Katedra za telekomunikacije i obradu signala
Željen Trpovski
OSNOVI
TELEKOMUNIKACIJA
Skripta, drugo izdanje
Novi Sad, 2004. god.
Po odluci Katedre za telekomunikacije i obradu signala ovaj materijal štampan je
kao skripta.
Izdavač: Delta press, Sremska Kamenica
Štampa: Balać, Sremska Kamenica
Štampanje su pomogli:
NET, Novi Sad
Predgovor
Materijal publikovan pod nazivom Skripta iz Osnova telekomunikacija namenjen je studentima
nižih godina studija elektrotehničke i saobraćajne struke. Skripta treba da pruže detaljan uvid u
matematičke osnove i praktične aspekte na kojima su zasnovane savremene telekomunikacije.
Sadržaj je maksimalno prilagođen kursevima iz Osnova telekomunikacija na drugoj godini elektrotehničkog odseka i Principa telekomunikacija na trećoj godini saobraćajnog odseka.
Autor je imao nameru da u knjizi prihvatljivog obima izloži detaljan opis teorijskih osnova kao i
veći broj rešenih primera koji će studentima pomoći da što bolje savladaju materiju koja je
različita od mnogih drugih predmeta, jer predstavlja vezu između neophodne teorije i matematike sa jedne strane i konkretne, gotovo svakodnevne primene sa druge.
Materija je podeljena u dvanaest glava, različitog obima i složenosti.
U prvoj glavi date su osnovne definicije, navedeni osnovni pojmovi i veličine koje se koriste u
savremenim telekomunikacijama.
Druga glava posvećena je frekvencijskoj analizi signala. Frekvencijski domen i frekvencijska
predstava signala, neprekidno su prisutni kao paralela vremenskom domenu u kom smo navikli
da posmatramo signale. Omogućuju jednostavnije razumevanje, analitički tretman i objašnjenje
brojnih postupaka u analizi i obradi signala.
U trećoj glavi opisani su sistemi neophodni za prenos signala.
Četvrta glava predstavlja uvod u izuzetno značajnu oblast diskretizacije signala i analogno-digitalne konverzije. Objašnjena je diskretizacija u vremenskom domenu, kvantizacija signala, kao i
osnovni postupci kodovanja.
U petoj glavi analiziran je uticaj izobličenja i šuma u prenosu analognih signala.
U šestoj glavi date su osnovne karakteristike signala realnih poruka, govora, muzike, podataka i
slike.
U glavi sedam počinju objašnjenja vezana za modulacije, odnosno postupke za prenos signala. U
ovoj glavi izloženi su osnovni analitički principi na kojima se zasniva čitava oblast modulacija.
U osmoj glavi opisani su modulacioni postupci sa prostoperiodičnim nosiocem.
Deveta glava posvećena je modulacionim postupcima sa impulsnim nosicem.
Deseta glava detaljno opisuje sisteme za prenos digitalnih signala. Objašnjeni su osnovni principi
i pokazano je zbog čega je neophodno dobro poznavanje klasičnih analognih modulacionih postupaka.
Jedanaesta glava ukratko opisuje telekomunikacione sisteme koji nas svakodnevno okružuju i
povezuje teoretska znanja sa njihovom praktičnom primenom.
U poslednjoj, dvanaestoj glavi, dato je dvadesetak zadataka različite složenosti, sa kratkim rešenjima ili bez rešenja.
Autor se zahvaljuje prof. dr Miodragu Temerincu i prof. dr Vladimiru Miloševiću koji su, radeći
na predmetu Osnovi telekomunikacija u dugom nizu godina, formirali fond zadataka koji je
korišćen u ovom tekstu, kao i studentima koji su pomogli u realizaciji udžbenika crtanjem slika,
korisnim komentarima i primedbama, kao i ispravljanjem grešaka u prvom izdanju.
Predgovor drugom izdanju
Do potrebe za štampanjem drugog izdanja došlo je veoma brzo nakon štampanja prvog izdanja.
Autor je odlučio da materijal ponovo izda kao skripta između ostalog i zato što je na pragu još
jedna izmena nastavnog plana i programa i nije sasvim jasno u kakvom će se obliku za nekoliko
godina predavati materija koja je ovde obrađena.
Zbog toga su u ovom materijalu ispravljene greške koje su uočene u prethodnom izdanju i
izvršene sitnije promene.
Zadaci su razvrstani u tri kategorije. Oznaka (S) iza broja zadatka znači da je taj zadatak
značajan za studente saobraćajnog odseka. Oznaka (E) pokazuje da je zadatak značajan za
studente elektrotehničkog odseka. Oznake (*) i (**) pokazuje da se radi o složenijem zadatku
koji uglavnom prevazilazi redovno gradivo potrebno za polaganje ispita. Zadaci sa dve zvezdice
nisu neophodni za polaganje ispita, ali će biti korisni studentima koji upišu smer za
telekomunikacije, u kasnijim godinama studija.
Studentima se savetuje da pažljivo prouče rešenja pokazana u zadacima, a da obavezno
samostalno reše zadatke koji se nalaze u 12. glavi.
Za uspešno polaganje ispita neophodno je samostalno rešavanje bar nekoliko kompleta zadataka
sa ranijih ispitnih rokova.
U Novom Sadu, avgusta 2004. god.
SADRŽAJ
1. UVOD ......................................................................................................................................... 1
1.1. Model telekomunikacionog sistema......................................................................................... 2
Rešeni primeri uz poglavlje 1.1....................................................................................................... 3
1.2. Informacija i mera za količinu informacije .............................................................................. 5
Rešeni primeri uz poglavlje 1.2....................................................................................................... 7
1.3. Jedinice u obradi i prenosu signala u telekomunikacijama ...................................................... 9
Rešeni primeri uz poglavlje 1.3..................................................................................................... 10
2. SIGNALI................................................................................................................................... 12
2.1. Definicije. Energija i snaga signala. Operacije nad signalima. .............................................. 12
2.2. Podela signala......................................................................................................................... 15
2.3. Analiza analognih signala ..................................................................................................... 17
Rešeni primeri uz poglavlje 2.3..................................................................................................... 36
2.4. Diskretni signali ..................................................................................................................... 59
Rešeni primeri uz poglavlje 2.4..................................................................................................... 65
3. SISTEMI ZA PRENOS I OBRADU SIGNALA...................................................................... 66
3.1. Linearni sistemi ...................................................................................................................... 66
Rešeni primeri uz poglavlje 3.1..................................................................................................... 73
3.2. Nelinearni sistemi................................................................................................................... 84
3.3. Složeni sistemi........................................................................................................................ 85
Rešeni primeri uz poglavlje 3.3..................................................................................................... 87
3.4. Diskretni sistemi..................................................................................................................... 91
4. DIGITALIZACIJA SIGNALA ................................................................................................. 98
4.1. Odabiranje signala.................................................................................................................. 98
Rešeni primeri uz poglavlje 4.1................................................................................................... 105
4.2. Kvantizacija.......................................................................................................................... 113
Rešeni primeri uz poglavlje 4.2................................................................................................... 118
4.3. Kodovanje ............................................................................................................................ 120
4.4. Impulsna kodna modulacija, IKM........................................................................................ 122
5. IZOBLIČENJA I ŠUM U PRENOSU SIGNALA.................................................................. 123
5.1. Izobličenja u prenosu signala ............................................................................................... 123
Rešeni primeri uz poglavlje 5.1................................................................................................... 130
5.2. Uticaj šuma........................................................................................................................... 135
Rešeni primeri uz poglavlje 5.2................................................................................................... 138
6. KARAKTERISTIKE SIGNALA I PRENOSNIH MEDIJUMA ............................................ 142
6.1. Karakteristike signala........................................................................................................... 142
Rešeni primeri uz poglavlje 6.1................................................................................................... 144
6.2. Karakteristike prenosnih medijuma ..................................................................................... 149
7. MODULACIJE ....................................................................................................................... 152
7.1. Pojam i značenje modulacija................................................................................................ 152
7.2. Opšti model sistema sa modulacijom................................................................................... 155
7.3. Opšta teorija modulacija ...................................................................................................... 156
Rešeni primeri uz poglavlje 7.3. ................................................................................................. 162
8. MODULACIJE SA PROSTOPERIODIČNIM NOSIOCEM................................................. 167
8.1. Amplitudske modulacije ...................................................................................................... 167
8.1.1. Analitički izrazi................................................................................................................. 167
8.1.2. AM modulatori.................................................................................................................. 177
8.1.3. AM demodulatori.............................................................................................................. 180
8.1.4. Šum kod amplitudskih modulacija.................................................................................... 182
8.1.5. Primena amplitudskih modulacija..................................................................................... 184
8.1.6. Frekvencijski multipleks ................................................................................................... 185
Rešeni primeri uz poglavlje 8.1. ................................................................................................. 187
8.2. Ugaone (eksponencijalne) modulacije ................................................................................. 217
8.2.1. Analitički izrazi................................................................................................................. 217
8.2.2. Ugaoni modulatori ............................................................................................................ 222
8.2.3. Ugaoni demodulatori......................................................................................................... 226
8.2.4. Šum kod ugaonih modulacija............................................................................................ 232
8.2.5. Primena ugaonih modulacija............................................................................................. 235
Rešeni primeri uz poglavlje 8.2. ................................................................................................. 236
9. MODULACIJE SA IMPULSNIM NOSIOCEM.................................................................... 260
9.1. Postupci modulacije ............................................................................................................. 260
Rešeni primeri uz poglavlje 9.1. ................................................................................................. 266
9.2. Vremenski multipleks .......................................................................................................... 275
Rešeni primeri uz poglavlje 9.2. ................................................................................................. 276
10. DIGITALNI PRENOS.......................................................................................................... 279
10.1. Osnovni pojmovi................................................................................................................ 279
Rešeni primeri uz poglavlje 10.1. ............................................................................................... 290
10.2. Modulacije sa digitalnim signalom .................................................................................... 292
Rešeni primeri uz poglavlje 10.2. ............................................................................................... 300
11. TELEKOMUNIKACIONI SISTEMI DANAŠNJICE ....................................................... 304
11.1. Telegrafija .......................................................................................................................... 304
11.2. Telefonija ........................................................................................................................... 304
11.3. Klasičan prenos podataka................................................................................................... 306
11.4. ISDN .................................................................................................................................. 306
11.5. Radio difuzija..................................................................................................................... 307
11.6. TV difuzija ......................................................................................................................... 311
11.7. Mobilna telefonija .............................................................................................................. 314
11.8. Savremene mreže za prenos podataka ............................................................................... 320
12. RAZNI ZADACI .................................................................................................................. 325
Literatura .................................................................................................................................... 338
Indeks pojmova ........................................................................................................................... 339
Glava 1. Uvod
1
1. UVOD
Telekomunikacije su oblast ljudske delatnosti koja se bavi prenosom poruka, vesti, saopštenja ili
podataka između dva ili više korisnika na udaljenim mestima, obično posredstvom električnih
signala.
Kratak istorijat
U prošlosti su za prenos poruka korišćene najrazličitije metode, počev od glasnika (pešaka, konjanika, poštanskih kočija, goluba pismonoša), preko dimnih signala, do različitih mehaničkih,
optičkih (svetlosnih) i akustičkih sistema koji prenose poruku vidljivim ili zvučnim simbolima.
Svaki od ovih sistema manje je ili više zadovoljavao potrebe društva u kome je razvijen i korišćen. Paralelno sa porastom potreba za komunikacijama, javljale su se nove i nove tehničke mogućnosti koje su dovele do pojave električnih komunikacija i sistema koje i danas koristimo.
1844. godine postavljen je Morzeov telegraf između Baltimora i Vašingtona. Sistem je služio za
prenos pisanog teksta tako što je svako slovo predstavljeno odgovarajućom kombinacijom dugih
i kratkih impulsa električne struje koja se kroz provodnike prenosila između dva udaljena mesta.
Prvi telefonski sistem razvio je Bell 1876. godine. Već 1892. postavljena je prva automatska telefonska centrala, a 1967. u svetu je bilo instalirano preko 220 miliona telefonskih priključaka.
Početkom šezdesetih godina prošlog veka počeo je razvoj posebnog sistema za prenos podataka,
paralelno sa telefonskim sistemom. U toku osamdesetih godina počeo je razvoj digitalnog sistema ISDN (Integrated Services Digital Network - mreže za integrisani prenos različitih službi), a
početkom devedesetih i različite varijante mobilne telefonije.
Povezivanje putem elektromagnetnih talasa koji se prostiru u slobodnom prostoru realizovali su
Popov i Markoni 1896-97. godine. Razvoj radio difuzije počeo je pronalaskom elektronskih cevi
1906. godine. Krajem dvadesetih godina počeo je i razvoj televizije kao sistema za prenos slike.
U toku Drugog svetskog rata beleži se nagli razvoj mnogih oblasti telekomunikacija. Postavljene
su osnove digitalizacije i digitalnog prenosa signala. Nakon otkrića tranzistora, 1948. godine i
naglog razvoja računara i računarske tehnologije, došlo je do izuzetnog napretka u svim
oblastima.
Satelitske telekomunikacije počele su da se razvijaju posle 1960. godine kada je lansiran prvi
telekomunikacioni satelit. Sedamdesetih godina prošlog veka počela je primena optičkog vlakna
kao medijuma za prenos signala. Danas se mogu sagledati sledeći pravci razvoja:
- ekspanzija satelitskih i optičkih telekomunikacija,
- potpuna digitalizacija svih vrsta prenosa.
- razvoj integrisanih mreža za prenos različitih poruka i mnogih vrsta usluga.
2
Osnovi telekomunikacija, skripta
Namena komunikacionih sistema
U teoriji komunikacija navode se tri zadatka koje treba realizovati u postupku prenosa poruke:
a) Formirati poruku i što tačnije je predstaviti skupom simbola,
b) Preneti simbole koji predstavljaju poruku sa što većom tačnošću i
c) Obezbediti da primljena poruka bude pravilno protumačena.
Zadaci opisani pod a) i c) spadaju u klasu semantičkih, jezičkih ili filozofskih problema.
Kao primer za prvi zadatak, posmatrajmo razgovor među ljudima. U svakodnevnoj govornoj komunikaciji, saopštavamo rečenicu tako što poruke (naše misli) predstavljamo skupom simbola
(reči). Jedna te ista misao može da se saopšti jasno, jednostavno, precizno, detaljno, konfuzno,
prikriveno, nepotpuno, neprecizno i na mnogo drugih načina.
Kao primer za treći zadatak opet možemo da analiziramo razgovor. Istu izgovorenu rečenicu različiti slušaoci mogu da protumače na različite načine, zavisno od njihove inteligencije, poznavanja govornika, poznavanja jezika kojim komuniciraju, tačnosti prenete rečenice (ponekad jedna
reč koja se pogrešno razume potpuno menja smisao rečenice), kao i mnogih drugih faktora.
Drugi zadatak, naveden pod b), ima pretežno tehničku prirodu. U ovom udžbeniku analizirani su
osnovi postupaka čija je namena da što kvalitetnije realizuju zadatak opisan pod b). Kvalitetna
realizacija ostalih zadataka prepuštena je drugim naučnim disciplinama.
1.1. Model telekomunikacionog sistema
Svaki telekomunikacioni sistem može se predstaviti Šenonovim (Shannon) generalnim modelom, prikazanim na slici 1.1.1.
KANAL
IZVOR
INFORMACIJA
LINIJA
VEZE
PREDAJNIK
PRIJEMNIK
KORISNIK
ŠUM
Slika 1.1.1. Model telekomunikacionog sistema
Izvor informacija obično je osoba ili uređaj koji generiše poruku. Poruka može biti: govor, muzika, pisani tekst, slika, računarski, merni, upravljački ili neki drugi podaci.
Predajnik je sklop koji ima dva zadatka:
- da sve poruke pretvori u električne signale pogodne za prenos;
- da električni signal prilagodi prenosu kroz liniju veze.
Glava 1. Uvod
3
Linija veze je medijum kroz koji se vrši prenos signala. To može biti fizički vod (metalni provodnik ili stakleno vlakno) ili slobodan prostor kroz koji se prenose elektromagnetski talasi. U
toku prenosa signalu se dodaju smetnje i šum, a javljaju se i razna izobličenja poslatog signala.
Prijemnik je sklop čiji je zadatak da primljeni signal pretvori u poruku što sličniju (verniju) poruci koju je generisao predajnik.
Korisnik je osoba ili uređaj kome je poruka namenjena.
U svakom komunikacionim sistemu mogu se identifikovati navedeni sastavni delovi. Kod složenijih komunikacionih sistema, kod kojih se vrši digitalni prenos, detaljnije se razrađuju funkcije predajnika i prijemnika pa je formiran nešto složeniji model komunikacionog sistema. Ovaj
složeniji model umesto predajnika ima više delova čija je funkcija što bolje prilagođavanje
signala uslovima prenosa. Naravno, i prijemnik kod takvih sistema ima veoma složenu strukturu.
Detaljnija analiza složenije strukture komunikacionog sistema obrađuje se na kursevima digitalnih telekomunikacija i digitalne obrade signala, kao i teorije informacija i kodovanja.
Rešeni primeri uz poglavlje 1.1.
Zadatak 1.1.1. (E, S)
Na slici 1. prikazana je blok šema telefonske veze između govornika A i slušaoca B . Otpornost
mikrofona na predajnoj strani ( RM ) zavisi od zvučnog pritiska ( p A ) koji vlada ispred mikro-
fona, RM = f A ( p A ) . Zvučni pritisak koji na prijemnoj strani stvara slušalica zavisi od struje u
kolu, p B = f B (i ) . Izrazima f A ( p A ) i f B (i ) date su funkcionalne zavisnosti. Slušalica je
predstavljena konstantnom otpornošću, RS .
a) Na blok šemi odrediti detaljno pojedine komponente telekomunikacionog sistema.
b) Ako su funkcije f A ( p A ) i f B (i ) date izrazima
R M = RS ⋅
p0
,
p0 + p A (t )
p B = p 0 RS ⋅
i
,
E
(1)
a p A (t ) izrazom:
t
⎧
⋅
(
1
+
)
p
0
⎪
t0
p A (t ) = ⎨
⎪
0
⎩
t ≤ t0 ,
(2)
t > t0 ,
i
A MIKROFON
GOVORNIK
E
SLUŠALICA
Slika 1. Blok šema telefonske veze
B
SLUŠALAC
4
Osnovi telekomunikacija, skripta
gde su RS , p0 i E konstante, nacrtati talasne oblike p A (t ) i p B (t ) . Smatra se da je telefonski vod kratak, pa je zanemareno prostiranje signala.
Rešenje:
a) Izvor informacija je govornik A . Predajnik sačinjavaju mikrofon i baterija E . Linija veze je
žična veza. Prijemnik je slušalica. Korisnik informacija je slušalac B .
b) Struja u kolu data je izrazom:
i=
E
,
RS + RM
(3)
odnosno, posle zamene izraza (1):
i=
p + p A (t )
E
⋅ 0
.
RS 2 ⋅ p0 + p A (t )
(4)
Ako se uvrsti zavisnost p A (t ) , data izrazom (2), dobija se:
⎧ E 2t0 + t
⎪ R ⋅ 3t + t , t ≤ t0 ,
⎪ S
0
i=⎨
E
⎪
, t > t0 .
⎪⎩ 2 ⋅ RS
(5)
Zvučni pritisak koji stvara slušalica, na osnovu (1) i (5), ima oblik:
⎧ 2t0 + t
⎪⎪ p0 3t + t , t ≤ t0 ,
0
p B (t ) = ⎨
⎪ p0 ,
drugde
⎪⎩ 2
(6)
Talasni oblici prikazani su na slici 2.
RM (t)
pA (t)
RS
2p0
p0
-t 0
0
RS/3
t0
-t 0
t
0
p (t)
B
p0 /2
-t 0
0
t0
t
Slika 2. Talasni oblici karakterističnih veličina
t0
t
Glava 1. Uvod
5
Poređenjem izraza za p A i p B vidi se da telefonska veza nije linearna, usled čega dolazi do izobličenja primljenog signala p B . Ni jedan realan sistem za prenos nije idealno linearan pa zato
on nužno unosi manje ili veće izobličenje u prenošenu poruku.
1.2. Informacija i mera za količinu informacije
Treba objasniti nekoliko pojmova i uvesti određene definicije.
Informacija je apstraktan pojam koji opisuje “sve ono što što pruža saznanje, odnosno obaveštenje”. Informacija se prenosi kroz razmenu poruka između dva ili više korisnika.
Poruka je niz simbola iz unapred dogovorenog i poznatog skupa simbola. Skup mogućih simbola
naziva se alfabet. Svi korisnici (učesnici u razmeni informacija) treba da poznaju ceo alfabet.
Korisnici, međutim, ne znaju koju će poruku generisati predajna strana. Korisnik na predajnoj
strani formira poruku birajući simbole iz alfabeta. Sistem za prenos prilagođava poruku uslovima
prenosa, vrši prenos i ponovo formira (rekonstruiše) poruku. Korisnik na prijemnoj strani prima
poruku, tumači je i iz nje izdvaja (saznaje) informaciju.
Primer. Posmatrajmo razgovor i u njemu izgovoreni tekst kao izvor informacija. Simboli mogu
da budu, npr. slova i ostali znakovi. Ako dva korisnika komuniciraju na nivou slova, oni treba da
poznaju simbole (sva slova). Kada jedna strana (predajnik, izvor informacija) generiše poruku,
ona formira niz slova i šalje ih drugoj strani (prijemniku, korisniku informacija). Prijemnik mora
da prepozna poslata slova i time je proces razmene informacija završen.
Osim slova, simboli mogu da budu i slogovi, reči, rečenice, itd.
Ako se kao izvor informacija posmatra srpski jezik, tada simboli mogu da budu reči. Da bi komunikacija bila ispravna, i predajnik i prijemnik treba da poznaju srpski jezik. Inače, ako sagovornici ne poznaju jezik kojim komuniciraju, nema prave komunikacije ni razmene informacija.
Na višem nivou od komunikacije rečima mogu se postaviti različiti, složeniji modeli, za koje je
ponekad veoma teško odrediti simbole i vršiti kvantitativnu analizu.
Da bi se moglo uvesti kvantitativno proučavanje informacija, kao i količine informacija, koriste
se pojmovi iz teorije informacija.
Posmatrajmo alfabet kao skup sačinjen od simbola, Ai , i = 0..M − 1 . U skupu postoji konačan
broj od M različitih simbola. Neke osobine izvora informacija mogu se meriti samo ako su poznate verovatnoće pojavljivanja pojedinih simbola, pi = p ( Ai ), i = 0..M − 1. Pri tom postoji
ograničenje, poznato iz teorije informacija, po kome je skup svih događaja (simbola) tzv. siguran
događaj. Za siguran događaj važi sledeće ograničenje:
M −1
∑i =0
pi = 1 .
(1.2.1)
6
Osnovi telekomunikacija, skripta
Pojam količine informacija koju nose pojedine poruke može se intuitivno povezati sa recipročnom vrednošću verovatnoće pojavljivanja posmatrane poruke. Ako je poruka verovatnija, ona
nosi manju količinu informacija i obrnuto.
Primer. Vest (ili prognoza) da je u avgustu (na severnoj hemisferi) bio sunčan dan nikoga neće
posebno zainteresovati (dakle, takva vest ili poruka sadrži malu količinu informacija), za razliku
od vesti da je u avgustu bio mraz ili da je pao sneg. Verovatnoće navedenih poruka i vezu sa količinom informacija čitalac može da proceni sam, na osnovu iskustva. Jasno je da događaj sa velikom verovatnoćom pojavljivanja nosi malu količinu informacija i obrnuto.
Ako se uvedu sledeće pretpostavke:
- količina informacija koju nosi siguran događaj jednaka je nuli,
- količina informacija koju nosi malo verovatan događaj veoma je velika,
usvojen je matematički model po kom se količina informacija, Qi , koju nosi poruka Ai sa verovatnoćom pojavljivanja pi određuje kao:
⎛ 1 ⎞
Qi ∝ log⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ pi ⎠
(1.2.2)
gde znak ∝ označava proporcionalnost, a baza primenjenog logaritma i jedinica za količinu
informacija nisu unapred definisane.
Ako je verovatnoća neke poruke veoma mala, ona nosi ogromnu količinu informacija, ali to ne
znači da je posmatrani izvor informacija, kad generiše takvu poruku, naročito “efikasan”. Za izvore informacija definiše se prosečna količina informacija ili entropija izvora kao:
H = E [Qi ] = ∑i =0 pi ⋅ Qi .
M −1
(1.2.3)
Entropija se naziva i 'srednja mera neizvesnosti sistema ili izvora'. U izrazu (1.2.3) E [Qi ] je
oznaka (operator) za određivanje statističke srednje vrednosti. Dimenzije entropije određene su u
nastavku.
Praktično značenje količine informacija
Posmatrajmo najjednostavniji izvor koji generiše samo dve moguće poruke, sa simbolima iz
skupa sa dva elementa, npr. (0 i 1) ili (DA i NE). Intuitivno je jasno da prenos svakog simbola iz
takvog izvora može da se obavi prostim otvaranjem ili zatvaranjem prekidača u električnom
kolu. Ako su verovatnoće poruka jednake, p0 = p1 = 0.5 , i ako se primeni logaritam sa osnovom 2 (binarni logaritam), količina informacija koju nosi bilo koji simbol, kao i entropija, prema
(1.2.2) i (1.2.3), jednaka je jedinici.
Sa binarnim logaritmom entropija ima dimenzije (mernu jedinicu) 'bita po simbolu' ( bit/simb ),
ili samo bit (skraćenica od binary digit). Neki autori ovu jedinicu nazivaju i Šenon (Shannon) u
čast velikog teoretičara, čoveka koji je postavio osnove teorije informacija. Pošto izvor sa manje
od dve različite poruke nema smisla, navedeni primer predstavlja osnovni tip izvora informacija,
a jedinica bit je osnovna jedinica za količinu informacija.
Glava 1. Uvod
7
Ako izvor generiše četiri moguće (različite) poruke, tj. M = 4 , prenos se može vršiti odgovarajućim složenijim sistemom koji razlikuje četiri različita stanja. Ako su verovatnoće poruka
jednake i ako se primeni logaritam sa osnovom 4, ponovo je količina informacija koju nosi bilo
koji simbol, kao i entropija, jednaka 1, ali ne bit nego neka ‘ternarna jedinica’.
Međutim, četiri poruke mogu se zameniti parovima binarnih simbola 00, 01, 10 i 11. Vidi se da
je za prenos svakog od četiri različita simbola praktično potrebno preneti po dva binarna broja, tj.
dva bita. Ako važe isti uslovi za prenos kao u prethodnom slučaju, prenos simbola koji opisuju
poruku treba da traje dvostruko duže nego kod binarnog prenosa. Sa istom osnovom logaritma
kao u slučaju M = 2 , dobija se da je entropija jednaka 2 bit/simb .
Ako izvor generiše osam mogućih poruka, tj. M = 8 , dobija se da je entropija jednaka 3, a za
prenos svakog od osam različitih simbola, binarno kodovanih sa po tri bita, 000, 001, 010,…111,
praktično treba preneti tri binarna broja, što zahteva trostruko duži prenos.
Ova jednostavna analiza pokazuje da se količina informacija može povezati i sa sasvim praktičnim merilima, kao što je trajanje prenosa i, direktno s tim u vezi, cenom prenosa. Složeniji sistemi zahtevaju dugotrajniji (i skuplji) prenos pojedinih poruka, ali pri tom nose veću količinu
informacija.
Rešeni primeri uz poglavlje 1.2.
Zadatak 1.2.1. (E, S)
a) Izvor informacija bez memorije generiše dve moguće poruke sa verovatnoćama pojavljivanja
p i 1 − p . Nacrtati zavisnost entropije izvora od p i odrediti njenu maksimalnu vrednost.
b) Za izvor informacija sa M mogućih poruka odrediti verovatnoće p k , k = 0,1,2,...M − 1 ,
tako da entropija bude maksimalna. Odrediti njenu vrednost.
Rešenje:
a) Entropija izvora sa dva moguća stanja može se napisati u obliku:
H = p ⋅ ld
1
1
.
+ (1 − p ) ⋅ ld
p
1− p
Maksimalnu vrednost entropija ima za ono p za koje je
1− p
dH
= 0 , tj. ld
= 0 , odakle se
dp
p
dobija p = 0.5 . Maksimum iznosi H max = 1 bit/simb . Zavisnost entropije od p prikazana je
na slici 1.
b) Treba odrediti nepoznate p k , k = 0, 1, 2, ... M − 1 . Problem se može rešiti Lagranžovim
metodom, po kom se traži maksimum funkcije F :
8
Osnovi telekomunikacija, skripta
⎛ M −1
⎞
F = H + λ ⋅ ⎜⎜ ∑ p k − 1⎟⎟ ,
⎝ k =0
⎠
gde je veličina
λ Lagranžov multiplikator. Traži se k parcijalnih izvoda:
1
λ−
1
1
dF
= ld
−
+ λ = 0 , sa rešenjima: p k = 2 ln 2 , k = 0,1,2,...M − 1 .
dp k
p k ln 2
Pošto pk u prethodnom izrazu očigledno ne zavisi od k , zaključuje se da su sve vrednosti pk ,
k = 0,1,2,...M − 1 , međusobno jednake. Pošto je
p k = 1 , sve verovatnoće p k , imaju
∑
k
jednaku vrednost i ona iznosi 1 M . Lako se izračunava da maksimalna entropija, za ovako određene verovatnoće, ima vrednost:
H max = ld ( M ) bit/simb .
(1)
H(bit)
1
0
0.5
1
p
Slika 1. Zavisnost entropije od verovatnoće p
Ako verovatnoće pojavljivanja mogućih poruka nisu jednake, prema slici 1. u zadatku 1.2.1, entropija ima vrednost manju od maksimalne. To, intuitivno, znači da je, u tom slučaju, za prenos
signala, u proseku, potreban manji broj bita po simbolu od maksimalno određenog i da taj broj
nije ceo broj.
Takođe, postoje izvori informacija koji generišu poruke među kojima postoji određena zavisnost.
Za takve izvore kaže se da imaju memoriju. Kao primer ponovo može da posluži srpski ili bilo
koji drugi jezik. U sastavljanju slogova i reči postoje kombinacije slova koje se nikada ili skoro
nikada neće dogoditi, kao npr. fd, kh, pb, zs, cf, itd. Uz činjenicu da sva slova nisu jednako verovatna, može se zaključiti da kodovanje skupova, npr. parova slova, umesto pojedinačno kodovanje svakog slova, može da bude efikasnije, što znači i ekonomičnije.
Interesantan primer kodovanja predstavlja telefonska numeracija pozivnih brojeva država u međunarodnom saobraćaju i gradova u nekim zemljama. SAD, kao država sa očekivanim velikim
telefonskim saobraćajem, ima pozivni broj 1 , Rusija ima broj 7 , mnoge zemlje srednje veličine
imaju dvocifrene pozivne brojeve (Nemačka 49, Francuska 33, Australija 61, itd), a sasvim male
države imaju trocifrene brojeve (Finska 358, Albanija 351, Makedonija 389, itd.). Naravno, ni
jedna država nema pozivni broj 17, ili 498. Zašto? U nekim zemljama svi gradovi imaju jednaku
dužinu pozivnih brojeva. U nekim zemljama, međutim, veći gradovi imaju kraće pozivne brojeve
(npr. u Nemačkoj Minhen 089), dok mali gradovi i sela imaju znatno duže brojeve (npr. takođe u
Nemačkoj, Hildeshajm 05121). Razlog leži u smanjenju prosečne dužine zauzimanja pojedinih
delova telefonskog komunikacionog sistema.
Glava 1. Uvod
9
Detaljna objašnjenja ovih postupaka izučavaju se na kursevima Teorije informacija i kodovanja.
Zadatak 1.2.2. (E, S)
Posmatra se srpski jezik kao izvor informacija bez memorije a slova kao moguće poruke. Pretpostavlja se da su verovatnoće svih suglasnika jednake p1 , a samoglasnika p 2 . Takođe važi i
jednakost p 2 = 5 p1 .
a) Odrediti količinu informacija koju prenosi jedan suglasnik i jedan samoglasnik.
b) Odrediti entropiju izvora.
Rešenje:
Srpski jezik ima dvadesetpet suglasnika i pet samoglasnika. Uz uslov koji je dat u tekstu zadatka
i ograničenje po kome zbir svih verovatnoća mora biti jednak jedinici, dobijaju se dve jednačine:
25 p1 + 5 p2 = 1
i
p 2 = 5 p1 .
Odavde se lako izračunava: p1 = 0.02 , p 2 = 0.1 .
a) Količina informacija za svaki suglasnik iznosi Q1 = −ld ( p1 ) = 5.64 bit , a za samoglasnik
Q2 = −ld ( p2 ) = 3.32 bit .
b) Entropija izvora iznosi H = 25 p1Q1 + 5 p 2Q2 = 4.48 bit simb .
Kada bi sva slova u srpskom jeziku imala jednaku verovatnoću pojavljivanja, p = 1 30 , entropija bi bila najveća i iznosila bi 4.95 bit simb . Ukoliko bi se uzele stvarne verovatnoće pojedinih slova i pretpostavila nezavisnost pojavljivanja od onih koje im prethode, za entropiju srpskog
jezika dobilo bi se 4.24 bit/simb , a npr. engleskog 4.09 bit simb . Stvarna entropija oba jezika znatno je manja zbog postojanja memorije, odnosno zavisnosti između susednih slova. Procenjuje se da ona iznosi oko 1 bit/simb i mogla bi se praktično postići primenom posebnih tehnika kodovanja koje se nazivaju entropijsko kodovanje.
1.3. Jedinice u obradi i prenosu signala u telekomunikacijama
U postupcima obrade i prenosa signala često se koriste logaritamske jedinice. Umesto vrednosti
napona (u voltima, V ), struje (u amperima, A ) i snage (u vatima, W ), koriste se nivoi napona,
struje i snage, definisani izrazima:
nu = 20 ⋅ log
U
I
P
, ni = 20 ⋅ log
, n p = 10 ⋅ log
,
U0
I0
P0
respektivno. Za sva tri nivoa jedinica se zove decibel, dB .
(1.3.1)
10
Osnovi telekomunikacija, skripta
Umesto dekadnog logaritma ponekad se koristi i prirodni logaritam:
nu = ln
U
P
1
I
, ni = ln
, n p = ⋅ ln
,
2
P0
U0
I0
(1.3.2)
respektivno, a jedinica se naziva neper, N . U izrazima (1.3.1) i (1.3.2) konstante U 0 , I 0 i P0
nazivaju se referentne veličine. Ako se usvoje vrednosti: U 0 = 0.775 V , I 0 = 1.29 mA i
P0 = 1 mW , nivoi se nazivaju apsolutni, a jedinice su dBm (čita se decibel m ili dbm) i Nm .
Rešeni primeri uz poglavlje 1.3.
Zadatak 1.3.1. (E, S)
Odrediti vezu između logaritamskih jedinica dB i N .
Rešenje:
Nivo napona u N označićemo sa nu , a odgovarajući nivo u dB sa nu′ .
Važe sledeće jednakosti:
nu = ln
U
,
U0
nu′ = 20 ⋅ log
U
.
U0
Na osnovu osobine logaritamske funkcije da je x = e
⎛ ln U
U
⎜
nu′ = 20 ⋅ log
= 20 ⋅ log⎜ e U 0
U0
⎜
⎝
ln( x )
, važi sledeća jednakost:
⎞
⎟
nu
⎟⎟ = 20 ⋅ log(e ) = 20 ⋅ nu ⋅ log(e) .
⎠
Ako je nu = 1 N ovom nivou napona odgovaraće, izražen u decibelima, nivo:
nu′ = 20 ⋅ log(e) dB = 8.686 dB , odnosno 1N = 8.686 dB , 1 dB = 0.115 N .
Zadatak 1.3.2.
Tri pojačavača napona sa pojačanjem A = 4 vezana su na red. Odrediti nivo napona, struje i
snage u dB :
a) iza prvog pojačavača,
b) iza poslednjeg pojačavača,
uzimajući napon, struju i snagu na ulazu kao referentne. Ulazne otpornosti pojačavača jednake su
otporu potrošača R .
Glava 1. Uvod
11
I0
U0
~
I1
A
U1
I2
A
U2
I3
A
U3
R
Slika 1. Redna veza pojačavača
Rešenje:
a) Ulazni napon, struja i snaga označeni su sa U 0 , I 0 i P0 =
čavača napon, struja i snaga imaju oblik:
U1 = AU 0 = 4U 0 ,
I1 = AI 0 = 4 I 0 ,
Odgovarajući nivoi su:
1
U 0 I 0 . Na izlazu prvog poja2
1
P1 = U1 I1 = A 2 P0 = 16 P0 .
2
nU 1 = 20 ⋅ log(U1 / U 0 ) = 12 dB ,
nI 1 = 20 ⋅ log( I1 / I 0 ) = 12 dB ,
nP1 = 10 ⋅ log( P1 / P0 ) = 12 dB (korišćena je približna vrednost log(4) = 0,6 ).
Dakle, ako je otpornost na kojoj se određuju nivoi napona, struje i snage jednaka U 0 I 0 , svi
nivoi su isti.
3
b) nU 3 = nI 3 = nP 3 = 20 ⋅ log A = 3 ⋅ 20 ⋅ log A = 3 ⋅ nU 1 = 36 dB .
Ekvivalent množenja signala predstavlja sabiranje odgovarajućih nivoa. Takođe treba primetiti
da se nivo napona poveća za 6 dB , a nivo snage za 3 dB kad se odgovarajući napon i snaga
udvostruče.
12
Osnovi telekomunikacija, skripta
2. SIGNALI
2.1. Definicije. Energija i snaga signala. Operacije nad signalima.
Pojam signala ili električnog signala može se definisati na više načina. Dve veoma razumljive
definicije glase:
a) Signal je (električni) ekvivalent poruke.
b) Signal je skup podataka o nekoj pojavi ili događaju.
Primeri. Signal može da bude promena napona ili struje na izlazu mikrofona, promena napona
na izlazu medicinskih uređaja kao EKG ili EEG, podaci o vodostaju Dunava očitavani svaki dan
u 12:00, vrednost valuta na deviznom tržištu, slika na ekranu ili monitoru, itd.
Signal se u telekomunikacijama obično posmatra kao zavisna fizička veličina (zavisna promenljiva, funkcija). Ona se menja u zavisnosti od druge fizičke veličine (nezavisne promenljive).
Zavisna promenljiva može da bude, po svojoj prirodi: napon, struja, električni potencijal, skup
brojeva dobijenih očitavanjem nekih podataka, itd. Nezavisna promenljiva može da bude vreme,
neka od prostornih koordinata ( x, y ) , itd.
Signal se najčešće zapisuje u obliku x(t ) , x(n) ili x n , gde je sa x (ili neko drugo malo slovo
latinice) označena zavisna promenljiva (može da bude napon, struja ili neka treća veličina), a sa
t ili n nezavisna promenljiva. Obično je t kontinalna promenljiva, kao što je to vreme. n je
celobrojna promenljiva koja nema dimenzije, a njeno fizičko značenje može da bude različito:
vreme, prostorne koordinate, itd.
Najčešće je signal realna veličina. Ponekad se koriste i signali za koje kažemo da su kompleksni.
Kompleksni signal je kombinacija dva signala kod kojih je veza između realnog i imaginarnog
dela povezana sa faznom razlikom od π / 2 . Iz matematičke analize poznato je da ovakva fazna
razlika postoji između realnih i imaginarnih brojeva, kao i između sinusa i kosinusa.
Ako je broj nezavisnih promenljivih veći od jedan, govorimo o višedimenzionalnim signalima.
Tako je, npr. signal p ( x, y ) funkcija dve promenljive. Ako ove promenljive odgovaraju prostornim koordinatama, radi se npr. o signalu mirne (nepokretne) slike. Signal p ( x, y, t ) može da
predstavlja signal pokretne slike.
Energija i snaga signala
Posmatramo signal x(t ) . U svakom trenutku, (t ) , signal može da ima drugačiju vrednost. Da bi
mogli da na neki način izmerimo ili ocenimo ceo signal, treba primeniti postupak koji uzima u
obzir i vrednosti i trajanje signala. Jedno od rešenja nudi matematika u obliku 'površine' signala,
preko određenog integrala:
Glava 2. Signali
M=
13
∞
∫ x(t ) ⋅ dt .
(2.1.1)
−∞
Međutim, pošto signal može da ima pozitivne i negativne vrednosti, može se desiti da se prema
(2.1.1) dobije M = 0 za signal sa veoma velikim trenutnim vrednostima, ali suprotnog znaka,
kao i za signal koji je identički jednak nuli. Osim površine signala mogla bi se izračunavati i površina pod funkcijom x(t ) . Najbolja mera signala dobija se izračunavanjem površine pod kri2
vom oblika x (t ) . Ova površina sigurno je nenegativna. Ona ima naročit fizički smisao. Naziva
se energija signala. Za realne signale definisana je kao:
E=
∞
∫x
2
(t ) ⋅ dt ,
(2.1.2a)
−∞
a za kompleksne signale:
E=
∞
∫ x(t )
2
⋅ dt .
(2.1.2b)
−∞
Da bi rezultati dobijeni određivanjem energije signala mogli da se porede, vrednosti treba da budu konačne. Potreban uslov za to jeste da signal teži nuli kad promenljiva (vreme) teži beskonačnosti. Ovaj uslov, međutim, ne zadovoljava široka klasa signala poznata pod nazivom periodični signali. Za njih se, umesto energije, definiše snaga signala (ili srednja snaga) kao:
P=
1
T
T
2
∫x
−
2
(t ) ⋅ dt ,
(2.1.3a)
T
2
gde je T perioda signala, odnosno najmanji vremenski interval posle kojeg se oblik i vrednosti
signala ponavljaju. Ako je signal po svojoj prirodi napon ili struja, dobijena vrednost snage, P ,
odgovara stvarnoj vrednosti snage na otporniku otpornosti 1 Ω . I za kompleksne signale može
se odrediti snaga, na način sličan izrazu (2.1.2b).
Čitaocu prepuštamo da odredi kolika bi bila energija periodičnog i snaga aperiodičnog signala,
iako su to veličine koje, strogo posmatrano, nisu definisane.
Kod signala se ponekad definiše i tzv. trenutna snaga. Za realne signale to je funkcija oblika:
P(t ) =
1 2
⋅ x (t ) ,
R
(2.1.3b)
gde je R otpornost otpornika koja je obično jednaka jedinici.
Na sličan način mogu se definisati i energija i snaga 2-D signala. Koriste se dvostruki integrali, a
integracija se vrši po dve, obično prostorne promenljive. Ove veličine imaju primenu u
kursevima iz digitalne obrade slike i tamo će biti detaljno objašnjene.
14
Osnovi telekomunikacija, skripta
Korisne operacije nad signalima
Postoji nekoliko jednostavnih računskih operacija sa signalima koje su neophodne za pravilno i
dobro razumevanje brojnih postupaka pokazanih u nastavku. To su: pomeranje, skaliranje i
inverzija signala. Najlakše se mogu pokazati na nekoliko primera.
Pomeranje signala. Na slici 2.1.1. pokazan je primer pomeranja signala. Ako je T pozitivna
konstanta, vidi se da je signal x1 (t ) = x (t − T ) pomeren udesno za veličinu T . Formalno,
posmatraju se vrednosti ‘stare’ funkcije x(t ) u pojedinim ‘značajnijim’ tačkama i na osnovu toga određuju vrednosti ‘nove’ funkcije x1 (t ) . Tako npr. u tački t − T = 0 , tj. t = T , ‘stara’
funkcija ima skok, pa važi jednakost x1 (T ) = x(0) . Dakle ‘nova’ funkcija u tački t = T ima
vrednost jednaku vrednosti ‘stare’ funkcije u tački 0 , što odgovara kašnjenju signala, odnosno
pomeranju za T prema većim vrednostima promenljive, vremena. Na sličan način pokazuje se
da pomeranje signala ulevo odgovara izrazu x2 (t ) = x(t + T ) . Ovakvo pomeranje ima samo
teoretski značaj jer u praksi nije moguće pomeriti događaj ‘unapred’.
x (t + T )
x (t − T )
x(t )
τ
T +τ t
T
t
−T
−T +τ
t
Slika 2.1.1. Originalni signal i pomereni oblici, τ i T su pozitivne konstante
Skaliranje signala. Na slici 2.1.2. prikazan je primer skaliranja, odnosno sužavanja i proširivanja signala. Ako je x1 (t ) = x (at ) , a > 0 , posmatramo dva slučaja:
1) a > 1 , vidi se da je došlo do sužavanja signala, zato što se argument signala (ukupna veličina
u okrugloj zagradi) sa promenom vremena t menja brže nego kada je a = 1 i
2) a < 1 , vidi se da je došlo do proširivanja signala, zato što se argument signala sa promenom
vremena t menja sporije nego kada je a = 1 .
x(t )
x(2t )
τ
t
τ /2
x(t / 2)
t
Slika 2.1.2. Originalni signal i dve skalirane varijante
2τ
t
Glava 2. Signali
15
Inverzija signala. Inverzija (reflektovanje) signala može se posmatrati kao posebna vrsta skaliranja kod kog je a = −1 . Inverzija je definisana izrazom x1 (t ) = x(−t ) . Primer je pokazan na
slici 2.1.3. Treba istaći da inverzija parnih signala daje rezultat koji je identičan originalnom, a
inverzija neparnih signala odgovara množenju signala sa − 1.
x ( −t )
x(t )
τ
t
−τ
t
Slika 2.1.3. Originalni signal i njegova inverzija
Kombinovane operacije. Na slici 2.1.4. prikazan je rezultat primene kombinovane operacije invertovanja, skaliranja i pomeranja na originalni signal.
x(−2t + T )
x(t )
τ
t
T −τ
2
T /2
t
Slika 2.1.4. Originalni signal i signal dobijen kombinovanim operacijama
2.2. Podela signala
Postoji više načina za podelu signala. Signali se, npr. mogu podeliti na determinističke (oni za
koje je ponašanje određeno nekim analitičkim izrazom i poznato za svaku vrednost nezavisne
promenljive) i slučajne (oni za koje je poznato samo ponašanje u prošlosti, ako je nezavisna
promenljiva vreme). Deterministički signali mogu se dalje podeliti na periodične i aperiodične.
Detalji su objašnjeni u nastavku.
Svaka od gore navedenih vrsta signala može se dalje podeliti u zavisnosti od osobina nezavisne i
zavisne promenljive. Nezavisna promenljiva može da bude kontinualna (skup realnih brojeva) i
diskretna veličina (skup celih brojeva). Vrednosti signala (zavisna promenljiva) mogu takođe da
budu kontinualne i diskretne.
U tabeli 2.2.1. dat je pregled podele signala na osnovu osobina promenljivih veličina. Tako, npr.
signal sa kontinualnim vremenom i amplitudama, x(t ) , obično nazivamo skraćeno: analogni
16
Osnovi telekomunikacija, skripta
signal. Diskretni signal xn ima potpuniji naziv: signal sa diskretnim vremenom i kontinualnim
amplitudama, ali se takav naziv ne koristi. Kvantizovani analogni signal najređe se koristi kao
poseban oblik signala i nema posebno ime.
Razlika između diskretnog i digitalnog signala leži u njihovoj praktičnoj primenjivosti:
- samo digitalni signal može da se koristi u računarskoj tehnici jer diskretni signal podrazumeva
da su mu vrednosti uzete iz kontinualnog skupa pa se kao takve ne mogu numerički zapisati,
- teorija se uvek pokazuje za diskretne signale a tek se na kraju analiziraju (i eventualno koriguju) posledice numeričkog zaokruživanja usled diskretizacije.
Tabela 2.2.1. Podela signala
Zavisna promenljiva
Nezavisna promenljiva
Kontinualna
Diskretna
Kontinualna
Diskretna
analogni
x(t )
diskretni
xn , x(n)
Kvantizovani
Digitalni
xq (t )
xqn
Tabela 2.2.1. ilustrovana je na slici 2.2.1. Korišćene su iste oznake za pojedine tipove signala.
x(t)
xn
0
t
-1 0 1 2 3 4 5 6
n
xqn
xq(t)
0
t
-1 0 1 2 3 4 5 6
Slika 2.2.1. Ilustracija podele signala iz tabele 2.2.1.
n
Glava 2. Signali
17
2.3. Analiza analognih signala
Po svojoj prirodi, izgledu i osobinama, signali mogu da se budu veoma raznovrsni i različiti. Ova
činjenica značajno komplikuje postupke za proučavanje njihovih osobina i projektovanje sistema
potrebnih za prenos signala pa je u prošlosti uloženo mnogo truda u razvoj metoda za što uniformnije predstavljanje signala. Jedan od postupaka za predstavljanje signala zasniva se na ideji
da se signal razloži na sastavne delove koji su jednostavni, da je veza među tim delovima što
jednostavnija, npr. sabiranje, a pri tom delovi imaju osobine koje su pogodne za prenos i dalju
obradu.
Poređenje: U mehanici (fizici) poznat je pojam prostornih sila kao orijentisanih vektora koji povezuju dve tačke u prostoru. Da bi se sile mogle jednostavno proučavati (sabirati, translirati i slično), uveden je pravougli koordinatni sistem i tri jedinična vektora. Razlaganjem svake sile na
vektorski zbir tri jedinična vektora ponderisana odgovarajućim koeficijentima, dobijena je veoma jednostavna i korisna predstava sila.
Za skup tri jedinična vektora u prostoru kaže se da je ortogonalan. To znači da je skalarni proizvod bilo koja dva vektora jednak nuli. Skup vektora istovremeno je i kompletan, zato što ne
postoji više od tri vektora koji su ortogonalni u 3-D prostoru. U raznim naučnim oblastima javlja
se pojam višedimenzionalnih vektora. I u teoriji telekomunikacija često se koriste višedimenzionalni vektori.
Ortogonalnost signala
Pri analizi signala može se zapaziti sličnost između signala i prostornih sila. I kod signala se mogu definisati uslovi ortogonalnosti i kompletnosti. Postoje signali koji zadovoljavaju ove uslove.
Pomoću ortogonalnih signala može se izvršiti razlaganje skoro svih signala koji se javljaju u
praksi. Mnogi autori porede pa čak i poistovećuju signale sa višedimenzionalnim vektorima [3].
Ortogonalnost signala definiše se na sledeći način. Dva realna signala, xm (t ) i xn (t ) , ortogonalni su na vremenskom intervalu (t1 , t 2 ) ako važi sledeća jednakost:
t2
⎧0
∫ xm (t ) ⋅ xn (t ) ⋅ dt = ⎨⎩En
t1
m≠n,
m = n.
(2.3.1a)
En je konstanta koja zavisi od n . Ako su signali kompleksni, ortogonalnost se definiše kao:
⎧0 m ≠ n ,
*
⋅
⋅
=
x
(
t
)
x
(
t
)
dt
⎨
n
∫ m
⎩ En m = n .
t1
t2
(2.3.1b)
Kompletnost skupa ortogonalnih signala definiše se i dokazuje na mnogo složeniji način i ovde
neće biti dokazana.
18
Osnovi telekomunikacija, skripta
Najčešće korišćen postupak za analizu (tj. razlaganje) signala naziva se Furijeova (Fourier) analiza. Postoji nekoliko varijanti Furijeove analize, u zavisnosti od osobina analiziranih signala.
Furijeova analiza periodičnih signala. Furijeov red.
Za signal se kaže da je periodičan ako ispunjava uslov:
s (t ) = s (t + kT ) ,
k = 0,±1,±2,... ,
(2.3.2)
pri čemu je T (konstanta) najkraći interval vremena za koji važi izraz (2.3.2). Ova konstanta
naziva se perioda. Pomoću periode T definišu se i osnovna učestanost periodičnog signala,
f 0 = 1 T , kao i osnovna kružna učestanost, ω 0 = 2πf 0 .
Za periodične signale pokazalo se da je njihova analiza moguća pomoću posebnog, veoma
jednostavnog skupa signala, sastavljenog od prostoperiodičnih, tj. sinusnih funkcija.
Posmatrajmo skup signala:
{1, cos(ω 0t ), cos(2ω 0t ), ..... cos(nω 0t ), ....sin(ω 0t ), sin(2ω 0t ),....sin(nω 0t )...},
(2.3.2a)
gde koristimo oznake i pojmove definisane za periodične signale:
f0 =
1
- osnovna učestanost,
T
T - perioda signala,
ω 0 = 2πf 0 =
2π
- osnovna kružna učestanost,
T
cos ω 0t i sin ω 0t osnovni harmonik (fundamental),
cos nω 0 t i sin nω 0 t - n-ti harmonik.
Posmatrani skup sastoji se od beskonačno mnogo članova.
Posmatrani skup signala ima osobinu ortogonalnosti na intervalu T . Ova osobina dokazuje se tako što se proverava definicioni izraz (2.3.1a) za sve parove signala u skupu (2.3.2a).
Praktično, treba proveriti ispravnost sledeća tri izraza:
T
2
⎧0
⎪
∫ cos(mω 0t ) ⋅ cos(nω 0t ) ⋅ dt = ⎨T
T
⎪⎩ 2
−
2
T
2
∫ sin(mω 0t ) ⋅ cos(nω 0t ) ⋅ dt = 0 ,
−
T
2
m≠n
T
2
⎧0
⎪
, ∫ sin( mω 0 t ) ⋅ sin( nω 0 t ) ⋅ dt = ⎨T
m=n
T
⎪⎩ 2
−
m≠n
m=n
i
2
(2.3.2b)
Glava 2. Signali
19
jer su time obuhvaćeni svi parovi signala koji se javljaju među članovima posmatranog skupa
(2.3.2a). Parovi funkcija kod kojih u dokazivanju ortogonalnosti učestvuje prvi član posmatranog
skupa, konstanta (1 ), imaju vrednost koja je jednaka površini celog broja perioda periodičnog
signala. Lako se pokazuje da je ta vrednost jednaka nuli, bez obzira da li je u pitanju sinus ili kosinus, pa zbog toga ovakvi parovi nisu navedeni u izrazu (2.3.2b).
Periodičan signal može se razviti u trigonometrijski red u obliku:
∞
∞
s (t ) = a0 + ∑ a n ⋅ cos nω 0 t + ∑ bn ⋅ sin nω 0 t ,
n =1
(2.3.3)
n =1
pri čemu su a0 , an i bn realni brojevi koji se nazivaju koeficijenti Furijeovog reda. Oni se izračunavaju kao:
T 2
T 2
1
a0 = ⋅ ∫ s (t )dt ,
T −T 2
2
a n = ⋅ ∫ s (t ) ⋅ cos(nω 0 t )dt ,
T −T 2
T 2
2
bn = ⋅ ∫ s (t ) ⋅ sin( nω 0 t )dt .
T −T 2
(2.3.4)
Ovaj red naziva se Furijeov red, u čast francuskog naučnika Charlesa Fouriera. On je živeo u
periodu 1768-1830. Bio je političar i naučnik, a do trigonometrijskog reda došao je istražujući
oblast termodinamike.
Furijeov red ima još nekoliko oblika.
Na osnovu Ojlerovog obrasca (Euler, mehaničar i matematičar, 1707-1783, Bazel i St Petersburg), e = cos( x) + j ⋅ sin( x ) , izraz (2.3.3) može se napisati u obliku koji se naziva
kompleksni oblik Furijeovog reda:
jx
s (t ) =
∞
∑ s n ⋅ e jnω t ,
0
(2.3.5)
n = −∞
gde su s n kompleksni Furijeovi koeficijenti, dati izrazom:
T 2
1
s n = ⋅ ∫ s (t ) ⋅ e − jnω 0 t dt .
T −T 2
(2.3.6)
Postoji i treći, tzv. kompaktni (ili kosinusni) oblik Furijeovog reda:
∞
s (t ) = A0 + ∑ An ⋅ cos(nω 0 t + Φ n ) ,
(2.3.7)
n =1
čiji se n -ti sabirak naziva n-ti harmonik, amplitude An i faze Φ n . Koeficijenti kompaktnog oblika izračunavaju se indirektno, preko ostalih tipova koeficijenata. Detalji postupka za izračunavanje koeficijenata pojedinih oblika Furijeovog reda, kao i njihove međusobne veze, pokazani su
u zadatku 2.3.1.
20
Osnovi telekomunikacija, skripta
Skup kompleksnih koeficijenata Furijeovog reda signala s (t ) naziva se spektar periodičnog signala. Apsolutne vrednosti koeficijenata predstavljaju amplitudski spektar, a argumenti koeficijenata predstavljaju fazni spektar.
Izrazi (2.3.3) – (2.3.7) dati su kao definicioni izrazi pomoću kojih se određuju koeficijenti pojedinih oblika Furijeovog reda. Ovakav pristup postupku analize signala veoma je praktičan i razumljiv.
Postoji, međutim, i drugi, nešto složeniji i uopšteniji pristup, kojim se dokazuje i optimalnost
razvoja u Furijeov red, konvergencija reda, kao i opšti postupak za razlaganje signala na ortogonalne funkcije, nazvan Gram-Šmitov postupak (Gram-Schmidt). Detalji su pokazani u [2,3].
Osim Furijeove analize, postoje i mnogi drugi skupovi signala (Beselove funkcije, Jakobijevi i
Čebiševljevi polinomi, itd.) koji zadovoljavaju odgovarajuće uslove ortogonalnosti. Ostale varijante analize signala veoma se retko sreću u literaturi.
∗
Treba primetiti da je s − n = s n , što se lako dokazuje smenom n = − n u izraz (2.3.6), pa se
spektar može prikazati i samo za nenegativne učestanosti. Ovakav spektar naziva se prirodni
spektar i najdirektnije odgovara trećem obliku Furijeovog reda (2.3.7).
U gornjim izrazima prvi put se javlja pojam kompleksnog signala kao funkcije realne promenljive, vremena. Kompleksan signal je matematička apstrakcija i predstavlja pogodan zapis kombinacije dva signala koji imaju međusobni pomeraj faze od π / 2 , isto kao što razlika faze između realnog i imaginarnog broja u kompleksnoj ravni iznosi π / 2 .
Ako se analizira Furijeov red u kompleksnom obliku, može se uočiti skup kompleksnih signala:
e jnω 0 t , n = 0,±1,±2,...
(2.3.8)
I ovaj skup predstavlja skup ortogonalnih signala. Ortogonalnost kod kompleksnih signala definisana je izrazom (2.3.1b). Dokaz ortogonalnosti kod skupa (2.3.8) izvodi se na sledeći način:
T
2
(
)
*
jmω t
jnω t
∫ e 0 ⋅ e 0 ⋅ dt =
−
T
2
T
2
∫e
−
1
=
j ⋅ (m − n ) ⋅ ω 0
j (m − n )ω 0 t
⋅ dt =
T
2
T
⎛ j ⋅(m − n )⋅ω 0 T
− j ⋅(m − n )⋅ω 0 ⎞
⎜
2
2 ⎟ = T ⋅ sin π (m − n ) .
⋅ e
−e
⎟
⎜
π (m − n )
⎠
⎝
(2.3.9)
Ovaj izraz različit je od nule samo za m = n , jer se tada primenom Lopitalovog (L’Hospital)
pravila pokazuje da razlomak ima vrednost jednaku jedinici. Za m ≠ n brojilac je uvek jednak
nuli. Time je dokazana ortogonalnost posmatranog skupa kompleksnih signala.
jnω t
0
Izraz oblika e
ponekad se naziva jezgro ili kernel kompleksnog oblika Furijeovog reda.
Kernel realnog oblika Furijeovog reda čine funkcije iz skupa funkcija datih izrazom (2.3.1c).
Glava 2. Signali
21
Osobine Furijeovog reda
Furijeov red ima veći broj osobina čije poznavanje omogućava da se mnogi proračuni realizuju
znatno brže i jednostavnije nego direktnom primenom definicionih izraza.
1. Veze između pojedinih oblika Furijeovog reda.
Ove veze detaljno su izvedene i objašnjene u zadatku 2.3.1.
2. Spektar periodičnog signala.
Skup kompleksnih koeficijenata (kompleksna funcija realne celobrojne promenljive) naziva se
spektar periodičnog signala. Spektar se često prikazuje grafički, pri čemu se posebno crta amplitudski a posebno fazni spektar. Amplitudski spektar je parna funkcija, a fazni neparna funkci∗
ja. Ova osobina proizlazi iz već dokazane jednakosti: s − n = s n i osobina kompleksnih brojeva.
Primeri su pokazani u zadatku 2.3.2.
3. Parsevalova teorema.
Povezuje snagu periodičnog signala u vremenskom i frekvencijskom domenu. Snaga periodičnog
signala, P , može se odrediti na dva načina: iz vremenskog oblika funkcije; kao i u frekvencijskom domenu (preko koeficijenata Furijeovog reda) kao:
1
P= ⋅
T
T
2
∫s
−
2
(t ) ⋅ dt =
∞
∑ sn
2
.
(2.3.10)
n=− ∞
T
2
Dokazuje se na sledeći način. U definicionom integralu u izrazu (2.3.10) uočava se da važi
s 2 (t ) = s (t ) ⋅ s (t ) , a zatim se jedan činilac (signal s (t ) ) zamenjuje Furijeovim redom:
1
P= ⋅
T
T
2
1
∫ s (t ) ⋅ dt = T ⋅
T
−
2
2
T
2
∫
−
s (t ) ⋅
T
2
∞
∑ s n ⋅ e jn 2πf t ⋅ dt .
0
(2.3.10a)
n=− ∞
Zatim se menja redosled sabiranja i integracije. Dobijeni integral ima oblik koji odgovara konjugovano kompleksnom koeficijentu Furijeovog reda:
1
⋅
T
=
T
2
∫
−
s (t ) ⋅
∑
n=− ∞
∑ s n ⋅ e jn 2πf t ⋅ dt =
0
n=− ∞
T
2
∞
∞
sn ⋅
1
⋅
T
T
2
jn 2πf t
∫ s(t ) ⋅ e 0 ⋅ dt =
−
T
2
∞
∑ s n ⋅ s∗n =
n=− ∞
∞
∑ sn
n=− ∞
2
.
(2.3.10b)
22
Osnovi telekomunikacija, skripta
4. Pomeranje u vremenu.
Ako su xn koeficijenti FR signala x(t ) , tada se koeficijenti yn pomerenog signala, datog u obliku y (t ) = x (t − τ ) , izračunavaju prema izrazu:
y n = xn ⋅ e
− j 2π ⋅ n ⋅
τ
T .
(2.3.11)
Ova osobina dokazuje se uvođenjem smene λ = t − τ u definicioni izraz (2.3.6). Nakon smene
granica, koristi se i osobina da je integral nad jednom periodom periodične funkcije jednak, bez
obzira na položaj početne tačke (donje granice) integracije.
5. Linearnost.
Ako je periodični signal nastao sabiranjem dva periodična signala jednakih perioda, od kojih
svaki ima poznate koeficijente FR, koeficijenti FR zbira jednaki su zbiru koeficijenata FR sabiraka. Ova osobina lako se dokazuje na osnovu linearnosti određenog integrala.
6. Uticaj parnosti signala.
Spektar parnog signala (tj. signala za koji važi jednakost s (t ) = s ( − t ) ) sadrži čisto realne koeficijente. Spektar neparnog signala (tj. signala za koji važi s (t ) = − s ( − t ) ) sadrži čisto imaginarne koeficijente.
Ova osobina lako se dokazuje posmatranjem izraza (2.3.3) i (2.3.4) i poznavanjem veza između
različitih oblika Furijeovog reda.
Ako je posmatrani signal paran, uvrštavanjem u (2.3.4), nakon množenja sa cos(nω 0t ) (funkcija koja je po svojoj prirodi parna) dobija se paran signal. Za parne signale integral u simetričnim granicama može da bude različit od nule, pa se tako određuje koeficijent an .
Nakon množenja parnog signala sa sin( nω 0t ) dobija se neparan signal. Za neparne signale in-
tegral u simetričnim granicama sigurno je jednak nuli, pa se dobija da je bn = 0 . To ujedno znači i da je imaginarni deo kompleksnog koeficijenta jednak nuli, pa je koeficijent realan broj.
Ako je posmatrani signal neparan, primenjuje se identičan postupak, ali se dobija da je an = 0 ,
dok bn može da bude različito od nule. Dalje je dokaz očigledan.
Konvergencija Furijeovog reda
Za Furijeov red kaže se da konvergira generalno, a to znači da razvoj u red važi u onim tačkama
u kojima je analizirana funkcija s (t ) neprekidna, glatka kriva.
U tačkama u kojima se dve funkcije razlikuju na način ilustrovan na slici 2.3.1. ili u tačkama u
kojima funkcija ima skok (tj. neki od njenih izvoda nije definisan), Furijeov red ne konvergira,
Glava 2. Signali
23
To znači da se vrednosti signala u takvim tačkama ne mogu pravilno rekonstruisati pomoću
Furijeovog reda.
Na mestima na kojima funkcija ima skok, kao npr. u svim tačkama prekida kod povorke
pravougaonih impulsa (slike u zadatku 2.3.2), javlja se pojava poznata kao Gibsov (Gibbs) fenomen. Pre i posle prekida dolazi do oscilacija signala predstavljenog Furijeovim redom. Detaljnije
objašnjenje Gibsovog fenomena kao i dokaz za konvergenciju Furijeovog reda veoma su složeni
i prevazilaze okvire ovog osnovnog udžbenika. Mogu se pronaći u [1,2,3].
Slika 2.3.1. Funkcije za koje se dobijaju identični koeficijenti Furijeovog reda
Alternativna primena Furijeovog reda
Furijeov red predstavlja dobru aproksimaciju periodičnog signala u kompletnom domenu definisanosti funkcije, dakle za − ∞ < t < ∞ .
Da bi se u postupku prenosa signala na strani prijemnika rekonstruisao originalni signal, nije potrebno prenositi sam signal nego samo vrednosti koeficijenata Furijeovog reda. Postupkom sinteze, tj. generisanjem prostoperiodičnih funkcija sa zadatim učestanostima, kao i njihovim množenjem (ponderisanjem) sa izračunatim koeficijentima, dobija se signal koji utoliko bolje aproksimira originalni signal ukoliko sadrži veći broj harmonika.
Međutim, aproksimacija funkcije Furijeovim redom može da se realizuje i na funkcijama koje ne
zadovoljavaju uslove periodičnosti. U takvim slučajevima primenjuje se tzv. vremensko-frekvencijska analiza. Postupak ima sledeće korake:
1) Posmatra se deo signala koji treba aproksimirati. Ponekad je pogodno da se posmatrani deo
signala podeli na manje delove koji se nazivaju blokovi. Ovi blokovi ne moraju da budu jednakog trajanja.
2) Obrađuje se prvi blok. Formalno se odrede koeficijenti Furijeovog reda kao da je taj blok perioda nekog periodičnog signala. Dobijeni koeficijenti praktično aproksimiraju obrađeni blok. Pri
sintezi signala, koristi se samo jedna perioda signala i ona odgovara obrađenom bloku. Sa povećanjem broja koeficijenata (tj. harmonika), aproksimacija postaje sve bolja i bolja.
Dobijeni koeficijenti Furijeovog reda istovremeno zavise od učestanosti (to je uobičajena zavisnost jer redni broj koeficijenta odgovara položaju njegovog harmonika na frekvencijskoj osi) i
od vremena (kroz redni broj obrađivanog dela). Ova zavisnost predstavlja potpuno nov pojam,
pošto su u ranijoj primeni Furijeovog reda dobijeni koeficijenti koji zavise samo od učestanosti i
pri tom aproksimiraju ceo periodičan signal.
Zbog toga se ova vrsta analize signala naziva vremensko-frekvencijska analiza.
24
Osnovi telekomunikacija, skripta
3) Ako je signal podeljen na blokove, postupak opisan pod 2) ponavlja se na sledećem bloku.
Dobijaju se obično sasvim drugačiji koeficijenti od prethodno izračunatih. Pri rekonstrukciji se
ponovo koristi samo jedna perioda signala.
4) Postupak se ponavlja dok se ne obrade svi blokovi, tj. ceo posmatrani signal. U svakom
koraku (bloku) dobija se po jedan skup koeficijenata.
Kao što je već rečeno, Koeficijenti izračunati na taj način zavise od dve promenljive, učestanosti
(redni broj koeficijenta) i vremena (redni broj bloka).
Postupci zasnovani na principu podele signala u blokove često se koriste kod obrade diskretnih
signala, kao i kod analize linearnih izobličenja u prenosu signala.
Računske operacije sa signalima
Postoji nekoliko računskih operacija koje se često koriste u telekomunikacijama. Ovde su date
njihove definicije za periodične i za aperiodične signale. Date su i neke od važnijih osobina navedenih operacija [5].
Korelacija. Za dva periodična signala, s1 (t ) i s2 (t ) , pod uslovom da su im periode jednake,
definiše se korelacija, r12 (t ) , kao:
1
r12 (t ) = ⋅
T
t0 +T
∫ s1 (τ ) ⋅ s2 (t + τ ) ⋅ dτ .
(2.3.12a)
t0
Dobijena funkcija je periodična, sa periodom jednakom T , kao i kod originalnih funkcija. Veličina t0 predstavlja proizvoljnu konstantu čija vrednost ne utiče na rezultat. Obično se pretpostavlja da je t 0 = 0 ili t 0 = −
T
. Treba napomenuti da je τ promenljiva koja nestaje u pos2
tupku integracije pa se kaže da ona ima privremeni karakter. Neki autori ovakvu promenljivu zovu nema promenljiva (engl. dummy variable). U različitim izvođenjima često se uvode ovakve
pomoćne promenljive. Obično se koriste oznake τ (ako se radi o promenljivoj koja ima karakter
vremena) ili λ .
Za dva aperiodična signala, s1 (t ) i s2 (t ) , definiše se korelacija, r12 (t ) , kao:
r12 (t ) =
∞
∫ s1 (τ ) ⋅ s2 (t + τ ) ⋅ dτ .
(2.3.12b)
−∞
Autokorelacija. Ako su signali s1 (t ) i s2 (t ) jednaki, s1 (t ) = s2 (t ) = s (t ) , tada se korelacija
pretvara u autokorelaciju. Za periodične signale definisana je kao:
1
r (t ) = ⋅
T
t 0 +T
∫ s(τ ) ⋅ s(t + τ ) ⋅ dτ .
t0
(2.3.13)
Glava 2. Signali
25
Za aperiodične signale autokorelacija ima oblik:
r (t ) =
∞
∫ s(τ ) ⋅ s(t + τ ) ⋅ dτ .
(2.3.14)
−∞
Konvolucija. Za dva periodična signala, s1 (t ) i s2 (t ) , jednakih perioda, definiše se konvolucija, k12 (t ) , kao:
1
k12 (t ) = ⋅
T
t 0 +T
∫ s1 (τ ) ⋅ s2 (t − τ ) ⋅ dτ .
(2.3.15)
t0
I za ovu funkciju može se lako pokazati da je periodična i da ima jednaku periodu kao i originalni signali.
Ako su signali s1 (t ) i s2 (t ) aperiodični, konvolucija se definiše kao:
k12 (t ) =
∞
∫ s1 (τ ) ⋅ s2 (t − τ ) ⋅ dτ .
(2.3.16)
−∞
Iako je definicioni izraz za konvoluciju veoma jednostavan, konvolucija se u praksi veoma retko
određuje direktno, primenom (2.3.16). Često se konvolucija izračunava kombinovanim grafičkoanalitičkim postupkom. Detalji postupka pokazani su na primeru autokorelacije u zadatku 2.3.11.
Postupak određivanja konvolucije sadrži osnovnu razliku u tome što se funkcija koja se ‘kreće’
invertuje, a zatim se tako invertovana ‘kreće’ u smeru suprotnom od kretanja pri određivanju korelacije. Ostali koraci u grafičko-analitičkom postupku jednaki su. Ako su funkcije koje učestvuju u konvoluciji parne, njihovo invertovanje praktično ne menja oblik signala pa se razlika svodi
na kretanje funkcije u smeru suprotnom od kretanja pri određivanju korelacije.
Furijeova transformacija
Veliki značaj u obradi signala imaju determinističke aperiodične funkcije. Kod njih ne postoji
periodično ponavljanje signala pa se teorija Furijeovih redova ne može direktno primeniti na
ovakve signale. Iz Furijeovog reda, međutim, lako se izvodi Furijeova transformacija. Posmatrajmo Furijeov red dat izrazom (2.3.5) i koeficijente date izrazom (2.3.6). Zamislimo da kod periodičnog signala perioda neograničeno raste, tj. T → ∞ . Tada se u posmatranim izrazima
dešavaju i sledeće promene:
1) veličina 1 T , koja inače ima osobine recipročne vrednosti vremena, dakle učestanosti, teži
priraštaju učestanosti, df ;
2) proizvod n ⋅ (1 T ) teži kontinualnoj promenljivoj f . Ova promenljiva naziva se učestanost
ili frekvencija;
3) za koeficijent Furijeovog reda na osnovu prethodna dva stava možemo napisati novi oblik:
26
Osnovi telekomunikacija, skripta
∞
s n → df ⋅
∫ s(t ) ⋅ e
− j 2πft
dt = S ( f ) ⋅ df .
(2.3.17a)
−∞
Odavde se vidi da se kod aperiodičnih signala gubi pojam n -tog harmonika i da ga zamenjuje
proizvod kontinualne funkcije koja se naziva (direktna) Furijeova transformacija, S ( f ) :
S ( f ) = F {s (t )} =
∞
∫ s(t ) ⋅ e
− j 2πft
dt ,
(2.3.17b)
−∞
i diferencijala učestanosti, df ;
4) u Furijeovom redu (2.3.5), suma prelazi u integral, pa se uz novi oblik iz stava 3) dobija:
s (t ) = F
−1
∞
{S ( f )} = ∫ S ( f ) ⋅ e j 2πft ⋅ df .
(2.3.18)
−∞
Ova jednačina naziva se inverzna Furijeova transformacija (IFT).
U starijoj literaturi Furijeova transformacija označava se sa S ( jω ) . Ova oznaka ukazuje na još
jedno poreklo ove transformacije. Može se pokazati da ona odgovara Laplasovoj (Laplace) transformaciji na imaginarnoj osi, dakle tamo gde je komplesna promenljiva čisto imaginarna. Laplasova transformacija ovde nije detaljno analizirana.
Izrazi (2.3.17b) i (2.3.18) čine Furijeov transformacioni par.
Pojam Furijeova transformacija (u daljem tekstu označavaćemo je sa FT) opisuje i postupak i
kompleksnu funkciju S ( f ) . Postupak FT jednoznačno preslikava signal s (t ) iz vremenskog u
frekvencijski domen i omogućuje tzv. frekvencijsku ili spektralnu analizu signala. FT ponekad
nazivamo i spektar signala. S ( f ) je po svojoj prirodi kompleksna funkcija realne promenljive.
Osobine ove funkcije date su u nastavku, a varijante njenog predstavljanja opisane su izrazom
(2.3.33) u nastavku.
Uslovi za postojanje Furijeove transformacije
Postoje određeni uslovi koje funkcija mora da zadovolji da bi postojala njena FT. Postavio ih je
Dirihle (Dirichlet, 1805-1859, Gettingen, Nemačka, matematičar) u obliku:
∞
∫ s(t ) ⋅ dt < ∞ .
(2.3.19)
−∞
Za mnoge realne funkcije (konstanta, periodične funkcije, itd), međutim, ovaj uslov nije ispunjen
pa se za njih, strogo posmatrano, ne može odrediti Furijeova transformacija. Zahvaljujući
uvođenju posebne funkcije, poznate pod nazivima Dirakova (Dirac) funkcija, Dirakov impuls ili
delta impuls, FT može da se odredi za skoro sve signale. Pojam i primena delta impulsa
objašnjeni su u nastavku.
Glava 2. Signali
27
Delta impuls
Delta impuls je posebna vrsta funkcije koja, po nekim tumačenjima, nije funkcija u pravom
smislu te reči. Neki autori nazivaju je raspodela (engl. Distribution). Njen detaljni tretman daleko
prevazilazi okvire ove knjige. Delta impuls, δ (t ) , definiše se pomoću četiri izraza:
⎧0 t ≠ 0,
,
⎩∞ t = 0,
δ (t ) = ⎨
(2.3.20a)
∞
∫ δ (t ) ⋅ dt = 1,
(2.3.20b)
δ (t ) = δ (−t ) i
(2.3.20c)
−∞
∞
∫ x(t ) ⋅ δ (t − t0 ) ⋅ dt = x(t0 ) .
(2.3.20d)
−∞
Izrazi (2.3.20a) i (2.3.20b) imaju interesantno geometrijsko objašnjenje. Delta impuls može da se
posmatra kao pravougaonik širine 1 a i visine a , kod kog a → ∞ . Prikazan je na slici 2.3.2a.
Površina ovog pravougaonika uvek je jednaka jedinici, u skladu sa (2.3.20b). Osim pravougaonika, mogu se posmatrati i drugi oblici koji imaju slične osobine kao funkcija oblika sin x / x ,
Gausova funkcija, itd. [3].
a
a)
−
1
2a
1
2a
t
b)
δ (t )
δ (t − t 0 )
t0
t
Slika 2.3.2. Geometrijska ilustracija nastajanja delta impulsa (a), impuls i pomeren impuls (b)
28
Osnovi telekomunikacija, skripta
Izraz (2.3.20c) ukazuje na (pomalo neobičnu) osobinu parnosti delta impulsa. Po ovoj osobini,
važi i sledeća jednakost:
δ (t − t0 ) = δ (t0 − t ) .
To znači da je delta impuls uvek lociran u onoj tački u kojoj je vrednost njegovog argumenta
jednaka nuli. Parnost je očigledna kod impulsa δ (t ) . Ilustrovana je na slici 2.3.2b, ali nije tako
očigledna, iako postoji, kod impulsa
δ (t − t0 ) na istoj slici. Ova osobina ima čestu primenu.
Poslednji definicioni izraz, (2.3.20d), ima dvostruki značaj, u zavisnosti od toga da li je parametar t0 konstanta ili promenljiva.
Ako je t 0 = const. , izraz (2.3.20d) ukazuje na osobinu odabiranja: proizvod bilo koje funkcije i
pomerenog delta impulsa jednak je vrednosti funkcije u tački u kojoj je lociran delta impuls.
Ako se t 0 posmatra kao promenljiva, tada je mnogo preglednije ako se umesto t 0 upotrebi oznaka koja se češće koristi za promenljivu, τ , pa se, uz dodatnu primenu osobine parnosti, dobija:
∞
∞
∫ x(t ) ⋅ δ (t − τ ) ⋅ dt = ∫ x(t ) ⋅ δ (τ − t ) ⋅ dt = x(τ ) .
−∞
(2.3.21)
−∞
U ovom integralu privremena promenljiva označena je sa t . Izraz (2.3.21) pokazuje da konvolucija signala x(t ) sa delta impulsom daje originalni signal. To znači da je delta impuls neutralni
element za konvoluciju. Ova osobina delta impulsa ima izuzetan značaj u mnogim praktičnim
primenama.
Dodatne osobine i primena delta impulsa pokazane su nakon objašnjenja osobina FT.
Osobine Furijeove transformacije
Kao i Furijeov red, i FT ima mnogo osobina koje značajno pojednostavljuju njenu primenu.
Ovde su nabrojane i objašnjene najvažnije:
1. Parsevalova teorema.
Po Parsevalovoj teoremi energija aperiodičnog signala, E , može se odrediti i u vremenskom i u
frekvencijskom domenu i ima, naravno, istu vrednost:
E=
∞
∫ x(t )
−∞
2
⋅ dt =
∞
∫ X(f )
2
⋅ df .
(2.3.22)
−∞
Dokazuje se na osnovu osobina kompleksnih funkcija, smenama i zamenom redosleda integracije:
Glava 2. Signali
∞
29
∞
⎡∞
⎤
E = ∫ x(t ) ⋅ dt = ∫ x(t ) ⋅ x (t ) ⋅ dt = ∫ ⎢ ∫ X ( f ) ⋅ e j 2πft df ⎥ ⋅ x* (t ) ⋅ dt =
⎢− ∞
−∞
−∞
−∞ ⎣
⎦⎥
2
*
∞
∞
∞
∞
⎡∞ *
⎤
2
j 2πft
*
= ∫ X ( f ) ⋅ ⎢ ∫ x (t ) ⋅e
⋅ dt ⎥ ⋅ df = ∫ X ( f ) ⋅ X ( f ) ⋅ df = ∫ X ( f ) ⋅ df . (2.3.22a)
⎢⎣− ∞
⎥⎦
−∞
−∞
−∞
2. Pomeranje u vremenu.
F {x(t − t0 )} = e − j 2πft 0 ⋅ X ( f ) .
(2.3.23)
Dokazuje se uvođenjem smene t − t 0 = λ :
∞
∫ x(t − t0 ) ⋅ e
− j 2πft
⋅ dt =
−∞
∞
= e − j 2πf ⋅t 0
∞
∫ x (λ ) ⋅ e
− j 2πf ⋅( λ + t 0 )
⋅ dλ =
−∞
∫ x (λ ) ⋅ e
− j 2πfλ
⋅ dλ = e − j 2πf ⋅t 0 ⋅ X ( f ) .
(2.3.23a)
−∞
3. Linearnost.
F {a ⋅ x(t ) ± b ⋅ y (t )} = a ⋅ F {x(t )} ± b ⋅ F {y (t )} .
(2.3.24)
Dokazuje se uvođenjem zbira dve funkcije u definicioni izraz i primenom osobina integrala.
4. Promena razmere (skaliranje).
F {x(a ⋅ t )} =
1
f
⋅ X( ).
a
a
(2.3.25)
Ponovo se koristi smena a ⋅ t = λ , ali se posebno razmatraju slučajevi a > 0 i a < 0 jer znak
konstante utiče na znak granica integrala. Ova osobina ukazuje na recipročnost vremena i učestanosti: funkcije koje zauzimaju uzan interval u jednom domenu, zauzimaju širok interval u drugom domenu i obrnuto. Često se koristi u praksi.
5. Dualnost.
Ako je F {x(t )} = X ( f ) , tada je F {X (t )} = x (− f ) .
(2.3.26)
Ovo je veoma apstraktna osobina koja se dokazuje primenom smene i veštom manipulacijom dobijenim izrazima. Ima interesantnu praktičnu primenu, jer omogućava određivanje nekih integrala koji se analitički ne mogu izračunati. Koristi se u malom broju slučajeva koji će biti detaljno
objašnjeni pri rešavanju zadataka.
30
Osnovi telekomunikacija, skripta
6. Spektar proizvoda i konvolucije.
Ako je z (t ) = x(t ) ⋅ y (t ) , tada je Z ( f ) = X ( f ) ∗ Y ( f ) .
(2.3.27)
Množenju dva signala u jednom domenu odgovara konvolucija njihovih spektara u drugom domenu. Osobina ima izuzetan značaj i njena primena pojednostavljuje velik broj različitih izvođenja. Dokazuje se na sledeći način:
Z( f ) =
∞
∫ z (t ) ⋅ e
− j 2πft
−∞
⋅ dt =
∞
∫ x(t ) ⋅ y(t ) ⋅ e
− j 2πft
⋅ dt =
−∞
∞
⎡∞
⎤
= ∫ ⎢ ∫ X (λ ) ⋅ e j 2πλt ⋅ dλ ⎥ ⋅ y (t ) ⋅ e − j 2πft ⋅ dt =
⎥⎦
⎣− ∞
−∞ ⎢
∞
∞
⎡∞
⎤
− j 2π ( f − λ )t
= ∫ ⎢ ∫ y (t ) ⋅ e
⋅ dt ⎥ ⋅ X (λ ) ⋅ dλ = ∫ X (λ ) ⋅ Y ( f − λ ) ⋅ dλ .
⎢
⎥⎦
− ∞ ⎣− ∞
−∞
(2.3.27a)
Uvođenje nove promenljive, λ , u integralu u uglatoj zagradi, bilo je neophodno da bi se izbegla
zabuna, jer je f nezavisna promenljiva u FT proizvoda, a λ se nalazi na mestu promenljive koja nestaje u postupku integracije. Kada bi se tu zadržala oznaka f , dve različite veličine ne bi se
međusobno razlikovale.
Na sličan način pokazuje se da FT konvolucije dva signala u vremenskom domenu odgovara
proizvodu spektara originalnih signala u frekvencijskom domenu.
7. Spektar korelacije i autokorelacije.
Ako je r12 (t ) =
∞
∫ s1 (τ ) ⋅ s2 (t + τ ) ⋅ dτ , tada je R12 ( f ) = S1 ( f ) ⋅ S2 ( f ) .
*
(2.3.28)
−∞
Osobina se dokazuje na sličan način kao što se dokazuje spektar konvolucije.
Ako se isti postupak primeni na autokorelaciju, dobija se da važi:
2
R( f ) = S * ( f ) ⋅ S ( f ) = S ( f ) .
(2.3.29)
2
Funkcija S ( f ) naziva se spektralna gustina energije i pokazuje kako je energija signala s (t )
raspoređena po učestanostima. Spektralna gustina energije ima osobinu parnosti, kao i amplitudski spektar čijim kvadriranjem je i nastala.
Izraz (2.3.29) ima izuzetan značaj jer pokazuje da autokorelacija i spektralna gustina energije,
2
S ( f ) , čine transformacioni par.
Glava 2. Signali
31
8. Furijeova transformacija diferencijala.
∞
dx(t ) − j 2πft
⎧ dx ⎫
F⎨ ⎬ = ∫
⋅e
⋅ dt = j 2πf ⋅ X ( f ) .
dt
dt
⎩ ⎭ −∞
(2.3.30)
Osobina se dokazuje parcijalnom integracijom desne strane izraza (2.3.30), ako se pretpostavi da
važi lim x(t ) = 0 , čime se eliminiše drugi sabirak u parcijalnoj integraciji.
t → ±∞
9. Furijeova transformacija integrala.
⎫⎪
⎧⎪ t
⎡δ ( f )
1
F ∫ x(t ) ⋅ dt = F ⎨ ∫ x(τ ) ⋅ dτ ⎬ = X ( f ) ⋅ ⎢
+
j 2πf
⎪⎭
⎪⎩− ∞
⎣ 2
{
}
⎤
⎥.
⎦
(2.3.31)
Dokaz ove osobine znatno je složeniji i ovde nije detaljno razmatran. Može se naći u [3].
10. Modulacija.
Pod pojmom modulacije podrazumeva se određivanje spektra proizvoda signala i prostoperiodične (kosinusne) funkcije.
F {x(t ) ⋅ cos(2πf c t )} =
1
⋅ [ X ( f − f c ) + X ( f + f c )]
2
(2.3.32)
Dokazuje se lako, korišćenjem Ojlerovog obrasca i očiglednih smena:
∞
∞
1
1
⋅ ∫ x(t ) ⋅ e j 2πf c t ⋅ e − j 2πft ⋅ dt + ⋅ ∫ x(t ) ⋅ e − j 2πf c t ⋅ e − j 2πft ⋅ dt =
2 −∞
2 −∞
∞
∞
⎤
1 ⎡
− j 2π ( f − f c )t
⋅ ⎢ ∫ x(t ) ⋅ e
⋅ dt + ∫ x(t ) ⋅ e − j 2π ( f + f c )t ⋅ dt ⎥ =
2 ⎢⎣− ∞
⎥⎦
−∞
=
1
⋅ [ X ( f − f c ) + X ( f + f c )] .
2
(2.3.32a)
11. Parnost.
U opštem slučaju, FT je kompleksna funkcija kontinualne realne promenljive, f . Međutim, postoje dva izuzetka:
1) ako je funkcija x(t ) parna, tada FT ima samo realni deo;
2) ako je funkcija x(t ) neparna, tada FT ima samo imaginarni deo;
32
Osnovi telekomunikacija, skripta
Oba izuzetka dokazuju se korišćenjem Ojlerovog obrasca i već primenjivanog postupka razlaganja funkcije na parne i neparne delove.
*
FT je funkcija koja ima osobinu konjugovano-kompleksne parnosti, tj. X ( f ) = X ( − f ) . Ova
osobina lako se dokazuje smenom f → − f u definicionom izrazu (2.3.17). Odavde se vidi i da
je moduo ove funkcije parna, a argument neparna funkcija.
Često se koristi i oznaka:
X ( f ) = X ( f ) ⋅ e jΦ ( f ) = P ( f ) + j ⋅ Q ( f ) ,
(2.3.33)
gde je
X ( f ) moduo FT, naziva se i spektralna gustina amplituda ili amplitudski spektar,
Φ ( f ) argument FT, naziva se i spektralna gustina faza ili fazni spektar,
P( f ) realni deo FT i
Q( f ) imaginarni deo FT.
12. Širina spektra signala.
Po definiciji, širina spektra signala jednaka je širini frekvencijskog opsega u kom je FT različita
od nule, ali samo za pozitivne učestanosti. Širina spektra signala često se označava sa B .
Međutim, postoji široka klasa signala za koje je FT različita od nule za sve učestanosti. Obično
je lim X ( f ) = 0 , pa se za širinu spektra uzima ono B za koje važi:
f → ±∞
B
∫ X(f )
0
2
∞
2
⋅ df = 0,99 ⋅ ∫ X ( f ) ⋅ df .
(2.3.34)
0
U intervalu širine B nalazi se 99% energije signala, a samim tim i sve značajne komponente.
Postoji i alternativna definicija po kojoj je granica širine spektra tačka na frekvencijskoj osi u
kojoj je X ( f ) = 0,1 ⋅ max X ( f ) . Ova definicija zasniva se na osobini amplitudskog spek-
{
}
tra da moduo skoro uvek opada sa porastom učestanosti, ili se menja, sa prigušenim oscilacijama.
Dodatne osobine i primena delta impulsa
Primenom osobine spektra proizvoda i konvolucije na izraz (2.3.21) direktno se može zaključiti
da važi:
X ( f ) = X ( f ) ⋅ Δ( f ) ,
(2.3.35)
Glava 2. Signali
33
gde je Δ( f ) = F {δ (t )} Furijeova transformacija (spektar) delta impulsa, za koji očigledno važi
Δ( f ) = 1 . Ovaj rezultat može da se odredi i direktnim određivanjem FT delta impulsa i primenom izraza (2.3.20d). Primenom izraza za IFT, ako se unapred zna rezultat, dobija se da važi:
∞
∫1⋅ e
j 2πft
⋅ df =
−∞
∞
∫e
j 2πft
⋅ df = δ (t ) ,
(2.3.36a)
−∞
što se inače, analitičkim putem, korišćenjem tabličnih integrala, ne može pokazati.
Na osnovu osobine dualnosti, ili zamenom promenljivih f i t u izrazu (2.3.36a), uz korišćenje
osobine parnosti delta impulsa, dobija se da je FT konstante jednaka delta impulsu:
∞
∫1⋅ e
− j 2πft
⋅ dt = δ ( f ) ,
(2.3.36b)
−∞
što se takođe ne može direktno izvesti. Treba zapamtiti i sledeće varijante prethodnih jednakosti:
∞
∫e
± j 2πft
⋅ dt = δ ( f ) = 2π ⋅ δ (ω ) ,
(2.3.36c)
−∞
∞
∫1⋅ e
± j 2πft
⋅ df = δ (t ) .
(2.3.36d)
−∞
Konvolucija sa pomerenim delta impulsom.
U praksi se često javlja potreba za konvolucijom dve funkcije od kojih je jedna pomereni delta
impuls, u obliku δ (t − t0 ) ako se radi u vremenskom ili δ ( f − f 0 ) ako se radi u frekvencijskom domenu ( t 0 i f 0 su konstante). Postupak je sledeći:
x(t ) ∗ δ (t − t0 ) = δ (t − t0 ) ∗ x(t ) =
∞
∫ δ (τ − t0 ) ⋅ x(t − τ ) ⋅ dτ .
(2.3.37)
−∞
U ovom koraku iskorišćena je osobina komutativnosti konvolucije i uvedena je nova promenljiva, τ . Zatim se uvodi smena λ = τ − t0 , pa se dobija:
∞
∞
∫ δ (λ ) ⋅ x(t − (λ + t0 )) ⋅ dλ = ∫ δ (λ ) ⋅ x((t − t0 ) − λ ) ⋅ dλ = x(t − t0 ) .
−∞
(2.3.37a)
−∞
Dakle, konvolucija sa pomerenim delta impulsom daje kao rezultat originalni signal pomeren za
istu veličinu i u istom smeru kao što je bio pomeren i delta impuls. Ovaj postupak ima ogroman
značaj i veoma čestu primenu, kako u različitim dokazima u teoriji telekomunikacija, tako i u
rešavanju brojnih praktičnih problema.
34
Osnovi telekomunikacija, skripta
Spektar prostoperiodičnih funkcija.
Određivanje FT prostoperiodičnog signala tipa cos(2πf 0t ) , gde je f 0 konstantna učestanost, uz
primenu Ojlerovog obrasca i već pokazanih postupaka i osobina, daje sledeći rezultat:
∞
∫ cos(2πf 0t ) ⋅ e
± j 2πft
⋅ dt =
−∞
1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] .
2
(2.3.38)
Na sličan način određuje se i FT sinusne funkcije. Kombinovanjem osobine linearnosti i razvoja
periodične funkcije u Furijeov red, može se odrediti i transformacija bilo koje periodične funkcije. Primeri su pokazani u zadatku 2.3.8.
Slučajni signali
Signali kod kojih nije unapred određeno ili poznato kakve će biti njegove vrednosti u svakom
trenutku nazivaju se slučajni signali. Ponekad se nazivaju i slučajni ili stohastički procesi.
Proučavanje slučajnih signala znatno se razlikuje od postupaka razvijenih za determinističke signale, zato što je ponašanje slučajnih signala poznato samo u prošlosti.
Često se posmatra skup sačinjen od velikog broja slučajnih signala istog tipa, kao npr. mnogo
različitih telefonskih ili telegrafskih signala, mnogo signala dobijenih snimanjem termičkog kretanja elektrona u otpornicima ili mnogo signala dobijenih na nekom komunikacionom kanalu.
Svaki takav skup sličnih slučajnih signala naziva se ansambl.
Na osnovu poznatog dela slučajnih signala, određuju se sledeće statističke veličine (parametri):
- srednja vrednost,
- srednja kvadratna vrednost i
- autokorelacija.
Postoje i statističke veličine višeg reda, ali se veoma retko koriste u praksi.
Statističke veličine mogu da se odrede na dva načina, usrednjavanjem po vremenu i usrednjavanjem po ansamblu.
Usrednjavanje po vremenu
Usrednjavanje po vremenu vrši se za jedan od signala koji je član ansambla, xk (t ) . Za svaku od
statističkih veličina primenjuje se odgovarajuća formula:
Srednja vrednost:
1
xk = lim
T → ∞ 2T
Srednja kvadratna vrednost:
xk2
T
∫ xk (t ) ⋅ dt .
(2.3.39)
−T
1
= lim
T → ∞ 2T
T
2
∫ xk (t ) ⋅ dt .
−T
(2.3.40)
Glava 2. Signali
Autokorelacija:
35
1
rk (t ) = lim
T → ∞ 2T
T
∫ xk (τ ) ⋅ xk (t + τ ) ⋅ dτ .
(2.3.41)
−T
Usrednjavanje po ansamblu
U postupcima usrednjavanja po ansamblu, prvo se od vrednosti odbiraka svih članova ansambla
u istom trenutku, npr. t = t1 , formira skup vrednosti koji se naziva slučajna promenljiva, pa se
zatim odredi njena gustina verovatnoće, w( x, t1 ) . Sada se statističke veličine određuju kao:
Srednja vrednost:
∞
x =
∫ x ⋅ w( x, tm ) ⋅ dx .
(2.3.42)
−∞
Srednja kvadratna vrednost:
x
2
=
∞
∫x
2
⋅ w( x, t m ) ⋅ dx .
(2.3.43)
−∞
Autokorelacija se određuje na osnovu statistike drugog reda. Prvo se od vrednosti odbiraka svih
članova ansambla u dva trenutka, npr. t = t1 i t = t 2 , formira slučajna promenljiva, pa se zatim
odredi njena gustina verovatnoće, w( x1 , x2 , t1 , t 2 ) . Autokorelacija po ansamblu sada se određuje kao:
r (t1 , t2 ) =
∞ ∞
∫ ∫ x1 ⋅ x2 ⋅ w( x1, x2 , t1, t2 ) ⋅ dx1 ⋅ dx2 .
(2.3.44)
−∞ −∞
Ako srednja vrednost i srednja kvadratna vrednost ne zavise od vremena, kaže se da je ansambl
stacionaran. Ako su vrednosti dobijene po vremenu i ansamblu jednake, kaže se da je ansambl
ergodičan.
Frekvencijska predstava slučajnih signala
Kod slučajnih signala, u frekvencijskom domenu određuje se samo spektralna gustina snage,
W ( f ) , na sledeći način. Prvo se uvede novi signal, xT (t ) , koja predstavlja ‘poznati’ deo slučajnog signala x(t ) , tj.:
⎧ x(t ) t < T ,
xT (t ) = ⎨
drugde.
⎩0
(2.3.45)
Zatim se odredi FT ovog signala, X T ( f ) . Spektralna gustina snage određuje se kao:
⎡ X (f )2⎤
W ( f ) = lim ⎢ T
⎥.
T →∞ ⎢
2T ⎥
⎦
⎣
(2.3.46)
Važna osobina stacionarnih i ergodičnih signala jeste i veza koja postoji između autokorelacije i
spektralne gustine snage. Navedene funkcije čine Furijeov transformacioni par. Ova osobina biće
dokazana i koristiće se u kursevima iz oblasti Statističke teorije telekomunikacija.
36
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešeni primeri uz poglavlje 2.3.
