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惯性技术 邓正隆

advertisement 
「
‘.
惯性技术
邓正隆编著
哈忽模具业式，零点版社
北京航空航天大学出版社北京理工大学出版社
西北工业大学出版社
哈尔滨工程大学出版社
田园圃E
本书从系统设计和应用的角度阐述了惯性技术的主要内容和惯性导航的工作原理。
全书共分九章，分别介绍了惯性导航的基本工作原理及分类、惯性导航系统的主要敏感元件、新型角速度
敏感器、惯性导航系统平台、惯性导航系统分析、捷联式惯性导航系统基本算法及其误差传播特性、惯性导航
系统的初始对准、组合式惯性导航系统等。
本书可供大专院校自动化及导航类专业师生选用。
图书在版编目( CIP) 数据
惯性技术/邓正隆编著.一哈尔滨:哈尔滨工
业大学出版社， 2悦 .2
ISBN 7 - 5603 - 2244 - 1
1.惯…
II
.x~ …田.惯性技术凹 .TN96
中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2脱)第 012299 号
|
惯性技末一|
编著者邓正隆
责任编辑田秋尹继荣
出版发行
社
哈尔滨工业大学出版社
址哈尔滨市南岗区复华四道街 10 号邮编 15α脱
传真
0451- 部414749
印
刷黑龙江省地质测绘印制中心印刷厂
开
本
787 x 蜘
版
次
2脱年 4 月第 1 版
书号
ISBN
印数
1-3 删册
定价
26. ∞元
7-
1116
印张 14.75
5曲3-2剖4 -
字数 313 千字
2伽年 4 月第 1 次印刷
1íI'P" 221
国防科工委"十五"规划教材编委会
(按姓氏笔画排序)
主任:张华祝
副主任:王泽山陈愁章屠森林
编委:王祁王文生王泽山田商史仪凯
乔少杰仲顺安张华祝张近乐张耀春
杨志宏肖锦清苏秀华辛政林陈光桶
陈国平陈嫌章庞思勤武博精金鸿章
贺安之夏人伟徐德民聂宏贾宝山
郭黎利屠森林崔锐捷黄文良葛小春
序
国防科技工业是国家战略性产业，是国防现代化的重要工业和技术
基础，也是国民经济发展和科学技术现代化的重要推动力量。半个多世
纪以来，在党中央、国务院的正确领导和亲切关怀下，国防科技工业广大
干部职工在知识的传承、科技的攀登与时代的洗礼中，取得了举世瞩目的
辉煌成就。研制、生产了大量武器装备，满足了我军由单一陆军，发展成
为包括空军、海军、第二炮兵和其它技术兵种在内的合成军队的需要，特
别是在尖端技术方面，成功地掌握了原子弹、氢弹、洲际导弹、人造卫星和
核潜艇技术，使我军拥有了一批克敌制胜的高技术武器装备，使我国成为
世界上少数几个独立掌握核技术和外层空间技术的国家之一。国防科技
工业沿着独立自主、自力更生的发展道路，建立了专业门类基本齐全，科
研、试验、生产手段基本配套的国防科技工业体系，奠定了进行国防现代
化建设最重要的物质基础;掌握了大量新技术、新工艺，研制了许多新设
备、新材料，以"两弹一星"、"神舟"号载人航天为代表的国防尖端技术，大
大提高了国家的科技水平和竞争力，使中国在世界高科技领域占有了一
席之地。十一届三中全会以来，伴随着改革开放的伟大实践，国防科技工
业适时地实行战略转移，大量军工技术转向民用，为发展国民经济作出了
重要贡献。
国防科技工业是知识密集型产业，国防科技工业发展中的一切问题
归根到底都是人才问题。 50 多年来，国防科技工业培养和造就了一支以
"两弹一星"元勋为代表的优秀的科技人才队伍，他们具有强烈的爱国主
义思想和艰苦奋斗、无私奉献的精神，勇挑重担，敢于攻关，为攀登国防科
技高峰进行了创造性劳动，成为推动我国科技进步的重要力量。面向新
世纪的机遇与挑战，高等院校在培养国防科技人才，生产和传播国防科技
国防科工委『十五』规划敏材
总
国防科工委『十五』规划拨材
新知识、新思想，攻克国防基础科研和高技术研究难题当中，具有不可替
代的作用。国防科工委高度重视，积极探索，锐意改革，大力推进国防科
技教育特别是高等教育事业的发展。
高等院校国防特色专业教材及专著是国防科技人才培养当中重要的
知识载体和教学工具，但受种种客观因素的影响，现有的教材与专著整体
上已落后于当今国防科技的发展水平，不适应国防现代化的形势要求，对
国防科技高层次人才的培养造成了相当不利的影响。为尽快改变这种状
况，建立起质量上乘、品种齐全、特点突出、适应当代国防科技发展的国防
特色专业教材体系，国防科工委全额资助编写、出版 2∞种国防特色专业
重点教材和专著。为保证教材及专著的质量，在广泛动员全国相关专业
领域的专家学者竞技编著工作的基础上，以陈感章、王泽山、陈一坚院士
为代表的 1∞多位专家、学者，对经各单位精选的近 550 种教材和专著进
行了严格的评审，评选出近 2∞种教材和学术专著，覆盖航空宇航科学与
技术、控制科学与工程、仪器科学与工程、信息与通信技术、电子科学与技
术、力学、材料科学与工程、机械工程、电气工程、兵器科学与技术、船舶与
海洋工程、动力机械及工程热物理、光学工程、化学工程与技术、核科学与
技术等学科领域。一批长期从事国防特色学科教学和科研工作的两院院
士、资深专家和一线教师成为编著者，他们分别来自清华大学、北京航空
航天大学、北京理工大学、华北工学院、沈阳航空工业学院、哈尔滨工业大
学、哈尔滨工程大学、上海交通大学、南京航空航天大学、南京理工大学、
苏州大学、华东船舶工业学院、东华理工学院、电子科技大学、西南交通大
学、西北工业大学、西安交通大学等，具有较为广泛的代表性。在全面振
兴国防科技工业的伟大事业中，国防特色专业重点教材和专著的出版，将
为国防科技创新人才的培养起到积极的促进作用。
党的十六大提出，进入二十一世纪，我国进入了全面建设小康社会、
加快推进社会主义现代化的新的发展阶段。全面建设小康社会的宏伟目
标，对国防科技工业发展提出了新的更高的要求。推动经济与社会发展，
兴国防科技工业必须始终把发展作为第一要务，落实科教兴国和人才强
国战略，推动国防科技工业走新型工业化道路，加快国防科技工业科技创
新步伐。国防科技工业为有志青年展示才华，实现志向，提供了缤纷的舞
台，希望广大青年学子刻苦学习科学文化知识，树立正确的世界观、人生
观、价值观，努力担当起振兴国防科技工业、振兴中华的历史重任，创造出
无愧于祖国和人民的业绩。祖国的未来无限美好，国防科技工业的明天
将再创辉煌。
号李华 2元
3
国防科工委『十五』规划敏材
提升国防实力，需要造就宏大的人才队伍，而教育是奠基的柱石。全面振
惯性技术是一门综合性技术，用于对运动体的姿态和位置参数的确
定，是实现运动体自主式(即工作时不依赖于外界的信息、不受气候和电
子干扰的影响等)控制和测量的最佳手段。惯性技术广泛用于航天、航
空、航海、大地测量等领域，由于惯性导航的自主性，使得惯性技术在军事
上具有特殊的应用价值。
本书以惯性导航系统为主线对惯性技术的原理、元件、系统做一全面
的介绍，全书共分九章。第一章介绍惯性导航的基本知识，第二章介绍惯
性导航的基本原理和三种常用的惯性导航，系统，第二章介绍机械转子陀
螺仪的工作原理及其相应的敏感器件和加速度计，第四章介绍光学角速
度敏感器件，第五章从系统设计的角度阐述了惯性导航平台的结构和动
特性，第六章介绍半解析式惯性导航系统的分析及其误差的传播特性，第
七章介绍捷联式惯性导航系统的基本算法和系统误差传播特性，第八章
介绍惯性导航系统的初始对准，第九章介绍组合式惯性导航系统。
本书编写的指导思想是向初学者讲述惯性技术的基本概念和相关的
基本知识，为进一步的应用和深入研究打下基础。为配合这个教学目的，
各幸均给出一定的思考题，指出各章需要掌握的主要概念。
本书主要用做自动控制、导航类大学本科生及研究生教材，对于较少
学时的本科生，可适当选学相关章节的部分内容，并不影响教材内容的连
贯性。
国防科工委『十五』规划教材
前
国防科工委『十五』规划敏材
本书在编写过程中，得到国防科工委教材编写委员会、哈尔滨工业大
学教务处、哈尔滨工业大学出版社的帮助和指导，同时得到哈尔滨工业大
学控制科学和工程系的领导和同仁们的支持和鼓励，王广雄教授和黄德
鸣教授对书稿进行了仔细的审阅，编辑做了大量的编审工作，在此一并表
示感谢。
由于作者水平所限，不足和疏漏在所难免，欢迎广大读者批评指正。
~正陪
z∞5 年 9 月
2
目录
第一章惯性导航的基本知识
1. 1 惯性导航的概念........…..................……...........................…................... .., •••.•••••••• (1)
1. 2
地球的形状和重力特性.......................……..................…..................…...................
(3)
1. 3
坐标系........……·…..........................….............................................….........…….
(6)
1. 4
用矩阵法推导方向余弦表.................…….........................….........……...................…
(8)
1. 5
用四元数表示坐标变换..............…............................….
思考题................................................….
. .. . . . .. . . ., ••• •.•... •.........,...........…. (1 4)
.. .. . ..…....................................................... (22)
第二章惯性导航的基本原理及分类
2.1
基本概念的描述.........…………………………………………………………………………… (23)
2.2
惯性导航系统中加速度计输出信号公式推导………...................................................
2.3
半解析式惯性导航系统……........…..........….........….........….........….
(29)
. .. . . . ... ... . .. ...…. (34)
2 .4 解析式惯性导航系统……………………………………………………………………………… 0的
2.5
捷联式惯性导航系统….......................................................................................
(42)
2.6
各类系统的特点及适用范围…................................….........…….........….........…….
(55)
思考题……................................….........…..................…..................….........…..........
(56)
第三章惯性系统的主要敏感元件
3.1 陀螺仪的力学基础........….........…...........................…. . .. . .. .. . . .. . .. . . . . . . ... . . .. . .. . . . ..…. (57)
.. .. . ... . .. . .. . . . .. . . .. .. . . . . ... ............. ..... ".….........…..................….......... (61)
3.2
单自由度陀螺仪…….
3.3
二自由度陀螺仪…........….........…..................…....................................…..........
3.4
挠性陀螺仪………………………………………………………………………………………… (67)
3.5
加速度计…........……..................…...................................................….
(66)
. •. .. . ..…. (71)
思考题…........….........….........….........…….........….........….........….........….........…….
(77)
第四章新型角速度敏感器
.... .. . .. . .... .............. ..….................................…..................……. (78)
4.1
概述.................….
4.2
光学陀螺仪基础........……………………………………………………………………………·口创
4.3
环形激光陀螺仪..............….........….........….........……·………...
. .. ..…................... (8 1)
4 .4 光纤陀螺仪…………………………………………………………………………………………何时
4.5
激光陀螺仪漂移误差模型...............…………………………………………………………… (91)
思考题.......".. ..... ..... . .…………………·………………………………………………………………………(归)
第五章惯性导航系统平台
5.1
惯导平台概述.......................……. . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. . . . . .. . ..………………………………….
(93)
G
5.2
用单自由度浮子积分陀螺仪组成的单轴稳定器. . . . . . . . . . . .
. . . . .... . .... . . . . . . . .... . .... . .......... . .... .... ..….........
5.3
用二自由度陀螺仪组成的单轴稳定器................................………..................……….
(1 04)
5 .4
半解析式惯性导航系统的修正回路………........…·…........…..
. .... . .... . . . .... . ......………….........
(1佣)
5.5
舒拉调整…..........................…........…….......…·…...................................……….
(11 3)
思考题...................................…........................................…..
第六章
6.1
(叨)
. . . . . . . .... ...... .... . . ..….........…. (117)
惯性导航系统的分析
6.2
. . . . .... .... . ...... ...... .... . .... . . .... . . . . . . . .... . . . . ..…….........……. (118)
ψ 方程........…..........….................……….........…...........................….........……. (1 23)
6.3
单通道惯导系统的分析..............…..
6 .4
愤导系统误差方程式的建立........…..
6.5
半解析式惯导系统的基本方程........………..
. . . . . . ....…..................….........…......................... (128)
. . . . .... . ..….........…·…........….........…................... (135)
惯导系统误差传播特性……..............….........…….. ............ ...... . .... . . . ....…........................…. (142)
思考题…........…....................................….........……………….........….........………….
第七章
(1 46)
捷联式惯性导航系统基本算法和系统误差传播特性
7.1
捷联式惯导算法概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . .…….........…………............................
(147)
7.2
姿态矩阵的计算………. . . . . . .. . ...... .... . ..... . .., • • • .. .………...........................….................…..
(1 48)
7.3
姿态矩阵的实时计算..............…·……........…..........................................…..........
(1 54)
7 .4旋转矢量法.................……….
7.5
..... ... . ... .…........…...................…...........................…. (1 65)
捷联惯导系统误差传播特性.................…….........…·…........…...........................….
思考题...............…….
(171)
. . . . . .. . . ... . . . .... ..... ..... . . . . . . •. . . .. . . . .. . . .. . .. . . . ., • •• • .….........….................... (177)
第八章惯性导航系统的初始对准
.. . . . . . .. . .…….................................…..................…............................ (1 78)
8.1
概述....，.......
8.2
8.3
静基座惯导系统误差方程……......………………………………………………………………(179)
单回路的初始对准. .. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ..……. . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . ... . .• . . . .. . . .. . . . . .….
(1 80)
8 .4
陀螺漂移的测定…..........................………. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... . ....…...................
(1 87)
8.5
捷联式惯导系统的初始对准………………………………………………………………………(190)
思考题…........………………………………………………………………………………………….
第九章
组合式惯性导航系统
9.1
概述...................................…..................………..................….........…..........
(1 95)
9.2
惯导系统的阻尼..........................................................................…...................
(196)
9.3
阻尼式组合导航系统….................…..
9.4 最优组合导航系统
2
(1 94)
. ... . . . . . . . ... . .... . ... ..... ...... . . . . . . . . . .. . . . . . . . " . . . . . " . . . '" . .. •.…. (1 98)
第一章 惯性导帆基本知识
1. 1
|
惯性导航的概念
一、牛顿定律
1867 年英国科学家牛顿发表论文"自然哲学的数学原理"提出了 3 条定律，建立了经典力
学的基本框架，这 3 条定律也是惯性导航的力学基础。
牛顿第一定律陈述的是，任何物体都保持其静止或匀速直线运动状态，直到作用在物体上
的外力迫使它改变这种状态为止。牛顿第二定律陈述的是，一个力作用在一个物体上，这个力
就使物体沿着力的方向产生加速度，加速度的大小和物体的质量成反比，即
= TTIIl
..... . ....
....
,
、‘，，，
式中
，，，、、
F
F一一外作用力;
m一一物体的质量;
a一一物体产生的加速度。
牛顿第三定律对作用力的性质进行了进一步的说明，对于每一个作用力，总存在一等值反
向的反作用力;或者说两个物体之间的相互作用总是大小相等而方向相反的。
牛顿第一定律表明了物体的惯性，它是牛顿第二定律的特殊情况。牛顿第二定律是对物体
的惯性的量度。牛顿第二定律表明了作用和反作用是同时发生的。对其定量的描述是相对惯性
空间成立的。
通过对上述牛顿 3 个定律的描述，我们看出，任何运动体的运动状态都可以用加速度来表
征。如，当加速度 a
= 0 时，表示运动物体保持原来的运动速度。用
Vo 表示运动物体的初始速
度，当 a = 0 、 Vo = 0 时，表示运动物体不动;当 a = 0 、 Vo = const 时，表示运动物体仍以原来
的速度运动;当 a 与前进方向相同时，表示运动物体加速运动;当 a 与前进方向相反时，表示运
动物体减速运动。当我们知道了加速度的这个特性之后，就可以知道运动物体的运动特性。
二、加速度、速度和位移的关系
加速度计可以测量运动体的加速度。惯性导航是以测量运动体的加速度为基础的导航定
位方法，测量到的加速度经过一次积分可以得到运动速度，经过二次积分可以得到运动距离，
Q
从而给出运动体的瞬时速度和位置数据。它们三者之间的关系可表示为
dV
cfs
a = dt = dt2
V= 问+ J~ adt
s
式中
= So +
J:
Vdt = So + Vot +
(1.1. 2)
JJ: ad山
a一一运动体的加速度;
V一一运动体的速度;
S一一运动体的位移。
设 t = 0 时 ， Vo = 0 , So = 0 ，当 a = const 时，则有
V = at
S =÷at2
(1.1. 3)
(1.1. 4)
从上面的公式，我们可以看出一个沿直线(一维)运动的载体，只要借助于加速度计测出
载体的运动加速度，载体在任何时刻的速度和相对出发点的距离就可以实时地计算出来。同样
的推理可以推广到三维状态。这种不依赖外界信息，只靠对载体自身的惯性测量来完成导航任
务的技术称做惯性导航，也称做自主式导航。
三、在平面上的导航
这是一个简化的二维导航例子。考虑一个载体在平面上运动，在此平面上取坐标系。'Xy。
为简单计，设 t
= 0 时，载体在坐标系原点 O 处。载体上放置一个平台，平台上放置两个加速度
计 Ax 和 A y ， 他们的敏感轴分别平行于 ox 和 Oy 轴。在载体做各种机动运动状态下，平台能够
保持加速度计 Ax 和 A y 的敏感轴方向始终分别平行于 ox 和 Oy 轴方向。这样，依据前面的公
式，只要对加速度计 Ax 和 A y 的输出信号 αx 和 αy 进行计算，就可以实时计算出载体在坐标系
中的位置和瞬时速度，图 1. 1 给出简化二维导航系统方块圈。
X 辅加速度计
Y 输加速度计
图1. 1
2
简化二维导航系统方块固
Q
一章惯性导航础知识
1. 2
地球的形状和重力特性
一、地球的形状
使用惯性导航系统的载体，在运动中都必须和地球发生联系，因此，应当对地球的形状和
重力场的特性有一定的了解。
地球表面的形状是不规则的，实际上不可能按照这个真实表面来确定地球的形状和建立
模型。在确定地球形状的时候，是采用海平面作为基准，把"平静"的海平面延伸到全部陆地所
形成的表面称做"大地水准面"，它所包围的几何体称做"大地体"或"地球体"。大地体的表面
是地球重力场的一个等位面，也可认为地球体的法线方向和重力方向一致。地球上的重力，是
由万有引力和地球自转引起的离心力合成的。由
U
于地球质量分布的不均匀，即太阳、月亮等天体运
动影响等原因，地球重力场的大小和方向实际上
b
是不规则的，在工程技术的应用中对此必须采取
某种近似的描述。把地球看做是具有半径为 R 的
a
O
Y
球体，这是一般工程技术中所采用的最简单的表
示方法。
进一步的精确近似，把地球看做是一个旋转
椭球体，称其为参考椭球，长半轴 α 在赤道平面
固 1.2
地球椭球体
内，短半轴 b 和地球自转轴重合，如图1. 2 所示。
目前不同国家和地区所采用的旋转椭球的参数是不同的，它们根据各自不同的地理条件
选择不同的参数旋转椭球体， 4 种主要的参考椭球的基本数据见表1. 1 。
表 1.1
地球参考椭球参戴
参考椭球
长半铀 alkm
扇率 α
适用地区
克拉克 (Clarke) (l踊)
6378.206
11294.978 ω82
北美
克拉索夫斯基(捡回ovski) (J 940 )
6378.245
11298.30
前苏联
国际椭球体(Inlem刷nal) (1924)
6378.388
11297.0
前苏联
WGS - 84( 1984)
6378.137
1々锦 .257223 第8
全球
注:扁率 α= 号主
全球大地系(参考椭球) (World Geodetic System) 的数据的形成，考虑了大地测量、多普勒
雷达、 E 星等的测量数据，因此有更好的拟合精度。
我国在测量中曾采用克拉索夫斯基测定的地球椭球体的数值，目前，采用 WGS 系统。描述
参考椭球半径的公式为
3
。
r
式中
= α[1 -α 的c-ttsidvc-]
(1. 2. 1)
α一一赤道半径(参考椭球长半轴) ;
伊c一一地心纬度;
α 一一扁率。
本书将把地球看做一个圆球体。
。 .z
二、地球重力场特性
地球的重力场是由万有引力(或地心引力)
和地球自转所产生的离心力合成的，如图1. 3 所
X
示。即
W=j+F
式中
(1. 2.2)
W一一重力矢量;
户一地心引力矢量;
F一一地球自转离心力矢量。
圈1. 3
地球的重力
图中的圆代表地球为理想的球体 ， R 代表地
球平均半径，地心引力矢量沿 j 的方向，地球自转的离心力矢量 F 将随纬度 ψ 变化。重力 W 的
方向也随纬度变化。
由于离心力 F 比重力 W 小得多 ，b..8 角只有几角分，当 cp = 45'。时 ，b.. 8 角约为岁。
由于地球是椭球体，地心引力的方向一般不和法线方向 R 重合。j 的大小和方向还取决于
地球上被测点附近的物质密度的分布状况，而且也可能随时间受地质变化的影响。实际测量数
据表明，在 1∞年间重力 W 的方向变化小于 1σ 。
单位质量在重力场的作用下所获得的加速度称为重力加速度，通常用符号 g 来表示，可见
重力加速度 g 是重力大小和方向的一种表征。在地球上，随着纬度和距离地面高度 H 发生变
化，重力加速度 g 的大小和方向也要变化。
三、垂线及纬度的定义
地球表面某点的纬度，是该点的垂线方向和赤道平面之间的夹角，由于地球是不规则的椭
球体，纬度的定义变得复杂。
垂线的定义主要有以下 3 种。
1)地心垂线一一地球表面一点和地心的连线。
2) 测地垂线(大地垂线)一一地球椭球体表面一点的法线方向。
3) 重力垂线一一重力方向，有时也称天文垂线。
当考虑地球为椭球体时， 3 种垂线的方向各不相同，由于椭球体的表面和大地水准面不完
4
Q
时惯性导航阳知识
全相符，因此重力垂线和测地垂线也不完全一致。由于地球椭球体已很接近大地体的形状，所
以这两个垂线之间的偏差是很小的，一般不超过 3σ 实际上可以认为重力垂线和测地垂线方
向相同。
对应上述 3 种垂线定义，则有以下 3 种纬度定义。
1)地心纬度一一地心垂线和赤道平面之间
Z
的夹角，如图1. 4 中的 ψ' 。在研究一般导航问题
时，就是采用地心纬度的概念。实际上是把地球看
做一个圆球体。
2) 测地纬度(大地纬度)一一通过大地测量
X
方法定出的纬度，即椭球法线方向和赤道平面之
间的夹角，如图1. 4 中的 ψ 。目前，大地测量及精确
导航中均采用此概念。在惯性导航中，经纬度的推
算也是建立在此基础上的。
固1. 4
各种纬度示意图
3) 天文纬度一一通过天文方法测定的纬度，
即重力方向和赤道平面之间的夹角，如图1. 4 中的件。在a惯性导航系统中，加速度计是放置在
与重力方向相垂直的定位面上，因此，根据加速度计输出信号所求得的纬度，实际上就是天文
纬度。
如上所述，由于重力垂线和测地垂线之间的偏差角很小，一般不超过 30 角秒，因此，测地
纬度和天文纬度可以不加区别，统称为地理纬度。
地理纬度?和地心纬度伊'之间的偏差角 δ 有各种表达式，其近似表达式为
δ=
csin2 cp
(1. 2.3)
式中
(1. 2 .4)
偏差角 δ 最大值可达 11.5' 。
四、地球的运动和时间的定义
地球相对惯性空间的运动是由多种运动形式组成的，科学家们对此进行了长期研究工作，
从所得结论来看，其中大部分运动对惯性导航技术来说，是没有实际意义的。因为它们的值太
小，还不能计为惯性元件的干扰源。
主要运动有:地球绕自转轴的逐日旋转(自转) ;相对太阳的旋转(公转) ;进动和章动;极点
的漂移;随银河系的一起运动。
对于惯性导航系统来说，重要的数据是地球相对惯性空间的旋转角速度，这个值能被惯性
元件所敏感到。地球在不断地自转运动时还有公转运动，这些运动均是相对太阳来计时的。由
。
于地球相对太阳旋转一周(自转)定义为 24 h ，所以，相对惯性空间旋转一周的时间就要小于
24 h ，地球在完成一次公转时，其相对太阳转过 365 次，而相对惯性空间恰好是 3俑次。则地球相
对惯性空间的旋转角速度为
。= 15.041σr'/h
通常把地球相对太阳自转的时间称为平太阳时，平太阳时 24 h ，则地球相对太阳自转一
周。把地球相对惯性空间的自转时间称为恒星时，恒星时 23 h 56 min 4.1 s ，地球则相对惯性空
间自转一周。
1. 3
坐标系
在物理学和力学的研究工作中，为了方便，往往把一个空间或一个运动体抽象为一个坐标
系来表示，所以坐标系可以代表惯性空间、地球、飞行器等。由于运动的相对性，研究运动对象
的运动必须指明是相对哪个坐标系的运动。在惯性导航中，无论是导航还是姿态控制的研究都
必须引人相应的坐标系才能进行。如惯性元件的输出信号是相对惯性空间的测量信号，据导航
的任务不同，则必须将其转换为地理坐标系或其它坐标系的信号。因此，针对不同的研究对象
和具体任务要求，正确地选取不同的坐标系是十分必要的。本节只讲述确定地球相对惯性空间
的运动和确定运动体相对地球运动的两大类坐标系，而和飞行器、惯导平台等相固连的坐标系
则在适当的章节中给出。
一、确定地球相对惯性空间运动的坐标系
由于宇宙间的一切物体，包括空间都在运动，因此，绝对不动的，或做等速直线运动的惯性
空间是不存在的，要采用惯性坐标系来表示适用于牛顿定律的惯性空间，只能根据需要选择某
些近似系统作为惯性坐标系，导航中应用的有以下两种。
1.太阳中心惯性坐标系
以太阳系作为惯性空间，坐标原点设在太阳
Z,
中心，如图1. 5 所示 ， Z. 轴垂直于地球公转的轨道
平面 ， X. 和瓦轴在地球公转轨道平面内成右手坐
标系。
2. 地心惯性坐标系
--
F
Y,
地心惯性坐标系的原点取在地球中心 ， Ze 轴
沿地球自转轴，而 Xe 轴、瓦轴在地球赤道平面内
和 Ze 轴组成右手坐标系，如图1. 6 所示。坐标系
。'XeYeZe 不和地球固连，不参与地球的自转。当运
动体在地球附近运动时，多采用此坐标系为惯性坐标系。
6
图 1.5
太阳中心惯性坐标系
Q
二、确定运动体相对地球位置的坐标系
1.地理坐标系
如图1. 7 所示，坐标系的原点取在运动体 M
和地球中心连线与地球表面交点。(或取运动体
M 在地球表面上的投影点 )， OE 在当地水平面内
指东 ， ON 在当地水平面内指北 ， O~ 沿当地地垂线
方向并且指向天顶，与 OE 、 ON 组成右手坐标系。
即通常所说的 3 个坐标轴成东北天配置，有些资
回1. 6
地心惯性坐标系
料将 3 个坐标轴组成北天东等不同的配置顺序坐标系。
2. 地球坐标系
如图1. 8 所示，该坐标系与地球固联，坐标原点在地心 ， Z 轴沿地球自转轴且指向北极， X
轴与 Y 轴在地球赤道平面内， X 轴指向零子午线 ， Y 轴指向东经贸沪方向。该坐标系相对地心惯
性坐标系以地球自转角速度旋转。运动体在该坐标系内的定位多采用经度 λ 、纬度伊和距地心
距离 R 来标定。
C
回 1.7
地理坐标系
回 1.8
地球坐标系
3. 大圆弧坐标系
如图1. 9 所示，武器制导系统设计多采用此
坐标系。定义武器发射点、目标点和地球中心 3 点
伊
C
构成的-个平面为新赤道面，发射点和目标点的
距离用大圆弧经度 λc 表示，通过地心做新赤道平
面的垂线，构成新极轴，飞行器偏离新赤道平面的
距离用新纬度 CPC 表示，距地面的距离用距地心的
距离 Rc 来表示。
罔 1.9
大圆弧坐标系
A一发射点 ;B- 目标点 ;P一飞行器位置
7
o
用矩阵法推导方向余弦表
1. 4
在推导由惯性导航系统构成的方程组或研究一个给定的系统时，往往需要引人多个坐标
系，而且这些坐标系之间要做相对转动，方向余弦表就是对这种相对转动的一种数学描述。两
个重合的坐标系，当一个坐标系相对另一个坐标系做一次或多次旋转后可得另外一个新的坐
标系，前者往往被称为参考坐标系或固定坐标系，后者被称为动坐标系，它们之间的相互关系
可用方向余弦表来表示。在某些应用场合，尤其是在研究两坐标系之间的运动特性时，方向余
弦表用矩阵的形式表示，也被称为旋转矩阵，或在某些应用场合称为姿态矩阵。
一、方向余弦的物理意义
设有一个矢量 V 在二维的平面 OXY 坐标系
中有分量 x i 和斤，当与 OXY 坐标系重合的坐标
系 OX' Y' 相对 OXY 坐标系旋转角 α 时，矢量 V 在
OX' Y' 坐标系中有分量 x'i' 和 y'j' ， 图1. 10 表示了
X'
这个关系。用公式可表示为
X
V=xi+yj
V=zY'+yY'
(1. 4. 1)
图 1.10
两坐标系之间关系
由式(1. 4. 1)有
x i + yj
= x' i'
+ y'j'
(1. 4.2)
对式(1. 4.2) 两边同时乘以 i' 或j' ，则有
= i'
= j'
x'
y'
用矩阵形式来表示，则得
• i x + i' • j y
. i x + j' . j y
J.
,
J
(1. 4.3)
rEE·E·‘
咱 EBEE--E 』
...,
··Sw·-''
·z.J
zγd
..
电 EEEE·E·- 」
-I
= i'
= j'
叶
Z
FJ
‘
电EEZ--···d
zγJ
F··'E·E·-
•V
. V
(1. 4.4)
或写为
V'
= σ( 1. 4.5)
V 是一个列矢量，此列矢量的两个分量是沿着固定坐标系 OXY 的分量。 V' 也是列矢量，而该矢
量的两个分量是沿着动坐标系 OX' Y' 的分量。 V 的表示方法是表明矢量在 OX' Y' 坐标系中。注
意，在上边讲述的坐标系转动过程中，尽管有矢量 V 和 V' 的表示方法，矢量 V' 相对固定坐标
系。IXY 是没有相对运动的，仅仅是动坐标系。IX' Y'相对固定坐标系 0万有一个α 转角，矢量 V'
和 V 是等同的。式(1. 4.5) 可以理解为一个矢量相对固定坐标系没有转动，当动坐标系相对固
定坐标系有旋转运动之后，矢量在两个坐标系上的关系就由式(1. 4.5) 给出。矩阵 C 被称为
Q
喻的基本知识
"方向余弦矩阵"其元素是两组坐标系单位矢量之间夹角余弦值。按矢量乘法定义可有
i' • i = cos
α
i' • j = cos (9<1' -α) = sin α
j' • i = cos (9<1' +α) = - sin α
j' • j = cos
α
所以
C
g-os
ca
FE'E·E-EL
=
(1. 4.6)
na
当 α 很小时，可取如下近似等式
α
咽，
BEEf--J
α1
,
...
ZEE-ι
=
，.且
C
(1. 4.7)
按上述同样的方法，可以写出两个正交的笛卡尔三维坐标系之间的方向余弦矩阵 ， OXYZ
表示固定坐标系，其单位矢量为 i ，j 、 k ， 任一矢量 V 的分量仍以 z 、 y 、 z 表示。 ox'rz' 表示动坐
标系，其单位矢量为 i' 、j'、 k' ， 任一矢量 V( V') 的分量仍以 x' 、 y' 、 z' 表示。有如下关系成立，即
iLk'.
「y'I=I
l j"
z'
J
klljl
t .jj j'
a .k
it j'
i k'. j k'. k
(1. 4.8)
或
[~l 广
L
y'I=lcos 卢1
酬
:l
cos a2
ß2 叫][
cos ß3
z'
cos Y2
cos Y1
..1
(1. 4.9)
cos Y3
设
C=lcos 卢I
cos 卢'2
cos ß3
cos Y1
cos Y2
cos Y3
(1. 4.10)
式(1. 4.10) 称为方向余弦阵 C ，在工程中常以表格形式给出
z
y
x'
cos a1
cos az
cos
y'
cos
β1
cos ß2
cos ß3
z'
cos Y1
cos Y2
cos Y3
z
α3
称为方向余弦表。
据式(1. 4.5) 、(1. 4.9) ，在三维坐标系中，仍有表达式
9
o
v' = CV
(1. 4.11)
成立，只不过式中 v' 和 V 为三维列矢量 ， c 为式(1. 4.10) ，采用类似于对式(1. 4.5) 的推导，可
有
v = CTV'
(1. 4.12)
成立。 cT 为 C 的转置表示形式。将式 (1. 4.11) 代人式(1. 4.12) ，有
v = CTCV
(1. 4.13)
cTc = 1
(1. 4.14)
c T = C-'
(1. 4.15)
ep
或有
于是 C 是一个正交矩阵，用 Cu· 表示其元素，方程(1. 4.14) 可写为
主 CücCik
=
f~
;1
雪i
= j
J
(1. 4.16)
lU::当~ ~
这是一组具有 6 个约束的方程式组。
Zo+(
二、用矩阵法推导方向余弦表
φ
用欧拉角的形式表示一个坐标系的转动。
设 OEN， 为定坐标系，有一动坐标系
。IXOYOZO ， 在起始时刻两坐标系重合，经过绕相应
轴 3 次小角度之后，转到它的新位置 OXYZ 。称 3
次小转动角度 ψ 、 0 、 ψ 为欧拉角。
按 3 次转动顺序列写方向余弦矩阵。
第 1 次转动 ， OXoYoZo 坐标系绕
X1
C 轴转 ψ 角，
图 1.11
得到坐标系。'X， Y， ZO ， 如图1. 11 所示。
可列写方向余弦表
10
N
C
,
Y,
cos t.þ
sin t.þ
O
- sin t.þ
cos t.þ
O
Zo
O
O
1
X
或写成矩阵岛的表达形式
E
绕 5 轴的旋转
第一章惯性导航的基本知识
[~}
inψ0口
Y, 1= 1[:叫
- sin ψcos
ψ011 N
ZoJ
0
L
r
ø
(1. 4.17)
1.J L t'
0
cos
C<þ = - sin
L
0
9
sin
ψ01
(1. 4.18)
ψcos φ01
0
1.J
第 2 次转动 ， OX1 Y1 Zo 坐标系绕 OX， 轴转动。
角，得到坐标系。'X， Y2 Z2 ， 如图1. 12 所示。
可以列写方向余弦表
X1
X
Y
,
,
Zo
O
O
Y2
O
cos ()
Z2
O
- sin ()
sm
θ
cos {)
回1. 12
气
AV
o
cos {)
- sin θ
sin () I
cos θ 」
(1. 4.19)
」
0
』 EEtBEEtEEE
'且'且
E
LO
绕 OX 1 轴的旋辑
XYZ
FElt-
,tztttl'L
AUAU
-IE
SC
陆
」
= 10
AV
『
-BEBEE--J
c- AU
rl
C(J
on
Eaouov
佣 -un
EZEE-BESEtBEE
=
「 ··lE·I·-L
FEEEBEEEEEEEEEL
O
『
L 巳 L­
或写成矩阵 C(J 的表达形式
1
(1. 4.20)
第 3 次转动 ， OX 1 Y2 Z2 坐标系绕 OY2 轴转 ψ
角，得到坐标系。'XYZ ， OY2 轴即 OY 轴，如图1. 13
所示。
可以列写方向余弦表
X
X
Y
,
cos
伊
O
Y2
Z2
O
- sm cp
1
O
cos cp
或写成矩
圄 1.13
绕 OY2 轴的旋转
Crp 的表达形式
11
Q
惯性技术
@a
=
ω'ω'
陷。 un
c
「 Ill--Isis
』-
ELlj::11日l
o --
CS
E·I
(1. 4.21)
sin <0
sm
CP 1I
(1. 4.22)
1
0
o
COS CP
.J
将式(1. 4.19) 代人式(1. 4.2 1)，有
=
[~]广。
I
0
sin CP
-叮[~
1
0
COS CP
.J
O
cos 8
LO
- sin 8
cos 8 J L Zo
…][:]
sin 8sin CP
smθ
cos 8
- sin 8cos CP
sm CP
Jopl=
Y，
(1. 4.23)
cos 8cos CP J L Zo
将式(1. 4.17) 代人式(1. 4. 23) ，有
[盯
l[
川牛斗[ c∞0叫
O
叫伊
C
M
L sinψ- sin
ZJ
叫跚
J
-→
叫
ω
叫叫叫
CO0ω
叫叫叫
s叫叫
巾巾
θ仇s剑创in叫咐丁丁丁
州ψ~][-'丁
1[rrr
rcω0
[「
S
|
M
8cosψcos {)COSψJL
口口口∞跚叫叫……
[ttt
叫叫叫
0ω
s叶巾巾￠归仰
c∞0…
s叩吁…伊卜户川-→sm时ψ归吵州灿
…
s剑m
m
- sin 如
tþ cos 8
COS ψsin CP + sin ψsin {)COS 伊
-
川 叫
C
0
0
011 NI =
iJ L'
cos 功 cos 8
sin ()
11 N
sm ψsln 伊- cos φsin 8cosψcos 8cosψJL'
(1. 4.24)
则式(1. 4.24) 方向余弦矩阵 C 可表示为
c = CrpCee",
(1. 4.25)
可得坐标系。'XYZ 和坐标系。'EN' 之间方向余弦表为
E
X
COS
功cosψsin 功sin {)sinψ
Y
Z
sin
cos
ψsin
sin
ψCOSθ
cp + sin
C
N
φsin
ψcos
CP + cos
cos
8cos cp
sm
ψsmψ-
ψsinθsin
cp
ψcosθ
cos
功 sin {)cosψ
- cos 8sin cp
sin 8
cos ()cos cp
从式(1. 4.24) 可以看出，最终的方向余弦矩阵表达式不仅取决于每次单独转动角的大
小，而且和转动顺序有关，这一点是应该特别注意的。
12
Q
三、小角度近似问题
在列写惯导系统方程需要采用方向余弦表时，因为 α 较小，经常采用两个假设，即
COS
α=1
(1. 4.26)
sin α=0
式中
α-一两坐标系间每次相对转动的角度。
由于在工程实践上可以使其值保持很小，所以，近一步可以忽略如下形式二阶小量，即
SIO
式中
αsin
ß=
(1. 4.27)
0
卢一一两坐标系间每次相对转动的角度，
满足式(1. 4.26) 。
误差
1: 10 6
这种假设所带来的误差很小，是可以忽略不
计的，如图1. 14 所示。
1:1 0 5
将式(1. 4.26) 、(1. 4.27) 的假设条件代人式
(1. 4.24) ，有
r
1ψ-ψ1
C=I-CÞ
L
cp
1θ( 1. 4.28)
θ1
1:1 0 3
sin
a.. α( 弧度}
、p
1:10 2
k
IÎ\
ωsα=1
、、
队
h
卜、
民
←『
J
因此，也可以得到和上式相同形式的简化方向余
弦表。
提示
1:1 0 4
本节讲述的内容，实质上是讲述刚体
1:10 111 1 1
o 2 4
图1. 14
6
8
•-t1O(度)
小角度近似误差
定点运动的有限位移与无限位移的概念。
设动坐标系相对固定坐标系的 3 个坐标轴有 3 次转动￠、 θ 、伊，当其转动角度为有限位移
时(特角不是无限小或可忽略的程度)，转动顺序不同时，刚体(动坐标系可代表刚体)相对参
考坐标系的最终位直是不同的，因为方向余弦矩阵(变换矩阵)相乘的顺序(如式(1. 4.23) 和
式(1. 4.24) 中的相乘)是不可交换的，得到的最后变换矩阵是不同的。当然，刚体的这种 3 次转
动，可以绕通过刚体定点某一轴的一次转动 α 角来等效，角 α 与 ψ 、 0 、伊之间是有确定的关系，
在有限位移条件下，这种关系很复杂。这就是刚体定点运动的位移定理，即定点运动刚体的任
何有限位移，可以绕过定点某一轴经过一次转动而实现。
当刚体绕定点运动为无限小位移时，即满足式(1. 4.26) 和式(1. 4.27) ，有如下的简化方向
余弦矩阵，即
。=[;￠ :11 470144: 了l
上述 3 个矩阵连乘，无论矩阵顺序如何，其连乘结果总为式(1. 4.27) 。这一结果说明在元
Q
惯性技术
限小的位移条件下，无论按什么顺序绕 O~ 、 OE 、 ON 三个轴分别转过无限小位移札 θ 、伊，刚体
都将达到同一位直，这一位直可以绕过刚体定点(坐标原点)某一轴转动一微小角度 α 来实
现，可有
α=θ+ 唱1) +ψ
α=θ .
i
+ ψ.
j
+功 •
k
所以刚体绕定点转动微小位移时，微小位移是矢量，并且符合矢量合成法则，这为研究坐
标变换带来极大的方便。
用四元数表示坐标变换
1. 5
四元数(四维数)的数学概念是 1843 年由哈密顿首先提出的，它是代数学中的内容之一。
近些年来，随着控制理论、惯性技术、计算技术，特别是捷联惯性导航技术的发展，为了更简便
地描述刚体的角运动，设计控制系统，采用了四元数这个数学工具，用它来弥补通常描述刚体
角运动的三个欧拉角参数在设计控制系统时的不足。本节先介绍四元数的基本概念，而后给出
其坐标变换的算法。
-、四元颤的基本概念
所谓四元数，是指由 1 个实数单位 1 和 3 个虚数单位 i 、 j~k 组成并具有下列实元的数，即
q = λ. 1 + P1i + P2j + P3 k
(1. 5. 1)
通常省略 1 而写成如下的形式，即
q =
À
+ P1i + P2j + P3k
(1. 5.2)
式中 A 、 Pl 、 P2 、 P3 代表实数， i 、j 、 k 为 3 个虚数单位，也可看做是三维空间的单位矢量。 i 、j 、 k 服从
如下运算公式
i o i=joj=k o k=-1
ioj=-joi=k
jok=-koj=i
k
0
i =一 i
0
(1. 5.3)
k = j
数 λ 称为四元数的标量部分，而 P1i + P2j + P业部分称为四元数的矢量部分。四元数的另一种
表示方法为
q=(À , P)
式中
λ 一一泛指四元数的标量部分;
P一一泛指四元数的矢量部分。
14
(1. 5 .4)
Q
二、四元数 q 的基本性质
1.四元数 q 和四元数 M 的加减法
q 士 M;: ( λ+ P1i + P2 j + P3 k ) :1: (ν+μli +μ2J +μ3 k ) ;:
(A土 ν) + (Pl 士 μ\)i + (P2 土 μ2)j + (P3 土 μ3)k
(1. 5.5)
或简单地表示为
q 士 M;:(;. 士 ν ， p 士 μ)
(1. 5.6)
2. 四元数 q 和四元数 M 的乘法
q
0
M = (À + P1i + pzj + P3 k )
(A •
11 -
(ν+μ ， i +μ2j +μ3 k ) ;:
0
Plμ1 - P2μ2 - P3 μ3) + (À • μ1 + PI ν + P2μ3 - P3μ2)i +
(A .μ2 + P2 11 + P3μ1 - Plμ3)j + (A .μ3 + P3 ν+ Plμ2 - P2μl)k
(1. 5.7)
或简单表示为
q
式中
0
M ;: (ÀII - P
• μ ， Àμ+ν，p
+ P xμ)
(1. 5.8)
p. μ一一矢量的点乘积;
Px μ一-矢量的矢量积。
上述虚数单位相乘时，采用了式(1. 5.3) 的乘
法规则。为便于记忆，可参看图 1.15 ，按箭头指向
排列的两个虚数单位相乘时，便得到带有正号的
第 3 个虚数单位;当反方向(逆箭头方向)相乘时，
虚数单位便具有负号。
f
k
在一些文献中，四元数相乘的表示符号各异，
如
符号也表示四元数相乘，阅读时应注意区分。
\J
图 1.15
j
乘法规则图示法
从式(1. 5.7) 可以看出，交换律不适用于四元数的乘法，但结合律适用于四元数的连乘。
3. 共辄四元数
四元数矢量部分仅相差一个正负号的两个四元数 q= (ì..， P) 和 q*
= (λ ，
- p) 互为共
辄，符号 q 铸表示为 q 的共辄四元数。
通过计算可证明
(qh) 樊
= h棉 q提
(1. 5.9)
4. 四元数的范数
符号 11 q 11 表示为 q 的范数，四元数的范数定义为
11
q
11
= qq 祷 =λ2 + PT + p~ + p~
(1. 5.10)
15
。
当四元数的范数 11 q
11
= 1 时，四元数 q 称为规范化的四元数。
5. 逆四元数
符号 q-I 表示为 q 的逆四元数，四元数的逆四元数定义为
= 1-
(1. 5.11)
= 古τ
(1. 5.12)
q-I
由于 11 q
11
= qq 铃，所以四元数之逆可表示为
q-I
当 11 q
11
q
=1时
q-I =
q铸
(1. 5.13)
6. 四元数的除法
两四元数 M 和p 相除所得四元数 q ， 不能简单地表示为且，其含义不确切，要视情况而定。
①若 qp
p
= M ， 则有
qpp-I
q
= A命 -1
= A命 -1
(1. 5.14)
②若 pq = M ， 则有
p-Ipq
= p-1M
q = p-I M
(1. 5.15)
= À. + P1i + PÛ + P3k ， 我们可以采用如下的表现形式
。
.
e
. e
θ
q = cos "2 + sm :2 cosα1 + sm "2 cosβj + sin 言 COS }' k
(1. 5.16)
三、四元数表示转动的公式
对于四元数 q
两式对照，有
À.
= cω0创s
0
创
sα
阳= Sln 丁"2 Cω0
p
P2
= sm "2eCOS f:J
P3
= sm "2。 COS
(1. 5.17)
}'
通常将式(1. 5.16) 的表现形式的四元数称为特征四元数，它的范数 11 q 11 = 1 。在以后的导航
应用中，所遇到的四元数均为特征四元数，在相关的文献中，统称四元数，不再另加说明。
四元数可以描述一个坐标系或一个矢量相对某一坐标系的旋转，四元数的标量部分
16
Q
mf 表示了转角的一半余弦值，而其矢量部分则表示瞬时转轴 n 的方向，在式(1. 5.17) 中，
COS
α 、 cos ß、 cos r 是瞬时转动轴 n 与参考坐标系轴间的方向余弦值。因此，一个四元数既表示
了转轴的方向，又表示了转角的大小，往往称其为转动四元数。这种转动关系是通过如下的运
算来实现的，基本形式为
R'
= qRq-t
(1.5.18)
式(1. 5.18) 表明矢量 R 相对参考坐标系被旋转了一个 α 角，瞬时转轴由四元数 q 的瞬时转轴
所决定，被转动后的矢量为 R' 。表达式为四元数相乘，其中矢量 R 可写成标量为零的四元数。
这就是相对参考坐标系的旋转矢量表达式。
仍设参考坐标系为 OXYZ ， 其单位矢量为 i ，j 、 k ， 用 e 表示 3 个单位矢量。单位矢量 e 经过
qeq-t 的旋转变换之后，得到一组新的单位矢量 i' ~j' 、 k' ， 用 e' 表示 3 个单位矢量。经过上述转
换，也得到一组与 e' 对应的新的坐标系 OX' Y' Z' ， 对于这两个坐标系，单位矢量之间存在如下
关系，即
e'
= qeq-t
(1. 5.19)
对于一个相对参考坐标系。IXYZ 不发生旋转变换的矢量 R ， R=xi+yj+ 动，在其坐标系
发生如式(1. 5.19) 所示的旋转变换之后，得到一个新的坐标系。xγ Z' ， 矢量 R 在新坐标系上
的投影为 R' = 付，
+ y'j' + z'k' 。则不变矢量在两个坐标系上投影分量之间存在关系
R' = q-tRq
(1. 5.20)
式中
R=xi+yj+zk
R'
= x' i
(1. 5.21)
+ y 'j + z' k
式(1. 5.2 1)的两个等式分别称为矢量 R 在坐标系。IXYZ 和 OX' Y' Z' 上的超复数映像(简称映
像)。第一个式子说明矢量 R 的分量表达式和其相对参考坐标系。IXYZ 的映像表达式是一致
的，而矢量 R' 的映像形式中，其单位矢量不是动坐标系的单位矢量 i' 、j'、 k' ， 而是参考坐标系
的单位矢量 i ，j 、 k ， 这种假设是为了以后的运算，这一点特别应该注意。
利用式(1. 5.20) 可以推导出，以四元数的参数的形式来表示矢量 R 的分量在不同坐标系
上分量之间关系。
将 q 和 q-t 的表达式及式(1. 5.2 1)代人式(1. 5.20) ，有
荡'i + y 'j + z' k = (λ - P1i - P2Í - P3 k )(xi + yj + z的0. + Pl i + P2Í + P3 k )
=
2
[0. + P? - p~ - p~ )x + 2(PIP2 + ÀP3)y + 2(PIP3 - Àp2 )z ]i +
[2(PIP2 - ÀP3)X + (λ2 + p~ _ P? _ p~ )y + 2(P2P3 + À.Pl)Z]j +
[2(PIP3 + À.P2)X + 2(P2P3 - À.PI )Y + (À 2 + P5 - pÌ - p~ )z ]k
(1. 5.22)
用矩阵形式可表示为
17
。
句，­
AH
飞/飞 J
句3
/E 飞
」
paDa
/E 飞
、、，，，，
『
FI1
\Pp
-23
4-+
E
句，主
3
Da
句，-句，.A川
、、
21PP
222
'咆
A
、
，，.‘、
IBEEtBEEtt
「EEEEEEEEEEEEEEEL
『
z,
y, =
z,
rEE---at--EEL
2(PIP2 + ÀP3)
2(PIP3 - ÀP2)
(λ2 + p~ _ PI - p j)
2(P2P3 + ÀPl)
2(P2P3 - ÀPl)
Ir xl
11 yl
( λ2+p3-p?-pi) 」 L Z 」
(1. 5.23)
以上为坐标系被一次转动之后，用四元数参数所表示的坐标变换公式，对于一次转动只要将特
征四元数相对应的值代人式(1. 5.23) ，就可以得到用欧拉角形式表示的坐标系之间的方向余
弦矩阵。
一个坐标系经过多次转动之后，动坐标系和参考坐标系之间关系将会等效于一个一次的
转动，描述这 1 次转动的四元数称为合成转动四元数。假定 ql 、 q2 和 q 分别为第 1 次、第 2 次转
动及合成转动的四元数，有如下的等式成立，即
q = ql
0
q2
(1. 5.24)
上式中 q) 和岛的转轴方向必须以映像的形式给出。如果 ql 和岛的转轴方向都以参考坐标系
的分量表示的话，有如下关系成立，即
q
= q2
0
(1. 5.25)
ql
下节用实例说明。
Z
四、方向余弦襄的建立
用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系间
的方向余弦表。图1. 16 给出坐标系。IX' Y' Z' 相对
坐标系。IXYZ 的 3 次旋转变换，以欧拉角 ψ 、 0 、伊
Y
的形式给出，首先研究第 1 次转动和第 2 次转动的
合成转动四元数。
从图1. 16 可见 ， OXYZ 为参考坐标系，对于第
一次转动来说，其转轴 n 的表现形式，可以用参考
图 1.16
坐标系的转动
坐标系单位矢量表示，也可以用其映像的形式表
示。所谓转轴的映像，是指如果瞬时转轴是由参考坐标系某个坐标轴转换过来的，那么，这个坐
标轴的单位矢量就是瞬时转轴的映像。
当 ql 和 q2 的转轴方向都以同一参考坐标系分量表示时，求合成转动四元数 q 的表达式。
第 1 次转动，绕 Z 轴转 ψ 角，瞬时转轴 n 和 Z 轴的单位矢量 k 重合，则转动四元数为
=
c什 +mf n=c什+
sin
fk
(1. 5
施)
第 2 次转动，绕 OX) 轴转动。角，瞬时转轴 n 的表示式为 (cos Iþ i + sin Iþ j) ，则其转动四元
数为
18
第一章
q2 = cos
。.
2
+ sm
()
2
。
9
惯性导航的基本知识
.θ
n =cosE+SIIIE(cosψ i + sÍn ψj)
(1. 5.27)
由于 ql 和 q2 的瞬时转轴方向均以参考坐标系的单位矢量给出，则合成转动四元数 q 的计
算采用式(1. 5.25) ，即
q=q2 。 q1=[cosf+mf(cosψ i
ψj) ] [ cos f
+ sÍn
豆』在!~;~ ~;
~~O ~
o;~ ~
~
~I
~
~
2 '-'v" 2 • "... ~
2 --- j且~;~
2' +, sm ~
2 sm
2 J +. cos
2 sm
2
,
~...
~...
~~~
k]
+ sÍn f
~...
=
"
/c
(1. 5.28)
下面以瞬时转轴映像形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数。
第 1 次转动，瞬时转轴的映像形式与式(1. 5.26) 相同。
第 2 次转动，绕 OX 1 轴转动。角，由于瞬时转轴 n 是由 OX 轴经过第 1 次转动转换来的 ， OX
轴对应单位矢量 i ， 所以 n 的映像为 i ， 则 q2 的映像表示式为
。.
2
q2 = cos
+ sm
()
2 '
(1. 5.29)
由于 ql 和 q2 均为映像形式(注意，第 1 次转动时，映像形式的 ql 和非映像形式的 ql 是一
致的) ，合成转动四元数 q 应以式(1. 5.24) 计算，即
q =
ql
= ql
0
0
q2 =
q2
=
(业
2
飞 cos
m
+ sm
业
2 k)(
'"飞
COS 豆
2 . sÍn 旦
2 cos -4!:
2 i
2 cos 业+
~~~
~...
~~~
+
豆豆
2 + sm 2"i)
sÍn 丘
2 sln 业
2 j
~...
J
~...
+
=
cos 旦
2 sÍn -#
2
~~~
~...
k
( 1. 5. 30)
显然，式(1. 5.28) 和式(1. 5.30) 的结果是一致的。但采用式(1. 5.30) 的计算方法很简单，尤其
是在多次转动之后，这种计算上的简便性就更为明显。
如果要求出两个坐标系经过上述两次旋转之后的坐标系间的方向余弦矩阵，只要将式
(1. 5.30) 中 λ 、 Pl 、 P2 、 P3 对应的各个值代人式(1. 5.23) 就可以了。
再对动坐标系进行第 3 次转动，得新的坐标系。'X' Y' Z' ， 求动坐标系。'X' Y' Z' 与参考坐标
系。'XYZ 之间的方向余弦表。
第 3 次转动是假定绕 OZ' 轴转动伊(图1. 16) ，其转动四元数仇的映像形式为
U"
q33 = l;COS
* *
2
(1. 5.3 1)
+ sÍn 2 k
于"Jl l
3 次转动的合成转动四元数 q 为
n.
q = ql
0
0
n_
q2
0
0
n_
_
(
q3 = \ cos
业
·单川
( ~M ~ o;~ ~
2 + sm
"2叫飞 cos 2 + sm 2
-'-
;\ (
旦
"\
cos 2"
;~ .!E..川
+ sm 2 叫=
s旦
+. sÍn 丘
豆
k
2 cos 业二Æ
2
2 COS 业二Æi
2 '+ sin 豆
2 sm 业二Æi+cos
2 J'
2 sm 业上P.
2
~~~
~...
~...
'-'v"
(1. 5. 32)
则对应的四元数参数为
19
Q
惯性技术
À
= cos 豆 cos 业二Æ
2
-叩
P1 =
2
~W
sin 丘
2 cos 业二2
ljυ2
"111
(1. 5. 33)
PHAim
JtnAS 业二2
2 "" <>1 11 2 ljU"
2
P3 ;:::
卢
COS 旦 sín 业土笠
2
2
~...
将式(1. 5. 33
引)代人式 (υ1. 5. 23
盯) ，有
[口
z1l
跚…伊内耐 卜川川川…
川
SIO
i归
n叫…伊内川伽
问…
ω()
α赂 cp
:J[-:
…
叫
n
…伊内跚卜…跚叫伊删叫川川…
()SωωSIO
z'
J
L
sín () sin
sin
ψ+
sin
sin cp .cos
()ωψ
- sín cp sin 功 +coscp 侧 ()cos 功
- sin ()册 ψ
ψ
()l r xl
sin() 1I YI
sin 伊 sin
仰伊
倒 θJL zJ
(1. 5.34)
从式(1. 5.34) 可以很容易地给出动坐标系。xγ Z' 相对参考坐标系。IXYZ 3 次顺序旋转
之后所对应的方向余弦表。
五、四元数转动公式的进一步说明
在这一节里介绍了四元数的概念，并且利用四元数的旋转运算，给出了两个坐标系相对旋
转之后坐标系之间的方向余弦表。
在一些资料中，四元数的转动公式还经常用到式(1. 5.18) ，即
R'
= qRq-1
这个公式的意义是说，在一个超复数空间，或在一个参考坐标系中，矢量 R 按着四元数 q
所表示的转轴方向和大小被转动了一个角度，得到一个新的矢量 R' ， 转动前后矢量 R 和 R' 在
参考坐标系上的分量关系由上式给出。将 q 、 q-1 、 R 的分量代人上式，也可以得到一个方向崇
弦阵。可以看出，这个短阵将是式(1. 5.34) 的转置。式(1. 5.34) 的结果是描述了一个矢量不相
对参考坐标系发生转动，而上式的运动形式恰恰相反。
四元数法能够得到迅速发展的原因，是由于飞行器控制系统的发展，数字计算机在运动控
制中的应用，从而要求更合理地描述在各种控制问题中的刚体空间运动。采用方向余弦矩阵描
述飞行器姿态运动时，需要积分姿态矩阵微分方程式，即
C= αB
式中
(1. 5.35)
C一一动坐标系相对参考坐标系的方向余弦阵;
a一一动坐标系相对参考坐标系角速度 ω 的反对称矩阵表示式。
r
其中
ß
0
一 ωzωy 丁
= Iωz
0ωxl
L-ωyωx
20
0 J
(1. 5.36)
阳的基本知识
O
方程式(1. 5. 35) 是由 9 个一阶微分方程式组成的方程组，所以，计算量比较大。
在采用四元数法时，要求解四元数姿态微分方程式
f =t 仰(1. 5. 37)
上式是四元数相乘的表现形式，式中的 q 为动坐标系的转动四元数， ω 为动坐标系相对参考坐
标系的旋转角速度，应以四元数的表现形式给出，即 ω= 0+ωxi + ωyj +ωzk ， 按四元数乘积
展开上式，得
2λ= - PIωx - P2 ωy - P3 ωz
2pI = ).ωx + P2 ωz - P3 ωy
(1. 5. 38)
2P2 :::: ).ωy + P3 ωx - PIωz
2P3 :::: ).ωz + PIωy - P2 ωx
可以写为
O
λ1
;~
P2
ωx
1= 1
p 3.J
I
~
ωy
αJx
α'Y
αJz
2
2
2
O
2
αJz
2
2
αJy
αJz
Ir ).
