Probabilidad y Estadística
Estadística Descriptiva
Métrica
Individuales
1 n
Media
x = ∑ xk
n k =0


n es impar
 x n +1
Mediana
2
x̃ =
n + xn
x

 2
2 +1
n es par
2
n
1
Varianza
s2 =
( xk − x̄ )2
n − 1 k∑
=1
√
Desviación s = s2
Agrupados
1
x̄ =
n
∑ f j · xj
cuartil
n
−F
w
x̃ = L + 2
f
de variación
∑ f j (· x j − x̄)2
de relación
Probabilidad
de
la
unión eventos
r=0
Pk = Li−1 +
r>0
nk/100 − Fk−1
A
fi
Curtosis
tes
P( A ∪ B) !
= P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
n
[
n
=
Ak
conjunto ti-
∑ ( xk − x̄)4
k =1
Sin repetición
Con
k =1
orden
cional
Probabilidad Total
P( A) =
Con Repetición
n
P( Bk | A) =
n!
(n − k)!k!
nCk =
( n + k − 1) !
(n − 1)!k!
nCRk =
n!
nPRk = nk
(n − k)!
conjunto tipo { a, a, a, b, b, b, c, c, d, d}
k
n!
nPn1 , n2 , . . . , nk =
, donde ∑ n j = n
Sin orden
∑ P( A| Bk ) P( Bk )
k =1
{ a, b, c, d}
∑ P( Ak ), disjuntos
P( A ∩ B)
P( B| A) =
P( A)
Teorema de Bayes
k =1
n
po
k =1
Probabilidad Condi-
n
∑ ( xk − x̄)3
Análisis Combinatorio
P( A ∩ B) = P( A) P( B), independien-
P
1
ns3
1
ns4
Asimetría


 x j + x j +1
2
Pk =

 x j +1
Casos Favorables
Casos Totales
Cov( x, y) =
Coeficiente
j =1
s
x̄
n
1
( xk − x̄ )(yk − ȳ)
n − 1 k∑
=1
Cov( x, y)
r=
s x sy
Covariaza
k
Probabilidad de eventos
P( A) =
V=
Coeficiente
estándar
Percentiles
RIQ = Q3 − Q1
Rango inter-
j =1
1
s2 =
n−1
√
s = s2
xmáx − xmín
Rango
k
P( A| Hk ) P( Bk )
nPk =
k
j =1
∏ nj !
n
∑ P( A| Bk ) P( Bk )
j =1
k =1
Continua
Propiedades
f (x) ≥ 0
Z +∞
−∞
f ( x )dx = 1
P( X ≤ x )
Z x
−∞
Discreta
Media y varianza
µ = E( X ) =
f (t)dt
σ2
= V (X) =
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
Propiedades
x f ( x )dx
2
( x − µ) f ( x )dx
p( x ) ≥ 0
n
∑ p(k) = 1
k =0
P( X ≤ x )
Media y varianza
n
x
∑
k =0
∑ xk pk
µ = E( X ) =
pk
σ2
n
= V (X) =
k =0
∑ ( x k − µ )2 p k
k =0
1
Probabilidad y Estadística
Función P( X = x )
Leyes de
Esperanza
Varianza
np
np(1 − p)
Asimetría
Curtosis
Probabilidad
n x
p (1 − p ) n − x
x
N−a
a
n−x
x
Hipergeométrica
N
n
e−λ λ x
Poisson
x!
x − 1 k x −k
x+k−1 k x
Binomial
p q
p q
k−1
k−1
negativa
Binomial
Geométrica
Uniforme
Gamma
Exponencial
Normal
Chi Cuadrada
p ( 1 − p ) x −1
p (1 − p ) x


 1
a≤x≤b
b−a

0
otro caso

1
x

α
−
1

x>0
x
exp
−
βα Γ(α)
β

0
otro caso

1
x

 exp −
x>0
β
β

0
otro caso
1
( x − µ )2
√
exp −
2σ2
 2πσ
1
v
x
−
1
−

 v v x2 e 2 x > 0
2 2 Γ( 2 )