Zadatak 2.3.1. (E, S)
a) Odrediti veze između koeficijenata različitih oblika Furijeovog reda periodične funkcije s (t ) .
b) Odrediti koeficijente Furijeovog reda za parnu i neparnu funkciju.
c) Razložiti signal na parni i neparni deo i pokazati kako se određuju koeficijenti Furijeovog reda
u tom slučaju.
Rešenje:
a) Primenom Ojlerovog obrasca na definicioni izraz (2.3.6), kompleksni koeficijenti mogu se napisati u obliku:
T 2
T 2
1
1
s n = ⋅ ∫ s (t ) ⋅ cos(nω0t )dt − j ⋅ ⋅ ∫ s (t ) ⋅ sin(nω0t )dt , n = 1,2,....
T −T 2
T −T 2
Poređenjem sa relacijama (2.3.4), lako se vidi da je između kompleksnih koeficijenata i koeficijenata an i bn moguće uspostaviti sledeću vezu:
sn =
1
1
⋅ an − j ⋅ bn , n = 1,2,.... .
2
2
(1)
Odavde se određuje i obrnuta veza:
an = 2 ⋅ Re{ s n } , bn = −2 ⋅ Im{s n }, n = 1,2,.... .
(2)
Ako se u kompleksnom obliku Furijeovog reda funkcije s (t ) suma rastavi na tri dela i to tako da
se izdvoji nulti sabirak, a sabirci sa pozitivnim i negativnim indeksima grupišu u posebne sume,
dobija se:
∞
[
]
s (t ) = s 0 + ∑ s n ⋅ e jnω 0 t + s − n ⋅ e − jnω 0 t .
n =1
Ako se u kompaktnom obliku Furijeovog reda primeni Ojlerov obrazac na kosinusnu funkciju,
dobija se:
∞
1
⎤
⎡1
s (t ) = A0 + ∑ ⎢ ⋅ An ⋅ e jΦ n ⋅ e jnω0t + ⋅ An ⋅ e − jΦ n ⋅ e − jnω0t ⎥ .
2
⎦
n =1 ⎣ 2
Poređenjem ovih izraza sledi:
A0 = s0 ,
An = 2 s n = 2 s − n ,
n = 1,2,... ,
Φ n = arg{ s n } = − arg{ s − n }, n = 1,2,.... .
(3)
Glava 2. Signali
37
Poređenjem relacija (1) i (3), uz poznavanje osobina kompleksnih brojeva, lako se pokazuje da
važe i sledeće jednakosti:
⎡b ⎤
An = a n2 + bn2 , Φ n = − arctg ⎢ n ⎥ , n = 1,2,.... .
⎣ an ⎦
A0 = a0 ,
(4)
b) Ako je s (t ) parna funkcija važi:
s (t ) = s (−t ) ,
(5)
a definicioni izrazi za koeficijente Furijeovog reda mogu da se reorganizuju na sledeći način:
0
1
1
a0 = ⋅ ∫ s (t )dt + ⋅
T −T 2
T
T 2
1
s
(
t
)
dt
=
⋅
∫
T
0
T 2
1
s
(
−
t
)
dt
+
⋅
∫
T
0
T 2
∫ s(t )dt ,
0
T 2
T 2
⎤
2 ⎡
an = ⋅ ⎢ ∫ s (−t ) ⋅ cos(nω0t )dt + ∫ s (t ) ⋅ cos(nω0t )dt ⎥ ,
T ⎣⎢ 0
0
⎦⎥
T 2
T 2
⎤
2 ⎡
bn = ⋅ ⎢− ∫ s (−t ) ⋅ sin(nω0t )dt + ∫ s (t ) ⋅ sin(nω0t )dt ⎥ .
T ⎢⎣ 0
⎥⎦
0
(6)
Svuda je u prvom integralu izvršena smena: t je zamenjeno sa − t . Uvođenjem ove smene promenjen je i znak granica integracije, zbog promene znaka ispred integrala zamenjene su granice,
a iskorišćena je i osobina parnosti, odnosno neparnosti prostoperiodičnih funkcija.
Uvrštavanjem izraza (5) u (6) dobije se:
2
a0 = ⋅
T
T 2
4
an = ⋅
T
T 2
∫ s(t )dt ,
0
∫ s(t ) ⋅ cos(nω 0t )dt ,
n = 1,2,.... ,
0
bn = 0 , n = 1,2,.... .
(7)
Na osnovu izraza (2) vidi se da kompleksni koeficijenti kod parnih funkcija imaju samo realni
deo, dok im je imaginarni deo jednak nuli.
Za neparnu funkciju važi s (t ) = − s ( −t ) . Sličnim postupkom kao što je pokazano za parnu
funkciju, svođenjem integracije na interval (0 ÷ T 2) i primenom osobine neparnosti, dobija se:
38
Osnovi telekomunikacija, skripta
a0 = a n = 0 , n = 1,2,.... ,
4
bn = ⋅
T
T 2
∫ s(t ) ⋅ sin(nω 0t )dt ,
n = 1,2,.... .
(8)
0
Ponovo se, na osnovu izraza (2), zaključuje da kompleksni koeficijenti kod neparnih funkcija
imaju samo imaginarni deo, dok im je realni deo jednak nuli.
c) Ako signal nije ni paran ni neparan, koeficijenti Furijeovog reda izračunavaju se prema opštim
definicijama. Obično se najjednostavnije određuju koeficijenti kompleksnog oblika, jer se integrali sa eksponencijalnim funkcijama rešavaju lakše nego integrali sa prostoperiodičnim funkcijama.
Postojanje realnog i imaginarnog dela kompleksnog koeficijenta ukazuje na mogućnost da se
svaki signal, na neki način, sastoji od dva dela, parnog i neparnog. I zaista, može se pokazati da
je svaki signal sastavljen od parnog i neparnog dela. Postupak je relativno jednostavan.
Pretpostavimo da signal s (t ) ima parni deo se (t ) (indeks e potiče od engleskog naziva Even,
parni) i neparni deo so (t ) (indeks o potiče od engleskog naziva Odd, neparni). tada sigurno
važi:
s (t ) = se (t ) + so (t ) .
(9)
Ako se u izrazu (9) izvrši smena t = −t i iskoristi osobina parnosti i neparnosti, dobija se:
s (−t ) = se (−t ) + so (−t ) = se (t ) − so (t ) .
(10)
Izrazi (9) i (10) čine sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Rešavanjem ovog sistema po
se (t ) i so (t ) , dobija se:
se (t ) =
s (t ) + s (−t )
,
2
(11)
so (t ) =
s (t ) − s (−t )
.
2
(12)
Uvrštavanjem izraza (9) u definicione izraze za koeficijente Furijeovog reda vidi se sledeće:
1) iz parnog dela signala (ako postoji) dobija se realni deo kompleksnog koeficijenta (ili an koeficijent),
2) iz neparnog dela signala (ako postoji) dobija se imaginarni deo kompleksnog koeficijenta (ili
bn koeficijent).
Zadatak 2.3.2. (E, S)
Periodični signal s (t ) , periode T , prikazan na slici 1., definisan je u osnovnom intervalu izrazom:
Glava 2. Signali
⎧E
s (t ) = ⎨
⎩0
39
t ≤ τ 2,
(1)
drugde.
a) Nacrtati amplitudski i fazni spektar signala s (t ) kada je τ = T 4 , τ = T 2 , τ = 3 ⋅ T 4 .
b) Nacrtati spektar signala x(t ) prikazanog na slici 2.
c) Nacrtati signal koji čine prvi harmonik, te zbir prvog i trećeg harmonika signala x(t ) .
s(t)
E
−Τ
−τ/2
τ/2
Τ
t
Slika 1. Periodični signal s (t )
x(t)
A
0
T
t
-A
Slika 2. Periodični signal x(t )
Rešenje:
a) Amplitudski i fazni spektar određuju se izračunavanjem koeficijenata kompleksnog oblika Furijeovog reda (2.3.6). Dobiju se sledeće vrednosti:
τ⎞
⎛
sin ⎜ nπ ⋅ ⎟
τ
τ
T⎠
s0 = E ⋅ , s n = E ⋅ ⋅ ⎝
, n = 1,2,.... .
τ
T
T
nπ ⋅
T
(2)
Amplitudski i fazni spektar za zadate odnose τ T prikazan je na slici 3. Treba primetiti sledeće:
- koeficijenti signala s (t ) realni su brojevi (pošto je funkcija parna);
- za crtanje amplitudskog spektra treba izračunati moduo svakog od koeficijenata, ili iskoristiti
poznati oblik funkcije sin aπ /( aπ ) kao obvojnicu (anvelopu), pri čemu se promenljiva a
posmatra kao kontinualna promenljiva. Na njoj treba uočiti tačke koje se dobiju iz izraza
n = a ⋅ T / τ , gde je n ceo broj;
- za crtanje faznog spektra treba za svaki koeficijent odrediti fazu. Pošto su u pitanju realni brojevi, njihova faza zavisi samo od znaka koeficijenta. Za pozitivne brojeve ona ima vrednost
0 + 2kπ , a za negativne brojeve π + 2kπ , uz poštovanje neparnosti faznog spektra;
40
Osnovi telekomunikacija, skripta
- za koeficijente za koje je moduo jednak nuli, argument može da bude bilo koja vrednost.
τ
T
Sn
= 0.25
arg{ Sn }
π
-8
τ
T
-4
0
4
8
n
-8
-4
0
4
8
n
−π
Sn
arg{ Sn }
= 0.5
π
-4
-8
0
4
8
n
-8
-4
0
4
8
n
−π
τ
T
Sn
arg{ Sn }
= 0.75
2π
π
-4
-8
-4
-8
0
4
8
n
4π
−π
−2π
0
4
8
n
Slika 3. Amplitudski i fazni spektar signala s (t ) za različite odnose τ T
b) Koeficijenti FR ovog signala mogu se izračunati prema definiciji. Međutim, rezultat dobijen u
zadatku pod a) ima veliki značaj i ponekad je pogodno da se problemi rešavaju svođenjem na taj
zadatak i primenom izraza (2). Signal x(t ) može se izraziti preko s (t ) ako je: τ T = 1 2 ,
E = 2 A . Tada je:
x(t ) = s (t ) − A . Pošto je s0 = E ⋅
X0 = 0,
⎛ nπ
sin ⎜
2
Xn = A⋅ ⎝
nπ
2
τ
T
=
E
= A , koeficijenti Furijeovog reda će biti:
2
⎞ ⎧
2 A(−1) k
⎟
⎠=⎪
⎨ (2k + 1)π
⎪ 0
⎩
n = 2k + 1,
n = 2k .
Oduzimanje konstante utiče samo na jednosmernu komponentu.
(3)
Glava 2. Signali
41
Spektar signala x(t ) razlikuje se od spektra signala s (t ) po tome što nema jednosmernu komponentu i što je amplituda svakog harmonika dvostruko veća.
c) Prvi harmonik signala x(t ) ima oblik:
x1 (t ) = 2 ⋅ X 1 ⋅ cos ω 0 t =
4⋅ A
π
⋅ cos ω 0t .
Zbir prvog i trećeg harmonika ima oblik:
x3 (t ) = 2 ⋅ X 1 ⋅ cosω 0t + 2 ⋅ X 3 ⋅ cos 3ω 0t =
4⋅ A
π
⋅ cosω 0t −
4⋅ A
⋅ cos 3ω 0t .
3 ⋅π
Talasni oblici ova dva signala prikazani su na slici 4.
x1 (t )
x3 ( t )
T
t
Slika 4. Signali x1 (t ) i x3 (t )
Zadatak 2.3.3. (E, S)
Periodični signal x(t ) , periode T , definisan je u intervalu ( − T 2 ÷ T 2) izrazom:
x(t ) = A ⋅ eα t .
a) Odrediti koeficijente kompleksnog oblika Furijeovog reda signala x(t ) .
b) Ako je faza drugog harmonika
dB .
π 4 , odrediti odnos snage prvog harmonika i ukupne snage u
Rešenje:
a) Zadati signal nije ni parna ni neparna funkcija pa se ne mogu iskoristiti skraćeni postupci za
određivanje koeficijenata. Kompleksni koeficijenti Furijeovog reda ovog signala imaju oblik:
T 2
Xn =
α
T
2
−α
T
2
e −e
1
⋅ ∫ x(t ) ⋅ e − jnω0t dt = A ⋅
⋅ e jnπ ,
T −T 2
T (α − jnω 0 )
pri čemu je iskorišćena činjenica da važi: e
jnπ
= e − jnπ = (−1) n .
42
Osnovi telekomunikacija, skripta
b) Amplituda n -tog harmonika je, prema jedn. (3) u zad. 2.3.1.:
α
An = 2 X n = 2 ⋅
T
2
−α
T
2
A e −e
⋅
,
T α 2 + ( nω ) 2
0
(1)
a njegova faza:
Φ n = nπ + arctg
nω 0
.
α
(2)
Konstanta α određuje se iz uslova iz teksta zadatka, prema kome se traži da bude Φ 2 = π 4 .
Dobija se jednačina:
arctg (
2ω 0
α
)=
π
4
,
sa rešenjem α = 2ω 0 =
A1 = 2 ⋅
4π
. Amplituda prvog harmonika ima vrednost:
T
A
e 2π − e −2π
A
⋅
=
⋅ e 2π − e −2π = 76.23 ⋅ A ,
T ⎛ 4π ⎞ 2 ⎛ 2π ⎞ 2 π ⋅ 5
⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝T ⎠ ⎝T ⎠
(
)
a njegova snaga iznosi:
P1 =
1 2
A1 ≈ 2900 ⋅ A 2 .
2
Prema (2.1.3a), ukupna snaga signala iznosi:
T 2
1
P = ⋅ ∫ x 2 (t )dt ≈ 11400 ⋅ A 2 ,
T −T 2
a odnos snage prvog harmonika i ukupne snage, u dB , izračunava se kao:
š
10 ⋅ log
P1
= −5.95 dB .
P
Zadatak 2.3.4. (E, S)
Signali s m (t ) , m = 1,2,3 , periode T , definisani su u intervalu ( − T 2 ÷ T 2) izrazom:
⎧ x (t )
sm (t ) = ⎨ m
⎩ 0
t ≤ T 4,
drugde,
pri čemu su signali xm (t ) dati izrazima:
Glava 2. Signali
43
x1 (t ) = C1 ,
x2 (t ) = C 2 (1 − 4 t T ) ,
x3 (t ) = C3 cos(2πt T ) .
Svi signali imaju jednake ukupne snage.
Za svaki od sigala s m (t ) , m = 1,2,3 , odrediti odnose snaga zbira jednosmerne komponente i
prvog harmonika prema ukupnoj snazi, P .
Rešenje:
Ukupne snage svakog od tri signala izračunavaju se posebno, najlakše u vremenskom domenu.
Prema uslovu u tekstu zadatka, sve snage su međusobno jednake i tu vrednost označavamo sa
P . Vrednosti konstanti Cm , m = 1,2,3 izražavamo preko P i dobijamo:
za prvi signal:
1
P = C12 ,
2
C1 = 2 P ,
za drugi signal:
1
P = C 22 ,
6
C2 = 6P ,
za treći signal:
1
P = C32 ,
4
C3 = 2 P .
(1)
Pošto su sva tri signala parne funkcije, za određivanje koeficijenata Furijeovog reda mogu se
upotrebiti i izrazi (7) u zadatku 2.3.1. Nakon pažljivog sređivanja dobiju se sledeći izrazi:
∞
1
2(−1) k
s1 (t ) = ⋅ C1 + ∑
⋅ C1 ⋅ cos[(2k + 1)ω 0t ] ,
2
(
2
k
+
1
)
π
k =0
s2 (t ) =
∞
1
⋅ C2 + ∑
4
k =1
kπ
4 ⋅ coskω t ,
0
2
8C2 sin 2
π 2k
(2)
∞
2C3 (−1) k +1
1
s3 (t ) = ⋅ C3 + ⋅ C3 ⋅ cos ω 0 t + ∑
⋅ cos 2kω 0 t .
2
π
2
k =1 π ( 4k − 1)
1
Snage jednosmernih komponenti P0 m , m = 1,2,3 , dobijaju se kvadriranjem jednosmernog člana
iz (2). Kad se uvrste konstante Cm , m = 1,2,3 iz (1), dobijaju se vrednosti:
P01 =
C12 P
= ,
4
2
P02 =
C22
P
=3
16
8
i
P03 =
C32
π2
=4
P
π2
, respektivno.
44
Osnovi telekomunikacija, skripta
Snage prvih harmonika, P1m , m = 1,2,3 , jednake su polovini kvadrata amplitude prvog harmonika, tj. sabirka koji sadrži cos ω 0t . Za prvi signal to je sabirak sa k = 0 , za drugi signal sabirak sa k = 1 , a u trećem signalu prvi harmonik već je izdvojen. Dobiju se vrednosti:
P11 = 2
C12
π2
=4
P
π
,
2
P12 = 8
C22
π4
= 48
P
π4
i
P13 =
C32 P
= , respektivno.
8
2
Delimične snage PDm , m = 1,2,3 , jednake su zbiru snaga jednosmerne komponente i prvog
harmonika za svaki od tri signala. One sadrže 90.5% , 86.8% odnosno 90.5% ukupne snage
signala, P .
Ovaj rezultat pokazuje da prvih nekoliko harmonika kod sva tri signala sadrži najveći deo (oko
90% ) od ukupne snage signala.
Zadatak 2.3.5. (E)
a) Odrediti autokorelaciju periodičnog signala s (t ) = E ⋅ cos(ω 0t + θ ) .
b) Odrediti konvoluciju periodičnih signala s1 (t ) i s 2 (t ) datih izrazom:
s n (t ) = E n ⋅ cos(ω 0 t + θ n ) , n = 1,2 .
c) Odrediti korelaciju periodičnih signala s1 (t ) i s 2 (t ) .
Rešenje:
a) Prema definiciji (2.3.13) autokorelacija signala s (t ) ima oblik:
T 2
T 2
1
1
r (τ ) = ⋅ ∫ s (t ) ⋅ s(t + τ )dt = ⋅ ∫ E 2 ⋅ cos(ω 0t + θ ) ⋅ cos(ω 0t + ω 0τ + θ )dt =
T −T 2
T −T 2
T 2
T 2
E2
E2
E2
=
⋅ cos(ω 0τ )dt +
⋅ cos(2ω 0 t + ω 0τ + 2θ )dt =
⋅ cos(ω 0τ ) .
2T −T∫ 2
2T −T∫ 2
2
Drugi integral u prethodnom izrazu ima vrednost jednaku nuli, a u prvom integralu izraz
cos(ω 0τ ) nije funkcija vremena pa sam integral ima vrednost T koja se zatim skraćuje.
Autokorelacija je takođe periodična funkcija, iste periode kao i signal s (t ) . Autokorelacija ne
zavisi od početne faze signala, θ . Za τ = 0 , autokorelacija ima maksimalnu vrednost i ona je
jednaka snazi signala, R (0) =
E2
.
2
Glava 2. Signali
45
b) Po definiciji (2.3.15) konvolucija dva signala data je izrazom:
T 2
1
ρ12 (τ ) = ⋅ ∫ s1 (t ) ⋅ s 2 (τ − t )dt =
T −T 2
T 2
E ⋅E
1
= ⋅ ∫ E1 ⋅ E 2 ⋅ cos(ω 0 t + θ1 ) ⋅ cos(ω 0τ − ω 0 t + θ 2 )dt = 1 2 ⋅ cos(ω 0τ + θ1 + θ 2 ) .
2
T −T 2
c) Primenom definicije (2.3.12a) dobije se:
T 2
1
E ⋅E
r12 (τ ) = ⋅ ∫ s1 (t ) ⋅ s2 (t + τ )dt = 1 2 ⋅ cos(ω0τ + θ 2 − θ1 ) .
2
T −T 2
E1 ⋅ E2
⋅ cos(θ 2 − θ1 ) , odakle se vidi da autokorelacija u nuli
2
zavisi od fazne razlike dva signala. Ukoliko su s1 (t ) i s 2 (t ) signali na ulazu i izlazu linearnog
Za
τ = 0 dobije se r12 (0) =
četvoropola, prethodni rezultat može se iskoristiti za merenje fazne karakteristike ovog četvoropola. U svim integralima promenljiva t je privremena promenljiva koja nestaje u postupku
integracije.
Zadatak 2.3.6. (E)
Dokazati sledeće osobine FT realne funkcije vremena s (t ) :
a) Spektralna gustina amplituda je parna, a spektralna gustina faza neparna funkcija učestanosti.
b) FT parne funkcije je realna, a FT neparne funkcije imaginarna funkcija učestanosti.
c) F{s (t − t 0 )} = e
− j 2πft0
⋅ F{s (t )}.
Rešenje:
a) Furijeova transformacija se, prema (2.3.17) i (2.3.33), može napisati kao:
S( f ) =
∞
∫ s(t ) ⋅ e
− j 2πft
dt =
−∞
=
∞
∞
∫ s(t ) ⋅ cos(2πft )dt − j ∫ s(t ) ⋅ sin(2πft )dt = P( f ) + j ⋅ Q( f ) .
−∞
(1)
−∞
Pošto je cos(2πft ) parna, a sin( 2πft ) neparna funkcija, zamenom f sa ( − f ) u (1) lako se
pokazuje da je P ( f ) parna, a Q ( f ) neparna funkcija učestanosti. Odavde sledi da je:
S (− f ) = P(− f ) + j ⋅ Q(− f ) = P( f ) − j ⋅ Q( f ) = S ∗ ( f ) .
46
Osnovi telekomunikacija, skripta
Spektralna gustina amplituda, S ( f ) , data je izrazom:
S( f ) = P2 ( f ) + Q2 ( f ) ,
i parna je funkcija učestanosti, jer je S (− f ) =
P 2 (− f ) + Q 2 (− f ) = S ( f ) .
Spektralna gustina faza, Φ ( f ) , data je izrazom:
Φ ( f ) = arctg
Q( f )
,
P( f )
i neparna je funkcija učestanosti, jer je Φ ( − f ) = arctg
Q(− f )
Q( f )
= − arctg
= −Φ ( f ) .
P(− f )
P( f )
b) Ako je s (t ) parna funkcija, tada je proizvod s (t ) ⋅ sin( 2πft ) neparna funkcija, pa za imaginarni deo važi Q ( f ) = 0 . Ako je s (t ) neparna funkcija, tada je s (t ) ⋅ cos(2πft ) neparna funkcija, pa je realni deo jednak nuli, P ( f ) = 0 .
Za parnu funkciju FT važi:
∞
S ( f ) = P ( f ) = 2 ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(2πft ) ⋅ dt ,
0
a za neparnu:
∞
S ( f ) = jQ ( f ) = −2 j ∫ f (t ) sin( 2πft ) ⋅ dt .
0
c) FT izraza s (t − t 0 ) određuje se po definiciji, smenom τ = t − t 0 :
∞
∫ s(τ ) ⋅ e
− j 2πfτ
⋅ e − j 2πft 0 dτ = e − j 2πft 0 ⋅ F{ s (t ) }.
−∞
Ovaj rezultat poznat je i kao jedna od osobina transformacije: FT signala sa kašnjenjem.
Zadatak 2.3.7. (E, S)
Signali x(t ) i y (t ) imaju FT X ( f ) i Y ( f ) . X ( f ) je različito od nule samo za učestanosti
f < f1 , a Y ( f ) samo za učestanosti f < f 2 .
Odrediti širinu spektra, tj opseg učestanosti za koje su spektri sledećih funkcija različiti od nule:
a) s (t ) = x(t ) ⋅ y (t ) ,
2
b) u (t ) = x (t ) ,
c) v(t ) = x (t ) .
n
Glava 2. Signali
47
Rešenje:
a) Po definiciji važi:
S( f ) =
∞
∫ s(t ) ⋅ e
−∞
− j 2πft
dt =
∞
∫ x(t ) ⋅ y(t ) ⋅ e
− j 2πft
dt .
−∞
Ako se u prethodnom izrazu x(t ) zameni svojom IFT, dobije se:
∞
⎞
⎛∞
S ( f ) = ∫ ⎜ ∫ X (λ ) ⋅ e j 2πλt dλ ⎟ ⋅ y (t ) ⋅ e − j 2πft dt .
⎟
⎜
−∞ ⎝ −∞
⎠
Zatim se izmeni redosled integracije:
∞
⎞
⎛∞
S ( f ) = ∫ X (λ ) ⋅ ⎜ ∫ y (t ) ⋅ e − j 2π ( f − λ )t dt ⎟dλ ,
⎟
⎜
−∞
⎠
⎝ −∞
pa se dobije:
S( f ) =
∞
∫ X ( λ ) ⋅ Y ( f − λ ) dλ .
(1)
−∞
Rezultat odgovara osobini 6. i izrazu (2.3.27). U gornjim izrazima bilo je neophodno uvođenje
pomoćne promenljive λ koja ima karakter učestanosti i nestaje tokom integracije.
Iz uslova zadatka poznat je opseg učestanosti za koje su X ( f ) i Y ( f ) različiti od nule:
− f1 < λ < f1 ,
− f2 < f − λ < f2 .
Iz druge nejednačine dobija se:
f < f2 + λ ,
f > − f2 + λ ,
Za određivanje gornje granice f treba uzeti maksimalnu vrednost
minimalnu vrednost λ . Sledi:
f < f 2 + f1 ,
λ , a za donju granicu f ,
f > − f 2 − f1 .
Širina spektra proizvoda dva signala jednaka je zbiru širina njihovih spektara.
Zadatak se može rešiti i na drugi način, primenom osobina konvolucije u frekvencijskom domenu. Rezultat je, naravno, isti, jer širina konvolucije odgovara zbiru širina signala koji učestvuju u konvoluciji.
b) Ako je x(t ) = y (t ) , tada je f1 = f 2 , pa je širina spektra signala u (t ) jednaka 2 f1 ,
odnosno:
48
Osnovi telekomunikacija, skripta
− 2 f1 < f < 2 f1 .
c) Rekurzivnom primenom navedenog postupka n puta, dobija se sledeći rezultat:
− nf1 < f < nf1 .
Zadatak 2.3.8. (E, S)
a) Delta impuls ili Dirakov impuls definisan je sledećim izrazima:
x ≠ 0,
x = 0,
⎧0
δ (t ) = ⎨
⎩∞
∞
∫ δ (t )dt = 1 ,
−∞
∞
∫ x(t ) ⋅ δ (t − t0 )dt = x(t0 ) .
δ (t ) = δ (−t ) ,
−∞
Odrediti FT delta impulsa i pomerenog delta impulsa,
(1)
δ (t − t 0 ) .
b) Odrediti FT konstante, tj. funkcije x(t ) = 1 .
c) Odrediti FT prostoperiodične funkcije y (t ) = cos 2πf 0 t i nacrtati spektar.
d) Odrediti FT prostoperiodične funkcije z (t ) = sin 2πf 0 t .
Rešenje:
a) FT pomerenog delta impulsa,
se x(t ) zameni sa e
− j 2πft
δ (t − t 0 ) , može se odrediti iz četvrtog definicionog izraza ako
. Tada je:
∞
F{δ (t − t 0 )} = ∫ δ (t − t 0 ) ⋅ e − j 2πft dt = e − j 2πft0 .
(2)
−∞
Iz prethodnog izraza, za t 0 = 0 sledi F{δ (t )} = 1 .
b) Treba izračunati integral: F{ 1 } =
∞
∫e
− j 2πft
dt .
−∞
Ovaj integral ne može se izračunati direktno. Međutim, pošto je, prema (2.3.36d):
∞
δ (t ) = ∫ e j 2πft df ,
−∞
formalnom zamenom promenljivih t i − f i primenom osobine parnosti sledi:
∞
δ (− f ) = ∫ e − j 2πft dt =δ ( f ) , odakle se vidi sledeća veza:
−∞
(3)
Glava 2. Signali
49
F{ 1 } = δ ( f ) .
Do istog rezultata može se doći i korišćenjem osobine dualnosti.
c) Po definiciji važi:
Y ( f ) = F{y (t )} =
∞
∫ cos 2πf 0t ⋅ e
− j 2πft
dt =
−∞
∞
∞
⎤ 1
1 ⎡ − j 2π ( f − f 0 )t
= ⋅⎢ ∫e
dt + ∫ e − j 2π ( f + f 0 )t dt ⎥ = ⋅ [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] .
2 ⎢⎣− ∞
⎥⎦ 2
−∞
Amplitudski spektar funkcije y (t ) prikazan je na slici 1. Fazni spektar svuda je jednak nuli pa
nije ni prikazan.
Y( f )
1
⋅ δ ( f + f0 )
2
1
⋅ δ ( f − f0 )
2
1
− f0
f0
f
Slika 1. Amplitudski spektar funkcije y (t )
d) Na isti način može se izračunati i spektar sinusoide u obliku:
Z( f ) =
1
⋅ [δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )] .
2j
Amplitudski spektri signala y (t ) i z (t ) identični su. Fazni spektar funkcije z (t ) ima vrednosti
−
π
2
za f = f 0 i
π
2
za f = − f 0 .
Zadatak 2.3.9. (E, S)
Dat je signal:
t
⎧
⎪ A ⋅ e−τ
s (t ) = ⎨
⎪⎩ 0
t ≥ 0,
t < 0.
50
Osnovi telekomunikacija, skripta
a) Nacrtati spektar ovog signala.
b) Odrediti odnos energije dela signala čiji je spektar u opsegu (0 ÷ f c ) prema ukupnoj energiji
signala. Faza signala zadovoljava jednakost: Φ ( ± f c ) = m
π
4
.
Rešenje:
a) FT signala s (t ) , po definiciji, ima oblik:
S( f ) =
∞
∫ s(t ) ⋅ e
− j 2πft
−∞
∞ −t
dt = A ⋅ ∫ e
τ
⋅ e − j 2πft dt = Aτ
0
1
.
1 + j 2πfτ
Odavde se lako određuju moduo i argument:
S( f ) =
Aτ
1 + (2πfτ )
2
⋅ e − j⋅arctg 2πfτ = S ( f ) e jΦ ( f ) .
(1)
Spektralna gustina amplituda:
S( f ) =
Aτ
1 + (2πfτ )
2
,
i spektralna gustina faza Φ ( f ) = − arctg ( 2πfτ ) , prikazane su na slici 1.
S(f)
π
2 Φ(f)
f
f
-π
2
Slika 1. Spektralna gustina amplituda i faza signala s (t )
b) Za f = f c važi uslov: − arctg ( 2πf cτ ) = −
π
4
, odakle je: 2πf cτ = 1 , tj. f c =
1
2πτ
.
Energija signala u opsegu učestanosti od nule do f c određuje se integracijom spektralne gustine
energije (2.3.29) unutar zahtevanih granica, u ovom slučaju ( − f c , f c ) :
Glava 2. Signali
Wc =
fc
51
A 2τ
.
S ( f ) df =
4
2
∫
− fc
Isti rezultat mogao se dobiti, na osnovu parnosti spektralne gustine energije, i kao dvostruka
vrednost istog integrala u granicama (0, f c ) .
Ukupna energija signala dobija se integracijom u beskonačnim granicama:
∞
∞
A 2τ
W = ∫ s (t )dt = ∫ S ( f ) df =
,
2
−∞
−∞
2
2
pa traženi odnos energija ima vrednost:
Wc 1
= .
W 2
Zadatak 2.3.10. (E)
Odrediti analitički izraz i nacrtati spektar signala:
a)
⎧
⎪1
x(t ) = ⎨
⎪⎩0
c)
⎧
⎪cos ω 0t
z (t ) = ⎨
⎪⎩ 0
τ
t ≤ ,
2
drugde,
b)
t
⎧
⎪1 − 2
y (t ) = ⎨
τ
⎪ 0
⎩
τ
t ≤ ,
2
drugde,
τ
t ≤ ,
2
drugde,
za f 0τ = 1 i f 0τ = 4 .
Rešenje:
FT svih posmatranih signala može se odrediti primenom definicionog izraza (2.3.17). Ovakvo
rešavanje preporučujemo kao veoma korisnu vežbu.
Međutim, za klasu signala koji zadovoljavaju uslov:
d k s (t )
dt
k
=
M
∑ am ⋅ δ (t − t m ) ,
(1)
m=1
tj. signala kod kojih se, traženjem izvoda k -tog reda po vremenu, dolazi do funkcije koja se sastoji samo od pomerenih delta-impulsa, Furijeova transformacija može se odrediti primenom postupka koji se naziva impulsna analiza. U izrazu (1) t m su tačke u kojima funkcija s (t ) ima pre+
−
kid, a konstanta am je veličina skoka, am = s (t m ) − s (t m ) . Konstanta am može da bude i
pozitivna i negativna.
52
Osnovi telekomunikacija, skripta
FT desne strane jednačine (1) lako se izračunava, prema jedn. (2) u zad. 2.3.8. Sa druge strane,
određivanje FT k − tog izvoda, tj. leve strane izraza (1):
Sk ( f ) =
∞
∫
d k s (t )
dt
−∞
k
⋅ e − j 2πft dt ,
primenom smena u = e
d k −1s (t )
dt k −1
− jωt
, dv =
d k s (t )
dt k
dt , i parcijalne integracije uz uslov:
= 0 , za k = 0,1,.. ,
t = ±∞
daje rekurzivan obrazac koji povezuje FT uzastopnih izvoda kao:
S k ( f ) = j 2πf ⋅ S k −1 ( f ) .
Pošto funkcija odgovara svom nultom izvodu, iz prethodnog izraza lako se pokazuje da važi:
S( f ) =
Sk ( f )
( j 2πf )
k
.
Određivanje brojioca u prethodnom izrazu svodi se na opisano izračunavanje FT desne strane
izraza (1):
Sk ( f ) =
∞
M
∫ ∑ am ⋅ δ (t − t m ) ⋅ e
− ∞ m =1
odakle je: S ( f ) =
1
− j 2πft
dt =
M
∑ am ⋅ e − j 2πft
m
,
m =1
M
( j 2πf )
k
⋅ ∑ am ⋅ e − j 2πft m .
m =1
a) Signal x(t ) svodi se na oblik (1) već nakon određivanja prvog izvoda, tj. za k = 1 :
τ
τ
x ′(t ) = δ (t + ) − δ (t − ) .
2
2
Parametri za određivanje S k ( f ) , prema (1), imaju vrednosti: M = 2 ; a1 = 1 ; t1 = −τ 2 ;
a 2 = −1 ; t 2 = τ 2 , pa spektar signala x(t ) ima oblik:
τ
τ
− j 2πf ⎤
1 ⎡ j 2πf 2
2 ⎥ = τ ⋅ sin πfτ .
⋅ ⎢e
−e
X(f )=
j 2πf ⎢
πfτ
⎥⎦
⎣
Spektar ovog signala prikazan je na slici 1a. Spektralna gustina amplituda ima nule na učestanostima, f = ± k τ , k ≠ 0 . Spektralna gustina faza uzima vrednosti zavisno od znaka X ( f ) ,
Glava 2. Signali
53
jer je X ( f ) realna funkcija (imaginarni deo jednak je nuli). Za one učestanosti na kojima je
X ( f ) > 0 , faza je Φ ( f ) = 0 ± 2kπ , a tamo gde je X ( f ) < 0 faza je Φ ( f ) = ±π ± 2kπ .
X( f )
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
fτ
a)
Y( f )
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
fτ
4
b)
Z( f )
f 0τ = 1
f 0τ = 4
-4 -3 -2 -1
c)
0
1 2
3
4
Slika 1. Spektri signala x(t ) (a), y (t ) (b) i z (t ) (dva slučaja) (c)
b) Signal y (t ) svodi se na oblik (1) traženjem dva izvoda, tj. za k = 2 :
y ′′(t ) =
4
2
τ
τ
⋅ δ (t + ) − ⋅ δ (t ) + ⋅ δ (t − ) , a njegova FT ima oblik:
τ
2 τ
τ
2
2
fτ
54
Osnovi telekomunikacija, skripta
Y( f ) =
1
( j 2πf )2
πfτ
⎛
sin
⎜
4⎤ τ
⎡4
2
⋅ ⎢ ⋅ cos(πfτ ) − ⎥ = ⋅ ⎜
π
f
τ
τ⎦ 2 ⎜
⎣τ
⎜
⎝ 2
2
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
Spektar je prikazan na slici 1.b.
c) Signal z (t ) ne može se svesti na oblik (1), pa se FT određuje po definiciji:
τ
Z( f ) =
2
− j 2πft
∫ cos(2πf 0t ) ⋅ e dt =
−
=
τ
τ
1
⋅
2
2
2
∫ [e
−
− j 2π ( f − f 0 )t
+ e − j 2π ( f + f 0 )t ] ⋅ dt =
τ
2
τ ⎡ sin π ( f − f 0 )τ sin π ( f + f 0 )τ ⎤
⋅⎢
+
.
2 ⎣ π ( f − f 0 )τ
π ( f + f 0 )τ ⎥⎦
Spektar signala z (t ) , za dve različite vrednosti f 0τ , prikazan je na slici 1c.
Pošto je signal z (t ) proizvod pravougaonog impulsa i funkcije cos(ω 0 t ) , dobijeni spektar se,
prema jedn. (1) u zad. 2.3.7., može izračunati i kao konvolucija njihovih spektara. Rezultat te
konvolucije jeste zbir dve pomerene kopije spektra pravougaonog impulsa. Na slici 1c) nije nacrtan zbir nego samo skica dva signala koje treba sabrati.
Zadatak 2.3.11. (E)
a) Dokazati sledeće osobine autokorelacije aperiodičnog signala s (t ) :
- parna funkcija,
- FT autokorelacije jednaka je kvadratu spektralne gustine amplituda signala s (t ) ,
- maksimum autokorelacije u nuli jednak je ukupnoj energiji signala.
b) Izračunati i nacrtati autokorelaciju i spektralnu gustinu energije funkcije x(t ) koja ima oblik
pravougaonog impulsa trajanja T i amplitude E .
c) Odrediti autokorelaciju i spektralnu gustinu energije signala y (t ) sa slike 1.
y(t)
E
-T/2
T/2
-E
Slika 1. Signal y (t )
t
Glava 2. Signali
55
Rešenje:
a) Neka je S ( f ) FT signala s (t ) . Autokorelacija je definisana izrazom (2.3.14).
Zamenom τ sa − τ dobije se r ( −τ ) =
∞
∫ s(t ) ⋅ s(t − τ )dt .
−∞
Smenom
∞
λ = t − τ , dokazuje se parnost: r (−τ ) =
∫ s(λ + τ ) s(λ )dλ = r (τ ) .
−∞
FT autokorelacije definisana je izrazom:
⎡∞
⎤
F{r (τ )} = ∫ ⎢ ∫ s (t ) s (t + τ )dt ⎥ ⋅ e − j2πfτ dτ .
⎥⎦
−∞ ⎢
⎣− ∞
∞
Ako se promeni redosled integracije i uvede smena
grala, dobije se:
λ = τ + t , pa zatim izvrši razdvajanje inte-
∞
∞
⎡∞
⎤
⎡∞
⎤
− j 2πfτ
F{r (τ )} = ∫ s (t ) ⋅ ⎢ ∫ s (t + τ ) ⋅ e
dτ ⎥dt = ∫ s (t )⎢ ∫ s (λ ) ⋅ e − j 2πfλ dλ ⎥ ⋅ e j 2πft dt =
−∞
−∞
⎣⎢−∞
⎦⎥
⎣⎢− ∞
⎦⎥
=
∞
∫ s (λ ) ⋅ e
− j 2πfλ
−∞
∞
dλ ∫ s (t ) ⋅ e j 2πft dt = S ( f ) ⋅ S ∗ ( f ) = S ( f ) .
2
(1)
−∞
Autokorelacija i spektralna gustina energije realne su i parne funkcije vremena odnosno učestanosti i čine Furijeov transformacioni par:
r (τ ) =
∞
∫ S( f )
2
⋅ cos(2πfτ )df .
−∞
Izraz r (0) − r (τ ) =
∞
2
∫ S ( f ) (1 − cos 2πfτ )df , t ≠ 0 , uvek je veći od nule ili jednak nuli, jer
−∞
je 1 − cos 2πfτ ≥ 0 . To znači da funkcija r (τ ) ima maksimum u tački τ = 0 .
b) Autokorelacija signala koji nemaju jedinstveni analitički izraz u intervalu ( −∞, ∞) najlakše
se određuje grafičkim postupkom. Autokorelacija pravougaonog impulsa, tj. signala koji se analitički opisuje sledećim izrazom:
⎧
⎪E
x(t ) = ⎨
⎪⎩ 0
T
,
2
drugde,
t ≤
56
Osnovi telekomunikacija, skripta
ima oblik trougaonog impulsa, opisanog izrazom:
⎧ 2 ⎛ τ
⎪ E T ⎜⎜1 −
rx (τ ) = ⎨
⎝ T
⎪
0
⎩
⎞
⎟⎟
⎠
τ ≤ T,
drugde.
Postupak određivanja rx (τ ) prikazan je na slici 2.
U prikazanom grafičkom postupku jednu od podintegralnih funkcija (u ovom slučaju x(t ) ) fiksiramo, a drugu funkciju (u ovom slučaju x(t + τ ) ) pomeramo duž t ose i za svako τ (u opsegu − ∞, ∞ ), množimo sa fiksiranom funkcijom, integralimo proizvod i rezultat upisujemo u
odgovarajuću tačku na τ osi. Dok se τ menja u granicama ( − ∞, ∞ ), može se zamisliti da
funkcija x(t + τ ) klizi zdesna ulevo.
FT trougaonog impulsa određena je u zadatku 2.3.10.b) za τ = 2T , pa je:
2 ⎛ sin πfT
2
⎞
⎟⎟ .
X ( f ) = E T ⎜⎜
π
fT
⎝
⎠
2
2
Funkcija X ( f )
2
prikazana je na slici 1b. u zadatku 2.3.10.
c) Signal y (t ) može se izraziti preko signala x(t ) , primenom pomeranja i skaliranja, na sledeći
način:
⎛ T⎞
⎛ T⎞
y (t ) = x1 ⎜ t + ⎟ − x1 ⎜ t − ⎟ , gde je x1 (t ) = x(2t ) .
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠
Primenom definicione formule (2.3.14) (u koju treba uvrstiti signal y (t ) , a zatim pomnožiti dva
binoma, razdvojiti dobijena četiri integrala i primeniti odgovarajuće smene) može se pokazati da
autokorelacija ovog signala ima oblik:
T
T
ry (τ ) = 2 ⋅ r1 (τ ) − r1 (τ − ) − r1 (τ + ) ,
2
2
gde je r1 (τ ) autokorelacija signala x1 (t ) . Između r1 (τ ) i r (τ ) postoji sledeća veza:
r1 (τ ) =
∞
∞
−∞
−∞
∫ x1 (t ) ⋅ x1 (t + τ )dt = ∫ x(2t ) ⋅ x(2(t + τ ))dt =
∞
1
1
= ∫ x(λ ) ⋅ x(λ + 2τ )dλ = r (2τ ) ,
2 −∞
2
pa je ry (τ ) = r (2τ ) −
1
1
r (2τ − T ) − r (2τ + T ) . Ova funkcija prikazana je na slici 3.
2
2
(2)
Glava 2. Signali
57
x(t )
E
-T/2
T/2
T
t
x(t + τ )
− ∞ < τ < −T
E
−τ −T / 2 T − τ −τ +T / 2 t
x(t + τ )
−T <τ < 0
E
−τ−T/2
−τ
T
t
T
t
T
t
T
τ
x(t + τ )
0 <τ <T
E
−τ
−τ +T/ 2
x(t + τ )
T <τ < ∞
E
−τ
T/2
-T/2
rx (τ )
2
E T
-T
Slika 2. Grafički postupak za određivanje autokorelacije
58
Osnovi telekomunikacija, skripta
ry (τ )
2
E T
T
-T
τ
Slika 3. Autokorelacija signala y (t )
Koristeći osobinu promene razmere FT: F{x ( at )} =
Y( f ) =
1 ⎛f⎞
X ⎜ ⎟e
2 ⎝2⎠
−j
πfT
2
−
1 ⎛f⎞
X ⎜ ⎟e
2 ⎝2⎠
j
1 ⎛f⎞
X ⎜ ⎟ , lako se pokazuje da važi:
a ⎝a⎠
πfT
2
= j ⋅ E ⋅T ⋅
sin 2
πfT
πfT
2 ,
2
a tražena spektralna gustina energije ima oblik:
⎛ 2 πfT
⎜ sin
2
2
2 ⎜
2
Y ( f ) = E ⋅T ⋅
⎜ πfT
⎜
⎝
2
2
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
Zadatak 2.3.12. (E)
Autokorelacija slučajnog signala s (t ) data je izrazom:
r (τ ) = P ⋅ e
−
τ
T
,
gde je P srednja snaga signala, a T konstanta.
a) Odrediti spektralnu gustinu snage signala s (t ) .
b) Odrediti koliko se procenata od ukupne snage signala nalazi u opsezima učestanosti (0 ÷ f c )
i ( f c ÷ 2 f c ) , gde je f c =
Rešenje:
1
.
2πT
a) Za signal s (t ) dat je analitički izraz za autokorelaciju. Primenom osobine spomenute u
diskusiji posle izraza (2.3.46), po kojoj autokorelacija i spektralna gustina snage čine Furijeov
transformacioni par, kao i činjenice da se radi o transformaciji parne funkcije, dobija se sledeći
izraz:
Glava 2. Signali
∞
∫ r (τ )e
W( f ) =
59
− j 2πfτ
0
dτ =
−∞
∫
τ
P ⋅ e T e − j 2πfτ dτ
−∞
∞
+ ∫ P⋅e
−
τ
T e − j 2πfτ dτ
=
0
2 PT
1 + (2πfT )2
.
b) Srednja snaga slučajnog signala u opsegu (0 ÷ f c ) ima vrednost:
fc
P1 = 2 ⋅ ∫ W ( f )df =
2⋅ P
0
π
⋅ arctg (2πf cT ) =
P
,
2
a srednja snaga slučajnog signala u opsegu ( f c ÷ 2 f c ) :
P2 = 2 ⋅
2 fc
∫
W ( f )df =
fc
⎛
⎞
2πf cT
⎟ = 0.2 ⋅ P .
⋅ arctg ⎜
⎜ 1 + 2(2πf T )2 ⎟
π
c
⎝
⎠
2⋅ P
Preko činioca 2 sa kojim je pomnožen integral obuhvaćena je snaga za negativne učestanosti.
2.4. Diskretni signali
Paralelno sa teorijom analognih signala i sistema razvijena je i teorija diskretnih signala i sistema. Posmatra se diskretni signal ili signal sa diskretnim vremenom, oblika:
xd = {.... x− 2 , x−1 , x0 , x1 , x2 , x3 , ......}.
(2.4.1)
Ovaj signal je, u stvari, uređen skup brojeva. Ako brojevi pripadaju kontinualnom skupu vrednosti, govorimo o diskretnom signalu. Ako je izvršena njihova kvantizacija, radi se o digitalnom
signalu. U najvećem delu teorije koja je ovde izložena smatramo da se radi o diskretnim signalima. Efekti kvantizacije spomenuti su na kraju poglavlja 3.4.
Obično se smatra da je diskretni signal nastao odabiranjem analognog signala, xa (t ) . Između
odbiraka xn i analognog signala tada postoji veza:
xn = x(n) = xa (nT ) .
(2.4.2)
Diskretni signal, međutim, nije uvek nastao odabiranjem analognog signala.
Domen definisanosti diskretnog signala često se naziva vremenski ili signalni domen.
Postoji čitav niz analogija između pojmova koji su ranije uvedeni za analogne signale i sličnih
pojmova kod diskretnih signala. U nastavku su navedeni primeri koji pokazuju sličnosti, ali i
razlike [2,4,5].
- Signal sa konačnim trajanjem (signal koji je različit od nule u konačnom broju tačaka):
⎧n
x ( n ) = xn = ⎨
⎩0
0 ≤ n ≤ 3,
drugde.
(2.4.3)
60
Osnovi telekomunikacija, skripta
- Signal sa beskonačnim trajanjem:
⎧0 n < 0,
xn = ⎨ n
⎩α n ≥ 0.
(2.4.4)
- Jednični impuls:
⎧1
⎩0
δn = ⎨
n = 0,
drugde.
(2.4.5)
- Pomereni jednični impuls:
⎧1
⎩0
δ n−k = ⎨
n = k,
drugde.
(2.4.6)
- Jedinična funkcija (step funkcija):
⎧0
un = ⎨
⎩1
n < 0,
n ≥ 0.
(2.4.7)
- Periodični signal:
xn = A ⋅ sin (2πnθ + φ ) ,
(2.4.8)
gde je A -amplituda, θ -relativna učestanost, a φ -početna faza.
- Kompleksni periodični signal:
e j 2πnθ = cos(2πnθ ) + j ⋅ sin(2πnθ ) .
(2.4.9)
Treba istaći da je jedinični impuls kod diskretnih signala ‘obična’ funkcija, za razliku od kontinualnih funkcija kod kojih je delta impuls definisan na poseban način.
Primer periodičnog diskretnog signala prikazan je na slici 2.4.1 a), dok je na slici 2.4.1 b) prikazan sinusoidalni diskretni signal koji nije periodičan, xn = A ⋅ sin(n) , jer ne postoji ceo broj
n0 za koji važi jednakost sin( n) = sin(n + n0 ) .
Kod analognih signala, signal oblika x(t ) = sin(t ) ima osobinu periodičnosti, ali mu je perioda
jednaka parnom multiplu broja π .
Signali (2.4.8) i (2.4.9) imaju naročit značaj u obradi signala.
Relativna učestanost θ odgovara učestanosti periodičnog signala, uz neke specifičnosti. Kod
analognih periodičnih signala, tipa sin (2πf 0t ) , za svaku različitu vrednost učestanosti f 0 dobija se različit signal.
Glava 2. Signali
61
xn
1
-2
4
0
2
n
10
-1
a)
xn
1
4
-2
0
n
10
2
-1
b)
Slika 2.4.1. Periodični diskretni signal a) i aperiodični sinusni signal b)
Kod diskretnih signala postoji značajna razlika. Samo za vrednosti za koje važi
θ < 1 / 2 dobi-
jaju se različiti signali. Za ostale vrednosti relativne učestanosti, signali se ne razlikuju od onih iz
intervala θ < 1 / 2 . U definicionom izrazu (2.4.8) javlja se periodičnost i po promenljivoj n i
po relativnoj učestanosti, sa periodom jednakom jedinici. To znači da se jednaki signali dobijaju
za θ 0 , θ 0 ± 1, θ 0 ± 2 ,...θ 0 ± k ,... gde je θ 0 učestanost za koju važi ograničenje vrednosti na
interval
θ 0 < 1 / 2 , a k ceo broj.
Ova se osobina lako dokazuje jer je, npr. sin 2πn(θ 0 + k ) = sin( 2πnθ 0 + 2πnk ) , pa za celobrojne n i k promena faze odgovara vrednosti 2π , a sinusna funkcija ima osobinu periodičnosti sa periodom 2π . Ilustracija ove osobine za funkcije xn = sin 2πn ⋅ (1 / 6) i
yn = sin 2πn ⋅ (7 / 6) pokazana je na slici 2.4.2.
xn , yn
1
n
-1
Slika 2.4.2. Primer dva periodična signala sa različitim učestanostima
i jednakom diskretnom realizacijom
Čak i unutar intervala
sne funkcije važi e
θ < 1 / 2 postoji konjugovano kompleksna simetrija, pošto za komplek-
j 2πnθ
(
)
∗
= e j 2πn ( −θ ) . Dokaz ove osobine takođe je očigledan.
62
Osnovi telekomunikacija, skripta
Osim intervala koji je simetrično postavljen oko koordinatnog početka, ponekad se kao osnovna
perioda posmatra interval (0, 1) , u kom postoji konjugovano kompleksna simetrija između vrednosti θ i 1 − θ . Ova osobina dokazuje se slično kao i prethodna.
Treba istaći i da pojam relativna učestanost ukazuje da je stvarna učestanost normalizovana (podeljena) sa nekom vrednošću. Ako je diskretni signal nastao odabiranjem analognog signala, normalizacija učestanosti izvršena je deljenjem sa učestanošću odabiranja koja je korišćena pri nastajanju posmatranog diskretnog signala.
Frekvencijska predstava diskretnih signala
Kao i kod analognih signala, kod diskretnih signala postoje posebni postupci za frekvencijsku
predstavu za aperiodične i periodične signale.
Furijeova transformacija diskretnih signala
Furijeova transformacija aperiodičnog diskretnog signala (FTD) definiše se kao:
X (ξ ) =
∞
∑ xn ⋅ e − j 2πnξ .
(2.4.10)
n = −∞
Ponekad se u literaturi ova transformacija označava kao X (ω ) , X (e
jω
) ili X (e jωT ) .
Kontinualna promenljiva ξ (malo grčko slovo ksi) naziva se generalisana učestanost. Može se
formalno povezati sa običnom učestanosti uz uslov da je izvršena normalizacija sa učestanošću
odabiranja, tj.
ξ=
f
. Domen nad kojim je definisana FTD naziva se frekvencijski ili transfs
formacioni domen. FTD ima niz korisnih osobina. One su pokazane u nastavku.
Poređenjem izraza za FTD sa do sada definisanim izrazima vezanim za transformacije, može se
zapaziti sličnost sa Furijeovim redom, uz uslov da promenljiva ξ ima ulogu vremena, a da perioda ima vrednost T = 1 . Postoje i dve formalne razlike:
1) Različit je znak eksponenta, ali to nema naročit značaj jer suma obuhvata i pozitivne i negativne vrednosti.
2) Za koeficijente Furijeovog reda periodičnih analognih signala važi osobina konjugovano kom∗
pleksne parnosti koeficijenata, xn = x− n , pa se kao rezultat dobije realna vremenska funkcija.
Kod diskretnih signala takva parnost u opštem slučaju ne važi pa je X (ξ ) kompleksna funkcija
realne promenljive.
Na osnovu svega navedenog može se izvesti važan zaključak da je FTD X (ξ ) periodična kompleksna funkcija i da ima periodu jednaku jedinici.
Lako se pokazuje da FTD ima većinu osobina koje ima i Furijeova transformacija:
Glava 2. Signali
63
- važi Parsevalova teorema,
- postupak je linearan,
- pomeranje u signalnom domenu, oblika x( n − k ) , daje spektar oblika e
- modulacija u signalnom domenu, oblika x( n) ⋅ e
j 2πξ 0
− j 2πξk
⋅ X (ξ ) ,
daje spektar oblika X (ξ − ξ 0 ) ,
- množenju u jednom domenu odgovara konvolucija u drugom,
- moduo je parna a argument neparna funkcija, itd.
Inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala
Inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala (IFTD) definisana je kao:
1
2
∫ X (ξ ) ⋅ e
xn =
−
j 2πnξ
⋅ dξ .
(2.4.11)
1
2
I u ovom izrazu može se zapaziti sličnost sa izrazom za određivanje koeficijenata Furijeovog reda. Promenljive ξ i t zamenile su mesta, a perioda ima vrednost jednaku jedinici.
Diskretna Furijeova transformacija
Za postojanje FTD formalno ne postoje uslovi koji bi odgovarali Dirihleovim uslovima kod Furijeove transformacije. Međutim, pri izračunavanju definicione sume (2.4.10) nad diskretnim periodičnim signalom javlja se sledeći problem. Ako je signal periodičan, tj. važi xn = xn + p ⋅ N , gde
je p ceo broj a N konstanta koja se naziva perioda diskretnog signala, tada se pri određivanju
FTD dobija zbir koji ne konvergira, tj. ne može se izračunati.
Zbog toga je za periodične diskretne signale definisana posebna vrsta transformacije pod nazivom diskretna Furijeova transformacija (DFT). Ako je diskretni signal periodičan, sa periodom
N , kaže se da ima osnovnu učestanost 1 / N . Takav signal može se razložiti na prostoperiodične komponente na učestanostima k / N , k = 0, 1, 2, ...., N − 1 . Po definiciji, diskretna Furijeova transformacija ima oblik:
Xk =
N −1
∑ xn ⋅ e
−j
2π
⋅k ⋅n
N
, k = 0, 1, 2, ...., N − 1 .
(2.4.12)
n=0
Dobijene vrednosti nazivaju se koeficijenti DFT.
Inverzna DFT (IDFT) definisana je kao:
2π
j ⋅k ⋅n
1 N −1
xn = ⋅ ∑ X k ⋅ e N
, n = 0, 1, 2, ...., N − 1 .
N k =0
(2.4.13)
64
Osnovi telekomunikacija, skripta
DFT ima nekoliko značajnih osobina, slično kao i običan Furijeov red. Postoji, međutim, nekoliko krupnijih razlika, odnosno novih osobina.
Prvo, broj harmonika je konačan i iznosi N , dakle jednak je periodi periodičnog signala.
Drugo, praktično se koristi samo kompleksni oblik DFT opisan gornjim izrazima (ne koriste se
sume sa sinusnim i kosinusnim članovima). Pod nekim uslovima (parnost odnosno neparnost
diskretnog signala) može se desiti da koeficijenti DFT budu realni brojevi, ali takvi slučajevi
nemaju poseban značaj.
Važna osobina koeficijenata DFT jeste činjenica da su koeficijenti sa rednim brojem 0 i N / 2
uvek realni brojevi (ako je N paran broj). Lako se pokazuje da koeficijent sa rednim brojem
N / 2 (tj. harmonik sa tim rednim brojem) opisuje ‘najbrže’ promene u diskretnom signalu. Pojam brzine ovde odgovara učestanosti, tj. broju promena u jedinici vremena.
Na kraju, DFT je jedina do sada definisana transformacija kod koje su i signal i njegov spektar
diskretni signali što je čini pogodnim za primenu u računarskoj obradi signala.
Brza Furijeova transformacija, FFT
U postupku izračunavanja DFT po definiciji, za svaki od N koeficijenata potrebno je izvršiti N
2
kompleksnih množenja i N − 1 sabiranja. Ukupan broj od N množenja ukazuje na činjenicu
da je postupak veoma složen i da za velike vrednosti N postaje veoma spor.
Zbog toga je razvijen poseban postupak kojim se, razlaganjem postupka na međukorake, broj
potrebnih množenja značajno smanjuje.
Postupak se naziva Brza Furijeova transformacija (Fast Fourier Transform, FFT). FFT, prema
tome, nije posebna transformacija, nego postupak za ubrzavanje izračunavanja DFT. Detalji postupka mogu se naći u svakoj knjizi iz digitalne obrade signala, npr. u [2,3]. Postoji više varijanti
FFT ali su im osobine veoma slične.
Z-transformacija
Kod funkcija sa kontinualnom promenljivom već je rečeno je da se Furijeova transformacija posmatra kao deo opštije, Laplasove transformacije, kod koje je promenljiva kompleksna veličina
s = σ + jω , na imaginarnoj osi, dakle tamo gde je s = jω .
Kod funkcija sa diskretnom promenljivom postoji takođe opštija transformacija koja se naziva Ztransformacija i definisana je kao
X ( z) =
∞
∑ xn ⋅ z − n ,
(2.4.14)
n = −∞
gde je z kompleksna promenljiva. Lako se pokazuje da je FTD jednaka Z-transformaciji na
jediničnom krugu, tj. tamo gde je z = e
j 2πξ
.
Glava 2. Signali
65
Odavde se lako sagledava i osobina periodičnosti FTD, jer se ξ osa kao osa nezavisne promenljive praktično može posmatrati kao veličina koja se dobija ‘odmotavanjem’ jediničnog kruga u pravu beskonačne dužine.
Rešeni primer uz poglavlje 2.4.
Zadatak 2.4.1. (E)
Odrediti DFT sledećih diskretnih signala:
a) delta impulsa, xn = δ n ;
b) pomerenog delta impulsa, yn = δ n − k , gde je k ceo broj;
⎧1 0 ≤ n ≤ N − 1,
drugde.
⎩0
c) pravougaonog prozora, z n = ⎨
Rešenje:
DFT zadatih signala određuje se po definiciji (2.4.10).
a) X (ξ ) =
∞
∑ xn ⋅ e − j 2πnξ
= 1⋅ e j0 = 1.
n = −∞
b) Y (ξ ) =
∞
∑ yn ⋅ e − j 2πnξ
= e − j 2πkξ .
n = −∞
Spektar pomerenog impulsa ima konstantnu amplitudu, kao i spektar određen pod a), dok je
fazna linearno zavisna od promenljive ξ .
c) Z (ξ ) =
∞
∑ xn ⋅ e
n = −∞
− j 2πnξ
=
N −1
∑e
n =0
− j 2πnξ
=e
− j 2π
N −1
ξ
2
⋅
sin πNξ
.
sin πξ
Pri određivanju ovog spektra korišćene su formule za sumiranje geometrijskog reda poznate iz
matematike.
66
Osnovi telekomunikacija, skripta
3. SISTEMI ZA PRENOS I OBRADU SIGNALA
Telekomunikacioni sistem je sistem koji obuhvata sve sklopove neophodne za realizaciju prenosa poruka na daljinu.
Za svaki sistem mogu se uočiti ulazni ili pobudni signali (pobude), x1 (t ), x2 (t ),.....x N (t ) i izlazni signali (odzivi), y1 (t ), y2 (t ),..... y K (t ) . Sistem je potpuno definisan ako je poznata zavisnost svakog odziva od pobudnih signala. U ovom kursu izučavaju se uglavnom sistemi sa jednom pobudom i jednim odzivom. Kod takvih sistema je N = K = 1 , a zavisnost je obično data
u obliku:
y (t ) = Κ [x(t )] ,
(3.0.1)
gde Κ označava funkcionalnu zavisnost, ili operator i opisuje kako funkcioniše sistem.
Prema tipu zavisnosti izlaznog od ulaznog signala, sistemi se dele na linearne i nelinearne, a svaki od njih na inercijalne (sa memorijom) i neinercijalne (bez memorije). Sistemi sa memorijom
imaju osobinu da im vrednost odziva u svakom trenutku zavisi od vrednosti pobude u posmatranom trenutku i ranijim trenucima (koji su prethodili posmatranom).
3.1. Linearni sistemi
Ako se zavisnost (3.0.1) može napisati u obliku:
y (t ) = h0 ⋅ x(t ) + h1 ⋅ x(t − τ1 ) + h2 ⋅ x(t − τ 2 ) + .....
(3.1.1)
pri čemu su h0 , h1 , h2 ,.... koeficijenti (ne zavise od pobude nego imaju konstantnu vrednost), a
τ i , i = 1, 2, ... vremenski intervali (vremenske konstante), kaže se da je sistem linearan.
Koeficijenti hi i konstante τ i , i = 1, 2, ... u potpunosti opisuju sistem.
Linearni sistemi, kao što je već rečeno, dele se na sisteme bez memorije i sisteme sa memorijom.
Ako je bar jedna od konstanti τ i , i = 1, 2, ... različita od nule, kaže se da sistem ima memoriju.
Linearni sistemi bez memorije
Linearni sistemi bez memorije najjednostavniji su za analizu. Njihov drugi naziv je pojačavači.
Izlazni signal dobija se množenjem ulaznog signala nekom konstantnom vrednošću koja se naziva pojačanje. U izrazu (3.1.1) praktično postoji samo prvi sabirak, y (t ) = h0 ⋅ x (t ) , a pojačanje je označeno sa h0 .
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
67
Linearni sistemi sa memorijom
Linearni sistemi sa memorijom često se nazivaju filtri. Filtri su sklopovi od posebnog značaja u
telekomunikacijama.
Postoji više načina da se pokaže kako se određuje odziv linearnog sistema sa memorijom na zadatu pobudu. Posebnu ulogu u ovim dokazima igra delta impuls. Kada je pobudni signal jednak
delta impulsu, x(t ) = δ (t ) , tada se izlazni signal, y (t ) , naziva impulsni odziv. Obično se im-
pulsni odziv označava sa h(t ) pa, prema (3.0.1), važi jednačina: h(t ) = Κ [δ (t )] .
Ako linearni sistem ispunjava i uslov tzv. vremenske nezavisnosti (invarijantnosti), tada je odziv
na pomereni delta impuls jednak pomerenom impulsnom odzivu, tj. h(t − τ ) = Κ [δ (t − τ )] .
Osobina se relativno lako dokazuje, a jasna je i sama po sebi ako se shvati da vremenska nezavisnost znači da je funkcionisanje sistema potpuno nezavisno od izbora koordinatnog početka, tj.
tačke u kojoj je t = 0 .
Ako se pobudni signal, prema (2.3.21), napiše u obliku konvolucije samog signala sa delta impulsom, tj.:
x(t ) =
∞
∫ x(τ ) ⋅ δ (t − τ ) ⋅ dτ ,
(3.1.2)
−∞
i ako se operator Κ iz izraza (3.0.1) primeni samo na veličine koje su funkcija vremena, t (ne i
privremene promenljive, τ ), dobija se:
⎡∞
⎤
y (t ) = Κ [x(t )] = Κ ⎢ ∫ x(τ ) ⋅ δ (t − τ ) ⋅ dτ ⎥ =
⎢⎣− ∞
⎥⎦
=
∞
∞
∫ x(τ ) ⋅ Κ [δ (t − τ )]⋅ dτ = ∫ x(τ ) ⋅ h(t − τ ) ⋅ dτ .
−∞
(3.1.2a)
−∞
Izraz (3.1.2a) pokazuje da se odziv linearnog sistema može odrediti pomoću konvolucije pobude
i impulsnog odziva posmatranog sistema.
Na osnovu već ranije pokazanih osobina FT, prema (2.3.27), direktno se zaključuje da važi sledeća jednakost:
Y( f ) = H( f )⋅ X( f ),
(3.1.3)
gde je sa H ( f ) označena FT impulsnog odziva linearnog sistema.
Funkcija H ( f ) naziva se prenosna funkcija, funkcija prenosa, prenosna karakteristika ili frekvencijski odziv linearnog sistema. Funkcija prenosa je kompleksna funkcija. Funkcija prenosa i
impulsni odziv čine Furijeov transformacioni par i za njih važe sve ranije navedene osobine Furijeove transformacije.
68
Osnovi telekomunikacija, skripta
Funkcija prenosa H ( f ) može se, kao i svaka kompleksna funkcija, predstaviti preko realnog i
imaginarnog dela, kao i preko modula i argumenta. Obično se koristi predstava preko modula i
argumenta kao:
H ( f ) = H ( f ) ⋅ e jΦ ( f ) = A( f ) ⋅ e jΦ ( f ) = A( f ) ⋅ e − jΘ( f ) .
(3.1.4)
Amplitudska karakteristika, A( f ) = H ( f ) , uvek je parna funkcija, dok je fazna karakteristika, Φ ( f ) , neparna funkcija učestanosti. Ponekad se, umesto fazne karakteristike, koristi tzv.
karakteristika faznog kašnjenja, Θ( f ) . Prema (3.1.4), karakteristika faznog kašnjenja jednaka
je negativnoj vrednosti fazne karakteristike.
Filtri se primenjuju u različitim postupcima za obradu i prenos signala. Obično se problem koji
treba rešiti uklapa u neku od sledećih kategorija:
- ako je zadata elektronska struktura linearnog sistema, treba odrediti funkciju prenosa i/ili impulsni odziv;
- ako je zadata funkcija prenosa ili impulsni odziv, treba odrediti odziv na zadatu pobudu;
- ako je zadata funkcija prenosa, treba projektovati elektronsko kolo koje takvu funkciju realizuje
u praksi.
U okviru ovog udžbenika objašnjeni su jednostavniji primeri iz prve dve kategorije problema.
Problemi iz treće kategorije ovde se ne razmatraju. Njihovo rešavanje veoma je standardizovano.
Primenjuju se postupci koji su detaljno opisani u specijalizovanim priručnicima i vezani za praktičnu elektroniku. Očekivana funkcija prenosa linearnog sistema, obično se zadaje u frekvencijskom domenu. Zatim se, primenom neke od standardnih tehnika projektovanja, realizuju
uređaji sa karakteristikama što sličnijim zadatim, uz pomoć aktivnih i pasivnih elektronskih
komponenti. Složenije realizacije (obično pri tom i skuplje) po pravilu daju bolju aproksimaciju.
Ako je unapred zadata elektronska struktura linearnog sistema, funkcija prenosa određuje se postupcima koji su detaljno analizirani na kursevima iz Osnova elektrotehnike i Teorije električnih
kola. Za potrebe analize električnih kola u telekomunikacijama, obično je dovoljno poznavanje
elementarnih osobina razdelnika napona, kao i redne i paralelne veze različitih komponenata.
Kod jednostavnijih električnih kola, funkcija prenosa lako se izračunava kao kompleksna impedansa ili transmitansa, korišćenjem kompleksnih izraza za impedanse otpornika ( R ), kalemova ( jωL ) i kondenzatora (1 /( jωC ) ).
Idealan prenos
Strogo posmatrano, idealan prenos podrazumeva da je izlazni signal jednak ulaznom. U praksi je
ovaj uslov malo ublažen time što je dozvoljeno da izlazni signal može da ima promenjenu
amplitudu i može da kasni za ulaznim signalom, tj. da postoji sledeća veza:
y (t ) = A ⋅ x(t − t0 ) ,
gde su A i t 0 konstante. Primenom FT na ovu jednačinu dobija se da važi:
(3.1.5)
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
69
Y ( f ) = A ⋅ e − j 2πft 0 ⋅ X ( f ) = H ( f ) ⋅ X ( f ) ,
(3.1.6)
odnosno da funkcija prenosa, koja je u opštem slučaju data izrazom H ( f ) = A( f ) ⋅ e
jφ ( f )
,
− j 2πft
0
prema (3.1.6), kod idealnog prenosa ima oblik H ( f ) = A ⋅ e
, tj. ima konstantnu amplitudsku i linearno promenljivu faznu karakteristiku, odnosno linearno promenljivu karakteristiku
faznog kašnjenja. Opisane osobine funkcije prenosa treba da budu zadovoljene u opsegu učestanosti u kome je spektar ulaznog signala, X ( f ) , različit od nule, jer samo u tom opsegu učestanosti prenosni sistem ima uticaja na ulazni signal.
Zahtev za linearnošću idealne fazne karakteristike treba dodatno objasniti. Ako se kroz idealan
sistem, koji unosi kašnjenje t 0 , prenosi prostoperiodičan signal oblika cos ωt , izlazni signal
imaće oblik cos ω (t − t0 ) = cos(ωt − ωt 0 ) , pri čemu je − ωt 0 = −2πf ⋅ t0 promena faze. Za
svaku vrednost ulazne učestanosti, f , promena faze ima različitu vrednost.
Ako nisu zadovoljeni uslovi za idealan prenos, javljaju se izobličenja zbog kojih izlazni signal
nije jednak ulaznom signalu. Za slučaj prostoperiodičnog pobudnog signala, izobličenja se svode
na promenu amplitude i početne faze. Postupak određivanja odziva detaljno je opisan u zadatku
3.1.1c. Ako signal nije prostoperiodičan, postupak je znatno složeniji. Jedan jednostavan primer
pokazan je u zadatku 3.1.4, a opštija analiza data je u poglavlju 5.1. i odgovarajućim zadacima.
Idealni filtri
Treba razlikovati idealan prenos od idealnih filtara. Postoje dve osnovne vrste idealnih filtara. To
su propusnici niskih učestanosti (NF filtri) i propusnici visokih učestanosti (VF filtri). Sve ostale
vrste filtara, propusnici opsega, nepropusnici opsega, kao i složeniji tipovi filtara, dobijaju se
kombinacijama NF i VF filtara.
Idealni NF filtar
Idealni NF filtar ima funkciju prenosa:
⎧⎪e − j 2πft 0
H NF ( f ) = ⎨
⎪⎩ 0
f ≤ fg ,
drugde ,
(3.1.7)
gde je f g gornja granična učestanost, a t 0 konstanta koja se naziva kašnjenje sistema.
Pomoću inverzne Furijeove transformacije izraza (3.1.7), impulsni odziv NF filtra može se odrediti u obliku:
hNF (t ) = 2 f g ⋅
[
sin 2πf g (t − t0 )
2πf g (t − t0 )
].
Ako je t0 = 0 , dobija se idealni filtar kod kojeg nema kašnjenja.
(3.1.8)
70
Osnovi telekomunikacija, skripta
Na slici 3.1.1. prikazana je funkcija prenosa idealnog NF filtra, a na slici 3.1.2. impulsni odziv
tog filtra. Transformacioni par koji čine pravougaoni impuls i funkcija oblika sin x / x veoma se
često sreće u telekomunikacijama, kako kod 1-D tako i kod 2-D signala. Zbog toga je veoma
korisno da se dobro shvati veza koja postoji između ove dve funkcije. Važna je i činjenica da se
transformacijom pravougaonog impulsa može analitički odrediti funkcija oblika sin x / x , dok
se inverzna transformacija realizuje samo pomoću osobine dualnosti, pošto ne postoje odgovarajući tablični integrali koji bi omogućili formalnu integraciju.
Sa slike 3.1.2. vidi se da idealni NF filtar ne zadovoljava uslov kauzalnosti, jer odziv na pobudu
u koordinatnom početku počinje, teoretski, u t = −∞ . Odavde se zaključuje da se idealni filtri
ne mogu praktično realizovati. U praksi se mogu realizovati filtri koji imaju približno idealnu
funkciju prenosa, sa impulsnim odzivom koji počinje u trenutku kad se pojavi pobuda i liči na
zakasnelu i malo asimetričnu (deformisanu) funkciju sa slike 3.1.2.
H( f )
1
− fg
fg
f
Slika 3.1.1. Funkcija prenosa idealnog NF filtra
h (t )
2 f
g
t
1
2 f
g
Slika 3.1.2. Impulsni odziv idealnog NF filtra za t0 = 0
Idealni VF filtar
Idealni VF filtar ima funkciju prenosa:
⎧⎪e − j 2πft 0
f < − fd ∧ f > fd ,
HVF ( f ) = ⎨
za
f ≤ fd ,
⎪⎩ 0
gde je f d donja granična učestanost, a t0 kašnjenje sistema.
(3.1.9)
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
71
Da bi se odredio impulsni odziv može se direktno izračunati inverzna Furijeova transformacija
izraza (3.1.9). Međutim, ako se iskoristi činjenica da se HVF ( f ) može izraziti preko funkcije
prenosa NF filtra kao:
HVF ( f ) = e − j 2πft 0 − H NF ( f ) , za f g = f d .
(3.1.9a)
pomoću osobine linearnosti, iz jednačine (3.1.9a) lako se dobija impulsni odziv u obliku:
hVF (t ) = δ (t − t0 ) − 2 f d ⋅
sin[2πf d (t − t0 )]
.
2πf d (t − t0 )
(3.1.10)
Na slici 3.1.3. prikazana je funkcija prenosa idealnog VF filtra, a na slici 3.1.4. impulsni odziv
tog filtra. Važe slični zaključci kao i kod NF filtra.
H( f )
1
− fd
fd
f
Slika 3.1.3. Funkcija prenosa idealnog VF filtra
h(t )
δ (t )
1
t
2 fd
- 2f d
Slika 3.1.4. Impulsni odziv idealnog VF filtra za t0 = 0
Idealni pojasni filtar
U telekomunikacijama se često javlja potreba i za idealnim pojasnim filtrom. To je filtar koji
propušta opseg učestanosti u intervalu f d ÷ f g . Impulsni odziv može se odrediti direktnom
(
)
integracijom što se čitaocima preporučuje kao veoma korisna vežba.
72
Osnovi telekomunikacija, skripta
Međutim, ako se definišu:
širina propusnog opsega B =
(
)
1
⋅ f g − fd i
2
centralna učestanost propusnog opsega, f c =
(
)
1
⋅ f g + fd ,
2
može se primeniti sledeći postupak. Prenosna funkcija idealnog pojasnog filtra može se u frekvencijskom domenu dobiti konvolucijom dve funkcije:
- funkcije prenosa idealnog NF filtra kod kog je f g = B i
- para delta impulsa na učestanostima ± f c .
Do ovog zaključka može se doći posmatranjem funkcije prenosa pojasnog filtra i poznavanjem
konvolucije funkcije sa pomerenim delta impulsom, opisane izrazom (2.3.37a).
Kao ekvivalent konvolucije dve funkcije u frekvencijskom domenu, u vremenskom domenu treba izvršiti množenje njihovih inverznih transformacija, od kojih je jedna već određena kao
hNF (t ) , uz uslov f g = B , a druga odgovara inverznoj Furijeovoj transformaciji para delta impulsa. Lako se pokazuje da je ova druga funkcija jednaka 2 ⋅ cos 2πf c t .
Množenjem vremenskih oblika dobija se impulsni odziv pojasnog filtra u obliku:
hPF (t ) = 4 B ⋅
sin[2πB ⋅ (t − t0 )]
⋅ cos 2πf c ⋅ (t − t0 ) .
2πB ⋅ (t − t0 )
(3.1.11)
Na slici 3.1.5. prikazana je funkcija prenosa idealnog PF filtra, a na slici 3.1.6. impulsni odziv
tog filtra, za t 0 = 0 . Impulsni odziv ima oblik proizvoda funkcije tipa sin x / x , za koju se rastojanje među nulama određuje pomoću vrednosti B i kosinusoide, čija perioda zavisi od centralne učestanosti pojasnog filtra, f c .
Ni ovaj filtar ne može se praktično realizovati. Moguće su samo različite aproksimacije idealnog
filtra. Za praktičnu primenu i aproksimacije filtara daju sasvim zadovoljavajuće rezultate.
H( f )
1
− f g − fc
− fd
fd
fc
fg
Slika 3.1.5. Funkcija prenosa idealnog PF filtra
f
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
73
h (t )
4B
t
1
2B
Slika 3.1.6. Impulsni odziv idealnog PF filtra
Rešeni primeri uz poglavlje 3.1.
Zadatak 3.1.1. (E, S)
Na slici 1. dato je jednostavno RC kolo. Odrediti:
a) Funkciju prenosa kola;
b) Energiju ulaznog signala kao i odnos energije izlaznog signala koncentrisane u opsegu učestanosti 0 ÷ f g = 1 (2πRC ) i ukupne energije izlaznog signala, ako je ulazni signal oblika:
(
)
t
⎧
⎪ A ⋅ e − RC , t ≥ 0,
x(t ) = ⎨
⎪⎩
0 , t < 0.
c) Amplitude i faze komponenti na izlazu kola ako ulazni signal ima oblik:
x(t ) = X 0 + X 1 ⋅ cos ω 0t + X 2 ⋅ sin 2ω 0t + X 3 ⋅ cos 3ω 0t ,
pod uslovom da je
ω 0 RC = 0.5 .
R
x(t)
C
Slika 1. RC kolo
y(t)
74
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
a) Funkcija prenosa kola može se odrediti na dva načina: indirektno, preko impulsnog odziva u
vremenskom domenu i direktno, preko kompleksnih impedansi električnog kola. Pošto je kolo na
slici 1. veoma jednostavno (razdelnik napona), mogu se napisati sledeće jednačine u frekvencijskom domenu:
X ( f ) = (Z R + ZC ) ⋅ I ( f ) ,
Y ( f ) = ZC ⋅ I ( f ) , Y ( f ) =
ZC
⋅ X( f ),
Z R + ZC
pa je funkcija prenosa:
H( f ) =
ZC
Y( f )
=
X ( f ) Z R + ZC
1
1
j 2πfC
.
=
=
1
1 + j 2πfRC
R+
j 2πfC
b) Energija ulaznog signala može se odrediti u vremenskom domenu kao:
Wx =
∞
∫
2
x (t )dt = A
−∞
2
∞ − 2t
e RC dt
∫
0
=
1 2
A RC .
2
Energija izlaznog signala lakše se određuje u frekvencijskom domenu:
Wy =
∞
∫ Y( f )
2
df , gde je Y ( f ) = H ( f ) ⋅ X ( f ) FT izlaznog signala. Dalje je:
−∞
X ( f ) = F{x(t )} =
Wy =
∞
ARC
ARC
, Y( f ) =
,
2
1 + j 2πfRC
(1 + j 2πfRC )
∫ Y ( f ) df = ( ARC )
2
2
−∞
Smenom
∞
∫
−∞
df
(1 + j 2πfRC )
μ = arctg (2πfRC ) dobije se:
= ( ARC )
2
2 2
∞
∫
−∞
df
[ 1 + (2πfRC ) ]
2
2
.
π 2
A 2 RC
A 2 RC
2
⋅ cos μ ⋅ dμ =
.
Wy =
2π −π∫ 2
4
Energija izlaznog signala u opsegu učestanosti (0 ÷ f g ) računa se na isti način kao W y , ali sa
promenjenim granicama. Konstanta (2) ispred integrala koristi se umesto integrala u simetričnim
granicama. Ovakva zamena moguća je samo kod parnih podintegralnih funkcija i često se koristi
u telekomunikacijama:
fg
W yg = 2 ∫
0
Wyg 1 1
A 2 RC ⎛ 1 1 ⎞
⋅ ⎜ + ⎟ , pa je
Y ( f ) df =
= + ≈ 0.8 .
4
Wy 2 π
⎝2 π ⎠
2
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
75
c) Odziv linearnog sistema na pobudu prostoperiodičnim signalom oblika:
x p (t ) = U ⋅ cos(2πf1t + ϕ ) ,
X p( f ) =
čija FT ima oblik:
[
]
U
⋅ e jϕ ⋅ δ ( f − f1 ) + e − jϕ ⋅ δ ( f + f1 ) ,
2
primenom inverzne FT na izraz (3.1.3), ima oblik:
y p (t ) =
∞
∫ X p( f )⋅ H( f )⋅e
j 2πft
df .
−∞
Primenjujući osobine delta impulsa, kao i princip superpozicije, lako se pokazuje da važi:
y p (t ) =
[
]
U
⋅ e jϕ ⋅ H ( f1 ) ⋅ e j 2πf1t + e − jϕ ⋅ H (− f1 ) ⋅ e − j 2πf1t .
2
Koristeći opšte osobine modula i argumenta funkcije H ( f ) :
H ( f ) = A( f ) ⋅ e jΦ ( f ) ,
A( f ) = A(− f ) = H ( f ) ,
Φ ( f ) = −Φ (− f ) = arg{H ( f )} ,
izlazni signal dobija se u obliku:
y p (t ) = U ⋅ A( f1 ) ⋅ cos[2πf1t + ϕ + Φ ( f1 )] .
(1)
Oblik odziva linearne mreže na pobudu signalom sinusnog oblika dobija se tako što se ponovi
prethodni postupak sa početnom fazom podešenom na ϕ = −π / 2 .
Za posmatrano kolo, funkcija prenosa ima oblik:
H( f ) =
1
1
=
⋅ e − j⋅ arctg ( 2πfRC ) = A( f ) ⋅ e jΦ ( f ) .
1 + j 2πfRC
1 + (2πfRC )2
(2)
Primenjujući princip superpozicije na ulazni signal zadat pod c), dobija se:
y (t ) = A(0) ⋅ X 0 + A( f 0 ) ⋅ X 1 ⋅ cos[ω 0 t + Φ ( f 0 )] + A(2 f 0 ) ⋅ X 2 ⋅ sin[2ω 0 t + Φ (2 f 0 )] +
+ A(3 f 0 ) ⋅ X 3 ⋅ cos[3ω 0 t + Φ (3 f 0 )] .
Moduo i argument prenosne karakteristike u tačkama 0 , f 0 , 2 f 0 , i 3 f 0 , potrebni za konačno
definisanje amplituda i faza komponenti izlaznog signala, imaju vrednosti:
A(0) = 1 ;
A( f 0 ) =
2
;
5
A(2 f0 ) =
Φ( f 0 ) = −arctg (0.5) = −26.57 o ;
Φ(3 f 0 ) = −arctg (1.5) = −56.31o .
1
;
2
A(3 f 0 ) =
2
;
13
Φ (2 f 0 ) = −arctg (1.0) = −45o ;
76
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 3.1.2. (E, S)
a) Odrediti funkciju prenosa i odgovarajuće impulsne odzive idealnog NF , VF i PF (pojasnog filtra), kad nema kašnjenja.
b) Ako se na ulaz kola na slici 1. dovede signal:
⎧ −t
⎪
x(t ) = ⎨ Ae τ
⎪⎩ 0
t ≥ 0,
t < 0,
odrediti energije signala u tačkama B, C i D preko ukupne energije signala, kao i ukupnu
prenosnu karakteristiku kola od tačke A do D, pod uslovom da je f d = f g .
~
~
B
fg
A
+
D
C
~
~
fd
Slika 1. Složeno kolo
Rešenje:
a) Funkcija prenosa idealnog NF filtra, prikazana na slici 2., ima oblik:
⎧⎪ 1
H( f ) = ⎨
⎪⎩0
f ≤ fg ,
f > fg.
Odgovarajući impulsni odziv prikazan je na slici 3. Dat je izrazom:
h(t ) = 2 f g ⋅
sin(2πf g t )
2πf g t
.
(1)
Ovaj izraz ponovo potvrđuje dobro poznatu vezu između pravougaonog impulsa i njegovog
transformacionog para, funkcije oblika sin x x .
H( f )
1
− fg
fg
f
Slika 2. Funkcija prenosa idealnog NF filtra
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
77
h(t )
2 fg
1
1
2 fg
f
g
t
3
2 f
g
Slika 3. Impulsni odziv idealnog NF filtra
Funkcija prenosa idealnog VF filtra, koji propušta samo komponente iznad donje granične učestanosti f d , prikazana je na slici 4. i data izrazom:
⎧⎪0
H( f ) = ⎨
⎪⎩ 1
f < fd ,
(2)
f ≥ fd ,
a odgovarajući impulsni odziv, prikazan na slici 5. ima oblik:
h(t ) = δ (t ) − 2 f d ⋅
sin 2πf d t
.
2πf d t
(3)
H( f )
1
− fd
fd
f
Slika 4. Funkcija prenosa idealnog VF filtra
h(t )
δ (t )
1
2 fd
- 2f d
Slika 5. Impulsni odziv VF filtra
t
78
Osnovi telekomunikacija, skripta
Idealni PF filtar propušta samo komponente iz opsega 2 ⋅ B = f g − f d oko centralne učestanosti f c . Njegova funkcija prenosa, data je izrazom (4) (samo za nenegativne učestanosti) i
prikazana na slici 6. Odgovarajući impulsni odziv dat je izrazom (5) i prikazan na slici 7.
⎧1 f c − B < f < f c + B,
H( f ) = ⎨
drugde,
⎩0
h(t ) = 4 B
(4)
sin 2πBt
cos 2πf c t .
2πBt
(5)
Za sve tri prenosne karakteristike pretpostavljena je nulta fazna karakteristika.
H( f )
1
− f g − fc
− fd
fd
fc
fg
f
Slika 6. Funkcija prenosa idealnog pojasnog filtra
h(t )
4B
t
1
2
B
Slika 7. Impulsni odziv idealnog pojasnog filtra
b) Ako se signali u tačkama B , C i D označe sa s B , sC i s D , respektivno, odgovarajući
spektri ovih signala imaju oblik:
S B ( f ) = H NF ( f ) ⋅ X ( f ) =
τA
,
1 + j 2πfτ
f < fg ,
SC ( f ) = HVF ( f ) ⋅ X ( f ) =
τA
,
1 + j 2πfτ
f ≥ fd = f g .
(6)
Energija signala u tački B izračunava se najlakše integracijom u frekvencijskom domenu, pošto
vremenski oblik funkcije nije poznat. Dobija se izraz:
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
fg
WB = 2 ⋅
∫
2
S B ( f ) df = A 2τ ⋅
0
1
π
79
⋅ arctg (2πf gτ ) =
2
π
⋅ W ⋅ arctg (2πf g τ ) ,
gde je W energija ulaznog signala koja se lako određuje kao W = A
2
τ 2.
Energija signala u tački C ima vrednost:
WC = 2 ⋅
∞
∫ SC ( f )
2
fg
⎡ 2
⎤
df = W ⋅ ⎢1 − ⋅ arctg (2πf gτ )⎥ .
⎣ π
⎦
Signal u tački D jednak je zbiru signala u B i C :
s D (t ) = s B (t ) + sC (t ) .
Njegova FT ima oblik:
S D ( f ) = F{s B (t )} + F{sC (t )} = S B ( f ) + S C ( f ) .
Koristeći izraz (6), za spektar signala u tački D i ukupnu funkciju prenosa mreže, dobija se:
S D ( f ) = X ( f ) ⋅ [H NF ( f ) + H VF ( f )] ,
što znači da je ukupna prenosna karakteristika H ( f ) data zbirom:
H ( f ) = H NF ( f ) + H VF ( f ) .
Ako je f d = f g , tada je H ( f ) = 1 , pa je WD = W =
1 2
A τ.
2
Očigledno je da kroz NF filtar prolaze, bez izobličenja, sve komponente signala x(t ) do učestanosti f g , a kroz VF filtar komponente iznad granične učestanosti f d .
Ako su donja i gornja granična učestanost jednake ( f d = f g ), na izlazu sistema dobija se neizobličen ulazni signal, x(t ) , jer su prenete sve njegove komponente. Ekvivalentna funkcija prenosa sistema jednaka je jedinici na svim učestanostima.
Zadatak 3.1.3. (E)
Funkcija prenosa sistema data je izrazom:
H( f ) =
1
, Q >> 1 ,
⎛ f
fr ⎞
1 + j ⋅ Q ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟
f ⎠
⎝ fr
gde je f r konstantna vrednost, tzv. rezonantna učestanost, a Q faktor dobrote ili Q -faktor.
80
Osnovi telekomunikacija, skripta
a) Odrediti amplitudsku i faznu karakteristiku sistema i nacrtati ih.
b) Izračunati i ucrtati propusni opseg sistema.
Rešenje:
a) Amplitudska i fazna karakteristika sistema date su izrazima:
1
A( f ) =
f ⎞
f
1 + Q ⎜⎜ − r ⎟⎟
f ⎠
⎝ fr
2⎛
2
⎡ ⎛ f
f ⎞⎤
Φ ( f ) = −arctg ⎢Q⎜⎜ − r ⎟⎟⎥ .
f ⎠⎦
⎣ ⎝ fr
,
Funkcije su prikazane na slici 1. Vidi se da rezonantna učestanost odgovara vrednosti u kojoj je
imenilac prenosne funkcije jednak jedinici (i pri tom ima najmanji mogući moduo) jer je imaginarni deo imenioca jednak nuli. U toj tački funkcija prenosa ima svoj maksimum.
A(f)
1
a)
B
-f
f g1 f f g2
r
r
f
Φ (f)
b)
-f r
fr
f
Slika 1. Amplitudska (a) i fazna karakteristika (b)
b) Osnovni propusni opseg sistema definisan je sa 3 dB slabljenja amplitudske karakteristike u
odnosu na njenu maksimalnu vrednost.
Maksimalna vrednost A( f ) jednaka je A( f r ) = 1 , jer je tada imaginarni deo imenioca jednak
nuli. Slabljenje od 3 dB na ivicama propusnog opsega, gde je f = f g , znači da je:
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
81
20 ⋅ log[ A( f r )] − 20 ⋅ log[ A( f g )] = 3 dB , odnosno
A( f r )
= 2.
A( f g )
Da bi se odredila granična učestanost f g , treba rešiti jednačinu:
A( f g ) =
1
⎛ f g fr ⎞
⎟
1 + Q2 ⎜
−
⎜ fr f g ⎟
⎝
⎠
2
=
1
,
2
po nepoznatoj f g . Dobija se bikvadratna jednačina iz koje jedan par rešenja ima vrednosti:
( f g )1,2 = f r ± 2fQr , pa je propusni opseg sistema
B = f g 2 − f g1 =
fr
.
Q
Zadatak 3.1.4. (E,*)
Pravougaoni impuls, amplitude A i trajanja τ , propušta se kroz idealni propusnik niskih učestanosti, gornje granične učestanosti f g .
a) Odrediti izlazni signal.
b) Koristeći linearnu aproksimaciju funkcije Si ( x) =
x
sin t
dt , prikazanu na slici 1. nacrtati izt
0
∫
lazni signal za slučajeve: f g = 1 ( 2τ ) , f g = 1 τ i f g = 2
π
2
τ.
Si(x)
π
-π
x
-π
2
Slika 1. Linearna aproksimacija funkcije Si (x)
Rešenje:
a) FT ulaznog signala, koji ima oblik pravougaonog impulsa, u (t ) , određena je u zadatku
2.3.10.a) u obliku:
U ( f ) = A ⋅τ ⋅
sin πfτ
.
πf τ
82
Osnovi telekomunikacija, skripta
Izlazni signal može se odrediti preko inverzne Furijeove transformacije spektra izlaznog signala,
Y ( f ) , dobijenog kao Y ( f ) = U ( f ) ⋅ H ( f ) , gde je funkcija prenosa idealnog filtra definisana
izrazom (3.1.7), za t 0 = 0 . Dobija se:
fg
y (t ) =
∫U ( f ) ⋅ e
j 2πft
fg
df = Aτ
− fg
∫
− fg
sin πfτ
⋅ cos(2πft )df .
πfτ
(1)
U gornjem integralu korišćene su osobine parnosti realnog i neparnosti imaginarnog dela kompleksnog izraza. Pošto se integral izračunava u simetričnim granicama, dobija se da je imaginarni
deo (jednak integralu neparne funkcije u simetričnim granicama) identički jednak nuli.
Primenom trigonometrijskih transformacija tipa sin α ⋅ cos β = [sin (α + β ) + sin (α − β )] 2 ,
integral (1) deli se na dva integrala:
fg
⎧ fg
⎫
Aτ ⎪ sin[πf (τ + 2t )]
sin[πf (τ − 2t )] ⎪
y (t ) =
df + ∫
df ⎬ =
⎨
f
2 ⎪−∫f
πfτ
π
τ
⎪⎭
− fg
⎩ g
fg
⎧ fg
⎫
Aτ ⎪ sin[πf (2t + τ )]
sin[πf (2t − τ )] ⎪
=
df − ∫
df ⎬ .
⎨
f
2 ⎪−∫f
πfτ
π
τ
⎪⎭
− fg
⎩ g
Uvođenjem smene x = πf (2t + τ ) u prvi i x = πf (2t − τ ) u drugi integral, kao i primenom
osobine koju ima integral parne funkcije u simetričnim granicama, dobija se:
A⎡
y (t ) = ⎢
π⎢
⎣
2πf g (t +τ 2 )
∫
0
sin x
dx −
x
2πf g (t −τ 2 )
∫
0
sin x ⎤
dx ⎥ .
x
⎥⎦
Uvođenjem funkcije Si (x) , definisane u tekstu zadatka, konačno se dobija izlazni signal u
obliku:
y (t ) =
A
π
{ [
] [
⋅ Si 2πf g (t + τ 2 ) − Si 2πf g (t − τ 2 )
] }.
Na slici 2. prikazan je oblik funkcije y (t ) za zadate vrednosti f g .
Poređenjem tri pokazana rezultata može se zapaziti sledeće: sa porastom granične učestanosti
NF filtra izlazni signal postaje sve sličniji pobudnom pravougaonom impulsu, jer se smanuje
ukupna širina a povećava širina maksimuma izlaznog impulsa.
Ovo se moglo i očekivati, jer prenos signala kroz sistem koji ima veoma širok propusni opseg
(pa malo oštećuje njegov spektar), daje izlazni signal koji je jednak ulaznom.
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
83
y(x)=y( 2π f gt )
fg = 1
2τ
A
π
-A
π Si(x - 2 )
A/2
π
2
A Si(x+ π )
π
2
π
x=2π fgt
-A/2
y(t)
fg = 1
2τ
A
A/2
- 3τ
2
-τ
τ
2
-τ
2
τ
3τ
2
t
y(x)
fg = 1τ
A
A Si(x - π )
-π
A/2
π
A Si(x+π)
π
x
-A/2
y(t)
A
-τ
fg = 1
τ
τ
Slika 2. Oblici izlaznog signala za različite vrednosti f g
t
84
Osnovi telekomunikacija, skripta
y(x)
A
-A
π Si(x-2π)
fg = 2τ
A/2
-3π
A Si(x+2π)
π
- 2π
-π
π
2π
3π
x
-A/2
y(t)
A
-τ
- 3τ
4
-τ
4
τ
4
fg = 2τ
3τ
4
τ
t
Slika 2. Nastavak
3.2. Nelinearni sistemi
Nelinearni sistemi sa memorijom
Nelinearni sistemi sa memorijom najsloženiji su za analizu i ne obrađuju se u ovom kursu.
Nelinearni sistemi bez memorije
Nelinearni sistemi bez memorije (nelinearni neinercijalni sistemi) imaju osobinu da vrednosti izlaznog signala u svakom trenutku zavise samo od vrednosti ulaznog signala u istom tom trenutku.
Njihova analiza vrši se samo u vremenskom domenu, zato što ne postoje paralelni postupci za
određivanje odziva u frekvencijskom domenu. Analiza se zasniva na razvoju funkcionalne zavisnosti y = f (x ) u stepeni red. U prethodnom izrazu u označavanju je izostavljena zavisnost
ulaznog i izlaznog signala od vremena, ( x = x (t ) , y = y (t ) ), jer ne utiče na postupak a usložnjava zapis. Stepeni red obično se zapisuje u obliku:
∞
y = y0 + ∑ ak ⋅ ( x − x0 ) k ,
(3.2.1)
k =1
gde je x0 jednosmerna komponenta ulaznog signala, a ostale konstante opisuju sistem i imaju
vrednosti:
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
85
1 d k f ( x)
y0 = f ( x0 ) i ak = ⋅
.
k! dx k x = x
(3.2.2)
0
U praksi se obično uzima u obzir samo N prvih, najznačajnijih sabiraka pa se za takav sistem
kaže da je u pitanju nelinearni sistem N − tog reda.
Ako se pretpostavi da je x0 = 0 i y0 = 0 , dobija se najjednostavnija polinomijalna zavisnost
izlaza od ulaza:
y (t ) = a1 ⋅ x(t ) + a2 ⋅ x 2 (t ) + a3 ⋅ x 3 (t ) + ... + a N ⋅ x N (t ) .
