ІІ
МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ
МАТЕМАТИКИ
У ВИЩІЙ ШКОЛІ
ОСОБЛИВОСТІ ВИКЛАДУ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
У ДИСТАНЦІЙНОМУ КУРСІ «ВИЩА МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ІНЖЕНЕРІВ І ЕКОНОМІСТІВ»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,
О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна
victor144169@gmail.com
Уже більше як 5 років авторський колектив працює над створенням комплекту дистанційних курсів «Вища математика» як для інженерних спеціальностей НТУУ «КПІ», так і для освітньої ініціативи доступної освіти UUOOI під
егідою ЮНЕСКО (http://www.uuooi.org/english/portal.php) [1].
Відсутність безпосереднього контакту викладач-студент зумовлює поєднання у навчальних матеріалах класичного викладення матеріалу (розрахованого на «ідеального» студента, який знає і добре пам’ятає увесь попередній матеріал) і елементи тьюторства (яке передбачає корекцію помилок уже під час
навчання).
Продемонструємо це на прикладі фрагменту лекції «Безпосереднє інтегрування» дистанційного курсу «Математика для інженерів і менеджерів, ІІІ».
********************************************************************
Лекція 2. Безпосереднє інтегрування
На відміну від диференціального числення, де, користуючись правилами і
таблицею похідних, можна знайти похідну або диференціал будь-якої заданої
функції, в інтегральному численні немає загальних прийомів знаходження невизначених інтегралів, а є лише окремі методи, що дозволяють зводити заданий
інтеграл до табличного.
Метод безпосереднього інтегрування полягає у використанні таблиці інтегралів, властивостей лінійності та інваріантності невизначеного інтеграла.
Використання таблиці інтегралів
Деякі табличні інтеграли залежать від параметрів. А саме:
— інтеграл від степеневої функції
u 1

 u du    1  C (  1);
— інтеграл від показникової функції
au
u
a
du

 C (a  0, a  1);

ln a
— чотири інтеграли від зовні «схожих» функцій
du
1
u a
 u 2  a 2  2a ln u  a  C (a  0);
208
du
 u2  a2

du

1
u
arctg  C (a  0);
a
a
 ln u  u 2  a 2  C ( u  a );
u2  a2
du
u
 C ( u  a ).
2
2
a
a u
Інтеграл від степеневої функції. Інтеграл від степеневої функції залежить
від параметра  — показника степеня:
u 1

u
du

 C (  1).

 1

 arcsin
Приміром, для того щоб знайти
 x 3dx,
підставмо у загальну формулу
  3:
x 31
x4
 x dx  3  1  C  4  C .
Правильність інтегрування можна перевірити диференціюванням:
(F (x )  C )  f (x ).
Отже,
x4

1

   4x 3  x 3 .
C

 4
4

Зауважимо, що для знаходження інтеграла від степеневої функції стануть у
пригоді формули:
q p
1
p q
 x  ;
x x

x
Приміром,
1
1
1 2

x
.
12
x
x
Отже,
1
   у формулі
dx
1 2
2

 x   x dx 
u 1

 u du    1  C
12
1 21
x
x

C 
 C  2 x  C.
12
1 2  1
3
Зауважимо, що інтеграл від функції
мулою
209
1
 x 1 знаходять за окремою форx
du
 ln u  C .
u
Інтеграл від показникової функції. Інтеграл від показникової функції залежить від параметра a — основи:
au
u
a
du

 C (a  0, a  1).

ln a
Приміром, знайдімо  3x dx :

підставляємо a  3 у формулу

x
3 dx 

a udu 
Щоб знайти інтеграли

u
a
C
ln a
2
x
x
 3 dx та

3x
2x
3x
 C.
ln 3
dx використаємо властивості
показникової функції:
x


a
a x  b x  (a  b )x ,
   ,
x
 b 
b
ax
Отже,
2
x
x
 3 dx 

 (2  3) dx
x
x
3
2x
dx 



6x
6 dx  a  6 
 C;
ln 6
x

x

32
 3 x
  dx 
 C.
 2 
ln 3 2
Чотири схожих інтеграли. Розглянемо детальніше чотири інтеграли, які
мають власні назви за виглядом первісної:
— «високий логарифм»
du
1
u a

ln
 u 2  a 2 2a u  a  C (a  0);
— «арктангенс»
du
1
u
 u 2  a 2  a arctg a  C (a  0);
— «довгий логарифм»
du
 u 2  a 2  ln u  u 2  a 2  C ( u  a );
— «арксинус»
du
u
 a 2  u 2  arcsin a  C ( u  a ).
210
Зауважимо, що у першій, другій і четвертій формулах ліва частина містить
параметр a 2  0, а права частина — параметр a, який теж зазвичай вибирають
додатним (хоча можна було б брати і від’ємним).
dx
du
Приміром, порівнюючи інтеграл 
з табличним 
, бачиx2  5
u2  a2
мо, що a 2  5, звідки випливає, що a  5 і
dx
підставляємо a 
5 у формулу
1
x

arctg
 C.
1
u

arctg

C
5
5
 u2  a2 a
a
dx
Знаходження інтеграла 
потребує вже іншого табличного інтег2
x 5
du
рала 
:
u2  a2
підставляємо a  5 у формулу
dx
1
x 5

ln
 C.
du
1
u a
 x2  5 

ln

C
5
5
2
x

 u 2  a 2 2a u  a
 x2  5 
du
Причому, зазвичай розв’язуючи рівняння a 2  5, беруть лише додатний
корінь a  5.
Так само:


dx
 a2  9  a  3 
9  x2
підставляємо a  3 у формулу

du
u
 arcsin  C
a
a2  u2
 arcsin
x
 C.
3
Але

підставляємо a 2  9 у формулу
dx


du
2
2
2

ln



u
u
a
C
x 9
 u2  a2
 ln x  x 2  9  C .
********************************************************************
Студенти часто плутають «чотири схожих інтегралів», оскільки мають неглибокі знання про функції; а також, інколи намагаються зводити «арксинус»
до «довгого логарифма» (виносячи мінус з під квадратного кореня!)
Не розвинута здатність до абстрагування, за спостереженнями над студентами протягом останніх 10–15 років, спричиняє ледь не «містичний жах» сту-
211
дентів перед параметром у формулі чи умові задачі, навіть, коли це задача не на
дослідження.
Висновки. Ефективне дистанційне навчання вищої математики вимагає:
1) виклад навчального матеріалу в електронному ресурсі для дистанційного навчання (особливо, яке не передбачає тьюторінгу), має бути детальнішим,
ніж у літературі для очної освіти;
2) пояснення абстрактного (хоча б «зашифрованого» лише наявністю параметра) матеріалу на конкретних прикладах;
3) передбачення і попередження можливих студентських помилок під час
вивчення певної теми;
4) структурування і програмування навчального тексту.
Список літератури
1. Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Коновалова Н. Р., Федорова Л. Б., Дудко
А. Ф. Про дистанційний курс з вищой математики для Хадонзького глобального універсітету. — Матеріали 14-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ, 19–21
квітня 2012 р. — Т. 4. — С. 13.
2. Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум. — К.: НТУУ «КПІ», 2012. — 176 с.
212
ЕЛЕКТИВНІ КУРСИ В КЛАСАХ З ПОГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕННЯМ
МАТЕМАТИКИ ЯК ЗАСІБ ПІДГОТОВКИ УЧНІВ ДО НАВЧАННЯ
У ПЕДАГОГІЧНИХ ВИШАХ
В. В. Ачкан, К. І. Семенова
Бердянський державний педагогічний університет, Бердянськ, Україна
v_achkan@ukr.net, kat_semenova@inbox.ru
Сучасний етап розвитку суспільства зумовлює необхідність переходу
вищої освіти до нової освітньої парадигми, де на перший план виходять
інтереси студентів, розвиток їх здібностей і потенціалу, задоволення
індивідуальних запитів і освітніх потреб. Сьогоднішня реформа вищої школи
викликана інформатизацією суспільства, спрямована на гуманізацію освіти,
ставить перед ВНЗ основне завдання – підготувати студента до повсякденного
життя в сучасному інформаційному суспільстві.
Одним з важливих завдань математичної освіти у педагогічному виші є
адаптація студентів першокурсників до нових, незвичних для них умов. Адже
навчання на фізико-математичних факультетах у сучасному виші починається з
вивчення значної кількості математичних дисциплін. Методиці викладання
математичних дисциплін у вищій школі присвячені роботи К. Власенко,
Н. Лосєвої,
В. Клочка,
О. Крилової,
М. Працьовитого,
О. Скафи,
О. Співаковського, В. Шавальової та ін.
Важливо складовою підготовки майбутніх студентів до навчання у виші є
реалізація принципу наступності між старшою і вищою школою. Більш широкі
можливості для цього з’явились у зв’язку з профілізацією старшої школи.
Профільне навчання покликане забезпечити поглиблену підготовку
старшокласників з обраних дисциплін, сприяти соціалізації випускників,
дотримуючись принципу індивідуалізації, тобто розширити можливості учня з
метою максимальної професійної реалізації його у майбутньому.
Спеціалізовану та ґрунтовну підготовку старшокласників забезпечують класи з
поглибленим вивченням математики. Проблемами методики вивчення
поглибленого курсу математики займалися М. Бурда, В. Полонський, Є. Нелін,
О. Шаран, В. Швець.
Важливим елементом профільного навчання стають елективні курси, які
порівняно з профільними предметами мають більшу варіативність змісту,
посилюють практичну і дослідницьку складову профільного навчання [1].
Методика організації елективних занять з математики висвітлювалась у роботах
З. Слєпкань, Н. Віленкіна, Г. Дорофеєва, А. Мордковича, З. Скопеця,
Н. Тарасенкової, О. Чашечнікової та ін. Так, елективні заняття в теоретичному
плані стали об’єктом дослідження багатьох учених, але змістове наповнення
елективних занять у старшій школі в класах з поглибленим вивченням
математики залишається недосконалим і невпорядкованим.
Елективні курси – обов’язкові для відвідування заняття на вибір учнів, що
входять до складу профілю навчання на старшому щаблі школи. Відвідування
213
елективних курсів сприяє самовизначенню школярем сфери своїх наукових,
технічних, професійних інтересів. Реалізація компетентнісного підходу
відбувається за рахунок надання кожному учневі, що визначився у виборі
елективного курсу, права працювати на заняттях курсу в рамках модулів, що
його цікавлять.
Елективні курси реалізуються за рахунок шкільного компонента
навчального плану й виконують три функції. По-перше, «підтримують»
вивчення основних профільних курсів на заданому профільним стандартом
рівні. По-друге, слугують для внутрішньо профільної спеціалізації навчання й
для побудови індивідуальних освітніх траєкторій. По-третє, сприяють
підготовці майбутніх студентів до навчання у ВНЗ. За обсягом елективні курси
короткотермінові (від 9 до 17 годин).
Метою вивчення елективних курсів є орієнтація учнів на індивідуалізацію
навчання і соціалізацію; на підготовку до усвідомленого і відповідального
вибору сфери майбутньої професійної діяльності. Основними завданнями
елективних курсів є:

сприяння у самовизначенні учнів у виборі подальшої професійної
діяльності;

створення позитивної мотивації навчання на обраному профілі;

ознайомлення учнів з основними видами діяльності обраного
профілю;

активізація пізнавальної діяльності школярів;

формування інформаційної та комунікативної компетентності
учнів [2].
Теми елективних курсів переважно відповідають навчальній програмі,
проте, у деяких випадках значно виходять за її межі.
Наша увага спрямована на розроблення елективних курсів “Основи
математичної логіки” й “Елементи теорії рядів”. Нами розробляється змістове
наповнення вище наведених елективних курсів, до яких входять завдання для
аудиторної роботи, контролю та перевірки знань, самостійного опрацювання,
додаткові завдання підвищеної складності.
Метою вивчення елективного курсу “Основи математичної логіки” є
формування уміння виконувати логічні операції й розвиток математичної
культури за допомогою оволодіння відповідною математичною символікою,
вдосконалення здібностей узагальнювати і конкретизувати, розвиток логічного
мислення учнів. Елективний курс “Основи математичної логіки” розрахований
на 16 годин для 10-х класів з поглибленим вивченням математики. До нього
доцільно включити такі теми: формули алгебри висловлень, таблиці істинності
формул, булеві функції, тавтології, рівносильність формул алгебри висловлень.
Вивчення цих тем сприяє адаптації та підготовці учнів до вивчення у
педагогічному виші алгебри та теорії чисел, лінійної алгебри, дискретної
математики, математичної логіки.
214
Після вивчення елективного курсу “Основи математичної логіки” учні
повинні знати:

поняття математичної логіки;

поняття висловлень;

поняття булевої функції;

поняття тавтології;

поняття логічного слідування;
вміти:

будувати таблиці істинності;

здійснювати логічний аналіз міркувань;

здійснювати формалізацію математичних тверджень;

доводити рівносильність формул алгебри висловлень.
Метою вивчення елективного курсу “Елементи теорії рядів” є
ознайомлення учнів з основними положеннями теорії рядів, розвиток вміння
описувати способи задавання рядів та виділяти їх основні класи, формування
вмінь застосовування основних теорем до розв’язання практичних завдань та
формування стійкого інтересу до математики. Елективний курс “Елементи
теорія рядів” розрахований на 16 годин для 11-го класу з поглибленим
вивченням математики. До нього доцільно включити такі теми: числові ряди,
збіжність та сума ряду, основні властивості збіжних рядів, знакододатні ряди,
знакозмінні ряди, функціональні ряди.
Вивчення цих тем сприяє адаптації та підготовці учнів до вивчення у
педагогічному виші математичного аналізу, комплексного аналізу,
диференціальних рівнянь.
Після вивчення елективного курсу “Елементи теорії рядів” учні повинні:
знати:

поняття числового ряду;

поняття знакододатнього ряду;

поняття знакозмінного ряду;

поняття функціонального ряду;
вміти:

знаходити суму ряду;

досліджувати ряд на збіжність;

