Γραμμική
Άλγεβρα
&
Διαφορικός
Ολοκληρωτικός
Λογισμός
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παραδείγματα από την επιστήμη του Ηλεκτρονικού Μηχανικού
Το μάθημα αυτό πραγματεύεται θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών απαραίτητες σε
οποιαδήποτε επιστήμη και ιδιαίτερα αυτή του μηχανικού.
Σκοπός του μαθήματος είναι να καλύψει διεξοδικά κάποιες βασικές αρχές και μεθόδους
μαθηματικού λογισμού και γραμμικής άλγεβρας που θεωρούνται απαραίτητες για τον
εξειδικευμένο ηλεκτρονικό μηχανικό. Προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός αυτός, η
διδασκαλία του μαθήματος αναπτύσσει θέματα των γνωστικών αντικειμένων της άλγεβρας,
της ανάλυσης, του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, που αποτελούν και το
μαθηματικό υπόβαθρο των απαραίτητων εργαλείων της θεωρίας ηλεκτρομαγνητικών πεδίων,
ηλεκτρονικής και τηλεπικοινωνιών.
Χ. Νικολόπουλος
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα
1ο
– Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Στο κύκλωμα RLC σε σειρά του σχήματος η αντίσταση είναι 𝑅𝑅 = 3 Ω, η
αυτεπαγωγή του πηνίου 𝐿𝐿 = 0.5 𝑚𝑚𝑚𝑚, η χωρητικότητα του πυκνωτή
𝐶𝐶 = 0.1 𝑚𝑚𝑚𝑚, και η τάση της πηγής 𝑈𝑈𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 10 cos 104 𝑡𝑡 .
AC
Χ. Νικολόπουλος
L1
R1
C1
Να βρεθούν:
α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα
β) Η τάση στα άκρα του πηνίου
�𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 10𝑒𝑒 𝑖𝑖104 𝑡𝑡
Χρησιμοποιώντας της μιγαδική τάση 𝑈𝑈
�𝐿𝐿 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝜔𝜔 = 𝑖𝑖𝑖 ∗ 10−4 104 = 5𝑖𝑖 Ω, Z�C =
και τις σύνθετες μιγαδικές αντιστάσεις Ζ�R = 𝑅𝑅 = 3 Ω, Z
1
𝑖𝑖 𝜔𝜔 𝐶𝐶
=−
1
𝜔𝜔 𝐶𝐶
𝑖𝑖 = −
1
10−4 104
𝑖𝑖 = −𝑖𝑖 Ω
�𝐿𝐿 + Z�C = 3 + 5𝑖𝑖 − 𝑖𝑖 = 3 + 4𝑖𝑖 Ω
Η συνολική σύνθετη μιγαδική αντίσταση Ζ� = Ζ�R + Z
Το μέτρο και το όρισμα της Ζ� είναι �
Ζ = 3 + 4𝑖𝑖 =
Και αφού 𝑅𝑅𝑅𝑅 Ζ� > 0 ↔ arg 𝑍𝑍 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1
12/1/2023
4
3
32 + 42 = 5 Ω
= 0.93 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
2
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα
1ο
– Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Οπότε Ζ� = 5𝑒𝑒 𝑖𝑖 0.93
�
Χ. Νικολόπουλος
𝑖𝑖104 𝑡𝑡
4
𝑈𝑈 𝑡𝑡
10𝑒𝑒
a) Έτσι από το Ν. Kirchhoff προκύπτει ότι η μιγαδική ένταση του ρεύματος είναι 𝑖𝑖� 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠� = 𝑖𝑖 0.93 = 2𝑒𝑒 𝑖𝑖(10 𝑡𝑡−0.93)
Ζ
Οπότε η ένταση του ρεύματος είναι 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑖𝑖� 𝑡𝑡
�L 𝑖𝑖� 𝑡𝑡 = 5𝑖𝑖 ∗ 2𝑒𝑒 𝑖𝑖
�L 𝑡𝑡 = 𝑍𝑍
b) Hμιγαδική τάση στα άκρα του πηνίου είναι 𝑈𝑈
104 𝑡𝑡−0.93
= 2 cos 104 𝑡𝑡 − 0.93
π
= 10𝑒𝑒 −𝑖𝑖 2 𝑒𝑒 𝑖𝑖
�L 𝑡𝑡
Οπότε η τάση στα άκρα του πηνίου είναι 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑈𝑈
12/1/2023
5𝑒𝑒
104 𝑡𝑡−0.93
= 10𝑒𝑒
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖 104 𝑡𝑡− −0.93
𝜋𝜋
= 10 cos 104 𝑡𝑡 − − 0.93
2
3
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα
2ο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
– Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Εφαρμόζοντας τους νόμους του Kirchhoff στο ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος δεξιά, προκύπτουν
οι παρακάτω εξισώσεις για τα ρεύματα 𝑖𝑖1 , 𝑖𝑖2 , 𝑖𝑖3 , 𝑖𝑖4 , 𝑖𝑖5 που διαρρέουν τους κλάδους του:
𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3
𝑖𝑖4 = 𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖5
R1 𝑖𝑖1 − R 3 𝑖𝑖3 + R 5 𝑖𝑖5 = 0
R 2 𝑖𝑖2 − R 4 𝑖𝑖4 − R 5 𝑖𝑖5 = 0
R1 𝑖𝑖1 + R 2 𝑖𝑖2 = 𝑉𝑉
Να υπολογιστούν τα 𝑖𝑖1 , 𝑖𝑖2 , 𝑖𝑖3 , 𝑖𝑖4 , 𝑖𝑖5 αν R1 = R 4 = R1 = 10 Ω, R 2 = R 3 = 20 Ω και V = 100V
Χ. Νικολόπουλος
+
-
V
i1
i2
R1
R2
R5
i3
R3
i5
i4
R4
Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται:
12/1/2023
𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2 − 𝑖𝑖3 = 0
−𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖4 − 𝑖𝑖5 = 0
10 𝑖𝑖1 − 20 𝑖𝑖3 + 10 𝑖𝑖5 = 0
20 𝑖𝑖2 − 10 𝑖𝑖4 − 10 𝑖𝑖5 = 0
10 𝑖𝑖1 + 10 𝑖𝑖2 = 100
4
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα
2ο
– Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Χ. Νικολόπουλος
Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι:
0
1 −1 −1
0 ⋮ 0
0
0
−1
1
−1 ⋮
0
0
10 ⋮
10 0 −20
0
0
−10 −10 ⋮
0 20
0
⋮ 100
10 20
0
0
0
….
Μετά από τις απαραίτητες γραμμοπράξεις προσπαθώντας να κατασκευάσουμε τον μοναδιαίο πίνακα στο δεξί μέρος του επαυξημένου καταλήγουμε:
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
Επομένως, η λύση του συστήματος είναι:
𝑖𝑖1 =
70
13
Α, 𝑖𝑖2 =
30
13
Α, 𝑖𝑖3 =
12/1/2023
40
13
Α, 𝑖𝑖4 =
50
13
Α, 𝑖𝑖5 =
10
13
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0 ⋮ 70/13
0 ⋮ 30/13
0 ⋮ 40/13
0 ⋮ 50/13
1 ⋮ 10/13
Α
5
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα 3ο – Εφαρμογές στον Ηλεκτρομαγνητισμό
Χ. Νικολόπουλος
Maxwell's equations in free space
𝑑𝑑
� 𝐸𝐸 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − � 𝐵𝐵 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
C
S
𝑑𝑑
� 𝐵𝐵 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇0 � 𝐽𝐽⃗ � 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝜇𝜇0 𝜀𝜀0 � Ε � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
S
C
S
1
� Ε � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜀𝜀0
S
V
� 𝐵𝐵 � 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0
S
12/1/2023
∇ × 𝐸𝐸 = −
𝜕𝜕𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑡𝑡
∇ × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0
∇�Ε=
𝜌𝜌
𝜀𝜀0
∇ � 𝐵𝐵 = 0
Faraday's law
𝐽𝐽⃗ + 𝜀𝜀0
𝜕𝜕𝐸𝐸
𝜕𝜕𝜕𝜕
Ampere’s law
Gauss's law
Magnetic Source law
6
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα 3ο – Εφαρμογές στον Ηλεκτρομαγνητισμό
Χ. Νικολόπουλος
Αν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα υλικό ηλεκτρικής και μαγνητικής διαπερατότητας 𝜀𝜀 και 𝜇𝜇 είναι αντίστοιχα:
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑗𝑗�.
Να βρεθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου συναρτήσει των 𝐸𝐸0 , 𝜔𝜔 και 𝑘𝑘.
