LECTURE NOTES
Mathematics
Minggu 5
Determinan dan Invers
Mathematics
LEARNING OUTCOMES
1. Peserta diharapkan memahami konsep Determinan dan
OUTLINE MATERI :
1.
2.
3.
4.
Konsep Determinan
Penentuan determinan dengan operasi baris elementer dan ekspansi kofaktor
Konsep Invers
Penentuan invers dengan operasi baris elementer dan adjoin
Mathematics
ISI MATERI
A. Determinan
1. Determinan matriks 𝟐 × 𝟐
Misalkan 𝐀 = (
𝐚 𝐛
) dan determinan matriks 𝐀 dinotasikan dengan 𝐝𝐞𝐭(𝐀) atau dengan
𝐜 𝐝
|𝐀|, maka
𝐝𝐞𝐭(𝐀) = 𝐚𝐝 – 𝐛𝐜 atau dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝐝𝐞𝐭(𝐀) = |
𝐚 𝐛
| = 𝐚𝐝 − 𝐛𝐜
𝐜 𝐝
𝟔 𝟏
Contoh 1. Misalkan matriks A = (
) maka
𝟓 𝟐
𝟔 𝟏
𝐝𝐞𝐭(𝐀) = |
| = 𝟔. 𝟐 − 𝟓. 𝟏 = 𝟏𝟐 − 𝟓 = 𝟕
𝟓 𝟐
Pada bagian berikutnya dijelaskan dua teknik dalam penentuan determinan yaitu
Ekspansi Kofaktor dan Operasi Baris Elementer.
2. Penentuan Determinan dengan Menggunakan Ekspansi Kofaktor
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minor anggota aij dinyatakan oleh Mij dan
didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan
kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor
anggota aij
Mathematics
Contoh 2. Contoh berikut tentang penentuan minor dan kofaktor suatu matriks
Misalkan
𝟑
𝐀 = (𝟐
𝟏
𝟏
𝟓
𝟒
−𝟒
𝟔)
𝟖
Penyelesaian: Berikut contoh minor 𝐌𝟏𝟏 dan Kofaktor 𝐂𝟏𝟏
𝟑 𝟏 −𝟒
𝟓 𝟔
𝐌𝟏𝟏 = |𝟐 𝟓 𝟔 | = |
| = 𝟏𝟔
𝟒 𝟖
𝟏 𝟒 𝟖
𝐂𝟏𝟏 = −11+1 𝐌𝟏𝟏 = 𝐌𝟏𝟏 = 𝟏𝟔
Berikut penentuan determinan dengan menggunakan teknik kofaktor.
Definisi : Determinan matriks A berukuran n × n diperoleh dengan mengalikan entrientri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor yang bersesuaian dan
menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan.
det A = 𝐚𝟏𝐣 𝐂𝟏𝐣 + 𝐚𝟐𝐣 𝐂𝟐𝐣 + ⋯ + 𝐚𝐧𝐣 𝐂𝐧𝐣
(Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
det A = 𝐚𝐢𝟏 𝐂𝐢𝟏 + 𝐚𝐢𝟐 𝐂𝐢𝟐 + ⋯ + 𝐚𝐢𝐧 𝐂𝐢𝐧
(Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Contoh 3. . Berikut contoh penentuan determinan dengan menggunakan teknik ekspansi
kofaktor sepanjang baris pertama
Tentukan determinan dari matriks A berikut, gunakan Ekspansi kofaktor sepanjang baris
pertama
𝟑
𝐀 = (−𝟐
𝟓
𝟏
𝟎
−𝟒 𝟑 )
𝟒 −𝟐
Penyelesaian
𝟑
det(A)|−𝟐
𝟓
𝟏
𝟎
−𝟒
−𝟒 𝟑 |= 3|
𝟒
𝟒 −𝟐
−𝟐
𝟑
| − 𝟏|
𝟓
−𝟐
𝟑
𝟐
|+𝟎|
−𝟐
𝟓
−𝟒
|
𝟒
= 𝟑(−𝟒) − (−𝟏𝟏) + 𝟎 = −𝟏
Mathematics
3. Penentuan Determinan dengan Teknik Operasi Baris Elementer
Misalkan matriks A berukuran 𝑛 × 𝑛
1. Jika matriks B adalah matriks yang diperoleh jika jika suatu baris tunggal dari A
dikalikan dengan suatu skalar k makadet(B) = kdet(A)
2. Jika matriks B diperoleh dari jika dua baris atau kolom matriks A dipertukarkan
maka det(B) = -det(A)
3. Jika matriks B diperoleh jika penggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris
lainnya atau jika suatu penggandaan kolom ditambahkan pada kolom lainnya
det(B)=det(A)
Catatan
Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0
B. Invers
Definisi :
Diketahui matriks A dan
B berukuran n × n dan matriks I merupakan matriks identitas.
Misalkan AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik (invertible) dan matriks B merupakan
invers dari A.