0
otro caso
an
N
np(1 − p)
λ
N−n
N−1
p
qk
p
k (1 − p )
p2
1
p
q
p
1− p
p2
a+b
2
( b − a )2
12
αβ
1 − 6p(1 − p)
np(1 − p)
3+
√
( N − 2a)( N − 2n) N − 1
p
(n − 2) na( N − a)( N − n)
1
√
λ
2− p
p
k (1 − p )
λ
k
p
1 − 2p
np(1 − p)
1
λ
p2 − 6p + 6
3+
k (1 − p )
3+
2− p
p
1− p
3+
p2 − 6p + 6
1− p
0
9
5
αβ2
2
√
α
2
3 1+
α
β
β2
2
9
µ
σ2
0
3
v
2v
r
8
v
12
v
Teorema Central del Límite: Sean X1 , X2 , . . ., Xn ; n variables aleatorias independientes con media µ y varianza σ2 , (con cualquier distribución de probabilidad) entonces, la variable promedio X̄ =
√σ
n
1
n
n
∑ Xk
tiene
k =1
y tiende a una ley normal de probabilidades conforme n tiende al infinito.
√
( X̄ − µ) n
La variable estandarizada: Z =
converge a una ley normal estándar.
σ
X − np
Resultado: Siendo X variable aleatoria Binomial. La variable Y = √
converge a la ley normal estandarinpq
zada.
media µ y desviación estándar
Distribuciones de muestreo de las variables media, total y proporción
Variable
Varianza de la población conocida
Tamaño de la Población N
Media
Total
Proporción
X̄ =
∑nk=1 Xk
n
E( X̄ ) = µ
T = n X̄
E( T ) = nµ
X
P=
n
E( P) = p
Intervalos de confianza
2
V ( X̄ ) =
σ2 ( N
− n)
n ( N − 1)
V ( T ) = nσ2
V ( P) =
( N − n)
( N − 1)
pq( N − n)
n ( N − 1)
Varianza de la población desconocida (Estimada)
Población infinita
V ( X̄ ) =
σ2
n
V ( T ) = nσ2
V ( P) =
pq
n
Tamaño de la Población N
V̂ ( X̄ ) =
s2 ( N − n )
nN
V̂ ( T ) = ns2
V̂ ( P) =
( N − n)
N
p̂q̂( N − n)
N ( n − 1)
Población infinita
V̂ ( X̄ ) =
s2
n
V̂ ( T ) = ns2
V̂ ( P) =
p̂q̂
n
Probabilidad y Estadística
Varianza poblacional conocida (σ2 )
Media
2
Varianza muestral conocida (s2 )
Proporción
Varianza poblacional conocida (σ2 )
p
Varianza muestral conocida (s2 )
χ21− α
< σ2 <
2
2
Pruebas de Hipótesis
Media
t=
x̄ − µ0
√σ
n
Proporción
| P − P0 | −
q
z=
P0 Q0
n
1
2n
q
2
( n − 1) s2
χ2α
z1− α = 1.96 al 95 % confianza,
2
Bondad de Ajuste
k (O − e )2
j
j
χ2 = ∑
e
j
j =1
2
2
( n − 1) s2
z1− α = 1.64 al 90 % confianza,
V ( X̄ ) < µ < X̄ + z1− α
q
µ
Varianza σ2
q
V ( X̄ )
q
X̄ − t1− α , n−1 V̂ ( X̄ ) < µ < X̄ + t1− α , n−1 V̂ ( X̄ )
2
2
q
q
P − z1− α V ( P ) < p < P + z1− α V ( P )
2
2
q
q
P − z1− α V̂ ( P) < p < P + z1− α V̂ ( P)
X̄ − z1− α
2
z1− α = 2.58 al 99 % confianza
2
Varianza
χ2 =
( n − 1) s2
σ02
3