FENOMENOS DE
TRANSPORTE
S E G U N D A
E D I C I Ó N
Fenómenos
de transporte
Segunda edición
R. Byron Bird
Warren E. Stewart
Edwin N. Lightfoot
Departamento de Ingeniería Química
Universidad de Wisconsin-Madison
O LIMUSA WILEY 8
Bird, Robert
Fenómenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed.
-- México : Limusa Wiley, 2006.
1062 p. : il., fot. ; 20 cm.
ISBN: 968-18-6365-8.
Rústica.
1. Dlnamica de fluidos
l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut.
111. Viliagórnez Velázquez, Hugo, tr. \V. Zetina Vélez, Atma Rosa, colab.
Dewey: 530.138 - dc21
LC: QA929
VERSI~N
AUTORIZADA
AL ESPAÑOL DE LA OBRA
ORIGINALMENTE PUBLICADA EN
& SONS,CON EL T~TULO
INGLES
POR JOHN
WILEY
FENÓMENOS DE TRANSPORTE
TRANSPORT PHENOMENA
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA
PARTE DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGÚN
SISTEMA O MÉTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~NO CUALCiUlER SISTEMA DE
RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN
COLABORAD~R
EN LA TRADUCCI~N
HUGO VILLAG6MEZ VELÁZQUEZ
REVISI~N
T~CNICA
ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VÉLEZ
INGENIERA
Q~~~M
POR
I CLA
A FACULTAD
DE QU~MICA
DE LA
UN~VERSIDAD
NACIONAL
AUT~NOMA
DE MEKICO.
DOCEME
EN MATEMATICAS,
UNAM. PROFESORA
DE LA
ESCUELA
DE CIENCIAS
QU~MICAS
DE LA UNIVERSIDAO
LA
SALLE.
CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
O 2006, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALOEFIAS
95, M C x i c o , D.F.
C.P. 06040
51 30 0700
55 12 2903
+tirnusa@noriega.com.mx
www.noriega.com.mx
m
SEGUNDA
EDICIÓN
HECHO
EN MEXICO
ISBN 968-18-6365-8
Prólogo
La transferencia de cantidad de movimiento, la transmisión de calor y la transferencia de materia surgieron como ramas independientes de la física clásica desde hace
mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un área
fundamental d e las ciencias de ingeniería. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace
menos de medio siglo, continúa avanzando y encontrando aplicaciones en campos
nuevos como la biotecnología, la microelectrónica, la nanotecnología y la ciencia de
polimeros.
La evolucibn de los fenómenos de transporte ha sido tan rápida y extensa que
es imposible abarcarla por completo en un solo libro. A pesar de que hemos incluido muchos ejemplos representativos, nuestro interés primordial, necesariamente,
han sido los aspectos básicos de este campo. Además, en pláticas con colegas hemos
encontrado que los fenómenos de transporte se enseñan de varias formas y a diversos niveles. En esta edición se ha incluido suficiente material para cubrir dos modalidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez,
puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en
otro sobw transmisión de calor y transferencia de materia, lo que proporciona más
oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicaciones prácticas.
La identificación de algunas secciones como opcionales (O) y otras como avanzadas
(O) puede ser útil para estudiantes y profesores.
Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemático, los
fenómenos de transporte con más significativos por su importancia física. La esencia medular de este tema la constituye el planteamiento cuidadoso y conciso de los
principios de conservación, junto con las expresiones de densidad de flujo (flux),recalcando las semejanzas y diferencias entre los tres procesos de transporte considerados. A menudo, la especialización hasta las condiciones límite y las propiedades
físicas en un problema específico puede proporcionar una visión útil con esfuerzo
mínimo. No obstante, el lenguaje de los fenómenos de transporte es matemático, y
en este libro hemos asumido que el lector está familiarizado con ecuaciones diferenciales ordinarias y con an6lisis vectorial elemental. Introducimos el uso de las ecuaciones diferenciales parciales con una explicación suficiente de modo que el
estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las técnicas numéricas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se concentre en la comprensión fundamental.
A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliográficas, esto
con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histórico propio y
para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las
aplicaciones. Hemos estado particularmente interesados en presentar a los pioneros,
a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiración
útil. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizás algunos de
nuestros lectores encuentren en ellos inspiración para realizar contribuciones semejantes.
Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramientas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribió Ia primera
edición hace más de 40 años. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el
texto, dentro de los Límites de espacio y de nuestras habilidades, y nos hemos esforzado por anticipar desarrollos futuros. Algunos de los cambios mis importantes respecto a la primera edición incluyen los siguientes:
,
vi
Prólogo
propiedades de transporte de sistemas de dos fases
uso de "densidades de flujos combinadas" para establecer balances de envoltura y ecuaciones de variación
conservación de la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias
obtención completa del balance de energía mecánica
tratamiento más amplio de la teoría de la capa límite
dispersión de Taylor
análisis mejorados de transporte turbulento
análisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados
inclusión de más material sobre coeficientes de transmisión de calor y transferencia de masa
análisis más completos de análisis dimensional y escalación
métodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes
sistemas iónicos, separaciones de membrana y medio poroso
relación entre la ecuación de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo
+
uso de la convención "Q W" en tratamientos de energía, de conformidad
con los textos más importantes de física o fisicoquímica.
Sin embargo, siempre es la generación más joven de profesionistas la que ve el futuro con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia
imperfecta.
Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenómenos de transporte aumente en vez de disminuir. Cada una de las estimulantes nuevas
tecnologías que están floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de interés
detallado que se quiera, por las leyes de conservación y las expresiones de densidad de flujo, junto con información sobre los coeficientes de transporte. Adaptar
los planteamientos de los problemas y las técnicas de solución para estas nuevas
áreas indudablemente mantendrá ocupados a los ingenieros durante mucho tiempo, y lo único que podemos esperar es haber proporcionado una base útil a partir
de la cual empezar.
El é,to de cada libro nuevo depende de muchas más personas que las que se
sefialan en la portada. La deuda más evidente es ciertamente con los estudiantes
perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseñado mucho más de lo
que nosotros les hemos enseñado. Asimismo, los profesores que revisaron el manuscrito merecen un agradecimiento especial por sus numerosas correcciones y comentarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham
(Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley),
William B. Russel (Universidad de Princeton), Jay D. Schieber (Instituto de Tecnología de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Kármán para Dinámica de Fluidos).
Sin embargo, en un nivel más profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y
las tradiciones departamentales creadas por nuestros antecesores aquí en Madison.
En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria está dedicado
este libro.
Madison, Wisconsin.
R.B.B.
W.E.S.
E.N.L.
Contenido
.
p
.
Prólogo
-
--
Ej. 2.3-1 Determinación de la viscosidad a parfir de
datos de ,flujo
59
, capilar
.
Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular
horizontal 60
S2.4 Flujo a través de un hibo concéntrico 61
s2.5 lujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 64
52 6
Flujo reptante alrededor dc una esfera 66
fl 2 6-7 Dettrnllrrncicín de la ziiscosrdnd a partir dr la
zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnraque desrterrdt 70
I'reguntns para discusióii 70
Probiemas 71
Capítulo O El tema de los fenómenos
de transporte 1
Parte I
. ..
Transporte de cantidad
de n3ovbiento
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del
transporte de cantidad de
movimiento 11
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas
isotérmicos 85
53.1.
Ecuación de continuidad 87
Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies sólidas
para fluidos nmtonianos incompresibles 88
53.2 Ecuación de movimiento 89
93.3 Ecuación de energía mecánica 91
53.4" Ecuación de cantidad de movimieiito angular 93
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la
derivada sustancial 94
Ej. 3.5-2 La ecuación de Bernoulli para el flujo en
estado estacionario de fluidos no viscosos 97
S3.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver
problemas de flujo 98
Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular
largo 99
Ej. 3.6-2 Película desccndentr con viscosidad
variable 101
Ej. 3.6-3 Operacidn de u n uiscocímetro
de Couette 101
Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un líquido en
rofación 106
Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira
lentamente 108
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación 110
Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro
circular 171
Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en u n tanque
agitado 214
Ej. 3:7-3 Caída de presión para flujo reptante en u n
tubo de relleno 117
Preguntas para discusión 118
Problemas 118
51.1
Ley de viscosidad de Newton (transporte
de cantidad de movimiento moiecular) 11
Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de
mouirniento 16
1 . 2 Generalización de Ia ley de viscosidad
de Newton 16
1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la
presión y la temperatura 22
Ej. 1.3-1 Esfimación de la viscosidad a parfir de las
propiedades críticas 24
51.4" Teoría rnolecular de la viscosidad de gases
a baja densidad 25
Ej. 1.4-7 Cá[cuIo de la viscosidad de u n gas puro a baja
denstdad 29
Ej. 1.4-2 Predicción de la viscosidad de una mezcla de
gases a baja densidad 30
51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31
Ej. 1.5-1 Estimación de la viscosidad de u n líquido
puro 33
s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34
7
Transporte de cantidad de movimiento
convectivo 37
Preguntas para discusión 40
Problemas 41
,
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento
en la envoltura y distribuciones de
velocidad en flujo laminar 45
2 .
s2.2
S2.3
Balances de cantidad de movimiento en Ia
envoltura y condiciones límite 46
Flujo de una pelicula descendente 48
Ej. 2.2-2 Cálculo de fa velocidad de una película
Ej. 2.2-2 Película descendente con viscosidad
variable 53
flujo a través de un tubo circular 54
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más
de una variable independiente 129
53
4
vii
Flujo dependiente del tiempo de fluidos
newtonianos 129
viii
Contenido
Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone
sribifamente en movimiento 130
Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos
ldminas paralelas 132
Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una
ldmina que oscila 135
54.2" Solución de problemas de flujo usando una
función de corriente 137
Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238
g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo
del potencial de velocidad 141
Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de u n
cilindro 145
Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de u n canal
rectangular 146
Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148
54.4" mujo cerca de superficies sólidas por medio de la
teoría de la capa limite 150
Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana
(solucidn aproximada) 154
Ej. 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lámina plana
(solución eracfa) 155
Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157
Preguntas para discusión 158
Problemas 159
Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo
turbulento 173
Comparaciones de los flujos laminar y
turbulento 175
55.2 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para
fluidos incompresibles 178
55.3
Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de
una pared 181
35.4 Expresiones empíricas pa7.a la densidad de flujo
de cantidad de movimiento turbulento 184
Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresión de e s f u m o de
Reynolds en la vecindad de la pared 186
55.5 Flujo turbulento en ductos 187
Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en u n tubo
C ~ ~ C U 188
!U~
Ej. 5.5-2 Aplicación de la fdrmula de longitud de
mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en u n tubo
circular 190
Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la
viscosidad de remolino 190
55.6" Flujo turbulento en chorros 191
Ej. 5.6-1 Distribución de velocidad con ajusfe de
tiempo en u n chorro de pared circular 191
Preguntas para discusión 196
Problemas 196
5.1
56.2
Factores de fricci6n para flujo en tubos 204
Ej. 6.2-3 Cuída de presión requerida para una
velocidad de flujo dada 208
Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una caída de presión
dada 209
96.3 Factores de fricción para flujo alrededor de
esferas 210
Ej. 6.3-1 Determinación del diámetro de una esfe~aque
desciende 214
56.4" Factores de fricción para columnas de
relleno 215
Preguntas para discusión 220
Problemas 221
Capítulo 7 Balances macroscópicos para
sistemas con flujo isotérmico 229
7.1
Balance macrosc6pico de materia 231
Ej. 7.1-1 Vaciado de u n tanque esférico 231
57.2 Balance macroscópico de cantidad de
movimiento 233
Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por u n chorro
(Parte a) 234
57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento
angular 235
Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en u n recipienfe
mezclador 236
57.4 Balance rnacroscópico de energía mecánica 237
Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por u n chorro (Parte b) 239
s7.5 Estimación de la pérdida viscosa 240
Ej. 7.5-1 Potencia necesa~iapara el flujo en una
tuberfa 242
Uso de los balances macroscópicos para problemas
s7.6
de estado estacionario 244
Ej. 7.6-1 Aumenfo de presidn y ptrdida por fricción en
u n ensanchamiento brusco 244
Ej. 7.6-2 Rendimiento d e u n eyector
líquido-líquido 246
Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de u n fubo 247
Ej. 7 . 6 4 Chorro que incide 250
Ej. 7.6-5 Flujo isoférmico de un líquido a través de un
orificio 251
57.7" Uso de los balances macroscópicos para problemas
de estado no estacionario 253
Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleración en flujo no
esfacionnrio desde un tanque cilíndrico 253
Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256
57.8. Deducción del balance macroscópico de energía
mecánica 258
Preguntas para discusi6n 261
Problemas 261
Capítulo 8 Líquidos poliméricos 271
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas
isotérmicos 201
8.1
6.1
98.2
Definición de factores de fricción 202
Ejemplos del comportamiento de líquidos
poliméricos 272
Reometría y funciones del material 277
Viscosidad no newtoniana y los modelos
newtonianos generalizados 281
Ej. 8.3-1 Flujo laminar en u n tubo circular de u n
fiuido incompresible que obedece la ley
de potencias 284
Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que
obedece la ley de potencias 284
Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos de u n
fluido que obedece la ley de pofencias 285
98.4" Elasticidad y los modelos viscoelásticos Lineales 286
Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitud
pequeña 289
Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelástico no estacionario cerca de
una lámina oscilatoria 290
58.50 Las derivadas corrotacionales y los modelos
viscoelásticos no lineales 291
Ej. 8.5-1 Funciones del material para el modelo de
Oldroyd de 6 constantes 293
58.6. Teorias moleculares para líquidos
poliméricos 295
Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo
ENEF-P 297
Preguntas para discusión 300
Problemas 301
58.3
Parte 11
Transporte de energía
Capítulo 9 Conductividad térmica y los
mecanismos de transporte de
energía 309
9.1
59.2
Ley de Fourier de la conducción de calor
(transporte molecular de energía) 310
Ej. 9.1-1 Medición de la conductividad térmica 315
Dependencia de la conductividad térmica con
respecto a la temperatura y la presión 316
Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad
férrnica 318
Teoría de la conductividad térmica de gases a baja
densidad 318
Ej. 9.3-1 Cálculo de la conductividad térmica de un
gas monoatómico a baja densidad 323
E]. 9.3-2 Estimación de la conductiuidad térmica de u n
gas poliatómico a baja densidad 324
Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad térmica de
una mezcla de gases a baja densidad 324
Teoría de la conductividad térmica de
líquidos 325
Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad térmica de un
líquido 326
Conductividad térmica de sólidos 327
Conductividad térmica efectiva de sólidos
compuestos 328
Tkansporte de energía convectiva 331
Trabajo asociado con movimientos
moleculares 332
Preguntas para discusión 334
Problemas 335
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura
y distribuciones de temperatura en
sólidos y en fIujo laminar 341
510.1 Balances de energía en la envoltura: condiciones
límite 342
s10.2 Conducción de calor con una fuente de calor
eléctrica 343
Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una
determinada elevación de temueratura en un
alambre calentado por una corriente elécfrica 347
Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de
transmisidn de calor y temperatura ambiente de1
aire especificados 347
510.3 Conducción de calor con una fuente de calor
nuclear 348
510.4 Conducción de calor con una fuente de calor
viscosa 351
910.5 Conducción de calor con una fuente de
calor química 354
910.6 ~ond;ccion de calor a través de paredes
compuestas 357
E). 10.t;-! Partrlt-S 1 cilínclrrn~scornpucsfas 360
910.7 Condiiccióii de cal;)r en una aleta de
erifrianiiento ,762
Ej. 10.7-1 Error en la medición del terinopar 364
510.8 Convección forzada 366
s10.9 Convección libre 372
Preguntas para discusi6n 376
Problemas 377
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas
no isotérmicos 393
Ecuación de energía 394
Formas especiale; de la ecuación de energía 396
La ecuación de movimiento de Boussinesq para
convección forzada y libre 399
Uso de las ecuaciones de variación para resolver
problemas de estado estacionario 400
Ej. 11.4-1 Transmisión de calor por convección forzada
en estado estacionario en flujo laminar en un tubo
circular 401
Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos con
generación de calor viscoso 404
Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una película no
isot&tnica 405
Ej. 11.4-4 Enfriamienfo por transpiración 406
Ej. 11.4-5 Transmisión de calor por conveccidn libre
desde una ldmina vertical 408
Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin fricción en un gas
ideal 411
Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles
de velocidad, temperatura y presión en una onda de
choque estacionaria 412
x
Contenido
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación para sistemas no isotérmicos 416
Ej. 11.5-1 Distribución de temperafura alrededor de un
cilindro largo 419
Ej. 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de
fluido; formación de las celdas de Bénard 421
Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentín
calentador eléctrico 423
Preguntas para discusión 424
Problemas 425
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más
de una variable independiente 439
512.1 Conducción de calor no estacionaria en
sólidos 439
Ej. 12.2-1 Calenfamiento de una placa
semiinfinita 440
Ej. 12.1-2 Calentamiento de una placa finita 441
Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de
una pared con densidad de flujo de calor
sinusoidal 445
Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con
un fluido bien agitado 446
512.2" Conducción de calor estacionaria en flujo laminar
incompresible 448
Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubo con densidad de
flujo de caior constante en la pared 449
Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de
flujo de calor constanfe en la pared: solución
asin fótica para la región de embocadura 450
512.3" Flujo potencial de calor estacionario en
sólidos 452
Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una
pared 453
512.4' Teoría de la capa limite para flujo no
isotérmico 454
Ej.12.4-1 Transrnisió~ide calor en convección forzada
laminar a lo largo de una ldmina plana calentada
(método integral de von Kfrmán) 456
Ej. 12.4-2 Transmisidn de calor en convección forzada
laminar a lo largo de una ldminn plana calentada
(solución asintótica para números de Prandfl
elevados) 458
Ej. 12.4-3 Convección forzada en flujo tridimensional
estacionaria a números de.Prandt1 elmados 460
Preguntas para discusión 463
Problemas 463
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en
flujo turbulento 479
513.1 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para
flujo no isotérmico incompresible 479
913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca
de una pared 481
513.3 Expresiones empíricas para la densidad de flujo
de calor turbulento 482
Ej. 13.3-1 Una relación aproximada para la densidad
de flujo de calor en una pared para flujo turbulento
en un tubo 483
513.4' Distribución de temperatura para flujo turbulento
en tubos 4&4
513.5" Distribución de temperatura para flujo
turbulento en chorros 488
513.6. Análisis de Fourier de transporte de energía en el
flujo en un tubo con números de Prandtl
elevados 490
Preguntas para discusión 491
Problemas 492
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas
no isotéxmicos 497
514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisión
de calor 498
Ej. 14.1-1 Cdlculo de los coeficientes de transrnisidn de
calor a partir de datos experimentales 501
514.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de
transmisión de calor para convección forzada
a través de hibos y rendijas 503
514.3 Coeficientes de transmisión d e calor para
convección forzada en tubos 509
Ej. 14.3-1 Diseño de un calentador tubular 514
514.4 Coeficientes de transmisión de calor para
convección forzada alrededor de objetos
sumergidos 514
514.5 Coeficientes de transmisión de calor para
convección forzada a través de lechos de
relleno 518
s14.6" Coeficientes de transmisión de caior para
convección libre y mixta 519
Ej. 14.6-1 Pérdida de calor por convección libre desde
un fubo horizontal 523
514.7" Coeficientes de transmisión de calor para
condensación de vapores puros sobre superficies
sólidas 524
Ej. 14.7-1 Condensación de vapor en una superficie
vertical 527
Preguntas para discusión 528
Problemas 528
Capítulo 15 Balances rnacroscópicos para sistemas
no isotérmicos 533
--
515.1 Balance macrosc6pico de energía 534
515.2 Balance macroscópico d e energía mecánica 536
515.3 Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado estacionario con perfiles
de velocidad planos 538
Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539
Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de gas ideal 540
515.4 Las formas d de los balances macroscópicos 541
Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos
O a confracorriente 543
Contenido xi
Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uíz fluido
compresible a través de una fuberiá de grandes
dirnensioms 444
515.5" Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado no estacionario y problemas
con perfiles de velocidad no planos 547
Ej. 15.5-1 Calentamiento de un líquido en un tanque
agitado 547
Ej. 15.5-2 Operación de un controlador de temperatura
simple 550
Ej. 15.5-3 Flujo de fluidos compresibles a través de
medidores de calor 553
Ej. 15.5-4 Expansión libre intermitente de un fluido
compresible 554
Preguntas para discusión 557
Problemas 557
Capitulo 16 Transporte de energía por
radiación 571
316.1 El espectro de radiación electromagn6tica 572
516.2 Absorción y emisión en superficies sólidas 574
916.3 Ley de distribución de Manck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de
Stefan-Boltzmann 577
Ej. 16.3-1 Tmperatura y emisión de enerpk radiante
del Sol 581
516.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío
a diferentes temperaturas 581
Ej. 16.4-1 Estimación de la constanfe solar 586
Ej. 16.4-2 Transmisión de calor radiante entre
discos 586
516.5" Radiación entre cuerpos no negros a diferentes
temperaturas 586
Ej. 16.5-1 Escudos de radiación 589
Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiación y por
convección libre en un tubo horizontal 590
Ej. 16.5-3 Radiación y convección combinadas 590
516.6" Transporte de energía radiante en medios
absorbentes 591
Ej. 16.6-1 Absorción de una emisión de rayos de
radiación monocromdfica 593
Preguntas para discusión 593
Problemas 594
, - , , a e*
l'a
,'wwP
RL<&<.
"rannsporte
de materia
%m><*
JfQh
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de
transporte de materia 599
917.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte
molecular de materia) 600
Ej. 17.1-1 Difusión del helio a través de cristal
Pyrex 605
Ej. 17.1-2 Equivalencia de -OAB y -OBA 606
917.2 Dependencia de las difusividades con respecto a Ia
temperatura y la presión 607
Ej. 17.2-1 Estimación de la difusividad a baja
densidad 609
Ej. 17.2-2 Estimación de la autodifusividad a alta
densidad 610
El. 17.2-3 Estimación de la difusividad binaria a alta
densidad 610
517.3" Teoría de la difusión en gases a baja densidad 611
Ej. 17.3-1 Cómputo de la difusividad de masa para
gases monoatómicos a baja densidad 615
917.4" Teoría de la difusión en líquidos binarios 615
Ej. 17.4-1 Esf~macidnde la difusividad
en líquidos 618
317.5" Teoría de la difusión en suspensiones
coloidales 618
517.6" Teoría de la difusión en polímeros 620
317.7 Transporte de materia y molar por
convección 620
517.8 Resumen de densidades de flujo de masa y
molar 624
$17.9" Ecuaciones de Maxweil-Stefan para difusión de
varios componentes en gases a baja densidad 626
Preguntas para discusión 627
Problemas 627
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en
sólidos y flujo laminar 633
518.1 Balances de materia en h envoltura: condiciones
límite 635
918.2 Difusión a través de una película de gas
estancada 636
Ej. 18.2-1 Difusión con una iriterfase móvil 640
Ej. 18.2-2 Determinación de la difusividad 641
Ej. 18.2-3 Difusión a través de una película esférica
no isofémiica 641
318.3 Difusión con una reacción química
heterogénea 643
Ej. 18.3-1 Difusiórr can una reacción heterogénea
Ientn 645
s18.4 Difusión con una reacción química
homogénea 646
Ej. 18.4-1 Absorción de un gas con reacción química
en un tanque agitado 648
518.5 Difusión a una película líquida descendente
(absorción de un gas) 650
Ej. 18.5-1 Absorción de un gas desde burbujas
ascendentes 654
518.6 Difusión a una película líquida descendente
(disolución de un sólido) 655
518.7 Difusión y reacción química dentro de un
catalizador poroso 658
518.8" Difusión en un sistema gaseoso de tres
componentes 662
Preguntas para discusión 664
Problemas 664
xii
Contenido
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas
de varias componentes 681
520.30 Teoría de capa límite en estado estacionario para
flujo alrededor de objetos 741
Ej. 20.3-1 Transferencia de materia para flujo reptante
g19.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de
varias componentes 681
Ej. 19.1-1 Difusión, convecci6n y reaccidn
520.40 Transporte de materia de capa límite con
movimiento interfacial complejo 746
quimica 685
519.2 Resumen de las ecuaciones de variación de varias
componentes 686
919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias
componentes 691.
E j . 19.3-1 Entalpiá molar parcial 692
s19.4 Uso de las ecuaciones de variación para
mezclas 694
Ej. 19.4-1 Transporfesirnultdneo de calor
y de materia 694
Ej. 29.4-2 Pofil de concentración en un reactor
tubular 697
Ej. 19.4-3 Oxidación catalítica del monóxido de
carbono 699
Ej. 19.4-4 Conducfividad ténntca de un gas
poliatómico 701
519.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación para mezclas binarias
no reactivas 702
Ej. 19.5-1 Distribución de concenfracidn alrededor de
un cilindro largo 704
Ej. 19.5-2 Fomacidn de niebla durante la
deshumidificación 706
Ej. 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles 708
Preguntas para discusión 710
Problemas 710
Capítulo 20 Distribuciones de concentración
con más de una variable
independiente 719
520.1 Difusión dependiente del tiempo 720
Ej. 20.1-1 Evaporación en estado no estacionario de un
liquido (el "problema de Arnold") 721
Ej. 20.1-2 Absorcibn de un gas con reacción
rdpida 724
Ej. 20.1-3 Difusión no estacionaria con reacción
homoghea de primer orden 726
Ej. 20.1-4 Influencia det drea interfacial variable sobre
la transferencia de materia en una interfase 728
520.2' Transporte en estado estacionario en capas límite
binarias 731
Ej. 20.2-1 Difusión y rmcción química en flujo
laminar isotPrmico a lo largo de una Límina plana
soluble 733
Ej. 20.2-2 Convección forzada desde una lámina plana
a altas velocidades de transferencia de
rnnteria 735
Ej. 20.2-3 Analogías aproximadas para la lámina plam
a bajas velocidades de transferencia de
materia 741
alrededor de una burbuja de gas 745
Ej. 20.4-1 Transferencia de materia con deformación
interfacial no uniforme 751
Ej. 20.4-2 Absorción de un gas con reaccidn rápida y
deformación interfacial 752
920.5. "Dispersión de Taylor" en flujo laminar
en un tubo 753
Preguntas para discusibn 758
Problemas 758
Capítulo 21 Distribuciones de concentración en
flujo turbulento 769
521.1 Fluctuaciones de concentración y la concentración
con ajuste de tiempo 769
921.2 Ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad
d e A 770
521.3 Expresiones semiempíncas para ¡a densidad
de flujo turbulento de materia 771
521.4" Mejoramiento de la transferencia de materia
por medio d e una reacción de primer orden en
flujo turbulento 772
521.5. Mezclado turbulento y flujo turbulento con
reacción de segundo orden 777
Preguntas para discusión 782
Problemas 782
Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas
no isotérmicas 787
522.1 Definición de los coeficientes de transferencia
en una fase 788
522.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de
transferencia de materia 793
s22.3 Correlación de los coeficientes binarios de
transferencia en una fase 797
Ej. 22.3-1 Evaporación desde una gota que cae
libremente 801
Ej. 22.3-2 El psicrómetro de bulbo húmedo
y seco 802
Ej. 22.3-3 Transferencia de materia en flujo reptanfe a
trav6s de lechos de relleno 805
Ej. 22.34 Transferencia de materia a gotas
y burbujas 806
522.4 Definición de los coeficientes de transferencia
en dos fases 807
Ej. 22.4-1 Determinación de la resistencia
de controI 810
Ej. 22.4-2 Inferacción de las resistencias de fase 812
Ej. 22.4-3 Promedio de área 814
522.5" Transferencia de materia y reacciones
quimicas 815
Contenido xiii
Ej. 22.5-1 Estimación del área interfacial en una
columna de relleno 816
Ej. 22.5-2 Estimación de los coeficientes volumétricos
de transferencia de materia 817
Ej. 22.5-3 Correlaciones insensibles al modelo para
absorción con reacción rápida 818
€j22h0 Combinación de transmisión de calor y
transferencia de materia por convección libre 820
Ej. 22.6-1 Aditividad de los números de Grashof 820
Ej. 22.6-2 Transmisidn de calor por conveccidn libre
como fuente de transferencia de materia por
conveccidn forzada 820
$22.7" Efectos d e las fuerzas interfaaales sobre la
transmisión de calor y la transferencia de
materia 822
Ej. 22.7-1 Eliminación de lo circulacidn en una burbuja de gas ascendente 824
Ej. 22.7-2 Inestabilidad de Marangoni en una película
descendente 825
922.8" Coeficientes de transferencia a altas velocidades
de transferencia neta de materia 826
Ej. 22.8-1 Evaporación rdpida de un lfquido desde una
superficie plana 834
Ej. 22.8-2 Factores de correccidn en la a~aporaciónde
una gotita 835
Ej. 22.8-3 Desempeño corregido de un bulbo húmedo
piara velocidad de transferencia de materia 835
Ej. 2 2 - 8 4 Comparación de los modelos de película y de
penetración para evaporacidn no estacionaria ett un
tubo largo 837
Ej. 22.8-5 Polariuzción de concentración en
ultrafiltrnción 838
522.9. Aproximaciones matriciales para transporte de
materia de varias componentes 842
Preguntas para discusión 849
Problemas 849
Capitulo 23 Balances macroscópicos en sistemas
de varias componentes 853
323.1 Balances macrosc6picos de materia 854
Ej. 23.1-1 Disposición de un producto de desecho no
estacionario 855
Ej. 23.1-2 Partidores de muestras binarios 857
Ej. 23.1-3 Balances macroscdpicos, "capacidad
separathra" y la "función de valor" de Dirac 859
Ej. 23.1-4 Análisis por compartimientos 862
Ej. 23.1-5 Constantes de tiempo e insensibilidad
al modelo 865
s23.2' Balances macrosc6picos de cantidad de
moviiniento y de cantidad de movimiento
angular 868
s23.3 Balance macroscópico de energía 868
923.4 Balance macroscópico de energía mecánica 869
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado estacionario 869
Ej. 23.5-1 Balances de energúl para un convertidor de
dióxido de azufre 869
E). 23 .S-2 Altura de una torre de abcorcidn
de relleno 872
Ej. 23.5-3 Cascadas lineales 877
Ej. 23.54 Expansión de una niacla degases reacfivn a
través de una boquiILa adiabática sin fricción 881
523.6" Uso de los balances macrosc6picos para resolver
problemas de estado no estacionario 884
Ej. 23.6-1 Puesta en marcha de un reactor
químico 884
Ej. 23.6-2 Ope~aciónde una columna de ell le no en
estado no estacionario 885
Ej. 23.6-3 Utilidad de los monlentos de orden
bajo 889
Preguntas para discusión 892
Problemas 892
Capitulo 24 Otros mecanisinos del transporte
de materia 899
524.1 Ecuación de variación para entropia 900
524.2. Expresiones de densidad de flujo para calor
y materia 902
Ej. 24.2-1 Difusidn termica y la columnu de ClusiusDickel 906
Ej. 24.2-2 Di@si6n de presión
y la ultracen frifugadora 908
924.3' Difusión de concentración y fuerzas
impulsoras 910
924.4' Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas
de Maxwell-Stefan 912
Ej. 24.4-1 Centrifugado de profefnas 913
Ej. 24.4-2 Proteínas como partículas
hidrodindmicas 916
Ej. 24.4-3 Difusión de cales eví una solucidn
acuosa 917
Ej. 24.4-4 Desviaciones con respecfo a la
elecfroneutralidad local: electrodsrnosis 919
Ej. 24.4-5 Fuerzas impulsoras adicionales de
transferencia de materia 921
524.5" Transporte de materia a través
de membranas selectivamente
permeables 923
Ej. 24.5-2 Difusidn de concentracidn entre fases
z7olumAricas mayores preexistentes 926
Ej. 24.5-2 Ulftafiftracióny ósmosis inversa 928
Ej. 24.5-3 Membranas cargadas y exclusidn de
Donnan 930
s24.6' Transporte de masa en medios
porosos 932
E j . 24.6-1 Difusión de Knudsen 934
Ej. 24.6-2 Transporte desde una solución binaria
externa 937
Preguntas para discusión 938
Problemas 939
Epílogo 945
xiv
Contenido
Apéndice C Temas matemáticos 1001
A peiid ices
Apéndice A Notación vectorial y tensorial
947
C .
Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y
sus soluciones 1001
Expansión de funciones en serie de Taylor 1002
Diferenciación de integrales
(fórmula de Leibniz) 1003
La función gamma 1004
Las funciones hiperbólicas 1005
La función de error 1006
Operaciones vectoriales desde un punto de vista
geométrico 948
operaciones vectoriales en términos de
componentes 951
Ej. A.2-1 Wernostrnci6n de una identidad
vecforial 955
Operaciones tensoriales en términos de
componentes 956
operaciones diferenciales para vectores
y tensores 962
Ej. A.4-1 Probar una identidad tensorial 966
Teoremas integrales para vectores y tensores 968
Álgebra d e vectores y tensores en coordenadas
curvilíneas 970
Operaciones diferenciales en coordenadas
curvilíneas 974
Ej. A.7-I Operaciones diferenciales en coordenadas
cilindricas 977
Ej. A.7-2 Operaciones diferenciales en coordenadas
esféricas 984
Operaciones integrales en coordenadas
curvilíneas 986
Comentarios adicionales sobre la notación
vector-tensor 988
5C.2
5C.3
Apéndice B Densidades de flujo y las ecuaciones
de variación 991
5E.2
Ley de viscosidad de Newton 991
Ley de conducción de calor de Fourier 993
(Primera) Ley de Fick de la difusión binaria 994
La ecuación de continuidad 994
5B.5 La ecuación de movimiento en términos de T 995
3B.6 La ecuación de movimiento para un fluido
newtoniano con p y p constantes 996
58.7 La función de disipación m, para fluidos
newtonianos 997
50.8 La ecuación de energía en términos de q 997
5B.9 La ecuación de energía para fluidos newtonianos
puros con p y k constantes 998
5B.10 La ecuación de continuidad para la especie a en
términos de j, 998
gB.11 La ecuación de continuidad para la especie A en
términos de wA para p%AB constante 999
Apéndice F
1
sB.2
5B.3
gB.4
5C.4
5C.5
5C.6
Apéndice D La teoría cinética de los gases 1007
D .
5D.2
5D.3
5D.4
5D.5
5D.6
5D.7
Ecuación de Boitzmann 1007
Ecuaciones de variación 1008
Expresiones moleculares para las densidades
de flujo 1009
Soluci6n de la ecuación de Boltzmann 1009
Las densidades de flujo en términos de las
propiedades de transporte 1010
Las propiedades de transporte en términos de
las fuerzas intermoleculares 1010
Comentarios finales 1011
Apéndice E Tablas para predicción de
propiedades de transporte 1013
E
§El
5F.2
5F.3
Parámetros y propiedades críticas de la fuerza
intermolecular 1014
Funciones para la predicción de propiedades
de transporte de gases a bajas densidades 1016
Constantes y factores de
conversión 1017
Constantes matemáticas 1017
Constantes físicas 1017
Factores de conversión 1018
Notación 1023
Índice de autores 1029
Índice temático 1037
Capítulo 0
El tema de los fenómenos de transporte
0 .
¿Qué son los fenómenos de transporte?
50.2
Tres niveles en los que es posible estudiar los fenómenos de transporte
w.3
Las leyes de conservación: un ejemplo
50.4
Comentarios finales
El propósito de este capitulo introductono es describir el alcance, los objetivos y los
métodos del tema de los fenómenos de transporte. Es importante tener una idea
acerca de la estructura del campo antes de entrar en los detalles; sin esta perspectiva no es posible apreciar los principios unificadores del tema y la interrelación de
los diversos temas individuales. Para entender muchos procesos en ingeniería, agricultura, meteorología, fisiología, biología, química analítica, ciencia de materiales,
farmacia y otras áreas, es esencial tener una buena comprensión de los fenómenos
de transporte. Tales fenómenos constituyen una rama bien desarrollada y eminentemente útil de la física que trasciende muchas áreas de la ciencia aplicada.
0 .
¿QUÉ SON LOS FENÓMENOSDE TRANSPORTE?
El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente
relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia.
La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento,la transmisión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia
estudia el transporte de materia de varias especies químicas. En un nivel introductorio, estos tres fenómenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes
razones:
A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, biológicos, agrícolas y meteorológicos; de hecho, el desarrollo de cualquier proceso de transporte en forma individual es la excepción, más que la regla.
Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están
bastante relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones
simples es la base para resolver problemas "por analogía".
Las herramientas matemáticas necesarias para describir estos fenómenos son
muy semejantes. Aunque el propósito de este libro no es enseñar matemáticas, se pedirá al estudiante que revise varios temas matemáticos a medida
que se avanza. Aprender cómo aplicar las matemáticas puede ser un resultado indirecto bastante útil del estudio de esta materia.
Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenómenos de transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está
2
Capitulo O
El tema de los fenómenos de transporte
hecha de moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares
son responsables de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión.
Los objetivos principales de este libro son proporcionar una visión completa y balanceada del campo de los fenómenos de transporte, presentar las ecuaciones fundamentales de la materia y mostrar corno usarlas para resolver problemas.
Hay numerosos y excelentes tratados sobre dinámica de fluidos, transmisión de
calor y transferencia de materia. Además, hay muchas revistas de investigación dedicadas a estos temas individuales e incluso a subcampos especializados. El lector
que domine el contenido de este libro estará en posibilidad de consultar tratados y
revistas, y abordar con mayor profundidad otros aspectos de la teoría, técnicas experimentales, correlaciones empíricas, métodos de diseño y aplicaciones. Es decir, este
libro no debe considerarse como la presentación completa del tema, sino más bien como un escalón para llegar a la abundancia de conocimientos que está más allá.
90.2
TRES NIVELES EN LOS QUE ES POSIBLE ESTUDIAR
LOS F E N ~ M E N O DE
S TRANSPORTE
En la figura 0.2-1 se muestra el diagrama de un sistema grande; por ejempjo, una
pieza de equipo grande a travQ de la cual fluye una mezcla de fluido. El transporte de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular
se pueden describir en tres niveles distintos.
Nivel macroscópico (figura 0.2-la). En este nivel se anota un conjunto de ecuaciones denominadas "balances macroscópicos", que describen cómo cambian la materia, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular en
el sistema debido a la introducción y eliminación de estas entidades por las corrientes que entran y salen, y también debido a otras entradas al sistema provenientes del
entorno. No se hace ningún intento por comprender todos los detalles del sistema.
A1 estudiar un sistema de ingeniería o uno biológico es conveniente empezar con esta descripción rnacroscópica a fin de hacer una valoracián global del problema; eii
algunos casos todo lo que se requiere es esta visión general.
Nivel microscópico (figura 0.2-16). En este nivel se analiza lo que esta ocurriendo a
la mezcla de fluido en una pequeña región dentro del equipo. Se anota un conjunto
de ecuaciones denominadas "ecuaciones de variación", que describen cómo la materia, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular cambian dentro de esta pequeña región. El objetivo aquí consiste en obtener información
Q = calor añadido al sistema
A
'
1
'
W, = trabajo realizado sobre el
sistema por el entorno
por medio de partes móvikes
Figura 0.2-1 a) Sistema
de flujo macroscí>pico
que contiene N2 y 02;
b) región microscópica
dentro del sistema
macrciscópico que contiene N i y 02,que se
encuentran en estado de
flujo; C ) colisiún entre
una molécuIa de N, y una
molécula de Q1.
50.2
Tres niveles en los que es posible estudiar los fen6menos de transporte 3
, acerca de la velocidad, la temperatura, la presión y los perfiles de concentración den-
tro del sistema. Esta información más detallada puede ser necesaria para comprender
algunos procesos.
Nivel molecular (figura 0.2-112).
En este nivel se busca una comprensión fundamental de los mecanismos de transporte de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular en términos de la estructura molecular y las
fuerzas intermoleculares. En general éste es el dominio del físico teórico o del físico
químico, aunque hay ocasiones en que los ingenieros y los científicos aplicados deben participar en este nivel. Esto es particularmente cierto si los procesos que se están estudiando implican moléculas complejas, intervalos extremos de temperahra
y preción, o sistemas químicamente reactivos.
Debe resultar evidente que estos tres niveles de descripción suponen diferentes
"escalas de longitud": por ejemplo, en un problema industrial tipico, en el nivel macroscópico las dimensiones de 10s sistemas de flujo pueden ser del orden de centímetros o metros; el nivel microscópico implica lo que está ocurriendo en el intervalo
de micras a centímetros; y los probgemas en el nivel molecular contemplan internalos aproximados d e 1 a 1000 nanómetros.
Este libro está dividido en tres partes que tratan lo siguiente:
Flujo de fluidos puros a temperatura constante (haciendo énfasis en el transporte viscoso y convectivo de cantidad de movimiento): capítulos 1 a 8.
Flujo de fluidos puros con temperatura variable (haciendo énfasis en el transporte de energía conductivo, convectivo y radiactivo): capítulos 9 a 16.
Flujo de mezclas de fluidos de composición variable (haciendo énfasis en el
transporte difusivo y convectivo de materia): capítulos 17 a 24.
Es decir, avanzamos desde los problemas más simples hasta los más difíciles. En cada una de estas partes comenzamos con un capitulo inicial que aborda algunos resultados de la teoría molecular de las propiedades de transporte (viscosidad,
condudividad térmica y difusividad). En seguida procedemos al nivel microscópico
y aprendemos cómo determinar la velocidad, la temperatura y Ios perfiles de concentración en varios tipos de sistemas. La discusión concluye con el nivel macroscópico y la descripción de grandes sistemas.
A medida que se avance en el análisis, e1 lector apreciará que existen muchas relaciones entre los niveles de descripción. Las propiedades de transporte especificadas en la teoría molecular se usan en el nivel microscópico. Además, las ecuaciones
que se desarrollan en el mismo nivel son necesarias para proporcionar alguna información inicial a la solución de problemas en el nivel macroscópico.
También hay relaciones entre las tres áreas de transporte de cantidad de movimiento, energía y materia. Al aprender cómo resolver problemas en un áxea, también
se aprenden las técnicas para resolverlos en otra. Las semejanzas de las ecuaciones en
las tres áreas significan que en muchos casos es posible resolver un probIema "por
analogia"; es decir, tomar una solución directamente de un área y, carnbianGr, luego
los símbolos en las ecuaciones, anotar la solución de un problema en otra área.
EI estudiante encontrará que estas relaciones - e n t r e niveles y entre los diversos fenómenos de transporte- refuerzan el proceso de aprendizaje. A medida que
se pasa de la primera parte del libro (transporte de cantidad de movimiento) a la segunda (transporte de energía), y luego a la tercera (transporte de materia), la historia será muy parecida, pero los "nombres de los jugadores" cambiarán.
En la tabla 0.2-1 se muestra la disposición de los capítulos en forma de una "matriz'' de 3 x 8. Un rápido vistazo a la matriz deja muy claro qué tipos de interrelacio-
4
Capítulo O
El tema de los fenómenos de transporte
Tabla 0.2-1 Organización de los temas en este libro
Tipo de transporte
Cantidad de
movimiento
Energía
Materia
Transporte debido al
movimiento
molecular
1 Viscosidad y el
tensor de esfuerzo
(densidad de flujo
de cantidad de
movimiento)
9 Conductividad
térmica y el vector
de densidad de
Aujo de calor
17 Difusividad y los
vectores de
densidad de flujo
de materia
Transporte en una
dimensión (métodos
de balances de
envoltura)
2 Balances de
10 Balances de
envoltura de
energía y
distribuciones de
temperatura
18 Balances de
Transporte en
medios continuos
arbitrarios (uso de
las ecuaciones
generales de
transporte)
3 Ecuaciones de
variación y su uso
[isotérmicasl
11 Ecuaciones de
variación y su uso
[no isotérmicas]
19 Bcuaciones de
Transporte con dos
variables
inde~endientes
r,inétodos especiales)
4 Transporte d e
12 Transporte de
energía con dos
variables
independientes
20 Transporte de
materia con dos
variables
independientes
Transporte en flujo
turbulento y
propiedades de
zransporte de
remolino
5 Transporte
13 Transporte
21 Transporte
Transporte a través
de límites de fases
6 Factores de
Transporte en
grandes sistemas,
como piezas de
equipo o partes de
este
Transporte por
medio de otros
mecanismos
envoltura de la
cantidad de
movimiento y
distribuciones de
velocidad
cantidad de
movimiento con
dos variables
independientes
turbulento de
cantidad de
movimiento;
viscosidad de
remolino
turbulento de
energía;
conductividad
térmica de
remolino
envoltura de
materia y
distribuciones de
concentración
variación y su uso
[mezclas]
turbulento de
materia;
difusividad de
remo1ino
14 Coeficientes de
transmisión de
calor; uso de
correlaciones
empíricas
22 Coeficientes de
7 Balances
macroscópicos
[isotérmicos]
15 Balances
23 Balances
macroscópicos
[mezclas]
8 Transporte de
16 Transporte de
fricción; uso de
correlaciones
empíricas
cantidad de
movimiento en
líquidos
poliméricos
macroscópicos
[no isotérmicosl
energía por
radiación
transferencia de
materia; uso de
correIaciones
empíricas
24 Transporte de
materia en
sistemas de varios
componentes;
efectos cruzados
nes pueden esperarse en el transcurso del estudio del libro. Recomendamos estudiar los
temas por columnas, en particular para cursos de pregrado. Para bs estudiantes de posgrado, p r otra parte, hacer e1 estudio de los temas por renglones puede ser una oportunidad para reforzar las relaciones entre las tres áreas de los fenómenos de transporte.
g0.3
Las leyes de conservación: un ejemplo 5
En los tres niveles de descripción -molecular, microscópico y macroscópico-,
las leyes de conservación desempeñan un papel fundamental. La obtención de las leyes de conservación para sistemas moleculares es directa e instructiva. Con física
elemental y un mínimo de matemáticas es posible ilustrar los conceptos principales
y revisar cantidades físicas clave que se encontrarán a lo largo de este libro. Ese es
el tema de la siguiente sección.
El sistema que consideramos es el de dos moléculas diatómicas que chocan. Para facilitar las cosas, suponemos que las moléculas no interactúan químicamente y que cada una d e ellas es homonuclear; es decir, que sus núcleos atómicos son idénticos. Las
moléculas están en un gas a baja densidad, de modo que no es necesario considerar
interacciones con otras moléculas en el entorno. En la figura 0.3-1 se muestra la colisión entre las dos moléculas diatómicas hornonucleares, A y B, y en la figura 0.3-2 se
muestra la notación para especificar las ubicaciones de los dos átomos de una molécula por medio de vectores de posición trazados desde un origen arbitrario.
En realidad, la descripción de eventos que ocurren a nive1 atómico y molecular
debe hacerse usando mecánica cuántica. Sin embargo, excepto para las moléculas
más ligeras (H2 y He) a temperaluras menores que 50 K, la teoría cinética de los gases puede desarrollarse con bastante precisión por medio de la mecánica clásica.
Antes y después de una colisión deben mantenerse varias relaciones entre cantidades. Tanto antes como después de la colisión se supone que las moléculas están
lo suficientemente distanciadas, de modo que las dos moléculas son incapaces de
"percibir" la fuerza intermolecular entre ellas; más allá de una distancia aproximada de 5 diámetros moleculares se sabe que la fuerza intermolecular es despreciable.
Las cantidades después de la colisión se indican con primas.
a) Según la ley de conservación de la materia, la materia total de las moléculas que
entran a la colisión y salen de ésta debe ser igual:
Aquí rnA y rnB son las masas de las molécuIas A y B. Debido a que no hay reacciones
químicas, las masas d e las especies individuales también se conservan, de modo que
,,@--\
k.,
-"O
Molécula A antes de la colisión
1.
:
1
/
i
l
/
/
/
/
/
Molécula B antes de la colisióii
L
\
\
'\'\
Molécula B después de la coli51on
Molécula A después de la colisión
Figura 0.3-1 Colisión entre moléculas diatómicas
hornonucleares, como Nz y O2 La molécula A está
compuesta por dos
átomos, A l y A2
La molécula B está
compuesta tarnbih
~1
Dc,r
dos
r
y H2.
6 Capitulo O El tema de los fenbmenos de transporte
O
Origen arbitrario
fijado en ei espacio
Figvra 0.3-2 Vectores de posición para
los átomos A l y A2 en la molécula A.
b) Según la ley de conseniación de la cantidad de movimiento, la suma de las cantidades de movimiento de todos los átomos antes de la colisión debe ser igual a la correspondiente después de la colisi6n, de modo que
donde rAl es el vedor de posición para el átamo 1d e la molécula A, y fAl es su velocidad. Luego se escribe rAl = FA + RAl, de modo que rAl está escrito como la suma
del vector de posición para el centro de masa y el vector de pasición del átomo respecto al centro de masa, y se reconoce que RA2 = -RAr; las mismas relaciones también se escriben para los vectores de velocidad. Asi, podemos volver a escribir la
ecuación 0.3-3 como
Es decir, el planteamiento de conservación puede escribirse en términos de las masas y velocidades moleculares, y las cantidades at6micas correspondientes pueden
eliminarse. Para obtener la ecuación 0.3-4 se usó la ecuación 0.3-2 y el hecho de que
para moléculas diatómicas hornonucleares se cumple que mAl = nzA2 = mA.
C) Se@
la ley de conservacidn de la energia, la energía del par de moléculas que
chocan debe ser la misma antes y después de la colisi6n. La energía de una moiécula aislada es la suma de las energías cinéticas de los dos átomos y la energía potencial interatómica,
que describe la fuerza del enlace químico que une los dos
átomos I y 2 de la molécuia A, y es una función de la distancia interatómica I rA;! rAl 1 . En consecuencia, la conservación de la energía lleva a lo siguiente:
Nótese que utilizamos la notación estándar abreviada de que*l = (tAl fAl). Luego
escribimos la velocidad del átomo 1 de la molécula A como la suma de la velocidad
del centro de masa de A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; es decir,
kAl = tA+RAI . Así, 4 ecuación 0.3-5 se convierte en
donde uA = $ mA1Ri1+ mA2R& + # A es la suma de las energías cinéticas de los átomos, referida al centro de masa de la molécula A, y el potencial interat6mico de la mo-
90.4
Comentarios finales 7
léala A. Es decir, la enex@ de cada molécuia se divide en su energía &ética respecto
a coordenadas fijas y en h energla interna de la mol6cda (que h l u y e sus energías de
vibración, rotadonal y potencial). La w d 6 n 0.3-6 hace evidente que ias energías cinéticas de k
i inolécuiasque chocan pueden transformarse en energía intema o viceversa.
Esta idea de un intercambio entre en*
cinbtica y energía interna surgir6 de nuevo
d
o analicemos las daames de energía m los niveles micmc6pico y m a m p m .
d) Pot iíltimo, la ley de conservación de la cantidad de movimiento altgular puede
apiicarse a una colisión para obtener
donde X se usa para indica el producto cruz de dos vectores. Luego & introducen
los vectores de centro de maca y de pusici6n relativa y los vectores de velocidad como antes, y obtenemos:
es la suma de 10s momentos de cantidonde lA= [ R x~mAjtAl]
~
+ IR, x
dad de movimiento angular de los Atomos referida a un origen de coordenadas en
el centro de masa de h-molécula; es decir, la "cantidad de movimiento angular fnterno". El punto importante es que existe la posibilidad de intercambio entre la cantidad de movimiento angular de las moléculas (respecto al origen de coordenadas)
y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la molécula). Más tarde se hará referencia a este hecho en relación con la ecuación de variación para la cantidad de movimiento angular.
Lac leyes de conse~ación,se&n se aplican a colisiones de moléculas mon~atdmicas, pueden obtenerse a partir de los resultados anteriores como sigue: las ecuaciones 0.3-1,032 y 0.3-4 son aplicables directamente; la ecuación 0.3-6es aplicable si
se omiten las contribuciones de en+
intema; y Ia ecuación 0.3-8 puede usarse si se
descartan los términos de la cantidad de movimiento angular interno.
Una parte importante de este libro estii relacionada con el establecimiento de las
leyes de conservaci6n en los niveles microscópico y macroscópico y su aplicación a
problemas de interés en ingenie& y ciencias. El anáIisis anterior debe proporcionar
un entorno aceptable para emprender esta tarea. Para repasar las leyes de conservación por especie para materia, cantidad de movimiento y energia en los niveles microscópico y macroscópico, consdte las tablas 19.2-1 y 23.5-1.
.4 COMENTARIOS FINALES
Para utilizar de manera inteligente los balances macroscópicos, es necesario valerse
de informaci6n sobre transporte de interface que proviene de las ecuarione~de variación. Pata usar estas ecuadones se requieren las propiedades de transporte, que
est6n descritas por vanas teorias moleculares. En consecuencia, desde el punto de
vista de la enseñanza, parece mejor comenzar en el nivel molecular y progresar hacia sistemas m6s grandes.
Todos los tratamientos teóricos van acompañados de ejemplos pafa ilustrar rómo la teoria se aplica a la solución de problemas. Al final de cada capitulo se precenan probIemas para reforzar las ideas desarrolladas en el capítulo. Los problemas
e s t h agrupados en cuatro clases:
8
Capítulo O El tema de los fenómenos de transporte
Clase A: problemas numéricos, diseñados para destacar ecuaciones importantes del texto y para desarrollar sensibilidad respecto a los órdenes de
magnitud.
Clase B: problemas analíticos que requieren realizar deducciones elementales
aplicando conceptos fundamentales del capítulo.
Clase C: problemas analíticos más avanzados que pueden requerir consultar
los conceptos d e otros capítulos o d e otros libros.
Clase D: problemas que requieren habilidades matemáticas intermedias.
Muchos de los problemas y ejemplos ilustrativos son más bien elementales en el
sentido de que implican sistemas demasiado simplificados o modelos muy ideales.
No obstante, es necesario empezar con estos problemas elementales para entender
cómo funciona la teoría y adquirir confianza en su empleo. Además, algunos d e estos problemas pueden ser muy útiles para reaLizar estimaciones sobre el orden d e
magnitud en problemas complejos.
A continuación se presentan algunas sugerencias para estudiar el tema d e los fenómenos de transporte:
Leer siempre e1 libro teniendo lápiz y papel a la mano; trabajar todos los detalles de los desarrollos matemáticos y anotar los pasos faltantes.
Siempre que sea necesario, consultar los textos de matemáticas para repasar
cálculo, ecuaciones diferenciales, vectores, etc. Ésta es una oportunidad excelente para repasar los contenidos matemáticos aprendidos previamente (aunque quizá no con tanto cuidado como debió haber sido).
Empeñarse en interpretar físicamente 10s resultados clave; es decir, adquirir
el hábito de relacionar las ideas físicas con las ecuaciones.
Preguntar siempre si los resultados parecen razonables. Si los resultados no
coinciden con la intuición, es importante descubrir cuál es el error.
Acostumbrarse a comprobar las dimensiones d e todos los resultados. Ésta es
una muy buena manera de ubicar errores en las deducciones.
Esperamos que el lector comparta nuestro entusiasmo por el tema de los fenómenos
de transporte. Para dominar la materia se requerirá algo d e esfuerzo, pero las recompensas merecerán el tiempo y la energía invertidos.
¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y
energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades?
¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, trabajo y momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas canti-
dades?
Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4.
Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación
0.3-5.
Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afecta este hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación?
Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular.
'Qué se entiende por energía interna?, ¿y por energía potencial?
La ley de conservación de la materia, jsiempre es válida? ¿Cuáles son sus limitaciones?
Capítulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte
de cantidad de movimiento
91.1
Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento rnolecular)
512
Generalizaci6n de la ley de viscosidad de Newton
1.3
Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura
51.4"
Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
51.5"
Teoría molecular de la viscosidad de líquidos
91.6"
Viscosidad de suspensiones y de emulsiones
51.7
Transporte de cantidad de movimiento convectivo
La primera parte de este libro trata acerca del flujo de fluidos viscosos. Para fluidos de
peso molecular bajo, la propiedad física que caracteriza la resistencia a fluir es la viscosidad. Cualquiera que haya comprado aceite para motor sabe que algunos aceites
con más ''viscosos'' que otros y que la viscosidad es una función de la temperatura.
Empezamos en 91.1 con el flujocortante simple enfxe láminas paralelas y analizamos cómo la cantidad de movimiento se transfiere a través del fluido por acción viscosa. Éste es un ejemplo elemental de transporte de cantidad de movimiento molecular y
sirve para introducir la "ley de viscosidad de Newton" junto con la definición de viscosidad p. Luego, en 51.2 mostramos cómo es posible generalizar la ley de Newton
para patrones de flujo arbitrarios. Los efectos de la temperatura y la presión sobre
la viscosidad de gases y líquidos se resumen en 91.3 por medio de una griSfica adimencional. A continuación, s1.4dice cómo las viscosidades de los gases pueden calcularse a partir de la teoría cinética de los gases, y en 91.5 se proporciona un análisis
semejante para los líquidos. En s1.6 se presentan algunos comentarios sobre la viscosidad de suspensiones y emukiones.
Por último, en s1.7 se muestra que la cantidad de movimiento también puede
transferirse por el movimiento volumétrico (global) del fluido y que tal fransporfede
la cantihd de movimiento convectiva es proporcional a la densidad p del fluido.
51.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTEDE CANTIDAD
DE MOVIMIENTO MOLECULAR)
En la figura 1.1-1se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, separadas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea
un gas o un líquido. Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O
la placa inferior se pone en movimiento en la dirección x positiva a una velocidad
constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario
que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es
12 Capitulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Fluido inicialmente
e n reposo
t=o
Placa inferior puesta
e n movimiento
q
t pequeño
Figura 1.1-1 Formación del perfil de velocidad laminar
estacionario para u n
fluido contenido entre
dos placas. El flujo se
denomina "laminar"
porque las capas adyacentes del fluido ("láminas") se deslizan
una sobre otra de manera ordenada.
Formación d e la velocidad
en flujo no estacionario
e
Distribución final
t grande
d e velocidad para
flub estacionario
el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste
con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una licuadora a gran velocidad). Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado estacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza
constante 1". El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue:
Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad.
Ahora volvamos la atención a la notación que se utilizará a lo largo del texto.
Primero sustituimos F/A por el símbolo T ~ que
~ es
, la fuerza en Ia dirección x sobre
un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V / Y se sustituye
por -dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en
Esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional
al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de
N e ~ f o nEn
. ~realidad no debemos referirnos a la ecuación 1.1-2 como una "ley", ya
' Algunos autores escriben la ecuación 1.l-2 en la fonna
donde .ryx[=] Ibf/pi& v, [=] pie/s, y [=] pie y p [=] lb,/pie . S; la cantidad g, es el "factor d e conversión gravitaciorial"
con el valor de 32.174 poundals/lb En este libro siempre usaremos la ecuación 7.1-2 en vez de la ecuación 1.1-2a.
f'
Sir isaac Newton (1643-1723, profesor en la Universidad de Cambridge y luego director de la Casa de
Moneda, fue el fundador de la mecánica cldsica y contribuyó también a otros campos d e la física. En realidad, la
ecuación 1.1-2 no aparece en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica d e Sir Isaac Newton, aunquc la idea
seminal está presente ahí. Para comentarios ilustrativos, véase D.J. Acheson, Eleincntn y Fluid Qnainics, Oxford
University Press, 1990, @.l.
51.1
Ley de viscosidad de Newton (transportede cantidad de movimiento moiecular) 13
que Newton la sugirió como un empirismo:3 la proposición más simple que puede
hacerse para relacionar el esfuerzo y el gradiente de velocidad. Sin embargo, se ha
encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y líquidos con peso molecular menor que aproximadamente 5000 está descrita por la ecuación 1.1-2, y tales fluidos se denominan fluidos nautonianos. Los líquidos poliméricos -suspensiones,
pastas, lechadas (lodos) y otros fluidos complejos- no son descritos por la ecuación
1.1-2 y se denominan fluidos no newtonianos. Los líquidos poliméricos se describen
en el capítulo 8.
La ecuación 1.1-2 puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la superficie sólida en movimiento en y = O el fluido adquiere cierta cantidad de movimiento en la dirección x. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de
movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movimiento en la dirección x. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la dirección x se
transmite a través del fluido en la dirección y positiva. En consecuencia, rF también
puede interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de la dirección x,
en la dirección y positiva, donde el término "densidad de flujo" (fIux) significa "flujo
por área unitaria". Esta interpretación es consistente con la representación molecular de transporte de cantidad de movimiento y con las teorías cinéticas de los gases
y los líquidos. También está en armonía con el tratamiento análogo que se da más
adelante para la transmisión de calor y el transporte de materia.
La idea planteada en el párrafo anterior puede parafrasearse afirmando que la
cantidad de movimiento va "cuesta abajo" desde una región de alta velocidad hacia
una región de baja velocidad: de la misma forma en que un trineo se desliza cuesta
abajo desde un lugar elevado hasta otro más bajo, o como fluye el calor de una región
de alta temperatura a una región de baja temperatura. En consecuencia, e1 gradiente de velocidad puede entenderse como una "fuerza impulsora" del transporte de
cantidad de movimiento.
En lo que sigue, algunas veces nos referiremos a la ley de Newton de la ecuación 1.1-2 en términos de fuerzas (lo cual recalca la naturaleza mecánica del tema),
y otras veces en términos de transporte de cantidad de movimiento (lo cual recalca
las analogías con el transporte de calor y de materia). Este punto de vista dual probará su utilidad en las interpretaciones físicas.
A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v para representar
la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así,
Esta cantidad se denomina viscosidad cincmáfica.
A continuación se exponen algunos comentarios sobre las unidades de las cantidades que se han definido. Si el significado del símbolo [=] es "tiene unidades de",
~ v , I=l m/s y y [=1 m, de moentonces en el sistema SI se tiene que % I=l ~ / r =nPa,
do que
ya que las unidades en ambos miembros de la ecuación 1.1-2deben coincidir. En la
tabla 1.1-1se resume lo anterior y también se proporcionan las unidades para los sis3Una relación de la forma de la ecuación 1.1-2proviene de la teoría cinéiica simple de los gases (ecuación 1.4-7).
No obstante, una teoría rigurosa para gases bosquejada en el apéndice D hace evidente que la ecuación 1.1-2surge como
el primer término en una expansión, y que es de esperar la aparición de términos adicionales (de orden superior).También, incluso una tmría cinética elemental de ios Líquidos predice un comportamientono newtoniano (ecuación 1.5-6).
14
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.1-1 Resumen de unidades para cantidades
relacionadas con la ecuación 1.1-2
SI
E*.
pa
m/s
m
Pa-S
Y
m2/s
ryx
ei,
Y
Inglés
%S
dina/cm2
cm/s
cm
gm/cm-s=poise
cm2/s
poundals/piez
pie / S
pie
Ib,/pie.s
pie2 / S
Nota: el pascal, Pa, es lo mismo que N/m2; y el newton, N,
es lo mismo que kg . m/s2. La abreviatura de "centipow" es "cp".
temas cgs e inglés. Las tablas de conversibn del apéndice F seren muy útiles para resolver problemas numéricos que implican diversos sistemas de unidades.
Las viscosidades de los fluidos varían sobre muchos órdenes de magnitud, con
la viscosidad del aire a 20°C igual a 1.8 X lod5Pa S y la del glicerol aproximadamente de 1 Pa . s, donde algunos aceites de siiicón son aún mds viscosos. En las tablas 1.1-2,l.l-3 y 1.1-4 se muestran datos experimentaIes4para fluidos puros a 1atm
de presión. Nótese que para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que para líquidos la viscosidad suele disminuir con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es
transportada por las moléculas en vuelo Iibre entre coIisiones, pero en los iiquidos
el transporte se Ueva a cabo predominantemente en virtud de las fuerzas intermoleculares que experimentan pares de moléculas a medida que serpentean aleatoria-
Tabla 1.1-2 Viscosidad de1 agua y del aire a 1 atm de presión
Agua (Ilq.1'
Temperatura
T(o0
Viscosidad
dmPa S)
.
Aireb
Viscosidad cinembtica Viseasidad
v(cmZ/s)
p(mPsr S)
.
Viscosidad cinemática
vlcm2/s>
<alculados a partir de los resultadas de R.C. Hady y R,L.Cattington, 1.Research Npt, BUT,Standarda, U ,
573-578 (1949); y J.E Gwidellc, J.R. Coe, Ir,, y T.B, Gd&y,J. Reaearch Ngt. Bur, Stanáard@,48,l-31 (1952),
Calculados a partir de "Tables of Themal PmperHes of Gaeee", Npfional B~reuuo! Standarda Circular
464 (1955), capitula 2.
-
~
'Unít extensa representaciónde técnicas experimentalespara medir propiedades de transporte puede encontrarse en W.A. Wakeham, A. Nagashima y J. V. Sengers, Measuremenf of Ihe Transpart Pmperties of Ffuids, CRC Press, h a
Ratón, Fla. (1991). Las fuentes de datos experimentales son: Landolt-Bomtein, Zuhlenwute und Funktionen, Vol. II,5,
Springer (19681969);Intrmational Cn'fical Ibbles, McGraw-HU, Nueva York (1926);Y.S. Touloukian, P.E.Liley y S.C.
Saxena, Thermophysical Pmperties of Matter, Plenum Pmss, Nueva York (1970);y también numerosos manuales de química, fs~ca,dinámica de fluidos y transmisión de calor.
s1.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento molecular) 15
Tabla 1.1-3 Viscosidades de alanos p;asesY líquidos a presión atrnosf6ricaa
Gases
Temperatura
V°C)
Viscosidad
p(mPa . S)
i-C4Hlo
23
23
20
100
20
20
20
380
0.0076c
0.0153
0.0109b
0.01211d
0.0146~
0.0175~
0.0204
0.0654~
sh
Ch
H20
CQ
N2
0,
Hg
Líquidos
(Cz&)20
C6H6
Br2
Hg
C2H50H
H2m4
Glicerol
Temperatura
T("C)
Viscosidad
,u(mPa S)
O
25
20
25
20
O
25
50
25
25
0.283
0.224
0.649
0.744
1.552
1.786
1.074
0.694
25.54
934
Vaiores tomados de N.A. Lange, Handbook of Chemisty, McGraw-Hill, Nueva York,15a ed. (19991,
tabIas 5.16 y 5.18.
b H.L. Johnstony K.E. McKloskey, J. Phys. C . . , 44,1038-1058 (1940).
C CRC f i n d h k of Chemisty and Physics, CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1999).
d hndolt-Bornstein Zahlenwerfe und Funktionen, Springer (1969).
Tabla 1.1-4 Viscosidades de algunos metales
líquidos
Metal
Temperatura
T("C)
Viscosidad
da
S)
Datos tomados de The Reactor Handbwk, Vol. 2, Atomic
Energy Commission AECD-3646, U.S. Govemment
Printing Office,Washington, D.C.(mayo 1955),
p p 258 et seq.
mente en torno a sus vecinas. En s 1 . 4 y 1.5 se proporcionan algunos razonamientos de la teoría cinética elemental para explicar la dependencia de fa viscosidad con
respecto a la temperatura.
16
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Cdlcttlo de la densidad de
flujo de caiitidad de
movimiento
Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario ry, en
y/pies2 cuando la velocidad V de la placa inferior en la figura 1 .l-1es 1 pie/s en la direccion x positiva, la separación Y de las placas es de 0.001 pie y la viscosidad ,LL del fluido es 0.7 cp,
Debido a que T ~ se
, pide en unidades del sistema inglés, es necesario convertir la viscosidad
a ese sistema de unidades. Así, con ayuda del apéndice F se encuentra quep = (0.7cp)(2.0886
= 1.46 X 10-5 lbi ~ / ~ i eEls perfil
~ . de velocidad es lineal, de modo que
x
dv, - Av, - -1 .O pie / s
= -1 000s-1
dy
Ay
0.001 pie
Al sustituir en la ecuación 1.1-2 se obtiene
En la sección precedente Ia viscosidad se definió por medio de la ecuación 1.1-2, en
términos de un flujo cortante simple en estado estacionario en el que v, es una función sólo de y, y v y y v, son cero. Por lo general se tiene interés en flujos más complicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las
tres coordenadas y quizá del tiempo. En consecue~icia,es necesario contar con una
expresión más general que la ecuación 1.1-2, pero que pueda simplificarse a la ecuación 1.1-2 para fhjo cortante en estado estacionario.
Esta generalizaciiin no es sencilla; d e hecho, a los niatemáticos les llevó casi un
siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aquí todos los detalles de este desarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinámica de fluid0s.l
En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al
descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Ne~7ton.
Para hacerlo consideraremos un patrón de flujo muy general, donde Ia velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender
del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por
En esta situación, hay nueve componentes del esfuerzo r '1. .(donde i y j pueden asumir las designaciones .y, y y z), en vez de la componente r que aparece en la ecuación
'Y
1.l-2. En consecuencia, debemos comenzar por la definicion de estas componentes del
esfuerzo.
'
W Prager, Introducfíon to Mechanics of Conti?run,Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tcnsors, and the
Basic Equntions offiuid Mecknnics, Freiitice-Hall, Englewood CIiHs, N.J. (19621, pp. 30-34,99112; L. Landau y E.M.
Lifshitz, Fluid Mechanicc, Pergamon, Londres, 2a. edición (1987), pp. 44-45. Lev Davydavich Landau (1908-1968)
recibió e1 premio Nobei en 1962 por su obra sobre dinámica de heüo y dinámica de superfluidos.
51.2
Generalización de la ley de viscosidad de Newton
17
En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño elemento de volumen en forma de cubo dentro del campo de flujo, donde el área de cada cara es unitaria. El centro del
elemento de volumen está en la posición x, y, z. En cualquier instante es posible rebanar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su
interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en forma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posible preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada)
para sustituir la fuerza que ejercía sobre esta superficie el fluido que se ha eliminado. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada
con las fuerzas viscosas.
La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo
tanto, en (a) Ia fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector p8,;
es decir, ia presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario 6, en la dirección
x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) será pS Y' y en
(c) la fuerza será p6,. Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea estacionario, así como cuando esté en movimiento.
Las fuerzas viscosas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gradientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial
ni paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie (véase
la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por área unitaria ejercida sobre el
área sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por área unitaria T y 7,.
Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares!; por
ejemplo, 7, tiene las componentes T, rXy
y r,,. Por lo tanto, ahora es posible resumir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas de la
figura 1.2-1. Esta tabuIación es un resumen de las fuerzas por área unitaria (esfuerzos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presión termodinámica como por
-,
Figura 1.2-1 Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares
a los tres sistemas de coordenadas. Los planos sombreados tienen área unitaria.
18 Capítulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
los esfuerzos viscosos. Algunas veces serfi conveniente coniar con un símbolo que
incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definen
como sigue:
Aquí aii es la delta de Kronecker, que es 1 si i = j y cero si i # j.
Al igual que en la sección precedente, rii (y también 7)puede interpretarse en
dos formas:
+
la dirección j sobre un área unitaria perpendicular a la dirección i, donde se entiende que el fluido en la región de menor x i
ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor xi.
P..
= pS.- T. = fuerza en
11
'1
'1
P
1)
= POij + rii = densidad de flujo de la cantidad de movimiento j en la dirección i
positiva; es decir, de la región de menor xi a la de mayor xi.
En este libro se usan ambas interpretaciones;Ia primera es particularmente útil para describir las fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies sólidas. Los esfuer= p + rxx,T T =~p + T ~ rz7
, = p + +zz se denominan esfuerzos normales, mientras
zos rXx
= %,... se denominan esfuerzos cortantes.
que las cantidades restantes, % = Ty,rYZ
Estas cantidades, que tienen dos subíndices asociados con las direcciones de coordenadas, se denominan "tensores", así como las cantidades (como la velocidad) que
tienen un subíndice asociado con las direcciones de coordenadas se denominan
"vectores". En consecuencia, nos referiremos a T como el tensor de esfuerzo viscoso
(con componentes T..)
y a a como el tensor de esfuerzo molecular (con componentes
r!
m+). Cuando no hay posibilidad de confusión, los modificadores "viscoso'' y "molecular" pueden omitirse. En el apéndice A puede consultarse un análisis sobre vectores y tensores.
La cuestión ahora es, ¿cómo están relacionados estos esfuerzos T~~con los gradientes de velocidad en el fluido? Al generalizar la ecuación 1.1-2 se impusieron varias restricciones sobre los esfuerzos, como sigue:
Tabla 1.2-1 Resumen de las componentes del tensor de esfuerzo moiecular
(o tensor de densidad de cantidad de movimiento rnolecu1ar)a
Vector de fuerza
Componentes de las fuerzas (por área unitaria)
por área unitaria
que actúan sobre la cara sornbreada (componentes
sobre la cara
de la densidad de flujo de cantidad de movimiento
(densidad de flujo de cantidad
normal
a través de Ia cara sombreada)
de movimiento a través de la
a la cara
sombreada
cara sombreada)
Componente x
Componente y Componente z
Éstas se refieren como componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento
molecular" porque están asociadas con los movimientosmolecularec, según se analiza en 51.4y en el
apéndice D. Las componentes adicionales del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento
convectivo", asociadas con el movimiento volum&rico del fluido, se analizan en 51.7.
1
II
51.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton
19
Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad:
-
rij = -ZkCI Clijkl dnk
donde i, j, k, y 1 pueden ser 1.2 o 3 (1.2-3)
3Xl
Aquí las 81 cantidades piiwson "coeficientes de viscosidad". Las cantidades
x l , x, y x, en las derivadas denotan las coordenadas cartesianas x, y, z , y vl,
v2 y v3 son las mismas que u,, vy y u,.
Planteamos que las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto
al tiempo no deben aparecer en las expresiones. (Para fluidos viscoelásticos, como se analiza en el capítulo 8, las derivadas respecto al tiempo o las
integrales respecto al tiempo son necesarias para describir las respuestas
elásticas.)
No esperamos que esté presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuentra en un estado de rotación pura. Este requerimiento conduce a la necesidad
de que rij sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad. Por
esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinación de los gradientes
de velocidad permanece sin cambio. Puede demostrarse que las únicas combinaciones lineales simétricas de los gradientes de velocidad son
Si el fluido es icotrópico, es decir, si no tiene una dirección preferida, entonces los coeficientes enfrente de las dos expresiones en la ecuación 1.2-4 deben
ser escalares, de modo que
Así, ;hemos reducido el número de "coeficientes de viscosidad" de 81 a 2!
Por supuesto, queremos simplificar la ecuación 1.2-5 a la ecuación 1.1-2 para
la situación de flujo que se muestra en la figura 1.1-1.Para ese flujo elemental, la ecuación 1.2-5 se simplifica a r = A dv,/dy, y por lo tanto, la constante
YX
escalar A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad p .
Finalmente, por un acuerdo común asumido entre la mayoría de los especialistas en dinámica de fluidos, la constante escalar B se iguala a $ p - K , donde
K se denomina viscosidad dilatacional. La razón para escribir B de esta manera
es que por la teoría cinética se sabe que K es idénticamente cero para gases
monoatómicos a baja densidad.
Así, la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación
1.1-2 es entonces el conjunto de nueve relaciones (de las cuales seis son independientes):
Aquí 7.= T.., e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Estas relaciones para los
'1
I'
esfuerzos en un fluido newtoniano están asociadas con los nombres de Navier,
20
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Poisson y Stokes2Si se desea, este conjunto de relaciones puede escribirse de manera más concisa en la notación vector-tensor del apéndice A como
Vv es el tensar del gradiente de velodonde 6 es el tensor unitario con componentes
cidad con componentes (d/axi)vi' (Vv)+es la "transpuesta" del tensor del gradiente
de velocidad con componentes (a/ax>v,y (V v) es Ia divergencia del vector de velocidad.
La conclusión importante es que se tiene una generalización de la ecuación
1.1-2, y esta generalización implica no uno sino dos coeficientes3que caracterizan al
fluido: la viscosidad p y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver problemas de dinámica de fluidos no es necesario conocer K . Si el fluido es un gas, a menudo se supone que actúa como un gas ideal monoatómico, para el que K es
idénticamente cero. Si el fluido es un líquido, a menudo se supone que es incompresible, y en el capítulo 3 se demuestra que para líquidos incompresibles (V v) = O, y
en consecuencia el término que contiene a K se elimina de cualquier manera. La viscosidad dilatacional es importante para describir la absorción del sonido en gases
poliatómicos4y para describir la dinámica de fluidos de líquidos que contienen burbujas gaseosa^.^
La ecuación 1.2-7 (o Ia 1.2-6) es importante y se usará a menudo. Por lo tanto, en
la tabla B.l se escribe completamente en coordenadas cartesianas ( x , y, z), cilíndricas
(r, O, z) y esféricas (r, O, +). Los datos de esta tabla para las coordenadas curvilíneas
se obtienen por los métodos que se describen en sA.6 y sA.7. Se sugiere que los estudiantes principiantes no se preocupen por los detalles de tales deducciones, sino
que más bien se concentren en utilizar los resultados tabulados. Los capítulos 2 y 3
proporcionan bastante práctica para efectuar lo anterior.
Las componentes del esfuerzo significan lo mismo en coordenadas curvilíneas
que en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, 7, en coordenadas cilíndricas, que se
encontrará en el capítulo 2, puede interpretarse como: i) la fuerza viscosa en la dirección z sobre un área unitaria perpendicular a la dirección r, o ii) la densidad de
flujo viscoso de cantidad de movimiento en la dirección z en la dirección r positiva.
En la figura 1.2-2 se ilustran algunos elementos de superficie típicos y componentes
de esfuerzo tensoriales que surgen en la dinámica de fluidos.
Los esfuerzos cortantes suelen ser fáciles de visualizar, pero los esfuerzos normales pueden provocar problemas conceptuales. Por ejemplo, r,, es una fuerza por
área unitaria en la direcci6n z sobre un plano perpendicular a la direcciOn z. Para el
flujo de un ffuido incompresible en el canal convergente de la figura 1.2-3,intuitivamente se sabe que v, aumenta al disminuir z; por lo tanto, según la ecuación 1.2-6,
existe un esfuerzo T ~ ,= -2p4L(dvz/az) diferente de cero que actúa sobre el fluido.
-
ZC.-L.-M.-H.Navier, Ann. Chimie, 19,244-260 (1821); S.-D.
Poisson, J. Ecole Polytech., 13, Cahier 20, 1-174 (1831);
G.G. Stokes, Ttans. Camb. Phil. Soc., 8,287-305 (1845).Claude-Louis-Marie-Henn Navier (178518.16)h e ingeniero
civil cuya especialidad era la construcción de carreteras y puentes; George Gabriel Stokes (1819-1903)ensenó en la
Universidad de Cambridge y fue presidente de la Roya1 Cociety. Navier y Stokes son bien conocidos debido a las
ecuaciones de Navier-Stokes (véase capítulo 3). Véase también D.J.
Acheson, Elementay Fluid Mechanics, Oxford
University Press (1990), pp. 209-212,218.
Algunos autores se refieren a p como la "viscosidad del esfuerzo cortante", pero esta denominación es inapropiada porquep puede surgir tanto en flujos no cortantes como en flujos cortantes. La expresión "viscosidad dinámica"
también se observa ocasionalmente, pero este ténnino tiene un significado muy especifico en el campo de la viscoelasticidad y es u n término inadecuado para p .
'L. Landau y E.M.Lifshitz, op. cit., capítulo VIII.
G.K. Batchelor, An lntroducfion Lo Fluid Dynamicc, Cambridge University Press (1967),pp. 253-255.
s1.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton
21
Esfera sólida
"YR,
La fuerza ejercida por el
fluido en la dirección
+üsobre el elemento
de superfiae (RdB)(dz)es
-~,,gl,,~Rd@dz
Y
La fuerza ejercida por el
fluido en la diFecci6n
6 sobre el elemento de
superficie (M@)(R
sen 8 d#)
es - ~ ~ I , , ~ ~ ~ s e n B d 8 @
Cilindro súüdo
de radio R
La fuerza ejercida por el
fluido en la direcci6n
$ sobre el elemento de
superficie (Rd8) (R sen 13dq5)
La fuerza ejercida por el
fluido en la dirección
+z sobre el elemento
de superficie(RdB){dz) es
-r,l,,~RdOdz
@
es - 7 @ l r E RR2senedB@
fl
Cilindro sólido
Lafluido
zfuerza
sobre
enejercida
ellaelemento
dirección
por el
de superficie (dr)(dz) es
+TOZ 1 O = ( m / z ~ - & ~dz
I
Cono s6lido
ia fuerza ejercida por el
fluido en la direcci6n
r sobre el elemento de
-7&10=ar~enadr&
WaY
I
(0)
Figura 1.2-2 a) Algunos elenientos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de
coordenadas cilíndricas. b) Algunos elementos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el
sistema de coordenadas esféricas.
Nota sobre la convención de signos para el tensor de esfuerzo. Respecto a la ecuación
1.1-2 (y en la generalización en esta sección) hemos recalcado que ryxes la fuerza
en la dirección x positiva sobre un plano perpendicular a la dirección y, y que
esta es la fuerza ejercida por el fluido en la región de menor y sobre el fluido de
mayor y. En la mayor parte de los libros sobre dinámica de fluidos y elasticidad, las
palabras "menor" y "mayoí' con intercambiabIes y la ecuación 1.1-2 se escribe como
22
Capíhilo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una
situación en que los esfuerzos normales no son cem. Debi a que u, es
una función de r y z, la componente de esfuerzo normal rz2
-&(dv,/dz) es diferente de cero. También, como v, depende de r y z, la
componente de esfuerzo normal T , =
~ -@(du,/Jr)
no es igual a cero. Sin
embargo, en la pared todos los esfuerzos nom~alesdesaparecen para
fluidos descritos por la ecuacidn 1.2-7 en el supuesto de que la densidad
sea constante (véanse el ejemplo 3.1-1 y el problema 3C.2).
@
'
vztr)
= +p(dv,/dy). Las ventajas de la convención de signos que se usa en este libro
YX
son: a) la convención de signos usada en la ley de viscosidad de Newton es consistente con la que se usa en la Iey de Fourier de conducción de calor y la ley de difusión
de Fick; b) la convención de sígnos para rii es la misma que para la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivopw (véanse 93.7 y la tabla 19.2-2); c) en la
ecuación 1.2-2, los términos $ij y 7ij tienen ef mismo signo fijado, y los términos p y
T~~con ambos positivos para compresión (en concordancia con el uso común en termodinámica); 6)todos los términos en la producción de entropía en la ecuación 24.1-5
tienen el mismo signo. En las ecuaciones 1.1-2 y 1.2-6 resulta evidente que la convención de signos es arbitraria, por lo que puede usarse cualquiera de éstas, con tal
be que el significado físico del signo se comprenda claramente.
T
1.3
DEPENDENCIA DE LA VISCOSIDAD CON RESPECTO A LA PRESIÓN
Y LA TEMPERATURA
En varios manuales de ciencias e ingeniería pueden encontrarse datos extensos sobre las viscosidades de gases y líquidos puros.1 Cuando se carece de datos experimentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por
métodos empíricos, utiIizando otros datos sobre la sustancia dada. Aquí presentamos una correlación de estados corresporzdierítes, que facilita tales estimaciones e ilustra tendencias generales de viscosidad con la temperatura y la presión para fluidos
ordinarios. El principio de los estados correspondientes, que tiene una sólida base
científica? se utiIiza bastante para correlacionar datos de la ecuación de estado y termodinámicos. Análisis de este principio pueden encontrarse en libros de texto de fisicoquímica y termodinámica.
'
J.A.Schetz y A.E. Fuhs (compiladoros), Handbook of Fluid Dynamics and Fluid Machincry, Wiley-lnterscience,
Nueva York (19661, Vol. 1, capítulo 2; W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I. Cho, Handbwk of H ~ a Transfer,
t
McGraw-Hill.
Nueva York, 3a. edición (1999), capitulo 2. Otras fuentes se mencionan en la nota de pie d e página 4 d e 51.1.
J . Millat, J.H. Dymond y C.A. Nieto de Castro (compiladores), Trarrsport Properties of Fluids, Cambridge
University Press (19961, capituIo 11, por E.A. Mason y EJ. Uribe, y capitulo 12, por M.L. Huber y H.M.M. Haiiley.
51.3
Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura
23
Figura 1.3-1 La viscocidad reducida p, = p / p ,
como una función de la
temperatura reducida
para varios valores de Ia
presión reducida. [O.A.
Uyehara y K.M.Watson,
Nat. Pefroleum N m s , Tech.
Section, 36,764 (4 de oct.,
1944);revisada por K.M.
Watson (1960).Una
versión a gran escala de
esta gráfica se encuentra
disponible en O.A.
Hougen, K.M.
Watson y
R.A. Ragatz, C.P.P. Charts,
Wiley, Nueva York, 2a.
edición (1960).]
Temperatura reducida T , = T/T,
La gráfica de la figura 1.3-1 proporciona una visión global de la dependencia d e
la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura. La viscosidad reducida ,u, =
,u /,u, se graficó contra la temperatura reducida T, = T / T , para varios valores de la
presión reducida p, = plp,. Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adimensionaI dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto critico. El diagrama muestra que la viscosidad de un gas tiende a un límite (el límite a baja
densidad) a medida que la presión se hace más pequeña; para la mayor parte d e los
gases, este límite casi se alcanza a 1 atm d e presión. La viscosidad de un gas a baja
densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que Ia viscosidad
de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura.
Rara vez hay valores experimentales disponibles de la viscosidad crítica ,u,. Sin
embargo,^, puede estimarse en una de las siguientes formas: i) si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas dadas, de preferencia
en condiciones cercanas a las de interés, entonces ,u, puede calcularse a partir de
,u, = ,u/,u,; o bien, ii) si se cuenta con datos de pV-T críticos, entoncesp, puede estimarse a partir de estas relaciones empíricas:
24
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
-
Aquí, y, está en micropoises, p, en atm, Te en K y Veen cm3/g-mol. En el apéndice
E se proporciona una tabulación de viccosidades críticas3 calculadas con el método i.
La figura 1.3-1también puede usarse para una estimación gruesa de viscosidades de mezclas. Para una mezcla con N componentes se utilizan las propiedades
"seudo~ríticas"~
definidas como
Es decir, el diagrama se usa exactamente como para fluidos puros, pero con las propiedades seudocriticas en vez de las propiedades críticas. Este procedimiento empírico funciona razonablemente bien, a menos que en la mezcla haya sustancias
químicamente distintas o las propiedades críticas de los componentes difieran bastante.
Hay muchas variantes del método anterior, así como vanos otros empiricmos.
Lo anterior puede encontrarse en la extensa compilación de Reid, Prausnitz y
P~lin~.~
Estimación de la
viscosidad a partir de
las propiedades
críticas
Estimar la viscosidad del N, a 50°C y 854 atm, dadas M = 28.0 g/g-mol, pc = 33.5 atm y
T, = 126.2 K.
Al aplicar la ecuación 1.3-lb se obtiene
= 189 micropoises
= 189 X
poise
La temperatura y presión reducidas son
A partir de la figura 1.3-1 se obtiene p, = p / p C = 2.39. Por lo tanto, el valor anticipado de
viscosidad es
p = pcí,u/p,) = (189 x 10-6)(2.39)= 452 x
El valor medido6 es 455 x
poise
(1.3-5)
poise. Esta concordancia es extraordinariamentebuena.
3 0 . A .Hougen y K.M.Watson. Chemical Procas Principies, Parte 111, Wiley, Nueva York (19471, p. 873. Olaf
Andreas Hougen (1893-1986) fue pionero en el desarroiio de la ingeniería química durante cuatro d6cadas; junto con
K.M. Watson y X.A. Ragatz, escribió libros.importantessobre tennodiárnica y cinética.
O.A. Hougen y K.M. Watson, ChemiLiI Procesc Priilciplss, Parte 11, Wiley, Nueva York (19471, p. óO4.
R.C.Reid, J.M. Prausnitz y B.E. +liiig, The Properties of Cases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York, 4a.
edición (198'71, capítulo 9.
A M.1-F.Michels y R.E. Gibson, Proc Roy. Soc. (Londres),Al34,288-307 (1931).
,,
51.4
Teona molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
25
51.40 TEORÍA MOLECULARDE LA VISCOSIDAD
DE GASES A BAJA DENSIDAD
Para adquirir una mejor comprensión del concepto transporte de cantidad de momiento rnolecular, analizaremos este mecanismo de transporte desde el punto ,
vista de una teoría cinética elemental de los gases.
Consideramos un gas puro compuesto de moléculas esféricas rígidas que no se
atraen entre sí de diámetro d y masa m, y el número de densidad (número de moléculas por volumen unitario) se toma como n. Se supone que la concentración de las
moléculas del gas es tan pequeña que la distancia media entre moléculas es muchas
veces su diámetro d. En un gas como éste se sabe1 que, en equilibrio, las velocidades moleculares están dirigidas aleatoriamente y tienen una magnitud media dada
por (véase el problema 1C.1)
donde K es la constante de Boltzmann (véase el apéndice F). La frecuencia de bornbardeo molecular por área unitaria sobre uno de los lados de cualquier superficie estacionaria expuesta al gas es
La distancia media recorrida por una molécula entre colisiones sucesivas es la tra-
yectoria libre media A, dada por
En promedio, las moléculas que llegan a un plano habrán experimentado su última
colisión a una distancia a del plano, donde a está dada de manera muy aproximada
Por
El concepto de la trayectoria libre media es intuitivamente atractivo, aunque sólo
tiene sentido cuando A es grande en comparación con la amplitud de las fuerzas intermoleculares. El concepto es idóneo para el modelo molecular de esferas rígidas
considerado aquí.
Para determinar la viscosidad de un gas en términos de los parárnetros del modelo molecular, consideremos el comportamiento del gas cuando fluye paralelo al
plano xz con un gradiente de velocidad du,/dy (véase la figura 1.4-1). Suponemos
que las ecuaciones 1.4-1 a 1.4-4 siguen siendo válidas en esta condición de no equilibrio, en e1 supuesto de que todas las velocidades moIeculares se calculen con res
'
Las cuatro primeras ecuaciones en esta sección se proporcionan sin demostración.Justificacionesdetalladas se
dan en libros sobm teoría cinbtica; por ejemplo, E.H. Kennard, Kinetic Theory of G a s , McGraw-Hill, Nueva York
(19381, capítulos 11 y 111. También E.A. Guggenheim, Elements of the Kinefic Theoy of Gases, Pergamon Press, Nueva
York (1960), capitulo 7, ha escrito un breve informe de la teoría elemental de la viscosidad. Para resúmenes legibles di.
la teoría cinética de los gases, consúltese el Libro de R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicnl Chemktry, Wiey, Nueva York.
3a. edición (20011,capítulo 17, o bien, el de R.S. Berry, S.A. Rice y J. Ross, Physiml Chemisty, Oxford University Fress,
2a. edición (2000),capitulo 28.
26
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
L/
Perfil de velocidad v,k)
desde e' plano
con componente
Figura 1.4-1 Transporte
molecular de cantidad de
movimiento en la dirección
x desde el plano en (y - a)
hasta el plano en y.
pecto a la velocidad media v en la región en que la molécula dada tuvo su última
colisión. La densidad de flujo de cantidad de movimiento en la dirección x a través
de cualquier plano con y constante se encuentra al sumar las cantidades de movimiento x de las moléculas que cruzan en la dirección y positiva y restar las cantidades de movimiento x de aquellas que cruzan en la dirección opuesta, como sigue:
Al escribir esta ecuación, hemos supuesto que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región en que chocaron por última vez y que el perfil de
velocidad u,(y) es esencialmente h e a l para una distancia de varias trayectorias libres medias. En vista de la última suposición, es posible escribir inclusive
Al combinar las ecuacionec 1.4-2, 1.4-5 y 1.4-6 se obtiene para la densidad de flujo
neto de la cantidad de movimiento de x en la dirección y positiva
Ésta es la misma forma que la ley de viscosidad de Newton dada en la ecuación
1.1-2.Al comparar las dos ecuaciones se obtiene una ecuación para la viscosidad
o bien, a1 combinar las ecuaciones 1.4-1,1.4-3 y 1.4-8
Esta expresión para la viscosidad fue obtenida por ~ a x w e l l en
* 1860. La cantidad
n-d2 se denomina sección transversal de colisión (véase la figura 1.4-2).
James Clerk Mvrwell(1831-1897)fue itno de los más grandes fisicos de todos los tiempos; es particularmente
famoso por su desarrollo en el campo del elechomagnetismo y su contribución a la teoría cinética de los gases. En
relacidn con ésta, véase J.C.Maxwell, Phil. Mag., 19, 19, Prop. XIll (11160); S.G. Bmsh, Am. l . Phys.,30, 269-281 (1962).
Hay algo de controversia concerniente a las ecuaciones 1.4-4 y 1.4-9 (vease S. Chaprnan y T.G. Cowling, The
Mathematicul i7feoyof Non-Uniform Gases, Carnbridge University Press, 3a. edición, 1970, p. 98); R.E. Cumingham y
R.J.J. Williarns, Difision in Gases and Porous Media, Plenum Press, Nueva York (1980),56.4.
51.4
Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
Círculo de área ~ d 2
,----[
,
I
I
I
1
27
Figura 1.4-2 Cuando dos esferas rígidas de diámetro d se
aproximan entre sí, el centro de una esfera (en O') "ve" un
circulo de área mi2 alrededor del centro de la otra esfera
(en O), sobre el que puede ocurrir una colisibn. E1 área vd2
se denomina "sección transversal de colisión".
i
I
5
1
\
La deducción anterior, que proporciona una imagen cuaiitativamente correcta
de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad, aclara por
qué queríamos introducir el término "densidad de fiujo de cantidad de movimiento" para ryxen 51 .l.
La qredicción de la ecuación 1.4-9 de quep es independiente de la presión concuerda con datos experimentales hasta aproximadamente 10 atm a temperaturas
por arriba de la temperatura crítica (véase la figura 1.3-1).La dependencia predicha
respecto a la temperatura es menos satisfactoria;los datos para varios gases indican
que p aumenta más rápido que fl.
Para describir mejor la dependencia de p respecto a la temperatura, es necesario reemplazar el modelo de esferas rígidas por uno
que retrate de manera más precisa las fuerzas de atracción y de repulsión. También
es necesario abandonar las teorías de la trayectoria libre media y usar la ecuación de
Boltzmann para obtener de manera más exacta la distribución molemlar de velocidad en sistemas que no están en equilibrio. Relegando los detalles al apéndice D,
presentamos aquí Ios resultados
Una rigurosa teoría cinética de gases monoatómicos a baja densidad h e desarrollada a principios de siglo xx por Chapman en Inglaterra y de manera independiente
por Enskog en Suecia. La teoría de Chapman-Enskog proporciona expresiones para
las propiedades de transporte en términos de la energla pofencial intmolecular q(r),
donde r es la distancia entre un par de moléculas que están experimentando una colisión. Así, la fuerza intermolecular está dada por F(r) = - d p / d r . La forma funcional
exacta de <p(r)no se conoce; sin embargo, para moléculas no polares, una expresión
empírica satisfactoria es el potencial de ~ennard-Jones6(6-22) dado por
Sydney Chapman (1888-1970) ensefió en el Imperial CoIlege en Londres, y después de eso trabajó en el. High
Altitude Observatory en Boulder, Colorado; además de su trabajo seminal sobre teoría cinética de los gases,
contribuyó a la teoría cinética de plasmas y a la teoría de flamas y detonaciones. David Enskog (1884-1947) es famoso
por su trabajo sobre teorías cineticas de gases a baja y alta densidad. La referencia estándar para la teoría cinética de
gases diluidos de Chapman-Enskog es S. Chapman y T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-UniJorm Gases,
Cambridge University Press, 3a. editi6n (1970); las pp. 407-409 proporcionan un resumen histórico de la teoría
cinética. Véase también D. Enskog, Inaugural Dissertation, Uppsala (1917).Además, J.H.Ferziger y H.G. Kaper,
Mathematical Tkeory of Transport Processes in Gases, North-Holiand, Amsterdam (1972), es un informe bastante legible
de la teoría molecular.
La extensión de Curtiss-Hirschfeldes de la teoría de Chapman-Enskog a mezclas de gases con varios
componentes, así como el desarrollo de tablas útiles para cómputos, pueden encontrarse en J.O. Hirschfelder, C.F.
Curtiss y R.B. Bird, Moieculor Tkeory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York, 2a. reimpresión corregida (1964). Véase
también C.F.Curtiss, J. Ckem. Pkys., 49,2917-2929 (1968), así como las referencias proporcionadas en el apéndice E.
Joseph Oakland fIvschfelder (1911-1990), director fundador del Instituto de Química Teórica de la Universidad de
Wisconsin, especialista en fuerzas intermoleculares y aplicaciones de la teoría cinética.
C.F. Curtiss y 1.0. Hirschfelder, J. C h m . Phys., 17,550-555(1949).
J.E. (Lennard-Jones),Proc. Roy. Soc., A106,441-462,463-477 (1924).Véase también R.J. Siibey y R. A. Alberty, Physiml Ckemisfry,Wley,2a. edición (2001), §§11.10, 16.14 y 17.9;y R.S. Berry,S.A. Rice y J. Ross, Physical Chemisty, Oxford
Universiiy Precs, 2a. edición (2000),S10.2.
28 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
~ ( r A)
I
I
Las moléculas se
repelen entre sí a/>
separaciones r < r,,,
= :=
I
I
I
I
1
I
Las moléculas se atraen
entre sí a separaciones
r>rm
Cuando r = k,1 ~pI
ha caído hasta
menos de 0.01 E
-
r
Figura 1.4-3 Función de energía
potencial cp(r}que describe la
interacción de dos moléculas
esféricas no polares. El potencial
de Lennard-Jones(6-121, dado por
la ecuación 14-10,es una de las
muchas ecuaciones empíricas
propuestas para ajustar esta
curva. Para r < r,, las moléculas
se repelen enhe sí, mientras que
para r > r,, las moléculas se
atraen entre sí.
donde u es un diámetro caracteristico de las moléculas, a menudo denominado diámetro de colisidn, y E es una energía característica, en realidad la máxima energía de
atracción entre un par de moléculas. Esta función, que se muestra en la figura 1.4-3,
presenta los rasgos caracteristicos de las fuerzas intermoleculares: atracciones débiles a separaciones grandes y repulsiones fuertes a separaciones pequeñas. Se conocen valores de los parámetros cr y E para muchas sustancias; en la tabla E.l se
proporciona una lista parcial; para una lista más extensa consultar otras fuente^.^
Cuando se desconocen u y E, es posible estimarlas a partir de las propiedades del
fluido en el punto crítico (c) del líquido en el punto de ebullición normal (b), o del
sólido en el punto de fusión (m)por medio de las siguientes relaciones empíricad
E / K = 0.77Tc
a = 0.841
vb/3
o bien
a = 2 . 4 4 ( ~ , / ~ , ) ~ / (1.4-lla,
~
b, c)
Aquí E / Ky T están en K , a está en angstroms (1 A = 10-lo m), V está en cm3/g-m01
y pc está en atmósferas.
La viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecuiar M puede escribirse en términos de los parámetros de Lennard-Jonescomo
p=--
5
JmnKT
16
?rcT2n
o bien p = 2.6693 x 10- 5 m
02n
(1 -4-14)
En la segunda forma de esta ecuación, si T [=lK y a [=]A, entonces ,u [=] g/crn - s.
La cantidad adimensional flp es una función de variación lenta de la temperatura
adimensional K T / E ,del orden de magnitud de la unidad, dada en la tabla E.2. Se denomina "integral de colisión para la viscosidad", ya que explica los detalles de las
trayectorias que siguen las moléculas durante una colisión binaria. Si el gas estuviera compuesto por esferas rígidas de diámetro u (en vez de por moléculas reales con
fuerzas de atracción y repulsión), entonces fiF sena exactamente igual a la unidad.
Por tanto, la función
puede interpretarse como si describiese la desviación respecto al comportamiento de las esferas rígidas.
Aunque Ia ecuación 1.4-14es un resultado de la teoría cinética de los gases monoatómicos, se ha descubierto que también es extraordinariamente buena para los
gases poliatómicos. La razón de esto es que, en la ecuación de conservación de can-
51.4 Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 29
tidad de movimiento para una colisión entre moléculas poliatómicas, las coordenadas del centro de masa son más importantes que las coordenadas internas [véase
50.3bI. La dependencia respecto a la temperatura predicha mediante la ecuación
1.4-14 concuelda bien con la que se encontró a partir de la línea a baja densidad en
la correlación empírica de la figura 1.3-1. La viscosidad de los gases a baja densidad
aumenta con la temperatura, aproximadamente como de la potencia 0.6 a la 1.0 de
la temperatura absoluta, y es independiente de la presión.
Para calcular la viscosidad de una mezcla de gases puede usarse la extensión
para varios componentes de ia teoría de Chapman-Ensk~g.~(~
De manera alternativa, es posible usar la siguiente fórmula empírica bastante satisfactoria:'
donde las cantidades adimensionales
son
Aquí N es el número de especies químicas en la mezcla, x, es la fracción molar de la
especie a, p, es la viscosidad de la especie pura a a la temperatura y presión del sistema, y M, es el peso molecular de la especie a. Se ha demostrado que Ia ecuación
1.4-16 reproduce valores medidos de las viscosidades de mezclas dentro de una desviación media aproximada de 2%. La dependencia de la viscosidad de la mezcla respecto a la composición es extremadamente no lineal para algunas mezclas, en
especial aquellas de gases ligeros y pesados (véase el problema 1A.2).
Para resumir, las ecuaciones 1.4-14, 1.4-15 y 1.4-16 son fórmulas útiles para calcular viscosidades de gases no poIares y de mezclas de gases a baja densidad a partir de valores tabulados de los parámetros a y E / K de la fuerza intermolecular. No
proporcionan resultados confiables para gases que constan de moléculas polares o
bastante alargadas debido a los campos de fuerza dependientes del ángulo que existe entre esas moléculas. Para vapores polares, como H20, NH,, CH,OH y NOCl,
una modificación dependiente del ángulo de la ecuación 1.4-10 ha dado buenos res u l t a d o ~Para
. ~ los gases ligeros Hg y He por debajo de aproximadamente 100 K, es
necesario tener en cuenta los efectos c ~ á n t i c o s . ~
Hay disponibles muchos empirismos adicionales para estimar viscosidades
de gases y mezclas de gases. Una referencia estándar es la de Reid, Prausnitz y
I'oling.10
Calcular la viscosidad del C 0 2 a 200,300 y 800 K y 1 atm.
Cálculo de la
viscosidad de un gas
puro a baja densidad
7C.R. Wilke, J. Chem. Phys., 18,517-519 (1950);véase también J.W. Buddenberg y C.R. Wilke, Ind. Eng. C h m . , 41,
1345-1347 (1949).
E.A. Mason y L. Monchick,J. Chem. Phys., 35,1676-1697 (1961) y 36,1622-1639,2746-2757 (1962).
1.0 Wschfelder, C.E Curtiss y R.B. Bird, op. cit., capítulo 10; H.T. Wood y C.F. Curtiss, J . Chem. Phys., 41, 11671173 (1964); R.J. Munn, EJ. Smith y E.A. Mason, J. C h m . Phys., 42,537-539 (1965); S. Imam-Rahajoe, C.F.Curtiss y R.B.
Bernstein, J. Chem.Phys., 42,530-536 (1965).
'O R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Poiing, The Properties of Gases and Liquids, MGraw-HiIi, Nueva York, 4a.
edición (1987).
30
Capitulo 1 Viscosidad y mecaiiismos del transporte de cantidad de movimiento
Usar la ecuación 1.4-14.A partir de la tabla E.1 se encuentra que los par6metros de LennardJones para el COZson E / K = 190 K y a = 3.996 A. El peso molecular del CO, es 44.01. Al sustit~iir
:?, y u en la ecuación 1.4-14 se obtiene
donde p
[=l g/cm - S y T [=] K. Los cáIcu1os restantes pueden presentarse en una tabla.
Viscosidad (g/ cm . S)
T(K)
%
KTIE
.\/T
Predicha
Observadal'
Para efectos de comparación, en la última columna se muestran datos experimentales. La
buena concordai-iciaera de esperarse, ya que los parámetros de Lennard-Jones de la tabla E. 1
se obtuvieron a partir de datos de viscosidad.
Predicción de la
viscosidad de una
mezcla de gases a baja
densidad
Calcular la viscosidad de la siguiente mezcla de gases a 1 atm y 293 K a partir de los datos proporcionados sobre las componentes puras a las mismas presión y temperatura:
.
f
-9
Especie a
1. COZ
2. O2
Fracción
molar, x,
0.133
0.039
Viscosidad, p,
Peso
molecular, M ,
(g/ cm . S)
44.01
32.00
* q c f
1;
1462 x 10-7
2031 X 10-7
Usar las ecuaciones 1.4-16 y 1.4-15 (en ese orden). Los cálculos pueden sistematizarse en forma tabular; así:
11 H.L. Johnstnn
y K.E. McCloskey, J. Phys. Chem., 44,1038-1058 (1940).
i
91.5 Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31
Así, la ecuación 1.4-15 p r o p o r c i o n a
g/cm . s.
E1 valor o b s e ~ a d oes
' ~ 1793 X
Kirkwood y colaboradores desarrollaron una rigurosa teoría cinética de las propieSin embargo, esta teoría no condudades de transporte de líquidos mon~atómicos.~
ce a resultados fáciles de usar. Una teoría más antigua, desarrollada por ~ ~ r i yn g ~
colaboradores, aunque menos bien fundamentada teóricamente, proporciona una
descripción cualitativa del mecanismo de transporte de cantidad de movimiento en
líquidos y permite una estimación gruesa de la viscosidad a partir de otras propiedades físicas. Analicemos brevemente esta teoría.
En un líquido puro en reposo, las moléculas individuales están constantemente
en movimiento. Sin embargo, debido a su estrecha cercanía, el movimiento está bastante restringido a una vibración de cada molécula dentro de una "caja" formada
por sus vecinos más próximos. Esta caja se representa por medio de una barrera de
energía de altura A GA/Ñ, donde A es la energía libre de activación molar para escapar de la caja en el fluido estacionario (véase la figura 1.5-1).Según Eyring, un 1í/Sitio
vacante o
"hueco" en la retícula
Capa C
Capa
B
'60
b
-
W
-
-
En el fluido en poso
-
En el fluidobajo esfuerzo 7yx
X
Figura 1.5-1 Ilustración de un
proceso de escape en e1 flujo de
un líquido. La molécula 1 debe
pasar a través de un "cuello de
botella" para alcanzar un sitio
vacante.
y L. Zipperer, Gas-und Wasserfoch, 79,49-54,69-73 (1936).
J.H.lMng y J.G. Kirkwood, J. Chem. Phys., 18,817-823(1950); R.J Bearman y J.G. Kirkwood, 1. Cheni. Phys., 28,
136-146 (1958). Para publicaciones adicionales, véase John Gamble Kirkwood, Collected Works, Gordon and Breach,
Nueva York (1967). John Gamble Kirkwood (1907-1959) contribuyó mucho a la teoría cinética de 10s líquidos,
~ r o ~ i e d a ddees soluciones d e polúneros, teoría de electrólitos y termodinámica de procesos irreversibles.
S. Giasstone, K.J.Laidler y H Eyring, Theory of Rate Processrs, McCraw-Hill, Nueva York (19411, capítulo 9; H.
Eyring, D. Henderson, B.J. Ctover y E.M. Eyríng, Statisticnl Mechanics, Wiley, Nueva York (19641, capitulo 16. Véase
tambih R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicul Chonistry, Wey, 3a. edición (2001), 520.1; y R.S. Beny, S.A. Rice y J. Ross,
Physical Chernisfry, Oxford University Press, 2a. edición (2000), capitulo 29. Henry Eyring (1901-1981) desarrolló
teorías para las propiedades de transporte basándose en modelos físicos simples; también desarrolló la teoría de las
veloQdades de &acción absolutas
1 2 ~ Herning
.
32
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
quido en reposo experimenta continuamente reordenamientos, en los que una molécula a la vez escapa de su "caja" hacia un "hueco" adyacente, y que entonces las
moléculas se mueven en cada una de las direcciones de coordenadas en saltos de
longitud a a una frecuencia v por molécula. La frecuencia está dada por la ecuación
de velocidad
KT
(1.5-1)
/ RT)
h
Donde K y h son las constantes de Boltzmann y Planck, respectivamente, fl es el número de Avogadro y R = ÑK es la constante del gas (véase el apéndice F).
En un fluido que circula en la dirección x con un gradiente de velocidad dv,/dy,
la frecuencia de los reordenamientos moleculares aumenta. El efecto puede explicarse al considerar la barrera de energía potencial como distorsionada bajo el esfuerzo
aplicado T ~ ,(véase la figura 1.5-11, de modo que
Y
= -exp(-~GJ
~ ~ es una aproximación
donde Ves el volumen de un m01 de líquido, y t ( a / o ) ( V/2)
al trabajo realizado sobre las molécuIas a medida que se mueven hacia la parte superior de la barrera de energía, moviéndose con el esfuerzo cortante aplicado (signo positivo) o contra el esfuerzo cortante aplicado (signo negativo). Ahora definimos
u+ como la frecuencia de saltos hacia adelante y u- como la frecuencia de saltos hacia atrás. Entonces, a partir de las ecuaciones 1.5-1 y 1.5-2 se encuentra que
KT
v , = -exp(-aC;
h
/ RT) exp(+ar,v / Z S R T )
(1-5-3)
La velocidad neta con que las moléculas en la capa A se deslizan por encima de las
que están en la capa B (figura 1.5-1)es justamente la distancia recorrida por salto (a)
multiplicada por la frecuencia neta de saltos adelante (u, - u-); esto proporciona
El perfil de velocidad puede considerarse como lineal sobre la muy pequeña distancia S que hay entre las capas A y B, de modo que
Al combinar las ecuaciones 1.5-3 y 1.5-5, finalmente se obtiene
Lo anterior predice una relación no lineal entre el esfuerzo cortante (densidad de
flujo de cantidad de movimiento) y el gradiente de velocidad; es decir, flujo no newtoniano. Este comportamiento no lineal se analiza con más detalle en el capítulo 8.
51.5 Teoría molecular de la viscosidad de iíquidos
33
Sin embargo, la situación general es que a7 .I'/~sRT
<< 1. Entonces puede usarse la serie de Taylor (véase 5C.2) senh x = x + (!/3!)x3 + (1 / 5 ! ) x 5 + -.-y quedarse con
un solo término. Así, la ecuación 1.5-6 es de la forma de la ecuación 1.1-2, con la viscosidad dada por
El factor S / a puede tomarse como la unidad; esta simplificación no implica pérdida
de precisión, ya que AG; suele determinarse empíricamente para hacer que la ecuación coincida con datos experimentales de viscosidad.
Se ha encontrado que las energías libres de activación, AG;, determinadas al
ajustar la ecuación 1.5-7 a datos experimentales de viscosidad contra temperatura,
son casi constantes para un fluido dado y están relacionadas simplemente con la
energía interna de vaporización en el punto de ebullición normal, como sigue:3
Al usar este empirismo y hacer S/a = 1, la ecuación 1.5-7 se convierte en
La energía de vaporización en el punto de ebullición normal puede estimarse aproximadamente a partir de la regla de Trouton
Con esta aproximación adicional, la ecuación 1.5-9 se transforma en
Las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 coinciden con el largo tiempo usado y aparentemente
exitoso empirismop = A exp(B/'D. La teoría, a pesar de ser sólo de naturaleza apioximada, proporciona la disminución observada de la viscosidad respecto a la temperatura, pero cuando se usan las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 es común encontrar
errores hasta de 30%. Dichas ecuaciones no deben usarse para moléculas delgadas
muy largas, como n-C,,H,,.
Además, hay disponibles muchas fórmulas empíricas para predecir la viscosidad de Iíquidos y mezclas de líquidos. Para conocer esas fórmulas es necesario consultar libros de texto de fisicoquímica e ingeniería química.4
EJEMPLO 1.5-1
"3
i
Estimar Ia viscosidad del benceno liquido, C6HQa 20°C (293.2 K).
Estimación de la
viscosidad de un líquido
puro
J.EKincaid, H. Eyring y A.E. Stearn, &m. R m . , 28,301-365 (1941).
Véase, por ejemplo, 1.R. Partington, Treatise on Phycicnl Chemistry, Longmans, Green (1949);o R.C.Reid, J.M.
Prausnitz y B.E. Poling, The Progerties of &es m d liquids, McGraw-HiU, Nueva York, 4a. edición (1987).Véase
también P.A. Egelctaff, An Intruducfion fo the LGuid Stnte, Oxford University Press, 2a. edición (1944),capitulo 13; y J.P.
Hansen e 1.R McDonald, Theoy of Simple Liquids, Academic Press, Londres (1986), capitulo 8.
34 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Se usa la ecuación 1.5-11 con la siguiente información:
Debido a que esta información está en unidades cgs, los valores del número de Avogadro y
la constante de Manck se usan en el mismo conjunto de unidades. Al sustituir en la ecuación
1.5-11se obtiene:
(6.023
P
=
x 1 0 ~ ~ ) ( 6 . 6 2X4I O - ' ~ )
(89.0)
e x p r . 8 x (273.2
+80.1)
293.2
= 4 . 5 ~ 1 0 - ~ ~ / c mo -bien
s 4 . 5 x 1 0 - ~ ~ ao- sbien 0.45mPa-S
91.6" VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y DE EMULSIONES
Hasta ahora hemos estado analizando fluidos que constan de una fase homogénea
simple. Ahora nos enfocaremos brevemente en los sistemas de dos fases. La descripción completa de tales sistemas es, por supuesto, bastante compleja, aunque a menudo es útil sustituir la suspensión o la emulsión por un sistema hipotético de una
fase, que luego se describe por medio de la ley de viscosidad de Newton (ecuaciones 1.1-2o 1.2-7) con dos modificaciones: i) la viscosidad p se reemplaza por una viscosidad efectiva ,uef,y ii) los componentes de velocidad y esfuerzo vuelven a definirse
entonces (sin cambio de símbolo) como las cantidades análogas promediadas sobre
un volumen grande respecto a las distancias entre partículas y pequeño respecto a
las dimensiones del sistema de flujo. Este tipo de teoría es satisfactorio en la medida en que el flujo implicado sea estacionario; en flujos dependientes respecto al
tiempo, se ha demostrado que la ley de viscosidad de Newton es inadecuada y los
sistemas de dos fases deben considerarse como materiales viscoelásticos.'
La primera contribución especializada a la teoría de la viscosidad de suspensiones
de esferas fue proporcionada por Einstein? quien consideró una suspensión de esferas rigidas tan diluidas que el movimiento de una esfera no afecta el flujo del fluido
en la vecindad de cualquier otra esfera. Entonces es suficiente analizar sólo el mo-
'
Para suspeiisiones diluidas de esferas rígidas, el comportamiento lineal viscoelástico ha sido estudiado por H.
Frohlich y R. Sack, Proc. Roy. Soc., A185,415-430 (19461, y para emulsiones diluidas, la deducción análoga ha sido
proporcionada por J.G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A218, 122-132 (1953). En estas dos publicaciones, el fluido se describe
mediante el modelo de Jeffreys(véase la ecuación 8.4-4) y los autores encontraron las relaciones enhe los tres
parámehos en el modelo d e Jeffreys y las constantes que describen la estructura del sistema de dos fases (la fracción
de volumen de material suspendido y las viscosidades de las dos fases). Para comentarios adicionales concernientes a
suspensiones y reologfa, v6ase R.B.Bird y J.M. Wiest, capítulo 3 del Haiidbook of Fluid Dynamics and Fluid Machinery,
].A. Cchetz y A.E. Fuhs (compiladores), Wiley, Nueva York (1996).
Albert Einstein (1879-1955) recibió el premio Nobel por su explicación del efecto fotoelkchico, no por su
desarrollo de la teoría especial d e la relatividad. Su trabajo seminal sobre suspensiones apareciii en A. Einstein, Ann.
Phys. (Lglpz~g),19,289-306 (1906); errata, ibíd, 24,591-592 (1911).En la publicación original, Einstein cometió un error
en la deducción y obtuvo @ en lugar de @. Después de que experimentos confirmaron que esta ecuación no coincidía
con los datos experimentales, volvió a calcular el coeficiente. La deducción original d e Einstein es bastante larga; para
un d e s m i l o más conciso, véase L.D.Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxford, Za. edición
(19871, pp. 73-75. La formufacidn matemática del comportamiento d e fluidos con vanas fases puede encontrarse en
D.A. Drew y S.L. Pasman, Theoy of Multicomponent Fluids, Springer, Berlín (1999).
5
51.6 Wscosidad de suspensiones y de emulsiones 35
vimiento del fluido alrededor de una sola esfera, y los efectos de las esferas individuales son aditivos. La ecuación de Eins tein es
donde po es la viscosidad del medio de suspensión, y @ es Ia fracción de volumen
de Ias esferas. El resultado precursor de Einstein ha sido modificado de varias maneras, de las cuales a continuación describiremos algunas.
Para suspensiones diluidus de partículas de varias formas, la constante debe sustituirse por un coeficiente distinto, dependiendo de la forma particular. Las suspensiones de partículas alargadas o flexibles presentan viscosidad no n e ~ t o n i a n a . ~
Para suspensiones concentradas de esferas (es decir, @ mayor que aproximadamente 0.051, las interacciones de las partículas se vuelven apreciables. Se han desarrollado varias expresiones semiempíricas, de las cuales una de las m6s simples es la
ecuación de Mwney7
5
donde @oes una constante empírica cuyo valor varía aproximadamente entre 0.74 y
0.52, y estas cifras corresponden a los valores de $ para empaque más compacto y
empaque cúbico, respectivamente.
Otro método para suspensiones concentradas de esferas es la "teoría de celdas",
donde se analiza la energía de disipación en el "flujo comprimido" entre las esferas.
Como ejemplo de este tipo de teoría citamos la enuzcidn de Grahams
en la cual = 2 - #
/,
donde
. ,@
es 1a fracción de volumen
correspondiente al empaque más compacto de las esferas determinado experimentalmente. Esta expresibn se simplifica a la ecuación de Einstein para @ -r O y a la
ecuación de Frankel-Acrivos9cuando $ + #-.
Para suspensiones concentradas de partículas no esféricas, puede usarse la ecuación
de ~rieger-~ougherty:lO
Los parámetros A y #nia,
a utilizar en esta ecuación se muestran tabulados" en la tabla 1.61para suspensiones de varios materiales.
H.L. Frisch y R. Simha, capítulo 14 de Rheology, Vol. 1 P.R.
Eirich, compilador), Academic P m s , Nueva York
(19561, Secciones 11 y 111.
E.W. Meniii, capihilo 4 de Modem Chemical Enginm.ng, Vol. 1 (A. Acrivos, compilador), Reinhold, Nueva York
(19631, p. 165.
E.J. Hinch y L.G. Leal, J. Fluid Mech., 52,685712 (1972); 76,187-208 (1976).
W.R.
Sdiowalter, Mechanics ofNon-Newlonian Fluids, Pergamon, Oxford (1978), capitulo 13.
'M. Mooney, J. Coll. Sci., 6,162-170 (1951).
8A.L.Graham, Appl. Sci. Res.,37,275-286 (1981).
N.A. Frankel y A. Acrivos, Chem. Engr. Sci., 22,847-853 (1967).
'O I.M. Krieger y T.J. Doughaty, Tmns. Soc. Rheol., 3, 137-152 (1959).
l1 H.A. Barnes, J.F. Hutton y K. Walters, An Introduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (19891, p. 125.
36
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.6-1 Constantes adimensionales para utilizar
en la ecuación 1.ó-4
Sistema
Esferas (subrnicras)
Esferas (40 pm)
Yeso molido
Dióxido de titanio
Laterita
Varilias de vidrio (30 X 700 pm)
Láminas de vidrio (100 x 400 pm)
Granos de cuarzo (53-76pm)
Fibras de vidrio (radio axial7)
Fibras de vidrio (radio axial14)
Fibras de vidrio (radio axial21)
A
,j,&
Referencia
2.7
3.28
3.25
5.0
0.71
0.61
0.69
0.55
0.35
0.268
0.382
0.371
0.374
0.26
0.233
a
b
c
c
c
d
d
d
9.0
9.25
9.87
5.8
3.8
5.03
6.0
b
b
b
Kruif, E.M.F.van Ievsel, A. Vrij y W.B. Russel, en
Viscwlastirity and Rheology (A.S.Lodge, M. Renardy, J.A.Nohel,
edc.), Academic Press, Nueva York (1985).
b H.Giesekus, en Physical Properties of Foods (J. Jowitt,et al., eds.),
Appiied Science Publishers, capitulo 13.
R.M. Turian y T.-F. Yuan,AlChE journnl, 23,232-243 (1977).
d E. Clarke, Trans. Inst. C h . Eng., 45,251-256 (1966).
a C.G. de
Para suspensiones concentradas se observa un comportamiento no newtoniano, incluso cuando las partículas suspendidas son esféricas.ll Esto significa que la viscosidad depende del gradiente de velocidad y puede ser distinta en flujo cortante a
como se presenta en flujo de alargamiento. En consecuencia, ecuaciones como la
1.6-2 deben usarse con cautela.
Para emulsiones o suspensiones de gotitas minúsculas, donde el material suspendido puede experimentar circulación interna pero reteniendo su forma esférica, la viscosidad efectiva puede ser mucho menor que la viscosidad de suspensiones de
esferas sólidas. La viscosidad de emulsiones diluidas se describe entonces con la
ecuación de Taylor:12
donde yl es la viscosidad de la fase dispersa. Sin embargo, debe observarse que contaminantes con actividad superficial, a menudo presentes incluso en líquidos purificados, pueden detener efectivamente la circulación interna;13 así, las gotitas se
comportan como esferas rígidas.
l2 G.I. Taylor, Proc. Roy. Soc., AX38,41-48(1932). G e o f h y lngram Taylor (1886-1975) es famoso por la dispersión
de Taylor, los vórtices de Taylor y su trabajo sobre la teoría estadística de la turbulencia; abordó muchos problemas
com~lejosen formas ingeniosas en las que utilizó al máximo los procesos físicos implicados.
V.G. Levich, Physicochemical Hydrodymmics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1%2), capitulo 8. Veniamin
Grigorevich Levich (1917-19871, físico y e l ~ u ú n i c orealizó
,
muchas contribuciones a la solución de problemas
importantes en difusión y transferencia de materia.
51.7
Transporte de cantidad de movimiento convectivo 37
Para suspensiones diluidas de esferas cargadas, la ecuación 1.6-1 puede reemplazarse por la ecuación de Srnoluchoui~ki~~
en la que D es la constante dieléctrica del fluido en suspensión, k, es la conductividad eléctrica específica de la suspensión, 5 es el potencial electrocinético de las partículas y R es el radio de la partícula. La presencia de cargas superficiales en
suspensiones estables no es poco común. Otras fuerzas superficiales, menos bien
comprendidas, también son importantes y frecuentemente provocan que las partículas formen agregados disperso^.^ Una vez más, aquí se encuentra un comportamiento no newtoniano.15
$1.7 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONVECTIVO
Hasta ahora hemos analizado el transporte de cantidad de movimiento molecular, lo cual
condujo a un conjunto de cantidades vli'que proporcionan la densidad de flujo de
cantidad de movimiento j a través de una superficie perpendicular a la dirección i.
Luego relacionamos los mil con los gradientes de velocidad y la presión, y encontramos que esta relación implicaba dos parámetros materiales p y K . En 51.4 y 51.5 vimos cómo surge la viscosidad a partir de la consideración del movimiento aleatorio
de las moléculas en el fluido; es decir, el movimiento molecular aleatorio respecto al
movimiento volumétrico (global) del fluido. Además, en el problema 1C.3 se demuestra cómo se origina la contribución de la presión a T , a~partir de los movimientos moleculares aleatorios.
La cantidad de movimiento puede, además, transportarse por medio del flujo
volumétrico del fluido, y este proceso se denomina transporte convectivo. Para analizarlo utilizamos la figura 1.7-1 y centramos nuestra atención en una región de forma cúbica en el espacio a través de la cual circula el fluido. En el centro del cubo
(ubicado en x, y, z ) el vector de velocidad del fluido es v. Así como hicimos en g1.2,
consideramos tres planos mutuamente perpendiculares (los planos sornbreados)
que pasan por el punto x, y, 2, y preguntamos cuánta cantidad de movimiento pasa
a través de cada uno de ellos. Se considera que cada pIano es de área unitaria.
El caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es v,. Este fluido
lleva consigo una cantidad de movimiento pv por volumen unitario. Por tanto, la
densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área sombreada es v,pv;
nótese que ésta es la densidad de flujo de cantidad de movimiento desde la región de
menor x hacia la región de mayor x. De manera semejante, la densidad de flujo
de cantidad de movimiento a través del área sombreada en (b) es vypv, y la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de1 área sombreada en (c) es u,pv.
Estos tres vectores (pv,v, pvyv y pvzv) describen la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de las tres áreas perpendiculares a los ejes respectivos.
Cada uno de estos vectores tiene una componente x-, y- y z-. Estas componentes
pueden disponerse como se muestra en la tabla 1.7-1. La cantidad pv,uy es la densi-
M. von Smoluchowski, Kolloid Zeits., 18, 190-195 (1916).
W.B. Russel, The Dynamics ofColloida1 Systms, U . of Wisconsin Press, Madison (1987), capitulo 4; W.B.Russel,
D.A. Saville y W.R. Schowalter, Colloidal Dispersions, Cambridge University Prms (1989); R.G.Larson, Tlie Ctructurc. attd
Rheology of Complm Fluids, Oxford University Press (1998).
l4
l5
38
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Figura 1.7-1 Las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de planos
de área unitaria perpendiculares a las direcciones de coordenadas.
dad de flujo convectivo de cantidad de niovimierito en la dirección y a través de una
superficie perpendicular a la dirección x. Esto debe compararse con la cantidad Try '
que es la densidad de flujo molecular de cantidad de movimiento en la dirección y
a través de una superficie perpendicular a la dirección x. La convención de signos
para ambos modos de transporte es la misma.
La colección de nueve componentes escalares proporcionadas en la tabla 1.7-1
puede representarse como
Debjdo a que cada componente d e p w tiene dos subíndices, cada uno asociado con
una dirección de coordenadas, p w es un tensor (de segundo orden); se denomina
Tabla 1.7-1 Resumen de las componentes de la densidad de flujo de cantidad
de movimiento convectivo
Dirección
normal a la cara
sombreada
Densidad de flujo
de cantidad de
movimiento a través
de la cara sombreada
Componentes de flujo de cantidad de
movimiento convectivo
Componente x
Componente y
Componente z
51.? Transporte de cantidad de movimiento convectivo 39
tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo. La tabla 1.7-1 para las
componentes del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo debe compararse con la tabla 1.2-1 para las componentes del tensor de densidad
de flujo de cantidad de movimiento molecular.
A continuación preguntamos cuál debe ser la densidad de flujo de cantidad de
movimiento convectivo a través de un elemento de superficie cuya orientación esta
dada por un vector normal unitario n (véase Ia figura 1.7-2). Si un fluido fluye a través de la superficie dS con una velocidad v, entonces el caudal volumétrico a través
de ia superficie, desde el lado negativo hacia el lado positivo, es (n v)dS. Por tanto, el caudal de cantidad de movimiento a través de la superficie es (n - v ) p v d S , y la
densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo es (n . v ) p v . Según las reglas para la notación vector-tensor proporcionadas en el apéndice A, lo anterior
también puede escribirse como [n pwl; es decir, el producto punto del vector normal unitario n con el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivopw. Si dejamos que n sea sucesivamente los vectores unitarios que apuntan
en Ias direcciones x, y, z (es decir, a,, ay y a,), obtenemos las entradas de la segunda
columna en la tabla 1.7-1.
De manera semejante, la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular total a
través de una superficiede orientación n está dada por [n . m1 = p n + [n - TI. Se entiende que ésta es la densidad de flujo desde el lado negativo hacia el lado positivo de la
superficie. Esta cantidad también puede interpretarse como la fuerza por área unitaria ejercida por el material negativo sobre el material positivo a través de la superficie. En el problema 1D.2 se proporciona una interpretación geométrica de [n rl.
En 51.2 de este capítulo definimos el transporte de cantidad de movimiento molecular, y en esta sección hemos descrito el transporte de cantidad de movimiento convectivo. Al estabIecer 10s balances de envoltura de cantidad de movimiento en el capítulo
2 y el balance general de cantidad de movimiento en el capítulo 3, encontraremos
útil definir la densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado, que es la suma de
la densidad de flup de cantidad de movimiento molecular y la densidad de flujo de
cantidad de movimiento convectivo:
Debe recordarse que la contribución p8 no contiene velocidad, sólo la presión; la
combinación p w contiene la densidad y productos de las componentes de la velocidad; y la contribución T contiene la viscosidad y, para un fluido newtoniano, es 1ineal en los gradientes de velocidad. Todas estas cantidades son tensores de segundo
orden.
La mayor parte del tiempo trataremos con componentes de estas cantidades.
Por ejemplo, Ias componentes de son
+
x
Figura 1.7-2 La densidad de flujo de cantidad de
movimiento convectivo a través de un plano de orientación
arbitraria n es (n . v)pv = [n . pvv).
40
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.7.-2 Resumen de la notación para densidades de flujo de cantidad de movimiento
Símbolo
Significado
PW
T
qr
t$
= p6 + T
= ++w
Temor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo
Tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento viscosoa
Tensor de flujo de cantidad de movimiento moleculaP
Tensor de flujo de cantidad de movimiento combinado
Referencia
Tabla 1.7-1
Tabla 1.2-1
Tabla 1.2-1
Ecuación 1.7-2
Para fluidos viscoelásticos (veaseel capítulo 8). éste debe denominarse tensor de densidad de flujo de cantidad
de movimiento viscoet6stico o tensor de esfierzo viscoelástico.
b Éste puede referirse como tensor de esfuerzo molecular.
a
y así sucesivamente, en forma paralela a las entradas de las tablas 1.2-1 y 1.7-1. La
cuestión importante por recordar es que
XY
= densidad de flujo combinado de cantidad de movimiento en la dirección y que
pasa a través de una superficie perpendicular a la dirección x por mecanismos
molecuhres y convectivos.
El segundo índice proporciona la componente de cantidad de movimiento que se está transportando y el primer índice da la dirección de transporte.
Los diversos símbolos y nornencIatura que se usan para densidades de fldjo de
cantidad de movimiento se muestran en la tabla 2.7-2. Para todas las densidades
de fiujo se utiliza la misma convención de signos.
Comparar la ley de viscosidad de Newton y la ley de elasticidad de Hooke. ¿Cual es el origen de estas "leyes"?
Verificar que "cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario" tiene las mismas unidades que "fuerza por área unitaria".
Comparar y contrastar los mecanismos molecular y convectivo para el transporte de cantidad de movimiento.
iCuáles son los significados físicos de los parámetros de Lennard-Jones y cómo pueden determinarse a partir de datos de viscosidad? ¿La determinación es única?
¿Cómo dependen las viscosidades de los líquidos y de los gases a baja densidad de la temperatura y la presión?
El potencial de Lennard-Jones depende sólo de la separación intermolecular. ¿Para qué tipos
de moléculas podría esperarse que este tipo de potencial sea inapropiado?
Bosquejar la función de energía potencial <p(r)para esferas rígidas que no se atraen.
Las moléculas que sólo difieren en sus isótopos atómicos tienen los mismos valores de los parámetros de potencial de Lennard-Jones.¿Esperaría usted que la viscosidad del CD4 sea mayor o menor que la del CH, a las mismas temperatura y presión?
La viscosidad del fluido A es el doble de la viscosidad del fluido B; ¿qué fluido esperaría que
fluyese más rápido a través de un tubo horizontal de longitud L y radio R cuando se impone
la misma diferencia de presión?
Hacer un bosquejo de la fuerza intermolecular F ( r ) obtenida a partir de la función de Lennard-Jones para cp(r). También, determinar el valor de r, en la figura 1.4-3en términos de los
parámetros d e Lennard-Jones.
