2.1. ANÁLISIS ESTÁTICO DE CABLES
Cuando analizamos el sistema de estructural principal, puede ser generalmente
suficiente asumir que los cables actúan completamente como cuerdas flexibles
capaces de resistir solamente fuerzas axiales (tensiones). Bajo estas suposiciones la
curva del cable coincide con la curva funicular de la carga aplicada en el cable. (2)
2.1.1. Ecuación de estado para un cable sujeto a carga
vertical
Figura 2.1.6. Fuerzas y reacciones actuantes sobre un cable y una viga
simplemente apoyada con la misma carga y longitud.
RH (0) = RH (a ) = H ( x ) = H (constante)
RV (0 ) = R (0 ) − H
h
a
h
R V (a ) = R (a ) + H
a
h
V (x ) = S (x ) − H
a
José Velásquez Vargas
(Ec. 2.1-2)
-4-
N (x ) = H
⎛ S (x ) h ⎞
− ⎟ +1
⎜
a⎠
⎝ H
2
(Ec. 2.1-3)
La curva del cable A-B está determinada por la ecuación:
y=
h
M (x )
x−
a
H
(Ec. 2.1.4)
Como y=(h/a)x representa la línea recta A-B, la flecha k=k(x) de la curva del cable es
afin con la curva del momento flector M(x) de la viga simplemente apoyada, el factor
de proporcionalidad es –1/H:
k (x ) =
h
x− y
a
=>
k (x ) =
M (x )
H
(Ec. 2.1-5)
Se puede notar que la flecha k(x) es inversamente proporcional a la fuerza horizontal
H y directamente proporcional al momento M(x) (el cual es proporcional a la
intensidad de carga). (2)
Figura 2.1-7. Configuración del cable especificada por: (a) magnitud de la
fuerza horizontal; (b) posición de un punto D en el cable;
(c) longitud de la curva s del cable.
Un cable con una carga específica y dadas las posiciones de sus puntos de
apoyo, puede ser determinado por la magnitud de la fuerza horizontal H. Sin
embargo, en algunos casos la curva del cable puede ser determinada por otras
condiciones tal como la posición de un punto D especificado en el cable o la longitud
José Velásquez Vargas
-5-
de curva especificada s. De este modo, las condiciones que comúnmente conducen a
la curva del cable son mostradas en la Figura 2.1-7. En el caso (a) la curva del cable es
directamente determinada por la Ecuación 2.1-4. En el caso (b) la fuerza horizontal
H es encontrada insertando las coordenadas (xd,yd) del punto especificado en D en la
ecuación 2.1-4:
H=
M ( xd )
(hxd / a ) − yd
h ⎞ M (x ) h
⎛
y = ⎜ y d − xd ⎟
+ x
a ⎠ M (x d ) a
⎝
Caso (c), una longitud de curva especificada s, es la más difícil de resolver
desde que la correspondiente fuerza horizontal H no puede ser encontrada
explícitamente en la mayoría de los casos. La longitud de curva s está dada por:
s=∫
a
0
2
2
a
⎛ dy ⎞
⎛ h 1 dM ⎞
1 + ⎜ ⎟ dx = ∫ 1 + ⎜ −
⎟ dx
0
⎝ dx ⎠
⎝ a H dx ⎠
(Ec. 2.1-6)
Esto muestra que para cada posición dada de los apoyos del cable (a,h) y la
carga, s=s(H) es una función de H. Para la solución del problema debe encontrarse la
función inversa H=H(s).
Generalmente, el cable puede ser estudiado bajo diferentes condiciones de
carga, cada cual caracterizada por una diferente elongación Δs del cable desde la
condición libre de esfuerzo.
El esfuerzo elástico ε ( x ) en el punto del cable (x,y) está dado por:
N (x ) H
⎛ dy ⎞
=
1+ ⎜ ⎟
EA
EA
⎝ dx ⎠
ε (x ) =
2
Y la elongación total Δs de esta manera llega a ser:
Δs = ∫ ε ( x )
a
0
José Velásquez Vargas
2
∂s
H a ⎡ ⎛ dy ⎞ ⎤
+
dx =
1
⎜
⎟
⎢
⎥ dx
∂x
EA ∫0 ⎣⎢ ⎝ dx ⎠ ⎦⎥
(Ec. 2.1-7)
-6-
Como cada condición de carga conduce a una curva de cable específica, la
transición desde una condición de carga a otra implica un cambio en la geometría del
cable.