2||PI
11 P2
(1. 5. 39)
ωx
O
2
WZ
Wy
ωx
2
2
2
IL P3
O
或写为
q :::: !lbq
(1. 5.40)
式中
O
αJx
!lb
=
2
αJX
αJy
ωz
2
2
2
O
血'Y
ωz
2
2
白Jz
αJy
2
2
Wz
臼Jy
2
2
O
(1 .5 .41)
ωx
2
Wx
2υ
式(1. 5.40) 是四元数姿态微分方程的矩阵相乘的表现形式。
从式(1. 5. 38) 可见，四元数姿态矩阵微分方程式只要解 4 个一阶微分方程式组就可以了，
比方向余弦姿态矩阵微分方程式计算量有明显的减少。
21
Q
思考题
1.说明惯性导航是自主式导航的理由。
2. 叙述地理坐标系的定义。
3. 如何用矩阵法建立方向余弦表?
4. 如何用四元数法建立方向余弦表?
5. 叙述刚体绕定点转动的有限位移和无限位移的概念。
22
l
第二章 惯性导航的基本原理及分类
1
2.1 基本概念的描述
一、理想的地面惯性导航系统
为了阐明惯性导航系统的基本组成及惯性导航的基本原理，需讨论简化的惯性导航问题。
假设载体在地球表面做等高度移动，分两种情况进一步讨论。首先，认为载体在子午面内
做等高度的移动，在此基础上，再讨论载体在地球表面做二维的移动，对其实际功能和误差状
况进行说明，以便读者对惯性导航原理、惯性导航系统的基本组成及其主要问题有一个初步的
认识。
图 2.1 是一个在地球表面运动的简化惯性导航系统原理图。在以后的讨论中，如不经特殊
说明，均假定地球是半径为 R 的圆球体。在陀螺稳定平台上放置两个加速度计 A E 及 AN 。稳定
图 2.1
简化惯性导航系统
平台的功能就是保证在整个导航的过程中，使加速度计 A E 及 AN 的敏感轴始终分别沿着东西
和南北两个连线方向取向，且在当地水平面内。从而使加速度计 A E 测量沿东西方向的加速度，
加速度计 AN 测量沿南北方向的加速度。加速度计输出的信号分别为 aE 和句，将测出的加速度
信号进行一次积分后，可分别得出载体的速度分量为
VE = VEO +
VN = VNO +
t
aEdt
t句
(2. 1.1)
23
o
式中
VEO 、 VNO一一载体的东向及北向初始速度。
载体的经纬度 λ 和伊，可以从下式求得
伊 (t) = <PO + 去t 均dt
+去t VEsec
Ã( t) = Ào
式中
(2. 1. 2)
<p dt
λ。、伊。一一载体的经度及纬度初始值。
从以上简化原理可以看出，基本惯性导航系统主要包括以下几个部分。
①系统中必须有加速度计，用以测量载体的加速度。
②系统中应该有一个模拟某一坐标系的平台，加速度计放置在平台上。在整个导航过程
中，平台始终能够保持加速度计的敏感轴在给定的方位上。图 2.1 中的稳定平台，在整个导航
过程中，始终模拟地理坐标系，从而保证了加速度计能够测量载体的东西向及南北向的加速
度。这类平台一般由陀螺稳定的平台来实现。
③系统中必须有积分器，将加速度分量 αE 及 aN 积分。在实际系统中，通常有专用的计算
机完成有关的计算工作。
④必须有初始条件的调整，以便根据实际运动情况来改变初始条件。
考虑简化的单轴导航情况，它含有一个加速度计和一个陀螺仪，并通过一个框架与载体的
俯仰运动隔离。图 2.2(a) 表示出这种情形下的符号规定。载体位于点 P ， 在子午面内做等高度
移动。 Y 轴沿当地水平方向 ， Z 轴沿当地铅垂方向。 Yp 是加速度计敏感轴;垂直于图示平面的
Xp 是陀螺仪的敏感轴和 Yp ， Zp 构成右手坐标系，图中没给出。平台的旋转角速度 ωp 通过陀螺
来控制。旋转角速度 ωp 的选择应使平台保持当地水平。
Ze
陀螺
Zp
X二
YO
(a)
YO
(b)
回 2.2
简化的单轴导航
这种选择的优点是，由平台提供姿态的物理参考，使陀螺和加速度计的敏感轴在整个导航
时间内，与 g 的方向不变，从而使某些仪表误差易于补偿。
24
导 都原理及分类 。
为了使平台保持水平，应该选择如下的眼踪规律，即
v
Wp
式中
=R
(2. 1. 3)
V一一载体的速度。
在理想情况下，由于平台保持水平，加速度计的输出信号为
αN = 妥
(2. 1. 4)
当准确地知道初始值附和 Vo 值后，就可以提供准确的距离 y 。如果必要的话，可换成等效的纬
度 ψ 值。
由于存在以下原因，理想的单轴导航是不可能实现的。
(1)仪表误差
当比力(单位质量受到的位移加速度和重力加速度代数和)在加速度计敏感轴上的分量
是 fa 时，加速度计的输出信号事实上是
αN
式中
Ka--
= (1
+ Ka)fa + AAN
(2. 1. 5)
标度系数误差;
AAN一一加速度计的零位误差。
因为比力
j斗 =y+g
(2. 1. 6)
f 在加速度计敏感轴上的分量 (g 等效于沿 Z 轴正向的运动加速度)为
fa =
ycosαgsinα 臼 y-g α
(2. 1. 7)
当平台的指令信号为 ωc 时，平台的旋转角速度则为
ωp
式中
= (1
+ Kg) ωc +ε
(2. 1. 8)
Kg一一陀螺力矩器标度系数误差;
E 一一陀螺仪的漂移角速度。
所以，平台和当地水平面之间存在角 α 。
(2) 初始误差
在起始时刻，引人计算机的初值有误差，如 Ayo 和 Aýo. 而 α。表示平台偏离当地水平面一
个初始角。
图 2.3 给出简化的单轴导航系统方框图。
从图 2.3 可以写出系统方程为
儿 = AAN + (1 + Ka)( 分- glα)
(2. 1. 9)
α=α0+ 去j;(1+ 几)fcdt+j;巾-气工。
(2. 1. 10)
对式 (2. 1. 10) 经过适当变换，有
25
o
加速度计
?-
YC
α。
计算机
平台
图 2.3
简化的单轴导航系统方框图
--一一运动学量;一一一
模拟或数字信号
γγ
Yc^ - Yo
1 rt
rl
α=α 0.+ιE」 -JLE一+言jzokgcdt+jtodt
(2. 1. 11)
= Yc
(2. 1. 12)
令
D.y
- Y
将式 (2.1.12) 代人式 (2. 1. 9) 和式 (2. 1. 11 )，经过整理，得系统误差方程式
(1 + K， 、AY+-IIAY=AAN-(1+ι
)g( α。-舌。) +
Ki-
(1 +ι)fCMt-(1+ 扎)斗 dt
(2. 1. 13)
展开上式并忽略二阶小量，有误差方程式
勾+仙 =
D. AN
- 伊o +响。 +KJ-dj; 印dt-gj: 山
(2. 1. 14)
式中
ω2 _
s -
K
R
(2. 1. 15)
其周期
1:=2zz84.4min
白，
称为舒拉周期。其重要性在于，当系统控制回路满足式 (2. 1. 15) 时，即使载体在加速度条件下
运动，稳定平台仍能眼踪当地水平面。这为惯性导航系统能够长时间运行奠定了理论基础，这
个理论最早由舒拉提出。系统参数按着 Ts = 84.4min 原则进行选择，称为舒拉调整。
解误差方程 (2. 1. 14) 。设 D.A N 、 α o ，D.yo . Aro 、凡、鸟、 y = V、 ε 为常值，设比 84 .4 min 小得多
又不为零的时间间隔 T 中有常值加速度 γ 作用，可有
26
航的基本原理l:ÆJt~
0
sin w.t
~I •
_,
ÒA N
的 ) = ÒYo + ÒyO:::'::一 -α oR (1 - cos w.t) + 丁(1 - cos ω.t) + KayT 亏一­
α).
K"V(t
臼).
W.t
sm W.t
,
一二二二!::)-&(t- 一一~)
(2.1.16)
W.
。缸).
从式 (2. 1. 16) 可以看出，惯性导航系统的误差源可以分为两类。第一类随时间保持有界的
误差，其误差源包含有 ÒYo 、 ÒYo 、 ao 、 ÒA N 和 Ka 。第二类是随时间增大的误差，其误差源包含有 ε
和 Kgo 由此可见，对长时间运行的惯性导航系统，其性能的好坏，在很大程度上取决于系统所
选用的陀螺仪品质。
下面给出有关误差的数量级。
①初始位置误差 ÒYo = 1∞ m ，有
Òy(t) = ÒYo = 1∞ m
②初始速度误差句。= 2 km/h ，有
Òy( t)
最大误差为
③初始对准误差 αo
= 句。气与
ÒYolωs 局 0 .45
km
= 1 5"，有
Òy( t) =-α oR (1 - cos ωst)
最大误差为
2α oR 埠。 .91 km
④加速度计的零位误差 ÒA N = 1
X
10-4 g ，有
八 AN
Ay(t)=-f(1-cos ω川
ω7
最大误差为
2ÒA N Iω?=127km
⑤加速度计的标度系数误差 Ka = 10气设 y = 5 m/S2 , T = 30 s ，有
Aγ (t) = KayT 旦旦旦f
'α)s
最大误差为 1却 m。
⑥陀螺仪漂移角速度e:
= O.01O /h，有
的)
=
&
&(t- 于)
= 1. 1 km/h
3
⑦陀螺仪标度系数误差 Kg = 10- ，有
的) =乌V( t - 平)坦 Kg(Y
- YO)
所以，航程为 1 侧 km 时，误差为 1 km; 航程为 3000 km 时，误差为 3 km。
27
。
二、比力
在一个升降机中，用弹簧悬挂一个质量 m 于天花板上，我们可以通过弹簧的伸长或压缩
来判断升降机是上升或下降，这个弹簧与其悬挂的质量 m 构成了加速度计的基本形式。在重
力场中，重力的方向向下，弹簧因此在 mg 的作用下要延长。如果电梯以加速度 α 向上加速，则
弹簧也会延伸，这是受力 m 作用的结果。没有附加信息，观察者不能说明弹簧变形是重力引
起的，还是相反方向加速度引起的，或两者联合引起的。因此，使弹簧变形的力的确切量度为上
述两个量的代数和，即
TTUl
+mg
由于质量 m 已知，则代数和
f
= a + g
(2. 1. 17)
就可以测定。这个量称做比力。它表示单位质量上受到外力作用的代数和，即使上述弹簧变形
的力。显然，任何运动点可以有一个与它相关联的称做比力的矢量，即该点单位质量的运动加
速度与重力加速度的矢量和，如式 (2. 1. 17) 所示。而前面提到的加速度计是一种仪表，如果它
随该点运动，则可测量沿加速度计敏感轴方向的比力分量。
附带说明一下，在工程计算和设计中，许多人仍习惯加速度计是测量加速度的说法，在这
种场合，只要认为空间任何一点均受两个加速度的作用，一个是该点运动加速度 a ， 另一个则
是重力场引起的重力加速度 g ， 其方向总是背离地心向上就可以了。这样计算的结论将和实际
相符。
三、沿垂线方向惯性测量的不稳定性
应用加速度计测量垂直方向的加速度，由于重力场的存在变得复杂和将产生很大的误差。
对于某些短时间的工作载体，必须预先补偿掉基座静止时加速度计的一个 g 的输出。其测量方
案如图 2 .4所示。显然，这是一个开环系统，计算误差和仪表误差将是累积的。如加速度计的零
位偏差 ~A = 0.5
t
x 10- 4
g ，则引起的误差为 ~h = ~ ~At2 ，~
t
= 5 m刊 ， ~h = 斜 m; 而当
= 10 min 时 ， ~h = 176 m。
可见，这种开环的垂线方向测高方案只能短时间应用。在前面介绍的水平回路中，加速度
计的零位误差值引起有界误差。下面证明开环测量的不稳定性。对于加速度计，其测量到的比
力为
J. =h+g
式中
(2. 1. 18)
h一一高度，指向垂直向上为正方向。
地球表面重力加速度 g 由下式给出，即
g =g
-J二丁的(1
- 2 主)
+ h)2 = ßυ
ßO 飞 R
28
(2. 1. 19)
第二章惯性导航的基本原理及分类
9
。
图 2.4
垂线方向开环测量
式中 h<: R ， 所以高度 h 可通过积分下列标量方程计算，即
且一 2咔 =λ-
(2. 1. 20)
go
这个方程有一个主要的缺点，即它是不稳定的，在它的解中有一项 e+V2Ko/Rt 。因此，在垂
直方向惯性测量不能长时间应用。一般是利用气压式高度表或无线电高度表的信息来构成误
差的有界系统。
2.2
惯性导航系统中加速度计输出信号公式推导
从上节的分析中，我们知道加速度计是惯性导航系统的核心部件之一，通过对它的输出值
的计算，才能确定导航参数。它按牛顿第二定律的原理，测量出载体相对惯性空间的加速度，称
其为绝对加速度。不能直接测量相对非惯性坐标系的相对加速度。为了确定载体相对选定的导
航坐标系的运动加速度，或者说，为了确定载体相对地球的运动加速度在选定坐标系上的分
量，则必须从加速度计所感受的绝对加速度信号中，分离出所需要的相对加速度。对于平台式
惯性导航系统，当放置加速度计的平台分别模拟惯性坐标系、地球坐标系以及地理坐标系时，
加速度计的输出信号表达式是不同的。
一、地理坐标系相对惯性空间的旋转角速度
当载体 P 在地球表面运动时，以 P 为原点的
地理坐标系 ENÇ 由于地球的自转角速度 ωe 和载
体的运动而相对于惯性空间转动，如图 2.5 所示，
ω 代表地理坐标系相对于惯性空间的旋转角速
度，其分量表达式为
ω
VN
盯N
E=- /f=-
R
图 2.5
地理坐标系的运动
29
Q
ωN
VE
R
VIE
R
+ ωe COS 伊 =
V..
i tanψ+ω e sm
叫=
式中
=
(2.2. 1)
V,..
cp = R- tanψ
VE 、 VN一一载体相对地球的运动速度(地速)在地理坐标系东向及北向的分量;
阳、 VIN 一一载体相对惯性空间(地心惯性坐标系)线速度的东向及北向分量。
从式 (2.2. 1)可得
VIE
= VE
VIN
+ 也}e COS
(2.2.2)
cp
= VN
亦即地速的北向分量即为相对惯性空间的北向线速度，而地速东向分量 b 加上由于地球自转
角速度引起的东向速度分量也}e COSψ 后才等于相对惯性空间的线速度。
二、绝对加速度的矢量表达式
人们习惯用所谓绝对加速度的术语来表示载体相对惯性坐标系的加速度，采用哥氏定律
( Coriolis ' Law) 来推导，其公式为
Ii?lI=[fplr+a
式中
×
(2.2.3)
B
B一一-代表一个矢量;
[~~] I一矢量 B 相对惯性坐标系的变化量;
Ii?lr一矢量 B 相对动坐标系的变化量;
。一一动坐标系相对惯性坐标系的旋转角速度。
首先，推导载体相对惯性空间的运动速度问。以 R( 其值应为地球半径和飞行高度之和)
来表示载体所处的位置，动坐标系取地球坐标系，惯性坐标系取地心惯性坐标系，则有
町= [苦 lI=I 苦 ir+ωe X
R
(2.2 .4)
对 R 的二次微分，将得到载体相对惯性空间的加速度，动参考系仍取地球坐标系时有
[fflI=It( 苦)rlI+ωe [苦lI+I 苦ifR
X
在地球参考系中，设
民= [~~]
据哥氏定律有
30
(2.2.5)
第二章惯性导航的基本原理及分类
[苦lI=[fflr+ωe X
9
(2.2.6)
Vr
[~~L
dt J 1 =
(2.2.7)
由于地球自转角速度为常值，所以
[苦吃 x
R
(2.2.8)
= 0
将以上各式代人式 (2.2.5) ，有
[~~]l
=
[莘rlr+2ωe X
Vr
+ ωe X (ωe X
R)
(2.2.9)
[fflI-P 点相对惯性空间的加速度， [51lI=ι
式中
[42lr-P 点相对地球的加速度， [12lr=Ar 。
式 (2.2.9) 可以改写为
A 1e = Ar + 2ωe
X
V r + ωe
X
(ωe
X
R)
(2.2.10)
在推导式 (2.2.10) 过程中，根据上一章有关坐标系的定义，惯性坐标系和动坐标系一一地球
坐标系的原点是一致的，相互之间没有位移。等式左边 A 1e 表示载体相对惯性空间的绝对加速
度，等式右边第 1 项代表载体相对地球的相对加速度，是导航中待求的量，第 2 项是由于牵连角
速度 ωe 引起的哥氏加速度项，第 3 项则是向心加速度项。当在载体上的陀螺稳定平台模拟地
球坐标系的角运动时，平台上的加速度计输出信号中的绝对加速度的表达式将如上式。对于多
数导航系统，动坐标系取地理坐标系，为了使公式的物理意义明确并能采用推导上式的相似方
法，我们假定地理坐标系的原点在载体的始发点且和地球固联，即地理坐标系相对惯性坐标系
没有平移运动，只有旋转角运动 ω 。这时，我们以地理坐标系为动坐标系，可以求得载体相对惯
性空间绝对加速度的表达式为
AIE = Ar + (ωe +ω) x V r + ωe
X
(ω exR)
(2.2.11)
因此，当载体上的陀螺稳定平台模拟地理坐标系时，平台上放置的加速度计，其输出信号中的
绝对加速度的表达式将如上式 o
注意，如果动坐标系仍取地理坐标系，即假定地理坐标系的原点符合有关地理坐标系的规
定而随载体一起运动，即地理坐标系相对惯性坐标系有平移运动，则不能直接应用哥氏定律公
式 (2.2.3) ，必须考虑地理坐标系相对惯性坐标系的平移运动，两种推导方式的最终表达式是
一致的。
由于加速度计测量的是比力，其输出公式应为
f
JR
=二:王 +g
(2.2.12)
31
Q
因此，在考虑了重力场对加速度计的作用，有如下方程式
Ar = A[e + g - 2ωe X 吭一 ωe X (ωe X R)
Ar = A IE + g - (ωe +ω) x V r - ωe
X
(ωe
由于重力加速度是由引力和离心力合成所致，在 g 中己考虑 ωe
X
X
(2.2.13)
R)
(ωe
X
(2.2.14)
R) 项，所以上两式简
化为
Ar =
Ar = A IE
式中
(2.2.15)
A[e 一 2ωe X V:二 +g
(ωe +ω )xVr+g
-
(2.2.16)
Ar - 载体相对地球的加速度;
A扣 A IE 一一分别表示陀螺稳定平台在模拟地球坐标系或地理坐标系时加速度计的输
出信号。
在一些飞行器制导系统中，陀螺稳定平台往往模拟惯性坐标系。这时，动坐标系相对惯性
空间没有旋转角速度，所以
= A II + g
Ar
式中
(2.2.17)
A/[一一陀螺稳定平台在模拟惯性坐标系时加速度计的输出信号。
式 (2.2.15) 、 (2.2.16) ， (2.2.17) 三式基本上概括了大多数惯性导航系统中加速度计输出
信号的矢量表达式，给出了载体相对地球的加速度 Ar 。对式中给出的其它加速度值，统称有害
加速度，是应该补偿的量。注意，如式 (2.2.16) 中的 ω 等于矶，式 (2.2.16) 就变成式 (2.2.15) ;
如果 ω 等于零，式 (2.2.16) 就简化为式 (2.2.17) 。
三、绝对加速度的标量表达式
仅讨论式 (2.2.16) 的情况。为了以后方便，将其改写为
Ar = A[ 一 (ωe +ω) x V r + g
将
(2.2.18)
A[ = AE;i + Arvi + Atk
ωe =ωe COS
cpj
+ ω ♂n 件
ω=ωEi + ωNÍ+ ωtk
g
= gk
各式代人式 (2.2.18) ，并考虑式 (2.2. 1) ，有
VEVN .
/
VE
A E = V E - ~豆豆 tancp+( 五 +2ωe COS
AN
伊 ) Vc - 2 VN"J esinψ
V~
= VN + 2 l'Jρe sinψ + RUtan
VNV"
ψ+ 言」
V~ + V1,
AC = VC - 2 VE.W eCOS 伊--古--'-'- + g
设垂线方向速度较小，对一些导航方程式可以忽略不计，则上式可进一步简化为
32
(2.2.19)
基本原回分类 。
= VE
AE
-
2tjρe sin
VEVN
R" tanψ
cp -
AN
=
VN + 2VFPJe sinψ+
Aç
=
Vç -
V2
= v1 +
TT2;
苦 tan
伊
(2.2.20)
盯2
2tjρeCOs
cp -
R+ g
式中
V7v + vi 自 v1 + V7v
式 (2.2.20) 中 ， VE 、阳、乌称为位移加速度，分别代表载体相对地球的地速沿东向、北向及垂线
V"VN
方向的位移加速度分量。 2 V}\W esin 川队 e sin 伊及 2 VFPJeCOSψ 称为哥氏加速度项。古丘阳￠、
主tanψ 及2 是由于载体运动引起的向心加速度项。式 (2.2.2以可以写成为
AE = VE - AEB
AN = VN + ANB
Aç = V - AÇB + g
(2.2.2 1)
式中
= 2 V"w esin
AEB
cp
V"V N
+ 言丘 tan
cp
V~
ANB = 2 Y，ρesiIE?+7ftaII 伊
(2.2.22)
A臼=均eCOS?+Z
注意式 (2.2.2 1)中重力加速度 g 的方向在 C 轴的正向，这是考虑到加速度计是一个测力
装置，重力加速度计的作用结果和与其反向的加速度的作用结果是一致的。因此，在惯性导航
的计算中，都把重力加速度 g 的方向定为 C 轴正向。式中的 A E 、 AN 、 Aç 为加速度计的输出信号，
b 、凡、乌为导航系统所需要的地速分量 ， AEB~ANB~A归、 g 都被称为有害加速度分量，要在加
速度计的输出信号中将其删除。
四、有曹加速度计的典型数值
设如下一组数据 ， VE
150 /h
= 7.29 X
=
VN
=1
:2∞ km/h
= 333 .4 m/s , cp = 45
0
,R
= 6367. 臼阳， ωe
-
10-5 radls 。将以上数值代人式 (2.2.22) ，即
AEB = 5.28
X
10- 3 g
ANB = 5. 28
X
10- 3 g
从上面计算的例子可看出，由于哥氏加速度及向心加速度所产生的误差值比起陀螺稳定
33
o
平台倾斜 l' 所产生的误差 (2.91
X
10- 4 g) 要大一个数量级。因此，对加速度计的输出信号必须
加以补偿才能达到比较精确的导航与定位。
2.3
半解析式惯性导航系统
一、半解析式惯性导航系统的基本类型
从总体设计来说，各类惯性导航系统都必须解决两个问题，一是利用陀螺稳定平台建立一
个三维空间坐标系，解决输入信号的测量基准;二是通过不同坐标系之间的变换，利用加速度
计输出信息的积分得到载体的速度和位置等导航信息。所以，不同坐标系的选取以及它们在载
体内部的实现方法(通过平台实现)就构成了惯性导航系统的不同方案。半解析式惯性导航系
统是其中最有代表性的一类导航系统。该系统采
用的陀螺稳定平台(有时称惯性平台或简称平台)
始终眼踪当地水平面，使平台上放置的两个敏感
轴相互垂直的加速度计不敏感重力加速度 g ， 这
陀螺
平台
平台轴?
是半解析式惯性导航系统的主要特征。图 2.6 给
出稳定平台和地球表面间相对位置示意图。当载
体从地面点 A 移到点 B ， 稳定平台始终跟踪当地
水平面。依据平台相对地面的方位不同，半解析式
惯性导航系统又可分为两种类型。
一类是平台相对地面的方位是固定的，通常
图 2.6
半解析式惯导系统平台
是使平台上的一个敏感轴固定指向地球的北方向，称其为固定方位半解析式惯性导航系统。以
后如不经特殊指出，所说的半解析式惯性导航系统就是指固定方位半解析式惯性导航系统。这
种系统的平台坐标系将模拟地理坐标系，因此在高纬度区实现这种系统有一定的困难性。
在高纬度区，单位经度角对应地球表面的弧度长度变短，所以，平台为了模拟地理坐标系，
要求平台在方位上有较快的变化率，为此要求方位陀螺仪的力矩器接受很大的控制电流，又要
求平台以较高的速率绕方位轴转动，这为陀螺和平台回路在工程上的实现带来很大的困难。另
一个困难是因为当纬度接近 w 时，计算机在计算 tan 伊的程序中会出现发散现象。因此，固定
方位半解析式惯性导航系统不适合于全球导航应用。
另一类是平台相对地球的方位是不固定的，自由方位半解析式惯导系统就是其中的一种，
这种系统除了平台由两个水平回路保持在当地水平面之外，其平台的方位和真北方向的夹角
是不加控制的。平台坐标系的方位轴 Zp 和当地垂线重合，而平台的水平轴 Xp 和 Yp 则分别与
东方向、北方向相差 γ 角，如图 2.7 所示。平台相对于北方向的方位角 γ 作为一个计算量存储
于计算机中，因平台绕垂线是自由的，故 γ 角的变化为
34
0
导的基本原理1lt?t~
女= (~ +ωe )sinψ
(2.3. 1)
N
因此，只要知道平台轴 Yp 的初始对准角， γ
角的大小就可以实时计算出来。这种系统的优点
是在高纬度处和在初始对准时，不像固定方位半
解析式惯导系统那样使方位陀螺需要施加很大的
力短。而在计算机中存储变化的 γ 角是易于实现
门'\
\--E
的。故自由方位半解析式惯导系统常用做通过极
地的导航系统。
\
属于自由方位半解析式惯导系统的方案，还
有一种称为游动自由方位半解析式惯导系统。它
图 2.7
Xp
自由方位平台系统方位角
的特点是在方位陀螺上施加一定的控制力矩，使其完成相对惯性空间的旋转，大小为 ωe sinψ ，
所以，方位角 γ 的变化为
女 = ~sinψ(2.3.2)
这种系统有和自由方位半解析式惯导系统同样可以通过极区的优点。通过分析，发现它在导航
参数的计算上有一定的优越性，因此，更具有实用意义。
二、固定方位半解析式惯导系统
图 2.8 给出的指北固定方位半解析式惯导系统原理图，采用了三个单自由度浮子积分陀
螺仪作为敏感元件来稳定平台。通过 3 个稳定回路使平台相对惯性空间稳定，在此基础上，再
通过 3 个修正回路使平台坐标系。IXpYpZp 始终眼踪地理坐标系 OEN'Ç 。所以，平台保持了水平
和固定的北向方位。
首先讨论这种系统的定位过程。
正如第一章所述，我们假定在初始时刻平台是水平的，且平台的 Yp 坐标轴总是保持指北
方位。在平台上安装的两个加速度计 Ax 及 A y 的敏感轴分别沿着东西和南北两个方位放置，分
别测出载体的东向及北向加速度分量。根据上节的式 (2.2.9) 可知，加速度计的输出信号中，
除了有载体相对地球的运动加速度以外，还含有哥氏加速度及向心加速度项，后者被称为有害
加速度项。由于我们假定平台在运动时始终与重力加速度 g 的方向垂直，所以加速度计应该不
感受重力加速度的分量。在加速度计输出信号进入导航计算机之前，必须补偿有害加速度 AEB
及 ANB' 见图 2.8 ，经过一次积分则可得出速度分量，即
VE( t)
= VEO + f:(A E + 他 )dt
(2.3.3)
VN(t) = VNO + t(AN-ANB)dt
从图 2.8 可以看出，再经过一次积分及运算之后，即可得到载体相对地球的经度和纬度的
35
o
图 2.8
M 1一横轴力矩电机
半解析式惯导系统原理图
M 2 一纵输力矩电机 ; M3
平台轴力矩电机;
~一角动量H委直平台面 E到一角动量 H 平行平台面
I
I
加速度计敏感轴方向
变化量 Aλ 及 D. cp 。如果输入起始点的经度及纬度分别是 λ 。和制，即可实时计算得到载体的经
度 λ (t) 及纬度 ψ( t) 为
,1. (
t) =
,1. 0
+主 ft0 VE ( t )secψdt
L\..1
伊 (t) = 伊0+ 主 ft VN ( t )dt
(2.3 .4)
1 、.1 0
下面叙述惯导平台是如何实现对惯性空间稳定和跟踪当地水平面的。
如图 2.9 所示，平台有三个自由度，这是由平台轴、内平衡环和外平衡环在结构上保证的。
在平台上放置三个单自由度浮子式积分陀螺仪，它们的输入轴是互相垂直的，陀螺 G y 的输入
轴平行于平台的 OYp 轴，将敏感沿南北方向的角速度输入。陀螺 Gx 的输入轴平行于平台的
OXp 轴，将敏感沿东西方向的角速度输入。陀螺 G z 的输入轴平行于平台的 OZp 轴(即方位轴) ,
陀螺 Gz 将敏感沿垂线方向的角速度输入。当平台的外环轴沿载体的纵轴方向安放时，陀螺 G y
将敏感平台绕外环轴的旋转角速度。因此，当平台受到干扰以某一角速度绕外环轴旋转时，陀
螺 G y 将感受到这个旋转角速度，并绕陀螺的输出轴进动，同时输出一个角度的信号，此信号经
放大后送纵轴力矩电机，此力矩电机产生的力矩使平台绕外环轴以相反的角速度旋转，直到平
36
导阳原理瞅
o
守F一纵轴力::机
载体纵轴方向
内平衡环
外平衡环
固 2.9
平台在载体上的安放
台恢复到原来的水平位置。由于系统参数的适当选择，这一历程将在瞬间完成。实现了陀螺 G y
稳定平台的一个水平轴，使其不受外界干扰的影响。同理，陀螺 Gx 和 Gz 分别稳定平台的另一
个水平轴和垂直轴(方位轴)。这样就构成了一个三轴稳定平台，如果在陀螺上不再加控制信
号，平台将相对惯性空间稳定。使平台相对惯性空间稳定的 3 条控制回路被称为平台的稳定回
路。在上边讨论的回路中，单自由度浮子式积分陀螺是稳定回路的敏感元件，是稳定回路中的
一个环节，因此，陀螺的动态特性也将直接影响到稳定回路的性能。
上面介绍的是载体的纵轴和稳定平台的外环轴均沿南北方向设置的情况，这时若有干扰
力矩沿外环轴方向作用在平台上，陀螺 G y 将输出一信号，经放大后输入至纵轴力矩电机使平
台绕外环轴以相反的运动方向转动，或者说，纵轴力矩电机产生一个力矩与干扰力矩平衡，因
而使平台相对惯性空间绕 Y 轴方向稳定。如果载体的航向发生 w 的变化，此时平台的外环轴
将随载体转动到东西方向，而陀螺 G y 的敏感轴仍将稳定在原来的方向，因此，陀螺 G y 的敏感
轴仍将指向南北方向，而平台的内环轴被载体带到南北方向。所以，此时陀螺 G y 只能敏感平台
受干扰后沿内环轴方向的旋转角速度或干扰力矩，如果陀螺 G y 的输出信号经放大后，仍然输
入到纵轴力矩，控制平台转动，这不但不能平衡沿内环轴的干扰力矩，而且还增加了新的沿外
环轴方向的干扰力矩，进一步破坏了平台的稳定工作。在此情况下，陀螺岛的输出信号只能输
入到平台的内环轴的力矩电机，才能达到稳定平台的作用。同理，陀螺 G x 的输出信号必须转接
给纵轴力矩电机才能使平台稳定。可见，陀螺 Gx 和 G y 的输出信号，须经坐标变换器按航向做
适当的分配后，才能分别输入到纵轴(外环轴)及横轴(内环轴)力矩电机以控制平台，使其稳
定。
37
Q
下面叙述平台如何保持当地水平面。如果陀螺不加力矩控制信号，此平台将相对惯性空间
稳定，但是由于地球自转以及载体做相对地球的运动，按着地理坐标系的定义，可以发现地理
坐标系将在惯性空间以角速度町、町、叫而转动，即当地水平面和方位相对惯性空间是在不
断地变化。因此，我们如果要使平台始终保持水平和固定指北方向，也就是要使平台跟踪地理
坐标系，这就必须使平台以地理坐标系相对惯性空间的角速度町、町、叫相对惯性空间转动。
因此，我们必须加控制电流给陀螺力矩器，使陀螺 Gx 、 Gy 、 G z 产生如下的进动角速度
ω
x
VN
=- R
b
(2.3.5)
ω y = 五 +ωe COS 伊
ωz
=
V..
R- tan 伊 +ω e S1n 伊
当陀螺以上述角速度进动时，陀螺输出信号给稳定回路，通过稳定回路使平台也以上述角
速度相对惯性空间转动。因此，使平台眼踪地理坐标系，将始终保持水平和保持固定的指北方
向。这些控制陀螺使平台跟踪地理坐标系的回路，称为修正回路。整个系统有北向水平、东向水
平和方位 3 条修正回路。根据上边的讲述，从图 2.8 中可以看出，修正回路指从加速度计的输
出，消除有害加速度环节到一次积分反馈给陀螺力矩器的回路，包括了稳定回路。
修正回路工作之前，必须注意初始条件的调
整，即平台在初始时刻必须要调整在当地水平面
及固定指北方向。
下面介绍坐标变换器的工作原理。坐标变换
器相当于一个正余弦旋转变换器，绕组排列如图
2.10 所示。 E，和马为定子绕组，分别接在陀螺 Gx
和 G y 信号传感器上，定子绕组本体和平台轴相固
联 ， Eo，和马为转子绕组，分别接到横轴和纵轴力
矩电机控制绕组的相应通道上，转子绕组本体则
圈 2.10
坐标变换器电气原理固
和内环相固联，所以定子绕组和转子绕组相对转
角为航向角功，转子绕组输出有 F列等式成立
E01
KE ， cos 们 KE 2 sinψ
E(J2
= KE2 cosψ- KE ， sin 功
(2.3.6)
K 为绕组的转换系数并假定对所有的绕组是一致的，或写成矩阵的形式，即
[!~:]I=KIK[ c叫川][
!']
'.11_-1
E(J2 J
=
L - sin
φCOS 功 J
L E2 J
(2.3.7)
从式 (2.3.7) 可见，当航向角 ψ=0 时 ， E01 = KE" E (J2 = KE2' 分别由陀螺 Gx 和 G y 单独控制
38
平台的内环轴和外环轴力矩电机，如图 2.8 所示。而当 ψ= 9ff'时 ， EOl
=
KE2 ， Eω= KEl' ÞlU 分
别由陀螺 Gx 和 G y 单独控制平台的外环轴和内环轴力矩电机，完成了航向信号的转换任务。
2.4
解析式惯性导航系统
解析式惯导系统的陀螺稳定平台组成形式和半解析式惯导系统的陀螺稳定平台相同，只
是在工作日才，它是相对惯性空间稳定的。因此，稳定平台只需要 3 个稳定回路就可以了，当然，
从原理上讲，航向角的坐标变换器还是需要的。在载体运动时，平台相对地球的相对位置如图
2.11 所示。平台上安装 3 个加速度计，它们的敏感轴组成三维正交坐标系。平台相对惯性空间
没有旋转角速度，加速度计的输出信号中不含有哥氏加速度项和向心加速度项，见式
(2.2.17) ，计算公式简单。但是，经过制导计算机给出的速度和位置均是相对地心惯性坐标系
的。如果要求给出载体相对地球的速度和地理坐标系的位置，则必须进行适当的坐标变换。由
于平台是相对惯性空间稳定的，当载体运动后，平台坐标系相对重力加速度 g 的方向是在不断
变化的，因此出现在 3 个加速度计输出信号中的 g 分量值是在不断变化的，必须通过计算机对
g 分量值的计算，从信号中消除相应的 g 分量，然后进行积分才能得到相对惯性坐标系的速度
和位置分量。图 2.12 示出了相对惯性空间稳定的一个平台上重力加速度 g 随位移 (x 、 y 、 z) 变
化的情况。
XP
人、， j
o~/
图 2.11
解析式惯导平台
图 2.12
惯导平台上重力加速度的变化
下面推导载体相对空间的位置表达式及给出解析式惯导系统方块图。解析式惯导平台多
用于武器发射的主动段或战术武器，因此连续工作时间比较短，设计系统时将忽略地球自转角
速度对系统的影响。设平台在起始点 A 时，重力加速度 g 正好与平台垂直，因此平台上水平安
置的加速度计将不感受重力加速度 g 的分量。平台坐标系。IXpYpZp 模拟地心惯性坐标系，当载
体在惯性空间从点 A 移动到点 B 时，加速度计除了敏感位移加速度外，还将敏感重力加速度分
量的、 gy 、缸，从图 2.12 可见
39
Q
=-
gx
gsm
x
=-
I:J
g 豆工五
(2.4. 1)
类似地可得
的 =-gtz
及
式中
(2.4.2)
= - gc恼。 =-gtE
gz
(2.4.3)
R一一地球半径:
h一一载体飞行高度。
当 h<.R
时，将 I!.
唱ζg
2
R
=
I!. 一一一一代人式
(2.4. 1)和式 (2.4.2) ，得
= go
(R + h)2
z
go R
gx 臼-
(2 .4 .4)
gy 局一副主
又有
gz
•
R2
R2
/.
2z
g = - go 币7万ï =- go 丽 + z)2 =-的 (1-E)= 『 go+jfgo(2.4.5)
从式 (2.4 .4)和式 (2 .4 .5) 可见 ， gx 、肝、 gz 分别为载体坐标 (x 、 y 、 z) 的函数。
对于加速度计来说，仪表所感受的重力加速度 g 的方向应该和重力的方向相反，所以，加
速度计输出信号为
αx( t) = 马+副主
叫 t) = 分+副主
(2.4.6)
αz(t)=~+go- 争。
载体位移加速度等式为
'tv
g
z-PH
Aυ
X
、‘，，，
α
y
=
，，，、、
"Z
=αy( t)一副主
豆 =αz( t)
- go
+争。
载体相对地心惯性坐标系的速度分量为
均(t) = Vxo + f>dt
40
(2 .4 .7)
第二章惯叫帷本原理及分类
再(t) = Vyo + f~ÿdt
Vz ( t)
o
(2 .4 .8)
= Vzo + f~zdt
载体相对地心惯性坐标系的坐标值为
x(t) = xo+ tVx (t )dt
式中
y(t)
= yo+ t 再(t)dt
z(t)
= zo+ tVz(t)dt
(2 .4 .9)
Xo 、 yo 、 Zo --载体初始位置坐标值。
根据以上公式，画出解析式惯导系统方块图，如图 2.13 所示。由图可见，解析式惯导系统
没有半解析式惯导系统的修正回路，而是增加了消除重力加速度 g 分量的回路，并且给出了相
对惯性坐标系的速度和位移。
图 2. 四
解析式惯导系统原理固
将以上数据输入到制导计算机中，与程序中的预定数据比较后，差值信号输人到控制火箭
或飞行器的控制系统，使其按预定飞行轨迹选择发动机的最佳关车点。
如果需要计算载体相对地球的位置坐标，首先要确定载体所在位置的垂线方向，用相对惯
4]
Q
惯性技术
性坐标系的方向余弦值来表示，其值为
x
x
COSα = R + h = 歹 +y2+
COS
Z2
β- 一-工一-一一一一-.y
1"
-
R + h -
I
X2
+ y2 +
(2 .4 .10)
Z2
ωsy=tz= 在于y2 + z2
按照方向余弦值及初始经纬度便可实时计算经纬度值 A 及伊。
载体在地面上的飞行高度可用下式表达为
h =
V x2
+
l
+
z2 -
ho
(2 .4. 11)
通过上述分析可见，由于在推导公式中不考虑地球自转等因素，该系统使用范围受到严格
的限制。
2.5
捷联式惯性导航系统
一、捷联式惯性导航系统工作原理
捷联式惯性导航系统在结构安排上最大的特点是没有机械式的陀螺稳定平台，陀螺仪和
加速度计等敏感元件则直接固定在载体上，两类敏感元件的输人轴均按飞行器的横滚轴、俯仰
轴和偏航轴三维方向配置，形成惯性组合的三维坐标系。为了工程上易于实现，将陀螺仪和加
速度计等敏感元件机械地组合在一起，称其为惯性组合，惯性元件的各输人轴相互垂直，构成
惯性组合的三维坐标系。而惯性组合则直接固定在飞行器上，并且使惯性组合的三维坐标系和
飞行器的三维坐标系平行。惯性组合至少由 3 个单自由度陀螺和 3 个加速度计组成，因此，陀螺
和加速度计输出的信息就是飞行器相对惯性空间的角速度和线加速度，可以说在飞行器坐标
系上获得了飞行器的有关运动信息。
图 2.14 为捷联式惯导系统原理示意图。由图可见，加速度计 Ax 、 A y 、 Az 和陀螺 Gx 、 G y 、 Gz
分别向惯导计算机提供飞行器沿横滚、俯仰和偏航所具有的加速度 A 和转动的角速度信息。，
计算机依据方向余弦矩阵微分方程式 c
= cn 便可以实时计算出飞行器坐标系和惯性坐标系
之间的方向余弦矩阵，参考飞行器在起飞前初始对准的结果或在空中由其它信号源提供的初
始条件，可以得到地理坐标系相对惯性坐标系的旋转角速度，考虑陀螺仪的角速度输出，可以
计算出飞行器坐标系相对地理坐标系的旋转角速度。Eb ， 因此，也就可以实时地计算出飞行器
坐标系和地理坐标系之间的方向余弦矩阵。加速度计的输出信号通过这个方向余弦矩阵的分
解，便可以将加速度计的输出变换为飞行器沿地理坐标系的加速度分量。然后，利用加速度计
输出信号的一般表达式，对有害加速度进行补偿，就得到飞行器沿地面运动的加速度，将其积
42
第二章
惯性导航的基本原理及分类
9
r-------丁
i
I
Ax
沿飞行器制
Ay
------…一-------一---------二二二二 1
í
1:
加速度分量
飞行器坐标系
问
川
与地理坐标系: -'-~~J'\..__ .，计
加速度分量 l 江
II
|l 沿地理坐标系|品 1: 位置
川之间方向余弦矩阵 l
Az
里
川
l 界
i
Gx
沿飞行器制
Gy
测得角速率
Gz
w
il-一一一 -J\ 计算机平台 ;
_____________________________...J
L
!..._-----~
计算机
惯性元件
图 2.14
捷联式惯导系统原理示意图
分，可以得到南北方向和东西方向地速分量比和性。有了地速分量，进行相应的运算或转换，
得到经纬度的变化率，再对其进行积分，最终得到飞行器瞬时位置的经度 λ 和纬度 ψ 。上边简
述的这种捷联惯导系统的功用类似于半解析式的惯导系统。人们常常把系统中完成平台作用
的计算机部分称做计算机平台或数学平台。
二、方向余弦矩阵微分方程式
飞行器的姿态矩阵是一个方向余弦矩阵，用飞行器坐标系和地理坐标系之间的方向余弦
矩阵来描述，因此如何求取这个方向余弦矩阵便是捷联惯导系统构成的关键之一。有几种不同
的姿态变换运算法可以采用，其中方向余弦算法最为常用。对于捷联式惯导系统来说，人们更
乐于采用四元数算法。本小节给出方向余弦矩阵微分方程式的解，四元数法、旋转矢量法等将
在第七章讲述。
设 51 是参考坐标系，单位矢量为 i ，j 、 k ， 5 2 代表动坐标系(比如和飞行器固联 ) ，单位矢量
为 i' 、j' 、 k' 。
设 ω= [町
的
ωzF 是沿着 52 坐标系表示的 52 相对 51 的角速度 ， C 是将 52 坐标转换
到 51 坐标系的方向余弦阵，即
(2.5. 1)
Vsl=CV52
式中
rC
C
ll
C 12
= I C21
C22
L C31
C32
:il=[JJ;
i
-f
-f
J
k • j'
i . k' l
j . k' I
k • k' J
(2.5.2)
43
Q
惯性技术
对式 (2.5.2) 求导，有
t
-di,
ll=l"dt=
(;21
c =
(;12
i(j'ωz - k'ω y) =
i( k'ωx - i'ωz)
C 12ω z
C 13 ωx
-
C 13ωy
"苦=
= j
(;22
C 22ω z
-
=
i (i'ω y - j'ωX)
C llω y -
- C llωz
= j "苦=
C23
C 23ω'X
C 23ωy
= k " 苦=
(;32 =
" 苦=
k
=
-
C 21 ω y -
C 21 ωz
-
C33
=k
dk'
"d~
j'ωx)
=
k(k'ω'x - i'ωz) =
k (i'ω y - j'ω'x)
C 32 ω z
C 33 ω x -
C 31 ωy -
-a
鸣，&句
3
C12
C22
可
(2.5.3)
O
O
αJx
O
n
-ωz
t
=
0
(2.5.4)
」
L-ωyωx
则有
x
O
= Iωz
aa--BIll--l
A、
C 32 ωx
-αJz
yω
:jILL
=
『
C32
O
C 31 ωz
ω-
「El--Il--ttttL
PUP-uplu
C 33 ωy
=
C 22ωx
k (j'ωz - k'ω y) =
-
=
C 12 ωx
dk'
"d~
=j
j (i'ω y
j(k'ωx - i'ωz) =
j(j'ωz - k'ω y) =
(;31
t 13=I"cit=
-dk'
= i " 苦=
cn
(2.5.5)
这就是方向余弦矩阵微分方程式，式中 Q 的表达式 (2.5 .4)称为角速度矢量 ω=
[ωx 的 ωzJT 的斜对称矩阵表达式。应注意，角速度分量是相对运动角速度在动坐标系上的
44
到纽
unuunnn
'u-nL户
·
iu-nL户'uhsU户
·
-nι户
·
'U
投影。将式 (2.5.5) 展开，有
--=======
C 12ω z - C 13ωy
C \3 ωX -
C llωz
C llω y -
C 12ωx
C 22ω z
-
C 23ωy
C 23ω'X -
C 21 ωz
C 21 ω y -
C 22ωx
C 32ω z
-
C 33 ωy
C 33 ω X -
C 31 ωz
(2.5.6)
二章惯町的基本原理时
C33
= C 3 ， ωy
-
o
C32 ωx
对于上述一阶微分方程组，只要知道角速度 ω 的 3 个分量，则通过计算机可以实时的计算出方
向余弦矩阵的 9 个元素，也就是可以确定动坐标系相对参考坐标系的方向余弦矩阵。
在捷联式惯导系统中，町、町、 ωz 是由一组捷联速率陀螺提供的，给出飞行器坐标系相对
惯性坐标系的旋转角速度，因为在导航计算机中，实时存有地理坐标系相对惯性坐标系的旋转
角速度的计算值 ωEC ， WNC'W~C' 对以上两个角速度进行矢量运算，可以得到飞行器坐标系相对
地理坐标系的角速度，利用公式 (2.5.6) 可以实时计算出飞行器坐标系和地理坐标系之间的
方向余弦矩阵，等效于有了一个跟踪地理坐标系的稳定平台。这样，可以按照半解析式惯导系
统的计算方法来处理加速度计的输出信号，完成导航参数的计算。用类似的方法，也可以完成
飞行器坐标系和其它坐标系之间的换算关系和完成相关的导航计算。
三、采用重复的二自由度陀螺的捷联平台
在捷联式惯性导航系统中，没有机械式的陀螺稳定平台，而是计算机平台，即储存在计算
机中的方向余弦阵。为了进行方向余弦的实时计算，计算机的输人信息是沿飞行器三个坐标轴
的角速度，采用三个速率陀螺给出角速度信号，用于解矩阵微分方程式。
采用二自由度陀螺的输出信号也是可以构成捷联式平台的。二自由度陀螺输出的是和转
角成比例的信息，如果转角的大小和构成转角所需时间是已知的，可认为陀螺结出角度增量信
息，就相当于知道了 n ， 因此，同样可以用于去解方向余弦矩阵微分方程式。这就是说，采用二
自由度陀螺的输出和计算机的计算也可以构成捷联式平台。为了讲述的方便，我们认为二自由
度陀螺的角度输出相当于角速度的输出。
对捷联式平台来讲，采用两个二自由度陀螺
Z
就可以了，两个陀螺有 4 个敏感轴，如图 2.15 所
@
示 ， A 陀螺敏感角速度町、町，用图中的 A ， 、 A 2 表
示。 B 陀螺敏感角速度的、吨，用图中的矶、 B 2 表
示。在 Y 轴方向由两个信息岛、 B ， 可以利用，这是
@@Y
二自由度陀螺在捷联式平台中的编排方式之一。
在实际方案选择时，为了增加系统的可靠性，可以
选择多于两个二自由度陀螺的方案。
X
1.四陀螺最优的系统编排
为了得到系统的最佳编排，在排列陀螺时有
图 2.15
陀螺安排方式
三个需要考虑的问题。
1)最大的系统的可靠性。4 个陀螺 A 、 B 、 C 、 D 可以依其敏感轴方向列出表 2.1 ，如图 2.16
所示。
45
Q
惯性技术
亵 2.1
陀螺敏感轴的取向
敏感轴方向
螺
~~
A
X和Y
B
Y和Z
C
Z 和X
D
Y和Z
@
O
@@@Y
xg
这种排列不是最优的，因为，如果陀螺 A 和 C
同时失效，剩下的正常工作的陀螺虽然有 4 个敏
感轴，由于编排不好，也不能提供完整的姿态敏
回 2.16
一种非最优的系统编排
感。
2) 陀螺敏感轴的取向所引起的测量误差要
小。主要是指由于敏感元件不精确所致，如图 2.17
测量误差气
所示。令 ω 为被测的矢量 ， S 为与 ω 矢量构成角度
测得的 ω 分量\
α 的敏感轴方向。所测得的陀螺输出信号为
m
式中
=也)COS α+
~\
~α)\
(2.5.7)
e
S
。二卢户
'
e一一测量误差。
图 2.17
1ω
测量误差示意图
归一化测量误差由下式给出，即
(2.5.8)
αJCOSα
方程 (2.5.8) 表明，当 α= 0 时，此归一化误差最小。换言之，如果要测量飞行器沿着三个坐标
轴的旋转运动，只有当陀螺所有的敏感轴方向与飞行器坐标轴方向重合时，其测量误差最小。
3) 减少计算误差和时间。为讨论方便，做如下假定:如果一个陀螺的任何一个或两个输出
信号失效，就认定整个陀螺是失效的。
根据所考虑的 3 个问题和上述假定，用 4 个二自由度陀螺的高可靠性捷联式惯性组合的最
佳系统编排如图 2.18 所示。陀螺敏感轴的取向和测量结果见表 2.2。
按表 2.2 可得测量方程
m(4)
= R(4) ω
(2.5.9)
式中
m(4) = [m , m2 m3 m4 m5 m6 m7 mgJT
rl
R(4)
=I0
LO
C
0 0
0
0
1
1
01
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
CI
CJ
= cos 45 = 0.7σ7
0
当然， 3 个、 5 个或 6 个二自由度陀螺都可以编排出各自最优的编排方式。
46
(2.5.10)
T
(2.5.11)
Q
醉原理瞅
表 2.2
陀螺敏感轴的取向和测量结果
A1
X 方向
m1
=
ωx
A2
Y 方向
m2
=
αJy
B1
Y 方向
m3
=
αJy
B2
Z 方向
m4
=
ωz
C1
Z 方向
ms
=
ωz
C2
X 方向
m6
=
ωx
D1
X 方向
m7
=
αJx
A
B
C
D
测量结果
敏感轴的方向
陀螺
D2
y
= z 方向
mg
= 0.7叨的+ 0.7臼 ωz
z'8
2. 数据处理一一角速度 ω 的获得
采用陀螺敏感轴的重复安排，除了可提高系
统的可靠性外，还能提供重复的测量。借助于数据
处理技术，可用这种重复测量的数据来减少与各
单个陀螺相关的误差影响。如最小二乘法数据处
@@Y
理方法。
四陀螺最佳的系统编排测量方程展开式为
m2
m31
O
O
1
O
O
m51
10
四陀螺最佳的系统安排
(2.5.12)
O
m6
O
O
m7
O
O
C
C
ms
图 2.18
10
简写为
m
= R，ω
(2.5.13)
上式中， m 是由敏感元件的输出端得到的测量结果，而姿态速率 ω 则是待求的数值 ， R 矩阵是
已知的，因为 R 矩阵的行比列多，采用最小二乘法求解 ω ，可有
ω = (RTR)-lRTm
(2.5.14)
将式 (2.5.11) 代人式 (2.5.14) ，有
47
Q
1-1do
。
till--li
ωωω
『
FEBElli--L
XYZ
-
。
O
O
1
3
1
3
5
-1
-1
12
12
12
U
U
3
CI
-1
12
-1
12
2-
2-
0
0
~
3
1
m
(2.5.15)
」
5
12
o
一一一
12
12
这就是待求的编入计算机程序的数据处理方程。用 Po 表示这个方程及其相应的程序。此
式说明，当有 8 个测量值时，可按最小二乘法的原理，求得最优的 3 个角速度分量估计值。
3. 陀螺故障检测、鉴别和系统的重新编排
故障检测的作用就在于发现系统惯性元件是否发生故障，而鉴别的作用就在于找出失效
的惯性元件。当惯性组合是由 4 个陀螺组成时，正常工作的陀螺和失效的陀螺的排列状态共有
16 种，如全部陀螺都是正常的状态，或有一个陀螺失效了的状态，或有 2 个陀螺失效了的状态
等等。下面将证明，虽然在所有状态下都能进行故障检测，但不是在所有状态下都能进行失效
陀螺的鉴别。
当 4 个二自由度陀螺工作都正常时，从测量方程 (2.5.12) 可以发现下列 6 个条件成立，即
m6 mg -
m7 自 O
Cm3 m4 -
Cm4 阻。
ms "'"
(2.5.16)
0
m7 - ml "'" 0
m6 - ml
= 0
m2- m 3""'0
近似相等符号"自"是由于正常的测量误差引起的，假定两个失效陀螺不发生相同的故障，或
者，即使是相同故障，但不在同一时间内发生故障。因此，如果任一陀螺发生了故障，式
(2.5.16) 中将有一个或几个方程式不能成立。这 6 个方程式被称为奇偶检验方程。
配给上述方程 (2.5.16) 一个量值 k i ， 当方程式成立时 ， k i
= 0 ，方程式不成立时 ， k i = 1 ，这
样，在一次测量后，经过比较可得 k 1 至 k6 6 个真值，把可能出现的真值状态排列如下，构成一个
失效陀螺鉴别用的真值表(表 2.3) 。
从表 2.3 可看出 12 种可辨别的系统状态。其中有 11 种失效陀螺个数是不超过 2 个的情况，
余下的一类状态包括 5 种情况，发生故障的陀螺都在 2 个以上，只能检测出故障，而不能鉴别失
效陀螺，计算机平台已无法正常工作。
当系统中的 1 个或 2 个陀螺发生故障时，前述的系统方程 (2.5.15) 和计算程序 Po 已不适
用，应根据发生故障陀螺的情况，寻求新的系统方程和对应的计算程序 Pi 。系统的重新编排并
不需要改变系统的硬件，利用计算机通过改变软件程序就可以既方便又迅速的实现。如陀螺 A
发生了故障，则测量值 ml 和叫不能用于数据处理，从方程 (2.5.12) 中消去 ml 和叫的行，就
二章惯时阳原理及分类
褒 2.3
Q
失效陀螺鉴别用的真值褒
、
奇偶检验值
失效陀螺
再编排的解算程序
k1
k2
k3
k4
ks
k6
没有
。
。
。
。
。
。
A
。
。
。
B
。
。
。
C
1
O
1
。
P3
。
。
P4
o
D
。
A、C
1
1
P2
1
1
Pg
。
B、 D
I
P9
。
P lO
。
C、 D
l
l
测和失效陀螺鉴别
P7
1
B、 C
1
A 、B、D
1
A 、 C、D
Pu
I
B、 C 、 D
A 、 B、 C、D
可以进行故障检
P6
1
。
A、D
A 、B、 C
Po
PS
o
管理的条件
P1
。
A、B
敏感兀件性能
报告全部出故障
I
仅能检测故障
1
可以得到方程式
r
m3 I
ro
1
m41
10
O
O
m61
11
O
O
。
C
C
mg
O
i
[::l
(2.5.17)
ωz
或表不为
m) =
R) ω
(2.5.18)
则新的最小工乘法数据处理方程应为
ω =
(RTR))-)RTm)
(2.5.19)
用 P) 表示与上式对应的程序。一般来说，在前 10 种故障条件下，系统的重新编排，可以在数据
处理方程中依据失效陀螺的编号顺序，选取相应的测量矢量 mi 和测量矩阵 Ri 来完成，用表达
式
ω=(Rmi)-lRMZ
表示，其对应程序用 Pi 表示，符号中 i
、
(2.5.20)
= 1 ， 2 ，…， 10。对于后 5 种情况，由于失效陀螺个数多于
49
o
2 个，而正常工作的陀螺只有 1 个，计算机平台已不能工作，所以系统重新编排既是不可能的，
也没有意义。
四、冗余技术在捷联惯性组合中应用的进一步讨论
随着对惯性导航技术要求的越来越高，惯性导航系统的可靠性的研究工作也更加受到重
视。对于平台式惯导系统，为了提高系统的可靠性，至少采用两套系统，一套系统正常工作，另
一套则做备用，组成备用系统。备用系统处于随时都能投人使用的状态，以此提高系统的可靠
性。如要自动检测故障，则必须有外部参考信息。采用三套完全相同的平台式惯导系统同时工
作，是更为完善的办法，称其为并联系统。对于并联系统，当它的某一个子系统发生故障时，运
用简单的表决技术，就可以自动判断故障的产生和其位置。可明显地看出，并联系统或备用系
统，其可靠性的获得，都是通过产品在成本上的两倍或三倍的提高来获得的。
由于捷联'惯导系统在结构上的特殊性，人们发现仅仅采用有多个惯性元件组成的冗余惯
性组合，可以提高惯导系统的可靠性。文献记载中的各种元件故障率数据，一般是指在地面固
定良好的条件下使用的数据。如要在恶劣的条件下使用，还要乘以苛刻系数 K 。对不同的元件，
系数 K 是不同的。如对电阻、半导体器件等，无论在飞机上或导弹上都规定为 2 - 10 ，而对于电
位器、变压器、开关等，在飞机上定为 20 ，在导弹上定为 25 - 70 。对于继电器、电机等，在飞机上
定为 20 ，在导弹上定为 1 翩。一般来说，惯性元件本身的可靠性，远小于电子器件，再加上悬殊
比值的苛刻系数，惯性元件本身就成为提高捷联惯导系统可靠性的薄弱环节。努力提高惯性元
件本身以及整个惯性组合部分的可靠性，是提高惯导系统可靠性的关键。这就是较多的在惯性
元件级上探讨捷联惯导系统冗余技术的主要原因。
惯性元件测量轴(敏感轴、输入轴)相对飞行器坐标系定位的总体安排称为配置，在上节
我们用 R(4) 阵来表示，并以 4 个二自由度陀螺为例进行了讨论，本节将以单自由度陀螺为例
进-步讨论。
1.最佳配置与可靠度
为讨论方便，设每个惯性元件的可靠性是)致的，捷联惯性组合的可靠度 Q( 设仅依赖于
单自由度陀螺)可达到
Q
式中
= c;:yn +
c~-lyn-l (1
_ y) +…+
γ一一单个元件的可靠度，或表示为 Rl' Rl = e-
c让3 (1
Àt
_ y)n-3
(2.5.2 1)
为失效率;
t一一时间;
n一一惯性元件的个数。
在惯性组合中，陀螺的安装方位可用一配置矩阵 R 来表示，即
lα1α2
R
50
T
= I b1
b2
L Cl
C2
…
αn
I
…
bn
I
Cn .J
(2.5.22)
的基本原理及分类 。
式中
矶、 b i >ci (i =1 ， 2 ， …， n)一一第 i 个陀螺输人轴指向在飞行器坐标系中的方向余弦值。
式 (2.5.21)表示 n 个陀螺配置后所能达到的最大可靠度 Q ， 条件是所配置的陀螺输人轴，
其任意两个不得共线和其任意 3 个的组合不得共面。对配置矩阵 R 来说 ， R 中任意 3 行所组成
的矩阵，其秩均应为 3 ，否则，式 (2.5.2 1)应改写为
Q' = C;:yn +
式中
c:,-y-l (1 -
y) + …+ (~ - L4) y4(1- y) 叫+ (C~ - L3 ) 泸 (1- y)n-3 (2.5.23)
L4 、 L3一一任意 4 个元件输人轴、 3 个元件输入轴共面的次数。
多于 4 个元件输人轴共面的次数如果存在，也应类似考虑。将上式 Li = 0 时的配置矩阵 R
称为可靠性最好的 n 个元件的最佳配置。从配置矩阵 R 可见，当陀螺输人轴相对飞行器坐标系
主轴斜置时(即矶、 b i 、 Ci 均不等于零) ，出现共面的可能性小。当输入轴沿坐标系主轴方向配置
时(即向、 b i 、 Ci 任一值不为零，其它值为零) ，出现共面的可能性最大。对于单自由度陀螺的几
种主要配置形式列写如下。
采用 4 个单自由度陀螺时，有两种非正交配置，其配置矩阵分别为
1
O
O
O
1
O
O
O
1
JEESI- nα
RJ=|
12.
