Aplikasi Turunan dalam Bidang Ekonomi
Disusun Oleh :
1. Febrian $urya Purnama
(2211060036)
2. Desky Romansyah
(2211060001)
3. Afdal Alfazza
(2211060027)
4. Irfan Fauzi
(2211060042)
5. M.Nuki Ripaldo
(2211060049)
PROGRAM STUDI SISTEM KOMPUTER
FAKULTAS ILMU KOMPUTER
UNIVERSITAS IIB DARMAJAYA
2022/2023
1
DAFTAR ISI
Cover................................................................................................................................................
.............. 1
Daftar Isi
.........................................................................................................................................................
2
BAB I
PENDAHULUAN............................................................................................................................
.. 3
A.
Latar Belakang
................................................................................................................................... 3
B.
Rumusan Masalah
.............................................................................................................................. 4
C.
Tujuan Penulis
................................................................................................................................... 4
BAB II PEMBAHASAN
............................................................................................................................... 5
Turunan
..........................................................................................................................................
5
A)
A.
Konsep Turunan
............................................................................................................................. 5
B.
Definisi Turunan
............................................................................................................................ 8
C.
Aturan-Aturan Pencarian Turunan
................................................................................................ 9
D.
Turunan Fungsi Trigonometri
...................................................................................................... 10
E.
Penerapan Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari
...................................................................... 10
Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
............................................................................ 11
B)
A.
Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
............................................................................ 11
B.
Kemonotonan dan Kecekungan
................................................................................................... 14
2
C.
Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari
................................. 15
Aplikasi Turunan Ekonomi dalam menghitung biaya total,biaya marginal dan biaya
rata-rata & fungsi utilitas total,fungsi utilitas marginal.......................... 18
C)
1)
Aplikasi Turunan dalam Menghitung Biaya Total, Biaya Marginal dan Biaya Rata-Rata
......... 18
2)
Utilitas Total, Utilitas Marginal
................................................................................................... 20
BAB III
........................................................................................................................................................
23
A.
Kesimpulan
...................................................................................................................................... 23
B.
Saran
...............................................................................................................................................
. 23
DAFTAR PUSTAKA
.................................................................................................................................. 24
BAB I
PENDAHULUAN
A.Latar Belakang
Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian abstrak, universal,
mendasari perkembangan teknologi modern, dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin,
serta dapat mengembangkan daya pikir manusia. Matematika memuat variabel–variabel yang
3
bermanfaat bagi disiplin ilmu lain. Sehingga memacu pengguna matematika lebih berwawasan luas
karena tidak dibatasi oleh suatu konsep tertentu. Pola pikir matematika bersifat deduktif yaitu dari
obyek yang umum menuju pengambilan kesimpulan, sehingga dapat menjembatani menuju langkah
selanjutnya.
Aplikasi matematika dapat diamati dalam proses penyelesaian suatu permasalahan yang
dimodelkan dalam konsep matematika. Dengan memperhatikan semesta pembicaranya, konsep
tersebut akan lebih mudah diselesaikan dan dapat diambil suatu perkiraan yang mendekati
kesimpulan. Jika permasalahan itu kompleks, maka dapat dibentuk sistem matematika. Aplikasi–
aplikasi matematika seperti perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi
dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika yang menitikberatkan pada perbedaan
aspek–aspek teori. Dari sudut pandang aspek-aspek teori tersebut, ilmu matematika memperlebar
cakupan pemahamannya pada beberapa cabang, seperti matematika analisis, statistik, dan
pemrograman (Parzynski, 1982:149).
1
Analisis matematika modern atau kalkulus lanjutan tidak menekankan pada perhitungan dan
rumus atau aturan, tetapi pembahasannya didasarkan pada pengembangan konsep dasar dan teori
dengan menggunakan penalaran untuk memperoleh prinsip–prinsip yang berupa definisi, aksioma,
lemma, corollary, dan teorema–teorema beserta pembuktiannya. Sedangkan klasifikasi materi dan
pendekatannya memang bersifat sangat abstrak dan intuitif untuk memahami dan mengembangkan
metode–metode dan teknik–teknik yang dipergunakan dalam bukti–bukti. Sehingga suatu
pemahaman yang baik sangat diperlukan untuk kesuksesan dalam mempelajari analisis
matematika. Selain itu, analisis mendominasi wilayah dari matematika. Karena ide–idenya
4
merupakan dasar dan keutamaan yang tidak hanya didefinisikan saja, tetapi artinya diterima
secara universal (Golbert, 1976:2).
Salah satu konsep dasar yang menjadi pembahasan dalam analisis matematika adalah
fungsi. Parzynski (1982: 2) menyatakan fungsi adalah suatu himpunan tak kosong X dan Y dilengkapi
dengan aturan pemadanan yang memasangkan masing-masing elemen ∈ dengan sebuah elemen ∈.
Nilai adalah elemen yang dipasangkan dengan sebuah elemen ∈. Himpunan disebut daerah asal
(domain) fungsi dan himpunan ⊆ , yang
didefinisikan dengan
∈ |
, ∈
disebut dengan daerah
hasil (range).
Fungsi dikatakan terbatas jika terdapat sebuah bilangan real 0 sehingga | | untuk setiap ∈
dengan bilangan real merupakan konstanta sedangkan di dalam sebuah interval. Apabila untuk semua
di dalam interval maka dikatakan terbatas atas (bounded above) dan disebut batas atas (upper bound)
dari . Apabila untuk semua di dalam interval maka dikatakan terbatas bawah (bounded below) dan
disebut batas bawah (lower bound) dari .
Kajian tentang fungsi terus berkembang seiring dengan banyaknya penelitian yang dilakukan
oleh para matematikawan. Camille Jordan (1881) adalah salah satu matematikawan yang
mengembangkan kajian tentang fungsi. Camille Jordan pertama kali mengenalkan kajian tentang
Fungsi Bervariasi
Terbatas untuk fungsi dengan satu variabel, atau juga dikenal sebagai fungsi BV (bounded variasi),
yaitu fungsi bernilai real dengan total variasi terbatas. Kemudian oleh matematikawan setelahnya,
konsep ini banyak digunakan untuk pengembangan dan juga diterapkan untuk mencari solusi berbagai
5
pemasalahan dalam matematika. Misalnya penerapan Fungsi Bervariasi Terbatas untuk menentukan
solusi dari masalah persamaan Cauchy oleh Conway dan Smoller pada tahun 1966.