Problemas 41
11. ¿Qué conceptos básicos se utilizan al pasar de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación
1.1-2 a la generalización en la ecuación 1.2-6?
12. ¿Qué obras de referencia pueden consultarse para encontrar más información acerca de la
teoría cinktica de los gases y los líquidos, y también para obtener empirismos útiles para
calcular Ia viscosidad?
PROBLEMAS
@ Estimarión de la viscosidad de un gas denso. Estimar la viscosidad del nitrógeno a 68°F y 1000 psig por medio de la figura 1.3-1, usando la viscosidad crítica de la tabla
E.1. Proporcionar el resultado en unidades de lb,/pie - s.
para el significado de "psig", consulte la tabla F.3-2.
Respuesta: 1.4 X
lb,/pie
. s.
zvc
67 q
m .
l k 2 Estimación de la viscosidad del fluonuo de metilo. Usar la figura 1.3-1para encontrar la viscosidad en Pa . s
del CH3F a 370°C y 120 atm. Usar los valores siguientes1
para las constantes criticas: T, = 4.5S°C,p, = 58.0 atm, p, =
0.300 g/cm3.
1A.3 Cálculo de las viscosidades de gases a baja densidad. Pronosticar las viscosidades del oxígeno, nitrógeno y
metano moleculares a 20°C y presión atmosférica, y expresar los resultados en d a . s. Comparar los resultados con
datos experimentales proporcionados en este capítulo.
Respuestas: 0.0202,0.0172,0.0107 d a . s.
l k 4 Viscosidades de mezclas de gases a baja densidad.
- Disponer de los datos siguientes2para b s viscosidades de
Estimación de la viscosidad líquida. Estimar la visde agua líquida saturada a_O0Cy a 100°C por medio de a) la ecuación 1.5-9, con AUWp = 897.5 Btu/lb, a
10O0C,y b) la ecuaci6n 1.5-11. Comparar los resultados con
los valores de la tabla 1.1-2.
C Y le
~ & c fi ,_ks-:.
'"'S
Respuesta: b) 4.0 cp, 0.95 cp
q
1A.7 Velocidad molecular y trayectoria libre media. Calcu r la velocidad molecular media U (en crnjs) y la trayectoria libre media h (en cm) para el oxígeno a 1 atm y 273.2
K. Un valor razonable para d es 3 A. iCu61 es la razón de la
payectoria libre media al diametro molecular bajo estas
condiciones? ¿Cuál sería el orden de magnitud de la razón
correspondiente en el estado líquido?
Respuestas: ii = 4.25 x
lo4 cm/s, A = 9.3 x
cm
I
Perfiles de velocidad y las componentes de esfuer-
lB.l
zo vi.. Para cada una de las siguientes distribuciones de ve-
locidad, hacer un bosquejo que tenga sentido y que
muestre el patrón de flujo. Después encontrar todas las
componentes de r y p w para el fluido newtoniano. El parámetro b es una constante.
mezclas de hidrógeno y Freón-12 (diclorodifiuorometano~
a) U, = by, v = O, v, = O
a 25°C y 1 atm:
Y
b) v, = by, uY = bx, v, = O
c)v,= -by,v Y =bx,v-,=O
Fracción molar de H2: 0.w 0.25 0.50 0.75 1.00
p x lo6 (poise):
124.0 128.1 131.9 135.1 88.4
d) U, = - :bx, y = - :by, u, = bz
Usar las viscosidades de las componentes puras para calcular las viscosidades a las tres composiciones intermedias
por medio de las ecuaciones 1.4-15 y 1.4-16.
Respuesta muestra: A 0.5, p
= 0.01317 cp
lA.5 Viscosidades de mezclas cloro-aire a baja densidad, Pronosticar las viscosidades (en cp) de mezclas cloroaire a 75°F y 1 atm, para las siguientes fracciones molares
de cloro: 0.00, 0.25,0.50,0.75,1.00. Considerar el aire como
una componente simple y use las ecuaciones 1.4-14 a 1.4-16.
Respuestas: 0.0183,0.0164,0.0150,0.0139,0.0130
cp
18.2 Un fluido en estado de rotaci6n rígida.
a) Comprobar que la distribución de velocidad (c) en el
problema 1B.1 describe un fluido en un estado de rotaci6n
pura; es decir, que el fluido está girando como un cuerpo rígido. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación?
b) Para ese patrón de flujo, evaluar las combinaciones simétricas y antísimétricas de las derivadas de la velocidad:
Comentar los resultados del inciso b) en relación con el
desarrollo en 51.2.
C)
-
1B.3 Viscosidad de suspensiones. Los datos de Vand"
para suspensiones de pequeñas esferas de vidrio en solu-
'
K.A. Kobe y R.E.Lynn, Jr., Chem. Revs. 52, 117-236 (1953),véase
pág. 202.
,
* J.W. Buddenberg y C.R.Wiike, Ind. Eng. Chem.41,1345-1347(1949).
".
Vand, J. Phys. Colloid Chem., 52,277-299,300-314,314-321(1948)
42
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
ciones de glicerol acuosas de ZnI, pueden representarse
hasta aproximadamente 4 = 0.5 mediante la expresión semiempírica
Comparar este resultado con la ecuación 1.62.
Respuesta: la ecuación de Mooney proporciona un buen
ajuste de los datos de Vand si a $o se le asigna el muy razonable valor de 0.70.
1C.2 Frecuencia de colisiones con la pared. Se quiere encontrar la frecuencia Z con que las moléculas de un gas
ideal golpean un área unitaria de una pared, solamente en
un lado. El gas esta en reposo y en equilibrio con una temperatura T y el número de densidad de las moléculas es n.
Todas las moléculas tienen masa m. Todas las moléculas en
la región x < O con u, > O golpearán un área S en el plano yz
en un tiempo corto At si están en el volumen Su$. El número de colisiones contra la pared por área unitaria por
tiempo unitario ser5
1C.1 Algunas consecuencias de la dietribuci6n de Maxwell-Boltzmann. En la teoría cinética simplificada en 51.4,
se hicieron varias afirmaciones sin demostrar conceniientes al comportamiento de un gas en equilibrio. En este problema y en el siguiente se muestra que algunas de esas
afirma'ciones son consecuencias exactas de la distribución
de velocidad de Maxwell-Boltzmann.
La dis+ribuci6nde Maxwell-Boltzmann de velocidades
molenilares en un gas ideal en reposo es
donde u es la velocidad molecular, n es el niimero de densidad y f(u,, u y uJdu$u,fu, es el número de moléculas por
volumen unitano del que se espera tenga velocidades entre
u, y u, + d u , uy y u y + du,,, u, y u, + du,. A partir de esta
ecuación se concluye que la distribución de la velocidad
molemlar u es
a) Verificar la ecuación 1.4-1 obteniendo la expresión para
la velocidad media ü a partir de
b) Obtener los valores medios d e las componentes de la velocidad TI, iiy
y üZ.El primero d e estos se obtiene a partir de
Verificar el desarrollo anterior.
1C.3 Presión de un gas ideaL4 Se desea obtener la p r e
si6n que un gas ideal ejerce sobre una pared teniendo en
cuenta la velocidad de transferencia de cantidad de movimiento de las moléculas a la pared.
a) Cuando una molécula que se desplaza a una velocidad u
choca con una pared, las componentes de la velocidad de
llegada son u , uy y u,, y después de una reflexión especular en la pared, sus componentes son -u,, uy y u,. Así, la
cantidad de movimiento neta transmitida a la pared por
Ia mol6cluIa es 2mu,. Las moléculas cuya componente x de
la velocidad es igual a u , y que chocarán con la pared durante un breve intervalo de tiempo At, deben estar dentro
del volumen Su,At. ¿Cuántas moléculas con componentes
de velocidad en el internalo de u,, u ,u, a u, + Au,, uy + Auy,
u, + bu, chocarán contra un área h e la pared con una v e
locidad u, en un intervalo de tiempo At? El resultado será
flux, U ,uZ)du$u#uz por Su,ht. Asf, la presión que ejerce el
gas sotre la pared será
¿Qué puede concluirse a partir de los resultados?
C)
Obtener la energía cinética media por molécula mediante
Explicar con todo detalle c6mo se obtuvo esta expresión.
Verificar que esta relación es dimensionalmente correcta.
b) Inserte la ecuación lC.I-1 para la distribución en equilibrio de Maxwell-Boitzmann en la ecuación lC.3-1 y efectúe
q
El resultado correcto es m 7 = KT.
R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physical Chemistry, Wiley, Nueva York, 3a.
edición (20011,pp. 639-640.
Problemas 43
la integración. Verificar que este procedimiento conduce a
= n ~ Tla, ley del gas ideal.
1 ~ . 1Rotación uniforme de u n fluido.
a) Verificar que la distribución de velocidad en un fluido en
estado de rotación pura (es decir, que gira como un cuerpo
deido),
es v = [w x rl, donde w es la velocidad angular
"
(una constante) y r es el vector de posición, con componentes x, y, z.
b) LCuálesson Vv + (VvIt y (V-v)para el campo de flujo en
el inciso a)?
b) Demostrar que según la tabla 1.2-1, la fuerza por área
unitaria sobre AOBC es 6 , + Gy.rr
~
presiones de fuerza semejantes para
+ 6 , ~ , Escriba ex-
XOCAy AOAB.
C) Demostrar que el balance de fuerzas para el elemento de
volumen OABC da
= S ~ < n . ~ i ) ( ~ i ~ q )8i=q91
i n . g ~ (1~.2-1)
' 1
donde los índices i, j toman los valores x, y, z. La doble operación suma en la Última expresión es el tensor de esfuerzo
u escrito como una suma de productos de díadas unitarias
y componentes unitarias.
hterpretar la ecuación 1.2-7 en términos de los resultados del inciso b).
c)
1D.2 Fuerza sobre una superficie de orientación arbitrarias (figura 1D.2) Considerar el material dentro de un elemento de volumen OABC que se encuentra en estado de
equilibrio, de modo que la suma de las fuerzas que actúan
sobre las caras triangulares AOBC, AOCA, AOAB y
AABC debe ser cero. Sea dS el área de AABC,y sea e1 vector r, la fuerza por área unitaria que actúa desde el lado
negativo hacia el lado positivo de dS. Demostrar que T,I =
[n .TI.
a) Demostrar que el área de AOBC es la misma que el área
de la proyección AABC sobre el plano yz; esta área es (n .
8JdS. Escriba expresiones similares para las áreas de
AOCA y AOAB.
M.Abraham y R. Becker, The Classical Theory of Elechicity and Magnetism, Blackie and Sons, Londres (19521, pp. 44-45.
Figura 1D.2 Elemento de volumen OABC sobre el que se
realiza un balance de fuerzas. El vector a, = [n . r]es la
fuerza por área unitaria ejercida por el material negativo
(material dentro de OABC) sobre el material positivo (material
fuera de OABC).El vector n es el vector normal unitario
dirigido hacia afuera sobre la cara ABC.
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento
en la envoltura y distribuciones
de velocidad en flujo laminar
2 .
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite
g2.2
Flujo de una película descendente
52.3
Flujo a través de un tubo circular
52.4
Flujo a través de un tubo conc~ntrico
52.5
Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes
9.6
Flujo reptante alrededor de una esfera
En este capítulo mostraremos cómo obtener los perfiles de velocidad para flujos laminares de fluidos en sistemas de flujo simples. En estas deducciones se utilizan la
definición de viscosidad, las expresiones para las densidades de flujo de cantidad
de movimiento rnolecular y convectivo, y el concepto de balance de cantidad de movimiento. Una vez que se obtienen los perfiles de velocidad, a continuación es posible obtener otras cantidades como la velocidad máxima, la velocidad media o el
esfuerzo cortante en una superficie. A menudo, estas últimas son las cantidades de
interés en problemas de ingeniería.
En la primera sección se hacen algunas observaciones generales sobre cómo establecer balances diferenciales de cantidad de movimiento. En las secciones que siguen trabajaremos en detalle varios ejemplos clásicos de patrones de flujo viscoso.
Estos ejemplos deben comprenderse a fondo, ya que en capítulos posteriores se presentarán frecuentes ocasiones para referirnos a ellos. Aunque estos problemas son
más bien simples e implican sistemas ideahados, no por ello dejan de usarse a menudo para resolver problemas prácticos.
Los sistemas que se estudian en este capítulo están dispuestos de modo que el
lector pueda dominar poco a poco una variedad de factores que se presentan en la
solución de problemas de flujo viscoso. En 52.2, el problema de la película descendente ilustra el papel de la fuerza de gravedad y el uso de las coordenadas cartesianas; también muestra cómo resolver el problema cuando la viscosidad puede ser
una función de la posición. En 52.3, el flujo en un tubo cilíndrico ilustra el papel de
las fuerzas de presión y de gravedad, así como el empleo de las coordenadas cilíndricas; se proporciona una extensión aproximada al flujo compresible. En 52.4, el
flujo entre tubos concéntrico, anular, cilíndrico, recalca el papel desempeñado por
las condiciones límite. Después, en 52.5, la cuestión de las condiciones Límite se
aborda con más detalle en el análisis de1 flujo de dos líquidos adyacentes inmiscibles. Por último, en g2.6 se analiza brevemente el flujo alrededor de una esfera para
ilustrar un problema en coordenadas esféricas y también para indicar cómo manipular las fuerzas tanto tangenciales como normales.
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de vefocidad en flujo laminar
46
1 Fluido que contiene
11
partículas diminutas
Figura 2.0-1 a) Flujo laminar: las capas del
fluido se mueven suavemente unas sobre
otras en la dirección del flujo, y b) flujo
turbulento: el patrón de flujd es complejo y
dependiente del tiempo, con considerable
movimiento perpendicular a la dirección
principal de flujo.
1
Los métodos y problemas de este capítulo son válidos sólo para flujo estacionario. Por "estacionario" se entiende que las componentes de presión, densidad y velocidad en cada punto de la corriente no cambian con el tiempo. Las ecuaciones
generales para flujo no estacionario se proporcionan en el capitulo 3.
Este capitulo sólo se ocupa del flujo laminar, es decir, el flujo ordenado que se observa, por ejemplo, en el flujo por un tubo a velocidades lo suficientementebajas de
modo que partículas minúsculas inyectadas en el tubo se mueven siguiendo una 1ínea delgada. Esto contrasta de manera muy clara con el caótico "flujo turbulento" a
velocidades suficientemente altas donde las partículas son arrojadas y dispersadas
a lo largo de toda la sección transversal del tubo. El flujo turbulento constituye el tema del capítulo 5. Los dibujos que se muestran en la figura 2.0-1 ilustran la diferencia entre los dos regímenes de flujo.
2.1 BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA ENVOLTURA
Y CONDICIONES LÍMITE
Los problemas que se analizan en los apartados 52.2 a 52.5 se abordan estableciendo balances de cantidad de movimiento sobre una delgada "envoltura" del fluido.
Para flujo estacionario, el balance de cantidad de movimiento es
velocidad
de entrada de
cantidad
de movimiento
por transporte
. convectivo
'
' velocidad
! I
de salida de
cantidad
de movimiento
por transporte
convectivo
.
velocidad
de entrada de
cantidad de
movimiento
por transporte
. molecular
'
' velocidad
de salida de
cantidad de
movimiento
por transporte
. molecular
fuerza de
gravedad que
Éste es un planteamiento restringido de la ley de conservación de la cantidad de movimiento. En este capítulo aplicamos tal planteamiento sólo a una componente de la
cantidad de movimiento; a saber, la componente en la dirección del flujo. Para escribir el balance de cantidad de movimiento se requieren las expresiones para las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo dadas en la tabla 1.7-1 y las
densidades de flujo de cantidad de movimiento molecular dadas en la tabla 1.2-1;
debe recordarse que la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular incluye las contribuciones de la presión y la viscosa.
En este capítulo e1 balance de cantidad de movimiento se aplica sólo a sistemas
en los que únicamente hay una componente de velocidad, que depende sólo de una
variable espacial; además, el flujo debe ser rectilíneo. En el capítulo siguiente el con-
52.1
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite 47
cepto de balance de cantidad de movimiento se extiende a sistemas de estado no estacionario con movimiento curvilíneo y con más de una componente de velocidad.
En este capítulo, el procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo
viscoso es como sigue:
Se identifican la componente de velocidad que no se elimina y la variable espacial de la cual depende.
Se escribe un balance de cantidad de movimiento de la forma de la ecuación
2.1-1 sobre una delgada envoltura perpendicular a la variable espacial relevante.
Se hace que el espesor de la envoltura tienda a cero y se usa la definición de
la primera derivada para obtener la ecuación diferencial correspondiente para la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
Se integra esta ecuación para obtener la distribución de densidad de flujo de
cantidad de movimiento.
Se inserta la ley de viscosidad de Newton y se obtiene una ecuación diferencial para la velocidad.
Se integra esta ecuación para obtener la distribución de velocidad.
Se usa la distribución de velocidad para obtener otras cantidades, como la velocidad máxima, la velocidad media o la fuerza sobre superficies sólidas.
En las integraciones mencionadas antes aparecen varias constantes de integración,
mismas que se evalúan usando "condiciones límite"; es decir, postulados acerca de
la velocidad o el esfuerzo en los límites del sistema. Las condiciones límite (condiciones frontera) de mayor uso son las siguientes:
a. En interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con
que se mueve la superficie sólida; esta afirmación se aplica tanto a la componente tangencia1 como a la componente normal del vector velocidad. La
igualdad de las componentes tangenciales se denomina "condición sin deslizamiento".
b. En un plano interfacial líquido-líquido de x constante, las componentes tangenciales de velocidad o y v, son continuas a través de la interfase (la "condición sin deslizamient~"),así como también lo son las componentes del
tensor de esfuerzo molecular p + T ~ , , rxyy 7=.
c. En un plano interfacial líquido-gas de x constante, las componentes del tensor
de esfuerzo 7ry y 7xzse toman como iguales a cero, siempre que el gradiente de
velocidad del lado del gas no sea demasiado grande. Esto es razonable, ya
que las viscosidades de los gases son mucho menores que las de Ios líquidos.
En las condiciones limite anteriores se presupone que a través de la interfase no pasa ningirn material; es decir, que en la superficie entre las dos fases no hay adsorción, absorción, disolución, evaporación, fusión o reacción química. Las condiciones
límite que contemplan estos fenómenos aparecen en los problemas 3C.5 y 11C.6,así
como en s18.1.
En esta sección hemos presentado algunas directrices para resolver problemas
s e n d o s de flujo viscoso. En algunos problemas puede ser conveniente hacer ligeras modificaciones a estas directrices.
48
92.2
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
FLUJO DE UNA PEL~CULA
DESCENDENTE
El primer ejemplo que se anafizará es el del flujo de un líquido que desciende por
una lámina plana inclinada de longitud L y ancho W, como se muestra en la figura
2.2-1. Estas películas se han estudiado en conexión con torres de pared mojada, experimentos de evaporación y absorción de gases, así como aplicaciones de recubrimientos. Se considera que la viscosidad y la densidad del fluido son constantes.
Es difícil hacer una descripción completa del flujo líquido debido a las perturbaciones que hay en los bordes del sistema ( z = 0, z = L, y = O, y = W).
A menudo es
posible obtener una descripción adecuada si se ignoran dichas perturbaciones, particularmente si W y L son grandes en comparación con el espesor 6 de la película.
Para caudales pequeños es probable que las fuerzas viscosas eviten una aceleración
continua del liquido que desciende por la pared, de modo que v, se vuelve independiente de z en una distancia corta hacia abajo en la lámina. En consecuencia, parece
razonable postular que v, = v,(x), vx = O y vy = O, y además que p = p(x). A partir de
la tabla B.1 se observa que las únicas componentes de T que no se eliminan son entonces T~~ = rzr = -p(dvz/dx).
Ahora, como "sistema" seleccionamos una delgada envoltura perpendicular a
la dirección x (véase la figura 2.2-2). Después efectuamos un balance de cantidad de
movimiento en la dirección z sobre esta envoltura, que es una región de espesor Ax,
acotada por los planos z = O y z = L, y que se extiende una distancia W en la dirección y. Las varias contribuciones al balance de cantidad de movimiento se obtienen
entonces con ayuda de las cantidades en las columnas "componente z" de las tablas
1.2-1 y 1.7-1. Al usar las componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad
de movimiento combinado" definido en 1.7-1a 1.7-3,podemos incluir de una vez
todos los mecanismos posibles para el transporte de cantidad de movimiento:
+,
@
(3
velocidad de entrada de cantidad
de movimiento en la dirección za través
de la superficie en z = O
(w~)$,,I,=o
velocidad de salida de cantidad de
movimiento en la dirección .z a través de
la superficie en z = I,
(WW$zzlz=~
velocidad de entrada de cantidad de
movimiento en la direccibn r a haves
de la superficie en x
(2.2-1)
(Lw($xz)
lx
velocidad de salida de cantidad de
@ movimiento en la dirección z a través
de la superficie en x + Ax
(Lw)(#xz)I x + h
Perturbación de entrada y
&Entrada
de líquido
Perturbación de salida
&,VI
1.1
a
Direcci6n de
la gravedad
Figura 2.2-1 Diagrama
esquemático del experimento de
" la descendente, donde
la
a n pelicu'
,
,i n r l i r s los efectos finales.
.
52.2 Flujo de una película descendente 49
fuerza de gravedad que actúa sobre
e1 fluido en la dirección t
(LW AxNpg cos P)
(2.2-5)
Al usar las cantidades 4
, y #, se toma en cuenta el transporte de cantidad de movimiento en la dirección z a través de todos los mecanismos, convectivo y molecular. Nótese que tomamos las direcciones hacia "adentro" y hacia "afuera', en la
dirección de los ejes x y z positivos (en este problema ocurrió que éstas coincidieron
con las direcciones del transporte de cantidad de movimiento en la dirección 2). La
significa "evaluado en x + Ax", y g es la aceleración de la gravedad.
notación I x + h x
Cuando estos términos se sustituyen en el balance de cantidad de movimiento
en la dirección z de la ecuación 2.1-1. se obtiene
Cuando esta ecuación se divide entre LWAx y se toma el limite cuando Ax tiende a
cero, se obtiene
El primer término del miembro izquierdo es exactamente la definición de la derivada de @
, respecto a x. En consecuencia, la ecuación 2.2-7 se convierte en
En este momento es necesario escribir explícitamente qué Son las componentes @, y
$
,, usando la definición de en las ecuaciones 1.7-1 a 1.7-3 y las expresiones pay T,, que se proporcionan en el apéndice 8.1. Esto asegura que no omitimos ninra -rXZ
guna de las formas de transporte de cantidad de movimiento. Por tanto, obtenemos
+
y= W
,
\
\
z =L
~ i r e c u 6 nde
la gravedad
Figura 2.2-2 Envoltura de espesor Ax sobre la que se realiza un balance de cantidad de
movimiento en la direcci6n z. Las flechas muestran las densidades de flujo de cantidad
de movimiento asociadas con las superficies de la envoltura. Debido a que v, y vy son ambas
cero, pvp, y pv Yu son cero. Como v, no depende de y y z, a partir de la tabla B.l se concluye que
T~~ = O y rtt = O. Por consiguiente, no es necesario considerar las densidades de flujo subrayadas
con una lhea discontinua. Tanto p como p,u, son iguales en z = O y z = L, y por tanto no aparecen
en la ecuación fina1 para el balance de cantidad d e movimiento en la dirección z, ecuaci6n 2.2-10.
D
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Siguiendo los postulados de que u, = vz(x),v, = O, v = O, y p = p(x), vemos que i) debido a que v x = O, el término pup, en la ecuación $2-9a es cero; ii) como vZ= U,(*),
el término -&(dv,/d,)
en la ecuación 2.2-9b es cero; üi) como v, = v,(x), el término
pvp, es e1 mismo en z = O y z = L; y iv) como p = p(x), la contribución de p es la misma
en z = O y z = L. Por tanto, T~ depende sólo de x, y la ecuación 2.2-8 se simplifica a
Ésta es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento
T ~Puede
~ . integrarse para obtener
TXZ=
bg COS /3)x
+ C1
(2.2-11)
La constante de integración puede evaluarse usando la condición limite en la interfase gas-líquido (véase s2.1):
La sustitución de esta condición límite en la ecuación 2.2-11 muestra que CI = O. En
consecuencia, la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento es
1
T,,
(2.2-13)
= (pg cos B)x
como se muestra en la figura 2.2-3.
1
.
-
X
Distribución de densidad
la gravedad
< c(
,'-
'
Figura 22-3 Resultados finales para el problema de la película descendente, en los que re
indican la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribución de
velocidad. También se muestra la envoltura de espesor Ax sobre la que se realizó el balance de
cantidad de movimiento.
1
52.2
Flujo de una película descendente 51
A continuación se sustituye la ley de viscosidad de Newton
en el miembro izquierdo de la ecuación 2.2-13 para obtener
que es la ecuación diferencial para la distribución de velocidad. Puede integrarse
para llegar a
La constante de integración se evalúa usando la condición límite sin deslizamiento
en la superficie sólida:
C.L. 2:
enx=d,
v,=O
(2.2-17)
La sustitución de esta condición limite en la ecuación 2.2-16muestra que C2 =@gcos
B/&)d2. Por consiguiente, la distribución de velocidad es
Esta distribución parabólica de velocidad se muestra en la figura 2.2-3. Es consistente con los postdados hechos inicialmente y, por tanto, debe ser una solución posible.
Otras soluciones pueden ser posibles, pero normalmente se requieren experimentos
para establecer si en realidad es posible que se presenten otros patrones de flujo.
Volveremos a esta cuestión después de la ecuación 2.2-23.
Una vez que se conoce la distribución de velocidad, es posible calcular varias
cantidades:
i) La velocidad máxima v,,,,
es claramente la velocidad en x = O; es decir,
vz,m&x =
pg~2
COS p
2~
ii) La velocidad media (v,) sobre una sección transversal de la película se obtiene
como sigue:
52
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
La doble integral en el denominador de la primera línea es el área de la sección
transversal de la película. La doble integral en el numerador es el caudal volumétrico que pasa a través de un elemento diferencial de la sección bansversal, v#x dy, integrado cobre toda la sección transversal.
iii) La velocidad de flujo másico w se obtiene a partir de la velocidad media o por
integración de'la distribución de velocidad
W
w=
1,
6
pv,dxdy = pWG(oz) =
p 2 g ~ G 3COS p
3~
iv) El espesor de la película S puede proporcionarse en términos de la velocidad
media o de la velocidad de flujo másico como sigue:
v) La fuerza por área unitaria en la dirección z sobre un elemento de superficie
perpendicular a la dirección x es + 7, evaluado en x = S. Ésta es la fuerza ejercida
por el fluido (región de menor x ) sobre la pared (región de mayor x). La componente z de la fuerza F del fluido sobre la superficie del sólido se obtiene al integrar el esfuerzo cortante sobre la interface fluido-sólido:
Ésta es la componente z del peso del fluido en toda la película, como era de esperar.
Observaciones experimentales de películas descendentes muestran que en realidad hay tres "regímenes de flujo", y que éstos pueden clasificarsesegún el número
de Reynolds,l Re, para el flujo. Para películas descendentes, el número de Reynolds
. los tres regímenes de flujo son:
se define como Re = 4 3 ( ~ , ) p / ~Así,
flujo laminar con ondulaciones despreciables
flujo laminar con ondulaciones pronunciadas
flujo turbulento
Re < 20
20 < Re < 1500
Re > 1500
El análisis que se acaba de proporcionar es válido sólo para el primer régimen, ya
que fue restringido por los postulados que se plantearon al principio. En la superficie del fluido aparecen ondulaciones a todos los números de Reynolds. Para números de Reynolds menores que aproximadamente 20, las ondulaciones son muy
largas y crecen más bien de manera lenta a medida que se desplazan hacia abajo por
la superficie del líquido; como resultado, las fórmulas que se obtuvieron antes son
útiles hasta aproximadamente Re = 20 para láminas de longitud moderada. Por arriba de ese valor de Re, el crecimiento de la ondulación aumenta bastante rápido, aunque el flujo siga siendo laminar. Aproximadamente a Re = 1500, el flujo se vuelve
'La denominación de este gmpo admensional se debe a Osborne Reynolds (1842-1912),profesor de ingeniería
en la Universidad de Manchester, quien estudió la transición laminar-turbulento, la transmisi6n turbulenta de calor y
la teoría de la lubricacián. En el siguiente capítulo veremos que el número de Reynolds es la razón de las fuerzas
inerciales contra las fuerzas viscosas.
$2.2 Flujo de una película descendente 53
Irregular y caótico, por lo que se dice que es hirb~lento.~J
Hasta el momento no resulta claro por qué para delinear los regímenes de flujo debe usarse el valor de1 número de Reynoids. En el apartado s3.7 se tratará con más detalle esta situación.
Las reflexiones anteriores ilustran un aspecto muy importante: el análisis teórico de los sistemas de flujo esth limitado por los postulados que se estabIecen al plantear el problema. Es absolutamente necesario realizar experimentos a fin de
establecer los regímenes de flujo con Ia intención de conocer cuándo ocurren inestabilidades (oscilacionesespontáneas) y cuándo el flujose vuelve turbulento. Mediante el análisis teórico puede obtenerse alguna información sobre el principio de Ja
inestabilidad y la delimitación de los regímenes de flujo, aunque éste es un tema extraordinariamente dificil. Éste es un resultado de la naturaleza no lineal intrínseca
de las ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos, como se explicará en el capítulo
3. En este momento basta señalar que los experimentos desempeñan un papel muy
importante en el campo de la dinámica de fluidos.
Cdlculo de la
de una película
Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2 x
m2/s y una densidad de 0.8 X 10"
kg/m3. Si se desea tener una película descendente de espesor igual a 2.5 rnm en una pared
vertical, jcuál debe ser la velocidad de ffujo másico del líquido?
Según la ecuación 2.2-21, la velocidad de flujo rnásico en kg/s es
Así, para obtener la velocidad de flujo másico es necesario insertar un valor para el ancho de
la pared en metros. Éste es el resultado deseado en ef supuesto de que el flujo sea iaminar y
sin ondulaciones. Para determinar el régimen de flujo se calcula el nhmero de Reynolds,
usando las ecuaciones 2.2-21 y 2.2-24
Este numero de Reynolds es lo suficientemente bajo como para que las ondulaciones no sean
pronunciadas, y en consecuencia la expresión para ia velocidad de flujo másico en la ecuaci6n 2.2-24 es razonable.
con
Pel*cula
viscasidud variable
Vuelva a trabajar eI problema de la película descendente para una viscosidad dependiente de
la posiciónp = ,uoecax/s, que surge cuando la película no es isotbrmica, como en la condensación de un vapor sobre una pared. Aquí yoes la viscosidad en la superficie de la película y a
es una constante que describe lo rápido que disrninuyep a medida que x crece. Una variacion
así podría presentarse en el flujo de un condensado que desciende par una pared con un gradiente de temperatura lineal a través de la película.
G D Fuiford, Adv C h m Engr., 5,151 236 (19641, C Wiutaker, htd Eng C h Fund , 3 132-142 (1964), VG
Levich, Physicochemical Hydrodimics, Prentice-Haii, Englewood CLúfs, NJ (2962)
H -C Chang, Ann R ~ Fhrd
G Mech, 26,10$136 ( 1 9 4 ) ; S H Hwang y H -C Chang, Phys Flurds, 30.1259-1268
(1987)
54 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en fluJolaminar
El desarrollo procede como antes hasta la ecuación 2.2-13. Después, al sustituir la ley de Newton con la variable viscosidad en la ecuación 2.2-13se obtiene
Esta ecuaci6n puede integrarse, y usando las condiciones límite en la ecuacibn 2.2-17 es posible evaluar la constante de integracibn.Así, el perfil de velocidad es
Como verificación evaluamos la distribución de velocidad para el problema de viscosidad
constante (es decir, cuando a es cero). No obstante, al hacer a = O se obtiene m - en las dos
expresiones entre paréntesis.
Esta dificultad puede superarse si las dos exponenciales se expanden en serie de Taylor
(véase 92.2) como sigue:
lo que coincide con la ecuación 2.2-18.
A parti* de Ia ecuación 2.2-27 puede demostrarse que la velocidad media es
El lector puede comprobar que este resultado se simplifica a la ecuación 2.2-20cuando a tiende a cero.
$2.3 FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR
EI flujo d e fluidos e n tubos circulares e s algo común e n física, química, biología e ingeniería. El flujo laminar de fluidos e n tubos circulares puede analizarse por medio
del balance de cantidad de movimiento descrito e n 52.1. La única característica nueva que se introduce aquí es el uso d e coordenadas cilíndricas, que son las coordenad a s naturales para describir posiciones en u n tubo d e sección transversal circular.
Así, consideramos el flujo laminar, en estado estacionario, d e u n fluido d e densidad constante p y viscosidad p en u n tubo vertical de longitud L y radio R. El 1íquido fluye hacia abajo por influencia d e una diferencia d e presión y d e gravedad;
el sistema d e coordenadas es el q u e se muestra en' la figura 2.3-1. Se especifica q u e
la longitud del tubo es muy grande respecto al radio del tubo, d e modo que los
92.3 Flujo a través de un tubo circular 55
+=Id = densidad de flujo
de cantidad de movimiento de
entrada en la dirección z en z = O
= densidad de flujo de
cantidad de movimiento de salida
en la dirección z en r + Ar
+-
Pared del tubo
Figura 2.3-1 Envoltura cilíndrica de fluido
sobre la que se realizó el balance de cantidad de
movimiento en la dirección z para flujo axial en
un tubo circular (véanse las ecuaciones 2.3-1 a
2.3-5). Las densidades de flujo de cantidad de
movimiento $, y #
, en la dirección z se
proporcionan completamente en las ecuaciones
2.3-9a y 2.3-9b.
&lz=L
= de'ncidad de flujo de
cantidad de movimiento de salida
en la dicción z enz = L
"efectos finales" carezcan de importancia a lo largo de la mayor parte del tubo; es
decir, podemos ignorar el hecho de que en la entrada y en la salida del tubo el flujo
no necesariamente es paralelo a la pared del tubo.
Postulamos que u, = v,(r), v, = O, v, = O y p = p(z). Con estos postulados, a partir de la tabla B.l puede verse que las únicas componentes de 7 que no desaparecen
son T~~ = rZr= -,u(dvz/dr).
Como sistema se elige una envoltura cilindrica de espesor Ar y longitud L, y comenzarnos por enumerar las diversas contribuciones al balance de cantidad de movimiento en la dirección z:
d=fv
velocidad de entrada de cantidad de
movimiento en la dirección z a través de la
superficie en tubos concéntricos en z = O
(2~rAr)@~~)l~=o
(2.3-1)
velocidad de salida de cantidad de
movimiento en la dirección z a través de la
superficie en tubos concéntricos en z = L
(2mAr)(@,,)Iz=~
(2.3-2)
velocidad de entrada de cantidad de
movimiento en la dirección z a través
de la superficie cilindrica en r
(2rrL)(#rz)lr= (2mWJIr
(2.3-3)
velocidad de salida de cantidad de
movimiento en la dirección z a través
de la superficie cilíndrica en r + Ar
( 2 4 r -I-~ r ) L ) ( $ ~ ~= )( l2~~+r ~L ~$ ~ ~(2.3-4)
)l~+~~
fuerza de gravedad que actúa en la
dirección z sobre la envoltura
cilíndrica
'
(2.rrrArL)pg
(2.3-5)
56 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujolaminar
Las cantidades #, y $, explican el transporte de cantidad de movimiento por todos
los mecanismos posibles, convectivo y molecular. En la ecuación 2.3-4, (r + Ar) y
(r)l,+h,son dos formas para escribir lo mismo. Nótese que consideramos que la "entrada" y la "salida" están en las direcciones positivas de los ejes r y z.
Ahora sumamos las contribuciones al balance de cantidad de movimiento:
Al dividir la ecuación 2.3-6 entre 2 d A r y tomar el limite como Ar
+
O, se obtiene
La expresión del miembro izquierdo es la definición de la primera derivada de r$,
respecto a r. Por tanto, la ecuación 2.3-7 puede escribirse como
Ahora es necesario evaluar las componentes #, y $, a partir de la ecuación 1.7-1 y
el apéndice B.l:
A continuación tomamos en consideración los postulados que se hicieron al principio del problema; a saber, que v, = vz(r),v, = O, u* = O y p = p(z). Después hacemos
las siguientes simplificaciones:
i) como u, = O, podemos eliminar el término pv,v, en la ecuación 2.3-9a; ii) debido a
que v, = v,(r), el término pv,v, es el mismo en ambos extremos del tubo; y iii) ya que
u, = v,(r), el término -2pdvz/8z es el mismo en ambos extremos del tubo. Por tanto, la ecuación 2.3-8 se simplifica a
donde Y = p - pgz es una abreviatura conveniente para la suma de los términos de
presión y gravedad.1 Es posible integrar la ecuación 2.3-10 para obtener
'
La cantidad designada por 9 se denomina presidn modifimda. En general se define mediante 9 = p +pgh, donde
h es la distancia "hacia arriba", es decir, en la dirección opuesta a la gravedad a partir de algún plano de referencia
seleccionadode antemano. Por tanto, en este problema h = z .
52.3 Fiujo a través de un tubo circular 57
La constante C1 se evalúa utilizando la condición límite
C.L. 1:
en r = 0,
rn = finito
(2.3-12)
En consecuencia, CI debe ser cero, ya que en caso contrario la densidad de flujo de
cantidad de movimiento seria infinita en el eje del tubo. Por tanto, la distribución
de densidad de flujo de cantidad de movimiento es
Esta distribución se muestra en la figura 2.3-2.
La ley de viscosidad de Newton para esta situación se obtiene a partir del apéndice B.2 como sigue:
Luego, al sustituir esta expresión en la ecuación 2.3-13 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la velocidad:
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse
para obtener
La constante C2 se evalúa a partir de la condición límite
Distribución parabólica
de velocidad v,(r)
Distribuciún lineal de la
densidad de flujo de cantidad
de movimiento T J Y )
Figura 2.3-2 Distribuciones
dedensidad de flujo de
cantidad de movimiento y
distribuciones de velocidad
para el flujo que circula
hacia abajo eñ un tubo
circular.
1
58
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
A partir de lo anterior se encuentra que C2 es (Y,,
- PL)R2/4L. Por tanto, la distxibución de velocidad es
Observamos que la distribución de velocidad para flujo laminar incompresible de
un fluido newtoniano en un tubo largo es parabólica (véase la figura 2.3-2).
Una vez que se ha establecido el perfil de velocidad, es posible obtener varias
cantidades derivadas:
i) La velocidad mrixirna v , , ocurre
~
para r = O y su valor es
ii) La velocidad media (u,) se obtiene al dividir el caudal volumétrico total entre el área de la sección transversal
iii) La velocidud de flujo músico w es el producto del área de la sección transversal T R ~la, densidad p y la velocidad media (u,)
Este resultado bastante conocido se denomina ecuación de Hagen-Poise~ille.~
Se utiliza, junto con datos experimentales de la velocidad de flujo (gasto) y
la diferencia de presión modificada, para determinar la viscosidad de fluidos (véase el ejemplo 2.3-1) en un "viscosímetro capilar".
iv) La componente z de la fuerza, F,, del fluido sobre la superficie mojada del tubo
es justamente el esfuerzo cortante T~ integrado sobre el área mojada
Este resultado establece que la fuerza viscosa F, es equilibrada por h fuerza de presión neta y por la fuerza de gravedad. Esto es exactamente lo que
se obtendría al hacer un balance de las fuerzas que actúan sobre el fluido
en el tubo.
-
* G.Hagen, Ann. Phys. C
p
-
-
h ,46,423442 (1839); J.L. Poiseuille, Comptes Rendus, 11,961 y 1041 (1841). Jean Louis
Poiseuille (1799-1869)h e un físico interesado en el flujo del torrente sanguíneo. Aunque Hagen y Poiseuille
establecieron la dependencia del caudal del flujo respecto a la cuarta potencia del radio del tubo,fue E. Hagenbach
quien dedup por primera vez la ecuacibn 2.3-21, Pogg. Annulen der Physllt u . Chemie, 108,385126 (1860).
52.3 Flujo a través de un tubo circular 59
< 9,2
CU,&I h.&M 4 c .
CI
Los resultados de esta sección son sólo tan válidos como los postulados que se
establecieron al inicio de la misma; es decir, que u, = v,(r) y y = p(z). Experimentalmente se ha demostrado que estos postulados son verdaderos para números de Reynolds hasta aproximadamente 2100; más alIá de este valor, el flujo es turbuIento si
hay cualesquiera perturbaciones apreciables en el sistema; es decir, rugosidad o vibraciones en la pared.3Para tubos circulares, el número de Reynolds se define como
Re = D(v,)p/p, donde D = 2R es el diámetro del tubo.
A continuación se resumen todas las suposiciones que se hicieron para obtener
la ecuación de Hagen-Poiseuille.
a) El flujo es laminar; esto es, Re debe ser menor que aproximadamente 2100.
b) La densidad es constante ("flujo incompresible").
C)
El flujo es "estacionario" (es decir, no cambia con el tiempo).
d) El fluido es newtoniano (la ecuación 2.3-14 es válida).
e) Se ignoran los efectos finales. En realidad, para constituir el perfil parabólico se requiere una "longitud de entrada", después de la embocadura al tubo, del orden de Le = 0.035D Re. Si la sección de interés del tubo incluye la
región de embocadura, es necesario aplicar una corrección.* La corrección
fraccionaria en la diferencia de presión o en la velocidad de flujo másico
nunca excede L , / L si L > Le.
f) El fluido se comporta como un continuo; esta suposición es váIida, excepto
para gases muy diluidos o tubos capilares muy estrechos, donde la trayectoria libre media molecular es comparable al diámetro del tubo (la "región
de flujo deslizante") o mucho mayor que el diámetro del tubo (el "flujo de
Knudsen" o régimen de "flujo de molécula libre").5
g) En la pared no hay deslizamiento, de modo que la condición límite (C.L. 2)
es válida; ésta es una suposición excelente para fluidos puros bajo las condiciones supuestas en f). para un análisis de deslizamiento en la pared, véase
el problema 23.9.
viscosidad a partir de
datos de flujo capilar
Por un tubo horizontal de 1 pie de largo y 0.1. pulg de diámetro interior fluye glicerina
(CI-120H CEIOH . C H 2 0 H ) a 26.5"C. Para una caída de presión de 40 psi, el caudal volurnétrico w / p es 0.00398 pies3/min. La densidad de la glicerina a 26.5"C es 1.261 g/cm3. A partir
de los datos del flujo, calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises y en Pa . s.
.. .
.
.
A.A. Draad rresis doctoral, Universidad Técnica de Delft (1996)1, en un experimento cuidadosamente controla-
do logró flujo laminar hasta Re = 50,000.También estudió el perfii no parab6lico de velocidad inducido por el.
movimiento de rotación de la Tierra (a través del efecto de Coriolis).Véase también A.A. Draad y F.T.M. Nieuwstadt,
l.Fluid. Mech., 361,207-308 (1998).
].H. Perry, Chemical Engineers Handbook, McGraw-Hiii, Nueva York, 3a. edici6n (1950), pp. 388-389;W.M. Kays
y A.L. London, Cornpact Heat Exchangers, McGraw-HiU, Nueva York (195% p. 49.
Martin Hans Christian Knudsen (1871-1949),profesor de fisica en la Universidad de Copenhague,efectuó
experimentos clave sobre el comportamiento de gases muy diluidos. Las conferencias que dictó en la Universidad de
Glacgow fueran publicadas como: M. Knudsen, The Kinetic 'hoy o f h e s , Methuen, Londres (1934); G.N. Patterson,
Molecular Flow of Gases, Wdey, Nueva York (1956).VPase también J.H.Ferziger y H.G. Kaper, Mathematical Theory 0f
Transport Processes in Gases, North-Holknd, Amsterdam (1972),capítulo 15.
60
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
SOL~CIÓN
A partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 2.3-21) se obtiene
T
(
p22)
40-
(6.8947 x 104 dinas / cm2
Ib / pulg2
pie3
pulg x -12 pulg
1 lnin
-x -min 60 s
Para comprobar si el flujo es laminar, calculamos el número de Reynolds
-
)
pulgx 2.54- Cm (4.92&)
pulg
= 2.41 (adimensional}
Por tanto, efectivamente el flujo es laminar. Además, la longitud de entrada es
L, = 0.035D Re = (0.035)(0.1/12)(2.41f= 0.0007 pie
(2.3-25)
En consecuencia, los efectos de entrada no son importantes, y el valor de la viscosidad dado
antes se ha calculado apropiadamente.
tubo circular
horizontal6
Obtener una expresión para la velocidad de flujo masico w para un gas ideal que circuIa en
flujo laminar por un tubo circular largo. Se considera que el flujo es isotérmico. Supóngase
que el cambio de presión a lo largo del tubo no es muy grande, de modo que la viscosidad
puede considerarse como constante a través de todo el tubo.
Este problema puede resolverse aproximadamente si se supone que la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 2.3-21) puede aplicarse sobre una pequeña longitud dz del tubo como sigue:
Para eliminar p en favor de p, usamos la ley del gas ideal en la forma p / p = po/po, donde po y
presión y la densidad en z = O. Así se obtiene
po son la
. .
..
-
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, 2a. ediaón (1987). 517,problema 6. Una solución con perturbación de este problema fue obtenida por R.K. Prud'homme, T.W. Chapman y J.R. Bowen, Appl. Sci. Res., 43, 67-74
(1986).
52.4
Flujo a través de un tubo concéntrico
61
La velocidad de flujo másico w es la misma para toda z. Por tanto, la ecuación 2.3-27 puede
integrarse desde z = O hasta z = L para obtener
Debido a que p; - P; = (po
+ pt) (pO- pL), finalmente obtenemos
\
1
donde pmed,, = (po + pL) es la densidad media calculada a la presión media pmedia= (po + pL)
A continuación resolveremos otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas; a saber, el flujo axial en estado estacionario de un líquido incompresible en
una región anular entre dos cilindros coaxiales de radios KR y X como se muestra en
la figura 2.4-1. El fluido circula hacia arriba en el tubo; es decir, en dirección opuesta a la acción de la gravedad. Establecemos los mismos postulados que en 52.3: v, =
u,(r), vo = 0, vr = O y p = p(z). En seguida, se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilíndrica del liquido y llegamos a la siguiente
ecuación diferencial:
Distribución
de velocidad
Esfuerzo cortante o
distribución d e
densidad de flujo de
cantidad de movimiento
Figura 2.4-1 Distribuciones de
densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad para el
flujo que circula hacia arriba en una
región anular cilíndrica. Nótese que la
densidad de Aujo de cantidad de
movimiento cambia de signo en el
mismo valor de r para el cual Ia
velocidad tiene un máximo.
62 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Esta ecuación difiere de la ecuación 2.3-10 &lo en que aquí 9 = p + pgz, ya que la
coordenada z está en la dirección opuesta a la de acción de la gravedad (es decir, z
es la misma que la h de la nota de pie de página 1 en 52.3). Al integrar la ecuación
2.4-1 cc obtiene
justamente como en la ecuación 2.3-11.
La constante C1 no puede determinarse inmediatamente, ya que no se cuenta
con información sobre la densidad de flujo de cantidad de movimiento en las superficies fips r = KRy r = R. Todo lo que sabemos es que habrá un máximo en la curva
de velocidad en algún plano (hasta el momento desconocido) r = hR al cual la densidad de flujo de cantidad de movimiento serh cero. Es decir,
Cuando se despeja C1 en esta ecuación y se sustituye en la ecuación 2.42, se obtiene
La única diferencia entre esta ecuación y la ecuación 2.4-2 es que la constante de integración C1 se ha eliminado a favor de una constante diferente A . La ventaja de esto es que sabemos la significación geométrica de A.
Ahora sustituimos la ley de viscosidad de Newton, rrz= -p(dv,/dr), en la ecuación 2.4-4 para obtener una ecuación diferencial para u,
Luego, al integrar esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables,
se obtiene
vz = -
(
O
-
"'R'
4C1L
[(ir-
*A2 l.(;)+
C2]
Ahora evaluamos las dos constantes de integración, A y C2, utilizando la condición
sin deslizamiento sobre el limite de cada sólido
e ~ o condiciones límite en la ecuación 2.4-6 se obtienen dos ecuaAl s ~ c t i t u i ~ l uestas
ciones simultáneas:
A partir de las ecuaciones anteriores se encuentra que las dos constantes de integración A y C2 son
52.4 Flujo a íravés de un hibo conc6ntrico 63
Estas expresiones pueden insertarse en las ecuaciones 2.4-4 y 2.4-6 para obtener la
distribución de densidad de cantidad de movimiento y la distribución de la velocidad1 como sigue:
Nótese que cuando el flujo en anillo se vuelve muy delgado (es decir, cuando K es
sólo ligeramente menor que la unidad), estos resultados se simplifican a los correspondientes para una rendija plana (véase el problema 2B.5). Cuando se presente la
oportunidad, siempre es una buena idea comprobar los "casos iímite" como éstos.
El límite inferior de K -+ O no es tan simple, porque la razón in(R/r)/in(l/~)
siempre es importante en una región próxima a la frontera interior. Por tanto, la
ecuación 2.4-14 no se simplifica a la distribución parabólica. Sin embargo, la ecuación 2.4-17 para la velocidad de flujo másico se simplifica a la ecuación de HagenPoiseuilie.
Una vez que se tienen las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad, la obtención de otros resultados de interés es directa:
i) La velocidad tnáxima es
donde h2 está dada en la ecuación 2.4-12.
ii) La velocidad media está dada por
iii) La velocidad de flujo másico es w = rR2(1 - K ~ ) ~ ( Uo,bien,
),
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre las superficies del sólido se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los cilindros interior y exterior, como sigue:
' H.Lamb, Hydrodynamics,Carnbridge University Press, 2a. edición (1895), p. 522.
64
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
El lector debe explicar Ia elección de signos que se colocan frente a los esfuerzos cortantes en la ecuación anterior y también proporcionar una interpretación del resultado final.
Las ecuaciones que acaban de obtenerse son válidas sólo para flujo laminar. La
transición de laminar-turbulento ocurre en la vecindad de Re = 2000, donde el número de Reynolds se define como Re = 2R(1 - ~ ) ( v , ) p / ~ u .
52.5
FLUJO DE DOS FLUIDOS INMISCIBLES ADYACENTESI
Hasta el momento hemos considerado situaciones de flujo con limites sólido-fluido
y líquido-gas. En seguida proporcionaremos un ejemplo de problema de flujo con
una interfase líquido-líquido (véase la figura 2.5-1).
Dos líquidos inmiscibles incompresibles fluyen en la dirección z en una delgada rendija horizontal de longitud L y ancho W bajo el efecto de un gradiente de presión horizontal (po - pL)/L. Los caudales de los fluidos se ajustan de modo que una
mitad de la rendija está llena del fluido I (la fase más densa) y la otra mitad está ocupada por el fiuido 11 (la fase menos densa). Los fluidos circulan lo suficientemente
lentos de modo que no ocurren inestabilidades; es decir, la interfase permanece
exactamente plana. Se desea encontrar las distribuciones de densidad de flujo de
cantidad de movimiento y de velocidad.
Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a la siguiente ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento:
Distribución
de velocidad,
Plano de esfuerzo
cortante cero
flujo de cantidad de movimiento
Figura 2.5-1 Flujo de dos fluidos inmiscibles entre un par de láminas horizontales bajo el efecto
de un gradiente de presión.
'
El flujo adyacente de gases y líquidos en conductos ha sido revisado por A.E. Dukler y M. Wicks, IIL en el
capítulo 8 de Modern Chemical Englneering, Vol. 1, "Physical Operations", A. Acrivos (ed.), Reinhold, Nueva York
(1963).
52.5 Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 65
Esta ecuación se obtuvo tanto para la fase 1como para la fase 11. A1 integrar la ecuación 2.5-1 para las dos regiones se obtiene
De inmediato utilizamos una de Ias condiciones límite; a saber, que la densidad de
flujo de cantidad de movimiento T,, es continua en la interfase fluido-fluido:
Lo anterior afirma que C\ = Cf ; por tanto, cancelamos el supraíndice y denominamos C1 a ambas constantes de integración.
Cuando la ley de viscosidad de Newton se sustituye en las ecuaciones 2.5-2 y
2.5-3, se obtiene
Estas dos ecuaciones pueden integrarse para obtener
Las tres constantes de integracion pueden determinarse a partir de las siguientes
condiciones límite sin deslizamiento:
enx=O,
7
zj= u1z1
enx = -b,
$=O
en x = +b,
v," = O
Cuando se aplican estas tres condiciones límite, se obtienen tres ecuaciones simultáneas para las constantes de integración:
a partir de la C.L. 2:
a partir de la C.L. 3:
a partir de la C.L. 4:
c; = c;
66 Capitulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
A partir de estas tres ecuaciones se obtiene
Los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad son
Estas distribuciones se muestran en la figura 2.5-1. Si ambas viscosidades son iguaIes, entonces la distribución de velocidad es parabdica, como es de esperar para un
fluido puro que circula entre láminas paralelas (véase la ecuación 28.3-2).
Es posible obtener la velocidad media en cada capa y los resultados son
A partir de las distribuciones de velocidad y de densidad de flujo de cantidad de
movimierito proporcionadas, también es posible calcular la velocidad máxima, la
velocidad en la interfase, el plano de esfuerzo cortante cero y la resistencia sobre las
paredes de la rendija.
52.6
FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA1-4
En las secciones precedentes se han resuelto varios problemas elementales de flujo
viscoso. Todos ellos trataban de flujos rectilíneos con una sola componente de velocidad que no desaparece. Debido a que el flujo alrededor de una esfera implica dos
'
G.G.Stokes, Trans. Cambridge Phil. Sociegi, 9,s-106(1851). Para fiujo reptante alrededor de un objeto de forma
arbitraria, vkase H. Brenner, Chem. Engr. Sci., 19,703-íZ7(1964).
L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2a. edición, Pergamon, Londres (1987),§20.
G.K. Bakhelor, Afl Intmduction to Fluid Dynarnics, Cambridge University Press (1967),§4.9.
S. Kim y S.J.Karriia, Microhydrodynamics: Principies and Selected ApplicutMns, Butterworth-Heinemann, Boston
(19911, s.2.3; este übro contiene un análisis exhaustivo de problemas de "flujo reptante".
*
'
s2.6
Flujo repiante alrededor de una esfera 67
componentes de velocidad que no desaparecen, u, y ve, tal flujo no puede comprenderse a satisfacción por medio de las técnicas explicadas al principio de este capítulo. Aún así, aquí se justifica la realización de un breve análisis del flujo alrededor de
una esfera debido a la importancia que tiene el flujo alrededor de objetos sumergidos. En el capítulo 4 demostraremos cómo obtener las distribuciones de velocidad
y de presión. Por ahora sólo citamos los resultados y mostramos cómo pueden usarse para obtener algunas relaciones importantes que serán necesarias en análisis posteriores. EI problema tratado aquí, y también en el capítulo 4, se ocupa del "fluj~
reptante"; es decir, de flujo muy lento. Este tipo de flujo también se denomina "flujo de Stokes".
Aquí consideramos el flujo de un fluido incompresible alrededor de una &a
sólida de radio R y diámetro D como se muestra en la figura 2.6-1. El fluido tiene
una densidad p y una viscosidad y, y se aproxima a la esfera fija ascendiendo verticalmente en la dirección z con una velocidad uniforme u,. Para este problema, "flujo reptante" significa que el número de ReynoIds Re = D v d l y es menor que
aproximadamente 0.1. Este régimen de flujo se caracteriza por la ausencia de formación de remolinos corriente abajo a partir de la esfera.
En el capítulo 4 se encuentra que las distribuciones de velocidad y de presih
para este flujo reptante spn
Radio de la esfera = R
't
actúan sobre la superfi
de la esfera
El fluido asciende
con una
velocidad u,
Figura 2.6-1 Esfera de radio
R alrededor de la cual circula
un fluido. Se muestran las
coordenadas r, 0 y 4. Para
más información sobre
coordenadas esféricas,
consúltese la figura A.8-2.
68
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
En la última ecuación, la cantidad po es la presión en el plano t = O lejos de la esfera. El término -pgz es la presión hidrostática que resulta del peso del fluido, y el término que contiene a v, es la contribución por el movimiento del fluido. Las
ecuaciones 2.6-1,2.&2 y 2.6-3 muestran que la velocidad del fluido es cero en la superficie de la esfera, Además, en el límite cuando r -+ w, la velocidad del fluido es
en la dirección z con magnitud uniforme v,. Esto se concluye a partir de que v, = v,
cos 8 - ve sen 8, que puede obtenerse usando la ecuación A.6-33 y u, = vy = O, lo que
se concluye a partir de las ecuaciones A.6-31 y A.6-32.
Las componentes del tensor de esfuerzo T en coordenadas esféricas pueden obtenerse a partir de la distribución de velocidad mostrada antes utilizando la tabla
B.1. Estas componentes son
y todas las demás componentes son cero. Nótese que los esfuerzos normales para
este flujo son distintos de cero, excepto en r = R.
A continuación determinaremos la fuerza ejercida por el fluido que corre sobre
la esfera. Debido a la simetría alrededor del eje z, la fuerza resultante estará en la dirección z. Por consiguiente, la fuerza puede obtenerse integrando las componentes
z de las fuerzas normal y tangencia1 sobre la superficie de la esfera.
Integración de la fuerza normal
En cada punto de la superficie de la esfera, el fluido ejerce una fuerza por área unitaria -(p + r,)(,=, sobre el sólido que actúa en forma normal a la superficie. Como
el fluido está en la región de mayor v y la esfera está en la región de menor r, es necesario añadir un signo menos en concordancia con la convención de signos establecida en 51.2. La componente z de la fuerza es -(p + T ~ ) ~ ~ = ~
O).( c
Eno sseguida la
multiplicamos por un elemento diferencial de superficie R~ sen 0 d0 d+ para obtener
la fuerza sobre el elemento de superficie (véase la figura A.8-2). A continuación integramos sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza normal resultante en
la dirección z:
Según la ecuación 2.6-5, el esfuerzo normal 7, es cero5 en r = R y puede omitirse en
la integral de la ecuación 2.6-7. La distribución de presión en la superficie de la esfera es, según la ecuación 2.6-4,
En el ejemplo 3.1-1 demostraremos que para fluidos newtonianos incompresibles, los tres esfuerzos normales
son cero en superficies fiias de sólidos para todos los flujos.
i1
E'
3
S
52.6 Flujo reptante alrededor de una esfera
69
Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación 2.6-7 y se efectúa la integración,
el término que contiene a po da cero, el término que contiene la aceleración de la gravedad g da la fuerza de flotación, y el término que contiene la velocidad de aproximación v, da la "resistencia de forma", como se muestra en seguida:
La fuerza de flotación es la masa de1 fluido desplazado (
de la gravedad tg).
5
7 r ~ por
~ ~la )aceleración
Integración de la fuerza tangencia1
En todo punto de la superficie sólida también hay un esfuerzo cortante que actúa
tangenciaimente. La fuerza por área unitaria ejercida en la direcci6n -8 por el fluido (región de mayor r) sobre el sólido (regiónde menor r) es +7d(,R. La componente z de esta fuerza por área unitaria es (~~1,~) sen B. Ahora multiplicamos esto por
el elemento de superficie R2 sen O d6d+ e integramos sobre toda la superficie esférica. Así se obtiene la fuerza resultante en la dirección z:
La distribución de esfuerzo cortante sobre la superficie de la esfera, a partir de la
ecuación 2.6-6. es
- 3 PV-2
5~
~ r e I r =-~
sen 8
Al sustituir esa expresión en la integral de la ecuación 2.6-10 se obtiene la "resistencia de fricción"
Por tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera está dada por la suma de las
ecuaciones 2.6-9 y 2.6-12:
4
F = ? T R+ ~2 ~~p R~ v ,+ 4quRv,
fuera de
flataci6n
mistencia
de fonna
resistencia
de fricción
o bien,
F = Fb +h= $ rPPg
-t 6npRum
fuerza de
flotan6n
hiena
cinbtica
El primer término es la fuerza de flotación,que estaría presente en un fluido en reposo; es la masa del fluido desplazado multiplicada por la aceleración de la gravedad.
El segundo término, la fuerza cinética,resulta del movimiento del fluido. La relación
70
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
se conoce como Z
q de Stokes.l Se usa para describir el movimiento de partículas coloidales bajo un campo eléctrico, en la teoría de la sedimentación, y en el estudio del
movimiento de partículas de aerosoles. La ley de Stokes es útil sólo hasta un número de Reynolds Re = Dv&/,u aproximadamente igual a 0.1. A Re = 1, la ley de Stokes predice una fuerza que es alrededor de 10% demasiado bajq. El comportamiento
del flujo para números mayores de Reynolds se analizará en el capitulo 6.
Este problema, que no puede resolverse con el método de balance de envoltura,
recalca la necesidad de un método más general para manejar problemas de flujo
donde las líneas de flujo de corriente no son rectilíneas. Bste es el tema del capítulo
que sigue.
Determinar una relación que permita obtener la viscosidad de un fluido al medir la velocidad final ut de una pequeña esfera de radio R en el fluido.
viscosidad a partir de Ea
velocidad final de una
esfera que desciende
SOLUCI~N
Si una pequeña esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un
movimiento acelerado hasta alcanzar una velocidad constante: la velocidad final. Una vez que
se alcanza esta condición de estado estacionario, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la esfera debe ser cero. La fuerza de gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la
caída, y las fuerzas de flotación y cinética actúan en la dirección opuesta:
Aquí p, y p son las densidades de la esfera sólida y el fluido. Al despejar la veIocidad final en
esta ecuación se obtiene
Este resultado puede usarse sólo si el número de Reynolds es menor que aproximadamente0.1.
Este experimento proporciona un método aparentemente simple para determinar la viscosidad. No obstante, es dificil evitar que una esfera homogénea gire durante su descenso, y
si en efecto gira, entonces no puede usarse la ecuación 2.6-17. Algunas veces se usan esferas
pesadas para imposibilitar la rotación; entonces el miembro izquierdo de la ecuación 2.6-16
debe sustituirse por m, la masa de la esfera, multiplicada por la aceleración de la gravedad.
l. Resumir el procedimiento utilizado en la solución de problemas de flujo viscoso por el método de balances de envoltura. ¿Qué tipos de problemas pueden resolverse con este método?
¿Cuáles no pueden resolverse con el mismo método? ¿Cómo se usa la definición de la primera derivada en el metodo?
2.
¿Cuáles de los sistemas de flujo presentados en este capítulo pueden usarse como viscosímetro? Enumerar las dificultades que podrían encontrarse con cada uno.
3. ¿Cómo se definen los números de Reynolds para películas, tubos y esferas? ¿Cuáles son las
dimensiones de Re?
4.
¿Cómo puede modificarse la fórmula del espesor de la película en 52.2 para describir una película delgada descendente en la pared interior de un cilindro? ¿Qué restricciones deben imponerse a esta fórmula modificada?
Problemas 71
5. ¿Cómo pueden usarse los resultados en S2.3 a fin de estimar el tiempo necesario para vaciar
un tubo vertical que está abierto en ambos extremos?
6. Comparar la dependencia radial del esfuerzo cortante para el flujo laminar de un líquido
newtoniano en un tubo y en tubos conc4ntncos. Para el flujo anular, ¿por qué cambia de signo la función?
7. Demuestre que la ecuación de Hagen-Poiseuille es dimensionalmente consistente.
8. ¿Quédiferencias hay entre el flujo en un tubo circular de radio R y el flujo en el mismo tubo
con un delgado alambre colocado a lo largo de su eje?
9. ¿En qué condiciones cabría esperar que el análisis en 52.5 fuese inaplicable?
10. ¿Es válida la ley de Stokes para pequeñas gotas de aceite que caen en agua? ¿Y para burbujas de aire que ascienden en benceno? ¿Y para pequeñas partículas que caen en el aire, si los
diámetros de las partículas son del orden de la trayectoria libre media de las moléculas en el
aire?
11. Dos líquidos inmixibles, A y B, circulan en flujo laminar entre dos láminas paralelas. ¿Es po-
sible que los perfiles de velocidad sean de la forma siguiente? Explique su respuesta.
Líquido A
Líquido B
12. ¿Cuál es la velocidad terminal de una partícula coloidal esférica que tiene una carga eléctrica e en un campo eléctrico de intensidad %? ¿Cómo se usa este hecho en el experimento de
Millikan de la gota de aceite?
PROBLEMAS
ZA.1 Espesor de una película descendente. Por una pared vertical fluye agua a 20°C de manera
descendente con Re = 10. Calcular a) el caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pa-
red, y b) el espesor de la película en pulgadas.
Respuestas: a) 0.727 gal/h . pie; b) 0.00361 pulg
2A.2 Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Un método para deter-
minar el radio de un tubo capiiar es medir la velocidad del flujo de un liquido newtoniano
que circula en el tubo,Encontrar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos de flujo:
Longitud del tubo capilar
Viscosidad cinemática del liquido
Densidad del líquido
Caída de presión en el tubo horizontal
Velocidad de flujo másico a través del tubo
50.02 cm
4.03 x lop5 m2/s
0.9552 x ld kg/m3
4.829 x lo5 Pa
2.997 x l o u 3 kg/s
¿Qué dificultades pueden encontrarse con este método? Sugiera algunos otros metodos para
determinar los radios de tubos capilares.
2A.3 Velocidad de flujo a través de tubos concéntricos. Un tubo concéntrico horizontal de 27 pies
de longitud tiene un radio interior de 0.495 putg y un radio exterior de 1.1 pulg. Una solución
al 60%se bombeara a través del anillo a 20°C. A esta tempeacuosa de sacarosa (C12H22011)
ratura la densidad de la solución es 80.3 Ib/pie3 y la viscosidad es 136.8 Ib,/pie h. ¿Cuál es
el caudal volum~tncocuando la diferencia de presión que se imprime es de 5.39 psi?
Respuesta: 0.110 pies3/s
72
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
2A.4
Pérdida de particulas catalíticas en un gas de chimenea.
a) Estimar el diámetro máximo de las partículas de un catalizador constituido por microesferas, que pueden perderse en el gas que sale de la chimenea en una unidad de cracking de
un fluido, en las siguientes condiciones:
Velocidad del gas en el eje de la chimenea = 1.0 pie/s (verticalmente hacia arriba)
Viscosidad del gas = 0.026 cp
Densidad del gas = 0.045 lb/&$
Densidad de una partícula del catalizador = 1.2 g/crn3
Expresar el resultado en micrones (1micrón =
m = 1pm).
b) ¿Es permisible usar la ley de Stokes en el inciso a)?
Respuestas: a) 110 pm;Re = 0.93
2B.1 Diferente elección de coordenadas para el problema de la película descendente. Obtener
nuevamente el perfil de velocidad y la velocidad media en 52.2, sustituyendo x por una coordenada T medida lejos de la pared; es decir, E = O es la superficie de la pared, y T = 6 es la interface líquido-gas. Demostrar entonces que la distribución de velocidad está dada por
y luego usar este resultado para obtener la velocidad media. Demuestre cómo es posible obtener la ecuaci6n 28.1-1 a partir de la ecruaci6n 2.2-18 haciendo un cambio de variable.
2B.2
Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo. En este capitulo hemos utilizado el siguiente procedimiento: i)obtener una ecuaci6n para la densidad d e flujo de cantidad
de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley de Newton para obtener una
ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv) integrar esta última para obtener
la distribución de velocidad. Otro método es el siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) insertar la ley de Newton para obtener una
ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad. Aplicar este segundo método al problema d e la película descendente sustiíuyendo Ia ecuación 2.2-14 en la ecuacibn 2.2-10 y prosiguiendo como
se indica hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.
2B.3 Flujo laminar en una rendija estrecha (véase la figura 28.3).
Flujo a través de una rendija, con B
<
W
i<<
L.
Problemas
73
a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos paredes paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W,de modo que los "efectos
de borde" carecen de importancia. Hacer un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las siguientes expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad:
En estas expresiones 9 = p + pgh = p - pgz.
b) ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la velocidad máxima para este flujo?
c) Obtener la ecuación análoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija.
d) Elaborar un dibujo significativo para mostrar por que el análisis anterior no es aplicable
si B = W.
e) ¿Cómo puede obtenerse el resultado del inciso b) a partir de los resultados de §2.5?
Respuestas: b) (v,)/v,,,,
=
2B.4 Flujo laminar en una rendija con una pared móvil ("flujo de Couette plano"). Extienda el
problema 2B.3 permitiendo que la pared en x = B se mueva en la dirección z positiva a una
velocidad estable v,,. Obtenga a ) Ia distribución de esfuerzo cortante, y b) la distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente identüicados de estas funciones.
2B.5 Relación entre las fórmulas de la rendija y de los tubos concéntricos. Cuando un flujo anular es muy delgado puede considerarse, con una muy buena aproximaci6n, como una rendija eshecha. Por consiguiente, los resultados del problema 28.3 pueden aplicarse con las
modifiaciones pertinentes. Por ejemplo, la velocidad de flujo másico en un anillo con pared
exterior de radio R y pared interior de radio (1 - E)R,donde E es pequeño, puede obtenerse
a partir del problema 2B.3 sustituyendo 2 B por ER,y W por 2a(l - +&)R.De esta forma se obtiene la velocidad de flujo másico:
Demostrar que este mismo resultado puede obtenerse a partir de la ecuación 2.4-17 al tomar
para K el valor 1 - E e n toda la fórmula y luego desarrollar la expresión para w en potencias
de E . Para esto se requiere usar la serie de Taylor (véase 5C.2)
y después realizar una división larga. El primer término en la serie resultante será la ecuación
28.51. Precaucidn: en la deducción es necesario usar los primeros cuatro términos de la serie
de Taylor en la ecuación 2B.5-2.
28.6
Flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular (vkase la figura
28.6). En un experimento de absorción de gases, un fluido viscoso avanza hacia arriba por un
74 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
----,
Distribución
Distribución
de velocidad
fuera en la
película
dentro del tubo
] cantidad
L de movimiento
1 en la dirección z
1
deespesor Ar
Salida de cantidad
de movimiento en la
dirección z en la envoltura
deespesorAr
1
f
Fuerza de
gravedad que
actúa sobre el
volumen 2mArL
aR-
1
Figura 2B.6 Distribución de velocidad y balance de cantidad de movimiento en la dirección t
para eI flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular.
pequeño tubo circuIar y luego hacia abajo en flujo laminar por el exterior del tubo. Realice un
balance de cantidad de movimiento sobre una envoltura de espesor Ar en la película, como
se muestra en la figura 2B.6. Note que las flechas de "entrada de cantidad de movimiento" y
"salida de cantidad de movimiento" siempre se toman en la dirección positiva de coordenadas, aun cuando en este problema la cantidad de movimiento fluye a través de las superficies
cilíndricas en la dirección r negativa.
a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (ignorando los
efectos finales) es
b) Obtener una expresión para la velocidad de flujo másico en la película.
C)
Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la ecuación 2.2-21 si el espesor de
la película es muy pequeño.
28.7 Flujo en tubos concéntricos con un cilindro interior que se mueve axialmente (véase la figura 2B.7). Una varilla cilíndrica de radio KR se mueve axialmente con velocidad v, = vo a lo
largo del eje de una cavidad cilíndrica de radio R como se observa en la figura. La presión en
ambos extremos de la cavidad es la misma, de modo que el fluido se mueve a través de la regi6n anular solamente debido al movimiento de la varilla.
Problemas 75
I
Fluido a la presión
modificada Po \
-
Varilla de radio KR quése
mueve con velocidad o,
Cilindro de
radio interior R
+
I
Fluido a la presiún
modificada 9 0
L
Figura 28.7 Flujo en tubos concénhicos donde el cilindro interior se
mueve axialmente.
a) Encontrar la distribución de velocidad en la regi6n anular estrecha.
b) Encontrar la velocidad de flujo másico a través de la región anular.
C)
Obtener la fuerza viscosa que actúa en la varilla sobre la longitud L.
d) Demostrar que el resultado del inciso c) puede escribirse coma una fórmula de "rendija
plana" multiplicada por una "corrección de curvatura". Problemas de este tipo se presentan en el estudia del desempeño de matrices para alambre recubiert0.l
lnír / R)
Respuestas: a) %=u~
In K
-2?TLpV0
d) Fz = -(1-
1 &- & E2 +
- .) donde
& = 1-K
(vease el problema 28.5)
de wn medidor de flujo capilar (véase la figura 2B.8). Determinar la velocidad del
flujo (en lb/h) que circula por el medidor de flujo capilar que se muestra en la figura. El fluido que circula por el tubo inclinado es agua a 20°C, y el fluido del manometro es tetracloruro de carbona (CCI,) con densidad 1.591g/cm3. El diámetro capilar es 0.010 pulg. Nata: para
calcular el caudal son suficientes las mediciones de H y L; no es necesario medir B. il'or qué?
28.8 Análisis
Figura 28,8 Medidor de flujo capilar.
'
J.B. Paton, P.H. Squires, W.H. Darneii, F.M. Cash y J.E Carley, Processing of Thermoplastic Matenals, E.C. Bernhardt
(compiladar),Reinhold, Nueva York (1959),capítulo 4.
76 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
28.9 Fenómenos a baja densidad en flujo compresible por un tubo2J (figura 28.9). Amedida que
disminuye la presión en el sistema estudiado en el ejemplo 2.3-2, se presentan desviaciones
respecto a las ecuaciones 2.3-28 y 2.3-29. El gas se comporta como si se deslizara en la pared
del tubo. Un convencionalismo2es sustituir la condición limite de costumbre "sin deslizamiento" en la que u, = O en la pared del tubo por
donde 5 es el coeficiente de deslizamiento. Repetir la deducción en el ejemplo 2.3-2 usando la
ecuación 2B.9-1 como condición límite. También, usar el hecho experimental de que el coeficiente de deslizamiento varía inversamente con la presión 5 = &,/p. donde es una constante. Demostrar que la velocidad de flujo de masa es
donde pmedia= (po + pL).
Cuando la presión disminuye aún más, se alcanza un régimen de flujo en el cual la trayectoria libre media de las moléculas del gas es grande respecto al radio del tubo (flujo de Knudsen). En ese régimen3
donde m es la masa molecular y K es la constante de Boltzmann. Para la obtención de este resultado se supuso que todas las colisiones de las moléculas con las superficies del sóIido son
difusas y no especulares. Los resultados en las ecuaciones 2.3-29,2B.9-2 y 28.9-3 se resumen en
la figura 2B.9.
L
Flujo de molécula libre
o flujo de Knudsen
,
.,,
C
Pmedia
Figura 28.9 Comparación de los regímenes
de flujo en un gas que circula por un tubo.
2B.10 Flujo incompresible en un tubo ligeramente ahusado, Un fluido incompresible circula por
un tubo de sección transversal circular, para la que el radio del tubo cambia linealmente desde R, en la embocadura del tubo hasta un valor ligeramente menor RL en la salida del tubo.
Supóngase que la ecuación de Hagen-Poiseuille es aproximadamenfeválida sobre una longitud
diferencial, dz, del tubo, de modo que la velocidad de flujo másico es
E.H. Kennard, Kinetic Theoy of Gases, McGraw-Hill, Nueva York (1938),pp. 292-295,300-306.
M. Knudsen, The Kinetic Theory of Gases, Methuen, Londres, 3a. edición (1950).También véase R.J. Silbey y R.A.
Alberty, Physical Ckemistry, Wiley, Nueva York, 3a. edici6n (2001). 517.6.
Problemas 77
Ésta es una ecuación diferencial para 9 como una función de z pero, cuando se inserta Ia expresión explícita para R(z), no se resuelve fácilmente.
a) Escribir la expresión para R como una función de z.
b) Cambiar la variable independiente en la ecuación anterior por R, de modo que la ecuación
se convierta en
C)
Integrar la ecuación, y luego demostrar que la solución puede reordenarse para obtener
Interpretar el resultado. La aproximación usada aquí de que un flujo entre superficies no paralelas puede considerarse localmente como flujo entre superficies paralelas, algunas veces se
denomina aproximación de lubricacidn y se usa ampliamente en la teoría de la lubricaci6n. Al
realizar un análisis cuidadoso del orden de magnitud, puede demostrarse que, para este problema, la aproximación de lubricación es vtílida en tanto se cumpla que4
2B.11 El viscosímetro de plato y cono (véase la figura 2B.11). Un viscosímetro de plato y cono consta de una lámina plana (plato) estacionaria y un cono invertido, cuyo ápice apenas toca el plato. El liquido cuya viscosidad ha de medirse se coloca en la separación entre el plato y el cono.
b+o angular n)
\
Área dilerekcial
/
Figura 28.11 Viscosímetro de plato y cono:
a) vista lateral del instrumento; b) vista
superior del sistema de plato y cono, donde
se muestra un elemento diferencial r dr dd;
E ) distribución de velocidad aproximada
dentro de la región diferencial. Para igualar
los sistemas en (a) y (c), se identifican las
siguientes equivalencias:V = nr y b = r sen
= rq0.
R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassagcr, Dynainics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Wiley-Interscience, Nueva York,
2a. edición (19071, pp. 16-18.
78 Capitulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
El cono se hace girar a una velocidad angular i2 conocida, y se mide el momento de torsi6n
T , necesario para hacer girar el cono. Encontrar una expresión para la viscosidad del. fluido
en términos de i2, T , y el ángulo $o entre el plato y el cono. Para instrumentos comerciales,
es aproximadamente igual a un grado.
a) Suponer que la distribución de velocidad en la separación puede aproximarse bastante
por la velocidad correspondiente para flujo entre láminas paralelas, donde la lámina superior se mueve a velocidad constante. Comprobar que esto conduce a la distribuci6n de
velocidad aproximada (en coordenadas esfericas)
Esta aproximación debe ser bastante buena debido a que SI, es muy pequeño.
b) A partir de la distribución de velocidad en la ecuacián 2B.11-1 y el apéndice 8.1, demostrar que una expresión razonable para el esfuerzo cortante es
(2B.11-2)
7@+= ,~(fl/$~lg)
Este resultado demuestra que el esfuerzo cortante es uniforme a través de toda la separación.
Este hecho es lo que hace tan atractivo al viscosímetro d e plato y cono. Este instmmento se
usa ampliamente, sobre todo en la industria de polímeros.
C)
Demostrar que el momento de torsión necesario para hacer girar el cono está dado por
T, = $ I ~ ~ ~ R ~ / I / I ~
(28.11-3)
Ésta es la fórmula normal para calcular la viscosidad a partir de mediciones del momento de
torsión y la velocidad angular para el montaje de plato y cono con R y 4, conocidos.
d) Para un instrumento de plato y cono con radio 10 cm y ángulo +o igual a 0.5 grados, ¿que
momento de torsión (en dinas . cm) se requiere para hacer girar el cono a una velocidad
angular de 10 radianes por minuto si la viscosidad del fluido es 100 cp?
Respuesta: d) 40,000 dinas - cm
2B.12 Flujo de un fluido en una red de tubos (figura 28.12). Un fluido circula en flujo laminar desde A hasta B a travPs de una red de tubos, como se muestra en la figura. Obtener una expresión para la velocidad de flujo rnásico w del fluido que entra en A (o sale por B ) como una
función de la caída de presión modificada BA- BB.Ignorar las perturbaciones en las diversas uniones de Los tubos.
Respuesta: w = 3 w ( P A - Y ~ ) R ~ ~
2OpL
fluido
ITodos Alos
\
iubos tienen el mismo
radio R y la misma longitud L
Figura 2B.12 Flujo de un fluido en una
red con ramificaciones.
Problemas 79
Distribución
parabólica de
la partícula
t
t
Presión
Po
Presión
PL
Figura 2C.1 Trayectoria de una particula en un colector eI6ctrico de polvo. La partícula que
empieza en z = O y termina en x = +B no necesariamente puede recorrer la distancia más larga en
la dirección z.
2C.1 Desempeño de un colector eléctrico de polvo (véase la figura 2C.l).5
a) Un separador de polvo consta de dos Láminas con cargas opuestas entre las cuales fluyen
gases que contienen el polvo. Se desea establecer un criterio para la longitud mínima del
separador en términos de la carga sobre la partícula e, la intensidad del campo eléctrico
%, la diferencia de presión (po - pL), la masa m de la partícula, y la viscosidad ,u del gas.
Es decir, ¿para qué longitud L habrá alcanzado Ia partícula más pequeña presente (de masa m ) la lámina inferior justo antes de que pueda ser arrastrada fuera del canal? Supóngase que el flujo entre las láminas es laminar, de modo que la distribución de velocidad se
describe por ia ecuación 28.3-2. También supóngase que la velocidad de la particula en la
dirección z es la misma que la velocidad del fluido en la direcaón z. Todavía más, supóngase que es posible ignorar la resistencia de Stokes y la fuerza de gravedad que actúan sobre la esfera en la medida en que ésta se acelera en la direccibn x negativa.
b) Vuelva a trabajar el problema, ignorando la aceleración en la dirección x, pero incluyendo
la resistencia de Stokes.
c)
Comparar la utilidad de las soluciones en los incisos a) y b), considerando que las particulas estables de un aerosol tienen diAmetros efectivos que miden aproximadamente entre 1
y 10 micrones y densidades de alrededor de 1 g/cm3.
Respuesta: a ) L,,
= [12(p0- p L ) 2 ~ 5 m / 2 5 p 2 e 8 ] 1 / 4
2C.2 Distribución del tiempo de residencia en el flujo por u n tubo. La función del tiempo de resi-
dencia F ( t } se define como la fracción del. fluido que circula por un conducto que fluye completamente a través de éste en un intervalo de tiempo t. El. tiempo de residencia media t, se
define también por la relación
a) Un líquido newtoniano incompresible fluye por un tubo circular de longitud L y radio R,
y la velocidad media de flujo es (v,).Demostrar que
F(t) = O
para t
5
(L/~(v,))
F ( I ) = i - ( ~ / (2~ , } t ) ~ para t 2 ( L / 2 ( u z ) )
b) Demostrar que t,
= (L/(v,}).
$ ~ respuesta
a
proporcionada en la p h e r a edición de este libro era incorrecta, como nos indicó en 1970 Nau Gab
Lee de la Universidad Nacional de S e d
80
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
2C.3 Distribución de velocidad en un tubo. El lector ha recibido un trabajo que debe evaluar pa-
ra su publicación en una revista técnica. El trabajo trata de la transmisión de calor para el flujo en un tubo. Los autores establecen que, debido a que están trabajando con flujo no
isotérmico, deben obtener una expresión "general" para la distribución de velocidad, que
pueda utilizarse incluso cuando la viscosidad del fluido sea una función de la temperatura (y
por tanto, de la posición). Los autores establecen que una "expresión general de la distribución de velocidad para el flujo en un tubo" es
donde y = r / R . Los autores no proporcionan la deducción, y tampoco una cita bibliográfica donde encontrarla. Como evaluador del trabajo, el lector está obligado a obtener la fórmula y enumerar todas las restricciones implicadas.
2C.4 Viscosímetro de cilindro descendente (véase la figura z C . ~ ) Un
. ~ viscosímetro de cilindro
descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R), cerrado en ambos
extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio KR).El pedazo de metal está
equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el del tubo.
La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse
cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuaci6n que proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal vo del pedazo de metal y las diversas cantidades geornétricas que se muestran en la figura.
a) 'Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por
T
El pedazo de
metal cilindrico
desciende con
velocidad vo
i
I1
I
i/
1
z+
k-
1
Figura 2C.4 Viscosímetro de
Contenedor cilindrico
Heno de fluido
cilindro descendente con
un cilindro sólido estrechamente
ajustado que se mueve en dirección
vertical. El cilindro suele estar
equipado con aletas para
mantenerlo centrado dentro del
tubo. El fluido liena por completo
el tubo, y las partes superior e
inferior están cerradas.
J. ~ohrenz,G.W. Swift y E Kurata, NChE Journal, 6,547-550 (1960) y 7,6S (1961); E. Ashare, R.B. Bird y ,.A. kscarboura, AiChE loumal, 11,910-916 (1965).
1
Problemas 81
donde 6 = r/R es una coordenada radial adimensional.
b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener
[(
:)
P = (po- p ) g ( ~ ~ )ln2
2vo
)]
-( I - K ~
1+K2
donde p y p0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente.
C)
Demostrar que, para rendijas de anchura pequeña, el resultado del inciso b) puede desarrollarse en potencias de E = 1 - K para obtener
Véase 92.2 para consultar información sobre el desarrollo en serie de Taylor.
2C.5
Película descendente sobre una superficie cónica (véase la figura 2C.5).' Un fluido circula
hacia arriba por un tubo circular y luego hacia abajo sobre una superficie cónica. Encontrar el
espesor de la película como una función de la distancia s hacia abajo en el cono.
a) Supóngase que los resultados de $2.2 pueden aplicarse aproximadamente sobre cualquier
región pequeña de la superficie del cono. Demostrar que al realizar un balance de masa
sobre un anillo del líquido contenido entre s y s + As se obtiene:
d
-(ss(v))
ds
=O
o bien
d
-(s6
ds
3
)=O
b) Integrar esta ecuación y evaluar la constante de integración igualando la velocidad de flujo de masa w hacia arriba por el hibo central a la correspondiente del fluido que circula
hacia abajo en la superficie cónica en S = L. Obtener la siguiente expresión para el espesor
de la película:
6.d
I
3p
(9
w p 2 g sen
~ 2P s
s = distancia corriente abajo
\
del cono. medida-desde
el ápice del cono
El espesor de la
'película es 6 0)
t
Enbada del fluidomn
de flujo másico w
~ g w 2C.S
a
l>eiícuiadescendente
sobre una superficie cónica.
R.B. B i d , en Selected Topr'cs in Tmnsport Phenomena, CEP Symposium Series #58,6X, 1-15 (1965).
82
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Figura 2C.6 Bomba de cono giratorio. La
variable r es la distancia del eje de rotación
hacia el centro de la rendija.
T~irecciílndel flujo con
veloc~dadde flujo
másico w (lb,,/s)
2C.6 Bomba de cono giratorio (véase la figura 2C.6). Encontrar la velocidad d e flujo másico a través de esta bomba como una función de ia aceleración de la gravedad, la diferencia de presión impresa, la velocidad angular del cono, la viscosidad y la densidad del fluido, el ángulo
del cono, y otras cantidades geométricas identificadas en la figura.
a) Primero, analizar el sistema sin la rotación del cono. Supóngase que es posible aplicar localmente los resultados del problema 2B.3. Es decir, adaptar la solución para la velocidad
de flujo másico de ese problema haciendo las sustituciones siguientes:
sustituir (Po- PL)/L
por - d P / d z
sustituir W
por 2m = 2 r z sen /3
para obtener así
La velocidad de flujo másico w es constante sobre el intervalo de z. Por tanto, esta ecuación
puede integrarse para obtener
(yl - p 2 ) ~3 4.ir
pw
B~~ sen P
l nL 2
LI
b) Luego, modificar el resultado anterior para tener en cuenta que el cono está girando con
veIocidad angular 0. La fuerza centrífuga media por unidad de volumen que actúa sobre
el fluido en la rendija tendrá una componente z dada aproximadamente por
¿Cuál es el valor de K? Incorporar esto como una fuerza adicional que tiende a impulsar el
fluido a través del canal. Demostrar que lo anterior lleva a la siguiente expresión para la velocidad de flujo másico:
Problemas 83
Rapidez de ascenso
Elemento
de Bourdon
Tubo
capilar
f
/
Presión en
el exterior = p,
Aquí, Y,= p,
Presión en
el interior = pi
Figura 2C.7 Indicador de la rapidez de ascenso.
+ pgL, cos 8.
2C.7 Un indicador simple de la rapidez de ascenso (véase la figura 2C.7). En circunstancias apro-
piadas, el aparato que se muestra en la figura puede usarse para medir Ia rapidez de ascenso de un avión. La presión manométrica dentro del elemento de Bourdon se toma como
proporcional a la rapidez de ascenso. Para efectos de este problema puede suponerse que el
aparato tiene las siguientes propiedades: i) el tubo capilar (de radio R y longitud L, con R <<
L) es de volumen despreciable pero su resistencia al flujo es considerable; ii) el elemento de
Bourdon tiene un volumen constante V y ofrece una resistencia despreciable al flujo; y iii) el
flujo en el capilar es laminar e incompresible, y el caudal volumétrico sólo depende de las
condiciones en los extremos del capilar.
a)
Desarrollar una expresiiin para el cambio en la presión del aire con la altitud, despreciando cambios en la temperatura, y considerando que el aire es un gas ideal de composicián
constante. (Sugerencia: escribir un balance de envoltura en el que el peso del gas se equilibre contra la presión estática.)
b) Haciendo un balance de masa sobre el manómetro, desarrollar una relación aproximada
entre la presión manométrica p, - p, y la rapidez de ascenso u, para un largo ascenso continuo a velocidad constante. Despreciar e1 cambio en la viscos~daddel aire y suponer que
los cambios en la densidad del aire son pequeños.
C)
Desarrollar una expresión aproximada para el "tiempo de reIajación",,t del indicador; es
decir, el tiempo necesario para que Ia presión manométrica descienda a 1/ e de su valor inicial cuando la presión externa cambia repentinamente desde cero (respecto al interior del
manómetro) hasta algún valor constante diferente, y se mantenga indefinidamente en este nuevo valor.
d) AnaIizar la utilidad de este tipo de indicador para un avión pequeño.
e) Justificar los signos positivo y negativo que aparecen en la figura.
Respuestas: a ) d p / d z = -pg = -(pM/RT)g
b) pi - p, = v , ( ~ , u L / . ~ ~ R ~ ) ( M ~ v donde
/ R ~ / TRg
) , es la constante del gas y M es cl
peso molecular.
c) t, = (128/.rr)@VL/D4p ), donde p = $ (p, + p,)
2D.1 Viscosímetro de bola rodante. Se ha proporcionado un análisis aproximado del experimento de la bola rodante, donde se usan los resultados del problema 2B.3.* Lea el documento ori-
ginal y compruebe los resultados.
H.W. Lewis, Anal. Chem., 25,507 (1953);R.B. Bird y R.M. Turian, Id.Eng. C h m . Fundamrntals, 3 , 8 7 (1964);
ták y F.Ambros, Rheol. Acta, 12,70-76 (1973).
J.S~S-
84 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Nivel inicial del líquido
(z, t) = espesor de la película
Pared del recipiente contenedor
Figura 2D.2 Adherencia de un fluido viscoso a
la pared de un recipiente durante el drenado.
2D.2 Drenado de líquidos9 (véase la figura 2D.2). iCuánt0 líquido queda adherido en la superficie interna de un recipiente grande cuando éste se vacía? Como se muestrá en Ia figura, en la
pared queda una delgada película de liquido a medida que desciende el nivel del liquido en
el recipiente. El espesor local de la película es una función tanto de z (la distancia hacia abajo a partir del nivel inicial del líquido) como de t (el tiempo transcurrido).
a)
Hacer un balance de masa de estado no estacionario sobre una porción de la película entre z y z + Az para obtener
b) Usar la ecuación 2.2-18 y una suposición de estado casi estacionario para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial de primer orden para S(z,t):
c}
Resolver esta ecuación para obtener
¿Qué restricciones deben imponerse a este resultado?
J.J.van Rossum, Appl. Sn.Research, A7,121-144(1958); tambien vease V.G. Levich, Physicochemiml Hydrodynamics,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.(1962), capítulo 12.
E
Capítulo 3
Ecuaciones de variación
para sistemas isotérmicos
3.1
Ecuación de continuidad
532
Ecuación de movimiento
53.3
Ecuaci6n de energía mecánica
53.4"
Ecuaci6n de cantidad de movimiento angular
53.5
Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial
53.6
Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
53.7
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
En el capitulo 2 se determinaron distribuciones de velocidad para varios sistemas de
flujo sencilIos, aplicando el método de balances de envoltura de cantidad de movimiento. Las distribuciones de velocidad resultantes se usaron para obtener otras
cantidades, como Ia velocidad media y la fuerza de resistencia. El método de balances de envoltura se utilizó para familiarizar al principiante con el concepto de balance de cantidad de movimiento. Aunque no se mencionó en el capítulo 2, en
varios puntos se utilizó implícitamente este concepto de balance de materia.
Establecer un balance de envoltura para cada problema que se presenta es una
tarea tediosa. Lo que se requiere es un balance general de materia y un balance general de cantidad de movimiento que puedan aplicarse a cualquier problema, incluyendo problemas con movimiento no rectilíneo. Ése es el punto principal de este
capítulo. Las dos ecuaciones que se obtienen se denominan ecuación de continuidad
(para el balance de materia) y ecuación de movimiento (para el balance de cantidad de
movimiento). Estas ecuaciones pueden usarse como punto de partida para estudiar
todos los problemas que implican el flujo isotérmico de un fluido puro.
En el capitulo 11 se amplía la capacidad para resolver problemas al desarrollar
las ecuaciones necesarias para fluidos puros no isotérmicos, esto se logra al añadir
una ecuación para temperatura. En el capítulo 19 se avanza aun más y se agregan
ecuaciones de continuidad para las concentraciones de las especies individuales.
Por tanto, a medida que se va del capítulo 3 al capítulo 21 y luego al capítulo 19, podremos analizar sistemas cada vez más complejos, usando todo el conjunto de ecuaciones de variación. Debe resultar evidente que el capítulo 3 es muy importante (quizá
el más importante del libro), por lo que debe dominarse por completo.
En 53.1 se desarrolla la ecuación de continuidad realizando un balance de materia sobre un pequeño elemento de volumen a través del que circula el fluido. Después se deja que e1 tamaño de este elemento tienda a cero (por Lo que se considera
al fluido como un continuo) y se obtiene la ecuación diferencial parcial deseada.
En 53.2 se desarrolla la ecuación de movimiento al efectuar un balance de cantidad de movimiento sobre un pequeño elemento de volumen y dejar que éste se
haga infinitamente pequeño. De nuevo se obtiene aquí una ecuación diferencial par-
86 Capitulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
cial, Esta ecuación de movimiento puede usarse, junto con un poco de ayuda de la
ecuación de continuidad, para plantear y resolver todos los problemas proporcionados en el capítulo 2 y muchos otros problemas más complicados. Por tanto, esta
ecuación es fundamental en fenómenos de transporte.
En 93.3 y 53.4 se hace una breve digresión a fin de introducir las ecuaciones de
continuidad para energía mecánica y cantidad de movimiento angular. Estas ecuaciones se obtienen a partir de la ecuación de movimiento y por tanto no contienen
ninguna información física nueva. No obstante, constituyen un punto de partida
conveniente para varias aplicaciones de este libro, en particular los balances macroscópicos del capítulo 7.
En g3.5 se introduce la "derivada sustancial". Ésta es la derivada respecto al
tiempo que sigue el movimiento de la sustancia (es decir, el fluido). Debido a que se
utiliza ampliamente en libros de dinámica de fluidos y fenómenos de transporte,
más adelante demostramos cómo es posible volver a escribir las diversas ecuaciones
de variación en términos de las derivadas sustanciales.
En 53.6 se analiza la solución de problemas de flujo mediante las ecuaciones de
continuidad y movimiento.Aunque éctas son ecuaciones diferenciales parciales, podemos resolver muchos problemas postulando la forma de la solución y luego eliminando muchos términos en estas ecuaciones. De esta forma se termina con un
conjunto más simple de ecuaciones por resolver. En este capitulo resolveremos sólo
problemas en los que las ecuaciones generales se reducen a una o más ecuaciones
diferencialesordinarias. En el capítulo 4 se analizarán problemas más complejos que
requieren algo de destreza para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Después, en el capitulo 5 las ecuaciones de continuidad y movimiento se usan como
punto de partida para analizar el flujo turbulento. Posteriormente, en el capítulo 8,
las mismas ecuaciones se aplican a flujos de líquidos poliméricos, que son fluidos
no newtonianos.
Por último, 53.7 se dedica a escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento en forma adimensional. Esto esclarece el origen del número de Reynoids, Re,
mencionado a menudo en el capitulo 2, y por qué desempeña un papel crucial en la
dinámica de fluidos. Este análisis establece las bases para realizar estudios a escala
y con modelos. En el capítulo 6 nuevamente se presentan números adimensionales
en relación con correlaciones experimentales de la fuerza de resistencia en sistemas
complejos.
Al final de 52.2 se recalcó la importancia de los experimentos en dinámica de
fluidos. Aquí se repiten esas palabras de advertencia y se indica que las fotografías
y otras formas de visualización de flujo han permitido una comprensión mucho más
profunda de los problemas de flujo de lo que sería posible sólo con la teoría.' Debe
recordarse que cuando se deduce un campo de flujo a partir de las ecuaciones de variación, no significa que es la única solución admisible fííicamente.
En este capítulo algunas veces se utilizan notaciones vectoriales y tensoriales,
esencialmente con objeto de abreviar expresiones que de otra forma serían muy extensas. El estudiante principiante encontrará que para leer este capítulo y para resolver problemas de flujo basta un conocimiento elemental de la notación vectorial
y tensorial. El estudiante avanzado encontrará que el apéndice A es útil para adquirir una mejor comprensión de las manipulaciones vectoriales y tensoriales. Respecto
a la notación, es necesario recordar que aquí se usan los símbolos en cursiva nomal
para escalares, letras normales en negritas para vectores, y los símbolos griegos en
'Se recomienda particularmente M. Van Dyke, An AIbuln of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982); H.
Werlé, Ann. Rev. FluidMech; 5,361-382 (1973); D. V. Boger y K.Walters, Rheological Phenomena in Focus, Elsevier,
Amsterdam (1993).
53.1 Ecuación d e continuidad 87
1
Figura 3.1-1 Elemento de volumen fijo
dx Ay Az a travks del que circuia un
fluido. Las flechas indican la densidad de
flujo de materia de entrada y salida en el
volumen en Ias dos caras sombreadas
localizadas en x y x + Ax.
negritas para tensores. También, las operaciones de producto punto entre paréntesis ( ) son escalares, y las escritas entre corchetes [ 1 son vectores.
Esta ecuación se deduce al realizar un balance de materia sobre un elemento de volumen Ax Ay Az, fijo en el espacio, a través del que circula un fluido (véase la figura 3.1-1):
{
velocidad de
aumento
de materia
]
=
}-{&'"":]
velocidad de
entrada
de materia
velocidad
(3.1-11
Ahora debemos traducir este enunciado físico simple a un lenguaje matemático.
Empezamos por considerar las dos caras sombreadas, que son perpendiculares
al eje x. La velocidad de entrada de materia en el elemento de volumen a través de
la cara sombreada en x es (pv,) [,Ay Az, y la velocidad de salida de materia a través
de la cara sombreada en x .t Ax es (pX)
l,+h Ay Az. Expresiones semejantes pueden
escribirse para los otros dos pares de caras. La velocidad de incremento de materia
dentro del elemento de volumen es Ax Ay Az ( d p / d t ) . El balance de materia queda
por tanto como
Al dividir toda la ecuación entre Ax Ay Az y tomar el límite cuando Ax, Ay y Az tienden a cero, y luego usando las definiciones de las derivadas parciales, se obtiene
Ésta es la ecuación de continuidad, que describe la velocidad de variación respecto al
tiempo de la densidad del fluido en un punto fijo en el espacio. Esta ecuación puede escribirse de manera mas breve usando notación vectorial como sigue:
88 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
velocidad de
incremento
d e materia
por unidad
de volumen
velocidad neta de
adición de materia
por conveccion, por
unidad de volumen
Aquí ( 7 . p ~se
) denomina "divergencia de pv", y algunas veces s e escribe como "div
y su divergencia tiene un significado simple: es la velocidad neta con que sale o se emite la densidad de flujo de
materia por unidad de volumen. En la deducción que se presenta en el problema
3D.l s e utiliza un elemento de volumen de forma arbitraria; no es necesario usar un
elemento de volumen rectangular como se hizo aquí.
Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad es aquella
para un fluido de densidad constante, para el que la ecuación 3.1-4 asume la forma
particularrnerite simple
pv". El vector pv es la densidad de flujo de materia
(fluido incompresible)
(V
v) = O
(3.1-5)
Por supuesto, ningún fluido es verdaderamente incompresible, aunque a menudo
en aplicaciones de ingeniería y biología, suponer u n a densidad constante da por resultado una simplificación considerable y un error muy pequeño.l~~
ETEMPLO 3.1-1
Esfierzos normales en
supeuficies súlidas para
fluidos newtonianos
incompresibles
Demostrar que para cualquier tipo de patrón de flujo y para fluidos newtonianos con densidad constante, los esfuerzos normales son cero en los limites fluido-sólido. Éste es un resultado importante que usaremos a menudo.
SOLUCIÓN
Visualizamos el flujo de un fluido cerca de alguna superficie sólida, que puede o no ser plana. El flujo puede ser bastante general, donde las tres componentes de velocidad sean funciones de las tres coordenadas y del tiempo. En algún punto P sobre la superficie establecemos
un sistema de coordenadas cartesianas con el origen en P. Ahora preguntamos cuál es el esfuerzo normal 72,en P.
Según la tabla 0.1o la ecuación 1.2-6, T,, = -2p(dv,/dz), porque (VT) = O para fluidos incompresible~.Asi, en el punto P sobre la superficie del sólido
Primero sustituimos la derivada dv,/dz usando la ecuación 3.1-3 con p constante. Siii embargo, sobre la superficie sólida en z = O, Ia velocidad v, es cero debido a la condici6n sin deslizamiento (véase 5j2.11, y en consecuencia la derivada du,/dx sobre la superficie debe ser cero.
Lo mismo es cierto de dv ldy sobre la superficie. En consecuencia, T,, es cero. También es cierY
to que T,, y T~~ son cero en la superficie debido a la desaparición de las derivadas en z = O.
L.D. Landau y E.M. Lifschitz, Fluid Mechanics, 13ergamon Press, Oxford (19871, p. 21, indican que, para flujos
estacionarios isentriipicos (que suelen enconharse en aerodinámica) la suposici6n d e incompresibilidad es válida
cuando la velocidad de1 fluido es pequeña en comparación con la del sonido (es decir, número de Mach bajo).
La ecuación 3.1-5constituye la base del capítulo 2 de la obra de G.K. Batchelor, An Introduction fo Fluid
Dynamics, Cambridge University Press (1967), que es un extenso análisis d e las consecuencias cinemáticas de la
ecuación de continuidad.
93.2 Ecuación de movimiento 89
(Nota: la desaparición de 10s esfuerzos normales sobre superficies sólidas no es válida para
fluidos poliméricos, que son viscoelásticos. Para fluidos compresibles, los esfuerzos normales en superficies s6Iidas son cero si Ia densidad no cambia con el tiempo, como se muestra
en el problema 3C.2.)
[
Para obtener la ecuación de movimiento escribimos un balance de cantidad de movimiento sobre el elemento de volumen Ax Ay Az en la figura 3.2-1 de la forma
][
velocidad de
incremento
de cantidad
de movimiento
=
velocidad
de entrada
de cantidad
de movimiento
1
-
[.""L]
+
cantidad de
movimiento
[
]
fuerza
extema
sobre el fluido
.3.2-l)
Nótese que la ecuación 3.2-1 es una extensión de la ecuación 2.1-1 para problemas
de estado no estacionaBo. Por consiguiente, procedemos casi de la misma forma que
en el capítulo 2. No obstante, además de incluir el término de estado no estacionario, es necesario permitir que el fluido se mueva a través de las seis caras del elemento de volumen. Recuérdese que la ecuación 3.2-1 es una ecuación vectorial con
componentes en cada una de las tres direcciones de coordenadas x, y y z. Desarrollamos la componente x de cada término de la ecuación 3.2-1; las componentes y y z
pueden tratarse en forma semejante.'
Primero, consideramos las velocidades de flujo de la componente x de cantidad
de movimiento de entrada y salida en el elemento de volumen que se muestra en la
figura 3.2-1. La cantidad de movimiento entra y sale en Ax Ay AZ por dos mecanismos: transporte convectivo (véase s1.7) y transporte molecular (véase 51.2).
La velocidad a Ja que la componente x de cantidad de movimiento entra a través de la cara sombreada en x por todos los mecanismos (tanto convectivo como
rnolecular) es (4),I
Ay Az, y la velocidad a la que sale de la cara sombreada en x +
Ax es (+w)lx+ax Ay Az. Las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras en y y y + Ay son (<fiyx)Iy Az Ax y (4yX)IY+A3
Figura 3.2-1 Elemento de voIumen fijo
Ax Ay Az, con seis flechas que indican
la densidad de flujo de cantidad de
movimiento en la dirección x a través
de las superficies por todos los
mecanismos. Las caras sombreadas
están ubicadas en x y x + Ax.
'
En este Libro todas las ecuaciones de variaci6n se deducen aplicando las leyes de conservación a una regiGn Ax
Ay Az fija en el espacio. Las mismas ecuaciones pueden obtenerse usando una región arbitraria fija en el espacio o una
que se desplace junto con el fluido. Estas deducciones se describen en el problema 3D.1. Los estudiantes avanzados
deben faidkizarse con tales deducciones.
90
I
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Az Ax, respectivamente. De manera semejante, las velocidades a las que la cantidad
de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras z y z + Az son (4,,)tZ
AX Ay y (C$I,)I,+~
Ax Ay. Al sumar estas contribuciones se obtiene la rapidez neta de
adición de cantidad de movimiento en la dirección x
a través de los tres pares de caras.
Luego está la fuerza externa (típicamente la fuerza de gravedad) que actúa sobre el fluido en el elemento de volumen. La componente x de esta fuerza es
P&AX AY 'h
(3.2-3)
Las ecuaciones 3.2-2 y 3.2-3 proporcionan las componentes x de los tres términos en
el miembro derecho de la ecuación 3.2-1.Así, la suma de estos términos debe igualarse a la velocidad de incremento de cantidad de movimiento en la dirección x dentro del elemento de volumen: Ax Ay Az c?(pv,)/ált.Al hacer lo anterior se obtiene la
componente en la dirección x del balance de cantidad de movimiento. Cuando esta '
ecuación se divide entre Ax Ay Az y se toma el limite cuando Ax, Ay y Az tienden a
cero, resulta la siguiente ecuación:
Aquí hemos utilizado las definiciones de las derivadas parciales. Ecuaciones semejantes pueden obtenerse para las componentes en Ias direcciones y y z del balance
de cantidad de movimiento:
Al usar notación vectorial-tensorial, estas tres ecuaciones pueden escribirse como
sigue:
Es decir, al dejar que i sea sucesivamente x, y y z,pueden reproducirse las ecuaciones 3.2-4, 3.2-5 y 3.2-6. Las cantidades pv, son las componentes cartesianas del vector pv, que es la cantidad de movimiento por unidad de volumen en un punto en el
fluido. De manera semejante, las cantidades pgi son las componentes del vector pg,
que es la fuerza externa por unidad de volumen. El término -[V-$1; es la i-ésima
componente del vector -[V.+].
Cuando la i-ésima componente de la ecuación 3.2-7 se multiplica por el vector
unitario en la i-ésima dirección y las tres componentes se suman vectorialmente, se
obtiene
que es el planteamiento diferencial de la ley de conservación de cantidad de movimiento. Es la traducción de la ecuación 3.2-1 a símbolos matemáticos.
53.3 Ecuación de energía mecánica 91
En la ecuación 1.7-1 se demostró que e1 tensor de densidad de flujo de cantidad de
movimiento combinado es la suma del tensor de densidad de flujo de cantidad
de movimiento convectivo p w y el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular ~ r y, que éste puede escribirse como la suma de p8 y r. Cuando
se inserta 4 = p w + p8 + T en la ecuación 3.2-8, se obtiene la siguiente ecuación de movirnient~:~
+
d
ZPV
=
veloadad de
incremento
de cantidad de
movimiento
por unidad
de volumen
-[V.pw]
-vp
velocidad
de adici6n de
cantidad de
movimientopor
mnvdn
por unidad
de volumen
veloadad de adia6n
de cantidad de movimiento
por transporte rnolecular por
unidad de volumen
-IV.T]
+S
fuerza externa
sobre el fluido
por unidad
de volumen
En esta ecuación, V p es un vector denominado "gradiente de (el escalar) p", y algunas veces se escribe como "grad p". El símbolo [V. TI es un vector denominado "divergencia de (el temor) T", y [V-pwl es un vector denominado "divergencia de (el
producto diádico) pw".
En las dos secciones siguientes proporcionaremos algunos resultados formales
que están basados en la ecuación de movimiento. Las ecuaciones de variación para
energía mecánica y cantidad de movimiento angular no se usan para resolver problemas en este capítulo, sino que se difieren hasta el capítulo 7. Ce recomienda a los
estudiantes interesados que primero repasen estas secciones y después las consulten a medida que sea necesario.
53.3
ECUACIÓNDE ENERGÍA MECÁNICA
,í
La energía mecánica no se conserva en un sistema de flujo, aunque esto no es un
impedimento para desarrollar una ecuación de variación para esta cantidad. De hecho, a lo largo de este libro obtendremos ecuaciones de variación para un número
de cantidades que no se conservan, como la energía interna, la entalpía y la entropía. La ecuación de variación para energía mecánica, que implica sólo términos mecánicos, puede deducirse a partir de la ecuación de movimiento proporcionada en
53.2. En el siguiente texto se hace referencia en varias ocasiones a la ecuación resultante.
Tomamos el producto punto del. vector velocidad v con la ecuación de movimiento en la ecuación 3.2-9 y luego hacemos un reordenamiento bastante laborioso,
usando la ecuación de continuidad en la ecuación 3.1-4. También separamos en dos
partes cada uno de los términos que contienen a p y T. El resuitado final es la ecuación de variación para energíh cinética:
Esta ecuación se atribuye a A.-L. Cauchy, Ex.de mnth., 2.106-111 (1827). (Barón)Augustin-Louis Cauchy (17891857), originalmente preparado como ingeniero, hizo grandes contribucionesa la física y matemáticas teóricas,
incluyendo el dlcuio de la variable compleja.
92 Capitulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
d
(12
=
velocidad de
incremento
de energía
únética por
unidad de
volumen
-
- (V l, pv2v)
-
(V . pv)
-
velocidad de adición velocidad de
de energía anética
trabajo realizado
por convecdón por
por la presibn
unidad de volumen del entorno sobre
el fluido
(V. [7 . VI)
-
velocidad de trabajo
reaiizado por las
fuerzas viscosas
sobre el fluido
:Vv)
(-7
velocidad de
conversión
irreversible de
energía cinética
en energía interna
p(-v
v)
velocidad de
conversión reuersible
de energía &ética
en energía interna
(3.3-1)'
+ p(v . g)
velocidad de
trabajo realizado
por la fuerza externa
sobre el fluido
En este momento no resulta claro por qué hemos atribuido la importancia física indicada a los términos p(V . v) y (?:Vd.El significado de éstos no puede apreciarse
en su justa dimensión sino hasta haber estudiado el balance de energía en el capítulo 11. Ahí se verá cómo estos mismos dos términos aparecen con signo opuesto en
la ecuación de variación para energía interna.
Ahora introducimos la energía potencial2(por unidad de materia) 6, definida por
g = -v&. Luego el último térmipo en la ecuación 3.3-1 puede volver a escribirse co) pv 6)- t W V .pv). La ecuación de cptinuidad en la ecuación
mo - p(v ~ 6= -(V
3.14 puede usarse ahora para susJituir +&v - pv) por -@(Jp/df). La última expresión puede escribirse como -J(p@) /Jt, si la energía potencial es independiente del
tiempo. Esto es válido para el campo gravitacional para sistemas que están situados
en la superficie de la Tierra; así,& = gh, donde g es la aceleración (constante) de la
gravedad y h es la coordenada de elevación en el campo gravitacional.
Con la introducción de la energía potencial, la ecuación 3.3-1 asume la siguiente forma:
a
a
d
-(+PV~
dt
+p6)
= - (V. (+v2
+ p6)v)
Ésta es una ecuación de variación para energía cinética más energfá potencial. Debido a
que las ecuaciones 3.3-1 y 3.3-2 contienen sólo términos mecánicos, a las dos se les
llama ecuación de variación para energíá mecánica.
El término p(V v) puede ser positivo o negativo, dependiendo de que el fluido
experimente expansión o compresión. Los cambios de temperatura resultantes pueden
ser bastante grandes para gases en compresoras, turbinas y tubos de choque.
El término ( - ~ V V siempre
)
es positivo para fluidos newtonianoc,3 porque puede
escribirse como una suma de términos elevados al cuadrado:
.
.
' Esta interpretación bajo el término (eVv) es correcta sólo para fluidos newtonianos; para fluidos viscoelásticos,
como polimeros, este término puede incluir conversión reversible a energía elástica.
2Sig= -63 es un vectot de magnitud en la dirección z negativa, entonces la energía potencial por unidad de
masa es 6 = $2, donde z es la elevaci6n en el campo gravitacional.
Una consecuenaa divertida de la disipaa6n viscosa para el aire es el estudio de H.K. Moffatt [Nature, 404,833834 (20M))I de La forma en que una moneda girando llega al reposo en una mesa.
93.4 Ecuación de cantidad de movimiento angular
93
que sirve para definir las dos cantidades @, y q,.Cuando el índice i asume los valores l, 2 y 3, las componentés de la velocidad vi se convierten en u, vy y v,, y las
coordenadas cartesianas xise convierten en x, y y z. El simbolo S9.. es la delta de Kronecker, que es O si i = j y 1 si i = j.
La cantidad (-T:VV) describe la degradación de energia mecánica en energía
térmica que ocurre en todos los sistemas de flujo (algunas veces se denomina calenEste caIentamiento puede producir aumentos consitamiento por disipación vi~cosa).~
derables de temperahra en sistemas con grandes gradientes de viscosidad y de
velocidad, como en lubricación, extrusión rápida y vuelo a alta velocidad. (Otro
ejemplo de conversión de energía mecánica en calor es el frotamiento de dos varas
para producir fuego, actividad que presumiblemente son capaces de hacer los niños
exploradores.)
Al hablar de "sistemas isotérmicos", entendemos sistemas en los que no hay
gradientes de temperatura impuestos externamente y no hay un cambio apreciable
de temperatura debido a la expansión, la contracción o la disipación viscosa.
El uso más importante de la ecuación 3.3-2 es para el desarrollo del balance macroscópico de energia mecánica (o ecuación de ingeniería de Bernoulli) que se presenta en la sección 7.8.
A partir de la ecuación de movimiento puede obtenerse otra ecuación al formar el
producto cmz del vector de posición r (cuyas coordenadas cartesianas son x, y, z )
con la ecuación 3.2-9. La ecuación de movimiento según se dedujo en g3.2 no contiene la suposición de que el temor de esfuerzo (o de densidad de flujo de cantidad
de movimiento) T es simétrico. (Por supuesto, las expresiones dadas en s2.3 para el
fluido newtoniano son simétricas; es decir, T..'1 = rji-)
Cuando se forma el producto cruz, se obtiene -luego de algunas manipulaciones vectoriales-tensoriales- la siguiente ecuación de variación para la cantidad de movimiento angular:
a
-p[r
dt
X
V I = -[V
pv[r X vil-[V. [r X p8]t~-[V. [r X
T ~ ] ~ [] +r
pg]
~ - [&:TI
(3.4-1)
(el símbolo de pemutación
Aquí E es un tensor de tercer orden con componentes
definido en gA.2).Si el tensor de esfuerzo T es simétrico, como para fluidos newtonianos, el último término es cero. Según las teorias cinéticac de gases diluidos, liquidos monoatómicos y polímeros, el tensor T es simétrico, en ausencia de momentos
de torsión eléctricos y magnéticos.' Si, por otra parte, T es asimétrico, entonces el ÚItimo término describe la rapidez de conversión de cantidad de movimiento angular
global en cantidad de movimiento angular interno.
La suposición de un tensor de esfuerzo simétrico, entonces, es equivalente a
afirmar que no hay interconversión entre cantidad de movimiento angular global y
cantidad de movimiento angular interno, y que las dos formas de cantidad de movimiento angular se conservan por separado. Esto corresponde, en la ecuación 0.3-8,
a igualar por separado los términos del producto cruz y los términos de cantidad de
movimiento angular interno.
G.G. Stokes, Trans. Cnmb. Phil. Soc., 9,8106 (18511, véanse pp. 57-59.
'J.S. Dahler y L.E. Ccnven, Nature, X92,36-37(1961); S. de G m t y P. Mazur, Nonequilibrium Thermodynarnics,
North Hoiiand, Amsterdam (1962), capítulo W. Una revisión de la literatura puede encontrarse en G.D.C. Kuiken,
Ind. Eng. Chem. Res., 34,3568-3572 (1995).
94
Capitulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
La ecuación 3.4-1 sólo se menciona en el capítulo 7, donde indicamos que el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular puede obtenerse a partir de
ella.
Antes de proseguir es oportuno señalar que en fenómenos de transporte pueden encontrarse varias derivadas diferentes respecto al tiempo. Ilustraremos esas derivadas por medio de un ejemplo familiar; a saber, la observación de la concentración de
peces en el río Mississippi. Puesto que los peces se están moviendo, en general su
concentración es una función de la posición (x, y, r ) y del tiempo (t).
Derivada parcial respecto al tiempo dldt
Supóngase que estamos en un puente y observamos la concentración de peces justo
debajo de nosotros como una función del tiempo. Así podemos registrar la velocidad de variación respecto al tiempo de la concentración de peces en un sitio fijo. El
resultado es ( d ~ / d t ) ( , ~la, derivada
~,
parcial de c respecto a t, para x, y y z constantes.
Derivada total respecto al tiempo dldt
Ahora supóngase que subimos en una lancha de motor y recorremos el río en todas
direcciones, algunas veces río arriba, otras corriente abajo y otras a lo ancho. Durante todo el tiempo observamos la concentración de peces. En cualquier instante, la velocidad observada de variación de la concentración de peces respecto al tiempo es
donde d x l d t , d y / d t y dz/dt son las componentes de la velocidad del bote.
Derivada sustancial respecto al tiempo D/Dt
A continuación subimos a una canoa y, ya sin energías, simplemente dejamos que
flote al garete con la corriente, y observamos la concentración de peces. En esta situación la velocidad del observador es la misma que la velocidad v de la corriente,
cuyas componentes son v,, v y u,. Si en cualquier instante reportamos la velocidad
y. ,
de variación de la concentracion de peces respecto al tiempo, entonces escribimos
El operador especial D / D t = d / d t + v . V se denomina derivada susfancial (significando que la velocidad de variación respecto al tiempo se reporta a medida que el observador se mueve con la "sustancia"). También se usan los términos derivada
material, derivada hidrodinámica y derivada siguiendo el movimiento.
Ahora necesitamos saber cómo convertir ecuaciones expresadas en términos de
d / d t en ecuaciones escritas con D/Dt. Para cualquier función escalar f(x, y, z, t ) es
posible hacer las siguientes manipulaciones:
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 95
Tabla 3.5-1 Las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
en la forma D / DF
Nota: a la izquierda se proporcionan los números de emaci6n
para las formas ói l d t
(3.1-4)
(3.2-9)
-DP
=-p(V.v)
Dt
p -Dv
--Vp-[V.~]+pg
Dt
D
(3.3-1)
pD f (iv2)=
(3.4-1)
D
pDiLixvl=
-
( v . V p ) - ( v .[V-TI)-tp(v . g )
(A)
(8)
(C)
- i ~ - { r x p 6 ] -1 [ ~ { r x ~ / ] + [ r x p (DY
~ ]
Las ecuaciones (A) a (C)se obtienen a partir de las ecuaciones 3.143.2-9y 3.3-1
sin suposiciones.La ecuaaón (D)se escribe sólo parar sirnptrico.
Según Ia ecuación de continuidad, la cantidad en el segundo paréntesis en la segunda línea es cero. Por tanto, la ecuación 3.5-3 puede escribirse en forma vectorial como
De manera semejante, para cualquier función vectorial f(x, y, z, t),
Estas ecuaciones pueden usarse para volver a escribir las ecuaciones de variación
proporcionadas en s 3 . 1 a 3.4 en términos de la derivada sustancial, como se muestra en la tabla 3.5-1.
La ecuación A en la tabla 3.5-1 indica cómo la densidad aumenta o disminuye a
medida que uno se desplaza con el fluido, debido a la compresión [(V . v) < 01 o expansión [(V . v) > O] del fluido. La ecuación B puede interpretarse como (masa) X
(aceleración) = suma de las fuerzas de presión, fuerzas viscosas y la herza externa.
En otras palabras, la ecuación 3.2-9 es equivalente a la segunda ley de movimiento
de Newton aplicada a una pequeña burbuja de fluido cuya envolvente se mueve localmente con la velocidad v del fluido (véase el problema 3D.1).
A continuación analizaremosbrevemente las tres simplificaciones más comunes
de la ecuación de m~vimiento.~
i) Para p y p constantes, la inserción de la expresión newtoniana para 7 de la
ecuación 1.2-7 en la ecuación de movimiento conduce a la muy famosa ecuación de
'
Para discusiones de la historia de éstas y otras relaciones famosas de dinlimica de fluidos, véase H. Rouse y S.
Ince, History oftiydraulics, Iowa Institute of Hydraulics, Iowa City (1959).
96
Capítulo 3
1
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
ligeramente
compresible con
p po = Ktp - pg),
donde K es una constante
Figura 3.5-1 Ecuación de estado para un fluido
ligeramente compresible y un fluido incompresible
cuando T es constante.
-
/Huid0
incompresible
con p = po
Navier-Stokes, deducida por primera vez a partir de los razonamientos moleculares
de Navier y de los razonamientos del continuo de S t ~ k e s : ~
D
2
p-v=-Vp+pVv+pg
Dt
obien
D
~-V=-VP+~V~V
Dt
(3.5-6,7)
En la segunda forma hemos usado la "presión modificada" 9 = p + pgh que se introdujo en el capítulo 2, donde h es la elevación en el campo gravitacional y gh es la
energía potencial gravitacional por unidad de masa. La ecuación 3.5-4 es un punto
de partida normal para describir flujos isotérmicos de gases y líquidos.
Debe recordarse que, cuando se supone que p es constante, la ecuación de estado (a T constante) es una línea vertical en una gráfica de p contra p (véase la figura
3.5-1).Así, ya no es posible determinar la presi6n absoluta a partir de p y T, aunque
las ecuaciones 3.5-6 o 3.5-7 siguen permitiendo determinar gradientes de presión y
diferencias instantáneas. También es posible obtener las presiones absolutas si p se
conoce en algún punto del sistema.
ii) Cuando en la ecuación de Navier-Stokes se desprecian los términos de aceleración - e s decir, cuando p(Dv/Dt) = O-, se obtiene
que se denomina ecuación de flujo de S t o k e s . Algunas veces se denomina ecuación de
flujo reptante, porque el término p[v . Vv], que es cuadratico en la velocidad, puede
eliminarse cuando ei flujo es extremadamente lento. Para algunos flujos, como el
flujo de Hagen-Poiseuille en un tubo, el término p[v - Vvl se elimina, y no implica
una restricción a flujo lento. La ecuación d e flujo d e Stokes es importante en teoría
de lubricación, el estudio de movimientos de partículas en suspensión, el flujo a través de medios porosos y el desplazamiento de microbios en un medio fluido. Sobre
este tema hay una literatura abundante3
iii) Cuando se d e s p r e c i a r i las fuerzas viscosas; es decir, [V
movimiento se convierte en
. TI
= O,
la ecuación de
L.M.H. Navier, Mémoires de I'Acadhie Royale des Sciences, 6, 38940 (1827); G.G.Stokes, Proc. Cambridge Phil.
%c., 8,287-319 (1845).
J. Happel y H . Brenner, h w Rqnolds Number Hydrodynamics, Martinw Nijhoff, La Haya (1983); S. Kim y S.J.
Karrila, Mimhydmdynamics: Principies and Selecfed Applications, Butterworth-Heinemann, Boston (1991).
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 97
que se conoce como ecuación de Euler para fluidos "no viscoso^".^ Por supuesto, no
existen fluidos verdaderamente "no viscosos", aunque hay muchos en los que las
fuerzas viscosas son relativamente poco importantes. Ejemplos son el flujo alrededor de las alas de un avidn (excepto cerca del b i t e sólido), el flujo corriente arriba
en las superficies de empotramiento de puentes, aigunos problemas en dinámica de
gases compresibles y el flujo de corrientes o~eánicas.~
La ecuacidn de
~ ~ m o u zpara
l i el flujo
en
estacionario
de fluidos no viscosos
La ecuación de Bernoulli para el flujo en estado estacionario de fluidos no viscosos es una de
las ecuaciones más conocidas en dinámica de fluidos clá~ica.~
Mostrar cómo se obtiene a partir de la ecuación de movimiento de Euler.
SoLuclÓ~
Se omite el ikrmino de la derivada respecto al. tiempo en la ecuación 3.5-9 y luego se usa la
identidad vectorial [v Vv1= V(V . v) - [v x [V x VI] (ecuación A.4-23) para volver a escribir las ecuaciones como
-
pv$$
-
p[v
x [V x v]] = - Vp
-
pgVh
(3.5-10)
-v&
Al escribir el último término, g se ha expresado como
= --gVh, donde h es la elevación
en el campo gravitacional.
.
A continuación se divide la ecuación 3.5-10 entre p y luego se forma el producto punto
con el vector unitario s = v/lvl en la dirección del flujo. Al hacer esto, puede demostrarse que
el término que implica el rotacional del campo de velocidad se elimina (un ejercicio apropiado en análisis vectorial) y (S . V) puede sustituirse por d / d s , donde s es b distancia a lo largo
de una lííea de flujo de corriente. Así, se obtiene
Cuando esta expresi6n se integra a lo largo de una línea de flujo de corriente desde el punto
1hasta el punto 2, se obtiene
que se denomina ecuación de Bernoulli. Esta ecuación rehciona la velocidad, la presión y la elevación de dos puntos a lo largo de una línea de flujo de corriente en un fluido que se encuentra en flujo en estado estacionario. Se utiliza en situaciones en las que puede suponerse que
la viscosidad desempeña un papel bastante menor.
L. Euler, Mtm. A&. Sci. Berlin, 11,217-273,274-315,316-361(1755). El matemático de origen suizo Leonhard
Euler (1707-1783) ense% en San Petersburgo, Basilea y Beriín, y publicó bastante en muchos campos de las
matemáticas y la física.
Véase, por ejemplo, D.J.Acheson, EletnenfaryFluii Mechanics. Clarendon Press, Oxford (1990), capítulos 3-5; y
G.K. Batchelar, An Introductwn lo FIuid Dymmics, Cambndge UNversity Press (19671,capítuio 6.
Daniel Bernoulli (1700-1782) fue uno de los primeros investigadores en dinámica de fluidos y también de la
te& cin&ca de los gases. Sus ideas sobre hidrodinámica están resumidas en D. Bemoulli, Hydrodpmia sive de
viribics el motibus jitridorum commentufii,Argentorati (1738); sin embargo, en realidad él no proporcionó la ecuación 3.512. El aédito de la deducción de la ecuación 3.5-12 es de L. Euler, Histoires de I'Académie de Berlin (1755).
98
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Para casi todas las aplicaciones de la ecuación de movimiento, debemos insertar la
expresión para 7 de la ecuación 1.2-7 en la ecuación 3.2-9 (o, en forma equivalente,
las componentes de T de la ecuación 1.2-6 o del apéndice B.l en las ecuaciones
3.2-5,3.2-6 y 3.2-7). Luego, para describir el flujo de un fluido newtoniano a temperatura constante se requiere, en general,
La ecuación de continuidad
La ecuación de movimiento
Las componentes de T
La ecuaci6n de estado
Las ecuaciones para las viscosidades
Ecuación 3.1-4
Ecuación 3.2-9
Ecuación 1.2-6
P = P(P)
CL = p(p), K = d p )
Estas ecuaciones, junto con las condiciones límite e inicial necesarias, determinan
por completo las distribuciones de presión, densidad y velocidad en el fluido. Rara
vez se usan en su forma completa para resolver problemas de dinámica de fluidos.
Por conveniencia suelen usarse formas restringidas, como en este capítulo. Si es
apropiado suponer densidad y viscosidad constantes, entonces se usan
La ecuación de continuidad
La ecuación de Navier-Stokes
Ecuación 3.1-4 y tabla 8.4
Ecuación 3.5-6 y tablas 8.5, 6.6 y 8.7
junto con condiciones inicial y límite. A partir de lo anterior se determinan las distribuciones de presión y de velocidad.
En el capítulo 1 proporcionamos las componentes del tensor de esfuerzo en
coordenadas cartesianas, y en este capítulo hemos obtenido las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas cartesianas. En las tablas 8.1 a B.7 se presenta un resumen de estas ecuaciones clave en tres sistemas de coordenadas bastante
utilizados: cartesianas (x,y, z), cilíndricas (r, O, z ) y esféricas (r, O , # ) . Los estudiantes
no deben preocuparse por la deducción de estas ecuaciones, pero sí deben familiarizarse muy bien con las tablas en el apéndice B y usarlas para plantear problemas
de dinámica de fluidos. Es conveniente que los estudiantes avanzados analicen los detalles del apéndice A y aprendan cómo desarrollar las expresiones para las diversas
operaciones V, como se hizo en 55A.6 y A.7.
En esta sección ilustraremos cómo plantear y resolver algunos problemas que
implican el flujo en estado estacionario, isotérrnico y laminar de fluidos newtonianos. Las soluciones analíticas relativamente simples que se proporcionan aquí no
deben considerarse como un fin en sí mismas, sino como una preparación para
avanzar hacia la solución analítica o numérica de problemas más complejos, el uso
de varios métodos aproximados o el uso de análisis dimensional.
La solución completa de problemas de flujo viscoso, incluyendo demostraciones de unicidad y criterios para estabilidad, es una tarea impresionante. De hecho,
algunos de los matemáticos aplicados más conocidos del mundo han dedicado su
atención al reto de resolver las ecuaciones de continuidad y movimiento. El estudiante bien puede sentirse incompetente al enfrentar por primera vez estas ecuaciones. Todo lo que pretendemos hacer en los ejemplos ilustrativos de esta sección es
resolver algunos problemas para flujos estables cuya existencia se conoce. En cada
caso comenzamos estableciendo algunos postulados sobre la forma de las distribuciones de presión y velocidad; es decir, adivinamos cómo p y v deben depender de la posición en el problema que se está estudiando. Luego eliminamos todos los términos
en las ecuaciones de continuidad y movimiento que sean innecesarios según los
~ 3 . 6 -Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 99
postulados establecidos. Por ejemplo, si se postula que v, es una función sólo de y,
entonces pueden eliminarse términos como dv,/dx y d2v,/dz2. Una vez que se eliminan todos los términos innecesarios, a menudo lo que queda es un reducido número de ecuaciones relativamente simples; y si el problema es suficientemente
sencillo, puede obtenerse una solución analítica.
Es necesario recalcar que cuando se enumeran los postulados se utiliza la intuición, que se basa en la experiencia cotidiana con fenómenos de flujo. La intuición a
menudo nos indica que un flujo será simétrico respecto a un eje, o que alguna componente de la velocidad es cero. Una vez que se utihza la intuición para establecer
tales postulados, debemos recordar que la solución final está restringida de manera
correspondiente. No obstante, al comenzar con las ecuaciones de variación, cuando
termina el "proceso de eliminación" por lo menos contamos con una lista completa
de todas las suposiciones utilizadas en la solución. En algunos casos es posible volver atrás, eliminar algunas de las suposiciones y obtener una mejor solución.
En varios ejemplos que serán analizados, encontraremos una solución de las
ecuaciones de dinámica de fluidos. Sin embargo, debido a que las ecuaciones completas son no lineales, puede haber otras soluciones del problema. Así, la solución
completa de un problema de dinámica de fluidos requiere que se especifiquen los 1ímites de los regímenes de flujo estable, así como todos los intervalos de comportamiento inestable. Es decir, debemos elaborar un "mapa" que muestre los diversos
regímenes de flujo posibles. Por regla general, soluciones analíticas pueden obtenerse sólo para los regímenes de flujo más simples; el resto de la información suele obtenerse experimentalmente o por medio de soIuciones numéricas muy detalladas.
