LECTURE NOTES
Mathematics
Minggu 1
Logika Kalimat Bertingkat dan
Kalimat Berkuantor
Mathematics
LEARNING OUTCOMES
1.
Peserta diharapkan dapat menjelaskan konsep logika kalimat majemuk bertingkat dan
kalimat berkuantor.
2. Peserta diharapkan dapat menentukan validitas argumen dan kesimpulan..
OUTLINE MATERI :
1. Bentuk logika dan ekuivalensi
2. Argumen dan validitas
3. Aplikasi : logika digital sirkuit
4. Logika kalimat kuantor
Mathematics
ISI MATERI
1. Bentuk Logika dan Ekuivalensi
Logika seringkali digunakan secara informal dalam kehidupan sehari-hari. Demikian pula dalam
matematika, logika digunakan untuk pembuktian kebenaran suatu pernyataan. Logika adalah cara
berpikir sistematis sehingga kita bisa menyimpulkan informasi baru dari informasi lama dan
menguraikan makna kalimat. Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak
dapat sekaligus berlaku keduanya. Tabel berikut contoh kalimat yang merupakan proposisi dan
bukan proposisi.
Table 1: Contoh Proposisi
Bukan Proposisi
Proposisi
i. 42
a. 42 ∈ Z
ii. Tambahkan 5 pada kedua ruas !
b. Penambahan 5 pada kedua ruas x − 5 = 37 menjadikan
x = 42
iii. Apakah 5 merupakan solusi dari
c. Solusi dari 2x = 84 adalah 42
2x = 84?
Pada Tabel 1, bagian i dan ii masing-masing merupakan kalimat perintah (i) dan kalimat tanya (ii),
keduanya bukan proposisi. Proposisi baru dapat dibentuk dengan menggabungkan satu atau lebih
proposisi. Beberapa operator logika yang digunakan untuk menggabungkan proposisi antara lain
dan (AND), atau (OR), dan tidak (NOT) dengan masing-masing dinotasikan dengan ∧,∨, ~
Penggabungan
proposisi
tersebut
dikenal
dengan
proposisi
majemuk
(compound
statement/proposition).
Mathematics
Tabel Kebenaran
Negasi
Definisi1.1 Misalkan p adalah proposisi, negasi p yaitu "bukan p" dan dinotasikan dengan
~p.
Misalkan p bernilai benar maka negasi dari p bernilai salah, begitupun
sebaliknya. Berikut tabel kebenaran dari suatu negasi, dinotasikan benar dengan
B dan S menunjukkan salah.
Table 2: Tabel Kebenaran ~p
p
~p
B
S
S
B
Contoh 1 Berikut contoh negasi
a)p : 2 adalah bilangan genap
~p : 2 bukan bilangan genap (ganjil)
b)q : Hari ini hujan
~q : Hari ini tidak hujan
Konjungsi
Definisi1.2 Misalkan p dan q adalah proposisi, konjungsi p, q yaitu ”p dan q” dan
dinotasikan dengan p ∧ q.
Konjungsi dari proposisi p dan proposisi q bernilai benar jika keduanya benar. Proposisi
Mathematics
p ∧ q salah, jika salah satu dari p atau q salah, atau jika keduanya salah.
Table 3: Tabel Kebenaran 𝑝 ∧ 𝑞
p
q
𝑝 ∧ 𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Contoh 2 Berikut contoh konjungsi
p : 2 adalah bilangan genap
q : 3 adalah bilangan ganjil
p ∧ q : 2 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil
Disjungsi
Definisi1.3 Misalkan p dan q adalah proposisi, disjungsi p, q yaitu ”p atau q” dan
dinotasikan dengan p ∨ q.
Proposisi p ∨ q benar, jika salah satunya p atau q benar, dan bisa juga jika keduanya (p, q) benar.
Proposisi p ∨ q
Table 4: Tabel Kebenaran p ∨ q
p
q
p∨q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Mathematics
Contoh 3 Berikut contoh disjungsi
p : 2 adalah bilangan genap
q : 3 adalah bilangan ganji
𝑝 ∨ 𝑞:2
adalah bilangan genap atau 3 adalah bilangan ganjil
Contoh berikut merupakan bentuk proposisi dengan mengkombinasikan beberapa operator logika.
Contoh 4 (Exclusive OR) Misalkan p dan q masing-masing adalah proposisi, Exclusive OR dibentuk
dari (p ∨ q) ∧ ~(p ∧ q). Exclusive OR dinotasikan dengan p ⊕ q atau p XOR q.