Fungsi bervariasi terbatas pada dasarnya merupakan fungsi yang kontinu titik demi titik pada
sebuah selang. Oleh karena itu, secara umum fungsi bervariasi terbatas didefinisikan sebagai sebuah
fungsi kontinu dengan daerah asal (domain) berupa partisi dari selang , . Akan tetapi P.K.Jain dan
V.P.Gupta memberikan definisi bahwa fungsi f : [ab, ] → dikatakan bervariasi
terbatas pada [ab, ] , jika terdapat konstanta K>0 dengan sifat untuk setiap
partisi P={x x0 1, ,,xn} pada [ab, ];∆ =i f
berlaku
n
i=1
f x( i )− f x( i−1) ,∆ = −i x
xi
xi−1
n
∑∆ =i f ∑ f x( i ) − f x( i−1)≤ K ,
i=1
dan variasi fungsi f pada [ab, ] yang terkait dengan partisi P={x x0 1, ,,xn} pada [ab, ], ditulis Vab( f P,
) , diberikan dengan Vab ( f P, ) =∑n f x( i ) − f x( i−1) .
i=1
Selanjutnya, sebuah Fungsi Bervariasi Terbatas memiliki sifat serta struktur yang
membedakannya dengan fungsi lain. Oleh karena itu, penulis dalam skripsi ini mengambil judul
tentang FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN
SIFAT-SIFATNYA.
B. Batasan Permasalahan
Pembahasan pada Fungsi Bervariasi Terbatas meliputi definisi dan sifat-
6
sifat dasarnya pada interval tertutup ,
∈
.
C. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pengertian dari Fungsi Bervariasi Terbatas?
2. Bagaimana sifat-sifat dari Fungsi Bervariasi Terbatas?
D. Tujuan Penulisan
1. Menjelaskan konsep Fungsi Bervariasi Terbatas pada , , definisi maupun sifat-sifatnya.
2. Menjelaskan beberapa permasalahan yang ada pada Fungsi Bervariasi
Terbatas serta mencari penyelesaian dari masalah tersebut.
E. Manfaat
1. Menambah pengetahuan penulis tentang Fungsi Bervariasi Terbatas mulai dari definisi hingga
sifat-sifatnya .
2. Sebagai dasar penelitian selanjutnya.
7
BAB II
PEMBAHASAN
A) Turunan
A. Konsep Turunan
Konsep turunan sejatinya bisa kita pahami dengan mengingat kembali konsep garis
singgung, kecepatan rerata dan kecepatan sesaat, laju pertumbuhan dan lain-lain.
Perhatikan konsep garis singgung dibawah ini.
Misalkan terdapat grafik fungsi f(x) dimana grafik fungsi tersebut kontinu. Kemudian
terdapat suatu garis lurus yang memotong grafik fungsi f(x) di dua titik, yakni titik A dan B,
seperti gambar berikut.
Gambar 1
Karena garis lurus memotong grafik fungsi di dua titik, maka garis tersebut disebut
juga sebagai garis secan. Dari gambar, dapat diasumsikan bahwa garis secan mempunyai
kemiringan atau gradien tertentu. Ingat kembali rumus gradien suatu garis yang memotong
grafik fungsi di dua titik yang berbeda.
8
Diketahui A (𝑥, (𝑥)) dan B ((𝑥 + ℎ), (𝑥 + ℎ)) maka dapat diketahui titik absis dan
ordinatnya. Sehingga diperoleh gradien garis AB adalah sebagai berikut
Perhatikan gambar berikut.
(a)
(b)
(c)
9
Gambar 2
Perhatikan ketiga gambar diatas. Jika 2 titik potong (A, B) pada garis lurus yang
memotong grafik fungsi f(x) dibuat saling mendekati atau jarak antar titiknya dibuat
mendekati nol maka garis itu lama kelamaan akan berubah menjadi garis yang memotong
grafik di 1 titik saja atau menjadi garis singung grafik. Sehingga dapat diperoleh gradien dari
garis singung grafik adalah sebagai berikut.
Dengan syarat limitnya ada. Gradien garis singung inilah yang disebut sebagai turunan
fungsi (𝑥).
Perhatikan kasus mengenai kecepatan rerata dan kecepatan sesaat berikut ini.
Gambar 3
Misalkan 𝑠 = (𝑡) adalah persamaan gerak suatu benda sepanjang garis lurus,
dengan⁡𝑡 adalah waktu, adalah jarak benda dari titik awal pada waktu t atau perpindahan
benda dan f adalah gerakan fungsi posisi benda. Pada selang waktu 𝑡 = 𝑐 sampai 𝑡 = 𝑐 +
, perubahan posisi (𝑐 + ℎ) − (𝑐) adalah seperti gambar 3. Sehingga dapt dihitung kecepatan
reratanya adalah sebagai berikut.
10
Untuk menghitung kecepatan untuk selang waktu yang sangat sempit atau kecil
dimana h mendekati nol, maka dapat diperoleh kecepatan sesaat untuk 𝑡 = 𝑐 sebagai
berikut.
Dengan syarat limitnya ada. Kecepatan sesaat inilah yang disebut sebagai turunan
fungsi (𝑡).
B. Definisi Turunan
Definisi
Turunan fungsi
adalah fungsi lain 𝑓′ yang nilainya pada sebarang bilangan riil adalah
Dengan syarat limitnya ada untuk suatu bilangan riil x.
Tidak ada yang khusus dalam pemilihan huruf x, misal dipakai huruf c, a dan lainnya
untuk menggantikan x itu sah-sah saja (tidak memberikan efek pada turunannya) atau huruf
lain misal b untuk menggantikan h. Misal seperti berikut.
