Review of Electronic Circuit
목차
▪
Differential Amplifier
▪
Frequency Response
▪
Feedback System
Differential Amplifier
Why Differential?
싱글 엔드 구조 (Single-ended)
▪
차동 구조 (Differential)
공통 접지를 기준으로 하는 방식
▪
공통 접지를 기준으로 하지 않고 두 쌍 간의 차이를 이용하는 방식
𝑹𝑫𝟏
Noise
𝒗𝒊𝒏
𝒗𝒊𝒏
DC 해석
𝑽𝒐𝒖𝒕 = 𝑽𝑫𝑫 − 𝑰𝑫 𝑹𝑫
전원에 의한 잡음
AC 해석
𝑹𝑫𝟐
입력 신호의 잡음 증폭
𝑣𝑜𝑢𝑡 = −𝑔𝑚𝑅𝐷𝑣𝑖𝑛
−𝒗𝒊𝒏
트랜지스터 𝑀1 , 𝑀2 과 𝑅𝐷1 , 𝑅𝐷2 는 동일하다고 가정
𝑉𝑋 = 𝐴𝑣 𝑣𝑖𝑛 + 𝑣𝑁
𝑉𝑌 = −𝐴𝑣 𝑣𝑖𝑛 + 𝑣𝑁 (𝑣𝑁 ∶ 잡음, 𝐴𝑣 ∶ 전압 이득)
𝑉𝑋 − 𝑉𝑌 = 2𝐴𝑣 𝑣𝑖𝑛
잡음 상쇄
3
Differential Amplifier
Large Signal Analysis
대신호 해석( 𝑀1, 𝑀2가 포화영역일 때 )
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝐺𝑆1 = 𝑉𝑖𝑛2 − 𝑉𝐺𝑆2
𝐼𝐷1 + 𝐼𝐷2 = 𝐼𝑆𝑆
2𝐼𝐷
𝑉𝐺𝑆 = 𝑉𝑇𝐻 +
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
P
1
𝑊
4𝐼𝑆𝑆
∗
⇒ 𝐼𝐷1 − 𝐼𝐷2 = 𝜇𝐶𝑜𝑥 (𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 )
− (𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 )2
𝑊
2
𝐿
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
분석 전 추측( 𝑀1, 𝑀2가 포화영역일 때 )
▪
▪
4𝐼𝑆𝑆
⇒ 𝐼𝐷1 − 𝐼𝐷2 = 0
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
4𝐼𝑆𝑆
2
(𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 ) >
𝑊 ⇒ 𝐼𝐷1 − 𝐼𝐷2 허수
(𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 )2 =
평형 상태 시 𝐼𝐷1 , 𝐼𝐷2 는 ൗ2로 동일
𝑉𝑖𝑛1 ≫ 𝑉𝑖𝑛2 일 경우 𝐼𝐷1 = 𝐼𝑆𝑆 , 𝐼𝐷2 = 0
𝐼𝑆𝑆
𝜇𝐶𝑜𝑥
*유도
과정은 Appendix A
𝐿
4
Differential Amplifier
Large Signal Analysis
𝑀1 이 off 되기 직전
𝑉𝐺𝑆1 = 𝑉𝑇𝐻
2𝐼𝑆𝑆
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
2𝐼𝑆𝑆
=
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