2
C08
8mα
JE豆 8mα
JE2sm.
-JEESI. IIα
12.
2
(2.5.24)
α
α
C08
α
8mα
C08
α
(2.5.25)
- 12.
-
J主
8mα
2
C08
α
JE豆 8mα
-JE豆 8inα
C08
α
2
8mα
其配置如图 2.19 和图 2.20 所示。
图 2.19
四陀螺非正交配置之一
51
Q
惯性技术
④
+z
②
\αlα/
ιO
①
+z
⑦
\αlα/
1m
0
困 2.20
四陀螺非正交配置之二
采用 5 个陀螺时，其配置矩阵为
sm
sm αcos
R5
=
O
α
ß
sin αsin
-sm
…f
sm
-sm
αmf
-sm
sm αcos 卢
ß
cos
α
cos
α
αmf
αsm
-sm αsin
(2.5.26)
且
2
cos
α
ß
cos
α
其配置图形如图 2.21 所示。
zt @
Y
①陀螺输入轴在 xz 平面内，
5 个陀螺的输入袖在 XY 平面
内的投影均匀分布，夹角为 β
图 2.21
五陀螺非正交配置
采用 6 个陀螺时，其配置矩阵和配置图形有两种形式，最佳的为正十二面体配置，其配置
矩阵为
52
二章惯性导航的基本原理及分类
sm
α
-sm
R6 ' = I
α
O
cos
α
O
cos
α
cos
α
sm
cos
α
-sm
O
α
(2.5.27)
O
α
o
。
cos
α
sm
O
cos
α
-sm
α
α
其配置图形如图 2.22 所示。
Z
X
③
⑥
Z
Y
④
Y
固 2.22
正十二面体配置
另一种形式为正八面体配置，其配置矩阵为
cos
45。
- cos
RJ=|
45。
cos
45。
cos
45。
O
O
cos
45。
cos
45。
0
O
45。
O
cos 45
- cos
O
cos
45。
cos
O
cos
45。
- cos
(2.5.28)
45。
45。
其配置图形如图 2.23 所示。
上述配置中， α 和 β 值的确定是依据使导航性能最佳的原则而导出的，分别为
R4 ' 中
Rs 中
R6 中
α=
arcsinß
α= 叫什卢 =
7T
乒士5
53
Q
X
Y
@
Z
圄 2.23
正八面体配置
2. 最佳配置与导航性能
用导航参数估计误差的大小来表征导航性能。系统的测量方程为
M=
式中
R，ω+ε(2.5.29)
ε一一随机测量噪声 ， n x 1 列矢量。
为讨论方便，设 E( ε)
= O, E(u T ) = (j2 J.珑 ， E( . )为均值符号 ， In 为 n
x n 单位矩阵。
采用最小二乘法求解角速度的估值，有
w= (RTR)-lR™
(2.5.30)
而估值误差的协方差阵为
~2 = E[ ( ω - w)( ω 一 W)T] = (R TR)-la 2
(2.5.3 1)
因为式中的 R 阵的排列对应于不同的配置，称式 (2.5.3 1)为导航参数估值误差的表达式。为
使估值误差的协方差仨最小 ， RTR 应为最大值，其值为
T
R R
式中
r ~ a7
~ aÞi
~ aicil
= I ~ aÞi
~ b7
~ biCi
L~αiCi
~ b的
~dJ
I
(2.5.32)
~一一-t 从 1 至 n 的代数和，以下也类同。
当 R 矩阵是含有正交列矢量 nx3 的矩阵时，上式可表示为
r ~ a7
T
R R
54
=I
L
0
0
1
0
~ b7
0
I
0
0
~
dJ
(2.5.33)
o
第二章时航础原理及分类
称为对角阵。设 RTR 短阵的特征值为 ìq 、 À2 、 λ3 ，则有
Tr(RTR)
当 À1
= À2
= À 1 + À2 +λ3 = ~ a7 +
~
b7 +
~ c7
=n
(2.5.34)
=们时 ， RTR 值最大，导航误差最小。可以看出，系统估值误差的方差与惯性元件的
数量 n 有关，其值随着 n 的增加而减小 ， n 个惯性元件所能达到的最好导航性能，其表达式为
'=fzJ
(2.5.35)
式中 13 为 3x3 单位阵。对于满足上述条件的配置矩阵 R ， 在 X 、 Y、 Z 三个方向上的估值误差的
方差是一致的，称其为等方向具有最小误差传播特性的最佳配置，其导航性能最佳。
3. 故障检测和故障元件的隔离
故障检测和故障元件的隔离是捷联惯导冗余技术研究中的另一个重要内容，只有实现了
这一条件，按式 (2.5.2 1)计算的可靠性 Q 值才能成立。能够检测出故障就必须在有噪声的信
息中检测出所需要的信息，并判断出故障仪表所在。
设 n 个惯性仪表的测量方程仍取为
M= JlJω+ε
(2.5.36)
CR = 。
(2.5.37)
= CB
(2.5.38)
选择矩阵 C , 3.x n 维，且使
如设 V = CM ， 则有
V
说明矢量 V 应和惯性组合的输人量元关，而仅仅依赖于仪表的输出误差(包括失效仪表
的不正常的输出) ，对此信息的处理可以得到故障信息和故障的位置。前面讲过的奇偶方程和
真值表方法，是这种方法的体现。
一些故障检测算法源于下列两式
ro = (RTR)-IR™
ε=
[I -
R(R TR)-IR T ]M
(2.5.39)
(2.5.40)
对以上两式直接估算可以发现系统是否有故障，而由仪表本身的测量值和由其它仪表所
做的估值进行比较，就可判断故障所在。一些统计误差的判断法，就是这个思想的引申。
2.6
各类系统的特点及适用范围
本章主要讲述以转子陀螺为背景的各类惯导系统的基本工作原理。
在半解析式惯导系统中，采用了眼踪当地水平面的惯导平台。在一般使用情况下，载体的
加速度方向与平台定向之间的相对位置，在导航系统使用过程中变化较小，因此，陀螺的漂移
也比较稳定，并可事先估计或经实验测定而加以补偿。此外，这种系统还具有下列优点，由于惯
导平台指示真垂线方向，除了对导航系统有用之外，还可提供给其它武器装备做水平基准之
Q
单些，但这种系统也有下列缺点，
用。系统元需对重力加速度进行补偿，因而对计算机的要求简
出了较高的要求。这种系统可
对于陀螺仪中的力矩器及平台闭环系统中各元部件的线性度提
用于舰船、飞机及飞航式导弹上。
速度计将测量载体相对惯性
在解析式惯导系统中，惯导平台的定位相对惯性空间稳定，加
分。由于系统结构上没有修正因
空间的加速度，在加速度计的输出信号中不含有哥氏加速度成
而减少了一个可以产生干扰信号
路，所以，平台上陀螺的力矩器中也没有相应的修正电流。因
力加速度进行修正，以及进行坐
的来源，对力矩器的线性度要求可以适当放宽。但是为了对重
较短的导航中应用，如用在弹道式
标变换，需要较多的计算工作。这种系统，适宜在使用时间比
导弹上。
的方向余弦矩阵代替了平台的作
捷联式惯导系统由于省去了稳定平台，储存在计算机中
件级上采用冗余技术来提高系统的
用，因此，尺寸和质量大为减少。特别是，该系统还易于在元
光陀螺和光纤陀螺)的性价比的
可靠性。因此，随着计算技术的发展和捷联式系统用陀螺(激
提高，这种系统是有很大发展的。
给陀螺和加速度计，从而
捷联式惯导系统遇到的困难是载体把自身的振动环境直接传递
且要保持良好的线性度。该系统
使他们的工作条件变得苛刻;要求陀螺仪能在大输人在E 围工作
还要求计算机有大的容量和快速性。
这种系统多用于导弹中，飞机用捷联式惯导系统巳商品化。
思考题
1.画图说明半解析式惯性导航系统基本的工作原理。
2. 说明半解析式惯性导航系统平台的构成和工作原理。
3. 推导半解析式惯性导航系统加速度计输出信号公式。
4. 简述解析式惯性导航系统工作原理。
5. 说明捷联式惯性导航系统的工作原理。
6. 如何建立方向余弦矩阵微分方程式?
7. 捷联式惯性导航系统惯性元件组合的冗余概念。
56
l
第三章 惯町的主要敏感元件
|
陀螺仪有很广泛的应用，使用目的有两个，一个是使用陀螺仪来建立一个参考坐标系，另
一个目的是用它来测量运动物体的角速度。与此对应，在惯性导航系统的应用中，陀螺仪分别
被用做平台式惯导系统和捷联式惯导系统的敏感元件。在平台式惯导系统中，用陀螺构成稳定
回路来稳定装有加速度计的平台，而产生平台漂移的主要因素是陀螺的漂移。因此，在使用中
对陀螺仪的漂移值的大小提出一定的限制。对于捷联式惯性导航系统，除上述要求外，还必须
对陀螺仪提出速率范围，标度因数的精度，带宽等特殊要求。由于陀螺仪是应用于各种不同场
合，因此对其漂移速度的要求也不尽相同。这与应用的情况，系统对精度的要求，使用时间的长
短等因素有关。在同一个系统的应用中，采取了不同的总体设计方案时，也会对陀螺仪的精度
提出不同的要求。一般说来，惯性导航系统所用陀螺的漂移速度都小于 O.I O /h 。就使用对象来
划分，战术导弹和火力控制用陀螺仪，漂移速度大于 O.I O /hj 巡航导弹用陀螺仪，漂移速度约在
O. OlO/h 至 O. ∞I O/hj 弹道导弹用陀螺仪，约在 O. ∞I O/h 左右;潜艇惯导系统用陀螺仪应在
O. ∞ I O/h。此外，对用于半解析式惯导系统中的陀螺仪，由于需要对陀螺仪进行精确控制，因
此，对陀螺仪力矩发生器的线性度提出了严格的要求。
当前，在惯性导航系统中应用的陀螺仪，机械式的陀螺仪仍有很大的市场，尤其是挠性陀
螺仪的应用最为广泛。激光陀螺仪的技术已经成熟，业经市场考验多年，有很强的竞争力。因
此，随着科学技术的发展，要注意惯性导航系统中陀螺仪的选型工作，捷联式惯导系统用陀螺
仪会有更大的选择余地。
3.1
陀螺仪的力学基础
一、定点转动刚体的动量矩
从动力学的理论可知，刚体绕定点转动时，对固定点的刚体动量矩为
H = I J x (dmv) = I r x (ωx r )dm = I [( r • r) ω- (ω • r)r Jdm
JM
式中
JM
JM
(3. 1.1)
r 、 v一一-刚体质量 dm 相对定点的矢径和速度;
ω一一刚体的角速度。
以刚体坐标系。IXYZ 的分量表示 r 和 ω ，即
r=xi+yj+zk
ω=ω'x i + ωyj + ωzk
(3. 1. 2)
57
G
将式 (3. 1. 2) 代人式 (3. 1.1)，用 Jx，]y，Jz 分别表示刚体相对 OX ，
OY , OZ
3 个坐标轴的转
动惯量，用 Jxy ，]yz ，Jzx 分别表示刚体的 3 个惯性积，则有
H
= (Jxwx-
归的-
JxzW z )i + (J}w y - hρz - JYXWx)j + (Jzω'z - Jzxcux - Jn的 )k
(3. 1. 3)
当 OX ， OY ， OZ 是 3 个惯量主轴时，上式可简化为
H
= Jxωxi + J }W yj + JzWzk
(3. 1. 4)
式 (3. 1. 4) 就是对固定点的刚体动量矩的表达式，因为转动惯量的 3 个分量常常是不相等
的，只有刚体绕惯量主轴旋转时，惯性矩和旋转角速度才共线。
二、定点转动刚体的动量矩定理
式 (3. 1.1)两侧对时间 t 进行微分，有
dH
rI 一d ,(r
一=
dt - JMdt"
,. , ,
r r dr
. dv 1
~~ ^x ,(dmv)
r x dm 业 1 =
^x ,(dmv))
u".r// =
JMLdt
u".r/ +
T ' ^ '"'". dt J
I I
f)v x (dmv) + r x dma]
f Mr 巾10 =
f
Mr
x dF
=
=M
(3. 1. 5)
在上式的推导中，利用了等式 v x v = 0 和 dma = dF , dF 是作用在 dm 上的外力。将等
式
dH
dt -
(3.1. 6)
H~
称为定点转动刚体的动量矩定理。表明刚体对任
Z
一固定点的动量矩对时间的微分等于作用在刚体
上相对同一点的外力矩。图 3.1 给出了动量矩定
理的另一种表示式 ， OXYZ 是固定坐标系，刚体的
V
A
动量矩 H 等效于一个矢量 OA ， 其一个端点是定点
dH
.r... ....I.~-
0 ， 而导数 dt 也就表那另一个矢量端点 A 的速
Y
度，即
dH
dt =
或有
VA
VA
= M
(3.1. 7)
图 3.1
动量矩定理的一种褒示
上述定理也可做如下叙述:
刚体对于固定点 O 的动量矩矢量末端的速度，等于外力对固定点的总矩，称为莱查定理。
58
系统的主要敏~:ffif4
0
三、刚体定点转动的欧拉动力学方程式
将式 (3. 1. 4) 代人式 (3. 1. 6 )，可得
Jxtz+(h 一仙jWz = 屿
JytY+(h 一仙zWx = My
(3. 1. 8)
Jztz+(JY 一仙XWy= 岛
上式被称为刚体绕定点转动的欧拉动力学方程式。这是一组非线性常微分方程组，只有在特殊
的条件下才存在解析解。
式 (3. 1. 8) 所用的坐标系。IXYZ 是和刚体固联的坐标系，有关转动惯量及其分量是一个常
值，而刚体相对惯性空间的旋转角速度和外力矩都是以这个坐标系计算的。在工程应用中，动
量矩 H 也称为角动量 H ， 式 (3. 1. 4) 可写为
H = Hx i + Hyj + Hz k
(3. 1. 9)
式 (3. 1. 8) 也可写为
dHy
dt +
a
dHv
ωyHz - ω zHy
= Mx
(3.1. lOa)
+ω'zHx - ω xHz =
My
(3. 1.lOb)
石主 +ω'xHy - ω yHX =
Mz
(3. 1. lOc)
d~'
dH7
可以看出动量矩 H 相对惯性空间的变化率的表达式为
dHI
dt 11
dHI
I
dt I r
→一=一~-
+ω xH=M
'
-
~
(3. 1. 11)
四、陀螺仪近似理论
为了满足工程需要，对欧拉动力学方程式做进一步的简化。
首先，通过工程的方法使动量矩 H 为常值，其导数(相对变化率)为零，则式 (3. 1. 11) 成为
ωx
H = M
(3. 1. 12)
动量矩 H 在外力矩的作用下，相对'惯性空间做角速度 ω 运动，外力矩 M 、动量矩 H 和角
速度 ω 三者的关系如式 (3. 1. 12) 所示，成为陀螺仪的进动方程式，角速度 ω
称为陀螺进动角
速度。陀螺在进动的同时也会产生反作用力矩 MG 与外力矩相平衡，即只要动量矩 H 在惯性空
间被改变方向，就会产生陀螺效应。反作用力矩 MG 被称为陀螺力矩，其表达式为
Hx ω
= MG
(3. 1. 13)
59
Q
当陀螺所受的外力矩 M 为零时，角速度 ω 也为零，动量矩 H 相对惯性空间不动，这种现
象称为陀螺仪的定轴性。
当陀螺、所受的外力矩 M 为冲击力矩时，动量矩 H 将相对惯性空间做微幅高频振荡，称为
陀螺仪的章动性，在空气阻尼和轴承摩擦的作用下，振荡会很快消失，动量矩 H 相对惯性空间
的方位基本不受影响，显示出 H 定轴性。一般情况下，不讨论章动性对陀螺使用精度的影响。
图 3.2 给出了一个高速转动的自由转子陀螺的示意图，由于转子的对称结构，对 3 个惯性
主轴存在转动惯量，而其惯性积等于零，动量矩 H 相对'惯性空间的运动，满足于刚体绕定点转
动的欧拉动力学方程式 (3. 1. 8) 和陀螺仪近似理论的进动方程式 (3. 1. 12) 。
图 3.3 给出一个框架结构的陀螺仪示意图。由高速旋转的转子、内环和外环框架以及对应
的内环轴和外环轴组成，转子质量相对惯性空间有三个自由度，但动量矩 H 相对惯性空间有
两个自由度，常称其为二自由度陀螺(也有资料称其为三自由度陀螺)。转子的赤道转动惯量
Jx 和 ]y 相等，一般是极轴转动惯量的 0.5 - 0.6 倍，转子的转速一般在每分钟为 18ω-
24 000 转之间，而转子绕 ox 轴和 OY 轴的进动角速度不超过每分钟几度，因此，可以忽略 Hx 和
Hy 项，从方程 (3. 1. lOa) 和方程 (3. 1. lOb) 可得
ωyHz
= Mx
-ωxHz =
或写成
ω yH
My
= Mx
-ωxH = M y
(3.1. 14)
这是陀螺进动方程式 (3. 1. 13) 的分量表达式。即在陀螺的 X 轴作用外力矩，陀螺将在 Y 轴产生
进动角速度;在 Y 轴作用外力矩，陀螺将在 X 铀的负方向产生进动角速度。
。
fY
Z
图 3.2
自由转子陀螺
图 3.3
框架陀螺仪
在工程上要保证使 H 为常值，使式 (3. 1. 13) 的第 3 个分量表达式满足下式
dH
dt -
~
就必须使 Z 轴电机力矩克服介质阻尼力矩和摩擦力矩等，使合力矩 Mz
60
= 0 的条件得到满足。
自阳统的主要敏机
3.2
o
单自由度陀螺仪
一、基本结构
对于一个机械式陀螺仪，除了沿转子轴方向外，陀螺转子相对仪表壳体还有一个自由度的
陀螺仪称为单自由度陀螺，图 3.4 给出了结构示
意图。在惯性导航系统中选用的是浮子式单自由
度(或双自由度)陀螺仪。
陀螺转子和陀螺内环构成陀螺浮子组合件，
内环以密封的圆筒形式给出，内环轴也称为输出
轴，输出轴通过精密的宝石轴承固装在壳体上，因
而，转子除了绕自转轴的高速转动之外，相对壳体
只能绕输出轴进动，角动量 H 相对惯性空间只有
一个自由度。在原理上，绕输出轴还有一个阻尼器
C 和相对壳体转动有一个弹簧 K 约束。和转子轴、
输出轴正交的轴称做输入轴，也称为敏感轴。在用
图 3.4
单自由度陀螺仪原理结构固
单自由度陀螺组成平台时，单自由度陀螺输入轴方向，就是平台稳定轴方向。单自由度陀螺仪
的精度取决于绕输出轴的干扰力矩的大小，为了减小绕输出轴的摩擦力矩，采用悬浮技术，即
把做成封闭式圆筒的内环放在高密度的浮液中，整个浮子的重量由浮液来承受。这样，宝石轴
承只起定位的作用了。而且，人们往往利用浮液对浮筒所产生的阻尼作用代替图 3.4 上的阻尼
器 C 。从工作原理看，具有图 3.4 那种结构的陀螺，在没有弹簧时，称为积分陀螺。而当阻尼作用
可以忽略，在输出轴只存在弹性约束，就叫做速率陀螺仪。单自由度陀螺仪比起二自由度陀螺
仪在制造工艺上有些实际的优点，即只限于在一根轴上(输出轴)需要做得使干扰力矩很小。
尽管单自由度陀螺仪有这种优点，但在使用上却
H
比二自由度陀螺复杂一些。由单自由度陀螺构成
8 j 输入轴
的伺服系统不是一个简单的位置随动系统，速度
积分陀螺是伺服系统中的积分环节，它的动态特
性对伺服系统的性能有很大的影响。
输出轴
X
二、工作原理和传递函数
选定陀螺坐标系。:XYZ 和陀螺转子相固联，
但不参与转子的自转，如图 3.5 所示，坐标轴 oz
沿角动量 H 方向 ， OX 沿输出轴方向 ， OY 则定义为
固 3.5
陀螺坐标系
61
o
陀螺的输入轴方向。当飞行器沿陀螺输入轴方向有角速度。 1 转动时，角动量 H 在输人轴方向
没有转动的自由度，飞行器将强迫角动量 H 相对惯性空间以 è i 转动。因此，陀螺要在输出轴方
向产生陀螺力矩，在陀螺力矩的作用下，陀螺浮子组合件绕输出轴进动，进动的角度是陀螺输
入角速度的积分，完成了敏感角速度的功能。
图 3.6 给出了实际使用的单自由度浮子式积分陀螺仪工作性能方块图。图中，在输出轴上
增加了一个信号传感器 SG 和一个力矩器 TG ，力矩器 TG 在控制电流 I岖的作用下，产生控制力
矩作用在浮子组合件上，浮子组合件绕输出轴的转角(信号器 SG 输出的信号)将和控制电流
乌成比例。可见控制电流 I岖的作用，等同于输人角速度。 i 。
图 3.6
浮子积分陀螺仪工作性能方块图
H一陀螺仪角动量 ;J一浮子组合件绕输出轴的转动惯量 ;C一阻尼器 ;TG一力矩器 ;SG一
信号传感器;儿一控制或补偿电流 ; è i一输人角速度 ;8。一浮子绕输出轴的转角 ; e。一信号器
的输出电压 ; T 1 一陀螺力矩 ; T2 一力矩器产生的力矩
按陀螺的工作原理，在不考虑 I悟和忽略绕输出轴的摩擦力矩情况下，沿输出轴列写微分
方程式
Wi
= Jë o +
cè o
(3.2. 1)
假定初始条件为零，进行拉氏变换，可得系统的传递函数为
θ。
8i
H
-
Js + C
-
L_ .
θ。
8i
H/C
Cυτ
1
(3.2.2)
且
或写为
。o
百 =
H/C
,J
.\
s(é s + 1)
(3 .2.3)
式 (3.2.2) 、 (3.2.3) 均可视为浮子式积分陀螺传递函数。 H/C 为静态放大系数，单位为弧度，
数量级在 1 左右。 J/C 为时间常数，单位为秒，其值在毫秒级。在稳态情况下，式 (3.2.3) 可用一
积分环节代替，即绕输出轴的转角。。是输入角速度的积分。下面举出一个早期的浮子陀螺的
62
的要敏元件
o
参数，用来说明这种陀螺的性能。 18IRIG Mod B 型陀螺用于"阿波罗"飞船捷联式惯性装置中，
在 1968 年 8 月投入使用。
尺寸
</>4. 6 x 9. 8 cm
重量
522 gf
转速
24α)()
角动量 H
阻尼系数 C
1. 51 x 10S g . cm2/s
502 gf. cm. s
绕输出轴惯量 J
225 g • cm2
时间常数 T = 才
450 阿
静态放大系数 HIC
0.3
r/min
据浮子陀螺工作原理和功能方块图，可做方块图 3.7 ，也可简化成图 3.8 的形式。
图 3.7
浮子积分陀螺仪方块图
下面根据式 (3.2.2) 分别给出浮子积分陀螺
的静态误差、过渡过程和频率特性。
θ Js)H/C
|
静态误差:
对于单位阶跃输入 Oi(S)
= 1/ s ， θ。 (S) 为
HIC
OO( S) = 一一一厂
s (1 + 芒S)
图 3.8
一一一一
TS+ 1
钱。)
浮子积分陀螺仪简化方块图
(3.2.4)
应用终值定理，有
。o (t)
= HIC
(3.2.5)
，-∞
对于一个常值 A 角的输入，则有
。o
= AHIC
(3.2.6)
对于单位阶跃输入后，陀螺的过渡过程，可从式 (3.2.2) 的反变换求得，即
。。(t)=5[lJ( 叫
(3.2.7)
63
o
特性如图 3.9 所示。
用 jω 代人式 (3.2.2) ，可以得到浮子陀螺仪的频率特性为
。00ω)
H/C
民 (jω) - 1 +才 (jω)
(3.2.8)
可见上式是一个非周期环节。可画出对数频率特性如图 3.10 所示。
dB
20lg
。
坦
1. 0
擅
O.
灰
。
.
乍''
A
斗
，、U
娶
圈 3.9
αy
Ill--T
9ob
浮子积分陀螺仪对角度阶跃输入的晌应
图 3.10
w
浮子积分陀螺仪对戴频率特性
三、单自由度陀螺仪传递函数的一般讨论
单自由度陀螺仪传递函数一般的表达形式为
。o( s)
lN s)
Hs
=
Js 2 ---;-Ds
式中的分子部分品， θi( S) 为绕输入轴角速度产
生的陀螺力矩项，等效于绕输出轴作用的控制力
(3.2.9)
+ K
占1c+ 占1，
矩 Mc 或干扰力矩 Me 项，也等效于飞行器(陀螺壳
体)绕输出轴角运动产生的 ]Ö oX 力矩项。可用方
JS 2 +Cs+K
块图 3.11 表示。
对于式 (3.2.9) ，当陀螺的阻尼系数大，而弹
性力矩系数可忽略，稳态时，浮子组合件的输出转
角和输入角速度的积分成比例，这是上边讲过的
固 3.11
单自由度陀螺仪传递函戴一触的褒达式
单自由度浮子式积分陀螺仪。.
对于式 (3.2. 的，当陀螺的弹性力矩系数大，而阻尼系数可忽略时，稳态时的浮子组合件输
64
自惯性系统的主要敏!ffkJëftj:
0
出转角和输人角速度成比例，这种陀螺称为单自
由度浮子式微分陀螺仪。在工程中，可通过将单自
由度浮子式积分陀螺仪加-力反馈回路，实现微
分陀螺仪的功能，即回路输出的转角和输入角速
度成比例。如图 3.12 所示。
对于式(3 .2. 的，当陀螺的阻尼系数和弹性力图 3.12
单自由度浮子积分陀螺仪的力反馈回路
矩系数都可忽略时，浮子组合件的转角与输入角速度的两次积分成正比，称为二次积分陀螺
仪，在工程上无实用价值。
四、陀螺漂移误差模型和主要特征参数
单自由度浮子式积分陀螺仪作为元件被系统选用时，除通常要考虑的体积、质量和耗能等
常规的技术指标外，有以下参数给定，可供系统设计时选用。其中，最主要的参数是陀螺漂移。
当陀螺的输人角速度为零时，陀螺仍有不等于零的某一数值输出，这个数值等效于有一个
输入角速度的作用，这个角速度称之为陀螺漂移。按陀螺进动方程式 (3. 1. 2) ，单自由度浮子
式积分陀螺仪的漂移大小主要取决于绕输出轴的干扰力矩。其通用的数学模型表达式为
ωd = Ðf + Ð i ( SF)i + Ð.( SF). + Ðo( SF)o + Ðn( SF )Ì + Ð回 (SF); +
D∞ (SF)~ + Ð i.( SFM SF). + Ð回 (SF)o( SF). + Ð以 SFM SF)o
式中
(3.2.10)
ω 「一陀螺的总漂移值， (O)/h;
D(一一，与比力元关的陀螺漂移， (o)/h;
Dj. Ð窜 ， Ð。一一分别为正比于沿输入、自转和输出各铀的比力的漂移系数， (O) Ih. g;
Dn , Ð咽 ， Ð∞， Ði• , Ðos , Ð io一一分别正比于各轴的比力的乘权的漂移系数，脚标 11 表示
沿输入轴比力的平方，脚标 is 表示沿输入轴和自转轴比
力等， (O) Ih.
i;
(SF)j ， (SF). 、 (SF)o-一分别为沿输入轴、转子轴和输出轴的比力分量。
上述与比力无关的漂移，主要是由于弹性力矩、传感器的反作用力矩等引起，其计量单位
还可用 meru( 地球自转角速度的千分之一)表示。与比力一次方有关的漂移，主要是由浮子的
质量不平衡，或温度变化引起浮心和质心的变化。与比力乘积有关的漂移，主要是浮于组件结
构刚度的非等弹性的设计，存在与比力乘积有关的漂移。在工程使用上，根据系统的不同要求，
仅仅选用其中部分项对陀螺漂移误差建模。
一般，对陀螺漂移还要进一步分为常值漂移与随机漂移。一个陀螺在一次起动后有一个常
值漂移值，不同次的起动，各次的常值漂移是不等的，其均值可补偿掉，标准差定义为逐次(日)
漂移，这个量是陀螺精度的主要标志。随机漂移主要是由白色噪声和有色噪声组成，在高精度
陀螺的应用中，也是一个重要的技术要求。
65
o
此外尚有-些参数对说明陀螺的特性也很重要。
1)标度因数，它是陀螺(或元件)的输人和输出之间的比例系数，对于在速率状态下工作
的陀螺，输人为角速度，而输出为电流，因此标度因数的计量单位为 mAI[ (0) • h- 1 ] 。
2) 角动量，陀螺的角动量是指绕转子自转轴的转动惯量与转子转速的乘积，其计量单位
为 g' cm2 /s 。
3) 阻尼系数，它是单位角速度所引起的浮子阻尼力矩，其计量单位为 dyne
• cm • S 。
4) 弹性约束系数，它是绕输出轴的浮子约束力矩与输出角的比值，其计量单位为 dyne
cm
•
'rad 。
5) 时间常数，对于单自由度浮子积分陀螺来说，时间常数在数值上等于绕输出轴浮子的
转动惯量与绕输出轴的阻尼系数的比值兰，其计量单位为 s。
3.3
二自由度陀螺仪
理论上的二自由度陀螺，是陀螺转子相对陀螺壳体有两个自由度，而两个支撑点的摩擦力
矩趋于零，按陀螺进动理论，在无外干扰力矩的状态下，角动量 H 相对惯性空间的定轴性使其
成为运动体的参照系，运动体绕陀螺内、外环轴的转角，就是飞行器的姿态角。
二自由度陀螺仪的陀螺转子可以相对壳体绕
H 外环轴
两个轴进动。因此，相当于有两个输人轴和两个输
出轴，即用一个陀螺转子可以敏感两个轴的角运
动。应该注意的是，它的每一个轴，既是输入轴又
是输出轴，如图 3.13 所示。
为了提高二自由度陀螺仪的定向精度，就必
须同时降低绕内、外环轴上的干扰力矩的数值，才
能提高二自由度陀螺仪的性能。为了降低干扰力
矩，通常采用悬浮技术。利用框架支承的二自由度
陀螺仪有多种形式，在惯性导航中常用的有二自
圈 3.13
二自由度陀螺仪结构示意圈
由度液浮陀螺仪和二自由度气浮陀螺仪。
二自由度的液浮陀螺仪和单自由度的浮子积分陀螺仪在动态特性上的主要差别是他们对
输人的反应不同。正像在前边讨论的那样，对于一个单自由度浮子式积分陀螺仪，沿输人轴有
角速度输入时，角动量 H 将进动，绕输出轴有一转角，通过信号传感器给出与转角大小成比例
的电信号，信号的大小不仅取决于输人角速度，而且，还受浮子组合件的转动惯量 J 、角动量 H
和阻尼系数 C 的影响。
对于二自由度陀螺仪，角动量 H 相对惯性空间稳定，当沿输入轴方向有角运动时，由于陀
66
o
时阳统由敏机
螺转子绕输入轴方向相对壳体有自由度存在，所以角动量 H 没有进动过程，它的角动量 H 或
转动惯量 J 对输出信号没有影响。二自由度陀螺仪在敏感角位移 θ 之后，给出电信号
u
式中
= Kf)
(3.3. 1)
K一一信号传感器的比例系数。
在实际应用中，陀螺仪的壳体将和平台固联，角动量 H 将相对惯性空间稳定，在列写绕输
入轴的微分方程式时，将和单自由度陀螺的情况不同，沿输入轴的运动方程式可以写为
T
式中
=
Jn
r
<f()
(3.3.2)
-:τ
dt~
T一一干扰力矩:
Jp 一一-陀螺平衡环、壳体和平台相对输入轴的转动惯量;
。一一干扰角输人或输出转角，两者相等。
在应用二自由度陀螺仪构成平台时，上式得到了应用。
二自由度陀螺仪的漂移误差模型有两个，它们分别对应陀螺仪的内环轴和外环轴，每一个
模型和单自由度陀螺的漂移误差模型都是相同的。
3.4
挠性陀螺仪
一、动力调谐陀螺仪的基本结构和方程式
挠性陀螺仪是一种采用挠性支承的自由转子陀螺仪，挠性支承是→种没有摩擦的高弹性
系数的挠性接头，同时又具有一定的强度，以承受冲击和挠动所产生的应力。
挠性支承陀螺仪的类型比较多，在工程上使
用比较多的是一种单平衡环挠性转子动力调谐陀
螺仪。其挠性接头配置结构原理如图 3.14 所示。
陀螺转子和驱动轴间是通过挠性接头连接起来
的，挠性接头是由相互垂直的内外挠性轴和一个
平衡环组成的。内挠性轴由一对内扭杆组成，外挠
性轴由一对外扭杆组成，内挠性轴将驱动轴与平
衡环相连接，外挠性轴将平衡环与转子相连。内挠
性轴线应垂直于驱动轴线，而外挠性轴线和内挠
性轴线应相互垂直，并与驱动轴线交于一点。正常
困 3.14
挠性接头配置结构原理阁
l一转子 ;2一外挠性轴 ;3一平衡环 ;4'一内挠性轴 ;5一
工作日才，驱动电机高速旋转，通过内挠性轴带动平时 4ι
衡环旋转，平衡环再通过外挠性轴带动陀螺转子一{…
旋转。在元干扰的条件下，陀螺仪的自转轴和驱动轴是在一条轴线上，在转子受到干扰力矩或
67
Q
壳体运动时，自转轴和驱动轴不在一条轴线上，在小角度范围内，可认为挠性陀螺转子具有自
由陀螺转子的特性。陀螺转子的自转轴、平衡环、挠性轴和驱动轴的运动学关系如图 3.15 所
示。 XYZ 是和壳体固联的坐标系 ， Z 是驱动轴方向。 XoYozo 是和转子固联的坐标系 ， Zo 是自转轴
方向。图 3.15(a) 为初始位置，图 3.15(b) 为驱动轴转动 w 的状况，图 3.15(c) 为驱动轴转动
1800 的状况，图 3.15(d) 为驱动轴转动 27【沪的状况。
Z
Z~
Z
Z
J..-l 0 xo 方向
(a)
(b)
图 3.15
(c)
(d)
驱动轴和自转轴{平衡环}闺运动学关系
动力调谐陀螺仪较为完整的运动方程式为
lë" + /J" + kr/3" + JoIJ y + k rfJ y = M"
[ë y + /Jy + kr/3y - JoIJ" - k rfJ"
式中
8，，---转子相对 Z 轴转角:
Oy-- 转子相对 y 轴转角;
←有效的转子径向转动惯量 ， 1
=A
+ 号;
A-一转子径向转动惯量;
α一一平衡环径向转动惯量;
f一一阻尼系数;
kD 一挠性支承弹性系数 ， kD
= k -
(α-f)02;
k-一扭转弹性系数;
c-一转子轴向转动惯量;
。一一转子相对旋转轴角速度;
ka一一支承正交弹性系数;
J一一有效的转子轴向转动惯量 ， J
= c +α;
M"一-相对 Z 轴作用在转子上的力矩;
My--一相对 y 轴作用在转子上的力矩。
68
= My
(3 .4.1)
Q
惯性系统的主要敏感元件
OXYZ 成右手坐标系，同转子固连但不参与旋转，对方程式 (3 .4.1)简化，当对陀螺实现调
谐，有 kD = 0 ，而此时的剩余正交弹性系数项影响很小可忽略，/项也因值很小可忽略，这时方
程式 (3 .4.1)式就转化为大家熟悉的自由转子陀螺仪方程式，即
la x + Hè y =
la y - Hèx =
Mx
(3 .4 .2)
My
进一步简化为进动方程式
Hèy = Mx
- Hè x = My
(3 .4 .3)
二、动力调谐陀螺仪的力反馈工作方式
挠性陀螺由于弹性支承的限制，使其工作的
允许角度很小，因此不能开环工作，必须工作在闭
环状态，如图 3.16 所示。图中或后文，用大写 X 、 Y
表示信号器测量壳体相对转子 z 、 y 轴的角偏差或
和壳体有关的变量。 X 、 Y 力矩器相对 z 、 y 轴给转
子施加力矩。壳体相对 z 轴的运动，由 X 信号器给
出信号，经力反馈回路中伺服放大器 Gx 送给 Y 力
固 3.16
简化力反馈示意圄
矩器给转子施矩，陀螺转子进动，使 X 信号器输出
一一一壳体线;
一一-转子线;
为零。壳体绕 y 轴的转动，通过 Y 信号器和伺服放
"一力矩器;
口一信号器
大器 G y 也引起 X 力矩器给转子施矩，使 Y 信号器输出为零。相对 z 、 y 轴的力矩可以进一步写
为
Mx = M; + M~
My = M~ + M;
式中
(3 .4.4)
町、 y一一相对 z 、 y 轴的指令力矩;
町、 y一一相对 z 、 y 轴的误差(干扰)力矩。
对控制力矩可以写为
式中
M~
= kTXix
M~
=
kniy
(3.4 .5)
kTX -y一-x...y 轴力矩器标度因数;
Lx 、 y一-x 、 y 轴力矩器控制电流。
对于挠性陀螺仪的力反馈工作状态，见图 3.17 ，对于交叉项捐合的处理，可加补偿或忽略
该环节等解藕处理方法。
在力反馈状态，壳体相对转子的转动或壳体的运动均会引起转子跟踪亮体运动，其推导如下。
69
Q
M~
x
/-一一一丁---0----t-一ey
固 3.17
力反愤状态方块固
信号器输出信号
ex = ksx(8x - 8x )
(3 .4 .6)
ey = ksy( 8y - 8y )
式中
ksx、 y一一信号器标度因数。
在无干扰力矩的条件下，有
Mx
= M~ = krxix = k rxG yey = krxG}品sy( 8 y -
8y )
(3.4.7)
又因为
a
=iMw
ns
所以有
风=旧如(θy - 丰Mx )
••
mx
r
krXG}品sy
170h
(3 .4 .8)
= LHs + krxG}品sylzzvy
对于低频，可认为上式方括弧中的值近似等于 1 ，有等式
Mm= 剧 y
同理可得
My=- 册x
(3.4.9)
(3.4.10)
式 (3 .4 .9) 和式 (3.4.10) 在形式上类似于式 (3 .4 .3) ，但式 (3 .4 .9) 和式 (3.4.10) 成立的前提条
件是陀螺仪工作在力反馈状态。即在力反馈工作状态时，壳体的运动，能够在转子上引起作用
力矩，使转子跟踪亮体的运动。这是式 (3 .4 .9) 和式 (3 .4 .10) 的物理意义所在。
三、动力调谐陀螺仪的平台工作方式
动力调谐陀螺仪工作在平台工作状态时，其方块图如图 3.18 所示。最显著的特点是，当壳
70
三章酣系统的主要敏机
Q
体运动时，将产生。x 或 Oy 误差信号，通过伺服放大器 Gx 或 G y 被送到相应的惯导平台的控制
电机上，使惯导平台(和壳体一起)转动消除壳体相对转子的运动初始误差角，在这个过程，在
转子上不作用力矩。这是和力反馈状态的基本区别。从上边讨论可以看出，只有控制力矩 M"或
干扰力矩 Me 才能引起转子的进动，从而导致误差信号的出现，通过平台的稳定回路使平台转
动，使壳体跟踪转子。所以，当控制力矩 MC 等于零时，该平台相对惯性空间稳定，在控制力矩
M"不等于零时，则实现平台的跟踪状态。一些资料指出，在这种工作状态，特别要注意挠性接
头的弹性系数、阻尼
θx
θY
图 3.18
平台工作状态方块图
3.5
加速度计
-、概述
加速度计是惯性导航系统的核心元件之一。依靠它对比力的测量，完成惯导系统确定载体
的位置、速度以及产生眼踪信号的任务。载体加速度的测量必须十分准确地进行，而且是在由
陀螺提供的参考坐标系中进行。在不需要进行高度控制的惯导系统中，只要两个加速度计就可
以完成上述任务。
在实际应用中，加速度计除包括敏感加速度的敏感质量外，还有一个与之相联系的力或力
矩平衡电路。在工作原理上，和单自由度浮子积分陀螺仪的力反馈电路相似。电路给出的信号
可以正比于载体的加速度，也可以正比于单位时间内速度的增量。电路输出的信号根据需要可
以是模拟量，也可以是数字量。在惯导系统用计算机数字化的要求下，后者得到了很大的发展。
人们将这种形式的加速度计称为数字式脉冲力矩再平衡式加速度计。
随着惯性导航技术的迅速发展，出现了各种结构和类型的加速度计。尽管如此，它们的基
71
Q
本工作原理还是一致的，那就是符合牛顿第二定律。对于敏感质量按直线形式运动的加速度
计，满足
F
式中
= 1TlIJ
(3.5. 1)
m一一-加速度计的敏感质量;
a一一载体的线加速度;
F一一为质量 m 所呈现出的总力。
对于敏感质量按摆动形式运动的加速度计来说，满足于
T
式中
= Pa
(3. 5. 2)
P一一敏感质量所呈现的摆性，其值为偏心质量和摆臂之积;
a 一一-载体的线加速度:
T一一敏感质量所呈现的绕摆动中心的总力矩。
式 (3.5. 1)和式 (3.5.2) 中的 F 和 T 则被仪表所附加的电子线路产生的力或力矩平衡，因
此，这些电路中的电流或电压的大小就代表了载体加速度 a 的大小。
通常将加速度计分成如下两大类。
(1)摆式加速度计
①浮子摆式加速度计;
②挠性支承摆式加速度计;
③摆式陀螺积分加速度计。
(2) 非摆式加速度计
①压电式加速度计;
②压阻式加速度计;
③振弦式加速度计;
④静电式加速度计。
还有其它的一些分类方法，不再赘述。本节仅
就摆式加速度计的基本结构和工作原理加以介
绍。
二、摆式加速度计的构成和工作原理
图 3.19 给出基本的摆式加速度计的结梅原
理图。它由仪表壳体、两个支承、偏心质量摆、阻尼
器、弹簧等部分组成。偏心质量摆和阻尼器可绕输
出轴( OA) 转动，摆轴 (PA) 位于通过输出轴的重
力方向，输入轴 (IA) 则是和上述两个轴垂直的
轴。像列写单自由度浮子积分陀螺仪力矩方程一
72
固 3.19
摆式加速度计
自惯性系统的主要敏耐
。
样，把加速度计看做一个力矩平衡装置，对摆式加速度计写出方程式
Pα (t) = JÖ(t) + ω (t) +
式中
Kß (t) + Mo
(3.5.3)
α (t) 一一作用在摆上的加速度;
J一一绕输出轴的转动惯量:
C一一阻尼系数;
K一一弹性系数;
M。一一摩擦力矩;
。 (t) 一一摆绕输出轴的转角。
P一一摆性 ， P
= mr;
m一一摆的质量;
r一一摆的臂长。
设 Mo
= 0 ，则有
ω
P
PIK
α( s) - Js2 + Cs + K - L.2 ， 豆.
K~
,
K~
.
.