Jika diambil 𝑥 = 𝑐 + ℎ yang mengakibatkan ℎ = 𝑥 − 𝑐, maka dapat kita peroleh
Selain dapat ditulis dalam notasi 𝑓′(𝑥), 𝑓′(𝑐), 𝑓′(𝑎) dan lain-lain, terdapat pula
berbagai macam notasi dalam menuliskan turunan fungsi, diantaranya adalah sebagai
berikut.
Turunan ke1
Notasi Lagrange
𝑓′(𝑥)
Notasi y
𝑦′
11
Notasi Leibniz
Notasi Euler
𝐷𝑥𝑦
2
𝑓′′(𝑥)
𝑦′′
3
𝑓′′′(𝑥)
𝑦′′′
n
𝑓𝑛(𝑥)
𝑦𝑛
C. Aturan-Aturan Pencarian Turunan
Teorema
Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kekontinuan
Jika 𝑓′(𝑥)⁡ada maka
kontinu di
Teorema
Aturan Fungsi Konstanta
Jika (𝑥) = 𝑘 dengan
adalah konstanta maka untuk sebarang x, 𝑓′(𝑥) = 0
Teorema
Aturan Fungsi Identitas
Jika (𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1
Teorema
Aturan Pangkat
Jika (𝑥) = 𝑥𝑛 dengan
bilangan bulat positif, maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
Teorema
Aturan Kelipatan Konstanta
Jika 𝑘⁡adalah suatu konstanta dan
adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka
(𝑘𝑓)′(𝑥) = 𝑘𝑓′(𝑥)
Teorema
Aturan Jumlah
Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) +
𝑔′(𝑥)
Teorema
Aturan Selisih
12
Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 − 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) −
𝑔′(𝑥)
Teorema
Aturan Hasil Kali
Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 ∙ 𝑔)′(𝑥) =
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Teorema
Aturan Hasil Bagi
Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
Teorema
Aturan Rantai
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dengan
adalah fungsi yang terdiferensialkan di
dan
adalah fungsi yang terdiferensialkan di , maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔, didefinisikan
oleh (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) terdiferensialkan di
dan (𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) =
𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
D. Turunan Fungsi Trigonometri
Dengan menggunakan definisi turunan, maka dapat diperoleh teorema trigonometri sebagai
berikut.
𝐷𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥
𝐷𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥
𝐷𝑥 tan 𝑥 = sec2 𝑥
𝐷𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥
𝐷𝑥 cot 𝑥 = −csc2 𝑥
𝐷𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 cot
13
E. Penerapan Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari
Berikut adalah penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari.
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam
biaya proyek per-hari sebesar
hari dengan menghabiskan
ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek
pembangunan gedung tersebut adalah…
Jawab :
Misalkan (𝑥) menyatakan biaya proyek selama
sehingga
Supaya biaya proyek minimum, nilai
hari dalam satuan ratus ribu rupiah
yang bersesuaian dapat ditentukan saat
= 0, yakni sebagai berikut.
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 180
6𝑥 − 180 = 0
6𝑥 = 180
𝑥 = 30
Dengan demikian, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya
proyeknya minimum. Maka biaya minimum yang harus dikeluarkan adalah
(𝑥) = 3𝑥2 − 180𝑥 + 5.000
(30) = 3(30)2 − 180(30) + 5.000
(30) = 2.700 − 5.400 + 5.000
(30) = 2.300
14
Jadi, biaya proyek minimum pembangungan gedung tersebut adalah 230 juta rupiah.
B) Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
A. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
Nilai maksimum dan minimum fungsi sejatinya adalah aplikasi atau penerapan dari
konsep turunan. Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum jika nilai dari fungsi tersebut paling
besar dan sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum jika nilai suatu fungsi tersebut
paling kecil pada sebuah selang atau interval tertutup. Secara formal, nilai maksimum dan
minimum suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut.
Definisi
Misal
adalah daerah asal dari
dan memuat titik .
1. (𝑐) adalah nilai maksimum dari
adalah nilai minimum dari
pada
pada
jika (𝑐) ≥ (𝑥) untuk semua
jika (𝑐) ≤ (𝑥) untuk semua
pada
2. (𝑐)
pada
Dari nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi inilah dapat diperoleh nilai ekstrim.
Pengaplikasian nilai ekstrim dalam kehidupan nyata sangat beragam, mulai dari untuk mencari
biaya atau bahan minimum dalam proyek, mencari keuntungan maksimum, mencari volume
maksimum dan lain hal sebagainya. Adapun definisi formal dari nilai ekstrim adalah sebagai
berikut.
Definisi
Misal
adalah daerah asal dari
dan memuat titik .
1. 𝑓(𝑐) adalah nilai ektrim dari
pada S jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau nilai
minimum
2. Fungsi yang akan dicari nilai ekstrimnya dikatakan fungsi objektif
Dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi di suatu selang
tutup, dapat dicek terlebih dahulu apakah
kontinu pada selang tutup tersebut.
Teorema
Jika
kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka
pada selang tersebut.
15
mencapai nilai maksimum dan nilai minimum
Terdapat beberapa titik yang merupakan kandidat dimana suatu fungsi dapat bernilai
maksimum dan minimum, yakni di titik ujung selang, di titik dimana turunan fungsinya sama
dengan 0 atau yang biasa dikenal sebagai titik stasioner dan titik dimana fungsi tidak dapat
diturunkan atau dikenal dengan titik singular. Kandidat-kandidat itulah yang disebut sebagai
titik-titik kritis.
Teorema Titik Kritis
Misal
didefinisikan pada interval yang memuat 𝑐. Jika (𝑐) adalah nilai ekstrim, maka
adalah titik kritis, yakni
1. Titik Ujung pada
2. Titik Stasioner dari , yaitu 𝑓′(𝑐) = 0
3. Titik Singular dari 𝑓,⁡yaitu 𝑓′(𝑐) tidak ada
Dari teorema diatas, maka secara langsung dapat ditentukan langkah-langkah dalam
mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi di selang tutup yaitu cari terlebih
dahulu titik-titik kritis dari ⁡𝑓 pada selang , kemudian carilah nilai
yang sudah didapatkan, dan terakhir periksalah nilai
paling kecil. Nilai
yang paling besar dan nilai
yang
yang paling besar berarti nilai itu adalah nilai maksimum dari fungsi
tersebut sedangkan nilai
fungsi
pada titik-titik kritis
yang paling kecil berarti nilai itu adalah nilai minimum dari
tersebut.
Definisi (Uji Ekstrim Lokal)
Misal
adalah daerah asal
dan 𝑐 ∈ 𝑆.
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal
pada
jika terdapat selang buka
yang memuat
sedemikian hingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal
pada
jika terdapat selang buka
yang memuat
sedemikian hingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal
pada
jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal atau minimum
lokal
16
Dari definisi mengenai uji ekstrim lokal diatas, dapat diperoleh beberapa teorema terkait
dengan nilai ekstrim lokal diantaranya yakni uji pertama untuk nilai ekstrim lokal dan uji
kedua untuk nilai ekstrim lokal.
Definisi (Uji Pertama untuk Ekstrim Lokal)
dapat didiferensialkan pada selang buka (𝑎, 𝑏)⁡yang memuat titik kritis ,
Misal
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0⁡untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0⁡untuk semua 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏) maka
(𝑐) adalah nilai maksimum lokal
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0⁡untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0⁡untuk semua 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏) maka 𝑓(𝑐)
adalah nilai minimum lokal
3. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua pihak, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim
Definisi (Uji Pertama untuk Ekstrim Lokal)
dan 𝑓′ dapat didiferensialkan pada selang buka (𝑎. 𝑏) yang memuat titik dengan
Misal
𝑓′(𝑐) = 0
1. Jika 𝑓′′(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal
2. Jika 𝑓′′(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum local
B. Kemonotonan dan Kecekungan
Selain untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum, turunan juga dapat membantu
kita dalam mencari apakah fungsi
naik pada selang atau justru fungsi
turun pada selang
. Definisi persis tentang naik dan turunnya suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi
Misal
didefinisikan pada interval .
1.
naik pada jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam berlaku 𝑥1 < 𝑥2 ⇒
(𝑥1) < (𝑥2)
2.
turun pada jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam berlaku 𝑥1 < 𝑥2 ⇒
(𝑥1) > (𝑥2)
3.
monoton murni pada jika
17
naik pada atau turun pada
Ingat bahwa konsep turunan dapat diperoleh dari konsep garis lurus yang memotong
grafik di dua titik dan konsep garis singung. Perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar 4
Dari gambar diperoleh informasi yaitu dimana 𝑓′(𝑥) > 0 maka garis singgungnya
bergerak naik sedangkan saat 𝑓′(𝑥) < 0 garis singgungnya bergerak turun.
Teorema Kemonotonan
Misal
dapat didefinisikan pada titik dalam selang .
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam dari selang maka naik pada selang
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam dari selang maka turun pada selang
Kemonotonan suatu fungsi erat kaitannya dengan turunan pertama dari fungsi tersebut.
Sedangkan kecekungan suatu fungsi berkaitan dengan turunan kedua dari fungsi. Perhatikan
definisi berikut ini.
Definisi
Misalkan 𝑓⁡dapat didiferensialkan pada selang buka . Jika 𝑓′ naik pada
𝑓⁡cekung ke atas di dan jika 𝑓′ turun pada⁡𝐼 dikatakan
dikatakan
cekung kebawag di .
Perhatikan bahwa turunan dari 𝑓′ adalah 𝑓′′. Sehingga dari definisi kecekungan diatas
dapat diperoleh teorema kecekungan sebagai berikut.
Teorema Kecekungan
Andaikan
terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua
dalam , maka
18
cekung ke atas pada
2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua
dalam , maka
cekung ke bawah pada
Dalam kasus-kasus tertentu, pada selang tertentu, suatu grafik fungsi
dapat cekung
keatas dan cekung kebawah dalam beberapa sub selang. Hal tersebut mengakibatkan adanya
titik yang biasa dikenal dengan titik belok. Sebuah titik dikatakan sebagai titik belok dari
grafik fungsi
jika
cekung keatas di satu sisi dari dan
cekung kebawah di sisi lainnya
dari . Titik-titik dengan 𝑓′′(𝑥) = 0 atau 𝑓′′(𝑥) tidak ada dapat dijadikan kandidat titik belok
suatu grafik fungsi.
C. Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari
Berikut adalah contoh penerapan nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan seharihari.
Contoh 1
Sebuah balok tanpa tutup dengan alas persegi (𝑥⁡. 𝑥) dan tinggi mempunyai volume
180⁡𝑐𝑚3.⁡Agar luas permukaan balok minimum, maka besar nilai
adalah …
Jawab
Pertama-tama nyatakan dalam
dengan menggunakan volume balok dengan alas persegi
tersebut.
Dengan demikian dapat dinyatakan luas permukaan (𝐿) balok sebagai fungsi terhadap
sebagai berikut.
Luas permukaan akan miniumum saat 𝐿′(𝑥) = 0 sehingga
𝐿′(𝑥) = 0
19
−432𝑥−2 + 2𝑥 = 0 2𝑥
= 432
−2⁡
𝑥=6
Jadi, besar nilai
agar luas permukaannya minimum adalah 6 cm.
Contoh 2
Terdapat sebuah kawat dengan panjang 90 cm. Kawat tersebut akan dipotong menjadi 2
bagian, satu bagian untuk bahan membuat segitiga sama sisi dengan panjang
cm dan satunya
digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, tentukanlah nilai .
Jawab :
Diketahui segitiga sama sisi memiliki panjang sisi , maka kawat yang dibutuhkan adalah
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3𝑥 cm. Sedangkan sisa kawat akan dijadikan bahan membuat persegi adalah
(90 − 3𝑥) cm. Jadi
Kemudian dapat diperoleh 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 sebagai berikut.
Setelah diketahui luas persegi dan luas segitiga, maka dapat ditulis fungsi
20
sebagai berikut.
Agar (𝑥) maksimum, maka harus dibuat 𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′(𝑥) = 0
cm
Jadi, agar luasnya maksimum, nilai x yang tepat adalah
270
cm.