𝑉𝐺𝑆2 = 𝑉𝑇𝐻 +
⇒ 𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2
𝑚𝑎𝑥
Δ𝑉𝑖𝑛,𝑚𝑎𝑥 라는 바운더리가 존재
= 2(𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇𝐻 )𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙
∗ (𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇𝐻 )𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 : 평형 과구동 전압
5
Differential Amplifier
Small Signal Analysis
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 ≪
4𝐼𝑆𝑆
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐿
차동 증폭기가 완벽히 대칭일 경우
𝑣𝑖𝑛1 − 𝑣1 = 𝑣𝑖𝑛2 − 𝑣2
ቊ 𝑔 𝑣 +𝑔 𝑣 =0
𝑚 1
𝑚 2
⇒ 𝑣𝑃 = 0
𝑣𝑜𝑢𝑡1 − 𝑣𝑜𝑢𝑡2
= −𝑔𝑚 𝑅𝐷
𝑣𝑖𝑛1 − 𝑣𝑖𝑛2
노드 P는 ac ground이므로 다음과 같이 나누어 고려할 수 있음
( 절반 회로 )
6
Differential Amplifier
Practical Issue
Finite output impedance of tail current
Mismatch of load resistor
𝑨
𝑽𝒊𝒏𝟏 + 𝑽𝑪𝑴
𝑩
𝑽𝒊𝒏𝟐 + 𝑽𝑪𝑴
Mismatch of transistor
𝑅𝑆𝑆 가 유한하기 때문에 𝑉𝐶𝑀 이 증가함에 따라
𝑉𝑃 가 증가하고 𝑅𝑆𝑆 에 전류가 흐르므로 출력
공통 모드 레벨이 변화하고 싱글 엔드 출력에
노이즈 발생
Infinite 𝑅𝑆𝑆
Finite 𝑅𝑆𝑆
싱글 엔드 출력은 변화하지만 차동 출력의 영향은 없음
𝐼
출력 공통 모드 레벨 : 𝑉𝐷𝐷 − ( 𝑆𝑆 + 𝐼 ′ )𝑅𝐷
2
Δ𝑉𝑜𝑢𝑡,𝐶𝑀
𝑅𝐷
=−
Δ𝑉𝑖𝑛,𝐶𝑀
2𝑅𝑆𝑆 + 𝑔𝑚 −1
7
Differential Amplifier
Practical Issue
Finite output impedance of tail current
𝑉𝐺𝑆1 = 𝑉𝐺𝑆2 이므로
Δ𝑉 = Δ𝑉𝐺𝑆 + 2Δ𝐼𝐷 𝑅𝑆𝑆
ቊ 𝐶𝑀
Δ𝑉𝐺𝑆 = Δ𝐼𝐷 /𝑔𝑚
Mismatch of load resistor
⟹ Δ𝐼𝐷 =
Mismatch of transistor
⟹
Δ𝑉𝑜𝑢𝑡
Δ𝑉𝐶𝑀
Δ𝑉𝐶𝑀
1
+ 2𝑅𝑆𝑆
𝑔𝑚
Δ𝑅𝐷
Δ𝑅𝐷
=
≈
1
+ 2𝑅𝑆𝑆 2𝑅𝑆𝑆
𝑔𝑚
부하 저항의 미스매치로 인해 공통 모드임에도
차동 출력 변화를 생성
8
Differential Amplifier
Practical Issue
Finite output impedance of tail current
