OʻZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA OʻRTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
GULISTON DAVLAT UNIVERSITETI
Qoʻlyozma huquqida
FIZIKA KAFEDRASI
Mutaxassislik: 5A140202- Fizika yo’nalishlar bo’yicha(optika, molekulyar
optika, magnit optika)
XAMIDOV TURSUNALI OLIMJON OʻGʻLINING
“10B YADRONING (p+9Be) KONFIGURATSIYA UCHUN
BOGʻLANGAN HOLATLAR TOʻLQIN FUNKSIYALARI”
MAVZUSIDAGI
MAGISTRLIK DISSERTASIYA
(magistr akademik darajasini olish uchun)
Ish koʻrildi va himoyaga tavsiya
etildi.Magistratura
boʻlimi boshlig’i: _________
“Fizika” kafedrasi mudiri:
________
Dissertasiya dastlabki himoyasi __________ _ _kafedrasida himoyadan oʻtdi
_____sonli bayonnoma “______” “__________” 2021 y.
GULISTON-2021
Magistrlik dissertatsiya ishi mavzusi Guliston davlat universitetining “___”
_________20__yildagi rektorning №_____ sonly buyrugʻi bilan tasdiqlangan.
Davlat attestatsiya komissiyasining “___” sonly yigʻilishida muhokama qilindi
va “____” ball bilan ___________baholandi.
Magistrlik dissertatsiya ishi “Axborot texnologiyalar” fakultetining 2021 yil
“_____” “____________” dagi “_______” sonly Ilmiy kengashi qarori bilan
davlat attestatsiya komissiyasiga himoya qilish uchun tavsiya etildi.
Fakultet dekani:
A.A.Qalandarov
Magistrlik dissertatsiya ishi “Matematika” kafedrasining 2021 yil “_____”
“____________” dagi “_______” sonly yig’ilishida muhokama qilindi va
himoya qilish uchun tavsiya etildi.
Kafedra mudiri:
D.X.Turdiboyev
Magistrlik dissertatsiya ishi bajaruvchisi “5A140202- Fizika yo’nalishlar
bo’yicha” mutaxassisligi bitiruvchisi
4-19M-M guruh magistranti……………….
Ilmiy rahbar:
S.B.Igamov
2
Annotatsiya
10
B yadrosining bog`langan holatlari Wood-Saxon yadroviy potensiali
kesimida tadqiq qilindi. Bog`langan holat to`1qin funksiyalari hisoblab topildi.
Ular yordamida har bir bog`langan holat uchun yadro radiusi aniqlandi. Natijalar
uyg`ongan holatlar energiya satxining oshib borishi bilan
10
B yadrosida (p+9Be)
klaster strukturaning namoyon bo`lishligi kuchayib borishini ko`rsatdi.
Annotation
The bound states of the
10
B nucleus were studied using the Wood-Saxon
nuclear potential. The bound state wave functions were calculated. They were
used to determine the radius of the nucleus for each bound state. The results
showed that the appearance of the cluster structure in the core
10
B (p + 9Be)
increases with increasing energy level.
MUNDARIJA
№
3
5
Kirish
I BOB
8
YADRO TUZILISHI. YADRO KLASTERLARI.
1.1.
Asosiy kvant fizikasi tushunchalar yordamida ishchi formulani
aniqlash.
8
1.2.
Yadro va uning holatini tavsiflovchi asosiy tushunchalar, modellar
va potensiallar.
25
1.3.
Klasterlanish va yadrolarda klaster strukturalarning hosil bo`lishi.
41
II. BOB
10
B YADRONING (p+9Be ) KONFIGURATSIYA UCHUN
BOG`LANGAN HOLAT TOʻLQIN FUNKSIYA
TENGLAMASINI ANIQLASH.
2.1
10
2.2
𝑝+
III BOB
10
3.1
Fortran tilida hisoblash dasturi
57
3.2
Natijalarni olish
61
Xulosa
66
Foydalanilgan adabiyotlar
67
50
B yadrosining mavjud bogʻlangan holatlari va ularning tavsiflari.
9
50
𝑝𝑝 konfiguratsiya uchun Shredinger tenglamasi.
B YADRONING (p+9BE ) KONFIGURATSIYA UCHUN
BOGʻLANGAN HOLAT TOʻLQIN FUNKSIYASINI
HISOBLASH
54
57
KIRISH
4
1911-yili Ernest Rezerford o`zining alfa zarralar bilan metal folgani
bombardimon qilishga bag`ishlangan mashhur tajribasi bilan atomning planetar
modelini yaratdi, ya`ni atomni Quyosh tizimiga qiyosladi. Ushbu modelga
muvofiq atom markazda atomning 99,9 foizdan ziyod massasini o`zida jamlagan
qal`a singari mustahkam yadro atrofida esa har bittasi o`z orbitasida aylanayotgan
eletronlardan tashkil topgan bo`lib chiqdi. Keyingi, yadroni parchalash bilan
bog`liq tadqiqotlar
yadroning proton va neytronlardan tashkil topganini
ko`rsatdi. Shunday qilib, yadro proton va neytronlardan tashkil topgan, ularning
massalari deyarli teng, proton bitta electron zaryadiga teng musbat zaryadlangan,
neytron esa neytral zarracha. Proton va neytronlar o`ta og`ir zarrachalar bo`lib,
elektron massasidan tahminan 1840 marta og`irdir. Yadrononing tarkibida bu
zarrachalar yadroviy kuchlar deb atalmish maxsus, qisqa masofada o`ta kuchli
bo`lgan tortishish kuchlari bilan bir-birini tortib ushlab turadilar. Yadroviy
kuchlarga javob beradigan yadroviy potensiallarning aniq ko`rinishi shu
kungacha fanda aniqlanmangan, biroq turli-tuman yadroviy reaksiyalarni
tushntira oladigan, va hozirgi kunda keng tarqalgan ba`zi birlarining empiric
ko`rinishlari aniqlangan. Ulardan eng ko`p tarqalganlari: Vud-Sakson potensiali
va Yukava potensiali.
Yadroviy ta`sir potensiallari odatda markaiziy simetrik bo`ladi. Bu degani,
yadro tarkibidagi nuklonlar (protonlar va neytronlarning umumiy nomi) yaro
markazi atrofidagi alohida orbitalarda yakkalshgan holda, ba`zay juftlashgan
holda harakat qiladilar degani. Ammo ko`plab yadroni parchalash bilan
boradigan yaroviy reaksiyalar yadroning tarkibida nuklonlar klasterlangan, ya`ni
energetik qulay bo`lgan guruhlangan (masalan, deytron, alfa zarra va undan ham
yuqori tartibli yadrolar ko`rinishida) holatlarda bo`lishligini ko`rsatayapti.
Bunday yadrolar odatda tashqi simmetrik ko`rinishini yo`qatadi va galo yadrolar,
ya`ni cho`zinchoq shaklini egallaydi.
Mavzuning dolzarbligi: 10B yadrosining (p+9Be) klaster strukturaga ega
bo`lishlik ehtimolligi kosmoligiya nuqtai nazaridan o`ta dolzarb hisoblanadi.
5
So`nayotgan yulduzlarning energiya manbai hisoblangan vodorod yonishi ppsiklining zanjirli reaksiyalarining muhim halqalaridan hisoblangan 9Be(p,)10B
radiatsion qamrash yadro reaksiyaning tezligi
10
B yadrosining konfiguratsion
tuzilishida (p+9Be) klaster strukturaning ustunlik qilishiga to`g`ridan-to`g`ri
bog`liq. Shundan kelib chiqqan holda,
10
B yadrosini bog`langan holatlarini
kvant fizikasi usullari bilan tadqiq qilish, yohud holat to`lqin funksiyalarini
hisoblab topish va ularni kerakli fizik kattalaiklarni hisoblab topishda ishlatish
o`ta muhim masala hisoblanadi.
Tadqiqot maqsadi va vazifalari: 10B→ (9Be+p)- bog`langan holat to`lqin
funksiyalarini aniqlash va ular yordamida 10B yadrosining fizikaviy tavsiflarini
aniqlash. Ikkinchi tartibli Shredinger differensial tenglamasini Wood-Saxon
yadroviy potensiali uchun yechimini topish.
Tadqiqot ob’ekti va predmeti: 10B yadrosi, Shredinger tenglamasini
yechimini topish, hisoblash dasturi.
Tadqiqot usuli: Nazariy va kompyuterdagi raqamli hisoblash.
Asosiy natijalar: Shredinger tenglamasining 10B yadrosining holat
to`lqin funksiyalari ko`rinishidagi yechimlari topildi. To`lqin funksiyalar
ko`rinishiga qarab bo`glangan holatlarga tavsiflar berildi.
10
B yadrosining
proton galo tuzilishga ega yadro ekanligi aniqlandi.
Ilmiy yangiliklar darajasi: Yuqori
Olingan natijalarning amaliyoti ahamiyati: 10B yadrosining tuzilishiga
doir olingan ma`lumotlar astrofizika fani muammolariga tatbiq etiladi.
So`nayotgan yulduzlar taqdirini oldindan bashorat qilishda ularning energetik
6
balansida muhim rol o`ynagan 9Be(p,𝛾)10B radiatsion qamrash reaksiyasi
tezligini nazariy usulda yuqori aniqlikda aniqlashda bu ma`lumotlar o`ta muhim
hisoblanadi.
I BOB. YADRONING BOG`LANGAN HOLATINI
TAVSIFLASH
7
1.1
ASOSIY
KVANT
FIZIKASI
TUSHUNCHALARI
YORDAMIDA ISHCHI FORMULANI ANIQLASH.
To`lqin funksiya
Plank va Eynshteynlarning urinishlari tufayli yorug`lik fotonlardan iborat,
degan tushuncha fanga kirib keldi. Bu tushuncha absolut qora jismning nurlanish
spektrini, fotoffekt va Kompton effcktini tushuntirishda yordam berdi. Plank
g'oyasiga asosan yorug`lik to`lqini 𝜈 chastotaga va 𝑝to`lqin vektoriga ega bo'lsa,
unda uni tashkil qilgan fotonlarning har biri ushbu
𝜀
energiyaga va 𝑝impulsga
ega bo`lishi kerak:
𝜀
= ℎ𝑝 = ħ𝑝
1.1
𝑝 = ħ𝑝
1.2
1.1 va 1.2 formulalardan ko'rinib turibdiki, foton ikki xil xarakteristikaga
egadir, ya'ni
𝜔, 𝑝—
to`lqinni ifoclalovchi kattaliklar va 𝜀, 𝑝—korpuskulani
ifodalovchi kattaliklar.
Fotonning xarakteristikalari uning interferensiyalanish va difraksiyalanish
qobiliyatiga ega bo`lishini ko`rsatadi. Korpuskular xarakteristikalari esa fotonga
zarracha sifatida qarash mumkinligini bildiradi. Bu ikki xil xarakteristikalar
Plank doimiysi orqali o`zaro bog`langan.
1923-yilda Lui de-Broyl kvant nazariyasini rivojlantirish uchun muhim
qadam qo`ydi. U tabiatdagi simmetriyaga asoslanib, agar yorug'lik, jumladan
fotonlar to`lqin xususiyatdan tashqari korpuskular xususiyatlarni ham namoyon
qilar ekan, zarrachalar ham korpuskular xususiyatlar bilan bir qatorda to`lqin
8
xususiyatlariga ham ega kerak degan g`oyani ilgari surdi. N. Bor tomonidan
postulatlar kiritish orqali vodorod atomi nurlanishlari tushuntirib berilgan bo`lsa,
de-Broyl g`oyalari Bor nazariyasini tushuntirib berdi.
Uning fikricha atomdagi har bir elektronga turg`un to`lqin mos keladi. Bor
nazariyasiga ko`ra elektronlar doiraviy orbitalar bo`ylab harakatlangani uchun,
de-Broylning fikricha elektronga atomdagi o`z-o'ziga tutashuvchi doiraviy
turg'un tolqinlar mos keladi. Mana shu tasdiqqa asoslangan holda Boring
kvantlanish shartlari va ulardan kelib chiqadigan natijalar to`la asoslandi.
