ELEMEN 1D (BAR & TRUSS) IN 2D SPACE
Department of Civil Engineering, University of Sumatera Utara
Ir. DANIEL R. TERUNA, MT, Ph.D, IP-U HAKI
Example 3
•
v1
1200kN
600kN
u1
1
Y
A1
A3
A2
4m
2
u2
3m
3m
(a) Truss
E  200GPa
A1  A3  4000mm 2
A2  3000mm 2
2
v2
u3
3
u4
v3
(b) Analytical model
4
X
v4
•
  53 .13 0
Batang no. 1
X1  X 2
30

 0.6
L
5
Y1  Y2
40
m  sin  

 0.8
L
5
l  cos 
u2
 0.36

200 x10 6 (0.004)  0.48
k1 
 0.36
5

 0.48
u2
v2
v2
v1
u1
0.48
 0.36
0.64
 0.48
 0.48
0.36
 0.64
0.48
u1
v1
 0.48
 0.64
0.48 

0.64 
76800
 57600  0.76800
 57600
 76800

102400

76800

102400

k1  
 57600  76800
57600
76800 



76800

102400
76800
102400


kN / m
kN / m
•
  90 0
Batang no. 2
X1  X 3
33

0
L
4
Y  Y3
40
sin   1

1
L
4
l  cos 
u 3 v3
0 0

200 x10 6 (0.004) 0 1
k2 
0 0
5

0  1
0
0
0
v1
0
 1
0

1
u1
v1
0
0
0

150000 0  150000

0
0
0

 150000 0 150000 
u3
0
0
k2  
0

0
u1
0
kN / m
v3
kN / m
•
  126 .87
Batang no. 3
cos 
0
X1  X 4
36

 0.6
L
5
sin  
Y1  Y4
40

 0.8
L
5
u4
v4
v1
u1
 0.36  0.48  0.36 0.48 

0.48  0.64
200 x10 6 (0.004)  0.48 0.64
k3 
 0.36 0.48
0.36  0.48
5


0
.
48

0
.
64

0
.
48
0
.
64


u4
v4
u1
kN / m
v1
 76800  57600 0.76800 
 57600
 76800 102400

76800

102400

k3  
 57600
76800
57600
 76800 


76800

102400

76800
102400


kN / m
 ASSEMBLY OF THE STRUCTURE STIFFNESS MATRIX
u1
v1
u2
v2
0
 57600  76800
 115200
 0
354800  76800  102400

 57600  76800 57600
76800

 76800  102400 76800 102400
K 
 0
0
0
0

 150000
0
0
 0
 57600 76800
0
0

0
0
 76800  102400
u3
0
0
0
0
0
0
0
0
v3
u4
 57600
v4
76800 
 150000 76800  102400 

0
0
0

0
0
0
 kN / m

0
0
0

150000
0
0

0
57600  76800 

0
 76800 102400 
0
 ASSEMBLY OF THE STRUCTURE FE EQUATION
0
 57600  76800
 115200
 0
354800  76800  102400

 57600  76800 57600
76800

 76800  102400 76800 102400
 0
0
0
0

 150000
0
0
 0
 57600 76800
0
0

0
0
 76800  102400
0
0
0
0
0
0
0
0
76800   u1   F1x 
   
 150000 76800  102400   v1   F1 y 
 u 2   F2 x 
0
0
0
   
0
0
0
 v2    F2 y 
 u3   F3 x 
0
0
0
   
150000
0
0
  v3   F3 y 
   
0
57600  76800  u 4   F4 x 

0
 76800 102400  v4   F4 y 
0
Load and boundary condition (BC)
u 2  v 2  u 3  v3  u 4  v 4  0
F1x  600 kN , F1 y  1200 kN
 57600
115200
 0


354800
0
u1  115200
 
v1   0
u1   600 
 

v

1200

 1 

354800
0
1
 600 


 1200
u1   5.208 
 
mm
v1   3.382
check
115200
F  Ku  
 0
  5.208 
 600 
3

(10 )  
kN

354800  3.382
 1200
0
•
Member end displacement and end forces
•
Batang no. 1
 cos
  sin 
T 
 0
 0
sin 
cos
0
0
0
0
cos
 sin 
0 
0 
sin  
cos 
Nodal displacement in local coordinate system is given
as:
u   Tu
 0.6

