Á R E A D E M AT E M ÁT I C A
M AT E M ÁT I C A
P R E U N I V E R S I TA R I O P O P U L A R V Í C T O R J A R A
MATEMÁTICA PPVJ 2018
AUTORÍA
COLABORADORES Y COLABORADORAS
Débora Gajardo Cid
Estudiante de Licenciatura en Ciencias Exactas
Universidad de Chile
Catalina García Miranda
Estudiante de Ingeniería Agronómica
Universidad de Chile
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN
Carolina Berríos Mendoza
Estudiante de Licenciatura en Ciencias Exactas
Universidad de Chile
Javier Levio Silva
Estudiante de Ingeniería Civil en Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
EDICIÓN
Sergio Muñoz Venegas
Doctor en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
Débora Gajardo Cid
Javier Levio Silva
Valentina Maturana Zúñiga
Estudiante de Licenciatura en Ciencias Exactas
Universidad de Chile
© El presente documento está licenciado bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento 3.0 Unported,
bajo las siguientes condiciones:
Reconocimiento – No Comercial – Compartir Igual [by - nc - sa]: No se permite el uso, comercial ni
de la obra original ni de sus derivadas, la distribución de las cuales debe hacerse con la misma licencia que la
obra original.
publicado por preuniversitario popular víctor jara
Segunda edición, Enero 2018
3
Dedicado a ti, con cariño, estudiante, con el afán de
contribuir a tu proceso educativo y a darte la oportunidad que
el sistema te ha negado. Úsalo bien.
4
Presentación
Extracto presentación primera edición:
“Al escribir la primera edición del libro de Matemática del Preuniversitario Popular Víctor Jara, comenzamos
los esfuerzos para plasmar la matemática de forma constructiva y lógica, dejando de lado la concepción de
esta ciencia como un montón de fórmulas poco útiles y poco aplicables. Queremos generar un sentimiento de
pertenencia y no de rechazo, cultivar el aprendizaje por el hecho intrínseco de aprender, para dejar de concebir
el estudio como algo meramente transitorio y obligado.
Este libro está pensado para todo aquel que desee aprender matemática, sin importar edad o conocimientos
previos, sin importar gustos o disgustos, con el fin que el lector requiera.
Sabemos que, no todos tienen las mismas oportunidades, y quizás muchos de ustedes se han sentido de alguna
forma excluidos por el sistema, al no tener la opción de incorporarse a un proceso educativo integral. En este
contexto, sentimos la necesidad de generar un cambio, aún que sea pequeño, con el fin de disminuir la brecha
social en la que estamos inmersos”.
Esta segunda edición contempla algunos cambios, a partir de la revisión de diferentes colaboradores. El cambio
fundamental corresponde a la reestructuración de la unidad de Geometría, la cual está pensada para la mejor
comprensión por parte del lector o la lectora.
CONTENIDO
El contenido del libro contempla las bases curriculares de matemática de la enseñanza media, así como también
algunos tópicos de la enseñanza básica. Además, hemos querido agregar una unidad introductoria para facilitar
la comprensión de la disciplina. De esta forma, los temas a tratar son: lógica, conjuntos, números, álgebra,
funciones, geometría euclidiana, geometría cartesiana, geometría vectorial, estadística y probabilidades.
ESTRUCTURA
El libro está estructurado en cinco unidades, enumeradas del 0 al 4: Unidad 0: Introducción a la Matemática,
Unidad 1: Números, Unidad 2: Álgebra, Unidad 3: Geometría y Unidad 4: Datos y Azar. Estos nombres se
corresponden con los Ejes Temáticos propuestos por el DEMRE con los que se dividen las preguntas de la
Prueba de Selección Universitaria, a excepción de la Unidad 0, como ya se dijo. Cada unidad se divide en
secciones y, estas a su vez, en subsecciones.
Cada página, está dividida en dos columnas, una grande donde se encuentra el cuerpo del texto, y una pequeña
donde se encuentran los cuadros y las imágenes.