Shunday qilib, de-Broyl 𝑝 impulsga ega bo`lgan elektronni, to'lqin uzunligi
𝜆𝑝 ,
bilan bog`lash kerakligini ta`kidladi:
𝜆𝑝
=
ℎ
1.3
𝑝
Demak, energiyasi 𝑝 va impulsi 𝑝 ga teng bo`lgan erkin
harakatlanuvchi elektron de-Broyl yassi to'lqini bilan quyidagicha bog'langan:
𝑝(𝑝𝑝−𝑝𝑝)
𝜓(𝑝, 𝑝) = 𝑝𝑝
1.4
Zarrachalaming to'lqin hamda korpuskular xarakteristikalari orasidagi
bog'lanishini fotonga xos bo'lgan ko`rinishiga ega deb qaraladi, ya'ni
𝑝 = ħ𝑝
1.5
𝑝 = ħ𝑝
1.6
bo`ladi. Ushbu tenglamalar de-Broylning asosiy tenglamalari deb yuritiladi.
1.5 va 1.6 tenglamalardan
𝑝
𝜔= ħ
va 𝑝 =
ħ
𝑝
larni aniqlab, 1.4 tenglamaga
qo`yilsa,
𝑝(𝑝𝑝−𝑝𝑝)
𝜓(𝑝, 𝑝) = 𝑝𝑝 ℎ
1.7
9
de-Broyl to'lqini hosil bo'ladi.
De-Broyl to`lqinining fizik ma`nosi
Endi de-Broyl to`lqinining fizik ma'nosini aniqlashga o`tamiz. Avvalo
to`lqin va zarracha o'rtasidagi asosiy farqni eslatib o`taylik. Ma'lumki, to'lqin
qandaydir davomiylikka ega va u o'zini bir vaqtda fazoning turli yerlarida
namoyon qila oladi. Zarracha esa aniq bir vaqt momentida faqatgina bir yerda
oshkor bo`la oladi. Aynan shuning uchun Plank, Eynshteyn va de-Broyl g'oyalari
tajriba natijalarini tushuntirgan bo`lsa ham, avvaliga bu g'oyalarda qandaydir
ichki qarama-qarshilik mavjuddek tuyuladi. Misol tariqasida, yorug'likning ikki
tirqishdagi difraksiyasini batafsil tahlil qilaylik. Ma'lumki, ikki tirqishli ekrandan
o'tgan yorug`lik uning orqasiga qo`yilgan fotoplastinkada interferension
manzarani hosil qiladi: fotoplastinkada maksimum va minimumlarning
almashinuvi kuzatiladi. Bu tajribada yorug`likning to`lqin tabiati haqida ikki
dalilga egamiz:
1. Fotoplastinkaning turli yerlari bir vaqtda uzluksiz ravishda qorayishi.
2. Yorug`likni to`lqin deb qarovchi nazariya asosida kelib chiqqan
formulalarga interferension manzaraning aynan mos kelishi.Endi tushayotgan
yorug`lik intensivligi juda kichik miqdorga kamaytirildi deb faraz qilaylik.
Mazkur holda, fotoplastinkaning qorayishi tartibsiz joylashgan nuqtalar
ko'rinishida bo`lishi kerak va fotoplastinkaning o'zi mohir bo`lmagan mergan
tomonidan otilgan nishonni eslatishi kerak. Bu tajribaviy misolni yorug'likning
fotonlardan iboratligini va ular fotoplastinka bilan to'qnashganda o'zlarini
zarracha kabi tutishini isbotlash uchun keltirish mumkin. Demak, yuqorida
aytilgan yorug`likning to'lqin tabiatini isbotlovchi birinchi dalilni tushirib
qoldirilsa ham bo'ladi, chunki fotoplastinkaning uzluksiz xarakterga ega bo'lgan
qorayishini faqatgina odatdagi yorug`likda fotonlarning ko`pligi bilan
tushuntirish mumkin. Hayoliy tajribani davom ettiraylik: katta vaqt oralig'ida
10
tirqishlardan ketma-ket fotonlarni yuboraylik, ya'ni intensivlikni avvalgicha
kichik deb hisoblab, ekspozitsiya vaqti oshiriladi. Bunda qanday natijaga
erishiladi? Qizig'i shundaki, fotoplastinkadagi qora nuqtalaming soni ko`paygani
sari, Ular o'zaro tutashib, aniq interferension manzarani hosil qilar ekan. Demak,
fotonlar fotopiastinka bilan o'zaro ta'sir qiiganda flint zarracha kabi namoyon
etishiga qaramay, ularning tabiatini baribir qandaydir sirli to'lqin boshqarib
turishini tan olmay ilojimiz yo`q. Modomiki, yuborilayotgan fotonlar oralig'idagi
vaqt juda katta ekan, demak, ular mustaqil fotonlardir va shuning uchun oldinroq
ta'kidlaganimizdek, bu to'lqin ayrim fotonnig xususiyatidir deb ham tan olish
lozim. Lekin g`alati bir hol bor: bu to'lqin ayrim foton xarakteristikasi bolishiga
qaramay, u o'zini faqat ko`p miqdordagi mustaqil fotonlar mavjud sharoitdagina
aniq namoyon qiladi (Biz bilamizki, bitta foton fotoplastinkada faqat bitta dog'
qoldiradi va shunday ekan uning bir o'zi interferension manzarani hosil qila
olmaydi). De-Broyl to'lqini deb atalgan to`liqin mana shunday zid xarakterga
egadir. Bu muammoni Maks Born hal qilib berdi. Uning fikrlarini to`la tasavvur
etish uchun yana bir boshqa hayoliy tajribani ko'z oldimizga keltiraylik. Faraz
qilaylik, butun dunyo bo`ylab juda ko'p laboratoriyalarda bir vaqtning o'zida
yuqorida aytilgan tajriba o'tkazilsin. Lekin, tushayotgan yorug'lik intensivligi va
ekspozitsiya vaqti shunday tanlansinki, natijada fotoplastinkada faqatgina bitta
qoraygan nuqta hosil bo`lsin. Bizga ravshanki, turli laboratoriyalarda bu
qoraygan nuqtalar fotoplastinkaning har xil joyida bo`ladi. Keling endi olingan
natijalarni (bu nuqtalarning koordinatlarini) yig`aylik va ularni fotoplastinka
kattaligidagi qog`oz yuzasiga tushiraylik. Nima kuzatiladi? Maks Born bu
savolga quyidagicha javob bergan: qog`ozdagi hosil bo`ladigan ko`rinish
odatdagi optik tajribalardan olinadigan ikki tirqishdagi interferension manzaraga
aynan mos keladi. Maks Bornning yuqoridagi kabi fikr yuritishlari uni de-Broyl
to`lqinlariga statistik izoh berishga undadi. Uning taxminiga ko`ra de-Broyl
to`lqinlarining intensivligi fotonning berilgan vaqt momentida berilgan yerda
topilish ehtimolligiga proporsionaldir:
11
𝑝(𝑝, 𝑝) = |𝑝(𝑝, 𝑝)|2 = 𝑝∗ (𝑝, 𝑝) ⋅ 𝑝(𝑝, 𝑝)
1.8
Boshqacha aytganda, ayrim fotonga xos bo`lgan de-Broyl to`lqini
ehtimollik to`lqinidir va yorug`lik
to`lqinidagi
elektr hamda
magnit
maydonlarning kuchlanishlari bilan to`g`ridan-to`g`ri aloqador emas.
Demak, de-Broyl to`lqini informatsion xarakterga ega va shuning uchun
ham u fizik to`lqin bo`la olmaydi. Mana endi bizga ravshanlashdiki, nima uchun
ayrim fotonga de-Broyl to`lqini mos kelsa ham. u fotoplstinkaga fizik to`lqinlar
kabi fazoviy davomiylikda ta'sir eta olmas ekan. De-Broyl to`lqini o'zida
ehtimollik informatsiyasini tashir ekan. U o'zini aniq namoyon qilishi uchun ko`p
mustaqil fotonlarni talab qilishining sababi ham endi tushunarlidir. Ma'lumki,
ehtimollik qonunlari o'zlarini aniq namoyon qilishi uchun tajribalarning bir necha
bor mustaqil holda takrorlanishini taqozo qiladi: tajribalar qancha ko'p
takrorlansa ehtimollik qonunlarining bajarilishi shuncha aniq bo`ladi. Misol
tariqasida "chikka va pukka" deb ataluvchi o'yinni olaylik (tangani havoga otib
o`ynash): biz bilamizki, tangani havoda otgan vaqtimizda uning raqamli va
raqamsiz (gerbli) tomonlarining tushish ehtimoli bir xil. Albatta bu qonuniyat
tanga juda ko'p marta otilgandagina o'zini namoyon qiladi. Yuqoridagi ko'rgan
tajribamizda esa tirqishlardan o'tgan fotonni fotoplaminkaning biron nuqtasiga
tushish ehtimoli shu nuqtadagi de-Broyl intensivligi bilan aniqlanadi va shuning
uchun uning fotoplastinkadagi taqsimlanishi interferentsiya qonuniga bo'ysunadi.
Biz tirqishlar orqoli katta vaqt oralig`ida ketma-ket fotonlarni yuborgan chog'da,
go'yoki yakka foton ustidagi tajribani ko`p marta mustaqil ravishda takrorlagan
bo'lamiz, natijada de-Broyl tutgan ehtimoliy informatsiya interferension manzara
shaklida ko`rina boshlaydi. Ko`ryapmiziki, de-Broyl to'lqinining ehtimoliy
talqini (ehtimollik interpretatsiyasi) bir yo`la to'lqin- korpuskular dualizm asosini
tashkil qiluvchi barcha qarama-qarshiliklarni hal qilib berar ekan. Albatta, deBroyl to`lqinining ehtimoliy interpretatsiyasi faqat foton uchungina tegishli
12
bo`lmay, balki har qanday zarracha uchun ham o'rinlidir. De-Broyl g'oyalarining
universalligidan kelib chiquvchi bu muhim holni alohida uqtirib o'tish lozim.
Quyida de-Broyl to'lqinining fizik to'lqinlardan farqini ta'kidlovchi bir
xususiyatini ko'rib chiqaylik. Hamma fizik to'lqinlaming intensivligi ularning
fizik holatini aniqlaydi, chunki intensivlik tebranish energiyasi bilan bog'liqdir.
De-Broyl to'lqinlari intensivligi esa zarrachalarning joylashish ehtimolini
belgilaydi. Shuning uchun intensivlik kattaligining o'zi emas, balki fazoning turli
qismlaridagi intensivlik nisbatlari muhimdir. Bu nisbatlar zarrachani fazoning
biron yeriga qaraganda boshqa bir yerida necha marotaba ko`p namoyon bo`la
olish ehtimolligini ko'rsatadi.
Shredinger tenglamasi
To`lqin funksiya informatsion xarakterga ega bo`lgani uchun u sistemaning
holati haqida ma`lumot beradi. Shunday ekan bu funksiyani aniqlash usulini
topish va bu funksiyani aniqlash juda muhim hisoblanadi. To`lqin funksiya uchun
tenglamani birinchi bo`lib Avsraliyalik fizik Ervin Shredinger taklif qildi. Shu
sababli bu tenglama uning nomi bilan ataladi. Shredinger tenglamasi quyidagi
ko`rinishga ega:
−𝑝ℏ
𝑝𝑝
𝑝𝑝
= −
ℏ2
2𝑝
𝑝2 𝑝 + 𝑝(𝑝)𝑝
1.9
Bu tenglama Shredinger tenglamasining vaqtga bo`g`liq ko`rinishi
hisoblanadi. Ushbu tenglama to`lqin funksiyani vaqtga bo`g`liq holda topish
imkonini beradi. Statsionar, ya`ni vaqtga bo`g`liq bo`lmagan holatlar uchun bu
tenglama quyidagi ko`rinishni oladi:
−
ħ2
2𝑝
𝑝2 𝑝 + 𝑝(𝑝)𝑝 = 𝑝𝑝
1.10
13
Bu yerda 𝑝 to`la energiyani ifodalaydi. 𝑝(𝑝) esa potensial energiya, 𝑝 esa
radius vektor. Bunda 𝛻2 matematik operator hisoblanadi. U Dekard koordinatalar
sistemasi uchun quyidagi ko`rinishga ega:
𝛻2
𝑝
=
𝑝𝑝2
+
𝑝
𝑝𝑝2
+
𝑝
1.11
𝑝𝑝2
Agar bu operatorni yuqoridagi tenglamaga qo`ysak, quyidagi tenglama hosil
bo`ladi.
ħ2
𝑝2
𝑝2
𝑝2
2𝑝 𝑝𝑝
𝑝𝑝
𝑝𝑝2
(
2 +
2 +
1.12
)𝑝 + (𝑝 − 𝑝(𝑝))𝑝 = 0
Bu tenglamaning yechimi bizga to`lqin funksiyani koordinataga bo`g`liq
holda topish imkonini beradi.