𝑉𝑃 = (𝑔𝑚1 + 𝑔𝑚2 )(𝑉𝐶𝑀 − 𝑉𝑃 )𝑅𝑆𝑆
൞ 𝑉𝑜𝑢𝑡1 = −𝑔𝑚1 (𝑉𝐶𝑀 − 𝑉𝑃 )𝑅𝐷
𝑉𝑜𝑢𝑡2 = −𝑔𝑚2 (𝑉𝐶𝑀 − 𝑉𝑃 )𝑅𝐷
Mismatch of load resistor
⟹
𝑉𝑜𝑢𝑡1 − 𝑉𝑜𝑢𝑡2
∆𝑔𝑚 𝑅𝐷
=−
𝑉𝐶𝑀
(𝑔𝑚1 +𝑔𝑚2 )𝑅𝑆𝑆 + 1
트랜지스터의 미스매치로 인해 공통 모드임에도
차동 출력 변화를 생성
Mismatch of transistor
CMRR(공통 모드 제거 비) :
차동 증폭기에서 공통 모드 신호가 출력에 얼마나 반영되는지에 대한 성능 지표
CMRR=
𝐴𝐷𝑀
𝐴𝐶𝑀
( 𝐴𝐶𝑀 : 공통 모드 전압 이득, 𝐴𝐷𝑀 : 차동 모드 전압 이득 )
9
Frequency Response
Transfer Function
▪
전달 함수(Transfer Function): 입력과 출력의 관계를 주파수 영역에서 표시한 함수
𝑠
𝑠
𝑉𝑜𝑢𝑡 (𝑠) (1 + 𝜔𝑧1 )(1 + 𝜔𝑧2 ) ⋯
𝐻 𝑠 =
=
𝑠
𝑠
𝑉𝑖𝑛 (𝑠)
(1 +
)(1 +
)⋯
𝜔𝑝1
𝜔𝑝2
( 𝜔𝑝 : 극점, 𝜔𝑧 : 영점 )
▪ 직관적인 극점 확인 방법
신호 경로 상 노드 A에 접지되어 있는 소신호 저항 𝑅과 커패시턴스 𝐶가 있다면 (𝑅𝐶)−1 크기의 극점을 갖는다
10
Frequency Response
Bode’s approximation
𝑙𝑒𝑡, 1 ≫
𝑠
𝑠
(1 +
)(1 +
)⋯
𝜔𝑧1
𝜔𝑧2
𝐻 𝑠 =
𝑠
𝑠
(1 +
)(1 +
)⋯
𝜔𝑝1
𝜔𝑝2
𝐻 𝑗𝜔
=
𝜔
1+
𝜔𝑧1
𝜔
𝜔𝑝1
1+
20𝑙𝑜𝑔 𝐻 𝑗𝜔
− log 1 +
2⋯
2
1+
𝜔
𝜔𝑝2
2⋯
𝜔𝑝1
𝜔
𝜔𝑧1
2
2}
𝜔
= −20log( )
𝜔𝑝
𝜔𝑋 = 10𝜔𝑌
20 log 𝐻 𝑗𝜔𝑋 − 20 log 𝐻 𝑗𝜔𝑌
2
𝜔
2
20 log 𝐻 𝑗𝜔
𝜔
1+
𝜔𝑧2
= 10[log{1 +
𝜔
𝜔𝑝
영점의 경우도 동일하며 아래와 같이 근사화 할 수 있다.
𝜔가 극점을 지날 때 𝐻(𝑗𝜔) 의 기울기는 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐만큼 감소
𝜔가 영점을 지날 때 𝐻(𝑗𝜔) 의 기울기는 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐만큼 증가
+ log 1 +
− log 1 +
= −20 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐
𝜔
𝜔𝑝2
𝜔
2
𝜔𝑧2
2
+⋯
− ⋯]
𝑙𝑒𝑡, 𝜔𝑝2 = 10𝜔𝑝1
20 log 𝐻 𝑗𝜔𝑝1 = −10 log 1 + 12 = −3.01[𝑑𝐵]
20 log 𝐻(𝑗𝜔𝑝2) = −10 log 1 + 102 = −20.04[𝑑𝐵]
∡𝐻 𝑗𝜔 = tan−1
𝜔
𝜔
− tan−1
𝜔𝑧
𝜔𝑝
위상의 경우 영점과 극점이 존재 하는 위치(좌반면, 우반면)에 따라 부호가 결정
