Peta Karnaugh
Metode penyederhanaan persamaan logika dengan Karnough Map (K Map) umumnya
lebihpraktis dan lebih disukai apabila jumlah variabel dalam persamaan logika tidak terlalu
banyak (tidak lebih dari 6 variabel).
Keuntungan : persamaan akhir yang dihasilkan selalu merupakan persamaan yang paling
tersederhana (tidak dapat disederhanakan lebih lanjut).
Peta karnaugh (atau K-Map) diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh tahun 1953 (wikipedia)
adalah sebuah metode untuk menyederhanakan fungsi persamaan logika sehingga (Freddy
Kurniawan: Sistem Digital):
1. Menggunakan jumlah gerbang lebih sedikit sehingga waktu tunda total untai menjadi
lebih kecil
2. Kemungkinan resiko kegagalan fungsi lebih kecil karena penggunaan gerbang dan
perkawatan yang lebih sedikit
3. Daya total yang dikonsumsi untai logika juga akan lebih kecil.
4. Hemat biaya
Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi (terdiri atas baris dan kolom) dimana
komponen baris dan kolom adalah masukan (input) dari sistem. Input dari masukan inilah
yang kemudian disebut variabel K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map
3 Peubah, 4 peubah dst.
K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja. Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi
di-rekomendasikan menggunakan K-Map karena komputasinya sangat tinggi sehingga
disarankan menggunakan program komputer khusus. Tutorial kali ini, saya akan membahas
K-Map hingga 4 Variabel. Untuk K-Map 5 dan 6 Peubah akan dibahas pada tutorial berikutnya.
Menggambar peta karnaugh
Peta Karnaugh 2 Peubah:
Ilustrasi berikut adalah peta karnaugh 2 peubah (A dan B).
Kelompok Baris adalah masukan A dan Kelompok Kolom adalah masukan B. Tidak ada yang
spesial dari aturan K-Map 2 Variabel. Anda bisa menulisnya 0 kemudian 1 (sesuai contoh)
atau 1 kemudian 0.
Sekarang kita lihat tabel kebenaran dari fungsi yang akan kita buat. Asumsikan, kita tidak
memiliki fungsi persamaan dari tabel kebenaran berikut dan kita akan membuatnya.
Setiap cell dari matrik (bagian tengah) akan kita isi dengan hasil atau result dari tabel
kebenaran. Sebagai contoh:
Peta Karnaugh 3 Peubah:
Sedikit berbeda dengan peta karnaugh 2 peubah, K-Map 3 peubah menggunakan 2 peubah
di satu rusuk dan 1 peubah di rusuk yang lain. Anda bisa membuat K-Map dengan 2 peubah
di rusuk tegak, dan 1 peubah di rusuk mendatar atau sebaliknya. Perhatikan gambar:
Yang perlu diperhatikan di sini adalah penyusunan kombinasi masukan 2 peubah harus
mengikuti kaidah "perubahan di satu tempat". Artinya transisi dari "0" ke "1" hanya di satu
tempat saja. Sebagai contoh, kombinasi masukan dari "01" menjadi "11". Transisi yang terjadi
pada kombinasi ini hanya pada masukan A (dari 0 menjadi 1) sedangkan masukan B tetap (1
tetap 1). Jadi anda tidak boleh menulis "01" kemudian "10" (seperti yang biasa anda lakukan
di tabel kebenaran). Mengapa? karena jika susunan-nya "01" kemudian "10", berarti
perubahan terjadi di 2 masukan, A berubah dari "0" menjadi "1" dan masukan B berubah dari
"1" menjadi "0".
Seperti pada K-Map 2 peubah, isi Cell dari K-Map 3 peubah juga berisi result (hasil) dari tabel
kebenaran. Sebagai contoh:
Anda boleh menggunakan K-Map yang atas atau yang bawah.
Peta Karnaugh 4 Peubah:
Untuk K-Map 4 peubah, anda dapat memasukkan 2 peubah di rusuk tegak dan 2 peubah di
rusuk mendatar. Perhatikan gambar:
Daerah Minterm
Nah sekarang kita sudah bisa menggambar peta Karnaugh atau K-Map dengan 2, 3 dan 4
peubah. Proses berikutnya adalah menentukan daerah minterm. Daerah minterm adalah
sebuah daerah di dalam K-Map yang berisi nilai 1 yang "bertetangga" (akan dijelaskan dalam
contoh). Keanggotaan sebuah daerah minterm bisa berisi 2^n dimana n bernilai 0, 1, 2, 3, ...
dst. Sehingga keanggotaan wilayah minterm bisa 1, 2, 4, 8, 16, dst.