El cuerpo del texto, además de la materia, cuenta con tres ambientes diferentes: Para discutir, Comprensión
lectora y Objetivo PSU. El ambiente Para discutir tiene como objetivo el cuestionamiento y la reflexión respecto
de ciertos temas en específico; el ambiente Comprensión lectora contiene preguntas relacionadas con un texto
matemático, las que buscan la abstracción por parte del lector o la lectora y el desarrollo de diferentes habilidades;
y el ambiente Objetivo PSU enuncia de forma específica el objetivo propuesto por el DEMRE para cierto
contenido.
Además, el cuerpo contiene tres tipos diferenciados de ejercicios: Problema, Ejemplo y Ejercitación. El Problema
presenta una situación y pide por parte del lector o la lectora contextualizarse en ella; el Ejemplo enuncia un
ejercicio y contiene su desarrollo; y la Ejercitación enlista ejercicios relacionados con los temas recién tratados y
pide resolverlos al lector o la lectora.
5
En cuanto a la columna pequeña, existen tres tipos de cuadros al margen, los que se explican en la siguiente
tabla:
Nombre
Explicación
Observación
El cuadro Observación contiene comentarios, indicaciones,
notas o ejemplos con respecto al contenido mismo del que
se está hablando en el cuerpo del texto.
Sabías que ...?
El cuadro Sabías que ...? contiene anécdotas, datos históricos
y curiosos y aplicaciones que hacen referencia al texto del
cuerpo.
Usted no lo haga
El cuadro Usted no lo haga enuncia errores comunes que se
cometen al momento de aplicar el contenido descrito en el
cuerpo del texto.
Símbolo
Al final de cada capítulo, el libro cuenta con un resumen y con una evaluación de la unidad, compuesta por 20
preguntas de alternativas, a excepción de la unidad 0.
Esperamos que el libro que te presentamos te sea útil. Cualquier error, comentario o acotación, por favor escribe
un mail al correo area.matematica.ppvj@gmail.com.
Un teorema, una verdad matemática, es lo más cercano que estamos a tener en nuestras manos un pedazo de
auténtica eternidad. Ya solo por ese privilegio, la razón para estudiar matemática está bien justificada.
Índice general
Página
Unidad 0 Introducción a la Matemática
0.1 Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
10
Unidad
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1 Números
Números naturales y enteros .
Números racionales . . . . . .
Potenciación . . . . . . . . .
Números reales . . . . . . . .
Números complejos . . . . . .
.
.
.
.
.
17
18
33
43
57
64
Unidad
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2 Álgebra
Lenguaje algebraico y polinomios . . . .
Factorización y fracciones algebraicas . .
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones . .
Ecuación de segundo grado . . . . . . .
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
Relaciones y funciones . . . . . . . . . .
Teoría de funciones . . . . . . . . . . . .
Tipos de funciones . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
80
90
99
110
117
125
137
148
Unidad
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3 Geometría
Conceptos básicos . . . . . . . . .
Congruencia . . . . . . . . . . . . .
Área y perímetro de figuras planas
Semejanza . . . . . . . . . . . . . .
Geometría analítica . . . . . . . . .
Geometría del espacio . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
175
177
182
200
204
217
234
Unidad
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4 Datos y azar
Estadística descriptiva . . .
Técnicas de conteo . . . . .
Probabilidad clásica . . . .
Variable aleatoria discreta .
Variable aleatoria continua
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
269
270
278
288
296
305
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Unidad 0
Introducción a la Matemática
Como todas las disciplinas, la matemática tiene una base
que sustenta todo lo que hoy se conoce de ella. Tal como en una gran
edificación, es necesario realizar una construcción minuciosa para que
cada pieza encaje en su lugar. Cada una de estas debe afirmarse con la
anterior, generando un edificio que no tenga posibilidad de derrumbe.
De gran importancia es, pues, dar una mirada al soporte de esta
ciencia y, de esta forma, llegar a la comprensión sublime del significado
del fundamento, de la justificación, de la demostración.
0.1 Lógica
0.2 Conjuntos
8
matemática ppvj 2018
0.1 | Lógica
Sabías que...?
La lógica tradicionalmente se consideró una rama
de la filosofía. Pero desde
finales del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las
matemáticas, y dio lugar a la
lógica matemática.