(3.2.3)
Koeficijenti ai , i = 1..N , realni su brojevi. Sabirak an x (t ) predstavlja nelinearno izobličenje
n -tog reda.
n
Primer:
Neka je ulazni signal prostoperiodičan, oblika x = x(t ) = cos ω1t i neka je N = 2 . Signal na
izlazu nelinearnog sistema tada je jednak:
y = a1 ⋅ cos ω1t + a2 ⋅ cos 2 ω1t =
a2
a
+ a1 ⋅ cos ω1t + 2 ⋅ cos 2ω1t .
2
2
(3.2.4)
U izlaznom signalu zapažamo sabirak proporcionalan ulaznom signalu, kao i dva sabirka nastala
usled postojanja kvadratnog člana: jednosmernu komponentu i drugi harmonik ulaznog signala.
Slična analiza vrši se i za slučaj kada je N > 2 i za složenije oblike ulaznog signala.
Za ocenu nelinearnih sistema značajna je vrednost različitih parametara nelinearnosti. Parametri
se dele u dve grupe, harmonijski i intermodulacioni. Njihove definicije i osobine pokazane su u
poglavlju 5.1. u kom se govori o nelinearnim izobličenjima. Zbog toga su ovde i izostavljeni
rešeni primeri.
3.3. Složeni sistemi
Pod složenim sistemima podrazumevaju se različite kombinovane veze linearnih i nelinearnih
sistema. Postoje tri osnovna tipa složene veze. To su redna veza, paralelna veza i veza sa povratnom spregom. Primeri sva tri tipa složene veze prikazani su na slici 3.3.1.
Redna veza
Kod redne veze linearnih sistema analiza se daleko lakše vrši u frekvencijskom domenu. Ekvivalentna prenosna funkcija lako se određuje kao proizvod svih prenosnih funkcija koje postoje u
vezi:
N
He ( f ) = ∏ Hk ( f ) .
k =1
(3.3.1)
86
Osnovi telekomunikacija, skripta
x(t)
H1(f)
HN(f)
H2(f)
y(t)
a)
H1(f)
x(t)
H2(f)
y(t)
+
x(t)
+
H2(f)
HN(f)
b)
H1(f)
y(t)
c)
Slika 3.3.1. Primeri složenih sistema: redna veza (a), paralelna veza (b) i povratna sprega (c)
Kod kombinovane redne veze, u kojoj postoje linearni i nelinearni sistemi, analiza se vrši postepeno, od bloka do bloka. Pri tom se za nelinearne sisteme koristi isključivo vremenski domen.
Za linearne sisteme izbor domena u kom se određuje odziv zavisi od konkretne situacije.
Paralelna veza
I kod paralelne veze linearnih sistema, kao na slici 3.3.1b, analiza se obično vrši u frekvencijskom domenu. Ekvivalentna prenosna funkcija određuje se kao suma svih prenosnih funkcija
koje postoje u vezi:
N
He ( f ) = ∑ Hk ( f ) .
(3.3.2)
k =1
Kod kombinovane paralelne veze, u kojoj postoje linearni i nelinearni sistemi, analiza se vrši postepeno, od bloka do bloka. I ovde se za nelinearne sisteme koristi isključivo vremenski domen,
a za linearne sisteme izbor zavisi od konkretne situacije.
Povratna sprega
Kod povratne sprege linearnih sistema, može se odrediti ekvivalentna funkcija prenosa. Za sistem kao na slici 3.3.1c, dobije se da je:
H( f ) =
Y( f )
H1 ( f )
=
.
X ( f ) 1 − H1 ( f ) ⋅ H 2 ( f )
(3.3.3)
Ako se ulazni i povratni signal sabiraju, u imeniocu funkcije prenosa dobija se znak (−) . Ovaj
tip povratne sprege naziva se pozitivna povratna sprega. Ako se povratni signal oduzima od ulaznog, u imeniocu funkcije prenosa dobija se znak (+ ) . Ovaj tip povratne sprege naziva se negativna povratna sprega. Kod povratne sprege, zbog postojanja razlomka i moguće nulte vrednosti
imenioca, postoji problem stabilnosti sistema. U slučaju da se na nekim učestanostima vrednost
imenioca približava nuli, može doći do nekontrolisanog porasta vrednosti izlaznog napona, pa se
kaže da je sistem postao nestabilan.
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
87
Rešeni primeri uz poglavlje 3.3.
Zadatak 3.3.1. (E, S)
a) Odrediti funkciju prenosa između tačaka A i B kola sa slike 1.
b) Odrediti amplitudsku karakteristiku i karakteristiku faznog kašnjenja kola sa slike za slučaj
A2 = 1 2 i A3 = 1 .
c) Ako je ulazni signal x(t ) pravougaoni impuls trajanja Δt , nacrtati izlazni signal y (t ) za
slučajeve τ = 2 ⋅ Δt , τ = Δt i τ = Δt 2 .
x(t)
A
A
2
k.k.
τ
A
3
+
y(t)
k.k.
τ
B
A2
Slika 1. Linearni sistem sa kolima za kašnjenje
Rešenje:
a) Da bi se odredila ukupna prenosna funkcija nekog složenog sistema, potrebno je prvo odrediti
prenosne funkcije svih delova sistema. Prenosna funkcija kola za kašnjenje, Hk ( f ) , određuje se
primenom FT na izraz koji opisuje rad takvog kola:
y (t ) = x(t − τ ) ,
odakle se lako dobija:
H k ( f ) = e − j 2πfτ .
Prenosna funkcija pojačavača sa pojačanjem Ak jednaka je vrednosti Ak i ne zavisi od učestanosti (smatra se da je pojačavač idealan).
Signal u tački B dat je, na osnovu slike 1., kao zbir tri signala:
y (t ) = A2 ⋅ x(t ) + A3 ⋅ x(t − τ ) + A2 ⋅ x(t − 2τ ) .
FT signala y (t ) određuje se na osnovu osobina Furijeove transformacije kao:
Y ( f ) = A2 X ( f ) + A3 X ( f )e − j 2πfτ + A2 X ( f )e − j 4πfτ =
[
= A2 + A3 ⋅ e − j 2πfτ + A2 ⋅ e − j 4πfτ
] ⋅ X( f ),
odakle se funkcija prenosa dobija u obliku:
88
Osnovi telekomunikacija, skripta
H( f ) =
Y( f )
= A2 + A3 ⋅ e − j 2πfτ + A2 ⋅ e − j 4πfτ .
X(f )
b) Uvrštavanjem brojnih vrednosti, izdvajanjem zajedničkog člana e
za date vrednosti konstanti A2 i A3 , dobije se
− j 2πfτ
i sređivanjem izraza,
H ( f ) = (1 + cos 2πfτ ) ⋅ e − j 2πfτ .
Iz prethodnog izraza vidi se da amplitudska karakteristika ima oblik A( f ) = 1 + cos 2πfτ , a
fazna karakteristika Φ ( f ) = −2πfτ . Karakteristika faznog kašnjenja ima oblik Θ( f ) = 2πfτ .
Ovakva funkcija prenosa ima karakterističan oblik i ponekad se naziva izdignuti kosinus (engl.
Raised Cosine).
c) Ovaj deo zadatka najlakše se rešava u vremenskom domenu. Izlazni signal dobija se sabiranjem tri signala koji se dobiju u pojedinim granama linearnog sistema, pomeranjem ulaznog
signala za 0 , τ i 2τ , i množenjem sa A2 , A3 i A2 respektivno.
Rezultati su prikazani na slici 2. Sa slike se vidi da se, na intervalima u kojima se dva ili više
signala preklapaju, stvarna vrednost signala dobija algebarskim sabiranjem signala.
x(t)
a)
y(t)
b)
A3
1
A2
−Δ t/2
c)
0
Δ t/2
t
d)
A3
2τ
τ
y(t)
A2
t
A 2+A3
A2
t
0 τ
τ= Δ2t
τ= Δ t
Slika 2. Talasni oblici izlaznog signala
Zadatak 3.3.2. (E)
Funkcija prenosa linearnog sistema sa slike 1. data je izrazom:
H( f ) =
2τ
τ=2Δ t
y(t)
0
τ
0
A2
sin 2πfτ − j 2πfτ
e
.
2πfτ
a) Odrediti funkciju prenosa između tačaka A i D na slici 1.
2τ 3τ
t
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
89
b) Ako se na ulaz sistema dovede pravougaoni impuls trajanja 2τ i amplitude U , nacrtati
signale u tačkama B , C i D .
H(f)
A
B
τd
dt
C
+
D
E
k.k.
2τ
Slika 1. Složen linearni sistem
Rešenje:
Neka su Furijeove transformacije signala u tačkama A , B , C i D : U A ( f ) , U B ( f ) ,
U C ( f ) i U D ( f ) , respektivno. Funkcija prenosa između tačaka A i D ima oblik:
H AD ( f ) =
U D ( f ) U B ( f ) UC ( f ) U D ( f )
=
⋅
⋅
.
U A( f ) U A( f ) U B ( f ) UC ( f )
(1)
i određuje se na osnovu definicije funkcije prenosa za svaku deonicu:
H AD ( f ) = H AB ( f ) ⋅ H BC ( f ) ⋅ H CD ( f ) ,
H AB ( f ) = H ( f ) .
Deonica BC sadrži diferencijator. U vremenskom domenu diferencijator se opisuje relacijom:
uC (t ) = τ ⋅
du B (t )
.
dt
Furijeova transformacija signala u tački C ima oblik:
∞
du B (t ) − j 2πft
⎧ du (t ) ⎫
⋅e
dt .
F⎨τ ⋅ B ⎬ = τ ⋅ ∫
dt ⎭
dt
⎩
−∞
Parcijalnom integracijom, smenama dv = (du B (t ) dt )dt i u = e
− j 2πft
U C ( f ) = j 2πfτU B ( f ) .
Funkcija prenosa diferencijatora je, prema tome:
H BC ( f ) =
UC ( f )
= j 2πfτ .
UB( f )
Funkcija prenosa deonice CD određuje se na osnovu izraza:
U D ( f ) = UC ( f ) +U E ( f ) ,
(
)
U E ( f ) = U D ( f ) ⋅ e − j 4πfτ ,
U D ( f ) 1 − e − j 4πfτ = U C ( f ) , u obliku:
, dobija se:
90
Osnovi telekomunikacija, skripta
UD( f )
1
e j 2πfτ
H CD ( f ) =
=
=
.
U C ( f ) 1 − e − j 4πfτ 2 j sin 2πfτ
Ukupna funkcija prenosa ima oblik:
H AD ( f ) =
sin 2πfτ − j 2πfτ
e j 2πfτ
1
e
⋅ j 2πfτ
= .
2πfτ
2 j sin 2πfτ 2
b) Furijeova transformacija pravougaonog impulsa amplitude U i trajanja 2τ ima oblik
U A ( f ) = 2Uτ
sin 2πfτ
.
2πfτ
U tački B , spektar signala ima oblik:
2
⎛ sin 2πfτ ⎞
⎟⎟ ⋅ e − j 2πfτ .
U B ( f ) = U A ( f ) ⋅ H AB ( f ) = 2Uτ ⎜⎜
⎝ 2πfτ ⎠
(2)
Da bi se odredio oblik ove funkcije u vremenskom domenu, potrebno je određeno iskustvo i treba dobro poznavati osobine FT. Naravno, moguće je i direktno izračunavanje, ali se na taj način
često dobijaju integrali koji sadrže funkcije tipa sin x / x pa zbog toga nisu direktno rešivi.
Pošto je kvadratni član u izrazu (2) ekvivalentan množenju signala u zagradi sa samim sobom u
frekvencijskom domenu, vremenski oblik dobija se konvolucijom inverzne transformacije (u
ovom slučaju pravougaonog impulsa) sa samom sobom u vremenskom domenu.
Treba obratiti posebnu pažnju na vrednosti konstanti sa kojima se množe pojedini signali na slici
2, jer sama funkcija sin( 2πfτ ) /( 2πfτ ) odgovara spektru funkcije širine 2τ , površine 1 .
Kad se izračuna opisana konvolucija, dobije se signal u tački B . Ovaj signal ima oblik trougao− j 2πfτ
nog impulsa, amplitude U i trajanja 4τ . Poslednji činilac u izrazu (2), oblika e
, pokazuje da dobijeni signal treba dodatno zakasniti za τ . Signal u tački B prikazan je na slici 2.
Signal u tački C jednak je prvom izvodu trougaonog impulsa. Treba poznavati osnovne osobine
prvog izvoda da bi se dobio signal sa dve vrednosti, jednom pozitivnom (pozitivan nagib) a drugom negativnom (negativan nagib).
Signal u tački D ima isti oblik kao i signal u tački A , ali ima upola manju amplitudu:
1
U D ( f ) = H AD ( f )U A ( f ) = U A ( f ) ,
2
1
u D (t ) = u A (t ) .
2
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
91
u A (t )
U
-τ
τ
2τ
3τ
t
τ
2τ
3τ
t
τ
2τ
3τ
t
τ
2τ
3τ
u B (t )
U
-τ
uC (t )
U
-τ
u D (t )
U
-τ
t
Slika 2. Oblici signala u tačkama A , B , C i D u vremenskom domenu
3.4. Diskretni sistemi
Diskretni sistemi su sistemi namenjeni za obradu diskretnih signala. Slično kao i kod analognih
sistema, diskretni sistem konvertuje jedan ili više diskretnih ulaznih signala u jedan ili više diskretnih izlaznih signala, u skladu sa određenim pravilima.
92
Osnovi telekomunikacija, skripta
Blok šema diskretnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom prikazana je na slici 3.4.1.
xn
yn
xn-1
T
a
b
c
vn
T
vn-1
Slika 3.4.1. Blok šema diskretnog sistema
Najopštija karakteristika linearnog sistema opisana je izrazom:
yn = f n (...xn − k ,....., xn −1 , xn , xn +1 , xn + 2 ,..... xn + k ,.....) ,
(3.4.1)
gde je f n zavisnost koja je, u opštem slučaju, zavisna od vrednosti n , tj. vremena, pa izlazni
signal u svakom trenutku n zavisi od:
- trenutnog oblika funkcionalne zavisnosti, f n ,
- prethodnih vrednosti ulaznog signala, ...xn − k ,....., xn −1 ,
- trenutne vrednosti ulaznog signala xn i
- budućih vrednosti ulaznog signala xn +1 , xn + 2 ,..... xn + k ,..... .
Osim ove zavisnosti može se dodati i povratna sprega, preko koje izlazni signal može da zavisi i
od prethodnih vrednosti izlaznog signala. Analiza ovakvih sistema bila bi veoma složena i u
praksi se, srećom, ne koristi. Za praktične sisteme bez povratne sprege obično važe sledeća ograničenja koja znatno pojednostavljuju rad:
1) Kauzalnost. U praksi se ne može ostvariti zavisnost izlaznog signala od budućih vrednosti pobudnog signala.
2) Linearnost. Obično se veza između trenutne vrednosti izlaznog signala i ulaznog signala izražava kao:
yn =
∞
∑ hn, k ⋅ xk ,
(3.4.1a)
k = −∞
gde su hn, k koeficijenti koji opisuju sistem. U ovom izrazu kauzalnost nije uzeta u obzir. Kada
bi se uvela kauzalnost, gornja granica u sumi bila bi zamenjena sa n . Tada bi izlazni signal imao
oblik:
yn =
n
∑ hn, k ⋅ xk .
k = −∞
(3.4.1b)
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
93
3) Vremenska nepromenljivost. Ako koeficijenti hn, k ne zavise eksplicitno od vremena, n , tada
se može uvesti oznaka hn, k = hn − k , tj. koeficijent u svakom trenutku n zavisi samo od rastojanja od posmatrane tačke, k , tj. od n − k .
Kada se sva ograničenja uvedu u analizu, dobija se sledeća veza:
yn =
n
∑ hn − k ⋅ xk ,
(3.4.2)
k = −∞
u kojoj se lako prepoznaje diskretna konvolucija.
Za slučaj da je pobuda jednaka jediničnom impulsu, xn = δ n , odziv se naziva impulsni odziv i
jednak je hn , što se lako dokazuje jer u prethodnoj sumi za svako n postoji samo jedan sabirak,
onaj za koji je k = 0 .
Diskretni sistemi koji imaju osobinu linearnosti, vremenske nepromenljivosti (invarijantnosti) i
kauzalnosti obično se nazivaju digitalni filtri.
Komponente digitalnih filtara
Za razliku od analognih sistema za obradu signala, kod kojih je sistem sastavljen od kombinacije
pasivnih (otpornici, kalemovi, kondenzatori i sl.) i aktivnih (operacioni pojačavači i sl.) komponenti, digitalni filtri koji se mogu realizovati u praksi sastavljeni su od tri komponente: sabirača,
množača i kola za kašnjenje.
Funkcionisanje svake od ovih komponenti može se opisati u vremenskom i frekvencijskom
domenu.
Sabirač
Sabirač je kolo u kome se sabira dva ili više ulaznih signala i daju izlazni signal. Primer je pokazan na slici 3.4.2.
x1n
yn = x1n + x2n
x2n
Slika 3.4.2. Sabirač
Izlazni signal određuje se kao:
yn = x1n + x2 n .
(3.4.3)
94
Osnovi telekomunikacija, skripta
Množač
Množač je kolo u kome se ulazni signal množi datom konstantom i tako formira izlazni signal.
Primer je pokazan na slici 3.4.3.
xn
A
yn = Axn
Slika 3.4.3. Množač
Izlazni signal određuje se u obliku:
y n = A ⋅ xn .
(3.4.4)
Kolo za kašnjenje
Kolo za kašnjenje na svom izlazu daje signal koji kasni u odnosu na ulazni signal za 1 , odnosno
za jedan period odabiranja. Primer je pokazan na slici 3.4.4.
xn
T
yn = xn-1
Slika 3.4.4. Kolo za kašnjenje
Izlazni signal ima oblik:
yn = xn −1 .
(3.4.5)
To znači da je signal na izlazu pomeren udesno u odnosu na signal na ulazu, pa je u svakoj tački
vrednost izlaznog signala jednaka prethodnoj vrednosti ulaznog signala.
Povratna sprega
Ako se bilo gde u sistemu izlazni signal vraća unazad, dalje od izlaza, i ponovo učestvuje u proračunu, kaže se da postoji povratna sprega. Primer povratne sprege pokazan je na slici 3.4.5. Izlazni signal vraća se na sabirač i ponovo, uz dodatno kašnjenje, učestvuje u formiranju izlaznog
signala. U povratnoj petlji uvek mora da bude postavljeno bar jedno kolo za kašnjenje. Eventualno pojačanje u petlji ne sme da bude veće od 1 .
xn
yn
ayn-1
a
yn-1
T
Slika 3.4.5. Kolo sa povratnom spregom
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
95
Opis diskretnog sistema preko diferencnih jednačina
Kada se nacrta blok šema diskretnog sistema, mogu se za svaku tačku ispisati jednačine koje povezuju signal u toj tački sa ostalim signalima u sistemu. Ove jednačine nazivaju se diferencne
jednačine. Takve su, npr. jednačine za kolo na slici 3.4.1.:
vn = a ⋅ xn + b ⋅ xn −1 + yn ,
yn = c ⋅ vn −1 .
(3.4.6a)
Kombinovanjem jednačina uvek se može dobiti jedna jednačina koja pokazuje zavisnost izlaznog signala od trenutne vrednosti i prethodnih vrednosti ulaznog signala. Ako u sistemu postoji
povratna sprega, jednačina će sadržavati i zavisnost od prethodnih tačaka izlaznog signala. Za
posmatrani primer dobije se izlazni signal u obliku:
yn = a ⋅ c ⋅ xn −1 + b ⋅ c ⋅ xn − 2 + c ⋅ yn −1 .
(3.4.6b)
Pomoću ove jednačine uvek se, uz poznat pobudni signal, može odrediti izlazni signal. Linearna
diferencna jednačina sa konstantnim koeficijentima uvek se može napisati u obliku:
yn =
M
K
m=0
k =1
∑ bm ⋅ xn − m + ∑ ak ⋅ yn − k .
(3.4.7)
Ovakve jednačine mogu se iskoristiti na nekoliko načina:
- Ako je zadat ulazni signal i početni uslovi, izlazni signal može se odrediti tačku po tačku. Ovaj
postupak primenljiv je samo za jednostavne signale i sisteme;
- Na osnovu diferencne jednačine može se nacrtati, odnosno realizovati sistem (postupak ilustrovan na slici 3.4.6);
- Ako se na ulaz dovede pobuda u obliku delta impulsa, može se odrediti impulsni odziv sistema.
Uz pomoć impulsnog odziva može se, primenom konvolucije, odrediti odziv na bilo koji pobudni signal;
- Pomoću diferencne jednačine i impulsnog odziva sistema može se odrediti frekvencijski odziv
sistema (kao FTD impulsnog odziva). Frekvencijski odziv odgovara funkciji prenosa kod linearnih sistema i veoma je pogodan za analizu osobina sistema.
Na slici 3.4.6. pokazana je blok šema filtra koji odgovara diferencnoj jednačini datoj izrazom
(3.4.7) za M = K = 3 .
Na slici 3.4.7. pokazan je veoma jednostavan filtar. U poređenju sa jednačinom (3.4.7) vidi se da
za sve koeficijente ak važi ak = 0 , tj. da nema povratne sprege preko koje bi se izlazni signal
vraćao u sistem. Impulsni odziv ovakvog filtra ima oblik:
hn = 2 ⋅ δ n − 0.5 ⋅ δ n −1 .
(3.4.8)
Ovakvi filtri nazivaju se FIR (engl. Finite Impulse Response) filtri, odnosno filtri sa konačnim
impulsnim odzivom.
96
Osnovi telekomunikacija, skripta
Na slici 3.4.8. pokazan je filtar kod koga postoji povratna sprega. Takav filtar ima impulsni odziv sa beskonačnim trajanjem:
hn = (−3 / 4) n ⋅ u n −1 .
(3.4.9)
Filtar se naziva IIR (engl. Infinite Impulse Response) filtar.
xn
xn-1
T
xn-2
T
b1
b0
xn-3
T
b2
b3
yn
a2
a3
yn-3
T
yn-2
a1
T
T
yn-1
Slika 3.4.6. Primer filtra realizovanog preko diferencnih jednačina
xn
T
1
2
2
yn
Slika 3.4.7. Primer jednostavnog FIR filtra
yn
3
4
xn
T
Slika 3.4.8. Primer jednostavnog IIR filtra
Glava 3. Sistemi za prenos i obradu signala
97
Prednosti i nedostaci FIR i IIR filtara
FIR filtri su jednostavniji za analizu od IIR filtara, i uvek su stabilni, tj. nikad se ne može desiti
da izlazni signal počne nekontrolisano da raste. IIR filtri su, međutim, znatno efikasniji jer se sa
manje komponenti (kola za kašnjenje i sabirača) u odnosu na FIR filtre preciznije realizuju
zahtevane prenosne karakteristike.
Projektovanje diskretnih sistema
Diskretni sistemi ili filtri, projektuju se na osnovu potreba koje se jave u toku obrade signala.
Postoji čitav niz različitih postupaka koji detaljno opisuju kako se realizuju pojedine konkretne
varijante filtriranja. Mogu se izdvojiti dve široke grupe postupaka za projektovanje filtara:
- Projektovanje digitalnih na osnovu analognih filtara,
- Projektovanje filtara na osnovu zadate funkcije prenosa u frekvencijskom domenu.
Za svaki postupak projektovanja postoje detaljno razrađeni algoritmi. Detalji postupaka proučavaju se u posebnom predmetu, nazvanom Digitalna obrada signala.
Naročit značaj u digitalnoj obradi signala igra numerička tačnost postupka. Postoje tri osnovna
razloga:
1) diskretni signali numerički se zapisuju sa konačnim brojem cifara, što znači da se vrednosti
signala kvantizuju, bez obzira na namere korisnika,
2) koeficijenti filtra (numeričke vrednosti pojačanja pojačavača) moraju se zaokružiti na vrednost sa konačnim brojem decimala,
3) računske operacije sabiranja i množenja u signal procesorima nisu potpuno tačne, nego imaju
za posledicu određeno zaokruživanje rezultata.
Zbog navedenih razloga postupak projektovanja filtara neophodno mora da obuhvati i detaljno
testiranje sistema i eventualne korekcije parametara kako bi se umanjili nepoželjni efekti. Detalji
nisu tema ovog udžbenika. Mogu se naći u specijalizovanoj literaturi [3].
98
Osnovi telekomunikacija, skripta
4. DIGITALIZACIJA SIGNALA
U prethodnim glavama uglavnom su razmatrani signali sa kontinualnim vrednostima, funkcije
kontinualne promenljive. Ovaj tip signala obično nazivamo analogni signali, iako to nije sasvim
precizan naziv. Poznatiji su sledeći primeri analognih signala:
- telefonski signal,
- signali muzike i govora u radio difuziji,
- klasičan televizijski signal (iako se kod njega već javlja delimična diskretizacija),
- zapis zvuka na gramofonskoj ploči i magnetofonskoj traci, itd.
Najveći deo komunikacionih sistema u prošlosti (do početka osamdesetih godina prošlog veka)
korišćen je za prenos analognih signala. Razvojem tehnologije i uređaja za obradu i prenos signala, kao i teoretskih saznanja, od kraja sedamdesetih godina prošlog veka počinje sve intenzivniji razvoj postupaka zasnovanih na sasvim drugačijim principima. Osnov novih postupaka čine
digitalizacija analognih signala, obrada i prenos digitalnih signala.
Da bi analogni signal mogao da se pretvori u digitalni, neophodna je realizacija tri postupka:
a) odabiranje (odmeravanje, uzorkovanje, samplovanje, engl. Sampling) i
b) kvantizacija (engl. Quantization) i
c) kodovanje (engl. Coding).
Veoma jednostavno objašnjenje za odabiranje i kvantizaciju moglo bi se dati u jednoj rečenici:
Odbirke signala treba uzimati dovoljno često da bi se prenele i najbrže promene u signalu; amplitudu treba kvantizovati dovoljno fino (gusto) da korisnik (najčešće slušalac) bude zadovoljan
kvalitetom, tj. da ne primeti razliku između originalnog i kvantizovanog signala.
Kodovanje je poseban postupak kojim se dobijene vrednosti odbiraka opisuju (zamenjuju) nekom oznakom (kodnom reči). U toku prenosa, kodna reč predstavlja originalnu vrednost odbirka.
4.1. Odabiranje signala
Odabiranje je postupak kojim se analogni signal (funkcija sa kontinualnom promenljivom) preslikava (pretvara) u niz brojeva, tj. funkciju sa diskretnim vremenom. Brojevi se nazivaju odbirci
(odmerci, uzorci, samplovi). Odbirci odgovaraju vrednostima analognog signala u trenucima koji
su međusobno razmaknuti za konstantnu veličinu koja se označava sa T i naziva perioda odabiranja. Postupak se zasniva na teoremi o odabiranju:
Svaki analogni signal x(t ) čiji je spektar (Furijeova transformacija) X ( f ) ograničen na opseg
učestanosti (0, B ) , jednoznačno je određen signalom odbiraka, s (t ) = x(t ) ⋅ xs (t ) , odnosno
odbircima sn , određenim iz izraza: sn = x( n ⋅ T ) , pod uslovom da perioda odabiranja zado-
Glava 4. Digitalizacija signala
99
voljava nejednakost T ≤ 1 /( 2 ⋅ B ) . Signal xs (t ) , sa kojim se vrši odabiranje, ima osobinu periodičnosti, sa periodom T .
Ako se sa f s označi učestanost odabiranja, f s = 1 / T , uslov za važenje teoreme o odabiranju
može se napisati i u obliku:
fs ≥ 2 ⋅ B .
(4.1.1)
Sistem za odabiranje može se predstaviti šemom na slici 4.1.1. Na slici je prikazan deo za odabiranje, sastavljen od množača, kao i deo za rekonstrukciju signala, NF filtar.
x(t )
s(t )
~
~
y (t )
fg
xs (t )
Slika 4.1.1. Sistem za odabiranje
Periodični signal kojim se vrši odabiranje, x s (t ) , dat je izrazom:
x s (t ) =
∞
∑ u (t − kT ) ,
(4.1.2)
k =−∞
gde je u (t ) impuls odabiranja. Na izlazu množača dobija se signal s (t ) koji se naziva diskretizovani signal ili signal odbiraka:
s (t ) = x(t ) ⋅ x s (t ) =
∞
∑ x(t ) ⋅ u (t − kT ) .
(4.1.3)
k = −∞
Ovaj signal, doduše, i dalje je analogni signal. Međutim, ako se odabiranje vrši periodičnom povorkom delta impulsa (tzv. idealno odabiranje), dobijene vrednosti u trenucima odabiranja formiraju diskretni signal, sn = x(nT ) . Signal s (t ) prenosi se od predajnika, u kom je izvršeno odabiranje, kroz odgovarajući sistem za prenos, do prijemnika, u kom se vrši rekonstrukcija.
Signal na izlazu prijemnika, y (t ) , dobija se iz signala odbiraka postupkom rekonstrukcije. Rekonstrukcija se vrši pomoću filtra propusnika niskih učestanosti. Ako je zadovoljen uslov teoreme o odabiranju, a granična učestanost filtra zadovoljava uslov B < f g < f s − B , signal
y (t ) proporcionalan je ulaznom signalu, x(t ) .
Posmatrano bez matematičkih izraza, odbirke treba uzimati dovoljno često da prenesu kompletnu
informaciju o promenama vrednosti signala. 'Dovoljno često' znači da unutar svake periode najbrže postojeće promene (a to je baš prostoperiodična promena za koju je učestanost najveća i
jednaka širini spektra, B ), treba uzeti bar dva odbirka. Ako je ovaj uslov zadovoljen za najbržu
promenu, sigurno će biti zadovoljen i za sve sporije promene, kod kojih je perioda promene veća, pa će se u toku jedne njihove periode uzeti i više od dva odbirka.
100
Osnovi telekomunikacija, skripta
Učestanost odabiranja koja je jednaka dvostrukoj maksimalnoj učestanosti u spektru ulaznog signala naziva se i Nikvistova učestanost odabiranja (Nyquist Sample Rate). Interesantno je i tumačenje po kom u svakoj sekundi treba preneti bar po dva podatka za svaki Hz iz širine spektra
signala. Npr. za signal čija je širina spektra B = 4 kHz treba preneti bar 8000 podataka (odbiraka) u svakoj sekundi.
Dokaz teoreme o odabiranju
Da bi se dokazala teorema o odabiranju, treba pokazati da je izlazni signal, y (t ) , jednak (ili proporcionalan) ulaznom signalu, x(t ) . Dokaz je jednostavan ako se poznaju osobine Furijeove
transformacije. Posmatrajmo varijantu sa analognom signalom s (t ) , dobijenim u kolu za odabiranje prikazanom na slici 4.1.1. Spektar tog signala može se odrediti primenom osobine Furijeove transformacije po kojoj proizvod dva signala u vremenskom domenu podrazumeva konvoluciju njihovih spektara u frekvencijskom domenu. Za dokaz je potrebno:
1) da spektar signala x(t ) bude ograničen po širini na interval učestanosti (0, B ) , (za dokazivanje teoreme oblik signala i njegovog spektra nije značajan),
2) da se za signal xs (t ) može odrediti Furijeova transformacija (periodičan signal koji se uvek
može razviti u Furijeov red, a zatim se može odrediti Furijeova transformacija tog reda).
Furijeov red signala xs (t ) ima oblik xs (t ) =
∞
∑ un ⋅ e jnω t
s
n = −∞
gde su u n koeficijenti komplek-
snog oblika Furijeovog reda. U zadatku 4.1.1. pokazano je da se koeficijenti signala xs (t ) mogu
1
U (n ⋅ f s ) , gde je U (n ⋅ f s ) vrednost Furijeove
T
transformacije impulsa odabiranja, u (t ) , u tački f = n ⋅ f s .
povezati sa FT impulsa odabiranja kao u n =
Furijeova transformacija periodičnog signala xs (t ) određuje se primenom osobine linearnosti
na Furijeov red, u obliku:
∞
∞
⎛ ∞
jnω s t ⎞ − j 2πft
⎟⎟ ⋅ e
X s ( f ) = ∫ ⎜⎜ ∑ u n ⋅ e
⋅ dt = ∑ u n ⋅ ∫ e − j 2π ( f − n ⋅ f s )t ⋅ dt =
n = −∞
⎠
− ∞ ⎝ n = −∞
−∞
∞
=
∞
∑ un ⋅ δ ( f − n ⋅ f s ) .
(4.1.4)
n = −∞
Pošto se signal odbiraka, prema (4.1.3), dobija množenjem dva signala, spektar signala odbiraka
jednak je konvoluciji spektra (4.1.4) i spektra originalnog signala, X ( f ) . Pošto se radi o konvoluciji sa povorkom pomerenih delta impulsa, primenom ranije pokazanog postupka, rezultat će
imati oblik zbira pomerenih originalnih spektara. Spektar signala odbiraka dobija se u obliku:
S( f ) =
∞
∑ un ⋅ X ( f − n ⋅ f s ) .
n = −∞
(4.1.5)
Glava 4. Digitalizacija signala
101
Svi spektri pokazani su na slici 4.1.2. za slučaj kada se odabiranje vrši periodičnom povorkom
delta impulsa, odnosno kada je u (t ) = δ (t ) . Odabiranje sa periodičnom povorkom delta impulsa naziva se idealno odabiranje. Na slici 4.1.2a) prikazan je spektar ulaznog signala. Oblik trougla izabran je zato što je pogodan za crtanje i ima osobinu koja često odgovara signalima u stvarnosti: pri većim učestanostima moduo spektra opada. Na slici 4.1.2b) prikazan je spektar signala
kojim se vrši odabiranje. Ovaj spektar ima oblik povorke jednakih delta impulsa, amplitude
1 / T . Na slici 4.1.2c) prikazan je spektar signala odbiraka, dobijenog konvolucijom prethodna
dva spektra, za slučaj kada je zadovoljen uslov teoreme o odabiranju.
X(f )
A
fs f 0 f
f
max
max s
2
a)
f
2
Xs( f )
1
T
b)
-2fs
-fs
2fs
fs
0
f
S( f )
A
T
-2fs
-3fs
2
-fs
- fs
fs
0
2
fmax
-fmax
c)
2
fs
3fs
2
2fs
f
X(f )
A
-fmax fs
0
2
d)
fs fmax
2
S( f )
A
T
-fs
e)
f
fs
2
Aliasing
0
fs fmax fs
2
3fs
2
f
Slika 4.1.2. Spektri signala u postupku odabiranja: ulaznog signala (a) i (d),
povorke impulsa (b), signala odbiraka bez preklapanja (c) i sa preklapanjem (e)
102
Osnovi telekomunikacija, skripta
Ako je zadovoljen uslov teoreme o odabiranju, neće doći do preklapanja transliranih komponenti
spektra. Na slici 4.1.2d) prikazan je spektar ulaznog signala koji je, u odnosu na učestanost odabiranja, širi nego što uslovljava teorema o odabiranju. Na spektru signala odbiraka vidi se posledica: dolazi do preklapanja spektara. Pojava se naziva i aliasing (engl. Alias, lažno ime, Aliasing, lažno predstavljanje).
Signal odbiraka, s (t ) , prenosi se od predajnika do prijemnika. U ovoj fazi proučavanja smatramo da se signal u toku prenosa ne menja.
Na prijemnoj strani treba, iz signala odbiraka, na neki način rekonstruisati poslati signal. Rekonstrukcija se vrši pomoću filtra propusnika niskih učestanosti. Nakon prolaska signala s (t ) kroz
takav filtar, spektar izlaznog signala dobija se u obliku:
Y ( f ) = H ( f ) ⋅ S( f ) .
(4.1.6)
Pošto je H ( f ) funkcija prenosa idealnog NF filtra, kroz filtar će proći samo spektralne komponente signala odbiraka unutar granica (0, f g ) . Ako se granična učestanost f g podesi na
vrednost f g = f s / 2 i ako je zadovoljen uslov teoreme o odabiranju, spektar izlaznog signala
može se napisati u obliku:
Y ( f ) = u0 ⋅ X ( f ) ,
(4.1.7)
gde je u0 = U (0) / T . Inverznom FT izraza (4.1.7) dobija se da je izlazni signal proporcionalan
sa ulaznim, tj. y (t ) = u0 ⋅ x(t ) . Spektri signala na prijemnoj strani za slučaj kada su zadovoljeni
uslovi teoreme o odabiranju pokazani su na slici 4.1.3.
Ovim je pokazano da signal koji je rekonstruisan iz signala odbiraka ima vrednost proporcionalnu ulaznom signalu, pa je time dokazana i teorema o odabiranju. U objašnjenju je pretežno
korišćen frekvencijski domen jer se u njemu rezultati mogu veoma lako prikazati grafički i objasniti analitičkim postupcima.
U slučaju da nije ispunjen osnovni uslov teoreme o odabiranju, f s > 2 ⋅ f max , spektar signala
odbiraka ima izgled kao na slici 4.1.2e). Nakon prolaska kroz NF filtar, spektar izlaznog signala
ima oblik prikazan na slici 4.1.4. Na krajevima spektra zapaža se način na koji se manifestuje
preklapanje spektra (aliasing): komponenta koja se u ulaznom signalu nalazi na učestanosti
fs
f
+ Δf , nakon odabiranja, pojavljuje se na mestu s − Δf . Odavde i potiče naziv aliasing
2
2
(komponente se pojavljuju na promenjenim, ‘lažnim’ učestanostima). Pri tom dolazi do nepopravljivog oštećenja signala, jer se preklopljene komponente ni na koji način ne mogu razdvojiti.
Prema slici 4.1.4., očigledno je da se pri nedovoljno visokoj učestanosti odabiranja javljaju dva
problema:
1. komponente u opsegu učestanosti
fs
< f < f max ne mogu se pravilno preneti;
2
2. usled preklapanja spektra, nepopravljivo su oštećene i komponente u opsegu učestanosti
f s − f max < f < f s / 2 (lako se uočavaju na slici 4.1.4.).
Glava 4. Digitalizacija signala
103
S( f )
A
T
-2fs
-3fs
2
-fs
- fs
2
a)
fs
0
fmax
-fmax
2
fs
3fs
2
2fs
f
H( f )
1
fs
b)
fs
0
2
2
f
Y( f )
A
T
- fs
2
c)
fs
0
-fmax
fmax
2
f
Slika 4.1.3. Spektri signala na prijemnoj strani: spektar signala odbiraka (a),
funkcija prenosa idealnog filtra (b) i spektar izlaznog signala (c)
Y( f )
A
T
fs
2
0
fs
2
f
Slika 4.1.4. Spektar izlaznog signala kad nije zadovoljen uslov teoreme o odabiranju
Prvi problem može se rešiti samo povećanjem učestanosti odabiranja na vrednost koju uslovljava
teorema o odabiranju.
Drugi problem može se rešiti tako što se ulazni signal, x(t ) , pre odabiranja propusti kroz NF
filtar sa graničnom učestanošću f g koja je jednaka f g = f s / 2 . Ovakav filtar naziva se antialiasing filtar ili Nikvistov filtar.
104
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rekonstrukcija signala u vremenskom domenu
Objašnjenje postupka rekonstrukcije signala u vremenskom domenu znatno je složenije nego u
frekvencijskom domenu. Može se relativno jednostavno objasniti samo u slučaju kada se odabiranje vrši povorkom delta impulsa. Tada se signal odbiraka, s (t ) , može napisati u obliku:
s (t ) = x(t ) ⋅ xs (t ) = x(t ) ⋅
∞
∞
∑ δ (t − kT ) = ∑ x(kT ) ⋅ δ (t − kT ) ,
k = −∞
(4.1.8)
k = −∞
jer delta impulsi imaju sledeću osobinu: njihova širina teži nuli pa se pri množenju delta impulsa
sa bilo kojom funkcijom, x(t ) , dobija rezultat koji i dalje sadrži delta impuls, na istom mestu na
kom je bio pre množenja, ali pomnožen sa konstantom jednakom vrednosti funkcije u tački u kojoj se nalazi impuls. Signal na izlazu idealnog filtra (linearnog sistema) može se izračunati u
vremenskom domenu kao konvolucija pobude, s (t ) i impulsnog odziva sistema, h(t ) :
∞
∞
⎡ ∞
⎤
y (t ) = s (t ) ∗ h(t ) = ∫ s (τ ) ⋅ h(t − τ ) ⋅ dτ = ∫ ⎢ ∑ x(kT ) ⋅ δ (τ − kT )⎥ ⋅ h(t − τ ) ⋅ dτ =
⎦
−∞
− ∞ ⎣ k = −∞
∞
∑
k = −∞
∞
x(kT ) ⋅ ∫ δ (τ − kT ) ⋅ h(t − τ ) ⋅ dτ =
−∞
∞
∑ x(kT ) ⋅ h(t − kT ) .
(4.1.9)
k = −∞
U prethodnom izrazu primenjeni su već poznati postupci zamene redosleda integracije i sabiranja, kao i uvođenje smene τ − kT = λ . Pošto je impulsni odziv filtra idealnog propusnika
niskih učestanosti jednak:
h(t ) = 2 f g ⋅
(
sin 2πf g t
2πf g t
),
(4.1.10)
izlazni signal može se, konačno, napisati u obliku:
y (t ) =
∞
∑
k = −∞
x(kT ) ⋅ 2 f g ⋅
[
sin 2πf g (t − kT )
2πf g (t − kT )
].
(4.1.11)
Iz izraza (4.1.11) vidi se da je u tačkama u kojima se uzimaju odbirci, t = k ⋅ T , vrednost izlaznog signala jednaka vrednosti posmatranog odbirka, jer je uticaj svih ostalih sabiraka jednak nuli, zbog osobina funkcije tipa sin x / x . U tačkama između onih u kojima se uzimaju odbirci vrši
se sabiranje svih sabiraka u izrazu (4.1.11).
U vremenskom domenu veoma se teško analitički dokazuje da je rezultat baš jednak očekivanom, ali numerički postupci pokazuju da je rezultat upravo originalna funkcija. Izraz (4.1.11)
prikazan je grafički na slici 4.1.5. Skup vrednosti x( kT ) = xk prikazan je kao povorka odbiraka
ili ‘štapića‘ (to nisu delta impulsi nego način na koji se obično crta diskretni signal) lociranih u
trenucima t = k ⋅ T . U okolini svakog odbirka nacrtan je impulsni odziv idealnog NF filtra, a
crtkana funkcija predstavlja zbir svih odziva, u skladu sa izrazom (4.1.11). I u slučajevima u kojima nije vršeno idealno odabiranje treba izračunati konvoluciju signala odbirka i impulsnog odziva, ali ovaj postupak nije jednostavan ni analitičkim ni grafičkim putem.
Glava 4. Digitalizacija signala
105
x(t )
xk
0
0
-1
-T
1
T
2
2T
3
3T
k
t
Slika 4.1.5. Rekonstrukcija signala u vremenskom domenu
Specifičnosti u postupku odabiranja
Teorema o odabiranju propisuje minimalnu učestanost odabiranja za koju je moguća rekonstrukcija originalnog signala. Dobra osobina minimalne učestanosti odabiranja jeste činjenica da je
broj odbiraka minimalan, a nedostatak je potreba za idealnim NF filtrom, za koji je već pokazano
da se u praksi ne može realizovati.
Učestanost odabiranja može da bude veća od minimalne, Nikvistove. Pri tom su translirane komponente spektra na frekvencijskoj osi razmaknutije nego pri Nikvistovoj učestanosti odabiranja.
Pri većoj učestanosti lakše se realizuje filtar koji obezbeđuje rekonstrukciju signala, ali je broj
odbiraka u jedinici vremena veći, što zahteva veći broj računskih operacija u jedinici vremena,
odnosno bržu obradu signala. Pravilan izbor učestanosti odabiranja predstavlja inženjerski kompromis.
Rešeni primeri uz poglavlje 4.1.
Zadatak 4.1.1. (E, S)
Signal x(t ) ima spektar X ( f ) ograničen na interval učestanosti (0 ÷ f m ) . Signal kojim se
vrši odabiranje dat je izrazom (4.1.2), gde je T perioda odabiranja, a u (t ) impuls odabiranja.
Poznato je da je u (t ) = 0 za t > τ 2 , τ < T , a FT signala u (t ) je U ( f ) .
a) Odrediti spektar diskretizovanog signala (signala odbiraka) s (t ) .
b) Odrediti minimalnu vrednost f s i graničnu učestanost NF filtra, f g , tako da se dobije
y (t ) = k ⋅ x(t ) . Kolika je konstanta k ?
⎧
⎪1
c) Ako je: u (t ) = ⎨
⎪⎩0
τ
t ≤ ,
2
drugde,
106
Osnovi telekomunikacija, skripta
τ = T / 2 , f s = 3 f m , f g = f m , nacrtati spektar diskretizovanog signala i odrediti izlazni signal y (t ) .
Rešenje:
a) Odabiranje se vrši periodičnim signalom x s (t ) . Signal se može razviti u Furijeov red:
x s (t ) =
∞
∑ xn ⋅ e j 2πnf t , gde su koeficijenti dati izrazom:
s
n= −∞
T 2
1
xn = ⋅ ∫ x s (t ) ⋅ e − j 2πnf st dt .
T −T 2
Pošto u intervalu ( − T 2 ÷ T 2) važi identitet x s (t ) = u (t ) , pa se u prethodnom izrazu može
izvršiti zamena periodične funkcije x s (t ) sa jednim impulsom odabiranja, u (t ) :
T 2
1
xn = ⋅ ∫ u (t ) ⋅ e − j 2πnf st dt .
T −T 2
Pošto je u (t ) = 0 za t > T 2 , mogu se proširiti granica integrala na ( −∞ ÷ ∞) , a da se pri
tom ne promeni vrednost integrala. Dobija se sledeći izraz:
∞
1
xn = ⋅ ∫ u (t ) ⋅ e − j 2πnf s t dt .
T −∞
Integral je jednak definicionoj formuli za Furijeovu transformaciju, ali ne u obliku funkcije od
učestanosti nego funkcije od celobrojnih vrednosti f = nf s :
xn =
1
⋅ U (nf s ) .
T
Na osnovu izvedenih izraza vidi se da koeficijenti Furijeovog reda odgovaraju vrednostima FT u
tačkama nf s .
Signal odbiraka jednak je:
s (t ) = xs (t ) ⋅ x(t ) = x(t ) ⋅
∞
1
⋅ U (nf s ) ⋅ e j 2πnf s t .
n = −∞ T
∑
FT prethodnog izraza određuje se na sledeći način:
∞
∞
⎤
⎡
1
S ( f ) = F{ s (t )} = ∫ ⎢ x(t ) ⋅ ∑ ⋅ U (nf s ) ⋅ e j 2πnf s t ⎥ ⋅ e − j 2πft dt =
n = −∞ T
⎦
−∞ ⎣
Glava 4. Digitalizacija signala
107
∞
1 ∞
1 ∞
− j 2π ( f − nf s )t
= ⋅ ∑ U (nf s ) ∫ x(t ) ⋅ e
dt = ⋅ ∑ U (nf s ) ⋅ X ( f − nf s ) .
T n = −∞
T n = −∞
−∞
(1)
Spektar signala odbiraka, S ( f ) , prema izrazu (1), predstavlja beskonačan zbir spektara funkcije
x(t ) transliranih na frekvencijskoj osi za učestanost nf s i pomnoženih težinskim koeficijentom
(kaže se i ‘ponderisanih koeficijentom’) U (nf s ) . Koeficijent je, u opštem slučaju, kompleksni
broj. Izraz (1) ima ogroman značaj. U rešavanju zadataka može se koristiti bez izvođenja.
b) Za funkciju X ( f ) u obliku trougla (oblik trougla izabran je radi jednostavnosti crtanja), prikazanu na slici 1a., spektar S ( f ) skiciran je na slici 1b. Da bi se na izlazu NF filtra dobila
funkcija y (t ) = k ⋅ x (t ) , treba izbeći preklapanje transliranih komponenti u spektru S ( f ) i,
pomoću NF filtra, izdvojiti član za koji je n = 0 . Sa slike je očigledno da moraju biti ispunjeni
uslovi:
fs ≥ 2 fm i
fs
> f g ≥ fm .
2
Konstanta k , prema (4.1.7), ima vrednost k = u0 = U (0) / T .
X( f )
1
a)
− fm
b)
fm
f
S( f )
−3 f s
−2 f s
− fs
− fm
c)
fm
fs
2 fs
3 fs
f
3 fs
f
S( f )
−3 f s
− fs
− fm
fm
fs
Slika 1. Spektralna gustina amplituda ulaznog signala x(t ) (a),
signala odbiraka u opštem slučaju (b) i
signala odbiraka ako je u (t ) pravougaoni impuls kod kog je τ / T = 0.5 (c)
c) Za zadato u (t ) , koeficijenti Furijeovog reda (tj. FT na celobrojnim umnošcima učestanosti
odabiranja) imaju vrednosti:
⎧
⎪
1/ 2
1
1 ⎛ n ⎞ 1 sin n π 2 ⎪⎪
=⎨ 0
⋅ U (nf s ) = ⋅ U ⎜ ⎟ = ⋅
T
T ⎝ T ⎠ 2 nπ 2
⎪
k
⎪ (−1)
⎪⎩ (2k + 1)π
n = 0,
n = 2k ,
n = 2 k + 1.
(2)
108
Osnovi telekomunikacija, skripta
Treba zapaziti da povorka pravougaonih impulsa, kod kojih je trajanje impulsa jednako trajanju
pauze ( τ / T = 0.5 ) ima interesantnu osobinu: sadrži samo neparne harmonike.
FT diskretizovanog signala, prema (1) i (2), može se napisati u obliku:
∞
1
(−1) k
S( f ) = X ( f ) + ∑
⋅ X [ f − (2k + 1) f s ] .
2
(
2
k
+
1
)
π
k = −∞
Spektar diskretizovanog signala s (t ) prikazan je na slici 1c. Za vrednost granične učestanosti
zadatu u tekstu zadatka, f g = f m , filtar eliminiše sve translirane komponente u spektru signala
odbiraka, pa se za izlazni signal dobija: y (t ) =
1
x(t ) .
2
Zadatak 4.1.2. (E, S)
Signal kojim se vrši odabiranje u sistemu sa slike 4.1.1. dat je izrazom:
x s (t ) =
∞
∑ T ⋅ δ (t − kT ) .
k = −∞
Na ulaz sistema dovodi se signal:
x(t ) = X 1 cos ω1t + X 2 sin ω 2t , gde su X 1 i X 2 konstante, a učestanosti imaju vrednosti:
f1 = 2 kHz i f 2 = 4 kHz (Za saobraćajni odsek uzeti X 2 = 0 ).
Odrediti izlazni signal za sledeće periode odabiranja:
a) T = 100 μs ,
b) T = 200 μs ,
c) T = 500 μs ,
ako je gornja granična učestanost NF filtra f g = 4050 Hz .
Rešenje:
Kada se odabiranje vrši periodičnom povorkom delta impulsa pomnoženih konstantom T , kao u
tekstu zadatka, tada važi u (t ) = T ⋅ δ (t ) , pa je FT ovakvog impulsa:
∞
U ( f ) = ∫ T ⋅ δ (t ) ⋅ e − j 2πft dt = T , odnosno U (nf s ) = T za svako celobrojno n ,
−∞
pa izraz (1) u zad. 4.1.1. postaje:
S( f ) =
∞
∑ X ( f − nf s ) .
n = −∞
Spektar X ( f ) signala x(t ) lako se određuje u obliku:
(1)
Glava 4. Digitalizacija signala
X(f ) =
109
X1
[δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 )] + X 2 [δ ( f − f 2 ) − δ ( f + f 2 )] .
2
2j
(2)
Navedenim periodama odabiranja odgovaraju učestanosti odabiranja:
a) f s = 10 kHz ,
b) f s = 5 kHz
i
c) f s = 2 kHz .
Prema jednačinama (1) i (2), spektar signala s (t ) sastoji se od delta impulsa, a spektar signala
x(t ) od prostoperiodičnih komponenti sa tačno određenim učestanostima. Postoji više postupaka za određivanje izlaznog signala. Veoma je jednostavan i pregledan grafički postupak. Sastoji
se od crtanja spektra signala s (t ) i pažljivog unošenja amplituda i faza uz svaki pojedini delta
impuls.
U ovom zadatku detaljno je objašnjen tabelarni postupak. Na osnovu spektra diskretizovanog
signala, može se formirati tabela koja sadrži one spektralne komponente (delta impulse) koje se
nalaze unutar propusnog opsega NF filtra za navedene učestanosti odabiranja. Podaci su uneti u
tabelu 1. U tabelu su unete učestanosti (u kHz) za svaku od komponenti. Pošto je granična
učestanost filtra f g = 4.05 kHz , vrednosti iznad granične nisu unete u tabelu jer se sigurno neće pojaviti u izlaznom signalu. Ispod učestanosti su upisane amplitude svake komponente. U tabelu su upisane uglavnom komponente na nenegativnim učestanostima, osim jednog izuzetka. Iz
tabele se može napisati izraz za spektar izlaznog signala:
Y ( f ) = Y1 ( f ) + Y1∗ ( f ) ,
∗
gde se Y1 ( f ) dobija direktno iz tabele, a Y1 ( f ) opisuje one članove ( n < 0 i f k < 0 za
n = 0 ) koji nisu upisani u tabelu.
Tabela 1. Pregled prostoperiodičnih komponenti
n=0
a)
b)
c)
c)
f1
2
X1
2
2
X1
2
2
X1
2
3 f s + f1
8
-
f2
4
X2
2j
4
X2
2j
4
X2
2j
f s + f1
12
-
7
4
X1
2
n =1
f s − f1 f s + f 2
8
14
-
3
X1
2
0
X1
2
n=3
3 f s − f1 3 f s + f 2
4
10
X1
2
9
6
-
3 f s − f2
2
X
− 2
2j
n=2
f s − f2
6
-
2 f s + f1
2 f s − f1
2 f s + f2
2 f s − f2
22
-
18
-
24
-
16
-
1
X
− 2
2j
-2
X
− 2
2j
12
-
8
-
14
-
6
-
6
-
2
X1
2
8
-
0
X
− 2
2j
4 f s + f1
10
-
n=4
4 f s − f1 4 f s + f 2
6
12
-
4 f s − f2
4
X
− 2
2j
110
Osnovi telekomunikacija, skripta
Proširenje tabele u vrstama a) i b) za n = 3 i n = 4 nije potrebno, jer bi sve komponente koje bi
se tamo upisale imale učestanost iznad granične.
Za date učestanosti odabiranja dobijaju se sledeći rezultati:
a) f s > 2 f m , pa je izlazni signal
b) Y1 ( f ) =
y (t ) = x(t ) .
X
X
X1
X
δ ( f − f1 ) + 2 δ ( f − f 2 ) + 1 δ ( f − ( f s − f1 ) ) − 2 δ ( f − ( f s − f 2 ) ) .
2
2j
2
2j
Izlazni signal dobija se inverznom transformacijom spektra izlaznog signala, Y ( f ) , i ima oblik:
y (t ) = X 1 cos 2πf1t + X 2 sin 2πf 2t + X 1 cos 2π ( f s − f1 )t − X 2 sin 2π ( f s − f 2 )t .
c) Y1 ( f ) =
+
X1
X
X
X
X
δ ( f − 2) + 2 δ ( f − 4) + 1 δ ( f − 4) + 1 δ ( f ) − 2 δ ( f + 2) +
2
2j
2
2
2j
X1
X
X
X
X
δ ( f − 2) − 2 δ ( f ) + 1 δ ( f − 4) − 2 δ ( f − 2) − 2 δ ( f − 4) .
2
2j
2
2j
2j
Izlazni signal dobija se na način opisan pod b) i ima oblik:
y (t ) = X 1 cos 2πf1t + X 2 sin 2πf 2 t + X 1 cos 2πf 2 t + X 1 + X 2 sin 2πf1t +
+ X 1 cos 2πf1t + 0 + X 1 cos 2πf 2 t − X 2 sin 2πf1t − X 2 sin 2πf 2 t =
= X 1 + 2 X 1 cos 2πf1t + 2 X 1 cos 2πf 2 t .
Zadatak 4.1.3. (E)
a) Ako je x(t ) signal koji je jednak nuli izvan intervala t ≤ T 2 , dokazati da je on potpuno
određen vrednostima spektra na umnošcima učestanosti f s < 1 T .
b) Ako je signal x(t ) vremenski ograničen na interval T i ako je njegov spektar uglavnom
ograničen na opseg učestanosti B , odrediti minimalan broj vremenskih odbiraka N T i minimalan broj odbiraka spektra N f kojima je potpuno određen taj signal.
Rešenje:
a) Signal ograničenog trajanja, x(t ) , ima Furijeovu transformaciju X ( f ) . Od signala x(t )
može se konstruisati novi signal x p (t ) tako što se signal x(t ) periodično ponavlja sa periodom
T p za koju važi T p > T . Novi signal može se razviti u Furijeov red:
Glava 4. Digitalizacija signala
x p (t ) =
∞
∑ Fn ⋅e
111
jnω p t
,
n = −∞
pri čemu su koeficijenti Furijeovog reda:
1
Fn =
Tp
Tp 2
∫
x p (t ) ⋅ e
− jnω p t
−T p 2
1
dt =
Tp
Tp 2
∫
x(t ) ⋅ e
− jnω p t
−T p 2
dt =
1
X (nf p ) .
Tp
Prema prethodnom izrazu, koeficijenti Furijeovog reda signala x p (t ) jednaki su vrednostima
FT signala x(t ) u tačkama f = n ⋅ f p . Signal je potpuno određen svojim koeficijentima Furijeovog reda, a pošto je x(t ) = x p (t ) u jednoj periodi i signa x(t ) određen je poznavanjem vrednosti istih tih odbiraka.
b) Po teoremi o odabiranju u vremenskom domenu, signal x(t ) određen je odbircima svakih
Δt = 1 (2 B) sekundi. Pošto signal x(t ) traje T sekundi, ukupan broj odbiraka kojima je određen signal x(t ) iznosi:
N T = T Δt = 2 ⋅ B ⋅ T .
Ako se teorema o odabiranju primeni u frekvencijskom domenu na spektar X ( f ) , on je određen odbircima na rastojanju Δf koje se, po analogiji, dobija kao recipročna vrednost trajanja
signala, Δf = 1 T . Kako je X ( f ) različito od nule u opsegu učestanosti (0 ÷ B ) , ukupan broj
odbiraka koji određuju X ( f ) jednak je:
N f = 2 ⋅ B Δf = 2 ⋅ B ⋅ T .
Signal je, dakle, definisan jednakim brojem odbiraka u vremenskom i u frekvencijskom domenu.
Zadatak 4.1.4. (E, S)
Spektar signala x(t ) različit je od nule samo u opsezima učestanosti (0 ÷ B ) i (3B ÷ 5 B ) .
Ako je posle odabiranja, u cilju rekonstrukcije signala x(t ) , primenjena kombinacija filtara
idealnih propusnika niskih učestanosti i opsega učestanosti, odrediti sve vrednosti učestanosti
odabiranja f s za koje se na izlazu može dobiti ulazni signal.
Rešenje:
Zadatak se najlakše rešava grafički. Postoje tri grupe rešenja:
f s ≥ 10 B (strogo po teoremi o odabiranju),
f s = 6 B , (ako se translirani delovi spektra ‘učešljavaju’ jedni među druge) i
f s = 2 B , ako je signal x s (t ) takav da sadrži samo neparne harmonike, odnosno da je važi uslov: U ( 2kf s ) = 0 , ( k = 1,2... ), pa se ponovo delovi spektra učešljavaju ali ne preklapaju.
112
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 4.1.5. (E)
Na slici 1. prikazan je sistem za odabiranje. Signal na ulazu ima oblik:
u (t ) = U ⋅ (cos 2πf m t + cos 3πf m t ) ,
f m = 2 kHz .
U =1V,
Signal odabiranja ima oblik:
s (t ) =
∞
∑ T ⋅ δ (t − nT ) ,
n = −∞
a NF filtar ima prenosnu karakteristiku:
⎧⎪e − j 2πfτ
H( f ) = ⎨
⎪⎩ 0
f ≤ fg,
drugde,
τ = 0.5 ms .
f g = 4.1 kHz ,
Odrediti amplitude i početne faze svih prostoperiodičnih komponenti izlaznog signala v(t ) u
slučajevima:
a) f s = 1 T = 8 kHz ,
b) f s = 1 T = 6 kHz .
u(t)
H(f)
v(t)
s(t)
Slika 1. Sistem za odabiranje
Rešenje:
a)
v(t ) = U ⋅ [cos 2πf m (t − τ ) + cos 3πf m (t − τ )] .
v(t ) = U ⋅ [cos 2πf m (t − τ ) + 2 ⋅ cos 3πf m (t − τ ) + cos 4πf m (t − τ )].
b)
Zadatak 4.1.6. (E)
Signal v(t ) na ulazu u sistem prikazan na slici 1., dat je izrazom:
v(t ) =
∞
∑ u (t − nT ) , gde je u (t ) pravougaoni impuls:
n = −∞
⎧E
u (t ) = ⎨
⎩0
t < T 4,
drugde.
Odabiranje se vrši periodičnom povorkom delta impulsa:
xs (t ) = T ⋅
∞
∑
k = −∞
⎛
⎝
δ ⎜t −
kT ⎞
⎟,
2 ⎠
a NF filtri su idealni, sa istom graničnom učestanošću. Odrediti izlazni signal y (t ) .
Glava 4. Digitalizacija signala
113
v(t)
~
~
x(t)
s(t)
~
~
y(t)
f g=5/(2T)
f g=5/(2T)
xs(t)
Slika 1. Sistem za odabiranje sa NF filtrom na ulazu
Rešenje:
Prema tekstu zadatka, ulazni signal je periodična povorka pravougaonih impulsa i pauza jednakog trajanja. Za takav signal u zadatku 4.1.1. izraz (2), pokazano je da sadrži samo jednosmernu
komponentu i neparne harmonike. Kroz ulazni NF filtar praktično prolaze samo jednosmerna
komponenta, amplitude E / 2 i prvi harmonik, amplitude E / π , na učestanosti f 0 = 1 / T .
Ovakav signal odabire se sa učestanošću odabiranja f s = 2 / T = 2 ⋅ f 0 . Nakon odabiranja, spektar signala odbiraka sadrži komponente na svim multiplima učestanosti f 0 . Izlazni filtar propušta jednosmernu komponentu i dva harmonika, na učestanostima f 0 i 2 ⋅ f 0 , sa amplitudama
E / 2 , 2E / π i E , respektivno. Izlazni signal ima oblik:
y (t ) =
E 2E
+
⋅ cos ω 0t + E ⋅ cos 2ω 0t .
2 π
4.2. Kvantizacija
Kvantizacija je postupak kojim se kontinualni skup vrednosti signala (napona ili struje) preslikava (pretvara) u diskretni skup vrednosti. Kvantizacija je jedan od osnovnih koraka u formiranju digitalnog signala. Kvantizacija je ireverzibilan postupak. Ne postoji način da se, posle izvršene kvantizacije, signal vrati u oblik koji je imao pre kvantizacije.
Postoje dva osnovna tipa kvantizacije: uniformna i neuniformna. Osnovna osobina uniformne
kvantizacije jeste da su koraci kvantizacije (pojam koji je detaljno objašnjen u nastavku) jednaki
na svim amplitudskim nivoima. Ovakva kvantizacija veoma je jednostavna i za analizu i za realizaciju, ali nije pogodna za primenu kod svih tipova signala. Za mnoge potrebe pogodnije je da
koraci kvantizacije ne budu jednaki, nego da budu prilagođeni trenutnim vrednostima signala.
Ovakva kvantizacija naziva se neuniformna kvantizacija. Osobine neuniformne kvantizacije objašnjene su u nastavku.
Uniformna kvantizacija
Kvantizacija se najlakše objašnjava grafički, na primeru prikazanom na slici 4.2.1. Uvodi se niz
novih pojmova:
- Maksimalna i minimalna vrednost signala, U max i U min odgovaraju očekivanoj najvećoj i
najmanjoj vrednosti signala koji treba kvantizovati. Često su moduli tih vrednosti jednaki pa važi
114
Osnovi telekomunikacija, skripta
U max = −U min = U . Ako trenutna vrednost signala premaši očekivane vrednosti signala, dolazi do tzv. klipovanja ili odsecanja opsega vrednosti koji izlazi izvan navedenih granica.
- Broj kvantizacionih nivoa, q , ceo broj koji se obično bira tako da bude jednak stepenu broja 2,
tj. q = 2 . Razlozi za ovakav izbor leže u postupku koji obično sledi nakon kvantizacije, tj. kodovanju kvantizovanih odbiraka. Postupak kodovanja detaljno je opisan u nastavku ove glave.
m
- Korak kvantizacije definiše se kod uniformne kvantizacije kao ΔU =
U max = −U min = U tada je ΔU =
U max − U min
, a ako je
q
2 ⋅U
. Svi koraci kvantizacije imaju istu vrednost. Kod neq
uniformne kvantizacije koraci su različiti u svakom intervalu i ne važe gore navedene jednačine;
- Granice kvantizacionih intervala U n = U min + n ⋅ ΔU , n = 0...q ;
- Dozvoljeni amplitudski nivoi An =
1
⋅ (U n + U n +1 ) , n = 0...q − 1 ;
2
- Kvantizovani signal u q (t ) ;
- Greška kvantizacije:
eq (t ) = u (t ) − u q (t ) .
U8 U max
(4.2.1)
u (t )
A7
U7
A6
U6
A5
U5
A4
U4
t A3
eq (t )
U3
A2
U2
u q (t )
U1
U0
A1
A0
U min
Slika 4.2.1. Kvantizacija analognog signala
Glava 4. Digitalizacija signala
115
Na slici 4.2.1. vidi se da greška kvantizacije ima amplitudu ograničenu na opseg: eq (t ) <
ΔU
;
2
Kao što je već rečeno, kvantizacija je ireverzibilan postupak. Nakon izvršene kvantizacije više
nije moguća potpuno tačna rekonstrukcija originalnog signala. Pokazuje se, međutim, da potpuno tačna rekonstrukcija nije ni potrebna. Postupak kvantizacije uglavnom se primenjuje na signale govora, muzike i slike, namenjene ljudskim čulima. Nesavršenost čula sluha i vida i njihova
skromna mogućnost razlikovanja veoma sitnih detalja omogućuju primenu kvantizacije. Prednosti koje se ostvaruju daljom obradom kvantizovanih signala daleko premašuju prividne nedostatke ovog postupka.
Pošto se kvantizovani signal u q (t ) , prema (4.2.1), može izraziti u obliku u q (t ) = u (t ) − eq (t ) ,
greška kvantizacije može se posmatrati i kao nepoželjan signal koji se dodaje (sa negativnim
znakom) korisnom signalu. Odavde i potiče alternativni naziv za grešku kvantizacije: šum kvantizacije ili kvantizacioni šum. Kao i kod svih drugih vrsta šuma, trenutne vrednosti šuma nemaju
poseban značaj u analizi uticaja šuma. Uticaj šuma analizira se kroz njegove statističke parametre, a naročito snagu i odnos snaga korisnog signala i šuma. Može se pokazati da odnos snaga
korisnog signala i kvantizacionog šuma ima vrednost koja je približno jednaka za različite signale i iznosi:
⎛S⎞
2
⎜ ⎟ = SNRq = q .
⎝ N ⎠q
(4.2.2)
Dokaz jednakosti (4.2.2) moguć je na nekoliko načina. Ako se posmatra bilo koji signal, obično
je potrebno iskoristiti statističke osobine signala i statističke postupke. Ako se posmatra kosinu2
soida, postoji analitički dokaz [1] da je odnos snaga jednak 3 ⋅ q / 2 . U zadatku 4.2.1. pokazano
je da se za signale kod kojih je verovatnoća pojavljivanja svih amplituda jednaka, dobija upravo
izraz (4.2.2). Obično se smatra da se pomoću izraza (4.2.2) određuje odnos snaga signala i šuma
za svaki signal.
Neuniformna kvantizacija
Pri određivanju odnosa snaga signala i šuma (4.2.2) vrši se usrednjavanje snage signala i snage
šuma. Pri tom snaga šuma uopšte ne zavisi od toga da li signal ima velike ili male trenutne vrednosti. Međutim, u vremenskim intervalima u kojima signal ima male vrednosti amplitude, njegova je trenutna snaga (definisana izrazom (2.1.3b)) manja, pa je i trenutni odnos snaga signala i
šuma manji, što znači da šum u takvim intervalima vremena značajnije kvari kvalitet signala.
Zbog toga se i javila ideja da se veličina koraka kvantizacije prilagodi trenutnim vrednostima
signala i to na sledeći način:
- ako signal ima male vrednosti, njih treba kvantizovati finije, sa manjim korakom kvantizacije;
- ako signal ima velike vrednosti, kvantizacija može da bude grublja, sa većim korakom kvantizacije.
Ideja neuniformne kvantizacije može se ilustrovati grafički, kao na slici 4.2.2. Na slici je data
zavisnost trenutne vrednosti izlaznog napona, uiz , od trenutne vrednosti ulaznog napona, uul .
116
Osnovi telekomunikacija, skripta
uiz
uul
Slika 4.2.2. Neuniformna kvantizacija
Da bi se pojednostavio postupak neuniformne kvantizacije, umesto neuniformnog kvantizera primenjuje se redna veza dve komponente, kompresora i uniformnog kvantizera.
Kompresor je nelinearni sistem bez memorije kod kog je veza između izlaznog i ulaznog signala
prikazana na slici 4.2.3. Kompresor vrši neravnomerno pojačanje trenutnih vrednosti ulaznog
signala: male vrednosti signala značajnije se pojačavaju, a kako vrednosti signala rastu, pojačanje se smanjuje. Naziv ‘kompresor’ potiče od činjenice da je opseg vrednosti signala nakon
prolaska kroz sistem smanjen, tj. ‘sabijen’. Signal koji je propušten kroz kompresor zatim se
kvantizuje pomoću uniformnog kvantizera. Na taj način dobija se signal koji odgovara signalu
kvantizovanom primenom neuniformnog kvantizera.
uiz
uul
Slika 4.2.3. Karakteristika kompresora
Glava 4. Digitalizacija signala
117
Da bi se komprimovani i kvantizovani signal vratio u svoj prvobitni oblik, potrebno je na prijemnoj strani signalu vratiti trenutne vrednosti koje je imao pre kompresije. Ovaj postupak realizuje
se pomoću nelinearnog sistema sa karakteristikom koja je inverzna karakteristici kompresora.
Takav sistem naziva se ekspandor. Karakteristika ekspandora prikazana je na slici 4.2.4. Može se
pokazati [1] da kombinacija kompresor-uniformna kvantizacija-ekspandor ne menja signal, ali
smanjuje negativan uticaj kvantizacije tako što poboljšava i trenutne vrednosti odnosa signal/šum
i ukupnu vrednost odnosa signal/šum.
uiz
uul
Slika 4.2.4. Karakteristika ekspandora
Optimalna neuniformna kvantizacija
Oblik karakteristike kompresora i ekspandora značajno utiče na karakteristike postupka. Da bi se
postupak na neki način optimizovao, treba odrediti kriterijum i postupak optimizacije. Ako se
kao kriterijum za optimizaciju usvoji zahtev da odnos koraka kvantizacije i trenutne vrednosti
signala bude konstantan, relativno složenim analitičkim postupkom [1] može se pokazati da je
optimalna tzv. logaritamska kompresija, kod koje je karakteristika kompresora data logaritamskom krivom. Logaritamska kriva, međutim, ne prolazi kroz koordinatni početak, a karakteristika kompresora mora da prođe kroz tu tačku, pa je bilo neophodno da se izvrše aproksimacije
koje će uskladiti ta dva zahteva. Usklađivanje je izvršeno za praktične potrebe, u prenosu signala
u telefonskom saobraćaju.
Kao i u mnogim drugim komunikacionim sistemima, i u oblasti neuniformne kvantizacije signala
usvojeni su različiti standardi u Americi i u ostalom delu sveta. U Americi i Japanu, u unutrašnjem telefonskom saobraćaju, usvojen je tzv. μ − zakon (mi zakon), po kom je veza između
izlaznog i ulaznog signala data izrazom:
uiz =
1
⎛ μ ⋅ uul
⋅ ln⎜1 +
ln(1 + μ ) ⎝
U
gde je
μ parametar koji se naziva faktor kompresije, uul trenutna vrednost ulaznog napona, a
⎞
⎟,
⎠
(4.2.3)
U = U max maksimalna očekivana vrednost signala. Izraz (4.2.3) važi samo za 0 ≤ uul ≤ U ,
dok se za negativne vrednosti koristi odgovarajuća neparna karakteristika. Eksperimentalno je
utvrđeno da optimalne osobine imaju kompresori za koje je μ = 255 .
118
Osnovi telekomunikacija, skripta
U Evropi, većem delu ostatka sveta (osim SAD i Japana) i na međunarodnim komunikacionim linijama usvojen je tzv. A − zakon, po kom veza između izlaznog i ulaznog signala ima oblik:
A
⎧
⎛ uul ⎞
⋅
⎪ 1 + ln A ⎜ U ⎟
⎝
⎠
⎪
uiz = ⎨
⎪ 1 ⋅ ⎛⎜1 + ln uul ⎞⎟
⎪⎩1 + ln A ⎝
U ⎠
0≤
uul 1
≤ ,
U
A
(4.2.4)
1 uul
<
≤ 1,
A U
gde je A parametar za koji je eksperimentalno utvrđeno da ima optimalnu vrednost A = 87.6 .
Prema (4.2.4), za promene ulaznog napona u opsegu 0 ≤ uul ≤ U / A , izlazni napon ima line-
arnu promenu vrednosti. Ako se ulazni napon menja u opsegu U / A < uul ≤ U , promena je logaritamska.
Mogu se pokazati i mnoge druge osobine navedenih tipova kompresora signala. Detaljniji dokazi, međutim, zahtevaju više znanja iz statističke teorije telekomunikacija i ne obrađuju se u ovom
udžbeniku.
Rešeni primer uz poglavlje 4.2.
Zadatak 4.2.1. (E)
Jedna perioda ulaznog signala u m (t ) prikazana je na slici 1. Nacrtati talasne oblike karakterističnih signala i odrediti odnos snaga signala i šuma kvantizacije ako je broj kvantizacionih nivoa
q = 8.
um (t )
U
−T
−
T
2
T
2
T
t
−U
Slika 1. Ulazni signal u m (t )
Rešenje:
a) Korak kvantizacije ima vrednost ΔU = 2U / q = U / 4 , a kvantizovani signal ima vrednosti:
u q (t ) = (2k + 1) ⋅ ΔU / 2 za k ⋅ ΔU < u m (t ) ≤ (k + 1) ⋅ ΔU , k = −q / 2,..., q / 2 − 1.
Šum kvantizacije definiše se kao odstupanje (razlika) kvantizovanog i ulaznog signala od:
Glava 4. Digitalizacija signala
119
e(t ) = u m (t ) − u q (t ) ,
i prisutan je na prijemnoj strani nakon dekodovanja signala. Signali su prikazani na slici 2.
e(t ) u q (t )
u q (t )
e(t )
T
0 0 00 0 0 0 0 1
1 10
101
t
IKM
TB
t
Slika 2. Karakteristični signali u postupku kvantizacije
Snaga korisnog signala ima vrednost:
1
P=
2T
T
2
∫ um (t ) ⋅ dt =
−T
U2
,
3
a snaga šuma kvantizacije, označenog na slici 2. sa e(t ) , može se odrediti postepenim izračunavanjem, deo po deo, ili primenom jednostavnog trika: snaga šuma jednaka je snazi periodične
povorke trougaonih impulsa širine T / 16 , maksimalne amplitude ΔU / 2 . Ova osobina lako se
dokazuje ako se posmatra signal e(t ) na slici 2. Bez obzira na znak i oblik (položaj) bilo kog
malog trougla, širine T / 16 , amplitude ΔU / 2 , njegov doprinos snazi signala e(t ) uvek je isti.
Snaga šuma kvantizacije iznosi:
1
Pq =
T / 16
T / 16
∫
0
2 ⎛ 8 ⋅ ΔU
e ⎜
⎝
T
2
ΔU 2
⎞
,
⋅ t ⎟ ⋅ dt =
12
⎠
pa je odnos snaga signala i šuma kvantizacije jednak:
U2 /3
(S / N )q =
= q2 ,
2
ΔU / 12
2
odnosno u logaritamskim jedinicama SNRq = 10 ⋅ log(q ) = 18 dB . Na slici 2. prikazan je i
IKM signal (vidi poglavlje 4.4.), dobijen primenom Grejovog koda, opisanog u poglavlju 4.3.
120
Osnovi telekomunikacija, skripta
4.3. Kodovanje
Nakon izvršenog odabiranja i kvantizacije, analogni signal zamenjen je nizom odbiraka. Postoji
konačan broj različitih vrednosti odbiraka signala. Prenos signala dalje se vrši u digitalnom obliku, tako što će se vrednost svakog odbirka zameniti nekim simbolom, npr. brojem, a zatim će se
prenositi niz simbola.
Prenos signala u analognom obliku bio je karakterističan za većinu telekomunikacionih sistema
do početka 70-tih godina prošlog veka. Prenos u digitalnom obliku karakterističan ja za savremene telekomunikacione sisteme.
Kodovanje je postupak kojim se jedan niz simbola (npr. odbiraka signala) zamenjuje drugim nizom simbola, ne obavezno iz istog skupa. Simboli mogu biti brojevi, amplitude jednosmernog
signala, ali najčešće predstavljaju istovremeno amplitudski i fazno modulisanu sinusoidu trajanja
jednog simbolskog intervala.
Postoji mnogo različitih varijanti kodovanja. Kao najjednostavniji primer može da posluži obična numeracija. Ako je broj kvantizacionih nivoa q , svaki nivo može se redom numerisati brojevima, npr. 0,1,...q − 1 ili 1,2,...q , ili − q / 2,− q / 2 + 1,...q / 2 − 1 , ili bilo kojom drugom
kombinacijom u kojoj se razlikuje q nivoa (stanja, simbola). Ako posmatramo primer sa slike
2.2.1., ponovljen radi preglednosti na slici 4.3.1., primenom jednostavnog pravila dobijamo
digitalni signal: x( −1) = 2 , x(0) = 1 , x(1) = 3 , x( 2) = 5 , x(3) = 3 ,...
xqn
-1 0 1 2 3 4 5 6
n
Slika 4.3.1. Primer signala pripremljenog za kodovanje
Amplitudski nivoi često se koduju tako što se prvo njihov redni broj pretvori u broj u binarnom
obliku. Niz nula i jedinica dobijen na taj način predstavlja kodnu reč. Ukoliko želimo da sve
kodne reči imaju istu dužinu (tzv. blokovsko kodovanje), prvo mora da se utvrdi broj bita
neophodan za prenos maksimalne vrednosti signala, kako bi kodna reč za svaki amplitudski nivo
imala jednaku dužinu.
Npr. ako signal ima 50 amplitudskih nivoa, dužina binarne kodne reči mora da bude 6 , jer je
25 < 50 < 26 . Tada se npr. nivo 15 zamenjuje binarnim kôdom 001111. Binarni oblik
pogodan je zbog lakše računarske obrade i memorisanja. Osim toga, dva različita binarna
simbola ( 0 i 1 ) mogu se lako praktično realizovati kao npr. impulsi sa različitim amplitudama,
fazama ili frekvencijama. Postupak prenosa digitalnog signala detaljno je analiziran u glavi 10.
Glava 4. Digitalizacija signala
121
Postoji više načina da se izabere tip kôda. U primeru u tabeli 4.3.1. pokazana su četiri karakteristična binarna kôda. U kolonama sa oznakom ‘nivo’ upisan je redni broj nivoa za koje su kôdovi dati sa desne strane.
Tabela 4.3.1. Nekoliko varijanti binarnih kodova
Nivo
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Binarni Grejov
kôd
kôd
1111
1100
1110
1101
1101
1111
1100
1110
1011
1010
1010
1011
1001
1001
1000
1000
0111
0000
0110
0001
0101
0011
0100
0010
0011
0110
0010
0111
0001
0101
0000
0100
Nivo
7
6
5
4
3
2
1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Kôd
modula
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
Kôd modula sa
inverzijom bita
1010
1011
1000
1001
1110
1111
1100
1101
0101
0110
0111
0110
0001
0000
0011
0010
Binarni i Grejov kôd mogu da koduju 16 različitih nivoa sa 4 bita. Preostala dva kôda mogu da
koduju 15 različitih nivoa jer se za nivo ‘0’ koriste dve različite kodne reči. Kod kôda modula, tri
bita koriste se za kodovanje osam nivoa, od 0 do 7. Četvrti bit koristi se za kodovanje znaka
odbirka. Prednost ovog kôda leži u tome što kod signala koji često menjaju znak ne dolazi do
neprekidnih promena vrednosti skoro svih bita, kao kod binarnog kôda. Poslednji prikazan kôd
odgovara kôdu modula, ali su svi biti na parnim položajima invertovani. Npr. kodna reč 1111
pretvorena je inverzijom dve jedinice na položajima 0 i 2 u kodnu reč 1010. Ovakv kôd pogodan
je za prenos signala koji često imaju uzastopne vrednosti jednake nuli pa se kod njih javljaju dugi nizovi nula koji nepovoljno utiču na prenos digitalnog signala.
Kodovanje signala, osim elementarne namene, digitalnog predstavljanja signala, ima i različite
druge namene. Ovde su ukratko opisani statističko (entropijsko) i zaštitno kodovanje.
Pojam entropije uveden je u poglavlju 1.2. Ako verovatnoća pojavljivanja simbola (tj. različitih
vrednosti odbiraka) nije ravnomerna, može se primeniti poseban postupak po kom se verovatnijim vrednostima odbiraka, tj. vrednostima koje se češće javljaju dodeljuje kraći niz nula i jedinica. Vrednostima odbiraka koje se retko pojavljuju dodeljuje se duži niz nula i jedinica. Jedan
od postupaka naziva se Hafmanovo kodovanje. U postupku kodovanja treba obezbediti da se
signal može jednoznačno dekodovati, jer bi inače kodovanje bilo besmisleno. Npr. u telefonskom
numerisanju država, SAD ima pozivni broj 1 i zbog toga ni jedna druga zemlja ne sme da ima
pozivni broj koji počinje sa 1. Problemi koji se javljaju u ovoj vrsti kodovanja nisu jednostavni.
Kodovanje se detaljnije izučava u predmetu Teorija informacija i kodovanja.
Druga interesantna grupa postupaka naziva se zaštitno kodovanje. Suština zaštitnog kodovanja
jeste da se, osim bita koji predstavljaju kodovane odbirke diskretizovanog signala (tzv. informacionih bita), prenose i dodatni, tzv. zaštitni biti. Sistem koji generiše povorku bita sa zaštitnim
122
Osnovi telekomunikacija, skripta
kodovanjem znatno je složeniji nego sistem bez kodovanja, ali su i poboljšanja koja se postižu u
kvalitetu i pouzdanosti prenosa izvanredna. Najjednostavniji primer zaštitnog kodovanja naziva
se provera parnosti. Na svaku grupu od N informacionih bita dodaje se po jedan bit čija vrednost zavisi od broja jedinica u grupi informacionih bita. Npr. ako je broj jedinica paran, zaštitni
bit ima vrednost 0 , a ako je broj jedinica neparan, zaštitni bit ima vrednost 1 . Ovaj jednostavan
postupak omogućuje da se na prijemnoj strani sa velikom verovatnoćom otkrije pojava greške u
digitalnom prenosu.
Kod složenijih sistema zaštitnog kodovanja, kod kojih se grupi od N informacionih bita dodaje
veći broj zaštitnih bita, pri čemu se njihove vrednosti izračunavaju na poseban način, mnoge
greške nastale u prenosu digitalnog signala mogu se otkriti pa čak i ispraviti. Na primer, ovakav
sistem zaštitnog kodovanja pod nazivom cikličko kodovanje, primenjen je u sistemu za prenos
podataka putem radio difuzije, RDS, opisanom u poglavlju 11.5.
4.4. Impulsna kodna modulacija, IKM
Na ovom mestu treba reći nekoliko reči o postupku za obradu signala koji se naziva impulsna
kodna modulacija, IKM (engl. Pulse Code Modulation, PCM). IKM je postupak kojim se realizuje digitalizacija signala, tj. konverzija analognog signala u digitalni oblik, povorku simbola,
odnosno brojeva. IKM je kombinacija tri postupka objašnjena u prethodnim poglavljima:
- odabiranja,
- kvantizacije i
- kodovanja.
IKM signal u stvari je povorka simbola. Primer je pokazan na donjem delu slike 2. u zadatku
4.2.1. Povorka kvantizovanih i kodovanih odbiraka (primenom Grejovog koda) u tom zadatku
ima oblik .....010 011 001 000 001 011 110 111 101 100 101 111 110..... Postoji nekoliko
varijanti impulsne kodne modulacije. Osim obične IKM, kod koje se svaki odbirak koduje u celini i nezavisno od okolnih odbiraka, voma su interesantne još dve varijante: diferencijalna IKM
(DIKM) i delta modulacija (DM ili ΔM ).
Kod DIKM obično se koristi učestanost odabiranja koja je nešto veća od minimalne, određene
pomoću teoreme o odabiranju. Nakon odabiranja, kvantizuje se i koduje razlika susednih odbiraka. Broj kvantizacionih nivoa znatno je manji nego kod obične IKM i iznosi q = 4, 8 ili 16 .
Na ovaj način, indirektno koristeći činjenicu da se uzastopni odbirci signala (memorija signala)
menjaju u malim koracima, smanjuje se broj bita potrebnih za prenos signala. Nedostatak postupka jeste opasnost od nagomilavanja greške. Postoje i varijante adaptivne DIKM, kod kojih se
koraci kvantizacije prilagođavaju brzini promene amplitude signala.
Kod DM koristi se znatno veća učestanost odabiranja od minimalne. Razlike odbiraka koduju se
samo sa po jednim bitom, pri čemu se porast koduje npr. jedinicom, a opadanje signala nulom.
Ako se IKM signal posmatra kao povorka pravougaonih ili nekih drugih impulsa trajanja TB ,
koji prenose digitalnu informaciju, može se reći da takav signal ima teoretski beskonačno širok
spektar. U praksi se usvaja da je širina spektra IKM signala konačna i da se nalazi u granicama:
B = k / TB , 0.5 < k < 2 .
Konstanta k zavisi od oblika impulsa i mora se na neki način unapred definisati.
(4.4.1)
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
123
5. IZOBLIČENJA I ŠUM U PRENOSU SIGNALA
5.1. Izobličenja u prenosu signala
Prenos analognih signala realizuje se kroz linearne ili nelinearne sisteme. U svakoj varijanti prenosa može doći do promene u obliku signala, odnosno do pojave izobličenja. Pri svakom prenosu, signalu se dodaje šum. U ovom poglavlju analizirane su sve tri grupe uzroka koje dovode do
nepoželjne promene signala. Osim navedenih postoje i drugi razlozi koji dovode do izobličenja u
prenosu ali oni ovde nisu detaljno analizirani.
Linearna izobličenja
Pri prenosu signala x(t ) sa spektrom X ( f ) kroz linearni sistem za koji je poznata funkcija
prenosa u obliku H ( f ) = A( f ) ⋅ e
y (t ) =
∞
∫ H( f )⋅ X( f )⋅e
j 2πft
jφ ( f )
, izlazni signal y (t ) određuje se kao:
⋅ df ,
(5.1.1)
−∞
U poglavlju 3.1. opisani su zahtevi koje sistem sa prenos treba da ispuni da bi prenos bio idealan.
Ako prenos nije idealan, to znači da funkcija prenosa u zahtevanom opsegu učestanosti nema
konstantnu amplitudsku karakteristiku ili nema linearno promenljivu faznu karakteristiku, ili se
obe karakteristike razlikuju od idealnih. Na ovaj način javljaju se tri varijante linearnih izobličenja: amplitudska, fazna i kombinovana.
Kod amplitudskih linearnih izobličenja, amplitudska karakteristika A( f ) nije idealna (tj. jednaka konstanti u opsegu učestanosti ( 0, f g )). Tada se izlazni signal određuje metodom uparenih
odjeka. Postupak se sastoji od sledećih koraka:
1) Funkcija prenosa linearnog sistema rastavlja se na moduo i argument, pa je izlazni signal:
fg
y (t ) =
∫ A( f ) ⋅ e
− j 2πft 0
⋅ X ( f ) ⋅ e j 2πft ⋅ df .
(5.1.2)
− fg
2) Neidealna karakteristika (funkcija) A( f ) u intervalu ( − f g , f g ) zamenjuje se Furijeovim
redom te funkcije u frekvencijskom domenu. Osnovi ovog postupka objašnjeni su u poglavlju o
alternativnoj primeni Furijeovog reda. Dobijeni red ima oblik:
124
Osnovi telekomunikacija, skripta
∞
∑ An ⋅ e
A( f ) =
j
2π
⋅n⋅ f
2 fg
,
(5.1.3)
n=− ∞
gde su koeficijenti An dati izrazom:
fg
1
An =
⋅ A( f ) ⋅ e
2 ⋅ f g − ∫f
− jn
2π
f
2 fg
⋅ df .
(5.1.4)
g
Gornji izrazi identični su sa definicijama datim u poglavlju o Furijeovom redu, ali je svuda umesto vremena kao promenljiva stavljena učestanost, a umesto periode širina frekvencijskog intervala u kom se vrši aproksimacija, 2 ⋅ f g .
Sada se izlazni signal može napisati u obliku:
fg
y (t ) =
∫ X ( f ) ⋅ A( f ) ⋅ e
j 2πf (t − t 0 )
⋅ df .
(5.1.5a)
− fg
Kad se u ovaj izraz zameni jednačina (5.1.3), dobija se:
fg
y (t ) =
∫
X( f )⋅
=
∑
n = −∞
=
∞
∑
n = −∞
∑ An ⋅ e
fg
An ⋅
j
2π
nf
2 fg
⋅ e j 2πf (t − t 0 ) ⋅ df =
n = −∞
− fg
∞
∞
∫
X( f )⋅e
j
2π
nf
2 fg
⋅ e j 2πf (t − t 0 ) ⋅ df =
− fg
fg
An ⋅
∫
X( f )⋅e
− fg
j 2πf (t +
n
−t0 )
2 fg
⋅ df =
∞
∑
n = −∞
An ⋅ x(t +
n
− t0 ) .
2 fg
(5.1.5b)
Dakle, izlazni signal sadrži beskonačan zbir kopija (odjeka) ulaznog signala, pomerenih po vremenskoj osi za n /( 2 f g ) , ( n ceo broj), pri čemu uvek postoje parovi za pozitivne i negativne
koeficijente ( n i − n ).
Pošto su kašnjenja često veoma mala, ukupan efekat svodi se na to da izlazni signal ima oblik
blago razvučenog ulaznog signala. Najjednostavniji primer izveden je u nastavku i pokazan na
slici 5.1.1.
Ako je amplitudska karakteristika linearnog sistema različita od idealne, ona sigurno ima oblik
parne funkcije učestanosti koja donekle odstupa od konstantne vrednosti. Pretpostavimo da je
odstupanje najjednostavnije moguće, a to znači da odgovara nekom segmentu kosinusoide.
Funkcija prenosa tada se može opisati izrazom:
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
⎧⎪(1 + k ⋅ cos(2πfT )) ⋅ e − j 2πf ⋅τ
H( f ) = ⎨
⎪⎩
0
gde je k -konstanta (obično 0 < k < 1 ),
125
f <B,
(5.1.6)
drugde,
1
-perioda kosinusoide koja (u frekvencijskom domeT
nu) predstavlja odstupanje od idealne funkcije prenosa,
i B -širina propusnog opsega linearnog sistema.
τ -kašnjenje koje unosi sistem za prenos
Ako je spektar ulaznog signala X ( f ) frekvencijski ograničen tako da je najviša učestanost u
spektru signala f max i da za nju važi uslov f max < B , tada je spektar izlaznog signala, prema
(3.1.3), dat izrazom:
⎧⎪( X ( f ) + k ⋅ X ( f ) ⋅ cos 2πfT ) ⋅ e − j 2πf ⋅τ
Y( f ) = H( f )⋅ X( f ) = ⎨
⎪⎩
0
f <B,
drugde.
(5.1.7)
Vremenski oblik izlazne funkcije, y (t ) , određuje se inverznom Furijeovom transformacijom izraza (5.1.7). Postupak je opisan izrazom (5.1.5b). Može se realizovati i razlaganjem kosinusne
funkcije prema Ojlerovom obrascu i zasebnim izračunavanjem svakog od tri dobijena integrala.
Na kraju se dobije izlazni signal u obliku:
y (t ) = x(t − τ ) +
k
⋅ [x(t − τ − T ) + x(t − τ + T )] .
2
(5.1.8)
Izlazni signal sastoji se od tri sabirka: ulaznog signala i jednog para njegovih odjeka, nastalih
kao posledica oblika funkcije prenosa. Sva tri sabirka pomereni su na vremenskoj osi za interval
τ , koji odgovara kašnjenju linearnog sistema. Funkcija prenosa opisana izrazom (5.1.6), ulazni
signal x(t ) i odgovarajući izlazni signal, y (t ) , prikazani su na slici 5.1.1.
Treba zapaziti da je osnovna posledica linearnog izobličenja pojava proširivanja izlaznog impulsa u odnosu na širinu ulaznog impulsa. Pri tom se širina spektra signala ne menja.
Sličan postupak koristi se i pri određivanju izlaznog signala uz prisustvo faznih i kombinovanih
linearnih izobličenja. Jedina važnija razlika jeste korišćenje Tejlorovog reda funkcije:
e jx ≈ 1 + jx ,
gde je x =
(5.1.9)
∞
∑ Δθ n ⋅ sin nπfτ ,
n =1
pošto se razvoj u frekvencijskom domenu vrši nad (neparnom) faznom karakteristikom. Rezultat
je sličan, a postupak je detaljno pokazan u rešenim zadacima.
Treba takođe istaći da se odziv linearnih sistema na periodičnu ili prostoperiodičnu pobudu
određuje na način pokazan u zadatku 3.1.1. Pri tom mogu da se promene amplitude i faze
pojedinih komponenti, ali se učestanosti (tj. položaj komponenti na frekvencijskoj osi) ne
menjaju.
126
Osnovi telekomunikacija, skripta
H( f )
1+ k
a)
1
−B
B
f
φ( f )
x(t )
y (t )
b)
c)
t
τ −T τ τ +T
t
t
Slika 5.1.1. Neidealna funkcija prenosa (a), pobudni signal (b)
i odgovarajući (prošireni) odziv (c)
Nelinearna izobličenja
Nelinearna izobličenja nastaju pri prenosu signala kroz nelinearni sistem. Uopštena analiza nelinearnih izobličenja signala veoma je složena i obično se ne može naći u udžbenicima. Pojednostavljena analiza, međutim, ilustrativna je i lako se sprovodi na osnovu do sada poznatih osobina signala.
Postoji nekoliko varijanti postupaka za proučavanje nelinearnih izobličenja. Razlikuju se po tipu
ulaznog signala.
Harmonijska izobličenja
Ako je ulazni signal prostoperiodičan, mogu se odrediti parametri harmonijskog izobličenja. Neka je ulazni signal dat izrazom:
x = x(t ) = X ⋅ cos 2πf 0t .
(5.1.10)
Izlazni signal se, na osnovu (3.2.3) i trigonometrijskih transformacija, može napisati u obliku:
y = Y0 + Y1 ⋅ cos 2πf 0t + Y2 ⋅ cos 2 ⋅ 2πf 0t + ... + Yn ⋅ cos n ⋅ 2πf 0t + ...
(5.1.11)
Definišu se:
- koeficijent ukupnog harmonijskog izobličenja (takođe i klir-faktor, ili THD (engl. Total Harmonic Distortion):
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
K=
Y22 + Y32 + ...
Y12 + Y22 + Y32 + ...
≈
127
Y22 + Y32 + ...
Y12
,
(5.1.12)
(u imeniocu se snage viših harmonika obično mogu zanemariti jer su mnogo manje od snage prvog harmonika),
- koeficijent harmonijskog izobličenja n -tog reda:
dn =
Yn2
Y12
=
Pn
,
P1
(5.1.13)
gde je P1 snaga prvog a Pn snaga n -tog harmonika, i
- slabljenje harmonijskog izobličenja n -tog reda:
1
1
1
a Hn = ⋅ ln [N ], ili a Hn = 10 ⋅ log [dB] .
2
dn
dn
(5.1.14)
Intermodulaciona izobličenja
Intermodulacioni produkti drugog i trećeg reda nastaju kao posledica postojanja kvadratnog
2
3
člana h2 ⋅ x (t ) , odnosno kubnog člana h3 ⋅ x (t ) u nelinearnoj karakteristici (3.2.3).
Da bi se sagledali parazitni produkti drugog reda oblika
K 2 cos 2π ( f1 + f 2 )t , nelinearni sistem pobuđuje se signalom:
x = x(t ) = X1 cos 2πf1t + X 2 cos 2πf 2t .