En otras palabras. aunque se conozcan las ecuaciones diferenciales que gobiernan el
movimiento del fluido, queda mucho por conocer sobre cómo resolverlas. Ésta es un
área desafiante de las matemáticas aplicadas, que se encuentra muy por encima del
nivel de un libro de texto introductorio.
Cuando se encuentran problemas dificiles, es necesario investigar en algunos de
los tratados avanzados de dinámica de fluidos.l
Ahora nos dedicaremos a los ejemplos ilustrativos. Los dos primeros son problemas ya analizados en e1 capitulo precedente; vo~vemosa trabajarlos precisamente para ilustrar el uso de las ecuaciones de variación. Después consideraremos
algunos otros problemas cuyo planteamiento seria difícil por el método de balances
de envoltura del capitulo 2.
en un
tubo circular largo
Volver a trabajar el problema de flujo en un tubo del ejemplo 2.3-1 usando las ecuaciones de
continuidad y movimiento. Esto ilustra el empleo de las emaciones tabuladas para densidad
y viscosidad constantes en coordenadas cilíndricas, dadas en el apéndice B.
SOLUC~~N
PostuIamos que v = Szv,(r, 2). Este postulado implica que no hay flujo radial (u, = 0) y.; flujo
tangencia1 (ue = O}, y que u, no depende de 0. Por consiguiente, podemos descartar mucl~os
términos de las ecuaciones de variación tabuladas, quedando
'
R. Berker, Handbuch der Physik, volumen ViI1-2, Springer, Berlín (1963), pp. 1-384; G.K. Batchelor, A n
lntroduction tu Fluid M e c h n i c s , Cambridge Universiiy Press (1967); L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics.
Pergamon Press, Oxfard, 2a. edición (1987);J.A. Schetz y A.E. Fuhs (compiladores), Handbook o f f l u i d Q n a m i c s and
Fluid Machinery, Wiley-Interscience, Nueva York (7996);R.W. Johnson (compilador), The Handbook of Fluid Dynatnics.
CRC Press, Boca Ratón, Ha. (1998);C.Y. Wang, A n n . Revs. Fluid. Mech., 23,159-177 11991).
100
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isoténnicos
ecuación de continuidad
%=o
a2
ecuación de movimiento para Y
ecuación de movimiento para 8
ecuación de movimiento para z
La primera ecuación indica que v, depende cólo de r; por tanto, las derivadas parciales que
aparecen en el segundo término del miembro derecho de la ecuación 3.64 pueden sustituirse por derivadas ordinarias. Al usar la presión modificada 9 = p + pgh (donde h es la altura
por arriba de algún plano arbitrario dado), evitamos la necesidad de calcular las componentes de g en coordenadas ciiíndricas, y obtenemos una solución válida para cualquier orientaci6n del eje del tubo.
Las ecuaciones 3.6-2 y 3.6-3 muestran que 9 es sólo una función de z, y la derivada parcial en el primer término de la ecuación 3.6-4 puede sustituirse por una derivada ordinaria.
La única forma en que una función de r más una función de z puede ser igual a cero es que
cada término individual sea una constante -por ejemplo, Co-, de modo que la ecuaci6n
3.6-4 se reduce a
La ecuación 9 puede integrarse de una vez. La ecuación v, puede integrarse simplemente
"quitando" una operación tras otra en el miembro izquierdo (no "resolver" la derivada compuesta que ahí aparece). Así se obtiene
Las cuatro constantes de integración pueden encontrarse a partir de las condiciones límite:
C.L. 4
en r = O,
u, = finita
(3.6-12)
Las soluciones resultantes son:
La ecuación 3.6-13 es la misma que la ecuación 2.3-18. En el ejemplo 2.3-1 no se obtuvo el perfil de velocidad en la ecuación 3.6-12,aunque se postuló de manera tácita; esto hubiera podido hacerse aquí también, pero elegimos trabajar con un número mínimo de postulados.
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 101
Como se indicó en e1 ejemplo 2.3-1, la ecuación 3.6-13 es válida sólo en el régimen de flujo laminar, y en ubicaciones no muy próximas a la entrada y a la salida del tubo. Para números de Reynolds aproximadamente superiores a 2100, corriente abajo de la región de entrada
existe un régimen de flujo turbulento, asi la ecuación 3.6-13 deja de ser válida.
Plantear el problema del ejemplo 2.2-2 usando las ecuaciones del apéndice B. Esto ilustra el
uso de la ecuación de movimiento en términos de r.
scosidad variable
SOLUCION
i
Así como en el ejemplo 2.2-2, postulamos un flujo de estado estacionario con densidad constante, pero cuya viscosidad depende de x. Postulamos, como antes, que las componentes x y
y de la velocidad son cero y que v, = v,(x). Con estos postulados, la ecuación de continuidad
se cumple idénticamente. Según la tabla B.1, las únicas componentes de 7 diferentes de cero
son rXz= T= = -p(dv,/dx). Las componentes de la ecuación de movimiento en Mrminos de T
son, a partir de la tabla B.5,
donde P es el ángulo que se muestra en la figura 2.2-2.
Al integrar la ecuación 3.6-14 se obtiene
p
= pgx
sen P
-t f(y,
z)
(3.6-17)
dondef(y,z) es una función arbitraria. La ecuación 3.6-15 muestra que f no puede ser una función de y. Luego se reconoce que la presión en la fase gaseosa es casi constante a la presión
atmosférica presente p,,. Por consiguiente, en la interfase gas-líquido x = O, la presión también es constante al valor .,p
En consecuencia,f puede igualarse a p,,, para obtener finalmente
Así, la ecuación 3.6-16 se convierte en
d
dx
-7,
= pg
cos B
que es igual a la ecuación 2.2-10. El resto de la solución es lo mismo que en s2.2.
oiscosímeho de
Antes se mencionó que la medición de la diferencia de presión contra velocidad de flujo másic0 a través de un tubo cilíndrico constituye la base para determinar la viscosidad en viscosimetros capilares comerciales. La viscosidad también puede determinarse midiendo el
momento de torsión necesario para hacer girar un objeto sólido en contacto con un fluido. El
precursor de todos los viscosírnetros rotacionales es el instrumento de Couette, que se muestra en la figura 3.6-1.
102 Capítulo 3
Cilindro exterior
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
U@
es una función de r
El péndulo está suspendid
y puede girar Libremente
En esta
región el
fluido se
indro interior
estacionario
I /I
mueve con
v, = v8(r)
/
El fluido en el interior
es estacionario
(b)
Figura 3.6-1 a) Flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio entre dos cilindros; el cilindro exterior se
mueve con velocidad angular R,. b) Diagrama de un viscosímetro de Couette. Uno mide la velocidad angular R, de la copa y
la desviación Bb del péndulo con operación en estado estacionario. La ecuación 3.6-31 proporciona la viscosidad p en términos
de a, y del momento de torsión T , = k,Bb.
El fluido se coIoca en la copa, que luego se hace girar con velocidad angular constante S1,
(el subhdice "o" significa externa). El líquido viscoso en rotación hace que el péndulo suspendido gire hasta que el momento de torsión producido por la transmisión de cantidad de movimiento en el fluido sea igual al producto de la constante de torsión k, y e1 desplazamiento
angular Ob del péndulo. E1 desplazamiento angular puede medirse observando Ia desviación de
un haz de luz reflejado desde un espejo montado en el péndulo. Las condiciones de medición
son controladas, de modo que en la región anular entre los dos cilindros coaxiales mostrados
en la figura hay un flujo en estado estacionario, tangencial y laminar. Debido al arreglo usado,
los efectos finales sobre la región que incluye la altura L de péndulo son despreciabIes.
Para analizar esta medición, aplicamos las ecuaciones de continuidad y movimiento para p y p constantes al flujo tangencial en la región anular airededor del péndulo. A fin de
cuentas, queremos obtener una expresión para la viscosidad en tkrminos del momento de torsión T, (la componente z) sobre el cilindro interior, la velocidad angular a, de la copa giratoria, la altura L del péndulo, y los radios KR y R del péndulo y la copa, respectivamente.
En la porción anular en consideración, el fluido se mueve siguiendo un patrón circular. Postulados razonables para la presión y Xa velocidad son: ve= ve(?-), u, = O, u, = O, y p = p(r, 2). ES
de esperar que p dependa de z debido a la gravedad y de r debido a la fuerza centrífuga.
Para estos postulados, todos los términos en la ecuación de continuidad son cero, y las
componentes de la ecuación de movimiento se simpIifican a
componente r
componente 0
componente z
g3.6
Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
203
La segunda ecuación proporciona la distribuwn de velocidad. La tercera ecuación proporciona eI efecto de la gravedad sobre la presión (el efecto hidrostático), y la primera ecuaci6n
indica cómo la fuerza centrífuga afecta la presión. Para este problema sólo necesitamos la
componente 8 de la ecuación de mo~imiento.~
Un inexperto podría sentir la tentaci6n de realizar las diferenciaciones en la ecuación 3.6-21
antes de resolver la ecuación diferenciai,pero no debe hacerlo. Todo lo que debe hacer es "quitar" una operaci6n a la vez - d e la misma forma como una persona se desviste- como sigue:
Las condiciones límite son que el fluido no se desliza en las dos superficies cilíndricas:
Estas condiciones limite pueden usarse para obtener las constantes de integración, que luego
se insertan en la ecuación 3.6-26. Así se obtiene
Al escribir el resultado de esta forma, con terminos semejantes en el numerador y en el denominador, resulta evidente que ambas condiciones límite se cumplen y que la ecuación es dimensionalmente consistente.
A partir de la distribución de velocidad es posible encontrar la densidad de flujo de cantidad de movimiento usando la tabla B.1:
Así, el momento de torsión que actúa sobre el cilindro interior esta dado por el producto de
la densidad de flujo de cantidad de movimiento de entrada (-r,), la superficie del cilindro
y el brazo de palanca, como sigue:
El momento de torsión también esta dado por T, =
Por consiguiente, la medición de
la velocidad angular de la copa y la desviación angular del péndulo hacen posible deter-
Véase R.B. Bird, C.E Curtiss y W.E.Stewart, Qlon. Eng. SN., 11, 114-117(1959)para un método de obtención de
p(r, Z ) para este sistema El u i m e n t o de depmdencia respectoal tiempo para los perfdes en estado estacionario lo proporcionan R.B.Bird y C.F. C&s, Chem. Eng. Sci, I1,lW-113(1959).
104
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Figura 3.6-2 Número crítico de Reynolds para el flujo
tangencial en tubos concéntricos, donde el cilindro
exterior gira y el interior permanece estacionario [H.
Schlicliting, Boundary Lnyer Theoy, Mc-Graw-Hill,
Nueva York (1955), p. 3571.
minar la viscosidad. El mismo tipo de análisis puede hacerse para otros viscosímetros rotacionales?
Para cualquier viscosímetro es esencial conocer cuándo ocurrirá turbulencia. El número
crítico de Reynolds (fl$2pIp),,, por arriba del cual el sistema se vuelve turbulento, se muestra en la figura 3.6-2 como una función de la relación K del radio.
Podría preguntarse qué ocurre si el cilindro externo se mantiene fijo y se deja que el
cilindro interior gire a velocidad angular C$ (el subíndice "i" significa interior). Entonces la distribución de velocidad es
Lo anterior se obtiene estableciendo los mismos postulados (véase la ecuación
3.6-20) y resolviendo la misma ecuación diferencial (ecuación 3.6-21), pero con un
conjunto diferente de condiciones límite.
La ecuación 3.6-32 describe exactamente el flujo para valores pequeños de Ri.
No obstante, cuando fii alcanza un valor critico (fLirCrit
= 41.3(p/R2(1 - K ) ~ / para
~ ~ )
K = l), e¡ fluido desarrolla un flujo secundario, que se sobrepone al flujo primario
(tangencial)y es periódico en la dirección axial. Se forma un sistema muy claro de
vórtices toroidales, denominado vórtices de Tay[or, como se muestra en las figuras
3.6-3 y 3.6-4b. Los lugares geométricos de los centros de estos vórtices son círculos
cuyos centros están localizados sobre los ejes comunes de los cilindros. Este movimiento sigue siendo laminar, aunque ciertamente es inconsistente con los postulados establecidos al inicio del problema. Cuando la velocidad angular fli aumenta
aún más,los lugares geométricos de los centros de los vórtices se convierten en ondas viajeras; es decir, el flujo se vuelve, además, periódico en la dirección tangencial
[véase la figura 3.6-4(c)I.Además, la velocidad angular de las ondas viajeras es aproximadamente igual a $ Ri. Cuando la velocidad angular fli sigue creciendo, el flujo
se vuelve turbulento. En la figura 3.6-5 se muestran los diversos regímenes de flujo,
con los cilindros interior y exterior girando, determinados para un aparato y un flui-
3 J . ~ VanWazer,
.
J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E.Colweii, Viscosity and Fluw Measurement, Wiley, Nueva York (1963);
K.Walters, Rheornetry, Chapman and Hall, Londres (1975).
53.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 105
Cilindro interior
'
Figura 3.6-3 Vórtices toroidales
contrarrotacionales, denominados vórtices de
Taylor, observados en el espacio anular entre
dos cilindros. Las líneas de flujo de corriente
tienen forma de helices, con los ejes enrollados
alrededor del eje común de los cilindros. Esto
corresponde a la figura 3.5-4(b).
FLujo turbulento
Figura 3.6-4 Bosquejos que muesiran
los fenómenos observados en el espacio
anular entre dos cilindros: a) flujo
puramente tangencial; b) flujo
simplemente periódico (vórtices de
Taylor), y c ) flujo doblemente periódico
donde un movimiento ondulatorio se
superpone a los vórtices de Taylor.
/
Figura 3.6-5 Diagrama de régimen de flujo para el flujo entre dos
cilindros coaxiales. La Iínea recta identificada como "Rayleigh" es
la solución analítica de Lord Rayleigh para el fluido no viscoso.
[Véase D. Coles, J. Fluid. Mech., 21,385-425 (1965).]
106 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
do específicos. Este diagrama demuestra lo complicado de este sistema que en apariencia es simple. En otra parte pueden encontrarse detalles adiciona le^.^^^
El análisis precedente debe servir como una seria advertencia de que los poshlados intuitivos pueden ser engañosos. Pocas personas pensarían en postular las so.
luciones simplemente periódica y doblemente periódica que acaban de describirse,
A pesar de ello, esa información está contenida en las ecuaciones de Navier-Stokes.
Sin embargo, debido a que los problemas que implican inestabilidad y transiciones
entre varios regímenes de flujo son demasiado complejos, para describirlos estarnos
obligados a usar una combinación de teoría y experimentación. La teoría sola aún
no es capaz de proporcionar todas Ias respuestas, de modo que en los años por venir será necesario realizar experimentos cuidadosamente controlados.
Fomza de Ea
superficie de un
líquido en rotación
Un líquido de densidad y viscosidad constantes se encuentra en un recipiente cilúidrico de
radio R como se muestra en la figura 3.6-6. Se hace que el recipiente gire alrededor de su propio eje a una vebcidad angular O.El eje del cihndro es vertical, de modo que g, = O, go = O y
g, = -g, donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Encontrar la forma de
superficielibre del líquido una vez que se establece el estado estacionario.
Para este problema es conveniente usar coordenadas cilíndricas, y las ecuaciones de variación
se proporcionan en las tablas B.4 y B.6. Para estado estacionario postulamos que v, y v, son,
ambas, cero, y que ve depende sólo de r. También postulamos que p depende de z debido a Ia
fuerza de gravedad y de r debido a la fuerza centrifuga, pero que no depende de 8.
1
i
P 'Patm
isuperficie
enla\ 11
/
\
\
\
t
i
-
1R-1
I
-1- '
/
i
Y\
L
p = p(r, z)
dentro del fluido
Figura 3.6-6 Líquido en rotación con una
superficie Libre, cuya forma es una paraboloide
de revolución.
El trabajo inicial sobre este tema fue realizado por John Williarn Strutt (Lord Rayleigh) (1842-1919), quien
estableció el campo de la acústica en su obra Theory of Sound, escrita en una casa flotante en el rio Nilo. Algunas
referencias origmaies sobre la inestabilidad de TayIor son: J.W.Strutt (Lord Rayleigh), Pmc. Roy. Sor., A93,148-154
(1916);(3.1. Taylor, Phil. Tren..,A223,289-343 (1923) y Proc. Roy. Soc., A157, 546-564(1936); P. Schultz&mow y H.
Hein, Zeits. Flugwiss., 4,2840 (1956); D. Coles, J. Fluid Mech., 21,385-425 (1965). Véase también R.P. Feyunan, R.B.
Leighton y M. Sands, l'he Feynmn Lectures in Physics, Addison-Wesley, Reading, M A (19641, g1-6.
Ohms referencias sobre inestabilidad de Taylar, así como inestabilidad en otros sistemas de flujo, son:L.D.
Landau y E.M. Lifsliitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford,2a. edición (1987), pp. 99-106; S. Chandrasekhar,
Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford Universiv Press (1961), pp. 272-342; H. Schlichting y K. Gersten,
Boundary-Layer Theoy, 8a. edicidn (2000), capítulo 15; P.G. Drazin y W.H. Reid, Hydrodynarnic Stability, Cambridge
Univcrsity Press (1981); M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982).
33.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
107
Estos postulados dan O = O para le ecuación de continuidad, y la ecuación de movimiento da:
componente r
componente 0
componente z
O=---@dP
az
(3.6-35)
La componente 0 de la ecuacibn de movimiento puede integrarse para obtener
donde C, y C, son constantes de integracián. Debido a que ve no puede ser infinita en r = 0,
la constante C, debe ser cero. En r = R, la velocidad ve es RQ Por tanto, C, = 2fl y
lo cual establece que cada elemento del líquido en rotación se mueve como si fuese un elemento de un cuerpo rígido (en realidad, pudimos postular que el liquido giraría como un
cuerpo rígido y apuntar directamente la ecuacibn 3.6-37). Cuando el resultado de la ecuación
3.6-37se sustituye en la ecuacidn 3.633, entonces se obtienen estas dos maciones para los
gradientes de presión:
Cada una de estas ecuaciones puede integrarse, como sigue:
donde f, y f, son funciones de integración arbitrarias. Debido a que hemos postulado que p
no depende de 9, podemos elegir fi = -pgz + C y f2 = m 2 r Z+ C, donde C es una constante,
y satisfacer las ecuaciones 3.6-38 y 3.639. Así, la solución de estas dos ecuaciones tiene la
forma
La constante C puede determinarse al requerir que p = pat, en r = O y que z = zO,donde 6sta
es la elevación de la superficie del Iíquido en r = O. Una vez que C se obtiene de esta forma,
se llega a
Esta ecuación proporciona la presión en todos los puntos dentro del liquido. Justo en la interfase Iíquido-aire, p =: p,,,, y con esta sustitución la ecuacibn 3.6-43 proporciona la forma de la
interfase líquido-aire:
fista es la ecuación de una parábola. El lector puede verificar que la superficie libre de un 1íquido en un recipiente de tubos concéntrico y giratorio obedece a una relación semejante.
108 Capítulo 3
Flujo cerca de una
esfera que gira
lentamente
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Una esfera sólida de radio R gira lentamente a velocidad angular constante fl en un gran
cuerpo de fluido en reposo (véase la figura 3.67). Obtener expresiones para las distribuciones
de presión y de velocidad en el fluido y para el momento de torsión T, necesario para mantener el movimiento. Se supone que fa esfera gira lo suficientemente lento, de modo que es
adecuado utilizar la versión de flujo reptante de la ecuación de movimiento en la ecuación 3.5-8.
Este problema ilustra el planteamiento y h solución de un problema en coordenadas esféricas.
Las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas esféricas se proporcionan en las
tabIas B.4 y B.6, respectivamente. PostuIamos que, para flujo reptante estacionario, la distribución de velocidad tendrá la forma general v = S v (u, O), y que la presión modificada será
+ .4
de la forma 9 = 9 (r, 13). Como se espera que la soluc~ónsea simétrica respecto al eje z, no hay
dependencia respecto al ángulo 4.
Con estos postulados, la ecuación de continuidad se cumple con exactitud, y las componentes de la ecuación de movimiento para flujo reptante se vuelven
componente r
componente 8
componente #
1 d
O=--r2 dr
dv
l a
f 2dr ~ )r2 +
dI3 sen-0(30l b ( v 4
Las condiciones límite pueden resumirse como
C.L. 1:
en r = R,
C.L. 2:
cuando r + w ,
C.L. 3:
cuando r + w
v, = O, v , = O, v4 = Rfl sen 0
,
v+. -* O, v,
p + po
+
0, v4 + O
(36-48)
(3.6-49)
(3.6-50)
donde 9 = p + pgz, y po es la presión del fluido lejos de la esfera en z = 0.
La ecuación 3.6-47 es una ecuación diferencial parcial para v4(r,O). Para resolverla, intentamos una solución de la forma v - f(r) sen O. Esto es sólo una conjetura, aunque es consictenle con la condición límite en fa-ecuación 3.6-48. Cuando esta forma de ensayo para la
distribución de la velocidad se inserta en la ecuación 3.6-47, se obtiene la siguiente ecuación
diferencial ordinaria para flr):
Para hacer girar a la esfera se
requiere un momento de
torsión T,
Figura 3.6-7 Esfera que gira Ientamente en una extensión
infinita de fluido. El flujo primario es vd = Q,R(R/r)2 sen B.
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 109
Ésta es una "ecuación equidimensional", que puede resolverse al suponer una solución de
ensayo f = rn (véase la ecuación C.1-14). Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación
3.651 se obtiene n = 1, -2. Así, la soIución de la ecuación 3.6-51 es
de modo que
Al aplicar las condiciones limite se muestra que C1 = O y C2 = aR3.Por consiguiente, la expresión final para la distribución de velocidad es
A continuación evaluamos el momento de torsión necesario para mantener la rotación de la
esfera. h e ser&la integral, sobre la superficie de la esfera, de la fuerza tangencia1 ( T ~ + ~ , = ~ ) R ~
sen OdOdd ejercida sobre el fluido por un elemento de superficie sólido, multiplicada por el
brazo de palanca R sen 0 para ese elemento:
T=
=
jo2'
1:
r 1;
(7,+,1,=,
<Rsen ~ > ~ ~a si e~ nd
( 3 f l sen BXR sen O)RZsen Ltiai+
Al pasar d e la primera a la segunda línea hemos usado la tabla B.l, y al pasar d e la segunda
a ¡a tercera, hemos hecho la integración sobre el intervalo de la variabIe +. La integral en la
4
tercera línea es 3.
A medida que aumenta la velocidad angular, ocurren desviaciones respecto al "flujo primario" de la ecuación 3.6-54. Debido a los efectos de la fuerza centrífuga, el fluido es atraído
hacia los polos de la esfera y alejado de Psta a partir del ecuador como se muestra en la figura
3.6-8. Para describir este "flujo secundario", es necesario incluir el término [v . Vv] en la ecuación de movimiento, lo cual puede hacerse utitizando un método de función de ~ o r r i e n t e . ~
X
Figura 3.6-8. Bosquejo que muestra el flujo secundario el
1
J
1
I
1
1
I
t
&sta
1
I
I
l
lateral
I
l
1
l
cual aparece alrededor de una esfera que gira a medida que se
incrementa el número de Reynolds.
6Véase, por ejemplo, el desamlio de O. Hassager en R.B. Bi,R.C.Armsbng y O. Hassager, Dynarnics 0f
Polyme~icLiquids, volumen 1, Wiley-lnterscience, Nueva York, 2a. ediciún (19871, pp. 31-33. También véase L. Landau y
E.M.Lifshitz, FLuid Mechanies, Pergamon, Oxford, 2a. edición (19871, p. 65; y L.G. Leal, Liminar Flow and Convective
Transport Processes, Butterworth-Heinemann, Boston (1992), pp. 180-181.
110 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
$3.7 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN
Supóngase que se han reunido datos experimentales, o se han tomado fotografías,
del flujo que circula por cierto sistema que no puede analizarse resolviendo analíticamente las ecuaciones de variación. Un ejemplo de tal sistema es el flujo de un fluido a través de un medidor de orificio en un tubo (éste consta de un disco con una
perforación en el centro, colocado en el tubo,con un dispositivo detector de la presión corriente arriba y corriente abajo del disco). Ahora supóngase que queremos
realizar un modelo a mayor (o menor) escala del sistema experimental, a fin de llevar a cabo uno nuevo en el que ocurran exactamente los mismos patrones de flujo
[aunque apropiadamente a mayor (o menor) escala]. Antes que nada se requiere
contar con semejanza geornéfrica:es decir, las razones de todas las dimensiones del tubo y el disco perforado del sistema origina1 y del sistema a mayor (o a menor) escala deben ser las mismas. Además, se debe tener semejanza dimimica: es decir, los
gmpos adirnensionales (como el número de Reynolds) en las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite deben ser los mismos. El estudio de la semejanza dinLimica se comprende mejor si las ecuaciones de variación se escriben, junto con las
condiciones límite e inicial, en forma adimen~ional.',~
Para facilitar las cosas, restringimos el presente análisis a fluidos de densidad y
viscosidad constantes, para los cuales las ecuaciones de variación son las ecuaciones
3.1-5 y 3.5-7
D
p-v
Dt
+
= -VB ,Uv2v
En la mayor parte de los sistemas de flujo es posible identificar los siguientes "factores de escala": una longitud característica lo, una velocidad característica u,,, y una
presión modificada característica Po= po + pgh, (por ejemplo, éstas podrian ser el
diámetro de un tubo, la velocidad media de flujo, y la presión modificada en la salida del tubo). Luego es posible definir variables adimensionales y operadores diferenciales como sigue:
.
v
v=-
vo
9-Po
y=pua2
:
9-T0
o bien P =---P o lo
Hemos sugerido dos opciones para la presión adimensional; la primera es conveniente para altos números de Reynolds, y la segunda para bajos números de Rey-
'
G. Birkhoff, Hydmdymrnics, Dover, Nueva York (1955),capitulo IV. Nuestm procedimiento del análisis dimensional corresponde al "an6lisisinspecciona1 completo" de Birkhoff.
RW. Powell, An Elemnitary Text in Hydraulics and Fluid Mechnnics, Macmillan, Nueva York (1951),capítulo Vnl;
y la obra de H. Rouse y S. Ince, Histoy of Hydmulics, Dover, Nueva York (1963) tiene material histórico interesante relacionado con grupos adimensionales y las personas en cuyo honor se denominaran.
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variaci6n 111
nolds. Cuando las ecuaciones de variación en las ecuaciones 3.7-1y 3.7-2 se vuelven
a escribir en términos de las cantidades adimensionales, se convierten en
o bien
En estas ecuaciones adimensionales, los cuatro factores de escala lo, volp y ,u aparecen en un grupo adimensional. E1 recíproco de este gmpo recibe su denominación
en honor de un famoso experto en dinámica de fluidos3
Re =
PnPl
= numero de Reynolds
La magnitud de este grupo adimensional proporciona una indicación de la irnportancia relativa de las fuerzas inercia1 y viscosa en el sistema de fluido.
A partir de las dos formas de la ecuación de movimiento dadas en la ecuación
3.7-9, es posible adquirir cierta perspectiva sobre las formas especiales de la ecuación de Navier-Stokes dada en 93.5. La ecuación 3.7-9a proporciona la ecuación de
Euier de la ecuación 3.5-9 cuando Re m, y la ecuación 3.7-913 proporciona la ecuación de flujo reptante de la ecuación 3.5-8 cuando Re << 1. Las regiones de aplicabilidad de éstas y otras formas asintóticas de la ecuación de movimiento se
considerarán con más detalle en 934.3 y 4.4.
Grupos adimensionales adicionales pueden presentarse en las condiciones ínicial y límite; dos que aparecen en problemas con interfases fluido-fluido son
-+
Fr =
[,',l
3
= número de Fvoude
La primera contiene la aceleración de la gravedad g, y Ia segunda contiene la tensión interfacial a, que puede entrar en las condiciones límite, como se describe en el
problema 3C.5. Aún pueden aparecer otros grupos, como razones de longitudes en
el sistema de flujo (por ejemplo, la razón de1 diámetro del tubo al diámetro de la perforación en un medidor de orificio).
Flujo transversal
alrededor de un
oilindro circulaP
Debe hacerse u n estudio experimental del flujo de un fluido newtoniano incompresible que
pasa por un cilindro circular. Se desea conocer cómo los patrones de flujo y la distribución de
Véase la nota de pie d e página en 9 2 .
William Froude (1810-1879) estudi6 en Oxford y trabajó como ingeniero civil en el campo de los ferrocarriles y
buques de vapor. Algunas veces el número de Froude se define como la raíz cuadrada del p g o dado en la ecuación
3.7-11.
Moritz Weber (1871-1951) fue profesor de arquitectura naval e n Beriín; otro gmpo adimensional que implica la
tensión superficial es el número copilar, definido como Ca = [ ~ w ~ / u ] .
Este ejemplo está adaptado de la obra de R.P. Feymnan, R.B. Leighton y M. Sands, The Feynrnan h t u r e s un
Physics, volumen 11, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1964),§41-4.
93.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 113
Si se tiene la habilidad suficiente para resolver las ecuaciones adimensionales de variación
junto con las condiciones lfrnite adimensionales, las soluciones deben ser de la forma siguiente:
Es decir, la velocidad adimensional y la presión modificada adimensional sólo pueden depender de los pardmetros adimensionales Re y L/D y de las variables independientes adimensionales X, y, i y t.
Así se completa el análisis dimensional del problema. No se ha resuelto el problema de
flujo, aunque se ha decidido sobre un conjunto conveniente de variables adimensionales para volver a plantear el problema y sugerir la forma de la solución. El andlisis muestra que si
se desea catalogar los patrones de flujo para el flujo pasando por un cilindro, basta registrarlos (por ejemplo, fotogrAficamente) para una serie de números de Reynolds Re = D v d / p y
valores L/D; así, es innecesario realizar investigaciones por separado sobre los papeles de L,
D,v, p y p. Esta simplificación ahorra bastante tiempo y dinero. En caso de que se decida
atacar numéricamente el problema, comentarios semejantes son validos para Ia tabulación de
resultados num4ric0s.~B
Los experimentos implican algunas diferencias necesarias respecto al análisis anterior: el tamaño de la corriente es finito e inevitablemente hay fluctuaciones de velocidad en el estado inicial y en el fluido corriente arriba. Estas fluctuaciones se
extinguen con rapidez cerca del cilindro a Re < 1. Para Re que se aproxima a 40,el
amortiguamiento de las perturbaciones se hace más lento, y más allá de este límite
aproximado siempre se observa flujo no estacionario.
Los patrones de flujo observados a grande varían bastante con el número de
Reynolds, como se muestra en la figura 3.7-2; a Re << 1 el flujo es ordenado, como
se observa en (a). A Re aproximadamente igual a 10, detrás del cilindro aparece un
par de vórtices, como puede verse en (b). Este tipo de flujo persiste hasta alrededor
de Re = 40, cuando aparecen dos "puntos de separación" a los cuales las líneas de
flujo de corriente se separan de la superficie sólida. Además, el flujo se vuelve permanentemente no estacionario; los vórtices comienzan a "despegarse" del cilindro
para desplazarse corriente abajo. Con más aumento de Re, los vórtices se separan
regularmente desde lados alternos del cilindro, como se muestra en (c); este arreglo
regular de vórtices se denomina "caile de vórtice de von Kármán". A Re aún mayor
se presenta un movimiento fluctuante desordenado (turbulencia) en la estela del cilindro, como se ve en (d). Por último, a Re próximo a lo6, aparece turbulencia corriente arriba del punto de separación, y la estela se estrecha bruscamente como se
muestra en (e). Resulta evidente que el flujo no estacionario que se muestra en los
tres últimos dibujos debe ser muy difícil de calcular a partir de las ecuaciones de variación. Es mucho más fácil observarlo experimentalmente y correlacionar los resultados en términos de las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24.
Las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24 también pueden utilizarse para obtener un modelo a mayor escala a partir de un solo experimento. Supóngase que queríamos predecir los patrones de flujo alrededor de un cilindro de diámetro D1 = 5 pies, alrededor
'Coluciones analíticas de este problema a un Re muy pequeno y L/D infinito se revisan en L. Rosenhead
(cornpilador), Laminar Boundary inye~s,Oxford Univelsity Ress (1963),capitulo IV. Una caraderisbca importante de
este problema bidimensional es la ausencia de una soluci6n de "flujo reptante".Así, el término [v Vvl en la ecuación
de movimientodebe incorporarse, incluso en el &te cuando Re + O (véase el probtema 3B.9). Esto contrasta de
manera muy marcada con la situación de flujo lento alrededor de una esfera (v6anse 82.6 y 9 . 2 )y para flujo alrededor
de otros objetos hidiiensionales finitos.
Para estudios por computadora del flujo a l d e d o r de un cilindro largo, véase EH. Harlow y J.E. From,
Scientific American, 212,104-110(19651, y S.J.Sherwin y G.E. Karniadakis, Compuf. Math., 123,189-229 (1995).
.
114 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Punto de estancamiento P ~ n t ode SePXaaón
Calle del
vórtice
de von
Kármán
1
(c)
~e = 102
Figura 3.7-2 Tipos
Punto de se'paraa6n
(4
Estela
turbulenta
R e = 104
f unto de separaa6n
(e)
Estela
turbulenta
Re = lo6
Punto de separación
de comportamiento
para el flujo
alrededor de un
cilindro, ilustrando
los diversos
regímenes de flujo
que se observan a
medida que se
incrementa el. número
de Reynolds. Las
regiones de flujo
turbulento están
sombreadas.
del cual debe circular aire a una velocidad de aproximación (v,)~= 30 pies/s, por
medio de un experimento en un modelo a escala de diámetro DI, = 1pie. Para tener
semejanza dinámica es necesario elegir condiciones tales que Iie,, = ReI. Luego, si en
el experimento a peqqrieña escala se usa el mismo fluido que en el sistema grande,
de modo que pII/pII= pI/pI, se encuentra que la velocidad del aire requerida en el
modelo a pequeña escala es
= 150 pies/s. Con los números de Reynolds asi
igualados, los patrones de flujo en el modelo y en el sistema a escala normal se verán similares; es decir, son geométricamente semejantes.
Más aún, si Re está en el intervalo de formación de vórtices periódicos, entonces el intervalo de tiempo adimensional f,v,/ D entre vórtices será igual en los dos
sistemas. Así, 10s vórtices se extenderán 25 veces más rápido en el modelo que en
el sistema a escala normal. La regularidad de los vórtices extendiéndose a números
de Rejmolds que varían aproximadamente de 102a lo4 se utiliza comercialmentepara la medición precisa de flujo en grandes tuberías.
- -vy*
E
-
d i
4
Se desea predecir el comportamiento del flujo en un gran tanque de aceite, sin desvladores,
.%JBMPLO
3,$+&."k~&@,RT~#-?~,"
&?e
Flujo estacionario en un
tanque agitado
mostrado en la figura 3.7-3, como una función de la velocidad de rotación del impulsor. Se
propone hacer esto por medio de experimentos con un modelo en un sistema geométricamente semejante más pequeño. Determinar las condiciones necesarias para que los estudios
en el modelo proporcionen un medio directo de predicción.
g3.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
115
,A
----+---
- - - m & - - - -
\Alturas
-
HI
iniciales de
los líquidos
'f
-DI
I-\\\,,,f;
7
Hn
Z
1
t
Figura 3.7-3 Perfiles medios a largo plazo de la forma de superficies libres, con Re, = Re,,.
Se considera un tanque de radio R, con un impulsor centrado de diámetro global D. En el
tiempo t = O, el sistema es estacionario y contiene liquido hasta una altura H por arriba del
fondo del tanque. Inmediatamente después del tiempo i = O, el impulsor comienza a girar a
una velocidad constante de N revoluciones por minuto. Se desprecia la resistencia de la atmósfera sobre la superficie del liquido. La forma y la posición inicial del impulsor se describen con la función Simp(r,e, Z) = 0.
El flujo esta gobernado por las ecuaciones 3.7-1 y 3.7-2, junto con la condición inicial
y las siguientes condiciones límite para la región líquida:
fondo del tanque
enz=OyOsr<R,
pared del tanque
enr=R,
superficie del impulsor
en S.
interfase gas-líquido
en Si,,@, 0, z, t) = O
'"'P
(3.7-26)
v=O
v=O
(3.7-27)
(u, 0 - 27rNt, z) = O,
v
= 27rN18~
(n . v) = O
(3.7-28)
(3.7-29)
Las ecuaciones 3.7-26 a 3.7-28 son las condiciones sin deslizamiento y de impermeabilidad; la
superficie S. (r, ti - 27rNt, z) = O describe la ubicación del impulsor después de Ni rotacio-c
nes. La ecuacion 3.7-29 es la condición de que no hay flujo de materia a través de la interfase
gas-líquido, descrita por S,,(r, 0, z, t ) = 0, que tiene un vector normal unitario local n. La ecuación 3.7-30 es un balance de fuerzas sobre un elemento de esta interfase (o un enunciado de la
continuidad de la componente normal del tensor IT de la densidad de flujo de cantidad de
movimiento) donde se desprecian las contribuciones viscosas desde el lado del gas. Esta interfase es estacionaria inicialmente en el plano z = H, y a partir de entonces su movimiento se
obtiene mejor por medición, aunque también puede pronosticarse en principio por la solución numérica de este sistema de ecuaciones, que describe las condiciones iniciales y la aceleración posterior D v / D t de cada elemento del fluido.
Después, a las ecuaciones se las dota de carácter adirnensional usando las cantidades
características vo = ND, lo = D y 9, = p,,, junto con coordenadas polares adimensionales
116 Capítulo 3
Ecuaciones de variaci6n para sistemas isotémicos
r = r / D, 0 y i = z / D.Luego, las ecuaciones de continuidad y movimiento aparecen como en
las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9, con Re = D ~ N ~La/ condición
~ .
inicial asume la forma
y las condiciones M t e se vuelven:
fondo del tanque
pared del tanque
superficie del impulsor
en Sin,(i, 0 - 271 t , ¿) = O
ir = 27r r8,
(3.7-34)
interfase gas-líquido
en gint(i,0, i; i) = O,
(n . Y) = O
(3.7-35)
Para pasar de la ecuación 3.7-30 a la ecuación 3.7-36 se us6 la ley de viscosidad de Newton en
la forma de la ecuación 1.2-7 (pero omitiendo el último término, como es apropiado para 1íquidos incompresibles).También se us6 la abreviatura j = Vv + (Vv)*para el tensor de v e l ~
cidad de la deformación, cuyas componentes cartesianas adimensionales son y = ( q / d i i ) +
(ai>,laXi).
-S
cantidades entre dobles corchetes son cantidades adimensionales conocidas. La función 5, ( i., 0 - 2vt, 2) es conocida para el diseño de un impulsor dado. La función descone
cida S,,&, 8,í,i) puede medirse fotográficamente,o en principio puede calcularse a partir del
planteamiento del problema.
Por inspección de las ecuaciones adimensionales se encuentra que los perfiles de velocidad y de presión deben tener la forma
para una forma y una ubicación dadas del impulsor. El lugar geométrico correspondiente de
la superficie libre esta dado por
donde Re = @ N p / p y Fr = D1\12/g. Para observaciones con ajuste de tiempo a i grande desaparece la dependencia respecto a i, así como también desaparece la dependencia respecto a 0
para esta geometría de tanque axialmente simétrico.
Estos resultados proporcionan las condiciones necesarias para el experimento propuesto
con un modelo: los dos sistemas deben i) ser geométricamente semejantes (tener los mismos
valores de R/D y H/D,la misma geometría y ubicación del impulsor), y ii) operar a los mismos valores de los números de Reynolds y de Froude. La condición ii) requiere que
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 117
donde se usa la viscosidad cinemática u = p / p . Por regla general, ambos tanques operarán en
el mismo campo gravitacional gI= gIf,de modo que la ecuación 3.7-41 requiere
Al sustituir esta ecuación en la ecuación 3.7-40 se obtiene el requerimiento
Éste es un resultado importante; a saber, que el tanque más pequeño (11) requiere un fluido
de menor viscosidad cinemática para mantener la semejanza dinámica. Por ejemplo, si se usa
un modelo a escala con D, = +D,, entonces en el experimento a menor escala es necesario usar
un fluido con viscosidad cinemiitica vII = vi/%%. Resulta evidente que los requerimientos para la semejanza dinámica son más restrictivos aquí que en el ejemplo previo, debido al grupo
adimensional adicional Fr.
En muchos casos prácticos, la ecuación 3.7-43demanda valores bajos inalcanzables de b l r
Entonces no es posible hacer un modelo a una escala mayor exacta a partir de un simple experimento con un modelo. No obstante, en algunas circunstancias puede saberse que el efecto de uno o más grupos adimensionales es pequefio, o incluso predecible a partir de la
experiencia con sistemas semejantes; en tales situaciones sigue siendo posible hacer un modelo a mayor escala aproximada a partir de un simple e ~ ~ e r i m e n t o . ~
Este ejemplo muesfra la importancia de incluir las condiciones limite en un análisis dimensional. Aqui el número de Froude sólo apareció en la condicibn límite de la superficie libre en la ecuación 3.7-36. No utilizar esta condición puede dar por resultado la omisión de la
restricción en la ecuación 3.7-42, y podria eIegirse erróneamente un = vI. Si ocurre esto, con
Ren = ReI, entonces el número de Froude en el tanque más pequeño sería demasiado grande, y
el vórtice sena demasiado profundo, como se muestra. son la línea punteada en la figura 3.7-3.
flujo reptante en un
tubo de relleno
Demostrar que el gradiente axial medio de la presión modificada 9 para flujo reptante de un
fluido de p y p constantes a través de un tubo de radio R, relleno uniformemente en una longitud L >>-Dp con partículas sólidas de tamaiio característico D, << R, es
Aquí, (. . denota un promedio sobre una sección transversal del tubo dentro de la longitud
rellena L, y la función K(geom1 es una constante para una geometría dada del lecho (es decir,
una forma y una disposición dadas de las partículas).
e)
Se eIigen Dp como la longitud caracteristica y {u,) como la velocidad caracteristica. Entonces
el movimiento intersticial del fluido esta determinado por las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9b, con
= V/ {U,) y 9=(P - 9 )D / p {U,),junto con condiciones sin deslizamiento sobre las su0 P
Para una inirduccion a los métodos para hacer modelos a mayor escala con semejanza dinámica incompleta,
véase R.W. Poweli. An Elementay Text in Hydrnulics and Fivid Mechanics, Macmiiian, Nueva York (1951).
118 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
perficies del sólido y la diferencia de presión modificada A(Y) = (Po) (LPL). Las soluciones para+ y @ en flujo reptante ( D p (u,) p l P + O ) dependen en forma correspondiente sólo
de F, 0 y Z para una disposición y una forma dadas de una partícula. Entonces el gradiente
axial medio
-
depende sólo de la geometría del lechg en la medida en que R y L. sean grandes respecto a Dp.
Al insertar la expresión anterior para @, de inmediato se obtiene la ecuación 3.7-44.
l. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,)\, en la ecuación 3.1-2? ¿Cuál es el significado fisico de (V . v)? ¿Y de (V . pv)?
2. Hacer un balance de materia sobre un elemento de volumen (Ar)(rAO)(Az>
para deducir la
ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas.
3. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,v,)[, en la ecuación 3.2-2? ¿Cuál es el significado físico de [V .pw])?
4. iQué ocurre cuando f se iguala a la unidad en Ia ecuación 3.5-4?
5. La ecuación B en la tabla 3.5-1 no está restringida a fluidos con densidad constante, aun cuando p esté a la izquierda de la derivada sustancial. Explicar este hecho.
6. En el problema de flujo anular tangencia1 en el ejemplo 3.6-3, ¿es de esperar que los perfiles
de velocidad relativos al cilindro interior sean iguales a las dos situaciones siguientes: i)el
cilliidro interior está fijo y el cilindro exterior gira con velocidad angular a;ii) el cilindro exterior está fijo y el cilindro interior gira con velocidad angular -O? Se supone que ambos flujos son laminares y estables.
7. Supóngase que, en el ejemplo 3.6-4, hay dos líquidos inmiscibles eii el vaso de precipitado
giratorio. ¿Cuál sería el perfil de la interfase entre las dos regiones líquidas?
8. El sistema analizado en el ejemplo 3.6-5, ¿seria util como viscosimetro?
9. En la ecuación 3.6-55, explicar por medio de un dibujo trazado cuidadosamente la elección de
los límites en la integración y el significado de cada factor en el primer integrando.
10. ¿Qué factores deben tenerse en cuenta al diseñar un tanque mezclador que se usará en la
Luna usando 10s datos de un tanque semejante en la Tierra?
PROBLEMAS
Momento de torsión necesario para hacer girar un
cojinete de fricción (figura.3A.1). Calcular el moniento de
torsión, en lbi. pie, y la potencia en caballos que se necesitan para hacer girar ei eje del cojinete de fricción que se
muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción
sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del Iubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lb,/pie3.
Despreciar el efecto de la excentricidad.
3A.1
Resptiestos: 0.32 lbi. pie; 0.012 hp = 0.009 kW
Figura 3A.1 Cojinete
de fricción.
Problemas 119
Pérdida por fricción en cojinetes? Cada una de las
dos hbfices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor de 4000 hp. EI eje que conecta el motor y
la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de
cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre
de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una
viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie
de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que
se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar
el efecto de la excentricidad.
3A.2
haciendo girar una paila de resina plástica de endurecimiento lento a velocidad constante hasta que se endurezca.
Calcular la velocidad de rotación necesaria para producir
un espejo de distancia focal f = 100 cm. La distancia focal es
la mitad del radio de curvatura en el eje, que a su vez está
dado por
Respuesta: 21.1 rpm
jA.3 Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la
desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago
superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un
barómetro portátil indica una presión de 750 mm Hg. Usar
la ecuación de movimiento para calcular la presión
barornétrica en la cima del Government Peak (2023 pies
sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas
Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel de lago
es 70% y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a
raz6n constante de 3°F por 1000 pies. La aceleración de la
gravedad en la orilla sur de1 lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud
puede despreciarse para este problema.
Respuesta: 713 mm Hg = 9.49 X 104N/m2
3A.4 Determinación de la viscosidad con un viscosimetro de cilindro (un viscosímetro de Couette-Hatschek o
de McMichaeI). Se desea medir las viscosidades de soluciones de sacarosa con una concentraciónaproximada de 60%
por peso a aproximadamente 200C
un viscosímeho de
que se muestra en la figura 3.6-1. Este instmcilindro
mento consta de un nlindro interior de 4.000 cm de diámetro
rodeado por un cilindm
giratorio de 4.500 cm de
La I0qikid
es 4.00 cm. La viscosidad de una
solución de sacarosa al 60% a 20°C es de unos 57 cp y su densidad es aproximadamente 1.29g/crn3.
Con base en la
anterior parece posible que
10s efectos finales s e r b importantes, y por consiguiente se
ha decidido calibrar el viscosímetro haciendo mediciones en
soluciones conocidas, cuya viscosidad sea aproximadamente
igual a la de las soluciones de sacarosa desconocidas.
Determinar un valor razonable para el momento de
torsión que debe usarse en la calibración si las mediciones
de dicho momento son confiables hasta un error de 100
dinas/cm y la velocidad angular puede medirse con una
confiabilidad de 0.5%.iCuál es la velocidad angular resultante?
3A.6 Diseño de un tanque agitado a mayor escala. Se
realizarán experimentos con un tanque agitado a menor
escala para diseñar una instalación geométricarnente semejante con dimensiones lineales 10 veces más grandes que el
modelo a escala. El fluido en el tanque grande será un
aceite pesado con p = 13.5 cp y p = 0.9 g/cm3. La velocidad
del impulsor del tanque grande debe ser de 120 rpm.
a) Determinar la velocidad del impulsor para el modelo a
menor escala, en concordancia con los criterios para modelado a mayor escala dados en el ejemplo 3.7-2.
b) Determinar la temperatura de operación del modelo si
como fluido agitado se usará agua.
Respuestas: a) 380 rpm, b) T = 60°C
3A.7
Arrastxe de aire durante el drenado de un tanque
(figura 3A.í?. Se conctmirá un tanque de
de melaza de 60 pies de diámetro con una tubería de
desagiie de pie de diámetro,
a pies de la pared
extensi6n vertical hacia arriba
lateral del tanque y
desde el fondo del tanque es de 2 pie. Por experiencia se
sabe que a medida que la melaza yale del tanque, se forma
un vórtice, y a medida que desciende el nivel del liquido,
este vórtice termina por llegar a la tubería de salida, permitiendo la succión de aire por la melaza. Es necesario evitar
este fenómeno.
Para predecir el nivel mínimo de liquido al que puede
evitarse este arrastre de aire, a una velocidad de vaciado de
m gal/min, se ha propuesto un estudio con un modelo en
3A.5 Fabricación de un espejo parabolico. Se ha propuesto elaborar el soporte para un espejo parabolico,
'
Este problema es una conh5bución del profesor E.J. Crosby, de la
Universidad de Wisconsin.
~i~~~~ 3 ~ ~~~~~d~
~ 7
de un tanque de
120 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
el que se use un tanque más pequeño. Por conveniencia,
como fluido en el estudio del modelo se usará agua a 68°F
Determinar las dimensiones del tanque y las condiciones de operación idóneas para el modelo si la densidad
de la melaza es 1.286 g/cm3 y SU viscosidad es 56.7 cp.
Puede suponerse que, en el tanque a escala real o en el
modelo, el perfil del vórtice depende sólo de la cantidad de
liquido en el tanque y la velocidad de salida; es decir, que
el vórtice se establece muy rápido.
aparato, es necesario entender el flujo en un ducto cuya sección transversal es un triángulo equilátero. LO anterior se
logra más fácilmente instalando un sistema de coordenadas
como se muestra en la figura 3B.2b.
a) Comprobar que la distribución de velocidad para el flujo
laminar de un fluido newtoniano en un ducto de este tipo
está dada por
Flujo entre cilindros coaxiales y esferas concéntri-
3
cas.
a) El espacio entre dos cilindros coaxiales está lleno de un
fluido incompresible a temperatura constante. Los radios
de las superficies mojadas interior y exterior son KR Y R,
respectivamente. Las velocidades angulares de rotaaón de
los cilindros interior y exterior son 0,y OO.Determinar la
distribución de velocidad en el fluido y los momentos de
torsión sobre los dos cilindros necesarios para mantener el
movimiento.
b) A partir de la ecuación 38.2-1 encontrar la velocidad
media, la velocidad máxima y la velocidad de flujo rnásico.
--9
Respuestas: b) (v,) = (P*-P,)H~ 60p.L
Vz,máx;
W = &t90 - p r , ) f f 4 p
18OpL
Flujo laminar en un ducto cuadrado.
b) Repetir el inciso U para dos esferas concéntricas.
33.3
Respuestas:
a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud
L y su sección transversal es cuadrada, limitada por las rectas x = 2 B y y = +B. Un colega comenta al lector que la distribución de velocidad está dada por
l-K
3B.2 Flujo laminar en un ducto triangular (figura
3B.2).2En la figura 3 B . b se muestra un tipo de intercambiador de calor compacto. Para analizar el desempeño de este
Debido a que este colega a veces le ha malinformado en el
pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado.
¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la
ecuación diferencial relevante?
b) Según el artículo de revisión escrito por Berker? la
velocidad de flujo másico en un ducto cuadrado está dada
Por
Figura 3B.2
a ) Elemento de un
(>., 0 )
y =*'
(b)
intercambiador de
calor compacto,
que muestra los
canales de una
sección transversal
triangular;
b) sistema de
coordenadas para
un ducto en forma
de triángulo
equilátero.
Uli planteamiento alternativo del perfil develocidad se encuentra
en L.U. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a.
edición (1987), p. 54.
Comparar el coeficiente en esta expresión con el coeficiente
que se obtiene a partir de la ecuación 3B.3-1.
Flujo reptante entre dos esferas concéntricas (figu3B.4
ra 3B.4). Un fluido newtoniano muy viscoso circula en el
espacio entre dos esferas concéntricas, como se muestra en
la figura. Se desea encontrar la velocidad del flujo cn el sistema como una función de la diferencia de presión impuesta. Despreciar los efectos finales y postular que u, depende
R. Berker, Handbucir der Physik, voluinen VIII/2, Springer, Berlíi~
(1963); vPanse las pp. 67-77 para flulo laminar en conductos con secciones
hansversales no circulares. También véase W.E. Stewart, AIChE Jouri~ai,8,
425-428 (1962).
Problemas
Figura 3B.4 Flujo reptante
en la región entre dos
esferas concéntricas
estacionarias.
La tensión superficial
hace que el fluido con
viscosidad (L y densidad
p se mantenga en su sitio
121
&
El disco en z = B
gira con velocrdad
angular 0
El disco en
z = O está fijo
Ambos discos
tienen radios R
yR>rB
Figura 3B.5 Viscoshetro de discos paralelos.
E6 , ,
\Salida de fluido
una fórmula para deducir la viscosidad a partir de estas
mediciones. Supóngase flujo reptante.
de r y O, con las otras componentes de la velocidad
@wal a cero.
a") Usar la ecuación de continuidad para demostrar que u,
den g = ~ ( r donde
),
u(r) es una función de r por determinar.
3"
-'
b) Escribir la componente 6 de la ecuación de movimiento
para este sistema, suponiendo que el flujo es suficienteniente lento, de modo que el término [v - Vv] es despreciable. Demostrar que lo anterior da
r
o=---+p
l doP
l
(r2%)]
(38.4-1)
sen O r' dr
r ae
[
ihiih
h) Separar lo anterior en dos ecuaciones
f,?
I
U(T) =
S5
'"1-g2)R
4 p ln cot (E / 2)
b) A partir de la componente 6 de la ecuación de movimiento, obtener una ecuación diferencial para ftz). Resolver
la ecuación paraflz) y evaluar las constantes de integración.
Al final, esto lleva al resultado ve = Ckr(z/B). ¿El lector
hubiera podido adivinar este resultado?
c) Demostrar que la ecuación deseada que funciona para
deducir la viscosidad es p = 2BTz/dlR4.
d) Analizar las ventajas y las desventajas de este instrumento.
donde B es la constante de separaci611, y resolver las dos
eduaciones para obtener
i;
a) Postular que para valores pequeños de R los perfiles de
velocidad tienen la forma v, = O, u, = O y ve = rf(z);¿por qué
parece razonable esta forma para la velocidad tangencia¡?
Postular además que 9 = P(r, z). Anotar las ecuaciones
simplificadas de continuidad y movimiento resultantes.
38.6
Flujo axial circulante en tubos concéntricos (figura 3B.6). Una varilla de radio KR se mueve hacia arriba con
velocidad constante vo a través de un recipiente cilíndrico
de radio interior R que contiene un líquido newtoniano. El
líquido circula en el cilindro, moviéndose hacia arriba a lo
largo de la varilla central móvil y hacia abajo a lo largo de la
pared fija del recipiente. Encontrar la distribución de velocidad en la regionanular, lejos de Ias perkirbaciones finales.
[ ( l - ~ ) + ~ ~ - q(38.4-5)
)]
La vanlla de radio KR
se mueve hana arriba
"'
donde
y Y2 son los valores de la presión modificada a
f = E y 6 = .rr - E , respectivamente.
d) Usar los resultados anteriores para obtener la velocidad
de flujo másico
/ -<
w=
~
(- - B
9, )~
R~(~-K)~~
(3B.4-6)
12p in C O (E
~ / 2)
m.
4 ;$
3B.5 Viscosimeho de discos paralelos (figura 3B 5). Un
fluido, cuya viscosidad debe medirse, se coloca en el intervalo de espesor B que hay entre los dos discos de radio R.
Ce mide e1 momento de torsión T, necesario para hacer
girar el disco superior a una velocidad angular 0.Obtener
I
I
El cilindro de longltud L
hene un radio interior
R (con L >> R)
Figura 3B.6 Flujo circulante
producido por una varilla que
se mueve axialmente en una
región anular cerrada.
122 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Flujos semejantes a éste ocurren en los seHos de alguna
maquinaria de vaivén o alternativa; por ejemplo, en el espacio anular entre anillos de pistones.
a) Primero, considerar el problema en que la región anular
es bastante estrecha; es decir, donde K es apenas menor que
la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por una
delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura.
Demostrar que en este límite la distribución de velocidad Las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.7-4 son sólo aproximadas en la
está dada por
región cerca de la entrada de la ranura para ambos x r O y
x 5 O.
donde 4 = r / R .
a) Encontrar las componentes de la densidad de flujo de
cantidad de movimiento convectivo p w dentro y fuera de la
ranura.
b) Despubs, trabajar el problema sin la suposición de la b) Evaluar la componente xx de pvv en x = -a, y = 0.
rendija delgada. Demostrar que la distribución de veloci- C) Evaluar la componente xy de pvv en x = -a, y = + a.
dad está dada por
d) ¿El flujo total d e energía cinética a través del. plano
x = -a es igual al flujo total de energía cinética a través de
la ranura?
e) Comprobar que las distribuciones de vebcidad dadas en
las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.74 satisfacen la relación (V . v) = 0.
Densidades de flujo de cantidad de movimiento
para flujo reptante dentro de una ranura (figura 3B.7). Un
líquido newtoniano incompresible circula muy lentamente
hacia el interior de una ranura muy delgada de espesor 2B
(en la dirección y) y ancho W (en la dirección 2). La velocidad
de flujo másico en la ranura es w. A partir de los resultados
del problema 2B.3 puede demostrarse que la distribución
de velocidad dentro de la ranura es
3B.7
f) Encontrar el esfuerzo normal T~~ e ~ eplano
l
y
bi6n en la superficie sólida en x = 0.
=
O y tam-
g) Encontrar el esfuerzo cortante T~~ en la superficie sólida
en x = O. LESsorprendente este resultado? Para comprender
el resultado, Les de ayuda trazar el perfil de velocidad vy
contra x en algún plano y = a?
Distribución de velocidad para flujo reptante
33.8
hacia una ranura (figura 3B.7)> Se desea obtener la distribución de velocidad dada para la región corriente arriba en el
problema previo. Se postula que ve = O, u, = O, v, = v,(r, O )
y 8 = P(Y,8).
en sitios no muy próximos a la entrada. En la región fuera
de la ranura, las componentes de velocidad para flujo rep- a) Demostrar que la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas da u, = P @ ) / r dondeJ(8)
,
es una función de
tanle son
0 para la cual d f / d 8 = O en 8 = O y f = O en 0 = x / 2 .
b) Escribir las componentes r y 8 de la ecuación de
movimiento de flujo reptante, e insertar la expresión para
f(0) del inciso a).
la componente r de la ecuaci6n de movimiento respecto a 0 y la componente 0 respecto a r. Demostrar
que lo anterior conduce a
C) Diferenciar
d) Resolver esta ecuación diferencial y obtener una expresión para f(0) que contenga tres constantes de integración.
Figura 3B.7 Flujo de líquido hacia una ranura desde una
región semiinfinita x < 0.
Adaptado de R.B. Bird, R.C. Armstrong y O.Hassager, Dynamics 0f
Poiymeric Liquids, volumen 1,wiley-~nterscience,Nueva York, 2a. edición
(19871, pp. 42-43.
Problemas 123
&. &valuar las constantes de integración usando las dos
gQndicione~
limite en el inciso a) y el hecho de que la veloci+dade flujo mdsico total a través de cualquier superficie
debe ser igual a W . Esto da
(3B'8-2)
b) Demostrar que la componente x de la herza por unidad
de área ejercida por el líquido sobre el cilindro es
-
plr-R cos 8 + r,I,,,
sen O
(30.9-5)
C) Obtener la fuerza F, = 2C7fLpvmejercida en la dirección
x sobre una longitud L del cilindro.
0 ~ ~ , , u é s a, partir de las ecuaciones de movimiento del 3B.10 Flujo radial entre discos paralelos (figura 38.10).
I;;C-co
b), obtener 9(r, 0) como
Una parte de un sistema de lubricación consta de dos dis9(r,0)=9.,
-%
cos 20
~ w ~ r
cos entre los cuales un Iubricante fluye radialmente. El flujo
se lleva a cabo debido a una diferencia de presión modifi(3B'8-3) cada Ol - g2entre los radios interior y exterior rl y r2,
respectivamente.
í$uál es el significado físico de Y,?
I
g)Demuestre que el esfuerzo normal total ejercido sobre la
superficie sólida en 0 = ~ / es
2
6
B.
hí
( p + ~ e e ) f e = ~ /=pm
2
+- 2 W J
TW~Y'
,),
a) Escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento
para este sistema de flujo, suponiendo flujo newtoniano en
estado estacionario, laminar e incompresible. Considere
sólo la región rl 5 r 5 r2 y un flujo dirigido radialmente.
(3B.8-4) b) Demostrar cómo la ecuación de continuidad permite
simplificar la ecuación de movimiento para obtener
&) Luego, evalúe re,en la misma superficie sólida.
$2
i) Demuestre que el perfil de velocidad obtenido en la ecuación
3B.8-2 es el equivalente de las ecuaciones 3B.7-2 y 3B.7-3.
dop
1 d24
-'F=-dr+p--í-dz2
(3B.10-1)
donde Q = ni, es una función sólo de z. ¿Por qué 4 es indeFluio transversal Iento alrededor de un cilindro pendiente de r?
(véase la figura 3.7-1). Un fluido newtoniano incompresible
se aproxima a un cilindro estacionario con una velocidad C) Puede demostrarse que no existe solución para la
uniforme estacionaria u, en la dirección x positiva. Cuando ecuación 33.10-1 a menos que se omita eI término no lineal
las ecuaciones de variación se resuelven para flujo reptante, que contiene a 4. La omisión de este término corresponde a
se encuentran las siguientes expresiones5 para la presión y la "suposición de flujo reptante". Demostrar que para flujo
la velocidad en la vecindad inmediata del cilindro (no son reptante, la ecuación 3B.10-1 puede integrarse respecto a r
para obtener
válidas a grandes distancias):
3B.9
t,
l
COS 8
p(r,O)=p=- C P p Y
a, = Cv.[f
pgr sen 0
(E)']COSO
h(~)
R 4 4 r
d) Demostrar que al integrar aún más respecto a z se
(3B.9-2) obtiene
Aquí p, es la presión lejos del cilindro en y = O y
1 Entrada de fluido
2
(3B.9-4)
C=
ln(7.4 / Re)
con el número de Reynolds definido como Re = 2 R v d / p .
z = +b
a) Usar
estos resultados para obtener la presión p, el esfuerzo cortante rroy el esfuerzo normal r,, en la superficie del
cilindro.
--
-
-
- - z = -b
r = r1
5Véase G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge
UNversity PESS (19671, pp. 244-246,261.
Figura 33.1° Flujo radia1 hacia afuera en el
discos circulares paralelos.
entre dos
124
Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
e) Demostrar que la velocidad de flujo másico es
Bernoulli para Y1 - Y,, la diferencia entre las presiones
modificadas corriente arriba y corriente abajo de la contracción? ¿Este resultado coincide con observaciones experi(38.10-4) mentales?
b) Repetir la deducción para flujo horizontal isotérmico de
un gas ideal a través de una contracción repentina.
f) Bosquejar las curvas P(r) y v,(r, z).
Flujo radial entre dos cilindros coaxiales. Considérese un flujo incompresible, a temperatura constante, que
fluye radialmente entre dos envolturas cilíndricas porosas
con radios interior y exterior KR y R.
3B.11
38.14 Ecuación de Torricelli para el vaciado de un
tanque (figura 38.14). Un gran tanque descubierto se llena
de un líquido hasta una altura h. Cerca del fondo del tanque
hay un orificio que permite la salida del fluido a la atmósa) Demostrar que la ecuación de continuidad conduce a fe& Aplique 1a"ec;ación de Bernoulli a una línea de corriente que se extiende desde la superficie del líquido en la
vr = C / r , donde C es una constante.
parte superior hasta un punto en la corriente de salida justo
b) Simplificar las componentes de la ecuación de movifuera del recipiente. Demuestre que esto conduce a una
miento a fin de obtener las siguientes expresiones para la
=*h.
Esta expresión se conoce
velocidad de salida
distribución de presión modificada:
como ecuación de Torricelli.
Para obtener este resultado es necesario suponer
d9
3 . 1 1 - 1 incompresibilidad (lo que suele ser razonable para casi
dr
d0
dz
todos los líquidos) y que la altura de la superficie del fluido
cambia tan le,ntamente con el tiempo, que la ecuación de
C) Integrar la expresión anterior para dB/dr para obtener
Bernoulli puede aplicarse en cualquier instante (suposición
de estado casi estacionario).
d) Anotar todas las componentes diferentes de cero de
T
para este flujo.
e) Repetir el problema para esferas concéntricas.
Distribución de presión en fluidos incompresibles. Penélope está mirando fijamente un vaso de precipitado lleno de un líquido, que para todos los propósitos
prácticos puede considerarse como incompresible y cuya
densidad es po. Ella le dice a usted que está intentando comprender cómo la presión del líquido varia con la profundidad. Tomó el origen de coordenadas en la interfase
líquido-aire, con el eje x positivo apuntando lejos del Iíquido. Ella comenta lo siguiente:
"Si simplifico la ecuación de movimiento para un liquido incompresible en reposo, obtengo O = - d p / d z - ~ ~
Puedo resolver esto y obtener p = p,,,
p d z . Eso parece
razonable: la presión crece al aumentar la profundidad."
"Pero, por otra parte, la ecuación de estado para cualquier fiuido es p = p(p, T), y si el sistema está a ternperatura constante, esto precisamente se simplifica a p = p(p). Y,
como el. fluido es incompresible,p = p(po),y iP debe ser una
constante en todo el fluido! ¿Cómo es posible?"
Resulta evidente que Penélope requiere dc ayuda.
Proporcione una explicación Útil.
3B.12
Superficie del
liquido en la cual
"1 = 0 Y P = Patm
Línea de flujo de comente típica
'2" Salida de fiuido
cn la cual
"2 = U ~ a c i a d oY
P = Patm
Figura 38-14 Vaciado del fluido de un tanque. Los puntos
"1" y "2" están sobre la misma línea de flujo de corriente.
y .
-
3B.15 Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial.
a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos
cilindros verticales de radios K R y R, y el liquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el. cilindro interior gira con velocidad angular fli y el
cilindro exterior permanece fijo, la superficie libre del líquido tiene la forma
38-13 Flujo de un fluido a través de una contracción
repentina.
2([-2
a) Un liquido incompresible fluye a través dc una contracción repentina de un tubo de diámetro DI a otro hlbo de diámetro más pequeño D2.¿Qué predice la ecuación de
donde zR es la altura del liquido en la pared del cilindro
exterior, y f = r/R.
+41n [ -f 2 )
(38.15-1)
Problemas 125
p
-
- -
b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y e l
p
p
cilindro exterior girando a una velocidad angular Q,.
,Demostrar que la forma de la superficie del líquido es
medio de la ranura, con las paredes porosas situadas en
y = 2 b. Su respuesta al inciso a) es
donde a = bvop/p y 77 = y / b ¿Este resultado es equivalente
a la ecuación 3B.16-l?
e$'
i5) Trazar un
dibujo en el que se comparen estas dos formas
3C.1 Viscosímetro de compresión de discos paralelos6
(figura 3C.I). Un fluido llena por completo la región entre
3&.16 Flujo en una ranura con flujo transversal uni- dos discos de radio R. El disco inferior está fijo, y el disco
gome(figura 3B 16). Un fluido circula en la dirección x posi- superior se hace aproximar muy lentamente al inferior con
tiva a través de un largo ducto plano de longitud L, ancho una velocidad constante vo, empezando desde una altura
w y espesor B, donde L >> W >> B. El ducto tiene pare- Ho (y Ho << R). La altura instantánea del disco superior es
des porosas en y = O y y = B, de modo que puede mante- H(t). Se desea encontrar la fuerza necesaria para mantener
&rse un flujo transversal constante, con vy - .
,
una la velocidad vo.
Éste es un problema intrínsecamente bastante cornpiiqonstante, en todas partes. Flujos de este tipo son importantes en relación con procesos de separación en los que se cado de flujo en estado estacionario. No obstante, puede
utiliza el efecto de difusión por barrido. Al controlar cuida- obtenerse una solución aproximada fitil al hacer dos simdosamente el flujo transversal es posible concentrar los cons- plificaciones en las ecuaciones de variación: i) se supone
ifituyentes más grandes (moléculas, partículas de polvo, que la velocidad vo es tan lenta que pueden omitirse todos
etcétera) cerca de la pared superior.
los términos que contienen derivadas respecto al tiempo;
ésta es la denominada suposición de "estado casi estaa) Demostrar que el perfil de velocidad para el sistema está
cionario"; ii) se usa el hecho de que % << R para despreciar
dado por
bastantes términos en las ecuaciones de variación por medio
de argumentos de orden de magnitud. Nótese que la veloci( B , - P ~ ) BI~ --y e*~/~-l
(3B.16-1) dad de disminución del volumen del fluido entre los discos
Vr =
/AL
A(B
8 - 1 )
es rR2u,, y que esto debe ser igual a la velocidad del flujo
que sale de entre Ios discos, que es 2~rRH(v,)l,,~.Por tanto,
donde A = Buo p/ p.
;iela superficie del líquido.
/ / '
:(
$d
b) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la dirección x es
7%
,
8!
c) Verificar que los resultados anteriores se simplifican a los
del problema 2B.3 en el límite de que no hay flujo transversal en absoluto (es decir, A -t O).
d) Un colega también ha resuelto este problema, pero
tomando un sistema de coordenadas con y = O en e1 plano
El disco superior se
mueve lentamente
hacia abajo a velocidad
constante vg
,
I
I
I
I
I
1
1
Zt
y-í-17
I
+
j-
'H(f)
El disco inferior
est.5 fijo
Figura 3B.16 flujo en una rendija de longitud L, ancho W Y
espesor B. Las paredes en y = O y y = B son porosas, y el
fluido circula en la dirección y con veIocidad uniforme
""= U(,.
Figura 3C.1 Flujo comprimido en un viscosírnetro de
compresión de discos paralelos.
J.R. Van Wazer, J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E. Colwell, Vistos@ nnd F ~ O W
Measurernent, Wiley-Interscience, Nueva York (19631,pp. 292-295.
126
Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Ahora argumentamos que vr(r,z) será del. orden de magnitud de ( ~ , ) l , = ~ y que v,(r, Z) es del orden de magnitud de vo,
de modo que
V,
= (R/Hlv& v, = -vo
(3C.1-2,3)
y entonces V Z I << Ahora es posible estimar el orden de
magnitud de varias derivadas como sigue: a medida que r
de va desde cero hasta
va de o a ' la
aproximadamente (X/H)vo.Este tipo de razonamiento permite obtener
-=
dr
8v,
dz
Este resultado puede usarse para obtener la viscosidad a
partir de mediciones de la fuerza y la velocidad.
f) Repetir el
para un virosímetro que es operado
de tal forma que una burbuja circular centrada de líquido
nunca llena completamente el espacio entre las dos láminas. Sea V e1 volumen de la muestra y obtener
( R/ H)vo -O -- vo
X-O
H
(-v0)-0 H-O
"0
H
,etc.
(3C'16)
que acaba de delinearse para demostrar que la ecuación d e continuidad y la
componente r de la ecuación de movimiento se vuelven
(despreciando 8,)
a) Use el análisis de orden de magnitud
1 d
dv
--(ni,)+-=O
continuidad:
az
r dr
movimiento:
(3C.1-6)
g) Repetir el análisis para u n viscosímetro que es operado
con una fuerza constante aplicada F o Entonces, la viscosidad debe determinarse midiendo H como una función del
tiempo, y la velocidad de la lamina superior no es una constante. Demostrar que
l
[FJ(t)l2
- I ++ 4 F t
H:
(3C.1-16)
3.rr@
3C.2 Esfuerzos normales en superficies sólidas para fluidos compresibles. Extender el ejemplo 3.1-1 a fluidos com-
(3C'1-7) preiibles. Demostrar que
con las condiciones límite
(3C.Z-8)
C.L. 2:
en z
=
H(t),
v, = O,
v, = v a
(3C.l-9)
Analizar el significado físico de este resultado.
3C.3 Deformación de una linea de fluido (figura 3C.3).Un
fluido está contenido en el espacio anular entre dos cilin(3C.1-10) dros de radios K RY R. El cilindro interior se hace girar con
velocidad angular constante de fli. Considérese una línea
b) A partir de las ecuaciones 3C.1-7 a 3C.1-9, obtener
de partículas del fluido en el plano z = O que se extiende
desde el cilindro interior hasta el cilindro exterior y que
(3C.1-11) inicialmente se encuentra en B = O, normal a las dos superVr = L ( * ) z ( z - H )
2p d r
ficies. ¿Cómo se deforma esta línea de fluido en una curva
C.L. 3:
en r
=
p
R,
=
patm
Integrar la ecuación 3C.1-6 respecto a z y sustituir el resultado de la ecuación 3C.1-II para obtener
c)
ff3 1 d
dp
vo =---12p r dr ( r ~ )
(3c.1-12)
Curva del fluido
d) Resolver la ecuación 3C.1-12 para obtener la distribución
de presión
.=P.;.
e) Integrar [(p + T
(L)']
3 r r u o ~1~ -
Línea del Buido
(3C.1-13)
patml
)
50bre la superficie del disco en
~ -~
movimiento para encontrar Ia fuerza total necesaria para
mantener e1 movimiento de disco:
exterior fijo
angular a,
Figura 3C.3 Deformación de una línea de fluido en flujo de
Couette.
Problemas 127
¿Cuál es la longitud, 1, de Ia curva después de N
luciones del cilindro interior? Usar la ecuación 3.6-32.
,
3c.4 ~ é t o d oalternativos
s
para resolver el problema del
v$cpjímetro
relaciona las presiones dentro y fuera de la diminuta gota.
¿La presión en la fase 1es mayor que en la fase 111, o al revés?
¿Cuál es la relación entre las presiones en una interfase
plana?
b) Demostrar que la ecuación 3C.5-1 conduce a la siguiente
condición límite adimensional
de Couette por medio de conceptos de canti-
kaLd
-- de movimiento angular (figura. 3.6-1).
er un balance de envoltura de la canfidad de movtmlenfo
r sobre una envoltura delgada de espesor AY para
d
-(r27,*)
dr
=O
(3C.4-1)
insertar la expresión apropiada para 7, en términos del ~radiente
de la componente tangencia1 de Ia velocidad. Luego resolver la ecuación diferencial resultante con
fáYtondicioneslímite para obtener la ecuación 3.6-29.
k$) -.. Demostrar cómo obtener la ecuación 3C.4-1 a partir de la
t
)InfHiZczón
de variacidn para cantidad de movimiento angular dada
enla ecuación 3.4-1.
,
fi
8:
,3C.5 Condiciones límite interfaciales de dos fases. En
$2.1 se proporcionaron condiciones límite para resolver
' problemas de flujo viscoso. En ese momento no se mencionó el papel de la tensión interfacial. En la interfase entre
dos fluidos inrniscibles, 1 y 11, debe usarse la siguiente
condicidn Ii~nite:~
donde hV = (h - ho)/loes la elevación adimensional de d~,.$'
y $11 s y tensores c@ rapidez de deformación adimensionales yRl = Rl/lo yR, = RJI, son radios de curvatura adimensionales. Más aiín,
$1 =
PI - ~ o + ~ ' g t h - h o ) .
~'~02
(3C.54,5)
Y-u = p1i-F70+pT'g(h-hg)
PIVO
En las expresiones anteriores, las cantidades con subíndice
cero son los factores de escala, válidos en ambas fases.
Identificar los grupos adimensionales que aparecen en la
ecuación 3C.5-3.
CI Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la
Gsto es esencialmente un balance de cantidad de
$movimiento escrito para un elemento interfacial dS por la
que no pasa materia, y que además carece de masa o viscosidad interfacial. Aqui, n1es el vector unitario normal a
dS y que apunta hacia la fase 1. Las cantidades RI y R2 son
10s radros principales de curvatura en dS, y cada uno de
éstos es positivo si su centro está en la fase 1. La suma
(1/R1)+ (1/ R 2 ) también puede expresarse como ('7 . nl).La
cantidad u es la tensión interfacial, que se supone constante.
ecuación 3.7-36 bajo las suposiciones hechas en el ejemplo
3.7-2.
3D.1 Deducción de las ecuaciones de variación mediante
teoremas sobre integrales (figura 3D.1).
a) Un fluido circula a través de alguna región del espacio
tridimensional. Seleccionar una "burbuja" arbitraria de ese
a) Demostrar que, para una diminuta gota esférica de 1en
reposo en un segundo medio 11, la ecuación de Laplace
i
7L.h n d a u y E.M. Lifshitz, Fiuid Mech~nics,Pergarnon, Oxford, 2a.
edición (19871,ecuación 62.13. L.E.Scriven, Chem. Eng Sci., 12, 98-108
(19601, ha desarro]Iadofórmulas
nene,.ales incluvendo la densidad
viscosidad en exceso.
.,
Figura 3D.1 "Burbuja" móvil de fluido a la que se aplica la
segunda ley de movimiento de Newton. Cada elemento d e la
superficie del fluido dS(t) del elemento d e volumen V(t) móvil
que se deforma se desplaza con la velocidad instantánea local
"(t) del fluido.
128 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
fluido; es decir, una región acotada por alguna superficie
S(t) que encierra un volumen V(t), cuyos elementos se mueven con la velocidad local del fluido. Aplicar a este sistema
la segunda ley de movimiento de Newton para obtener
Deducir la ecuación de continuidad usando un elemento
de volumen de forma arbitraria, tanto móvil como fijo, por
los métodos presentados en a) y b).
C)
La ecuación de variación para vorticidad.
3D.2
donde los términos de la derecha explican las fuerzas
superficiales y volumétricas que actúan sobre el sistema.
Aplicar la fórmula de Leibniz para diferenciar una integral
(véase §A.5), reconociendo que en todos los puntos sobre la
superficie de la burbuja, la velocidad de la superficie es
idéntica a la velocidad del fluido. Luego, aplicar el teorema
de Gauss para un tensor (véase 5A.5) de modo que cada término en la ecuación sea una integral de volumen. Debido a
que la elección de la "burbuja" es arbitraria, pueden eliminarse todos los signos de integral, y se obtiene la ecuación
de movimiento de la ecuación 3.2-9.
b) Deducir la ecuaci6n de movimiento escribiendo un balance de cantidad de movimiento sobre una región arbitraria de voIumen V y superficie S, fija en e1 espacio, a
través de la cual circula un fluido. Al hacerlo, simplemente
repetir la deducción dada en 53.2 para un elemento redangular del fluido. Para completar la deducción se requiere el
teorema de Gauss para un tenscr.
Este problema muestra que aplicar la segunda ley de
movimiento de Newton a una "burbuja" arbitraria en movimiento del fluido, equivale a establecer un balance de cantidad de movimiento sobre una región arbitraria fija en el
espacio a través de la que se mueve el fluido. Tanto en a)
como en b) se obtiene el mismo resultado que el que se
obtuvo en s3.2.
a) Al tomar el rotacional de la ecuación de movimiento de
Navier-Stokes (ya sea en la forma D / D t o en la forma d / d t ) ,
obtener una ecuación para la vorticidad, w = [V X VI del fluido; esta ecuación puede escribirse en dos formas:
donde E es un tensor de tercer orden cuyas componentes
son el símbolo de permutación eijk (véase 5A.2) y u = @lp
es la viscosidad cinemdtica.
b) ¿Cómo s e simplifican las ecuaciones en el inciso a) para
flujos bidimensionales?
3D.3 Forma alternativa de la ecuación de movimiento?
Demostrar que, para un fluido newtoniano incompresible
con viscosidad constante, la ecuación de movimiento
puede escribirse en la forma
donde
'EG. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge Univenity Press, edición
comgida (1 995).
Distribuciones de velocidad con más
de una variable independiente
4
Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos
54.2"
Solución de problemas de flujo usando una función de corriente
54.3"
Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
54.4"
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa límite
En el capítulo 2 se vio que los problemas de flujo viscoso con líneas de flujo de corriente rectas pueden resolverse mediante balances de envoltura de cantidad de
movimiento. En el capítuio 3 se presentaron las ecuaciones de continuidad y movimiento, que constituyen una mejor forma para plantear problemas. El método se
ilustró en 93.6, pero el estudio se restringió a problemas de flujo en los que sólo era
necesario resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
En este capítulo analizaremos varias clases de problemas que implican las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales: flujo de estado no estacionario t+I.l), flujo viscoso en más de una dirección (§4.2), el flujo de fluidos no viscosos (54.3)y el flujo
viscoso en capas límite (g.4). Debido a que todos estos tópicos se abordan extensamente en tratados de dinámica de fluidos, aquí proporcionamos sólo una introducción e iiustramos algunos wétodos ampliamente usados para resolver problemas.
Además de los métodos analíticos que se proporcionan en este capítulo, también se cuenta con una literatura cada vez más extensa sobre métodos numéricos.'
El campo de dinámica de fluidos computacional ya está desempeñando un papel
importante en el terreno de los fenómenos de transporte. Los métodos numérico y
analítico tienen papeles complementarios entre sí, donde los métodos numéricos
son indispensables para resolver problemas prácticos complicados.
4 .
FLUJO DEPENDIENTE DEL TIEMPO DE FLUIDOS NEWTONIANOS
En g3.6 sólo se resolvieron problemas de estado estacionario. Sin embargo, en muchas situaciones la velocidad depende tanto de la posición como del tiempo, y el
flujo se describe por medio de ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección
ilustraremos tres técnicas que se usan ampliamente en dinámica de fluidos, conducción de calor y difusión (así como también en muchas otras ramas de física e ingeniería). En cada una de estas técnicas, el problema de resolver una ecuación
diferencial parcial se convierte en un problema de resolver una o más ecuaciones
diferenciales ordinarias.
'
fo
R.W. Johnsoníed.),The H n d h k of Fluid Dymmics, CRC Press, Boca Ratón,Fla. (1998);C.Pozrikidis, I n t d u d i o n
Themetical and Computationnl Fluid Dynomics, Oxford University Piess (1997).
130 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
El primer ejemplo ilustra el método de combinación de variables (o método de soluciones por semejanza). Este método es útil sólo para regiones semiinfinitas, de modo
que la condición inicial y la condición límite en el infinito pueden combinarse en
una nueva condición límite simple.
El segundo ejemplo ilustra el método de separación de variables, donde la ecuación
diferencial parcial se separa en dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Así, la
solución es una suma infinita de productos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones diferenciales ordinarias suelen analizarse en
textos de matemáticas de nivel intermedio bajo el título de problemas de "SturmLiouville" .l
E1 tercer ejemplo demuestra el método de respuesta sinusoidal, que es de utiLidad
para describir la forma en que el sistema responde a perturbaciones periódicas externas.
Los ejemplos ilustrativos se eligieron por su sencillez física, de modo que es posibie concentrarse primordialmente en los métodos matemáticos. Debido a que todos los probIemas analizados aquí son lineales en la velocidad, también es posible
utilizar las transformadas de Laplace, y a quienes estén familiarizados con este tema se les invita a resolver los tres ejemplos de esta sección aplicando esa técnica.
que se pone súbitumrnt'
en movimiento
Un cuerpo semiinfinito de llquido con densidad y viscosidad constantes está limitado por
abajo por una superficie horizontal (el plano xz).Inicialmente el fluido y el sólido están en reposo. L ~ e g oal
, instante t = O, Ia superficie sólida se pone en movimiento en Ia dirección x positiva CBII velocidad vo, como se muestra en la figura 4.1-1. Encontrar la velocidad v, como
una función de y y t. En la dirección x no hay gradiente de presión ni fuerza de gravedad, y
se supone que el flujo es laminar.
Para este sistema, v, = v,(y, t), vY = O y v, = O. Luego, a partir de la tabla 8.4 se encuentra que
la ecuación de continuidad se cumple directamente, y a partir de Ia tabla B.6 se obtiene
t<o
Fluido en
reposo
t=O
Pared que se
pone en
movimiento
"o
Fluido en
flujo no
estacionario
='O
'
Figura 4.1-1 Flujo viscoso de un fluido cerca
de una pared que súbitamente se pone en
movimiento.
Véase, por ejemplo, M.D. Greenberg, Foundations of Applied Mathcmatics, Prentice-Haii, Englewood Cliffs, N.J.
(1978),5203.
g.1 F'iujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 131
donde v = p/p. Las condiciones inicial y límite son
C.I.:
en t s O,
v, = O
para toda y
C.L. 1:
e n y =O,
para toda t > O
C.L. 2:
eny = 00,
a, = U,
V, =O
.
para toda t > O
A continuación introducirnos una velocidad adimensional4
ción 4.1-1 se convierte en
84
$4
dt
ay2
-=y-
= v,/vo, de
modo que la ecua-
(4.1-5)
con +(y, 0 ) = 0, +(O, t) = 1 y 4403, f ) = O, Como las condiciones inicial y límite s61o contienen
números puros, la solución de la ecuación 4.1-5 debe ser de la forma 4 = $(y, f; v). Sin embargo, ya que 4 es una función adimensional, las cantidades y, f y u siempre deben aparecer en
una combinación dimensional. Las únicas combinaciones adimensionales de estas tres cantidades son y&o
potencias o rnúitiplos de esto. Por tanto, concluimos que
donde
Éste es el "método de combinación de variables (independientes)". El "4" se incluye para que
el resultado final en la ecuación 4.1-14 se vea más claramente; esto s610 lo sabremos hacer después de resolver el problema sin ese número. La forma de la solución de la ecuación 4 . 1 6 es
posible esencialmente porque en el sistema físico no hay longitud o tiempo característicos.
A continuacibn convertimos las derivadas en la ecuación 4.1-5 en derivadas respecto a la
"variable combinada" .q como sigue:
Luego, al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.1-5 se obtiene
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria del tipo dado en la ecuación C.l-8, y las condiciones limite asociadas son
La primera de estas condiciones límite es la misma que la ecuación 4.1-3, y la segunda ir-iuye las ecuaciones 4.1-2 y 4.1-4. Si ahora se hace d Q / d q = se obtiene una ecuación de primer
orden de variables separables para que puede resolverse para obtener
+,
+,
Después, al integrar por segunda vez se obtiene
+ = ~ ~ [ ~ x ~ ( - i jc2
~)d~+
O
132 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Figura 4.1-2 Distribución de
velocidad, en forma adimensional,
para flujo en la vecindad de una
pared que súbitamente se pone en
movimiento.
1.0
0.9
0.8
0.7
v,
-
0.6
vO 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
o
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8 0.9 1.0 1.11.2 1.3 1.4 1.5
y/*
La elección de O para el límite inferior de la integral es arbitraria; otra elección hubiera producido un valor distinto de C2, que sigue siendo indeterminado. Nótese que hemos sido cuidadosos en usar una barra superior para la variable de integración (3)a fin de distinguirla de
la 7 en el límite superior.
La aplicación de estas dos condiciones límite permite evaluar ambas constantes de integración, y por último se obtiene
4(3=1-
1:
expí-?~~
exp(-$)d~= 1- erf q
[
(4.1-14)
exp(-+)d~
Esta relación de integrales se denomina función de error, lo cual se abrevia como erf q (véase
SC.6). Es una función bien conocida, disponible en manuales matemáticos y en programas de
computación Cuando la ecuación 4.1-14 vuelve a escribirse en las variables originales, se convierte en
donde erfc q se denomina funcidn de ermr complementariu. En la figura 4.1-2 se muestra una
gráfica de la ecuación 4.1-15. Nótese que, al graficar el resultado en términos de cantidades
adimensionales, sólo se requiere una curva.
La función de error complementaria erfc q es una función monótona decreciente que va
de 1 a 0 y cae a 0.01 cuando 77 es aproximadamente 2.0. Podemos usar este hecho para definir un "espesor de la capa límite" S como esa distancia y para la cual v, ha caído a un valor
de 0 . 0 1 ~Esto
~ . proporciona S = 4 6 c o m o una escala de longitud natural para la difusión de
cantidad de movimiento. Esta distancia es una medida de lo que la cantidad de movimiento
ha "penetrado" en el cuerpo del fluido. Nótese que este espesor de la capa límite es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido.
-
estacionario entre
dos laminas paralelas
Se desea volver a resolver el ejemplo ilustrativo precedente, pero con una pared fija a una distancia b de la pared móvil en y O. Este sistema de flujo tiene u n límite de estado estacionario cuando t -+03, mientras que el problema del ejemplo 4.1-1 no lo tenía.
SOLUCIÓN
Así como en el ejemplo 4.1-1, la ecuación para la componente x de la velocidad es
@.1 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 133
Ahora las condiciones límite son
v, = O
para O 5 y i- b
en y = O,
v, = vo
para toda t > O
en y = b,
v, = O
para toda t > O
C.I.:
en t
C.L. 1:
C.L. 2:
5
O,
Es conveniente introducir las siguientes variables adimensionales:
Las elecciones para la velocidad y posición adimensionales aseguran que estas variables irrin
de O a 1. La elecci6n del tiempo adimensional se hace para que en la ecuación diferencial parcial transformada no haya parámetros:
La condición inicia1 es 4 = O para r = O, y las condiciones limite son # = 1 para 77 = O y Q = O
para 7 = 1.
Sabemos que en un tiempo infinito el sistema alcanza un perfil de velocidad de estado
estacionario #,(q), de modo que en T = m, la ecuación 4.1-21 se convierte en
con 4, = 1 para g = O, y 4, = O para
7) =
1. Así, se obtiene
para el perfil limitante de estado estacionario.
Luego es posible escribir
donde #f es Ia parte transitoria de la soluci6n, que desaparece a medida que el tiempo tiende
a infinito. Así, al sustituir esta expresión en la ecuación diferencial original y en las condiciones Limite, se obtiene para # J ~
con$, =+,para ?=O, y #,=Opara 77 = O y l .
Para resolver la ecuación 4.1-25 se usa el "método de separación de variables (dependientes)", donde se supone una solución de la forma
Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-25 y luego dividir entre el producto fg
se obtiene
134 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
El miembro izquierdo es una función sólo de T, y el derecho es una función sólo de 77. Esto
significa que ambos lados deben ser iguales a una constante. Elegimos designar la constante
como -c2 (igualmente hubiera podido usarse c o +c2, pero la experiencia indica que estas
elecciones hacen algo mas complicados los procedimientos matemáticos subsecuentes). Entonces la ecuación 4.1-27 puede separarse en dos ecuaciones
Estas ecuaciones tienen las siguientes soluciones (véanse las ecuaciones C.l-1 y C.l-3).
g
=A
~
~
~
~
T
+ C cos cv
f .= B sen c q
donde A, B y C son constantes de integración.
A continuación aplicamos las condiciones limite e inicial como sigue:
C.L. 1:debido a que 4, = O para q = O, la función f debe ser cero para 77 = O. Por tanto, C debe
ser cero.
C.L. 2: debido a que 4, = O para q = 1, la función f debe ser cero para q = 1. Esto es cierto si B
= O o si sen c es cero. La primera opción llevana a que f = O para todo 77, lo cual sería físicamente inaceptable. Por consiguiente, asumimos la segunda opción, que lleva al requerimiento de que c = O, +m, +27r, 2 3 - ~. Identificamos estos diversos valores admisibles de c
(denominados "valores propios, valores característicos o eigenvalores") como c, y escribimos
c, = nw,
con n = 0, 2 1 , 52, I 3 .
.
(4.1-32)
Por tanto, hay muchas funciones admisibIes fn (denominadas "funciones propias o funciones
características") que satisfacen la ecuación 4.1-29 y las condiciones límite; a saber,
Las funciones correspondientes que satisfacen la ecuación 4.1-28 se denominan g, y están dadas por
g, = ~ , e x ~ ( - n ~ d ~con
) , n = O, 51, +2, 2 3 , . -
.
(4.1-34)
C.I.: las combinacionesfd, satisfacen la ecuación diferencial parcial para 4, en la ecuación
4.1-25, así como también lo hace cualquier superposición de tales productos. Por consiguiente, para la solución de la ecuación 4.1-25 escribimos
+m
$t
D, exp(-n2r27) sen n a v
=
,,=a
(4.1-35)
donde aún deben determinarse los coeficientes de expansión D, = A,Bn. En la operación suma, el término n = O no contribuye; también, debido a que sen(-n)wv = -sen(+n)wq, podemos omitir todos los términos con valores negativos de n. Por tanto, la ecuación 4.1-35 se
convierte en
m
4, = n = l Dn exP(-n2r27) sen naT
Según la condición inicial, 4, = 1 -
para
T
= O,
de modo que
m
D, s e n n a q
1-q=
n-1
$4.1 Flujo dependiente de1 tiempo de fluidos newtonianos 135
iAhora debemos determinar todos los Dn a partir de esta ecuación! Esto se hace multiplicando ambos lados de la ecuación por sen mnq, donde m es un entero, y luego integrando sobre
el intervalo físicamente pertinente desde 71 = O hasta 7 = 1, así:
[(l-q)senm7iníq=
sen nnq sen m q d q
n=l
(4.1-38)
E1 miembro izquierdo da 1 /mr; las integrales en el miembro derecho son cero cuando n = m
ya cuando n = m. Por tanto, la condición inicial lleva a
La expresión final para el perfil de velocidad adimensional se obtiene a partir de las ecuaciones 4.1-24,4.1-36 y 4.1-39 como
exP(-n2r2r)sen nnq
(4.1-40)
Así, la solución consta de un término Iímite de estado estacionario menos un término transitono, que desaparece al aumentar ei tiempo.
Aquellos lectores que intenien por primera vez el método de separación de variables encontrarán bastante larga y complicada la secuencia de pasos anterior. Sin embargo, ningún paso específico en el desarrollo es particularmente difícil. La soluci6n
final en la ecuación 4.1-40 se ve muy complicada debido a la operación suma infinita. En realidad, excepto para valores muy pequeños del tiempo, sólo pocos de los
primeros términos de la serie contribuyen de manera apreciable.
Aunque no lo demostraremos aquí, la solución de este problema y la del problema precedente están relacionadas estrechamente.* En el límite de un tiempo breve
que tiende a desaparecer, Ia ecuación 4.1-40 se hace equivalente a la ecuación 4.1-15Esto es razonable, ya que, para un tiempo muy corto, en este problema el fluido está en movimiento sólo muy cerca de la pared en y = O, y el fluido no puede "sentir"
la presencia de la pared en y = b. Debido a que la solución y el resultado en el ejernplo 4.1-1 son por mucho más sencillos que los de éste, a menudo se usan para representar el sistema si sólo están implicados tiempos pequefios. Esto es, por supuesto,
una aproximación, pero bastante útil. A menudo también se usa en problemas de
transmisión de calor y transporte de materia.
caminar no
estacionario cerca de
una ldmina que oscila
Un cuerpo serniinfinito de líquido está limitado en un lado por una superficie plana (el plano xz). Inicialmente el fluido y e1 sólido están en reposo. Al instante t = O la superficie sólida
se hace oscilar sinusoidalmente en la dirección x con amplitud Xoy frecuencia (circular)w . Es
decir, el desplazamiento X del plano a partir de su posici6n en reposo es
X(t) = Xosen ot
14.1-41)
y entonces la velocidad del fluido para y = O es
v,(O,t)
dX
df
= -= Xoocos wf
Para una solución por series particularniente buena para tiempos breves, véase
Conduction of Heat in Solids, Oxford University Pms, 2a. edición (19591, pp. 308-310.
(4.1-42)
H.S. Carslaw y J.C. Jaeser,
136 -Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Designamos la amplitud de la velocidad de oscilación por vo = Xow y volvemos a escribir la
ecuación 4.1-42 como
v,(O, f ) = vOcos wt = vo % {le"t)
(4.1-43)
donde %{z) significa "la parte real de 2".
Para sistemas oscilantes, por regla general no se tiene interés en la solución completa, sino sólo en el "estado estacionario periódico" que existe después de que han desaparecido [%
"oscilaciones transitorias" iniciales. En ese estado todas las partículas del fluido en el sistema
ejecutarán oscilaciones sinusoidales con frecuencia o,pero con fase y amplitud que son funciones s610 de la posición. Esta solución de "estado estacionario periódico" puede obtenerse
por una técnica elemental que se usa en forma extensa. Matemáticamente es una solución
asintótica para t + m.
Una vez más, la ecuación de movimiento está dada por
y las condiciones inicial y límite están dadas por
C.I.:
en t 5 O,
v, = O
para toda y
(4.1-45)
C.L. 1:
en y = O,
u, = vo%(8Wt]
para toda t > O
(4.1-46)
C.L. 2:
en y = m,
u, = O
para toda t > O
(4.1-47)
La condición inicial no ser&necesaria, ya que nos ocupamos s610 de la respuesta del fluido
después de que la lámina ha estado oscilando durante mucho tiempo.
Postulamos una solución oscilatoria de la forma
Aquí v0 se elige como una función compleja de y, de modo que v,(y, t) difiere de v,(O, t) tanto
en amplitud como en fase. Sustituimos esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-44 y obte
nemos
A continuación se usa el hecho de que si 3 {z,w] = Vi (z,wt, donde z , y z, son dos cantidades
complejas y w es una cantidad compleja arbitraria, entonces zl = z2. Así, la ecuación 4.1-49 se
convierte en
con las siguientes condiciones limite:
La ecuación 4.1-50 es de la forma de la ecuación C . 1 4 y su solución es
g4.2 Solución de problemas de flujo usando una función de corriente 137
'
Debido a que fi=
~(l/t/Sf(l
+ i), esta ecuación puede volver a escribirse como
La segunda condición límite requiere que Cl = O, y la primera condición límite da C2 = vo.Por
consiguiente, la solución de la ecuación 4.1-50 es
A partir de este resultado y la ecuación 4.1-48 se obtiene
o finalmente,
En esta expresión, la exponencial describe la atenuación del movimiento oscilatono; es decir,
la disminución en la amplitud de las oscilaciones del fluido con un incremento en la distancia a partir de la lámina. En el razonamiento del coseno, la cantidad se denomina
desplazamiento de fase; es decir, describe en qué medida las oscilaciones del fluido a una dis-
aq
-
tancia y de la pared están "fuera de paso" con las oscilaciones de la pared misma.
Debe recordarse que la ecuación 4.1-57 no es la solución completa del problema según se
plantea en las ecuaciones 4.1-44 a 4.1-47, sino sób la solución "periúdica de estado estacionario". La solución completa se proporciona en el problema 4D.1.
Hasta este punto hemos elegido los ejemplos y problemas de modo que en la velocidad del fluido sólo había una componente que no desaparece. Es más difícil obtener soluciones de la ecuación completa de Navier-Stokes para flujo en dos o tres
dimensiones. El procedimiento básico es semejante: se resuelven simultáneamente
las ecuaciones de continuidad y movimiento, junto con las condiciones inicial y 1ímite idóneas, para obtener 10s perfiles de presión y velocidad.
Sin embargo, tener la velocidad y la presión como variables dependientes en la
ecuación de movimiento plantea una mayor dificultad en los problemas de flujo
multidimensional que en los más sencillos analizados previamente. En consecuencia, a menudo conviene eliminar la presión al tomar el rotacional de la ecuación de
movimiento, luego de usar el vector identidad [v Vvl = $V(v . v ) - [v X [V X VI],
que está dado en la ecuación A.4-23. Para fluidos de viscosidad y densidad constantes, esta operación da
2[V x v] - [V X[V x [V x VI]] = vv2[v x VI
(4.2-1)
at
Ésta es la ecuación de variación para la verticidad [V X vl; en el problema 3D.2 se proporcionan otras dos formas de escribirla.
Así, para problemas de flujo viscoso es posible resolver la ecuación para la vorticidad (una ecuación vectorial de tercer orden) junto con la ecuación de continuidad y las condiciones inicial y límite relevantes para obtener la distribución de
velocidad. Una vez que se conoce ésta, la distribución de presión puede obtenerse a
partir de la ecuación de Navier-Stokes en la ecuación 3.5-6. Algunas veces este mé-
138 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
todo para resolver problemas de flujo es conveniente incluso para los flujos unidimensionales previamente analizados (véase, por ejemplo, el problema 4B.4).
Para flujos planos o axisimétricos, la ecuación para la vorticidad puede volver a
formularse introduciendo la función de corrienfe $. Para hacer esto, expresamos las
dos componentes de velocidad que no desaparecen como derivadas de $ de tal forma que la ecuación de continuidad se cumpla de manera automática (véase la tabla
4.2-1). La componente de la ecuación para la vorticidad que corresponde a la dirección en que no hay flujo se convierte entonces en una ecuación escalar de cuarto orden para $. Luego, las dos componentes de la velocidad que no desaparecen pueden
obtenerse una vez que se encuentra la ecuación para el escalar 9. En la tabla 4.2-1 se
proporcionan los problemas más importantes que pueden tratarse de esta manera.1
La función de corriente en sí también es interesante. Las superficies de @ constante contienen Zzízeas de corrienfe? que en flujo de estado estacionario son las trayectorias de los elementos del fluido. El caudal volumétrico entre las superficies $ = I,+
y $ = es proporcional a En esta sección se considera, como un ejemplo, el flujo reptante estacionario que
pasa por una esfera estacionaria, que está descrito por Ia ecuación de Stokes de la
ecuación 3.5-8, válida para Re << 1 (véase el análisis justo después de la ecuación
3.7-9). Para flujo reptante, el segundo término en el miembro izquierdo de la ecuación 4.2-1 se iguala a cero. Así, la ecuación es lineal, y por tanto hay muchos métodos disponibles para resolver el problema.3 Usaremos el método de la función de
corriente basado en la ecuación 4.2-1.
Flujo reptante
alrededor de una
esfera
Usar la tabla 4.2-1 a fin de establecer la ecuación diferencial para la función de corriente para
el flujo de un fluido newtoniano alrededor de una esfera estacionaria de radio R a Re << 1.
Obtener las distribuciones de velocidad y presión cuando el fluido se aproxima a la esfera en
la dirección z positiva, como se muestra en la figura 2.6-1.
Para flujo reptante estacionario, todo el miembro izquierdo de la ecuación D de la tabla 4.2-1
puede igualarse a cero, y la ecuación $ para flujo axisimétrico se convierte en
o bien, en coordenadas esféricas
--
-
' Para una técnica aplicable a flujos m6s generales, véase J.M. Robertson, Hydrodynamics in Theo y and Application,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 77; para ejemplos de fiujos tridimensionales usando dos funciones de
corriente, véase el problema 4D.5 y también J.P. k n s e n y W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci.,29,819-825 (1974). A. Lahbabi
y H.-C. Chang, C h m . Eng. Sci., 40,434-447 (1985) trabajaron flujo con número Re alto a través de arreglos cúbicos de
esferas, incluyendo soluciones de estado estacionario y transición a la turbulencia. W.E. Stewart y M.A. McCleiiand,
AIChE Journal, 29,947-956 (1983) proporcionaron soluciones asintóticas concordantes para convección forzada en flujos
tridimensionales con calentamiento viscoso.
Véase, por ejemplo, G.K. Batchelor, An lntroduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), 92.2. El
capítulo 2 de este libra es un extenso análisis de la cinemática del movimiento de fluidos.
3La solución dada aquí se concluye a partu de la proporcionada por L.M. Milne-Thomson, Theoretical
Hydrodynamics, Macmiüan, Nueva York, 3a. edición (1955), pp. 555-557. Para otros métodos, véase H. Lamb,
Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1949,@337,338. Para un análisis de fluja no estacionario alrededor de una esfera,
véase R. Berker, en Handbuch der Physik, volumen VIII-2, Springer, Berlín (1963),§69; o bien, H. Villat y J. Kravtchenko,
Lecons sur les Fluides Vkqueux, Gauthier-ViUars, París (1943, capítulo VII. El problema de encontrar las fuerzas Y
momentos de torsión sobre objetos de formas arbitrarias se analiza con todo detalle en S. Kim y S.J. Karnila,
Microhydrodynamics: Principies and Selecfed Applicafions, Butterworth-Heinemann, Boston (19911, capítulo 11.
140 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones limite:
C.L. 3:
cuando r
+
m,
++-iv_r
2
2
sen 0
(4.2-6)
Las dos primeras condiciones límite describen la condicibn sin deslizamiento en la superficie
de la esfera. La tercera implica que vz + u, lejos de la esfera (esto puede verse al reconocer
que u, = u, cos 8 y ve = -u, sen O lejos de la esfera).
A continuación postulamos una solución de la forma
ya que por lo menos cumplirá la tercera condición límite en la ecuación 4.2-6. Cuando esta
ecuación se sustikiye en la ecuación 4.2-3, se obtiene
El hecho de que la variable 0 no aparece en esta ecuación sugiere que el postulado en la ecuación 4.2-7 es satisfactorio.La ecuación 4.2-8 es una ecuación "equidirnensional" de cuarto orden (véase la ecuación C.l-14). Cuando una solución de ensayo de la forma f(r) = Crn se
sustituye en esta ecuación, se encuentra que n puede tener los valores - 1 , 1 , 2 y 4. Por consiguiente, fir) tiene la forma
flr) = Clr-I
+ C2r + C3? + C4P
(4.2-9)
Para cumplir la tercera condición límite, C4 debe ser cero, y Cg debe ser - u,. Por tanto, la
función de comente es
$(r, 8 ) = (Clrpl
+ C2r - tu,?)
(4.2-10)
sen2 0
Luego, se obtienen las componentes de la velocidad usando la tabla 4.2-1 como sigue:
-
Ahora, las dos primeras condiciones límite dan C1 = - $v,.U3 y C2 $v,R, de modo que u,
Éstas son las componentes de velocidad dadas sin demostración en las ecuaciones 2.6-1 y 2.6-2.
Para obtener la distribución de presión, estas componentes de velocidad se sustituyen en
las componentes r y 6 de la ecuaci6n de Navier-Stokes (dada en la tabla B.6). Después de un
procedimiento algo tedioso, se obtiene
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 141
Estas ecuaciones pueden integrarse (cf. las ecuaciones 3.6-38 a 3.6-41) y, al utilizar la condición límite de que cuando r -t m la presión modificada 9 tiende a po (la presión en el plano
z = O lejos de la esfera), se obtiene
2
~ = ~ - ~2 ~R - 3 ( COSO
5)(:)
Ésta es igual a la distríbuci6n de presión dada en la ecuación 2.6-4.
En g . 6 se mostr6 cómo es posible integrar las distribuciones de velocidad y presión sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza de resistencia. Ese mktodo para obtener la
fuerza del fluido sobre el sólido es general. Aqui evaluamos la "fuerza cinética" Fkal igualar
la velocidad para realizar trabajo sobre la esfera (fuerza x velocidad) con la velocidad de disipación viscosa dentro del fluido; así,
-lo
2w w
&v.
=
..
(rvv)r2drsen MM+
O
R
Al insertar la función (-r:Vv) en coordenadas esfbricas de la tabla B.7se obtiene
Luego, los perfiles de velocidad de las ecuaciones 4.2-13 y 4.2-14 se sustituyen en la ecuación
4.2-19.Una vez que se efectúan las (¡extensas!)diferenciaciones e integraciones, finalmente se
obtiene
que es la ley de Stokes.
Como se indicó en s2.6, la ley de Stokes está restringida a Re < 0.1. La expresión para la
fuerza de resistencia puede mejorarse al volver atrás e incluir el término iv Vv]. Luego, al
usar el método de expansiones asinfóticas concordanfes se obtiene el siguiente resultado4
donde y = 0.5772es la constante de Euler. Esta expresión es aceptable hasta Re aproximadamente igual a 1.
H.3' FLUJO DE FLUIDOS NO VISCOSOS POR MEDIO DEL EMPLEO
DEL POTENCIAL DE VELOCIDAD'
Por supuesto, sabemos que 10s fluidos no viscosos (es decir, fluidos desprovistos de
viscosidad) no existen en realidad. Sin embargo, se ha encontrado que la ecuación
de movimiento de Euler de la ecuación 3.5-9 es útil para describir los flujos de fluiProudman y J.R.A. Pearson, 1. Fluid. Mech., 2,237-262 (1957);W.Chester y D.R. Breach, J . Fluid. Mech., 37, 751760 (1969).
'
R.H. Kirchhoff, capitulo 7 del H a m f b k of Fluid Dynamics (R.W. Johnson, compilador), CRC Press, Boca Ratón,
Fia. (1998)
142 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
dos de baja viscosidad a Re >> 1 alrededor de objetos aerodinámicos y que proporciona una descripción razonablemente aceptable del perfil de velocidad, excepto
muy cerca del objeto y más ailá de la línea de separación.
Entonces, la ecuación para la vorticidad en la ecuación 3D.2-1 puede simplificarse omitiendo el término que contiene la viscosidad cinemática. Si, además, el flujo es estacionario y bidimensional, entonces desaparecen los términos a l a t y [w .
Vv]. Esto significa que la vorticidad w = IV x VI es constante a lo largo de una línea
de flujo de corriente. Si el fluido que se aproxima a un objeto sumergido no tiene
vorticidad lejos de éste, entonces el flujo será tal que w = [V X vl es cero en todo el
campo de flujo. Es decir, el flujo es irrotacional.
Para resumir, si se supone que p = constante y que [V x VI = O, entonces puede
esperarse que los flujos bidimensionales proporcionen una descripción razonablemente aceptable del flujo de fluidos de baja viscosidad alrededor de objetos sumergidos. Este tipo de flujo se denomina flujo potencial.
Por supuesto, sabemos que esta descripción del flujo es inadecuada en la vecindad de superficies sólidas. Cerca de estas superficies utilizamos un conjunto diferente de suposiciones, que conducen a la teorúl de la capa límite, que se analizará en
s4.4. Al resolver las ecuaciones de flujo potencial para el "campo lejano" y las ecuaciones de la capa límite para el "campo cercano" y luego hacer corresponder asintóticamente las soluciones para Re grande, es posible adquirir una comprensión de
todo el campo de flujo alrededor de un objeto aerodinárnic~.~
Para describir el flujo potencial comenzamos con la ecuaci6n de continuidad para un fluido incompresible y con la ecuación de Euler para un fluido no viscoso
(ecuación 3.5-9):
(V v) = O
(continuidad)
(4.3-1)
(movimiento)
-
:
En la ecuaci6n de movimiento hemos usado la identidad vectorial [v Vv] = V v2
- Iv X [V X vll (véase la ecuación A4.23).
Para el flujo irrotacional en dos dimensiones, el enunciado de que [V x v] = O es
(irrotacional)
y la ecuación de continuidad es
(continuidad)
La ecuación de movimiento para flujo irrotacional estacionario puede integrarse para obtener
(movimiento)
g4v;?
I
-t vi) + 9= constante
(4.3-5)
Es decir, la suma de la presión y la energía cinética y potencial por unidad de volumen es constante en todo el campo de flujo. Ésta es la ecuación de Bernoulli para flu-
'M. Van Dyke, Perturbafion Methods in FIuid íhjnarnics, The Parabolic Precc, Stanford, Cal. (1975)
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del. potencial de velocidad 143
jo potencial incompresible, y la constante es la misma para todas las líneas de flujo
de corriente. (Esto debe compararse con la ecuación 3.5-12, la ecuación de Bernoulli
para un fluido compresible en cualquier tipo de flujo; ahí la suma de las tres contribuciones es una constante diferente en cada línea de flujo de corriente.)
Deseamos resolver las ecuaciones 4.3-3 a 4.3-5 para obtener u,, vy y 9 como funciones de x y y. Ya hemos visto en la sección previa que la ecuación de continuidad
en flujos bidimensionales puede cumplirse escribiendo las componentes de la velocidad en términos de una función de corriente $(x, y). Sin embargo, cualquier vector
que tenga un rotacional cero también puede escribirse como el gradiente de una
función escalar (es decir, [V X vJ = O implica que v = -V4).Es muy conveniente,
entonces, introducir un potencial de velocidad 4(x, y). En vez de trabajar con las componentes v , y vy de la velocidad, elegimos trabajar con 3r(x,y) y +(x, y). Luego se obtienen las siguientes relaciones:
(función de corriente)
(potencial de velocidad)
Ahora las ecuaciones 4.3-3 y 4.3-4 se cumplirán automáticamente. Al igualar las expresiones para las componentes de la veIocidad se obtiene
Éstas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son las relaciones que deben ser satisfechas por las partes real e imaginaria de cualquier función analítica3w(z) = 4(x,
y) + i$tx, y), donde z = x + iy. La cantidad w(z) se denomina potencial complejo. Al diferenciar la ecuación 4.3-10 respecto a x y la ecuación 4.3-11 respecto a y y luego sumar, se obtiene V2+ = O. Al diferenciar respedo a las variables en orden inverso y
luego restar, se obtiene V2$ = O. Es decir, tanto +(x, y) como $(x, y) satisfacen la ecuación bidimensional de Lap1ace4
Como una consecuencia del desarrollo anterior, parece que cualquier función
analítica w(z) produce un par de funciones 4(x, y) y $(x, y) que son el potencial de
velocidad y la función de corriente para algún problema de flujo. Además, las curvas 4(x, y) = constante y $tx, y) = constante son entonces las líneas equipotenciales y
las líneas de flujo de corriente para el problema. Las componentes de la velocidad se
obtienen entonces a partir de las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7, las ecuaciones 4.3-8 y
4.3-9 o a partir de
-
Aquí se supone que el lector tiene algún conocimiento de las funciones analíticas de una variable compleja.
Introducciones útiles al tema pueden encontrarse en V.L. ShPeter, E.B. Wylie y K.W.Bedford, Fluid Mechnics.
McGraw-m, Nueva York, 9a. edici6n (1998), capfhilo 8, y en M.D.Greenberg, Fortndations o/ Applied M n t h a t i c s ,
Prentice-Hd, Englewood Cliffs, N.1. (19781, capítulos 11 y 12.
Incluso para flujos tridimensionales, la suposición de flujo irrotacional sigue permitiendo la definición de un
potencial de velocidad. Cuando v = -V+ se sustituye en (V . v) = O, se obtiene la ecuación tridimensional de Laplace
@6 = O . La solución de esta ecuación es el tema de la "teoría de potencial", para la que existe una literatura bastante
abundante. Véanse, por ejemplo, P.M. M o m y H. Feshbach, Methods of Theoreticill Physics, McGraw-Hill, Nueva York
(1953),capítulo 11; y J.M. Robertcon, Hydmdynomics in Theory and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
(1963, que recalca las apIicaciones en ingeniería. Hay muchos problemas de flup a través de medios porosos,
conducción de calor, difusión y conducción eléctrica descritos por la ecuación de Laplace.
144 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
!
donde dw/dz se denomina velocidad compleja. Una vez que se conocen las componentes de la velocidad, entonces es posible encontrar la presión modificada a partir de
la ecuación 4.3-5.
DPmanera alternativa, las líneas equipotenciales y las líneas de flujo de corriente pueden obtenerse a partir de la función inversa z(w)= x(4,$1 + iy(+,4), donde z(w)
es cualquier funci6n analítica de w. Entre las funciones x(4, $1 y y(#, I,/J) es posible eliminar $ y obtener
Una eliminación semejante de
+ proporciona
Al hacer 4 = una constante en Ia ecuación 4.3-13 se obtienen las ecuaciones para las
líneas equipotenciales para algún problema de flujo, y al hacer $ = constante en la
ecuaci6n'4.3-14se obtienen las ecuaciones para las lineas de flujo corriente. Las componentes de la velocidad pueden obtenerse a partir de
Así, a partir de cualquier función analítica w(z),o su inversa z(w), podemos construir una red de flujo con líneas de flujo de corriente = constante y líneas equipotenciales = constante. La tarea de encontrar w(z)o z(w)para satisfacer un problema
de flujo dado es, sin embargo, considerablemente más difícil. Existen algunos métodos especiales>,5aunque a menudo es más conveniente consultar una tabla de planos conforman te^.^
En los dos ejemplos ilustrativos que siguen mostraremos cómo usar el potencial
complejo w(z)para describir el flujo potencial alrededor de un cilindro, y la función
inversa z(w)para resolver el problema de flujo potencial hacia el interior de un canal. En el tercer ejemplo resolveremos el flujo en la vecindad de una esquina, que se
estudiará con mayor detalle en §4-4 por el método de la capa limite. Es necesario tener en cuenta algunos comentarios generales:
+
a) Las líneas de flujo de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales en todas partes. Esta propiedad, evidente a partir de las ecuaciones 4.3-10
y 4.3-11, es útil para la construcción aproximada de redes de flujo.
b) Las líneas de flujo de corriente y las h e a s equipotenciales pueden intercambiarse para obtener la solución de otro problema de flujo. Esto se concluye a
partir del inciso a) y de que tanto 4 como $ son soluciones de la ecuación bidimensional de Laplace.
C)
Cualquier línea de flujo de corriente puede sustituirse por una superficie sólida. Esto se concluye a partir de la condición límite de que la componente
normal de la velocidad del fluido es cero en una superficie sólida. La componente tangencia1 no está restringida, ya que en flujo potencial se supone que
el fluido es capaz de deslizarse libremente a lo largo de la superficie (la suposición de deslizamiento total).
J. Fuka, capitulo 21 en la obra de K. Rektorys, Suniey of Applicable Mathmatics, h4lT Press, Cambridge, M a s
(1969).
H.Kober, Dictionnry of Conforma1 Represmtationc, Dover, Nueva York, 2a. edición (1957).
54.3 Flujo de f l ~ d o no
s viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
145
a) Demostrar que el potencial complejo
w(r)= -u-R($+:)
describe el flujo potencial alrededor de un cilindro circular de radio R, cuando Ia velocidad
de aproximación es vm en la dirección x positiva.
b) Encontrar las componentes del vector velocidad.
Encontrar la distribución de presión sobre la superficie del cilindro, cuando la presión modificada lejos del cilindro es 9,.
C)
a) Para encontrar la función de corriente y e1 potencial de velocidad, escribimos el potencia1
complejo en la forma w(z)= +(x,y) -c $(.E,y):
Por tanto, la función de corriente es
Para hacer una gráfica de las líneas de flujo de corriente es conveniente volver a escribir Ia
ecuacibn 4.3-18 en forma adimensional
donde 9= +/v,R, X = x l R y Y = y/R.
En la figura 4.3-1 las líneas de flujo de corriente se graficaron como las curvas P = constante. La línea de flujo de corriente = O proporciona un círculo unitario, que representa la
superficie del cilindro. La línea de flujo de corriente Y = -$pasa por el punto X = O, Y = 2, etcétera.
b)Las componentes de vebcidad pueden obtenerse a partir de la función de Aujo de corriente usando las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7. También pueden obtenerse a partir de la velocidad
compleja segun la ecuación 4.3-12 como sigue:
Por consiguiente, las componentes de la velocidad como una función de la posición son
C) Sobre la
superficie del cilindro, p. = R, y
146 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
--
Figura 4.3-1 Líneas de flujo de corriente
para el flujo potencial alrededor de un
cilindro según la ecuación 4.3-19.
- * - - - - - - - 1 - - -- - - - /
a=<+*
= &(l- cos 2 0 ) ~+ (sen 20)~1
= 4 2 sen2
e
Cuando O es cero o m, la velocidad del fluido es cero; estos
tancarniento. A partir de la ecuación 4.3-5 sabemos que
se denominan puntos de es.
id t 9=iP3m+9-
(4.3-24)
Luego, a partir de las dos úItimas ecuaciones obtenemos la distribución de presión sobre la
superficie del cilindro
Nótese que la distribución de presión modificada es simétrica respecto al eje x; es decir, para flujo potencial no hay resistencia de forma sobre e1 cilindro (paradoja de d'Alen~bert).~
Por
supuesto, ahora sabemos que ésta en realidad no es una paradoja, sino simplemente el resultado de que el fluido no viscoso impide aplicar la condición límite sin deslizamiento en
la interfase.
Demostrar que la función inversa
Flujo hacia el interior de
un canal rectangular
representa el flujo potencial hacia el interior de un canal rectangular de serniancho b. Aqui V,
es la magnitud de la velocidad corriente abajo lejos de la entrada del canal.
SOLUCI~N
Primera se introducen las variables de distancia adirnensionales
y las cantidades adimensionales
Las paradojas hidrodinámicas se analizan en G.Birkhoff, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1955).
Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
N.3
147
La función inversa de la ecuación 4-3-26 puede expresarse ahora en términos de cantidades
adirnensionales y separarse en partes real e imaginaria.
Por consiguiente
Ahora podemos igualar 1V a una constante, y la línea de corriente Y = Y(X) se expresa paramétricamente en @. Por ejemplo, la línea de flujo de corriente T = O está dada por
A medida que @ va desde -03 hasta +m, X también va de -m a +m; por tanto, el eje X es una
línea de flujo de corriente. Luego, la línea de flujo de corriente q = T está dada por
A medida que Q> va desde -m hasta +m, X también va de -m a - 1 y luego de regreso a -m;
es decir, la línea de flujo de corriente se dobla sobre sí misma. Elegimos esta línea de flujo de
corriente como una de las paredes sólidas del canal rectangular. De manera semejante, la línea de flujo de corriente 1V = - T es la otra pared. Las líneas d e flujo de comente 9 = C, donde -n < C < IT, proporcionan entonces el patrón de flujo para el flujo hacia adentro del canal
rectangular, como se muestra en la figura 4.3-2.
A continuación, a partir de la ecuación 43-29 es posible encontrar la derivada - d z / d w :
Cuando esta expresión se compara con la ecuación 4.3-15 se obtienen las componentes de la
veiocidad
Estas ecuaciones deben usarse junto con las ecuaciones 4.3-30 y 4.3-31 para eliminar @ y
fin de obtener Ias componentes de la velocidad como funciones de la posición.
*a
Yh
------9 =+ x
/
- ...
/
N
N
7 - -
* - - - - - - - - 1
/
Y=+5'
.-- /
*--------1--
Y=O
I
+
e - - - - - - - - -
t-x=-1
X
* - - - - - - -
I
Y'=
- 7 ~
_ _ - --
/
-
*
.--
...
i
-;-
Y=
--S
Figura 4.3-2 Líneas de flujo de corriente
para el flujo potencial hacia el interior de
-. -.
\
\
,
un canal rectangular, según son
pronosticadas a partir de la teoría de flujo
potencial en las ecuaciones 4.3-30 y
4.3-31. En la figura 4.3-5 se muestra un
patrón de flujo más real.
148 Capítulo 4
Flujo cerca de una
esquina8
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
En la figura 4.3-3 se muestra el flujo potencial en la vecindad de dos paredes que se encuentran en una esquina en O. El flujo en la vecindad de esta esquina puede describirse por el PO.
tencial complejo
donde c es una constante. Ahora es posible considerar dos situaciones: i) un "flujo en la esquina interior" con a > 1; y ii) un "flujo en la esquina exterior" con cr < 1.
a) Encontrar las componentes de la velocidad.
b) Obtener la velocidad tangencial en ambas partes de la pared.
C)
Describir cómo obtener las iíneas de flujo de corriente.
d) ¿Cómo puede aplicarse este resultado al flujo alrededor de una cuña?
a) Las componentes de la velocidad se obtienen a partir de la velocidad compleja
dw =
dz
caza-a-l = -CaTa-l e i(a-1)B
Por tanto, a partir de la ecuación 4.3-12 se obtiene
=
+ ~ ~ ecos- (U.1 - i)e
vy = -cat*y-l sen ( a - 118
b) La velocidad tangencia1 en las paredes es
en O = 0:
en 0 = m / a :
(ir?
/"/
,
'
/
Y
u, = U , = c a p - l = cap-l
U,
,
+
(4.3-42)
+
= U , cos 8
vY sen 0
= ca)a-I cos (CY - 1) 0
= c a ~ cos
~ 'a 0
=-
- - - - - +
8=0
cos 8 - c a r l ~ ~sen
- ~ (a - 1) 8 sen 0
(4.3-43)
Figura 4.3-3 Flujo potencial cerca de
una esquina. En Ia porción izquierda
de la pared, v, = -caep1, y en la
derecha, v, = +cala-'. i) Flujo en la
esquina interior, con a 1; y ii) flujo
en la esquina exterior, con cu < 1.
%.L. Panton. Compressible Flaw, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1996).
i
g4.3 Fiujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
_ - _ - _ _- ----------------___
-
------_____
/
Lheas de flujode corriente
149
Figura 4.3-4 Flujo potencial a lo largo de una
cuna. En la superficie superior de la cuña,
u, = c a F - l = C ' X ~ / ( ~ - @ )donde
,
c' = c[2/(2-@)l.
Las cantidades a y /3 están relacionadas
mediante 0 = (2/a)(a- 1).
.-.-.-.
1
-L
Por tanto, en el caso (i), el fluido que se aproxima a la pared desacelera a medida que se aproxima a la confluencia, y el fluido que se aleja de la pared acelera a medida que se aleja de la
confluencia. En el caso (ii),las componentes de la velocidad se vuelven infinito en la esquina
cuando a - 1 es entonces negativo.
C)
El potencial complejo puede descomponerse en sus partes real e imaginaria
w=4
+ i$
= -cP(cos a9 -k i sen a01
(4.3-44)
Por tanto, la función de corriente es
Para obtener las líneas de flujo de corriente se seleccionan vanos valores para la función de
y luego para cada valor r se grafica como una funcorriente -por ejemplo, Si,, Si2,t,b3, *
ci6n de 8.
,
o
d) Debido a que para flujo ideal cualquier Iinea de flujo de corriente puede sustituirse por una
pared, y viceversa, los resultados encontrados aquí para a > 1 describen el flujo no viscoso
sobre una cuña (véase la figura 4.3-4). Este hecho se usa en el ejemplo 4.4-3.
A continuación se presentan unas palabras de advertencia concernientes a la aplicabilidad de la teoría de flujo potencial a sistemas redes:
a. Para el flujo alrededor de un ciíindro, las líneas de flujo de corriente que se
muestran en la figura 4.3-1 no se conforman a ninguno de los regímenes de
flujo bosquejados en la figura 3.7-2.
b. Para el flujo hacia el interior de un canal, el patrón de flujo anticipado de la
figura 4.3-2 es irreal dentro del canal y justo corriente arriba a partir de la entrada del canal. En la figura 4.3-5 se muestra una mucho mejor aproximación
al comportamiento real.
Estas dos fallas de la teoría potencia1 elemental resultan de1 fenómeno de separación:
el alejamiento de las líneas de corriente de flujo respecto a la superficie límite.
La separación tiende a ocurrir en esquinas agudas de límites de sólidos, como
en el flujo en un canal, y en los lados corriente abajo de objetos escarpados, como en
e1 flujo alrededor de un cilindro. Por regla general, es probable que ocurra separación en regiones donde la presión aumenta en la dirección del flujo. Los análisis de
flujo potencial no son útiles en la región separada. Sin embargo, pueden usarse corriente arriba de esta región si se conoce la ubicación de la lfnea de flujo de cowiente de
separación. Se han desarrollado bastantes métodos para realizar esos cálculos. Algunas veces es posible estimar exitosamente la posición de la línea de flujo de corriente
de separación a partir de la teoría de flujo potencial. Esto es cierto para el flujo ha-
150 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más d e una variable independiente
q=n
'Y-o
Figura 4.3-5 Flujo potencial hacia el interior de un
canal rectangular con separación, según fue calculado
por H. von HelmhoItz, Phil. Mag., 36,337-345 (1868). Las
líneas de flujo de corriente para ik = +a se separan de la
superficie interior del canal. La velocidad a lo largo de
esta Imea de flujo de corriente separada es constante.
Entre la línea de flujo de corriente separada y la pared
hay una región vacía.
v = -Tr
cia el interior de un canal y, de hecho, la figura 4.3-5 se obtuvo de esta manera.9 Para otros sistemas, el flujo alrededor del cilindro, el punto de separación y la línea de
flujo de corriente de separación deben localizarse experimentalmente. Incluso cuando no se conoce la posición de la línea de flujo de corriente de separación, las soluciones de fIujo potencial pueden ser valiosas. Por ejemplo, se ha encontrado que el
campo de flujo del ejemplo 4.3-1 es útil para calcular coeficientes de impactación de
aerosoles sobre cilindros.lo Este éxito se debe a que la mayoría de los impactos de
las partículas ocurren cerca del siguiente punto de estancamiento, donde el flujo no
es afectado mucho por la posición de la línea de flujo de corriente de separación.
Con base en cálculos del flujo potencial en los que se ignore el fenómeno de separación, también pueden hacerse valiosas conclusiones semicuantitativas concernientes
al comportamiento de transmisión de calor y transferencia de materia.
En todas las técnicas descritas en esta sección se asume que el vector velocidad
puede escribirse como el gradiente de una función escalar que satisface la ecuación
de Laplace. La ecuación de movimiento desempeña un papel mucho menos prominente que para los flujos viscosos analizados previamente, y su uso principal es para la determinación de la distribución de presión una vez que se encuentran los
perfiles de velocidad.
54.40 FLUJOCERCA DE SUPERFICIES SÓLIDASPOR MEDIO DE LA TEORÍA
DE LA CAPA LIMITE
Los ejemplos de flujo potencial analizados en la sección previa mostraron cómo predecir el campo de flujo por medio de una función de corriente y un potencial de velocidad. Las soluciones para l p distribución de velocidad así obtenidas no satisfacen
la acostumbrada condición inicial "sin deslizamiento" en la pared. En consecuencia,
las soluciones de flujo potencial carecen de valor para describir los fenómenos de
transporte en Ia vecindad inmediata de la pared. Específicamente, no puede obte
nerse la fuerza de resistencia viscosa, y tampoco es posible obtener descripciones
confiables entre interfases de transmisión de calor y transferencia de materia en superficies sólidas.
Para describir el comportamiento cerca de la pared, usamos la teoría de la capa límik. Para la descripción de un flujo viscoso, obtenemos una solución aproximada
9 ~ von
. Helmholtz, Phil. Mag. (4),
36,337-345 (1868). Herman Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894)
estudió medicina y se hizo doctor del ejhcito; luego prestó sus servicios como profesor de medicina y después como
profesor de física en Berlín.
'O W.E. Raliz, Principies of lnertiai Impaction, Bulletin #66, Department of Engineering Research, Pennsylvania
State Uiiiversity Park, Pa. (1956).
54.4
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa límite 151
Límite exterior aproximado
de la capa b i t e donde
u+
+
u, tx)
Figura 4.4-1 Sistema de
coordenadas para el flujo
bidirnensional alrededor de
un objeto sumergido. El
espesor de la capa límite se
ha exagerado bastante para
fines ilustrativos. Debido a
que la capa límite es de
hecho bastante delgada, es
permisible utilizar
coordenadas rectangulares
iocalmente a lo largo de la
superficie curva.
para las componentes de la velocidad en una capa limite muy delgada cerca de la
pared, teniendo en cuenta la viscosidad. Luego hacemos "corresponder" esta solución con la solución de flujo potencial que describe el flujo fuera de la capa límite.
El éxito del método depende de lo delgada que sea la capa límite, una condición que
se cumple para un número de Reynolds alto.
Consideraremos el flujo bidirnensional estacionario de un fluido con p y p constantes alrededor de un objeto sumergido, como el que se muestra en la figura 4.4-1.
Establecemos que los principales cambios en la velocidad se llevan a cabo en una
región muy delgada, la capa límite, donde los efectos de curvatura no son importantes. Entonces es posible establecer un sistema de coordenadas cartesianas con x
apuntando corriente abajo, y con y perpendicular a la superficie sólida. Asi, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en:
Algunos de los términos que aparecen en estas ecuaciones pueden descartarse con
base en argumentos de orden de magnitud. Usamos tres cantidades como "referencias": la velocidad de aproximación v,, alguna dimensión lineal lo del cuerpo sumergido, y un espesor medio ?+,de la capa limite. La suposición de que So << lo
permite realizar varios cálculos aproximados de órdenes de magnitud.
Debido a que v, varia desde cero en la superficie sólida hasta u, en el borde exterior de la capa Iímite, entonces podemos afirmar que
donde O significa "orden de magnitud de". De manera semejante, la máxima variación en v, sobre la longitud lo de la superficie será u,, de modo que
152 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Aquí hemos usado la ecuación de continuidad para obtener una derivada más (aquí
sólo nos ocuparnos de los órdenes de magnitud y no de los signos de las cantidades). La integración de la segunda relación sugiere que vy = 0((60/l,>v,) << v,.