La lógica es la herramienta que usan los matemáticos para desarrollar
su disciplina y, por tanto, el objetivo fundamental del estudio de ella es
describir en qué consiste una argumentación matemática. Para lograrlo,
en primer lugar se expondrán brevemente las reglas de la lógica y, por
último, se explicará en qué consiste una teoría matemática.
La lógica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a
partir de otras verdades. El medio que lleva de las primeras verdades a
las otras se llama razonamiento lógico. La lógica estudia precisamente
esto, estableciendo cuándo un razonamiento es válido y cuándo no.
Problema:
Ayuda a Homero Simpson a resolver el siguiente acertijo:
Homero exclamó: “Veamos, necesito llevar a la bebé, al perro y al veneno al otro lado del río, pero solo puedo
llevar una cosa a la vez. No puedo dejar a la bebé sola con el veneno y no puedo dejar al perro solo con la
bebé. Y ahora, ¿quién me ayuda con este acertijo?”.
0.1.1 Proposiciones
Puesto que la lógica busca deducir verdades a partir de otras verdades,
su materia prima son los enunciados de esas verdades. Eso es lo que
se llaman proposiciones: un enunciado que se puede juzgar como
verdadero o falso, de modo objetivo y no ambiguo, el cual es su valor
de verdad.
Ejemplos:
Son proposiciones:
No son proposiciones:
La Segunda Guerra Mundial comenzó el año 1939.
Víctor Jara es un gran cantautor.
El flúor es el elemento más electronegativo.
Las matemáticas son entretenidas.
La célula vegetal tiene pared celular.
La Educación debe ser gratuita y de calidad.
Ejercitación:
1. Enuncia dos proposiciones y justifica por qué lo son.
0.1.2 Conectores de proposiciones
Los conectores permiten construir nuevas proposiciones a partir de
otras dadas. La nueva proposición es dependiente de las proposiciones con
introducción a la matemática
las que se construye. Se estudiará un conector unario llamado negación
y cuatro conectores binarios: conjunción, disyunción, implicación
y doble implicación. De aquí en adelante se utilizarán letras latinas
minúsculas para representar proposiciones cualesquiera, en general p, q,
r y s.
Negación
Observación
Definición. La negación de una proposición p, denotada por ¬p, es la
proposición cuyo valor de verdad es el opuesto de p.
Algunos ejemplos para estos conectores son:
Conjunción
La negación de aprobar una
prueba es reprobar una prueba.
Definición. La conjunción de dos proposiciones p y q, denotada por p ∧ q,
es la proposición que solo es verdadera si ambas son simultáneamente
verdaderas.
Negación
Conjunción
Necesito agua y una bolsita de
té para poder tomarme un té.
Disyunción
Disyunción
Definición. La disyunción de dos proposiciones p y q, denotada por
p ∨ q, es la proposición que solo es falsa si ambas son falsas, es decir, es
verdadera cuando alguna de las proposiciones es verdadera.
Puedo escribir si tengo lápiz mina o lápiz pasta.
Implicación
Definición. Este conector tiene gran importancia en la lógica, pues es
la base del razonamiento deductivo. Cuando se dice que una proposición
implica la otra, se quiere expresar el hecho de que si la primera es verdadera, entonces la segunda debe ser verdadera también. La implicación
de dos proposiciones p y q se denota por p ⇒ q. En el lenguaje corriente
se usa la expresión “si p . . . , entonces q”, donde p es la condición que, si
es verdadera, asegura que q también lo es o que en el caso hipotético en
que p ocurra, q deberá ocurrir.
Implicación
Si tengo el pelo negro, entonces
tengo el pelo oscuro.
Doble implicación
Un elemento químico es Hidrógeno si y solo si su número atómico es igual a 1.
Observación
En resumen, los símbolos
correspondientes a cada
conector son:
Doble implicación
Definición. La doble implicación de dos proposiciones p y q, denotada
por p ⇔ q, es la proposición que solo es verdadera si ambas coinciden en
su valor de verdad. Como su nombre lo indica, si dos proposiciones están
relacionadas con el conector doble implicación, significa que una implica
la otra y viceversa. Es decir, si una de ellas es verdadera la otra debe
serlo o si una de ellas es falsa la otra también lo es. En lenguaje verbal
se utiliza “si y solo si” para conectar dos proposiciones a través de una
doble implicación.