Από τις εξισώσεις Maxwell προκύπτει ότι:
𝑖𝑖�
𝜕𝜕Β
𝜕𝜕
= −∇ × 𝐸𝐸 = −
𝜕𝜕𝑡𝑡
𝜕𝜕𝜕𝜕
0
Οπότε
𝑗𝑗�
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘�
𝜕𝜕
𝜕𝜕
= −𝑖𝑖� −
𝐸𝐸 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝜕𝜕𝜕𝜕 0
𝜕𝜕𝜕𝜕
0
= 𝑘𝑘𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑖𝑖�
𝑘𝑘𝐸𝐸
Β = ∫ 𝑘𝑘𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖� = − 0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑖𝑖�
𝜔𝜔
12/1/2023
7
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
3ο
Παράδειγμα
– Εφαρμογές στην Ηλεκτροστατική
Χ. Νικολόπουλος
Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια μιας ομοιόμορφης σφαιρικής κατανομής φορτίου ακτίνας 𝑅𝑅 και
φορτίου 𝑄𝑄, στο εσωτερικό της οποίας η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι :
𝛦𝛦 =
𝜌𝜌
𝑟𝑟𝑒𝑒�
3𝜀𝜀0 𝑟𝑟
Όπου 𝑟𝑟 η απόσταση από το κέντρο της κατανομής και 𝑒𝑒�𝑟𝑟 διανυσματική μονάδα κατά το μήκος της
𝑄𝑄
ακτίνας προς τα έξω και 𝜌𝜌 = 4 3 η σταθερή πυκνότητα φορτίου της.
3
𝜋𝜋𝑅𝑅
Θεωρώντας ότι το δυναμικό είναι μηδέν στην επιφάνεια της σφαίρας
𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝜑𝜑 𝑟𝑟 = − � Ε 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − �
0
𝑅𝑅
𝜌𝜌
𝜌𝜌
𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
𝑢𝑢2
3𝜀𝜀0
6𝜀𝜀0
Χωρίσουμε τη σφαίρα σε στοιχειώδεις σφαιρικούς φλοιούς ακτίνας 𝑟𝑟, και πάχους d𝑟𝑟 και φορτίου:
𝑟𝑟
𝑅𝑅
=
𝜌𝜌
𝑅𝑅2 − 𝑟𝑟 2
6𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
Έτσι
12/1/2023
8
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Γραμμική Άλγεβρα & Διαφορικός - Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Παράδειγμα
3ο
– Εφαρμογές στην Ηλεκτροστατική
Χ. Νικολόπουλος
Έτσι και σύμφωνα με την σχέση για το δυναμικό ενός συστήματος 𝑛𝑛 ηλεκτρικών φορτίων σε ένα σημείο στο χώρο
που δίνεται από τη σχέση:
𝑛𝑛
𝑞𝑞1
2
𝑞𝑞𝑛𝑛
𝑞𝑞𝑖𝑖
𝜑𝜑 = 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 + ⋯ + 𝑘𝑘
= � 𝑘𝑘
𝑟𝑟2
𝑟𝑟1
𝑟𝑟𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
Καθώς και τη σχέση για τη δυναμική ενέργεια μιας κατανομής ηλεκτρικού φορτίου 𝛢𝛢 η οποία είναι:
1
𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴 2
𝑈𝑈 = �
Συνεπώς:
R
𝜌𝜌
𝜋𝜋𝜌𝜌2 R 2 2
𝜋𝜋𝜌𝜌2 𝑅𝑅2 3
2
2
2
4
𝑈𝑈 = �
𝑅𝑅 − 𝑟𝑟 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
� 𝑅𝑅 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑟𝑟
3𝜀𝜀0 0
3𝜀𝜀0 3
0 6𝜀𝜀0
Και επειδή
𝜌𝜌 =
12/1/2023
𝑅𝑅
0
1
− 𝑟𝑟 5
5
𝑅𝑅
0
𝜋𝜋𝜌𝜌2 𝑅𝑅5 𝑅𝑅5
𝜋𝜋𝜌𝜌2 𝑅𝑅5
−
=
=
3𝜀𝜀0 3
5
45𝜀𝜀0
𝑄𝑄
4 3
3 𝜋𝜋𝑅𝑅
2𝜋𝜋𝑅𝑅5
𝑄𝑄2
⇒ 𝑈𝑈 =
45𝜀𝜀0 4 3
𝜋𝜋𝑅𝑅
3
2
9
Γραμμική
Άλγεβρα
&
Διαφορικός
Ολοκληρωτικός
Λογισμός
Χ. Νικολόπουλος
chris.d.nikolopoulos@gmail.com
Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών