Université Alger 1
L2 Informatique
Théorie des graphes
Faculté des Sciences
15 Février 2020
Corrigé Examen Semestriel
Département MI
Durée 1h30
Exercice 01 (4 points)
Soit G=(X,U,d) un graphe pondéré dont les poids sont donnés dans le tableau suivant :
A
11
17
17
11
16
20

B
9
12
17
9
10
C
14
15
9
21
D
10 E
10 8 F
19 8 12 G
Tracer le graphe G et calculer l’arbre du poids minimum. Justifiez votre réponse.
Corrigé
Graphe : 1.5 points
11
B
A
9
17
20
17
10
G
12
9
16
C
21
11
17
14
19
15
12
9
D
10
8
F
10
8
E
Application de l’algorithme de Kruskal : 1.5 points
i
𝒖𝒊
C(𝒖𝒊 )
1
(E,F)
8
2
(E,G)
8
3
(B,C)
9
4
(B,F)
9
5
(C,F)
9
6
(B,G)
10
7
(D,E)
10
8
(D,F)
10
9
(A,B)
11
10
(A,E)
11
11
(B,D)
12
12
(F,G)
12
13
(C,D)
14
14
(C,E)
15
15
(A,F)
16
16
(A,C)
17
17
(A,D)
17
18
(B,E)
17
19
(D,G)
19
20
(A,G)
20
21
(C,G)
21
11
B
A
9
Arbre du poids min : (0.5 point)
C
9
G
D
8
F
10
8
E
Poids min = 8+8+9+9+10+11 = 55 (0.5 point)
2
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Théorie des graphes
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15 Février 2020
Corrigé Examen Semestriel
Département MI
Durée 1h30
Exercice (8 points)
Sur un réseau ferroviaire, il a été indiqué sur chaque tronçon entre deux villes le nombre
maximum de trains qui peuvent passer par jour dans le sens indiqué (voit tableau ci-après).
Nous avons les hypothèses suivantes :