Table 5 : Tabel Kebenaran Exclusive OR
p
q
p ∨q
p ∧q
~p ∧ q
𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ~𝑝 ∧ q
B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
S
Pada contoh 5 berikut terdapat tiga proposisi yaitu p , q , dan r
Contoh 5 Tentukan tabel kebenaran dari proposisi (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟
Jawab Berikut Tabel Kebenaran (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟
Table 6: Tabel Kebenaran (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟
p
q
r
𝑝 ∧ 𝑞
~r
(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
S
S
B
B
Mathematics
Ekuivalensi Logika
Definisi 1.4 Dua proposisi dikatakan ekuivalen secara logis jika nilai kebenaran di
setiap baris pada tabel kebenarannya identik.
Pembuktian dua proposisi ekuivalen dapat dilakukan dengan menggunakan table
kebenaran dan Teorema ekuivalensi. Salah satu caranya, kita
tentukan tabel
kebenaran dari hubungan proposisi tersebut. Perhatikan contoh berikut .
Tabel 7 : Ekuivalen
Perhatikan kedua kolom ini
mempunyai nilai kebenaran
identik
Tabel 8 : Tidak Ekuivalen
Perhatikan kedua kolom ini, baris
kedua dan ketiga tidak sama
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi merupakan bentuk proposisi yang memuat pada kesimpulannya semua
bernilai benar. Sebaliknya kontraposisi merupakan bentuk proposisi yang memuat
pada kesimpulannya semua bernilai salah.
Contoh : Tunjukkan bahwa proposisi 𝑝 ∨ ∼ 𝑝 merupakan tautology dan proposisi
𝑝 ∧ ∼ 𝑝 merupakan kontradiksi.
Mathematics
p
∼𝑝
𝑝 ∨∼𝑝
𝑝 ∧∼𝑝
B
S
B
S
S
B
B
S
Semua bernilai
salah, Tautologi
Semua bernilai
benar, Kontradiksi
Selanjutnya, kita akan memplejari pembuktian ekuivalensi logis dengan
menggunakan aturan ekuivalensi. Perhatikan beberapa aturan ekuivalensi logis
berikut
Misalkan variabel 𝑝, 𝑞, 𝑑𝑎𝑛 𝑟 menotasikan masing-masing proposisi, tautologi 𝑡 dan
kontradiksi c. Berikut beberapa aturan ekuivalensi logis :
1. Komutatif: 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
2. Asosiatif: (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
𝑝∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟 )
3. Distributif :
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟 ) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟 )
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟 ) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟 )
4. Identitas : 𝑝 ∧ 𝑡 ≡ 𝑝
𝑝∨ 𝑐 ≡ 𝑝
5. Negasi : 𝑝 ∨ ∼ 𝑝 ≡ 𝑡
𝑝 ∧∼𝑝 ≡ 𝑐
6. Double negative : ∼ (∼ 𝑝) ≡ 𝑝
7. Idempotent : 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
𝑝∨ 𝑝 ≡ 𝑝
8. Universal bound: 𝑝 ∨ 𝑡 ≡ 𝑡
𝑝 ∧ 𝑐 ≡ 𝑐
9. De Morgan’s : ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
10. Absorption
: 𝑝 ∨aturan
(𝑝 ∧ ekuivalensi
𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∧ (𝑝
∨ tersebut,
𝑞) ≡ 𝑝 kita dapat menentukan ekuivalensi dari
Dengan
menggunakan
logis
beberapa proposisi tanpa menggunakan tabel kebenaran.
11. Negatisi t and c: ∼ 𝑡 ≡ 𝑐 ∼ 𝑐 ≡ 𝑡
Mathematics
Contoh : Gunakan aturan ekuivalensi logis untuk menentukan kebenaran proposisi berikut :
∼ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞 ) ≡ 𝑝.
Bukti
∼ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ (∼ (∼ 𝑝) ∨ ∼ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)
De Morgan
≡ (𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)
≡ 𝑝 ∨ (∼ 𝑞 ∧ 𝑞)
≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ∼ 𝑞)
≡ 𝑝 ∨ 𝑐
≡ 𝑝
𝑑𝑜𝑢𝑏𝑙𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑙𝑎𝑤
Distributif
Komutatif
Negsi
identititas
Proposisi Kondisional dan Bikondisonal
Misalkan p dan q menotasikan variabel proposis,
Proposisi kondisonal yaitu “Jika p maka q”
dinotasikan dengan p → q. Proposisi kondisonal
juga diistilahkan dengan implikasi .
Misalkan p dan q menotasikan variabel proposis,
Proposisi bikondisonal yaitu “p jika dan hanya jika q”
dinotasikan dengan p ↔ q.
p :merupakan hipotesis bersyarat
q :merupakan kesimpulan
p
q
p→q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Tabel Kebenaran Proposisi Kondisional
p
q
p ↔ q.