застосовувати властивості рядів для розв’язування практичних
завдань.
Як можна бачити, теми елективних курсів, які ми розробляємо є основою
математичної підготовки майбутніх студентів математичних факультетів ВНЗ.
Першу годину з кожної теми ми пропонуємо провести у формі лекції.
Метою такого заняття є ознайомлення учнів з темою. Необхідно дати учням
основні поняття з теми, формули, правила та інше. Доцільним буде занотувати
їх у зошити. Другу годину (та третю, якщо вона передбачена плануванням)
необхідно виділити для розв’язування практичних завдань, роботи в групах або
215
в парах, самостійної роботи, роботи біля дошки тощо. Також на цих заняттях
потрібно відповісти на питання, які будуть виникати в учнів в ході розв’язання
завдань. На таких заняттях учні більш детально познайомляться з темою та
навчаться застосовувати теоретичні знання на практиці. Години систематизації
та узагальнення пропонуємо присвятити контролю знань у формі написання
письмових контрольних робіт та проведення роботи над помилками.
Для організації елективних занять доцільно використовувати методи
проблемного навчання: проблемний виклад, евристичні бесіди. При цьому
кількість, обсяг та складність завдань для самостійного опрацювання повинна
поступово збільшуватись впродовж вивчення елективних курсів. Система
оцінювання знань учнів має бути достатньо гнучкою. Потрібно заохочувати
учнів, використовувати оцінювання з метою мотивації до вивчення математики
[3].
Загалом, елективні курси з математики відіграють важливу роль у системі
профільної підготовки майбутніх абітурієнтів до вступу та навчання у
педагогічному виші. Саме вони і є важливим засобом реалізації
компетентнісного підходу до навчання, тому що найбільш пов’язані з вибором
кожним учнем змісту освіти залежно від його інтересів, здібностей, подальших
життєвих планів. Запропоновані елективні курси “Основи математичної логіки”
та “Елементи теорії рядів” є основою для вивчення багатьох математичних
дисциплін на перших курсах ВНЗ, ознайомлюють учнів з важливими для їх
подальшої освіти та професійного самовизначення розділами математики,
розширюють їхній математичних кругозір, сприяють формуванню стійкого
інтересу до математики.
Список літератури
1.
Липова Л. Елективні курси як змістовий блок профільного навчання / Л. Липова //
Рідна школа. – 2006. – № 3. – С. 18-20.
2.
Положення «Про елективні курси допрофільної підготовки та профільного навчання
учнів»
від
20.03.2007р.
[Електронний
ресурс].
–
Режим
доступу
:
http://yarmolrmk.at.ua/doc/elektuvn_kyrsu.doc
3.
Слєпкань З.І. Методика навчання математики: підручник для студентів математичних
спеціальностей вищих педагогічних навчальних закладів / З.І. Слєпкань. – К. : Вища школа,
2006. – 582 с.
4.
Тарасенкова Н.А. Організація навчання у багатопрофільній школі: до постановки
проблеми / Н.А. Тарасенкова // Вісник Черкаського університету. Серія Педагогічні науки. –
2009. – № 155. – С. 112-117.
5.
Шаран О.В. Вплив курсів за вибором на розвиток творчих здібностей особистості /
О.В. Шаран // Педагогічні науки: теорія, історія, інноваційні технології. – 2011. – №1 (11). –
С. 3-5.
216
РЕАЛІЗАЦІЯ КОМПЕТЕНТНІСНОГО ПІДХОДУ У ПРОЦЕСІ
ОРГАНІЗАЦІЇ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ-ПСИХОЛОГІВ
З КУРСУ “МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА НА ЕОМ”
В. В. Ачкан, Д. С. Тінькова
Бердянський державний педагогічний університет, Бердянськ, Україна
v_achkan@ukr.net
У Концепції розвитку педагогічної освіти в Україні [3] та інших державних
документах, що регулюють правові відносини та визначають стратегічні
напрямки розвитку національної вищої школи, наголошується на тому, що
підготовка компетентних, конкурентоспроможних фахівців із вищою
педагогічною та психологічною освітою, здатних до дослідницької діяльності з
використанням найновіших технологій, є головною метою педагогічних вищих
навчальних закладів. Визнання компетентнісного підходу як важливого
чинника модернізації змісту вищої професійної освіти, орієнтація на світові
тенденції з урахуванням внутрішніх освітніх потреб підносить його значення в
реалізації завдань, пов’язаних з приєднанням України до Болонського процесу
й зумовлює актуальність відповідних науково-педагогічних досліджень.
Концептуальні засади компетентнісного підходу, специфіка та
методологія формування фахових компетентностей студентів, що здобувають
вищу освіту за різними напрямами і спеціальностями, висвітлюються у
численних працях зарубіжних і вітчизняних учених (Жалдак М.І., Раков С.А.,
Рамський Ю.С., Татур Ю.Г., Уиддетт С., Холлифорд С. та ін.). Цими та іншими
науковцями переконливо доводиться потреба чіткого визначення змістового
наповнення структурних складових компетентнісно орієнтованих систем
навчання
окремих
предметів.
Важливою
складовою
вивчення
будь-якого предмета в умовах реалізації компетентнісного підходу є організація
самостійної роботи студентів. Різним аспескам організації самостійної роботи
присвячено праці О.В. Василенко, Н.С. Журавської, Є.В. Заіки, В.В. Луценко,
М.І. Сичової та ін. З огляду на зазначене, звернемось до розгляду напрямків та
засобів формування фахових компетентностей майбутніх психологів при
організації самостійної роботи у процесі вивчення прикладних математичних
дисциплін, до яких, зокрема, належить дисципліна “Математична статистика на
ЕОМ”, що віднесена в навчальних планах педагогічних вишів до циклів
професійної й практичної підготовки, націлена на формування професійно
значущих умінь студентів використовувати математичні поняття та методи для
опису й дослідження різноманітних психологічних явищ і процесів.
Компетентнісний підхід у процесі організації самостійної роботи
студентів-психологів з курсу математичної статистики реалізується за
допомогою різних засобів, ключове місце серед яких займають підручники та
навчальні посібники. Певні передумови для організації самостійної роботи з
вивчення математичної статистики у відповідності до існуючих вимог
створюються завдяки появі нового покоління підручників і навчальних
217
посібників для українських педагогічних вищих навчальних закладів (зокрема –
[3; 4]), які містять достатньо теоретичного матеріалу та необхідний мінімум
задач для практичного опрацювання теорії. Приміром, у посібнику [4] вдало
поєднується розкриття основних понять психодіагностики та методів
діагностичних досліджень, у тому числі – математичних, а підручник [3] узагалі
можна вважати універсальним, придатним для використання як у процесі
навчання майбутніх практичних психологів, так майбутніх педагогів, оскільки
в психології та педагогіці послуговуються одніми і тими самими методами
параметричної або непараметричної статистики і статистичного аналізу. В [3]
наведені також певні стислі рекомендації, щодо використання у процесі
статистичного аналізу Microsoft Excel. Але існує дефіцит навчальних
посібників, в яких в доступній для студентів-психологів формі були викладені
не тільки основні теоретичні відомості, але й наведені методичні рекомендації,
щодо використання для статистичного аналізу та статистичної обробки
отриманих у психологічних дослідженнях даних спеціальних математичних
пакетів (статистичних програм), зокрема Stadia, SPSS, Statictica та ін.
Із метою подолання цих проблем нами створено навчальний посібник для
організації самостійної роботи студентів-психологів у процесі вивчення
“Математична статистика на ЕОМ”.
Для нинішніх студентів, що навчаються за спеціальністю «Практична
психологія», певні об’єктивні труднощі, з якими вони стикаються при вивченні
дисципліни «Математична статистика на ЕОМ», зумовлюються, насамперед,
оглядовістю вивчення в школі стохастичної змістової лінії, що охоплює
елементи математичної статистики і теорії ймовірностей. Це вже на перших
заняттях породжує невпевненість студентів у власній спроможності відносно
опанування новим для них предметом. Окрім цього, дуже важливого значення
має загальний стан розвитку логічного мислення (розумових дій аналізу,
синтезу, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), графічної (вмінь
будувати та читати діаграми і графіки) й алгоритмічної культури та
сформованості в студентів стандартних обчислювальних навичок. У цьому
плані можна погодитись з висновками окремих дослідників (Білоусова Л.І.,
Колгатін О.Г. [1] та ін..), що індиферентне ставлення достатньо великої частини
студентів до вивчення математико-статистичних методів безпосередньо
пов’язане з їхнім невисоким рівнем навчальних досягнень з математики. Для
вирішення цих проблем при організації самостійної роботи ми пропонуємо
студентам короткі теоретичні відомості. При цьому специфіка предмету, яка
спочатку для них є незрозумілою, має поступово розкриватися через
роз’яснювання наявності єдиних підходів, правил, алгоритмів, існування
спеціальних довідкових таблиць критичних значень статистичних критеріїв з
чіткими приписами щодо прийняття або відхилення тієї чи іншої гіпотези
(нульової або альтернативної) тощо. Після цього студентам пропонується
розв’язування типової задачі без допомоги комп’ютера з чітким алгоритмом дій
та приписами щодо обмежень. Далі ця ж задача розв’язується за допомогою
218
ЕОМ (наприклад, в темі “Опис вихідних даних” за допомогою Microsoft Excel
та Stadia, в темі “Непараметричні критерії” за допомогою Microsoft Excel, SPSS
та Stadia) з детальними покроковими коментарями та рисунками, які
дозволяють навіть не найсильнішим в комп’ютерних технологіях студентам
легко засвоїти та відтворити алгоритм роботи зі статистичними пакетами. Після
цього студентам пропонуються різнорівневі задачі для самостійної роботи та
система евристичних запитань для самопідготовки.
Для формування в студентів суто професійного інтересу до дослідницької
діяльності з використанням математико-статистичних методів потрібно
передбачати умови, завдяки яким вони одержуватимуть можливості
математизувати реальну, а не деяку абстрактну ситуацію з якомога повнішим
комплексом дослідницьких дій. Найпростішим способом створення такої
ситуації є проведення та обробка результатів обстеження, в якому самі
студенти (точніше – певні їхні особисті показники) виступали б об’єктами
дослідження. Із метою цього до задач для самостійної роботи включені задачі,
що вимагають проведення невеличкого психологічного дослідження (які
студенти вже здійснювали на практичних заняттях з фахових психологічних
дисциплін) та статистичної обробки його результатів. Результати таких
досліджень доповідаються на практичних заняттях з тем: “Параметричні
критерії” та “Непараметричні критерії”, а найкращі на днях науки.
Отже, підготовка висококваліфікованих фахівців в умовах Болонської
системи, конкурентноспроможних на ринку праці, а також здатних до
компетентної, відповідальної й ефективної діяльності за своєю спеціальністю
неможлива без підвищення ролі самостійної роботи студентів-психологів,
спрямованої на стимулювання їх професійного зростання та виховання їхньої
творчої активності. Вихід на нову якість підготовки бачиться у забеспеченні
навчальним матеріалом, зокрема якісними посібниками з “Математична
статистика на ЕОМ”, робота за якими сприятиме формуванню професійних та
певних ключових компетентностей майбутніх психологів.
Список літератури
1. Білоусова Л.І. Методика обробки та інтерпретації результатів педагогічної діагностики /
Л.І. Білоусова, О.Г. Колганін // Комп’ютер у школі та сім’ї. – 2003. – № 8. – С. 28 – 31.
2. Наказ МОНУ №998 від 31.12.2004 р. «Про затвердження Концептуальних засад розвитку
педагогічної освіти в Україні та її інтеграції в європейський освітній простір» [Електронний
ресурс]. – Режим доступу : http://www.mon.gov.ua/laws/MON_988.doc
3. Руденко В.М. Математичні методи в психології: підручник / В.М. Руденко, Н.М. Руденко.
– К.: Академвидав, 2009. – 384 с. (Серія «Альма-матер»).
4. Скребець В.О. Основи психодіагностики: навчальний посібник / В.О. Скребець – 4 вид. –
К.: Видавничий дім «Слово», 2007. – 192 с.
5.
Whiddett S. A Practical guide to competencies [Text] / by S. Whiddett, S. Hollyford. –
London: Chartered Institute of Personnel and Development. – 2006. (Русский перевод: Уиддетт
С. Практическое руководство по компетенциям / С. Уиддетт, С. Холлифорд. – М.:
Издательство ГИППО, 2008. – 228 с.)
219
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ,
ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ «ЭКОНОМИКА»
И. А. Байгушева
Астраханский государственный университет, Астрахань, Россия
iabaig@mail.ru
В настоящее время российское профессиональное образование находится в
состоянии модернизации, основными направлениями которой являются: 1)
переход на двухуровневую систему подготовки кадров; 2) реализация
компетентностного подхода в системе образования, закрепленного
требованиями федеральных государственных образовательных стандартов
(ФГОС ВПО).
ФГОС подготовки бакалавров по направлению «Экономика» определяет
объем математической подготовки (16-20 % от общей трудоемкости
образовательной программы), перечень базовых математических дисциплин
(определяющих 50 % объема математической подготовки) и требования к
результатам освоения основных образовательных программ по математике в
виде перечня компетенций, которыми должен обладать выпускник. Целью
обучения математике в вузе становится формирование математической
компетентности
будущих
специалистов
как
составляющей
его
профессиональной компетентности. Что же следует понимать под
математической компетентностью выпускников вузов?
Изучение различных подходов к определению математической
компетентности (М.В. Носков, В.А. Шершнева, Л.К. Илященко, С.А. Раков,
С.А. Шунайлова, Л.Н. Журбенко, Я.Г. Стельмах, Г.И. Илларионова и др.)
показывает, что все существующие дефиниции объединяет стремление к
обеспечению высокого качества математического образования специалиста,
направленное на успешное выполнение профессиональных задач.
Под математической компетентностью экономистов мы будем понимать
способность и готовность решать методами математики типовые
профессиональные задачи и повышать свою профессиональную квалификацию.
Типовая профессиональная задача (ТПЗ) – цель, которая многократно ставится
специалистом в процессе профессиональной деятельности.
Для успешного формирования у бакалавров, обучающихся по
направлению «Экономика», математической компетентности необходимо:
1)
выделить типовые профессиональные задачи экономиста;
2)
разработать обобщенные методы решения этих задач;
3)
разработать модель учебного процесса, позволяющую каждому
студенту
овладеть
обобщенными
методами
решения
типовых
профессиональных задач и научиться применять их для решения конкретных
профессиональных задач с опорой на математические знания.
220
Анализ деятельности специалистов в области экономики позволил
выделить следующие ТПЗ, решение которых требует использования
математических знаний:
1)
сбор и обработка информации;
2)
нахождение или оценка значений показателей, характеризующих
экономическую деятельность;
3)
установление зависимости, её вида и свойств между параметрами
экономической деятельности;
4)
прогнозирование экономической деятельности;
5)
планирование экономической деятельности.
Чтобы систему ТПЗ включить в цели математической подготовки, нужно
формулировки этих задач дополнить обобщенными методами их решения. В
процессе выделения обобщенных методов решения ТПЗ мы будем
руководствоваться следующими положениями:
1.
Способ выделения обобщенных методов будет основан на знании о
том, что «цель, как закон, определяет способ и характер деятельности
человека» (К. Маркс), при условии, что в формулировке цели указаны
деятельность, её конечный продукт и свойства конечного продукта. Таким
образом, чтобы разработать обобщенный метод решения типовой
профессиональной
задачи,
прежде
всего,
нужно
обеспечить
целенаправленность формулировки задачи:
 выделить цель задачи;
 установить, содержит ли формулировка цели все необходимые
компоненты (деятельность, конечный продукт, его существенные свойства);
 переформулировать, если необходимо, цель задачи так, чтобы в
формулировке были указаны все компоненты.
2.
Деятельность человека по достижению поставленной цели состоит
из трёх этапов: ориентировочного, исполнительного и контрольнокорректировочного [1, С. 7]. На ориентировочном этапе человек выявляет
предмет деятельности и его существенные признаки, а затем составляет
программу преобразования предмета деятельности в конечный продукт с
заданными свойствами. При составлении программы действий с учётом
условий выполнения деятельности выбираются методы и средства её
осуществления, которые позволят достичь поставленной цели наиболее
оптимальным способом. На исполнительном этапе человек, действуя согласно
разработанной программе, получает конечный продукт и информацию о его
свойствах. На последнем контрольно-корректировочном этапе человек
соотносит свойства созданного конечного продукта с планируемыми, выясняет
причины их несоответствия и вносит коррективы в разработанную программу
для получения наилучшего результата. На этом же этапе осуществляется
интерпретация полученного результата в профессиональной области и проверка
его достоверности.
221
3.
Содержание деятельности определяется с учетом следующих
закономерностей. Если действие является звеном более сложной деятельности,
то его цель рассматривается с точки зрения соотнесения её с общей структурой
деятельности. Это соотнесение, как показали исследования, проведенные на
основе деятельностной теории обучения, осуществляется двумя путями: по
пути детализации и по пути смены компонентов. Первый путь имеет место,
например, когда в ходе анализа целью данного действия является уточнение
структуры изучаемого предмета. Второй путь соотнесения имеет место, когда
конечный продукт предыдущего действия является (полностью или частично)
предметом или средством одного из последующих действий. В итоге
последовательное достижение всех промежуточных целей при выполнении
отдельных действий приводит к достижению поставленной цели задачи.
Опираясь на эти положения, можно выделить общую схему построения
обобщенных методов решения типовых профессиональных задач.
1)
Выделить цель задачи, содержащую в формулировке вид
деятельности, конечный продукт и его существенные свойства.
2)
Выделить экономические процессы, системы, результатом или
параметром которых является конечный продукт.
3)
Выявить предмет деятельности и его существенные свойства,
которые могут быть значимыми для получения конечного продукта,
отвечающего требованиям задачи.
4)
Построить математическую модель исходного состояния предмета
деятельности: ввести математические понятия для описания его существенных
свойств и указать законы, уравнения взаимосвязей между ними.
5)
Выбрать математические методы и средства деятельности на основе
требований к конечному продукту деятельности или на основе свойств
имеющейся математической модели предмета деятельности.
6)
Составить общий план деятельности по преобразованию предмета
деятельности в конечный продукт с заданными свойствами в соответствии с
выбранными методами и средствами.
7)
Выполнить преобразование предмета деятельности в конечный
продукт с заданными свойствами в соответствии с составленным планом.
8)
Выделить существенные свойства полученного в результате
преобразований конечного продукта, сравнить их с планируемыми при
выделении цели задачи и дать их экономическую интерпретацию.
9)
Скорректировать, если необходимо, математическую модель
предмета деятельности, выбор математических методов и средств деятельности
и общий план деятельности.
Следуя этой схеме, мы разработали содержание обобщенных методов
решения ТПЗ экономистов [2]. Например, обобщенный метод решения задачи
«Нахождение или оценка значений показателей, характеризующих
экономическую деятельность» представляет собой следующую систему
действий.
222
1.
Сформулировать цель деятельности - найти или оценить значения
расчетно-аналитических показателей, характеризующих экономическую
деятельность.
2.
Выделить расчетно-аналитический показатель, который нужно
найти или оценить, и указать, какое свойство экономической деятельности он
характеризует.
3.
Указать, параметром какого экономического процесса (системы)
является искомый показатель и какое свойство экономического процесса
(системы) он характеризует.
4.
Построить математическую модель экономической деятельности, в
которую входит искомый показатель.
5.
Проверить соответствует ли построенная модель экономической
деятельности описанной в данной задаче.
6.
Проверить, определены ли все остальные параметры построенной
модели, от которых зависит искомый показатель.
7.
Проверить выражены ли значения всех известных величин
построенной модели в соответствующих системах единиц.
8.
Выбрать метод решения задачи в соответствии с построенной
моделью.
9.
Составить план действий по решению задачи.
10.
Решить задачу относительно искомого параметра.
11.
Проверить достоверность полученного значения расчетноаналитического параметра, сравнив со значениями других реальных
экономических величин и сформировав его экономическую интерпретацию.
Формирование математической компетентности осуществляется, на наш
взгляд, на трёх уровнях:
1.
Предметный уровень формирования в рамках математических
учебных дисциплин;
2.
Междисциплинарный
уровень
формирования
в
рамках
математических, информационных и экономических дисциплин;
3.
Профессиональный уровень в рамках специальных дисциплин,
производственной практики и дипломного проектирования.
В зависимости от уровня формирования математической компетентности
экономистов типовые профессиональные задачи формулируются на языке
соответствующей предметной области. Ответственность за обучение решению
ТПЗ лежит как на преподавателях математики, так и на преподавателях
профильных дисциплин.
Список литературы
1.
Анофрикова С. В., Стефанова Г. П. Практическая методика преподавания физики:
учеб. для вузов. – Астрахань: АГПИ, 1995. – 260 с.
2.
Байгушева И. А. Профессионально направленная математическая подготовка
экономистов в вузе. – Астрахань: АГУ, 2013. – 172 с.
223
МОТИВАЦІЙНИЙ ПІДХІД ДО ВИКЛАДАННЯ КУРСУ
ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ В ТЕХНІЧНОМУ УНІВЕРСИТЕТІ
О. І. Баліна, Ю. П. Буценко
КНУБА, НТУУ „КПІ”, Київ, Україна
armchairdoc@yandex.ua
Процес навчання завжди має двоїстий характер. З одного боку, це трудовий
процес, який потребує винагороди (оцінки, стипендії, різні форми морального та
матеріального заохочення). З іншого ж боку, він являє собою процес інвестиційний,
спрямований на отримання переваг на ринку праці, самовдосконалення. Тільки
врахування обох цих аспектів дозволяє зробити навчальний процес ефективним.
При вивченні студентом різних навчальних курсів вказані складові мають різну вагу, що визначається рівнем предмету в навчальному плані (вплив на стипендію, середній бал), курсом на якому предмет вивчається (істотно відрізняється усвідомлення студентами значення предмету), спрямування курсу (фундаментальна,
загально технічна, гуманітарна або професійна підготовка). Очевидно, що з точки
зору усвідомлення студентами інвестиційної цінності курсу , дисципліни фундаментальної підготовки (математика, фізика, хімія) знаходяться не в найкращому становищі. Якщо додати до цього пропедевтичний аспект (істотну залежність від рівня шкільної підготовки), високий рівень внутрішньої інтеграції (необхідність підтримати на належному рівня засвоєння різних розділів програми одночасно), різноманітність застосувань (використання методів та моделей у різних областях знань),
то можна зробити висновок про критичну в цьому випадку регуляторної функції
саме трудового процесу. При цьому, зрозуміло, мають максимально використовуватися традиційні форми навчально-виховної роботи: роз’яснення важливості всіх
предметів навчального плану, зв’язків між ними та перспектив використання набутих знань при вивчення наступних дисциплін.
Що стосується стимулів, які безпосередньо пов’язані з участю студентів у
навчальному процесі, то, на наш погляд, перш за все слід звернути увагу на методи морального та матеріального (за можливістю) заохочення „успішних” студентів. Сучасна психологія вказує, що заохочення є більш дієвим при навчанні
та виховання, ніж різноманітні форми покарання. Ясно, що викладачу важко
утриматись від звичних та (на жаль) неминучих „розпікань” нерадивих студентів, але психологічні дослідження стверджують, що вони малоефективні! Недарма ж у деяких країнах студент має можливість в таких випадках звернутись до
суду з позовом до викладача. Доведено, що публічне заохочення кращих створює стимул для гірших. Крім простої похвали викладача, надання додаткових
рейтингових балів, демонстрації заслуженої довіри у вигляді надання можливості заміняти місце викладача – роз’яснювати окремі питання теорії та задачі,
оцінювати роботи інших студентів, консультувати їх, наш досвід вказує на важливість студентських олімпіад, виступи на яких „дають шанс” навіть студентам не схильним до систематичної роботи проявити свої інтелектуальні здібності, а кращим – підтвердити, що вони дійсно глибоко засвоїли предмет. Зрозуміло, що все вищезгадане ефективно працює лише за умови об’єктивного та си-
224
стематичного контролю знань студентів, створення для них всіх можливостей
для засвоєння предмета, і безсумнівно, жорсткого підходу до тих, хто не хоче
або не здатний його засвоїти.
Розглянемо детальніше різновиди мотивацій навчальної діяльності. Основними з них є:
спрямованість на отримання знань
спрямованість на отримання професії (кваліфікації)
спрямованість на отримання документу про освіту
Існують також інші мотиви для навчання (невизначеність життєвої орієнтації, прагнення до отримання матеріальної підтримки та ін.), але найістотнішим мотивом до високоефективної учбової діяльності виявляється потреба в
отриманні знань. При цьому слід заважити, що:
1. найкраще „спрацьовує” цей фактор в випадку його поєднання з високим
рівнем прагнення до особистого успіху у конкретного студента;
2. не можна нехтувати впливом на інтенсивність роботи із засвоєння конкретних навчальних дисциплін (маючи на ,увазі в нашому випадку, дисципліни фундаментальної підготовки) мотивації до отримання професії, хоча її вплив слабший.
В останньому випадку необхідна системна та наполеглива робота викладачів фундаментальних дисциплін у взаємодії з профільною кафедрою спрямована на досягнення спільної цілі – усвідомлення студентами нерозривності
зв’язку між якісною базовою (пов’язаною, перш за все, з природничими науками та математикою) підготовкою та рівнем професійної компетенції.
Відомо, що „симптомами” мотивації „на професію” є, перш за все, відбірковість підходу студента до навчальних курсів (проявляється у відвідування занять, активності роботи на них, виконання домашніх завдань та ін.), відповідна
орієнтація „на диплом” проявляється в нерозбірливості у методах отримання
рейтингів та оцінок на заліках та іспитах ( і є, між іншим, однією з рушійних
сил корупції), не кажучи вже про руйнівний її вплив на особисту дисципліну
студента. Вияснення „симптоматики” діє можливість звернутись до відомого
правила медиків: лікуй симптоми – хвороба зникне. Принципове ставлення адміністрації та викладачів (усіх предметів!) до пропусків навчальних занять, порушень графіку навчального процесу, незадовільних атестацій, використання
заборонених джерел на контрольних роботах, заліках, екзаменах веде до усунення хибних типів мотивації у студентів, цілеспрямовані роз’яснювальна робота дозволяє „замістити” їх най адекватнішою мотивації на отримання знань
як гарантію майбутньої високої конкурентоспроможності у професії, підтвердженої формально документом про освіту.
Слід також зазначити, що саме поняття мотивації для багатьох студентівпершокурсників (а саме з ними першими вступають у контакт викладачі математики, фізики, хімії) є незнайомим. – більшість з них діють за інерцією: школа, виші, далі – як вийде. В такій ситуації вкрай важливо створити (або замінити неясні перед-мотиви) чітким і правильним мотивом, що ґрунтується на виробленні суспільством та усвідомлений особисто студентом системі цінностей.
Переходячи до більш загального огляду основних мотивів навчальної діяльно-
225
сті вкажемо на наступне. В роботи [1] виокремлюються, наприклад, мотиви загально-соціальні (ґрунтуються на усвідомлення потреб суспільства, його цінностей та
спрямувань), науково-пізнавальні (пов’язані з бажанням пізнання взагалі та поглиблення розуміння процесів у вибраному напрямку), професійне (спрямовані на досягнення кваліфікаційного рівня), самоствердження (усвідомлення та прояв особистих здібностей), утилітарні (спрямовані на досягнення особистого благополуччя).
При цьому, кожен з цих основних мотивів у своїх особистісних проявах може демонструвати тяжіння „до знань”, „до професії” або „до диплома”, прояви яких описувалися вище. Розкриття „первинного характеру мотивації” для кожного конкретного студента так само важливе, як для лікаря знання глибинних механізмів хвороби, що викликає наявні хворого симптоми. Апеляція у процесі роз’яснювальної та
виховної роботи до цих первинних стимулів та пояснення важливості тих, які не
приймалися до уваги студентом, є серйозним ресурсом підвищення мотивації до
навчання. Як приклад, наведемо ситуацію, добре відому викладачам вищої математики. Студент не проявляє зацікавленості до вивчення математичних курсів. Наявні
всі згадані вище ознаки нехтування: нерегулярне відвідування, пасивність на заняттях, невиконання домашніх завдань, списування, не самостійність у роботі. Це
може виявитись наслідком або „вузько-професійної” орієнтації (зацікавленості у
оволодіння професією як це розуміє студент) або орієнтацією „на корочки” (прагнення отримати диплом на сподівання на наступне „автоматичне” набуття бажаного соціального статусу та матеріального достатку. Ясно, що ці ситуації є принципово різними і вимагають ледь не діаметрально протилежних підходів до виховної
роботи зі студентом.
Дослідження останнього часу найкраще висвітлюють рівень мотивації абітурієнтів. Як відмічено у [1], лише 15% з них мають мотивацію до учбової діяльності (простіше кажучи, навчання, як його розуміють викладачі). У роботах
[2], [3] досліджувались відмінності у мотивації студентів різних курсів. Роботи
[4], [5] пов’язані безпосередньо з підвищенням зацікавленості студентів у вивчення математики, що відповідає особистим інтересам автора. Традиційно
констатується низький рівень зацікавленості в оволодінні знаннями (приблизно
рівний йому ж у абітурієнтів, що й не дивно) вказується на істотну роль особистості викладача, обраною ним манери викладання та поводження зі студентами. Цікавим є порівняння рекомендацій, що містяться [6] та [7], оскільки вони
дозволяють порівняти підходи до мотивації студентів на пострадянському просторі та у західному університетському світі. Якщо в першому випадку пропонується заходи, спрямовані на полегшення положення студента (пропедевтичні
міроприємства, роз’яснення учбових програм), заохочення та зацікавленість
(олімпіади, використання комп’ютерних технологій, демонстрація майбутніх
застосувань, „живий” стиль викладання), контролювання повсякденної навчальної роботи студентів (система завдань для самостійної роботи, моніторингові
заходи), то західні колеги (імовірно, зважаючи на існуючи відмінності в організації учбового процесу) зосереджують увагу на стилі викладання, виокремлюючи такі вимоги до нього, як:
невимушеність та безпосередність,
226
вибір найцікавіших для слухачів супутніх тем (спорт, кіно...),
обговорення розвитку математики в історичному аспекті,
зосередження на можливих застосуваннях,
проблемний стиль викладу,
надання студентам можливостей для вільного вибору тем самостійних
досліджень.
Резюмуючи вище сказане, дозволимо собі стверджувати, що робота, спрямована на підвищення мотивації студентів взагалі має включати в себе, перш за
все, вияснення типу наявної у них мотивації (а також, чи присутня вона взагалі!), для чого необхідним видається створення методик індивідуальних психологічних досліджень, створень методик індивідуальних психологічних досліджень, що дозволить персоналізувати підходи до студентів. Що ж стосується
конкретної проблеми підвищення мотивації, вивчення фундаментальних дисциплін, то можливості впливу на студентів в цьому напрямку можуть бути відображень наступною таблицею:
Довузівська
профорієнтаційна
робота
абітурієнт
викладач
випускаюча
кафедра
студент
результати
соціологічних
досліджень
результати
психологічних
досліджень
адміністрація
учбового закладу
Список літератури
1.
http://znaniya.org/
2.
Горгодзе Т.А., Ильницкая Л.А., Мотивация учебной деятельности студентов. // Акутальні проблеми сучасної психології: Матеріали інтернет-конференції (м. Одеса, квітень
2012р.).
3.
Петров А.Е., Лифинец Е.А., Систематический анализ мотивации студентов в интересах усовершенствования процесса обучения // Устойчивое инновационное развитие, проектирование и управление. – том 8. – №2 (15), 2012, с.2 (электронное научное издание).
4.
Mueller M., Yaukelewitz D., Maher C., Sense making as motivation in Doing Mathematics
// The Mathematics Educator 2011. – vol. 20. - №2. – p. 33-43.
5.
Малинаускас Р.К., Мотивация студентов разных периодов обучения // Социологический исследования. – М.: Социс. – 2005. – №2. – с.134-138.
6.
Кравченко Ю.О., К проблеме формирования учебной мотивации студентов // Психология в России и за рубежом: Материалы международной заочной научной конференции (г.
Санкт-Петербург, 2011). – СПБ.: Раноме. 2011. – с.104-106.
7.
Сальникова М.Г., О проблемах мотивации студентов технического университета к
изучению высшей математики // Преподаватель высшей школы в 21 веке. Международная
научно-практическая Интернет-конференция , 2011.
8.
http://www.ehow.com/how_5994570_motivate-students-learn-math.html
227
МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
КРЕДИТНО-МОДУЛЬНОЇ ТЕХНОЛОГІЇ НАВЧАННЯ
В КУРСІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Г. Г. Барановська, Л. В. Барановська
НТУУ „КПІ”, Київ, Україна
galyna.baranovsky@gmail.com
Математика в інженерній освіті відноситься до фундаментальних і
світоглядних наук і становить систему знань, що змінюються повільно.
Основне завдання математичних кафедр – визначити сукупність знань, які
потрібно засвоїти студентам, щоб, з одного боку, забезпечити вивчення інших
дисциплін, а з іншого – зорієнтувати майбутніх спеціалістів на досягнення
високого професійного рівня. А тому при складанні навчальних робочих
програм потрібно виділити інваріантну складову математичних знань,
проаналізувати з точки зору важливості і пріоритетів всі розділи математики і
розставити акценти для кожної спеціальності, координувати математичні
знання з курсами загально інженерних дисциплін.
У вузах з’являються нові спеціальності, нові навчальні дисципліни, які
потребують знання нових розділів математичного апарату. А тому з кожним
роком потрібно вдосконалювати навчальні програми, переглядати традиційні
методи викладання, потіснити класичні розділи, щоб звільнити місце
важливішим розділам сучасної математики. В технічному вузі математика
повинна бути інструментом для інженера. На відміну від університетських
курсів математики, в основу викладання математичного апарату для інженерів
слід покласти конструктивний, алгоритмічний підхід, більшу увагу приділяти
виробленню навичок моделювання прикладних задач. Математичні формули
для інженера цілком оправдовуються їх успішним застосуванням до
практичних задач, на повинні суперечити інтуїції і здоровому глузду, при
обчисленнях
забезпечувати
достовірність
отриманих
результатів.
Запровадження кредитно-модульної технології навчання і рейтингової системи
оцінювання знань спонукає студентів і підсилює їх мотивацію до систематичної
навчальної праці, робить максимально об’єктивним оцінювання їх знань,дає
змогу досягати оптимальних навчальних результатів.
Модульна система передбачає подачу і засвоєння навчального матеріалу
за дискретно неперервним принципом, не поурочно (як у школі), не семестрами
(як за традиційним навчанням), а логічно завершеними частинами – модулями.
За Болонською декларацією зменшується співвідношення між аудиторною і
самостійною роботою студентів. Час на самостійну роботу у вузах від
молодших до старших курсів зростає, а в аспірантурі і докторантурі час
аудиторного навчання зменшується до нуля. Майбутні фахівці, здобувши вищу
освіту, повинні бути психологічно підготовленими до постійного оновлення і
поглиблення своїх знань упродовж всього життя. Інакше вони не будуть
конкурентно-спроможними на ринку праці. Стійкі навички самостійного
228
навчання найкраще формуються в процесі правильної організації самостійної
роботи у вузі. Кредитно-модульна технологія навчання потребує відповідного
якісного навчально-методичного забезпечення: текстами лекцій, розробками
практичних занять, завданнями для самостійної роботи студентів, а також
матеріалами для здійснення контрольно-оцінювальних функцій.
Слід відзначити, що викладачами математичних кафедр НТУУ „КПІ”
впродовж останніх десятків років таке методичне забезпечення створювалось і
постійно оновлювалось: розроблялись курси лекцій, завдання для контрольних
і розрахунково-графічних робіт, екзаменаційні білети. А тому перехід на
кредитно-модульну систему навчання і рейтингову систему оцінювання знань
став цілком природним і більш конструктивним.
У нашому університеті викладачі математики здійснюють велику роботу
по підготовці методичного забезпечення курсів: видаються курси лекцій і
збірники задач для практичних занять, розроблені вхідні контрольні роботи для
повторення тих знань і практичних навичок, без яких неможливе засвоєння
наступних тем; модульні контрольні роботи з оцінюванням їх завдань у балах;
завдання розрахункових робіт для самостійної роботи студентів; проводяться
колоквіуми і диктанти по перевірці теоретичних знань; складаються
екзаменаційні білети. Всі необхідні для роботи студентів матеріали
викладаються викладачами в автоматизовану систему «Електронний кампус»,
яка є складовою Єдиного інформаційного середовища НТУУ «КПІ».
Систематично проводяться консультації з організації самостійної роботи
студентів, заняття в олімпіадних гуртках по активізації творчої роботи
студентів, факультетські і між університетські математичні олімпіади;
викладачі залучають студентів до участі в наукових конференціях. В усіх видах
таких робіт автори статті приймають активну участь. По кожному з видів
аудиторної і самостійної роботи математичними кафедрами розроблені
рейтингові показники поточного і підсумкового контролю. Після кожного
заходу підсумовуються і доводяться до відома студентів результати
оцінювання.
Рейтингова система оцінювання знань стимулює щоденну систематичну
роботу студентів, знижує роль випадковості при здачі іспитів, підвищує
змагальність у навчанні.
229
ПРО ПІДВИЩЕННЯ ЯКОСТІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ
ДИСЦИПЛІН ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ КОМПЮТЕРІВ
І. В. Бейко
Національний технічний університет України «КПІ», Київ, Україна
ivan.beyko@gmail.com
Всі відомі інновації успішного підвищення якості навчання будуються на
основі підвищення активності навчання. Підвищенню активності навчання
сприяє, зокрема, проведення експериментів і особливо обчислювальних експериментів із використанням комп’ютерних засобів. Обчислювальні експерименти відкривають необмежені можливості для поглиблення знань, для відшукання
нових знань та побудови математичних моделей досліджуваних причиннонаслідкових залежностей. Для підвищення активності навчання із використанням обчислювальних експериментів у НТУУ «КПІ» налагоджено роботу
комп’ютерних класів із потрібним програмним забезпеченням для побудови та
дослідження складних математичних моделей. Обчислювальні експерименти із
особливо великими масивами даних та великими обсягами обчислень проводяться також на супер-комп’ютері. Підвищенню якості навчання сприяє також
розв’язування на власних комп’ютерах та смартфонах індивідуально орієнтованої послідовності все складніших задач, оптимізованих на поглиблене опанування фундаментальними знаннями. Важливими результатами навчання із проведенням обчислювальних експериментів є:
- поглиблення знань та відшукання нових знань,
- прогнозування наслідків альтернативних рішень,
- відшукання оптимальних розв’язків,
- побудова адекватних математичних моделей досліджуваних процесів,
- підвищення майстерності у проведенні обчислювальних експериментів із
переходами до все складніших математичних моделей та підготовка студентів
до наукових досліджень.
Навчання із проведенням обчислювальних експериментів допомагає опануванню концептуальними фундаментальними теоретичними та практичними
математичними знаннями, необхідними для розв’язування нестандартних
ускладнених реальних задач, зокрема задач аналітичних досліджень за допомогою побудови і оптимізації математичних моделей об’єктивної реальності в реальних умовах неповних даних. До нестандартних задач належать також і проблеми відшукання прихованих залежностей між даними у безмежних сховищах
даних у глобальних Інтернет мережах.
Відкриття прихованих залежностей є основою науково обґрунтованого
прогнозування реальних процесів у взаємодіючих підсистемах, які описуються
математичними залежностями Аk(хk,zk,uk,pk,qk)=0, k=1,2,…,N між станом хk k-ої
підсистеми, її керуванням uk, параметрами pk та зв’язками zk із іншими підсистемами, zk=φk(x,u,p). Важливою для теорії і практики є задача відшукання за даними y, що надходять із підсистем спостережень C(x,y,u,p,q)=0, оптимальних
230
керувань u та оптимальних значень параметрів p всієї параметричної моделі
А(х,u,р,q) ≡ (A1(x1,u1,p1,q1),…,AN(xN,uN,pN,qN))=0, u ≡ (u1,…,uN), p ≡ (p1,…,pN) за
вибраними критеріями оптимальності B(x,u,p,q) в умовах неповних даних qQ.
Підсистеми Ak , φk, C та функції B можуть описуватися найрізноманітнішими алгебро-інтегро-диференціальними рівняннями та алгоритмічними процедурами. Дана узагальнена задача охоплює, як частинні випадки, фундаментальні задачі багатьох спеціальностей різних факультетів - добування нових знань
у відшуканні невідомих причинно-наслідкових залежностей та побудова відповідних математично-комп’ютерних моделей для прогнозування наслідків альтернативних рішень із відшуканням оптимальних розв’язків.
Розв’язування студентами різних факультетів таких узагальнених задач із
відображенням специфіки конкретних спеціальностей сприяє виконанню основного завдання сучасної освіти - нарощуванню патріотичного інтелектуального
потенціалу нації, спроможного працювати на передніх рубежах розвитку світової науки і користуватися новітніми досягненнями світової науки для підвищення конкурентоздатності рідної держави на міжнародній арені співпраці та
жорсткої конкуренції. На виконання цього основного завдання освіти потрібно,
за прикладом розвинених країн світу, математизувати середню освіту, вводити
за прикладом Японії математичний аналіз, теорію ймовірностей та математичну
статистику до загально обов’язкових навчальних дисциплін середньої школи та
якнайшвидше розпочати перехід до загальної вищої освіти, зокрема, із дистанційним навчанням впродовж всього життя, яке вже стає нормою у глобально
комп’ютеризованому Світі Науки. На цьому шляху вражають здобутки японських школярів і студентів у масовому опануванні наукою побудови математично-комп’ютерних моделей та їх використання для оптимального керування
найскладнішими робото технічними системами та процесами.
Важливо, що на цьому шляху не стоїть на заваді слабка сьогодні математична підготовка в нашій середній школі. Адже причиною слабкої математичною підготовка випускників середніх шкіл є не лінивість наших школярів, а є
відсталість вже на півстоліття шкільних навчальних програм з математики.
Адже навіть студенти із слабкою математичною підготовкою мають достатньо
великі потенційні здібності опановувати знаннями вищої математики. Наведу
приклад. Якось сталося, що викладач моєї кафедри виставив двійки половині
студентів першокурсників на їх першому іспиті з математичного аналізу і пізніше на його лекції я переконався, що студенти дійсно не розуміють його лекцію. Після його оправдувань, що «у навчальній програмі нема додаткових годин на виправлення огріхів шкільної підготовки», мені залишилося дочитувати
його лекції допоки знайшов іншого викладача. Через деякий час, ідучи коридором разом із студентами після закінчення моєї чергової лекції, я запитав студента поруч: «Ви напевно мали в школі майстерну вчительку математики»? На
його запитливий погляд я продовжив: «Я бачу, що ви підіймаєте руку на всі мої
запитання». Він відповів «Я піднімаю руку бо розумію що ви запитуєте. А в
школі я не знав математики зовсім». Після цього я ще раз переконався, що пра-
231
вильною була моя перша лекція для цих першокурсників, яку я розпочав із нагадування простих «шкільних» істин, а саме:
1.
На числовій вісі ми відобразили числа 0; 1; 2; 5; -1; -2; 0,5; 1,5; -1,5; -2,75.
2.
На координатній площині відобразили пари чисел: (1;2); (2;4); (-1;3).
3.
На координатній площині накреслили дві довільні лінії. Одну лінію назвали функцією f, а другу - функцією h і за графіком знайшли значення:
f(1)=? h(1)=? f(2)=? h(3)=? f(0)=? h(0)=? f(-1)=? h(3)=? f(-2)=? h(2)=? f(1)+ h(1)=?
f(2)+h(3)=? f(0)-h(0)=? f(-1)+2h(3)=? 3f(-2)-2h(2)=?
4.
За графіком знайшли наближені відповіді на наступні 12 запитань:
(1) яке найбільше на відрізку [0;5] значення f(x) = ?
(2) яке найбільше на відрізку [0;5] значення h(x) = ?
(3) яке найменше на відрізку [0;5] значення f(x) = ?
(4) яке найменше на відрізку [0;5] значення h(x) = ?
(5) {значення x із відрізка [0;5] для якого f(x)=0} = ?
(6) {значення x із відрізка [0;5] для якого h(x)=1} = ?
(7) {значення a із відрізка [0;5], яке задовольняє
нерівність f(a)≥f(x) для всіх x∊[0;5] } = ?
(8) {значення b із відрізка [0;5], яке задовольняє
нерівність h(b)≤h(x) для всіх x∊[0;5] } = ?
(9) {довжина лінії f від точки (0;f(0)) до точки (5;f(5)) } = ?
(10) {довжина лінії h від точки (2;f(2)) до точки (5;f(5)) } = ?
(11) {площа геометричної фігури обмеженої лініями f, Оx, x=0 та x=5} = ?
(12) {площа геометричної фігури обмеженої лініями f, Оx, Oy та x=4} = ?
Далі в самостійній роботі кожен студент накреслив на координатній площині довільні нові дві функції f та h над відрізком [1;10], написав відповіді на
всі запитання (1)-(12) і доручив сусіду по парті перевірити правильність усіх
відповідей.
Після успішного виконання завдань (1)-(12) студенти записали наступне:
«Завдання (1)-(12) будемо виконувати впродовж всього семестру без допомоги
графіків (аналітично) з використанням похідних та інтегралів, спочатку для
простих функцій одної змінної, потім для функції двох змінних і далі для функцій багатьох змінних». Далі знайшли без побудови графіків відповіді на всі запитання (1)-(12) для функцій f(x)=x-2 , h(x)=2-x. І до кінця заняття встигли записати всі відповіді (1)-(12) для функції з параметрами f(x)=ax+b. На наступних
заняттях студенти навчалися знаходити всі 12 відповідей (спочатку за допомогою смартфонів/комп’ютерів а далі вже й аналітично) для лінійних функцій багатьох змінних, далі для квадратичних функцій, пізніше для поліномів за допомогою похідних і нарешті студенти опанували наближеними методами обчислення значень (1)-(10) для функцій багатьох змінних за допомогою комп’ютерів
та смартфонів.
Отже слабку математичну підготовку першокурсників не можна вважати
нездоланною перешкодою до опанування знаннями вищої математики. На до-
232
помогу студентам прийшли комп’ютери та власні смартфони. Тому в школах
необхідно повернути комп’ютер на уроки математики і для цього необхідно відновити дисципліну «Програмування» (де комп’ютер використовується для
математики) замість помилково введеної дисципліни «Інформатика» (де про
комп’ютер розповідається як на курсах для секретарок із вивченням Ворда - і
тому викладач «Інформатики» у ВНЗ буває виставляє двійку на екзамені студенту, який разом із сусідськими ровесниками опанував премудростями сучасного комп’ютера краще за вчителя інформатики, але який вважає абсурдним запам’ятовувати «якими клавішами реалізуються та чи інша операція у Ворді?»
чи «який розмір ідентифікатора в Паскалі?»).
Наведу приклад моїх уроків програмування, які я проводив на прохання
директора СШ 200 (підшефної школи АН України) ще в той час, коли у школах
уже було введено уроки програмування (інформатики), але таких викладачів у
школах ще не було. На першому уроці учні записали: «Комп’ютер має багато
комірок пам’яті, у які можна записувати числа. Кожній комірці пам’яті, подібно
як кожній клітинці на шахматній дошці, надається ім’я (по-англійськи ідентифікатор). Наприклад, за командою A1:=5 комп’ютер запише число 5 у комірку
пам’яті з іменем «A1», а за командами A1:=10; B1:=2; C1:=A1+B1;
K1:=С1+5000; A1:=A1+B1+C1; C1:=A1-C1+3 комп’ютер запише у комірку A1
число 10, у B1 - число 2, у C1 - число 12, у K1 - число 5012, у A1 запише нове
число 24 і у комірку С1 - нове число 15. Далі учні вже самі написали правильні
команди A1:=100; H1:=100000000; S1:=A1*H1; S2:=A1*H1/2. для обчислення
площі S1 прямокутника і площі S2 трикутника із основами A1=100 та висотами
H1=100000000. І до кінця уроку учні встигли самостійно написали команди для
обчислення площ усіх відомих їм геометричних фігур і встигли написати команди: A1:=1; S2:=1; S3:=1; A1:= A1+1; (M1): S2:= S2+A1; S3:= S3*A1; IF
A1<1000000000 THEN GOTO M1; PRINT (S2,S3). для обчислення суми S2 та
добутку S3 всіх цілих чисел від 1 до 1000000000. До кінця чверті учні самостійно писали програми для розв’язування нелінійних рівнянь f(x)=0 на відрізку
x∊[a,b], систем лінійних рівнянь Ax=b, x∊Rn, задач лінійного та нелінійного програмування. За словами вдячних батьків багато учнів з того класу вступили до
престижних ВНЗ і захистили дисертації - цим також підтверджується підвищення якості навчання математики із використанням комп’ютерів.
233
ПРИКЛАДНИЙ НЕСТАНДАРТНИЙ АНАЛІЗ
В. Є. Березовський, С. А. Закорчевна
Уманський національний університет садівництва, Умань,Україна
berez.volod@rambler.ru, zakorchevna@mail.ru
Нестандартний аналіз має порівняно недовгу історію. Фактично він зародився
осінню 1960 року, коли його засновник Абрахам Робінсон зробив на одному з
семінарів Прістонського університету доповідь про можливість застосування
методів математичної логіки до обґрунтування математичного аналізу. В1961 році
з’явилась стаття А. Робінсона «Нестандартний аналіз» в працях Нідерландської
академії наук. В цій статті, зокрема, Робінсон писав: «Наша головна ціль —
показати, що ці моделі дають природній підхід до старої та важливої проблеми
побудови числення, включаючи нескінченно великі і нескінченно малі кількості.
Добре відомо, що використання нескінченно малих, які наполегливо захищав
Лейбніц і без коливань прийняв Ейлер, було завойовано з появою методів Коші, які
поставили математичний аналіз на тверду основу».
Протягом наступних восьми років вийшли в світ три монографії, в яких
розглядалася нестандартна теорія: в 1962 р. – книга В.А.Дж. Люксембурга
«Нестандартний аналіз». Лекції про робінсовську теорію нескінченно малих і
нескінченно великих чисел», в 1966 р. – книга самого А.Робінсона «Нестандартний
аналіз» і в 1969 р. – книга М. Маховера і Дж. Харшфелда «Лекції з нестандартного
аналізу». Найбільший резонанс викликала книга Робінсона, яка вийшла у відомій
серії «Дослідження з логіки і основ математики».
В 1976 р. вийшли відразу три книги з нестандартного аналізу:
Г.Дж.Кейслера «Елементарний аналіз» і «Основи числення нескінченно малих»
та К.Д. Стройана і В.А.Дж.Люксембурга «Вступ в теорію нескінченно малих».
Перша з них являє собою написаний з нестандартних позицій підручник з
математичного аналізу. В ній є багато прикладів і вправ.
Нестандартний аналіз є досить складним. Тому з його ознайомленням
виникають труднощі навіть у фахівців. Отже, ми зупиняємося на розгляді
простих і зрозумілих прикладів.
Приклад 1. Знайти похідну функції y  x 2 .
Використовуючи означення похідної маємо
2
2
dy   x  dx   x 2
Оскільки dx  0 , то
x
2
2
 2 xdx  dx   x 2
2
 2 xdx  dx  ,
dy 2dx  dx 

 2 x  dx .
dx
dx
dy
 2 x .В подальшому запис   0 буде означати, що α є
dx
нескінченно малою і нею можна нехтувати.
Приклад 2 Знайти похідну функції y  x 3 .
dy   x  dx   x 3  x 3  3x 2 dx  3xdx   dx   x 3  3x 2 dx  3xdx   dx  ,
dy
dy
2
 3 x 2  3x dx   dx  . Оскільки dx  0 , то
 3x 2 .
dx
dx
3
2
3
234
2
3
Якби студент-математик відповідав так на екзамені, то швидше за все
отримав би двійку. Нестандартний аналіз майже повністю складається з
подібних «абракадабр», в яких і є точний математичний зміст.
Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в
тім, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини (тобто, не як
функції, які прямують до нуля), а як величини постійні. Такий підхід близький
до реальності. Дійсно, коли ми говоримо, наприклад, про нескінченно малий
об’єм, то розуміємо, що цей об’єм є незмінним і досить малим.
Постараємося думати наївно та викласти ідеї Лейбніца на сучасній мові.
Допустимо, що поряд з звичайними дійсними числами існують ще нескінченно
малі числа. Додатне нескінченно мале число більше нуля, але менше будь-якого
додатного дійсного числа. Ми розглядаємо, таким чином, нову розширену
систему, яка складається зі старих дійсних чисел та нових нестандартних чисел.
Ми хочемо, щоб з елементами розширеної числової системи можна було діяти
як із звичайними числами. Тобто, порівнювати їх та виконувати над ними
алгебраїчні дії. В такому випадку тоді наряду з нескінченно малими числами
існують нескінченно великі числа. Крім того, для кожного стандартного числа а
існує окіл нескінченно близьких до нього нестандартних чисел. Якщо,
наприклад,  нескінченно мале і відмінне від нуля, то такими ж будуть