⟹ 20 log 𝐻 𝑗𝜔𝑝2 − 20 log 𝐻 𝑗𝜔𝑝1 = −17.03 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐
11
Frequency Response
Miller Theorem
부유 임피던스를 2개의 접지된 임피던스로 변환하는 방법
부유 임피던스가 커패시턴스일 경우
𝑙𝑒𝑡, 𝐴𝑣 = −𝐴0
⟹ 𝑍1 =
𝑉1 − 𝑉2 𝑉1
= ,
𝑍𝐹
𝑍1
⟹ 𝑍1 =
1
𝑍 ,
1 − 𝐴𝑣 𝐹
1
1
1−
𝐴𝑣
𝑍2 =
1
1
(1 + )𝐶𝐹 𝑠
𝐴0
부유 커패시터 𝐶𝐹 가 입력 쪽에서 1 + 𝐴0 만큼 증폭된 것처럼 보임
𝑉2 − 𝑉1 𝑉2
=
𝑍𝐹
𝑍2
𝑍2 =
1
,
(1 + 𝐴0 )𝐶𝐹 𝑠
𝑍𝐹
입력 임피던스는 감소, 출력 임피던스는 증가
12
Frequency Response
MOSFET
high frequency model
MOSFET의 커패시턴스
MOSFET 고주파 모델
1. Gate와 Channel 사이의 산화막 커패시턴스(𝑊𝐿𝐶𝑜𝑥 )
- MOS에서 가장 큰 커패시턴스
- Gate-Drain, Gate-Source 성분으로 분해 가능
- 커패시턴스에 따라 전류의 크기를 조절 가능
2. Source, Drain, Gate와 Body 사이의 커패시턴스
- 전압의 변화(공핍 영역의 변화)에 따라 변하는 비선형
커패시턴스
3. 겹침(overlap) 커패시턴스
- Gate-Drain, Gate-Source의 물리적인 겹침에 의해 발생
13
Frequency Response
Oxide capacitance
차단 영역(Cut-off region)
선형 영역(Triode region)
포화 영역(Saturation region)
G
G
G
S
D
𝑪𝒈𝒔
1
𝑊𝐿𝐷 𝐶𝑜𝑥
2
= 𝑓(𝑉𝑔𝑠)
𝐶𝑔𝑑 = 𝐶𝑔𝑠 =
𝐶𝑔𝑑
D
𝑪𝒈𝒔
𝑪𝒈𝒃 𝑪𝒈𝒅
n+
n+
S
n+
S
D
𝑪𝒈𝒔
𝑪𝒈𝒃 𝑪𝒈𝒅
n+
𝑪𝒈𝒃 𝑪𝒈𝒅
n+
n+
채널의 두께가 일정하다고 가정
1
= 𝐶𝑔𝑏 + 𝐶𝑜𝑣
2
𝐶𝑔𝑑 = 𝐶𝑔𝑠
1
= 𝑊𝐿𝑒𝑓𝑓𝐶𝑜𝑥 + 𝑊𝐿𝐷 𝐶𝑜𝑥
2
(𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐿 − 2𝐿𝐷 )
𝐶𝑔𝑑 = 𝐶𝑜𝑣 = 𝑊𝐿𝐷 𝐶𝑜𝑥
2
2
𝐶𝑔𝑠 = 𝐶𝑔𝑏 + 𝐶𝑜𝑣 = 𝑊𝐿𝑒𝑓𝑓𝐶𝑜𝑥 + 𝑊𝐿𝐷𝐶𝑜𝑥
3
3
따라서 𝐶𝑔𝑠 ≫ 𝐶𝑔𝑑
𝐿𝐷 : 측면 확산(Lateral Diffusion)
→ 등방성(Isotropic) 공정에 의해 발생
𝐶𝑜𝑣 ∶ 겹침 커패시턴스
14
Frequency Response
Junction capacitance
Source와 Body사이에는 역방향 바이어스가 될 수 없음
W
𝑪𝒋
L
𝑪𝒋 : 접합 커패시턴스
LD
Y
n+
n+
𝑪𝒔𝒃
𝑪𝒅𝒃
역방향 바이어스
𝐶𝑠𝑏, 𝐶𝑑𝑏 = 아래쪽(Bottom-wall) 커패시턴스
+ 옆쪽(Side wall) 커패시턴스
아래쪽 커패시턴스 ∝ 𝐴𝑏,