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Tabel Kebenaran Proposisi Bikondisional
Mathematics
Negasi “Jika p maka q” ekuivalensi logis dengan “p dan bukan q.”
~(p→q ) ≡ p 
~q
Kontrapositif dari “Jika p mak q” adalah “Jika ~q maka ~p”
The contrapositive of p→q is
~q→~p
converse “Jika p maka q” is “Jika q maka p“
The converse p→q adalah (q → p)
Inverse “Jika p maka q” adalah “Jika ∼p maka ∼q.”
Invers p→q adalah (~p → ~q)
Argumen Valid
Argumen didefinisikan sebagai sekumpulan proposisi
premis/pre·mis/ /prémis/ n 1 apa yang dianggap benar sebagai landasan kesimpulan kemudian; dasar
pemikiran; alasan; 2 asumsi; 3
Suatu argumen dikatakan valid jika semua semua hasil premisnya bernilai benar dan kesimpulan nya juga
bernilai benar
Mathematics
Tentukan validitas argumen berikut :
Jawab
Berikut beberapa argumen valid
Jika 𝑝 maka 𝑞
∼𝑞
∴ ∼𝑝
p
q
𝑝 → 𝑞
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
~q
(𝑝 → 𝑞 ) ∧ ~𝑞
~𝑝
((𝑝 → 𝑞 ) ∧ ~𝑞) → ~𝑝
Mathematics
Berikut contoh pembuktian argument valid berdasarkan aturan pada table
argument valid.
You are about to leave for school in the morning and discover that you don’t have your
glasses. You know the following statements are true:
a. If I was reading the newspaper in the kitchen, then my glasses are on the kitchen table.
b. If my glasses are on the kitchen table, then I saw them at breakfast.
c. I did not see my glasses at breakfast.
d. I was reading the newspaper in the living room or I was reading the newspaper in the
kitchen.
e. If I was reading the newspaper in the living room then my glasses are on the coffee
table.
Where are the glasses?
Solution Let RK = I was reading the newspaper in the kitchen.
GK = My glasses are on the kitchen table.
SB = I saw my glasses at breakfast.
RL = I was reading the newspaper in the living room.
GC = My glasses are on the coffee table.
Here is a sequence of steps you might use to reach the answer, together with the rules of
inference that allow you to draw the conclusion of each step:
1. RK → GK
by (a)
GK → SB
by (d)
∴ RK → SB
by transitivity
Mathematics
2. RK → SB
by the conclusion of (1)
∼SB
by (c)
∴ ∼RK
by modus tollens
3. RL ∨ RK
by (d)
∼RK
by the conclusion of (2)
∴ RL
by elimination
4. RL → GC
RL
∴ GC
by (e)
by the conclusion of (3)
by modus ponens
Thus the glasses are on the coffee table.
Sirkuit dan Ekspresi Boolean
Pada tahun 1930,Claude Shannon seorang mahasiswa M.I.T mengkaji hubungan
operasi logika desain sirkuit saklar telepon. Berikut contoh aplikasi operasi logika
pada rangkain listrik seri dan paralel
Rangkaian Seri
Rangkaian Paralel
Mathematics
Berikut tabel saklar rangkaian seri dan paralel
Saklar
Nyala Lampu
p
q
Tutup
Tutup
Tutup
Kondisi
Saklar
Nyala Lampu
p
q
on
Tutup
Tutup
on
Buka
off
Tutup
Buka
on
Buka
Tutup
off
Buka
Tutup
on
Buka
Buka
off
Buka
Buka
off
a. Rangkaian Seri
Kondisi
b. Rangkaian Paralel
Misalkan tutup kita analogikan ‘benar’ pada operasi logika dan buka dianologikan ‘salah’. Pada
rangkaian seri dianalogikan operasi logika 𝑝 ∧ 𝑞 sedangkan pada rangkaian parallel dianalogikan
𝑝 ∨ 𝑞.
Selanjutnya kita akan mengkaji Black Boxes and Gates. Pengoperasian Black Boxes sepenuhnya
ditentukan oleh penentuan tabel input / output yang mencantumkan semua kemungkinan input
sinyalnya bersama dengan sinyal output yang sesuai.
Sirkuit Berdasarkan ekspressi Boolean
Mathematics
Kalimat Berkuantor
Kuantor “untuk setiap” dinotasikan dengan ∀ dan notasi ∃ merupakan kuantor “terdapat ”. Kuantor
∀ disebut kuantor universal dan kuantor ∃ merupakan kuantor eksistensial.