En los puentes atirantados las principales causas por cambio de la geometría
del cable son: (2)
• Cambio en la intensidad de la carga o posición;
• Cambio de la posición de los puntos de apoyo;
• Cambio en la temperatura
Al establecerse una ecuación de estado para el cable, dos condiciones son
investigadas, como muestra la Figura 2.1.8. En la condición 1 el cable es soportado
en el punto A1(0,0) y B1(a1,h1), sujeto a la carga q1 con la correspondiente curva de
momento M1, y expresado la temperatura t1 En la condición 2 el cable es soportado
en el punto A2(0,0) y B2(a2,h2), la carga q2 con la correspondiente curva de momento
M2, y la temperatura t2. (2)
Figura 2.1-8. Dos condiciones de un cable sujeto a carga vertical.
Por la condición 1 la longitud de la curva s1 está dada por:
José Velásquez Vargas
-7-
s1 = ∫
a1
0
2
a1
⎛h
1 dM 1 ⎞
⎛ dy ⎞
⎟⎟ dx
1 + ⎜ ⎟ dx = ∫ 1 + ⎜⎜ 1 −
0
⎝ dx ⎠
⎝ a1 H 1 dx ⎠
2
Y la elongación total desde la condición de libre esfuerzo a temperatura t0 por:
H a1 ⎡ ⎛ dy
Δs1 = 1 ∫ ⎢1 + ⎜⎜ 1
EA 0 ⎢ ⎝ dx
⎣
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥dx + β (t1 − t 0 )s 0
⎥⎦
Donde el primer termino es encontrado en 2.1.7, y la segunda expresión de la
elongación debido a la diferencia de temperatura t1 – t2 (t0 es una elección arbitraria
de la temperatura de referencia), s0 es la longitud del cable sin esfuerzo (a temperatura
t0 ), β el coeficiente de expansión térmica. (2)
Para la condición 2 las ecuaciones correspondientes son:
s2 = ∫
a2
0
2
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ 2 ⎟ dx
⎝ dx ⎠
2
H 2 a2 ⎡ ⎛ dy 2 ⎞ ⎤
Δs 2 =
⎟ ⎥dx + β (t 2 − t 0 )s 0
⎢1 + ⎜
EA ∫0 ⎣⎢ ⎝ dx ⎠ ⎦⎥
Como la compatibilidad requerida s2 − s1 = Δs2 − Δs1 , la siguiente ecuación es
deducida:
∫
a2
0
2
2
2
a1
H a2 ⎡ ⎛ dy ⎞ ⎤
H a1 ⎡ ⎛ dy ⎞ ⎤
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ 2 ⎟ dx − ∫ 1 + ⎜ 1 ⎟dx = 2 ∫ ⎢1 + ⎜ 2 ⎟ ⎥dx − 1 ∫ ⎢1 + ⎜ 1 ⎟ ⎥dx + β (t 2 − t1 )s0
0
EA 0 ⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
EA 0 ⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
⎝ dx ⎠
⎝ dx ⎠
Con β (t 2 − t1 )s0 ≈ βt 2 s2 − βt1s1 puede ser escrita:
2
2
H 2 a2 ⎡ ⎛ dy 2 ⎞ ⎤
⎛ dy 2 ⎞
1+ ⎜
⎟ ⎥dx
⎟ dx −
⎢1 + ⎜
EA ∫0 ⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
⎝ dx ⎠
(1 − βt 2 )∫0
a2
= (1 − βt1 )∫
a1
0
2
2
H 1 a1 ⎡ ⎛ dy1 ⎞ ⎤
⎛ dy1 ⎞
1+ ⎜
⎟ dx −
⎟ ⎥dx
⎢1 + ⎜
EA ∫0 ⎣⎢ ⎝ dx ⎠ ⎦⎥
⎝ dx ⎠
(Ec. 2.1-8)
O en resumen:
(1 − βt 2 )s2 − Δs2 = (1 − βt1 )s1 − Δs1
José Velásquez Vargas
-8-
Para los cables de una máxima inclinación de aproximadamente 0.8 (máximo dy/dx
menor a 0.8) la siguiente aproximación puede ser aplicada para simplificar 2.1-8.