Ahora es posible calcular los diferentes términos en la ecuación 4.4-2 como
Esto sugiere que a2v,/dx2 << a2vx/dy2,de modo que la primera puede despreciarse sin problema. Es de esperar que en la capa límite los términos del miembro izquierdo de la ecuación 4.4-2 deben ser del mismo orden de magnitud que los del
miembro derecho, y en consecuencia
La segunda de estas relaciones muestra que el espesor de la capa límite es pequeño
comparado con las dimensiones del objeto sumergido en flujos con numero de Reynolds alto.
De manera semejante puede demostrarse, con ayuda de la ecuación 4.4-7, que
tres de las derivadas en la ecuación 4.4-3 son del mismo orden de magnitud:
Al comparar este multado con la ecuación 4.4-6 se observa que a??/ay << 3 9 /dx.
Esto significa que la componente y de la ecuación de movimiento no es necesaria y
que la presión modificada puede tratarse como una función sólo de x.
Como resultado de estos argumentos sobre el orden de magnitud, se tienen las
ecuaciones de capa límite de ~ r a n d t l : ~
(continuidad)
(movimiento)
Se supone que la presión modificada 9 ( x ) se conoce a partir de la solución del problema de flujo potencial correspondiente o de mediciones experimentales.
Las condiciones límite usuales para estas ecuaciones son la condición sin deslizamiento (v, = O en y = O), la condición de ausencia de transmisión de materia desde la pared (vy = O en y = O), y la afirmación de que la velocidad se fusiona en la
velocidad externa (flujo potencial) en el borde exterior de la capa límite (vx(x,y)
v,(x)).La función v,(x) está relacionada con 9 ( x ) según la ecuación de movimiento
+
'
Ludwig PrandtI (18751953), quien enseñó en Hamover y Gotinga y después fungió como director del Kaiser
Wilhelm Instilute for Fluid Dynarnin, h e una de las personas que configuró el futuro de este campo a principios del
siglo XX; red26 conhibuciones al flujo turbulento y la transmisión de calor, pero su logro más destacado fue el
desamilo de las ecuaciones de capa limite. L. Prandtl, Verhandiungen des IIJ Internafionalen Mathematiker-Kongresses
(Heidelberg,19041, Leipzig, pp. 484-491; L. Prandtl, GesammeIte Abhandlungen, 2, Springer-Verlag,Berlín (1961), pp.
575-584. Para un anáüsis introductorio de expresiones asintóticas concordantes, véase D.J.Acheson, Elemenlary Fluid
Mechanics, Oxford University Press (19901,pp. 269-271. Un análisis completo sobre el tema puede encontrarse en M.
Van Dyke, Perturbaiion Methods in Fluid Dynamics, The Paraboiic Fress, Stanford, Cal. (1975).
$4.4
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teona de la capa limite 153
de flujo potencial en la ecuación 4.3-5. En consecuencia, el término -(l lp)(dB/dx)
en la ecuación 4.4-10 puede sustituirse por v,(dv,/dx) para flujo estacionario. Así, la
ecuación 4.4-10 también puede escribirse como
dvx
dv,
dv,
v,+vy-=v,+vJX
ay
dx
¿?ux
ay2
La ecuación de continuidad puede resolverse para vy usando la condición límite de
que vY = O en y = O (es decir, no hay transmisión de materia), y luego esta expresión
para vy puede sustituirse en la ecuación 4.411 para obtener
&ta es una ecuación diferencial parcial en la variable dependiente simple u,.
Ahora esta ecuación puede multiplicarse por p e integrarse desde y = O hasta
y = para obtener el balance de cantidad de movimiento de von K á d n 2
Aquí se ha usado la condición de que vJx, y) + v,(x) cuando y -+ m. La cantidad en
el miembro izquierdo de la ecuación 4.413 es el esfuerzo cortante que el fluido ejerce sobre la pared: - ~ ~ ~ l ~ ~ .
ecuaciones de capa límite de PrandtI originales, ecuaciones 4.4-9 y 4.4-10, se
han transformado así en las ecuaciones 4.4-11, 4.4-12 y 4.4-13, y cualquiera de éstas
puede tomarse como el punto de partida para resolver problemas bidimensionales
de capa límite. La ecuación 4.4-13, con expresiones supuestas para el perfil de velocidad, constituye la base de muchas "soluciones aproximadas de capa límite" (véase el ejemplo 4.4-1). Por otra parte, las soluciones analíticas o numéricas de las
ecuaciones 4.4-11 y 4.4-12 se denominan "soluciones de capa límite exactas" (véase
el ejemplo 4.4-2).
El análisis que se ha presentado aquí es para flujos bidirnensionales laminares
estacionarios de fluidos con densidad y viscosidad constantes. Hay ecuaciones correspondientes para flujo no estacionario, flujo turbulento, propiedades de un fluido variable y capas límite tridh~ensionales.~~
Aunque se han obtenido muchas soluciones de capa límite aproximadas y exactas y las aplicaciones de la teoría a objetos aerodinámicos han sido bastante exitosas,
en la ecuación 4.4-10 queda mucho trabajo por realizar sobre flujos con gradientes
de presión adversos (es decir, ~ P / a positivo),
x
como el fiujo sobre el lado corriente
abajo de un objeto romo. En tales flujos, las líneas de flujo de corriente suelen separarse de la superficie antes de Uegar a la parte posterior del objeto (véase la figura
3.7-2). El método de la capa límite descrito aquí es idóneo para tales flujos solo en :a
región corriente arriba a partir del punto de separación.
as
Th.von Urmán, Zeits. filr angew. Math. u. Mech., 1,233-252 (1921).Nacido húngaro, Theodor von K6rm6n
enseñó en Gotinga, Aachen y en el California institute of Technology; contribuyó en gran medida a la tmria de la
turbulencia y 1a aerodinamica.
H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Layer Theory, Springer Verlag, Berlín, 8a. edición (2000).
L. Rwenhead, inminur Boundary Laym, Oxford University Press, Londres (1963).
K . Stewartson, The Throry of Inrnimr Boundoty Luyers in Compressible Fluids, Oxford University Press, Londres
(1964).
W.H. Dorrance, V k o u s H i / p e ~ n i cF l m , McGraw-Hill, Nueva York (1962).
154 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
7
04
'
lago
plana
(solución aproximada)
laminar
de una
@
Aplicar el balance de cantidad de movimiento de von Kármán para calcular los perfiles de
velocidad en estado estacionario cerca de una lámina plana semiinfinita en una corriente tangencial con velocidad de aproximación v, (vdase la figura 4.4-2). Para este sistema la s o l u ~ i ó ~
de flujo potencial es ve = v,.
Intuitivamente se sabe cómo es el perfil de velocidad v,(y). Por tanto, podemos suponer una
forma para v,(y) y sustituirla directamente en el balance de cantidad de movimiento de von
Kármán. Una elección razonable es hacer v,(y) mediante una funci6n de y/S, donde 6(x) es el
"espesor" de la capa límite. La función se elige de modo que u, = O en y = O y V, = ve en y = 8.
Esto es equivalente a suponer la semejanza geométrica de los perfiles de velocidad para varios valores de x. Cuando este perfil supuesto se sustituye en el balance de cantidad de movimiento de von Kármán, se obtiene una ecuación diferencia1 ordinaria para el espesor 6(x)
de la capa límite. Una vez que se resuelve esta ecuación, la 6(x) así obtenida puede usarse entonces para obtener el perfil de velocidad y otras cantidades de interés.
Para el problema presente, una suposición plausible para la distribución de velocidad,
con una forma razonable, es
3 = ?l-L(y)
v,
2s
3
2 S
v =1
X
para O 5 y
para y
2
5
S(x)
S(x)
(región de la capa límite)
(región de flujo potencial)
(4.4-15)
v,
Lo anterior es "razonable" porque este perfil de velocidad satisface la condición sin deslizamiento en y = O, y dv,/dy = O en el borde exterior de la capa límite. Al sustituir este perfil en
el balance integral de von Kármán de la ecuación 4.4-13 se obtiene
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse ahora para obtener el espesor de la capa limite
Por consiguiente, el espesor de la capa límite aumenta con la raíz cuadrada de la distancia
desde el extremo corriente arriba de la lámina. Entonces, la solución aproximada resultante
para la distribución de velocidad es
El fluido se aproxima con
velocidad uniforme v,
Y
-r
Figura 4.4-2. Desarrollo de la
capa límite cerca de una
54.4 Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa limite 155
A partir de este resultado es posible estimar la fuerza de resistencia sobre una lámina de tamaño finito mojada en ambos lados. Para una lámina de ancho W y longitud L., la integración
de la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre las dos superficies sólidas da:
,'
-
T .
-
La solución exacta, que se proporciona en ei siguiente ejemplo, da el mismo resultado, pero
con un coeficiente numérico de 1.328. Las dos soluciones predicen la fuerza de resistencia
dentro de Ia dispersión de los datos experimentales. Sin embargo, la solución exacta proporciona una mejor coincidencia con los perfiles de velocidad medido^.^ Esta precisión adicional
es esencial para cálculos de estabilidad.
1
Flujo laminar a lo l a q o
.de una lámina plana
(solución exacta)'
Obtener la solución exacta para el problema dado en el ejemplo previo.
SOLUCIÓN
Este problema se puede resolver usando la definición de función de corriente en la tabla
4.2-1. Al insertar las expresiones para las componentes de la velocidad en el primer renglón
de elementos, se obtiene
Las condiciones límite de esta ecuación para +(x, y) son
a*
- vy = O
C.L. 1:
eny=O,
--
C.L. 2:
eny=O
a$_
C.L. 3:
cuando y -* m, d$ = -v,
dx
para x
O
(4.4-21)
para x r O
(4.4-22)
4 -u,
para x 2 O
(4.4-23)
-vx = -u-
para y > O
(4.4-24)
~,=0
ay
2
dY
--
en x = 0,
C.L. 4:
-
JY
Puesto que en las relaciones anteriores no aparece ninguna longitud característica,el método
de combinación de variables independientes parece idóneo. Con base en argumentos dimensionales semejantes a los que se presentaron en el ejemplo 4.1-1, escribimos
=(
)
donde 7 = y
u-
El factor 2 se incluye para evitar la aparición de cualquier factor numérico en la ecuación diferencial de la ecuación 4.4-27.La función de corriente que proporcio~iala distribución de velocidad en la ecuación 4.4-25 es
y
=-
donde f (7)
=
r
n(il)di
-.. .. .
'H. Blasius trató por vez primera este problema en Zeitc. Muth. Phys., 56,l-37(1908).
156 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Esta expresión para la función de comente es consistente con la ecuación 4.4-25, como puede
verse al usar la relación u = - d $ / d y (que se proporciona en la tabla 4.2-1). Al sustituir la
ecuación 4.4-26 en la ecuaiión 4.4-20 se obtiene
(4.4-27)
-ff"= f"
Al sustituir lo anterior en ias condiciones límite se obtiene
C.L. 3 y 4:
cuando q
+
m,
f'
-+
1
(4.4-29)
Por tanto, la determinación del campo de flujo se reduce a la solución de una ecuación d i f e
rencial ordinaria de tercer orden.
Esta ecuación, junto con las condiciones límite dadas, puede resolverse por integración'
El problema fue resuelto orinumérica, y existen a disposición tablas exactas de la s0luci6n.~t~
ginalmente por Blasius7 usando aproximaciones analíticas que demostraron ser bastante
exactas. En la figura 4.4-3 se muestra una gráfica de la solución de Blasius, junto con datos experimentales obtenidos posteriormente. La coincidencia entre la teon'a y la experimentaci6n
es extraordinariamente buena.
La fuerza de resistencia sobre una lámina de ancho W y longitud L puede calcularse a
partir del gradiente adimensional de velocidad en la pared, f"(0) = 0.4696 . . ., como sigue:
Este resultado también ha sido confirmado e~perimentalrnente.~,~
Figura 4.4-3 Perfiles de
velocidad anticipado y
observado para flujo laminar
tangencia1 a lo largo de una
lámina plana. La línea
continua representa la
solución de las ecuaciones
4.4-20 a 4.4-24, obtenida por
Blasius [véase H. Schlichting,
Boundary-Layer Theory,
McGraw-Hill, Nueva York,
7a. edición (1979) p. 1371.
54.4
Hujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoria de la capa límite 157
Debido a las aproximaciones hechas en la ecuación 4.4-10, la solución es más exacta con
números de Reynolds locales qandes; es decir, Re, = m,/v >> 1, La región excluida de números de Reynolds menores es tan pequeña que puede despreciarse en la mayor parte de
cálculos de resistencia. Análisis más completos8 indican que la ecuación 4.4-30 es exacta dentro de un margen de 3% para Lv,/v > 1@y hasta de 0.3%para Lv,/v r lo6.
El crecimiento de la capa límite con x cada vez mayor finalmente lleva a una situación
inestable, y comienza flujo turbulento. Se ha encontrado que la transición empieza en alguna
parte en el intewalo del número de Reynolds local de Re, = xz),/v r 3 X lo5 a 3 X lo6, dependiendo de la uniformidad de la corriente que se a p r o ~ i r n aCorriente
.~
arriba de la región
de transición el flujo permanece laminar, y corriente abajo es turbulento.
+
pujo cerca de una
esquina
S'.
Ahora se desea hatar el problema de la c a p límite semejante al ejemplo 4.3-3; a saber, el fiujo cerca de una esquina (véase la figur 4.3-4). Si a > 1, el problema también puede interpretarse como el flujo a lo largo de una ña de ángulo comprendido plr, con a = 2/(2 - P). Para
este sistema, el flujo externo ve se conoce a partir de las ecuaciones 4.3-42 y 4.3-43, donde se
encontró que
d
C
.u<
-f.:)-
4 ,,
Ésta es la expresión que se encontró era válida justo en Ia pared (es decir, en y = O). Aquí se
supone que la capa límite es tan delgada que para el limite exterior de la solución de capa 1ímite es adecuado usar la expresión de la pared del flujo ideal, por lo menos para valores pequeños de x .
Ahora es necesario resolver la ecuación 4.4-11, utilizando la ecuación 4.4-31 para ve(x).Cuando se introduce la función de corriente del primer renglón de la tabla 4.2-1, se obtiene h siguiente ecuación diferencial para +:
Figura 4.4-4 Perfil de
V-
velocidad para el flujo en una
cuña con ángulo comprendido
PP. Los valores negativos de B
corresponden al flujo alrededor
de una "esquina externa"
[véase la figura 4.3-3(ii)l con
deslizamiento en la pared
corriente arriba de i esquina.
BY.H.Kuo, f. Math. Phys.,32,83-101
(1953);1. Imai, f. Aero. Sci., 24,155-156c1957).
158 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
que corresponde a la ecuación 4.4-20 con el término v,(dv,/dx)añadido. Se descubrió9 que esta ecuación puede reducirse a una simple ecuación diferencial ordinaria al introducir una
función de comente adimensional f(q) mediante
donde la variable independiente es
Luego, la ecuación 4.4-32 se convierte en la ecuacidn de ~alkner-skan9
f"' + ff"
+ ~ ( 1 - p 2=) O
(4.4-35)
Esta ecuación ha sido resuelta numéricamente con las condiciones limite idóneas, y los resultados se muestran en la figura 4.4-4.
Puede observarse que para valores positivos de p, que corresponden a los sistemas mostrados en la figura 4.3-3 y en la figura 4.3-4, el fluido está acelerando y los perfiles de velocidad son estables. Para valores negativos de P, hasta P = -0.199, los flujos están desacelerando
pero son estables, y no ocurre separación. Sin embargo, si /3 < -0.199, el gradiente d e velocidad en la pared se vuelve cero, y ocurre separación del flujo. Por consiguiente, para los fiujos en la esquina interior y para flujos en la cuña no ocurre separación, pero para flujos en la
esquina exterior puede ocurrir separación.
1. ¿Para qué tipos de problemas es útil el método de combinación de variables?, ¿y el metodo
de separación de variables?
2.
¿Es posible describir con el método del ejemplo 4.1-1 el flujo cerca de una varilla cilíndrica de
longitud infinita que súbitamente se pone en movimiento en la dirección axial?
3.
¿Qué ocurre en el ejemplo 4.1-2 si se intenta resolver la ecuación 4.1-21 por el método de se
paración de variables sin reconocer primero que la solución puede escribirse como la suma
de una solución de estado estacionario y una solución transitoria?
4. ¿Qué ocurre si según la ecuación 4.1-27 la constante de separación se toma como c o c2,en vez
d e como -c2?
5. Intente resolver el problema del ejemplo 4.1-3 usando cantidades trigonométricas en vez de
cantidades complejas.
6. ¿Cómo se obtiene la ecuación para la verticidad y cómo puede usarse?
7. ¿Cómo se define la función de corriente y por que es útil?
8. ¿En qué sentido son complementarias las soluciones de flujo potencial y las soluciones de flujo de capa límite?
9.
Enumere todas las formas aproximadas de las ecuaciones de variación encontradas hasta el
momento e indique su intervalo de aplicabilidad.
9V.M. Falkner y S.W. Skan, Phil. Mag., 12,865-896 (1931); D.R. Hartree, Proc. Camb.Phil. Soc., 33, parte 11,223-239
(1937);H. Kouse (compilador), Advanccd Mechanics of Fluids, Wiley, Nueva York (19591,capítulo VII, Sec. D; H.
Schlichting y K. Gtrsten, Bounday-Layer Tkeory, Sgringer Verlag, Berlín (2000),pp. 169-173 (isotérmica), 220-221 (no
isotérmica);W.E. Stewart y R. Prober, Int. 1. Heat Mass Transfer, 5,1149-1163 (1962); 6,221-229.872 (1963, incluyen flujo
en una cuña con transmisión de calor y transferencia de materia.
Problemas
159
p ~ ~ ~ ~ E M4A.1
A STiempo necesario para alcanzar el estado estacionario en el flujo en un tubo.
a) Un aceite pesado, de viscosidad cinemática 3.45 X
rn2/s, está en reposo en un gran
hibo vertical de 0.7 cm de radio. Se deja que éste comience a fluir de manera repentina desde
el fondo por efecto de la gravedad. ¿Después de cuánto tiempo la velocidad en el centro del
tubo diferirá 10%de su valor final?
b) ¿Cuál sería el resultado si se usa agua a 68*F?
Nota: debe emplearse el resultado que se indica en la figura 4D.2.
Respuestas: a) 6.4 x
S;b) 22 S
4A.2 Velocidad cerca de una esfera en movimiento. Una esfera de radio R desciende en flujo reptante
a través de un liquido quieto de viscosidad p, con una velocidad tenninal v,. ¿A qué distancia
horizontal desde la esfera h velocidad del fluido cae a 1%de la velocidad terminal de la esfera?
Respuesta: Aproximadamente 37 diámetros
4A.3 Construcción de líneas de flujo de corriente para el flujo potencial alrededor de un cilindro. Trace las líneas de flujo de corriente para el flujo alrededor de un cilindro usando la información en el ejemplo 4.3-1 y el siguiente procedimiento:
a) Celeccione un valor de 'V = C (es decir, elija una línea de flujo de corriente).
+
b) Graficar Y = C K (líneas rectas paralelas al eje X) y Y = K(*
1/2K,tangentes aI eje X en el origen).
C)
+ p)(círculos de radio
Graficar las intersecciones de las líneas y los círculos que tengan el mismo valor de K.
d) Unir esos puntos a fin de obtener la Iinea de flujo de corriente para = C.
Luego seleccionar otros valores de C y repetir el proceso hasta que el patrón de líneas de flujo de comente sea claro.
4A.4 Comparación de perfiles exactos y aproximados para flujo a lo largo de una lámina plana.
Comparar los valores de v , / v , obtenidos a artir de la ecuación 4.4-18 con los de la figura
4.4-3, para los siguientes valores de y v,/vx a) 1.5, b) 3.0, c) 4.0. Expresar los resultados corno la razón de los valores aproximados a los valores exactos.
e:
Respuesfas: a) 0.96; b) 0.99; c) 1.01
4A.5 Demostración numérica del balance de cantidad de movimiento de von Kármán.
a) Evaluar numkricamente las integrales en la ecuación 4.4-13 para el perfil de velocidad de
Blasius que se proporciona en la figura 4.43.
b) Utilizar los resultados del inciso a) para determinar la magnitud del esfuerzo cortante de
la pared 7yrIy4.
Calcular la fuerza de resistencia total, F,, para una lámina de ancho W y longitud L, mojada en ambos lados. Comparar su resultado con el que se obtuvo en la ecuación 4.4-30.
c)
Respuestas: a)
1:
pei (DI
- UX )d!I = 0 . 6 ~ d x
4A.6 Uso de las fórmulas de capa límite. En ambos lados de una delgada lámina plana lisa de ancho W = 10 pies y longitud L = 3 pies, fluye tangencialmente aire a 1 atm y 20°C en la dirección del flujo. La velocidad fuera de la capa limite es constante a 20 pies/c.
a) Calcular el número local de Reynolds Re, = xv,/ v en el borde de salida
b) Suponiendo flujo laminar, calcular el espesor aproximado de la capa límite, en pulgadas,
en el borde de salida. Usar los resultados del ejemplo 4.4-1.
C) Suponiendo flujo laminar, caIcular la resistencia total de la lámina en lb/. Usar los resultados de los ejemplos 4.4-1 y 4.4-2.
160 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
4A.7 Flujo de entrada en conductos.
a) Calcular la longitud de entrada para flujo laminar en un tubo cimlar. Supóngase que el
espesor S de la capa límite está dado correctamente por la ecuación 4.4-17, donde v, del problema de la 16rnina plana corresponde a vmi, en el problema de flujo en un tubo. Además, supóngase que la longitud de entrada Le puede tomarse como el valor de x en el que S = R.
Comparar estos resultados con la expresión para L, citada en 52.3; a saber, L, = 0.035D Re.
b) Volver a escribir el número de transición de Reynolds m,/v = 3.5 x lo5 (para la lámina
plana) insertando 6 de la ecuación 4.4-17 en lugar de x como la longitud característica. Comparar la cantidad Sv,/v así obtenida con el número de Reynolds de transición mínimo para
el fluja a través de tubos Iisos largos.
Utilizar el método del inciso (a) para estimar la longitud de entrada en el ducto plano que
se muestra en la figura 4C.1, Comparar el resultado con el que se proporciona en el problema
4C.l (d).
C)
48.1 Flujo de un fluido con u n esfuerzo constante que se aplica súbitamente sobre la pared. En
el sistema que se estudió en el ejemplo 4.1-1, considerar que el fluido esta en reposo antes de
t = O. En el instante t = O se aplica una fuerza constante al fluido en la pared en la dirección x
positiva, de modo que el esfuerzo cortante T~~asume un nuevo valor constante .r0en y = O para t > 0.
a) Diferenciar la ecuación 4.1-1 para y y multiplicar por - p a fin de obtener una ecuación diferencial parcial para ~ ~ ~t ) .( y ,
b) Escribir las condiciones inicial y límite para esta ecuación.
C)
Resolver la ecuación usando el método del ejemplo 4.1-1 para obtener
d) Utilizar el resultado del inciso (c) para obtener el perfil de velocidad. La siguiente relaci6n1
es útil
1;
1 -,2
(1 - erf u)du = -
%Ge
- x(1- erf x )
(4B.1-2)
4B.2 Flujo cerca de una pared que se pone súbitamente en movimiento (solución aproximada)
(figura 4B.2). Aplicar un procedimiento como el del ejemplo 4.4-1 a fin de obtener una soluci6n aproximada para el ejemplo 4.1-1.
vo
-
( a ) Solución verdadera
Vo
-
(b)Apraximanónde la capa límite
Figura 48,2
Comparación de los
perfiles de velocidad real
y apr~ximadocerca de
una pared que se pone
súbitamente en
movimiento con
velocidad vo,
Un resumen úiii de funcionesde error y sus ~ r o ~ i e d a d puede
es
encontrarse en H.S. Carslaw y J.C. Jaeger,
Condudion ofHeai in Solids, Oxford University Press, 2a. edición (1959), Ap&n&ice11.
Problemas
161
a) Integrar la ecuación 4.1-1 sobre y para obtener
Usando las condiciones limite y la regla de Leibniz para diferenciar una integral (ecuación
C.3-2))volver a escribir Ia ecuación 4B.2-1 en la forma
Interpretar este resultado desde el punto de vista de la física.
b) Sabemos aproximadamente cómo se presentan los perfiles de velocidad, por lo que es posible establecer el siguiente poshilado razonable para éstos:
ZL=~-?L+~(L)~
para O 5 y 5 S(t)
v,
280) 2 8 0 )
para y 2 6(t)
(4B.2-4)
Aquí S(t) es un espesor de la capa limite dependiente del tiempo. Insertar esta expresión aproximada en la ecuación 4B.2-2 para obtener
c) Integrar la ecuación 4B.2-5 con un valor inicial idóneo de 6(t), e insertar el resultado en la
ecuación 4B.2-3 para obtener los perfiles aproximados de velocidad.
d) Comparar
valores de v,/vo que se obtuvieron en el inciso c) con los de la ecuación
4.1-15 en y/ 4vt = 0.2,0.5 y 1.0. Expresar los resuItados como la razón del valor aproximado
al valor exacto.
3"
4B.3 Fiujo reptante alrededor de una burbuja esférica. Cuando un liquido fluye alrededor de una
burbuja de gas, dentro de ésta hay circulación. Esta circulación disminuye el esfuerzo cortante interfacia1, y, hasta una primera aproximación, es posible suponer que éste es eliminado
por completo. Repetir el desarrollo del ejemplo 4.2-1 para dicha burbuja de gas, suponiendo
que es esférica.
a) Demostrar que la C.L. 2 del ejemplo 4.2-1 es sustituida por
y que el planteamiento del problema es, por lo demás, el mismo.
b) Obtener las siguientes componentes de la velocidad:
..
=
-
)](;
coso
c) A continuaci611, obtener la distribución de presión usando la ecuación de movimiento:
162 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
d) Evaluar la fuerza total del fluido sobre la esfera para obtener
Este resultado puede obtenerse por el método de 92.6 o por integración de la componente
de - [n m] sobre la superficie de la esfera (donde n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera sobre la superficie de la esfera).
4B.4 Uso de la ecuación para la vorticidad.
a) Resolver el problema 28.3 usando la componente y de la ecuación para la vorticidad (ecuación 3D.2-1) y las siguientes condiciones límite: para x = B, u, = O y para x = O, v, = vZ,&
+
Demostrar que esto conduce a
Después, obtener la distribución de presión a partir de la componente z de la ecuación de movimiento.
b) Trabajar el problema 3B.6(b) usando la ecuación para la vorticidad, con las siguientes condiciones limite: para r = R, v, = O y para r = KR,u, = vo.Además se requiere una condición integral para afirmar que en la dirección z no hay flujo neto. Encontrar la distribución de
presión en el sistema.
Trabajar los siguientes problemas usando la ecuación para la vorticidad: 28.6, 28.7, 3B.1,
30.10,38.16.
C)
4B.5 Flujo potencial en estado estacionario alrededor de una esfera fija.2 En el ejemplo 4.2-1 se
trabajó el flujo reptante alrededor de una esfera. Ahora deseamos considerar el flujo de un
fluido no viscoso incompresible en flujo irrotacional alrededor de una esfera. Para tal proble
ma, sabemos que el potencial de velocidad debe satisfacer la ecuación de Laplace (véase el
texto después de la ecuación 4.3-11).
a) Establecer las condiciones límite del problema.
b) Tratar de justificar por qué es posibIe postular que el potencial de velocidad 4 es de la forma +(r, 8) = flr) cos 0.
Sustituir la expresión de ensayo para el potencial de velocidad del inciso (b) en la ecuación
de Laplace para el potencial de velocidad.
C)
d) Integrar la ecuación que se obtuvo en el inciso (c)y obtener la función f(r) que contiene dos
constantes de integración; determinar estas constantes a partir de las condiciones limite y encontrar
e) A continuación demostrar que
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, bston, 2a. ediaón (1987), pp. 21-26, contiene una buena
colección de problemas de flujo potencial.
Problemas 163
f ) Encontrar la distribución de presión y luego demostrar que en la superficie de la esfera
Y - S, =3~<21-
isen29)
(4B.5-4)
4B.6 Flujo potencial cerca de un punto de estancamiento (figura 4B.6).
a) Demostrar que el potencial complejo u, = -voz2 describe el flujo cerca de un punto de estancamiento plano.
b) Encontrar las componentes de la velocidad v,(x, y] y vy(x,y).
C)
Explicar el significado físico de vo.
Figura 48.6 Flujo potencial
bidimensional c&cá de un punto de
estancamiento.
Y
unto de estancamiento
48.7 Flujo en un vórtice.
a) Demostrar que el potencial complejo w = (iT/Z.rr) ln z describe el flujo en un vórtice. Verificar que la velocidad tangencia1 está dada por ve = F / ? m y que u, = O. Algunas veces, este
tipo de flujo se denomina vórtice libre. ¿Es un flujo irrotacional?
b) Comparar la dependencia funcional de u, respecto a r en el inciso (a) con la que se preseiit6 en el ejemplo 3.6-4. Algunas veces este segundo tipo de flujo se denomina vdrtice forzado.
Los vórtices reales, como los que ocurren en un tanque agitado, presentan un comportamiento intermedio entre estas dos representaciones ideales.
48.8 El campo de flujo alrededor de una fuente lineal. Considerar el flujo radial simétrico de un
fluido no viscoso incompresible que sale de una larga fuente uniforme infinita, que coincide
con el eje z de un sistema de coordenadas cilíndricas. El fluido es generado a una velocidad
volumétrica r por unidad de longitud de la fuente.
a) Demostrar que la ecuación de Laplace para el potencial de velocidad de este sistema es
b) A partir de esta ecuación, encontrar el potencial de velocidad, la velocidad y la presión como funciones de la posición:
donde 9,es el valor de la presión modificada lejos de la fuente.
Analizar la aplicabilidad de Ios resultados del inciso (b) para el campo de flujo alrededo.
de un pozo perforado en un gran cuerpo de roca porosa.
C)
d) Trazar la red de flujo de las Iíneas de flujo de corriente y las líneas equipotenciales.
164 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
48.9 Comprobación de soluciones para problemas de flujo no estacionario.
a) Verificar las soluciones de los problemas en los ejemplos 4.1-l(4.1-2 y 4.1-3 demostrando
que satisfacen las ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones iniciales y las condiciones limite. Para demostrar que la ecuación 4.1-15 satisface la ecuación diferencial, es necesario saber cómo diferenciar una integral usando la fámula de Leibniz dada en sC.3.
b) En el ejemplo 4.1-3, la ecuación 4.1-57 no satisface la condición inicial. ¿Por qué?
4C.1 Flujo laminar de entrada en una rendija3 (figura 4C.1). Calcular la distribución de velocidad
en la región de embocadura de la rendija que se muestra en la figura. El fluido entra en x = O con
v = O y v, = (v,), donde (v,) es la velocidad media dentro de la rendija. Supóngase que la distrlbución de velocidad en la región de embocadura O < x < Le es
(región de la capa límite, O < y < S)
(región del flujo potencial, 8 < y < B)
(4C.1-2)
donde S y ve son funciones de x, aún por determinar.
,
= 2~
Figura 4C.1 Flujo de entrada hacia una
rendija.
y =B
y=o
a) Utilizar las dos ecuaciones anteriores para obtener la velocidad de flujo másico 7u a través
de una sección transversal arbitraria en la región O < x < Le. Luego evaluar w a partir de las
condiciones en la alimentación y obtener
b) A continuación, utilizar las ecuaciones 4.413,4C.1-1 y 4C.1-2 con m reemplazado por B
(¿por que?) a fin de obtener una ecuación diferencial para la cantidad A = 6 / B:
C) Integrar esta ecuación con una condición inicial idónea para obtener la siguiente relación
entre el espesor de la capa Iímite y la distancia hacia abajo del ducto:
d) Calcular la longitud de entrada Le a partir de la ecuación 4C.1-5, donde Le es el valor de x
para el. que S(x) = B.
Y.L. Wang y P.A. Longwell, AlChE journal, 10,323-329 (1964) proporcionan una solución numérica a este problema usando la ecuación de Navier-Stokes.
Problemas 165
e) Usando teoría de flujo potencial, evaluar 9 - Yo en la región de embocadura, donde F0es
el valor de la presión modificada en x = 0.
Respuestas: d) L,
4C.2
= 0.104(ux)B2/u;e) 9-Po =
2P(~x)
2 13_h
(3j'J
1-
Viscosimetro oscilatorio de torsión (figura 4C.2). En este tipo de viscosímetro, el fluido se coloca entre una "copa" y un "péndulo" como se muestra en la figura. Se hace que la copa experimente pequeñas oscilaciones sinusoidales en la dirección tangencial. Este movimiento
provoca que el péndulo, suspendido por un alambre de torsión, oscile a la misma frecuencia,
pero con amplitud y fase diferentes. La razón de amplitud (razón de amplitud de la función
de salida respecto a la función de entrada) y el desplazamiento de fase dependen de la viscosidad del fluido y por tanto pueden usarse para determinar la viscosidad. En todo el experimento se supone que las oscilaciones son de amplitud peque&. De modo que el problema es
de tipa lineal y puede resolverse mediante la transformada de Laplace o mediante el método
descrito en este problema.
Alambre de torsión
forzada
del cílindro exterior
Figura 4C2 Esquema de un viscosímetro oscilatorio de
torsión.
a) Primero, aplicar la segunda ley de movimiento de Newton al péndulo cilíndrico para el car completamente vacío. Demostrar que la frecuencia
so especial en que el e s p a c i o ~ u l aestá
natural del sistema es wo = \ k / I , donde I es el momento de inercia del péndulo y k es la constante del resorte para el alambre de torsión.
b) A continuación, aplicar Ia segunda ley de Newton cuando en el espacio anular hay un fluido de viscosidad p. Sean BR el desplazamientoangular del pénduIo en el instante t, y ve la velocidad tangencial del fluido como una función de r y f. Demostrar que la ecuación de
movimiento del péndulo es
(Péndulo)
Si el sistema comienza desde el reposo, se tienen las condiciones iniciales
Luego, escribir la ecuación de movimiento para el fluido junto con las condiciones inicial y
límites relevantes:
C)
166
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
(Fluido)
C.I.:
en t =O,
v8 = O
(4C.2-4)
La función BaR(t) es una función sinusoidal específica (la "entrada"). Elaborar un dibujo que
muestre a eaRy BR como funciones del tiempo, y que defina la razón de amplitud y el desplammiento de fase.
d) Simplificar las ecuaciones d e inicio, ecuaciones 4C.2-1 a 4C.2-6, estableciendo la suposición
de que a es sólo ligeramente mayor que la unidad, de modo que es posible despreciar la curvatura (el problema puede resolverse sin hacer esta suposición).4Esto sugiere que una variable adimensional idónea para la distancia es x = (r - R ) / [ ( u - l)R Volver a plantear todo el
problema en cantidades adimensionales de forma que Z/wo = I/k se use como un tiempo
característico, y que la viscosidad aparezca sólo en un grupo adimensional. Ocurre que la iinica opción es:
d-
tiempo:
velocidad:
viscosidad:
recíproco del momento de inercia: A = ~ ~ R ' L P ( u - ~ )
I
- Bx+M($)l
Demostrar que ahora el problema puede replantearse como sigue:
2' R
ent=o,
oR=0
(péndulo)
-dr2
*=O
A partir de estas dos ecuaciones se quiere obtener BR y 4 como funciones de x y 7, con M y A
como parámetros.
e) Obtener la solución "de estado estacionario sinusoidal" al considerar que la función de entrada BaR (el desplazamiento de la copa) es de la forma
donde W = w/wo = w G e s una frecuencia adimensional. Luego, postular que los movimiento del péndulo y del fluido también son sinusoidales, pero con amplitudes y fases diferentes:
H. Markovitz, 1. Appl. Phys., 23,107U-1077 (1952) resolvió este problema sin suponer una separación pequeña
entre la copa y el péndulo. Este instrumento lo han usado L.]. Wittenberg, D. Ofte y C.B Curtiss, [. Chrm Phys., 48,
3253-3260 (1968) para medir la viscosidad de aleaciones de plutonio líquido.
Problemas 167
&(T)
&x,
,
= !Jl(~;e~~l
T)
te;
es complejo)
= %I~#P(x)e~~~l
(+"(x)es complejo)
(4C.2-14)
(4C.2-15)
Verificar que la razón de amplitud está dada por Ie;l/@iR,donde 1. . .I indica la magnitud absoluta de una cantidad compleja. Además, demostrar que el ángulo de fase a está dado por
tan a = 3 Ie;)/%{e;;J, donde 8 y 3 representan las partes real e imaginaria, respectivamente.
f) Sustituir las soluciones postuladas del inciso e) en las ecuaciones del inciso d ) a fin de obtener las ecuaciones para las amplitudes complejas %j; y 9".
g) Resolver la ecuación para +"(.u) y verificar que
h) A continuaci6n, resolver la ecuación 19; para obtener
a partir de la cual es posible encontrar la razón de amplitud iORI/OaR y el desplazamiento de
fase a.
i) Para fluidos altamente viscosos puede buscarse una serie de potencias desarrollando las
funciones hiperbólicas en la ecuación 42.2-17 para obtener una serie de potencias en 1/M.
Demostrar que lo anterior conduce a
A partir de esto, encontrar la razón de amplitud y el ángulo de fase.
j) Graficar )0;I/0iR conbao para ~ / =ploa2 cm2/s, L = 25 cm,R = 5.5 cm, I = 2500 g cm2, k = 4
X 106 dinas cm. ¿Dónde está el máximo de la curva?
.
4C.3
Ecuación de Darcy para fiujo a través de medios porosos. Para el flujo de un fluido a través
de un medio poroso, las ecuaciones de continuidad y movimiento pueden sustituirse por
ecuaci6n de continuidad con ajuste suavizado
dp
EZ
= -(V - pvO)
K
ecuación de Darcy5
v,, = -- (VP - pg)
(4C.3-1)
(4C.3-2)
P
donde E, la porosidad, es Ia razón del volumen del poro contra el volumen total, y K es la permeabilidad del medio poroso. La velocidad vo en estas ecuaciones es la velocidad superficial, que
se define como el caudal volumétrico a través de una unidad de área de sección transversal
del sólido mAs el fluido, promediado sobre una pequefia región del espacio -pequeña respecto a las dimensiones macrosc6picas en el sistema de flujo, pero grande respecto al tamaño del poro-. La densidad y la presión se promedian sobre una región disponible para el
Henry Philibert Glspard Darcy (1803-1858)estudió en París y se hizo famoso por diseñar el sistema municipal
de suministro de agua en Dijbn, su ciudad natal. H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Villede Dijon, Victor Dalmont,
París (1856).Para an6LisW adicionales de la "ley de Dar@', véanse J. Happel y H. Rrenner, Loui Rrynolds Numhrr
H y d d p m i c s , Martinus Nihjoff, Dordrecht (1983); y H. Brenner y D.A. Edwards, Macrotransport Processes,
Buttemorth-Heinemann, Boston (1993).
168
Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
flujo que sea grande respecto al tamaño del poro. La ecuación 4C.3-2 se propuso empíricamente para describir la lenta filtración de fluidos a través de los medios granulares.
Al combinar las ecuaciones 4C.3-1 y 4C.3-2 se obtiene
para viscosidad y permeabilidad constantes. Esta ecuación y la ecuación de estado describen
el movimiento de un fluido en un medio poroso. Para casi todos los propósitos, la ecuación de
estado puede escribirse como
p = p,,pmepP
(4C.3-4)
donde po es la densidad del fluido a presión unitaria, y se han proporcionado los siguientes
par~metros:6
1. Líquidos incompresibles
2. Líquidos compresibles
3. Expansión isotérmica de gases
4. Expansión adiabática de gases
m=O
p=O
m=O
p#O
m =1
m = C,/Cp = l / y
P =O
0 =O
Demostrar que las ecuaciones 4C.3-3 y 4C.3-4 pueden combinarse y simplificarse para estas
cuatro categorías a fin de obtener (para gases se acostumbra despreciar los tkrminos de la gravedad debido a que son pequeños en comparación con los términos de la presión):
(4C.3-5)
V28=O
Caso l.
Caso 2.
Caso 3
Caso 4.
Nótese que el caso 1 conduce a la ecuación de hplace, el caso 2 sin el término de la gravedad
lleva a la ecuación de conducción de calor o ecuación de difusión, y los casos 3 y 4 llevan a ecuaciones no lineale~.~
4C.4 Flujo radial a través de un medio poroso (figura 4C.4). Un fluido fluye a través de una en-
voltura cilíndrica con radios interior y exterior RI y R2, respectivamente. En esas superficies,
se sabe que las pmiones son p, y p2, respectivamente. La longitud de la envoltura cilíndrica es h.
Medio poroso
1
/
Fluido
I
l
,-+
P---------------
+
w = velocidad
+
de flup másico
Figura 4C.4 Flujo
radial a través de un
Presión p ,
Presión p2
medio poroso.
M. Muskat, F l m of Homogenwus Fluids Thmugh Pomus Media, McGraw-Hill (1937).
'Para la condición límite en una superficie porosa que limita un fluido en movimiento, véase G.S. Beavers y
D.D. Joseph, J. Fluid Mech., 30,197-207 (1967) y G.S. Beavers, E.M. Sparrow y B.A. Masha, AlChE Journnl, 20.596-597
(1974).
Problemas 169
a) Encontrar la distribución de presión, la velocidad de flujo radial y la velocidad de
flujo másico para un fluido incompresible.
b) Volver a trabajar el inciso a) para un líquido compresible y para un gas ideal.
Respuestas:
9-91 uoral - 1
P2- 9 In(R2/ Ri)
K ( 9 2 -pl)
PY 1 n R ~
/ RI
=2~ddg2-91)~
p ln ( R Z/ Rl)
4D.1 Flujo cerca de una pared o~cilatoria.~
Usar las transformadas de Laplace para demostrar que la solución completa del problema phnteado en las ecuaciones 4.1-44 a
4.1-47 es
4D.2 Inicia de flujo laminar en un tubo circular (figura 4D.2). Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un tubo muy largo de longitud L y radio R. Inicialmente el Buido está en reposo. En el instante t = O se impone un gradiente de
presión
- P L ) / L al sistema. Determinar cómo cambian los perfiles de velocidad
con el tiempo.
Centro del tubo
\
Figura 4D.2 Distribución de velocidad para el flujo no
estacionario que resulta al imponer súbitamente un gradiente
de presión en un tubo circular. [P. Szymanski, J. Math. Pures
Appl., Series 9,11,67-107 (1932)l.
a) Demostrar que la ecuación de movimiento relevante puede escribirse en forma adimensional como sigue:
donde 6 = r/R,
T=p
t / p ~ y2 4 = [(Fo- BL)R2/4pLIL1vZ.
b) Demostrar que la solución asintótica para un tiempo grande es 4, = 1 - P. Luego,
definir C#J~ mediante +([,T) = $,(E) T), y resolver la ecuación diferencial parcial
para 4, por el método de separación de variables.
+,(e,
8H.S.Cardaw y J.C. Jaeger, Conduction ofHeaf in Solids, Oxford University l'ress, 2a. edicidn (1959), p. 319,
ecuación (8), con E =la y o = K U ~ .
170 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
C)
Demostrar que la solución final es
Jn(o
es la función de Bessel de n-ésimo orden de 5, y las a, son las raices de la
donde
ecuación JO(an)
= O. El resultado se grafica en la figura 4D.2.
4D.3 Flujos en el sistema de disco y tubo (figura 4D.3}.9
a) Un fluido contenido en un tubo circular se hace mover tangencialmente por medio
de un disco giratorio estrechamente ajustado en la superficie del líquido en z = O; el
fondo del tubo está situado en z = L. Encontrar la distribución de velocidad de estado
estacionario v&r,2) cuando la velocidad angular de1 disco es a. Supóngase que en todo el sistema prevalece flujo reptante, de modo que no hay flujo secundario. Encontrar el límite de la solución cuando L + m.
b) Repetir el problema para flujo no estacionario. El fluido está en reposo antes de
t = O, y el disco comienza a girar repentinamente con una velocidad angular fl en t = 0.
Encontrar la distribución de velocidad u&, z, t ) para una columna de fluido de altura
L. Después encontrar la solución para el limite cuando L -t m.
la dirección tangencia1 con amplitud a,, obtener Ia distribución de velocidad en el tubo cuando se alcanza el "estado estacionario
oscilatorio". Repetir el problema para un tubo de longitud infinita.
c ) Si el disco oscila sinusoidalmente en
4D.4 Flujos anulares no estacionario^.^^
a) Obtener una soIuci6n de la ecuación de Navier-Stokes para el inicio de flujo anular
axial debido a un gradiente de presión que se impone súbitamente. Comprobar su resultado contra la solución publicada.
'O
W. Hort, Z . teck. Phys., 10,213(1920); C.T.H a , J.D. Huppler y R.B. Bird, Chem. Engr. Cci., 21,815-817 (1966).
W. Mülier, Zeits. f i r angau. Math. u. Mech., 16,227-228 (1936).
Problemas 171
b) Resolver la ecuación de Navier-Stokes para el flujo tangencia1 no estacionario que
fluye en tubos concéntricos. El fluido está en reposo para f < O. Iniciando en f = O, el
anillo exterior comienza a girar con una velocidad angular constante a fin de producir flujo laminar para t > O. Comparar su resultado con la solución pub1icada.l"
4D.5 Funciones de corriente para flujo tridimensional.
a) Demostrar que las funciones de velocidad pv = [V x
Al y pv = [(V$,) x ( V h ) ] , satisfacen ambas la ecuación de continuidad idénticamente para flujo estacionario. Las
funciones
G2 y A son arbitrarias, excepto que sus derivadas que aparecen en (V .
pv) deben existir.
= d31+9/h3reproduce las componentes de velocidad para los cuatro flujos incompresibles de la tabla 4.2-1. Aquí h3 es el factor de escala
para la tercera coordenada (véase 5A.7) [Léase aquí el vector general v de la ecuación
A7-18 como A.1
b) Demostrar que la expresión A / p
x (VJ)~}] están dadas por las
C) Demostrar que las líneas de flujo de corriente de
intersecciones de las superficies Jrl = constante y q2= constante. Trazar este par de superficies para el flujo de la figura 4.3-1.
d) Utilizar el teorema de Stokes (ecuación A.5-4) a fin de obtener una expresión en términos de A para la velocidad de flujo rnásico a través de una superficie S limitada por
una curva cerrada C. Demostrar que la desaparición de v en C no implica la desaparición de A en C.
Distribuciones de velocidad
en flujo turbulento
5 1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento
g5.2
Bcuaciones de variación con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles
95.3
Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
s5.4
Expresiones empíricas para la densidad de flujo de cantidad de movimiento
turbulento
95.5
Flujo turbulento e n ductos
55.6"
Flujo turbulento en chorros
En los capítulos anteriores solamente se han analizado problemas de flujo laminar.
Se ha visto que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo laminar se comprenden bien y que, para varios sistemas simples, la distribución de velocidad y
otras cantidades derivadas pueden obtenerse de manera directa. El factor que limita la aplicación de las ecuaciones de variación es la complejidad matemática que se
encuentra en problemas para los cuales hay componentes de la velocidad que son
funciones de algunas variables. Incluso en esos casos, con el rápido avance de la dinámica de fluidos computacional, dichos problemas están conduciendo gradualmente a una solución numérica.
En este capítulo nos dedicaremos al flujo turbulento. Mientras el flujo laminar
es ordenado, el flujo turbulento es caótico. Es esta naturaleza caótica del flujo turbulento la que plantea todo tipo de dificultades. De hecho, sería posible preguntarse
si las ecuaciones de variación que se proporcionaron en el capítulo 3 son incluso capaces de describir los movimientos violentamente fluctuantes que se presentan en
el flujo turbulento. Debido a que los tamaños de los remolinos turbulentos son varios órdenes de magnitud más grandes que la trayectoria libre media de las moléculas del fluido, las ecuaciones de variación son aplicables. Es posible obtener
soluciones numéricas de estas ecuaciones y usarlas para estudiar los detalles de la
estructura de la turbulencia. Sin embargo, para muchos propósitos no estamos interesados en contar con esta información tan detallada, en vista del esfuerzo computacional que se requiere para obtenerla. Por consiguiente, en este capítuIo nos
dedicaremos ante todo a estudiar métodos que permiten describir los perfiles de velocidad y de presión con ajuste de tiempo.
En 55.1 se empieza por comparar los resultados experimentales para flujos laminar y turbuIento en varios sistemas de flujo. De esta forma es posibIe adquirir algunas ideas cualitativas sobre las principales diferencias enh-e los movimientos
laminar y turbulento. Estos experimentos ayudan a definir algunos de los desafíos
que enfrenta el especialista en dinámica de fluidos.
En $5.2 se definen varias cantidades con ajuste de tiempo, y se demuestra cómo
estas definiciones pueden usarse para promediar respecto al tiempo Ias ecuaciones
de tiempo. Estas ecuaciones describen el comde variación sobre un breve i n t e ~ a I o
174 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
1I
i
portamiento de la velocidad y la presión con ajuste de tiempo. Sin embargo, la ecuación de movimiento con ajuste de tiempo contiene la densidad de flujo de cantidad de
movimiento turbulento. Esta densidad de flujo no puede relacionarse simplemente
con los gradientes de velocidad de la forma en que la densidad de flujo de cantidad
de movimiento está dada por la Iey de viscosidad de Newton en el capítulo 1. En la
actualidad, la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento suele estimarse experimentalmente o bkn, modelarse mediante algún tipo de empirismo basado en mediciones experimentales.
Por fortuna, para flujo turbulento cerca de una superficie sólida, hay varios resultados bastante generales que son muy útiles en dinámica de fluidos y fenómenos de
transporte: el desarrollo en serie de Taylor para la velocidad cerca de la pared; y los
perfiles de velocidad logarítmico y de la ley de potencias para regiones más lejos de
la pared, donde esta ley se obtiene por razonamientos dimensionales. En 55.3 se proporcionan estas expresiones para la distribución de velocidad con ajuste de tiempo.
En la sección 55.4 se presentan algunos empirismos que se han propuesto para
la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento. Estos empirismos tienen una importancia histórica y también se han usado ampliamente en cálculos de
ingeniería. Cuando se aplican de manera correcta, estas expresiones empíricas pueden ser útiles.
El resto del capítulo se dedica al análisis de dos tipos de flujo turbulento: flujo
en conductos cerrados (g5.5) y flujo en chorros (s5.6). Éstos ilustran las dos clases de
flujo que suelen analizarse bajo el título de turbulencia en una pared y turbulencia libre.
En esta breve introducción a la turbulencia, nos ocupamos en primer lugar de
describir el flujo turbulento totalmente desarrollado de un fluido incompresible.No
consideramos los métodos teóricos para predecir el principio de la turbulencia ni las
técnicas experimentales inventadas para investigar la estructura del flujo turbulento. Tampoco proporcionamos ningún análisis sobre las teorías estadísticas de la turbulencia y la forma en que la energía turbulenta se distribuye en los diversos modos
de movimiento. Para éstos y otros tópicos interesentes, el lector debe consultar algunos de los libros ya conocidos sobre turbulencia.ld Cada vez es más abundante la
literatura sobre evidencias experimentales y computacionales para "estructuras coherentes" (vórtices) en flujos t~rbulentos.~
La turbulencia es un tkma importante. jDe hecho casi todos los flujos que se encuentran en ingeniería son turbulentos y no laminares! Aunque nuestra comprensión de la turbulencia está lejos de ser satisfactoria, es un tema que debe estudiarse
y apreciarse. Para la solución de problemas industriales no podtkos obtener resultados analíticos claros, ya que en su mayoría, dichos problemas se tratan utilizando
una combinación de análisis dimensional y datos experimentales. Este método se
analizará en el capítulo 6.
'S. Corrsin, "Turbulence: Experimental Methods", en Handbudr der Physik, Vol.VII1/2, Springer, Berlín (1963).
Stanley Comin (1920-1986),profesor en la Johns Hopkins University, fue un excelente experimentador y maesho:
estudió la interaccián entre reacciones químicas y turbulencia.y la pmpagación de las correlaciones de doble
temperatura.
A.A. Townsend, The Strucfure of Turbulent Shear Flow, Cambridge University Press. 2a. edición (1976);para Una
investigación accessible, véase también A.A. Townsend en Handbook of Fluid Dynamics (V.L. Streeter, comp.), McGrawHill (1961).
J.O.Hinze. Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York, 2a. edición (1975).
H. Tennekes y J.L.Lumley, A Fint Coirrse in Turbulence, MIT Press, Cambridge, Macs. (1972);los capítulos 1 y 2
de este libm proporcionan una introducción a las interpretaciones físicas de los fenómenos de flujo hirbulento.
M. Lesieur, Im Turbulence, Presses Universitaires de Grenoble (1994);este Libro contiene bonitas fotografíasa
color de sistemas de flujo turbulento.
Algunos libros que cubren e1 material que van más allá del contenido de este libro son: W.D. McComb, 7'he
Physics of Fluid Turbulence, Oxbrd University h s s (1990);T.E.Faber, Fluid Dynamics fir Physicists, Cambridge
University Press (1995);U. Frisch, Turbulence, Cambridge University l'ress (1995).
P. Holmes, J.L.Lumley y G. Berkooz, Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Syctems, and Symrnefry,
Cambridge University Press (1946);F. Waleffe, Phys. Reu Lett., 81,4140-4148 (1998).
*
55.1
85.1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento 175
COMPARACIONES DE LOS FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO
Antes de discutir cualquier idea teórica sobre la turbulencia, es importante resumir
las diferencias entre los flujos laminar y turbulento en varios sistemas simples. Específicamente, consideramos el flujo en conductos de sección transversal circular y
triangular, el flujo a lo largo de una lámina plana y flujos en chorros. Los tres prime
ros fueron considerados para flujo laminar en 32.3, problema 38.2, y en 54.4.
Tubos circulares
Para el flujo laminar estacionario totalmente desarrollado en un tubo circular de radio
R sabemos que la distribución de velocidad y la velocidad media están dadas por
2
y
(vz)
---
-
m6x
1
(Re < 2100)
2
y que la caída de presión y la velocidad de fIujo másico w están relacionadas linealmente:
Por otra parte, para el flujo turbulento la velocidad fluctúa caóticamente con el tiempo en cada uno de los puntos del tubo. Podemos medir una "velocidad con ajuste
de tiempo" en cada punto con un tubo d e Pitot, por ejemplo. Este tipo de instrumento no es sensible a fluctuaciones rápidas de velocidad, sino que detecta la velocidad
promediada sobre varios segundos. La velocidad con ajuste de tiempo (que se define en la siguiente sección) tiene una componente z representada por E,, y su forma
y valor medio están dados de manera muy aproximada por1
117
máx
Y
)z'(
-
(lo4 < iXe < lo5)
7-vz,máx
5
(5.1-4, 5)
Esta expresión a la potencia $- para la distribución de velocidad es demasiado tosca
para proporcionar una derivada realista de la velocidad en la pared. En la figura
5.1-1 se comparan los perfiles de velocidad laminar y turbulento.
Para el mismo intervalo de números de Reynolds, la velocidad de flujo másico
y la caída de presión dejan de ser proporcionales pero siguen estando relacionadas
de manera aproximada por
La mayor dependencia de la caída de presión respecto a la velocidad de flujo rnásico para flujo turbulento se debe a que es necesario suministrar más energía para
mantener el movimiento violento de remolino en el fluido.
La transición laminar-turbulento en tubos circulares suele ocurrir a un número
crítico de Reynolds aproximado de 2100, aunque este número puede ser más alto si se
'
H. Schiichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), capítulo XX (flujo en un
tubo), capítulos VI1 y XXI (flujo en una lámina plana), capítulos IX y XXlV (flujos en chorro).
176 CapítuIo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Centro
pared de] tubo
1.0
Figura 5.1-1 Comparaciíin cuantitativa de
los perfiles de veIocidad laminar y
turbulento. Para una descripción más
detallada de la distribución de velocidad
turbulenta cerca de la pared, véase la figura
tiene sumo cuidado en eliminar las vibraciones en el s i ~ t e m aLa
. ~ transición de flujo laminar a flujo turbulento puede demostrarse con el experimento simple realizado originalmente por Reynolds. Se instala un tubo largo transparente equipado con
un dispositivo para inyectar una pequeña cantidad de colorante en la corriente a lo
largo del eje del tubo. Cuando el flujo es laminar, el colorante se desplaza corriente
abajo como un filamento coherente recto. Al contrario, para flujo turbulento el colorante se dispersa rápidamente sobre toda la sección transversal, de manera semejante
al movimiento de partículas que se muestra en la figura 2.0-1, debido al movimiento
de remolino (difusión turbulenta).
Tubos no circulares
Para el flujo laminar desarrollado en el ducto triangular que se muestra en la figura
3B.2(b), las partículas del fluido se mueven de manera xectilínea en la dirección z,
paralelas a las paredes del ducto. A diíerencia de lo anterior, en el flujo turbulento,
al flujo con ajuste de tiempo en la dirección z (elflujo primario) se superpone un movimiento con ajuste de tiempo en el plano xy (elflujo secundario). El flujo secundario
Figura 5.1-2 Diagrama que muestra los patrones de
flujo secundario para flujo turbulento en un tubo de
sección transversal triangular. [H. Schlichting,
McGraw-Hill, Nueva York, 7a.
0. Reynolds, Phrl Trans. Roy Soc., 174, Parte 111,935-982 (1883) Vease también A.A. Draad y EM.T.
Nteuwstadt, Fluid Mech ,361,297-308 (1998).
1
a
55.1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento
177
es mucho más débil que el flujo primario y se manifiesta como un conjunto de seis
vórtices dispuestos en un patrón simétrico alrededor del eje del ducto (véase la figura 5.1-2). Otros tubos no circulares también presentan flujos secundarios.
Lámina plana
En 54.4 encontramos que para flujo laminar alrededor de una lámina plana, mojada
en ambos lados, la solución de las ecuaciones de las condiciones límite proporcion6
la expresión de la fuerza de resistencia
F = 1.328 V
p p ~ (laminar)
~ 2 ~ O
< ReL < 5 X 105
(5.1-7)
donde ReL = L v d / p es el número de Reynolds para una lámina de longitud L; el
ancho de Ia lámina es W y la velocidad de aproximación del fluido es u,.
Por otra parte, para flujo turbulento la dependencia respecto a las propiedades
geométricas y físicas es bastante diferente:'
F = 0 . 7 4 v p 4 1 r ~ 4 ~ 5 v ~(turbulento) (5 X lo5 .
;ReL < lo7 )
(5.1-8)
Así, la fuerza es proporcional a la potencia $ de la velocidad de aproximación para
flujo laminar, pero a la potenciaPpara flujo turbulento. La mayor dependencia respecto a la velocidad de aproximación refleja la energía adicional necesaria para
mantener los movimientos irreguíares de remolino en el fluido.
i1
.Chorros circulares y planos
1:
r
9
I?
1(
A continuación analizaremos el comportamiento de chorros que surgen de una pared plana, que se considera el pIano xy (véase la figura 5.6-1). El fluido sale de un
tubo circular o de una ranura e s w h a larga, y fluye hacia un gran cuerpo del mismo fluido. Pueden hacerse varias observaciones sobre los chorros: el ancho del chom, la velocidad del chorro en la línea central y la velocidad de flujo másico a través
de una sección transversal paralela al. plano xy. Todas estas propiedades pueden medirse como funciones de la distancia z a la pared. En la tabla 5.1-1 se presenta un resumen de las propiedades de los chorros circular y bidimensional para flujo laminar
y turbulento.' Es curioso que, para el chorro circular, el ancho del chorro, la velocidad en la línea central y la velocidad de flujomasico tienen exactamente la misma
dependencia respecto a z tanto en flujo laminar como en flujo turbulento. Volveremos a esta cuestión más tarde, en 55.6.
Tabla 5.1-1 Dependencia de los parámetros del chorro respecto a la distancia z a la pared
Hujo laminar
Chorrocircular
Chorro piano
Ancho
del
chorro
Velocidad
en la línea
central
z
2-1
z2/3
z - ~13
Flujo turbulento
Velocidad
de flujo
másico
Ancho
del
chorro
Velocidad
en la línea
central
z
z
2-1
z1/3
z
.-1/2
Velocidad
de flujo
másico
z
,1/2
178 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Los ejemplos anteriores deben hacer evidente que los rasgos generales de los
flujos laminar y turbulento son bastante diferentes. Uno de los muchos desafíos en
teoría de la turbulencia es intentar explicar estas diferencias.
55.2 ECUACIONES DE V A R I A C I ~ NCON AJUSTE
DE TIEMPO PARA FLUIDOS INCOMPRESIBLES
En primer lugar se considera un flujo turbulento en un tubo al que se le impone un
gradiente de presión constante. Si en un punto del fluido se observa una componen.
te de la velocidad como una función del tiempo, se encuentra que está fluctuando de
manera caótica como se muestra en la figura 5.2-la. Las fluctuaciones son d e ~ v i a c i ~
nes irregulares respecto a un valor medio. La veiocidad real puede considerarse corno
la suma del valor medio (designado por una sobrebarra) y la fluctuación (designada
por una prima). Por ejemplo, para la componente z de velocidad se escribe
que algunas veces se denomina descomposición de Reynolds. El valor medio se obtiene a partir de v,(t) al sacar un promedio en el tiempo sobre un gran número de fluctuaciones
donde el periodo to es lo suficientemente largo para proporcionar una función promediada ajustada. Para el sistema en cuestión, la cantidad V,, que denominamosvelocidad con ajuste de tiempo, es independiente del tiempo, aunque por supuesto
depende de la posición. Cuando la velocidad con ajuste de tiempo no depende del
tiempo, hablamos de un flujo turbulento impulsado de manera estable. Los mismos comentarios que se han hecho para la velocidad también pueden hacerse para la pre
sión.
A continuación consideraremos el flujo turbulento en un tubo con un gradiente
de presión dependiente del tiempo. Para este flujo es posible definir cantidades con
ajuste de tiempo como antes, aunque debe entenderse que el periodo t, debe ser pequeño respecto a los cambios en el gradiente de presión, pero grande respecto a los
Tiempo t
Tiempo t
<
Figura 5.2-1 Diagrama que muestra la componente v, de la velocidad, así como su valor con ajuste de tiempo y su
fluctuación U: en flu~oturbulento: a) para "flujo turbuIento impulsado de manera estable" donde Üz no depende del tiempo,
y b) para una situación en la cual Q depende del tiempo
$5.2
Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles 179
periodos de las fluctuaciones. Para esta situación, la velocidad con ajuste de tiempo
y la veIocidad real se ilustran en la figura 5.2-lb.'
Según la definición en la ecuación 5.2-2, es fácil comprobar que las siguientes relaciones son verdaderas:
- puede conLa cantidad
vi2 / (v,)
no será, sin embargo, cero, y de hecho la razón .L/siderarse como una medida de La magnitud de las fluctuaciones turbulentas. Esta
cantidad, conocida como intensidad de la turbulencia, puede tener valores que varian
de 1 a 10% en la parte principal de una corriente turbulenta y valores de 25% o mayores en la vecindad de una pared sólida. Por tanto, es necesario recalcar que no estamos tratando necesariamente con perturbaciones ligeras; algunas veces las
fluctuaciones son en efecto violentas y grandes.
v'también son diferentes de cero. La razón de esto es que
Cantidades como v'
X Y
los movimientos locales en las direcciones x y y están correlacionados. En otras palabras, las fluctuaciones en la dirección x no son independientes de las fluctuaciones
en la dirección y. En breve veremos que estos vaIores con ajuste de tiempo de los
productos de propiedades fluctuantes juegan un papel importante en la transferencia de cantidad de movimiento turbulenta. Después encontraremos correlaciones
semejantes que se presentan en transporte turbulento de calor y de materia.
Una vez que se han definido las cantidades con ajuste de tiempo y analizado algunas de las propiedades de las cantidades fluctuantes, ahora podemos pasar al
ajuste de tiempo de las ecuaciones de variación. A fin de que el desarrollo sea lo más
sencillo posible, aquí 610 consideraremos las ecuaciones para un fluido de densidad
y viscosidad constantes. Empezamos por escribir las ecuaciones de continuidad y
movimiento con v sustifxida por su equivalente V + v' y p por su equivalente + p'.
Entonces la ecuación de continuidad es (V v) = O, y escribimos la componente x de
la ecuaci6n de movimiento, ecuación 3.5-6, en la forma d / d t usando la ecuación 3.5-5:
+
Las componentes y y z de Ia ecuación de movimiento pueden escribirse de manera
semejante. A continuación realizamos el ajuste de tiempo de estas ecuaciones, usando las relaciones dadas en la ecuación 5.2-3. Así se obtiene
'Tambien es posible definir las cantidades con "sobrebarra"en términos de un "promedioen conjunto".Para
casi todos los fines, los resultados son equivalentes o se supone que lo son. Vease, por ejemplo, A.A. Townseiid, The
Structure of Turbulcnt Shear Flow, Cambridge University Press, 2a. edición (1976). Respecto a la última de las fórmulas
proporcionadas en la ecuación 5.2-3,véase también P.K. Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, Nueva York (19PO),
p. 421.
180 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
con relaciones semejantes para las componentes y y z de la ecuación de movimiento. Así, éstas son las ecuaciones de confinuidad y movimiento con ajuste de tiempo para
un fluido con densidad y viscosidad constantes. Al compararlas con las ecuaciones
correspondientes en la ecuación 3.1-5 y la ecuación 3.5-6 (esta última escrita en términos de d / d f ) , se concluye que
a. La ecuación de continuidad es la misma que ya se tenía, excepto que ahora v
ha sido reemplazada por V.
b. Ahora la ecuación de movimiento tiene a V y j7 donde previamente se tenían
v y p. Además, aparecen los términos subrayados con línea discontinua, que
describen el transporte de cantidad de movimiento asociado con las fluctuaciones turbulentas.
Es posible volver a escribir la ecuación 5.2-7 introduciendo el tensor de densidad de
flujo de cantidad de movimiento turbulento S') con componentes
$f)
XX
= pr,fU'
X x
F)= PV'~'
X Y
XY
= p < ~ : y así sucesivamente
(5.2-8)
Estas cantidades suelen denominarse como los esfuerzos de Reynolds. También es posible introducir un símbolo
para la densidad de flujo de cantidad de movimiento viscoso con ajuste de tiempo. Las componentes de este tensor son las mismas que
las expresiones dadas en los apéndices B.l a 8.3, excepto que las componentes de la
velocidad con ajuste de tiempo aparecen en ellas:
-
~
X
- 2
-
X-
Y&) = -P
av,
(2+ dy)
y así sucesivamente
(5.2-9)
Esto permite entonces escribir las ecuaciones de variación en forma vector-tensor
como
La ecuación 5.2-11 es una ecuación adicional que se obtuvo restando la ecuación
5.2-10 de la ecuación de continuidad original.
El resultado más importante de esta sección es que la ecuación de movimiento
en términos del tensor de esfuerzo, que se resume en la tabla del apéndice B.5, puede adaptarse para flujo turbulento con ajuste de tiempo cambiando todas las vi por
vi y p por P, así como 7'1 por 7'1. = Y$)+ ?$)en cualquiera de los sistemas de coordenadas dados.
Ahora hemos llegado al escollo más importante en la teoría de Ia turbulencia,
Los esfuerzos de Reynolds 7y antes mencionados no están relacionados con los gradientes de velocidad de una forma simple, como sucede con los esfuerzos viscosos
con ajuste de tiempo Y$') en la ecuación 5.2-9. En vez de ello, son funciones compli-
95.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
181
cadas de la posición y la intensidad de la turbulencia. Para resolver problemas de
flujo es necesario contar con información experimental sobre los esfuerzos de ReynoIds o bien recurrir a alguna expresión empírica. En 35.4 se analizarán algunos de
los empirismos disponibles.
En realidad también es posible obtener ecuaciones de variación para los esfuerzos de Reynolds (véase el problema 5D.1). Sin embargo, estas ecuaciones contienen
cantidades como vivpi. De manera semejante, las ecuaciones de variación para v!v!v1
' 1 k
contienen la siguiente correlación de orden superior V ' ~ V ' ~ V ~ ~yVasí
' ~ ,sucesivamente.Es
decir, se tiene una jerarquía sin fin de ecuaciones que es necesario resolver. Para resolver problemas de flujo debe "truncarse" esta jerarquía mediante la introducción
de empirismos. Si usamos éstos para los esfuerzos de Reynolds, entonces tenemos
una "teoría de primer orden". Si se introducen empirismos para vivpi, entonces se
tiene una "teoría de segundo orden", y así sucesivamente. El problema de introducir empirismos para obtener un conjunto cerrado de ecuaciones que pueden resolverse para las distribuciones de velocidad y presión se denomina "problema de
taponamiento". EI análisis de 55.4 trata sobre el taponamiento en el primer orden.
En el segundo orden, en dinámica de fluidos computacional se ha estudiado a fondo y usado ampliamente el "empirismo k-~''.~
g5.3
PERFIL DE VELOCIDAD CON AJUSTE DE TIEMPO CERCA DE UNA PARED
Antes de analizar las diversas expresiones empíricas usadas para los esfuerzos de
Reynolds, presentamos varios desarroIlos que no dependen de ningún empirismo.
Aquí nos ocupamos de la distribución de velocidad con ajuste de tiempo, totalmente desarrollada, en la vecindad de una pared. Analizamos varios resultados: un desarrollo en serie de Taylor de la velocidad cerca de la pared, y las distribuciones de
velocidad logarítmica universal y de la ley de potencias, poco más lejos de la pared.
El flujo cerca de una superficie plana se representa en la figura 5.3-1. Conviene
distinguir cuatro regiones de flujo:
la subcapa viscosa muy cerca de la pared, donde la viscosidad juega un papel
clave,
la capa de transición (bufier), donde ocurre la transición entre las subcapas viscosa e inercial,
Figura 5.3-1 Regiones de flujo para
describir flujo turbulento cerca de una
pared:O subcapa viscosa,@ subcapa
de transición,@subcapa inercia], @
corriente turbulenta principal.
J.L. Lumley, Adv. Appl. Mech.,18,123-176(1978); C.G.Speziale, Ann. R m .Fluid Mech., 23, 107-157; H.
Schlichting y K. Gersten, Boundary-Lnyer Theory, Springer, Beriín, 8a. edición (2000).pp. 560563
182 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
la subcapa inercial al inicio de la corriente turbulenta principal, donde la viscosidad juega un papel menor, y
Ia corrienfe turbulenta principal, donde la distribución de velocidad con ajuste
de tiempo es casi plana y la viscosidad carece de importancia.
Es necesario recalcar que esta clasificación en regiones es algo arbitraria.
Los perfiles de velocidad logarítmica y de la ley de potencias
en la subcapa inercia11m4
Sea T,, el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo que actúa sobre la pared en y = O
(que es el mismo que -7yxly,0). Entonces el esfuerzo cortante en la subcapa inercial no
diferirá mucho del valor rO.Ahora preguntamos: ¿de qué cantidades depende el
gradiente de velocidad con ajuste de tiempo dü,/dy? No debe depender de la viscosidad, ya que, fuera de la capa de transición, el transporte de cantidad de movimiento debe depender primeramente de las fluctuaciones de la velocidad (que de
manera algo informal se denominan "movimiento de remolino"). Puede depender
de la densidad p, del esfuerzo cortante T~ en la pared, y de la distancia y a la pared.
La única combinación de estas tres cantidades que tiene las dimensiones de un gradiente de velocidad es
Por tanto, escribimos
donde u es una constante adimensional arbitraria, que debe determinarse experimentalmente. La cantidad T / t~ene
.
las dimensiones de la velocidad; se denomina velocidad &fricción y se le asigna el símbolo v,. Al integrar la ecuación 5.3-1 se obtiene
donde A ' es una constante de integración. Para usar agrupamientos adimensionales,
volvemos a escribir la ecuación 5.3-2 como
donde A es una constante simplemente relacionada con A'; la viscosidad cinemática
v se incluyó a fin de construir el razonamiento adirnensional del logaritmo. Experimentalmente se ha determinado que valores razonables de las constantes2 son
K = 0.4 y A = 5.5, con lo que se obtiene
' L. Landau y E.M.Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon,Oxford, 2a. edicidn (1987), pp. 172-178.
H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Layer Theoy, Springer-Verlag, Berlín, 8a. edicidn (2000). 317.2.3.
T. von Kármán, Nachr. Ces. WjSs. Gottingcn, Math-Phys. Klasse (19301,pp. 58-76; L. Prandtl, Ergtb. Aemdyn.
Vcrsuch., Series 4, Gotinga (1932).
G.I. Barenblatt y A.J.Chorin, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 93,6749-6752 (19%) y SlAM Reu., 40,265-291 (1981);G.1.
Barenblatt, A.J. Chorin y V.M.Prostokishin, Pmc Nat. Acad. Cci. USA, 94,773-776 (1997). Véase también G.I. Barenblatt,
Scaling, Self-Similarify, ond In termediate As,ppfofics,Cambridge University Press (1992),§10.2.
55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
183
Esto se denomina distribución de velocidad logarf'tmica universal de von KármdnPra~zdtl;~
se propone que sólo es valida en la subcapa inercial. Después veremos (en
la figura 5.5-3) que esta función describe moderadamente bien los datos experimentales algo más allá de la subcapa inercial.
Si la ecuación 5.3-1 fuese correcta, entonces en efecto las constantes K y h serían
"constantes universales" aplicables a cualquier número de Reynolds. Sin embargo,
en la literatura pueden encontrarse valores de K en el intervalo de 0.40 a 0.44 y valores de h en el intervalo de 5.0 a 6.3, dependiendo del intervalo de números de Reynolds. Esto sugiere que el miembro derecho de la ecuación 5.3-1 debe multiplicarse
por alguna función del número de Reynolds y que y puede elevarse a alguna potencia que implique al número de Reynolds. Ce han avanzado razonamientos teóricos4
en el sentido de que la ecuación 5.3-1 debe sustituirse por
+
donde Bo = \/3;2+ = y P , = +.Cuando la ecuación 5.3-5 se integra respecto a y,
se obtiene la distribucibn de velocidad universal de Barenblatt-Chonn:
-
)
-
-
-
h=(z
1
( d + ~ ~ n L
5
yv*
3/(2 1n Re)
La ecuación 5.3-6 describe mejor las regiones@ y @ de la figura 5.3-1 que la ecuación 5.34.4 La ecuación 5.3-13 describe mejor la región 0 .
Desarrollo en serie de Taylor en Ia subcapa viscosa
Empezamos por escribir una serie de Taylor para E, como una función de y, así
Para evaluar los términos de la serie, necesitamos la expresión para el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo en Ia vecindad de una pared. Para el caso especial del ftujo impulsado de manera estacionaria en una rendija de espesor 2B, el esfuerzo
cortante será de la forma FYx = Y X + Y X = -%[l- (y/B)I. Luego, a partir de las ecuaciones 5.2-8 y 5.2-9 se tiene
Ahora analizamos uno por uno los términos que aparecen en Ia ecuación 5.3-7:"
i) El primer término es cero por la condición sin deslizamiento.
ii) El coeficiente del segundo término puede obtenerse a partir de la ecuación
5.3-8, reconociendo que ambas u
: y vi son cero en la pared, de modo que
---
~p
~p
A.A. Townsend, The Structure of Tirrbitlent Shror Flow, Cambridge University Precs, 2a. edición (19761, p. 163.
184
Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
iii) El coeficiente del tercer término implica la segunda derivada, que puede ob.
tenerse al diferenciar la ecuación 5.3-8 respecto a y y luego haciendo y = O, como si+
guet
ya que ambas vi y vi son cero en la pared.
iv) El coeficiente del cuarto término implica la tercera derivada, que puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-8, y ésta es
Aquí se ha usado la ecuación 5.2-11.
Parece no haber razón para igualar a cero el siguiente coeficiente, de modo que
encontramos que la serie de Taylor, en cantidades adimensionales, tiene la forma
El coeficiente C se ha obtenido experimentalrnente,6 y en consecuencia se tiene el resultado final:
Resulta que el término y3 entre corchetes se volverá muy importante en relación con
correlaciones de transmisión de calor y transferencia de materia turbulentas en los
capítulos 13,14,21 y 22.
Para la región 5 < yv+/v < 30 no se cuenta con deducciones analíticas simples,
por lo que algunas veces se usan ajustes de curvas empíricos. Uno de éstos se muestra en la figura 5.5-3 para tubos circulares.
55.4
EXPRESIONES EMP~RICASPARA LA DENSIDAD DE FLUJO
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO TURBULENTO
Ahora volvemos al problema de usar las ecuaciones de variación con ajuste de tiempo en las ecuaciones 5.2-11 y 5.2-12 para obtener las distribuciones de velocidad Y
presíón con ajuste de tiempo. Como se indicó en la sección previa, puede obtenerse
6 CS. Lin, R.W. Moulton y G.L. Putnam. Inri. Eng. C h m . , 45,636-640(1953);el coeficiente numérico se determinb
a partir de experimentos de transferencia de materia en tubos circulares. E.V. Murphree, Ind. Eng. Chcm., 24.726736
(1932), fue quien percibió por primera vez la importancia del término y4 en transmisión de calor y transferencia de
materia. Eger Vaughn Murphree (1898-1962) fue capitán del equipo de futbol en la Universidad de Kentucky en 1920
y llegó a ser presidente de la Standard Oil Development Company.
55.4
Expresiones empíricas para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento 185
alguna información sobre la distribución de velocidad sin contar con una expresión
específica para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento W .Sin
embargo, entre los ingenieros ha sido práctica común usar varios ernpirismos para
$t) que implican gradientes de velocidad. En seguida mencionaremos algunos de
ellos, aunque pueden encontrarse muchos más en la literatura sobre turbulencia.
viscosidad de remolino de Boussinesq
Por analogía con la ley de viscosidad de Newton, ecuación 1.1-1, para un flujo cortante turbulento1 puede escribirse
donde w(') es la viscosidad turbulenta (a menudo denominada viscosidad de remolino,
cuyo símbolo es E). Como puede verse a partir de la tabla 5.1-1, por lo menos para
uno de los flujos proporcionados ahí, el chorro circular, odría esperarse que la
ecuación 5.4-1 fuese útil. Sin embargo, por regla general p es una función robusta
de la posición y de la intensidad de la turbulencia. De hecho, para algunos5istemas2
p(t)puede ser incluso negativa en algunas regiones. Cabe recalcar que la viscosidad
p es una propiedad del fluido, mientras que la viscosidad de remolino p(t)es ante todo una propiedad del pujo.
Para dos tipos de flujos turbulentos (es decir, flujos a lo largo de superficies y
flujos en chorros y estelas) existen expresiones especiales para p(t):
(f
i) Turbulencia en la pared:
Esta expresión, que puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-13, es válida sólo
muy cerca de la pared. Es de suma importancia en la teoría de transmisión turbu-.
Ienta de calor y transferencia turbulenta de materia en interfases sólido-fluido."
ii) Turbulencia libre:
P(~'= ~ ~ ~ ' @ ~-, uz,rnín)
m ~ x
(5.4-3)
donde K~ es un coeficiente adimensionai que debe determinarse experimentalmente, b es el ancho de la zona de mezcla a una distancia z corriente abajo, y la cantidad
entre paréntesis representa la máxima diferencia en la componente z de las velocidades con ajuste de tiempo a esa distancia z. Prandt14 encontró que la ecuación
5.4-3 es un empirismo útil para chorros y esteIas.
La longitud de mezcla de Prandtl
Suponiendo que en un fluido los remolinos se mueven de manera bastante parecida a como las moléculas se desplazan en un gas a baja densidad (lo que no es una
J.Boussinesq, M é m . prés. par div.sawnts u 1 'arad. sci. de Paris, 23, #1,1-680 (1877). 24, #2,1-64 (1877).Joseph
Valentin Boussinesq (1842-19291, profesor universitario en Lille, escribió un tratadu de dos volúmenes sobre calor, y
es famoso par su "aproximaciónde Boussinesq" y el concepto de "viscosidad de remolino".
J.O.Hinze, Appl. Sci. Res., 22, 163-175(19701; V. Kruka y S. Eskinazi,]. Fluid. Mech., 20, 555-579 (1964).
C.S. Lin,R.W. Moulton y G.L. Putnam, Ind. Eng. Chem., 45,636-640 (1953).
L. Prandtl, Zeits. f angew. Mafh u . Mech., 22,241-243 (1942).
'
186 Capitulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
buena analogía), prandt15 desarrolló una expresión para la transferencia de cantidad
de movimiento en un fluido turbulento. La "longitud de mezcla" 1 desempeña apm
ximadamente el mismo papel que la trayectoria libre media en la teoría cinética
(véase 51.4). Este tipo de razonamiento condujo a Prandtl a la siguiente relación:
Si la longitud de mezcla fuese una constante universal, entonces la ecuación 5.4-4 sería bastante atractiva, pero de hecho se ha encontrado que 1 es una función de la p e
sición. Prandtl propuso las siguientes expresiones para 1:
i) Turbulencia en la pared:
I = ~ , y (y = distancia a la pared)
(5.45)
ii) Turbulencia libre:
1 = ~~b
(5.4-6)
(b = ancho de la zona de mezcla)
donde K~ y K~ son constantes. ~ a ~ lobtuvo
o r ~ un resultado semejante a la ecuación
5.4-4 por medio de su "teoría de transporte de la vorticidad" algunos años antes de
Ia proposición de Prandtl.
La ecuación de van Driest modificada
Se han hecho numerosos intentos por inventar expresiones empíricas que puedan
describir todo el esfuerzo cortante turbulento desde la pared hasta la corriente turbulenta principal. A continuación proporcionaremos una modificación de la ecuación de van ~ r i e s t Se
. ~ trata de una fórmula para la longitud de mezcla de la
ecuación 5.4-4:
Se ha encontrado que esta relación es útil para predecir velocidades de transmisión
de calor y transferencia de materia en flujo en tubos.
En las dos secciones que siguen y en varios problemas al final del capítulo, ilustraremos el uso de los empirismos antes mencionados. Debe recordarse que estas
expresiones para los esfuerzos de Reynolds son algo más que apoyos que pueden
usarse para la representación de datos experimentales o para resolver probIemas
que se ubican en clases más bien especiales.
Obtener una expresión para 7tt)=
YX
Desarrollo de la
expresión de esfuerzo de
Reynolds en la vecindad
de la pared
pa
como
una función de y en la vecindad de la pared.
SOLUCIÓN
a) Comenzamos por hacer un desarrollo en serie de Taylor de las tres componentes de v':
5L.Prandtl, Zeits. f. angew. Mafh. u . Mech., 5, 136-139 (1925).
G.I. Tayior, Phil. ?hrns., A215,l-26 (1915), y Proc. Roy. Soc. (Londres), A135,685-701 (1932).
E.R. van Driest, J. A m . Sci.,23, 1007-1011 y 1036 (1956). La ecuación original de van Driest no contiene el
divisor de raíz cuadrada. Esta modificación la hicieron 0 . T Hanna, O.C. Sandail y P.R. Mazet, AICkE Journal, 27,692697 (1981), de modo que la viscosidad turbulenta sería proporcional a cuando y O, en concordancia con la
ecuación 5.4-2.
9
35.5
Fiujo turbulento en ductos
187
El primer término en las ecuaciones 5.4-8 y 5.4-10 debe ser cero debido a la condición sin deslizamiento; en ausencia de transferencia de materia el primer término en la ecuación 5.4-9 es
cero. Luego pcdernos escribir la ecuación 5.411 para y = 0,
Los términos primero y tercero en esta ecuación son cero debido a la condición sin deslizamiento. En consecuencia, debe concluirse que también el segundo término es cero. Por tanto,
todos los términos subrayadas con línea discontinua en las ecuaciones 5.4-8 a 5.4-10 son cero, y puede concluirse que
Esto sugiere -aunque no demuestra8- que el término principal en el esfuerzo de Reynolds
cerca de una pared debe ser proporcional a 9.Sin embargo,estudios a fondo de velocidades
de transferencia de materia en canales cerrados9 han establecido que A # 0.
b) Para el flujo entre láminas paralelas, podemos utilizar la expresión encontrada en la ecua-
ción 5.3-12 para el perfil de velocidad con ajuste de tiempo a fin de obtener la densidad de
flujo de cantidad de movimiento turbulento:
~ . concuerda con la ecuación 5.412.
donde A = ~ c ( v , / v )Esto
55.5
FLUJO TURBULENTO EN DUCTOS
Empezamos esta sección con un breve análisis de Ias mediciones experimentales para flujo turbulento e n ductos rectangulares, con la intención de proporcionar algunas impresiones sobre los esfuerzos de Reynolds. En las figuras 5.5-1 y 5.5-2 se
muestran algunas mediciones experimentales de las cantidades con ajuste de tiemy
a para el flujo en Ia dirección z en un ducto rectanguIar,
po
F,
Reichardt, 2eits.f. angm. Math. u. Mech., 31,208-219 (1951). VPase tambibn J.0.Hinze, Turbulencc,McGrawHill, Nueva York, 2a. edición (1975),pp. 620-621.
R.H. Notter y C.A. Sleicher, Chem. Eng. Sci.,26,161-171(1971);O.C.Sandall y O.T. Harma, AlChE Journnl, 25,
190-192(1979);D.W.Hubbard y E.N. Lightfoot, Ind. Eng. C h .Fur&mmtak, 5,370-379(1966).
188 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Figura 5.5-1 Mediciones de H. Reichardt
[Nafumissenschaffen,404 (1938), Zeits. f.
angao. Mafh. u. Mech., 13,177-180 (1933), 18,
358-361 (1938)l para el flujo turbulento del
aire en un ducto rectangular con zZ,máx
=
Figura 5.5-2 Mediciones de Reichardt
(véase la figura 5.5-1)para la cantidad
en un ducto rectangular. Nótese que esta
cantidad difiere de 7,,/p sólo cerca de la
pared del ducto.
vx
se muestran las cantidades
es aproximadamenNótese e n la figura 5.5-1 que bastante cerca d e la pared,
te 13%d e la velocidad d e la línea central con ajuste d e tiempo üz,n,á,,mientras que
*es
alrededor de 5%.Esto significa que, cerca d e la pared, las fluctuaciones de
velocidad en la dirección del flujo son apreciablemente mayores que las correspondientes en la dirección transversal. Cerca del centro del ducto, las dos amplitudes de
fluctuación son casi iguales y se dice que ahí la turbulencia es casi isotrópica.
En la figura 5.5-2, el esfuerzo cortante turbulento 7:; =
se compara con el
esfuerzo cortante total TXz= 722 + 72 a través del ducto. Resulta evidente que la contribución turbulenta es la más importante sobre la mayor parte d e la sección transversal y que la contribución viscosa es importante sólo en la vecindad de la pared.
Este hecho se ilustra aún más e n el ejemplo 5.5-3. En tubos d e sección transversal
circular se observa un comportamiento semejante.
pa
Estimación de la
velocidad media en un
tubo circular
Aplicar los resuItados de s5.3 a fin de obtener la velocidad media para flujo turbulento en un
tubo circular.
SOLUCION
Podemos utilizar la distribución de velocidad indicada en el pie de la figura 5.5-3. Para obte
ner la velocidad media en el tubo, es necesario integrar sobre cuatro regiones: la subcapa viscosa (y* < 5), la zona de transición 5 < y+ < 30, la subcapa inercia1 y la corriente turbulenta
principal, cuya forma es aproximadamente parabólica. Ciertamente es posible hacer esto, pe-
55.5 Flujo turbulento en ductoc 189
Figura 5.13 Distribución de velocidad adimensional para flujo turbulento en tubos circulares, presentada como u+ = Ü,/v.
y+ = yv.p/p, donde v. = V r o / py 70 es eI esfuerzo cortante de pared. Las curvas sólidas son las sugeridas por ~ i n ;
Moulton y Putnarn [Ind. Eng. Chem., 45,636-&10 (1953)J:
b s datos experimentales son de J. Nikuradse para agua (O) [VDiForcchungsheft,H356 (1932)l; Reichardt y Motzfeld para aire
(a);Reichardt y Schuh para aire (A) [H. Reichardt, NACA Tecb. Mem. 1047 (1943)l; y R.R. Rothfus, C.C. Monrad y V.E. Senecal
para aire (A) llnd. Eng. Chem., 42,2511-2520 (195011.
ro se ha encontrado que al integrar el perfil logarítmico de la ecuación 5.3-4(o el perfil de la
ley de potencias de la ecuación 5.3-6)sobre toda la sección transversal, se obtienen resultados
que tienen aproximadamente la forma correcta. Para el perfil logarítmico se obtiene
Si esto se compara con datos experimentales de velocidad de flujo contra caída d e presión, se
encuentra que es posible obtener una buena concordancia a1 cambiar 2.5 por 2.45 y 1.75 por
2.0.Este "artilugio" con las constantes quizá no sería necesario si la integración sobre la sección transversal se hubiese realizado usando la expresión local para la velocidad en las diversas capas. For otra parte, hay algo de ventaja en contar con una relación logarítmica simple
como la ecuación 5.5-1 para describir la caída de presión contra la velocidad de flujo.
De manera semejante, el perfil de la ley de potencias puede integrarse sobre toda la sección
transversal para obtener (véase la referencia 4 de 55.3)
donde cu = 3/(2 ln Re). Esta relación es útil sobre el intervalo 3.07 X lo3 < Re < 3.23
X
lo6.
190 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
~ J ~ ~ ~ $ ~ Demostrar
$ ; $ cómo
~ Flas ecuaciones
~
5.44 y 5.4-5 pueden usarse para describir flujo turbulento en
+
=
Aplicación de la
fórmula de longitud de
mezcla de Prandtl a
flujo turbulento en un
tubo circular
un tubo circular.
SOLUCIÓN
Para el flujo impulsado de manera estable en un tubo circular, la ecuación 5.2-12 proporciona
donde 7 ,= Y(:: + 72. Sobre casi todo el tubo la contribución viscosa es bastante pequeña; aquf
la despreciamos por completo. Así, al integrar la ecuación 5.5-3 se obtiene
donde T~ es el esfuerzo cortante de pared y y = R - r es la distancia desde la pared del tubo.
Según la teona de ia longitud de mezcla en la ecuación 5.4-4, con la expresión empírica
de la ecuación 5.4-5, para @ / d r negativa se tiene
Al sustituir esto en la ecuación 5.54 se obtiene una ecuación diferencial para la velocidad con
ajuste de tiempo. Si se sigue a Prandtl y se extrapola la subcapa inercia1 a la pared, entonces
en la ecuación 5.5-5 es correcto reemplazar 7: por 70. Una vez que se hace lo anterior, es posible integrar la ecuación 5.5-5 para obtener
v*
VZ = - In y
+ constante
(5.5-6)
Kl
Por tanto, se obtiene un perfil logarítmico y entonces pueden usarse 10s resultados del ejemplo 5.5-1; es decir, la ecuación 5.5-6 puede aplicarse como una aproximación bastante burda
sobre la totalidad de la sección transversal del tubo.
Determinar la razón p(f)/Fen y = R / 2 para agua que circula a velocidad constante en un tubo largo, redondo, liso en las siguientes condiciones:
viscosidad y la
viscosidad de remolino
R = radio del tubo = 3 pulg = 7.62 cm
T~
p
v
= esfuerzo cortante
-
de pared = 2.36 X
Ibf/pulg2 = 0.163 Pa
densidad = 62.4 l ! ~ , / ~ i e s=~1000 kg/m3
=viscosidad cinemática = 1.1 x
pies2/s = 1.02 x
m2/s
La expresión para la densidad de flujo de cantidad de movimiento con ajuste de tiempo es
g5.6
Flujo turbulento en chorros
191
Este resultado puede resolverse para p ( ' ) / py el resultado puede expresarse en términos de
variables adimensionales:
donde y+ = yv,p/p y u+ = Ü,/v,. Cuando y = R/2, el valor de y+ es
Para este valor de y+, la distribución logarítmica en el pie de la figura 5.5-3 da
Al sustituir lo anterior en la ecuación 5.5-8 se obtiene
Este resultado recalca que, lejos de Ia pared del tubo, el transporte moIecuIar de cantidad de
movimiento es despreciable en comparación con el transporte de remolino.
$5.60 FLUJO TURBULENTO EN CHORROS
En la sección anterior analizamos el flujo en ductos, como tubos circulares; estos flujos son ejemplos d e turbulencia en la pared. Otra clase importante d e flujos turbulentos es la turbulencia libre, y los ejemplos más importantes de estos flujos s o n los
chorros y las estelas. La velocidad con ajuste de tiempo e n estos tipos d e flujos pued e describirse idóneamente usando la expresión de Prandtl para la viscosidad d e remolino dada e n la ecuación 5.4-3, o usando la teoría d e longitud d e mezcla d e
Prandtl con el empirismo proporcionado e n la ecuación 5.4-6. Ya que el primer método es más simple, lo usaremos e n e1 siguiente ejemplo ilustrativo.
'On
@justede
tiempo en
pared circula$-4
Un chorro de fluido emerge de un orificio circular hacia un depósito semiinfinito del mismo
fluido, como se muestra en la figura 5.6-1. En la misma figura se indica aproximadamente cómo se espera que sean los perfiles de la componente z de velocidad. Es de esperar que para
varios valores de r 10s perfiles sean semejantes en cuanto a forma, y que sólo difieran por un
factor de escala para distancia y velocidad. También podernos imaginar que a medida que el
'H . Schlichting, Boundury-hyer Thfoy, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), pp. 747-750.
A.A. Tomscnd, The Struclure of Turbulent Sheur Flm,Cambridge University Press, 2a. edición (19761, capítulo h
J.0.Hinze, Turbulence, McGraw-I-Iill, Nueva York, 2.3. edición (1975),capitulo 6.
S. Goldstein, Modern Developmmtc in Fluid Dy?~nmics,Oxford University Press (1938), y reimpresión dc Dorer
(1963, pp. 592-597.
'
192 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en fluio turbulento
rigura 5.6-1
Chorro circular que
sale de una pared
plana.
z)
Orificio circular ---,
chorro se mueve hacia afuera, crea un influjo radial neto que arrastra algo del fluido circundante. Se desea encontrar la distribución de velocidad con ajuste de tiempo en el chorro y
también la cantidad de fluido que cruza cada plano de z constante. Antes de trabajar en la solución, quizá convenga revisar la información sobre chorros que se proporciona en la tabla
5.1-1.
v,,,,
-
Para utilizar la ecuación 5.4-3 es necesario saber cómo b y
- v,,,~, varían con z para el
chorro circular. Sabemos que la velocidad de flujo de cantidad de movimiento J total en la dirección~es la misma para todos los valores de z. Suponemos que la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo es mucho mayor que la densidad d e flujo de cantidad de
movimiento viscoso. Esto permite postular que el ancho b del chorro depende de J, de la densidad p y de la viscosidad cinemática v del fiuido, así como d e la distancia z corriente abajo
que hay hasta la pared. La única combinación d e estas variables que tiene las dimensiones de
longitud es b U J Z / ~ $ , de modo que el ancho de1 chorro es proporcional a z.
A continuación postulamos que los perfiles de velocidad son "semejantes"; es decir,
U
',
-vz,máx
- f (8)
donde 4 =
r
-
b(z)
la cual parece una proposición admisible; aquí E,,
es la velocidad a lo largo de la Iínea central. Cuando esto se sustituye en la expresión para la velocidad de flujo de cantidad de movimiento en el chorro (despreciando la contribución de TIX)
se encuentra que
= 2npb2G:mhI~f2@[ = constante ~
~
b
~
i
7
~
,
~(5.63)
Debido a que J no depende de z y como b es proporcional a z, entonces ÜZrmgxdebe ser inversamente proporcional a z.
El término E,,
en la ecuacióii 5.4-3 ocurre
en el borde exterior del chorro y es igual a
cero. Por consiguiente, debido a que b a z y v,,i,
x z-l, a partir d e la ecuación 5.4-3 se encuentra que h([)es una constante. Por tanto, podemos usar las ecuaciones de movimiento para flujo laminar y reemplazar la viscosidad p por la viscosidad d e remolino p(t)o v por vi').
En el chorro, el movimiento principal es en la dirección z; es decir, /Er<< IüZI.Por tanto,
podemos usar una aproximación de capa limite (véase 54.4) para las ecuaciones de variacibn
con ajuste de tiempo y escribir
continuidad:
g5.6
Flujo turbulento en chorros
193
movimiento:
Estas ecuaciones deben resolverse con las siguientes condiciones límite:
La ÚItima condición límite se cumple automáticamente, en virtud de que ya se ha encontrado que Zz,max es inversamente proprcional a z. Ahora buscamos una solución de la ecuación
5.6-5 de la forma de la ecuación 5.6-1 con b = 2 .
Para no tener que trabajar con dos variables dependientes, introducimos la función de
coniente como se analizó en 54.2. Para flujo axialmente simétrico, la función de corriente se
define como sigue:
Esta definición asegura que la ecuación de continuidad en la ecuación 5.6-4 se cumple. Como
sabemos que 5, es z-1 x alguna función de 6, entonces a partir de la ecuación 5.6-9 se deduce que debe ser proporcional a z. Además, las dimensiones de $ deben ser las de (velocidad) X ( l o n g i t ~ d )y~por
, tanto la función de comente debe tener Ia forma
donde F es una función adimensional de 5 = r/z. A partir de las ecuaciones 5.6-9 y 5.6-10 se
obtiene entonces
Las dos primeras condiciones límite pueden volver a escribirse ahora como
Si F se expande en una serie de Taylor alrededor de 6 = 0,
-
entonces la primera condición límite da a = O, y la segunda da b d = O. Dentro de poco usaremos este resultado.
Al sustituir las expresiones para la velocidad de las ecuaciones 5.6-12 y 5.6-13 en la ecuación de movimiento en la ecuación 5.6-5, se obtiene entonces una ecuación diferencial de tercer orden para F,
Lo anterior puede integrarse para obtener
FF'
F'
-=p--+c,
4
4
(5.6-18)
194 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en ffujo turbulento
donde la constante de integración debe ser cero; esto puede verse usando la serie de Taylor
en la ecuación 5.616 junto con el hecho de que a, b y d, las tres, son cero.
Schlichting fue quien resolvió por primera vez la ecuación 5.6-la.5Primero se cambia la
variable independiente al hacer 6 = ln P. La ecuación diferencial de segundo orden que resulta s61o contiene a la variable dependiente y sus dos primeras derivadas. Ecuaciones de este
tipo pueden resolverse por métodos elementales. La primera integración da
Una vez más, conociendo el comportamiento de F cerca de 6 = O, concluimos que la segunda
constante de integración es cero. Así, la ecuación 5.6-19 es una ecuación diferencial de primer
orden de variables separables, que puede resolverse para obtener
donde Cg es la tercera constante de integración. Luego, al sustituir lo anterior en las ecuacie
nes 5.6-12 y 5.6-13 se obtiene
Una vez que la expresión anterior para E, se sustituye en la ecuación 5.6-2, se obtiene una expresión para la tercera constante de integración en términos de J:
Entonces, las tres últimas ecuaciones proporcionan los perfiles de velocidad con ajuste de
tiempo en términos de J, p y v").
Una cantidad mensurable en flujo de chorros es la posición radial correspondiente a una
velocidad axial igual a la mitad del valor en la línea central; esta cantidad se denomina se
miancho b1,2. Así, a partir de la ecuación 5.6-21 se obtiene
Resultados experimentales indican6 que bl,2 = 0.0848~.Cuando este valor se inserta en la
ecuación 5.6-24, se encuentra que C3 = 15.1. Usando este valor podemos obtener la viscosidad
turbulenta u(') como una función de J y p a partir de la ecuación 5.6-23.
En la figura 5.6-2 se observa una comparación entre el perfil de velocidad axial antes
mencionado y datos experimentales. También se muestra la curva calculada obtenida a partir de la teoría de longitud de mezcla de ~ r a n d t lParece
.~
que ambos métodos proporcionan
ajustes de curvas razonablemente buenos de los perfiles experimentales. El método de la vi^cosidad de remolino parece ser algo mejor en la vecindad del máximo, mientras que los
sultados de la longitud de mezcla son mejores en la parte exterior del chorro.
Una vez que se conocen los perfiles de velocidad, es posible obtener las líneas de comente. A partir de éstas, las cuales se muestran en la figura 5.6-3, puede verse cómo el chorro atrae
*
WH.
Schlichting,Zeits. f. angew. Math. u. Mech., 13,260-263 (1933).
H. Reichardt, VD1 Forschungsheft, 414, (1942).
'W.Toilmien, Zeits. f . n n g w . Math. u. Mcch., 6,468-478 (1926).
55.6 Flujo turbulento en chorros
195
5.6-2 Distribución de velocidad en un chorro circular en flujo turbulento [H. Schlichting, Boundq-LnyPr
Tkory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), figura 24.91. El cálcuIo de la viscosidad de remolino (curva
1) Y el cálculo de la longitud de mezcla de PrandB (curva 2) se comparan con las mediciones de H. Reichardt
[VDIForschungsheft, 414 (1942),2a. edición (1951)l. S. Corrsin ['Turbulence: Experimental Methods", en Handbuch
d g Physik, Vol. VIII/2, Springer, Berlín (19631 cita mediciones adicionales realizadas por otros.
$&a
fluido de la masa de fluido circundante. Por tanto, la masa del fluido arrastrada por el chorro aumenta con la distancia desde la fuente. Esta velocidad d e flujo másico es
Este resultado corresponde a u n elemento d e Ia tabla 5.1-1.
Los dos chorros bidirnensionales que salen d e una rendija delgada pueden analizarse de
manera semejante. Sin embargo, en ese problema la viscosidad turbulenta es una función d e la
posición.
Figura 5.6-3 Patrón de líneas de
corriente en un chorro circular en fIujo
turbulento [H. Scklichting, BoundaryLayer Theory, McGraw-Hill, Nueva York,
7a. edición (1979}, figura 24.101.
196 Capítulo 5
1
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
1. Comparar y contrastar los procedimientos para resolver problemas de flujo laminar y flujo
turbulento.
2.
¿Por qué no debe usarse la ecuación 5.4-1 para evaluar el gradiente de velocidad en el limite
dido?
3. ¿Quéda el perfil logarítmico de la ecuación 5.34 para la velocidad del fluido en la pared?
¿por qué esto no crea ningún problema en el ejemplo 5.5-1 cuando e! perfil logarímiico se in-
tegra sobre la sección transversal del tubo?
4. Analir la interpretaci6n física de cada término en la ecuación 5.2-12.
5. if or qué se usa el signo de valor absoluto en la ecuación 5.4-4? ¿Cómo se elimina éste en la
ecuacibn 5.55?
6. En el ejemplo 5.6-1, ¿cómo se sabe que el flujo de cantidad de movimiento a través de cual.
quier plano de z constante es una constante? ¿Puede imaginar el lector una modificación de]
problema del chorro en que ese no sea el caso?
7. Investigar en algunos volúmenes de Ann. Reus. Fluid Mech.
y resumir los tópicos que se en-
cuentren sobre flujo turbulento.
8. En la maci6n 5.3-1, ¿por qué se investiga la dependencia funcional del gradiente de velo&
dad en vez de la velocidad en si?
9. ¿Por qué la turbulencia constituye un tema tan difícil?
PROBLEMAS
5A.1 Caída de presión necesaria para la transición laminar-turbulento. Un fluido con viscosidad
18.3 cp y densidad 1.32 g/cm3 circula en un largo tubo horizontal de radio 1.05 pulg (2.67.
cm). ¿Para qué gradiente de presión el flujo se vuelve turbulento?
Respuesta: 26 psi/mi (1.1
X
lo5 Pa/ km)
5 k 2 Distribución de velocidad en flujo turbulento en un tubo. En un tramo largo de un tubo hd
rizontal recto de radio interior liso igual a 6.00 puIg circula agua a una temperatura de 68'4
El gradiente de presión a b largo de la iongihid del tubo es 1.O psi/mi.
i
a) Determinar el esfuerzo cortante de pared T~ en psi (lbf/pulg2) y en Fa.
b) Suponer que el flujo es turbulento y determinar las distancias radiales desde la pared del
t ~ b o a l a s q u e ~ ~=0.0,0.1,
/ Ü ~ , ~ ~0.2,0.4,0.7,0.85,1.0.
~
c) Graficarel perfil de velocidad completo, 5,/
UZrmix contra y = R - r.
d) ¿Está justificada la suposición de flujo turbulento?
i
e) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico?
5B.1 Velocidad media de flujo en flujo turbulento en un tubo.
a) Para el flujo turbulento en tubos circulares lisos, la función'
A=
-u
'Dz, máx
(l-i)""
' H. Schlichting, Eoundary-Layrr Theory, McGraw-HiU, Nueva York,7a. edición (1979).pp. 59&500.
1
1
4
(5~.1-d
3
Problemas 197
algunas veces es útil para fines d e ajuste de curvas: cerca de Re = 4 x lo3, n = 6; cerca de
Re = 1.1 x 205, n = 7; y cerca de Re = 3.2 X lo6, ti = 10,Demostrar que la razón de la velocidad media a la velocidad mlxirna es
y verificar el resultado en la ecuación 5.1-5.
b) Trazar e1 perfil logarítmico en la ecuacibn 5.3-4 como una funcibn de r cuando se aplica a
un tubo circular de radio R. Luego, demostrar cómo puede integrarse esta hincibn sobre la
sección transversal de1 tubo a fin de obtener la ecuación 5.5-1. Enumerar todas ¡as suposiciones que se hayan hecho para obtener este resultado.
58.2 Velocidad de flujo másico en un chorro circular turbulento.
a) Verificar que las distribuciones de velocidad en las ecuaciones 5.6-21 y 5.6-22 efectivamente satisfacen las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite.
b) Verificar que la ecuación 56-25 se concluye a partir de la ecuación 5.6-21.
5B.3
La expresión de viscosidad de remolino en la subcapa viscosa. Verificar que la ecuación
5.4-2 para la viscosidad de remolino proviene directamente de la expresión para la serie de
Taylor en la ecuación 5.3-13.
5C.Z
Chorro turbulento bidirnensional. Un chorro de fluido a l e de una ranura perpendicular al
plano xy y emetge en la dirección z hacia un medio semiinfinito del mismo fluido. El ancho
de la ranura en la dirección y es W. Seguir d patidn del ejemplo 5.6-1 para encontrar los perfiles de velocidad con ajuste de tiempo en el sistema.
a)
SupBnganse los perfiles semejantes
rVz/Er,máx = P.$)
con 6 = r / z
Demostrar que d.enunciado de la conservación de cantidad de movimiento lleva a concluir
que la velocidad en la línea central debe ser proporcional a z-'12.
b) Introducir una funci6n de corriente IJ tal que E, = - d + / d x y Ex = -+ d $ / d z . Demostrar que
el resultado en el inciso a) junto con consideraciones dimensionales llevan a la siguiente for-
ma para 9:
Aquí F(6) es una función de corriente adirnensional, que será determinada a partir de la ecuación de movimiento del fluido y J es el fiujo de cantidad de movimiento total, que se define
de manera análoga a como se hizo en la ecuación 5.6-12.
C) Demostrar que la ecuación 5.4-3 y consideraciones dimensionales llevan a la siguiente forma para la viscosidad cinemática turbulenta:
Aquí A es una constante adimensional que debe determinarse experimentalmente.
d) Volver a escribir la ecuación de movimiento para el chorro usando la expresión para viscosidad cinemática turbulenta del inciso c) y la función d e corriente del inciso b). Deinastrar
que esto lleva a la siguiente ecuación diferencial:
Por razones de conveniencia, se introduce una nueva variable
198 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
y se vuelve a escribir la ecuación 5C.1-4.
e) Despues, verificar que las condiciones límite para la ecuación X.l-4 son F ( 0 ) = O, FW(O)
O y F1(m) = O.
f ) Demostrar que la ecuación 5C.1-4 puede integrarse para obtener
2FF' - F" = constante
(5C.16)
y que las condiciones límite requieren que la constante sea cero.
g) Demostrar que al integrar una vez más se obtiene
donde C es una constante de integración.
h) Demostrar que otra integraci6n lleva a
F = -C tanh Cq
(5C.1-8)
y que a partir de esto puede encontrarse que la velocidad axial es
i) Luego, demostrar que al escribir la velocidad axial en la expresión para la cantidad de movimiento total del chorro se llega al valor C = 6 para la constante de integración. Volver a
escribir la ecuación 521-9 en términos de A, en vez de hacerlo para C. El valor de h = 0.0102
proporciona una buena concordancia con los datos experimenta le^.^ Se cree que esta coincidencia es ligeramente mejor que la correspondiente para el empirismo de la longitud de mezcla de Prandtl.
j) Demostrar que la velocidad de flujo másico a través de cualquier plano z = constante está
dada por
5C.2 Flujo turbulento axial en un anillo. Un anillo está limitado por paredes cilíndricas en r = aR
y r = R (donde a < 1). Obtener expresiones para los perfiles de velocidad turbulentos y la v e
locidad de flujo másico. Aplicar el perfil logarítmico de la ecuación 5.3-3 para el flujo en la
vecindad de cada pared. Suponer que la ubicación del máximo de la velocidad ocurre sobre
la misma superficie cilíndrica r = bR que se encontró para el flujo anular laminar:
Perfiles de velocidad medidos sugieren que esta suposición para b es razonable, por lo menos para altos números de R e y n ~ l d sSupóngase
.~
además que K en la ecuación 5.3-3 es la misma para las paredes interna y externa.
H.Schüchting, Boundaryhyer Theoy, McGraw-Hill, Nueva York, 4a. edición (19M)), p. 607 y figura 23.7.
9 , G . Knudsen y D.L. Katz, Fluid Dynamics and Hcat Transfer, McCraw-HiU, Nueva York (1958);R.R. Rothhis
(1948), J.E. Walker (1957) y G.A. Whan (1956),tesis doctoral, Carnegie lnstitute of Technology (ahora Carnegie-MeUon
University),Pittsburgh, Pa.
Problemas 199
a) Demostrar que la aplicación directa de la ecuación 5.3-3 lleva inmediatamente a los siguientes perfiles de velocidad4en la región r < bR (designada por <) y r > bR (designada por >):
->
v*>
donde v.,
=
'
(R-r)v>
ln(+)
+ A>
donde v l = v - * G
=v(y0- PL)R/2Lp.
b) Obtener una relación entre Ias constantes A < y A' requiriendo que la velocidad sea continua en r = bR.
c) Usar los resultados del inciso b) para demostrar que la velocidad d e flujo másico a través
del anillo es
donde B es
5C.3 Inestabilidad en un sistema mecánico simple (figura 5C.3).
Un disco gira con velocidad angular constante a. Por arriba del centro del disco, una esfera de masa m est5 suspendida de una varilla sin masa de longitud L. Debido a la rotación
del disco, la esfera experimenta una fuerza centrífuga y la varilla forma un ángulo 9 con la
vertical. Hacer un balance de fuerzas sobre la esfera para demostrar que
a)
¿Qué ocurre cuando Cl tiende a cero?
b) Demostrar que, si 0 está por debajo de algún vaIor de umbral Qumbral, entonces el ángulo 0 es cero. Por arriba del valor de umbral, demostrar que hay dos valores admisibles para
13.Explicar lo anterior con un esquema cuidadosamente trazado de 0 contra 0.Por arriba de
Qumbral, marcar las dos curvas esfable e inestable.
Masa de la
esfera = m
cii3
a
'
Figura SC.3 Sistema mecánico simpIe para ilustrar conceptos
en estabilidad.
W.Tiedt, Berechnung des laminaren u. turbulenten Reibungswidersfandes konzentrischer u. exzenfrischer Ringspalten,
Technischer Bericht Nr. 4, Inst. f. Hydraulik u. Hydraulogie, Technische Hochschule, Darmstadt (1968); D.M. Meter y
R.B. Bird, AlChE Joumal, 7,41-45 (1961) hicieron el mismo análisis usando la teoría de longitud de mezcla de Prandtl.
200 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
En los incisos a) y b) sólo se consideró la operación del sistema en estado estacionario. Lu+
go, demostrar que la ecuación de movimiento para la esfera de masa m es
C)
d28
(5C.52)
0
dt2
Demostrar que para operación de estado estacionario lo anterior lleva a la ecuación 32.3-1.
Ahora se desea usar esta ecuación para realizar un análisis de estabilidad de pequeña amplitud. Sea e = O. + 01, donde e, es una solución de estado estacionano (independiente del tiempo) y 8, es una perturbación muy pequeña (dependiente del tiempo).
d) Primero se considera la rama inferior del inciso b), que es O. = O. Luego sen O = sen O1 = 0,
y cos 8 = cos 19, = 1, de modo que la ecuación 5C.3-2 se convierte en
mL-=rnR2~ seno cos o-mgsen
Ahora se intenta una oscilación de pequeña amplitud de la forma O, = A% (e-'"') y se encuentra que
Luego se consideran dos casos: i) Si R2< g/L,ambas o+ y w- son reales y por tanto O1 oscila; esto indica que para R2< g/L el sistema es estable. ii) Si R2 > g/L, la raíz w+ es imaginaria positiva y e-d crecerá indefinidamente con el tiempo; esto indica que para fi2 > g / L el
sistema es inestable respecto a perturbaciones infinitesimales.
e) Luego se considera la rama superior del inciso b). Hacer un análisis semejante al del inciso d). Establecer la ecuación para 8, y eliminar términos en el cuadrado de 8, (es decir, linealizar la ecuación).Intentar de nuevo una solución de la forma O1 = A %(e-iwtt.Demostrar que
la rama superior del sistema es estable respecto a perturbaciones infinitesimales.
f) Relacionar el análisis anterior, que es para un sistema con un grado de libertad, con el problema de la transición laminar-turbulentopara el flujo de un fluido newtoniano en el flujo entre dos cilindros que giran en direcciones opuestas. Leer el análisis de Landau y Lifshitz5
sobre esta cuestión.
5D.1 Deducción de la ecuación de variación para los esfuerzos de Reynolds. Al final de 55.2 se
indicó que existe una ecuación de variación para los esfuerzos de Reynolds. Ésta puede deducirse: a) multiplicando por u'1 la i-ésirna componente de la forma vectonal de la ecuación
5.2-5 y ajustando respecto al tiempo, b) multiplicando por vi la j-ésima componente de la forma vectorial de la ecuación 5.2-5 y ajustando respecto al tiempo, y c) sumando los resultados
de los incisos a) y b). Demoshar que al final se obtiene
D-7- p-v'v
Dt
-,+v.VY]-P(V;V;.
v~jt-~{v-yiV>VI]
Para este desarrollo se necesitarán las ecuaciones 5.2-10 y 5.2-11.
5D.2 Energía cinética de la turbulencia. Al tomar la traza de la ecuación 5D.1-1, obtener lo siguiente:
Interpretar la e~uación.~
S
L. Landau y E.M. Lifshitz,Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987).5526-27.
H. Tennekes y J.L. Lumley, A Firsl Course in Turbulence, MIT Pms, Cambridge, Mass (1972).s3.2.
Capítulo 6
Transporte de interfase en sistemas
isotérmicos
$6.1
Definición de factores de fricción
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos
96.3
Factores de fricción para flujo alrededor de esferas
56.4"
Factores de fricción para columnas de relleno
En los capítulos 2 a 4 mostramos la forma en que es posible plantear y. resolver
problemas de flujo laminar. En e1 capítulo 5 presentarnos algunos métodos para
resolver probiemas de flujo turbulento por razonamientos dimensionales o por relaciones semiempíricas entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el
gradiente de la velocidad con ajuste de tiempo. En este capitulo mostraremos cómo
es posible resolver problemas de flujo por medio de una combinacibn de análisis
dimensional y datos experimentales. La técnica que aquí se presenta se ha utilizado
ampliamente en ingeniería química, mecánica, aeronáutica y civil, y es de utilidad
para resolver muchos problemas prácticos. Se trata de un tópico que merece la pena
aprenderlo bien.
Muchos problemas de ingeniería pueden clasificarse en dos grandes categorías: flujo en canales y flujo alrededor de objetos sumergidos. Ejemplos de flujo
en canales son el bombeo de petróleo a Io largo de tuberías, el flujo de agua en canales abiertos y la extrusión de plásticos a través de troquel. Ejemplos de flujo
alrededor de objetos sumergidos son el movimiento de aire alrededor de las alas
de un avión, el movimiento de fluido alrededor de partículas que experimentan sedimentación y el flujo a través de un banco de tubos en intercambiadores
de calor.
En el flujo en canales el objetivo principal suele ser la obtención de una relación
entre la velocidad volumétrica de flujo y la caída de presión y/o el cambio de elevación. En problemas que implican flujo alrededor de objetos sumergidos, la información que se desea es por regla general la relación que hay entre la velocidad del
fluido que se aproxima y la fuerza de resistencia sobre el objeto. En los capítulos anteriores hemos visto que, si se conocen las distribuciones de velocidad y de presión
en el sistema, entonces pueden obtenerse las relaciones que se buscan y r . ~estos
dos casos. La deducción de la ecuación de Hagen-Poiseuille en 52.3 y la deducción
de la ecuación de Stokes en $2.6 y 54.2 ilustran las dos categorías que estamos
analizando aquí.
Para muchos sistemas no es posible calcular fácilmente los perfiles de velocidad y de presión, en particular si el flujo es turbulento o si la geometría es
complicada. Uno de estos sistemas es el flujo a través de una columna de relleno;
otro, el flujo en un tubo de forma helicoidal. Para dichos sistemas podemos con-
202 Capítulo 6
Transporte de interfaseen sistemas isotéxmicos
siderar datos experimentales cuidadosamente elegidos y luego establecer "correlaciones" de variables dimensionales que pueden usarse para estimar el comportamiento del flujo en sistemas geométncamente semejantes. Este método se basa
en 53.7.
Empezamos en 56.1 con la definición de "factor de fricción", y luego en s6.2
y @.3 mostramos cómo construir diagramas de factores de fricción para flujo en
tubos cinlares y flujo alrededor de esferas. Éstos son dos sistemas que ya hemos
estudiado y de hecho, muchos resultados de capítulos anteriores se incluyen en estos diagramas. Por último, en 56.4 examinamos el flujo en columnas de relleno a fin
de ilustrar el tratamiento de un sistema geométricamente complicado. En este
capítulo no se incluye el problema más complicado de lechos fluidificados por los
que circula un fluid0.l
Consideramos el flujo impulsado de manera estacionaria de un fluido de densidad constante en uno de dos sistemas: a) el fluido circula en un conducto recto de
sección transversal uniforme; b) el fluido circula alrededor de un objeto sumergido que tiene un eje de simetría (o dos planos de simetría) paralelo a la dirección
del fluido que se aproxima. Hay una fuerza Ff,, ejercida por el fluido sobre las
superficies sólidas. Es conveniente separar esta fuerza en dos partes: F,, la fuerza
que ejercería el fluido aun si fuera estacionario; y Fb la fuerza adicional asociada
con el movimiento del fluido (véase 52.6 para el análisis de Fs y Fk para flujo alrede
dor de esferas). En sistemas del tipo a), Fk apunta en la misma dirección que la velo-cidad media (v) en el conducto, y en sistemas del tipo b), Fk apunta en la misma
dirección que la velocidad de aproximación v,.
Para ambos tipos de sistema afirmamos que la magnitud de la fuerza Fk es
proporcional a un área característica A y a una energía cinética característica K por
unidad de volumen; así,
-
Fk AKf
(6.1-1)'
donde la constante de proporcionalidad f se denomina factor de fricción.Nótese que
la ecuación 6.1-1 no es una ley de dinámica de fluidos, sino sólo una definición def
Esta definición es útil, ya que la cantidad adimensional f puede proporcionarse
como una función ~elativamentesencilla del número de Reynolds y de la forma del
sistema.
Resulta evidente que para cualquier sistema de flujo dado, f no está definido
sino hasta que se especificanA y K. Ahora veamos cuáles son las definiciones de costumbre:
R . Jadean,The Dynnmics of Fluidized Beds, Cambridge University Press (2000).
Para sistemas que carecen de simetría, el fluido ejerce tanto una fuerza como un momento de torsión sobre el
sólido. Para análisis de estos sistemas, véase J. Happel y H. Brenner, Low Reynolds Nurnber Hydmdynamics, Martinus
Nijhoff, La Haya (1983b capitulo 5;H. Brenner, en Adv. Chem. Engr., 6,287-438 (1966); S. Kim y S. J. Karrila,
Microhydrdynamics: Principies and Selected Applimtions, Butterworth-Heinemann,Boston (1991), capítulo 5.
s6.1 Definición de factores de fricción
203
a) Para flujo en conductos, A suele considerarse como la superficie mojada y K como
' í p ( ~ )Específicamente,
~.
para tubos circuIares de radio R y longitud L, definimos
f por
Por regla general, la cantidad medida no es Fk,sino más bien la diferencia de presión po - p~ y la diferencia en elevación ho - hL. Al efectuar un balance de fuerzas
en el fluido entre O y L en la dirección del flujo se obtiene, para flujo totalmente
desarrollado
Al eliminar Fk entre las dos últimas ecuaciones se obtiene entonces
donde D = 2R es el diámetro del tubo. La ecuación 6.1-4 muestra cómo calcular f a
partir de datos experimentales. Algunas veces, la cantidad f se denomina factor de
fricción de ~ a n n i n g . ~
b) Para flujo alrededor de objetos sumergidos, el área característica A suele tomarse
como el área que se obtiene al proyectar el sólido sobre un plano perpendicular
a la velocidad del fluido que se aproxima; la cantidad K se toma como +pvz,
donde v, es la velocidad de aproximación del fluido a una gran distancia del objeto. Por ejemplo, para flujo alrededor de una esfera de radio R, definimos f por
la ecuación
Esta definición de factor de fricción se debe a J. T. Fanning, A Practica1 Treatise on Hydraulic and Water Supply
Enginrering, Van Nostrand, Nueva York, la. edición (1873, Ibava. edición (1906); el nombre "Fanning" se usa para
evitar confusión con el "factor de ficción de Moody", que es más grande por un factor de 4 que el f usado aquí [L.F.
Moody, Trans. ASME, 66,671-684 (1944)l.
Si se usa la "velocidad de fricción" u, = d70/P = d(90
- 9~)R/2Lp,
que se introdujo en 55.3, entonces la
ecuación 6.1-4asume la forma
John Thomas Fanning (1837-1911) estudió arquitedura e ingeniería civil, fue oficial en la Guerra Civil y después d e
ésta se destacó en la ingeniería hidráulica. La 14ava. edición de su libro A Practica1 Treatise on Hydraulic and
VJater-Supply Engineering apareció en 1899.
Para el movimiento de traslación de una esfera en hes dimensiones, puede escribirse aproximadamente
donde n es un vector en la dirección de v,. Véase el problema 6C.1.
204 Capítulo 6
Transporte de interface en sistemas isotérmicos
De no ser posible medir Fk, entonces podemos medir la velocidad terminal de la
esfera cuando cae a través del fluido (en ese caso, u, debe interpretarse como la velocidad terminal de la esfera). Para la caída en estado estacionario de una esfera
en un fluido, la fuerza Fk simplemente es contrabalanceada por la fuerza de gravedad sobre la esfera menos la fuerza de flotación (cf. la ecuación 2.6-14):
Así, al eliminar Fkentre las ecuaciones 6.1-5 y 6.1-6 se obtiene
Esta expresión puede usarse para obtener f a partir de datos sobre la velocidad
terminal. E1 factor de fricción que se usa en las ecuaciones 6.1-5 y 6.1-7 algunas
veces se denomina coeficiente de resistencia y se le asigna el símbolo c ~ .
Hemos visto que el "coeficiente de resistencia" para objetos sumergidos y el
"factor de fricción" para el flujo en un canal se definen de la misma forma general.
Es por ello que preferimos usar el mismo símbolo y el mismo nombre para ambos.
Ahora combinamos la definición de f en la ecuación 6.1-2 con el análisis dimensional de 53.7 para mostrar de qué debe depender f en este tipo de sistema. Consideramos una "sección de prueba" de radio interior R y longitud L, que se muestra en
la figura 6.2-1, que transporta un fluido de densidad y viscosidad constantes a velocidad de flujo másico en estado estacionario. Se conocen las presiones 90y YLen
los extremos de la sección de prueba.
El sistema está en flujo laminar en estado estacionario o en flujo turbulento
impulsado de manera estacionaria (es decir, flujo turbulento con gasto total en estado estacionario).En cualquier caso, la fuerza en la dirección z del fluido sobre Ia
pared interior de la sección de prueba es
Presión
Presión
Figura 6.2-1 Sección de un tubo circular desde z = O hasta z = L para la discusión del análisis
dimensional.
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos 205
En el fIujo turbulento la fuerza puede ser una función del tiempo, no sólo debido
a las fluctuaciones turbulentas, sino también a la ondulación de la capa límite desde la pared, que resulta en algunas distancias con grandes escalas de tiempo. En
flujo laminar se entiende que la fuerza es independiente del tiempo.
Al igualar las ecuaciones 6.2-1 y 6.1-2, se obtiene la siguiente expresión para el
factor de fricción:
Luego introducimos las cantidades adimensionales de 53.7: ): = r/D, 2 = z/D,
zl, = v,/(v,}, i = ( v , ) t / ~ , $ = (8- 90)/p(v,)Z,y Re = D ( v ~ ) ~Luego,
/ ~ . la ecuación
6.2-2 puede volver a escribirse como
Esta relación es válida para flujo laminar o turbulento en tubos circulares lisos. Se
observa que para sistemas de flujo en 10s que la resistencia depende sólo de fuerzas
viscosas (es decir, sin "resistencia de forma") el producto f Re es esencialmente un
gradiente de veIocidad adimensional promediado sobre la superficie.
Recuérdese ahora que, en principio, afi,/aY puede evaluarse a partir de las
ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9 junto con las condiciones límite1
'
>O
C.L. 1:
en; =
C.L. 2:
en2 = 0,
Y = 6,
(6.2-5)
C.L. 3:
enY=OyZ=O
@=O
(6.2-6)
2
ii = O
t
para
2
(6.2-4)
y condiciones iniciales apropiadas. El perfil de velocidad de entrada uniforme en la
ecuación 6.2-5 es preciso, excepto muy cerca de la pared, para una boquilla bien
diseñada y un sistema corriente arriba. Si las ecuaciones 3.7-8 y 3 Y 9 pueden resolverse con estas condiciones límite e iniciales a fin de obtener Y y 9,necesariamente
las soluciones serían de la forma
i; = +(P,
6, E,
2; Re)
9 =@(F, 8,2, i; Re)
Es decir, la dependencia funcional de ir y 9 debe, en general, incluir a todas las variables adimensionales y al grupo adimensional que aparecen en las ecuaciones
diferenciales. Ningún otro grupo adimensional entra vía las condiciones límite pre-
'
Aquí seguimos la práctica de costumbre de despreciar los términos ( J ~ / C ~ de
~ ~la
) V
ecuación 3.7-9, con base en
los argumentos de orden de magnihid como los que se proporcionaron en 54.4. Con estos términos eliminados, no se
requiere ninguna condición iímite de salida sobre v.
206
Capihilo 6 Transportede interfase en sistemas isotérmicos
Como una consecuencia de lo anterior, aüz/af debe depender en f o r m
semejante de F, 8,2, i y Re. Cuando a 5, lar' se evalúa en Y = y luego se integra sobre 2 y 9 en la ecuación 6.2-3, el resultado depende sólo de 1, Re y L/D (esta última
exprcaión aparece en el límite superior en la integración sobre 2). Por consiguiente, se Llega a la conclusión de que ftf) = f(Re, L/D, i), lo que, una vez que se promedia respecto al tiempo, se convierte en
el promedio respecto al tiempo se realiza sobre un intervalo suficientemente largo para incluir cualquier perturbación turbulenta a largo plazo. Entonces, el
factor de fricción medido sólo depende del número de Reynolds y de la razón que
hay de la longitud al diámetro.
La dependencia de f respecto a L / D surge del desarrollo de la distribución de
velocidad promediada respecto al tiempo a partir de su forma de entrada plana
hacia perfiles más redondos a valores z corriente abajo. Este desarrollo ocurre
dentro de una región de entrada, de longitud Le = 0.030 Re para flujo laminar o
L, = 600 para flujo turbulento, más allá de donde la forma de la distribución de
velocidad está "totalmente desarrollada". En el transporte de fluidos, la longitud
de entrada suele ser una pequeña fracción del total; así, la ecuación 6.2-9 se reduce
a la forma para tubos largos:
y f puede evaluarse experimentalmente a partir de la ecuación 6.1-4, que se escribió
para flujo totalmente desarrollado en la entrada y en la salida.
Las ecuaciones 6.2-9 y 6.2-10 son resultados útiles, ya que constituyen una guia
para la representación sistemática de datos sobre caudal de flujo contra diferencia de presión para flujo laminar y turbulento en tubos circulares. Para tubos largos sólo se requiere una simple curva de f trazada contra la combinación simple
~ ( Z , ) p / pConsidérese
.
cuánto más simple es esto que graficar la caída de presión
contra el caudal de flujo para valores separados de D, L, p y ,u, que es lo que hadan los no experimentados.
Hay mucha información experimental de caída de presión contra caudal de flujo en tubos, y por tanto f puede calcularse a partir de datos experimentales por
medio de la ecuación 6.1-4. Luego, f puede graficarse contra Re para tubos lisos a
fin de obtener las curvas de trazo sólido que se muestran en la figura 6.2-2. Estas
curvas sólidas describen el comportamiento laminar y turbulento para fluidos que
circulan en tubos circulares, largos y lisos,
Nótese que la curva laminar en eI diagrama del factor de fricción es simplemente una gráfica de la ecuación de Hagen-Poiseuille en 2.3-21. Esto puede verse al sustituir la expresión para (90
- 9t)de la ecuación 2.3-21 en la ecuación 6.1-4 y usando
la relación w = p(Ü,)rR2; así se obtiene
Re<2100
Re>2100
estable
por lo general inestable
donde Re = D(&)p/p; ésta es exactamente la línea laminar de la figura 6.2-2.
56.2
Factores de fricción para flujo en hibos 207
Utilizando datos experimentales se han construido curvas turbulentas semejantes.
También se dispone de algunas expresiones analíticas de ajuste de curvas. Por ejemplo, la ecuación 5.1-6 puede escribirse en Ia forma
que se conoce como fórmula de B l a ~ i u sLa
. ~ ecuación 5.5-1 (con 2.5 reemplazado por
2.45 y 1.75 por 2.00) es equivalente a
que se conoce como f h u l a de Prandtl.3 Por último, de manera correspondiente a la
ecuaci6n 5.5-2, se tiene
f =
2
~7
donde
Y
=
e3'2(& + 5a)
2Oa(a + 1)(a+ 2)
Número de Reynolds Re = D { Ü ) p / p
Figura 6.2-2 Factor de fricci6n para el flujo en un tubo (véase la definición de f en las ecuaciones 6.1-2 y 6.1-3.
1Curva.s de L.F.Moody, Trans. ASME, 66,671-684 (1944)según las presentan W.L. McCabe y J.C.Smith, Unit
~ e r a t i o n of
c Chemical Engineering, MGraw-Hil1, Nueva York (1954.1
H. Blasius, Forschungurrbeiten ddes Ver Deutcch. Ing., núm. 131 (1913).
L. Prandtl, Essentials of Fluid Dynamics, Hafner, Nueva York (1952),p. 165
208
Capítulo 6
Transporte de interfaseen sistemas isotérmicos
Y a = 3/(2 in Re). Se ha encontrado que esto representa bien los datos experimentales para 3.07 x 103 < Re < 3.23 x 106. La ecuación 6.2-14 se denomina fómula de
Barenbl~tt.~
Otra relación, que incluye las curvas discontinuas para tubos rugosos en la figura 6.2-2, es la ecuación empírica de liaaland5
Se afirma5que esta ecuacibn es exacta dentro de un margen de 1.5%. Como puede verse en la figura 6.2-2, la resistencia de frotamiento al flujo aumenta con la altura, k, de las protuberancias. Por supuesto, k debe entrar a la correlación de manera
adimensional y por tanto aparece a través de la relación k / D .