Bu tenglama differensial tenglama bo`lgani uchun uning yechilishi
masalaning qo`yilishiga qarab murakkablik kasb etadi. Ba`zi masalalarda
yechimga oson yetib borilsa, ba`zan bu tenglamani analitik yo`l bilan yechish
imkonsiz. Bunday vaziyatlarda tenglamani sonli usullar bilan yechiladi.
Markaziy sinimetrik maydondagi harakat. shredinger tenglamasining
radial qismi
Markaziy kuch maydonidagi zarrachaning harakatini o'rganish potensial
o`radagi zarrachaning harakati, garmonik ossilyator masalasi kabi kvant
mexanikasining fundamental masalalarini tashkil etadi. Markaziy kuch
maydonida
harakatlanayotgan
zarrachaning
potensial
energiyasi
faqat
masofaning funksiyasi
𝑝 = 𝑝(𝑝)
1.13
14
bo`lib, markaziy simmetrik maydon hosil qiladi. 𝑝(𝑝) potensial energiyali
simmetrik maydondagi harakatlanuvehi zarrachaning statsionar holatlari uchun
Shredinger tenglamasi
∆𝑝 +
2𝑝
ħ2
(𝑝 − 𝑝(𝑝))𝑝 = 0
1.14
ko`rinishga ega, bunda ∆= 𝑝2 − Laplas operatori. Tenglamadan ko`rinib
turibdiki, Laplas operatori va 𝜓 funksiya 𝑝, 𝑝, 𝑝 koordinatalariga bog`liq, ammo
potensial energiya 𝑝(𝑝) Dekart koordinatalari 𝑝, 𝑝, 𝑝 ning emas, balki 𝑝
masofaning funksiyasidir. Potensial energiyaning 1.13 ko`rinishdagi markaziy
simmetrik holi uchun 𝑝, 𝑝, 𝑝 sferik koordinatalarga o`tish, Laplas operatorini
sferik koordinatalar orqali ifodalash 1.14 tenglamani yechishni osonlashliradi.
Sferik koordinatalar sistemasi 1-rasmda ko`rsatilgan:
1-rasm: Sferik koordinatalar sistemasi
Sferik koordinatalar sistemasi uchun Laplas operatori quyidagi ko`rinishga
ega:
15
𝛻2
=
1 𝑝
𝑝
1
𝑝
𝑝
1
𝑝2
(𝑝2 𝑝𝑝) + 𝑝2𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 (𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝) + 𝑝2𝑝𝑝𝑝2𝑝 𝑝2𝑝;
𝑝2 𝑝𝑝
1.15
Endi, Shredinger tenglamasi Sferik koordinatalar sistemasida quyidagi
ko`rinishni olishini tushunish qiyin emas:
1.16
Biz markaziy simmetrik maydonni ko`rayotganligimiz va spin o`zaro
ta`sirlarni inobatga olmayotganligimiz uchun, sferik koordinatalar sistemasida
to`lqin funksiyani radial va burchakga bog`liq qismlarga ajratish mumkin.
Sferik koordinatalar sistemasida radial va burchakka bo`g`liq tenglamalarni
bir biridan ajratish uchun quyidagi almashtirishni qilish kerak:
1.17
Bu yerda 𝑝(𝑝) va 𝑝(𝑝, 𝑝) bir biridan mustaqil funksiyalar. O`rniga
qo`yishlarni amalga oshirsak, quyidagi natijaga ega bo`lamiz:
1.18
16
Tenglamaning ikki tomonini 𝑝(𝑝)𝑝(𝑝, 𝑝) ga bo`lamiz va 𝑝2 ga
ko`paytiramiz. Shunda quyidagi ifoda hosil bo`ladi:
1.19
1.19 ifodada, birinchi qavs ichidagi ikki had faqatgina radius 𝑝 ga bog`liq,
ikkinchi qavs ichidagi ikki had esa faqatgina burchaklarga bo`g`liq. Ba`zi arzimas
yechimlarni hisobga olmaganda, bu tenglama ikki qavs ham nolga teng
bo`lganda, yoki ikki qavs o`zaro qarama qarshi doimiyga teng bo`lganda
yechimga ega. Bu doimiyni qandaydir 𝑝 deb tanlanadi va shu doimiy uchun
yechim topiladi. Odatda bu doimiyni 𝑝(𝑝 + 1) ko`rinishida tanlashadi. Bu yerda
𝑝 impuls momenti kvant soni. Shuda quyidagi ikki tenglamaga ega bo`lamiz.
Radial tenglama:
1.20
Burchakga bog`liq tenglama:
17
1.21
Burchakga bog`liq tenglamaning o`zi ham ikki qismga ajraladi. Ya`ni, sferik
koordinatalar tili bilan aytganda kenglik 𝜃 ga bo`g`liq tenglama va uzunlik 𝑝 ga
bo`g`liq tenglamaga. Buni amalga oshirish uchun yuqoridagidek yo`l tutamiz.
Ya`ni, 𝑝(𝑝, 𝑝)ni 𝑝(𝑝, 𝑝) = 𝑝(𝑝) ⋅ 𝑝(𝑝) ko`rinishida tanlaymiz. Buni
burchakga bo`g`liq 1.21 tenglamaga qo`yamiz:
Tenglikning ikki tomonini 𝑝𝑝𝑝2 𝑝 ga ko`paytiramiz va ifodani
guruhlaymiz:
1.22
Ko`rib turganingizdek yuqoridagi kabi vaziyat vujudga keldi. Birinchi ikki
had faqat
𝜃
kenglikga bog`liq bo`lsa, oxirgi had faqat 𝑝 uzunlikga bo`g`liq.
Bunda yana yuqoridagidek yo`l tutib ajralish doimiysini tanlashimiz kerak.
Ajralish doimiysini 𝑝2 deb tanlaymiz. Shunda quyidagi ikki tenglama hosil
bo`ladi:
1.23
18
1.24
Oxirgi 1.24 tenglama biz biladigan oddiy differensial tenglama bo`lgani
uchun uning yechimini to`g`ridan to`g`ri keltiramiz. U quyidagicha bo`ladi:
1.25
Kenglik
𝜃
bog`liq tenglama biroz murakkab. Uning yechimini keltiramiz.
Tenglamani quyidagi ko`rinishda yozamiz:
Birinchi hadni yoyamiz:
Bundan so`ng tenglama quyidagi ko`rinshga keladi:
Bu tenglamani yechish uchun 𝑝 = 𝑝𝑝𝑝 𝑝 almashtirishni qilamiz. Endi
hosilalarni aniqlashimiz zarur.
Birinchi tartibli hosila:
19
Ikkinchi tartibli hosila:
Topilgan hosilalarni tenglamaga qo`yamiz.
Bu tenglamada ham
Shuning
uchun,
𝜃
ham 𝑝qatnashgan. Bu ifoda bizga to`g`ri kelmaydi.
𝑝𝑝𝑝2 𝑝 = 1 − 𝑝𝑝𝑝2 𝑝,
𝑝 = 𝑝𝑝𝑝𝑝
tengliklardan
foydalanamiz.
1.26
Bu 1.26 tenglama bog`langan Legendre (Lejandr) tenglamasi hisoblanadi.
𝑝 = 0 bo`lganda bu tenglama Legendre tenglamasiga aylanadi. Bu tenglama
odatda quyidagicha yoziladi.
20
𝑝 = 0 bo`lganda quyidagi Legendre tenglamasi hosil bo`ladi.
Bog`langan Legendre tenglamasining yechimi bog`langan Legendre
polinomlari hisoblanadi. Bog`langan Legendre polinomlari esa Legendre
polinomlaridan quyidagi tenglikni ishlatish orqali hosil qilinadi.
Bu yerda 𝑝𝑝 (𝑝) Legendre polinomlari hisoblanadi. Ular quyidagicha hosil
qilinadi:
Quyida dastlabki 6 ta Legandre polinomlarini va dastlabki 6 ta bog`langan
Legandre polinomlarini keltiramiz:
1-jadval: Dastlabki 6 ta Legendre polinomlari
21
2-jadval: Dastlabki 6 ta bog`langan Legendre polinomlari
Nihoyat,
𝜃
burchak uchun tenglamalarni hosil qilishda 𝑝 = 𝑝𝑝𝑝 𝑝
ifodadan yana foydalansak, biz uchun zarur bo`lgan quyidagi yechimlarni olamiz:
1.27
1.28
Bu yerda 𝑝𝑝,𝑝 (𝑝𝑝𝑝𝑝) bog`langan Legendre polinomlari. Agar bizga
𝑝 < 0 uchun sferik garmonika kerak bo'lsa, 𝑝 = |𝑝| uchun sferik garmonikani
hisoblab chiqamiz, so`ngra unga komleks qo`shmani hisoblaymiz.
Umumlashtirib
tenglamalarni kenglik
shuni
𝜃
xulosa
qilish
mumkinki,
burchak
bog`liq
ga va uzunlik 𝑝 ga bog`liq qismlarga ajratdik. Uzunlik
𝑝 ga bog`liq tenglamaning echimi eksponentalar bo'lib, argumentda magnit
moment kvant soni 𝑝 ni o'z ichiga oladi. Kenglik
𝜃
ga bog`liq tenglamaning
echimi, bog`langan Legendre polinomlari bo'lib, Bu yechimlar orbital impuls
22
momenti va magnit momenti kvant sonlari 𝑝 va 𝑝larning tanlanishi orqali birbiridan farq qiladi.
Endi aniqlagan barcha tenglama va yechimlarni bir joyda keltirib o`taylik:
Radial tenglama:
1.29
Yechim: Buning yechimi Potensial 𝑝(𝑝) ni tanlashga bog`liq.
Burchakga bog`liq tenglama:
1.30
Yechim:
Bu yerda 𝑝𝑝,𝑝 (𝑝𝑝𝑝𝑝) bog`langan Legendre polinomlari.
Radial tenglamani ishlatish uchun qulayroq ko`rinishga o`tkazamiz. Buning
uchun 𝑝(𝑝) = 𝑝(𝑝)/𝑝 almashtirishni bajaramiz:
23
1 𝑝
𝑝
𝑝 𝑝
𝑝 𝑝(𝑝)
(𝑝2
) 𝑝(𝑝) =
(𝑝2
(
))
𝑝(𝑝) 𝑝𝑝
𝑝𝑝
𝑝(𝑝) 𝑝𝑝
𝑝𝑝 𝑝
𝑝 𝑝
𝑝′(𝑝)𝑝 − 𝑝(𝑝)
=
(𝑝2
)=
𝑝(𝑝) 𝑝𝑝
𝑝2
𝑝 𝑝 (𝑝′(𝑝)𝑝−𝑝(𝑝))
𝑝
(𝑝′′(𝑝)𝑝 + 𝑝′(𝑝) − 𝑝′(𝑝)) =
=
=
𝑝(𝑝)
𝑝⋅𝑝′′(𝑝)⋅𝑝
𝑝(𝑝)
=
𝑝𝑝
𝑝(𝑝)
𝑝2 ⋅𝑝′′(𝑝)
𝑝(𝑝)
;
Bu topilgan qiymatni radial tenglama 1.29 ga qo`yamiz:
𝑝2 ⋅ 𝑝′′(𝑝) 2𝑝𝑝2
[𝑝(𝑝) − 𝑝] = 𝑝(𝑝 + 1)
−
𝑝(𝑝)
ℏ2
Tenglikning ikki tomonini
ℏ2 𝑝(𝑝)
2𝑝𝑝2
1.31
ga ko`paytiramiz va hammasini chap
tomonga o`tkazamiz:
ℏ2
𝑝(𝑝 + 1)ℏ2
−
𝑝′′(𝑝) +
𝑝(𝑝) + [𝑝(𝑝) − 𝑝]𝑝(𝑝) = 0
2𝑝
2𝑝𝑝2
1.32
24
1.2 YADRO VA UNING HOLATINI TAVSIFLOVCHI ASOSIY
TUSHUNCHALAR, MODELLAR VA POTENSIALLAR
Yadro modellari
Yadro tuzulishi va yadro bilan kechadigan turli fizik jarayonlarni izohlash
uchun turli modellar ishlab chiqilgan. Bu modellar quyidagilar:
● Tomchi modeli (Liquid Drop Model)
● Qobiq modeli (the Shell Model - Maria Goeppert-Mayer va Hans Jensen
tomonidan ishlab chiqilgan)
● Kollektiv Model (Collective Model - Aage Bohr va Ben Mottleson
tomonidan ishlab chiqilgan)
Tomchi modeli - atom yadrosi huddi suyuqlik tomchisiga qiyos qiladi.
Suyuqlikdagi turli parametrlar qaysidir ma`noda yadroga ham qo`llaniladi.