옆쪽 커패시턴스 ∝ 𝐿𝑠𝑤,
1
𝑉𝐷𝐵 𝑆𝐵
1 ,
𝑽
순방향 바이어스
역방향 바이어스일 때 공핍 영역이 더 큼
→ 커패시턴스가 더 작음 → 𝐶𝑠𝑏 > 𝐶𝑑𝑏
𝑉𝐷𝐵 𝑆𝐵
,
𝐴𝑏 = 𝑊 × 𝑌
𝐿𝑠𝑤 = 2𝑌 + 𝑊
15
Frequency Response
𝑒𝑥. CS Amp High Frequency Analysis
3) 주극점 근사( 𝜔𝑝2 ≫ 𝜔𝑝1 )
1) 밀러 근사
1
𝜔𝑝1 =
𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣{𝐶𝑖𝑛 + 1 + 𝑔𝑚 𝑅𝐿 𝐶𝑋𝑌}
1
𝜔𝑝2 =
1
𝑅𝐿{𝐶𝑜𝑢𝑡 + 1 +
𝐶 }
𝑔𝑚𝑅𝐿 𝑋𝑌
)2직접 해석
𝑉𝑋 − 𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣
𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣
1
𝐶𝑋𝑌𝑠 = 𝑔𝑚𝑉𝑋 + 𝑉𝑜𝑢𝑡( + 𝐶𝑜𝑢𝑡 𝑠)
𝑅𝐿
𝑎𝑠2
𝑠
+ 𝑏𝑠 + 1 = 1 +
𝜔𝑝1
1
,
𝜔𝑝1
𝑏
⟹ 𝜔𝑝2 =
𝑎
⟹𝑏=
𝜔𝑝1 =
𝑠
𝑠2
1
1
1+
=
+
+
𝑠+1
𝜔𝑝2
𝜔𝑝1𝜔𝑝2
𝜔𝑝1 𝜔𝑝2
1
1 + 𝑔𝑚 𝑅𝐿 𝐶𝑋𝑌𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 + 𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 𝐶𝑖𝑛 + 𝑅𝐿 (𝐶𝑋𝑌 + 𝐶𝑜𝑢𝑡 )
𝑉𝑜𝑢𝑡 − 𝑉𝑋 𝐶𝑋𝑌𝑠 = 𝑉𝑋 𝐶𝑖𝑛 𝑠 +
𝑉𝑋 − 𝑉𝑜𝑢𝑡
⟹
𝑉𝑜𝑢𝑡
𝐶𝑋𝑌𝑠 − 𝑔𝑚 𝑅𝐿
=
𝑉𝑇ℎ𝑒𝑣
𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 1
𝑎 = 𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 𝑅𝐿 𝐶𝑖𝑛𝐶𝑋𝑌 + 𝐶𝑜𝑢𝑡 𝐶𝑋𝑌 + 𝐶𝑖𝑛 𝐶𝑜𝑢𝑡
𝑏 = 1 + 𝑔𝑚 𝑅𝐿 𝐶𝑋𝑌𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 + 𝑅𝑇ℎ𝑒𝑣 𝐶𝑖𝑛 + 𝑅𝐿 (𝐶𝑋𝑌 + 𝐶𝑜𝑢𝑡 )
직접 해석 & 주극점 근사
밀러 근사
영점
𝑔𝑚
𝐶𝑋𝑌
가 나타나지 않는 이유
𝐶𝑋𝑌(𝐶𝐺𝐷)가 상대적으로 작아 영점이
아주 고주파수에서 나타남
16
Feedback System
Feedback System
& Terminology
▪
전달 함수
𝑋 − 𝐾𝑌 𝐴1 = 𝑌
⟹
▪ 음성 피드백
입력의 진폭이 계속해서 줄어드므로 안정적
인 시스템임
▪ 양성 피드백
입력의 진폭이 계속해서 증가하므로 발진기
와 같은 시스템에서 채용함
𝑌
𝑋
=
𝐴1
1+𝐾𝐴1
▪
개루프 이득(Open-Loop Gain) : 𝐴1
▪
귀환율(Feedback Factor) : 𝐾 =
▪
폐루프 이득(Closed-Loop Gain) :
▪
루프 이득(Loop Gain) : 𝐴1𝐾
𝑒𝑥.
