Linearna algebra i geometrija
Predavanje I
Oktobar, 2022.
Uvod
▶ Vektori i linearna kombinacija
▶ Dužina i skalarni proizvod
▶ Matrice
2/40
Uvod
Suština linearne algebre se svodi na dvije operacije koje izvršavamo
nad vektorima:
▶ Sabiranje vektora: v + w
▶ Množenje skalarima c i d: cv i dw
Kombinovanjem te dvije operacije rezultira u linearnu
kombinaciju cv + dw.
Linearna kombinacija:
cv + dw = c
Primjer 1
[ ]
[ ] [
]
1
2
c + 2d
+d
=
1
3
c + 3d
[ ] [ ] [ ]
1
2
3
v+w =
+
=
1
3
4
je kombinacija gdje je c = d = 1.
3/40
Uvod
U nekim situacijama, interesuje nas određena kombinacija vektora
v i w, kao u prethodnom slučaju, za c = d = 1, dok u drugim
sitacijama, želimo sve kombinacije vektora v i w (tj. kao rezultat
svih c i d vrijednosti).
Ukoliko posmatramo u prostoru, svi vektori cv leže duž jedne
prave. Kada w ne leži na istoj pravoj, sve kombinacije cv + dw
popunjavaju cijelu 2-dimenzionalnu ravan.
Dva vektora i njihove kombinacije mogu ležati u ravni ili duž neke
prave.
4/40
Vektori i linearna kombinacija
“NIJE MOGUĆE SABIRATI JABUKE i KRUŠKE”
Imamo dva broja v1 i v2 koji čine 2-dimenzionalni vektor v:
[ ]
v prva komponenta od v
Vektor kolona v = 1
v2 druga komponenta od v
Imamo jednu oznaku, v, za par brojeva v1 i v2 .
Brojeve v1 i v2 ne sabiramo, tj. različite komponente jednog
vektora ne sabiramo.
Možemo sabirati vektore.
5/40
Vektori i linearna kombinacija
SABIRANJE VEKTORA
Pri sabiranju dva vektora v i w bitno je da njihove prve
komponente ostanu odvojene od njihovih drugih komponenti:
[ ]
[
]
[ ]
v 1 + w1
v1
w1
iw=
rezultira u v + w =
v=
v2
w2
v 2 + w2
Oduzimanje radimo na isti način, pa su komponente vektora
v − w: v1 − w1 i v2 − w2 .
6/40
Vektori i linearna kombinacija
PROIZVOD SKALARA I VEKTORA
Još jedna osnovna operacija je proizvod skalara i vektora. To jeste,
vektore možemo množiti sa bilo kojim brojem c.
Na primjer, ukoliko želimo odrediti 2v potrebno je da svaku
komponentu vektora v pomonožimo sa 2.
[ ]
2v1
2v =
2v2
Komponente vektora cv su cv1 i cv2 , a broj c nazivamo skalarom.
Bitno je primjetiti da suma vektora −v i v daje nula vektor 0, što
nije isto što i broj 0! Vektor 0 ima komponente 0 i 0.
7/40
Vektori i linearna kombinacija
LINEARNA KOMBINACIJA
Sada ćemo kombinovati sabiranje sa skalarnim proizvodom kako
bismo dobili linearnu kombinaciju vektora v i w.
Množimo vektor v sa skalarom c, vektor w sa skalarom d, a zatim
sabiramo cv + dw.
Suma cv i dw čini linearnu kombinaciju cv + dw.
Četiri specijalne linearne kombinacije su: suma, razlika, nula
vektor, i skalarni umnožak.
1v + 1w = suma vektora
1v − 1w = razlika vektora
0v + 0w = nula vektor
cv + 0w = vektor cv u pravcu v
8/40
Vektori i linearna kombinacija
Nula vektor je uvijek moguća kombinacija, tj. kada god
posmatramo neki vektorski prostor, nula vektor će biti unutar tog
prostora.
2-dimenzionalni vektor v možemo predstaviti:
▶ Pomoću dva broja, kao u prethodnom slučaju;
▶ Strelicom sa početkom u koordinatnom početku (0, 0);
▶ Ili kao tačku u ravni.
9/40
Vektori i linearna kombinacija
ZBIR VEKTORA v i w
Numerički, rezultat dobijemo tako što sabiramo odgovarajuće
komponente.
Vizualiziramo koristeći strelice, kao sto je prikazano na slici 1 (na
završetak vektora v stavljamo početak vektora w).
v
[
−1
w=
2
]
v+w
Figure 1: Sabiranje vektora
w
[ ]
4
v=
2
10/40
Vektori i linearna kombinacija
RAZLIKA VEKTORA v i w
[
−1
w=
2
]
[ ]
4
v=
2
v−w
[
]
1
−w =
−2
v
Figure 2: Razlika vektora
[ ]
3
Sabiranje vektora v + w =
, kao i oduzimanjem vektora
4
[ ]
5
v−w =
dobijamo dijagonalu paralelograma.
0
11/40
Vektori i linearna kombinacija
VEKTORI U 3-DIMENZIONALNOM PROSTORU
Vektor sa dvije komponente predstavlja tačku na xy ravni.
Komponente vektora v su u tom slučaju koordinate tačke: x = v1 i
y = v2 . Strelica će se završavati u datoj tačci (v1 , v2 ), ukoliko je
početak vektora u (0, 0).
Sada ćemo uzeti da vektor ima tri komponente (v1 , v2 , v3 ). xy
ravan će biti zamijenjen sa 3-dimenzionalnim prostorom xyz.
Primjer vektora u 3-dimenzionalnom prostoru (uvijek koristimo
vektor kolone):
 
