ADICIONE FORMULE
Zbir uglova
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
tgα + tg β
1 − tgα ⋅ tg β
ctgα ⋅ ctg β − 1
ctg (α + β ) =
ctg β + ctgα
tg (α + β ) =
Razlika uglova
sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tgα − tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
ctgα ⋅ ctgβ + 1
ctg (α − β ) =
ctgβ − ctgα
tg (α − β ) =
Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni
znaci!!!
Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori im
ne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ koja
će vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju
‘’asocijaciju’’:
Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
“sin - ko više ko-si “
Uvek prvo pišite ugao α pa β
∧
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
“kosi-kosi manje sine-sine”
Za tg (α + β ) znamo da je:
sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β
tg (α + β ) =
=
(sad gde vidite sinus zamenite
cos(α + β ) cos α cos β + sin α sin β
tgα ⋅1 + 1 ⋅ tgβ tgα + tgβ
=
ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) =
1⋅1 − tgαtgβ 1 − tgαtgβ
www.matematiranje.com
1
cos(α + β ) cos α cos β − sin α sin β
=
= (zamenite sinus sa 1, a kosinus
sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β
ctgαctgβ − 1⋅1 ctgα ⋅ ctgβ − 1
=
sa kotanges) =
ctgβ + tgα
1 ⋅ ctgβ + ctgα ⋅1
Za ctg (α + β ) =
Znači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo
formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!!
1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od
a)15, 75, i b) 105 stepeni
a)
sin15o = sin(45o − 30o )
= sin 45o ⋅ cos 30o − cos 45o sin 30o
2 3
2 1
2( 3 − 1)
⋅
−
⋅ =
2 2
2 2
4
o
o
o
cos15 = cos(45 − 30 )
=
= cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o
2 3
2 1
2( 3 + 1)
⋅
+
⋅ =
2 2
2 2
4
tg 45o − tg 30o
tg15o = tg (45o − 30o ) =
1 + tg 45o tg 30o
=
3 3− 3
3 = 3 = 3− 3
=
3 3+ 3 3+ 3
1+
3
3
3− 3
= racionališemo sa
3− 3
1−
(3 − 3 )
=
2
32 − 3
2
=
(
Naravno tg15o smo mogli izračunati i lakše tg15o =
ctg15o =
)
9 − 6 3 + 3 12 − 6 3 6 2 − 3
=
=
= 2− 3
9−3
6
6
sin 15o
…
cos15o
1
1
2+ 3 2+ 3
=
= 2+ 3
=
⋅
o
4−3
tg15
2− 3 2+ 3
www.matematiranje.com
2
sin 75o = sin(45o + 30o )
= sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o
=
=
2 3
2 1
⋅
+
⋅
2 2
2 2
2
(
)
3 +1
4
cos 75 = cos(45o + 30o )
o
= cos 45o cos 30o − sin 45o sin 30o
=
=
2 3
2 1
⋅
−
⋅
2 2
2 2
2
(
)
3 −1
4
(
(
)
)
2 3 +1
3 +1
4
=
= (moramo opet racionalizaciju)
2 3 −1
3 −1
4
3 +1 3 +1 3 + 2 3 +1 4 + 2 3 2 2 + 3
=
⋅
=
=
=
= 2+ 3
3 −1
2
2
3 −1 3 + 1
sin 75o
=
tg 75o =
cos 75o
(
ctg 75o =
)
1
1
2− 3
=
⋅
= 2− 3
o
tg 75
2+ 3 2− 3
⎛π
⎞
b) sin 105o = sin(90o + 15o ) = sin ⎜ + 15o ⎟ = (imamo formulu) = cos15o =
⎝2
⎠
2 ( 3 + 1)
(a ovo smo već našli) =
4
Naravno, isto bismo dobili i preko formule sin 105o = sin 60o + 45o
(
)
2( 3 − 1)
⎛π
⎞
cos105o = cos ⎜ + 15o ⎟ = − sin15o = −
4
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tg105o = tg ⎜ + 15o ⎟ = −ctg15o = −( 2 + 3)
⎝2
⎠
⎛π
⎞
ctg105o = ctg ⎜ + 15o ⎟ = −tg15o = −( 2 − 3)
⎝2
⎠
opet ponavljamo da može I ideja da je tg1050 = tg (60o + 45o ) …itd.