𝑋𝐹
𝑌
𝐴1
1+𝐾𝐴1
개루프 이득 : 𝐴1
귀환율 : 𝐾 =
폐루프 이득 :
𝑅2
𝑅1+𝑅2
𝑌
𝑋
=
𝐴1
1+𝐾𝐴1
=
𝐴1
𝑅
1+ 2 𝐴1
𝑅1+𝑅2
≈1+
𝑅1
𝑅2
17
Feedback System
Why negative feedback?
Gain desensitization
Bandwidth Extension
개루프 이득을 𝐴1이라 하면
𝐴
폐루프 이득 𝐴𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑. 𝑙𝑜𝑜𝑝 = 1
1+𝐾𝐴1
개루프 이득의 변동성 :
𝜕𝐴1
=1
𝜕𝐴1
Improving I/O Impedance
폐루프 이득의 변동성 :
𝜕𝐴𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑. 𝑙𝑜𝑜𝑝
1
=
𝜕𝐴1
1 + 𝐾𝐴1
2
폐루프 이득은 개루프 이득에 비해 1 + 𝐾𝐴1 2만큼 덜 민감함
18
Feedback System
Why negative feedback?
Gain desensitization
단일 극점 개루프 증폭기를 고려하자
Bandwidth Extension
증폭기 개루프 이득 ∶ 𝐴1 =
𝐴0
1+
𝑠
𝜔0
𝐴0
𝐴0
𝑠
1+
𝑌
1 + 𝐾𝐴0
𝜔0
=
=
𝑠
𝑋 1 + 𝐾 𝐴0
1
+
𝑠
(1 + 𝐾𝐴0)𝜔0
1+
𝜔0
Improving I/O Impedance
𝐴
0
폐루프 이득 :
1+𝐾𝐴0
폐루프 대역폭 : (1 + 𝐾𝐴0)𝜔0
줄어든 이득만큼 넓은 대역폭을 가질 수 있음
(단일 극점 시스템의 경우 이득과 대역폭의 곱이 일정함)
19
Feedback System
Why negative feedback?
Gain desensitization
𝑒𝑥. 전압 – 전압 피드백
Bandwidth Extension
𝐼𝑖𝑛𝑅𝑖𝑛 = 𝑉𝑖𝑛 − 𝑉𝐹
= 𝑉𝑖𝑛 − 𝐼𝑖𝑛𝑅𝑖𝑛𝐴0𝐾
Improving I/O Impedance
⟹
𝐼𝑋 =
⟹
𝑉𝑖𝑛
= 𝑅𝑖𝑛(1 + 𝐾𝐴0)
𝐼𝑖𝑛
𝑉𝑋 − (−𝐾𝐴0𝑉𝑋)
𝑅𝑜𝑢𝑡
𝑉𝑋
𝑅𝑜𝑢𝑡
=
𝐼𝑋 1 + 𝐾𝐴0
입력 임피던스 증가, 출력 임피던스 감소한 이상적인 “전압 증폭기”에 가까움
20
Feedback System
Stability
음성 피드백 전달함수 ∶
𝑌
𝑋
𝑠 =
바르크하우젠 조건(Barkhausen’s Criteria)
𝐻 𝑠
1+𝐾𝐻(𝑠)
𝐾𝐻(𝑗𝜔1) ≥ 1,
∡𝐾𝐻 𝑗𝜔1 = −180°
음성 피드백 시스템이 위 조건을 만족하면 발진한다.