 
 
1
2
3





v= 1
w= 3
v + w = 4
−1
4
3
12/40
Vektori i linearna kombinacija
VEKTORI U 3-DIMENZIONALNOM PROSTORU
Kao i u prethodnim primjerima, tako i u 3-dimenzionalnom
prostoru, vektor v je predstavljen strelicom, koja počinje u
koordinatnom početku (0, 0, 0), a završava u tačci (v1 , v2 , v3 ).
Važno je napomenuti da vektor (x, y) u ravni, nije isto što i vektor
(x, y, 0) u 3-dimenzionalnom prostoru.
U tri dimenzije, kao i u dvije dimenzije, sabiranje dva vektora se
radi tako što sabiramo komponentu po komponentu dva vektora.
Na isti način bismo pristupili operaciji sabiranja i u prostoru sa 4 ili
5, odnosno n dimenzija.
13/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Za jedan vektor u, linearne kombinacije su umnošci cu. Za dva
vektora, kombinacije su cu + dv, a za tri, kombinacije su
cu + dv + ew. Sve vrijednosti za c, d i e su dozvoljene. Ukoliko
pretpostavimo da su vektori u, v i w u 3-dimenzionalnom
prostoru:
1. Šta predstavljaju sve kombinacije cu?
2. Šta predstavljaju sve kombinacije cu + dv?
3. Šta predstavljaju sve kombinacije cu + dv + ew?
14/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Konkretni odgovori zavise od konkretnih vektora v, u i w. Ukoliko
se radi o nula vektorima, tada će sve kombinacije biti nula vektor.
Ukoliko je riječ o standardnim ne-nultim vektorima (komponente
odabrane nasumično) odgovori su:
15/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Konkretni odgovori zavise od konkretnih vektora v, u i w. Ukoliko
se radi o nula vektorima, tada će sve kombinacije biti nula vektor.
Ukoliko je riječ o standardnim ne-nultim vektorima (komponente
odabrane nasumično) odgovori su:
1. Kombinacije cu ispunjavaju pravu koja prolazi kroz (0, 0, 0).
15/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Konkretni odgovori zavise od konkretnih vektora v, u i w. Ukoliko
se radi o nula vektorima, tada će sve kombinacije biti nula vektor.
Ukoliko je riječ o standardnim ne-nultim vektorima (komponente
odabrane nasumično) odgovori su:
1. Kombinacije cu ispunjavaju pravu koja prolazi kroz (0, 0, 0).
2. Kombinacije cu + dv ispunjavaju ravan koja prolazi kroz
(0, 0, 0).
15/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Konkretni odgovori zavise od konkretnih vektora v, u i w. Ukoliko
se radi o nula vektorima, tada će sve kombinacije biti nula vektor.
Ukoliko je riječ o standardnim ne-nultim vektorima (komponente
odabrane nasumično) odgovori su:
1. Kombinacije cu ispunjavaju pravu koja prolazi kroz (0, 0, 0).
2. Kombinacije cu + dv ispunjavaju ravan koja prolazi kroz
(0, 0, 0).
3. Kombinacije cu + dv + ew ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni
prostor.
15/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Konkretni odgovori zavise od konkretnih vektora v, u i w. Ukoliko
se radi o nula vektorima, tada će sve kombinacije biti nula vektor.
Ukoliko je riječ o standardnim ne-nultim vektorima (komponente
odabrane nasumično) odgovori su:
1. Kombinacije cu ispunjavaju pravu koja prolazi kroz (0, 0, 0).
2. Kombinacije cu + dv ispunjavaju ravan koja prolazi kroz
(0, 0, 0).
3. Kombinacije cu + dv + ew ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni
prostor.
Nula vektor (0, 0, 0) je na pravoj jer c može biti nula; na ravni je
jer i c i d mogu biti nula, itd.
15/40
Vektori i linearna kombinacija
VAŽNA PITANJA
Prava vektora cu je beskonačna (u oba smjera), ilustraciju 3a.
Dodajući sve cu na jednoj pravoj svim dv na drugoj pravoj ispunit
ćemo cijelu ravan, ilustracija 3b.
v
u
u
cu = −u/2
(a) Kombinacije cu
(b) Ravan cu + dv
Figure 3: Linearna kombinacija
Kada uključimo i treći vektor w, umnošci ew daju treću pravu.
Pretpostavimo da prava ew ne leži u ravni vektora u i v, tada
kombinirajući ew sa svim kombinacijama cu + dv ispunit ćemo
cijeli 3-dimenzionalni prostor.
16/40
Skalarni proizvod
Skalarni
[ ]proizvod[(eng.
] dot ili inner product) dva vektora
v1
w1
v=
iw=
je broj v · w:
v2
w2
v · w = v 1 w1 + v 2 w2
Skalarni proizvod dva vektora je suma proizvoda odgovarajućih
komponenti ta dva vektora.
Skalarni proizvod je komutativan, što znači da nam poredak
vektora nije bitan: v · w = w · v.
Ukoliko je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, to znači da su
ta dva vektora okomita (ugao između njih je 90◦ ).
Primjer 2
[ ] [ ]
4
−1
·
= −4 + 4 = 0
2
2
17/40
Skalarni proizvod
Primjer 3 Skalarni proizvod se koristi i u ekonomiji. Neka imamo
tri proizvoda koja kupujemo i prodajemo. Njihove cijene su
(p1 , p2 , p3 ) po jedinici proizvoda, te ovo nazivamo “vektorom
cijena” p. Količine koje prodamo ili kupimo su izražene sa
(q1 , q2 , q3 ) - pozitivne kada prodajemo, negativne kada kupujemo.
Prodajom q1 jedinica proizvoda p1 ćemo uprihoditi p1 q1 . Ukupni
prihod je skalarni proizvod q · p u tri dimenzije:
   