2
,
3 ,  2 , причому  2 буде нескінченно малим більш високого порядку, ніж  .
Стандартні (дійсні) числа разом з нестандартними (нескінченно малими)
утворюють систему гіпердійсних чисел *R, яка є впорядкованим полем. Тому
ми можемо переглянути наше відношення до розглянутих прикладів. Якщо
вважати, що похідна функції виражається лише в стандартних числах, то тоді
дійсно
st 2 xx  dx  2 x .
Протягом останніх років нестандартний аналіз (точніше – елементарний
математичний аналіз, побудований на нестандартному підході) викладається в
ряді вищих навчальних закладів США.
Деякі підсумки такого роду викладання підведені в статті, опублікованій в
«Американському математичному щомісячнику». Стаття закінчується
наступними виразами: «Побоювання,…що ті студенти, які будуть вивчати
математичний аналіз за допомогою інфінітезімальних (нескінченно малих)
елементів, в меншій мірі оволодіють навиками, повинні бути, без сумніву,
зняті. Більше того, здається досить ймовірним, що використання
інфінітезімального підходу зробить курс математичного аналізу значно
живішим і привабливішим».
Список літератури
1. Робінсон А. Введення в теорію моделей і математику алгебри. Пер. з англ. - М., Наука,
1967.
2. Девіс М. Прикладний нестандартний аналіз. М.: Мир, 1980.
235
ПОЗНАЧЕННЯ ЛЕЙБНІЦА ДЛЯ ПОХІДНОЇ ФУНКЦІЇ
В. Є. Березовський, Т. І. Труш
Уманський національний університет садівництва, Умань, Україна
berez.volod@rambler.ru, tatyana_trysh@mail.ru
Позначення f x  похідної функції f x  введено Лагранжем.
Жозеф Луї Лагранж (1736–1813 р.) був провідним математиком XVIII
століття. Йому не виповнилося і 20 років, коли він став професором математики
Артилерійської школи в рідному місті Туріні. Пізніше Лагранж працював
певний час в Берлінській академії.
Лейбніц позначав похідну функції y  f x  у вигляді
dy
df
df x 
, або
, або
.
dx
dx
dx
Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 р.) заснував Берлінську академію.
Позначення Лейбніца можна пояснити за допомогою «математичного міфу».
Відповідно до цього «міфу» графік будь-якої функції складається з
нескінченного числа «нескінченно малих» відрізків (мал.1).
y
dy
Нахил дотичної
y=f(x)
дорівнює
dy
dx
dx
0
x
х+dx
x
Рис. 1
Звичайно, таке твердження не має строго математичного змісту. Тому ми
використовуємо вираз «міф». Під дотичною до графіка функції y  f x  в
довільній точці Лейбніц розумів пряму, якій належить саме такий відповідно
нескінченно малий відрізок.
236
За Лейбніцем похідна функції – це нахил дотичної до графіку функції в цій
точці до вісі Оx . Іншими словами, похідна функції в точці дорівнює тангенсу
кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці, до вісі Оx .
Для обчислення нахилу дотичної в довільній точці x функції y  f x 
збільшимо x на нескінченно малу величину dx . Цьому значенню x  dx
відповідатиме значення функції f x  x  . Тобто, приросту dx змінної x буде
відповідати приріст функції d y , який є нескінченно малою величиною.
Тоді,
f  x  dx   y  dy .
Частина графіку функції y  f  x  між нескінченно близькими точками
x, y 
і  x  dx, y  dy  є нескінченно малим відрізком. Нахил цього
нескінченно малого відрізку до вісі Оx дорівнює
 y  dy   y  dy .
x  dx   x dx
Тривалий час математики під похідною функції розуміли саме відношення
dy
Вони усвідомлювали, що при такому підході до похідної функції існує
dx
багато проблем і неузгоджень. Проте математики продовжували розвивати ідею
Лейбніца, користуючись його ж порадою: «Рухайтеся вперед – і віра до вас
прийде!» Лише після появи поняття границі функції в точці було дано точне
означення похідної.
В наш час dy і dx не вважаються нескінченно малими. Їх використовують
для позначення диференціалів, відповідно, функції та аргументу. Тим не
менше, позначення Лейбніца
dy
для похідної функції ми використовуємо до
dx
цього часу.
Список літератури
1. Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах: Т. 3.– М.: Мысль, 1984. – 734 с.
2. Э.Т. Белл. Творцы математики. Предшественники современной науки.- М.: Просвещение,
1979.
3. А.Н. Боголюбов. Математики. Механики. Биографический справочник.- Киев, 1983.
4. Лагранж Жозеф Луи 1736 – 1813. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М. – Л., 1937.
237
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И НАПРАВЛЕНИЯ
МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ПОДГОТОВКИ НА ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ
В. С. Вакульчик, А. В. Капусто, В. А. Жак, А. П. Мателенок
Полоцкий государственный университет, Новополоцк, Беларусь
kapusto@tut.by
Общепризнанно, что основная часть профессиональной подготовки будущих инженеров основывается на теоретико-прикладных знаниях высшей математики. Выделим педагогические особенности математической подготовки в
условиях современного состояния образовательного процесса на технических
специальностях:
– обусловленность возрастания значения математической подготовки в
общеобразовательном цикле технических специальностей ускорением инновационного характера развития современных инженерных технологий, увеличением доли творчества, способности к нестандартным решениям в профессиональной деятельности специалиста технического профиля;
– возрастание значения математических знаний, умений и навыков для
продолжения специального образования (в магистратуре, аспирантуре и т.п.),
самообразования и самостоятельного освоения усложняющейся техникой;
– необходимость в усовершенствовании методического обеспечения
учебного процесса в направлении органичного сочетания современных достижений информационных технологий (ИТ) и программного обеспечения (ПО) с
классическими методиками чтения лекций и проведения практических занятий;
– наличие тенденции к массовости современного высшего образования, а
также излишней популяризации тестирования, как формы контроля, которые
приводят в стены вузов абитуриентов, фактически не владеющими минимальными математическими понятиями, навыками и умениями;
– актуальность решения, в связи с этим, проблемы разработки и внедрения методических приемов формирования прочности математических знаний,
умений и навыков в процессе преподавания математики на технических специальностях.
Таким образом, возникает необходимость в определении и разработке
конкретных направлений методики повышения эффективности современной
математической подготовки на технических специальностях.
Многолетний педагогический опыт и результаты экспериментальных исследований позволяют авторам утверждать, что важным направлением в указанном смысле является целенаправленное формирование и укрепление прочности математических знаний, умений и навыков в процессе преподавания математики на технических специальностях [1].
Педагогическая деятельность в названном направлении предполагает:
238
– методически системное формирование у студентов свободного владения основными понятиями определенных разделов математики, применение
при этом информационных таблиц и графических схем;
– жесткое требование от студентов свободного владения правилами раскрытия неопределенностей при вычислении пределов, таблицами эквивалентных, производных и интегралов от основных классов элементарных функций и
т.п.;
– выделение заданий минимально-базового уровня по всем изучаемым
темам и требование обязательного их выполнения на экзамене.
Будущему инженеру важно наиболее оптимальным и коротким способом
овладеть математическим аппаратом для последующего использования его в
процессе изучения других дисциплин, а также применения к моделированию и
решению конкретных прикладных задач. Поэтому следующим важным направлением повышения эффективности современного математического образования
специалистов технического профиля является учет при организации познавательной деятельности студентов межпредметных связей (МПС) математики и других дисциплин на основе использования дидактических возможностей
систем компьютерной алгебры [2]. При этом будем придерживаться мнения
тех авторов, которые рассматривают МПС как дидактическое условие, способствующее повышению доступности и научности обучения, значительному усилению самостоятельной познавательной деятельности студентов. Выделим в
ряду общеинженерных дисциплин, изучаемых в технических вузах, курс инженерной графики, которая занимает особое место в инженерной подготовке,
т.к. знание основ начертательной геометрии – часть общетехнической культуры. Отметим, что одной из важных задач в процессе изучения начертательной
геометрии и математики является необходимость развития пространственных
представлений, воображения и нестандартного геометрического мышления
студентов, обучения специальным геометрическим методам решения задач.
Речь идет о пересечении сложных поверхностей произвольными плоскостями,
задаче синтеза пространственных механизмов, проектирования светотехнических приборов, построения разверток поверхностей с нанесением на них мест
расположения различных конструктивных элементов. Методы образования и
изображения на чертеже поверхностей, изучаемые начертательной геометрией
и высшей математикой, необходимы также при компьютерном твердотельном
моделировании, которое приходит на смену двумерным чертежам. Однако, к
сожалению, времени, отводимого на рассмотрение разделов, формирующих
навыки изображения поверхностей, зачастую не хватает. С другой стороны, на
смену традиционным методам конструирования приходят компьютерные технологии. В связи с этим, авторы предлагают один из методических приемов
формирования у студентов навыков построения и исследования трехмерных
поверхностей в контексте реализации МПС математики и начертательной геометрии на основе использования систем компьютерной алгебры. Понятие поверхности впервые вводится на лекционных занятиях по математике. В силу
239
того, что на выделенную тему отводится ограниченное количество часов, системы компьютерной алгебры, графические возможности программ которых
позволяют показать строение чертежей во всех плоскостях, являются эффективным дидактическим средством, позволяющим обеспечить усвоение темы
хотя бы на достаточном уровне. Преподаватель, вращая фигуру, представленную с помощью компьютерных пакетов, объясняет студентам особенности
каждой поверхности. Это не только способствует запоминанию необходимой
информации, но главным образом, повышает уровень знаний и глубину понимания учебного материала, создает предпосылки для реализации принципов
наглядности и доступности в обучении.
Использование выделенных дидактических возможностей систем компьютерной алгебры также формирует образное мышление студентов, так как по завершению занятия студент связывает воедино поверхность и ее уравнение, он может
проследить зависимость вида фигуры от изменяемых параметров, использовать
компьютерные пакеты при построении тел, ограниченных различными поверхностями. Закрепление и углубление достигнутых результатов в обозначенном направлении осуществляется в процессе выполнения соответствующей лабораторной работы по начертательной геометрии. Студентам предлагается чертеж сечения сложной фигуры, представляющей собой объединение нескольких поверхностей. По
этой схеме они должны установить форму тела в целом, форму отдельных его поверхностей, сочетание и взаимное расположение отдельных его поверхностей и
выполнить построение в таких программных продуктах, как AutoCAD, КОМПАСГРАФИК (компании АСКОН) и др.
Как показывает анализ результатов педагогического эксперимента, представленный методический прием реализации МПС математики и начертательной геометрии на основе использования систем компьютерной алгебры позволяет создавать условия и предпосылки для достижения не только микроцелей,
декларируемых в изучаемых разделах, но и для мотивации, стимулирования,
активизации самостоятельной познавательной деятельности по решению задач
повышенной сложности.
В связи c возрастающей ролью содержательного и методологического
компонентов в преподавании математики на технических специальностях методически целесообразна разработка специальных дидактических средств
представления математической информации, обеспечивающих доступность
ее овладения на всех этапах познавательного цикла, облегчающих ее структурирование и логическую организацию [3]. Авторы рассматривают разработку и
проектирование учебно-методических комплексов (УМК) по отдельным разделам курса математики в качестве одного из эффективных дидактических
средств, позволяющих научно организовать самостоятельную работу и активизировать познавательную деятельность студентов. Отдельное внимание авторы
отводят при проектировании учебного модуля разработке дидактических
средств, направляющих и организующих познавательную деятельность студентов: графических схем, информационных таблиц, планов-ориентиров, обучаю-
240
щих задач, решений нулевых вариантов контрольных работ и типовых расчетов
и т.п. Эти средства помогают увязать различные понятия, теоремы и т.д. в единое целое, служат эффективному прохождению всех этапов познавательной деятельности: от восприятия, к усвоению и осмыслению, затем к обобщению, систематизации и, в конечном итоге – логической организации новой информации. Структурированность, целостность, полнота учебного модуля с адекватным методическим руководством по его изучению облегчает, регламентирует,
направляет, оптимизирует самостоятельную работу студентов, является методической основой для более глубокого изучения учебной дисциплины. В этой
связи отметим, что методическое обеспечение указанного уровня позволяет качественно изменить методику работы со студентами. Модульное построение
УМК дает возможность методического совершенствования модуля как отдельной дидактической единицы, в том числе на основе новых информационных
технологий. При этом создаются условия и возможности:
– для любого обучаемого построить свою траекторию обучения при изучении каждого отдельного раздела математики;
– для педагога методически разнообразить организацию познавательной
деятельности на практических занятиях;
– для организации управляемой самостоятельной работы;
– для получения более глубоких знаний, понимания обоснованности получаемых оценок и повышения успеваемости на потоках.
Педагогический опыт и результаты экспериментальных исследований свидетельствуют, что методически системная организация математической познавательной деятельности студентов с учетом выделенных педагогических особенностей и направлений в преподавании математики позволяет оказывать существенное влияние на степень реализации как обучающей, так и развивающей
функций в процессе обучения математике на технических специальностях, в
значительной мере способствует решению задачи повышения качества подготовки специалистов технического профиля.
Список литературы
1. Вакульчик В.С., Капусто А.В. Систематический и научно организованный контроль как
решающий элемент в процессе обучения математике на технических специальностях // Вестник ПГУ. Педагогические науки, № 7, 2012, С. 68 – 75.
2. Мателенок А.П. Использование информационных технологий при проектировании лекционных и практических занятий с целью усиления наглядности представления информации
при обучении математике на технических специальностях // Тезисы докладов международной научной конференции «XI Белорусская математическая конференция», часть 5, «Алгебра
и теория чисел. Методика преподавания математики в высшей школе», Минск, 5 – 9 ноября
2012 г., С. 93 – 94.
3. Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной : учеб.-метод. комплекс для студ. техн. спец. / сост. и
общ. ред. В. С. Вакульчик. – Новополоцк: ПГУ, 2007. – 352 с.
241
ВИКОРИСТАННЯ ОПОРНОГО КОНСПЕКТУ В ПРОЦЕСІ
ВИКЛАДАННЯ ДИСЦИПЛІНИ «ВИЩА МАТЕМАТИКА»
ДЛЯ КУРСАНТІВ-ЗАОЧНИКІВ ПРИСКОРЕНОГО КУРСУ НАВЧАННЯ
НА БАЗІ ОСВІТНЬО-КВАЛІФІКАЦІЙНОГО РІВНЯ
«МОЛОДШИЙ СПЕЦІАЛІСТ»
Г. А. Варварецька, Т. І. Климова, Т. М. Сапронова
Одеська національна морська академія, Одеса, Україна
eonma@yandex.ru
Дисципліна «Вища математика» входить до числа професійного циклу,
що встановлює базові знання для засвоєння спеціальних дисциплін.
Для того, щоб заняття з дисципліни «Вища математика» були
ефективними, ми вважаємо, що вони повинні:
1) мати практичну спрямованість;
2) обов'язково включати самостійне засвоєння деяких тем;
3) ґрунтуватися на використанні активних методів роботи зі студентами;
4) володіти подальшими зв'язками з іншими дисциплінами;
5) розвивати організаторські й комунікативні навички студентів.
Вважаємо також, що викладач повинен мати на увазі названі особливості
для того, щоб покращити ефективність засвоєння матеріалу, що викладається.
Неможливо спонтанно провести якісне заняття, важлива чіткість,
продуманість всіх його етапів, а також прийомів, методів, які
використовуватимуться. Необхідна наявність певного сценарію, що реалізує
задум педагога і допомагає вибудовувати весь навчальний матеріал у системі.
Для цього ми використовуємо опорні конспекти.
Опорний конспект – це побудована за спеціальними принципами візуальна
модель змісту навчального матеріалу, в якій стисло подані основні змістові поняття
теми, що вивчається, у вигляді слів-сигналів у взаємозв’язку з використанням
графічних прийомів покращення ефекту запам'ятовування і засвоєння.
До загальних методичних вимог до складання опорних конспектів, які
застосовані і під час підготовки педагога до занять з дисципліни «Вища
математика», відносяться:
— грамотне визначення типу заняття, його місця в розділі, курсі, системі
міждисциплінарних зв'язків, бачення особливостей кожного заняття;
— облік реальних навчальних можливостей аудиторії, їх інтересів,
схильностей, потреб і запитів; цілеспрямованість у ліквідації прогалин у
знаннях;
— вибір раціональної структури проведення заняття, що забезпечує
успішне розв’язання поставлених завдань;
— вживання методів активного навчання, самостійної роботи,
стимулювання пізнавальних інтересів;
— визначення змісту й обсягу домашніх завдань з урахуванням наявного
часу, не допускаючи перевантаження студентів-заочників.
242
Опорний конспект – це не система жорстких розпоряджень проведення
заняття, тому під час його використання доречне коректування з урахуванням
реальної комунікації, що складається на занятті (необхідністю доповнити або
скоротити фактичний матеріал; уточнити або пояснити окремі відомості;
скоректувати діяльність курсантів; усунути недоліки вже створеного конспекту).
Відступаючи від наміченого, викладач, перш за все, співвідносить
продумані деталі змісту навчального матеріалу, власні дії і дії студентів з цим
матеріалом, характер їх взаємодії. І лише провівши співвіднесення всього цього
з ситуацією, що склалася на занятті, педагог вносить корективи. Але ці
корективи є не стихійними, а вони є результатом поєднання несподівано
виниклої нової ситуації і раніше запланованих видів роботи.
У статтях [1] і [2] ми показали вживання опорних конспектів з тем:
«Диференціальне і інтегральне числення» і «Диференціальні рівняння» .
У даній статті запропонований зразок опорного конспекту з теми «Ряди».
Згідно з нашою методикою, перед виконанням основних завдань на початку
практичних занять курсантам-заочникам пропонуються контрольні питання і
тест на перевірку залишкових знань, набутих у процесі підготовки до сесії.
1.
Сформулюйте: визначення числового ряду; визначення збіжного
числового ряду; необхідну ознаку збіжності.
2.
Сформулюйте достатні ознаки збіжності числових рядів з
додатними членами.
3.
Сформулюйте ознаку Лейбніця.
4.
Знайдіть область збіжності степеневих рядів.
:
x
5.
Запишіть
розвинення
функцій
за
степенями
m
y  e x ; y  sin x ; y  cos x ; y   1  x  .
Тест 1. Встановіть відповідність між рядами (1-6) та використовуваними
для їх ознаками збіжності (А-Е):

А. Ознака Даламбера
1
1.

n 1 n

2.

2
 2n  3
Б. Ознака Коші (радикальна)
5n
n 1 n
3
 3n  2 n
3.  

 7n  1 

В. Ознака порівняння
n 1

4.
1
 n ln n
n 2

5.
6.

Д. Ознака Лейбніца
n2
n 1 n
3
4
n

 1 
n 1
n3

Г. Інтегральна ознака Коші
Е. Ознака порівняння у граничній
формі
243
Тест 2. Встановіть відповідність між степеневими рядами (1-5) та їхніми
інтервалами збіжності (А-Д):
n
А  ;  

x 2
1.


3n
n 1

2.

Б  1; 5 
xn
 3n
n 1
3.
4.

Вx 5

Г  1; 1 
xn

n 1 n !
xn

n 1 n

5.
Д  3; 3 
n
 n ! x  5 
n 1
Тест 3. Встановіть відповідність між функціями (1-3) та рядом Фур'є (А-В):
1. f  x   sin
3x
,
2
x
2. f  x   cos ,
2
x   ;  
x   1;1 

 0,    x  0,
3. f  x   


2x ,
0  x  .


А. f  x  ~

a0
  an cos nx  bn sin nx
2
n 1

a0
Б. f  x  ~   an cos nx
2
n 1
В. f  x  ~

 bn sin nx
n 1
Після проведеної роботи з опорним конспектом можна братися до
виконання завдань з поточної теми.
Отже, складанням опорних конспектів, контрольних питань для
самоперевірки і проведенням тестів, ми, викладачі, допомагаємо виокремити
головні питання під час вивчення кожної з тем. А це означає, на нашу думку,
що завдання курсанти-заочники зможуть виконати самостійно й успішно
скласти іспит.
Список літератури
1. Г.А.Варварецька, Т.І.Климова, Т.М.Сапронова Застосування порівняльних таблиць на
практичних заняттях з вищої математики // Методы совершенствования фундаментального
образования в школах и вузах: материалы XVI международной научно-методической
конференции, Севастополь, 19-23 сентября 2011 г.— Севастополь, 2011. – С.38-42.
2. Г.А.Варварецька, Т.І.Климова, Т.М.Сапронова Методи підвищення результативності
проведення практичних занять з вищої математики з курсантами–заочниками прискореної
форми навчання // Методы совершенствования фундаментального образования в школах и
вузах: материалы XVII международной научно-методической конференции, Севастополь, 1721 сентября 2012 г.— Севастополь, 2012. – С.24-28.
3. Вища математика: методичні вказівки з вивчення дисципліни та рекомендаціями з
організації самостійної роботи студентів на базі освітньо-кваліфікаційного рівня «Молодший
спеціаліст»/ Варварецька Г. А., Попов В.Г.-Одеса:ОНМА, 2010, — 70с.
244
МЕТОД ІНТЕНСИФІКАЦІЇ НА ПРАКТИЧНОМУ ЗАНЯТТІ
Л. Д. Величко
Академія сухопутних військ імені Петра Сагайдачного, Львів, Україна
lvelychko@yahoo.com
Потреби у розробках новітніх технологій для виробництва, розвиток
інформаційних технологій ставлять перед вищою школою вимогу у забезпечені
виробничої сфери високоякісними спеціалістами. Підготовка студентів за
теперішніми технологіями навчання дозволяє випускати незначний відсоток
високоякісних спеціалістів, які досягнули високого рівня знань і вміння
внаслідок природних здібностей. Однак, основна маса випускників вищих
навчальних закладів не відповідає нинішнім вимогам з боку виробництва.
Отже, виникає потреба у впровадженні нових підходів у методиці викладання
наукових дисциплін.
Проблема підготовки спеціалістів вищою школою не можлива без
висококваліфікованих викладачів. Проте, спостерігається тенденція зменшення
зацікавленості випускників вузів, з високим рівнем знань і вмінь, у науковій та
викладацькій роботі. Отже, виникає проблема підготовки викладачів, здатних
якісно навчати студентів. Викладачів, які б володіли методикою навчання,
здатні доступно і наочно пояснювати предмет, заохочувати пізнання
проблемних питань студентами, навчити систематизувати проблему.
Вищу математику починають викладати студентам у першому семестрі.
Студенти в групі на початку семестру, переважно, мають різнорівневу
підготовку. Вони не призвичаєні до тривалої праці над освоєнням нового
матеріалу, не вміють здійснити самоконтроль рівня знань та мають завищену
самооцінку їх рівня.
Автором розроблена методика навчання студентів та її матеріальне
забезпечення, що дозволяє використовувати її під час навчання студентів вищої
математики, теоретичної механіки, термодинаміки та теплопередачі.
Запропонована методика навчання базується на використанні трьох
ступенів пізнання нової теми:
– перша ступінь – студент самостійно розв’язує задачу, яку викладач
попередньо пояснив, і контролює хід розв’язування, використовуючи
законспектоване розв’язування задачі викладачем;
– друга ступінь – студент розв’язує відповідну задачу із «Завдання для
проведення практичного заняття», котра відмінна від задачі, попередньо
розв’язаної викладачем, наприклад, наявністю інших числових даних або
елементарних функцій, однак, не є відмінна у використанні методів
розв’язування;
– третя ступінь – студент перевіряє повне засвоєння теми, винесене на
практичне заняття, розв’язуючи задачі із «Вправ для самостійної роботи».
Кожна тема висвітлена в 4-5 задачах, які охоплюють весь матеріал,
необхідний для засвоєння студентом під час практичного заняття. По кожній
245
темі розроблено вісім варіантів «Завдань для проведення практичного заняття».
Усі варіанти завдань однотипні та містять певні відмінності, які, однак, не
впливають на метод розв’язку задачі. Для кожної теми пропонуються «Вправи
для самостійної роботи» і «Завдання для проведення контрольної роботи».
Відповіді до всіх задач і прикладів приведені.
Практичне заняття рекомендується проводити у такій послідовності:
– викладач нагадує студентам основні положення нової теми і розв’язує
найпростішу задачу з цієї теми;
– студенти самостійно розв’язують першу задачу із отриманих варіантів
«Завдань для проведення практичного заняття», а викладач у цей час
контролює їх роботу та допомагає студентам засвоїти основи теми;
– наступні задачі по темі викладач не розв’язує у повному обсязі, але
наголошує на нових елементах у цих задачах;
– студенти самостійно розв’язують усі задачі із «Завдань для проведення
практичного заняття»;
– викладач контролює розв’язування задач кожним студентом та
відповідає на його питання.
Запропонована методика навчання дає змогу викладачу приділяти більше
уваги кожному студентові зокрема, а не звертатись до всієї групи. Оскільки
студенти мають різну ступінь підготовки та індивідуальні властивості, то в
більшості студентів виникають персональні труднощі в процесі вивчення нової
теми. Викладач, контролюючи хід розв’язування задач студентами, має
можливість відповідати на питання, які цікавлять кожного студента і допомогти
йому подолати свої перешкоди. По завершенні практичного заняття викладач
може реально оцінити рівень засвоєння теми конкретним студентом, тобто знає,
хто з студентів розв’язав лише частину задач із «Завдань для проведення
практичного заняття», а хто – повністю.
Кожний студент змушений розв’язувати свій набір задач із «Завдань для
проведення практичного заняття», оскільки його конкретні задачі не будуть
написані на дошці. Розв’язуючи задачі із «Завдань для проведення практичного
заняття» студент має можливість звернутись до викладача, щоб той пояснив
йому незрозумілі твердження. Крім того, студент може звернутись за
допомогою до іншого студента, оскільки задачі є однотипними. По завершенні
практичного заняття студент може оцінити свій рівень розуміння нової теми.
Розв’язуючи задачі із «Вправи для самостійної роботи» студент може здійснити
підсумкове оцінювання свого рівня знань по темі.
Запропонована методика навчання на практичному занятті стимулює
активне самостійне навчання студентів, дає змогу студентам встановити
взаємозв’язок між рівнем засвоєння теми та вмінням його використати для
розв’язку конкретних задач, забезпечує індивідуалізацію та диференціацію
навчання студентів.
На використанні запропонованої методики навчання побудовані:
навчальний посібник «Методика розв’язування і збірник завдань з лінійної
246
алгебри і аналітичної геометрії» (вийшов з друку), посібник «Методика
розв’язування і збірник завдань з математичного аналізу» (завершується
підготовка), посібник «Методика розв’язування і збірник задач з
диференціальних рівнянь» (подано до друку) і посібник «Методика
розв’язування та збірник завдань з теорії ймовірності» (завершується
підготовка), навчальний посібник «Методика розв’язування і збірник задач з
теоретичної механіки» (здійснено три видання), навчальний посібник
«Термодинаміка та теплопередача в пожежній справі» (вийшов з друку).
Зразок варіантів із «Завдань для проведення практичного заняття»
Варіант DF3 – 1
Варіант DF3 – 2
Приклад 1. Розв’язати диференціальне Приклад 1. Розв’язати диференціальне
dy
2x  3y
dy
x y
рівняння
рівняння
.
.


dx  3 x  2 y
dx  x  3 y
Приклад 2. Розв’язати диференціальне Приклад 2. Розв’язати диференціальне
dy y  x
dy 2 y 2  x 2
.

рівняння

рівняння
.
dx
2x
dx x 2  4 xy
Приклад 3. Розв’язати диференціальне Приклад 3. Розв’язати диференціальне
dy 2 xy  y 2
dy 2 xy  3 y 2
рівняння

.
рівняння

.
dx
x2
dx
x2
Приклад 4. Розв’язати диференціальне Приклад 4. Розв’язати диференціальне
2y y
2y
3y 3y
3y
 cos
 1.
рівняння y  cos
рівняння 3 y  cos  cos  1 .
x
x
x
x
x
x
Зразок задач із «Вправи для самостійної роботи DF3»
dy 8 x  3 y
Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння
.

dx 3 x  6 y
Відповідь. 3 y 2  3 yx  4 x 2  C .
Приклад 2. Розв’язати диференціальне рівняння 2 x  y  y   x  2 y .
y
Відповідь. arctg  ln x 2  y 2  2 ln x  ln Cx  .
x


247
БУТИ ТВОРЧИМ ЛЕКТОРОМ!
Н. О. Вірченко
НТУУ «КПІ», Київ, Україна
Найкращий лектор той, хто своїм
словом навчає слухачів
Цицерон
Майстерне володіння словом вимагається від викладача не тільки для
повідомлення навчальної інформації, але і для психологічного впливу на
студентів. Очевидно, що досягнути майстерності поза лекторською практикою
не можна, так само як не можна навчити людину плавати на суходолі.
У кожній лекції треба виділити центральну ідею викладу, всебічно
висвітлити її, показати її значення для розглядуваної теорії та для практичних
застосувань. Підкреслимо, що лекція повинна збуджувати думку студента, вона
повинна будити духовні сили та давати додаткові стимули для подальшого
пізнання. Лекції повинні носити і творчий характер. Подамо хоч би приклад –
лекції французького математика Ш. Ерміта. Ось що писав Е. Пікар: «Ті, хто
його слухав, збережуть назавжди пам’ять про його надзвичайне викладацтво.
Які дивовижні бесіди!.. Вони викликали захоплення в аудиторії. Це бувало,
коли він, порушуючи, здавалося б, якесь елементарне питання, відкриває
безкраї обрії, коли поруч з наукою сьогоднішнього ми раптом бачимо науку
завтрашню» [1]. Ш. Ерміт викладав математику у Паризькій Нормальній школі
і Сорбонні. Не випадково серед його слухачів виявилося стільки майбутніх
знаменитих творців науки: А. Пуанкаре, Г. Дарбу, Е. Борель та ін. П. Пенлеве
писав, що той, «хто мав щастя бути учнем цього великого Геометра, не зможе
забути трепету перед прекрасним чи таємничим, що охоплював всю аудиторію,
коли Ерміт розповідав про якесь дивовижне відкриття чи говорив про щось
невідоме. Він був незрівнянним професором, і його слово, що брало за живе,
раптово відкривало широкі горизонти в різних ділянках науки. Воно
збуджувало цікавість і спонукало до відкрить нових важливих проблем» [1].
Стрункість лекції, високий теоретичний рівень її, аргументованість
викладу теж сприяють підтримці інтересу студентів до лекції. Коли на лекції
студент чує приклади серйозних, творчих міркувань, аргументованого
виконання дій, цікавих постановок задач та обговорення способів їх
розв’язання, то це не тільки робить лекцію привабливою, але й дає великий
стимул для самостійної роботи, читання додаткової літератури та розв’язання
важких задач. Високий рівень доведень на лекції виробляє у студента звичку
обґрунтовувати власні висновки, що спонукає його на лекції шукати відповіді
на питання, які поставив лектор, або які виникли у нього самого в процесі
слухання лекції.
Так, розумова діяльність студента зростає при слуханні нового
навчального матеріалу. Якраз на лекціях з математики студент увесь час має
248
справу з чимось новим, лекторові належиться цей інтерес підтримувати та
сприяти, щоб він увесь час зростав. Зауважмо, що розумова діяльність студента
зростає, коли його думка наштовхується на перепони. Складну задачу
розбиваємо на низку простіших і легших.
Цікавість студента до лекції зростає і при використанні у ній аналогій,
узагальнень, розгляду подібного тощо. Приміром, вивчаючи розгорнення у
степеневий ряд, у ряд Фур’є, у ряд за будь-якою ортогональною системою
завжди на допомогу підключаємо лінійну алгебру та розгорнення за базисом.
С. Банах писав: «Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між
твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень,
сильніший математик той, хто завважує аналогії теорій; але можна уявити собі
й такого, хто між аналогіями бачить аналогії» [2].
Дуже добре, коли лекція читається так, щоб у слухачів виникло відчуття
приєднання до великої Науки. Якщо цього вдається досягти, то живе слово
лектора в аудиторії стає таким, що його не замінить ніякий друкований текст,
ніякий навчальний фільм.
До викладача вищої школи основна вимога – вміння сполучати
педагогічну діяльність з висококваліфікованою спеціальною та науковою
підготовкою, з високим творчим потенціалом. Така сполука властивостей
педагога, спеціаліста і вченого – необхідна умова навчання у вищій школі.
Педагогічний такт, праця, настирливість, наполегливість, вимогливість до себе і
т.п. – це теж характерне для справжнього творчого педагога.
На лекціях викладач має добитися психологічного контакту з аудиторією,
керувати інтересами та увагою слухачів. Для цього лектор повинен уміти
переконати студентів у тому, що йому цікаво спілкуватися з ними і він не хоче
повчати їх, а, навпаки – хоче поділитися своїми знаннями. Лектор повинен
уміти привернути увагу та цікавість студентів до предмету, до теми, уміти
викликати довір’я та повагу до своєї особи. Потрібно захопити слухачів
широкою перспективою для застосування своїх молодих сил.
Студентові завжди кортить познайомитись з викладом спроб різних учених
розв’язати якусь конкретну задачу, при цьому якраз доцільно дати коротку
характеристику їхніх успіхів та невдач. Цікавість – це таки справді чудовий
проводир науки у свідомість людини! На лекціях треба постійно розкривати
чарівні особливості математики, її красу, її силу, але робити це вміло, щоб
формули на дошці наче з’єднували студентів зі світовим простором і т.п. Той
викладач зможе прочитати прегарну лекцію, який сам зачарований
математикою, творить у ній!
Список літератури
1.
2.
Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. – Л.: Наука, 1982.
Эмпахер А. Сила аналогий. – М.: Мир, 1965.
249
ПОЄДНАННЯ АБСТРАКТНОГО ТА ПРИКЛАДНОГО АСПЕКТІВ КУРСУ
ВИЩА МАТЕМАТИКА НА ПРИКЛАДІ МОДУЛЮ «ЛІНІЙНА АЛГЕБРА»
А. І. Воробйова
Чорноморський державний університет ім. Петра Могили, Миколаїв, Україна
leifuravn@gmail.com
Проблеми модернізації української економіки, формування національної
інноваційної системи ставить перед вищою технічною освітою мету виховання
спеціалістів
високої
кваліфікації
інженерів-науковців
та
інженерів–
експлуатаційників.
Головним принципом навчання в провідних світових технічних університетах
є принцип «освіта через науку»: глибокі знання фундаментальних наук та
професійна підготовка [1].
Вивчення вищої математики закладає понятійний апарат для засвоювання
багатьох технічних дисциплін та розвиває мислення майбутнього інженера. Зміст і
технології навчання фундаментальним дисциплінам мають бути спрямованими на
формування складових, сукупність яких визначає базовий рівень професійної
компетентності майбутнього фахівця технічного профілю [5].
Курс математики в технічному вузі, як правило, читається на першомудругому роках навчання і є для студентів одним з найважчих для засвоєння.
Коріння цих труднощів полягає в тому, що математика – є наука абстрактною,
вона оперує з об'єктами, яких у природі не існує. Математичні поняття — лише
більш-менш вдалі зліпки тих чи інших реальних об'єктів. При цьому цілий ряд, в
особливості сучасних математичних понять, — це в кращому випадку зліпки зі
зліпків, в гіршому — ця ланцюжок ще довший і повністю може бути розплутати
лише фахівцями в даній області [4].
Курс вищої математики складається з багатьох модулів, одним з яких є
модуль «Лінійна алгебра», якій включає вивчення елементів теорії матриць,
визначників та систем лінійних рівнянь. Менше уваги приділяється вивченню
векторних просторів та їх лінійним перетворенням. Майже не розглядаються
питання блочних матриць, лiнiйних операторів у векторному та унітарному
просторах, власних значень та власних векторів, та прикладним питанням даних
понять.
Історично основна задача лінійної алгебри (пошук розв’язку системи лінійних
рівнянь (с.л.р.)) досліджується в роботах Лейбниця, Крамера (XVIII-XIX ст.). Саме
розв’язання с.л.р. в загальному вигляді спонукає до введення поняття визначника
та вивченню його властивостей. Поняття визначника вперше дано Лейбніцем
(1693). У 1750 р. Крамер надав рішення системи n лінійних рівнянь з n змінними,
яке досі носять назву «правила Крамера». Розробкою теорії визначників займалися
Безу, Вандермонд, Лаплас, Гаусс, Біне, Коші, Якобі. Назву «детермінант»
250
(визначник) ввів Гаусс (1801 р.). Коші ввів сучасне позначення визначника у
вигляді таблиці з n рядків та n стовпців
В XIX ст. поняття визначника активно використовується в роботах
Остроградського, Якобі, Вронського. Відома робота Якобі про функціональні
визначники: «Про побудову та властивості визначників» (De formatione et
proprietatibas determinantium, 1841р.). Функціональні визначники: якобіан,
вронскіан та гесіан широко використовуються в теорії систем диференційних
рівнянь, класичних задачах оптимізації.
З розвитком теоретичної механіки, геометрії Лобачевського та Римана
виникає потреба в вивченні багатовимірних просторів. В середині XIXст. у зв’язку
з дослідженням не комутативних алгебр виникає матричне числення (Гамільтон,
Келі, Сільвестров), яке вивчає нормальні форми лінійних операторів (Жордан),
квадратичні форми (Вейєрштрасс, Кронекер), ермітові форми (Ерміт) [6].
Всі ці абстрактні поняття знаходять своє застосування в суто практичних
задачах математичної фізики: матрицях перетворень груп інваріантності (Лі);
теорії графів: матриця інцидентності, матриця суміжності, степенева матриця; в
цифровій обробці сигналів (DSP): бінарна матриця, матриця перестановки,
матриця Адамара. Для усунення протиріччя між електродинамікою і механікою,
(ньютонівське формулювання, яке включає перетворення Галілея), Лоренцом були
введені перетворення, що зв'язують геометричні величини (довжини кути),
виміряних в різних інерційних системах відліку. Було виявлено, що рівняння
Максвелла інваріантні щодо подібних перетворень, В використовуючи груповий
аналіз Пуанкаре довів, що перетворення Лоренца це поворот в чотирьохвимірному
просторі (х, y, z, t). В 1905р. Ейнштейн у своїй теорії відносності прийшов до
широко популярної згодом формально-аксіоматичної трактуванні цих
перетворень.
Векторні простори та лінійні відображення, що з'явилися в середині XIX
століття, до теперішнього часу є найважливішими поняттями не тільки для
алгебри, але і для більшості інших розділів математики.
Наприклад: перетворення змінних.
Розглянемо дві системи величин x1 , x 2 ,  , xn і y1 , y2 ,  , yn , зв’язані між
собою співвідношенням
(1)
i  1, 2,  , n .
yi  f i x1 , x2 ,  , xn 
Ці співвідношення можна розглядати як перетворення координат в просторі
 n (або як зміну змінних), так співвідношення x  r cos , y  r sin  можна
розглядати як формули переходу від полярних координат до декартових.
Співвідношення (1) визначають деякий оператор y  f  x  , який відображає простір
n в n .
251
Будемо в подальшому вважати, що оператор неперервний, диференційований
і має обернений оператор в  n .
Нехай задана функція z  z  x1 , x 2 ,  , xn  , диференційована необхідне число
раз. Зробимо заміну змінних xi  f i t1 , t 2 ,  , t n  i  1, 2,  , n .
Треба знайти формули, які пов'язують похідні від функції z по старим
змінним xi з похідними від z по новим змінним ti . За формулою похідної складної
функції маємо
n
z
z t i

i  1, 2,  , n .
xi j 1 t j xi
Запишемо ці співвідношення в матричному вигляді:
 z 
 z 




 t1 
 x1 
 z 
 z 
 x   A t  ,
(2)
 2
 2
  
  
z


 z 

 t 
 x 
 n
 n

t 
A  aik    aik  i  .
де матриця
xk 

Матриця А – це транспонована якобієва матриця оператора f 1 . Тому вона є
оберненою матрицею для транспонованої якобієвої матриці оператора f,
 x
A   k
 ti
1

1
 
  Aik  ,


D
x
,
x
,

,
x
1
2
n

Dt1 , t 2 ,  , t n 
 x 
xk
матриці  k  .
ti
 ti 
Підставляючи знайдене значення А в співвідношення (2) отримуємо
n
z
D x1 , x2 ,  , xi 1 , z , xi 1 ,  , xn 
Aik

z
t k
Dt1 , t 2 ,  , t n 
k 1
.


D x1 , x2 ,  , xn 
xi D x1 , x2 ,  , xn 
Dt1 , t 2 ,  , t n 
Dt1 , t 2 ,  , t n 
Ці формули виражають похідні z по старим змінним через похідні z по новим
змінним.
Аналогічно отримуємо
де Aik — алгебраїчне доповнення елемента
252


z
D x1 ,  , x j 1 , , x j 1 ,  , xn 
xi


2
Dt1 , t 2 ,  , t n 
 z
,

D x1 , x2 ,  , xn 
xi x j
Dt1 , t 2 ,  , t n 
z
треба підставити його із попередньої формули.
xi
Аналогічно знайдемо похідні більш високих порядків.
Отримані формули використовуються при зміні незалежних змінних в


z z
z  2 z
,
,,
, 2 ,  .
диференційних виразах: F  x1 , x2 ,  , xn , z ,
x1 x2
xn x1


де замість
Приклад. У хвильовому рівнянні
2 z 2 z

 0 провести заміну змінних
x 2 y 2
 x  u  v,

 y  u  v.
Розв’язання.
D x, y 
z
1 u 1 1  z z 
D  x, y  1 1
z D u, v 


   .