C) Aplikasi Turunan dalam Ekonomi
Penggunaan Turunan dalam Ekonomi
Ir. Tito Adi Dewanto
A. Perilaku Konsumen
 Perilaku konsumen mengikuti Hukum permintaan : ‘Bila harga barang naik, ceteris
paribus (faktor lain tetap) maka jumlah barang yang diminta turun dan sebaliknya’.
 Kepuasan Marginal (MU/Marginal Utility) adalah tambahan kepuasan yang diperoleh
konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang.
(MU=turunan pertama TU terhadap Q) dQ
dTU
 MU =
 Kepuasan Total (TU/Total Utility) akan maksimum, syarat : P = MU
Contoh 1 :
Berapakah jumlah barang yang diminta konsumen bila harga barang per unit Rp 20,- dan
kepuasan total konsumen ditunjukan oleh fungsi TU = 120Q – 0,25 Q2 ?
21
Jawab 1:
dTU
= 120 – 0,50 Q , P = MU
MU =
20 = 120 – 0,50 Q
0,5 Q = 100
Q = 200 dQ
Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total bila membeli barang sebanyak 200 unit pada
harga Rp 20,-.
Contoh 2 :
Konsumen membeli barang 20 unit dan ia telah memperoleh kepuasan total yang maksimum.
Berapakah harga pembelian barang tersebut per unitnya jika fungsi kepuasan total konsumen
ditunjukan fungsi TU=15Q – 0,25 Q2 .
Jawab 2:
dTU
Kepuasan Marginal = MU =
= 15 – 0,5Q dQ
Kepuasan Maksimum diperoleh jika P = MU P = 15 – 0,5Q = 15 – 0,5(20) = 5
Jadi dengan tingkat harga Rp 5, konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum dengan
konsumsi barang sebanyak 20 unit.
B. Perilaku Produsen
 Keputusan yang diambil produsen salah satunya adalah menentukan output yang harus
diproduksi (Q).
 MP = Marginal Physical Product = Produksi Marginal = Turunan pertama dari Q.
dQ
MP =
dx
Q
 Produksi Rata-rata = Average Product = AP =
Keuntungan maksimum produsen,
dimana Q=output, x=input x
syaratnya MP =
H arga.Input.(Px)
H arga.Output.(Pq)
Contoh 3 :
Perusahaan ‘Sopongiro’ memproduksi barang dengan input x. Output nya ditunjukan oleh fungsi
produksi Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3. Jika harga input x yang digunakan adalah Rp 2100 per unit dan
harga output per unit Rp 100,- berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan
maksimum ? Berapakah pula produksi rata-rata nya ?
Jawab 3 :
22
Px = 2100 dan Pq=100, fungsi produksi : Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3, maka MP = 10x – x2 .
H arga.Input.(Px)
Keuntungan maksimum produsen, syaratnya MP =
H arga.Output.(Pq)
2
2100
10x – x =
2
2
maka –x + 10x =21 atau x – 10x + 21 = 0 (x-3)(x-7)=0 maka
100
10-2x, dimana m = curam = turunan dari
x1=3 dan x2=7 ; dMP m
MP = turunan II dari Q.
dx
Pada input x = 7, maka m = 10 – 2.7 = -4 ; Pada input x = 3, maka m = 10 – 2.3 = 4
Jadi, input yang digunakan agar keuntungan produksi maksimum adalah 7 unit. Sehingga jumlah
output yang dihasilkan Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3 = 75 + 5(7)2 – 1/3 (7)3 = 205 2/3
Jadi output yang dihasilkan = 205 unit.
Q 205
Produksi rata-rata = AP =
7
2
29 , sehingga produksi rata2 adalah 29 unit. x
7
C. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi
Ini berarti bahwa elastisitas
berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :
merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y
terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol.
Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara
persentase perubahan y terhadap perubahan x.
 Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang
yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan
jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
23
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
atau
Dimana
tak lain adalah Q'd atau f'(P) atau turunan dari Q terhadap P.
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :
elastic apabila
,
% perubahan kuantitas permintaan > % perubahan harga (secara
berlawanan arah), terjadi pada produk yang mudah dicari substitusinya, misal pakaian, makanan
ringan dsb.
elastic sempurna
, suatu harga tertentu pasar sanggup membeli semua barang yang ada
dipasar, namun kenaikan sedikit saja akan menjatuhkan permintaan menjadi 0, contoh paper clip
yang murah.
inelastic bila
, % perubahan kuantitas permintaan < % perubahan harga, terjadi pada
produk kebutuhan, misalnya beras, meskipun harganya naik, orang akan tetap membutuhkan
(meski berhemat), tetapi bila harga turun, konsumen tidak akan menambah konsumsinya sebesar
penurunan harga karena konsumsi beras memiliki keterbatasan (misal rasa kenyang) contoh lain
adalah bensin dll.
Inelastic sempurna
, perubahan harga tidak mempengaruhi jumlah yang diminta. Misalnya
lukisan milik pelukis terkenal yang sudah meninggal (berapapun harga yang ditawar atas lukisan
tsb tidak akan mampu menambah kuantitas lukisannya).
elastic uniter jika
, tidak dapat disebutkan barangnya secara spesifik, hanya sebagai
pembatas antara elastic dan inelastic.
Contoh 4 :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 50 – 2Q . tentukan elastisitas
permintaannya pada tingkat harga P = 20 ?.
Jawab 4 :
dP
dQ
24
P = 50 – 2Q , maka
dQ
P = 50 – 2Q
- ½ , bila P = 20 maka jumlah yang diminta adalah
-2 ,
dP
Q = ½ (50 – P) = ½ (50 – 20) = ½ . 30 = 15 maka
Contoh 5 :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P2 . tentukan
elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
Jawab 5 :
25 – 3 P2
Qd =
.
= 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah
barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.