q1
p1



P rihod = q2 · p2  = q1 p1 + q2 p2 + q3 p3
q3
p3
Ukoliko je skalarni proizvod jednak nuli tada je i knjigovodstveno,
bilans stanja jednak nuli. Ukupna prodaja jednaka je ukupnoj
kupnji kada je q · p = 0. Tada je p okomito na q (u
3-dimenzionalnom prostoru). Supermarket sa hiljadama različitih
proizvoda će brzo prerasti u ogroman broj dimenzija.
18/40
Dužina i jedinični vektor
Važan slučaj je skalarni
  proizvod vektora sa samim sobom. Neka
1
imamo vektor v = 2, skalarni proizvod sa samim sobom je:
3
   
1
1
v · v = ||v||2 = 2 · 2 = 1 + 4 + 9 = 14
3
3
Umjesto ugla od 90◦ između dva vektora, sada imamo 0◦ . Rezultat
nije jednak nuli, jer vektor v nije okomit na samog sebe. Skalarni
proizvod v · v daje kvadriranu dužinu v.
DEFINICIJA Dužina ||v|| vektora v je kvadratni korijen skalarnog
produkta v · v:
√
√
dužina = ||v|| = v · v = v12 + v22 + ... + vn2
19/40
Dužina i jedinični vektor
Ukoliko su komponente vektora jednake 1 i 2, vektor će biti treća
strana pravougaonog trougla (4a). Pitagorina teorema
a2 + b2 = c2 povezuje tri strane, 12 + 22 = ||v||2 .
Za dužinu vektora v = (1, 2, 3) (4b) formulu
√ ćemo koristiti dva
puta. Vektor (1, 2, 0) u bazi ima dužinu 5. Ovaj vektor je okomit
na vektor
√ (0, 0, 3),√pa je dužina dijagonale kvadra
||v|| = 5 + 9 = 14.
(0, 0, 3)
(1, 2, 3)
(0, 2)
(1, 2)
√
√
14
5
√
(1, 0)
(1, 0, 0)
(a) Dužina v = (1, 2)
5
(0, 2, 0)
(1, 2, 0)
(b) Dužina v = (1, 2, 3)
20/40
Dužina i jedinični vektor
√
2
2
2
2
Dužina vektora sa četiri dimenzije bi bila
√ v1 + v2 + v3 + v4 .
Tako bi vektor (1, 1, 1, 1) imao dužinu 12 + 12 + 12 + 12 = 2, što
predstavlja dijagonalu kroz jediničnu kocku u 4-dimenzionalnom
prostoru. Takva dijagonala u n-dimenzionom prostoru će imati
√
dužinu n.
Riječ “jedinično” ukazuje da je neka mjera jednaka “jedan”. Na
primjer, jedinična cijena je cijena za jedan proizvod. Jedinična
kocka ima stranice dužine jedan. Jedinična kružnica je kružnica
radijusa dužine jedan.
DEFINICIJA Jedinični vektor je vektor čija dužina iznosi jedan.
Tada je u · u = 1.
21/40
Dužina i jedinični vektor
Primjer jediničnog vektora u 4-dimenzionalnom
prostoru bi bio
√
1
1
1
1
1
1
u = ( 2 + 2 + 2 + 2 ). Tada je u · u = 4 + 4 + 14 + 14 = 1.