Concept )
만약 주파수 𝜔1에서 𝐾𝐻 𝜔1 = −1일 경우
개루프 시스템과 관계 없이 폐루프 시스템은
무한대의 이득을 갖음
▪
𝝎𝑮𝑿
𝜔𝐺𝑋 < 𝜔𝑃𝑋
𝝎𝑷𝑿
⇒ 시스템은 불안정
▪
𝜔𝐺𝑋: 이득 교차 주파수(gain crossover frequency)
: 루프 이득이 1일 때 주파수
𝜔𝑃𝑋: 위상 교차 주파수(phase crossover frequency)
: 위상 시프트가 −180°일 때 주파수
음성 피드백 시스템의 안정 조건
위상 마진(Phase Margin)
피드백 시스템의 안정성의 양을 표시하는 척도
𝑃𝑀 = ∡𝐻 𝜔𝐺𝑋 + 180°
𝑐𝑓. 일반적으로 60°의 위상 마진을 필요로 함
21
Feedback System
𝐶𝑓. 60° PM
일반적인 2nd-order System
𝐴 𝑠 =
𝐴0
𝑠
𝑠2
1 + 2𝜁
+ 2
𝜔𝑛 𝜔𝑛
𝜁 ∶ 감쇠비( damping ratio )
𝜔𝑛 ∶ 자연 주파수( natural frequency )
𝜔𝑟 ∶ 공진 주파수( resonant frequency )
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛 1 − 2𝜁2
1
𝐴 𝜔𝑟 =
2𝜁 1 − 𝜁2
𝐴 𝜔𝑟 = 𝐴(0) → 임계 감쇠 발생
𝜁=
2
2
에서 임계 감쇠 발생
PM = 𝜋 − ∡𝐴 𝜔𝑢 = cos −1 ( 4𝜁4 + 1 − 2𝜁2)
PM
2
2
≅ 65°
따라서 위상 마진을 60° 정도로 두면 빠른 응답을 얻을 수 있음
𝜔𝑢 ∶ 단위 이득 주파수( unity gain frequency )
𝜔𝑢 =
1 − 2𝜁2 + 4𝜁4 − 4𝜁2 + 𝐴02 ∙ 𝜔𝑛
22
Appendix A.
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝐺𝑆1 = 𝑉𝑖𝑛2 − 𝑉𝐺𝑆2
𝐼𝐷1 + 𝐼𝐷2 = 𝐼𝑆𝑆
2𝐼𝐷
𝑉𝐺𝑆 = 𝑉𝑇𝐻 +
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥 𝐿
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 = 𝑉𝐺𝑆1 − 𝑉𝐺𝑆2 =
𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2
2
=
2
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥 𝐿
2
𝑊
𝜇𝐶𝑜𝑥 𝐿
𝐼𝑆𝑆 − 2 𝐼𝐷1𝐼𝐷2
𝑊
4 𝐼𝐷1𝐼𝐷2 = 2𝐼𝑆𝑆 − 𝜇𝐶𝑜𝑥
𝑉
𝑉𝑖𝑛2 2
𝐿 𝑖𝑛1 −
𝑊
16𝐼𝐷1𝐼𝐷2 = 2𝐼𝑆𝑆 − 𝜇𝐶𝑜𝑥
𝑉
𝑉𝑖𝑛2 2 2
𝐿 𝑖𝑛1 −
𝑊
𝑉
𝑉
𝐿 𝑖𝑛1 − 𝑖𝑛2
𝑊
16𝐼𝐷12 − 16𝐼𝑆𝑆𝐼𝐷1 + 2𝐼𝑆𝑆 − 𝜇𝐶𝑜𝑥
𝑉
𝑉 2
𝐿 𝑖𝑛1 − 𝑖𝑛2
16𝐼𝐷1(𝐼𝑆𝑆 − 𝐼𝐷1) = 2𝐼𝑆𝑆 − 𝜇𝐶𝑜𝑥
𝐼𝐷1 =
𝐼𝑆𝑆
𝑊
± 4𝐼𝑆𝑆2 − 2𝐼𝑆𝑆 − 𝜇𝐶𝑜𝑥
𝑉
𝑉𝑖𝑛2
2
𝐿 𝑖𝑛1 −
2 2
2
=0
2 2
1
𝑊
4𝐼𝑆𝑆
⇒ 𝐼𝐷1 − 𝐼𝐷2 = 𝜇𝐶𝑜𝑥 (𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 )
− (𝑉𝑖𝑛1 − 𝑉𝑖𝑛2 )2
𝑊
2
𝐿
𝜇𝐶𝑜𝑥 𝐿
23
What to study Next time?
▪
주파수 보상 기법
24