(3.5 .4)
1
~
设 α (t) = 常值，则在稳态时有
Oe=fG
(3.5.5)
所以，角。的大小就是加速度的量度。
实际上，摆式加速度表在结构设计上并不采用机械弹簧，而是利用一个力反馈回路的功能
代替了系数 K 的作用，如图 3.20 所示。
r----------------=
aO)i
一-------一=---------，
」
h 〈 |IJ
s( 手 s + J)
图 3. 却
闭环摆式加速度计方块图
图中虚线框内部分表示摆式加速度计的结构部分，已经去掉了弹簧 K ， kg 是信号器的标度
因数 ， kt 是力矩器的标度因数 ， kd 是网络校正环节，为了分析方便，设 kd = 1 。环节 A 乃是力反
馈放大器的放大环节 ， A 代表放大系数。从方块图可得传递函数
p,'A kg
旦旦1 α( s)
Js2 + Cs + Akek
Jl
PIkt
-
~.2
豆一
AktkguaAKAgu
(3.5.6)
T
A
73
。
设 a( t) 为常值，则稳态时
L=fa
(3.5.7)
所以，电流 L 的大小就代表输人加速度的大小，比较式 (3.5.5) 和式 (3.5.7) ，可见这两者
的效果是一致的。有时，人们就把图 3. 却闭合电路的功能称为电弹簧，其回路俗称力反馈回
路。
从图 3. 却还可以得到摆轴转角和线加速度 α 之间的传递函数为
旦旦立
α (s)
p
-
JS2
p/Akλ
+ Cs + Akgkt - ~.2 牛 -L 牛 1
Akgkt
U
Akgkt
U
•
•
(3.5.8)
~
比较式 (3.5.6) 和式 (3.5.8) ，可见放大系数 A 只能影响摆轴转角 θ ，而不能影响加速度计输出
电流 I 的大小，对系数 A 进行适当选择，可使加速度计在测量加速度的范围内，使转角的最大
值保持在允许的小角度内，从而使方程式 (3.5.3) 的线性得到保证。
以上叙述的是实际应用的摆式加速度计的基本工作原理。
三、加速度计的主要参数及静态误差鼓学模型
对于工作于如上所述的力反馈状态的加速度计，有如下一些实用参数，其中最为重要的是
灵敏度和零位不稳定性。
1)标度因数:通过力矩器的电流和被测量的比力之比称为加速度计的标度因数，单位为
mAlg。
2) 灵敏度:能够引起力矩器中的电流发生确切变化的最小输人比力。其单位为 g ，如 1 x
10-
4
g或 1
X
10-5 g。
3) 零位不稳定性:当输入加速度从 +g 至 -g 反复变化时，加速度计输出零位的位置在一
定的范围内变化，这个范围叫做零位不稳定性，如 5 x 10-气。
4) 线性范围:指在保证线性度的情况下，可测量比力的范围，比如在::t:lO g 范围内，线性度
为千分之一。
5) 摆平衡环的时间常数:取 J/C 为摆平衡环的时间常数，一般为几毫秒。
6) 回路刚度:摆轴的转角和输人比力的比值，称为加速度计的静态刚度，如有的加速度计
回路刚度为 O.5mradlg。
在一些资料中，提出"零位误差"的概念，它往往是指在没有比力输入的情况下加速度计
的输出。其统计的常值部分称为零位偏置，其统计的方差部分又叫零位不稳定性。
加速度计静态误差数学模型为
~A
式中
74
= Ko + KIAi
+ K2 A7 + K3A~ + K4Ap + K5Ao + K6ApA i + K7A aA i
~A- 加速度计静态误差， g;
(3.5.9)
三章惯性系统时敏~j{;#-
0
Ai 、 A。、 Ap一一加速度计敏感沿输入轴、输出轴、摆轴的加速度(比力)分量， g;
Ko一一常值偏置项，问:
K 1 一一线性标度因数误差， μglg;
K2一一二阶非线性误差系数， μgli;
K3一一三阶非线性误差系数， μgI矿;
K4一一交叉轴加速度灵敏度 (P 轴) ， μglg;
Ks一一交叉轴加速度灵敏度 (0 轴) ,[Lglg;
K6一一交叉轴藕合系数， μgI乒
K7一一交叉轴藕合系数， μgI矿。
在使用中，可根据仪表的精度，选用部分系数。
四、加速度计的原理性误差
由于工艺上的原因，加速度计在制造和装配的过程中是有误差的，比如标度因数误差、灵
敏度误差、零位不稳定、测量范围的非线性等。对于这些由于工艺上的原因所造成的误差，我们
不做进一步说明。
下面仅讨论摆式加速度计的两个原理性误差，讨论问题的方法，对于分析陀螺的误差也是
适用的。
1.交叉藕合误差
由于加速度计输入轴的方向定义为垂直于初
Ay
A
始时刻摆轴的垂线方向，因此，当加速度计输入轴
方向固定以后，摆一旦转动就要产生交叉藕合误
差。如图 3.21 所示，假定输入轴的方向 M 是给定
的，而载体的加速度 A 的方向也是给定了，因此摆
θl
仅应该敏感 A 的分量岛。同时摆的轴线位于零位
位置。那么，在产生摆角。以后，摆敏感的加速度
4
PA
就成为
A' = αxCOS
e - aysin e
(3.5.10)
PA 的零位
固 3.21
交叉相合影晌
即不但要敏感沿输入轴方向的加速度分量鸟，而
且要敏感与输入轴相垂直的加速度分量岛。通常，加速度计的高增益力反馈回路将保证。角很
小，式 (3.5.10) 可进一步简化为
A'
= ax
- α乒
(3.5.11)
αyθ 即为交叉藕合项，一般可以忽略。如果必要的话，可以用计算机加以补偿。
75
o
2. 振动误差
当摆式加速度计工作在振动环境的工作条件下，而且振动频率又恰好在加速度计力反馈
回路的通频带之内时，就产生振动误差，或称为振动摆式误差，如图 3.22 所示。设振动 ， Av
=
Asinωt ， 方向是固定的，而且沿输人轴方向和垂直输人轴(摆轴零位线)均有分量，为 Avx 和
1θ
4
PA
零位线
(a)
PA
(b)
圈 3.22
振动对摆的影响
Avy 。在正弦振动的正半周时 ， Avx 将引起摆向左偏移(圈 3.22(a)) ，这时振动的垂直分量 Avy 相
对输出轴将引起一个绕逆时针方向的力矩。同理，在负半周时 ， Avx 将使摆向右偏离
(图 3.22(b)) ，而这时的力 Avy 也改变了方向，它相对输出轴产生的力矩仍然是逆时针方向。所
以，加速度计在振动的加速度输入下，会产生绕输出轴的一个常值同方向干扰力矩，将引起加
速度计的偏置输出。因为 Av
= Asinω ，所以 Avy 是正弦函数，角。也是一个正弦函数(由 Avx 引
起的)。因此，可以说由振动产生的摆式力矩是振动加速度两个正弦分量之积的函数。经过推
导，具有如下形式
孔扣= 丘呼
乒2(川
f
川-→c∞o叫 ωt)
1ι
式中
(3.5
口
Av ， θ
只(V
f
川)一-摆的质量、偏心距离及 A 的函数。
图 3.23 给出了振动加速度 A 、摆的偏转角。
和绕输出轴 OA 产生的振动摆式力矩 Tv 之间的关
系。力矩 Tv 在振动加速度的方向和输人轴成 45。
角时达到最大值。
Tv
五、摆式陀螺积分加速度计
积分加速度计可感受加速度并进行积分，输
出与速度成比例的信号。有多种类型的积分加速
度计，其中摆式浮子陀螺积分加速度计是应用比
较广泛的加速度计，图 3.24 给出摆式陀螺积分加
76
回 3.23
Ay. θ 和 Ty 间关系
三章惯性系统的主要敏感元件
速度计的构造原理。其主要组成部分为一个单自
O
f
由度浮子式积分陀螺仪，只是沿摆轴 PA 方向增加
了一个小质量块 M 。在工程上，如果浮子陀螺仪
内，浮筒组合件的重心不与浮力的中心相重合，即
可形成一个摆式失衡质量 M 。该陀螺失衡质量 M
与输出轴间的力臂为 L ， 当加速度 α (t) 沿着输入
轴方向作用在陀螺上时，由于不平衡质量 M 的存
在，将使浮子组合件绕输出轴转动一个角度，通过
信号器送出电压信号 U a ， 经放大器放大和变换
后，产生电流输入力矩电机，电机产生力矩，使陀
螺绕输人轴方向以 0 转动，角速度。与陀螺仪的
角动量 H 产生陀螺力矩册，陀螺力矩将和由加速
度 α( t) 所产生的惯'性力矩 MLa( t) 相等，即
H()
= MLa (t)
图 3.24
摆式陀螺积分加速度
(3.5.13)
。 =ffj;α (t)dt
=Af/V(t)
(3.5 叫
上式中，角 θ 的大小可由信号传感器 SGz给出，该输出信号的大小将与加速度 a( t) 的积
分，或速度 V( t) 成比例。即 SGz给出了载体沿输人轴方向加速度的积分，这就是这种加速度计
名称的由来。这种仪器的工作过程，本质上也是一种力矩再平衡过程。因此，当放大电路中增益
选得适当大时，摆的偏离角可以保持在一定范围内，从而可以略去交叉稠合误差的影响。在实
际应用中，力矩器内还应该输入用以消除有害加速度及陀螺漂移误差的补偿电流 I 。
思考题
1.单自由度液浮陀螺仪的基本工作原理，传递函数。
2. 二自由度液浮陀螺仪的传递函数。
3. 挠性陀螺的两种工作状态。
4. 加速度计的传递函数。
5. 加速度计力反馈回路的建立及其意义。
6. 液浮陀螺仪力矩反馈回路的建立。
77
|
第四章 新型角速度敏感器
4.1
概述
环形激光陀螺仪和在纤光学陀螺仪，可统称为光学陀螺仪，是新一代的实用惯性元件。常
规的旋转质量陀螺仪适合于在平台的方式下工作，在捷联状态工作时，性能下降。光学陀螺仪
在捷联状态工作时，在误差源、尺寸、质量、功率和可靠性方面有明显的优势。
光学陀螺仪的基本特点是一个含有两束相向运动的光波，光波被同时激发产生。光波的传
播则符合爱因斯坦的狭义相对论(1905 年) ，爱因斯坦认为光的速度和光源的运动无关。 1913 年
由法国物理学家萨格奈克 (Sagnac) 演示证明了围绕一个环路干涉仪的两个相向传播的光波有
相位差，这个相位差和光路垂直轴方向的输入角速度有关，构筑了光学陀螺的理论基础。光学
陀螺仪避免了常规陀螺仪的许多误差源。它有在捷联状态工作的固有能力，因为它的标度因数
在全动态范围内线性好和易于和数字系统接口。环形激光陀螺仪已经完成它的研究和开发阶
段而转人应用，现巳大批量的用于许多飞机、导弹等惯性导航或惯性参考系统。它的结构简单，
使用方便对捷联系统特别有吸引力。
4.2
光学陀螺仪基础
一、无源萨格奈克干涉仪
t-
萨格奈克的试验是由转动一个方形干涉仪实
现的。现在考虑一个理想的圆形干涉仪，其中光披
被约束在环形光路中传播，如图 4.1 所示。
光波在干涉仪的点 A 光源产生，并被光束分离
镜分成两束，一束按顺时针( CW , Clockwise) 方向传
播，而另一束按逆时针 (CCW ， Counter-Clockwise) 方
向传播。在绕圆环-周后，两束光在最初的光束分
离镜处相遇。由于两柬光是由同一个光源发出的
固 4.1
理想的萨格奈克干涉仪
单色相干光，在移动到点 B 的检测器上就会形成明暗相间的干涉条纹，反映了两束光的相位
差。在没有旋转运动的情况下，两束光传输整个路程的时间是相等的，由公式 t
78
= 21fR/c 给
第四章新型角速度敏感器
9
出，式中 C 是光速 ， R 是环路的半径。现在，如果干涉仪以常值角速度。绕垂直于光路的轴线旋
转，两束光返回到光束分离镜的时间则是不同的，因为在此时间内，光束分离镜由点 A 移动到
点 B ， 相对惯性空间顺时针光束比逆时针光束必须移动较长的距离，因此，两柬光的传输时间
和环路没有旋转时是不一样的。
设 l:. L 是点 A 、 B 在惯性空间的光程差，正号(+)表示光束的逆时针的传播，而负号(-)表
示光束的顺时针的传播，对应的传播时间为 f 和 t
传播的光程为 r 和 L- 。这样，总的闭路
光的传播时间为
L+
= 2π R+
应'lt+
(4.2. 1)
2π R-IWr
L- =
或
ct+
= 2π R+
应'lt+
ct-
= 2π R -
RI2t-
(4.2.2)
传播时间差可以写为
l:. t =
t+ -
t-
=
1
1
2πRI 一一-一一
Lc -
4π R2 [)，
2 _ R2 [), 2
RI2 - 一一一
c + RI2 J1=~ c一一一一一
(4.2.3)
因为 c>[)" 所以时间差的表达式为
l:. t
= 呜R
2
台
(4.2 .4)
方程式 (4.2 .4)描述了 Sagnac 效应，被视为光学陀螺的基本理论。由于光程差 l:. L 等于 c l:. t ， 所
以，上式可以写为
l:. L
4A
= 一~[)，
(4.2.5)
C
A 一一被光路围绕的面积 ， A = πR 2 。
式中
式 (4.2.5) 是广义的，适用于任何几何形状的光路。从式 (4.2.5) 可以看出，即使将光路围
绕的面积做得很大，由于光速 C 的值很大，光程差也是很小，为工程检测实现带来极大的困难。
为了解决这个难点，光纤陀螺增加光路的绕制圈数 n ， 使光路围绕的面积 A = nTCR 2 加大，以提
高光纤陀螺的灵敏度。激光陀螺则通过"频差"比较容易检测的模式提高灵敏度。
在检测器端，合成光的幅值(强度)是顺时针转向与有相移￠的逆时针转向的两柬光波之
和，即
Eo
设两柬光波的强度 E+
= E+ + E- ei {>
= E- = E ， 则有
Eo = E (1
+ cos
t/> -
(4.2.6)
isin 1>)
(4.2.7)
+ cos 1>)
(4.2.8)
检测器感受到的光强为
10
= 1 Eo
12
= 21 (1
79
。
灵敏度可定义为
|dI
一I =
d~
2/sin
~
(4.2.9)
式 (4.2.9) 是 Sagnac 干涉仪的灵敏度表达式，如图 4.2 所示。可以看出，在伊或 18σ 附近，即使
相位移￠有很大的变化时，光的合成强度 I 的变化量不大，不利于检测。在应用时，将工作点选
在专处。
强度
jL
d )l'
伊
伊
相位差
图 4.2
sa伊ac 干涉仪的灵敏度
二、有源环形激光干涉仪
元游、 Sagnac 干涉仪对于测量很低的角速度输
入是没有意义的，因为要求总的包围面积与波长
之比必需很大，由于光在两个方向传输的光程差
远小于一个波长，所以灵敏度差。仿照光学谐振腔
的工作原理，使两束相向运行的激光光束运行在
一个闭合的光路中，如图 4.3 所示，给出一个三角
形的闭合光路，用放置带平面镜子的光束分离镜
形成一个谐振光学腔体，对于相向传播的光束支
回 4.3
环形激光应
撑传递波的谐振状态。在腔体中放置激光介质以使环路的谐振状态得以维持。这是形成有源环
形激光干涉仪的关键，也是和无源 S哺lac 干涉仪的区别点。在腔体内两个相向的传输披形成驻
波，其幅值与频率被约束成相等。在理想的情况下，两个相向的传输波形成各自独立的振荡。每
一束光以其自身的频率和幅值振荡。这两个频率的部分差异对应于传递两束光的光路长的差
异，因此，是对应于输入角速度。为了支持振荡，在介质中必须有足够的增益克服在腔体中的损
失，每一柬光必然是光波的整数倍，即振荡条件是
M 士 = L主
80
(4.2.10)
第四章新型角速度敏感器
式中
o
L 一一每一束光的光程长;
N一一一个很大的整数(典型的是时- 1(ÝÍ);
h 一一光波的波长。
腔体的几何尺寸决定了给定状态的波长。部分的频率移动 Aflf 等于部分光程长比 ALIL ，
所以Af = f+- f- 和 AL = L+ - L_ 之间的关系为
Aflf
= ALIL
(4.2.11)
等式 (4.2.11) 说明小的光程长差的变化导致小的频率差的变化。因为 λ = clf， 对于 Af解方程
(4.2.11) ，并将式 (4.2.5) 代人 AL ， 给出两个波的最终差频为
Af
式中
= f+-f- = (4AILÀ)D
(4.2.12)
Af- 差频， Hz;
A一一腔体包围的面积， cm2 ;
A 一一激光的波长， m;
L一一总的光程长(或腔长) , cm;
。一一相对惯性空间的旋转角速度， rad/s。
作为旋转速度敏感的差频是通过光电检测器对干涉条纹的模式检测得到的，方程
(4.2.12) 是理想的环形激光陀螺方程。量 4AIU 是理想的标度因数，常用 S 表示。激光陀螺是
一个速率积分陀螺(当观测相移的频率差时，激光陀螺也可看做速率陀螺) ，即转过一个角度给
出一个计数 N 。所以，式 (4.2.12) 两边经时间 t 积分，有
j:Afdt= 巾dt
N
式中
= sf)
(4.2.13)
N一一在测量时间内总的相移或差频(脉冲)数;
。一一相对惯性空间总的转角。
由于在工程上频差的测试易于实现，所以有源环形激光干涉仪的理论是实现激光陀螺的
基础。
4.3
环形激光陀螺仪
一、环形激光陀螺仪的构成
一般来说，激光陀螺的实体是一个三角形的或正方形的充满气体的腔体，其中传播相向运
动的受激光波。在这种情况下，人们称其为两状态 (Two Mode) 、连续波的有源激光陀螺。如果激
发的介质是在腔体之外，像光纤陀螺那样，就称其为无源激光陀螺。图 4 .4给出一个三角形环
形激光陀螺仪的结构示意图。主要由环形谐振腔体、反射镜、增益介质和读出机构相关的电子
81
读
镜
棱
读
电\ \
光\ \ \ 飞
AW
明加/
Q
机抖驱动器
阴4畏
图 4.4
三角形环形激光陀螺
线路组成。在环型腔内充有按一定比例配制的 He-Ne 增益介质，保证连续激光的产生，三个光
学平面反射镜形成闭合光路(环型激光谐振器) ，由光电二极管组成的光电读出电路可以检测
相向运行的两柬光的光程差。顺时针和逆时针两柬光的光程差 ó.L 为
ó. L
式中
= (4Alc) ο(4.3. 1)
A 一一设计的光路环绕的面积，它垂直于角速度。 2
c一一在真空中的光速。
激光陀螺在谐振状态的频率的部分偏移比 (I:::'f/f) 等于光程长度的变化的比 (Ó.LIL) ， 如
方程式 (4.2.1 1)。描述旋转光束频率差的公式为
ó.f
式中
= (4AI D. )tl
= 血3
(4.3.2)
L一一腔长;
λ 一一波长。
上式中 L 和 A 均为已知量。上式说明，通过测量 Ó.f 即可测量。，这是理想的激光陀螺的方
程式。即在理想的激光陀螺中，输出差频比例于输人角速率，其比例系数 S 称为标度因数(刻度
系数) ，也有资料称为激光陀螺的灵敏度系数，主要由激光陀螺的结构确定。
下面对几个问题做进一步的讨论。
82
四章新型角速度敏感器
o
1.激光陀螺腔体形状的确定
公式 S = 4A/μ 是激光陀螺灵敏度表达式，增大面积 A ， 或同时减小波长 A 或光路长 L 可
以提高标度因数。激光陀螺的腔体主要有三角形和方形两种结构形式，他们的标度因数可以如
下计算。
(1)三角形环形激光陀螺
设每一边长为 α ，那么
α =
L/3
等边三角形的面积是
= L 2 /20.785
A
M-u
nb
1-A
L 的
一
有
(4.3.3)
(2) 正方形环形激光陀螺
设每一边长是 L/4 ， 则面积是 A
= L /16 ， 有
2
S
4A1i L}
-一-一，-，
-
Iλ-λ 飞 4/
(4.3 .4)
可见在光路长度 L 给定的条件下，方形激光陀螺它所包围的面积比三角形的大，所以它的
标度因数要高于同等长度光路的三角形环形激光陀螺。
氮-氛环形激光陀螺、 (RLG) 可以工作在两个波长 :0.6328μm 和1. 15μm ，工作频率取决
于反射镜和光路的长度。两个相向传播的光波将形成驻波，每一个光波必需满足于如下的条
件，即环路是波长的整数倍 N ， 所以较短的波长有较大的分辨率，也就是有较高的精度，较长的
波长对于一个给定长度的增益介质提供了较大的增益。这样，较短波长有希望用于大量的较精
确的激光陀螺。
上述标度因数的量纲表示为角秒/脉冲，例如， Spe町的 SLG - 15 激光陀螺标度因数是3.5
角秒/脉冲。
2. 激光陀螺腔体
将讨论三角形环形激光陀螺，大多数环形激光陀螺的设计采用整体式，在玻璃体上钻孔，
提供激光陀螺光束的光路。常用的材料是零膨胀系数的石英玻璃体或特殊制造的陶瓷玻璃，腔
体材料必须具有特别的性质，一是要有很小的温度膨胀系数，以减小回路长度的压电控制的控
制量，即降低温度灵敏度。二是用整体材料制作的激光陀螺具有的另一个特性是对氮气不渗
透。当然，加工的难易性、成本等也是要考虑的。
反射镜的平面要加工得平滑和有正确的角度，然后是安装电极和对于腔体中的孔充以增
益介质。在另外一种环形激光陀螺设计中，采用一个分离的激光发射管和一个整体的腔体。即
增益介质放在一个分离的增益管中，而增益管被放置在腔体中的两个反射镜之间。这种模式设
83
Q
计的环形激光陀螺体积要大于一个整体式的环形激光陀螺。
3. 反射镜
反射镜是环形激光陀螺最重要的部件，它的作用就是无损失的、准确改变光在光路中的运
行方向，需要特殊的工艺和设计，一般的三角形激光陀螺应用 3 个反射镜，反射镜的数量由设
计折中考虑。无论如何设计，反射镜一般都放在光同腔体接触的位置，构成一个无应力、密封的
腔体。由于表面不光滑和制造的光模特性不一致性将引起光的散射，由于吸收和传递，每一个
反射镜都引起部分激光能量的损失，即部分激光能量被散射掉了，导致锁定。
4. 增益介质
应用在大多数 RLG 中的增益介质是一个高纯度的氮(3 He) 的三重混合物和两个氛的同位
素(20Ne 和22Ne) 在适当的压力下以一定的比例混合形成的混合物，增益介质充满谐振腔，它的
作用一是确保在腔内产生激光，二是向腔内谐振状态提供增益，使其保持谐振状态。
5. 读出机构
为了敏感两个相向激光束之间的频率差，两个激光束从反射镜出来后，利用五棱镜使它们
几乎平行，导致一个叉指模式，可由光电检测器检测。如果激光陀螺旋转，叉指在检测器上移
动。光电检测器利用外差技术敏感两个光学频率的差频，即记录叉指。叉指模式在一个方向上
的移动大小由两个激光束频率的相对幅值确定。当圆环顺时针旋转时叉指向一个方向移动，而
当圆环旋转方向相反时其叉指模式也相反。叉指数是角位移的测量，这个值被转换为数字输
出，输出的脉冲速率比例于输入角速率，累积的脉冲数就是陀螺相对参考点变化的测量。
6. 激光陀螺的电路部分
主要由放电电流控制、路径长度控制、抖动驱动和读出放大与方向判定等部分组成。整体
式三角形 RIβ 的设计有两个阳极和一个阴极，在两个阳极和阴极之间加上对称的直流高压以
使其启动放电。在放电启动后，由电流控制电路解调。一个控制电路完成激光束路径长度的控
制。一个压电传感器附加在一个反射镜上，在环境温度变化时保持环路长度是常值。因为在光
路长度上的任何变化，都相当于标度因数和零点稳定性的变化，导致整个敏感器的精度变化。
环型激光陀螺采用抖动技术可以改善'性能，因为产生的旋转偏置可以使陀螺工作在死区之外。
在本质上，偏置是由正弦振动组成，陀螺本体在 1∞- 5∞ Hz 之间的设计频率抖动。每一个抖
动周期偏置的平均值为零，导致最大的线性工作范围。抖动的频率和幅值可以使激光陀螺敏感
很低的角输人速率。产生的偏置要从输出中减去。抖动必须是对称的，否则产生误差。此外有一
个逻辑电路用于判断输出的脉冲数是正比于顺时针或逆时针旋转。
二、激光陀螺的误差源
在设计一个 RLG 时，主要应考虑如下三个误差源:零偏;锁定:标度因数误差。这些误差源
在图 4.5 给予说明。不加抖动的 RLG 的所有研究都显示出在低旋转速率的情况下，式 (4.2.12)
的线性关系不成立。下面讨论这些误差源。
84
9
第四章新型角速度敏感器
ð J/Hz
ðf
输出频率
儿
(a) 零偏误差
ðV+
。s
n
垒An
L λ".
/
/
/
/
"
/
，巳
(b) 锁定误差
(c) 标度因数误差
固 4.5
激光陀螺的主要误差源
1.零偏 (Null Shift)
一个激光陀螺出现零偏就是说在一个零旋转速率下有一个非零的频率差输出。当光路对
于相向运动的光波是各向异性时就出现零偏。原因可以归属于两束光反射的性能指标不一致
性;为避免锁定而加人的"机抖"幅值的不对称性;有源介质流的温度梯度和电流差;以及各向
异常的不规则的色散效应和原子流可以产生零偏。
2. 锁定(Lock-in)
激光陀螺在小角速度输人下存在死区的现象称为锁定。锁定现象的最重要的结果是标度
因数是旋转速率。的函数，在激光陀螺中，相向运动的两柬光在低转速情况下存在藕合，主要
是由不完善的反射镜引起的。进一步说，反向散射，局部损坏和极化的各向异常引起状态的频
率锁定在低旋转速率。即，锁定是死区，对于小于矶的角速率其输出是零。在数学上，频率差
tif 可以表示为
rO
.j =
1(4AIμ ) J{i亡豆i
(J 2 运。1
(J 2
>
(J
l
(4.3.5)
锁定的典型值是大约 O.I(O)/s。为了避免前面提到的锁定问题，在两频的激光陀螺中，→
般用偏置法保持陀螺在锁定区的输出:磁光(在相反的两束旋转光束之间有非互易的相移产
生)偏置或 Kerr 效应;机械抖动，它是一个正弦的，对称的信号，相对于零输人速度是交变的偏
置，如图 4.6 所示。抖动频率一般为 1∞- 5∞ Hz ，抖动幅值为土(I∞- 5∞ )arcsec 。
85
o
使设计的机械抖动正弦速度幅值远远大于陀
ð.I!Hz
螺的锁定区，在加入交变抖动偏频后，陀螺只在很
短的时间内处于锁定状态，而大部分时间工作在
锁定区以外，因此由锁定区带来的误差得到很好
的控制。在工程上，还要通过加入抖动随机噪声的
OJl(")ylj
方法进一步改善陀螺的输出特性。
i 抖动帽值
3. 标度因数误差
在激光腔内的增益介质可以影响其标度因数
偏离其理想值，用 1 + E 表示， ε 是其误差项，也可
分为常值和随机两类误差。主要是由增益介质参
图 4.6
数波动和谐振腔的参数变化引起的，如传递光束
抖动偏频示意图
的频率 f 和介质的反射系数有关联，将引起色散效应，对于 RLG ，这意味光腔长 L 或标度因数
是频率的函数。对于带"机抖"的 RLG ，其锁定区补偿非线性，环境温度的变化均引起标度因数
误差。激光陀螺的标度因数误差是很小的，易做到 ε 小于 1
4.4
X
10- 5 。
光纤陀螺仪
一、基本概念
最简结构，光纤陀螺仪的工作原理是基于
Sagnac 效应，只是在结构上用光纤代替干涉仪的
环状光路，光纤的长度则可依据陀螺的灵敏度要
求而确定。图 4.7 为最简结构的一个开环光纤陀
螺仪原理示意图。对其做如下几项说明。
1.光程差 6L
对于旋转干涉仪光程差的基本方程式 6L
=
图 4.7
光纤陀螺最简结掏原理固
子。，经过变换可以得到表达式
6L
式中
L一一光纤的长度 ， L
= (Ld/c) 。
(4 .4.1)
= nd;
d一一光纤线圈的直径:
n一一光纤线圈的圈数。
假定一个光纤陀螺的 d
86
= 10 cm 和 L = 1 km ，在两种角速度输入下，计算其光程差分别为
型速度敏感器
速度 Q
1 (o)/h
. 1 (o)/s
b. L , cm
10- 11
b. L/L
10- 13
5 x 10- 6
5
X
o
10- 10
如果计及氢原子的直径只有 10- 8 cm ，这种光程差的测量是一件非常精密的工作，因此要
求 CW 和 CCW 两柬光由一个光源提供，工作模态必须完全一致，对于光路来说必须是互易的。
因此，光路的互易性要求是光纤陀螺结构配置的首要要求。
2. 光路的互易性
对于光纤陀螺来说，实现光路的互易性应满足如下条件:
① CW 和 CCW 方向传播的两柬光应该有完全相同的光路;
② CW 和 CCW 方向传播的两柬光应该是单模;
出一
合器)反射和透射，分成两束光，分别产生反射相
端+
原理上的非互易性，由光源发出的光经分柬器(藕
输
(图 4.8) ，对于输出端和输人端光路的互易性存在
输一+
出的光程差为零。如下配置的最简结构光纤陀螺
H
光路，可以确保光纤陀螺在零角速度输人下其输
川川川\
CW 和 CCW 方向传播的两柬光有完全相同的
…了
③ CW 和 CCW 方向传播的两柬光应该是同一偏振态。
移阳和透射相移例，然后沿 CW 和 CCW 方向传
播两柬光，他们通过共同的光纤光路并产生相同
的相移例。当两柬光返回分束器时，再次经过分
回 4.8
输出光路的非亘易性
柬器的反射和透射，使两柬光到达输人端和输出
端，分别产生相移阳和归(对于 CW) 与相移归和伊川对于 CCW) ，两柬光在输出端和输人端
上都可以产生干涉条纹。在理想情况下，返回到输人端的两柬光没有光程差，而返回到输出端
的两柬光存在光程差 2 伊 i
-
2 科。这样，就破坏了输人角速度和输出相位间的线性关系，这是互
易性不允许的，在工程上将返回到光源输人端的两柬光再通过一个分束器引人到一个检测器
检测，构成最简的光纤陀螺。可以看出光纤陀螺的光路不但在原理上要实现互易性，而且在工
程实现中要保证互易性的实现。
光在光纤中的传播有几种模式。传播模式不同，光纤对所形成光路的损耗是不一致的，而
且每个模式对环境波动的敏感程度也不相同。因此，在光纤陀螺光路中，沿 CW 和‘ CÇW 方向传
播的两束光应该是单一模式，在原理上可实现对系统的互易性工作条件的要求。光在传播中表
现为横波，在一般的单模光纤构成的光路中，存在两个独立传播的两个正交偏振模，由于光纤
结构的不对称和受环境的影响，光的传播呈椭圆偏振状态，使沿 CW 和 CCW 方向传播的两柬光
互易性不能得到保证。在光路中插人偏振器，使干涉光路只导人单一的偏振光，而在出射光中
也只取相同的偏振光，保证了沿 CW 和 CCW 方向传播的两柬光为同一偏振态。使光路的互易性
87
o
得以实现。
3. 光路的灵敏度
从式 (4.2.8) 和式 (4.2.9) 可以看出， Sagnac 干涉仪输出信号的干涉强度是和光程差 ψ 成
比例的，表现为三角函数 cosψ 的函数，因此在光程差 ψ 很小的情况下，干涉强度的变化量也很
小，很难于测量，按式 (4.2.9) 可以得出最佳灵敏度是相位差在 π/2 处。这就要求沿 cw 和 ccw
方向传播的两柬光的光路是非互易性的，存在 π/2 的固定相移。这个要求可通过调制器来实
现，如图 4.9 所示为一压电偏置调制器。在光纤线圈的一端使光纤缠绕在压电棒上，通过交变
电压的控制，压电棒的直径伸长或缩短，使不同时间通过调制器的光获得不同的相移，沿 cw
和 ccw 方向传播的两柬光的光路是非互易性的。
1m
1m
(协调制器最小幅值
(a) 调制器最大幅值
阁 4.9
二、干涉型光纤陀螺仪(I -
压电偏置调制器
FOG)
1.光路的基本构成
直接利用 Sagnac 环状干涉仪的结构形式，依据旋转运动引起干涉仪中两相向运动光束有
光程差并相互干涉的现象，构成的光纤陀螺为干涉型光纤陀螺仪。按光路有无反愤又分开环干
捞型光纤陀螺仪和闭环干涉型光纤陀螺仪。开环干涉型光纤陀螺仪最简单的结构形式如图
4.10 所示，它是在图 4.7 的基础上实现的。图 4.7 的光路满足 Sagnac 干涉仪工作条件和光路的
互易性条件，为了提高光路的监测灵敏度，在光纤环的一端放置一个非互易的调制器，这个相
位偏置措施使工作点移动 π/2 相位，检测灵敏度变成为接近于线性的正弦响应。这样由光源、
光的检测器、藕合器(分柬器)、偏振器和传感光纤线圈等组成开环光纤陀螺的基本结构形式。
根据结构特点又可分为全光纤陀螺和集成光学光纤陀螺。
2. 全光纤陀螺
所谓全光纤陀螺是相对分立光学元件而言，构成光纤陀螺光路的所有器件都由光纤构成，
并串接在一根光纤上，即由光源到检测器组成一个光纤闭合光路。全光纤陀螺可通过器件的高
第四章新型角速度敏感器
图 4.10
9
开环光纤陀螺仪
性能获得较高的整体性能，但工艺复杂难度大，需要大量的光纤焊接和藕合对准，而且目前还
找不到一种线性、宽频带的光纤调制器，限制了全光纤陀螺的应用范围。
3. 集成光学光纤陀螺
电接口
光路集成化是当前干涉型光纤陀螺的发展趋
势，将光纤陀螺光路(除光源、检测器和光纤环外)
集成在一个芯片上，形成多功能光学波导芯片输入光纤
(MIOC) ，如图 4.11 所示。该器件通过 Y 分支波导
输出光纤
接口
接口
实现 1 : 1 分束，形成 1 : 2 藕合器 C ，替代分立的光
纤定向捐合器;在 Y 分支前以 AνMgO膜覆盖区形
电接口
成偏振器 P ，替代分立的光学偏振器;在 Y 分支的
两臂上分别加调制电极，形成两组电光相位调制
困 4.11
MIOC 示意图
器 PM，和 PM2 ，替代分立的压电陶瓷相位调制器，
其特点是效率高、频带宽、频率高。图 4.12 给出集成光学光纤陀螺的结构示意图。
困 4.12
集成光学光纤陀螺的结构示意图
89
Q
干涉信号的检测干涉型光纤陀螺的信号检测按所采用的信号处理电路的形式可分为模
拟式和数字式两类，模拟式电路的缺点主要是，存在由于直流电压波动和环境温度变化引起的
严重偏值漂移。数字式电路不但克服了模拟电路偏置漂移的缺点，宜于实现小型化和集成化，
是当前光纤陀螺技术发展的趋势。
干涉型光纤陀螺的信号检测按检测方式可分为开环式和闭环式两大类。开环式系统直接
检测干涉条纹的 Sagnac 相移，由于陀螺输出响应的非线性，因而动态范围较窄，检测精度低。闭
环式系统(包括电路闭环方式和光路闭环方式)采取相位补偿(跟踪)的方法，实时抵消 Sagnac
相移，使陀螺始终工作在零相位状态，通过检测补偿相位移(多转换为频移)来测量角速率，避
免了陀螺输出的非线性，动态范围广，检测精度提高。
三、谐振型光纤陀螺仪 (R-FOG)
谐振型光纤陀螺的基本工作原理与环形激光陀螺相同，都是利用 Sagnac 效应，通过检测旋
转非互易性造成的 CW 、 CCW 两行波的频率差来测量角速率。如图 4.13 所示，从激光器发出的
相干光通过光纤定向藕合器 C 1 分成两路，分别经藕合器马、 C3 传输至谐振藕合器 4 ，从两端注
人光纤环形谐振腔，在光纤环形腔中形成两相向传播的相干光束。当谐振腔满足谐振条件并达
到稳态时，环形腔中的光强达到最大，即谐振状态。 CW 和 CCW 两光束的谐振频率不同，产生频
率差 I:::.f ， 即
I:::.f
式中
= fcw
- fccw
I:::. L , ~
= (τ
)f =
48
江。
(4 .4 .2)
S一一环形谐振腔所包围的面积;
L-一环形光纤的长度;
λ-一光波长。
光探测器 1
{
光纤环
y
光探测器 2
图 4.13
90
R-FI∞示意图
四 新型角速度敏感器
Q
它们与激光陀螺的区别在于用光纤环形谐振腔替代了光学玻璃制作的谐振腔，激光源在
谐振腔外，构成了一个无源的谐振腔，在原理上无闭锁效应。目前影响谐振型光纤陀螺实用化
的主要技术关键仍然是不能有效地克服影响其精度的各种噪声。
4.5
激光陀螺仪漂移误差模型
环形激光陀螺仪的漂移误差模型和单自由度转子陀螺仪的漂移误差模型在结构形式上对
比，只是单自由度转子陀螺仪和质量有关的各误差项被去掉，环形激光陀螺仪的漂移误差模型
主要由陀螺零位偏置误差和陀螺标度因数误差组成，在工程上这个误差模型往往表示为
。 0= {)B + 5[{)j + yρy
5 = 1 +ε
ε= êO + f( I
。B
式中
=
()j
- r ,Dz]
(4.5. 1)
1)
Bo + n
{)o --激光陀螺输出信号， (o)/h;
。 B一一陀螺零偏误差， (o)/h;
S一一陀螺标度因数;
E 一一陀螺标度因数误差;
ε。一一-固定的标度因数误差;
f( Iοj 1) ←一和输入角速率有关的非线性误差;
。 i一一陀螺输入角速率， (O)/h;
。y' {)z一一陀螺壳体垂直于输入轴的角旋转速率， (o)/h;
鸟，几一一相对于正常陀螺输入轴固定安装平面的安装误差角， rad;
Bo一一固定的偏置误差， (o)/h;
n一一随机常值偏置误差。
环境温度对光学陀螺漂移率的影响是显著的，更为准确的激光陀螺漂移模型则必须和环
境温度有关，根据 IEEE 标准给出的考虑温度影响的激光陀螺输出误差模型方程为
去=
[50
+阳 J +盯-马)
+ 5( t::. T)
+ 川)] -1
[ Do + D( T - To) + D( t::. T) + D 1' + D R ]
式中
X
(4.5.2)
N一-t::. t 时间内激光陀螺输出的脉冲数;
50一一标度因数的标准值;
。 i一一-激光陀螺输入角速度;
T一一激光陀螺光学本体的温度;
To -- 参考温度;
91
o
T一一激光陀螺温度变化率;
!:l T- 激光陀螺外界环境和光学本体之间的温度梯度;
5(QJ-一在输入 Qj 时标度因数相对于标准值 50 的误差系数;
5( T- 几)一一温度差引起的标度因数相对于标准值 50 的误差系数:
5( !:l T)一一温度梯度引起的标度因数相对于标准值的误差系数;
5( 1')一一温度变化率引起的标度因数相对于标准值的误差系数;
Do一一激光陀螺漂移零位偏置误差;
D(T
- 几)一一温度差引起的陀螺漂移角速度;
D( !:l T)- 温度梯度引起的陀螺漂移角速度;
D( 1') 一一温度变化率引起的陀螺漂移角速度;
D R一一-陀螺随机漂移角速度。
实际上，式 (4.5.2) 只给出了激光陀螺温度模型的一种结构形式，不同使用要求的激光陀
螺，其模型可适当变换。
一般来说，由温度引起的标度因数的变化在 10- 6 _ 10- 7 数量级之内，有时可将标度因数
的温度模型简化成
5(T)
= 50 +
5 1 (T- 几)
(4.5.3)
其中， 51 是线性温度系数，其它参数定义同式 (4.5.2) 。
陀螺漂移温度模型可简化为
D
式中
= Do + A( T-
几) +
BTc
(4.5 .4)
D一一温度 T 时的陀螺漂移;
1 一一激光陀螺外壳温度(环境温度 ) ;
A 、 B一一标定温度系数。
陀螺漂移模型可进一步简化为
D
= Do+
A(T- To)
(4.5.5)
零偏 D。可以被假定为一个常值，是系统不能补偿掉的常值漂移部分，以 (O)/h 表示。在大
多数情况下 ， Do 被假定为随机常值，还应该包括陀螺仪漂移逐次启动的不重复性，一次启动的
波动量等，以零均值和标准差来表示。
光纤陀螺的漂移误差模型在形式上和激光陀螺的漂移误差模型是一致的，只是误差源不同。
思考题
1.简述萨克奈克效应的基本含义是什么?
2. 简述环形激光陀螺仪工作原理，传递函数。
3. 简述环形激光陀螺仪的主要误差源。
4. 简述干涉型光纤陀螺的基本组成，传递函数。
5. 简述激光陀螺漂移误差模型。
92
第五章时叮叮二
5.1
」
惯导平台概述
惯导平台是惯性导航系统的核心部件，它的作用是为整个惯导系统提供载体所受比力的
大小和方向，或者说，把载体所受的比力按希望的坐标系分解为相应的比力分量，如图 5.1 所
示。为了做到这一点，有两种方案可行。一是捷联方式，二是平台方式。在捷联方式时，加速
度计直接安装在载体上，测量沿着与载体固连的坐标系轴方向的比力。为了要知道每一瞬间
载体坐标系相对导航坐标系的方位，将已测量的
沿载体坐标系的比力分量分解到导航坐标系，则
惯导平台
必须在载体上安装陀螺仪，通过计算机对姿态矩
A
阵的计算，建立起载体坐标系与导航坐标系间的
关系。这种陀螺仪应当能够以很高的精度在很大
fe
k
圄 5.1
惯导平台的作用
的测量范围内测量载体的旋转角速度，对某些飞
行器应用，最低灵敏度为 O.01 O/h ，最大测量值可达400"/8 ，光学陀螺仪更适合这种工作方式。
第二种办法就是本章重点讲述的平台式方法。
一、平台的构成
惯导平台按其模拟坐标系的不同，可以分为空间稳定平台和跟踪平台。前者模拟惯性坐
标系，而后者模拟任一需要的导航坐标系，多数是模拟地理坐标系。惯导平台中使用的陀螺仪
可以是单自由度的，也可以是二自由度的机械转子陀螺仪。一个空间的三轴稳定平台需要三
个单自由度陀螺仪，而使用二自由度陀螺仪时，只需要两个陀螺仪就可以了。图 5.2(a) 所示
为用三个单自由度陀螺仪构成的三轴稳定平台，每个陀螺敏感平台上一个坐标轴方向的干扰
力矩，通过平台控制器产生相应力矩去抵消干扰力矩。图 5.2(b) 所示为用两个二自由度陀螺
仪构成的三轴稳定平台，每一个陀螺仪可以敏感平台绕两个坐标轴方向的转角，而使用时只用
两个陀螺仪的三个敏感轴就可以了，通过平台控制器产生相应力矩消除平台的转角，从而保证
了平台相对惯性空间的稳定。
加速度计也安装在用于隔离载体角运动的平台上，加速度计的敏感轴方向按所希望的坐
标系方向放置，这个坐标系是由平台上放置的陀螺仪及其稳定回路和修正回路共同来实现的。
陀螺仪是敏感平台相对惯性空间旋转运动的敏感器，相对'惯性空间建立一个三轴稳定平台，就
o
坐标变换器
(功用三个单自由度陀螺仪构成的三轴稳定平台
(b) 用两个二自由度陀螺仪构成的三轴稳定平台
圄 5.2
三轴陀螺稳定平台
要用三个单自由度陀螺仪，使它们的输入轴方向互相垂直设置。或者用两个二自由度陀螺仪，
两个陀螺仪的转子轴方向要互相垂直设置。多余的一个敏感轴，可考虑用于修正或监控用。
为了用陀螺仪的信号来稳定平台体，必须有相应的稳定回路。现代平台的设计中，只把陀
螺仪作为干扰力矩的敏感元件，而不再把它直接作为干扰力矩的补偿器。由陀螺仪稳定的平
台是相对惯性空间稳定的，保持了一个惯性坐标系。为了得到惯导系统所需要的其它坐标系，
必须在陀螺仪的力矩器中施加修正电流，比如半解析式惯导系统的修正回路的作用，可以使惯
94
五章惯阳系统平台
o
导平台坐标系跟踪当地地理坐标系。由于惯导系统的精度要求，在载体做机动飞行或振动的
环境条件下，稳定回路应该具有很好的静态或动态特性，在以后的章节我们将对其动态特性予
以分析。
惯导平台是惯导系统中的核心部件，影响位置误差、速度误差和方位误差的主要因素是平
台的漂移角速度。产生平台漂移的原因除陀螺漂移角速度而外，陀螺在台体上的安装误差也
是重要原因。所以，对惯性元件在平台上的安装也必须提出一定的要求。对于中等精度的导
航系统来说，陀螺仪和加速度计敏感轴的安装误差不能超过几个角分。此外，计算机与平台的
衔接也应特别注意，由于平台跟踪地理坐标系是施加控制电流于陀螺而产生的，如果计算机输
至陀螺力矩发生器的数字电流不准确或者力矩器的线性度不好，都将导致产生等效的陀螺漂
移，亦即产生平台漂移。在这方面，对控制陀螺的数字电流以及力矩器的线性度一般都应有
0.01% 的精度要求。
惯性平台还应尽量采取措施避免来自周围环境以下 3 个方面的干扰，即电磁干扰、振动干
扰、温度变化干扰。在惯导系统的工程实现上，电磁兼容、减震基座、平台的热平衡设计和调节
都是重要的课题。高精度的惯导平台要采用两级到三级温控以减小温度变化的影响。
二、四平衡环系统
在一般的惯性导航系统中，在载体不做大角度机动飞行的情况时，三环式平台就可以满足
导航的需要。所谓的三环，即由平台台体、内环和外环三者组成。由于平衡环系统的作用在于
隔离载体运动对平台的影响，因此，三环系统在载体上的安装方式不同，它允许载体的最大旋
转角度是不同的，否则，它就不能起到隔离载体运动的目的，而是载体将带着平台一起转动，平
台就失去了相对惯性空间的稳定性。图 5.3(a) 给出一个三环式系统在导弹上安装的情况，其
外环轴安装于导弹的俯仰轴方向。这样安装的平台，允许载体在方位轴和俯仰轴方向做
土 3ω。的转动，而在滚动轴方向只允许做小于土9(}。的转动。当滚动角为9(}0时，如图 5.3(b) 所
示，弹体将带动外环转动9(}0 ，使外环和中环在一个平面上，这时的惯导平台只有两个自由度，
平衡环系统就不能隔离和平衡环面垂直的载体的转动，平衡环的这种现象称做平衡环的闭锁
(b)
(a)
图 5.3
平衡坏的闭锁
95
Q
惯性技术
•
现象。对上述的三环式平台，当外环轴位于导弹的滚动轴时，只要当弹体俯仰角达到 90。时就
出现闭锁现象。因此，必须根据载体的运动规律来选择三环式平台的安装方式，无论如何选择
安装方式，三环式平台在原理上总是存在有一个旋转轴方向有闭锁现象的可能。为了避免这
一点，则必须选用四平衡环式系统。通常，在上述安装方式下，当载体有绕滚动轴转动时，就必
须采用四平衡环式系统。这种系统的机械编排如图 5 .4所示，第三平衡环相对第二平衡环垂
直并限定转动在范围之内，在第二个平衡环和第三个平衡环之间装有角度传感器，给出两环间
的正交性，角度传感器和第四个平衡环的力矩电机构成随动系统，通过第四个平衡环的转动带
动第三个平衡环的转动，第四个平衡环功用是任何时候都要保证第三个平衡环和第二个平衡
环垂直，使惯导平台在任何的工作条件下均能保持相对惯性空间有三个自由度，也称为全姿态
稳定平台。图 5.5 对四平衡环系统的工作原理做进一步的说明。
X
图 5.4
二环
金姿态稳定平台
y
y
四环
(a)
(b)
图 5.5
(c)
四平衡环系统的工作原理
图 5.5(a) 表示直线水平飞行情况，第二环和第三环垂直，第四环和第三环在一个平面上。
这时，平台允许载体绕三个轴任意旋转，不会发生闭锁现象。图 5.5(b) 表示载体绕滚动轴滚
动情况下，当有一个滚动角出现时，第四环将带动第三环随载体一起转动一个角度，在陀螺稳
定回路的作用下，驱使第二平衡环运动保持平台水平，第二平衡环仍保持初始垂直方向。因
96
五章惯性导航系统平台
。
此，第二环和第三环之间就不处于垂直状态，此时，其间的角度传感器将有信号输出。图
5.5(c) 表示第四平衡环上的力矩电机在角度传感器信号的作用下，带动第四平衡环和第三平
衡环转动，使第三平衡环和第二平衡环处于垂直状态，使角度传感器输出为零。如果载体继续
滚动，上述功能继续完成，始终保持第二环和第三环的垂直，从而达到避免平衡环闭锁现象。
但是，使用中应注意如下要求，图 5.6 给出一个应用第四平衡环系统的例子，图 5.6(b) 为水平
飞行状态，由于四平衡环结构，保证了平台不存在闭锁现象，图 5.6(c) 则为导弹的发射状态，
即垂直发射。这时，四环平台的工作程序仍如上述的话，平台的稳定性将被破坏，如第二环和
第三环之间的角度传感器给出一个不垂直信号时，这时第四环的任何转动都不能消除以上的
不垂直的状态，因第四环的转轴和第三环的转轴垂直，第四环将带动第三环和第二环相对平台
一起飞转，使平衡环系统失去稳定。为避免上述现象发生，对垂直发射的弹体，规定发射时第
四环锁定，断开随动系统，成为三环式系统。当发射后俯仰角开始小于 900时，第四平衡环才接
人。
方位
滚动
O
俯仰
(a) 平台坐标系
(b) 水平飞行状态
图 5.6
5.2
(c) 垂直发射状态
四平衡环系统
用单自由度浮于积分陀螺仪组成的单轴稳定器
一、单轴稳定器{跟踪器)工作的物理过程
1.单轴稳定器的结构
图 5.7 给出用单自由度陀螺仪组成的单轴稳定器结构示意图。
初始调整时，必须使陀螺仪的输入轴 y 和平台的稳定轴 Y 平行，保证平台的稳定轴和陀螺
的进动轴、转子轴相互垂直。
97
o
Y
z
HIG
图 5.7
Z
浮子积分陀螺单轴稳定幡结构示意图
皿G卢浮子积分陀螺;5-一陀螺信号传感器;T-一陀螺力矩传感器 ;A一放大器 ;M"一力矩电机 ;XYZ一
平台坐标系 .Y 为平台稳定轴;X]%一陀螺莱查坐标系川一陀螺进动轴 ;0一陀螺进动角速度
单轴稳定器工作的物理过程如下所述。
设 ay 为稳定轴上的常值干扰角速度，在 ay 作用下，陀螺进动轴 z 上将出现陀螺力矩 Hå y ，
在 Hå y 的作用下 ， X 轴上出现角速度。(浮子组合件的转动角速度) ，继而出现。转角。此时 ， H 进
动。角，信号传感器出现电压 V ， 放大后加给力矩电机 M ，电机产生一个力矩，使平台沿着稳定
轴绕 ay 反方向转动，最后，平台绕稳定轴方向产生一个大小与叶相等，而方向相反的白，此时
进动轴上陀螺力矩消失，稳定器进入稳态工作，即沿稳定轴方向力矩电机的力矩和干扰力矩处
于平衡状态。这时的特点是角动量 H 偏离初始位置一个小角度。，这个小角度。即保证了使伺
服电机产生 ad
= ay 所需要的控制电压。这一过程还可用简明的文字趋向来说明。为简单计，
将从干扰角速度叶被加上时刻起，到稳态叫 = ay 止的过程，分为 3 个时间区段来叙述。
1)当 t
= 0+ 时，有
ay →而y → 0 → θ = f: 仙→ V → ad
2) 当 t
= tl 时，有
ay广-今ad > 0 → H(ωay广
叫
ωd
a
ad
引)当 t
3
= 归t 2 时，有
åd t =αy → H(å y - åd)cos
(J ~
=
0•
(J = (J max
因为。在 O → t2 区段内是逐渐下降到零的，在 0 的下降过程 ， ë 的符号始终没有变，所以有
。 =e仙 =θm
此时 V= 常值，当由干扰力矩引起的角速度 ay 为常值时，叫 = ay 得到了保证，从而系统
98
五章惯性导航阳台
o
处于稳态工作情况。
上面的分析完全是在理想情况下进行的，但描述了单轴稳定器的基本动态工作特性。显而
易见，如果在浮子积分陀螺仪的力矩器中加人适当的控制电流，则单轴稳定器便由几何稳定工
作状态转到空间积分工作状态(此时叫单轴跟踪器) ，这种工作状态的物理过程可以参照上述
方法进行分析。它们的主要物理过程如下所述。
(1)对町的稳定作用同单轴稳定器。
(2) 在加给控制电流 L 以后的工作情况。
假设系统是理想的线性系统，并且假定 U 的影响已经由于它的稳定器作用而得到完全的
补偿。因此，在讨论 L 的作用时，可以认为 ay
= 0。
将加人 L 以后的过程分为 3 个时间段来考虑。
1)当 t
= 0+ 时，有
L → K，I， →()(沿 Kl， 方向)→ θ → V → Cld
式中
K,
2) 当 t
--力矩器的标度因数。
= t ， 时，有
品d < Kl， → ë. → θ 干→ vt → Cl d
3) 当 t = t2 时，有
åd
t 到 Hå d
= Klt → ()t
→ 0 而 et →常值→ v= 常值，如果我们继续保证 L 不变，则
稳定平台就以
K.I.
α d = 言=常量
转下去。
我们称这种工作状态为空间积分状态，与此对应的陀螺装置称为空间跟踪器，单轴跟踪器
是构成惯导平台模拟空间任一坐标系的基本单元，如果 L 为某一时间函数，则叫亦为某一时
间函数。
应特别指出，单轴稳定器是指平台相对惯性空间仅仅在稳定轴 Y 的方向可以抑制其干扰
转动(干扰力矩) ，即能使平台在一个轴的方向相对惯性空间稳定。而单轴跟踪器则仅仅能使平
台沿稳定轴方向相对惯性空间以某一规律旋转。
二、单轴稳定器特性分析
为了进一步分析单轴稳定器(单轴稳定平台)工作原理，画出单轴平台系统结构图和单轴
平台系统方块图，如图 5.8 和图 5.9 所示。
99
o
团 5.8
团 5.9
单轴平台系统结构图
单轴平台系统功能方块固
下面给出用浮子积分陀螺仪组成的单轴平台系统运动方程式，首先列写各环节运动方程
式。
(1)台体运动方程式
在不考虑台体绕稳定轴的阻尼系数和弹性约束的情况下，有
Me(s)
α(shTT
JpS-
式中
(5.2. 1)
Jp 一一台体及其附件相对输出轴的转动惯量。
(2) 浮子积分陀螺仪传递函数
旦旦2
H/C
一旦L
α(s)-ts+1-JhG
(5.2.2)
(3) 平台控制器传递函数为系统待选定的参数，设
f一 (s
二二~一
θ (s)
在 s
=
创
G (sυ)
-
rs
(5.2.3)
= 0 时，以 s) = C) 。
(4) 直流力矩电机传递函数
在实际应用中，可认为是一非周期环节
且坠)
eμ s)
C2
+1
(5.2.4)
考虑到浮子积分陀螺仪的陀螺效应，以及引起陀螺漂移的干扰力矩，可忽略力矩电机中的
反电势效应。系统的方块图可由图 5.10 给出。
在第三章我们给出用于捷联惯导系统浮子积分陀螺的一组参数，对于平台系统用浮子积
分陀螺的时间常数 J/C 为毫秒级。对于平台系统所用直流力矩马达，已采用永磁式马达，在一
般工程应用旋转速率下，马达的反电势可以忽略，马达的传递函数还可进一步简化。
我们对系统做如下分析。
1.设 Mβ = O ， MjY 或 My 不等于零。
由图 5.10 可简化为图 5.11 的形式。
1∞
第五章惯阳系统平台
圄 5.10
Q
单轴平台系统方块圄
M l 一由于载体的运动引起绕 Y 轴的输入力矩 ;MjY'一绕 Y 轴的干扰力矩 ;M庐一
绕陀螺输出轴的干扰力矩
MfY (s)
G(S)C2 • "
Ts+l ;-tts
圄 5.11
单轴平台系统方块图之二
从图 5.11 可得出
(口+ I)(js + C)
y(s)-
,
NW(s )(5.2.5)
- Jplrs 4 + Jp(j + τC)S3 + (jpC + H2 τ )S2 + H 2s + G(S)C 2 I1"二jY
当 MfY 为阶跃函数时，则系统稳态误差为
α YS
拉萨
(5.2.6)
M
式 (5.2.6) 表示了系统的静态误差 !!!.fX 的比值称为平台的静态伺服刚度，它是平台系统设计
αE宫
的重要参数，表示平台给定输入力矩和平台偏角的比值。因此，它表示了平台系统抗干扰的能
力。
从式 (5.2.6) 显见，当 cLcd ， H 干时，则 α YS. 。实际上，由于系统中的陀螺一旦选定之
后， C 和 H 就成为系统中不可变部分，同样， C 2 也是系统中不可变部分，为了减小静态误差 α YS ，
只有使系统静态放大系数增加，这种增加并不是无限制的，必须和系统的稳定性要求一起来考
虑。再一个办法就是减小绕 Y 轴的干扰力矩 MfY 值，必须使摩擦力矩(稳定轴)和不平衡力矩尽
可能小。不平衡干扰主要和平台系统重心偏离支承中心有关，因此，对稳定平台重心的偏移必
须做严格的限制。另外为了避免稳定平台在大加速度作用下，由于支承结构变形导致的不等弹
101
Q
惯性技术
4
性重心偏移，也必须对支架的不等刚度设计提出相应的要求。
在实际工程上，由于平台转角较小，不便于准确测量，往往转向采用 MjYIθ 来表示平台的
伺服刚度。由于 0 角的大小是作为给平台控制器的输人信号，所以便于测量，同时，它的相应角
偏差也要比以汗毛倍。
在正弦干扰力矩输人下，干扰力矩和平台相应轴输出转角的比值，称为动态伺服刚度，表
示平台在动态环境下的抗干扰能力。将式 (5.2.5) 中的 s 用 jω 代人，可得有关表达式。可以看
出动态刚度幅值将明显地依赖于平台轴的转动惯量 Jp ， 当 Jp 值小时，对应的动态伺服刚度值
就小。对于三轴平台系统，由于方位轴的转动惯量小于其它两个轴，受此影响，三个轴的静态伺
服刚度是不一致的。典型产品在方位轴上有 1σ - 21σ' 的静态误差，而在俯仰和滚动轴方向上
可以做到几个角秒。
带宽是平台控制系统设计的另一个重要指标，它和平台系统的伺服刚度有密切联系。习惯
于用 Bode 图来综合系统参数的设计人员，往往用系统开环对数幅频特性的交接频率 ωc 来代
替带宽。在忽略陀螺反作用力矩的情况下，从图 5.11 可以看出，系统的开环传递函数由两个积
分环节和两个非周期环节组成，由于 T 小于陀螺的时间常数 JIC ， 所以设计系统带宽时，必须
合理选择积分陀螺仪的时间常数。
2. 陀螺仪进动轴上干扰力矩地t 引起的稳态误差
设图 5.10 中的 My = MjY = 0 ，则系统方块图改画为图 5.12 的形式。
回 5.12
单轴平台系统方块围之三
从图 5.12 可得
c(s ) C2 + (rs + 1) Hs i ( s )
y (4 s ) - M
- sUplrs + Jp (j + Cr) S3 + (jpC + H2r) S2 + H2s + G(s)HC2 J β
(5.2.7)
G( s ) C2 + (rs + 1) Hs
-y(s
) - 3 2 M 2( s ) ( 5 . 2
.8)
4
- Jplrs + Jp (j + 0τ )S3 + (jpC + H r)s2 + If飞 + G(s)HC 2 β
设明t 为阶跃函数，叶的稳态值为
Mr.
α Ye
102
= 豆
(5.2.9)
五章惯性导航系统平台
。
或者
何=争t
(5.2.10)
对于理想的稳定平台，不管有无外加干扰力矩作用，其相对惯性空间应该是稳定的，即要求 αy
在 t →∞时，趋于零。而从式 (5.2.10) 可见，由于陀螺进动轴上的干扰力矩 MJ" 所引起的句是
随着时间而积累，这种积累误差随着时间的增加而达到十分严重的程度。式中的争代表陀螺
的漂移角速度。所以，陀螺漂移引起了单轴稳定器的漂移，而且在数值上是相等的。
3. 稳定性分析
由于陀螺反作用力矩和稳定力矩相比差的很多，所以，在系统的实际分析中可以将其忽略
不计。对于平台用直流力矩电机的传递函数，也可以认为是一个比例环节，即式 (5.2.4) 成为
M品 (s)
ei~(s)
= \..2
(5.2.11)
因此，可以将图 5.10 简化为图 5.13 。
回 5.13
单轴平台系统方块团之四
从图 5.13 可得系统开环传递函数为
些ι s)
~ HG(s)
Me(s) - JpS 2 (js + C)
将 G(s)
(5.2.12)
= C 1 代人式 (5.2.12) ，有
且ω
一旦旦旦旦
Me(s) - JpS 2 (js + C)
(5.2.13)
式 (5.2.13) 根轨迹的形式如图 5.14 所示。很明显，具有式 (5.2.13) 所表示的开环传递函数那
样的系统，在不加校正时，系统是不稳定的，因为他们有两个极点在原点，因此对于系统的任何
k 值都将是不稳定的。校正环节就必须认真选择，不能简单的假设 G(s) = C 1D 应该增加零点，
将原点上的两个极点的根轨迹引向复平面的左侧，最简单的校正环节，可表示为
ρ …(叶，
茨~=言士1
(τ1 >ω
(5.2 叫
加校正后的系统，其根轨迹的分布如图 5.15 所示。从图可见在一定的 K 值(系统开环放大
系数)下，系统是稳定的。该系统是一个条件稳定系统。
103
o
Jω
Jω
[sl
[sl
σ
图 5.14
5.3
未校正系统根轨迹
σ
图 5.15
校正后系统根轨迹
用二自由度陀螺仪组成的单轴稳定器
一、单轴稳定器{跟踪器)工作原理
图 5.16 给出了用二自由度陀螺仪作为敏感
元件组成的单轴稳定器结构原理图。图中 C 表示
飞行器载体，其上装着单轴平台 P ，在平台上安装
一个二自由度液浮陀螺仪，用坐标系。'XYZ 来表
示平台坐标系，对应的陀螺仪坐标系用 Oxyz 来表
示，陀螺仪的内环轴和被稳定的平台轴平行安放，
即 Ox 平行于 OX 。在陀螺的内环轴上装有信号传
感器 S。由于二自由度陀螺仪是相对惯性空间稳
固 5.16
单轴稳定器结构原理固
定的，因此，当平台绕 OX 轴有干扰力矩 MjX 存在时，平台绕 OX 轴相对惯性空间有转角产生，也
就相当于绕陀螺的内环轴有偏差角出现，陀螺内环轴上信号传感器 S 就有信号输出，此信号经
过平台控制器送入直流力矩电机，该力矩电机带动平台旋转，消除此偏角，或达到力矩平衡，从
而保证了平台相对惯性空间绕 X 轴的稳定。据以上的叙述，可画出单轴稳定器系统方块图
5.17 。图中， M砂为陀螺外环轴上的干扰力矩，在上面的讨论中，设 Mfr = 0 ，仅仅讨论了在平台
稳定轴上存在干扰力矩 MjX 的情况下的系统的稳定作用。
图 5.17
104
单轴稳定器系统功能方块圈
第五章惯性导航系统平台
9
二自由度陀螺仪用做单轴稳定器的敏感元件，陀螺仪将有一个敏感轴是多余的。为使系统
正常工作，可将外环轴上信号传感器的输出信号，通过力反馈放大器和内环轴上的力矩器相
连，形成一个力反馈回路以保证内环轴始终在平行于平台稳定轴的方向。
单轴空间眼踪器的作用原理如下。
参看图 5.16 ，为了使平台获得绕 X 轴的旋转角速度为 ω 的旋转运动，则在陀螺 y 轴力矩器
上附加控制电流 IT' 产生相应的力矩 Mgy ， 在 Mgy( 等同于 Mjÿ ) 的作用下，则引起陀螺角动量 H
绕内环轴的进动，进动角为
此=古f Mgydt
(5.3. 1)
平台随动系统要消除陀螺的上述偏差角，就必须使平台绕平台的稳定轴相对惯性空间转
动民角(注意:平台的稳定轴和陀螺的内环轴要始终平行) ，在理想情况下，平台转角的稳态值
和陀螺转角的稳态值相同，即
马 =ι= 古f Mgydt
设
式中
Mg
(5.3.2)
=品J
K- 比例系数;
ω一一要求的平台跟踪角速度。
则平台的转动角速度为
些f
些主
E
dt - dt - H
<.v
(5.3.3)
当取 K/H = 1 时，有
d8.
Ef=hω(5.3 .4)
即平台做到了按要求的角速度 ω 旋转。
如果上边讨论过的控制力矩 Mgy 不是由控制电流 IT 产生的，而是陀螺外环轴上的干扰力
矩的话，角动量 H 同样引起绕内环轴的进动，即陀螺有了绕内环轴的漂移角速度，平台也同样
会引起转角峙，从式 (5.3.2) 可见，这个转角随着时间的增加逐渐积累，我们把它称为平台的漂
移。
从上边的分析可知，不论用单自由度陀螺仪或者用二自由度陀螺仪组成的稳定平台(跟踪
平台) ，陀螺漂移角速度都将引起平台的漂移。因此，在稳定平台(跟踪平台)设计中，对陀螺的
漂移角速度是应该有一定限制的。
另外，采用框架式二自由度陀螺仪作为单轴稳定器的敏感元件时，如选择它的外环轴和稳
定轴相平行，则对其力反馈回路的设计有较低的要求，此时，力反馈回路的功能只要满足使陀
螺的转子轴与陀螺的外环轴基本保持垂直就可以了。
105
Q
二、动特性的分析
为了简单起见，设平台控制器的传递函数为 KG( s) ，在 s
= 0 时 ， G(s) = 1 ，则图 5.17 可改
画成图 5.18 的方块图。
(a)
(b)
图 5.18
单轴平台系统方块图
很明显，从图 5.18(b) 可见，系统在不加校正的情况下是不稳定的，这是一个典型二阶系
统。对于一个二阶系统来说，它的闭环系统幅频特性如图 5.19 所示，当输入的信号频率很低
时，即 ω 〈 ω。时，系统的放大系数等于静态放大系数。当 ω=ω。时产生谐振，出现很大的超
调。而当 ω 很大时，即 ω 〉 ω。时，系统的放大系数接近于零，系统对高频输入不反应或反应很
弱。根据这个概念，我们分析一下作用在陀螺仪上的干扰力矩 Mgy 、 Mgx 和阻尼力矩 Cy 式、 Cx v. x
的影响。二自由度液浮陀螺仪其结构方块图如图 5.20 所示。其中 Jx 、 Jy 分别为陀螺仪转子绕陀
螺内环铀和外环轴的转动惯量 ， ()x 、 ()y 和h 、 v. y 仍为陀螺仪的进动角度和平台(或陀螺仪的壳
体)的转动角度。
1
工S2+可I
A(ω)
1
工F工 Cxs
O
α'0
图 5. 四
Cx φ x(S)
αy
二阶系统幅频特性
为简单计，设冉 =
O, Mgy
图 5.20
二自由度液浮陀螺仪方块圈
= 0'，按图 5.20 可以写出陀螺仪的运动方程式为
( JyS + Cy)[CxSv.x(s) + M (s)]
电
r
2
J
'xCy
+ Jγcx
C二Cγ + H2 1
JJ乒 I s" +
门
+二巳工」二二|
",,
oz(s)=r
L-.