Da bismo dobili jedinični vektor koji ima isti smjer kao neki vektor
v = (1, 1, 1, 1), potrebno je da isti podijelimo sa njegovom
dužinom, što je u ovom slučaju ||v|| = 2.
Primjer 5 Jedinični vektori koji leže na x i y osi se označavaju sa i
i j respektivno. U xy ravni, jedinični vektor koji sa x osom pravi
ugao θ je dat sa (cosθ, sinθ).
[ ]
[ ]
[
]
1
0
cos θ
Jedinični vektori i =
ij=
iu=
.
0
1
sin θ
Kada je θ = 0◦ , vektor u je jednak horizontalnom vektoru i. Kada
je θ = 90◦ (ili π2 radijana), vektor u je jednak vertikalnom vektoru
j.
22/40
Dužina i jedinični vektor
Generalno, o kojem god uglu da se radi, komponente cosθ i sinθ
čine u · u = 1, jer je cos2 θ + sin2 θ = 1. Ovi vektori sežu do
jedinične kružnice (slika 5). To jeste, cos θ i sin θ su koordinate
tačke pod uglom θ na jediničnoj kružnici.
Kako bi dobili jedinični vektor potrebno je podijeliti bilo koji
nenulti vektor v sa njegovom dužinom ||v||.
j = (0, 1) v = (1, 1)
u = ( √12 , √12 )
−i
j
i = (1, 0)
−j
θ
cos θ
[
]
cos θ
u=
sin θ sin θ
i
Figure 5: Vektori i i j. Jedinični vektor u pod √
uglom od 45◦ , dijeli
vektor v = (1, 1) sa njegovom dužinom ||v|| = 2. Jedinični vektor
u = (cos θ, sin θ) je pod uglom θ.
23/40
Ugao između dva vektora
Skalarni proizvod “otkriva” ugao θ između dva vektora. Za
jedinične vektore u i U , predznak skalarnog proizvoda u · U nam
govori da li je θ < 90◦ ili je θ > 90◦ .
I više od toga, skalarni proizvod u · U je jednak cos θ.
Za jedinične vektore u i U pod uglom θ, vrijedi u · U = cos θ.
Naravno |u · U | ≤ 1.
Prisjetimo se da cos θ nikada nije veće od 1 i nikada nije manje od
-1. Skalarni proizvod jediničnih vektora je između -1 i 1.
24/40
Kosinusna formula
Ukoliko vektori v i w nisu jedinični vektori, tada ćemo ih najprije
podijeliti sa njihovim dužinama ||v|| i ||w|| respektivno, kako
bismo dobili jedinične vektore u i U , iz kojih možemo odrediti
cos θ, odnosno i sam ugao θ.
Kosinusna formula Ukoliko v i w nisu jedinični vektori, tada je:
v·w
= cos θ
||v||||w||
O kojem god uglu da je riječ, skalarni proizvod v/||v|| i w/||w||
nikada nije veći od 1, što predstavlja “Schwarzovu nejednakost”
v · w ≤ ||v||||w||.
25/40
Matrice
Počet ćemo sa tri vektora u, v i w koje ćemo onda kombinovati
koristeći matrice.

Vektori

1
u = −1
0


0
v= 1 
−1
 
0
w = 0
1
Linearne kombinacije u 3-dimenzionalnom prostoru su
x1 u + x2 v + x3 w:
 
 
  

1
0
0
x1
x1 −1 + x2  1  + x3 0 = x2 − x1 
0
−1
1
x3 − x2
(1)
26/40
Matrice
Sada ćemo ovu linearnu kombinaciju napisati koristeći matrice.
Vektore u, v i w stavljamo u matricu A, a ta matrica množi
vektor (x1 , x2 , x3 ):

1
Matrica × vektor
Ax = −1
Kombinacija kolona
0
  

0 0
x1
x1
1 0 x2  = x2 − x1  (2)
−1 1
x3
x3 − x2
Brojevi x1 , x2 , x3 su komponente vektora x. Matrica A puta
vektor x je isto što i kombinacija x1 u + x2 v + x3 w tri vektor
kolone u jednačini 1.
27/40
Matrice
Matrica A “djeluje” na vektor x. Rezultat produkta Ax je
kombinacija b kolona matrice A:

  
  
1
0 0
x1
x1
b1
Ax = −1 1 0 x2  = x2 − x1  = b2  = b
0 −1 1
x3
x3 − x2
b3
(3)
Kao ulaz definišemo x, a kao izlaz b = Ax. Matricu A nazivamo i
“matricom razlike” budući da b sadrži razlike ulaznog vektora x
(u prvom redu, razlika je x1 − x0 = x1 − 0).
28/40
Matrice
Primjer razlike vektora x = (1, 4, 9): kvadrati u vektoru x i neparni
brojevi u vektoru b:
 
1

x = 4 = kvadrati
9

  
1−0
1



Ax = 4 − 1 = 3 = b
9−4
5
(4)
Isti bi se obrazac nastavio za 4 puta 4 matricu razlike. Sljedeći
kvadrat bi bio x4 = 16, a sljedeća razlika bi bila
x4 − x3 = 16 − 9 = 7 (sljedeći neparni broj). Na taj način matrica
rješava sve razlike istovremeno.
29/40
Matrice
Važna napomena: Množenje red po red. Množenje matrica sa
vektorima je vjerovatno već poznato, samo objašnjeno na drugi
način, koristeći redove umjesto kolona. Uobičajeni način je skalarni
proizvod svakog reda sa vektorom x.
Ax su i skalarni proizvodi sa redovima:

  

1
0 0
(1, 0, 0) · (x1 , x2 , x3 )
x1
Ax = −1 1 0 x2  = (−1, 1, 0) · (x1 , x2 , x3 )
0 −1 1
x3
(0, −1, 1) · (x1 , x2 , x3 )
(5)
Ovi skalarni proizvodi će također dati rezultat kao u jednačini 3.
Novi način rada sa Ax je kolona po kolona. Linearne kombinacije
su osnova linearne algebre, a izlaz Ax je linearna kombinacija
kolona matrice A.
30/40
Linearne jednačine
Do sada je cilj bio pronaći vektor b koji je bio nepoznat, dok su
brojevi (x1 , x2 , x3 ) bili poznati, tj. bilo je potrebno da izračunamo
linearnu kombinaciju x1 u + x2 v + x3 w .
Predmet našeg interesovanja, od sada, će biti tzv. inverzni
problem, u kojem nam je vektor b poznat, a brojevi x nepoznati.
Tj. sada želimo odgovoriti na pitanje: Koja kombinacija vektora u,
v i w daje konkretni vektor b?
Ovaj problem nam je takođe poznat od prije kao sistem linearnih
jednačina za x1 , x2 , x3 . Desne strane jednačina su b1 , b2 , b3 .
31/40
Linearne jednačine
Sada ćemo riješiti prethodni primjer Ax = b, kako bismo pronašli
(x1 , x2 , x3 ).
Jednačina: Ax = b
x1
= b1
−x1 +x2
= b2
−x2 +x3 = b3
Rješenje: x = A−1 b
x1 = b1
x2 = b1 + b2
x3 = b1 + b2 + b3
(6)
Ovu jednačinu možemo riješiti po redu (od vrha ka dnu) budući da
je A trougaona matrica.
32/40
Linearne jednačine
Pogledajmo dva specifična izbora desne strane, odnosno vektora b,
(0, 0, 0) i (1, 3, 5):
 