Misalkan S adalah menunjukkan suatu himpunan tertentu, (ℕ ∶ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖, ℝ ∶ 𝑟𝑒𝑎𝑙, ℤ ∶
𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡) dll, kemudian P(x) menunjukkan suatu proposisi. Bentuk ∀ 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑃(𝑥)
dipandang benar jika 𝑃(𝑥) benar untuk setiap pengambilan bilangan x di S, 𝑥 ∈ 𝑆. Demikian juga
𝑃(𝑥) dianggap salah jika salah satu saja nilai 𝑥 ∈ 𝑆 menyebabkan 𝑃(𝑥) salah. Sedangkan untuk
kuantor eksistesial, terdapat, untuk menunjukkan proposisi nya benar, maka kita hanya perlu
memberikan contoh satu bilangan untuk menunjukkan proposisi tersebut benar.
Mathematics
Contoh 1
a. Misalkan ℤ menotasikan himpunan bilangan bulat. Jika kita ambil sebarang bilangan
bulat, misalkan 𝑛, maka 2𝑛 merupakan bilangan bulat.
Proposisi dari kalimat diatas adalah :
Untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ, 2𝑛 merupakan bilangan bulat.
“untuk setiap” pada kalimat tersebut kita ganti dengan kuantor universal
∀ 𝑛 ∈ ℤ, 2𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
b. Setiap bilangan bulat adalah genap
∀ 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
proposisi ini salah, jika kita ambil bilangan bulat n = 3, dimana 3 bukan merupakan
bilangan gena
Contoh 2 : gabungan dua kuantor
∃𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 = 𝑎
Pernyataan tersebut dimaknai bahwa terdapat suatu bilangan real 𝑎 untuk 𝑎𝑥 = 𝑎 berlaku untuk
semua nilai bilangan real 𝑥. Kalimat ini bernar, alasannya bisa kita tunjukkan dengan mengambil
nilai a = 1
Pada suatu proposisi berkuantor
pengambilan anggota elemen di
berkuantor universal ∀ dianggap
pembicaraannya maka proposisi
eksistensial.
universal ∀, proposisi tersebut benar berlaku untuk setiap
himpunan semesta pembicaraannya. Sebaliknya, proposisi
salah jika kita ambil satu elemen di himpunan semesta
tersebut salah. Berikut negasi untuk proposisi berkuantor
a. ~(∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑃(𝑥)) = ∃𝑥 ∈ 𝑆, ~ 𝑃(𝑥)
b. ~(∃𝑥 ∈ 𝑆, 𝑃(𝑥)) = ∀𝑥 ∈ 𝑆, ~ 𝑃(𝑥)
Contoh 1 : Negasi kuantor
P: pangkat dari setiap bilangan real adalah tak negative.
Misalkan ℝ 𝑚enotasikan himpunan bilangan real, bentuk prosisi kalimat berkuantor dari
kalimat tersebut.
𝑃 ∶ ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 2 ≥ 0
Type equation here.
Mathematics
Selanjutnya, kita negasikan proposisi tersebut yaitu ~P ,
~(∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 2 ≥ 0) = ∃𝑥 ∈ ℝ, ~(𝑥 2 ≥ 0)= ∃𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 2 < 0
~P : Terdapat bilangan real, jika dipangkatkan hasilnya adalah bilangan negative.
Bisa kita tentukan bahwa proposisi P benar dan proposisi ~P salah.
Contoh 2 : Negasi gabungan kuantor
P : ∃𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 = 𝑎
~P: ~ (∃𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 = 𝑎)
~ (∃𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 = 𝑎) = ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ~(∀ 𝑥 ∈ ℝ, ax=a)
= ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ ℝ ~(𝑎𝑥 = 𝑎)
= ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ ℝ (𝑎𝑥 ≠ 𝑎)
Mathematics
KESIMPULAN
Logika adalah cara berpikir sistematis sehingga kita bisa menyimpulkan informasi baru dari
informasi lama dan menguraikan makna kalimat. Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau
salah, tetapi tidak dapat sekaligus berlaku keduanya. Dua proposisi dikatakan ekuivalen secara logis
jika nilai kebenaran di setiap baris pada tabel kebenarannya identik. Kuantor “untuk setiap”
dinotasikan dengan ∀ dan notasi ∃ merupakan kuantor “terdapat”. Kuantor ∀ disebut kuantor
universal dan kuantor ∃ merupakan kuantor eksistensial.
Mathematics
DAFTAR PUSTAKA
1. Epp, Susanna S. Discrete mathematics with applications. Cengage learning, 2010. Chapter 2
2. Hammack, R.H., 2013. Book of proof. Richard Hammack. Chapter 2
Mathematics