Aller de la ville S à la ville P prends moins d’un jour.
Chaque jour, il peut partir au plus 23 trains de la ville S.
S
A
B
C
D
E
F
G
P
S A B C D E
F G P
5 10 8
7 10
1 8 2
2 4
7
2 4 6
6
10
1. Donner une suggestion sur l’ensemble minimum d’arcs dont la suppression ne laisse aucun
chemin entre les sommets S et P. (1 point)
Suggestion :
ensemble composé de 3 arcs {(S,A),(S,B),(S,C)} ou bien {(G,P),(E,P),(F,P)}
2. Donner la somme des capacités des arcs dans cet ensemble? (1 point)
{(S,A),(S,B),(S,C)} = 23 , {(G,P),(E,P),(F,P)} = 22
3. Appliquer l’algorithme de Ford-Fulkerson sur ce réseau?
Flot initial : 𝒇𝟎 = 0 (0.5 point)
A
7;0
D
7;0
G
10 ; 0
10 ; 0
5;0
8;0
S
10 ; 0
B
4;0
2;0
1;0
C
P
2;0
2;0
8;0
6;0
E
6;0
4;0
F
Itération 1 : 𝒇𝟏 = 5 (0.5 point)
7;5
A
D
7;5
G
10 ; 0
10 ; 5
5;5
8;0
S
10 ; 0
B
4;0
2;0
1;0
6;0
4;0
C
P
2;0
2;0
8;0
6;0
E
F
Itération 2 : 𝒇𝟐 = 7 (0.5 point)
7;5
A
D
7;5
G
10 ; 0
10 ; 5
5;5
8;0
S
10 ; 2
B
4;0
2;2
1;0
6;0
4;0
C
P
2;0
2;0
8;0
6;2
E
F
Itération 3 : 𝒇𝟑 = 9 (0.5 point)
A
7;5
D
7;5
G
10 ; 0
10 ; 5
5;5
8;0
S
10 ; 2
B
4;0
2;2
1;0
C
P
2;0
2;2
8;2
6;4
E
6;0
4;0
F
4
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Corrigé Examen Semestriel
Département MI
Durée 1h30
Itération 4 : 𝒇𝟒 = 13 (0.5 point)
7;5
A
D
7;5
G
10 ; 0
10 ; 5
5;5
8;0
S
10 ; 2
4;0
2;2
B
1;0
6;4
4;4
C
P
2;0
2;2
8;6
6;4
E
F
Itération 5 : 𝒇𝟓 = 15 (0.5 point)
7;5
A
D
7;7
G
10 ; 0
10 ; 7
5;5
8;2
S
10 ; 4
4;0
2;2
B
1;0
6;4
4;4
C
P
2;0
2;2
8;6
6;4
E
F
Itération 6 : 𝒇𝟔 = 18 (0.5 point)
A
7;2
D
7;7
G
10 ; 3
10 ; 10
5;5
8;5
S
10 ; 7
B
4;3
2;2
1;0
C
P
2;0
2;2
8;6
6;4
E
6;4
4;4
F
Itération 7 : min(10-7;8-5;2;10-3;6-4) = 2 , 𝒇𝟕 = 20 (0.5 point)
A
7; 0
D
7;7
G
10 ; 5
10 ; 10
5;5
8;7
S
10 ; 9
B
4;3
2;2
1;0
6;4
4;4
C
P
2;0
2;2
8;6
6;6
E
F
Flot max = 20 (0.5 point)
A
7; 0
D
7;7
G
10 ; 5
10 ; 10
5;5
8;7
S
10 ; 9
B
4;3
2;2
1;0
C
P
2;0
2;2
8;6
6;6
E
6;4
4;4
F
4. Que peut-on- déduire ? (1 point)
De notre réponse à la première question (suggestion) on pourra déduire l’égalité suivante :
L’ensemble minimum d’arcs de capacité minimale dont la suppression ne laisse aucun
chemin entre les sommets S et P = L’ensemble d’arcs qui correspondent au flot max
(mentionné en rouge sur le réseau(capacité = 5+7+2+2+4=20)).
5. Que représente la valeur obtenue (par rapport à ce problème)? (0.5 point)
Capacité journalière de la gare ferroviaire à la ville P.
Exercice (8 points)
On désire planifier un projet comprenant 13 tâches repérées de A à M.
6
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Corrigé Examen Semestriel
Département MI
Durée 1h30
Tâche Durée (en jours) Prédécesseurs
2
Début
A
2
A
B
6
Début
C
1
Début
D
2
D
E
8
A
F
3
B,C,E
G
10
D
H
7
G
I
11
G
J
3
F
,
H,I
K
8
J,K
L
10
F,H,I
M
1. Tracer le p1anning PERT.
2. Calculer les dates « au plus tôt » et les dates « au plus tard ».
3. Tracer le chemin critique.
4. Déterminer pour chaque tâche la valeur des marges : totale, libre.
Corrigé
1. Graphe (2 points)
4
F;8
10 17
𝒖𝟒 ; 0
1
2
4
B;2
5
A;2
Début
0 0
11
K;3
𝒖𝟏 ; 0
2
C;6
6
4
6
3
3
4
7
H ; 10
𝒖𝟓 ; 0
9
11 17
𝒖𝟑 ; 0
M ; 10
Fin
28 28
J ; 11
6
L;8
16 17
8
9
𝒖𝟐 ; 0
E;2
D;1
1
I;7
6
G;3
6
20 20
9
10
20 20
Date de
début au
plutôt
(DD+tôt)
Tâche Durée
2
2
6
1
2
8
3
10
7
11
3
8
10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
2
0
0
1
2
6
1
9
9
16
20
16
Date de début
au + tard
(DD+tard)
Date de fin
au + tôt
(DF+tot)
0
4
0
0
4
4
6
4
9
9
17
20
17
2
6
6
1
6
16
9
16
16
20
20
28
28
Date de fin
au + tard
(DF+tard)
4
6
6
4
6
17
9
17
17
20
20
28
28
ML MT
0
2
0
0
3
6
0
6
0
0
1
0
2
2
2
0
3
3
7
0
6
1
0
1
0
2
Chemin critique : C,G,J,L (1 point)
Note sur le barème


DD+tôt, DD+tard, DF+tôt, DF+tard : 1 point pour chaque colonne (on retranche
0.25 pour chaque valeur incorrecte)
ML , MT : 0.5 point pour chaque colonne (on retranche 0.25 pour chaque deux
valeurs incorrectes)
8