1) Aplikasi Turunan dalam Menghitung Biaya Total, Biaya Marginal dan Biaya RataRata
Dalam suatu proses produksi, akan sering disebut istilah biaya. Biaya yang
digunakan untuk seluruh proses produksi dikatakan sebagai biaya total (total cost),
sedangkan biaya yang digunakan untuk satuan unit produksi dikatakan sebagai biaya ratarata (average cost). Biaya total sendiri terdiri dari total biaya tetap ditambah dengan biaya
variabel. Secara metematis ditulis sebagai berikut.
𝑇𝐶 = 𝐹𝐶 + 𝑉𝐶
dengan : 𝑇𝐶 = biaya total (total cost)
𝑉𝐶 = biaya variabel (variable cost)
25
𝐹𝐶 = biaya tetap (fixed cost)
Biaya total adalah fungsi dari kuantitas barang yang diproduksi, dimana besarnya
biaya total adalah hasil kali antara banyaknya barang yang diproduksi dengan biaya ratarata
barang per-unit. Fungsi tersebut dapat dituangkan menjadi sebagai berikut.
𝑇𝐶 = 𝑓(𝑄) + 𝑘
dengan : 𝑇𝐶 = biaya total (total cost)
⁡⁡ = kuantitas barang yang diproduksi (quantity)
Perhatikan bahwa 𝑇𝐶 = (𝑄) + 𝑘, dimana (𝑄) = 𝑉𝐶 adalah biaya variabel yang akan
berubah menurut jumlah barang yang diproduksi. Hal ini dikarenakan variable cost akan
selalu berubah-ubah sesuai dengan suatu kondisi yang terjadi dalam suatu unit kegiatan,
misalnya volume produksi ataupun kondisi yang lain. Sedangkan 𝑘 = 𝐹𝐶 akan selalu
konstan selama jangka tertentu karena 𝐹𝐶 atau fixed cost adalah biaya tetap dalam suatu
unit kegiatan. Biaya ini tidak akan mengalami perubahan walaupun terjadi pengangguran
atau penambahan produksi (misalnya dalam kegiatan produksi) sehingga untuk fungsi
semacam ini dikenal dengan istilah fungsi konstan.
Fungsi biaya secara keseluruhan dapat dibagi kedalam beberapa jenis yakni :
a.
b.
Linear
Kuadratis
: 𝑇𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑥, dengan 𝑎, 𝑏 > 0
: 𝑇𝐶 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0
c. Kubik
: 𝑇𝐶 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0
d. Eksponensial : 𝑇𝐶 = 𝑎⁡. 𝑒𝑏𝑥, dengan 𝑎, 𝑏 > 0, 𝑏 adalah tingkat pertumbuhan pada
fungsi naik secara eksponensial
Selain biaya total, dapat dihitung pula biaya marginal dari suatu kegiatan produksi.
Biaya marginal adalah biaya yang diakibatkan adanya tambahan satu unit barang produksi.
Secara matematik, fungsi biaya marginal adalah derivative pertama dari fungsi biaya total.
Misal (𝑄)⁡adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan
satuan barang tertentu. Fungsi 𝑇𝐶 disebut sebagai fungsi biaya. Jika banyaknya barang
yang dihasilkan bertambah dari 𝑄1 menjadi 𝑄2 maka biaya tambahan yang dibutuhkan
adalah (𝑄2) − 𝑇(𝑄1). Limit besaran ini ketika x→0 disebut laju perubahan sesaat biaya,
26
terhadap banyaknya barang yang dihasilkan atau biasa disebut juga dengan biaya marginal.
Terakhir yakni biaya rata-rata. Biaya rata-rata adalah hasil bagi biaya total dengan kuantitas
barang yang diproduksi. Sehingga dapat diperoleh.
Contoh Kasus
Fungsi Biaya Total sebuah perusahaan manufaktur adalah 𝑇𝐶 = (𝑄) = 6700 +
rupiah. Carilah biaya rata-rata barang tiap unit dan biaya marginal barang
bila perusahan akan memproduksi barang sebanyak 400 unit.
Jawab :
Biaya Total =
Biaya Rata-rata =
Biaya Marginal =
Sehingga jika perusahaan akan memproduksi barang sebanyak 400 unit, biayanya akan
menjadi sebagai berikut.
Biaya Rata-rata =
perunit
Jadi Biaya Rata-rata = 22,4 × 400 = 8960
Biaya Marginal
Jadi Biaya Marginal = 4,9 × 400 = 1960
Dengan demikian berarti rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi
400 satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan dia atas 400 hanya
memerlukan biaya Rp.1960.
27
2) Utilitas Total, Utilitas Marginal
Fungsi utilitas total adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan,
kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada
umumnya semakin banyak suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh,
kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah
itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus
menerus ditambah.
Utilitas total ialah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Dinyatakan dengan
𝑈 = 𝑓(𝑄)
utilitas adalah kebermanfaatan atau kegunaan suatu barang bagi yang
menggunakannya. Artinya, semakin bermanfaat suatu barang bagi penggunanya,
maka semakin tinggi pula utilitas barang tersebut.
Membahas tentang utilitas juga tak lepas dari bahasan tentang kepuasan pengguna,
karena utilitas suatu barang itu relatif atau tergantung pada kepuasan pengguna
barang tersebut. Memahami tentang utilitas ini penting karena mempengaruhi
permintaan atau demand suatu barang, yang dalam hal ini berarti permintaan akan
properti.
Untuk memahami lebih jelas tentang utilitas, simak penjelasan lengkapnya lewat
penjabaran berikut ini:

Pengertian Utilitas

Karakteristik Utilitas

Fungsi Utilitas

Kegunaan Utilitas

Jenis-Jenis Utilitas

Contoh Utlitas dalam Bisnis Properti
28
Pengertian Utilitas
Utilitas adalah istilah ekonomi yang berarti total kepuasan yang didapat dari
kegiatan konsumsi atau penggunaan barang maupun jasa. Utilitas berasal dari kata
dalam bahasa Inggris “utility” yang berarti manfaat.
KBBI juga mendefinisikan utilitas sebagai kata benda yang berarti faedah,
kegunaan, atau manfaat. Singkatnya, utilitas adalah nilai kegunaan suatu barang.
Utilitas berkaitan erat pula dengan teori pilihan rasional dalam ilmu ekonomi.