Para flujo turbulento en tubos no circ~lareses común usar el siguiente empirismo:
primero se define un "radio hidráulico medio" Rh como sigue:
donde S es la sección transversal del conducto y Z es el perímetro mojado. Luego
puede usarse la ecuación 6.1-4 y la figura 6.2-2, con el diámetro D del tubo circular
reemplazado por 4Rh. Es decir, se calculan diferencias de presión sustituyendo la
ecuación 6.1-4 por
y obteniendof a partir de la figura 6.2-2 con un número de Reynolds que se define
como
Reh = 4Rh (v,)~
(6.2-18)
P
Para flujoslaminares en pasajes no circulares, este método es menos satisfactorio.
EJ~Mkiay$wl
$ 4Qué gradiente de presión se requiere para hacer que la N , N - d i e t i l a d i ~C&~\I~C~HS)Z
b ~ k - ~ fluya
~ enM
un tubo~
circuldr
~horizontal.
s liso de diámetro interior D = 3 cm a una velocidad
ws&
Caziia depresión requerida
para una velocidad de
flujo dada
de materia de 1028 g/s a 20°c? A esta temperatura, la densidad de la dietilariilina es
p = 0.935 g / m 3 y su viscosidad es p 1-95cp.
-- . -.
G.1. Ba~nblatt,Scaling, S~lf-similarit~,
and Intermediare Asympfotics, Cambridge University FESS (19961,510.2.
Haaland, Trans. ASME, JFE, 105, 89-90 (1983).Para ohos empirismos, véase D.J. Zigrang y N.D. Sylvester~
b u r ~ 28,514-515
k
(1982).
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos
209
SOLLICIÓN
El número de Reynolds para el flujo es
A partir de la figura 6.2-2 se encuentra que para este número de Reynolds el factor de fricción
f tiene un valor de 0.0063 para tubos lisos. Por tanto, el gradiente de presión necesario para
mantener el flujo es (según la ecuación 6.1-4)
;
J
.
EJEMPLO
6.2-2
.<
ii
.
Velocidad de flujo para
una caída de presión dada
Determinar la velocidad de flujo, en libras por hora, de agua a 68°F que circula a lo Largo de
1000 pies de longitud de un tubo horizontal de acero schedule 40, de 8 pulg (diámetro interior de 7.981 pulg) bajo una diferencia de presión de 3.00 psi. Para este tubo, utilizar la figura 6.2-2 y suponer que k/D = 2.3 X lop4.
Queremos usar la ecuación 6.1-4 y la figura 6.2-2 para despejar (v,) cuando se conoce po - p ~ .
Sin embargo, la cantidad (v,) aparece explicitamente en el miembro izquierdo de la ecuación
e implícitamente en el miembro derecho en f, que depende de Re = D { U , ) ~ /Resulta
~.
evidente que es posible encontrar una solución por prueba y error.
No obstante, si es necesario hacer más de unos cuantos cálculos de (v,), es conveniente
desarrollar un método sistemático; aquí sugerimos dos métodos. Debido a que los datos experimentales a menudo se presentan en forma gráfica, es importante que los estudiantes de
ingenieria apliquen su originalidad para idear métodos especiales como los que se describen
aquí.
Método A. La figura 6.2-2 puede usarse para construir una gráfica6de Re contra el grupo
Re fl,que no contiene a (v,):
La cantidad Re
puede calcularse para este problema, y a partir de la gráfica de Re contra
Re
es posibIe leer un valor del número de Reynolds. Luego, a partir de Re es posible
calcular Ia velocidad media y la velocidad de flujo.
Una gráfica relacionada h e propuesta por T. von Kármán, Nachr. Ges. Wiss. Uttingen, Fnchgruppen, 1, 5,58-76
(1930).
210 Capítulo 6
Transporte d e interfase e n sistemas isotérmicos
Método B. La figura 6.2-2 también puede usarse directamente sin necesidad de volver a
graficar, si se inventa un esquema que sea equivalente a la solución gráfica de dos ecuaciones
simultáneas. Las dos ecuaciones son
(6.2-22)
curva dada en la figura 6.2 - 2
f = f(Re, k / D)
línea recta de pendiente -2 en la gráfica log- log
se@n la ecuación 6.2-21 y luego
Entonces, el procedimiento consiste en calcular Re
trazar la ecuación 42-23 en la gráfica log-log d e f contra Re en la figura 6.2-2. El punto de
intersección proporciona el número de Reynolds del flujo, a partir del que puede calcularse (E,).
Para el problema en cuestión, tenemos
po - p~ = (3.00 1 b ~ / ~ u l ~ ~ ) 3(lbrn
2 . 1pie/s2)/Ibf(144
7
pulg2/pies2}
= 1.39 x lo4 lbm/pie- s2
D = (7.981 pulg)(+ pie/pulg) = 0.665 pies
L = 7000 pies
p=
62.3 1bm/pies3
p = (1.03 cpN6.72 x
=
6.93 X
lb,/pie
(lb,/pie
- s)/cp)
S
Luego, según la ecuación 6.2-21,
La línea de la ecuación 6.2-23 para este valor de Re
pasa por f = 1.0 para Re = 1.63 x 104
y por f = 0.01 para Re = 1.63 X lo5.Al prolongar la recta por esos puntos hasta la curva de
la figura 6.2-2 para k / D = 0.00023, se obtiene la solución d e las dos ecuaciones simultáneas:
Luego, al despejar w se obtiene
En esta sección usaremos la definición del factor d e fricción d e Ia ecuación 6.1-5
junto con el análisis dimensional d e $3.7 para d e t e r m i n a r el c o m p o r t a m i e n t o de f
%.3 Factores de fricci6n para flujo alrededor de esferas 211
para una esfera estacionaria en una corriente infinita de fluido que se aproxima
con una velocidad en estado estacionario uniforme v,. En 52.6 y s4.2 ya hemos estudiado el flujo alrededor de una esfera para Re < 0.1 (la región del "flujo reptante"). Para números de Reynolds arriba de aproximadamente 1, en la estela de
la esfera se presenta un importante movimiento de remolino no estacionario. Por
consiguiente, es necesario realizar un promedio de tiempo sobre un intervalo de
tiempo largo respecto a este movimiento de remolino,
Recuérdese por 92.6 que La fuerza total que actúa en la dirección z sobre la esfera puede escribirse como la suma de una contribución de los esfuerzos normales
(F,) y una de los esfuerzos tangenciales (Ft). Una parte de la contribución del esfuerzo normal es la fuerza que estaría presente incluso si el fluido fuese estacionario, Fs.
Por tanto, la "fuerza cinética" asociada con el movimiento del fluido, es
Las fuerzas asociadas con la resistencia de forma y la resistencia de fricción se
obtienen entonces a partir de
El término que contiene a dv,/M es cero porque u, es cero en todos los puntos de la
superficie de la esfera.
Si ahora separamos f en dos partes como sigue
entonces, por la definición en la ecuación 6.1-5, se obtiene
2
ftorm(f) =
27r
u
;ijo o (-qr=icos 8) sen e d o d*
Aquí, el factor de fricción se expresa en términos de variables adimensionales
y de un número de Reynolds definido como
Para evaluar f ( ? ) es necesario conocer 9 y bs como funciones de f, 8,
c$
y i.
212
Capítulo 6 Transportede interfase en sistemas isotémicos
Se sabe que para flujo incompresible estas distribuciones pueden en principio
obtenerse a partir de la solución de las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9 junto con las condiciones Umite
y alguna condición inicial apropiada sobre t.Debido a que ningún otro grupo adirnensional adicional entra a través de las condiciones límite e iniciales, sabemos que
los perfiles adimensionales de presión y velocidad tendrán la siguiente forma:
@ = 9(F1 e, 4, i; Re)
+ = *(Y,
8,
4, i; Re)
(6.3-12)
cuando estas expresiones se sustituyen en las ecuaciones 6.3-5 y 6.3-6, resulta evidente que el factor de fricción de la ecuación 6.3-4 debe tener la forma f (fv) = f (Re, i), la
cual, una vez que se promedia respecto al tiempo sobre las fluctuaciones turbulentas, se simplifica a
razonamientos semejantes a los de 56.2. Por tanto, a partir de la definición
del factor de fricción y la forma adimensional de las ecuaciones d e variaci6n y las
,-ondiciones %te, se encuentra que f debe ser una función sólo de Re.
Existen muchas mediciones experimentales de la fuerza de resistencia sobre
la esfera, y cuando éstas se grafican en forma adimensional, se obtiene la figura 6.3-1. Para este sistema no hay transición abrupta desde una curva de flujo laminar inestable a una curva de flujo turbulento estable como para tubos largos a un
número de Reynolds de aproximadamente2100 (véase la figura 6.2-2).En vez de ello,
a medida que aumenta la velocidad de aproximación, f varía de manera suave y
moderada hasta números de Reynolds del orden de 1@.El pliegue de la curva alrededor Re = 2 x 1 6 está relacionado con el desplazamiento de la zona de separación de la capa lúnite desde enfrente hasta detrás del ecuador d e la esfera.'
Hemos yuxtapuesto los análisis de flujoen un tubo y flujo alrededor de una esfera para recalcar el hecho de que varios sistemas de flujo se comportan en forma
bastante distinta. A continuación se proporcionan varias diferencias entre los dos
sistemas:
Flujo en tubos
e
Transición laminar-turbulentabastante
bien definida para aproximadamente
Flujo alrededor de esferas
Transición laminar-turbulenta no bien
definida
Re = 2100
La única conhibución a f es la resistencia
de fricción (si los tubos son lisos)
No hay separación de capa límite
*Contribuciones a f debidas a la resistencia
de fricción y a la resistencia de forma
Existe un pliegue en la curva f contra Re
asociado con un desplazamiento en la
zona de separación
1
R.K.Adair, Thp Physics of Baseball, Harper and Row, Nueva York (1990).
-
56.3 Factores de hcci6n para flujoalrededor de esferas 213
La forma general de las curvas en las figuras 6.2-2 y 6.3-1 debe recordarse con mucho cuidado.
Para la región de flujo reptante, ya sabíamos que la fuerza de resistencia está dada
por la ley de Stokes, que es una consecuencia d e resolver la ecuación de continuidad y la ecuación de movimiento de Navier-Stokes sin el término pDv/ Dt. La ley de
Stokes puede reordenarse en la forma de la ecuación 6.1-5 para obtener
Por tanto, para flujo reptante alrededor de una esfera se tiene
f =
24 para Re < 0.1
Re
y cuando Re + O, ésta es la línea recta asíntota a la curva del factor de fricción en la
figura 6.3-1.
Para valores más altos del número de Reynolds, la ecuación 4.2-21 puede describir a f con mucha exactitud hasta aproximadamente Re = 1. Sin embargo, la
expresión empírica2
f =
(E+
0.54ln~
para Re < 6000
es sencilla y ÚtiI. Es importante recordar que
f
0.44
para 5 X lo2 < Re < 1 X lo5
(6.3-17)
que cubre un intervalo extraordinario de números de Reynolds. Algunas veces la
ecuación 6.3-17 se denomina ley de resistencia de Newton; es práctica hacer cáIculos
rápidos. Según lo anterior, la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la
velocidad de aproximación del fluido.
Se han hecho muchas extensiones de la figura 6.3-1, pero realizar un estudio
sistematico rebasa los alcances de este libro. Entre las cuestiones que se han investigado están los efectos de pared3 (véase el problema 6C.21, h caída de gotas minúsculas con circulación interna? la sedimentación obstruida (es decir, Ia caída de
grupos de partículas5 que interfieren entre sí), el flujo no estacionario6 y la caída
de partículas no esféri~as.~
F.F.Abraham, Physics of Fluids, 13,2194 (1970); M . Van Dyke, Physics of Fluids, 14,1038-1039 (1971).
].R. Strom y R.C.Kintner, AIChE Joumal, 4,153-156 (1958).
L. Landau y E.M.Lifstiitz, Fiitid Mechonics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987),pp. 65-66;S. H u y R.C.
Kintner, AIChE Joumal, 1,4248(1955).
'C.E. Lapple, Fluid and Particle Mechanics, University of Delaware Press, Newark, Del. (1951), capítulo 13; R.F.
Pmbstein, Physirochemical Hydmdyiiamics, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1994). 55.4.
R.R. Hughes y E.R. Gilliland, Chem. Eng. Prog., 48,497-504 (1952); L. Landau y E.M. Lifshitr, Fluid M~chanics,
Pergamon, Oxfrd, 2a. edición (1987), pp. 90-91.
E.S. Pettyjohn y E.B. Christiansen, C k m .Eng. Pmg., 44,147 (1948);H.A. Becker, Can. J. Chem. Eitg., 37,885891 (1959); S. Kim y S.J. Karriia, Micmhydrodyiinmics: Principies and Selected Applications, Butteworth-Heinemann.
Boston (1991), capítulo 5.
214
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
hasta aproximadamente Re = 6
X
lo3
6
Número de Reynolds Re = Du- p/p
F i g ~ 6.3-1
a
Factor de fricción (o coeficiente de resistencia) para esferas que se mueven respecto
a un fluido con una velocidad v,. La definición de f se proporciona en la ecuación 6.1-5. ICurva
tomada de C.E. Lapple, "Dust and Mist Collection", en Chemical Engineers' Handbook U.H. Peny,
comp.),McGraw-Hill, Nueva York, 3a. edición 1950, p. 1018.1
Determinación del
diámetro de una esfera
que desciende
En un experimento para estudiar los tiempos d e reacción humana haciendo mediciones
con cronómetros y dispositivos más precisos, se dejarán caer esferas de vidrio d e densidad
pesfera= 2.62 g/cm3 en tetraclomro d e carbono líquido a 20°C. A esta temperatura, las propiedades relevantes del CC4 son p = 1.59 g/cm3 y p = 9.58 milipoises. ¿Cuál debe ser el
diámetro de las esferas para que la velocidad terminal d e éstas sea aproximadamente de
65 cm/s?
Para encontrar el diámetro de la esfera, es necesario despejar D en la ecuacidn 6.1-7. Sin
embargo, en esta ecuación debe conocerse D para encontrar f; y f está dado por la curva
de brazo sólido de la figura 6.3-1. Puede usarse un procedimiento d e prueba y error, tomando f = 0.44 como primer intento.
De manera alternativa, en la ecuación 6.1-7 podemos despejar f y luego observar que
f/Re es una cantidad independiente de D:
La cantidad en el miembro derecho puede calcularse con la información anterior, y le asignamos la letra C. Por tanto, hay dos ecuaciones simultáneas que resolver:
f = C Re
de la ecuación 6.3-18
f
de la figura 6.3-1
= f(Re)
La ecuación 6.3-19 es una recta cuya pendiente es la unidad en la gráfica iog-log de f contra Re.
56.4 Factores de fnccion para columnas de relleno
215
Figura 6.3-2 Procedimiento
gráfico usado en el ejemplo
6.3-1.
2.0
1.o
0.8
0.6
0.5
j 0.4
0.3
0.2
0.7
2.4 X lo4
Re --P
Para el problema que estamos resolviendo se tiene
Por tanto, para Re = lo5, según la ecuación 6.3-19, f = 1.86. En la figura 6.3-2 se muestra la recta de pendiente 1 que pasa por f = 1.86 para Re = 16.Esta recta corta la curva de
la ecuación 6.3-20 (es decir, la curva de la figura 6.3-1) en Re = Dv,p/p = 2.4 X lo4. Así,
se encuentra que el diámetro de la esfera es
En las dos secciones precedentes hemos analizado Ias correlaciones del factor de
fricción para dos sistemas de flujo simples bastante interesantes. Existen diagramas
del factor de fricción para algunos otros sistemas, como el flujo transversal que
pasa un cilindro, el flujo a través de un banco d e tubos y flujo cerca de discos giratorios. En varias obras de referencia se resumen éstos y muchos otros sistemas de
flujo.' Un sistema complejo de sumo interés en ingeniería química es la columna
'
P.C. Carman, Flow of Gases through Porous Media,Butterworths, Londres (1956);J.G. Richardson, Sección 16
en Hnndbookof Fluid Dynamics (V.L.Streeter, comp.), Mdraw-HiU, Nueva York (1961);M. Kaviany, capítulo 21 en
The Handbmk of Fluid Dynamics (R.W. Johnson,comp.), CRC Press, Boca Ratón. Fia. (1998).
216 Capítulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
de relleno, que se usa ampliamente para reactores catalíticos y para procesos de
separación.
Existen dos métodos principales para desarrollar expresiones del factor de
fricción para columnas de relleno. En un método la columna de relleno se considera como un manojo de tubos enmarañados de sección transversal caprichosa y
luego se desarrolla la teoría al aplicar los resultados previos para tubos rectos simples a la colección de tubos tortuosos. En el segundo método, la columna de relleno
se considera como una colección de objetos sumergidos, y Ia caída de presión se
obtiene sumando las resistencias de las partículas sumergidas.2 Las teorías del manojo de tubos han tenido algo más de éxito, por lo que a continuación las analizaremos aquí. En la figura 6.4-l(a) se muestra una coIurnna de relleno, y en la figura
6.4-l(b)se ilustra el modelo del manojo de tubos.
Para el relleno de las columnas pueden usarse varios materiales: esferas, cilindros, silletas, etcétera. En todo el análisis que sigue se supone que el relleno es
estadísticamente uniforme, de modo que no hay "canalización" (en la práctica real,
la canaIización ocurre a menudo, y entonces no es válido el desarrollo que se proporciona aquí). Además se supone que el diámetro de las partículas de relleno es
pequeño en comparación con el diámetro de la columna en que está contenido el
relleno, y que el diámetro de la columna es uniforme.
El factor de fricción para la columna de relleno se define de manera análoga a
como se hizo en la ecuación 6.14:
donde L es la longitud de la columna de relleno, Dp es el diámetro efectivo de la
partícula (que se definirá dentro de poco) y vo es la velocidad superficial; es decir,
la velocidad de flujo dividida entre la sección transversal de la columna vacía,
vo = w / p s .
Figura 6.4-1 a) Tubo cilíndrico relleno de
esferas; b) un modelo del "manojo de tubos"
para la coIumna rellena del inciso a.
'
W.E.Ranz, Chem. Eng. Prog., 48,247-253(1952); H.C. Brinkman, Appl. Sci. Research, A l , 27-34,81-86,333346
(1949). H e d Coenraad Bíinkman (1908-1961) realizó investigaciones sobre calentamiento con disipación viscosa,
flujo en medios porosos y fisica de plasma; ensefiá en la Universidad de Bandung, Indonesia, de 1949 a 1954, donde
escribió The Applicatwn of Spinor Invariants fo Atornic Physics.
96.4
Factores de íricción para columnas de relleno 217
La caída de presión a través de un tubo representativo en el modelo del manojo de d o s está dada por la ecuación 6.2-17
donde el factor de fricción para un solo tubo, ftubo, es una función del número de
Reynolds Reh = 4 R h ( v ) p / p . Cuando esta diferencia de presión se sustituye en la
ecuación 6.4-1, se obtiene
En la segunda expresión hemos introducido Ia fracción de huecos, E , que es la fracción
de espacio en la columna que no está ocupado por el relleno. Entonces vo = (v)~,que
resulta de la definición de la velocidad superficial. Ahora necesitamos una expresión para Rh.
E1 radio hidráulico puede expresarse en términos de la fracción de huecos E y la
superficie mojada a por unidad de volumen de lecho como sigue
Rh=
(
sección transversal disponible para el flujo
perímetro mojado
volumen disponible para el flujo
superficie total mojada
-
(
volumen de los huecos
volumen del lecho
f suuerficie moiada \
( voiumen del &o )
)
=
a
La cantidad a está relacionada con la "superficie efectiva" a, (superficie total de la
partícula por volumen de partículas) por
A su vez, la cantidad a, se usa para definir el diámetro medio de Ia partícv!a Dp
como sigue
Esta definición se elige debido a que, para esferas de diámetro uniforme, Dpes exactamente el diámetro de una esfera. A partir de las tres últimas expresiones encontra-
218
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
mos que el radio hidráulico es Rh
ecuación 6.4-3, se obtiene
=
Dp/6(1 - E ) . Cuando esto se sustituye en la
A continuación adaptamos este resultado a flujos laminar y turbulento insertando
las expresiones correspondientes para fbb,.
a) Para flujo laminar en tubos, ftubo = 16/Reh. Este resultado es exacto sólo para
tubos circulares. Para considerar las superficies no cilíndricas y las trayectorias de
fluido turbulento que aparecen en operaciones típicas de columna de relleno, se ha
encontrado que la sustitución de 16 por 100/3 permite que el modelo del manojo de
tubos describa los datos de la columna de relleno. Cuando se usa esta expresión
modificada para el factor de fricción en un tubo, entonces la ecuación 6.4-7 se convierte en
donde Go = pvo es la densidad de flujo de materia a través del. sistema. Una vez que
esta expresión para f se sustituye en la ecuación 6.4-1, se obtiene
y . ~ecuaciones 6.4-8 y 6.4-9 son generalmenque es la ecuación de ~ l a k e - ~ o z e nLas
te buenas para (DpGo/p(l - E ) ) < 10 y para fracciones de huecos menores que
E = 0.5.
b) Para flujo altamente furbulento es posible aplicar un tratamiento semejante
al anterior. De nuevo se empieza con la expresión para la dehición del factor de
fricción para flujo en un tubo circular. No obstante, esta vez observamos que para
flujo altamente turbulento en tubos con cualquier rugosidad apreciable, el factor
de fricción es una funci6n sólo de la rugosidad, y es independiente del número de
Reynolds. Si se supone que los tubos en todas Ias columnas de relleno tienen características de rugosidad semejantes, entonces el valor de ftubo puede tomarse
como la misma constante para todos los sistemas. Una elección aceptable es tomar
= 7/12. Al insertar esto en la ecuación 6.4-7, se obtiene
EC. Blake, Trans. Amer. Inst. Chem.Engrs., 14,415-421 (1922);J. Kozeny, Sitiungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt.
IIa, 136,271-306 (1927).
$6.4
Factores de fricción para columnas de relleno 219
Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación 6.4-1, se obtiene
que es la ecuación de Burke-Plummer," válida para (DpGo/p(l - E)) > 1000. Nótese que la dependencia respecto a la fracción de huecos es diferente a la del flujo
laminar.
c) Para la región de transición, podemos superponer las expresiones para la caída
de presión para los incisos a) y b) anteriores a fin de obtener
Para vo muy pequeña, esto se simplifica a la ecuación de BIake-Kozeny, y para
vo muy grande, a la ecuación de Burke-Plummer. TaIes superposiciones empíricas
de asíntotas a menudo producen resultados satisfactorios.La ecuación 6.4112 puede
reordenarse para formar grupos adimensionales:
Ésta es la ecuación de Ergun; que se muestra en la figura 6.4-2 junto con las ecuaciones de Blake-Kozeny y de Burke-Plummer y datos experimentales. Se ha aplicado
exitosarnente a flujo gaseoso a través de columnas de relleno usando la densidad 5
del gas al promedio aritmético de las presiones finales. Nótese que Go es constante
a través de Ia columna, mientras vo cambia a través de ésta para un fluido compresible. Sin embargo, para grandes caídas de presión parece más adecuado aplicar
localmente la ecuación 6.4-12 expresando el gradiente de presión en forma diferencial.
La ecuación de Ergun no es sino una de tantas6 que se han propuesto para describir columnas de relleno. Por ejemplo, se informa que la ecuación de Tallrnadge7
proporciona una buena concordancia con datos experimentales sobre el intervalo
0.1 < (D,Go/p(l - E)) < lo5.
'C.P. Burke y W.B. Plummer, Ind. Eng. Chon., 20,1196-1200 (1928).
S. Ergun, Chem. Engr. Prog., 48,89-94 (1952).
1.E Macdonald, M.S. El-Sayed, K.Mow y E.A. Duiiien, Ind. Eng. Chem.Fundam., 18, 199-208 (1979).
J.A.Tallmadge, AlChE Joumnl, 16,1092-1093 (1970).
'
220 Capitulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
Figura 6.4-2 La ecuación de Ergun para flujo en lechos de relleno y las dos asíntotas relacionadas, la ecuacidn
de Blake-Kozenyy la ecuación de Burke-Plumrner [S. Ergun, Chem. Eng. Prog., 48,89-94 (1952)l.
El análisis anterior sobre lechos de reiieno ilustra cómo a menudo es posible
combinar soluciones de problemas elementales a fin de crear modelos útiles para
sistemas complejos. Las constantes que aparecen en los modelos se determinan entonces a partir de datos experimentales. A medida que se dispone de mejores datos,
es posible mejorar el modelado.
1.
2.
3.
4.
¿Cómo se generan a partir de datos experimentales las gráficas de factores de fricción contra
números de Reynolds y por qué son útiles?
Comparar y contrastar las curvas del factor de fricción para flujo en tubos y flujo alrededor
de esferas. ¿Por qué tienen formas diferentes?
En la figura 6.2-2, ¿por qué la curva de f contra Re para flujo turbulento esta arriba de la curva para flujo laminar en vez de estar abajo?
Analizar la afirmación hecha a continuación de la ecuación 4.2-38. Si se utiliza el radio
hidráulico medio para flujo laminar, ¿se pronostica una caída de presión demasiado alta o d e
masiado baja para un caudal de flujo dado?
Problemas 221
5.
6.
7.
8.
9.
¿Es posible usar correlaciones del factor de fricción para flujos no estacionarios?
¿Cuál es la relación, en caso de haber alguna, entre la ecuación de Blake-Kozeny (ecuación
6.4-9) y la ley de Darcy (ecuación 4C.3-2)?
Analizar el flujo de agua que circula en una manguera de jardín de hule de 1/ 2 pulg de di&metro conectada a una toma domiciliaria cuya presión disponible es de 70 psig.
¿Por qu6 la ecuación 6.412 se volvió a escribir en la forma de la ecuación 6.4-13?
Un locutor de beisbol dice: "debido a la alta humedad de hoy, la pelota no puede viajar tan
lejos por el aire húmedo como la haría en un día seco". Comente críticarnente esta afirmación.
PROBLEMAS
6A.1 Caída de presión necesaria para un tubo con accesorios. ¿Qué caída de presión se requiere para bombear agua a 20°C a través de un tubo de 25 cm de diámetro y 1234 m de longitud a razón de 1.97 m3/s? El tubo está a la misma elevación en todas partes y contiene
cuatro codos de radio estándar de 90" y dos codos de 45". La resistencia de un codo de radio
estándar de 90" es aproximadamente equivalente a la presentada por un tubo cuya longitud es de 32 diámetros; y ia resistencia de un codo similar de 45",la de un tubo de 15 diámetros de longitud. (Un método alternativo para calcular pérdidas en accesorios se proporciona
en 57.5.)
Respuesta: 4.7 X
6A.2
Id psi = 33 MPa
Diferencia de presión necesaria para flujo en un tubo con cambio de elevacidn (figura
6A.2). Debe bombearse agiia a 68°F a través de 95 pies de un tubo estándar de 3 pulg (de 3.068
pulg de diámetro interior) hacia un depósito superior.
a) ¿Qué presión se requiere en la salida de la bomba para suministrar agua al depósito superior a razón de 18 gal/min? A 68°F la viscosidad del agua es de 1.002 cp y su densidad es de
0.9982 g/rnl.
b) ¿Qué porcentaje de la caída de presión se requiere para superar la fricción del tubo?
Respuesta: a) 15.2 psig
Codo de 45",
1- 30'1
Codo de 45"
Bomba
50'
Figura 6A.2 Sistema de flujo en un tubo.
6A.3 Velocidad de flujo para una caída de presión dada, ¿Cuántos gal/h de agua a 68OF pueden entregarse a través de 1320 pies de longitud de un tubo liso de 6.00 p d g de diámetro
222
Capftulo 6 Transporte de interfase en sistemas isoténnicos
interior con una diferencia de presión de 0.25 psi? Supóngase que el tubo es "hidráulicamente liso".
a) Resolver por el método A del ejemplo 6.2-2.
b) Rtsulver por el método B del ejemplo 6.2-2.
Respuesta: 68 U.S. gal/min
6A.4
Movimiento de una esfera en un liquido. Una esfera hueca de 5.00 mm de diámetro con
una masa de 0.0500 g, se suelta en una columna de líquido y alcanza una velocidad terminal
de 0.500 cm/s. La densidad del líquido es 0.900 g/cm3.
La aceleraci6n local de la gravedad es
980.7 cm/s2. La esfera está suficientemente lejos de las paredes de la columna, de modo que
el efecto de éstas puede despreciarse.
a) Calcular la fuerza de resistencia sobre la esfera en dinas.
b) Calcular el factor de fricción.
C)
Determinar la viscosidad del liquido.
Respuestas: a) 8.7 dinas; b) f = 396; c) 3.7 g/cm
6A.5
.S
Diámetro de la esfera para una velocidad terminal dada.
a) Haga una construcción directa sobre la figura 6.3-1 para explicar cómo encontrar el diámetro D de la esfera que corresponde a valores dados de v , p, b, y g.
b) Vuelva a trabajar el problema 2A.4 usando la figura 6.3-1.
C)
6A.6
Vuelva a trabajar el inciso b) cuando la velocidad del gas es 10 pies/c.
Cálculo de la fracción de huecos de una columna de relleno. Un tubo de 146 pulg2 de
sección transversal y 73 pulg de altura está relleno de partículas esféricas de 2 mm de diámetro. Cuando a través de la columna se mantiene una dikrencia de presión de 158 psi, por
el lecho circula 60% de una solución acuosa de sacarosa a 20PC a 244 Ib/min. A esta temperatura, la viscosidad de la solución es 56.5 cp y su densidad es 1.2865 g/cm3. ¿Cuál es la
fracción de huecos del lecho? Analizar la utilidad de este método de obtenci6n de la fracción
de huecos.
Respuesta: 0.30
6A.7 Cálculo de las caídas de presión para flujo en tubos concéntricos. Para flujo entre tubos
concéntricos de superficies cilíndricas y diámetros D y KD (con K < 11, los factores de fricción
para flujos laminar y turbulento son
Laminar
Turbulento
donde el número de Reynolds está definido por
Re, = K
D(1. - d ( Ü Z ) p
P
Problemas 223
Los valores de G, H y K están dados como:l
La ecuación 6A.7-2 se basa en el problema 5C.2 y reproduce los datos experimentales dentro
de un margen de 3% hasta números de Reynolds de 20,000.
Verificar que, para flujo laminar desarrollado, las ecuaciones 6A.7-1 y 6A.7-3 con los valores tabulados de K son consistentes con la ecuación 2.4-16.
a)
b) Un ducto anular se forma a partir de superficies cilíndricas de diámetros de 6 pulg y
15 pdg. Se desea bombear agua a 60" a razón de 1500 pies3 por segundo. icuánta caída
de presión se requiere por unidad de longitud del conducto, si el anillo es horizontal? Usar la
ecuación 6A.7-2.
C)
Repetir el inciso b) usando el empirismo del "radio hidráulico medio"
6A.8 Fueaa sobre una torre de agua durante un ventarrón. Una torre de agua tiene un tanque
de almacenamiento esférico de 40 pies de diámetro. En un ventarrón de 100 mph, jcuál es la
fuerza del viento sobre el tanque esférico a O°C? Considere que la densidad del aire es
1.29 g/litro o 0.08 lb/pies3 y que su viscosidad es 0.017 cp.
Respuesta: 1.7 X lo4 lbf
..9
Flujo de un gas a través de una columna de relleno. Un tubo horizontal de 4 pulg de diámetro y 5.5 pies de longitud está relleno con esferas de vidrio de 1/16 pulg de diámetro, y
la fracción de huecos es 0.41. Por el tubo se bombeará bióxido de carbono a NOK, a cuya
temperatura se sabe que la viscosidad de éste es de 1.495 X
g/cm - s. ¿Cuál será la velocidad de flujo másico a través de la columna cuando las presiones de entrada y de salida son
25 atm y 3 atm, respectivamente?
Respuesta: 480 g/s
6A.10 Determinación del diámetro de un tubo. ¿Qué tamaño de tubo circular se requiere para
producir un caudal de flujo de 250 firkins (barriletes de cerveza = 9 galones imperiales) por
catorcena cuando hay una pérdida de presión de 3 x lo5 escrúpulos británicos (medida de
farmacéutico igual a 20 granos) por barleycorn al cuadrado (un barleycom es igual a la
longitud promedio de un grano de cebada o 1/3 de pulgada). El tubo es horizontal. (Los
autores agradecen al profesor R.S. Kirk de la Universidad de Massachussets, quien les dio a
conocer estas unidades antiguas.)
D.M. Meter y R.B. Bird, AlChE Joumal, 7,4145 (1961).
224
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
6B.1
Efecto del error en cálculos del factor de fricci6n. En un cálculo en que se us6 la fórmula
de Blasius para flujo turbulento en tubos, el número de Reynolds que se usó fue demasiado
bajo por 4%. Calcular el error resultante en el factor de fricción.
Respuesta: demasiado alto por 1%
68.2
Factor de fricción para flujo a lo largo de una lámina plana.2
a) En la ecuación 4.4-30 se proporciona una expresión para la fuerza de resistencia sobre
una lámina plana, mojada por tos dos lados. Esta ecuaci6n se dedujo usando la teoría de capa
límite luminar y se sabe que concuerda bastante bien con datos experimentales. Definir un
factor de fricción y un número de Reynolds, y obtener la relación de f contra Re.
b) Para flujo turbulento, al aplicar un tratamiento aproximado de capa límite basado en la distribución de velocidad de la potencia 1/7 se obtiene
Cuando 0.072 se sustituye por 0.074, esta relación describe la fuerza de resistencia dentro de
un error experimental para 5 x 105 < L v , ~ / <~ 2 X lo7. Expresar el factor de fricción correspondiente como una función del número de Reynolds.
6B.3
Factor de fricción para flujo laminar en una rendija. Usar los resultados del problema 2B.3
para demostrar que para el flujo laminar en una rendija delgada de espesor 2B el factor de
ficción es f = 12/Re, si el número de Reynolds se define como Re = 2 B ( ~ , ) p / ~Comparar
.
este resultado para f con el que se obtuvo a partir del empirismo del radio hidráulico medio.
6B.4 Factor de fricción para un disco giratorio.3 Un disco circular delgado de radio R está inmerso en un gran cuerpo de fluido de densidad p y viscosidad p. Si para que el disco gire a una
velocidad angular R se requiere un momento de torsión T,, entonces puede definirse un
factor de fricción f de manera semejante a la ecuación 6.1-1 como sigue,
donde definiciones razonables para K y A son K = i p ( f i R ) 2 y A = 2(7rR2). Una elección
idónea para el número de Reynolds para el sistema es Re = R 2 n p / p .
Para flujo laminar,un desarrollo exacto de capa límite da
Para flujo turbulen#o,al aplicar un tratamiento aproximado de capa límite basado en la distribuQ6n de velocidad de la potencia 1 / 7 se obtiene
Expresar estos resultados como relaciones entre f y Re.
6B.5 Flujo turbulento en tubos horizontales. Un fluido circula con velocidad de flujo másico w en
un tubo horizontal liso de longitud L y diámetro D como resultado de una diferencia de p r e
sión po - p ~ .Se sabe que el flujo es turbulento.
El tubo debe reemplazarse por otro de diámetro D/2 pero de la misma longitud. El mismo fluido debe bombearse a la misma velocidad de flujo másico w. ¿Qué diferencia de presión ser6 necesaria?
H.Schlichting, Boundary-hyer Theay, McCraw-Hill, Nueva York,7a. edición (1979),capítulo x x i
'T. von Kármán, ZeiCs. für angm. Math. u.Medi., 1,233-252 (1921).
Problemas 225
a) Usar la ecuación 6.2-12 como una ecuación conveniente para el factor de fricción.
b) iC6mo puede resolverse este problema usando la figura 6.2-2 si la ecuación 6.2-12 no es
apropiada?
Respuesta: a) Será necesaria una diferencia de presión 27 veces mayor.
6B.6
Insuficiencia del radio hidráulico medio para flujo laminar.
a) Para flujo laminar en un tubo conc6ntrico con radios KK y R, usar las ecuaciones 6.2-17 y
6.2-18 a fin de obtener una expresión para la velocidad medih en términos de la diferencia de
presión semejante a la expresión exacta dada en la ecuación 2.4-16.
b) $u&l es el porcentaje de error en el resultado del inciso a) para
K
=
4?
Respuesta: 49%
Esfera descendente en una región donde priva la ley de resistencia de Newton. Una esfera inicialmente en reposo en z = O cae por el efecto de la gravedad. Las condiciones son
tales que, después de un interna10 despreciable, la esfera cae con una fuerza de resistencia
proporcional al cuadrado de la velocidad.
a) Encuentre la distancia z que desciende la esfera como una función de f .
b) ¿Cuál es la velocidad terminal de la esfera? Suponer que la densidad del fluido es mucho
menor que la densidad de la esfera.
Respuesta: a) La distancia es z = ( 1 / ~ ln
~ ~
cosh
) cgf, donde c2 =
(0.44)(p/pe,f,a)(l/gR);
b) l / c
.8
Diseño de un experimento para verificar el diagrama de f contra Re para esferas. Se desea diseñar un experimento para probar el diagrama del factor de fricción en la figura 6.3-1
para flujo alrededor de una esfera. Especificamente, se quiere probar el valor graficado
f = 1 para Re = 100. Esto se hace dejando caer esferas de bronce
= 8 g/cm3) en agua
( p = 1 g/cm3, p = lo-* g/cm . S). ¿Qué diámetro de esfera debe usarse?
a) Deducir una fórmula que proporcione el diámetro requerido como una función de f, Re, g,
h, p y Pesfera para condiciones de velocidad terminal.
b) Insertar valores numéricos y encontrar el valor del diámetro de la esfera.
Respuesfas: a) D
68.9
=
3f ~e~ p2
S
'(pesfera - P ) P ~'
b) D
= 0.048 cm
Factor de fricción para flujo que circula en u n cilindro i n f i n i t ~E1
. ~flujo exterior que circula por un alindro largo es bastante diferente del flujo que circula por una esfera, y para
describir este sistema no puede usarse el mPtodo que se introdujo en 54.2. Se encontr6 que,
cuando el fluido se aproxima con una velocidad v,, la fuerza cinética que actúa sobre una
longitud L del cilindro es
Fk
=
4 7rpv, L
In (7.4 / Re)
G.K.Batchelor, An Introductwn f o Fluid Dynamic~,Cambridge University Press (1967), pp. 244-246,257-261.Para flujo
externo que pasa por ciiindros finitos, véase J. Happel y H. B~nner,Low Reynolds Number Hydmdynamics, Martinus Nijhoff,
La Haya (1983), pp. 227-230.
226
Capitulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
E1 número de Reynolds se define aquí como Re = Dv,p/p. La ecuación 613.9-1 es válida sólo
hasta aproximadamente Re = 1. En este intervalo de Re, ¿cuál es la fórmula para calcular el
factor de fricción como una función del número de Re~nolds?
6C.1
Tkayectorias bidiinensionales de partículas. Una esfera de radio R se lanza horizontalmente
(en la dirección x } a gran velocidad en aire quieto por arriba del nivel del suelo. Cuando la esfera sale del dispositivo lanzador, una esfera idéntica se deja caer desde la misma altura por
arriba del suelo (en la dirección y).
a) Desarrollar ecuaciones diferenciales a partir de las cuales puedan calcularse las trayect*
rias de Las partículas, y que permitan comparar el comportamiento de las dos esferas. Incluir
los efectos de fricci6n del fluido, y establecer la suposición de que pueden usarse factores de
fricción de estado estacionario (Psta es una "suposición de estado casi estacionario").
b) ¿Cuál esfera llegará primero al suelo?
¿La respuesta al inciso b hubiera sido la misma si los números de Reynolds de Ia esfera
hubieran estado en la región de la ley de Stokes?
C)
dv
Respuestas: 3 2 =
dt
dv =
Y
dt
3 'Y
8 R
-3%
4j-
8 R
'aire
,
'esfera
Pesfera
donde f = f(Re) según se indicó en la figura 6.3-1, con
6C.2
Efectos de pared para una esfera descendente en un ~ i l i n d r o . ~ - ~
a) Los experimentos sobre factores de fricción de esferas suelen realizarse en tubos cilíndn-
cos. Demostrar por análisis dimensional que, para una disposición así, el factor de fricción
para la esfera tendrá la siguiente dependencia:
Aquí Re = 2RvWp/p.,donde R es el radio de la esfera, v, es la velocidad terminal de la esfera, y Ralindro es el radio interior del cilindro. Para la región de flujo reptante, empíricamente se
ha encontrado que la dependencia de f respecto a R/Rcilindr0 puede describirse mediante la
corrección de Ladenburg-Faxén? de modo que
También se han estudiado los efectos de pared para gotas minúsculas de~cendentes.~
~p
R. Ladenburg, Ann. Physik (4), 23,447 (1907); H. Faxén, tesina, Uppsala (1921).Para análisis completos de efectos de
pared para esferas descendentes, véase J. Happel y H. Brenner, Lo?u Reynolds Number Hydrodynamics, Martinus Nijhoff,
La Haya (1983).
J.R. Strom y R.C. Kintner, AlChE Journal, 4,153-156 (1958).
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechan~cs,Pergamon, Oxford (1987), pp. 182-183.
Problemas 227
b) Diseñar un experimento para comprobar la gráfica para esferas en la figura 6.3-1. Seleccionar tamaños de esferas, dimensiones de cilindros y materiales apropiados para el experimento.
6C.3
Potencia d e entrada en un tanque agitado (figura. 6C.3).Demostrar por análisis dimensional que la potencia, P, impartida por un impulsor giratorio a un fluido incompresible en un
tanque agitado puede correlacionarse,para cualquier tanque específico y forma del impulsor,
por la expresión
Aquí N es el ritmo de rotación del impulsor, D es el diámetro del impulsor, t es el tiempo
contado a partir del inicio de la operación, y @ es una función cuya forma debe deteminarse experimentalmente.
Para la geometrfa que suele usarse y se muestra en la figura 6C.3, la potencia está dada por
la suma de dos integrales que representan las contribuciones de la resistencia de fricción del
cuerpo y el fondo del tanque cilíndrico y la resistencia de forma de los desviadores, respectivamente:
Aquí T, es el momento de torsión necesario para hacer girar el impulsor, S es el área superficial total del tanque, A es el área superficial de los desviadores (considerada positiva en el
lado "comente arriba" y negativa en el lado "comente abajo"), R es la distancia radial a cualquier elemento de superficie dS o dA desde el eje de rotación del impulsor, y n es la distancia
medida normahnente hacia el fluido desde cualquier elemento de superficie del tanque dS.
Ahora es posible obtener la solución deseada por análisis dimensional de Las ecuaciones
de movimiento y continuidad volviendo a escribir en forma adimensional las integrales de
arriba. Aquí conviene usar D, DN y p@D2 para la longitud, la velocidad y la presión características, respectivamente.
Impulsor
Vista superior
Desviador
Vista lateral
Figura 6C.3 Tanque agitado con un impulsor de seis aspas y
cuatro desviadores verticales.
6D.1 Factor de fricción para una burbuja en un líquido l i r n p i ~ .Cuando
~,~
una burbuja gaseosa
se mueve a través de un líquido, la masa del líquido se comporta como si estuviese en flujo
G.K. Batchelor, An Introduclion to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, (19671, pp. 367-370.
228
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
potencial; es decir, el campo de flujo en la fase líquida casi está dado por las ecuaciones
4B.5-2 y 43.5-3.
La fuerza de resistencia está estrechamente relacionada con la disipación de energía en la
fase líquida (véase la ecuación 4.2-18)
Demostrar que para flujo irrotacional, la expresión general para la disipación de energía
puede transformarse en la siguiente integral de superficie:
Luego, demostrar que al insertar los perfiles de velocidad de flujo potencial en la ecuación
6D.1-2 y usar la ecuación 6D.1-I, se obtiene
Un cálcuIo algo mejorado que toma en cuenta la disipación en la capa límite y en la estela turbulenta Ileva al siguiente ~esultado:~
Parece que este resultado se cumple bastante bien hasta un número de Reynolds aproximado
de 200.
9
D.W. Moore, J. FluidMech., 16,161-176 (1963).
Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas
con flujo isotérmico
7 .
Balance macroscópico de materia
97.2
Balance macroscópico de cantidad de movimiento
97.3
Balance macroscópico de cantidad de movimiento angular
57.4
Balance macmscópico de energía mecánica
57.5
Estimación de la pérdida viscosa
$7.6
Uso de los balances macrosrópicos para problemas de estado estacionario
7
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario
.
$7.8'
Deducción del balance macroscópico de energía mecánica
En las cuatro primeras secciones del capítulo 3 se presentaron las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. Estas ecuaciones se obtuvieron al escribir leyes de
conservación sobre un "sistema microscópico"; a saber, un pequeño elemento de volumen a través del cual circula e1 fluido. De esta forma se obtuvieron ecuaciones
diferenciales parciales para las variaciones en materia, cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energía mecánica en el sistema. El sistema microscópico no tiene superficies sólidas que lo limiten, y las interacciones del fluido con
superficies sólidas en sistemas de flujo específicos se explican mediante las condiciones límite que se establecen sobre las ecuaciones diferenciales.
En este capítulo escribimos leyes de conservación similares para "sistemas macroscópicos"; es decir, grandes piezas de equipo o partes de éste. En la figura 7.0-1 se
O
Q = Calor añadido
al sistema desde
Plano 2
W,,,= Trabajo reaüzado
sobre el sistema por el
entorno a través de las
partes móviles
Figura 7.0-1 Sistema
macroscópico de flujo donde el
fluido entra por el plano 1 y sale
por el plano 2. Para mantener
constante la temperatura del
sistema puede ser necesario
añadir calor a una velocidad Q.
La velocidad a la que el entorno
realiza trabajo sobre el sistema por
medio de las superficies móviles
es W,. Los símbolos ul y u2
denotan vectores unitarios en la
dirección del flujo en los planos 1
y 2. Las cantidades r, y r, son
vectores de posición que
proporcionan la ubicación de los
centros de los planos de entrada
y salida respecto a algún origen
de coordenadas designado.
229
230 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
muestra un sistema macroscópico de ejemplo. Los enunciados sobre balance para tal
sistema se denominan balances macroscópicos; para sistemas en estado no estacionario,
se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias, y para sistemas en estado estacionario, son ecuaciones algebraicas. Los balances macroscópicos contienen términos que
explican las interacciones de1 fluido con las superficies sólidas. El fluido puede ejercer fuerzas y momentos de torsión sobre las superficies del sistema, y el entorno puede realizar trabajo W,,, sobre el fluido por medio de las superficies móviles.
Los balances macroscópicos pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de variación al integrar éstas sobre todo el volumen del sistema de f l u j ~ : l < ~
j,,
balance macroscópico de materia
(ecuación de continuidad) dV
=
(ecuación de movimiento)dV
= balance macroscúpico de cantidad de
movimiento
.f,,
,1
(ecuación de cantidad de
movimiento angular) dV
= balance macroscópico de cantidad
(ecuación de energía mecánica) dV
= balance macrosc6pico de energía mdnica
de
movimiento angular
Los primeros tres de estos balances macroscópicos pueden obtenerse ya sea escribiendo directamente las leyes de conservación para el sistema macroscópico o efectuando
las integraciones indicadas. Sin embargo, para obtener el balance macroscópico de
energía mecánica, la ecuación de variación correspondiente debe integrarse sobre el
sistema macroscópico.
En 557.1 a 7.3 establecemos los balances macroscópicos de materia, cantidad de
movimiento y cantidad de movimiento angular escribiendo las leyes de conservación. En 57.4 presentamos el balance macroscópico de energía mecánica y posponemos
la deducción detallada hasta 97.8.En el balance macroscópico de energía mecánica
hay un término denominado "pérdida por fricción", y dedicamos 57.5 a métodos
para estimar esta cantidad. Luego, en s7.6 y 57.7 mostramos cómo el conjunto de balances niacroscópicos puede usarse para resolver problemas de flujo.
Los balances macroscópicos se han utilizado ampliamente en muchas ramas de
la ingeniería. Proporcionan descripciones globales de grandes sistemas sin entrar
mucho en los detalles de la dinámica de fluidos dentro de los sistemas. A menudo
son útiles para efectuar una apreciación inicial de un problema de ingeniería y para
hacer estimaciones de orden de magnitud de varias cantidades. Algunas veces se
utilizan para deducir relaciones aproximadas, que entonces pueden modificarse con
ayuda de datos experimentales para compensar términos que hayan sido omitidos
o sobre los cuales se tiene información insuficiente.
Al usar los balances mncroscópicos a menudo es necesario decidir qué términos
pueden omitirse, o bien estimar algunos de ellos. Para realizar lo anterior se requiere: i) intuición, basada en la experiencia que se tenga con sistemas semejantes, ii)
algunos datos experimentales sobre el sistema, iii) estudios de visuaJización de flujo, o iv) estimaciones de orden de magnitud. Esto será evidente cuando lieguemos a
estudiar ejemplos específicos.
Los balances macroscópicos utilizan casi todos los tópicos que se han abordado
hasta el momento; por consiguiente, el capítulo 7 constituye una buena oportunidad
para revisar los capítulos precedentes.
--
--
-
' R.B. Bird, C h m . Eng. Sci., 6,123-131 (1957);C h m . Eng. Educ., 27(2), 102-109 (primavera de 1993).
2J.C.Slattery y R.A. Gaggioli, Chnn. Eng. Sci., 17,8934395 (1962).
s7.1
Balance macroscópico de materia
231
97.1 BALANCE MACROSCÓPICO DE MATERIA
En el sistema que se muestra en la figura 7.0-1, el fluido entra al sistema en el plano
1 con sección transversal SI y sale por el plano 2 con sección transversal S2. La velocidad media es (vl)en el plano de entrada y (u2)en el plano de salida. En esta sección y en las siguientes presentamos dos suposiciones que no son muy restrictivas:
i) en los planos 1 y 2 la velocidad con ajuste de tiempo es perpendicular a la sección
transversal relevante, y ii) en los planos 1y 2 la densidad y &as propiedades físicas
son uniformes sobre la sección transversal.
Entonces, la ley de conservación de la materia para este sistema es
velocidad de
velocidad de
incremento de entrada de
materia
materia en el
P-1
velocidad de
salida de
materia en el
p h 2
Aquí m,,, = j p d ~es la masa total de fluido contenido en el sistema entre los planos
1 y 2. Ahora introducimos el símbolo w = p(v)S para la velocidad de flujo másico, y
la notación Aw = w 2- w1 (valor de salida menos valor de entrada). Así,'el balance
macroscópico de materia en estado no estacionario se convierte e11
Si la masa total de fluido no cambia con el tiempo, entonces se obtiene el balance macroscúpico de materia en estado estacionario
que es precisamente la afismacih de que la cantidad de materia que entra es igual
a la cantidad de materia que sale.
En el balance macroscópico de materia se usa la expresión "estado estacionario"
para indicar que la derivada respecto al tiempo del miembro izquierdo de la ecuación 7.1-2 es cero. Dentro del sistema, debido a la posibilidad de que haya partes móviles, inestabilidades de fiujo y turbulencias, bien puede haber regiones de flujo no
estacionario.
Vaciado de
esférico
.-
Un tanque esférico de radio R y su tubería de desagüe de longitud L y diámetro L) están llenos de un aceite espeso. En el instante f = O se abre la válvula en el fondo de la tubería de desagüe. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque? En la parte superior del tanque esférico hay
un respiradero. Ignorar la cantidad de aceite que se adhiere a la superficie interna del tanque
y suponer que el flujo en la iubería de desagüe es laminar.
Etiquetamos tres planos como en la figura 7.1-1 y hacemos que h(t)sea el nivel instantáneo del
líquido por arriba del plano 2. Luego, en cualquier instante t la masa total de liquido en la esfera es
232
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Respiradero
Plano 3
Figura 7.1-1 Tanque esférico con tubería de
desagüe.
que puede obtenerse usando cálculo integral. Debido a que nada del líquido cruza el plano
1, sabemos que w l = O. La velocidad de flujo másico de salida w2,según se determina a partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille, es
La fórmula de Hagen-Poiseuilk se dedujo para flujo en estado estacionario, pero aquí la usamos porque el volumen del líquido en el tanque cambia lentamente con el tiempo; éste es un
ejemplo de aproximación "de estado casi estacionario". Cuando las expresiones para mtot y
w 2 se sustituyen en la ecuación 7.1-2, se obtiene, luego de reordenar los términos,
Ahora abreviamos la constante en el miembro derecho de la ecuación como A. Es más fácil
integrar la ecuación si se hace el cambio de variable H = h + L, de modo que
Luego integramos esta ecuación entre t = O (cuando h = 2R o H
do k = O o H = L). Así se obtiene para el tiempo de vaciado
-
2R
+ L), y t = tvaciado (cuan-
donde A está dada por el miembro derecho de la ecuación 7.1-6. Nótese que este resultado se
obtuvo sin necesidad de hacer ningún análisis detallado del movimiento del fluido dentro de
Ia esfera.
57.2 Balance macroscitpico de cantidad de movimiento 233
Ahora aplicamos la ley de conservación de la cantidad de movimiento al sistema de
la figura 7.0-1, usando las dos mismas suposiciones que se mencionaron en la sección precedente, más dos suposiciones adicionales: iii) las fuerzas asociadas con e1
tensor de esfuerzo 7 se desprecian en los planos 1 y 2, ya que por regla general son
pequeñas en comparación con las fuerzas de presión 'en los planos de entrada y de
salida, y iv) la presión no varía sobre la sección transversal en los planos de entrada
y de salida.
Debido a que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, cada término en el balance debe ser un vector. Usamos los vectores unitarios ul y u2 para representar la dirección del flujo en los planos 1 y 2. Así, la ley de conservación de la
cantidad de movimiento queda como
velocidad de
incremento
de cantidad
de movimiento
velocidad dc
entrada de
cantidad de
movimiento
en el plano 1
velocidad de
salida de
cantidad de
movimiento
en el plano 2
fuerza de
presión
sobre
e1 fluido en
el plano 1
fuerza de
piesión
fuerza de la
superíkie
sobre
sólida
el fluido en cobre
el plano 2
el fluido
fuerza de
gravedad
sobre el
fluido
Aquí P,,, = j p v d v es la cantidad de movimiento total en el sistema. La ecuación establece que la cantidad de movimiento total dentro del sistema cambia debido a la
convección de la cantidad de movimiento hacia adentro y hacia afuera del sistema,
y debido a las diversas fuerzas que actúan sobre el sistema: las fuerzas de presión
en los extremos del sistema, la fuerza de las superficies sólidas que actúa sobre el
fluido en el sistema, y la fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido dentro de las
paredes del sistema. El subíndice "S+" sirve como recordatorio de la dirección de
la fuerza.
Al introducir los símbolos para la velocidad de flujo másico y el símbolo A, finalmente se obtiene la siguiente expresión para el balance macroscópico de cantidad de
movimiento e n estado no estacionario
Si la suma total de cantidad de movimiento en el sistema no cambia con el tiempo,
entonces se obtiene el balance macroscópico de cantidad de movimiento en estado estacionario
Nuevamente mencionamos que ésta es una ecuación vectorial. Es útil para calcular
la fuerza del fluido sobre las superficies sólidas, Ff+, como la fuerza sobre el codo
de un tubo o el aspa de una turbina. En realidad, en la ecuación 6.1-3 ya hemos utilizado una versión simplificada de la ecuación anterior.
Notas concernientes al flujo turbulento: i) Para flujo turbulento se acostumbra
reemplazar (v) por (E) y (v2} por (3);
en e1 segundo caso se desprecia el término
(U'2), que por regla general es pequeño respecto a (3).
ii) Además, luego sustituimos
(7?)/(5)por ( E ) . El error al hacer esto es bastante pequeño; para el perfil de velocidad
234 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
5
empírico de la ley de la potencia proporcionado en la ecuación 5.1-4, (??)/(E) =
g(E),
de modo que el error es de aproximadamente 2%. iii) Cuando se hace esta su49
posición, para simplificar la notación suelen eliminarse los paréntesis angulares y
Ias barras superiores. Es decir, se hace que (Zl) v1 y (E:)
u:, con simpIificaciones
semejantes para las cantidades en el plano 2.
c a a m
ir=-
EJEMPLO 7.2-1
Fuerza ejercida
por un chorro
(Parte a)
!
Un chorro turbulento de agua sale de un tubo de radio Rl = 2.5 cm con una velocidad v, =
6 m/s, como se muestra en la figura 7.2-1. El chorro choca contra un montaje de disco y varilla de masa m = 5.5 kg, que es libre de moverse verticalmente. Se desprecia la fricción entre
la varilla y el manguito. Encontrar la altura h a la que el disco "flotará" como resultado del
ch0rro.l Suponer que el agua es incomp~esible.
Para resolver este problema es necesario imaginar cómo se comporta el chorro. En la figura
7.2-la se supone que el chorro tiene un radio constante, Rl, entre la salida del tubo y el disco,
mientras que en la figura 7.2-lb se supone que el chorro se dispersa ligeramente. En este
ejemplo hacemos la primera suposición, y en el ejemplo 7.4-1 explicaremos la dispersi6n del
chorro.
Aplicamos la componente z del balance de cantidad de movimiento en estado estacionario
entre los planos 1 y 2. Los términos de la presión pueden omitirse, ya que la presión es atmosférica en ambos planos. La componente z de la velocidad del fluido en el plano 2 es cero. Así,
el balance de cantidad de movimiento se vuelve
Al despejar h, en la ecuación anterior se obtiene (en unidades SI)
Montaie de disco v
riiia con masa
Figura 7.2-1 Bocetos
correspondientes a las dos
soluciones del problema
del chorro y disco. En a se
supone que el chorro de
agua tiene un radio
uniforme R1. En b se da
una tolerancia para la
dispersión del chorro de1
líquido.
' K.Federhofer, Aujgaben aus der Hydromechnik, Springer-Verlag, Viena (1954), pp. 36 y 172.
57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento andar 235
7 3
BALANCE MACROSC~PICODE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
El desarrollo del balance macroscópico de cantidad de movimiento angular es comparable al del balance de cantidad de movimiento (lineal) de la sección precedente.
Todo lo que debe hacerse es reemplazar "cantidad de movimiento" por "cantidad
de movimiento angular" y "fuerza" por "momento de torsión".
Para describir la cantidad de movimiento angular y el momento de torsi6n es
necesario elegir un origen de coordenadas respecto al cual se evalúan estas cantidades. El origen se designa por "0"en la figura 7.0-1, y las ubicaciones de los puntos
medios de los pianos 1y 2 respecto a este origen están dadas por los vectores de posición rl y r2 '7
Nuevamente se hacen las suposiciones (i)-(iv) que se presentaron en 997.1 y 7.2.
Con estas suposiciones, la velocidad de entrada de cantidad de movimiento angular
al plano 1,que es j[r x pv](v - u)dS evaluada en ese plano, se vuelve P 1 ( v ~ ) S l [X~u1],
con una expresión semejante para la velocidad a la que la cantidad de movimiento
angular sale del sistema en 2.
Ahora es posible escribir el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular
en estado no esfacionariocomo
velocidad de
incremento
de cantidad
de movimiento
angular
velocidad de enhada
de cantidad de
movimienio angular
en ol plano 1
momento de
torsi6n debido
a la presi6n
wbre el fluido
en el plano 1
momento de
torsih debido
a la presión
sobre el Buido
en el plano 2
velocidad de salida
de cantidad de
movimiento angular
en el plano 2
momento de momento de
torsión de la torsi6n externo
superficie
&re el fluido
d i d a sobre
el fluido
Aquí L,,, = Ip[r x v]dV es la cantidad de movimiento angular total dentro del sistema, y Te,, = j[r x pg]dV es el momento de torsión sobre el fluido en el sistema que
resulta de la fuerza de gravedad. Esta ecuación también puede escribirse como
Finalmente, el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular en estado estacionario es
que proporciona el momento de torsión ejercido por el fluido sobre las superficies
sólidas.
236 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotkrmico
Momento de torsión en
un recipiente
mezclador
Un recipiente mezclador, que se muestra en la figura 7.3-1, opera en estado estacionario. E]
fluido entra tangencialmente al plano 1 en flujo turbulento con una velocidad v, y sale a través del tubo vertical con una velocidad v2. Debido a que el tanque tiene desviadores, el fluido no presenta movimiento de remolino en el tubo vertical de saiida. Encontrar el momento
de torsión ejercido sobre el recipiente mezclador.
El origen del sistema de coordenadas se toma en el eje del.tanque, en un plano que pasa por
el eje de1 tubo de entrada y es paralelo a la parte superior del tanque. Así, el vector [rl x ul]
es un vector que apunta en la dirección z con magnitud R. Además [r2 X u21 O, ya que los
dos vectores son colineales. Para este problema, la ecuación 7.3-3 da
-
AsÍ, el momento de torsión es justamente "fuerza X brazo de palanca", como sería de esperar. Si e1 momento de torsión es suficientemente grande, eI equipo debe sujetarse de manera
adecuada para que soporte el momento de torsión producido por el movimiento del fluido y
la presión de entrada.
Vista lateral
El origen de las coordenadas estd
en el eje del tanque en un plano
que pasa por el eje del tubo de
entrada y es paralelo a la parte
superior de! tanque
El drea de la sección
El área de la secció
l
I
K
Vista superior
I
Figura 7.3-1 Momento de torsión sobre un tanque; se muestran las vistas lateral y superior.
1
57.4 Balance macroscópico de energía mecánica 237
Las ecuaciones 7.1-2, 7.2-2 y 7.3-2 se establecieron aplicando las leyes de conservación de la materia, la cantidad de movimiento (lineal) y la cantidad de movimiento
angular sobre el sistema macroscópico de la figura 7.0-1. Los tres balances macroscópicos obtenidos de este modo corresponden a las ecuaciones de variación en las .
ecuaciones 3.1-4, 3.2-9 y 3.4-1 y, de hecho, son muy parecidos en estructura. Estos
tres balances macroscópicos pueden también obtenerse integrando las tres ecuaciones de variación sobre el volumen del sistema de flujo.
A continuación queremos establecer el balance macroscópico de energía mecánica, que corresponde a la ecuación de energía mecánica en la ecuación 3.3-2. No
hay forma de hacer esto directamente como hicimos en las tres secciones precedentes, ya que no hay ley de conservación de la energía mecánica. En este caso debemos
integrar la ecuación de variación de la energía mecánica sobre el volumen del sistema de flujo. El resultado, en el que se usaron las mismas suposiciones (i-iv) de
antes, es el balance macroscópico de energia mecánica en estado no estacionario (también
denominado ecuación ingenieril de Bernoulli). La ecuación se deduce en 57.8; aquí
planteamos el resultado y analizamos su significado:
velocidad de incremento
de las energias cinética
y potencial en el sistema
velocidad neta a la que el
entorno realiza trabajo sobre
el fluido en los planos 1 y 2
por medio de la pmión
velocidad a la que las energías
cinética y potencial entran en
el sistema en el plano 1
velocidad
a la que las
superficie
móviles
realizan
trabajo
sobre el
fluido
velacidad a la que las energias
cinética y potencial salen del
sistema en el plano 2
velocidad a la que
aumenta o disminuye
la energfa mecánica
debido al
ensanchamiento
o la compresiiin
del fluido
velocidad a la que
disminuye la energía
mecánica debido a la
disipaci6n viscosa'
Aquí K,, = Iipv2dV y @
=,,
jp& dV son las energías cinética y potencial totales dentro del sistema. Según la ecuación 7.4-1, la energía mecánica total (es decir, cinética
más potencial) cambia debido a una diferencia entre las velocidades de adición y la
eliminación de energía mecánica, debido al trabajo realizado sobre el fluido por el entorno y a los efectos de compresibilidad, así como a la disipación viscosa. Nótese que,
en la entrada del sistema (plano l), la fuerza p,S1 multiplicada por la velocidad (ul)
proporciona la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido. Además, W,
es el trabajo realizado por el entorno sobre el fluido por medio de superficies móviles.
Ahora, el balance macroscópico de energía mecánica puede escribirse de manera más breve como
donde los términos E, y E, se definen como sigue:
Esta interpretación del término es váiida sólo para fluidos newtonianos; los líquidos polimericos tienen
elasticidad y para estos no se aplica la interpmtación que se proporciona aquí.
238 Capítulo 7 Balances macrosc6picos para sistemas con flujo isotérrnico
El término compresión E, es positivo en compresión y negativo en ensanchamiento; e,
cero cuando se supone que el fluido es incompresible. El término E, es el témino
la disipación viscosa (o de pérdida porfiicción), que siempre es positivo para líquidos
newtonianos, como puede verse a partir de la ecuación 3.3-3. (Para fluidos polhb
ricos, que son viscoel~sticos,E, no necesariamente es positivo; estos fluidos se aria.
lizan en el siguiente capítulo.)
Si la energía cinética total más la energía potencial total en el sistema no cambia
con el tiempo, se obtiene
que es el balance macroscópico de energiá mecánica en estado estacionario. Aquí h es la altura por arriba de algún plano dado elegido arbitrariamente.
Luego, si se supone que es posible trazar una línea de flujo de corriente representativa que pase por el sistema, es posible combinar los términos A(p/p) y E, para obtener la siguiente relación aproximada (véase 57.8).
Luego, al dividir la ecuación 7.45 entre w,= w, = w, se obtiene
Aquí w,,, = W J w yE, = E&. La ecuación 7.4-7 es la versión que más se utiliza del
balance de energía mecánica en estado estacionario. Para sistemas isotérmicos, el
término de la integral puede calcularse en la medida en que se cuente con una expresión para la densidad como una funcibn de la presión.
La ecuación 7.4-7 debe compararse ahora con la ecuación 3.5-12, que es la ecuación "clásica" de Ekrnoulli para un fluido no viscoso. Si, en el miembro derecho de
realizado por e1 entorno y se
la ecuación 3.5-12, simplemente se suma $1 trabajo
resta el término de la disipación viscosa E, y las velocidades vuelven a interpretarse como promedios idóneos sobre las secciones transversales, entonces se obtiene la
ecuación 7.4-7. Esto constituye un "argumento de plausibilidad" para la ecuación
7.47 y sigue preservando la idea fundamental de que el balance macroscópico de
energía mecánica se deduce a partir de la ecuación de movimiento (es decir, a partir de la ley de conservación de la cantidad de movimiento). Para quienes estén interesados en esta cuestión, en 57.8 se proporciona la deducción completa del balance
macroscópico de energía mecánica.
Notas para flujo turbulento: i) Para flujos turbulentos se sustituye (v3) por (E?, y
se ignora .la contribución de las fluctuaciones turbulentas. ii) Es práctica común
reemplazar el cociente ($)/(v) por (ü)2.Para el perfil de velocidad empírico de ]a
ley de la potencia que se proporciona en la ecuación 5.1-4,puede demostrarse que
(d)/(v)
= $$!(E)2,
de modo que el error equivale aproximadamente a 6%.iii) A d e
más, se omiten los paréntesis angulares y las barras superiores para simplificar la
notación en flujo turbulento.
57.4 Balance macroscópico de energla mecánica
239
Continuar el problema del ejemplo 7.2-1 explicando la dispersión del chorro a medida que se
mueva hacia arriba.
Fu@r m
pir
c P o r T t
icrcik
bI
Ahora dejamos que el diámetro del chorro aumente con el incremento de z, como se muestra
en la figura 7.2-l(b). Es conveniente trabajar con tres planos y hacer balances entre pares de
planos. Se considera que la separación entre los planos 2 y 3 es muy pequeña.
Al hacer un balance de materia entre los planos 1 y 2 se obtiene
Luego aplicamos el baIance d e energía mecánica d e la ecuación 7.4-5 o la ecuación 7.4-7 entre los dos mismos planos. Las presiones en los planos 1 y 2, ambas, son atmosféricas, y las
partes móviles no realizan trabajo W,. Se supone que el término de ia disipación viscosa E,
puede despreciarse. Si z se mide hacia arriba desde la salida del tubo, entonces gAh = g(h2 h l ) .=. g(h - O), ya que los planos 2 y 3 están muy próximos entre sí. Por tanto, el balance de
energía mecánica resulta en
Ahora aplicamos el bahnce de cantidad de movimiento en la dirección z entre los planos 2 y
3. Debido a que la región es muy pequeña, despreciamos el ultimo témino en la ecuación 7.2-3.
Ambos planos están a presión atmosférica, de modo que 10s términos de la presión no cantnbuyen. L
a velocidad del fluido es cero en el plano 3, de modo que en el balance de cantidad de movimiento sólo quedan dos términos
Con base en las tres ecuaciones de arriba se obtiene
a partir de la ecuación 7.4-9
2
a partir de la ecuación 7.4-10
a partir de la ecuación 7.4-8
(7.4-11)
donde se conocen mg y ulw, = .riR:pvf. Cuando los valores numéricos se sustituyen en la
ecuación 7.4-11, se obtiene h = 0.77 m. Quizit este resultado es mejor que el valor de 0.87 m
que se obtuvo en el ejemplo 7.2-1, ya que explica la dispersión del chorro. Sin embargo, no
hemos considerado la adhesion del agua al disco, que proporciona al montaje del disco y la
varilla una masa efectiva algo mayor. Además, se ha despreciado la resistencia a la fricción
de la varilla en el manguito. Es necesario correr un experimento para valorar la validez de la
ecuación 7.4-10.
240 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotennico
57.5 ESTIMACI~N
DE LA PÉRDIDA VISCOSA
Esta sección trata los métodos para estimar la pérdida viscosa (o pérdida por fnG
ción), E, que aparece en el balance macroscópico de energía mecánica. La expresih
general para E, se proporciona en la ecuación 7.4-4. Para fluidos newtonianos in.
compresibles, la ecuación 3.3-3 puede usarse para volver a escribir E, como
que muestra que es la integral de la velocidad local de disipación viscosa sobre el
volumen de todo el sistema de flujo.
Ahora se desea estudiar E, desde el punto de vista del análisis dimensional.
cantidad @, es una suma de cuadrados de gradientes de velocidad; por tanto, su
dimensiones son las de ( v ~ / I ~donde
) ~ , v,, y lo son una velocidad y una longitud ca.
racterísticas, respectivamente. Por tanto, es posible escribir
donde 6, = (1, J U ~ ) ~ @y, df' = ló3dV son cantidades adimensionales. Si se usan 10s
argumentos dimensionales de 933.7 y 6.2, observamos que la integral en la ecuaci6n
7.5-2 depende sólo de los varios grupos adimensionales que hay en las ecuaciones
de variación y de varios factores geométricos que entran en las condiciones lúnite
Por tanto, si el único grupo adirnensional significativo es un número de Reynolds,
Re = Iov@/p,entonces la ecuación 7.5-2 debe tener la forma general
una función adimensional de Re
y varias relaciones geométricas
(7.5-3)
Enjujo en estado estacionario es preferible trabajar con Ia cantidad E, = E,/w, donde
w = p(v)S es la velocidad de flujo másico que pasa por cualquier sección transversal
del sistema de flujo. Si se elige que la velocidad de referencia vo sea (u) y que la
longitud de referencia lo sea V?, entonces
donde e,, el factor de pérdidas porfricción, es una función de un número de Reynolds
y de relaciones geométricas adirnensionales relevantes. El factor f se ha introducido
de conformidad con la forma de otras ecuaciones relacionadas. Ahora queremos resumir lo que se sabe sobre el factor de pérdidas por fricción para las diversas pade
de un sistema de tubería.
Para un conducto recto, el factor de pérdidas por fricción está estrechamente
lacionado con el factor de fricción. Consideramos sólo el flujo estacionario de
fluido de densidad constante en un conducto recto de sección transversal S arbitra*
ria pero constante, y longitud L. Si el fluido circula en la dirección zbajo el efecto df
un gradiente de presión y de la gravedad, entonces las ecuaciones 7.2-2 y 7.4-7
convierten en
(cantidad de movimiento en la dirección z ) Fe,
(energía mecánica)
=
(pi
- p2)S + (pSL)g,
(7.5-5;
97.5
Estimación d e la pérdida viscosa
241
Al multiplicar por pS la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene
Si, además, el flujo es turbulento, entonces puede usarse la expresión para Ff+, en téxminos del radio hidráulico medio Rh (véanse las ecuaciones 6.2-16 a 6.2-18) de modo que
donde f es el factor de fricción que se analizó en el capítulo 6. Debido a que esta
ecuación es de la forma de la ecuación 7.5-4, para flujo turbulento en secciones de
tubena recta con sección transversal uniforme, se obtiene una relación simple entre
el factor de pérdidas por fricción y el factor de fricción
Un tratamiento semejante para conductos de sección transversal variable
encontrarse en el problema 7B.2.
La mayor parte de los sistemas de flujo contienen varios "obstáculos", como
accesorios, variaciones repentinas de diámetro, válvulas o aparatos para medir el
flujo. Estos obstáculos también contribuyen a la pérdida por fricción E,. Tales resistencias adicionales pueden escribirse en la forma de la ecuación 7.5-4, con e, determinado por uno de dos métodos: ca) solución simultánea de los balances macroscópicos
o b) mediciones experimentales. En la tabla 7.5-1 se muestran algunos valores aproTabla 7.5-1
Breve resumen d e los factores d e pérdida por fricción para utilizar con la
ecuación 7.5-10
(Valores aproximados para flujo t ~ r b u l e n t o ) ~
e,
Perturbaciones
Cambios repentinos en el área d e la sección transversalb
Entrada al tubo redondeada
Contracción repentina
Ensanchamiento repentinoC
Orificio (de borde afilado)
Accesorios y válvulas
Codos de 90" (redondeados)
Codos de 90" (cuadrados)
Codos d e 45"
Válvula esférica (abierta)
Válvula de compuerta (abierta)
-
-
-
-
0.4-0.9
2.3-1.9
0.3-0.4
6-10
0.2
-
-
-
Tomados de H Kramers, Physische Transportversch~~nselen,
Technische Hogeschool Delft, Holanda
(19581,pp. 53-54.
Aquí p = (área de la sección transversal menor)/(área de la sección transversal mayor)
Véase la deducción a partir de los balances macroscópicos en e1 ejemplo 7.6-1 Si p = 0, entonces
fu = f donde <u> es la velocidad corriente arriba a partir del ensanchamiento.
a
242 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isoténnico
ximados de e, para Ia convención de que (u) es la velocidad media corriente abajo
desde la perturbación. Estos valores de e, son parapujo turbulento en el que la de.
pendencia respecto al número de Reynolds no es demasiado importante.
Ahora ya es posible volver a escribir la ecuación 7.4-7 en la forma aproxima&
que suele usarse para cálculos depujo turbulento en un sistema compuesto por va.
rios tipos de tubería y resistencias adicionales:
operación suma sobre
todas las secciones de
tramos redos
operación suma sobre
todos los accesorios,
v&lvuks,medidom, etc.
Aquí Rh es el radio hidráulico medio que se definió en la ecuación 6.2-16, f es el factor de fricción que se definió en la ecuación 6.1-4 y e, es el factor de pérdidas por
fricción que se proporciona en la tabla 7.5-1. Nótese que vl y v2 en el primer término se refieren a las velocidades en 10s planos 1 y 2;la v en la primera operación suma es la velocidad media en el i-ésimo segmento de la tubería; y la v en la segunda
operación suma, es la velocidad media corriente abajo a partir del i-ésimo accesorio,
válvula u otro obstáculo.
para el flujo en una
tubería
¿Qué potencia es necesaria para bombear agua en estado estacionario en el sistema que se
= 1.0 cp) debe suministrarse
muestra en la figura 7.5-l? El agua a 68 "F ( p = 62.4 lb,/pies3;
al tanque superior a razón de 12 pies3/min. Toda la tubería está constituida por tubos circw
lares lisos de 4 pulg de diámetro interior.
Figura 7.5-1 Flujo en una tubería con pérdidas por fricción debido a los accesorios. Los planos l .
y 2 están justo abajo de la superficie del líquido.
57.5 Estimación de la pérdida viscosa 243
soLUCION
La velocidad media en la tubería es
-
W/P
(12/60) = 2.30 pies/s
(v) = 7
rR2
d1/6)
y el número de Reynolds es
Por tanto, el flujo es tu$ulmto.
La contribución a E, de los distintos segmentos d e la tubería es
La contribución a E,de la contracción repentina, los tres codos de 90n y el ensanchamiento repentino (véase la tabla 7.51) es
Así, por la ecuación 7.5-10 se obtiene
Al despejar W, se obtiene
Éste es el trabajo (por unidad de masa de fluido) realizado sobre el fluido en la bomba. Por tanto, la bomba realiza un trabajo de 2830 pies2/$, o 2830/32.2 = 88 pies lb,/lb, sobre el fluido
que pasa por el sistema. Entonces, la veIocidad de flujo másico es
Por consiguiente,
-
W m w%
=
(12.5)(88)= 1100 pies Ib/s
que es la potencia entregada por la bomba.
=
2 hp = 1.5 kW
(7.5-18)
244 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotQmico
Tabla 7.6-1 Balances rnacroscópicos en estado estacionario para flujo turbulento en sistema,
isotérrnicos
-
Materia:
(6)
-
-
Cantidad de movimiento:
Z(vlwl + plSl)ul - z ( v 2 ~ 2+ ~ 2 s 2 ) ~+2
Cantidad de movimiento
Z(vlwl t p,S,)[rl x u11 - z(v2w2 + p2S2)[r2 X
angular:
= Ff+~
u21 + T e x t = Tf+s (O
Notas:
a) En todas las fórmulas de la tabla se suponen perfiles de velocidad planos.
b) Cwl = wlQ+ wlb + wlc + ..., donde wlQ= pl,vl,Sl,, etc.
c) h, y h2 son alturas por arriba de un plano dado arbitrario.
d) Todas las ecuaciones están escritas para flujo compresible; para flujo incompresible, E,
57.6
= 0.
USO DE LOS BALANCES MACROSCOPICOS
PARA PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO
En s3.6 vimos cómo al simplificar las ecuaciones de variación se establecen las ecuaciones diferenciales que permiten calcular los perfiles de velocidad y presión para
sistemas de flujo isotérmicos. En esta sección mostramos cómo usar el conjunto de
balances macroscópicos en estado estacionario a fin de obtener las ecuaciones alge
braicas para describir sistemas grandes.
Para cada problema empezamos con los cuatro balances macroscópicos. Al
mantener e1 rastro de los términos eliminados o aproximados, automáticamente se
tiene una lista completa de las suposiciones inherentes en el resultado final. Todos
los ejemplos que se proporcionan aquí son para flujo isotérrnico incompresible. La
suposición de incompresibilidad significa que la velocidad del fluido debe ser m e
nor que la velocidad del sonido en el fluido y que los cambios de presión deben ser
tan pequeños que sea posible despreciar los cambios de densidad resultantes.
Los balances macroscópicos en estado estacionario pueden generalizarse sin
problema para sistemas con mUltiples corrientes de entrada (denominadas la, lb,
lc,. ..) y múltiples corrientes de salida (denominadas 2a, 2b, 2c,. . .). Estos balances se
resumen en la tabla 7.6-1 para flujo turbulento (donde se considera que los perfiles
de velocidad son planos).
Aumento de presion Y
pérdida por ficción en
un ensanchamiento
brusco
Un fluido incompresible circula desde un pequeño tubo circular hacia un gran tubo en flujo
turbulento, como se muestra en la figura 7.6-1. Las áreas de las secciones transversales de 10s
tubos son SI y S2.Obtener una expresión para el cambio de presión entre los planos 1 y 2 Y
para la pérdida por fricción asociada con el ensanchamientobrusco en la sección transversal.
Sea = S1/SZ, que es menor que la unidad.
a) Balance de materia. Para flujo estacionario, al hacer el balance de materia se obtiene
w,= w, o bien,
plvISÍ = p2v2S2
(7.6-1)
s7.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
Plano 1
I
245
Piano 2
I
Tubo
sección trawversál
es de área SI
\Superficie en nf Y
-',
de arandela" de
&a S, - SI
Tubo tihdnco cuya
seccibn transversal
es de &ea S,
Figura 7.6-1 Flujo a tra1.6~d e
un ensanchamiento repentirio.
Para un fiuido de densidad constante, lo anterior queda como
b) Balance de cantidad de movimiento. La coniponente corriente abajo del balance de cantidad de movimiento es
La fuerza Ff,, consta de dos partes: la fuerza viscosa sobre las superficies cilíndrica y paralela a la dirección del flujo, y la fuerza de presión sobre la superficie en forma de arandela
justo a la derecha del plano 1 y perpendicular al eje del flujo. Despreciamos la primera coiitribución (por intuición) y consideramos que la posterior es p1(S2 - SI}al suponer que la presión sobre la superficie en forma de arandela es la misma que la del plano 1. Luego, usando
la ecuación 7.6-1, se obtiene
Al despejar la diferencia de presión se obtiene
o bien, en términos de la velocidad corriente abajo,
Nótese que el baIance de cantidad de movimiento pronostica (correctamente)un aumento eii
la presión.
Balance de cantidad de movimiento angular. Este balance no es necesario. Si toinamos t.1
origen de coordenadas sobre el eje del sistema en el centro de gravedad del fluido localiz'ido
entre los planos 1 y 2, entonces [rl x u*]y Ir2 X u21 son, ambos, cero, y sobre e1 sisteina d e
flujo no hay momentos de torsión.
c)
d) Balance de ene'gi'a mecúnica. No hay pérdida por compresión ni se realiza trabajo ri través de las partes móviles y tampoco hay cambio de elevación, de modo que
246
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Luego, al insertar la ecuación 7.64 para el aumento de presión se obtiene, después de mdenar los términos,
que es un elemento de la tabla 7.5-1.
En este ejemplo se ha mostrado cómo usar los balances macroscópicos para estimar el
factor de pérdidas por fricción para una simple resistencia en un sistema de flujo. Debido a
las suposiciones mencionadas después de la ecuación 7.6-3, los resultados en las ecuaciones
7.6-6 y 7.68 son aproximados. Si se requiere bastante precisión, es necesario introducir un factor de corrección basado en datos experimentales.
eyector líquidolíquido
En la figura 7.6-2 se muestra el diagrama de un eyector líquido-líquido. Se desea analizar la
mezcla de dos corrientes, ambas del mismo fluido, por medio de los balances mstcroscópicos,
Las dos corrientes de fluido se fusionan en el phno 1. La corriente l a tiene una veiocidad u.
y el área de su sección transversal es $S1, y k corriente 1b tiene una velocidad $uo y el área de
su sección transversal es :S1. El plano 2 corriente abajo se elige a una distancia suficiente pa.
ra que las dos corrientes ya se hayan mezclado y la velocidad es casi uniforme en v2. El flujoes turbulento y se supone que los perfiles de velocidad en los planos 1 y 2 son planos. En el
análisis siguiente se desprecia F
ya que se percibe que es menos importante que los o h s
términos en el balance de cantidadde movimiento.
a) Balance de materia. En estado estacionario, la ecuación A de la tabla 7.6-1 proporciona
o bien,
Por tanto, ya que SI
=
S2,esta ecuación da
para la velocidad de la corriente de salida. También se observa, para uso posterior, que w,,=
wzb= +w2
Figura 7.6-2 Flujo en una
bomba eyectora líquidolíquido.
57.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
247
b) Balance de cantidad de movimiento. A partir de la ecuación B de la tabla 7.6-1, la componente del balance de cantidad de movimiento en la dirección de flujo es
(vipwla + vlbWlb $ plsl)
'
- ( ~ 2 ~ ~ 2$ 2 ) = O
o bien, usando la relación al. final del inciso a),
a partir de 10 cual
Ésta es la expresión para el aumento de presión que resulta de la mezcla de las dos corrientes.
c)
Balance de cantidad de movimiento angular. Este balance no es necesario.
d) Balance de energía mecánica. La ecuación D de la tabla 7.6-1 da
o bien, usando la relación al final del inciso a), se obtiene
Por tanto.
es la disipación de energía por unidad de masa. El análisis precedente proporciona resulta-
dos bastante aceptables para bombas eyectoras líquido-líquido. Sin embargo, en eyectores
gas-gas la densidad varía de manera significativa y en el análisis es necesario incluir e1 balance macroscópico de la energía total, asi como una ecuación de estado. Esto se aborda en el
ejemplo 15.3-2.
Empuje 'Obre
un tubo
de
Por un codo de 60°, en el que hay una contracción de 4 a 3 pulg de diámetro interior, circula
agua a 95°C a razón de 2.0 ~ i e s ~(véase
/s
la figura 7.6-3). Calcular la fuerza ejercida sobre el
codo si la presión en el extremo corriente abajo es de 1.1 airn. La densidad y la viscosidad
del agua para las condiciones del sistema son 0.962 g/crn3 y 0.299 cp, respectivamente.
El número de Reynolds para e1 flujo en el tubo de 3 pulg es
2413
Capítulo 7 Balances macrosc6picoc para sistemas con flujo isotérmico
Salida de fluido
Piano 2
,
,t
i
-e-----
Fuerza ejercida por el
fluxdo sobre el codo
Figura 7.6-3 Fuerza de
reacción en un codo que se
angosta en un tubo.
de Repolds el flu@es altamente turbulento, de modo que es razonable la
para
suposición de perfiles de velocidad planos.
a) ~~l~~~~
Para flujo en estado estacionario, wl
de
=
w2.Si la densidad es constan-
te en todo el sistema,
donde p es la razón de la sección transversal menor a la sección transversal mayor.
mecánica. Para flujo incompresible estacionario, la ecuación D de la tab) ~~l~~~~ de
bla 7.6-1 se vuelve, para este problema,
Según la tabla 7.5-1Y la ecuación 7.5-4, podemos tomar la pérdida por fricción aproximada2 I 2) = iv;. Al insertar esto en la ecuación 7.6-20 y usar el balance de materia,
mente como 5(2v2
se obtiene
p, - p,
= pd(4 -
i p + i)-t @(h, - h,)
(7.621)
Ésta es la caída de presión a través del codo en términos de la velocidad conocida q y el factor geométrico @ conocido.
de mmimientu. Ahora es necesario considerar las componentes r y y
Balalrce de
del balance de cantidad de movclento. Los vectores unitarios de entrada y de
tienen
= 1, u 'Y = O, uz, = tos 8 y uZy = sen e.
componentes x y t j dadas por
~ ~
la componente
í ,
r del balance de cantidad de movimiento proporciona
C)
Fx = ( v ~ +upis1)
~ -(
+
~ ~ 7 pZs2)
4 ~ COS
~
%
(7.6-2V
donde FI es la ~ ~ m p o n e n ~ e x d Al
e Fintroducir
~+~
las expresiones específicas para w,y m, 4
obtiene
F = ~l(pvlsi)
- ~ ~ ' 2 COs
r ~ +~ pIs1
~ ~ - ~~ 2 )' 2 'Os
= &S,(B - COS 0) + + p l - p2)S1 + p2(S1- s2COS 0)
57.6
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
249
Al sustituir aquí la expresión para pl - p2 de la ecuacibn 7.6-21 se obtiene
La componente y del balance de cantidad de movimiento es
F = -(v2w2
Y
+ p2S2) sen 8 - m,,&
o bien,
FY = - W ~ ( ~ S , )sen
- ~ e - p2S2 sen 8 - rrR2Lpg
(7.6-26)
donde R y L son el radio y la longitud de un cilindro aproximadamente equivalente.
Ahora se tienen las componentes de la fuerza de reaccián en términos de cantidades cnnocidas. Los valores numéricos necesarios son
p = 60 Ib,/pies3
w
(2.0) 0) = 1201b,/s
=
cos 8
sen
p,
=
e=
=
f.
+~
16.2 lbf/pulg2
Así, con esos valores se obtiene
Por tanto, la magnitud de la fuerza es
IFI
= ~ = \ / 3 0 4 ~ + 2 3 4 ~ = 3 8 4 1 b ~ = 1 7 0 8 ~
El ángulo que esta fuerza hace con la vertical es
a = arctan(F,/F )
Y
=
arctan 1.30 = 52"
(7.6-30)
Al mirar en retrospectiva el cálculo, se observa que todos los efectos que se incluyeron son
importantes, con la posible excepción de los términos de la gravedad de 2.6 Ibfen F, y 2.5 lbf
en F,,.
250 Capítulo 7 Balances ma~oscópicospara sistemas con flujo isoténnico
Charro que incide
Un chorro rectangular de espesor bl de un fluido incompresible sale de una ranura de ancho
c, choca contra una lámina plana y se separa en dos corrientes de espesores b2, y b2b,corno se
muestra en la figura 7.6-4. La corriente turbulenta del chorro que brota, tiene una velocidad
vl y una velocidad de flujo másico wl.Encontrar las velocidades y las velocidades de flujo
másico en las dos corrientes sobre la lámina.'
Despreciamos la disipación viscosa y la gravedad, y suponemos que 10s perfiles de velocidad
de las tres corrientes son planos y que sus presiones son esencialmente iguales. Entonces, al
hacer los balances macroscópicos se obtiene
Balance de materia
WI =
W&
+ W2b
Balance de cantidad de movimiento (en dirección paralela a la lámina)
vIwi cos 8 = V=W& - ~~~w~~
Balance de energía mechnica
%wl
= $v&w&
+ i$2b~2b
Boquilla en forma
El fluido sale del
chorro con una
Velocidadv,
Velocidad de flujo másico
w2b
Figura 7.6-4 Chorro que incide contra una pared y se divide en dos corrientes. El punto 0, que
es el origen de coordenadas para el balance de cantidad de movimiento angular, se toma como la
intersección de la Iínea central del chorro de entrada y un plano que está a una altura Ib,.
'
Para soluciones alternativas de este problema, vease G.K.Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics,
Cambridge University Press (1967), pp. 392-394, y S. Whitaker, Introduction to Fluid Dynamics,Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J. (1968), p. 260. J.V. Foa, U.S. Patent 3,361,336 ( 2 de enero, 19681, proporciona una aplicación del
problema del chorro cmpresible que incide,Ahí se utiliza el hecho de que si La boquilla en forma de ranura se mueve a
la izquierda en la figura 7.6-4 (es decir, a la izquierda respecto a la lámina), entonces, para un fluido compresible, la
corriente derecha será más fría que el chorro y la corriente izquierda será más caliente.
57.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
251
Balance de cantidad de movimiento angular (el origen de coordenadas se coloca en la línea
central del chorro y a una altura de ibl; esto se hace así a fin d e que en el chorro de entrada
no haya cantidad de movimiento angular)
La ultima ecuación puede volver a escribirse para eliminar las b a favor de las w.Debido a
que w, = pu,b,c y w, = m2ab2a~,
podemos sustituir bl - b2, por (wl/pvlc) - ( w 2 n / ~ h cy)
reemplazar b, - b2b de manera correspondiente. Así, el balance de cantidad de movimiento
angular se convierte en
-
o bien,
Ahora se tiene que las ecuaciones 7.6-31,7.6-32,7.6-33 y 7.6-36 son cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Una vez que se resuelven estas ecuaciones, se obtiene
v, = v,
W2,= i w l ( l
vzb = u,
W Z b = fwl(l
+ cos 6)
-
COS
0)
Por tanto, las velocidades de las tres corrientes son iguales. El mismo resultado se obtiene al
aplicar la ecuación clásica de Bernoulli para e1 flujo de u n fluido no viscoso (véase el ejemplo
EJEMPLO 7.6-5
Flujo isotémico de un
líquido a través
de un orificio
Un método común para determinar la velocidad de flujo másico a través de un tubo es medir
la caida de presión a través de algún "obstáculo" en el tubo. Un ejemplo de esto es el orificio,
que es una lámina delgada con una perforación en el centro. Hay tomas de presión en los planos 1 y 2, corriente arriba y corriente abajo de la lámina con cl orificio. En la figura 7.6-5a se
muestra el medidor de orificio, las tomas de presión y el comportamiento general de los perfiles de velocidad como se observan experimentalmente. Se supondrá que el perfil de velocidad en el plano 2 es plano. En la figura 7.6-5b se muestra un perfil d e velocidad aproximado
en el plano 2, que usaremos en la aplicación de los balances macroscopicos. La ecuación normal del medidor de orificio se obtiene al aplicar los balances macroscópicos de materia y de
energía mecánica.
a) Balance de materia. Para u n fluido de densidad consiante con u n sistema para el que SI
= S, = S, el balance de materia en la ecuación 7.1-1 da
Con los perfiles de velocidad supuestos, lo anterior queda como
y el caudal volumétrico es w
=
p1S.
252 Capítulo 7 Balances macrosc6picos para sistemas con flujo isotérmico
S, = ceccibn transversal del cubo = S2
I
I
l
I
Piano0
Plano 2
Figura 7.6-5 a) Orificio de borde afilado, que muestra los perfiles de velocidad aproximados en
varios planos cerca de la lámina con el orificio. El chorro de fluido que sale de la perforación es
ligeramente menor que el orificio en si. En flujo altamente turbulento, este chorro se reduce a una
sección transversal mínima correspondiente al charro contraído. El valor de este estrechamiento
del chorro puede proporcionarse por el coeJiciente de contraccidn, C, = (Schom contraido/SO),.Cegún
la teoría de flujo no viscoso, C, = T/(T+ 2) = 0.611 si S0/S7 = O [ H . Lamb, Hydrodynamtcs,
Dover, Nueva York (19451, p. 991. Nótese que cerca de la pared hay algo de flujo de retroceso.
b) Para estimar ( v ~ ) / { u se
z ) us6 e1 perfil de velocidad aproximado en el plano 2 .
b) Balance de energia mecánica. Para u n fluido de densidad constante eri un sistema de flujo sin cambio de eIevaci6n ni partes mbvilec, la ecuación 7.4-5 d a
l(v3
~(V;):P*-PI ;&=o
2 (u*)
2' (VI)
P
La pérdida viscosa E, se omite, incluso si ciertamente no es igual a cero. Con IQS perfiles de
velocidad supuestos, entonces la ecuación 7.6-43 se convierte en
Cualido las ecuaciones 7.6-42 y 7.6-44 se combinan para eliminar vo, es posible despejar v , pa.
ra obtener
57.7 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario 253
Ahora es posible multiplicar por pS para obtener la ylocidad de flujo másico. Luego, para
explicar los errores que se introdujeron al despreciar E, y por las suposiciones concernientes
a los perfiles de velocidad, se incluye un coeficiente de descarga, Cd, y se obtiene
Los coeficientes de descarga experimentales se han correlacionado como una función de So/C
y el número de R e y n o l d ~Para
. ~ numeros de Reynolds mayores que lo4, Cd tiende aproximadamente a 0.61 para todos los valores prácticos de So/S.
Este ejemplo ha ilustrado el uso de los balances macroscopicos para obtener la forma general de1 resultado, que luego se modifica al introducir una función multiplicativa de gmpos
adimensionales para corregir errores introducidos por suposiciones no garantizadas. Esta
combinación de balances macroscópicos y consideraciones dimensionales se usa a menudo y
puede ser bastante útil.
$7.70 USO DE LOS BALANCES MACROSC~PICOS
PARA PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO
En la sección anterior s e ilustró el uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas d e estado estacionario. En esta sección nos dedicaremos a problemas d e
estado no estacionario. Proporcionamos d o s ejemplos para ilustrar el uso de las
ecuaciones de balance macroscópico dependientes del tiempo.
Un cilindro abierto de altura H y radio R está inicialmente lleno de un líquido. En el instante
t = O se deja que el líquido se vacíe por gravedad a través de un pequeño orificio de radio Ro
situado en el fondo del tanque (véase la figura 7.7-1).
estacionario desde un
tanque cilindrico
a) Encontrar el tiempo de vaciado usando el balance de materia en estado no estacionario y
suponiendo que la ecuación de Torricelli (véase el problema 38.14) describe la relación entre
la velocidad de vaciado y la altura instantánea del líquido.
b) Encontrar el tiempo de vaciado usando los balances de materia y de energía mecánica en
estado no estacionario.
a) Aplicamos la ecuación 7.1-2 al sistema de la figura 7.7-1, considerando que el plano 1 está
en la parte superior del tanque (de modo que w,= O). Si la altura instantánea del líquido es
h(t),entonces
G.L. Tuve y R.E. Sprenkle, Instrum<?nts,6,202-205,225, 232-234 (1935);véase también R.H. Perry y C.H.
Chiltcin, Cizemical Engineers' Handbook, McGraw-Hill, Nueva York, 5a. edición (1973), figura 5-18; Fluid Meters: Their
Theory and Applications, 6a. edición, American Society of Mechanical Engineers, Nueva York (19711, p p 58-65;
Measurement of Fluid Flow Using Small Bore Yrecision Orifice Meters, American Society of Mechaiical Engjneers,
MFC-14-M, Nueva York (1995).
254
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Salida de radio Ro
Figura 7.7-1 Vaciado de un tanque cilíndrico.
Aquí se ha supuesto que el perfil de velocidad en el plano 2 es plano. Según la ecuación de
Torricelli u2 =
m,de modo que la ecuación 7.7-1 se convierte en
Cuando lo anterior se integra desde t = O hasta t =,,,t
se obtiene
donde N = (R/R# >> 1. Ésta es efectivamente una solución de estado casi estacionario, ya
que se ha utilizado el balance de materia en estado no estacionario junto con la ecuación de
TorricelIi, que se dedujo para flujo en estado estacionario.
b) Ahora se usan la ecuación 7.7-1 y el balance de energia mecánica en la ecuación 7.4-2.
En éste, los términos W, y E, son también cero, y se supone que E" es muy pequeño y despreciable, ya que los gradientes de velocidad en el sistema también lo serán. Tomamos el
plano dado para la energía potencial como si estuviese en el fondo del tanque, de modo que
&, = gz2 = O; en el plano 1 no entra líquido, y por consiguiente el término de la energía potencial no se necesita ahí. Debido a que la parte superior del tanque se encuentra abierta a
la atmósfera y a que el tanque se vacía hacia ésta, las contribuciones de presión se cancelan
entre sí.
Para obtener la energía cinética total en el sistema en cualquier instante t, es necesario conocer la velocidad de todo elemento del fluido en el tanque. En cualquier punto en el tanque, se
supone que el fluido se está moviendo hacia abajo a la misma velocidad; a saber, U ~ ( R , / R ) ~ ,
de modo que la energía cinética por unidad de volumen es en todas partes +&(R,/R)~.
Para obtener la energía potencial total en el sistema en cualquier instante t, es necesario
integrar desde O hasta h la energía potencial por unidad de volumen pgz sobre el volumen del
fluido. Así se obtiene ~ R ' ~ g ( ~ h ~ ) .
Por consiguiente, el balance de energía mecánica en la ecuación 7.4-2 se convierte en
A partir del balance de materia en estado no estacionario, u2 = - ( ~ / ~ ~ ) ~ ( d hCuando
/ d t ) . esto se inserta en la ecuación 7.7-4, se obtiene (luego de dividir entre dhjdt)
97.7 Uso de los balances macrosc6picos para problemas de estado no estacionario 255
Esto debe resolverse con las dos condiciones iniciales:
C.I. 1:
en t = 0,
C.I. 2:
en t = O,
h=H
@=J~~H(R,,/R)~
dt
(7.7-6)
(7.7-7)
La segunda de estas expresiones es la ecuación de Torricelli en el instante de tiempo inicial.
La ecuación diferencial de segundo orden para h puede convertirse en una ecuación de
primer orden para la función u(h)haciendo el cambio de variable (dh/dt)2 = u. Así se obtiene
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación de primer orden es1
Entonces, la segunda condición inicial da C = -4g/lN(N - 2)HN-2] para la constante de integración; debido a que N >> 1, no es necesario preocuparse por el caso especial cuando N = 2.
A continuación es posible extraer la raíz cuadrada de la ecuación 7.7-9 e introducir una altura adimensional 7 = h / H del líquido; así se obtiene
donde el signo menos debe elegirse con base en consideraciones físicas. Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables se puede integrar desde t = O hasta t = tvacibdo
para llegar a
La función ~ Nproporciona
)
la desviación respecto a la solución de estado casi estacionario
que se obtuvo en la ecuación 7.7-3.Esta función puede evaluarse como sigue:
'
Véase E. Kamke, Di~erentialgleichungen:Liisungsrnethoden und Losungen, Chelsea Publishing Company, Nueva
York (19481, p. 321,t1.94; G . M . Murphy, Ordinary Differential Equations and Their Solutions, Van Nostrand, Princeton,
N.J.(19óO),p. 236, U157.
256 C a p í t u l ~ 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Ahora es posible efectuar las integraciones. Cuando el resultado se expande en potencias in.
versas de N, se encuentra que
Debido a que N = ( R / R ~es) ~un número muy grande, resulta evidente que el factor $(N) difiere sólo muy ligeramente de la unidad.
Se sugiere volver ahora a la ecuación 7.74 y omitir el término que describe el cambio con
el tiempo de la energía cinética total. Si se hace esto, se obtiene exactamente la expresión para el tiempo de vaciado en la ecuación 7.7-3 (o la ecuación 7.7-11, con $(N) = 1). Por consiguiente, podemos concluir que en este tipo de problema, el cambio de la energía cinética con
el tiempo puede despreciarse con toda seguridad.
Oscilaciones en un
manómetro2
El líquido contenido en un manómetro de tubo en U, inicialmente en reposo, se pone en me
vimiento repentinamente al aplicar una diferencia de presión p, - pb. Determinar la ecuación
diferencial para el movimiento del. fluido en el rnanómetro, suponiendo flujo incompresible
y temperatura constante. Obtener una expresión para eI radio del tubo al que ocurre amortiguamiento critico. Despreciar el movimiento del gas que está arriba del líquido en el manómetro. En la figura 7.7-2 se resume la notación.
Designamos el líquido manométrico como el sistema al que se aplicarán los balances macroscópicos. En ese caso no hay planos 1 y 2 de entrada y salida del líquido. Las superficies libres
del líquido son capaces de realizar trabajo W msobre el entorno, y así desempeñar el papel. de
las partes mecánicas móviles de 97.4. Aplicamos el balance de energía mecánica de la ecuación 7.4-2, con E, igual. a cero (porque el liquido en el rnanómetro se considera incompresible). Debido a la elección del sistema, ambas w l y w2son cero, de modo que los únicos
términos en el miembro derecho son W my -E,.
A fin de evaluar dKto,/dt y E, es necesario hacer algún tipo de suposición sobre el perfil
de velocidad. Aqui consideramos que el perfil de velocidad es parabólico:
donde (v) = & / d i es una función del tiempo, definida como positiva cuando el flujo es de izquierda a derecha.
Entonces, el término de la energía cinética puede evaluarse como sigue:
Para un resumen del trabajo experimental y teórico sobre oscilaciones en un manómetro, véase J.C.Biery,
AlChE lournal, 9,646-614(1963);10,551-557(1964); 15,631-634(1969).Los datos experimentales de Biery muestran
que la suposición hecha en la ecuación 7.7-14 no es muy buena.
57.7
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario 257
ve1 del
en t :
Area de la sección
'transversal
transversal S = TRZ
Figura 7.7-2 Oscilaciones
amortiguadas del fluido en
un rnanómetro.
Aquí 1 es una coordenada que varía a lo largo del eje del tubo del manómetro, y L es la distancia a lo largo de este eje desde una interfase del rnanómetro hasta la otra; es dec.ir, la longitud total del fluido en el manómetro. La coordenada adimensional 6 es r / R , y S es el área
de la sección transversal de1 tubo.
El cambio de energía potencial con el tiempo está dado por
"=a
1
dt
d t o o
L
7.n
loR
intregal sobre la
abajo de i-0.
que es constante
= d[(porci6n
dt
( p g ~ )dr
r d o di
+ *.S
K+H-R
rlz +
K+H-h
O
dz]
El término de pérdida viscosa también puede evaluarse como sigue:
Además, el trabajo neto realizado por el entorno sobre el sistema es
Luego, al sustituir los términos anteriores en el. balance de energía mecánica y hacer {v) =
dh/dt se obtiene la ecuación diferencial para h(t) como
258 Capítulo 7 %lances macroscÓpicos para sistemas con flujo isotérrnico
que debe resolverse con las condiciones iniciales de que h = O y d k / d t = O en t = O. Esta ecua.
ción diferencial lineal no homogénea de segundo orden puede hacerse homogénea introduciendo una nueva variable k definida por
Entonces la ecuación para el movimiento del líquido en el manómetro es
Esta ecuación también se presenta en la descripción del movimiento de una masa conectada
a un resorte y un amortiguador, y de la corriente que pasa en un circuito RLC (véase la a a ción C.1-7).
Ahora intentamos una solución de la forma k = Pt.Al sustituir esta función de ensayo
en la ecuación 7.7-21 se observa que hay dos valores admisibles para m:
y la solución es
k
=C
k
=
+ C-p - t
ClP1 + C2temt
cuando m # m+
cuando m+ = m-
=
m
donde las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales.
El tipo de movimiento que exhibe el líquido en el manómetro depende del valor del discriminante en la ecuación 7.7-22:
a) Si (6p/p~2)2> (6g/L),
el sistema está sobreamortiguado, y el líquido se mueve lentamente hacia su posición final.
b) Si (6p/p~2}2
< (6g/L),
el sistema está subamortiguado, y el liquido oscila alrededor de
su posición final con una amplitud cada vez menor.
C)
Si (6F/pR2)2
-
(6g/L),
el sistema está críticamente amortigundo, y el líquido se mueve
hacia su posición final en la forma monótona más rápida.
Así, el radio del tubo para el caso de amortiguamiento crítico es
Si el radio R del tubo es mayor que R,,
ocurre un movimiento oscilatorio.
En la ecuación 7.4-2 se presentó sin demostración el balance macroscópico de energía mecánica. En esta sección demostramos cómo se obtiene la ecuación al integrar
' R.B.Bird, Korean J. Chcm. Eng.,15,105-123(1998),§3.
57.8 Deducción del balance macroscópico de energia mecánica
259
la ecuación de variación para energía mecánica (ecuación 3.3-2) sobre todo el volumen del sistema de flujo de Ia figura 7.0-1. Empezamos por hacer la integración formal:
Luego aplicamos la fórmula tridimensional de Leibniz (ecuación A.5-5) al miembro
izquierdo y el teorema de divergencia de Gauss (ecuación A.5-2) a los términos 1,2
y 3 del miembro derecho.
El término que contiene a vs, la velocidad de la superficie del sistema, surge por la
aplicación de la fórmula de Leibniz. La superficie S(t) consta de cuatro partes:
e
la superficie fija Sf (donde ambas v y vs son cero),
las superficies móviles S, (donde v = vs son ambas diferentes de cero),
e
la sección transversal del puerto de entrada SI (donde vs = O),
la sección transversal de1 puerto de saiida S2 (donde vs
=
0).
Por ahora, cada una de las integrales de superficie se separará en cuatro partes correspondientes a estas cuatro superficies.
Ahora interpretamos los términos en la ecuación 7.8-2 y, en el proceso, introducimos varias suposiciones, mismas que ya se han mencionado en 597.1 a 7.4, pero
ahora se aclararán las razones por las que se establecieron.
El término en el miembro izquierdo puede interpretarse como la razón de cambio respecto ai tiempo de las energías cinética y potencial totales (K,,, + @), dentro del "volumen de control", cuya forma y volumen cambian con el tiempo.
A continuación analizamos uno por uno los cinco términos del miembro derecho:
El férrnino 1 (incluyendo el signo menos) contribuye sólo en los puertos de entrada y de salida y proporciona las velocidades de aporte y emisión de las energías
cinética y potencial:
- (+4(v23)S2
Término 1 = tipl(v~)S,f plQ>l(vl)~l)
+ p26Z(v2)~2)
(7.8-3)
Los paréntesis angulares indican un promedio sobre la sección transversal. Para
obtener este resultado debe asumirse que la densidad del fluido y la energía potencial por unidad de masa son constantes sobre la sección transversal, y que el fluido
circula en dirección paralela a las paredes del tubo en los puertos de entrada y de
salida. El primer término en la ecuación 7.8-3 es positivo, ya que en el plano 1,
(-n V) = (U, . (ulvT))= ul,y el segundo término es negativo, ya que en el plano
2, (-n v) = (-U 2 (U2 v 2)) = -z?2'
1
260 Capítulo 7
Balances rnacroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
El término 2 (incluyendo el signo menos) no contribuye a S,porque v es cero a&,
Sobre cada elemento de superficie dS de S,, hay una fuerza -npdS que actúa sobre
una superficie que se mueve a una velocidad v, y el producto punto de estas cantidades proporciona la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido a
través del elemento de superficie móvil dS. Usamos el símbolo
para indicar la
suma de todos estos términos de superficie. Además, las integrales sobre las s u m ficies estacionarias Sí y S2 proporcionan el trabajo necesario para empujar el fluido
hacia el sistema en el plano 1 menos el trabajo necesario para empujar el fluido fuera del sistema en el plano 2. En consecuencia, finalmente el término 2 da
w?)
Término 2 = pl(vl)Sl - ~
2 ( ~ 2+
) ~
W$)
2
(7.84)
Aquí hemos supuesto que la presión no vana sobre la sección transversal en los
puertos de entrada y de salida.
El férmino 3 (incluyendo el signo menos) no contribuye a Sfporque v es cero a&,
La integral sobre S, puede interpretarse como la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido por medio de las fuerzas viscosas, y esta integral se designa por Wm+).
En los puertos de entrada y de salida se acostumbra despreciar los
términos de trabajo asociados con las fuerzas viscosas, ya que por regla genera1 son
bastante pequeños en comparación con las contribuciones de la presión. Por consiguiente, se obtiene
Término 3
=
w:)
(7.8-5)
Ahora introducimos el símbolo W, = w$) + Wg)
para representar la velocidad total a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido dentro del sistema por medio de
las superficies móviles.
Los términos 4 y 5 ya no pueden simplificarse más; por tanto, se define
Término 4
=
+
1 p(V .
v) dV = - E ,
V(t)
Término 5 =
+
(7:Vv) dV = - Ei
V(t)
Para fluidos newtonianos, la pérdida viscosa E, es la velocidad a la que la energía
mecánica se degrada irreversiblemente en energía térmica debido a la viscosidad del
fluido y siempre es una cantidad positiva (véase la ecuación 3.3-3). En 37.5 ya he
rnos analizado métodos para estimar E,. (Para fluidos viscoelásticos, que analiza*
mos en el capíhdo 8, E, debe interpretarse en forma diferente y puede incluso m
negativa.) El término de compresión E, es la velocidad a la que la energía mecánicll
cambia reuersiblemenfe en energía térmica debido a la compresibilidad del fluido;
puede ser positivo o negativo. Si el fluido se considera como incompresible, entonces E, es cero.
Una vez que todas las contribuciones se insertan en la ecuación 7.8-2, finalmente se obtiene al balance macroscópico de energía mecánica:
57.8 Deducción del balance macroscópico de energía mecánica 261
Si ahora introducimos los símbolos wl= p,(v,)S, y w, = p2(u2)S2para las velocidades de flujo másico de entrada y de salida, entonces la ecuación 7.8-8 puede volver
a escribirse en la forma de la ecuación 7.4-2. En este desarrollo se han hecho varias
suposiciones, pero normalmente no son serias. Si la situación lo garantiza, es posible volver atrás e incluir los efectos que se despreciaron.
Debe observarse que la deducción anterior del balance de energía mecánica no
requiere que el sistema sea isotérmico. Por consiguiente, los resultados en las ecuaciones 7.4-2 y 7.8-8son válidos para sistemas no isotérmicos.
Para obtener el balance de energía mecánica en la forma de la ecuación 7.4-7 es
necesario desarrollar una expresión aproximada para E,. Imaginamos que hay una
línea de flujo de corriente representativa que atraviesa el sistema, e introducimos
una coordenada S a lo largo de dicha línea. Suponemos que Ia presión, la densidad
y la veIocidad no varían sobre la sección transversal. Además imaginamos que en
cada posición a lo largo de la línea de flujo de corriente hay una sección transversal
S(s) perpendicular a la coordenada S, de modo que podemos escribir dV = S(s)ds. Si
en el sistema hay partes móviles y si la geometría del sistema es compleja, tal vez no
sea posible hacer lo anterior.
Comenzamos por usar el dato de que (V pv) = O en estado estacionario, de mod o que
Luego usamos la suposición de que la presión y la densidad son constantes sobre la
sección transversal para escribir aproximadamente
Incluso si p, v y S son funciones de la coordenada S de la línea de flujo de corriente,
su producto, w = pvS, es una constante para operación en estado estacionario y por
tanto puede sacarse de la integral. Así se obtiene
Luego es posible realizar una integración por partes:
Al escribir este resultado en la ecuación 7.4-5 se obtiene la relación aproximada de
la ecuación 7.4-7. Debido a la naturaleza cuestionable de las suposiciones que se hicieron (la existencia de una línea de flujo de corriente representativa y el carácter
constante de p y p sobre una sección transversal) parece preferible usar la ecuación
7.4-5 en vez de la ecuación 7.4-7. También, la ecuación 7.4-5 puede generalizarse fácilmente a sistemas con múltiples puertos de entrada y de salida, mientras que esto
no es posible con la ecuación 7.4-7; la generalización está dada en la ecuación D de
Ia tabla 7.6-1.
262 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Analizar el origen, el significadoy la utilización de los balances macroscópicos,y explicar que
suposiciones se hicieron en su deducción.
¿Cómo se decide que balances macroscópicos usar para un problema dado? ¿Qué infornia.
ción auxiliar podría necesitarse para resolver problemas aplicando los balances macrosc6.
picos?
¿Estan relacionados los factores de fricción y los factores de pérdidas por fricción? En cm
afirmativo, jcómo?
Analizar la pérdida viscosa E, y el término de compresión E, respecto a la interpretación fisica, el signo y los métodos de estimación.
¿Cómo está relacionado el balance macrosc6pico de energia mecanica con la ecuación de Be.
noulli para fluidos no viscosos? ¿Cómo se dedujo?
ocurre en el ejemplo 7.3-1 si se hace una elección diferente para el origen del sistema de
coordenadas?
En el ejemplo 7.5-1, ¿cuál seria el error en el resultado final si la estimación de la pérdida vk
cosa E, fallara por un factor de 2? ¿En qué circunstancias un error así sería más grave?
En el ejemplo 7.5-1, ¿qué ocumna si 5 pies se sustituye por 50 pies?
En el ejemplo 7.6-3, ¿cómo se venan afectados los resultados si la presión de salida hese 11
atrn en vez de 1.1 atm?
Enumerar todas las suposiciones inherentes a las ecuaciones proporcionadas en la tabla 7.81.
PROBLEMAS
7A.1 Aumento de presión en un ensanchamiento repentino (figura 7.61). Por un ensanchamiento
repentino cimla una solucibn salina acuosa con una velocidad de 450 U.S. gal/min = 0.0384
m3/s. E1 diámetro interior del tubo más estrecho es de 5 pulg y el del tubo más ancho, 9 pulg.
¿Cuál es el aumento de presión en libras fuerza por pulgada cuadrada si la densidad de la se
lución es 63 ibm/pies3?El flujo en el tubo más estrecho, ¿es laminar o turbulento?
Respuesta: 1.57psi = 1.O8
X 1O3
N /m2
7A.2 Bombeo de una solución de ácido clorhídrico (figura 7A.2). Una solución diluida de HCl de
densidad y viscosidad constantes (p = 62.4 Ibm/pies3,p = 1 cp) debe bombearse del tanque
1 al tanque 2 sin cambio global de elevación. Las presiones en los espacios gaseosos de los dos
tanques son p, = 1 atrn y p2 = 4 atm. El radio del tubo es de 2 pulg y el número de Reynolds
es 7.11 x le.La velocidad media en el tubo debe ser de 2.30 pies/s. ¿Qué potencia debe m
dir la bomba?
Respuesta: 2.4 hp = 1.S kW
Figura 7A.2 Bombeo de una solución de
Radio interior de 2"
7A.3
dcido clorhídrico.
Flujo de un gas compresible en un tubo cilíndrico. Nitrógeno gaseoso está en flujo turbu.
lento isotérrnico a 25'C a través de un tramo recto de tubo horizontal de 3 pulg de diámey
interior a una velocidad de 0.28 Ib,/s. Las presiones absolutas en la entrada y en la salida son
Problemas 263
2 atm y 1 atm, respectivamente. Calcular E, suponiendo un comportamiento de gas ideal y
una distribución de velocidad radialmente uniforme.
Respuesta: 26.3 Btu/lbm = 6.12 X 104J/kg
7A.4
Flujo incompresible en tubos concéntricos. Desde una bomba se descarga agua a 60°F a una
velocidad de 241 U.S. gal/min a través de un conducto anular coaxial de 20.3 pies de longitud. Los radios interior y exterior del espacio anular son 3 y 7 pulg, respectivamente. La entrada está 5 pies más abajo que la salida. Determinar la potencia de salida necesaria de la
bomba. Usar el empirismo del radio hidráulico medio para resolver el problema. Supóngase
que las presiones en la entrada de la bomba y en la salida anular son iguales.
Respuesta: 0.31 hp = 0.23 kW
7A.5 Fuerza sobre una curva en U (figura 7A.5). Por una tubería en forma de U circulan en flujo
turbulento 3 pies3/s de agua a 68°F ( p = 62.4 1bm/~ies3,
p = 1 cp). ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida por el agua sobre la curva en U?
Respuesta: 903 lbf
''y
\++
p, = 19 psia
Diámetro interior
2
*I
p,
= 21 psia
PIano 1
7A.6
Figura 7A.5 Flujo en una curva en U; Ias dos ramas de
la curva están a la misma altura.
CáIculo de la velocidad de flujo (figura 7A.6). Para eI sistema que se muestra en la figura,
calcular la velocidad de flujo de agua a 68°F.
toda la tubería es 5"
--I1
Figura 7A.6 Flujo en un tanque de carga
constante.
264 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
7A.7
Evaluación de varias velocidades medias a partir de medidas en un tubo de Pitot. A continuación se presentan algunos datos experimentales1 obtenidos con un tubo de Pitot para el
flujo de agua a través de un tubo de 3.06 pulg de radio interior:
----
Posición
Distancia desde
el centro del
tubo (pulg)
Velocidad
local
(pies/ S)
Posición
Distancia desde
el centro del
tubo (pulg)
Velocidad
local
(pies/s)
Graficar estos datos y determinar si el flujo es laminar o turbulento. Luego, usar la re& de
Simpson para la integración numérica para calcular (u)/vmá,,(7?}/ddx
y (3)/7~&~,.
¿Estos
sultados son consistentes con los valores de 50/49 (que se proporciona justo antes del ejemplo 7.2-1) y 43200/40817 (que se proporciona justo antes del ejemplo 7.4-1)?
+.
78.1
Velocidades medias a partir de la ley de la potencia Evaluar las relaciones de velocidad
del problema 7A.7 según la distribución de velocidad de la ecuación 5.1-4.
7B.2
Relación entre la fuerza y la pérdida viscosa para flujo en conductos de sección transversal variable. La ecuación 7.5-6 proporciona la relación Ff,, = pSE, entre la fuerza de re
sistencia y la pérdida viscosa para conductos rectos de sección transversal arbitraria, pero
constante. Aquí consideramos un canal horizontaI recto cuya sección transversal vana gradualmente con la distancia comente abajo. La situación se restringe a canales axisiméhicos,
por lo que la fuerza de resistencia estA dirigida axialmente.
Si la sección transversal y la presión en Ia entrada son SI y p,, y las de la salida son S2 y
p2, probar entonces que la relación semejante a la ecuación 7.5-7 es
donde
Interpretar los resultados.
7B.3
Flujo a través de un ensanchamiento repentino (figura 7.6-1). Un fluido circula a través de
un ensanchamiento repentino, en el cual los diámetros inicial y final son DI y D2, respectivamente. ¿Para qué valor de D2/D1 el aumento de presión p2 - p, sera máximo para un valor
dado de u,?
Respuesta: D 2 / D ,
78.4
=
lh
Flujo entre dos tanques (figura 7B.4). Caso 1: un fluido circula entre los tanques A y B porque pA > pB. Los tanques están a la misma altura y en la línea no hay bomba. El área de la sección traiisversal de la línea de conexión es SI y la velocidad de flujo másico es w para una
caída de presión de ( p A - p&.
' B. Bird, tesis para graduarse como ingeniero químico, Universidad de Wisconsin (1915).
Problemas
Tubo circular de sección
transversal S,
265
Tubos circulares de secci6n
transversal S,
n
i
1
..
La suma de las velocidades
de flujo mesico es w
Figura 78.4 Flujo entre dos tanques.
Caso 11: se desea reemplazar la línea de conexión por dos líneas, cada una de sección
transversal SI1 = $S1. ¿Qué diferencia de presión (pA - pB)IIse requiere para obtener la misma
velocidad de flujo másico total que en el caso I? Supóngase flujo turbulento y usar la fórmula de Blasius (ecuación 6.2-12) para el factor de fricción. Despreciar las pérdidas en la entrada y en la salida.
Respuesta: (pA - pB)II/(pA- P ~ =) 25/8
~
7B.5
Diseño revisado de un ducto de aire (figura 7B.5). En una fábrica debe instalarse un ducto
horizontal recto de aire. Se supone que la sección transversal del ducto mide 4 X 4 pies. Debido a una obstrucción, el ducto s61o puede medir 2 pies de altura, aunque puede ser de cualquier ancho. ¿Qué tan ancho debe ser el ducto para tener las mismas presiones terminales y
la misma velocidad de flujo volumétrico? Supóngase que el flujo es turbulento y que la f6rmula de Blasius (ecuación 6.2-12) es satisfactoria para este cálculo. En esta situación puede
considerarse que el aire es incompresible.
a) Escribir las versiones simplificadas del balance de energía mecánica para los ductos 1 y 11.
b) Igualar las caídas de presión para los dos ductos y obtener una ecuación que relacione los
anchos y las alturas de los dos ductos.
Resolver numéricamente la ecuación en el inciso b para encontrar e1 ancho que debe usarse para el ducto LI.
C)
Respuesta: c) 9.2 pies
Ducto 1
!
I
2
H,, = ? pies
Ducto 11
---I
I
Plano 1
Plano 2
Figura 78.5 Instalación de un ducto de aire.
78.6
Descarga múltiple en un conducto común2 (figura 7B-6). Ampliar el ejemplo 7.6-1 a un fluido incompresible que descarga desde vanos tubos hacia un tubo más grande con un incremento neto en la sección transversal. Tales sistemas son importantes en intercambiadores de
calor de ciertos tipos, para los cuales las pérdidas por contracción y ensanchamiento explican
W.M. Kays, Trans. ASME, 72,1067-1074 (1950).
266 Caplt~1o7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Figura 78.6 Descarga múltiple
en un conducto común. El área
total de la sección transversal en
el plano 1 disponible para el
flujo es S, yr en el plano 2, .S2
una fracción importante de la caída de presión global. Los flujos en los tubos pequeños y en
el gran tubo pueden ser laminares o turbulentos. Analizar este sistema por medio de tos balances macroscópicos de materia, de cantidad de movimiento y de energía mecánica.
78.7
Variaciones del inventario de un depósito de gas. Un depósito de gas natural debe abaste
cerse desde una tubería a una velocidad constante de wllb& Durante un periodo de 24 horas, la demanda del combustible desde el depósito, w2,varía aproximadamente como sigue:
w2= A
f
B cos ot
(78.7-1)
donde of es un tiempo adimensional medido a partir de la hora de la demanda máxima
(aproximadamente las 6 de la mañana}.
a) Determinar los valores máximo, mínimo y medio de w 2 para un periodo de 24 horas en
términos de A y B.
b) Determinar e1 valor necesario de w len términos de A y B.
Sea m,, = m:,,, en t = O, e integrar el balance de materia en estado no estacionario con esta condición inicial para obtener m,,, como una función del tiempo.
C)
d) Si A = 5000 lb,/h, B = 2000 lb,/h y p = 0.044 1bJpies3 en el depósito, determinar la capacidad mínima absoluta del depósito en pies cúbicos para satisfacer la demanda sin inte
rrupción. LAqué hora del día debe estar lleno el depósito para permitir esta operación?
e) Determinar en pies cúbicos la capacidad mínima del depósito que se requiere para mantener a toda hora una reserva mínima para tres días.
Respuesta: 3.47 X 105pies3; 8.53 X lo6 pies3
78.8
Cambio en la altura de un liquido con el tiempo (figura 7.1-1).
a)
Deducir la ecuación 7.1-4 usando cálculo integral.
b) En el ejemplo 7.1-1, obtener la expresión para la altura h del líquido como una función del
tiempo t.
c)
7B.9
Hacer una gráfica de la ecuación 7.1-8 usando cantidades adimensionales. ¿Esto es útil?
Vaciado de un tanque cilíndrico con una tubería de descarga (figura 78.9).
a) Volver a trabajar el ejemplo 7.1-1, pero con un tanque cilíndrico en vez de uno esférico.
Usar el método de estado casi estacionario; es decir, usar el balance de materia en estado no
estacionario junto con la ecuación de Hagen-Poiseuille para el flujo laminar en e1 tubo.
b) Volver a trabajar el problema para flujo turbulento en el tubo.
Respuesta: a ) twckdo=
128pL~*
p9D4
Problemas 267
Figura 7B.9 Tanque cilíndrico provisto de una larga tubería de
desagüe. La superficie del fluido y la salida del tubo están abiertas
a la atmósfera.
7B.10 Tiempo de vaciado al drenar un tanque cónico (figura 7B.10). Un tanque cónico, cuyas dimensioiies se proporcionan en la figura, inicialmente está lleno de un líquido. Se deja que el
líquido se vacíe por gravedad. Determinar el tiempo de drenado. En los incisos a) a c), considerar que el líquido en el cono es el "sistema".
a) Primero usar un balance macroscópico de materia en estado no estacionario para demostrar que la velocidad de salida es
b) Escribir el balance de energía mecánica en estado no estacionario para el sistema, Descartar el término de pérdida viscosa y el término que contiene la derivada respecto al tiempo de
la energía cinética, y proporcionar razones para hacer esto. Demostrar que entonces la ecuación 7B.10-1conduce a
z=¿
Plano dado para la
energía potencial
2 = t2
'&'
Z=O
Figura 78.10 Recipiente cónico desde el cual se deja salir un fluido. La cantidad r es el radio de
la superficie del líquido a la altura z, y 7 es el radio del cono a alguna altura arbitraria 2.
268
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Combinar los resultados de los incisos a) y b). Resolver la ecuación diferencial Esültante
con una condición inicial apropiada para obtener el nivel z del líquido como una función de
t . A partir de esto, obtener el tiempo de vaciado
C)
Enumerar todas las suposiciones que se hicieron y analizar lo serias que son. iCómo pueden
evitarse estas suposiciones?
d) Volver a trabajar el inciso b) eligiendo que el plano 1 sea estacionario y esté ligeramente
abajo de la superficie del líquido en el instante t. Se entiende que Ia superficie del líquido no
desciende más abajo que el plano 1 durante el intervalo diferencial de tiempo di sobre el que
se realiza el balance de energía mecánica en estado no estacionario. Con esta elección del plano 1, la derivada d@,,,/dt es cero y no hay término del trabajo W,. Además, las condiciones
en el plano 1 son bastante parecidas a las que hay en la superficie del líquido. Entonces, con
la aproximación de estado seudoestacionariode que la derivada dK,,/dt es aproximadamente
cero y despreciando el término de pérdida viscosa, eI balance de energía mecánica, con w l=
w2,asume la forma
7B.11 Desintegración de astillas de madera (figura 7B.11). En la manufactura de pulpa de papel,
las fibras de celulosa de las astillas de madera se separan de la lignina mediante calentamiento
a presión con soluciones alcalinas en grandes tanques cilíndricos denominados digestores. Al
final del periodo de "cocción" se abre una pequeña compuerta situada en el fondo del digestor
y se deja que la pasta aguada de astillas de madera reblandecidas choque contra una lámina
de impacto para completar la desintegración de las astillas y la separación de las fibras. Estimar la velocidad de la corriente de descarga y la fuerza adicional que impacta sobre la lárnina poco después que comienza la descarga. Pueden despreciarse los efectos de fricción dentro
del digestor, así como la poca energía cinética del fluido en el interior del tanque. (Nota: vease el problema 7B.10 a fin de consultar dos métodos para seleccionar los planos de entrada y
de salida.)
Respuesta: 2810 Ib,/s (o 1275 kg/s); 10,900 lbf (o 48,500 N)
Figura 76.11 Digestor de pulpa.
Problemas 269
7B.12 Criterio para el flujo de vapor libre en una tubería. Para asegurar que una tubería está completamente llena de un líquido, es necesario que p > p VaP en todos los puntos. Aplicar este criterio al sistema que se muestra en la figura 7.5-1, usando balances de energía mecánica sobre
porciones apropiadas del sistema.
7C.1 Correcciones en el extremo de viscosímetros de tubo (figura 7C.11.~Al analizar los datos de
viscosímetros de flujo en un tubo para determinar la viscosidad, se compara la caída de presión
contra datos de velocidad de flujo con la expresión tedrica (la ecuación de Hagen-Poiseuille
de la ecuación 2.3-21). En esta última se supone que el flujo está totalmente desarrollado en
la región entre los dos planos donde se mide la presión. En un aparato como el que se muestra en la figura, se conoce la presión en la salida del tubo (2) y también arriba del fluido en el
depósito (1). Sin embargo, en la región de entrada de1 tubo, los perfiles de velocidad aún no
están totalmente desarrollados. Por tanto, no es válida la expresión teórica que relaciona la
caída de presión con la velocidad del flujo.
Sin embargo, hay un método en que puede usarse la ecuación de Hagen-Poiseuille haciendo mediciones del flujo en dos tubos de longitudes diferentes, LA y LB; el más corto de los
tubos debe ser suficientemente largo para que los perfiles de velocidad estén totalmente desarrollados en la salida. Así, Ia sección final del tubo largo, de longitud LB - LA, será una región de flujo totalmente desarrollado. Si se conociera el valor de 9, - 9, para esta regidn,
entonces podría aplicarse la ecuación de Hagen-Poiseuille.
Demostrar que la combinación apropiada de los balances de energía mecánica, escritos
para los sistemas 1-2,3-4 y 0-4, proporciona la siguiente expresión para
- P4cuando cada viscosímetro tiene la misnla velocidad de flujo.
donde 9o = po -k pgz,,. Explicar con todo detalle cómo usaría la ecuación 7C.1-1 para analizar
mediciones experimentales. iLa ecuación 7C.1-1 es válida para dudos con sección transversal no circular uniforme?
Corrida experimental A
Comda experimentalB
*
Figura 7C.1 Dos viscosímetms de
tubo con la misma velocidad de
flujo y la misma presión de salida.
Las presiones pA y pg se mantienen
por medio de un gas inerte.
A.G. Fredrickson, tesis doctoral, Universidad d e Wisconsin (1959); Principies and Applicaiions of Rheology, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J. (1964),99.2.
270
Capítulo 7 Balances rnacroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
7D.l
Deducción de los balances rnacroscúpicos a partir de las ecuaciones de vdacibn,
Deducir los balances mamsc6picos de materia y cantidad de movimiento por integra.
ción de las ecuaciones de continuidad y movimiento sobre el sístema de flujo de la &
gura 7.0-1. Seguir el procedimiento dado en g7.8 para el balance macroscópico de
energía mecánica, usando el teorema de divergencia de Gauss y la fórmula de Leibniz.
Capítulo 8
Líquidos poliméricos
8 1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos
58.2
Reometría y funciones del material
58.3
Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados
58.4"
Elasticidad y los modelos viscoelásticos lineales
58.5 '
Las derivadas comtaciondes y los modelos viscoelAsticos no lineales
98.6'
Teorías moleculares para líquidos poliméricos
En los primeros siete capítulos hemos considerado sólo fluidos nautonian;. Las relaciones entre esfuerzos y gradientes de velocidad se describen mediante Ia ecuación 1.l-2 para flujo cortante simple y mediante la ecuación 1.2-6 (o por la ecuación
1.2-7) para flujos arbitrarios que dependen del tiempo. Para el fluido newtoniano se
requieren dos parámetros del material -10s dos coeficientes de viscosidad p y Kque dependen de la temperatura, la presión y la composició~i,pero no de los gradientes de velocidad. El modelo de fluido newtoniano describe con precisión todos
los gases y todos los líquidos compuestos de "pequeñas" molécuIas (hasta pesos moleculares aproximados de 5000).
