃t
+ b̃t
λ
p̃t = µp̃t−1 + φs̃t + ãt .
Dynamique :
— Des déviations par rapport au SS :
φ
p̃t 1 − µ +
= ãt − Et ãt+1 + µp̃t−1 + Et p̃t+1 + φb̃t
λ
— Équations de différence de 2e ordre en p̃t .
— Exprimé en déviations =⇒ Et ãt+1 = 0.
— Soit choc non anticipé à t = 0 dans ãt , ou b̃t :
— À t = 0, ãt ou b̃t 6= 0 :
p̃0 =
ã0 + φb̃0
1 − µ + φλ
— À t = 1, 2, . . . , ãt et b̃t = 0 :
φ
0 = µp̃t−1 − p̃t 1 − µ +
+ Et p̃t+1
λ
a une solution (voir Annexe H) de type :
p̃t = p̃0 bt ,
b=
1−µ+
φ
λ
q
2
±
1 − µ + φλ − 4µ
2µ
167
Étant donné dynamique p̃t , obtient dynamique de taux de change :
s̃t =
p̃t − µp̃t−1 − ãt
φ
— À t = 0 :
s̃0 =
p̃0 − ã0
φ
— À t = 1, 2, . . . :
s̃t =
p̃t − µp̃t−1
φ
Si φ ≡ µθα ∈ (0, 1), alors sur-réaction des déviations des taux de change par
rapport aux déviations des prix (over-shooting).
Application (voir code Matlab Dornbusch.m et Graphique 10.3) :
— Dynamique et réponse à l’impact plus prononcée pour s̃t que pour p̃t (over-shoot).
— Ex. : ã0 > 0, ex. (g0 , P0∗ ↑) :
— Sur impact, s̃0 > 0 (dépréciation devise domestique), puis s̃t ↑, retour à
l’équilibre.
— Effets plus faibles sur prix.
— Effet permanent s̄ ↑ si hausse permanente ā.
168
8
·10−2
a0 = 0.1; b0 = 0.1
a0 = 0.1; b0 = 0
p̃t
s̃t
p̃t
s̃t
6
1
4
0.5
2
0
0
2
·10−2
0
4
6
t
a0 = −0.1; b0 = 0
2
4
t
a0 = 0; b0 = 0.1
6
p̃t
s̃t
p̃t
s̃t
−2
1
−4
0.5
−6
−8
2
4
t
0
6
2
4
t
Figure 10.3 – Modèle de sur-réaction de Dornbush
169
6
Annexes
A
Approximation de Hicks
Soit x petit, alors :
ln(1 + x) ≈ x;
ln(1 − x) ≈ −x.
Exemples :
1. x = 0.03 (petit)
ln(1.03) = 0.0296 ≈ x;
ln(0.97) = −0.0304 ≈ −x.
Bonne approximation
2. x = 0.30 (grand)
ln(1.30) = 0.2624 ≈ x;
ln(0.70) = −0.3567 ≈ −x.
Moins bonne approximation.
170
B
Expansions de Taylor
Soit f : R → R, avec dérivées continues jusqu’à l’ordre n :
f (x) = f (a) +
n
X
f (i) (a)(x − a)i
i!
i=1
+ Rn ,
i
f (i) (a) ≡
Rn ≡
∂ f (x)
∂xi
f
x=a
(n+1)
(ξ)(x − a)n+1
.
(n + 1)!
où a < ξ < x.
C
Homogénéité de degré 1
Une technologie F : Rn+ → R+ est d’homogénéité de degré 1 (rendements constants à
l’échelle, ou CRS) dans ses inputs X ∈ Rn+ si, ∀λ ∈ R++ :
F (λX) = F (λX1 , λX2 , . . . , λXn ) = λF (X1 , X2 , . . . , Xn )
n
X
Xi
i=1
∂F
= F (X1 , X2 , . . . , Xn ) = F (X)
∂Xi
(C.1)
(C.2)
Une application utile de (C.1) est obtenue si on souhaite normaliser un des inputs à 1 :
F (X)
=F
Xj
X1 X2
Xj−1
Xj+1
Xn
,
,...,
, 1,
,...,
Xj Xj
Xj
Xj
Xj
.