www.matematiranje.com
3
1
2
o
o
o
o
sin 20 cos10 + cos 20 sin 10 = (ovo je: sin α cos β + cos α sin β = sin(α + β ) )
1
= sin(20o + 10o ) = sin 30o =
2
3
b) cos 47 o cos17 o + sin 47 o sin 17 o =
2
o
o
o
o
cos 47 cos17 + sin 47 sin 17 = (ovo je: cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β ) )
2)a) Proveri jednakost sin 20 o cos10 o + cos 20 o sin 10 o =
= cos(47 o − 17 o ) = cos 30o =
3
2
3
5
⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞
3) Izračunati sin(α + β ) , ako je sin α = + , cos β = −
i α ∈ ⎜ , π ⎟, ⎜ π , ⎟
5
13
⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
Znači ‘’fale’’ nam cos α i sin β . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti:
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin 2 β + cos 2 β = 1
cos 2 α = 1 − sin 2 α
sin 2 β = 1 − cos 2 β
⎛3⎞
cos α = 1 − ⎜ ⎟
⎝5⎠
9
cos 2 α = 1 −
25
25 − 9
cos 2 α =
25
16
cos 2 α =
25
16
cos α = ±
25
4
cos α = ±
5
2
2
2
⎛ 5⎞
sin β = 1 − ⎜ − ⎟
⎝ 13 ⎠
169 − 25
sin 2 β =
169
144
sin 2 β =
169
144
sin β = ±
169
12
sin β = ±
13
ovde su sinusi negativni
Dakle:
12
sin β = −
13
2
Dal da uzmemo + ili – to nam
govori lokacija ugla
⎛π ⎞
α ∈ ⎜ ,π ⎟
⎝2
⎠
Ovde su kosinusi negativni! Znači da je cos α = −
4
5
4
Vratimo se da izračunamo sin (α + β )
3 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 12 ⎞
15 48 33
sin (α + β ) = ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = − +
=
5 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 13 ⎠
65 65 65
12
⎛π
⎛π ⎞
⎞
4) Izračunati tg ⎜ + α ⎟ za koje je sin α =
i α ∈ ⎜ ,π ⎟
13
⎝4
⎝2 ⎠
⎠
⎛π ⎞
tg ⎜ ⎟ + tgα
1 + tgα
⎛π
⎞
⎝4⎠
=
tg ⎜ + α ⎟ =
⎝4
⎠ 1 − tg ⎛ π ⎞ ⋅ tgα 1 − tgα
⎜ ⎟
⎝4⎠
sin α
Pošto je tgα =
, znači moramo naći cos α
cos α
sin 2 α + cos 2 α = 1
2
⎛ 12 ⎞
2
⎜ ⎟ + cos α = 1
⎝ 13 ⎠
144
cos 2 α = 1 −
169
169 − 144
cos 2 α =
169
25
cos 2 α =
169
25
cos α = ±
169
5
cos α = ±
13
⎛π ⎞
Da li uzeti + ili – ? α ∈ ⎜ , π ⎟
⎝2 ⎠
12
tgα = 13
5
−
13
12
tgα = −
5
Vratimo se u zadatak:
12
1−
π
⎛
⎞
5
tg ⎜ + α ⎟ =
12
⎝4
⎠ 1+
5
−7
7
⎛π
⎞ 5
=−
tg ⎜ + α ⎟ =
17
⎝4
⎠ 17
5
Ovde su kosinusi negativni!!!
Dakle
cos α = −
5
13
www.matematiranje.com
5
5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je tgα =
π
1
1
i tgβ = pokazati da je α + β =
2
3
4
Ispitajmo koliko je tg (α + β ) = ?
5
1 1
+
tgα + tgβ
tg (α + β ) =
= 2 3 = 6 =1
1 − tgαtgβ 1 − 1 ⋅ 1 5
2 3 6
Znači: tg (α + β ) = 1 , ovo je moguće u 2 situacije: α + β = 45o ili α + β = 225 o pošto su
α i β oštri uglovi, zaključujemo:
α + β = 45o tj. α + β =
π
4
6) Dokazati da je (2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) = tgy , ako je 2tgx − 3tgy = 0
(2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) =
tgx − tgy
3tgy
= (pošto je 2tgx − 3tgy = 0 zaključujemo tgx =
)
(2 + 3tg 2 y ) ⋅
1 + tgxtgy
2
3tgy
− tgy
2
2
=
(2 + 3tg y ) ⋅
3tgy
1+
⋅ tgy
2
3tgy − 2tg
2
(2 + 3tg 2 y ) ⋅
=
2 + 3tg 2 y
2
3tgy − 2tgy
(2 + 3tg 2 y ) ⋅
= tgy
2 + 3tg 2 y
Ovim je dokaz završen.
7) Dokazati identitet:
sin(α + β ) tgα + tg β
=
cos(α − β ) 1 + tgα tg β
sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β
=
= (sada ćemo izvući: cos α cos β i gore i
cos(α − β ) cos α cos β + sin α sin β
dole)
www.matematiranje.com
6
⎛ sin α sin β ⎞
+
cos α cos β ⎜
cos α cos β ⎟⎠
tgα + tg β
⎝
=
=
⎛ sin α sin β ⎞ 1 + tgα ⋅ tg β
cos α cos β ⎜1 +
⋅
⎟
⎝ cos α cos β ⎠
π
2 +1
1
⎛ π⎞
, tgβ =
i α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ , dokazati da je α − β =
4
2 −1
2
⎝ 2⎠
8) Ako je tgα =
Sredimo prvo izraze tgα i tgβ
tgα =
2 +1
2 −1
(izvršimo racionalizaciju)
2 +1 2 +1
tgα =
⋅
=
2 −1 2 +1
(
)
2 +1
2
2
2 − 12
=
2 + 2 2 +1
2 −1
tgα = 3 + 2 2
tg β =
1
1
2
2
=
⋅
=
2
2
2 2
tg β =
2
2
tg (α − β ) =
tgα − tg β
=
1 + tgα ⋅ tg β
3+ 2 2 −
(
2
2
2
1+
3+ 2 2
2
)
= 2 je zajednički i gore i dole=
6+4 2 − 2 6+3 2
2
2
=
=
=1
2 3 2 4
6+3 2
+
+
2
2
2
2
Dakle tg (α − β ) = 1 , to nam govori da je α − β = 45o ili α − β = 225o . Pošto u zadatku
π
⎛ π⎞
kaže da je α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ zaključujemo α − β = 45o tj. α − β = što je i trebalo
4
⎝ 2⎠
dokazati!
www.matematiranje.com
7