Hay muchos fluidos que no describe la ecuación 1.2-6: los denominados fluidos
no newtonianos. Estos fluidos estructuralmente complejos incluyen soluciones de
polimeros, polímeros fundidos, soluciones jabonosas, suspensiones, emulsiones, pastas y algunos fluidos biológicos. En este capítulo nos dedicamos a los líquidos poliméricos.
Debido a que estos líquidos contienen moléculas de alto peso molecular con
muchos grados de libertad internos, el comportamiento de las soluciones de polímeros y de los polímeros fundidos es cualitativamente diferente del de los fluidos newtonianos. Sus viscosidades dependen fuertemente de los gradientes de velocidad,
además pueden presentar "efectos elásticos'' pronunciados. También en el flujo
cortante estacionario simple entre dos láminas paralelas hay esfuerzos normales desiguales y diferentes de cero (T,,, r y T,,) que no se presentan en los fluidos newYY
tonianos. En 58.1 describimos algunos experimentos y recalcamos las diferencias
entre fluidos newtonianos y poliméricos.
Al estudiar los fluidos newtonianos, la ciencia que trata sobre la medición de la
viscosidad se denomina viscornetría, y en capítulos anteriores hemos visto ejemplos
de sistemas de flujo simples que pueden usarse como viscosímetros (el tubo circular,
el sistema de cono y lámina y los cilindros coaxiales).Para caracterizar a los fluidos no
newtonianos es necesario medir no sólo la viscosidad, sino también los esfuerzos
normales y las respuestas viscoelásticas. La ciencia relacionada con la medición de
estas propiedades se denomina reometría, y los instrumentos se llaman redmetros. En
58.2 abordamos brevemente este tema. La ciencia de la reologia incluye todos los aspectos del estudio de la deformación y el flujo de sólidos no hookeanos y líquidos
no newtonianos.
272 capit~lo8 Líquidos poliméncos
Después de las dos primeras secciones, que tratan con hechos experimentales,
pasamos a la presentación de varios "modelos" no newtonianos (es decir, expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo) que son de uso común para describir líquidos poliméricos. En 58.3 empezamos con los modelos newtonianos generalizados, que
son relativamente simples, pero que sóIo pueden describir la viscosidad no newtoniana (y no los efectos viscoelásticos). Luego en 58.4 proporcionamos ejemplos de
modelos viscoelásticos lineales, que pueden describir las respuestas viscoelásticas, pe
ro sólo en flujos con gradientes de desplazamiento extremadamente pequeños. En
58.5 proporcionamos varios modelos viscoelásticos no lineales, que se supone son aplicables en todas las situaciones de flujo. A medida que pasemos de modelos elementales a modelos más complicados, ampliaremos el conjunto de fenómenos
observados que podemos describir (pero también las dificultades matemáticas). Por
último en 58.6 se presenta un breve análisis sobre el método de la energía cinética
aplicado a la dinámica de fluidos de poiímeros.
Los líquidos poliméricos se encuentran en la fabricación de objetos de plástica,
y como aditivos de lubricantes, comestibles y tintas. Representan una clase amplia
e importante de líquidos, de modo que muchos científicos e ingenieros deben tratar
con ellos. La dinámica de fluidos poliméricos, la transmisión de calor polirnérica y
la difusión polimérica constituyen una parte en rápido crecimiento del tema de los
fenómenos de transporte, y hay muchos libros de texto? tratados2 y revistas dedicados al tema. Este tópico también ha sido abordado desde el punto de vista de la
energía cinética, y las teorías moleculares del tema han contribuido bastante a nuestra comprensión del comportamiento mecánico, calorífico y de difusión de estos
fluido^.^ Por último, quienes estén interesados en conocer la historia del tema pue
den consultar el libro de Tanner y Walter~.~
58.1
EJEMPLOS DEL COMPORTAMIENTO DE L~QUIDOSPOLIMÉRICOS
En esta sección analizamos varios experimentos que contrastan el comportamiento
del flujo de fluidos newtonianos y polirnéri~os.~
Flujo laminar en estado estacionario en tubos circulares
Incluso para el flujo laminar axial en estado estacionario en tubos circulares, hay
una diferencia importante entre el comportamiento de los líquidos newtonianos y el
de los líquidos poliméricos. Para líquidos newtonianos la distribución de velocidad,
'
A.C. Lodge, Elnstic Liquids, Academic Press, Nueva York (1964);P.B. Bid, R.C. Armshong y O. Hassager,
Dynamics of Polyrneric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, Wdey-Interscience,Nueva York, 2a. edición (1987); R.1. Tanner,
Engineering Rheology, Clarendon Press, Oxford (1985).
H.A. Barnes, J.F. Hutton y K. Walters, An Infroduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (1989); H. Giesekus,
Phaomenologische Rhwbgier Eitae Einfuhrung, Springer Verlag, Beriín (1994).Algunos Libros que ponen de relieve
los aspectos ingeniedes del tema son el de Z Tadmor y C.G. Gogos, Principles of Polymer Processing, Wiley, Nueva
York (19791,el de D.G. Baird y D.I. Coihas, Polymer Processing: Principles and Design, Buttenvorth-Heinemann,
Boston (1995). y el de J. Dealy y K. Wisbrun, Melt Rheology and its Role in Plactics Prmessing, Van Nostrand Reinhold,
Nueva York (1990).
R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C.Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 2, Kinetic Theory,
W~ley-lnterscience,Nueva York, 2a. edición (198'7); C.F. Curtiss y R.B. Bird, Adv. Polymer Sci., 125,l-101 (1996) y l.
Chem. Phys., 111, 10362-10370 (1999).
R.I. Tanner y K. Walters, Rheology: An Historical P m p e c f i w , Elsevier, Amsterdam (1998).
Más detalles sobre éstos y otros experimentos pueden encontrar%en R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager,
Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1 , Fluid D p m i c s , Wüey-Interscience,Nueva York, 2a. edición (1987), capltulo 2.
Véase también A.C. Lodge, Elastic Liquids, Academic Pre~s,Nueva York (1964), capitulo 10.
'
'
8.1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos
273
la velocidad media y la caída de presión están dadas por las ecuaciones 2.3-18,
2.3-20 y 2.3-21, respectivamente.
Para líquidos poliméricos,datos experimentales sugieren que las siguientes ecuaciones son razonables:
donde n es un parámetro positivo que caracteriza a1 fluido, por regla general con un
valor menor que la unidad. Es decir, el perfil de velocidad es más romo para el líquido polimérico que para el fluido newtoniano, para el cual n = 1. Además, experimentalmente se ha encontrado que
Por tanto, la caída de presión aumenta mucho menos rápido con la velocidad de flujo másico que para los fluidos newtonianos, para los cuales la relación es lineal.
En la figura 8.1-1 se muestran perfiles de velocidad típicos para el flujo laminar
de fluidos newtonianos y poliméricos para la misma velocidad máxima. Este simple experimento sugiere que 10s fluidos poliméricos tienen una viscosidad que depende del gradiente de velocidad. Este punto se abordará con más detalIe en 58.3.
Para flujo laminar en tubos de sección transversal no circular, los líquidos poliméricos exhiben flujos secundarios superpuestos en el movimiento axial. Recuérdese que para flujos newtonianos turbulentos también se observan flujos secundarios:
en la figura 5.1-2 se muestra que el fluido se mueve hacia las esquinas del conducto
y que luego regresa hacia el centro. Para flujo laminar de fluidos polirnéricos, los flujos secundarios van en la dirección opuesta: desde las esquinas del conducto y luego de regreso hacia las paredes.* En flujos turbulentos, los flujos secundarios
resultan de efectos inerciales, mientras que en el flujo de polímeros los flujos secundarios están asociados con los "esfuerzos normales".
Recuperación después de que se suspende el flujo en estado estacionario en un tubo circular
Empezamos con un fluido en reposo en un tubo circular y, con una jeringa, "trazamos" radialmente una línea de pigmento en el fluido, como se muestra en la figura 8.1-2. Luego bombeamos el fluido y observamos cómo se deforma el p i g m e n t ~ . ~
Figura 8.1-1 Fiujo laminar en un tubo circular.
Los símbolos @ (líquido Newtoniano) y @
(líquido Poliménco) se usan en esta figura y en
las seis figuras siguientes.
B. Gervang y P.S. Larsen, J. Non-Nezutonian Ffuid Mcch., 39,217-237 (1991).
Para los detalles de este experimento, véase N.N. Kapoor, tesis para graduarse como M a e s h en Ciencias,
Universidad de Minnesota, MinneapoIis (1964), así como A.G. Fredrickson, Principies and Appfiurtions 0f Rheology,
Prentice-Hd, E n g l e w d Cliffs, N.J.(19641, p. 120.
274
Capitulo 8 Líquidos poliméticos
Figura 8.1-2 Recuperación restringida
después de que se suspende el flujo en un
tubo circular, observado en líquidos
poliméricos pero no en líquidos
newtonianos.
El bombeo
se detuvo
aquí
Para un fluido newtoniano, la línea de pigmento se transforma en una parábe
la que se alarga de manera continua. Si se detiene el bombeo, la parábola de pigmento deja de moverse. Después de algún tiempo ocurre difusión y la parábola empieza
a hacerse confusa, por supuesto.
Para un Iúluido polimérico, la I í e a de pigmento se deforma en una curva más roma que una parábola (véase la ecuación 8.1-1). Si se apaga la bomba y el fluido no
se restringe axialmente, el fluido comienza a "recuperarse" y se retira de esta forma
alargada máxima; es decir, el fluido se retrae de golpe en forma semejante a como lo
hace una banda elástica. Sin embargo, mientras ésta regresa a su forma original, el
Buido se retira sólo parcialmente hacia su configuración original.
Si se nos permite usar un antropomorfismo, podemos decir que una banda el&
tica tiene una "memoria perfecta", ya que regresa a su estado inicial no estirado. El
fluido polimérico, por otro lado, tiene una "memoria que se desvanece", ya que gradualmente "olvida" su estado inicial. Es decir, a medida que se recupera, su memoria se vuelve cada vez más débil.
La recuperación del fluido es una manifestación de elasticidad, y cualquier descripción completa de los fluidos poliméricos debe poder incorporar la idea de elasticidad en la expresión para el tensor de esfuerzo. La teoría también debe incluir el
concepto de memoria que se desvanece.
Efectos del "esfuerzo normal"
Otras diferencias notorias en el comportamiento de líquidos newtonianos y polimé
ricos aparecen en los efectos del "esfuerzo nomai". La razón de esta nomenclatura
se dará en la siguiente sección.
Una variila giratoria en un vaso de precipitados que contiene un fluido newtoniano hace que el fluido experimente un movimiento tangencial. En estado estacionario, la superficie del fluido es más baja cerca de la varilla giratoria. Intuitivamente
sabemos que esto ocurre debido a que la fuerza centrífuga provoca que el fiuido se
mueva en forma radial hacia la pared del recipiente. Por otra parte, para un líquido
polimérico, el fluido se mueve hacia la varilla giratoria y, en estado estacionario, la
superficie del fluido es como se muestra en la figura 8.1-3. Este fenómeno se denomina efecto Weissenberg de ascenso en una varilla.4 Resulta evidente la inducción de
algunos tipos de fuerzas que hacen que el Liquido polimérico se comporte de una
forma cualitativamente diferente a como lo hace un líquido newtoniano.
Este fenómeno fue descrito por primera vez por F.H. Gamer y A.H. Nissan, Naturr, 158,634-635 (1946) y por
R.J. Russel, tesis doctoral, imperial CoUege, Universidad de Londrm (19461, p. 58. El experimento fue analizado porK
Weissenberg, Nature, 159,310-311(1947).
58.1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos 275
En un experimento bastante relacionado, podemos colocar un disco giratorio
sobre la superficie de un fluido en un recipiente cilíndrico como se muestra en la figura 8.1-4. Si el fluido es newtoniano, el disco hace que el fluido se mueva en una
dirección tangencial (el "flujo primario") pero, además, el fluido se mueve lentamente hacia afuera en dirección de la pared del cilindro debido a la fuerza centrífuga, luego se mueve hacia abajo y después vuelve a lo largo del eje del cilindro. Este
flujo radial y axial superpuesto es más débil que el flujo primario y se ha denominado "flujo secundario". Para un líquido polimérico, el fluido también desarrolla un
flujo tangencia1 primario con un flujo secundario radial y axial débil, pero éste se dirige en dirección opuesta a la que se observa en un fluido newtoniano?
Figura 8.1-3 Superficie lbre de un Iíquido
cerca de una varilla giratoria. El líquido
polimérico muestra el efecto Weiscenberg de
ascenso en una varilla.
Figura 8.1-4 Los flujos secundarios en
un recipiente cilindrico con un disco
giratorio en la superficie del líquido
tienen direcciones opuestas para fluidos
newtonianos y poliméricos.
En otro experimento podemos dejar escurrir un líquido de una piIeta semicilindrica ladeada como se muestra en la figura 8.1-5. Si el fluido es newtoniano, la
superficie de1 líquido es plana, excepto por los efectos de menisco en los bordes
externos. No obstante, para la mayoría de los líquidos polirnéricos, se encuentra que
Ia superficie del líquido es ligeramente convexa. El efecto es pequeño pero reprod~cible.~
Figura 8.1-5 Escurrimiento en una pileta
semicilíndrica ladeada. En la figura se ha
exagerado la convexidad de la superficie del
Iíquido poIimérico.
O
C.T. Hiil, J.D. Huppler y R.B. Bird, Chem. Eng. Sci., 21,815-817 (1966); C.T. Hill, Trans. Soc. Rhcol., 16,213-245
(1972).Análisis teóricos han sido proporcionados por J.M.Krarner y M.W. Johnson, Ir., Trans. Sac. Rhed., 16,797-212
(19721, y por J.P. Nirschl y W.E. Ctewart, J. Non-Newtonian Fluid Mcch., 16, 233-250 (1984).
Quien realizó por vez primera este experimento fue K.I. Tamer, Trans. Soc. Rh~ol.,14,483-507 (1970), estunulado por una sugerencia de A.C. Mnrnian y .4.C. Pipkin, Acta Mech., 2, 104-115 (1966). Véase también R.1. Tanner, Engineering Rhcology, Oxford University Press (í985),102-105.
276 Capítulo 8
Líquidos poIiméricos
Otros experimentos
Todos conocen el funcionamiento de un simple sifón. Por experiencia sabemos que si
el fluido es newtoniano, sacar del liquido el tubo del sifón significa que se detiene la
acción de aspiración. Sin embargo, como puede verse en la figura 8.1-6, para %idos
polirnéricos la aspiración puede continuar incluso si el sifón se eleva varios centímetros por arriba de la superficie del liquido. Este efecto se denomina sifón sin tubo. También es posible simplemente subir algo del fluido por arriba del borde del recipiente
y entonces el fluido comenzará a circular hacia arriba a lo largo del interior del recipiente y luego hacia abajo por el exterior hasta que el recipiente queda casi vacio.7
En otro experimento, una vari1Ia cilíndrica larga cuyo eje está en la dirección 2,
se hace oscilar de un lado a otro en la dirección x con el eje paralelo al eje z (véase
la figura 8.1-7). En un fluido newtoniano se induce un flujo secundario, por lo cual
el fluido se mueve hacia el cilindro desde arriba y desde abajo (es decir, desde las
direcciones +y y -y) y se aleja hacia la izquierda y la derecha (es decir, hacia las direcciones -x y +x). Sin embargo, para el líquido polirnérico el movimiento secundaria
inducido es en la dirección opuesta: el fluido se mueve hacia adentro desde la izquierda y la derecha a lo largo del eje x y hacia afuera en las direcciones arriba y abajo a lo largo del eje
Los ejemplos precedentes son sólo unos cuantos de muchos experimentos inte
resantes que se han realizad^.^ El comportamiento polimérico puede ilustrarse fácilmente y a bajo costo con unasolución acuosa de óxido de polietileno al 0.5%.
También hay algunos efectos fascinantes que ocurren cuando están presentes incluso pequeñas cantidades de poiímeros. El más sorprendente de estos efectos es el
fenórneiio de reducción de ~ e s i s t e n c i uCon
. ~ ~ sólo partes por millóii de algunos polímeros ("agentes reductores de resistencia"), la pérdida por fricción en flujo turbulento en un tubo puede reducirse marcadamente: entre 30 y 50%. Estos agentes
polirnéricos reductores de resistencia son usados por el cuerpo de bomberos para in-
@
\
"Hinchazón
por expulsión"
Figura 8.1-6 El efecto del sifón continúa
cuando el tubo se eleva por arriba de la
superficie de un liquido polimérico, pero no
para un liquido newtoniano. Nótese la
hinchazón del liquido polimerico a medida
que abandona el tubo del sifón.
'D.F. James, Nature, 212,754-756 (1966).
C.F. Chaiig y W.R. Schowalter,J. Non-Newtoniun Flvid Mech., 6,47-67 (1979).
El Libro de D.V. Boger y K. Walters, Rheoiogicai Phenomena in Focus, Elsevier, Arnsterdam (1993),contiene
muchas fotografías del comportamiento de fluidos en una variedad de sistemas de flujo no newtonianos.
'O Esta reducción de resistencia a veces se denomina Fenórnmo de Toms, ya que quizá quien lo reportd por vez
primera Fue B.A. Toms, Proc. Inf. Congress on Rhwlogy, North-HoUand, Amsterdam (1949). El fenómeno también se ha
estudiado en relación con la naturaleza reductora de resistencia de la sustancia mucosa que recubre a los peces 1T.L.
Daniel, Biol. Bull., 160,376-382 11981)1, la cual se considera que explica, por lo menos parcialmente, la "paradoja de
Gray": el hecho de que parece que los peces son capaces de nadar más rápido de lo que permiten las considera&ones
de energía.
d
58.2
Reometría y funciones del material
277
Figura 8.1-7 El "flujo acústico" cerca de
una varilla que oscila lateralmente, que
O
muestra que el flujo secundario inducido
se dirige en direcciones opuestas para
fluidos newtonianos y poliméricos.
crementar el flujo del agua y por compañías petroleras para reducir los costos de
bombeo de crudo a lo largo de grandes distancias.
Para el análisis de otros fenómenos que se presentan en fluidos poliméricos,
el lector debe consultar el resumen de artículos en el Annual Reuiew of Fluid Me~hanics?~
Los experimentos descritos en 58.1 establecen claramente que los líquidos poliméricos no obedecen la ley de viscosidad de Newton. En esta sección analizamos varios
flujos simples controlables en los que es posible medir las componentes de esfuerzo. A partir de estos experimentos pueden medirse varias funciones del material que
describen la respuesta mecánica de fluidos complejos. Mientras a los fluidos newtonianos incompresibles los describe una sola constante del material (la viscosidad), para líquidos no newtonianos es posible medir muchas funciones del material
distintas. Aquí mostramos cómo se definen y miden algunas de las funciones más
usadas del material. En otra parte es posible encontrar información sobre el equipo
real de medición y otras funciones del material.lt2En todo este capítulo se supone
que los líquidos poliméricos pueden considerarse como incompresibles.
Flujo cortante estacionario simple
Ahora consideramos ei flujo cortante estacionario entre un par de láminas paralelas,
donde el perfil de velocidad está dado por u, = Sy, y las otras componentes de la
velocidad son cero (véase Ia figura 8.2-1). La cantidad y, que aquí se toma como
positiva, se denomina "velocidad (coeficiente)de corte". Para un fluido newtoniano,
el esfuerzo cortante rP está dado por la ecuación 1.1-2, y todos los esfuerzos normales (T,,, r !a' y .rZJ son cero.
11 Por ejemplo, M.M. Denn, Ann. Rev. Fluid Mech., 22, 13-34 (1990); E.S.G. Shaqfeh, Aiin. Rev. Fluid Mech., 28,
129-185 (1996); G.G.FuUer, Ann. Rev. Fluid Mech., 22,387-417(1992).
].R. Van Wazer, J.W. Lyons, K.Y Kim y R.E. Colwell, Viscosity pnd Flow Meusurement, Interscience (W~ley),
Nueva York (1963).
K.Walters, Rheomefry, Wiley, Nueva York (1975).
'
278 Capítulo 8
Líquidos polim&icos
La lámina superior se mueve a velocidad constante
L
vx = ?y
Y
Figura 8.2-1 Flujo cortante estacionario
simple entre láminas paralelas, con
velocidad de corte y. Para fluidos
newtonianos en este flujo, T~~ = T~ = rz2 = O,
pero para fluidos poliméricos los esfuerzw,
normales por regla general son diferentes de
cero y desiguales.
Para fluidos no newtonianos incompresibles, los esfuerzos normales son diferentes de cero y distintos. Para estos fluidos suele acostumbrarse definir tres funciones del material como sigue:
donde 17 es la viscosidad no newtoniana, q,es el primer coeficiente del esfuerzo
normal y 'P2 es el segundo coeficiente del esfuerzo normal. Estas tres cantidades
-q, 'PI y 'P2- son todas funciones de la velocidad de corte?. Para muchos líquidos poliméricos, 7)puede disminuir por un factor hasta de lo4 a medida que aumenta la velocidad de corte. De manera semejante, los coeficientes del esfuerzo normal
pueden disminuir por un factor hasta de lo7 sobre el intervalo normal de velocidades
de corte. Para fluidos poliméricos constituidos de macromoléculas flexibles, experimentalmente se ha encontrado que las funciones q@) y ql@)
son positivas, mientras
'P2@)casi siempre es negativa. Puede demostrarse que para *,@)
positiva, el fluido
se comporta como si estuviera en tensión en la dirección de flujo (o dirección x), y
que la 'P2@)negativa significa que el fluido está en tensión en la dirección transversal (o dirección 2). Para el fluido newtoniano, 77 = p., ql = O y q2= 0.
La viscosidad no newtoniana fuertemente dependiente de Ia velocidad de corte está relacionada con el comportamiento dado en las ecuacioiies 8.1-1 a 8.1-3,
como se muestra en la siguiente sección. La 'kl positiva es primordialmente responsable del efecto Weissenberg de ascenso en una varilla. Debido al flujo tangencial, en la dirección tangencia] hay una tensión, misma que empuja al fluido hacia
la varilla giratoria, superando la fuerza centrífuga. Los flujos secundarios en el experimento de disco y cilindro (figura 8.1-4) también pueden explicarse cualitativamente en términos de la TIpositiva. Asimismo, puede demostrarse que la q2
negativa explica la forma de la superficie convexa en e1 experimento de la pileta
ladeada (figura 8.1-5).
Se han creado muchos aparatos ingeniosos para medir las tres funciones del material para flujo cortante estacionario, y las teorías necesarias para usar los instntmentos se explican con todo detalle en otra parte.2 Véase el problema 8C.1 para el
uso del instrumento de cono y plato para medir las funciones del material.
58.2
Reometría y funciones del material 279
~ ~ d i e nosciíatorio
t o
de pequeña amplitud
Un método normal para medir la respuesta elástica de un fluido es el experimento
cortante oscilatorio de pequeña amplitud que se representa en la figura 8.2-2. Aquí,
la lámina superior se mueve de un Iado a otro en forma sinusoidal con una pequeña amplitud. Si la separación de la lámina es extremadamente pequeña y la viscosidad del fluido es muy alta, entonces el perfil de velocidad será casi lineal, de modo
que vx(y, t )
cos w t , dondep, una cantidad real, proporciona la amplitud de la
desviación de la velocidad de corte.
E1 esfuerzo cortante necesario para mantener el movimiento oscilatorio también
es periódico en el tiempo y, en general, de la forma
=Py
1 1
r,
= -ri'iO
cos w t - $'+O
sen ot
(8.2-4)
donde q' y q" son las componentes de la viscosidad compleja, q* = 7' - iq", que es una
función de la frecuencia. El primer término (en fase) es la "respuesta viscosa", y el
segundo término (fuera de fase) es la "respuesta elástica". Los químicos en polímeros usan las curvas de q'(o)y q"(m) (O los módulos de almacenamiento y pérdida
G' = V"W y G" = q ' ~para
) "caracterizar" a los polímeros, debido a que se conoce mucho sobre la relación entre las formas de estas curvas y la estructura q ~ í m i c aPara
.~
el fluido newtoniano, q' = F y 77'' = 0.
Flujo de alargamiento (o extensional) en estado estacionario
Un tercer experimento que puede realizarse implica el alargamiento del fluido, donde la distribución de velocidad está dada por v, =&, v, = -'Ex,
y u = -tiy (véase
2
la figura 8.2-31, donde la cantidad positiva E se denomina "velocidadde alargarniento". Así, la relación
Tzz
- dv,
- r x x= -q -
dz
define Ia viscosidad de alargamiento 6, que depende de t . Cuando E es negativo, el flujo se denomina alargamiento biaxial. Para el fluido newtoniano puede demostrarse
que 77 = 3p, lo que a veces se denomina "viscosidad de Trouton".
La lámina superior o s d a con E
amplitud muy pequeña
',(y1 ') =y% 'Os wt
Figura 8.2-2 Movimiento oscilatorio de
pequeiia amplitud. Para una pequeña
separación entre las láminas y fluidos
bastante viscosos, puede suponerse que el
perfil de velocidad es lineal.
J.D. Ferry, Viscoelastic Pmperfies ofPolymm, Wdey, Nueva York, 3a. edición (1980).
280
Capítulo 8
Líquidos polirnéricos
1
4
VL
-2 y
1.
1.
=e,u, =-?a,
Vy =
C
Figura 8.2-3 Flujo de alargamiento
estacionario con velocidad de
elongación i = d ~ , / d z .
La viscosidad de alargamiento 5 no puede medirse para todos los fluidos, ya
que no siempre es posible lograr un flujo de alargamiento en estado estacionario.4
Los tres experimentos que acaban de describirse son sólo unas cuantas de las
pruebas reométricas que pueden realizarse. Otras pruebas incluyen relajación del esfuerzo después de que se suspende el flujo, aumento del esfuerzo al comienzo del
flujo, retroceso y reptancia, cada una de las cuales puede ejecutarse en flujo cortante, de alargamiento y otros tipos de flujo. Cada experimento resulta en la definición de una o más funciones del material. Éstas pueden usarse para caracterizar al
fluido y también para determinar las constantes empíricas en los modelos descritos en 558.3 a 8.5.
En las figuras 8.2-4 a 8.2-6 se muestran algunas funciones del material como
muestra. Debido a que existe una amplia gama de fluidos complejos, en lo que se refiere a estructura y constitución química, en esta variedad de experimentos hay muchos tipos de respuestas mecánicas. Análicis más completos de los datos obtenidos
en experimento reométricos pueden consultarse en otra parte?
Figura 8.2-4 Las funciones del
material v@), Y,@),
~'(wy
) 7)*(0)para
una solución al 1.5%de poliacrilamida
en una mezcla 50/50 deágua y
glicerina. Las cantidades q, r)' y ?"se
proporcionan en Fa . S, y P
' , en Pa . s2.
Tanto y como o se proporcionan en S-'.
Los datos son de J.D. Huppler, E.
Ashare y L. Holmes, Trans. SOC. Rheol.,
11,159-179 (1967), según las volvi6 a
graficar J.M.
Los esfuerzos
normales oscilatonos también se han
estudiado en forma experimental y
teórica (véase M.C. Williams y R.B.
Bird, Ind. Eng. Chem. Fundam., 3,4248
(1964);M.C.Williams, 1. Chem. Phys.,
42,2988-2989 (1965);E.B.Christiansen
y W.R. Leppard, Trans. Soc. Rheol., 18,
65-86 (1974), donde la ordenada de la
figura 15 debe multiplicarse por 39.27.
C.J.S. Pettie, Elongational Flows, Pitrnan, Londres (1979);J . Meissner, Chem. Engr. Commun., 33,159-180(1985).
R.B. Bird, R.C. Amstrong y O. Hassager, Dynomics ofPo[ymeric Liquids, Vol. 1 , Fluid Mechanics,
W~ley-lntersctence,2a. edición (1987).
58.3
Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados 281
Figura 8.2-5 Dependencia del segundo coeficiente del
esfuerzo normal respecto a la velocidad de corte para una
solución al 2.5% d e poliacrilamida en una mezcla 50/50 de
agua y glicerina. La cantidad q2está dada en Pa . s2 y w está
en S-'. Los datos de E.B. Christiansen y W.R. Leppard, Trans
Soc. Rheol., 18,65-86(19741, han sido graficados nuevamente
por J.M. Wiest
6
4
-
2
M
...,
o
-
-2
Ir
-4
7'
-2
o
1%
,
+
2
4
.
log ( - #)
(b)
Figura 8 . 2 6 a) Viscosidad de alargamiento para estiramiento uniaxial de polietileno d e baja y alta
densidad LDPE y HDPE, respectivamente. [De H. Münstedt y H.M. Laun, Rheol. Acta, 20,211-221
(1981)1. b) Viscosidad de alargamiento para estiramiento biaxial de polietileno de baja densidad,
deducida a partir de datos de birrefringencia de flujo. [De J.A. van Aken y H. Jaiieschitz-Kriegl, Rheol
Acta, 20,419-432 (1981)l. En ambas gráficas la cantidad 7) está dada en Pa . s y E está en S-'.
58.3
VISCOSIDAD NO NEWTONIANA Y LOS MODELOS NEWTONIANOS GENERALIZADOS
Ésta es la primera de tres secciones dedicadas a expresiones empíricas del tensor de
esfuerzo para fluidos no newtonianos. Podría decirse, en términos muy generales,
que estas tres secciones satisfacen a tres grupos de personas:
58.3 Los modelos newtonianos generalizados se utilizan esencialmente para describir flujos cortantes en estado estacionario y los ingenieros los han utilizado
con amplitud para diseñar sistemas de flujo.
98.4 Los modelos viscoelásticos lineales se utilizan en particular para describir flujos en estado no estacionario en sistemas con gradientes de desplazamiento
muy pequeños y principalmente los han usado los químicos interesados en
comprender la estructura de los polimeros.
58.5 Los modelos viscoelásticos no lineales constituyen un intento por describir
todos los tipos de flujo (incluyendo los dos que acaban de mencionarse) y han
sido bastante desarroliados por flsicos y matemáticos aplicados interesados en
encontrar una teoría totalmente incIuyente.
282
Capitulo 8 Líquidos poliméricos
En realidad, las tres clases de modelos están interrelacionadas y cada una es "portante para
el tema del flujo no newtoniano. En el siguiente análisis de
los
no newtonianos, se supone siempre que los fluidos son incompresibles.
De los tres tipos de modelo que se analizan aquí, el más senciilo lo constituyen
bs modelos newtonianos generalizados.' Sin embargo, éstos sólo son capaces de d w bir la viscosidad no newtoniana, y ninguno de los efectos del esfuerzo normal, los
efectosdependientesdel tiempo O 10s efectos elásticos. Aún así, en muchos procesos
de la indusma de polímeros, como el flujo en un tubo con transmisión de calor, el
diseño de distribuidores, la extrusión y el moldeado por inyección, la viscosidad no
newtoniana y su enorme variación con la velocidad de corte son fundamentalespa.
ra describir b s flujos de interés.
pan fluidos newtonianos incompresibles, la expresión para el tensor de esfuer.
está dada por la WuaciÓn 1.2-7 con ei último término omitido:
donde hemos introducido el símbolo y = VV + (VV)+,el tensor de velocidad del esh e r z o (O tensor de velocidad de la d#orrnación). El modelo generalizado de fluido newtoniano se &tiene mediante la simple sustitución de la viscosidad constante fi por
la
no newtoniana % una función de la velocidad de corte, que en gen,$
ral puede
como la "magnitud del tensor de velocidad de la deformación"
9=
Se entiende que al extraer la raíz cuadrada, el signo debe elegirse de modo
que;sea una cantidad positiva. Así, el modelo generalizado de fluido newtoniano es
m;
T=
-
~ ( V Vt VV)*)= -v y
con q = q ( j )
(8.32)
Las componentesdel tensor de velocidad de la deformación y pueden obtenerse en
coordenadascartesianas, cilíndricas y esféricasa partir de los miembros derechos de
las maciones de la tabla 8.1omitiendo los términos (V . v) y el factor (-CL) en los
demás términos.
Ahora debemos proporcionar un empirismo para la función de viscosidad no
newtoniana q($. 5 han propuesto docenas de estas expresiones, pero aquí sólo
mencionamos dos:
a) ~1 empirismo más sencillo para ~ ( 7es) la expresión de ley exponencia1 de dos
parámetro~:~
donde m y n son Constantes que caracterizan el fluido. Esta simple relación describe la curva de viscosidad no newtoniana sobre la porción lineal de la gráfica log-log
de la viscosidad contra la velocidad de corte para muchos materiales (véanse, por
ejemplo, 10s datos de viscosidad en la figura 8.2-4). Las unidades del parámetro m son
Pa . sn, y n - 1es la pendiente de la gráfica de log q contra log 7. En la tabla 8.3-1 se
exponen algunos valores muestra de los parámetros de la ley de potencias (exponentes).
.
1 K.HohenemSer Y W. Praager, Zeits.f: Math. u. Mech., 12, 216226 (1932); J.G.Oldroyd, Prcic. Cornb. Phil. Soc., 45,
595411 (1949), y 47,410418 (1950).J a m s Gardner Oldroyd (1921-1982), profesor en La Universidad de LiveipoaL hizo muchas contribuci~n~
a la teoría de fluidos no newtonianos; en particular, sus ideas sobre la construcción de ecua- ,
nones
2
y los principios de mecánica del continuo.
W.ostwald,
~olloid-zeifschnft, 3699-117 (1925); A. de Waele, Oil Color Chem. Assoc. J., 6,33-88(1923).
58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generahados
Tabla 8.3-1
Parámetros de la ley de potencias para soluciones acuosasA
Temperatura (K}
Solución
Hidroxietilcelulosa al 2.0%
m(Pa
n(-)
S")
293
313
333
293
313
333
293
313
333
Hidroxietilcelulosa al 0.5%
dxido de polietileno al 1.0%
a
283
R.M. Turian, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin, Madison (19641, pp. 142-148.
Aunque el modeIo de la ley de potencias fue propuesto como una expresión empírica, en la ecuación 8.6-11se verá que una teoría molecular simple conduce a una
expresión de ley de potencias para altas velocidades de corte, con n =
t.
b) Un mejor ajuste de curvas para la mayor parte de datos puede obtenerse
usando la ecuación de Carreau de cuatro parámetros? que es
donde q0 es la viscosidad cero de velocidad de corte, q, es la viscosidad infinita de
velocidad de corte, A es un parárnetro con unidades de tiempo, y n es un parámetro
adimensional. En la tabla 8.3-2 se exponen algunos parámetros muestra para el modelo de Carreau.
Ahora proporcionamos algunos ejemplos sobre cómo usar el modelo de la ley
de potencias. Se trata de extensiones de los problemas que se analizaron en los capítulos 2 y 3 para fluidos newtonianos?
Tabla 8.3-2 Parámetros en el modelo de Carreau para algunas soluciones de poliestireno lineal en l-Cloronaftalenoa
Propiedades de
la solución
Parámetros en la ecuación 8.3-4
(77- se toma como cero)
-
Mw
íg/mol)
c
(g/mol)
70
(Pa . S)
A
(S)
n
(- -
-1
Los valores de los parámehos se tomaron de K. Yasuda, R.C. Armstrong y
R.E. Cohen, Rheol. Acta, 20, 163-178 (1981).
a
P.J.
Carreau, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin, Madison (1968). Véase también K. Yasuda, R.C.
Armstrong y R.E. Cohen, Rheol. Acto, 20,163-178 (1981).
Para ejemplos adicionales, incluyendo flujos no isotérmicos, véase R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager.
Dparnics of Polperic Liquids, Vol. 1, Fluid Mechnics, Wdey-hterscience, Nueva York, 2a. edición (1998), capítulo 4.
284
CapítuIo 8
Líquidos polhéricos
un tubo circular de un
fluido incompresible
que obedece la ley de
pofencia~~~~
Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito por
el modelo de Ia ley de potencias. El fluido circula en un tubo circular largo de radio R y Ion.
gitud L, como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas.
S OLUCION
La ecuación 2.3-13 proporciona Ia distribución del esfuerzo cortante para cualquier fluido en
estado estacionario desarrollado en un tubo circular. En esta expresión es necesario insertar
el esfuerzo cortante para el Buido que obedece la ley de potencias (en vez de usar la ecuación
2.3-14). Esta expresión puede obtenerse a partir de las ecuaciones 8.3-2 y 8.3-3.
Debido a que se postula que u, es sólo una función de r, a partir de la ecuación 3.1-13 se
encuentra que =
=J
( . El signo de la raíz cuadrada debe elegirse de modo
que y sea positivo. Como dv,/dr es negativa en el flujo en un tubo, debemos elegir el signo
menos, de modo que
m
Entonces, al combinar las ecuaciones 8.3-6 y 2.3-13 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la velocidad:
Después de extraer la raíz n-6sima es posible integrar la ecuación, y cuando se aplica la condición sin deslizamiento en Y = R, se obtiene
para la distribución de velocidad (véase la ecuación 8.1-1).Una vez que la expresión anterior
se integra sobre la sección transversal del tubo circular se obtiene
que se simplifica a la ley de Hagen-Poiseuille para fluidos newtonianos (ecuación 2.3-21)
cuando n = 1 y m = p. La ecuación 8.3-9 puede usarse junto con datos sobre caída de presión
contra caudal para determinar los parámetros m y n de la ley de potencias.
estrecha de un fluido
que obedece la ley de
potencias4
En el problema 2B.3 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha. Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo mfisico para un fluido que obedece Ia ley de potencias y circula en la rendija.
SOLUCION
La expresión para el esfuerzo cortante T~ como una función de la posición x en la ecuación
2B.3-1 puede reemplazarse aquí, ya que no depende del tipo de fluido. La Mrmula de la ley
de potencias para 7, a partir de la ecuación 8.3-3, es
rx, = m(-$$'
para 0 5 x 5 B
M. Reiner, Deformatwn, Strain and F l m , Interscience,Nuwa York, 2a. edici6n (1960), pp. 243-245.
98.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados
para -3
5
285
x5O
Para obtener la distribución de velocidad para O 5 x 5 B, se sustituye T,, de la ecuación 8.3-10
en la ecuación 2B.3-1 para obtener:
Al integrar y usar la condición sin deslizamiento en x
=B
se obtiene
Debido a que se espera que el perfil de velocidad sea simétrico respecto a1 plano medio x = 0,
la velocidad de flujo masico puede obtenerse como sigue:
Cuando n = 1 y m = p, se recupera el resultado newtoniano del problema 2B.3. Para determinar los parámetros de la ley de potencias, con la ecuación 8.3-14 pueden usarse datos experimentales sobre caída de presi6n y velocidad de flujo másico a través de una rendija estrecha.
-
Volver a trabajar el ejempIo 3.6-3 para un fluido que obedece la ley de potencias.
conc6ntricos de
n &ido que obedece
SOLUCIÓN
Las ecuaciones 3.6-20 y 3.6-22 permanecen sin cambio para un fluido no newtoniano, pero en
lugar de la ecuación 3.6-21 escribimos la componente 0 de la ecuación de movimiento en términos del esfuerzo cortante usando la tabla 8.5:
Para el perfil de velocidad postulado, se obtiene lo siguiente para el modelo de la ley de potencias (con ayuda de la tabla B.l)
Al combinar las ecuaciones 8.3-15 y 8.3-16 se obtiene
286 Capítulo 8 Líquidos poliméricos
Al integrar queda
Al dividir entre r2 y extraer la raíz n-ésima se obtiene una ecuación diferencial de primer or.
den para la velocidad angular
Esta expresión puede integrarse con las condiciones límite en las ecuaciones 3.6-27 y 3.6-28
para llegar a
Entonces, el momento de torsión (la componente z) necesario en el cilindro exterior para m a tener e1 movimiento es
Así, al combinar las ecuaciones 8.3-20 y 8.3-21 se obtiene
El resultado newtoniano puede recuperarse al establecer n = 1 y m = p. La ecuación 8.3-22
puede usarse junto con estos datos de momento de torsión contra velocidad angular para de
terminar los parámetros m y n de la ley de potencias.
58.4"
ELASTICIDAD Y LOS MODELOS VISCOELÁSTICOSLINEALES
Precisamente después de la ecuación 1.2-3, en el análisis sobre la generalización de
la "ley de viscosidad" de Newton, de manera específica excluimos las derivadas respecto al tiempo y las integrales respecto al tiempo en la obtención de una expresi6n
lineal para el temor de esfuerzo en términos de los gradientes de velocidad. En ecta sección permitimos la inclusión de las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo, pero se sigue requiriendo una expresión lineal entre T y ?.
Este hecho lleva a modelos viscoelásticos lineales.
Empezamos por escribir la expresión de Newton para el tensor de esfuerzo de
un líquido viscoso incompresible junto con la expresión análoga de Hooke para el
tensor de esfuerzo de un sólido elástico incompresible:l
Newton:
r = -F(VV
Hooke:
r=
+ (VV)~)= - p j
-G(Vu + (Tu)+)
-Gy
(8.4-1)
(8.4-2)
En la segunda de estas expresiones, G es el módulo elástico, y u es el "vector desplazamiento", que proporciona la distancia y la dirección de un punto en el sólido que se ha
movido respecto a su posición inicial como resultado de los esfuerzos aplicados. La can-
' R. Hooke, Lectures de Pofmtia Restitutivo (1678).
1
58.4 Elasticidad y los modelos viscoelásticos iineaies 287
tidad y se denomina "tensor de deformacióninfinitesimal". El tensor de velocidad de la
deformación y el tensor de deformacióninfinitesimd están relacionados por j =
El sólido hookeano tiene una memoria perfecta; una vez que se retiran los esfuerzosimpuestos, el sólido regresa a su configuración inicial. La ley de Hooke es válida sólo para gradientes de desplazamiento muy pequeños, Vu. Ahora queremos comb'iar las
ideas contenidas en las ecuacionec 8.41 y 8.4-2 para describir fluidos viscoelásticos.
-
-
E] modelo de Maxwell
La ecuación más simple para describir un fluido que es tanto viscoso como elástico
constituye el siguiente modelo de M a x ~ e l l : ~
Aquí Al es una constante de tiempo (el tiempo de relajación) y q0 es la viscosidad cero
de velocidad de corte. Cuando el tensor de esfuerzo cambia imperceptiblemente con el
tiempo, la ecuación 8.4-3 asume la forma de la ecuación 8.4-1 para un líquido newtoniano. Cuando en el tensor de esfuerzo hay cambios muy rápidos con el tiempo,
entonces puede omitirse el primer término del miembro izquierdo de la ecuación
8.4-3, y cuando la ecuación se integra respecto al tiempo, se obtiene una ecuación de
la forma de la ecuación 8.4-2 para el sólido hookeano. En ese sentido, la ecuación
8.4-3 incorpora tanto la viscosidad como la elasticidad.
Un experimento simple que ilustra el comportamiento de un líquido viscoelástic0 puede realizarse con plastilina "boli-goma". Este material fluye con facilidad
cuando se aprieta lentamente entre las palmas de las manos, lo cual indica que se
trata de un fluido viscoso. Sin embargo, si se le da la forma de una pelota, ésta rebota cuando se le deja caer sobre una superficie dura. Durante el impacto los esfuerzos cambian rápidamente, y el material se comporta como un sólido elástico.
modelo de Jeffreys
El modelo de Maxwell de la ecuación 8.4-3 es una relación lineal entre los esfuerzos
y los gradientes de velocidad, que implica una derivada respecto al tiempo de los
esfuerzos. También podría incluirse una derivada respecto al tiempo de los gradientes de velocidad y aún así seguir teniendo una relación lineal:
Este modelo de Jefieys3 contiene tres constantes: la viscosidad cero de la veIocidad de
corte y dos constantes de tiempo (la constante h2 se denomina tiempo de retardo).
Esta relación fue propuesta por J.C.Maxwell, Phil. Trans. Roy. Soc., A157,49-88 (1867), para investigar la
posibilidad de que Ios gases pueden ser viscoelásticos.
Este modelo fue sugerido por H. Jeffreys,The Earth, Cambridge University Press, la. edición (1924), y 2a.
edici6n (1929). p. 265, para describir la propagación de ondas en el manto de la Tierra. Los parámetros en este modelo
han sido relacionados con la estructura de las suspensiones y las emulsiones por H. Frohlich y R. Sack, Proc. Roy. Soc.,
A185,415-430 (1946) y por J.G.
Oldroyd, Proc. Roy Soc., A218,122-132(1953), respectivamente.Otra hterpretaciún de
la ecuación 8 . 4 4 es considerarla como la suma de la contribución de un solvente newtoniano (S) y la contribución de
un p o h e r o (p), donde dsta es descrita por un modelo de Maxwell:
de modo que T = r5+ rp.Luego, si las ecuaciones 8.4-4a, 8 . 4 4 , y A, por la derivada respecto al tiempo de la ecuación
8.4-4a se suman, se obtiene el modelo de Jeffreys de la ecuación 8.44, con = q, t ~rpy A 2 (TI,/(% + vp)Nl.
-
1
288 Capitulo 8
Líquidos poliméricos
Resulta evidente que es posible agregar térmhos que contengan las derivadas
segunda, tercera y superiores de los tensores de esfuerzo y de velocidad de la deformación con constantes multiplicativas apropiadas, a fin de obtener una relación li.
neal todavía más general entre los esfuerzos y los tensores de velocidad de la
derormación. Esto otorga más flexibilidad al ajustar datos experimentales.
El modelo de Maxwell generalizado
Otra forma de generalizar la idea de MaxweIl es "superponer" ecuaciones de la forma de Ia ecuación 8.4-3 y escribir el modelo de Maxwell generalizado como
donde hay muchos tiempos de relajamientoAk (con A l 2 A2 2 Ag . . .) y muchas com
tantes qkcon dimensiones de viscosidad. Se sabe mucho sobre las constantes en este
modelo a partir de teorías moleculares de polímeros y de los extensos experimentos
que se han realizado sobre líquidos polimérico~.~
El número total de parámetros puede reducirse a tres usando las siguientes expresiones empírica^:^
donde q, es Ia viscosidad cero de velocidad de corte, h es una constante de tiempo
y a es una constante adimensional (que suele variar entre 1.5 y 4).
Debido a que la ecuación 8.4-6 es una ecuación diferencial lineal, puede integrarse analíticamente, con la condición de que el fluidoesté en reposo en t = -m.
Así, cuando se suman los diversos rksegún la ecuación 8.4-5, se obtiene la forma integral del modelo de Maxwell generalizado:
En esta forma, el concepto de "memoria que se desvanece" está presente de manera evidente: el esfuerzo en el instante t depende de los gradientes de velocidad en
todos los instantes pasados t', pero debido a las funciones exponenciales que hay
en el integrando, se otorga mayor peso a los instantes t' próximos a f; es decir, la
"memoria" del fluido es mejor para instantes recientes que para instantes más remotos. La cantidad entre llaves se denomina módulo de relajación del fluido y se denota por G(t - t'). Algunas veces la expresión integral en la ecuación 8.4-9 es más
conveniente para resolver problemas de viscoelásticos lineales que las ecuaciones
diferenciales en las ecuaciones 8.4-5 y 8.4-6.
Los modelos de Maxwell, Jeffreys y Maxwell generalizado son todos ejemplos
de modelos viscoelásticos lineales, y su uso está restringido a movimientos con
gradientes de desplazamiento muy pequeños. Los líquidos poliméricos tienen muchos grados de libertad internos y en consecuencia se requieren muchos tiempos de
J.D.Ferry, Visismelmtic Properties of Polymm, Wdey, Nueva York, 3a. edición (1980).V4ase tambien N.W.
Tsdioegl, The Phmonienological Theory of Linear Viscoelastic Behmiior, Springer-Verlag, k r i í n (1969);y R.B. Bird. RC.
h t r o n g y O. Hassager, Dynamia of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechunics, Wdey-Interscimice,Nueva York, 2~
edición (1987),capítulo 5.
T.W. Spriggs,&?mChnn.
Eng. S&, 20,931-940(1965).
,
$3.4
Elasticidad y los modelos viscoelásticos lineales
289
relajación para describir su respuesta lineal. Por esta razón, el modelo de Maxwell
generalizado se ha utilizado ampliamente para interpretar datos experimentales sobre viscoelasticidad lineal. La funci6n de relajación G(t - f') puede determinarse
ajustando la ecuación 8.4-9 a datos experimentales. Luego es posible relacionar las
formas de las funciones de relajación con la estructura molecular del polímero. De
esta manera se desarrolla una especie de "espectroscopia mecánica" que puede
usarse para investigar la estructura por medio de mediciones viscoelásticas lineales
(como la viscosidad compleja).
Podría parecer que los modelos que describen flujos con gradientes de desplazamiento muy pequeños sólo tienen un interés limitado para los ingenieros. Sin
embargo, una razón importante para estudiarlos es que contar con algo de antecedentes en viscoelasticidad lineal ayuda en el estudio de viscoelasticidad no lineal,
donde se analizan flujos con grandes gradientes de desplazamiento.
Obtener una expresión para las componentes de la viscosidad compleja usando el modelo de
Maxwell generalizado. El sistema se describe en la figura 8.2-2.
oscilatorio de
amplitud pequeña
SOLUCIÓN
.
Usamos la componente yx de la ecuación 8.4-9, y para este problema la componente yx del
tensor de velocidad de la deformación es
donde w es la frecuencia angular. Cuando esto se sustituye en la ecuación 8.4-9, con el módulo de relajación (entre corchetes) expresado como G(t - t'), se obtiene
donde S = t - t'. Al comparar esta ecuación con la ecuación 8.2-4, se obtiene
para las componentes de la viscosidad compleja i)* = 9' iq". Cuando se introduce la expresión del modelo de Maxwell generalizado para el módulo de relajación y se evalúan las integrales, se encuentra que
-
Si se usan los ernpirisrnos en las ecuaciones 8.4-7y 8.4-8, puede demostrarse que ambas 77' y
q" decrecen como I / w ' - ( ' /a~frecuencias
)
muy altas (véase la figura 8.2-4).
290
Capitulo 8 Líquidos poliméricos
Extender el ejemplo 4.1-3 a fluidos viscoelásticos, usando el modelo de Maxwell, y obtener la
atenuación y el desplazamiento de fase en el "estado estacionario periódico".
no estacionario cerca
de una lámina
oscilatoria
SOLUCIÓN
Para el flujo cortante postulado, la ecuación de movimiento, escrita en términos de la componente del tensor de esfuerzo, da
El modelo de Maxwell en forma integral es como la ecuación 8.4-9, pero con una función exponencia1 simple:
Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene
Asi como en el ejemplo 4.1-3, postulamos una solución de la forma
donde vo(y) es complejo. Al sustituirse en la ecuación 8.4-18 se obtiene
Entonces, al eliminar el operador real se obtiene unaación para v0(~)
Luego, si la cantidad compleja entre corchetes [ ] se iguala a (a+ i/3I2,la solución de la ecuación diferencial es
Al multiplicar esto por eioi y tomar la parte real se obtiene
Este resultado tiene la misma forma que el de la ecuación 4.2-57, pero las cantidades a y /3 dependen de la frecuencia:
(8.4-24)
Es decir, con frecuencia creciente, cu disminuye y /3 aumenta debido a la elasticidad del fluido. Este resultado muestra cómo la elasticidad afecta la transmisión de las ondas cortantes
cerca de una superficie oscilatoria.
58.5
Las derivadas corrotaciona1es y los modelos viscoelásticos no lineales 291
Nótese que hay una diferencia importante entre los problemas en los dos dtimos ejemplos. En el ejemplo 8.4-1 se prescribió el perfil de velocidad, y aquí hemos
deducido una expresión para el esfuerzo cortante necesario para mantener el movimiento; no se utilizó la ecuación de movimiento. En el ejemplo 8.4-2 no se hizo ninguna suposición sobre la distribución de velocidad, y ésta la dedujimos usando la
ecuación de movimiento.
En la sección previa se demostró que la inclusión de las derivadas respecto al tiempo (O de las integrales respecto al tiempo), en la expresión del tensor de esfuerzo,
permite la descripción de los efectos elásticos. Los modelos viscoelásticos lineales
pueden describir la viscosidad compleja y la transmisión de ondas cortantes de pequeña amplitud. También es posibIe demostrar que los modelos lineaIes pueden
describir la recuperación elástica, aunque los resultados se restringen a flujos con
gradientes de desplazamiento despreciables (y por tanto, de poco interés práctico).
En esta sección introducimosla hipótesis'lde quela relación entre el tewor de esfuerzo y los tensores cinemáticos en una partícula de fluido debe ser independiente de
la orientación instantánea de esa partícula en el espacio. Bsta parece ser una hipótesis
razonable; si se mide la relación esfuerzo-deformaciónen una banda elástica, no debe
importar si ésta se estira en la dirección norte-sur o en la dirección este-oeste, o incluso si se hace girar mientras se registran datos (siempre y cuando, por supuesto, no se
haga girar tan rápido que fuerzas centrífugas interfieran en las mediciones).
Una forma de implementar la hipótesis anterior es introducir en cada partícula
de fluido un marco de referencia coordenado corrotacional.Este marco ortogonal gira con la velocidad angular instantánea local a medida que se mueve por el espacio
junto con la partícula de fluido (véase la figura 8.5-1). En el sistema coordenado corrotacional ahora podemos apuntar algún tipo de relación entre el tensor de esfuerzo y
/
Partícula de fluido
en el instante 1'
-y='
'
Partícula d e Buido
en el instante t
Trayectoria d e la
partícula de fiuido
Figura 8.5-1 Marco coordenado fijoAco? e'origen en O, y el marco
comtacional con vectores unitarios 8,, 82, que se mueven con una
partída de fluido y giran con la velocidad angular instantánea loca1
+[V X del fluido.
VI
' G. Jaumann,Grundlagen der Bmepngslehre, Leipzig (1905); Sitzungsbrrichte Akod. Wiss. Wien, Ila, 120,385-530
(1911); S. Z a m b a , Buil. Int. Acad. Sci., Crawie, 594-614,614-621 (1903). Gustaf Andreas Johannes Jaurnann (18631924), quien enseñó en la universidad alemana en Bninn (ahora Brno), y en honor de quien así se denomina la "deri-
vada de Jaumam", contribuyó de manera importante al campo de la mecánica del continuo a principios del siglo XX;
fue el primero en proporcionar la ecuación de variación para la enhopía, incluyendo la "densidad de flujo de entropía" y la "velocidadde producción de entropía"(véase 524.1).
J.G.Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A245,27&297 (1958). Para una extensión de la idea corrotacional, d a s e L.E. Wedgewood, Rheol. Acta, 38,91-99 (1999).
292
Capítulo 8 Líquidos poliméricos
el temor de velocidad de la deformación; por ejemplo, podemos escribir el modelo
de Jefheys y luego agregar algunos términos no lineales adicionales para hacer
buena medida:
donde los acentos circunflejos ( " ) sobre los tensores indican que sus componentes
son aquellas con respecto al marco coordenado corrotacional. En la ecuación 8.5-1,
las constantes Al, A2, po, p1 y p2, todas tienen dimensiones de tiempo.
Debido a que las ecuaciones de continuidad y movimiento están escritas para el
marco coordenado xyz de costumbre, fijo en el espacio, parece razonable transformar la ecuación 8.5-1 del marco iii en el marco xyz. Bste es un problema puramente matemático, que se ha trabajado desde hace mucho,l y la solución es bien
conocida. Puede demostrarse que las derivadas parciales respecto al tiempo alat,
a2/at2, . - se cambian en derivadas comtacionales (o de Jaumann14) respecto al tiempo
Eb/EDt, 9 2 / 9 t 2 ,
-- L,a derivada corrotacional respecto al tiempo de un temor de segundo orden se define como
a
donde o = Vv - (VV)~es el tensor de verticidad, y D / D t es la derivada sustancial respecto al tiempo definida en 53.5. Los productos punto tensoriales que aparecen en
la ecuación 8.5-1, con componentes en el marco x i i , se transforman en los productos punto correspondientes, con las componentes dadas en el marco xyz.
Cuando se transforma en el marco qz,la ecuación 8.5-1 se convierte en
que es el modelo de Oldroyd de 6 constantes. Así, este modelo no depende de la orientación local instantánea de las partículas de fluido en el espacio. Debe recalcarse que
la ecuación 8.5-3 es un modelo empírico; el uso del marco corrotacional sólo garantiza que "se ha restado" la rotación local instantánea del fluido.
Con una elección idónea de estos pariimetros, la mayor parte de los fenómenos
observados en dinámica de fluidos poliméricos puede describirse cualitafivammie.
Como resultado, este modelo se ha utilizado de manera amplia en cálculos explora-c
torios de dinámica de fluidos. Una simplificación a tres constantes de la ecuación:
8.5-3 con p1 = Al, p2 = A, y po = O se denomina modelo B de Oldroyd. En el ejempb;
8.5-1 mostramos lo que se obtiene con la ecuación 8.5-3para las funciones del mate
4
rial definidas en 58.2.
Otro modelo viscoelástico no lineal es el modelo de Giesekus5 de 3 constantes,
contiene un término cuadrático en las componentes del esfuerzo:
q~d
J.D.Goddard y C. Miller, Rhml. Acta, 5,177-184 (1966).
R.B. Bird, R.C.Armstrong y O. Hassager, Dymmics of Polyrneric Liquids, Vol. 1 , Fluid Mechnics, Wiley, Nue
York, la. edición (1977). capítulos 7 y 8; los modelos cormtacionales no se analizan en la segunda edición de este
donde se pone de relieve el uso de las "coordenadas por convecci6nr'y el marco "de codeformación".Para m
diferencialespuede usarse el marco comtacional o el de codefonnaci6n, pero el primero es más sencillo concep
rnatemdticamente.
H. Giesekus,J. Non-Nautonian Fluid Meck., 11,69-109 (1982);12,367-374; Rheol. Acta, 21, 366-375 (1982).Véatambién R.B. Bird y J.M.
Wiest, J. Rheol., 29,519-532 (1985), y R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics o j
Polymedc Liquids, Val. 1, Fluid Dynomics, Wdey-Interscien~e,
Nueva York, 2a. edición (1987),573(c).
s8.5 Las derivadas corrotacionales y los modelos viscoelásticos no lineales
Tabla 8.5-1
293
Funciones del materia1 para el modelo d e Giesekus
-
-
Flujo cortante estacionario:
donde
(D. E)
Flujo cortante oscilatorio de pequeña amplitud:
1
l7 --y
7)a
l+(~w)~
7"
-=7)0
Aa
~+(Aw)~
Flujo de alargamiento estacionario:
Aquí A es una constante de tiempo, q,es la viscosidad cero de velocidad de corte y
m es un parámetro adimensional. Este modelo proporciona formas razonables para
la mayor parte d e las funciones del material, y en la tabla 8.5-1 se resumen las expresiones analíticas para aquéllas. Debido al término {T . T},no son particularmente
simples. Es posible hacer superposiciones de modelos de Giesekus para describir
casi cuantitativamente las formas de las funciones del material medidas6 El modelo se ha usado ampliamente para cálculos de dinámica de fluidos.
Obtener las funciones del material para flujo cortante estacionario, movimiento oscilatorio de
pequeña amplitud y flujo de alargamiento uniaxial estacionario. Usar el hecho de que en flujos cortantes, las componentes T,, y 7 del tensor de esfuerzo son cero, y que en flujo de alargamiento, los elementos fuera de la g g o n a l del tensor de esfuerzo son cero (estos resultados
se obtienen por argumentos de simetría7).
a) Primero simplificamos Ia ecuación 8.5-3 parajujo cortanfe no estacionario, con la distribución de velocidad v,@, t ) = j(t)y. Al escribir las componentes de la ecuación se obtiene
W.R. Burghardt, J.-M. Li, B. Khomami y B. Yang,T. Rheol., 147,149-165 (1999).
Véase, por ejemplo, R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polyrneric Liquids, Vol. 1, Fluid
Dynaniics, Wiley-Interscience, Nueva York, 2a. edición (1987), 53.2.
294
Capítulo 8 Líquidos poliméricos
b) Para flujo cortante en estado estacionario, con la ecuación 8.5-7 se obtiene T, = O, y las otras
tres ecuaciones dan un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas que pueden resolver.
se para obtener las demás componentes del tensor de esfuerzo. Luego, con las definicionesde
las funciones del material dadas en $8.2, podemos obtener
Por tanto, el modelo proporciona una viscosidad dependiente de la velocidad de corte, así amo coeficientes del esfuerzo normal dependientes de la velocidad de corte. (Para el modele
B de Oldroyd, la viscosidad y los coeficientes del esfuerzo normal son independientes de la
velocidad de corte.) Para la mayor parte de polímeros, la viscosidad no newtoniana decrece
con la velocidad de corte, y para tales fluidos se concluye que O <u2<ul.Además, ya que los
valores medidos de 1 7 ~ 1 (siempre
~
crecen monótonamente con la velocidad de corte, también
se requiere que u2>
Aunque el modelo proporciona la viscosidad dependiente de la velocidad de corte y los esfuerzos normales, las formas de las curvas no coinciden satisfactoriamente con los datos experimentales sobre un amplio internalo de velocidades de corte.
Si pCL1
< Al y .!A2, el signo del segundo coeficiente del esfuerzo normal es contrario al
signo del primer coeficiente del esfuerzo normal, en concordancia con los datos para la mayor parte de iíquidos poliméricos. Debido a que el. segundo coeficiente del esfuerzo normal
es mucho menor que el primero para muchos fluidos y a que en algunos flujos desempeña
un papel despreciable, hacer p, = Al y p2 = A2 puede ser razonable, reduciendo así de 6 a 4 el
mímero de parhmetros.
Este anáiisis muestra cómo evaluar un modelo empírico propuesto a1 comparar las
predicciones del modelo con datos experimentales obtenidos en experimentos reométricos.
También hemos visto que los datos experimentales pueden necesitar restricciones en los parámetros. Resulta evidente que ésta es una tarea enorme, pero no m6s que el problema que
enfrenta el experto en termodinámica al desarrollar ecuaciones de estado empíricas para
mezclas, por ejemplo. Sin embargo, el experto en reologia trata con ecuaciones tensoriales,
mientras que el experto en termodinámica lo hace sólo con ecuaciones escalares.
F1.
Para movimiento oscilatorio de pequeña amplitud, pueden omitirse los términos no lineales de
las ecuaciones 8.5-5 a 8.5-8, y las funciones del material son las mismas que las que se obtuvieron a partir del modelo de Jeffreys de viscoelasticidad lineal:
C)
Para que 77' sea una función monótona decreciente de la frecuencia y para que 7" sea positi.
va (como se observa en todos los experimentos), debe requerirse que A2 < A,. Aquí otra vez,
el modelo proporciona resultados cualitativamente correctos, pero las formas de las curvas
no son correctas.
d) Para elflujo de alargamiento en estado ~sfacionariodefinido en 58.2, el modelo de 01droyd de
6 constantes proporciona
58.6 Teorías moleculares para líquidos poliméricos 295
Debido a que, para la mayor parte de poiííeros, la pendiente de la viscosidad de alargamiento contra la curva de velocidad de alargamiento es positiva en i.= O, debe requerirse que
fi, > p2.La ecuación 8.5-14 predice que la viscosidad de alargamiento puede volverse infinita en algún valor finito de la velocidad de alargamiento, lo cual quizá puede plantear problemas en cálculos de alargamiento de fibras.
Nótese que las constantes de tiempo A, y A, no aparecen en la expresión para la viscosidad de alargamiento, mientras que las constantes F,,, fi, y p2 no entran en las componentes
de la viscosidad compleja en las ecuaciones 8.5-12 y 8.5-13. Esto recalca el hecho de que se requiere un amplio intervalo de experimentos reométricos para determinar 10s pariimetros en
una expresi6n empírica del tensor de esfuerzo. Para plantearlo de otra forma, diversos experimentos recalcan diferentes partes del modelo.
58.6'
TEoRIAs MOLECULARES PARA LÍQUIDOS POLIMÉRICOS~-~
Ir
Con base en la sección precedente debe resultar evidente que la proposición y prueba de expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo en viscoelasticidad no lineal
es una tarea impresionante. Recuérdese que, en turbulencia, la búsqueda de expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo de Reynolds es igualmente una tarea que
asusta. Sin embargo, en viscoelasticidad no lineal se tiene la ventaja de que es posible reducir en forma considerable la búsqueda de las expresiones del tensor de
esfuerzo utilizando teoría molecular. Aunque la teoría cinética de los polimeros es
bastante más complicada que la teoria cinética de los gases, aún así funciona como
una guía en cuanto a sugerir formas posibles para el tensor de esfuerzo. Sin embargo, las constantes que aparecen en las expresiones moleculares aún deben determinarse a partir de mediciones reométricas.
Las teorías cinéticas para los polimeros pueden dividirse grosso modo en dos clases: teorías de redes y teorhs de una sola molécula:
a. Las teorías de redes3 fueron desarrolladas originalmente para describir las
propiedades mecánicas de1 hule. Es posible imaginar que las moléculas poliméricas
en el hule se unen químicamente durante la vulcanización. Las teorías se han extendido para describir poiímeros fundidos y soluciones concentradas al postular una
red que siempre cambia en la cual los nodos son temporales, formados por filamentos adyacentes que se mueven juntos durante un instante y que luego se separan
gradualmente (véase la figura 8.6-1).En la teoría es necesario hacer algunas afirmaciones empíricas sobre las velocidades de formación y ruptura de las uniones.
b. Las teorías de una sola molécula1 fueron diseñadas originalmente para describir las moléculas de polímeros en una solución muy diluida, donde las interacciones polímero-polímero son poco frecuentes. La molécula suele representarse por
medio de algún tipo de modelo de "resorte con cuentas", que es una serie de esferas pequeñas conectadas por resortes lineales o no lineales de manera que representen la arquitectura molecular; luego, se permite que el modelo de resortes con
cuentas se mueva en el solvente, dejando que las cuentas experimenten una fuerza
'
R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynaitrics of Polymmic Liquids, Vol. 2, Kinetic Thcory,
Wiley-Interscience, Nueva York, h.edición (1987).
'M. Doi y S.E Edwards, The Theory of Polymer Dynaniics, Clarendon Press, Oxford (1986); J.D Schieber "Polymer
Dynamics", en Encyclopedia ofApplied Physics, Vol. 14, VCH Publishers, Inc.(1996), pp. 415-443; R.B. Bird y H.C.
6ttinger,Ann. Rev. Phys. Chem.,43,371-406 (1992).
A.C. Lodge, Elasfic Liquids, Academic Press, Nueva York (1964); Body Tensor Ficids in Conti~iuuiriMrchanics,
Academic Press, Nueva York (1974);Understandii~gElastomer Moleculor Netuiork Tlieory, Bannatek Press, Madison, Wis.
(1999).
296 Capítulo 8
Líquidos poliméricos
Figura 8.6-1 Porción de una red de polimem
formada por "uniones temporales", indicadas
aquí por los círculos.
de resistencia de la ley de Stokes por el solvente, así como si fueran golpeadas por el
movimiento browniano (véase la figura 8.6-26). Luego, a partir de la teoría cinética se
obtiene la "función de distribución" para las orientaciones de las moléculas (modp
lada como estructuras de resortes con cuentas); una vez que se conoce esta función,
es posible calcular varias propiedades rnamscópicas. El mismo tipo de teoría puede
aplicarse a soluciones concentradas y polímeros fundidos examinando el movirniento de un solo modelo de resorte con cuentas en el "campo de fuerza medio" ejercido
por las moléculas circundantes. Es decir, debido a la proximidad de Ias moléculas &cundantes, es más fácil que Ias "cuentas" del modelo se muevan en la dirección de la
columna vertebral de la cadena del polímero que en forma perpendicular a ésta. En
otras palabras, el p o h e r o se encuentra a sí mismo ejecutando una especie de movimiento serpenteante, denominado "reptancia" (véase la figura 8.6-2b).
Como ilustración del método de la teoria cinética analizamos los resultados para un solo sistema: una solución diluida de un polímero, modelada como una pesa
de ejercicio elástica que consta de dos cuentas conectadas por un resorte. Se consio
y que su estiramiento es finito, donde la fuerza del
dera que el resorte es ~ i lineal
resorte de conexión está dada
donde H es una constante del resorte, Q es el vector de extremo a extremo de la pesa
de ejercicio que representa el alargamiento y la orientación de la pesa de ejercicio, y
Qo es Ia elongación máxima del resorte. El coeficiente de fricción para el movimiento
de las cuentas a través del solvente está dado por la ley de Stokes como = 67r77$,
Figura 8.6-2 Modelos de resorte con cuentas de una
molécula simple para a) una solución de un polímero
diluido y b ) un polímero sin diluir (un polímero
"derretido" sin solvente). En la solución diluida, la
molécula del polúnero puede moverse en todas
direcciones en el solvente. En el polímero sin diluir,
una molécula típica del polímero (cuentas negras) está
restringida por las moléculas circundantes y tiende a
ejecutar un movimiento serpenteante ("reptancia")
deslizándose hacia adelante y hacia atrAs a lo largo de
la dirección de su esqueleto.
H.R. Warner, Jr., lnd. Eng. C h m . Fundumeniulc, 11,379387(1972);R.L.Chrisfiansen y R.B. Bird, \. Non-Nmvt@
niun FIuid Mech., 3,161-177(1977/1978).
'1
g8.6
Teorías molenilares para iiquidos poliméricos 297
donde a es el radio de la cuenta y T, es la viscosidad del solvente. Aunque este
modelo está bastante simplificado, incluye las ideas físicas clave de orientación molecular, estiramiento molecular y extensibilidad finita.
Cuando se resuelven los detalles de la teoría cinética, se obtiene la siguiente expresión para el tensor de esfuerzo, escrito como la suma de un solvente newtoniano
y una contribución de un polímero (véase la nota de pie de página 3 en ~8.4):~
Aquí
9
DlnZ
z T p f ~ H ( t T p - ~ { ~ p . ~ + ~ -' A~ Hp (~~ p - n ~ T S ) Dt
--
- - ~ K T jA ~(8.6-4)
donde n es la densidad del número de moléculas en el polirnero (es decir, pesas de
ejercicio),AH = 6/4H es una constante de tiempo (típicamente entre 0.01 y 10 segundos), Z = 1 + (3/b)I1 - (tr T ~ / ~ ~ K yI b? =] HGIKT es el parámetro de extensibilidad
finita, que por regla general varia entra 10 y 100.Así, la teoría molecular ha resultado en un modelo con cuatro constantes ajustables: q,, AH, n y b, que pueden determinarse a partir de experimentos reométricos. Por tanto, la teoría molecular sugiere
la forma de la expresión del tensor de esfuerzo, y los datos reométricos se usan para determinar los valores de los parámetros. El modelo descrito por las ecuaciones
8.6-2,8.6-3y 8.6-4 se denomina modelo ENEF-P, es decir, elástico no lineal de extensión finita en la aproximación de Peterlín (por sus siglas en inglés, FENE-P, de finitely itensible i n l i n e a r elastic model, in the Peterlin approximation) donde
( Q / Q * )en
~ la ecuación 8.6-1 se sustituye por (Q2)/Qg.
Es más difícil trabajar con este modeio que con el modelo de Oldroyd de 6 constantes, porque es no lineal en los esfuerzos. Sin embargo, proporciona mejores formas para algunas de las funciones del material. También, debido a que aquí estamos
tratando con un modelo molecular, es posible obtener información sobre el estiramiento y la orientación molecular después de resolver un problema de flujo. Por
ejemplo, puede demostrarse que el estiramiento molecular medio está dado por
= 1- Z-l, donde los paréntesis angulares indican un promedio estadístico.
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se obtienen las funciones del material para
el modelo y cómo comparar los resultados con datos experimentales. Si el modelo es
aceptable, entonces debe combinarse con las ecuaciones de continuidad y movimiento para resolver problemas de flujo interesantes. Esto requiere cálculos a gran escala.
(Q2)/Qz
Obtener las funciones del material para flujo cortante en estado estacionario y para flujo de
alargamiento en estado estacionario de un poiímero descrito por el modelo ENEF-P.
material pava
el modelo ENEF-P
SOLUCI~~
a) Para flujo cortante en estado estacionario el modelo proporciona las siguientes ecuaciones pa-
ra las componentes que no desaparecen de la contribución del polímero aI tensor de esfuerzo:
R.LTanner,Trans.Soc. Rheol., 19,3765 (1975);R.B. Bird, P.J.Dotson y N.L. Johnson,]. Non-Nesvfonian Fluid
Mech., 7,213-235 (1980); en la última publicación hay un error en las ecuaciones 58-85.
298 Capítuio 8
Liquidos poliméricos
Aquí la cantidad S está dada por
= 1 + (3/b)[1- ( T P , , / 3 n ~ g ]
Estas ecuaciones pueden combinarse a fin de obtener una ecuación cúbica para la contribu.
ción adimemionat del esfuerzo cortante Ty,= ~ ~ i 3 n K T
qX+ 3pTy, + 2q = O
(8.68)
donde p = (b/54) -t(1 118) y q = (b/ 108)AHj. Esta ecuación cúbica puede mu1verce para obten&
TF = - 2p1/2senh(f arcsenh v-3/2)
(8.6-9)
La viscosidad no newtoniana basada en esta función se muestra en la figura 8.63 junto con
algunos datos experimentalespara algunas solucionesde polimetil-metaenlato.A partir de la
ecuación 8.6-9 se encuentra que los valores iímite de la viscosidad son
Para y = 0:
Para y -+ m:
Por tanto, a altas velocidades de corte se obtiene un comportamiento de la ley de potencias
(ecuación 8.3-3) con n = 3. Esto puede tomarse como una justificación molecular cuando se
use el modelo de la ley de potencias.
Velocidad
f@corte
7 j
Velocidad de corte Y (S-1)
(b)
(S-')
Figura 8.6-3 Datos de viscosidad y de la diferencia del primer esfuerzo norma\ para soluciones de pohetílmetacriIato de D.D.
h p h , G.S. Beavers, A. Cers, C. Dewald, A. Hoger y P.T. Than, J. Rheol., 28,325-345 (19841, junto con las curvas ENJ3-P para las
siguientes constantes, determinadas por L.E. Wedgewood:
Concentración
del pcilímero
[XI
T,,
IPa
.S]
[S]
a
b
[Pal
[- - -1
'
La cantidad a = ~ K seT tomó como un parámetro determinado a partir de las datos reométricos.
K Rektorys, Suruq of Applicable Mathemafics, M!T P m , Cambndge, M A (1969), pp. 78-79.
58.6 Teorías moleculares para líquidos poliméricos 299
Figura 8.6-4 Estiramiento molecular como una funci6n de la velocidad de corte y en flujo cortante
estacionario, según el modelo de pesas de ejercicio ENEF-P. La constante de tiempo acceiible
experimentalmente A, = [qolq&/RT, donde [vol es la viscosidad intrínseca de velocidad de corte cero,
está relacionada con AH mediante A, = Ad/(b + 3). [De R.B. Bird, P.J. Dotson y N.L. Johnson, J.NonNmtonian Fluid Mech., 7,213-235 (1980).1
A partir de la ecuación 8.6-5 se encuentra que qIeste dado por P, = 2(q - q s ) 2 / n ~ Ten
;
la figura 8.6-3 se muestra una comparación de este resultado con los datos experimentales.
El segundo coeficiente del esfuerzo normal Y2para este modelo es cero. Como ya se indic6,
una vez que se ha resuelto el problema de flujo, tambien es posible obtener el estiramiento
molecular a partir de la cantidad 2.En la figura 8.6-4 se muestra la forma en que las moléculas están estiradas, en promedio, como una función de la velocidad de corte.
b) Para flujo de alargamiento en estado estacionario se obtiene
que
Este conjunto de ecuaciones lleva a una ecuación cúbica en rp,?*- rPpzzO cuadrática en i,
puede resolverse para obtener :(ti). Datos experimentales limitados sobre soluciones de polímeros indican que las formas de las curvas probablemente son correctas.
Figura 8.6-5 Viscosidad de
alargamiento estacionaria 4
como una función de la
velocidad de alargamiento 6
según el modelo de pesas de
ejercicio ENBFP. La constante
de tiempo está dada por
A, = A&/(b + 3). [De R.B. Bird,
P.J. Dotson y N.L. Johnson,
J. Non-Newtonian Fluid Mech., 7,
213-235 (1980).]
300
Capitulo 8 Líquidos poliméricos
1
0.1
0.01
0.01
0.1
1
10
100
A&
Figura 8.6-6 Estiramiento
molecular como una funcibn de ]a
velocidad de alargamiento E en
flujo de alargamiento
estacionario, según lo pronostica
el modelo de pesas de ejerricio
ENEF-F.La constante de tiempo
está dada por A, = AHb/(b + 3).
[De R.B. Bird, P.J. Dotson y N.L.
Johnson,J. Non-Nmfoniun Fluid
Mech., 7,213-235 (1980).1
Las expresiones límite para la viscosidad de aiargamiento son
Para E = O:
Para B + m:
1)- 3qs = 3nKThH (b:3)
17 - 3% = 2 n ~ T h ~ b
Una vez que se han encontrado los esfuerzos en el sistema, es posible obtener el alargarniento medio de las moléculas como una función de la velocidad de alargamiento; esto se muestra en la figura 8.6-6.
Vale la pena observar que para un valor típico de b, por ejemplo 50, la viscosidad de alargamiento puede aumentar por un factor aproximado de 30 a medida que aumenta la velocidad de alargamiento, ejerciendo asi un profundo efecto sobre. flujos en los cuales se observa
una componente de alargamiento importante?
1. Comparar el comportamiento de líquidos newtonianos y líquidos poliméncos en los diversos
experimentos analizados en ss8.1y 8.2.
2. ¿Por qué sólo tratamos con diferencias en esfuerzos normales para líquidos incompresibles
(vPanse las ecuaciones 8.2-2 y 8.2-3)?
3. En la figura 8.2-2 el perfil de velocidad postulado es lineal en y. ¿Cómo esperaría que fuese
la distribución de velocidad si la separación entre las láminas no fuera pequeña y el fluido tuviera una viscosidad muy baja?
4. ¿Cómo está relacionado el partímetro n de la ecuación 8.3-3 con el parámetro n de la ecuación
8.3-4?¿Cómo está relacionado con la pendiente de la curva de velocidad no newtoniana a
partir del modelo de pesas de ejercicio de la teoría cinética en 58.6?
5. ¿Qué limitaciones deben imponerse al usar los modelos newtonianos generalizados y los
delos viscoelásticos lineales?
6. Comparar los ejemplos 8 . 4 1 y 8.4-2 respecto a la geometria del. sistema de flujo y las suposiciones concernientes a los perfiles de velocidad.
7. ¿En qué medida el modelo de Oldroyd en la ecuación 8.5-3 incluye un modelo newtoniano
generatizado y un modelo viscoelástico lineal? iEl modelo de Oldroyd puede describir efectos que no son descritos por estos otros modelos?
R.Sureshkumar, A.N. Beris y R.A. Handler,Phys.Fluids, 9,743-755(1997).y C.D Dimitropoulos, R.
Sumhkumar y A.N. Beris, J. Non-Nautmian Huid Mechaniffi,79,433-468(1998).han utilizado exitosamente los
modelos ENEF-P y de Giesekus para deshbir los detaiies de la reducción de la resistencia turbulenta, que está
estrechamente relacionada con la viscosidad de alargamiento.
i
Problemas 301
8. ¿Por qué es necesario imponer restricciones sobre los parámetros en el modelo de Oldroyd?
¿Cuál es la relación entre estas restricciones y el tema de la reometría?
9. ¿Qué ventajas tienen las expresiones moleculares para el tensor de esfuerzo sobre las expresiones empíricas?
10. $ara qué tipos de problemas industriales usaría usted los diversos tipos de modelos descritos en este capítulo?
11. ¿Por qué el modelo de la ley de potencias podría ser insatisfactoriopara describir el flujo axial
en tubos concéntncos?
-L
PROBLEMAS
fi
8A.1 Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Una solución al 13.5%(por peso) de poiisopropeno en isopentano tiene los siguientes parámetros de la ley de potencias a 323 K n = 0.2
y m = 5 x lo3Fa sn. La solución se bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal
de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad d e flujo rnásico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el
radio del tubo?
8A.2 Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Una solución acuosa al 1%de óxido de polietileno a 333 K tiene los parárnetros de la ley de potencias n = 0.6 y m = 0.50 Pa - s". La solución se bombea entre dos tanques, donde el primero está a una presión pl y el segundo está
a una presión p2. El tubo que transporta la solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm
de diámetro interior.
Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud, pero
de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo que la
velocidad de flujo másico sea la misma que en el tubo simple?
8B.1 Flujo de una película poIimérica. Trabajar el problema en 52.2 para el fluido que obedece la
ley de potencias. Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado
newtoniano.
88.2 Flujo que obedece la ley de potencias en una rendija estrecha. En el ejemplo 8.3-2, demostrar cómo deducir la distribución de velocidad para la región -B 5 x 5 O. LESposible combinar en una ecuación este resultado con el de la ecuación 8.3-13?
88.3 Flujo no newtoniano en tubos concéntncos. Volver a trabajar el problema 2B.7 para el flujo
en tubos condntricos de un fluido que obedece la ley de potencias, con el flujo impulsado por
movimiento axial del cilindro interior.
a) Demostrar que la distribuaón de velocidad para el fluido es
b) Comprobar que el resultado del inciso a se simplifica al resultado newtoniano cuando n
tiende a la unidad.
C) Demostrar que
la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por
w=
-
(para n f f)
(88.3-2)
d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n = $?
e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano.
3B.4 Flujo de un líquido poliménco en un tubo ahusado. Trabajar el problema 2B.10 para un fluido que obedece la ley de potencias, usando la aproximación de lubricación.
302 Capítulo 8
Líquidos poliméricos
88.5 Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.' Para suspensiones y pastas espesas se en.
cuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (Umite elástico), y luego el fluido circula de tal forma que parte de la corriente está en "flujo de
tapón". El modelo más simple de un fluido con un valor de cedencia es el modelo de Binghm,
cuando T 5 ro
cuando r
(88.5-1)
1 T~
donde r0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y po es un pa+
rámetro con unidades de viscosidad. La cantidad T = 1es La magnitud del tensor de
fuerzo.
Encontrar la velocidad de flujo másico en una rendija para el fluido de Bingham (veanse el problema 28.3 y el ejemplo 8.3-2). La expresión para el esfuerzo cortante T,, como una
función de la posición x en la ecuacibn 28.3-1 puede sacarse de aquí, debido a que no depende del tipo de fluido. Se observa que (
es precisamente igual al esfuerzo cedente T, en
x = +xo, donde xo está definido por
T, I
a) Demostrar que la ecuación superior de 88.5-1 requiere que d v z / d x = O para 1 x 1 5 xW ya
que rx, = - ?dvZ/dx y T~~es fiiito; entonces, ésta es la mgi6n de "flujo tapón". Luego demos
trar que, como para x positivo se tiene y = -dv,/dx, y para x negativo se tiene = +dv,/dx, la
ecuación inferior de la ecuación 8B.5-1 requiere que
b) A fin de obtener la distribución de velocidad para +xo 5 x 5 +B, la relación superior de la
ecuación 8B.5-3 se sustituye en la ecuación 2B.3-1 y se obtiene la ecuación diferencial para u,.
Demostrar que esto puede integrarse con la condición límite de que la velocidad es cero en
x = B para obtener
¿Cuál es la velocidad en el intervalo 1 x 1
C)
5 xo?
Hacer un dibujo de v z ( x ) .
Luego, la velocidad de flujo másico puede obtenerse a partir de
La integración por partes permite que la integración se realice más fácilmente. Demostrar que
el resultado final es
Comprobar que, cuando el esfuerzo cedente tiende a cero, este resultado se simplifica al resultado del fluido newtoniano en el problema 28.3.
-
' E.C.Bigham, Fluidity and Plasticity, McCraw-HiU, Nueva York (1922), pp. 215218. Véase R.0. Bird, G.C. Dai y EJ.
Yanisso,Reviaus in ChemiEIll Enganeering, 1,1-70 (1982)para una revisión de los modelos con un iímite de elasticidad.
Problemas 303
8B.6 Deducción de la ecuación de Buckingham-Reiner.2Volver a trabajar el ejemplo 8.3-1 para el
modelo de Bingham. Primero encontrar la distribución de velocidad. Luego, demostrar que
la velocidad de flujo másico esta dada por
donde T~ = (go- EP,)R/SL es el esfuerzo cortante en la pared del tubo. Esta expresi6n sólo es
válida cuando rRr ro.
r
8B.7 Las componentes de la viscosidad compleja para el fluido de Jeffreys.
Trabajar el ejemplo 8.4-1 para el modelo de Jeffreys de la ecuación 8.44 y demostrar que
los resultados son las ecuaciones 8.5-12 y 8.5-13. ¿Cómo se relacionan estos resultados con las
ecuaciones (F) y (G) de la tabla 8.5-l?
a)
b) Obtener las componentes de la viscosidad compleja para el modelo de Jeffreys usando la
superposición que se sugirió en la nota de pie de página 3 de 58.4.
8B.8 Relajación de esfuerzo una vez que se suspende el flujo cortante. Un fluido viscoeIaistico
está en flujo en estado estacionario entre un par de láminas paralelas, con u, = +y.Si el flujo se
suspende repentinamente (es decir, se vuelve cero), los esfuerzos no se hacen cero como sen a el caso para un fluido newtoniano. Analizar este fenómeno de relajación del esfuerza usando un modelo de Oldroyd de 3 constantes (ecuación 8.5-3 con A2 = p2 = pI = pO= 0).
a) Demostrar que en flujo en estado estacionario
¿En qué medida esta expresión coincide con los datos experimentales de la figura 8.2-4?
b) Use el ejemplo 8.5-1 (inciso a) para demostrar que, si el flujo se detiene en f = O, el esfuerzo cortante para t 2 O es
Esto muestra por qué Al se denomina "tiempo de relajación". Esta relajaciún de los esfuerzos
después de que se detiene el movimiento del fluido es característica de los materiales viscoelásticos.
C) ¿Cuál es el esfuerzo normal T~~ durante flujo cortante estacionario y después de que se suspende el flujo?
8B.9 Vaciado de un tanque con una tubería de descarga (figura 78.9). Volver a trabajar el problema 7B.9(a) para el fluido que obedece la ley de potencias.
8B.10 El modelo de Giesekus.
a) Utilizar los resultados de la tabla 8.5-1 para obtener los valores límite para la viscosidad no
newtoniana y las diferencias de los esfuerzos normales a medida que la velocidad de corte
tiende a cero.
b) Encontrar las expresiones límite para la viscosidad no newtoniana y los dos coeficientes
del esfuerzo normal en el límite cuando la velocidad de corte se hace infinitamente grande.
c) ~ C u des
l la viscosidad de alargamiento en estado estacionario en el límite cuando la velocidad de elongación tiende a cero? Demostrar que la viscosidad de alargamiento tiene un 1ímite finito a medida que la velocidad de alargamiento tiende a infinito.
E. Buckingham, Proc. ASTM, 21,1154-1161 (1921); M. Reiner, Defmation nnd Flow, Lewis, Londres (1949).
304 Capítulo 8 Líquidos polirnéricos
8C.1 El viscosirnetro de cono y plato (figura 2 ~ . l l )Revisar
.~
el análisis newtoniano del instrumen-
to de cono y plato del problema 2B.11 y luego hacer lo siguiente:
+
a) Demostrar que el esfuerzo cortante y es uniforme en toda la separación e igual a = -+o+
= R/&. Debido a la uniformidad de y, Ias componentes del tensor de esfuerzo también son
constantes a lo largo de toda k separación.
b) Demostrar que Ia viscosidad no newtoniana se obtiene entonces a partir de mediciones del
momento de torsión T , y la velocidad de rotación R usando
c) Demostrar que para el sistema de cono y plato, la componente radial de la ecuación de mo-
vimiento es
si el término de la fuerza centrífuga -pv$/r puede despreciarse. Reordenar lo anterior para
obtener
Luego introducir los coeficientes del esfuerzo normal y usar el resultado del inciso a) pan
mmplazar dn,/d ln r por d ~ ~ , ln
/ dr, a fin de obtener
Integrar esta expresi6n desde r hasta R y usar la condici6n límite a,(R) = p, para obtener
donde p, es la presión atmosférica que actúa sobre el fluido en el borde del instrumento de
cono y plato.
d) Demostrar que el empuje total en la dirección z ejercido por el fluido sobre el cono es
F,
=
fT[?r,<r>
-
O
p,Jrdrd0
=
fd 2 4 y 2
(8C.1-6)
O
a partir de esto es posible obtener el primer coeficiente del esfuerzo normal midiendo la fuerza que ejerce el fluido.
e) Sugerir un método para medir el segundo coeficiente del esherzo normal usando los m
sultados del inciso c) si en diferentes ubicaciones radiales en el plato se montan al ras traw
ductores de poca presián activados por el fluido.
8C.2 Flujo comprimido entre discos paralelos (figura 3 c . 1 )
Volver
~
a trabajar el problema 3C.lS)
para el fluido que obedece la ley de potencias. Este aparato puede ser útil para determinar lo$
parámetros de la ley de potencias para materiales altamente viscosos. Demostrar que el a d logo de la ley de potencias de la ecuación 3C.1-16 es
va
R.B. B d , R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamtcc ofPolymeric Liqurdc, Vol. 1, Flud Mechanics, Wdey-lnterscience, Nue,
York, 2a. edición (1987), pp 521-524.
'P.J.Leider, Ind. Eng Chem.F u n d m . , 13,342-346(1974);R.J. Grimm, AIChE J o u m l ,24,427-439(1978).
Problemas 305
8C.3 Verificación de la función de viscosidad de G i e s e k ~ s . ~
a) Para comprobar las anotaciones del flujo cortante en la tabla 8.5-1, introducir componentes
adimensionales del tensor de esfuerzo Tij = (A/qO)rij
y una velocidad de corte adimensional
= A+, y luego demostrar que para flujo cortante en estado estacionario la ecuación 8.5-4 se
convierte en
También hay una cuarta ecuación, que lleva a T , = 0.
b) Volver a escribir estas ecuaciones en términos de las diferencias adimensionales del esfuerzo nórmal NI = T, - Tyy,N 2 -- Tw - Tu y TW
C) Es difícil resolver Ias ecuaciones del inciso b) para obtener el esfuerzo normal y las diferencias del esfuerzo normal adimensionales en términos de la velocidad de corte adimensional.
En vez de ello, despeje N,, Ty,y como funciones de N2:
d) Despejar N 2 en la última ecuación como una función de
r para obtener
donde
Luego, obtener la expresión para la viscosidad no new7tonianay trazar la curva de q( 7).
8C.4 Flujo en un tubo para el modelo de Oldroyd de 6 constantes. Encontrar la velocidad de flujo másico para el flujo estacionario en un largo tubo circular6 usando la ecuación 8.5-3.
8C.5 Modelos de cadena con conectores de variIla rígida. Leer y analizar las siguientes publicaciones: M. Gottlieb, Coiiipicfers G. Chcnlistry, 1, 155-160 (1977);0. Hassager, J. Chcrn., Phys., 60,
2111-2124 (1974); X.J. Fan y T.W. Liu, 1. Non-Newtoninrz Fluid Mech., 19, 303-321 (1986); 'T.W.
Liu, 1. Chen~.Phys., 90, 5826-5842 (1989); H.H. Saab, R.B. Bird y C.F. Curtiss, I. Chem. Phys., 77,
4758-4766 (1982); J.D. Cchieber, l. Chenl. Pl~ys.,87,4917-4927,4928-4936 (1987).¿Por qué los conectores en forma de varilla son más difíciles de manejar que los resortes? ¿Qué tipos de pro-
blemas pueden resolverse con simulaciones por computadora?
H. Ciesekus, J. Non-Nmtonian Fluid Mech, 11,69-109(1982).
M.C.Wfiams y R.O. Bud,AlChE journol, 8,378382 (1962).
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Capítulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos
de transporte de energía
Ley de Fourier de Ia conducción de calor (transporte molecular de energía)
Dependencia de la conductividad térmica respecto a la temperatura y la presión
Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad
Teoría de la conductividad térmica de líquidos
Conductividad térmica de sólidos
Conductividad térmica efectiva de sólidos compuestos
Transporte de energía convectiva
Trabajo asociado con movimientos moleculares
Es de conocimiento común que algunos materiales como los metales conducen calor fácilmente, mientras que otros como la madera actúan como aisIantes térmicos.
La propiedad física que describe la velocidad a que se conduce el calor es la conductividad térmica k.
La conducción de calor en fluidos puede considerarse como transporte molecular
de energía, puesto que e1 mecanismo fundamental es el movimiento de las moléculas constituyentes. La energía también puede transportarse por el movimiento global de un fluido, y entonces se denomina transporte de energía convectiva; esta forma
de transporte depende de la densidad p del fluido. Otro mecanismo es el del
transporte de energú! difusora, que ocurre en mezclas que se difunden entre sí. Además, Ia energia puede transmitirse por medio del transporte de energía radiada,
que es bastante distinto en el sentido de que esta forma de transporte no requiere
de un medio material como sí lo requieren la conducción y Ia convección. Este
capítulo introduce los dos primeros mecanismos, conducción y convección. La
radiación se trata por separado en el capítulo 16, y el tema del transporte de calor
por difusión se presenta en 519.3 y también en 524.2.
Empezamos en 99.1 con la definición de la conductividad térmica k por la ley
de Fourier para el vector de densidad de flujo de calor (o flujo térmico) q. En 59.2 se
resume la dependencia de k respecto a la temperatura y la presión para fluidos por
medio del principio de los estados correspondientes. Luego, en las cuatro secciones
siguientes presentamos información sobre conductividades térmicas de gases, 1íquidos, sólidos y compuestos sólidos, y se proporcionan los resultados teóricos cuando se cuente con ellos.
Debido a que en los capítulos 10 y 11 se plantearán problemas usando la ley
de conservación de la energía, es necesario saber no sólo cómo el calor se mueve
hacia adentro y hacia afuera de un sistema, sino también cómo se realiza trabajo
sobre o por un sistema a través de mecanismos moleculares. La naturaleza de 10s
l
310 Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
términos de trabajo molecular se analiza en 39.8. Finalmente, aí combinar la densidad de flujo de calor conductivo, la densidad de flujo de energía convectiva y la
densidad de flujo de trabajo, es posible crear un vector de densidad de flujo de energfa
combinada e, que es útil para establecer balances d e energía.
Considérese una placa de material sólido de área A situada entre dos grandes 16minas paralelas separadas por una distancia Y. Suponemos que inicialmente (para
algún instante t < O) la temperatura del material sólido es To en todas partes. En
t = O, la lámina de abajo se lleva repentinamente a una temperatura ligeramente
superior Ti, que se mantiene constante. A medida que transcurre el tiempo, el perfil de temperatura de la placa cambia, y al fin se alcanza una distribución lineal de
temperatura en estado estacionario (como se muestra en la figura 9.1-1). Una vez
que se llega a esta condición d e estado estacionario, para mantener la diferencia
de temperatura AT = TI - To se requiere una velocidad constante de flujo de calar
Q a través de Ia lámina. Se encuentra entonces que para valores suficientemente pe
queños de AT se cumple la siguiente relación:
,-
Sólido inicialmente
a la temperatura To
Lámiiia inferior cuya
temperatura se eleva
repentinamente a Ti
o
I
1
t
pequeño
Figura 9.1-1 Desarrollo
del perfiI d e temperatura
en estado estacionario
para una pIaca sólida
entre dos láminas
paralelas Véase la figura
1.1-1, donde se muestra la
situación análoga para
transporte d e cantidad de
movimiento
i
s9.1 Ley de Fourier de la conducción de calor (transporte molecular de energía) 311
Es decir, la velocidad de flujo de calor por unidad de área es proporcional a la
disminución de temperatura sobre la distancia Y. La constante de proporcionalidad
k es la conductividad térmica de la placa. La ecuación 9.1-1 también se cumple si
entre las dos láminas se coloca un líquido o un gas, en el supuesto de que se tomen
las precauciones necesarias para eliminar la convección y la radiación.
En capítulos posteriores es mejor trabajar con la ecuación anterior en forma
diferencial. Es decir, usamos la forma limite de la ecuación 9.1-1 a medida que el
espesor de la lhmina tiende a cero. El flujo local de calor por unidad de área (densidad de flujo de calor o flux de calor) en la dirección y positiva se designa mediante
qy. Con esta notación, la ecuación 9.1-1 se convierte en
Esta ecuación, que sirve para definir k, es Ia forma unidirnensional que de la ley de
Fourier de la conducción de
establece que la densidad de flujo de calor por conducción es proporcional al gradiente de temperatura o para expresarlo en forma
gráfica, "el calor se desliza cuesta abajo en la gráfica de temperatura contra distancia". En realidad la ecuación 9.1-2 no es una " l e y de la naturaleza, sino más bien
una sugerencia, que ha demostrado ser un empirismo bastante útil. Sin embargo,
cuenta con una base teórica, como se analiza en el apéndice D.
Si la temperatura varía en las tres direcciones, entonces es posible escribir una
ecuación como la 9.1-2 para cada una de las direcciones de coordenadas:
Si cada una de estas ecuaciones se multiplica por el vector unitario idóneo y luego
se suman las ecuaciones resultantes, se obtiene
que es la forma tridimensional de la ley de Fourier. Esta ecuación describe el transporte molecular de calor en medios isotrópicos. Por "isotrópico" se entiende que el
material no tiene ninguna dirección preferida, de modo que el calor se conduce con
la misma conductividad térmica k en todas las direcciones.
'
J.B. Fourier, Thtorie analytique de la chalar, LEuvres de Fourier, Gauthier-Villars et Fils, París (1822).
(Bar6n) Jean-BaptisteJoseph-Fourier(1768-1830) fue no sólo un matemático brillante y el creador de la serie de
Fourier y la transformada de Fourier, sino también famoso como egiptólogo y figura política (fue prefecto de la
provinaa de Isere).
Algunos autores prefieren escribir la ecuación 9.1-2 en la forma
donde 1, es el "equivalente mecánico de calor", que presenta explícitamente la conversión de unidades térmicas en
unidades mecánicas. Por ejemplo, en el sistema cgs podrían usarse las siguientes unidades: qY [=] erg/cm2 . S ,
k [ = l cal/an s . C,T [ = ] C, y [=] cm,y 1, [=] erg/cal. En este libro no usamos la ecuación 9.1-2a.
.
312
Capítulo 9
Conductividad tkrmica y los mecanismos de transporte de energía
Algunos sólidos, como los cristales simples no cúbicos, los materiales fibrosos y
los laminados, son a n i s ~ t r ó ~ i c oPara
s . ~ tales sustancias, es necesario reemplazar la
ecuación 9.1-6 por
donde K es un tensor simétrico de segundo orden denominado tensor de conducfividad térmica. Por tanto, el vector de densidad de flujo de calor no apunta en la misma dirección que el gradiente de temperatura. Para líquidos poliméricos en el flujo
cortante vJy, t), la conductividad térmica puede aumentar 20% por arriba del valor
de equilibrio en la dirección x y disminuir 10% en la dirección z. La conducción
anisotrópica de calor en lechos de relleno se analiza brevemente en 99.6.
Otra generalización posible de la ecuación 9.1-6 es incluir un ténnino que contie
ne la derivada de q respecto al tiempo multiplicada por una constante de tiempo, por
analogía con el modelo de Maxwell de viscoelasticidad lineal de la ecuación 8.4-3.
Parece haber poca evidencia experimental que garantice tal generalización?
El lector habrá observado que la ecuación 9.1-2 para la conducción de calor y
la ecuación 1.1-2 para flujo viscoso son bastante parecidas. En ambas ecuaciones la
densidad de flujo es proporcional al negativo del gradiente de una variable macroscópica, y el coeficiente de proporcionalidad es una propiedad física característica
del material y dependiente de la temperatura y la presión. Para las situaciones en
las que hay transporte tridimensiona1,'se encuentra que la ecuación 9.1-6 para conducción de calor y la ecuación 1.2-7 para flujo viscoso difieren sólo en apariencia.
Esta diferencia surge debido a que la energía es escalar, mientras la cantidad de
movimiento es un vector, y la densidad de flujo de calor q es un vector con tres
componentes, mientras que la densidad de flujo de cantidad de movimiento 7 es un
tensor de segundo orden con nueve componentes. Podemos anticipar que el transporte de energía y de cantidad de movimiento por regla general no son matemáticamente análogos, excepto en ciertas situaciones geométricas simples.
Además de la conductividad térmica k, definida por la ecuación 9.1-2, se usa
ampliamente una cantidad conocida como difusividad térmica a. Se define como
Aquí Ep es la capacidad calorífica a presión constante; el acento circunflejo ( A ) sobre el símbolo indica una cantidad "por unidad de masa". Ocasionalmente se ne-
Aunque algunos líquidos polirnéricos en reposo son isotrópicos, la teoría cinética s u g i e ~
que cuando fluyen,
la conducción de calor es anisotrópica [véase B.H.A.A. van den Brule, Rheol. Acta, 28,257-266(1989); y C.F. Curtiss y
R.B. Bid, Advances in Polymer Science, 25,l-101(1996)l.D.C. Venems, J.D.Schieber, H. Iddir, J.D.Guz& y A.W.
Broerman, Phys. Rai. Leffers,82,366-369 (1999), han ~ p r t a d mediciones
o
experimentales para flujo cortante y de
alargamiento; H. Iddu, D.C. Venems y ].D. Schieber, AlChE Joumal, 46,610-615(2000).Para sólidos de poiímeros
orientados, B. Poulaert, J:C Chielens, C. Vandenhaende, J.-P. lssi y R. Legras, Polymer Comm., 31, 148151 (1989),
han medido conductividad térmica mejorada en la dirección de orientación. Respecto a los modelos de cadena de
cuentas de conductividad t6rmica de polimeros, R.B. B i d , C.F. Curtiss y K.J.Been [Rheol. Acta, 36,269-276(1997)l
han demostrado que la conductividad térmica predicha es extremadamente sensible a la forma d e la enagia
potencial usada para describir los resortes.
La teoría lineal de temoviscoelasticidad predice efectos de relajación en la conducción de calor, como analiza
R.M. Christensen, n e o y of Viscoelasticiiy, Academic Press, 2a. edición (1982). R.B. Bird y C.F. Curtiss, J. ~on-Nezutonian
Fluid Medianics, 79,255259 (1998). también han encontrado el efecto a partir de u n tratamiento de energía cinética de
la ecuación de energía.
*
s9.1 Ley de Fowier de la conducción de calor (transporte mo1ecular de energía) 313
G,
cesitará el símbolo
donde La tilde (-1 sobre el símbolo representa una cantidad
"por mol".
La difusividad térmica a tiene las mismas dimensiones que la viscosidad cineCuando se hace la suposición de propiedades
mática v; a saber, (longit~d)~/tiempo.
físicas constantes, las cantidades v y a aparecen en formas semejantes en las ecuaciones de variación para el transporte de cantidad de movimiento y de energía.
Su razón v / a indica la facilidad relativa del transporte de cantidad de movimiento
y de energía en sistemas de flujo. Esta razón adimensional
p r = -l.' = a
k
se denomina número de PrandtL5 Otro grupo adimensional que encontraremos en
capítulos posteriores es el numero de Péclet: Pé = RePr.
Las unidades que suelen usarse para la conductividad térmica y algunas
cantidades relacionadas, se proporcionan en la tabla 9.1-1. Otras unidades, así como
las interrelaciones entre los diversos sistemas, pueden encontrarse en el apéndice F.
La conductividad térmica puede variar desde aproximadamente 0.01 W/m K
para gases hasta aproximadamente 1000 W / m K para metales puros. Algunos
vaIores experimentales de la conductividad térmica de gases, líquidos, metales
líquidos y sólidos se proporcionan en las tablas 9.1-2 a 9.1-5. Al hacer cálcu~os,
siempre que sea posible deben usarse valores experimentales. Si no se cuenta con
éstos, es posible hacer estimaciones usando los métodos que se bosquejan en 12s
siguientes secciones o consultando varios manuales de i ~ ~ g e n i e r í a . ~
Tabla 9.1-1 Resumen de unidades para las cantidades de las ecuaciones 9.1-2 y 9.1-9
SI
CgS
q~
T
W/m2
cal/cm2
K
C
F
Y
k
m
W/m K
cm
pie
Btu/h pie . F
J/K . kg
m2/s
cal/C . g
B ~ U / F- lb,
cm2/s
pie2/s
Pa . s
g/cm - S
e,
a
P
Pr
-
Ingles
cal/cm
Btu/h . pie2
S
S
-
C
Ib,/pie
-h
L
Nota: el watt (W) es lo mismo que J/s; el joule es lo mismo que N .m; el newton (N) es kg . m/sZ, y ;.i
pascal (Pa) es ~ / r r t Para
~ . más información sobre interconversión de unidades, véase el apéndice F.
Este gmpo adimensionai, denominado así en honor de Ludwig Prandtl, implica sólo las propiedades físicas
del fluido.
Jean-Chude-EughnePkclet (1793-1857) es autor de vanas libros, incluyendo uno sobre conducción de calar.
Por ejemplo, W.M. Rohsenow, J.P.Harinett y Y.I. Cho, comps., Handbook of Heat Transfer, Mdraw-HiU, Nueva
York (1998); Landolt-Bhstein, Zahlenwte und Funktiown, Vol. 1I,5, Springer (1968-1969).
314
Capítulo 9 Conductividad termica y los mecanismos de iransporte de energía
Tabla 9.1-2 Conductividades térmicas, capacidades caloríficas y números de Prandtl de
algunos gases comunes a 1 atm de presi6na
Temperatura
TíK)
Gas
Conductividad
térmica
k (W/m K)
Capacidad
calorífica
e, U/kg
a
K)
Número de
Prandtl
Pr (-1
-
-
de J.O. Hihfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bid, M d e c u l a ~Theory of Cases and Liquids, Wüey,
Nueva York, 2a. impresi6n corregida (1961), tabla 8.4-10. Los valores k son medidos, los valores
se calculan a partir de datos espectroscópicos,y p se calcula a partir de la ecuación 1.4-14.Los
a Tomado
cp
valores de
eppara H2representan una mezcla orto-para 3 1 .
Tabla 9.1-3 Conductividades térmicas, capacidades caloríficas y números de Prandtl para
algunos líquidos no metlilicos a sus presiones de sahraci6na
Conduciividad
Temperatura
T
térmica
Viscosidad
i 104
~
Liquido
(Kl
k
(W/m - K)
1-Penteno
200
250
300
250
300
350
250
300
350
250
0.1461
0.1307
0.1153
0.1092
0.09929
0.08935
0.1478
0.1274
0.1071
0.1808
6.193
3.074
1.907
20.32
8.828
4.813
3.819
2.213
1.387
30.51
300
0.1676
350
300
350
400
300
350
400
0.1544
0.2920
0.2977
0.3034
0.6089
0.6622
0.6848
10.40
4.486
Cc4
(CzH5)20
C2H50H
Glicerol
H20
f
(Pa . S)
7949
365.7
64.13
8.768
3.712
2.165
Capacidad
calorífica
tpx
U/kg - K)
1.948
2.070
2.251
0.8617
0.8967
0.9518
2.197
2.379
2.721
2.120
2.454
2.984
Número de
Prandtl
Pr
(-)
8.26
4.87
3.72
16.0
7.97
5.13
5.68
4.13
3.53
35.8
15.2
8.67
2.418
6580
2.679
2.940
4.183
4.193
4.262
329
62.2
6.02
2.35
1.35
Los elementos de esta tabla fueron proporcionados de las funciones propuestas por T.E. Daubert,
R.P.Danner, H.M. Sibul, C.C. Stebbins, J.L. Oscarson, R.L. Rowley, W.V. Wilding, M.E. Adams, T.L.
Marshall y N.A. Zundel, DIPPRm Dafa Compilation of Pure Compound Properties, Design Institute for
a
Physical Property ata@, AIChE, Nueva York, NY (2000).
99.1 Ley de Fourier de la conducción de calor (transporte molecular de energía) 315
9.1-1
i&cEJEMPLO
. ....
8
Medición de la
conductividad térmica
'
Se encontró que un panel de plástico de área A = I pie2 y espesor Y = 0.252 pulg conduce
calor a razón de 3.0 W en estado estacionario con temperaturas To = 24.00°C y TI = 26.00°C
impuestas sobre las dos superficies principales. ¿Cuál es la conductividad térmica del plástico en cal/cm - S . K a 25"C?
Primero se convierten las unidades con ayuda del apéndice F:
A
= 144
X (2.5412 = 929 cm2
Y = 0.252 pulg X 2.54 = 0.640 cm
Q = 3.0 W X 0.23901 = 0.717 cal/s
AT = 26.00 - 24.00 = 2.00K
Al sustituir en la ecuación 9.1-1 se obtiene
k = - -Q r AAT
929
X
2
=
2-47 X lo4 cal / cm
.
. K
(9.1-10)
Para AT tan pequeño como 2 grados centígrados, es razonable suponer que el valor de k es
válido para la temperatura media, que en este caso es de 25°C. Vkanse los problemas lOB.12
y 10C.I para los métodos de explicar la variacibn de k con la temperatura.
Tabla 9.1-4 Conductividades térmicas, capacidades calorificas y números de Prandtl de
aIpnos metales líquidos a presión atmosféricaa
Metal
Iig
Pb
Bi
Na
K
Aleación de Na-KC
Temperatura
T (K)
Conductividad
térmica
k (W/m K)
273.2
373.2
473.2
644.2
755.2
977.2
589.2
811.2
1033.2
366.2
644.2
977.2
422.2
700.2
977.2
366.2
644.2
977.2
8.20
10.50
12.34
15.9
15.5
15.1
16.3
15.5
15.5
86.2
72.8
59.8
45.2
39.3
33.1
25.5
27.6
28.9
Capacidad
calorífica
K)
Número de
Prand tlC
Pr (-1
140.2
137.2
156.9
15.9
15.5
14.6~
14.4
15.4
16.4
13.8
13.0
12.6
795
753
753
1130
1054
1042
0.0288
0.0162
0.0116
0.024
0.017
0.013~
0.0142
0,0110
0.0083
0.011
0.0051
0.0037
0.0066
0.0034
0.0029
0.026
0.0091
0.0058
cp
Datos tomados del Liquid Metals Handbook, 2a. edición, U.S. Government Pfinting Office,
Washington, D.C. (1952), y de E.R.G. Eckert y R.M. Drake, Jr., Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill,
Nueva York, 2a. edición (19591, Apéndice A.
Basado en una capacidad calorífica extrapolada.
56% en peso de Na, 44% en peso de K.
a
316
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
-
Tabla 9.1-5 Valores experimentales de las conductividades térmicas de algunos sólido9
Sustancia
Temperatura
T (K)
Conductividad t6rmica
k (W/m K)
-
Aluminio
Cadmio
Cobre
Acero
Estaño
Ladrillo (rojo común)
Concreto (piedra)
Corteza terrestre (promedio)
Vidrio (soda)
Grafito
Arena (seca)
Madera (abeto)
paralela al eje
normal al eje
" Datos tomados del Reactor Handbook, Vol. 2, Atomic Energy Comrnission AECD-3646, U.S.
Government Printing Office, Washington, D.C. (mayode 1955), pp. 1766 y siguientes.
Cuando no es posible encontrar datos de conductividad térmica para un compuesto particular, puede hacerse una estimación usando el diagrama de estados
correspondientes de la figura 9.2-1, que se basa en datos de conductividad térmica
para vanas sustancias monoatómicas. Este diagrama, que es semejante al de la viscosidad que se muestra en la figura 1.3-1, es una gráfica de la conductividad térmica reducida k, = k/k,, que es la conductividad térmica a presión p y temperatura
T dividida entre la conductividad térmica en el punto critico. Esta cantidad está
graficada como una función de la temperatura reducida T, = T / T c y la presión
reducida p, = plp,. La figura 9.2-1 se basa en una cantidad limitada de datos expe
rimentales para sustancias monoatómicas, pero puede usarse en estimaciones aproximadas para materiales poliatómicos. No debe usarse en la vecindad del punto
critico.'
'
En la vecindad del punto critico, donde diverge la conductividad térmica, suele acostumbrarse exribir
k = kb Ak, donde kb es la contribución de "fondo"y Ak es la contribución de la "mejorfacrítica". La k, usada en
la correlación de estado correspondientees la contribución de fondo. Para el comportamientode propiedades de
hansporte cerca del punto crítica, véase el habajo de J.V.Sengers y J. Luettmer Strathmann, en Trunsporf Pmperties of
+
FIuids U.H. Dymond, J. Millat y C.A. Nieto de Castro, editores), Cambridge University Press (1995); E.P. Sakonidou,
H.R. van den Berg, C.A. ten Seldam y J.V.Cengers, J. Chem. Phys., 105,10535-10555(196) y 109,717-736(1998).
99.2 Dependencia de la conductividad térmica con respecto a la temperatura y la presibn 317
Temperatura reducida T , = T / T ,
Figura 9.2-1 Conductividad termica reducida para sustancias monoatómicas como una función
de la temperatura y presi6n reducidas [E.J. Owens y G . Thodos, AiChE Journal,3,454461 (1957)l.
Una versión a gran escala de este diagrama se encuentra en O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A.
Ragatz, Chemical Process Principies Chnrts, 2a. edición, Wiley, Nueva York (1960).
Puede observarse que la conductividad térmica d e un gas tiende a una función
límite de T a bajas presiones; para la mayor parte de los gases este límite se alcanza
aproximadamente a 1 atm de presión. Las conductividades térmicas d e gases a baja
densidad aumentan con e1 incremento en la temperatura, mientras que las conductividades térmicas de la mayor parte de los líquidos disminuyen con el incremento en
la temperatura. La correlación es menos confiable en la región líquida; los líquidos
polares o asociados, como el agua, pueden exhibir un máximo en la curva de k contra T. La virtud más importante del diagrama de estados correspondientes es que
se adquiere una perspectiva global del comportamiento de la conductividad térmica de gases y líquidos.
318
Capítulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
La cantidad k, puede estimarse en dos formas: i) dada k a temperatura y presión conocidas, preferiblemente cerca de las condiciones a las que debe estimarse
k, con base en el diagrama puede leerse k, y entonces calcular k, = k l k , o bien,
ii) puede estimarse un valor de k en la región de baja densidad por el método dado
en 39.3 y luego proceder como en i). En el apéndice E se proporcionan valores de k,
obtenidos por el método i).
Para mezclas, la conductividad térmica podría estimarse por métodos análogos a los que se describen en 91.3. Se conoce muy poco acerca de la precisión de
procedimientos pseudocriticos según se aplican a la conductividad térmica, en gran
medida porque hay muy pocos datos sobre mezclas a presiones elevadas.
Efecto de la presión sobre
Estimar la conductividad térmica del etano a 153°F y 191.9 atm a partir del valor experimental2 k = 0.0159 Btu/h . pies - F a 1 atm y 153°F.
Debido a que se conoce un valor medido de k, usamos el método i). Primero caIculamos p, y
T , en la condición del valor medido:
A partir de la figura 9.2-1 leemos k,
k
= 0.36. Por
- 0.0442 Btu / h
=-=--
k,
tanto, k, es
0.36
. pies
F
A 153°F (T, = 1.115)y 191.9 atm (p, = 3.98), con base en el diagrama leemos k, = 2.07. Entonces, la conductividad térmica predicha es
k
= k&, =
(2.07)(0.0422)= 0.0194 Btu/h . pies - F
(9.2-3)
Se ha reportado2 un valor observado de 0.0453 B h / h . pies . F. La discordancia muestra que
no debe confiarse mucho en esta correlación para sustancias poliatómicas ni para condiciones próximas al punto crítico.
39.30 TEORÍA DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICADE GASES
A BAJA DENSIDAD
Las conductividades térmicas de gases monoatómicos diluidos se comprenden bien y
pueden describirse por la teoría cinética de los gases a baja densidad. Aunque se han
59.3 Teorfa de la conductividad térmica de gases a baja densidad 319
desarrolIado teorías detalladas para gases poli~tómicos,~
se acostumbra utilizar algunas teorías aproximadas simples. Aquí, como en 91.5, proporcionamos una deducción simplificada de la trayectoria libre media para gases monoatómicos, y luego
resumimos el resultado de la teoría cinética de los gases de Chapman-Enskog.
Usamos el modelo de esferas rígidas de masa m y diámetro d que no se atraen
entre sí. El gas como un todo está en reposo (v = O), pero deben explicarse 10s movimientos moleculares.
Así como en 51.5, usamos el siguiente resultado para un gas constituido por esferas rígidas:
ú=
Z
= 4
nü
=
E
= velocidad molecular media
(9.3-1)
frecuencia de colisiones contra la pared por unidad de área (9.3-2)
A=--
1
J2mi2n
-
trayectoria libre media
Las moléculas que llegan a cualquier plano en el gas tuvieron, en promedio, su ú1tima colisión a ima distancia a del plano, donde
En estas ecuaciones, K es la constante de Boltzmann, n es el número de moléculas
por unidad de volumen y m es la masa de una molécula.
La única forma de energía que puede intercambiarse en una colisión entre dos
esferas rígidas lisas es la energía de traslación. La energia media d e traslación por
molécula en condiciones de equilibrio es
como se muestra en el ~roblemalC.l. Para tal gas, la capacidad térmica molar a
volumen constante es
donde R es la constante del gas. La ecuación 9.3-6 es satisfactoria para gases monoatómicos hasta temperaturas de varios miles d e grados.
Para determinar la conductividad térmica, analizamos el comportamiento del
gas bajo un gradiente de temperatura d T / d y (véase la figura 9.3-1). Se supone que
las ecuaciones 9-31 a 9.3-6 siguen siendo válidas en esta situación en desequilibrio,
excepto que f mu2 en la ecuación 9.3-5 se toma como la energia cinética media para
'
C.S. Wang Chang, G.E. Uhlenbeck y J. de Iloer, Studies in Statistirnl Mechanics, Wiley-lnterscience, Nueva York,
Vol. 11 (19641, pp. 241-265;E.A. Mason y L. Monchick, J. Chem. Phys., 35, 1676-1697(1961)y 36,1622-1639,2746-2757
(1962);L. Monchick, A.N.G.Pereira y E.A. Masan, J. Chon. Phys., 42,3241-3256 (1965). Para una introducción a la
teoría cinética de las propiedades de transporte, véase R.S. Berry, S.A. Rice y J. Ross, Physical Chemistry, 2a. edición
(2000),capítulo 28.
320
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
moléculas que tuvieron su última colisión en una región de temperatura T. La densidad de flujo de calor qy a través de cualquier plano de y constante se encuentra sumando las energías cinéticas de las moléculas que m z a n el plano por unidad de
tiempo en la dirección y positiva y restando las energías cinéticas del número igual
de moIéculas que cruzan en la dirección y negativa:
La ecuación 9.3-7 se basa en la suposición de que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región de su última colisión y que el perfil de temperatura T(y) es Iineal para una distancia de varias trayectorias libres medias. En vista
de la última suposición, podemos escribir
Al combinar las tres últimas ecuaciones se obtiene
Esto corresponde a la ley de Fourier de la conducción de calor (ecuación 9.1-2) con
la conductividad térmica dada por
k
= ~ H K Ü A=
$ptvüh
donde p = nrn es la densidad del gas, y
(gas monoatómico)
(9.3-11)
e, = 5K / m (a partir de la ecuación 9 . 3 4 .
Perfii de temperatura T(y)
a
N'
MoIécula tipica que llega
desde el plano en (y - a )
Figura 9.3-1 T'aranrpode
con energía $ K T ~ ~ - ~ molecular de energia
(cinética) desde el plano
en (y - a) hasta el
C
x
plano en y.
99.3 Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad
321
Entonces, al sustituir las expresiones para ii y A de las ecuaciones 9.3-1 a 9.3-3,
se obtiene
que.es la conductividad térmica de un gas diluido compuesto de esferas rígidas
de diámetro d. Esta ecuación predice que k es independiente de la presión. La figura 9.2-1 indica que esta predicción coincide en forma satisfactoria con datos experimentales hasta de aproximadamente 10 atm para la mayor parte de los gases. La
dependencia respecto a la temperatura predicha es demasiado débil, como fue el
caso para la viscosidad.
Para un tratamiento más exacto del gas monoatómico, volvemos nuevamente
al riguroso tratamiento de Chapman-Enskog que se proporcionó en 91.5.La fórmula de Chapman-Enskog2 para la conductividad térmica de un gas monoatómico a
baja densidad y temperatura T es
k
m Cv o k
= 25-
32 r u 2 q
=
1.9891 X lo4- T / M (gas monoatómico) (9.3-13)
a2sr,
En la segunda forma de esta ecuación, k[=] cal/cm s - K, TI-] K, u[=IA y la "integral de colisión" para conductividad térmica, flk, es idéntica a la de la viscosidad,
8, en 51.4.
En la tabla E.2 se proporcionan valores d e Rk = a, para el potencial intermolecular de Lermard-Jones como una función de la temperatura adimensional K T / E .
Se ha encontrado que la ecuación 9.3-13, junto con la tabla E.2, es notoriamente
exacta para predecir conductividades térmicas de gases monoatdmicos cuando se
usan los parámetros u y E deducidos a partir de mediciones de la viscosidad (es decir, los valores que se proporcionan en la tabla E.1).
La ecuación 9.3-13 es bastante semejante a la fórmula de la viscosidad correspondiente, ecuación 1.4-14. Así, a partir de estas dos ecuaciones podemos obtener
k = -15
- p R= - C
4 M
5 2
vp
(gas monoatómico)
(9.3-14)
La teoría simplificada de esferas rígidas (véame las ecuaciones 1.4-8 y 4.3-11) proporciona k =
y por tanto es errónea por un factor de 2.5. Esto no es sorprendente en vista de las muchas aproximaciones que se hicieron en el tratamiento
simple.
Hasta el momento hemos analizado sólo gases monoatómicos. Por el análisis
en 50.3 sabemos que, en colisiones binarias entre moléculas biatómicas, puede
haber intercambios entre las energías cinética e interna (es decir, entre las energías
de vibración y rotacional). Tales intercambios no se tienen en cuenta en la teoría de
Chapman-Enskog para gases monoatómicos. Por tanto, puede anticiparse que esta
eVp,
J.0.Wsctifelder, C.F. Curíiss y R.B. Bird, Molecular Thwry of Cases and Liquids, Wiley, Nueva York, 2a.
impmión corregida (1964), p. 534.
322 Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
teoría no es adecuada para describir la conductividad térmica de moléculas poliatómicas.
~ u c k e ndesarrolló
~
un método semiempírico simple para explicar el intercambio de energía en gases poliatómicos. Su ecuación para la conductividad térmica de
un gas poliatómico a baja densidad es
(gas poliatómico)
Esta fórmula de Eucken incluye la fórmula monoatómica (ecuación 9.3-14) como un
caso especial, ya que = $ ((R/M) para gases monoatómicos. Hirschfelder obtuvo
una f6rmula semejante a la de Eucken usando la teoría de mezclas con multicomponentes (véase el ejemplo 19.4-4). También e s t h disponibles otras teorías, comelaciones y fórmulas empíri~as.~1~
La ecuación 9.3-15 constituye un método simple para estimar el número de
Prandtl, definido en la ecuación 9.1-8:
cp
.
Pr=-C
-P
k
-
C~
fp-tqR
(gas poliatómico)
Esta ecuación es bastante satisfactoria para gases poliatómicos no polares a baja
densidad, como puede observarse en la tabla 9.3-1; es menos exacta para moléculas
polares. .
Las conductividades térmicas para mezclas gaseosas a baja densidad pueden
estimarse por un rnétodd semejante al que acaba de proporcionarse para la viscosidad (véanse las ecuaciones 1.4-15 y 1.4-16):
Las x, son las fracciones molares, y Ias k, son las conductividades térmicas de las
especies químicas puras. Los coeficientes QaB son idénticos a los que aparecen en
la ecuación de la viscosidad (véase la ecuación 1.416). Todos los valores de k, en la
ecuación 9.3-17 y de pa en la ecuación 1.416 son valores a baja densidad a la temperatura dada. Si no se cuenta con datos de viscosidad, pueden estimarse a partir
por medio de la ecuación 9-3-15,Comparaciones con datos experimentade k y
les7 indican una desviación media de aproximadamente 4% para mezclas que contienen gases poliatómicos no polares, entre ellos @, N= CO, C2HZy C&.
cp
A. Eucken,Physik. Z., 14,324-333 (19'13).
",O. Hirschfelder, j. C h .Phys., 26,274-281,282-285(1957).
J.H.F h g m y H.G. Kaper, ~túrthemnticalTheury of Transpmt Processes in Gases, North-Hoiiand,Amsterdam
(1977.).
R.C.Reid. J.M. Prausnitz y B.E.Poling, 7 % ~Propmties of Gases d Liquids, McGraw-HiU, Nueva York, 4a.
edición (1987).
E.A. Mason y S.C.Saxena, Physics of Fluids, 1,361-369 (1958).Su método es una aproximación a a método
exacto planteado por J.O.Huxhfelder, j. Chem. Phys., 26,274-281,282-285 (1957).Con b aprobaci6n del profesor
Mason, aqui hemos omitido un factor empirico de 1.065 en su expresión ai, para i # j a fin de establecer
autoconsistencia para mezclas de especies idénticas.
59.3 Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad
323
Tabla 9.3-1 Valores pronosticados y observados del número de Prandtl para gases a
presión atmosférican
e p p / k a partir de la
Gas
T(K)
ecuación 9.3-16
cp/k
a partir de valores
observados de
yk
N2
o2
Aire
CO
NO
c12
H20
Calculado a partir de valores proporcionados por M. Jákob,Heat Transfer, Wiley, Nueva York (19491,
pp. 75-76.
J.O.Hirschfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York,
impresión corregida (1964), p. 16.
Calcular la conductividad térmica del Ne a 1 atm y 373.2K.
Cálculo de la
condudvidad térmica
de un gas monoatómico
a baja densidad
SOLUC~~N
Con base en la tabla E.l, las constantes de Lennard-Jones para el neón son cr = 2.789 A y
E/K = 35.7K, y su peso molecular M es 20.180. Entonces, a 373.2K, tenemos K T / E = 373.2/
= fl, = 0.821. Al sustituir en la ecua35.7 = 10.45.Apartir de la tabla E.2 se encuentra que
ción 9.3-13 se obtiene
A 1 atm y 373.2K se ha reportado8 un valor medido de 1.35 x lop4 cal/crn - s . K.
W.G.Kamduik y E.H. Carman, Pmc. Phys. Soc. (Londres),658,701-704 (1952).
324
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
Estimar la conductividad térmica de oxígeno molecular a 300K y baja presión.
Estimación de la
conductividad térmica
de un gas poliatómico
a baja densidad
SoL lrcronr
El peso molemlar del O2 es 32.0000; su capacidad calorifica molar C p a 300K y baja presión es 7.019 cal/g-m01 . K. Con base en la tabla E.1 se encuentra que los parárnetros de
Lennard-Jones para el oxígeno rnolecular son cr = 3.433 A y E / K = 113K. A 300K, entonces,
KT/E = 300/113 = 2.655. A partir de la tabla E.2 se encuentra que 0, = 1.074. La viscosidad, por la ecuación 1.4-14, es
Entonces, a partir de Ia ecuación 9.3-15, la aproximación de Eucken a la conductividad térmica es
Esto se compara favorablemente con el valor experimental de 0.02657 W/m - K en la tabla 9.1-2.
Predicción de la
conductividad térmica
de una mezcla de gases a
baja densidad
Pronosticar la conductividad térmica de la siguiente mezcla de gases a 1 atm y 293K a partir
de los datos proporcionados sobre las componentes puras a la misma presión y temperatura:
Especies
co2
0 2
N2
(Y
1
2
3
Fracción
molar
Peso
rnolecular
X,
M,
(g/cm S)
k, x lo7
(cal/cm . S . K)
0.133
0.039
0.828
44.010
32.000
28.016
1462
2031
1754
383
612
627
pa
x lo7
para esta mezcla de gases a esas condiciones
Se usa la ecuación 9.3-17. Observamos que
ya se obtuvo en el cálculo de la viscosidad en e1 ejemplo 1.4-2. En ese ejemplo se evaluaron
ias siguientes operaciones suma, que también aparecen en la ecuación 9.3-17:
59.4
Teoría de la condudividad térmica de iíquidos 325
Al sustituir en la ecuación 9.3-17 se obtiene
No se dispone de datos para comparar a estas condiciones.
-
-
9.40 TEORÍADE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE L~QUIDOS
Hace medio siglo se desarrolló una teoría cinética muy detallada para la conductividad térmica de iíquidos monoatómicos,l pero aún no ha sido posible implementarla para cálculos prácticos. Como resultado, debemos usar teorías aproximadas o
métodos de estimación e m p í t i ~ o s . ~
Decidimos analizar aquí la teoría simple de Bridgman3de transporte de energía
en líquidos puros. Bridgman supuso que Ias moléculas están dispuestas en una red
cúbica, con una separación de centro a centro dada por (17/1\J)'/3, donde V / Ñ es el
volumen por molécuIa. Además consideró que la energía se transfería de un plano
de la red al siguiente a la velocidad sónica v, para el fluido dado. El desarrollo se
basa en una reinterpretación d e la ecuación 9.3-11 de la teoría del gas constituido
por esferas rígidas:
La capacidad calorífica a volumen constante de un líquido monoatómico es aproximadamente la misma que para un sólido a alta temperatura, que está dada por la
fórmula de Dulong y Petit4
= 3 ( ~ / m )La
. velocidad molecular media en la dirección y,
se sustituye por la velocidad sónica v,. La distancia a que la energía
en la red.
recorre entre dos cohsiones sucesivas se toma como el espacio (4/fl)1/3
Al hacer estas sustitucior.es en la ecuación 9.4-1 se obtiene
G/,
'
ev
J.H.lrving y J.G. Kirkwwd, 1. Chem. Phys., 18,817-829 (1950). Esta teoría la han extendido a líquidos
polirnéricos C.E Curtiss y R.B. B i d , J. Chem. Phys., lW,5251-5267 (1997).
R.C. Reid, J.M.
Prausnitz y B.E. Pohg, ?ñe Properfies of Gases and Liquids, McGraw-Hiii, Nueva York (1987);
L. Ríedel, Chemie-kg.-Techn., 27, 209-213 (1955).
F.W. Bridgman, Proc. Am. Acnd. Arts and Sci., 59,141-169 (1923). La ecuación de Bridgman a menudo se cita
incorrectamente, porque él la proporcionó en términos de una constante de los gases poco conocida igual a 3 K.
Esta ecuaci6n empírica ha sido justificada y extendida por A. Einstein [Ann. Phys. [4],22,180-190 (I907)Iy
por P. Debye [Ann. Phys.14],39,789-839(1912)l.
326
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
que es la ecuación de Bridgman. Datos experimentales muestran una concordancia
aceptable con la ecuación 9.4-2, intruso para líquidos poliatómicos, aunque el coeficiente numérico es demasiado alto. Se obtiene una mejor concordancia si el coeficiente se cambia a 2.80:
Esta ecuación está limitada a densidades bastante superiores a la densidad crítica,
debido a la suposición tácita de que cada molécula oscila en una "jaula" formada
por sus vecinas más próximas. El éxito de esta ecuación para fluidos poliatómicos
parece implicar que la transferencia de energía en colisiones de moléculas poliatómicas es incompleta, ya que la capacidad calorifica usada aquí, Cv = 3 ( ~ / r nes
) , menor que las capacidades calorificas de líquidos poliatómicos.