其特征方程式为
106
J.Jy
1:.1y
(5.3.5)
第五章惯阳系统平台
o
2
S2
+
"ι +JγCzs+ 生生土 H
Jxly
JxJy
-H一
M
一+JY
了 2J
-C 一创
-C一
l
可以看出，其振荡频率为
= 0
(5.3.6)
-iz- -i--z "nL-
ω
=
(5.3.7)
代表了陀螺的高频衰减振荡，对于二自由度陀螺来说，这个振荡频率即为章动频率。
对于一般应用的二自由度陀螺仪，陀螺的质量大部分都集中在陀螺转子及内环上，为了估
算无阻尼自振荡频率 ω ，可认为如下等式成立，即
L 自 Jy 臼 1. 5J
ι 臼 Cy 自 O
代人式 (5.3.7) ，得
ω= 南=
0.66 .0
(5.3.8)
当自转角速度。取为 M α)() r/min ,j = 267 Hz。
实际应用的二阶系统，通频带的宽度一般不超过十几赫兹。显然满足 ω 〉 ω。的条件，即平
台系统不反应陀螺仪的章动运动。因此，在研究平台系统的运动时，不必考虑陀螺仪章动的影
响。而且，由于二自由度液浮陀螺仪的阻尼系数很小，由此引起的阻尼力矩也不必考虑。因此，
二自由度陀螺仪的 Z 轴和 y 轴之间相互解藕，可将其作为两个独立的角度传感器通道来考虑，
øp
ex = ι轧
ey
式中
= Ky吃
(5.3.9)
鸟 ， ey 一一分别是 z 轴和 y 轴陀螺仪信号传感器输出的电压;
K后，吃一一分别是 z 轴和 y 轴陀螺仪信号传感器标度因数;
￠劣，民一-分别是沿 z 轴和 y 轴陀螺仪输人的角度，等效于向和岛。
二自由度陀螺仪经上述解稿后，其运动方程式可简化为
HOx
- Wy
= My
= M元
(5.3.10)
这样，系统的方块图就可以简化成图 5.18(b) 来分析。
为了使系统稳定和减少稳态误差以及改善这类系统的动特性，往往采用如下类型的 RC 有
源或元源校正装置，这类元源校正网络电路图及传递函数为
(1 + 'ls)(1 + '2S)
G(s)=(1+TIS)(1+T2S)(5.3.11)
图 5.21 则给出与其对应的开环对数幅频特性图。从开环对数幅频特性图可见，在低频时，
107
Q
相当于一个积分环节消除静态误差，在较高频率时，相
dB
当于一个微分环节增强信号使系统得到稳定。这种校正
19ω
装置在 ω → O 和 ω →∞时，信号均不会受到削弱。从幅
1
1
-n-L ~ LrA--
.J.J-.~...L --z: ~飞
频特性看出，在 ω 从一到一频段时，对系统的放大系数
川
T
T ....
"... .......'",;O, YM""--.." _..........J'Y" -201g
7:1 1
1
I kr:
Ct..........L.
..-~.........
--.1
1
Kι
2
、
有削弱。但由于这一校正装置的引人，我们有条件把 K
回 5.21
取得较大。总的来说，放大系数还可提高不少。这一点可
对数幅频特性
以从整个系统的开环传递函数的对数幅频特性看出来。
从图 5. 18(b) 可以得到系统在不加校正环节时的开环传递画数为
W(s)
= 主
(5.3.12)
J pS-
图 5.22 给出未加校正环节的系统开环对数幅频特性，此时 ， G( s) = 1 。若设
(1 + Lls)(1 + L2S)
1.
':'1-~;:
::-~/\
(I + T 1 s) (1 + T 2 s)
(5.3.13)
(1 + L1S) (1 + L2S)K
,
Jp s2 (1 + T 1s) (1 + T 2s)
(53.14)
G(s) =
则有
W(s)=
图 5.23 给出加校正环节后的系统开环对数幅频特性，可以看出，不论在低频部分还是高
频部分，系统的动态特性均得到了改善，频带也适当地得到加宽，在截止频率附近，是- 20
在图 5.22 中则是-
dB ,
40 dB。所以加校正后，使系统具有较高的稳定储备，其值一般可大于 450 0
dB
dB
-40 dB /dec
40dB/dec
。
图 5.22
19ω
。
来加校正环节的系统开环对戴帽频特性图 5.23
5.4
19ω
加校正环节后的系统开环对数幅频特性
半解析式惯性导航系统的修正回路
上一节我们对惯导平台动态特性的一个侧面做了分析，即主要是讨论了平台的稳定作用。
本节将对惯导平台的跟踪特性进行分析，以说明惯导平台动态特性的另一个侧面，并引出舒拉
调整的概念。为了简化分析过程和突出重点，做如下两点假设。
108
第五章惯性导航系统平台
9
1)设飞行器的航向角 ψ0 ，以简化陀螺仪的稳定回路分析，并假定飞行器元摆动运动，
因而飞行器或基座的坐标系与地理坐标系重合。
2) 由于我们在采用单自由度浮子积分陀螺仪构成平台时，陀螺的角动量比较小，所以可
以忽略陀螺力矩项对最终结果的影响。平台的偏角一般很小，因此，可以忽略三条回路之间的
交叉藕合影响，从而可以简化为单一回路系统的分析。
一、采用单自由度浮子积分陀螺仪组成的惯导平台
根据上述简化假设，可将图 5.24 中绕 Y 轴(外环轴)转动的平台随动系统及东向加速度计
修正信号回路作为典型的修正回路加以分析。北向加速度计修正回路及绕 X 轴转动的平台随
动系统的分析方法是一致的。图 5.24 给出东向加速度计回路的功能性说明，按照前面对回路
功能的讲述，考虑到图 5.12 ，我们可以画出系统的东向加速度计回路方块图，如图 5.25 所示。
图 5.24
东向加速度计回路示意
在图 5.25 中，乌是经过有害加速度补偿以后的运动对象的加速度(参看式 (2.2.2 1)) ，凡
是加速度计的传递系数， KJ 和 K2 为计算机中比例系数 ， Kt 为单自由度浮子积分陀螺仪力矩器
的比例系数 ， Krp 为飞行器纬度角计算的误差系数，伊为飞行器所在地的地理纬度，略为作用在
平台 Y 轴上的干扰力矩。
从图 5.24 可以看出，东向加速度计 A E 输出飞行器东向绝对加速度，在经过有害加速度的
补偿以后，得到飞行器地速分量 VE ， 经过计算机计算之后，可以得到和地理坐标系北向角速度
分量均 =7+ …￠成比例的电信号，通过陀螺 Gy 和与其相应的稳定回路，使平台绕 Y轴
相对惯性空间以角速度 ωN 旋转，这样，就实现了平台绕一根轴的眼踪作用。很明显，在图
5.25
中，下边的闭环回路是保持平台稳定的稳定回路，而上面的闭环回路就是使平台眼踪地理坐标
系的修正回路。
图 5.25 中的 ()N 为地理坐标系在惯性空间绕 Y 轴转动的角度，即牵连角速度引起的转角。
109
Q
由
…旦。
图 5.25
东向加速度计回路方块图
V>y 为平台相对惯性空间的转角，即绝对角速度引起的转角。因此，卢即为平台相对地理坐标系
绕 Y 轴的水平误差角，即平台绕 Y 轴相对当地水平面偏离卢角。
平台的运动是两种运动合成的，第一种运动是稳定回路产生的，第二种运动是由修正回路
形成的。实际上，正像下边分析的那样，第二种运动是不衰减的慢速振荡。由于第一种运动是由
通常的控制回路产生的，可认为是快速的衰减运动，因此，其过渡过程仅影响第二种眼踪运动
的起始特性。在研究修正回路的跟踪运动时，可以只考虑稳定回路的稳态特性，在稳态时，稳定
回路的传递函数可简化为主(参看式 (5.2 的)。因此，在研究平台的修正回路的特性时，图5.25
可以化成图 5.26 的形式。
ωe ∞s 伊 (s)
固 5.26
东向水平回路简化方块圄
按图 5.26 可以写出系统的运动方程式为
卢 (s) =
tfr[VE(S) -
"K_K一
1 K~K.
r.
,.
gß(S)] 志1+kdueCOS 伊 (S)J
主~-lVE(S)
1
.1 1
志+叩 OS 忡 )lf
(5 .4.1)
对上式进行整理，有
110
第五章惯性导航系统平台
(S2 +
Ka苦乌)卢(s)
=
Ka管乌E( S) - 叫-气 eCOS
cp( S)
9
(5 .4 .2)
如果选择系统参数满足条件
KaKJK2Kt
=
H
Kq!(2Kt = H
(5 .4 .3)
方程式 (5 .4 .2) 成为
(S2 + 去)卢 (s) = 0
(5.4.4)
式 (5 .4 .2) 说明平台偏离当地水平面误差角卢的大小，在系统的参数已经选定的情况下，
主要取决于飞行器的东向加速度值的大小。换句话说，飞行器的加速度将要引起平台偏离当地
水平面的误差角，而当系统的参数如式 (5 .4 .3) 那样设置和调整之后，平台偏离当地水平面的
误差角 β ，其特性将满足式 (5.4 .4)所给出的齐次微分方程式。表明系统消除了飞行器的加速
度和地球自转角速度对偏差角卢的影响。
对式 (5 .4.4)求解，有
卢(t) = 卢'OCOS
He
= ßocos
(5 .4 .5)
= 84 .4 min
(5 .4 .6)
说明平台将以振幅卢。和周期
T
= 21C~
绕当地水平面振荡。如果我们在系统参数的选择上，能够使系统的振动周期为 84 .4 min ，那么，
系统参数的这种调整过程就叫做舒拉调整， 84 .4 min 被称为舒拉周期。具有 84 .4 min 周期的系
统，在加速度的作用下，将不会产生加速度误差，这就是舒拉调整的重要意义之所在。对于我们
所研究的惯导平台来说，只要修正回路实现了舒拉调整，从理论上讲，就会出现如下情形:如果
当平台的初始位置 (t
=0 时)在水平面内(卢= 0) 时，在以后的飞行过程中，即使在加速度的作
用下，平台也不偏离当地水平面，即由于向 =0 有卢 (t) = 0 ，而当平台初始位置偏离当地水平
面一个向角时，那么在以后的飞行中，无论飞行器是加速或不加速飞行，平台都将以当地水平
面为中心进行长周期的不衰减振荡，其振荡幅值为品，周期为 84.4 min 。有关舒拉调整的进一
步说明，我们将在下节说明。
从第三节和以上的叙述，可以进一步理解惯导平台的运动受两种信息控制。稳定回路保持
平台相对惯性空间的稳定，这种稳定过程是很快的，可以在毫秒级时间内完成。在经过舒拉调
整后的修正回路的控制下，平台以地理坐标系相对惯性空间的旋转角速度 ωE"WN 、 ωE 三个分
量相对'惯性空间旋转，所以，平台始终模拟当地水平面，与此同时，平台又以振幅为岛、周期为
84.4 min 的摆动绕当地水平面运动。这就是在讨论修正回路的动态特性时，可以把稳定回路简
化为一个主环节的道理。
111
Q
二、采用二自由度陀螺仪组成的惯导平台
采用二自由度液浮陀螺仪组成的惯导平台与采用单自由度浮子积分陀螺仪构成的平台相
比较，主要区别在于稳定回路的工作不同。由于二自由度陀螺仪的特性决定，在没有干扰和控
制力矩作用下，陀螺的角动量相对惯性空间稳定。所以，在稳定回路中，二自由度陀螺仪作为一
个基准元件，使平台相对惯性空间稳定，平台通过稳定回路而眼踪陀螺，这时的稳定回路只是
一个位置随动系统。为了说明基本特性，我们还是先研究单通道东向加速度计的回路，图 5.27
所示为其方块图(参看图 5.18) 。
ωeCOS 伊 (s)
稳定回路
修正回路
图 5.27
二自由度陀螺平台的东向加速度计回路
和采用单自由度陀螺的情况一样，惯导平台的运动也是由两种运动合成的。我们可以按图
5.27 推导系统运动方程式(设蚂= 0) ，为了讨论方便，仍然设有害加速度完全被补偿。
{[VE(s) -
gß(S)J 等+机COS 伊 (s) }吁L三jy节(s)
[ VE ( s) 主 +ωe COSψ(s)]?= 卢 (s)
(5.4.7)
整理上式，有
s
Ka K2Kj :~s)KG(s)g]
S2[ ιs2+KG(s)+p
{S2[
~J }伊 (s)
JpS2 + KG(s) + K，
品
[
KaKIιktidU(s)
{K.,)( Kt K
2
3(
S) KG( s )
Ï//'~~'U/
-
~J+fG(s 2]vE (s)
+
.，~/ ,, 1
[}ps2 + KG(s)
]J ωe COSψ (s)
r.?
=
(5.4.8)
从式 (5 .4 .8) 可以看出，如果选择系统参数满足条件
扎K， K2Kt =
凡K2Kt =
112
H
H
(5.4.9)
第五章惯叫系统平台
Q
J .,5 2 + KG(s)
K3(S)
=
~
3'~!
KG(s)
即式 (5 .4 .8) 等式右边的两项都为零，则消除了飞行器运动加速度和地球自转角速度对平台
运动的干扰，此时方程式 (5.4.8) 成为
(S2 + 丢)[旷 + KG(s)]
=0
(5 .4 .10)
方程式表明平台的运动是由两种运动合成的，一种形式是由 (S2 + 去)所代表，即
(S2 + 丢)卢 (s)
=0
(5.4.11
显然，这个运动具有舒拉特特，性，其振荡周期为 8
剖
4.4 mÌn ，是长周期的不衰减振荡。
第二个运动是第二个因式所代表的，即
Ur 2
+ KG(s)] 卢 (s) = 0
(5.4.12)
这个运动是由平台稳定回路的特征方程式所决定的，为了保证稳定回路能很好地工作，通过校
正环节 KG(s) 的选择，使其成为快速的衰减运动，通常在远少于 1 s 的时间之内就能稳定下
来，因此只影响平台跟踪特性的起始特性，而表征平台眼踪特性的方程主要是式 (5 .4 .11) 。这
种情况表明，在研究系统的修正回路时，可以忽略稳定回路的过渡过程影响。类似的原因，对加
速度计、积分器等环节的过渡过程也可以不考虑，因为这些环节的过渡过程时间也很短，只影
响跟踪特性的起始特性，而在研究平台上受到干扰力矩后的稳定特性时，则可以不考虑平台的
跟踪特性。这样，在研究平台的跟踪特性时就可以将稳定回路简化为 1 ，所以 ， K3( s) 也等于 1 。
因而图 5.27 也就简化为图 5.26 。这时，我们对系统进行分析，将会发现采用单自由度陀螺或二
自由度陀螺的惯导平台，修正回路的特性是一致的。
5.5
舒拉调整
一、不受加速度影晌的数学摆
在地面上处于静止状态的单摆能够准确地指示当地地垂线的方向。但是在载体上，水平加
速度将使单摆摆动，偏离当地地垂线方向。例如火车开动时，车内悬挂的单摆将向后摆动，偏离
原来垂线的方向。
图 5.28 示出单摆在载体做加速运动时出现的偏差角。，加速度 ι 越大，偏差角。也越大，
单摆的长度 L 越长，则偏差角 θ 越小。从图 5.28 可以看出单摆质量 m 在加速度冉的作用下，将
产生绕支点 A' 的转动力矩，使单摆产生绕 A' 的转动运动，对于小偏差角的情况，可得出
Jë = (max)L
式中
(5.5.0
「一一单摆绕 A' 点的转动惯量。
113
Q
因此，单摆在加速度冉的作用下，其向后摆动的角加速度 9 为
ë
:x
ma_L
J - L
.:.:=æ一 =
(5.5.2)
。x
A'
~
即由于水平加速度冉的作用，使单摆偏离垂线的角加速度。
\\./θ
将与 ax 成正比，并与单摆的长度 L 成反比。
物体在加速度冉的作用下，将从点 A 移动到点 B 。此时，垂
线方向(或地球半径 R 的方向)也将在惯性空间转动-个角度
B\
α 。 &是运动物体沿地球表面的线速度，而而是运动物体沿地
才?\d
球表面的线加速度，显然
，。
Ra = α第
或
a
=:言
(5.5.3)
如果单摆相对惯性空间的角加速度。正好等于物体运动
圄 5.28
加速度作用下的单摆
时垂线相对惯性空间的角加速度品，那么，经过二次积分后(初
始条件为零)得出。 =α 。即在线加速度 ax 的作用下，单摆仍能眼踪垂线方向的条件应当是
豆=。
(5.5 .4)
由式 (5.5.2) 和式 (5.5.3) 可得
ax
αx
-:--:4、
L -
R
叫-
(5.5.5)
亦即要求单摆长度 L 应当正好等于地球半径 R ， 满足了这个条件，便可以在任一加速度冉的作
用下，单摆仍能跟踪垂线。此时，单摆的周期将是
T
=:
2πJlt
= 84.4 min
(5.5.6)
这个周期称为舒拉周期，可以这样理解这个单摆，摆的质量 m 正好位于地球中心，而摆长
等于地球半径 R ， 这样可以让摆的支点 A' 在地面上任意运动，由于摆的质心总保持在地心位
置，所以摆线的方向也就总是当地垂线的方向，不产生偏离角。。显然，具有长度 L 等于地球半
径 R 的单摆，事实上是不可能实现的。 1923 年，当舒拉第一次提出这个条件时，把上述长度 L 等
于地球半径 R 的单摆称为理想的数学摆。它的重要意义在于，任何装置只要能使它的振动周
期满足式 (5.5.6) ，它就具有摆长等于地球半径 R 单摆的抗干扰能力。对于系统，这种选择参数
过程称为舒拉调整或舒拉调谐。
二、实现舒拉调整的可能途径
1.复摆
复摆又称物理摆，人们对多种形式结构的复摆进行了探讨，希望能够找到摆的固有振动周
期为舒拉周期的复摆。图 5.29 给出一种圆环形复摆的结构示意图，图中 r 表示圆环平均半径，
o
第五章惯性导航系统平台
m 为圆环的质心 ， A' 为复摆的支点 ， L 则为质 ，c" m 到支点 A' 的
厅
W→
距离。设 J 为复摆相对支点 A' 的转动惯量，则复摆的固有摆动
周期为
设图中 r
(5.5.7)
= 0.5 m ，则有
J = mr 2
代人式 (5.5.7) ，同时取 T =
A~
84 .4 min = 5 侃4 s ，可求得
2
L = 纽工~ = 0.04μm
(5.5.8)
gr
回 5.29
圃环式复摆
从上面计算可以看出，即使圆环具有 0.5 m 的半径，如果
要做到其固有振动周期 T =
84 .4 min ，那么支点与重心间的距离必须保持为 0.04μm 的微小数
值。在工艺上要达到这样高的精度是难以想像的事情。因此，可以认为，从理论上来看，实现复
摆的固有振动周期为 84 .4 min 是可能的，但从工程角度来看，实现固有振动周期接近于
84 .4
min 的复摆是不可能的。
2. 陀螺
陀螺摆和陀螺罗经都可以实现舒拉调整，都是由一个高速
旋转的机械转子组成，转子的重心和平衡环架支撑中心不重
合，都具有下摆性，在重力的作用下，它们的角动量能分别自动
寻找当地的地垂线和子午面方向。我们以陀螺摆为例加以说
明，图 5.30 给出在运动支座上的陀螺摆。设原始坐标系为东北
N
天方向，载体只有北向速度 V 和加速度岁 ， OXYZ 为陀螺摆的莱
查坐标系 ， mgL 为陀螺摆的下摆性，不考虑摩擦力矩，可写出陀 E
Y
螺摆的运动方程式为
H(~ + ω1) = mgIß
mg
-
mLψ
(5.5.9) 图 5.30
H(卢+去) =-吨la
在活动支座上的陀螺摆
式中的 ω=ωe COSψ ，且设陀螺摆的固有振动周期用 ω。表示，其表达式为
L
1TU!
(5.5.10)
ω2
豆
。 - R
(5.5.11)
ω 0=
H
通过推导式 (5.5. 的，可以发现，当
时，陀螺摆的稳态误差为
115
G
α
特
V
(5.5.12)
=一一一
ωoR
ß*
= ωI
E
一
白)0
可见，陀螺摆的稳态误差是由两种因数引起的:一种是载体速度所引起的偏差，另一种是由地
球自转角速度的水平分量所引起的偏差。陀螺摆在平移加速度惯性力矩的作用下要产生的进
动，正好使陀螺的转子轴进动到相当于速度偏差的位置上，稳态误差和载体的加速度元关，不
存在一项和加速度成比例的误差项。式 (5.5.11) 称为陀螺摆的舒拉调整条件或无干扰条件，此
时，陀螺摆的进动周期(在重力矩的影响下所产生的锥形进动)为
T =
2π 主=缸片白制
4 min
'L
'1 g
(5. 5. 13)
无论陀螺摆还是陀螺罗经，由于它们的角动量 H 和偏心 L 之间没有直接的约束关系，因
此，人们可以把角动量 H 做的很大，而把 L 调整的相当小，从而实现了舒拉调整。舒拉本人在
1923 年已在实验室条件下将陀螺摆的周期调整到约 30 min 。而陀螺罗经由于解决了舒拉调整
问题，而本身的指示又不受周围铁磁材料的影响，所以，陀螺罗经在航海中得到广泛的应用。
3. 舒拉调整平台
上边讨论的两种情况，是以调整结构参数来
实现舒拉调整，本节讨论以控制回路实现舒拉调
整的可能性，图 5.31 示出舒拉调整平台的工作原加速度计
理图。设有一个平台放置在固定基座上，平台上平台
放置一个加速度计，加速度计的输出信号正比于
平台偏离水平面的倾角。，在小角度的情况下，加
速度计的输出是
e
= gO
力矩电机 jll
j t
(5.5ω
斗Jf/
平台的倾角正比于加速度计输出的二次积分
。= - Kff edt 2
= - Kg ff 8dt 2 (5.5.15)
K一一一比例系数。
对式 (5.5.15) 进行微分，得
式中
116
图 5.31
工句J
叩
式中
‘
舒挂调整平台的工作原理图
(5.5.16)
(5.5.17)
第五章惯性导航系统平台
。
从上面的分析可以发现，舒拉调整平台的运动方程式，非常类似单摆的运动方程式，与单
摆的重要区别是回路的固有振动周期与回路的电气参数 K 有关，因此在舒拉调整平台的回路
中只要选择参数去 = R 就能保证系统的振荡周期 T = 84 .4 min。但是，由于 R 值很大，在工程
上选择适合去 = R 的 K 是不能实现的。当在上述回路中加人一个积分陀螺后，就相当于增加
H
一个增益系数为一的环节，最终使舒拉调整条件成为一
K -= R. 这个参数选择条件，在工程上是
可以实现的。所以说，由加速度计和陀螺组合的控制系统，在经过参数的适当选择以后，是可以
实现舒拉调整的。
思考题
1.简述单轴稳定器的基本构成和工作原理。
2. 简述单轴跟踪器的基本构成和工作原理。
3. 如何用单轴稳定器(眼踪器)的原理解释惯导平台的稳定回路和眼踪回路?
4. 陀螺漂移对惯导平台的性能有何影响?
5. 舒拉调谐的意义?可用在哪种导航系统?
6. 简述惯导平台稳定回路和眼踪回路动特性的主要特点。
7. 简述分别用单自由度陀螺和二自由度陀螺组成的稳定(眼踪)回路，在动特性上的区
别。
8. 简述惯导平台第四个平衡环的作用。
117
|
|
第六章惯性叩统的分析
本章以平台式惯'性导航系统为研究对象给出半解析式惯性导航系统的运动方程式，方程
式主要由速度方程式、姿态方程式和位置方程式等 3 个方程式组成，分别描述了载体的平动运
动和转动运动。依据坐标系选择的不同和参数的定义不同，方程式可以有多种不同的组成形
式，主要有￠方程式组和功方程式组两种形式，可以适用于不同的使用要求。
6.1
半解析式惯导系统的基本方程
一、坐标系
为了列写半解析式惯导系统的运动方程式，必须引人必要的坐标系。本节介绍用两组坐标
系表示惯导系统基本方程的方法。所谓两组坐标系，是除了惯性坐标系之外，再选用两组动坐
标系，如本节分别选用地理坐标系和平台坐标系。地理坐标
zj,
ç
系 OENÇ ， 其指向为东北天方向。而平台坐标系。IXpYpZp 则
固定在平台上 ， Xp 指向东 ， Yp 指向北 ， Zp 指向天顶，在理想
情况下，平台坐标系完成对地理坐标系的模拟，图 6.1 给出
两组坐标系空间位置关系示意图。图中 αJ 可以看做是平
台相对地理坐标系分别绕 E 、 N 轴的水平倾斜角， 1 为平台
相对地理坐标系的方位角。有时，为了方便统称 αJ 、 γ 为
平台相对地理坐标系的姿态角。两组坐标系之间的方向余
弦可做如下推导。设起始时刻，平台坐标系和地理坐标系相
重合，然后，按以下顺序进行 3 次旋转，完成从地理坐标系
图 6.1
两组坐标系间关系
至平台坐标系的转换。第 1 次转动绕 C 轴转动古，得到新坐
标系。IXP' Yp'Ç ， 其坐标变换矩阵为
r
ci
=
I - sin 1
L
式中
cos 1
sin 1
01
cos 1
0
lJ
0
脚标 E一一地理坐标系;
P，一一平台坐标系的第一个过渡坐标系。
第 2 次转动绕 Xp' 轴转动 a ， 其坐标变换矩阵为
118
0
I
(6. 1.1)
第六章惯性导航系统的分析
rl
o
0
ci=lo
LO
cosα
α
- sin
αl
cos
αd
(6. 1. 2)
『
βua
lβu·
CS
E·I
-C
.....
，
且
EBEEtEE
·MO
nut
(6. 1. 3)
」
创
AU
sm
咱们 υn
cosα=
βuaβua
由于 α 、 β 、 γ 为小角度，有
「EE1··IEBBEEt-h
pq =
1
sm
第 3 次转动绕 b 轴转动卢，其坐标变换矩阵为
9
cos β= cos Y 自 1
α=α
(6. 1. 4)
sin ß 臼卢
sin y = y
在忽略二阶小量情况下，可得地理坐标系至平台坐标系转换的坐标变换矩阵为
C~
= c号
r
1γ-
L
ß
.ci. Ci =I-Y
ßl
1α(6. 1. 5)
α1
J
或如表 6.1 所泪。
方向余弦褒
褒 6.1
E
N
Xp
C
P
Y
Yp
- r
Zp
P
α
-α
二、速度方程式
下面推导载体速度方程式(也可称为加速度方程式)。在第二章已推导出以地理坐标系分
量表达的加速度计输出信号的表达式为
AE = Í'E AN
=
(2w e si叫+去 tan cp).
VN
VN + (2w e sin 们 ?ta叫 .VE
A~
(6. 1. 6)
=g
上式只有在理想情况下，即平台坐标系和地理坐标系重合时，加速度计输出信号的表达式才如
上式所示。式中的 b 、凡为载体相对地球运动的加速度，为简化公式，取 A~ = g 。
由式 (6. 1. 6) 可求得
119
Q
VE = AE
VN
+
= AN -
(2ωesin ￠ +ftandh
(6. 1. 7)
(2w e sin 归去ta叫 . VE
由于加速度计的输入轴是按平台坐标系设置的，因此当平台坐标系偏离地理坐标系时，加
速度计实际测出的加速度分量不是上式中的 A E 及 AN' 而是沿平台坐标系的加速度分量，利用
式 (6. 1. 6) 和方向余弦表可求得加速度沿平台坐标系各轴的表达式为
= AE +
Apx
yA N - 卢~ + ~AE
(6. 1. 8)
Apy = AN - yA E + αg + ~AN
式中
~AE~~AN一一东向及北向加速度计的零位误差。
加速度计测出的实际为 A px 及 A py 两个加速度分量，因此，应以 Apx 及 A py 代替式 (6. 1. 7)
的 A E 及句，再对其进行有害加速度的补偿，将得到载体相对地球的真正加速度。实际的系统
就是按照上述思想完成对加速度计信号的处理，计算出载体相对地表面的加速度。在上述计算
过程中，用以计算有害加速度的速度
度
b 、 VN 及纬度￠均系计算机的计算值，因此，得到的加速
b 、凡亦系计算值。为了区别起见，凡是计算值都加注脚标 C 。由式 (6. 1. 7) 可得
VCE = 切
A 凹 + (仙
切
μ
2尘
Eω盹叩叫
V es
咐
VCN = Apy
-
(6. 1. 9)
(2ωe sin 伊C+ 专~tan q;C)' VCE
将式 (6. 1. 8) 代人式 (6. 1. 9) ，有
VCE = AE + 附-舷 + ~AE
VCN = A N - μE + 中 ~AN
+
-
(2ωe sin q;c +专~tan 伊C).
VCN
(2ωe sin q;c +专~tanψC). VCE
(6. 1. 10)
在式 (6. 1. 10) 中 ， AE 、 AN 是载体相对惯性空间加速度在地理坐标系相应轴的分量，几E 、 VCN 是
载体相对地表面加速度的计算值。在上述讨论过程中假定加速度计的传递画数为 1 ，式中的
yA E 及 y句两项为交叉搞合项，一般情况下可以忽略，所以，式 (6. 1. 10) 可写为
VCE
= AE +
_
Vr
sin 伊C +γtan q; c) . VCN - 舱 + ~AE
t( 2ωe
1i'
(_
Vr 1i'
VCN = AN -l2ωe sin 伊C+f tm
\
(6. 1. 11)
\
伊 C).
VCE + αg + ~AN
式 (6. 1. 11) 是系统的速度方程式。
三、姿态方程式
下面研究平台的姿态运动情况，假定稳定回路的工作很理想，平台和陀螺的运动是一致
120
第六章惯性导航系统的分析
o
的。如果在起始时刻平台坐标系与地理坐标系重合，而平台坐标系旋转角速度与地理坐标系旋
转角速度又相等，则平台的姿态角 αJ 、 γ 均为零。如果平台坐标系与地理坐标系的旋转角速
度不相等，则将出现平台姿态角。
设地理坐标系相对惯性空间的旋转角速度为
(6. 1. 12)
ω=ωE+ ωN+ ωc
平台相对惯性空间的旋转角速度为 ωp ， 则有
tþ= ωp - ω
(6. 1. 13)
式中
+ 卢+古
=å
tþ
(6. 1. 14)
为平台姿态角，都是很小的量。
以 Xp 轴为例，平台坐标系绕 Xp 轴相对惯性空间的旋转角速度为 ωPX ， 地理坐标系绕 Xp 轴
相对惯性空间的旋转角速度则为 ωE 、 ωN 、 ω ~3 个角速度分量在 Xp 轴上投影之和。所以，这两个
角速度之差必为 a ， 因此有
a = ωPX - ωE - YWN + 肉)~
(6. 1. 15)
同理，可得在 Yp 及 Zp 轴上平台坐标系和地理坐标系两者角速度之差，即为
卢 =ω'py - ωN- αω~ +γωE
γ=ωPZ - ω~ -肉)E + αωN
(6. 1. 16)
式 (6. 1. 15) 及式 (6. 1. 16) 即为平台姿态运动方程式，反映了平台在控制作用下的平台姿态角
的变化规律。其中的队E' )'c町、 α町、 YWN 、 αω5 、品)~等项为平台三轴间的交叉藕合项。 ωPX ， Wpy 、
ωpz3 个角速度分量是在计算机控制信号作用下得到的，与其对应的控制信息计算值则为
ωα
ωα=
VCE
忑
Vr ..
ωC~ =
R-
VCN
=
tan
R
+ω e COS
(6. 1. 17)
伊C
阶 +ω e sm
<Pc
这些角速度是作为输人到 3 个陀螺力矩器的控制信息，但是，由于陀螺有漂移角速度存
在，所以，平台相对惯性空间的角速度为
α)PX
=
ωpy =
缸)CE + εE
ωCN
+
EN
(6. 1. 18)
ωPZ = ωC~ +εC
式中
EE 、 EN 、 E~--- 平台漂移角速度。
因为它主要是由陀螺漂移角速度引起的，所以，也可认为 εE 、句、 E!;" 表示相应陀螺的漂移
角速度。将式 (6. 1. 18) 分别代人式 (6. 1. 15) 及式 (6. 1. 16) ，可得平台姿态运动方程式的表达式
为
121
。
α=ωCE- ωE - YWN
+
ßwç
+ êE
卢 =ωCN - ωN- αωç + Y，ωE + εN
(6. 1. 19)
Y = ωCç -ωç - ßwE + αωN+ εc
系统的位置方程式由经纬度组成，可表示为
CPc
ÅC
=
ω CE
=字叫C
(6.1.20)
综上所述，得到半解析式惯导系统的基本方程为式 (6. 1. 11) 、 (6. 1. 17) 、 (6. 1. 19) 、
(6. 1. 20) 。人们习惯用表示姿态角 ~，/3， ÿ 矢量和的￠为方程式组名，所以也把上述方程式组称
为#方程式组。如将 ωα 、 ωCN ， WCÇ 的值代人各方程式中，则可得到 7 个变量的一组方程式。
图 6.2 是按上述方程式组画出的半解析式惯导系统方块图，图中实线表示电的连接，虚线
表示机械连接关系。从图中可以看出，当载体运动时，用加速度计测出加速度 Apx ， Apy ， 经过有
害加速度的补偿及计算之后，计算机输出信息 ωα 、 ωCN ， WCÇ 至陀螺，控制平台使其眼踪地理坐
标系。而由计算机同时可计算得到 VCE ' VCN 以及经度 À. C 和纬度 ψc 。
在一些资料中，也将上述的基本运动方程式称为半解析式惯导系统的机械编排。
L一
------------一一[于-----------------~
图 6.2
122
半解析式惯导系统方块图
第六章惯性导航系统的分析
6.2ψ
9
方程
一、坐标系
功方程是惯性导航系统误差分析中的一个非常重要的方程，利用它可以简化系统的误差
分析，因为它把陀螺漂移率这一主要误差源与其它误差源分离开了。实质上，推导 ψ 方程的过
程，就是用三组坐标系建立半解析式惯导系统的基本方程。
采用以下三组坐标系:
OEN，一一地理坐标系，指向东、北、天;
OXpYpZp一一平台坐标系，固定在平台上;
OXcYcZc一一计算机坐标系，是计算机工作的坐标系，亦即计算机计算载体所在位置时它
所认为的地理坐标系所在的位置。
定义以下矢量:
ω一一地理坐标系相对惯性空间的旋转角速度，其分量为町、町、叫;
ωc一一计算机坐标系相对惯性空间的旋转角速度;
ωp一一平台坐标系相对'惯性空间的旋转角速度;
ð(J- 计算机坐标系相对地理坐标系的矢量角;
ψ 一一平台坐标系相对计算机坐标系的矢量角;
φ一一平台坐标系相对地理坐标系的矢量角。
所以有
φ=φ'E + φ'N + φE
即
<PE = α ，
<PN
= ß,
<P'Ç
=r
所有的这些角度都是很小的角度。
二、 ψ 方程式
为了使平台坐标系跟踪地理坐标系，计算机输出信息 ωc 加给陀螺，使平台相对惯性空间
旋转。在理想情况下，平台应该以 ω 相对惯性空间旋转。实际上，平台是以 ωc 相对惯性空间旋
转，如果平台坐标系和计算机坐标系各轴开始阶段相互平行，陀螺又没有漂移，那么，平台将始
终跟踪计算机坐标系。然而，由于陀螺存在着漂移，稳定平台不是以角速度 ωc 旋转，转动角速
度大小是 ωc 的幅值，而平台的实际转动角速度方向已由 ωc 方向转过￠角。在平台坐标系上，
控制平台转动信号 ωc 的 3 个分量重新组成 1 个新的矢量 ω2 ，再考虑平台的漂移角速度 ε ，得
123
Q
平台坐标系相对惯性空间的角速度为
ωp = ωë + B
(6.2. 1)
上式中的 ωZ 矢量和 ωc 矢量的 3 个分量大小相等，但它们是在不同坐标系内分解的，后者是在
计算机坐标系内分解的，前者是在平台坐标系内分解的。因此可将它们写为
ωc =ωαic + ωCYÏc+ ωczkc
(6.2.2)
叫 =ωcxÏP + ωCYÏp+ ωczkp
式中
角标 C 、 P一一代表计算机坐标系和平台坐标系。
由坐标系变换有
[~J
El
(6.2.3)
c'
式 (6.2.3) 中 C~ 可由类似于表 6.1 的求法得表 6.2 。
襄 6.2
方向余弦襄 cf
YC
ψz
-ψz
-ψx
<þ y
L一，寸'如
bv 叩 句
7
Xc
VS
由表 6.2 有
= ic
ip
jp
=-
kp
=
+ Øzic - ψrkc
Øzic + ic + 功'xkc
ψyÍc - Øxic + kc
(6.2 .4)
将式 (6.2 .4)代人式 (6.2.2) ，有
ωë = (ωcx - ωCl"功'z + ωczØy) ic + (ωσ+ω臼ψz- ωczØx)jc + (ωα-ωcxØy + ωα如 )k c
(6.2.5)
由上式可得
ω2=ωc +ψ × ωc
(6.2.6)
ωp = ωc+ψ × ωc + B
(6.2.7)
考虑到式 (6.2. 1)，有
另一方面由矢量角 φ 的定义可知，平台坐标系相对计算机坐标系的角速度应为[节lc' 由
于绝对角速度是牵连角速度与相对角速度之和，所以
ωp = ωc
124
+
[~]c
(6.2.8)
第六章惯性导航系统的分析
Q
由式 (6.2.7) 、 (6.2.8) 得
lt?lc+ωC Xψ=ε
(6.2.9)
上式可写为
d
φ'
、
一巾
'··EE--·· .......
e
,,
=s
(6.2.10)
这表示矢量角 ψ 的角速度是相对惯性空间的，式 (6.2.10) 表示平台坐标系相对计算机坐
标系间的矢量角 ψ 的变化是由于平台漂移产生的。由式 (6.2.10) 得(应用哥氏定理)
ψ+ω × ψ =
式中
(6.2.11)
B
丧 = [~Ø]E
亦即矢量 ψ 的角速度是相对地理坐标系的。
将式 (6.2.11) 分解在地理坐标系的三个坐标系轴 E 、 N 、 C 上，得以下公式
= êE
= êN
= ê~
φE +ω'NÝ1~ - ω妒'N
如 +ω妒'E -ωE4ì~
内 +ωE4ìN- ωNÝ1E
式中
(6.2. 12)
白、内、内一一自矢量角 ψ 的分量。
式 (6.2.11) 亦称为功方程，表示平台坐标系与计算机坐标系之间的角度分量如、山、白
的变化规律。所以，从￠方程可以清楚地看到，平台漂移主要是由平台漂移率引起的。
三、位置方程式
为了讨论平台坐标系相对地理坐标系的位置运动方程式，必须推导计算机坐标系相对地
理坐标系的位置运动方程式。
首先，给出计算机坐标系和地理坐标系之间的方向余弦表， C~ 可由类似于表 6.1 的求法得
表 6.3 。据 ð() 的定义，有
&6 =ωc-ω
亵 6.3
E
Xc
YC
- lJ(Jt
Zc
lJIJN
(6.2.13)
方向余弦褒 Cf
N
E
lJ(Jt
- lJ(JN
lJ(JE
- lJfJE
将式 (6.2.13) 投影到计算机坐标系 Xc 、 YC 、 Zc 上，可得 XC 轴上的分量为
125
。
éiJxc
= ωα-ωE - ω，~()'( +ω~()N
(6.2.14)
忽略二阶小量，可有
ôéxc
= ôé
E
将上式代人式 (6.2.14) ，有
ôéE
= ωCE- ωE - ω~'(+ω ~N
(6.2.15)
同理可得在 Yc 、 Zc 轴上的分量为
ôéN
= ωCN - ωw-ω乒'fh +ωFfifJ"
(6.2.16)
ôé'Ç = ωc'Ç -ω'Ç -ωFfifJN+ ω~()E
式 (6.2.15) 和式 (6.2.16) 即为计算机坐标系相对地理坐标系的位置运动方程式。
下面说明捕的物理意义。假设载体的真实位置在地球表面的 A 点，导航计算机算出的载
体位置在 B 点，见图 6.3 。令计算的经度和纬度坐标分别记做 Àc 和价，那么经度和纬度误差为
O'À =λc- À
Sψ
= CPc - CP
首先假设 A~B 两点在同一纬度圈上，这说明载体仅有经度误差。这时由图 6.3(b) 可知，地理坐
标系绕地球自转轴旋转品角度，得到的新坐标系与计算机坐标系重合，即坐标轴相互平行，由
于地球自转轴在 ON 和 O~ 的平面内，在忽略二阶小量的情况下，有
δ8N = δ:;. cos
CP
= δAsìn
CP
0'fJ'Ç
(6.2.17)
再假设 A~B 两点在同一经度圈上，这表明载体仅有纬度误差，由图 6.3(a) 所示，只要地理坐标
系绕 OE 轴旋转-作角度，得到的新坐标系与计算机坐标系重合，所以
δ8E =-δψ(6.2.18)
从式 (6.2.17) 、 (6.2.18) 可见，矢量角抽完全由位置误差所决定。因此，通常称捕为位置误差
角。
(a)
(b)
圄 6.3
126
矢量角掘的物理意义
第六章惯性导航系统的分析
9
综上所述，我们可以得到用三组坐标系表示的半解析式惯导系统的基本方程式
ψ 方程
如 +ωÐ/lç - ω妒fN =εE
如 +ω妒E 一 ωÐ/lç = εN
(6.2.19)
代 +ωÐ/lN- ωr#E = εE
位置方程
Cih =
ðè N =
ωCE - ωE - ωrMç+ ω卢N
ωCN - ωN- ω~E + ω~ç
(6.2.20)
ðè ç = ωCç -ωç -ωtð8N + ωrME
平台姿态角方程式
α = ØE +
ß
ð8E
= 如 + (J(}N
(6.2.2 1)
γ= 内 + (J(} ç
= -作
(J(}E
(6.2.22)
ðÀ cos cp
ð()N =
此外，有
ωα
WCN
ω Cç
Vú
=
VCN
R
=
VCE
=
R +
WeCOS 伊C
VCE
R- tan CPc
+ ωe smψc
_
Vr
tI 2ωe
sinψc+ftan 叫 . VCN - 幽 + 6AE
1<
= AE +
\
ÝCN=AN+(2ωe sin cpc + 字叫C).VCE + ψ 6A N
CPc
A
C
=
(6.2.23)
(6.2.24)
ωCE
VCE
=R
(6.2.25)
sec
ψc
从上述方程组可见，用两组坐标系或用三组坐标系描述的惯导系统基本方程式，主要差别
在于描述平台姿态角的方程式不同。而以 ψ 方程为主的方程式组，由于 ψ 角、报角的鲜明物理
意义，得到了广泛的应用。应该注意，除了上述差别之外，其它方程式组都是一致的。而且，当将
ψ 、捕的值代人式 (6.2.2 1)后，经过整理，所得姿态角的表达式，两种推导方法均是一致的。
127
o
单通道惯导系统的分析
6.3
一、方程式的选择
以北向水平回路为例来分析单通道惯导系统的情况，我们从惯导系统基本方程式中提取
北向水平回路的方程式，参看方程式 (6. 1. 11) 、 (6. 1. 17) 、 (6. 1. 19) 、 (6. 1. 20) 各式，在忽略交
叉藕合项之后，可得方程组
α=αJCE -
ωα
=
Ì'CN =
CPc
=
设
WE
+
êE
VCN
- R
I .
AN -
Vr..
(6.3. 1)
\
t2w e sin 伊C+ftaEI ￠c)-h +αg + D.
AN
ω CE
ω CE- ωE
=-
"
01ωE
=-
I VCN
\-一一-
--飞
R
VN \
--;:;- I
RI
所以有
α=δωE + êE
(6.3.2)
按式 (6.3. 1)、 (6.3.2) 做北向水平回路信息流程图，如图 6 .4所示。
;h(S) 去一ω'ds )
α (s)
团 6.4
在图 6.4中，设凡 =
AN -
北向水平回路倍息流程图
(2ωe sinψ+ 字叫 ) . VCE 为载体相对地球运动的真实加速
度，它表明有害加速度项巳得到了完全补偿，这种假设使分析工作简化，且不影响单回路惯导
128
时惯性导航系统叫
Q
系统的基本特征。 VNO 为真实的初始速度 ， ó'VNO 为初始速度的误差值 ， VN 为真实速度， α 。为平
台的初始偏角，伊ω 为初始纬度。
在图 6 .4的信息流程图中，系统的输出量为 α 、 VCN 、价。
系统的输人量，这里可分为两类:
①设备本身的干扰量，有牛4 N 、 εE 及句:
②与运动有关的量，有几、 VNO 、 ó'VNOÖ
下面推导输入量对输出量的影响。利用梅森增益公式，首先求出系统的特征式。
系统只有一个环路，即
LI
g
= -一一
&2
2
~、.
α)~
=
(6.3.3)
g
(6.3 .4)
R
则 ωs 为舒拉角频率。
则得
FL
-
d-2s
因此，信息流程图的特征式为
2
.1 = 1 - LI = 1 +
血r;
-?'
s-
s-2 + 白) 2•
=一一τ一」
s-
(6.3.5)
可得单通道惯导系统的特征方程式为
.1
= s2 + ω~ = 0
(6.3.6)
此即表示系统具有角频率为 ωs 的振荡，亦即系统具有 84 .4 min 的振荡周期。因此，如果系
统中的参数满足了第五章给出的舒拉调整条件，则系统的北向水平回路单通道的信息流程图
将如图 6 .4所示。此时系统将具有 84.4 min 的舒拉振荡周期，亦即平台具有舒拉周期的振荡运
动，因而可避免加速度对它的干扰。
二、单通道惯导系统的分析
首先求凡加速度对 α 的影响。
根据梅森增益公式，几 (s) 和输出量 α (s) 之间有两条信息通道，而每条前向流程均与环
路相接触，因此余因子式.1 1 均为 1 。
故有
I(S)
=手三τ|iE-iE1·VN(s)=O
了 +ω;t EIS-RS 』川
(6.3.7)
可见加速度 VN(S) 对平台水平倾角 α (S) 并无影响，亦即避免了加速度对平台的干扰。由
129
Q
图 6 .4也可以看出由加速度凡 (S) 输入量至 α (S) 之间的两条信息通道是互相抵消的。上边的
通道实际上代表地理坐标系的角速度分量饨，相当于标准值，下边的通道代表由实际系统结
构实现的通道，因此只要对系统中的参数进行适当选择，就实现了上述互相抵消的目的。
初始速度的影响为
α2(S) = 迁zl 主-却 VNO( S)
= 0
(6.3.8)
由 VNO 至 α (S) 的两条信息通道也是互相抵消的，可见载体的运动速度对平台水平倾角也是无
影响的。
初始速度偏差的影响为
的(s)=fzl;l NNO(shR(λω;)
如果初始速度有常值误差 δ VNO ' 则可将 δ VNO(s) =
. ðVNO{s)
(6.3.9)
α'3 (1)
δVNO/s 代人上式，并进行拉氏反变换可得
ðVNfl
dt)=-EZSinw(6310)
这时将产生具有 84 .4 min 振荡周期的误差，其误差特性
曲线如图 6.5 所示。
δ VNO
否可
下面讨论 ðA N ( s) 、 εE(S) 、 α。 (S) 对 α (S) 的影响。据
梅森增益公式，可得
图 6.5
有ó'v，腑的 α 角误差特性曲线
4(s)=fL|土
J. ðAN(s) 一
1.AAN(s)
s- +ωsl
Rs2j--R(s2+ω;)
(6.3.11)
何(s)=fLZ÷-EE(sh
f÷2· 以 S)
s- +
s
s- + w;
(6.3.12)
a6( S) = τLτ·α。(s)
(6.3.13)
w~
S-
+ ω:
假设 ðA N 、 eE 、 α。均为常值误差，对以上各式进行拉氏反变换，可得
向(t) = 学(…川)
α5( t)
(6.3.14)
= e E sinωJ
(6.3.15)
α 6(t) = αOcosωst
(6.3.16)
缸's
曾
可见 ， ðA N 、 eE 、 α。这些常值误差将使平台倾角产生以 84 .4 min 为周期的振荡误差，这时的误差
特性曲线如图 6.6 所示。
在各种常值干扰的情况下，平台水平倾角 α (t) 将为以上各项误差之总和。其中由加速度
130
第六章惯性导航系统的分析
α
州立吨
α4 (1)
9
α6 (1)
。
(c)
(b)
(a)
回 6.6
有 MN 、 EE 、 α。的 a 角误差特性曲线
计误差引起的误差 ~AN 将存在常值分量。
按照上述的同样方法，可以讨论各项输入量及干扰量对输出速度 VCN 的影响。
利用梅森增益公式可得到
VCNI(s)=fh(s)
(6.3.17)
= VNO(S)
. ð'VNO ( S)
Vm(s)=Jι
Sω:
(6.3.18)
了土丁 • ~AN(S)
(6.3.20)
VCN2 (S)
(6.3.19)
+
=
VCN4 (S)
VCN5 (S)
S-
+ ω:
= S--主τ·ε E(S)
(6.3.2 1)
丁主主丁 ·αO( S)
(6.3.22)
+ ω:
VCN6 ( S)
=
s- +ω;
式 (6.3.17) 、 (6.3.18) 即为需要获得的真正速度量。如果所有这些干扰量都假定是常值
量，则将这些常值干扰的拉氏变换代人公式，然后进行拉氏反变换后得到
VCN1 (t) = VN
VCN2 ( t) = VNO
VCN3 (t) = δ VNO • cos ωst
VCN4 ( t) =
八 AN
一」Z-sin
α)s
句中
VCN5 ( t)
=R
VCN6 ( t)
•
ε E (1
ω st
- cos ωJ
= 与?-siIIω st
(6.3.23)
(6.3.24)
(6.3.25)
(6.3.26)
(6.3.27)
(6.3.28)
由以上各式可见，式 (6.3.23) 、 (6.3.24) 所表示的为运动加速度及速度所产生的真正速度
值，各干扰量所产生的速度误差均有 84 .4 min 周期振荡的性质。此外，常值陀螺漂移还将产生
131
G
常值速度误差分量，速度误差的特性曲线示于图 6.7 中。
HV句
A-K
VV川
MAτ
VCN3 ( t)
VCNS
VCN6 (t)
(t)
丝L 一
αy
S
。
。
(a)
(b)
图 6.7
(c)
(d)
速度误差特性曲线
最后，我们再研究各输入量及干扰量对输出量纬度仕的影响。利用梅森增益公式可得
阶I(S) = 去几 (s)
(6.3.29)
价2( S) = 主- VNO ( S)
(6.3.30)
伊口 (S)s
·δVNO ( S)
- R( S2 + ω;)
(6.3.3 1)
伊C4(3)
(6.3.32)
;;;
~12\
R(SL + ω;)
. 6. AN (s)
何 (S) = 一丁17·εE(S)
(6.3.33)
何(S) = 俨ι.αO( S)
(6.3.34)
S 飞 s一 +ω;)
s一
伊口 (S)
+ωj
= ψω (S)
(6.3.35)
在式 (6.3.35) 中，为初始给定纬度值的拉氏变换式。
在仍然假设以上各式中的输入量及干扰量均为常值时，则经拉氏反变换可得
伊C1 (t) -= 土
2R . VN
•
t2
(6.3.36)
如 (t) = 去 .
•
t
(6.3.37)
阳 (t) = 瓦Sinω.t
(6.3.38)
VNO
ðV
I\l(\
八A 阳
132
伊C4(t)=7·(1-c…st)
(6.3.39)
阳 (t) = 冲-去mωst)
(6.3.40)
o
时惯性导航系统的分析
伊C6(t) = α。(I - cos ωst)
伊口 (t)
(6.3 .41)
= q;ω
(6.3 .42)
在上式中，式 (6.3.36) 及式 (6.3.37) 为载体的加速度及速度产生的真正纬度量，而式
(6.3 .42) 为初始纬度的给定量，这里包含真正的初始纬度和初始纬度误差作ω ，式 (6.3.38) 至
式 (6.3.4 1)为各输入量对纬度产生的误差。各输入量都产生 84 .4 min 振荡周期的误差，如速度
计误差及平台水平倾角误差还将产生纬度的常值误差分量，由式 (6.3.40) 可知，常值陀螺漂移
还将产生随时间而增长的纬度误差。在这里所研究的单通道，对纬度来说是开环的，以后我们
将会看到，在组成三通道系统时，纬度信息将构成闭环，常值陀螺漂移所产生的纬度误差将具
有 24h 长周期振荡的特征。
以上各输人量所产生的误差特性曲线示于图 6.8 中。
、
。。
d
快均一叫
伊'C6(t)
-EO
mη AUτhf
ílb (t)
。
(a)
(b)
圄 6.8
。
(c)
(d)
纬度误差特性曲线
这一小节，对单通道惯导系统的特性进行了分析，所得的各个公式，基本上反映了导航的
参数计算及各输人量所产生误差的基本特征，因此，各公式可以用于对导航系统的误差估计。
提示警
一、倍号流圄
书中采用信号流圈法表达系统内各变量间的关系，可以根据梅森增益公式很方便地求出
系统的传递函数，对复杂的控制系统分析有一定的优越性。
信号流圈中的主要术语
节点:表示变量的点，用符号 "0" 来表示。
传输:两个节点之间的增益称为传输。
支路:连接两个节点的定向线段，支路的增益便是传输。
源点:只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，对应系统的自变量，或称为输入节
点。
阱点:只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，对应系统的因变量，或称为输出节
，哉。
混合节点:既有输入支路，也有输出支路的节点称为混合节点。
*选自李友善.自动控制原理.上册.北京:国防工业出版社， 19ω ， 47 - 49.
133
o
通路:沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，称为通路。如果通路与任一节点相交不
多于一次，就称为开通路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与其它节点相交的次数不多
于一，称为闭通路。如果通路通过某一节点多于一次，但是终点和起点又在不同的节点上，这个
通路既不是开通路，又不是闭通路。所谓回路就是闲通路。
回珞增益:回路中各支路传输的乘积。
混合节点
自回路:只与一个节点相交的回路称
输入节点
(源点〉
为自回路。
前向通路:如果在从源点到阱点的通
路上，通过任何节点不多于一次，则该通路
输入节点
成为前向通路。前向通路中各支路传输的
〈源点〉
乘积，称为前向通路增益。
围 6.9 给出以上部分术语的表现形式。
输出节点
回路
图 6.9
c
〈阱点〉
倩号流固
二、倍号流固的梅森增益公式
梅森增益公式可以给出信号流圈中输入变量与输出变量之间的关系，即输入节点与输出
节点之间的传播，等于这两个节点之间的总增益(见围 6.10) 。
固 6.10
控制系统方块固
梅森增益公式为
p
式中
= 捂 PlAk
P-一总增益;
Pk 一一第 k 条前行通路的通路增益;
~-一信号流圆的特征式;
~k一一在 A 中除去与第 k 条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第 k 条前向通路
特征式的余因子。
A 的表达式为
~
134
=1-
L: La + L: Lι- L: LdLeL! + …
第六章惯性导航系统的分析
式中
9
2.: La一一所有不同回路的增益之和;
a
三~Lι一一每两个王不接触回路增益乘积之和;
bc
2.: LdL.，Lr一每三个互不接触回路增益乘积之和。
def
= 0 则为系统的特征方程式。
公式<1
三、梅森增益公式的应用
求如下革统的传递函数:
从图 6.11 求前向通路的通路增益，有
Pl = G1 G2G3 P 2 = G4
G4
圄 6.11
控制系统倩号流圄
各回路的增益为
L1 = - G2H1
L2 = - G1 G2H1
L3 = - G2G3H2
系统信号流围的特征式
<1
=1-
=1
<1 2
(L 1 + L 2 + L3)
求特征式的余因子式
<1 1
=1-
(L 1 + L2 + L3)
得控制系统的闭环传递函数为
，，
‘、-，，，‘、
z
、‘，，二
1、
'
AU万 σ-
eo-eo
E-F
p1 <1 1
+ P 2 <1 2
A
6.4
GlG2G3 + G4 [1 + G2H 1 + G1 G2H 1 + G2G3H2]
1 + G2H 1 + G1 G2H 1 + G2G3H2
惯导系统误差方程式的建立
在 6.1 节和 6.2 节，分别以两组坐标系和三组坐标系的方法对惯导系统的动态特性建立了
运动方程式，包括了导航系统的正常导航参数的方程式和误差方程式。分析得出，两种方法建
立运动方程式的主要区别是在对平台运动的描述上，而最终的结果是等效的。在 6.3 节，通过
对单通道惯导系统的分析可以得出，当回路的参数进行了舒拉调谐之后，导航参数的计算值，
不再含有加速度误差项，而由各种误差源引起的导航误差，也具有 84 .4 min 的振荡周期。当考
虑三个通道之间的相互藕合时，系统的误差特性不只是有 84 .4 min 振荡周期的特性，还有付科
o
周期及地球周期的振荡特性。而导航参数 VCNl 、 Vcm 、伊Cl 、伊口 4口等参数的计算，将和单通道
时的计算结果是一致的。所以，本节仅就惯导系统的误差做一分析，给出误差方程。
实际上，在 6. L6.2 节的讨论中，我们已经建立了惯导系统的误差方程，为了方便，本节将
把有关变量合并，写出半解析式惯导系统误差方程的表达式。惯导系统误差方程式由平台姿态
角方程式、速度误差方程式、位置误差方程式组成。下边分别讨论之。
-、平台误差角方程式
方程式 (6. 1. 19) 给出了平台(平台坐标系)相对地理坐标系的偏差角方程式，即
α=ωα-ωE
- rWN + ßw~ + εE
卢 =ωω-ωN- αω~ + yiωE + εN
(6.4. 1)
r = ωC~ -ω~ - ßwE + αωN+ εc
式中的 ωα 、 ω刷、 ωC~ 由式 (6. 1. 17) 给定，即
ω
ω CN
CE
VCE
R
=
Vr
VCN
=- R
(6 .4 .2)
+ ωe COS 伊c
li"
ωq=7tanψC +ωe S1n 伊 C
将式 (6 .4 .2) 代人式 (6 .4.1) ，并考虑关系式
sin t:p c = sin t:p + ðt:p cos t:p
COS t:pc = COS t:p - ðt:p sin t:p
2
tan t:pc = tan t:p + ðt:p sec t:p
Vr叩
有
=一ι+
R
卢
r
=
=
Vc，
α'E
VNv
. R
川俨♀
VE
lf- /f +ωeCOs 伊cωeCOs 伊 Fαω~
VCE .
