UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
10
c
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
EN CUERPOS RÍGIDOS
10. La energía cinética
10.1. Trabajo.
10.2. Trabajo de un peso.
10.3. trabajo de la fuerza de un resorte con masa.
10.4. Trabajo de un par (Um).
10.5. Fuerzas que no realizan trabajo.
10.6
Principio de trabajo y energía
10.7. energía potencial gravitacional (Vg).
10.8. Energía potencial elástica (Ve).
10.9. Energía potencial total (V).
10.10. Ecuación de la conservación de energía.
Problemas.
Bibliografía.
-1-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
CAPITULO X
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA EN CUERPOS RÍGIDOS
10.La energía cinética
Consideremos el cuerpo rígido en
forma de una placa delgada el cual
se mueve en el plano referencial xy. Estudiemos una partícula iésima
de masa dm localizado a una
distancia r con respecto a un punto
arbitrario P. Si en el instante
mostrado la partícula tiene una
velocidad 𝑣𝑖 entonces la energía
cinética adquirida por la partícula
1
es 𝑑𝑇𝑖 = 𝑑𝑚𝑣𝑖2
2
La energía cinética de todo el cuerpo rígido se obtiene mediante la
expresión
1
𝑇 = ∫ 𝑑𝑚𝑣𝑖2
2
Donde 𝑣𝑖 puede relacionarse con 𝑣𝑝 mediante la ecuación del
movimiento relativo, es decir
⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑝 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖/𝑝
= (𝑣𝑝 )𝑥 𝑖 + (𝑣𝑝 )𝑦 𝑗 + 𝑤𝑘⃗ 𝑥 (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗)
= [(𝑣𝑝 )𝑥 − 𝑤𝑦] 𝑖 + [(𝑣𝑝 )𝑦 + 𝑤𝑥] 𝑗
El cuadrado de la magnitud de ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖 es, por lo tanto
-2-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de la energía cinética se
tiene
La primera integral representa toda la masa del cuerpo. La segunda y
la tercera integral representan el centro de gravedad del cuerpo con
respecto a P. La última integral es el momento de inercia del cuerpo
respecto al punto P, calculado con respecto al eje z que pasa por el
punto P. por lo tanto,
En el caso que el punto P coincide con su CG del cuerpo entonces 𝑥̅ =
𝑦̅ = 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
1
𝑇 = 2 𝑚𝑣𝐺2 +
1
𝐼 𝑤
2 𝐺
(10.1)
2
*Para un cuerpo rígido
- Traslación
T
1
2
mvG
2
(10.2)
-3-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
-Rotación
T
1
I 0 2
2
(10.5)
-Movimiento Plano General
T
1
1
2
mvG  I G  2
2
2
(10.3)
Esta ecuación también puede expresarse en función del movimiento
del cuerpo respecto a su centro instantáneo de velocoidad cero, como
1
𝑇 = 𝐼𝐼𝐶 𝑤 2
2
Donde 𝐼𝐼𝐶 es el momento de inercia del cuerpo respectoa su centro
instantáneo.
-4-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
10.1 TRABAJO (U)
Trabajo de una fuerza variable
r2
U   F .dr   F cos  ds
r1
s
(10.4)
Donde 𝜃 es el ángulo entre las colas de la fuerza y el desplazamiento
Trabajo de una fuerza constante
𝑈𝐹𝐶 = (𝐹𝐶 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠
10.2 Trabajo de un Peso (U )
El peso de un cuerpo realiza
trabajo cuando el centro de masa
G
del
cuerpo
sufre
un
desplazamiento vertical  y
U   (y )  cuando baja
U   (y )  cuando sube
-5-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
10.3 Trabajo de la Fuerza de un Resorte con Masa
1
2
2
U S   k (s2  s2 )
2
(10.5)
El signo (-) siempre es
negativo (comprime o estire)
10.4 Trabajo de un Par (Um)
F
U M  M ( 2  1 )
r
(10.6)
F
10.5 Fuerzas que no Realizan Trabajo
* Fuerzas perpendiculares al movimiento (ejm: la normal)
* Fuerzas aplicadas a punto que no se mueve (ejm. La reacción del
resorte de un cuerpo en torno del cual gira).
10.6 Principio de Trabajo y Energía
U  EC
Donde:
ó
T1  U12  T2
(10.7)
U : trabajo
EC : cambio de energía cinética