Masalan: Sirt energiyasi (Surface energy), Hajm energiyasi (Volume energy),
Assimmetrik energiya(Asymmetric energy), Juftlashish energiyasi(Pairing
energy) kabilar(2-rasm).
25
2-rasm: Tomchi modelining turli holatlari
Bu model dastlabki davrda juda muvaffaqiyali bo`ldi. Turli hodisalarni
tushuntirishda ancha muvaffaqiyatli bo`ldi. Masalan: Yadrolarning bog`lanish
energiyalari o`zgarishini tushuntirishda, Yadro o`lchami va tarkibidagi
o`zgarishlarni tushuntirishda. Ammo bu model yadrolarning qandaydir sondagi
proton va neytronlar miqdorida o`ziga xos stabillikga ega bo`lishini tushuntirib
bera olmadi.
Qobiq modeli - bu yadro tuzilishini energetik sathlar bo'yicha tavsiflash
uchun Pauli tanlash printsipidan foydalanadi. Birinchi qobiq modeli 1932 yilda
Dmitriy Ivanenko tomonidan taklif qilingan (E. Gapon bilan birgalikda). Model
1949 yilda bir necha fiziklar, xususan Evgeniy Pol Vigner, Mariya Geppert
Mayer va J. Xans D. Jensenlarning mustaqil ishishlari orqali rivojlantirildi. Bu
uchun ular 1963 yil fizika bo'yicha Nobel mukofotini olishdi. Qobiq modeli
qisman huddi atomdagi elektronlar modeliga o'xshaydi. Chunki, elektronlar bilan
to`lgan sathlar katta stabillikni namoyon qiladi. Yadrolardagi nuklonlar soni orta
borsa, shunday jarayon borki ma`lum nuklonlar sonida bog`lanish juda kuchli
bo`ladi. Bu quyidagi sondagi nuklonlar bilan kuzatiladi: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.
Bu sonlarni olish uchun turli ko`rinishdagi o`rtacha yadro potensiallaridan
foydalanilgan. Protonlar va neytronlar ham fermionlar bo'lgani uchun, nuklonlar
yadroga qo'shilganda, nuklonlar egallagan energetik sathlarni eng pastdan yuqoriga
qarab to'ldiradi.
Kollektiv model - barcha nuklonlarning yadrodagi harakatlarini ta'kidlaydi.
Yadrolarda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan kollektiv harakat turlari orasida butun
yadroni o'z ichiga olgan aylanishlar yoki tebranishlar ham mavjud. Bu model tomchi
modeliga o`xshab ketadi.
Biz bu ishimiz doirasida qobiq modelidan foydalaniladi
26
Yadro potensiallari
Yadro uchun quyidagi potensiallar mavjud:
● Kulon potensiali
● Wood-Saxon potensiali
● Yukava potensiali
Kulon potensiali
Bu potensial yadrodagi protonlarning ta`sirini xarakterlaydi. Bunda
protonlar elektrostatik Kulon kuchi ta`sirida o`zaro ta`sirlashadi. Bu ta`sir
natijasida o`zaro ta`sir potensial energiyasi hosil bo`ladi. Bu energiya Kulon
potensiali (Coulomb potential) deb yuritiladi. Kulon potensiali quyidagi
ko`rinishga
ega:
2.1
Bu yerda 𝑝 Kulon doimiysi. Uning qiymati
teng.𝜀0elektr doimiysi. Uning qiymati
8.98 × 109 𝑝 · 𝑝2 · 𝑝−2
8,85 · 10−12 𝑝−3 · 𝑝𝑝−1 · 𝑝4 · 𝑝2 .
ga
𝑝1 , 𝑝2 esa
o`zaro ta`sirlashuvchi zaryadlar. 𝑝 ta`sirlashayotgan zaryadlar orasidagi masofa.
Bu potensialni o`zaro ta`sirlashayotgan yadrolar uchun boshqacharoq
ko`rinishda yozsa ham bo`ladi. Bunda yadrolarda faqat zaryadli zarra proton
borligidan foydalaniladi. Yadrolar uchun Kulon potensiali quyidagi ko`rinishga
ega:
2.2
Bu yerda 𝑝1 , 𝑝2 Atom soni hisoblanadi. Ya`ni, atomning Mendeleyev
davriy jadvalidagi tartib raqami. Bu raqam yadroda nechta proton borligini
27
ko`rsatishi ravshan. Demak, 𝑝1 , 𝑝2 yadrodagi protonlar soni. 𝑝 elementar
zaryad. Uning qiymati 1.6 × 10−19 𝑝ga teng.
Demak, o`zaro ta`sirlashuvchi yadrolar qancha yaqin joylashsa ularning
o`zaro ta`sir potensial energiyasi ham ortib boraverar ekan. Kulon potensialining
grafigi quyidagi ko`rinishga ega:
3-rasm: Kulon potensiali
Kulon to`sig`i
Yadrolar uzoq masofalarda faqat Kulon kuchlari bilan ta`sirlashadilar. Bu
kuch yaqin masofalarda juda katta qiymatlarga erishadi. Natijada, bu kuch
ta`sirida hosil bo`lgan o`zaro ta`sir potensial energiyasining ham qiymati ancha
katta bo`ladi. Biroq yadrolar uchun shunday masofa borki bu masofa yadrolar
itarishishi energiyasining maksimal qiymatiga mos keladi. Bu masofadan so`ng
yadrolarning o`zaro itarishish kuchi tez kamayadi va ular o`zaro tortisha
boshlaydi. Bu radius Kulon radiusi deb ataladi. 1-rasmdagi 𝑝0 masofa shu Kulon
radiusini ifodalaydi. Shu Kulon radisusiga to`g`ri keladigan Kulon potensiali
balandligi Kulon to`sig`i deb ataladi. Shu Kulon to`sig`i energiyasidan katta
kinetik energiyaga ega bo`lgan yadro, bu to`siqni yengib o`tib, ikkinchi yadro
bilan yadro reaksiyasiga kirishadi. Bu to`siqgacha bo`lgan energiyali yadrolar esa
o`zaro sochiladi.
Yadro ichkarisi uchun potensiallar
28
Kulon to`sig`i yengib o`tilganidan so`ng yadrolar o`zaro tortishadi. Bu
tortishishni tavsiflovchi o`zaro ta`sir kuchli o`zaro tasir deb ataladi. Aslida
yadrodagi protonlar Kulon kuchi ta`sirida o`zaro itarishishi va sochilib ketishi
kerak edi. Biroq ular shu kuchli o`zaro ta`sir natijasida ular o`zaro tarishib yagona
yadro ichida turadi. Bu tortishishni aniq tushuntirish haligacha imkonsiz. Bu
tortishish energiyasi masofaga bo`g`liq bo`lib, masofa qancha kichik bo`lsa
tortishish shuncha kuchli bo`ladi. Yadrodagi protonlarning o`zaro ta`siri
natijasida hosil bo`lgan potensial energiyaga yadro potensiallari deyiladi. Bu
potensial yadroni imkon qadar to`g`ri tavsiflashga yordam beradi. Undan tashqari
ko`p sonli zarralardan iborat sistemaning o`zaro ta`sirini tavsiflash bizni ko`p
jism masalasiga olib boradi. Bu masala esa haligacha yechilmagan. Shuning
uchun har bir zarraning boshqa zarralar bilan o`zaro ta`sirini hisoblash juda qiyin.
Buning o`rniga yadro uchun yagona potensial topiladi. Bu potensial yadrodagi
barcha zarralarning o`zaro ta`siri natijasida hosil bo`ladi. Undan tashqari bu
potensial yadroning ta`sirlashuvini yaxlit holda tavsiflagani uchun hisoblashlarni
qulaylashtiradi.
Wood-Saxon potensiali
Bu potensial yadro potensiallari ichida eng muhimlaridan biri. Wood-Saxon
potensiali eksperimental yo`l bilan topilgan potensial hisoblanib, yadroning
qobiq modeli uchun ishlatiladi. Wood-Saxon potensialining ko`rinishi
quyidagicha:
2.4
Bu yerda 𝑝0 potensial o`raning chuqurligi. 𝑝 yadroning "sirt qalinligi" ni
ifodalovchi uzunlik. 𝑝 yadro radiusi.
Yadro radiusi 𝑝 quyidagi formula orqali hisoblanadi:
29
𝑝 = 𝑝0 𝑝1/3
2.5
Bu yerda 𝑝0 = 1,25 𝑝𝑝 = 1,25 × 10−12 𝑝. 𝑝 yadroning atom soni. Ya`ni
Mendeleyev davriy jadvalidagi tartib raqami. Bu parametrlar uchun odatiy
qiymatlar quyidagilardir: 𝑝0 ≈ 50 𝑝𝑝𝑝, 𝑝 ≈ 0.5 𝑝𝑝.
𝑝 ≈ 0.5 𝑝𝑝, 𝑝 = 4,6 𝑝𝑝 va atom soni 𝑝 = 50 bo`lgan yadro uchun
Wood-Saxon potensiali quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
4-rasm: 𝑝 = 50, 𝑝 = 4,6 𝑝𝑝 va 𝑝 = 0,5 𝑝𝑝 hol uchun Wood-Saxon
poteansiali.
Katta atom sonlari uchun, bu potensial potensial o`raga o`xshaydi. U
quyidagi zaruriy xususiyatlarga ega:
● Masofa ortishi bilan monoton ravishda ortadi
30
● Katta atom soni uchun potensialning markazi deyarli tekis. Ya`ni, markaz
atrofidagi funksiya grafigi deyarli gorizontal.
● Yadro sirtiga yaqin (ya`ni,
≈ 𝑅
) bo`lgan nuklonlarga markazga yo`nalgan
katta kuch ta`sir qiladi.
● 𝑝 cheksizlikga intilganda potensial nolga tez intiladi. Masalan: 𝑟
− 𝑅 >> 𝑎
bo`lganda. Bu narsa kuchli o`zaro ta`sirning tabiatini aks ettiradi.
Yukava potensiali
Bu potensial Yapon fizigi Hideki Yukava tomonidan aniqlangan potensial
bo`lib, u ham yadro potensiallaridan biri hisoblanadi. Bu potensial yadrodagi
nuklonlarning o`zaro tortishishini tushuntirish natijasida kelib chiqgan. Bu
potensialning ko`rinishi quyidagicha:
2.6
Bu yerda 𝑝 masshtablash doimiysi hisoblanadigan kattalik. Ya`ni,
potensialning amplitudasi. 𝑝 zarraning massasi.
doimiysi. Shuning uchun, 𝑝 ≈
1
𝑝𝑝
𝛼
yana bir masshtablash
potensialning tahminiy diapozoni. Bu
potensial ham monoton o`suvchi va manfiy potensial hisoblanadi. Ya`ni
turtishish potensiali. SI sistemasida Yukava potensiali birligi 1/𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
hisoblanadi. Agar 𝑝−𝑝𝑝𝑝 = 1 bo`lsa, bu potensial Kulon potensialiga o`tadi.
Buning uchun elektromagnit o`zaro ta`sirni uzatuvchi zarracha photonning 𝑝
massasi tinchlikda nol deb olinishi kerak.
Quyida Yukava potensialining ko`rinishi qanday bo`lishini ko`rib chiqamiz:
31
5-rasm: Turli 𝑝 massalar uchun Yukava potensiali
Ko`rib turganimizdek, 𝑝 nol bo`lganda bu potensial grafigi Kulon potensiali
grafigiga o`xshaydi. 𝑝 ortgani sari potensialning o`sishi tezroq yuz beradi va
potensial grafigi ancha tiklashadi, ta`sir doirasi esa qisqaradi.
Bog`langan va bog`lanmagan holatlar
Klassik mexanikada bog`langan holat deganda potensial o`radagi harakat
tushuniladi. Bunda zarra energiyasi potensial o`ra chetlaridagi energiyadan kichik
bo`ladi. Faraz qilaylik potensial energiya ko`rinishi quyidagicha bo`lsin:
32
6-rasm: Potensial o`radagi klassik zarracha
Agar sharchaning to`la energiyasi 𝑝1 < 𝑝(𝑝1 ) va 𝑝1 < 𝑝(𝑝2 ) bo`lsa,
zarracha shu potensial o`ra ichida qolib ketadi. Ya`ni, zarra harakati potensial o`ra
chegaralari chida yuz beradi. Bu klassik bog`langan holat hisoblanadi.
Agar zarra energiyasi 𝑝2 > 𝑝(𝑝) bo`lsa, zarra potensial o`raga tushib
undan chiqib ketadi. Bu holatda zarracha harakati chegaralanmaydi. Bu klassik
jihatdan bog`lanmagan zarracha harakatiga misol bo`ladi.