K1 cos 2π ( f1 − f 2 )t i
(5.1.15)
Intermodulacioni produkti trećeg reda oblika:
K1[cos 2π (2 f1 + f 2 )t + cos 2π (2 f1 − f 2 )t ] , K 2 [cos 2π (2 f1 + f3 )t + cos 2π (2 f1 − f3 )t ],
K3 [cos 2π (2 f 2 + f1 )t + cos 2π (2 f 2 − f1 )t ] , K4 [cos 2π (2 f 2 + f3 )t + cos 2π (2 f 2 − f3 )t ] ,
K5 [cos 2π (2 f3 + f1 )t + cos 2π (2 f3 − f1 )t ] , K6 [cos 2π (2 f3 + f 2 )t + cos 2π (2 f3 − f 2 )t ] ,
K 7 [cos 2π ( f1 + f 2 + f 3 )t + cos 2π ( f1 + f 2 − f 3 )t +
cos 2π ( f1 − f 2 + f 3 )t + cos 2π ( f1 − f 2 − f 3 )t ]
,
dobijaju se pobuđivanjem nelinearnog sistema signalom oblika:
x = x(t ) = X 1 cos 2πf1t + X 2 cos 2πf 2 t + X 3 cos 2πf 3t .
(5.1.16)
U opštem slučaju, za analizu intermodulacionih produkata k -tog reda, potrebno je posmatrati
član hk ⋅ x (t ) nelinearne karakteristike i ulazni signal koji sadrži k sinusoidalnih komponenti.
k
128
Osnovi telekomunikacija, skripta
Analiza izobličenja sa složenijim ulaznim signalima
Ako je ulazni signal složenijeg oblika, nelinearna izobličenja ne analiziraju se detaljno nego se
vrši procena uticaja na oblik i širinu spektra i oblik izobličenog signala.
Posmatrajmo nelinearni sistem kod kog postoji nelinearnost drugog reda. Zavisnost izlaznog od
ulaznog signala data je izrazom
y (t ) = x(t ) + h1 ⋅ x 2 (t ) .
(5.1.17)
U vremenskom domenu očigledno je da je izlazni signal izobličen, jer sadrži zbir ulaznog signala
i njegove kvadrirane kopije. U frekvencijskom domenu, spektar izlaznog signala dobija se određivanjem Furijeove transformacije izraza (5.1.17). Na osnovu osobina Furijeove transformacije
znamo da se spektar kvadratnog člana može odrediti kao konvolucija spektra ulaznog signala,
X ( f ) , sa samim sobom. Najočiglednija posledica ove konvolucije jeste proširenje spektra sig2
nala. Spektar signala x (t ) dvostruko je širi od spektra signala x(t ) . Dokaz je relativno jednostavan i prepuštamo ga čitaocu.
Ako ulazni signal ima spektar pravougaonog oblika, kao na slici 5.1.2a), spektar izlaznog signala, datog izrazom 5.1.17., skiciran je na slici 5.1.2b). Vidi se da je izobličenje dvostruko: spektar signala je proširen a izgled spektra u originalnom opsegu promenjen.
X( f )
a)
−B
B
f
Y( f )
b)
− 2B
−B
B
2B
f
Slika 5.1.2. Spektar ulaznog signala (a) i spektar signala datog izrazom (5.1.17) (b)
U slučaju da nelinearnost sistema sadrži viši red od drugog, doći će do značajnijeg proširenja
spektra, kao i veće promene oblika spektra u intervalu koji odgovara širini spektra ulaznog
signala.
Izobličenja usled prostiranja signala po više putanja
Prenos po više putanja (engl. Multipath Transmission) javlja se onda kada signal stiže do prijemnika po dve putanje ili više putanja sa različitim kašnjenjem. Ovakve pojave česte su u bežičnom
prenosu, jer se signal prenosi direktnom putanjom između predajnika i prijemnika, kao i indi-
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
129
rektno, odbijajući se od različitih prepreka kao što su zgrade, razni objekti, planine i slično. Pri
prenosu kroz kablove sa neusklađenim impedansama, na mestu prijemnika javlja se direktni signal i njegove reflektovane kopije sa različitim kašnjenjima. U svakom od ovih slučajeva može se
napraviti model sistema za prenos, sastavljen od više paralelno vezanih kanala, sa različitim kašnjenjima i različitim slabljenima. Posmatrajmo najjednostavniju varijantu sa dva kanala za prenos, prikazanu na slici 5.1.3.
τ
+
x(t )
α
y (t )
τ + Δτ
Slika 5.1.3. Model prenosa po više putanja
Neka prenos u jednom kanalu ima jedinično pojačanje i kašnjenje τ , a u drugom kanalu pojačanje α i kašnjenje τ + Δτ . Funkcije prenosa svakog od kanala jednostavno se određuju kao:
H1 ( f ) = e − j 2πfτ i
(5.1.18a)
H 2 ( f ) = α ⋅ e − j 2πf (τ + Δτ ) .
(5.1.18b)
Ukupna funkcija prenosa data je, prema (3.3.2), zbirom funkcija H1 ( f ) i H 2 ( f ) . Ovaj zbir
može se transformisati u oblik:
H ( f ) = H1 ( f ) + H 2 ( f ) = e − j 2πfτ + α ⋅ e − j 2πf (τ + Δτ ) =
= e − j 2πfτ ⋅ (1 + α ⋅ e − j 2πf ⋅ Δτ ) = e − j 2πfτ ⋅ (1 + α ⋅ cos(2πf ⋅ Δτ ) − jα ⋅ sin( 2πf ⋅ Δτ )) =
2
= 1 + α + 2α ⋅ cos(2πf ⋅ Δτ )
⎡
α ⋅sin( 2πf ⋅ Δτ ) ⎤
− j ⎢ 2πfτ + arctg
1
α ⋅cos( 2πf ⋅ Δτ ) ⎥⎦
+
⋅e ⎣
.
(5.1.19)
Funkcija prenosa iz prethodnog izraza ima periodičnu amplitudu i periodičnu fazu. Ovakav prenos izaziva linearna izobličenja kakva su već opisana na početku poglavlja. Ako je α ≈ 1 , na
učestanostima na kojima je cos(2πfτ ) = −1 , amplitudska karakteristika ima vrednost približno
jednaku nuli. Ove učestanosti periodično se ponavljaju na frekvencijskoj osi. Za takav kanal kaže
se da ima frekvencijski selektivno slabljenje ili feding (engl. Frequency-Selective Fading, Fadeizbledeti, nestati). Pojam feding mogao bi se prevesti kao zamiranje ili nestajanje signala ali se
obično ne prevodi na srpski.
Osim kanala sa frekvencijski selektivnim fedingom, u praksi se često sreću i kanali čije se osobine menjaju u vremenu. Do ovakvih pojava dolazi, npr. pri prenosu radio signala koji se reflektuju od jonosfere, kao npr. kratki talasi u radio difuziji. Za takve kanale uslovi prostiranja zavise
od meteoroloških uslova, doba dana, kao i od drugih slučajnih faktora. Zbog svega navedenog,
funkcija prenosa takvog signala izaziva slučajno slabljenje signala, promenljivo u vremenu. Ova
pojava naziva se takođe feding. Jedan od najboljih postupaka za potiskivanje slučajnog slabljenja
signala poznat je pod nazivom ‘automatska kontrola pojačanja’ (AGC, Automatic Gain Control).
130
Osnovi telekomunikacija, skripta
Automatska kontrola pojačanja može da koriguje i spore varijacije snage modulišućeg signala.
Elektronske komponente kojima se realizuje AGC nisu predmet detaljnog izučavanja u ovom
udžbeniku.
Rešeni primeri uz poglavlje 5.1.
Zadatak 5.1.1. (E, *)
Funkcija prenosa sistema data je izrazom:
H ( f ) = A( f ) ⋅ e − jΘ( f ) .
Amplitudska karakteristika ima oblik:
k
⎧
⎪1 + ∑ ΔAn ⋅ cos(nπfτ )
A( f ) = ⎨ n =1
⎪ 0
⎩
f ≤
1
τ
= fN ,
drugde,
a karakteristika faznog kašnjenja:
k
Θ( f ) = 2πft 0 − ∑ ΔΘ n sin( nπfτ ) .
n =1
Na ulaz sistema dovodi se signal x(t ) čiji je spektar ograničen i nalazi se u opsegu učestanosti
(0 ÷ f m )
pri čemu je f m < f N . Metodom uparenih odjeka odrediti signal na izlazu sistema
ako je:
a) ΔΘn = 0 , n = 1, 2,... k ;
b) ΔAn = 0 i ΔΘn << 1, n = 1, 2,... k ;
c) ΔΘn << 1 i ΔΘn = ΔAn , n = 1, 2,... k .
d) Za k = 1 odrediti i nacrtati signale na izlazu sistema sa uslovima kao pod c).
Rešenje:
Funkcija prenosa može se napisati u obliku:
⎡
H ( f ) = ⎢1 + ∑ ΔAn
⎣ n =1
k
k
⎡
⎤
j
2
π
ft
−
−
ΔΘ n sin( nπfτ ) ⎥
∑
0
⎢
⎤
n =1
⎦.
cos(nπfτ ) ⋅ e ⎣
⎥
⎦
Pod uslovom da je ΔΘ n << 1, n = 1,2,...k , eksponencijalni činilac e
k
x = ∑ ΔΘ n sin (nπfτ ) , može se razviti u Tejlorov red.
n =1
( jx )
, u kom je:
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
131
Uzimanjem samo prva dva člana reda, funkcija prenosa sistema dovodi se u oblik:
H( f ) =
k
k
⎛
ΔAn jnπfτ k ΔAn − jnπfτ ⎞ ⎛
ΔΘn jnπfτ k ΔΘn − jnπfτ ⎞ − j 2πft0
⎟
⎟⎟ ⋅ e
⎜
⎜
. (1)
e
e
e
= ⎜1 + ∑
+∑
−∑
⎟ ⋅ ⎜1 + ∑ 2 e
2
2
2
n =1
n =1
⎠ ⎝ n =1
⎠
⎝ n =1
a) Za ΔΘn = 0 , n = 1,2,...k , funkcija prenosa ima linearnu karakteristiku faznog kašnjenja:
Θ( f ) = 2πft0 ,
a funkcija prenosa (1) data je izrazom:
ΔAn jπf (nτ −2t0 ) k ΔAn − jπf (nτ + 2t0 )
⋅e
+∑
⋅e
.
2
2
n =1
n =1
k
H ( f ) = e − j 2πft0 + ∑
Signal na izlazu, y (t ) , ima oblik:
ΔAn ⎛
τ ⎞ k ΔAn ⎛
τ⎞
⋅ x⎜ t − t 0 + n ⎟ + ∑
⋅ x⎜ t − t 0 − n ⎟ .
y (t ) = x(t − t 0 ) + ∑
2 ⎠ n=1 2
2⎠
⎝
⎝
n=1 2
k
b) Za ΔAn = 0 , n = 1,2,...k , izraz (1) postaje:
H( f ) = e
− j 2πft0
ΔΘ n jπf (nτ −2t0 ) k ΔΘ n − jπf (nτ + 2t0 )
+∑
⋅e
−∑
⋅e
.
2
2
n =1
n =1
k
Funkcija prenosa sistema sada ima linearnu amplitudsku ali izobličenu faznu karakteristiku.
Izlazni signal ima oblik:
ΔΘ n ⎛
τ ⎞ k ΔΘ n ⎛
τ⎞
⋅ x⎜ t − t 0 + n ⎟ − ∑
⋅ x⎜ t − t 0 − n ⎟ .
y (t ) = x(t − t0 ) + ∑
2 ⎠ n =1 2
2⎠
⎝
⎝
n =1 2
k
c) Funkcija prenosa, data izrazom (1), pod uslovom ΔΘ n = ΔAn , n = 1,2,...k , nakon množenja
i sređivanja ima oblik:
H ( f ) = e − j 2πft 0
− e − j 2πft 0
⎤
⎡
2
k
k
k k
(ΔAn ) e j 2nπfτ + 1
⎥
⎢
⋅ ⎢1 + ∑ ΔAn e jnπfτ + ∑
ΔAi ΔAn e jπfτ (i + n ) ⎥ −
∑
∑
4
4 i =1 n =1
n =1
⎥
⎢ n =1
i≠ n
⎦
⎣
⎤
⎡
2
⎥
⎢ k (ΔAn ) − j 2 nπfτ 1 k k
e
⋅ ⎢∑
+ ∑ ∑ ΔAi ΔAn e − jπfτ (i + n) ⎥ .
4
4 i =1 n =1
⎥
⎢n =1
i≠n
⎦
⎣
132
Osnovi telekomunikacija, skripta
Izlazni signal može se sređivanjem dovesti na oblik:
τ ⎞ k (ΔAn )
⎛
y (t ) = x(t − t 0 ) + ∑ ΔAn x⎜ t − t 0 + n ⎟ + ∑
x(t − t 0 + nτ ) +
2
4
⎝
⎠ n=1
n =1
2
k
τ ⎞ k (ΔAn )
1 k k
⎛
(
)
+ ∑∑ ΔAi ΔA j x⎜ t − t 0 + i + j ⎟ − ∑
x(t − t 0 − nτ ) −
4 i =1 j =1
2
4
⎝
⎠ n=1
2
i≠ j
−
τ⎞
1 k k
⎛
ΔAi ΔA j x⎜ t − t 0 − (i + j ) ⎟ .
∑∑
4 i =1 j =1
2⎠
⎝
i≠ j
d) Za k = 1 izlazni signal ima oblik:
(ΔA1 ) x(t − t − τ ) .
τ ⎞ (ΔA1 )
⎛
y (t ) = x(t − t 0 ) + ΔA1 x⎜ t − t 0 + ⎟ +
x(t − t 0 + τ ) −
0
2⎠
4
4
⎝
2
2
Na slici 1. prikazana je skica ulaznog i odgovarajućeg izlaznog signala.
x(t )
y (t )
t
t
Slika 1. Ulazni i izlazni signali
Zadatak 5.1.2. (E, S)
Karakteristika ulaz-izlaz pojačavača A data je izrazom:
y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ,
gde je: x = x (t ) ulazni signal, y = y (t ) izlazni signal, a koeficijenti imaju vrednosti:
a1 = 10 , a 2 = 0.8 / V i a3 = 0.4 / V 2 .
Na ulaz pojačavača dovodi se prostoperiodični signal x(t ) = U cos ω0t , amplitude U = 1 V .
a) Odrediti koeficijente harmonijskog izobličenja drugog i trećeg reda, kao i koeficijent ukupnog
harmonijskog izobličenja.
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
133
b) Da bi se smanjila nelinearna izobličenja, koristi se balansna šema sa slike 1. Odrediti koeficijent ukupnog harmonijskog izobličenja i uporediti ga sa rezultatom dobijenim pod a).
x(t)
A
+
+
y(t)
-
- x(t)
A
Slika 1. Balansna šema pojačavača
Rešenje:
a) Izlazni signal ima oblik:
y (t ) = a1 ⋅ U ⋅ cos ω0t + a2 ⋅ U 2 ⋅ cos 2 ω0t + a3 ⋅ U 3 ⋅ cos3 ω0t .
Trigonometrijskim transformacijama ovaj signal se svodi na oblik:
y (t ) = U 0 + U1 ⋅ cos ω0t + U 2 ⋅ cos 2ω0t + U 3 ⋅ cos 3ω0t ,
gde su amplitude pojedinih harmonika:
U0 =
1
⋅ a 2 ⋅ U 2 = 0. 4 V ,
2
3
U1 = a1 ⋅ U + ⋅ a3 ⋅ U 3 = 10.3 V ,
4
U2 =
1
⋅ a2 ⋅ U 2 = 0.4 V ,
2
U3 =
1
⋅ a3 ⋅ U 3 = 0.1 V .
4
Faktori harmonijskog izobličenja i faktori slabljenja harmonijskog izobličenja imaju vrednosti:
U 22
d 2 = 2 = 0.0015 ,
U1
d3 =
U 32
U 12
= 9 ⋅ 10 −5 ,
a H 2 = 10 ⋅ log
1
= 28.2 dB ,
d2
a H 3 = 10 ⋅ log
1
= 40.3 dB ,
d3
a koeficijent ukupnog harmonijskog izobličenja:
K=
U 22 + U 32
U12
= 4 %.
b) Sada je izlazni signal:
y (t ) = 2 ⋅ a1 ⋅ U ⋅ cos ω0t + 2 ⋅ a3 ⋅ U 3 ⋅ cos3 ω0t .
134
Osnovi telekomunikacija, skripta
On se trigonometrijskim transformacijama svodi na oblik:
y (t ) = U1 ⋅ cos ω0t + U 3 ⋅ cos 3ω0t ,
gde su amplitude harmonika:
3
U1 = 2a1U + a3U 3 = 20.6V ,
2
1
U 3 = a3U 3 = 0.2V ,
2
a koeficijent ukupnog harmonijskog izobličenja
K = U 3 U 1 = 1% .
U balansnoj šemi gube se harmonijska izobličenja parnog reda pa se poboljšava i klir-faktor.
Zadatak 5.1.3. (E, *)
Kroz sredinu n -tog kanala (širine B ) jednog višekanalnog telekomunikacionog sistema prenosi
se korisni signal oblika U ⋅ cos(2πf c t + Φ 0 ) , gde je U = 1V i f c >> B . Na ulaz pojačavača,
pored ovog signala, dolazi i parazitni signal oblika U N ⋅ cos(2πf N t + Φ N ) , sa amplitudom
U N = 0.2V i učestanošću f N < B 2 . Ako je pojačavač nelinearan i ako se njegova funkcija
2
prenosa može aproksimirati polinomom drugog reda, oblika y (t ) = a1 x(t ) + a 2 x (t ) , gde je
x(t ) ulazni signal, a1 = 1 i a2 = 0.5 / V , odrediti:
a) sve harmonijske i intermodulacione komponente koje se nalaze u propusnom opsegu posmatranog kanala,
b) koeficijente intermodulacionih produkata u kanalu.
Rešenje:
a) Signal na ulazu pojačavača ima oblik:
x(t ) = U ⋅ cos(2πf c t + Φ 0 ) + U N ⋅ cos(2πf N t + Φ N ) .
Signal na izlazu određuje se kao:
y (t ) = a1 ⋅ {U ⋅ cos(2πf c t + Φ 0 ) + U N ⋅ cos(2πf N t + Φ N )} +
+ a2 ⋅ {U ⋅ cos(2πf c t + Φ 0 ) + U N ⋅ cos(2πf N t + Φ N )}2 =
= a1 ⋅ U ⋅ cos(2πf c t + Φ 0 ) + a1 ⋅ U N ⋅ cos(2πf N t + Φ N ) +
+
a U2 a U2
a2U 2 a2U 2
+
⋅ cos(4πf c t + 2Φ 0 ) + 2 N + 2 N ⋅ cos(4πf N t + 2Φ N ) +
2
2
2
2
+a2UU N ⋅ cos[2π ( f c + f N ) t + Φ 0 + Φ N ] + a2UU N ⋅ cos[2π ( f c − f N ) t + Φ 0 − Φ N ] .
Harmonijsko izobličenje na učestanosti 2 f c posledica je postojanja kvadratnog člana:
2
( a 2 x (t ) ).
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
135
Zbog uslova f c >> B , izobličenje se nalazi izvan propusnog opsega posmatranog kanala i
predstavlja smetnju u nekom višem kanalu.
Intermodulacione komponente mogu se odrediti u obliku:
a2UU N ⋅ cos[2π ( f c + f N )t + Φ 0 + Φ N ] i a2UU N ⋅ cos[2π ( f c − f N )t + Φ 0 − Φ N ],
i predstavljaju smetnju u posmatranom kanalu.
b) Odgovarajući koeficijenti intermodulacionih izobličenja imaju vrednosti:
d( f c + f N ) =
Pf c + f N
P0
=
a22U 2U N2
a12U 2
=
a22U N2
a12
= d ( f c − f N ) = 0.01 .
5.2. Uticaj šuma
U svim komunikacionim sistemima na ulazu u prijemnik, osim korisnog signala, javlja se još jedan signal u obliku naponskih ili strujnih promena na koje korisnici sistema ne mogu da utiču.
Radi se o slučajnom signalu ili slučajnom procesu koji se naziva šum. Naziv potiče od neželjenih
zvučnih efekata koji se javljaju na izlazu pojačavača, preko zvučnika ili u slušalicama, u situaciji
kada na ulazu u pojačavač nema signala. Vremenom je pojam šum dobio šire značenje pa se koristi i za nepoželjne vidljive efekte na televizijskom ekranu i za greške u prenosu podataka, iako
je reč o efektima koji se ne čuju. Maskiranje signala šumom i greške koje šum izaziva u prenosu
signala degradiraju kvalitet veza u telekomunikacijama, ograničavaju njihov domet i značajno
utiču na kvalitet i funkcionalnost telekomunikacionih sistema. Zbog toga je izučavanje šuma,
kao i postupaka za njegovo potiskivanje veoma značajno.
Postoji mnogo uzroka koji dovode do pojave šuma. Prema uzrocima pojave šuma napravljena je
jedna od često korišćenih klasifikacija šuma:
-
šum ambijenta predstavlja šum koji postoji u okolini predajnika i koji se preko mikrofona
prenosi do korisnika (ulična buka pri telefoniranju, snimanju razgovora na ulici, u bučnim
prostorijama, itd.),
-
šum mikrofona potiče od struja koje protiču kroz mikrofon i kad nema korisnog signala,
-
termički šum potiče od nepravilnog kretanja elektrona u provodnicima (usled toplotnih
efekata),
-
šum usled efekta sačme nastaje usled promena u elektronskoj emisiji u elektronskim
cevima,
-
šum izvora za napajanje nastaje usled nesavršenosti ispravljača koji se koriste za
napajanje sistema električnom energijom,
-
atmosferski šum nastaje usled električnog pražnjenja u atmosferi,
-
proizvedeni šum (engl. man made noise) nastaje zbog varničenja i pražnjenja u
električnim uređajima i postrojenjima,
-
šum usled nelinearnih izobličenja i linearnih preslušavanja, itd.
136
Osnovi telekomunikacija, skripta
Neki od ovih tipova šuma imaju veći a neki manji značaj. Poseban značaj u telekomunikacijama
imaju šumovi koji po svojoj prirodi imaju osobine slučajnog signala, a takvi su prvenstveno termički šum i šum usled efekta sačme.
Detaljna analiza osobina slučajnog šuma veoma je povezana sa teorijom verovatnoće i sa nekim
drugim oblastima koje se ne izučavaju detaljno u početnim godinama studija. Sa druge strane,
praktičan uticaj šuma na prenos signala analizira se preko nekoliko standardizovanih i relativno
jednostavnih postupaka, a najkorisniji deo analize odnosi se na prenos digitalnih signala, čemu je
posvećen čitav jedan predmet. Ovde su ukratko navedene samo najznačajnije osobine slučajnog
šuma neophodne za razumevanje principa i elementarnu primenu.
Šum u prenosu signala nastaje u svakoj elektronskoj komponenti sistema, kako u predajniku, tako i u prijemniku. U pojednostavljenom modelu, međutim, smatra se da se šum dodaje signalu u
jednoj tački, na ulazu u prijemnik. Ovaj šum naziva se beli Gausov (Gauss) šum i ima sledeće
karakteristike:
- Trenutne vrednosti šuma predstavljaju slučajne vrednosti (napona ili struje);
- U statističkom smislu, funkcija gustine verovatnoće (gustina raspodele) trenutnih vrednosti
odgovara Gausovoj raspodeli (odavde potiče naziv Gausov šum);
- U praksi se nikad ne koriste trenutne vrednosti šuma nego njegova snaga. Snaga šuma značajno
zavisi od apsolutne temperature, jer šum nastaje usled kretanja molekula i atoma, a to kretanje je
intenzivnije pri višim temperaturama;
- Ne postoji nikakva veza između dve vrednosti šuma, bez obzira na vremenski razmak između
trenutaka u kojima se te vrednosti nalaze;
Iz ove poslednje karakteristike slede dva značajna zaključka:
1) Ako ne postoji opisana veza između odbiraka, tada je autokorelacija šuma za sve vrednosti
vremena jednaka nuli, osim za t = 0 , gde postoji delta impuls.
2) Pošto su autokorelacija i spektralna gustina snage (SGS) povezani Furijeovom transformacijom, lako se pokazuje da je SGS Gausovog šuma jednaka konstanti. Odavde potiče pojam beli
šum jer se kod bele svetlosti javlja spektralna gustina snage približno ravnomerno raspoređena
po svim učestanostima u vidljivom delu spektra.
Zaključak naveden pod 2) dokazuje se na razne načine. Interesantno je da i u praksi ovakva oso13
bina važi u veoma širokom opsegu učestanosti, od nule do približno 10
svim učestanostima koje se danas praktično koriste.
Hz , što odgovara
Analitička obrada slučajnog signala moguća je samo u veoma specifičnim slučajevima. Jedan od
tih slučajeva javlja se pri propuštanju belog Gausovog šuma kroz pojasni filtar. Postupak je
detaljno pokazan u zadatku 5.2.1.
Na osnovu ovako pojednostavljenog postupka za opisivanje šuma, mogu se nabrojati, bez posebnog dokazivanja, osobine šuma koje su dovoljne za razumevanje uticaja šuma na prenos signala i za većinu proračuna povezanih sa šumom:
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
137
- U toku prenosa svakom signalu dodaje se šum. Šum je slučajni signal koji se označava sa n(t ) .
Značajna osobina šuma jeste spektralna gustina snage (SGS). SGS se označava sa p N ( f ) i
jednaka je konstanti na svim učestanostima. Vrednost ove konstante jednaka je [1]:
pN ( f ) = k ⋅ T = N0 ,
(5.2.1a)
−23
gde je k -Bolcmanova (Boltzmann) konstanta, k = 1.38 ⋅ 10
J / K , T -apsolutna temperatura a N 0 -uobičajena oznaka za SGS šuma. Ova vrednost SGS odgovara šumu koji postoji samo
na pozitivnim učestanostima. Ako se posmatraju i negativne učestanosti, tada je SGS dvostruko
manja i obično se označava kao:
φN ( f ) = k ⋅ T / 2 = N0 / 2 .
(5.2.1b)
0
Na temperaturi od T = 17 C = 290 K , spektralna gustina srednje snage šuma jednaka je konstanti koja ima vrednost p N ( f ) = 4 ⋅ 10
−21
W / Hz .
U logaritamskim jedinicama ova vrednost odgovara nivou:
10 ⋅ log
pN ( f )
= −174 dBm / Hz .
1mW
(5.2.2)
Na primer, kroz telefonski kanal širine B = 4 kHz prolazi šum sa snagom:
PN = kTB = 4000 Hz ⋅ p N ( f ) = 32 ⋅ 10 −18 W .
(5.2.3)
- Kod svih tipova modulacije, na ulazu u prijemnik postavljen je filtar propusnik opsega učestanosti koji ima zadatak da propusti modulisani signal bez oštećenja i deo šuma koji pri tom
prolazi kroz filtar. Šum na izlazu iz filtra naziva se uskopojasni Gausov šum. SGS uskopojasnog
šuma jednaka je:
2
G( f ) = pN ( f ) ⋅ H ( f ) ,
(5.2.4)
gde je H ( f ) funkcija prenosa linearnog sistema (u ovom slučaju, idealnog pojasnog filtra).
- Da bi se analitički mogao sprovesti i postupak demodulacije zbira signala i šuma, učinjen je još
jedan korak u analitičkom opisu šuma. Šum na izlazu pojasnog fitra može se predstaviti u tzv.
uskopojasnom obliku kao:
n(t ) = nc (t ) ⋅ cos ω c t ± ns (t ) ⋅ sin ω c t ,
(5.2.5)
gde je f c ` centralna učestanost propusnog opsega filtra, a nc (t ) i ns (t ) međusobno nezavisni
uskopojasni slučajni signali sa jednakim srednjim snagama.
Njihove spektralne gustine snage ( φ c ( f ) i
imaju vrednost:
φ s ( f ) ) različite su od nule u opsegu (0 ÷ B) i
138
Osnovi telekomunikacija, skripta
⎧N0
φc ( f ) = φ s ( f ) = ⎨
⎩0
f < B,
drugde.
.
(5.2.6)
Srednja vrednost svakog od uskopojasnih signala jednaka je nuli, tj. nc (t ) = n s (t ) = 0 . Analitički dokaz ispravnosti izraza (5.2.5) i (5.2.6) pokazan je u zadatku 5.2.1. Vremenski oblik signala
nc (t ) i ns (t ) nije poznat a nije ni potreban. Važne osobine ovih signala sadržane su u njihovim
snagama.
- Izraz (5.2.5) podseća na opšti oblik modulisanog signala pa se uvodi novi pojam: fazor šuma.
Fazor uskopojasnog šuma definisan je kao:
n(t ) = nc (t ) + j ⋅ ns (t ) ,
(5.2.7)
gde su nc (t ) i ns (t ) komponente u fazi i kvadraturi, respektivno.
Na osnovu ranije pokazanih veza između fazora modulisanog signala i modulisanog signala, uskopojasni šum može se napisati u obliku koji odgovara ranije pokazanom izrazu (5.2.5):
{
}
n(t ) = Re n(t ) ⋅ e jω c t .
(5.2.8)
- Kod analognih postupaka modulacije uticaj šuma analizira se kroz izračunavanje odnosa snaga
korisnog signala i šuma u pojedinim tačkama u prijemniku. Detalji ovog postupka pokazani su u
poglavljima 8.1.4. i 8.2.4.
- Trenutna vrednost šuma nema značaja kod analognih postupaka modulacije. Međutim, kod digitalnih modulacija, kod kojih se odlučivanje o vrednosti signala vrši na osnovu vrednosti signala u pojedinim trenucima, uticaj šuma određuje se na potpuno drugi način. Primenom statističkih
postupaka određuje se verovatnoća pojavljivanja greške u odlučivanju o vrednosti signala. Ovi
proračuni vrše se na osnovu trenutne vrednosti signala i funkcije gustine raspodele verovatnoća
šuma koji se dodaje signalu.
Rešeni primer uz poglavlje 5.2.
Zadatak 5.2.1. (*)
Na ulaz prijemnika sa slike 1. dolazi beli Gausov šum spektralne gustine snage
φ N ( f ) = N 0 / 2 = const. Na izlazu idealnog pojasnog filtra dobija se uskopojasni šum koji se
može predstaviti u obliku
n(t ) = nc (t ) ⋅ cos ω c t + ns (t ) ⋅ sin ω c t ,
(1)
gde su nc (t ) i ns (t ) nezavisni uskopojasni slučajni signali sa jednakim srednjim snagama.
Njihove spektralne gustine snage ( φ c ( f ) i φ s ( f ) ) konstantne su i različite od nule u opsegu
(0 ÷ B) , pri čemu je srednja vrednost svakog od uskopojasnih signala jednaka nuli,
nc (t ) = ns (t ) = 0 .
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
139
a) Odrediti spektralnu gustinu srednje snage
φ c ( f ) i φ s ( f ) komponenti uskopojasnog šuma
nc (t ) i ns (t ) , kao i ukupnu srednju snagu šuma n(t ) na izlazu pojasnog filtra (ulaz prijemni-
ka), u tački 1.
b) Odrediti srednju snagu šuma i spektralnu gustinu srednje snage šuma na izlazu NF filtra (izlaz prijemnika), tačka 3.
Slika 1. Produktni demodulator AM signala
Rešenje:
a) Autokorelaciona funkcija šuma datog izrazom (1) određuje se kao:
1
R N (τ ) = lim
T →∞ 2T
T
∫ n(t )n(t + τ )dt = n(t )n(t + τ ) .
−T
Uvrštavanjem (1) u prethodni izraz dobija se:
RN (τ ) = nc (t )nc (t + τ ) ⋅ cos ω c t cos ω c (t + τ ) + nc (t ) ⋅ ns (t + τ ) ⋅ cos ω c t sin ω c (t + τ ) +
+ ns (t ) ⋅ nc (t + τ ) ⋅ sin ω c t cos ω c (t + τ ) + ns (t )ns (t + τ ) ⋅ sin ω c t sin ω c (t + τ ) =
1
1
= nc (t )nc (t + τ ) cos ω cτ + ns (t )ns (t + τ ) cos ω cτ .
2
2
(2)
U prethodnom izrazu usrednjavanje je izvršeno tako što su primenjene sledeće osobine postupka
poznate iz statistike:
- srednja vrednost zbira jednaka je zbiru srednjih vrednosti;
- srednja vrednost proizvoda funkcija jednaka je proizvodu srednjih vrednosti ako su činioci
statistički nezavisni. Ako nisu nezavisne, radi se o njihovoj korelaciji;
- srednja vrednost determinističke funkcije po vremenu određuje se kao:
T
1
cos ω c t cos ω c (t + τ ) = lim
⋅ ∫ cos ω c t ⋅ cos ω c (t + τ ) ⋅ dt =
T → ∞ 2T
−T
T
1
1
1
= lim
⋅ ∫ ⋅ [cos ω c (2t + τ ) + cos ω cτ ] ⋅ dt = ⋅ cos ω cτ ,
T → ∞ 2T
2
2
−T
jer je vrednost prvog integrala konačna a imenilac u limesu teži beskonačnosti. Za sinusnu
funkciju postupak je veoma sličan a rezultat identičan.
140
Osnovi telekomunikacija, skripta
Ako se definišu autokorelacione funkcije komponenti nc (t ) i ns (t ) :
Rc (τ ) = nc (t ) ⋅ nc (t + τ ) i Rs (τ ) = ns (t ) ⋅ ns (t + τ ) ,
(3)
za autokorelaciju uskopojasnog šuma dobija se izraz:
R N (τ ) =
1
1
⋅ Rc (τ ) ⋅ cos ω cτ + ⋅ Rs (τ ) ⋅ cos ω cτ .
2
2
(4)
Pošto je srednja snaga slučajnog signala jednaka vrednosti autokorelacione funkcije u tački
τ = 0 , važiće:
R N (0) =
1
1
Rc (0) + Rs (0) .
2
2
Prema uslovima zadatka, komponente uskopojasnog šuma statistički su nezavisne, sa jednakim
srednjim snagama, pa za njih važi Rc (0) = Rs (0) , odnosno:
R N (0) = Rc (0) = Rs (0) .
(5)
Srednja snaga uskopojasnog šuma može se izračunati i preko spektralne gustine srednje snage:
PN = 2
fc + B
∫ φ N ( f )df
= 2N0B .
(6)
fc −B
Pomoću relacija (5) i (6) određuju se i spektralne gustine snage komponenti nc (t ) i ns (t ) , jer
važi:
B
PN = Rc (0) = ∫ φc ( f )df = 2 Bp Nc , φc ( f ) = p Nc = const.
−B
B
PN = Rs (0) = ∫ φ s ( f )df = 2 Bp Ns , φ s ( f ) = p Ns = const.
−B
(7)
(8)
Poređenjem izraza (7) i (8) sa izrazom (6) dobija se:
φ c ( f ) = p Nc = φ s ( f ) = p Ns = 2 ⋅ p N = N 0 .
(9)
Rezultati su ilustrovani na slici 2.
Slika 2. Spektralna gustina srednje snage uskopojasnog šuma (a) i njegovih komponenti (b)
Glava 5. Izobličenja i šum u prenosu...
141
b) Šum u tački 2, iza množača, ima oblik:
n2 (t ) = n(t ) ⋅ cos(ω c t + θ ) = nc (t ) ⋅ cosω c t ⋅ cos(ω c t + θ ) + ns (t ) ⋅ sin ω c t ⋅ cos(ω c t + θ ) .
(10)
Trigonometrijskim transformacijama izraza (10) dobija se oblik u kome se lako uočava koje
komponente prolaze kroz NF filtar. Na izlazu prijemnika u tački 3, dobija se šum oblika:
1
1
n3 (t ) = nc (t ) ⋅ cosθ − n s (t ) ⋅ sin θ .
2
2
(11)
Autokorelacija šuma na izlazu prijemnika ima oblik:
1
R3 (τ ) = lim
T → ∞ 2T
=
T
∫ n3 (t ) ⋅ n3 (t + τ )dt = n3 (t ) ⋅ n3 (t + τ ) =
−T
[
1
nc (t ) ⋅ nc (t + τ ) cos 2 θ − ns (t ) ⋅ nc (t + τ ) sin θ cosθ −
4
− nc (t ) ⋅ ns (t + τ ) cos θ sin θ − ns (t ) ⋅ ns (t + τ ) sin 2 θ
].
(12)
Komponente uskopojasnog šuma nc (t ) i ns (t ) statistički su nezavisne, pa je srednja vrednost
mešovitih proizvoda jednaka nuli, jer je npr. ns (t ) ⋅ nc (t + τ ) = ns (t ) ⋅ nc (t + τ ) , a prema
tekstu zadatka svaki činilac jednak je nuli. Izraz (12) može se napisati u obliku:
R3 (τ ) =
1
1
Rc (τ ) cos 2 θ + Rs (τ ) sin 2 θ .
4
4
(13)
Ukupna snaga šuma na izlazu jednaka je vrednosti autokorelacije za τ = 0 :
R3 (0) =
N
1
1
Rc (0) = Pn3 = P = p N B = 0 B .
4
4
2
(14)
Preko ove snage može se odrediti φ3 ( f ) , jer je:
B
Pn3 = ∫ φ3 ( f )df = 2 ⋅ φ3 ( f ) ⋅ B .
(15)
−B
Poređenjem izraza (14) i (15) sledi:
φ3 ( f ) =
pN N0
=
.
2
4
(16)
142
Osnovi telekomunikacija, skripta
6. KARAKTERISTIKE SIGNALA I
PRENOSNIH MEDIJUMA
6.1. Karakteristike signala
Svi signali koji se danas prenose u telekomunikacijama mogu se svrstati u neki od sledećih
osnovnih tipova signala:
- signali govora i muzike,
- signali slike i
- signali podataka.
Svaki od tipova signala ima parametre na osnovu kojih se projektuju sistemi za njihov prenos. U
ovom poglavlju navedeni su neki od tih parametara.
Signali govora i muzike
Osnovne karakteristike signala govora i muzike jesu:
- Širina spektra. To je opseg učestanosti u kom se nalazi veći deo snage signala, potreban radi
postizanja zadovoljavajuće razumljivosti. Da bi se odredile granice spektra bilo je neophodno da
se izvrši veliki broj eksperimenata sa mnogo slušalaca koji ocenjuju kvalitet pojedinih signala.
Širina spektra iznosi:
- za govorni signal u klasičnoj telefoniji (300 ÷ 3400 Hz) (zadovoljavajuća je
razumljivost i prepoznavanje sagovornika),
- za govorni signal sa redukovanim kvalitetom (300 ÷ 2400 Hz) ili (300 ÷ 2700 Hz)
(zadovoljavajuća je razumljivost ali prepoznavanje sagovornika nije uvek moguće),
- za muziku sa CD kvalitetom (0 ÷ 20000 Hz) (veoma visok kvalitet zvuka),
- za muziku u FM radio difuziji (UKT) (30 ÷ 15000 Hz) (visok kvalitet zvuka),
- za muziku (i govor) u AM radio difuziji (srednji, dugi i kratki talasi) (30 ÷ 5000 Hz)
(skroman kvalitet zvuka).
- Srednja snaga signala. Definiše se kao i za slučajne signale:
⎧⎪ 1
P0 = lim ⎨
T →∞ ⎪ 2T
⎩
⎫⎪
2
s
(
t
)
dt
⋅
⎬,
∫
⎪⎭
−T
T
gde je s (t ) signal govora ili muzike.
(6.1.1)
Glava 6. Karakteristike signala i prenosnih medijuma...
143
Ponekad se koristi i trenutna snaga signala, p (t ) . To je funkcija koja pokazuje kako se snaga
signala menja u vremenu, a definisana je kao
p (t ) = s 2 (t ) .
(6.1.2)
U svim izrazima ove vrste podrazumeva se da je otpor na kome se oslobađa energija jednak
1 Ω . U tom slučaju nije bitno da li je posmatrani signal po svojoj prirodi napon ili struja.
U telefoniji je usvojeno da na početku međugradske veze nivo srednje snage iznosi − 10 dBm .
- Dinamika signala. Opseg promene nivoa trenutne snage. Dinamika govora iznosi 60 dBm , u
opsegu (10 ÷ −50 dBm) , a muzičkog signala 70 dBm , u opsegu (9 ÷ −61 dBm) .
Signali slike
Osnovna karakteristika signala slike u TV sistemima jeste velika širina spektra, B = 5 MHz , u
frekvencijskom opsegu (10 Hz ÷ 5 MHz) , kao i velika složenost sistema. Broj linija po slici u
PAL sistemu koji se koristi kod nas i u većem delu Evrope jednak je N = 625 , a broj slika
iznosi 25 u sekundi ( f s = 25Hz) . TV signal je najsloženiji signal u klasičnim telekomunikacijama. Za svaku tačku u ravni ekrana treba preneti tri podatka: intenzitet, boju i zasićenost.
Ustanovljeno je da se bilo koja boja može dobiti kombinacijama različitih količina tri primarne
boje. Najčešće se koristi RGB sistem sa crvenom (R), zelenom (G) i plavom bojom (B), sa
talasnim dužinama 630 nm , 520 nm i 450 nm .
Radi kompatibilnosti kolor sistema sa monohromatskim, umesto tri signala koji predstavljaju navedene primare, prenosi se takođe tri signala:
- luminentni signal koji prenosi ukupnu informaciju o osvetljenosti svake tačke i
- dva hrominentna signala koji se izračunavaju kao linearne kombinacije (razlike) luminentnog
signala i plavog primara, odnosno luminentnog signala i crvenog primara.
Iz ova tri signala stariji (crno beli) prijemnici koriste samo luminentni deo i prikazuju crno-belu
sliku. Noviji prijemnici kombinacijom tri signala određuju tri primarne boje za svaku tačku na
ekranu i prikazuju sliku u boji. Istovremeni prenos više signala omogućen je postupkom frekvencijskog multipleksiranja. Ovaj postupak detaljno je opisan u poglavlju 8.1.6., posvećenom
višestrukom prenosu signala kod analognih postupaka modulacije.
Signali podataka
Osnovne karakteristike telegrafskih signala i signala podataka jesu:
- Broj elementarnih impulsa po simbolu, N , i dužina signalizacionog intervala, T . U telegrafiji
su elementarni impulsi binarni (imaju samo dve vrednosti, 0 i 1 ), a u prenosu podataka mogu
biti i M -arni (imaju M mogućih vrednosti).
- Za širinu spektra signala obično se uzima vrednost 1 τ , gde je τ širina elementarnog impulsa.
- Brzina signaliziranja jednaka je broju elementarnih impulsa u jedinici vremena V = 1 T ,
a jedinica je baud ili bod ( Bd) . Standardizovane brzine u telegrafiji su 50 Bd i 75 Bd .
144
Osnovi telekomunikacija, skripta
- Digitalni protok jeste količina informacija koja se prenese u jedinici vremena. Ako elementarni impuls ima M mogućih, jednakoverovatnih vrednosti, digitalni protok je:
Vd = V ⋅ ld(M ) =
1
⋅ ld(M ) ,
T
(6.1.3)
a jedinica je b/s (bita u sekundi). Standardizovani protoci u prenosu podataka obično su celobrojni multipli protoka od Vd = 600 b/s .
Ako se koriste telefonski kanali, najčešće su digitalni protoci 1200 , 2400 , 4800 i 9600 b/s ,
a poslednjih godina, kao rezultat intenzivnog razvoja tehnologije i teorije informacija, 28800 ,
33600 , pa čak i 57600 b/s .
Oblik spektra signala podataka kao i postupak određivanja njegove širine detaljno je opisan u
glavi 10. i poglavlju 4.4.
Rešeni primeri uz poglavlje 6.1.
Zadatak 6.1.1. (E, S)
Na slici 1. prikazana je blok šema sistema pomoću kog se određuje širina spektra govornog
signala. Mnogo govornika izgovaralo je različite tekstove ispred mikrofona M . Pojačavačem
A za svakog od njih podešena je srednja snaga signala u tački A na 1 mV . U tački B izmerena je snaga P ( f g ) . Na kraju su snage svih govornika P ( f g ) usrednjene i dobijeni su sledeći
rezultati:
f g ( Hz)
250
300
350
500
2000
3000
3100
3200
3400
3500
P( f g )( mW)
0.04
0.06
0.08
0.14
0.73
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
Odrediti opseg učestanosti, f max − f min , minimalne širine, u kom se nalazi 87 % od ukupne
snage govornog signala.
M
A
A
~
~
B
fg
Slika 1. Sklop za određivanje širine spektra govornog signala
Rešenje:
Snaga u tački B zavisi od granične učestanosti filtra i može se odrediti iz izraza:
fg
P( f g ) =
∫ Φ( f ) ⋅ df ,
− fg
Glava 6. Karakteristike signala i prenosnih medijuma...
145
gde je Φ ( f ) spektralna gustina snage govornog signala. Vrednosti ove snage date su u tabeli.
Snaga signala u opsegu učestanosti od f1 do f 2 > f1 jednaka je razlici snaga:
P ( f1 , f 2 ) = P ( f 2 ) − P ( f1 ) .
Za vrednosti f1 i f 2 date u tabeli može se odrediti širina opsega f 2 − f1 i snaga u tom opsegu,
P ( f1 , f 2 ) . Neke od kombinacija (parova učestanosti f1 i f 2 ) date su u sledećoj tabeli.
f 1 ; f 2 ( Hz)
f 2 − f 1 ( Hz)
P ( f 1 , f 2 )( mW)
250;3500 250;3400 250;3200 250;3100 300;3500 300;3400
3250
3150
2950
2850
3200
3100
0.90
0.89
0.88
0.87
0.88
0.87
Minimalna širina opsega u kom se nalazi baš 87 % snage signala iznosi 2850 Hz , sa
granicama ( f min = 250 Hz , f max = 3100 Hz ).
Zadatak 6.1.2. (E, *)
U formiranju televizijskog signala koristi se analiza bez proreda. Učestanost slike ima vrednost
f s = 25 Hz , a broj linija u slici iznosi N = 625 .
a) Nacrtati spektre TV signala kad se analiziraju slike 1a. i 1b.
b) Odrediti koliki se procenat snage TV signala nalazi u opsegu učestanosti (0, 16 kHz ) kada
se analizira slika 1a. Pretpostavlja se da je svetlosno električni pretvarač idealan, odnosno da je
struja TV signala proporcionalna osvetljaju.
a)
b)
2h
2h
2b
2b
Slika 1. Analizirane slike TV signala
Rešenje:
a) Električni signal u trenutku t proporcionalan je osvetljaju E ( x, y ) u tački čije su koordinate
( x, y ) . Pošto se analiza slike vrši bez proreda, paralelne linije gusto su poređane po slici odozgo
nadole. Ako se zanemari trajanje povratnog mlaza, može se zamisliti da se u stvari analizira beskonačno velika slika dobijena periodičnim ponavljanjem zadate slike po horizontali i vertikali.
Elektronski mlaz (svetlosno-električni pretvarač) tada se kreće ukoso iz gornjeg levog ugla, nadole i udesno, konstantnom brzinom koja ima dve komponente, horizontalnu i vertikalnu. Zavisnost koordinata ( x, y ) od vremena data je izrazima:
x = 2bf l t ,
y = 2hf s t ,
(1)
146
Osnovi telekomunikacija, skripta
gde su korišćene oznake:
f s -učestanost slike (broj slika u sekundi),
f l -učestanost linije ( f l = N ⋅ f s - broj linija u sekundi),
2 ⋅ b -širina slike i 2 ⋅ h -visina slike.
Pri tom pretvarač prelazi preko N slika u jednom redu, a zatim prelazi u novi red slika.
2-D signal slike koja se analizira na opisani način ima osobinu periodičnosti. Takav signal moče
se razviti u dvodimenzionalni Furijeov red. Po analogiji sa običnim, jednodimenzionalnim Furijeovim redom, može se napisati da važi:
E ( x, y ) =
∞
∞
∑ ∑ Em , n
⎛ m⋅ x n⋅ y ⎞
+
jπ ⎜
⎟
b
h ⎠
⎝
⋅e
,
(2)
m = −∞ n = −∞
gde su koeficijenti, opet po analogiji, jednaki:
E m ,n
1
=
4⋅b ⋅ h
⎛ m⋅ x n⋅ y ⎞
− jπ ⎜
+
⎟
b
h ⎠
⎝
E ( x, y ) ⋅ e
2b2 h
∫∫
⋅ dx ⋅ dy .
(3)
0 0
Koristeći izraze (1) pomoću kojih se prostorne koordinate zamenjuju vremenom (parametarske
jednačine u matematici), osvetljaj E ( x, y ) može se predstaviti kao funkcija vremena E (t ) .
Dobija se izraz oblika:
E (t ) =
∞
∞
∑ ∑ Em,n ⋅ e j 2π (m⋅ f +n⋅ f )t .
l
s
m=−∞ n =−∞
Ovaj izraz veoma podseća na Furijeov red, ali sa dvostrukom sumom. Lako se zaključuje da
signal E (t ) sadrži prostoperiodične komponente na učestanostima m ⋅ f l + n ⋅ f s , za svaku
kombinaciju celobrojnih vrednosti m i n .
Za sliku 1a. može se napisati sledeći analitički izraz (na crnim poljima vrednost 0 , na belim 1 ):
⎧1
E ( x, y ) = ⎨
⎩0
0 ≤ x ≤ b i 0 ≤ y ≤ 2 ⋅ h,
b ≤ x ≤ 2 ⋅ b i 0 ≤ y ≤ 2 ⋅ h.
Koeficijenti Furijeovog reda određuju se prema (3), izračunavanjem dvostrukog integrala. Dobije se izraz oblika:
1 j ∞ e j 2π ( 2 m+1) fl t
E (t ) = − ⋅ ∑
.
2 π m=−∞ 2m + 1
Može se zapaziti da koeficijent n ne utiče na funkciju, što se moglo i očekivati, jer po vertikalnom pravcu (tj. y pravcu) nema promene osvetljenosti. Jednosmerna komponenta jednaka je
1 2 , što je, u stvari, odnos površine belog (jedinice) prema celokupnoj površini slike, a perio-
Glava 6. Karakteristike signala i prenosnih medijuma...
147
dičnost postoji samo po promenljivoj x . Koeficijenti Furijeovog reda čine spektar 2-D signala.
Dobijeni rezultat sličan je rezultatu kod 1-D funkcija u zadatku 2.3.2. Koeficijenti su prikazani
na slici 2a.
Za sliku 1b. osvetljaj ima nešto složeniji oblik:
⎧1
⎪
E ( x, y ) = ⎨1
⎪0
⎩
0≤ x≤b i
h ≤ y ≤ 2 ⋅ h,
b ≤ x ≤ 2 ⋅ b i 0 ≤ y ≤ h,
drugde.
Koeficijenti se određuju na isti način, sa nešto složenijim izračunavanjem, pa je:
1 j ∞ e j 2π ( 2 n +1) f s t j ∞ e j 2π ( 2 m +1) f l t
− ⋅ ∑
+
E (t ) = − ⋅ ∑
2 π n = −∞
2n + 1
π m = −∞ 2m + 1
e j 2π [( 2 m+1) fl +( 2 n+1) f s ]t
+ 2 ∑ ∑
.
π m=−∞ n=−∞ (2m + 1)(2n + 1)
2
∞
∞
Drugi zbir već je dobijen pri analizi prve slike. Prvi zbir predstavlja koeficijente na multiplima
učestanosti f s i to su koeficijenti koji su ucrtani u okolini koordinatnog početka. Treći, dvostruki zbir, predstavlja koeficijente koji su na slici 2b. ucrtani u okolini koeficijenata iz drugog zbira.
b) Učestanost linije je f l = 15.625 kHz i to je, osim jednosmerne, jedina komponenta koja se
nalazi u spektru ispod zadate granične učestanosti od 16 kHz . Snaga ove dve komponente
2
2
⎛1⎞
⎛1⎞
iznosi ⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0.452 , pa je odnos njihove snage i ukupne snage signala jednak
⎝2⎠
⎝π ⎠
0.452 0.5 = 0.904 . I u ovom slučaju jednosmerna komponenta i prvi harmonik sadrže najveći
deo snage signala.
E m, n
a)
m=0
m = −1
m=1
m = −3
−3 f l
m=3
− fl
fl
2 fl
Slika 2. Spektri analiziranih TV signala
3 fl
f
148
Osnovi telekomunikacija, skripta
b)
E m ,n
m=0
m = −1
m=1
n=1
n=2
m = −3
−3 f l
− fl
fs
fl
2 fl
m=3
n =1
3 fl
f
fl + fs
Slika 2. Nastavak
Zadatak 6.1.3. (E, *)
Diskretnoj binarnoj poruci an , n = 0,..., N − 1 , odgovara signal:
s N (t ) =
N −1
∑ anu (t − nT ) .
n =0
a) Ako širina spektra impulsa u (t ) iznosi B , odrediti širinu spektra signala s N (t ) .
b) Impuls u (t ) ima pravougaoni oblik, trajanja T . Ako se šalje binarna poruka ....101010....
odrediti odnos snage u opsegu učestanosti (0,1 T ) prema ukupnoj snazi signala u dva slučaja:
- kada binarnom "1" odgovara a n = U , a binarnom "0" a n = 0 i
- kada binarnom "1" odgovara a n = U , a binarnom "0" a n = −U .
c) Odrediti brzinu signaliziranja i digitalni protok ako je T = 10 μs .
Rešenje:
a) Furijeova transformacija signala s N (t ) ima oblik:
SN ( f ) =
N −1
∞
N −1
n =0
−∞
n =0
∑ an ∫ u (t − nT ) ⋅ e − j 2πft ⋅ dt = U ( f ) ∑ an ⋅ e − j 2nπfT ,
gde je U ( f ) Furijeova transformacija impulsa u (t ) . Iz prethodnog izraza vidi se da je spektar
impulsa u (t ) anvelopa spektra poruke. Zato je širina spektra signala poruke s N (t ) jednaka
širini spektra impulsa B .
b) Signal poruke je periodičan, sa periodom 2T , pa se može razviti u Furijeov red. Kada
binarnom "1" odgovara U , a binarnom "0" nula (prazan interval), snaga signala ima vrednost:
Glava 6. Karakteristike signala i prenosnih medijuma...
149
1
P = U2.
2
U posmatranom opsegu učestanosti (0, 1 T ) nalazi se jednosmerna komponenta sa amplitudom
U 2 i prvi harmonik, sa amplitudom 2U π , pa snaga u ovom opsegu ima vrednost:
⎡1 2 ⎤
P1 = U 2 ⎢ + 2 ⎥ .
⎣4 π ⎦
Odnos ove snage prema ukupnoj snazi iznosi, kao i u prethodnom zadatku:
P1 1 4
= +
≈ 0.904 .
P 2 π2
Kada binarnom "1" odgovara U , a binarnom "0" odgovara − U , snaga signala jednaka je
2
kvadratu amplitude, P = U .
U posmatranom opsegu nalazi se samo prvi harmonik sa amplitudom 4U
P1 =
8
π
2
π , i snagom:
U2.
Odnos ove snage prema ukupnoj snazi iznosi:
P1
8
= 2 = 0.81 .
P π
c) Brzina telegrafisanja ima vrednost:
V=
1
= 100 Bd .
T
Pošto je poruka binarna ( M = 2) , digitalni protok jednak je brzini signaliziranja:
Vd =
1
⋅ ldM = 100 b s .
T
6.2. Karakteristike prenosnih medijuma
Povezivanje dve ili više tačaka u savremenim komunikacionim sistemima može se ostvariti na
više načina. Osnovna podela mogla bi biti sledeća:
- po fizičkim vodovima, varijacijama napona ili struje,
- radio vezom, emitovanjem elektromagnetnog polja u koje je na neki način utisnut signal i
- emitovanjem signala svetlosti kroz optički vod (vlakno), pri čemu je signal utisnut u intenzitet
ili neki drugi parametar svetlosnog signala.
Osobine fizičkih vodova
Fizički vodovi mogu se, po načinu realizacije, podeliti na:
150
Osnovi telekomunikacija, skripta
- vazdušne vodove,
- simetrične kablove,
- koaksijalne kablove.
Svaki tip fizičkog voda ima karakteristike koje se mogu međusobno uporediti i koje određuju
kvalitet voda. Osnovne karakteristike (osnovni parametri) fizičkog voda su sledeće:
- slabljenje signala po jedinici dužine, a p ,
- širina propusnog opsega, B ,
- kašnjenje po jedinici dužine, τ p .
U tabeli 6.2.1. dat je pregled tipičnih vrednosti parametara fizičkih vodova.
Tabela. 6.2.1. Parametri fizičkih vodova
ap (
dB
)
km
vazdušni vod
20
simetrični vod
10
koaksijalni kabel 5
B (MHz )
τp (
0,1
0,5
100
1000
1000
100
μs
km
)
Osobine radio veza
Elektromagnetski talasi prostiru se kroz slobodan prostor. Veoma važni elementi radio veze jesu
predajna i prijemna antena. Na predajnu antenu dovodi se signal koji sadrži poruku. Postupak
formiranja signala koji sadrži poruku i pogodan je za prenos putem elektromagnetnih talasa naziva se modulacija. Različiti tipovi modulacije detaljno su opisani u poglavlju o modulacijama.
Predajna antena emituje elektromagnetsko polje koje sadrži poruku, a u prijemnoj anteni se indukuje napon koji se zatim pojačava i iz njega se izdvaja poruka. Postupak izdvajanja poruke iz
indukovanog napona naziva se demodulacija. Različiti postupci detaljno su opisani u poglavlju o
demodulacijama. U teoriji elektromagnetskog zračenja za telekomunikacije su važna dva veoma
jednostavna stava:
- između učestanosti f i talasne dužine
λ postoji jednostavna veza: c = λ ⋅ f , gde je
c = 3 ⋅ 108 m / s brzina svetlosti,
- prijemna antena treba da ima dimenzije proporcionalne sa talasnom dužinom
vinom ili četvrtinom.
λ , njenom polo-
Zbog ovih stavova postoji samo određen opseg učestanosti koji je upotrebljiv za primenu u telekomunikacijama. Unutar tog opsega izvršena je podela pokazana u tabeli 6.2.2.
U okviru ove podele, svaka služba (radio difuzija, TV difuzija, mobilna telefonija, funkcionalni
sistemi kao policija, vojska, elektroprivreda, taksi, vodovod, itd.) ima na raspolaganju tačno određen uži opseg učestanosti. Administrativnu kontrolu i odobravanje korišćenja i zauzetosti frekvencijskog opsega vrše nacionalne i međunarodne organizacije. Poznatija međunarodna institucija naziva se ITU (International Telecommunication Union).
Glava 6. Karakteristike signala i prenosnih medijuma...
151
Po načinu prostiranja, elektromagnetski talasi se dele na jonosferske (HF i delom MF), površinske (delom MF i LF) i direktne (UHF, VHF). Prema ovoj podeli organizovane su i radio i televizijske službe.
Programi na kratkim i srednjim talasima, zahvaljujući jonosferskom prostiranju kod kog se signali odbijaju od jonosfere i praktično odozgo pokrivaju prostor, imaju veliki domet (više stotina
pa i preko hiljadu kilometara od predajnika) i naročito dobre uslove prostiranja noću, kada se,
zbog hlađenja atmosfere, jonosferski sloj spušta na manju visinu.
Tabela 6.2.2. Podela opsega učestanosti
Opis
učestanosti
Niske
Dugi talasi
učestanosti
Srednje
Srednji talasi
učestanosti
Visoke
Kratki talasi
učestanosti
Vrlo kratki
Vrlo visoke
talasi
učestanosti
Ultra kratki
Ultra visoke
talasi
učestanosti
Super kratki Super visoke
talasi
učestanosti
Tip talasa
Oznaka
λ
f
LF
10km-1km
30kHz-300kHz
MF
1km-100m
300kHz-3MHz
HF
100m-10m
3MHz-30MHz
VHF
10m-1m
30MHz-300MHz
UHF
1m-10cm
300MHz-3GHz
SHF
10cm-1cm
3GHz-30GHz
Površinski talasi (dugi talasi) prate konfiguraciju terena i mogu da pređu preko različitih prepreka. Takođe imaju dobre uslove prostiranja noću. Koriste se za specijalne namene, brodske komunikacije, prenos upravljačkih signala (signal tačnog vremena), itd. Imaju veoma velik domet.
Direktni talasi uglavnom se koriste za difuziju radio i televizijskih signala. Praktično je neophodno da između predajnika i prijemnika postoji potpuna ili bar delimična optička vidljivost. Domet
direktnih talasa iznosi od nekoliko desetina do maksimalno stotinak kilometara i značajno zavisi
od konfiguracije terena, kao i instalisane snage predajnika. Ako se neko područje nalazi u položaju koji je zaklonjen u odnosu na predajnik, može se desiti da ima veoma loš prijem signala
bez obzira na malu geografsku udaljenost.
Na veoma visokim učestanostima funkcionišu i satelitski sistemi kod kojih se uglavnom sateliti
nalaze u tzv. geostacionarnoj orbiti, na visini od oko 36000 km, uvek na istom mestu u odnosu
na zemljinu površinu. Iako su snage predajnika veoma male, slab signal na zemljinoj površini
prihvata se i pojačava pomoću dobro usmerenih tanjirastih prijemnih antena a zatim se vrši njegova demodulacija i primena. Postoje i mnoge druge varijante komunikacionih sistema. Primenjeni postupci modulacije i demodulacije signala opisani su u nastavku, u glavama 7., 8. i 10.
Osobine optičkih sistema
Optički sistemi spadaju u posebnu klasu komunikacionih sistema. Njihova pojava datira od kraja
sedamdesetih godina prošlog veka. Obrađuju se u okviru posebnog predmeta i ovde nisu detaljno
analizirani.
152
Osnovi telekomunikacija, skripta
7. MODULACIJE
Signali koji se dobiju na izlazu predajnika (npr. signali na izlazu mikrofona, kamere i sl.) nisu
sasvim pogodni za prenos. Da bi se njihov prenos omogućio ili olakšao, signale treba modifikovati i prilagoditi uslovima prenosa. Postupak prilagođavanja signala uslovima prenosa naziva se
modulacija.
7.1. Pojam i značenje modulacija
Pojam 'modulacije' ima više različitih značenja. U osnovi, modulacija je postupak kojim se neke
od karakteristika pomoćnog signala modifikuju u skladu sa drugim signalom. Postupak modulacije može da se analizira u vremenskom i u frekvencijskom domenu. Iako je vremenski domen
donekle bliži našim čulima i lakši za razumevanje, u frekvencijskom domenu mnogo se jasnije
sagledavaju brojni efekti obrade signala i njihove posledice. Različiti postupci modulacije različito se manifestuju u frekvencijskom domenu:
- neki postupci imaju kao posledicu pomeranje spektra signala u frekvencijskom domenu,
- neki postupci imaju kao posledicu proširenje spektra signala, bez pomeranja,
- neki postupci imaju kao posledicu i proširenje i pomeranje spektra signala.
Postoji mnogo različitih tipova modulacija. Pre detaljnijeg upoznavanja sa postupcima, treba objasniti razliku između prenosa signala za koje se ne primenjuje modulacija (prenosa u osnovnom
opsegu, engl. Baseband Transmission) i postupaka sa modulacijama.
Širina i zauzetost frekvencijskog opsega značajno zavisi od tipa i namene signala. Kao primer,
navedeni su širina i položaj spektra za sledeće značajnije tipove signala:
- govorni signal, na izlazu mikrofona u telefonskom aparatu približno (0, f max = 3500 Hz ) ,
- muzički signal, na izlazu mikrofona u muzičkom studiju (0, f max = 19 kHz ) ,
- video signal, na izlazu kamere približno (0, f max = 5 MHz ) ,
- signal podataka, na izlazu uređaja za digitalni prenos sa binarnim impulsima bitske brzine
Rb bit / s , približno (0, f max = Rb Hz ) .
Prenos navedenih signala može da se realizuje na dva osnovna načina:
- bez pomeranja spektra signala u frekvencijskom domenu (prenos u osnovnom domenu) i
- sa pomeranjem spektra signala u frekvencijskom domenu (prenos sa modulacijom).
Glava 7. Modulacije
153
Prenos signala u osnovnom opsegu
Signali koji sadrže značajnu energiju na niskim učestanostima nisu pogodni za prenos pomoću
elektromagnetskih talasa u tzv. osnovnom domenu (bez pomeranja spektra). Takvi signali mogu
da se prenose kroz električne kablove, parice, koaksijalne kablove ili optička vlakna. U praksi se
analogni signali prenose u osnovnom opsegu samo između telefonskog priključka (aparata) i telefonske centrale, kroz telefonsku paricu. Za digitalne signale ima nešto više primera, a skoro svi
odgovaraju različitim varijantama digitalnog prenosa signala između dve centrale ili između dva
digitalna uređaja. Različite varijante digitalizacije signala (vokoder, transformaciono kodovanje,
itd.) takođe spadaju u prenos signala u osnovnom opsegu.
Postupci prenosa u osnovnom opsegu obično nedovoljno koriste frekvencijski opseg sistema za
prenos koji je na raspolaganju. Primena im je veoma ograničena i mnogo se ređe koriste nego
sistemi sa modulacijom.
Prenos signala sa modulacijom
Postoji nekoliko razloga za primenu modulacije u prenosu signala.
Prvi, možda i najvažniji, povezan je sa zakonima elektromagnetskog prostiranja po kojima dimenzije antene treba da budu jednake četvrtini ili polovini talasne dužine signala koji se emituje.
Za signal čija je učestanost 1 kHz , četvrtina talasne dužine iznosi 75 km . Antene takvih dimenzija bile bi veoma nepraktične.
Drugi, takođe veoma važan razlog, leži u potrebi da se na jednom prostoru istovremeno prenosi
veći broj različitih signala. Da nema modulacija, na jednom prostoru bio bi moguć prenos samo
jednog signala koji zauzima opseg od nekoliko desetina do nekoliko hiljada Hz .
Ostali, takođe značajni razlozi, obuhvataju poboljšanja pri potiskivanju šuma, manje dimenzije i
težine elektronskih komponenti, mali utrošak energije, itd.
Modulacije podrazumevaju generisanje komponenti signala na učestanostima koje ranije nisu bile zauzete. Generisanje komponenti na novim učestanostima karakteristično je za nelinearne sisteme pa su modulatori po svojoj prirodi nelinearni sistemi.
U postupku modulacije uvode se novi pojmovi:
- modulišući signal (engl. Modulating Signal), u m (t ) , signal koji sadrži poruku;
- nosilac (engl. Carrier), c(t ) , pomoćni signal;
- modulisani signal (engl. Modulated Signal), u (t ) , signal koji se prenosi kroz komunikacioni
kanal.
Modulišući signal je signal koji predstavlja električni ekvivalent poruke, govora, muzike, slike ili
podataka. Neke osnovne karakteristike ovih signala navedene su u ranijim poglavljima. Za različite postupke modulacije veoma je važna širina i oblik spektra ili spektralne gustine snage ovih
signala. Pri upoznavanju sa postupcima modulacije obično se jedan signal (od gore navedenih,
154
Osnovi telekomunikacija, skripta
npr. signal govora) koristi kao modulišući signal. U složenijim postupcima, ponekad se istovremeno prenosi više signala istog tipa, ili čak kombinacije različitih signala. Zbog toga pojam 'modulišući signal' treba koristiti u širem smislu, ne ograničavajući se pri tom na jedan signal.
U savremenim telekomunikacionim sistemima koriste se različiti tipovi nosilaca. Nosioci mogu
da budu:
- prostoperiodični,
- impulsni i
- složeni.
Prostoperiodični nosilac
Prostoperiodični nosilac ima oblik:
c(t ) = a ⋅ cos(2πf c t + φ ) ,
(7.1.1)
sa parametrima:
a – amplituda nosioca,
f c – učestanost nosioca,
φ – početna faza nosioca (obično je φ = 0 ).
Postoje tri grupe modulacija sa prostoperiodičnim nosiocem:
- amplitudske modulacije ( AM , ima ih više vrsta),
- fazna modulacija ( ΦM ) i
- frekvencijska modulacija ( FM ).
Detalji navedenih tipova modulacija pokazani su u nastavku, u glavi 8.
Impulsni nosilac
Ako je nosilac povorka impulsa, tada on ima oblik:
∞
c(t ) = U ⋅
∑ v(t − k ⋅ T ) ,
k = −∞
gde su parametri:
U -amplituda impulsa,
T -perioda,
⎧1 t < t < t 2 ,
elementarni impuls,
v(t ) = ⎨ 1
⎩0 drugde,
t1 i t 2 početak i kraj impulsa,
τ = t 2 − t1 trajanje impulsa.
(7.1.2)
Glava 7. Modulacije
155
Postoje tri vrste impulsnih modulacija. Modifikacijom parametara impulsnog nosioca, u zavisnosti od modulišućeg signala, ostvaruju se:
- impulsna amplitudska modulacija (IAM, engleski naziv Pulse Amplitude Modulation, PAM),
- impulsna modulacija po položaju (IPM, engleski naziv Pulse Position Modulation, PPM),
- impulsna modulacija po trajanju (ITM, engleski naziv Pulse Duration Modulation, PDM).
Detalji i osobine pojedinih tipova impulsnih modulacija dati su u glavi 8.
Impulsne modulacije, iako u nazivu sadrže pojam 'modulacije', u stvari predstavljaju obradu signala i pripremu za prenos u osnovnom opsegu. Često se impulsno modulisani signal koristi kao
modulišući signal za modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem.
Složeniji postupci modulacije
Pojam 'modulacije' sreće se i kod impulsne kodne modulacije, (IKM, engl. Pulse Code Modulation, PCM), iako se rezultat ovog postupka: digitalizovani signal u formi povorke binarnih ili
nekih drugih cifara, bitno razlikuje od uobičajenih modulisanih signala.
Osim navedenih, postoje i znatno složeniji postupci modulacija, kao i veoma savremeni postupci
modulacija, kao što je modulacija sa frekvencijskim skakanjem, pseudoslučajnim nosiocem, itd.
Složeni modulacioni postupci ne razmatraju se detaljno u ovom udžbeniku. Navedeni su i
ukratko opisani u glavi 11. u kojoj se govori o telekomunikacionim sistemima današnjice.
7.2. Opšti model sistema sa modulacijom
Ako se u prenosu signala koristi modulacija, može se postaviti opšti model koji sadrži sve
komponente sistema. Prikazan je na slici 7.2.1. Ovaj model može se uporediti i sa opštim modelom komunikacionog sistema datog na slici 1.1. Vidi se da su ovde izostavljeni izvor i korisnik
poruke, a da ulogu predajnika i prijemnika preuzimaju modulator i demodulator.
u m (t )
M
u (t )
v(t )
KANAL
n(t )
c(t )
D
B
c(t )
Slika 7.2.1. Opšti model komunikacionog sistema sa modulacijom
Sistem se sastoji od sledećih delova:
M – modulator,
KANAL – medijum kroz koji se vrši prenos signala,
D – demodulator.
Signali u pojedinim tačkama imaju sledeće nazive (obično se koriste takve oznake, ali ne uvek
pa treba pamtiti tip signala u zavisnosti od tačke u sistemu, a ne njegove oznake):
156
Osnovi telekomunikacija, skripta
um (t ) – modulišući signal,
c(t ) – nosilac,
u (t ) – modulisani signal,
n(t ) – šum,
v(t ) – signal na ulazu u prijemnik,
u d (t ) – demodulisani signal.
Cilj prenosa jeste da se na izlazu demodulatora dobije signal u d (t ) koji što približnije odgovara
modulišućem signalu u m (t ) . U toku prenosa signala, u postupku modulacije i demodulacije, korisnom signalu dodaje se šum. Pojam šuma i njegove osnovne karakteristike opisani su detaljno u
poglavlju 5.2.
7.3. Opšta teorija modulacija
Postupak za analitičku obradu signala kojim se na jedinstven način obrađuju signali kod svih tipova modulacija sa prostoperiodičnim nosiocem naziva se opšta teorija modulacija.
Opšta teorija modulacija zasnovana je na kompleksnoj predstavi signala. Kod svih periodičnih
signala, zahvaljujući Furijeovoj analizi, signal se može rastaviti na sinusne i kosinusne članove.
U teoriji kompleksnih brojeva i kompleksnih funkcija koriste se, između ostalog, i sinusne i kosinusne funkcije, pošto fazna razlika od π 2 , osim između sinusa i kosinusa, postoji i između realnog i imaginarnog dela kompleksnih funkcija i brojeva. Zbog svega navedenog, postojeća teorija kompleksnih funkcija iskorišćena je i u analizi modulacionih postupaka.
Prostoperiodičan nosilac dat je izrazom 7.1.1. Najopštiji oblik modulisanog signala, sa promenljivom amplitudom i fazom, izvodi se iz navedenog izraza ako konstante a i φ postanu funkcije vremena. Dobija se sledeći izraz:
u (t ) = a (t ) ⋅ cos[2πf c t + φ (t )] = p (t ) ⋅ cos(2πf c t ) − q (t ) ⋅ sin(2πf c t ) ,
gde je
f c – učestanost nosioca,
a (t ) =
p 2 (t ) + q 2 (t ) – trenutna amplituda,
φ (t ) = arctg
q (t )
– trenutna faza,
p (t )
p (t ) = a (t ) ⋅ cos φ (t ) – komponenta modulisanog signala u fazi,
q (t ) = a (t ) ⋅ sin φ (t ) – komponenta modulisanog signala u kvadraturi,
Definiše se i nekoliko pojmova koji nisu eksplicitno vidljivi u izrazu (7.3.1).
Trenutna učestanost modulisanog signala definiše se kao:
(7.3.1)
Glava 7. Modulacije
ft =
157
1 d
1 dφ (t )
⋅ [2πf c t + φ (t )] = f c +
⋅
.
2π dt
2π dt
(7.3.2)
Trenutna učestanost sastoji se od konstantnog dela, jednakog učestanosti nemodulisanog nosioca, f c , i promenljivog dela δf , datog izrazom:
δf = f t − f c =
1 dφ (t )
⋅
.
2π dt
(7.3.3)
Promenljivi deo naziva se trenutna devijacija učestanosti.
Sada su poznati svi pojmovi neophodni da bi se definisale osobine pojedinih tipova modulacije.
Kod amplitudske modulacije obično važi:
a (t ) = k ⋅ u m (t ) .
(7.3.4)
Kod fazne modulacije obično važi:
φ (t ) = k ⋅ um (t ) ,
(7.3.5)
a kod frekvencijske modulacije:
δf = k ⋅ um (t ) .
(7.3.6)
U izrazima (7.3.4)-(7.3.6), k označava konstantu proporcionalnosti. Treba napomenuti da je kod
nekih tipova AM ova zavisnost složenija. Osim navedenih, postoje i kombinovani modulacioni
postupci.
Pri prelasku na kompleksnu predstavu modulisanih signala, kompleksne veličine označene su
nadvučenim izrazima. Iz prostoperiodičnog nemodulisanog nosioca, datog izrazom (7.1.1), izdvajaju se amplituda i faza. One čine fazor nosioca:
c = a ⋅ e jφ .
(7.3.7)
Pojmovi fazor i kompleksni broj veoma su slični. Ako su moduo i argument konstantne veličine,
kao u (7.3.7), tada je fazor jedna tačka u kompleksnoj ravni. Prikazana je na slici 7.3.1.
Im
c
1
c = a ⋅ e jφ
φ
Re
Slika 7.3.1. Fazor nosioca kao tačka u kompleksnoj ravni
Nosilac se tada izražava kao:
158
Osnovi telekomunikacija, skripta
{
}
c(t ) = Re c ⋅ e j 2πf c t = a ⋅ cos(2πf c t + φ ) ,
(7.3.8)
Uz malo mašte, može se zamisliti sledeće:
- tačka c ima konstantan moduo i argument i kao takva, 'miruje' u kompleksnoj ravni,
j 2πf t
c
- množenje sa faktorom e
odgovara kružnom kretanju tačke (kompleksnog broja) c , sa
konstantnom ugaonom brzinom, u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu,
- trenutna vrednost nosioca odgovara projekciji kompleksnog broja na realnu osu,
- ako se uvede vreme kao treća promenljiva, tada se može zamisliti da je nosilac tačka koja se u
prostoru koji čine realna, imaginarna i vremenska osa uniformno kreće po spirali u čijoj osovini
se nalazi vremenska osa.
Za modulisani signal može se, na sličan način, pomoću izraza (7.3.1), definisati i fazor modulisanog signala, u obliku:
u (t ) = a (t ) ⋅ e jφ (t ) .
(7.3.9)
U prethodnim izrazima svuda su kompleksne veličine nadvučene. Fazor modulisanog signala,
u (t ) , treba razlikovati od modulisanog signala, u (t ) , koji je po svojoj prirodi realan signal. Fazor modulisanog signala ima još dva naziva: modulacioni zakon i kompleksna anvelopa.
Modulisani signal određuje se u obliku:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t = a (t ) ⋅ cos(2πf c t + φ (t ) ) .
(7.3.10)
Kao i u slučaju fazora nosioca, i fazor modulisanog signala može se prikazati u kompleksnoj ravni, ali ne kao tačka, nego kao kriva, a ponekad i kao površ, pošto su i moduo i argument veličine
koje zavise od vremena. Na slici 7.3.2. prikazan je fazor modulisanog signala u sasvim
uopštenom obliku. Treba zamisliti kako se i moduo i argument menjaju u vremenu i da pri tom
vrh fazora iscrtava neku krivu. U zadatku 7.3.1. pokazano je kako izgleda fazor modulisanog
signala za pojedine tipove modulacija kada je modulišući signal kosinusoida.
Im
a(t )
u (t )
u (t ) = a (t ) ⋅ e jφ (t )
φ (t )
Re
Slika 7.3.2. Fazor modulisanog signala kao kriva u kompleksnoj ravni
Fazor modulisanog signala može se, kao i svaka kompleksna veličina, osim preko modula i argumenta, prikazati i preko realnog i imaginarnog dela kao:
u (t ) = p (t ) + j ⋅ q (t ) ,
gde su p (t ) i q (t ) već spomenute komponente u fazi i kvadraturi.
(7.3.11)
Glava 7. Modulacije
159
I za kompleksne signale definisani su svi postupci za analizu u frekvencijskom domenu, različite
vrste transformacija, kao i druge računske operacije. Ovde je navedena, bez posebnih dokaza,
samo najvažnija, a to je spektar kompleksnog signala.
Spektar fazora modulisanog signala može se izračunati u obliku:
U(f)=
∞
∫ u (t ) ⋅ e
− j 2πft
⋅ dt =
∞
∫ [ p(t ) + jq(t )]⋅ e
− j 2πft
⋅ dt = P ( f ) + j ⋅ Q( f ) .
(7.3.12)
−∞
−∞
Već na prvi pogled može se zaključiti da ovaj spektar ima osobine različite od spektra realnih
signala. Npr. realni deo spektra U ( f ) ima oblik Re{P ( f )} − Im{Q ( f )} i za njega očigledno
ne važi osobina parnosti, pošto je Im{ Q( f )} neparan. Pošto se kompleksne funkcije relativno
retko koriste, detaljan opis osobina njihove FT obično se ne daje u literaturi.
Analitički signal
Poseban značaj u modulacionim postupcima imaju signali kod kojih između realnog i imaginarnog dela postoji veza izražena sledećom jednačinom:
q (t ) = pˆ (t ) =
∞
p (τ )
⋅ dτ .
π −∞ t − τ
1
⋅
∫
(7.3.13)
Ova veza naziva se Hilbertova transformacija. U izrazu (7.3.13) može se prepoznati konvolucija
između dve funkcije: p (t ) i
1
. Konvolucija u vremenskom domenu pokazuje da se radi o liπt
nearnoj transformaciji koja je u frekvencijskom domenu definisana kao:
Q( f ) = H ( f ) ⋅ P( f ) = − j ⋅ sign( f ) ⋅ P( f ) ,
(7.3.14)
gde je sign( f ) tzv. signum funkcija, za koju važi:
f > 0,
⎧1
⎪
sign( f ) = ⎨ 0 f = 0,
⎪− 1 f < 0.
⎩
(7.3.15)
Signali kod kojih postoji veza opisana izrazima (7.3.13) i (7.3.14) nazivaju se analitički signali.
Njihova primena vezana je za posebnu vrstu amplitudske modulacije, nazvanu AM-1BO (amplitudska modulacija sa jednim bočnim opsegom). Detaljnije su opisani u poglavlju 8.1.1.
Spektar modulisanog signala
Spektar modulisanog signala može se uvek odrediti Furijeovom transformacijom modulisanog
signala. Postoji, međutim, i postupak za određivanje spektra koji je zasnovan na transformaciji
kompleksne predstave modulisanog signala.
160
Osnovi telekomunikacija, skripta
Polazi se od prvog dela izraza (7.3.10). Kod kompleksnih funkcija uvek se realni deo može odrediti kao polovina zbira funkcije i njene konjugovano-kompleksne vrednosti:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t =
{
1
⋅ u (t ) ⋅ e j 2πf c t + u ∗ (t ) ⋅ e − j 2πf c t
2
}
(7.3.16)
Ako se na ovaj izraz primeni FT, dobija se:
∞
∞
⎫⎪
1 ⎧⎪
j 2πf c t
− j 2πft
U ( f ) = ⋅ ⎨ ∫ u (t ) ⋅ e
⋅e
⋅ dt + ∫ u ∗ (t ) ⋅ e − j 2πf c t ⋅ e − j 2πft ⋅ dt ⎬ =
2 ⎪⎩− ∞
⎪⎭
−∞
∗
∞
∞
⎤
1
1 ⎡
− j 2π ( f − f c )t
⋅ ∫ u (t ) ⋅ e
⋅ dt + ⋅ ⎢ ∫ u (t ) ⋅ e − j 2π ( − f − f c )t ⋅ dt ⎥ =
2 −∞
2 ⎢⎣− ∞
⎥⎦
1
1
⋅ U ( f − f c ) + ⋅ U ∗ (− f − f c ) .
2
2
(7.3.17)
Izraz (7.3.17) pokazuje vezu između spektra modulisanog signala i spektra fazora. Ako je spektar fazora poznat, tada se spektar modulisanog signala dobija sabiranjem dve komponente: spektra fazora pomerenog udesno i spektra fazora rotiranog, konjugovanog i pomerenog ulevo. Ako
je spektar fazora modulisanog signala ograničen na frekvencijski opseg (0, B ) i ako je f c > B ,
opisani sabirci ne preklapaju se na frekvencijskoj osi. Tipičan primer prikazan je na slici 7.3.3.
U( f )
1
a)
−B
f
B
U( f )
b)
1/2
-fc-B
-fc
-fc+B
fc-B
fc
fc+B
f
Slika 7.3.3. Spektar fazora (a) i modulisanog signala (b)
Ako je fazor modulisanog signala realan, tada se izraz (7.3.17) može pojednostaviti, jer FT real∗
nih signala ima osobinu konjugovano kompleksne parnosti, X ( f ) = X ( − f ) , pa važi:
U( f ) =
1
1
⋅U ( f − fc ) + ⋅U ( f + fc ) .
2
2
(7.3.18)
Glava 7. Modulacije
161
Prema izrazu (7.3.18), spektar modulisanog signala dobija se pomeranjem spektra fazora ulevo i
udesno za f c i sabiranjem pomerenih funkcija.
Kod tipova modulacije kod kojih fazor modulisanog signala nije realan, navedeno pojednostavljenje ne važi.
Na osnovu izraza pokazanih u ovom poglavlju, formirana je blok šema sistema za prenos koja
sadrži blokove za realizaciju svih vrsta modulacija sa prostoperiodičnim nosiocem. Prikazana je
na slici 7.3.4.
P
u m (t )
p(t )
cos ω c t
Q
q (t )
− sin ω c t
x(t )
v(t )
w(t )
u (t )
S
PF
NF
2 cos ω c t
D
ud (t )
y (t )
n(t )
NF
− 2 sin ω c t
Slika 7.3.4. Opšta blok šema sistema za prenos signala sa modulacijom i demodulacijom
Šema se zasniva na kvadraturnoj predstavi modulisanog signala. Na slici su korišćene sledeće
oznake:
u m (t ) - modulišući signal;
P i Q - linenarni ili nelinearni sistemi koji, zavisno od tipa modulacije, realizuju modulaciju;
p (t ) i q(t ) komponente modulisanog signala u fazi i kvadraturi;
u (t ) - modulisani signal;
w(t ) - modulisani signal posle prenosa kroz komunikacioni kanal S ;
n(t ) - šum;
PF - pojasni filtar na ulazu u prijemnik, podešen tako da propusti koristan signal bez oštećenja;
v(t ) - signal koji sadrži modulisani signal i uskopojasni šum;
NF - filtar koji eliminiše suvišne komponente signala;
x(t ) i y (t ) - komponente demodulisanog signala u fazi i kvadraturi;
D - demodulator;
u d (t ) - demodulisani signal.
Ako su modulator i demodulator idealni, i ako nema uticaja šuma i izobličenja, demodulisani
signal jednak je modulišućem signalu. U praksi se tako povoljna kombinacija nikada ne dešava.
162
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešeni primeri uz poglavlje 7.3.
Zadatak 7.3.1. (E, S)
Nacrtati šemu kvadraturnog modulatora i fazore modulisanog signala za osnovne tipove AM
modulacije: KAM ( m0 = 50 % ), AM − 2 BO , AM − 1BO , ako je modulišući signal:
m(t ) = cos 2πf m t , f m = 10 kHz ,
a amplituda nosioca 1V .
Rešenje:
Prema izrazu (7.3.1), modulisani signal može se napisati u obliku u kom se prepoznaju kvadraturne komponente modulacionog zakona:
u (t ) = p (t ) ⋅ cos ω c t − q (t ) ⋅ sin ω c t .
Blok šema kvadraturnog modulatora, tj. modulatora koji realizuje modulaciju prema prethodnom
izrazu, prikazana je na slici 1.
Ako je f c >> f m , modulisani signal može se posmatrati kao prostoperiodičan signal čiji je
fazor:
u [m(t )] = u [m] = p(m) + jq (m) = a (m) ⋅ e jφ ( m) .
p
p(m)
cosωct
m(t)
π/2
q
u(t)
q(m)
Slika 1. Blok šema kvadraturnog modulatora
Blokovi označeni sa p i q u zavisnosti od tipa modulacije vrše linearnu ili nelinearnu transformaciju modulišućeg signala.
Na slici 2. prikazana su geometrijska mesta vrhova fazora, koja odgovaraju tipovima modulacije
navedenim u zadatku, kao i zadatom modulišućem signalu.
Hilbertova transformacija datog modulišućeg signala ima oblik:
mˆ (t ) = sin 2πf mt .
Glava 7. Modulacije
163
q
q
a)
b)
q
c)
p
0
0.5
-1
p
1
1
p
Slika 2. Fazor modulisanog signala za (a) KAM, (b) AM-2BO i (c) AM-1BO
Zadatak 7.3.2. (E, *)
Odrediti trenutnu amplitudu i fazu fazora AM − 1BO signala u slučajevima kada je modulišući
signal:
a)
u m (t ) = U m ⋅ cos ω m t ,
b)
⎧
⎪U m
u m (t ) = ⎨
⎪ 0
⎩
t ≤
1
,
2 fm
drugde,
a učestanost nosioca f c > f m .
Rešenje:
AM − 1BO signal sa gornjim bočnim opsegom ima komponente u fazi i kvadraturi:
p (t ) = u m (t ) i q (t ) = uˆ m (t ) .
Na osnovu izraza (7.3.1) može se odrediti trenutna amplituda fazora modulisanog signala:
a (t ) = u m2 (t ) + uˆ m2 (t ) , kao i trenutna faza fazora: φ (t ) = arctg
uˆ m (t )
.
u m (t )
a) Hilbertova transformacija modulišućeg signala je uˆ m (t ) = U m ⋅ sin ω m t pa je trenutna
amplituda konstanta, a (t ) = U m , a trenutna faza φ (t ) = ω m t .
b) Hilbertova transformacija pravougaonog impulsa trajanja 1 f m po definiciji ima oblik:
uˆ m (t ) =
1
π
1
2 fm
∫
−
1
2 fm
Um
dτ
.
t −τ
Za t ≤ 1 (2 f m ) ona se računa kao:
164
Osnovi telekomunikacija, skripta
1
⎡
⎤
fm
2
t −ε
⎢
Um
1 + 2 f mt
dτ
dτ ⎥ U m
⋅ lim ⎢ ∫
+ ∫
,
uˆ m (t ) =
⋅ ln
⎥=
π ε →0 ⎢ 1 t − τ t +ε t − τ ⎥ π
1 − 2 f mt
⎢⎣− 2 fm
⎥⎦
jer u posmatranom intervalu privremena promenljiva τ sigurno ima vrednost jednaku t pa se
javlja nula u imeniocu. Integral se tada računa preko Košijevih glavnih vrednosti.
Za t > 1 ( 2 f m ) ne mora računati granična vrednost. Rezultat je:
uˆ m (t ) =
Um
π
⋅
1
2 fm
∫
−
1
2 fm
1 + 2 f mt
dτ U m
.
=
⋅ ln
t −τ
π
1 − 2 f mt
Na slici 1. prikazan je pravougaoni impuls i njegova Hilbertova transformacija. Trenutna amplituda AM-1BO signala ima oblik:
⎧
1 + 2 f mt
Um
⋅ ln
⎪
1 − 2 f mt
π
⎪
a (t ) = ⎨
1 2 1 + 2 f mt
⎪
⎪U m 1 + π 2 ln 1 − 2 f t
m
⎩
t >
1
,
2 fm
t ≤
1
,
2 fm
a trenutna faza:
π
⎧
−
⎪
2
⎪
⎪⎪
⎡ 1 1 + 2 f mt ⎤
φ (t ) = ⎨arctg ⎢ ln
⎥
⎣π 1 − 2 f m t ⎦
⎪
⎪
π
⎪
⎪⎩
2
t<−
1
,
2 fm
t <
1
,
2 fm
t>
1
.
2 fm
Trenutna amplituda i faza prikazane su na slikama 2. i 3.
Slika 1. Pravougaoni impuls (a) i njegova Hilbertova transformacija (b)
Glava 7. Modulacije
165
Slika 2. Trenutna amplituda AM-1BO signala za prostoperiodični (a)
i pravougaoni (b) modulišući signal
Slika 3. Trenutna faza AM-1BO signala za prostoperiodični (a)
i pravougaoni (b) modulišući signal
Zadatak 7.3.3. (E)
Na slici 1. prikazan je opšti model sistema za modulaciju, sa prostoperiodičnim nosiocem učestanosti f c .
Modulišući signali x1 (t ) i x2 (t ) imaju spektar u opsegu (0 ÷ f m ) . Funkcija prenosa linije veze je H ( f ) .
a) Odrediti demodulisane signale y1 (t ) i y 2 (t ) .
b) Odrediti uslov za H ( f ) da prenos bude bez izobličenja.
y1 (t )
x1 (t )
cos ω ct
− sin ω ct
x2 (t )
H( f )
2 ⋅ cosω ct
fm
− 2 ⋅ sin ω ct
fm
Slika 1. Opšti model sistema sa modulacijom
y2 (t )
166
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
{
a) Signal u tački 1. ima oblik x(t ) = Re u (t ) ⋅ e
jω c t
}, gde je u(t ) kompleksni signal (modula-
cioni zakon) dat izrazom u (t ) = x1 (t ) + jx 2 (t ) .
Ako je impulsni odziv linije veze:
∞
h(t ) = ∫ H ( f )e j 2πft df ,
−∞
signal u tački 2. dobija se konvolucijom kompleksne pobude i impulsnog odziva:
y (t ) =
∞
∫ x(t − τ )h(τ )dτ ,
{
što se lako svodi na izraz oblika y (t ) = Re v(t )e
jω c t
},
−∞
gde je kompleksni signal:
v(t ) =
∞
∫ x(t − τ )he (τ )dτ ,
−∞
konvolucija pobude i ekvivalentnog NF impulsnog odziva sistema, datog izrazom:
he (t ) = h(t )e − jω c t .
Ovom odzivu odgovara i ekvivalentna NF prenosna karakteristika sistema:
H e ( f ) = F{he (t )} = H ( f + f c ) .
Lako se pokazuje da važi:
y1 (t ) = Re{v(t )} i y2 (t ) = Im{v(t )} .
Na osnovu ovih izraza može se nacrtati ekvivalentni NF sistem za prenos u kom figurišu kompleksni signali (slika 2).
Slika 2. Ekvivalentni NF sistem
b) Uslov idealnog prenosa može se izraziti jednačinom:
y1 (t ) = Ax1 (t − t 0 ) i y 2 (t ) = Ax2 (t − t 0 ) ,
gde je A konstanta (pojačanje ili slabljenje), a t0 kašnjenje signala. Ovaj uslov može se izraziti
i preko kompleksnih signala kao y (t ) = A ⋅ x(t − t 0 ) , iz čega sledi da ekvivalentna NF funkcija
prenosa mora zadovoljavati uslov:
H e ( f ) = H ( f + f c ) = Ae − jωt0 , za f ≤ f m .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
167
8. MODULACIJE SA
PROSTOPERIODIČNIM NOSIOCEM
Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem, spomenute u prethodnoj glavi, nazivaju se i analogne modulacije. U ovoj glavi detaljno su opisane amplitudske modulacije, ugaone modulacije,
kao i uticaj šuma, linearnih i nelinearnih izobličenja na prenos signala korišćenjem ovog tipa
modulacija.
8.1. Amplitudske modulacije
Amplitudske modulacije čine veliku grupu modulacionih postupaka koji imaju jednu značajnu
zajedničku osobinu: fazor modulisanog signala dobija se linearnom transformacijom modulišućeg signala.
Varijante amplitudskih modulacija razlikuju se po obliku fazora modulisanog signala i, naravno,
po načinu modulacije:
1) Amplitudska modulacija sa dva bočna opsega, AM-2BO, (engl. Double Side Band Suppressed
Carrier, DSBSC);
2) Konvencionalna amplitudska modulacija, KAM, (engl. Amplitude Modulation, AM);
3) Amplitudska modulacija sa jednim bočnim opsegom, AM-1BO, (engl. Single Side Band
Suppressed Carrier, SSBSC);
4) Amplitudska modulacija sa nesimetričnim bočnim opsegom, AM-NBO, (engl. Vestigial Side
Band, VSB);
5) Kvadraturna amplitudska modulacija, QAM (engl. Quadrature Amplitude Modulation, QAM).
8.1.1. Analitički izrazi
U ovom poglavlju dati su analitički izrazi u vremenskom i frekvencijskom domenu, kao i karakteristične ilustracije pojedinih tipova amplitudskih modulacija.
AM-2BO
Kod amplitudske modulacije sa dva bočna opsega prenosi se jedan modulišući signal, u m (t ) , a
fazor modulisanog signala dat je izrazom:
168
Osnovi telekomunikacija, skripta
u (t ) = k ⋅ um (t ) .
(8.1.1)
Modulisani signal određuje se, prema (7.3.10), kao:
{
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t
} = k ⋅u
m (t ) ⋅ cos
(2πf ct ) .
(8.1.2)
Na slici 8.1.1. prikazan je modulišući signal, nemodulisani nosilac, kao i modulisani signal i
uvećan detalj na kom je prikazana pojava nazvana skok faze: na mestu gde modulišući signal
menja znak, dolazi do promene znaka nosioca pa se stiče utisak da dve uzastopne poluperiode
nosioca imaju isti znak, ili da se u toku jedne stvarne javljaju dve skraćene poluperiode.
uc (t )
u m (t )
t
t
a)
b)
u (t )
t
c)
d)
Slika 8.1.1. AM-2BO: modulišući signal (a), nemodulisani nosilac (b),
modulisani signal (c) i skok faze pri promeni znaka modulišućeg signala (d)
Treba posebno istaći da na slici 8.1.1.c) modulisani signal predstavlja samo kriva crtana punom
linijom. Isprekidana linija u stvarnosti se ne vidi i služi samo kao kontura (anvelopa), radi lakšeg
poređenja sa modulišućim signalom.
U frekvencijskom domenu, ako je U m ( f ) spektar modulišućeg signala, tada se spektar fazora
određuje, na osnovu (7.3.12), primenom FT na izraz (8.1.1):
U ( f ) = F { u (t )} =
∞
∫ k ⋅ um (t ) ⋅ e
− j 2πft
⋅ dt = k ⋅ U m ( f ) ,
(8.1.3)
−∞
a spektar modulisanog signala, prema (7.3.16) i (7.3.17) (pošto je fazor modulisanog signala realan signal pa je pojednostavljenje moguće):
U( f ) =
1
1
1
⋅ U ( f − f c ) + ⋅ U ( f + f c ) = ⋅ k ⋅ [U m ( f − f c ) + U m ( f + f c )] .
2
2
2
(8.1.4)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
169
Širina spektra modulisanog signala, posmatrana samo za pozitivne učestanosti, jednaka je dvostrukoj širini spektra modulišućeg signala. Pošto oba bočna opsega praktično imaju isti sadržaj,
njihov istovremeni prenos nije sasvim racionalan sa aspekta zauzetosti frekvencijskog opsega.
Činjenica da se kod AM-2BO praktično prenosi dvostruko više informacija o signalu nego što je
to neophodno predstavlja jedan od nedostataka inače veoma jednostavnog modulacionog postupka.
Na slici 8.1.2.a) prikazan je spektar modulišućeg signala. Spektar fazora modulisanog signala
ima isti oblik kao i kod modulišućeg signala, prema izrazu (8.1.3). Jedina razlika je konstanta k
za koju je ovde pretpostavljeno da je k = 1 . Spektar modulisanog signala prikazan je na slici
8.1.2.b). Oblik spektra prikazanog na slici izabran je tako da nema izražene komponente na niskim učestanostima i da opada prema maksimalnoj učestanosti.
U m ( f ), U ( f )
a)
1
−B
f
B
U( f )
b)
1/2
-fc-B
-fc
-fc+B
fc-B
fc
fc+B
f
Slika 8.1.2. Spektri signala kod AM-2BO modulacije: modulišući signal
(i fazor modulisanog signala) (a), modulisani signal (b)
Primer.