 
0
0
b = 0 daje x = 0
0
0
 

  
1
1
1
b = 3 daje x =  1 + 3  = 4
5
1+3+5
9
Prvo rješenje je mnogo bitnije nego što izgleda: Ukoliko je izlaz
b = 0, tada ulaz mora biti x = 0.
Ova izjava je tačna za našu matricu A, nije istinita za sve matrice.1
Ovakva matrica A je invertibilna. Iz b možemo dobiti x; x
pišemo kao A−1 b.
1
U narednom primjeru ćemo pokazati da za neku matricu C možemo imati
Cx = 0 kada je C ̸= 0 i x ̸= 0!
33/40
Inverzna matrica
Ponovit ćemo rješenje iz jednačine 6 (matrica sume će se
pojaviti!). Ax = b rješavamo:
  
 
 
x1
b1
1 0 0
b1
x2  =  b1 + b2  = 1 1 0 b2 
x3
b1 + b2 + b3
1 1 1
b3
Ukoliko razlike x-ova daju b-ove, tada suma b-ova daje x-eve.
(7)
2
Matrica sume u jednačini 7 je inverzna matrica A−1 matrice
razlika A.
Jednačina 7 za vektor x = (x1 , x2 , x3 ) nam govori dvije važne
činjenice:
1. Za svako b postoji jedno rješenje Ax = b.
2. Inverzna matrica A−1 daje x = A−1 b.
2
U datom primjeru, ovo je tačno za neparne brojeve b = (1, 3, 5) i kvadrate
x = 1, 4, 9.
34/40
Ciklične razlike
U drugom primjeru ćemo imati iste u i v vektore, a uzet ćemo novi
vektor w∗ :


1
u = −1
0


0
v= 1 
−1
 
-1
w∗ =  0 
1
Sada linearna kombinacija vektora u i v i w∗ rezultira u cikličnu
matricu razlika, koju ćemo obilježavati sa C.

  

1
0 −1
x1
x1 − x3
0  x2  =  x2 − x1  = b
Cx = −1 1
0 −1 1
x3
x3 − x2
(8)
Matrica C nije trougaona. Nije jednostavno pronaći x za dato b.
35/40
Ciklične razlike
Ustvari, nemoguće je pronaći konkretno rješenje za Cx = b,
budući da date tri jednačine imaju ili beskonačno mnogo
rješenja (u nekim slučajevima) ili nemaju rješenje (uobičajno).
Beskonačno mnogo x za Cx = 0:
  

0
x1 − x3
x2 − x1  = 0 je riješeno
za sve vektore
0
x3 − x2
   
x1
c
x2  = c
x3
c
Svaki konstantni vektor, kao što je x = (3, 3, 3) ima razliku
jednaku nuli (“kada idemo ciklično”).
Cikličnost smo napravili prvom komponentom x1 − x3 , umjesto da
smo krenuli od x0 = 0.
36/40
Ciklične razlike
Mnogo vjerovatniji slučaj je da za Cx = b ne postoji rješenje x:

  
x1 − x3
1
x2 − x1  = 3
x3 − x2
5
Zbir lijeve strane je 0
Zbir desne strane je 9
Ne postoji rješenje x1 , x2 , x3
Ukoliko bismo geometrijski razmotrili ovaj primjer 3 , uočili bismo
da ne postoji kombinacija vektora u i v i w∗ koja će rezultirati u
vektor b = (1, 3, 5).
3
Preporučuje se studentima da samostalno vizualiziraju u 3-dimenzionalnom
prostoru vektore u, v, w∗ i ovako dato b!
37/40
Ciklične razlike
Ova tri vektora, u, v, w∗ imaju komponente koje u zbiru daju
nulu. Zbog toga, sve njihove kombinacije će biti b1 + b2 + b3 = 0
(kao što smo prethodno vidjeli, kada saberemo tri jednačine)!
4
4
Ovo je ujedno jednačina ravni koja sadrži sve kombinacije vektora u i v dodajući vektor w∗ nismo dodali novi vektor jer je w∗ već na toj ravni.
5
Primjetimo da originalni vektor w = (0, 0, 1) nije na ravni (0 + 0 + 1 ̸= 1),
pa kombinacije vektora u, v, w ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni prostor. Ovo
znamo jer rješenje x = A−1 b, u jednačini 6, daje tačnu kombinaciju kojom
možemo dobiti bilo koje b.
38/40
Ciklične razlike
Ova tri vektora, u, v, w∗ imaju komponente koje u zbiru daju
nulu. Zbog toga, sve njihove kombinacije će biti b1 + b2 + b3 = 0
(kao što smo prethodno vidjeli, kada saberemo tri jednačine)!
4
Kombinacije ovih vektora ne ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni
prostor. Desna strana mora biti b1 + b2 + b3 = 0 da bi postojalo
rješenje za Cx = b, budući da je suma lijeve strane uvijek jednaka
nuli.
4
Ovo je ujedno jednačina ravni koja sadrži sve kombinacije vektora u i v dodajući vektor w∗ nismo dodali novi vektor jer je w∗ već na toj ravni.
5
Primjetimo da originalni vektor w = (0, 0, 1) nije na ravni (0 + 0 + 1 ̸= 1),
pa kombinacije vektora u, v, w ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni prostor. Ovo
znamo jer rješenje x = A−1 b, u jednačini 6, daje tačnu kombinaciju kojom
možemo dobiti bilo koje b.
38/40
Ciklične razlike
Ova tri vektora, u, v, w∗ imaju komponente koje u zbiru daju
nulu. Zbog toga, sve njihove kombinacije će biti b1 + b2 + b3 = 0
(kao što smo prethodno vidjeli, kada saberemo tri jednačine)!
4
Kombinacije ovih vektora ne ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni
prostor. Desna strana mora biti b1 + b2 + b3 = 0 da bi postojalo
rješenje za Cx = b, budući da je suma lijeve strane uvijek jednaka
nuli.
Odnosno: Sve linearne kombinacije x1 u + x2 v + x3 w∗ leže na
ravni datoj sa b1 + b2 + b3 = 0 5 .
4
Ovo je ujedno jednačina ravni koja sadrži sve kombinacije vektora u i v dodajući vektor w∗ nismo dodali novi vektor jer je w∗ već na toj ravni.
5
Primjetimo da originalni vektor w = (0, 0, 1) nije na ravni (0 + 0 + 1 ̸= 1),
pa kombinacije vektora u, v, w ispunjavaju cijeli 3-dimenzionalni prostor. Ovo
znamo jer rješenje x = A−1 b, u jednačini 6, daje tačnu kombinaciju kojom
možemo dobiti bilo koje b.
38/40
Nezavisnost i zavisnost
U prethodna dva primjera, kada vizualiziramo vektore u, v, w i
w∗ , uočit ćemo da kombinacije vektora u i v ispunjavaju
2-dimenzionalnu ravan.
Ključno pitanje je da li je treći vektor u toj ravni:
Nezavisnost: vektor w nije u ravni vektora u i v.
Zavisnost: vektor w∗ je u ravni vektora u i v.
Odnosno, možemo primjetiti da je vektor w∗ linearna kombinacija
vektora u i v:
 
−1
∗
∗

u+v+w =0
w = 0  = −u − v
1
39/40
Nezavisnost i zavisnost
Primjeri matrica A i C su nam omogućili da definišemo zavisnost i
nezavisnost.
Vektori u, v, w su nezavisni. Ne postoje druge kombinacije osim
0u + 0v + 0w = 0 koje daju b = 0.
Vektori u, v, w∗ su zavisni. Kombinacije kao što je
3u + 3v + 3w∗ = 0 daju b = 0.
Nezavisne kolone: Ax = 0 ima jedno rješenje. A je invertibilna
matrica.
Zavisne kolone: Cx = 0 ima mnoga rješenja. C je singularna
matrica.
40/40