Kvant mexanikasida bu holat bir biridan ancha farq qiladi. Quyida bir nechta
potensiallar uchun bog`langan va bog`lanmagan holatlarni ko`rib chiqaylik. Faraz
qilaylik potensial quyidagi ko`rinishda bo`lsin:
33
7-rasm: Cheksiz va chekli potensial o`radagi zarracha harakati
Cheksiz potensial o`radagi zarracha harakatida, zarracha energiyasi
potensialdan kichikligi aniq. Shu sababli bu harakatda zarracha potensial o`rada
qolib ketadi. Ammo, kvant zarrachaning o`radagi harakati klassik zarracha
harakatidan farq qiladi. Bu farq zarrachaning o`ra ichida topilish ehtimolligida
seziladi. Klassik zarrachani o1raning ixtiyoriy yerida topish ehtimolligi bir xil.
Kvant fizikada esa bunday emas. Zarrani o`raning ma`lum joylarida topish
ehtimoli boshqa joydan ko`ra ko`proq(7-rasm).
Chekli potensial o`radagi harakatda, potensila o`radagi zarrani ko`rish
uchun, zarra energiyasi potensialdan kichik bo`lishi kerak. Ya`ni, 𝑝 < 𝑝0
bo`lishi kerak. Bu holatda, zarracha potensial o`rada qoladi, ammo zarrachani
potensial o`ra chegaralaridan tashqarida ham topish ehtimolligi saqlanib
qoladi(7-rasm). Demak, zarracha bog`langan holatda bo`lishi uchun, zarra
energiyasi har doim potensial o`ra chegaralaridan kichik bo`lishi kerak ekan.
Masalan 6-rasmdagi ko`rinishdagi potensialda zarracha bog`langan holatda
bo`ladi. Bunda zarraning to`la energiyasi 𝑝1 < 𝑝(−∞) va 𝑝1 < 𝑝(+∞) bo`lishi
kerak.
Bog`langan holat bir nechta ajoyib xususiyatlarga ega:
● Harakat chekli bo`ladi
34
● To`lqin funksiyani normallshtirish mumkin bo`ladi
● Chegaraviy shartlarga qarab kvantlanadi
Masalan: quyidagi rasmda energiyaning cheksiz va chekli potensial o`radagi
kvantlanishi, diskretligi ko`rsatilgan:
8-rasm: Cheksiz va chekli o`radagi kvantlanish
Bog`lanmagan holatda harakat bir yoki ikki tomondan chegaralanmagan
bo`ladi. Bunda energiya potensialdan katta qiymatga ega bo`lishi kerak.
35
9-rasm: Zarracha harakati bir tomondan cheklangan hol
9-rasmda zarra energiyasi 𝑝 o`qining musbat sohasida 𝑝 < 𝑝 shartni
qanoatlantiradi. 𝑝 o`qining manfiy tomonida esa 𝑝 > 𝑝 shart bajariladi. Shu
sababli harakat faqat o`ng tomondan cheklangan, chapdan esa cheklanmagan
bo`ladi. Ammo, o`ng tomonda zarraning topilish ehtimolligi saqlanib qoladi. Bu
rasmda ko`k chiziq bilan ko`rsatilgan.
Endi zarra energiyasi potensial sohaning ba`zi qismida 𝑝 < 𝑝 shartni, ba`zi
qismida esa 𝑝 > 𝑝 shartni bajaradigan holatni ko`rib chiqaylik.
10-rasm: Chekli potensial to`siq
36
Rasmdan ko`rinib turibdiki, 𝑝 o`qining manfiy sohasida 𝑝 > 𝑝, 0 < 𝑝 <
𝑝 sohada esa 𝑝 < 𝑝, 𝑝 > 𝑝 sohada esa yana 𝑝 > 𝑝 shart bajariladi. Bunda
zarra harakati ikki tomondan ham cheklanmagan bo`ladi. Chap tomondan
kelayotgan zarra potensial to`siqga duch keladi. Bu zarra qandaydir ehtimol bilan
o`ng tomonga ham o`ta oladi. Chunki, o`ng tomonda ham zarraning to`lqin
funksiyasi mavjud. Chap tomondan kelayotgan zarraning to`lqin funksiyasi
𝛷
amplitudasi potensial to`siq sohasi 0 < 𝑝 < 𝑝 da kamayadi. Potensial to`siqdan
tashqarida esa o`sha kamaygan amplituda bilan harakatni davom ettiradi. Bu
hodisa kvant fizikasida tunnel effekti deyiladi. Demak, bog`lanmagan holat
yuzaga kelishi uchun, zarra energiyasi 𝑝 > 𝑝 shartni bajarishi kerak ekan.
Bog`langan holat ham ma`lum xususiyat;arga ega:
● Harakat cheksizlikda davom etadi
● To`lqin funksiyani normallshtirib bo`lmaydi
● Holatlar kvantlanmaydi. Ya`ni, uzluksiz spektr hosil bo`ladi.
Yadro potensiallari uchun bog`langan va bog`lanmagan holatlar
Yadro va zarralarning o`zaro ta`sirini va yadroning parchalanishini yadro
potensiallari bilan tushuntirish qulayroq. Yadroda asosan ikkita potensial mavjud:
Elektromagnit o`zaro ta`sir potensiali, ya`ni Kulon potensiali va kuchli o`zaro
ta`sirni nisbatan aniq tavsiflovchi potensial, masalan: Wood-Saxon potensiali.
Jarayonni tushunish uchun namunaviy chizmadan foydalansak ham bo`ladi.
Bunda yadro ichi uchun potensial to`rtburchak potensial o`ra bilan almashtiriladi.
Chunki, potensial o`ra yadroga qarab, biroz shakli o`zgarishi mumkin. Shu
sababli nisbatan umumiy hol sifatida to`rtburchak potensial o`radan
foydalanamiz.
37
11-rasm: Yadro uchun potensialning tahminiy ko`rinishi
Yuqorida ko`rib chiqgan tushunchalarimizdan va
yadro potensialining
umumiy ko`rinishidan foydalanib bir nechta xulosalar chiqarish mumkin:
● Agar yadrodagi zarra energiyasi 𝑝0 < 𝑝1 < 0 orasida bo`lsa, yadro
ichidagi zarra bog`langan holatda bo`ladi. Bu zarra yadrodan chiqib keta
olmaydi. Bunda yadro turg`un bo`ladi.
● Agara zarra energiyasi, 0 < 𝑝2 < 𝑝3 bo`lsa, zarra yadroda bog`langan
holatda bo`lmaydi. Bu zarra yadrodan tunnel effekti hisobiga chiqib keta
oladi.
● 𝑝2 energiyali zarra tunnel effeekti hisobiga yadrodan chiqib ketishda,
𝑝0 − 𝑝 masofani bosib o`tadi. Bu radioaktiv parchalanishga mos keladi.
● Bu yerda 𝑝3 Kulon to`sig`ining balandligi.
● Yadrodan zarra chiqib ketishi uchun Kulon to`sig`idan katta energiyaga
ega bo`lishi shart emas.
38
Demak, yadro uchun turg`un holat faqat 𝑝0 < 𝑝1 < 0 shart bajarilganda
vujudga kelar ekan. Zarra energiyasi 𝑝 > 0 bo`lganda radioaktiv parchalanish
vujudga keladi. Bunga misol sifatida 𝛼 parchalanishni keltirish mumkin.
Bu jarayon quyidagicha yuz beradi. Ota yadro tunnel effekti hisobiga 𝛼 zarra
va bola yadroga parchalanadi. Bu radioaktiv parchalanishni quyidagicha
tasvirlash mumkin
12-rasm: Radioaktiv 𝛼 parchalanish
Atom soni 𝑝 tahminan 200 bo`lgan yadro uchun Yadro uchun Kulon
to`sig`ining 20 − 25 𝑀𝑒𝑉 . Yadrodan chiqayotgan
𝛼
zarralarning energiyasi esa
tahminan 5 𝑀𝑒𝑉 atrofida. Bu energiyadagi zarra, klassik jihatdan qaraganda,
yadrodan chiqib keta olmasligi kerak edi. Ammo, yuqoridagi ko`rgan kvant
mexanikasidagi tunnel effekti hisobiga 𝛼 zarralar yadrodan chiqib keta oladi.
Bu jarayon uchun grafik quyidagicha bo`ladi:
39
13-rasm: Radioaktiv 𝛼 parchalanish grafigi
1.3 KLASTERLANISH VA YADROLARDA
STRUKTURALARNING HOSIL BO`LISHI.
KLASTER
40
YADRO TUZILISHIDA KLASTERLANISH AHAMIYATI
Odatada yadroni proton va neytronlardan iborat bir jinsli sistema deb
ta`riflashadi elementar fizika kitoblarida. Aslida yadro juda murakkab sistema
hisoblanadi.
Yadrolarning
Bu
narsa
yadrolarning
klasterlanishi
yadro
klasterlanishida
fizikasida
yaqqol
ko`rinadi.
molekulalarga
o`xshash
strukturalarning paydo bo`lishini izohlaydi. Molekulalarda turli xil kimyoviy
bog`lanishlar, murakkab aylanma va tebranma harakatlar mavjud. Undan tashqari
molekulalar murakkab geometrik strukturalarga ega. Atomlar yadrosida ham shu
kabi murakkablik bo`lishi mumkinmi? Mumkin! Bu narsa potensial energiyani
minimal qiymatgacha tushirish, stabillikni yana ham oshirish uchun muhim ham
hisoblanadi. Obyektlarning guruh-guruh bo`lib birlashishi deyarli barcha fizik
masshtablarda kuzatiladi. Bizga ma`lum bo`lgan yuqori mashtablarda, masalan,
inson tanasi, koinot va 2dF galaktikani o'rganish shuni ko`rsatdiki (Peacock et
al., 2001), materiya ipga o`xshash strukturalarga birlashadi. Bu holatda ular katta
portlashdan keyingi bir jinsli bo`lmaganlikdan paydo bo`lgan gravitatsion
guruhlardir. Yulduzlarda iborat guruhlarning gallaktikalarga birikishi yoki
gravitatsion kuchlar yordamida bog`langan sayyoralarning quyosh sistemasiga
birikishi va ko`plab shu kabi birikishlar shu sistemalar o`lchamini qisqartirishiga
olib keladi. Atomlar suyuqlik va gazlarda molekulalarni hosil qiladi, qattiq
jismlarda esa kristallarni hosil qiladi. Adronlar o`zlarining ichida faqat ma`lum
sondagi kvarklarni qamrab oladi ( 2 yoki 3 ta). Ushbu qonuniyat, ya`ni o`zaro
guruh-guruh bo`lib birlashib yangi guruhlarni hosil qilish qonuniyati, yadrolar
uchun ham tegishli bo`lmasligi juda hayratlanarli bo`lar edi.
Yadro klasterlanishini o'rganish Rezerford tomonidan alfa nurlanishining
kashf etilishi (Rutherford, 1899) va kvant mexanikasining rivojlanishi bilan
boshlandi. Gamov (Gamow, 1928) va mustaqil ravishda Gurney va Kondon
(Gurney and Condon, 1928) 𝛼-zarrachani parchalanayotgan yadro ichidan kvant
mexanikasidagi tunnel effekti hisobiga chiqib keladi deb ta'rifladilar. Taxminan
41
o'n yil o'tgach, Uiler (Wheeler, 1937a) protonlar va neytronlarning fermion kvant
statistikasini saqlab qolishlariga imkon beradigan a-klasterlarni va boshqa klaster
guruhlarini tavsiflash uchun rezonansli guruh usulini ishlab chiqdi. Keyin
Xafstad va Tellerning (Hafstad and Teller, 1938) ishlari paydo bo'ldi, ular juftjuft 𝑝 = 𝑝 yadrolarini 𝛼-klaster nuqtai nazaridan tavsifladilar. 𝑝 = 4𝑝 {𝑝 =
2,3,4. . . }, 𝑝 = 𝑝 yadrolarning bo`g`lanish energiyasini tekshirish, alfa-alfa
bog`lanishlarning mumkin bo`lgan bog`lanishlar soni va yadrolarda bo`g`lanish
energiyasi uchun chiziqli qonuniyatni ochib berdi (14-rasmga qarang).
14-rasm: (Tepada) Hafstad va Teller (Hafstad and Teller, 1938) taklif
qilganidek, bog`lanish energiyalari, mumkin bo`lgan alfa-zarrachalar
bog`lanishlari soniga bo`gliq holda chizilgan. 8Be uchun bitta bog`lanish, 12C
uchun 3 ta va 16O uchun 6 ta bog`lanishlar mavjud va boshqalar uchun ham
shu kabi... (Pastda) alfa-zarrachalarning mumkin bo`lgan bog`lanishlari.