Ejercitación:
2. Da un ejemplo de cada conector.
Conector
Símbolo
Negación
¬
Conjunción
∧
Disyunción
∨
Implicación
⇒
D. Implicación
⇔
9
10
matemática ppvj 2018
0.1.3 Axiomas, definiciones y teoremas
Observación
Un ejemplo de axioma,
definición y teorema se
ilustra a continuación:
La matemática deduce resultados nuevos a partir de otros ya conocidos
usando la herramienta de la lógica. Una teoría matemática se compone
de axiomas, definiciones y teoremas, así que será necesario definir cada
uno de ellos.
Existe una única especie que
ladra.
Definición
(Axioma)
Axiomas
Son las proposiciones de partida de una teoría, por
tanto, no pueden ser probadas dentro de ella. La idea
es que los axiomas van a ser las primeras premisas
que permitan deducir consecuencias de ellas, es decir,
obtener los primeros resultados. Además, delimitan
el campo de estudio de una teoría.
Definiciones
Es la asignación de un nombre a un objeto o propiedad. La idea es simplemente abreviar al describir la
teoría.
Teoremas
Son los resultados de la teoría y, por lo tanto, el
objetivo de la matemática. Un tipo habitual de teorema es un resultado de un razonamiento lógico, de
la forma descrita anteriormente (implicación, doble
implicación), en el cual las premisas son los axiomas
de la teoría u otros teoremas probados anteriormente.
↓
Los animales que ladran se
llaman perros.
(Definición)
↓
Si un animal ladra, entonces
es perro.
(Teorema)
Observación
Obsérvese que el papel de
las definiciones no es determinante, ya que solo
es una manera de simplificar la
escritura.
Ejercitación:
3. Da un ejemplo de axioma → definición → teorema.
4. Describe, con tus palabras, cómo se construye una teoría matemática.
0.2 | Conjuntos
La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza en “colecciones”
o “conjuntos” es algo muy habitual en la vida, por ejemplo, cuando se
habla del “conjunto de estudiantes del preuniversitario” o del “conjunto
de libros de la biblioteca del colegio”. En estos ejemplos, se utiliza el
concepto de conjunto para hacer referencia a una colección de objetos,
los cuales pueden ser de cualquier categoría: animales, plantas, personas,
números, etc.
Definición. Un conjunto es una colección de elementos. Se usan letras
mayúsculas como A, B, C, . . . para denotar conjuntos y letras minúsculas
como x, y, z, . . . para denotar elementos de un conjunto. Se utiliza el
introducción a la matemática
11
símbolo de pertenencia “∈” para decir que un elemento x pertenece al
conjunto A, lo que se denota por x ∈ A. Dos conjuntos son iguales si y
solo si tienen los mismos elementos.
Ejercitación:
5. A partir del texto anterior, define con tus palabras lo que es un conjunto y entrega, a lo menos, dos
ejemplos.
Existen dos formas de escribir conjuntos: por comprensión y por
extensión. En cualquier caso, siempre se usan llaves ({}) para anotarlos.
Definición
Observación
Por
extensión
Consiste en nombrar uno a uno todos los elementos
de un conjunto, es decir, se escriben cada uno los
elementos que pertenecen a este.
Por
comprensión
Consiste en escribir un conjunto utilizando una
propiedad que identifique a sus elementos. Se usa la
notación {x ∈ A | p(x)} para decir “los elementos
de A que cumplen la propiedad p”.
Por ejemplo, el conjunto
A que contiene a las letras que son vocales, se
escribe por comprensión y extensión, respectivamente, como:
A = {vocales}
A = {a, e, i, o, u}
Ejercitación:
6. Piensa en un conjunto. Luego escríbelo por extensión y comprensión.
7. A partir del conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y las proposiciones “p(x) afirma que x > 5” y “q (x)
afirma que 2 < x < 8”, escribe por extensión los siguientes conjuntos.
a) C = {x ∈ B | p(x)}
b) D = {x ∈ B | q (x)}
Otras definiciones útiles al momento de trabajar con conjuntos son
las siguientes:
Definición. Sean A y B conjuntos, se dice que A es subconjunto de
B, denotado por A ⊆ B, si y solo si todos los elementos de A están en B.