Neka je u m (t ) = cos ω mt . Tada je AM-2BO modulisani signal dat izrazom:
u (t ) = k ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t = k ⋅ cos ω mt ⋅ cos ω c t =
k
⋅ [cos(ω c + ω m )t + cos(ω c − ω m )t ].
2
Spektar modulišućeg i modulisanog signala prikazan je na slici 8.1.3.
Um ( f )
U( f )
a)
b)
− fm
fm
f
− fc − fm
− fc + fm
fc − fm
Slika 8.1.3. Spektar prostoperiodičnog modulišućeg (a) i odgovarajućeg
modulisanog signala (b) za AM-2BO modulaciju
fc + fm
f
170
Osnovi telekomunikacija, skripta
KAM
Kod konvencionalne amplitudske modulacije prenosi se jedan modulišući signal, u m (t ) . Zbog
razloga koji će biti objašnjeni kod demodulacije KAM signala, modulišućem signalu dodaje se
nosilac pa je fazor modulisanog signala dat izrazom:
u (t ) = U c + k ⋅ u m (t ) ,
(8.1.5)
pod uslovom:
U c ≥ k ⋅ um (t ) max .
(8.1.6)
Konstanta U c naziva se amplituda nosioca.
Modulisani signal određuje se prema (7.3.10) kao:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t = U c ⋅ cos(2πf c t ) + k ⋅ um (t ) ⋅ cos(2πf c t ) .
(8.1.7)
Da bi se razumela suština KAM modulacije, treba uvesti nekoliko novih pojmova.
Normalizovani modulišući signal, m(t ) , dobija se tako što se modulišući signal podeli sa svojom maksimalnom vrednošću, prema izrazu:
m(t ) =
u m (t )
.
um (t ) max
(8.1.8)
Normalizovani signal u svakom trenutku zadovoljava uslov m(t ) ≤ 1 .
Konstanta koja se izračunava kao:
m0 =
k ⋅ u m (t ) max
Uc
,
(8.1.9)
naziva se indeks modulacije. Kao posledica uslova (8.1.6), sigurno je m0 ≤ 1 . Uz uvođenje izraza (8.1.8) i (8.1.9) u (8.1.7), modulisani signal ima oblik:
u (t ) = U c ⋅ (1 + m0 ⋅ m(t ) ) ⋅ cos(2πf c t ) .
(8.1.10)
Izraz (8.1.10) objašnjava zašto je bio neophodan uslov (8.1.6). Samo u tom slučaju moduo kosinusoide je nenegativna veličina, a to je neophodan uslov za jednostavnu demodulaciju KAM
modulisanog signala. Ako uslov (8.1.6) nije zadovoljen, dolazi do tzv. premodulacije.
Fazor modulisanog signala kod KAM modulacije može se napisati u obliku:
u (t ) = U c ⋅ (1 + m0 ⋅ m(t ) ) .
(8.1.11)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
171
Na slici 8.1.4. prikazan je modulišući signal, nemodulisani nosilac, kao i modulisani signal kod
KAM modulacije. Pokazana su dva slučaja, sa vrednostima indeksa modulacije m0 = 50 % i
m0 = 100 % . Na slici se vidi kako indeks modulacije utiče na intenzitet promene trenutne am-
plitude.
uc (t )
u m (t )
t
t
a)
b)
u (t )
u (t )
t
c)
t
d)
Slika 8.1.4. KAM : (a) modulišući signal, (b) nemodulisani nosilac i
modulisani signal sa indeksom modulacije (c) m0 = 50 % i (d) m0 = 100 %
U frekvencijskom domenu, postupak za određivanje spektra modulisanog signala veoma je sličan postupku pokazanom kod AM-2BO modulacije. Ako je U m ( f ) spektar modulišućeg signala, tada se spektar fazora određuje, na osnovu (7.3.12), primenom FT na izraz (8.1.5):
U ( f ) = F { u (t )} = U c ⋅ δ ( f ) + k ⋅ U m ( f ) ,
(8.1.12)
a spektar modulisanog signala, prema (7.3.16) i (7.3.17) (pošto je fazor modulisanog signala realna funkcija pa je pojednostavljenje moguće):
U( f ) =
1
⋅ [U c ⋅ δ ( f − f c ) + U c ⋅ δ ( f + f c ) + k ⋅ U m ( f − f c ) + k ⋅ U m ( f + f c )] .
2
(8.1.13)
Poređenjem izraza (8.1.13) i (8.1.4) vidi se da je spektar KAM signala jednak spektru AM2BO signala sa dodatim prostoperiodičnim nosiocem. Ponovo je širina spektra modulisanog
signala dvostruko šira od spektra modulišućeg signala.
Na slici 8.1.5. prikazan je spektar modulišućeg signala, spektar fazora modulisanog signala i spektar modulisanog signala kod KAM modulacije.
172
Osnovi telekomunikacija, skripta
Um ( f )
U( f )
1
1
-B
B
f
-B
B
a)
f
b)
U( f )
1/2
-fc-B
-fc
-fc+B
fc-B
fc
fc+B
f
c)
Slika 8.1.5. Spektri signala kod KAM modulacije: modulišućeg signala (a),
fazora modulisanog signala (b) i modulisanog signala (c)
Primer.
Neka je u m (t ) = cos ω mt . Tada je KAM modulisani signal, sa indeksom modulacije m0 , dat
izrazom:
u (t ) = U ⋅ (1 + m0 ⋅ cos ω mt ) ⋅ cos ω c t =
= U ⋅ cos ω c t +
U ⋅ m0
⋅ [cos(ω c + ω m )t + cos(ω c − ω m )t ].
2
Spektar modulišućeg i modulisanog signala prikazan je na slici 8.1.6. U odnosu na spektar signala dobijenog AM-2BO modulacijom može se zapaziti da spektar KAM signala sadrži dva dodatna delta impulsa na učestanostima ± f c . Ovi impulsi odgovaraju prostoperiodičnom nosiocu.
Postojanje prostoperiodičnog nosioca povećava troškove u eksploataciji sistema jer povećava
snagu signala koji treba preneti (emitovati), ali znatno olakšava postupak demodulacije:
U( f )
Um ( f )
a)
b)
− fm
fm
f
− fc − fm
− fc + fm
fc − fm
Slika 8.1.6. Spektar prostoperiodičnog modulišućeg (a) i odgovarajućeg
modulisanog signala (b) za KAM modulaciju
fc + fm
f
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
173
AM-1BO
Modulacija tipa AM-1BO razvijena je sa ciljem da se optimalno iskoristi frekvencijski opseg koji stoji na raspolaganju. Cilj postupka jeste da se eliminiše jedan od dva bočna opsega kod AM2BO modulacije, jer oni prenose istu informaciju. Postoje dve varijante AM-1BO modulacije, sa
gornjim i donjim bočnim opsegom. Fazor modulisanog signala ima oblik:
)
u (t ) = k ⋅ u m (t ) ± j ⋅ k ⋅ u m (t ) ,
(8.1.14)
)
gde je u m (t ) Hilbertova transformacija modulišućeg signala. Hilbertova transformacija je linearan postupak, definisan i objašnjen u glavi 7, izrazima (7.3.13) i (7.3.14). Pozitivan znak odgovara modulaciji sa gornjim, a negativan modulaciji sa donjim bočnim opsegom.
Fazor AM-1BO signala ima jednostran spektar. Ova tvrdnja lako se dokazuje u frekvencijskom
domenu, tako što se definicioni izraz (7.3.14) uvrsti u Furijeovu transformaciju izraza (8.1.14).
Dobije se:
[
]
)
U ( f ) = k ⋅ U m ( f ) ± j ⋅ U m ( f ) = k ⋅ [U m ( f ) ± j ⋅ (− j ⋅ sign( f )) ⋅ U m ( f )] =
⎧⎧ 2 ⋅ k ⋅ U m ( f )
⎪⎨
⎪⎩0
⎪
= k ⋅ U m ( f ) ⋅ [1 ± sign( f )] = ⎨
⎪ 0
⎪⎧⎨
⎪⎩⎩2 ⋅ k ⋅ U m ( f )
f > 0,
f < 0,
( znak + )
(8.1.15)
f > 0,
f < 0,
( znak −)
Grafičko objašnjenje AM-1BO modulacije u frekvencijskom domenu pokazano je na slici 8.1.7.
Um( f )
U( f )
1
1
-B
B
B
f
a)
f
b)
U( f )
1/2
-fc-B
-fc
fc
fc+B
c)
Slika 8.1.7. Spektri signala kod AM-1BO modulacije: modulišućeg signala (a),
fazora modulisanog signala (b) i modulisanog signala (c)
f
174
Osnovi telekomunikacija, skripta
Modulisani signal kod AM-1BO modulacije ima oblik:
{
}
{
}
)
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e jω c t = Re [k ⋅ u m (t ) ± j ⋅ k ⋅ um (t )] ⋅ e jω c t =
)
= k ⋅ um (t ) ⋅ cos ω c t m k ⋅ um (t ) ⋅ sin ω c t .
(8.1.16)
2
U prethodnom izrazu treba zapaziti da, usled množenja drugog sabirka sa j = −1 , znak (−)
odgovara prenosu gornjeg bočnog opsega, a znak (+ ) prenosu donjeg bočnog opsega, suprotno
od znaka u fazoru modulisanog signala.
Primer.
Neka je u m (t ) = cos ω mt . Tada je AM-1BO modulisani signal, sa gornjim bočnim opsegom,
dat izrazom
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e jω c t = cos ω mt ⋅ cos ω c t − sin ω mt ⋅ sin ω c t = cos(ω c + ω m )t .
Spektar modulišućeg i modulisanog signala prikazan je na slici 8.1.8.
U( f )
Um ( f )
a)
b)
− fm
fm
f
− fc − fm
fc + fm
f
Slika 8.1.8. Spektar prostoperiodičnog modulišućeg (a) i odgovarajućeg
modulisanog signala (b) za AM-1BO modulaciju sa prenosom gornjeg bočnog opsega
Nekoliko varijanti modulatora za AM-1BO modulaciju pokazano je u poglavlju o modulatorima.
AM-NBO
Praktična realizacija modulacije sa jednim bočnim opsegom nije jednostavna, a za signale koji
sadrže izraženu jednosmernu komponentu nije ni pogodna. Zbog toga je razvijen postupak koji
predstavlja kompromis između AM-2BO i AM-1BO.
Ideja AM-NBO najlakše se može objasniti grafički. Između dve krajnosti (cela dva bočna opsega
kod AM-2BO i samo jednog bočnog opsega kod AM-1BO), može se preneti jedan bočni opseg i
deo drugog. Iz razloga koji će biti sasvim jasni nakon objašnjenja postupka demodulacije, bočni
opseg koji se prenosi ceo (po širini) mora da bude delimično oštećen. Na slici 8.1.9. prikazan je
spektar AM-2BO signala i konture funkcije prenosa linearnog sistema H NBO ( f ) koji na svom
izlazu daje signal sa nesimetričnim bočnim opsegom.
Sa slike 8.1.9. vidi se da je širina spektra modulisanog signala jednaka (1 + b) ⋅ f max , gde je
f max širina spektra modulišućeg signala, a za konstantu b važi 0.1 < b < 0.3 .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
175
Um ( f )
1
a)
-B
B
f
U( f )
b)
1/2
-fc-B
-fc
-fc+B
fc-B
fc
fc+B
fc
fc+B
f
H( f )
c)
1
1/2
-fc-B
-fc
f
U( f )⋅ H( f )
d)
1/2
-fc-B
-fc
fc
fc+B
f
Slika 8.1.9. Spektar AM-NBO signala: modulišući signal (a), spektar AM-2BO (b),
funkcija prenosa filtra za NBO modulaciju (c) i spektar modulisanog signala (d)
Detaljan analitički opis postupka NBO modulacije izlazi izvan domena ovog udžbenika. Dati su
samo rezultati. Fazor modulisanog signala dat je izrazom:
u (t ) = k ⋅ u m (t ) + j ⋅ k ⋅ u m1 (t ) ,
(8.1.17)
gde je u m1 (t ) signal koji je nastao propuštanjem modulišućeg signala u m (t ) kroz linearni sistem koji ima osobine slične Hilbertovoj transformaciji, ali takve da su lakše ostvarive u praksi.
Modulisani signal ima oblik:
u = k ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t − k ⋅ u m1 (t ) ⋅ sin ω c t .
(8.1.18)
Primer.
Neka je u m (t ) = cos ω mt . Oblik spektra AM-NBO modulisanog signala zavisi od toga da li je
f m < b ⋅ f max ili f m ≥ b ⋅ f max . U prvom slučaju, spektar modulisanog signala veoma liči na
spektar AM-2BO signala, pokazan na slici 8.1.3., ali komponente na f c + f m i f c − f m imaju
176
Osnovi telekomunikacija, skripta
različite amplitude. U drugom slučaju, spektar modulisanog signala potpuno odgovara spektru
AM-1BO signala, prikazanom na slici 8.1.8.
QAM
Kvadraturna amplitudska modulacija zasnovana je na kvadraturnoj predstavi signala i činjenici
da se iz zbira sinusoide i kosinusoide, na istoj učestanosti, zbog fazne razlike od π / 2 , teoretski
bez ikakvih problema može izdvojiti bilo koji od ta dva signala.
Praktično, QAM predstavlja AM-2BO modulaciju koja sadrži dve komponente, sa kosinusnim i
sa sinusnim nosiocem.
Zajedno sa već poznatim AM-2BO signalom sa kosinusnim nosiocem, prenosi se još jedan signal, jednake širine spektra, sa nosiocem koji je pomeren u odnosu na prethodni za π / 2 , odnosno jednak je sinusnoj funkciji. Po ekonomičnosti zauzimanja spektra, QAM odgovara modulaciji
sa jednim bočnim opsegom, ali ima nedostatak da istovremeno prenosi dva signala, što nije uvek
pogodno. Fazor modulisanog signala dat je izrazom:
u (t ) = um1 (t ) + j ⋅ um 2 (t ) ,
(8.1.19)
gde su u m1 (t ) i u m 2 (t ) dva modulišuća signala. Modulisani signal ima oblik:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e jω c t = u m1 (t ) ⋅ cos ω c t − u m 2 (t ) ⋅ sin ω c t .
(8.1.20)
Na slici 8.1.10. prikazan je spektar dva modulišuća signala. Na slici 8.1.11. prikazan je spektar
fazora modulisanog signala, a na slici 8.1.12. spektar modulisanog signala.
U m2 ( f )
U m1 ( f )
a)
b)
1
-B
B
1
-B
f
B
Slika 8.1.10. Spektri modulišućih signala kod QAM modulacije: (a) i (b)
{
Re U ( f )
}
1
-B
B
1
{
Im U ( f )
}
Slika 8.1.11. Spektar fazora QAM signala
f
f
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
177
1/2
-fc-B
-fc
-fc+B 1/2
fc-B
fc
fc+B
f
Im{ U ( f ) }
Slika 8.1.12. Spektar QAM modulisanog signala
8.1.2. AM modulatori
Kod svih tipova amplitudskih modulacija potrebno je izvršiti množenje dva signala, modulišućeg
(sadrži poruku) i nosioca (omogućuje prenos). Kod nekih tipova modulacije (AM-1BO, AMNBO) potrebno je izvršiti i još neke dodatne postupke za obradu signala.
Po načinu realizacije osnovne operacije u AM modulatorima, množenja dva signala, modulatori
se mogu podeliti u tri osnovne grupe:
- modulatori sa množačima,
- modulatori sa nelinearnim kolima,
- modulatori sa prekidačkim kolima.
Modulatori sa množačima
Da bi se realizovao AM signal, potrebno je pomnožiti dva signala. Prema (8.1.2) to su signali
u m (t ) i cos 2πf c t . Blok šema uređaja prikazana je na slici 8.1.13.
um1 (t )
NF
u m (t )
u (t )
cosω ct
Slika 8.1.13. Blok šema AM modulatora sa množačem
NF filtar na ulazu ima zadatak da ulazni signal u m1 (t ) frekvencijski uobliči tako da spektar signala u m (t ) zauzima ograničeni opseg širine B . Ovo ograničavanje spektra neophodno je da bi
se eliminisali potencijalni problemi koji mogu da nastanu zbog prevelike i ponekad nedovoljno
kontrolisane širine spektra modulišućeg signala.
178
Osnovi telekomunikacija, skripta
Množač dva signala je analogni elektronski sklop koji ima dva ulazna signala i jedan izlazni signal. Izlazni signal jednak je proizvodu ulaznih. Iako formalno veoma jednostavan, analogni množač nije jednostavan za praktičnu realizaciju. Postoje razne varijate množača, uglavnom realizovanih sa operacionim pojačavačima i drugim aktivnim kolima. Detalji realizacije sa elektronskim
komponentama nisu tema ovog udžbenika. Zainteresovani čitaoci mogu detalje pronaći u udžbenicima i priručnicima iz praktične elektronike.
Modulatori sa nelinearnim kolima
Sa aspekta prenosa signala kroz komunikacioni sistem, nelinearnost je bila nepovoljna karakteristika. U postupku modulacije, međutim, pokazuje se da je nelinearnost drugog reda veoma korisna, jer se u slučaju kvadriranja zbira dva signala javlja član koji odgovara proizvodu prvog i
drugog. Ako se na ulaz nelinearnog sklopa dovede signal ui = u m (t ) + cos ω c t ( ui (t ) je ulazni signal, indeks i potiče od engl. Input) i ako je nelinearnost opisana izrazom:
uo (t ) = a1 ⋅ ui (t ) + a2 ⋅ ui2 (t ) ,
(8.1.21)
tada izlazni signal uo (t ) (indeks o potiče od engl. Output) posle kvadriranja binoma sadrži i sabirak oblika k ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t , u kom se može prepoznati AM-2BO modulisani signal. Izdvajanje ovog sabirka iz zbira nastalog izračunavanjem izraza (8.1.21) realizuje se pomoću filtra
propusnika opsega učestanosti. Detalji ovog postupka pokazani su u zadacima 8.1.1. i 8.1.5.
Modulatori sa prekidačkim kolima
Postupak za realizaciju amplitudske modulacije sa prekidačkim kolima veoma podseća na postupak odabiranja.. Blok šema modulatora prikazana je na slici 8.1.14. Prekidač P periodično otvara
i zatvara električno kolo. Neka je perioda prekidanja T i neka je trajanje intervala u kome prekidač provodi struju τ . Tada u svakoj periodi odabiranja, u intervalu −
jednakost:
T
T
< t < , važi sledeća
2
2
τ
⎧
⎪u m (t ) t < ,
v(t ) = ⎨
2
⎪⎩0
drugde.
(8.1.22)
um1 (t )
NF
u (t )
um (t )
P
PF
Slika 8.1.14. Modulator sa prekidačkim kolima
Matematički opis znatno se pojednostavljuje ako se pretpostavi da je
moćna funkcija:
τ=
T
i ako se uvede po2
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
179
∞
C (1,0) =
∑ x(t − n ⋅ T ) ,
(8.1.23)
n = −∞
gde je x(t ) pravougaoni impuls trajanja τ :
⎧
⎪1
x(t ) = ⎨
⎪⎩0
T
,
4
drugde.
t <
(8.1.24)
Funkcija C (1,0) naziva se prekidačka funkcija. Sada se signal v(t ) može napisati u obliku:
v(t ) = um (t ) ⋅ C (1,0) .
(8.1.25)
Periodična funkcija C (1,0) može se razviti u Furijeov red. Detalji su pokazani u zadatku (2.3.2),
za τ =
T
. Signal sadrži samo neparne harmonike, a koeficijenti imaju vrednosti:
2
⎛ nπ
sin ⎜
1
2
Xn = ⋅ ⎝
nπ
2
2
⎞ ⎧
(−1) k
⎟
⎠=⎪
⎨ (2k + 1)π
⎪ 0
⎩
n = 2k + 1,
(8.1.26)
n = 2k .
Ranije je pokazano da spektar periodičnog signala sadrži delta impulse na učestanostima svojih
harmonika. Ako se još iskoristi osobina FT po kojoj je spektar proizvoda dva signala jednak konvoluciji njihovih spektara, dobija se spektar modulisanog signala u obliku:
V( f ) =
∞
1
(−1) k
⋅U m ( f ) + ∑
⋅ [U m ( f − (2k + 1) ⋅ f c ) + U m ( f + (2k + 1) ⋅ f c )],
2
+
⋅
(
2
k
1
)
π
k =0
(8.1.27)
gde je f c = 1 / T . Ako se ovaj izraz uporedi sa (4.1.5), vidi se da među njima postoji velika
sličnost. Na neparnim multiplima osnovne učestanosti nalaze se translirane kopije spektra osnovnog signala. Sabirak za k = 0 u vremenskom domenu odgovara proizvodu prvog harmonika periodičnog signala i modulišućeg signala, baš kao kod AM-2BO signala. Ovaj sabirak može se izdvojiti pomoću filtra propusnika opsega učestanosti.
Za razliku od postupka odabiranja, gde je cilj obrade prenos kompletnog signala sa što manje odbiraka, kod modulacije je cilj obrade pomeranje spektra ulaznog signala na učestanost nosioca,
f c = 1 / T , pa se perioda prekidačke funkcije (ujedno i perioda odabiranja) bira prema tim zahtevima. Naravno, i ovde mora da bude zadovoljen i uslov teoreme o odabiranju koji, sa prilagođenim oznakama, glasi: f c > 2 ⋅ f max .
Kao prekidački elementi u modulatoru često se koriste diode i kontrolni napon koji upravlja njihovim otvaranjem i zatvaranjem. Detalji postupka za projektovanje ove vrste modulatora pokazani su u zadacima 8.1.3. i 8.1.4.
180
Osnovi telekomunikacija, skripta
Hilbertova transformacija
U poglavlju 7.3. uveden je pojam analitičkog signala kao signala kod kog je imaginarni deo jednak Hilbertovoj transformaciji realnog dela. U poglavlju 8.1.1. detaljno je opisan analitički postupak za određivanje spektra modulisanog signala. Praktična realizacija Hilbertove transformacije, međutim, nije jednostavna. U teoriji Furijeove transformacije pokazano je da su moduo i argument funkcije prenosa linenarnih sistema koji se mogu praktično realizovati međusobno povezane i da se ne mogu nezavisno određivati, onako kako je to urađeno izrazima (7.3.14) i
(7.3.15). Kod funkcije prenosa Hilbertovog sklopa H ( f ) = − j ⋅ sign( f ) moduo je jednak jedinici a argument ima vrednost − π / 2 za f > 0 a π / 2 za f < 0 , ali se takav sklop ne može
praktično realizovati. Osnovna osobina Hilbertove transformacije jeste da su snage (energije)
signala i njegove transformacije međusobno jednake, zbog toga što je H ( f ) = 1 na svim
učestanostima, osim za f = 0 .
Postoji tri načina za praktičnu realizaciju AM-1BO modulacije.
Prvi način može se opisati kao modulacija sa pojasnim filtrom. Najbolje se objašnjava grafički,
poređenjem slika 8.1.2b i 8.1.7c. Nakon AM-2BO modulacije, potrebno je eliminisati jedn, npr.
donji bočni opseg. To znači da signal čiji je spektar prikazan na slici 8.1.2b treba propustiti kroz
pojasni filtar sa graničnim učestanostima f d = f c i f g = f c + B . Da bi se pravilno odvojio
donji bočni opseg od gornjeg, filtar treba da bude što bliži idealnom, što se ne može uvek lako
realizovati. Za praktično ostvarive filtre neophodno je da između DBO i GBO postoji određeni
razmak koji će omogućiti da se odvajanje ostvari bez oštećenja signala. Npr. u postupcima modulacije telefonskog signala čiji spektar zauzima opseg (300 − 3400 Hz ) , nakon AM-2BO modulacije razmak je širok 600 Hz jer govorni signal koji se prenosi u telefoniji ne sadrži komponente u opsegu (0 − 300 Hz ) .
Drugi način AM-1BO zasnovan je na primeni sklopova za pomeranje faze. Pri tom se ostvaruje
aproksimacija Hilbertove transformacije. Dva primera ovog tipa modulatora pokazani su u zadatku 8.1.6.
Treći način AM-1BO modulacije poznat je pod nazivom Vejverov (Weaver) modulator. Njegova
je struktura veoma složena. Detaljno je opisan u [1].
8.1.3. AM demodulatori
Postupak demodulacije podrazumeva izdvajanje signala u m (t ) iz modulisanog signala u (t ) .
Prema (8.1.2), do modulišućeg signala moglo bi se doći deljenjem modulisanog signala signalom
cos ω c t . Deljenje, međutim, nije prihvatljiva računska operacija kada su signali u pitanju pa se
demodulacija mora realizovati na drugi način.
Sinhrona demodulacija
Iz opisa modulacionih postupaka, prema (8.1.4), poznato je da se množenje sa prostoperiodičnim
nosiocem u frekvencijskom domenu manifestuje kao pomeranje spektra ulevo i udesno za uče-
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
181
stanost nosioca. Lako se zaključuje da i množenje modulisanog signala sa prostoperiodičnim nosiocem (naziva se i lokalni nosilac) u demodulatoru daje isti rezultat. Pri tom će se komponente
signala pojaviti na nultoj učestanosti, kao i na učestanostima ± 2 ⋅ f c . Blok šema demodulatora
prikazana je na slici 8.1.15. Ovaj tip demodulatora naziva se sinhroni ili koherentni demodulator.
Spektar signala nakon množenja sa lokalnim nosiocem prikazan je na slici 8.1.16.
u (t )
v(t )
PF
NF
u m (t )
2 ⋅ cosω ct
Slika 8.1.15. Blok šema sinhronog demodulatora
V( f )
− 2 fc
B
2 fc
f
Slika 8.1.16. Spektar AM-2BO signala nakon množenja sa lokalnim nosiocem
U vremenskom domenu, postupak demodulacije opisuje se na sledeći način.
Signal posle množača, v(t ) , dat je izrazom:
v(t ) = u (t ) ⋅ 2 ⋅ cos ω c t = um (t ) ⋅ 2 ⋅ cos 2 ω c t = u m (t ) ⋅ (1 + cos 2ω c t ) .
(8.1.28)
Da bi se iz signala v(t ) izdvojio modulišući signal, u m (t ) , treba eliminisati komponente na visokim učestanostima, što se lako postiže propuštanjem signala kroz NF filtar.
Demodulisani signal, u d (t ) , posle eliminacije komponenti na visokim učestanostima, jednak je
modulišućem signalu:
u d (t ) = u m (t ) .
(8.1.29)
Zadatak pojasnog filtra na ulazu u demodulator jeste da propusti bez izobličenja modulisani signal, a da pri tom eliminiše sve komponente (prvenstveno šum i druge signale) koje se nalaze na
učestanostima u neposrednoj okolini modulisanog signala. Pravo značenje biće objašnjeno u poglavlju 8.1.4.
Demodulacija pomoću detektora anvelope
Sinhrona demodulacija moguća je samo ako se na prijemnoj strani može generisati nosilac. Ovaj
zahtev ne može se uvek lako ispuniti. Zbog toga je realizovana konvencionalna amplitudska modulacija, kod koje se modulisani signal može izdvojiti ili detektovati primenom sasvim drugačijeg postupka.
182
Osnovi telekomunikacija, skripta
Ako se dobro pogleda KAM modulisani signal, prikazan na slici 8.1.4., vidi se da anvelopa modulisanog signala odgovara modulišućem signalu. Elektronsko kolo koje može da izdvoji anvelopu iz modulisanog signala naziva se detektor anvelope. Blok šema jedne jednostavne realizacije prikazana je na slici 8.1.17.
Detaljan matematički opis funkcionisanja detektora anvelope izveden je u zadatku 8.1.9. Treba
posebno istaći da se projektovanje detektora anvelope svodi na kompromisni izbor vrednosti tzv.
RC konstante, odnosno vrednosti proizvoda dve fizičke veličine: otpornosti otpornika, R , i kapacitivnosti kondenzatora, C .
Slika 8.1.17. Blok šema detektora anvelope
RC konstanta ne sme da bude prevelika, jer tada dolazi do tzv. dijagonalnog odsecanja. Izlazni
napon tada ne može da prati promene anvelope. Takođe, RC konstanta ne sme da bude ni premala, jer je tada detektovani signal veoma izobličen. Opseg prihvatljivih vrednosti, prema rezultatima pokazanim u zadatku 8.1.9., dominantno zavisi od širine spektra modulišućeg signala.
8.1.4. Šum kod amplitudskih modulacija
Uticaj šuma kod različitih analognih modulacionih postupaka određuje se tako što se izračuna
odnos snaga korisnog signala i šuma u dve tačno određene tačke u prijemniku:
1) Posle pojasnog filtra, na ulazu u prijemnik;
2) Na izlazu prijemnika.
Za svaki tip demodulatora i tip modulacije posebno se određuju četiri vrednosti snage pojedinih
signala:
- Snaga korisnog signala na ulazu, PSu .
Radi se o snazi modulisanog signala. Kod KAM modulacije obračunava se samo snaga bočnih
opsega.
- Snaga šuma na ulazu, PNu .
Radi se o snazi šuma nakon prolaza kroz ulazni pojasni filtar. Snaga je praktično jednaka dvostrukoj (zbog negativnih učestanosti) površini pravougaonika čija je širina jednaka širini propusnog opsega filtra a visina jednaka SGS šuma, datoj izrazom (5.2.1b).
- Snaga korisnog signala na izlazu, PSi .
Radi se o snazi demodulisanog korisnog signala.
- Snaga šuma na izlazu, PNi .
Radi se o snazi komponente izlaznog signala koja je nastala kao posledica postojanja šuma.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
183
Traženi odnosi snaga tada se označavaju kao:
P
⎛S⎞
⎜ ⎟ = SNRu = Su i
PNu
⎝ N ⎠u
P
⎛S⎞
⎜ ⎟ = SNRi = Si .
PNi
⎝ N ⎠i
(8.1.30)
U svim prethodnim proračunima kao modulišući signal koristi se prostoperiodičan signal oblika
u m (t ) = cos ω mt .
Snage korisnog signala i šuma na izlazu mogu se odrediti pod uslovom da je moguće analitički
razdvojiti dve komponente izlaznog signala, korisnu i manje korisnu. Kod nekih tipova modulacije, uglavnom amplitudskih, razdvajanje komponenti signala veoma je jednostavno. Kod ugaonih modulacija postupak je znatno složeniji i uglavnom je vezan za različite analitičke aproksimacije.
Obično se na kraju proračuna određuje i veza između odnosa snaga na izlazu i ulazu:
SNRi = k ⋅ SNRu ,
(8.1.31)
gde je konstanta k jedna od karakteristika svakog modulacionog postupka.
Primer.
Posmatrajmo sinhroni demodulator AM − 2 BO signala, prikazan na slici 8.1.18. Za razliku od
demodulatora na slici 8.1.15., ovde je ulaznom signalu dodat beli Gausov šum. Nakon prolaza
kroz pojasni filtar koji propušta opseg učestanosti ( f c − B, f c + B) , modulisani signal ostaje
nepromenjen, a šum se modifikuje u uskopojasni Gausov šum. Analitički opis tog šuma dat je
izrazom (5.2.5).
u (t ) + n(t )
PF
uu (t )
NF
U l ⋅ cosω ct
Slika 8.1.18. Šum pri sinhronoj demodulaciji AM − 2 BO signala
Zbir modulisanog signala (uz uobičajenu pretpostavku da je modulišući signal prostoperiodičan,
um (t ) = U m ⋅ cos ω mt ) i uskopojasnog šuma, datog izrazom (5.2.5), na izlazu pojasnog filtra
ima oblik:
uu (t ) = U m ⋅ cos ω mt ⋅ cos ω c t + nc (t ) ⋅ cos ω c t ± ns (t ) ⋅ sin ω c t .
(8.1.32)
Snaga signala na ulazu ima vrednost:
1
1
PSu = u m2 (t ) = U m2 .
2
4
(8.1.33)
184
Osnovi telekomunikacija, skripta
Snaga šuma na ulazu jednaka je:
PNu = 2 ⋅ p N ⋅ 2 B = 4 p N B = 2 N 0 B .
(8.1.34)
Nakon demodulacije, množenja sa lokalnim nosiocem oblika U l ⋅ cos ω c t i filtriranja, dobije se
izlazni signal u obliku:
u d (t ) =
1
1
⋅ U m ⋅ U l ⋅ cos ω mt + ⋅ U l ⋅ nc (t ) .
2
2
(8.1.35)
U izlaznom signalu mogu se zapaziti dve potpuno odvojene komponente: korisna, nastala demodulacijom modulisanog signala i smetnja, nastala demodulacijom šuma.
Snaga korisnog signala na izlazu jednaka je:
2
1
⎛1
⎞
PSi = ⎜ ⋅ U m ⋅ U l ⎟ ⋅ cos 2 ω mt = U m2 ⋅ U l2 ,
8
⎝2
⎠
(8.1.36)
a snaga komponente šuma na izlazu ima vrednost:
2
1
⎛1
⎞
PNi = ⎜ ⋅ U l ⎟ ⋅ nc2 (t ) = U l2 BN 0 ,
2
⎝2
⎠
(8.1.37)
2
pošto je nc (t ) = 2 ⋅ B ⋅ N 0 , prema slici 2. u zadatku 5.2.1. Uz pomoć izraza (8.1.34, 35, 36 i 37)
mogu se odrediti odnosi snaga signala i šuma. Međusobna veza ima oblik:
SNRi = 2 ⋅ SNRu .
(8.1.38)
Ovaj rezultat ukazuje da sinhrona demodulacija poboljšava odnos snage signala i šuma dva puta.
Detaljna izvođenja odnosa snaga za ostale tipove demodulatora pokazana su u zadacima 8.1.11.,
8.1.12. i 8.1.13.
8.1.5. Primena amplitudskih modulacija
Amplitudske modulacije poznate su od samih početaka električnih telekomunikacija. Njihova
analitička jednostavnost odgovarala je nivou tehnološkog razvoja elektronike i elektronskih
komponenti na početku prošlog veka.
KAM modulacija primenjuje se u radio difuziji na srednjim, kratkim i dugim talasima, zahvaljujući važnoj osobini da je demodulator jednostavan i jeftin (detektor anvelope). Nedostatak ovog
tipa modulacije leži u činjenici da se velika snaga na predajnoj strani troši na emitovanje nosioca
koji ne sadrži informaciju ali omogućuje jednostavnu demodulaciju.
AM-2BO modulacija nije pogodna za primenu u radio difuziji zbog toga što je u postupku demodulacije neophodan lokalni nosilac na prijemnoj strani. Koristila se kao međukorak u generisanju
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
185
AM-1BO signala u sistemima za prenos telefonskog signala, do kraja 70-tih godina masovno, a
danas samo ponegde, tamo gde još nije izvršena digitalizacija sistema.
AM-1BO predstavlja najekonomičniju varijantu AM modulacije sa aspekta zauzetost frekvencijskog opsega, ali nije pogodna za prenos svih vrsta signala i demodulacija nije jednostavna jer
je neophodan lokalni nosilac na prijemnoj strani. AM-1BO modulacija primenjuje se u klasičnoj
telefoniji. Govorni signal u frekevencijskom opsegu od 300 Hz do 3,4 kHz , pogodan je za
AM-1BO modulaciju. Pomoću složenih predajnih i prijemnih uređaja ostvaruje se višestruki prenos, primenom frekvencijskog multipleksa, opisanog u sledećem poglavlju.
TV signal ima širinu spektra od 5 MHz i veoma izražene komponente na niskim učestanostima.
Pošto takav signal nije pogodan za AM-1BO modulaciju, koristi se AM-NBO. Širina spektra koja se koristi za prenos jednog TV kanala iznosi, zavisno od sistema, 6 MHz do 7 MHz . AMNBO modulacija koristi se i u telefoniji, gde se multipleksirani signal širine 44 MHz koristi
kao modulišući signal i prenosi tako da zauzima širinu od 48 MHz .
Kvadraturna amplitudska modulacija ima veliku primenu u savremenim postupcima za prenos
digitalnih signala. Iako se u teoriji objašnjava da QAM služi za istovremeni prenos dva signala, u
praksi se QAM koristi u kombinaciji sa digitalnim prenosom. U dve grane, u fazi i kvadraturi,
prenose se parovi impulsa jednog digitalnog signala. Na principu QAM razvijeni su i znatno
složeniji sistemi koji osim signala u fazi i kvadraturi koriste i signale sa faznim pomeranjem od
po π / 4 , pa i manje od toga, kao i signali sa različitim amplitudama. Detalji nekih od ovih
postupaka opisani su u glavi 10.
8.1.6. Frekvencijski multipleks
Multipleksni prenos signala predstavlja takav tip prenosa u kome se veći broj međusobno nezavisnih signala istovremeno prenose kroz jedan sistem za prenos. Razlog za uvođenje ove vrste
prenosa ima prvenstveno ekonomsku prirodu. Postojeći medijumi za prenos modulisanih signala,
kao što su razne vrste kablova, koaksijalnih kablova optičkih vlakana i vazdušnih vodova, imaju
propusni opseg znatno veće širine nego što je širina spektra jednog signala koji se prenosi (npr.
jednog govornog ili jednog muzičkog signala). Prenos samo jednog signala u jednom trenutku
ekonomski je znatno manje isplativ nego istovremeni prenos većeg broja signala.
Ekonomski razlozi bili su, prema tome, važan razlog za razvoj sistema za višestruki prenos signala. Suština frekvencijskog multipleksa sastoji se u tome da se izvrši translacija spektra svakog
od signala koji se prenosi u određeni položaj na frekvencijskoj osi, bez preklapanja sa spektrima
ostalih signala.
Blok šema sistema kojim se postiže ovakva organizacija spektra prikazana je na slici 8.1.19.
Spektar signala u (t ) (ponekad se naziva i plan frekvencija) prikazan je na slici 8.1.20. Pojasni
filtri na slici 8.1.19. realizuju AM-1BO modulaciju u svakom kanalu. Za svaki od tri kanala
prenosi se po jedan bočni opseg.
Signal u (t ) treba preneti od predajnika do prijemnika na udaljenom mestu. To znači da se signal
u (t ) u postupku prenosa posmatra kao modulišući signal. Njegov prenos može se realizovati u
186
Osnovi telekomunikacija, skripta
osnovnom opsegu, na način opisan na početku poglavlja 7.1., ili nekim od postupaka modulacije,
opisanim u nastavku poglavlja 7 i u glavi 8.
um1 (t )
um 2 (t )
um3 (t )
NF
PF
cosω1t f1 + B
u (t )
PF
NF
cosω 2t f 2 + B
PF
NF
cos ω 3t f3 + B
Slika 8.1.19. Blok šema sistema za dobijanje tri-kanalnog frekvencijskog multipleksa
U( f )
U c1 ( f ) U c 2 ( f )U c3 ( f )
f1
f2
f3 f3 + B
f
Slika 8.1.20. Spektar signala sa tri-kanalnim frekvencijskim multipleksom
Treba još jednom istaći da je, u vremenskom domenu, signal u (t ) neprekidno sačinjen od zbira
svih signala koji se prenose. Translacija u frekvencijskom domenu (AM modulacija) omogućava
razdvajanje signala na prijemnoj strani, primenom odgovarajućeg inverznog postupka.
Na prijemnoj strani, frekvencijski demultiplekser vrši funkciju inverznu funkciji multipleksera.
Blok šema demultipleksera prikazana je na slici 8.1.21.
PF
f1 + B
u (t )
PF
f2 + B
PF
f3 + B
uc1 (t )
cosω1t
uc 2 (t )
cosω 2t
uc3 (t )
NF
NF
NF
um1 (t )
um 2 (t )
um3 (t )
cos ω 3t
Slika 8.1.21. Blok šema frekvencijskog demultipleksera
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
187
Na slikama 8.1.20. i 8.1.21. usklađene su oznake signala pa je detaljno objašnjenje funkcionisanja multipleksera i demultipleksera izostavljeno.
I pored skupih i složenih uređaja za multipleksiranje i demultipleksiranje, ako dužina linije veze
premaši određenu dužinu, primena multipleksa postaje ekonomski opravdana.
Najčešća primena frekvencijskog multipleksa prisutna je u telefoniji do početka osamdesetih godina prošlog veka. Za govorni signal koji zauzima frekvencijski opseg (300 − 3400 Hz ) rezervisan je frekvencijski interval širine 4 kHz . Neiskorišćeni intervali namerno su ostavljeni radi
jednostavnijeg razdvajanja kanala filtrima koji u praksi nisu idealni. U telefoniji su govorni signali organizovani u grupe, sačinjene od 12 kanala (primarna grupa), 60 kanala (sekundarna
grupa), 300 kanala (tercijarna grupa), 900 kanala (kvaternarna grupa), itd. Detalji organizacije
(frekvencijskog plana) klasičnog telefonskog saobraćaja mogu se naći u [1].
Danas se frekvencijski multipleks koristi u kablovskoj distribuciji TV signala. Raspored učestanosti nosilaca pojedinih TV kanala odgovara učestanostima koje se koriste u klasičnoj TV difuziji. Zbog toga TV prijemnici na isti način primaju signal na antenskom ulazu iz kablovskog sistema ili sa antene.
U slučaju da se prenos frekvencijski multipleksiranog signala realizuje primenom frekvencijske
modulacije, odnos snaga signala i šuma neće biti isti u svakom kanalu. Razlog leži u činjenici da
je, prema izrazu (8.2.55), SGS šuma proporcionalna kvadratu učestanosti. Zbog toga se u
kanalima koji zauzimaju viši opseg učestanosti dobija slabiji odnos snaga signala i šuma. Primer
ovakvog prenosa signala, kao i primene jednog od postupaka za poboljšanje odnosa snaga, poznatog pod nazivima preemfazis i deemfazis, pokazan je u zadatku 8.2.13.
Rešeni primeri uz poglavlje 8.1.
Zadatak 8.1.1. (E, S)
Na slici 1. prikazan je AM modulator sa nelinearnim pojačavačem N , čija karakteristika
y (t ) = y[x(t )] ima oblik:
y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 .
gde su x = x (t ) i y = y (t ) ulazni i izlazni napon u voltima, a1 , a2 i a3 konstante. Modulišući signal u m (t ) ima spektar u opsegu učestanosti (0 ÷ f m ) .
a) Odrediti minimalnu učestanost nosioca f c i granične učestanosti filtra f d i f g , kako bi se
na izlazu kola dobio KAM signal. Koliki je indeks modulacije?
Vrednosti parametara su f m = 4 kHz , max u m (t ) = 1 V , a1 = 1 , a 2 = 0.5 / V , a3 = 0 .
b) Ako je u m (t ) = cos ω m t , f m = 2 kHz , f c = 100 kHz , f d = 96 kHz , f g = 104 kHz ,
a1 = 1 , a2 = 0.5 / V , a3 = 0,25 / V 2 , odrediti amplitude svih prostoperiodičnih komponenti
na izlazu.
188
Osnovi telekomunikacija, skripta
c) Pokazati da se na izlazu balansnog modulatora sa slike 2. dobija AM-2BO signal kada je
f d = f c − f m , f g = f c + f m i fc > 4 fm .
Slika 1. AM-modulator sa nelinearnim pojačavačem
Slika 2. Balansni AM-modulator
Rešenje:
a) Na izlazu nelinearnog sklopa dobija se signal:
y (t ) = a1 ⋅ [u m (t ) + cos ω c t ] + a 2 ⋅ [u m (t ) + cos ω c t ]2
koji se, posle trigonometrijskih transformacija, može napisati u obliku:
y (t ) =
1
a2 + a1 ⋅ u m (t ) + a2 ⋅ u m2 (t ) + a1 ⋅ cos ω c t +
2
1
+ 2a2 ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t + 3a2 ⋅ cos 2ω c t .
2
U tabeli 1. dat je opseg učestanosti u kome se nalaze pojedini sabirci.
Na slici 3. grafički je prikazan spektar signala y (t ) , ispred pojasnog filtra.
Peti sabirak predstavlja AM-2BO signal. Ako mu se doda četvrti sabirak, dobija se KAM signal.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
189
Tabela 1. Zauzetost frekvencijskih opsega
Komponenta
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0.5a2
a1 ⋅ u m (t )
a2 ⋅ u m2 (t )
a1 ⋅ cos ω c t
2 ⋅ a 2 ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t
0.5 ⋅ a 2 ⋅ cos 2ω c t
Opseg učestanosti
0
0 ÷ fm
0 ÷ 2 fm
fc
( fc − fm ) ÷ ( fc + fm )
2 fc
Da bi se ove dve komponente mogle izdvojiti filtrom potrebno je da se na frekvencijskoj osi ne
preklapaju sa opsezima ostalih komponenti. Prema slici 3., do preklapanja neće doći ako je
f c − f m > 2 f m , odnosno:
fc ≥ 3 fm .
Slika 3. Spektar signala y (t ) sa komponentama numerisanim prema tabeli 1.
Filtar treba da propusti četvrtu i petu komponentu, pa je:
fd = fc − fm = 2 fm ,
f g = fc + fm = 4 fm .
Na izlazu filtra tada će se dobiti samo KAM signal:
⎡ 2a
⎤
u (t ) = [a1 + 2a 2 ⋅ u m (t )] ⋅ cos ω c t = a1 ⋅ ⎢1 + 2 u m (t )⎥ ⋅ cos ω c t .
a1
⎣
⎦
Indeks modulacije za zadate konstante ima vrednost:
m0 =
2a 2
max{ u m (t ) } = 1 = 100 % .
a1
190
Osnovi telekomunikacija, skripta
b) Signal ispred filtra može se napisati u obliku:
3
y (t ) = ∑ an [cos ω m t + cos ω c t ]n .
n=1
Posle trigonometrijskih transformacija ovaj izraz ima oblik:
1
y (t ) = a1 cos ω m t + a1 cos ω c t + a2 + a 2 cos 2ω m t + a 2 cos(ω c − ω m )t +
2
1
9
1
+ a 2 cos(ω c + ω m )t + a2 cos 2ω c t + a3 cos ω m t + a3 cos 3ω m t +
2
4
4
3
9
3
+ a3 cos(ω c − 2ω m )t + a3 cos ω c t + a3 cos(ω c + 2ω m )t +
4
4
4
1
3
3
+ a3 cos(2ω c − ω m )t + a3 cos(2ω c + ω m )t + a3 cos 3ω c t .
4
4
4
Kroz filtar će proći samo komponente:
9
u (t ) = (a1 + a3 ) cos ω c t + a2 cos(ω c − ω m )t + a2 cos(ω c + ω m )t +
4
3
3
+ a3 cos(ω c − 2ω m )t + a3 cos(ω c + 2ω m )t ,
4
4
odnosno, nakon uvrštavanja brojnih vrednosti:
u (t ) = 1.56 ⋅ [1 + 0.64 cos ω m t ] ⋅ cos ω c t + 0.375 ⋅ cos 2ω m t ⋅ cos ω c t .
Prvi sabirak predstavlja KAM -signal, sa smanjenim indeksom modulacije zbog uticaja nelinearnosti trećeg reda. Drugi sabirak je AM − 2 BO signal kod kog modulišući signal ima dva
puta veću učestanost. Očigledno je da nelinearnost trećeg reda unosi značajnije izobličenje u modulisani signal.
c) Signali ispred sabirača i oduzimača dati su izrazima:
3
3
y1 = ∑ a n [cos ω c t + u m (t )] , y 2 = ∑ a n [cos ω c t − u m (t )]n .
n
n =1
n =1
Razlika ova dva signala ima vrednost:
y1 − y 2 = 2a1 ⋅ u m (t ) + 2a3 ⋅ u m3 (t ) + 4a 2 ⋅ u m (t ) cos ω c t + 6a3 ⋅ u m (t ) cos 2 ω c t .
Na izlazu filtra dobija se AM − 2 BO signal u obliku:
u (t ) = 4a2 ⋅ u m (t ) cos ω c t .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
191
Zadatak 8.1.2. (E, *)
Na slici 1. prikazan je AM modulator sa diodom kao nelinearnim elementom. Zavisnost struje
diode od napona data je izrazom:
iD = I s (eαu D − 1) ,
gde je α konstanta.
Kolo se pobuđuje strujnim generatorima nosioca, ic = I c ⋅ cos ω c t i modulišućeg signala im .
Otpornosti R0 i Rm mogu se smatrati beskonačno velikim. Spektar modulišućeg signala nalazi
se u opsegu (0 ÷ f m ) .
a) Odrediti minimalnu učestanost nosioca kao i granične učestanosti pojasnog filtra tako da se na
izlazu modulatora dobije KAM signal.
b) Odrediti analitički izraz za KAM signal na izlazu pojasnog filtra i njegov indeks modulacije.
Slika 1. AM modulator sa diodom kao nelinearnim elementom
Rešenje:
Kroz diodu D teče struja i D = ic (t ) + im (t ) . Prema zadatoj zavisnosti struje od napona, napon
na krajevima diode ima oblik:
uD =
⎡i
⎤
ln ⎢ D + 1⎥ .
α ⎣ Is ⎦
1
(1)
Razvojem izraza (1) u Maklorenov red i zadržavanjem prva dva člana dobija se izraz:
u D (t ) =
1
1 2
iD −
i D = a1i D − a 2 i D2 .
2
αI s
2αI s
(2)
Koeficijenti a1 i a2 odgovaraju vrednostima prvog i drugog izvoda diodnog napona:
du
1
= D
a1 =
αI s di D
1 d 2u D
=
, a2 =
2
2 di D2
α
I
2
s
iD = 0
1
.
iD = 0
192
Osnovi telekomunikacija, skripta
Uvrštavajući vrednost i D u (2) dobija se:
u D (t ) = a1 (ic + im ) − a 2 (ic + im ) 2 = a1ic + a1im − a 2 ic2 − a 2 im2 − 2a 2 ic im .
Struktura spektra komponenti diodnog napona prikazan je na slici 2. Komponenta dobijena
konvolucijom spektra I m ( f ) sa samim sobom skicirana je samo zbog prikazivanja zauzetosti
spektra. Njen oblik na slici ne odgovara stvarnom obliku.
a) Na osnovu uslova o nepreklapanju spektra signala nalazi se:
ω c − ω m ≥ 2ω m i ω c + ω m ≤ 2ω c .
Sledi da je ω c ≥ 3ω m , jer je prvi uslov strožiji, a istovremeno zadovoljava drugi uslov. Granične učestanosti pojasnog filtra imaju vrednosti:
ω d = ω c − ω m = 2ω m i ω g = ω c + ω m = 4ω m .
Slika 2. Komponente napona na diodi
b) Napon u tački C, na izlazu pojasnog fitra, ima oblik:
⎛ 2a
⎞
uc (t ) = a1ic − 2a2ic im = a1I c ⎜⎜1 − 2 im ⎟⎟ ⋅ cos ω c t .
a1
⎝
⎠
Ako normalizovani modulišući signal u obliku: m(t ) =
(3)
im (t )
max{ im (t )
unesemo u izraz (3), sledi:
uc (t ) = U [1 − m0 m(t )] ⋅ cos ω c t , gde su korišćene oznake:
U = a1 I c =
m0 =
1
⋅ I = const. - amplituda nosioca i
αI s c
2a 2 I m I m
=
= const. - indeks modulacije KAM signala.
a1
Is
}
=
im (t )
,
Im
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
193
Zadatak 8.1.3. (E)
Na slici 1. prikazan je AM -modulator sa diodom kao prekidačkim elementom. Na ulaz kola dovodi se modulišući signal u m (t ) . Spektar modulišućeg signala zauzima frekvencijski opseg
(0 ÷ f m = 4 kHz) , a trenutne vrednosti nalaze se u opsegu (−1V ÷ 1V) . Amplituda nosioca je
U = 2V , a učestanost f c = 60 kHz . Granične učestanosti idealnog pojasnog filtra su
f d = 56 kHz i f g = 64 kHz , a njegova ulazna otpornost Ru >> R .
Odrediti signal na izlazu u slučajevima kada je nosilac u c (t ) povorka binarnih polarnih impulsa.
Karakteristika diode data je na slici 2.
Slika 1. AM-modulator sa diodom kao prekidačkim elementom
Slika 2. A-V karakteristika diode
Rešenje:
Pošto je U > u m (t ) , dioda će provoditi kada je u c (t ) > 0 , a biće zakočena kada je u c (t ) < 0 .
Napon na otporniku R ima vrednost:
⎧ R
[− um (t ) + uc (t )] uc (t ) > 0,
⎪
v(t ) = ⎨ R + Rd
⎪
0
uc (t ) < 0,
⎩
gde je Rd = 100 Ω dinamički otpor diode u provodnom smeru, određen sa slike 2.
(1)
194
Osnovi telekomunikacija, skripta
Ako se definiše prekidačka funkcija:
⎧1, uc (t ) > 0,
C (1,0) = ⎨
⎩0, uc (t ) < 0,
(2)
izraz (1) može se napisati u obliku:
v(t ) = −0.9u m (t ) ⋅ C (1,0) + 0.9U ⋅ [2C (1,0) − 1] ⋅ C (1,0) ,
jer je:
u c (t ) = U ⋅ [2C (1,0) − 1] .
S obzirom na definiciju prekidačke funkcije, može se pokazati da važi jednakost:
[C (1,0)]2 = [C (1,0)],
pa je napon na otporniku:
v(t ) = −0.9u m (t ) ⋅ C (1,0) + 0.9U ⋅ C (1,0) .
(3)
Prekidačka funkcija je periodična funkcija koja se može razviti u Furijeov red (sličan primer
pokazan je ranije, u poglavlju 8.1.2. i zadatku 2.3.2.):
1 ∞ 2(−1) n
C (1,0) = + ∑
⋅ cos(2n + 1)ω c t ,
2 n=0 π (2n + 1)
(4)
pa se na izlazu filtra dobija deo signala v(t ) (3) čiji je spektar između f d i f g :
u (t ) = U ⋅
2 ⋅ 0.9 ⎡ u m (t ) ⎤
1−
⋅ cos ω c t .
π ⎢⎣
U ⎥⎦
Ovo je KAM signal sa nosiocem amplitude U c = U
m0 =
max{ u m (t )
U
} = 50 % .
1.8
π
= 1.15V i indeksom modulacije:
Znak (− ) u zagradi, iako različit od osnovne definicije KAM signala, nema značaja s obzirom
na postupke demodulacije KAM signala.
Zadatak 8.1.4. (E)
Na slici 1. prikazan je kružni amplitudski modulator. U kolu su idealne diode i transformatori.
Na ulaz dolazi modulišući signal u m (t ) = U m ⋅ cos ω m t , (0 < f m < 4 kHz) .
Signal u c (t ) predstavlja povorku pravougaonih, polarnih impulsa amplitude U > U m (povorka
ima pozitivne i negativne vrednosti, ± U ) i učestanosti f c = 100 kHz . Pojasni filtar ima propusni opseg (96 ÷ 104 kHz) .
a) Odrediti izlazni signal u slučaju kada modulator sadrži samo diode D1 i D4 i u slučaju kada
su u kolu modulatora sve četiri diode. Pojasni filtar je idealan.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
195
b) Ako je prenosna karakteristika pojasnog filtra:
H( f ) =
1
za f − f c << f c , Q = 20 ,
f − fc
1 + jQ
fc
odrediti zavisnost amplituda komponenti signala na izlazu od učestanosti f m , kao i odnos najveće i najmanje amplitude u dB.
Slika 1. Šema kružnog modulatora
Rešenje:
a) Ako diode D2 i D3 nisu priključene, napon ispred pojasnog filtra ima oblik:
⎧u m (t )
v(t ) = ⎨
⎩ 0
uc (t ) > 0,
uc (t ) < 0.
(1)
Korišćenjem prekidačke funkcije (2) iz zadatka 8.2.6. sledi:
v(t ) = C (1,0) ⋅ u m (t ) .
Furijeov red prekidačke funkcije, dat izrazom (4) u zadatku 8.2.6., omogućava da se signal v(t )
predstavi u obliku sume amplitudski modulisanih signala čiji su nosioci harmonici učestanosti
f c . Pojasni filtar propušta samo prvi harmonik koji ima oblik AM − 2 BO signala:
u (t ) =
2
π
⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c (t ) .
(2)
Ako su diode D2 i D3 uključene u kolo modulatora (kružni modulator), tada signal ispred
pojasnog filtra ima oblik:
⎧ u m (t )
v(t ) = ⎨
⎩− u m (t )
uc (t ) > 0,
uc (t ) < 0,
(3)
196
Osnovi telekomunikacija, skripta
odnosno v(t ) = [2 ⋅ C (1,0) − 1] ⋅ u m (t ) .
Funkciju koju definišemo kao:
C (±1) = 2 ⋅ C (1,0) − 1
nazivamo komutaciona funkcija. Ona nema jednosmernu komponentu, a amplitude svih harmonika dvostruko su veće nego kod prekidačke funkcije. Njen Furijeov red ima oblik:
∞
4(−1) k
C (±1) = ∑
cos(2k + 1)ω c t .
k =0 π ( 2k + 1)
(4)
Izlazni signal tada sadrži samo prvi harmonik ovog signala (sabirak za k = 0 ):
u (t ) =
4
π
u m (t ) cos ω c t .
(5)
b) Kad je modulišući signal prostoperiodičan, izlazni signal (5) može se transformisati u oblik:
u (t ) =
2
π
2
U m cos(ω c − ω m )t + U m cos(ω c + ω m )t ,
(6)
π
pri čemu prvi sabirak odgovara donjem, a drugi gornjem bočnom opsegu amplitudski modulisanog signala.
Nakon prolaska kroz neidealan filtar, amplitude komponenti u izrazu (6) više nisu konstantne za
svako f m nego se menjaju u zavisnosti od vrednosti funkcije prenosa u tačkama ( f c ± f m ) .
Amplitude gornjeg i donjeg bočnog opsega izraza (6) jednake su:
Ud = U g =
2
π
U m H ( fc − fm ) =
2
π
U m H ( fc + fm ) =
2
π
Um
1
1+ Q2 ( fm / fc )2
.
Minimalna vrednost amplitude U min = 0.5 ⋅ U m dobija se pri maksimalnoj učestanosti modulišućeg signala ( f m = 4kHz ). Maksimalna vrednost U max = 0.64 ⋅ U m dobija se pri minimalnoj učestanosti modulišućeg signala ( f m = 0 ). Maksimalna promena amplitude iznosi:
20 ⋅ log
U max
= 2.1 dB .
U min
Zadatak 8.1.5. (E, S)
Karakteristika sklopa N na slici 1. data je izrazom:
y (t ) = a1 x(t ) + a2 x 2 (t ) .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
197
Modulišući signal u m (t ) ima maksimalnu vrednost U m i spektar u opsegu (0 ÷ f m ) . Nosilac
u c (t ) ima amplitudu U c i učestanost f c . Pojasni filtar je idealan.
Ako je f m = 4kHz , a1 = 4 , a 2 = 1 / V , U m = 1V , odrediti minimalne vrednosti f c , f g1 ,
f g 2 kao i pojačanje pojačavača A , pa da se na izlazu sklopa dobije
a) KAM signal sa indeksom modulacije m = 0.5 ,
b) AM − 2 BO signal,
c) AM − 1BO signal sa donjim bočnim opsegom,
d) AM − 1BO signal sa gornjim bočnim opsegom.
Slika 1. Šema AM modulatora sa nelinearnim sklopom
Rešenje:
Signal u tački B ima oblik u B (t ) = a1 ⋅ [u m (t ) + u c (t )] + a 2 ⋅ [u m (t ) + u c (t )] ,
2
a signal u tački D :
u D (t ) = u B (t ) − A ⋅ uc (t ) =
= a1 ⋅ u m (t ) + [a1 − A + 2a2 ⋅ um (t )] ⋅ uc (t ) + a2 ⋅ uc2 (t ) + a2 ⋅ um2 (t ) .
Furijeovom transformacijom prethodnog izraza dobija se:
U D ( f ) = a1U m ( f ) +
a1 − A
U c [δ ( f − f c ) + δ ( f + f c )] +
2
+ a2U c [U m ( f − f c ) + U m ( f + f c )] +
+
a2 2 ⎡
1
1
⎤
U c ⎢δ ( f ) + δ ( f − 2 f c ) + δ ( f + 2 f c )⎥ + a2 F{um2 (t )} .
2
2
2
⎣
⎦
Amplitudski spektar signala u D (t ) skiciran je na slici 2.
a) Opšti oblik KAM signala dat je izrazom:
u KAM (t ) = U c ⋅ [1 + m0 m(t )] ⋅ cos ω c t .
198
Osnovi telekomunikacija, skripta
Da bi izlazni signal bio KAM , filtar treba da propusti samo komponente:
⎡
⎤
2a 2
u c (t ) ⋅ [a1 − A + 2a 2 u m (t )] = U c ⋅ (a1 − A) ⋅ ⎢1 +
m(t )⎥ ⋅ cos ω c t ,
⎣ a1 − A
⎦
Slika 2. Amplitudski spektar signala u D (t )
jer je U m = 1V , pa je u m (t ) = m(t ) . Upoređujući ovaj izraz sa prethodnim nalazi se da je:
m0 =
2a 2
U m = 0.5 ,
a1 − A
pa sledi da treba da bude A = 0 .
Iz uslova o nepreklapanju spektra KAM signala i signala u osnovnom opsegu učestanosti, za
granične učestanosti pojasnog filtra i učestanost nosioca dobijaju se sledeće minimalne vrednosti
f g1 = 2 f m = 8 kHz ,
f c = 3 f m = 12 kHz ,
f g 2 = f c + f m = 16 kHz .
b) AM − 2 BO signal dat je izrazom:
u 2 BO (t ) = u c (t ) ⋅ u m (t ) .
Na osnovu oblika signala u D (t ) sledi da je na izlazu potrebna samo komponenta:
2a 2 u m (t ) ⋅ u c (t ) .
Nosilac se može eliminisati ako je zadovoljen uslov a1 − A = 0 , tj. A = a1 = 4 . Učestanost nosioca i granične učestanosti izlaznog pojasnog filtra imaju iste vrednosti kao pod a).
c) AM − 1BO signal sa DBO dobija se izdvajanjem donjeg bočnog opsega AM − 2 BO signala pojasnim filtrom na izlazu modulatora. Minimalne vrednosti parametara iznose:
A = 4 , f g1 = 2 f m = 8 kHz , f g 2 = f c = 3 f m = 12 kHz .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
199
d) Izdvajanjem GBO može da se snizi noseća učestanost. Dozvoljava se preklapanje DBO
modulisanog signala sa signalima u osnovnom opsegu učestanosti. Sada su parametri:
A = 4 , f g1 = f c = 2 f m = 8 kHz , f g 2 = f c + f m = 3 f m = 12 kHz .
Zadatak 8.1.6. (E, *)
Na slici 1.a i b. prikazane su dve vrste modulatora za dobijanje AM − 1BO signala. Modulišući
signal je prostoperiodičan, amplitude U m , učestanosti f m , sa vrednostima koje se nalaze u op-
segu (300 ÷ 3400 Hz) . Učestanost nosioca je f c = 8 kHz . Sklopovi S1 i S 2 imaju prenosne
karakteristike:
H1 ( f ) =
jf
,
f c + jf
(propusnik visokih učestanosti) i
H2( f ) =
fc
,
f c + jf
(propusnik niskih učestanosti),
respektivno. Nacrtati zavisnost faktora potiskivanja v od modulišuće učestanosti u slučaju oba
tipa modulatora. Faktor potiskivanja definisan je kao:
v = 20 ⋅ log
Ug
Ud
,
gde je U g amplituda GBO , a U d amplituda DBO modulisanog signala na izlazu.
Slika 1. Dve vrste AM-1BO modulatora
Rešenje:
Za modulator sa slike 1 (levo) signal na izlazu ima oblik:
u(t ) = U m ⋅ A1 ( f c − f m ) ⋅ cos[2π ( f c − f m )t − φ1 ( f c − f m )] +
+ U m ⋅ A1 ( f c + f m ) ⋅ cos[2π ( f c + f m )t − φ1 ( f c + f m )],
(1)
200
Osnovi telekomunikacija, skripta
gde je: U m amplituda modulišućeg signala,
A1 ( f ) amplitudska karakteristika linearnog sklopa S1 :
A1 ( f ) = H 1 ( f ) =
f
2
fc + f
,
2
(2)
φ1 ( f ) karakteristika faznog kašnjenja linearnog sklopa S1 :
φ1 ( f ) = − arg{H1 ( f )} = arctg
f π
− .
fc 2
(3)
Prvi sabirak u izrazu (1) predstavlja DBO , a drugi GBO . Amplitude su:
U da = U m A1 ( f c − f m ) i U ga = U m A1 ( f c + f m ) .
Na slici 2a. prikazana je zavisnost faktora potiskivanja od modulišuće učestanosti i datog opsega.
Za modulator sa slike 1 (desno) izlazni signal ima oblik:
u (t ) = U m ⋅ A1 ( f m ) ⋅ cos[2π ( f c − f m )t + φ1 ( f m )] +
+ U m ⋅ A1 ( f m ) ⋅ cos[2π ( f c + f m )t − φ1 ( f m )] −
− U m ⋅ A2 ( f m ) ⋅ sin[2π ( f c − f m )t + φ 2 ( f m )] +
+ U m ⋅ A2 ( f m ) ⋅ sin[2π ( f c + f m )t − φ 2 ( f m )]
gde je A2 ( f ) =
φ 2 ( f ) = arctg
fc
fc2 + f 2
(4)
amplitudska karakteristika sklopa S 2 ,
f
karakteristika faznog kašnjenja sklopa S 2 , a primenjuju se i izrazi (2) i (3).
fc
Upoređujući ovu fazu sa (3) uočava se veza između φ1 i φ 2 koja važi za sve učestanosti:
π
φ1 ( f ) = φ 2 ( f ) − .
2
Izlazni signal (4) može se sada napisati u obliku:
u(t ) = U m ⋅ [ A1 ( f m ) + A2 ( f m )] ⋅ cos[2π ( f c + f m )t − φ1 ( f m )] −
− U m ⋅ [ A2 ( f m ) − A1 ( f m )] ⋅ cos[2π ( f c − f m )t + φ1 ( f m )] .
Prvi sabirak predstavlja GBO , a drugi DBO . Odgovarajuće amplitude date su kao:
(5)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
201
U db = U m ⋅ [ A2 ( f m ) − A1 ( f m )] , U gb = U m ⋅ [ A2 ( f m ) + A1 ( f m )] .
Faktor potiskivanja prikazan je na slici 2b.
Za modulator sa slike 1 (levo) faktor potiskivanja ima vrednosti u opsegu (0.3 ÷ 3.4 dB) , a za
modulator sa slike 1 (desno). u opsegu (0.65 ÷ 7.9 dB) . Očigledno je da složeniji modulator
(desno) bolje potiskuje donji bočni opseg nego jednostavniji modulator.
Slika 2. Faktor potiskivanja modulatora sa slike 1a (a) i 1b (b)
Zadatak 8.1.7. (E, S)
Na slici 1. prikazan je sinhroni prijemnik AM signala. Modulišući signal ima spektar u opsegu
(0 ÷ f max ) . Učestanost nosioca je f c . Faza lokalnog nosioca je θ l , a njegova učestanost f c .
Pojačanje pojačavača je A p .
a) Ako se na ulaz prijemnika dovede AM − 2BO signal, odrediti signale u tačkama B i C .
b) Neka je modulišući signal test ton amplitude U m i učestanosti f m . Ako se zahteva da snaga
signala na izlazu prijemnika bude veća ili jednaka snazi signala na ulazu i ako je pojačanje
pojačavača A p = 10 , odrediti maksimalnu dozvoljenu vrednost faznog ugla θ l .
c) Ako se na ulaz dovede AM − 1BO signal, odrediti θ l tako da u tački C snaga korisnog
signala bude za 20 dB veća od snage parazitnih produkata demodulacije.
Slika 1. Sinhroni demodulator AM signala
202
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
a) Na ulazu prijemnika u tački A , AM − 2BO signal ima oblik:
u A (t ) = u m (t ) ⋅ cos ω c t .
Snaga ovog signala računa se kao snaga slučajnog signala i dobija se izraz oblika:
1
PA = u m2 (t ) .
2
(1)
U tački B , iza produktnog demodulatora, dobija se signal:
u B (t ) = 2 ⋅ u A (t ) ⋅ cos(ω c t + θ l ) = 2 ⋅ u m (t ) ⋅ cos ω c t ⋅ cos(ω c t + θ l ) =
= u m (t ) ⋅ cos(2ω c t + θ l ) + u m (t ) ⋅ cosθ l .
Na izlazu NF filtra granične učestanosti f max , pojavljuje se samo komponenta:
uC (t ) = u m (t ) ⋅ cosθ l .
b) Kada je modulišući signal test ton u m (t ) = U m ⋅ cos ω m t , signal u tački D ima oblik:
u D (t ) = AP ⋅ U m ⋅ cos ω m t ⋅ cosθ l . Snaga ovog signala je PD =
1 2 2
APU m cos 2 θ l , dok se za
2
snagu modulisanog signala na ulazu prijemnika, primenom (1) i određivanjem snage datog
2
(prostoperiodičnog) signala u m (t ) , dobija PA = U m / 4 .
Da bi odnos ovih snaga bio veći od jedan, mora da važi:
θ l ≤ arccos
1
AP 2
PD
= 2 AP2 cos 2 θ l ≥ 1 ,
PA
odnosno:
= 86° .
c) AM − 1BO signal na ulazu prijemnika ima oblik:
u A (t ) = u m (t ) ⋅ cos ω c t + uˆ m (t ) ⋅ sin ω c t .
Posle demodulacije, u tački B , dobija se signal:
u B (t ) = 2u A (t ) ⋅ cos(ω c t + θ l ) = u m (t ) ⋅ cos(2ω c t + θ l ) + u m (t ) ⋅ cosθ l +
+ uˆ m (t ) ⋅ sin(2ωc t + θ l ) − uˆ m (t ) ⋅ sin θ l .
Na izlazu NF filtra javljaju se komponente:
uC (t ) = um (t ) ⋅ cos θ l − uˆ m (t ) ⋅ sin θ l .
Ako je snaga modulišućeg signala i njegove Hilbertove transformacije Pm , snaga korisnog signala će biti
Pk = Pm ⋅ cos 2 θ l ,
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
a snaga parazitnog produkta Pp = Pm ⋅ sin
203
2
θl .
Pp
Pp
2
θl
≥ 100.
2
sin θ l
P
cos
P
Po uslovu zadatka sledi: 10 ⋅ log k ≥ 20 dB , pa se dobije k =
Rešavanjem ove nejednačine za fazni ugao lokalnog nosioca, θ l , dobija se:
θ l ≤ 0.1 rad = 5,7° .
Na osnovu rezultata dobijenog pod b) vidi se da fazna razlika između nosioca i lokalnog nosioca
nema bitnog uticaja na AM − 2 BO signal, jer samo smanjuje amplitudu demodulisanog
signala. U slučaju demodulacije AM − 1BO signala javlja se izobličenje koje se ne može
odstraniti pomoću filtara, pa je problem sinhronizacije nosioca veoma značajan.
Zadatak 8.1.8. (E, S)
Na ulaz prijemnika na slici 1. zadatka 8.1.7. dolazi AM − 2 BO signal. Modulišući signal je test
ton kružne učestanosti ω m i amplitude U m . Učestanost lokalnog nosioca je f l = f c + Δf , a
početna faza jednaka je nuli. Odrediti signale u tačkama B i D .
Rešenje:
Signal na izlazu amplitudskog demodulatora, u tački B , ima oblik:
u B (t ) = 2u A (t ) cos ω1t .
AM − 2 BO signal modulisan test tonom može se predstaviti u obliku:
1
1
u A (t ) = U m ⋅ cos ω m t ⋅ cos ω c t = U m ⋅ cos(ω c + ω m )t + U m ⋅ cos(ω c − ω m )t .
2
2
Zamenom učestanosti lokalnog nosioca f c sa f l = f c + Δf dobija se:
1
uB (t) = Um ⋅ [cos (2ωc +ωm + Δω) ⋅ t + cos (ωm − Δω) ⋅ t +
2
+ cos (2ωc −ωm + Δω) ⋅ t + cos (ωm + Δω) ⋅ t ].
NF filtrom izdvajaju se samo komponente:
1
u D (t ) = U m ⋅ [cos(ω m − Δω )t + cos(ω m + Δω )t ] =
2
= U m cos ω mt ⋅ cos Δω t = u m (t ) cos Δω t .
Usled razlike učestanosti nosioca na izlazu prijemnika, dolazi do cepanja svake od komponenti
modulišućeg signala na dve komponente sa pomeranjem učestanosti ± Δf . Demodulisani signal
zvuči kao zavijajući signal koji se prekida dva puta u svakoj periodi signala cos ω 0t , tamo gde
kosinusoida ima vrednost jednaku nuli. Pojava se naziva izbijanje.
204
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 8.1.9. (E)
Na slici 1. prikazan je detektor anvelope. Može se smatrati da je dioda idealna. Na ulaz detektora
dolazi KAM signal čiji nosilac ima amplitudu U c i učestanost f c = 1 / T = 200 kHz . Indeks
modulacije ima vrednost m0 = 25 % . Maksimalna učestanost u spektru modulišućeg signala
ima vrednost f m = 4 kHz .
a) Odrediti RC konstantu tako da ne dođe do dijagonalnog odsecanja u procesu detekcije
KAM signala.
b) Veličina RC konstante detektora utiče i na veličinu varijacije detektovanog signala, odnosno
na kvalitet rekonstruisanog modulišućeg signala. Ako se definiše odnos a = ΔU / U s , gde je
ΔU varijacija amplitude detektovanog nemodulisanog nosioca, a U s srednja vrednost detektovanog signala, odrediti RC konstantu tako da parametar a bude manji od 2 % .
Slika 1. Detektor anvelope
Rešenje:
KAM signal na ulazu detektora anvelope dat je izrazom:
u (t ) = U c ⋅ (1 + m0 cos ω m t ) ⋅ cos ω c t .
Detektor na svom izlazu izdvaja trenutnu amplitudu signala na ulazu:
u d (t ) = U c ⋅ (1 + m0 cos ω m t ) .
Ovo je ujedno i rezultat idealne detekcije koju realnim sklopovima nije moguće ostvariti. Na slici
2. prikazan je talasni oblik signala na ulazu, u (t ) , i približan oblik signala na izlazu detektora
anvelope, u d (t ) .
U odsustvu modulacije ( m0 = 0 ) na ulazu detektora pojavio bi se nemodulisani nosilac amplitude U c pa važi:
u (t1 ) = u (t 2 ) = U c = const. ,
jer je t 2 = t1 + T , gde je T perioda nosioca. Trenutak t1 izabran je tako da u njemu nosilac ima
maksimalnu vrednost.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
205
Na izlazu idealnog detektora dobio bi se konstantan signal. Međutim, zbog režima pražnjenja
kondenzatora, u intervalima kada je dioda zakočena, detektovani napon imaće testerasti oblik.
Slika 2. Skice oblika signala na ulazu i izlazu detektora anvelope
Kada se dioda zakoči, tj. kada ulazni napon opadne ispod maksimalne vrednosti U c , počinje
pražnjenje kondenzatora kroz otpornik R . Napon na kondenzatoru menja se po eksponencijal−t / τ
, gde je u (0) početna vrednost a τ konstanta koja za RC
nom zakonu u d (t ) = u (0) ⋅ e
kolo iznosi τ = R ⋅ C . Posle pražnjenja koje je trajalo približno kao perioda nosioca, T , u trenutku t 2 , napon na kondenzatoru može se napisati u obliku:
U a = u (t1 ) ⋅ e
jer je
−
T
RC
≈ u (t1 ) ⋅ (1 −
T
),
RC
(1)
T
<< 1 .
RC
U slučaju detekcije modulisanog signala, potrebno je da izlazni, detektovani signal verno prati
promene amplitude ulaznog signala. To je moguće ako amplituda ulaznog signala u (t ) bude veća od vrednosti napona na kondenzatoru na kraju svakog ciklusa njegovog pražnjenja, tj. u svakoj periodi nosioca. Ovaj uslov može se izraziti u obliku:
u (t 2 ) > U a , tj. u (t 2 ) > u (t1 ) ⋅ (1 −
T
),
RC
(2)
odnosno:
u (t )
T
> 1− 2 .
RC
u (t1 )
(3)
206
Osnovi telekomunikacija, skripta
Onda kada modulišući signal ima najvišu učestanost, f m , javiće se najveća moguća razlika između vrednosti u (t 2 ) i u (t1 ) . Ako se količnik T /(RC ) odredi tako da zadovoljava uslov (2)
za ovu učestanost, neće doći do dijagonalnog odsecanja ni za bilo koju manju učestanost. U trenucima t1 i t 2 , amplitude ulaznog signala imaju vrednosti:
u (t1 ) = U c ⋅ (1 + m0 cos ω m t1 )
i
u (t 2 ) = U c ⋅ (1 + m0 cos ω m t 2 ) .
Pošto je t 2 − t1 = T , a f c >> f m , trenutne vrednosti u (t 2 ) i u (t1 ) u prethodnom izrazu razlikuju se veoma malo, pa važi aproksimacija:
u (t 2 ) ≈ u (t1 ) + u ′(t1 ) ⋅ (t 2 − t1 ) = u (t1 ) + u ′(t1 )T .
(4)
Izraz je dobijen uzimanjem prva dva člana razvoja u Tejlorov red trenutne amplitude u (t 2 ) .
Na osnovu (3) i (4) dobija se:
sin ω mt1
T
U ′(t1 )
>−
.
T = m0ω mT
1 + m0 cos ω mt1
RC
U (t1 )
(5)
Maksimum funkcije (5) određuje najstroži uslov koji nejednačina treba da zadovolji.
Maksimum razlomka oblika f ( x) = sin x /(1 + m0 ⋅ cos x) dobija se izjednačavanjem prvog
izvoda po x sa nulom, u tački
x = ω m t = arccos(−m0 ) ,
pa se smenom u izraz (5) dobija,
1 − m0 2
m0
T
= 154μs .
, tj. RC <
> ω mT
2
ω
m
RC
m 0
1 − m0
b) Ako se pretpostavi da je konstanta pražnjenja kondenzatora mnogo veća od periode nosioca,
RC >> T , može se u prvoj aproksimaciji smatrati da je karakteristika pražnjenja kondenzatora
prava, pa će važiti:
Us =
u (t1 ) + u (t 2 ) u (t1 ) + U a
.
=
2
2
Zamenom relacije (1) u prethodnu dobija se:
Us ≈
2 ⋅ u (t1 ) − u (t1 ) ⋅
2
T
T
)
u (t1 ) ⋅ (2 −
RC =
RC .
2
Detektovani napon variraće oko ove vrednosti za:
ΔU =
u (t1 ) − U a
T
= u (t1 ) ⋅
.
2
2 RC
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
207
Traženi odnos a tada ima vrednost:
a=
ΔU
T
=
< 2 %.
U s 2 RC − T
Rešenjem nejednačine po RC , dobija se uslov:
RC >
T (1 + a )
= 25.5 ⋅ T = 127 μs .
2a
Kombinujući rezultate zadatka pod a) i b) može se zaključiti da vrednosti RC konstante iz opsega (127 ÷ 154 μs ) zadovoljavaju oba postavljena uslova.
Zadatak 8.1.10. (E, *)
Na ulaz idealnog detektora anvelope dolazi AM − NBO signal dobijen propuštanjem
KAM signala kroz sklop čija je funkcija prenosa prikazana na slici 1. Ako je modulišući signal
test ton sa učestanošću f m u opsegu 0 < f m ≤ f max , odrediti detektovani signal. Indeks modulacije ima vrednost m0 = 0.25 .
Slika 1. Funkcija prenosa sklopa kojim je iz KAM signala dobijen AM-NBO signal
Rešenje:
Na izlazu sklopa sa prenosnom karakteristikom kao na slici 1. dobija se signal oblika:
1
1
⎡
⎤
v(t ) = U c ⎢ H c ⋅ cos ω c t + m0 ⋅ H1 ⋅ cos(ω c − ω m )t + m0 ⋅ H 2 ⋅ cos(ω c + ω m )t ⎥ . (1)
2
2
⎣
⎦
U prethodnom izrazu H c , H1 i H 2 dati su izrazima: H c = H ( f c ) , H 1 = H ( f c − f m ) i
H 2 = H ( fc + fm ).
Sa slike 1. može se odrediti funkcija prenosa u analitičkom obliku:
208
Osnovi telekomunikacija, skripta
1
⎧ f − f c + f max
4
⎪
,
1
⎪
f max
⎪
2
⎪
H( f ) = ⎨
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
0,
⎩
( fc −
1
1
f max ) < f ≤ ( f c + f max ),
4
4
( fc +
1
f max ) < f ≤ ( f c + f max ),
4
drugde.
Transformacijom kosinusa zbira i razlike izraza (1) i pogodnim grupisanjem novodobijenih članova sledi:
1
⎡
⎤
v(t ) = Uc ⋅ ⎢Hc + ⋅ m0 ⋅ (H1 + H 2 ) ⋅ cosωmt ⎥ ⋅ cosωct −
2
⎣
⎦
1
− ⋅ m0 ⋅ U c ⋅ (H 2 − H1 ) ⋅ sinω mt ⋅ sinωct .
2
(2)
Prvi član izraza, uz cos ω c t , naziva se komponenta u fazi. Član uz sin ω c t naziva se komponenta u kvadraturi. Amplituda signala v(t ) data je izrazom:
2
H + H2
1
⎡
⎤
v(t ) = U c ⋅ ⎢ H c + m0 ⋅ 1
⋅ cos ω m t ⎥ + m02 ⋅ ( H 2 − H 1 ) 2 ⋅ sin 2 ω m t . (3)
4
2
⎣
⎦
Ona predstavlja detektovani signal na izlazu detektora anvelope. Na osnovu analitičkog izraza za
funkciju prenosa filtra važi:
H1 + H 2 = H ( f c − f m ) + H ( f c + f m ) = 1
⎧ 4 fm
⎪⎪ f ,
H 2 − H1 = ⎨ max
⎪ 1,
⎪⎩
0 ≤ fm <
0 ≤ f ≤ f max ,
1
f max ,
4
1
f max ≤ f m ≤ f max ,
4
(4)
1
Hc = .
2
Smenom (4) u (3) sledi:
v(t ) = U c ⋅
1
1
(1 + m0 ⋅ cos ω m t ) 2 + [m0 ⋅ ( H 2 − H 1 ) ⋅ sin ω m t ]2 .
4
4
(5)
U idealnom slučaju, detektovani signal treba da bude proporcionalan modulišućem signalu:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
vi (t ) =
209
Uc
⋅ (1 + m0 ⋅ cos ω mt ) .
2
Neželjena komponenta u detektovanom signalu u slučaju AM − NBO signala posledica je prisustva komponente u kvadraturi:
v s (t ) =
Uc
⋅ m0 ⋅ ( H 2 − H 1 ) ⋅ sin ω m t .
2
Odnos amplituda ovog i idealno detektovanog signala jeste:
v s (t ) m0 ( H 2 − H 1 ) sin ω m t
=
.
vi (t )
1 + m0 cos ω m t
Najnepovoljniji odnos nastupa kada funkcija
sin ω m t
dostigne maksimum. Analizom
1 + m0 cos ω m t
poput one pokazane u zadatku 8.1.9. dobija se da je:
vs
m0
=
( H 2 − H1 ) .
vi
1 − m02
(6)
Na osnovu izraza (6) vidi se da odnos v s / vi zavisi od učestanosti. Funkcija je prikazana na slici
2. Maksimalna vrednost ovog odnosa dobija se na učestanostima:
fm ≥
⎛v ⎞
m0
1
f max i iznosi ⎜⎜ s ⎟⎟
=
= 0.57 .
2
v
4
⎝ i ⎠ max
1 − m0
Slika 2. Odnos vs / vi kao funkcija od učestanosti
Vidi se da najveće izobličenje trpe komponente modulišućeg signala koncentrisane u višem delu
spektra. AM − NBO modulacija koristi se u prenosu TV slike preko predajnika i repetitora na
površini zemlje (tzv. zemaljske ili terestralne difuzije). Spektar televizijskog signala uglavnom je
koncentrisan u nižem delu spektra, gde je izobličenje malo, pa neznatno utiče na kvalitet
reprodukovane slike. U satelitskom prenosu koristi se prenos sa frekvencijskom modulacijom.
210
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 8.1.11. (E, **)
Na ulaz prijemnika sa slike 1. dovodi se KAM signal modulisan test tonom učestanosti f m .
Indeks modulacije je m0 . Na ulazu prijemnika postoji i beli Gausov šum spektralne gustine
srednje snage p N = N 0 / 2 . U prijemniku je idealan amplitudski detektor DA .
a) Odrediti odnos S / N u tačkama 1 i 2 (kod KAM modulisanog signala smatra se da korisni
signal čine samo bočni opsezi).
−20
b) Ako je p N = 2 ⋅10
W/Hz , U = 100 mV i B = 10 kHz , odrediti m0 tako da odnos
S / N u tački 2 bude 100 dB . Koliki je tada odnos S / N u tački 1?
Slika 1. Prijemnik KAM signala
Rešenje:
KAM signal modulisan sinusoidalnim signalom, u razvijenom obliku dat je sledećom jednačinom:
1
1
u KAM (t ) = U ⋅ cos ω c t + ⋅ m0 ⋅ U ⋅ cos(ω c + ω m )t + ⋅ m0 ⋅ U ⋅ cos(ω c − ω m )t .
2
2
Koristan signal čine bočne komponente KAM signala, bez nosioca. Njihova snaga iznosi:
1 ⎛1
⎞ 1 ⎛1
⎞ 1
PS1 = ⋅ ⎜ m02U 2 ⎟ + ⋅ ⎜ m02U 2 ⎟ = m02U 2 .
2 ⎝4
⎠ 2 ⎝4
⎠ 4
(1)
Iza pojasnog filtra, u tački 1, javlja se uskopojasni šum čija spektralna gustina srednje snage zauzima frekvencijski opseg (( f c − B ) ÷ ( f c + B )) :
n1 (t ) = nc (t ) ⋅ cos ω c t + ns (t ) ⋅ sin ω c t .
Njegova snaga ima vrednost:
PN 1 = 2
fc + B
∫ φ ( f )df
= 4 pN B = 2N0 B .
fc −B
Traženi odnos S / N u tački 1 ima vrednost:
( )
S
PS1 m02U 2 m02U 2
.
=
=
=
N1 P
16 p N B 8 N 0 B
N1
(2)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
211
Da bi se odredio odnos S / N u tački 2, treba odrediti detektovani signal. Pošto je detektor anvelope idealan, detektovani signal odgovara anvelopi signala u tački 1:
u1 (t ) = u KAM (t ) + n1 (t ) = [U ⋅ (1 + m0 ⋅ cos ω m t ) + nc (t )] ⋅ cos ω c t +
+ ns (t ) ⋅ sin ω c t = a(t ) ⋅ cos[ω c t + φ (t )] .
Anvelopa ovog signala ima oblik:
a(t ) =
[U (1 + m0 cosωmt ) + nc (t )]2 + ns2 (t ) =
2
⎡
⎤
nc (t )
ns2 (t )
=
= U (1 + m0 cosω mt ) ⎢1 +
⎥ + 2
2
U
(
1
m
cos
ω
t
)
+
+
U
(
1
m
cos
ω
t
)
0
m ⎦
⎣
m
0
2nc (t )
nc2 (t )
ns2 (t )
= U (1 + m0 cosωmt ) 1 +
+
+
.
U (1 + m0 cosωmt ) U 2 (1 + m0 cosωmt ) U 2 (1 + m0 cosωmt ) 2
(3)
Ako se pretpostavi da je šum mnogo manji od signala, odnosno ako važi:
nc (t ) << U i ns (t ) << U ,
izraz (3) može se aproksimirati prvim članovima Tejlorovog reda. Treba zanemariti treći i četvrti
sabirak izraza pod korenom i uvesti sledeću smenu:
x=
2nc (t )
.
U (1 + m0 ⋅ cos ω m t )
Za izraz pod korenom dobije se:
1+
2nc (t )
nc (t )
x
,
= 1+ x ≈ 1+ = 1+
U (1 + m0 cos ω m t )
2
U (1 + m0 cos ω m t )
pa je anvelopa signala u tački 1 ujedno i izlazni signal (na izlazu detektora anvelope):
a (t ) = u 2 (t ) ≈ U ⋅ (1 + m0 ⋅ cos ω m t ) + nc (t ) .
Snaga korisnog signala na izlazu ima vrednost:
1
PS 2 = U 2 m02 ,
2
a snaga šuma:
B
PN 2 = ∫ φ c ( f )df = 4 p N B = 2 N 0 B .
−B
Traženi odnos S / N na izlazu demodulatora, u tački 2, ima vrednost:
212
(S
Osnovi telekomunikacija, skripta
N )2
PS 2 m02U 2
=
=
= 2 ⋅ (S N )1 .
PN 2 4 N 0 B
Izražen u decibelima, ovaj odnos ima vrednost:
10 ⋅ log(S N )2 = 10 ⋅ log(S N )1 + 3 dB .
(4)
Odnos S / N na izlazu prijemnika KAM signala bolji je (veći) za 3 dB od odgovarajućeg odnosa S / N na njegovom ulazu.
b) Po uslovu zadatka sledi da je 10 ⋅ log(S N )2 = 100 dB , odnosno:
(S
N )2
m02U 2
=
= 1010 .
4N0 B
Zamenom datih brojnih podataka za indeks modulacije dobija se m0 = 0.04 .
U tački 1, na osnovu (4), odnos S / N manji je za 3 dB i iznosi 97 dB .
Zadatak 8.1.12. (E, **)
Sistemom koji koristi sinhronu demodulaciju vrši se demodulacija AM − 2 BO i KAM signala sa indeksom modulacije m0 . Modulišući signal je u m (t ) = U m ⋅ m(t ) . Idealni pojasni filtar
ima propusni opseg
opsegom (0 ÷ B ) .
(( f c − B ) ÷ ( f c + B )) . Izlazni
NF filtar takođe je idealan sa propusnim
a) Pod uslovom da su srednje snage AM − 2 BO i KAM signala jednake, uporediti odgovarajuće odnose S / N na ulazu i izlazu prijemnika, ako je spektralna gustina srednje snage belog šuma na ulazu prijemnika konstantna i iznosi p N = N 0 / 2 .
b) Izračunati razliku odnosa S / N na izlazu prijemnika AM − 2 BO i KAM signala pod pretpostavkom da bočni opsezi KAM signala nose 10 % snage nosioca.
Rešenje:
KAM signal na ulazu prijemnika dat je izrazom: u KAM (t ) = U ⋅ [1 + m0 ⋅ m(t )] ⋅ cos ω c t , a
njegova srednja snaga ima vrednost:
PKAM
[
]
U2 U2 2 2
=
+
m0 m (t ) = Pc + PBO = Pc ⋅ 1 + m02 m 2 (t ) ,
2
2
U2
gde je Pc =
snaga nosioca a PBO snaga bočnih opsega.
2
(1)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
213
Srednja snaga šuma na izlazu pojasnog filtra iznosi:
PNu = 2
fc + B
∫ p N df
= 4 pN B .
fc − B
Odnos signal/šum na ulazu prijemnika KAM signala jednak je odnosu snaga bočnih opsega i
snage šuma:
(S
N )uKAM =
PBO PKAM − Pc
=
.
PNu
PNu
(2)
Ako se sa PAM označi srednja snaga AM − 2 BO na ulazu istog prijemnika i pod uslovom
PAM = PKAM , smenom u (1) dobija se:
(S
N )uKAM =
P
P
PAM
− c = (S N )uAM − c .
PNu PNu
PNu
(3)
Snaga nosioca Pc može se, prema (1), napisati u obliku:
Pc =
PKAM
1 + m02 m 2 (t )
=
PAM
.
1 + m02 m 2 (t )
(4)
Smenom (4) u (3) sledi:
(S
N )uKAM = (S N )uAM − (S N )uAM
1
1 + m02 m 2 (t )
= (S N )uAM
m02 m 2 (t )
1 + m02 m 2 (t )
. (5)
Kada je modulišući signal test ton oblika U m ⋅ cos(ω c t ) , srednja snaga normalizovanog modu-
1
. Smenom u prethodni izraz sledi:
2
2
lišućeg signala m(t ) iznosi m (t ) =
(S
N )uKAM = (S N )uAM
m02
2 + m02
.
Lokalni nosilac u demodulatoru, kao na slici 8.1.15., ima jediničnu amplitudu. Koristan signal na
izlazu AM − 2 BO demodulatora, posle NF filtra, ima oblik:
u d (t ) =
1
⋅ U ⋅ m(t ) ,
2
dok je snaga ovog signala:
PSi =
1
⋅ PSu = D p ⋅ PSu .
4
Posle demodulacije, srednja snaga šuma na izlazu NF filtra ima vrednost:
(6)
214
Osnovi telekomunikacija, skripta
B
PNi = 2 D p ∫ 2 p N df = 4 D p p N B = D p PNu ,
0
a srednje snage demodulisanog KAM i AM − 2 BO signala:
PiKAM = 2 D p PBO
PiAM = 2 D p PAM .
i
Konstanta D p uvedena u izrazu (6) ima istu vrednost i pri određivanju izlaznog šuma i njegove
srednje snage. Pokazuje vezu između snaga izlaznih i ulaznih signala i šuma za produktne demo2
dulatore. U slučaju da lokalni nosilac ima amplitudu U l , konstanta ima vrednost D p = U l / 4 .
Traženi odnos S / N na izlazu prijemnika KAM signala ima vrednost:
(S
N )iKAM =
= 2 ⋅ (S N )uAM
2 D p PBO
D p Pnu
m02
2 + m02
=2
PBO
= 2(S N )uKAM =
Pnu
= (S N )iAM
m02
2 + m02
,
(7)
gde je sa (S / N )iAM označen odnos S / N na izlazu prijemnika AM − 2 BO signala:
(S
N )iAM = PiAM PNi = 2 PNu = 2(S N )uAM .
Izražen u dB , izraz (7) ima oblik:
10 ⋅ log(S N )iKAM = 10 ⋅ log(S N )iAM + 10 ⋅ log
m02
2 + m02
.
Razlika odnosa S / N u slučaju AM − 2 BO i KAM signala iznosi:
Δ = 10 ⋅ log(S N )iAM − 10 ⋅ log(S N )iKAM = 10 ⋅ log
2 + m02
m02
.
Očigledno je da je Δ ≥ 0 za sve moguće vrednosti indeksa modulacije, što govori o prednosti
AM − 2 BO signala u pogledu odnosa S / N . Ova razlika ima minimum za m0 = 1 . Minimum
razlike iznosi Δ = 4.8 dB .
b) Odnos S / N na izlazu prijemnika KAM signala na osnovu (5) i (7) ima vrednost:
(S
N )iKAM = (S N )iAM
m02 m 2 (t )
1 + m02 m 2 (t )
.
(8)
2
2
Na osnovu izraza (1) i uslova zadatka važi m0 m (t ) = 0.1 . Smenom u (7) dobija se:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
10 ⋅ log(S N )iAM − 10 ⋅ log(S N )iKAM = 10 ⋅ log
215
1 + m02 m 2 (t )
m02 m 2 (t )
≈ 10.4 dB .
Podaci i rezultati dobijeni pod tačkom b) tipični su za radio-difuzni prenos.
Zadatak 8.1.13. (E, **)
Sinhroni prijemnik AM − 1BO signala prikazan je na slici 1. Modulišući signal u m (t ) ima
spektar u opsegu (0 ÷ f m ) , a učestanost nosioca je f c . Na ulazu je Gausov šum sa spektralnom
gustinom srednje snage p N = N 0 / 2 .
Odrediti odnos S / N na izlazu prijemnika u funkciji odnosa S / N na njegovom ulazu.
Slika 1. Prijemnik AM-1BO signala
Rešenje:
Na ulazu pojasnog filtra AM − 1BO signal sa donjim bočnim opsegom ima oblik:
u (t ) = U ⋅ m(t ) ⋅ cos ω c t + U ⋅ mˆ (t ) ⋅ sin ω c t ,
ˆ (t ) njegova Hilbertova transformacija.
gde je m(t ) normalizovani modulišući signal, a m
Propusni opseg pojasnog filtra je B = f m , tako da signal bez izobličenja dospeva na ulaz produktnog demodulatora. Snaga signala na ulazu ima vrednost:
U2 2
U2 2
PSu =
m (t ) +
mˆ (t ) = U 2 m 2 (t ) ,
2
2
(1)
jer su srednje snage modulišućeg signala i njegove Hilbertove transformacije jednake.
Uskopojasni šum na ulazu prijemnika može se predstaviti izrazom:
n(t ) = nc (t ) ⋅ cos ω1t + ns (t ) ⋅ sin ω1t ,
gde je f1 centralna učestanost pojasnog filtra. Snaga šuma u tački A iznosi:
PNu = 2
f1 + B / 2
∫ p N df
f1 − B / 2
= 2 pN B = N0 B ,
(2)
216
Osnovi telekomunikacija, skripta
i jednaka je snazi svake od niskofrekvencijskih komponenti šuma, nc (t ) i ns (t ) .
Odnos signal/šum u tački 1 ima vrednost:
( S N ) u = PSu
P
Nu
=
U 2 m2 ( t )
.
N0 B
Posle izvršene demodulacije na izlazu NF filtra javlja se samo komponenta modulišućeg signala u fazi. Njena srednja snaga je:
1
PSi = U 2 m 2 (t ) .
4
Šum u tački 2 ima oblik:
1
n2 (t ) = n(t ) ⋅ cos ω c t = nc (t ) ⋅ [cos(ω c + ω1 )t + cos(ω c − ω1 )t ] +
2
1
+ ns (t ) ⋅ [sin(ω c + ω1 )t − sin(ω c − ω1 )t ] .