r2
r1
-6-
 
1
1
2
2
F .dr  mv 2  mv1
2
2
Dr. Mario Arellano Vilchez
(10.8)
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
-7-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
-8-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
10.7 Energía Potencial Gravitacional
(V g )
(10.9)
10.8 Energía Potencial Elástica (Ve )
1
Ve   ks 2
2
(10.10)
(+) cuando se
comprime
o
estira.
10.9 Energía Potencial Total (V)
V  Vg  Ve
-9-
Dr. Mario Arellano Vilchez
(10.11)
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
10.10 Ecuación De La Conservación De Energía
T1  V1  T2  V2
(10.12)
Cuando el trabajo de fuerzas no conservativas puede escribirse como
una diferencia de sus energía potenciales la ecuación de la
conservación de energía toma la forma
𝑇1 + 𝑉1 + (∑ 𝑈1−2 )𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠. = 𝑇2 + 𝑉2
-10-
Dr. Mario Arellano Vilchez
(10.13)
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Ejemplo 1.
La barra esbelta de 4kg. Esta sujeta a la fuerza y al momento que se
muestra. Cuando se encuentra en la posición que se ilustra tiene una
𝑟𝑎𝑑
velocidad angular 𝑤1 = 6 𝑠 . Determine su velocidad angular en el
instante que ha girado 90o hacia abajo. La fuerza siempre se aplica
perpendicular al eje de la barra. El movimiento ocurre en el plano
vertical. Hallar  para 90o
Solución
Paso 1: Aplicando el principio de trabajo y energía
-11-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
T1  U12  T2
Paso 2: Diagrama Cinemático
w1
A
1
Estado 1:
Cálculo de la energía cinética con
respecto al centro de la masa G
VG
VG = (1.5) (6) = 9
T1 
w2
1
1
m ( v G1 ) 2  I G  2
2
2
puede también calcularse con
respecto al punto fijo de rotación
“A”
T1 
1
2
I A 1
2
y son iguales, Veamos:

Respecto al centro de masa G:
1
11

(4)(9) 2   (4)(3) 2  6 2
2
2 12

T1  216Joules
T1 
Verificando
T1 
1 1

(4)(3) 2 6 2  216Joules

2 3

Paso 3: Cálculo de los trabajos
D.C.L. en un instante del movimiento
-12-
ó
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Ax
A
(1)

Ay
VG
15N
4(9.81)
(2)
* Ax y Ay no realizan trabajo
* U 2  4 x9.81xy
 4 x9.81(1.5)
 58.86Nxm

El trabajo realizado por la fuerza;
( s  r )  3 x

2
 3 
U F  15   22.5 Joule
 2 
* Trabajo realizado por el momento ( U M )
U M  M ( 2  1 )
 
 40  40   20 Joule
2
Paso 4: Calculo de
-13-
2
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Reemplazando datos en la Ec. (1)
T1  V12  T2
216  U   U F  U M   T
Ahora en el estado 2
T2 
1
1 1
 2
2
I A 2   (4)(3) 2  2
2
2 3

T2  6 2
2
 216  (58.86  22.5  20 )  6 2
 2  8.25rad / s
2
®
Ejemplo 2.
El sistema consta de un disco A de 20 lb, una varilla delgada BC de 4
lb, y un collarín liso de 1 lb. Si el disco rueda sin deslizar determinar
la velocidad del collarín en el instante  =30o. El sistema de suelta
desde el reposo cuando  =45o.
C
3 pies
w
0.8'
B

A
-14-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Solución
Análisis: se debe aplicar el principio de trabajo y energía Cinética
T1  U12  T2
Paso 1: Determinar las energías cinéticas
Collarín (traslación ); T1 = 0 (reposo)
( E c )coll 

1
2
mv c 2
2
1 1  2

Vc 2
2  32.2 
 0.016(Vc 2 ) 2
(1)
Barra BC: (traslación y rotación)
( E c ) BC 

1
1
2
mvG  I 2
2
2
1 4  2 1 1
4

2
x32  BC 2

VG   x
2  32.2 
2 12 32.2

 0.062VG  0.047( BC ) 2
2
2
(2)
Disco A: (traslación y rotación)
Ec A  1 
20  2 1  1 20
 2
x0.8 2  A
VB   x
2  32.2 
2  2 32.2

 0.311VB  0.099 A
2
-15-
Dr. Mario Arellano Vilchez
2
(3)
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
-
Cálculo de Vc y VB
Diagrama cinemático
2.598
Utilizando el CI de BC se tiene: (V=r  )
VC
C.I.
 Vc  2.598 Bc
1.5'
1.5'
(4)
G
VB  1.5 Bc  0.8 A
1.5'
(5)
VB
Relacionando G con CI
-
Cálculo de rG / CI
Teorema de la mediana
b
a
m
c
a 2  b 2  2m 2 
2.508
2
c2
2
 (1.5)  2m
2
Verificando por ley de cosenos:
-16-
Dr. Mario Arellano Vilchez
2
2