Contoh 4 :
Diketahui matriks
A=(
2 −5
3 5
) dan B = (
)
−1 3
1 2
Perkalian matriks AB dan BA yaitu
1 0
2 −5 3 5
AB = (
)(
)= (
) = I (Matriks identitas)
0 1
−1 3
1 2
Mathematics
dan
1 0
2 −5
3 5
)(
)= (
) = I (Matriks identitas)
0 1
1 2 −1 3
BA = (
Dengan demikian matriks B merupakan invers matriks A
Pada materi determinan, anda sudah mengenal konsep kofaktor Selanjutnya, Definisi berikut
menyatakan Matriks Kofaktor yaitu matriks yang memuat kofaktor .
Definisi
Diketahui matriks A berukuran n × n dan Cij merupakan kofaktor dari aij , maka matriks
C11
C
( 21
⋮
Cn1
C12
C22
⋮
Cn2
⋯
⋯
⋮
⋯
C1n
C2n
)
⋮
Cnn
Disebut matriks kofaktor A . Transpos dari matriks kofaktor A disebut adjoin (A) dan
dinotasikan dengan adj(A).
Contoh 5 :
3 2 −1
Misalkan matriks A =(1 6
3)
2 −4 0
Kofaktor matriks A yaitu , perhatikan Contoh 2 cara penentuan kofaktor
C11 = 12
C21 = 4
C21 = 12
C21 = 6
C22 = 2
C21 = −10
C13 = −16
C23 = 16
C21 = 16
Sehingga kofaktor dari matriks A yaitu
12
6
−16
kofaktor (A) = ( 4
2
16 )
12 −10 16
Adjoin matriks A diperoleh dari transpose kofaktor (A) yaitu dengan mengubah baris
menjadi kolom. Adjoin (A) dinotasikan dengan 𝐀𝐝𝐣 (A).
Mathematics
12
4
Adj (A) = ( 6
2
−16 16
12
−10)
16
1. Penentuan Invers dengan Teknik Determinan dan Adjoin
Teorema . Misalkan matriks A merupakan matriks berukuran n × n yang dapat dibalik,
maka
𝟏
𝐀−𝟏 =
𝐚𝐝𝐣 (𝐀)
𝐝𝐞𝐭(𝐀)
Dari contoh 5 , Misalkan
3 2 −1
12
4
12
matriks A =(1 6
3 ) diperoleh 𝐀𝐝𝐣 (A) = ( 6
2 −10)
2 −4 0
−16 16 16
dengan determinan(A) atau det(A) dengan menentukan determinan A dengan ekspansi
sepanjang baris pertama yaitu :
det(A) = 3. C11 +2. C21 + (-1. C13 )= 3.12+2. 6 -1.(-16)=36+12+16 = 64
maka
𝐀−𝟏 =
𝟏
𝐚𝐝𝐣 (𝐀)
𝐝𝐞𝐭(𝐀)
12
4
=𝟔𝟒 ( 6
2
−16 16
𝟏
12
−10) =
16
𝟏𝟐
𝟒
𝟏𝟐
𝟔𝟒
𝟔
𝟔𝟒
𝟐
𝟔𝟒
𝟏𝟎
𝟔𝟒
𝟏𝟔
𝟔𝟒
𝟏𝟔
−
( 𝟔𝟒
𝟔𝟒
− 𝟔𝟒
𝟏𝟔
𝟔𝟒
)
Mathematics
2. Penentuan Invers dengan Teknik Operasi baris elementer
Contoh 7. Berikut contoh penentuan Teknik Operasi baris elementer dengan bentuk
awal
(𝐴|𝐼) → (𝐼|𝐴−1 )
1 2 3
Misalkan matriks A = (2 5 3)
1 0 8
Penentuan invers matriks , seperti pada penentuan matriks eselon baris tereduksi dengan
menggunakan operasi baris elementer, hanya saja pada awal pengerjaan dipasangkan
matriks A disebelah kiri dan matriks identitas disebelah kanan. Selanjutnya dengan
menggunakan operasi baris elementer secara simultan pada kedua matriks tersebut
sehingga di akhir pengerjaan disebelah kiri berbentuk matriks identitas dan disebelah kanan
suatu matriks tertentu.
𝑅2 − 2𝑅1
𝑅1 + 𝑅1
𝑅3 + 2𝑅2
−𝑅3
𝑅1 − 3𝑅3
𝑅2 + 3𝑅3
𝑅1 − 2𝑅2
−40 16 9
Sehingga diperoleh 𝐴−1 = ( 13 −5 −3)
5
−2 −1
Mathematics
KESIMPULAN
1. Terdapat dua teknik dalam penentuan determinan yaitu operasi baris elementer dan
ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom.
2. Pada penentuan invers terdapat dua teknik yaitu adjoin dan operasi baris elementer.
Mathematics
DAFTAR PUSTAKA
1. Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons;
2010 Nov 4.
Mathematics