∫
a1
0
2
2
2
a1 ⎡
1 ⎛ dy1 ⎞ ⎤
1 a1 ⎛ dy1 ⎞
⎛ dy1 ⎞
1+ ⎜
⎟ ⎥dx = a1 + ∫0 ⎜
⎟ dx ≅ ∫0 ⎢1 + ⎜
⎟ dx
2 ⎝ dx ⎠
⎝ dx ⎠
⎢⎣ 2 ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
Con esta simplificación 2.1-8 llega a ser:
2
2
H2 ⎞
H 2 ⎞ a2 ⎛ dy2 ⎞
H1 ⎞
H1 ⎞ a1 ⎛ dy1 ⎞
⎛
⎛1 1
⎛
⎛1 1
⎜ 1 − β t2 −
⎟ a2 + ⎜ − β t2 −
⎟ ∫0 ⎜
⎟ dx = ⎜1 − β t1 −
⎟ a1 + ⎜ − β t2 −
⎟ ⎜
⎟ dx
EA ⎠
EA ⎠ ⎝ dx ⎠
EA ⎠
EA ⎠ ∫0 ⎝ dx ⎠
⎝
⎝2 2
⎝
⎝2 2
(Ec. 2.1-9)
Si todos los parámetros de la condición 1, ya sean a1, h1,q1, H1 y t1, tanto
como los de la condición 2, a2, h2,q2, H2 y t2 son conocidos, entonces de 2.1-9
pueden ser usada para determinar H2 y con eso la geometría del cable de la condición
2.
2.1.1.1. Tirante sometido a fuerza axial variable
La deformación característica de un cable simple obtenido con lo arriba
mencionado está relacionada con las condiciones aplicables a los cables principales
de puentes colgantes donde la carga externa está actuando verticalmente y
continuamente a lo largo del cable.
En los puentes atirantados donde los cables están sujetos a tensión axial, la
característica más relevante de deformación es la relación entre la fuerza de cuerda T
y la longitud de cuerda c (Figura 2.1-9).
José Velásquez Vargas
-9-
Figura 2.1-9. Fuerza de Cuerda T y longitud de la cuerda c del tirante.
Con la carga muerta del cable distribuida uniformemente a lo largo de la curva,
la correcta curva del cable es una catenaria, pero una parábola aproximada puede ser
usada en muchos casos sin introducir un error significativo. (2)
La investigación de la configuración de la catenaria versus la configuración de
la parábola puede realizarse inicialmente considerando un tirante horizontal como se
muestra en la Figura 2.1-10. Acá se consideran dos condiciones, caracterizadas por las
fuerzas de cuerda T1 y T2, donde δ representa el desplazamiento de la cuerda
producida por el cambio en la magnitud de la tensión.
Figura 2.1-10. Dos condiciones para tirante horizontal con fuerzas de
cuerda T1 y T2 respectivamente.
En la condición 1 la ecuación de la catenaria está dada por:
José Velásquez Vargas
- 10 -
y=
⎛ g cb ⎛
⎛ g c ⎞⎤
1 ⎞⎞
T1 ⎡
⎜ x − c ⎟ ⎟⎟ − cosh ⎜⎜ cb ⎟⎟⎥
⎢cosh ⎜⎜
2 ⎠⎠
g cb ⎣
⎝ T1 ⎝
⎝ 2T1 ⎠⎦
Y en la condición 2:
y=
⎛ g cb ⎛
T2 ⎡
c +δ
⎜x −
⎢cosh ⎜⎜
g cb ⎣
2
⎝ T2 ⎝
⎛ g (c + δ ) ⎞⎤
⎞⎞
⎟⎟⎥
⎟ ⎟⎟ − cosh ⎜⎜ cb
⎠⎠
⎝ 2T2
⎠⎦
Donde gcb es la carga muerta del cable por unidad de longitud y δ la elongación del
cable, definida como el incremento de la distancia entre los puntos de apoyo.
La longitud de los cables s1 y s2 son determinadas por:
⎛ g c⎞
T
⎛ dy ⎞
s1 = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx = 2 1 senh ⎜⎜ cb ⎟⎟
0
g cb
⎝ dx ⎠
⎝ 2T1 ⎠
⎛ g (c + δ ) ⎞
T
⎟⎟
s 2 = 2 2 senh ⎜⎜ cb
g cb
⎝ 2T2
⎠
2
c
La elongación total desde la condición sin esfuerzo, Δs1 y Δs 2 , son encontrados
desde 2.1-7.
