Chap. I : Produit scalaire - Espaces préhilbertien et euclidien
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Algèbre III
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1. Produit scalaire
Forme bilinéaire
Forme bilinéaire
Définition
Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur E toute application
φ : E × E −→ R
(u, v) 7−→ φ(u, v)
vérifiant les propriétés suivantes :
1
Pour tout a, u, v ∈ E, l’application E −→ R, y 7−→ φ(a, y) est linéaire, i.e.,
∀(u, v) ∈ E × E, ∀λ ∈ R, φ(a, u + λv) = φ(a, u) + λφ(a, v)
2
linéarité à droite
Pour tout b ∈ E, l’application E −→ R, x 7−→ φ(x, b) est linéaire, i.e.,
∀(u, v) ∈ E × E, ∀λ ∈ R, φ(u + λv, b) = φ(u, b) + λφ(v, b)
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linéarité à gauche
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1. Produit scalaire
Forme bilinéaire
Autrement dit, pour tous a ∈ E et b ∈ E, les applications y 7−→ φ(a, y) et x 7−→ φ(x, b)
sont des formes linéaires, d’où le terme « forme ».
Exemple
1
Pour E = R, l’application (x, y) 7−→ xy
2
Pour E = R2 , l’application
x
y
, ′
7−→ xy + x′ y ′
′
x
y
est une forme bilinéaire sur E.
3
Pour E = Rn , l’application
φ : E × E −→ R
n
X
(x, y) 7−→
xi yi
i=1
est une forme bilinéaire sur E.
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1. Produit scalaire
4
Forme bilinéaire
Soit E = Mn (R), on pose :
∀A, B ∈ Mn (R), φ(A, B) = tr(AB).
Alors φ est une forme bilinéaire sur E.
5
Soit E = C([0, 1]) le R-espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R.
L’application
φ : E × E −→ R
Z 1
(u, v) 7−→
u(t)v(t)dt
0
est une forme bilinéaire sur E.
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1. Produit scalaire
Forme bilinéaire
Définition
Soit E un R-espace vectoriel. Soit φ une forme bilinéaire sur E. On dit que :
φ est symétrique si
∀(u, v) ∈ E 2 ,
φ(u, v) = φ(v, u)
φ est positive si
∀u ∈ E,
φ(u, u) ⩾ 0
φ est définie si
∀u ∈ E,
φ(u, u) = 0 ⇒ u = 0.
Exemple
x
y
L’application
, ′
7−→ xy + x′ y ′ est une forme bilinéaire symétrique définie
x′
y
positive sur R2 .
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Produit scalire
Définition (Produit scalaire réel)
On appelle produit scalaire réel sur E, toute forme bilinéaire symétrique et définie
positive, i.e. toute application φ : E × E → R telle que
1
∀x ∈ E, φx : y 7→ φ(x, y) est linéaire
2
∀(x, y) ∈ E 2 , φ(x, y) = φ(y, x)
3
∀x ∈ E, φ(x, x) ⩾ 0
positive
4
∀x ∈ E, φ(x, x) = 0 =⇒ x = 0
définie.
linéarité à droite
symétrie
Notations
Le produit scalaire scalaire φ(x, y) de deux vecteurs x et y est noté ⟨x , y⟩, ou encore
x · y, ⟨x | y⟩, (x | y) . . .
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Remarque
1
La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à gauche.
2
Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
3
Le caractère « défini positif » du produit scalaire peut s’établir en montrant que
∀x ∈ E, ⟨x , x⟩ ⩾ 0 et ⟨x , x⟩ = 0 =⇒ x = 0
4
Si F est un R-sous-espace vectoriel de E, tout produit scalaire réel sur E induit un
produit scalaire réel sur F .
Définition (Espace préhilbertien réel, espace euclidien)
E muni du produit scalaire ⟨· , ·⟩ est appelé un espace préhilbertien réel.
Si E est un espace préhilbertien réel de dimension finie, on dit que E est un
espace euclidien.
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Exemples fondamontaux
Produits scalaires canoniques sur Rn et Mn,p (R)
1
Produit scalaire canonique sur Rn : il est défini par
∀x = (x1 , . . . , xn ), ∀y = (y1 , . . . , yn ),
⟨x , y⟩ =
n
X
x k yk
k=1
2
Produit scalaire canonique sur Mn,1 (R) : il est défini par
2
∀(X, Y ) ∈ Mn,1 (R) ,
⟨X , Y ⟩ = tXY =
n
X
xk yk
k=1
3
Produit scalaire canonique sur Mn,p (R) : il est défini par
X
2
∀(A, B) ∈ Mn,p (R) , ⟨A , B⟩ = tr(tAB) =
ai,j bi,j
i,j
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Nous retrouvons ici les produits scalaires usuels auxquels nous sommes habitués dans le
plans R2 et l’espace R3 en coordonnées de vecteurs. Par exemple dans R2 , pour
⃗u = (x, y) et ⃗v = (x′ , y ′ ), ⃗u · ⃗v = xx′ + yy ′ .