2
VF komponenta šuma odstranjuje se NF filtrom čiji je propusni opseg B << f c − f1 . Pošto
se prenosi donji bočni opseg, važi:
f c = f1 + B / 2 .
Komponente šuma koje prolaze kroz filtar, u tački 3 imaju oblik:
1
1
1
1
n3 (t ) = nc (t ) cos(ω c − ω1 )t + ns (t ) sin(ω c − ω1 )t = nc (t ) cosπBt + ns (t ) sin πBt .
2
2
2
2
Ovo je takođe uskopojasni šum sa centralnom učestanošću B / 2 . Srednja snaga ovog šuma može se odrediti na razne načine. Jedno rešenje dobija se određivanjem autokorelacije funkcije
n3 (t ) . Na isti način kao u zadatku 5.2.1. može se odrediti:
1 ⎡1
1
⎤ 1
R3 (τ ) = n3 (t )n3 (t + τ ) = ⎢ Rc (τ ) + Rs (τ )⎥ = Rc (τ ) ,
4 ⎣2
2
⎦ 4
tj.
PNi = R3 (0) =
pN B N0 B
.
=
2
4
Odnos S / N na izlazu prijemnika ima oblik:
(S
N )i =
PSi U 2 m 2 (t )
=
= (S N )u .
PNi
N0 B
Pri prenosu signala sa AM − 1BO modulacijom nema poboljšanja u odnosu snaga signala i šuma. Snaga šuma smanji se četiri puta, PNi =
1
PNu , isto kao i snaga signala.
4
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
217
8.2. Ugaone (eksponencijalne) modulacije
Fazna i frekvencijska modulacija nazivaju se i ugaone (ili eksponencijalne) modulacije. Kod
ugaonih modulacija faza nosioca zavisi od trenutne vrednosti modulišućeg signala.
8.2.1. Analitički izrazi
Fazor modulisanog signala dat je izrazom (7.3.9). Kod ugaonih modulacija, amplituda fazora
modulisanog signala konstantna je veličina (ne zavisi od vremena) pa fazor ima oblik:
u (t ) = a ⋅ e jφ (t ) .
(8.2.1)
Ugaono modulisan signal, prema (7.3.10), ima oblik:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t = a ⋅ cos(2πf c t + φ (t ) ) .
(8.2.2)
Zavisnosti parametara trenutne faze od modulišućeg signala dati su izrazima (7.3.5) i (7.3.6).
Ako se izvrši normalizacija modulišućeg signala, kao u (8.1.8), izraz (7.3.5) može da se napiše u
obliku:
φ (t ) = Δφ ⋅ m(t ) ,
(8.2.3)
gde je Δφ konstanta koja se naziva maksimalna devijacija faze, ili indeks modulacije za faznu
modulaciju.
Sličnim postupkom, preko izraza (7.3.6), dobija se izraz za trenutnu devijaciju učestanosti u obliku:
δf = Δf ⋅ m(t ) ,
(8.2.4)
gde je Δf konstanta koja se naziva maksimalna devijacija učestanosti. Da bi se došlo do indeksa
modulacije za frekvencijsku modulaciju, treba ponovo odrediti trenutnu fazu FM signala i naći
njen normalizovan oblik. Iz izraza (7.3.3) dobija se:
φ (t ) = 2π ⋅ Δf ⋅ ∫ m(t ) ⋅ dt = 2π ⋅ Δf ⋅
( ∫ m(t ) ⋅ dt )⋅
max
∫ m(t ) ⋅ dt
( ∫ m(t ) ⋅ dt )
,
(8.2.5)
max
Razlomak na desnoj strani izraza (8.2.5) izražen je u normalizovanom obliku. Ostatak desne strane odgovara maksimalnoj devijaciji faze:
Δφ = 2π ⋅ Δf ⋅ ∫ m(t ) ⋅ dt
max
,
a ona odgovara indeksu modulacije za frekvencijsku modulaciju.
(8.2.6)
218
Osnovi telekomunikacija, skripta
Svi ostali postupci opisani u poglavlju 7.3. u opštoj teoriji modulacija, a naročito izraz (7.3.17)
koji pokazuje vezu između spektra modulisanog signala i spektra fazora, mogu se primeniti i na
ugaono modulisane signale.
Osnovne karakteristike ugaono modulisanog signala, fazor, spektar fazora i analitički izraz za
modulisani signal mogu se pokazati na sledećem primeru.
Primer 1.
Odrediti trenutnu fazu ugaono modulisanih signala, fazor, modulisani signal i spektar modulisanog signala ako je modulišući signal prostoperiodičan.
Neka je modulišući signal dat u obliku:
u m (t ) = U m ⋅ sin( 2πf mt ) .
(8.2.7)
Normalizacijom modulišućeg signala u (8.2.7) dobija se: u m (t ) = U m ⋅ m(t ) , pri čemu je:
m(t ) = sin( 2πf mt ) ,
(8.2.8)
pošto je prostoperiodična funkcija sa jediničnom amplitudom po svojoj prirodi normalizovana.
Kod fazne modulacije trenutna faza fazora modulisanog signala ima oblik:
φ (t ) = Δφ ⋅ m(t ) = Δφ ⋅ sin(2πf mt ) ,
(8.2.9)
a kod frekvencijske modulacije, prema (8.2.5), dobija se da faza ima oblik:
φ (t ) = 2π ⋅ Δf ⋅ ∫ m(t ) ⋅ dt = 2π ⋅ Δf ⋅ ∫ sin(2πf mt ) ⋅ dt = −
Δf
⋅ cos(2πf mt ) .
fm
(8.2.10)
Kod oba tipa ugaonih modulacija faza se može dovesti na oblik:
φ (t ) = m0 ⋅ sin(2πf mt − θ ) ,
gde je za faznu modulaciju m0 = Δφ , θ = 0 , a za frekvencijsku m0 =
(8.2.11)
Δf
π
,θ = .
fm
2
Isti oblik faze važi i za slučaj da je modulišući signal oblika u m (t ) = U m ⋅ cos(2πf m t ) , ali su
parametri m0 i θ različiti od navedenih.
Fazor modulisanog signala može se napisati u obliku:
u (t ) = U ⋅ e jφ (t ) = e jm0 ⋅sin( 2πf m t −θ ) ,
(8.2.12)
gde je, radi jednostavnosti, stavljeno U = 1 . Analizom izraza (8.2.12) može se utvrditi da je
fazor modulisanog signala periodičan signal sa periodom T = 1 / f m . Prema dosadašnjim
znanjima, takav signal može se razviti u Furijeov red u obliku:
u (t ) =
∞
∑ F n ⋅ e jn⋅2πf
n = −∞
mt
,
(8.2.13)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
219
gde su kompleksni koeficijenti dati izrazom:
Fn =
T
2
1
T
∫e
−
jm0 ⋅sin( 2πf m t −θ )
⋅ e − jn ⋅ 2πf m t ⋅ dt .
(8.2.14)
T
2
Nakon uvođenja smene 2πf mt − θ = x i sređivanja, dobija se koeficijent u obliku:
Fn = e
− jnθ
1
⋅
2π
π −θ
∫e
j ( m0 ⋅sin x − nx )
⋅ dx .
(8.2.14a)
−π −θ
Dalje analitičko sređivanje gornjeg izraza nije moguće jer nisu poznati odgovarajući tablični integrali. U teoriji se pokazuje da integral u izrazu (8.2.14a) ima posebno značenje. Radi se o tzv.
Beselovoj (Bessel) funkciji, prve vrste, n-tog reda:
1
J n (m0 ) =
2π
π −θ
∫e
j ( m0 ⋅sin x − nx )
⋅ dx .
(8.2.15)
−π −θ
Beselove funkcije date su u literaturi [1] u grafičkoj i tabelarnoj formi. Izvod iz tabele dat je u
zadatku 8.2.1. Interesantno da je Bessel ove funkcije odredio oko 1817.god, rešavajući probleme
indirektne perturbacije planeta u Sunčevom sistemu.
Fazor modulisanog signala može se sada napisati u obliku:
u (t ) =
∞
∑ e − jnθ ⋅ J n (m0 ) ⋅ e jn⋅2πf
mt
.
(8.2.16)
n = −∞
Spektar fazora modulisanog signala dobija se Furijeovom transformacijom izraza (8.2.16). Postupak je veoma jednostavan, a rezultat ima oblik:
U(f)=
∞
∑ e − jnθ ⋅ J n (m0 ) ⋅ δ ( f − n ⋅ f m ) .
(8.2.17)
n = −∞
Spektar fazora modulisanog signala prikazan je na slici 8.2.1. Prema (8.2.17), širina spektra
fazora modulisanog signala beskonačna je čak i u slučaju modulišućeg signala, u obliku prostoperiodične funkcije.
U( f )
− fm
fm 2 f m
f
Slika 8.2.1. Spektar fazora ugaono modulisanog signala
Očigledna je značajna razlika između fazora ugaono modulisanog signala i bilo kog fazora amplitudski modulisanih signala, pokazanih u prethodnom poglavlju. Pojava brojnih komponenti
220
Osnovi telekomunikacija, skripta
koje nisu postojale u spektru modulišućeg signala potvrđuje činjenicu da su ugaone modulacije
po svojim karakteristikama nelinearne.
Za praktičnu primenu, Beselove funkcije imaju tri značajne osobine:
1) Beselova funkcija sa negativnim indeksom određuje se prema izrazu:
J − n (m0 ) = (−1) n ⋅ J n (m0 ) .
(8.2.18)
2) Amplituda Beselovih funkcija menja se u obliku prigušenih oscilacija, pri čemu je veoma značajno amplitudsko ograničenje:
J n (m0 ) < 0,1 za n > m0 + 1 .
(8.2.19)
3) Interesantna je i osobina koja se mogla i očekivati na osnovu bilansa snage prostoperiodičnog
signala i Beselovog razvoja:
∞
∑ J n (m0 )
2
= 1.
(8.2.20)
n = −∞
Na osnovu poslednje dve osobine može se odrediti širina spektra ugaono modulisanog signala.
Smatra se u praksi da ugaono modulisani signal ima širinu spektra koja obuhvata značajne komponente. Kao značajne, definišu se one komponente koje sadrže više od 1% ukupne snage signala. Prema izrazu (8.2.19), broj značajnih komponenti jednak je m0 + 1 . Ako se uzme u obzir
da je u modulisanom signalu fazor transliran na učestanost f c i da je amplitudski spektar fazora,
prema (8.2.18), paran, ukupan broj značajnih komponenti iznosi 2( m0 + 1) . Komponente su
razmaknute za f m , pa širina spektra iznosi:
B = 2 f m ⋅ (m0 + 1) .
(8.2.21)
Ovu osobinu prvi je pokazao Karson (Carson) pa se izraz (8.2.21) naziva Karsonov obrazac ili
Karsonovo pravilo. Ako modulišući signal nije prostoperiodičan, koristi se isto pravilo, ali f m
tada odgovara najvišoj učestanosti u spektru modulisanog signala.
Indeks modulacije m0 igra izuzetno važnu ulogu u određivanju širine spektra. Prema (8.2.3) i
(8.2.21), kod fazne modulacije širina spektra iznosi:
BΦM = 2 f m ⋅ (Δφ + 1) ,
(8.2.21a)
dok je kod frekvencijske modulacije, prema (8.2.10), širina spektra:
BFM = 2 f m ⋅ (
Δf
+ 1) = 2 ⋅ (Δf + f m ) .
fm
Modulisani signal određuje se kao:
(8.2.21b)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
{
}
⎧
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t = Re ⎨
⎩
=
∞
221
∑ J n (m0 ) ⋅ e j (2π ⋅( f
c + nf m ) t − nθ )
n = −∞
⎫
⎬=
⎭
∞
∑ J n (m0 ) ⋅ cos[2π ⋅ ( f c + nf m )t − nθ ] .
(8.2.22)
n = −∞
Spektar modulisanog signala pokazan je u zadatku 8.2.1.
Modulisani signal kod ugaone modulacije dat je u opštem slučaju izrazom (8.2.2), a u slučaju
prostoperiodičnog modulišućeg signala izrazom (8.2.22). Na osnovu ovih izraza mogu se izvesti
interesantni identiteti. Izjednačavanjem ovih izraza (kao i imaginarnih delova koji ovde nisu detaljno pokazani), dobijaju se sledeći identiteti:
∞
sin(α + m ⋅ sin β ) =
∑ J n (m) ⋅ sin(α + n ⋅ β ) ,
(8.2.23a)
n = −∞
cos(α + m ⋅ sin β ) =
∞
∑ J n (m) ⋅ cos(α + n ⋅ β ) ,
(8.2.23b)
n = −∞
sin(α + m ⋅ cos β ) =
cos(α + m ⋅ cos β ) =
∞
π
∑
J n (m) ⋅ sin(α + n ⋅ β + n ⋅ ) ,
2
n = −∞
∞
(8.2.23c)
π
∑
J n (m) ⋅ cos(α + n ⋅ β + n ⋅ ) ,
2
n = −∞
(8.2.23d)
Primer 2.
Ako je modulišući signal jednak zbiru dva prostoperiodična signala različitih učestanosti, tj.
u m (t ) = U m ⋅ sin( 2πf m1t ) + U m ⋅ sin( 2πf m 2t ) ,
(8.2.24)
ponavlja se sličan postupak, ali je fazor modulisanog signala nešto složeniji:
u (t ) = e j [m01 ⋅sin( 2πf m1t −θ1 ) + m02 ⋅sin( 2πf m 2 t −θ 2 ) ] ,
(8.2.25)
pa se dva puta vrši već opisan razvoj u Furijeov red, da bi se na kraju dobilo da je fazor modulisanog signala jednak:
u (t ) =
∞
∑ J n (m01 ) ⋅ e j[( 2πnf m1t − nθ1 )]
n = −∞
∞
∑ J p (m02 ) ⋅ e j[(2πpf
m 2 t − pθ 2 )
].
(8.2.26)
p = −∞
Ovaj izraz može da se napiše i u obliku dvostruke sume.
Modulisani signal dobija se na kraju u obliku:
u (t ) =
∞
∞
∑ ∑ J n (m01 ) ⋅ J p (m02 ) ⋅ cos[2π ⋅ ( f c + nf m1 + pf m2 )t − nθ1 − pθ 2 ] . (8.2.27)
n = −∞ p = −∞
222
Osnovi telekomunikacija, skripta
8.2.2. Ugaoni modulatori
Povezanost fazne i frekvencijske modulacije može se pokazati i iskoristiti u postupcima modulacije i demodulacije.
Indirektni postupci modulacije
Pretpostavimo da postoji idealni fazni modulator. Takav uređaj ima dva kraja, ulaz i izlaz. Na
ulaz modulatora dovodi se modulišući signal. Često je pogodno da se unapred izvrši njegova normalizacija pa se ulazni (modulišući) signal označava kao m(t ) . U izlaznom, modulisanom signalu, trenutna faza proporcionalna je ulaznom signalu, prema izrazu (8.2.3). Istovremeno je trenutna devijacija učestanosti fazno modulisanog signala jednaka izvodu signala sa ulaza modulatora.
Na sličan način, idealni frekvencijski modulator na svom izlazu daje signal kod kog je trenutna
devijacija učestanosti proporcionalna ulaznom (modulišućem) signalu, m(t ) . Istovremeno je trenutna faza frekvencijski modulisanog signala jednaka integralu ulaznog signala.
Na osnovu upravo navedenih zaključaka može se odrediti i način na koji se modulacija može izvršiti indirektnim postupkom. Blok šeme idealnih modulatora i odgovarajućih indirektnih modulatora pokazane su na slici 8.2.2.
FM
(=)
I
ΦM
ΦM
(=)
D
FM
Slika 8.2.1. Blok šema idealnih i indirektnih ugaonih modulatora
Indirektni frekvencijski modulator FM sastoji se od redne veze integratora I i idealnog faznog
modulatora ΦM . U ovakvoj vezi frekvencijski modulisan signal dobija se nakon integracije
modulišućeg signala i idealne fazne modulacije. Pri faznoj modulaciji faza izlaznog signala postaje proporcionalna integralu modulišućeg signala, a trenutna devijacija učestanosti (izvod faze), proporcionalna je modulišućem signalu, što odgovara frekvencijskoj modulaciji.
Indirektni fazni modulator ΦM sastoji se od redne veze diferencijatora D i idealnog frekvencijskog modulatora FM . Fazno modulisani signal dobija se nakon diferencijacije modulišućeg
signala i idealne frekvencijske modulacije, u okviru koje je trenutna devijacija učestanosti proporcionalna izvodu modulišućeg signala. Faza izlaznog signala (integral trenutne učestanosti),
proporcionalna je modulišućem signalu, što odgovara faznoj modulaciji.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
223
Direktni postupci modulacije
Postoje dve grupe postupaka za direktno generisanje ugaono modulisanih signala. To su:
1) postupci zasnovani na kvadraturnoj modulaciji i
2) parametarski postupci modulacije.
Kvadraturna modulacija
Blok šema kvadraturnog faznog modulatora prikazana je na slici 8.2.2. Nelinearni sistemi C i
S osnovne su komponente ovog modulatora. Na svom izlazu treba da generišu signale:
p (t ) = cos(k ⋅ u m (t )) i
q (t ) = sin( k ⋅ u m (t )) ,
(8.2.28)
respektivno, gde je k konstanta. Na izlazu kola za sabiranje dobije se signal:
⎛
q (t ) ⎞
p 2 (t ) + q 2 (t ) ⋅ cos⎜⎜ ω c t + arctg
⎟=
p (t ) ⎟⎠
⎝
u (t ) = p (t ) ⋅ cos ω c t − q (t ) ⋅ sin ω c t =
= cos(ω c t + k ⋅ u m (t ) ) .
(8.2.29)
C
u m (t )
p(t )
cos ω c t
S
u (t )
q (t )
− sin ω c t
Slika 8.2.2. Blok šema idealnog kvadraturnog faznog modulatora
Praktična realizacija ovakvih sklopova nije jednostavna.
Za slučaj da je k ⋅ u m (t ) << 1, može se izvršiti dvostruka aproksimacija: cos(k ⋅ u m (t )) ≈ 1 i
sin( k ⋅ u m (t )) ≈ k ⋅ u m (t ) . Modulator sa ovim aproksimacijama naziva se Armstrongov modulator. Obično se ovaj modulator realizuje kao indirektni frekvencijski modulator, što znači da mu
se na ulazu dodaje integrator, u skladu sa slikom 8.2.1.
Edwin Armstrong je američki istraživač čiji doprinos savremenim telekomunikacijama može da
se uporedi sa doprinosima Herca i Markonija. Armstrong nije izmislio frekvencijsku modulaciju
ali je prvi pokazao njene dobre osobine i dugo se borio sa američkom tehničkom administracijom (FCC, Federal Communications Commision) za priznavanje kvaliteta sistema baziranih na
FM. Nakon što je izvojevao pobedu, krajem četrdesetih godina prošlog veka, došlo je do naglog
razvoja FM radio difuzije. Radio difuzna industrija nije vrednovala Armstrongove zasluge. Duboko razočaran, osiromašen i usamljen, Armstrong je 1954. izvršio samoubistvo skočivši kroz
prozor na 13. spratu.
224
Osnovi telekomunikacija, skripta
Blok šema Armstrongovog frekvencijskog modulatora data je na slici 8.2.3.
u m (t )
I
u1 (t )
k
π /2
u (t )
U c ⋅ cos( 2πf ct )
Slika 8.2.3. Blok šema Armstrongovog modulatora
Signal u1 (t ) jednak je integralu modulišućeg signala. Na izlazu sabirača dobija se signal:
u (t ) = U c ⋅ cos 2πf c t + k ⋅ u1 (t ) ⋅ U c ⋅ cos(2πf c t + π / 2) =
= U c ⋅ cos 2πf c t − k ⋅ U c ⋅ u1 (t ) ⋅ sin 2πf c t = a(t ) ⋅ cos(2πf c t + φ (t )) .
(8.2.30)
Trenutna amplituda modulisanog signala a (t ) = U c ⋅ 1 + (k ⋅ u1 (t ) ) , i trenutna faza moduli2
sanog signala
φ (t ) = arctg (k ⋅ u1 (t )) ≈ k ⋅ u1 (t ) −
1
⋅ (k ⋅ u1 (t ) )3 + ... određuju se primenom
3!
jednostavnih trigonometrijskih relacija pokazanih, npr. u zadatku 2.3.1., pri određivanju koeficijenata trećeg oblika Furijeovog reda.
Kod ovog tipa modulatora javljaju se i amplitudska i fazna izobličenja, ali su ona mala i mogu se
prihvatiti na račun relativne jednostavnosti modulatora.
Parametarski modulatori
Modulatori kod kojih je najvažnija komponenta oscilatorno kolo nazivaju se parametarski modulatori. Rezonantna učestanost oscilatornog kola sastavljenog od paralelne veze kalema induktivnosti L0 i kondenzatora kapacitivnosti C0 , prikazanog na slici 8.2.4., jednaka je:
fr =
1
.
2π L0C0
(8.2.31)
Slika 8.2.4. Paralelno oscilatorno kolo
Ako se paralelno kondenzatoru sa konstantnom kapacitivnošću veže još jedan kondenzator, čija
se kapacitivnost, C (u m (t )) = C (v) , menja u zavisnosti od trenutne vrednosti modulišućeg sig-
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
225
nala, dobija se oscilatorno kolo čija rezonantna učestanost zavisi od modulišućeg signala. Ovaj
tip oscilatora naziva se naponski kontrolisani oscilator ili VCO (engl. Voltage-Controlled Oscillator). Elektronske komponente koje imaju osobinu da im kapacitivnost zavisi od priključenog
napona nazivaju se varikap ili varaktor diode.
Rezonantna učestanost sada se može opisati izrazom:
fr =
1
.
2π L0 ⋅ (C0 + C (u m ))
(8.2.32)
Rezonantna učestanost f r prema prethodnom izrazu nelinearno zavisi od modulišućeg signala
u m = u m (t ) . Ako se, međutim, promenljiva kapacitivnost menja kao:
C (u m ) = C p − k ⋅ u m (t ) ,
(8.2.33)
uz dodatne uslove C0 >> C p > k ⋅ u m (t ) max , može se odrediti učestanost nosioca (u situaciji
u kojoj je u m (t ) = 0 ) u obliku:
fc =
1
,
2π L0 ⋅ (C0 + C p )
(8.2.34)
i rezonantna učestanost koja je jednaka trenutnoj učestanosti modulisanog signala:
fr =
1
=
2π L0 ⋅ (C0 + C p − k ⋅ u m (t ))
1
⎛ k ⋅ u m (t ) ⎞
⎟
2π L0 ⋅ (C0 + C p ) ⋅ ⎜1 −
⎜ C0 + C p ⎟
⎠
⎝
⎛
k ⋅ u m (t ) ⎞⎟
= f c ⋅ ⎜1 +
= f c + Δf ⋅ m(t ) ,
⎜ 2(C0 + C p ) ⎟
⎝
⎠
gde je iskorišćen izraz (8.2.34) i aproksimacija
Konstanta Δf , sa vrednošću:
Δf =
k ⋅ f c ⋅ u m (t ) max
2(C0 + C p )
,
=
(8.2.35)
1
x
≈ 1 m za malu vrednost veličine x .
2
1± x
(8.2.36)
odgovara maksimalnoj devijaciji učestanosti. Prema izrazu (8.2.35) zavisnost rezonatne učestanosti od modulišućeg signala približno je linearna.
Pomoću parametarskih modulatora postižu se zadovoljavajuće vrednosti maksimalne devijacije
učestanosti. Međutim, stabilnost frekvencije izlaznog signala veoma je loša pa se ovaj tip modulatora primenjuje retko.
226
Osnovi telekomunikacija, skripta
8.2.3. Ugaoni demodulatori
Indirektni postupci demodulacije
Idealni fazni demodulator na svom izlazu daje signal koji je proporcionalan sa trenutnom fazom
modulisanog signala.
Idealni frekvencijski demodulator na svom izlazu daje signal koji je proporcionalan sa trenutnom
učestanošću modulisanog signala.
Slično kao i kod ugaonih modulatora, ugaona demodulacija može se realizovati indirektno, uz
pomoć dopunskih kola, diferencijatora i integratora. Ova dopunska kola kompenzuju uticaj odgovarajućih kola na predajnoj strani.
Blok šeme idealnih demodulatora i odgovarajućih indirektnih demodulatora za ugaono modulisane signale prikazane su na slici 8.2.5.
ΦD
D
(=)
FD
FD
I
(=)
ΦD
Slika 8.2.5. Blok šeme indirektnih demodulatora
Indirektni frekvencijski demodulator FD sastoji se od redne veze idealnog faznog demodulatora ΦD i diferencijatora D . Demodulisani signal dobija se nakon idealne fazne demodulacije,
u okviru koje izlazni signal postaje proporcionalan trenutnoj fazi. tj. integralu modulišućeg signala. Nakon diferencijacije, izlazni signal proporcionalan je modulišućem signalu.
Indirektni fazni demodulator ΦD sastoji se od redne veze idealnog frekvencijskog demodulatora FD i integratora D . Demodulisani signal dobija se nakon idealne frekvencijske demodulacije, u okviru koje izlazni signal postaje proporcionalan trenutnoj učestanosti, tj. izvodu
modulišućeg signala. Nakon integracije, izlazni signal proporcionalan je modulišućem signalu.
Direktni postupci demodulacije
Kod ugaono modulisanog signala poruka je utisnuta u trenutnu učestanost signala. Postoji nekoliko načina za demodulaciju ovakvih signala. To su:
- demodulacija pomoću diskriminatora učestanosti,
- diferencijalna frekvencijska demodulacija i
- demodulacija pomoću fazne petlje.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
227
Demodulacija pomoću diskriminatora učestanosti
Demodulacija ugaono modulisanih signala moguća je primenom linearnog kola koje ima osobinu
da amplituda izlaznog napona linearno zavisi od trenutne učestanosti ulaznog signala. Ovakvo
linearno kolo naziva se diskriminator učestanosti. Detaljna analiza rada ovog kola veoma je složena. Obično se vrši skraćena, tzv. kvazistacionarna (ili kvaziperiodična) analiza.
Smatra se da se modulisani signal, koji je u opštem obliku dat izrazom (8.2.2), može napisati u
obliku:
u (t ) = a ⋅ cos(2πf c t + φ (t ) ) = a ⋅ cos 2πf t t ,
(8.2.37)
gde je trenutna učestanost (trenutna zato što zavisi od vremena), prema (7.3.2), (7.3.3.) i (7.3.6):
ft =
1 d
⋅ [2πf c t + φ (t )] = f c + δf = f c + Δf ⋅ m(t ) .
2π dt
(8.2.38)
Ako se f t sporo menja, smatra se da frekvencijski modulisan signal sadrži samo jednu prostoperiodičnu komponentu. To praktično znači i da spektar FM signala sadrži samo jedan par delta
impulsa na učestanostima ± f t . Vrednost učestanosti f t , prema (8.2.38), polako se menja u
vremenu, u granicama f c − Δf ≤ f t ≤ f c + Δf .
U opsegu promene trenutne učestanosti prenosna karakteristika diskriminatora treba da ima oblik
prave linije, kao na slici 8.2.6. Uticaj diskriminatora učestanosti na FM signal (8.2.37) sačinjen
od jedne prostoperiodične komponente svodi se na promenu amplitude i faze FM signala. Ako je
nagib prave jednak k , tada se, pri promeni trenutne učestanosti modulisanog signala za vrednost
f1 , napon (amplituda) signala na izlazu menja za vrednost k ⋅ f1 .
Signal na izlazu diskriminatora u ovom slučaju ima oblik:
v(t ) = a ⋅ A( f t ) ⋅ cos(2πf t t + φ ( f t ) ) ,
(8.2.39)
gde je sa A( f t ) označena vrednost modula prenosne karakteristike diskriminatora, a sa
vrenost argumenta prenosne karakteristike diskriminatora na učestanosti f = f t .
φ ( ft )
A( f )
f c − Δf
fc
f c + Δf
f
Slika 8.2.6. Prenosna karakteristika diskriminatora
Signal na izlazu iz diskriminatora, v(t ) , istovremeno je modulisan kao KAM i kao FM signal,
jer mu se menjaju i amplituda i faza.
228
Osnovi telekomunikacija, skripta
Blok šema demodulatora sa diskriminatorom učestanosti data je na slici 8.2.7.
L
DF
DA
Slika 8.2.7. Blok šema demodulatora sa diskriminatorom učestanosti
Posle diskriminatora, detektor anvelope praktično vrši demodulaciju KAM signala, bez obzira
što taj signal ima i promenljivu frekvenciju.
Kod ovog tipa demodulacije značajnu ulogu ima i limiter, L . Limiter je nelinearno kolo koje treba da eliminiše nepoželjne promene trenutne amplitude ugaono modulisanog signala, nastale pod
uticajem šuma, smetnji ili izobličenja. Funkcionisanje limitera detaljno je opisano u nastavku
ovog poglavlja.
Diferencijalna frekvencijska demodulacija
Blok šema diferencijalnog FM demodulatora prikazana je na slici 8.2.8.
k
u (t )
T
u2 (t )
NF
u1 (t )
ud (t )
fg
Slika 8.2.8. Blok šema diferencijalnog FM demodulatora
Na ulaz demodulatora dovodi se FM signal dat izrazom 8.2.2. Signal na izlazu kola za kašnjenje
jednak je:
u1 (t ) = a ⋅ cos(2πf c (t − T ) + φ (t − T ) ) .
(8.2.40)
Signal na izlazu množača jednak je:
u 2 (t ) = k ⋅ u (t ) ⋅ u1 (t ) = k ⋅ a 2 ⋅ cos(2πf c t + φ (t ) ) ⋅ cos(2πf c (t − T ) + φ (t − T ) ) .
(8.2.41)
Nakon sređivanja izraza (8.2.41) dobije se signal u obliku:
u 2 (t ) =
k ⋅ a2
⋅ [cos(2πf c (2t − T ) + φ (t ) + φ (t − T ) ) + cos(2πf cT + φ (t ) − φ (t − T ) )] .
2
(8.2.42)
U ovom izrazu uočavamo dva kosinusna sabirka. Spektar prvog sabirka, onog koji ima oblik
cos(2πf c (2t − T ) + φ (t ) + φ (t − T ) ) , nalazi se u okolini učestanosti 2 ⋅ f c . Spektar drugog
sabirka, onog koji ima oblik cos(2πf cT + φ (t ) − φ (t − T ) ) , nalazi se u okolini koordinatnog
početka. Propuštanjem signala u 2 (t ) kroz NF filtar eliminiše se sabirak na visokim učestanostima pa je izlazni signal jednak:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
u d (t ) =
229
k ⋅ a2
⋅ cos(2πf cT + φ (t ) − φ (t − T ) ) .
2
(8.2.43)
Ako se, podešavanjem vrednosti proizvoda f c ⋅ T , obezbedi da važi jednakost:
2πf cT = −
π
2
+ 2kπ ,
(8.2.44)
kosinusna zavisnost u signalu u d (t ) pretvara se u sinusnu. Ako je kašnjenje T malo, mala će
biti i razlika faza koja je preostala kao argument sinusne funkcije, φ (t ) − φ (t − T ) . Tada se može primeniti aproksimacija sin x ≈ x , pa izlazni signal ima oblik:
k ⋅ a2
k ⋅ a2
u d (t ) =
⋅ sin (φ (t ) − φ (t − T ) ) ≈
⋅ [φ (t ) − φ (t − T )] =
2
2
=
k ⋅ a 2 ⋅ T [φ (t ) − φ (t − T )] k ⋅ a 2 ⋅ T dφ (t )
,
⋅
≈
⋅
2
T
2
dt
(8.2.45)
gde je usvojena i aproksimacija po kojoj je prvi izvod jednak količniku priraštaja funkcije i promenljive.
Pošto je sada izlazni signal proporcionalan izvodu faze modulisanog signala, on je praktično proporcionalan i modulišućem signalu pa je na ovaj način izvršena i demodulacija FM signala. Detalji vezani za proračun i primenjene aproksimacije pokazani su u zadatku 8.2.7.
Demodulacija pomoću fazne petlje
Demodulacija pomoću fazne petlje (PLL, Phase Locked Loop) predstavlja još jedan savremeni
tip demodulacije koji se danas sve više primenjuje u digitalnim prijemnicima, zahvaljujući realizaciji PLL demodulatora u integrisanim kolima. Principijelna blok šema data je na slici 8.2.9.
u (t )
Komparator faze
u d (t )
u1 (t )
VCO
Slika 8.2.9. Blok šema PLL demodulatora
Kolo za PLL ima dve osnovne komponente: komparator faze i naponski kontrolisani oscilator,
VCO.
Komparator faze je nelinearno kolo koje ima dva ulazna signala i jedan izlazni signal. Ako se na
ulaze kola dovedu dva periodična signala sa jednakim učestanostima ali međusobno pomerena za
230
Osnovi telekomunikacija, skripta
neki vremenski interval τ , vrednost izlaznog napona proporcionalna je sa vremenskim pomerajem, uo = k ⋅ τ , gde je k konstanta proporcionalnosti.
VCO je oscilatorno kolo kod kog se učestanost izlaznog signala menja u zavisnosti od ulaznog
napona. Princip rada veoma je sličan principu rada parametarskih FM modulatora, opisanih ranije, u poglavlju 8.2.2.
Ako su komparator faze i VCO povezani kao na slici 8.2.9., u stacionarnom stanju VCO je podešen tako da učestanost njegovog izlaznog signala bude jednaka učestanosti nemodulisanog nosioca. Pri tom je izlazni napon jednak nuli jer na ulazima komparatora faze (nemodulisani nosilac i izlaz VCO) nema fazne razlike. U trenutku kad se na jednom ulazu komparatora umesto nemodulisanog nosioca pojavi frekvencijski modulisan signal, dolazi do promene njegove faze,
odnosno do pojave fazne razlike (istovremeno i razlike u ulaznim učestanostima). Ako izlazni
napon komparatora počinje da raste, ovaj porast napona istovremeno izaziva povećanje učestanosti signala na izlazu iz VCO, a samim tim i smanjenja fazne, odnosno frekvencijske razlike, pa
se sistem ponovo dovodi u stacionarno stanje u kom je izlazni signal jednak nuli. Promene izlaznog napona javljaju se samo pri promenama učestanosti ulaznog signala, jer te promene izazivaju promenu faze. Može se i analitički pokazati da je izlazni napon proporcionalan trenutnoj
učestanosti FM signala.
Limiter
Limiter je nelinearni sistem koji ima neobično velik značaj u postupku demodulacije ugaono modulisanih signala. Ponekad se naziva i kliper ili kolo za klipovanje. Karakteristika limitera prikazana je na slici 8.2.10.
u iz (t )
u ul (t )
Slika 8.2.10. Karakteristika limitera
Detaljan matematički opis funkcionisanja limitera veoma je složen i izlazi izvan domena ovog
udžbenika. Namena limitera jeste eliminacija parazitne amplitudske modulacije kod ugaono modulisanih signala. Njegovo funkcionisanje može se najlakše ilustrovati grafički.
Posmatrajmo signale na slici 8.2.11. Signal a) predstavlja FM signal u FM (t ) bez uticaja šuma
i izobličenja, npr. na izlazu modulatora. Signal b) odgovara signalu na ulazu u demodulator,
jednakom zbiru modulisanog signala i šuma. Očigledno je da se uticaj šuma značajno odražava
na trenutnu amplitudu signala. Napon na izlazu limitera u L (t ) u obliku povorke pravougaonih
impulsa različitog trajanja, konstantne amplitude, ima oblik prikazan na slici 8.2.11c).
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
231
Može se zapaziti da signal ima konstantnu amplitudu, a da su preseci sa nulom, u kojima je inače
sakriven modulisani signal, praktično nepromenjeni.
u FM (t )
t
u FM (t ) + n(t )
t
u L (t )
t
Slika 8.2.11. Ilustracija rada limitera: FM signal (a), izobličeni FM signal (b) i
signal na izlazu klipera (c)
Složenim analitičkim postupkom može se pokazati da se razvojem signala sa slike 8.2.1c. u neku
vrstu Furijeovog reda kao prvi harmonik dobija ugaono modulisan signal, bez amplitudskih izo-
232
Osnovi telekomunikacija, skripta
bličenja. Najznačajnija osobina ovog signala jeste da je modulišući signal upisan u ritam preseka
modulisanog signala sa nulom. Ovaj ritam odgovara trenutnoj učestanosti, a ona je direktno srazmerna sa modulišućim signalom ili njegovim prvim izvodom.
Snaga UM signala
Za različite primene ponekad je potrebno odrediti snagu ugaono modulisanog signala. Proračun
se zasniva na pretpostavci da je nosilac ugaono modulisan sinusoidalnim test tonom, kao npr.
signal:
u (t ) = a ⋅ cos(2πf c t + m ⋅ cos(2πf mt ) ) .
(8.2.46)
Trenutna snaga ovog signala na otporniku otpornosti R data je izrazom:
u 2 (t ) a 2
=
⋅ cos 2 (2πf c t + m ⋅ cos(2πf mt ) ) .
p (t ) =
R
R
(8.2.47)
Da bi se odredila srednja snaga, treba odrediti srednju vrednost trenutne snage na nekom intervalu. Već je ranije rečeno:
- kod periodičnih signala taj interval jednak je periodi,
- kod aperiodičnih signala srednja snaga se ne definiše jer je obično jednaka nuli, pošto se smatra
da interval usrednjavanja teži beskonačnosti i
- kod slučajnih signala interval treba da bude što veći da bi rezultat bio tačniji.
Signal dat izrazom (8.2.46) ima osobine sva tri tipa signala. Definisan je i poznat za svaku vrednost vremena, t , (dakle, deterministički); ima osobinu periodičnosti (zbog postojanja kosinusne
funkcije) ali nije uvek periodičan. Periodičnost zavisi od odnosa f c i f m pa je signal ili periodičan ili aperiodičan, a u svakom slučaju ima beskonačnu energiju, što uglavnom nije osobina aperiodičnih signala nego odgovara osobinama slučajnih signala.
Detaljnom analizom postupka usrednjavanja izraza (8.2.47), pokazanom u [1], može se pokazati
da je snaga modulisanog signala na otporniku otpornosti R jednaka
a2
,
P=
2⋅ R
(8.2.48)
skoro uvek. Izuzetak čine samo neke kombinacije vrednosti f c i f m . Mnogi autori uopšte ne
analiziraju detaljnije ovo pitanje nego ugaono modulisan signal posmatraju kao prostoperiodičan
signal i snagu uvek određuju prema (8.2.48), pa se može smatrati da taj izraz odgovara snazi
2
ugaono modulisanog signala. Obično se smatra da je R = 1 pa snaga ima vrednost P = a / 2 .
8.2.4. Šum kod ugaonih modulacija
Kao i kod amplitudskih modulacija, uticaj šuma kod ugaonih modulacionih postupaka određuje
se tako što se izračunava odnos snaga korisnog signala i šuma na ulazu prijemnika, posle pojasnog filtra i na izlazu prijemnika.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
233
Za razliku od amplitudske modulacije, kod koje je samo kod KAM signala u analitičkom postupku vršena aproksimacija, kod ugaonih modulacija praktično svi postupci za određivanje odnosa snaga signala i šuma sadrže aproksimacije.
Demodulacija fazno modulisanog signala sa šumom
U postupku demodulacije fazno modulisanog signala veoma je pogodno korišćenje fazorske
predstave signala. Modulisani signal, u (t ) može se, prema izrazu (7.3.10) napisati u obliku:
{
}
u (t ) = Re u (t ) ⋅ e j 2πf c t = u (t ) ⋅ cos(2πf c t + φ (t ) ) .
(8.2.49)
Prema izrazu (5.2.7), šum se može napisati u obliku:
{
}
n(t ) = Re n(t ) ⋅ e jω c t = n(t ) ⋅ cos(2πf c t + θ (t )) .
(8.2.50)
Sabiranje modulisanog signala i šuma može se realizovati i u fazorskom obliku, pošto su učestanosti nosilaca jednake. Fazor signala na ulazu demodulatora, prema tome, ima oblik:
w(t ) = u (t ) + n(t ) = w(t ) ⋅ e jψ (t ) ,
(8.2.51)
i prikazan je grafički na slici 8.2.12.
ns (t )
Im
w(t )
θ
φ
ψ
u (t )
n(t )
()
nc (t )
()
Re
Slika 8.2.12. Zbir fazora modulisanog signala i šuma
Pošto je modulišući signal utisnut u argument fazora, demodulator je podešen tako da iz argumenta primljenog signala rekonstruiše poruku. Međutim, prisustvo šuma utiče i na argument
primljenog signala, pa on ima oblik:
ψ (t ) = arctg
U ⋅ sin φ + ns (t )
,
U ⋅ cos φ + nc (t )
(8.2.52)
gde je sa U označen moduo modulisanog signala, U = u (t ) , (veličina koja je jednaka konstanti), a komponente šuma u fazi i kvadraturi označene su sa nc (t ) i ns (t ) .
Detaljna analiza izraza (8.2.52) zahteva određene aproksimacije. Postoje dva slučaja:
1) signal mnogo veći od šuma, tj. U >> n(t ) i
234
Osnovi telekomunikacija, skripta
2) šum približno jednak signalu ili veći od signala.
Drugi slučaj nije interesantan za analizu jer tada praktično nema kvalitetne demodulacije.
U prvom slučaju, posmatranjem fazorskog dijagrama na slici 8.1.12. vidi se da male vrednosti
šuma izazivaju samo male promene argumenta signala w(t ) . Ako su trenutne vrednosti šuma
mnogo manje od modula modulisanog signala U , može se posmatrati razlika uglova ψ − φ .
Tangens tog ugla sigurno je manji od vrednosti
tg (ψ − φ ) ≤
ns (t )
, što se očigledno vidi na slici 8.1.12.:
U
ns (t )
,
U
(8.2.53a)
odakle se, namernim uzimanjem najgoreg mogućeg slučaja i primenjenom aproksimacijom po
kojoj za x << 1 važi tg ( x ) ≈ x , može se pisati:
ψ (t ) ≈ φ (t ) +
ns (t )
.
U
(8.2.53b)
Nakon fazne demodulacije dobija se signal proporcionalan sa ψ (t ) . U njemu je, preko prvog
sabirka, φ (t ) , prisutan modulišući signal, a preko drugog sabirka vidi se uticaj šuma. To praktično znači da se i na izlazu demodulatora šum može analitički odvojiti od korisnog signala i da
se može odrediti snaga korisnog signala na izlazu, kao i snaga šuma na izlazu.
Pošto komponenta šuma na izlazu, data sabirkom ns (t ) / U , ima praktično isti oblik kao komponenta uskopojasnog šuma, data izrazom (5.2.5), njena spektralna gustina snage odgovara onoj
2
opisanoj izrazom (5.2.6), uz dodatno deljenje sa konstantom U .
Detalji daljeg proračuna (odnosa snaga korisnog signala i šuma) pokazani su u zadatku 8.2.9. u
kom izraz (5), iako izveden na drugi način, odgovara izrazu (8.2.53b).
Demodulacija frekvencijski modulisanog signala. Preemfazis i deemfazis.
Direktno izvođenje uticaja šuma na demodulaciju frekvencijski modulisanog signala znatno je
složenije nego kod fazne modulacije. Međutim, korišćenjem nekoliko ranije pokazanih detalja:
- demodulacije signala i šuma kod ΦM demodulatora,
- indirektnog frekvencijskog demodulatora,
- prenosa signala kroz linearne sisteme i
- funkcije prenosa diferencijatora,
do rezultata se dolazi relativno lako.
Prema slici 8.2.5., idealni frekvencijski demodulator ekvivalentan je rednoj vezi idealnog faznog
demodulatora i diferencijatora.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
235
Prema osobini Furijeove transformacije, opisanoj izrazom (2.3.30), zaključuje se da funkcija prenosa diferencijatora, tj. linearnog kola koje na svom izlazu daje diferencijal ulaznog signala, ima
oblik:
H D ( f ) = j 2πf .
(8.2.54)
Prema navedenim zaključcima, signal na izlazu FM demodulatora jednak je prvom izvodu signala datog izrazom (8.2.53b). Prvi izvod sabirka φ (t ) direktno daje signal proporcionalan sa
modulišućim signalom. Određivanjem prvog izvoda sabirka koji predstavlja uskopojasni šum,
ns (t ) / U , dobija se slučajni signal čiji vremenski oblik nema nikakav značaj, a spektralna gustina snage ima oblik:
⎧⎪k ⋅ f 2
φN ( f ) = ⎨
⎪⎩ 0
f < B,
drugde.
(8.2.55)
Konstanta k sadrži različite činioce koji zavise i od osobina šuma u sistemu i od osobina prijemnika.
Na osnovu izraza (8.2.55) vidljivo je da kod prenosa signala sa frekvencijskom modulacijom,
posle demodulacije, šum nije ravnomerno raspoređen po iskorišćenim učestanostima. Na visokim učestanostima uticaj šuma značajnije je izražen nego na niskim učestanostima.
Da bi se donekle umanjio uticaj šuma, sistemi za prenos signala primenom FM obično sadrže
dva linearna kola: kolo za preemfazis, sa funkcijom prenosa H P ( f ) , u predajniku, pre FM
modulacije i kolo za deemfazis, sa funkcijom prenosa H D ( f ) u prijemniku, posle FM demodulacije.
Kolo za preemfazis ima prenosnu karakteristiku koja ističe (pojačava) visoke učestanosti u spektru modulišućeg signala. Na taj način kroz sistem za prenos u stvari se prenosi izobličen signal.
Kolo za deemfazis ima prenosnu karakteristiku koja potiskuje (slabi) visoke učestanosti. Ukupni
efekat na modulišući signal poništava se jer su oba linearna kola međusobno usklađena tako da
važi sledeća veza:
H P ( f ) ⋅ H D ( f ) = const.
(8.2.56)
Potiskujući visoke učestanosti nakon FM demodulacije, kolo za deemfazis istovremeno potiskuje šum i na taj način praktično umanjuje njegov uticaj na signal i poboljšava odnos snaga
signala i šuma. Detalji proračuna karakterističnog za preemfazis i deemfazis pokazani su u zadacima 8.2.11. i 8.2.13.
8.2.5. Primena ugaonih modulacija
Ugaone modulacije imaju izuzetno dobre osobine za praktičnu primenu u radio difuziji. Neke od
ovih osobina dodatno su objašnjene u poglavlju o uticaju šuma i izobličenja u različitim vrstama
komunikacionih kanala. FM se koristi u radio relejnim sistemima u telefoniji, za vezu između
236
Osnovi telekomunikacija, skripta
centrala. Kao modulišući signal u tom slučaju koristi se frekvencijski multipleksirana grupa sastavljena od većeg broja govornih kanala. Ovaj tip povezivanja centrala, doduše, polako pripada
prošlosti, jer ustupa mesto digitalnim sistemima kod kojih se koristi vremenski multipleks.
Postupci za višestruki prenos signala opisani su u poglavlju 8.1.6.
Frekvencijska modulacija koristi se u većini satelitskih komunikacionih sistema, zahvaljujući
izuzetnoj otpornosti na uticaj šuma i nelinearnosti u prenosu. Satelitski prenos obuhvata i prenos
TV signala.
U zemaljskim komunikacijama FM se koristi u radio difuziji na ultra-kratkim talasima, u opsegu
(87.5 − 108.0 MHz ) . Ovaj tip radio difuzije ima sledeće osnovne karakteristike:
- relativno mala veličina zone pokrivanja, reda veličine nekoliko desetina kilometara,
- visok kvalitet prenetog signala, zahvaljujući prenosu signala sa širokim spektrom (15 kHz )
kao i dodatnim osobinama, stereo prenosu i prenosu signala podataka (RDS, engl. Radio Data
System). Osobine stereo sistema kao i RDS sistema objašnjene su u glavi 11., posvećenoj komunikacionim sistemima.
Rešeni primeri uz poglavlje 8.2.
Zadatak 8.2.1. (E)
Nosilac amplitude U = 1V i f c = 1 MHz modulisan je signalom:
u m (t ) = U m ⋅ sin( 2πf m t ) ,
( U m = 1V , f m = 10 kHz ),
tako da se dobija:
0
a) fazno modulisan signal čija je maksimalna devijacija faze Δφ = 28.65 ,
b) frekvencijski modulisan signal čija je maksimalna devijacija učestanosti Δf = 20 kHz .
Odrediti amplitude i faze značajnih komponenti i spektar signala u oba slučaja.
Ponoviti proračun ako je u m (t ) = U m ⋅ cos(2πf m t ) .
Rešenje:
Fazno i frekvencijski modulisani signali zajedno se mogu predstaviti u obliku:
{
}
u (t ) = U ⋅ Re e jφ (t ) ⋅ e j 2πf c t ,
jφ (t )
gde je e
modulacioni zakon. Ako je modulišući signal u m (t ) = U m ⋅ sin(2πf m t ) , u slučaju fazne modulacije, faza ima oblik:
φ (t ) = Δφ ⋅ m(t ) = Δφ ⋅ sin(2πf m t ) ,
a u slučaju frekvencijske modulacije:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
φ (t ) = 2πΔf ∫ m(t )dt = −
237
Δf
⋅ cos(2πf mt ) .
fm
Za oba signala faza ima oblik:
φ (t ) = m0 ⋅ sin(2πf m t − θ ) ,
gde su za ΦM signal vrednosti parametara:
m0 = Δφ = 0.5 ,
θ = 0,
dok je za FM signal:
m0 = Δf / f m = 2 ,
θ = π / 2.
Modulacioni zakon za oba ugaono modulisana signala može se napisati u obliku:
u (m) = e jm0 ⋅sin( 2πf mt −θ ) .
(1)
U oba slučaja to je periodična funkcija sa osnovnom učestanošću f m , odnosno periodom
T = 1/ f m .
Ako je modulišući signal u m (t ) = U m ⋅ cos(2πf m t ) , modulacioni zakon se na sličan način mo-
že dovesti na oblik (1). Dobijaju se samo drugačije vrednosti m0 i θ .
Spektar ΦM i FM signala u (t ) može se odrediti prema izrazu:
U( f ) =
*
1 ⎡
⋅ U ( f − f c ) + U (− f − f c )⎤ ,
⎥⎦
2 ⎢⎣
gde je U ( f ) FT modulacionog zakona. Pošto je modulacioni zakon periodična funkcija, njena
FT dobija se razvojem u Furijeov red, a zatim određivanjem FT zbira prostoperiodičnih
funkcija. Modulacioni zakon treba napisati u obliku Furijeovog reda:
u[m(t )] =
∞
∑ F n ⋅ e j 2πnf
mt
,
(2)
n = −∞
T / 2+t
čiji su koeficijenti
0
1
F n = ⋅ ∫ e j [m0 sin( 2πf m t −θ ) − 2πnf m t ]dt ,
T −T / 2 + t
0
pri čemu je t0 konstanta čija je vrednost izabrana tako da važi:
t0 = −
θ
θT
=−
,
2πf m
2π
čime se obezbeđuju simetrične granice integracije. Smenom podintegralne promenljive, oblika
x = 2πf m t − θ , dobija se:
238
Osnovi telekomunikacija, skripta
Fn = e
− jnθ
π
1
⋅
⋅ ∫ e j ( m0 sin x −nx ) dx .
2π −π
1
J n ( m0 ) =
2π
Integral
π
∫e
j ( m0 sin x −nx )
dx ,
−π
predstavlja po definiciji Beselovu (Bessel) funkciju prve vrste, n − tog reda. Vrednosti Beselovih funkcija za neke indekse modulacije dati su u tabeli 1.
Tabela 1. Neke vrednosti Beselovih funkcija
m0
0.5
1.0
2.0
J0
0.94
0.76
0.22
J1
0.24
0.44
0.58
J2
0.03
0.11
0.35
J3
0.00
0.02
0.13
J4
0.00
0.00
0.03
Ove funkcije zadovoljavaju sledeću jednakost:
J −n (m0 ) = (−1) n ⋅ J n (m0 ) .
Ako je modulišući signal u m (t ) = U m ⋅ sin(2πf m t ) , modulisani signal ima sledeće oblike:
ΦM :
u (t ) = U cos[2πf c t + Δφ sin( 2πf mt )] =
=U
∞
∑ J n (Δφ ) ⋅ cos[2π ( f c + nf m )t ] ,
(3)
n = −∞
FM :
⎡
⎤
Δf
u (t ) = U cos ⎢2πf c t −
cos(2πf mt )⎥ =
fm
⎣
⎦
=U
∞
∑
n = −∞
Jn (
π⎤
Δf
⎡
) ⋅ cos ⎢2π ( f c + nf m )t − n ⎥ .
fm
2⎦
⎣
(4)
Za slučaj da je u m (t ) = U m ⋅ cos(2πf m t ) , dobijene su sledeće relacije:
ΦM :
u (t ) = U cos[2πf c t + Δφ cos(2πf m t )] =
=U
∞
π⎤
⎡
J n (Δφ ) ⋅ cos ⎢2π ( f c + nf m )t + n ⎥ ,
2⎦
⎣
n = −∞
∑
(5)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
239
FM :
∞
⎡
⎤
Δf
Δf
u (t ) = U cos ⎢2πf c t −
sin( 2πf mt )⎥ = U ∑ J n ( ) ⋅ cos[2π ( f c − nf m )t ].
fm
fm
⎣
⎦
n = −∞
(6)
Na slici 1. prikazani su amplitudski (a) i fazni spektar (b) (samo značajne komponente i samo
pozitivne učestanosti) za posmatrane ΦM (1) i FM (2) signale.
Slika 1. Amplitudski (a) i fazni (b) spektar ΦM (1) i FM (2) signala
Zadatak 8.2.2. (E)
Nosilac učestanosti f c = 10.7 MHz i amplitude U = 1 V ugaono je modulisan periodičnim
modulišućim signalom:
u m (t ) = U m ⋅ cos ω m t + a ⋅ U m ⋅ cos 2ω m t , ( f m = 5 kHz , U m = 1 V ).
(1)
Uporediti širinu opsega učestanosti u kom se nalaze sve komponente čija je amplituda veća od
0.1 V sa širinom spektra koja se dobija primenom Karsonovog obrasca za:
a) FM signal, devijacije učestanosti 25 kHz kada je amplituda modulišućeg signala 1 V , ako
je a = 0 ,
0
b) ΦM signal, kod kog je devijacije faze 24 kada je amplituda modulišućeg napona 1 V , ako
je a = 0.25 .
Rešenje:
a) Modulacioni zakon u ovom slučaju ima oblik:
u [m(t )] = e
j
Δf
sin(ω m t )
fm
gde je Δf = 25 kHz .
,
(2)
240
Osnovi telekomunikacija, skripta
Razvojem ove periodične funkcije u Furijeov red pomoću Beselovih funkcija, dobija se:
u ( m) =
∞
∑ J n (m0 ) ⋅ e jnω
mt
,
(3)
n = −∞
gde je m0 = Δf / f m = 5 indeks modulacije. FM signal, prema prethodnim zadacima, ima
oblik:
u (t ) =
∞
∑ J n (m0 ) cos[2π ( f c + nf m )t ].
n = −∞
Amplitudski spektar prikazan je na slici 1.
Amplituda komponente na učestanosti f c + n ⋅ f m manja je od 0.1 V ako je J n (m0 ) < 0.1 .
Iz tabele Beselovih funkcija dobija se da je ovaj uslov ispunjen za n ≥ 7 . Širina opsega u kome
sve komponente imaju amplitudu veću od 0.1 V iznosi:
B0.1 = 12 ⋅ f m = 60 kHz .
Isti opseg dobija se i primenom Karsonovog obrasca (8.2.21b):
BFM = 2 ⋅ (Δf + f m ) = 60 kHz .
b) Lako se može pokazati, skiciranjem zadate funkcije (1), da se modulišući signal menja u opsegu:
3
5
− U m ≤ u m (t ) ≤ U m ,
4
4
pa je zakon modulacije:
u ( m) = e
j⋅
4⋅ Δφ
⋅[cos(ω m t ) + 0.25⋅cos( 2ω m t ) ]
5
,
0
gde je Δφ = 30 = (π / 6) rad - maksimalna devijacija faze.
Uvodeći dve pomoćne funkcije:
u1 (m) = e
j⋅
4 Δφ
⋅cos(ω mt )
5
i
u 2 ( m) = e
j⋅
Δφ
⋅cos( 2ω mt )
5
,
modulacioni zakon dobija se u obliku:
u (m) = u1 (m) ⋅ u 2 (m) .
Ako se u1 ( m) i u 2 ( m) razlože u Furijeov red (zadatak 8.2.1), (4)), dobija se:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
u ( m) =
∞
∞
∑ ∑ J k (m1 ) ⋅ J n (m2 ) ⋅ e
− j (k +n)
241
π
2
⋅ e − j ( k + 2 n )ω mt ,
k = −∞ n =−∞
gde su m1 = 4 ⋅ Δφ / 5 = 0.42 i m2 = Δφ / 5 = 0.1 . ΦM signal tada ima oblik:
u (t ) =
∞
∞
π⎤
⎡
U ⋅ J k (m1 ) ⋅ J n (m2 ) ⋅ cos ⎢(ωc + (k + 2n)ωm ) t + (k + n) ⎥ .
2⎦
⎣
k = −∞ n = −∞
∑ ∑
Amplitudski spektar prikazan je na slici 1.
Slika 1. Amplitudski spektar za ΦM i FM
Komponente čija je amplituda veća od 0.1 V nalaze se u opsegu:
B = 4 ⋅ f m = 20 kHz .
Primenom Karsonovog obrasca dobija se:
BΦM = 2 f m ⋅ (Δφ + 1) = 15.25 kHz .
Zadatak 8.2.3. (E, *)
Odrediti opseg učestanosti u kome se nalaze sve komponente ΦM signala:
u (t ) = U ⋅ cos[ω c t + Δφ ⋅ m(t )] ,
čija je trenutna vrednost veća od 0.1 ⋅ U . Δφ je maksimalna devijacija faze koja ima vrednost
30 0 , 90 0 i 180 0 . Normalizovani modulišući signal ( m(t ) ≤ 1 ) ima spektar u opsegu
(0 ÷ f m ) .
Rešenje:
Ako se odgovarajući modulacioni zakon:
f (m) = e [ j⋅Δφ ⋅m (t ) ] ,
242
Osnovi telekomunikacija, skripta
razvije u Maklorenov red, f ( m) = 1 +
je apsolutna vrednost veća od 0.1 , tj.:
∞
∑
k =1
j k Δφ k
⋅ m k (t ) , treba odrediti sve one sabirke čija
k!
Δφ k
≥ 0.1 .
k!
0
0
Ovaj uslov ispunjen je za k ≤ 2 ( Δφ = 30 = π / 6 ), k ≤ 4 ( Δφ = 90 = π / 2 ), odnosno
k ≤ 8 ( Δφ = 180 0 = π ). Signal m k (t ) ima k puta širi spektar od signala m(t ) , pa tražene
širine spektara iznose:
B = 4 ⋅ fm ,
Δφ = 30 0 ,
B = 8 ⋅ fm ,
Δφ = 90 0 ,
B = 16 ⋅ f m ,
Δφ = 180 0 .
Sa povećanjem maksimalne devijacije faze povećava se i širina spektra. Ove vrednosti mogu se
uporediti sa rezultatima koji se dobijaju primenom Karsonovog obrasca:
B = 3.0 ⋅ f m ,
Δφ = 30 0 ,
B = 5.1 ⋅ f m ,
Δφ = 90 0 ,
B = 8.3 ⋅ f m ,
Δφ = 180 0 .
Zadatak 8.2.4. (E)
Na slici 1. prikazan je FM modulator sa varikap diodom čija se kapacitivnost može dobro aproksimirati naponski kontrolisanim kondenzatorom:
C (v ) =
Cp
v
1−
Vp
, C p = 10pF , V p = 0.2V .
Kontrolni napon diode dat je u obliku:
v = −E − um ,
gde je E = 7 V napon koji obezbeđuje pravilnu polarizaciju diode, v < V p , a u m modulišući
signal ( u m ≤ 0.5 V ) čiji je spektar u opsegu (0 ÷ 4 kHz) .
Oscilator OSC na svom izlazu daje signal čija je trenutna učestanost jednaka rezonantnoj učestanosti oscilatornog kola. Taj signal odgovara FM signalu.
a) Odrediti elemente L0 i C 0 tako da učestanost nosioca bude f c = 100 MHz , a maksimalna
devijacija učestanosti Δf = 100 kHz .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
243
b) Odrediti zavisnost rezonantne učestanosti od modulišućeg napona koji se menja u opsegu
um ≤ 1 V .
Slika 1. FM modulator sa varikap diodom
Rešenje:
a) Rezonantna učestanost oscilatornog kola dobija se iz izraza:
fr =
1
,
2π L0 (C0 + C (v))
a kapacitivnost varikap diode:
(1)
C (v ) =
Cp
E um
+
1+
Vp Vp
=
Cp
u
6 1+ m
7, 2
.
(2)
Kako je max u m = 0,5V << 7,2V , rezonantna učestanost (1) ima približnu vrednost:
fr ≈
⎡
Cp
⎞
⎛ Δf
u ⎤
1
⋅ ⎢1 +
⋅ m ⎥ = f c ⋅ ⎜⎜1 +
⋅ m(t ) ⎟⎟ .
fc
2π L0 (C0 + C p / 6) ⎢⎣ 14,4(6C0 + C p ) V p ⎥⎦
⎠
⎝
Korišćena je aproksimacija
1
x
≈ 1 m za x << 1 . Učestanost nosioca i maksimalna devi2
1± x
acija učestanosti imaju vrednosti:
fc =
Cp
max u m
1
, Δf = f c ⋅
.
⋅
14,4 ⋅ (6C0 + C p )
Vp
2π L0 (C0 + C p / 6)
Iz ovih jednačina direktno se dobijaju vrednosti C0 = 27,3 pF , L0 = 87,5 nH .
b) Ostvarena modulaciona karakteristika, na osnovu (1) i (2), ima oblik:
fr =
(3)
fc
0,0576
0.9424 +
1 + u m / 7,2
,
gde je u m dato u voltima.
244
Osnovi telekomunikacija, skripta
Razvojem u stepeni red ove karakteristike dobija se:
f r ≈ f c + 0.002 ⋅ f c ⋅ u m − 0.0004 ⋅ f c ⋅ u m2 .
Ako je u m prostoperiodičan signal čija je amplituda 0.5 V , faktor harmonijskog izobličenja
drugog reda ima vrednost k = 5 % .
Zadatak 8.2.5. (E)
Na slici 1. prikazan je indirektni Armstrongov ( FM ) modulator. Modulišući signal je prostoperiodičan, sa učestanošću koja se nalazi u opsegu (50 Hz ÷ 15 kHz) , maksimalne vrednosti
U max = 0.5 V . Amplituda nosioca ima vrednost U = 2.5 V , učestanost f c = 200 kHz , a
konstanta množača kU = 0.4 / V .
a) Odrediti konstantu τ idealnog integratora I :
y (t ) =
1
τ
∫ x(t )dt ,
(1)
tako da indeks modulacije u tački A bude manji od 0.5 .
b) Odrediti red množača učestanosti M , učestanost f p pomoćnog nosioca i propusni opseg filtra B , tako da se u tački B dobije FM signal čija je učestanost nosioca f c = 10.7 MHz , a
maksimalna devijacija učestanosti Δf = 75 kHz .
Slika 1. Indirektni Armstrongov FM modulator
Rešenje:
a) Modulišući signal je x(t ) = U max ⋅ cos(ωmt ) . Na izlazu integratora dobija se signal:
y (t ) =
1
x(t )dt =
τ∫
U max
ωmτ
⋅ sin(ωmt ) .
U tački A signal je dat izrazom u A (t ) = U ⋅ cos(ω0t ) − kU ⋅ y (t ) ⋅ U ⋅ sin(ω0t ) .
Amplituda i faza imaju vrednosti:
(2)
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
U A = U 1 + kU2 y 2 (t ) , φ A = arctg (kU y (t ) ) .
245
(3)
Ako je indeks modulacije mali, max φ A ≤ 0.5 , važi aproksimacija:
φ A ≈ kU y (t ) = kU ⋅
U max
ωmτ
⋅ sin(ωmt ) .
Prema tome, potrebno je da bude ispunjen uslov kU ⋅ max y (t ) = 0.5 , pa je, na osnovu (2),
konstanta integratora:
τ=
kU U max
= 1.273 ms .
πf min
b) Trenutna faza signala u tački A data je izrazom (3), a trenutna devijacija učestanosti ovog
signala ima vrednost:
fd =
1 dφ A kU dy kU
⋅
=
⋅ =
⋅ x(t ) .
2π dt
2π dt 2πτ
Maksimalna trenutna devijacija učestanosti je Δf = 75 kHz , red umnožača ima vrednost
M = Δf / Δf A = 3000 . Učestanost nosioca na izlazu ima vrednost f c = M ⋅ f 0 ± f p , pa je
učestanost lokalnog nosioca f p = M ⋅ f 0 − f c = 589.3 MHz . Širina značajnog dela spektra
FM signala, prema Karsonovom obrascu, iznosi:
B = 2 ⋅ (Δf + f max ) = 180 kHz .
Pojasni filtar treba da propusti učestanosti iz opsega (10.61 ÷ 10.79 MHz ) .
Zadatak 8.2.6. (E, S)
Na slici 1a. prikazan je FM prijemnik. Karakteristika diskriminatora po učestanosti DF prikazana je na slici 1b. U kolu je idealni detektor anvelope, označen sa DA . Na ulaz prijemnika
dolazi FM signal čija je amplituda U , učestanost nosioca f c = 100 MHz i maksimalna
devijacija učestanosti Δf = 150 kHz . Normalizovani modulišući signal m(t ) ima spektar u
opsegu učestanosti (0 ÷ f max << f c ) .
a) Ako je U = 1 V , odrediti f 0 i f a tako da se na izlazu prijemnika dobije maksimalna amplituda. Kolika je maksimalna amplituda?
b) Odrediti demodulisani signal ako je modulišući signal prostoperiodičan, m(t ) = cos ω m t ,
učestanosti f m = 1 kHz i ako moduo nije konstantan, U , nego postoji parazitna amplitudska
modulacija, U = U 0 ⋅ (1 + 0.1 ⋅ cos 2ω m t ) .
246
Osnovi telekomunikacija, skripta
Slika 1. FM prijemnik sa diskriminatorom učestanosti (a) i karakteristika diskriminatora (b)
Rešenje:
a) FM signal na ulazu prijemnika ima oblik:
u (t ) = U ⋅ cos[ω c t + φ (t )] ,
gde je trenutna faza
(1)
φ (t ) = 2πΔf ∫ m(t )dt .
Trenutna učestanost ovog signala ima oblik:
f t = f c + Δf ⋅ m(t ) .
(2)
Da bi se na izlazu dobio signal sa maksimalnom amplitudom, potrebno je iskoristiti celokupan
opseg učestanosti ( f c − Δf ÷ f c + Δf ) u kome je karakteristika diskriminatora H d ( f ) linearna:
min( f t ) = f c − Δf = f 0 − f a ,
max( f t ) = f c + Δf = f 0 .
Iz ovog uslova dobija se:
f 0 = f c + Δf = 100.15 MHz ,
f a = 2 ⋅ Δf = 0.3 MHz .
Signal iza diskriminatora tada je amplitudski modulisan, pa napon ima oblik:
v(t ) = H d ( f t ) ⋅ cos[ω c t + φ (t )] =
U
⋅ [1 + m(t )] ⋅ cos[ω c t + φ (t )] ,
2
(3)
gde je H d ( f t ) = H d [ f c + Δf ⋅ m(t )] zavisnost modula prenosne karakteristike linearnog
sistema od trenutne učestanosti ulaznog signala.
Signal na izlazu prijemnika jednak je amplitudi ovog signala:
u d (t ) =
U
⋅ [1 + m(t )] ,
2
(4)
i sastoji se od jednosmerne komponente, U / 2 , i korisnog signala U ⋅ m(t ) / 2 . Maksimalna
amplituda iznosi U / 2 .
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
247
b) Ako amplituda FM signala nije konstantna, u izrazu (1) veličina U više nije konstanta, nego ima oblik dat u tekstu zadatka. Demodulisani signal (4) ima oblik:
u d (t ) =
U0
⋅ (1 + 0.1cos 2ω m t ) ⋅ (1 + cos ω m t ) =
2
= 0.5 ⋅ U 0 + 0.525 ⋅ U 0 ⋅ cos ω mt + 0.05 ⋅ U 0 ⋅ cos 2ω mt + 0.025 ⋅ U 0 ⋅ cos 3ω mt . (5)
Osim korisnog signala, na učestanosti f m , javlja se i drugi i treći harmonik. Faktor harmonijskog izobličenja ima vrednost k = 10.6 % .
Zadatak 8.2.7. (E, S)
Na slici 1 prikazan je diferencijalni FM prijemnik. Na njegov ulaz dolazi FM signal amplitude 1 V , učestanosti f c = 100 MHz i maksimalne devijacije učestanosti Δf = 300 kHz . Mo-
dulišući signal je prostoperiodičan, učestanosti f m = 50 kHz . Granična učestanost NF filtra
iznosi f g = 150 kHz .
a) Odrediti vrednost kašnjenja, T , za koju je demodulisani signal proporcionalan modulišućem
3
signalu. Koristiti aproksimaciju sin x ≈ x − x / 6 za x << 1 .
b) Odrediti T tako da amplituda korisnog dela demodulisanog signala bude veća od 100 mV .
c) Odrediti faktor harmonijskih izobličenja trećeg reda.
Slika 1. Diferencijalni FM prijemnik
Rešenje:
a) Ako je FM signal:
u (t ) = U cos [ω c t + φ (t )], φ (t ) = 2πΔf ∫ m(t )dt ,
(1)
gde je m(t ) = cos ω m t normalizovan modulišući signal, signal ispred NF filtra ima oblik:
u1 (t ) =
2
⋅ u (t ) ⋅ u (t − T ) = U cos[ω cT + φ (t ) − φ (t − T )] +
U
+ U cos[2ω c t − ω cT + φ (t ) + φ (t − T )] .
(2)
248
Osnovi telekomunikacija, skripta
Spektar drugog sabirka nalazi se u okolini učestanosti 2 f c >> f g i sigurno neće proći kroz
NF filtar. Uz uslov:
φ (t ) − φ (t − T ) = 2πΔf
t
∫ m(τ )dτ ≈ 2πΔf ⋅ T ⋅ m(t ) ,
(3)
t −T
(približno izračunavanje integrala u kojem se, za male promene vrednosti funkcije m(t ) u intervalu T , smatra da je u posmatranom intervalu m(t ) = const. ), promena faze proporcionalna
modulišućem signalu. Kosinusnu zavisnost treba pretvoriti u sinusnu, što se postiže podešavanjem faznog pomeraja ω cT na vrednost:
ω cT =
2k + 1
2k + 1
.
⋅ π ⇒T =
2
4 fc
(4)
Tada demodulisani signal ima oblik:
u d (t ) = U (−1) k +1 ⋅ sin[2πΔfTm(t )] ≈
1
≈ 2πΔf ⋅ T ⋅ m(t ) ⋅ U (−1) k +1 − ⋅ U (−1) k +1 ⋅ [2πΔf ⋅ T ⋅ m(t )] 3 .
6
(5)
b) Prema izrazu (5), amplituda korisnog dela demodulisanog signala je U d = 2πΔfT . Izborom
vrednosti intervala T koja zadovoljava uslov (4), može se obezbediti da vrednost amplitude zadovolji zadati uslov U d > 0.1 V , odnosno:
2πΔf ⋅ T > 0.1 ⇒ T >
0.1
= 53.1 ns .
2πΔf
Uzimajući minimalnu dozvoljenu vrednost za T koja zadovoljava uslove (4) i (5), dobija se da
je k = 11 , a kašnjenje tada ima vrednost:
T=
23
= 57.5 ns .
4 ⋅ fc
c) Demodulisani signal (5) tada ima oblik:
v(t ) = 0.108 ⋅ cos ωmt + 9.7 ⋅ 10 −4 ⋅ cos3 ωmt ≈ 0.108 ⋅ cos ωmt + 2.4 ⋅ 10 −4 ⋅ cos 3ωmt .
Faktor harmonijskog izobličenja trećeg reda ima vrednost:
2.4 ⋅ 10 −4
k3 =
= 0.13 % .
0.18
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
249
Zadatak 8.2.8. (E, **)
Odrediti amplitudu i fazu zbira ugaono modulisanog signala:
u (t ) = U ⋅ cos[ω c t + φ (t )] ,
(1)
i prostoperiodične smetnje:
n(t ) = U n ⋅ cos[ω c t + θ ],
(2)
ρ , ima vrednosti:
ako odnos srednjih snaga signala i smetnje,
a)
ρ >> 1 ,
b)
ρ =1 i
c)
ρ << 1 .
Rešenje:
2
2
Modulisani signal (1), prema (8.2.48) ima srednju snagu P = U / 2 , a smetnja Ps = U n / 2 .
Odnos snaga signala i smetnje ima vrednost
ρ = P / Ps = U 2 / U n2 .
Zbir dva periodična signala jednakih učestanosti može se napisati u obliku:
v(t ) = u(t ) + n(t ) = [U cosφ + U n cosθ ] ⋅ cosωct −
− [U sinφ + U n sinθ ] ⋅ sinωct = a(t ) ⋅ cos [ωct + ψ (t )] .
(3)
Korišćenjem adicionih formula lako se pokazuje da amplituda ovog signala ima oblik:
{
a (t ) = [U cos φ + U n cos θ ] + [U sin φ + U n sin θ ]
= U ⋅ 1+
2
1
ρ
+
2
ρ
}
1
2 2
=
⋅ cos(φ − θ ) ,
(4)
a njegova faza:
U sin φ + U n sin θ
= arctg
ψ = arctg
U cos φ + U n cosθ
sin φ +
1
cos φ +
1
ρ
ρ
⋅ sin θ
.
(5)
⋅ cosθ
Razlika ove faze i faze modulisanog signala može se, primenom trigonometrijskih transformacija, dovesti na oblik:
250
Osnovi telekomunikacija, skripta
ψ − φ = arctg
sin(θ − φ )
ρ + cos(θ − φ )
.
(6)
ρ >> 1 , na osnovu (4) sledi a(t ) ≈ U . Ako se zanemari cos(θ − φ ) u imeniocu izraza (6) (jer je mnogo manje od ρ ) i primeni aproksimacija arctg ( x) ≈ x za malo x , jer je
a) Ako je
brojilac mnogo manji od imenioca, dobija se:
1
ψ =φ +
ρ
⋅ sin(θ − φ ) .
Pošto je θ slučajna veličina a φ = φ (t ) faza ugaono modulisanog signala, sa aspekta određivanja snage demodulisanog signala, proporcionalnog sa ψ , pomeranje argumenta sinusne funkcije za φ nema značaja. Može se napisati:
1
ψ =φ +
b) Za
ρ
⋅ sin θ .
ρ = 1 , koristeći veze između trigonometrijskih funkcija ugla i poluugla, dobija se
a (t ) = 2U cos 2
c) Za
(7)
φ −θ
2
,
1
2
ψ = ⋅ (φ + θ ) .
(8)
ρ << 1 dobija se:
a (t ) ≈
U
ρ
= Un , ψ ≈θ .
(9)
Zadatak 8.2.9. (E, **)
Na slici 1. prikazan je ΦM prijemnik. Ulazni pojasni filtar propušta sve značajne komponente
ΦM signala datog izrazom:
u (t ) = U ⋅ cos[ω c t + Δφ ⋅ m(t )] ,
(1)
gde je m(t ) normalizovani modulišući signal čiji je spektar u opsegu (0 ÷ f max ) , srednje sna2
ge m (t ) = 1 / 2 . Idealni fazni demodulator ΦD na izlazu daje signal amplitude U m kada je
faza signala na ulazu Δφ .
Osim signala, na ulaz prijemnika stiže i beli Gausov šum čija je spektralna gustine snage jednaka
p N = N 0 / 2 . Odnos signal/šum iza pojasnog filtra označen je kao ρ u . Širina propusnog opsega ulaznog filtra određuje se po Karsonovom obrascu.
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
251
a) Odrediti spektralnu gustinu snage šuma na izlazu prijemnika.
b) Odrediti odnos signal/šum na izlazu prijemnika za
aproksimacija moguća za Δφ << 1 ?
ρ u = 30 dB i Δφ = π . Kakva je
Slika 1. ΦM prijemnik
Rešenje:
a) Prema Karsonovom obrascu, širina značajnog dela spektra fazno modulisanog signala ima
vrednost B = 2 ⋅ f max ⋅ ( Δφ + 1) . Filtar na ulazu treba da propusti sve učestanosti iz opsega
( f c − B / 2 ÷ f c + B / 2) .
Iza ulaznog pojasnog filtra, osim ΦM signala, nalazi se i Gausov uskopojasni šum, čija je srednja snaga σ
2
= 2 Bp N = B ⋅ N 0 , a talasni oblik:
n(t ) = nc (t ) ⋅ cos ω c t ± ns (t ) ⋅ sin ω c t .
(2)
Trenutna amplituda šuma može se napisati u obliku:
u s (t ) = nc2 (t ) + ns2 (t ) ,
(3)
a trenutna faza:
θ (t ) = arctg
ns (t )
.
nc (t )
Na osnovu rezultata prethodnog zadatka za
(4)
ρ >> 1 (7), ako se šum posmatra kao smetnja sa am-
plitudom U n = u s (t ) i fazom θ = θ (t ) , faza signala iza filtra ima oblik:
ψ (t ) = φ +
u s (t ) ⋅ sin θ (t )
n (t )
=φ + s ,
U
U
(5)
gde je φ = φ (t ) = Δφ ⋅ m(t ) faza modulisanog signala bez šuma. Ovaj izraz u potpunosti odgovara izrazu (8.2.53b).
Na izlazu faznog demodulatora signal je direktno proporcionalan fazi, tj.:
v(t ) =
Um
U
⋅ψ (t ) = U m ⋅ m(t ) + m ⋅ n s (t ) .
Δφ
ΔφU
(6)
Prvi sabirak predstavlja demodulisan modulišući signal. Drugi sabirak predstavlja doprinos šuma
na izlazu. Spektralna gustina snage ovog šuma ima vrednost:
252
Osnovi telekomunikacija, skripta
U m2
p Nφ =
2
Δφ U
2
⋅ N0
f ≤
za
B
,
2
(7)
gde je N 0 spektralna gustina snage kvadraturne komponente šuma ns (t ) .
b) Odnos snaga signala i šuma iza ulaznog filtra može se izračunati kao:
U2 /2
U2
U2
ρu =
=
=
,
N 0 B 2 N 0 B 4 N 0 f max (Δφ + 1)
(8)
jer je širina propusnog opsega filtra određena prema Karsonovom obrascu. Odnos signal/šum iza
NF filtra, na izlazu demodulatora, dat je izrazom:
ρi =
U m2 m 2 (t )
f max
∫− f
max
p Nφ df
U m2 m 2 (t )
=
f max
∫− f
max
U m2
2
Δφ U
2
N 0 df
Δφ 2U 2
=
= Δφ 2 (Δφ + 1) ⋅ ρ u .
4 N 0 f max
(9)
Odnos signal/šum na izlazu veći je od onog na ulazu za:
10 ⋅ log
[
]
ρi
= 10 ⋅ log Δφ 2 (Δφ + 1) = 16.1 dB ,
ρu
pa je odnos signal/šum na izlazu:
ρ i = 46.1 dB .
Za male vrednosti Δφ odnos snaga je
ρ i = Δφ 2 ⋅ ρ u , jer je Δφ + 1 ≈ 1 .
Zadatak 8.2.10. (E, **)
Ako se na izlaz prijemnika sa slike 1. u zadatku 8.2.9. doda diferencijator čija je karakteristika
izlaz/ulaz:
y (t ) = τ
dx(t )
,
dt
dobija se FM prijemnik. Na ulaz ovog prijemnika dolazi FM signal:
[
]
u (t ) = U cos ω c t + 2πΔf ∫ m(t )dt .
Normalizovani modulišući signal m(t ) ima spektar u opsegu (0 − f max ) i srednju snagu
m 2 (t ) = 1 / 2 . Na ulazu prijemnika prisutan je i beli Gausov šum čija je spektralna gustina
snage p N = N 0 / 2 . Odnos S / N na ulazu prijemnika označen je sa ρ u .
Odrediti:
a) spektralnu gustinu snage šuma na izlazu FM prijemnika,
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
253
ρ u = 30 dB , Δf = 75 kHz , a moduli= 25 kHz ;
b) odnos signal/šum na izlazu FM prijemnika ako je
šući signal je prostoperiodičan sa učestanošću f max
c) odnos signal/šum na izlazu prijemnika kada je
ρ u > 10 dB , a modulišući signal ima spektar
f + f2
u opsegu učestanosti od f1 do f 2 , pri čemu je f 2 − f1 << 1
.
2
Rešenje:
a) Prenosna karakteristika diferencijatora ima oblik:
Y( f )
= j 2πfτ .
X( f )
H( f ) =
(1)
Spektralna gustina snage šuma na izlazu FM prijemnika, prema izrazu (7) iz prethodnog zadatka i (1) ima oblik:
2
p Nf = H ( f ) ⋅ p Nφ =
U m2 τ 2
2
Δφ U
2
N 0 (2π ) 2 ⋅ f 2 , za f <
B
.
2
(2)
b) Signal na izlazu FM prijemnika proporcionalan je prvom izvodu trenutne faze na izlazu idealnog faznog demodulatora. Određuje se kao i izrazi (5) i (6) iz prethodnog zadatka, ali sa fazom
n (t )
koja ima oblik ψ (t ) = 2πΔf m(t )dt + s
:
∫
v(t ) = τ ⋅
U
U m dψ
U τ dn (t )
Δf
⋅
= 2πU m ⋅
⋅ τ ⋅ m(t ) + m ⋅ s .
Δφ dt
dt
Δφ
ΔφU
(3)
Snaga korisnog signala (prvi sabirak) na izlazu ima vrednost:
2
⎡ 2πU m Δfτ ⎤
PSi = ⎢
⋅ m 2 (t ) ,
⎥
⎣ Δφ
⎦
(4)
a srednja snaga šuma na izlazu (drugi sabirak), prema (2), iznosi:
PNi =
f max
∫ p Nf df
=
(2π ) 2 U m2 τ 2
− f max
2
Δφ U
2
N0 ⋅
f max
∫f
2
df .
(5)
− f max
Odnos signal/šum na ulazu prijemnika ima vrednost:
PSu
U2
ρu =
.
=
PNu 2 N 0 B
(6)
254
Osnovi telekomunikacija, skripta
Odnos signal/šum na izlazu prijemnika može se izraziti preko odnosa snaga signala i šuma na
ulazu kao:
PSi
U 2 Δf 2 m 2 (t )
Δf 2 m 2 (t )
Δf 2 m 2 (t )
=
= ρu ⋅
= ρu ⋅
ρi =
.
3
1 f max 2
PNi N f max f 2 df
⋅
f
2
1
max
f df
0 ∫− f
⋅
max
2 B ∫− f max
2B
3
(7)
Širina značajnog dela spektra za FM signal, kad se izračuna prema Karsonovom obrascu, izno2
si B = 2( Δf + f max ) , pa je, za posmatrani slučaj ( m (t ) = 0.5 ):
2
⎞ ⎛ Δf ⎞
⎛ Δf
⎟⎟ .
ρ i = 3ρ u ⎜⎜
+ 1⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎠ ⎝ f max ⎠
⎝ f max
Ovaj odnos veći je od odnosa signal/šum na ulazu za:
2
⎡ ⎛ Δf
⎞ ⎛ Δf ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥ = 21 dB , odnosno ρ i = 51 dB .
+ 1⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
10 ⋅ log⎢3⎜⎜
f
⎢⎣ ⎝ f max
⎠ ⎝ max ⎠ ⎥⎦
Za veći dobitak (poboljšanje) u odnosu signal/šum potrebna je veća maksimalna devijacija
učestanosti, pri čemu signal zauzima širi propusni opseg.
c) Relacija (7) važi samo ako je ρ > 10 dB , tj. ako je odnos signal/šum na ulazu prijemnika
veći od praga prijema. Izraz (7) može se uz još neke aproksimacije dovesti na oblik:
ρi = ρu ⋅
2( f 2 − f1 ) ⋅ f d2
f2
∫f1
2
,
f df
2
gde je f d = Δf ⋅ m(t ) trenutna devijacija učestanosti, f d srednja kvadratna vrednost devijacije učestanosti i ( f1 ÷ f 2 ) opseg u kom se nalazi spektar modulišućeg signala. Ako je
B = f 2 − f1 širina ovog opsega i ako se u imeniocu u integralu izdvoji centralna učestanost kao
( f + f2 )
konstanta, f s = 1
>> B , odnos signal/šum približno iznosi:
2
ρi = ρu ⋅
⎛ Δf
ρ i = ⎜⎜
⎝ fs
2 f d2
f s2
2
, odnosno, za prostoperiodičan modulišući signal (
⎞
⎟⎟ ⋅ ρ u .
⎠
f d2
Δf 2
):
=
2
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
255
Zadatak 8.2.11. (E, *)
Na slici 1. prikazan je sistem za prenos muzičkog signala (50 Hz ÷ 15 kHz) primenom frekvencijske modulacije. U kanalu deluje i beli Gausov šum. Sklop FM predstavlja idealni
frekvencijski modulator koji na izlazu daje FM signal sa maksimalnom devijacijom učestanosti
Δf = 75 kHz . Sklop FD je idealni frekvencijski demodulator. Učestanost nosioca je
f c = 100 MHz .
Sistem je ispitivan pomoću prostoperiodičnog signala čija se učestanost f m menja u opsegu
(50 Hz ÷ 15 kHz) . Prvo je modulišući signal doveden u tačku 2, pa je u tački 3 izmeren odnos
signal/šum, ( S / N )3 = 79 dB . Zatim su ubačeni sklopovi H p ( f ) = j 2πfτ za preemfazis i
H d ( f ) za deemfazis. Da ne bi došlo do izobličenja mora da bude zadovoljena jednakost
H p ( f ) ⋅ H d ( f ) = 1 . Prostoperiodičan modulišući signal tada je doveden u tačku 1.
a) Odrediti konstantu τ tako da odnos signal/šum u tački 4 bude 90 dB .
b) Odrediti odnos signal/šum u tački 4 ako je
nikad nije veća od amplitude u tački 1.
τ izabrano tako da amplituda signala u tački 2
Slika 1. Sistem za prenos signala FM modulacijom sa preemfazisom i deemfazisom
Rešenje:
a) Spektralna gustina snage šuma u tački 3 ima oblik:
pN 3 = k ⋅ f 2 ,
k = const. ,
(1)
pa je srednja snaga šuma u toj tački:
PN 3 =
f max
∫ p N 3df
− f max
2 3
= kf max
, ( f max = 15 kHz) .
3
(2)
Neka je srednja snaga signala na izlazu PS 3 . Odnos signal/šum tada ima vrednost:
(S / N )3 =
PS 3
.
PN 3
(3)
Kada se dodaju kola za preemfazis i deemfazis, zbog njihovog komplementarnog uticaja, snaga
signala u tački 4 ostaje neizmenjena, PS 4 = PS 3 , a menja se snaga šuma i postaje:
256
Osnovi telekomunikacija, skripta
PN 4 = ∫
f max
− f max
2
p N 3 ⋅ H d ( f ) df =
2kf max
(2πτ ) 2
,
odnosno, na osnovu (2):
PN 4 =
3PN 3
(2πτf max ) 2
.
(4)
Odnos signal/šum u tački 4 ima vrednost:
PS 4
(2πτf max ) 2
= (S / N )3 ⋅
.
(S / N ) 4 =
PN 4
3
(5)
Pošto ovaj odnos treba da bude za 11 dB veći od prethodno određenog odnosa signal/šum u tački 3, konstanta τ određuje se iz uslova:
(2πτf max ) 2
10 ⋅ log
= 11 ⇒ τ = 65.2 μs .
3
b) Da bi amplituda signala u tački 2 uvek bila manja (ili jednaka) od amplitude u tački 1, potrebno je da bude 2πf max ≤ 1 . Odavde je
τ=
1
= 10.6 μs . Tada odnos signal/šum u
2πf max
tački 4 ima vrednost:
⎛S⎞
⎜ ⎟ = 74.2 dB .
⎝ N ⎠4
Zadatak 8.2.12. (E, *)
Modulišući signal u m (t ) = U m ⋅ sin ω m t prenosi se pomoću ugaone modulacije kroz sistem čija se funkcija prenosa može aproksimirati funkcijom prenosa idealnog pojasnog filtra srednje
učestanosti f c i širine propusnog opsega B = 2 f m Učestanost nosioca je f c , a amplituda U .
Modulator i demodulator su idealni.
Odrediti demodulisani signal i faktor harmonijskog izobličenja kada se primenjuje:
a) ΦM sa maksimalnom devijacijom faze Δφ = 0.6 rad ,
b) FM sa maksimalnom devijacijom učestanosti Δf = 0.4 ⋅ f m .
Rešenje:
a) Fazno modulisani signal sa zadatim modulišućim signalom u m (t ) može da se predstavi
pomoću reda:
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
u (t ) = U
257
∞
∑ J n (Δφ ) ⋅ cos(ω c + nω m )t .
n = −∞
Kroz sistem sa idealnim pojasnim filtrom proći će samo tri komponente, za n = 0,±1 . Vodeći
računa o osobinama Beselovih funkcija i primenom osnovnih trigonometrijskih transformacija,
na ulaz u demodulator dolazi signal čija faza je proporcionalna demodulisanom signalu:
⎡ 2 J 1 ( Δφ )
⎤
⋅ sinω mt ⎥ .
⎣ J 0 (Δφ )
⎦
φ (t ) = arctg ⎢
Za ΔΦ = 0.6 Beselove funkcije imaju vrednosti J 0 = 0.77 i J1 = 0.4 .
Faktor harmonijskog izobličenja može se odrediti razvojem funkcije arctg (x) u Maklorenov
red i uzimanjem u obzir samo prva dva člana, što daje:
⎡ 2 J1 2 J13 ⎤
1 ⎡ 2J ⎤
φ (t ) ≈ ⎢
+ 3 ⎥ ⋅ sinω m t − ⎢ 1 ⎥ ⋅ sin3ω m t .
12 ⎣ J 0 ⎦
J 0 ⎥⎦
⎢⎣ J 0
Faktor harmonijskog izobličenja tada ima vrednost:
2
1 ⎛J ⎞
k ≈ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ≈ 11% .
3 ⎝ J0 ⎠
b) Frekvencijski modulisan signal sa prostoperiodičnim modulišućim signalom može se predstaviti u obliku reda:
u (t ) = U
∞
π⎤
⎡
J m (m) ⋅ cos ⎢(ω c + nω m )t + n ⎥ ,
2⎦
⎣
n = −∞
∑
gde je m =
Δf
= 0.4 indeks modulacije.
fm
Istim postupkom kao pod a) dobija se faza signala na ulazu u prijemnik u obliku:
⎡ 2 J1 ( m)
⎤
⋅ cosω mt ⎥ .
⎣ J 0 ( m)
⎦
φ (t ) = arctg ⎢
Demodulisani signal proporcionalan je trenutnoj devijaciji učestanosti:
fd =
sinω mt
1 dφ
2J
= fm 1
.
2π dt
J 0 1 + (2 J1 / J 0 ) 2 cos 2 ω mt
Za m = 0.4 , vrednosti Beselovih funkcija jednake su J 0 = 0.96 i J1 = 0.2 . Faktor harmonijskog izobličenja izračunava se kao i pod a), što daje:
258
Osnovi telekomunikacija, skripta
2
⎛J ⎞
k = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ≈ 4.3 % .
⎝ J0 ⎠
Zadatak 8.2.13. (E, *)
Na slici 1. prikazana je blok šema frekvencijskog multipleksa ( MPX je multiplekser a DMX
demultiplekser) za prenos N govornih kanala primenom frekvencijske modulacije. Sva kola su
idealna. Prvi kanal u frekvencijskom multipleksu nalazi se u osnovnom opsegu (0 ÷ 4kHz) . U
toku prenosa, na liniji veze signalu se dodaje aditivni beli Gausov šum. Kada su prekidači P1 i
P2 zatvoreni, odnos signal/šum u 24 − tom kanalu iznosi 40 dB .
τ tako da se za N = 32 i otvorene prekidače P1 i P2 u najvišem kanalu dobije odnos
signal/šum od 40 dB , ako je f g = 4 kHz , H p ( f ) ⋅ H d ( f ) = 1 , H p ( f ) = 2πfτ .
Odrediti
Slika 1. Sistem za prenos signala sa frekvencijskim multipleksom i FM
Rešenje:
Pošto su sva kola idealna, ne razmatra se uticaj modulacije i demodulacije na signal, već samo
demodulacije na šum, sa deemfazisom i bez deemfazisa.
Spektralna gustina srednje snage šuma nakon FM demodulacije, prema (8.2.55), ima oblik:
pN ( f ) = k ⋅ f 2,
gde je k konstanta čija vrednost nije od značaja.
Kanal sa rednim brojem N = 24 ima granice 92 − 96 kHz . Kada su prekidači zatvoreni, snaga
signala ima vrednost PS1 , a snaga šuma izračunava se pomoću izraza:
96
963 − 923
PN 1 = 2 ∫ kf df = k
⋅ 109 , jer su granice izražene u kHz .
3
92
2
Glava 8. Modulacije sa prostoperiodičnim nosiocem
259
Koeficijent 2 ispred integrala obračunava negativne učestanosti. Kada su prekidači otvoreni, u
kolu je i H d ( f ) , snaga signala je nepromenjena, PS 2 = PS1 , a snaga šuma ima promenjenu
vrednost jer šum prolazi samo kroz kolo za deemfazis. Snaga šuma određuje se pomoću izraza:
128
2
PN 2 = 2 ∫ kf H d ( f ) df =
2
124
k
128
∫ fdf
πτ 124
=
k
2πτ
(128 2 − 124 2 ) ⋅10 6 .
Sada se odnos signal/šum može izraziti kao:
10 ⋅ log
PS 2
2πτPS 2
= 10 ⋅ log
.
PN 2
1008 ⋅ k ⋅ 10 6
Nepoznata veličina je količnik
10 ⋅ log
PS 2
P
, koji se može izraziti preko odnosa S1 pa se dobija:
k
k
2π ⋅10 4 ⋅ (96 3 − 92 3 ) ⋅10 9
3 ⋅1008 ⋅10
6
⋅ τ = 40 .
Odavde se lako izračunava vrednost konstante kao τ = 4.54 μs .
260
Osnovi telekomunikacija, skripta
9. MODULACIJE SA IMPULSNIM NOSIOCEM
Modulacije sa impulsnim nosiocem, opisanim izrazom (7.1.2), imaju sledeće osnovne osobine:
1. Zasnivaju se na teoremi o odabiranju. Modulišući signal mora da bude frekvencijski ograničen
do učestanosti B . Učestanost impulsnog nosioca mora da bude prilagođena modulišućem
signalu i da zadovolji uslov f s = f 0 ≥ 2 ⋅ B . Svaki impuls u nizu impulsa sadrži informaciju o
vrednosti jednog odbirka modulišućeg signala u intervalu odabiranja u kom se impuls nalazi.
2. Modulisani signal ima veoma složenu strukturu spektra i ne prilagođava signal u potpunosti
uslovima prenosa. Kod svih varijanti modulacija, spektar modulisanog signala zauzima teoretski
beskonačno širok interval učestanosti. Praktično, spektar se proteže od jednosmerne komponente
do višestruke vrednosti učestanosti nosioca.
3. Dobijeni modulisani signal i dalje je analogni signal, odnosno signal sa kontinualnim vremenom. Detaljnije osobine povorke impulsa zavise od tipa impulsne modulacije. Prenos ovakvog
signala bez dodatne obrade odgovara prenosu u osnovnom opsegu, opisanom u poglavlju 7.1.
4. Vremenski interval između impulsa omogućuje da se primeni poseban postupak za istovremeni prenos više signala kroz isti provodnik. Ovaj postupak za istovremeni prenos više signala
naziva se vremenski multipleks. Ilustrovan je na slici 9.2.1., objašnjen u poglavlju 9.2. i danas
predstavlja izuzetno važan postupak za racionalno korišćenje komunikacionih sistema.
9.1. Postupci modulacije
Povorka impulsa koja ima ulogu nosioca data je izrazom:
c(t ) = U ⋅
∞
∑ v(t − k ⋅ T ) ,
k = −∞
sa oznakama:
U -amplituda impulsa,
T -perioda impulsa,
⎧1 t < t < t 2 ,
v(t ) = ⎨ 1
elementarni impuls,
⎩0 drugde,
t1 i t 2 početak i kraj impulsa,
a često se koristi i trajanje impulsa, τ . Izračunava se kao τ = t 2 − t1 .
(9.1.1)
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
261
Ako se, u postupku modulacije, nosilac promeni tako da se amplituda impulsa menja proporcionalno sa promenama modulišućeg signala, tada se radi o impulsnoj amplitudskoj modulaciji,
IAM.
Ako se, u postupku modulacije, nosilac promeni tako da se položaj početka ili kraja impulsa, t1
ili t 2 , menja proporcionalno sa promenama modulišućeg signala, tada se radi o impulsnoj modulaciji po trajanju, ITM.
Ako se u postupku modulacije menja položaj impulsa (unutar nekog unapred određenog intervala), pri čemu impulsi zadržavaju konstantnu širinu, radi se o impulsnoj modulaciji po položaju,
IPM.