Xuddi shu yo'ldan yurib, Dennison to`g`ri burchakli tetraedr qirralarida
to'rtta
𝛼 -klasterlar
bo'yicha
16
𝑝 ning quyi holatlarining modelini taklif
qildi(Dennison, 1940, 1954)(15-rasm). Undan ham kichik o`lchamlarda
Margenau
effektiv
𝛼 -klasterlar
𝛼−𝑝
uchun Slaterning determinant to'lqin funksiyasidan
o'zaro ta'sirini hisoblashda foydalangan (Margenau, 1941).
42
15-rasm:
16
𝑝 yadroda to'rtta alfa zarracha klasterlarining joylashishi.
Bir necha yil o'tgach, Morinaga α-klasterlarning sferik bo'lmagan va hatto
chiziqli zanjirlari α-zarraga o'xshash yadrolarning ba'zi holatlarini tavsiflashi
mumkin (Morinaga, 1956)ligini aytdi. Bu holatda yadrodagi 𝛼-klasterlari chiziqli
holatda joylashadi. Aynan shu holatda joylashishi ham yadroning ba`zi holatlarni
tavsiflashi mumkinligini ta`kidlagan. Bunday holatga nomzodlardan biri
12
𝑝ning ikkinchi 0+ holati edi.
Bu holat Hoyl tomonidan aytilgan edi. U yulduzlardagi 3 ta
𝛼
zarra
reaksiyasi kuchayishi uchun javobgar. Bu holat ko`p o`tmay eksperimental
ravishda ham kuzatildi.(Cook et al., 1957). Ushbu nazariy ishlanmalar bilan bir
vaqtda yangi tajribalar elastik
𝛼−𝑝
sochilish bo'yicha muhim ma'lumotlarni
taqdim etdi. (Afzal et al., 1969; Heydenburg and Temmer, 1956; Nilson et al.,
1958). Bu, o'z navbatida, effektiv 𝛼 − 𝑝 o'zaro ta'sirining rivojlanishiga olib keldi
(Ali and Bodmer, 1966).
43
Xuddi shu vaqt ichida Brink 𝛼-klaster uchun Marnjo Slater determinant
to'lqin funksiyasidan va umumiy rezonansli guruh modelidagi qiyin hisob kitoblarni soddalashtirish uchun generator koordinatalari usulidan foydalangan
(Brink, 1966a). Generator koordinatalari usuli va rezonansli guruh usuli
ekvivalentligi keyinchalik Xoriuchi (1970) tomonidan aniqlandi(Horiuchi, 1970).
α-parchalanish uchun Klark va Vang og'ir yadrolar sirti atrofida α-klaster hosil
bo'lish ehtimolligini hisoblashdi (Klark va Vang, 1966). Ayni paytda Ikeda,
Takigawa va Xoriuchi α-klasterlanish, α klasterlar parchalanish chegaralariga
yaqin joyda paydo bo'lganligini payqashdi va ular Ikeda diagrammasi (Ikeda va
boshq., 1968) deb nomlangan diagrammani taqdim etishdi.
16-rasm: Ikeda diagrammasi (Ikeda va boshqalar, 1968). Har bir parchalanish
chegarasida (MeV da) paydo bo'ladigan klaster tuzilmalari ko'rsatilgan.
Xuddi shu tushunchalardan so'ng klasterlanishni o'rganish protonlarga boy
va neytronlarga boy tizimlarda davom ettirildi. Tegishli holatlarda klasterlar va
ortiqcha neytronlar yoki protonlar zaif bog'langan tizimlar hisoblanadi.
44
Yadro klasterlanishiga oid bir qator maqolalar nashr etilgan (Akaishi va
boshq., 1986; Bek, 2010, 2012, 2014; Freer, 2007; Funaki va boshq., 2015;
Xoriuchi va boshq., 2012; fon Oertzen va boshq., 2006). Ushbu maqolaning
maqsadi so'nggi bir necha yil ichida sodir bo'lgan muhim voqealar haqida keng
ma'lumot berishdir. Joy yetishmasligi sababli tadqiqotning barcha yo'nalishlarini
batafsil yoritib bo'lmaydi.
Eksperimental kuzatilgan hodisalar
Agar yengil yadrolarning nisbiy bo`g`lanish energiyasi, ya`ni, bitta
nuklonga
to`g`ri keluvchi bog`lanish energiyasini ( 𝑝 = 𝑝𝑝 /𝑝, bu yerda 𝑝𝑝 - nisbiy
bog`lanish energiyasi, 𝑝 - esa to`la bog`lanish energiyasi, 𝑝- yadrodagi protonlar
soni) tekshirsak (17-rasmga qarang.), so`ng protonlarning juft sonli tizimlari
uchun bog`lanish energiyasi yuqori ekanligiga e`tibor qaratsak, juft va teng sonli
proton va neytronlardan iborat yadrolarda bo`g`lanish energiyasi maksimal
ekanligini payqaymiz. Masalan:
4
𝑝𝑝,
8
𝑝𝑝,
12
𝑝… kabi yadrolar uchun
shunday. Bundan shunday xulosaga kelish mumkinki, ushbu yadrolarning
barchasi α - zarrachalardan tashkil topgan(17-rasm).
Dastlabki yadro modellarida 𝛼 zarracha muhim rol o'ynashi mumkinligini
ko'pchilik taxmin qilishgan. Masalan, 1938-yildagi Hafstad va Teller (Hafstad va
Teller, 1938) ishlarida
strukturalari
𝛼
8
𝑝𝑝,
12
𝑝 va
16
𝑝 yadrolarning mumkin bo'lgan
zarralar yordamida qurilgan. Ushbu dastlabki tadqiqotda yengil
yadrolarda molekulyar strukturalar mavjudligini taklif qilingandi. Bunda,
𝛼
zarrachalar yadrolari o'rtasida neytronlar, hatto neytron kovaklar almashinishi
mumkinligi tahmin qilingan. Ushbu asosiy g'oyalar amaldagi eksperimental
dasturlarning aksariyat qismi uchun harakatlantiruvchi kuch bo`lib turibdi.
45
17-rasm: Yengil yadrolar uchun bir nuklonga mos keluvchi bog`lanish
energiyasi grafigi
Yengil yadrolarning klasterlanishi bo`yicha eksperimental dalillar
anchagina. Eng sodda holat uchun
8
𝑝𝑝 ning ikkita 𝛼 zarradan tashkil topgan
holatini keltirish mumkin. Bu gantelsimon strukturani eslatadi. Bu holatni
eksperimental jihatdan o`lchashda inersiya momentidan foydalaniladi. Bunda
inersiya momentining o`qlar bo`yicha nisbati 2: 1 ni tashkil qiladi.
bog`lanish energiyasi juda katta (∼ 28 𝑝𝑝𝑝) shuning uchun
yadrolari
4
𝑝𝑝 + 𝑝 va
4
(
4
12
zarraning
7
𝑝𝑝 va
𝑝𝑝
𝑝𝑝 + 𝑝 klaster strukturasidan tashkil topadi. Bunda
𝑝 va 𝑝 mos ravishda deytriy (
struktura
6
𝛼
2
𝑝) va (
3
𝑝) yadrolari. Eng mashhur klaster
𝑝 uchun Hoyl holati hisoblanadi. Bunda
12
𝑝 yadrosi 3 ta
𝛼
zarra
𝑝𝑝) ning yadro reaksiyasidan hosil bo`ladi deb hisoblanadi. Bu holat
7,65 𝑝𝑝𝑝 energiyada hosil bo`ladi. Bu holat Hoyl tomonidan tabiatda
12
𝑝
ning ko`pligini tushuntirish uchun taklif qilingan. Keyin bu holat Cook ( 1957)
46
tomonidan 1957-yilda, bashorat qilingan energiyaga yaqin energiyada
o`lchangan.
12
𝑝 yulduzda 3 ta
𝛼
zarraning ketma-ket yadro reaksiayalari hisobiga
paydo bo`ladi. Bunda dastlabki ikkita
𝛼
zarradan
8
𝑝𝑝 yadrosi hosil bo`ladi.
Undan so`ng bu yadro parchalani ketishidan oldin uchunchi radiatsion qamrash
reaksiyasi yuz beradi. Bu hodisa asosan 7,65 𝑝𝑝𝑝 energiyalarda yuz beradi.
Shundan so`ng
Bu
12
12
𝑝 o`zining asosiy holatiga radioaktiv nurlanish orqali tushadi.
𝑝 ning 3 ta
𝛼
4
zarradan iborat strukturasini
𝑝𝑝+8 𝑝𝑝
parchalanishning ostona energiyasida kuzatish mumkinligini anglatadi. Bunda
12
𝑝 o`zining eng katta radiusiga ega bo`ladi. Ushbu holatda
4
𝑝𝑝 yadrosi
kvazi-erkin holatda bo`ladi.
1960 - yillarda og`ir ionlarni tezlashtirishda yaxshi natijalarga erishildi.
Bunda tezlatgichlarda ionlar tezligini silliq ravishda oshirish va reaksiya kesimini
o`lchash mumkin bo`ldi. Shunisi e`tiborga loyiqki, tajribalarda silliq o`zgarish
kuzatilishi o`rniga bir qancha rezonans holatlar kuzatilgan.
12
12
𝑝 uchun
12
𝑝+
𝑝 reaksiyada rezonans kengligi tahminan ∼ 100 𝑝𝑝𝑝 ekanligi kuzatildi. Bu
narsa yadroviy o`tishidan ancha katta bo`lgan
bo`lganini anglatadi. Bu narsa
12
𝑝+
12
24
𝑝𝑝 oraliq sistema hosil
𝑝 klaster struktura sifatida talqin
qilindi. Bu strukturani quyidagi rasmda namunaviy tarzda ko`rish mumkin:
18-rasm:
24
𝑝𝑝 ning
12
𝑝+
12
𝑝 klaster strukturasi.
47
Xulosa sifatida shuni aytish mumkinki, yengil yadrolarda yadro o`zini
klaster strukturalardan iborat tizim sifatida namoyon qiladi. proton va neytronlar
soni juft va teng bo`lgan tizimlarda 𝛼 zarrachalardan iborat klaster strukturasi eng
maqbul struktura hisoblanadi. Netronga boy yadrolarda klaster strukturalari
parchalanish ostona energiyasiga yaqinida hosil bo`ladi. Bu tizimarda ushbu
strukturalarning paydo bo`lishini quyidagi xarakeristik rasm orqali ko`rishimiz
mumkin:
19-rasm: Neytronga boy tizimlarda klaster strukturasi. Qizil valent neytronlar,
ko`k markaz(yadro) neytonlari
Bunda sferik shakldagi sistemada, tashqi qobiqda joylashgan valent(qizil)
neytronlar markaz neytronlari (ko`k) bilan o`zaro ta`sirini maksimallashtirish
uchun klaster strukturani hosil qiladi. Klaster struktura hosil bo`lgandan so`ng
valent(qizil) neytronlar markaz(ko`k) neytronlariga eng yaqin holatga erishadi.
48
II BOB. 10B YADRONING (p+9Be ) KONFIGURATSIYA UCHUN
BOG`LANGAN HOLAT TOʻLQIN FUNKSIYA TENGLAMASINI
ANIQLASH..
2.1 10B yadrosining mavjud bogʻlangan holatlari va ularning
tavsiflari.
10
𝑝 yadrosi toq-toq yadro hisoblanadi. Unda protonlar va neytronlar soni
o`zaro teng va toq. Ya`ni, 𝑝 = 𝑝. Yadroda 5 ta proton va 5 ta neytron bor. 10 𝑝
yadrosining massasi 10,01294 𝑝. 𝑝. 𝑝 ga teng. Bunda 1𝑝. 𝑝. 𝑝 = 1,66 ×
10−27 𝑝𝑝ga teng. 10 𝑝 yadrosining spektri izotopik spinlar 𝑝 = 0 va 𝑝 = 1
bo`lgan holatlarni o`z ichiga oladi. Qobiq modeli nuqtai nazaridan, u
(1𝑝)4 (1𝑝3/2)6 strukturaga ega. Asosiy holatining impuls momenti 𝑝 = 3. 11 rasmda 10 𝑝 yadrosining asosiy xarakteristikalarini ko`rish mumkin. Bunda
49
birinchi energetik uyg`ongan sath 0,7184 𝑝𝑝𝑝 energiyaga to`g`ri keladi. Bunda
uning impuls momenti 𝑝 = 1. Izotopik spini esa 𝑝 = 0. Bu sath bog`lanagan
holatga to`g`ri keladi. Bu stahdan u 𝛾 foton chiqarib quyi asosiy sathga o`tadi. Bu
sathda yashash vaqti 1,020 𝑝𝑝𝑝𝑝 atrofida.