Remarque
De nombreux produits scalaires peuvent
exister sur un même espace vectoriel. Par
2 1
exemple l’application (X, Y ) 7−→ t X
Y = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2 est un
1 3
produit scalaire sur R2 distinct du produit scalaire canonique.
1
2
3
Symétrie et bilinéarité évidentes.
2 :
Positive
:
pour tout X = (x1 , x2 ) ∈ R
2x1 + x2
tX 2 1 X = x
= 2x21 + 2x1 x1 + 3y 2 = x21 + 2x22 + (x1 + x2 )2 ⩾ 0
1 x2
x1 + 3x2
1 3
2 1
Définie : si t X
X = 0, alors comme x21 , x22 et (x1 + x2 )2 sont positifs :
1 2
x1 = x2 = x1 + x2 = 0, donc : X = (0, 0).
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Exemple
Soit x0 , . . . , xn ∈ R distincts. L’application (P, Q) 7−→
scalaire sur Rn [X].
En effet.
1
3
k=0 P
(xk ) Q (xk ) est un produit
Symétrie et bilinéarité : Symétrie évidente, donc la linéarité par rapport à la première
variable suffit. Pour tous P, Q, R ∈ Rn [X] et λ, ∈ R :
n
n
n
X
X
X
(λP + Q) (xk ) R (xk ) = λ
P (xk ) R (xk ) +
Q (xk ) R (xk ) .
k=0
2
Pn
k=0
k=0
Pn
2
Positivité : Pour tout P ∈ Rn [X] : k=0 P (xk ) ⩾ 0.
P
Définie : Si nk=0 P (xk )2 = 0, alors comme on somme des réels positifs :
P (xk ) = 0 pour tout k ∈ J0, nK, i.e. x0 , . . . , xn sont des racines de P . Le polynôme
P de degré inférieur ou égal à n possède ainsi n + 1 racines distinctes, donc est nul.
L’espace Rn [X] muni de ce produit scalaire est un espace euclidien.
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Produits scalaires sur R[X]
Produits scalaires sur l’espace des polynômes à coefficients réels ; si I est un intervalle et
w une fonction continue sur I et à valeurs réelles (strictement) positives, telle que, pour
tout n ∈ N, t 7→ tn w(t) soit intégrable sur I, l’application
Z
2
(P, Q) ∈ R[X] 7→ ⟨P , Q⟩ = P (t)Q(t)w(t) dt
I
est un produit scalaire.Les cas classiques sont
R1
1
I = [−1, 1], w(t) = 1 et ⟨P , Q⟩ = −1 P (t)Q(t) dt
(Legendre)
R
1
dt
1
2
et ⟨P , Q⟩ = −1 P (t)Q(t) √1−t
(Chebychev)
I = ]−1, 1[, w(t) = √1−t
2
2
R +∞
3
I = [0, +∞[, w(t) = e−t et ⟨P , Q⟩ = 0 P (t)Q(t)e−t dt
(Laguerre)
R
2
2
+∞
4
I = ]−∞, +∞[, w(t) = e−t et ⟨P , Q⟩ = −∞ P (t)Q(t)e−t dt
(Hermite)
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues
1
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues sur le segment [a, b] et à valeurs
réelles :
Z b
2
∀(f, g) ∈ C([a, b], R) , ⟨f , g⟩ =
f (t)g(t) dt
a
2
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues, 2π-périodiques sur R et à
valeurs réelles :
Z π
2
1
∀(f, g) ∈ C2π (R) , ⟨f , g⟩ =
f (t)g(t) dt
2π −π
3
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues et de carré intégrable sur
l’intervalle I, et à valeurs réelles :
Z
2
2
∀(f, g) ∈ L (I, R) , ⟨f , g⟩ = f (t)g(t) dt
I
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1. Produit scalaire
Produit scalaire
Exemple
Soient a, b ∈ R avec : a < b.
scalaire sur C([a, b], R).
Démonstration
L’application (f, g) −→
Rb
a
f (t)g(t)dt est un produit
Symétrie et bilinéarité évidentes.