ìi.- tan t:pc
(6 .4 .3)
a
+
yiωE+ εN
(6 .4.4)
VE
- 言 tan t:p + ωe S1D 伊C -创刊-肉'E + 叫+气
经整理，为
ðVN
α=-7-YωN+ 向 +εE
卢
E
= ðV
-R ~
- ðt:pw e sinψ-αω ~ + yiωE+ εN
r = 哇.PðVE + 作(ωeCOs 伊 +ωN1 S的 ) -向'E + 叫 +εz
136
(6 .4 .5)
/章惯性导航系统的分析
o
式中
VE
WNl
= 五
= VCE SVN = VCN ðVE
VE
VN
且忽略二阶小量学伴 sec2 伊。
式 (6.4.5) 即为平台姿态角方程式，从方程式可以看出，平台误差角的大小是受三类因素
制约的:第一类是由于导航参数有误差而引起的;第二类是由于平台误差角之间的交叉藕合项
而引人的误差;第三类，也是最‘主要的原因，是由平台漂移项引起的，也就是陀螺漂移误差项。
方程式中 α 、 β 、 y 、 ðVE 、 ðVN 、作为变量，是待求的误差项，其它各项为已知的量。
二、速度误差方程式
取方程 (6. 1. 11) 和式 (6. 1. 7) 如下
VCE
(_
V
\
CE
= AE + t2ωe sinψc+77tan
叫.
VCN = AN
-
VE
VCN - ßg + Â4 E
(6.4.6)
(2ωe sinψC +于tan cpc) • VCE + ψ Â4N
= AE + (2ωe sin cp + 专tan cp).
VN =
AN -
VN
(6.4.7)
(μ}esi 叫+生 ta叫 b
将式 (6 .4 .6) 和式 (6 .4 .7) 相减，考虑式 (6 .4 .3) 的关系，并忽略二阶小量，有
VN .__ _
的=五恤 cp
ðVN
=-
VEVN 空}
cp' 陆 +7τ sec?cp).
. VE.
\ .
(,...
•• ðVE + t{,",2w e sin 伊+豆恤伊)
. ð均+ t2we伽
S>Tl
.
Ml
2V
• ðVE t2ωe S1nψ+ytmψ)
{,...
E.
\
MT
.
(~
{2ωeCOsψ
.
V三
L •
VE + ~E sec2 cp)
&p - ßg + M E
作 +αg+ Â4 N
(6 .4 .8)
方程式 (6 .4 .8) 是在假定条件 Aç
= g ，且在方程式 (6. 1. 10)
中，忽略 rA N 和 rA E 两项交叉影响
后得到的速度误差方程式。
当 Aç
= g 的条件不能满足，且 γAN 、 γA E 不能忽略时，式 (6.4.6) 便应改写为
VCE =
VCN
{_
Vr/;'
\
AE + {2ωesin?c+ftarE?c)-h
= AN -
{_
Vr/;'
-阳 ç + rA N + Ll AE
\
(6 .4 .9)
{2ωe sin 伊C+ftaII?寸 VCE + 吨 - rA E + Ll AN
与式 (6 .4 .9) 对应的式 (6.4.7) ，则应改为其完整的表达式 (2.2.19) ，即
137
。
AE
:=
VE
V":VN
-
.
AN
I V..
R"tanψ+ 时
+2ωe COSψ ) .吨- 2 VJ\Úl esinψ
且丘
VN + 2VJ卢 e sinψ + vi
R- tanψ + .R.'
(6.4.10)
:=
V去牛 V~
Aç
Vç - 2 VFftl eCOSψ-4E」
:=
+g
将式 (6 .4 .10) 代人式 (6.4.9) ，进行如上同样演算过程，可得速度误差较为完整的方程式
VFV
t2ωe COS cp • V + 古旦
sec cp) • 件们-灿OS 伊-与监 +ψ 巾N+ 2VJρe sin 户主 tanψ+ 于) + LlAE
VN >___
MT
ð'VE :=五!tanψ· 问+
ð'Í'N
:=
-
__
,t _
t~2ωe Slnψ +
(
2 V..
VE
\
R- tanψ ) • ð'VN +
\
1_
N
N
V~
tI
"
2
\
、
2ωe sin 户了阳什·问 - 2ωe COS 伊 ·b +ifsec2ψ ) • ð'，伊+
V~ 牛 V~
I ...
叫飞- 2 VFftl eCOSψ--王~ +
巾队E 乎毕毕f气tan
叫
n叫伊 + (
-
7
+
\
g)-
2ωs叩伊)川v:吨飞午川
←
Fti
ç -2
川川
ωω由
队
SI叫
Hn叫
l叩叫伊什] + .1均
A岛N
(6.4.11
从方程式 (6 .4 .11) 可以看出，速度误差的大小是受三类因素制约的:第一类是由于导航参数有
误差而引起的;第二类是由于平台偏离当地水平面引人了 g 分量;第三类则是加速度计零偏引
起的。
三、位置误差方程式
导航系统计算位置方程式由式 (6.2.25) 得到
= -ωCE
CPc
A
C
(6 .4 .12)
VCE
:= R sec ψc
显而易见，位置误差方程式应为
件 =ωα-ωE
司
VCE
=R
sec ψ
C
VE
-
R sec
(6 .4 .13)
ψ
利用一阶近似等式
sec 伊C
在忽略二阶小量后，得
138
= sec(ψ+ 伴)
"'" secψ+ 件 tan cpsec 伊
第六章
惯性导航系统的分析
9
&p= - 主坠
R
(6 .4 .14)
6.SFK
加
). = R~sec ψ + ]f VEtan ψsec 伊
式 (6 .4 .14) 就是位置误差方程式，他们分别是由北向速度误差和东向速度误差及纬度误差引
起的。从平台误差角方程式和速度误差方程式以及 &p 方程式可以看出，在式 (6 .4 .14) 等式的
右边没有拟变量，只要 δ陆、作大小已知，昂的状况也就确定了，因此，可认为经度误差方程
式是开环运算的。在讨论惯导系统的误差动态特性时，可以不考虑经度误差方程式。
四、系统误差方程式
方程式 (6 .4 .5) 、 (6 .4 .11) 或方程式 (6 .4 .8) 、纬度误差方程式等 6 个方程式组成了半解析
式惯导系统的误差方程式组。
为了分析惯导系统的基本特性，假定载体处于地面静止状态，即有 VE = VN = V~ = 0 ,
V
E
= 凡= 0 ，乌 = g ， 于是惯性导航系统误差方程式可简化为
δVE = 2ωe sin
ðVN = -
cp
• δVN -
2ωesin
cp • ðVE
ßg + .ðAE
+ αg +
.ðAN
伴 =去ðVN
α= -
卢
δVIIT
R" -
(6 .4 .15)
Ywecos 伊+品)e sinψ+εE
δ VE
-R" - ð，仰 e sinψ-αω e sin 伊 + êN
=
女=穹ÆðVE + 加eCOs 伊+叩OS 伊 +εc
或表示为
的协伴
o
-2ωe sin
。
α3·Y
-
o
1
R
豆 tanψ
2ωe sin
cp
o
R
1
R
cp
o
o
o
-g
o
g
o
O
。
。
O
o
o
O
o
-ωe sm
O
ωeCOs
cp
cp
ωe sm
-ωe sm
ωeCOs
cp
cp
cp
一 ωeCOs
o
O
O
O
cp
139
Q
惯性技术
ðVE
~AE
ðVN
~AN
ðcp
O
+
α
εE
卢
EN
r
..J
(6 .4 .16)
Lεc
上式可简写为
x(t)
=
Fx(t) + W(t)
(6 .4 .17)
得系统的特征行列式
s
- 2w esin cp
O
。
g
O
2w esin cp
s
O
-g
O
O
s
O
O
O
O
s
1
O
~(s) = I
sl - F I = I
R
1
O
R
1
R
-R tan cp
O
ωe sm
O
-ωeCOs
cp
cp
ωe sm
-ωe sin
cp
-ωe COS
cp
(S2 + ω;)[ (S2 + ω;)2 + 4s2 ω38in2ψ]
s
O
。
s
(6 .4 .18)
2
式中
cp WeCOS cp I =
ω=
g
R
ωs 称为舒拉频率。系统的特征方程式为
(S2 + ω ;)[(S2 + ω;)2 + 4s2 ωisin2?]=O
(6 .4 .19)
S2 + ω:=O
(6 .4 .20)
s = :t jωe
(6.4.21)
由
得系统的一组特征根为
ωe 为地球自转角速度，与其相应的周期为 T _ 211:臼 24 h ，为此，称其为地球振荡周期。由
αle
(S2 + ω;)2 + 4s2 ω:"n2ψ= 0
(6 .4 .22)
+ 2s2( ω?+2ωisin2ψ) +ω4 = 0
(6 .4 .23)
又可解得一组特征根。
展开式 (6 .4 .22) ，得
S4
因为
ωs 自1. 24 X 1O- 3/s
ωe 臼 0.729 x 1O-4 /s
140
9
第六章惯性导航系统的分析
所以可认为 ω;::>ω3 ，从而将等式 (6.4.23) 写成
[52 + (ω'. +ωe sinψ )2][5 2 + (ω's
wesinψ)2] = 0
(6 .4 .24)
由此得系统的特征根还有
53 、4 =
::1:
j(ω. + wesinψ)
55 、6 =土 j(ωωe sin 伊)
(6 .4 .25)
此即表示系统包含两个角频率 (ωs + wesinψ) 和 (ωs 一 ωe sinψ) 的振荡。由于 ω e sin 伊〈
ωs ， 因此一个角频率比例稍高一些，另一个比 ωs 稍低一些，亦即系统振荡包含两个频率相近
的正弦分量，他们合在一起就产生差拍，如以下两个正弦分量之和，即
α=αosin(ω's + ωe sinψ )t + αosin(ωωe sinψ )t = 2αocos(ωe sinψ ) t • sin ωst
上式表示频率相近的两个正弦分量合成之后形成的差拍，产生了 sin 时的正弦振荡，其幅
值为 [2αocos(ωe sin
伊 ) t ]， 亦即其幅值也是随 cos( wesin cp) t 而变化的，因此，新形成的正弦振
荡具有调制波的性质。
这里 ωs 对应的振荡周期为舒拉周期
T=2主= 2πA 旦
ωv
g
(6.4.26)
而 wesinψ 所对应的调制周期为付科周期
1f
=
且一
2π
一一一→一•
ωe sm
cp
(6 .4 .27)
这种现象与付科摆效应相似，付科摆是在一个平面内运动，它相对于惯性空间在摆动，在
无干扰状态下，运动的单摆要保持自己的惯性。由于地球自转，单摆摆动平面绕垂线以 ωesin
伊
的角速度旋转。因此，如果在地平面上观测此摆，则其振动在地平面 z 轴和 y 轴上投影呈差拍
的形式，其短周期为
凡 = 2π在
式中 L 为摆长，而其长周期即为付科周期
1f
=
2π
一一一­
ωe sm
cp
如果 ψ= 3(沪，则 Tf =48h 。
在惯性导航系统中，付科周期是由于未能全部补偿有害加速度而带来的交叉藕合速度误
差造成的，对舒拉周期起调制作用。从式 (6 .4 .15) 可以清楚看出，在固定基座上，不存在哥氏加
速度项，本来不必补偿，由于速度误差的存在和系统的结构安排，出现了补偿哥氏加速度的作
用，从而导致付科周期的振荡。如果忽略速度的交叉藕合影响，付科周期将不出现，惯导系统的
特征方程式变为
(52 +ω;)( 52 +ω;)2 = 0
(6.4.28)
通过以上的分析可以看出，在系统的两个水平回路参数进行舒拉调整之后，由于系统三个
141
Q
惯性技术
通道之间的交叉影响，系统的特征方程式共有三对共辄虚根。因此，在外来扰动作用下，系统的
输出呈振荡特性，其周期不仅有舒拉周期，还有地球周期和付科周期。
惯导系统误差传播特性
6.5
一、系统误差传播特性
误差方程式组 (6 .4 .15) 的解析解，称其为惯导系统的误差传播特性。
对式 (6 .4 .16) 进行拉氏变换，有
o
-2ωe sin
sO' VE ( s)
sO'VN (
2ωe sin
S)
O
cp
sß(s)
sy(s)
O
O
-g
O
o
g
O
O
O
O
O
l
R
O
O
O
l
R
O
O
SO'，ψ (S)
sa( S)
cp
1
R
cp
、
oec
ð' VN ( s)
-ωe sm
O
ωeCOs
。υnυ
、0
ð' VE ( S)
bvw 阳
主 tan
O
+
α (S)
卢 (S)
γ (S)
ωeCOs
cp
-ωeCOs
O
O
O
O
cp
ßA N ( s)
O
êE(S)
+
αo
cp
cp
-ωe sm
cp
ßA E ( s)
‘，
δψ (S)
cp
ωe sm
ßo
êN(S)
Yo
ê~( S)
(6.5. 1)
或写成解的形式，即
-2ωe sin
O
g
O
O
-g
O
O
O
s
O
O
O
O
O
s
2ω e sin
ð' VE ( s)
ð'VN ( S)
δψ (S)
α (S)
-
卢 (S)
1
y(S)
R
l
- R tan
142
cp
O
s
cp
ψ
s
1-Rl-R
O
ωe sm
O
-ωeCOs
cp
cp
ωe sm
-ωe sm
cp
-ωeCOs
cp
cp
ωeCOs
s
O
O
s
-1
cp
9
第六章惯性导航系统的分析
δVEO
+ ~AE(S)
O'VNO + ~AN( s)
δ9口。
(6.5.2)
α O+êE(S)
ßO + êN(S)
ì'o + ε ~(S )
或写成
x(S) = (sl - F)-I[X(O) + w(s)J
(6.5.3)
在忽略付科周期影响的情况下，对式 (6.5.3) 求解，结果见表 6.1 和表 6.2 。
亵 6.1
基望
ðVE( s)
8VN(s)
系统误差与主要误差源之间的传递关系之一
εE(S) ，( α。)
εN(S) ， (ßO)
Eç(S) , (yO)
缸'eg sm p
(S2 + ω~) (s2 +ω~)
- g( S2 + W~C回2 笠)
(S2 + ω~) (s2 +ω~)
-gM!cos psin rp
(S2 + ω~) (S2 + ω~)
幽~
-缸'.gcos p
(S2 + ω!)( S2 + ω~)
å
(S2 + ω~) (S2 + ω~)
(.2 +ω!)(.2 +ω~)
sa,2s
(S2 + ω~) (S2 + ω;)
2
8伊 (S)
p
(S2 + ω~) (S2 + ω~)
-ωeω~c田 E
(S2 + ω~) (S2 + ω;)
8À (S)
ωdtaXIE
(S2 + ω~)( S2 + ω~)
(S2 + ω~c~p) ωkcE
S(S2 + ω~)( S2 + ω~)
-eu2eω 2 回in tp
α (s)
S3
(S2 + ω~) (S2 + ω;)
S' ωe 剖~
(S2 + ω~) (s2 +ω~)
S2 ω.cos p
(S2 + ω~) (.2 +ω~)
ß(.)
- s' ωe sin p
(S2 + ω~)( S2 + ω~)
S( S2 + ω:cω2 笠)
(S2 + ω~)( S2 + ω;)
(S2 + ω ~)(S2 + W~)
y(S)
(.2 + w;sec2p)ω.c曲重
(S2 + ω;) (S2 + ω;)
s(w~sin pC回笠- w!tan 笠)
(.2 +ω~) (.2 +ω~)
S(S2 + ωi+ω;sin2 p)
(S2 + ω~)( S2 + ω;)
ωeW~Sln
s( S2 + ω~)( S2 + ω~)
_
拙 !sin pC倒
'E
143
o
襄 6.2
等变
8VE(. )
系统误整与主要误疆源之间的传递关系之二
ÅA N(s) , (8VMl )
ÅAE(S) , (8J'J皿)
s
S2
剧~
+ ω
R(.2
y( , )
(S2
+ ω!)(.2 +ω~)
+ ω~)
ω}...阳笠
sece
R(S2
+ ω~)
(S2
+ ω!)( S2 ...ω~)
R(.2
I
-拙3
- 1
α (s)
{3(.)
+ ω!)(.2 +ω~)
S(.2 + ω2e+ω~)、
(S2 + ω;)(.2 ...ω~)
1
S伊 (s)
(S2
-酌，:
s
s2, +uh2
81斗v(s)
8H.)
8Ao
8'1'0
+ ω~)
(.2 +ω!)(.2 +ω~)
- s~ ω .sin 9'
R(.2
+ ω~)
tan
R(S2
(, 2 +ω!)(.2
+ω~)
(.2 +ω，sec?吏 )ω.C曲莹
(.2 +ω!)(.2 +ω~)
￠
+ ω~)
铃表 6.1 、 6.2 取自书后参考文献 9 中的 34
- 35 。
表 6.1 主要描述陀螺漂移 êE( S) 、 εN(S) 、 êC( S) 和系统误差之间的拉氏变换解，平台初始偏
差角 α。、岛、 YO 对系统误差的作用等效于陀螺漂移角速度拉氏变换值的作用。
表 6.2 主要描述加速度计误差 6A E (s) 、 6A N ( s) 和经、纬度初始误差角 S阳、拙。和系统误
差之间的拉氏变换解，初始速度误差 8VEO >cWNO 分别等效于 6AE ( S) 和 6AN ( s) 的作用。
表 6.1 和表 6.2 中的有关拟 (s) 项，不是从方程式 (6.5.3) 直接计算得到，而是另做开环计
算得到的(参看式 (6 .4 .14) )。
二、系统误差分析
引起系统误差的主要因素有如下几种，可从表 6.1 和表 6.2 中的拉氏变换解得出，并将其
转换为时间域的表达式。
1.陀螺漂移引起的系统误差
设陀螺漂移为常值误差，可有
柄。)=f和n 阶
2
εN + Rsin ψcos 钊丁立丁COS
\w. -
144
w;;
2
wet
- 丁旦~cos
w. -
w~
、
wst -
11 . êt
(6.5.4)
9
第六章惯性导航系统的分析
= 丁i一， (cosωet - COS ωρ •
O' VN ( t)
.
ωω马飞
l
l
}
= 才~. .21i一'-sin
ωet - ~smω，;)
s
-
e1ωeω"
|ωicωψ
I
ω
.\
J • er
Jl CO喝(/) I .
ωe
47一-----+弓 I smω e t - 一-smω，t
ωω;\ω
&P (t)
+ 孚旦旦~I sin ωe t - 主EMω•t1 . εN+
eE
ωω 二
(6.5.5)
，
t) ++ 凹
II 坐型!(主mωs-imω
~~~c--~J 1 ，.~2COS W.t - ，.~2COS wet)
~:: T 1I .
We
• eE +
ωωe
坠旦旦
飞 ωsωe
J
旦旦旦 i
(6.5.6)
εN + lωe(ω2 _ W;) ∞sωet-d-ωimw- 工了 j .εc
拟 (t)
r 平均 1
=
COSωe t ) - 年旦号 (cosω et
-
tωeω 二
-ωe
- cos
w.t)l. εE+
J
l 叫 (ω2ω:∞句 )ωiunψ川
ω.(ω?-ω;)
IGSIn ￠
Ji-d)
SIn ω，t - ωe(ω2ω;) smωet - tCOS 伊 J .εN+
… - ωs(Ji-ω;)
αsm
et
α (t) = 丁~1_2(ω.sinω，t - ωe sin
We t)
ωωe
ωsm (f) ，
~e
wet
F(t)=f王 (cos w.t -
- ∞sω，t)
…
ε+ωe sm cp∞s cp I
r( t)
+
=
..2
αr，
-
2
α)"
\
飞
ωøC⑩s (f) •
•
、
eN + 丁一下 cos
ωωe
W.t -
(6.5.9)
U句，
W eω
w
、
e
- COS wet)l.
W"
ωico@ 伊in cp - w;tan cpl -.l...
2- 2
\ -=丁 slnωe t
α) ，
(6.5.8)
cosωe t) • εE
.
ωe-i
smωe t -τ丁 slnωstJ • εc
I 平均 1 -ωωe t ) + ω咛 cpt寸 p(Cωω.t
L
(6.5.7)
sin W.t - tsin cp] • et
.εE+
、
豆「寸 ~cos
N
cp
Ul e
EE
+
J
J
.\
-二丁 smω'.tJ • εN+
..句，
[s -ω~cos-q?ω~sm-9?
22222l
ωe(ω2ω;) smω e t - ω'.(ω?-ω;)smω护 J .εz
(6.5.10)
从以上各式可以看出，由常值陀螺漂移引起的系统误差大都是振荡传播性质的，但对某些
导航参数(速度，位置)及平台姿态角产生常值偏差，最为严重的是陀螺漂移引起随时间积累
的定位误差项，即在拟 (t) 中的 tcos ψ·εN 和 tsinψ·εc 项。
2. 加速度计零位误差引起的系统误差
设该项误差为常值，可有
八 A ..
O'VE ( t) = →」 sin rust
α).
(6.5.11)
145
Q
ò' VN ( t)
八4 阳
= 一」EsiEIωst
(6.5.12)
α)s
八 AN
作 (t)=7(1-mw)
(6.5.13)
八 A ..
拟 (t)=78ew(1-c…st)
(6.5.14)
八A 阳
α(t)=-7(1-COS 时)
八A
..
卢(t)=7(1-cosM
γ(t) = 于tanψ (1
-
co叫t)
(6.5.15)
(6.5.16)
(6.5.17)
从以上各式可以看出，由加速度计零位常值误差引起的系统误差均为振荡特性，但对导航
定位和平台姿态角有常值分量误差。可以认为平台姿态角精度取决于加速度计零位误差。
3. 初始误差引起的系统误差
从表 6.1 和表 6.2 可见，初始误差项 α。、岛、 γ。、 δVEO ，ò'VNO 、作。等引起的系统误差，由表中
的拉氏变换式直接变换即可求其误差传播公式，与相同位置陀螺漂移及加速度计误差引起的
系统误差拉氏变换表达式相差 1 因子，因此，由初始误差项引起的系统误差拉氏变换，主要由
71一亏和 71一亏组成，反映了系统主要由振荡周期项组成，其圆频率分别为 ωe 和屿，仅仅在
s-
+
ω马
S-
+ ωl
似 ( s) 的误差项中含有?因子项，反映在时间域中有常值误差。具体误差传播公式不再一一给
出。
从以上分析可得出如下结论:北向陀螺和方位陀螺的漂移 E: N 和勺，将要引起经度误差随
着时间而积累的，东向陀螺漂移只对纬度及平台方位误差产生常值偏差，加速度计主要产生平
台姿态角的常值误差，除上述情况，大部分误差均为振荡性质。
思考题
1.用两组坐标系描述的惯导系统的基本方程式是什么?
2. 用?方程描述的惯导系统基本方程式的特点是什么?
3. 对于单通道惯导系统有哪些输出变量和输入变量?
4. 如何建立惯导系统误差方程式?
5. 陀螺漂移、加速度计误差、初始对准误差等对系统误差有何影响?
146
l 第七章捷叫导户I元平均日叮叮1叫
在第二章，已对捷联式惯性导航系统做了一般性的介绍。由于捷联式惯性导航系统在技
术上有其独特的优点，得到了广泛的应用。为了便于进一步了解捷联式惯性导航系统的实质，
本章将进一步阐述有关捷联式惯性导航系统的基本算法和系统误差传播特性。
7.1
捷联式惯导算法概述
捷联式惯导算法是指从惯性仪表的输出到给出需要的导航与控制信息所必须进行的全部
计算问题的计算方法，计算的内容和要求根据捷联式惯导的应用或功能要求的不同有很大的
差别。
一般来说，有以下几个方面的内容。
一、系统的初始化
系统的初始化包括 3 项任务。
1)给定飞行器的初始位置和初始速度等初始信息。
2) 数学平台的初始对准，确定姿态矩阵的初始值，
是在计算机中用对准程序来完成的。在物理概念上就是
把"数学平台"的平台坐标系和导航坐标系相重合，称其
为对准。
3) 惯性仪表的校准，对陀螺的标度因数进行标定，
对陀螺的漂移进行标定，对加速度计的标度因数标定。
二、惯性仪表的误差补偿
对于捷联式惯性导航系统，惯性元件的输出首先必
须经过误差补偿后，才能将其输出值作为姿态和导航计
算信息。其补偿原理如图 7.1 所示。
固 7.1
惯性元件澳羞补偿原理回
图中 ω品、均为飞行器相对惯性空间运动的角速度及加速度矢量 ;ω5 、 ai 为沿飞行器坐
标系表示的陀螺及加速度计输出的原始测量值 ;ωi 、"为沿飞行器坐标系表示的误差补偿后
147
Q
的陀螺及加速度计的输出值; 8'1ωi 、 Sai 为由误差模型给出的陀螺及
加速度计的估计误差(包括静态和动态误差项)。
三、姿态矩阵计算
都是不
不管捷联式惯性导航应用和要求如何，姿态矩阵的计算
的数
可少的，可以给出飞行器的姿态和为导航参数的计算提供必要
据，是捷联式惯导算法中的最重要的一部分。
四、导航计算
、
将加速度计的输出，变换到导航坐标系，计算出飞行器的速度
位置等导航参数。
五、导航和控制倍思的提取
本
包括飞行器的姿态信息、飞行器的角速度和线加速度等信息。
系统算法
章将重点介绍姿态矩阵的计算，图 7.2 给出捷联式惯性导航
因 7.2
流程图。
算法流程
7.2
姿态短阵的计算
们所讨论的捷联系统"数学
为了便于和半解析式惯性导航系统的一些结论相比较，假定我
定飞行器的姿态矩阵，只要研究飞
平台"模拟的既是地理坐标系，也是导航坐标系。因此，要确
行器坐标系 (b) 和地理坐标系 (E) 之间的关系就可以了。
用飞行器坐标系相对地理坐标系的三次转动角确定，习惯
Z
C
和
上，俯仰角和滚动角分别用。和 γ 表示，航向角用 ψ 表示，
论
第六章平台相对地理坐标系偏差角 αJ 、 γ 对应，下边讨
三种方法。
N
一、欧拉角微分方程式
图 7.3 给出用航向角 ψ 、俯仰角。、攘动角 γ 表示的飞
行器坐标系与地理坐标系之间关系的图示。
7.3
从地理坐标系到飞行器坐标系三次旋转顺序为伊→固
。→女，其方向余弦短阵表达式为
148
x
飞行榻坐标系与地理坐标系关系
第七章时叫统基本算法和系统叫翩。
r
C~= CyOC(J oC!ψ=
sm 功cos 0
- sin 0
1
sin ψcωY
sm ψsin Osin Y + cos 功cos Y
cos Osin Y
I
Lcos 如in Ocωγ+ sin 归in Y
sm 归in Oc回 Y - cos 归in Y
c恼。C倒 γ」
cos ψcosθ
I cosψsin Osin Y -
(7.2. 1)
坐标系。'XYZ 表示飞行器坐标系的最终位置。公式 (7.2. 1)中的 ψ 、 0 、 γ 称其为欧拉角。
我们用 ω& 表示飞行器坐标系相对地理坐标系的角速度矢量在飞行器坐标系轴向分量构
『
BEEt
BEEt
』
』
BSEEE
BSEEE
=
」
」
「Ill-et--L
『
rtttttit』
tg
。，，
『
······ZIBEt-EJ
卢
+
(7.2.2)
'且
nunv
- sin y
俨''BB『EEEEE
』
五U
ωoo
「ttttt''ot--h
『-PIltttttld
F』·tEBEEtEEEL
，的
·γ'AU.
Y
0 l-lrω革x
sin ycos 0 I Iωb，yl=
cos y
co
+ Cv'
OAOO
- sin
O
puv
= C
r''B『B
』
EEEEE
由式 (7.2.2) 可得
'EA-su
T
:21111
[~ -~
o cos Y
o - sin y
=
,
b
」
va
EEE
ω
bnm
『
b岛
ω
ω鸟= [ω&x
nUAU-AV
·γ'nunu
成的列矩阵，从图 7.3 可有
AU
cos ycos 8 J
Lωb，zJ
sin y sin 8
cos
cos 8cos Y
γsin 0 1 Iω鸟X
- sin ycos 8 卜 |ωb，yl
sin y
cos y
.J
(7.2.3)
Lω岛J
式 (7.2.3) 为欧拉角微分方程式，式中的 ω岛、 ω岛、 ω革z 三个角速度分量可由直接安装在飞行
器上的三个角速度陀螺测量值 ωi 与导航参数计算值 ω& 综合得到，可认为是已知量。因此，求
解这个微分方程式，可以直接得到飞行器航向角 ψ 和姿态角。和 γ ，也就是可以直接确定飞行
器坐标系的姿态矩阵式 (7.2.0 。用此法得到的姿态矩阵永远是正交的，因此，用于加速度计信
息的坐标变换时，变换后的信息中不存在非正交误差，从而使得到的姿态矩阵不需要进行正交
化处理。
但在使用时应该注意，由于在方程式中存在三角函数，给实时计算带来困难，且当 0 等于
w 时，方程中出现奇点，这种现象等效于三环式平台的闭锁现象，因此，用欧拉角微分方程确
定姿态角的方法不能用于全姿态飞行器上。
二、方向余弦矩阵微分方程及其解
根据第二章的推导，有方向余弦矩阵微分方程式 C
i: f = cfn怎
= cn 成立，可进一步写为
(7.2.4)
149
。
式中
r
0ωzω y
1
(7.2.5 )
0ωxl
n t, = Iωz
0
L. -ωyωx
J
式。由于陀螺仪是固定在飞行
为飞行器坐标系相对地理坐标系旋转角速度的斜对称矩阵表达
须经过适当的数据转换才
器上，测得的是飞行器相对惯性空间的旋转角速度 ai ，所以，还必
能得到 nt， 。即
n t, = a~ 式中
(7.2.6 )
n各
n~→一陀螺测量值。
旋转角速度斜对称矩阵表达式
而在导航参数计算中，可得到地理坐标系相对惯性空间
之间的关系满足
，因此，它们
m:， n鸟和 nfE 是同一个角速度在两个不同直角坐标系的表达式
于相似变换定理，有相似变换等式
(7.2.7 )
n~ = C如§cf
并代入式 (7.2.6) ，得
C跟前f
(7.2.8 )
ëf = cfn~ - .aEæef
(7.2.9 )
a且 = n~
-
将式 (7.2.8) 代人式 (7.2.4) ，有
。式中 n~ 表明飞行器
这就是当"数学平台"模拟地理坐标系时，矩阵微分方程式的表达式
可达 4∞。 /s ，nfE表明地理坐标系
相对惯性空间的变化角速度，含姿态角的变化，其数值很大，
时十几度。因此，在计算时，第一
相对于惯性空间的旋转角速度，其数值很小，最大值可达每小
较低频率选代，可以看成是对第一
项计算速度要快，如用迭代算法，迭代频率要高，而第二项用
项的修正。
2 ，用毕卡 (Peano
为了推导矩阵微分方程式的精确解，我们采用典型形式 c=α
- Baker)
逼近法求解。
积分 c
= cn ， 有
C(t) = C(O) +
f~C(t )n( t) dt
(7.2.1 0)
将 C( t) 表达式代入式 (7.2.10) 进行迭代运算，有
C( t) =
式中
150
C叫 1+ 儿。(t )dt + fJ~n( t)峭 t)dt + fJJ~n (t )dtn(t)峭 t)dt
fJ~n(t)dtn(t)dt = t[f~n(t)dt]d[tn(t)dt] = ~[f:n(t)dt] 2
+ ...]
第七章时性导航础阳系统路仰。
fJJ; ß(
故 C(t) = C(O){I+
t) d t.U( t )d t.U(t )dt =
! U;ß( )dt r
t
~U;ß (t )dt] \ 去[f~ß( t)d小} = C(O) 护( t) dt
f;ß(t)dt+
即或表
cf< t) = Cf(O)J~n~(t)dt
cf( t
~t)
+
=
cf(t )J::+吨( t)dt
(7.2.13)
一m
j 了loh(t)dt=A他
cf(t
所以，有
+ ~t)
= Cf(t)é8~
- ~()b，z ~()鸟y 1
o
- ~eb，x I
~()b，x
0
J
o
式中
Aθ革=
I
b()鸟z
L-AOL
(7 .2.14)
根据矩阵指数性质，将 eAeL 展开为
eAeL=K11+K2A饨 + K3(~θ革 )2
式中
(7.2.15)
E一一-单位阵 ， K j 、 K2 、 K3 为待定系数。
解式 (7.2.15) ，首先求出 Aθ革的特征值，即
~()主z
,1
det( Àl - ~θb，)
= I - ~()b，z
,1
L ~()b，y
则有
-
~8k
,1
1=0
J
=0
+ ~8ÕÀ
,1 3
~()且x
- b8 b, y 1
(7.2.16)
~()õ = (~8b，x)2 + (~8b，y)2 + (~()且Z)2
式中
所以，有解
λ2.3 =土 jb()o
λj=O
将 λ 值代人式 (7.2.15) ，有
Kl
=1
sin
^2
=
K、
~
A8:
~8o
~百-
1- cos ~8o
(~80)2
-
sin ~()o b
1- cos ~80/ nh \.")
e"'O E}, = 1 +一一-M
+
2
(AOU2
~()o uv F.b + - b()Õ
A
/l
A.
151
Q
惯性技术
所以
cf( t
+ ðJ. t)
sm 八 ()n. _ <
cos ðJ.
l
=cf( t) II + ~&~Õ:VU ðJ.8h + 1- 叫
υ ( ðJ.8h)2 J
()n
,._<,,,
式 (7.2.17) I!P 为矩阵微分方程式的精确解，其前提条件是假定f:飞机 t
立，即要求在 ðJ. t
= t n+l -
(7.2.17)
=
ðJ.他等式成
tn 的计算时间内，其对应的角速度矢量 ω盼的方向不变，否则，当 ωEb
方向随时间变化时，角速度的积分是无意义的。
用方向余弦法求解姿态矩阵避免了欧拉方程退化的现象，可以全姿态工作。但同时要解 9
个一阶微分方程式，所以，计算量大。
三、四元鼓微分方程式及其解
从第一章可知，四元数微分方程式的表达式为
(7.2.18)
q = !lbq
式中
!lb一一飞行器坐标系相对地理坐标系的旋转角速度的斜对称矩阵。
nb 的表达式为式 (1. 5. 38) 。在求解四元数微分方程式时，对 !lb 的处理应该类似于上节中
对 !lb. 的处理。本节仅给出方程式的表达式及其精确解。式 (7.2.18) 可展开为
ωy
ωz
2
2
2
22
F
句，&句
α)z
2
O
α)z
Wy
ωx
2
2
2
ωx
2
(7.2.19)
3
3
2
Wy
饨，&。
-
2
2
‘A
O
··t-A
组
·A-P·P-P
旦
ωx
λJPPP
O
O
采用和矩阵微分方程式求解相似的方法，有
ðJ.()。、
r
sm τ)" - , I
q (t) = ~\W""
cos -,.:
u 1 + 一 H/' [ðJ. 8nq(0)
2 &.- ðJ. ()o L....VJ\
l
式中
八 ()n
←一单位四元数。
且有
[ðJ.θ]=j::Qbdt=
152
(7.2.20)
O
- ðJ. ()x
ðJ. ()x
O
ðJ. ()y
- ðJ.()z
ðJ. ()z
ðJ. ()y
AAdio
OZ
oiAVX
AMo
va
7hwva
--4
(7.2.2 1)
- ðJ. ()x
相机性导翩翩法向
四、姿态角和航向角的计算
采用矩阵法确定飞行器的姿态和航向时，从飞行器坐标系和地理坐标系之间的方向余弦
矩阵就可以确定姿态角。、 γ 和航向角 ψ ，将式 (7.2. 1)重写如下
r
cos ψcos 0
sin ψcos 0
sm
c~=lcos 归in Osin y - sin Iþ cosγsin ψsin Osinγ+ cos ψcos Y
Lcos 归in ècos y + sin ψsin y
sin 归in Ocosγ- cos 归in y
θ1
cos Osin
YI
cos Ocos yJ
(7.2.22)
43
州3
呻3
- sin-
I
(
T13 )
叮EE--···EEl-BEEt--
币aVAFt
。=
TTITI
·19·1'
句，"吨，自句峰
由式 (7.2.22) 和式 (7.2.23) 可得
「 ···-EEEBIBE--L
F-
CbE
n 几几
可表示为
(7.2.23)
EE--，，、
写 d-qd
、‘
飞，
Is--·、·
Y
T4T-T-T
••
t
t 2-31EI
aa
nn
==
E·E.
-a
，，，，
句，全
ta--··飞
，
ψ
(7.2.24)
由于俯仰角。定义在[+仰，-9(J> J 区间，因此，和反正弦函数主值一致，不存在多值问题。
1
液转角 γ 定义在[- 18(沪， + 18伊]区间，航向角定义在
[(1) ， 36O' J 区间，都存在多值问题。可根据
表 7.1 和表 7.2 判断 γ 和 ψ 的真值，以确定飞行器的 y 和 φ 是落在哪一个象限内。
亵 7.1
T到
TZ3
斗。
+
•
ra 的判断
Y真
象
限
π
π
2
+
+
+
TI2
￠真
斗。
+
锁y'
• o
-
27(1'
+
ψ主
Y主
[伊，即]
+
Y主
[(1'. - 9(1']
+
Y主+
18<1'
Y主-}8<1'
[附， 1 8<1' ]
[1 8<1' ， 27伊]
cþ漠的判断
TlI
2
0
+
亵 7.2
限
[(1'，即]
ø主
[- 9(1',(1']
18<1' + ø主
[臂， 1 8<1' ]
3f:IJ'
+
象
18<1'
+
+ψ主
[1臂， 271伊]
153
Q
采用四元数矩阵微分方程式求解姿态角和航向角的思路是，当由四元数微分方程求解得
到四元数的 4 个分量后，将其值代人式(1. 5.23 )，可求得
Tn
= À. 2 + Pr
- P~ - P~
T 12 = 2(P 1 P 2 + À. P 3 )
T23
= 2( P 2 P 3 +
λP 1 )
(7.2.25)
T33 = À. 2 + P~ - Py - P~
T 13
= 2(P 1 P 3 -
À. P 2 )
再代人式 (7.2.24) ，求得相应的。、 γ 和功值。同样，利用表 7.1 和表 7.2 则可以判断函数的真
值。
7.3
姿态矩阵的实时计算
姿态矩阵的实时计算是捷联惯性导航系统的主要计算内容，有代表性。因此，我们仅就计
算机如何实现对姿态矩阵的实时计算做一介绍。在我们所讨论的情况中，假定"数学平台"模
拟地理坐标系，因此，在姿态矩阵微分方程和姿态四元数微分方程中，都用到飞行器坐标系相
对地理坐标系的角速度 ω& ，而 ω&=ωi-ω鸟，所以有上节的式 (7.2.9) ，即
tf=cbi-QMf
(7.3. 1)
类似的，可有
生 (t)
= (ni -
n岛 )q(t)
(7.3.2)
应该注意，上两式中的角速度表达式是不一致的，在计算时，由于第二项比较小，所以，其计算
速度可低一些，可以做到周期地对第一项进行修正，下面介绍姿态矩阵的两种实时计算方法。
一、增量算法
在捷联系统中，陀螺仪的输出是数字量，由一系列脉冲表示，每一个脉冲代表一个角增量，
在一个采样周期内，用陀螺输出的脉冲数乘以标度因数，即成为一个角增量，为 Aθ=
I:飞础，用这个角睡眼睛姿态矩阵或姿态四元数，则称为增量算法。
1.矩阵微分方程计算
矩阵微分方程式 Cf =C如i 的精确解的表达式 (7.2.17) 改写如下
cf(t + D. t)
r.. + 五百Ah+
sin D.(Jo Ab
= Cf(t)lI
A
1- cos D.(JOt.
Ab
\71
AOiO(A的 )2J
(7.3.3)
在式 (7.3.3) 中，将角度增量写为 A饨，表明在解式 (7.3. 1)的第一项。展开和合并式 (7.3.3) ，
有
154
时瞅式阳系时法和就误差阳。
r1 C!(t+6t)
=
(6的 + 60~) C
60x 6θYC
- 60z S
1-(60~+60i)C
c!(t)1 60x 60 yC +60zS
6θy60z C
L 60z60xC - 60 yS
60z 60xe + 60 yS
I
Aθy60z C
I
- 60xS
1 - (60i + 6θ号 )cJ
+ 60xS
(7.3 .4)
式中
C
=
L.:: cos 60o
坐全壁。
一6θ3υ60
0
将 C ， S 中的三角函数展开成级数，分别取其前 1 - 4 项整理，用符号 Cn 、 Sn 表示，作为 C 、 S 的
近似值表达式，见表 7.3 。
亵 7.3
C 、 S 前 4 项亵这式
n
1
2
3
Cn
。
1
2
2
1
Sn
4
Mã
-生~
6
2
24
1
-全堕
6
将式 (7.3.4) 简写为如下形式
C!(t+6t)
= C!(t)6C
(7.3.5)
= C!(n)6C
(7.3.6)
写成适合计算机运算的离散表达式形式
C!(n + 1)
6C 按表 7.3 取不同的近似值，代人式 (7.3.6) ，则形成了不同的一阶、二阶、三阶、四阶算法。
一阶算法的计算式求解方法如下。
将表 7.3 中，对应 n
= 1 的 Cn 和 Sn 值代人式 (7.3 .4) ，有
- 60z
C!( n + 1)
= C!( n) [I
+ 6θ1]
= cf( n)1
60z
L - 60 y
由式 (7.2.23) 可得
SA
句3
飞d
句，伽句
3
写d
Tll(n + 1)
=
60x
叮BElt--BEEt--4
-2d
Ta 币2T2
'且鸣，
将式 (7.3.8) 代人式 (7.3.7) ，有
(7.3.7)
TTT
nnn
FtlBEBEE--L
TaTZFE
cEb=
1
(7.3.8)
Tll(n) + T21 (n)60z - T31 (n)60 y
T21 (n + 1) = T21 (n) + T31 (n)60x - T ll (n)60z
155
Q
惯性技术
T31 (n + 1)
= T31 (n)
Td n + 1)
=
T22 ( n + 1)
= T22 ( n)
= T32 ( n)
= T 13 ( n)
= T23 (n)
T32 ( n + 1)
T 13 ( n + 1)
T23 (n + 1)
+ Tl1 (n)~Oy - T21(n)~OX
Td n) + T22 ( n)~Oz - T32 ( n)~Oy
+ T32 ( n)~Ox - T 12 ( n)~Oz
+ T 12 ( n)~Oy - T22 ( n)~Ox
(7.3.9)
+ T23 ( n)~Oz - T33 ( n)~Oy
+ T:绍 (n)~Ox - T 13 ( n)~OZ
T33 ( n + 1) = T33 ( n) + T 13 ( n)~Oy 一 T23 ( n)~Ox
按式 (7.3.9) 编制程序，则可在计算机上实时完成姿态矩阵的计算，称其为一阶增量算
法。将表 7.3 中，对应 n = 2~3 、4 的 Cn 和 Sn 各值分别代人式 (7.3.4) ，则得二阶算法计算式为
cf (n
+ 1) =
cf ( n) [ 1 + ~θi+÷(Aei)2l
(7.3.10)
三阶算法计算式为
cf (n
+ 1)
r_
= cf.. (, n), 11
+ (1
~O~ ， . _,
1 , . _, ，~ 1
-τ )~O~ + 言 (~O~)2 j
(7.3.11)
四阶算法计算式为
cf (n
+ 1)
= cf ( n) [ 1 + (1 -学 )~O~ + 吐一尝 )(~O~)2]
(7.3 ω
按照式 (7.3.7) 的同样处理方法，以上各式也可分别列出相应元素的代数方程式，按各方程组
编制程序，在计算机上完成不同阶次的姿态矩阵的算法。
2. 四元数微分方程的计算
四元数微分方程的精确解为
,
. ~Oo
~Oß
smτ~r._ ， 1
q ( t h h s f - I +1可 [~θ ] ~q(O)
式中
(7.3.13)
Z一一单位四元数， [~8] 如式 (7.2.21)所示。
将上式写成迭代形式，即
.
~Oo
,
~Oß
smτ- , I
q(n+1)={cos-2·I+ 一一二 [~8Hq( n)
1 '-'v" 2
• T ~Oo l - V " I
(7.3.14)
~OO
设
C
~Oß
= cos
-2
v
sm 气T
S =
~瓦
将 C 、 S 中的三角函数展开成级数，分别取前 1 - 4 项整理，用符号 Cn 、 Sn 表示，作为 C 、 S 的近
似值，见表 7.4。
156
时酣惯性揣根本算法和系统叫特性。
.7.4
C、 S 的近似.达式
1
2
'‘
t.8~
C.
1
8
S.
4
3
-全sFo
I-AJOZ+-Ar
x
- 8
到4
生虽
1
1
1
2
2
2 - 48
主亟
2
48
类似的算法，可求得一阶算法为
1
iAOx
q(n+ 1) ={I+ ;[A8 J}q ( n) =
I丁~
iAOx
2
1
1
~AOy
- 2AOz
iAOz
EAθy
2
1
- î AOy
iAOz
2
iAOz
-iAb
2
2
l.n
Iq(n)
~AOx
2
1
iAOx
1
2
(7.3.15)
将式 (7.3.15) 展开，得
À (n + 1)
P 1(n+ 1)
P们+ 1)
pμ
= À (n) - 扣。IXP 1 ( n) - 争。YPin)-tAOzP3(n)
= P1(n) +争。汕)→ AOZP2 (n) - 卡帆 (n)
= P2 ( n) + 卡制 n)-÷AOzPI(n)+ 争帆 ( n)
(7.3.16)
川)+÷A0bω
OyP
'zÀμhω(ωωn
+ 1) =P鸟3μ(ωωn
川)+÷卡A冉
可见，一组方程式只有 4 个代数方程式，比矩阵微分方程式组的解简单多了，计算量大为减少。
同理，可得二阶算法计算式为
q(n+ l)
= {(l-学 )1 + ; [础 J}q(n)
(7.3.17)
三阶算法计算式为
仙+ 1)
I
= t (1
-
八 ot
八 ()~.__l
....
.1
)I + (言-亏 )[Aθ JJq(n)
;U
(7.3.18)
四阶算法计算式为
q(n+ 1)
AθÕ Atro ,.. /1
AOÕ , r.^ , l
)1 +, (一-丁~O)[Aθ
Hq(n)
~(1-一+一
= L.
l ,.
8 ' 384 /.
峰。
'2
J
噎
(7.3.19)
157
Q
二、数值积分法
在姿态矩阵求解的算法中，人们更乐于用数值积分方法求解矩阵和四元数微分方程，尤以
龙格-库塔法 (Runge - Kutta) 得到了广泛的应用。根据对计算精度的不同要求，又可分为一
阶、二阶、四阶龙格-库塔法。
1.一阶龙格-库塔法
如果一个微分方程式为
X(t) = j[X(t) ， ω (t)]
(7.3.20)
在初始条件已知的情况下，则方程式的解为
X( t + T)
式中
= X( t)
+ 机 X( t)， ω( t) ]
T一一采样周期。
(7.3.2 1)
x
方程式的解为初始值加上以初始点斜率为斜率的一个增
，ce:::1川+T)
量，时间间隔为 T。图 7 .4给出式 (7.3.2 1)的说明，可见斜率 K
的准确度不同，解的精确度也不同。
对姿态矩阵微分方程式 (7.3. 1)，可简化为解如下矩阵微
分方程式
I+T
O
(7.3.22) 固 7.4
C (t) = C (t )ll(t)
何意义
其一阶龙格-库塔法的解的形式为
C(t + T)
一阶龙格-库蟠法的几
= C(t)
+ TC(t)ll( t)
(7.3.23)
将方程式 (7.3.23) 展开为
T ll (t + T) = T ll ( t) + T[
T21 (t + T)
T31 (t + T)
= T21 (t)
= T31 (t)
T 13 (t + T)
T33 (t + T)
= T33 (t)
T22 (t + T)
T32 (t + T)
- T31 ( t) ωy(t)]
+ T[ T31 ( t) ω'x(t) - TII (t) ωz(t)]
+ T[TII( t) ωy(t) - T21 ( t) ω'x( t)]
T I2 (t) + T[ T22 (t) ω'z(t) - T32 ( t) ωy( t)]
=
= T22 ( t)
= T32 (t)
= T以 t)
T 12 (t + T)
T21 ( t) ωz ( t)
+ T[ T32 ( t) ω'x( t) - T 12 ( t) ωz( t)]
(7 .3.24)
+ T[ TI2 ( t) ωy( t) - T22 ( t) ω'x( t) ]
+ T[ T23 (t ) ωz(t) - T33 (t) ωy(t)]
T23 (t + T) = T23 (t) + T[T33 (t) ωx(t) - T13 (t) ωz (t) ]
+ T[T13 (t) ωy(t) - T23 ( t) ωx(t)]
在展开的过程中，式 (7.3.23) 中的 C( t) 采用了式 (7.3.8) 的表达式。与式 (7.3.9) 比较，可发
现→阶龙格-库塔法计算式与→阶增量算法计算式是-样的。
对于四元数微分方程式
q = nbq
158
耻章捷联式酣导阳明系统误差响。
其一阶龙格-库塔法计算式为
q(t + T) = q(t) + ffib(t)q (t)
(7.3.25)
式中的 nb ( t) 如式 (7.2.19) 所示。
将式 (7.3.25) 展开成元素的表达式，有
λ (t
+ T)
P1(t + T)
P 2(t+ T)
= λ (t)+ ;[-ωx( t) P1(t) - 的(t)P2 (t) - ωz(t)P 3 (t)]
= P1(t)
= P 2( t)
T
+ :Î [WX(t) λ (t) + ωz (t )P 2 (t) - ωy(t)P3 (t)]
(7.3.26)
T
+言 [ω y( t) λ( t) -ωz (t )P1(t) + ωx (t) P :r(t)]
T
P 3(t + T) = P 3(t) + 言 [ωz(t);.(t) + ωy(t)P1(t) - ωx {t )P2 (t)]
2. 二阶龙格-库塔法
对于一阶算法做进一步改进，使平均斜率更准确一些，可得二阶龙格-库塔算法。设
= j[X(t) ， ω (t)]
Kl
Y=X(t)+TK 1
K2
= j[ Y ， ω (t
+ T)]
则有方程式解为
X(t+T)=X(t)+f[KI+K2]
(7.3.27)
对于方向余弦矩阵微分方程式
C
= C(t)n(t)
(7.3.28)
设
Kl = C(t)n(t)
Y = C (t) + TC(t)n(t)
K2
则
= [C(t)
+ TC(t)n (t )]n(t + T)
C(t+T)=C(t)+f[KI+L]
(7.3.29)
上式中 ， K2 含有 Y ， 其表达式为
Y
r Y ll
Y21
Y31 1
= I Y 12
Y22
Y32
L Y13
Y23
Y 33 J
1
实际上，它就是一阶龙格-库塔算法的解，即
Y ll = T ll ( t) + T[ T2l ( t) ωz(t) - T31 (t) ωy( t) ]
Y 21 = T21 (t) + T[ T31 ( t) ωx(t) - Tll( t) ωz(t)]
Y 31
T31 ( t) + T[ T ll ( t) ωy( t) - T 21 (t) ω'x( t) ]
=
159
Q
Y l2
= T 12 ( t)
Y21
= T21 (
+ T[ T21 (t) ωz(t) - T32 (t) ωy(t)]
t) + T[ T32 (t) ωx(t) - TI2 (t) ωz(t)]
(7.3.30)
Y32 = T32 ( t) + T[ T 12( t) ωy(t) - T21 ( t) ωx( t)]
Y13
=
T川 t) + T[ T23 ( t) ωz( t) - Tn ( t) ωy( t)]
Y23 = T23 ( t) + T[ T刃 (t) ωx (t) - T 13 ( t) ωz(t)]
Y33
= T33 (t)
+ T[T以 t) ωy(t) - T23 ( t) ωx(t)]
将上式代人 K2' 再将 Kl 、 K2 代人式 (7.3.29) ，可得解的表达式为
T
Tll(t + T) = Tll(t) + 一[ T21 (t) ωz(t) - T31 (t) ωy( t) + Y21 ωz(t + T) - Y31 Ct.l y( t + T)]
2
T
T21 (t + T) = T;,Ll'''/
21 ( t) + 一[
2 T31 (t) ω'x(t) - Tll(t) ωz( t) + Y31 ωx (t + T) - Yll ω'z( t + T)]
T31(t+T)=M)+f[ 川 )ωy( t)
- T 21 (
t) ω'x( t)
+
Y川(t
+ T) -
Y川 (t
+ T)]
T
T 12 (t + T) = T I2 (t) + 言[ T22 (t) ωz(t) - T32 (t) ωy (t) + Y22 ωz( t + T) - Y32 ω y (t + T)]
T
T22 (t+ T) = T22 ( t) +言 [ T32 (t) ωx(t) - TI2 (t) ωZ(t)+Y32 ωx( t + T) - Yl2 ω'z( t + T)]
T
T32 (t+ T) = T32 (t) + 言 [ Tdt) ωy(t) - T22 (t) ωx( t) + Y12 ω y( t + T) - Y22 ωx( t + T)]
T 13 (t + T) = T 13 ( t) +
2T [乌 (t) ωz(t) -
T33 (t) ω y(t) + Y23 ω'Z(t+T)-Y33 ωy( t + T)]
T
T23 (t + T) = T23 ( t) + 言 [ T33 ( t) ωx (t) - T 13 (t) ωZ(t)+Y33 ω'x (t + T) - Yl3 ωz(t + T)]
T
T刃 (t + T) = T 33 (t) + 言 [ T 13 ( t) ωy(t) - T23 (t) ω'x( t) + Y 13 Ct.1 y( t + T) - Y23 ωx( t + T)]
(7.3.3 1)
从解的表达式 (7.3.3 1)可以看出，二阶龙格-库塔法不仅需要 t 时刻的角速度阶 (t) (ï = X 、
Y、 Z) ， 而且还需要知道 t + T 时刻的角速度 ωi( t + T) 。
用二阶龙格-库塔算法解四元数微分方程式，有如下表达式
K 1 = !lb ( t ) q ( t )
Y = q( t) + 四}b( t)q (t)
K2
则有
= Db(t
+ T)Y
q(t+T)=q(t)+f(KI+K2)
式中的 !lb( t) 如式 (7.2.19) 所示，展开以上各式，有
1ω
(7.3.32)
耻章酬报性揣锵桦法和系统误差棚。
KJO
= ~ [ -町(t)p\( e) - ωy(t)P 2 (t) - ωz(t)P3 (t)]
K11=÷[ωx( e) λ (t) + ωz(t)P2 ( t) - ωy(t)P 3 (t)]
K 12 =
~ [ωy(t) λ ( e) - ωz(t)p\(t) - ω，x(t)P3 (t)]
K13=÷[ωz( e)À. (t) + ωy( e) p\(t) - ω，x(t)P2 (t)]
YO
Y\
Y2
Y3
K20 =
= À. (t) + TKJO
= p\(t) + TK l1
= P 2 ( t) + TK\2
= P 3 ( e) + TK 13
(7.3.33)
~ [-ωx( t + 川 -ωy(t + 川 -ωz( t + 川]
K21=÷[ 町 (t + 川 +ωz( t + 列 Y2 - ωy( t + 川]
K22 =
~ [ωy( t
K23 =
~ [ωz( t + 川 +ωy{t
+ T) YO - wz( t +
T) 引 -ω'X( t
+ T)
+
T) 乌]
Y广 ωx( t + 川]
λ(t+T)=A(t)+?(KIO+h)
P1(t+T)=Pdt)+?(K11+K21)
P2(t+T)=Pit)+?(K12+b)
(7.3.34)
P3(t+T)=P3(t)+f(ku+b)
3. 四阶龙格-库塔算法
四阶龙格-库塔算法表达式为
X(t) = j[ X(t) ， ω ( e) ]
设
Kt= j[ X(t) ， ω (t)J
K2
= J[ X(t) + 号， ω (t+ ~)]
K3 = J[ X(t)+ 号， ω (t + ;)1
K4 = j[ X( t) + K3' ω (t + T) ]
则
T
X( t + T) = X (t) + 百 [K\ + 2K2 + 2K3 + K4 J
(7.3.35)
(7.3.36)
161
Q
惯性技术
把以上各式用于解姿态矩阵微分方程式，则有方向余弦矩阵微分方程式
C(t)
设
= C(t)n(t)
K1
= C(t)n(t)
K2
= {[C(t) + 号 ]n(T+ ~)}
K3 ={[C(t)+ 号 ]n(t+ ~)}
K4 = l[ C(t) + K 3 ]n(t + T)f
则
C(t+ T)
= C(t)+
T
6[K 1 +2K2 +2K3 +K4 ]
(7.3.37)
(7.3.38)
式 (7.3.37) 、 (7.3.38) 两组方程式，如写成元素的形式，共为 45 个等式。在捷联惯性系统
中，姿态矩阵的计算多采用四元数微分方程式，其四阶龙格-库塔算法表达式如下。
四元数微分方程式为
q
=n
b( t)q
式中的 nb ( t) 如式 (7.2.19) 所示。
依据式 (7.3.35) ，有
K1
= nb(t)q(t)
L=[Qb(t+?)][q(t)+ 号]
K3=[Qb(t+?)][q(t)+ 号]
K4 = [nb(t + T)][q(t) + K 3 ]
q(t+ T)
= q(t)+
(7.3.39)
T
6(K 1 +2K2 +2K3 +K4 )
写成元素的形式为
KlO
= ~ [-ωX (t )Pl(t) - 的(t)P2 (t) - ωz(t)P3 (t)]
Kll =
162
~ [ωx (t) λ (t) + ωZ (t )P2(t) 叫(t )P3 (t)]
K 12
= ~ [ωy(t) ，l. (t) - ωz(t)P 1 (t) - ωx(t)P3 (t)]
K13
= ~ [ωz (t)，l. (t) + ωy( t) P 1(t) - ωx (t )P2 (t)]
(7.3.40)
耻章捷阳辅础机统叫阳。
Ao
= À (t) + 于
A ， =P， (t)+ 号
(7.3.41)
A 2 =P2 (t)+ 于
A3
K20 ==
K2' =
K 22 ==
K23
=
P 3 ( t)
+于
;)A
~ [ωx(t+f)Ao+ωz(t+f)A2-ωy(t + ;)A
~ [ -ωx(t+?)AI-ωy(t+?)A2-ωz(t
+
3]
3]
~ [ωy(t+?)Ao-ωz(t+?)AI-ωx(t
==妇 ωz(t+?)AO+ωy(t+?)AIEω'x(t
Bo
B
(7.3 .42)
+ ;)A 3 ]
+
;)A
2]
= λ (t) + 于
, = P ,(t) + 号
(7.3 .43)
B 2 ==P2 (t)+ 子
B3 ==
K30 ==
K3'
Pl t) + 于
~ [ -ω川 t+?)BIEωy(t+f)B2-ω'z Ct
= ~ [ωx(t+?)Bo+ωz(t+?)B2-ωy( t
+
;)B
3]
+ ;) B 3]
;)B
(7 .3.44)
K32 ==
~ [ωy(t+Z)Bo-ωz(t+f)BI-ωx(t
+
K33 ==
~ [ωz(t+f)Bo+ωy(t+?)BI-ω'x( t
+ ; )B2]
3]
Co ==λ (t) + K30
C
, = P ,(t)
+ K3'
C2 == P 2( t) + K32
(7 .3 .45)
C3 =P3(t)+K 33
163
o
h
=÷[-MS+ 川 -ωy(t + 川2 -ωz(t
K 41 =
~ [ωx( t + 川 +ωz {t + 川 -
wy( t
+ T)C 3 ]
+ 川 C3 ]
K42 =
~[ωy( t + T) Co -ωz( t + 川 -ω'x( t + T) C3]
K43 =
~ [ωz( t
+ T) Co +ωy(t+T)C 1
- ω'x(t
(7.3.46)
+ T)C 2 J
则有
λ (t + T) = À (t) +
6T (K
P 1(t + T) = P1(t)
+ 百 (K u + 2K21 + 2K31 + K41 )
IO
+ 2K20 + 2K到 +K.ω)
T
(7.3 .47)
T
P2(t + T) = Pit) + 百 (K 12 + 2K22 + 2K32 + K..t2)
T
P 3(t+ T) = P 3(t) +百 (K 13 + 2K23 + 2K33 + K43)
在按上述各式求出四元数的各元素之后，将其代人式(1. 5.23) ，可得方向余弦短阵，再利用式
(7.2.24) 和式 (7.2.25) ，则可求得飞行器的方位角、俯仰角和液转角。
三、角速度倍息提取
从上节的分析可以看出，在计算公式中，需要 3 种角速度信息，即州， ω(t+?) ， ω (t +
T) 。由于陀螺工作在力反馈状态，以数字量的形式输出，相当于给出角增量，因此，必须求出角
增量和角速度之间关系。由于在姿态矩阵的计算中，采样周期 T 很小(如 T = 0.025 s) 。故可把
=
av-eau- t-T+-
A一
、‘
EJ
，，E飞
ω
,,",
Fa
一
角速度看做是线性变化的或者是常值。如果在采样周期内，把角速度看做是常值，则有
(7.3.48)
式 (7.3 .48) 称为一阶角速率提取。
如果在采样周期 T 内，认为 ω 是线性变化的，则有
ω (tl+$) = α+ Jl$
(7.3 .49)
AθJ 川 +S)=j:马 (ti + 阳 =j: 叫(α+ 龄)d~ =时+尹.2
(7.3.50)
所以
若陀螺从 t， 到马 +f 时的输出角增量为 A酌，从 t， 到 ti
164
+T 时的输出角增量为 A缸，则
章 挪式柑酣酣阳导哺航系础础统
1
Aθ 川-一
T +
1 2α
_~T
=αT +
b. 8 i2
1 __?