Ilustracija sva tri tipa modulisanog signala sa impulsnim nosiocem data je na slici 9.1.1.
u IAM (t )
a)
t
u ITM (t )
b)
t
u IPM (t )
c)
T
2T
3T
4T
t
Slika 9.1.1. Impulsno modulisani signali IAM (prirodno odabiranje) (a), ITM (b) i IPM (c)
262
Osnovi telekomunikacija, skripta
IAM
Impulsna amplitudska modulacija realizuje se na isti način kao i dobijanje signala odbiraka u
postupku odabiranja. Modulisani signal dobija se tako što se modulišući signal pomnoži sa impulsim nosiocem. Modulisani signal tada ima oblik:
u (t ) = u m (t ) ⋅ c(t ) = U ⋅
∞
∑ um (t ) ⋅ v(t − k ⋅ T ) .
(9.1.2)
k = −∞
Prema izrazu (9.1.2), amplituda svakog impulsa, u intervalu u kom je različit od nule, menja se u
skladu sa promenama vrednosti signala u m (t ) . Ovaj tip IAM naziva se IAM sa prirodnim odabiranjem.
Ako, međutim, amplituda svakog impulsa u intervalu u kom je impuls različit od nule ne menja
vrednost, nego je jednaka vrednosti signala na početku impulsa, ponovo se radi o IAM, ali se
ovaj tip odabiranja naziva regularno odabiranje.
Spektar signala, dobijenog prirodnim odabiranjem, izračunava se na isti način kao spektar signala odbiraka, prema izrazu (4.1.5). Dobijeni spektar ima oblik:
U( f ) =
∞
1
un ⋅ U m ( f − n ⋅ ) ,
T
n = −∞
∑
(9.1.3)
i, strogo posmatrano, ima beskonačnu širinu. U praksi se, međutim, smatra da je samo jedan deo
frekvencijskog opsega značajan. Detaljnija analiza data je u glavi 10.
Spektar modulisanog signala, dobijenog primenom regularnog odabiranja, razlikuje se od spektra
opisanog izrazom (9.1.3). Oblik spektra određuje se veoma specifičnim postupkom, opisanim u
zadatku 9.1.5.
Modulacija IAM signala
IAM signal dobija se množenjem dva signala. Blok šema odgovara šemi prikazanoj na slici
4.1.1. Detalji ovog postupaka nisu interesantni i ne razmatraju se u ovom tekstu.
Demodulacija IAM signala
U cilju demodulacije IAM signala, treba izvršiti analizu modulisanog signala u vremenskom i
frekvencijskom domenu i pronaći način da se izdvoji modulišući signal, u m (t ) . Posmatranjem u
vremenskom domenu, do rezultata se može doći ako se ITM signal napiše u razvijenom obliku,
tako što se povorka impulsa c(t ) razvije u Furijeov red. Dobija se signal sledećeg oblika:
u (t ) = u m (t ) ⋅
∞
∑ un ⋅ e jnω t ,
0
n = −∞
(9.1.4)
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
263
odakle je očigledno da nulti sabirak odgovara modulišućem signalu, pomnoženom sa jednosmernom komponentom, u0 .
Potrebno je, na neki način, izdvojiti sabirak za n = 0 . Ovakvo izdvajanje delova signala moguće
je, pod određenim uslovima, jedino pomoću filtara propusnika nekog intervala učestanosti, u
ovom slučaju NF filtra. Potreban uslov da bi se izdvajanje moglo relizovati jeste dovoljno visoka
učestanost odabiranja, f 0 . Do istog zaključka može se doći i posmatranjem spektra IAM signala. Prema izrazu (9.1.3), demodulacija IAM signala moguća je izdvajanjem sabirka za koji je
n = 0 , pomoću NF filtra.
ITM i IPM
Kod modulacija tipa ITM i IPM, određivanje analitičkog izraza za modulisani signal i njegov
spektar znatno je složenije nego kod IAM.
Ako se nosilac, povorka impulsa jedinične amplitude i trajanja τ sa periodom T , postavi tako
da se formira parna funkcija, dobija se signal u dobro poznatom obliku:
c(t ) =
∞
∑ cn ⋅ e
jn
2π
t
T
,
(9.1.5)
n = −∞
gde koeficijent cn ima vrednost (zadatak 2.3.2): cn =
τ
T
⋅
sin
nπτ
T .
nπτ
T
Ako se, međutim, nosilac posmatra kao povorka impulsa koji su različiti od nule u intervalu
(t1 , t 2 ) , nemodulisani nosilac može se dovesti na oblik:
t 2 − t1 ∞ 1
+∑
c(t ) =
T
n =1 nπ
2π
2π
⎡
⎤
⋅ ⎢sin n ⋅
⋅ (t − t1 ) − sin n ⋅
⋅ (t − t 2 )⎥ .
T
T
⎣
⎦
U izrazu (9.1.6) treba zapaziti da u trenutku t = t1 svi sabirci koji sadrže sin n ⋅
(9.1.6)
2π
⋅ (t − t1 )
T
imaju vrednost jednaku nuli. Može se pokazati da je u pitanju baš tačka (presek sa nulom) u kojoj sinusoida ima pozitivan nagib pa navedeni sabirci praktično određuju položaj prednje (rastuće) ivice svakog impulsa.
U trenutku t = t 2 svi sabirci koji sadrže sin n ⋅
2π
⋅ (t − t 2 ) imaju vrednost jednaku nuli. Pošto
T
imaju negativan znak, ovi sabirci praktično određuju položaj zadnje (opadajuće) ivice svakog
impulsa.
Ako se u postupku ITM vrši promena položaja prednje ivice impulsa nosioca, tada trenutak pojavljivanja prednje ivice više nije jednak konstanti, t1 , nego je dat izrazom:
264
Osnovi telekomunikacija, skripta
t1' = t1 − kT ⋅ u m (t ) ,
(9.1.7)
gde je t1 položaj prednje ivice nemodulisanog impulsa a kT konstanta proporcionalnosti.
'
Izraz za ITM signal u slučaju kad se t1 zameni sa t1 iz izraza (9.1.7) ima oblik:
⎧t − t k
u (t ) = U ⋅ ⎨ 2 1 + T ⋅ u m (t ) +
T
⎩ T
∞
⎫
1
⋅ [sin{ n ⋅ ω s ⋅ [t − t1 + kt ⋅ u m (t )] } − sin[ n ⋅ ω s ⋅ (t − t 2 ) ] ]⎬ .
n =1 n ⋅ π
⎭
+∑
(9.1.8)
Analizom signala u (t ) datog izrazom (9.1.8) vidi se da je u pitanju zbir velikog broja signala
među kojima se mogu prepoznati:
k
- modulišući signal u osnovnom opsegu, T ⋅ u m (t ) ,
T
- fazno modulisani signali sa različitim amplitudama (1 /( n ⋅ π ) ), nosiocima ( n ⋅ ω s ) i indeksima
modulacije. Širina spektra svakog od ovih signala zavisi od vrednosti n i sve se međusobno
razlikuju.
Analiza vremenskog oblika i spektra IPM signala znatno je složenija i ovde neće biti pokazani
detalji.
Modulacija ITM i IPM signala
Blok šema modulatora za ITM signal prikazana je na slici 9.1.2. Blok označen sa K naziva se
komparator. Na svom izlazu komparator daje konstantan pozitivni napon sve dok je signal u
tački A veći od referentnog napona U C , a napon na izlazu jednak je nuli kada je signal u tački A
manji od referentnog signala. Na slici 9.1.3. prikazan je pomoćni testerasti signal uT (t ) .
Slika 9.1.2. Blok šema ITM modulatora
Uz uslov da je učestanost odabiranja dovoljno visoka i da za amplitudu testerastog signala važi
U T > U C , u svakoj periodi testerastog signala sigurno će se javiti početak impulsa, a na kraju
svakog segmenta testerastog signala javiće se završetak impulsa.
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
265
Slika 9.1.3. Pomoćni testerasti signal za ITM modulaciju
IPM signal može se dobiti na različite načine. Blok šema najjednostavnijeg IPM modulatora, sastavljenog od redne veze ITM modulatora, diferencijatora (D) i ograničavača (limitera, L) pokazana je na slici 9.1.4. Ako se na ulaz diferencijatora dovede ITM signal sa pomeranjem prednje
ivice, na njegovom izlazu dobija se povorka impulsa (prvi izvod svakog skoka manifestuje se
kao jedan impuls).
Na mestu svake prednje ivice impulsa, zbog rasta (pozitivnog skoka) vrednosti signala, javljaju
se pozitivni impulsi. Rastojanje između ovih impulsa nije konstantno. Na mestu svake zadnje ivice impulsa, zbog opadanja vrednosti signala, javljaju se negativni impulsi, sa međusobnim rastojanjem koje je u svakom intervalu jednako.
Ako se limiter projektuje tako da eliminiše sve negativne impuse, a da pozitivne uobliči na odgovarajući način, signal na izlazu sastavljen je od pozitivnih impulsa jednake širine, različitog međusobnog rastojanja i odgovara IPM signalu.
ITM
D
L
Slika 9.1.4. Blok šema IPM modulatora
Demodulacija ITM i IPM signala
Demodulacija ITM signala može se realizovati na tri načina.
1) Prema izrazu (9.1.6), jedna od komponenti ITM signala jednaka je modulišućem signalu u
osnovnom opsegu. Demodulacija ITM signala moguća je, prema tome, na veoma jednostavan
k
način, izdvajanjem sabirka tipa T ⋅ u m (t ) pomoću NF filtra.
T
2) Obzirom da neke od komponenti ITM signala imaju karakteristike fazno modulisanog signala,
demodulacija je moguća i pomoću faznog demodulatora.
3) Jedan od interesantnih postupaka demodulacije može se nazvati i indirektni postupak. ITM
signal prvo se pretvara u IAM signal, a ovaj se zatim demoduliše na neki od navedenih načina.
266
Osnovi telekomunikacija, skripta
Demodulacija IPM signala uvek se vrši indirektnim postupkom, konverzijom u ITM signal i njegovom demodulacijom na neki od opisanih načina.
Elektronska kola koja realizuju navedene konverzije signala nisu komplikovana, ali nemaju naročit značaj u savremenim telekomunikacijama i u ovom tekstu nisu detaljno opisana.
Uticaj šuma i sličnosti između modulacionih postupaka
Detaljna analiza uticaja šuma i izobličenja na prenos signala sa impulsnim nosiocem veoma je
komplikovana i nije detaljno opisana u ovom udžbeniku. Analiza uticaja šuma zasnovana je na
poređenju osobina modulisanih signala sa prostoperiodičnim i impulsnim nosiocem i njihove
sličnosti sa aspekta uticaja šuma.
U prethodnim glavama pokazane su najvažnije osobine modulacionih postupaka sa prostoperiodičnim i impulsnim nosiocem. Na osnovu primenjenog matematičkog aparata i dobijenih rezultata u vremenskom i frekvencijskom domenu, mogu se izvesti dva osnovna zaključka:
1. Između različitih varijanti amplitudskih modulacija i IAM postoji neposredna veza. Pošto se
šum neposredno dodaje modulisanom signalu, a amplituda signala nosi informaciju, postupci
IAM osetljivi su na uticaj šuma jednako kao i, npr. AM-2BO.
2. Kod modulacija tipa ITM i IPM informacija o modulišućem signalu sakrivena je u položaju
impulsa (kod IPM) ili početku impulsa (kod ITM). Pošto se početak i kraj impulsa mogu posmatrati približno kao preseci signala sa nultom vrednosti, zaključujemo da se informacija o modulišućem signalu prenosi na veoma sličan način kao kod ugaonih modulacija. To dalje znači i
da se uticaj prisustva šuma na ITM/IPM manifestuje slično kao i uticaj šuma na UM. Pošto su
postupci UM znatno otporniji na uticaj šuma nego postupci AM, može se zaključiti da isto važi
za ITM/IPM u odnosu na IAM.
Rešeni primeri uz poglavlje 9.1.
Zadatak 9.1.1. (E)
Kolo na slici 1. služi za dobijanje IAM signala. Modulišući siganal u m (t ) ima spektar u opsegu učestanosti (0, f m ) . Na ulazu odabirača modulišućem signalu se dodaje konstantan jednosmerni signal B ≥ max u m (t ) . Impulsi koji čine impulsni nosilac imaju širinu τ << T i jediničnu amplitudu. Za demodulaciju ovako dobijenog IAM signala koristi se detektor anvelope.
Učestanost odabiranja je f S >> f m .
a) Odrediti najveću vrednost RC konstante za koju detektor još uvek ispravno radi, tj. za koju
izlazni signal prati promene modulišućeg signala bez dijagonalnog odsecanja.
b) Odrediti minimalnu vrednost RC konstante pod uslovima da dozvoljeno talasanje signala
(odstupanje detektovanog signala ΔU od njegove srednje vrednosti U S ) na izlazu detektora
bude manje od 2 % .
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
267
c) Na osnovu prethodnih rezultata, odrediti minimalnu učestanost odabiranja ako je indeks modulacije jednak m0 = 0.707 .
Slika 1. Modulator IAM signala
Rešenje:
a) Modulisani signal može se napisati u obliku:
s (t ) = B ⋅ [1 + m0 ⋅ m(t )] ⋅
∞
∑ u (t − nT ) =
n = −∞
∞
∑ x(t ) ⋅ u (t − nT ) ,
n = −∞
pri čemu je x(t ) = B ⋅ [1 + m0 ⋅ m(t )] .
Signal s (t ) ima oblik KAM signala kod koga je prostoperiodičan nosilac zamenjen impulsnim
nosiocem.
Dioda detektora anvelope provodi kada je na njenom ulazu pozitivan napon, odnosno kada se pojavi odbirak signala x(t ) , a ne provodi u intervalu između susednih odbiraka, kao na slici 2.
Slika 2. Oblik signala na izlazu detektora anvelope
Uslov da detektor pravilno radi, odnosno da signal na izlazu prati promene modulisanog signala,
jeste da napon kondenzatora u a (t ) na kraju perioda pražnjenja bude uvek manji od odbirka koji
se pojavljuje na kraju toga intervala. Ovo odgovara uslovu da nema dijagonalnog odsecanja kod
KAM . Uslov se analitički može izraziti kao:
u a (ti +1 ) ≤ x(ti +1 ) .
Ako se pretpostavi da je perioda impusnog nosioca T << RC , gde je RC konstanta pražnjenja
kondenzatora, za napon na kondenzatoru u trenutku ti +1 dobija se:
268
Osnovi telekomunikacija, skripta
u a (ti +1 ) ≈u a (ti + τ ) + u a '(ti + τ ) ⋅ (ti +1 − ti ) .
Pošto su impulsi odabiranja veoma uzani ( τ <<T ), važi dalja aproksimacija:
u a (ti +1 ) ≈ u a (ti ) + u a '(ti ) ⋅ T .
Nastavak analize odgovara analizi u zadatku 8.1.9a. Rezultat je:
RC ≤
1
ωm
⋅
1
m02
−1 .
u (t ) + u a (t i +1 )
. Lako se pokazuje da je:
b) Srednja vrednost detektovanog signala je U S = a i
2
T ⎞
⎛
U S = u a (ti ) ⋅ ⎜1 −
⎟.
⎝ 2 RC ⎠
Maksimalno odstupanje detektovanog signala od srednje vrednosti U S iznosi:
ΔU = u a (ti ) − U S = u a (ti ) ⋅
T
.
2 RC
Dozvoljeno talasanje signala definiše se izrazom:
ΔU
T
=
≤ k = 0.02 .
U S (2 RC − T )
Na osnovu prethodnog izraza RC konstanta mora da zadovolji uslov:
RC ≥
1+ k
1+ k 1
⋅T =
⋅
.
2k
2k f S
c) Kombinujući rezultate zadatka pod a) i b) dobija se:
1+ k 1
1
1
⋅
≤
⋅
−1 ,
2k f S ω m m02
odnosno
fS =
1 + k ω m ⋅ m0
⋅
≈ 320 ⋅ f m .
2
2k
1− m
0
Ovaj rezultat pokazuje da je detektorom anvelope moguće rekonstruisati modulišući signal iz
njegovih odbiraka, ali učestanost odabiranja mora da bude mnogo veća od one koju zahteva
teorema o odabiranju.
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
269
Zadatak 9.1.2. (E, *)
Na slici 1. prikazan je sistem za dobijanje ITM signala. Komparator je blok označen sa K . Na
svom izlazu daje konstantan pozitivan napon sve dok je signal u tački A veći od referentnog
napona U C , a napon jednak nuli kada je signal u tački A manji od referentnog signala U C . Na
slici 2. prikazan je pomoćni signal uT (t ) , (U T > U C ) . Maksimalna vrednost modulišućeg
signala je U m , a spektar mu je u opsegu (0 ÷ f m = 4 kHz ) .
a) Odrediti najveću moguću vrednost U m , kao i odgovarajući signal U C za koji sistem još uvek
ispravno radi.
b) Ako je U T = 2V , odrediti vrednost referentnog signala U C tako da se, u odsustvu modulišućeg signala, na izlazu komparatora, u tački B , dobije povorka impulsa i pauza jednakog trajanja.
Slika 1. Sklop za dobijanje ITM signala
Slika 2. Pomoćni signal U T (t )
c) Ako se izrazom mT = Δτ / τ 0 , gde je Δτ maksimalni pomeraj prednje ivice impulsa nosioca, a τ 0 = T / 2 širina nemodulisanog impulsa, označi indeks modulacije i ako se zahteva da
bude mT = 0.7 , odrediti maksimalnu vrednost modulišućeg signala (t1 = kT − τ 0 , t 2 = kT ) .
d) Kolika je maksimalna i minimalna širina impulsa u sistemu u kom se koristi multipleks sa vremenskom raspodelom kanala ( N = 24 ) i ITM modulacijom ako indeks modulacije ima vrednost mT ?
Rešenje:
a) Ako se sa t1 i t 2 označe trenuci pojavljivanja prednje i zadnje ivice impulsa na izlazu komparatora, u odsustvu modulišućeg signala važi:
τ 0 = t 2 − t1 .
Da bi sistem ispravno radio, neophodno je da se u svakoj periodi impulsnog nosioca izvrši odabiranje, tj. da nigde ne bude t 2 − t1 = 0 ili t 2 − t1 = T . Ovi će uslovi biti ispunjeni ako je:
UT − U m ≥ U C
i
U m = UC .
Prvi uslov obezbeđuje da je τ ≥ 0 , a drugi da je τ ≤ T . Odavde je:
270
Osnovi telekomunikacija, skripta
UT = 2 ⋅U C , U m = UT / 2 .
b) Ako nema modulacije, impulsi na izlazu uvek se završavaju kad vrednost napona uT (t )
padne na nulu, pa je t 2 = kT , a t1 se određuje iz uslova:
uT (t1 ) = U C .
Analizom linearne funkcije lako se dobija da važi
U C = UT ⋅
t1 − (k − 1) ⋅ T
= uT (t1 ) .
T
Na osnovu prethodnog izraza i uslova u tekstu zadatka, trajanje impulsa iznosi:
⎛
τ = t 2 − t1 = T ⋅ ⎜⎜1 −
⎝
UC
UT
⎞ T
⎟⎟ = ,
⎠ 2
pa se za referentni signal dobija vrednost U C = 1 V .
c) Kada je na ulazu sklopa prisutan i modulišući signal, trenutak pojavljivanja prednje ivice
impulsa određuje se iz uslova:
u m (t1 − δτ ) + uT (t1 − δτ ) = U C .
U prethodnom izrazu konstanta δτ predstavlja promenu širine impulsa nosioca. Ova promena
ima maksimalnu vrednost δτ = Δτ , koja nastaje onda kada je modulišući signal u tom trenutku
jednak maksimalnoj vrednosti, pa je:
U m + uT (t1 − Δτ ) = U C .
Uz uslov
(k − 1) ⋅ T < t1 − Δτ < k ⋅ T , važi:
uT (t1 − Δτ ) = U T ⋅
t1 − (k − 1) ⋅ T − Δτ
.
T
Odavde se lako dobija da je U m = U T ⋅ Δτ / T = U T ⋅ mT / 2 = 0.7 V .
d) Perioda impulsnog nosioca određena je teoremom o odabiranju i iznosi:
T = 1 /(2 ⋅ f m ) .
Vreme koje stoji na raspolaganju za jedan kanal je Tk = T / N = 5.2 μs , širina nemodulisanog
τ 0 = Tk / 2 , a Δτ = τ 0 ⋅ mT = 1.82 μs . Maksimalna širina impulsa iznosi
= τ 0 + Δτ = 4.42 μs , a minimalna τ min = τ 0 − Δτ = 0.78 μs .
nosioca je
τ max
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
271
Zadatak 9.1.3. (E, *)
Impulsnom modulacijom po trajanju modulisan je signal u m (t ) čiji se spektar nalazi u opsegu
(0 ÷ f m ) . Ovako modulisan signal dolazi na ulaz NF filtra koji treba da rekonstuiše modulišući
signal. Širina spektra ΦM signala određuje se primenom Karsonovog obrasca. Ako se vrši modulacija prednje ivice impulsnog nosioca, sa maksimalnom promenom širine impulsa Δτ , odrediti:
a) minimalnu učestanost odabiranja tako da se na izlazu NF filtra dobije neizobličen modulišući
signal;
b) ako je učestanost odabiranja f s = 25 kHz , f m = 4 kHz , odrediti indeks modulacije ITM
signala mT tako da se filtrom propusnikom opsega učestanosti izdvoji fazno modulisani signal
sa nosiocem f s .
Rešenje:
a) U slučaju modulacije prednje ivice impulsa nosioca trenutak pojavljivanja prednje ivice dat je
izrazom
t1′ = t1 − kT ⋅ u m (t ) = t1 − Δτ ⋅ m(t ) ,
gde je kT konstanta proporcionalnosti, a m(t ) normalizovani modulišući signal. Smenom prethodnog izraza u (9.1.6) dobija se:
u (t ) = U ⋅
∞
⎧ τ Δτ
⎫
1
[ sin{ n ⋅ ω S ⋅ [t − t1 + Δτ ⋅ m(t )] } − sin[n ⋅ ω S ⋅ (t − t2 )] ] ⎬ . (1)
⋅⎨ +
⋅ m(t ) + ∑
n =1 n ⋅ π
⎩T T
⎭
Analizom izraza (1) vidi se da je spektar ITM signala sastavljen od spektra modulišućeg signala (drugi član), niza nosilaca na učestanostima nω S i beskonačne sume fazno modulisanih
signala čiji je n -ti član:
u n (t ) = U ⋅
1
⋅ sin{ n ⋅ ω S ⋅ [t − t1 + Δτ ⋅ m(t )
n ⋅π
] }.
(2)
Trenutna faza ovog signala ima oblik:
Φ n = n ⋅ ω S ⋅ [ t − t1 + Δτ ⋅ m(t ) ] = ϕ (t ) + ΔΦ n ⋅ m(t ) .
Maksimalna devijacija faze iznosi
(3)
ΔΦ n = n ⋅ ω S ⋅ Δτ .
Širina spektra fazno modulisanog signala, korišćenjem Karsonovog obrasca, data je izrazom:
Bn = 2 ⋅ f m ⋅ (ΔΦ n + 1) = 2 ⋅ f m ⋅ (n ⋅ ω S ⋅ Δτ + 1) .
Da ne bi došlo do preklapanja spektra fazno modulisanih signala sa spektrom modulišućeg signala, potrebno je da bude zadovoljen uslov:
272
Osnovi telekomunikacija, skripta
f m < n ⋅ f S − Bn / 2 ,
jer je nf S − Bn / 2 donja granica spektra ΦM komponenti.
Ovaj uslov najteže je zadovoljiti za prvi harmonik izraza (1), odnosno n = 1. U tom slučaju je:
fS >
2 fm
.
1 − 2πΔτf m
(4)
Ova analiza pokazuje da učestanost odabiranja treba da bude veća od minimalne, koju zahteva
teorema o odabiranju. Uticaj komponenti transponovanih fazno modulisanih signala biće manji
ukoliko se izabere veća učestanost odabiranja. Ako je učestanost odabiranja fiksirana, treba smanjiti širinu spektra fazno modulisanih signala:
Bn = 2 ⋅ f m ⋅ (2nπf S Δτ + 1) = 2 ⋅ f m ⋅ (nπΔτ / τ 0 + 1) = 2 ⋅ f m ⋅ (nπmT + 1) .
U poslednjem izrazu mT je indeks modulacije ITM signala, a τ 0 = T / 2 = 1 /( 2 ⋅ f S ) . Vidi se
da je širina spektra fazno modulisanih signala linearna funkcija indeksa modulacije mT . U cilju
smanjenja uticaja komponenti ΦM signala koristi se mali indeks modulacije.
b) ΦM signal na izlazu filtra propusnika opsega učestanosti dobija se za n = 1 , u obliku:
u1 (t ) = U ⋅
1
π
⋅ sin[ω S ⋅ (t − t1 ) + ω S ⋅ Δτ ⋅ m(t )] .
Trenutna faza ovog signala je φ (t ) = ω S ⋅ [t − t1 + Δτ ⋅ m(t )] = ϕ (t ) + ω S ⋅ Δτ ⋅ m(t ) .
Maksimalna devijacija faze ima vrednost Δφ = ω S ⋅ Δτ , a širina spektra iznosi:
B1 = 2 ⋅ f m ⋅ (ω S ⋅ Δτ + 1) .
Na osnovu prethodne analize vidi se da treba zadovoljiti uslove:
f S − B1 / 2 > f m
i
f S + B1 / 2 < 2 ⋅ f S − B2 / 2 ,
gde je B2 širina spektra drugog harmonika, B2 = 2 ⋅ f m ⋅ (2ω S Δτ + 1) .
Na osnovu prvog uslova dobija se (4), a iz drugog uslova sledi:
fS >
2 fm
.
1 − 6πΔτf m
Drugi uslov je strožiji. Na osnovu njega sledi:
Δτ =
fS − 2 fm
,
6πf S f m
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
odnosno mT =
Δτ
τ0
=
273
fS − 2 fm
= 0.45 , jer je τ 0 = T / 2 .
3πf m
Zadatak 9.1.4. (E, *)
Multipleksnim sistemom sa IPM modulacijom prenosi se N = 12 govornih signala. Učestanost odabiranja je minimalna, a govorni signal ima spektar u opsegu (0 ÷ f m = 4.5 kHz ) . Ako
su impulsi IPM signala veoma uzani i ako se pretpostavi da je kanal idealan NF filtar, granične učestanosti f N =500 kHz , u prvoj aproksimaciji može se smatrati da je širina impulsa
IPM signala na ulazu u prijemnik τ = 2 / f N .
Odrediti maksimalni indeks modulacije koji se može primeniti da ne dođe do preslušavanja
između kanala na prijemu.
Rešenje:
Na osnovu teoreme o odabiranju, minimalna učestanost odabiranja ima vrednost:
f S = 2 ⋅ f m = 8 kHz .
Svakom od N govornih signala stoji na raspolaganju vreme Tk = T / N , gde je T -perioda
odabiranja. Da ne bi došlo do preklapanja impulsa na prijemu, potrebno je da bude zadovoljen
uslov: Tk − τ = 2 ⋅ Δτ ,
gde je Δτ maksimalno pomeranje impulsa u odnosu na referentni položaj koji odgovara vrednosti modulišućeg signala u m (t ) = 0 , slika 1.
Slika 1. Položaj modulisanih impulsa u susednim kanalima IPM multipleksa
1
1
−
, a odgovarajući indeks modulacije ima vred4 fm N f N
nost m = 2 ⋅ Δτ / Tk = ( f N − 4 f m N ) / f N = 0.616 .
Odavde se lako nalazi da je Δτ =
274
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 9.1.5. (E, **)
Odrediti spektar IAM signala dobijenog postupkom regularnog odabiranja. Uporediti ga sa
spektrom signala dobijenog prirodnim odabiranjem i objasniti kako se može izvršiti rekonstrukcija originalnog signala.
Rešenje:
Skica IAM signala dobijenog regularnim odabiranjem pokazana je na slici 1.
um (t ) , u IAM (t )
0
T
2T
3T
3T
t
Slika 1. Modulišući signal u m (t ) i odgovarajući IAM signal
dobijen regularnim odabiranjem
Povorka impulsa jednakog trajanja i konstantne amplitude u intervalu trajanja može se analitički
opisati kao:
u (t ) =
∞
∑ um (kT ) ⋅ v(t − k ⋅ T ) ,
(1)
k = −∞
gde je u m (t ) signal koji se odabire, a v(t ) je elementarni pravougaoni impuls. Uz malo mašte i
iskustva sa konvolucijom, može se zaključiti da je izraz (1) nastao kao rezultat sledećih operacija:
a) množenja signala u m (t ) povorkom delta impulsa d (t ) =
∞
∑ δ (t − kT ) , tj.
k = −∞
u1 (t ) = um (t ) ⋅ d (t ) .
(2)
b) konvolucije signala d (t ) sa pravougaonim impulsom, tj.
u (t ) = u1 (t ) ∗ v(t ) .
(3)
Na osnovu osobina Furijeove transformacije (spektar proizvoda jednak je konvoluciji spektara i
spektar konvolucije jednak je proizvodu spektara), direktno se dobija spektar IKM signala u
obliku:
U ( f ) = U1 ( f ) ⋅ V ( f ) = [U m ( f ) ∗ D( f )] ⋅ V ( f ) = V ( f ) ⋅
∞
1
U( f − n⋅ ).
T
n = −∞
∑
(4)
Poređenjem izraza (4) i (9.1.3) vidi se da je osnovna razlika u tome što demodulacija signala
dobijenog regularnim odabiranjem više nije moguća običnim filtriranjem komponente za n = 0 .
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
275
Osim filtriranja NF filtrom, neophodna je i korekcija izdvojene spektralne komponente filtrom
čija funkcija prenosa treba da bude H ( f ) =
1
.
V( f )
9.2. Vremenski multipleks
Kod svih varijanti prenosa signala sa impulsnim nosiocem, kao i kod digitalnog prenosa signala,
pokazanog u glavi 10., širina impulsa obično je znatno manja od intervala između dva impulsa,
tj. periode odabiranja. Vremenski interval između dva impulsa može se iskoristiti za prenos
drugih signala. Ovakav način višestrukog prenosa naziva se vremenski multipleks. Skica istovremenog prenosa tri signala primenom IAM prikazana je na slici 9.2.1.
u IAM 1, 2,3 (t )
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
kanali
Slika 9.2.1. Skica vremenskog multipleksa tri signala
Principijelna blok šema jednostavnog sistema za realizaciju vremenskog multipleksa prikazana
je na slici 9.2.2. Rotacioni odabirači rotiraju jednakom kružnom brzinom, ali u suprotnom smeru
jedan u odnosu na drugi. U vremenskim intervalima jednakog trajanja odabirači su postavljeni
tako da istovremeno povezuju ulaze i izlaze istih kanala.
Signal na liniji veze ima oblik koji odgovara skici prikazanoj na slici 9.2.1. Ulazni NF filtri
imaju zadatak da obezbede uslove za odabiranje, tj. da spreče pojavu preklapanja spektra. Izlazni
NF filtri imaju zadatak da izvrše demodulaciju IAM signala, na način pokazan ranije, analizom
izraza (9.1.3).
u1 (t )
NF
NF
u1 (t )
u 2 (t )
NF
NF
u 2 (t )
u3 (t )
NF
NF
u3 (t )
Slika 9.2.2. Sistem za realizaciju vremenskog multipleksa
Za razliku od frekvencijskog multipleksa, ovde su spektri svih signala međusobno superponirani
i u frekvencijskom domenu se ne mogu razdvojiti. U vremenskom domenu, međutim, dobra sinhronizacija predajnika i prijemnika obezbeđuje kvalitetno razdvajanje i prenos signala.
276
Osnovi telekomunikacija, skripta
Pošto se vremenski multipleks najviše primenjuje u digitalnom prenosu, u kombinaciji sa IKM ,
ostale osobine prenosa sa vremenskim multipleksom i impulsnom kodnom modulacijom pokazane su u sledećoj glavi.
Rešeni primer uz poglavlje 9.2.
Zadatak 9.2.1. (E)
Vremenskim multipleksom koji koristi impulsnu amplitudsku modulaciju prenosi se N govornih signala čiji su spektri u opsegu učestanosti (0 ÷ f m = 4 kHz) . Odabiranje se vrši periodičnom povorkom pravougaonih impulsa amplitude U i širine τ S . Širina impulsa je maksimalna. Prijemni i predajni odabirač rade sinhrono, a funkcija prenosa sistema je idealna. Sistem je
prikazan na slici 1.
a) Odrediti signal na izlazu i − tog kanala, kao i pojačanje pojačavača Ai , i = 1..N , tako da se
na njegovom izlazu dobije signal zi (t ) = xi (t ) . Učestanost odbiranja je minimalna.
b) Ako se učestanost odabiranja utrostruči ( f S1 = 3 ⋅ f S ) , a širina impulsa ostane nepromenjena, odrediti maksimalan broj kanala koji se može preneti u posmatranom sistemu.
Slika 1. Sistem sa vremenskom raspodelom kanala i IAM
Rešenje:
a) Signal odabiranja i − tog kanala ima analitički izraz:
si (t ) =
∞
∑ u (t − nT − τ i ) , i = 1..N ,
n = −∞
gde je:
⎧U
u (t − τ i ) = ⎨
⎩0
τi −τ 2 < t < τi + τ 2,
drugde.
Sa τ i , i = 1..N , označen je konstantan vremenski pomeraj koji odgovara i − tom kanalu, a
obezbeđuje sukcesivno uzimanje odbiraka iz svakog od N kanala. Ovaj pomeraj iznosi:
Glava 9. Modulacije sa impulsnim nosiocem
τ i = i ⋅τ S = i ⋅
gde je
277
T
1
, i = 0..N − 1 ,
=i⋅
N
2 fm ⋅ N
τ S maksimalno trajanje impulsa, τ S =
T
1
, dok je T =
maksimalna perioda
N
2 ⋅ fm
odabiranja. Signal odbiraka u i − tom kanalu ima oblik:
⎡ ∞ U (nf S ) jnω S t − jnω Sτ i ⎤
si (t ) = ∑ u (t − nT − τ i ) ⋅ xi (t ) = ⎢ ∑
⋅e
⋅e
⎥ ⋅ xi (t ) , i = 1..N ,
T
n= −∞
⎣n=−∞
⎦
∞
a njegov spektar:
Si ( f ) =
∞
U (nf S ) − jnω Sτ i
⋅e
⋅ X i ( f − nf S ) , i = 1..N .
T
n= −∞
∑
(1)
Zbog idealne karakteristike prenosa sistema, H C ( f ) , isti signal stiže i na ulaz prijemnika, a na
izlazu odgovarajućeg i − tog NF filtra pojavljuje se samo komponenta signala S i ( f ) u osnovnom opsegu (sabirak za koji je n = 0 ):
Yi ( f ) =
U ( 0)
⋅ X i ( f ) , i = 1..N ,
T
(2)
odnosno:
yi (t ) =
U ( 0)
⋅ xi (t ) , i = 1..N .
T
(3)
Vrednost U (0) = U ⋅ τ nalazimo na osnovu Furijeove transformacije signala u (t ) . Smenom
ove vrednosti u izraz (3) dobija se:
yi (t ) =
U ⋅τ
⋅ xi (t ) , i = 1..N .
T
Na izlazu pojačavača signal ima oblik:
zi (t ) = Ai ⋅ yi (t ) = Ai ⋅
U ⋅τ
⋅ xi (t ) , i = 1..N .
T
Odavde se za pojačanje i − tog pojačavača dobija vrednost:
Ai =
T
1
, i = 1..N .
=
U ⋅ τ 2 f mτU
(4)
Očigledno je da je amplituda signala yi (t ) linearna funkcija parametra τ (širina impulsa odabiranja). Maksimalna vrednost amplitude signala yi (t ) dobija se za maksimalnu širinu impulsa
(τ max = T N ) pa je minimalno potrebno pojačanje Amin = N U .
278
Osnovi telekomunikacija, skripta
b) Kanalno vreme, tj. vreme koje stoji na raspolaganju jednom odbirku signala u multipleksnom
signalu određeno je relacijom:
Tk = T / N ,
a širina impulsa odabiranja, odnosno širina odbiraka mora biti:
τ = a ⋅ Tk , 0 < a < 1 .
(5)
Jasno je da sličan uslov mora da bude zadovoljen i u sistemu sa trostruko većom učestanošću
odabiranja, odnosno mora da važi:
τ = b ⋅ Tk1 , 0 < b < 1,
(6)
gde Tk1 = T1 N1 predstavlja kanalno vreme u multipleksu sa N1 kanala. Izjednačavanjem
izraza (5) i (6), pošto se širina impulsa nije promenila, sledi:
Tk1 Tk = (T1 ⋅ N ) (T ⋅ N1 ) = a b .
Pošto za učestanost odabiranja važi odnos f S1 = 3 ⋅ f S , sledi da je T = 3 ⋅ T1 , pa se smenom u
prethodni izraz dobija:
N1 =
N ⋅b
.
3⋅ a
Ako se pretpostavi da u oba sistema impulsi odabiranja imaju maksimalnu širinu, što odgovara
graničnom slučaju a = b = 1 sledi da je:
N1 = N 3 .
To je ujedno maksimalan broj kanala koji se može obrazovati pod gore usvojenim pretpostavkama. Povećanjem učestanosti odabiranja, uz zadržavanje iste širine impulsa, proporcionalno se
smanjuje broj kanala koje je moguće preneti.
Do ovog rezultata može se doći i jednostavnim rezonovanjem: više odbiraka u svakom kanalu,
uz nepromenjeno trajanje impulsa, neminovno dovodi do smanjenja broja kanala.
Glava 10. Digitalni prenos
279
10. DIGITALNI PRENOS
Ovo poglavlje napisao je Vladimir Crnojević.
10.1. Osnovni pojmovi
Pod digitalnim prenosom podrazumeva se prenos digitalnog signala, bez obzira na koji način je
signal nastao (digitalizovani analogni ili izvorno digitalni signal), odnosno prenos signala pretvorenog u simbole. Predajnik emituje (šalje) poruke sačinjene od simbola iz konačnog skupa simbola. Skup simbola poznat je i predajniku i prijemniku. Prijemnik prima simbole i interpretira
(prepoznaje), odnosno, poredi primljeni simbol, izobličen i oštećen tokom prenosa, sa skupom
mogućih simbola i zaključuje koji od njih je “najsličniji” primljenom. Digitalni prenos odgovara
prenosu IKM signala o kom su osnovni pojmovi navedeni u poglavlju 4.4. Veći deo teorije
izložene u ovoj glavi primenjiv je i na IKM modulaciju.
U poređenju sa analognim prenosom, digitalni prenos ima velike prednosti [5,6]. Važna osobina
digitalnog signala jeste mogućnost potpune rekonstrukcije poruke, tj. signala na prijemu. Ako oštećenje signala, nastalo u toku prenosa, nije veoma veliko, signal se može rekonstruisati u potpunosti. Ako je, međutim, oštećenje originalnog signala toliko da rekonstrukcija nije moguća,
donosi se pogrešan zaključak o primljenom simbolu, tj. dolazi do greške u prenosu. Primer pravilnog odlučivanja pokazan je na slici 10.1.1. Predajnik emituje signal ue (t ) . U toku prenosa
signal se izobličava i prijemnik prima signal u r (t ) . Pošto izobličenja u pokazanom primeru nisu
velika, u postupku odlučivanja o vrednostima signala ne javlja se greška i prijemnik pravilno rekonstruiše signal, v(t ) , pa približno važi jednakost v(t ) = ue (t ) .
ue (t )
u r (t )
v(t )
Slika 10.1.1. Rekonstrukcija primljenog digitalnog signala
Pošto je moguća rekonstrukcija digitalnog signala, moguća je i njegova regeneracija, nakon prenosa po određenoj deonici na prenosnom putu. Ukoliko je signal u regeneratoru u potpunosti
rekonstruisan, na sledeću deonicu prenosnog puta šalje se digitalni signal identičan izvornom
signalu. Kod analognih sistema u toku prenosa može se vršiti samo pojačanje signala. Međutim,
280
Osnovi telekomunikacija, skripta
pojačanjem signala pojačava se i šum koji je akumulisan na prethodnoj deonici prenosnog puta,
jer ne postoji način da se signal i šum međusobno razdvoje.
Pošto je signal pre prenosa preveden u digitalni oblik, na predajnoj strani mogu se vršiti različiti
postupci predobrade u cilju poboljšanja karakteristika signala i prenosa. Tako, na primer, tehnikama kodovanja izvora često je moguće smanjiti broj bita potreban za prenos originalnog signala
(JPEG, MP3, skraćenice za posebne standardne postupke za prenos signala slike). Pored toga,
primena zaštitnog kodovanja omogućava značajno poboljšanje karakteristika i kvaliteta prenosa
signala u digitalnom obliku.
Kao kriterijum za ocenu kvaliteta prenosa analognih sistema koristi se odnos snaga signala i šuma. Kod digitalnih sistema, kao kriterijum se koristi verovatnoća greške u prenosu. Projektovanje sistema za digitalni prenos vrši se na osnovu verovatnoće greške koja se unapred zadaje kao
najveća prihvatljiva vrednost sa kojom treba preneti signal a da sistem pri tom funkcioniše na
zadovoljavajući način. Više detalja o postupcima projektovanja digitalnih sistema dato je na kraju sledećeg poglavlja.
Predstavljanje digitalnih informacija
Za pojam digitalnih komunikacija najčešće se vezuje prenos bita, odnosno niza ili povorke pravougaonih impulsa koji predstavljaju nule i jedinice. To je pojednostavljena predstava onoga što
se stvarno dešava u praksi. Naime, često nisu u pitanju samo dva nivoa signala (0 i 1), već
mnoštvo nivoa (obično se broj nivoa označava sa M ). Sa druge strane, pravougaoni impulsi
imaju veoma širok spektar, pa pri prenosu kroz komunikacioni kanal ograničene širine dolazi do
njihovog značajnog izobličenja. Stoga se u praksi koriste drugačiji oblici impulsa koji su bolje
prilagođeni stvarnim uslovima prenosa.
U digitalnom prenosu, fizički nosioci informacija nazivaju se elementarni impulsi. Digitalni signal predstavlja niz elementarnih impulsa xe (t ) koji su u vremenu razmaknuti, tj. pojavljuju na
rastojanju TM , kaže se i da imaju takt TM , sa različitim amplitudama, an :
s (t ) =
n =∞
∑ an ⋅ xe (t − n ⋅ TM ) .
(10.1.1)
n = −∞
Ako amplituda impulsa, an , može imati jednu od M različitih vrednosti, radi se o M − arnom
prenosu. Pošto je izvorni signal najčešće u binarnom obliku ( IKM signal, računarski signali,
itd.), kodovanje se vrši tako što se grupa od m uzastopnih bita pretvori u jedan M − arni simbol
(kaže se i da se m uzastopnih bita pridruži jednom simbolu). Ceo broj M najčešće je stepen
broja dva: M = 2 , odnosno m = ld ( M ) . Primer digitalnog signala prikazan je na slici
m
10.1.2. Prikazan je elementarni impuls trajanja 2 ⋅ TM . Iako elementarni impuls ima trajanje jednako dvostrukom trajanju takta, TM , njegova vrednost povezuje se za jedan interval takta, jer u
proseku na svaki interval dolazi po jedan elementarni impuls (jednica) ili prazan interval (nula).
Za pojam digitalnog prenosa vezuju se dve značajne veličine koje predstavljaju parametre digitalnog sistema.
Glava 10. Digitalni prenos
281
digitalni signal s (t )
elementarni impuls xe (t )
TM
TM
TM
TM
TM
TM
TM TM
TM
Slika 10.1.2. Oblici elementarnog impulsa i digitalnog signala
Prva je simbolska brzina koja predstavlja broj simbola (ujedno i broj elementarnih impulsa) prenetih u jedinici vremena, bez obzira na amplitudu impulsa. Kaže se još da je to broj uznemiravanja prenosnog kanala u jedinici vremena. Stoga se simbolska brzina definiše kao:
vs =
1
,
TM
(10.1.2)
i izražava se u baud-ima (bod).
Druga veličina karakteristična za digitalni prenos jeste digitalni protok, koji predstavlja broj bita
prenetih u jednici vremena. Ako se digitalni signal sastoji od niza M -arnih elementarnih impulsa, trajanja TM , njegov digitalni protok definiše se kao:
vd = ld ( M ) ⋅ v s =
ld ( M )
,
TM
(10.1.3)
i izražava se u bitima u sekundi; ( ld ( M ) = log 2 ( M ) -latinski: ld - logaritam dualis).
U digitalnom prenosu kaže se da se simboli emituju po taktu (engl. clock) koji traje TM . Frekvencija takta identična je simbolskoj brzini:
f S = vS =
1
.
TM
(10.1.4)
Za pojam takta, osim frekvencije, vezan je i problem vremenske sinhronizacije takta, odnosno
faze takta. Pod sinhronizacijom takta podrazumeva se stepen usklađenosti (poklapanja) položaja
vremenskog intervala u kom se očekuje pojavljivanje simbola i stvarnog položaja simbola na
vremenskoj osi. Ako sinhronizacija nije dobra (dobro podešena), prijemnik će odlučivati o vrednostima primljenog signala u pogrešnim trenucima i doći će do greške u odlučivanju, iako možda
signal u toku prenosa nije značajno izobličen. Pojava podrhtavanja takta naziva se džiter (engl.
jitter, titranje).
Rekonstrukcija signala na prijemu može se realizovati na dva načina: sinhrono i asinhrono. Sinhroni prijemnici rade na principu odabiranja primljenog signala sa periodom TM u tačno određenim trenucima. Da bi se kod sinhronog prenosa izvršila uspešna rekonstrukcija signala, neophodno je tačno poznavanje frekvencije i faze takta na prijemu, kako bi se odabiranje izvelo u tačnim
trenucima vremena. U cilju regenerisanja takta i sinhronizacije faze na prijemu, koriste se brojni
postupci koji se sastoje od različitih varijanti filtriranja i obrade signala. Ovi postupci mogu da
budu veoma složeni, a čitava oblast naziva se sinhronizacija. Sa druge strane, kod asinhronog
282
Osnovi telekomunikacija, skripta
prenosa nije neophodno tačno poznavanje frekvencije i faze takta na prijemu, ali je i kvalitet
prenosa kod ovakvih sistema obično slabiji. Primer asinhronog prijemnika jeste komparator koji
daje diskretne vrednosti amplituda na svom izlazu.
Vrste digitalnih signala
Digitalni signal sastoji se od niza elementarnih impulsa sa slučajnim amplitudama, gde svaka odgovara jednom simbolu, prema (10.1.1). Zavisnost između M mogućih vrednosti amplituda
svakog simbola i fizičkih karakteristika signala koji ga predstavlja, naziva se môd (ili format, a
ponekad i linijski kôd) prenosa. Môd prenosa definisan je preko tri parametra:
• oblik elementarnog impulsa na predaji,
• skup koeficijenata an ,
• zavisnost između simbola, koja se ogleda kroz izvesna ograničenja u izboru simbola na
predaji, definisana na osnovu prethodno poslatih simbola.
Poznavanje ovih karakteristika i statističke raspodele M vrednosti amplituda koeficijenata an ,
omogućava da se odredi autokorelaciona funkcija. Preko autokorelacione funkcije (njenom Furijeovom transformacijom) određuje se i veoma važna funkcija: spektralna gustina snage digitalnog signala.
Izborom različitih oblika elementarnog impulsa, koeficijenata i njihovih međuzavisnosti, mogu
se dobiti različiti oblici spektra digitalnog signala. Na taj način može se odabrati môd prenosa
koji najviše odgovara datim uslovima.
Kao primer, navešćemo tri različita môda prenosa:
• Binarni unipolarni môd, sa pravougaonim oblikom elementarnog impulsa trajanja TM / 2 ,
(mod sa povratkom na nulu, engl. Return to Zero – RZ). Koeficijenti an mogu imati sledeće
vrednosti:
a0 = 0 , a1 = U .
• Ternarni mod sa ograničenjima (pseudo-ternarni), polarni mod sa alternirajućim polaritetom i
pravougaonim oblikom elementarnog impulsa trajanja TM (Alternate Mark Inversion NonReturn to Zero–AMI-NRZ). Postoje tri moguće vrednosti koeficijenata, koji zbog ograničenja
imaju sledeće međuzavisnosti:
a1 = 0 , predstavlja binarnu nulu (0),
a0 = −U i a2 = U , emituju se naizmenično i predstavljaju binarnu jedinicu (1).
2
• Polarni kvaternarni mod, (2 bita po simbolu) sa elementarnim impulsom oblika cos x (podignuti kosinus) koji ima značajno uži spektar nego pravougaoni impuls (slika 10.1.3). Koeficijenti an mogu imati četiri različite vrednosti:
3
1
1
3
a0 = − U , a1 = − U , a2 = U , a3 = U .
2
2
2
2
Glava 10. Digitalni prenos
283
Na slici 10.1.3. prikazana su sva tri navedena môda. U prvoj koloni pokazan je elementarni impuls, u drugoj izgled digitalnog signala za poruku oblika 101101, kao i odgovarajuće spektralne
gustine snage Φ e ( f ) u trećoj koloni.
Može se uočiti da signal pod a) ima najuži elementarni impuls u vremenskom domenu, ali zbog
toga ima najširi spektar. Takođe, zbog pogodnog izbora oblika elementarnog impulsa, signal pod
c) ima značajno uži spektar nego pod b) iako su elementarni impulsi istog trajanja. Očigledno je
da signali koji imaju nagle skokove amplitude, kao što je to pravougaoni impuls, imaju znatno širi spektar nego signali sa zaobljenim oblikom u vremenskom domenu.
a)
0
vs
2vs
3vs
4vs
0
vs
2vs
3vs
4vs
0
vs
2vs
3vs
4vs
b)
c)
Slika 10.1.3. Elementarni impuls, digitalni signal i spektralna gustina snage za:
Binarni unipolarni mod (a), Ternarni mod sa ograničenjima (b) i
Polarni kvaternarni mod (c)
Uticaj kanala
Svaki realni kanal za prenos signala ima osobinu da sprečava nagle promene vrednosti signala,
odnosno poseduje izvesnu inerciju. Ovaj efekat može se posmatrati u dva domena:
•
•
frekvencijski domen: Obično slabljenje koje unosi kanal raste sa porastom frekvencije, tj.
kanal se ponaša kao NF filtar.
vremenski domen: odziv kanala na pobudu step-funkcijom nikada nije step-funkcija, već je
beskonačna strmina step funkcije ublažena i ima konačan nagib.
Ako je poznata prenosna karakteristika kanala, preko inverzne Furijeove transformacije može se
odrediti impulsni odziv kanala. U praksi, prenosne karakteristike kanala koji se koriste u telekomunikacijama nisu unapred poznate u dovoljnoj meri i obično su veoma različite od onih koje
daju matematički modeli (idealni NF filtar, Gausov filtar, itd.).
284
Osnovi telekomunikacija, skripta
Jedini parametar koji je najčešće poznat jeste širina propusnog opsega. Tako se određivanje odziva na na step-funkciju (veoma složen proračun) svodi na određivanje vremena t m za koje će
amplituda odziva porasti sa 10 % na 90 % od amplitude U ∞ . Da bi se ostvarilo t m = 0 , neophodna je beskonačna širina propusnog opsega kanala. Sa smanjenjem širine propusnog opsega
kanala, povećava se vreme odziva, t m . Ilustracija vremena odziva, t m , data je na slici 10.1.4.
Pokazuje se u praksi da je moguće uspostaviti labavu relaciju između vremena odziva t m i širine
propusnog opsega B :
B ⋅ t m = 0.35 . . . 0.45 .
(10.1.5)
Slika 10.1.4. Vreme odziva, t m ,za promenu od 10 % do 90 % od amplitude U ∞
Uticaj kanala opisuju sledeće funkcije:
• prenosna funkcija H ( f ) u frekvencijskom domenu, ili impulsni odziv h(t ) u vremenskom
domenu. Pomoću ovih funkcija određuje se intersimbolska interferencija, ISI;
• spektralna gustina snage i statistička raspodela amplituda smetnje koja nastaje pri prenosu
kroz dati kanal. Preko ovih veličina određuje se uticaj šuma prilikom prenosa.
Pošto je fizički nosilac informacija u digitalnom prenosu analogni signal, uticaj kanala može se
posmatrati u osnovi na isti način kao i u analognom prenosu. Ako su poznati oblik elementarnog
impulsa xe (t ) i impulsni odziv kanala h(t ) , odziv kanala xr (t ) može se predstaviti kroz konvoluciju ova dva signala:
xr (t ) = h(t ) ∗ xe (t ) .
(10.1.6)
odnosno, u frekvencijskom domenu kao proizvod spektralne gustine amplituda elementarnog impulsa X e ( f ) i prenosne funkcije kanala H ( f ) :
Xr ( f ) = H( f )⋅ Xe( f ) .
(10.1.7)
Na ovaj način modeluje se uticaj kanala pri prenosu elementarnog impulsa, bez prisustva šuma i
preslušavanja. Tako je moguće odrediti stepen deformacije elementarnog impulsa usled linearnih
izobličenja u kanalu, a posebno u pogledu njegovog trajanja i uticaja na susedne simbole. Ovaj
Glava 10. Digitalni prenos
285
uticaj naziva se inter-simbolska interferencija (ISI). Postoje različite tehnike koje omogućavaju
poništavanje ili smanjenje uticaja na susedne simbole (ISI), a jednim imenom nazivaju se ekvalizacija.
Uticaj šuma na signal prilikom prenosa ogleda se u tome što se smanjuje sposobnost prijemnika
da jasno razlikuje M različitih simbola alfabeta, jer se primljeni signal značajno razlikuje od
poslatog. Povećanjem intenziteta šuma u kanalu povećava se i verovatnoća greške prijemnika
prilikom odlučivanja koji je simbol poslat. Ova verovatnoća greške predstavlja osnovni kriterijum kvaliteta digitalnog signala i određuje se za zadati odnos snaga signala i šuma. Šum je slučajni signal i možemo ga analizirati samo statističkim postupcima.
Intersimbolska interferencija (ISI)
U postupku sinhronog prijema digitalnog signala, obično prvi korak predstavlja odabiranje primljenog analognog signala sa periodom odabiranja koja je jednaka taktu TM . Na taj način dobija
se niz odbiraka sa kontinualnim amplitudama. Kao posledica preslušavanja i prisustva šuma u
kanalu dolazi do toga da skup mogućih amplituda signala (na predajnoj strani konačan), postaje
beskonačan na prijemnoj strani. Iz ovakog skupa odbiraka potrebno je rekonstruisati originalni
digitalni signal. U ovakvoj rekonstrukciji mogu se javiti greške.
Impuls koji na predaji (teorijski) ima beskonačno kratko trajanje (delta impuls), proširuje se
prilikom prolaska kroz kanal sa konačnim propusnim opsegom. Ova pojava može se objasniti
preko konvolucije delta impulsa sa impulsnim odzivom kanala. Praktično se svaki delta impuls
na ulazu pretvara u impulsni odziv h(t ) na izlazu. Uticaj intersimbolske interferencije ogleda se
u tome što proširenje trajanja jednog impulsa (simbola) utiče i na susedne simbole i to na sledeći
način:
• u idealnom prenosu (kroz kanal sa bekonačnim propusnim opsegom) vrednost nakon
odabiranja na prijemu biće jednaka amplitudi originalnog impulsa,
• u prenosu sa ISI, vrednost nakon odabiranja sadržaće pored originalne amplitude i dodatne komponente koje potiču od susednih simbola.
Uticaj ISI može se analizirati sabiranjem vrednosti primljenog signala u nuli, xr (0) , sa vrednostima koje potiču od proširenih susednih simbola:
xr (kTm ), k = ±1,±2,...
(10.1.8)
Jasno se može uočiti da usled uticaja susednih simbola dolazi do devijacije (promene) originalne
(poslate) vrednosti čime se povećava mogućnost greške pri prenosu, jer je potreban manji uticaj
šuma (manji nego pri prenosu bez ISI) da dođe do greške u odlučivanju.
Na pitanje koje uslove treba da zadovoljava kanal da bi se ostvario prenos bez ISI, odgovor je
dao Nyquist u svom prvom kriterijumu koji definiše teoretsku vrednost maksimalne brzine
prenosa za poznatu ekvivalentnu karakteristiku kanala.
U specijalnom slučaju, ako kanal ima idealnu NF karakteristiku sa širinom propusnog opsega B ,
simbolska brzina pri kojoj će se ostvariti prenos bez ISI iznosi vs = 2 ⋅ B . Pri tom se
podrazumeva da se kao pobudni signali koriste idealni delta impulsi.
286
Osnovi telekomunikacija, skripta
Na slici 10.1.5. dati su primeri impulsnih odziva i prenosnih karakteristika signala koji zadovoljavaju kriterijume za prenos bez ISI. Pri tome, signal dat pod a) nastaje u slučaju idealnog NF
filtra koji zadovoljava prvi Nyquistov kriterijum, dok signali pod b) i c) predstavljaju realne
signale koji se češće primenjuju u praktičnim rešenjima. Može se uočiti da impulsni odzivi imaju
nulte vrednosti u trenucima odabiranja k ⋅ Tm , osim za k = 0 , gde vrednost impulsnog odziva
odgovara originalnoj vrednosti amplitude impulsa. Na ovaj način ispunjeni su uslovi za prenos
bez ISI.
Ekvalizacija
Prolaskom kroz kanal sa prenosnom karakteristikom H ( f ) , elementarni impuls xe (t ) transformiše se u xr (t ) . Ukoliko nije zadovoljen prvi Nyquistov kriterijum dolazi do pojave ISI.
Pošto nemamo mnogo uticaja na oblik prenosne karakteristike kanala, odnosno ne možemo da
biramo karakteristiku prema našim potrebama, vrlo je verovatno da takva prenosna karakteristika
neće u potpunosti ispunjavati pomenute kriterijume za prenos bez ISI.
xe (t )
Xe( f )
f
f
f
0
0.5vs
vs
1.5vs
2vs
Slika 10.1.5. Signali koji zadovoljavaju kriterijume za prenos bez ISI
Postavlja se pitanje da li je moguće u sistemu za prenos signala (na kraju kanala) dodati sklop sa
posebno izabranom prenosnom karateristikom E ( f ) , u cilju eliminacije interferencije među
simbolima. Na ovaj način primljeni signal ima spektar u obliku:
X r ( f ) = X e ( f )H ( f )E( f ) .
(10.1.9)
Ukoliko se karakteristika E ( f ) prilagodi tako da ukupna karakteristika H ( f ) E ( f ) ispunjava
Nyquistove kriterijume, eliminisan je efekat ISI. Ovakav postupak naziva se ekvalizacija, a sklop
sa karakteristikom E ( f ) naziva se ekvalizator. Trivijalan postupak ekvalizacije bio bi ostvarivanje prenosne karakteristike:
E( f ) =
1
.
H( f )
(10.1.10)
Glava 10. Digitalni prenos
287
Na žalost u praksi je ovakvo rešenje veoma retko moguće. Digitalni sklop koji se najčešće koristi
u procesu ekvalizacije naziva se transverzalni filtar. Sastoji se od niza kola za kašnjenje, množača sa određenim koeficijentima i sabirača. Vrednosti koeficijenata biraju se tako da se dobijenom prenosnom karakteristikom transverzalnog filtra E ( f ) ostvari što bolji efekat u eliminisanju ISI.
Dijagram oka
Grafičkom superpozicijom, tj. crtanjem velikog broja intervala primljenog signala xr (t ) , trajanja TM , jednog preko drugog, dobija se veoma interesantna ilustracija koja se naziva dijagram
oka. Dijagram je dobio ime po karakterističnom izgledu koji podseća na otvoreno oko. Ima veoma veliki značaj u praktičnim postupcima za analizu rada i osobina digitalnih signala.
Na osnovu minimalne udaljenosti dva susedna nivoa u trenutku odabiranja xr (0) (koja se naziva otvor oka), može se izvršiti procena uticaja šuma na prenos. Naime, što je otvor oka veći, veća je i margina šuma, pa je sistem robusniji (tj. manje osetljiv na različite štetne uticaje u prenosu
signala). Margina šuma definisana je kao polovina širine otvora oka. To je najveća vrednost koju
može da ima šum a da pri tom još uvek ne izazove grešku u odlučivanju.
Kod malog otvora oka, mala je margina šuma, pa šum sa malom amplitudom može dovesti do
greške u rekonstrukciji primljenog signala.
Na slici 10.1.6. prikazane su tri faze u procesu prenosa digitalnog signala i to kroz izgled elementarnog impulsa, digitalnog signala i odgovarajućeg dijagrama oka.
elementarni impuls
digitalni signal
dijagram oka
a)
b)
c)
Slika 10.1.6. Faze u prenosu digitalnog signala: signal na predaji (a), signal na prijemu pre
ekvalizacije (b) i signal na prijemu nakon ekvalizacije (c)
288
Osnovi telekomunikacija, skripta
Jasno se vidi da je prilikom predaje a), kada je signal neizobličen, otvor oka na dijagramu oka
najveći. Nakon prolaska kroz kanal b), dolazi do deformacije elementarnog impulsa xe (t ) , usled konvolucije sa impulsnim odzivom kanala h(t ) , a time i do smanjenja otvora oka. Takav
signal postaje manje otporan na šum, pa je verovatnoća greške povećana u odnosu na situaciju
prikazanu na crtežu a). Nakon ekvalizacije c), otvor oka je značajno povećan, pa je time smanjena verovatnoća greške prilikom rekonstrukcije signala.
Dijagram oka može se veoma jednostavno prikazati na osciloskopu. Na taj način moguće je fino
podešavanje koeficijenata sklopa za ekvalizaciju - ekvalizatora u cilju maksimalnog potiskivanja
ISI.
Pored toga, moguće je i precizno podešavanje trenutka odabiranja u prijemniku kako bi se
odabiranje obavilo baš u trenucima u kojima se dobija minimalna ISI.
Uticaj šuma u prenosu digitalnih signala
Prilikom prenosa signala kroz kanal neminovno je njegovo izlaganje dejstvu šuma. Kod analognog prenosa u praksi nije moguće na prijemu jasno odvojiti signal od šuma, već se određenim
tehnikama filtriranja pokušava potisnuti efekat šuma. U digitalnim komunikacijama, moguća je
perfektna rekonstrukcija originalnog signala s (t ) , pod uslovom da je snaga signala u odnosu na
snagu šuma dovoljno velika.
Dejstvo šuma na digitalni signal ogleda se u tome što se konačan skup mogućih vrednosti signala
na predaji pretvara u beskonačan skup na prijemu. Naime, na prijemu se vrši odabiranje primljenog signala sa taktom periode TM . Ukoliko se zanemari uticaj ISI i ako u prenosu signala ne postoji uticaj šuma, dobijene vrednosti nakon odabiranja signala tačno će odgovarati vrednostima
na predaji. Prenos bez dejstva šuma nije moguć, pa će zbog toga skup vrednosti nakon odabiranja signala na prijemu biti kontinualan. Primljene vrednosti će u manjoj ili većoj meri odstupati
od poslatih, u zavisnosti od snage šuma koji deluje na signal tokom prenosa.
Zadatak prijemnika jeste da na osnovu primljene vrednosti zaključi koji je simbol poslat. Prijemnik nikada ne može sasvim sigurno da odredi koji je simbol poslat pa se odluka vrši na osnovu
verovatnoće: bira se onaj simbol za koji je najveća verovatnoća da je bio poslat. Postoje različiti
kriterijumi odlučivanja, a najčešće se primenjuje tzv. kriterijum minimalnog Euklidskog rastojanja, po kom se za emitovanu vrednost proglašava ona diskretna vrednost kojoj je vrednost primljenog signala najbliža.
Najčešći tip šuma koji deluje u komunikacionom kanalu jeste aditivni beli Gausov šum (AWGN,
engl. Additive White Gaussian Noise). Kao što je već opisano u glavi 5., radi se o šumu sa Gausovom raspodelom amplituda i uniformnom raspodelom snage po učestanosti. Trenutne vrednosti šuma n(t ) sabiraju se sa signalom s (t ) .
Na slici 10.1.7. dat je primer dejstva aditivnog šuma n(t ) na signal s (t ) . Originalni signal s (t )
predstavljen je debelom linijom, a puni krugovi predstavljaju vrednosti signala s (t ) koje bi se
dobile nakon odabiranja da nema uticaja šuma.
Tankom linijom predstavljen je rezultat uticaja aditivnog šuma n(t ) na signal s (t ) , a prazni
krugovi odgovaraju stvarnim vrednostima signala nakon odabiranja na prijemu. U ovom primeru
Glava 10. Digitalni prenos
289
radi se o M -arnom alfabetu, gde originalni signal s (t ) može u trenucima odabiranja imati neku
od M diskretnih vrednosti amplituda. Sa slike se vidi da usled dejstva šuma dolazi do određenih
odstupanja od originalnih vrednosti signala u trenucima odabiranja. Kolika su ta odstupanja, zavisi od trenutne amplitude šuma i, indirektno, od snage šuma n(t ) . Ukoliko je odstupanje trenutne amplitude šuma veće od U / 2 , gde je U rastojanje između dva susedna nivoa (amplitude),
dolazi do greške u prenosu.
n(t )
M-1
M-2
M-3
s (t )
s (t ) + n(t )
1
U
0
Slika 10.1.7. Rezultat dejstva aditivnog šuma n(t ) na signal s (t )
Na slici 10.1.8. mogu se videti različiti rezultati odlučivanja pri rekonstrukciji (ili regeneraciji)
usled dejstva šuma različitih amplituda.
Za emitovanu amplitudu signala, označenu sa k , u slučaju pod a) imamo ispravno odlučivanje,
na osnovu zbira vrednosti signala i šuma, zato što trenutna amplituda šuma nije dovoljno velika
da bi došlo do greške (manja je od U / 2 ).
U slučaju b), amplituda superponiranog šuma veća je od U / 2 , odnosno ukupna vrednost signala i šuma s (t ) + n(t ) veća je od praga odlučivanja, pa se za primljeni simbol proglašava k + 1 ,
što prouzrokuje grešku u prenosu.
Koliko često će se javljati greške u prenosu zavisi od odnosa snaga signala i šuma. Frekvencija
sa kojom se javljaju greške odgovara verovatnoći greške PE . Verovatnoća greške definisana je
kao granična vrednost količnika broja pogrešno primljenih simbola N E i ukupno primljenih
simbola N :
NE
.
N →∞ N
PE = lim
(10.1.11)
Verovatnoća greške predstavlja osnovni parametar za meru kvaliteta digitalnog prenosa. Za manji odnos signal/šum, zbog veće snage pa i trenutnih vrednosti signala, greške će se javljati češće, pa će verovatnoća greške će biti veća, i obrnuto.
290
Osnovi telekomunikacija, skripta
emitovana vrednost
prag
prag
regenerisana
vrednost
GREŠKA!
Slika 10.1.8. Greška u prenosu digitalnog signala
U ovim razmatranjima zanemarili smo uticaj intersimbolske interferencije (ISI). Pojava ISI svakako dodatno pogoršava situaciju, jer utiče na smanjenje margine šuma. Praktično dolazi do približavanja vrednosti signala nakon odabiranja pragovima odlučivanja, čime se (za istu vrednost
šuma n(t ) ) povećava verovatnoća greške u odnosu na prenos bez ISI. Zato je neophodno vršiti
ekvalizaciju u cilju potiskivanja ISI. Ekvalizacijom se dodatno popravljaju performanse digitalnog sistema, odnosno smanjuje verovatnoća greške PE .
Rešeni primeri uz poglavlje 10.1.
Zadatak 10.1.1. (E)
Na ulaz konvertora binarnog u M − arni signal dovodi se binarni IKM signal. Ovaj signal
formiran je od 32 telefonska kanala ( 0 ÷ 4 kHz ) u multipleksu sa vremenskom raspodelom
kanala, pri čemu je kvantizacija izvršena na 256 nivoa. Odabiranje se vrši sa minimalnom
učestanošću.
Na izlazu iz konvertora dobijaju se impulsi vrlo kratkog trajanja koji se mogu aproksimirati delta
impulsima. Konstanta koja se množi sa svakim od delta impulsa ima jednu od M = 2 mogućih
vrednosti.
Impulsi se zatim dovode na filtar idealni propusnik niskih učestanosti, gornje granične učestanosti f g .
n
Odrediti minimalnu vrednost broja n i graničnu učestanost filtra f g pod uslovom da signal na
izlazu iz filtra ne sadrži komponente na učestanostima iznad 300 kHz i da nema interferencije
među simbolima M − arnog signala.
Rešenje:
Učestanost odabiranja određena je teoremom o odabiranju i iznosi:
f s = 2 f max = 8 kHz ,
Glava 10. Digitalni prenos
291
a perioda odabiranja T = 1 / f s . Kanalsko vreme iznosi Tk = T / N = 1 /(32 ⋅ f s ) , a bitski
interval iznosi TB = Tk / ld ( q ) = Tk / 8 , jer se kvantizacija vrši sa q = 256 nivoa.
Impulsni odziv idealnog NF filtra sa gornjom graničnom učestanošću f g dat je izrazom:
h(t ) = 2 f g ⋅
sin 2πf g t
2πf g t
,
(1)
pri čemu je granična učestanost f g nepoznata, ali se zna da je manja od 300 kHz .
Da ne bi došlo do međusobne interferencije impulsa, prva nula impulsnog odziva, tj. trenutak za
koji važi:
2πf g t = π ,
(2)
mora da se poklopi sa trenutkom u kome nailazi sledeći M − arni impuls, odnosno da bude
jednak M − arnom signalizacionom intervalu:
TM = n ⋅ TB = n /(256 ⋅ f s ) ,
(3)
pri čemu je n = ld (M ) .
Lako se pokazuje iz (3) i (2) da je TM = 1 /( 2 f g ) , odnosno:
f g = f s ⋅128 / n .
(4)
Treba naći najmanji broj n za koji je zadovoljena jednačina (4), a da pritom f g bude manji od
300 kHz . Dobiju se vrednosti f g = 256 kHz , odnosno n = 4 i M = 16 .
Zadatak 10.1.2. (E)
Multipleksni signal formiran je od M signala od kojih svaki ima jednaku širinu spektra,
(0.. f max ) . Primenjen je frekvencijski multipleks (FMPX) sa AM-1BO modulacijom, sa početnom učestanosti 0 Hz . Tako formiran signal prenosi se postupkom IKM modulacije zajedno sa
standardnim televizijskim signalom. TV signal ima 625 linija u slici i 25 slika u sekundi, a
zauzima opseg širine 5 MHz .
IKM signal formira se tako što se u odbirci FMPX signala uzimaju četiri puta u toku trajanja
svake linije. Svaki odbirak koduje se sa po N bita, a zatim tako dobijenih 4 N bita smešta u
interval zamračenja u TV signalu koji traje τ = 4 μs . Pod uslovom da spektar IKM signala ne
bude širi od spektra TV signala (ako je f g = 1 ( 2TB ) , gde je TB bitsko vreme), odrediti:
a) Maksimalni broj bita koji se mogu preneti u jednom intervalu zamračenja;
b) Maksimalni broj kvantizacionih nivoa u sistemu za IKM kao i odnos snaga signala i šuma
kvantizacije;
c) Broj muzičkih tonskih signala koji se mogu preneti ovim sistemom ako je f max = 15 kHz ,
d) Broj govornih signala koji se mogu preneti ako je f max = 3.9 kHz .
292
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
a) U interval zamračenja trajanja
τ = 4 μs stane 4 N bita, a trajanje bita zadovoljava uslov
1
1
≤ 5 MHz . Odavde je TB ≥
= 10 − 7 s . Iz uslova 4 N ⋅ TB = 4 μs , dobije
2TB
10 MHz
se da je N = 10 . U intervalu zamračenja može se preneti 40 bita, po 10 za svaki od četiri
fg =
odbirka.
b) Broj kvantizacionih nivoa određuje se na osnovu broja bita po odbirku i iznosi:
q = 2 N = 1024 .
Odnos signal/šum kvantizacije ima vrednost:
( )
SNRq = 10 ⋅ log q 2 = 20 ⋅ log(210 ) = 60 dB .
c) Broj muzičkih kanala M m mora da zadovolji uslov koji potiče od teoreme o odabiranju:
1
2 ⋅ M m ⋅ f max ≤ f s . Pošto je učestanost odabiranja f s = 625 ⋅ 25 ⋅ 4 = 62.5 kHz (u svakoj
s
liniji po 4 odbirka), dobije se M m = 2 .
d) Na isti način kao u zadatku pod c) dobija se da je broj govornih kanala M g = 8 .
10.2. Diskretne analogne modulacije –
modulacije sa digitalnim signalom
Kada govorimo o digitalnom signalu uopšte, podrazumeva se da se radi o signalu u osnovnom
opsegu (engl. baseband signal). Međutim, medijumi koji se koriste za prenos signala najčešće ne
dopuštaju prenos signala u takvom obliku, već zahtevaju izvesne modifikacije digitalnog signala
u cilju prilagođavanja uslovima prenosa.
Modifikacije digitalnog signala nazivaju se modulacije i oslanjaju se na iste principe koji važe i
kod modulacija analognim signalom.
Slično kao kod analognih modulacija, na raspolaganju nam stoji prostoperiodični nosilac oblika:
u (t ) = U cos(ω 0t + φ ) .
(10.2.1)
Postupak modulacije svodi se na utiskivanje digitalnog signala s (t ) u analogni nosilac u (t ) ,
odnosno u neki od njegovih parametara (amplituda, učestanost i faza) ili u više njih istovremeno.
Glava 10. Digitalni prenos
293
Na ovaj način, kao rezultat modulacije dobijamo analogni modulisani signal, tj. nosilac sa promenljivim ali diskretnim vrednostima parametara. Broj različitih diskretnih vrednosti odgovara
veličini alfabeta digitalnog signala, M .
Sve modulacije ovog tipa, u zavisnosti od načina demodulacije, možemo podeliti u dve grupe:
koherentne i nekoherentne. Koherentne su one koje na prijemu zahtevaju tačno poznavanje učestanosti i faze nosioca i po pravilu ostvaruju bolje rezultate od nekoherentnih. Sa druge strane,
nekoherentne daju slabije rezultate ali su prijemni uređaji značajno jednostavniji za realizaciju.
Prema parametru nosioca koji se koristi za modulaciju (amplituda, frekvencija, faza) razlikujemo
tri osnovna tipa modulacije:
- ASK (engl. Amplitude Shift Keying) predstavlja amplitudsku modulaciju kod koje amplituda
nosioca može imati M diskretnih vrednosti,
- FSK (engl. Frequency Shift Keying), frekvencijska modulacija kod koje se učestanost nosioca
skokovito menja između M diskretnih vrednosti,
- PSK (engl. Phase Shift Keying), fazna modulacija gde faza nosioca može imati jednu od M
diskretnih vrednosti, obično međusobno udaljenih za 2π / M .
Na slici 10.2.1. prikazani su signali, tj. osnovne varijante sva tri tipa modulacije u vremenskom
domenu. Jasno se može videti kako se u zavisnosti od emitovanog simbola (0 ili 1) menjaju
parametri nosioca: ASK-amplituda, FSK-učestanost, PSK-faza.
Dok se u slučaju modulacija analognim signalom, frekvencijska i fazna modulacija vrlo malo
razlikuju, tj. povezane su preko prvog izvoda trenutne faze, kod modulacija digitalnim signalom
razlika između ova dva tipa modulacije veoma je značajna.
ak
ASK
(OOK)
FSK
PSK
(BPSK)
Slika 10.2.1. Osnovni tipovi modulacija digitalnim signalom
Pored ove tri osnovne klase, postoje i brojne modifikacije i kombinacije koje se vrlo često primenjuju u praksi. Kao primer, navodimo dve koje su od velike važnosti:
294
Osnovi telekomunikacija, skripta
- DPSK–(engl. Differential Phase Shift Keying), diferencijalna fazna modulacija kod koje se informacija prenosi kao razlika faza susednih simbola,
- QAM–(engl. Quadrature Amplitude Modulation), koja se može posmatrati kao kombinacija
amplitudske i fazne modulacije.
ASK
Kod ovog tipa modulacije, informacija se utiskuje u amplitudu nosioca. Amplituda može imati
jednu od M diskretnih vrednosti:
u (t ) = ak ⋅ U ⋅ cos(2πf c t + φ ) , ak = 0,...., M − 1.
(10.2.2)
Fazorski dijagram ASK signala sa M diskretnih vrednosti prikazan je na slici 10.2.2. Horizontalna osa je realna osa kompleksne ravni a vertikalna osa je imaginarna osa koja ovde nije ni ucrtana, pošto signal sadrži samo komponente uz kosinus. Kod ASK modulacije fazor modulisanog
signala uvek je realan. Moguće vrednosti fazora modulisanog signala označene su u kompleksnoj
ravni krupnim tačkama.
Širina spektra ovakvog signala zavisi od oblika elementarnog impulsa digitalnog signala kojim
se množi nosilac i njegove spektralne karakteristike, kao i informacionog sadržaja ak . Usled
ograničenog propusnog opsega pri prenosu, dolazi do intersimbolske interferencije u vremenu.
Nyquistovi kriterijumi važe i u ovom slučaju i definišu uslove za prenos bez ISI.
Specijalan slučaj ASK modulacije predstavlja tzv. OOK modulacija (engl. On-Off Keying,
uključi-isključi). Kod OOK modulacije nosilac se moduliše binarnim digitalnim signalom koji
ima vrednosti amplituda: 0 i U. Primer ovakvog signala dat je na slici 10.2.1.
0
1
2
M-2
M-1
Slika 10.2.2. Fazorski prikaz ASK modulacije
Širina spektra ASK modulisanog signala, dva puta je veća od širine signala u osnovnom opsegu.
Razlog za proširenje spektra poznat je iz klasičnih AM modulacija: negativne učestanosti pre
modulacije pojavljuju se kao pozitivne i izazivaju udvostručenje širine spektra. ASK modulacija
jednostavna je za realizaciju, ali pokazuje malu otpornost na šum jer je nosilac informacija amplituda nosioca koja je izložena direktnom dejstvu šuma. Stoga se u kanalima gde dolazi do značajnih devijacija amplitude (kanal sa fedingom), izbegava upotreba ovakve modulacije, već se
koriste FSK ili PSK.
FSK
Kod ovog tipa modulacije amplituda i faza nosioca su konstantne, dok se informacije iz konačnog skupa prenose skokovitim promenama frekvencije nosioca. Broj različitih učestanosti odgovara broju simbola, odnosno broju amplitudskih nivoa digitalnog signala ak . Učestanost se
menja sa korakom Δf oko centralne učestanosti f c . Tako se FSK modulisani signal može predstaviti u obliku:
Glava 10. Digitalni prenos
u (t ) = U cos[2π ( f c + ak Δf )t + φ ], ak = − M / 2,...,−1, 1,...., M / 2 .
295
(10.2.3)
Specijalan slučaj FSK modulacije predstavlja binarna modulacija, tj. slučaj sa binarnim digitalnim signalom. Tada frekvencija nosioca ima samo dve vrednosti: f c ± Δf . Ovaj slučaj modulacije predstavljen je na slici 10.2.1., gde se jasno može uočiti skokovita promena učestanosti u zavisnosti od emitovanog simbola.
Analiza spektra kod ovog tipa modulacije veoma je složena, ali se može donekle pojednostaviti
posmatranjem FSK signala kroz zbir više OOK signala sa nosiocima različitih učestanosti. Pokazuje se da širina spektra i u ovom slučaju odgovara Carsonovom obrascu, koji je predstavljen
u poglavlju o analognim modulacijama.
U slučaju prenosa M -arnog signala, dolazi do značajnog proširenja spektra jer se praktično koristi M različitih učestanosti nosioca. Ako se uzme u obzir i izrazita nelinearnost ovog tipa modulacije, jasno je da se ona ređe primenjuje u praksi.
Međutim, u novije vreme, zahvaljujući napretku tehnologije, mogu se realizovati specijalni slučajevi FSK modulacije koji pokazuju izuzetno dobre performanse (OFDM-Orthogonal Frequency Division Multiplex), pa se upotrebljavaju u najsavremenijim komunikacionim sistemima,
kao što je xDSL-Digital Subscriber Line, DRM-Digital Radio Mondiale, itd. Ovi složeni postupci za prenos digitalnog signala nisu detaljnije opisani u ovom udžbeniku. Njihov opis može se
naći samo u veoma specijalizovanoj literaturi.
PSK
PSK modulacija sastoji se od skokovitih promena faze koja može imati jednu od M vrednosti.
Pri tom, ako je korak promene faze jednak 2π / M , modulisani signal može se napisati u
obliku:
2π ⎞
⎛
u (t ) = U cos⎜ 2πf c t + ak ⋅
⎟ , ak = 0,...., M − 1.
M⎠
⎝
(10.2.4)
Specijalni slučaj PSK modulacije kada je modulišući signal binarni ( M = 2 ), predstavlja BPSK
(engl. Binary Phase Shift Keying) i prikazana je na slici 10.2.1. U ovom slučaju faza nosioca
može imati samo dve vrednosti φ ∈ { 0, π } , pa se BPSK signal može predstaviti i u obliku:
u (t ) = U cos[2πf c t + ak π ] = ±U cos 2πf c t.
(10.2.5)
Ovaj signal može se analizirati i kao klasični AM-2BO signal sa polarnim modulišućim signalom
ak ∈ { − 1, 1 }.
U fazorskom dijagramu, BPSK modulacija predstavljena je sa dve tačke na različitim stranama
jediničnog kruga između kojih postoji fazna razlika π . U slučaju kada alfabet čiji se simboli
emituju ima četiri simbola, simboli su međusobno razmaknuti za π / 2 , i tada se radi o QPSK
(engl. Quadrature Phase Shift Keying) modulaciji. Povećanjem broja simbola u alfabetu povećava se broj tačaka raspoređenih na krugu i istovremeno smanjuje rastojanje i uglovi među njima.
Kao posledica ovog smanjivanja, sve je manja margina (dozvoljena vrednost) šuma pa i verovatnoća pojavljivanja greške raste.
296
Osnovi telekomunikacija, skripta
Tri primera fazorskih dijagrama, za BPSK, QPSK i 8-PSK, prikazani su na slici 10.2.3. Svuda
treba zamisliti da kroz centar nacrtanog kruga prolaze horizontalna (realna) i vertikalna (imaginarna) osa kompleksne ravni.
Na slikama su upisani i primeri binarnih kodova odgovarajućih binarnih signala. Očigledno je da
npr. kod 8-PSK, prenos jednog od 8 mogućih simbola odgovara prenosu tri uzastopna binarna
simbola.
010
01
011
0
1
10
00
001
100
000
101
11
111
110
Slika 10.2.3. Fazorski prikaz BPSK, QPSK i 8-PSK modulacije
Uticaj šuma na PSK signal ogleda se u tome što se primljena vrednost signala neće precizno poklapati sa tačkama na fazorskom dijagramu, već će biti negde u okolini tih tačaka. Na osnovu
minimalnog rastojanja između primljene tačke i tačaka koje odgovaraju originalnim simbolima
alfabeta, vrši se odlučivanje o primljenom simbolu. Za istu snagu signala (proporcionalna sa
amplitudom signala, tj. poluprečnikom kruga), povećanjem broja simbola M povećava se i verovatnoća greške, jer rastojanje između tačaka raspoređenih na krugu postaje manje. Da bi se
smanjila verovatnoća greške, potrebno je tačke međusobno razmaknuti, odnosno povećati snagu
signala, tj. njegovu amplitudu.
U slučaju PSK, informacija je sakrivena u fazi signala, pa je time i otpornost na šum veća nego
kod ASK. Sa druge strane, širina spektra nije veća nego u slučaju ASK, pa je PSK tip modulacije
veoma popularan u digitalnim komunikacijama.
Za koherentnu demodulaciju PSK signala, potrebno je tačno poznavanje faze lokalnog nosioca,
jer je informacija sadržana upravo u fazi. Kako bi se to izbeglo, često se koristi DPSK (diferencijalna PSK) modulacija kod koje se informacije upisuju u razliku faza susednih simbola
Δφi :
Δφi = φi − φi −1 = ak ⋅
2π
.
M
(10.2.6)
Na ovaj način nije potrebno poznavati apsolutnu fazu nosioca, već samo relativnu fazu u odnosu
na prethodno primljeni simbol.
Kao i svi diferencijalni sistemi i ovaj ima lošu osobinu: dolazi do propagacije greške. Naime,
ukoliko se greška dogodi na jednom simbolu, ona se prenosi i na ostale simbole.
Glava 10. Digitalni prenos
297
QAM
I ASK i PSK modulacija mogu se realizovati pomoću QAM modulatora koji je predstavljen u
poglavlju o analognim modulacijama. Ova činjenica ima izuzetno veliku važnost jer ne samo da
se ASK i PSK mogu lako objasniti, već ih je moguće kombinovati, čime se dobija potpuno novi
pogled na problem modulacije digitalnim signalom. QAM signal sadrži komponentu u fazi, tj.
onu koja se množi sa nosiocem oblika cos ω c t , i komponentu u kvadraturi, tj. komponentu koja
se množi nosiocem oblika sin ω c t .
Naime, osim kombinacija faze pokazanih na slici 10.2.3., za koje je karakteristična konstantna
amplituda, mogu se realizovati složene dvodimenzionalne strukture, tzv. konstelacije sa proizvoljnim brojem tačaka. Kod složenih konstelacija pozicija svake tačke u fazorskom dijagramu
određena je različitom amplitudom i fazom. Primer složene konstelacije sa 16 stanja prikazan je
na slici 10.2.4.
Pored toga, moguće je formirati konstelacije tačaka proizvoljnog oblika. Pokazuje se da kružni
oblik konstelacije ima bolje performanse od kvadratnog.
Kružne konstelacije nastale su tako što je osim komponente signala u fazi iskorišćena i komponenta signala u kvadraturi. Pri tom je iskorišćena činjenica da su kosinusoida i sinusoida međusobno ortogonalne.
Slika 10.2.4. Konstelacija 16-QAM
Primenjujući istu logiku kao kod prelaska sa jedne dimenzije na dve dimenzije, uvođenjem većeg broja ortogonalnih funkcija moguće je, teoretski, preći na sistem sa proizvoljnim brojem
dimenzija, čime se performanse sistema dodatno popravljaju. Danas se u ovoj oblasti vrši velik
broj različitih istraživanja.
Performanse sistema za digitalni prenos
Kod analognih sistema pokazano je da se kao mera kvaliteta prenosa koristi odnos signal/šum,
odnosno odnos snaga korisnog signala i šuma akumulisanog tokom prenosa. Za digitalne sisteme
već je rečeno da se kao mera kvaliteta prenosa koristi verovatnoća greške. Naime, za dati sistem
koji se projektuje, u zavisnosti od prirode informacija koje se prenose, postavlja se zahtevana ve-
298
Osnovi telekomunikacija, skripta
rovatnoća greške PE . Sa zadatim resursima, potrebno je realizovati sistem koji će uz minimalnu
složenost, utrošak snage i spektra, ostvariti zahtevanu verovatnoću greške PE .
Uobičajeni način kojim se predstavljaju performanse digitalnih sistema za prenos jeste tzv.
Waterfall kriva (engl. vodopad, po karakterističnom opadajućem obliku). Ova kriva predstavlja
zavisnost verovatnoće greške PE od bitskog odnosa signal šum Eb / N 0 . Pod bitskim odnosom
signal/šum podrazumeva se odnos prosečne energije koja se emituje po jednom simbolu i broja
bita po simbolu. Primer je pokazan na slici 10.2.5. Prikazane su dve Waterfall krive koje karakterišu dva različita digitalna sistema za prenos. Za sistem 2 kaže se da ima bolje performanse od
sistema 1, jer za zadatu verovatnoću greške PE zahteva manji bitski odnos signal šum Eb / N 0 ,
i obrnuto, za zadati odnos signal/šum ostvaruje manju verovatnoću greške.
Međutim, ukoliko se pokaže da je složenost sistema 2 značajno veća od sistema 1, opravdano se
može postaviti pitanje kvaliteta učinjenog izbora.
Prilikom projektovanja digitalnih sistema za prenos signala postavljaju se dva glavna ograničenja:
- Spektar (raspoloživa širina propusnog opsega),
- Snaga (raspoloživa snaga za prenos signala),
Obično je cilj projektovanja sistema da se prenos signala ostvari sa signalom koji ima što manju
snagu i što manju širinu spektra. Nažalost, ova ograničenja su protivrečna i veoma je teško istovremeno ispuniti ovako postavljen cilj.
PE
1
10-2
10-4
10-6
10-8
1
2
10-10
5
10
15
20
25
Eb/N0
Slika 10.2.5. Poređenje karakteristika digitalnih sistema
Kod sistema sa ograničenim spektrom (telefonski kanal) moguće je povećati snagu do određene
vrednosti kako bi se dovoljno razmaknule tačke na fazorskom dijagramu, a time i smanjio uticaj
šuma. Takođe, prelaskom na alfabet sa većim brojem simbola, ostvaruje se ušteda u spektru na
račun dodatne snage. Na taj način moguće je ostvariti zadovoljavajuću verovatnoću greške prilikom prenosa PE .
Glava 10. Digitalni prenos
299
Sa druge strane, ako je ograničena snaga (satelitske komunikacije), ubacivanjem dodatnih bita
(zaštitno kodovanje), moguće je ostvariti zadatu verovatnoću greške uz izvesno proširenje spektra. Naime, ubacivanjem dodatnih bita u istom signalizacionom intervalu TM , dolazi do smanjenja trajanja svakog bita, a time i do proširenja spektra digitalnog signala. Ukoliko se pravilno
odabere metod kojim će se izvršiti zaštitno kodovanje, moguće je ostvariti zahtevanu verovatnoću greške PE uz postojeća ograničenja u pogledu snage.
Kapacitet kanala
Ako se za prenos signala obezbedi dovoljno vremena, kroz svaki komunikacioni kanal može se
preneti proizvoljno velika količina informacija. Međutim, za prenos signala u realnom vremenu,
a to znači istovremeno sa nastajanjem signala (npr. govorni signal ili slika u razgovoru ili direktnom prenosu), postoje ograničenja. Teorijski maksimum broja bita koji se može preneti u jedinici vremena kroz dati kanal ograničen je kapacitetom kanala, C . Kapacitet kanala, izražen u
broju bita u sekundi, definisan je kao proizvod maksimalne simbolske brzine u jedinici vremena i
maksimalnog broja bita koji se mogu preneti jednim simbolom.
Na veoma složen način može se pokazati da kapacitet ima vrednost:
C = B ⋅ ld (1 + ξ ) ,
(10.2.6)
gde B predstavlja širinu propusnog opsega kanala izraženu u Hz , a
signala i šuma. Kapacitet kanala ima jedinicu bit / s .
ξ = Ps / PN odnos snaga
Sa druge strane, digitalni protok definisan je izrazom (10.1.3). Ako poruku u obliku digitalnog
signala predstavimo zapreminom kvadra sa osnovom čija površina odgovara digitalnom protoku
i visinom koja je jednaka ukupnom trajanju poruke T, onda se kapacitet kanala može predstaviti
kao otvor u koji treba ugurati kvadar. Pri tome otvor ima konstantnu površinu C , a visina i širina zavise od odnosa signal/šum u kanalu i raspoloživog propusnog opsega. Prema dimenzijama
otvora treba prilagoditi digitalni signal, tj. brzinu signalizacije i broj simbola alfabeta, kako bi
poruka prošla kroz otvor - kapacitet kanala C. Primer je ilustrovan na slici 10.2.6.
2ld(M)
vd
ld(1+ξ)
vs /2
Slika 10.2.6. Poruka i kapacitet kanala
Kapacitet kanala predstavlja maksimalni digitalni protok koji je moguće ostavariti u datom kanalu u prisustvu aditivnog Gausovog šuma i uz optimalno kodovanje. Do pre par godina, ta je
granica bila praktično nedostižna. Međutim, primenom savremenih tehnika kodovanja kapacitet
kanala gotovo je dostignut u praksi.
300
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešeni primeri uz poglavlje 10.2.
Zadatak 10.2.1. (E)
Na slici 1. dat je sistem za prenos kvadraturnog PSK signala. Ulazni binarni signali u1 (t ) i
u 2 (t ) prikazani su na slici 2.
a) Pokazati da se na izlazu kola za sabiranje dobija fazno modulisani signal:
s A (t ) = A cos[2πf c t + Φ (t )] .
b) Nacrtati vremenski oblik devijacije faze Φ (t ) .
c) Odrediti signale u tačkama E i G u slučaju idealnog prenosa, kada je H c ( f ) = 1 i važi
f c >> 1 2T , gde je T signalizacioni interval.
Rešenje:
a) Modulišući signali prikazani na slici 2. odgovaraju binarnim digitalnim signalima. U svakom
signalizacionom intervalu prenose se dva bita, po jedan iz svakog signala. Signal u tački A ima
oblik:
s A (t ) = 2 ⋅ u1 (t ) ⋅ cos(2πf c t ) + 2 ⋅ u 2 (t ) ⋅ sin( 2πf c t ) .
(1)
D
u1 (t )
2 cos(2π f c t )
A
−π/2
HC ( f )
fc
~~
E
cos(2π f ct )
B
−π/2
F
u2 (t )
fc
~~
G
Slika 1. Sistem za prenos PSK signala
u2 (t )
u1 (t )
U
0 T
-U
U
2T
4T
t
0
-U
T
5T
t
Slika 2. Modulišući signali
Jednostavnim trigonometrijskim transformacijama ovaj signal može se napisati u obliku:
s A (t ) = 2 ⋅
⎡
⎤
⋅ cos(2πf ct ) +
⋅ sin(2πf ct )⎥ =
2
2
⎢⎣ u12 (t ) + u22 (t )
⎥⎦
u1 (t ) + u2 (t )
u12 (t ) + u22 (t ) ⋅ ⎢
u1 (t )
u2 (t )
Glava 10. Digitalni prenos
301
= a(t ) ⋅ cos(2πf c t + Φ (t ) ) .
(2)
Trenutna amplituda ovog signala ima vrednost jednaku konstanti, jer je:
a (t ) = 2 ⋅ u12 (t ) + u 22 (t ) = 2 ⋅ U 2 + U 2 = 2 2 ⋅ U .
u (t )
Faza signala ima oblik Φ (t ) = − arctg 2
, pa je signal u tački A fazno modulisani signal.
u1 (t )
b) U tabeli 1. date su vrednosti faze fazno modulisanog signala za različite kombinacije vrednosti
ulaznog signala.
cos Φ (t )
u1 (t )
u1 (t )
U
U
2 2
U
-U
2 2
-U
U
− 2 2
-U
-U
− 2 2
sin Φ (t )
Φ (t )
− 2 2
−π 4
π 4
2 2
− 3π 4
− 2 2
3π 4
2 2
Tabela 1. Kombinacije vrednosti ulaznih signala i odgovarajuće vrednosti faze
Zavisnost promene trenutne faze od vremena za ulazne signale sa slike 2. prikazana je na slici 3.
Vidi se da moguće vrednosti faze odgovaraju vrednostima iz tabele 1.
Φ( t )
3π/4
π/4
−π/4
Τ
2Τ
3Τ
4Τ
5Τ
t
−3π/4
Slika 3. Devijacija faze
c) Signali na izlazu produktnog demodulatora u prijemniku mogu se odrediti preko modulisanog
signala u obliku (1) ili (2). Ako se krene od oblika (1) dobijaju se izrazi:
s D (t ) = u1 (t ) ⋅ cos(4 ⋅ πf c t ) + u1 (t ) + u 2 (t ) ⋅ sin( 4 ⋅ πf c t ) ,
s F (t ) = u1 (t ) ⋅ sin(4 ⋅ πf c t ) + u2 (t ) − u2 (t ) ⋅ cos(4 ⋅ πf c t ) .
Svrha NF filtra u sinhronom prijemniku jeste da propusti signal u osnovnom opsegu, a da potisne
signal modulisan na učestanost 2 f c , pa signali na izlazu prijemnika imaju vrednosti:
302
Osnovi telekomunikacija, skripta
s E (t ) = u1 (t ) ,
sG (t ) = u2 (t ) .
Zadatak 10.2.2. (E)
Na ulaz u prijemnik čija je blok šema prikazana na slici 1. dolazi fazno modulisani signal
s (t ) = U ⋅ cos[2πf c t + Φ (t )] . Vremenski oblik trenutne devijacije faze Φ (t ) prikazan je na
slici 2.
1
s(t )
H( f )
C
A
~~
fc
−π/2
2
B
~~
fc
Slika 1. Blok šema prijemnika
Funkcija prenosa H ( f ) linearnog sklopa u prijemniku data je izrazom:
H ( f ) = e − j 2πfT ,
pri čemu je 2πf c t = π / 4 + 2kπ , gde je k ceo broj i k >> 1.
Φ(t )
π
π /2
−π /2
Τ
2Τ
3Τ
5Τ
7Τ
8Τ
t
Slika 2. Trenutna devijacija faze
Pronaći signale na izlazima iz prijemnika, u tačkama A i B, i prikazati njihove vremenske oblike.
Rešenje:
Signal u tački C ima oblik:
SC ( f ) = S ( f ) ⋅ H ( f ) = S ( f ) ⋅ e − j 2πfT ,
a odavde se lako dobija da je sC (t ) = s (t − T ) .
Signali u ostalim tačkama prijemnika imaju oblik:
Glava 10. Digitalni prenos
303
s1 (t ) = U cos[2πf c t + Φ (t )] ⋅ U cos[2πf c (t − T ) + Φ (t − T )] =
=
U2
2
{cos[4πf ct − 2πf cT + Φ(t ) + Φ(t − T )] + cos[2πf cT + Φ(t ) − Φ(t − T )]}.
Filtar propušta samo NF deo u obliku:
U2
s A (t ) =
cos[2πf cT + Φ (t ) − Φ (t − T )].