Rb
Définie postive : pour tout f ∈ C([a, b], R) : a f (t)2 dt ⩾ 0
Rb
et si : a f (t)2 dt = 0, t 7→ f (t)2 étant continue et positive ⇒ f (t)2 = 0 ∀t ∈ [a, b],
donc : f = 0.
Attention !
Muni du produit scalaire défini ci-dessus, C([a, b], R) n’est pas un espace euclidein car ce
n’est pas un R-espace vectoriel de dimension finie. C’est seulement un espace
préhilbertien réel.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Norme et distance associée à un produit scalaire réel
E désigne un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté ⟨ , ⟩.
Définition (Norme et distance associée)
On appelle norme associée au produit scalaire ⟨ , ⟩ l’application ∥ · ∥ : E → R+
définie par :
p
∀x ∈ E, ∥x∥ = ⟨x , x⟩
La distance associée au produit scalaire est définie par :
p
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = ∥y − x∥ = ⟨(y − x) , (y − x)⟩
Dans la suite on va démontrer que ∥ · ∥ vérifie effectivement les propriétés d’une norme,
c’est-à-dire : séparation, homogénéité et inégalité triangulaire.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Proposition
p
x 7→ ∥x∥ = ⟨x , x⟩ est une application de E sur [0, +∞[ qui vérifie
1
∀x ∈ E, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0
2
∀(λ, x) ∈ R × E, ∥λx∥ = |λ| ∥x∥
axiome de séparation ;
axiome d’homogénéité.
Démonstration.
0 = ∥x∥2 = ⟨x , x⟩ ⇐⇒ x = 0 ;
p
p
p
∥λx∥ = ⟨λx , λx⟩ = λ2 ⟨x , x⟩ = |λ| ⟨x , x⟩ = |λ|∥x∥
L’inégalité triangulaire sera démontrée dans la suite.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Proposition (Règles de calcul )
Soit E un espace préhilbertien réel. Alors pour x, y ∈ E :
i) Identités remarquables :
∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x , y⟩ + ∥y∥2
∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x , y⟩ + ∥y∥2
∥x∥2 − ∥y∥2 = ⟨x + y , x − y⟩.
ii) Identités de polarisation :
1
1
⟨x, y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 ) = (∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ).
2
4
iii) Identité du parallélogramme :
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ).
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Démonstration.
Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la symétrie du produit scalaire
∥x + y∥2 = ⟨x + y , x + y⟩ = ⟨x , x⟩ + ⟨x , y⟩ + ⟨y , x⟩ + ⟨y , y⟩
= ∥x∥2 + 2⟨x , y⟩ + ∥y∥2
En changeant y en −y, on obtient
∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x , y⟩ + ∥y∥2
Il suffit d’additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé.
Exercice
Soit x et y deux vecteurs d’un espace préhilbertien réel E. Montrer que x − y est
orthogonal à x + y si, et seulement si ∥x∥ = ∥y∥.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
La troisième égalité s’interprète dans la plan par
Corollaire (Egalité du parallélogramme)
La somme des carrés des longueurs des côtés d’un parallélogramme est égale au double
de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
x−y
x
y
x+
y
y
x
Remarque
L’égalité du parallélogramme caractérise les normes qui sont associées à un produit
scalaire (réel).
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit E un espace préhilbertein réel. Pour tout x et y de E, on a
|⟨x , y⟩| ⩽ ∥x∥ ∥y∥
L’égalité a lieu si, et seulement si la famille (x, y) est liée. Autrement x et y sont
colinéaires.
Preuve:
Si ∥x∥ = 0, x est le vecteur nul, l’inégalité, qui devient une égalité dans ce cas, est
vérifiée, et la famille (x = 0, y) est une famille liée.
Si ∥x∥ =
̸ 0, on pose, pour λ ∈ R,
P (λ) = ∥λx + y∥2 = λ2 ∥x∥2 + 2λ⟨x , y⟩ + ∥y∥2 .
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
P (λ) est un trinôme du second degré, que l’on écrit sous sa forme canonique
⟨x , y⟩ 2 ∥x∥2 ∥y∥2 − ⟨x , y⟩2
+
0 ⩽ P (λ) = ∥x∥2 λ +
∥x∥2
∥x∥2
,y⟩
En donnant la valeur particulière λ0 = − ⟨x
, on obtient l’inégalité annoncée.
∥x∥2
Dans le cas de l’égalité de Cauchy-Schwarz, on a
⟨x , y⟩ 2
P (λ) = ∥x∥2 λ +
∥x∥2
⟨x ,y⟩
Donnant à λ la valeur particulière λ0 = − ∥x∥2 , on obtient 0 = P (λ0 ) = ∥λ0 x + y∥2 ,
soit λ0 x + y = 0 et la famille (x, y) est une famille liée.