 2 ,
Du , v  1  1
2 z  1 2  u v 
x
2
v
z 1  z z 
   ,
Аналогічно
y 2  u v 
 z 
D , y 
  1  z z 
 x 
1
  
2
 z
 u, v 
1 u  2  u v 
2z 2 z 
1  2 z






2

.
x 2
2
2   1  z z 
uv v 2 
4  u 2
   1
v  2  u v 
2 z 1  2 z
2 z 2 z 
Аналогічно 2   2  2

.
y
uv v 2 
4  u
2z 2z
2z
2 z
Таким чином , 2  2 
.
Отримуємо
 0.
x
y
uv
uv
Отже, лінійна алгебра є вагомим інструментом, який використовується
іншими математичними та прикладними дисциплінами.
253
Для спеціальностей, на яких відбувається підготовка спеціалістів високої
кваліфікації інженерів-науковців курс лінійної алгебри, бажано відокремлювати в
окрему навчальну дисципліну «лінійна алгебра», або «лінійна алгебра та
аналітична геометрія».
Модернізація системи вищої освіти в контексті Болонського узгодження
потребує технологізації процесу навчання, використовування різних типів
електронних освітніх ресурсів [3].
При математичній підготовці фахівців у галузі техніки бажано впроваджувати
спеціальні математичні курси, які віддзеркалюють майбутні інтереси спеціаліста.
Високий динамізм сучасного наукового прогресу і високі вимоги до
професійної підготовки інженерів вимагають забезпечення належного рівня
математичної підготовки студентів. [2].
Список використаних джерел
1.
Александров А.А.МГТУ им. Н.Э. Баумана: опыт, традиции и инновации в подготовке
инженерных и научных кадров. Инженерное образование. №10, 2012.– С. 6-14. [Електронний
ресурс] – Режим доступу:www. aeer.ru
2.
КриловаТ.В., ГулєшаО.М., ОрловаО.Ю. Дидактичні засади фундаменталізації
математичної освіти студентів нематематичних спеціальностей університетів. Дидактика
математики: проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт. – Вип. 35. – Донецьк: Вид-во
ДонНУ, 2011.– С. 27-36
3.
Мельников Ю.Б. Линейные операторы. Раздел електроного учебника для сопровождения
практического занятия. Изд. 3-е, испр.и доп. УГЭУ. [Електронний ресурс] – Режим
доступу:http://melnikov.web.ur.ru
4.
Ногин В.Д. Математика в техническом вузе: проблемы и перспективы. СанктПетербургский государственный технический університет. [Електронний ресурс] – Режим
доступу: www.spbstu.ru/.../Nogin/Mathematics_in_VTUZ.doc
5.
Петрук В.А. Теоретико-методичні засади формування професійної компетентності
майбутніх фахівців технічних спеціальностей у процесі вивчення фундаментальних дисциплін:
монографія / В.А.Петрук. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2006. – 292 с.
6.
Романів О.М. Навчально-методичний посібник з лінійної алгебри. Ч.2.Львів. Видав. ЛНУ
ім.
І.Франка,
2010.
–
С.124.
[Електронний
ресурс]
–
Режим
доступу:
http://www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/secret/doc/linalg2.pdf
254
РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НА ОСНОВЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Л. А. Габриель
ДонНТУ, Донецк, Украина
Lary_Gabriel@ukr.net
В современных условиях возрастает потребность общества в инженерных
кадрах, способных грамотно подходить к изменениям в технологиях производства, эффективно и качественно решать профессиональные задачи. Вместе с
тем, в технических ВУЗах наблюдается недостаточно эффективное использование преподавателями методов, приемов и средств, позволяющих моделировать
профессиональную деятельность инженеров.
Как учебный предмет, теория вероятностей обладает огромным прикладным потенциалом, позволяющим выявлять существенные связи реальных явлений и процессов в производственной деятельности, формировать у будущих
инженеров умения строить и анализировать модели инженерных задач, особенно задач прогнозирования и принятия решения в условиях неопределенности.
Поэтому целесообразно в обучении теории вероятностей использование комплекса прикладных и профессионально ориентированных задач. Это позволяет
устанавливать связи со специальными дисциплинами, иллюстрировать эффективность вероятностных методов, соответствовать процессу формирования базовых профессиональных компетентностей будущего инженера.
С этой целью нами предложено учебное пособие по теории вероятностей
для самостоятельной работы студентов технических направлений подготовки,
разработанное для усиления прикладной направленности в обучении данного
курса на основах деятельностного подхода. Суть этого подхода заключается в
том, что целями обучения является освоение студентами способов действий,
необходимых ему как при изучении специальных дисциплин, так и в будущей
профессиональной деятельности.
Добиться поставленных целей можно только в том случае, если использовать знания как средство освоения и выполнения действий в разных видах
учебной деятельности. При этом усвоение знаний происходит во время освоения действий. Для этого знания должны быть структурированы в виде так
называемого опорного или семантического конспекта. Особенностью этого
конспекта является то, что все основные положения изучаемого курса, представлены в виде высказываний, которые формулируются одной фразой, или
предложением. Они содержат определения, утверждения, теоремы, изучаемые в
курсе теории вероятностей. Эти высказывания пронумерованы и составляют
своего рода логический скелет курса. При этом материал подается в строгой
логической последовательности и оказывается разложенным на логические
единицы, что позволяет внимательному читателю установить его четкую логическую структуру.
255
С точки зрения деятельностного подхода, усваивать знания можно, только
применяя их, оперируя ими, а механизмом осуществления учебной деятельности при обучении теории вероятностей есть решение задач. В пособии предложена система задач, которая направлена на последовательное усвоение учебных
действий. Первая часть пособия рассматривает такие разделы теории вероятности как «Основные понятия и теоремы теории вероятностей» и «Повторные независимые испытания».
Кроме того, решение задач предлагается выполнять с помощью процедур
ориентирования, которые состоят из общего ориентирования (выяснение, что
надо делать и что для этого надо знать) и ориентирования на исполнение (выяснение какие действия необходимо выполнить и с помощью чего). При этом
для каждого раздела решены типовые задачи с применением так называемой
схемы ориентирования, которая приведена в таблице 1.
Таблица 1
Схема ориентирования при решении задач
Общее ориентирование
Что дано?
Что надо найти?
Что надо знать?
Ориентирование на исполнение
Действия, которые необходимо выполнить
Какие формулы необходимо знать?
Приведем фрагмент семантического конспекта по теме «Схема Бернулли.
Формула Бернулли».
СК.7.1. Одно и то же испытание можно повторять многократно при
определенных условиях. (СК.1.1.)
СК.7.2. Последовательность многократно повторяющихся испытаний
называется серией повторных испытаний.
СК.7.3. Повторные испытания называют независимыми, если исход одного испытания не зависит от исходов других испытаний. (СК.7.2.)
СК.7.4. Число многократно проведенных независимых испытаний, обозначают n. (СК.7.2; СК.7.3.)
СК.7.5. В результате каждого испытания в серии независимых повторных испытаний может появиться или не появиться некоторое событие А.
(СК.1.8.)
СК.7.6. Вероятность появления события А в каждом отдельном испытании обозначают p. (СК.7.4.)
СК.7.7. Вероятность непоявления события А в каждом отдельном испытании обозначают q. (СК.1.18; СК.7.5.)
СК.7.8. Вероятность появления события А и вероятность непоявления
события А связаны равенством q=1-p. (СК.1.25; СК.7.5; СК.7.6)
256
СК.7.9. Вероятность появления события А в каждом отдельном испытании считают постоянной. (СК.1.15; СК.7.5.)
СК.7.10. Серию независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна, называют схемой Бернулли. (СК.7.2; СК.7.3; СК.7.7.)
СК.7.11. В результате серии независимых испытаний событие А может
появиться некоторое количество раз.
СК.7.12. Число появлений события А в серии n независимых испытаний
обозначают k. (СК.7.4; СК.7.9.)
СК.7.13. Вероятность появления события А в серии n независимых испытаний k раз обозначается nk . (СК.7.9; СК.7.11.)
СК.7.14. Формула для вычисления вероятности появления события А k раз
в серии n независимых испытаний называется формулой Бернулли. (СК.7.9;
СК.7.12.)
СК.7.15. Формула Бернулли представляет собой произведение числа сочетаний из n по k на вероятность появления события А в степени n и на вероятность непоявления события А в степени n – k. (СК.7.5; СК.7.6; СК.7.12;
СК.7.13)
СК.7.16. Вероятность, вычисленная по формуле Бернулли, имеет символьный вид: nk  С kn p n  q n  k . (СК.7.13; СК.7.14)
Приведем решение одной из типовых задач по данной теме с использованием схемы ориентирования в виде вопросов и ответов (таблица 2).
Задача 1. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 различных пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будут проданы 5 пакетов.
Решение. Составим схему ориентирования.
Таблица 2
Схема ориентирования задачи 1
№
п/
Вопрос
Ответ
п
1. В чем состоит эксперимент в
Эксперимент состоит в серии проданной задаче?
даж пакетов акций на аукционе
Событие А состоит в продаже одного
2.
В чем состоит событие А?
пакета акций по первоначально заявленной на аукционе цене
Событие А происходит в каждом Да, вероятность события А, обозна3. отдельном испытании с постоян- чаемая p постоянна и ее процентное
ной вероятностью?
значение равно 20%
4. Известно ли число независимых
Да, по условию задачи n=9
испытаний n?
257
5.
6.
7.
8.
Известно ли k – число появлений
события А в серии n независиДа, по условию задачи k=5
мых испытаний?
Вероятность, какого события
Вероятность того, что событие А
требуется найти в задаче?
произойдет ровно 5 раз в серии из 9ти независимых испытаний
Можно ли для вычисления иско- Да, так как есть серия независимых
мой вероятности использовать
испытаний, в каждом из которых соформулу Бернулли?
бытие А происходит с постоянной
вероятностью p
Используя классическое определеКак вычислить значение вероят- ние вероятности события
m
ности p события А?
Р(А)  (1)
n
1.
Исполнительная часть деятельности
20
Вычислите вероятность p собы 0, 2
p = Р(А) 
100
тия А, используя формулу (1)
P 95  C
2.
Вычислите искомую вероятность, используя формулу
СК.7.16
5
9
 0 ,2
5
 (1  0 , 2 ) 9  5 
9!
 0 ,2
5 ! ( 9  5 )!
5
 0 ,8
4
 0 ,165
Ответ: вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по
первоначально заявленной цене будут проданы 5 пакетов, равна 0,165.
Задания, предлагаемые для самостоятельной работы студентов, содержат
несколько вариантов ответов и имеют также прикладной характер.
На наш взгляд, учебное пособие, разработанное с использованием схем ориентирования и содержащих систему прикладных задач по теории вероятностей,
позволяет сделать более эффективным процесс освоения студентами способов
действий их будущей профессиональной деятельности.
Список литературы
1. Євсеєва О. Г. Теоретико-методичні основи діяльнісного підходу до навчання математики
студентів вищих технічних закладів освіти : монографія / О. Г. Євсеєва. – Донецьк : ДВНЗ
«ДонНТУ», 2012. – 454с.
2. Габриель Л. А. О проблемах обучения теории вероятностей и математической статистики
в техническом ВУЗе: Тез. докл. 14-ої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. Історія та методика викладання математики. – К : НТУУ «КПІ», 2012.— с. 69-76
258
ЗНАЧЕНИЕ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ
В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ
А. И. Гайсакова, А. А. Кульжумиева
Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова,
Уральск, Казахстан
aiman-80@mail.ru
Социально-экономическая модернизация, технический прогресс ставят перед образованием задачу формирования личности, компетентной в области
ИКТ, способной применять знания и умения в практической жизни для успешной социализации в современном мире. Поэтому развитие системы образования
является важнейшим аспектом государственной политики Казахстана, так как
подготовка высококвалифицированных кадров – один из основных факторов
повышения конкурентоспособности любой страны.
В нашей стране прогрессивному развитию и модернизации образования
уделяется огромное влияние. Образование признано одним из важнейших приоритетов долгосрочной стратегии «Казахстан – 2030». Н. А. Назарбаев в своей
статье «Социальная модернизация Казахстана: 20 шагов к обществу всеобщего
труда», Стратегия «Казахстан – 2050» не раз касался вопроса модернизации системы образования.
«Мы должны интенсивно внедрять инновационные методы, решения и
инструменты в отечественную систему образования, включая дистанционное
обучение и обучение в режиме онлайн, доступные для всех желающих. Изменить направленность и акценты учебных планов среднего и высшего образования, включив туда программы по обучению практическим навыкам и получению практической квалификации», - отмечает Президент в [1].
Таким образом, современный университет должен обеспечить достижение
таких результатов учебно-воспитательного процесса, которые могут помочь
человеку достойно жить в обновленном обществе. Для этого необходимо создать условия для обучения, которые помогут получить студенту качественное
образование.
«От показателей знаний мы переходим к компетентностям», - заявил министр образования и науки Жумагулов Б.Т. [2]. То есть студент должен знать,
для чего он это изучает, какое это имеет прикладное значение.
Сегодня, живя в век информационных технологий, в условиях научнотехнического прогресса, физико-математическое образование является неотъемлемой составляющей индустриально-инновационного развития, развития
экономики в целом. Математические знания и навыки необходимы практически
во всех сферах деятельности. Поэтому в современном педагогическом вузе становятся актуальными вопросы разработки методик обучения математическим
дисциплинам на основе широкого использования информационно - коммуникационных технологий. Подготовка учителей математики всегда была ответственной задачей кафедры. Повышению качества физико-математического обра-
259
зования может способствовать внедрение инновационных методов и технологий обучения.
В курсе математического анализа, в частности, в обучении интегральному
исчислению существует ряд методических проблем, решению которых способствует использование наукоемких образовательных технологий. Среди таких
проблем можно назвать существующий формализм в усвоении студентами основных понятий интегрального исчисления; затруднения в систематизации и
структурировании полученных знаний по интегральному исчислению, в визуализации абстракций интегрального исчисления и в применении аппарата интегрального исчисления в прикладных задачах; недостаточное развитие творческой активности студентов; слабое развитие информационной компетентности
студентов.
В школьном курсе начал анализа также существуют методические проблемы, решению которых может помочь умелое использование информационных
технологий в процессе обучения началам анализа школьников. Развивать это
умение у студентов необходимо уже с первых курсов. Анализ научнометодической литературы, наблюдения и беседы с учителями математики общеобразовательных школ показал, что существуют как объективные, так и субъективные трудности в применении учителями математики средств ИТ в учебном процессе.
Прикладная направленность обучения математике состоит в ориентации
содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках, в профессиональной деятельности, в сельском хозяйстве и в быту.
Таким образом, приоритетным направлением в нашей работе является разработка методики использования программных средств в обучении математическому анализу, включающих задания прикладного характера для студентов
специальности 5B010900 - «Математика».
Список литературы
1. Послание Президента РК народу Казахстана «Стратегия «Казахстан-2050» - новый политический курс состоявшегося государства, 2012.
2. Онлайн – конференция на тему: «Модернизация системы образования – главный вектор
качественного роста человеческого потенциала». Астана, 2012.
3. Статья Президента РК Н. А. Назарбаева «Социальная модернизация Казахстана: двадцать
шагов к Обществу Всеобщего Труда», 2012.
4. Беспалько В.П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего
тысячелетия), М.: МПСИ, 2002.
260
ПРО НЕОБХІДНІСТЬ ІНДИВІДУАЛЬНОГО ПІДХОДУ
ПРИ ВИВЧЕННІ КУРСУ „ВИЩА МАТЕМАТИКА”
В ТЕХНІЧНОМУ ВУЗІ
О. О. Дем’яненко
НТУУ „Київський політехнічний інститут”, Київ, Україна
o.dem@ukr.net
Зарахування абітурієнтів у вищі учбові заклади України відбувається за
результатами ЗНО. В останні роки сформувались чіткі тенденції цього процесу,
які ставлять перед викладачами вищих учбових закладів відповідні задачі.
Серед особливостей студентської аудиторії перших курсів можна виділити
наступні: великий відсоток „випадкових” людей; сприйняття студентами
матеріалу окремих дисциплін, або розділів дисциплін локально, без
встановлення зв’язків з іншими дисциплінами чи розділами; відсутність
навичок в роботі з математичною літературою; нерозуміння необхідності та
невміння запам’ятовувати ключові теоретичні положення. До цього додається
суттєве скорочення аудиторних годин, що виділяються на вивчення
математичних дисциплін навчальними програмами у вищих учбових закладах в
останні декілька років.
Рання спеціалізація в середній школі призводить до того, що гуманітарний
напрямок школярами обирається часто з міркувань зручності, начебто,
простоти навчання, або тому, що віддають перевагу вивченню іноземних мов.
Але в одинадцятому класі „про всяк випадок” певна кількість школярівгуманітаріїв подають заявку на складання ЗНО з математики і в силу
невисокого рівня вимог здають цей іспит. Після цього подають документи у
декілька ВУЗів і обирають з них найбільш престижний, не звертаючи особливої
уваги на майбутні спеціальності. В результаті в наших аудиторіях опиняються
до 30% студентів, які не мають ні відповідної базової підготовки, ні відповідної
мотивації до навчання математики та інших технічних дисциплін.
У сучасної молоді тенденція сприймати інформацію із зовнішнього світу
окремими блоками, які не пов’язані між собою, спостерігається вже декілька
років. Причин цього явища визначати не будемо, але наслідки зрозумілі і
загрозливі. Сприйняття математики як просто дисципліна „математика”, а не як
потужного інструменту для розв’язку спеціальних задач, викликає у студентів
ланцюжкову реакцію виникнення проблем в засвоєнні курсів та при виконанні
лабораторних робіт з фізики, хімії, тощо.
Доступність та наявність різноманітних електронних та цифрових носіїв
інформації створює у студентів ілюзію вивченого матеріалу. Вони із
задоволенням „скачують” формули та таблиці і на цьому робота з цим
матеріалом закінчується. Тобто, студенти вміють інформацію накопичувати та
зберігати, але не вміють її аналізувати та використовувати. Щось подібне
відбувається з довідниками та підручниками. Придбавши рекомендовану
261
літературу, студенти, які бувши школярами не навчені читати підручники, не
розуміють, що теорію треба розбирати та запам’ятовувати.
Всі перераховані моменти вимагають від викладачів застосування нових
методичних прийомів, або модернізації старих. Автор хоче акцентувати увагу
на індивідуальному підході при вивченні курсу „Вища математика” і
запропонувати деякі методичні прийоми, які цей підхід забезпечують.
Не дивлячись на проблемну аудиторію, не можна допускати спрощення
змістовної сторони теоретичного матеріалу та зниження рівня практичних
задач. Щоб спонукати студентів вивчати та запам’ятовувати теорію
пропонується при розгляді майже кожної теми проводити або математичні
диктанти по теорії, або електронне тестування по теорії. В обох варіантах
студент самостійно мусить відповісти на поставленні питання. У першому
варіанті, відповідаючи письмово, необхідно вміти використовувати терміни,
формалізовані математичні записи, вірно формулювати математичні
твердження. У другому варіанті використовуються інноваційні технології, які
близькі за формою сучасній молоді. Питання у тестах можна ставити так, щоб
не просто перевірити вивченні означення та формулювання теорем, але й
з’ясувати розуміння матеріалу, глибинні зв’язки між різними поняттями. Окрім
цього, електронні тести дозволяють студенту одразу отримати результат, який,
як правило, не викликає сумнівів.
При складанні варіантів контрольних робіт, як модульних, так і
короткочасних бажано створювати декілька рівнів за складністю. Найпростіші
завдання, що є обов’язковими для всіх, мають забезпечувати той необхідний
мінімум знань та навичок, що вимагає програма і дозволяє переважній
більшості студентів отримати задовільні рейтингові бали. Завдання вищої
складності спонукають талановитих студентів до індивідуальної роботи над
складними завданнями та підвищують їх інтерес до дисципліни, що і
оцінюється, відповідно, високими рейтинговими балами.
При проведенні практичних занять необхідно мати достатню кількість
підготовлених задач, щоб мати змогу тим студентам, які прості завдання
розв’язують швидко, запропонувати самостійно вирішити складніші задачі. В
цьому викладачам дуже допомагають практикуми, розроблені на кафедрі
математичного аналізу та теорії ймовірностей по розділах курсу „Вища
математика” за всі три семестри. Ці практикуми містять розібрані задачі, на які
можна вказати як на зразок й умови подібних прикладів з відповідями, які
пропонуються для самостійного вирішення.
Розглянуті методичні прийоми допоможуть, на погляд автора, забезпечити
необхідний мінімальний рівень знань з математичних дисциплін студентської
аудиторії загалом та заохотити здібних студентів до поглибленого вивчення
математики.
262
НАВЧАННЯ ПОШУКУ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
В. І. Журавська
НТУУ “КПІ”, Київ, Україна
Valentina177@i.ua
Під час вивчення вищої математики учень постає перед необхідністю
розв’язувати задачі різної складності. Процес розв’язання задач являє собою
пошук виходу із складного становища або оминання перешкоди – це процес
досягнення цілі, якою є розв’язок задачі.
Розв’язування задач можна розглядати як мистецтво, навчитися йому можна через постійну практику та наслідування хороших взірців. Зрозуміло, що
якщо нова задача дуже схожа на якусь задачу, хід розв’язку якої відомий, нова
задача легко розв’язується “за аналогією”. Таким чином, хід розв’язку старої
задачі може бути використаний як метод для розв’язання нової задачі.
Існує багато методів для розв’язку задач різного типу, велика кількість літератури присвячена дослідженню методів розв’язку окремих задач.
Але рано чи пізно, виникає нова задача, що не схожа на інші відомі та
розв’язані задачі, до якої не підходить жоден із накоплених учнем шаблонних
методів. Зрозуміло, що якщо навчати учнів (студентів чи школярів) лише спеціальним методам розв’язку певних типів задач, ми постанемо перед такою небезпекою: учні засвоять лише якийсь набір шаблонних методів, і не навчаться самостійно розв’язувати нові, нестандартні задачі, і тим паче, розробляти нові
спеціальні методи для розв’язку нових задач.
Отже, навчання учнів певній кількості шаблонних розв’язків типових задач
не є достатнім.
Тут на допомогу приходять певні підходи до розв’язання задач, такі як
аналіз та синтез, індукція та дедукція, узагальнення, порівняння, аналогія.
Все це – методи наукового пізнання, що допомагають у розв’язанні задач.
Ефективність використання цих методів пізнання залежить від глибини,
систематичності їх використання, а також від здатності учня до ідентифікації,
класифікації, та вміння учня логічно впорядкувати наявні дані для отримання
умовиводу. Всі ці методи є достатньо загальними, щоб використовуватися для
широкого класу задач, але жоден з цих методів не претендує на універсальність, як метод для розв’язку довільної задачі.
Однак чи існує універсальний метод, який би можна було використовувати
для будь-якої задачі?
Звісно, видатні математики (наприклад Декарт чи Лейбніц) у різні часи міркували над створенням універсального методу.
У своєму трактаті “Правила для керівництва розуму”, Декарт дає доволі
умовну схему для розв’язання довільної задачі:
1) Будь-яка задача зводиться до математичної задачі
2) Математична задача будь-якого вигляду зводиться до алгебраїчної задачі
3) Довільна алгебраїчна задача зводиться до розв’язку єдиного рівняння
263
З плином часу, стало зрозуміло, що ця схема не працює для великої кількості частинних випадків, але існують певні класи задач, які розв’язуються саме
за цією схемою.
Таким чином, маємо, що для розв’язку будь-якої задачі є корисним поставити питання: “ До якого типу відноситься ця задача? ”. Це питання, в свою
чергу, призводить до іншого питання: “ Що можна зробити для розв’язку задач
такого типу? ”
Ставлячи ці питання, та використовуючи свій досвід розв’язання задач,
учень наближається до отримання розв’язку даної задачі.
За наявності хорошої класифікації, можемо отримати розбиття задач на
класи, де кожний клас задач має свій набір методів для розв’язання.
Прикладом такої класифікації є розрізняння двох типів задач:
1. Задачі на знаходження
2. Задачі на доведення
Зрозуміло, що для кожного із цих двох класів задач є великий набір методів розв’язання. Наприклад, для розв’язання задач на доведення широко використовується метод “від супротивного”.
Розглядаючи задачі на знаходження, для учня є розумним ставити такі питання:
1) “Що треба знайти?”
2) “У чому полягає умова?”
3) “Як умова пов’язана із невідомим?”
Привчаючи учня задавати собі ці питання під час розв’язку задач, ми допомагаємо учневі точно розуміти умову задачі, що є необхідним для її
розв’язання, ми спонукаємо учня до самостійного мислення, дослідження, власних відкриттів. Очевидно, що одного цього підходу до задачі не достатньо для
її розв’язку.
Для успішного розв’язання задачі, учневі потрібно майстерно володіти методами наукового пізнання та використовувати свій досвід розв’язку схожих
задач. Тобто, учневі потрібно володіти предметом математики, мати не тільки
знання і вміння розв’язувати стандартні задачі, а і проявляти певну незалежність мислення, оригінальність і винахідливість.
Пошук розв’язку задачі – навичка, що потребує від учня і знання, і вміння.
Для того щоб навчити учня розв’язувати задачі недостатньо ознайомити його із
якоюсь кількістю методів – необхідно виховувати в учні вміння мислити, спонукати розвинення творчої активності.
Список літератури
1. Пойа Д. Как решать задачу. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. – 208 с.
2. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения
РСФСР, 1964. – 452 с.
3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Государственное учебнопедагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1953. – 462 с.
4. Декарт Р. Избранные произведения, Госполитиздат, 1950.
264
РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ
В СРЕДЕ WOLFRAM RESEARCH MATHEMATICA
В. И. Зеленков
Международный государственный экологический
университет имени А. Д. Сахарова, Минск, Беларусь
vzelenkov@yandex.ru
Как правило, электронные учебные и учебно методические пособия в современном высшем учебном заведении на деле представляют собой копию текста, изданного ранее на бумаге, а теперь конвертированного в формат PDF.
Называть такой документ полноценным электронным пособием вряд ли уместно. В лучшем случае текст содержит гипертекстовое оглавление и гиперссылки,
но в целом не позволяет использовать возможности современных информационных технологий. Главный недостаток такого рода изданий – отсутствие интерактивности, статичность.
Выход из положения предоставляет среда Wolfram Research Mathematica.
Она позволяет осуществлять набор текстов разнообразного дизайна и, что
принципиально важно, набор формул практически любой сложности. Текст
этот и формулы можно экспортировать в разнообразные форматы, пригодные
помимо прочего для распечатки или для размещения на веб-странице. Перекрестные ссылки, гиперссылки, составные документы, графика – все эти возможности налицо.
Принципиально важно то, что пособие, подготовленное в этой среде, даёт
студенту возможность помимо пассивного чтения производить вычисления (как
по готовым, так и по вводимым с клавиатуры) формулам. Можно отслеживать,
например, зависимость поведения изучаемой динамической системы от параметров описывающих ее дифференциальных уравнений и/или начальных и краевых условий, строить графики функций (в том числе, заданных параметрически, неявно или через численное решение дифференциального уравнения).
Графики эти могут быть двух- и трехмерными, статичными и динамическими.
Более того, подготовленное таким образом учебное пособие позволяет
студенту писать собственные уравнения и формулы, решать задачи (как с выбором, так и без выбора ответа). Возможны также абсолютно невозможные для
PDF- пособий приемы, например, генерация неповторяющихся типовых задач
(дифференциальных уравнений, определенных и неопределенных интегралов и
т.п.) с немедленной проверкой решения.
В качестве иллюстрации представлены фрагменты учебных пособий по
курсам «Математическое моделирование в экологии» и «Дифференциальные
уравнения».
265
Страница пособия по математическому моделированию в экологии сразу
после открытия. Стрелкой указана инициализационная ячейка, содержимое которой автоматически запускается на исполнение после открытия документа:
266
Та же страница после запуска функции GetPreyPredators:
Перемещая движки, студент анализирует, например, зависимость численности хищников от рождаемости жертв и т.п. Количество параметров может
быть увеличено.
Справку о функциях, необходимых для самостоятельного написания программы решения дифференциальных уравнений, можно открыть, пройдя по гиперссылкам, содержащимся в подсказке.
267
АНАЛІЗ ЗАСВОЄННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
СТУДЕНТАМИ ПЕРШОГО КУРСУ
С. П. Казнадій, В. П. Мурашковська, Л. А. Руновська
Чернігівський державний технологічний університет, Чернігів
kaz_na@i.ua
Науково-технічний прогрес з кожним роком змінює характер професійної
діяльності спеціаліста і саму професійно-кваліфікаційну структуру праці в
цілому.
Основи професійного розвитку особистості спеціаліста закладаються в
ВНЗ, починаючи з перших років навчання, в процесі засвоєння спеціальних,
загально професійних, освітніх предметів. Вища математика належить до циклу
природничих дисциплін и складає фундамент інженерної освіти, забезпечує
майбутніх фахівців необхідною базою знань для подальшої роботи, а також
надає широкі можливості для формування професійних якостей особистості
інженера, програміста, IT-спеціаліста.
Вища математика є однією з самих складних дисциплін на думку студентів
майже всіх спеціальностей. Більш 62% студентів по результатам сесії мають
оцінки з вищої математики нижчі, ніж по іншим предметам. Попри це, на
вивчення даної дисципліни студенти витрачають в середньому 77% (умовно)
своїх інтелектуальних можливостей.
Починаючи навчальний процес на першому курсі, викладач повинен
допомогти студентам пройти складний етап адаптації до нових умов навчання.
При цьому дуже важливою є інформація про особливості студентських груп, а
саме:
- рівень навченості кожного з студентів, який традиційно встановлюється
за результатами нульової контрольної роботи з шкільного курсу математики,
- особистісні параметри студентів, які характеризують рівень розвитку
кожного з них і дають можливість прогнозувати очікувані результати в
навчанні.
Така інформація розширює уяву педагога про студентів і в залежності від
цього дає можливість використовувати відповідні форми проведення
аудиторних занять та організації контрольних заходів.
Контроль знань дозволяє співставити результати навчання з мотивами
студентів, встановити цінність отриманих результатів, їх значимість, їх
відповідність очікуванням тих, хто навчається. Дослідження критеріїв
сприйняття викладача студентами важливе як для управління процесом
формування взаємовідносин між викладачами та студентами, так і для
управління пізнавальною діяльністю тих, хто навчається, розвитком їх
інтелектуального та творчого потенціалу.
З метою оцінювання знань “новоспечених” студентів, які були зараховані
до університету за конкурсом балів сертифікатів кафедра вищої та прикладної
математики університету проводить нульову контрольну роботу з шкільного
268
курсу, по матеріалам ЗНО. Нульова контрольна робота проводиться на
першому практичному занятті до того, як починається вивчення курсу вищої
математики і дає можливість викладачу визначити рівень підготовленості всієї
групи, що дасть змогу будувати заняття оптимальним чином, з урахуванням
рівня складності викладення матеріалу.
Таке тестування проводиться щороку. Викладачі кафедри аналізують
зібрані результати й приходять до невтішного висновку що загальний рівень
підготовки випускників шкіл з математики знижується.
Розглянемо результати 2011-2012 навчального року. В дослідженні брало
участь 67 студентів факультету ФІОТ, 78 студентів механічного факультету і 21
студент факультету менеджменту. За результатами вхідного контролю 79%
отримали незадовільний результат. Погані результати свідчать про дуже
низький рівень знань випускників, які мали у сертифікаті від 135 до 160 балів.
Трапляються випадки, коли студенти з досить пристойними балами в
сертифікаті не можуть правильно скласти дроби, погано знають таблицю
множення, мають «великі проблеми» з тригонометричними функціями,
векторами і т.д.
Проведемо аналіз першої атестації. Першу атестацію пройшли 68% ¸ отже
частка «успішних» студентів відносно вхідного контролю зросла. Необхідно
відзначити феномен підвищення підготовки студентів, які мали у сертифікаті
від 145 до 165 балів. Жоден з цих студентів не отримав позитивної оцінки на
вхідному контролі, а першу атестацію подолали 45% з них. Це можна пояснити
як особистими навчальними зусиллями студентів, які усвідомили свою
недостатню підготовку, так і індивідуальною роботою викладачів зі слабкими
студентами, які були виявлені за результатами вхідного контролю.
За результатами трьох модулів в першому семестрі позитивні оцінки (без
перездач) отримали 79% . Серед них 34% підтвердили оцінку, яку вони мали за
шкільним рейтингом , 7% студентів вдалося покращити результат, а всі інші
знизили свій рівень знань. Але 25% студентів, що мали на вхідній контрольній
0-2 бали отримали «незадовільно» по результатам трьох модулів і змушені були
неодноразово перескладати екзамен. Частина з них отримала оцінку «Е», що
говорить сама за себе. Така ціна слабкої шкільної математичної підготовки та
низьких вимог ЗНО. Якість успішності таких студентів не відповідає
акредитаційним вимогам. Можливість підготувати з таких студентів елітних
інженерів викликає великий сумнів.
42% студентів хотіли отримати оцінку на бал вище реальної. Можливо, це
пов'язано з загальними підсумками сесії або з соціальною бажаністю. Судячи
по бажаним оцінкам, більшість студентів мотивована на успіх.
Але є в даній вибірці і студенти, мотивовані на уникнення невдачі. Як
правило, це люди з низькими показниками успішності. Їх явна мета - не
домогтися успіху, а уникнути невдачі: просто здати іспит.
У 41% студентів власні оцінки знань збіглися з думкою викладача. У 35%
власні оцінки були вищі на 1 бал. В цілому по вибірці виявилось, що реальна
269
оцінка на іспиті нижче прогнозованих студентами оцінок. Це може бути як
показником завищених вимог викладача, так і завищеної самооцінки студентів.
Враховуючи проведений аналіз треба відзначити роль рейтингової системи
в об’єктивному оцінюванні знань студентів. Рейтингова система контролю і
оцінювання знань, як показує практика, сприяє інтенсифікації учбового процесу
і дозволяє відслідковувати динаміку роботи студента, враховуючи при цьому її
напруженість і результативність, коректувати ймовірні причини зниження
успішності, забезпечує можливість більш ефективно організувати і
підтримувати протягом всього року систематичну роботу студентів не тільки на
практичних заняттях, а й самостійну; підсилює значення консультативної
допомоги викладача; дає змогу врахувати психологічні особливості молодіжної
аудиторії.
Одним з найбільших недоліків рейтингової системи є велике
навантаження, що полягає на викладача.
Багаторівнева система тестових завдань, що розроблена на кафедрі,
направлена на глибоке засвоєння студентами фундаментальних знань, які є
основою спеціальних знань, необхідних майбутнім спеціалістам.
Список літератури
1. Смирнов С. Педагогіка і психологія вищої освіти.-М.:-303 с.
2. Вища освіта України і Болонський процес: Навчальний посібник/ За ред. В.Г.Кременя.
Авторський колектив: М.Ф. Степко, Я.Я. Болюбаш, В.Д. Шинкарук, В.В. Грубінко, І.І. Бабин
– Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004. – 384 с.
270
ПРО ДЕЯКІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
О. О. Карабин, О. Ю. Чмир
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності,
Львів, Україна
oksana_karabyn@mail.ru, o_chmyr@yahoo.com
Математика, як одна з найстародавніших наук, зародилася з потреб практики. Будівництво, вимірювання площ земельних ділянок, торговельні розрахунки потребували вміння виконувати арифметичні обчислення, а також певних
геометричних уявлень. Згодом математика сформувалася у певну систему, як
складова частина загального комплексу наукових знань. Потреби природознавства, техніки постійно ставили перед людьми нові задачі, які в свою чергу стимулювали розвиток самої математики. Водночас прогрес в самій математиці
підвищував ефективність математичних методів.
Роль математики в різних галузях людської діяльності з часом змінювалася, причому залежала в основному вона від двох факторів: рівня розвитку математичного апарату і ступеня зрілості знань про той чи інший досліджуваний
об’єкт, тобто можливості описати найістотніші його властивості мовою математичних понять або, як кажуть, можливості побудувати математичну модель
цього об’єкта.
Одним з основних видів математичних моделей є рівняння, вивчення якого
починається з найпростішого випадку – одне рівняння першого степеня з одним
невідомим, а потім поглиблюється в двох напрямках: перший – розглядаються
системи двох і трьох рівнянь першого степеня з двома і, відповідно, трьома невідомими; другий – вивчається одне квадратне рівняння з одним невідомим і
деякі окремі типи рівнянь, що легко зводяться до квадратних, наприклад, відоме біквадратне рівняння.
Відсутність формул для розв’язування рівнянь вищих степенів не слід
вважати дуже прикрою обставиною. Оскільки коефіцієнти більшості рівнянь,
які доводиться розв’язувати фізикам чи інженерам, є величинами, знайденими в
результаті вимірювань, тобто наближеними, а тому корені потрібно знати лише
наближено, із заданою точністю. Це дало поштовх до розробки різних методів
наближеного розв’язку рівнянь – графічних та чисельних.
З появою комп’ютерів роль таких методів особливо зросла, оскільки завдяки їм вдалося істотно розширити клас задач, розв’язуваних за допомогою
різних комп’ютерних програм.
Таким чином, постає питання не про практичну можливість відшукання
коренів, а про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними
коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. Розглядаючи квадратні рівняння,
а також рівняння третього та четвертого порядків у множині комплексних чисел, обов’язково відшукаються їхні розв’язки.
Вивчення алгебраїчних рівнянь є важливим підґрунтям для розв’язування
різних задач з курсу вищої математики, наприклад, для обчислення інтегралів
271
за допомогою методу невизначених коефіцієнтів, для знаходження коренів характеристичного рівняння, яке виникає при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків. При розв’язуванні таких задач виникають рівняння
a0 x n  a1 x n1  ...  an  0 ,
(1)
ліву частину яких потрібно подати у вигляді
a0 ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn )  0 ,
де x1 , x2 ,…, xn – корені рівняння (1).
Відомо те, що корені рівнянь першого, другого, третього та четвертого
степенів виражаються через їх коефіцієнти за допомогою скінченної комбінації
алгебраїчних дій, тобто ці рівняння розв’язуються в радикалах. Для рівнянь
вищих степенів вдається лише виділити окремі види рівнянь п’ятого степеня,
що зводяться до розв’язування рівнянь нижчих степенів або до двочленного
рівняння y 5  q  0 , всі значення коренів якого визначаються за формулою добування кореня комплексного числа: y  5  q .
До рівнянь, що розв’язуються в радикалах, належать, зокрема, так зване
симетричне рівняння
a0 x5  a1 x 4  a2 x 3  a2 x 2  a1 x  a0  0 ,
яке можна звести до вигляду
a0 ( x 5  1)  a1 ( x3  1) x  a2 ( x  1) x 2  0 .
Взагалі, симетричним рівнянням n-го степеня називається алгебраїчне рівняння
a0 x n  a1 x n 1  a2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0  0 ,
у якому коефіцієнти при x n і x nm рівні.
Ще один тип рівнянь вищих степенів, які розв’язуються в радикалах, є так
звані тричленні рівняння, тобто рівняння виду
ax 2 n  bx n  c  0 ,
яке заміною x n  t , зводиться до квадратного рівняння.
Існують також штучні способи розв’язування в радикалах окремих рівнянь
вищих степенів, це так звані рівняння, у яких явно видно, яку потрібно провести заміну, щоб отримати рівняння нижчого степеня.
Норвезький математик Н. Абель з’ясував неможливість розв’язання в радикалах рівняння вище четвертого степеня. Він довів, що не існує універсальної
формули подання коренів рівняння п’ятого і вищих степенів через його коефіцієнти за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій. З праць Абеля, проте,
не випливало, що зовсім не існує окремих рівнянь п’ятого, шостого і вищих
степенів, які розв’язуються в радикалах. Отже, пошук критерію розв’язуваності
рівняння в радикалах тривав. Успішно завершив його у першій половині XIX
ст.. геніальний французький математик Е. Галуа.
272
Слід зазначити, що теорія груп, яка виникла в зв’язку із, здавалося б, суто
алгебраїчною проблемою розв’язуваності рівнянь в радикалах, довгий час вважалась найбільш «чистою» математичною дисципліною, позбавленою будьякої практичної цінності, проте сьогодні апарат теорії груп є одним з найширше
застосовуваних не лише в різних розділах математики (геометрія, топологія), а
й поза нею (кристалографія, теорія елементарних частинок).
Як відомо, розв’язати алгебраїчно можна лише алгебраїчні рівняння певних типів. Проте існують загальні способи, що дають змогу знайти наближені
значення дійсних коренів рівнянь.
Одним з таких методів є графічний метод наближеного розв’язування рівнянь. При графічному розв’язуванні рівняння  ( x)   ( x) корені знаходяться
геометричними побудовами. Графічний метод відіграє важливу роль як допоміжний засіб, застосовуваний при наближеному розв’язуванні рівнянь. Графіки
функцій  ( x) і  ( x) часто дають можливість визначити число коренів рівняння, відшукати ті проміжки, в яких містяться корені, і визначити наближено їх
числові значення. Результати, здобуті графічним методом, перевіряються й
уточнюються обчислювальними методами.
Розглянемо рівняння F ( x)  0 . Його розв’язування можна геометрично
тлумачити як знаходження точок перетину лінії графіка функції y  F ( x ) з віссю абсцис. Якщо графік y  F ( x ) не має спільних точок з віссю абсцис, то рівняння не має дійсних коренів. Але при зростанні степеня рівняння кількість його коефіцієнтів збільшується, а це ускладнює побудову кривої. Задачу можна
спростити, якщо рівняння F ( x)  0 подати у вигляді  ( x)   ( x) . Найчастіше
одну з цих функцій вибирають так, щоб відповідна крива не залежала від параметрів рівняння, тобто залишалась незмінною для всіх рівнянь даного виду.
Якщо побудуємо графіки функцій y   ( x) і y   ( x) , використовуючи табличні значення та властивості цих функцій, то абсциси точок перетину їх будуть
коренями даного рівняння.
Список літератури
1. Чмир О.Ю. Про питання знаходження розв’язків алгебраїчних рівнянь п’ятого та вищих
степенів / О. Ю. Чмир, О. О. Карабин, О. М. Трусевич, О. В. Меньшикова // Матер. XV міжвузів. наук.-практ. конф. “Методичні проблеми викладання математики у вищих навчальних
закладах” – Львів, 2010. – С. 40 - 43.
2. Карабин О.О. Про групу Галуа алгебраїчного рівняння / О. О. Карабин, О. Ю. Чмир, О. В.
Меньшикова // Матер. XVII міжвузів. наук.-практ. конф. “Методичні проблеми викладання
математики у вищих навчальних закладах” – Львів, 2012. – С. 34 - 38.
273
ПРО ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ІНОЗЕМНИМ
СТУДЕНТАМ В РАМКАХ АНГЛОМОВНОГО ПРОЕКТУ НАУ
О. В. Карупу, Т. А. Олешко, В. В. Пахненко
Національний авіаційний університет, Київ, Україна
karupu@ukr.net, pobeda586@gmail.com, 111ota@ukr.net
Метою даної роботи є дослідження особливостей викладання деяких
питань математичного аналізу англійською мовою іноземним студентам, які не
є носіями цієї мови.
В Національному авіаційному університеті (НАУ) більшість студентів
навчаються за технічними спеціальностями, що передбачає досить значну
підготовку з математики. Тому навчальні плани цих спеціальностей містять у
різному обсязі математичні дисципліни. Кафедра вищої та обчислювальної
математики забезпечує викладання таких дисциплін студентам Аерокосмічного
інституту, Інституту комп'ютерних інформаційних технологій, Інституту
аерокосмічних систем управління і Інституту аеронавігації.
Перед викладачами кафедри постає проблема методичного забезпечення
викладання цих дисциплін. Особливо гострою ця проблема є для викладачів,
що вкладають математичні дисципліни англійською мовою в рамках Проекту
англомовної освіти.
Особливо нагальною стала ця потреба при впровадженні навчання за
кредитно-модульною системою. Навчальна література, що забезпечує
навчальний процес, має містити необхідний теоретичний матеріал з великою
кількістю докладно розв’язаних прикладів та значну кількість завдань для
самостійної та індивідуальної роботи студентів. Крім того, слід було б
доповнити посібники та відповідну методичну літературу словником нових
термінів, причому бажано було б слова надати і по темам, і по алфавіту.
З більшості дисциплін ця задача успішно розв’язана (див. [1–10]), оскільки
видана або готується до видання низка навчально-методичних посібників, що
задовольняє переліченим вимогам.
Відмітимо також, що незважаючи на повну забезпеченість навчального
процесу в НАУ посібниками за кредитно-модульною системою з курсу вищої
математики як українською, так і англійською мовою, постає необхідність в
продовженні розробки методично грамотно складених навчальних посібників,
які б враховували перелічені вище особливості. Особливо важливим для
іноземних студентів, що не володіють або володіють дуже погано російською та
українською мовами, є наявність доступних для них підручників англійською
мовою. Слід відмітити, що іноземні студенти, як правило, дуже активно
працюють з підручниками, особливо цінують посібники з прикладами
розв’язаних задач. При цьому, як правило, ці студенти привозять з собою
підручники рідною мовою, що стосуються частини курсу “Вища математика”,
яка є аналогом курсу “Calculus and Analytic geometry”, в яких розглянуто
елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії і диференціальне та
274
інтегральне числення. Тому в першу чергу приділялась увага написанню та
виданню навчальних посібників, що стосуються частини курсу “Вища
математика”, що є аналогом курсу “Advanced mathematics”, в якому вивчаються
ряди, кратні інтеграли, векторний аналіз, теорія функцій комплексної змінної,
операційне числення, теорія ймовірностей тощо.
В зв’язку з розвитком англомовної освіти виникає ціла низка питань щодо
викладання математичних дисциплін англійською мовою. Оскільки в групах
навчаються студенти з багатьох країн з різним рівнем знань англійської мови,
які не завжди добре володіють термінологією, то перед початком вивчення
кожної нової теми доцільно надавати в письмовому вигляді основні нові
математичні терміни англійською мовою, пояснювати їх зміст, звертаючи увагу
на вимову та написання.
Відмітимо, що значна частина іноземних студентів НАУ є громадянами
країн Північної Африки, Близького Сходу та Південно-Східної Азії, що
отримали середню освіту в школах та коледжах своїх країн . Проведений аналіз
контингенту іноземних студентів, що навчаються в Інституті комп’ютерних
інформаційних технологій НАУ, показує, що вони є представниками різних
систем освіти, що часто відрізняються одна від одної. При цьому рівень знань і
обсяг інформації, який студенти отримують на батьківщині, є неоднорідними
для різних систем. Певні розділи шкільної математики там не розглядались
взагалі або їм не приділялось належної уваги. Рівень пізнавальної діяльності,
який іноземці набули у себе на батьківщині, за багатьма параметрами не
відповідає рівню знань випускників середніх шкіл України.
Внаслідок перелічених причин при викладанні математичних дисциплін
таким студентам необхідно звернути увагу на особливості викладання
математики в середніх школах відповідних країн; враховувати, що англійська
мова не є рідною для вищезгаданих студентів; враховувати, що навчання в
середній школі відбувалось рідною мовою; іноземні студенти є носіями мов,
для яких є характерними або відмінний від звичного для нас напрямок
написання тексту (зокрема арабська та фарсі) або ієрогліфічна писемність
(зокрема китайська та в’єтнамська).
Розглянемо основні на наш погляд проблеми, що постають при викладанні
дисципліни “Математичний аналіз” та відповідних розділів дисципліни “Вища
математика”. Ними є як недостатня підготовка студентів з деяких розділів, так і
певна відмінність в підході викладачів до оцінки значущості різних тем та їх
взаємозв’язків, що практикувалися ще в середній школі.
В першу чергу слід відмітити традиційний для іноземних студентів дуже
низький рівень знань з тригонометрії, невміння будувати графіки
тригонометричних функцій, майже відсутність знань про обернені
тригонометричні функції. Крім того, дуже важливою є недостатність навиків
цих студентів з техніки диференціювання і інтегрування і недостатнє бажання
опановувати ці навики. Хоча при цьому слід відмітити більшу готовність
275
іноземних студентів використовувати системи комп’ютерної математики і
певний рівень навичок застосування цих систем.
Крім того, існує досить велика кількість проблем, пов’язаних з засвоєнням
іноземними студентами загальних питань диференціального та інтегрального
числення, оскільки цей розділ є достатньо складним для сприйняття, особливо в
технічних вузах. В багатьох країнах крім відомих нам методів інтегрування
заміною змінної та частинами вивчається ще й третій метод: інтегрування за
формулою, що полягає в тому, що студенти підставляють свої значення
параметрів в наведені в підручнику формули і зразу отримують результат.
Більшість студентів цей метод засвоїли найкраще, внаслідок чого засвоєння
перших двох методів викликає у них значні труднощі. Визначений інтеграл, як
правило, вводиться в школах як приріст первісної. В зв’язку з цим
ускладнюється сприйняття визначеного інтеграла як границі інтегральних сум.
Крім того зазначимо, що у студентів-іноземців відсутнє просторове
мислення, оскільки вони не вивчають нарисну геометрію: точку, пряму,
площину і геометричні фігури в просторі і методи розв'язання завдань на ці
елементи. У зв'язку з чим виникають проблеми при вивченні тем на
застосування визначеного інтеграла, таких як знаходження площин
криволінійних трапецій, об'ємів геометричних тіл, площин поверхонь
обертання тощо.
В багатьох підручниках, призначених для технічних університетів і
популярних серед студентів, виклад матеріалу здійснюється в такій
послідовності: похідна, первісна і невизначений інтеграл, визначений інтеграл
та його властивості, основна формула інтегрального числення, застосування
визначеного інтеграла, техніка інтегрування. Це створює ілюзію того, що
останнє питання є менш важливим.
При вивченні функцій кількох змінних та кратних інтегралів даються
взнаки недоліки засвоєння попередніх тем математичного аналізу, до яких
додаються проблеми, пов’язані з недоліки засвоєння теми “Криві та поверхні
другого порядку ”, внаслідок чого побудова потрібної області дуже часто стає
для студентів нездоланною проблемою.
Відмітимо також існування проблем з розв’язуванням прикладних задач.
Для студентів Аерокосмічного інституту та Інституту аерокосмічних систем
управління слід особливу увагу звертати на задачі технічного змісту. В той же
час при навчанні іноземців в середній школі основна увага приділялась
застосуванню інтеграла до розв’язку економічних задач.
Проте слід зауважити, що більшість іноземних студентів краще
підготовлені з питань комбінаторики, непогано знають векторну алгебру,
більше вивчали наближені обчислення. Як правило, рівень сприйняття ними
більш абстрактних питань є набагато нижчим. В цілому необхідно відмітити,
що іноземні студенти, як правило, достатньо добре організаційно підготовлені
до навчання за кредитно-модульною системою.
276
Відомо, що дуже важливим компонентом кредитно-модульної системи
навчання є велика кількість індивідуальних домашніх завдань та аудиторних
контрольних робіт. При їх перевірці та захисті студентами слід враховувати
особливості викладу студентами їхніх знань у письмовій та усній формі.
Необхідно якісно організувати самостійну роботу студентів, для чого слід
визначити конкретні та чіткі питання за темами та розділами, направлені на
самостійну роботу студента з підручником або посібником.
В цілому необхідно відмітити, що студенти англомовних груп мають, як
правило, вищий рівень знань і сприйняття порівняно зі студентами звичайних
груп. Крім того відмітимо, що наявність в університеті повного циклу
навчального процесу англійською мовою разом з узгодженням змісту кредитів
в навчальних планах і програмах сприятиме в майбутньому входженню
університету до Єдиного європейського освітнього простору в рамках
Болонського процесу, що передбачає, зокрема, можливість вільного руху
викладачів і студентів між університетами різних країн.
Список літератури
1. Oleshko Т.А., Mamchuk V.І. Theory of probability. Random Events. Methodical text-book. –
Kyiv: NAU, 2002. – 40 p.
2. Pakhnenko V.V., Shkvar Ye.O. Differential equations. Text-book. – Kyiv: NAU, 2002. – 104 p.
3. Karupu O.W. Elements of theory of functions of complex variable. Lectures.– Kyiv: NAU, 2002.
– 68 p.
4. Karupu O.W. Operational calculus. Lectures.– Kyiv: NAU, 2003. – 52 p.
5. Oleshko Т.А., Pakhnenko V.V., Тrofymenko V.І. Elements of mathematical statistics.
Methodical guide. – Kyiv: NAU, 2003. – 72 p.
6. Grebeniuk M.F., Karupu O.W. Bilinear and quadratic forms in geometry. Manual.– Kyiv: NAU,
2004. – 74p.
7. Higher mathematics. Part 1: Manual/ V.P. Denisiuk, L.I. Grishina, O.V. Karupu, T.A. Oleshko,
V.V. Pakhnenko, V.K. Repeta.– Kyiv: NAU, 2006. – 268 p.
8. Higher mathematics. Part 3: Manual/ V.P. Denisiuk, L.I. Grishina, O.V. Karupu, T.A. Oleshko,
V.V. Pakhnenko, V.K. Repeta.– Kyiv: NAU, 2006. – 232 p.
9. Higher mathematics. Part 2: Manual/ V.P. Denisiuk, V.G. Demydko., V.K. Repeta.– Kyiv:
NAU, 2009. – 248 p.
10.
Higher mathematics. Part 4: Manual/ V.P. Denisiuk, L.I. Grishina, O.V. Karupu , T.A.
Oleshko, V.V. Pakhnenko, V.K. Repeta.– Kyiv: NAU (подано до друку).
277
О КУРСЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
В. И. Каскевич, И. И. Воронович, А. И. Тавгень
Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь
vkaskevich@cosmostv.by, voronovich@bsu.by
В связи со стремительным развитием вычислительной техники и
компьютерных технологий, которые к настоящему времени охватили все сферы
жизнедеятельности человека, существует насущная необходимость в
подготовке квалифицированных специалистов в данной области. Это
направление чрезвычайно популярно среди молодежи. С каждым годом растет
число студентов и выпускников – программистов и специалистов в сфере
информационных технологий, открываются новые специальности и
специализации. И тем не менее, таких специалистов не хватает, они везде и
весьма
востребованы.
Речь
идет,
разумеется,
о
специалистах
высококвалифицированных. А стать высококлассным инженером, в частности
(и особенно) программистом – это признают и они сами – невозможно без
солидной математической подготовки.
Наиболее важными разделами высшей математики, которые необходимо
освоить будущим программистам, являются такие разделы, которые принято
объединять под названием «Дискретная математика». В Белорусском
национальном техническом университете (БНТУ) при подготовке студентов по
специальности
программное
обеспечение
вычислительной
техники
(информационных технологий) и смежным специальностям отдельные аспекты
дискретной математики поначалу включались в общий двухгодичный курс
высшей математики. Но с начала 90-ых годов для студентов 3 курса названных
специальностей главы дискретной математики были выделены в отдельную
дисциплину. Она имела разные названия: «Прикладная математика»,
«Современные главы высшей математики» и др. Постепенно дорабатывались и
совершенствовались программа и содержание данного курса. Активное участие
в этом принимали докладчики.
Необходима была серьезная методическая работа по подготовке
материалов спецкурса. Если по общему курсу высшей математики
существовало большое количество учебных пособий и сборников задач, то
специальной, не академической, а адаптированной к уровню студентов
технического вуза литературы по дискретной математике практически не было.
В настоящее время ситуация, конечно, изменилась, появились прекрасные
учебники, например [1–3]. Однако до сих пор не хватает изданных задачников,
методических материалов для практических и лабораторных занятий.
Известный сборник [4], вышедший еще в 1977 году, хоть и имеет большой
объем, содержит большое количество задач, но задачи в основном более
сложные, чем в состоянии осилить студенты технического вуза (во всяком
случае, студенты БНТУ).
278
В связи с этим, помимо совершенствования лекционного курса, была
проделана большая методическая работа по подборке и составлению задач для
практических занятий [5–11], подготовке типовых расчетов (индивидуальных
домашних заданий – они же контрольные работы для студентов-заочников).
Кроме того, было принято решение, ввести в спецкурс лабораторные работы с
применением персональных компьютеров. Специально был разработан список
тем и содержание лабораторных работ.
Следует отметить, что именно лабораторные работы вызвали наибольший
интерес и энтузиазм у студентов. Ведь, они представляли собой макет их
будущей работы по профессии. Преподаватель, руководящий лабораторной
работой, выступал в виде заказчика. В задании по лабораторной работе
предоставлялся необходимый теоретический материал, указывалось, что
должно быть сделано и в каком виде должны быть представлены результаты. В
остальном (выбор программного пакета, непосредственно кодирование, дизайн
и др.) студенту-исполнителю предоставлялась полная свобода действий. Одна
лабораторная работа выдавалась на 2 занятия. На первом занятии студент
получал задание и приступал к работе. До начала следующего занятия он при
необходимости мог продолжить работу в домашних условиях. К концу второго
занятия после обсуждения с преподавателем-заказчиком, уточнения различных
деталей и тестирования работы программы на разных примерах студентисполнитель долен был сдать готовый продукт. Ряд студентов после окончания
курса высказались в том плане, что на лабораторных работах по данной
дисциплине они научились программировать больше, чем до этого на
специальных занятиях по изучению и освоению языков и пакетов
программирования.
В рамках спецкурса был также разработан комплект курсовых работ по
теории графов, включающий около 50 тем [12]. Однако, после введения
лабораторных работ, а также с целью уменьшения чрезмерной перегрузки
студентов, курсовые работы по данной дисциплине были отменены.
В процессе совершенствования курса неоднократно изменялись названия,
программа и «наполнение» дисциплины. Наиболее объемный вариант курса
был рассчитан на весь учебный год и формально состоял из двух спецкурсов,
программа и содержание которых приведены ниже. В настоящее время объем
курса уменьшен, раздел «Математическая логика» полностью исключен и
изучается отдельно в рамках дисциплин, читаемых выпускающей кафедрой.
Программа и содержание спецкурса
«Прикладная математика»
Прграмма: лекции – 36 часов; практические занятия – 18 часов;
лабораторные работы - 18 часов; контрольные работы – 1; типовые расчеты – 2
(«Теория множеств и математическая логика»; «Теория графов»), экзамен – 1.
279
Содержание: 1) Элементы теории множеств: множества и операции,
отображения, отношения на множествах, мощности множеств, комбинаторика;
2) Элементы математической логики: высказывания, булевы функции,
полные и замкнутые системы функций, минимизация ДНФ, реализации
булевых функций, предикаты;
3) Элементы теории графов: основные типы и числовые характеристики
графов, операции на графах, связные графы и расстояния, деревья и остовы,
эйлеровы и гамильтоновы графы, планарные графы, раскраски графов,
паросочетания, потоки в сетях, сетевое планирование.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Список лабораторных работ по теории графов
Представление графов в электронном виде.
Динамическое представление рисунка графа.
Поиск кратчайших путей в простом графе.
Расстояния во взвешенных графах.
Обходы графа. Поиск в глубину.
Минимальный остов.
Поиск оптимального паросочетания.
Поиск максимального потока в сети.
Сетевое планирование.
Программа и содержание спецкурса
«Специальные главы высшей математики»
Прграмма: лекции – 36 часов; практические занятия – 18 часов;
лабораторные работы - 18 часов; контрольные работы – 1; типовые расчеты – 1
(«Теория чисел и алгебраические структуры»), экзамен – 1.
Содержание: 1) Основы теории чисел: делимость, НОД, НОК, простые
числа, сравнения и вычеты, функция Эйлера и теорема Эйлера, решение
сравнений, китайская теорема об остатках;
2) Основы теории групп: критерий подгруппы, циклические группы,
теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы, гомоморфизмы
групп, образ и ядро гомоморфизма, основная теорема о гомоморфизмах групп,
подстановки, разложения подстановок, теорема Кэли, действие группы на
множестве;
3) Кольца и многочлены: подкольца и идеалы, факторкольцо, кольцо
классов вычетов, гомоморфизмы колец, делимость в кольце многочленов,
неприводимые многочлены, многочлены над Q, Z и Zm, теорема Гаусса,
признак Эйзенштейна;
4) Поля: характеристика поля, расширения полей, автоморфизм полей,
конечные поля, алгебраические уравнения в конечных полях;
5) Элементы теории кодирования и криптографии: линейные, блочные
коды, коды Хэмминга, циклические коды, криптосистема RSA.
280
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Список лабораторных работ
НОД и НОК. Алгоритм Евклида.
Сравнения и вычеты. Функция Эйлера.
Подстановки. Симметрическая группа и ее подгруппы.
Кольцо классов вычетов.
Многочлены.
Поля.
Конечные поля.
Кодирование.
Криптосистема RSA.
Список литературы
1.
Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие для студентов,
специализирующихся по прикладной математике и информатике. / – СПб.: «Невский
диалект». 1999. – 254 с.
2. Новиков А.В. Дискретная математика для программистов. / Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер.
2001. – 304 с.
3. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Дискретная математика: Учебник. / – М.: ИНФРА-М;
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 256 с.
4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. / – М.: «Наука».
1977. – 368 с.
5. Каскевiч В.I., Янцэвiч В.А. Задачы i тыпавыя разлiкi па дыскрэтнай матэматыцы.
Метадычны дапаможнiк па выш. матэм. для студ. спец. 22.02. / – Мн.: Выд-ва БДПА. 1994. –
28 с.
6. Каскевич В.И., Воронович И.И. Элементы теории множеств. Учебно-методическое
пособие по высшей математике для сту. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1997. – 12 с.
7. Каскевич В.И. Воронович И.И., Тавгень А.И. Элементы математической логики. Учебнометодическое пособие по высшей математике для сту. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА.
1997. – 32 с.
8. Каскевич В.И. и др. Элементы дискретной математики. Учебно-методическое по-собие по
высшей математике для студ. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1998. – 58 с.
9. Каскевич В.И. Элементы прикладной математики. Методическое пособие для слушателей
системы переподготовки по специальности Т10.02.00 / – Мн.: Изд-во ин-та «Кадры
индустрии». 2000. – 100 с.
10. Каскевич В.И. Федосик Е.А. Специальные главы высшей математики. Основы теории
множеств. Элементы теории графов. (Учебное электронное издание). / – Мн.:
Регистрационный номер БНТУ/ФИТР 48-1.2010. – 75 с.
11. Каскевич В.И. и др. Специальные главы высшей математики. Основы теории чисел.
Основные алгебраические структуры. (Учебное электронное издание). / – Мн.:
Регистрационный номер БНТУ/ФИТР 48-8. 2011. – 64 с.
12. Каскевич В.И., Тавгень А.И. Комбинаторно-оптимизационные алгоритмы на графах.
Методические указания к курсовым работам по высшей математике для студентов ФИТР
БГПА спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1998. – 7 с.
281
ІНТУЇЦІЯ ПРИ ВИВЧЕННІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Е. С. Колесник
НТУУ «Київський політехнічний університет», Київ, Україна
Kolesnick.Elinka@yandex.ru
Інтуїція (від лат. intueri пильно, уважно дивитися) відшукання, часто
практично моментальне, рішення задачі при недостатності логічних підстав. Не
знайдете жодної людини, яка б на собі не відчула силу інтуїтивного мислення.
Це — моментальне прозріння, миттєвий натиск знань і осяяння, яке нам
пропонує однозначні рішення. І, як не дивно це виглядає, навіть не знаючи,
звідки прийшло рішення, ми віримо в нього, покладаючись на свої внутрішні
відчуття Істини.
Інтуїція — спосіб, за допомогою якого наші Душа і Серце спілкуються з
нашою Свідомістю: вона виходить далеко за межі логіки і здорового глузду.
Людська інтуїція використовує не тільки візуальні образи, але і символи,
метафори, вона використовує неординарні способи і форми, накопичені за всю
історію розвитку людини. Тому інтуїція за своїми можливостями незрівнянно
багатше всіх інших, більш ординарних і більш знайомих нам, форм пізнання.
Виникають проблеми при вивченні курсу «Вища математика» внаслідок
того, що сприймання і розуміння студентами цього предмету неможливе без
розвитку інтуїції, яка дозволяє вірно орієнтуватися у поняттях, фактах, методах.
Для формування математичної культури, яка є основою для успішного
освоєння студентами знань зі своєї спеціальності, важливими компонентами є
логіка та інтуїція. Вони формують науковий світогляд майбутнього
високопрофесійного фахівця.
Інтуїція — ось що, ймовірно, грає саму істотну, вирішальну роль у
створенні нових наукових уявлень і появ нових ідей. Ось що пише А. Ейнштейн
про це: "Подлинной ценностью является в сущности только интуиция".
Що тільки не називають інтуїцією! Це і вищий, навіть — надприродний
дар, єдино здатний пролити світло істини на таємні таємниці буття, недоступні
ні почуттям, блукає по поверхні речей, ні розуму, скутому дисциплінарним
статутом логіки. Це і дивовижна сила, яка легко і просто переносить нас через
прірву, що розгорнулася між умовою задачі та її рішенням. Це і щаслива
здатність миттєво знайти ідею, яка лише заднім числом, в поті і муках буде
обґрунтована міркуванням та досвідом. Але разом з тим це і ненадійний,
несистематизований шлях, який може завести в глухий кут, безплідна надія
ледарів не бажаючих доводити свій мозок до знемоги зусиллями.
Серед студентів старших курсів було проведено експериментальне
дослідження у формі анкетування з метою встановлення знання чи незнання
студентами означень основних понять, а також виявлення, якими інтуїтивними
поняттями вони оперують у розмірковуваннях. Анкетування показало, що
близько 20% опитуваних дали означення понять на логічному рівні, як цього
282
вимагає програма курсу. А близько 80% опитуваних не знають означень, але
користуються успішно цими означеннями на інтуїтивному рівні.
Інтуїтивні знання розвиваються в основному при розборі конкретних
ситуацій – прикладів, задач, графіків, креслень. Для цього необхідно
супроводжувати такий аналіз короткими, нехай і в огрубленій формі,
формулюваннями основних понять, фактів, ідей, на які бажано направити увагу
студентів. Наприклад: «Зверніть увагу: визначений інтеграл відрізняється від
невизначеного тим, що це або число, або первісна з визначеною постійною».
Орієнтуючись на розвиток інтуїтивного знання, необхідно систематично на
лекційних і практичних заняттях розкривати «грубий» зміст основних понять,
що обговорюються. І дуже важливо, щоб самі означення основних понять
максимально сприяли виявленню цього змісту.
Важливим проявом продуктивної математичної інтуїції, яку ми
намагаємося розвивати в процесі вивчення курсу «Вища математика», є вміння
студентів орієнтуватися у новій незнайомій ситуації, можливість передбачати
правильні результати внаслідок розв’язування технічних, інженерних,
економічних задач, вибирати шляхи їх одержання, вбачати явно помилкові
висновки.
Різниця в стилях мислення інтуїтивістів і аналітиків очевидна, хоча і ті, й
інші видатні вчені-математики. Тим не менш, зовсім виразно А Пуанкаре
стверджує, що не тільки інтуїтивістами, але і логіками керує інтуїція — деяка
особлива суто математична інтуїція чистого числа. Вона допомагає побачити
приховані аналогії, що в математиці грає найчастіше вирішальну роль, і потім
вже продуктивно скористатися аксіомою математичної індукції.
Інтуїція — генералізатор, логіка — фахівець. Інтуїція —
головнокомандувач, логіка — солдат. Інтуїція — директор підприємства, логіка
— технолог. Інтуїція задає генеральну лінію, — логіка вирішує, як це робити і
коли. Уявіть собі, що б було, якби технологи раптом відмовилися вирішувати
поставлену задачу. Якби фахівці почали заперечувати можливість вирішення
поставленого завдання. Все б полетіло шкереберть, і нічого б ми не досягли.
Саме у взаємодії логіки — як лінійного фактора мислення — і інтуїції — як
узагальнюючого чинника — можливо найбільш ефективне досягнення
результату.
Роль інтуїції в математичній творчості очевидна. Без її участі неможливе ні
одне велике математичне відкриття. Взагалі рішення будь-якої задачі, що
виходить за рамки тавтології, неодмінно містить в собі інтуїтивний елемент.
Його присутність завжди психологічно відчутно, оскільки твердження передує
власне доказу. Математик спочатку формулює на основі результатів роботи
інтуїції деякий висновок, а потім його вже обґрунтовує на мові математичної
теорії.
283
МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ
А. В. Коновал
НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна
artren.91@mail.ru
При вивченні будь-якої науки ми зіштовхуємося з необхідністю вивчення
певних понять. Математика не є виключенням. Але вивчення поняття далеко не
завжди означає його розуміння. Дуже часто означення просто механічно зазубрюються. Тому перед викладачем стоїть задача пояснити поняття так, щоб студенти знали істотні властивості поняття, яке вивчається, вміли навести приклади та знали його загальновживану назву.
Не всі поняття однаково легко засвоїти. Одні засвоюються значно легше, а
інші спочатку засвоюються поверхово, розпливчасто і набагато довше.
Ознайомлювати студентів із тим або іншим поняттям можна по-різному,
залежно від самого поняття і від підготовки студентів. Часто, щоб студенти
краще зрозуміли, треба починати пояснення нового поняття із розгляду конкретних прикладів і тільки після цього давати його означення. В інших випадках
можна зразу сформулювати означення, а потім ілюструвати його конкретними
прикладами. Перший із цих способів введення поняття називають конкретноіндуктивним (від одиничного до загального, від прикладів до визначення), а
другий — абстрактно-дедуктивним (від загального до одиничного, від визначення до прикладів).
Основна перевага конкретно-індуктивного підходу полягає в тому, що при
введенні нового поняття викладач спирається на досвід і знання студентів, що
саме по собі припускає їх активну участь у роботі. Конкретно-індуктивний підхід сприяє формуванню індуктивного мислення студентів.
Абстрактно-дедуктивний метод використовується, коли визначення нового
поняття просте , а сам об'єкт знайомий студентам. В цьому випадку визначальна ознака чітко виділяється у об'єктів, які приводяться як приклад. Абстрактнодедуктивний підхід вимагає найменше часу, але після введення нового означення складної структури потрібна певна (часто значна за часом) робота по його засвоєнню. Частину визначень студенти засвоюють тільки після цілеспрямованої роботи по вивченню структури цих понять.
Абстрактно-дедуктивний підхід можна використовувати при введенні
будь-якого поняття. Такий підхід до введення поняття розвиває теоретичне мислення.
Розглянуті вище підходи до введення нового поняття засновані на абстракції ототожнення. Провідну роль у формуванні понять грає наочно-образний
компонент.
Суть практичного підходу полягає в тому, що, узявши за основу деяку властивість (або декілька властивостей) математичного об'єкту як критерій класифікації, студенти під керівництвом викладача проводять класифікацію математичних об'єктів по даній ознаці. В результаті одному з отриманих класів прив-
284
ласнюється деякий термін і дається визначення об'єктів даного класу, тобто починається формування нового поняття.
Практичний підхід допомагає зрозуміти метод наукового пізнання дійсності, навчає основам класифікації, припускає активну участь студентів у пізнавальній діяльності. Але цей метод вимагає чималих витрат часу. Крім того, практичний підхід дає добрий результат лише там, де класифікація об'єктів за визначальною ознакою нового поняття можлива і доцільна. Так, цей підхід доречний, коли вводиться відношення між об'єктами.
Якщо розглянуті вище підходи дозволяють лише ввести новий об'єкт (поняття), то підхід, який назвали дослідницьким, направлений на формування поняття в цілому, як системи взаємозв'язаних логічно впорядкованих думок. При
цьому можна організувати пізнавальну діяльність студентів так, щоб відтворити (з деякою часткою достовірності) діяльність ученого-математика, направлену на вивчення нового об'єкту і утворення поняття.
При дослідницькому підході спільна діяльність викладача і студентів проходить по наступних етапах:
• постановка мети діяльності;
• емпіричне вивчення нового математичного об'єкту, пошук його властивостей;
• формулювання його властивостей у вигляді гіпотез;
• початок побудови теорії поняття: введення терміну, визначення математичного об'єкту;
• перевірка істинності висловлених припущень шляхом приведення дедуктивних доказів;
• пошук ознак досліджуваного об'єкту (доказ зворотних тверджень);
• уточнення логічних зв'язків між думками; схематизація змісту нового
поняття; засвоєння змісту поняття;
• навчання використовувати нове поняття в діяльності: рішення опорних
задач; виділення загальних прийомів діяльності, сприяючих застосуванню поняття (наприклад, відшукання евристик);
• застосування поняття в нестандартних ситуаціях.
Велика роль у формуванні понять відводиться їх визначенням, але викладач повинен володіти усією сукупністю знань, що характеризують дане поняття, а не тільки знати визначальну ознаку.
Важливу роль в застосуванні поняття в розумовій діяльності грає рухливість думок, в основі якої лежить розуміння логічних (причинно-наслідкових)
зв'язків між поняттями.
Правильне введення математичних понять, формування поняття як системи взаємозв'язаних логічно впорядкованих думок, розумне поєднання логічного
і змістовного аспектів в процесі вивчення понять - все це сприяє засвоєнню понять і застосуванню їх в учбовій і практичній діяльності.
285
ЗАДАЧИ И МЕТОД ПРЕПОДАВАНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ
А. И. Кононенко, А. П. Харченко, Р. В. Посылаева
Харьковский национальный университет строительства и архитектуры,
Харьков, Украина
hgtusa-mathematica@mail.ru, posulaeva@mail.ru
В современный период развития общества, характеризующийся высоким
техническим прогрессом, трудно найти такую область человеческой
деятельности, активное участие в которой не требовало бы определенной
математической подготовки, тем более в подготовке инженеров.
Для определения целей обучения математике необходимо учесть место и
роль математики в современной науке, технике, ее значение в жизни
современного общества, а также исходить из общих целей обучения в
техническом вузе.
Главные цели, которые могут быть поставлены при изучении
математических наук, этими целями определяются как объем, так и способы
изложения изучаемого:
– чисто научна, абстрактная;
– практическая, прикладная.
При научном изучении имеется главным образом в виду ознакомление с
самою наукою в современном ее состоянии, приобретение теоретических
знаний математической науки, развитие способности к точному
математическому мышлению и строгому рассуждению, независимо от какихлибо приложений науки к частным вопросам жизни.
Главное внимание при прикладном изучении обращается на усвоение
общих приемов и способов, алгоритмов служащих основанием для решения
практических вопросов и задач, на изложение удобных приемов вычисления, на
умения пользоваться готовыми результатами и разного рода вспомогательными
средствами.
При решении практической задачи обоснование может быть дано не
только чисто умозрительное, сводящее все к основным аксиомам, но и при
помощи наглядности, делающее утверждение очевидным.
Разумеется, перечисленные цели взаимосвязаны. Прикладное изучение
математики не сводится к рецептуре или к умению пользоваться
справочниками. Заученное применение формул приводит к формальному
умению производить математические операции (дифференцирование,
интегрирование и т.п.), не имея должного представления о роли
математических методов при решении технических (инженерных) задач.
Нельзя достичь необходимого практического применения без
приобретения определенных знаний, но и практические умения не является
простым следствием усвоения определенной суммы знаний. Можно приобрести
большой запас знаний и так не научиться применять их на практике. Поэтому
286
важно в достаточной степени овладеть теоретическими знаниями и уметь
правильно обращаться с математическим аппаратом, не только использовать
готовые формулы, но и получать новые.
В вопросах практической деятельности не требуется абсолютно точных
решений, в особенности в инженерном деле; ибо уже самое приведение вопроса
к математической задаче здесь делается с помощью ряда допущений, не вполне
точных. Наконец, самое исполнение изделия, для которого расчет
производится, не может быть "абсолютно" точным, а совершается с
"допусками", достаточными для целей практики.
Без глубоких теоретических знаний, так называемой чистой математики,
невозможны достижения и успехи в прикладной математике. Но, понятно,
прикладной характер должен оказывать существенное влияние на содержание и
изложение курса, так как инженер изучает математику с целью практической,
прикладной и рассматривает ее не как самостоятельный объект изучения, а как
подсобное орудие, как инструмент для решения ряда вопросов, встречаемых в
некоторой ограниченной области практической деятельности.
Это соображение заставило придерживаться такого способа изложения,
теоретический материал сделать более кратким, отказаться без существенного
ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям
доказательств утверждений, вместе с тем тщательно прорабатывать основные
понятия и доказательства на достаточном для технического вуза уровне
строгости. Многие определения, теоремы, формулы сопровождать
комментариями, которые позволят раскрыть содержание вводимых понятий,
смысл теорем и формул, раскрыть связь излагаемого материала с
предшествующим, указать возможные применения соответствующих теорем и
формул, привести достаточное количество примеров иллюстрирующих теорию.
Изложение материала и процесс обучения необходимо строить таким
образом, чтобы побуждать студентов к самостоятельному изучению темы.
По мнению авторов, при изучении математики эффективность обучения
усиливается, если в его процессе использовать создание проблемных ситуаций
и составление справочных материалов (блок-схем).
Например, составление блок-схемы по теме «Интегрирование функции».
Справочные материалы можно представить в виде схемы, в которую в
блочной форме включены основные методы интегрирования (табличное
интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям) и
введён блок дополнительных преобразований. В этот блок полезно поместить
дополнительную информацию, связанную с теорией интегрирования
рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных выражений.
Между всеми блоками необходимо установить взаимосвязь, что в дальнейшем
поможет студентам при выборе способа интегрирования. Таким образом,
составленные справочные материалы будут представлять логически
упорядоченный и систематизированный минимум сведений по теме
287
«Интегрирование функции». Такая деятельность прививает у студентов
необходимость систематизации и обобщения знаний и умений.
В теме «Интегрирование функции» проблемную ситуацию можно
создавать с помощью так называемых «контрпримеров». Если решается задача
вычисления интеграла вида (1)
(1)
x sin xdx