Teorinya, seorang konsumen akan berusaha memaksimalkan utilitas atau manfaat
suatu barang.
Karakteristik Utilitas
1. Utilitas Bentuk
Utilitas bentuk adalah kepuasaan memakai suatu barang akan lebih tinggi apabila
suatu benda diubah bentuknya. Misalnya, kayu gelondongan akan memiliki nilai
manfaat yang lebih tinggi dan memaksimalkan utilitasnya jika diubah terlebih dahulu
menjadi meja, kursi, lemari, dan bentuk lainnya.
2. Utilitas Tempat
Suatu barang atau jasa menjadi lebih bermanfaat apabila berada di tempat yang
membutuhkannya. Inilah yang dimaksud dengan place utility atau utilitas tempat.
Contohnya, pasir sungai akan lebih bermanfaat jika diangkut ke tempat lain yang
membutuhkannya untuk bahan bangunan, ketimbang membiarkannya di sungai.
29
3. Utilitas Waktu
Utilitas suatu barang atau jasa akan lebih tinggi jika tersedia di waktu yang tepat.
Misalnya Payung atau jas hujan ponco yang biasa dijual sepanjang musim hujan,
atau masker dan hand sanitizer selama pandemi. Utilitas waktu juga berarti
ketersediaan barang atau jasa ketika sedang dibutuhkan.
4. Utilitas Kepemilikan
Apabila berada di orang yang tepat, maka nilai utilitas suatu barang akan lebih tinggi
terlepas dari harga materilnya. Orang yang tepat artinya mereka yang
membutuhkan barang tersebut dan bisa menggunakannya secara maksimal.
Contohnya mesin jahit akan lebih berguna bagi penjahit ketimbang bagi seorang
dokter atau nelayan
Fngsi utilitas marginal
Marginal utility atau utilitas marjinal adalah istilah ekonomi yang mengukur manfaat pelanggan
dalam membeli layanan dari suatu organisasi. Hukum utilitas marjinal yang semakin berkurang
menggambarkan bagaimana manfaat atau utilitas produk memiliki efek yang berlawanan pada
jumlah unit kontemporer yang sudah mereka miliki.
Utilitas marjinal suatu produk dapat didasarkan pada persepsi pelanggan terhadap suatu merek yang
mempengaruhi keputusan mereka untuk tetap setia padanya atau melihat produk serupa yang dibuat
oleh perusahaan yang berbeda karena tingkat kepuasan mereka.
Selanjutnya, pemasar perlu bekerja mengembangkan strategi yang menjaga permintaan tetap tinggi
untuk produk dan layanan meskipun utilitas marjinalnya menurun.
Jenis Marginal Utility
Ada berbagai jenis utilitas marjinal yang digunakan ketika menilai kepuasan pelanggan, termasuk:
Marginal utility nol
Jika pelanggan memutuskan untuk membeli lebih banyak barang, kepuasan mereka tetap konstan.
Membeli banyak koran atau majalah adalah contoh karena Anda dapat menyimpannya untuk
referensi, tetapi memiliki nilai yang sama dengan salinan pertama karena identik.
30
Anda perlu berkomitmen untuk melayani kebutuhan pelanggan untuk menciptakan pengalaman
positif bagi mereka, sehingga Anda dapat meningkatkan kepuasan mereka tidak peduli berapa
banyak produk yang mereka beli. Media sosial dan pemasaran email membuat pelanggan Anda tetap
terlibat dengan produk Anda dan dapat memengaruhi utilitas marjinal tergantung pada umpan balik
yang Anda terima.
Marginal utility positif
Marginal utility positif adalah ketika pelanggan puas dan membeli beberapa unit produk Anda.
Mereka dapat memberikan referensi kelebihan produk Anda kepada teman, keluarga, atau rekan
kerja tergantung seberapa besar mereka menyukai produk tersebut dan upaya yang mereka lakukan
dalam menampilkan loyalitas merek kepada publik.
Influencer dapat memainkan peran penting jika mereka membeli produk Anda secara massal dan
memamerkannya di saluran media sosial dan situs web mereka.
Marginal utility negatif
Marginal utility negatif adalah ketika pelanggan membeli terlalu banyak produk, dan sampai pada
titik di mana mereka hanya dapat menggunakan beberapa unit dalam periode tertentu. Hal ini dapat
terjadi jika pelanggan membeli makanan yang mudah rusak dalam jumlah besar, tetapi mereka hanya
dapat mengkonsumsi sebagian pada saat tanggal kedaluwarsa tiba.
Anda harus memastikan bahwa pelanggan dapat memanfaatkan produk Anda sebaik mungkin untuk
meningkatkan peluang mereka membeli dari Anda di masa mendatang.
Contoh Marginal Utility
Mari kita tinjau contoh utilitas marjinal untuk membantu Anda memahami konsep ini:
Budi saat ini memiliki lima botol soda, dan dia memutuskan untuk membeli botol keenam ketika dia
pergi berbelanja. Di sisi lain, Josh memiliki 60 botol soda dan memutuskan untuk membeli sebotol
soda lagi karena dia menyimpan sisanya di lemari es di rumah.
Untuk menemukan utilitas marjinal bagi Chris dan Josh, Anda perlu membagi jumlah pembelian
yang mereka lakukan untuk suatu produk dengan jumlah produk yang mereka miliki saat ini.
Untuk Chris, kamu harus membagi satu dengan enam, jadi dia meningkatkan persediaan sodanya
sebesar 16,6666667% hanya dengan satu pembelian.
Untuk Josh, bagi satu dengan 61, karena faktor perhitungan dalam botol ekstra yang dia beli, dan
Anda akan mendapatkan 0,016393344. Dengan kata lain, utilitas marjinal Josh adalah 1,6 atau 2%
jika dibulatkan, jadi Chris memiliki peluang lebih besar untuk puas dengan pembelian satu soda
meskipun faktanya dia hanya memiliki enam soda.
