Vektoriu sandaugos
Skaliarine vektoriu
sandauga
Dvieju vektoriu ~a ir ~b skaliarine sandauga vadinamas skai£ius, lygus ²iu vektoriu moduliu ir
kosinuso kampo tarp ju sandaugai:
d
~a · ~b = |~a| · |~b| cos(~a, ~b).
Skaliarines vektoriu
sandaugos savybes
1.Vektoriu statmenumo s¡lyga. Dvieju
nenuliniu vektoriu skaliarine sandauga lygi nuliui
tada ir tik tada, kai dauginamieji vektoriai
yra statmeni vienas kitam.
2. Kai vektoriai ~a ir ~b yra kolinearus
~a · ~b = ±|~a| · |~b|.
3. ~a · ~a = |~a| · |~a| = |~a|2.
4. (α~a + β~b) · ~c = α(~a · ~c) + β(~b · ~c)
1
Dvieju, duotu koordinatemis, vektoriu ~a =
(ax, ay , az ) ir ~b = (bx, by , bz ), skaliarine sandauga skai£iuojama pagal formul¦
~a · ~b = axbx + ay by + az bz .
Tada vektoriu statmenumo s¡lyg¡ galime uºra²yti:
~a · ~b = axbx + ay by + az bz = 0.
Taip pat i² skaliarines sandaugos apibreºimo
galime gauti ir kampo tarp vektoriu formul¦:
~a · ~b
cos (~a, b) =
|~a| · |~b|
d
~
arba
axbx + ay by + az bz
d
cos (~a, ~b) = q
ax 2 + ay 2 + az 2 ·
q
bx2 + by 2 + bz 2
2
Uºdaviniai
1. Duota |~a| = 2, |~b| = 1, kampas tarp ~a ir ~b
yra 45 laipsniai. Raskite:
(~a − 3~b) · (2~a + ~b).
2. Raskite vektoriaus ~a koordinates, jeigu
~a k ~b = (6; 4; −2), ~a ·~c = 5 ir ~(c) = (1; −2; 1).
3
Vektorine sandauga
Vektoriu ~a ir ~b vektorine sandauga vadinamas
vektorius ~a × ~b, tenkinantis s¡lygas:
1. Vektoriaus ~a × ~b modulis lygus duotuju
vektoriu moduliu ir sinuso kampo tarp ju sandaugai:
d
|~a × ~b| = |~a| · |~b| sin (~a, ~b).
2. Vektorius ~a × ~b yra statmenas vektoriu ~a
ir ~b sudaromai plok²tumai.
3. Vektorius ~a ×~b nukreiptas taip, kad ºiurint
i² jo galo atrodytu, kad vektorius ~a sukamas
maºiausiu kampu prie² laikrodºio rodykl¦, kol
sutampa su vektoriaus ~b kryptimi.
4
Vektorines sandaugos
savybes
1. Kolineariu vektoriu vektorine sandauga
lygi nuliui.
2.λ(~a × ~b) = λ~a × ~b = ~a × λ~b.
3.(~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c.
4.(~a × ~b) = −(~b × ~a).
5
Apskai£iuosime vektoriu ~a ir ~b vektorin¦ sandaug¡, kai jie i²reik²ti koordinatemis:
~a = ax~i + ay~j + az~k
ir ~b = bx~i + by~j + bz~k.
Tada
~a × ~b = axbx(~i × ~i) + axby (~i × ~j) + axaz (~i × ~k)
+ ay bx(~j × ~i) + ay by (~j × ~j) + ay bz (~j × ~k)
+ az bx(~k × ~i) + az by (~k × ~j) + az bz (~k × ~k)
I² vektorines sandaugos apibreºimo ºinome,
kad:
~i × ~i = ~
0, ~i × ~j = ~k, ~i × ~k = −~j ,
~j × ~i = −~k, ~j × ~j = ~
0, ~j × ~k = ~i,
~k × ~i = ~j , ~k × ~j = −~i, ~k × ~k = ~
0
Todel
~a×~b = (ay bz −az by )~i−(axbz −az bx)~j+(axby −ay bx)~k
6
I² £ia gauname, kad
ay az ~
a a
a a
~a × ~b =
i − x z ~j + x y ~k.
by bz
bx bz
bx by
Taigi
~i ~j ~k
~a × ~b = ax ay az .
bx by bz
Vektorines sandaugos
taikymai
Jeigu vektoriai ~a ir ~b sudaro lygiagretaini,
tuomet to lygiagretainio plotas gali buti apskai£iuojamas pagal formul¦:
d
Slyg. = |~a| · h = |~a| · |~b| sin (~a, ~b) = |~a × ~b|.
I² £ia galime gauti ir trikampio ploto formul¦:
SM =
1
|~a × ~b|
2
7
Uºdaviniai
1. Trikampio vir²unes yra ta²kuose A(1; 3; −2),
B(2; −1; 5), C(0; 2; 4). Apskai£iuokite ²io trikampio plot¡.
2.Duota |~a| = 2, |~b| = 1, kampas tarp ~a ir ~b
yra 45 laipsniai. Raskite:(~a − 3~b) × (2~a + ~b).
8
Mi²rioji vektoriu sandauga
Sandauga (~a × ~b) · ~c (arba (~a, ~b, ~c)) vadinama
mi²ri¡ja.
Geometri²kai mi²riosios vektoriu sandaugos
modulis rei²kia gretasienio turi. T.y.
Vgret. = |(~a × ~b) · ~c|.
Jeigu vektoriai yra duoti koordinatemis: ~a =
(ax, ay , az ), ~b = (bx, by , bz ), ~c = (cx, cy , cz ),
mi²rioji vektoriu sandauga apskai£iuojama pagal formul¦:
ay az
a a
a a
(~a × ~b) · ~c =
c~x − x z c~y + x y c~z ,
by bz
bx bz
bx by
arba
ax ay az
(~a × ~b) · ~c = bx by bz .
cx cy cz
9
Mi²riosios vektoriu
sandaugos savybes
1.Vektoriu komplanarumo s¡lyga. Triju
nenuliniu vektoriu ~a, ~b ir ~c mi²rioji sandauga
lygi nuliui tada ir tik tada, kai tie vektoriai
komplanarus.
2.
(~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b
= −(~b × ~a) · ~c = −(~a × ~c) · ~b = −(~c × ~b) · ~a
Uºdavinys
Apskai£iuokite turi piramides, kurios vir²unes
yra ta²kuose:A(0; 0; 0), B(5; 2; 0), C(2; 5; 0)
ir D(1; 2; 4).
10