Ikkinchi energetik uyg`ongan sath 1,7401 𝑝𝑝𝑝 ga tog`ri keladi. Bunda
uning impuls momenti 𝑝 = 0ga teng. Bu sath ham bog`langan holatga to`g`ri
keladi. Uning izotopik spini 𝑝 = 1 ga teng. Bu sathda ham u ko`p qolmaydi.
Tezda 𝛾 foton chiqarib birinchi sathga o`tadi.
Uchinchi uyg`ongan energetik sathi 2,1543 𝑝𝑝𝑝 ga mos keladi. Bu sath
uchun impuls momenti 𝑝 = 1 ga teng. Izotopik spini esa 𝑝 = 0 ga teng. Bu
holatda ham 𝛾 foton chiqarib quyi asosiy sathga o`tadi. Bu sath ham bog`langan
sath hisoblanadi.
To`rtinchi uyg`ongan energetik sathi 3,581 𝑝𝑝𝑝 ga mos keladi. Bu sath
uchun impuls momenti 𝑝 = 2 ga, izotopik spini esa 𝑝 = 0 ga teng. Bu sath ham
bog`langan holatga mos keladi. Bu sathdan ham 𝛾 foton chiqarib quyi asosiy
sathga o`tadi.
Bu haqadagi to`liq ma`lumotni 21-rasmdan olishimiz mumkin. Bu
jadvaldagi birinchi ustun energetik sathlarga mos keladi. Ikkinchi ustun esa
impuls momenti 𝑝 va izotopik spin 𝑝 ga mos keladi. Biz uchun muhimi yana
to`rtinchi ustun hisoblanadi. Bu ustun parchalanish va nurlanishlarni ko`rsatadi.
50
20-rasm:
10
𝑝 yadrosining xarakteristikalari
51
21-rasm:
10
𝑝 yadrosining xarakteristikalari, parchalanish kanallari
52
9
9
𝑝𝑝 yadrosida 4 ta proton va 5 ta neytron bor. Atom massasi 9,0121 𝑝. 𝑝. 𝑝.
𝑝𝑝ning asosiy parametrlari quyidagi jadvalda keltirilgan:
22-rasm:
9
𝑝𝑝 yadrosining xarakteristikalari
2.2 p+9Be konfiguratsiya uchun Shredinger tenglamasi.
53
10
𝑝 yadrosi turli klaster strukturalardan tashkil topgan. Biz bu ish doirasida
𝑝 + 9 𝑝𝑝 struktura uchun bog`langan holatlar to`lqin funksiyalarini
aniqlashimiz kerak. 𝑝 + 9 𝑝𝑝 klaster struktura shuni anglatadiki, 10 𝑝
yadrosi ichida 9 𝑝𝑝 va 𝑝 dan iborat struktura ham qandaydir ehtimollik
bilan mavjud. Bu struktura 10 𝑝 yadrosi ichida bog`langan holatda bo`ladi.
Keling ushbu holatni xarakteristik chizma orqali ko`rib chiqaylik.
23-rasm: 𝑝 +
9
𝑝𝑝 klaster struktura uchun xarakteristik chizma
23 - rasmdan ko`rinib turibdiki bizda ikkita hisoblash sistemasi mavjud.
Bittasi Laboratoriya sistemasi, ikkinchisi Massa markazi sistemasi. Biz uchun
tenglamalarni Massa markazi sistemasi uchun yozganimiz qulay. Buning uchun
biz o`sha sistemaga o`tib olamiz. Hozirda masalamiz ikki jism masalasiga mos
tushadi. Shu sababli keltirilgan massani topib olishimiz kerak
𝑝𝑝
2.1
𝜇 = 𝑝+𝑝
Bu yerda 𝜇 keltirilgan massa, 𝑝esa
massasi.
9
𝑝𝑝 ning massasi, m esa 𝑝protonning
54
Shu sistema uchun Kulon qonunini yozamiz:
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑝𝑝1 𝑝2 𝑝2
=
𝑝 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 𝑝2
2.2
𝑝2
𝑝2
Bu yerda 𝑝1 , 𝑝2 Atom soni hisoblanadi. Ya`ni, atomning Mendeleyev
davriy jadvalidagi tartib raqami. Bu raqam
9
𝑝𝑝 uchun 4. Proton uchun 1. 𝑝
esa elementar zaryad. Uning qiymati 1.6 × 10−19 𝑝ga teng.
Endi Wood-Saxon potensialini yozaylik. Wood-Saxon potensialining
ko`rinishi quyidagicha edi:
𝑝0
2.3
𝑝 − 𝑝𝑝
1 + 𝑝𝑝𝑝 (
𝑝 )
Bu yerda 𝑝0 potensial o`raning chuqurligi. 𝑝 yadroning "sirt qalinligi" ni
𝑝𝑝𝑝 = −
ifodalovchi uzunlik. 𝑝𝑝 yadro radiusi.
Yadro radiusi 𝑝𝑝 quyidagi formula orqali hisoblanar edi:
𝑝𝑝 = 𝑝0 𝑝1/3
2.4
Bu yerda 𝑝0 = 1,25 𝑝𝑝 = 1,25 × 10−12 𝑝. 𝑝 yadroning atom soni.
10
𝑝
yadrosi uchun bu raqam 𝑝 = 10 ga teng. U holda yadro radiusi
𝑝𝑝 = 𝑝0 𝑝1/3 = 1,25 × 10−12 𝑝 × 101/3 = 2,693 × 10−12 𝑝
2.5
U holda yadro uchun umumiy potensial quyidagicha bo`ladi:
𝑝(𝑝) = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑝
2.6
Endi shu holat uchun Shredinger tenglamasini yozamiz:
ℏ2
𝑝(𝑝 + 1)ℏ2
2.7
𝑝′′(𝑝) −
𝑝(𝑝) + [𝑝 − 𝑝(𝑝)]𝑝(𝑝) = 0
2𝑝
2𝑝𝑝2
Bu yerda 𝜇 keltirilgan massa va 𝑝(𝑝) esa 𝑝(𝑝) = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑝 ga teng.
𝑝(𝑝) ni quyidagicha yozsa ham bo`ladi:
55
𝑝𝑝1 𝑝2 𝑝2
2.8
𝑝0
𝑝 − 𝑝𝑝
𝑝2
1 + 𝑝𝑝𝑝 (
𝑝 )
Endi 2.7 - tenglamani yechishimiz kerak. Biroq bu tenglamani analitik yo`l
𝑝(𝑝) = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑝 =
−
bilan yechib bo`lmaydi. Shu sababli bu tenglamani kompyuterda sonli usul bilan
yechamiz.
Agar spin-orbital o`zaro ta`sirni ham inobatga olsak, ifodani quyidagicha
yozish mumkin.
ћ2
𝑑2 𝑙(𝑙 + 1)
−
[
] 𝜑𝑙𝑗 (𝑟) + [𝑉0 (𝑟) + 𝑉𝑐 (𝑟) + (𝑙⃗𝑠⃗)𝑉𝑠𝑜 (𝑟)]𝜑𝑙𝑗 (𝑟)
2𝑚𝑎𝑏 𝑑𝑟 2
𝑟2
=
= 𝜀𝑎𝑏 𝜑𝑙𝑗 (𝑟)
2.9
Bu yerda (𝑙⃗⃗𝑠⃗) = [𝑗(𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) − 𝑠(𝑠 + 1)]/2 ga teng. Ushbu tenglama
chegaraviy
quyidagicha
shartlarni
𝜑𝑙𝑗 (𝑟
qanoatlantirishi
kerak.
Chegaraviy
shartlar
= 0) = 𝜑𝑙𝑗 (𝑟 = ∞) = 0. Undan tashqari yuqorida
aytdikki bog`langan holat to`lqin funksiyasini normallashtirsa bo`ladi. Uni
quyidagicha normallashtiramiz:
∞
2.10
2
𝑑𝑟|𝜑𝑙𝑗 (𝑟)| = 1
∫
0
Spin orbital o`zaro ta`sir qo`shilganidan so`ng. Bizning markaziy
maydon potensialimiz o`zgardi. U quyidagi ko`rinishni oldi:
𝑉(𝑟) = 𝑉0 (𝑟) + 𝑉𝑐 (𝑟) + (𝑙⃗𝑠⃗)𝑉𝑠𝑜 (𝑟)
2.11
Bu yerda 𝑉0 (𝑟) va 𝑉𝑠𝑜 (𝑟) lar mos ravishda markaziy maydon (ya`ni
Wood-Saxon) va spin orbital o`zaro ta`sir potensiallari. Ularni quyidagicha
yozamiz:
𝑉0 (𝑟) = 𝑉0 𝑓0 (𝑟),
va 𝑉𝑆 (𝑟) = −𝑉𝑆𝑂 (
ћ
𝑚𝜋
𝑟−𝑅𝑖
Bu yerda 𝑓𝑖 (𝑟) = [1 + (
𝑎𝑖
)]
−1
2 1 𝑑
)
𝑐
𝑟 𝑑𝑟
𝑓𝑠 (𝑟)
ga teng.
56
Bu yerda spin orbital o`zaro ta`sir Kompton to`lqin uzunligi orqali yozilgan:
ћ
𝑚𝜋 𝑐
= 1.414 𝑓𝑚.
III BOB. 10B YADRONING (p+9Be ) KONFIGURATSIYA UCHUN
BOGʻLANGAN HOLAT TOʻLQIN FUNKSIYASINI HISOBLASH.
3.1 Fortran tilida hisoblash dasturi
Bu 2.7 tenglamani analitik yo`l bilan yechib bo`lmasligi aniq bo`lgandan
so`ng uni sonli usullar bilan yechamiz. Bu sonli usul uchun fortran dasturlash
tilida yechishimizga to`g`ri keladi. Aslida qaysi daturlash tilida masalani hal
qilishning ahamiyati yo`q. Ammo ko`pchilik fiziklar fortran dasturlash tilini afzal
ko`radi. Bu til o`zining aniq hisob kitob natijalari bilan boshqa tillardan ajralib
turadi. Umuman olganda yadro fizikasi sohasida Shredinger tenglamasini har
yechish bo`yicha dasturlar tuzib qo`yilgan. Biz bu borada qaytadan ish qilishimiz
shart emas. Shunchaki mavjud imkoniyatlardan to`g`ri foydalansak bo`ldi.
Yadro fizikasida yadro uchun bog`langan holat to`lqin funksiyasini
hisoblashimiz zarur edi. Ko`pchilik yadro tadqiqotchilari bu borada LOLA
dasturini afzal ko`rishadi. Biz ham bu borada ushbu dasturdan foydalanamiz. Bu
dasturning bizning hisob kitoblarimiz uchun kerak bo`lgan ko`rinishi quyidagi
fayllardan tashkil topadi:
24-rasm: Hisoblash algoritmi fayllarining umumiy ko`rinishi
Bu yerda biz uchun muhim bo`lgan 2 ta fayl bor. Bular datta va INP
fayllari. Ushbu fayllar tenglamaga doir asosiy ma`lmotlarni kiritish uchun zarur.
57
Demak, ishni datta faylining ichki qismi bilan tanishishdan boshlaymiz. Buning
uchun ushbu faylni Блокнот dasturi yordamida ochamiz. U quyidagi ko`rinishga
ega.
25-rasm: datta faylining Блокнот dasturidagi ko`rinishi
Bu yerda biz uchun muhim 4 ta narsa bor. Bularni quyidagi rasm orqali
ajratib ko`rsatamiz.
26-rasm: datta faylining Блокнот dasturidagi ko`rinishi.
Bu yerda 6.585 soni yadroning bog`lanish energiyasini ko`rsatadi. Biz
ushbu parametrning asosiy va uyg`ongan holatlar uchun turlicha qiymatlarini
ishlatib hisoblashlarni amalga oshiramiz. 1.35 soni yadro radiusini aniqlashda
ishlatiluvchi 𝑝 = 𝑝0 𝑝1/3 formuladagi 𝑝0 ni ifodalaydi. Biz ushbu parametrning
3 ta qiymati: 𝑝0 = 1.15 𝑝𝑝, 𝑝0 = 1.25 𝑝𝑝 va 𝑝0 = 1.35 𝑝𝑝 lar uchun
hisoblashlarni amalga oshiramiz. Yuqoridagi rasmda biz uchun muhim bo`lgan
yana bir son bu 0.70 hisoblanadi. Bu son Wood-Saxon potensialidagi 𝑝ning
58
qiymatini ifodalaydi. Bu parametr uchun ham mos ravishda 3 ta qiymatni
ishlatamiz. Bular 𝑝 = 0.60, 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 0.70 lardir.