Tips Menggunakan Strategi Marketing untuk Meningkatkan Marginal Utility
Utilitas marjinal tidak hanya menunjukkan keuntungan yang Anda hasilkan, tetapi kepuasan
pelanggan dengan mempertimbangkan jumlah unit yang mereka beli. Inilah cara Anda dapat
31
menggunakan perhitungan utilitas marjinal untuk meningkatkan hubungan yang Anda miliki dengan
pelanggan Anda:
Terlibat dengan pelanggan Anda di media sosial
Pelanggan dapat mengirim pesan langsung kepada Anda jika mereka ingin mengungkapkan
pendapat mereka tentang produk Anda, tetapi Anda harus terlibat dengan mereka untuk melihat
apakah mereka masih berencana membeli lebih banyak unit dari Anda setelah pembelian yang
mereka lakukan saat ini.
Semakin baik hubungan yang Anda bangun dengan pelanggan, semakin besar peluang Anda untuk
meningkatkan utilitas marjinal. Sesuaikan percakapan Anda dengan pesan orang tersebut, tetapi
Anda ingin memperhatikan bahwa demografi yang ditargetkan menggunakan platform yang berbeda.
Kumpulkan data dari survei
Survei dapat ditampilkan dalam pesan email jika pelanggan berlangganan daftar email Anda.
Disarankan agar Anda berusaha keras untuk membuat pengguna mengisi formulir kontak di situs
web Anda.
Setelah Anda mendapatkan semua informasi kontak mereka, Anda dapat mengirimkan survei
melalui email untuk mengetahui umpan balik yang mereka miliki dan Anda akan mengetahui persis
produk yang mereka beli dari bisnis Anda. Anda juga dapat mengukur minat mereka untuk membeli
produk yang sama lagi atau jika mereka ingin membeli produk yang berbeda dari Anda.
Pertimbangkan untuk menjalankan kampanye iklan
Kampanye bayar per klik (PPC) menarik eksposur tambahan ke situs web Anda jika Anda membeli
kata kunci yang tepat yang tersedia melalui mesin pencari. Mereka dapat membuka situs web Anda,
mengklik hyperlink-nya dan menavigasi ke halaman formulir kontak Anda untuk memberikan
pendapat mereka, sehingga Anda dapat mengukur kepuasan pelanggan mereka.
Cara lain yang efektif adalah dengan mendesain situs web Anda memiliki ikon yang menanyakan
pelanggan apakah mereka membeli produk Anda sebelumnya. Jika demikian, mereka dapat
mengeklik ikon tersebut dan itu akan menampilkan survei sebagai item tindakan yang harus mereka
isi.
Kesimpulan
Itulah pembahasan marginal utility yang mungin berguna daalam mengukur keberhasilan Anda
dalam memasarkan produk atau layanan yang Anda berikan. Jika bisnis Anda sudah memiliki nilai
penjualan yang baik, jangan lupa untuk menggunakan software akuntansi yang memudahkan Anda
dalam pencatatan seluruh transaksi yang terjadi dalam bisnis, sehingga Anda bisa mendapatkan
keputusan bisnis yang optimal.
32
Fungsi utilitas marginal adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap
satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal merupakan turunan pertama
dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah = 𝑓(𝑄) maka utilitas marginalnya
adalah
Gambar 5
Grafik Bentuk Kurva Utilitas
Contoh Kasus
Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan = 15𝑄 − 5𝑄2
Tentukanlah
a. Persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya
b. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi
3 unit
Jawab :
a. 𝑈 = 15𝑄 − 5𝑄2
𝑀𝑈 = 𝑈′ = 15 − 10𝑄
33
maksimum jika
Untuk 𝑄 = 1,5⁡maka
𝑈 = (15⁡𝑥⁡1,5) − 5⁡𝑥⁡1,52 = 22,5 − 11,25 = 11,25
b. 𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑄 = 2⁡⁡⁡⁡⁡⁡→⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑀𝑈 = 15 − 10(2) = ⁡−⁡5
𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑄 = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡→⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑀𝑈 = 15 − 10(3) = ⁡−15
Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1.5; 11,25). Pada saat konsumen
mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun
jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk
tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.
34
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring
perubahan nilai yang dimasukan. Tidak hanya sebagai salah satu materi pembelajaran
semata, turunan dapat diaplikasikan dalam kehidupan manusia diberbagai bidang yang ada.
Contohnya pada bidang ekonomi. Pengaplikasian ini ditujuankan tidak lain adalah agar
dapat menyelesaikan permasalahan dengan cara yang lebih mudah dan praktis.
Pada bidang ekonomi penggunaan turunan berkaitan erat tentang perhitungan biaya
total, biaya marginal dan biaya rata-rata suatu proses produksi. Biaya total adalah biaya
yang diperlukan untuk memproduksi sejumlah barang tertentu, sedangkan biaya marginal
adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.
B. Saran
1. Bagi para para pembaca menjadi dapat mempelajari juga aplikasi turunan di selain pada
bidang ekonomi, misalnya pada bidang fisika, teknik, biologi, dan lain sebagainya.
2. Untuk teori pembahasan dapat mencari referensi-referensi dari sumber lainnya yang dapat
menambah wawasan dan memperkuat argumen atau uraian yang sudah dituliskan.
35
DAFTAR PUSTAKA
Ammariah,
Hani.
2021.
“Memahami
Konsep
Turunan
Fungsi
Aljabar”,
https://www.ruangguru.com/blog/turunan-fungsi-aljabar diakses pada 12 Desember 2021
pukul 21.01 WIB.
Blog KoMa. Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan. konsep-matematika.com.
https://www.konsep-matematika.com/2015/12/kecepatan-dan-percepatanmenggunakan.html diakses pada tanggal 12 Desember 22.12 WIB.
Suherman, E., Turmudi, Suryadi, D., Herman, T., Suhendra, Prabawanto, S., Nurjanah, dan
Rohayati, A. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika dan Kontemporer. Bandung :
JICAUniversitas Pendidikan Indonesia (UPI).
Sukardi. 2019. “Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)”,
https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/ diakses
pada tanggal 13 Desember 18.51 WIB.
Zam, Nizam. 2013. Sejarah dan Pengertian Kalkulus. Bandung: Institut Teknologi Bandung
(ITB)
36