La velocidad de sonido a baja frecuencia está dada (véase el problema 11C.1)
Por
La cantidad ( a p / a ~ puede
)~
obtenerse a partir de mediciones de compresibilidad
isotérmica o a partir de una ecuación de estado, y (Cp/Cv) está bastante próxima
a la unidad para líquidos, excepto cerca del punto crítico+
La densidad del CC14 líquido a 2 0 T y 1atm es 1.595 g/cm3, y su compresibilidad isotérmica
( l / p ) ( a p / a ~es
) ~90.7 x lop6atm-l. ¿Cuál es su conductividad tkrmica?
conductlvidad t h i i c a
de un líquido
SOL U C I ~ N
Primero se calcula
($1
=
=
1
1
p(l/p)(dp/dp),
(1.595)(90.7 x l o d )
=
6.91
X
lo3 atrn . cm3/ g
7.00 x lo9 cm2/s2 (usando el apéndice F)
Suponiendo que C p / C V = 1.O, a partir de la ecuación 9.4-4 se obtiene
La ecuacidn 9.4-3 concuerda aproximadamentecon una f6mula deducida por R.E. PaweU, W.E. Roseveare Y
H. Eyring, Ind. Eng. Chem., 33,430-435 (1941).
s9.5
El volumen molar es V = M / p = 153.84/1.595
en la ecuación 9.4-3 se obtiene
Conductividad tbrmica de sólidos 327
= 96.5 cm3/g
. mol. Al sustituir estos valores
El valor experimental interpolado de la tabla 9.1-3 es 0.101 W/m . K.
Las conductividades térmicas de sólidos deben medirse experimentalmente, ya que
dependen de muchos factores que son dificiles de medu o predecir.l En materiales
cristalinos, la fase y el tamaño de la cristalita son importantes; en sólidos amorfos el
grado de orientación molecdar tiene un efecto considerable. En sólidos porosos, la
conductividad térmica depende bastante de la fracción de huecos, del tamaño del
poro y del fluido contenido en los poros. ~ a k o ha
b ~proporcionado un análisis detallado de la conductividad térmica de sólidos.
En t&I.minosgenerales, los metales son mejores conductores de calor que los
no metales, y los materiales cristalinos conducen el calor más fácilmente que los materiales amorfos. Los sólidos porosos secos son muy malos conductores de calor y
en consecuencia son excelentes para aislamiento térmico. Las conductividades de
la mayor parte de los metales puros disminuyen al aumentar la temperatura, mientras las conductividades de los no metales aumentan; las aleaciones muestran un
comportamiento intermedio. Quizá la regla empírica más útil es que la conductividad térmica y la conductividad eléctrica van de la mano.
Para metales puros, en oposición a las aleaciones, la conductividad térmica k y
la conductividad eléctrica ke están relacionadas aproximadamente3 como sigue:
--ke T
L
=
constante
(9.5-1)
Ésta es la ecuación de Wiedemann-Franz-Lorenz;esta ecuación también puede explicarse teóricamente (véase el problema 9A.6). El "número de Lorenz" L varia aproximav ~ l t para
~ / metales
~ ~ puros a 0°C y cambia pero muy
damente de 22 a 29 X
poco con temperaturas por arriba de O°C,donde aumentos de 10 a 20% por 1000°C
con típicos. A temperaturas muy bajas (-269.4"C para mercurio) los metales se
A. Goldsmith, T.E. Waterman y HJ. h h h o m , comps.,Handbook ofTkermophysicn1 Pmperties of Soltds,
M a c d a n , Nueva York (1961).
M. Jakob, Heat Transfer, Vol. 1, Wüey, Nueva York (1949).capitulo 6.V6ase tambien W.H. Rohsenow, J.F.
Hartnett y YI. Cho, comps.,Hnndbook ofHmf Tramjer, McGraw-Hili, Nueva York (1998).
G. Wiedemann y R Franz, Ann. Phys u. Chemie, 89,497-531(1853); L.Lorenz. Poggendorffs Annnlen, 147,
429452 (1872).
328
Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
vuelven superconductores de electricidad pero no de calor, y así L. varía bastante
con la temperatura cerca de la región de superconducción. La ecuación 9.5-1 tiene
un uso limitado para aIeaciones, ya que L varía mucho con la composición y, en algunos casos, con la temperatura.
El éxito de la ecuación 9.5-1 para metales puros se debe a que los electrones liportadores de calor en metales puros. La ecuación no es adebres son los
cuada para no metales, donde la concentración de electrones libres es tan baja que
predomina el transporte de energía por movimiento molecular.
Hasta este momento hemos analizado materiales homogéneos. Ahora dirigimos
brevemente nuestra atención a la conductividad térmica de sólidos de dos fases
-una fase sólida dispersa en una segunda fase sólida-, o sólidos que contienen poros, como materiales granulares, metales sinterizados y espumas plásticas. Resulta
evidente que una descripción completa del transporte de calor a través de estos materiales es demasiado complicada. Sin embargo, para conducción estacionaria estos
materiales pueden considerarse como homogéneos con una conductividad térmica
efectiva kf,y las componentes de la temperatura y de la densidad de flujode calor
se reinterpretan como las cantidades análogas promediadas sobre un volumen que
es grande respecto a la escala de la heterogeneidad, pero pequeño respecto a las dimensiones globales del sistema de conducción de calor.
La primera contribución primordial a la estimación de la conductividad de sólidos heterogéneas fue hecha por ~axweLl,'quien consideró un material hecho de
esferas de conductividad térmica kl incrustadas en una fase sólida continua con
conductividad térmica h.Se considera que la fracción de volumen #Jde esferas incrustadas es lo suficientemente pequeña que las esferas no "interactúan" témicamente; es decir, se requiere considerar sólo la conducción térmica en un gran medio
que contiene sólo una esfera incrustada. Luego, por medio de una deducción sorprendentemente sencilla, Maxwell demostró que para unafraccidn de volumen pequeña 9
(véanse los problemas 11B.8 y llC.5).
Para unafracción de volumen grande 4, ~ a ~ l edemostró
i ~ h ~ que, si las esferas están situadas en las intersecciones de una red cúbica, entonces la conductividad térmica de1 compuesto est6 dada por
'
La deducaón de Maxweii fue para conductividad eléctrica, pero los mismas argumentos son viílidos para la
conductividadt6rmica. Véase J.C. Maxwell, A Tmatise on Electricity and Mugnefism, Oxfard University Press, 3a. edición
(1891, reimpresa en 19981, Vol. l., 5314; H.S.Carslaw y J.C.Jaeger, Conduction of Heaf in Solids, Clarendon Press,
Oxford, 2a. edici6n (19591,p. 428.
J.W. !huti(Lord Fbyleigh),Phil. M q . (5),34,431-502(1892).
59.6 conductividad tbrmica efectiva de sblidos compuestos 329
La comparación de este resultado con la ecuación 9.6-1 muestra que la interacción
entre las esferas es pequeña, incluso para # = %m-, el máximo valor posible de C$
para la disposición de la red cúbica. Por tanto, el resultado más sencillo de Maxwell
se utiliza a menudo, y los efectos de una distribución no uniforme de las esferas
suelen despreciarse.
Sin embargo, para inclusiones no esféricas la ecuación 9.6-1 no requiere modificaciones. Por tanto, para amglos cuadrados de largos cilindros paralelos al eje z,
Rayleigh2demostró que la componente zz del tensor de conductividad térmica K es
y las otras dos componentes son
Es decir, el sólido compuesto que contiene cilindros incrustados alineados es anisotrópico. El tensor de conductividad térmica efectiva se ha calculado hasta O(&)
para un medio que contiene inclusiones e~feroidales.~
Para inclusiones no esféricas complejas, que a menudo se encuentran en la prácti
ca, no es posible un tratamiento exacto, aunque se dispone de algunas relaciones
aproximadas." Para lechos granulares simples sin consolidar se ha demostrado que
la siguiente expresión es exitosa:
donde
Las gk son "factores de forma" para los gránulos del medio? y deben satisfacer
gl + g2 + 93 = l. Para esferas, gl = 8 2 = g3 = 4, y Ia ecuación 9.6-5 se reduce a la
ecuación 9.6-1. Para suelos sin consolidar? gi g2 = Q y gg = t. La estructura de
lechos porosos consolidados -por ejemplo areniscas- es considerablemente m$.,
compleja. Se afirma algo de éxito para pronosticar la conductividad efectiva de ey
tas su~tancias,4~~f~
pero la generalidad de los métodos aún no se conoce.
-
S.-Y. Lu y S. Kim, AiCkE JournaI,36,927-938(1990).
'V.1.Odelevskii,J. Tech. Phys. ILTRSC), 24,667 y 697(1954);F.Euler, J. Appl. Phys., 28, 1342-1346(1957).
D.A. de Vries, Mededelhgen van de Landbouwhogeschool te Wageningen (1952);véase también la referencia 6 y
D.A. de Vries, capítulo 7 en Physics and Plnnf E n u i m n m t , W.R.van wjk, comp., WiIey, Nueva York (1963).
W. W d s i d e y J.H.Messmer,J. Appl. Pkys.,32,16881699,1699-1706(1961).
A.L. Loeb, 1.Amer. Cernmic Soc., 37,9699 (1954).
a Ch. N . Plyat, Soviet Physics JETP, 2.2583-2589 (1957).
330 Capitulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
Para sólidos que contienen bolsas gaseosas? la radiación térmica (véase el capítulo 16) puede ser importante. El caso especial de fisuras planas paralelas perpendiculares a la dirección de conducción de calor es particularmente importante para
aislamiento a alta temperatura. Para estos sistemas puede demostrarse que
donde o e s la constante de Stefan-Boltzmann, ki es la conductividad térmica del gas
y L es el espesor total del material en la dirección de conducción de calor. Existe
disponible una modificación de esta ecuación para fisuras de otras formas y orientacione~.~
Para lechos granulares llenos de gas6t9 se presenta otro tipo de complicación. Debido a que las conductividades térmicas de los gases son mucho más bajas que las de
los sólidos, la mayor parte de la conducción de calor en la fase gaseosa se concentra
cerca de los puntos de contacto de partículas adyacentes del sólido. Como resultado, las distancias sobre Ias cuales se conduce el calor a través del gas pueden tender
a la trayectoria Libre media de las moléculas de1 gas. Cuando esto es cierto, se violan Ias condiciones para 10s desamiíos de s9.3, y la conductividad térmica del gas
disminuye. Por tanto, pueden prepararse aislantes muy efectivos a partir de lechos
de polvos finos parcialmente evacuados.
Ductos cilindricos llenos de materiales granulares a través de 105 cuales circula unjuido (en la d i c i ó n z) son de considerabIe importancia en procesos de separacibn y
reactores químicos. En estos sistemas las conductividades térmicas efectivas en las
direcciones radial y axial son bastante diferentes y se designan"' mediante
y
wP.La conducción, la convección y la radiación, todas, contribuyen al flujo de
calor a través del medio
Para flujo altamente turbulento, la energía es
hansportada primordialmente por el flujo tortuoso del fluido en los intersticios del
material granular; esto da origen a una conductividad térmica altamente anisotrb
pica. Para un lecho de esferas uniformes, las componentes radial y axiaI son aproxírnadamente
donde vo es la "velocidad superficial" definida en 54.3 y 564, y Dpes el diámetro de las
partículas esféricas. Estas relaciones simplificadas se cumplen para Re = Dpvop/p
mayor que 200. El comportamiento a números de Reynolds más bajos se analiza en
varias referencias.12 Tambibn, e1 comportamiento del tensar de conductividad térmica efectiva como una función del número de Péclet se ha estudiado en considerable detalle.13
M.Jakob,Heat Transfer, Why, Nueva York (19591, Vol. 1, S . S .
V6ase la ecuación 9.1-7 para k modificoi06n de la ley de F o w h para materiales anisotr6picos.Los subÚidi@
rr y zz ponen de relieve que estas cantidad- son componentes de un tensor simétrico de segundo orden.
W.B. Argo y J.M.Smith, Chem. Engr. P r o g r a , 49,443-451 (1953).
'l J. Beek, M v , Chem. Enp., 3, 203-271 (1962);H. Kramers y K.R.Westerterp, Elements oJChemical Reactor Design
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'O
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l 3 D.L. Koch
y J.F. Brady, \. Fluid. Mech., 154,399427 (1985).
i
S9.7
Transporte de energía convectiva 331
59.7 TRANSPORTE DE ENERGÍA CONVECTIVA
En 59.1 proporcionamos la ley de Fourier de la conducción de calor, que explica la
energía transportada a través de un medio en virtud de los movimientos moleculares.
La energía también puede transportarse por el movimiento global del fluido. En
la figura 9.7-1 se muestran tres elementos perpendiculares entre sí de área dS en el
punto P, donde la velocidad del fluido es v. La velocidad volumétrica de flujo a través del elemento de superficie dS perpendicular al eje x es v&S. Entonces, la velocidad a la que se mueve la energía a través del mismo elemento de superficie es
donde tpv2 = 3 p(v$ -t- vi -t v$) es la energía cinética por unidad de volumen, y p~
es la energia interna por unidad de volumen.
La definición de la energía interna en una situación en desequilibrio requiere
aIgo de cuidado. Desde el punto de vista del continuo, se supone que la energía interna en la posición r y en el instante f es la misma función de la densidad y temperatura locales instantáneas que se tendría en equilibrio. Desde el punto de vista
molecular, la energía interna consta de la suma de las energías cinéticas de todos los
átomos constituyentes (respecto a Ia veIocidad de flujo v), las energías potenciales intramoleculares y las energías intermoleculares, dentro de una pequeña región
alrededor del punto r en el instante t.
Recuérdese v e , en el análisis de las colisiones moleculares en 30.3, se encontró
conveniente considerar la energía de un par de partículas en coIisión como la suma
de las energías cinéticas referidas al centro de masa de las moléculas y la energía
potencial intramolecular de la molécula. Aquí también separamos la energia del
fluido (considerado como un continuo) en la energía cinética asociada con el movimiento global del fluido y la energía interna asociada con la energía cinética de
las moléculas respecto a la velocidad del flujo y las energías potenciales intramoleculares e intermoleculares.
Podemos escribir expresiones semejantes a la ecuación 9.7-1 para la velocidad a
que la energia se extiende a través de los elementos de superficie perpendiculares
a los ejes y y z. Si ahora multiplicamos cada una de las tres expresiones por el vec-
Figura 9.7-1 Tres elementos de superficie de área dS perpendiculares entre sí a través de 10s
cuaIes el fluido que se mueve con velocidad v transporta energia por convección. La velocidad
volumétrica de flujo a través de la cara perpendicular al eje x es vJS, y entonces la velocidad de
+ p a ) v ~Es~posible
.
escrib'u expresiones semejantes
flujo de energía a través de dS es
para los elementos de superficie perpendiculares a b s ejes y y z.
332 Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energia
tor unitario correspondiente y sumamos, entonces se obtiene, después de dividir
entre dS,
y esta cantidad se denomina vedar de denszdad de flujo de energla convectiva. Para obtener la densidad de flujo de energía convectiva a través de una unidad de superficie
cuyo vector unitario normal es n, formamos el producto punto (n ( f pv2 f pa)v).
Se entiende que ésta es la densidad de flujo desde el lado negativo de la superficie
hacia el lado positivo, Compárese con la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo de la figura 1.7-2.
99.8
TRABAJO ASOCIADO CON MOVIMIENTOS MOLECULARES
Dentro de poco abordaremos la aplicación de la ley de conservación de la energía a
"envolturas" (como en los balances de envoltura en e1 capítulo 10) o a pequeños elementos de volumen fijos en el espacio (a fin de desarrollar la ecuación de variación
para la energía en $11.1).La ley de conservación de la energía para un sistema de
flujo abierto es una extensión de la primera ley de Ia termodinámica clásica (para un
sistema cerrado en reposo). En la segunda se afirma que el cambio en energía interna es igual a la cantidad de calor agregado al sistema más la cantidad de trabajo realizado sobre el sistema. Para sistemas de flujo es necesario explicar el calor
agregado al sistema (por movimientos moleculares y por el movimiento global del
fluido) y también e1 trabajo realizado sobre el sistema por los movimientos moleculares. Por tanto, es idóneo desarrollar aqui la expresión para la velocidad a que los
movimientos moIeculares realizan trabajo.
Primero recordamos que, cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo y hace
que se mueva una distancia dr, el trabajo realizado es dW = ( F . dr). Entonces, la
velocidad a que se realiza trabajo es dW/dt = (F d r / d t ) = (F v); es decir, el producto punto de la fuerza por la velocidad. Ahora aplicamos esta fórmula a 10s tres
planos perpendiculares en un punto P en el espacio mostrado en la figura 9.8-1.
Figura 9.8-1 TRS elementos de superficie de área dS perpendiculares entre sí en el punto P
junto con los vectores de esfuerzo ~r,, y TIZ que achían sobre esas superficies. En la primera
figura, la velocidad a h que realiza trabajo el fluido sobre el lado negativo de dS sobre el fluido
en el lado positivo de dS es entonces (n, v)dS = [m . VI&.
Expresiones semejantes se cumplen
para elementos de superficie perpendiculares a los otros dos ejes coordenadas.
+
S9.8 Trabajo asociado con movimientos moleculares 333
Primero consideramos el elemento de superficie perpendicular al eje x. El fluido en el lado negativo de la superficie ejerce una fuerza a& sobre el fluido que está
en el lado positivo (véase la tabla 1.2-1). Debido a que el fluido está moviéndose
con una velocidad v,la razón a que el fluido negativo realiza trabajo sobre el Buido
positivo es (mx v)dS. Es posible escribir expresiones semejantes para el trabajo
realizado a través de Los otros dos elementos de superficie. Cuando se escriben en
forma de componentes, estas expresiones para la velocidad a que se realiza trabajo,
por unidad de área, se convierten en
Una vez que estas componentes escalara se multiplican por los vectores unitarios y
se suman, se obtiene e1 "vector de la velocidad a que se realiza trabajo por unidad
de área" que, en forma abreviada, se denomina densidad deflujo de trabajo:
Además, la velocidad a que se realiza trabajo a través de una unidad de área de superficie con orientación dada por el vector unitario n es (n . [m - VI).
Las ecuaciones 9.8-1 a 9.8-4 se escriben fiicilmente para coordenadas cilíndricas al sustituir x, y, z por r, e, z y, para coordenadas esféricas, al reemplazar x, y, z
por r, 8, 4.
Ahora definimos, para uso posterior, el vector de densidad depujo de energía combinada e como sigue:
El vector e es la suma de: a) la densidad de flujo de energía convectiva, b) la velocidad a que se realiza trabajo (por unidad de área) por mecanismos moleculares, y
C) la velocidad a que se transporta el calor (por unidad de área) por mecanismos
moleculares. Todos los términos en la ecuación 9.8-5 obedecen la misma convención
de los signos, de modo que e, es el transporte de energía en la dirección x positiva
por unidad de área por unidad de tiempo.
El tensor de esfuerzo molecular total n puede separarse ahora en dos partes:
?r = pS + 7, de modo que [m v] = pv -t [T . v]. El término pv puede entonces
combinarse con el término de la energía interna pihpara obtener un término de entalpía p o v + pv = p(U + (p/p))v = p(l,?
pQ)v = pfiv, de modo que
+
En términos generales, usaremos el vector e en esta forma. Para un elemento de
superficie dS de orientación n, la cantidad (n . e) proporciona la densidad de flujo
de energía convectiva, la densidad de flujo de calor y la densidad de fIujo de trabajo a través del elemento de superficie d S desde el lado negativo hasta el lado positivo de dS.
334
Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energía
Tabla 9.8-1 Resumen de la notación para densidades de flujode energía
Símbolo
Significado
P
[n
VI
e=q
+ [m . V] + ( f p$ + p l i ) ~
-
Referencia
--
--
-
vector de densidad de flujo de energía convectiva
vector de densidad de flujo molecular térmico
Ecuación 9.7-2
Ecuación 9-14
vector de densidad de flujo molecular de trabajo
vedor de densidad de flujo de energía combinada
Ecuación 9.8-4
Ecuación 9.8-5,6
=q+[~-~~+<+plj2+PM~
En la tabla 9.8-1 se resume la notación para los diversos vectores d e densidad
d e flujo d e energía que se introdujeron en esta sección. Todos obedecen la mism
convención d e los signos.
Para evaluar la entalpía e n la ecuación 9.8-6, usamos la fórmula esthndar de la
termodinámica para condiciones en equilibrio
Así, cuando la expresión anterior se integra desde algún estado de referencia pO,
T" hasta el estado p, T, se obtiene1
donde & es la entalpia por unidad d e masa en el estado d e referencia. La integral
sobre p es cero para u n gas ideal y (1/ p ) ( p - po) para fluidos d e densidad constante. La integral sobre T se convierte en ($(T - T
'
) si la capacidad c a l o f i c a puede
considerarse como constante sobre el intervalo de temperatura relevante. Se s u p
ne que la ecuación 9.8-7 es válida en sistemas que no están en equilibrio, donde p y
T son los valores locales d e la presión y d e la temperatura.
PREGUNTAS PARA DISCUSION
1. Definir y proporcionar las dimensiones de la conductividad térmica k, la difusividad térmica a,la capacidad calorífica
la densidad de flujo ténnico q y la densidad de flujo de
energía combinada e. Para las dimensiones, usar m = masa, 1 = longitud, T = temperatura Y
t = tiempo.
2. Comparar los órdenes de magnitud de las conductividades térmicas de gases, líquidos y S&
i,
iidos.
3. ¿De qué forma son semejantes la ley de viscosidad de Newton y la ley de Fourier de la con-
ducción del calor? ¿Cómo difieren?
4. ¿Están relacionadas las viscosidades y las conductividades térmicas de los gases? En Caso
afirmativo, ¿cómo?
' Véase, por ejemplo, R.J. Silbey y R.A. Aiberty, Physical Chemisty, Wüey, 3a. edición (2001), 52.11.
Problemas 335
5. Comparar la dependencia respecto a la temperatura de las conductividades ténnicas de gases, líquidos y sólidos.
6. Comparar los órdenes de magnitud de los números de Prandtl para gases y líquidos.
7. ¿Con iguales las conductividades térmicas del N$ y del NeU gaseosos?
8. ¿La ~ l a c i ó n - Cv = R es verdadera sólo para gases ideales o también lo es para líquidos?
En caso de no ser cierta para líquidos, ¿qué f6mula debe usarse?
9. ¿Cuál es la densidad de flujo de energía cinética en la dirección axial para el flujo laminar de
Poiseuille de un líquido newtoniano en un tubo circular?
10. ¿Cuál es el valor de [m . v] = pv + 17 - VI para flujo de Poiseuille?
ep
OBLEMAS
9A.1 Predicción de las conductividades térmicas de gases a baja densidad.
a) Calcular la condudividad térmica del argbn a l O O T y presión atmosférica, usando la teoría de Chapman-Enskog y las constantes de Lennard-Jones que se dedujeron a partir de datos
de viscosidad. Compare su resultado con el valor observado1 de 506 x loT7cal / cm S . K.
b) Calcular las conductividades térmicas de1 NO y del C b a 300K y presión atmosférica a
partir de los datos siguientes para esas condiciones:
Comparar sus resultados con los valores experimentales dados en la tabla 9.1-2.
9A.2
Cálculo de los números de Prandtl para gases a baja densidad.
a) Usar la fórmula de Eucken y datos experimentales sobre capacidad calorífica para estimar
el número de Prandtl a 1 atrn y 300K para cada uno de los gases enumerados en la tabla.
b) Para los mismos gases, calcular el número de Prandtl directamente sustituyendo los siguientes valores de las propiedades físicas en la fórmula de definición Pr = c p p / k , y comparar los valores con los résultados obtenidos en el inciso a). Todas las propiedades están dadas
a baja presión y 300K.
epx lop3
Gasa
J/kg.K
He
Ar
H2
Aire
5.193
0.5204
14.28
1.001
0.8484
1.864
c02
H20
" Los elementos de esta tabla fueron preparados a partir de funciones
proporcionadas por T.E. Daubert, R.P. Danner, H.M. Sibul, C.C.Stebbins,J.L.
Occarson, R.L. Rowley, W.V. Wilding, M.E.Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel,
DIPPR@ Data Compilation ojPure Compuund Pruperties, Design Institute for
Physical Pmperty ata@, AIChE, Nueva York, NY (2000).
W.G. Kannuluik y E.H. Cannan, Proc. Phys. Soc. (Londres),658,701-704 (1952).
336
Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energía
9A.3
Cálculo de la c~nductividadt6rmica de un gas denso. Pronosticar la conductividad t4nrijCa
del metano a 110.4 atm y 127°F por los siguientes métodos:
a) Usar la figura 9.2-1. Obtener las propiedades críticas necesarias a partir del apkndice E.
b) Usar la fórmula de Eucken para obtener la conductividad térmica a 127°F y baja presión,
Luego, aplicar una corrección de la presión usando la figura 9.2-1. El valor experimentap es
0.0282 Btu/h pie E
-
.
Respuesta: a) 0.0294 Btu/h pie F
9A.4
Predicción de la conductividad térmica de una mezcla de gases. Calcular la condudividad
térmica de una mezcla que contiene 20 m01 en porcentaje de COZy 80 m01 en porcentaje de
H2 a 1 atrn y 300K. Usar los datos del problema 9A.2 para los cálculos.
Respuesta: 0.1204 W/m . K
9A.S
Estimación de la covductividad térmica de un Uquido puro. Pronosticar la conductividad
termica de Hfl líquida a 40°C y 40 bars de resión (1bar = lo6 dinas/cm2). La compresibilidad isot6rmica, (l/p)(¿lp/dp)r,
es 38 x 10-gbar-l y la densidad es 0.9938 glcm3. Sup6ngase que tp= ty.
Respuesta: 0.375 Btu/h . pie . F
9A.6
Cálculo del númem de Lorenz.
9)
Al aplicar la teoría cinética al "gas electrón" en un metal3se obtiene para el número de L o a
donde K es la constante de Boltzmann y e es la carga del electrón. Calcular L en las unidades
dadas bajo la ecuación 9.5-1.
ohrn cm. Estimar su conb) La psistividad elktrica, 1 /b,de cobre a 20°C es 1.72 X
ductividad térmica en W/m . K usando la ecuación 9.6-1,y comparar su resultado con el valor e x p w e n M dado en la tabla 9.1-5.
9A.7 Comboración de la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz. Dados los siguientes datos experimeritales a 20°C para metales puros, calcular los valores correspondientes del número de Lorenz, L, definido en la ecuación 9.5-1.
Metal
Na
Ni
Cu
Al
(l/W ( o h . cm)
4.6 x
6.9 x
1.69 X
2.62 X
lop6
k (cal/cm . s - K)
0.317
0.140
0.92
0.50
>
2J.M.Lenoir, W.A. Junlry E.W. Comuigs, C h . Engr. Pmg.,49,539-542(1953).
J.E. Mayer y M.G. Maya, Statistiurl Mechnics, Wiley, Nueva Ymk (194ó). p. 412; P.Drude, Ann. Phys., 1,566-613 (19M)).
Problemas 337
9A.8
Conductividad térmica y número de Prandtl de un gas poliatómico.
a) Estimar la conductividad térmica de C b a 1500K y 1.37 atm. La capacidad caiorífica molar a presión constante4a 1500K es 20.71 cal/g m01 . K.
.
b) ¿Cual es el número de Prandtl a la misma presión y temperatura?
Respuesfas: a) 5.06 x
9A.9
cal/-
. S - K; b) 0.89
Conductividad térmica de cloro gaseoso. Usar la ecuación 9.3-15 para calcular la conductividad
térmica de cloro gaseoso. Para hacer esto se necesita usar la ecuación 1.4-14 a fin de estimar
la viscosidad, y también son necesarios los siguientes valores de la capacidad calonfica:
Comprobar para ver que tan bien los valores calcuiados concuerdan con los siguientes datos
experimentales de conductividad ténnica5
9A.10 Conductividad térmica de mezclas cloro-aire. Usar la ecuación 9.3-17 para predecir las conductividades térmicas d e mezclas cloro-aire a 297K y 1 atm para las siguientes fracciones molares de cloro: 0.25,0.50,0.75. El aire puede considerarse como una sola sustancia y pueden
suponerse los datos siguientes:
Aire
Cloro
1.854 x lo-s
1.351 X
2.614 x
8.960 x
1.001 x lo3
4.798 x 102
Los elementos de esta tabla fueron preparados a partir de funciones proporcionadas
por T.E. Daubert, R.P. Danner, H.M. Sibul, C.C. Stebbins, J.L. Oscarson, R.L. Rowley,
W.V. Wilding, M.E. Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel, DIPPRB Data Compilation
of Pure Compound Properties, Design Institute for Physical Property ata@, AICkE,
Nueva York, NY (2000).
a
'O.A. Hougen, K.M. Wahon y R.A. Ragatz, Chemiuil Process Principies, volumen 1, Wiley, Nueva York (1954),p. W .
Interpelado de datos de E.U.Frank, Z. Elaktmdrem., 55,636 (1951), según se reporta en el Nouvmu Traitd de Chimie
Minerale, P. Pascal, comp., Masson et Cie, París (1960). pp. 158-159.
338
Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
9A.11 Conductividad térmica de arena de cuarzo. Una muestra típica de arena de cuarzo tiene las
siguientes propiedades a 2 K :
Componente
i
=
1: Sílice
Fracción de
volumen +i
k cal/crn s . K
0.510
i = 2: Feldespato
0.063
La fase continua (i= O} es una de las siguientes:
i) Agua
u) Aire
0.427
0.427
20.4 x lo-3
7.0 x
1.42 x
0.0615 x 10-3
Estimar la conductividad térmica efectiva de la arena: i) cuando está saturada de agua, y
ii) cqmdo está completamente seca.
a) Usar la siguiente generalización de las ecuaciones 9.6-5 y 9.6-6:
Aquí N es el número de fases sólidas. Comparar la predicción para esferas (gl = gz = g3 =
con la recomendación de de Vnes (gl = g2 = 4, g3 = Q ).
4)
b) Usar la ecuación 9.6-1 con ki = 18.9 X lop3 cal/cm - S . K, que es la conductividad térmica
media por volumen de los dos sólidos. Algunos valores observados, exactos dentro de un
margen aproximado de 3%, son 6.2 y 0.58 X loT3c a l / m - S . K para arena húmeda y seca,
~espectivamente.~
Se creía que Las partículas podían aproximarse mejor como esferoide achat a d o ~con
, una relación de eje igual a 4, para los cuales gl = g2 = 0.144; g3 = 0.712.
Respuesta: a) A partir de la ecuación 9.6-4, 4.93 ?< lom3c a l / m . S K (esférica), y 6.22 x loA3
cal/cm . s K.Con base en la ecuación 9.6-1,5.0 X
cal/cm S . K
9A.12 Cálculo de diámetros moleculares a partir de propiedades de transporte.
Determinar el diámetro molecular d del argón a partir de la ecuación 1.4-9 y la viscosidad
experimental dada en el problema 9A.2.
a)
b) Repetir el inciso a), pero usando la ecuación 93-12 y la condudividad térmica medida en
el problema 9A.2. Compare este resultado con el valor obtenido en el inciso a).
c) Calcular y comparar los valores del diámetro de colisión
U de Lennard-Jones a partir de
los mismos datos experimentales que se usaron en los incisos n ) y b), utilizando E / K de la
tabla E.1.
d) ¿Qué puede concluirse a partir de los cálculos anteriores?
Respuesta: a) 2.95 A; b) 1.86 A; c) 3.415 A a partir de la ecuación 1.4-14, 3.409 A a partir df;
ia ecuación 9.3-13.
j
d
El comportamiento de suelo parcialmente mojado ha sido tratado por D.A. de Vries, capítulo 7, en Phyercc ofPInnt
Envrronment, W.R. van Wijk, editor, Wiley, Nueva York (1963).
Problemas 339
Teoría de Enskog para gases densos. ~ n s k o g
desarrolló
~
una teoría cinética para las propiedades de transporte de gases densos. Demostró que para moléculas idealizadas como
esferas rígidas de diámetro u0
9C.1
Aquí poy k0 son las propiedades a baja presión (calculadas, por ejemplo, a partir de las ecuaciones 1.4-14 y 9.3-131, es el volumen molar, y bo = 3 ?rNu$, donde N es el número de
Avogadro. La cantidad y está relacionada con la ecuación de estado de un gas constituido por
esferas rígidas:
v
Estas tres ecuaciones proporcionan las correcciones de densidad para la viscosidad y la conductividad térmica de un gas hipotético constituido por esferas rígidas.
Enskog sugirió además que para gases reales, i) y puede proporcionarse empíricamente por
donde se usan datos experimentales de p-v-T, y ii) bo puede determinarse ajustando el mínimo en la curva de (p/po)Vcontra y.
a) Una forma útil de resumir la ecuación de estado es usar la presentación de estados correspondientes8 de Z = Z ( p , T,), donde Z = p ~ / R T p,, = p / p , y T, = T/T,. Demostrar que la
cantidad y definida por la ecuación 9C.1-4 puede calcularse como una función de la presión
y temperatura reducidas a partir de
b) Demostrar cómo las ecuaciones 9C.1-1, 9C.1-2 y 9C.1-5, junto con el diagrama Z de
Hougen-Watson y el diagrama P / P , de Uyehara-Watson en h figura 1.3-1, pueden usarse
para desarrollar un diagrama de k / k , como una función de p, y T,. ¿Cuáles serían las limitaciones del diagrama resultante? Este procedimiento fue usado por Comings y Nathan? pero
utilizando datos específicos de p - e - ~en vez del diagrama Z de Hougen-Watson.
C)
¿Cómo podría utilizarse la ecuación de estado de Redlich y ~wong'O
para el mismo propósito? Las cantidades a y b son constantes características de cada gas.
'
D. Emkog, Kungliga Svmska Vetenskapsakndemiens Handlingar, 62, N o 4 (19221, en akmán. Véase también J.O.
Hirschfelder,C.F. Curtiss y R.B.Bird, Molecular Thwry of Gases and Liquida, 2a. impresión corregida (1964), pp. 617-652
O.A. Hougen y K.M.Watson, Chenricai Process Principles, Vol. 11, Wiey, Nueva York (1947),p. 489.
E.W. Comings y M.F. Nathan, lnd. Eng. Chem., 39, 964-970 (1947).
lo O.Redlich y J.N.Si Kwong, Chrm. Rm, 44,233-244 (1949).
Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura
y distribuciones de temperatura
en sólidos y en flujo laminar
Balances de energía en la envoltura: condiciones límite
Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica
Conducción de calor con una fuente de calor nuclear
Conducción de calor con una fuente de calor viscosa
Conducción de calor con una fuente de calor química
Conducción de calor a iravés de paredes compuestas
Conducción de calor en una aleta de enfriamiento
Convección forzada
Convección libre
En el capitulo 2 vimos cómo ciertos problemas senciUos de flujo viscoso se resuelven
por un procedimiento que consta de dos pasos: i) se hace un balance de cantidad de
movimiento sobre una placa o envoltura delgada perpendicular a la direcci6n
de transporte de cantidad de movimiento, lo cual Ueva a una ecuación diferencial de
primer orden que proporciona la distribución de densidad de flujo de cantidad
de movimiento; u) luego, en la expresión para la densidad de flujo de cantidad de
movimiento se inserta la ley de viscosidad de Newton, con lo que se obtiene una
ecuación diferencial de primer orden para la velocidad del fluido como una función
de la posición. Las constantes de integración que aparecen se evalúan usando las
condiciones límite, que especifican la velocidad o la densidad de flujo de cantidad
de movimiento en las superficies que delimitan el sistema.
En este capítulo mostramos cómo varios problemas de conducción de calor se
resuelven por un procedimiento análogo: i) se hace un balance de energía sobre una
placa o envoltura delgada perpendicular a la dirección de flujo de calor, y este balance lleva a una ecuación diferencial de primer orden a partir de la cual se obtiene
la distribución de la densidad de flujo de calor; ii) luego, en esta expresión para la
densidad de flujo de calor se sustituye la ley de Fourier de la conducción del calor,
que proporciona una ecuación diferencial de primer orden para la temperatura como
una función de Ia posición. Después, las constantes de integración se determinan
usando las condiciones límite para la temperatura o la densidad de flujo de calor en
las superficies que delimitan el sistema.
Con base en la redacción semejante de los dos párrafos anteriores, debe resultar
evidente que los métodos matemáticos utilizados en este capítulo son los mismos
que los presentados en el capítulo 2; sólo difieren la notación y la terminoIogía. Sin
embargo, aquí encontraremos varios fenómenos físicos que no tienen contraparte en
el capítulo 2.
1
342 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en fiujo laminar
Después de una breve introducción a los balances de energía en la envoltura en
510.1, proporcionamos un análisis de la conducción de calor en una serie de sistemas sencillos. Aunque estos ejemplos están algo idealizados, los resultados encuentran apIicación en numerosos cáIculos típicos de ingeniería. Los problemas
eligieron con la intención de introducir al principiante a varios conceptos físicos h.
portantes asociados con el campo de la transferencia de calor. Además, muestran ~6
mo usar una variedad de condiciones límite e ilustran la solución de problemas en
coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. De 5510.2 a 10.5 consideramos cuatro tipos de fuentes de calor: eléctrica, nuclear, viscosa y química: en 5510.6 y 10.7
cubrimos dos temas que tienen aplicaciones bastante amplias; a saber, el flujo de calor a través de paredes compuestas y la pérdida de calor desde aletas. Por último,
en 5910.8 y 10.9 analizamos dos casos límite de transmisión de calor en fluidos en
movimiento: convección forzada y convección libre. El estudio de estos temas pppara el camino para abordar las ecuaciones generales que se presentan en el capítulo 11.
@
Los problemas que se analizan en este capítulo se plantean por medio de balances
de energía en la envoltura. Se elige una placa (o envoltura), cuyas superficies son
normales a la dirección de conducción del calor, y luego para este sistema se escribe un planteamiento de la ley de conservación de la energía. Para sistemas en estado estacionario (es decir, independientes del tiempo) escribimos:
1
velocidad de
velocidad de
- [salida
energíademediante
[entrada
energía mediante
de
transporte
convectivo
transporte
convectivo
velocidad de
+[entrada
energía por
de
transporte
molecular
velocidad a la
que se realiza
velocidad a la
que se realiza
transporte
molecular
por fuerzas
externas
velocidad de
- [salida
energiadepor
-+
transporte
molecular
(10.1-1)
El transporte de energía convectiva se analizó en 59.7, y el transporte molecular de energía (conducción de calor) en 59.1. Los términos de trabajo molecular se explicaron en
99.8. Estos tres términos pueden sumarse para obtener la "densidad de flujo de
energía combinada" e, como se muestra en la ecuación 9.8-6. Al esiablecer problemas aquí (y en el siguiente capítulo) usaremos el vector e junto con la expresión para la entalpía que se muestra en la ecuación 9.8-8. Nótese que en sistemas sin flujo
(para los cuales v es cero), el vector e se simplifica al vector q, que está dado en la
ley de Fourier.
El término de producción de energía en la ecuación 10.1-1 incluye: i) la degradación de energía eléctrica en calor, ii) el calor producido al reducir la velocidad de 10s
neutrones y los fragmentos liberados en el proceso de fisión, iii) el calor producido
por disipación viscosa, y iv) el calor producido en reacciones químicas. La fuente de
510.2
Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica 343
caIor de la reacción química se analizará con más detalle en el capítulo 19. La ecuación 10.1-1 es un planteamiento de la primera ley de la termodinámica, escrita para
un sistema "abierto" en condiciones de estado estacionario. En el capitulo 11 este
a sistemas en estado no estacionario- se escrimismo planteamiento -xtendido
birá como una ecuación de variación.
Una vez que la ecuación 10.1-1 se escribe para una placa o envoltura delgada de
material, se hace que el espesor de la placa o envolhira tienda a cero. Este procedimiento finalmente conduce a una expresión para la distribución de temperatura que
contiene constantes de integración, que se evalúan usando las condiciones límite.
Los tipos más comunes de condiciones límite son:
a. La temperatura puede especificarse en una superficie.
b. h e d e proporcionarse la densidad de flujo de calor normal a una superficie (esto equivale a especificarla componente norma1 del gradiente de temperatura).
c. Se requiere que la temperatura y la densidad de flujo de calor normal a la interface sean continuas en las interfases.
d. En la interfase sólido-fluido, la componente normal de la densidad de flujo
de calor puede estar relacionada con Ia diferencia entre la temperatura en la
superficie sólida To y la temperatura "global" del fluido Tb:
--
,
Esta relación se denomina ley de enfriamiento de Newton. Realmente no es una
"ley", sino más bien la ecuación de definición para h, que se denomina coeficiente de transmisión de calor. En el capítulo 14 se abordan métodos para estimar coeficientes de transmisión de calor.
En este capítulo se encuentran los cuatro tipos de condiciones límite. Hay otros tipos de condiciones limite, que se introducirán según sean necesarios.
El primer sistema que vamos a considerar es un alambre eléctrico de sección transversal circular de radio R y conductividad eléctrica k, ohm-l cm-'. Por el alambre
circula una corriente eléctrica cuya densidad de corriente es 1 amp/crn2. La transmisión de corriente eléctrica es un proceso irreversible, y algo de la energía eléctrica se
convierte en calor (energía térmica). La velocidad de producción de calor por unidad de volumen está dada por la expresión
La cantidad S, es la fuente de calor que resulta de la disipación eléctrica. Aquí suponemos que el aumento de temperatura en el alambre no es tan grande, como para
que sea necesario tener en cuenta la dependencia respecto a la temperatura de la
conductividad térmica o de la conductividad eléctrica. La superficie del alambre se
mantiene a la temperatura To. Ahora mostramos cómo encontrar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre.
910.2 Conduccibn de calor con una fuente de calor eléctrica 345
Ésta es una ecuación diferencial de primer orden para la densidad de flujo de energía, que puede integrarse para obtener
La constante de integración C1 debe ser cero debido a la condición límite de que
C.L. 1:
q, no es infinita
en Y = O,
(10.2-8)
Por tanto, la expresión final para la distribución de densidad de flujo de calor es
Esto indica que la densidad de flujo de calor aumenta linealmente con r.
Ahora sustituimos Ia ley de Fourier en la forma q, = -k(dT/dr) (véase la ecuación 8.2-4) en la ecuación 10.2-9 para obtener
dT
-k---
Ser
dr- 2
Cuando se supone que k es constante, esta ecuación diferencial de primer orden
puede integrarse para obtener
La constante de integración se determina a partir de
Por tanto, C2 = ( S P 2 / 4 k )+ To y la ecuación 10.2-11 se vuelve
La ecuación 10.2-13 proporciona el aumento de temperatura como una función FArabólica de la distancia r al eje del alambre.
Una vez que se conocen las distribuciones de temperatura y de la densidad de
flujo de calor, puede obtenerse más información sobre el sistema:
i) Elevación máxima de temperatura (para Y = 0)
T max
. -T,=-
SS2
4k
346
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
U) Elevación media de temperatura
[On loR
(T(r)- T,)r dr d e
(T) - T, =
=-
SP2
IDmf r dr dtl
(10.2-15)
8k
Por tanto, la elevación de temperatura promediada sobre la sección transversal es
igual a la mitad de la elevación máxima de temperatura.
iii) Salida de calor en la superficie (para un alambre de longitud L)
Este resultado no es sorprendente, ya que en estado estacionario, todo el calor producido por disipación eléctrica en el volumen rR2L debe salir a través de la superficie r = R.
Durante la deducción de este resultado, quizá el lector sintió que ya conoce este método. Después de todo, hay una gran semejanza entre el problema del alambre
caliente y el del flujo viscoso en un tubo circular. La única diferencia estriba en la notación:
La primera integración da
L a segunda integración da
Condición límite en r = O
Condición límite en r = R
Propiedad de transporte
Término que corresponde a la fuente
Suposiciones
Flujo en un tubo
Alambre calentado
7=(r)
v,(r)
vz = O
4,(r)
Ttr) - T,,
q, = finito
T-T,=O
P
k
T=
= finito
(9,
+,M
p = constante
Se
k, k, = constante
Es decir, cuando las cantidades se eligen de manera adecuada, las ecuaciones dife
renciales y las condiciones límite para los dos problemas son idénticas, y se dice que
los procesos físicos son "análogos". No todos los problemas en transferencia de cantidad de movimiento tienen un análogo en transporte de energía y de materia. Sin
embargo, cuando es posible encontrar estas analogías, puede ser útil tomar resultados conocidos en un campo y aplicarlos en el otro. Por ejemplo, el lector no debe t e
ner dificultades para encontrar un análogo en conducción de calor para el flujo
viscoso en una película líquida que desciende sobre un plano inclinado.
En la industria eléctrica hay muchos ejemplos de problemas de conducción de
calor1 Minimizar las elevaciones de temperatura en el interior de la maquinaria
eléctrica prolonga la duración del aislamiento. Un ejemplo es refrigerar interiormente, mediante un líquido, los conductores del estator de los generadores de gran
potencia (500,000 kW).
' M. Jakob,Heat Transfer, Vol. 1, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 10,pp. 167-199
510.2
Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica 347
Para ilustrar más problemas en el calentamiento eléctrico, proporcionamos dos
ejemplos concernientes a la elevación de temperatura en alambres: el primero indica el orden de magnitud del efecto del calentamiento y el segundo muestra cómo
manipular diferentes condiciones límite. Además, en el problema 10C.2 mostramos
cómo tomar en cuenta la dependencia respecto a la temperatura de las conductividades térmica y eléctrica.
Un alambre de cobre mide 2 rnm de radio y 5 m de longitud. Si la temperatura en la superfipara producir una
deteminada elevacidn
temperatura dado en
.r
Utl alambre calentado
por una corriente
eléctrica
'ae
cie del alambre es de 20°C, ¿qué caída del voltaje produce una elevación de temperatura de
10°C en el eje del alambre?
SOLUCXÓN
Al combinar las ecuaciones 10.2-14 y 10.2-1 se obtiene
12R2
Tmáx- To = 4%
(10.2-17)
La densidad de Ia corriente está relacionada con la caída del voltaje E a lo largo de una longitud L por
I=k,-
E
L
(10.2-18)
Por tanto,
a partir de lo cual
Para el cobre, el número de Lorenz de 59.5 es k/k,To = 2.23 X
v ~ l t ~Por
/ ~tanto,
~ . la caída del voltaje necesaria para producir una elevación de temperatura de 10°C es
= (5000)(1.49 x 10~)(54.1)
= 40 volts
(10.2-21)
'5
EJEMPLO 10.2-2 '.
e&%:*
'".
Alambre calentado
con coeficiente de
transmisión de calor y
temperatura
ambiente del aire
especificados
Repetir el análisis en 510.2, suponiendo que no se conoce To, sino que en vez de e110 la densidad de flujo de calor en la pared se proporciona por la "ley de enfriamiento" de Newton
(ecuación 10.1-2).Supóngase que se conocen el coeficiente de transmisión de calor h y la temperatura ambiente del aire Tai,.
SOLUCIUN I
La solución se obtiene como antes a través de la ecuación 10.2-11, pero la segunda constante
de integración se determina a partir de la ecuación 10.1-2:
348
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Ai sustituir la ecuación 10.2-11en la ecuación 10.2-22, se obtiene C2 = (S$/2h)
Tai,, y entonces el perfil de temperatura es
-t (Sp~*/4k)+
A partir de esto se encuentra que la temperatura en la superficie del alambre es Tai,
+ S$/%.
I
En otro método se usa el resultado obtenido previamente en la ecuación 10.2-13. Aunque en
este problema se desconoce T,,, aun así es posible utilizar ese resultado. A partir de las esaciones 10.1-2 y 10.2-16 podemos obtener la diferencia de temperatura
1
,-,
Al sumar la ecuaci6n 10.2-24y la ecuación 10.2-13es posible eliminar la 1 desconocida y ob;
tener la ecuación 10.2-23.
I
Consideremos un elemento combustible nuclear esférico como se muestra en la figura 10.3-1. Consta de una esfera de material fisionable de radio ~ ( ~ rodeado
1 ,
pof
una envoltura esférica de "revestimiento" de aluminio con radio exterior R .
interior del elemento combustible se producen fragmentos de fisión cuyas (='
energía
En
cinéticas son muy elevadas. La mayor fuente de energía térmica en el reactor 11
constituyen las colisiones entre estos fragmentos y los átomos del material fisiona
ble. Esta fuente volumétrica de energía térmica que resulta de la fisión nuclear se de
el
Enfriador
Revestimiento
Figura 10.3-1 Montaje esf4rico de un
combustible nuclear, que muestra la
distribucidn de temperatura en el interior
del sistema.
s10.3 Conducción de calor con una fuente de calor nuclear
349
nornina S, (cal/cm3 S).Esta fuente no es uniforme en toda la esfera de material fisionable; es más baja en el centro de la esfera. Para el objetivo de este problema, suponemos que la fuente puede aproximarse por una función parabólica sencilla
Aquí S,, es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro de la esfera, y b es una constante adimensional positiva.
Como sistema se elige una envoltura esférica de espesor Ar en el interior de Ia
esfera de material fisionable. Debido a que el sistema no est5 en movimiento, e1 balance de energía sólo consta de términos de conducción de calor y un término que
corresponde a la fuente. Las diversas contribuciones al balance de energía son:
Velocidad de entrada
de calor por conducción
en r
qp
Velocidad de salida
de calor por conducción
en r Ar
q:n 1 ,+, 4 d r
+
Ir
4 d = (4%-r2q(T)I,
+ ~ r ) =* ( 4 d q F ) )1 ,+A,
(10.3-2)
(10.3-3)
Velocidad de energía
térmica producida por
fisión nuclear
Al sustituir estos términos en el balance de energía de la ecuación 10.1-1se obtiene,
~ y tomar el límite cuando Ar -+ 0,
después de dividir entre 4 3 Ar
lím
Ar40
+
A -
2 (F)
r
)Ir = 5nr2
Ar
Al tomar el límite e introducir la expresión en la ecuación 10.3-1 se obtiene
La ecuación diferencial para la densidad de flujo de calor qk)en el revestimiento es
de la misma forma que la ecuación 10.3-6, excepto que aquí no hay término significativo correspondiente a la fuente:
350
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminal
1
Al integrar estas dos ecuaciones se obtiene
CY)
donde
y C!c) son constantes de integración que se evalúan por medio de las condiciones límite:
C.L. 1:
C.L. 2:
en r = O,
,,,
=~
qZF) no es infinita
(n,q ; =
~ 4r(a
Luego, al evaluar estas constantes se obtiene
Éstas son las distribuciones de densidad de flujo de calor en la esfera fisionabley en
el revestimiento de la envoltura esférica.
Ahora, en estas dos distribuciones sustituimos la ley de Fourier de la conducción del calor (ecuación 8.2-7)
Estas ecuaciones pueden integrarse para k(n y kcC) constantes a fin de obtener
Las constantes de integración pueden determinarse a partir de las condiciones umite
$10.4 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa
351
donde T, es la temperatura conocida en el exterior del revestimiento. Las expresiones finales para los perfiles de temperatura son
Para encontrar la temperatura máxima en la esfera de material fisionable, todo lo
que se requiere es igualar r a cero en la ecuación 10.3-20. Ésta es una cantidad que
conviene conocer cuando se hacen estimaciones de deterioro térmico.
Este problema ha ilustrado dos cuestiones: i) cómo manipular un término que
corresponde a la fuente y que depende de la posición, y ii) la aplicación de la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo d e calor normal en el límite entre
dos materiales sólidos.
310.4
CONDUCCIÓNDE CALOR CON UNA FUENTE DE CALOR VISCOSA
>*
A continuación consideramos el fiujo de un fluido newtoniano incompresible enbe
dos cilindros coaxiales como se muestra en la figura 10.4-1. Las superficies de los cilindros interior y exterior se mantienen a T = To y T = Tb, respectivamente. Podemos esperar que T sea una función exclusiva de r.
E1 cilindro exterior se mueve
con una velocidad angular i2
Figura 10.4-1 Flujo entre cilindros con
generación viscosa de calor. La parte del
sistema que está encerrada por las líneas
punteadas se muestra en forma modificada en
la figura 10.4-2.
352 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
La superficie superior se mueve con velocidad
= Rn
Figura 10.4-2 Modificación de una porcibn
del
de flujo e n la figura 10.4-1,
donde se desprecia la curvatura de las
superficies que delimitan el sistema,
X
I
Superficie estacionaria
A medida que el cilindro exterior gira, cada envoltura cilíndrica de fluido "r0za" con una envoltura adyacente de fluido. Esta fricción entre capas adyacentes del
fluido produce calor; es decir, la energía mecánica se degrada en energía térmica. L~
fuente de calor por unidad de volumen que resulta de esta "disipación viscosa", que
podemos designar por S,, aparece automaticamente en el balance en la envoltura
cuando se usa el vector de densidad de flujo de energía combinada e definido al final del capitulo 9, como se verá un poco más adelante.
Si el ancho b de la rendija es pequeño en comparación con el radio R del cilindro exterior, entonces el problema puede resolverse aproximadamente usando el
sistema algo simplificado que se muestra en la figura 10.4-2.Es decir, se ignoran los
efectas de curvatura y el problema se resuelve en coordenadas cartesianas. Entonces, la distribución de velocidad es v, = vb(x/b),donde v b = flR.
Ahora realizamos un balance de energía sobre una envoltura de espesor Ax, ancho W y longitud L. Debido a que el fluido está en movimiento, usamos el vector de
densidad de flujo de energía combinada e según está escrito en la ecuación 9.8-6.
Así, el balance queda como
Luego, al dividir entre WL Ax y dejar que el espesor Ax de la envoltura tienda a c e
ro, se obtiene
Esta ecuación puede integrarse para obtener
Debido a que se desconocen cualesquiera condiciones límite para e,, en este momento no es posible evaluar las constantes de integración.
Ahora insertamos la expresión para e, de la ecuación 9.8-6. Debido a que la coinponente de la velocidad en la dirección x es cero, es posible eliminar el término
(ipv2 + pU)v. Según la ley de Fourier, la componente x de q es -k(dT/dx). La componente x de [T VI es, como se muestra en la ecuación 9.8-1, T,,v, + 7XYvY t ~ ~
Ya que la única componente diferente de cero de la velocidad es v, y como 7, =!
-p(dv,/dx) según la ley de viscosidad de Newton, entonces la componente x de
[T VI es -pv,(dv,/dx). Así, concluimos que la ecuación 10.4-3 se vuelve
-
1
u
~
;
910.4 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa
353
Cuando se inserta el perfil lineal de velocidad v, = vb(x/b),se obtiene
donde p ( ~ ~ /puede
b ) ~ identificarse como la velocidad de producción viscosa de calor por unidad de volumen S,.
Al integrar la ecuación 10.4-5 se obtiene
Las dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones Emite
Finalmente lo anterior lleva a que, para Tb
+ To
Aquí Br = pv; /k(Tb - To)es el n ú w o adirnensional de Brinkmun,' que es una medida de la importancia del término de la disipación viscosa. Si Tb = To, entonces la
ecuación 10.4-9 puede escribirse como
y la temperatura máxima está en x / b = +.
Si la elevación de temperatura es apreciable, entonces debe tenerse en cuenta la
dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura. Esto se analiza en el problema 10C.1.
El término de calentamiento viscoso S, = p ( ~ ~ /puede
b ) ~ entenderse por medio
del siguiente razonamiento. Para el sistema de la figura 10.4-2, la velocidad a que se
realiza trabajo es la fuerza que actúa sobre la lámina superior multiplicada por la velocidad a que se mueve la lámina, o bien, (- T,,WL)(V~),
Así, la velocidad de adición
de energía por unidad de voIumen se obtiene dividiendo esta cantidad entre WLb,
con lo que se obtiene: (-7Xzvb/b)= p(vb/bI2.Toda esta energía aparece como calor y
por tanto es S,.
'
H.C. Brinkman, Appl. Sci. Reseorch, AZ, 120-124(1951),resolvi6 el problema de calentamiento por disipación
viscosa para el flujo de Poiseuille en un tubo circular. R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics ofPo-/meric
Liquids, Vol. 1,2a. edición, Wiley, Nueva York (1987),pp. 207-208, han resumido otros gmpos adimensionales que
pueden usarse para caracterizar el calentamiento viscoso.
3% Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
En la mayor parte de los problemas de flujo, el calentamiento viscoso no es importante. Sin embargo, si hay grandes gradientes de velocidad, entonces no puede
despreciarse. Algunos ejemplos de situaciones en las que debe tenerse en cuenta el
calentamiento viscoso son: i) flujo de un lubricante entre partes que se mueven rápidamente; ii) flujo de polímeros fundidos a través de boquillas en la extrusión a 4ta velocidad; iii) flujo de fluidos altamente viscosos en viscosímetros de alta
velocidad, y iv) flujo de aire en la capa límite inmediata a la superficie de satéliteso
cohetes terrestres durante su reentrada a la atmósfera de la Tierra. Los dos primeros
son más complicados porque muchos lubricantes y plácticos íúndidos son fluidos
no newtonianos. El calentamiento viscoso para fluidos no newtonianos se ilustra en
el problema lOB.5.
Una reacción química se realiza en un reactor tubular de radio interior R de lecho
fijo de flujo axial, como se muestra en la figura 10.5-1. El reactor se extiende desde
z=
hasta z = +D.y está dividido en tres zonas:
-W
Zona 1: zona de entrada rellena con esferas no catalíticas.
Zona 11: zona de reacción, que se extiende desde z = O hasta z
esferas cataliticas.
Zona 111: zona de salida rellena con esferas no catalíticas.
= L,
rellena con
Se supone que el fluido avanza por el tubo del reactor en "flujo tapón", es decir
con velocidad axial uniforme a un valor superficial vo = w / 7 r ~ '(véase
~
el text
a continuación de la ecuación 6.4-1 para la definición de "velocidad superficial"
La densidad, la velocidad de flujo másico y la velocidad superficial se tratan com
independientes de r y z. Además, se supone que la pared del reactor está bien
lada, de modo que la temperatura puede considerarse como si fuese esenc
te independiente de r. Se desea encontrar la disiribución axial de temper
estado estacionario T(z) cuando el fluido entra en z = -m con una temperatura u
forme TI.
En una reacción química se produce o consume energía térmica cuando las
léculas reaccionantes se reordenan para formar los productos. La velocidad volu
trica de producción de energía térmica por reacción química, S,, en general es un
Pared
ais'fda
partículas Partículas
inertes
cataiíticas
- Zona 1
z=O
Particuhs
inertes
'1Azk
Zona 111 ,
Zona 11
z=L
Figura 10.5-1 Reactor de lecho fijo con flujo axial. Las moléculas reaccionantes entran en
z = -m y salen en z = +M.La zona de reacción se extiende desde z = O hasta z = L.
i
510.5 Conducci6n de calor con una fuente d e calor química 355
función complicada de la presión, temperatura, composición y actividad del catalizador. Para simplificar, aquí representamos S, como una función exclusiva de la
temperatura: S, = SCIF(O),donde O = (T - T d / ( T l - To).Aquí T es la temperatura
local en el lecho del catalizador (que se supone igual para el catalizador y para el
fluido), y SC1y T, son constantes empíricas para las condiciones dadas de entrada
del reactor.
Para el balance en la envoItura escogemos un disco de radio R y espesor Az en
la zona catalítica (véase la figura 10.5-l), y elegimos que Az sea mucho mayor
que las dimensiones de las partículas del catalizador. Al establecer el balance de
energía, usamos el vector de densidad de flujo de energía combinada e debido a
que estamos tratando con un sistema de flujo. Así, el balance de energía en estado
estacionario es
En seguida dividimos entre m-R2Az y tomamos el límite cuando Az tiende a cero. Hablando estrictamente, esta operación no es "legal", debido a que no estamos tratando
con un continuo sino más bien con una estructura granular. No obstante, realizamos
este proceso en el límite en el entendido de que la ecuación resultante no describe
valores puntuales, sino más bien valores medios de e, y S, para secciones transversales del reactor de z constante. Así se obtiene
Luego sustituimos la componente z de la ecuación 9.8-6 en esta ecuación para obtener
Ahora usamos la ley de Fourier para q,, ecuación 1.2-6 para T, y la expresión de la
entalpía en la ecuación 9.8-8 (con la suposición de que la capacidad térmica es constante) para obtener
donde se ha utilizado la conductividad térmica efectiva en la dirección z, ~,~,,(véase la ecuación 9.6-9). Los términos primero, cuarto y quinto del miembro izquierdo
pueden eliminarse, ya que la velocidad no cambia con z. El tercer término puede eliminarse si la presión no cambia significativamente en la dirección axial. Luego, en
el segundo término sustituimos u, por la velocidad superficial v, porque esta última es la velocidad efectiva del fluido en el reactor. Así, la ecuación 10.5-4 queda como
Ésta es la ecuación diferencial para la temperatura en la zona 11. La misma ecuación
es válida en las zonas 1 y 111 con el término que corresponde a la fuente igual a cero.
356 Capitulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo Laminar
Entonces, las ecuaciones diferenciales para la temperatura son
Zona i
Zona II
Zona III
Aquí hemos supuesto que podemos usar el mismo valor de la conductividad térmica efectiva en las tres zonas. Estas tres ecuaciones diferenciales de segundo orden están sujetas a las seis siguientes condiciones límite:
C.L. 4:
dT' -
e n z = O,
Kef,zr
e n z = L,
p1= T I ~
e n z = L,
Kefsf
dTU
- Kef,zz -&(10.5-12)
dTrr -
dTrn
- Keftz
Las ecuaciones 10.5-10a 10.5-13 expresan la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo de calor en los limites entre las zonas. Las ecuaciones 10.5-9 y 10.5-14
especifican los requisitos en los dos extremos del sistema.
Aquí la solución de las ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 se considera para F(O) arbitraria. En muchos casos de interés práctico, el transporte de calor convectivo es mucho más importante que el transporte de calor conductivo axial. Por tanto, aquí
eliminamos por completo los términos concernientes a la conducción (los que contienen a K ~ ~Este
~ )tratamiento
.
del problema sigue conteniendo los rasgos sobresalientes de la solución en el límite de un gran Pé = RePr (véase el problema 108.18
para un tratamiento más completo).
Si se introducen una coordenada axial adimensional Z = z / L y una fuente de
calor química adirnensional N = s ~ ~ L / & ~ ~ --, (TTd ,~entonces las ecuaciones 10.5-6
a 10.5-8 se vuelven
Zona 1
( Z < O)
dOJ
--0
dZ
Zona 11
Zona 111
para las cuales se requieren tres condiciones límite:
(10.5-15)
510.6
Zona 1
Conducción de calor a través de paredes compuestas 357
Zona 11, donde se produce
calor por reacci n qu mica
Coordenada axial adirnensional Z
Zona 111
=z/L
Figura 10.5-2 Perfiles de temperatura pronosticados en un reactor de lecho fijo con flujo axial
cuando la producción de calor varía linealmente con la temperatura y cuando hay difusión radial
despreciable.
Estas tres ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables, con condiciones límite, se resuelven fácilmente para obtener
Zona 1
Zona 11
Zona 111
Estos resultados se muestran en la figura 10.5-2 para una elección sencilla de la función correspondiente a la fuente; a saber, FtO) = O, lo que es razonable para pequeños cambios en la temperahixa, si la velocidad de la reacción es insensible a la
concentración.
En esta sección terminamos por eliminar los términos correspondientes a la conducción axial. En el problema 10B.18no se eliminan estos términos, y entonces la solución muestra que en la región 1 hay precalentamiento (o preenfriamiento).
En problemas industriales de transmisión de calor a menudo es necesario abordar
la conducción a través de paredes hechas de capas de varios materiales, cada una
con su propia conductividad térmica característica. En esta sección mostramos cómo las diversas resistencias a la transmisión d e calor se combinan en una resistencia total.
3%
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
SusSustancia tancia
Sustancia
23
o
11
x2
Distancia, x
-
Figura 10.6-1 Conducción de calor a través de una pared compuesta, localizada entre dos
corrientes de fluido a temperaturas T,y Tb-
En la figura 10.6-1 se muestra una pared compuesta hecha de tres materiales de
espesor diferente, xl - xo, xp - x1 y x3 - x2, y conductividades térmicas diferentes
koi,kI2 y k23. En x = xo, la sustancia O1 está en contacto con un fluido a temperatura
ambiente T,, y en x = x3, la sustancia 23 está en contacto con un fluido a temperatura ambiente Tb.La transmisión de calor en los límites x = xo y x = xg está dada por
la "ley de enfriamiento" de Newton con coeficientes de transmisión de calor hoy hP
respectivamente. El perfil de temperatura anticipado se muestra en la figura 10.6-1.
Primero establecemosel balance de energia del problema. Debido a que estamos
tratando con conducción de calor en un sólido, los términos que contienen velocidad en el vector e pueden eliminarse, y la irnica contribución relevante es el vector
q, que describe la conducción de calor. Primero escribimos el balance de energía
para una placa de volumen WH Ax
Región 01:
que establece que el calor que entra en x debe ser igual al calor que sale en x + Ax,
ya que en el interior de la región no se produce calor. Después de dividir entre WH
Ax y tomar el límite cuando Ax + O, se obtiene
Región 01 :
La integración de esta ecuación resulta en
Región 01:
qx = 40
(una constante)
(10.6-3)
La constante de integración, qo, es la densidad de flujo de calor en el plano x = xo.
El desarrollo de las ecuaciones 10.6-1 a 10.6-3 puede repetirse para las regiones 12 Y
23 con condiciones de continuidad sobre 9, en las interfases, de modo que la densidad de flujo de calor es constante y la misma para las tres placas:
Regiones 01, 12, 23:
qx = 90
(10.6-4)
§10.6 Conducción de calor a trav6.s de paredes compuestas 359
con la misma constante para cada una de las regiones. Ahora podemos introducir
una ley de Fourier para cada una de las regiones, con lo cual obtenemos
Región 01:
Región 12:
Región 23:
Luego suponemos que kol,k,, y k23 son constantes. Entonces integramos cada ecuación sobre todo el espesor de la placa de material relevante para obtener
Región 01 :
Región 12:
Región 23:
Además se cuenta con los dos planteamientos concernientes a la transmisión de calor en las superficies según la ley de enfriamiento de Newton:
En la superficie 0:
En la superficie 3:
Entonces, al sumar estas cinco iLltimas ecuaciones se obtiene
o bien,
Algunas veces este resultado vueIve a escribirse en una forma que recuerda la ley
de enfriamiento de Newton, ya sea en términos de Ia densidad de flujo de calor qo
U/m2 S) o del flujo de calor Qo (J/s):
-
qo=u(T,-Tb)
O
Qo=U(wH)(T,-Tb)
(10.6-15)
360 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
La cantidad U, denominada "coeficiente global de transmisión de calor", está dada
por la siguiente fórmula célebre para la "aditividad de las resistencias":
Aquí hemos generalizado la fórmula a un sistema con n placas de material. Las
ecuaciones 10.6-15 y 10.6-16 son útiles para calcular la velocidad de transmisión de
calor a través de una pared compuesta que separa dos corrientes de fluido, cuando
se conocen los coeficientesde transmisión de calor y las conductividades témiicas.
La estimación de los coeficientes de transmisión de calor se analiza en el capítulo 14.
En el desarrollo anterior se supuso tácitamente que las placas sólidas son contiguas sin "cámaras de aire" entre ellas. Si las superficies sólidas se tocan entre sí sólo
en algunos puntos, la resistencia a la transmisión de calor aumenta considerablemente.
Paredes cilíndricus
compuestas
Deducir una fórmula para el coeficiente global de transmisión de calor para la pared cilíndrica compuesta del tubo que se muestra en la figura 10.6-2.
SOLUCIÓN
Al hacer un balance de energía sobre una envoltura de volumen 2 n d AY para la región 01 se
obtiene
Región 01:
qrl, 2mL
-
q,l,,A; 27dr
+ Ar)L = O
(10.6-17)
Figura 10.6-2 Conducción de calor a través
de un tubo laminado con un fluido a
temperatura T, en el interior del tubo Y
temperatura Tb en el exterior de éste.
910.6
Conducción de calor a través de paredes compuestas 361
que también puede escribirse como
Región 01:
(2mb,)lr - (2m4,)lr+~r = O
Al dividir entre 2 r L Ar y tomar el limite cuando Ar tiende a cero, se obtiene
Región 01:
d
- (rqr)= O
dr
(10.6-19)
AI integrar esta ecuación se obtiene
donde ro es el radio interno de la región 01 y qo es la densidad de flujo de calor ahí. En las regiones 12 y 23, rq, es igual a La misma constante. Cuando se aplica la ley de Fourier a las tres
regiones se obtiene
Región 01 :
Región 12:
dT
-koir- dr = roqo
dT
-k12r
;ir= TO9o
(10.6-21)
(10.6-22)
Región 23:
Si se supone que las conductividades térmicas en las tres regiones anulares son constantes,
entonces cada una de las tres ecuaciones anteriores puede integrarse a través de su regibn para obtener
Región 01:
Región 12:
Región 23:
En las dos interfases fluido-sólido podemos escribir la ley de enfriamiento de Newton:
Superficie O:
40
Ta-TO=h,
(10.627)
Superficie 3:
Al sumar las cinco ecuaciones precedentes, se obtiene una ecuación para T,- Tb. Entonces,
en esta ecuación se despeja qo para obtener
362
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
Ahora definimos un "coeficiente global de transmisión de calor basado e n la superficie inter.
na" U,por
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene, al generalizar a un sistema con n capas
anulares,
El subindice "O" en U. indica que el coeficiente globaI de transmisión de calor se refiere al
radio ro.
510.7 CONDUCCI~NDE CALOR EN UNA ALETA DE ENFRIAMIENTO'
Otra aplicación sencilla pero práctica de la conducción de calor es el cálculo de la
eficacia d e una aleta de enfriamiento. Estas aletas se usan para incrementar el área
disponible para transmisión d e calor entre paredes metálicas y fluidos que son
malos conductores, como los gases. En la figura 10.7-1 se muestra una aleta rectangular simple. La temperatura en la pared es T, y la temperatura ambiente del aire
es T,.
uSe Sabe que la temperatura
de la pared es T ,
'
Figura 10.7-1 Aleta de enfriamiento
sencilla con B << L y B << W .
Para más información sobre aletas, vkase M. Jakob, Heal Transfer,Vol. 1, Wiley, Nueva York (19491, capíhilo ll;
y H.D. Baehr y K. Stephan, Heat and Mass Transfer, Springer, B e r h (199% 52.2.3,
910.7 Conducción de calor en una aleta de enfriamiento 363
Una descripción razonablemente buena del sistema puede obtenerse aproximando la verdadera situación &ica por un modelo simplificado:
Situación verdadera
Modelo
y 2, pero la
dependencia respecto a z es la mhs importante.
2. Una pequeña cantidad de calor se pierde desde
la aleta en el extremo (de área 2BW) y en los
bordes [de área (2BL + 2BL)I.
3. El coeficiente de transmisión de calor es una
función de la posición.
1. T es una función de x, y
1. T es una funci6n exclusiva de z.
2. No se pierde calor desde el
extremo o desde los bordes.
3. La densidad de flujo de calor
en la superficie estA dada por
q, h(T - T,),donde h es
constante y T depende de z.
-
El balance de energía se hace sobre un segmento Az de la barra. Como la barra es estacionaria, en el vector de densidad de flujo de energía combinada e pueden eliminarse los términos que contienen a v, y la única contribuci6n a Ia densidad de flujo
de energía es q. Por tanto, el balance de energía es
Al dividir entre 2BW hz y tomar el llmite cuando Az tiende a cero, se obtiene
Ahora insertamos la ley de Fourier (q, = -kdT/dz), donde k es la conductividad térmica del metal. Si se supone que k es constante, entonces se obtiene
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite
enz = 0,
T = T,
Ahora introducimos las siguientes cantidades adimensionales:
O=
- Tg
Tw - Ta
z
= temperatura adimensional
r=-L
=
distancia adimensipnal
$ = - hL2
kB
=
coeficiente adimensionaf de transmisión de calo?
(10,7-6)
(10.7-8)
La cantidad N2 puede volver a escribirse como @
! = ( h L / k ) ( L / B ) = Bi(L/B), donde Bi se denomina númem de
Biot en honor de Jean Baptiste Biot (1774-1862). Biot h e profesor de física en el CoUPge de Francia; recibió la medalla
Rumford por el desarrollo de una sencilla prueba no destnictiva para determinar la concentración de azúcar.
B
364
CapituIo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo 1-
Entonces el problema asume la forma
La ecuación 10.7-9 puede integrarse para obtener funciones hiperbólicas (véanse la
ecuación C.14 y 5C.5). Una vez que se determinan las dos constantes de integración, se obtiene
O
=
cosh N[ - (tanh N) senh N J
(10.7-12)
Esta ecuación puede reordenarse para quedar como
C O S N(1~
5)
cosh N
Este resultado sólo es razonable si el calor que se pierde en el extremo y en los bordes es despreciable.
La "eficacia" de la superficie de una aleta se define3 como
7r=
velocidad real de pérdida de calor desde la aleta
velocidad de pérdida de calor desde una aleta isotérmica a T,
(10.7-14)
Para el problema que está considerándose aquí, 77 es entonces
o bien,
'q=-
1
cosh N
1
tanhN
(-Nsenh iV(l-n)lo=F
donde N es la cantidad adimensional definida en la ecuación 10.7-8.
Error en la mediciún
del temopar
En la figura 10.7-2se muestra un termopar en el interior de una poza cilíndrica que se i n w
duce en una corriente gaseosa. Estimar la temperatura verdadera de la corriente gaseosa si
TI = 500°F = temperatura indicada por el termopar
T , = 350°F = temperatura en la pared
h = 120 Btu/h - pie2 . F = coeficiente de transmisión de calor
k = 60 Btu/h . pie . F = conductividad térmica de la pared de la caña
B = 0.08 pulg = espesor de Ia pared de la poza
L = 0.2 pies = longitud de la poza
-
M. Jakob,Heat Transfer, Vol. 1, Wiley, Nueva York (1949),p. 235.
1
510.7 Conducción de calor en una aleta d e enfriamiento 365
Figura 10.7-2 Temopax en una poza
cilíndrica.
Pared del tu
+
-1
11 11
L
Los alambres del termopar
van al potencióm&
f--
Corriente de
gas a T,
Unión del 1
termopar a TI
La pared de la poza del termopar de espesor B estd en contacto con la corriente gaseosa sólo
en un lado, y el espesor del tubo es pequeño en comparación con su diámetro. Por tanto, la
distribución de temperatura a lo largo de esta pared es aproximadamente la misma que a lo
Iargo de una barra de espesor 2B, en contacto con la corriente gaseosa en ambos lados. Según
la ecuación 10.7-13, la temperatura en el extremo de la poza (la que registra el termopar) satisface
Por tanto, la verdadera temperahira ambiente del gas se obtiene al despejar T, en esta ecuación:
y el resultado es
Por tanto, la lectura es 10 "F más baja.
Este ejemplo se ha centrado en un tipo de error que puede ocurrir en termometría. A
menudo, para estimar los emres de medición puede usarse un análisis sencillo como el anterior4
Para un an6Lisis más detallado, véase M. Jakob,Heat Trnnsfer, Vol. 11, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 33,
pp. 147-201.
366 Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo lamina,
510.8 CONVECCI~N
FORZADA
Las secciones anteriores se han dedicado principalmente a la conducción de ca
sólidos. En esta sección, y en la siguiente, estudiaremos dos tipos límite de tr
te de calor en fluidos: convecciónforzada y convección libre (también denomin
vección natural). Las diferencias más importantes entre estos dos mecanismo
convección se muestran en la figura 10.8-1. La mayor parte de los problemas in
triales de transmisión de calor suelen plantearse en una u otra de estas dos cate
rías límite. No obstante, en algunos problemas ambos efectos deben tenerse
cuenta, y entonces se habla de conveccibn mixta (véase 914.6 para algunos e m p h
mos útiles en el manejo de esta situación).
En esta sección consideramos convección forzada en un tubo circular, un caso
mite tan sencillo que puede resolverse analíticamente.lt2Se supone que un fluido
cosa cuyas propiedades físicas ( p , k, p, ¿?P son constantes, está en flujo laminar en
tubo circular de radio R. Para z i
O la temperatura del fluido es uniforme a la t
peratura de entrada TI. Para z > O, en la pared hay una densidad de flujo de calor
dial constante 9, = -90. Una situación como ésta existe, por ejemplo, cuando un
está uniformemente bobinado con una resistencia de calefacción eléctrica, en
caso q,, es positiva. Si el tubo se enfría, entonces qo debe tomarse como negativa.
Como se indica en la figura 10.8-1, el primer paso para resolver un problema
transmisión de calor por convección forzada es calcular los perfiles de velocidad
Transmisión de calor
por convectión forzada
Transmisión de calor
por convección libre
El dar es arrastrado hacia la derecha El calor es transportado hacia arriba
por el aire caliente que asciende
por la comente forzada de alre
1.Los patrones del flujo son
determinados principalmente
por a l e fuerza externa
1. Los patrones del flujo con
determinados por la fuerza de
flotación sobre el fluido caliente
2. Primero se encuentran los perfiles 2. Los perfiles de velocidad y los
perfiles de temperatura san
de velocidad; luego éstos se usan
interdependientes
para d e t e m a r los perfiles de
temperatura (procedimientode
costumbre para flpidos con
propiedades físicas constantes)
3. E1 número de Nusselt depende
de los números de Reynolds y de
Prandtl (véase el capítula 14)
3. El númem de Nusselt depende
de los números de Grashof y de
Prmdtl (véase el capftuio14)
Figura 10.8-1 Comparación de convección forzada y convección libre en sistemas no isotérd
'A. Eagle y R.M.Ferguson, Pmc. Roy. Soc. (Londres), A127,54&566 (1930).
1
S. Goldstein, Modern Developnaents in Fluid DyMmics, Oxford University Pxess (193% Edición de Dover (19
VoI. 11, p. 622.
510.8 Convección forzada 367
el sistema. En 92.3 hemos visto cómo se hace esto para flujo en un tubo a1 usar el método de balances de envoltura. Sabemos que la distribución de velocidad así obtenida es v, = O, v e = O, y
Esta distribución parabólica es válida tan Iejos corriente abajo de la entrada, que se
ha excedido la longitud de entrada.
En este pprobIema, el calor se transmite en las direcciones Y y z. Por tanto, para el
balance de energía usamos un sistema "en forma de arandela", que se forma por la
intersección de una región anular de espesor Ar con una placa de espesor Az (véase
la figura 10.8-2). En este problema estamos tratando con un fluido que circula, y en
consecuencia se retienen todos los términos en el vector e. Las diversas contribuciones a la ecuación 10.1-1 son
Energía total de entrada en r
Energía total de saLida en r
+ Ar
Energía total de entrada en z
Energía total de salida en z
+ Az
Trabajo realizado sobre el fluido
por la gravedad
e,[, . 2 m A z
=
e,l,+ar. 2 d r
e,l,
( 2 w e r ) JAz
,
+ Arbz
2wAr
=
(10.8-2)
( ~ T Y ~ J ~ , , ~ , A z(10.8-3)
(10.8-4)
e,l,+A,. 2 m A r
pv&
.2mArAz
de entrada T,
Figura 10.8-2 Calentamiento de un fluido
e n flujo laminar a través de un tubo circular,
donde se muestra el anillo circular sobre el
cual se hace el balance d e energía.
368
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo l a m b ,
La última contribución es la velocidad a la que la gravedad realiza trabajo
fluido en el interior del anillo; es decir, la fuerza por unidad de volumen pg, m
cada por el volumen 2m Ar Az multiplicada por la velocidad hacia abajo del
El balance de energía se obtiene sumando estas contribuciones e igua
suma a cero. Luego se divide entre 2 7 Ar
~ Az para obtener
1
En el limite cuando Ar y Az tienden a cero, se encuentra
1a
--(re,)
r ar
de
az
pvzg = O
9
En g, se ha omitido el subíndice z, debido a que el vector de la gravedad actúa en la
dirección 4-2.
A continuación usamos las ecuaciones 9.8-6 y 9.8-8 a fin de anotar las expresi*
nes para las componentes r y z del vector de densidad de flujo de energía combinada, contando con que la única componente diferente de cero de v es la componente
axial u,:
A1 sustituir estas expresiones de densidad en la ecuación 10.8-8y contar con que v,
sólo depende de r, luego de reordenar, se obtiene
E1 segundo corchete es exactamente cero, como puede verse a partir de la ecuación
3.6-4, que es la componente zde la ecuación de movimiento para el flujo de Poiseujlle en un tubo circirlar (aquí 9 = p - pgz). E1 término que contiene a la viscosida
es el calentamiento viscoso, que despreciamos en este análisis. El último término e
el primer corchete, que corresponde a la conducción de calor en la dirección axial,
se omitirá debido a que por experiencia sabemos que suele ser pequeño en comp
ración con la convección de calor en la dirección axial. Por consiguiente, la ecuaci
que queremos resolver aquí es
!
$10.8 Convección forzada 369
Esta ecuación diferencial parcial, una vez que se resuelve, describe la temperatura
en el fluido como una función de r y z. Las condiciones límite son
C.L. 1:
en r = 0,
T = finita
C.L. 2:
en r = R,
k-
C.L. 3:
en z
T
= O,
dT
&
=
(10.8-13)
= q0 (constante)
(10.8-14)
TI
(10.%15)
Ahora escribimos en fonna adimensional el planteamiento del problema. La elección de las cantidades adimensionales es arbitraria. Elegimos
En términos generales, se intenta elegir cantidades adimensionales a fin de minimizar
el número de parámetros en el planteamiento final del problema. En este problema la
elección de 6 = r/R es natural, debido al aspecto de r/R en la ecuación diferencial.
La elección de Ia temperatura adimensional es sugerida por las condiaones limite s e
gunda y tercera. Una vez que se especifican estas dos variables adimensionales, la
elección de la coordenada axiaI adimensional se concluye en forma natural.
El planteamiento que resulta del problema, en forma adimensional, ahora es
con condiciones límite
en 6 = 0,
O
=
finita
La ecuación diferencial parcial en la ecuación 10.8-19 ya se ha resuelto para estas
condiciones límite: pero en esta sección no proporcionamos la solución completa.
Sin embargo, es instructivo obtener la solución asintótica de la ecuación 10.8-19
para 5 grande. Una vez que el fiuido está lo bastante lejos corriente abajo del inicio
de la sección caliente, se espera que la densidad de flujo de calor constante a través de
la pared resulte en una elevación de la temperatura del fluido que sea lineal en l.
Además, se espera que Ia forma de los perfiles de temperatura como una función de
[ en última instancia no experimente cambios adicionales con el incremento de 5
(véase la figura 10.8-3). Por tanto, para 5 grande parece razonable una solución de
la forma siguiente:
donde Co es una constante que se determinará dentro de poco.
R. Siegel, E.M.
Spmow y T.M. Hailman, Appl. Sci. Research, A7,386-392 (1958). Véanse el ejemplo 12.2-1para la
solución completa y el ejemplo 12.2-2 para la solución asintótica para Ipequeiía.
370 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
del tubo
L
A
Región de
z pequeña
La pendiente en r = R
es la misma que para toda
Regi6n de
z grande
La forma de los perfiles es
La misma: se desplazan hacia
arriba con z creciente
Figura 10.8-3 Diagrama que indica cómo se espera que se vea la temperatura T(r, z) para el
sistema que se muestra en la figura 10.8-2 cuando el fluido se calienta por medio de una
resistencia de calentamiento eléctrica, uniformemente bobinada alrededor del tubo
(compondiente a % positiva).
Resulta evidente que la función d e la ecuación 10.8-23n o es la soIuci6n comple
ta del problema; permite que la ecuación diferencial y las condiciones límite 1 y 2 se
cumplan, pero claramente n o satisface la condición limite 3. Por tanto, sustituimos
esta úItima por u n a condición integral (véase la figura 10.8-4),
Plano en una posición
arbitraiia t corriente abaio
Temperatura
uniforme T i
Por aquí no entra energía,
ya que se eligió que la
temperatura dada sea TI
La entrada de
calor por la
resistencia de
La energía que sale por aquí es
calefacción
eléchica es
2lrR'-qo
Figura 10.8-4 Balance de energía usado para la condición límite 4 dada en la ecuación 10.8-24.
910.8 Convecci6n forzada 371
2m
Condición 4:
2w&%
=
R
p e p (-~Tl)uzrdr de
(10.824)
o bien, en forma adimensional,
Esta condición establece que la energía que entra a través de las paredes a lo laigo
de una distancia 5 es la misma que la diferencia entre la energía que sale a través de
la sección transversal en 5 y la que entra en 5 = 0.
Al sustituir la función postulada de la ecuación 10.8-23 en la ecuación 10.8-19, se
obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para (véase la ecuación C.l-11):
Esta ecuación puede intqrarse dos veces respecto a ( y el resultado sustituirse en la
ecuación 10.8-23 para obtener
Las tres constantes se determinan a partir de las condiciones 1, 2 y 4 anteriores:
C.L. 1:
C.L. 2:
Condición 4:
Por ultimo, al sustituir estos valores en la ecuación 10.8-27 se obtiene
Este resultado proporciona la temperatura adimensional como una función de las
coordenadas adimensionales radial y axial. Es exacto en el límite cuando 5 + m; para 5 > 0.1, pronostica el valor local de O dentro de un margen aproximado de 2%.
Una vez que se conoce la distribución de temperatura, es posible obtener varias
cantidades derivadas. Hay dos tipos d e temperaturas medias que suelen usarse en
relación con ei flujo de fluidos con p y Cp constantes:
372 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
( v z ~)
Tb=--
(u,>
CTIOR
vZ(r)T(r,z)r dr d e
1;- IOR.).(.v
= TI
+ (4okqoR
(10.8-
dr d o
1
Ambos promedios son funciones de z. La cantidad (T) es la media aritmética de las
temperaturas sobre la sección transversal en z. La "temperatura global" Tbes la tem.
peratura que se obtendría si el tubo se cortara en z y se recogiera en un recipiente
fluido que sale, mezclándolo totalmente. Algunas veces esta temperatura media se
denomina "temperatura de mezcla en taza" o "temperatura media de flujo".
A continuación evaluamos la fuerza impulsora local de transmisión de calor,,
To - Tb,que es la diferencia entre las temperaturas de la pared y global a una distancia z del tubo:
donde D es el diámetro del tubo. Ahora deseamos reordenar este resultado en la for
ma de una densidad de flujo adimensional de calor en la pared
i
que, en el capítulo 14, se identificará como un núnrero de Nusselt.
Antes de terminar esta sección, señalamos que la coordenada axial adimensie
nal 5 que acaba de introducirse puede volver a escribirse como sigue:
Aquí D es el diámetro del tubo, Re es el número de Reynolds que se usó en la par
te 1, y Pr y Pé son Ios números de Prandtl y Péclet que se introdujeron en el capítu
lo 9. En el capitulo 11 encontraremos que puede esperarse que los números d
Randtl y Péclet aparezcan en problemas de convección forzada. Esta cuestión se
reforzada en el capítulo 14 en relación con correlaciones para coeficientes de tra
misión de calor.
910.9 CONVECCIÓN LIBRE
En 510.8 proporcionamos un ejemplo de convección forzada. En esta sección d
rnos nuestra atención a un problema elemental de convección libre; a saber, el
entre dos paredes paralelas que se mantienen a diferentes temperaturas (véase
gura 10.9-1).
Un fluido de densidad p y viscosidad p está situado entre dos paredes v
separadas entre sí por una distancia 2B. La pared caliente en y = -B se ma
Ia temperatura T2, y la pared fría en y = + B se mantiene a la temperatura TI.
pone que la diferencia de temperatura es tan pequeña que pueden despreciam
términos que contienen a (AT)2.
I
510.9
Distribución de
Convección Iibre
373
Figura 10.9-1 Rujo laminar por convección
libre entre dos láminas verticales a distinta
temperatura. La velocidad es una función
cúbica de la coordenada y.
Distribución de
Debido al gradiente de temperatura en el sistema, el fluido próximo a la pared
caliente sube y el que está cerca de la pared fría desciende. El sistema está cerrado
en la parte superior y en el fondo, de modo que el fluido está en circulación continua entre las láminas. La velocidad de flujo rnásico del fluido en la corriente ascendente es la misma que la de la corriente descendente. Se supone que las láminas son
muy altas, de modo que es posibIe omitir los efectos cerca de la parte superior y del
fondo. Así, para todos los propósitos prácticos, la temperatura es una función exclusiva de y.
Ahora es posible hacer un balance de energía sobre una placa delgada de fluido
de espesor Ay, usando la componente y del vector de densidad de flujo de energía
combinada e dado en la ecuación 9.8-6. El término que contiene la energía cinética
y la entalpía puede eliminarse, debido a que la componente y del vector v es cero. La
componente y del término [T VI es 'ry,vz = -p(dv,/dy)v,, que llevaría a la contribución de calentamiento viscoso que se analizó en s10.4. Sin embargo, en Ios fluidos
muy lentos que se encuentran en convección libre, este término puede ser extremadamente pequeño, por lo que puede despreciarse. Entonces, el balance de energía
conduce a la ecuación
para k constante. La ecuación para la temperatura debe resolverse con las condiciones límite:
eny = -R,
eny=+B,
T = T2
T=T1
La solución de este problema es
donde AT = T 2 - TI es la diferencia de las temperaturas en la pared, yT = $(TI + T2)
es su media aritmética.
374
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
A1 hacer un baIance de cantidad de movimiento sobre la misma placa de espesor Ay, se llega a una ecuación diferencial para la distribución de velocidad
Aquí se supone que la viscosidad es constante (véase el problema 108.11 para una
solución con viscosidad dependiente de la temperatura).
El fenómeno de la convección libre resulta del hecho de que cuando el fluido se
calienta, la densidad (en general) disminuye y el fluido asciende. La descripción mtemática del sistema debe considerar esta característica esencial del fenómeno. Debido a que en este problema la diferencia de temperatura AT = T2- TI se considera
pequeña, puede esperarse que los cambios de densidad en el sistema sean peque
ños. Esto sugiere que es necesario expandir p en una serie de Taylor alrededor de la
temperatura T = +(TI+ Tz);así,
Aquí jy 3 son la densidad y el coeficiente de expansión en volumen evaluados a la
temperatura T, El coeficiente de expansión en volumen se define como
Ahora introducimos la ecuación de estado "hecha por Taylor" de la ecuación 10.9-6
(manteniendo sólo dos términos) en la ecuación de movimiento en la ecuación
10.9-5 para obtener
Esta ecuación describe el balance entre la fuerza viscosa, de presión, la fuerza de
gravedad y la fuerza de flotación -@$(T - T ) (todas por unidad de volumen). Ahora, en esta expresión sustituimos la distribución de temperatura dada en la ecuación
10.9-4 para obtener la ecuación diferencial
que debe resolverse con las condiciones límite
510.9 Conveccidn libre 375
La solución es
Ahora requerimos que el flujo neto de masa en la dirección z sea cero; es decir,
Al sustituir u, de la ecuación 10.9-12 y p de las ecuaciones 10.94 y 10.9-4 en esta integraI, se llega a la conclusión de que
cuando se desprecian los términos que contienen el cuadrado de la pequeña cantidad
AT. La ecuación 10.9-14 establece que el gradiente de presión en el sistema se debe
sólo al peso del fluido, y así prevalece la distribución de presión hidmstática de costumbre. Por tanto, se elimina el segundo tbrmino del miembro derecho de la ecuación 10.9-12 y la expresión final para la distribución de velocidad es
La velocidad media en la corriente ascendente es
Así, el movimiento del fluido es un resultado directo del término de la fuerza de
flotación en la ecuación 10.9-8, asociado con el gradiente de temperatura en el sistema. La distribución de velocidad de la ecuación 10.9-15 se muestra en la figura 10.9-1.
Este tipo de distribución de velocidad es el que ocurre en el espacio de aire que hay
en una ventana de dos hojas de vidrio o en muros de dos paneles en edificios. También este tipo de flujo es el que ocurre en la operación de una columna de ClusiusDickel usada para separar isótopos o mezclas de líquidos orghicos por los efectos
combinados de la difusión térmica y la convección libre.'
La distribución de velocidad en la ecuación 10.9-15 puede volver a escribirse
usando una velocidad adimensional Gz = Bv,P/p y una coordenada adirnensional
ij = y/B; así,
La difusión tOnnica es la difusión que resulta de un gradiente de temperatura. Para un anáiisis daro de la
columna de ClusiusDickel, v k K.E. Grew y T.L. lbbs Thermnl W s i o n in &ses. Cambridge Univwity Press
(1952), pp. 94106.
376 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Aquí Gr es el número adimensional de GrashoJ2 definido por
donde Ap = pl - p2. La segunda forma del número de Grashof se obtiene a partir de
la primera forma usando la ecuación 10.9-6. El número de Grashof es el grupo característico que ocurre en análisis de convección libre, como se muestra en el análisis dimensional del capítulo 11. Éste surge en correlaciones del coeficiente de
transmisión de calor en el capítulo 14.
Verificar que los números de Brinkman, Biot, Prandtl y Grashof son adimensionales.
¿Qué problema en circuitos eléctricos es análogo a la suma de resistencias térmicas?
¿Cuál es el coeficiente de expansión en volumen de un gas ideal? ¿Cuál es la expresión correspondiente para el número de Grashof?
¿Cuáles podrían ser algunas consecuencias de los grandes gradientes de temperatura producidos por calentamiento viscoso en viscometría, lubricación y extrusión de plásticos?
En s10.8,¿habría alguna ventaja en elegir la temperatura y la coordenada axial adimensionales como O = (T - T,)/Tl y 5 = z / R , respectivamente?
¿Qué ocurriría en s10.9 si el fluido fuese agua y fuese 4 "C?
¿Hay alguna ventaja en resolver la ecuación 10.7-9 en términos de funciones hiperbúlicas en
vez de funciones exponenciales?
Al pasar de la ecuación 10.8-11a la ecuación 10.8-12, el término de conducción axial se despreció respecto al término de convección axial. Para justificar esto, sustituya algunos valores
numéricos razonables a fin de estimar los tamaños relativos de los términos.
¿Qué tan serio es despreciar la dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura al
resolver problemas de convección forzada? ¿Y problemas d e calentamiento por disipación
viscosa?
Los perfiles de temperatura en estado estacionario de un sistema laminado se ven como sigue:
Distancia
---
¿Qué material tiene la conductividad térmica más alta?
11. Demostrar que la ecuación 10.6-4 puede obtenerse directamente al volver a escribir la ecuacidn 10.6-1 con x Ax reemplazado por xo De manera semejante, la ecuación 10.6-20 se ob
tiene a partir de la ecuación 10.6-17 al sustituir r Ar por r,.
+
-
+
-
-
-
-
Así denominado en honor de Franz Grashof (1826-1893).Grashof fue profesor d e mednica aplicada en
Karlsruhe y uno de los fundadores del Verein Deutscher Ingenieure en 1856.
1
Problemas
377
IOA..~ Pérdida de calor desde un tubo aislado. Un tubo de acero cédula 40, de 2 pulg de diámetro
(diámetro interno 2.067 pulg y espesor de la pared 0.154 pulg) que conduce vapor de agua,
se aísla con una capa de magnesia (85%)de 2 pulg de espesor sobre la cual hay un revestimiento de corcho de 2 pulg de espesor. Calcular la pérdida de calor por hora por pie de tubo
si la superficie interna de éste está a 250 "F y la superficie externa del corcho está a 90 "F. Las
conductividades t6rmicas (en Btu/h pie F) de las sustancias que intervienen son: acero,
26.1; magnesia (85%), 0.04; corcho, 0.03.
-
Respuesta: 24 B h / h . pie
10A.2
Pérdida de calor desde una aleta rectangular- Calcular la pérdida de calor desde una aleta
redangular (véase la figura 10.7-1) para las siguientes condiciones:
Temperatura del aire
Temperatura de la pared
Conductividad térmica de la aleta
Conductividad térmica del aire
Coeficiente de transmisión de calor
Longitud de la aleta
Ancho de la aleta
Espesor de la aleta
350 OF
500 "F
60 Btu/h. pie F
0.0022 Btu/h pie . F
120 Btu/h. pieZ. F
0.2 pies
1.0 pie
0.16 pulg
Respuesta: 2074 Btu/h
10A.3 Temperatura máxima en un lubricante. Un aceite actúa como lubricante de un par de superficies ciündricas como las que se muestran en la figura 10.41. La velocidad angular del cilindro exterior es 7908 rpm. El cilindro exterior tiene un radio de 5.06 cm,y el espacio entre los
dos cilindros es 0.027 cm. ¿Cuál es la temperatura máxima en el aceite si se sabe que la temperatura de ambas paredes es de 158 OF? Se supone que las propiedades físicas del aceite son
constantes a los valores siguientes:
Viscosidad
Densidad
Conductividad térmica
92.3 cp
1.22 g/cm3
0.0055 cal/s cm - C
Respuesta: 174 "F
10A.4
Capacidad de un alambre para conducir corriente eléctrica. Un alambre de cobre de 0.040
pulg de diámetro está uniformemente aislado con material plástico de forma que el diámetro
exterior de éste es de 0.12 pulg. El alambre se expone a un entorno que está a 100 O F . El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie externa del plástico hacia el entorno es 1.5
Bhi/h pie2. F.¿Cuál es la comente estacionaria máxima, en amperes, que el alambre puede
conducir sin que ninguna parte de plástico se caiiente por arriba de su límite de operación
de 200 'E? Puede suponerse que las conductividades térmica y eléctrica son constantes para
los valores que se proporcionan a continuación:
k (Btu/h . pie . F)
k, (ohm-' cm-])
220
0.20
5.1 x 16
Cobre
PI~S~~CO
0.0
Respuesta: 13.4 amp
1DA.5
Velocidad de convección libre.
a) Verificar la expresión para la velocidad media en la corriente con movimiento ascendente
en la ecuación 10.9-16.
b) Evaluar P para las condiciones que se proporcionan más adelante.
378
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo lamXnar
c) ¿Cuál es la velocidad media en la corriente con movimiento ascendente en el sistema de
d t o en la figura 10.9-1 para aire que fluye en estas condiciones?
Presión
Temperatura de la pared caliente
Temperatura de la pared fría
Separación entre las paredes
l atm
1O0 "C
20 O C
0.6 cm
Respuesta: 2.3 cm/s
10A.6
Potencia aislante de una pared (figura 10A.6). La "potencia aislante" de una pared puede
medirse por medio del arreglo que se muestra en la figura. Se coloca un panel de plástico contra la pared. En el panel se montan dos termopares al ras con las superficies del panel. $
conocen la conductividad térmica y el espesor del panel de plástico. A partir de las kmpera.
turas medidas en estado estacionario que se muestran en la figura, calcular:
a) La densidad de flujo de calor en estado estacionario a través de la pared (y el panel).
,
I
b) La "resistencia térmica" (espesor de la pared dividido entre Ia conductividad térmica).
Respuestas: a) 14.3 Btu/h .
10A.7
bf 4.2 pie2. h F/Btu
Calentamiento viscoso en un bolígrafo. Se pide al lector decidir si la disminuci6n aparente
en la viscosidad de la tinta de un bolígrafo al escribir resulta del "adelgazamiento cortante";
(disminución en la viscosidad debido a efectos no newtonianos) o al "adelgazamiento po;
temperatura" (disminución en la viscosidad debido a la elevación de la temperatura provq
cado por el calentamiento viscoso). Si la elevación de la temperatura es menor que 1 K, en;
tonces el "adelgazamiento por temperatura" no es importante. Calcular la elevaci6n de la('
temperatura usando la ecuación 10.4-9 y los siguientes datos estimados:
I
Espacio libre entre la esfera y la cavidad en que está sujeta
Diámetro de la esfera
Viscosidad de la tinta
Velocidad al escribir
Conductividad térmica de la tinta (estimación aproximada)
IOA.8
5x
pulg
1 mm
10“ cp
100 pulg/min
5x
cal/s . cm . C
1
Elevación de la temperatura en un alambre eléctrico,
a) Un alambre de cobre, de 5 rnrn de diámetro y 15 pies de longitud, tiene una caída de vol:
taje de 0.6 volts. Encontrar la temperatura máxima en el alambre si la temperatura ambienq
del aire es de 25 OC y el coeficiente de transmisión de calor h es 5.7 Btu/h . pie2 . h F.
b) Comparar las caídas de temperatura a través del alambre y el aire circundante.
/T2
1
= 61 "F Temperaturas superficiales
,
T~ = 69
OF
del panel de plástico
El panel de plástico tiene
una conductividad térmica
k = 0.075 Btu/h.pie - "F
(valor medio entre TIy T2)
Figura IOA.6 Determinación de la resistencia térmica de una pared.
I
Problemas 379
10b.1
Conducción de calor desde una esfera hacia un fluido estancado. Una esfera caliente de radio R está suspendida en un gran cuerpo de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de caIor en el fluido que rodea la esfera en ausencia de convección.
a) Establecer la ecuación diferencial que describe la temperatura T del fluido circundante como una función de Y, la distancia desde el centro de la esfera. Se considera que la conductividad térmica k del fluido es constante.
b) Integrar la ecuación diferencial y usar las siguientes condiciones límite a fin de determinar las constantes de integración: para r = R, T = TR;y para r = =, T = T-.
C) A partir del perfil de temperatura, obtener una expresión para la densidad de flujo de calor en la superficie. Igualar este resultado con la densidad de flujo de calor proporcionada por
Ia "ley de enfriamiento de Newton" y demostrar que un coeficiente adimensional de transmisión de calor (conocido como el número de Nusselt) está dado por
donde D es el diámetro de la esfera. Este resultado bastante conocido proporciona el valor 1imite de Nu para la transmisión de calor desde esferas a bajos números de Reynolds y de
Grashof (véase 514.4).
d) ¿En qué aspecto difieren los números de Biot y de Nusselt?
10B.2
Calentamiento viscoso en flujo en una rendija. Encontrar el perfil de temperatura para el
problema de calentamierito viscoso que se muestra en la figura 10.4-2, cuando se proporcionan las siguientes condiciones límite: para x = O, T = T,,;para x = b, qx = 0.
106.3
Conducción de calor en el montaje de una barra de combustible nuclear (figura 10B.3).
Considerar una larga barra cilíndrica de combustible nuclear que está recubierta por una
capa anular de un revestimiento de aluminio. En el interior de la barra de combustible se
Revestimiento
Figura 10B.3 Distribución de temperatura en un
montaje cilíndrico de una barra de combustible.
380 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
produce calor por fisión; esta fuente de calor depende de la posición aproximadamente según la relación
Aquí S,, y b son constantes conocidas, y r es la coordenada radial medida desde el eje de
la barra de combustible cilíndrica. Calcular la temperatura máxima en la barra de combus.
tible si la superficie externa del revestimiento está en contacto con un líquido refrigerante
a temperatura TL.El coeficiente de transmisión de calor en la interfase revestimiento-reffigerante es hL,y las conductividades térmicas de la barra de combustible y el revestimiento
son kF y kc.
Respuesta: TF,mk - T'' =
108.4
Conducción de calor en tubos concéntricos (figura 108.4).
a) A través de una pared anular de radio interno ro y radio externo rl fluye calor. La conductividad térmica varía Iinealmente con la temperatura desde ko a la temperatura T, hasta kl a
la temperatura TI. Deducir una expresión para el flujo de calor a través d e la pared.
b) Demostrar cómo la expresión del inciso a) puede simplificarse cuando (rl - ro)/roes muy
pequeño. Interpretar físicamente el resultado.
103.5
Generación de calor viscoso en un polimero fundido. Volver a trabajar el problema que se
analizó en s10.4 para un polímero fundido, cuya viscosidad puede describirse adecuadamente por el modelo de Ia ley d e potencias (vease capítuIo 8). Demostrar que la distribución de
temperatura es la misma que en la ecuación 10.4-9 pero con el número de Brinkman sustituido por
1
Figura 10B.4 Perfil de tempeAtura en una pared anular.
Problemas 381
Chapa de acero
10B.6
Figura 108.6 Pared compuesta de un horno.
\
Espesor del aislamiento para la pared de un horno (figura 10B.6).La pared de un horno consta de tres capas: i) una capa de ladrillo resistente al calor o refractario, ii) una capa de ladriIlo
aislante, y iii) una chapa de acero, de 0.25 pulg de espesor, para protección mecánica. Calcular el espesor de cada capa de ladrillo a fin de obtener el espesor mínimo total de la pared si
la pérdida de calor a través de ésta debe ser 5000 ~ t u / ~ i e h,
' . suponiendo que las capas están en excelente contacto térmico. Se cuenta con la siguiente información:
Máxima
temperatura
permisible
Material
Ladrillo refractario
Ladrillo aislante
Acero
Conductividad térmica
Btu/h - pie , F
a 100 "F
a 2000 "F
2600 "F
2000 "F
1.8
0.9
26.1
-
3.6
1.8
-
Respuesta: Iadriílo refractario, 0.39 pies; ladrillo aislante, 0.51 pies.
108.7
Transmisión de calor por convección forzada en flujo entre placas paralelas (figura 10B.7).
Un fluido viscoso con propiedades físicas independientes de la temperatura está en flujo
laminar totalmente desarrollado entre dos superficies planas separadas por una distancia
2B. Para z < O la temperatura del fluido es uniforme en T = TI. Para z > O, se agrega calor a
una densidad de flujo constante qo en ambas paredes. Encontrar la distribución de temperatura T(x, z) para z grande.
a) Hacer un balance de energía en la envoltura a fin d e obtener la ecuación diferencial. para
T ( x , z). Después, eliminar el término de disipación viscosa y el termino de la conducción axial
de calor.
Ruja totalmente
desarrollado en
la rendija en
z = 0; la
temperatura de
entrada es T I
~
S=-B
X = + B
i
~
~ Figura
~ i 10B.7
ó ~ Flujo laminar
incompresible entre dos placas paralelas,
que se calientan por una densidad de flujo
de calor qo uniforme en la pared
empezando en z = 0.
382 CapítuIo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
b) Replantear el problema en términos de las cantidades adimensionales
o=-T-TI
%B/k
c)
10B.8
x
u=-
S=
B
kz
A
P c ~ ~ ~ , ~ , B ~
Obtener la solución asintótica para z grande:
Calentamiento eléctrico de un tubo (figura 10B.8). En la manufactura de tubos de acero
cubiertos de vidrio, es práctica común calentar primero el tubo hasta el intervalo de hsión
de¡ vidrio y luego hacer entrar en contacto la superficie caliente del tubo con gránulos de vi.
drio. Estos grfinulos se funden y humedecen la superficie del tubo, formando un recubrirnien.
to no poroso bastante adherente. En un método de precaIentamiento del tubo, a lo largo de
éste se hace pasar una corriente eléctrica, con el resultado de que se calienta el tubo (como en
510.2). Para los objetivos de este problema, hacer las siguientes suposiciones:
i) La conductividad eléctrica del tubo k, es constante sobre el intervalo de temperaturas de
interés. Entonces, la velocidad local de producción de calor eléctrico S, es uniforme en
toda la pared del tubo.
ii) Las partes superior e inferior del bbo se tapan, de forma que las pérdidas por calor a havés de ellas son despreciables.
iii) La pérdida de calor desde la superficie externa del tubo hacia el entorno está dada por
la ley de enfriamiento de Newton: q, .- k(T, - T,). Aquí, h es un coeficiente de transmisión de calor idóneo.
¿Cuánta potencia eléctrica se requiere para mantener la superficie interna del tubo a alguna
temperatura deseada, T , si se conocen k, T,, h y las dimensiones del tubo?
~ ~ R ~ ( I - K ~-T,)
) L ( ~
Respuesta: P =
2h
4k
-
del aire T,
Figura 10B.8 Calentamiento
eléctrico de un hbo.
Problemas 383
10B.9
Flujo tapón con transmisión de calor por convección fonada Algunas veces las lechadas
muy espesas y las pastas se mueven en canales casi como un tap6n sólido. Así, es posible
aproximar la velocidad por un valor constante vo sobre la sección transversal del conducto.
a) Volver a trabajar el problema de 510.8 para flujo tapón en un tubo circular de radio R. Demostrar que la distribución de temperatura análoga a la ecuación 10.8-31 es
donde f
=~
z / @ ~ v y~ eR y~f, se definen como en 810.8.
b) Demostrar que para flujo tapón en una rendija plana de ancho 2B la distribución de temperatura análoga a la ecuación 108.74 es
donde 6 = kz/gP@
y ',y o se definen como en el problema 1087.
10B.10 Convección libre en tubos conc4ntncos de altura finita (figura10B.10). Un fluido esta contenido en un espacio anular vertical cerrado por arriba y por abajo. La pared interior de radio KR se mantiene a la temperatura T, y la pared exterior de radio R se mantiene a la
temperatura T I . Usar las suposiciones y el método de 510.9 para obtener la distribución de
velocidad producida por convección libre.
a) Primero deduzca la distribución de temperatura
donde 5 = r/R.
b) Luego, demuestre que la ecuación de movimiento es
dondeA = ( R 2 / p ) @ p / d z f plg) y B = ( ( p l g / 3 , A T ) R 2 / In
~ K ) , con AT = TI - T,.
Figura 10.8-10 Pahón de convección libre en un
espacio anular con TI > T,.
384
Capítulo 10 Balances de energia en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
c) Integre la ecuación de inovimiento (véase la ecuación C.l-11) y aplique las condicionesh.
mite para evaluar las constantes de integración. Luego demuestre que A puede evaluarse pol
el requerimiento de que a través de cuaIquier plano z = constante, no haya flujo de masa neto, con el resultado final de que
10B.11 Convección libre con viscosidad dependiente de la temperatura. Volver a trabajar el probl&
ma en 510.9, teniendo en cuenta la variación de la viscosidad con la temperatura. Cupóngas
que la "fluidez" (e1 recíproco de la viscosidad) es la siguiente función lineal de la temperab
1 1
-=-[~+%<T-T>]
P P
(1 08.11-1
Usar las cantidades y, v, y Gr definidas en 510.9 (pero con I*. en lugar de p) L)ademas
a fin de demostrar que la ecuación diferencial para la distribución de velocidad es
i
Seguir el procedimiento de 510.9, eliminando los términos que contengan la tercera poten
y potencias superiores d e AT. Demostrar que lo anterior lleva a P = -&GrbT + &GrblLy
nalmente a:
v, = +Gr(y3 - y) -
-
1) - &Grbp(y2- 1)(5j2- 1)
Dibujar el resultado para mostrar cómo se sesga e1 perfil de velocidad debido a la viscosid
dependiente de la temperatura.
108.12 Conducción de calor con conductividad térmica dependiente de la temperatura (fi
10B.12).Las superficies curvas y las superficies extremas (ambas sombreadas en la figura
sólido en forma de envoltura semicilíndrica están aisladas. La superficie 0 = O, de área (y2 - r
se mantiene a la temperatura To, y la superficie en 0 = T,también de área (Y, - r,}L, se m
tiene a la temperatura T,
La conductividad térmica de1 solido varía linealmente con la temperatura desde ko
T = To hasta k , en T = Tv.
a) Encontrar la distribución de temperatura en estado estacionario.
b) Encontrar el flujo total de calor a través de la superficie en B = 0.
Problemas 385
superficie
a TT
i
rz rl
Superficie a To
Figura 103.12 Conducción tangencia1 de calor en una envoltura anular.
103.13 Flujo en un reactor con fuente que depende exponencialmente de la temperatura. Plantear
la función F(@)de la ecuaci6n 10.5-7 para una reacción de orden cero con la dependencia respecto a la temperatura
donde K y E son constantes y R es la constante del gas. Luego, insertar F(O) en las ecuaciones 10.5-15a 10.5-20 y resolver para el perfil adimensional de temperatura, despreciando k,,ef.
10B.14 Pbrdida por evaporación desde un tanque de oxígeno.
a) Algunas veces, gases licuados se almacenan en recipientes esféricos bien aislados abiertos
a la atmósfera. Deducir una expresión para la velocidad de transmisión de calor en estado estacionario a traves de las paredes de este recipiente, donde los radios de las paredes interior
y exterior son rg y rl, y las temperaturas de las paredes interior y exterior son To y TI, respectivamente. La conductividad térmica del aislamiento varía linealmente con la temperatura
desde ko a T, hasta kl a TI.
b) Estimar la velocidad de evaporación del oxígeno líquido desde un recipiente esférico de
6 pies de diámetro interno cubierto por una envoltura anular al vacío de 1pie de espesor Ilena de un aislante granda*. Se cuenta con la siguiente información:
Temperatura en la superficie interna del forro aislante
Temperatura en la superficie externa del forro aislante
Punto de ebullición del O2
Calor de vaporización del O,
Conductividad térmica del forro aislante externo a O "C
Conductividad térmica del forro aislante interno a -183 "C
-183 "C
0 "C
1 8 3 "C
1636 cal/g-m01
9.0 X loL4Btu/h . pie - F
7.2 X lop4Btu/h . pie . F
Respuestas: a) Qo = 4m0rl
10B.15 Gradientes radiales de temperatura en un reactor químico anular. Una reacción catalítica se
realiza a presión constante en un lecho de relleno comprendido entre dos paredes cilíndricas
coaxiales de radio interior ro y radio exterior rl. Esta configuración ocurre cuando las tempe-
raturas se miden con una poza terrnom6trica centrada que además resulta útil para controlar
los gradientes de temperatura si se utiliza un anillo delgado. Toda la pared interior está a una
temperatura uniforme To, y puede suponerse que a través de esta superficie no hay transmisión de calor. La reacción libera calor a una velocidad volumétrica uniforme S, en todo el reactor. La conductividad térmica efectiva del contenido del reactor debe tratarse como constante
en todas partes.
386
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
a) Mediante un balance en la envoltura de energía, deducir una ecuación diferencial de
gundo orden que describa los perfiles de temperatura, suponiendo que pueden despreciarse
los gradientes d e temperatura en Ia dirección axial. ¿Qué condiciones límite deben usarse?
b) Volver a escribir la ecuación diferencial y las condiciones iímite en términos de la cooda
nada radial y la temperatura adimensionales definidas como
Explicar por qué es lógico elegir estas variables adimensionales.
Integrar la ecuación diferencial adimensional para obtener el perfil de temperatura radial
¿Qué problema de flujo viscoso es análogo a este problema de conducción del calor?
C)
d) Deducir expresiones para la temperatura en la pared exterior y para la temperatura volumétrica media del lecho del catalizador.
e) Calcular la temperatura en la pared exterior cuando r,,
0.3 Btu/h . pie F, To = 900 "F y S, = 4800 cal/h cm3.
= 0.45 pulg, r, = 0.50
pulg, kd =
f) ¿Cómo se afectarían los resultados del inciso e) si se duplicasen los radios interior y exte
rior?
Respuesta: e) 888 "F
103.16 Distribución de la temperahira en un anemómetro de alambre caliente. Esencialmente, un
anemómetro de alambre caliente es un alambre delgado, generalmente de platino, que se ca-
lienta eléctncamente y se expone a un fluido en circulación. Su temperatura, que es una función de la temperatura y velocidad del fluido, así como de la velocidad de calentamiento,
puede determinarse midiendo su resistencia eléctrica. Se utiliza para medir velocidades y
fluctuaciones de velocidad en sistemas de flujo. En este problema analizamos la distribución
de temperatura en el alambre.
Consideramos un alambre de diametro D y longitud 2L sujeto en sus extremos (z = -L
y z = +L)y que está montado perpendicularmente a una corriente de aire. Por el alambre cir.
cula una corriente eléctrica de densidad 1 amp/cm2, y el calor así generado se pierde parcialmente por convección hacia la corriente de aire (véase Ia ecuación 10.1-2) y parcialmente por
conducción hacia los extremos del alambre. Debido a su tamaño y sus elevadas condudividades eléctrica y térmica, los soportes no se calientan notoriamente con la comente, sino que
permanecen a la temperatura TL, que es la misma de la corriente de aire que se aproxima. 9
desprecia la pérdida de calor por radiación.
a) Deducir una ecuación para la distribución de temperatura en estado estacionario en d
alambre, suponiendo que T depende exclusivamente de z; es decir, se desprecia la variaciórl
radial de la temperatura en el alambre. Además, supóngase que las conductividades eléctrica y térmica en el alambre son uniformes, y que el coeficiente de transmisión de calor del
alambre a la corriente de aire es uniforme.
b) Dibujar el perfil de temperatura obtenido en el inciso a).
Calcular la corriente, en amperes, necesaria para calentar un alambre de platino a una te
peratura de punto medio de 50 "C en las siguientes condiciones:
C)
D = 0.127 mm
h = 100 Btu/h. pie2. F
k = 40.2 Btu/h . pie . F
L = 0.5 cm
k,
TL= 20 OC
Respuestos: a) T - TL =
=
1.00 x lo5 ohrn-l cm-l
1
Problemas 387
10B,17 Flujo no newtoniano con transmisión de calor por convección fonada.' Para estimar el efecto de la viscosidad no newtoniana sobre la transmisión de calor en canales, el modelo de la
ley de potencias del capítulo 8 proporciona perfiles de velocidad que muestran bastante bien
la desviación respecto a la forma parabólica.
a) Volver a trabajar el problema de $10.8 (transmisión de calor en un tubo circular) para el modelo de la ley de potencias proporcionado en las ecuaciones 8.3-2 y 8.3-3. Demostrar que el
perfil final de temperatura es
donde s = 1 /n.
b) Volver a trabajar el problema 108.7 (transmisión de calor en una rendija phna) para el modelo de la ley de potencias. Obtener el perfil adimensional de temperatura:
Nótese que estos resultados contienen los resultados newtonianos (S = 1) y los resultados del
fiujo tapón (S = -1. Véase el problema 10D.2 para una generalización de este método.
108.18 Perfiles de temperatura en un reactor con densidad de flujo axia12 (figura 100.18).
Demostrar que para una fuente de calor que depende linealmente de la temperatura, las
ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 tienen las soluciones (para m, Z m-)
a)
o l = l +m+m-(expm, -2 expm-) exp[(m++ m- )z]
m+exp m+ - m- exp m-
@il =
m+(expm+)(expm-Z)- m-(expm-)(expm+Z) (m+ + m-)
2
m+
expm, -m_2 expm-
@111 =
2
2
m+
- mexp(m++ m-)
m: expm+- m-2 expm-
Aquí m + = +B(l 2 d1 - (4N/B), donde B = m I . / K ~ , , , . En la figura 10H.18 se muestran alO. p
gunos perfiles calculados a partir de estas ecuaciones.
' R.B. Bird, Chem.-lng. Technik, 31,569-572 (1959).
Tomado de los resultados correspondientes de G. Damkohler, 2. Elcktwhem., 43.1-8,9-13 (1937), y J.F.Wehner
y R.H. Wilhelrn, Chem. E n q . Sci., 6,89-93 (1956);8,309 (1958). para reactores de flujo isotérmico con difusión longitudinal y reacci6n de primer orden. Gerhard Damkohler (1908-1944) se volvió famoso por su trabajo sobre reacciones
químicas en sistemas que fluyen en difusión; una publicación clave apareci6 en Der Chonic-lngenieur, Leipzig (1937),
pp. 359-485. Richard Herman Wiihetrn (1909-1%8), director del Departamento de lngenieria Quimica en la Universidad de Princeton, fue bastante conocido por su habajo sobre reactores catalíticos de lecho fijo, transporte fiuidizado y
el proceso de separación por "bombeo paramétrico".
1
388
Capitulo 10 Balances de energía en la e n v o h r a y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Zona 11, donde se produce
calor por reacción química
Zona 1
Zona 111
Coordenada axial adimensional Z = z/L
Figura 10B.18 Perfiles de temperatura que se predicen en un reactor de lecho fijo con flujo axial
para B = 8 y varios valores de N.
b) Demostrar que, en el límite cuando B tiende a infinito, la solución anterior concuerda con
la de las ecuaciones 10.5-21 a 10.5-23.
c) Efectuar comparaciones numéricas de los resultados en la ecuación 10.5-22 y la figura
10B.18 para N = 2 en Z .- 0.0,0.5,0.9 y 1.0.
d) Suponer que la ecuación 9.6-9 es válida. Demostrar que los resultados en la figura 10B.18
corresponden a un lecho catalizador de longitud L igual al diámetro de 4 partículas. Debido
a que en reactores industriales la relación L / D p rara vez es menor que 100, se concluye que
una suposición razonable en cálculos de diseño en estado estacionario es despreciar Kef,,.
IOC.l
Calentamiento de un alambre elécfrico cuyas conductividades eléctrica y térmica dependen
de la ternperat~ra.~
Encontrar la distribución de temperatura en un alambre que se caliente
eléctricamente, cuando las conductividades eléctrica y térmica varían con la temperatura corno sigue:
-k= ]
-
-
4
2
f...
k0
Aquí ko y kd son los valores de las conductividades a la temperatura To, y O = (T - To?/To6
una elevación adimensional de la temperatura. Los coeficientes ai y pi son constantes. Estos
desarrotlos en serie son útiles sobre intervalos de temperatura moderados.
a) Debido al gradiente de temperatura en el alambre, la conductividad eléctrica es una
función de la posición, k&r). Por tanto, la densidad de la corriente también es una función de
La solución que se proporciona aquí fue sugerida por L.J.F. Broer (comunicación personal, 20 de agosto de 19s8)
Problemas 389
r: I(r) = k,(r) . (E/L), y la fuente de calor el6ctrico también depende de la posición: S,(r) =
k,(r) - ( E / L ) ~Entonces,
.
la ecuación para la distribución de temperatura es
Ahora, introducir las cantidades adimensionales 6 = r/R y B = k & 2 E 2 / k o ~ 2 ~ oy demostrar
entonces que la ecuación IOC.l-3 se vueIve
Cuando en esta ecuación se insertan las expresiones en desarrollo en serie de potencias para
las conductividades, se obtiene
Ésta es la ecuación que debe resolverse para la distribución adimensional de temperatura.
b) Empezar observando que sí todas las a,y las Pi fuesen cero (es decir, que ambas conductividades fuesen constantes), entonces la ecuación 10C.I-5 se simplificaría a
Cuando esta ecuación se resuelve con las condiciones límite de que O = finita en
O = O en 5 = 1, se obtiene
5 = O, y
Ésta es la ecuación 10.2-13 en notación adimensional.
Nótese que la ecuación 10C.1-5 tendrá la solución de la ecuación 10C.1-7 para valores pequeños de B; es decir, para fuentes de calor débiles. Para fuentes de calor más poderosas, postular que la distribución de temperatura puede expresarse como una serie de potencias en la
intensidad adimensional B de la fuente de calor:
Aquí las 0,son funciones de [pero no de B. Sustituir la ecuación 10C.1-8en la ecuación 10C.1-5
e igualar los coeficientes de potencias semejantes de B para obtener un conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias para las e, con n = 1,2,3,.. .. Estas ecuaciones pueden resolverse con
las condiciones tímite de que 0, finita en = O y O , = 0 en 5 = 1. De esta manera, obtener
-
donde 0(B2) significa "términos del orden de fJ2 y superiores".
C) Para los materiales descritos por la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz (véase 59.51, la razón
k/k,T es una constante (independiente de la temperatura). Por tanto,
390 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en s6lidos y en flujo laminar
Combinar esta ecuación con las ecuaciones IOC.1-1 y 10C.1-2 para obtener
Igualar los coeficientes de potencias semejantes de la temperatura adimensional para obtener m+
laciones entre las aiy las pi:al = P1 - 1, a2= 8, + p2,etc. Usar estas relaciones para obtener
10C.2
Calentamiento viscoso con viscosidad y conductividad térmicas que dependen de la temperatura (figuras 10.4-1 y 10.4-2). Considérese la situación d e flujo que se muestra en la figura
10.42. Tanto la superficie estacionaria como la superficie móvil se mantienen a una temperatura constante To. Entonces, las dependencias de k y p respecto a la temperatura estdn dadas por
I*o
-
CL
4'
-l+&@+p2@2+...
'Po
donde las ai y las Pi son constantes, p = 1 / p es la fluidez, y el subíndice "0" significa "evaluado en T = T,". La temperatura adimensional se define como O = ( T - T d / T o
a) Demostrar que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo viscoso y la conducción
de cator pueden escribirse en las formas
donde C$ = u,/vb,
6 = x/b y Br = ILOz$/ko~o
(el número de Brinkman).
b) La ecuación para la distribución adimensional de temperatura puede integrarse una vez
a fin de obtener d+/dS = C1 . ( Q / ~ ~ P O ) , donde C1 es una constante de integración. Luego, esta
expresión se sustituye en la ecuación de energía para obtener
Primero obtener los dos primeros términos de una solución en la forma
o(&Br) = BrOl(O + B~'-O~(@
+ ...
(1K.2-6)
Además, se sugiere que la constante de integración C1 también se desarrolle como una serie
de potenaas en el número de Brinkman, para llegar a
C,(Br) = C,,
+ BrC,, + B?CI2 +
(1K.2-8)
Problemas 391
c) Repetir el problema, cambiando la condición límite en y = b a q, = O (en vez de especificar la ternperat~ra).~
Respuestas: b) 4 = 6 - +3rP1(& - 3P 4- 2c3)
+ .--
o = iBr(8 - p) - + B 6 a I ( e - 2p + p) - $ 3 6 ~ , ( { 2 S + 2 t 3 -p) -t ..,
C) 4 = 6 - 6Brp1(2{ - 3t2 + c3)+
o = Br(6- $P)- iB$(w,(4P - 4 8 + P ) + $ B r 2 ~ , ( - 8 ~+ 852 - 4$ + Sf) + -..
-
10C.3
Calentamiento viscoso en un viscosímetro de cono y plato.5 En la ecuación 28.11-3 hay una
expresión para el momento de torsión Y necesario para mantener la velocidad angular en
un viscosímetro de cono y plato con ángulo incluido (véase la figura 2B.11). Se desea obtener un factor de corrección para explicar el cambio en el momento de torsión provocado por
el cambio en viscosidad resultante del calentamiento viscoso. Este efecto puede ser un factor
de perturbación en mediciones viscométricas, produciendo errores hasta de 20%.
a) Adaptar el resultado del problema 10C.2al sistema de cono y plato como se hizo en el problema 2B.Ila. La condición límite de densidad de flujo de calor igual a cero en la superficie
del cono parece más realista que la suposición de que Ias temperaturas del cono y de la placa son las mismas, puesto que la placa cuenta con un termostato y el cono no.
b) Demostrar que lo anterior lleva a la siguiente modificación de la ecuación 28.11-3:
donde E = h f 2 2 ~ 2 / k 0 ~eso el numero de Brinkman. El sfmbolo
a la temperatura T,,.
10D.l
representa la viscosidad
Pérdida de calor desde una aleta circular (figura 10D.1)
a) Obtener el perfil de temperatura T(r) para una aleta circular de espesor 2B sobre un tubo
cuya temperatura en la pared exterior es To. Hacer las mismas suposiciones que se hicieron
en el estudio de la aleta rectangular en 910.7.
b) Deducir una expresión para la pérdida de calor total desde la aleta.
Temperatura del aire
ambiente = T,
peratura T = To en r = %
Figura IOD.1 Aleta circular sobre
un tubo calentado.
-
-
R.M. Turian y K.B. B i d , Chem. Eng. Sci., 18,689-696 (1963).
R.M. Turian,Chem. Eng. Sci., 20,771-781 (1965);la corrección por calentamiento viscoso para fluidos no
newtonianos se analiza en esta publicación;véase también R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynati~ics0f
Polymeric Liquids, Vol. 1,2a. edición, Wiley-lntersuence, Nueva York (1987), pp. 223-227.
392
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
10D.2
Flujo en un ducto con densidad de flujo de calor constante en la pared y distribución de
velocidad arbitraria.
1
'
a) Volver a trabajar el problema en §10.8 para una distribución de velocidad de flujo axi-simétrica arbitraria, totalmente desarrollada V~/U,,,~, = ~ 0donde
, 5 = r / R . Comprobar que
la distribución de temperatura está dada por
donde
(10D.2-2)
Demostrar que C1 = O y C,, = [I(l)]-l. Luego demostrar que la constante que resta es
Verificar que cuando el perfil de velocidad es parabólico, las ecuaciones anteriores llevan a
las ecuaciones 10.8-27 a 10.8-30.
Estos resultados pueden usarse para calcular los perfiles de temperatura para el flujo totalmente desarrollado en un tubo de cualquier material, en la medida en que sea posible hacer una suposición razonable para la distribución de velocidad. Como casos especiales, es
posible obtener resultados para flujo newtoniano, flujo tapón, flujo no newtoniano, e incluso,
con algunas modificaciones, flujo turbulento (véase 513.4).~
b) Demostrar que la fuerza irnpulsora adimensional de la diferencia de temperatura O, - Bbes
C)
Verificar que la densidad de flujo adimensional en la pared es
y que, para el flujo laminar de fluidos newtonianos, el valor de esta cantidad es $..
d) ¿Cuál es la interpretación física de 1(1)?
R.N. Lyon,Chem. Eng. Prog., 47.75-95 (1951);nbtese que la definición de &.$que se usa aquí es diferente de la
que aparece en las tablas 14.2-1y 14.2-2.
Ecuaciones de variación para sistemas
no isotérmicos
511.1
Ecuación de energia
911.2
Formas especiales de la ecuación de energía
911.3
La ecuación de movimiento de Boussinesq para convección forzada y libre
511.4
Uso de las ecuaciones de variacidn para resolver problemas de estado estacionario
fj33.5
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
En el capítulo 10 introducimos el método del balance de envoltura de energía para
resolver problemas relativamente fáciles de flujo de calor en estado estacionario.
Obtuvimos los perfiles de temperatura, así como algunas propiedades derivadas
como una temperatura media y densidades de flujo de energía. En este capítulo generalizamos el balance de envoltura de energía y obtenemos la ecuación de energía,
una ecuación diferencial parcial que describe el transporte de energía en un fluido
o sólido homogéneo.
Este capitulo también está estrechamente relacionado con el capítulo 3, donde
presentamos la ecuación de continuidad (conservación de la materia) y la ecuación
de movimiento (conservaciónde la cantidad de movimiento).El agregar la ecuación de
energía (conse~ación
de la energía) nos permite ampliar nuestra habilidad para resolver problemas a fin de incluir sistemas no isotérmicos.
Empezamos en 511.1 deduciendo la ecuación de variación para la energía total.
Así como en el capítulo 10, usamos el vector de densidad de flujo de energía coinbinada e al aplicar la ley de conservación de la energía. En 511.2 restamos la ecuación de
energía mecánica (dada en 53.3) de la ecuación de energía total para obtener una
ecuación de variación para la energía interna. A partir de esta ultima podemos obtener una ecuación de variación para la temperatura, donde este tipo de ecuación de
energía es la de mayor uso.
Aunque el interés principal en este capítulo son las diversas ecuaciones de energía que acaban de mencionarse, encontramos que es útil analizar en s11.3 una ecuación de movimiento aproximada que resulta conveniente para resolver problemas
que implican convección libre.
En 511.4 resumimos las ecuaciones de variación encontradas hasta este punto.
Luego procedemos a ilustrar el uso de estas ecuaciones en una serie de ejemplos,
donde empezamos con las ecuaciones generales y eliminamos términos que no son
necesarios. De esta forma obtenemos un procedimiento general para plantear y resolver problemas.
Por ÚItimo, en 511.5 extendemos el análisis dimensional que se presentó en 53.7
y mostramos cómo surgen los grupos adimensionales en problemas de transmisión
de calor.
394
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
La ecuación de variación para la energía se obtiene al aplicar la ley de conservación
de la energia a un pequeño elemento de volumen Ax Ay Az (véase figura 3.1-1)
y después dejando que las dimensiones del elemento de volumen se hagan Uifinite
simalmente pequeñas. La ley de conservación de la energía es una extensión de la
primera ley de la termodinámica clásica, concerniente a la diferencia en energías
internas de dos estados de equilibrio de un sistema cerxado debido al calor agregado al sistema y al trabajo realizado sobre el sistema (es decir, la conocida expresibn
AU=Q+W)?
Aquí, el interés se centra en un elemento de volumen estacionario, fijo en el espacio, a través del que circula un fluido. Al sistema pueden entrar y salir energía cinética y energía interna mediante transporte convectivo. También puede entrar y
salir calor por conducción al sistema. Como vimos en el capítulo 9, la conducción de
calor es fundamentalmente un proceso molecular. Los esfuerzos pueden realizar
trabajo sobre el fluido en movimiento, lo que también es un proceso molecuhr. ES
te término incluye el trabajo realizado por fuerzas de presión y por fuerzas viscosas.