Réciproquement, si la famille (x, y) est une famille liée, par exemple y = µx, alors
|⟨x , y⟩| = |⟨x , µx⟩| = |µ|⟨x , x⟩ = |µ| ∥x∥2 = ∥x∥ ∥µx∥ = ∥x∥ ∥y∥
⊛
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Exemple
Quelques exemples d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
1
cas de Rn :
n
n
n
X
1
1 X
X
2
2
|⟨x , y⟩| = |
xk yk | ⩽ ∥x∥ ∥y∥ =
yk2
x2k
k=1
2
k=1
k=1
cas de Mn,1 (R) :
n
n
n
1 X
1
X
1
1 X
2
2
|⟨X , Y ⟩| = |tXY | = |
xk yk | ⩽ tXX 2 tY Y 2 =
x2k
yk2
k=1
3
k=1
k=1
cas de Mn,p (R) :
|⟨A , B⟩| =
|tr(tAB)|
X
1
1 X 2 12 X 2 12
t
t
2
tr( BB) 2 =
ai,j
bi,j
=|
ai,j bi,j | ⩽ tr( AA)
i,j
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i,j
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i,j
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1. Produit scalaire
4
Norme et distance associée
cas de C([a, b], R) :
b
Z
|⟨f , g⟩| =
f (t)g(t) dt ⩽
a
5
cas de
L2 (I, R)
Z
2 12 f (t) dt
a
b
g(t)
2
dt
1
2
a
:
Z
|⟨f , g⟩| =
f (t)g(t) dt ⩽
Z
I
6
b
Z
I
f (t)
2
dt
1 Z
2
g(t)
2
1
2
dt
I
cas de R[X] :
1 Z
1
2
2
2
2
|⟨P , Q⟩| =
P (t)Q(t)w(t) dt ⩽
P (t) w(t) dt
Q(t) w(t) dt
I
RI
1 IR
2 −t2 21
R +∞
2
2
2
2
+∞
+∞
−t
−t
Par exemple : −∞ P (t)Q(t)e dt ⩽ −∞ P (t) e dt
dt
−∞ Q(t) e
Z
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Z
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Écart angulaire entre deux vecteurs
L’inégalité de Cauchy-Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls x et y de E,
⟨x , y⟩
⩽1
∥x∥ ∥y∥
⟨x ,y⟩
Un réel que l’on écrit cos θ, pour un θ unique du segment [0, π], i.e. θ = arccos ∥x∥
∥y∥ ;
ce qui donne la définition suivante.
−1 ⩽
Définition (Écart angulaire entre deux vecteurs)
Si x et y sont deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel, il existe un unique
θ ∈ [0, π] tel que
⟨x , y⟩ = ∥x∥ ∥y∥ cos θ
θ est appelé l’angle (non orienté) entre x et y ; cet angle est défini à π près.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Proposition (Inégalité de Minkowski)
On a l’inégalité, dite de Minkowski,
∀(x, y) ∈ E 2 , ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥
Démonstration.
Développons ∥x + y∥2 et utilisons l’inégalité de Schwarz :
2
∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x , y⟩ + ∥y∥2 ⩽ ∥x∥2 + 2∥x∥ ∥y∥ + ∥y∥2 = ∥x∥ + ∥y∥
Finalement, on a
Théorème
x 7→ ∥x∥ =
p
⟨x , x⟩ est une norme sur E.
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1. Produit scalaire
Norme et distance associée
Remarque
Cette norme est appelée norme hilbertienne si E est de dimension quelconque,
norme euclidienne si E est de dimension finie.
E muni de cette norme est un espace vectoriel normé. Si de plus (E, ∥ · ∥) est
complet, i.e. toute suite de Cauchy de E est convergente, on dit que (E, ∥ · ∥) est un
espace de Hilbert, qu’on note aussi par (E, ⟨· , ·⟩).
De manière plus générale, on sait que tout espace normé (sur R ou C) de dimension
finie est complet, donc tout espace euclidien est un espace de Hilbert.
David Hilbert (1862-1943)
Mathématicien allemand, considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les
temps et le dernier à maîtriser, à défaut de connaître, presque toutes les mathématiques connues
à son époque. Il a aussi influencé toute la physique du 20ème siècle, à travers la mécanique
quantique notamment, par ses travaux sur les équations aux dérivées partielles et la relativité
générale.
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