Melukiskan daerah minterm, bisa secara vertikal (atas bawah) atau horisontal (kiri dan kanan)
tetapi tidak bisa secara diagonal.
Contoh daerah minterm untuk K-Map 2 peubah adalah sebagai berikut:
Keterangan:
(A): Karena nilai "1" hanya ada satu, maka daerah mintermnya juga hanya 1.
(B): Nilai "1" ada di dua tempat (cell) tetapi mereka bertetangga secara diagonal, maka angkaangka "1" tersebut tidak bisa menjadi satu wilayah minterm.
(C): Terdapat 2 wilayah minterm dengan masing-masing memiliki 2 anggota angka "1".
(D): Mirip dengan kasus point (B).
Sedikit berbeda untuk K-Map dengan dimensi yang lebih besar(di atas dimensi 2x2), K-Map
"dipandang sebagai sebuah bidang yang "bulat" seperti globe. Artinya daerah minterm bisa
saja "menyatukan" angka 1 yang di sisi atas dan bawah atau kiri dan kanan secara berputar.
Lihat contoh di bawah ini:
Ingat: Tidak bisa diagonal saja.
Membangun persamaan dari daerah minterm di K-Map
Setelah daerah minterm sudah kita tandai, proses berikutnya adalah menentukan persamaan
dari daerah minterm tersebut. Kita bisa menggunakan asas "konsistensi" untuk memudahkan
membangun persamaan daerah minterm tersebut. Konsistensi yang saya maksud adalah nilai
masukan yang TIDAK BERUBAH di setiap sel daerah minterm. Sebagai contoh untuk daerah
minterm yang hanya berisi satu anggota seperti pada gambar berikut:
Karena kita tidak bisa membuat daerah minterm secara diagonal maka K-Map di atas memiliki
2 daerah minterm. Untuk daerah mintem yang berisi satu anggota saja, membuat
persamaannya cukup mudah. Cukup lihat masukan untuk setiap daerah minterm tersebut.
Daerah minterm 1: masukan dari sisi baris adalah A'B dan dari sisi kolom adalah C'. Nilai
akses (') di sini mengacu pada nilai 0 pada masukan A dan C (sedangkan karena nilai B
bernilai "1" maka tidak diberi aksen atau NOT).
Daerah minterm 2: masukan dari sisi baris adalah AB dan dari sisi kolom adalah C (semua
nilai masukan "1" maka tidak ada aksen)
Sehingga fungsi persamaan dari K-Map tersebut adalah: A'BC + ABC.
Pembuktian dengan tabel kebenaran:
Untuk daerah minterm yang berisi lebih dari satu, asas konsistensi bisa kita gunakan.
Perhatikan contoh:
Pada contoh di atas, daerah mintem yang terbentuk memiliki empat anggota dimana
masukannya adalah:
1.
Sisi Baris (AB): 01 dan 11
2.
Sisi Kolom (CD): 01 dan 11
Nilai yang konsisten di sisi baris adalah B. (A tidak konsisten karena ada A yang bernilai "1"
dan ada A yang bernilai "0". Sedangkan nilai yang konsisten di sisi kolom adalah D. (nilai C
tidak konsisten).
Sehingga persamaan untuk K-Map di atas adalah BD. Lihat pada tabel kebenaran berikut:
Contoh lain:
Daerah minterm 1 (yang berwarna biru): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan AB)
adalah B dan masukan yang konsisten di sisi kolom adalah C sehingga rumus fungsinya
adalah BC
Daerah minterm 2 (yang berwarna merah): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan
AB) tidak ada (semuanya (baik A dan B) tidak ada yang konsisten) sedangkan masukan yang
konsisten di sisi kolom adalah CD'.
Sehingga persamaan fungsi dari K-Map di atas adalah F = BC + CD'. Perhatikan tabel
kebenaran berikut:
Cukup mudah bukan? Semoga bermanfaat.