Además, sobre el sistema puede realizarse trabajo en virtud de las fuerzas externas,
como la de gravedad.
Podemos resumir el párrafo anterior escribiendo en términos coloquiales la conservación de la energía como sigue:
velocidad de
velocidad neta
velocidad neta
e interna mediante
transporte convectivo
transporte molecular
(conducción)
velocidad a la que se
realiza trabajo sobre el
sistema por mecanismos
[
~
~
l
~
?
1+ 1
!
~
velocidad a la que se
realiza trabajo sobre el
sistema por fuerzas
externas (por ejemplo
~
por la
~gravedad)
?
1
(llal-l)
Al deducir la ecuación de la energía usaremos el vector e de las ecuaciones 9.8-5 o
9.8-6, que incluye los tres primeros corchetes del miembro derecho de la ecuación
11.1-1. Antes de continuar es necesario hacer algunos comentarios:
Por energía cinética entendemos la energía asociada con el movimieiito observable del fluido, que es tpz? = tp(v v), por unidad de volumen. Aquí v
es el vector velocidad del fluido.
ii) Por energía interna entendemos las energías cinéticas de las moléculas
constituyentes calculadas en un marco que se mueve a la velocidad v, más
las energías asociadas con los movimientos de vibración y rotación de Ias
moléculas y también Ias energías de interacción entre todas las molécula^
Se supone que la energía interna U para un fluido en circulación es la mic.
i)
l
R.]. Silbey y K.A. Alberty, Physical Chemistry, Nueva York,3a. edición (2001),52.3.
511.1
Ecuación de energía 395
ma función de la temperatura y la densidad que para el fluido en equilibrio. Debe recordarse que una suposición semejante se hizo para la presión
termodinámica p(p, T ) de un fluido en circulación.
iii) La energúz potencial no aparece en la ecuación 11.1-1, debido a que en vez de
ella preferirnos considerar el trabajo que la gravedad realiza sobre el sistema. Sin embargo, al final de esta sección mostraremos cómo expresar este
trabajo en términos de la energía potencial.
iv) En la ecuación 10.1-1, en el balance de envoltura de energía se incluyeron varios términos correspondientes a la fuente. En 510.4 la fuente de calor viscoso S,
apareció automáticamente, debido a que los términos de la energía mecánica
en e ya se habían explicado con propiedad; aquí prevalece la misma situación,
y el término de calentamiento viscoso -(7 :VV) aparecerá automáticamente en
la ecuación 11.2-1. Los términos correspondientes a las fuentes química, eléctrica y nuclear (S,, S, y S,) no aparecen automáticamente, ya que las reacciones químicas, los efectos eléctricos y las desintegraciones nucleares no se
han incluido en el balance de energía. En el capitulo 19, donde se considera
la ecuación de energía para mezclas con reacciones químicas, la fuente de calor química S, aparece de forma natural, así como también el "termino de la
fuente difusiva",
(j, . gd.
1,
A continuación traduciremos la ecuación 11,l-1 a términos matemáticos. La velocidad de aumento de las energías cinética e interna en el interior del elemento de volumen Ax Ay Az es
Aquí 0 es la energía interna por unidad de masa (algunas veces se denomina "eneres la energía interna por unidad de volumen,
gía interna específica"). E1 producto
y ipz;!= +p(vX +vi +$) es la energía cinética por unidad de volumen.
Ahora debemos conocer cuánta energía entra y sale a través de las caras del elemento de volumen Ax Ay Az.
Debe recordarse que el vector e incluye el transporte convectivo de la energia cinética y de la energía interna, la conducción de calor y el trabajo asociado con los procesos moleculares.
La velocidad a que se realiza trabajo sobre el fluido por la fuerza externa es el
producto punto de la velocidad v del fluido y la fuerza que actúa sobre el fluido
( p Ax Ay Az)g, o bien,
Ahora se insertan las diversas contribuciones en la ecuación 11.1-1 y luego se divide
entre Ax Ay Az. Cuando se deja que Ax, Ay y Az tiendan a cero, se obtiene
Esta ecuación puede escribirse de manera más breve en notación vectorial como
396
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isot6rrnicos
A continuación insertamos la expresión para el vector e de la ecuación 9.8-5 para ob-'
tener la ecuación de energúz:
d
4fpu2
= -(V
dt
velocidad de aumento
de energía por unidad
de volumen
-(V
( i d + pU)v) - (V - q)
velocidad de adici6n de
energía por unidad de
volumen debido al
hansporte convecüvo
-(V.
pv)
velocidad a la que se
real! trabap sobre el
fluido por unidad de
volumen por fuerzas de
preri6n
[T
.VI]
velocidad a la que se
realiza habajo oobre el
fluido por unidad de
volumen por hienas
visco~s
velocidad de adición de
energía por unidad de
volumen por conducción
de calor
+ p(v g)
velocidad a la que se
realiza habajo sobre el
fluido par unidad de
valumen por hienas
externas
Esta ecuación no incluye las formas de energía nuclear, radiactiva, electromagnética
o química. Para fluidos viscoelásticos, el penúltimo término debe reinterpretarse
sustituyendo "viscosas" por "viscoelásticas".
La ecuación 11.1-7es el resultado más importante de esta sección, y constituye la base para el resto del capítulo. La ecuación puede~scribirseen otra forma para incluir la energía potencial por unidad de masa, @, que antes se definió por
g = -V@ (véase 53.3).Para cambios de elevación moderados, lo anterior queda como 6 = gh, donde h es una coordenada en dirección opuesta al campo gravitacie
nal. Para problemas terrestres, donde el campo gravitacional es independiente del
tiempo, podemos escribir
p(v g) = -(pv.
v&)
(11.1-8)
=
- (V . pv6) + &(v . pv)
=
JP
-(V . pv@) - @ A
= - (V . pvQ>)-
-
dt
d
*
(p@)
Usar la identidad vedorial en la ecuación A.4-19
Usar la ecuación 3.1-4
Usar
4> independiente de t
Cuando este resultado se inserta en la ecuación 11.1-7, se obtiene
Algunas veces es conveniente tener la ecuación de energía en esta forma.
La forma más útil de la ecuación de energía es aquella en la que aparece la t e m F
ratura. El objetivo de esta sección es llegar a tal ecuación, que puede usarse para
pronosticar los perfiIes de temperatura.
511.2 Formas especiales de la ecuación de energía 397
Primero se resta la ecuación de energia mecánica en la ecuación 3.3-1 de la ecuación de energía en 11.1-7.Así se llega a la siguiente ecuación de variación para la energía interna:
velocidad de
aumento de
energía interna
p o r unidad de
volumen
velocidad neta de
adici6n de energía
interna mediante
transporte mnvectivo,
por un~dadde volumen
veloódad reversible de
aumento de energia
interna por unidad de
volumen por compresión
velocidad neta de
adición de energía
inter~
por mndumón
de calor, por unidad
de volumen
velocidad irreversible de
aumento de energía interna
por unidad de volumen
por disipacicin viscosa
Ahora resulta interesante comparar la ecuación de energía mecánica de la ecuación
3.31 y la ecuación de energía interna de la ecuación 11.2-1. Nótese que los términos
p(V v) y ( T : Vv) aparecen en ambas ecuaciones, pero con signos opuestos. Por tanto, estos términos describen la interconversión de energia mecánica y energía térmica, El término p(V v) puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el fluido se
expande o se contrae; por tanto, representa un modo de intercambio reversible. Por
otra parte, para fluidos newtonianos, la cantidad -(7: Vv) siempre es positiva (véase la ecuación 3.3-3) y en consecuencia representa una degradación irreversible de
energía mecánica en energía interna. Para fluidos viscoelásticos, analizados en el capítulo 8, la cantidad -(T: Vv) no tiene que ser positiva, debido a que parte de la energía puede ahacenarse como energía elástica.
En 53.5 indicamos que las ecuaciones de variación pueden escribirse de manera más breve usando la derivada sustancia1 (véase la tabla 3.5-1). La ecuación 11.2-1
puede escribirse en la forma de la derivada sustancial usando la ecuación 3.5-4.Así
se obtiene, sin ninguna suposición adicional,
Luego, es conveniente cambiar de energía interna a entalpía, como se hizo al final
de 99.8. Es decir, en la ecuación 11.2-2 se hace U = fi - pV = A - ( p / p ) , haciendo la
suposición típica de que las fórmulas termodinámicas deducidas a partir del equilibrio termodinámico pueden apIicarse localmente a sistemas que no están en equilibrio.
Una vez que esta fórmula se sustituye en la ecuación 11.2-2 y se usa la ecuación de
continuidad (ecuación A de la tabla 3.5-l), se obtiene
Luego podemos usar la ecuación 9.8-7, que supone que la entalpía es una función
de p y de T (esto restringe el desarro110 ulterior a fluidos newtonianos). Luego es po-
398
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérrnicos
sible obtener una expresión para el cambio en entalpía en un elemento de fluido
se mueve a la velocidad del fluido, que es
i
Al igualar los miembros derechos de las ecuaciones 11.2-3 y 11.2-4 se obtiene
Ésta es la ecuación de variación para la temperatura, en términos del vector de densidad
de flujo de calor q y el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento vistoso T. Para usar esta ecuación se requieren expresiones para estas densidades de flujo:
i
Cuando se usa la ley de Fourier de la ecuaci6n 9.1-4, el término -(V q) se
convierte en +(V . kVT), o bien, si se supone que la conductividad térmica es
constante, en +kV2T.
ii) Cuando se usa la ley de Newton de la ecuación 1.2-7, el término -(T: Vv) se
convierte en p@, + ~q,,
que es la cantidad dada explícitamente en la ecua.
ción 3.3-3.
Aquí no realizamos las sustituciones, debido a que la ecuación de variación para la
temperatura casi nunca se usa en su generalidad.
A continuación analizaremos varias versiones especiales restringidas de la ecuación de variación para la temperatura. En todas usamos la ley de Fourier con k constante y omitimos el término de disipación viscosa, ya que sólo es importante en
flujos con gradientes de velocidad enormes:
i) Para un gas ideal, (d in p / d ln qp= - 1, y
cV
O bien, si se utiliza la relación Cp - = R, la ecuación de estado en la forma pM = pRT, y la ecuación de continuidad según está escrita en la ecuación A de la tabla 3.5-1,se obtiene
ii) Para unfluido que circula en un sistema a presión constante, Dp/Df = O, y
971.3 La ecuación de movimiento de Boussinesq para convención forzada y libre
iii) Para un fluido con densidad constanfe,' (d In p / d ln
399
np= O, y
iv) Para un sólido estacionario, v es cero y
Estas cinco ultimas ecuaciones son las que más frecuentemente se encuentran en libros de texto y publicaciones de investigación. Por supuesto, siempre es posible volver a la ecuación 11.2-5 y deducir ecuaciones menos restrictivas cuando sea
necesario. También es posible agregar términos adecuados correspondientes a las
fuentes química, eléctrica y nuclear a la situación que se trate, como se hizo en el capitulo 10.
La ecuación 11.2-10 es la ecuación de conducción de calor para sólidos, y mucho
.~
se ha escrito sobre esta famosa ecuación deducida por primera vez por ~ o u r i e rEl
conocido trabajo de referencia de Carslaw y Jaeger merece una mención especial.
Contiene cientos de soluciones de esta ecuación para una amplia variedad de condiciones límite e inicia le^.^
La ecuación de movimiento dada en la ecuación 3.2-9 (o en la ecuación B de la tabla
3.5-1)es válida para flujo tanto isotérmico como no isotérmico. En flujo no isotémico, la densidad y la viscosidad del fiuido suelen depender de la temperatura, así como de la presión. La variación en la densidad es particularmente importante porque
da origen a las fuerzas de flotación, y por ello también a la convección libre, como
ya vimos en 510.9.
La fuerza de flotación aparece automáticamente cuando una ecuación de estado
se inserta en la ecuación de movimiento. Por ejemplo, podemos usar la ecuación de
estado simplificada que se introdujo en la ecuación 10.9-6 (esto se denomina aproximación de Bou~sinesq)~
donde es -0/p)(dp/JZ?p evaluada en T = % Esta ecuación se obtiene escribiendo
la serie de Taylor para p como una función de T, considerando que la presión p es
constante, y preservando sólo los dos primeros términos de la serie. Cuando la ecua-
' Aquí se hace la suposición de densidad constante, en vez de la suposición menos restrictiva de que ( aIn p / d ln
T)p = O , debido a que la ecuación 112-9suele utilizarse junto con La ecuación 3.1-5 (ecuación de continuidad para
densidad constante) y la ecuación 3.5-6 (ecuaci6n de movimiento para densidad y viscosidad constantes.).Nótese que
Ia ecuación hipotética de estado p = constante tiene que completarse con la afirmación de que (ú'p/ár), = finita, a fin
de permitir la evaluación de ciertas derivadas terrnodinhmicas. Por ejemplo, la relación
eP
- evpara el "fluido incompresible"así definido.
lleva al resultado de que
J.B. Fourier, Thtorie amlytique de la draleur, Euures de Fourier, Gauthier-Villars et Fils, París (1822).
H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction ofHeal in Solids, Oxford University Press, 2a. edición (1959).
J. Boussinesq, Théorie Analytique de Chaleur, Vol. 2, Gauthier-Villars. Paris (1903).
'
400 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no icot6rmicos
ción 11.3-1 se sustituye en el término pg [pero no en el término p ( D v / D t ) ] de
ecuación B de la tabla 3.5-1, se obtiene la ecuación de Boussinesq:
Esta forma de la ecuación de movimiento es muy útil para hacer análisis de transmisión de calor. Describe los casos límite de convección forzada y convección libre
(véase la figura 10.8-l), así como la región entre-estos extremos. En convección forJ
zada se omite el término de flotación -pgp(y - TI. En convección libre (o convección,
natural), el ténnino (-Vp + pg) es pequeño y omitirlo sueIe ser apropiado, particu.,
larmente para flujo vertical rectilíneo y para el fluido cerca de objetos sumergid
en grandes cuerpos de fluido. Igualar (-Vp + pg) a cero equivale a suponer que
distribución de presión es precisamente la de un fluido en reposo.
También es costumbre reemplazar p por j en el lado izquierdo de la ecuación
11.3-2. Esta sustitución ha sido exitosa para convección libre a diferencias modera:
das de temperatura. En estas condiciones, el movimiento del fluido es lento, y el término de la aceleración Dv/Dt es pequeño en comparación con g.
Sin embargo, en sistemas er, que el término de la aceleración es grande con respecto a g, también debe usarse la ecuación 11.3-1 para la densidad en el miembro izquierdo de la ecuación de movimiento. Esto es particularmente cierto, por ejemplo,
en turbinas de gas y cerca de misiles hipersónicos, donde el término ( p - P)Dv/&
puede ser por lo menos tan importante como Fg.
d
511.4
USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACI~NPARA RESOLVER
PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO
En s3.1 a s3.4 y §11.1 a 511.3 dedujimos varias ecuaciones de variación para un fluido
o sólido puros. Parece apropiado presentar aquí un resumen de estas ecuaciones para efectos de referencias futuras. Tal resumen se proporciona en la tabla 11.4-1, donde
la mayor parte de las ecuaciones se proporciona en la forma d / dt y en la forma D/Dt.
También se hace referencia al primer sitio en que se presentó cada ecuación.
Aunque la tabla 11.4-1 es un resumen útil, para resolver problemas usamos las.
ecuaciones escritas explícitamente en los diferentes sistemas coordenados de usq
común. Esto se hizo en el apéndice B y los lectores deben familiarizarse profundaj
mente con las tablas que ahí se presentan.
En términos generales, para describir el flujo no isotérmico de un fluido newto
niano se requiere lo siguiente:
la ecuación de continuidad
la ecuación de movimiento (que contiene p y K )
la ecuación de energía (que contiene p, K y kk)
la ecuación de estado térmica ( p = p(p, T))
la ecuación de estado calórica (ep
= Cp(p,T))
así como expresiones para la dependencia de la viscosidad con respecto a la densid
y la temperatura, la viscosidad dilatacional y la conductividad térmica. Además,
requieren las condiciones límite e iniciales. Entonces, todo el conjunto de ecuacion
puede - e n principio- resolverse a fin de obtener la presión, la densidad, la ve1
cidad y la temperatura como funciones de la posición y del tiempo. Si se desea r
solver un problema tan detallado, en general deben utilizarse métodos numérico
1
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 401
A menudo sería posible estar contento con una solución restringida para hacer
un análisis de orden de magnitud de un problema o para investigar casos límite antes de intentar una solución numérica completa. Esto se realiza efectuando algunas
suposiciones típicas:
i) Suposición de propiedades físicas constantes. Si es posible suponer que todas las
propiedades físicas son constantes, entonces las ecuaciones se vuelven considerablemente más sencillas, y en algunos casos es posible encontrar soluciones analíticas.
ii) Suposición de densidades deflujo cero. Igualar T y q a cero puede ser útil para
a) procesos de flujo adiabático en sistemas diseñados para minimizar los
efectos de rozamiento (como los medidores Venturi y las turbinas) y b) flujos a alta velocidad alrededor de objetos aerodinámicos. Las soluciones obtenidas no sirven para describir la situación cerca de los límites (in)
fluido-sólido, aunque pueden ser idóneas para el análisis de fenómenos que
ocurren lejos de los Emites del sólido.
Para ilustrar la solución de probIemas en los que Ia ecuación de energía desempeña
un papel importante, a continuación resolveremos una serie de problemas (idealizados). Aquí nos restringimos a problemas de flujo en estado estacionario, y en el
capituio 12 consideraremos problemas en estado no estacionario. En cada problema empezamos listando los postulados que nos llevaron a versiones simplificadas
de las ecuaciones de variación.
Transmisión de calor
por convección forzada
en estado estacionario
en flujo laminar en un
tubu circular
Mostrar cómo establecer las ecuaciones para el problema considerado en 910.8, a saber, el de
encontrar los perfiles de temperatura del fluido para el flujo Iaminar totalmente desarrollado
en un tubo.
~oj-u~~ó~
Suponemos propiedades físicas constantes, y postulamos una solución de la siguiente forma:
v = S,v,(r), B = %z), y T = T(r, z). Luego, las ecuaciones de variación, según se proporcionan
en el apéndice B, pueden simplificarse a
Continuidad:
0=0
(11.4-1)
Movimiento:
La ecuación de continuidad se cumple automáticamente como resultado de los postulados. La
ecuación de movimiento, cuando se resuelve como en el ejemplo 3.6-1, proporciona la distribución de velocidad (el perfil de velocidad parabólico). Luego, esta expresión se sustituye en
el Mmino correspondiente al transporte de calor convectivo en el miembro izquierdo de la
ecuación 11.4-3 y en el termino correspondiente a la disipación viscosa de calor en el rniembro derecho.
A continuación, como en 510.8, se hacen dos suposiciones: i) en la dirección Z, la
conducci6n de calor es mucho menor que la convección de calor, de modo que es posible
despreciar el termino 8 T / d z 2 , y ii) el flujo no es suficientemente rápido, de modo que el ca-
Tabla 11.4-1 Ecuaciones de cambio para fluidos puros en términos de flujos
Ec.
Forma especial
Cont.
-
Movimiento
General
p -D=v- V y -
Aproximada
[V.~]+pg
~ ( k + u&)+ = -(v
I?:+u+&
Dt
. q) - ( V .pv) - ( v . h . V1)
-(v . q) - (v . pv) - (7 . [T. v]) + p(v . g)
K+u
E)(i
En t6nninos de
+
=
Dt
En
de
K=+$
E)k
p -= -(v
Dt
DO
. Vp) - (v .[ v - TI)
. q) -p(V
En términos de
p -= -(V
Entérminosde
p-=-(V.q)-(~:Vv)+Dt
u
H
En términos de
Dt
DH
-
DT
p~ -=
Dt
-(V
q) -
T
En términos de
L
%YT
-
p~
P
Para p = constante, se simp
(V - v) = O
Tabla 3.5-1
Para 7 = O se transforma en
(B)
p ~Dv; - = - V p - [ v . T ] + ~ - ~ ~ ( T - ~
En t6minos de
(A)
Tabla 3.5-1
%-&V.,)
Dt
Dt
Energía
Observaciones
En Mminos de D D f
DT
~t
-=
-(v . q) -
($Ip
v)
+p
-
( ~g)
- ('T:VV)
DP
Dt
(V . v) - (7:Vv)
de Euler
11.3-2
(C)
Muestra el término de flot
-
Exacta s610 para
indepen
(DI
(E)
Tabla 3.5-1
(F)
A partir de la ecuación de
11.2-2
(G)
E1 término que contiene a (
p constante
11.2-3
k=kt(p/p)
(H)
-
Para un gas ideal Tí+/ÚTl
(1)
11.2-5
a)
Para un gas ideal (d In p/d
Para T = O se transforma en la ecua
de Euler
General
Movimiento
Aproximada
-dp v = - [ V a p v v ]
dt
P
Energía
.
Entérminosde
i¿+u.+&
En términos de
K+ 6
En términos de
-V~-[V.T]+~~-,~I~~(T-T)
-
-
Muestra el término de flotación
(M)
11.1-9
Exacta s610 para @ independiente d
~ p ( ~ + ~ + ~ ) = - ( ~ . p ( ~ + ~ + & ) v ) - @ ~ q ) - ( ~ . ~ . r ~ v l )
dt
(N)
2
p~
dt
pk
+
a>) = -(v . p(i
+ a>),)
= -(V . pkv)
-
-
(V
. V p ) - (v . [V . TI)
(v . Vp) - (v . [V
.TI) + p(v . g)
3.3-2
(0)
Exacta s610 para @ independiente d
A partir d e la ecuación de movimie
A partir de la ecuación de movimie
El término que contiene a (V v) es
p constante
a
Entropía
!
pS=-(V.pCv)-
Los dos últimos términos describen
la producción de entropía
404
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
lentamiento viscoso es importante, y entonces puede omitirse el termino fi(dUZ/&)2.
Cuando se hacen estas suposiciones, la ecuación 11.4-3 se vuelve 10 mismo que la ecuación
10.8-12.Apartir de ese momento, la solución asintótica, válida sólo para z grande, continúa
como en $10.8. Nótese que hemos pasado por tres fipos de procesos restrictivos: i) postulados, donde se hace una conjetura tentativa sobre la forma de la solución; ii) suposiciones,
donde se eliminan algunos fenómenos o efectos físicos al descartar términos o suponer que
las propiedades físicas son constantes; y iii) una solución asintótica, donde se obtiene sólo
una porción de toda la solución matemática. Es importante distinguir entre estos diversos
tipos de restricciones.
Flujo tangencia1 en
tubos concéntricos con
generacidn de calor
viscoso
Determinar la distribución de temperatura en un líquido incompresible confinado entre
dos cilindros coaxiales, donde el exterior gira a velocidad angular constante 0, (v6anse
510.4 y el ejemplo 3.6-3). Usar la nomenclatura del ejemplo 3.6-3 y considerar que la relación K entre radios es suficientemente pequeña, de modo que es necesario tener en cuenta
la curvatura de las líneas de flujo de corriente del fluido.
Las temperaturas en las superficies interna y externa de la región anular se mantienen a
T Ky TI, respectivamente, con T Kr TI. Supóngase flujo laminar estacionario, y despreciar la
dependencia con respecto a la temperatura de las propiedades físicas.
Éste es un ejemplo de problema de convección forzada: las ecuaciones de continuidad y
movimiento se resuelven para obtener la distribución de velocidad, y luego la ecuación de
energía se resuelve para obtener la distribución de temperatura. Este problema es de interés
en relación con los efectos del calor en viscosimetros de cilindros coaxialesl y en sistemas de
lubricación.
Empezamos postulando que v = 60ve(r),que 9 = P(r, z ) y que T = T(r). Entonces, la simplificación de las ecuaciones de variación lleva a las ecuaciones 3.6-20 a 3.6-22 (las componentes r, 6 y z de la ecuación de movimiento) y a la ecuación de energía
Cuando la solución de la componente 8 de le ecuación de movimiento, dada en la ecuación
3.6-29, se sustituye en la ecuación de energía, se obtiene
Ésta es la ecuación diferencial para la distribución de temperatura. Puede volver a escribirsf
en términos de cantidades adimensionales como sigue:
r
[= -
R
o=-T - S,
Tl - T K
N =R
of l 2
2
,
u4
.-
k(T1- T,) (1-
~ ~ ) 2
El parametro N esth estrechamente relacionado con el número de Brinkman de 510.4.Ahora
la ecuación 11.4-5 se vuelve
-
'J.RVan Wazer, J.W Lyons, K.Y. Kim y R.E. ColweU, V~~cosityand Row Measurement, Wiley, Nueva York (1963h
pp 82-85.
I
911.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 405
Ésta es de la forma de la ecuación C.l-11 y su solución es
Las constantes de integración se encuentran a partir de las condiciones límite
Luego, al determinar las constantes se obtiene
Cuando N = O, se obtiene la distribución de temperatura para una envoltura cilíndrica inmóvil de espesor R(1 - K) con temperaturas interna y externa T, y TI. Si N es suficientemente
grande, entonces en la distribución de temperatura hay un máximo, situado en
donde la temperatura en este punto es mayor que T , o TI.
Aunque este ejemplo constituye una ilustración del uso de las ecuaciones de variación
tabuIadas en coordenadas cilíndricas, en la mayor parte de aplicaciones viscométricas y de lubricación el espacio libre entre los cilindros es tan pequeño numéricamente que los valores
numéricos calculados a partir de la ecuación 11.4-13 no difieren sustancialmente de los calculados a partir de la ecuación 10.4-9.
inap?lícula no
botémica
2:
,<
Un líquido escurre descendiendo en flujo laminar estacionario a lo largo de una superficie
plana inclinada, como se muestra en las figuras 2.2-1 a 2.2-3. La superficie libre del líquido se
mantiene a la temperatura To y la superficie sólida en x = S se mantiene a T5. A estas ternperaturas, la viscosidad del liquido tiene valores y pg respectivamente, y puede suponerse
que la densidad y la conductividad térmica del líquido son constantes. Encontrar la distribución de velocidad en este sistema de flujo no isotérmico, despreciando los efectos finales y rcconociendo que en este flujo carece de importancia el calentamiento viscoso. Supóngase que
la dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura puede expresarse con una
ecuación de la forma p = A$fl, donde A y B son constantes empíricas; este hecho lo sugiere la
teoría de Eyring que se proporcionó en 51.5.
Primero resolvemos Ia ecuación de energía para obtener el perfil de temperatura, y luego éste se usa para encontrar la dependencia de la viscosidad con respecto a la posición. Después, la ecuacibn de movimiento puede resolverse a fin de obtener el perfil de velocidad.
Postulamos que T = T ( x ) y que v = S,v,(x). Entonces la ecuación de energía se simplifica a
406
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
La expresión anterior puede integrarse entre las dos temperaturas terminales conocidas para
obtener
La dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura puede escribirse como
donde B es una constante que se determina a partir de datos experimentales de la viscosidad
contra la temperatura. Para obtener la dependencia de la viscosidad con respecto a la posición, combinamos las dos últimas ecuaciones para obtener
i-)- exp
Po
[
)](:
3T ~ $
- iB
erp
($)]
La segunda expresión es una buena aproximación si la temperatura no cambia mucho través de la película. Cuando esta ecuación se combina con la ecuación 11.4-17, escrita paq
T = T, entonces se obtiene
Esto es lo mismo que la expresión usada en el ejemplo 2.2-2, si a se hace igual a -ln(fi,/po)
Por tanto, podemos tomar el resultado de1 ejemplo 2.2-2 y escribir el perfil de velocidad
como
i
vz =
( 1
1
/
[
1 + ( x l a ) ln ( p g / m )
bi/dx/a
I
-
+ ln ( p S / p O )
(ps/p0)
(11.4-205N
Esto completa el análisis del problema que empez6 en el ejemplo 2.2-2, al proporcionar el v$
lor idóneo de la constante a.
4
5
En la figura 11.4-1 se muestra un sistema con dos envolturas esféricas concéntricas porosas d$
radios KR y R. La superficie interna de la envoltura exterior está a la temperatura TI, y la
perficie externa de la envoltura interior esta a una temperatura inferior T,. Desde la envo
ra interior sale aire seco radialmente a TKhacia el espacio intermedio y luego al exterio
través de la envoltura externa. Deducir una expresión para la velocidad de eliminación de c
lor necesaria desde la esfera interior, como una función de la velocidad de flujo de masa d
gas. Supóngase flujo laminar estacionario y que la velocidad del gas es baja.
En este ejemplo se resuelven las ecuaciones de continuidad y movimiento para obten
la distribución de temperatura. La ecuación de movimiento proporciona información acer
de la distribución de presión en el sistema.
sOLzrcro~
Para este sistema postulamos que v = 6,v,(r), T = T(r)y 9= YP(r). Entonces, la ecuación de
tinuidad en coordenadas esféricas se convierte en
l (rZpu,)= O
Y2 d r
M. Jakob, Heat Transfer, Vol. 2, Wiley, Nueva York 119571, pp. 394 415
-
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 407
Figura 11.4-1 Enfriamiento por
transpiraci6n. La esfera interior se
enfría por medio de un serpentín de
refrigeración para mantener su
temperatura a TK.Cuando sale aire
seco radialmente, como se muestra,
se requiere menos refrigeración.
Flujo de aire hacia afuera
Esta ecuación puede integrarse para obtener
w,
= const. = 47r
Aquí w, es h velocidad radial de flujo másico del gas.
La componente r de la ecuación de rnovirnienlo en coordenadas esféricas es, a partir de la
ecuación B.6-7,
El término de la viscosidad se elimina debido a la ecuación 11.4-21.Luego, al integrar la ecuación 11.4-23, se obtiene
P ( r ) - 9 (R) =
Por tanto, la presión modificada 9aumenta con r, pero sólo muy ligeramente para la baja velocidad del gas que se supuso aquí.
La ecuación de energía en términos d e la temperatura, en coordenadas esféricas es, según
la ecuación 8.9-3,
Aquí hemos utilizado la ecuación 11.2-8, para Ia cual se supone que la conductividad terinica es constante, que la presión es constante y que no hay disipación viscosa: todas suposiciones razonables para el problema a la mano.
Cuando la ecuación 11.4-22para la distribución de velocidad se usa por v, en la ecuación
11.4-25, se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la distribución de temperatura T(r1
en el gas que está entre las dos envolturas:
408
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Figura 11.4-2 Efecto del entriamienlo
1.o
por transpiración.
8$
0.8
.S
4
,1
Ol
0.4
.l 9
8
O2
O
O
I
2
3
Velocidad de transpiracidn adimensionai, 4
4
Hacemos el cambio de variable u = $ ( d T / d r ) y obtenemos una ecuación diferencial de primer
orden de variables separables para u(r).Esta ecuación puede integrarse, y una vez que se aplican las condiciones límite, se obtiene
donde Ro = w r C p / 4 ~es
k una constante con unidades de longitud.
La velocidad de flujo de calor hacia la esfera interior es
y ésta es Ia velocidad de eliminación de calor necesaria por el refrigerante. Al insertar la ley de
Fourier para la componente r de la densidad de flujo de calor se obtiene
A continuación evaluamos el gradiente de temperatura en la superficie con ayuda de la ecuación
11.4-27 a fin de obtener Ia expresi6n para la velocidad de elimuiación de calor
En el límite, la velocidad de flujo másico del gas es cero, de modo que Ro = O, la velocidad de
eliminación de calor se vuelve
Así, la reducción fraccionaria en eliminación de calor como resultado de la transpiración del gas es
4 = Xo(l - K ) / K R= w r c p ( l - K ) / ~ T KesR la
~ "velocidad adirnensional d e transpiración". La ecuación 11.4-32 se muestra gráficamente en la figura 11.4-2. Para valores pequeños
de 4, la cantidad (Qo - Q ) / Q otiende a la asíntota +$.
Aquí
por convección libre
desde una lámina
vertical
Una lámina vertical plana de altura H y ancho W (con W >> H) calentada a una temperatura To
se encuentra suspendida en un gran cuerpo de fluido que esta a la temperatura ambiente TI.
En la vecindad de la lámina calentada el fluido asciende debido a h fuerza de flotación (véase
la figura 11.4-3).A partir de las ecuaciones de variación, deducir la dependencia de la pérdida
de calor con respecto a las variables del sistema. Se considera que las propiedades físicas del fluido son constantes, excepto que e1 cambio de densidad con la temperatura será explicado por la
aproximación de Boussinesq.
g11.4 Uso de las ecuaciones de variacidn para resolver problemas de estado estacionario 409
Figura 11.4-3 Los perfiles de temperatura y velocidad en la vecindad de una lámina vertical caliente.
Postulamos que v = Gyvy(y,z ) + 8,v,(y, z) y que T = T(y, z). Suponemos que el fluido caliente
se mueve casi directamente hacia arriba, d e modo que vy << v,. Así, las componentes x y y
de la ecuación 11.3-2 dan p = p(z), de modo que la presión está dada hasta una muy buena
aproximación por - d p / d z - 2 = 0, que es la distribución de presión hidrostática. Las ecuaciones de variación restantes son
Movimiento:
3
donde 5 y se evalúan a la temperatura ambiente TI. Los términos subrayados con una línea
discontinua se omitirán con base en que el transporte de cantidad de movimiento y de energía por procesos moleculares en la dirección z es pequeño en comparación con los términos
convectivos correspondientes en el miembro izquierdo de las ecuaciones. Estas omisiones deben proporcionar una descripción satisfactoria del sistema, excepto por una pequeña región
alrededor del fondo de la lámina. Con esta simplificación, las siguientes condiciones límite
bastan para analizar el sistema hasta z = H.
eny=O,
cuando y
e n z = 0,
vY = o = O
+ 2 m,
u,+O
v, = O
y
y
T=T,
T+T,
(11.4-36)
(11.4-37)
(11.4-38)
410
Capítulo 11
1
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Nótese que el aumento de temperatura aparece en la ecuación de movimiento y que la dish.
bución de velocidad aparece en la ecuación de energía. Así, estas ecuaciones están "acopladas". Es muy difícil encontrar soluciones analiticas de estas ecuaciones diferenciales no
lineales acopladas, de modo que aquí nos damos por satisfechos con un enfoque de análisis
dimensionat
Para realizar dicho anáiisis introducimos las siguientes variables adimensionales:
0 = --A- temperatura adirnensional
(11.439)
To - TI
z
5== coordenada vertical adimensional
H
7=
(5)1/4y
= coordenada
horizontal adimensional
u, = velocidad vertical adimensional
= velocidad horizontal
adimensional
(11.M)
(11.441)
(11.4-42)
(11.4-43)
donde a = k i j - P p y B = P ~ ~ -( TI).
T ~
Cuando las ecuaciones de variación, sin los términos subrayados con una línea discontinua, se escriben en función de estas variables adirnensionales, se obtiene
Continuidad:
Movimiento:
Así, las condiciones limite precedentes se vuelven
C. L. 1:
en 7) = 0,
C. L. 2:
cuando g + m,
C . L. 3:
en{-0,
4y = = o,
4z + 0,
dz = 0
0 = 1
(11.4-47)
@-+O
(1 1.4-48)
(11.4-49)
A partir de estas ecuaciones y condiciones límite puede observarse de inmediato que las componentes adimensionales de la velocidad +y y yZy la temperatura adimensional O dependen
de 7 y 5 y también del numero de Prandtl, Pr. Debido a que en convección libre el flujo s u e
le ser muy lento, en general los términos en que aparece Pr son bastante pequeños: igualarlos a cero corresponde a la "suposición de fiujo reptante". Por tanto, esperamos que la
dependencia de la solución con respecto al número de Prandtl sea débil.
La densidad media de flujo de calor desde un lado de la lámina puede escribirse como
Ahora la integral puede escribirse en términos de las cantidades adirnensionales
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 411
donde el agrupamiento Ra = GrPr se denomina numero de Rayleigh. Debido a que O es una
función de 77, l y Pr, la derivada J O / d q también es una función de q,c y Pr. Entonces, dO/ d v
evaluada en 77 = O sólo depende de y Pr. Por tanto, la integral definida sobre l e s una
función de Pr. A partir de las observaciones que acaban de hacerse, podemos inferir que esta función, denominada C, sólo será una función débil del número de Prandtl, es decir, casi
una constante.
El análisis precedente muestra que, incluso sin resolver las ecuaciones diferenciales parciales, podemos predecir que la densidad media de flujo de calor es proporrional a la potencia de la diferencia de temperatura (To - TI) e inversamente proporcional a la potencia f de H.
Ambos pronósticos se han confirmado experimentalmente.Lo único que no pudimos hacer fue
encontrar C como una función de Pr.
Para determinar esa función, debemos hacer mediciones experimentales o resolver las
ecuaciones 11.4-44 a,11.4-49.En 1881, Lorenz3 obtuvo una solución aproximada de estas ecuaciones y encontró que C = 0.548. Después, cálculos más refinados4produjeron la siguiente dependencia de C con respecto a Pr:
Estos valores de C coinciden casi exactamente con las mejores mediciones experimentales en
el intervalo del flujo laminar (es decir, para GrPr < 1 0 ~ 1 . ~
Deducir ecuacionec para la relación de la presión local con la densidad o la temperatura en
una corriente de un gas ideal donde la densidad de flujo de cantidad de movimiento T y la
densidad de flujo de calor q son despreciables.
jin'jkcción en un gas
mes 1
SOLUCI~N
Cuando se desprecian T y q, Ia ecuación de energía [ecuación (í)en la tabla 11.4-11 puede volver a escribirse como
Para un gas ideal,
vuelve
pc= RT/M, donde M es el peso molecular del gas, y la ecuación 11.4-52 se
Al dividir esta ecuación entre p y suponiendo que la capacidad termica molar Cp =
constante, de nuevo podemos usar la ley del gas ideal para obtener
~e~es
L. Lorenz, Wiedemann's Ann. der Physik u. Chemie, 13,422-447,582-606 (1881). Véase también U. Griguii, Die
Grundgesefze del Warmaibertragung, Springer-Verlag, Beriín, 3a. edición (1955), pp. 263-269.
Véase S. Whitaker, Fundamental Principies of Heat Transfer, Krieger, Malabar Fla. (19771, 55.11.E. J. LeFevre [Heat
Div. Paper 113, Dept. Sci. and Ind. Res., Mech. Engr. Lab. (Gran BretaÍia), agosto de 19561 ha trabajado numéricamente
en caso limite de Pr + m, quien encontró que
La ecuaci6n 11.451a corresponde al valor C = 0.670 de arriba. C. R. Wilke, C. W. Tobias y M. Eisenberg, J. Elechochon. SOC.,
100,513-523 119531, han verificado experimentalmente este resultado para el problema análogo de transferencia de materia.
Para uii análisis de convección libre en flujo reptante en tres dimensiones, vease W. E. Stewart, Int. J. Heal ond
Mass Traltsfer, 14,1013-1031 (1971).
412
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Por tanto, la cantidad entre paréntesis es una constante a lo largo del recorrido de un
to de fluido, ya que es su antilogaritmo, de modo que se tiene
T Cp/Rp
-l
4
= constante
Esta relación es válida para todos los estados termodinámicos p, T que un elemento de fluido encuentra a medida que se mueve junto con el fluido.
- Al introducir la definición y =
y las relaciones de los gases ideales C,, - Cv = R y
p = pRT/M, se obtienen las expresiones relacionadas
$/ev
$7-
l)/y T -1 = constante
pp Y = constante
Las tres últimas ecuaciones se usan frecuentementeen el estudio de procesos adiabáticos sin
fricción en dinámica de gases ideales. La ecuación 11.457 es una relación famosa que merece
la pena recordar.
Cuando la densidad de flujo de cantidad de movimiento T y la densidad de flujo de calor q son cero, no hay cambio en Ia entropía siguiendo a u n elemento de fluido (véase la ecuación 11D.I-3). Por tanto, debe entenderse que la derivada d ln p / d In T = y / ( y - 1) que sigue
el movimiento del fluido significa ( a ln p / a ln T)c = y / ( y - 1).Esta ecuación es una fórmula
estándar de la termodinámica en equilibrio.
=+
- ..
@#m
Flujo compresible
unidimensional:
perfiles de velocidad,
temperatura Y presión
en una onda de
estacionaria
Aqui consideramos la expansión adiabáticaGtOde un gas ideal a través de una boquilla convergente-divergente en condiciones tales que se forma una onda de choque estacionaria. El
gas entra a la boquilla desde un depósito, donde la presión es p,,, y descarga a la atmósfera,
donde la presión es p, En ausencia de una onda de choque, el flujo a través de una boquilla
bien diseñada es virtualmente sin fricción (por tanto, icentrópico
para la situación adiabática
.
en consideración).Si, además, p,/po es lo bastante pequeña, se sabe que el flujo es esencial.
mente sónico en el estrechamiento (la región de sección transversal mínima) y es supersónico en la porción divergente de la boquilla. En estas condiciones, la presión decrece de manera
continua y la velocidad crece en la dirección de flujo, como se indica con las curvas en Ia figura 11.4-4.
Sin embargo, para cualquier diseño de boquilla, hay un intervalo de palpo para el que
tal flujo isentrópico produce una presión menor que p, en la salida. Así, el flujo isentr6pica
se vuelve inestabIe. La más sencilla de muchas posibilidades es una onda de choque normal
estacionaria, que se muestra esquemáticamente en la figura 11.4-4 como un par de rectas paralelas muy próximas entre sí. Aqui la velocidad desciende muy rápido a un valor subsónico, mientras que la presión y la densidad se elevan. Estos cambios tienen lugar en una regi6n
extremadamente delgada, que por tanto puede considerarse unidimensional y laminar localmente, y van acompañados por una disipación bastante importante de energía mecánica.
Así, los efectos de la disipación viscosa y la conducción de calor están concentrados en una
región extremadamente pequeña de la boquilla, y el objetivo del ejemplo es investigar el
comportamiento del fluido ahí. Para simplificar las cosas se considerará que la onda de
choque es normal a las líneas de corriente del fluido; en la práctica, a menudo se observa11
formas mucho más complicadas. La velocidad, la presión y la temperatura justamente coa
H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gas Dynarnics, Wiley, Nueva York (1957), 55.4 y 513.13.
J.O.Hirschfelder, C. E Curtiss y R. B. Bird, Moiecular Theory $Gases and Liquidc, Wiey, Nueva York, 2.a.
impresión corregida (1964),pp. 791-797.
M. Morduchow y P. A. Libby, J. Aeromutical Sci., 16, 674-684(1948).
R. von Mises, J. Aeronautical Sci,. 17,551-554 (1950).
'OG. C. S. Ludford, J. Aeronautical Sci., 18,830-834(1951).
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 413
entrada
iP=rn
1
C
t
I
Boquilla
Trayectoriaisentr6pica
- C x
Distancia
Figura 11.4-4 Formación de una onda de choque en una boquilla.
rriente arriba del choque pueden calcularse y se considerarán como conocidas para efectos
de este ejemplo.
Usar las tres ecuaciones de variación para determinar las condiciones en que una onda
de choque es posible y para encontrar las distribuciones de velocidad, temperatura y presión
en tal onda de choque. Supóngase flujo unidirnensiona1estacionario de un gas ideal, despreciar la viscosidad de dilatación K e ignorar los cambios de p, k y
con la temperatura y la
presión.
e,
Las ecuaciones de variación en la vecindad de la onda de choque estacionaria pueden simplificarse a
Continuidad:
Movimiento:
d
-p,=o
dx
p x ddvx
x = - - + -d-p
d
4 d
3 dx
(11.4-58)
(
du
dx
/L^l
Energía:
La ecuación de energía está en la forma de la ecuación J de la tabla 11.4-1, escrita para un gas
ideal en una situación de estado estacionario.
La ecuación de confinuídad puede integrarse para obtener
Px= Plvl
(11.4-61)
donde pl y vl son cantidades a evaluar a una corta distancia corriente arriba del choque.
414
1
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotkrmicos
En la ecuación de energía eliminamos pv, usando la ecuación 11.4-61 y dp/dx mediante la
ecuación de movimiento para obtener (luego de reordenar los términos)
En seguida movemos el segundo término del miembro derecho al miembro izquierdo y
dividimos toda la ecuación entre plul.Luego, cada término se integra con respecto a x p,.I
ra obtener
~ T + ~ $ = k~ ~ d( C ~ T + $ P ~ ) + V ' , ) + C (11.463)
~
donde CI es una constante de integración y Pr = ¿?,,p/k. Para la mayor parte de los gases, pr
está entre 0.65 y 0.85, con un valor medio próximo a 0.75. En consecuencia, para simplificar
el problema igualamos Pr a Así, la ecuación 11.443 se vuelve una ecuación diferencial
dinaria Lineal de primer orden, cuya solución es
a.
ep~
+ $ 3no puede aumentar sin límite en la dirección x positiva, entonces la
Debido a que
segunda constante de integración, ,C, debe ser igual a cero. La primera constante de integración se evalúa a partir de las condiciones corriente arriba, de modo que
a,
Por supuesto, de no haber elegido a Pr igual a hubiera sido necesaria una integración numérica de la ecuación 11.4-63.
Después sustituimos la ecuación de continuidad integrada en la ecuación de movimiento
e integramos una vez para obtener
Al evaluar la constante CiIl a partir de las condiciones corriente arriba, donde d v , / d x = 0,
se obtiene C,,, = pI$ + pi = p,[v: + ( R T I / M ) ]Luego
.
multiplicamos ambos miembros por
v, y dividimos entre p,ul Después, con ayuda de la ley de los gases ideales, p = pRT/M, y las
ecuaciones 11.4-61 y 11.4-65, podemos eliminar p de la ecuación 11.4-60 para obtener una re
lación que sólo contiene a u, y a x como variables:
Después de bastante trabajo de reordenamiento, esta ecuación puede volver a escribirse en
términos de variables adimensionales:
Las cantidades adimensionales relevantes son
u
4 = A = velocidad adimensional
(11.469)
X
5 = - = coordenada adimensional
A
Ma, =
v1
~ Y R T/ M
,
= número de Mach en la
(11.4-70)
condición comente arriba
(11.4-n)
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 415
La longitud de referencia A es el reconido medio libre definido en la ecuación 1.4-3 (con d2
eliminado al usar la ecuación 1.49):
Podemos integrar la ecuación 11.4-68 para obtener
+(o
Esta ecuacibn describe la distribución de velocidad adimensional
que contiene una constante de integración .$ = xo /A, que especifica la posición de la onda de choque en la boquilla;
aqui se considera que se conoce h. A partir de la gráfica de la ecuacíón 11.4-75 en la figura
11.4-5 se obsewa que efectivamente las ondas de choque son muy delgadas. Las distribuciones de temperatura y presión pueden determinarse a partir de la ecuación 11.4-75 y las
ecuaciones 11.4-65 y 11.4-66. Debido a que 4 debe tender a la unidad cuando 6 - t - m, la
constante a es menor que 1. Esto s6Io puede ser cierto si Mal > 1, es decir, si el flujo comente
arriba es supers6nico. También puede verse que para 5 positivo muy grande, la velocidad adimensional4 tiende a a.El número de Mach Ma, se define como la razón de vl a la velocidad
del sonido a TI (véase el problema IlC.1).
En h deducción anterior elegimos el número de Prandtl como igual a f, pero la solución
se ha extendidoaa fin de incluir otros valores de Pr, así como la variación de la viscosidad con
la temperatura.
La tendencia de un gas en flujo supersónico a revertirse espontáneamente a flujo subsónico es importante en túneles de aire y en el diseño de sistemas a gran velocidad; por ejemplo, en turbinas y motores de cohetes. N6tese que los cambios que se llevan a cabo en ondas
de choque son irreversibles y que, debido a que los gradientes de velocidad son tan pronunciados, se disipa una cantidad considerable de energía mecánica.
En virtud de la delgadez de la onda de choque predicha, con base en las ecuaciones de
variación del continuo podría cuestionarse la aplicabilidad del análisis aquí proporcionado.
En consecuencia, es aconsejable comparar la teoría con la experimentación. En fa figura
11.4-6 se comparan mediciones experimentales de la temperatura para una onda de choque
en helio con la teona para y = $, Pr = $ y
T0.647.
Podemos ver que la coincidencia es excelente. Sin embargo, debemos reconocer que éste es un sistema sencillo, ya que el helio es
monoatómico y en consecuencia no aparecen grados de libertad internos. Ei análisis correspondiente para un gas biatómico o poliatómico debe considerar el intercambio de energía entre los grados de libertad de traslación e internos, lo cual suele requerir cientos de colisiones,
ampliando considerablemente la onda de choque. En el capítulo 11 de la referencia 7 puede
encontrarse un análisis más detallado sobre este tema.
-
Figura 11.4-5. Distribución
de velocidad en una onda de
( x - ro),cm X
105
choque estacionaria.
416
Capítulo 11
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
Posición adimensional en la d i ó n del flup
4
Figura 11.4-6 Gráfica semilogarítmica del perfil de temperatura a través
de una onda de choque, para helio con Mal = 1.82. Los valores experimentales fueron medidos con un termómetro de alambre de resistencia. [Adaptado de H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements #Gas Dynamics, Wiley,
Nueva York (1957), p. 333.1
Ahora que hemos mostrado cómo usar las ecuaciones de variación para sistemas no
isotérmicos a fin de resolver problemas representativos de transmisión de calor,
abordaremos el análisis dimensional de estas ecuaciones.
Precisamente como el análisis dimensional en 53.7 proporcionó una introducción para estudiar los factores de fricción en el capítulo 6, el material en esta sección
proporciona el contexto necesario para el análisis de correlaciones del coeficiente de
transmisión de calor en el capitulo 14. Así como en el capítulo 3, aquí también escribimos las ecuaciones de variación y las condiciones límite en forma adimensional.
De esta manera encontramos algunos parámetros adimensionales que pueden usarse para caracterizar sistemas de flujo no isotérmicos.
Sin embargo, veremos que el análisis de sistemas no isotérmicos conduce a un
mayor número de grupos adimensionales de los que teníamos en el capítulo 3. Como resultado, es necesario depender más de simplificaciones prudentes de las ecuaciones de variación y de modelos físicos elegidos cuidadosamente. Ejemplos de
estos últimos son la ecuación de movimiento de Boussinesq para convección libre
(511.3) y las ecuaciones de capa límite laminar (512.4).
Así como en 53.7, para simplificar las cosas, el análisis se restringirá a un fluido
con p, k y constantes. La densidad se toma como p = p - $(T - 73 en el término
pg en la ecuación de movimiento, y p = 2 en cualquier otra parte (Ia "aproximación
de Boussinesq"). Entonces, las ecuaciones de variación se vuelven, con p + &h expresado como P,
cp
(V - v) = O
Conf inuidad:
Movimiento:
Energía:
Dv
~-=-vP+~v~v-%~~(T-T)
Dt
-
DT
peP = kV2T + p@,
Dt
-
(11.5-1)
(11.5-2)
(11.5-3)
911.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
417
Ahora introducimos cantidades hechas adimensionales con las cantidades características (subíndice O o 1) como sigue:
Aquí I,, u, y Poson las cantidades de referencia que se introdujeron en 53.7, y To y
TI son temperaturas que aparecen en las condiciones limite. En la ecuación 11.5-2,el
valor T es la temperatura alrededor de la cual se expandió la densidad p.
En términos de estas variables adimensionales, las ecuaciones de variación en
las ecuaciones 11-5-1a 11.5-3 asumen las formas:
( b e t)=O
Confinuidad:
-=-v~+~&Iv~+-I
DÍr
Movimiento:
Tabla 11.5-1
~t
Elección
p a r a vo -t
[@'"8(21
I
'O)
(11.5-8)
G r u p o s adimensionales en las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9
Casos
espeales +
-
(11.5-7)
Convección
forzada
Intermedia
Convección
libre
Conveccibii
libre
(A)
(m
./lo
allo
Vo
vo
Despreciable
-
1
RePr
1
RePr
1
-
Br
Despreciable
Gr
Re2
GrP?
Pr
1
Despreciable
RePr
Notas:
a Para convección forzada y convección forzada-más-libre ("intermedia"), vo suele tomarse como la
velocidad de aproximación (para flujo alrededor de objetos sumergidos) o una velocidad media en el sistema (para flujoen condudos).
Para convección libre hay dos opciones normales para uw identificadas como A y B. En 510.9, el caco A
se presenta en forma natural. El caso B es conveniente si la suposición de flujo reptante es apropiada, de
modo que D%/D ¿puede despreciase (véase el ejemplo Jl.5-2),Luego, en la quaci6n 3.7-4 puede introducirse una nueva diferencia de presión adimensional 9 = Pr 9,
diferente de @, de modo que cuando la
ecuación de movimiento se divide entre Pr, el único grupo adimensional que aparece en la ecuación es
GrPr. Nótese que en el caso B no aparecen grupos adimensionales en La ecuación de energía.
418 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotémicos
Tabla 11.52 Gmpos adimensionales usados
en sistemas no isotérmicos
-
VI
Re = [lo~,,p/pI= [louo/
= Número de Reynolds
Pr = [epp/kl
= [v/a]
= Niímero
Gr = [@(TI - To)13,/$]
= Número de
Br = [ p i / k (TI
= Número
-
TO)]
de Prandtl
Grashof
de Brinkman
Pé = RePr
= Ntímero de Péclet
Ra = GrPr
= Número de Rayleigh
Ec = Br/Pr
= Número de Eckert
La velocidad característica puede elegirse de varias formas, y en la tabla 11.5-1se re
sumen las consecuencias de las opciones. Los grupos adimensionales que aparecen
en las ecuaciones 11.5-8y 11.5-9, junto con algunas combinaciones de esos grupos,
se resumen en la tabla 11.5-2. Otros grupos adimensionales pueden surgir en las
condiciones límite o en la ecuación de estado. Los números de Froude y de Weba
ya se introdujeron en 53.7,y el número de Mach se introdujo en el ejemplo 11.4-7.
En el capítulo 10 ya vimos cómo en la solución de problemas no icotérmicos
aparecieron varios grupos adimensionales. Aquí hemos visto que las mismas agmpaciones aparecen de manera natural cuando las ecuaciones de variación se hacen
adimensionales. Estos grupos adimensionales se usan ampliamente en corre1aciones
de coeficientes de transmisión de calor.
Algunas veces es útil considerar a los grupos adimensionales como relaciones
de vanas fuerzas o efectos en el sistema, como se muestra en la tabla 11.5-3. Por
ejemplo, el término inercia1 en la ecuación de movimiento es p[v - Vvl y el término
viscoso es LcV2v.Para obtener valores "típicos" de estos términos, las variables deben sustituirse por los "patrones de medida" característicos usados en la construcción de variables adimensionales. Por tanto, p[v Vvj se reemplaza por pv;/I,, y
p ~ 2 se
v sustituye por ~ v , / l ;a fin de obtener órdenes de magnitud aproximados. La
razón de estos dos términos proporciona entonces el número de Reynolds, como
se muestra en la tabla. Los otros grupos adimensionales se obtienen de manera semejante.
Un valor bajo del número de Reynolds significa que las fuerzas viscosas son
grandes en comparación con las fuerzas inerciales. Un valor bajo del número de
Brinkman indica que el calor producido por la disipación viscosa puede transportarse lejos rápidamente por conducción de calor. Cuando Gr/Re2 es grande, la fuerza de flotación es importante para determinar el patrón de flujo.
Debido a que el análisis dimensional es un arte que requiere prudencia y experiencia, proporcionamos tres ejemplos ilustrativos. En los dos primeros analizamos la convección forzada y la convección libre en geometrías sencillas. En el,
tercero analizamos problemas de escalación en una pieza de equipo relativamen-i
te compleja.
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 419
Tabla 11.5-3
Interpretación física de Ios grupos adimensionales
Re=-- @,/lo - fuerza inercial
pvo/12, fuerza viscosa
,
fuerza de gravedad
Fr=--P ~ B / I transporte
de calor por convección
pg
Gr
-~ e -'
Pé = RePr =
Br =
temperatura alrededor
de un cilindro largo
%@(TI -To) fuerza de flotación
pvi/lo
fuerza inercia1
P S p ~ O-( ~TO)/10
l
k(Tl
- To)/ 1;
transporte de calor por convección
transporte de calor por conducción
de cabr por disipación viscosa
j ~ ( v ~ / l ~- ) producción
~
transporte de calor por conducción
k(T, - To)/lX
Se desea pronosticar Ia distribución de temperatura en un gas que fluye alrededor de un cilindro largo enfriado internamente (sistema 1) a partir de mediciones experimentales hechas sobre
un modelo a escala i p l a un cuarto (sistema TI). De ser posible, el mismo fluido debe usarse en
el modelo y en el sistema a escala natural. El sistema, que se muestra en la figura 11.5-1, es el
mismo que en el ejemplo 3.7-1, excepto que ahora es no isotérmico. El fluido que se aproxima al
cirindro tiene una velocidad u_ y una temperatura T_, y la superficie del cilindro se mantiene a
Tw por ejemplo, por medio de la ebullición de un refrigerante contenido en el cilindro.
Demostrar por inedio del análisis dimensional lo idóneas que pueden ser las condiciones experimentales para estudiar el mo-elo. Hacer el análisis dimensional para el "caso intermedio" en la tabla 11.5-1.
Los dos sistemas, 1y 11, son geométricameiitesemejantes. Para asegurar semejanza dinámica,
como se indicó en 53.7, las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite adimensionales
deben ser las mismas, y Ios grupos adimensionales que aparecen en ellas deben tener los mismos valores numéricos.
Aquí elegimos que la longitud característica sea el diámetro D del cilindro, que la velocidad caracteristica sea la velocidad de aproximación v_ del fluido, que la presión característica sea la presión a x =
y y = O, y que las temperaturas características sean la temperatura
T del fluido que se aproxima y la temperatura To de la pared del cilindro. Estas cantidades
características se identifican con I o 11, según corresponda al sistema que está describiéndose.
Ambos sistemas se describen por las ecuaciones diferenciales adimensionales proporcir,nadas en las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9 y por las condiciones límite
--
C. L. 1:
cuando i2+ ij2 -+
m,
G -+ 6,,
?+1
(11.5-10)
donde T = (T - T,,)/(T, - To).Para esta geometría sencilla, las condiciones límite no contienen p p o s adimensionaIes. En consecuencia, el requerimiento de que las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite en forma adimensional sean idénticas es que los siguientes
420 Capítulo 11
Ecuaciones de variacián para sistemas no isotérmicos
a) Sistema
T = (TdI
+\
b) Sistema pequeño (sistema ID:
Figura 11.5-1 Perfiles de temperatura alrededor de cilindms largos
calentados. Las líneas de contorno en las dos figuras representan
superficies de temperatura constante.
e
P
grupos adimensionales sean iguales en los dos sistemas: Re = W v , p / ~Pr
, =
p / k , Br =!
p2,/k(T, - TO)y Gr = p 2 g ~ ( ~T
, o ) D 3 / p 2 .En el último grupo usamos la expres$n P = 1/TI
del gas ideal.
A fin de obtener la igualdad necesaria para los cuatro grupos adimensionales rectore
podemos usar diferentes valores de los cuatro parámetros disponibles en los dos sistem
la velocidad de aproximación v,, la temperatura del fluido T,, la presión de aproximad
9, y la temperatura del cilindro To.
Entonces, los requerimientos de semejanza (para DI = 4Dll) son:
d
Igualdad de Pr
Igualdad de Re
Igualdad de Gr
Igualdad de Br
Aquí v = ~ / esp la viscosidad cinemática y a = k l P C pes la difusividad térmica.
La forma más sencilla de satisfacer la ecuación 11.5-13 es usar el mismo fluido a las
mas presión Pmy temperatura de aproximación T , en los dos sistemas. Si se hace lo a n t a
la ecuación 11.5-14requiere que la velocidad de aproximación en el modelo pequeño (11)
cuatro veces la que se utiliza en el modelo a escala natural (1). Si la velocidad del fluido es
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 421
deradamente grande y las diferencias de temperatura son pequeñas, entonces la igualdad de
Pr y Re en los dos sistemas proporciona una aproximación suficiente a la semejanza dinámica. Éste es el caso limite de la convección forzada con disipación viscosa despreciable.
Si, no obstante, las diferencias de temperatura T, - To son grandes, los efectos de la convección libre pueden ser apreciables. En estas condiciones, según la ecuación 11.5-15, para
asegurar semejanza, las diferencias de temperatura en el modelo deben ser 64 veces Las que
hay en e1 sistema grande.
A partir de la ecuación 11.5-16 puede observarse que esta razón de diferencias de temperatura no permite la igualdad del número de Bnnkman. Para lograr esto se requiere una razón de 16. No obstante, este conflicto no se presenta normalmente, ya que los efectos de la
convección libre y del calentamiento viscoso rara vez son importantes de manera simultánea.
Los efectos de la convección libre se presentan en sistemas a baja velocidad, mientras que el
calentamiento viscoso ocurre hasta m grado significativo sólo cuando los gradientes d e velocidad son muy grandes.
~onvecciónlibre en una
capa horizontal de
fluido; formación de las
celdas de Bénard
Deseamos investigar el movimiento por convección libre en el sistema que se muestra en la
figura 11.5-2. El sistema consiste en una delgada capa de fluido entre dos láminas horizontales paralelas, la menor a la temperatura Toy la superior a TI, con TI < To. En ausencia de movimiento del fluido, la densidad de flujo de calor por conducción es la misma para toda z, y
en estado estacionario se establecerá un gradiente de temperatura casi uniforme. Al mismo
tiempo el gradiente de temperatura provocará un gradiente de densidad. Si la densidad disminuye con z creciente, resulta obvio que el sistema será estable, pero si aumenta, ocurre una
situación potencialmente inestable. En este último caso parece posible que cualquier perturbación azarosa puede hacer que el fluido más denso se mueva hacia abajo y desplace atrás de
él al fluido más ligero. Si las temperaturas de las superficies superior e inferior se mantienen
constantes, el resultado puede ser u n movimiento continuo por convección libre No obstante, a este movimiento se opondrán fuerzas viscosas y en consecuencia, puede ocurrir sólo
si la diferencia de temperatura que tiende a provocarlo es mayor que algún valor crítico
mínimo.
Determinar por medio del análisis dimensional la dependencia funcional de este movimiento de fluido y las condiciones en las que puede esperarse que surja.
El sistema es descrito por las ecuaciones 11.5-1 a 11.5-3junto con Ias siguientes condiciones
limite:
Ahora volvemos a plantear el problema en forma adimensional, utilizando 1 - h. Usamos las
9cantidades adimensionales enumeradas en el caso B en la tabla 11.5-1, y elegimos que la temperatura de referencia T sea +(To+ TI), de modo que
Continuidad:
Movimiento:
Energía:
(v - S ) = O
P
422 Capitulo 11 Bcuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
Vista mperior
Vista lateral
Figura 11.5-2 Celdas de
Bknard formadas en la
región entre dos láminas
horizontales paralelas,
donde la lámina inferior
está a una temperatura
superior a la de la
lámina de amba. Si el
número de Rayleigh
excede cierto valor
crítico, el sistema se
vuelve inestable y se
producen celdas
hexagonales de Bénard.
con condiciones límite adimensionales
Si las ecuaciones adimensionales anteriores pueden resolverse junto con las condiciones límite adimensionales, encontraremos que los perfiles de velocidad y temperatura s610 dependen
de Gr, Pr y R/h. Además, mientras mayor sea la razón R / h , menos prominente será su efecto, y en ellímite de grandes láminas horizontales, el comportamiento del sistema dependerá
exclusivamente de Gr y Pr.
Si s610 consideramos flujos reptantes estacionarios, entonces el término D G / D i p u e
de igua!arse a cero. Entonces definimos una nueva diferencia de presión adimensional como
9> = Pr P. Con el miembro izquierdo de la ecuación 11.5-21 igual a cero, ahora podemos dividir
entre Pr y la ecuación resultante contiene s61o un grupo adimensional, a saber, el número de
Rayleigh' Ra = GrPr =
- To)h3c /&, cuyo valor determina el comportamiento del sistema. Esto ilustra cómo es posible r e d c i r el número de grupos adimeniionales necesarios
para describir un sistema de flujo no isotérmico.
El análisis precedente sugiere que puede haber un valor crítico de1 número de Rayleigh,
Y cuando se excede este número crgici ocurre movimiento del fluido. Esta sueerenciá
ha si"
do ampliamente confirmada de manera experimental2p3y se ha encontrado que el número crítico de Rayleigh es 1700 I+ 51 para R / h >> 1. Para números de Rayleigh abajo del número
crítico, el fluido es estacionario, como muestra la observación de que la densidad de flup de calor a través de la capa iíquida es la misma que la pronosticada para conducci6n a través de wi
fluido estático: q, = k(To - T l ) / h .No obstante, tan pronto como se supera el número crítico de
Rayleígh, la densidad de flujo de calor aumPnta bruscamente, debido al transporte de energía convectiva. Un aumento en la condiictividad térmica reduce el número de Rayleigh, moGiendo así Ra hacia su intervalo estable.
La suposición de flujo reptante es razonable para este sistema y es asintóticamente C*
rrecta cuando Pr + m. También es muy conveniente, ya que permite soiuciones analiticas de
El número de Rayleigh se denomina así en honor de Lord Rayleigh (J. W. Stmtt), Phil.Mng., (6)32,529-546
(1916).
P. L. Silveston, Forsch. Ingenieur-Wesen, 24.29-32,59-69(1958).
S.Chandrasekhar, Hydrodynomic and Hydromagnetic lnstobility, Oxford University Press (1961). T. E.Faber, Flud
Dynarnicsfor Physicists, Cambndge University Press (1955). 58.7.
$11.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotémicos
423
las ecuaciones de variación relevantes? En la figura 11.5-2 se presenta el esquema cualitativo
para una solución así, que coincide bien con la experimentación. Este patrón de flujo es celular y hexagonal, con flujo ascendente en el centro de cada hexágono y descendente en la periferia. Las unidades de este patrón fascinante se denominan celdas de B é n a ~ dLa
. ~ solución
analítica también confirma la existencia de un número crítico de Rayleigh. Para las condiciones límite de este problema y R / h muy grande, se ha calculado4 que tal nirmero crítico es
1708, lo cual coincide de manera extraordinaria con el resultado experimental antes citado.
Un comportamiento semejante se observa para otras condiciones límite. Si la lámina
superior de la figura 11.5-2 se sustituye por una interfase liquido-gas, de modo que se desprecia el esfuerzo cortante superficial en el líquido, teóricamente se pronostica convección
celular" para números de Rayleigh superiores aproximadamente a 1101. Un ejemplo espectacular de este tipo de inestabilidad ocurre en la "inversión" primaveral ocasional del agua
en los lagos del norte. Si el agua del lago se enfría cerca del congelamiento durante el invierno, ocurre un gradiente de densidad adverso cuando las aguas superficiales se calientan hacia 4 "C, la temperatura de densidad máxima del agua.
En capas líquidas poco profundas con superficies libres, también pueden presentarse
inestabilidades debido a gradientes de tensión superficial. Los esfuerzos superficiales correspondientes producen convección celular superficial semejante a la que resulta de gradientes de temperatura, y los dos efectos pueden confundirse fácilmente. De hecho,
parece que los flujos estacionarios que Bénard observó por primera vez, y que atribuyó a
efectos de flotación, en realidad pudieron haber sido producidos por gradientes de tensi6n superfi~ial.~
p la superficie
de un serpentín
calentador eléctrico
Se es^ diseñando un serpentín calentador de diámetro D para mantener un gran tanque de Iíqúido por arriba de su punto de congelación. Se desea pronosticar la temperatura que se alcanzará en la superficie del serpentín como una función de la velocidad de calentamiento Q y la
temperatura en la superficie del tanque To. Esta predicción debe hacerse con base en experimentos realizados con un aparato más chico geométncamente semejante lleno del mismo liquido.
Planear un procedimiento experimental adecuado para hacer la predicción deseada. La
dependencia de las propiedades físicas con respecto a la temperatura, aparte de la densidad,
puede despreciarse. Puede suponerse que toda la superficie del serpentín se encuentra a una
temperatura uniforme T I .
Éste es un problema de convección libre, y usamos la columna identificada por A en la tabia 11.51
para Ios gnipos adimensionales.A partir dejas ecmciones de varhci6n y las condiciones límite,
sabemos que la temperatura adimensional T = (T - To)/(T,- T,) debe ser una función de las
coordenadas adimensionales y que debe depender de los grupos adimensionales Pr y Gr.
La velocidad total de entrada de energía a travks de la superficie del serpentín es
Aquí r es la coordenada medida hacia afuera desde la superficie del serpentín y normal a
ésta, S es el área de la superficie del serpentin, y el gradiente de temperatura es el del Auido inmediatamente adyacente a la superficie del serpentin. En forma adimensional, esta relación es
A. Pellew y R. V. Southwell, Pmc.Roy. Soc., A176,312-343 (1940).
H.Bénard, Reuue gdfl&de de sciences pures et eppliquek, 11,1261-1271,1309-1328 (1900); Annales de Chimie el de
Physique,23, 62-144 (1901).
C.V. Stemling y L. E. Mven, AlChE Jouml, 5,514-523(1959);L.E.Ccriven y C. V. Stemling, J. Fluid Me~h.,39,
321-340 (1964).
424 Capítulo 11
Emaciones de variación para sistemas no isotérrnicos
donde I/I es una función de Pr = t p C L / ky Gr = $ ~ B ( T ,- T , ) D 3 / p 2 .Debido a que los sistemas
a gran escala y a pequeña escala son geométricamente semejantes, la función adimensionai
que describe la superficie de integración es la misma para ambos sistemas y por tanto no es
necesario incluirla en la función En forma parecida, si escribimos las condiciones límite para la temperatura, velocidad y presión en el serpentín y las superficies del tanque, obtendre.
mos sólo razones de tamaiios que serán idénticas en los dos sistemas.
Ahora observamos que la cantidad deseada (TI - T,) aparece en ambos miembros de la
ecuación 11.5-27. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el número de Gras
hof, entonces ( T , - To) aparece sólo en el miembro derecho:
+.
En principio, en la ecuación 11.5-28 podemos despejar Gr a fin de obtener una expresión para (TI - T o ) Debido a que estamos despreciando la dependencia de las propiedades físicas
con respecto a la temperatura, podemos considerar que el número de Prandtl es constante para el fluido dado y escribir
Aquí, ($ es una función del grupo ~ p ? ~ p ~ ~que
/ kse$determina experimentalmente. Luego
podemos elaborar una gráfica de la ecuación 115 2 9 a partir de mediciones experimentales
de T,, TI y D para el sistema a pequeña escala, y las propiedades conocidas del fluido. Lue
go, esta gráfica puede usarse para pronosticar el comportamiento del sistema a gran escala.
Debido a que hemos despreciado la dependencia de las propiedades del fluido con mpec
to a la temperatura, podemos hacer algo más. Si mantenemos la razón de los valores Q en los das
sistemas igual al inverso del cuadrado de la razón de los diámetros, entonces la razón correspondiente de los valores de (TI - T,,) será igual al inverso del cubo de la raz6n de los diámetros.
1. Definir energía, energía potencial, energia cinética y energía interna. ¿Qué unidades comunes
se usan para éstas?
2. ¿Cómo se asigna el significado físico a los términos individuales en las ecuaciones 11.1-7 y
11.2-l?
3. Al obtener la ecuación 11.2-7 se us6 la relaci6n
= R, que es válida para los gases ideales. iCuAl es la ecuación correspondiente para gases no ideales y líquidos?
4. Resumir todos los pasos necesarios para obtener la ecuación de variación para la temperatura.
5. Comparar la convección forzada y la convección libre con respecto a los métodos para resolver problemas, hacer análisis dimensionales y su ocurrencia en problemas industriales y meteorológicos.
6. Si la punta cónica de un cohete fuese de un material poroso y durante la reentrada de ésta a
la atmósfera a través de sus poros se forzase lentamente un líquido volátil, ic6rno se afectaría la superficie del cono y por qué?
7. ¿Cuál es el principio de Arquímedes y cómo esta relacionado con el término j g P ( ~
- T ) en
la ecuación 11.3-2?
8. 'Esperaría ver celdas de Bénard mientras calienta una cacerola poco profunda con agua en
una estufa?
9. ¿Cuándo, si acaso, es posible resolver completa y exactamente la ecuación de energía sin
nocer en detalle los perfiles de velocidad del sistema?
10. ¿Cuándo, si acaso, es posible resolver completamente la ecuación de movimiento para un sis.
tema no isotermico sin conocer en detalle los perfiles de temperatura del sistema?
Problemas 425
11A.1 Temperatura en un cojinete de fricción. Calcular la temperatura máxima en el cojinete de
fricci6n del problema 3A.1, suponiendo que la conductívidad térmica del lubricante es 4.0 x
lo4cal/s - cm . C, que la temperatura del metal es 200 OC y que la velocidad de rotación es
4000 rpm.
Respuesta: aproximadamente 217 "C (tanto de la ecuación 11.413 como de la ecuación 10.4-9)
llA.2
Variación de la viscosidad y gradientes de velocidad en una película no isotérmica. Por
una pared vertical cae agua formando una película de 0.1 mm de espesor. La temperatura
del agua es 100 "C en la superficie libre de1 líquido y 80 "Cen la superficie de la pared.
a) Demostrar que la máxima desviación fraccionaria entre las viscosidades anticipada por las
ecuaciones 11.417 y 11.4-18 ocurre cuando T =
b) Calcular la máxima desviación fraccionaria para las condiciones dadas.
q6
Respuesta: b) 0.5%
l l A . 3 Enfriamiento por transpiración.
a) Calcular la distribución de temperatura entre las dos envolturas del ejemplo 11.4-4 para
velocidades de flujo másico radiales iguales a cero y l W 5 g/s para las siguientes condiciones:
R = 500 micras
KR = 100 micras
k = 6.13 X
cal/cm
= 0.25 cal/g
T, = 300 "C
T,= 100 OC
S
.C
.C
b) Comparar las velocidades de conducción de calor a la superficie correspondientes a KR en
presencia y en ausencia de convección.
llA.4 Pérdida de calor por convección libre desde una superficie vertical. Un pequeiio panel de
calentamiento consta esencialmente de una superficie rectangular vertical plana de 30 cm de
altura y 50 cm de ancho. Calcular la velocidad total de perdida de calor por convección libre
desde uno de los lados de este panel, si la superficie del panel está a 150 "F,y el aire circundante está a 70 "F y 1 atrn. Usar el valor C = 0.548 de Lorenz en la ecuación 11.4-51 y el valor de
C recomendado por Whitaker, y comparar los resultados de los dos cálculos.
Respuesfa: 8.1 cai/s por la expresión de Lorenz
l l A . 5 Cambios de velocidad, temperatura y presión en una onda de choque. Aire a 1 atm y 70 "F
fluye a un número de Mach corriente arriba de 2 a través de una onda de choque estacionaria. Calcular las siguientes cantidades, suponiendo que y es constante a 1.4 y que C p = 0.24
Btu/lb, . F:
a) La velocidad inicial del aire.
b) La velocidad, la temperatura y la pxesibn corriente abajo de Ia onda de choque.
c) Los cambios de energia cinética e interna a través de la onda de choque.
Respuestas: a) 2250 pies/s
b) 844 pies/s; 888 R; 4.48 atm
C) A U = +61.4 Btu/lb,; Ak= - 86.9 Btu/lb,
11A.6 Compresión adiabática sin fricción de un gas ideal. Calcular la temperatura que alcanza aire comprimido, inicialmente a 100 "F y 1 atm, hasta 0.1 de su volumen inicial. Se supone que
y = 1.40 y que la compresión es sin fricción y adiabática. Analizar el resultado en relación con
la operación de un motor de combustión interna.
Respuesta: 950 "F
l l A . 7 Efecto de la convección libre sobre el valor de aislamiento de un espacio horizontal de aire.
Dos grandes placas metálicas horizontales paralelas están separadas por un espacio de aire
de 2.5 cm, donde el aire está a una temperatura media de 100 "C. ¿Cuánto más caliente pue-
426 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
de estar la lámina inferior (con respecto a la lámina superior) sin provocar el plantearnienbj
de la convección celular libre que se analizó en el ejemplo 11.5-2? ¿Cuánto puede in- !
mentarse esta diferencia de temperatura si entre las dos láminas se coloca una hoja meulica muy delgada?
Respuestas: aproximadamente 3 y 48 OC, respectivamente.
11B.1 Procesos adiabáticos sin fricción en un gas ideal.
a) Nótese que un gas que obedece la ley d e los gases ideales puede desviarse a~reciableme~.
te de = mnstante. Por tanto, volver a trabajar el ejemplo 11.4-6 usando una expresión
ra la capacidad calorífica molar de la forma
ep
b) Determinar la presión final, p2, necesaria si debe calentarse metano (CH,) desde 300K y 1
atm hasta 800K por compresión adiabática sin fricción. Las constantes empíricas recomen&.
das1 para el metano son: a = 2.322 cal/g-m01 .K,b = 38.04 X
cal/g-m01 . K2, y c = -10.97
X lop6ca¡/g-mol - K~.
Respuestas: a) ~ T - P Iexp[-(b/R)T
~
- (c/2R)T21= constante;
b) 9889 atm
llB.2
Calentamiento viscoso en flujo laminar en un tubo (soluciones asintóticas).
a) Demostrar que para flujo laminar newtoniano totalmente desarrollado en un tubo cinxlar de radio R, la ecuación de energía se vuelve
p~puz,máx
[l -
($1
5
I a
=
7
(r
$1
y (ir
4 ~ m&X
$
+
es la velocidad máxima
si no se desprecian los términos de la disipación viscosa.Aquí
en el tubo. ¿Qué restricciones deben imponerse sobre cualquier solución de la ecuación 118.2-l?
b) Para el problema de la pared isotémica (T = Toen r = R para z > O y en z = O para todo r),
encontrar la expresión asintótica para T(r) para z grande. Hacer lo anterior reconociendo que
d T l d z es cero para z grande. Resolver la ecuación 118.2-1 y obtener
c) Para e1 problema de la pared adiabática (q, = O en r = R para toda z ) puede encontrarse una
solución asintótica para valores de z grandes como sigue: multiplicar la ecuación 118.2-1 ~ O I
rdr e integrar desde'r = O hasta r = R. Después, integrar la ecuación resultante sobre z para
obtener
donde T,es la temperatura de entrada en 2 = O. Postular ahora que un perfil de temperatu.
ra asintótico a z grande es de la forma
Sustituir esto en la ecuación 128.2-1 e integrar la ecuación resultante para f ( r ) a fin de obtem
'
I
O. A. Hougen, K.M.Watson y R. A. Ragatz, Chemicul Prufess Principies, Parte 1,Za. edición, Wiley, Nueva York (1958)l P'
255. Vease también la Parte U,pp. 646-653, para un análisis más completo de cálculos del proceso isentrbpico.
1
01
Problemas 427
81
8
/
Sólido
Perforación en h parte
superior (enel "polo norte")
Perforación semejante
I
Figura 11B.4 Conducción de calor en una envoltura esférica: al sección transvercal
que contiene a1 eje z; b) vista superior de la esfera.
Recuérdese que las soIuciones en las ecuaciones 11B.2-2 y llB.2-5 son válidas s610 para z
grande. La solución completa para z pequeh se analiza en el problema llD.2.
11B.3 Distribución de velocidad en una película no isotérmica. Demostrar que la ecuación
11.4-20 cumple los siguientes requerimientos:
a} En x = 6, v, = 0.
b)Enx=O,dv,/ax=O.
c) lím v,(x) = (pgs2 cos P/2&}[1 - (x/¿q21
P,+h
118.4 Conducción de calor en una envoltura esférica (figura llB.4). Una envoltura esférica tiene
radios interior y exterior RI y R2, En el polo norte de la envoltura se hace una perforación
cortando el segmento del cono en Ia región O 5 8 5 el. En el polo sur se hace un orificio semejante eliminando la porción (T - el) 5 9 5 T. La superficie O = O1 se mantiene a la temperatura T = TI, y la superficie 8 = .ir- 19, se mantiene a T = T2.Encontrar ia distribución de
temperatura en estado estacionario, usando la ecuación de conducción de calor.
118.5 Conducción axial de calor en un alambre2 (figura 11B.5).Un alambre de densidad constante p se mueve hacia abajo con velocidad uniforme v hacia adentro de un baño de metal líquido que está a la temperatura T,,. Ce desea encontrar el perfil de temperatura T(z). Supóngase
que T = T, en z m, y que la resistencia a la conducción axial de calor es despreciable. Además, supóngase que Ia temperatura del alambre es T = To en z = 0.
a) Primero resolver el problema para propiedades físicas constantes y k. Obtener
-
ep
b) Luego, resolver el problema cuando P y k son funciones conocidas de la temperatura adimensional@: k = k m K ( 0 )y
=
L ( 8 ) . Obtener el perfil de temperatura,
$
'Sugerido por el profesor C.L. B
ep,
o m Departamento de ingeniería Mecánica, Universidad de Wwonsin
428 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
La temperatura del alambre
lejos de la superficie de metal
El alambre se mueve hacia abajo
a la velocidad constante v
uperficie de metal líquido
Figura 116.5 Alambre que se mueve hacia un baño
de metal liquido.
c) Verificar que la solución en el inciso b satisface la ecuación diferencial a partir de la cual
se dedujo.
118.6 Enfriamiento por transpiración en un sistema plano. Dos grandes láminas planas horizontales porosas están separadas por una distancia relativamente pequeña L. La lámina superior
en y = L está a una temperatura TL,y la inferior en y = O se mantiene a la temperatura inferior To. Para reducir la cantidad de calor que debe eliminarse desde la lámina inferior, un gas
ideal a To se sopla hacia arriba a través de ambas láminas a una velocidad estacionaria.
Deducir una expresión para la distribución de temperatura y la cantidad de calor qo que debe
eliminarse desde la lámina fría por unidad de área corno una f ~ c i ó de
n las propiedades del
fluido y la velocidad de flujo del gas. Usar la abreviatura 4 = pCpvyL/k.
T - TL &/L - e+
1 - e4
To - T ,
Respuesta: --
11B.7 Reducción de las pérdidas por evaporacibn, por medio de la transpiración (figura 11B.7).
Se desea aprovechar la transpiración para reducir la velocidad de evaporación de oxígeno líquido contenido en pequeños recipientes. Para ello, el liquido debe almacenarse en un recipiente esferico rodeado por una envoltura esférica de un material aislante poroso como se
muestra en la figura.Entre el recipiente y el aislamiento se deja uri pequeño espacio, tapando la abertura del aislamiento. Durante la operación, el oxigeno que se evapora abandona el
recipiente, circula a través del espacio gaseoso y luego fluye uniformemente hacia afuera a
través de los poros del aislamiento.
Calcular la velocidad de ganancia de calor y pérdida por evaporación desde un tanque
de 1pie de diámetro cubierto por una envoltura aislante de 6 pulg de espesor en las siguientes condiciones con y sin transpiración.
Temperatura del oxígeno líquido
Temperatura de la superficie exterior del aislamiento
Conductividad Mrmica efectiva del aislamiento
Calor de evaporación del oxigeno
media de O2que fluye a través del aislamiento
ep
-297 "F
30 "F
0.02 Btu/h . pie . F
91.7 Btu/lb
0.22 Btujlb . F
Despreciar la resistencia térmica del oxígeno líquido, de la pared del recipiente y del espacio
gaseoso, así como las pérdidas de calor a través del tapón. Supóngase que las partículas del
aislamiento están en equilibrio térmico local con el gas que las rodea.
Respuestas: 82 Btu/h sin transpiración; 61 Btu/h con transpiración
llB.8
Distribución de temperatura en una esfera incrustada. Una esfera de radio R y conduchvidad térmica kj está incrustada en un sólido infinito de conductividad térmica ko. E1 centro de
Problemas 429
Figura 118.7 Uso de la transpiración para reducir
la velocidad de evaporación.
la esfera está ubicado en el origen de coordenadas, y en la dirección z positiva lejos de la esfera hay un gradiente de temperatura A. La temperatura en el centro de la esfera es T ".
Se ha demostrado que Ias distribuciones de temperatura en estado estacionario en la esfera TI y en el medio circundante To son:3
a) ¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales parciales que deben satisfacer las ecuaciones
118.8-1 y 118.8-2?
b) Escribir las condiciones límite que aplican en r = R.
Demostrar que TI y To satisfacen sus ecuaciones diferenciales parciales respectivas en el
inciso a).
d) Demostrar que las ecuaciones llB.8-1 y 118.8-2 satisfacen las condiciones límite en el inciso b).
C)
118.9 Flujo de calor en un só!ido limitado por dos superficies cónicas (figura 11B.9). Un objeto
sólido tiene la forma que se muestra en la figura. Las superficies cónicas O1 = constante y
O2 = constante se mantienen a las temperaturas TI y T2, respectivamente. La superficie esférica en r = R está aislada. Para conducción de calor en estado estacionario, encontrar
a) La ecuación diferencial parcial que debe cumplir T(0).
b) La solución dela ecuación diferencial del inciso a) que contiene dos constantes de integración.
c ) Expresiones para las constantes de integración.
Superficies
cónicas
m
Figura 118.9 Cuerpo formado a partir de la intersección
de dos conos y una esfera.
--.s.L
3
L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Za. edición, Pergamon Press, Oxford (19871, p. 199.
430
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérrnicos
Figura 11B.10 Perfil de temperatura en el congelamie.
de una gota esferica.
d) La expresión para la componente 8 del vector de densidad de flujo de calor.
e) El flujo total de calor ¡cal/s) a través de la superficie cónica en 8 = 6,.
Respuesta: e) Q =
2.rrRk(T,
,
+
-
tan 8,
tan 0
T.4
)
l l E . 1 0 Congelamiento de una gota esférica (figura IXB.10). Para evaluar el desempeno de una b e
quilla atomizadora, se propone atomizar una cera líquida no volátil hacia una corriente de
aire frío. Se espera que las partículas de la cera atomizada solidifiquen en el aire, a partir de
lo cual más tarde pueden recolectarse y analizarse. Las gotas de cera salen del atomizador Egeramente por arriba de su punto de fusion. Calcular el tiempo t necesario para que una g e
ta de radio R se congele por completo, si inicialmente la gota estaf en su punto de fusión Toy
el aire circundante está a T,. Se pierde calor de la gota al aire circundante según la ley de enfriamiento de Newton, con un coeficiente constante de transmisión de calor h. Supóngase
que en el proceso de solidificación no hay cambio de volumen. Resolver el problema usando un método de estado casi estacionario.
a) Resolver primero el problema de conducción de calor en estado estacionario en la fase sólida en la región entre r = Rf (la interfase líquido-sólido) y r = R (la interfase sólido-aire).Sea
k la conductividad térmica de la fase sólida. Luego, encontrar el flujo radial de calor Q a través de la superficie esférica en r = R.
b) Después, escribir un balance de energía en estado no estacionario igualando la liberación
de calor en r = R (t) que resulta del congelamiento del liquido al flujo d e calor Q a través de
f.
la superficie esferica en r = R. Integrar la ecuación diferencial de primer orden de variable
separables resultante: entre los límites O y R, para obtener el tiempo necesario para que la 80ta solidifique. Sea AH el calor latente de congelación (por unidad de masa).
f
Respuestas: a) Q =
h . 4rR2(T0- S
,)
1 hR
l l B . l l Elevación de la temperatura en un gránulo catalizador esférico (figura 11B.ll). Un gránulc
(pellet) catalizador tiene radio R y conductividad termica k (que puede suponerse constante). Debido a la reacción química que ocurre dentro del gránulo poroso, se genera calor a una
velocidad de S, cal/crn3 . s. En la superficie externa del gránulo se pierde calor hacia una c@
rriente de gas a temperatura constante Tg por transmisión de calor convectivo, con coeficiente de transmisión de calor h. Encontrar el perfil. de temperatura en estado estacionaso,
suponiendo que S, se mantiene constante en todas partes.
a) Establecer h ecuación diferencial haciendo un balance de envoltura de energía.
Problemas 431
Figura 116.11 Esfera con generación de calor interna.
b) Establecer la ecuación diferencial simplificandola forma apropiada de la ecuación de energía.
C) Integrar la ecuación diferencial para obtener el perfil de temperatura. Dibujar la función
Tír).
d) cuál es la forma límite de T(r)cuando h 4 m?
e) ¿Cuál es la temperatura máxima en el sistema?
f) iEn qué parte de la deducción debe modificarse el procedimiento para explicar las variables k y S,?
11B.12 Estabilidad de un sistema con reacción e~otérmica.~
Considérese una placa porosa de espesor 28, ancho W y longitud L, con B << W y 3 << E. En el interior de la placa ocurre una
reacción exotérmica, con una velocidad de producción de calor dependiente de la temperatura S,(T) = S,,exp A(T - To).
a) Utilizar la ecuación de energía a fin de obtener una ecuación diferencial para la temperatura en la placa. Suponer propiedades físicas constantes y postular una solución de estado
estacionario T ( x ) .
b) Escribir la ecuación diferencial y las condiciones límite en términos de estas cantidades
adimensionales: ( = x / B , O = A(T - To)y A =SCoAB2/k;aquí A es una constante.
c ) Integrar la ecuación diferencial (sugerencia: multiplicar primero por 2dO/dQ para obtener
i
'
= ~ ~ ( e 0,
x p- exp 8 )
dfi
donde O, es una constante auxiliar que representa el valor de O en l=
0.
d) Integrar el resultado del inciso c) y usar las condiciones limite para obtener la relación entre el espesor de la placa y la temperatura en el plano central.
exp
arccosh kxp(:Oo>)
=
(11B.12-2)
e) Calcular h en O, = 0.5, 1.0, 1.2, 1.4 y 2.0; graficar estos resultados para encontrar el valor
máximo de h para condiciones de estado estacionario. Si se excede este valor de A, el sistema explotará.
l l B . 1 3 Flujo entre tubos concéntricos laminar, con densidad de flujo de calor constante en la pared. Repetir el desarrollo de 510.8 para flujo entre tubos concéntricos de radios interior y exterior KR y R, respectivamente, empezando con las ecuaciones de variación. A través de la
pared interior de1 cilindro se agrega calor al fluido a una velocidad qo (calor por Brea unitaria
por unidad de tiempo), y la pared del cilindro exterior se aísla térmicamente.
X1B.14 Calentamiento en estado no estacionario de una esfera. Una esfera de radio R y difusividad térmica a está inicialmente a una temperatura uniforme To. Para t > O, la esfera está sumergida en un baño de agua bien agitada que se mantiene a una temperatura TI > T,.Así,
la temperatura en el interior de la esfera es una función de la coordenada radial r y del tiernpo f. La solución de la ecuación de conducción de calor está dada
T - To
--
-1+2i(-i)n
TI - 7'0
(5)
(7)
sen
eXP( - a n 2 r 2 f l R 2 j
n=1
H. s. Carslaw y J. C. Jaeger,Condlrction of Hwt in Solidc, 2a. edición, Orford University Press (1959),p. 233., ecuación (4).
432
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Se desea comprobar que esta ecuación satisface la ecuación diferencial, las condiciones1
te y la condición inicial.
a) Escribir la ecuación diferencial que describe el problema.
b) Demostrar que Ia ecuaci6n 11B.141para T(Y,t ) satisface la ecuación diferencialdel inciso,)
C) LJemostrar que se satisface la condición límite en Y = R.
d) Demostrar que T es finita en r = 0.
e) Para demostrar que la ecuación 118.14-1 satisface la condición inicial, hacer t = O y T =
y obtener lo siguiente.
-1 = 2
2 (-1)'
n=l
(kj(CF)
sen
Para demostrar que esto es cierto, ambos miembros se multiplican por (r/R)sen(mm/R), do,
de m es cualquier entero desde 1 hasta W, y se integra desde r = O hasta r = R. En la integración, todos los términos con m in desaparecen en el miembro derecho. El término con m = n,
cuando se integra, es igual a la integral del miembro izquierdo.
1
l l B . 1 5 Variables adimensionales para convección I i b ~ eLas
. ~ variables adimensionales en las esa-1
ciones 11.4-39 a 11.4-43 pueden obtenerse por razonamientos sencillos. La forma de O es determinada por las condiciones límite y la de 5, por la geometría. Las demás variables
adimensionales pueden encontrarse como sigue:
a) Hacer 7 = y/yo, +z = vz/vzo,y 4y= uy/vP donde las cantidades con subíndice cero son
constantes. Asi, las ecuaciones diferenciales 11.4-33 a 11.4-35se vuelven
con las condiciones límite dadas en las ecuaciones 11.4-47 a 11.4-49.
b) Elegir valores apropiados de uzo,uyOy yo para convertir las ecuaciones del inciso a) en las
ecuaciones 11.4-44 a 11.4-46, y demostrar que las definiciones en las ecuaciones 11.4-41a
11.4-43se concluyen directamente.
c) ¿Por qué es preferible la eIección de las variables desarrolladas en el inciso b), a la que se
obtuvo al igualar a la unidad los grupos adimensionales en las ecuaciones llB.15-1 y
11B.15-2?
Velocidad de propagación d e ondas sonoras. Las ondas sonoras son ondas de compresión
armónica de muy pequeña amplitud que se desplazan a través de un fiuido compreslble. La
velocidad de propagación de estas ondas puede calcularse suponiendo que el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento T y el vector de densidad de flujo de calor q son
cero y que la velocidad v del fluido es p e q ~ e ñ aDespreciar
.~
T y q equivale a suponer que la
entropía es constante siguiendo el movimiento de un elemento de fluido dado (véase el problema 11D.1).
a) Usar termodinámica de equilibrio para demostrar que
donde y = C p / C , .
4
El procedimiento que se utilizo aquí es semejante al sugerido por J. D. H e b u s y S. W. Churchill, AIChE lourna[, 10,710114 (1964).
Véase L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechnnics, 2a. edición, Pergamon, Oxford (1987),capíhdulo V111; R. J. silbey Y R.
A.Alberty, Phycica[Chemistry,3a. edición,Wiley, Nueva York (2001),517.4.
Problemas 433
b) Cuando el sonido se propaga a través de un fluido, hay ligeras perturbaciones en la presión, la densidad y la velocidad a partir del estado en reposo: p = po + pT,p = po + p', y v = vo
+ v', donde las cantidades con subíndice cero son constantes asociadas con el estado en reposo (con vo igual a cero), y las cantidades con primas son muy pequeñas. Demostrar que
cuando estas cantidades se sustituyen en la ecuación de continuidad y en la ecuación de movimiento (con los términos T y g omitidos) y se omiten los productos de las pequeñas cantidades con primas, se obtiene
JP
at
Ecuación de continuidad
-=
-po(A - v )
(llC.1-2)
dv
Ecuación de movimiento
~ = - V P
(11C.1-3)
C) A
continuación, usar el resultado del inciso a) para volver a escribir la ecuación de movimiento como
donde v f = y(dp/dpIr
d) Demostrar cómo pueden combinarse las ecuaciones llC.1-2 y llC.1-4 para obtener
e) Demostrar que una solución de la ecuación llC.l-5 es
p = po[l
+ A sen
(%
( z - v,t))]
Esta solución representa una onda armónica de longitud de onda A y amplitud poA que se
desplaza en la dirección z a una velocidad u,. Es posible construir soluciones más generales
por medio de una superposición de ondas de longitudes de onda y direcciones diferentes.
llC.2
Convección libre en una ranura. Un fluido de viscosidad constante, con densidad dada por
la ecuación 11.3-1, está confinado en una ranura rectangular. La ranura tiene paredes verticales en x +B, y = 2 W, y una parte superior y un fondo en z +-H,con H >> W >> B. Las
paredes son no isotérmicas, con distribución de temperatura T
, = T + Ay, de modo que el fluido circula por convección libre. Deben pronosticarse los perfiles de velocidad, para condiciones de flujo laminar en estado estacionario y pequeñas desviaciones de la densidad media p.
a) Simplificar las ecuaciones de continuidad, de movimiento y de energia según los postulados: v = S,v,(x, y), $u,/@ << &,/&, y T = T(y). Estos postulados son razonables para
flujo lento, excepto cerca de los bordes y = I
W y z = +H.
b) Enumerar las condiciones límite que deben usarse con el problema según se simplificaron
en el inciso a).
c) Resolver para los perfiles de temperatura, presión y velocidad.
d) Cuando se hacen mediciones d e la difusión en cámaras cerradas, la convección libre puede ser una fuente de error seria, y deben evitarse los gradientes de temperatura. Mediante
una ilustración, calcular el gradiente máximo de temperatura tolerable, A, para un experimento con agua a 20 "C en una cámara con B = 0.1 mm, W = 2.0 mm, y H = 2 cm, si el máximo movimiento permitido por convección es 0.1% de H en un experimento de una hora.
-
Respuestas: c) u,(x, y) =
-
*
(82- x ~ ) ~
d);2.7 X
K/cm
~ C L
llC.3 Flujo entre tubos concéntricos tangencia] de un líquido altamente viscoso. Demostrar que
Ia ecuación 11.4-13 para flujo en una región entre tubos concéntricos (anular) se reduce a la
ecuación 10.4-9 para flujo en una rendija plana en el limite cuando K tiende a la unidad.
Comparaciones de este tipo a menudo son útiles para comprobar resultados.
El miembro derecho de la ecuación 11.4-13 es indeterminado en K = 1, pero su límite
cuando K 4 1 puede obtenerse desarrollando en potencias de E = 1 - K . Para hacer esto, se
434
Capíhilo 11
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
1
hace K = 1 - E y 5 = 1 - ~ [ -l (xlb)];luego, el intervalo K 5 5 1 en el problema 11.4-2 cG
rresponde al intewalo O 5 x 5 b en g10.4. Después de hacer las sustituciones, desarrollar el
miembro derecho de la ecuación 11.4-13 en potencias de s (despreciando los términos des
puéc de 2)y demostrar que se obtiene la ecuación 10.49.
11C.4 Conducción de calor con conductividad térmica variable.
a) Para conducción de calor en estado estacionario en sólidos, la ecuación 11.2-5 se vuelve
(V . q) = O, y al insertar la ley de Fourier se obtiene (V kVT) = O. Demostrar que Ia funcit~~
F = IMT + constante, satisface la ecuación de Laplace V2F = O, en el supuesto de que k s.61~
depende de T.
b) Usar el resultado del inciso a) para resolver el problema 108.12 (parte a), usando una fun.
ción arbitraria k(T).
llC.5 Conductividad térmica efectiva de un sólido con inclusiones esféricas (figura 11C.5). Deducir la ecuación 9.6-1 para la conductividad térmica efectiva de un sistema de dos fases,empezando con las ecuaciones llB.8-1 y 118.8-2. Se construyen dos sistemas contenidos, ambos,
en e1 interior de una región esférica de radio R': a) el sistema "verdadero", un medio con conductividad térmica ko, en el que están incrustadas n esferas pequeñas de conductividad termica kl y radio R; y b) un sistema "equivalente", que es un continuo, con una conductividad
térmica efectiva kef.Estos dos sistemas se colocan en un gradiente de temperatura A, y ambos se rodean por un medio con conductividad térmica ko.
a) Para el sistema "verdadero" sabemos que a una gran distancia L del sistema (es decir,
L >> R'), el campo de temperatura está dado por una ligera modificación de la ecuación
11B.82, en el supuesto de que las pequeñas esferas ocluidas estén muy "diluidas" en el sistema verdadero:
Explicar con todo cuidado cómo se obtuvo este resultado.
b) Luego, para el "sistema equivalente", a partir de la ecuaci6n 118.8-2 podemos escribir
c) Ahora, deducir la relación nR3 = +P3,donde
+ es la fracción de volumen de las oclusio-
nes en el "sistema verdadero".
Medio O con
conductividad térmica
Meclio O con
conductividad térmica ko
Medio O
Esfera de radio R' de
un material hipotético
"alisado" equivalente
al material granular
en (a)
n esferas del
material 1 de
radio R y
conducfividad
térmica kl
Esfera de radio R'
I
La mnductividad
l
térmica es kd
Figura llC.5 Idea del experimento realizado por Maxwell para obtener la conductividad térmica de un sólido compuesto: a) el sistema discreto "verdadero", y b) el sistema
continuo "equivalente".
Problemas 435
d) Igualar los miembros derechos de las ecuaciones llC.5-1 y llC.5-2 para obtener la ecuación de Maxwe117en la ecuación 9.6-1.
llC.6
Condiciones Iímite interfacides. Considérese una superficie interfacial no isotérmica S ( t )
entre las fases puras 1y 11en un sistema no isotérrnico. Las fases pueden constar de dos fluidos inmiscibles [de modo que nada de material cruza S(t)l, o por dos fases puras distintas de
una sola sustancia (entre las cuales puede intercambiarse masa por condensación, evaporación, congelación o fusión). Sea n1 el vector unitario local normal a S(t) dirigido hacia la fase
1. Para valores a lo largo de S en cada fase se usará un supraíndíce 1 o 11, y para los valores
en la interfase en si se usará un supraíndice s. Las condiciones límite interfaciales de costumbre sobre la velocidad tangencial v, y de temperatura T sobre S son
q=
S=P
(sin deslizamiento)
(continuidad de la temperatura)
(11C.6-1)
(llC.6-2)
Además, se sugierens las siguientes ecuaciones de conservación simplificadas para interfases libres de tensión superficial:
Balance interfacial de materia
Balance interfacia! de cantidad de movimiento
Balance interfacial de energiá interna
El balance de cantidad de movimiento de ia ecuación 3C.5-1 se ha extendido aquí para incluir el gradiente de superficie Vsude la tensión interfacial; la fuerza tangencia1 resultante
origina una variedad de fenómenos interfaciales de flujo, denominados efectos de Marangoni?,lD La ecuación llC.6-5 se obtuvo como se mostró en 511.2, a partir de balances totales y
de energía mecánica sobre S, despreciando la energía interfacial en exceso b,la densidad de
flujo de calor qS y la disipación viscosa (+: VV); en otra parte se proporcionan resultados
más completos.8
a) Comprobar la consistencia dimensional de cada ecuación de balance interfacial.
b) ¿En qué condiciones son iguales d y $?
c) Demostrar cómo se simplifican las ecuaciones de balance cuando las fases 1y 11 son dos líquidos puros inmiscibles.
d) Demostrar cómo se simplifican las ecuaciones de balance cuando una fase es un sólido.
1XC.7 Efecto de los gradientes de tensión superficial sobre una película descendente.
a) Repetir la determinación de las distribuciones del esfuerzo cortante y de velocidad del
ejemplo 2.1-1 en presencia de un pequeño gradiente de temperatura d T / d z en la dirección de
flujo. Supóngase que este gradiente de temperatura produce un gradiente constante de tensión superficial du l d z = A pero que no tiene otro efecto sobre las propiedades físicas del sisJ. C . MaxweU, A Tratiseon Electricity and MagnetU-ni,Vol. 1, Oxford University Prws (1981,reimpreso en 1998).5314.
J. C. Slattery, Advanced Tmnsport Phenomena, Cambridge University P m s (19991, pp. 58,435; en la referencia 8 se
pmpoxcjonan condicionesm6s completas.
C. G. M. Marangoni, Ann. Phys. (Poggendmfi, 3,337-354(1871);C . V. Sterniing y L. E. Scriven, AIChE J o u r d , 5,514-523
(1959).
' O D. A. Edwardc, H. Brenner y D.T.Wasan, Inf-1
Tmnsport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann,Stoiieham.
Mass, (1991).
436 Capítulo 11 Bcuaciones de variacih para sistemas no isot6rmicos
tema. Nótese que este gradiente de tensión superficial produce un esfuerzo cortante en la
perficie libre de la película (véase el problema 11C.6) y, por tanto, ahí requiere un gradie
de velocidad diferente de cero. Nuevamente, postular una película laminar estable, sin o
dulaciones.
b) Calcular el espesor de la película como una función de la velocidad de flujo neto ha
abajo y analizar la importancia física del resultado.
pgS2 cos p
Respuesta: a) T~~= pgx cos 0 + A; vZ =
2~
11D.1 Ecuación de variación para la entropía. Este problema es una introducción a la t e r r n o d i ~ ~
mica de los procesos irreversibles. En 524.1 y 524.2 se proporciona un tratamiento de mez.
clas con multicomponentes.
a) Escribir u n balance de entropía para el elemento de volumen fijo Ax Ay Az. Sea S el vecb
de densidad de flujo de entropía, medido con respecto al vector velocidad v del fluido. Adem&,
sea gs la velocidad de producción de entropía por unidad de volumen. Demostrar que cuando
elemento de volumen Ax Ay Az se vuelve infinitesimalmente pequeño, finalmente se
ne una ecuación de variación para la entropía en cualquiera de las dos formas siguientes:"
d
--&
dt
=-
(V. p S v ) - (Vas) + g s
(11D.1-I)
donde es la entropía por unidad de masa.
b) Si se supone que las cantidades termodinámicas pueden $ef@rse localmente en una situación de ? equi!ibrio, entonces puede relacionarse con S y V según La relación terme
dinámica d U = Td S - pd V. Combinar esta relación con la ecuación 11.2-2 para obtener
La densidad de flujo de entropía local es igual a la densidad de flujo de energía local dividida entre la temperatura local,'2L15es decir, s = q/T. Una vez que se reconoce esta relación
entre s y q, podemos comparar las ecuaciones llD.l-2 y llD.l-3 a fin de obtener la siguiente expresión para la velocidad de producción de entropía por unidad de volumen:
C)
El primer termino del miembro derecho es la velocidad de producción de entropía asociadq
con transporte de calor, y el segundo es la velocidad de producción de entropia resultan@
del. transporte de cantidad de movimiento. La ecuación 11D.1-4 es el punto de partida p
el estudio termodinámico de los procesos irreversibles en un fluido puro.
d) ¿Qué conclusiones pueden extraerse cuando fa ley de viscosidad de Newton y la Iey d{
Fourier de conducción de calor se insertan en la ecuación 11D.1-4?
1
7
llD.2 Calentamiento viscoso en flujo laminar en un tubo.
a) Continuar el análisis que empezó en el problema llB.2, a saber, el de encontrar los pediles de temperatura en un fluido newtoniano que fluye en un tubo circular a una velocidad
lo suficientemente alta para que los efectos de calentamiento viscoso sean importantes. Su-
''
G. A. J. Jaumann, Sitzungsber derMath-N~tunuisc.Klacse der kaicerlichen Akad. d e Wissenschaften
~
(Wzm),102,Abt. Ila, 385
530 (1912).
Carl llenry Eckart (1902-1973), vicecanciiier de la Universidad de Califomia en Can Dego (1965-1969)hizo
contribuciones fundamentales a la meciinica cuántica, la hidrodinámica geofisica y la termodinámica de procesos irreversibles;
sus contribuciones fundamentales a los fenómenos de transporte es& en C. H. Eckart, Phys.Rev., 58,267-268,269-275 (1940).
C. E.Curriss y J. O. Hirschfelder, f. C h m . Phys., 18,171-173 (1950).
l4 J. G. Kirkwood y B. L. Gawford, Jr.,J.Chem. Phys., 56,1048-1052 (1952).
l5 S R. de G r w t y P. Mazur, Na-Equrízbium T h m d y n a m i c s , NorihHolJand, Amsterdam (1962).
"
Problemas 437
póngase que el perfil de velocidad en la entrada (z = 0)está totalmente desarrollado, y que
la temperatura de entrada es uniforme sobre la sección transversal. Supóngase que todas las
propiedades físicas son constantes.
b) Repetir el análisis para una viscosidad no newtoniana que obedece la ley de ~0tenciac.I~
llD.3 Deducción de la ecuación de energía usando teoremas de las integrales. En 521.1, la ecuación de energía se dedujo al explicar los cambios que ocurren en un pequeño elemento rectangular de volumen Ax Ay h.
a) Repetir la deducción usando un elemento arbitrario de volumen V con un límite fijo S siguiendo el procedimiento que se presentó en el problema 3D.1. Empiece por escribir la ley
de conservaci6n de la energía como
Luego, usar el teorema de divergencia de Gauss para convertir la integral de superficie en
una integral de volumen, y obtener la ecuación 11.1-6.
b) Hacer la deducción análoga para una "burbuja" móvil del fluido.
l6
R.B.B'ird, Soc. Plnstics Engrs. ]oumal, 11,35-40 (1955).
Capítulo 12
Distribuciones de temperatura
con más de una variable
independiente
512.1
Conducción de calor no estacionaria en sólidos
512.2"
Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible
g12.3"
Flujo potencial de calor estadonario en sólidos
912.4"
Teoría de la capa límite para flujo no isotérmico
En el capítulo 10 vimos cómo es posible resolver problemas sencillos d e flujo de
calor por medio de balances de energía en la envoltura. En e1 capítulo 11 obtuvimos
la ecuación de energía para sistemas de flujo, que describe los procesos de transporte de calor en situaciones más complejas. Para ilustrar la utilidad de la ecuación de
energía, en 511.4 proporcionamos una serie de ejemplos, de ellos, la mayor parte no
requería saber cómo resolver ecuaciones diferenciales parciales.
En este capitulo nos dedicamos a varias clases de problemas de transporte
de calor que implican mfis de una variable independiente, ya sean dos variables espaciales, o una variable espacia1 y la variable de tiempo. Los tipos de problemas
y los métodos matemáticos con paralelos a los que se proporcionaron en el capitulo 4.
,912.1 C O N D U C C I ~ N
DE CALOR NO ESTACIONARIA EN SÓLIDOS
Para sólidos, la ecuación de energía de la ecuación 11.2-5, cuando se combina con la
ley de Fourier de la conducción del calor, se vuelve
Si puede suponerse que la conductividad térmica es independiente de la temperatura y la posición, entonces la ecuación 12.1-1 se vuelve
440
Capítub 12 Distribuciones de temperatura con m6s de una variable independiente
donde a = k l p e p es la difusividad térmica del sólido. Se han trabajado muchas
soluciones de esta ecuación. El tratado de Carslaw y ~aegerlcontiene un análisis
completo de métodos de solución, así como una tabulación bastante extensa de
soluciones para una amplia gama de condiciones límite e inicial. Muchos problemas
de conducción de calor que se encuentran a menudo, pueden resolverse con sólo
consuItar la solución en este impresionante trabajo de referencia.
En esta sección ilustramos cuatro métodos importantes para resolver problemas de conducción de calor no estacionaria: el método de combinación de variables, el método de separación de variables, el método de la respuesta sinusoidal
y el método de la transformada de Laplace. Los tres primeros también se usaron
en %.l.
Calentamiento de una
placa semiinfinita
Un material sólido que ocupa el espacio desde y = O hasta y = = está inicialmente a la temperatura To.En el instante t = O, la superficie en y = O se eleva súbitamente a la temperatura
Ti,a la que se mantiene para t > O. Encontrar los perfiles de temperatura dependientes del
tiempo T(y, t).
SOLUCIÓN
Para este problema, la ecuación 12.1-2 se vuelve
Aquí se ha introducido una diferencia de temperatura adimensional O = (T - To}/(TI - So).
Entonces, las condiciones inicial y limite son
C.I.:
en t 5 0,
O =O
para toda y
C.L. 1:
e n y = 0,
O
para toda t > O
C.L. 2:
en y = m,
O =O
=
1
para toda t
>O
Este problema es matemáticamente analogo a1 planteado en las ecuaciones 4.1-1 a 4.1-4.
Por tanto, la solución en la ecuación 4.1-15 puede tomarse directamente mediante cambios
apropiados en la notación:
o bien,
T-- T o _ 1 - erf Y
T - T*
&z
' H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conducfion ofHeaf in Solids, 2a. edición, Oxfold University Press (1959).
(12.1-8)
g12.1 Conducción de calor no estacionaria en sólidos MI
La solución que se muestra en la figura 4.1-2 describe los perfiles de temperatura cuando la
ordenada se identifica con (T - To)/(T1 - To) y la abscisa con
Debido a que la función de error alcanza un valor de 0.99 cuando el argumento es aproximadamente igual a 2, el espesor de penetración térmica es
ar
Es decir, para distancias y > ST, la temperatura ha variado por menos de 2 % de la diferencia
TI - To. Si es necesario calcular la temperatura en una placa de espesor finito, la solución
de la ecuación 12.1-8 será una buena aproximación cuando &- es pequeño respecto al espesor de la placa. No obstante, cuando es de1 orden de magnitud del espesor de la placa o
mayor, entonces debe usarse la solución con desarrollo en series del ejemplo 12.1-2.
La densidad de flujo de calor en la pared puede calcularse a partir de la ecuación 12.1-8
como sigue:
Por tanto, la densidad de flujo de calor en la pared varía con t-lI2, mientras que el espesor
de penetración varía con f'/2.
Calentamiento de una
placa finita
Una placa sólida que ocupa el espacio entre y = -b y y = +b está inicialmente a la temperatura To. En el instante t = O, las superficies en y = ?b se elevan súbitamente a la temperatura TI y se mantienen a esa temperatura. Encontrar T(y, t).
soLUCIÓN
Para este problema definirnos las siguientes variables adimensionales:
Temperatura adimensional
e=- TI - T
Coordenada adirnensional
'7"
Tiempo adimensional
(12.1-11)
TI - To
T E
1
b
(12.1-12)
at
-
b2
(12.1-13)
Con estas variables adimensionales, la ecuación diferencial y las condiciones límite son
C.I.:
en T = 0,
0 = 1
C.L.: 1 y 2
e n v = 21,
0 = 0
(12.1-15
para T > 0
(12.1-16)
Nótese que cuando el problema se replantea así, no aparecen pariimetros.
Podemos resolver este problema por el método de separación de variables. Empezamos
postulando que puede obtenerse una solución de la forma del siguiente producto:
442
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Al sustituir esta función tentativa en la ecuación 12.1-14 y dividir luego entre el producto f (q)g(r)se obtiene
El miembro izquierdo es una función exclusiva de T y el derecho es una función exclusiva de
q. Esto sólo puede ser cierto si ambos miembros son iguales a una constante, que denombaremos -cZ. Si la constante se llama +c2, t c O -c, se obtiene el mismo resultado final, aunque
la ecuación es algo m6s enredada. Así, la ecuación 12.1-18puede separarse en dos ecuaciones
diferenciales ordinarias
Estas ecuaciones tienen la forma de las ecuaciones C.l-1 y C.l-3 y pueden integrarse para
obtener
g = A exp ( - c 2 r )
f = Bsencq
(12.1-21)
+ Ccoscq
(12.1-22)
donde A, B y C son constantes de integración.
Debido a la simetría respecto al plano xz, debemos tener O(7, T) = O(-q, T), y así
f(q) = f(-vil). Ya que la función seno no tiene este tipo de comportamiento, debe requerirse
que B sea cero. Al usar cualquiera de las dos condiciones límite se obtiene
C cos c = O
(12.1-23)
Resulta evidente que C no puede ser cero, porque esa elección lleva a una solución físicamente inadmisible. Sin embargo, la igualdad puede satisfacerse por medio de muchas elecciones de E, que denominamos c,:
Por tanto, la ecuación 12.1-14 puede satisfacerse por medio de
Los subindices n nos recuerdan que A y C pueden ser diferentes para cada valor de n. Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, ahora podemos superponer todas las soIuciones de la forma de la ecuación 12.1-25.Al hacer lo anterior, observamos que las exponenciale
y los cosenos de n tienen los mismos valores que los de -(n + l), de modo que los t6rminos
con hdices negativos se combinan con Los que tienen índices positivos. Entonces, la superposición proporciona
Q =
2
n =O
donde D,
=
A,C,
D, exp[- (n + 4 )2.rr'-~]
cos (n +
+ A-(,+i)~-(,+,>.
+ )ml
(12.1-26)
512.1 Conducción d e calor no estacionaria en sólidos 443
Ahora las D, se determinan usando la condición inicial, con lo que se obtiene
Al multiplicar por codm
:/
cos (m
+ + )qe integrar desde q = -1
4-1
++)mdn =
n=O
D,
1
hasta 7 = +1 se obtiene
cos (m+ i)*q cos (n + i ) wq drl
(12.1-28)
-1
Una vez que se hacen las integraciones, todas las integrales en el miembro derecho son idénticamente cero, excepto por el término en que n = m. Por tanto, se obtiene
+(m +
$)m + 4 sen 2(m + 3)(m + +)T
(12.1-29)
Después d e insertar los límites, podemos despejar D, para obtener
Al sustituir esta expresión en la ecuacián 12.1-26 se obtienen los perfiles de temperatura, que
ahora volvemos a escribir en términos de las variables originales2
Las soluciones de muchos problemas de conducción de calor en estado no estacionario
se presentan como series infinitas, precisamente como las que acaban de obtenerse. Estas series convergen rápidamente para grandes valores2 del tiempo adimensional, af/b2.
Para tiempos muy cortos, la convergencia es muy lenta, y en el limite cuando at/b2 tiende
a cero, puede mostrarse que la solución en la ecuación 12.1-31 tiende a la solución proporcionada en la ecuación 12.1-8 (véase el problema 12D.1). Aunque la ecuación 12.1-31 es dificil de manejar para algunos cálculos prácticos, es fácil usar una presentación gráfica como
la de la figura 12.1-1 (véase el problema 12A.3). A partir de la figura resulta evidente que
cuando el tiempo adimensional T = at/# es 0.1, el calor ha "penetrado" en forma mensurable al plano central de la placa, y que para 7 = 1.0 el calentamiento está al 90% en el plano central.
Para el caso de cilindros infinitos y esferas, en las figuras 12.1-2 y 12.1-3 se proporcionan
resultados análogos a la figura 12.1-1. Estas gráficas también pueden usarse para desarrollar
las soluciones de los problemas análogos de conducción de calor en paralelepípedos rectangulares y cilindros de longitud finita (véase el problema 12C.1).
H.S. Carslaw y J.C.Jaeger, Conduction of Hmt in Solids, h.edición, Oxford University Press (19591, p. 97, Ec.(8);
la solución alternativa en la Ec. (9) converge rápidamente para tiempos cortos.
444
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Cenho de
/ la placa
,
Eje del
cilindro
Superficie de
la placa \
Figura 12.1-1 Perfiles de temperatura para conducción
de calor en estado no estacionario en una placa de espesor
finito 2b. La temperatura inicial de la placa es To, y Ti es
la temperatura impuesta en las superficies de la placa para
el tiempo t > O. [H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction of
Heaf in Colids, 2a. edición, Oxford University Ress (1959),
p. 101.1
Centro de la
esfera
Superficie del
cilindro
,
Figura 12.1-2 Perfiles de temperatura para conducción
de calor en estado no estacionario en un cilindro de radio
R. La temperatura inicial del cilindro es To,y TIes la
temperatura impuesta en la superficie del cilindro para
el tiempo t > O. 1H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction of
Heat in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959),
p. 200.1
Superficiede
la esfera
,
Figura 12.1-3 Perfiles de temperatura para conducción
de calor en estado no estacionario en una esfera de radio
R. La temperatura inicial de la esfera es To, y Ti es la
temperatura impuesta en la superficie de la esfera para
el tiempo f > O. [H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction
of Hent in Solids, 2a. edición, Oxford University Press
(19591, p. 234.1
512.1 Conduccibn de calor no estacionaria en sólidos 445
-
coHducciÓnde calor no
nonada tema una
Un cuerpo s6Lido que ocupa el espacio desde y = O harta y = estd inicialmente s la temperatura To. Empezando en el instante f = O, en y = O se impone una densidad de flujo de
cal" ~e"dica dada Por
pared con densidad de
flujo de calor sinusoidal
Aquí qo es la amplitud de las oscilaciones de la densidad de flujo de calor, y w es la frecuencia (circular).Se desea encontrar la temperatura en este sistema, T(y, t),en el "estado estacionario periódico" (véase el problema 4.1-3).
Para conducción de calor en una dimensión, la ecuación 12.1-2 es
Al multiplicar por -k y operar sobre toda la ecuación con d/&y se obtiene
o bien, usando qy = -k(aT/$),
Por tanto, qy satisface la misma ecuación diferencial que T. Las condiciones limite son
Formalmente, este problema es idéntico al proporcionado en las ecuaciones 4.1-44, 4.1-46 y
4.1-47. Por tanto, la solución en la ecuación 4.1-57 puede tomarse haciendo cambios apropiados en la notación:
Luego, al integrar la ley de Fourier
Al sustituir la distribución de la densidad de flujo de calor en el miembro derecho de esta
ecuación se obtiene, después de integrar,
Así, en la superficie y = O, las oscilaciones de temperatura van retrasadas por 7r/4 respecto a
las oscilaciones de la densidad de flujo de calor.
446
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Este problema ilustra un procedimiento normal para obtener el "estado estacionario
periódico" en sistemas de conducción de calor. También muestra cómo usar la ecuación de
conducción de calor en términos de la densidad de flujo de calor, cuando se conocen las condiciones límite sobre ésta.
Enfiarnientu de una esfera
en contacto con un fiuido
bien agitado
Una esfera sólida homogénea de radio R, inicialmente a una temperatura uniforme TI,
sibitamente es sumergida en el instante I = O en un volumen V f de un fiuido bien agitado
y temperatura To que está en un tanque aislado. Se desea encontrar la difusividad termica
as= ks/psSp, del sólido al observar el cambio en la temperatura del fluido Tf con el tiemPO.Usamos las siguientes variables adimensionaies:
@,([,
7)=
O ~ ( T=)
TI - Ts
-= temperatura adimensional del sólido
T1 - To
(12.1-41)
T -T
u
= temperatura adimensional del fluido
T1 - To
(12.1-42)
t=
'
7=
ffst
- = tiempo adimensional
R
=
(12.1-43)
coordenada adimensional radial
(12.1-44)
R2
El lector puede comprobar que el problema, planteado en variables adimensionales, es
s , V representan el volumen del fluido y del sólido.
donde B = pf ? p f ~ / p , C p Sy~ las
Problemas lineales con condiciones límite complicadas y/o con acoplamiento entre las
ecuaciones, a menudo se resuelven fácilmente con el método de la transformada de Laplace.
Ahora tomamos la transformada de Laplace de las ecuaciones precedentes y sus condiciones
límite para obtener:
1
1
Sólido
~ n t l,Gs
= =Of
En [ = 0, O, = finita
(12.1-52)
(12.1-53)
Ruido
1
512.1 Conducción de calor no estacionaria en sólidos 447
Aquí p es la variable de la tran~fonnada.~
La solución de la ecuación 12.1-51 es
Debido a la condición límite en 6 = O, es necesario igualar C2a cero. Entonces, al sustituir
este resultado en la ecuación 12.1-54 se obtiene
Luego, para determinar C1 insertamos estos dos 6ltimos resultados en la condiaón Límite en
6 = 1. Así se obtiene para Gf:
Ahora dividimos entre p el numerador y el denominador que están dentro del paréntesis, y
tomamos la transformada inversa de Laplace para obtener
Puede demostrarse que D(p) tiene una raíz simple en p = O, y raíces en
= ibk (con
k = 1, 2, 3, ..., -1, donde las bk son las raíces diferentes de cero de tan bk = 3bk/(3 + Bb$). El
teorema de desarrollo en fracciones parciales de Heaviside4 puede usarse ahora con
para obtener
La ecuación 12.1-61 se muestra gráficamente en Ia figura 12.1-4. En este resultado el único
lugar en que aparece la difusividad térmica ru, del sólido es en el tiempo adimensional
r = ast/R2,de modo que el aumento de temperatura del fluido puede usarse para determinar experimentalmente la difusividad térmica del sólido. N6tese que la técnica de la transformada de Laplace permite obtener el desarrollo del comportamiento de la temperatura
del fluido sin obtener los perf3es de temperatura en el sólido.
-
Usamos la definiU6n YIJV))j(P)= c f ( . t ) e - p ' d t .
'A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger y EG. Tricomi, Tables of Infegral Transfirms, Vol.l. McGraw-HiU,
Nueva York (19541, p. 232, Ec. 20; véase también C.R. Wylie y L.C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics,
McGraw-HiU, Nueva York, 6a. edici6n (1995), 510.9.
448
Capitulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Figura 12.1-4 Vanación de la
temperatura del fluido con el
tiempo después de que una e s f a
de radio R a temperatura Ti se
coloca en un fluido fuertemente
agitado que inicialmente está a La
temperatura To. El parametro
adimensional B se define
en el texto a continuacidn de la
ecuación 12.1-50. [H.S. Carslaw y
J.C.Jaeger,Conduction of Heat in
Solids, 2a. edición, Oxford
University Press (1959), p. 241.1
512.2" CONDUCCION DE CALOR ESTACIONARIA EN R U J O LAMINAR
INCOMPRESIBLE
En el análisis precedente de conducción de calor en sólidos sólo fue necesario usar
la ecuación de energía. No obstante, para problemas que impIican fluidos que fluyen, se requieren las tres ecuaciones de variación. Aquí restringimos el análisis a
flujo estacionario de fluidos newtonianos incompresibles con propiedades constantes del fluido, para los cuales las ecuaciones de variación relevantes son:
Continuidad:
Movimiento:
Energul:
(V v) = O
(12.2-1)
ptv - Vv] = /LV2v - v9
+
ptp(v VT) = k V 2 ~ pau
En la ecuación 12.2-3, a, es la función de disipación dada en la ecuación 3.3-3. A fin
de obtener los perfiles de temperatura para convección forzada, se usa un procedimiento de dos pasos: primero se resuelven las ecuaciones 12.2-1 y 12.2-2 para abtener la distribución de velocidad v(r, t); luego, la expresión para v se sustituye en la
ecuación 12.2-3, que al mismo tiempo puede resolverse para obtener la distribución
de temperatura T(r, t).
Para situaciones que se encuentran comúnmente hay disponibles muchas saluciones analíticas de las ecuaciones 12.2-1 a 12.2-3.l-~
Uno de los problemas más antiguos de convección forzada es el problema de Graetz-Nusselt? que describe los
perfiles de temperatura en el flujo en un tubo donde la temperatura de la pared
M. Jakob, Heat Trwfer, Vol. 1, Wdey, Nueva York (1949). pp. 451-464.
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Y
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E.N. Lightfoot, C. Massot y F. irani, Chem. Eng. Pmgrrss Cyilrp. SrrVs, Vol. 61, Núm.58 (19651,pp. 2840.
912.2
Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 449
experimenta un cambio repentino en alguna posición a lo largo del tubo (véanse los
problemas 12D.2 a 12D.4). Para variaciones arbitrarias de temperatura de la pared
y densidad de flujo en la pared se han obtenido soluciones análoga^.^ El problema
de Graetz-Nusselt también se ha extendido a fluidos no newtonianos.1° Asimismo
se han deducido soluciones para una gran clase de problemas del intercambiador de
calor laminarF1 donde la condición límite en la pared es proporcionada por la continuidad de la densidad de flujo de calor a través de las superficies que separan las
dos corrientes. Otro problema de interés es el flujo en ductos con efectos importantes de calentamiento viscoso (el problema de Brinkman12).
En esta sección extendemos el anáIisis del problema tratado en 510.8; a saber, la
determinación de los perfiles de temperatura para flujo laminar de un fluido incompresible en un tubo circular. En esa sección planteamos el problema y se encontr6 la
solución asintótica para distancias corriente abajo lejos del inicio de la zona calentada. Aquí proporcionamos la solución completa de la ecuación diferencial parcial, así
como la solución asintótica para distancias cortas. Es decir, el sistema que se muestra en la figura 10.8-2 se analiza desde tres puntos de vista en este libro:
a. Solución completa de la ecuación diferencial parcial por el método de separación de variables (ejemplo 12.2-1).
b. Solución asintótica para distancias cortas corriente abajo en el tubo, por el
método de combinación de variables (ejemplo 12.2-2).
c. Solución asintótica para grandes distancias corriente abajo en el tubo (§10.8).
Flujo laminar en un
tubo con densidad de
flujo de calor constante
&.la pared
Resolver la ecuación 10.8-19 con las condiciones límite dadas en las ecuaciones 10.8-20 a
10.8-22.
SOLUCIÓN
Se postula que la solución completa para la temperatura es de la forma siguiente:
@,(e,
donde
5 ) es la solución asint6tica proporcionada en la ecuación 10.3-31, y Oa(& 5)
es una función que será amortiguada exponencialmente con b: Al sustituir la expresián para
0(5,<) de la ecuación 12.24 en Ia ecuación 10.8-19, puede demostrarse que la función
5)
debe satisfacer la ecuación 10.8-19 y también las siguientes condiciones Iímite:
Qd(c,
'O
E.N. Lightfoot, C. Massot y F. Irani, Chem. Eng. Pmgress Symp. Series, Vol. 61, Núm. 58 (1965), pp. 28-60.
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Eng. Chem., 48,922-926 (1956).
450
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Anticipamos que una solución de la ecuación para
@d
5) será factorizable,
(e, 5 ) = x([)z(C)
(12.2-8)
Entonces, la ecuación 10.8-19 puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias
donde -8 es la constante de separación. Debido a que las condiciones límite sobre X son
dX/dc = O en 6 = 0,1, tenemos un problema de Sturm-~iouville.'~
Por tanto, sabemos que
habrá una infinidad de valores propios (o caractensticos) ck y funciones propias (o características) Xk,y que la solución final debe ser de la forma:
m
donde
Así, el problema se reduce a encontrar las funciones propias Xk([) resolviendo la ecuación
12.2-10 y luego obteniendo los valores propios ck aplicando la condición limite en 5 = 1.
Esto se ha hecho para k hasta 7 para este ~ r o b l e r n a ? ~
Nótese que la operación suma en la ecuación 12.2-11 converge rápidamente para z grande
pero lentamente para z pequeña. Deducir una expresión para T(r,z) que sea útil para valores
calor constante m llu
pared: solución asintótica
para la región de
embocadura
so~ucróiv
Para z pequeña, la adición de calor afecta sólo una región muy delgada cerca de la pared,
de modo que las tres aproximaciones siguientes producen resuhados que son precisos en el
limite cuando z -+ 0:
Los efectos de curvatura pueden despreciarse y el problema tratarse como si la pared fuese plana; la distancia a la pared se denomina y = R r.
b. El fluido puede considerarse como si se extendiera desde la superficie (plana) de
transmisión de calor (y = O) hasta y = m.
c . El perfil de velocidad puede considerarse como lineal, con una pendiente dada por
la pendiente del perfil de velocidad parabólico en la pared: v,(y) = voy/R, en donde
vo = (Po- Y L ) R ~ / ~ ~ L .
a.
-
l3 M.D. Greenberg, Advanced Engineering Mathemtics, Prentice-HaU, Upper Saddle River, N.J.,Segunda edición
(1998),517.7.
j4 R. Siegel, E.M. Sparrow y TM.Haliman, Appl. Sci. Reseurch, A7,386-392 (1958).
912.2 Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 451
Ésta es la forma en que el sistema se presenta a un "observador" pequeño situado en el interior de la envoltura bastante delgada de fluido caliente. Para este observador, Ia pared
parece ser plana, el fluido de extensión infinita y el perfil de velocidad parece lineal.
Entonces, la ecuación de energía se vuelve, en la región ligeramente más allá de z = 0,
En realidad es más fácil trabajar con la ecuación correspondiente para la densidad de fiujo de
calor en la dirección y (qy = -k aT/dy). Esta ecuación se obtiene al dividir la ecuación 12.2-13
entre y y diferenciar con respecto a y:
Es m6s conveniente trabajar con variables adimensionales definidas como
Así, la ecuación 12.2-14 se vuelve
con estas condiciones límite:
en A
en
= 0,
7) = 0,
cuando 7 + m,
$=O
$=1
4 +O
Este problema puede resolverse con el método de combinación de variables (véanse los ejemplos 4.1-1 y 12.1-1) usando la nueva variable independiente ,y = q/f%i.Entonces, la ecuación 12.2-16 se vuelve
= 0, i,b = 1, y cuando y
, + -, 4 -+O. La solución de la ecuación 12.2-20 se encuentra al hacer primero d $ / d X = p, y obteniendo una ecuaci6n de primer
orden para p. La ecuación para p puede resolverse y entonces se obtiene como
Las condiciones limite son: para x
Luego, el perfil de temperatura puede obtenerse integrando la densidad de flujo de calor:
452 Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
o bien, en forma adimensional,
A continuación, la expresión para JI se i