::. ß俨
8"
(7.3.5 1)
; Jl T
2
假设 b. 8i Ct ) 复位到零，从式 (7.3.5 1)可得
α= 专 (ωi1
- b. 8 i2 )
JI = 生(仙也- 8b.θi1)
(7.3.52)
将式 (7.3.52) 代人式 (7.3.49) ，得
ω (t;)
=
~ (仙θil
T,
- b. 8 i2 )
1
ω (ti + 言) =于 Aθa
(7.3.53)
ω(h+T)=÷(Mz2-ωi1)
若陀螺从 ti 型jk+f 时的输出角增量为战1' ，从 ti + 扫JT 时的输出为 Aθi2' ，将角增量在 ti
+
f 时置零，此时有
Aθi1'
= b.θil
Aθi2
= b.θil'
(7.3.54)
+ b.θi2'
将式 (7.3.54) 代人式 (7.3.53) ，有
ω( 乌) = ~ (3 b. 8i1 '
-
b.θi2' )
1
T,
ωi (ti + 言) =于(b.θi1' + b.θa')
ωi(ti+ T )= 专 (3b.8 i2 '
-
(7.3.55)
b.θi1')
式 (7.3.53) 、 (7.3.55) 叫做二阶角速度提取，在采用四阶龙格-库塔法进行姿态矩阵的数值计
算时，常用式 (7.3.55) 。
7.4
旋转矢量'法
一、刚体有限转动的不可交换性
在第一章，讲述了刚体的有限转动是不可交换的概念。下面通过图示来说明，刚体的有限
165
o
转动不是矢量，其转动具有不可交换性。
如图 7.5 所示，用 OXYZ 代表一个刚体，刚体的初始位置如 (a) 所示，设刚体从位置 (a) 起
始分别绕 ox 轴正向及 OY 轴正向各转货尹。如果先绕 OX 轴转，再绕 OY 轴转，则刚体经过位置
(b) 最后到达位置 (c) ;反之，如果先绕 OY 轴转，再绕 OX 轴转，则刚体经过位置 (d) 最后到达位
置( e) 。显然，位置( c) 与位置 (e) 并不重合，说明两个相同的转动仅仅由于先后次序不同就可
导致不同的结果。因此，有限转动的合成不符合向量相加的交换法则。换而言之，在定点转动
中，有限转动不是向量。也就是说刚体的有限转动具有不可交换性。
y
Z
Z
y
O
Y
X
X
(a)
(b)
(c)
O
Z
Y
Y
X
X
(e)
(d)
图 7.5
刚体有限转动的不可交换姓
二、旋转矢量微分方程
旋转矢量是描述刚体相对惯性空间转动的一种数学方法，它和方向余弦矩阵、四元数等一
样可以描述刚体的转动运动，其定义为:刚体从 t
= 0 时刻起绕固定点进行转动，则刚体在 t 时
刻的相对初始位置的空间位置可以用一个旋转矢量 φ (t) 表示，即当刚体以旋转矢量 φ (t) 为
瞬时转轴，转动大小等于旋转矢量 φ (t)的幅值的角度时，此时刚体的位置即为刚体在 t 时刻
的位置。刚体在 t 时刻的位置与旋转矢量 φ (t) 形成一一对应的关系，因此可用在 t 时刻的旋转
矢量 φ( t) 来表示此时刚体的位置。
根据欧拉理论，等效转动矢量是姿态矩阵的特征向量，即
(C - I) φ= 0
式中
166
φ一一旋转矢量，其分量表达式为1> = [1>"，1>y ， 在 ]T;
(7 .4.1)
就章捷联式向础阳统陆例。
C一一载体坐标系 b 与参考坐标系 s 之间
Z;' Zb
的方向余弦矩阵;
f一一单位阵。
旋转矢量 φ 可惟一确定飞行器在给定时间
间隔内的位置变化，即飞行器以 φ 为轴，转动角
Y;'
度大小等于旋转矢量 φ 的幅值(图 7.6) 。由于旋
凡
|//
转矢量的这种特性，因此在理论上，采用旋转矢量
一-一-一--*'
4也
法可有效消除不可交换性误差。在采用方向余弦
/'仇
Xb
或四元数法描述刚体的旋转运动时，必须采用积
讨;ωdt 给出在采样间隔内的角度增量，这一积
图 7.6 旋转矢量描述图
分过程没有体现角度的转动顺序，必然引人不可交换性误差。
通过推导，可以给出旋转矢量微分方程为
={;1i
灿
h
￠
s剖
s阳
mn
+…[呻
φX
刘J + :?Iμ1[
忡
φ ×礼J2
</>2 飞 -2 (1- COS </>)
ω+fφ × ω+ 去 ·[1-2(f:OL)lφx (φ × ω) 臼
式中
ω+÷φ × ω+ 占 φx (φxω)
￠一一-旋转矢量幅值，</> = [φT Xφ J 1/2;
(7.4.2)
r
0ι
[φxJ 一一等效旋转矢量反对称矩阵， [φxJ = Iι
L - </>y
o
轧
民 1
乱|。
o
J
式 (7.4.2) 中后二项就代表由刚体转动的不可交换性引人的不可交换性误差。在实际工程中，
为保证实时性，对上式做进一步简化，取
φ=ω+÷φxω
(7 .4 .3)
式中的第二项是不可交换性误差。
三、圆锥运动
圆锥效应(圆锥运动)是刚体运动的一种几何现象，当刚体受到环境振动或本身具有的角
运动时，即刚体在两个正交轴方向存在频率相同而相位不同的角振动速率时，将导致刚体的第
三个正交轴在空间绕其平均位置做锥面或近似锥面的运动，称为刚体的圆锥效应。
按圆锥运动的定义，刚体定轴转动可用旋转矢量表示为
φ= [0αcos (ψ)αsin
<Þt F =
[坑坑止 JT
(7.4.4)
167
G
惯性技术
可以将圆锥运动的参数作为己知量代人式 (7 .4 .2) ，并以 ω 为未知量求解方程式，有
|均 I
I - 2ψdf|
|ω1=1
"
, .1
-y 1- 1 -ψsmαsmψ|
(7 .4 .5)
一 1
』 ωZ-
Lψsmαcosψ
」
式 (7 .4 .5) 说明，尽管环境对刚体在 Z 轴方向无角振动干扰，但由于在 y 轴和 z 轴方向存在同频
不同相位的角振动干扰驱动，导致沿 z 轴方向有常值角速度输出，输出值的大小和干扰振动频
率、幅值以及相位差有关。在以上的说明中，给出两轴角振动 ωy 和 ωz 的相位差为锁沪。当相位差
为伊时，可得
ωx = - 2ψdf sin 伊
(7 .4 .6)
从式 (7 .4.4)和式 (7 .4 .5) 可以看出 φTω= 0 ，即 φ 和 ω 相互正交，使其叉乘积达最大值，从式
(7 .4 .3) 可以看出圆锥运动对姿态算法产生严重的影响。
四、旋转矢量算法
在实际应用中，为保证实时性并考虑运算方便，仅取式 (7 .4 .3) 为计算公式。
如果在一个角速率计算周期内，认为 ω 是随时间线性变化的，定义
ω (t+e)=A+B.e
(7 .4 .7)
假定系统在一个角速率计算周期内仅采样两次，得到两个角增量
l'!
AOlzj:+ 气 (t
;r
=A • ( ;) +扫. (
AO2=j::Lω (t + 州= A. (;) + ~ B. (;)2
p
+ e)de
(7 .4 .8)
可推导出等效旋转矢量双子样计算公式
Aφ = D，.θ\
+ D,.()2 +
2 .
3
D,.() \ X D,. ()2
^
2
= D,.() + 言 D，.()\
X D，.θ2
(7 .4 .9)
此时旋转矢量误差为
在=忐a 2 ( Iþh)5
式中
(7.4.10)
h一一计算周期。
同样，在一个角速率计算周期内，认为 ω 是随时间二次曲线变化的，定义
ω (t + e)
= A + Be + ce2
(7 .4 .11)
则可推导出等效旋转矢量三子样计算公式
Aφ
式中
168
= D,.()
+ 0 .45 •
(D,.()\ X D,. ()3)
+ 0.675 .
D,. ()2 X (D,. ()3 - D,.()\)
!::.()3一一一个角速率计算周期内，第三次采样的角增量。
(7 .4 .12)
耻章捷联式惯性导附拙和系统雌棚。
此时旋转矢量误差为
￠ε= 矿120 a2 ( 供 )7
(7 .4 .13)
同样，在→个角速率计算周期内，认为 ω 是随时间三次曲线变化的，定义
=A+
ω (t + 草)
B~ + C~2 + D~3
(7 .4 .14)
则可推导出等效旋转矢量四子样计算公式
Aφ=
t::,.()
+ K,
K3 •
式中 K，
t::,.
(t::,.
•
e
,
(t::,.(),
x
t::,.
x
e4)
+
t::,. ()2
+ K4
•
t::,. ()3
(t::,.
x
t::,. ()4)
e2 x
t::,.(
+ K2 •
(t::,.(),
x
t::,. ()3
+
t::,. ()2
x
t::,. ()4)
+
(7 .4. 15)
3)
= 736/945 , K2 = 334/945 , K3 = 526/945 , K4 = 654/945 。
e4 为→个角速率计算周期内，第四次采样的角增量。
此时旋转矢量误差为
生=而加州h)9
(7 .4 .16)
上述三个公式(7.4 .9) 、 (7 .4 .12) 、 (7 .4 .15) 成堂的前提条件分别是式 (7.4.7) 、 (7.4.11) 、
(7 .4 .14) 成立。惯性元件的输出值为角增量。
五、姿态矩阵的更新
由旋转矢量的定义和姿态矩阵的定义，等效旋转矢量与姿态矩阵存在如下的关系。设定 b
为动坐标系， 5 为参考坐标系，则
C~ = 1 + 平 [φxJ +气os ø[φx J2
(7 .4 .17)
用矩阵表示为
l-cosØρ
ø2
.1.
侧伊+
ct=
'P;
in
组乌-仨孚豆
ø rz - ø ø"øy
fMh
ø ry 」乎且在在
ø
T
ø
J.
1- 伽￠
-ø→生+ ~
.1.
COS
'P+
inØ
ø
J.
-
ii'
r
血兰￠z+
ø rz 」乎ωy
ø
ø"øy
1- 伽 ø .1.'
T
二学气
+L号豆豆
umM
z|(7.4.18)
ø厂 Y'ÿ
l-cosØ
ø
一一~øx
r" T+ 一一τ~ØA
cos
.1.
Y'
l-cc自扎?
+ --ø厂Y':
六、旋转矢量修正四元数
在上→节四元数法中，我们介绍了四元数法的优点，为了利用四元数，我们通常通过旋转
矢量来修正四元数的方法来计算飞行器的航姿。
用旋转矢量来修正四元数的四元数递推公式为
Q( T + h) = Q( T) 祷
式中
q(h)
(7 .4 .19)
q(h) 一-四元数递推算子。
169
Q
由四元数以及旋转矢量的定义，我们可得
= [SI
q(h)
式中
S2CPy
(7.4.20)
S2CPzJT
= ∞s (卡)
SI
S2
S2 轧
= lcp "'''1
sÌn ,( 2
~ cp)
当采样周期足够小时， sin t2 ~112 ，有表达式
~
￠此<Pv
= [cos 一一
222
q(h)
cpqT
2
(7 .4 .2 1)
J
然后再利用四元数与姿态矩阵的关系求得系统航姿。
七、角速率输入下航姿算法的讨论
上述几种旋转矢量航姿算法采用的都是角增量输人，在实际工程中，陀螺仪给出的信号有
可能是速率信号。这时就需要我们利用陀螺输出的速率信号提取增量角信号。
对于双子样法，如式 (7.4.9) 所示，可采用如下公式提取角增量，即
D.()1
= [ω (t)
!::.()2
= [ω (t+T2 /2)+
Aθ= [ω (t)
式中
+ ω (t
+ T2 /2)] • T2 /4
ω (t+T2 )]. 几14
+ 4ω (t + 几 12) + ω (t + T 2 )]
(7.4.22)
•
T2 /6
几一一双子样法计算周期;
ω (t) 一一速率陀螺的输出。
对于三子样法，如式 (7.4.12) 所示，可采用如下公式提取角增量，即
!::.()1
D.(J2
!::.fh
= [5ω (t) + 8ω (t + T 3 /3) - ω (t + 2T3 /3)] • T 3 /36
= [一 ω (t) + 8ω (t+T3 /3)+5 ω (t + 2T3 /3)] • T 3 /36
= [-ω (t+T3 /3)+8ω (t + 2T3 /3) + 5ω (t + T 3 )] • T 3 /36
D.(J = [ω (t)
式中
+ 3ω (t + T 3 /3) + 3ω (t + 2T3 /3) + ω (t + T 3 )]
•
(7 .4 .23)
T 3 /6
T3 一一三子样法计算周期。
经推导可知，上述算法的圆锥误差分别为:
二子样法
民= 2
2s
13 al? ‘
0 ( Iþh)5
(7.4.24)
三子样法
轧卡= 才2i主步忐
拉豆屁泸
2γα
通过误差分析可知，当采用四阶龙格-库塔法进行数值积分时，四元数航姿算法的圆锥误差
170
脚时性辅系统基本算向叫阳。
可表示为
2 (ωh
￠伪川队)
轧 =•- Ij午非届驴αa 切
刃5) 和式 (σ7 .4 .26创) .可以看出当旋转矢量算法直接获取速率信号时，算
比较式 (σ7 .4 .24)λ、 (σ7 .4 .2
法的误差明显增加。而四元数算法的输人本来就要求速率信号，当输入是角增量信号时反而需
要进行速率提取，使计算误差大。
7.5
捷联惯导系统误差传播特性
捷联式惯性导航系统和平台式惯性导航系统在基本工作原理上是一致的，因此，在静基座
上或等速直线飞行时捷联式系统的基本特性，应和平台式惯导系统基本一致。本节将对捷联惯
导系统误差方程式建立的方法及误差传播特性做→些介绍。
一、系统误差方程式的建立
1.数学平台的误差方程
采用四元数法推导数学平台的误差方程式。四元数微分方程式采用如下形式，即
d =f 叫
式中
(7.5. 1)
ω&一一飞行器坐标系相对地理坐标系的旋转角速度矢量的四元数表达形式。
上式为四元数相乘。根据数学平台模拟地理坐标系的假定，可有
b
__ b
ω 岛 =ω 晶 -ωz
(7.5.2)
所以
q
= 扫 (ωi- 吨)
(7.5.3)
式 (7.5.3) 是在理想J情况下，求解四元数的微分方程组。在实际系统中， ωi 是用固定在飞行搭
上的陀螺仪输出 ωim 来实现的，而 ω岛是在导航计算机中，通过计算机计算的，用 ω趾来代替。
所以，可得系统实际计算的四元数微分方程式
qc =
式中
1
/
h
2qd ω 晶m
h 、
ω I.Ec)
(7.5 .4)
qc一-计算用的四元数。
下边考虑四元数计算误差表达式。
在转动四元数计算时，地理坐标系是参考坐标系，可认为矢量 R 相对地理坐标系是静止
的。在飞行器坐标系内用 Rb 表示矢量R. 在地理坐标系内用 RE 表示矢量 R. 用 q 表示飞行器坐
标系相对地理坐标系的转动四元数。由于符合式(1. 5.20) 的转动条件，则有
RE
= qR~-l
(7.5.5)
171
Q
惯性技术
或
(7.5.6)
= q-1 Rifl
Rb
考虑四元数有计算误差，在凡是准确的值时，则上两式可写为
RE, =qcRbqEl
(7.5.7)
(7.5.8)
Rb =qtRiqc
上式说明由于转动四元数存在误差项，导致矢量 RE 畸变为 R E ' 。
将式 (7.5.8) 代人式 (7.5.5) ，有
= qqë 1RE'qcq-1
RE
定义
句 =
(7.5.9)
(7.5.10)
qqë
即 R E 和 R E ' 之间的转动四元数为句，可认为计算的地理坐标系相对实际的地理坐标系有一个
等效转动，用￠表示其转角，即为两坐标系间的误差角，因其值较小，有
仇
Ò'q
= cos "2rþ
. _，_.t 鱼企
+
S lIl
2ψ
二且 T
2
1
φ = 2(qqë - 1)
ltP
对误差四元数 δq 求导，有
ðÎJ
= qqë1 +
伺 El
(7.5.11)
(7.5.12)
(7.5.13)
注意以上各式，均是四元数相乘。
将式 (7.5.3) 及式 (7.5 .4)代人式 (7.5.13) ，有
句 =tq(ωi- 吨 )që 1 + 扫 (-ωim+ 吨c)qEl=
扫 (ωi-ωim)qEl-÷qωKEl+÷qωtdEl
(7.5.14)
考虑到
ω iE
ω iEc
"b
= q -L_E
ωidl
= qc-L_E
ωiEcqc
__b
__b
δω 马 =ω 晶 -ω 曲m
s吨 = q-1 ωfifl
将其代人式 (7.5.14) ，有
句 =tqsωiqE1-fqq-1ω切'që1 + 扫仰
t 栩如q-fω如q+÷8州c
将句= 1 +号和句=号，代人式 (7.5
有
172
(7.5.15)
眈且按四元数乘法公式运算和忽略二阶小量之后，
第愤慨式惯性辅础阳统叫糊。
φ= 叫。(1+号) -ωfE o {1+ 子)
+ (1
+号)。吨'C =
叫+ (吨'C -吨) -ω§xfxωfEc =
8ω5+Sω§-ω§xφ
(7.5.16)
式 (7.5.16) 即数学平台误差角的矢量表达式，式中第一项为陀螺漂移引起的误差角，由陀
螺实际输出值和理想输出值的比较给出，即取决于陀螺漂移项，为了简单起见，取其表现形式
为
8ω~ = [ε E
E~F
EN
(7.5.17)
式中第三项的 ω§ 为地理坐标系相对惯性空间运动的角速度，其表达形式为
VN
R
b
ω§=
R
V
+
WeCOS
(7.5.18)
伊
/è
ii tan
伊 +ω e S1n 伊
式中的第二项是由计算机计算的地理坐标系相对惯性空间运动角速度的误差项，相当于是对
式 (7.5.18) 的微分，即
-82
δ VE
ω品=
R
民
(7.5.19)
ωe S1n 仰
崎
δ V/è
V/è
R~tanψ+ 豆豆'S 旷于心ψ+
，
WeCOS CPJψ
式中的第三项是由于数学平台存在误差角而导致的交联作用。
平台误差角可表示为
φ= [~卢古 JT
(7.5.20)
将式 (7.5.17) - (7.5.20) 代人式 (7.5.16) ，可得数学平台误差角的分量表达式为
V
α=-YZ+( 舌
tanψ+ωe sinψ)卢 -(?+ωe COS
，导 VN
去Tl_
,
,
r:p) Y +
EE
Tl一
卢 =t -ωe sin 伸一(芷 tanψ+ωesinψ)α-7Y+EN
Y =
句
/è
, V/è
-R"tanψ+ (沪旷 ψ+ωeCOSψ) 作
ðV
(7.5.2 1)
V/è
VM
+ (芷 +ωe COS 伊 )α+ 拚 + E~
2. 速度误差方程式
由于假定了数学平台模拟地理坐标系，所以，飞行器相对地面的加速度由第二章的公式
173
Q
(2.2.16) 给出，即
Ar = A/ - (ωiE + ω) x V r + g
(7.5.22)
在捷联系统中，加速度计直接固联在飞行器上，上式在飞行器坐标系内可写为
AL =古L=AL -(ω&c+ω名)x VL+gE
(7.5.23)
古L一一计算的飞行器相对地面加速度在飞行器坐标系上投影;
式中
A Ín..-
加速度计输出的比力;
ωLc 、 ω2 、 V~一一-计算的地理坐标系和地球相对惯性坐标系的角速度以及计算的飞
行器的地速在飞行器坐标系的投影。
定义速度误差为
δVr
= Vre -
Vr
由式 (7.5.22) 以及式 (7.5.23) ，可得
δ步~ = A Ín
-
A~ - [(ω各C +ω名 )xV~-( ω岛 +ωb) x v~J + gt
-l
(7.5.24)
考虑
ωtc=ω各 +&ω各
ω 毛 =ωb + &ωb
vL=vf+δV~
并认为
gZ-gb=O
则上式可写为
δ步~ = AÍn
A Ín -
A~ - [ (ω各 +ωb + δω各 +&ωb)X(V~+ δV~) - (ω各 +ωb) X V~]
A~ - [(ωL+ωb) XδV~ + (δω岛 +&ωb) X V~]
=
(7.5.25)
把放?从飞行器坐标系转换到地理坐标系，有
SW=qCAinqE1-qA 与 -1 _ q
0
[
(ω各 +ωb) X ò'V~ + (伽各+ ò'a i) x V~]
0
q-1
于有
由则而
(7.5.26)
A Ín
= A~ + ò'A~
qAid-I=qdfqEI+qcdAjqf
(7.5.27)
AI=q-IAfq
δ!A~ = q- 1ò'A fq
得
将句=
qcA Ínqë1 = qcq- 1Afqqë 1 + qcq- 1ò'A fqqë 1 = ò'q- 1Afò'q + ò'q- 1ò'A fò'q
1 +宁代人上式，展开，忽略二阶小量，有
qGAinqEI=AF +AF × φ+δ!A f
174
(7.5.28)
(7.5.29)
第七章捷联式向础机统误差棚。
将式 (7.5.29) 代人式 (7.5.26) ，得
δ阿 =δAf+AF × φ- (ω§+ωE) XδVF 】 (δω各 +δωE) X v~
(7.5.30)
注意，在推导以上各式时，一定要注意各式中有关四元数的运算法则。
式 (7.5.30) 即为速度误差的矢量表达式，式中右边第一项为加速度计的误差项，为了讨论
方便，仍假定加速度计只有零位误差，可写为
δ~f
=
[~AE
~AN
~AçF
(7.5.3 1)
式中的第二项是由数学平台的误差角引人的交联影响，式中第三项表明哥氏加速度没有完全
补偿的影响，第四项则为由于计算角速度出现误差而引起的附加哥氏加速度误差项。
下面将式 (7.5.30) 展开成分量形式。
Af
由于
= [~AE
~AN
φ= [α
卢
~AçF
γF
VN
R
ω在=
VE
/i + ω e COS ψ
V..
ii tan
伊 +ω e S1n 伊
r
0
1
ωE = Iω e COS ψ|
Lω esm
δv~ = [ðVE
cp .J
δ VN
δ vçF
-82
ðVE
δω各=
R
，号 V..
V..
ωe S1n 仰
句
R"tan 伊 +7fsed 抖伊 +ω e COS 冽伊
r
0
1
δωE = I 一 ωe sin 抖ψ|
Lω e COS cpð，ψ 」
将以上各式代人式 (7.5.30) ，有
IVN
V,. L__
IV..
L__
δb=(7ftanψ - -jf ) δVE + l 舌 tancp+2ωe sin cp) δ VN
IV..
-
{言
\
+2ω e COS cp) δVç +
(V~N
-Fsdψ+2ω e COS ψ VN + 2w e sin 价)作 + ANy 一 Arß + ~AE
175
Q
VI'___
V,
sb=-2(7tanψ+ 叩10ψ)δVE-RSh-fs斗
(tse句 +2… ψ) 协 +A伊 矶=
2(
Aû' +
~AN
v
~E + ωeCOs cp) δVE + 2 台VN - 2 VEWesin 仲 + AFß -
AMl +
~At (7. 5 到
式 (7.5.32) 即速度误差方程式的展开形式。
3. 位置误差方程式
根据经、纬度的定义，有
-mr-A
vw-REW
==
-R-R
(7.5.33)
￠'
c
对上式微分，则得位置误差方程式
，导 VN
Sp=-EZ
拟
O' V..
=
R
"'sec
V..
们言 sec
(7.5.34)
cptan 仲
4. 系统误差方程式
式 (7.5.2 1)、 (7.5.32) 、 (7.5.34) 三组方程式合在一起就构成捷联惯导系统误差方程式。
由于捷联式惯导系统的垂直通道也是发散的，通常不单独采用垂直通道，所以公式中的 δ乌可
以不考虑。从纬度和经度误差方程组还可以看出，经度误差动态特性仍具有开环特性，因此，在
列写系统误差方程的状态变量时，品可以单独考虑。
为了便于和平台式惯导系统误差方程式进行比较，仍假定载体处于地面静止状态，即有
VE = VN = Vt=O ， AN=AE=O ， A~=g ， 于是捷联式惯导系统在静基座的误差方程式可以简
化为
δVE
= 2ωe sin 伊 ·δ VN - ßg + ~AE
O'VN = - 2ωe sin cp
•
δVE + αg
+ ~AN
O'VN
Sψ=-EZ
α=
-
δVN
R"
+ ωe sinψ·β-ω eCOs
cp • Y + εE
卢=去O' VE - ωe sin 仲 -ω e si 叫 ·α+εN
y
176
= 去 tanψ·δVE + ωeCOs 仲 +ωeCOs 伊 +εc
(7.5.35)
第七章麟式阳系统基本算法和系统明特性。
上式则可写为
-g
o
88 如， α- 卢
EN
O
g
O
O
O
O
。
O
O
-
O
O
O
-2ωe sin
cp
-Y
1
R
l
R tan cp
O
1-R1-PH
O
-ωe sm
cp
ωe sm
-ωe sm
cp
O
cp
O
α 卢 γ
O
cp
伺机作
O
2ωe sin
O
AA
AAAAQU
EN
+
eE
EN
Eç
O
ωeCOs 伊
ωeCOs
O
cp
。
(7.5.36)
同样，可简化为
= FX(t)
X(t)
+
W(t)
(7.5.37)
二、系统误差传播特性
将式 (7.5.35) 或式 (7.5.36) 与平台式惯导系统误差方程式 (6 .4 .15) 或式 (6.4.16) 比较，
可以发现两组方程式完全一样，因此，可以认为在静基座的条件下，捷联式惯导系统误差传播
特性与平台式惯导系统误差传播特性是一致的。上一章分析的结论，完全适用于捷联惯性导航
系统中，本章不再做进一步分析。
思
考
题
1.捷联惯导系统的"数学平台"如何获取?
2. 机械式陀螺仪和加速度计的误差模型是什么?
3. 什么是飞行器的姿态矩阵及计算方法?
4. 姿态矩阵的实时算法是如何实现的?
5. 什么是旋转矢量法?
6. 什么是圆锥运动?
7. 试推导捷联惯导系统误差方程式。
177
第八章惯问砌的初始对准
8.1
|
概述
惯性导航系统在正式工作之前必须对系统进行调整，以便使惯性导航系统所描述的坐标
系与导航坐标系相重合，使导航计算机正式工作时有正确的初始条件，如给定初始速度，初始
位置等，这些工作统称为初始对准。在初始对准的研究工作中，往往由于初始位置准确已知、初
始速度为零(载体的小位移扰动，如振动、阵风、负载变化等另行考虑) ，使初始对准工作简化。
所以初始对准的主要任务就是研究如何使平台坐标系(含捷联惯导的数学平台)按导航坐标
系定向，为加速度计提供一个高精度的测量基准，并为载体运动提供精确的姿态信息。
初始对准有对准精度和所需要的对准时间两个技术指标要求，很明显，它们是相互矛盾
的，因此，需要一个折中的指标。
初始对准的方法也因使用条件和要求的不同而异。根据所提供的参考基准形式不同，一般
初始对准方法可分为两类，一是利用外部提供的参考信息进行对准，二是所谓的自对准技术。
本节将重点讲述自对准技术。在对准过程中，一般先进行粗调水平和方位而后进行精调水平和
方位。在精调之前，陀螺漂移应得到补偿。在精调水平和方位之后，系统方可转人正常工作。本
章主要以平台式惯导系统为例加以说明，导航坐标系选定地理坐标系。
光学的自动准直技术可以利用外部提供的参考信息进行对准。其方法是在惯导平台上附
加光学多面体，使光学反射面与被调整的轴线垂直，这样可以通过自动准直光管的观测，发现
偏差角，人为地给相应轴陀螺加矩，使平台转到给定方位，或者也可以借光电自动准直光管的
观测，自动地给相应轴的陀螺加矩，使平台转到给定位置，实现平台初始对准的自动化。自动准
直光管的方位基准是星体或事先定好的方向靶标。平台的水平对准如果借助光学办法实现，光
学对准的水平基准是水银池。光学对准可以达到角秒级的精度，但对准所需时间要长。
全球定位系统 (GPS) 可以实时提供当地的经纬度等参数，因此是初始对准的极好的外部
基准，在使用条件允许的时候应该应用。
自对准技术是一种自主式对准技术，它是通过惯导系统自身功能来实现的。
地球上的重力加速度矢量和地球自转角速度矢量是两个特殊的矢量，它们相对地球的方
位是一定的，自对准的基本原理是基于加速度计输人轴和陀螺敏感轴与这些矢量的特殊关系
来实现的。比如，前边讲述的半解析式'惯'性导航系统，在理想情况下，它的东向和北向加速度计
就不敏感当地重力加速度 g ， 此时可认为平台位于当地水平面内，而东向陀螺则不敏感地球自
转角速度分量，在满足上述两种约束的条件下，则可说平台坐标系和地理坐标系重合。由于自
准
Q
对准过程可以自主式完成，灵活、方便，在计算机参与控制的条件下，可以达到很高的精度，因
此它在军事上得到了广泛的应用。同时，把在方位对准过程中，东向陀螺不敏感地球自转角速
度分量的现象称为陀螺、罗经效应。
8.2
静基座惯导系统误差方程
讨论初始对准动态过程的方程式是第六章推导的愤导系统误差方程式 (6 .4 .15) ，方程是
在载体处于地面静止状态给出的，在此基础上，再假定载体所在地的纬度是准确知道的，这样，
在方程式中有关纬度的方程就可以不考虑。为分析简单起见，略去有害加速度引人的交叉祸合
项。式 (6 .4 .15) 可简化为
ôVE =-卢(g-+~牛A
盯VN = αg
S
α= 去ôVN
-
+
~ANV
Ywec叫+队smψ+εE
(8.2. 1)
卢=去δVE - ωe sin 伊 +εN
γ=
去 tan q;ôV
E
+ αω.cos 伊+气
与式 (8.2. 1)对应的方块图如图 8.1 所示。
圄 8.1
简化的系统误差方块圄
179
o
上述简化方块图及误差方程式，是研究惯导系统初始对准问题的基础。
单回路的初始对准
8.3
一、水平对准
初始对准过程的进行，首先是水平粗对准，而后是方位粗对准。在粗对准之后再进行精对
准，首先是水平精对准，而后进行方位精对准。在实际惯导系统中，通过一定的程序开关实现信
号的转接。如水平粗对准，可以采用图 8.2 所示的工作原理实现。
「一一---0←一一-1 p
「一一一一包〉←一一一一-1
一一一机械的联系;一→一电的联系
的∞s 伊
(b) 东向加速度计回路
(a) 北向加速度计回路
圄 8.2
简化的自对准功能图
图 8.2 中分别给出了北向加速度计回路和东向加速度计回路。图中的平台控制器就是我
们在前面讲过的稳定回路。地球的自转角速度分量 ωeCOSψ 必须加给北向陀螺，使平台相对惯
性空间以 ω e COSψ 转动，以保持平台的水平。为此，方位陀螺也必须接受 ω e sinψ 信号(未画
出)。
如果平台偏离当地水平面，这两个加速度计将敏感重力加速度的分量，给出信号到陀螺，
陀螺通过平台控制器使平台旋转，迫使平台回到当地水平面。在实际的设计中，陀螺的输出信
号是通过航向坐标变换器的分解后进入相应的平台控制器中，而不是如图示那样直接进人平
台控制器。
根据图 8.2 可以画出单通道水平自对准方块图，如图 8.3 所示。
圄 8.3
系统的特征方程式为
180
水平粗对准方块图
第八章惯叫系统的初1Ifìx-t1l
s + Kg
=0
0
(8.3. 1)
式中的时间常数是
r
=一
-Kg
(8.3.2)
它的大小受到陀螺允许的最大力矩器的输出电流限制，因此，这种自对准的精度是按指数规律
达到的。
从图 8.3 还可以得到自对准角度 α 和加速度计零位误差 b.A N 以及陀螺漂移角速度 εE 之间
的关系，即
αω(υωsο) =才豆哥[εE川(s)μ+ ωAωA
Kb.仙
N
(8.3.3)
设 ε句
E 、A
牛AN 为常值时，稳态误差为
α
EE
b. AN
S= Kg+g-
(8.3 .4)
可见这种自对准的精度，最终取决于陀螺漂移和加速度计的零位误差。为了缩短自对准的
时间，还可以把加速度计的输出信号直接输给平台控制器，用提高系统增益的办法，在较短时
间达到粗对准的目的。尤其是在陀螺没有启动前采用此方案为好。
水平精对准是在水平和方位粗对准的基础上进行，在设计思想上有比较丰富的内容。所选
用的方程式是式 (8.2. 1)。由于水平对准时方位陀螺不参与工作，所以仍将水平对准和方位对
准分开讨论。由于可以不考虑交叉搞合的影响，简化的系统误差方块图 8.1 可进一步简化为图
8 .4的形式。与方位偏差有关的项仍保留，作为常值误差项，因此，与其对应的方程式为
ó'VE
=-
ßg + b. AE
卢=主ó'VE + εN
(8.3.5)
yωe ∞s 伊 (s)
固 8.4
水平回路误差方块图
181
。
ðVN = αg + ßA N
和
Q
= 一去δVN - 队ωψ +
(8.3.6)
E: E
式 (8.3.5) 和式 (8.3.6) 分别描述了两个水平回路的动态特性，从第六章的分析可知，这
两个回路都具有舒拉调谐特性，说明平台偏离当地水平面的角度 α 和 β 一直处于振荡状态，其
振荡幅值和初始偏差角、陀螺漂移角速度以及加速度计零位误差大小有关，这种动态特性符合
初始对准的要求。水平精对准的控制思想，就是在上述回路的基础上，增加必要的阻尼，在给定
的时间内，使平台偏差角 α 和卢小于给定值。
图 8.5 给出了一种三阶水平对准回路方块图，给出了北向加速度计与东向陀螺回路的组
合说明，东向加速度计水平回路与此回路相似。该方案较为广泛地被半解式惯导系统采用。其
特点是将加速度计的输出信号，经过一次积分后，乘以比例系数几，反馈到加速度计的输出
端，称为一阶阻尼，它将使积分环节变成一个非周期环节。在i
环节上并联一个也环节，使原
R
来的i 环节变成1土豆环节，称其为一阶阻尼。在i
R 环节上再并联一个坠环节后，使原来时
- 1 / 1 J~'''''' U
+
K~
K~
....-
=
=
=
环节变成为二t旦 +J 环节，称其为三阶阻尼。与 K2
K3
0 或 K3
0 对应的水平对准回
'‘
s
路分别称为一阶水平对准回路或二阶水平对准回路。根据以上的说明，图 8.5 可改画为图 8.6
的形式。在方块图中，我们增加了平台初始偏差角 α。误差项。下面分析由于陀螺漂移 εE 、加速
度计零位误差 ßA N 和平台初始偏差角 α 。等引起的初始对准误差。
回 8.5
动基座三阶水平对准回路方块回
由图 8.6 可得平台偏差角和上述干扰量之间的传递函数为
α (s) = 达") I S( s + ι)[εE(S)
[s
(1:.
一
式中
182
-
10(s)ωeCOSψ (s)J+[μ 几 )αo( S) J -
K2 )
D一一+ K 3 JßA N (s) 1
(8.3.7)
八章惯性导航系统的初问
o
Y的∞s 伊 (8)
图 8.6
等效三阶水平对准回路方块圈
~(s) = S3 + K 1 S2 + (I + K2 ) 呻 + K3 时
(8.3.8)
为三阶水平对准回路的特征方程式。如果所有干扰量均假定为常值，则根据终值定理可求得 α
的稳态误差为
八 AN
也=一:.:!!
g
(8.3.9)
即三阶水平对准精度仅仅取决于加速度计的零位误差。从式 (8.3.8) 还可以看出 K} 、 ι 的物理
意义，设 K3 = 0 ，则式 (8.3.8) 成为
S2
+
K 1s
+ (I + K2 ) ω; = 0
(8.3.10)
为二阶水平对准回路特征方程式，可以很明显地看出，凡的加入，为系统引人阻尼，而 K2 的加
入将使系统的振荡周期缩 Ij\11工王2 倍。因此，适当选择 K1 和 K2 可以使系统在短时间内稳定
下来。系数 K 1 、 K2 、 ι 的选择方法可以从下边分析得出。
三阶水平对准回路特征方程式如式 (8.3.8) 所示，令其根为
SI
=
-σ52 ， 3
=
-σ 土 JW n
所以，系统特征方程式也可写为
(s + σ)( s2 + 2σ's + σ2 +ω~) =0
(8.3.11)
令 ω3=σ2 +ω1 、 σ = ewo( ~为阻尼系数， ω。、的分别为系统有阻尼和无阻尼时自振频率) ，则
有
的 =σ俨FM=-ujσ序
而式 (8.3.11) 成为
川出2 + (主+队+三=。
(8.3.12)
比较式 (8.3.8) 与式 (8.3.12) 的系数，有
K1
= 3σ
1
~\ R ?
K 2 = (寸+
1
'e . -2), 一σg
(8.3.13)
ι= 主σ3
183
Q
惯性技术
...
当 6 、 σ 确定之后，由式 (8.3.13) 可以计算出 Kl 、 K2 和 K3 值。
系统特征方程式.t.( s)
= 0 的解为
IL土豆2
1
,_ .
α1 (t) = 叮川2侧的t + J于…-
2至三|
1-
~2J
(8.3.14)
α 角的解为
α (t) = α1 (t) + α(8.3.15)
有了方程 (8.3.14) 和式 (8.3.15) 之后，可根据对精度 α 的大小和对准时间 t 的要求，及加速度
计的零偏 .t.A N 的给定数值，求出对应的 ε 和 σ 值，再带人式 (8.3.13) ，就可确定相应的 K1 、 K2 和
局值。
上述三阶水平对准方案也可用于动基座的初始对准，只是要把速度误差项 ðVN 改为用外
部速度和纯惯导系统计算速度的差值 δVN
-
ðl'飞N 作为阻尼信息的输入。其方块图如图 8.7 所
示。与其对应的系统方程式与式 (8.3.8) 相同，且有
图 8.7
三阶水平对准回路方块圈
(ωsυ) = 豆达古刮
f去过
s)&材
7才{仆
s叫(υs巾川咱
+K
叫叫
川
Kι
1ρ)
[严旦乎2!.. +ι
叫
K3]归
问
!μ
].t.A
巾
均蚓川
N川(巾υωsυ)川+ [川
s(K
忧K2 γγKι1 ) +dK叫 δN
M
刚
rN (υω
叫
斗
sο
V州川山
州叫灿
)}
6
(何8.3川川叫
16
削
创)
当所有于扰量均为常值时，也有
α
=
.t.AN
g一
(8.3.17)
所以，原则上三阶水平对准回路在动机座的条件下，也可以达到很高的对准精度。
二、方位对准
平台的方位初始对准是在平台的水平初始对准之后进行的。从分析水平对准的过程可知，
184
八 惯性导航系统时对准
Q
北向加速度计与东向陀螺组成的水平对准回路与方位回路有较大的交叉影响，即存在较大的
交叉藕合项 YWeCOSψ ，通常把 YWeCOSψ 影响的物理过程，称为罗经效应。即当平台正确取向
时，东向陀螺将不敏感地球自转角速度分量。当平台在方位上有误差以后，东向陀螺将敏感地
球自转角速度的一个分量。在自对准状态，这将导致平台偏离当地水平面，并使北向加速度计
产生误差信号，且与 YWeCOS 伊成比例。利用这个加速度计输出信号，使其通过一个道当的补偿
环节再加给方位陀螺仪的力矩器，从而使平台在方位上进动，一直到地球自转角速度分量不再
被东向陀螺所敏感，这样就消除了方位误差角。图 8.8 给出了方位对准回路原理方块图。图中
的 ó'VrN 为引人的外部阻尼速度误差，在固定基座上方位对准时，可不引人外部参考速度，即设
ó' VrN = 0。
éç(S)
图 8.8
方位对准回路方块圈
从图 8.8 可以看出，采用了二阶水平对准回路作为方位回路的主体，其原因在于，在平台
已事先完成水平对准的假设下，如果平台方位有误差，加速度计将有信号输出，和方位误差角
γ 成比例，对其一次积分得 ó'VNO 因此，可测量值 ó'VN 将和方位误差角 γ 成比例。既然要通过 γ
角才能在δ VN 中反应罗经效应项，所以，在水平对准时先不消除由 εE 和 yω e COS 伊引起的稳态误
差角部分 ， lIP先不加积分环节干(见图 8.7) ，待方位自动对准再把号加上，进一步校正水平基
准。
下面再分析方位对准回路。由图 8.8 可得出方位对准方程式(设 δVrN
δVN = α:g
α= -
+ .ð.AN
1 + K?
'R --~ó'凡y
-
:::
0)
KJ ó'VN
ì'íωe COS
伊 +εE
(8.3.18)
= IØVN + εc
将上式进行拉氏变换，并写成矩阵形式
185
Q
L 品一冲
++-PH扣
「 |||L
FBSOU
(8.3.19)
氏
为
解
换
变
的
拉
差
误
s2
gs
伊
[ l-i|-TJ(S)COS
?'
~
(K1 + s)s
D.( s)
Y
-g.ωe COS
r ðV
JVO
- (K 1 +
+ D.AN ( s )l
s) ωe栅伊 11α0+
EE(S)
1 + K ILγ0+ε t"( s)
(K 1 + s)s + - 'R-- .t.2g
gK(s)
sK( s)
rp
(8.3.20)
式中
r s + K1
D.{ s)
o
g
-
= I 1...俨
s
L - K( s)
0
1
ωe COSψ 1= s3 + KlS2 + ω; (1 + K2 )s + K(s) g，ωeCOSψ
(8.3.2 1)
为方位对准时系统特征方程式。设
K(s)
= 一二主
-ωe C 田叭 s
(8.3.22)
+ K4 )
且各干扰源仍为常值，利用终值定理，可以得出方位对准的稳态误差表达式为
EE
几=雨雨+
(
1 + K2 )K4
RK3
EE
(8.3.23)
由上式可以看出，方位对准的稳态误差主要取决于东向陀螺漂移町的大小，而町的影响
可以通过适当地选择参数 K2 、 K3 、 ι 而降到最小程度。如果略去 Et"的影响，则有 Y卢 e COSψ=εE
说明东向陀螺漂移角速度和方位误差角的作用是等效的。如果 )'WeCOS 伊=饨，则 )'WeCOSψ 不
再起作用，方位误差角)'
=二坐L
ωe COS
rp
将不再受到控制，达到稳定平衡状态。如果 ε E
= O.01OIh,
则有)'. = 2' - 3' 的稳态误差。所以， εE 直接影响方位对准精度。因此，在系统中测出 εE 并将其
补偿，则会提高方位对准精度。
将式 (8.3.22) 代人式 (8.3.2 1)，系统特征方程式的形式可写为
S4 + (K 1 + K4 ) s3 + [ω; (1 + K2) + K 1 K4] s2 + ω; (1 + K2)K4s + K3g = 0 (8.3.24)
采取和上一小节类似的方法，可求得系统参数 K 1 、 K2 、 K3 和 K4 与系统方位对准指标之间的关
系。令特征方程的根为
186
J
第八章惯性导航系统的初始对准
Sl , 2
= S3 ,4
=
9
σ :t: Jωn
所以，系统方程式也可以写为
[S2
+ 2σS + (σ2 +ω~) J2
=0
(8.3.25)
即
54 + 4σ53 + (6σ2 + 2ω己) 52 + (4σ3 + 4σω飞 )5 + (σ4+2σ24+ω~)
=0
(8.3.26)
从式 (8.3.25) 可得
2
α}ö
_2..2
=σ+α}n
~
=互
α}O
ωn 战平=川平
-
2
有
且设 KI
= K4' 再比较式 (8.3.24) 与式 (8.3.26) ，有
KI = K4 = 2σ
K2
2σ2
.2 丁= eω1
1
(8.3.27)
"σ4
问=百
根据对准的要求，可确定 E 和 σ ，则由式 (8.3.27) 可选择系统参数几、 K2 、 L 和 K4 。
8.4
陀螺漂移的测定
从使用角度考虑，希望陀螺漂移角速度是常值，但因陀螺漂移具有不稳定性，因而在不同
的时间，每次通电后所测得的陀螺常值漂移角速度的数值并不一样，标定时给定的陀螺常值漂
移角速度值也是一个统计数据。用标定时给定的陀螺常值漂移角速度值去补偿，补偿效果并不
理想。但是，对于大多数陀螺，在-次通电启动运行下，其漂移的主要分量常值特性很好，工程
上用此测量值对陀螺漂移进行补偿。本节所讲述的陀螺漂移的测定，是指系统在使用前完成
的。即在通电后和导弹发射前这段时间内完成的。和常规的陀螺漂移的测定在方法和使用设备
上有所不同。如果陀螺漂移稳定性较好，具有长期稳定性，则在对准中可以简化陀螺漂移测定
的程序，缩短对准时间。因此，为提高系统精度，不仅要对陀螺稳定性提出严格要求，而且要在
系统中采取合理的测漂和定标措施。
惯性导航系统中的平台，实质上可看做一个多轴陀螺漂移测试伺服转台或位置台，因此可
以借用常规的实验室陀螺漂移测试方法。导航计算机可以执行测漂、定标的程序。根据陀螺的
种类，对准的要求不同，测漂和定标的方法有多种方案，本节只讲述在初始对准时的测漂基本
原理。
187
。
一、水平陀螺漂移的测定
最常用的是两位置法测量水平陀螺漂移。第一个位置就是惯导平台正常的导航位置，其初
始对准回路主要是东向陀螺敏感东向角速度，北向陀螺敏感北向角速度。东向加速度计的输出
信号经过校正环节馈人北向陀螺的输入端，而北向加速度计的输出信号经过校正环节馈人东
向陀螺的输入端。图 8.9 给出二阶水平对准回路方块图，可建立如下方程
a
= 气乌VN YWeC叫+
卢
1+K2
=一一δVE +
êE
-
因 8.9
(8 .4.1)
êN
二阶水平对准回路方块囱
= 0 和卢= 0 成立，即
K~
o = - 1- +.R--"'ðV
N - 'Y叩 08ψ+
水平对准结束后，有平衡条件 a
0= 气与E
êE
(8 .4 .2)
+
êN
由于 ðVE 和 δ VN 是加速度计的输出值，是可观测的，于是与其对应的量
1 + K,
也E=-z-s几
(8 .4 .3)
K~
δωN=-EJSb
1+
也是可观测的量，且是分别加给东向陀螺和北向陀螺的加矩信号。由式 (8 .4 .2) 可得
ðlωE
SωN
==
y，ωe C08 ({J
+
êE
(8.4 .4)
êN
可以看出，从加矩信号也N 可以直接看出北向陀螺的漂移角速度值，而在加矩信号也E 中，不
188
第八章惯阳系统的初MtX<tlt
0
仅含有东向陀螺漂移角速度值，而且还含有交叉藕合项，不能区分出 êE 来。为了测试东向陀螺
漂移角速度值，在完成北向陀螺漂移角速度的测试后，将平台旋转锁沪，使原来的东向陀螺敏感
轴处于北向位置。开始第二个位置的测漂工作，这时的测试平衡方程式为
8ωE'
= - YIωeCOS q; + êN
(8.4.5)
SωN' = - êE
式中
也E' 、品，N' 一一平台转动货尹以后，对应北向陀螺(现在东向) ，东向陀螺(现在北向)的
加矩信号。
由以上叙述可见，使平台处于两个特殊位置，并经两次测试，就可以完成东向和北向陀螺
测试，给出相应的陀螺漂移角速度 εE 和 êN 。
如果 êE 和 εN 已经测定，则方位误差角也不难计算出，由式 (8.4 .4)可得
Y=
êE -
&ωE
ωe COS
式中
(8.4.6)
q;
ψ一一试验点纬度，是已知量。
这种通过测定水平陀螺的漂移来计算方位偏差角 y 的方法，也是一种方位对准的方法。
二、方位陀螺漂移的测定
方位陀螺漂移的测定，也应在方位陀螺处于平衡状态时进行，为此，设计一个方位控制回
路，如图 8.10 所示。图中 ψ' 为平台的指北方位角， ψ 为方位对准时的计算方位角 ， ðw tc 为方位
ιS + Kb
陀螺的控制信号，一一了一是为改善方位控制回路而设计的控制环节，适当地选择 Kø 和 Kb 可
使系统得到一定的品质指标和性能要求。
图 8.10
方位陀螺测濒控制回路
当系统处于稳态时，有
Sωt'c + (ωe sin 伊c
式中
-
wesinψ) +
êt
=0
(8.4.7)
q;c-- 计算纬度值。
所以，要能精确得到机，即计算的纬度值与实验点的纬度值相等，则地球自转角速度的垂
直分量可以被抵消掉，于是式 (8.4.7) 成为
δωtc
=-
êt
(8.4.8)
这样，就确定了方位陀螺的漂移角速度。
为求得其精确值，可在→定时间内对数据进行采样，并求其平均值，若采样次数为 n ， 则有
Q
~ð'，ωÇci
ê ,..
= 1.三_1_一­
n
(8 .4 .9)
利用平衡条件测定陀螺漂移的原理，也可以对陀螺刻度因数进行测量。
8.5
捷联式惯导系统的初始对准
一、概述
和平台式惯导系统一样，初始对准的实现，对捷联式惯导系统也是非常重要的。捷联式惯
导系统初始对准原理与平台式一样，其目的都是为导航计算提供必要的初始条件。其次，影响
对准精度的因素是相同的，都要补偿陀螺与加速度计的误差。对准过程也分粗对准和精对准两
个阶段。不同之处在于，捷联惯导系统是利用陀螺和加速度计的信息，经过滤波处理，在计算机
内修正所谓的"数学平台"亦即姿态方向余弦阵。这实际上是解析对准。尽管其对准精度也取
决于水平加速度计和东向陀螺，但因载体运动的干扰作用特别显著，因而对滤波技术的应用，
比平台系统更为重要。至于具体的对准方案，多种多样，尤其是由于计算机软件的灵活性，其变
化就更具多样性。
捷联式惯导系统的初始对准，就是在满足环境条件和时间限制的情况下，以一定的精度给
出从机体坐标系到导航坐标系的姿态变换矩阵。
对准可以是自主的，也可以是受控的(使捷联惯导系统的输出与某些外部系统的输出相一
致)或这两种方法的结合。因为目前实用的捷联惯导系统大多数选用地理坐标系为导航坐标
系，所以借助惯性仪表测量两个在空间不共线的矢量，即地球自转角速度 ω 矢量和重力加速
度 g 矢量，可以很方便地实现自主对准。
自主式对准也分两步进行。在粗对准阶段，依靠重力加速度 g 矢量和地球自转角速度 ω 矢
量的测量值，直接估算从机体坐标系到导航坐标系的变换矩阵。在精对准阶段，可通过处理惯
性仪表的输出信息，精校计算机计算的导航坐标系和真实导航坐标系之间的小失调角，建立准
确的初始变换矩阵。
本节将简要地叙述捷联式惯导系统初始对准原理。
二、解析粗对准原理
这里指静基座初始对准，此时加速度计测得的是重力加速度 g 矢量在飞行器坐标系 [b]
中的分量，陀螺仪测得的是地球自转角速度 ω 矢量在 [b] 系中的分量。而这两个矢量在导航坐
标系(地理坐标系 [E]) 中的分量是已知的，且为常值。则变换矩阵 cf 可由 ω 及 g 在 [b] 系和
[E] 系中的测量值或计算值计算出来。如下矢量变换等式成立，即
190
第八章惯性导航系统的初始对准
= C~~
gb
9
(8.5. 1)
ωb=CSωE
定义矢量 V 为
V=gx ω
则有
因为
上述三个矢量的分量存在关系
cf =
=
yb
(8.5.2)
(8.5.3)
C~V古
[C~ ] -1
= [C~ F
[~]= c{~]
(8.5 .4)
liil=lZlcf
1
cf I I I I
或
可得
r(~) 叮叮 (gb)T
(ωE)T
=
(ωb )T
(8.5.5)
L ( V E ) T J L ( yb ) T J
因此，如果式 (8.5.5) 中的逆矩阵存在，则方向余弦矩阵 cf 便可以惟一地确定了。 cf 表示
了从飞行器坐标系到地理坐标系的坐标变换矩阵。将
(~)T
= [0
0
gJ
= [0ωe COSψω e sin cp J
(yE )T = [81ωe COSψ o OJ
(ωE)T
代人式 (8.5.5) ，并求逆，有
lM)丁I =
(ωE)T
(俨 )T
o
- 1
一一~tan
g
1
g
1
O
cp
gωe COS
1
ωe COS
cp
O
O
cp
(8.5.6)
O
显然，只要?不等于锁沪，式 (8.5.6) 的逆表达式就成立，可得
191
Q
惯性技术
。
cf
=
1
O
I 二1tmψ
g
町'广|
1
ωe COS
1
g
11
o
cp
(ωb)T
(8.5.7)
( V' )T
O
O
由于初始对准时，当地的纬度?、重力加速度 g 和地球自转角速度 ωe 是准确可知的，所
以，从式 (8.5.7) 可知，只要能够准确给出矿和旷的测量值，就可以计算出机体坐标系和当地
地理坐标系间的方向余弦矩阵 cf。方向余弦矩阵 cf 的准确性，显然是受到矿和 d 这两个测
量值准确性的约束。实际上，陀螺仪和加速度计都存在仪表误差和敏感环境的干扰角振动或干
扰加速度的影响，这种直接计算的结果不能满足工程需要的对准精度，即方向余弦矩阵的准确
性低。
【曹:~ 8.11
假定飞行器坐标系的初始位置和地理坐标系相重合，在不存在仪表误差和外
部干扰时，给出初始对准时方向余弦矩阵的表达式。
解
根据题意，可以写出加速度计和陀螺的测量值及沪的表达式为
= [0
(gb )l
(ωb)T
g]
0
= [0ωe COSψω e sinψ]
(V' )T=[ g;ωeCOSψo
0]
将上述表达式代人式 (8.5.7) ，经计算有
r 1 0 01
cf=lo
1
01
LO
0
lJ
上式说明，计算机计算的飞行器坐标系和地理坐标系在初始对准后完全重合。
例 8.1 给出的 cf 是一个单位阵，将此转换矩阵装入计算机作为初始方向余弦矩阵，在理
想的情况下，通过 cf 的转换，加速度计和陀螺的输出都可以正确地转换为以地理坐标系表示
的比力或角速度分量，可以进行导航更新和姿态矩阵更新。实际上，由于加速度计和陀螺仪的
仪表误差和环境干扰线振动和角振动的影响 ， cf 将会成为如下形式
r
cf
1
-
r
ß1
= Iγ1α1= (I +ψ)
L_βα1
(8.5.8)
J
ψ 为机体坐标系和地理坐标系对准的误差角，是一个小角度，其值的大小和加速度计(东向陀
螺)输出在地理坐标系中的分量有关，等效于加速度计输出经 cf 转换后的分量，有表达式
α=
192
AN
g
第八章惯叫系统时对准
,4 ..