Definición. Existe un conjunto que no tiene ningún elemento, se llama
vacío y se denota por φ.
Ejercitación:
8. Sea el conjunto A = {1, 2, 3}. Escribe todos los subconjuntos de A.
0.2.1 Unión, intersección y complemento
A continuación se estudiarán tres operaciones muy importantes definidas para conjuntos: la unión, intersección y el complemento. Una
c) E = {x ∈ D | p(x)}
Observación
Se observa que:
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
El vacío es subconjunto de
todos los conjuntos.
12
matemática ppvj 2018
manera de visualizar la unión, intersección y el complemento es a través
de los Diagramas de Venn. Un Diagrama de Venn consiste en dos o
más áreas circulares que representan conjuntos y las relaciones que hay
entre ellos.
Unión
Figura 0.1: Unión de los conjuntos A y
B.
Definición. Sean A y B conjuntos, la unión de A y B es el conjunto
de los elementos que están en A o que están en B, o en ambos, lo que se
denota por A ∪ B. Es decir, x ∈ A ∪ B cuando x ∈ A ∨ x ∈ B. Se observa
el Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos en la Figura 0.2.
Intersección
Figura 0.2: Intersección de los conjuntos
A y B.
Definición. Sean A y B conjuntos, la intersección de A y B es el
conjunto de los elementos que están en A y en B simultáneamente, lo
que se denota por A ∩ B. Es decir, x ∈ A ∩ B cuando x ∈ A ∧ x ∈ B. Se
observa el Diagrama de Venn de la intersección de dos conjuntos en la
Figura 0.3.
Complemento
Figura 0.3: Complemento del conjunto
A.
Definición. Sean A y B conjuntos y A ⊆ B, el complemento de A
es el conjunto de todos los elementos de B que no pertenecen a A y se
denota por Ac . Se observa el Diagrama de Venn del complemento de un
conjunto en la Figura 0.4.
Ejercitación:
9. Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {1, c} conjuntos, determina:
a) A ∩ C
c) B ∩ C
e) A ∩ (B ∪ C )
b) A ∩ B
d) (A ∪ B ) ∩ C
f) A ∪ (B ∩ C )
Resumen
Las proposiciones son enunciados que
se pueden juzgar como verdaderos o falsos.
Los conectores de proposición permiten construir nuevas proposiciones a partir de otras dadas. Estos son: negación
(¬), conjunción (∧), disyunción (∨),
implicación (⇒) y doble implicación
(⇔).
Una teoría matemática está formada
por axiomas y teoremas.
Un axioma es una proposición de partida que se asume como cierta, mientras
que un teorema es una consecuencia o
resultado de axiomas o proposiciones ya
probadas (cada teorema debe llevar su
demostración).
introducción a la matemática
Un conjunto es una colección de elementos. Se pueden escribir conjuntos de dos formas: por
extensión o comprensión. Escribir un conjunto por extensión significa nombrar uno a uno sus
elementos, mientras que por comprensión significa utilizar una característica que los identifique
a todos.
Si A y B son conjuntos, se dice que A es subconjunto de B si y solo si todos los elementos de
A están en B.
Al conjunto que no tiene elementos se le llama vacío (φ).
Las tres operaciones básicas entre conjuntos son: unión, intersección y complemento.
Evaluación de Unidad
1. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto,
¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?
A) Todos los neumáticos son flexibles y negros
B) Todos los neumáticos son negros
C) Solo algunos neumáticos son de goma
D) Todos los neumáticos son flexibles
E) Todos los neumáticos son negros y algunos de goma
2. La alumna Adriana del Preuniversitario Popular Victor Jara debe rendir tres ensayos PSU (lenguaje,
matemática e historia) los días lunes, miércoles y sábado, pudiendo rendir solo uno al día. Para
saber qué día debe rendir cada ensayo es suficiente saber que:
(1) El ensayo de matemática se rinde antes que el de lenguaje.
(2) El ensayo de historia se rinde después del ensayo de matemática.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
13
14
matemática ppvj 2018
3. Todas las ostras son conchas. Todas las conchas son azules. Además algunas conchas son morada de
pequeños animales. A partir de lo anterior, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?
A) Ninguna ostra es morada de pequeños animales.
B) Todas las ostras son morada de pequeños animales.
C) Algunas ostras son morada de pequeños animales.
D) Todas las ostras son azules.
E) Ninguna de las anteriores.
4. Alguien dice que todas las ovejas son blancas, pero un día ves una oveja negra. ¿Qué puedes afirmar
a partir de esto?
A) Ninguna oveja es blanca.
B) No todas las ovejas son blancas.
C) Todas las ovejas son blancas excepto una.
D) Todas las ovejas son negras.
E) Ninguna de las anteriores.
5. Si de un conjunto se pueden obtener exactamente 8 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene ese
conjunto?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto E = {1, 2} ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
introducción a la matemática
7. Sean los conjuntos S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, E = {2, 3, 5, 7} y H = {3}. ¿Cuántos subconjuntos tiene
S ∩ E ∩ H?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 9
E) 11
8. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
A) 0
B) 1
C) 9
D) 10
E) Ninguna de las anteriores.
9. Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, la escritura por extensión del conjunto T = {x ∈ E | x ≤ 4} es
A) {5, 6, 7, 8}
B) {4, 5, 6, 7, 8}
C) {1, 2, 3, 4}
D) {1, 2, 3}
E) {0, 1, 2, 3, 4}
10. Sea el conjunto S = {2, 3, 4} subconjunto de E = {1, 2, 3, 4}. ¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde a una escritura por comprensión de S?
A) {x ∈ E | x < 2}
B) {2, 3, 4}
C) {x ∈ E | x > 2}
D) {x ∈ E | x > 1}
E) {x ∈ E | x < 1}
15
16
matemática ppvj 2018
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) proposiciones lógicas?
I. ¿Vendrás mañana?
II. 2 + 1 = 5
III. Está lloviendo en Aysén.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
12. La oración “el conjunto vacío es un conjunto que carece de elementos” corresponde a un(a)
A) Axioma.
B) Definición.
C) Teorema.
D) Hipótesis.
E) Ninguna de las anteriores.
13. Sean los conjuntos A = {2, 3, 5}, B = {1, 2, 3} y C = {2, 4, 6}, ¿cuál de los siguientes Diagramas de
Venn es correcto?
A
A)
B
5
3
1
2
2
C
6
2
3
A
D)
B
3
5
1
2
4
6
A
B)
B
2
5
3
4
C
6
2
1
2
3
C
A
E)
4
B
2
3
5
C)
A
5
B
3
2
1
C
3
6
2
2
3
1
3
6
2
2
4
4
C
Alternativas Correctas
1. D
4. B
7. C
10. D
2. E
5. B
8. D
11. D
3. D
6. D
9. C
12. B
13. D
Unidad 1
Números
Como es sabido, la matemática tiene múltiples áreas: aritmética, álgebra, geometría, probabilidad y estadística, entre otras. La
aritmética, en particular, tiene como objeto de estudio a los números y
las operaciones elementales hechas con ellos.
El número es la abstracción que encarna magníficamente las cantidades.
Es una expresión inherente al Ser Humano, a su condición y a sus
relaciones. La creación del número es, sin duda, el origen de una de las
construcciones más grandiosas de la humanidad.
1.1 Números naturales y enteros
1.4 Números reales
1.2 Números racionales
1.5 Números complejos
1.3 Potenciación
18
matemática ppvj 2018
Sabías que...?
En Mesopotamia, alrededor del 4000 a. C., fue
donde aparecieron los primeros vestigios sobre los números. Estos consistieron en grabados de señales en forma de
cuñas sobre pequeños tableros
de arcilla, empleando para ellos
un palito aguzado. De aquí el
nombre de escritura cuneiforme.
Sabías que...?
La numeración romana
es un sistema de numeración que se desarrolló
en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio Romano,
manteniéndose con posterioridad a su desaparición y todavía
utilizado en algunos ámbitos.
Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos
para representar ciertos valores.