Par exemple, le passage de la production agrégée à l’output per-capita s’écrit comme :
F (K, N )
=F
N
K
,1
N
= F (k, 1)
= f (k)
171
L’équation (C.2), Théorème d’Euler, implique qu’une entreprise maximisant ses profits
dans un environnement compétitif génère des profits nuls à l’optimum :
π = P F (X1 , X2 , . . . , Xn ) −
n
X
P i Xi = 0
i=1
où P est le prix de l’output et Pi est le prix (nominal) de l’input i = 1, 2, . . . n.
D
Rappels croissance
Quelques règles utiles :
1. Croissance continue. Deux exemples :
(a) Soit
At = A0 exp(µt)
d’où
ln(At ) = ln(A0 ) + µt
γ(At ) ≡
1 dAt
d ln(At )
=
dt
At dt
= µ.
(b) Soit
At = (1 + µ)t A0
alors
ln(At ) = ln(A0 ) + t ln(1 + µ)
172
d’où :
γ(At ) ≡
d ln(At )
1 dAt
=
dt
At dt
= ln(1 + µ)
≈ µ.
en utilisant approximation de Hicks, i.e. ln(1 + x) ≈ x si x est faible,
2. Croissance discrète. Soit :
At+1 = (1 + µ)At
alors
γ(At ) =
∆At+1
At+1 − At
=
At
At
= µ.
également :
ln(At+1 ) = ln(1 + µ) + ln(At )
γ(At ) = ∆ ln(At+1 ) = ln(1 + µ)
≈µ
Note : Les trois représentations sont équivalentes
At+1 = (1 + µ)At ⇐⇒ At = (1 + µ)t A0
⇐⇒ At = exp(µt)A0
173
Preuve. Par substitution successive :
A1 = (1 + µ)A0
A2 = (1 + µ)A1 = (1 + µ)2 A0
A3 = (1 + µ)A2 = (1 + µ)3 A0
..
.
At = (1 + µ)t A0 .
De plus :
(1 + µ)t ≈ exp(µt),
puisque
t ln(1 + µ) ≈ µt
par approximation de Hicks.
3. Règles de croissance :
(a) Exposant :
Yt = Xtα
=⇒ γ(Yt ) = αγ(Xt ).
(b) Produit :
Yt = Xt × Z t
=⇒ γ(Yt ) = γ(Xt ) + γ(Zt ).
174
(c) Ratio :
Yt =
Xt
Zt
=⇒ γ(Yt ) = γ(Xt ) − γ(Zt ).
E
Sommes infinies
Soit |θ| < 1, alors
∞
X
θs =
s=0
∞
X
s=0
κ
X
s=τ
F
∞
X
s
τ
s
∞
X
s
s=0
∞
X
θ =θ
s=τ
κ
X
1
1−θ
θs =
s=0
θ =
θ =
s=τ
s
θ −
θτ
1−θ
∞
X
s=κ+1
∞
X
θs =
1 − θκ+1
1−θ
θτ − θκ+1
θ =
θ −
1−θ
s=κ+1
s
s
Opérateurs retards et futurs
Soit :
L : Ls Xt = Xt−s ,
(opérateur retard)
F : F s Xt = Xt+s ,
(opérateur futur)
satisfaisant :
Ls Lj Xt = Ls+j Xt = Xt−s−j
F s F j Xt = F s+j Xt = Xt+s+j
175
et équation de différence à résoudre :
Zt+1 = θZt + Xt
(F.1)
Deux cas possibles :
1. |θ| < 1 : Peut ré-écrire (F.1) comme :
Zt+1 (1 − θL) = Xt
Xt
1 − θL
∞
X
=
(θL)s Xt
Zt+1 =
s=0
=
∞
X
θs Xt−s
s=0
ce qui définit Zt+1 en termes des Xt−s passés (solution récursive).
2. |θ| > 1 : Peut ré-écrire (F.1) comme :
Xt
Zt+1
= Zt +
θ
θ
−Xt
1
Zt 1 − F =
θ
θ
− Xθt
Zt =
1 − 1θ F
s
∞ −1 X 1
=
F Xt
θ s=0 θ
∞ s
−1 X 1
=
Xt+s
θ s=0 θ
ce qui définit Zt en termes des Xt+s futurs (solution prospective).