ß= 了
r
ε"
o
(8 川)
A"
=-石OS cp + tan 伊 -E
即两坐标系的对准精度将取决于上述姿态误差角 φ=α + fJ + γ ，所以在初始对准时，如
果有外部参考系统可以直接给出 φ ，并以式 (8.5.8) 装订在计算机中，也可以说完成了初始对
准。
在上述对准过程中，式 (8.5.9) 中的 A E 、 AN 、 εE 分别等效于加速度计和东向陀螺的输出信
号，是一个随机信号，描述对准过程的运动方程式是一个随机线性(或非线性)运动方程式，在
粗对准过程中，一般都要通过代数的方法(多次平均或积分等)对误差角 φ 的各分量估算，并
修正式 (8.5.8) ，因此，对准精度还是很低。
显然，为了提高对准精度，对加速度计和陀螺仪的误差进行补偿是必要的。
三、精对准基本原理
精对准的目的，就是在对准过程中，不断用新的变换矩阵 cf 代替粗对准结束时建立起来
的变换矩阵 cf ，使导航计算机计算出来的地理坐标系逐步趋近于真实的地理坐标系，并在给
定的时间内，使两者之间误差角小于给定值。
图 8.11 给出精对准原理方块图。导航坐标系仍然选为地理坐标系，在精对准开始时，导航
计算机中已经存储经粗对准给出的变换矩阵 cf。从图可见，加速度计除了本身零位误差之外，
还将感受重力加速度和干扰加速度的分量，而输出量是以 [b] 系分量表示的比力 jb ， 经过转换
矩阵 cf 可得到以导航坐标系表示的比力 jE ， 该值将反映出机体坐标系和导航坐标系的部分
对准状态，从式 (8.5. 的可知 ， jE 中含有 α 和 β 误差角成比力的分量，并影响 γ 。将这个信息经
过适当地滤波处理，求出其最优估值并对 cf 不断地修正。
è:=Q~C~
圄 8.11
精对准原理方块困
另一方面，捷联陀螺仪除了本身的漂移外，还敏感到地球自转角速度 ω~( 等效于 ω各)和
干扰角速度屿，而输出的是相对惯性坐标系的角速度信息 ωi ，再经过 cf 的转换，便可得到在
193
o
导航坐标系内的角速度 ω3 。
在固定基座初始对准阶段，由于载体相对地球静止，所以，上面讨论的两个角速度分量，即
导航坐标系相对惯性空间的旋转角速度 ω$ 和机体坐标系相对惯性空间的旋转角速度 ω5 在
理论上应该相等，如果存在误差角速度巳
8ω革 =ω5-ωfE
(8.5.10)
等效于由载体运动引起的导航坐标系相对惯性空间的角速度分量，由转换矩阵 cf 不准确和陀
螺输人信号中的随机噪声引起。用这个误差角速度去修正转换矩阵 cf( 估计 γ 角) ，以使得 ω§
与 ω2 平衡，直到伽革趋于零，从而确定转换矩阵 cf。并由此计算出稳态姿态误差角，作为导
航计算的初始条件。
综合上述，捷联惯导系统的精对准就是在拍革和 fE 的驱动下，通过最优估计的方法使转
换矩阵 cf 不断修正。因此，捷联式惯性导航系统是通过计算姿态转换矩阵的初始值作为初始
对准的。尽管在形式上与平台式惯导系统初始对准不同，但是由于捷联惯导系统有和平台式惯
导系统相同的误差方程式，因此，从动力学角度来看还是一致的。
思考题
1.简述惯导系统初始对准的基本原理。
2. 静基座惯导系统初始对准的误差方程式是什么?
3. 常值陀螺漂移和加速度计误差对对准精度的影响?
4. 什么是陀螺罗经效应?
5. 在初始对准中如何实现陀螺测漂?
6. 捷联惯导系统如何实现粗对准?
7. 捷联惯导系统如何实现精对准?
194
l
第九章 组合式惯性导航系统
9.1
|
概述
从惯性导航的工作原理和误差分析可以看出，惯导系统的自主性很强，可以连续地提供包
括姿态基准在内的全部导航与制导参数，并且具有非常好的短期精度和稳定性。但是，在长时
间的连续工作中，纯惯性导航系统的误差将随时间而积累。要解决这些问题，就需要高质量的
惯性元件，尤其是陀螺仪。然而要研制高精度的惯性元件，必须花费相当大的经济代价。
在实际应用中有多种原理的其它导航系统，它们具有不同的特点，如多普勒系统，系统的
误差和工作时间长短无关，但保密性不好;天文导航系统，位置精度高，但受观测星体可见度的
影响 ;JI星导航的精度高，容易做到全球、全天候导航，但它需要一套复杂的定位设备，当载体
做机动飞行时，导航性能下降，尤其重要的是，卫星导航在战时将受到导航星发射国家的制约。
于是，人们设想把具有不同特点的导航系统组合在一起，取长补短，用以提高导航系统的精度。
从导航技术的发展来看，最初考虑的是以惯性导航为主的组合导航系统，它的工作方式有
两种。一是重调方式，在惯性导航工作过程中，利用其它装置得到的比较准确的位置量测信息
对惯性导航位置进行校正。这是→种利用回路之外的导航信息来校正的工作方式，因此，回路
的响应特性没有任何变化。二是阻尼方式，采用惯性导航与多普勒雷达(或天文导航)组合，利
用惯性导航与多普勒雷达提供的速度(或位置信息)形成速度(或位置)差，使用这个速度差通
过反馈去修正惯性导航系统，使导航误差减小。这种阻尼方式的组合导航系统，在载体做机动
运动的情况下，阻尼的效果并不理想。自 20 世纪 60 年代现代控制理论出现以后，人们开始研
究一种新的组合式导航系统，它是由各类传感器、滤波器、控制器和导航计算机组成，其中根据
卡尔曼滤波方法设计的滤波器是这一系统的关键部件，通过滤波器把各种单独的导航系统组
合在一起，形成一种组合式导航系统。它把各类传感器提供的各种导航信息提供给滤波器，应
用卡尔曼滤波方法进行信息处理，得出惯性导航系统的误差最优估计值，再由控制器对惯性导
航系统进行校正，使得系统误差最小。为了与一般的重调方式或阻尼方式的组合导航系统相
区别，通常称利用卡尔曼滤波器的组合导航系统为最优组合导航系统。本章讲述阻尼组合导
航系统和最优组合导航系统的基本原理。
195
o
9.2
惯导系统的阻尼
一、引入阻恒的意义
通过第六章对惯导系统的分析，我们可以看出，由于加速度计的常值零位误差和陀螺的常
值漂移角速度，都可以产生平台误差角，从而使整个导航系统出现定位误差，见式 (6.3.32) 和
式 (6.3.33) 。此外，由于平台初始安装误差角及初始速度的装订误差也可以引起系统的定位
误差，见式 (6.3.3 1)和式 (6.3.34) 。这些误差都具有振荡特性，均以 84 .4 min 的周期振荡。因
此，当导航系统的使用时间接近或跑过半个舒拉周期以上时，便要设法将上述元阻尼振蔼现象
加以衰减，使其达到稳定状态，才能比较精确地进行定位与导航。
第六章分析了陀螺常值漂移角速度对惯导系统的影响，在测试的精度范围内，陀螺常值漂
移角速度或其它可预测的陀螺漂移角速度，可以得到有效的补偿。作为漂移角速度中的随机
分量，最简单的可以用自噪声来表示，它们成为惯导系统的输入信号，这种随机分量对无阻尼
振荡系统的影响是积累的，所产生的误差振荡振幅会随着时间而增大。
前几章讨论的舒拉回路是一个线性振荡器，它的传递函数相当于
H(s)=fz:
(9.2. 1)
线性振荡器的输入和输出之间的关系，就相当于前面分析的陀螺漂移和惯性导航系统误差之
间的关系。
假如对上述系统的输入是一个白噪声的随机分量，设其频谱密度为
s( ω)
=1
(9.2.2)
则系统输出的均方值，是随着时间而增加的，是无界的，即陀螺随机漂移所产生的误差是秧累
的。
从消除陀螺随机漂移分量对惯导系统输出影响的角度出发，系统的传递函数必须是具有
阻尼的线性振荡器，其传递函数应为
H(s) = 型
ωs?
旷 + 2~.s + ω:
(9.2.3)
当对这个阻尼线性振荡器输入一个白噪声的随机函数时，其输出的均方值趋于→个稳定值，稳
定值的大小和阻尼系数有关。
综上所述，为了使无阻尼惯导系统的误差振荡分量衰减下来，并且使由陀螺漂移随机分量
所产生的系统误差均方值得到减小，而不再产生积累误差，因此，对系统必须加以阻尼，根据引
人阻尼的方式不同，可以分为引人内阻尼和外阻尼两种方式。
196
第九章
组合式惯性导航系统
9
二、内阻尼的引入
以北向水平回路为例加以说明。
通过改变系统的结构形式而使系统具有阻尼的特性，则称其为引人内阻尼。如在舒拉回路
中加上串联的水平阻尼网络 GN ( S) ， 这时的信息流程图如图 9.1 所示。
VN(S)
α (s)
圄 9.1
单通道水平阻尼倍息流程固
在图 9.1 中，其环路增益为
L
1""-
-dGn(s)
7
(9.2 .4)
s
因而信息流程图的特征式为
川;GN ( S)
1 r ry
A =1+ 」?一=言 [S2 +
w;GN(s)]
(9.2.5)
此时单通道系统的特征方程式为
.1
= s2 + ω ;GN(s) = 0
(9.2.6)
如果我们选取阻尼网络 GN ( s) 的适当形式，使上面的特征方程式是一个齐次方程式，并且使系
数满足稳定条件，那么，这个单通道系统便由原来的振荡系统变成一个稳定的系统，即对系统
加上了阻尼。
下面讨论在系统具有阻尼后，各种输人量对水平倾角 α 的影响。
在图 9.1 中， ωE(S) 为地理坐标系相对惯性空间旋转角速度的东向分量的拉氏变换式，即
ωE(S) = 一如 (S)
(9.2.7)
从图可得
,(s)
1= ~r 7
- R[ S2
GN(s)
川
VN(S)
+ ω;GN(S)]FN
GN(S)
2(S) -= R[
~r ?川?~ / ，" ~AN(S)
S2 + ω;GN(s)] 川
(9.2.8)
(9.2.9)
197
o
=,
~~ / , êE(S)
S2 +ω ;GN(S 、 ι
(9.2.10)
4(s)=qfαo(
S)
S2 +ω;G ( S)υ
(9.2.11)
3(S)
N
从式 (9.2.8) 我们还可以得到速度对倾角误差 α 的影响，即
s[1 - GN ( s)]
中 )=R[s2+ω丸 (S")]VN(S)
(9.2 ω
由以上各式可见，当阻尼网络传递函数 GN ( s) = 1 时，式 (9.2.8) 及式 (9.2.12) 均为零，表明加
速度及速度对平台的水平倾角误差 α 无影响，此时即为无阻尼时的情况。但其它各项输人都将
对 α 产生振荡误差分量，周期为 84 .4 mÎn o
当 GN ( S) 不为 1 时，即选择了一个阻尼网络，使此单通道回路具有了阻尼，则由 ßAN 、 εE 及
α 。输人信号产生的水平倾角误差将逐渐阻尼下来，具有了阻尼特性。但是，在加人阻尼之后，
由于 [1 - GN( S)] 不为零，破坏了加速度对系统的无干扰条件，因而加速度将对 α 产生误差分
量。由式 (9.2.8) 可知，当加速度越大时，所产生的动态误差也越大，而且这种误差必须经过几
个振荡周期(约一两个小时)之后才逐渐衰减下来。可以看出内阻尼方式对加速度大的运动物
体来说是不适用的，而对运动较慢的舰船来说，阻尼所引人的误差还不至于十分严重。因此，对
于内阻尼网络的选择原则是，加人阻尼网络后，使系统既具有阻尼作用，又使马 (s) 尽可能接
近于 1 ，这样可使运动体的机动运动对系统的影响减至最小。
9.3
阻尼式组合导航系统
一、利用多普勒效应测量地速的原理
早在 1942 年物理学家多普勒发现运动物体上发射的声波频率 11 与反射波频率元间，在运
动速度 V 不为零的条件下，其频率差 β 将有如下关系，即
2Vp
2V
h=β-fl=zfl= 瓦
式中
c一一声速;
(9.3. 1)
/
λm一一声波的波长。
V
发射波 λ
上述现象称为多普勒效应，图 9.2 给出运动
描述。
从式 (9.3. 1)可见，当 V
手乡TT: 反射波马
= û 时，发射波和反
射波的频率 11 = 元。当 V>Û 时，即运动体向反射
图 9.2
多普勒效应原理图
体方向运动时，反射波的频率元大于发射波的频率元，其频率差 β 如式 (9.3. 1)所示。频率差
198
导航系统
o
h 称为多普勒频率，多普勒频率的高低与声波的波长 λm 成反比，与地速 V 成正比。在波长 Àm
为常量时，可以测出多普勒频率元，等效于测出运动体的地速 V。
当运动物体(如飞机)的速度 V 较大时，可以用无线电波代替声波，并且将电波与水平面
倾斜某一角度。后，可以利用地面的反射波测定地速，称其为多普勒雷达。
图 9.3 示出飞机上发射超短波与水平面成。角时，测定地速的情况。由于地形的高低不
同，多普勒频率元在地速为常值时并不是一个常量，而是由不同的频率组成的频谱所形成的
窄带频率。图 9 .4示出多普勒频谱曲线的形状，实际应用中，由多普勒效应所形成的电讯号需
先通过滤波器，转化为平滑电压后才输人至导航系统的控制线路内。
振幅
对地速度 Y
\'\,../
\
H
高度
θ
\
\
\、
反射波\、\
发射波
、\
O
\
圈 9.3
~
用地面反射波测地速
多普勒频率f
图 9 .4多普勒频谱
在图 9.3 中，设 V 为地速的水平分量， 8 为天线发射方向与水平面间的角度，则多普勒频率
为
uv-m
怠。
eo
Aσ
u
-
?宝、A
PSS
JS
,
(9.3.2)
地速则为
V
= (古训
(9.3.3)
如果地上反射体与飞机在地面上的航向投影成角度 α 的话，则多普勒频率为
A=ZC叫ω
(9.3 .4)
地速则为
V =
(2cos ~:os )fd
a
(9.3.5)
为了提高测速精度，飞行器可以同时向飞行的左前方和右前方发射无线电波，再对其接受
的信号进行处理。
199
Q
二、天文导航原理
天文导航(星光导航)是这样一种导航方法，它借助于飞行器本身所携带的天文仪器-一
星体跟踪器对星体进行观测，确定自己在航迹每一点的地理坐标，从而发现飞行偏差，并以此
控制飞行器，使其返回预定的航迹。
图 9.5 给出双星导航示意图，飞行器在点 C ，采用星体跟踪器跟踪星体内和测量高度角
h) ( 点
C 所在地平面与星体 σ1 的夹角) ，根据观测时的时间和 h l>依据星体运动规律，可以算出
σ1 与地心点 O 之连线与地球表面的交点 M) 。以 M) 为圆心，以角 Z)
= 90" -
h) 所对应的地球
表面距离为半径画一圆，那么观测时刻飞行器的位置必定在这个圆上，这个圆称为等高圆。如
果同时观测另一个星体内，就可以得到第二个等高圆与其对应的圆心 M2' 并可得到两圆交点
C' 和 C' 0 观测点的瞬时地理位置必居其一，有一个是虚假的，如果两个星体 σ1 、 σ2 选择得好，则
c'和 C' 可以相距较远，可很容易判断出位置。如选用三星导航方案，则三个圆交点就是测点位
置。
图 9.5
天文定位原理
天文导航系统包括三个组成部分，陀螺稳定平台、星体眼踪器(望远镜及跟踪控制系统)
和计算机。在工作中，根据估计的飞行器所在位置，选择能观测到的星体，以稳定平台为基准，
由计算机算出望远镜应有的方位角和高度角，控制望远镜眼踪星体。如果星体正好落在望远镜
视场的中心，则证明原先估计的导航位置信息是正确的，否则应该将实测的星体方位角和高度
角送人计算机，重新计算导航定位信号。上述的圆矶和圆 M2' 实际上是用球面三角学表示的
一组方程式，其已知参数为高度角、观测时间，而未知参数为经、纬度。求圆矶和圆 M2 交点，
就是联立求解两个球面三角方程式的解。
早期的星体跟踪器(如六分仪)视场角很小，约为 6' ，动态特性不好，天文导航定位误差小
于 1 n mile 。目前，采用大规模集成的电荷祸合器件 (CCD) 作为辐射光的探测器，使星体眼踪器
2∞
Q
的视场角、灵敏度、稳定性和可靠性等技术指标有极大地提升。在星体敏感器的视场为 120 时，
其精度可以小于 1"。电荷注人器件 (CID) 是新一代的辐射光的探测器，使星体眼踪器的性能进
一步改进。
天文-惯性导航系统的组合有两重意义，一是用陀螺稳定平台去稳定星体眼踪器以提高
观测精度和增加抗干扰性，二是用天文导航的位置数据实现对惯导系统的阻尼。
星体眼踪器也可以选用捷联工作方式，不用陀螺稳定平台，此时对星体眼踪器的视场和灵
敏度会有更高的技术要求。
三、卫星导航系统工作原理
卫星导航系统是以人造卫星作为导航台的星基无线电导航系统的一个总称。 GPS 是美国
开发的新一代卫星阜航定位系统，也称全球定位系统。 GLONASS 卫星导航系统是由前苏联开
发，现在白俄罗斯主管的卫星导航系统。 GPS 系统设计了两个伪随机码，即 P 码(精测码)和
C/A 码(粗测码 )oP 码接收机的水平定位精度为 10 m(50%) ，美国政府对 C/A 码的发射采取了
SA(选择可用性)措施，其标准定位精度下降为:水平定位精度 1∞ m(95%) ，垂直 156
m(959毛) ，授时精度 340 ns(2σ) ，测速 0.3 m/s(2σ)oGLONASS 系统采用军用和民用两种码，对
民用码不采用 SA 政策，其定位精度可达 40m。为了克服美国政府采用的 SA 政策，各国用户开
发了差分 GPS(DGPS) ，局域 DGPS 增强系统和广域 DGPS 等系统技术，用以改善 GPS 系统 C/A
码的定位精度。
GPS 系统主要由导航E星、地面站及用户设备组成。
GPS 系统由运行周期近 12 个小时的 24 个工作星和一定量的备份星组成，工作星分布于 6
条却 α)() km 高度的近圆轨道上，可以确保地球上的任何一个地方都可同时观测到 6 - 11 个卫
星。布置在轨道上的备用星，可随时进人工作状态。因此可以说， GPS 卫星导航系统全球覆盖，
可以全天候工作，定位精度高，用途广。
地面站由一个主控站和若干监视站组成，这些监视站与美国空军的卫星控制网相配合，担
负卫星遥测的测控，对导航E星进行眼踪，并为卫星提供更新的导航信息。而主控站则每天 3
次向所有 GPS 星上注人新的导航信息，确保卫星的导航数据和时钟信息的精确性。用户设备部
分，是所有用户设备及其辅助设备的总称，是由带有天线、接收机、信号处理和数据处理能力的
设备组成。
图 9.6 给出 GPS 系统组成示意图。
GPS 系统完成用户定位的基本原理如下:用户通过比较接收到的卫星时钟信号和本地时
钟信号，测出传播延时后便能确定卫星的距离，由于存在误差项，把这次确定的距离称为"伪距
离"可以给出
Di
式中
= d i + C t,. tAi
+ c (t,. t u
-
t,. t s;)
(9.3.6)
Di --用户到第 i 颗卫星的伪距离 ， i=I ， 2 ， 3 ， 4;
201
Q
~吁G
\\、
/
四G
.....-////一一一一一一一一
-工》咽坠气3
卫星
二三T 一一
D. D.
地球
CJ
M
主控站
卫星控制网
图 9.6
监视站
GPS 系统组成示意图
d i 一一用户到第 i 颗卫星的真实距离 ， i
= 1 , 2 , 3 , 4;
c一一光速;
ðtAi一一第 i 颗卫星信号传播延迟时间;
ðt u 一一-用户时钟偏差:
ðt.i一一第 i 颗卫星时钟偏差。
设用户和第 i 个卫星相对惯性空间的坐标分别为 X 、 Y 、 Z 及 Xsi 、马、 Zsi' 则用户到第 i 颗卫
星的距离 d i 可表示为
= •.fCX.i - X)2 + (Ysi
di
将式 (9.3.7) 代人式 (9.3.6) ，并分别取 i 为 1
D1
= ..; (Xs1
D2
= ..; (Xs2 = J(Xs3 = ..; (X. 4 -
D3
D4
- X)2 + (瓦 1
- y)2 + (Z，且 _ Z)2
(9.3.7)
- 4 ，则得一组方程式为
-
y)2 + (Zsl - Z) 2 + cðtAl + c( ðt u
X)2 + (瓦2
-
y)2 + (Zs2 - Z)2 + cðtA2 + c(ðtu - ðtJ2)
X)2 + (瓦3
-
y)2 + (Zs3 - Z) 2 + CðtA3 + c(ðt u
-
ðts3)
X)2 + (瓦4
-
y)2 + (Zs4 - Z)2 + cðtA4 + c(ðt u
-
ðts4)
-
ðt ,,)
(9.3.8)
这是用户同时接收 4 个卫星信号所得的一组方程式，式中 X 、 y~Z ~ðtu 为待求的未知量，而
Xsi 、 Ysi' Z.i 及 ðtAi 、 ðtsi 可以通过接收的卫星信号计算出来。这样，通过联立求解方程式
(9.3.8) ，就可以确定用户三维坐标 X 、 Y 、 Z 及用户时钟偏差 ðt u 。
四、地形辅助导航系统
利用地形特征对导弹进行导航也是一种非常好的自主式导航方法，特别是对于有军事背
景应用的导航系统，其优越性更为突出。地形辅助导航系统基本上是一种低飞行高度工作的系
202
第九章组合式惯叫系统
Q
统，离地高度超过 3∞ m 时其精度就会明显地降低，而到了 8∞- 15∞ m 的高度则无法使用。
它可以提供飞行器的精确的水平位置、高度信息、飞行器的前方和下方的地形信息以及视距外
的信息。一种组合的地形参考导航系统，用于远程攻击目标的武器时其定位精度可达几米
(CEP) 。
按工作原理，地形辅助导航系统一般可以分两类:一是利用地形高度数据的地形匹配系
统;二是景象匹配地形辅助导航系统。地形高度数据的地形匹配导航系统主要有以地形标高剖
面图为基础和以数字地图导出的地形斜率为基础的两类，他们都以地形高度数据进行导航定
位。景象匹配地形辅助导航系统，通过一个数字景象匹配区域相关器将载体飞越区域的景象与
预存在计算机中有关地区的数字景象进行匹配，可以获得很高的导航精度，该系统主要用于末
端制导。这两类系统的组成基本相同，包括地形匹配系统、惯性导航系统、数字地图存储转置和
数据处理装置四部分。
图 9.7 给出一种地形高度匹配辅助导航系统组成结构示意图。通常称为地形轮廓匹配导
航系统，其工作原理又可以用图 9.8 进一步说明。依据在地球陆地表面上任何地点的地理坐
标，都可以根据其周围的等高线地图或地貌来单值地确定。飞行器飞越某块已数字化了的地形
时，弹载无线电高度表测得飞行器离地面的相对高度儿，同时气压式高度表与惯导系统综合
测得飞行器的绝对高度 h ， 两者之差可以得到飞行器所在区域相对海平面的海拔高度儿。当飞
行器飞行一段时间后，即可测得飞行航线下飞行航迹地面的→组航程高度数字列。将测得的飞
行轮廓数据与预先存储的数字地图进行相关分析，具有相关峰值的点即被确定为飞行器的估
计位置。在相关处理之前，由惯性导航系统提供其确定的航迹区域的数字地图，该数字地图应
能包括飞行器可能出现的位置序列，以保证相关分析得以进行。可以看出，相关处理的作用是
在计算机的存储信息中确定出一条路径，这条路径平行于导航系统给出的航线并最接近于高
度表实测的航迹。
ζ三三Y
、J
、、J
、---
hr
\J
惯导系统
图 9.7
地形轮廓匹配导航系统
图 9.8
h. 与 h 、 h r 关系示意图
203
Q
对于景像匹配地形辅助导航系统，其景象匹配是地面二维图像的相关问题。其信息的获
得是由弹载摄像设备或合成孔径雷达提供，在计算机中与巳存储的标准图像进行位置匹配，给
出很高的位置精度。
数字地图、存储技术、多模型卡尔曼滤波技术、相关技术等是地形辅助导航系统关键技术。
在巡航导弹、飞机、潜艇上都有突出的应用表现。
五、多普勒速度阻尼
本小节介绍外阻尼方式中的一种形式一一外部速度阻尼方案。实际上这是从多普勒系统
获得速度信息 J 作为标准的信息与惯导系统内计算得到的速度信息相比较，以其差值对系统实
现阻尼。这种方法的主要优点是系统的动态精度可得到保证，即运动体的加速度不引起新的误
差。
引人外部速度信息，单通道系统的信息流程图如图 9.9 所示。这时外部速度信息 VrE 通过
阻尼网络 [1
- GE( S)] 加到系统中。在图 9.9 中，外部速度的连接方式也可采用图 9.10 的形式，
实际上两种连接方式是一致的。图中的外部速度信息 h 等于真实速度 VE 加上外部速度误差
δVrE 之和，图中的 δVEO 为初始速度误差。
VE(S)
β (s)
固 9.9
单通道外部速度阻尼倍息流程圈之一
这里以单通道系统来说明外部速度阻尼的问题。
首先看加速度 b 对平台水平倾角误差 β 的影响。由图 9.9 可见，当没有外部速度信息时，
由 VE(S) 至 β (S) 有两条信息通道。而这两条信息通道的前向流程增益之和为
GE ( 叶，
P= 止了-一丁= .: 2 [ GE ( S) 仄S~
Rs~
Rs~
1]
上式中的 GE(s) 即为内阻尼网络，可见，如果不加内阻尼网络时 ，
204
GE( s)
(9.3.9)
=:
1 ，亦即在无阻尼时
丸 组合式惯性耕系统
åAE(S)
VEQ(S)
ω'N(S)
o
EN(S)
β (S)
圈 9.10
单通道外速度阻尼倍患流程图之二
两条信息通道是互相抵消的，加速度对系统无干扰。当加上内阻尼网络后，上式不为零，此处破
坏了舒拉调整条件，因而加速度对系统要产生干扰误差。在此情况下，如果我们再引人外部速
度信息，亦即增加了一条信息通道，假若我们能够适当选择其阻尼网络，使其与前面两条信息
通道得以相互抵消，那么，亦可避免加速度对系统的干扰。这也就是引人外速度阻尼的目的，以
起到补偿的作用。
下面再具体看一下引人外部速度信息以后所解决的问题以及产生的新问题。当不加人外
部速度信息时，由图 9.9 可得
卢(S)
=
[ GE ( S)
1] 主
-
[GE(s)-1]4
_2. ..2r I_;'VE(S) + _2. ..2r 1_\"sVEO(s)
s+ ωiGE(s)+s2+ω;GE ( S) '" EO
(9.3.10)
上式即是在内阻尼情况下，加速度及速度对角 β 的影响，可参看式 (9.2.8) 及式 (9.2.12) 。其余
各项输入，无论是内阻尼还是外阻尼的状态，对卢产生的误差都是一样的，即振荡误差项被阻
尼，从而振荡周期缩短了。但由于陀螺漂移等原因所引起的主要误差项仍保持不变。这是可以
预料的，因为外部信息在这方案中没有被用来校准这些仪表误差，这与下节将要介绍的最优组
合导航系统正好相反。
引人外部速度信息以后，加速度、速度对平台倾角卢的影响，将变为如下的形式(参见图
9.9) , ep
β(s) = .2... ，..~r.:~(.) {[ GE(S)
-
1]去+
」一 {[GE(S) - 叶+
[1 -
GE(S)] 去 }VE(S) +
[1 - GE( s)]
去 }sVEO ( S)
+
[1 - GE(s) ]士
室主
:'sðVrE(s)
S2 + ω;GE(S)
(9.3.11)
205
Q
因而可得
[1 - GE ( S) ]七
P(S) = 泸 +ω~GE( S)< ð'VrE ( s)
(9.3ω
可见，当引人外部速度信息以后，由加速度及速度对系统所产生的误差得到了补偿。即系统在
经过舒拉调谐之后所得到的动态精度没有被破坏，因而解决了加内阻尼以后产生的问题，但
是，这要求外部速度信息很精确。实际上外部速度是有误差 ð'VrE 的，这又将产生如式 (9.3.12)
所示的新速度误差，然而与内阻尼时的式 (9.3.10) 比较，外速度误差 ð'VrE 总比速度 VE 小很多，
因而与其对应的误差也要小很多，采用外阻尼方式还是有利的。
六、外部位置倍息阻尼方案
利用天文导航系统得来的外部位置信息实现对惯导系统阻尼的一种原理方案，如图 9.11
所示。图中科为外部位置信息，可与惯性导航系统纬度信息 qJc 相比较，以其差值信息通过 Kt 、
ι 和品环节输人到系统中去。将图 9.11 改画成误差信息流程图 9.12 ，其中钟，为外部位置信
息误差。
圈 9.11
单遭遇外位置恼息姐尼方块圈
由信息流程图可得特征式为
1 r ~ K, ~ ，~ KI ,
~1
=三 ls3+RS+(d+7t)s+kdl
(9.3.13)
故其特征方程式为
~' =
S3
+ 专S2 + (ωhE)s+kd=0
(9.3.14)
由上式可见，系统变成三阶系统，可通过适当选择参数 Kt 、 K2 和 K3' 使原来为无阻尼的惯
导系统转变为有阻尼的惯导系统。可见要使系统有阻尼，除可以引人速度信息(系统内部的或
2侃
δ ~r(S)
?
ι!
帽 9.12
(s)
外位置铺息阻尼铺号施程回
者外部的)进行阻尼而外，还可以用外部位置信息进行阻尼。此外，还可通过适当地选择参数
以改变自振周期以得到所需要的动态特性。
由图 9.12 可得系统的定位误差部'C( s) 和平台水平倾角误差 α (s) 为
部c< s) = 去{主aAN(s) + 会VNO(s) + ω如(s) + ω如(s)
+
l
-s+
lsr(s)}J
[ι2
+ 」S+Ld
~S + K3W~]Ò9'r(S)
R~
R~
.a.，j ~IJ"'Tr'''''''
(9.3.15)
r
s + K3.. / ,
S(s + 旦、
(s) = 刮 -JFAAN(s)- 一丁一句VNO(S) +
[ S2 +
~S + ~l] EE( S)
+ [ S2
+ 号S + 号 l 缸。(S)
[(专 -ι)S + 专 ]SÕPr(S)}
(9.3.16)
系统稳定后，从以上两式可得系统的稳态误差为
8如=主 εE+ 伴~
(9.3.17)
句=坐~
g
(9.3.18)
以上两式是假设各输入量为常值时的稳态误差。可见，在增加了附加的修正环节和外位置
信息之后，在定位误差中，消除了初始速度误差，而陀螺的常值漂移只产生常值定位误差。在平
台水平倾角误差中，也只有加速度计误差产生水平倾角误差，其它各项输入量产生的误差得到
消除。因此，这样的组合，可以提高定位精度和平台的姿态精度。
207
Q
最优组合导航系统
9.4
一、卡尔曼谴波器
卡尔曼滤波器是一种实时的算法，用于估计在随机噪声干扰下线性系统的状态变量，在最
优组合导航系统中是一项核心技术。对其简要介绍如下。
被估值系统的离散状态方程式为
= AXK + BUK +
= HXK + VK
XK+1
ZK
式中
GWK
(9 .4.1)
XK一一系统的状态变量;
UK一一系统的控制变量;
WK一一系统的随机干扰输人;
ZK一一系统的测量值;
VK-~ 测量值的随机干扰变量。
状态转移阵均为已知，同时要求已知以下的验前统计量
Xo - N( Xo, Pxo }, WK - N(O , QK) ， 比 - N(O , RK)
并假定 lwKI 和 1 vKI 是高斯白噪声序列，它们之间以及和 Xo 之间均互不相关，并要求 RK > 0。
其滤波过程为:
给定初值
Po
= Pxo
主。=主。
时间修正(系统动力学的影响)
估值预测误差协方差
P K+1 = APKAT + GQ~T
(9 .4 .2)
验前估值
XK+1 =
A主K + BUK
(9 .4 .3)
测量修正(测量的影响)
估值误差协方差
PK+1 = (J - KK+1H)PK+1
(9 .4 .4)
KK+1 = PK+1HT(HPK+1HT + RK+1)-1
(9 .4. S)
KK+1 (ZK+1 - 威主+1)
(9 .4 .6)
卡尔曼增益
待求的估值
XK+1 = XK+1 +
2侃
Q
在编制软件时，式 (9.4.4) 应写成对称表达式，即
PK+1 = (I - KK+1H)PK+1 {I - KK+1H)T + KK+1RKL1
(9.4.7)
式 (9 .4.4)至式 (9 .4 .6) 三式，还可以用如下两式表示:
估值误差协方差
PK+1 = [(P K+1)-1 + HL1RK~IHK+1]
(9.4.8)
-1
待求的估值
主K+1
= X K+1 + PK+1HRK~I(ZK+1
-
HX K+1)
(9 .4 .9)
卡尔曼滤波器对状态变量的估值是实时递推进行的，其估值结果是最优的，设估值误差为
XK = XK
- 主K
(9.4.10)
则有估值误差的平均值为零，即
E[XKJ = 0
(9 .4 .11)
同时，使估值误差的方差副主2J 最小。由于状态变量是由和导航参数有关的变量组成，如
位置、速度、姿态角等变量，因此通过使用卡尔曼滤波器的计算，可以在有随机干扰噪声的条件
下对所需要的导航参数实现最优估计，构成最优导航的基本算法。
二、卡尔曼滤波器在惯性导航中的应用
载体
根据卡尔曼滤波器所估计的状态变量不同，运动
一般可将卡尔曼滤波器在惯导中的应用分为直接
法和间接法。直接法估计导航参数本身，间接法估
计惯导系统输出的导航参数的误差量。图 9.13 和
圈 9.13
直接法滤波方块固
图 9.14 分别给出直接法和间接法滤波的示意方
块图，从图中可以明显看出，直接法的卡尔曼滤波器接受惯导系统测量的比力和其它导航系统
计算的某些导航参数，经过滤波给出有关导航参数的最优估值。间接法的卡尔曼滤波器，接收
的信号是由惯导系统和其它导航系统各自计算的某些导航参数之差，经过计算，给出有关误差
的最优估值。下面对间接法做进一步说明。
圈 9.14
闽接法滤波方块圈
卡尔曼滤波器在组合式导航系统中应用是根据导航误差各分量统计特性和动态特性的差
异，利用所建立的误差模型分离估算'惯性导航各个误差源，用得到的误差估算值去校正导航系
统的输出。在这种应用的情况下，滤波器估算的状态变量并不直接是经纬度等导航参数，而是
2ω
o
导航参数误差及某些可估计的测量元件误差。滤波器引用的状态模型是线性化的导航系统误
差方程和元件误差模型，而观测量(或测量值)则是'惯性导航测量结果与其它导航测量结果的
差值。
根据使用方法不同，间接法还可分为开环误差补偿(输出校正)和闭环误差控制(反馈校
正)两种形式，图 9.15 是当前组合导航系统的典型方块图。惯导系统的输出是真实值加上惯导
系统的误差，辅助系统输出是真实值加测量误差，把这两种输出作为观测值(.ó =惯性误差一
测量误差) ，显然观测量包含惯导误差信息。卡尔曼滤波器功能就在于处理这个数据，以便得出
惯导系统误差的最优估计。图中把惯导系统作为主要参考系统，其它导航系统作为辅助系统。
图 9.15 中这两种工作方式，在误差模型线性假定下，结果是一样的，但工作方式是有区别的，
闭环结构根据卡尔曼滤波估算的误差，通过在惯导系统内给陀螺加矩或对加速度计的补偿，控
制惯导系统误差，因而误差始终保持在模型线性假定范围之内。但惯性元件工作状态不断改
变，可能导致偏离最好的工作区域。开环结构中，滤波结果直接与惯导系统输出相结合，补偿输
出误差，而不影响惯导系统工作状态，由于是开环，对滤波器模型误差较敏感，所以要求使用较
精确的模型。
惯导系统
辅助系统
(a) 开环误差补偿
反馈控制
导航参数最优估计
惯性误差最优估计
辅助系统
真值+测量误差
(b) 闭环误差控制
图 9.15
间接法工作原理图
开环系统的状态方程、量测方程及状态估计方程分别为
主 (t)
= F(t)X(t)
Z(t)
=
+ G(t)W(t)
H(t)X(t) + V(t)
主 = F(t) 主 (t) + K(t)[Z(t) - H(t) 主 (t)]
210
(9 .4 .12)
(9 .4 .13)
第九章组叫时系统
o
最优估计误差为
e(t)
= X {t)
- X(t)
(9 .4 .14)
e(t)
= x{t)
-
x{t)
(9.4.15)
- K {t )H(t)]e {t) + G(t)W(t) - K(t)V(t)
(9 .4 .16)
并有
于是
e(t)
= [F (t)
式 (9 .4 .16) 表明了动态系统串接卡尔曼滤波器所构成的开环系统最优估计误差 e {t) 的
动态特性，为得出最优估计误差，应使主去补偿 X ， 即输出校正的含义。
当构成闭环系统时，如果将卡尔曼滤波器对惯性导航系统的反馈控制信号取为
U(t) = - K(t)Z(t)
(9.4.17)
那么，闭环系统的动态方程就变为
= F(t)X(t)
X {t)
+ G(t)W(t) - U(t)
(9 .4 .18)
经过变换，可得
X(t)
= [F {t)
- K {t )H(t)]X(t) + G(t)W(t) - K(t)V(t)
(9 .4 .19)
将式 (9.4.19) 与式 (9.4.16) 比较，可以看出，用 X 表征的闭环系统的动态特性与用 e 表征的开
环系统的最优估计误差的动态特性是完全一致的。因此，加人反馈信号(式 (9.4.17) )以后，能
使惯性导航系统处理导航参数 N 的误差等于最优估计误差。这时，闭环系统的状态向量 X ， 实
际上相当于开环系统的最优估计误差向量 e 。
三、最优组合导航系统简介
1.惯性-多普勒最优组合导航系统
惯性-多普勒最优组合导航系统是以惯性导航系统为主，以多普勒雷达测速系统作为惯
性导航系统的辅助测量手段，为惯性导航系统连续地提供载体的速度信息，采用卡尔曼滤波方
法处理信息。
首先，建立系统的状态方程和测量方程，参看第六章式 (6.4.5) 、 (6 .4 .11) 、 (6 .4 .14) ，并设
V~
=0
V~
=0
取半解析式惯性导航系统的水平速度误差、位置误差、姿态误差以及陀螺随机漂移角速度作为
状态变量，即
X
= [δVE ， ò'VN , ò'cp , ò'À ， α ， β ， y ， EE ， εiE?]T
(9.4.20)
可得系统的误差方程为
X(t)
= F(t)X(t)
+ W {t)
(9 .4 .2 1)
其中
211
第九章组合式惯阳系统
FA~伯 =Etanψsec
= v,
F~~52
o
伊
-= 1R
F.V
56=ωe S1nψ+Etm 伊
F57
= - (ω 伊+专)
F61
Fω=
F65 = -
=去
wesin cp
(ωe sin 伊 +EMd
F67 = 阜
D
F71
=主tan
cp
VE
?
Fη=ωeCOS 伊 +Ese叼
VE
P75 = 否 +ωeCOS 伊
F~~76
N
=
= V
R
一
这里，陀螺的随机漂移角速度采用表达式
♂ (t)= 古R( t) + 码17乙 .
q( t)
E!q(t)q (t + τ) f =δ (t-r)
E!
ê
R
(
t) εR (t
+ r)
f
(9 .4 .22)
=σ;e-号
加速度计的误差假设为高斯白噪声，于是，有系统输入噪声阵
W(t)
= [ßAE ， ßAN ， O ， O ， O ， O ， O ， 缸 ， qN ， q~F
(9 .4 .23)
是自噪声阵，其均值为零，加速度计的方差由先验知识给定。 qE 、 qN 、 q~ 的方差按式 (9 .4 .22) 推
导应该为单位 1 ，但鉴于状态方程 (9 .4 .21)中 G
=
1 的写法，式 (9 .4 .23) 中 q 的方差应为
hV 几形式，协方差阵可表示为
E[W(t)WT(t)]
= Q' (t )ð(t-
τ)
(9.4.24)
为了便于计算机计算，将方程式 (9 .4 .2 1)离散化，得离散形式的状态方程式为
213
。
X K+1 = φ~+ l. KXK + WK
(9 .4 .25)
式中的状态转移阵如 +l.K 可近似地取为
φ~+l.K
=1+
(9 .4 .26)
FKT
离散化的动态噪声是均值为零的独立随机序列，它的协方差阵为
E[ wKwTJ = Q~Ki
(9 .4 .27)
式中的 QK 也可近似为
QK
= Q' (tK) T
(9 .4 .28)
在选择的设计方案中，考虑闭环控制，因此在状态方程中必须加进控制项 BK+l.K屿，并且设
BK 叶 .K = 如+l. K ， 最终建立的离散形状态方程式为
XK+1 = φbl.K(XK + UK) + W K
(9 .4 .29)
系统量测方程的建立是基于如下思想:选择'惯性导航系统给出的导航信息与多普勒雷达
给出的量测信息之差作为外部量测量，可写出量测方程为
Zl = δ VE + V1
Z2
(9 .4 .30)
= ó' VN + V2
或写为
ZK = HXK + VK
(9 .4 .3 1)
式中
H
rl
= ILO
0 0 0 0 0 0 0 0 01
1 0 0 0 0 0 0 0 01
(9 .4 .32)
量测噪声 VK 是均值为零的独立随机序列，它的协方差阵为
E[ vKvTJ
= R~Ki
(9 .4 .33)
可由先验知识给出。
下面考虑卡尔曼滤波器的设计。
由状态方程 (9 .4 .29) 和量测方程 (9 .4 .3 1)建立的组合式导航系统的数学模型，是一个带
有白噪声的线性随机控制系统，对于这样的线性系统，卡尔曼滤波计算公式为
XK+1 = 主 K+l + KK+l (ZK+l - HK+1 X K+1 )
XK+l = <PK+l.K(XK + UK)
KK+l
= PK+IHLl(HK+lPK+lHLl
+ RK+l)-l
(9 .4 .34)
PK+1 = 如+l. KP~k+l.K + QK
PK+1
= (I
- KK+IHK+l)PK+l
滤波方程组将给出系统状态变量的最优估计值，在所考虑的组合导航系统中，由于系统的状态
变量都是误差量，控制的目的是要消除这些误差，因此，在 tk 时刻得到这些误差量的估计值之
214
第九章组叫性服统
。
后，可直接从系统中把它们消除掉，这是一种直接控制方式，其控制规律为
UK
= - XK
(9.4.35)
在这个控制作用下，系统误差量的预测值为零，即有 X K + 1 = 0 ，这可从式 (9.4.34) 看出，这时闭
环组合导航系统的卡尔曼滤披器的方程简化为
XK+ = KK+l ZK+l
1
KK+l = PK+IHLl(HK+lPK+lHLl + RK+1 )-1
P K+ 1
PK+1
也 +l.KPKl>L I. K + QK
= (I -
(9.4.36)
KK+IHK+l)PK+l
控制规律 (9 .4 .35) 和闭环组合导航系统的卡尔曼滤波器方程 (9 .4 .36) 就是我们所要设计的组
合导航系统的控制方案。
2. 卫星-惯性组合导航系统
上一小节讨论的是以连续的信息作为外部量测信息的最优组合导航系统，而有些组合方
式不能提供连续的信息，只能在离散点上给出量测信息，以卫星-惯性组合导航系统为例，来
说明卡尔曼滤波器在这类组合系统中是如何工作的。我们做如下两个假设:
①假设载体做缓慢运动，因而可以忽略载体运动的影响。
②假设惯导系统工作在水平阻尼工作状态，允许忽略平台水平姿态误差角的影响。
从第六章惯导系统误差传播特性可以看出，长时间连续工作的惯性导航系统的定位误差
主要是由未经补偿的陀螺漂移角速度造成的。由未经补偿的常值陀螺漂移角速度产生的纬度
误差和方位误差是等幅振荡的，经度误差是发散的。而由随机陀螺漂移角速度产生的纬度误
差、经度误差和方位误差都是发散的。由此看来，未经补偿的陀螺漂移角速度严重地影响着惯
性导航系统的定位精度。为了保证长时间连续工作的惯性导航系统具有足够的定位精度，提高
陀螺精度是主要的设计环节。采用卫星导航系统离散测量的位置信息去校正或补偿陀螺的漂
移角速度，以提高陀螺的使用精度。并假设陀螺漂移角速度由两部分组成，即一部分是均值为
零的一阶马尔可夫型的随机过程分量，一部分是随机偏置分量，可以用公式表示为
B(t)
=
t! (t) + é(t)
(9 .4 .37)
系统的状态方程取 ψ 方程，由第六章式 (6.2.19) 可以得
知 =ωe sin cpfN - ωeCOS cpf~ + ε~+
â
如 =ωesin WE +EbES
(9.4.38)
代 =ωeCOSWE+E?+EZ
式中
d(t) =
护(t)
Ë~( 1)
",t
= -
+
J 2a~EITgEqE( t)
ê~( 1) + J 2a;NIT/(NqN( 1)
~gN
(9 .4 .39)
215
Q
惯性技术
二~(t) = 古~(t) + 币~ç/ Tgçqç( t)
=0
二 C(t)
(9.4.40)
式中 qE( t) 、 qN(t) 、 qç( t) 均为方差为 1 的白噪声过程，在上一小节中，把式 (9 .4 .39) 右侧最后
一部分统称为一个白噪声过程，其自相关函数，可表示为 20"~/T~( τ) 形式。综合上述三组方程
式，得到惯导系统状态方程式
= F( t)X( t)
X (t)
+ G( t) W( t)
(9 .4.41)
式中
X = [白，如，如， EE ， EZ ，习， ES ， d， εgF
。
ωe sm
cp
1
。
O
O
o
o
o
0
1
。
。
。
1
O
O
。
O
。
。
。
O
O
O
。
o
。
。
O
。
O
。
。
000
O
。
。
O
。
。
000
000
ωe COS
cp
cp
nvounu
nvnvnu
1
几E
nvnunu
。
TgN
。
000
O
000
1
Tgç 0 0 0
(9 .4.43)
-'s
-//-F·s·-F"
O
。
。
-qb
-yh
,
(9 .4 .44)
-T
7g
-VSB
」
2g
一
一σ
。
白U
。
nununu
nununu
nunvnu
一/J
d石/TgN
W
0
『-EEEEEEEEEt-···tt
nUnUnU
nUnUnU
240
一
一σ
血
一?
冉y
nUnv
「
F
-F
.F
t.t'lll|'.l.ll··Illi--
G
-ωeCOS
。
-ωe sm
F=
cp
(9 .4 .42)
= [qE , qN' qç F
(9.4 .45)
= φK+l ， KXK + WK
(9 .4 .46)
方程 (9 .4.41)离散化，得
X K+1
这里的 φK+l.K 为对应 F 的状态转移阵，其计算式为
，也
'I'K+l.K
= e FT
离散噪声序列 WK 的计算式为
阶=
216
[eF1G(t)W(t)dt
(9 .4 .47)
组合式惯阳系统
Q
它的均值为零、协方差近似为
E[ WKWjJ
= GGTT = Qß，均
(9 .4.48)
方程式 (9 .4 .46) 是由一个白噪声激励的离散线性系统，是卫星-惯性组合导航系统的状态方
程式。
为了讨论方便，假设惯导系统工作在水平阻尼工作状态，允许忽略平台水平姿态误差角的
影响。据式 (6.2.21)和式 (6.2.22) ，有
δCP 二 ψE
O'À
=-
(9.4 .49)
CfXÞN
sec
考虑卫星导航系统测量值为离散值，且作和创为测量值和惯导系统计算值之差，再加上卫星
导航系统的测量误差，上两式变为
δ'CPK
=
<PEK
+ V1K
O'ÀK = - sec
(9 .4 .50)
+ V2K
CP,,<PNK
这里的 V1K 、 V2K 分别代表卫星导航系统测量误差，由于每次测量都是相互独立进行的，并且认
为卫星导航系统没有系统误差，根据先验知识，设 lv川、 1 V2K f 都是均值为零、方差分别为
AIJ弘的独立随机序列。设
马= [部:1
8λK
民= [~~:]
V
2K
- sec
CP
0
0
0
0
0
nu nu hu nu nu
唱········d
o
O
nunυ
= [~
nυ
H
将式 (9 .4 .50) 写成矢量形式
ZK
= HKXK +
VK
(9.4.5 1)
vKvjJ = RJ:ß，均
(9 .4 .52)
式中 1 vKI 是一个均值为零、协方差为
E[
的独立随机矢量序列，这里
RK=ldl。 σ弘Ol
式 (9 .4 .5 1)就是卫星-惯性组合导航系统的量测方程。
确定了状态方程和量测方程之后，就可以用卡尔曼滤波方法求状态矢量 XK 的估计值。卡
尔曼滤波计算式可写为
217
o
主K+1
KK+1
= [J - KK+1HK+1]φX+ 1. KXK + KK+1ZK+1
= PK+1Hk+1(HK+1PK+1HL1 + R K +1 )-1
P K+ 1
= φX+1 ， KPtÞk+1 ， K +
P K+ 1
= (I -
(9 .4 .53)
QK
KK+1HK+1)PK+1
由于平台漂移角和陀螺漂移角速度都可以直接补偿，因此在 K 时刻计算出主K 之后就可以
实现这种补偿。如果在 K 时刻利用 XK 对惯性导航系统进行了平台漂移角和陀螺漂移角速度补
偿之后，相当于滤波方程 (9.4.53) 的第一个方程式的初始条件变成了零，即 jt=0。那么，
K + 1 时刻的估计就可以简单了，这时，经过补偿后的闭环系统滤波方程变为
XK + 1
=
(9 .4 .54)
KK+1ZK+1
实际上，式 (9 .4 .53) 的后三个方程式与式 (9 .4 .54) 是最后给出的卫星-惯性组合导航系统的
计算方程式，它由导航计算机实时解算。
3. 信息融合理论在组合导航系统中的应用
卫星导航系统 (GPS) 和惯性导航系统的组合是一种非常完美的组合方式，但是，由于 GPS
系统的应用受卫星所有权国家的控制，因此，不同国家的用户，为了寻求使用上的安全性，在组
合导航系统的构成上，选用多种类导航系统的组合。由于使用多个传感器来测量同一个导航参
数，出现冗余信息，增加了组合导航系统的可靠性，故障诊断和识别也变成了组合导航系统应
该实现的一个很重要的研究内容。在滤波器的设计思想上，由集中滤波转向分散滤波。当所有
的导航参数都用一个状态方程描述时，其方程的阶次必然增加，因此采用高阶次的集中式滤波
器，在工程上实现实时性的要求就存在一定的困难。采用数据融合理论，设计分散式卡尔曼滤
波器就成为多传感器组合式导航系统的核心算法。
如一个以激光陀螺捷联'惯导系统为基本导航系统的多传感器组合导航系统，由 GPS 系统、
天文导航系统 (CNS) 、大气数据系统 (ADS) 、磁罗盘系统 (MS) 等组合，其分散式卡尔曼滤波器
的设计框图如图 9.16 所示。
各子滤波器状态方程和测量方程为
xi=FXz+Giwz
Z;
= H;X
+ V;
式中角标分别表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 和 s 子滤波器的通道数。如子滤波器 l 的状态方程则为
[:~~]
X GP
陀5
J
=
[
[F~N5 I1~J :5_~
酬剧盹511+ rI G s盹
L
0
FG陀
X G陀 J
L
0
删
m
5IN5
0111r 民
W叽剖钮
.IN盹
附N咱临s
IJ L WG陀』
测量方程为
ZGPS
= [H 1
r X"'l\T'"
H GPS ] I .. I
Vll.V
-
L1.
GPS-
子滤波器 2 则为捷联惯导系统和天文导航系统组成，给出该子系统的状态的最优估值 X2
218
时组合式惯阳系统
A
Xs
Q
ps
JtiR
儿
pz
I
I
主滤波器
(数据融合〉
P
r、
主一旦
Jt4
图 9.16
乓
分散式卡尔曼滤波器的设计框困
和估值误差的方差 P2 。
子滤波器 3 和 4. 则分别给出大气数据子系统和磁罗盘子系统对状态的最优估值 X3 和几，
以及与其对应的方差 P3 和 P4 。
在主滤波器中，各通道的信息将以一定的比例融合，信息的分配应满足信息守恒的原则，
即
三JA=l
i;d
式中
ßi- 第 i 个子滤波器的信息分配系数 • ßi 的确定和各子滤波器的估值误差的方差成
反比例。
由于是多传感器的信息融合，对于信息到达主滤波器的信息同步问题是分散滤波应解决
的另一个重要技术关键。
由于采用多传感器的信息融合，这类系统总是将系统的故障诊断和识别作为系统设计的
内容之-。
9.5
惯性导航系统误差的统计分析
一、圆概率误差 CEP
在讨论惯性导航系统的精度时，一般是采用统计学的方法来进行处理。对于一个系统绝对
219
Q
精度的预测，不仅要求知道每个误差系数的初始准确值，而且要准确知道在飞行中的误差源的
定量状态。在实际工程中，形成误差源的因数是不能确切知道的，其本身是-个随机变量，因此
系统设计者应该采用统计的方法去评定系统的精度。
其中，由惯性元件不完善而引起的误差统称为仪表误差，并可看做一个随机函数。惯性导
航系统的误差可以看做是由仪表误差激发系统误差方程而引起的，通常假定仪表误差是正态
分布的，则由惯导系统误差方程的线性性质可知系统误差也是正态分布的。可以认为惯导系统
的纵向回路和横向回路的误差分别决定了导弹的纵向误差和横向误差，这两项误差可以描述
导弹在地球表面的打击精度。在一个回路内，系统误差是由多个误差源产生的，并假定这些误
差源间是互不相关的。对于惯性导航系统来说，至少有 20 - 30 个误差源，根据中心极限定理，
可认为系统误差的概率分布是正态的分布，符合数学公式
向)
=
1
叫LJ; ~ p~[( 气叫 :(z-μGPy 的~ + (γr1)
(9.5. 1)
式中
Pxr --x 回路和 y 回路的相关系数 ， P"y = 今
σ"y
一协方差;
民一-x 回路的标准差;
σy一-y 回路的标准差;
μz一-x 方向的均值;
x - p"一-x 方向偏差;
μy一-y 方向的均值;
y- 的一-y 方向偏差。
在-个方向系统误差的概率分布可简化为
j(x) = τ仨 eJ/2σ2
(9.5.2)
飞12πσ4
上式假定偏置值 h 为零。上式的意义是制导误差 Z 在一个方向内落在 z 和 x + dx 之间的
概率。方差 σ2 和通道内各误差源方差之间的关系为
σ2
=
~G7
(9.5.3)
对二维的位置误差 Z 吁，在偏置为零的假定下，当两个回路位置误差无关时，误差分布概
率密度函数可进一步简化为
j(x , y)
= 兰-:-exp{ -斗|兰+纠!
y"
_........俨 Y
因此，打击点落人以 R 为半径的圆周内概率为
220
‘"‘
v
X
v
.J
(9.5 .4)
『…--.~…冒F
o
章组叫性导航系统
川)
=
f/(x ， 州dy
(9.5.5)
将式 (9.5 .4)代人上式，并改为极坐标，则有
p(R) =
2
r
r r 豆豆豆豆
豆豆豆 11
再再JoJ 。叫 -Eld+σ~ JJ时 rd8
rR r 2π
(9.5.6)
V
所谓圆概率误差 CEP( Th e Circle of Equal Probahility) 就是指使上述积分的概率等于 0.5 的 R
值。当民 =σy =σ 时，其圆概率误差 CEP 为
R(P = 0.5) =主= CEP =
1. 177
4σ(9.5.7)
在一般情况下，由于两个通道的方差不相等，式 (9.5.6) 计算起来很复杂，可用下式表示
为
川
μμ
R川) = 本材
f:ι叫l 吃扩泸2]i斗扣
μ半乍侃叫叶
exp
e
x叩p
(9.5.8)
式中
1.2
σz
P = Gy
10
=
2f:
ex
A
CEPI 马
p{ - [ ~叫。]}d8
1. 0~ CEP =O .589(o;，+巧)
~
= 血与fii
2ρ4σ?
图 9.17 给出式 (9.5.8) 的数值解。图中的虚线代表方程
0.8
的近似解，这个近似解由两条直线表示，均可用于工程。
第一条是
CEP = 0.589(σx + σy)
(9.5.9)
0.6
/
0.5
在 ρ= 0.2 - 1 之间，准确度小于 3% 。
CEP::0.615' o;， +0.562 巧
1. 0
0.8
0
P= o;， l 马
第二条是
CEP = 0.615 民+ 0.562σy
(9.5.10)
图 9.17
CEP 的三类曲线
式中 σy 要大于民，从图可见，在 ρ 的一定范围内，第二个近似要比较准确。
二、球概率误差 SEP
对于空中打击目标，可以用三维位置误差的概率 (SEP) 来描述，其近似表达式为
SEP = [σ手 (1 -v尸'9 )3JI12
(9.5.11)
σ号 =σZ+σL+σ3
V-2(σ生 +σ各 +σ飞)
σ丰
221
Q
式中
σr-一总的标准偏差;
σE一一东向标准偏差;
σN一一北向标准偏差;
σc一一天向标准偏差。
在有的情况下，用 RER 表示惯导系统的径向位置误差，其表达式为
RER
式中
= ,j (1) -
1>o)2R2 + (λ-λ 。 )2 R2cos2 1>。
冉一一初始纬度;
λ 。一一初始经度;
R一一地球半径。
思考题
1.惯导系统为什么要加阻尼?
2. 举例说明阻尼式组合导航系统有何特点。
3. 天文导航系统的基本工作原理。
4. 卫星导航系统的基本工作原理。
5. 地形辅助导航系统的基本工作原理。
6. 最优组合导航系统的特点是什么?
7. 什么是惯导系统的 CEP?
222
(9.5.12)
o
参 M考文献
1
陆元久.陀螺及惯'性导航原理.北京:科学出版社， 1964
2
秦永元，张洪锁，汪叔华.卡尔曼滤波与组合导航原理.西安:西北工业大学出版社， 1998
3
Kenneth R Britting. Inertial Navigation Systems Analysis. New York :1ohn Wiley
4
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