Δs1 =
2
2
T1 c ⎡ ⎛ dy ⎞ ⎤
T1
+
=
1
dx
2
⎜
⎟
⎢
⎥
EA ∫0 ⎣⎢ ⎝ dx ⎠ ⎦⎥
2 EAg cb
2
Δs 2 =
T2
2 EAg cb
⎡
⎛ g cb c ⎞ g cb ⎤
⎟⎟ +
⎢senh ⎜⎜
⎥
⎝ 2T1 ⎠ T1 ⎦
⎣
⎡
⎛ g cb c ⎞ g cb c ⎤
⎟⎟ +
⎢senh ⎜⎜
⎥
T
2
⎝
⎠ T2 ⎦
⎣
Se considera que δ << c . Por la misma razón la expresión de s2 puede ser
reemplazada por:
s2 = 2
2
⎛g c⎞
⎛ g c⎞
T2
senh ⎜⎜ cb ⎟⎟ + δ cosh ⎜⎜ cb ⎟⎟
g cb
⎝ T2 ⎠
⎝ 2T2 ⎠
La ecuación de estado s2 − s1 = Δs2 − Δs1 para el cable conduce a la siguiente expresión
para δ :
José Velásquez Vargas
- 11 -
(T2 − T1 )c +
δ =
+
2
g cb
2 EA
⎡ 2
⎛ g cb c ⎞
⎛ g c ⎞⎤
⎟⎟ − T1 2 senh ⎜⎜ cb ⎟⎟⎥
⎢T2 senh ⎜⎜
⎝ T2 ⎠
⎝ T1 ⎠⎦
⎣
⎛ g c⎞
cosh ⎜⎜ cb ⎟⎟
⎝ 2T2 ⎠
1
2 EAg cb
(Ec. 2.1-10)
⎡
⎛ g cb c ⎞
⎛ g c ⎞⎤
⎟⎟ − T2 senh ⎜⎜ cb ⎟⎟⎥
⎢T1 senh ⎜⎜
⎝ 2T1 ⎠
⎝ 2T2 ⎠⎦
⎣
⎛ g c⎞
cosh ⎜⎜ cb ⎟⎟
⎝ 2T2 ⎠
Introduciendo T1 = Aσ 1 , T2 = Aσ 2 y g cb = Aγ cb tenemos:
δ
c
=
⎡
⎛
c⎣
⎝
(σ 2 − σ 1 )γ cb + 1 ⎢σ 2 2 senh⎜⎜ γ cb
⎛
⎛
⎛
c ⎞
c ⎞⎤
E⎡
c ⎞
c ⎞⎤
⎟⎟⎥
⎟⎟ − σ 2 senh⎜⎜ γ cb
⎟ − σ 12 senh⎜⎜ γ cb ⎟⎟⎥ + 4 ⎢σ 1 senh ⎜⎜ γ cb
σ
2
σ
2
σ
c
⎝
⎝
1 ⎠⎦
1⎠
2 ⎠⎦
⎝
⎣
⎛γ c ⎞
2 Eγ cb cosh⎜⎜ cb ⎟⎟
⎝ 2σ 2 ⎠
σ 2 ⎟⎠
Donde σ 1 es el esfuerzo del cable en la condición 1, σ 2 es el esfuerzo del cable en la
condición 2, y γ cb la densidad (peso por unidad de volumen) del material del cable. La
ecuación 2.1-10 expresa la elongación basada en la correcta configuración de la
catenaria y la expresión correspondiente puede ser reducida desde la ecuación 2.1-10
sustituyendo senhx por x+x3/6 y cosh por 1. Esto puede conducir a:
δ
c
=
2
1 ⎞ γ cb c 2 ⎛ 1 ⎞
σ 2 − σ 1 γ cb 2c 2 ⎛⎜ 1
⎟
⎜
⎟
+
−
+
24 ⎜⎝ σ 12 σ 2 2 ⎟⎠ 12 E ⎜⎝ σ 2 − σ 1 ⎟⎠
E
(Ec. 2.1-11)
Debido E > σ el último término puede ser omitido sin perdida significante de
precisión:
δ
c
=
σ 2 −σ1
E
γ cb 2 c 2 ⎛⎜ 1
1 ⎞
+
− 2 ⎟⎟
2
⎜
24 ⎝ σ 1 σ 2 ⎠
(Ec. 2.1-12)
En esta ecuación el primer término expresa la elongación elástica del cable y el
segundo, el efecto de las variaciones de la flecha. Es ésta ecuación la que muestra el
José Velásquez Vargas
- 12 -
comportamiento no-lineal de los puentes atirantados, y donde es necesario trabajar
con un módulo de elasticidad equivalente.
José Velásquez Vargas
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