то после её решения полезно рассмотреть интеграл (2)
 x sin x dx
2
(2)
а далее появляется возможность и необходимость введения понятия
интегрального синуса (3) и интегрального косинуса (4)
(3)
sin x
dx
 x
(4)
cos x
dx
 x
На практических занятиях также полезно демонстрировать разные способы
решения одной задачи с последующим обсуждением выбора наиболее
рационального способа. Такая работа приучает будущих управленцев к
многовариантности мышления и принятию правильных решений.
Изложенный подход к изучению предмета требует дополнительных
усилий со стороны преподавателя и студента, но опыт показывает, что эти
усилия оправдываются.
Наше общество нуждается в специалистах с навыками четкого
логического мышления, с хорошими математическими знаниями и умением
анализировать сложные процессы, делать правильные логические выводы,
видеть и реализовать возможности применения математики в различных
конкретных ситуациях.
Формирование творчески мыслящих специалистов высокого уровня
является целью высшего образования. Но одна из главных ролей принадлежит,
несомненно, математике.
Список литературы
1.
Вербицкий А.А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход: Метод.
пособие.- М.: Высш. шк., 1991.
2.
Загвязинский В.И. Теория обучения: Современная интерпретация: Учеб. пособие.- М.:
«Академия», 2001.- 192 с.
3.
Зимняя И.А. Педагогическая психология.- М.: Феникс, 1997.
4.
Левитес Д.Г. Практика обучения: современные образовательные технологии.- М.:
Изд-во «Институт практической психологии» Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998.- 288 с.
5.
Гершунский Б.С. Педагогическая прогностика: Методология, теория, практика.- Киев:
Вища шк., 1986.
288
ЕКОНОМІЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ
НА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТТЯХ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Т. В. Лапа, О. М. Мовша
Чернігівський державний технологічний університет, Чернігів, Україна
Для розвитку творчого мислення студентів, розвитку їх дослідницької
діяльності викладач може у своїй повсякденній роботі не тільки давати знання з
курсу вищої математики, але й показати зв'язок предмета з майбутньою
спеціальністю, розвиваючи творчий підхід до вивчення курсу.
Прикладні задачі допоможуть зацікавити студентів предметом, покажуть
прикладну направленість математики та продемонструють тісний зв'язок
математики зі спеціальними дисциплінами економічної направленості.
Проілюструємо цей зв'язок на прикладі теми ”Диференціальне числення
функції багатьох змінних” для студентів економічних спеціальностей.
Багатофакторна виробнича функція багатьох змінних є функцією від
незалежних змінних x1, x2, …,
, які набувають значень обсягів ресурсів, що
використовуються у виробництві (
≥ 0, = 1, … , ), а значення функції
виражає обсяг випуску продукції:
= f(x) = f(x1, x2, …, xn ).
Приклад 1. Підприємство випускає 2 види взаємозамінних товарів A і B.
Кількісний попит XA і XB на товари A і B відповідно визначаються функціями
= PA3 + 4PB , XB = PA3 -2 , де PA і PB – ціна одиниці товарів A і B відповідно.
Визначити, чи будуть товари A і B конкурентними?
Товари A і B будуть конкурентними, якщо
>0і
> 0.
Знаходимо
= 4,
=3
.Тому товари конкурентні.
Приклад 2. Нехай функція попиту на товар A має вид
XA = f(PA, PB ) = 15 – 2PA + PB.
Знайти частинні показники еластичностей.
Еластичність вартості товару A відносно PA і еластичність вартості товару
A відносно PB визначається відповідними формулами
=
∙
та
=
∙
.
Маємо
−2
;
=
15 − 2 +
15 − 2 +
Наприклад, для PA = 4 і PB = 3 дістанемо
= −0,8. Це означає, що
якщо ціна товару A зростає на 1%, а ціна товару B залишається без змін, то
= 0,3. Отже,
попит на товар A зменшується на 0,8%. Аналогічно обчислимо
якщо ціна товару B зростає на 1% при незмінній ціні товару A, то попит на
товар A зростає на 0,3%.
=
289
Приклад 3. Невелика фірма виробляє 2 види товарів A та B. Ціна кожної
одиниці товарів A – 100 грн., а B – 80 грн. Функція витрат Q = x2 + xy + y2, де x і
y – обсяги випуску товарів A і B відповідно. Визначити такі значення
обсягів товарів A та B, за яких прибуток фірми буде максимальним.
Сумарний прибуток від продажу товарів A і B дорівнює R = 100x + 80y.
Прибутком фірми є різниця між сумарним доходом R і витратами Q.
Тобто z = P(x,y)=R – Q = 100x + 80y – x2 – xy – y2.
Цю функцію необхідно дослідити на екстремум.
100 − 2 − = 0;
= 40;
<=>
= 20.
80 − − 2 = 0;
Отже, стаціонарна точка M має координати M (40 , 20).
Знайдемо частинні похідні другого порядку в точці M.
=
( ) = −2,
=
( ) = −1,
=
( ) = −2.
 = AC – B2 = = 3 > 0,
( ) < 0, то точка M є точкою максимуму, причому
zmax = 10040 + 8020 – 402 – 4020 – 202 = 2800.
Отже, при обсягах виробництва x = 40 і y = 20 фірма матиме
максимальний прибуток 2800 грн.
Приклад 4. Функція доходу деякого підприємства, що випускає 2 види
продукції має вид f (x, y) = xy (млн. грн.). Знайти найбільший можливий дохід
підприємства за умов обмежень на випуск продукції x2 + y2 = 2.
З математичної точки зору ця задача зводиться до знаходження умовного
екстремума. Для розв’язання ії складемо функцію Лагранжа
L( x, y,  ) = xy + ( x2 + y2 - 2)
і знайдемо стаціонарні точки, розв’язавши систему рівнянь (1).
+ 2 = 0,
+ 2 = 0,
+
= 2.
Система має 4 розв’язки. Виходячи з умови задачі, x > 0 і y > 0,
розглянемо точку M1 (1, 1, -1/2). Перевіримо виконання достатньої умови.
2
(2 − 2) −1 1
= −16 < 0,
1 −1 −2
тобто в точці M1 функція z = xy має умовний локальний максимум, який
дорівнює z (1, 1) = 1. Тому робимо висновок, що найбільший можливий дохід
підприємства 1 млн. грн.
Література
1.
Грисенко М.В. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі:
Навч. Посібник.- К.: Либідь. 2007.-770 с.
290
ВОЗМОЖНОСТЬ ИНТЕГРАЦИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО
И ПРАКТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТОВ В ОБУЧЕНИИ
ПРИ МОДУЛЬНОМ ПОСТРОЕНИИ КУРСА
С. А. Лукьянов, А. А. Кульжумиева
Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова,
Уральск, Казахстан
aiman-80@mail.ru
В данной статье мы рассмотрим возможность применения модульной
технологии для построения системы обучения, интегрирующей теоретический
и практический компоненты в рамках курса.
В настоящее время казахстанская система высшего образования,
интегрируясь в европейское образовательное пространство в рамках
Болонского процесса, претерпевает серьезные изменения, касающиеся самого
подхода к содержанию образования. Разрабатываемая еще в советское время
концепция деятельностного обучения, предполагавшая переориентацию
деятельности «с искомого результата деятельности на метод деятельности» [1]
в полной мере стала реализовываться в рамках компетентностного подхода к
подготовке студентов.
Эта же концепция послужила основой в построении одного из главных
принципов модульного обучения, сформулированного П. Юцевичене в [2] –
принципа метода деятельности. Ранее нами была обоснована необходимость
междисциплинарной и внутридисциплинарной интеграции в обучении
дифференциальным уравнениям студентов педагогических специальностей в
рамках дидактических принципов компетентностного подхода. Таким образом,
логично предположить, что обозначенная интеграция возможна при модульном
построении курса.
Анализируя связь общедидактических принципов, которые остаются в
силе при компетентностном подходе [3], с принципами модульного обучения,
П. Юцевичене находит, что принцип модульности взаимодействует главным
образом с общедидактическим принципом системности и последовательности
обучения. Основой этого взаимодействия выступает тот факт, что при
модульном построении учебного курса реализуются внутрипредметные и
межпредметные связи.
Определим модуль как самостоятельную информационную единицу,
логически завершенную часть учебного материала, отражающую сущность
достижения определенной профессиональной цели. Примем разделение
модульных программ по целевому назначению материала, а также
классификацию дидактических целей, описанные в [2]. Рассмотрим модульные
программы операционного типа, потому что в этом случае каждый модуль
строится для решения конкретной задачи профессионального образования, что
согласуется с позициями компетентностного подхода. В этом случае
291
принципиальную базу построения модульной программы составляют
следующие положения:
1)
комплексной целью, задающей содержание и структуру программы,
является подготовка обучаемого к профессиональной деятельности (принцип
деятельностного подхода к формированию комплексной дидактической цели);
2)
при выборе интегрирующей цели необходимо учитывать направленность
образования на получение и развитие знаний, умений и навыков по реализации
определенной
функции
практической
деятельности
(принцип
функциональности содержания).
Согласимся с авторами статьи [4], и отметим, что любая компетентность
педагога реализуется через общие и предметные знания и умения.
Профессиональные компетентности не могут быть сформированы в условиях
отсутствия традиционных ЗУНов или пробелов в них. При этом добавим, что
для достижения обозначенной комплексной цели нужны также знания, умения
и навыки по работе в постоянно меняющихся условиях профессиональной
деятельности. При реализации второго принципа каждую функцию разделяют
структурно на определенные действия. Модуль строится по структуре данной
функции, при этом составляется граф логических структур межпредметных и
внутрипредметных связей, входящих в содержание и нужных для выполнения
заданной функции. Структура модуля всегда достаточно стабильна и включает
в себя следующие части: четкое описание модуля и его цель, информационная
часть,
контрольные
вопросы
для
самодиагностики,
методические
рекомендации, учебные и ситуативные задачи на тему модуля. При этом
«конструкция
учебного
материала
должна
обеспечивать
каждому
обучающемуся достижение поставленных дидактических задач с помощью
методического руководства, иметь завершенность содержания учебного
материала в модуле и интеграцию разных видов, форм и средств обучения» [5].
Практическая реализация полученных теоретических знаний и умений в
различных аспектах задана в самой структуре модуля и является критерием
усвоения содержания. Таким образом, интеграция теоретического и
практического компонентов содержания образования заложена в модульную
технологию на уровне принципиальной базы.
В Западно-Казахстанском государственном университете на кафедре
физики и математики в настоящее время разрабатывается модульный курс
«Дифференциальные уравнения» для студентов II курса специальности
5В010900 – «Математика». В основу его построения положена идея
интенсификации прикладного компонента образования.
Вся программа состоит из пяти блоков.
Б1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Б2. Линейные ДУ высших порядков.
Б3. Системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Б4. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.
Б5. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.
292
Каждый блок состоит из определенного числа модулей. Рассмотрим на примере
Б1 его структуру:
М1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
М2. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.
М3. Методы решения ОДУ.
Вводной контроль проводится перед началом изучения каждого модуля,
выводной контроль знаний обучаемых на уровне модуля не проводится,
заменяясь промежуточным экзаменом после изучения всего блока.
Рассмотрим структуру модуля на примере М2.
1.
Теоретическая часть.
2.
Тестовые задания по содержанию теоретической части.
3.
Практическая часть.
При выборе заданий, приводимых в практической части, мы учитывали
возможности актуализации и практической направленности их содержания.
Рассмотрим пример такого задания (уравнения с разделяющимися
переменными).
Задача. Республиканское правительство разрабатывает политику в области
промысла сайгаков. Оно использует следующую модель: популяция сайгаков
имеет естественный b-кратный прирост в год, предполагается постоянная
скорость убыли в a сайгаков в год. Разработать модель популяции сайгаков.
Решение. Мы ищем модель, описывающую численность популяции во
времени, т.е. мы имеем две переменные — количество сайгаков и время,
прошедшее с некоторого произвольно выбранного момента, например, с
момента начала мониторинга численности популяции. Через t лет размер
популяции будет x особей, где x=x(t). Необходимо найти связь между данными
переменными. Данная связь выражается дифференциальным уравнением.
Утверждение «естественный b-кратный прирост популяции x особей» означает,
что популяция увеличивается с течением времени со скоростью,
пропорциональной к текущей численности популяции с коэффициентом
пропорциональности b. Значит, в любой момент времени t при малом
приращения Δt мы ожидаем прирост численности приблизительно bx(t)Δt при
условии отсутствия внешних воздействий. В то же время, мы должны
учитывать внешние воздействия, обозначенные как «постоянная скорость
убыли в a сайгаков в год», что означает убыли в течение времени на число, не
зависящее от текущего размера популяции. Это значит, что в момент времени t,
после приращения Δt, популяция убудет на величину aΔt. Таким образом, мы
приходим к выражению полного изменения популяции в момент времени t при
малом приращении Δt, которое приблизительно равно
x(t+Δt) – x(t) ≅ bx(t)Δt – aΔt
Разделим обе стороны на Δt. При Δt→0 получим следующее ДУ:
=
− .
Это и есть искомая модель популяции.
293
При освоении курса обучающийся должен быть в состоянии:
o
находить
общее,
частное,
особое
решения
обыкновенных
дифференциальных уравнений;
o
визуализировать решения с помощью полей направлений и их
аппроксимаций с использованием метода Эйлера;
o
понимать основные понятия линейности, суперпозиции, существования и
единственности решения ДУ, а также использовать эти понятия при решении
линейных ДУ;
o
решать основные виды неоднородных ДУ;
o
моделировать простые физические системы, приводящие к решению
дифференциальных уравнений первого порядка;
o
исследовать на устойчивость методом Ляпунова;
o
находить общее, частное решения уравнений с частными производными.
Без ущерба к требованию фундаментальности содержания, мы вводим
большое количество задач проблемного характера, интегрирующих
теоретический и практический компоненты образования. Кроме того,
разрабатываемый курс нацелен на развитие всех ключевых компетенций,
например, компетенции разрешения проблем, так как дифференциальные
уравнения имеют множество приложений в решении задач науки и техники в
целом. Таким образом, разрабатываемый нами курс направлен на подготовку
компетентных специалистов, умеющих работать в современных условиях.
Список литературы
1.
Нечаев Н.Н. Психолого-педагогические аспекты подготовки специалистов в вузе, М.:
Издательство МГУ, 1985.
2.
Юцявичене П. Теория и практика модульного обучения, Каунас: Швиеса, 1989.
3.
Носкова М.В., Шершнева В.А. О дидактическом базисе современной высшей школы и
математической подготовке компетентного инженера, Журнал Педагогика, 10, 2010.
4.
Гребенев И.В., Чупрунов Е.В. Фундаментальная научная подготовка учителя как
основа его профессиональной компетентности. Журнал Педагогика, 8, 2010.
5.
Грошева Е.П. Модульно-блочная система подготовки студентов технического вуза к
инновационной инженерной деятельности: Высокие интеллектуальные технологии и
инновации в образовании и науке. Материалы XVII Международной научно-методической
конференции, СПб: Изд-во Политехнического университета, 2010.
294
АСПЕКТИ ВИКЛАДАННЯ «ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ»
В СУЧАСНИХ УМОВАХ ДЛЯ «НЕМАТИМАТИКІВ»
М. Г. Медведєв, О. К. Мазур, В. П. Шоха
Національний університет харчових технологій, Київ, Україна
Існує два шляхи навчання мистецтву застосування математики для
розв’язування задач фахового спрямування. Перший базується на побудові
систематичного курсу, який містить вибрані розділи математики і який включає
в себе спеціально підібрані приклади застосування. Другий шлях базується на
виборі групи задач фахового спрямування і демонстрації математичних
методів, якими їх можна розв’язати. Існує багато чудових книг (підручників),
які притримуються першого і, на жаль, дуже мало, які застосовують другу
методику викладання.
На думку авторів саме другий підхід повинен стати домінантним у
математичній освіті для студентів, де математика не є фаховою дисципліною.
Важливо, що студент не тільки вмів розв’язувати розв’язати задачу в «х» і «у»,
а мав можливість виходячи з фахового спрямування змінити умову задачі та
прослідкувати за змінами в ході її розв’язання. Це в свою чергу, відкриває нові
можливості дослідницького підходу та залучення ігрових форм навчання з
використанням комп’ютерних технологій для математичного моделювання.
Підкреслимо, що запропонований підхід потрібно застосовувати не на старших
курсах, після вивчення курсу «Вища математика», який використовує перший
шлях, а починаючи з першого курсу, хоча б й тому, щоб студенти не задавали
весь час питання:
«А навіщо мені це потрібно, якщо я не буду математиком?».
Формування практичних навичок та умінь застосування, а саме головне
«поваги» до «вищої математики» в зв’язку з її необхідністю у фахових
дисциплінах органічно пов’язано з другим підходом. Так як і у випадку
комп’ютерної техніки, слід пам’ятати, що ми готуємо не «розробників»
математичних методів, а «користувачів», а «логіка використання» і «логіка
розробки» — це хоч і не зовсім, але різні «логіки».
295
МЕТОДИКА ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Н. А. Микулик, Г. Н. Рейзина
БНТУ, Минск, Беларусь
mathematics1@bntu.by
На современном этапе развития науки, техники, информационных технологий важное место в подготовке современного инженера занимает наука математика, являющаяся основой для изучения многих как общенаучных, так и
специальных дисциплин.
Основы знаний по математике призваны прививать в средних учебных заведениях. Однако практика последних десятилетий показывает, что многие из
первокурсников имеют слабую теоретическую и практическую подготовку по
элементарной математике. Это объясняется тем, что, по словам студентов, в
общеобразовательной школе учителя не требуют от учащихся доказательства
теорем и вывода формул. Таким образом, многие учащиеся, а также студенты
не могут решить не только квадратное, но и линейное уравнение с одним неизвестным, не знают тригонометрических и логарифмических функций и т.д.
В связи с этим профессорско-преподавательскому составу кафедр математики университета приходится заботиться, чтобы студенты ликвидировали
пробелы по элементарной математике и получили знания и умения по высшей
математике, а также научить их «учиться», работать с учебником, вести конспект, привить им творческий, исследовательский подход к решению математических и прикладных задач.
В последние годы произошли значительные изменения в информационном
пространстве. В связи с этим произошли изменения в технологии обучения как
в средней школе, так и в вузе. Однако роль личного общения студента с преподавателем во время учебных занятий не уменьшилась. Практика показывает,
что студенты, которые в течение семестра посещают лекционные и практические занятия, показывают лучшие знания и умения во время экзаменов, чем те,
которые допускали пропуски занятий.
Считаем, что лекционные и практические занятия по математике являются
основой глубоких и прочных знаний по этому предмету.
На лекции по математике нужно не только четко и ясно излагать материал,
но и создавать проблемные ситуации, устраивать «мини» дискуссии, обращаться к аудитории с вопросами, как лучше сформулировать то или иное утверждение, является ли утверждение необходимым или достаточным, как доказать
утверждение, на каком основании следует вывод? и др.
Постоянно, по возможности, указывать на применение излагаемой теории
при решении задач, связанных с производством. Так, например, при чтении
лекции по дифференциальным уравнениям отметить их роль изучении динамических систем, при проектировании и доводке новых транспортных средств,
технологических машин и т.д. Показать на примере простейшей динамической
296
системы составление математической модели и дифференциальных уравнений,
описывающих колебательные процессы, происходящие при работе системы.
Рассмотрение на лекции проблемных ситуаций и их разрешение, обсуждение
вопросов, связанных с производством, сообщение об участии самого лектора в
решении технических задач или известных ученых в решении технических
проблем. Применение математических методов вызывает у обучаемых интерес
к изучению математики.
На каждом практическом занятии по математике преподавателю нужно
спросить, есть ли вопросы по домашним заданиям, проверить домашние задания по теории и практике обязательно, отметить студентов, не выполнивших
его. Затем приступить к решению задач по очередной теме. При решении задач
нужно рассмотреть различные методы их решения. После совместного с преподавателями решения типовой задачи или примера нужно студентам предложить
задачи для самостоятельного решения. После их решения преподавателю необходимо подвести итог, отметить студентов лучше и быстрее получивших правильные решения. За 3-5 минут до окончания занятия преподаватель дает домашние задания, состоящие из теоретического материала и практических задач
или примеров.
Большое место в изучении математики занимает самостоятельная работа
над изучаемым материалом. Для нее в учебном плане отводится достаточно
времен, например, для одной специальности ФИТР в третьем семестре общее
число часов на изучение математики составляет 250 часов, из них на учебные
занятия выделено 102 и 148 часов на самостоятельную работу.
Самостоятельную работу как в учебное, так и во вне учебное время необходимо контролировать. В настоящее время студентам предоставлена полная
возможность для самостоятельной работы. Они обеспечены достаточным количеством учебных и методических материалов, в том числе и на электронных
носителях.
Отметим, что при изучении математики студентами важную роль играет
их настроенность на упорную работу по овладению знаниями. Профессорскопреподавательскому составу необходимо всячески воздействовать появлению у
студентов настроя на работу над своим образованием. В этом залог успеха.
297
УСИЛЕННЫЙ НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Л. П. Мироненко
Донецкий национальный технический университет, Донецк, Украина
mironenko.leon@yandex.ru
Напомним содержание необходимого признака сходимости рядов с

