Nullstellen von Polynomen: f (x) = 0
Polynom
7)
71
8) f ( x ) = −50 x 3 − 5 x 2 + 3x
9) f ( x) = x 2 − 9
10) f ( x) = − 1 x 4 + 7 x 2 + 72
2
2
11) f ( x) = x 4 + x 3 − 2 x 2
12) f ( x) = x 5 + 20 x 3 + 64 x
13) f ( x) = 7 x 3 + 7 x 2 − 70 x + 56
14) f ( x) = x 3 − 43 x + 42
0 = ...
Strategie
p-q-Formel
1) f ( x) = x 2 + 2 x − 35
2) f ( x ) = −2 x 2 − 4 x + 70
3) f ( x ) = ( x − 4) ⋅ ( x + 3)
4) f ( x) = x 2 − 3x
5) f ( x) = 3( x − 9) ⋅ ( x + 1)
6) f ( x ) = 7( x + 6) ⋅ ( x − 1) ⋅ x
7) f ( x) = (20 x 2 + 4 x − 7) ⋅ ( x +
Verwendung der richtigen Strategie
Lösung
x1 = 5 , x2 = −7
durch –2 teilen, dann p-q-Formel
x1 = 5 , x2 = −7
Nullstellen ablesen
x ausklammern
x1 = 4 , x2 = −3
Nullstellen ablesen
Nullstellen ablesen
eine Nullstelle ablesen,
die beiden anderen (falls sie existieren) über p-qFormel (vorher durch 20 teilen)
x ausklammern,
dann p-q-Formel (vorher durch –50 teilen)
x1 = 9 , x 2 = −1
x1 = −6 , x 2 = 1, x3 = 0
f ( x) = 0 ⇔ x 2 = 9
Substitution z = x ,
dann p-q-Formel (vorher mit –2 multiplizieren)
x² ausklammern, dann p-q-Formel
2
x ausklammern, dann Substitution,
dann p-q-Formel
eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision,
dann p-q-Formel
eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision,
dann p-q-Formel
x1 = 0 , x2 = 3
7
7
x1 = − 71
, x2 = 12 , x3 = − 10
3 , x =0
x1 = 15 , x 2 = − 10
3
x1 = 3 , x2 = −3
z1 = 16 ,
z2 = −9
x1 = 4, x2 = −4 ; keine weitere Lös.
x1 = 1, x 2 = −2 , x3 = 0
x = 0; z1 = −16 ,
z 2 = −4
keine weiteren Lösungen
x1 = 1, x2 = −4 , x3 = 2
x1 = 1, x 2 = 6 , x3 = −7