Endi ikkinchi fayl INP bilan tanishsak. Bu faylning Блокнот dasturidagi
ko`rinishi quyidagicha
27-rasm: INP faylining Блокнот dasturidagi ko`rinishi
Bu yerda biz uchun muhim bo`lgan narsalarning 3 tasi bilan yuqorida
tanishdik. Bular 6.585 (bog`lanish energiyasi), 1.35 (𝑝0 ) va 0.70 (𝑝) edi. Yana
bilishimiz zarur bo`lgan 3 ta son qoldi. Bular 0, 1 va 3. Bu raqamlardan 0 tugunlar
sonini ifodalaydi. Biz hisoblashlarni tugun yo`q 0, 1 ta, 2ta va 3ta tugun bo`lgan
holat uchun hisoblaymiz. Demak, 0 ning qiymati har xil sonlarni qabul qilishi
mumkin. Bular masala shartidagi tugunlar soniga qarab o`zgaradi.
Keyingi son bu 1. Bu son masala shartidagi 𝑝 ni ifodalaydi. Hozirgi
vaziyatda 𝑝 = 1. Masala shartiga qarab o`zgarishi mumkin.
Keyingi son 2𝑝ni ifodalaydi. Bizning holda 2𝑝 = 3 . Masala shartiga
qarab 2𝑝ning qiymati o`zgarishi mumkin. Biz asosan 2𝑝 uchun 1 va 3 ni
ishlatamiz. Bunda 𝑝 mos ravishda 1/2 va 3/2 qiymatlarga ega bo`ladi.
59
Masala shartlarini datta va INP fayllariga kiritib bo`lgandan so`ng SHUH
faylini ochamiz. Bu fayl bizga fbwf faylini hosil qilib beradi.
28-rasm: SHUH va fbwf fayllari
Hisoblash natijalari fbwf faylida joylashgan. Bu faylni Блокнот dasturida
ochamiz.
29-rasm: fbwf faylining ko`rinishi
Bu yerdagi 50.19 soni Wood-Saxon potensialidagi 𝑝0 ni ifodalaydi.
Birinchi ustun 𝑝 ni, ikkinchi ustun esa unga mos bo`lgan Ф ni (to`lqin
funksiyaning qiymatini) ifodalaydi. Biz ushbu qiymatlar yordamida kerakli
grafiklarni chizamiz.
3.2 Hisoblash natijalari
60
Tuzilgan dastur yordamida 10B yadrosining jadvalda ko`rsatilgan bog`langan
holatlari to`lqin funksiyalarini hisoblab topildi. Bunda har bir holat uchun
Wood-Saxon potensiali geometrik parametrlarining 3 ta qiymati, ya`ni: quyi
(𝑝 = 1.15 , 𝑝 = 0.60), standart (𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65) va yuqori (𝑝 = 1.35 , 𝑝 =
0.70) qiymatlari uchun hisoblashlar amalga oshirildi. E`tiborga olish kerakki,
keltirilgan parametrlarning quyi va yuqori qiymatlari amaldagi chegaraviy
qiymatlar hisoblanadi. Topilgan bog`langan holat to`lqin funksiyalarini ushbu
holatlarning o`rtacha kvadratik radiusini hisoblab topish uchun qo`llandi.
Bog`langan holat o`rtacha kvadratik radiuslari quyidagi formula orqali
hisoblandi.
∞
2
< 𝑝 >= ∫
3.1
Ф ⋅ 𝑝2 ⋅ Ф∗ 𝑝𝑝
0
Quyidagi jadvalda hisob kitoblarni amalga oshirishda foydalanilgan
ma`lumotlar keltirilgan.
№
Ex
(MeV)
Eb
(MeV)
(J+, l)
j
n (bosh
q n.)
nl
nC
nlj
(tugunla (spektra
r soni)
l bosh
kvant
son)
1
0
6.5859
3+,1
3/2
1
1
0
0
1
1p3/2
2
0.71835 5.86755 1+,1
1/2
1
1
0
0
1
1p1/2
3
0.71835 5.86755 1+,1
3/2
1
3
0 1
2
2p3/2
4
1.74015 4.84575 0+,1
3/2
1
5
0 2
3
3p3/2
5
2.1543
1+,1
3/2
3
7
1
4
4p3/2
4.4316
3
3-jadval: 10B ning asosiy va uyg`ongan holatlariga doir ma`lumotlar
3-jadval asosida hisoblangan bog`langan holat to`lqin funksiyasining
sonli qiymatlarini 3.1 ifodani ishlatgan holda yadroning o`rtacha kvadratik
61
radiusini hisoblashga qo`llashimiz natijasida quyidagi jadval ma`lumotlariga
ega bo`lamiz.
Birinchi
Ikkinchi
Uchinchi
Birinchi
uyg`ongan 𝐸1 = uyg`ongan 𝐸2 = uyg`ongan 𝐸3 =
Asosiy
uyg`ongan
𝐸0 = 6.586,𝑙 = 𝐸1 = 5.867,𝑙 = 5.867,𝑙 = 1,𝑗 = 4.845,𝑙 = 1,𝑗 = 4.431,𝑙 = 1,𝑗 =
1,𝑗 = 3/2
1,𝑗 = 1/2
3/2
3/2
3/2
𝑟, 𝑎
𝑟 = 1.15, 𝑎
= 0.60
2,726941135
2,776880125
3,373951275
3,908998234
4,293741934
𝑟 = 1.25, 𝑎
= 0.65
2,878828762
2,931644703
3,559823086
4,129095953
4,53985011
𝑟 = 1.35, 𝑎
= 0.70
3,027552524
3,083170826
3,741045009
4,34342336
4,77950443
1,83%
23,72%
43,34%
57,45%
Asosiy holatga nisbatan
radiusning o`sib borishi (%)
4-jadval: 10B yadrosining o`rtacha kvadratik radiuslari
To`lqin funksiya natijalarini grafik ko`rinishda tasvirlasak quyidagi
ko`rinishga keladi:
Asosiy holat uchun:
30-rasm: Asosiy holat uchun bog`langan holat radial to`lqin funksiyasi 𝜑𝑛𝑙𝑗 (𝑟)
. n=1, lp=1, jp=3/2 holat uchun. Wood-Saxon potensialida 𝑝 = 1.15 , 𝑝 =
0.60, 𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 1.35 , 𝑝 = 0.70 holatlar uchun hisoblangan.
Birinchi uyg`ngan holat uchun
62
31-rasm: Birinchi uyg`ongan holat uchun bog`langan holat radial to`lqin
funksiyasi 𝜑𝑛𝑙𝑗 (𝑟) . n=2, lp=1, jp=1/2 holat uchun. Wood-Saxon potensialida
𝑝 = 1.15 , 𝑝 = 0.60, 𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 1.35 , 𝑝 = 0.70 holatlar
uchun hisoblangan.
32-rasm: Birinchi uyg`ongan holat uchun bog`langan holat radial to`lqin
funksiyasi 𝜑𝑛𝑙𝑗 (𝑟) . n=2, lp=1, jp=3/2 holat uchun. Wood-Saxon potensialida
𝑝 = 1.15 , 𝑝 = 0.60, 𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 1.35 , 𝑝 = 0.70 holatlar
uchun hisoblangan.
Ikkinchi uyg`ongan holat uchun
63
33-rasm: Ikkinchi uyg`ongan holat uchun bog`langan holat radial to`lqin
funksiyasi 𝜑𝑛𝑙𝑗 (𝑟) . n=3, lp=1, jp=3/2 holat uchun. Wood-Saxon potensialida
𝑝 = 1.15 , 𝑝 = 0.60, 𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 1.35 , 𝑝 = 0.70 holatlar
uchun hisoblangan.
Uchinchi uyg`ongan holat uchun
34-rasm: Uchinchi uyg`ongan holat uchun bog`langan holat radial to`lqin
funksiyasi 𝜑𝑛𝑙𝑗 (𝑟) . n=4, lp=1, jp=3/2 holat uchun. Wood-Saxon potensialida
𝑝 = 1.15 , 𝑝 = 0.60, 𝑝 = 1.25 , 𝑝 = 0.65 va 𝑝 = 1.35 , 𝑝 = 0.70 holatlar
uchun hisoblangan.
64
36-rasm: Umumiy grafik ( 𝑝 = 1.25, 𝑝 = 0.65 )
Xulosa
65
Rasmlardan shuni kuzatish mumkinki, uyg`ongan holat energetik satxi
(energiyasi) oshib borishi bilan to`lqin funksiya o`ng tomonga (katta
masofalarga) yoyilib borayapti. Buni grafikda ko`rsatilganidek, to`lqin funksiya
o`rkachning siljib borishidan ham tushunsa bo`ladi. Bu hodisa uyg`ongan holat
energetik satxi (energiyasi)ning oshib borishi bilan yadroning o`lchamlari oshib
borayotganidan dalolat beradi. Boshqach qilib aytganda, 10B yadrosi ishib boradi
va nihoyat 10B9Be+p ostona energiyasiga yetganda u 9Be va p kabi bo`laklarga
parchalanib ketadi. Buni ushbu to`lqin funksiyalar yordamida hisoblab topilgan
yadroning har xil bo`g`langan holatlari uchun o`rtacha kvadratik radiuslarining
o`zgarish qonuniyatidan ham bilsa bo`ladi. 2-jadvalda mazkur o`rtacha kvadratik
radiuslar qiymatlari keltirilgan. Jadvaldan ko`rinib turibdiki, uyg`ongan holat
energiyasining oshib borishi bilan, haqiqatan, yadroning radiusi oshib borayapti.
Va bu tendensiya asosiy holatga nisbatan yuqori uyg`ongan holatlarda borib 1.5
baravargacha yetayapti. Aytilganlardan quyidagi fizik ma`nolarni keltirib
chiqarsa bo`ladi:
1. Yuqori uyg`ongan holatlarda
10
B yadrosi yana ham yaqqol
9
Be+p
klasterlashgan holatda namoyon bo`ladi.
2. So`nayotgan yulduzlarda, harorat pasayib borishi bilan, ya`ni 9Be+p nisbiy
tezligining kamayib borishi bilan asosiy 9Be(p,)10B yadroviy reaksiyasi asosan
10
B yadrosining yuqori uyg`ongan holatlarga radiatsion qamrash orqali amalga
oshadi. Natijada yulduzning gamma nurlanish spektri vaqt o`tishi bilan quyi
energiya sohasiga siljish kuzatiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
66
1. Kvant mexanikasi, M. M. Musaxanov, A. S. Rahmatov. Toshkent-2011.
2. Energy levels of light nuclei A=5-10. F. Ajzenberg-Selove. University of
Pennsylvania, Philadelphia, Pennsylvania 19104-63, USA.
3. Microscopic Clustering in Light Nuclei. Martin Freer, Hisashi Horiuchi.
Arxiv.org April 18, 2018.
4. Thermonuclear reaction rates of
9
𝑝𝑝(𝑝, 𝑝)
10
𝑝, D. Zahnow , C.
Angulo. 1 March 1995
5. Radioative capture of protons by light nuclei at low energies, F.E . Cecil,
D. Ferg, 24 September 1991
6. Asymptotic normalization coefficients for
10
𝑝→
9
𝑝𝑝 + 𝑝, A. M.
Mukhamedzhanov, H. L. Clark, Physical Review C Volume 56, Number
3 September 1997
7. https://www.annualreviews.org/doi/full/10.1146/annurev-nucl-102014022027
8. http://www.scholarpedia.org/article/Clusters_in_nuclei
9. https://phys.libretexts.org/Courses/University_of_California_Davis/UCD
%3A_Physics_9HE_-_Modern_Physics/03%3A_OneDimensional_Potentials/3.4%3A_Finite_Square_Well
10.https://www.researchgate.net/figure/Variation-of-Coulomb-potentialenergy-with-distance-between-nuclei_fig2_314013720
11.https://en.wikipedia.org/wiki/Potential_well
12.https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Potential_e
nergy_well.svg/1280px-Potential_energy_well.svg.png
13.http://murzim.net/QM/QM17.html
14.https://opentextbc.ca/universityphysicsv3openstax/chapter/the-quantumtunneling-of-particles-through-potential-barriers/
15.https://www.radiation-dosimetry.org/what-is-theory-of-alpha-decayquantum-tunneling-definition/
67