 n 1 un ,
неотрицательными членами. Если ряд
un  0 сходится, то предел его
общего члена un стремится к нулю при n   , т.е. lim un  0 . Обычно этот
n 
признак используется для установления расходимости рядов, поскольку не является
достаточным признаком, а только необходимым [1].
Распространенным среди достаточных признаков является признак
сравнения, который обычно применяется в двух формах – в конечной и
предельной. В обоих случаях сравниваются члены двух рядов, исследуемого


 n 1 un
и известного  n 1 vn . Нас будет интересовать предельный признак
сравнения, в котором рассматривается предел lim un / vn . Если ряд
n 


v ,
n 1 n
vn  0
сходится, а величина предела равна C   (в частности, C  0 ), то ряд

 n 1 un
также сходится [1-2].
В качестве ряда сравнения обычно выбирают обобщенно гармонический
vn  1 / n  .
Запишем обобщенно гармонический ряд, используя вместо привычного
параметра  параметр  , который связан с  равенством   1  


n 1
1
n 1

   0  сходится,



  0  расходится


Теперь запишем признак сравнения в предельной форме для произвольного
ряда

 n 1 un ,
un  0 :
lim
n  1
un
/n
1
 lim n 1  un .
n 
На основании сравнения рядов приходим к следующему выводу. Если
существует конечный предел
lim n 1  un  C  
(1)
и, при этом,   0 , то ряд

n 

u , un
n 1 n
 0 сходится [1-3].

Пусть ряд  n 1 un , un  0 сходится и существует   0 , такое, что
выполняется равенство (1). Перепишем формулу (1) в виде
lim n 1un  lim n   nun  lim n   lim nun  C   ,
(2)
n 
n 
n 
298
n 
lim nun  0 . В таком случае равенство (2) будет
и предположим, что
n 
выполняться, если предел lim n  при некотором   0 имеет конечное значение
n 
или равен нулю. Но такого  не существует, поскольку lim n    при любом
n 
  0 . Итак, если lim nun  0 , то ряд
n 


u
n 1 n
расходится. Это противоречит

 n 1 un .
исходному предположению о сходимости ряда
необходимое условие сходимости ряда

 n 1 un ,
Отсюда следует
un  0
lim nun  0 .
(3)
n 
Признак (3) имеет более широкие возможности, чем принятый в теории

рядов признак lim un  0 . Например, ряд  n 1 1 / n расходится, хотя для
n 
него необходимый признак
lim un  lim 1 / n  0 выполняется. В тоже
n 
n 
время, по формуле (3) наш, будем называть усиленный необходимый признак не
выполняется
lim nun  lim n / n   .
n 
n 

Делаем заключение о расходимости ряда  n 1 1 / n сразу.
Рассмотрим одно из приложений усиленного признака, применяя его к
интегральному признаку Коши
Интегральный признак Коши гласит: если функция u(x ) неотрицательна и

убывает при x  1 , то ряд
 u(n ) сходится тогда и только тогда, когда сходится
n 1

несобственный интеграл

u(x )dx .
1


Пусть ряд
 u(n ) сходится, тогда сходится интеграл 
n 1
u(x )dx .
1
Интегрируем по частям



u(x )dx  lim xu(x )  u(1) 
x 
1

xu (x )dx .
1
Согласно необходимому признаку сходимости (4)
lim xu(x )  0 . Поскольку
x 
интеграл в левой части равенства сходится, то сходится интеграл в правой

части, то есть интеграл

xu (x )dx . Согласно интегральному признаку Коши
1

nun
n 1
сходится ряд 
.
Заметим, что в этом случае необходимое условие (3) для ряда
299

n 2un
 n 1 nun примет вид nlim

 0.

 n 1 nun

необходимым, так и достаточным для сходимости ряда  n 1 un .
Обратим внимание на то, что сходимость ряда
является как
Действительно, пусть теперь сходится ряд

 n 1 nun ,
тогда сходится интеграл


xu (x )dx .
1
Интегрируем по частям (теперь в обратном порядке), получим



xu (x )dx  lim xu(x )  u(1) 
x 
1

u(x )dx .
1
Опять, поскольку lim xu(x )  0 - это необходимое условие сходимости ряда
x 


u
n 1 n
, то ряд

 n 1 un
выполняется, тогда ряд
раньше, расходится
предположению.
сходится. Если условие

 n 1 un расходится, но

ряд  n 1 nun , что
lim xu(x )  0
x 
не
тогда, как мы уже показали
противоречит
начальному

 nu (n ) , учитывая, что для него должно
Повторим рассуждения для ряда
n 1
выполняться необходимое условие lim n 2un  0 . А именно, пусть ряд
n 

 nu (n )
n 1

сходится, тогда сходится интеграл

xu (x )dx . Интегрируем по частям
1


1
1
xu (x )dx 
2


1
lim x u (x )  u (1) 
x 
2
2


x 2u (x )dx .
1
Согласно условию lim n un  0 . Поскольку интеграл в левой части равенства
2
n 

сходится, то сходится интеграл в правой части

x 2u (x )dx . Согласно
1

интегральному признаку Коши сходится ряд
 n 2u (n ) .
n 1
Рассуждения можно повторить k раз. В результате приходим к двум
важным положениям в теории числовых рядов с положительными членами.
300

1.
Для того чтобы ряд с положительными членами
 u(n )
сходился,
n 1

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
 n k u(k )(n ) , где k  1, 2, ... .
n 1

2.
Если ряд с положительными членами
необходимый признак сходимости lim n
 u(n )
сходится, то выполняется
n 1
k 1 (k )
u (n )  0 для любого k  1, 2, ...
n 
Эти положения являются одними из основных результатов статьи.

Демонстрируем эти утверждения примером сходящегося ряда
 1 / n ln2 x
n 1
2
с общим членом un  1 / n ln x . Дифференцируем ряд
un 
 ln n  2
n 2 ln 3 n
 
n 
1
n 3 ln 2 n
, un 
2 ln2 n  6 ln n  6
n 3 ln 4 n

n  n 3
2
ln 2 n
.

Ряды
 n k u(k )(n ) при k  1, 2
имеют вид
n 1

 nu (n ) 
n 1


n 1
 ln n  2
n ln 3 n

,  n u (n ) 
2
n 1

2 ln2 n  6 ln n  6
.