Trois exemples d’utilisation des opérateurs F, L :
1. Equation de Bellman : Soit une fonction de valeur Vt , une fonction d’utilité Ut =
176
U (ct ) et une facteur d’escompte β ∈ (0, 1) tel que
Vt = Ut + βVt+1 .
La fonction de valeur Vt peut être ré-écrite comme :
Vt (1 − βF ) = Ut
Ut
1 − βF
∞
X
=
(βF )s Ut
Vt =
s=0
=
∞
X
β s Ut+s
s=0
=⇒ Vt =
∞
X
β s U (ct+s )
s=0
qui est la forme habituelle de représentation des préférences inter-temporelles.
2. Dynamique du capital : De la définition de l’investissement brut
kt+1 = it + (1 − δ)kt ,
δ ∈ (0, 1)
peut être ré-écrite comme :
kt+1 [1 − (1 − δ)L] = it
it
[1 − (1 − δ)L]
∞
X
=
[(1 − δ)L]s it
kt+1 =
=
s=0
∞
X
(1 − δ)s it−s
s=0
i.e. le stock de capital est le cumul de la partie non-dépréciée de l’investissement
brut.
177
3. Contrainte budgétaire :
ct + at+1 = xt + (1 + r)at ,
r>0
peut être ré-écrite comme :
at+1
ct − x t
at =
+
(1 + r)
1+r
1
ct − x t
at 1 −
F =
1+r
1+r
#
"
1
ct − x t
at =
1
1+r
F
1 − 1+r
∞
s
X
1
at (1 + r) =
F s (ct − xt )
1
+
r
s=0
s
∞ X
1
(ct+s − xt+s )
=
1+r
s=0
donnant la forme VAN de la contrainte budgétaire :
at (1 + r) +
∞
X
s=0
G
∞
X ct+s
xt+s
=
(1 + r)s
(1 + r)s
s=0
Distributions et anticipations
Variance-covariance
Var[a + bX] = b2 Var[X]
Var[a + bX + cY ] = b2 Var[X] + c2 Var[Y ] + 2bcCov[X, Y ]
E[XY ] = E[X]E[Y ] + Cov[X, Y ]
Cov[a + bX, Y ] = bCov[X, Y ]
X
X
Cov[
Xi , Y ] =
Cov[Xi , Y ]
i
i
Distribution Log-Normale Soit X ∼ L.N (E(X), Var(X)) ⇐⇒ x ≡ log(X) ∼
178
N (µ, σ 2 ), alors :
E(X) = exp{µ + 0.5σ 2 }
Var(X) = exp{2µ + 2σ 2 } − exp{2µ + σ 2 }
Loi des anticipations itératives
Et [Et+s (Xt+τ )] = Et [Xt+τ ],
s < τ.
Règle de Bayes E(A, B) = E(A | B) × E(B)
H
Équations de différence de second ordre
(Voir Chiang, 1984, ch. 17). Soit une équation de différence du second ordre de type :
yt+2 + a1 yt+1 + a2 yt = c.
La solution à (H.1) est du type yt = y(t) et peut être écrite comme :
yt = ytp + ytc
où ytp est la solution particulière et ytc est la solution complémentaire à (H.1).
1. Solution particulière, deux cas possibles :
(a) 1 + a1 + a2 6= 0. Alors ytp correspond à l’état stationnaire yt = k, ∀t :
ytp (= k) =
179
c
1 + a1 + a2
(H.1)
(b) 1 + a1 + a2 = 0. Alors propose ytp = kt dans (H.1) :
c = k[t(1 + a1 + a2 ) + 2 + a1 ]
| {z }
=0
c
p
yt (= kt) =
t
2 + a1
2. Solution complémentaire, correspond au cas c = 0. Propose yt = Abt dans (H.1) :
Abt+2 + a1 Abt+1 + a2 Av t = 0
b 2 + a1 b + a2 = 0
avec deux racines :
b=
−a1 ±
p
a21 − 4a2
2
On peut identifier A en utilisant les conditions au bords y0 = Ab0 = A d’où :
ytc = y0 bt .
La solution complète est alors donnée par :
yt =
I
ytp
+
ytc
=




c
1+a1 +a2



c
2+a1
+ y0 bt , si 1 + a1 + a2 6= 0,
+ y 0 bt ,
sinon.
Modifications et corrections
Merci aux étudiant(e)s de me signaler toute erreur ou omission.
Date (à compléter)
180
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