 0.8
T1  
 0

 0
0.8
0
0.6
0
0
0.6
0
 0.8
0 

0 
0.8

0.6
u 2 
v 
 2
 
 u1 

 v1 

 0.6
 0.8

 0

 0
0.8
0
0.6
0
0
0.6
0
 0.8
 160000

0
k1  
 160000

0

 f 2x   160000
f  
0
 2y  
  
 f1x   160000
 f1y  
0


0
0
0
0
0  0   0 
 

0  
 0   0 


mm
0.8  5.208   0.4192 

0.6 
 3.382
 
 6.196

0
160000
0
0
0
160000
0
0
0

0
kN / m

0

0
 160000 0  0 
 67.08

 0 
0
0 
 0  3


(
10
)




kN
160000 0  0.4192 
67
.
08




0
0  6.196

 0 

f TT f 
 f 2 x  0.6
f  
 2 y  0.8


f
 1x   0
 f1 y   0

 
 0.8
0
0.6
0
0
0.6
0
0.8
0   67.08  40.248
  53.664
0  
0

 



 
kN

 0.8  67.08  40.248 

0.6  
 0 
 
 53.664 

x
67.08kN
53.664kN
1
1
1
y
Global
system
Local
system
y
x
2
40.248kN
2
2
67.08kN
53.664kN
40.248kN
•
Batang no. 2
0 1

1 0
T2  
0 0

 0 0
u 3 
v 
 3
 
u1 

 v1 

 f 3x 
f 
 3y 
  
 f1 x 
 f1y 


0
 1

0

0
 150000

0

 150000

0

0

0 0
0 1

 1 0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0  0   0 
  0 
0 
0

 



 
mm

1  5.208   3.382

0  3.382
 
 5.208

 150000 0  0 
 507.3 

 0 
0
0 
 0  3


(
10
)




kN
150000 0  3.382
 507.3


0
0 
 5.208

 0 

0
 f 3x 
f 
1
 3y 

 
0
 f1 x 

 f1 y 


0
0
0
0
0
0
0
1
0   507.3  0 
 

0  
 0   507.3 


kN
 1  507.3  0 

0 
 0 
 
 507.3

507.3kN
y
1
507.3kN
1
2
2
1
2
x
1
Global
system
Local
system
x
y
3
3
3
507.3kN
507.3kN
•
Batang no. 3 (langsung dicari gaya batang dalam sumbu lokal tanpa mencari
lebih dulu perpindahan nodal pada sistem kordinat lokal )
f  ku
 f 4 x   57600  76800  57600 76800   0 
 559.8
f  




 4 y   76800 102400 76800  102400  0  3  746.3 



 (10 )  
 kN
57600  76800   5.208 
 f1x   57600 76800
 559.8 
 746.3
 f1 y   76800  102400  76800 102400   3.382


f   Tf
 0.6
  0.8
T3  
 0

 0
 f 4x 
f 
 4y 
  
 f1 x 
 f1y 


 0.6
  0.8

 0

 0
0.8
0
 0.6
0
0
 0.6
0
 0.8
0.8
0
 0.6
0
0
 0.6
0
 0.8
0 
0 
0.8 

 0.6
0   559.8  932.9 
  0 
0  
746
.
3

 



kN
0.8   559.8   932.9

 0.6 
 746.3
 
 0 

746.3kN
932.9kN
559.8kN
1
1
Local system
global system
3
932.9kN
559.8kN
3
746.3kN
End forces of member 3
Gaya pada batang
67.08kN
507.3kN
932.9kN
1
2
1
Local
system
3
67.08kN
507.3kN
3
932.9kN
1200kN
600kN
507.3kN
932.9kN
2
67.08kN
1
67.08kN
507.3kN
932.9kN
Member end forces in local coordinate system
1200kN
 40.248  3



53
.
664

4


0

5
R
 kN
 507.3  6
  559.8  7



 746.3 
8
600kN
Y
2
Support reaction vector
559.8kN
40.248kN
53.664kN
507.3kN
X
746.3kN
SUPPORT REACTIONS
Note: check persamaan keseimbangan struktur
 Alternative mencari reaksi perletakan
0
 57600  76800
 115200
 0
354800  76800  102400

 57600  76800 57600
76800

 76800  102400 76800 102400
 0
0
0
0

 150000
0
0
 0
 57600 76800
0
0

0
0
 76800  102400
0
0
0
0
0
0
0
0
76800   u1   F1x 
   
 150000 76800  102400   v1   F1 y 
 u 2   F2 x 
0
0
0
   
0
0
0
 v2    F2 y 
 u3   F3 x 
0
0
0
   
150000
0
0
  v3   F3 y 
   
0
57600  76800  u 4   F4 x 

0
 76800 102400  v4   F4 y 
0
 57600
Baris ke 3
F2 x  57600 u1  76800 v1  0  40 .243 kN
Baris ke 4
F2 y  76800 u1  102400 v1  0  53 .657 kN
 Tugas Latihan Tentukan gaya batang, reaksi tumpuan dan stress pada batang
100 kN
50 kN
3
E  100 GPa
3
A1
A2
1
1
A1
2
8m
2
50 kN
6m
66 .667 kN
33 .333 kN
A1  240mm 2
A2  280mm 2