n ln 4 n
n 1
При больших n общий член каждого из рядов (с точностью до множителя)
ведет себя подобно общему члену исходного ряда, а именно
un  nun  n 2un 
n  n
1
ln 2 n
.
Выводы
1.
На основе признака сравнения в предельной форме получен усиленный
необходимый признак сходимости числовых рядов с положительными членами,
который имеет более широкие возможности в сравнении с признаком, принятом
в теории числовых рядов.
2.
Одним из следствий усиленного необходимого признака сходимости
является возможность получить ряд эквивалентных в смысле сходимости рядов
заданному ряду.
Список литературы
1.
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том I., - М.: Наука,1970 - 571 с.
2.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, том 1. - М.: Изд-во ФМЛ,
Москва, 1956. -472 с.
3.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. - М.:
Наука, Изд-во ФМЛ, 1972 - 795 с.
301
ДО ПИТАННЯ ПРО ЯКІСТЬ
ШКІЛЬНОЇ І ВИЩОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ОСВІТИ
Ю. В. Митник
Ун-т “Києво-Могилянська Академія”, Київ, Україна
mytnik@ukma.kiev.ua
Використанню сучасних освітніх технологій в навчальному процесі приділяється досить значна увага науково-методичних і науково-практичних конференцій.
Як не парадоксально, разом з тим росте стурбованість педагогів падінням якості
математичної підготовки як випускників середньої школи, так і студентів ВНЗ [1].
Чи не є однією з причин зниження рівня математичної підготовки система оцінювання знань зі все більш поширеним використанням тестових технологій, зокрема
зовнішнє незалежне оцінювання випускників середніх шкіл (ЗНО)?
Нагадаємо, що з’явилися вступні тести (закритої форми) в Україні вперше
в університеті «Києво-Могилянська Академія» з 1992 року, постійно вдосконалюючись і приваблюючи абітурієнтів можливістю вступити на будь-який факультет лише за результатами вступного тестування, які оголошувались в той же
день через кілька годин після його проведення (обробка результатів здійснювалась спеціальним комп’ютерним комплексом). Слід зауважити, що це було
прогресивним кроком в протидії корупції в освіті і сприяло досить швидкій появі як регіональних центрів оцінювання якості освіти (РЦОЯО), так і УЦОЯО
(Український центр оцінювання якості освіти).
При підтримці і з ініціативи РЦОЯО з 2003 року в експерименті по запровадженню ЗНО у вступній кампанії брало участь декілька вузів, а з 2007 року – результати ЗНО, яке проводилось новоствореним УЦОЯО стало обов’язковим при
вступі до всіх ВНЗ III-IV рівня акредитації. Завдання з математики були першого,
другого (тести відповідно закритої і відкритої форми) і третього рівня – тут
розв’язки треба було надати в письмовій формі. Саме завдання третього рівня дозволяли визначити, наскільки високим був рівень розуміння матеріалу і математичної культури випускника. На жаль, за виконання завдань третього рівня бралось
лише 10-15% випускників, а перевірка завдань вчителями і викладачами математики вимагала певного фінансування, тому з 2010 року третій рівень замінили тестами
на відповідність, для виконання яких часто достатньо лише асоціативного рівня засвоєння шкільної програми. Перевірка здійснюється автоматизовано без втручання
викладачів, але завдання за останні роки значно спростились, більшість завдань вимагають лише «маніпулятивної» математики. До речі, деякі розділи вищої математики (початки диференціального і інтегрального числення) інколи засвоєні студентами лише на рівні «таблиці маніпуляцій» - похідних і інтегралів.
Оскільки ЗНО стало визначальним при вступі до ВНЗ, то шкільна математична освіта поступово йде по шляху механічного, «тестового» рівня розуміння
математики. Лише фіз.-мат. ліцеї ще намагаються тримати класичний «осмислений» рівень. Про це свідчать і дані моніторингу, який проводиться з 2009 року зі студентами I-IV курсу факультету інформатики НаУКМА. Ці дані зводились в наступну таблицю (для кожної навчальної групи, яка протягом чотирьох
років бакалаврату майже не змінювалась):
302
алГрупа 2 (МА- гебра
2010)
ПІБ
студента
школа
(12)
12
1
ФМЛм
2
ЗОШм
11
11
3
ЗОШм
11
4
ЗОШс
5
ЗОШс
12
6
ПШм
10
7
ЗОШс
12
8
ЗОШс
12
9
ЗОШс
12
10 ЗОШм
10
11
ГЛм
12
12 ЗОШс
12
13
ГЛм
10
14 ЗОШс
11
15
ГЛм
11
16 ЗОШс
9
17
ГЛм
12
18
ШІм
11
геометрія
(12)
12
10
11
10
11
11
12
12
12
10
12
11
10
11
11
10
10
11
III
курс
IV
ЗНО
I курс
II курс
курс
Держ
.
Матем. Матем. Диф.
КР0 аналіз
аналіз р-ня іспит
(200) (10) (100)
(100)
(100) (100)
196
10
100
100 А 91 A
A
196
7
61 E
61 E F
194
9
100
98 A
94 A
A
192,5 10
91
90 B
85 B
A
191,5 8
71 C
63 E 72 C
189,5 6
61 E
- F - F
188,5 7
75 C
63 E 76 C
188
6
86 B
81 B 85 B
188
6
86 B
81 B 85 B
187
5
71 C
71 C 81 B
184,5 6
83 B
75 C 85 B
182,5 7
85 B
74 C 81 B
182,5 4
60 E
- F - F
180,5 5
76 C
72 C 81 B
180,5 5
61 E
61 E 71 C
180
3
61 E
- F - F
179
6
66 D
61 E 72 C
175
2
75 C
76 C 86 B
Таблиця 1. (Вибірка упорядкована по результатам ЗНО).
Тут в колонці:
«школа» - дані про середню школу, яку закінчив студент (фіз.-мат. ліцей
чи математичний клас спеціалізованої середньої школи (ФМЛ), гуманітарний
клас чи спеціалізована середня школа з поглибленим вивченням іноземних мов
(ГЛ), загальноосвітня школа, гімназія (ЗОШ), школа-інтернат (ШІ), приватна
школа (ПШ), велике місто (м) чи сільська місцевість (с)),
«алгебра», «геометрія» - бал атестату з цих дисциплін,
«ЗНО» - бал ЗНО,
«КР0» - бал за контрольну роботу на «рівень залишкових знань», яка традиційно проводиться для першокурсників на першому практичному занятті з
математичного аналізу,
303
«I курс»- «IV курс» - підсумковий бал з відповідних математичних дисциплін за I-IV курс. Найменша позитивна оцінка – 61 бал. У дужках вказаний
найвищий можливий бал. Прочерк означає незадовільну оцінку за курс.
A,B,C,D,E,F – оцінка за шкалою ЄКТС (A (відмінно), B,C (добре), D,E (задовільно), F (незадовільно)).
Слід зауважити, що випускники спеціалізованих математичних шкіл при
вступі до обраного ВНЗ не стільки турбуються за результати ЗНО з математики,
скільки за оцінки з української чи англійської мов, бо там набрати належний
бал набагато важче, а внесок до загального рейтингу (кожен предмет – максимум 200 балів) однаковий. Чи не доцільно було б в цьому аспекті надавати факультетам чи спеціальностям відповідного профілю ВНЗ певні преференції і
враховувати бал з математики, наприклад, з деяким ваговим коефіцієнтом? Загалом, оцінка ЗНО більш об’єктивно відображає рівень шкільних знань, ніж
оцінка атестату, але ЗНО з математики в тій формі, в якій воно є в останні роки, не сприяє поліпшенню якості математичної освіти в Україні, більше того, ця
якість поступово і невпинно падає.
Деякі нотатки по організації навчального процесу і використанню тестових
завдань:
1. У зв’язку зі зменшенням кількості годин, відведеної для прочитання того чи іншого курсу при тій же програмі курсу з’явилася практика «демоверсій»
контрольних робіт, тобто надання в якості домашньої роботи завдань, наближених за тематикою до контрольної. З одного боку, це стимулює студентів
краще підготуватись, а з іншого, забути за інші теми і цілісність курсу.
2. Користування Інтернет-ресурсами (особливо Вікіпедією) при написанні
курсових і контрольних робіт має як позитивну, так і негативну складову –
щось схоже на використання калькулятора в початкових класах школи.
3. Тести доцільно застосовувати на рівні поточного або проміжного контролю, причому відкритої або змішаної форми [2], для підсумкового контролю
найкраща класична форма письмового чи усного екзамену. Тести закритої форми чи на відповідність, які досить цікаві для занять з учнями середніх шкіл, для
роботи зі студентами мало ефективні.
4. Тести дозволяють суттєво зменшити час на проведення контролю (якщо не
враховувати зусиль на їх розробку) і дещо підвищити мотивацію до навчання, але
одночасно стимулюють поверхневе, недостатньо глибоке вивчення предмету.
5. Доцільно використання різних форм тестового контролю, в тому числі з
розгорнутою відповіддю (що вже не є тестом, а письмовою роботою), як це робилось в [3].
Список літератури
1. Швець В.О. До питання про якість шкільної математичної освіти // Евристичне навчання
математики: Донецьк, 2005. - С. 366-367
2. Гридасова И.В., Селякова Н.И. Предел последовательности. Обучающие тесты // Евристичне навчання математики: Донецьк, 2005. - С. 314-315
3. Макушина Р.В., Попова Г.А. Тесты как средство развития исследовательских умений и
мышления при изучении математического анализа. Там же, - С. 336-337
304
ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ АВТОГОГІКИ ПІД ЧАС ВИВЧЕННЯ
МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
У ПЕДАГОГІЧНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ
Н. Олалі, М. Проміс
Найджа Дельта Університет, Амассома, Нігерія (Штат Байельса)
P.mebine@yahoo.com, Pw.mebine@ndu.edu.ng
В. Залізко
НПУ імені М .П. Драгоманова, Київ, Україна
zwd@ukr.net
Викладачі більшості педагогічних ВНЗ апріорі вважають, що їх студенти
мають істотну математичну базу, оскільки вони вже вступили до фізикоматематичних факультетів (інститутів). Але нажаль, рівень математичної
підготовки випускників ЗОШ 70-х років кращий за рівень учнів 90-х і 2000-х
років разом взятих. Проведені зрізи знань серед студентів першокурсників
виявляють значні прогалини в цілих розділах математики. Найчастіше це
тригонометрія, інтегральне числення і головне алгебраїчні перетворення. Із
тисячі опитаних нами студентів - першокурсників в середньому 100-200
студентів не знають основну властивість дробів або не вміють виконувати
правильно арифметичні операції над ними. Про яку математичну базу можна
говорити? Постає питання, як ці студенти потрапили на фіз-мат із такими
знаннями?! Гаразд, можна зіслатись на те, що все забувається і при бажанні
можна взяти підручник і вивчити потрібний матеріал самостійно. Більше того,
згідно навчальної програми передбачено самостійне вивчення досить
непростих тем з математичного аналізу. І тут виникає проблема в тому, що
учнів ніхто в школі не навчав як самостійно готуватись до уроків.
Самовиховання та самопідготовка в Україні знаходиться на досить низькому
рівні. Якщо на 5 курсі запитати студентів теми, які виносились на самостійне
вивчення, то більшість не зможе відповісти навіть на оцінку «задовільно». Це
не означає, що сучасні абітурієнти, по суті діти, мають низький розумовий
рівень розвитку (IQ). Ні! Навіть навпаки, якщо поспілкуватись з ними на теми
які для них цікаві, можна відчути, що і з пам'яттю, і з логікою у них все
нормально. Багато з них легко запам’ятали імена всіх героїв з книги «Гарі
Потер» або проходять такі складні рівні на стратегічних комп’ютерних іграх,
що можна лише їм позаздрити. Отже, з вище сказаного випливає, що проблема
не в дітях, а в дорослих – в батьках і викладачах.
Питаннями вдосконалення методики вивчення математичного аналізу
займались в багатьох наукових центрах такі вчені як В. Луценко, О. Микитюк,
Г. Михалін, І. Підласий, І. Прокопенко, Н. Сидорчук, М. Шкіль та багато інших.
Проте проблема використання елементів автогогіки під час вивчення
математичного аналізу у педагогічних навчальних закладах залишилась не
достатньо висвітленою.
305
Під час складання сесії більшість студентів вважають екзамен з
математичного аналізу одним із найскладніших. Проблема полягає не у
складності предмету, а в неправильному (застарілому) підході до викладання. І
це не дивно, оскільки склад кафедр більшості вищих навчальних закладів
України на 60 % і більше складається з викладачів перед пенсійного віку, які
навчалися за класичними підручниками, слухали академічні лекції (крейда і
дошка – необхідна і достатня умови викладання). В XXI сторіччі цих двох
«наочних» засобів недостатньо. Використання діа-, кодо-, медіа- чи
комп’ютерних проекторів відбувається з рідка і обмежується лише звичайним
переписуванням з екрану. До того ж багато студентів не вміє писати лекцію.
Вони під диктовку викладача (в багатьох випадках навіть професора) пишуть
нікому не потрібний диктант. Якщо ще врахувати, що їхня швидкість і
грамотність написання в більшості не велика, то конспект стає часто джерелом
дезінформації або більше того анекдотів.
Згідно з даними відділу кадрів НПУ імені М. П. Драгоманова на
математичних кафедрах університету лекції, переважно, викладаються
лекторами пенсійного та перед пенсійного віку. Молодь, яка йде працювати на
зміну, замість того, щоб створювати нові форми викладання навчального
матеріалу змушена клонувати лекції своїх старших колег. Оскільки, на
заробітну плату в 1500-2000 грн. утримувати сім’ю неможливо, то молоді
викладачі шукають або інший вид діяльності (заробітна плата менеджера
середньої ланки близько 5000-8000 грн.), або виїжджають за кордон, або в
кращому випадку працюють на декількох роботах. А для того щоб розробити
цікаву, енергетично насичену, наукову, пізнавальну лекцію з використанням
ПК, навчальних та контролюючих тестів, роздаткового матеріалу, з
постановкою проблемних завдань та глибоким історичним екскурсом, потрібно
витратити навіть не декілька днів, а декілька місяців, а може й років. Тому
молоді викладачі рухаються по шляху найменшого опору. Читають «диктанти»
з математичного аналізу під назвою академічні лекції, на яких дуже гарно
засипають студенти на останніх партах.
Одним з логічних виходів із утвореної ситуації є інтеграція молодості і
досвідченості. Не можна допустити, щоб класична фундаментальна дисципліна
вивчалась вибірково і поверхнево, проте і формальне вивчення, точніше
переписування, без розуміння можливого застосування нікому не потрібне.
Якщо взяти більшість підручників з математичного аналізу, які є в
бібліотеці, то вони написані максимум в 70-х або перевидані пізніше. Хочеться
відзначити, що і сучасні підручники мало чим відрізняються. Бо простіше
добавити кілька задач з розв’язанням або змінити доведення і все, новий
підручник готовий. Цього не достатньо. Потрібно створювати принципово нові
підручники з кольоровими ілюстраціями, зрозумілими геометричними
інтерпретаціями, цікавими історичними легендами чи фактами про відомих
математиків та ін. Мало хто задумувався, чому студенти годинами можуть
розгадувати сканворди, кросворди і не втомлюються, а порозв’язувавши на
306
практичному занятті (90 хв.) декілька задач з математичного аналізу скаржаться
на втому. Тому основною задачею викладачів є розробити нові підходи до
викладання фундаментальних дисциплін таких як математичний аналіз,
диференціальні рівняння, вища алгебра та геометрія, теорія ймовірностей та
математична статистика та ін., які б були цікавими для молоді.
Для розв’язання перелічених вище проблем потрібно залучити всі
можливі засоби. Перш за все потрібно не лише навчати студентів конкретної
формули чи теореми, а показувати як самостійно можна опанувати цей матеріал
і вказати де можна його використати в подальшому.
Саме наука автогогіка займається питаннями самоосвіти, самовиховання
та ін. Тому озброївшись сучасними педагогічними технологіями автогогіка
зможе допомогти в процесі вивчення математичного аналізу. Зупинимось
детальніше на поняттях «технологія», «педагогічна технологія» і як їх можна
використовувати для самонавчання.
Поняття “технологія” виникло у світовій педагогічній практиці як
альтернатива поняттю “метод”, оскільки більшість існуючих методів
викладання (зокрема методи викладання математичного аналізу) є досить
негнучкими, прямолінійними та статичними за означенням.
Термін “технологія” є індустріальним. В освіті набув поширення у 40-х
рр. ХХ ст. і був пов’язаний із застосуванням нових на той час технічних засобів
навчання ТЗН (аудіовізуальні засоби). У 1960-х рр. поняття “технологія освіти”
розглядали під кутом зору програмного навчання й використання
обчислювальної техніки в навчанні. З початку 80-х рр. ХХ ст. дедалі частіше
використовують термін “педагогічні технології”. Педагогічна технологією (ПТ)
це вивчення, розробка й системне використання принципів організації
навчального процесу на основі новітніх досягнень педагогіки, психології, теорії
управління та менеджменту, інформатики, соціології тощо для розробки таких
засобів навчання, що підвищують ефективність навчального процесу.
Структуру ПТ під час самопідготовки студентів зобразимо схематично на
рисунку 1. Основна вимога до засобів і методів організації навчальної
діяльності – це забезпечення всіх аспектів засвоєння знань і практичних умінь.
Зрозуміло, що не існує універсальної ПТ, яку можна успішно застосовувати для
всіх дисциплін. При її виборі потрібно визначати пріоритетність та важливість
завдань. ПТ можна порівнювати між собою тільки в межах однієї мети або
розв’язання схожих завдань (не можна використовувати одну й ту ж ПТ для
викладання диференціальних рівнянь та теорії апроксимації).
Слід зазначити, що тема використання технологій процесу навчання та
педагогічних технологій у цілому для самостійного навчання (автогістичного),
виступала предметом дискусій і суперечок багатьох вчених та педагогів, таких
як А. Макаренко, Н. Попова, В. Сорока-Росинський, В. Сухомлинський та ін.
Актуальним завданням стає пошук таких ПТ, які дали б можливість
викладачам математичного аналізу підготувати висококваліфікованих,
конкурентоспроможних фахівців, здатних не лише виконувати складні науково-
307
дослідні, фахово-прикладні та
наступного саморозвитку.
творчі
завдання, а головне здатних для
ЕФЕКТИВНІСТЬ
НАВЧАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ
ПТ
Учасники процесу
Система теорій
та ідей
Методи
Засоби
Рис. 1. Структура педагогічної технології під час самопідготовки
студентів
Оскільки розвиток технологій настільки швидкий, що стають доступними
нові комп’ютерні технології за допомогою яких можна розв’язувати ще
складніші завдання, використовувати математичний аналіз як потужний
науковий інструмент в інших дисциплінах. Отже, під час створення нової
технології навчання математичного аналізу потрібно врахувати думку
засновників кібернетичної концепції навчання (С. І. Архангельського,
Н. В. Кузьміної, Н. Ф. Тализіна та ін.) і ставити акценти на вмінні студента
проводити самоконтроль, самооцінку, коригувати знання в залежності від
новітніх розробок та цілей. Цим самим ми успішно виконаємо основні складові
процесу навчання у вищій школі і підготуємо майбутніх педагогів для
подальшого розвитку за межами альмаматері. Наведемо той факт, що студенти,
які звикли самостійно контролювати результати своєї діяльності, є більш
організованими, ефективними та адаптивними до життєвих негараздів, ніж ті
студенти, що навчаються під строгим наглядом батьків, чи адміністрації ВНЗ
(див. наприклад [2]). Це пояснюється також тим, що студент, який знаходиться
під постійним зовнішнім контролем завжди знайде спосіб ухилитися від цього
контролю (списати, обманути…). Студент, що сприймає контроль як
обов’язкову умову свого існування, буде навпаки зацікавлений в удосконаленні
процесу контролю.
Висновки. Таким чином, у роботі обґрунтовано важливість використання
і більш широкого застосування елементів автогогіки в процесі вивчення
математичного аналізу. Вказано на необхідність розробки конкретних
педагогічних прийомів, які базуються на покроковому аналізі розв’язання та
308
зіставлення отриманих результатів з вихідними даними задачі., та
вдосконалення керуючо-коригуючої діяльності викладача, що сприяють
напрацюванню
і
розвитку
у
студентів
навичок
самоконтролю,
самокоригування, самооцінки, що сприяє формуванню фахової компетентності
майбутніх учителів.
Список літератури
1.
Болонський процес і кредитно-модульна система організації навчального процесу
(методичні рекомендації для викладачів і студентів) / В. І. Євдокимов, О. М. Микитюк, Л. П.
Харченко, В. В. Луценко. – Х. : ХНУРЕ, 2004. – 40 с.
2.
Кремень В. Г. Дистанційна освіта – перспективний шлях розв’язання сучасних
проблем професійної освіти / В. Г. Кремень// Вісник Академії дистанційної освіти. – 2003. –
№1. – С. 4–11.
3.
Лобашов В.Д. Педагогические технологии. Право на эксперименты: Методические
вопросы тестирования как вида контроля учебного процесса / В. Д. Лобашов, С. М.
Лаврушина// Педагогические технологии. – 1999. – №5. – С. 160–170.
309
ПРО ВИКОРИСТАННЯ ДИСТАНЦІЙНОГО КУРСУ
«ВИЩА МАТЕМАТИКА»
З. П. Ординська, Л. А. Репета
НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна
repetala@bigmir.net
Основна мета застосування новітніх технологій навчання – підготовка
студентів до життєдіяльності в умовах інформаційного суспільства.
Впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій
підвищують рівень освіти і вдосконалюю їх якість.
Комп’ютерні інформаційні технології в процесі викладання дозволяють не
тільки розширити та поглибити знання студентів, але й сформувати у них
вміння створювати і застосовувати електронні матеріали.
Оволодіння основами вищої математики студентами економічних
спеціальностей є показником загальної культури майбутніх спеціалістів і
важливим методологічним засобом творчого осмислення й активного
використання в безпосередній практиці з фахової спеціальності. Не викликає
сумнівів значна роль математичної підготовки сучасного фахівця та посилення
її прикладної спрямованості.
З розвитком сучасних комп’ютерних технологій способи і форми передачі
знань студентам і контроль засвоєних знань суттєво змінюється, певною мірою
відбувається автоматизація навчального процесу.
Як один із можливих способів застосування інформаційних технологій в
навчанні є дистанційне навчання, що об’єднує в собі електронний підручник,
який повністю відповідає курсу лекцій; тренінг, який проводиться за
допомогою розв’язування задач з поясненнями та завдань для самостійної
роботи, а також систему диференційованого контролю. Це дає можливість
кожному студенту навчатись в індивідуальному темпі, що відповідає його
швидкості сприйняття та засвоєння навчального матеріалу.
В дистанційному курсі наведено тренінги з основних тем, що дають
студенту розуміння мінімального та достатнього об’єму знань з певної теми.
Тим самим активізується його робота при вивченні матеріалу.
Використання дистанційного курсу також дає можливість безпосередньо
спілкуватись студентам з викладачами під час консультацій, при виконанні
контрольних робіт, робіт над помилками та інше. Це розвиває творче мислення
студента, його ініціативу та самостійність.
Підготовлений дистанційний курс „Вища математика” для студентів
економічних спеціальностей побудований за загально прийнятою схемою
кредитно-модульної системи. Він дає студенту чітке розуміння вимог при
вивченні конкретного матеріалу як логічно завершеної частини знань з
навчальної дисципліни. Протягом семестру постійно оцінюються відповіді на
кожне питання та враховується кількість спроб дати правильну відповідь і, крім
того, студенти мають можливість одержати допомогу з боку викладача.
310
Дистанційний курс „Вища математика” складається з:
1)
програми курсу,
2)
переліку контрольних питань до кожної теми,
3)
структури контрольних робіт.
В кінці кожної теми наведено завдання для самостійної роботи студентів і
мінімальні вимоги до засвоєння знань.
Дистанційний курс містить також словник основних термінів.
Наведемо приклад вивчення теми „Дотична площина до поверхні.
Геометричний зміст диференціала функцій двох змінних”.
Ключові слова: гладка поверхня, дотична площина до поверхні, рівняння
кривої у векторній формі та параметричне, канонічне рівняння прямої, повний
диференціал функції двох змінних.
Зміст теми. Поверхня  називається гладкою, якщо у кожній її точці існує
дотична і кусково-гладкою, якщо гладкі частини поверхні з’єднуються
гладкими лініями, тобто такими лініями, у кожній точці яких можна провести
дотичну.
Наприклад, гладкими поверхнями є сфера, параболоїд, гіперболічний
параболоїд. Замкнений циліндр є кусково-гладкою поверхнею.
Означення. Дотичною площиною до поверхні  у точці P поверхні
називається геометричне місце дотичних прямих, що проходять через точку P і
в ній дотикаються до будь-яких гладких кривих, що лежать на поверхні  і
проходять через точку P . Рівняння F ( x, y, z )  0 є рівнянням поверхні  .
Нехай криву  , що лежить на поверхні  , задано векторним рівнянням

r (t )  {x (t ), y (t ), z (t )} , t  [ , ] або параметричними рівняннями
x  x (t ),
y  y (t ), z  z (t ),   t  і при t  t0 вона проходить через точку
P0 ( x0 , y0 , z0 ) , де x0  x (t0 ), y0  y (t0 ), z0  z (t0 ) .
Оскільки крива  лежить на поверхні  , то усі її точки задовольняють
рівняння поверхні, тобто F ( x(t ), y (t ), z (t ))  0 t  [ , ] .
Диференціюємо цю тотожність як складену функцію за змінною t :
F ( P )
F ( P )
F ( P )
x (t ) 
y (t ) 
z  (t )  0 .
x
y
z
У частинному випадку при t  t0 одержимо
F ( P0 )
F ( P0 )
F ( P0 )
x (t0 ) 
y (t0 ) 
z (t0 )  0 .
x
y
z
(1)
Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку P0 ( x0 , y0 , z0 ) , має
вигляд
x  x0
y  y0 z  z0
,


l
m
n
l , m, n –
де
координати
напрямного
вектора
прямої.
Вектор


l  dr (t0 )  {x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )} є напрямним вектором для дотичної прямої до
311
кривої  у точці ( x0 , y0 , z0 ) . Отже, рівняння дотичної до кривої  у точці
P0 ( x0 , y0 , z0 ) має вигляд
x  x0
y  y0 z  z0 .


x (t0 )
y (t0 )
z (t0 )
(2)

Позначимо через N вектор з координатами  F ( P0 ) , F ( P0 ) , F ( P0 ) . Тоді
x
y
z


рівність (1) можна записати як скалярний добуток векторів N і l , а саме,

 
 N , l   0 . Звідси випливає, що вектор N перпендикулярний до дотичної будьякої кривої, що лежить на поверхні  і проходить через точку P0 ( x0 , y0 , z0 ) .

Отже, вектор N є нормальним вектором дотичної площини до поверхні 
у точці P ( x0 , y0 , z0 ) і її рівняння має вигляд
 F ( P0 )
 F ( P0 )
 F ( P0 )
( x  x0 ) 
( y  y0 ) 
( z  z0 )  0 .
x
y
z
Пряма, перпендикулярна до дотичної площини у точці дотику називається
нормаллю до поверхні. За умови, що поверхню задано рівнянням z  f ( x, y ) або
f ( x, y )  z  0 рівняння дотичної площини до поверхні  , проведеної у точці
( x0 , y0 , z0 ) , де z0  f ( x0 , y0 ) має вигляд
f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 )  ( z  z0 )  0
або
f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 )  z  z0 .
(3)
Рівняння нормалі у цьому випадку записують
так
x  x0
y  y0
z  z0
.


1
f x( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 )
P
Ліва частина виразу (3) є повним диференціалом
функції z  f ( x, y ) , тобто df ( x0 , y0 )  z  z0 або
df ( x0 , y0 )  z .
Таким чином, з геометричної точки зору,
повний диференціал функції двох змінних
дорівнює приросту аплікати дотичної площини.
z
K
σ
B

N
B1
z
A
A1
dz
P0
O
x
y
(x0 +x; y0+y)
(x0 ; y0)
Список літератури
1. Л.О. Дундученко, В.В. Ясінський, Вища математика. – К.: НТУУ „КПІ”, 2006.
2. С.Н. Никольский, Курс математического анализа, т.1. – М.: Изд-во «НАУКА», 1975.
3. В.В. Булдигін, З.П. Ординська, Л.А. Репета, Конспект лекцій з „Вищої математики”. –
К.: НТУУ “КПІ”, 2008.
312
О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ КУРСАНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ
НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНОМ ФАКУЛЬТЕТЕ И В ВУЗЕ
Н. Д. Орлова, Т. И. Климова, Т. М. Сапронова
Одесская национальная морская академия, Одесса, Украина
math_onma@ukr.net
В настоящее время в Украину приезжает большое количество иностранных
студентов для обучения в различных высших учебных заведениях. Обучение
иностранных студентов в Украине имеет давние традиции и проблемы. Кроме
организационных и психологических проблем, возникающих в связи с
приездом иностранных студентов в иную, отличную от родной культурную
среду, обнаруживаются и учебно-методические, на которые необходимо
обращать внимание и решать. Из практики хорошо известно, что курсантиностранец, даже окончивший подготовительный факультет в ОНМА,
испытывает серьезные затруднения на первом этапе обучения в условиях
стационара.
Рассмотрим вопрос совершенствования математического образования в
условиях предвузовского и вузовского обучения иностранных курсантов в
ОНМА. Являясь связующим звеном между различными школами и вузом,
обучение на подготовительном факультете, призвано максимально
подкорректировать систему математических знаний и умений, полученных
обучающимися в различных странах мира, и в то же время подготовить их к
успешному обучению в высшей школе.
Работа с иностранными слушателями, которые в начале обучения не
владеют математической терминологией, побудила коллектив кафедры
«Высшая математика» ОНМА разработать комплекс пособий и
соответствующую методику преподавания, в которой представлена вся
«школьная» математика. Таким образом, имея множество методик
преподавания школьной математики, оптимальным образом разработана
методика преподавания математики на подготовительном факультете.
Основным принципом математического образования, на данном уровне,
является принцип - обзорности (несколько разделов школьной математики,
объединенные общей темой, излагаются кратко), но при этом особое внимание
уделяется тем разделам, которые наиболее часто используются в высшей
математике. При этом национальные особенности и специфика национальных
математических школ в каждом конкретном случае должны быть учтены.
Кроме того, на подготовительном факультете обучение математике
должно осуществлять преемственность с вузовским обучением:
- содержанием, формами и методами обучения математике;
- системой дифференцированного обучения, реализуемой при изложении
теоретического материала, так и при выполнении ззаданий;
- с учетом психолого-педагогических особенностей, связанных с
переходом в другую национальную среду.
313
При изучении этих разделов алгебры элементарных функций,
тригонометрии,
начальных
понятий
математического
анализа
терминологическая лексика вводного курса должна многократно повторяться и
тогда она прочно усваивается слушателями, что в конечном итоге обеспечит
возможность продолжения обучения на основных факультетах ОНМА.
При дальнейшем обучении курсантов-иностранцев в высшем учебном
заведении стиль и язык изложения математического материала на
подготовительном отделении, следует по возможности сохранять, обеспечивая
тем самым лучшее понимание материала курсантами – иностранцами на
данном этапе изучения математики. Поэтому при чтении лекций целесообразно
из всего объема математической лексики отбирать наиболее необходимую
лексику, акцентировать внимание на тех терминах и словах общелитературного
языка, без знания которых невозможно дальнейшее продвижение по курсу
высшей математики. Отобранная таким образом лексика должна стать активной
лексикой и при проведении практических занятий.
В процессе изучения высшей математики основную трудность для её
понимания представляет не только содержание, но сопровождающие словесные
разъяснения, так как практически на всех этапах обучения восприятию
материала препятствует языковой барьер. Частичное решение этой проблемы
возможно за счет использовании символического языка математики, который в
своей общей основе является языком международным и потому понятным
иностранным курсантам. Восстановление формулировок предложений по их
символической записи – очень эффективное средство, как для усвоения
русскоязычных оборотов речи, так и для освоения математического содержания
изучаемого раздела.
Рассмотрим, например определение неопределенного интеграла. Прежде
всего необходимо проговорить с необходимыми пояснениями все компоненты
записи:  f ( x) dx  F ( x)  C : что такое f ( x) (функция), dx (дифференциал
функции), F ( x) (первообразная функции), F ( x)  C
(множество первообразных). Далее можно приступить к словесной
формулировке определения. Использование символического языка в этой роли
позволяет свести до минимума словесные разъяснения, чем снижается влияние
языкового барьера и повышается доступность обучения.
При чтении лекций и проведении практических занятий по высшей
математики курсантам - иностранцам особые требования предъявляются к
содержанию и темпу речи лектора и особенно ассистента. Речь преподавателя
должна быть четкой, продуманной, замедленной, немногословной и
адаптированной к уровню владения русским языком слушателями.
Преподаватели, ведущие практические занятия, обязательно должны
использовать обозначения и математическую терминологию, принятую при
чтении лекций. Следует помнить, что быстрая неадаптированная речь
воспринимается [1,2,3] иностранцами как сплошной звуковой поток, что
314
вызывает у них раздражение, а иногда приводит к полному отказу посещать
лекции, слушать преподавателя и участвовать в практическом занятии.
В данных условиях иногда бывает лучше промолчать, чем сказать много
непонятного. В этих условиях ассистент, ведущий практические занятия, не
должен возмущаться незнанием некоторых формул элементарной математики,
а просто должен записать эти формулы на доске и пояснить, как ими следует
пользоваться. Может оказаться, что эти формулы известны курсантаминостранцам, а уровень владения математической терминологией на русском
языком делает их «неизвестными».
Для обеспечения лучшего восприятия курсантами-иностранцами учебного
материала желательно, чтобы ассистенты, работающие на подготовительном
факультете, продолжали обучение курсантов и в ВУЗе.
Одним из путей решения обозначенных проблем является создание
методических пособий для иностранных курсантов разделов курса «Высшая
математика». При создании пособий следует стараться использовать ту же
лексику, которая употребляется при изучении материала на подготовительном
факультете, и наоборот - тексты пособия должны рассматриваться как образцы
адаптированной речи преподавателя.
Не рекомендуется также на начальном этапе обучения высшей математике
использовать дополнительную постороннюю информацию, затрудняющую
восприятие изложенного в пособии материала, а также давать учащимся
неадаптированные формулировки, которых нет в учебниках и учебных
пособиях и которые неспособны восприниматься из-за слабого владения
русским языком.
При написании методических пособий для иностранных курсантов следует
придерживаться определённых правил [4,2,3]. Структура методического
пособия - темы делятся на подтемы, содержащие теоретический материал и
примеры, иллюстрирующие вводимые математические понятия и термины. В
пособие обязательно должны быть включены упражнения, как для аудиторного,
так и для самостоятельного решения.
Содержание курса высшей математики определяется программами по
«Высшей математике» соответствующих факультетов, для всех курсантов
ОНМА. В этих программах перечисляются основные темы и даются
методические рекомендации по её реализации, этими же программами
руководствуются и на факультете иностранных курсантов. Из опыта работы на
факультете иностранных курсантов следует, что необходимо внести изменения
в рабочие программы в сторону увеличения количества модульных контролей
как лекционных, так и практических.
315
Список литературы
1.
И.М.Пулькина. Значение и содержание начального этапа обучения. – В кн.: Основные
методические положения. – М.: Высшая школа, 1965, С. 11 – 22.
2.
Лазарева Е.А. Вуколова Т.М. Развитие математической речи иностранных студентов
при изучении повторительного курса математики на подготовительном факультете. / В Сб.:
Международное образование: итоги и перспективы. Материалы международной научнопрактической конференции, посвященной 50-летнему юбилею Центра международного
образования МГУ им. М.В. Ломоносова. 22 – 24 ноября 2004 года. Том 2. М., ЦМО МГУ, С.
96-106
3.
Жаров В.К., Баранова Н.М., Кузнецова Т.И. О направлениях преподавания
математики в вузах в условиях иноязычной среды на начальных этапах обучения // Научный
вестник МГТУ ГА, № 95(13), сер. «Международная деятельность вузов». –М.: МГТУ ГА,
2006.
4.
Н.Д.Орлова, Тихонцова Н.И. Использование элементов личностно-ориентированного
обучения,при изучении курса „Высшей математики”. Дидактика математики «Проблеми и
дослідження» Міжнародній збірник наукових робіт. Вип. 25 м. Донецьк ДНУ ,2006 стр.214218.
316
ДО ПИТАННЯ ВИКЛАДАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
В СУЧАСНОМУ ТЕХНІЧНОМУ УНІВЕРСИТЕТІ
Н. М. Панасюк
НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна
nataly-panasyuk@yandex.ru
Не є новиною те, що останнім часом знизився рівень математичної
підготовки абітурієнтів, в подальшому першокурсників. Відмічено значне
розшарування за математичною підготовкою тих, хто вступив на факультети з
математичним ухилом і суто технічним напрямом. Навіть ті, хто вступив на
фізико-математичний факультет інколи вражають низьким рівнем шкільної
математичної підготовки. Зрозуміло, що демографічна криза цього покоління
обумовила не дуже жорсткий відбір, але не тільки це. Проводячи на першому
занятті з вищої математики КРЗЗ-0 з базовими завданнями по елементарній
математиці ї аналізуючи її результати, з сумом констатуємо, що вони
наближаються до номера цієї контрольної роботи. Проводячи порівняльний
аналіз цих результатів і балів зовнішнього тестування приходимо до висновку,
що: 1) рівень виконання контрольної роботи не відповідає балам сертифікату;
2) ця невідповідність тим більша, чим далі від Києва і чим менший за
розмірами адміністративний центр, де проводилося тестування і де навчався
абітурієнт (за деякими винятками). Тобто не завжди при проведенні тестування
забезпечено самостійне виконання роботи; отримані знання не є ґрунтовними і
не витримують навіть 2-3 місячної перевірки часом (від написання ЗНО до
початку занять у виші); різко зріс “професіоналізм” на стезі використання
допоміжних засобів для несамостійного виконання робіт, що, на наш погляд,
формує споживацькі тенденції і впливає на процес подальшого навчання
студента. Школа не виховує допитливу молодь. Орієнтування на тести в самій
шкільній освіті не розвиває школяра, його допитливість, творчість. Шкільна
програма перевантажена зайвим., на наш погляд, матеріалом, зокрема таким як
елементи диференціального та інтегрального числення, що, як показує досвід
роботи з першокурсниками, не засвоюється, а інколи і викладається, м’яко
кажучи, не дуже коректно. Краще, на наш погляд, формувати ґрунтовну
підготовку з елементарної математики, зокрема підвищувати техніку
елементарних перетворень, розв’язків рівнянь, нерівностей, досконаліше
вивчати елементарні функції та їх властивості, тощо. На практичних заняттях,
останнім часом, ми зустрічаємося з випадками, що студент не володіє технікою
роботи з дробами, в тому числі числовими. З іншого боку суспільство чекає від
нас випускників нового типу: розвинених, ерудованих, мислячих творчо, які
мають ґрунтовні знання та бажання неперервно вдосконалюватись Все це
ставить перед викладачем, особливо молодших курсів, додаткові завдання:
формувати в свідомості студента відповідальне відношення до навчання,
прагнення ліквідувати прогалини в своїй шкільній освіті, вчитись самостійно
працювати з матеріалом, навчитися працювати з літературою, творчо
317
конспектувати і опановувати новий, тематично потрібний, матеріал З іншої
сторони введення на Україні для учасників болонського процесу нових підходів
в формуванні навчальних планів спеціальними кафедрами привело до
скорочення числа аудиторних годин в курсі вищої математики, що на фоні
низької математичної підготовки з елементарної математики, вимагає нових
підходів в методиці викладання курсу. Тому, з перших годин учбового процесу
необхідно розглядати задачі, розв’язок яких спирається на використання
формул, співвідношень елементарної математики, навичок тотожних
перетворень, розв’язків рівнянь та нерівностей. Так працюючи над
властивостями визначників, розв’язком систем, вибираємо елементами
тригонометричні функції, причому такі, щоб викладки не були громіздкими,
щоб не витрачати багато часу, в якому ми обмежені, і не лякати студентів, що і
так слабкі та приходять з установкою - списати, а не подолати, все одно не
зрозумію Наприклад:
Задача 1. Використовуючи властивості визначників, обчислити
2 cos 2  sin 2 
1 cos 2  sin 2  .
1 cos 2  sin 2 
Задача 2. Розв’язати нерівність і дати геометричне тлумачення розв’язку
2 x  2 1
1 1  2  0.
5 3
x
Задача 3. При яких  ,  ,  система має нескінченну кількість розв’язків
2 x1  cos 2  x2  sin 2  x3  0

2
2
 x1  cos  x2  sin  x3  0 .

2
2
 x1  cos  x2  sin  x3  0
В таких задачах студент, зокрема, повторює розв’язування квадратичних
нерівностей, малює параболу, наносить області зміни знаків а, як показав
досвід, для декого це є каменем спотикання. На самостійну роботу можна дати
задачу аналогічну задачі 2, тільки з рівнянням.
При вивченні теми “Матриці” пропонується після повторення відповідної
теорії одразу розв’язати задачу типу
Задача 4. Знайти f ( A) , якщо f ( x )  x 2  x  1, (C )
2 1 1
A   3 1 2  .
1  1 0 


Ця задача дозволяє допрацювати всі дії над матрицями і використати
одиничну матрицю. При цьому ми знову вертаємося до поняття функції в більш
абстрактній формі. Тут корисно було б дати завдання виду: записати f (tgx) і
318
обчислити при x 

та для засвоєння матеріалу дати додому аналогічні задачі.
4
Далі, переходячи до оберненої матриці , разом з розв’язком матричних рівнянь
доцільно, повторивши відповідну теорію по цій темі, розв’язати наступну
задачу:
Задача 5.Чи має матриця А обернену, якщо так, знайти її.
 cos   sin   cos   sin  
A
cos  
cos  
 sin 
 sin 
Зрозуміло, що розглядаючи задачу на обернену матрицю, ми ще
відпрацьовуємо техніку множення матриць , не витрачаючи на це час, як на
окрему задачу і, пам’ятаючи про те, що ми повернемося до множення в темі
«Матричні рівняння». переходимо до цієї теми, Повторивши теорію стосовно
розв’язку рівнянь АХ=В та ХА=В, пропонуємо записати розв’язок рівняння
СХА=В, з’ясовуємо, які умови повинні накладатись на розміри матриць А,В,С і
переходимо до розв’язку рівняння останнього типу. Після цього розв’язуємо
систему рівнянь, як за Крамером, так і матричним способом
Окремо хочу зупинитися на деяких моментах розподілу матеріалу
математичного аналізу по семестрах та послідовності його викладення. Хоча в
програму загальноосвітніх шкіл і технікумів включено деякі поняття
диференціального та інтегрального числення, але, як показав учбовий процес,
першокурсник не може знайти елементарну похідну чи інтеграл до початку
вивчення цього матеріалу в аудиторії. Тому будемо вважати, що цей матеріал не
вивчався раніше і це буде нашою відправною точкою. Крім того ми вже
навантажили студента елементами лінійної алгебри та аналітичної геометрії
разом з повторенням деяких розділів елементарної математики, вичитали
введення в аналіз з новими поняттями, такими як границя, неперервність
функцій і теорію нескінченно малих. Тому після розділу диференціювання
функції однієї змінної та застосування похідних, який до того ж достатньо
завантажений ще й теоретичним матеріалом, доцільно читати розділ “Функція
кількох змінних”, акцентуючи увагу на спільності і відмінності основних понять,
теорем, властивостей. Розв’язуючи задачі на обчислення частинних похідних,
вказавши на їх відмінність і, акцентуючи на спільності в самому процесі,
правилах, використанні таблиці похідних, ми вдосконалюємо техніку
диференціювання, з якою виникають проблеми у перевантажених новим
матеріалом студентів. Вивчаючи наступні теми цього розділу знову звертаємо
увагу на спільне і відмінне. Тепер матеріал краще засвоюється і запам’ятовується
Тільки тоді, а це , як правило, в наступному семестрі після здачі іспитів-отже
матеріал вже уклався в голові, переходимо до обернених операцій, тобто
інтегрування, викладаючи матеріал у такій послідовності: “Невизначений,
визначений інтеграл та його застосування”, “Кратні, криволінійні, поверхневі
інтеграли та теорія поля”. Вводячи поняття первісної та інтегралу ми звертаємо
увагу студентів на те, що інтегрування є операцією оберненою до
319
диференціювання і як, спираючись на це, отримати, краще разом зі студентами,
основну таблицю інтегралів - ось місточок до попереднього матеріалу При
вивченні методів інтегрування ми знову повертаємося до елементарної
математики (раціональні та ірраціональні дроби, тригонометрія, тощо),
аналітичної геометрії, графіків функцій; звертаючись до кратних і криволінійних
інтегралів, ми вже маємо деяку техніку інтегрування, роботи в полярній системі
координат, побудови кривих в цій системі та заданих параметрично,
використовуємо теорію поверхонь 2-го порядку з аналітичної геометрії і т.д..;
акцентуємо увагу на відмінностях і спільності з однократним інтегруванням, на
властивостях, теоремах, при викладенні яких ми можемо скоротити аудиторний
час, винести частину на самостійну роботу Те ж саме і в подальших розділах
Здається доцільним при застосуванні інтегралів одну і ту ж задачу розв’язати,
застосувавши, наприклад, як однократний, так і подвійний інтеграл,
запропонувати студентам для самостійної роботи як самі задачі, так і завдання
сформулювати свої та розв’язати їх, використовуючи при цьому навіть принцип
змагальності: хто більше і кращі задачі, надаючи при цьому певні преференції творчість також треба заохочувати та виховувати смак до неї.
Зупинюся ще на деяких моментах проведення практичних занять. На мою
думку є хибною практика за якою на початку заняття викладач наводить
положення теорії по темі заняття. Студента треба привчати працювати з
конспектом лекцій і літературою, готуватись до практичних занять, сповістивши
тему на попередньому і звернувши увагу на матеріал, що буде пропонуватись
наступним разом Потім акцентувати увагу на матеріалі, що використовується
при розв’язуванні задач треба шляхом опитування студентів, при цьому навіть
студент який не підготувався, відкриє конспект та ознайомиться з матеріалом
хоча б в аудиторії З метою активізації роботи студентів доцільно застосовувати
принцип змагальності - розбивши студентів на групи, в кожній з яких вони
мають різний рівень підготовки, пропонувати розв’язати різні для кожної групи
задачі (яка бригада швидше!), а потім представник записує розв’язок на дошці
Таким чином і задач більше розглянемо, і активність вище. Звичайно все це
відбувається під керівництвом викладача, який, якщо це необхідно, спрямовує
ідеї в потрібне русло. Можна, якщо дозволяє дошка, викликати двох студентів
наступним чином: коли ідея та спосіб реалізації її в розв’язку першої задачі стає
зрозумілим та треба зробити лише нескладні перетворення, викликаємо
наступного студента, сформулювавши нову задачу, що має певну відмінність,
але не є новою по темі. У такий спосіб деякий час працюють біля дошки обидва
студенти. В аудиторії також частина студентів закінчила перший розв’язок і
працює над другим. Звичайно, після завершення роботи треба розібратися з
питаннями студентів, якщо такі є, проаналізувати всі пропозиції, пояснити те, що
є незрозумілим. Можна це робити і в самому процесі, якщо є така можливість.
Звичайно при проведенні занять ці підходи треба комбінувати з класичними в
залежності від складності теми і рівня групи. Це мої думки по окремих питанням
методики, що вмістилися в рамки цієї роботи.
320
ПРО ЩЕ ОДИН МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ
НЕОДНОРІДНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
ЗІ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Л. А. Репета, В. К. Репета
НТУУ “Київський політехнічний інститут”,
Національний авіаційний університет, Київ, Україна
repetala@bigmir.net
Звичайні диференціальні рівняння є потужним засобом математичного
дослідження різноманітних процесів. До найбільш вивчених і поширених
відносять лінійні диференціальні рівняння. У вищих технічних навчальних
закладах під час вивчення лінійних рівнянь значну увагу приділяють рівнянням
зі сталими коефіцієнтами. Однорідні рівняння зазвичай розв’язують методом
Ейлера. Для розв’язання неоднорідних рівнянь Ly  f спочатку знаходять
загальний розв’язок однорідного рівняння Ly  0 і у разі, якщо f є функцією
спеціального вигляду, то частинний розв’язок неоднорідного рівняння
знаходять за методом невизначених коефіцієнтів. Якщо ж права частина
рівняння Ly  f не є функцією спеціального вигляду, то загальний розв’язок
знаходять за методом Лагранжа (варіації довільних сталих). Здебільшого
розгляд методу Лагранжа обмежується рівняннями другого порядку.
Заслуговує на увагу ще один, достатньо ефективний підхід до
розв’язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами ( див, наприклад, [1], [2]). Проілюструємо його на прикладі
рівняння другого порядку.
Нехай потрібно знайти загальний розв’язок рівняння
y  py  qy  f ( x) ,
(1)
де p, q – задані сталі, f ( x) – задана функція.
d
Уведемо позначення для оператора диференціювання: D  . Тоді
dx
рівняння (1) можна записати у вигляді
( D 2  pD  q ) y  f ( x) ,
або
( D  1 )( D   2 ) y  f ( x ) .
(2)
2
Тут 1 ,  2 – нулі квадратного тричлена D  pD  q .
Основна ідея розглядуваного методу розв’язання рівняння (1) полягає у
заміні його рівносильною системою лінійних диференціальних рівнянь
першого порядку. Для цього введемо нову змінну u ( x ) : ( D   2 ) y  u . Тоді
рівняння (2), отже, і рівняння (1), можна замінити рівносильною системою
( D  1 )u  f ( x),
( D   ) y  u ,
2

321
або
u  1u  f ( x),
(3)
 y   y  u.
2

Проінтегруємо систему (3). Загальний розв’язок рівняння u  1u  f
задається формулою
u  e1x  fe1x dx .
Після врахування цієї формули друге рівняння системи (3) набуде вигляду
y   2 y  e 1x  fe 1x dx .
Звідси дістанемо формулу
(4)
y  e 2 x   e( 1  2 ) x  fe 1x dx dx ,
яка задає загальний розв’язок рівняння (1).
Цінність формули (4) полягає, перш за все, у тому, що розв’язок рівняння
(1) виписано у явному вигляді, тобто чітко вказано на дії, які потрібно виконати
з правою частиною рівняння (1), для отримання його загального розв’язку. У
цьому розумінні теоретичне обґрунтування розглянутого методу є більш
зрозумілим і простішим за метод Лагранжа. На практиці формулу (4) доцільно
застосовувати у випадках дійсних значень 1 і  2 . У цьому разі формула (4) є
цілком конкурентною з методом варіації довільних сталих. Коли ж 1 і  2 є
парою комплексно-спряжених коренів, формула (4) також застосовна, проте у
цьому разі доведеться інтегрувати комплексні функції, що може призвести до
громіздких перетворень.
Зазначимо, що використовуючи метод Лагранжа для рівняння (1), можна
також дістати явні формули для загального розв’язку рівняння (1).
Наприклад, якщо дійсні 1   2 , то за методом Лагранжа отримаємо
1
y  C1e1x  C2e2 x 
e1x  fe1x dx  e2 x  fe 2 x dx ;
(5)
 2  1
у разі, якщо 1   2 , то

y  e1x (C1  C2 x )  e 1x    xfe 1x dx  x  fe  2 x dx  .