3

2
m = 1.5 pies
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
m  1.5 2  1.5 2  2(1.5)(1.5) cos 60o
m  1.5 pies
VG  VcI   (rG / cI )
VG   Bc (1.5)

VG  1.5 Bc
Remplazando este ultimo cálculo en las ecuaciones anteriores se
tiene:
Collarín:

( Ec )coll  0.016 (2.598 B ) 2
 0.0108 Bc

2
Barra Bc:
( Ec ) Bc  0.062 (1.5 Bc ) 2  0.047 Bc
 0.1865 Bc

2
2
Disco:
 1.5

( Ec ) A  0.311 (1.5 Bc )  0.099
 Bc 
 0.8

2
 1.048 Bc
2
Paso 2: Cálculo de los trabajos
-17-
Dr. Mario Arellano Vilchez
2
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
wC
C
NC

NA y NC : no realizan trabajos (porque
son perpendiculares a la trayectoria )
wA
4 lb
B
NA

El peso del collarín :
C1
 c  1lb.
y
C2
30°
45°
y  3sen45o  3sen30o
= 0.621
 U coll  mgh  (1)(0.621)
= 0.621

El peso de la barra Bc:
1
 Bc  4lb.
y  1.5sen45o  1.5sen30o
= 0.311
2
30°
45°
y = 0.311
 U Bc  (4)(0.311)
= 1.244
Paso 3: Aplicación del Principio de Trabajo y Energía Cinética
-18-
Dr. Mario Arellano Vilchez
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
T1  U12  T2
0  U coll  U Bc  T2
0  0.621 1.244  0.108 Bc  0.1865 Bc  1.048 Bc
2
2
2
 Bc  1.178
reemplazando en (4) se tiene:
Vc = 2. 598 (1.178)
Vc = 3.06 pies/seg
®
Ejemplo 3.
Resolver el problema anterior, utilizando el principio de la
conservación de energía.
Solución
Paso 1: Elegir un nivel de referencia
(V C) 1
(V BC )2
(V BC )1
G
G
(V A) 1
45°
(V A) 2
N.D.R.
Estado (1)
o
Estado 1:   45
-19-
(V C) 2
Dr. Mario Arellano Vilchez
30°
Estado (2)
N.D.R.
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
Paso 2. Energía potencial

Energía potencial (V)
(V ) coll   c y  (1)(3sen45o )
= 2.121
(V ) Bc   Bc y  (4)(1.5sen45o )
= 4.243
(V) Disco = 0
N.D.R. ó
Paso 3. Energía cinética

Energía Cinética (T)
T1 = 0 (reposo)
Estado 2:
  30 o
(V ) coll   c y  (1)(3sen30o )
= 1.5
(V ) Bc 2   Bc y  (4)(1.5sen30o )
=3
(V) Disco = 0
-20-
N.D.R.
Dr. Mario Arellano Vilchez
y=0
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica

Energía Cinética (T)
Del problema anterior
T2  0  108 Bc  0.1865 Bc  1.048 Bc  1.3425 Bc
2
2
2
Paso 3: Aplicando el principio conservación de energía
T1  V1  T2  V2
0  2.121  4.243  1.5  3  1.345 Bc
2
 Bc  1.178rad / s
 Vc  2.598 Bc  2.5a8(1.178.)  3.06 pies / s ®
-21-
Dr. Mario Arellano Vilchez
2
UNCP – Facultad de Ingeniería Mecánica
BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. Hibbeler,R.C. (2016). Dinámica. Decimocuarta
edición. México. Editorial Pearson educación.
BIBLIOGRAFIA FUENTE DEL PROBLEMA
2. Pytel A, Kiusalaas. (2010). Dinámica. Tercera
edición. México. Editorial Cengage Learning.
3. Soutas, Inman, Balint.(2009) Dinámica. Edición
computarizada. México. Editorial Cengage
learning
BILIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
4. Bedford,Fowler. (2008).
Dinámica.
edición. México. Editorial Prentice Hall.
Quinta
5. Beer Johnston. (2012).
Dinámica. novena
edición. Bogotá. Editorial Mc Graw Hill.
6. Shames Irving (1999). Dinámica. Cuarta edición.
España. Editorial Prentice Hall.
7. Meriam ,Kraige,Bolton. (2015). Dynamics. Octava
edición. United States of America. Editorial Wiley.
-22-
Dr. Mario Arellano Vilchez