2
s2 (t ) = U cos[2πf c t + Φ (t )] ⋅ U sin[2πf c (t − T ) + Φ (t − T )] =
U2
{ sin[4πf ct − 2πf cT + Φ(t ) + Φ(t − T )] − sin[2πf cT + Φ(t ) − Φ(t − T )]}.
=
2
Filtar propušta samo NF deo u obliku:
s B (t ) = −
U2
sin[2πf cT + Φ (t ) − Φ (t − T )] .
2
Demodulisani signali prikazani su na slici 3. Njihovom jednostavnom obradom može se odrediti
trenutna devijacija faze, odnosno modulišući signal.
sA ( t )
2U 02
4
Τ
2Τ
3Τ
5Τ
8Τ
t
8Τ
t
2U 02
4
sB (t )
2U
4
2
0
Τ
2U
4
2Τ
4Τ
2
0
Slika 3. Demodulisani signali
7Τ
304
Osnovi telekomunikacija, skripta
11. TELEKOMUNIKACIONI SISTEMI DANAŠNJICE
U svakodnevnom životu srećemo se sa velikim brojem različitih telekomunikacionih sistema i
koristimo usluge koje nam takvi sistemi pružaju. U ovom poglavlju navedene su osnovne osobine pojedinih češće korišćenih sistema, sa namerom da se pokaže na koji način se materija obrađena u ranijim glavama može prepoznati i iskoristiti u praksi.
11.1. Telegrafija
Telegrafija je najstariji sistem za komuniciranje električnim putem. Kao što je ranije rečeno, prvi
električni telegraf postavljen je između Vašingtona i Baltimora 1844. godine. Namena sistema
jeste prenos pisanog teksta. Sve pisane poruke, na bilo kom jeziku, mogu se predstaviti nizom
simbola iz skupa sa konačnim brojem simbola. Svakom simbolu dodeljuje se po jedan talasni
oblik napona ili struje. Ovakav talasni oblik naziva se i kôd. Poruka se koduje tako što se umesto
svakog simbola, na predajnoj strani, emituje odgovarajući talasni oblik. Na prijemnoj strani treba
prepoznati, tj. dekodovati primljene talasne oblike i formirati poruku. Najstariji tip kôda, Morzeov alfabet, svako slovo zamenjuje nizom impulsa i pauza. Telegrafija polako gubi značaj i primenu zahvaljujući brojnim novim i daleko efikasnijim komunikacionim sistemima.
11.2. Telefonija
Telefonija je sigurno jedan od najviše korišćenih komunikacionih sistema. Počeci telefonije vezani su za Aleksandra Bela i 1876. godinu. U telefonskom sistemu svaki korisnik-pretplatnik raspolaže telefonskim aparatom i priključkom na mrežu. Komunikacija između sagovornika mnogo
je direktnija i bogatija nego pri prenosu pisane poruke jer sagovornici mogu da se razumeju, da
se prepoznaju međusobno, čak i da jedan drugom osete emocije.
Za razliku od telegrafije, u telefoniji se prenose kontinualni ili analogni signali. Poznato je da
ljudski glas i čulo sluha imaju sposobnost da generišu, odnosno čuju, vibracije na učestanostima
u opsegu od desetak Hz do približno 20 kHz . Osetljivost čula sluha znatno je veća na vibracije
u intervalu (500 Hz − 5000 Hz ) nego na vibracije ispod i iznad tog intervala. Spektralna gustina snage govornog signala ima maksimum u intervalu (500 Hz − 1500 Hz ) , a izvan tog intervala značajno opada. Svi ovi podaci dobijeni su eksperimentalnim putem, analizom glasova
velikog broja govornika. Očigledno je da bi prenos kompletnog frekvencijskog opsega u kom se
javlja glas bio nepotreban i, verovatno, znatno skuplji nego neki uži opseg. Eksperimenti i istraživanja doveli su do toga da se u telefoniji kao značajan izabere frekvencijski opseg od
(300 Hz − 3400 Hz ) . Komponente ispod tog opsega nema smisla prenositi jer ne utiču na
kvalitet i razumljivost prenosa. Komponente iznad tog opsega povećavaju subjektivni kvalitet
signala ali ne povećavaju razumljivost. Pošto je telefonija zamišljena kao sistem sa masovnom
upotrebom namenjen prenosu glasa, izabrani opseg u potpunosti ispunjava predviđenu namenu.
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
305
U nekim sistemima, kod kojih je kvalitet glasa još manje važan nego u telefoniji, usvojene su čak
i uže granice, (300 Hz − 2700 Hz ) pa čak i (300 Hz − 2400 Hz ) .
U telefoniji sa kraja devetnaestog i prve polovine dvadesetog veka dominiralo je tzv. manuelno
posredovanje. Aparati su bili znatno jednostavniji i imali su četiri osnovna dela: zvono, neku
vrstu indukcionog kalema za dozivanje posrednika u centrali, mikrofon i slušalicu. Iako je već
1892. godine u Americi postavljena prva automatska telefonska centrala a kod nas u Novom
Sadu 1927. god., sve do sredine dvadesetog veka veći deo telefonskog saobraćaja bio je posredovan manuelnim putem.
Telefonski sistem može se podeliti na nekoliko sastavnih delova.
Telefonski aparat i linija veze koja povezuje lokaciju pretplatnika i telefonsku centralu naziva se
pretplatnička petlja (engl. Subscriber Loop). Posmatrano u celini, ovaj deo mreže izuzetno je
skup i nije pogodan za bilo kakvu vrstu usavršavanja jer bi izmene podrazumevale ogromne infrastrukturne radove, prekopavanja ulica i zamenu unutrašnje instalacije u objektima (zgradama,
stanovima, kućama i poslovnom prostoru).
Telefonske centrale, organizovane po određenoj hijerarhiji (krajnje, reonske, glavne, tranzitne,
međunarodne), međusobno su povezane na različite načine. Do osamdesetih godina prošlog veka
centrale su bile analogne, zasnovane na tzv. krosbar ili nekoj sličnoj tehnici. Centrale ugrađivane
osamdesetih godina i kasnije imale su sve više i više elektronskih komponenti da bi danas bile
praktično potpuno elektronske.
Do početka osamdesetih godina prošlog veka veze među centralama ostvaruju se kablovima,
koaksijalnim kablovima i usmerenim radio relejnim vezama. Za istovremeni prenos većeg broja
signala primenjuje se frekvencijski multipleks. Kroz kablove se multipleksni signal prenosi u
osnovnom opsegu, dok se kod usmerenih veza primenjuje frekvencijska modulacija.
Važna osobina klasičnih sistema bilo je postojanje neprekidne fizičke veze između dva sagovornika sve vreme trajanja razgovora. Delimični izuzetak bile su deonice povezane bežičnim
putem, iako su i u njima pojedini kanali neprekidno zauzeti prenosom signala između istih sagovornika. Ovaj tip ostvarivanja veze naziva se i komutacija vodova.
Kraj dvadesetog veka obeležava digitalizacija telefonskog saobraćaja. Pri izradi telefonskih centrala napuštaju se mehaničke i elektromehaničke komponente i uvodi se čisto elektronska komutacija. Svi signali, kako oni koji su vezani za funkcionisanje sistema, uspostavljanje veze, tarifiranje i signalizaciju, tako i govorni, prenose se u digitalizovanom obliku. Veza između centrala
sve više se ostvaruje optičkim kablovima. Analogni postupci modulacije u prenosu signala zamenjuju se digitalnim. Frekvencijski multipleks zamenjuje se vremenskim multipleksom jer je on
pogodniji za prenos digitalnih signala. Pretplatnička petlja, međutim, i dalje ostaje klasična, analogna, što znači da se na ulazu u centralu za svakog pretplatnika koristi po jedan A/D i D/A konvertor. Mogućnosti savremenih centrala postaju sve veće i složenije. Usluge koje današnje centrale pružaju pretplatniku (preusmeravanje poziva, poziv na čekanju, konferencijska veza, odbijanje poziva, ograničavanje poziva, itd.) nisu se pre dvadeset godina mogle ni zamisliti.
Kod digitalnih sistema polako se napušta ranije objašnjen koncept neprekidne fizičke veze između sagovornika.
306
Osnovi telekomunikacija, skripta
Prenos podataka korišćenjem telefonske mreže predstavlja jedan od načina za proširivanje primene klasične telefonske mreže. Uređaji za prenos podataka nazivaju se modemi (skraćenica od
modulator-demodulator). Najjednostavnije rečeno, modem formira signal od digitalnih podataka.
Ovaj signal se svojim oblikom, vremenskim i frekvencijskim karakteristikama, uklapa u okvire
koji su propisani za govorni signal. Sa aspekta telefonske mreže, između modemskog signala,
signala koji generiše telefaks aparat i govornog signala, nema mnogo razlike. Brzine prenosa
koje se ostvaruju primenom modema menjale su se u proteklih deset godina, od početnih
1.200 bit / s do 57.600 bit / s , zahvaljujući izuzetnom napretku u teorijskim istraživanjima i
tehnikama kodovanja. Prenos je zasnovan na složenijim varijantama kvadraturne amplitudske
modulacije sa digitalnim signalima.
11.3. Klasični prenos podataka
Paralelno sa sve većim potrebama za govornim komunikacijama, sedamdesetih godina prošlog
veka javila se i sve veća potreba za prenosom podataka. Različiti korisnici (banke, pošte, javne
službe, policija, itd.) imali su potrebu za kvalitetnim (brzim, bezbednim, pouzdanim i jeftinim)
prenosom velikog broja raznovrsnih podataka. U svetu je postepeno razvijena posebna mreža u
kojoj su se podaci prenosili na način koji se značajno razlikuje od klasične telefonije. Potpuno
drugačiji način povezivanja, nazvan komutacija paketa, u osnovi predstavlja grupisanje bita u
grupe koje se nazivaju paketi, dodavanje bita potrebnih za realizaciju prenosa (adrese i slično) i
slanje paketa prema korisniku. Detalji ovih postupaka proučavaju se u posebnim kursevima.
Ovakva mreža za prenos podataka postoji i kod nas, pod nazivom JUPAK.
11.4. ISDN
Digitalna mreža integrisanih službi (engl. ISDN, Integrated Services Digital Network) razvijena
je, nakon više godina usaglašavanja, izdavanjem prvih standarda 1984. godine. Prvi eksperimenti
vršeni su u Japanu, Kanadi i Velikoj Britaniji, od 1984. do 1986, a zatim i u Francuskoj, Nemačkoj i SAD. Francuska je prva uvela ISDN 1990. god. a za njom i većina zemalja, uključujući
i Jugoslaviju, odnosno Srbiju.
ISDN je realizovan kao nova tehnologija na staroj infrastrukturi. I dalje se koriste klasične telefonske parice, ali više ne postoji ograničenje na ulazu u centralu u obliku pojasnog filtra koji
ograničava signal na opseg od 300 Hz do 3400 Hz . Signal se prenosi u digitalnom obliku i
pri tom se ostvaruju bitske brzine koje su znatno veće nego uz pomoć klasičnih modema.
ISDN je zasnovan na sledećim osnovnim principima:
- mreža je digitalna od kraja do kraja (svi signali prenose se digitalno od korisnika do korisnika),
- prenos je moguć i komutacijom paketa i komutacijom kola,
- ista mreža može da realizuje različite usluge: telefoniju, telefaks, prenos video signala, itd.,
- postoje dve vrste korisničkih priključaka:
bazni, sa brzinom prenosa koja za dva B (govorna) kanala i jedan D kanal iznosi
2 × 64 + 16 = 144 kBit / s i
primarni, sa brzinom prenosa koja za trideset B kanala i jedan zajednički D kanal iznosi
30 × 64 + 64 = 1.984 kBit / s .
B kanal u osnovi služi za prenos govornog signala a D kanal služi za prenos signalizacije i druge
namene.
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
307
Prednosti ISDN nad ostalim sistemima jesu:
- integracija različitih usluga preko jednog transportnog sistema koji obezbeđuje pretplatniku nižu cenu usluga nego kada bi koristio posebne sisteme,
- signalizacija velikih sposobnosti, što omogućava uvođenje novih službi,
- poseban kanal za signalizaciju (korisnik ne čuje signal biranja broja ni neke druge signale). Oaj
kanal može da se iskoristi za aktivnosti čije korišćenje ne utiče na funkcionisanje B kanala,
- maksimalno korišćenje postojeće infrastrukture, što znači da mali korisnici po klasičnoj telefonskoj parici mogu da dobiju bazni priključak, dok je za primarni priključak neophodno
korišćenje dve parice.
Nedostatak ISDN u ovom trenutku jeste nešto viša cena uređaja (centrala, telefonskih i telefaks
aparata, ostalih vrsta terminala, itd.), prvenstveno zbog veće složenosti i manje masovnosti.
11.5. Radio difuzija
Radio difuzne telekomunikacije obuhvataju radio sisteme pomoću kojih se jedna poruka istovremeno prenosi od izvora prema velikom broju korisnika. Postoje dve osnovne grupe sistema, za
prenos govora i muzike (radiofonija) i za prenos slike (televizija).
Radiofonija
Sistemi koji služe za prenos zvuka mogu da se podele u dve osnovne grupe: oni koji za prenos
koriste amplitudsku modulaciju ( AM ) i oni koji koriste frekvencijsku modulaciju ( FM ). Sistemi sa AM rade u tri opsega učestanosti, na dugim, srednjim i kratkim talasima, prema podeli
datoj u tabeli 6.2.2. U svim opsezima koristi se KAM zbog jednostavnosti demodulatora. Kod
KAM modulacije nije neophodno poznavanje parametara (učestanosti i faze) lokalnog nosioca
na prijemnoj strani, dok je kod svih drugih tipova demodulacije prijemnik znatno složeniji.
U svim navedenim opsezima, učestanosti nosioca za pojedine programe biraju se na tačno određen način i usaglašavaju preko međunarodnih i nacionalnih administracija, kako se ne bi dogodilo da dva predajnika na istim ili veoma bliskim učestanostima rade na istom ili bliskom geografskom području. Domet signala zavisi od snage predajnika i uslova prostiranja. Snage predajnika mogu da budu i veoma velike, za duge talase do 4000 kW , srednje i preko 1000 kW i
za kratke preko 150 kW . Programi na kratkim i srednjim talasima, zahvaljujući jonosferskom
prostiranju kod kog se signali odbijaju od jonosfere i tako reflektovani pokrivaju prostor, imaju
veliki domet (više stotina pa i preko hiljadu kilometara od predajnika) i naročito dobre uslove
prostiranja noću. kada se zbog hlađenja jonosferski sloj spušta na manju visinu i bolje reflektuje
signal. Za pokrivanje teritorije jonosferskim talasom karakteristično je postojanje mrtve zone. To
je zona oblika kružnog venca u okolini predajnika u kojoj prijem signala nije moguć jer su
direktni talasi previše slabi (oni pokrivaju samo neposrednu okolinu u zoni optičke vidljivosti
oko predajnika), a talasi reflektovani od jonosfere ne padaju dovoljno blizu zbog apsorpcije pod
određenim uglovima. Detalji koji opisuju ovu pojavu mogu se naći u [1].
Sa aspekta kvaliteta prenošenog signala, kod sistema sa AM prenosi se signal sa spektrom širine manje od 5 kHz . Ova širina spektra samo je malo veća od širine spektra u telefoniji. Obezbeđuje odličnu razumljivost i odličan kvalitet govornog signala, ali je kvalitet prenosa muzičkog
signala skroman. Bogatstvo zvuka mnogih muzičkih instrumenata kao i pevačkog glasa, sme-
308
Osnovi telekomunikacija, skripta
šteno u opsegu učestanosti iznad 5 kHz , ne može se preneti u sistemima na srednjim, dugim i
kratkim talasima.
Za prenos signala u radio difuziji sa FM modulacijom rezervisan je opseg vrlo visokih učestanosti, od 87.5 MHz do 108 MHz . Često se koristi i pojam UKT , kao skraćenica za ultra
kratke talase. U ovom opsegu prenose se signali čija širina spektra iznosi 15 kHz . Rastojanje između nosilaca, prema međunarodnim propisima iz oblasti radio difuzije iznosi 200 kHz , a
maksimalna devijacija učestanosti, definisana izrazom (8.2.4), ima vrednost Δf = 75 kHz .
Ovakva širina spektra omogućuje prenos zvuka koji ima znatno bolji kvalitet nego kod sistema
sa AM . Osim toga, sistemi sa FM modulacijom znatno su otporniji na uticaj šuma nego
sistemi sa AM .
Programi na ultra kratkim talasima nemaju veliki domet jer se za prenos koristi samo direktni talas. Međutim, zahvaljujući pojavama refrakcije (kod koje se elektromagnetski talas ne kreće pravolinijskom putanjom kroz atmosferu nego ima putanju savijenu prema zemlji), i difrakcije (kod
koje se talas odbija od raznih prepreka i dopire do mesta koja se inače nalaze u senci prema
predajniku), zona pokrivanja (radio horizont) šira je od optičkog horizonta.
Stereo signal i RDS u FM radio difuziji
U početku razvoja FM radio difuzije, od početka 40 − tih godina prošlog veka, do 1961. godine, vršen je prenos jednog signala, slično kao kod AM , ali sa tri puta širim spektrom. I takav
signal imao je znatno bolji kvalitet u odnosu na prenos signala sa AM . Američka savezna komisija odobrila je 1961. godine komercijalnu primenu modifikovanog sistema za FM radio
difuziji. Izvršeno je značajno poboljšanje karakteristika prenosa uvođenjem tzv. stereo prenosa
(grčki stereo-prostor). Umesto običnog, jednostrukog signala, promenama u konstrukciji predajnika i prijemnika ostvaren je istovremeni prenos dva signala. Ova dva signala nazivaju se levi i
desni stereo kanal. Dobijaju se tako što se na mestu snimanja, odnosno konverzije zvuka u
električni signal, koriste dva fizički odvojena mikrofona, jedan postavljen levo a drugi desno od
zamišljene ose koja povezuje izvor zvuka i mesto na kom treba da se nalazi slušalac. Svaki
mikrofon formira na svom izlazu poseban električni signal. Ovakvi signali odvojeno se prenose
do mesta prijema i posebno reprodukuju pomoću dva zvučnika, postavljena levo i desno ispred
slušaoca. Na taj način slušaocu se, osim zvučnog signala, prenosi i osećaj prostornosti, odnosno
utisak da zvuk nastaje u prostoru i reprodukuje se u prostoru, a ne u jednoj tački.
Važno ograničenje za uvođenje stereo prenosa bio je zahtev da novi sistem bude kompatibilan sa
starim sistemom sa tzv. mono prenosom. Po ovom zahtevu, stereo signal treba da se prenosi na
takav način da stariji modeli prijemnika mogu da funkcionišu bez promena, odnosno da njihovi
korisnici ne primete nikakvu razliku. Kompatibilnost je neophodna jer su milioni korisnika već
imali prijemnike i njihovo napuštanje nije bilo ekonomski opravdano. Nije bilo ekonomski i tehnički opravdano ni paralelno korišćenje klasičnog mono sistema i eventualnog potpuno drugačijeg, nekompatibilnog stereo sistema. Blok šema stereo modulatora koji obezbeđuje kompatibilnost pokazana je na slici 11.5.1. Signali levog i desnog kanala, označeni sa u L (t ) i u R (t ) ,
dovode se na ulaz stereo kodera. Koder je blok sastavljen od sabirača i oduzimača. Na svojim
izlazima daje zbir i razliku ulaznih signala. Nakon izvršenog preemfazisa, objašnjenog u poglavlju 8.2.4., razlika levog i desnog kanala množi se sa signalom oblika cos 2ω p t , gde je
ω p = 2πf p , a f p je pomoćna učestanost koja se naziva stereo pilot ton i ima tačno određenu
vrednost, f p = 19 kHz .
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
L+R
u L (t )
u R (t )
309
Preemfazis
STEREO
KODER
um (t )
u (t )
FM
L−R
Preemfazis
RDS
X2
X3
cos ω pt
Slika 11.5.1. Blok šema stereo modulatora
Blokovi označeni sa X2 i X3 predstavljaju umnožače učestanosti. Na svojim izlazima daju dva,
odnosno tri puta veću učestanost od one na ulazu. Struktura spektra signala u m (t ) prikazana je
na slici 11.5.2. Sa aspekta frekvencijske modulacije taj signal predstavlja modulišući signal.
Širina spektra stereo signala iznosi 53 kHz . Modulisani signal, dobijen primenom frekvencijske
modulacije u bloku FM, označen je sa u (t ) . Kompatibilnost sa klasičnim mono prenosom
obezbeđena je tako što se struktura spektra stereo i mono signala u intervalu od nule do 15 kHz
ne menja. Klasični prijemnici u stanju su da demodulišu taj deo spektra i reprodukuju zbir dva
signala, a to je i inače signal koji bi se dobio snimanjem zvuka pomoću jednog mikrofona. Za
klasične prijemnike komponente dodate u delu spektra iznad 15 kHz ne ometaju pravilan prijem
i ne utiču na njihovo funkcionisanje.
Um ( f )
U p( f )
U L+ R ( f )
15 19 23
U L− R ( f )
38
U RDS ( f )
53 57
f[kHz]
Slika 11.5.2. Struktura spektra stereo signala, pre FM modulacije
Na slici 11.5.1. dodat je i deo stereo kodera pod nazivom RDS. RDS je skraćenica od engl. naziva Radio Data System, odnosno sistem za prenos podataka putem radio difuzije. RDS je nastao u
periodu 1985-1990. godine, kao rezultat nastojanja da se poboljšaju mogućnosti FM radio mreže,
poveća udobnost korisnika i radio prenosu doda niz novih funkcija koje će ga učiniti atraktivnijim i komercijalno isplatljivijim.
Osnovna ideja RDS sistema sastoji se u sledećem. Na strani predajnika, pomoću posebnog uređaja koji u svojoj osnovi mora da ima računar, na osnovu tačno propisanih standarda (RDS specifikacija) formira se digitalna poruka. Digitalna poruka sastavljena je od povorke bita (nula i jedinica). Složenim postupkom kodovanja, formiranja blokova bita i zaštitnog kodovanja, sistem
omogućuje prenos sledećih podataka:
- identifikacija programa,
- naziv stanice,
- spisak alternativnih učestanosti,
310
Osnovi telekomunikacija, skripta
- postojanje saobraćajnih obaveštenja,
- datum i vreme,
- tip programa,
- kanal podataka,
- jednosmerno pozivanje,
- kanal saobraćajnih obaveštenja, itd.
Od navedenih funkcija mnoge su danas u stalnoj upotrebi, naročito u zemljama sa veoma razvijenom mrežom FM radio predajnika. Na primer, za vozače je veoma interesantan prenos spiska
alternativnih učestanosti. Auto radio prijemnik novije generacije u stanju je da primi i dekoduje
spisak učestanosti na kojima se emituje isti program, kao i da neprekidno vrši proveru da li se isti
program, na nekoj od učestanosti sa spiska, prima sa boljim kvalitetom. Ako pronađe frekvenciju
sa boljim prijemom, prijemnik će automatski da se podesi na novu učestanost i da slušaocu omogući bolji prijem, bez ručnog podešavanja prijemnika, jer to može da bude i opasno pri velikim
brzinama. Neke radio stanice koriste prenos naziva stanice, koji je inače statička informacija i ne
bi trebalo da se menja nego da neprekidno stoji ispisan na displeju prijemnika, za prenos reklamnih poruka, tako što sadržaj ispisanog teksta menjaju svakih nekoliko sekundi. Ovaj tip prenosa ne uklapa se u osnovne standarde ali očigledno koristi vlasnicima radio stanica jer povećava
prihod koji ostvaruju emitovanjem programa.
Složenim postupkom obezbeđeno je da RDS signal bude strogo frekvencijski ograničen na interval 57 ± 2.375 kHz i da ne postoji međusobni uticaj stereo muzičkog i RDS signala. Sistem
ima veoma interesantne osobine ali je prenos podataka spor jer je bitska brzina samo
1187.5 bit / s , od čega se preko 38 % bita koristi za sinhronizaciju i zaštitu. Mala brzina bila
je i razlog za relativno skromnu primenu sistema RDS. Više detalja o RDS sistemu može se naći
u specijalizovanoj literaturi.
Blok šema stereo demodulatora prikazana je na slici 11.5.3. Na ovoj blok šemi, radi
jednostavnosti, nije pokazan deo sa RDS demodulatorom i dekoderom.
NF 0-15
Deemfazis
u L (t )
L+R
u (t )
LIMITERDISKRIMINATOR
PF 19
X2
L−R
PF 23-53
STEREO
DEKO
DER
u R (t )
Deemfazis
Slika 11.3. Blok šema stereo demodulatora
Prijemnik vrši frekvencijsku demodulaciju u bloku označenom kao limiter-diskriminator. Posle
limitera signal ima spektar sa strukturom identičnom onoj prikazanoj na slici 11.5.2. Sa NF 0-15
označen je NF filtar sa graničnom očestanošću od 15 kHz . Pojasni filtar PF 19 ima veoma uzan
propusni opseg i izdvaja samo stereo pilot ton. Filtar PF 23-53 izdvaja transliranu komponentu
razlike levog i desnog kanala. Stereo dekoder vrši funkciju inverznu koderu i na svom izlazu
daje posebno levi i desni kanal modulišućeg signala.
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
311
11.6. TV difuzija
Televizija je svakako jedan od najatraktivnijih telekomunikacionih sistema današnjice. Ideja da
se na daljinu mogu preneti slike, a naročito pokretne slike, datira od samih početaka električnih
telekomunikacija. Godine 1929. ruski emigrant Zvorikin demonstrirao je u Americi prvi sistem
koji je omogućavao prenos slike na daljinu. Prvi javni TV sistem počeo je sa radom u Londonu
1939. godine. U početku je sistem prenosio samo crno-belu sliku. 1954. godine u Americi su postavljene osnove sistema za prenos slike u boji, kompatibilnog sa klasičnim crno-belim sistemom. Broj programa i prijemnika neprekidno raste i danas gotovo da nema domaćinstva koje
nema TV prijemnik i ne prati neki od programa. Kod nas je emitovanje programa počelo ranih
šezdesetih godina, u crno beloj tehnici. Sredinom sedamdesetih godina i kod nas je počelo emitovanje programa u boji.
Funkcionisanje TV sistema, kao i filma (prikazivanja slike pomoću filmske trake) moguće je zahvaljujući na osobini ljudskog oka nazvanoj perzistencija ili tromost. Kada oko primi neku svetlosnu pobudu, do mozga se optičkim nervom dovodi informacija na osnovu koje čovek postaje
svestan da je nešto video. Nakon prekida pobude, još približno 1 / 24 sekunde postoji utisak o
prisutnosti svetlosne pobude. Ako u tom intervalu dođe do nove pobude, posmatrač neće moći da
ih razlikuje, odnosno razdvoji.
Zahvaljujući tromosti ljudskog oka, usvojen je sistem koji prikazuje 25 slika u sekundi (u Americi 30 slika u sekundi). Tromost oka omogućila je i da se slika ne reprodukuje odjednom u
celini, nego se iscrtava pred očima gledaoca, liniju po liniju. Naime, slika se ne može lako
preneti kao jedna velika celina. Mnogo se lakše prenosi ako se razloži na sitnije elemente. Takvi
elementi mogu da budu tačkice ili linije. TV sistemi koji su danas u upotrebi prenose sliku
razloženu na horizontalne linije. Postoji više sistema koji se međusobno razlikuju po raznim
tehničkim detaljima, između ostalog i po broju linija. PAL sistem (engl. Phase Alternating Line)
u upotrebi je u najvećem delu Evrope pa i kod nas. Slika se u PAL sistemu razlaže u 625 linija.
SECAM (francuski, Sequentiel Couleur a Memoire) sistem u upotrebi je u Francuskoj i u Rusiji.
Slika se razlaže u 819 linija. Kod američkog NTSC sistema (engl. National Television System
Committee) prikazuje se 30 slika u sekundi, svaka sa po 525 linija.
Način razlaganja slike na linije prikazan je na slici 11.6.1.
Slika 11.6.1. Slika razložena na pet linija
Na slici pravougaonog oblika sa odnosom visine i širine 3 : 4 radi jednostavnosti je pokazan primer analize sa samo pet linija. Treba zamisliti kameru i u njoj poseban sistem za formiranje slike. Elektronski mlaz koji se kreće izlomljenom putanjom od gornjeg levog do donjeg desnog
ugla, generiše na izlazu kamere električni signal proporcionalan sa osvetljajem slike u svakoj
312
Osnovi telekomunikacija, skripta
tački kroz koju mlaz prođe. Na mestima gde je slika bela, elektronski mlaz generiše signal jednak jedinici, na crnim mestima jednak nuli. Kad bi slika imala nijanse sivog, signal bi bio proporcionalan tim nijansama, u opsegu od nula do jedan. Signal dobijen konverzijom trougla sa slike 11.6.1. prikazan je na slici 11.6.2. Na ovoj slici potpuno je zanemareno trajanje povratnog
mlaza, kojim se elektronski mlaz vraća sa desne na levu ivicu slike. Za vreme trajanja povratnog
mlaza, u električni signal slike ubacuju se tzv. sinhronizacioni impulsi koji prijemniku omogućuju da pravilno detektuje početak slike, početak linije, da pravilno demoduliše boju, itd. Kretanje elektronskog mlaza po horizontali i vertikali kontrolišu posebni naponi testerastog oblika.
E (t )
1
tl
2tl
3tl
4tl
5tl t
Slika 11.6.2. Električni signal dobijen analizom slike pokazane u 11.6.1.
Treba istaći da se na izlazu kamere dobija analogni signal, sa kontinualnim vremenom i amplitudama. U prenosu slike izvršena je diskretizacija (odabiranje) po vremenu i po vertikali, dok se po
horizontali prenosi kontinualni signal.
Analiza slike pokazana na slici 11.6.1. naziva se progresivna analiza i ne primenjuje se u današnjim televizijskim sistemima. Umesto progresivne, primenjuje se tzv. analiza sa proredom. Slika
se analizira proređenim linijama, tako što se prvo uzimaju neparne a zatim parne linije. Na taj
način formiraju se poluslike, neparna i parna. Preklopljene poluslike formiraju celu sliku. U
jednoj sekundi formira se dvostruko više poluslika (u PAL sistemu 50). Na ovaj način dodatno se
potiskuje treperenje slike koje se inače može zapaziti perifernim vidom, pošto je učestanost od
25 slika / s veoma bliska kritičnoj vrednosti za koju, usled inercije, oko prestaje da razlikuje
pojedine sličice.
Spektar signala slike određuje se na veoma složen način, primenom frekvencijske analize dvodimenzionalnog signala. Dva jednostavna primera pokazani su u zadatku 6.1.2. Pokazano je da je
spektar signala mirne slike linijski, odnosno da se sastoji od delta impulsa lociranih na tačno određenim učestanostima. U slučaju da slika nije mirna nego da sadrži pokret, spektar više nije linijski. Na mestu delta impulsa javljaju se proširene spektralne strukture, ali između njih i dalje
postoje neiskorišćeni frekvencijski intervali. Širina spektra koji u svojoj osnovi ima linijsku
strukturu zavisi od učestanosti prostornog i vremenskog odabiranja, tj. od broja linija na slici i
broja slika u sekundi. U PAL sistemu širina spektra iznosi oko 5 MHz .
Kada je šezdesetih godina prošlog veka razvijena varijanta TV sistema sa prenosom slike u boji,
trebalo je takođe rešiti problem kompatibilnosti sa crno-belim sistemom. Problem je rešen tako
što su iskorišćeni prazni frekvencijski intervali između linija za koje je u zadatku 6.1.2. pokazano
da su međusobno razmaknute za vrednost linijske učestanosti, f l = 15625 Hz . Signal boje
ubačen je u nezauzete intervale na poseban način, primenom postupka sličnog frekvencijskom
multipleksu, i kvadraturne amplitudske modulacije dve komponente signala boje. Signal zvuka
dodat je signalu slike postupkom frekvencijske modulacije sa nosiocem čija je učestanost
f c = 5.5 MHz , sa spektrom u opsegu f c ± 250 kHz . Signal sa ovako složenim spektrom,
skiciranim na slici 11.6.3. prenosi se od predajnika do prijemnika primenom AM − NBO
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
313
modulacije. Razlog za ovakav izbor tehnike modulacije leži u ekonomičnosti u iskorišćavanju
frekvencijskog opsega koji stoji na raspolaganju za prenos signala. Relativno velika širina spektra video signala nije udvostručena, kao što bi to bio slučaj sa AM − 2 BO , nego samo proširena za 1.25 MHz , dodavanjem dela donjeg bočnog opsega čija je širina jednaka jednoj četvrtini
širine spektra slike.
X(f )
L um
inen
t
ni sig
n al
Hrominentni
signal
4.434
Zvuk
5
5.5
f MHz
Slika 11.6.3. Spektar složenog signala slike
Za prenos TV signala koristi se mreža zemaljskih predajnika i repetitora. Obzirom da se na VHF
i UHF opsezima praktično koriste elektromagnetski talasi sa direktnim prostiranjem, zone pokrivanja približno odgovaraju zonama optičke vidljivosti. Predajnici su obično postavljeni na geografska uzvišenja ili na posebno izgrađene tornjeve. Porastom broja programa došlo je do velike
gužve u organizaciji i raspodeli frekvencija jer se na jednom mestu može emitovati i primati ne
više od dvadesetak programa. Problem ograničenog broja programa rešava se na dva načina,
kablovskom distribucijom i satelitskom difuzijom. Kablovska distribucija omogućava prenos velikog broja programa, u praksi i više od četrdeset, iz centara za prijem signala do korisnika na
ograničenom geografskom području (do udaljenosti od nekoliko kilometara). Signali se prenose
kroz koaksijalne, a uz dodatnu opremu i kroz optičke kablove. Koriste se isti frekvencijski opsezi
kao i u klasičnoj difuziji TV signala, a dodata je i posebna grupa tzv. kablovskih kanala koji ne
postoje u klasičnoj difuziji. TV prijemnici novije generacije mogu da primaju sve navedene kanale.
U satelitskoj difuziji koriste se geostacionarni sateliti. Ovi sateliti nalaze se na visini od oko
36.000 kilometara iznad Zemlje i, posmatrano sa Zemlje, nalaze se uvek na istom mestu. Antena
koja je dobro usmerena prema satelitu uvek ima dobar prijem, osim u slučaju veoma gustih oblaka i jakih padavina. Sateliti kao repetitori primaju velik broj programa sa predajnika na Zemlji i
emituju ih nazad na Zemlju, pokrivajući ogromna geografska područja, delove kontinenata pa i
čitave kontinente. U satelitskom prenosu koristi se frekvencijska modulacija jer je ona veoma
otporna na uticaj šuma. Iskorišćen je deo opsega super visokih učestanosti, a obzirom da su na
satelitu na raspolaganju male predajne snage, neophodno je da prijemne antene budu veoma dobro usmerene i unose velika pojačanja. Ovakvi uslovi ispunjeni su primenom tanjirastih antena
različitog prečnika, u zavisnosti od potreba i geografskog položaja prijemnika. U satelitskom
prenosu, osim prenosa analognog signala slike, sve veći broj programa emituje se u digitalnoj
tehnici.
314
Osnovi telekomunikacija, skripta
11.7. Mobilna telefonija
Mobilna telefonija (engl. Cellular Mobile System) predstavlja izuzetno atraktivan i efikasan komunikacioni sistem. U veoma kratkom periodu, od početka devedesetih godina do danas, mobilna telefonija prešla je put od statusnog simbola do svakodnevne, ekonomski dostupne potrebe
običnih ljudi. Do početka ovog veka u primeni su dve generacije mobilne telefonije, dok je treća
generacija u pripremi. Ideja o komunikacijama sa mobilnim korisnikom znatno je starija od mobilne telefonije kakvu danas poznajemo. Još dvadesetih godina prošlog veka u nekim gradovima
u Americi policija je koristila radio stanice za vezu sa pokretnim patrolama. Pedesetih godina počeo je u zapadnoj Evropi i Americi razvoj analognih mobilnh sistema. Za potrebe mobilne telefonije rezervisan je određeni frekvencijski opseg koji nisu smele da koriste druge službe. U tom
opsegu izvršena je dodatna podela na kanale koje su pretplatnici zauzimali za vreme razgovora.
Broj takvih kanala bio je mali, do nekoliko desetina, pa je i za tadašnji mali broj pretplatnika sistem bio veoma opterećen i ne preterano upotrebljiv.
Klasični mobilni telefonski sistem funkcioniše na sledeći način. Biranjem broja i uspostavljanjem veze, korisnik zauzima jedan dupleksni radio-kanal tj. određeni frekvencijski opseg, koji se
koristi u geografskoj zoni u kojoj se trenutno nalazi. Pošto su zone relativno velike, emitovana
snaga uređaja treba da ima maksimalno moguću vrednost. Korisnik koji je započeo razgovor u
jednoj zoni, mora da obnovi poziv kada ulazi u drugu zonu, jer će prethodni biti prekinut. U
ovakvom sistemu nema garancije da će razgovor biti završen. Kada su svi dupleksni kanali zauzeti, korisnik mora da sačeka da se neki kanal oslobodi. Ovakav sistem najčešće predstavlja sastavni deo klasične telefonske mreže. Situacija je predstavljena na slici 11.7.1.
Slika 11.7.1. Klasični mobilni telefonski sistem
Mogućnosti ovakvih sistema veoma brzo su iskorišćene i pošto je proširenje bilo praktično nemoguće, već sedamdestih godina pristupilo se razvoju sistema mobilne telefonije zasnovanog na
sasvim drugačijim principima. Uveden je pojam ćelijskog (celularnog) sistema. Geografsko područje deli se na ćelije koje se međusobno preklapaju na granicama. Svaka ćelija sadrži baznu stanicu, a u njoj se nalazi veliki broj mobilnih terminala (mobilnih telefona).
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
315
I ćelijski mobilni sistemi doživeli su nekoliko značajnih modifikacija pa ih delimo u tzv. generacije. Prva generacija korišćena je krajem osamdesetih godina, do 1992. godine. U nekim zemljama koristi se i danas, ali sa sve manjim brojem pretplatnika. Kod nas prvoj generaciji pripada
mreža 061. Osnovna osobina prve generacije bio je prenos analognih signala. Postojalo je mnogo
varijanti sistema, na različitim frekvencijskim opsezima, ali pošto takvi sistemi sve više pripadaju prošlosti, ovde ih nećemo detaljnije opisivati.
Drugu generaciju mobilne telefonije čini danas najrasprostranjeniji GSM sistem (engl. Global
System for Mobile communications, francuski Group Special Mobile), kao i još neki sistemi. U
nastavku ovog poglavlja u osnovnim crtama opisan je GSM sistem.
Standardi koji propisuju sve detalje GSM sistema sadrže preko 6000 stranica teksta i mnogi delovi drže se u tajnosti. Sasvim je jasno da su u ovom tekstu date samo osnovne informacije o tome kako sistem funkcioniše, bez pretenzija da čitalac može da nauči sve o GSM sistemu.
Treća generacija mobilne telefonije još uvek je u razvojnoj fazi.
Sa aspekta organizacije GSM sistema postoji tri osnovna podsistema sa različitim, veoma složenim funkcijama:
1. Mobilna stanica,
2. Bazna stanica i
3. Mreža (sadrži i centrale mobilnog sistema).
Osnovna blok šema ćelijskog mobilnog sistema prikazana je na slici 11.7.2.
Nacionalna telefonska mreža
Fizički tf
vodovi
PREKIDAČI
I
PROCESOR
Telefonska centrala
mobilnog sistema
Kanali za
prenos govora
Kanal za
prenos podataka
Bazna
stanica
Ćelija 1
p
d
Mobilne
stanice
Ćelija 2
Slika 11.7.2. Blok šema ćelijskog sistema
Detaljnija blok šema mobilnog sistema sa osnovnim modulima, njihovim nazivima na engleskom jeziku, kao i uobičajenim skraćenicama, data je na slici 11.7.3.
316
Osnovi telekomunikacija, skripta
Bazna stanica
Mreža
HLR
VLR
BSC
MT
BTS
ISDN
PSDN
MSC
BSC
BTS
EIR
AuC
MTS : Mobile Transceiver Station (mobilni primopredajnik, mobilni aparat)
BTS : Base Transceiver Station (bazna primopredajna stanica)
BSC : Base Station Controller (kontroler bazne stanice)
MSC : Mobile Service Switching Center (centar za komutaciju)
HLR : Home Location Register (registar za lokalizaciju sopstvenih pretplatnika)
VLR : Visitor Location Register (registar za lokalizaciju pretplatnika posetilaca)
EIR : Equipment Identify Register (registar za prepoznavanje opreme)
AuC : Authentication Center (centar za autorizaciju)
Slika 11.7.3. Detaljnija blok šema GSM sistema
Korisnik u ovakvom sistemu ima kontakt samo sa mobilnim telefonom. Mobilni telefon obavlja
mnogo različitih funkcija. Sadrži klasične komponente neophodne za komunikaciju sa korisnikom (mikrofon, zvučnik, tastaturu i displej). Uređaj dalje vrši modulaciju, emitovanje, prijem i
demodulaciju signala, kao i sve funkcije potrebne za pristup mreži.
Bazne primopredajne stanice stalno su u vezi sa mobinim uređajima u njihovoj zoni pokrivanja.
Obavljaju sve funkcije koje obavlja i mobilni uređaj, osim prijema i emitovanja zvučnog signala.
Kontrolu nad njihovim funkcionisanjem ostvaruju kontroleri bazne stanice.
Mreža je podsistem koji obezbeđuje vezu između korisnika GSM mreže i korisnika drugih telekomunikacionih mreža, kao što je klasična telefonska mreža, ISDN, itd. Mreža ima dva osnovna
dela:
1) deo za komutaciju i
2) baze podataka za pretplatnike i terminale.
Deo za komutaciju sastoji se od centra za komutaciju i nekih drugih centara, kao što je npr. centar za razmenu kratkih poruka. Deo za komutaciju vrši sve funkcije klasične telefonske centrale i
ima dodatnu ulogu da prati kretanje mobilnih pretplatnika i omogućuje npr. neprekidnost veze
pri prelazu iz ćelije u ćeliju.
Baze podataka sastoje se od registra za lokalizaciju sopstvenih pretplatnika i posetilaca, registra
za prepoznavanje opreme, centra za autorizaciju i još nekih delova koji su manje značajni.
Konverzija govornog signala u modulisani signal
U ovom delu opisan je postupak za formiranje digitalnog modulisanog signala. Veliki deo teorije
pokazane u ovom udžbeniku može se prepoznati u pojedinim koracima u obradi signala. Međutim, mnogi postupci sadrže i korake koji nisu objašnjeni jer se obrađuju u kursevima na višim
godinama studija, pa će čitaoci tada i potpunije razumeti način funkcionisanja GSM sistema.
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
317
Osnovna blok šema postupka za obradu govornog signala prikazana je na slici 11.7.4.
Analogni govorni signal frekvencijski se ograničava na opseg koji odgovara običnom telefonskom signalu, od 300 Hz do 3400 Hz . Odabiranje takvog signala vrši se sa učestanošću od
8 kHz , a kvantizacija se vrši sa 13 bita po odbirku. Bitska brzina ovog signala iznosi čak
104 kbit / s i nije pogodna za prenos.
smer kretanja poruke
A/D
formiranje
rama
8 kHz
13 bita
160 odbiraka
od po 13 bita
koder
govora
kanalski
koder
interliving
13 kbit/s
22.8 kbit/s
271 kbit/s
burst
šifrovanje
formiranje
bursta
modulator
33.8 kbit/s
smer kretanja poruke
D/A
dekoder
govora
Viterbijev
dekoder
deinterliving
dešifrovanje
ekvalizator
prijemnik
demodulator
Slika 11.7.4. Postupak za obradu govornog signala
Digitalizovani signal zatim se deli u segmente (ramove) trajanja 20 ms . U svakom ramu nalazi
se po 160 odbiraka, odnosno 2080 bita . U bloku koji se naziva koder govora vrši se veoma
efikasna kompresija signala. Na izlazu kodera govora dobija se signal čija bitska brzina iznosi
13 kbit / s i osam puta je manja od brzine na ulazu. Postupak kompresije govornog signala
veoma je složen i nije opisan u ovom udžbeniku.
Posle kodera govora signal se dovodi na ulaz kanalskog kodera. Kanalski koder ponovo menja
bitsku brzinu sa ciljem da se obezbedi detekcija i korekcija grešaka u prenosu signala. Nakon dodavanja tzv. zaštitnih ili redundantnih bita, izračunatih specijalnim postupkom, signal na izlazu
kanalskog kodera ima bitsku brzinu od 22.8 kbit / s . Signal koji se prenosi radio prenosom
mora da bude zaštićen od grešaka u prenosu, ali još više od prisluškivanja. Bez ulaženja u
detalje, treba reći da se u sistemu GSM za zaštitu koriste konvolucioni koderi i uklapanje
blokova (engl. Block Interleaving).
Svaki ram trajanja 20 ms nakon kompresije sadrži 260 bita . Ovi biti dele se u tri grupe:
•
•
•
Klasa I-1 : 50 bita (greška u njihovom prenosu ima najveće posledice),
Klasa I-2 : 132 bita (greška u njihovom prenosu ima umereno velike posledice),
Klasa II : 78 bita (greška u njihovom prenosu nema velike posledice).
Grupa od 50 bita iz klase I-1 koduje se tako što im se dodaje niz od tri bita koji služe za proveru
tačnosti prenosa. Ako se na prijemnoj strani otkrije da je došlo do greške, ovih 50 bita zamenjuje
se sa malo oslabljenim vrednostima bita dobijenih u prethodnom ramu. Sada se grupiše 50+3 bita
318
Osnovi telekomunikacija, skripta
zajedno sa 132 bita iz klase I-2 i dodatna 4 bita u niz od 53+132+4=189 bita. Ovakav niz dovodi
se u tzv. konvolucioni koder koji na svom izlazu daje dvostruko veći broj bita, dakle 378.
Konvolucioni koder izračunava dve izlazne vrednosti na osnovu vrednosti svakog bita i prethodna četiri ulazna bita. Postupak je veoma složen i ovde neće biti detaljnije opisan. Ovom nizu dodaje se 78 bita iz klase II koji se prenose nezaštićeni. Na taj način dobija se ram koji sadrži 456
bita, sa trajanjem od 20 ms i bitskom brzinom od 22.8 kbit / s .
Sadržaj ovog rama još jednom se modifikuje da bi se govorna poruka maksimalno zaštitila u toku prenosa tako što se ram sabere sa tzv. pseudo slučajnim nizom bita koji se izračunava na poseban, veoma složen način. Algoritam za zaštitu razvijen je za potrebe zaštite vojnih podataka.
Proizvođači opreme moraju da ugrade ovaj algoritam u svoje uređaje (kako predajnike, tako i
mobilne telefone). Preuzimanje prava na korišćenje algoritma veoma je ograničeno strogim uslovima za korišćenje i čuvanje algoritma, pošto se radi o bezbednosti prenosa podataka u čitavoj
GSM mreži.
Dodatna zaštita od prisluškivanja ostvarena je tako što se ovakav blok ne prenosi u celini nego
podeljen u 8 podblokova od po 57 bita. Ovi podblokovi prenose se u 8 uzastopnih vremenskih
prozorčića, tzv. slotova, ili burstova (engl. burst-prasak, kratak period intenzivne aktivnosti, obično se ne prevodi nego koristi u engleskom obliku). Niz sastavljen od 8 slotova čini jedan ram
vremenskog multipleksa, tzv. TDMA ram (engl. TDM-Time division Multiple Access, tj. višestruki pristup sa vremenskom raspodelom).
Sadržaj TDMA rama i jednog vremenskog slota prikazan je na slici 11.7.5.
4.615 ms
0
TDMA ram
3
Sb
57
Podaci
1
2
1
K
4
3
26
"Trening"
sekvenca
5
6
1
57
3
K
Podaci
bS
7
8.25
"Idle"
stanje
0.577 ms
Sb - start sekvenca
bS - stop sekvenca
K - kontrolni bit
Slika 11.7.5. Sadržaj TDMA rama (osam slotova) i jednog vremenskog slota (156.25 bita)
Svaki slot sadrži 156.25 bita. Među njima se nalazi 114 bita podataka o govornom signalu,
(obično po jedan podblok iz dva govorna signala), kao i dodatni biti za označavanje početka,
završetka, kontrolu i prilagođavanje eventualnim kašnjenjima signala u prenosu (idle stanje na
slici). Jednostavnim sabiranjem i množenjem može se pokazati da TDMA ram sadrži 1250
bitskih intervala. Pošto je trajanje TDMA rama 4.615 ms , dalji prenos ostvaruje se sa bitskom
brzinom od 270.833 kbit / s . To između ostalog znači da se govorni signal trajanja 20 ms
prenosi u toku celog TDMA rama, koristeći samo jedan od dva podbloka u svakom slotu.
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
319
Na ovaj složeni način relizovan je multipleksni (višestruki) prenos sa vremenskom raspodelom.
Može se pokazati da sistem omogućuje istovremeni prenos osam različitih signala.
Naravno, osam signala, a to znači osam istovremenih veza, sasvim sigurno nije dovoljno da bi
jedna ćelija funkcionisala na zadovoljavajući način. Za prenos signala u GSM sistemu rezervisan
je frekvencijski opseg (890 MHz − 915 MHz ) za vezu od mobilnog uređaja prema baznoj
stanici i (935 MHz − 960 MHz ) od bazne stanice prema mobilnom uređaju. Ovi opsezi
podeljeni su na intervale širine 200 kHz . Takvih intervala ima po 125 u svakom pravcu. Jedan
od tih intervala ne koristi se, a u ostala 124 kanala određene su centralne učestanosti koje se
nazivaju nosioci. Svakoj ćeliji u ćelijskom sistemu dodeljuje se određeni broj nosilaca, u zavisnosti od očekivanog saobraćaja. Ako na jednom području postoji više operatora (provajdera,
od eng. provide, obezbediti), ukupni broj dostupnih kanala dodatno se smanjuje zbog uvođenja
tzv. zaštitnih opsega. Teoretski, maksimalni broj kanala u okviru jedne bazne stanice, odnosno
ćelije iznosi 124 × 8 = 996 . Praktično, broj kanala koji se koristi u jednoj ćeliji znatno je manji.
Blok šema raspodele kanala sa istovremenim vremenskim i frekvencijskim multipleksom prikazana je na slici 11.7.6. Pokazane su frekvencije na predajnoj strani mobilnog uređaja (tzv. uplink). U svakom kanalu moguć je prenos po dva govorna signala u istom TDMA ramu. Pošto se
u jednom TDMA ramu trajanja 4.615 ms prenosi govorni signal trajanja 20 ms , može se pokazati da je neophodan prenos šest TDMA ramova (ukupnog trajanja govora od 120 ms ), raspoređenih unutar niza od 26 uzastopnih TDMA ramova (ukupnog trajanja takođe 120 ms ). Na
predajnoj strani bazne stanice (engl. downlink) situacija je veoma slična, samo su granične
učestanosti koje se zauzimaju u frekvencijskom spektru (935 MHz − 960 MHz ) .
TDMA ram
red .br. n + 2
4.615 ms
TDMA ram
red .br. n + 1
4.615 ms
TDMA ram
red .br. n
4.615 ms
1 2 3 4
kanali po 200 kHz
885 MHz
vreme
124
910 MHz
Slika 11.7.6. Vremensko frekvencijski multipleks u GSM sistemu
320
Osnovi telekomunikacija, skripta
Postupak koji se sastoji od promene frekvencijskog kanala u svakom uzastopnom TDMA ramu
naziva se frekvencijsko skakanje (engl. Frequency Hoping). Algoritam za promenu frekvencije
neprekidno emituje bazna stanica. Ovim postupkom obezbeđuje se potiskivanje neželjenih efekata koje unosi feding, opisan u ranijim poglavljima, a takođe i povećava zaštita prenetog signala
od prisluškivanja.
U prenosu digitalnog signala opisanog u prethodnim paragrafima koristi se binarna digitalna frekvencijska modulacija sa indeksom modulacije 0.5 . Ovaj tip modulacije ima osobinu da je anvelopa signala konstantna, širina spektra je relativno mala i postoji mogućnost sinhrone demodulacije. Da bi se spektar modulisanog signala bolje ograničio i smanjio njegov uticaj na okolne
kanale, pre modulacije je primenjen dodatni filtar koji se naziva Gausov NF filtar., pa se modulacija naziva GMSK (GMSK - Gaussian Minimum Shift Keying). Ostvaruje se digitalni protok
od 270.833 kbit / s . Ova modulaciona šema omogućava efikasnije iskorišćenje spektra od FSK
ili diferencijalne PM i dovoljno dobar imunitet na međukanalsku (engl. cochannel) interferenciju.
Na prijemnoj strani realizuju se inverzni postupci za svaki od koraka u obradi govornog signala.
Primenjeni sistem ima osobinu da u prenos signala unosi kašnjenje od najmanje 40 ms . U praksi je to kašnjenje veće i nalazi se na samoj granici podnošljivosti.
11.8. Savremene mreže za prenos podataka
U današnje vreme pred telekomunikacione mreže postavljaju se sve veći i veći zahtevi u pogledu
količine podataka koje treba preneti po što nižoj ceni. Jedan od razloga predstavlja ogromno
povećanje broja korisnika Interneta koji neprekidno primaju ili šalju podatke u digitalnoj formi.
Drugi važan razlog jeste dugotrajno zauzimanje telefonske linije onih korisnika koji se na Internet priključuju pomoću modema. Treći razlog je svakako sve veća i češća potreba za direktnim komunikacijama među ljudima. Komunikacione mreže koje mogu da ostvare ove zahteve
zasnivaju se na novim tehnologijama, prvenstveno prenosu kroz optička vlakna. Danas se često
koristi pojam propusni opseg (engl. bandwidth) kao mera za količinu podataka koji se mogu
preneti u jedinici vremena. Povećanje propusnog opsega ima kao rezultat razvoj novih primena
(tzv. aplikacija) koje koriste taj povećani propusni opseg. Na taj način javlja se pozitivna povratna sprega kojoj se za sada ne sagledava kraj.
Telekomunikacione mreže danas se dele na nekoliko načina. Jedna od često korišćenih podela
jeste podela na:
- lokalne mreže (LAN, engl. Local-area Networks, obuhvataju objekte);
- gradske mreže (MAN, engl. Metropolitan-area Networks, obuhvataju kvartove ili naselja),
- regionalne mreže (WAN, engl. Wide-area network, obuhvataju šira područja) i
- javne mreže, tj. mreže koje pripadaju telekomunikacionim kompanijama.
Kod nas su najbolje razvijene javne mreže, dok pojedine kompanije, univerziteti, državne ustanove, itd. postepeno razvijaju svoje lokalne i druge mreže.
Većina komunikacionih sistema opisanih u prethodnim poglavljima, prvenstveno telefonija i
ISDN, za razmenu digitalnih signala primenjuju različite standarde. Klasične standarde karakterisala je mala iskorišćenost komunikacionih puteva (veza), a imali su i mnoge druge nedostatke
pa su poslednjih nekoliko godina postepeno zamenjeni standardima koji imaju zajednički naziv
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
321
SDH (engl. Synchronous Digital Hierarchy, sinhrona digitalna hijerarhija), odnosno SONET u
SAD. SDH standard otvara mogućnost za ispunjenje mnogih savremenih zahteva, uz očuvanje
postojeće opreme i skoro svih ranijih ulaganja, što je veoma značajno sa aspekta ekonomske isplativosti.
Prve SDH međunarodne preporuke usvojene su 1988. godine. U njima su opisani digitalni protoci, elementi i principi multipleksiranja. SDH mreže unele su značajna poboljšanja u komunikacione sisteme.
Veoma važna osobina SDH mreže sadržana je u prvoj reči naziva: sinhrone mreže. Za dva ili više signala kaže se da su sinhroni ako im se trenuci prelaska sa jednog na drugi signalizacioni
interval podudaraju ili se razlikuju (pomereni su) za konstantni vremenski interval.
Sedam slojeva OSI modela
U mrežama za prenos podataka u kojima se vrši prenos digitalnih signala različite vrste i različite
namene, pri veoma velikim bitskim brzinama, organizacija funkcionisanja mreže postaje veoma
složena. Od mnogih pojmova i definicija koje treba upoznati da bi mogli da razumemo funkcionisanje sistema, možda je najvažniji koncept komunikacije koja je razložena (rastavljena) na
slojeve, prema OSI referentnom modelu (engl. Open System Interconnection Layers).
Da bi se pravilno shvatio slojeviti komunikacioni sistem, može se navesti primer koji je relativno
dobro razumljiv iz komunikacije među ljudima. Pretpostavimo da predsednici jugoslovenske i
španske kompanije treba da razmene dokumenta ili ugovore, a da ni jedan od njih ne govori ni
jedan strani jezik. Svaki od njih će zaposliti prevodioca za engleski jezik jer je engleski jezik
standardni jezik u komunikaciji. Prevedena dokumenta prosleđuju se operateru koji ih npr. faksom šalje preko telekomunikacione mreže. Dokumenta po prijemu u drugu kompaniju prelaze
obrnut put od onog na slanju, od faks operatera preko prevodioca do direktora druge kompanije.
Ukoliko je sve urađeno bez greške, dva direktora imaju utisak da direktno komuniciraju na svojim maternjim jezicima. Ni jedan od njih ne mora da zna kako funkcionišu nivoi ispod njega, već
je dovoljno da se pouzdaju da će predate informacije ispravno stići do suprotne strane. Sa slike
11.8.1. vidi se da pojedini delovi ovih dveju kompanija praktično komuniciraju samo sa odgovarajućim delovima druge kompanije, i da u praksi nema potrebe za nekom drugom vrstom komunikacije.
Slika 11.8.1. Podela posla na nivoe u primeru komunikacije među ljudima
322
Osnovi telekomunikacija, skripta
Podela na nivoe ima svoju direktnu analogiju i u softveru i podeli određenih zadataka koji se često realizuju kao funkcije i procedure. Svaka od funkcija može se koristiti na više mesta i njena
interna realizacija nije od značaja, već samo njena funkcionalnost.
Prema OSI modelu, struktura svake veze može se razložiti na sedam nivoa:
7. Aplikacioni nivo (engl. Application Layer);
6. Nivo prezentacije (engl. Presentation Layer);
5. Nivo sesije (engl. Session Layer);
4. Transportni nivo (engl. Transport Layer);
3. Mrežni nivo (engl. Network Layer);
2. Nivo voda podataka (engl. Data Link Layer);
1. Fizički nivo (engl. Physical Layer).
Na slici 11.8.2. pokazan je primer komunikacije između dva sistema koji koriste OSI referentni
model. Strelicom je označen pravac prenošenja informacije od sistema koji počinje (inicira) komunikaciju do sistema sa kojim se želi uspostaviti komunikacija. Vidimo da se informacije prenose samo između susednih nivoa OSI modela, i da je jedina direktna veza između dva sistema
ostvarena preko fizičkog nivoa. Svi ostali nivoi međusobno ostvaruju samo logičku (ili virtuelnu)
tzv. “peer-to-peer” komunikaciju (na slici je virtuelna komunikacija označena isprekidanim
linijama), korišćenjem nivoa ispod sebe. Kao i u primeru ljudske komunikacije, i ovde se svakom od nivoa protokola “čini” da komunicira direktno sa odgovarajućim nivoom protokola na
drugom kraju komunikacione veze.
Slika 11.8.2. Komunikacija između dva sistema koji koriste OSI referentni model
Korisnik veze ima direktni dodir samo sa aplikacionim slojem. Ostali slojevi komunikacionog
modela komuniciraju međusobno i prilagođavaju signal tako da se ostvari brz, kvalitetan i siguran prenos. Detaljan opis slojeva nije predmet ovog udžbenika. Ipak, o svakom sloju treba reći
nekoliko reči:
Glava 11. Telekomunikacioni sistemi današnjice
323
7) Aplikacioni nivo, kao nivo sa kojim korisnici imaju direktni dodir, razrešava sve aktivnosti na
aplikacionom nivou, tj. na nivou programa sa kojima korisnik radi. Aplikacioni sloj za korisnika
predstavlja npr. program preko kog razmenjuje elektronsku poštu, komunicira sa drugim računarima (telnet, FTP), itd.
6) Nivo prezentacije ponekad se naziva i sintaksni nivo. U ovom sloju vrši se prevođenje podataka koji se razmenjuju iz formata koji koristi aplikacije u format koji se prenosi kroz mrežu.
Ovaj sloj rešava probleme kompatibilnosti. Na ovom nivou vrši se kompresija i enkripcija podataka.
5) Nivo sesije uspostavlja vezu, upravlja vezom i na kraju vrši raskidanje veze između aplikacija.
4) Transportni nivo obezbeđuje transparentan (za korisnika nevidljiv, efikasan i neprimetan) prenos podataka između krajnjih uređaja. Na ovom sloju rešava se i ispravljanje grešaka u prenosu
kao i kontrola protoka informacija. Primeri protokola na ovom nivou jesu TCP i UDP.
3) Mrežni nivo vrši veliki broj funkcija. Prvenstveno, vrši prosleđivanje (engl. Switchnig) podataka grupisanih u pakete, usmeravanje-rutiranje (engl. Routing) podataka, formira logičke putanje za prenos podataka, kao i adresiranje, kontrolu saobraćaja i zagušenja, itd. Najpoznatiji protokoli na ovom nivou su X.25, LAPD, IP.
2) Na nivou voda podataka paketi podataka koduju se u bite. Na ovom nivou vrši se provera
sinhronizacije rama, protoka i razne druge provere, prvenstveno detekcija i ispravljanje grešaka.
1) Fizički nivo zadužen je za prenos povorke bita, električnih impulsa, svetlosnog ili radio signala na električnom i mehaničkom nivou u mreži. Obezbeđuje sve fizičke aspekte prenosa podataka u mreži. Primeri protokola na ovom nivou jesu RS-232, RS-449/422/423 i pojedini delovi
X.21.
Hijerarhijski nivoi SDH
Pod pojmom hijerarhijskog nivoa podrazumeva se određena brzina prenosa podataka u mreži.
Osnovni nivo SDH ima brzinu prenosa od 155.52 Mbit / s i naziva se STM-1 (engl. Synchronous Transport Module 1). Pošto kod američkog standarda SONET osnovni nivo ima tačno tri
puta manju brzinu, postoje uslovi za tzv. globalizaciju, odnosno primenu sistema u celom svetu.
Osim osnovnog, postoje još četiri viša hijerarhijska nivoa, sa po četiri puta većim digitalnim protokom. Pregled oznaka i skraćenica dat je u tabeli 11.8.1.
Tabela 11.8.1. Pregled oznaka u hijerarhiji SDH
Oznaka nivoa Digitalni protok Skraćeno
STM-0
51.84 Mbit/s
51 Mbit/s
STM-1
155.52 Mbit/s
155 Mbit/s
STM-4
622.08 Mbit/s
622 Mbit/s
STM-16
2488.32 Mbit/s 2.4 Gbit/s
STM-64
9953.28 Mbit/s
10 Gbit/s
STM-256
39813.12 Mbit/s 40 Gbit/s
U tabeli je naveden i nivo STM-0 koji je naknadno definisan i isključivo namenjen radio prenosu
digitalnog signala. Uklapanje četiri signala nižeg hijerarhijskog nivoa u signal višeg nivoa vrši se
učešljavanjem bajt po bajt. Učešljavanje se realizuje tako što se naizmenično, ali uvek istim redosledom, uzima po jedan bajt iz prvog, drugog, trećeg i četvrtog signala nižeg nivoa. Naravno,
324
Osnovi telekomunikacija, skripta
prenos u realnom vremenu podrazumeva da su elementarni impulsi na višem nivou ili četiri puta
kraći, ili imaju neke druge karakteristike koje omogućavaju četiri puta brži prenos.
Mnogi drugi detalji o organizaciji i načinu rada SDH mreža mogu se naći u specijalizovanoj literaturi ili na Internetu.
Pretplatnička petlja
Na kraju treba nešto reći i o pojmu i perspektivama pretplatničke petlje. Pod pretplatničkom petljom podrazumeva se deo telekomunikacione mreže koji povezuje pretplatnika sa telefonskom
centralom. Radi se obično o bakarnoj telefonskoj parici dužine ne veće od nekoliko kilometara.
Na ulazu signala u telefonsku centralu vrši se njegovo filtriranje, tj. frekencijsko ograničavanje
na opseg približne širine 4 kHz .
Prenos podataka u telefonskoj mreži u poslednjih desetak godina rešavan je primenom modema.
Modem je uređaj koji na svom izlazu daje digitalni signal u obliku koji i u vremenskom i u frekvencijskom domenu toliko liči na govorni signal da ga sistem za prenos govornog signala može
pravilno preneti do drugog korisnika, ponekad udaljenog hiljadama kilometara. Dakle, dva modema komuniciraju kroz sistem za prenos telefonskog signala, kao da je u pitanju prenos govornog signala.
Kod prenosa sa xDSL modemima (x kao univerzalno slovo za raznovrsne oznake koje stoje na
prvom mestu: H, A, S, SH, a DSL je skraćenica od engl. Digital Subscriber Loop), veza se ne
ostvaruje između krajnjih korisnika nego između korisnika i drugog kraja njegove pretplatničke
petlje, lociranog obično u telefonskoj centrali. Digitalni signal ne prenosi se kroz telefonsku centralu i ne dolazi do njegovog frekvencijskog ograničavanja na opseg govornog signala. DSL
modemi na strani pretplatnika i na drugom kraju njegove pretplatničke petlje (u telefonskoj
centrali) komuniciraju tako što razmenjuju signal čija širine spektra može da bude čak i više od
1.1 MHz . Bakarna žica ima propusni opseg koji po svojoj širini odgovara za takve potrebe. Tipične bitske brzine prenosa koje se dostižu sa xDSL modemima za potrebe privatnih korisnika sa
jednom telefonskom linijom imaju vrednosti 256, 512, 768 kbit / s , a kompanije mogu da koriste i varijante sa 1 Mbit / s , 4 Mbit / s pa čak i 7 Mbit / s . Često se koriste dve različite
brzine prenosa: niža za pravac od korisnika prema mreži (engl. upstream) a viša za pravac od
mreže prema korisniku (engl. downstream).
Pošto se kroz isti provodnik prenosi i klasičan govorni signal i signal podataka, u centrali se ta
dva signala razdvajaju. Uređaji za razdvajanje signala nazivaju se spliteri (od eng. split, razdvojiti). Govorni signal upućuje se na telefonsku centalu, a signal podataka praktično može da se
koristi za vezu sa Internetom, sa lokalnom mrežom (LAN) sa kojim korisnik radi, ili na neki drugi način. Za razliku od običnih modema za koje je neophodno uspostavljanje veze, na način koji
odgovara biranju telefonskog broja, prepoznavanju modema, njihovoj sinhronizaciji, itd., xDSL
modem ima osobinu da je neprekidno uključen. Modemi su stalno spremni da prema zahtevu sa
bilo koje strane, pošalju ili prime podatke. Brzina prenosa podataka mnogo puta je veća od one
koju obezbeđuju najbrži klasični modemi, pa čak i i veća od brzine prenosa u ISDN mrežama.
Kod nas do kraja 2001. godine telefonske kompanije i internet provajderi ne nude ovu vrstu usluge, pa detaljniji opis xDSL uređaja, njihovih performansi, postupaka za podešavanje i korišćenje,
ostavljamo za vreme kada ova vrsta usluge bude dostupna.
Glava 12. Razni zadaci
325
12. RAZNI ZADACI
U ovoj glavi dato je dvadesetak zadataka iz skoro svih obrađenih oblasti, sa delimičnim rešenjima ili bez rešenja. Mnogi od ovih zadataka kopirani su sa ispitnih rokova u proteklih nekoliko
godina. Njihovo samostalno rešavanje praktično je i potreban i dovoljan uslov da bi kandidat
uspešno položio ispit iz Osnova (Principa) telekomunikacija. Sa samostalnim rešavanjem treba
početi što ranije kako bi se stekla rutina neophodna za uspešno polaganje ispita.
Zadatak 12.1. (E, S)
a) Odrediti Furijeovu transformaciju kompleksnog signala x(t ) = e
j 2πf ct
.
b) Ako se spektar signala u (t ) nalazi u opsegu učestanosti ( − f m ÷ f m ) , odrediti opseg učestanosti u kom se nalazi spektar signala y (t ) = u (t ) ⋅ x (t ) .
c) Odrediti uslov za vrednost količnika f c f m tako da y (t ) bude analitički signal.
Rešenje:
a) FT signala x(t ) ima oblik:
X(f ) = ∫
∞
−∞
∞
x(t ) ⋅ e − j 2πft dt = ∫ e − j 2π ( f − fc )t dt = δ ( f − f c ) .
−∞
b) FT signala y (t ) ima oblik:
∞
Y ( f ) = ∫ u (t ) ⋅ e − j 2π ( f − fc )t dt = U ( f − f c ) ,
−∞
gde je U ( f ) FT signala u (t ) . Spektar signala y (t ) nalazi se u opsegu učestanosti
( f c − f m ÷ f c + f m ) , što znači da množenje signala u (t ) datim kompleksnim prostoperiodičnim signalom x(t ) , uzrokuje translaciju spektra signala u (t ) za učestanost + f c .
c) Da bi y (t ) bio analitički signal, potrebno je da bude zadovoljen uslov da spektar postoji samo
za f > 0 . Ovaj uslov će biti zadovoljen ako je f c − f m > 0 , tj. f c f m > 1. Kada je ovaj
uslov ispunjen, imaginarni deo signala y (t ) jednak je Hilbertovoj transformaciji realnog dela.
Zadatak 12.2. (E)
Trenutna amplituda i faza periodičnog kompleksnog signala x(t ) date su izrazima:
a(t ) = U ⋅ (1 + cos(ω m t )) i φ (t ) = −ω m t .
326
Osnovi telekomunikacija, skripta
a) Odrediti spektar signala x(t ) .
b) Odrediti autokorelaciju signala x(t ) .
c) Odrediti snage svih periodičnih komponenti signala x(t ) .
Rešenje:
a) Prvo treba odrediti realni i imaginarni deo signala x(t ) :
p (t ) = a (t ) ⋅ cos φ (t ) =
U
U
+ U ⋅ cos ω m t + ⋅ cos 2ω m t ;
2
2
q (t ) = a (t ) ⋅ sin φ (t ) = −U ⋅ sin ω mt −
x(t ) = p (t ) + jq (t ) =
U
⋅ sin 2ω mt ;
2
U
U
+ U ⋅ e − jω mt + ⋅ e − j 2ω mt .
2
2
(1)
FT signala x(t ) dobija se kao:
X(f ) =
∞
⎛U
∫ ⎜⎝ 2 + U ⋅ e
−∞
=
− jω m t
+
U − j 2ω m t ⎞ − jωt
⋅e
dt =
⎟e
2
⎠
U
U
⋅ δ ( f ) + U ⋅ δ ( f + fm ) + ⋅ δ ( f + 2 fm ) .
2
2
b) Autokorelacija periodičnog kompleksnog signala, periode T , data je izrazom:
T 2
2
U2
1
− jω mt U
*
2
r (t ) = ⋅ ∫ x (τ ) ⋅ x(t + τ )dτ =
+U ⋅e
+
⋅ e − j 2ωmt .
T −T 2
4
4
c) Srednja snaga signala je P = r (0) =
stanosti 2 f m imaju jednake snage:
3 2
⋅ U . Jednosmerna komponenta i komponenta na uče2
P0 = P2 = U 2 4 ,
2
a komponenta na f m ima snagu P1 = U .
Zadatak 12.3. (E, *)
a) Odrediti analitički signal x(t ) čiji je realni deo: p (t ) = U ⋅
sin(πt / T )
.
(πt / T )
b) Odrediti spektralne gustine energije signala p (t ) i x(t ) i uporediti ukupne energije ta dva
signala.
Glava 12. Razni zadaci
327
Rešenje:
a) FT signala p (t ) može se odrediti primenom osobine dualnosti. Dobije se sledeći izraz:
⎧
⎪U ⋅ T
P( f ) = ⎨
⎪⎩0
1
,
2T
drugde.
f ≤
Određivanje Hilbertove transformacije prema definiciji u vremenskom domenu (7.3.13) često je
veoma složeno. Međutim, u frekvencijskom domenu, prema (7.3.14), važi jednakost:
Q( f ) = − j ⋅ sign( f ) ⋅ P( f ) ,
pa se q (t ) najlakše određuje preko IFT funkcije Q ( f ) :
1
⎤
⎡
0
T
2
⎥
⎢
q(t ) = ∫ − j ⋅ sign( f ) ⋅ P( f ) ⋅ e j 2πft df = UT ⋅ ⎢ ∫ je j 2πft df + ∫ (− j )e j 2πft df ⎥ =
1
⎥
⎢− 1
0
−
⎦
⎣ 2T
2T
1
2T
U
= ⋅
2
sin
πt
2T ⋅ e
πt
j
πt
2T .
2T
Zadatak 12.4. (E, *)
Periodičan signal x(t ) , periode T , aproksimira se signalom:
N
xˆ (t ) = a0 + ∑ (a k ⋅ cos(kω 0 t ) + bk sin( kω 0t ) ), ω 0 = 2π T .
k =1
Odrediti koeficijente a k i bk tako da srednje kvadratno odstupanje aproksimacije:
T 2
1
e = ⋅ ∫ [x(t ) − xˆ (t )]2 dt , bude minimalno.
T −T 2
2
Rešenje:
Koeficijenti a k i bk , k = 1,.., N predstavljaju prvih N koeficijenata Furijeovog reda x(t ) .
Zadatak 12.5. (E)
a) Odrediti koeficijente a k i bk Furijeovog reda signala x(t ) sa slike 1. ako amplitude zadovoljavaju jednakost E1 = − E 2 = E .
328
Osnovi telekomunikacija, skripta
b) Za koliko se dB promeni snaga u opsegu učestanosti [0...1 T ] (jednosmerna komponenta i
prvi harmonik) u odnosu na snagu signala pod a) u istom opsegu, ako važi E1 = E 2 = E .
x(t)
E1
-T
-T/4
T/4
T
t
E2
Slika 1. Signal x(t )
Rešenje:
π⎞
2E ⎛
⋅ ⎜1 − cos k ⎟ , k ≥ 1 .
kπ ⎝
2⎠
b) Snaga se poveća za 3.49 dB .
a) a 0 = a k = 0 , bk =
Zadatak 12.6. (E)
Signal x(t ) dat je izrazom x(t ) =
1
∑ u (t − nT ) , gde je:
n =−1
⎧A
u (t ) = ⎨
⎩0
t < T 4,
drugde.
a) Odrediti frekvencijsku predstavu signala x(t ) .
b) Odrediti energiju signala x(t ) .
Rešenje:
a) Pošto je signal x(t ) aperiodičan, može se odrediti njegova Furijeova transformacija, u obliku:
X ( f ) = U ( f ) ⋅ (1 + 2 ⋅ cos 2πfT ) ,
gde je U ( f ) FT signala u (t ) . Ova funkcija određena je ranije, npr. u zadatku 2.3.2.b), za
τ / T = 0.5 .
b) Energija signala x(t ) iznosi W =
Zadatak 12.7. (E, **)
3 2
A T.
2
a) Odrediti koeficijente Furijeovog reda testerastog signala x(t ) sa slike 1.
Glava 12. Razni zadaci
329
b) Odrediti koliki procenat ukupne snage signala prenose jednosmerna komponenta, prvi i drugi
harmonik zajedno.
x(t)
1
. . .
0
T/4
T
5T/4
t
Slika 1. Testerasti signal x(t )
Rešenje:
a) Kod signala sa testerastim (ili bilo kojim trougaonim) oblikom koeficijenti FR teško se
izračunavaju jer se primenjuje parcijalna integracija, sa puno koraka.
j ( n +1)
Dobije se: x0 =
1 e
1
, xn =
⋅
8
2π
n
π
2
+
1 e
⋅
2
π
− jn
π
2
n2
, n ≠ 0.
b) Jednosmerna komponenta, prvi i drugi harmonik prenose 91.9 % snage signala.
Zadatak 12.8. (E)
Na slici 1. prikazan je sistem za odabiranje. Signal na ulazu ima oblik:
u (t ) = U ⋅ (cos 2πf m t + cos 3πf m t ) ,
Signal odabiranja ima oblik: s (t ) =
U =1V,
f m = 2 kHz .
∞
∑ T ⋅ δ (t − nT ) ,
a NF filtar ima funkciju prenosa:
n = −∞
⎧⎪e − j 2πfτ
H( f ) = ⎨
⎪⎩ 0
f ≤ fg,
f > fg,
f g = 4.1 kHz ,
τ = 0.5 ms .
Odrediti amplitude i početne faze svih prostoperiodičnih komponenti izlaznog signala v(t ) u
slučajevima:
a) f s = 1 T = 8 kHz ,
b) f s = 1 T = 6 kHz .
u(t)
H(f)
s(t)
Slika 1. Sistem za odabiranje
v(t)
330
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
Treba paziti na oznake signala jer se razlikuju od uobičajenih.
v(t ) = U ⋅ [cos 2πf m (t − τ ) + cos 3πf m (t − τ )] .
a)
b)
v(t ) = U ⋅ [cos 2πf m (t − τ ) + 2 ⋅ cos 3πf m (t − τ ) + cos 4πf m (t − τ )].
Zadatak 12.9. (E)
Signal v(t ) na ulazu u sistem prikazan na slici 1. dat je izrazom:
v(t ) =
∞
∑ u (t − nT ) , gde je u (t ) aperiodični signal:
n = −∞
⎧E t < T 4 ,
u (t ) = ⎨
⎩ 0 drugde.
Odabiranje se vrši periodičnom povorkom delta impulsa:
x s (t ) = T ⋅
∞
⎛
∑ δ ⎜⎝ t −
k = −∞
kT ⎞
⎟,
2 ⎠
a idealni NF filtar na izlazu ima istu graničnu učestanost kao i filtar na ulazu. Odrediti izlazni
signal y (t ) .
v(t)
~
~
x(t)
s(t)
~
~
y(t)
f g=5/(2T)
f g=5/(2T)
xs(t)
Slika 1. Sistem za odabiranje sa NF filtrom na ulazu
Zadatak 12.10. (E)
Nelinearni sklop sa slike 1. može se opisati funkcijom:
y (t ) = α1 x(t ) + α 2 x 2 (t ) ,
gde je y (t ) izlazni, a x(t ) ulazni signal, α1 i α 2 su konstante. Ovaj sklop koristi se za uvećanje učestanosti nosioca KAM signala, koji ima oblik:
u KAM (t ) = A ⋅ [1 + m0 ⋅ m(t )]⋅ cos ω c t .
U tom cilju, na ulaz nelinearnog sklopa dovodi se signal
x(t ) = u KAM (t ) + U ⋅ cos Δω c t .
a) Odrediti spektar signala y (t ) .
b) Ako je zadato f c i f m , gde je f m maksimalna učestanost u spektru modulišućeg signala,
odrediti Δf c kao i granične učestanosti pojasnog filtra koji se nalazi iza nelinearnog sklopa, f d
i f g , tako da se na njegovom izlazu dobije KAM signal u1KAM (t ) sa nosiocem f c + Δf c .
Kolika je amplituda ovog signala?
Glava 12. Razni zadaci
331
x(t )
y (t )
A
PF
u1KAM (t )
fd ÷ f g
Slika 1. KAM modulator sa nelinearnim kolom
Zadatak 12.11. (E, *)
KAM signal ima oblik u KAM (t ) = U 1 ⋅ [1 + m0 m(t )] ⋅ cos ω c t , a odgovarajući AM − 2 BO
signal u AM (t ) = U 2 ⋅ m(t ) ⋅ cos ω c t .
U gornjim izrazima m0 označava indeks modulacije KAM signala, a m(t ) je normalizovani
2
modulišući signal, srednje snage Pm = m (t ) . Pod pretpostavkom da su srednje snage KAM i
AM − 2 BO signala jednake, a m(t ) = 0 , odrediti minimalnu i maksimalnu vrednost odnosa
njihovih amplituda.
Rešenje:
2
⎛ U1 ⎞
Pm
m 2 (t )
⎜⎜
⎟⎟ =
,
=
2
2 2
U
1
+
m
P
⎝ 2⎠
1 + mo m (t )
o m
⎛ U1 ⎞
Pm
⎜⎜
⎟⎟ =
, (mo = 1) ,
U
1
+
P
⎝ 2 ⎠ min
m
⎛ U1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
= Pm , (mo = 0) .
U
⎝ 2 ⎠ max
Zadatak 12.12. (E, **)
KAM signal dat izrazom u KAM (t ) = U ⋅ (1 + m0 cos ω m t ) ⋅ cos ω c t , propušta se kroz filtar
čija je funkcija prenosa prikazana na slici 1.
Odrediti signal na izlazu ovog filtra.
Slika 1. Funkcija prenosa filtra
332
Osnovi telekomunikacija, skripta
Rešenje:
Na izlazu se dobija AM − 2 BO signal oblika:
ui (t ) = Um0
H0
cos ω m t ⋅ cos ω c t .
3
Zadatak 12.13. (E, *)
Na slici 1. prikazana je blok šema sinhronog demodulatora dva AM − 2 BO signala sa
nosiocima u kvadraturi ( QAM ). Fazni pomeraj lokalnog nosioca iznosi Δφ . Na ulaz
demodulatora dolazi signal:
u (t ) = m1 (t ) ⋅ cos ω c t + m2 (t ) ⋅ sin ω c t .
a) Odrediti signale na izlazima demodulatora.
b) Ako je m1 (t ) = U ⋅ cos ω1t i m2 (t ) = U ⋅ cos ω 2 t , izračunati dozvoljenu vrednost faznog
pomeraja Δφ , pa da odnos srednjih snaga korisnog i ometajućeg signala na izlazu iz demodulatora ne bude manji od 12 dB .
Slika 1. Prijemnik QAM signala
Rešenje:
a) u A (t ) = m1 (t ) ⋅ cos Δφ − m2 (t ) ⋅ sin Δφ ,
u B (t ) = m2 (t ) ⋅ cos Δφ − m1 (t ) ⋅ sin Δφ .
b) Korisni signali imaju snage:
PK 1 = m12 (t ) ⋅ cos 2 Δφ ,
PK 2 = m22 (t ) ⋅ cos 2 Δφ .
Ometajući signali imaju snage:
P01 = m22 (t ) sin 2 Δφ ,
P02 = m12 (t ) sin 2 Δφ .
2
2
Pošto je m1 (t ) = m2 (t ) =
1 2
U , važe odnosi snaga:
2
PK 1
P
1
= 2
= K2 .
P01 tg Δφ P02
Glava 12. Razni zadaci
333
P
1
U logaritamskim jedinicama dobija se: 10 ⋅ log K = 20 ⋅ log
tgΔφ
P0
0
= −20 ⋅ log(tgΔφ ) < 12dB ,
0
pa je interval prihvatljivog faznog pomeraja od Δφ = 0 do Δφ ≈ 14 .
Zadatak 12.14. (E)
Na ulaz AM prijemnika na slici 1. dolazi signal:
uu (t ) = u (t ) + U ⋅ cos ω1t + U ⋅ cos ω 2 t ,
gde je u (t ) amplitudski modulisan signal sa nesimetričnim bočnim opsegom. Ovaj signal zauzima opseg (68 ÷ 96 kHz) , a spektar modulišućeg signala je u opsegu (0 ÷ 24 kHz) .
U cilju rekonstrukcije nosioca šalju se i dva pilot tona čije su učestanosti f1 = 28 kHz i
f 2 = 104 kHz .
Odrediti centralne učestanosti pojasnih filtara A, B, C i D kao i ceo broj N kojim treba podeliti
učestanost signala sa izlaza VF filtra pod uslovom da je potisnut donji bočni opseg AM signala.
Slika 1. Prijemnik AM-NBO signala
Rešenje:
Zadatak se rešava praktično bez formula i proračuna. Treba uočiti da se AM − NBO sinhrona
demodulacija dešava u množaču u liniji sa filtrom C jer samo iza tog množača postoji NF filtar.
Kod ostalih množača okolna konfiguracija ne odgovara sinhronom demodulatoru. Jednostavnim
brojevnim kombinacijama dobijaju se vrednosti koje se traže u tekstu zadatka:
f c = 72 kHz , N = 3 , f CA = f 2 = 28 kHz,
⎛ 96 − 68
⎞
+ 68 ⎟ kHz = 82 kHz,
f CB = f1 = 104 kHz , f CC = ⎜
⎝ 2
⎠
f CD = f c = 72 kHz .
334
Osnovi telekomunikacija, skripta
Zadatak 12.15. (E)
Fazno modulisani signal: u (t ) = cos[2πf c t + Δφ ⋅ sin( 2πf m t )] ,
čija je maksimalna devijacija faze Δφ i f c >> f m propušta se kroz idealni pojasni filtar,
propusnog opsega ( f c − 2.5 ⋅ f m ÷ f c + 2.5 ⋅ f m ) . Odrediti amplitude i faze signala na izlazu
filtra u slučajevima:
a) Δφ = 0.5 rad ,
b) Δφ = rad .
Rešenje:
Amplituda i faza dati su izrazima:
a (t ) = J 02 + 2 J12 + 2 J 22 + 2(2 J 0 J 2 − J12 ) cos(2ω m t ) + 2 J 22 cos(4ω m t ) ,
φ (t ) = arctg
2 J1 sin (ω m t )
, gde je J k = J k (Δφ ) , k = 0,1,2 .
J 0 + 2 J 2 cos(2ω m t )
Zadatak 12.16. (E)
2π ⎞
τ
⎧A ⎛
1
cos
t
,
t
⋅
+
⋅
<
⎜
⎟
⎪⎪ 2
2
τ ⎠
⎝
1. a) Odrediti frekvencijsku predstavu signala u (t ) = ⎨
τ
⎪
0
t
.
>
⎪⎩
2
b) Odrediti amplitude prva tri harmonika periodičnog signala: s( t ) =
∞
∑ u(t − kT ) , gde je perio-
k =−∞
da signala T = 4τ . Koliki procenat od ukupne snage signala sadrži zbir jednosmerne komponente i prva dva harmonika?
Zadatak 12.17. (E)
2. Na slici 1. prikazan je sistem za odabiranje. Signal na ulazu ima oblik:
u (t ) = U ⋅ (cos 2πf mt + cos 3πf mt ) , U = 1 V , f m = 2 kHz .
Signal kojim se vrši odabiranje ima oblik s (t ) =
∞
∑ T ⋅ δ (t − nT ) .
n = −∞
NF na prijemnoj strani filtar nije idealan i ima prenosnu karakteristiku:
Glava 12. Razni zadaci
⎛ f ⎞
⎟
sin ⎜ π
⎜ fg ⎟
⎠,
H( f ) = ⎝
⎛ f ⎞
⎜π
⎟
⎜ fg ⎟
⎝
⎠
335
f g = 4 kHz .
Ako je učestanost odabiranja f s = 1 T = 10 kHz , napisati analitički oblik i skicirati spektar
signala na izlazu, v(t ) . Smatra se da je značajni deo snage signala sadržan u opsegu
(0 ÷ 16 kHz) .
u(t)
H(f)
v(t)
s(t)
Slika 1. Sistem za odabiranje
Zadatak 12.18. (E)
Na ulaz prijemnika na slici 1. dolazi AM − 2 BO signal. Modulišući signal je test ton kružne
učestanosti ω m i amplitude U m . Učestanost lokalnog nosioca razlikuje se od idealne i ima vred-
nost f l = f c + Δf . Odrediti signale u tačkama B i D . Objasniti rečima kako zvuči signal u
tački D ako je npr. Δf = 0,1 Hz . Može li linearni pojačavač sa pojačanjem A p popraviti utisak
slušaoca?
Slika 1. Sinhroni demodulator AM signala
Zadatak 12.19. (E)
Aperiodični signal u (t ) nastao je množenjem signala x(t ) = cos(ω 0 t ) ⋅ cos(3ω 0 t ) i prozorske
funkcije oblika:
336
Osnovi telekomunikacija, skripta
⎧1 t < τ ,
1
s (t ) = ⎨
τ=
, u kolu sa slike 1.
2
f
0
drugde
,
0
⎩
a) Napisati analitički izraz za signal u (t ) . Izračunati i skicirati amplitudski spektar signala u (t ) .
b) Izračunati i skicirati amplitudski spektar izlaznog signala ako se sistemu doda filtar propusnik
opsega učestanosti, kod koga je f d = 3 ( 4τ ) , f g = 5 (4τ ) , kao na slici 2.
u(t)
x(t)
x(t)
u(t)
f -- f
d
g
s(t)
s(t)
Slika 1.
Slika 2.
Zadatak 12.20. (E, *)
Poznato je da je prenosna karakteristika integratora, za koji je veza izlaznog i ulaznog signala
y (t ) = ∫ x(t )dt = ∫
definisana u vremenskom domenu kao:
H( f ) =
t
−∞
x(τ )dτ , data izrazom:
Y( f )
1
.
=
X ( f ) j 2πf
a) Odrediti prenosnu karakteristiku integratora sa rasterećenjem, za koji je poznato da je zavisnost izlaznog od ulaznog signala:
y (t ) = ∫
t
t −T
x(τ )dτ .
x(t)
y(t)
Integr. sa rast.
Slika 1. Blok šema integratora sa rasterećenjem
Napomena: primeniti neke od osnovnih veza između određenih i neodređenih integrala.
b) Odrediti izlazni signal ako je pobuda integratora sa rasterećenjem prostoperiodična, učestanosti f1 = 3 T , gde konstanta T ima isto značenje kao u prvom delu zadatka.
Zadatak 12.21. (E, *)
Na slici 1. prikazan je sinhroni prijemnik AM signala. Modulišući signal ima spektar u opsegu
(0 − f max ) . Učestanost prostoperiodičnog nosioca jednaka je učestanosti lokalnog oscilatora,
f c , a faza lokalnog nosioca ima vrednost θ . Ako se na ulaz prijemnika dovodi AM-1BO signal,
odrediti θ tako da snaga korisnog signala na izlazu prijemnika bude tačno za 20 dB veća od
Glava 12. Razni zadaci
337
snage parazitnih produkata modulacije. Kakav je odnos snaga korisnog signala i parazitnih produkata ako θ → 0 ?
u (t )
v(t )
fc ± B
f max
2 ⋅ cos(ω c t + θ )
Slika 1. Sinhroni demodulator AM-1BO signala
Zadatak 12.22. (E, *)
Na slici 1. prikazan je sinhroni fazni demodulator. Na ulaz dolazi idealni fazno modulisan signal:
u (t ) = U ⋅ sin[ω c t + Φ (t )], Φ (t ) = ΔΦ ⋅ m(t ) ,
gde je U = 1 V amplituda, f c učestanost nosioca, a ΔΦ = 1 rad maksimalna devijacija faze.
Ako je m(t ) = sin ω m t , f g = 3,1 ⋅ f m , odrediti faktor harmonijskih izobličenja demodulatora
sa slike 1. Beselovi koeficijenti imaju vrednosti: J1 (1) = 0.44 i J 3 (1) = 0.02 .
v(t )
v1 (t )
u (t )
fg
2 ⋅ cosω c t
Slika 1. Sinhroni fazni demodulator
Zadatak 12.23. (E, *)
U sistemu sa slike 1. na ulaz se dovodi signal prostoperiodični signal x(t ) , dat izrazom:
⎛π ⎞
x(t ) = cos⎜ t ⎟ . Odabiranje se vrši periodičnom povorkom delta impulsa, periode T . Odre⎝ 2T ⎠
diti izlazni signal v(t ) ako je f g = 2 T .
x(t )
y (t )
y = 2⋅ x
2
u (t )
v(t )
fg
∑ δ (t − kT )
Slika 1. Odabiranje sa nelinearnim sistemom
338
Osnovi telekomunikacija, skripta
Literatura
1. I. Stojanović, Osnovi telekomunikacija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977.
2. M. Temerinac, Principi telekomunikacija, I i II deo, Univerzitet u Novom Sadu, 1988.
3. H. Stark, F. Tuteur, Modern Electrical Communications, Prentice Hall, 1979.
4. A. Enden, N. Verhoeckx, Discrete-time Signal Processing, An introduction, Prentice Hall,
New York, 1989.
5. B. Lahti, Modern Digital and Analog Communication Systems, Oxford University Press,
1998.
6. P. Fontolliet, Telecommunication Systems, Artech House, Dedham, 1986.
Indeks pojmova
339
Indeks pojmova
alfabet
aliasing vidi preklapanje
spektara
AM demodulatori
AM modulatori
AM-1BO
AM-2BO
AM-NBO
amplitudske modulacije
analitički signal
analogni signal
ansambl
Armstrongov modulator
ASK
autokorelacija
automatska kontrola
pojačanja (AGC)
Beselove funkcije
binarni mod
broj kvantizacionih nivoa
Brza Furijeova
transformacija
decibel
deemfazis
delta impuls
detektor anvelope
diferencijalna demodulacija
diferencne jednačine
digitalizacija signala
digitalni filtri
digitalni prenos
digitalni protok
digitalni signal
dijagram oka
diskretizovani signal
Diskretna Furijeova
transformacija
diskretne analogne
modulacije
diskretni signal
diskretni sistemi
diskriminator učestanosti
DPSK
dualnost
ekspandor
ekvalizacija
elementarni impulsi
energija signala
entropija signala
entropijsko kodovanje
Euklidsko rastojanje
fazna modulacija
fazna petlja (PLL)
5
180
177
167, 173
167
167, 174
154, 167
159
16
34
223, 224, 244
292, 293
24, 30
129
219
282
114
64
9
187, 235, 255
27
181, 204
228
95
98
93
279
281
16
287
99
63
292
16
91
227
293
29
117
286
280
12
6
121
288
154
229
fazor modulisanog signala
fazor nosioca
fazor šuma
FIR filtar
frekvencijska modulacija
Frekvencijski multipleks
FSK
Furijeov red
Furijeova transformacija
Furijeova transformacija
diskretnih signala
Gibsov fenomen
greška kvantizacije
GSM sistem vidi: mobilna
telefonija
Hafmanovo kodovanje
harmonijska izobličenja
Hijerarhijski nivoi SDH
Hilbertova transformacija
IAM
idealan prenos
idealni filtri
IIR filtar
Impulsna kodna modulacija
(IKM)
impulsne modulacije
impulsni nosilac
indeks modulacije
indirektni demodulatori
indirektni modulatori
informacija
intermodulaciona
izobličenja
intersimbolska interferencija
inverzija signala
IPM
ISDN
ITM
izbijanje
izobličenja u prenosu
signala
KAM
kapacitet kanala
Karsonov obrazac
kernel
kodna reč
kodovanje
količina informacija
kompleksni signal
kompresor
konstelacije
konvolucija
korelacija
158, 217, 295
157
138
96
154
185
292, 294
18
25
62
23
114
121
126
323
159, 180
262
68
69
96
122
260
154, 260
170, 217
226
222
5
127
285
15
263
306
263
203
123
167, 170
298
220
20
98
98, 120, 130
6
20, 156
116
296
25
24, 30
340
kvadraturna predstava
modulisanog signala
kvadraturni modulator
kvantizacija
kvazistacionarna analiza
limiter
linearna izobličenja
Linearni sistem
linearnost
maksimalna devijacija
učestanosti
margina šuma
M-arni prenos
metod uparenih odjeka
mobilna telefonija
mod prenosa
model sistema sa
modulacijom
modulacija
modulisani signal
modulišući signal
naponski kontrolisani
oscilator (VCO)
Nelinearna izobličenja
nelinearni sistem
neper
neuniformna kvantizacija
Nikvistova (Nyquist)
učestanost
nosilac
odabiranje
odmeravanje
odnos snaga signala i šuma
Ojlerov obrazac
opšta teorija modulacija
optički sistemi
ortogonalni signali
OSI model
osobine radio veza
paralelna veza
parametarski modulator
parnost signala
Parsevalova teorema
periodičan signal
plan frekvencija
podela opsega učestanosti
pomeranje signala
ponderisanje
poruka
povratna sprega
preemfazis
preklapanje spektara
(aliasing)
prenos signala u osnovnom
opsegu
pretplatnička petlja
Osnovi telekomunikacija, skripta
161
223
98
227
228, 230
123
66
22, 29
225
287
280
123
314
281
155
31, 152
153
153
225
126
66, 84
9
115
100
153
98
98
182
19
156
151
20
321
150
86
224
22, 31
21, 28
18
185
151
14, 22, 29
107
1
86, 94
187, 234, 255
102
153
324
prostiranje signala po više
putanja
PSK
QAM
radiofonija
RDS
redna veza
regeneracija digitalnog
signala
rekonstrukcija digitalnog
signala
rezonantna učestanost
satelitski sistemi
SDH
signal
signali govora i muzike
signali podataka
signali slike
simbolska brzina
sinhrona demodulacija
sistem za prenos signala
skaliranje signala
skok faze
slučajni signali
snaga signala
snaga šuma kvantizacije
snaga UM signala
SNR vidi: odnos snaga
signala i šuma
spektar modulisanog
signala
stereo signal
Šenonov model
širina spektra
šum kod impulsnih
modulacija
šum kod ugaonih
modulacija
telefonja
telegrafija
ternarni mod
TV signal
ugaone modulacije
uniformna kvantizacija
uskopojasni šum
VCO vidi: naponski
kontrolisani oscilator
verovatnoća greške
vremenski multipleks
vremensko-frekvencijska
analiza
waterfall kriva
zakoni kompresije
zaštitno kodovanje
Z-transformacija
128
292, 295
167, 176, 293
307
309
85
279
279
80, 225, 243
151
323
12
142
143
143
281
180
66
14,29
168
34
12
115
232
159
308
2
32
266
232, 233
304
304
282
185, 311
217
113
137
280, 289
277
23
297
117, 118
121
64