(6)
Тут C1 , C2 – довільні сталі.
Формули (5), (6) та формула (4) водночас і схожі, і різні. Спільним,
зокрема, є те, що кожна формула містить два інтеграли, крім того, у формулі (4)
внутрішній інтеграл повністю співпадає з одним із інтегралів у формулах (5) і (6).
Приклад. Знайдемо за формулою (4) загальний розв’язок рівняння
1
.
y  5 y  6 y 
1  e2 x
Нулями тричлена D 2  5 D  6 є числа 1  2,  3  3 .
1
З урахуванням правої частини f ( x) 
загальний розв’язок заданого
1  e2 x
рівняння визначаємо за формулою
322
 x e2 x

y  e e 
dx dx ,
2x
 1 e

яка після інтегрувань набуває вигляду
1
y  C1e 2 x  C2e 3 x  e2 x ln(1  e 2 x )  e 3 x arctg e x ,
2
де C1 , C2 – довільні сталі.
Якщо скористатися методом Лагранжа, то отримаємо такий же результат.
При цьому обсяг виконаної роботи в обох випадках приблизно однаковий.
3 x
Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами
n-го порядку
(7)
y ( n )  a1 y ( n1)  an 1 y  an y  f .
Запишемо рівняння (7) в операторному вигляді
( D n  a1 D n1  ...  an1D  an ) y  f ( x) .
Якщо 1 ,  2 , ...,  n — нулі багаточлена D n  a1 D n1  ...  an1D  an , то
рівняння (7) можна записати так:
( D  1 )( D   2 )...( D   n ) y  f ( x) .
u1 ( x), u2 ( x), ..., un1 ( x) ,
За
допомогою
нових
змінних
де
u1  ( D   2 )...( D   n ) y , …, un1  ( D   n ) y рівняння (7) зведемо до
рівносильної системи
( D  1 )u1  f ( x),
( D   )u  u ,
2
2
1
.......................

( D   n ) y  u n1 ,
проінтегрувавши яку, отримаємо формулу загального розв’язку рівняння (7):
y  en x  e ( n1n ) x  ... e( 1 2 ) x  fe 1x (dx)n .
Наостанок відзначимо, що є всі підстави для використання у тій чи іншій
мірі
розглянутого
підходу
розв’язування
лінійних
неоднорідних
диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами в навчальному процесі.
Список літератури
1. Ayres F. Schaum's outline of theory and problems of differential equations. – N. Y.: Schaum
Pub., 1952. – 296 p.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – 2 – е
изд. – М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 344 с.
323
СПЕЦИФІКА ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
ДЛЯ СОЦІОЛОГІВ
З ВИКОРИСТАННЯМ СУЧАСНИХ КОМП'ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Н. В. Селезньова, Н. П. Селезньова
ІПС НАНУ, НТУУ "КПІ", Київ, Україна
starwinged@yandex.ru, koniwa@yandex.ua
Обробкою та аналізом соціальної інформації займається емпірична
соціологія. Емпіризм – напрям теорії пізнання, який визнає практичний досвід
єдиним джерелом знань і вважає, що зміст знання можна подати лише як опис
цього досвіду. Емпірична соціологія започаткувалася у середовищі державних
службовців та підприємців. Її поява стимулювалась практичними пoтребами
суспільства. В емпіричній соціології нагромаджено чимало статистичних
процедур, за допомогою яких розрізнені дані, що містяться в окремих анкетах,
адаптують для узагальнення, опису, аналізу, наукової інтерпретації. За
результатами узагальнень можна робити певні висновки в результаті яких
з'являється реальна змога з'ясувати тенденції у досліджуваних процесах, явищах,
створити прогнози і практичні рекомендації, які можна застосовувати в соціальній
роботі. Одним із засновників емпіричної соціології був учений – математик,
статист, демограф Адольф Кетле (1796-1874). Він започаткував перехід соціальної
статистики від збирання й опису фактів до встановлення стійких кореляцій між
показниками, статистичних закономірностей. В його праці "Про людину і
розвиток її здібностей, або досвід соціальної фізики" (1835) започатковано
емпіричну соціологію як науку в якій описано статистичні закономірності,
концепції середніх величин.
Зараз на факультеті соціології та права НТУУ "КПІ" готують фахівців з
адміністративного менеджменту, соціальної роботи та соціології. Існує ряд
організацій таких як пенсійний фонд, банки, туристичні агентства, політичні
партії тощо діяльність яких так чи інакше орієнтована на потреби певних
суспільних груп населення. Вивчення цих потреб є сферою діяльності фахових
соціологів. Оскільки ці групи зазвичай складаються з великої кількості людей
розпорошеної на великій території, то для вивчення їх потреб (поведінки) у
певних умовах необхідно застосовувати методи математичної статистики.
Нині експертиза стала невід'ємною частиною соціологічних досліджень в
таких сферах суспільної діяльності як прийняття державних рішень, виборчих
кампаніях, управлінні організаціями, рекламі, освіті тощо. Досить простим
прикладом експертних оцінок є оцінки поставлені викладачами-експертами групі
студентів в результаті складання студентами іспитів протягом сесії. Метод
експертних оцінок виконує такі функції в соціологічному дослідженні: 1)
діагностичну; 2) оцінювальну; 3) прогностичну. Застосування експертних оцінок
324
дає можливість підвищити рівень управління досліджуваним процесом.
Наприклад, існує певний взаємозв'язок між успішністю студентів з окремих
предметів, його можна зобразити кореляційною матрицею між оцінками з цих
предметів. Якщо коефіцієнт кореляції між якимись двома предметами є від'ємним,
то це дає привід проаналізувати узгодженість рівня вимог викладачів цих
предметів до студентів, що дає привід адміністрації приймати певні управлінські
рішення. Практика показує, що від'ємні коефіцієнти кореляції таки зустрічаються
в кореляційних матрицях, побудованих на основі реальних оцінок студентів.
Також можна провести кореляційно – факторний аналіз оцінок студентів.
Факторами можуть бути гендерні ознаки чи стратифікація за соціальним
походженням або за місцем проживання.
Існує велика кількість математичних методів аналізу соціологічної
інформації. Для застосування їх належним чином соціолог повинен мати достатній
рівень математичної культури та навички роботи з обчислювальною технікою.
Тому до загального курсу теорії ймовірностей та математичної статистики
включено комп'ютерний практикум на основі однієї із самих масових
інформаційних систем - Excel.
Задачею комп'ютерного практикуму є вивчення методів математичної
статистики для оцінки результативності навчального процесу за допомогою
обчислення та дослідження кількісних та якісних характеристик. Такими
характеристиками є характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана,
характеристики розміру варіації, характеристики форми розподілу (асиметрії,
концентрації). Всі ці показники можна обчислювати засобами Excel на
конкретному прикладі – оцінках самих студентів, отриманих ними в результаті
складання іспитів з предметів А,В,С,D на сесії. За переліченими показниками
необхідно зробити висновки, а саме вияснити з якого предмету успішність
студентів є вищою, а з якого нижчою (це роблять на основі показника середнього
балу). Порівнюючи моду, медіану та середнє значення можна побачити з якого
предмету розподіл оцінок є найбільш симетричним а з якого – менш симетричним.
(При симетричному розподілі мода, медіана та середнє значення співпадають).
Дисперсія, середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації вказують на
концентрацію явища, тобто за цими показниками можна визначити наскільки
однорідною в цілому є досліджувана вибірка, а отже і оцінити наскільки
відрізняється ступінь рівня засвоєння матеріалу з різних предметів. Асиметрія та
ексцес показують наскільки наш розподіл оцінок відрізняється від нормального,
адже у нормальному розподілі асиметрія та ексцес дорівнюють нулю, також ці
показники характеризують форму розподілу.
Готуючись до цієї роботи студент спочатку має ознайомитись з такими
поняттями як точкові характеристики розподілу і також навчитись користуватись
статистичними функціями Excel.
325
Наступна тема комп'ютерного практикуму полягає у зведенні та групуванні
статистичних даних, тобто стосується побудови рядів розподілу. На основі рядів
розподілу оцінок по кожному предмету окремо та по всім предметам студенти
будують секторні діаграми, полігони, кутуляти.
Наступним завданням є перевірка гіпотези про те, що число зданих іспитів
серед чотирьох має біноміальний закон розподілу.
Цікавим показником аналізу емпіричних даних є показник нестабільності [1],
під яким розуміють міру їхнього варіювання (коливання), а під стабільністю –
розуміють протилежне поняття. Стабільність є важливою характеристикою в
аналізі експертних оцінок.
Мірою стабільності чи нестабільності може слугувати відношення
стандартного відхилення ряду даних, виміряних в певній шкалі, до половини бази
шкали:
St 
x
x
, де  x2 
s
1 s 2
2
X

M
,
M

X i ,  x  0,5( X max  X min ),
 i x x 
s i 1
i 1
- кількість даних. Завдяки тому, що 0   x   x , маємо: 0  St  1. Отже маємо
найбільшу стабільність при St  0 , та найбільшу нестабільність при St  1.
Середні значення M x , дисперсії  x2 та показники стабільності St з
розглядуваних предметів занесемо до наступної таблиці:
s
Mx
D
St
A
3.955
0.816
0.544
B
3.932
1.018
0.679
C
4.614
0.646
0.431
D
3.795
1.026
0.684
ABCD
4.074
0.977
0.652
Отримані значення St свідчать про значну нестабільність успішності даної
групи студентів по кожному предмету окремо і по всім предметам загалом.
Цікавим є порівняння показників нестабільності з середнім балом та дисперсією.
Перевіримо гіпотезу про однаковість чи відмінність чотирьох вибірок за
показниками нестабільності (результатів складання студентами іспитів під час
сесії по чотирьом предметам А,B,C,D) з метою встановити, чи не відносяться вони
до однієї сукупності або чи не підлягають вони певним змінам в залежності від
змін певних умов. Для цього застосуємо G - критерій:
m
GE  Dmax /  Di ,
i 1
де Dmax - найбільша із дисперсій, які порівнюємо, m - число дисперсій, 1  
довірча ймовірність гіпотези, про те, що дисперсії відрізняються,  - число
елементів у вибірці (використовується при знаходженні критичного значення за
таблицею) [1]. У нашому прикладі:
326
GE  0,684 / 3,507  0,195.
Gкрит знайдемо за таблицею квантилів розподілу G - критерію: Gкрит  0, 36, при
1    0,95, m  4,   44. GE  0,195  Gкрит  0, 36.
Отже, дисперсії є однорідними і вибірки можна вважати статистично
однорідними, такими, що відносяться до однієї сукупності. Загалом звідси
випливає,що різниця нестабільності рядів оцінок статистично є незначною.
Для наступних подібних лабораторних робіт можна використати, наприклад,
рейтингові оцінки, поставлені під час опитування респондентами політичним
партіям напередодні виборів, та за допомогою цих же методів - побудувати
прогноз перемоги чи поразки певних політичних партій.
Список літератури
1. Суходольський Г.В. Математика для гуманитариев. – Харьков: Изд – во Гуманитарный центр,
2007. -256 с.
327
КОНЦЕПТУАЛЬНІ ВИМОГИ ДО СТРУКТУРИ І ЗМІСТУ
МАТЕМАТИЧНОЇ ОСВІТИ МОЛОДШИХ СПЕЦІАЛІСТІВПРОГРАМІСТІВ
В. В. Тихонова, О. Л. Лещинський
Промислово-економічний коледж Національного авіаційного університету
О. П.Томащук, Т. Ю. Бохонова, В. А. Гроза
Національний авіаційний університет, Київ, Україна
valentina.groza@gmail.com
Група викладачів, працюючи над концепцією математичної світи
молодших спеціалістів-програмістів, вивчає сучасні вимоги до її структури і
змісту.
Структурування системи взагалі і системи математичної освіти зокрема є
невід’ємною компонентою системного підходу. Це передбачає виділення
складових елементів, встановлення зв’язків між ними, розробку та
удосконалення засобів управління. В залежності від цілей і методів управління
можливі різні критерії структурування. Структурування математичної освіти
молодших спеціалістів програмістів у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації по вертикалі
відповідає загальній структурі навчального плану: цикл загальноосвітніх
дисциплін, нормативні навчальні дисципліни (цикл дисциплін природничонаукової підготовки), вибіркові навчальні дисципліни (цикл дисциплін
природничо-наукової підготовки, цикл дисциплін професійної та практичної
підготовки). У відповідності до концепції розвитку вищої освіти на різних
ступенях освіти має бути різне співвідношення базового (інваріантного) і
варіативного компонентів математичної освіти. В циклі загальноосвітніх
дисциплін математична освіта, маючи основною метою підвищення
загальнокультурного рівня студентів, все ж таки має містити професійно
орієнтовну компоненту. Майже весь зміст математичної освіти на цьому етапі
має бути засвоєним на такому рівні, щоб стати надбанням студентів на все
життя. Диференціація навчання математики на цьому етапі забезпечується
рівневою диференціацією. Математична освіта в нормативній частині
забезпечується інтегрованою дисципліною «Вища математика» (яка включає в
себе наступні дисципліни: «Лінійна алгебра та аналітична геометрія»,
«Математичний аналіз», «Диференціальні рівняння», «Дискретна математика»),
і двома систематичними дисциплінами «Теорія ймовірностей та математична
статистика», «Чисельні методи». Головним напрямком диференціації
математичної освіти залишається рівнева диференціація. Розширення змісту
навчання математики здійснюється таким чином, щоб воно не перешкоджало
організації профільного навчання на старших курсах. Математична освіта на
перших двох курсах має певну завершеність. Це означає, що після завершення
другого курсу студенти мають певні уявлення, зокрема наочно-інтуїтивні, про
всі основні математичні поняття і об’єкти, які розглядаються в процесі
вивчення математичних дисциплін у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації. Третій і
328
четвертий курси є переважно професійно орієнтовними. Профільність вивчення
математики визначається освітніми потребами студентів і можливостями
вищого навчального закладу. Різноманітні профілі навчання математики у
межах базової профільної математичної підготовки можна об’єднати у наступні
напрямки: теоретичний, прикладний, професійно орієнтовний. Профільна
диференціація навчання математики реалізується створенням таких
математичних дисциплін: для теоретичного напрямку «Математична логіка»;
для прикладного напрямку - «Математичні методи дослідження операцій»; для
професійно орієнтовного напрямку - «Математичні методи захисту інформації
(криптографія)», «Математичні методи архівації інформації». Всі специфічні
особливості кожного напрямку реалізуються в вибіркових навчальних
дисциплінах.
Всі зазначенні математичні дисципліни:

забезпечують інваріантну складову математичної підготовки, що
визначається стандартом;

мають яскраво виражену професійно орієнтовану спрямованість, що
враховує профільні запити та інтереси студентів.
Ці курси відрізняються чітко прописаним обсягом знань, який мають
опанувати студенти, рівним обґрунтованості, абстрактності і загальності. Вони
повинні бути орієнтованими на різні типи мислення (насамперед образного,
прикладного, теоретичного), на розвиток вмінь і навичок різних видів
діяльності, якою можуть займатися майбутні програмісти. Кожна з вказаних
дисциплін має за основну мету загальний розвиток студентів, зокрема, розвиток
їхньої культури, мислення, інтуїції та професійної підготовленості. Такий
підхід дозволяє максимізувати використання профільних інтересів і намірів
студентів в навчанні математики. Він сприятиме впровадженню діяльнісних
активних методів навчання. Дисципліна, призначена для теоретичного
напрямку, становить суттєву складову майбутньої професійної діяльності,
відрізняється насамперед досить високим рівнем математичної культури. Вона
спрямована на розвинення теоретичного типу мислення, формування
готовності застосування математики безпосередньо в професійній діяльності
програміста. Дисципліна прикладного напрямку повинна забезпечувати
гармонійний розвиток логічного і образного мислення, особливу увагу приділяє
з’ясуванню ролі математики в сферах її застосування. Насамперед це означає,
що студенти оволодівають навичками математичного моделювання. Цього
можна досягти за рахунок зваженого компромісу між строгістю і доступністю
викладання матеріалу, а також його прикладною спрямованістю. Варіативний
компонент навчального плану при організації професійно орієнтованого
навчання математики використовується для:

розширення змісту математичної світи;

поглиблення математичної підготовки студентів у відповідності до
професійної діяльності програміста;

організації різних рівнів індивідуалізації роботи зі студентами.
329
Ефективність організації профільної математичної освіти передбачає
узгодження діяльності всіх викладачів математичних дисциплін, створення
єдиної кінцевої мети. Це дозволить забезпечити різноманітні потреби студентів
і найбільш раціонально і повно використати потенціал навчального закладу.
Вагомий внесок у формування дослідницьких навичок студентів робить
індивідуальна робота пошуково-творчого характеру під керівництвом
викладачів. Тематика цієї роботи визначається освітньо-кваліфікаційною
характеристикою. Структуризація математичної освіти по горизонталі є
важливим засобом управління надання математичної освіти. Доцільно
розрізняти три рівня математичної освіти:

запланований, який визначається метою, завданнями, нормативними
документами, засобами навчання;

реалізований, який є проекцією запланованого рівня на реальний
навчальний процес;

досягнутий, що визначається знаннями, вміннями та навичками студентів
якими вони оволоділи.
Удосконалення математичної освіти передбачає оптимізацію всіх вказаних
рівнів.
Процес надання математичної освіти молодшим спеціалістампрограмістам є еволюційно-прогностичним. Він передбачає:

збереження тих традицій і надбань вітчизняної математичної освіти, які
забезпечували високу її якість і пройшли довгострокове випробування;

поступові зміни і оновлення в змісті, які зумовлені новою парадигмою
освіти, умов навчання, термінів навчання, реалізацією основних завдань даної
концепції, врахуванням новітніх вітчизняних науково-методичних досліджень
та зарубіжного досвіду сучасної математичної освіти, розвитком науковотехнічного прогресу;
Зміст навчання з дисциплін математичного циклу складається із:

знань різних видів (історичних відомостей, методологічних засад, теорій,
методів, законів, фактів, понять);

засобів діяльності, як предметних так і процесуальних (навчальних,
пізнавальних, пошукових);

засобів творчого засвоєння знань (евристичних, продуктивних видів
діяльності, зокрема дослідницької діяльності);

засобів цінністно-емоційного впливу на студентів.
Список літератури
1. Я. Бродський, О. Павлов. Концепція математичної освіти 12-річної школи// Освіта:
Всеукраїнський громадсько-політичний тижневик. – № 34-35. – 2001. – С. 4-8.
330
ВИЩА МАТЕМАТИКА ТА БОЛОНСЬКИЙ ПРОЦЕС
НАВЧАННЯ В УКРАЇНІ
М. П. Тіман, Н. К. Дьяченко
Дніпропетровський державний аграрний університет,
Дніпропетровськ, Україна
mtiman@yandex.ru
Болонський процес та кредитно-модульна система освіти спрямована, в
основному, на самостійне навчання студентів вищих навчальних закладів, починаючи з перших курсів.
А розподіл навчання студентів на бакалаврів і магістрів, з ліквідацією спеціалістів, спрямований на те, що в різних сферах діяльності суспільства є розподіл посад, де після закінчення учбового закладу дозволяється працювати бакалавру або магістру. Але ж такого розподілу в Україні нема.
Відомо, що інженерам, економістам та деяким іншим спеціалістам одержати вищу вузівську освіту без якісних знань фундаментальних дисциплін, особливо важливих розділів вищої математики, в сучасних умовах не обов’язково.
Необхідні конкретні практичні знання для них, у тих чи інших випадках, можна
одержати на різних спеціальних курсах.
Треба звернути увагу на те, що багато випускників середніх шкіл та коледжів одержують атестати та дипломи, а не знання, які відповідають поняттю –
середня освіта. Підсумки результатів ЗНО, проведеного у 2010 році та опублікованих в журналі «Вища школа» - 2011, № 7, 8, на основі офіційного звіту
Українського центру оцінювання знань випускників загальноосвітніх закладів,
показує, що до 82 % з тих, які проходили тестування з математики, її погано
знають. Велика кількість студентів на перших курсах не можуть самостійно навчатись. А за вимогами Болонського процесу та кредитно - модульної системи
навпіл скорочено кількість аудиторних занять. Тому багато студентів перших
курсів не можуть самостійно вивчити вищу математику та інші фундаментальні
предмети. Зауважимо також, що викладачі у вищих навчальних закладах Європи мають учбове навантаження майже вдвічі менше, ніж у ВНЗ України, а заробітну плату, навпаки , набагато більшу.
Відомо, що математика завжди грала важливу роль в науковому, технічному та економічному розвитку суспільства, що природознавство стає точним
тільки тоді, коли для описання явищ та закономірностей оточуючого нас дійсного світу вдається скласти та використати математичні моделі. Відомо також,
що математична освіта покращує культуру мислення, привчає кожного фахівця
мислити логічно, виховує точність аргументації.
Із цих положень випливає, що математика є однією із важливих дисциплін
в вузах інженерного, економічного напрямків в системі освіти. Недооцінка значення математики в учбових закладах погано впливає на всі сфери діяльності
будь якого суспільства.
331
У зв’язку з поділом навчання у ВНЗ на бакалаврів і магістрів та недооцінкою навчання математиці на протязі минулих років, на наш погляд, при підготовці магістрів інженерного та економічного напрямків, обов’язково треба ввести спеціальний курс: допоміжні глави вищої математики. В учбових планах
бакалаврів відведено для математики мало семестрів і годин, тому треба переглянути програми навчання з вищої математики для бакалаврів, особливо для
інженерних та економічних спеціальностей.
Вкажемо також, що форми контролю та оцінки знань студентів, які введені
МОН України за останній рік (100-бальна система та все, що має до неї відношення), носить бюрократичний та догматичний характер, особливо для предмета « Вища математика». ЇЇ треба негайно змінити і повернути до перевірених
роками традиційних форм контролю (контрольних робіт, колоквіумів та екзаменів). Нова система контролю нікому не потрібна, перевантажує і так вже дуже перевантажених паперами викладачів.
Вкажемо також на необхідність повернення до проведення вступних екзаменів у вищі навчальні заклади. Зовнішнє незалежне тестове оцінювання знань
абітурієнтів у вузи України, замість вступних екзаменів, це, перш за все, націлює учнів старших класів на вивчення окремих предметів , а не всіх , які характеризують поняття – середня освіта, що потрібно для вступу у ВНЗ. Воно тільки внесло дуже багато незрозумілого в освіту на Україні.
ЗНО, як це показують його результати в Україні, не дає можливості :
1) розпізнати рівень підготовки школярів з різних дисциплін;
2) не забезпечує ефективної системи вступу абітурієнтів до вищих навчальних закладів;
3) не забезпечує якісного формування контингенту студентів.
Якщо проаналізувати всі питання відносно стану математичної освіти в
Україні після введення в навчання так званого Болонського процесу, то слід
прийти до висновку, що рівень математичної освіти настільки низький , якого
ще ніколи не було і потребує негайного втручання керівництва держави.
Список літератури
1. Кудрявцев Л.Д. Образование и нравственность .,Москва, 1984, Актуальные проблемы образования в России.
2. Юхновський І. Процес пішов … Болонський. А гарантії якості вищої освіти? Газета «Голос України» , № 227 (3727) , 30 листопада, 2005 року.
3. Тіман М.П. Про деякі аспекти математичної освіти в навчальних закладах. Науковий вісник № 25, Липень-Жовтень, Київ, 2002, С..113-116.
4. Тиман М.Ф. Кафедра высшей математики: ее место и роль в образовании. Международная
конференция «Проблемы реализации многоуровневой системы образования». Москва, 78.10.1999.
5. Петров В. О тесте, секретности и коррупции. Газета «Зеркало недели», № 36 (564),
17.09.2005, Об Указе президента № 1013/2005 от 04.07.2005.
6. Зубок М., Моргун К. «Болонізація» освіти: погляд професора і студента. Науковий вісник
АНВШ України № 5 (31).
332
РОЛЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ
«ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
В. И. Чесалин
БГУ, Минск, Беларусь
chesalin@bsu.by
Функциональный анализ является одной из базовых дисциплин в университетском математическом образовании. Принципы и методы функционального
анализа широко используются в математической физике, теории функций, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, методах вычислений, квантовой механике, математической экономике и в ряде
других направлений.
Традиционно, в курсе лекций по дисциплине «Функциональный анализ»
излагаются основы теории меры и интеграла Лебега, метрические, нормированные и гильбертовы пространства и линейные операторы в них, основные
принципы линейного функционального анализа, введение в теорию обобщенных функций, элементы спектральной теории и теории Рисса-Шаудера для интегральных уравнений Фредгольма. В качестве одних из основных приложений
рассматриваются интегральные уравнения. Результаты об интегральных уравнениях распределены по всему курсу и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа. Программа курса охватывает достаточно
большой объем как теоретического, так и практического учебного материала.
На изучение курса для студентов специальности 1-31 03 01 Математика (по
направлениям) отводится два семестра, а для студентов специальности 1-31 03
02 Механика (по направлениям) отводится один семестр.
Для более эффективного изучения курса «Функциональный анализ» и развития практических навыков решения широкого спектра конкретных задач, на
кафедре функционального анализа механико-математического факультета БГУ
был создан учебно-методический комплекс (УМК) по данной дисциплине [1].
Основу данного комплекса составляет учебник по курсу «Функциональный
анализ» [2] и учебное пособие [3]. Учебник [1] написан в соответствии с программой для математических специальностей университетов. Содержит основные понятия и теоремы теории меры и интеграла Лебега, метрических пространств, нормированных пространств и линейных операторов в них, топологических векторных пространств и теории обобщенных функций. В учебном пособии [3] по курсу «Функциональный анализ и интегральные уравнения» представлены краткие теоретические сведения, задания для лабораторных работ,
примеры контрольных работ и примеры заданий для письменного экзамена.
Разработанный УМК содержит типовую программу курса, лекционный материал по дисциплине, планы практических и лабораторных занятий, задания для
практических занятий и лабораторных работ, задачи для самостоятельной рабо-
333
ты с примерами решений, примерные задания для контрольных и экзаменационных работ, вопросы к экзамену, список рекомендуемой литературы.
Конечно, УМК не заменяет живую лекцию опытного преподавателя, просто чтение текста не сможет донести знания до студентов так же быстро и в доступной форме, как увлекательная, запоминающаяся лекция талантливого педагога. Основная цель УМК – это ознакомление с основными принципами функционального анализа и примерами их приложений, дальнейшее формирование
у студентов навыков абстрактного математического мышления, необходимых
при математическом моделировании, развитие умения практически применять
понятия и методы функционального анализа при исследовании и решении конкретных задач, повышение эффективности самостоятельной работы студентов,
предоставление всех учебно-методических материалов по данной дисциплине
единым файлом, находящимся в электронной библиотеке БГУ www.elib.bsu.by .
Перечисленное выше в значительной мере определяет как лекционный материал, так и его практическую направленность. Связующими звеньями читаемого курса являются многочисленные примеры и некоторые прикладные задачи. Традиционными областями приложения математики является механика и
физика. Так, например, различные задачи теории упругости описываются дифференциальными уравнениями с частными производными с соответствующими
граничными условиями [4]. Это уравнение Софи Жермен, Лява, Рэлея, Кармана
и многие другие. Наиболее универсальные методы исследования подобных задач дает теория операторов в банаховых и гильбертовых пространствах. Поэтому при чтении лекций очень важно демонстрировать прикладной характер
многих абстрактных понятий и моделей, используемых в функциональном анализе. Что касается лекционного обеспечения техническими средствами обучения, то использование на лекции наглядных и хорошо продуманных презентаций позволяет преподавателю планировать больше времени для обсуждения
актуальных проблем по изучаемым разделам, что способствует повышению
эффективности учебного процесса.
Список литературы
1. Радыно Я.В., Антоневич А.Б., Мазель М.Х., Чесалин В.И. Учебно-методический комплекс
по
учебной
дисциплине
«Функциональный
анализ».
Мн.:
БГУ,
2013.
http://elib.bsu.by/handle/123456789/32486
2. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учебник. Мн.: БГУ, 2006. – 430 с.
http://elib.bsu.by/handle/123456789/28955
3. Антоневич А.Б., Мазель М.Х., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учеб. пособие. Мн. : БГУ, 2011. – 319 с.
http://elib.bsu.by/handle/123456789/14907
4. Ляв А. Математическая теория упругости. М. : ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 674 с.
334
МАТЕМАТИКА – МОВА ІНТЕЛІГЕНТНОЇ ЛЮДИНИ
О. Б. Шаврова
Дніпропетровський державний аграрний університет,
Дніпропетровськ, Україна
_oxana_13@mail.ru
Для опису гармонії призначається мова чисел…
В доповіді пропоную розглянути вплив математичних знань на формування культури мислення, виховання стриманості характеру особистості; застосовування історичного аспекту розвитку математики для навчання математичному мовленню та вмінню висловлювати свої думки кратко, точно, достовірно.
Метою вищої школи є підготовка спеціаліста, який має не тільки глибокі професійні знання та навички, але й високий рівень культури, вихованості, володіє
можливостями до подальшого творчого розвитку, властивостями систематизувати накопичені знання, удосконалювати вміння та навички. В даному контексті математику можна розглядати як мову будь-якої науки.
Математика вивчає уявні, мисленні, ідеальні об’єкти, користуючись формальною мовою. В загальному випадку математичні поняття, теореми, формули
не обов’язково мають відповідність чому-небудь в фізичному світі, в реальності. Математика є мова, яка містить алфавіт і утворенні з нього слова, але від розмовних людських мов відрізняється узагальнюючим фактом свого існування,
можливістю використання в будь-якій іншій науці, а, головне універсальністю
по відношенню до будь-якої з існуючих мов. Математичне речення, записане
мовою символів, може займати кілька рядків, а «людською» мовою переклад
буде записано на декілька сторінок.
Основними характеристиками язика математики є чіткість, точність, обмеженість, однозначність висловлення думки, логічність функцій, виділення загального – частинного, абстрактного – конкретного, існування та однозначність
об’єкта. Паралельні та взаємозв'язки використання декількох форм мовного
прояву, а також образних та дієвих форм представлення інформації, є засобом
розвитку переходу між різними формами представлення інформації в індивідуальному мисленні. Це на думку психологів лежить в основі розвитку мислення
та інтелекту, а тому дозволяє досягти головної мети вищої школи – підготувати
фахівця, громадянина.
Робота викладача, вчителя, вихователя поєднує науковість та мистецтво!
Заняття (лекції, практичні, лабораторні ) повинні бути цікавими, організовані з
урахуванням як змісту так і форм навчання – одна з яких використання історичних довідок, що дозволить зберегти надовго в пам’яті яскраві факти та сконцентрувати увагу при вивченні програмного матеріалу. В умовах скорочення
часу на вивчення кожної дисципліни (а конкретно – вищої математики) важко
охопити детально всі питання, але слід планувати хід заняття враховуючи історичний аспект розвитку математики який є дієвим інструментом для підвищення інтересу студентів до математики, користуватися часом, що виділено на са-
335
мостійну роботу з найбільшою користю (історичний розвиток чисел, поняття
функції, рівняння, факти з життя математиків не реферат, а інформація на декілька хвилин, щоб вивчення математики – цариці наук – перетворилося в найцікавіші мандри у світ чисел, символів та фігур!) – привити навички до самонавчання та самовиховання.
Розвиток математики почався тоді, коли чоловік почав використовувати
абстракції вищого рівня. Найпростіша абстракція – числа. Математичні об’єкти
виникають шляхом ідеалізації властивостей реальних об’єктів та запису цих
властивостей на формальній мові – мові математики. Математика – фундаментальна наука, яка представляє мовні способи іншим наукам, тим самим виявляє
їх структурний зв'язок та формує знаходження загальних законів природи.
Математика – наука о структурах, порядку та відношеннях, яка історично
склалась на основі дій рахування, вимірювання та описання форм реальних
об’єктів. Зміст математики можна визначити як систему математичних об’єктів
та інструментів для їх створення. Модель враховує не всі його властивості, а
тільки необхідні для конкретної мети вивчення. Абстракція і встановлення
зв’язків між предметами – найголовніше з напрямків математичної творчості.
Математика займає особливе місце серед усіх наук, представляє своєрідний тип формального знання. Вона добре спроможна для кількісної обробки
будь-якої наукової інформації незалежно від змісту. Більш того, в багатьох випадках математичний формалізм єдино можливий спосіб описати фізичні характеристики процесів та явищ, особливо коли спостереження неможливо (притягнення, електромагнетизм та інше). Їх можна представити тільки математично
як конкретні числові відношення в законах, які фіксуються кількісними показниками. Зі зростанням абстрактності природознавства (мається на увазі фізика,
хімія, біологія, інформатика) математика увійшла в практику наукового дослідження в якості методологічної максими.
Вивчення об’єктів всередині математики відбувається за допомогою аксіоматичного методу: спочатку формується список основних понять та аксіом, а
вже потім сприянням правил отримують змістовні теореми, які в сукупності
утворюють математичну модель. Вивчаючи математику, знайомимося з логічними законами – суперечності, контроверзи, виключення третього; способами
розміркувань – аналітико-синтетичний, індуктивно-дедуктивний, за аналогією;
способами доведення – математичної індукції, наведення прикладів існування
об’єкта або контр приклада, від протилежного; азами ораторського мистецтва –
ведення спору, аргументованої дискусії, обґрунтованого виступу.
За допомогою зовнішнього впливу неможливо керувати мотиваційною
сферою будь-якої людини (особливо сучасною молоддю). Тому обґрунтування
необхідності навчання для студентів слід розвивати та підвищувати через інтелектуальний розвиток, сприянням вольової та емоційної сфер, шляхом підвищення загальної культури. Використання історичного матеріалу, діючи на свідомість, почуття слухачів, дозволяє формувати їх моральні вартості, внутрішні
цінності.
336