Los números se escriben como
combinaciones de letras. Por
ejemplo, el año 2017 se escribe
como MMXVII, donde cada M
representa 1000, la X representa 10 más, V representa cinco
unidades más y I simboliza una
unidad adicional.
Está basado en la numeración
etrusca, la cual, a diferencia de
la numeración decimal que está
basada en un sistema posicional, se basa en un sistema aditivo (cada signo representa un
valor que se va sumando al anterior). La numeración romana
posteriormente evolucionó a un
sistema sustractivo, en el cual
algunos signos en lugar de sumar, restan. Por ejemplo el 4 en
la numeración etrusca se representaba como IIII (1+1+1+1),
mientras que en la numeración
romana moderna se representa
como IV (1 restado a 5). En la
Figura 1.1 se observan algunos
números romanos.
1.1 | Números naturales y enteros
«La noción de número y de contar, así como los nombres de los
números más pequeños y más comúnmente empleados, se remonta a
épocas prehistóricas, y yo no creo que haya hoy sobre la Tierra una
tribu de seres humanos, por más primitiva que sea, que no tenga alguna
noción del número. Con la invención de la escritura (un paso que define
la línea de separación entre lo “prehistórico” y lo “histórico”), tuvo que
darse el paso siguiente: había que escribir los números. Por supuesto
que uno puede inventar fácilmente símbolos escritos para las palabras
que representan números dados; es tan fácil como escribir cualquier otra
palabra. En castellano podemos escribir el número de dedos de una mano
como “cinco” y el número de dígitos de las cuatro extremidades como
“veinte”.
»Pero ya desde el comienzo de la cuestión los recaudadores de impuestos de los reyes, los cronistas y los escribas notaron que los números
tienen la peculiaridad de estar ordenados. Había una forma determinada
de contar números, y cualquier número podía definirse contando hasta
llegar a él. Entonces, por qué no hacer signos que se contaran hasta llegar
al número en cuestión. Así, si hacemos que “uno” se represente por ’ y
“dos” por ’ ’, y “tres” por ’ ’ ’, podemos determinar sin problemas el
número indicado por un símbolo dado. Usted puede ver, por ejemplo,
que el símbolo ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ quiere decir “veintitrés”.
Más aún, este símbolo es universal. En cualquier idioma que usted cuente
el símbolo representará el número “veintitrés”, sea cual fuere el sonido
que su idioma particular emplee para representarlo.
»Se hace difícil leer demasiados signos en sucesión ininterrumpida, así
que es bastante natural separarlos en grupos más pequeños. Si estamos
acostumbrados a contar con los dedos de una mano, parece natural
repartir a los signos en grupos de cinco. “Veintitrés” se convierte entonces
en ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’. Si somos más avezados y
usamos las dos manos para contar, podríamos escribir ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’. Si andamos descalzos y también empleamos los dedos
de los pies, podremos separar a los números en grupos de veinte. Los
tres métodos de repartir símbolos numéricos en grupos que se pueden
manejar más fácilmente han dejado sus huellas en los diversos sistemas
de numeración de la humanidad, pero el favorito fue la división en grupos
de diez. Después de todo, veinte símbolos por grupo son demasiados
para visualizar fácilmente, mientras que cinco símbolos por grupo darán
lugar a demasiados grupos a medida que los números vayan creciendo.
números
19
La división en grupos de diez representa el término medio más acertado.
Continuando, parece natural designar a los grupos de diez por medio
de un signo distinto. No hay ninguna razón para insistir en escribir un
grupo de diez empleando cada vez ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’, cuando para ese fin
se puede usar un signo diferente como un —, por ejemplo. En ese caso
“veintitrés” se podría escribir como — — ’ ’ ’. »
De los números y su historia, Isaac Asimov. Capítulo 1: La nada cuenta.
Figura 1.1: Números romanos.
Comprensión lectora
A partir del texto anterior, responde:
Según el texto ¿en qué hecho se vinculan por primera vez números y escritura?
Con tus palabras da una definición de “número”.
La división en grupos de a diez representa una abreviatura operacional que el autor ofrece representar por
un signo en particular. ¿Qué idioma o sistema numérico conoces que tenga ese tipo de representaciones?
Crea tu propio sistema de 3 símbolos para 3 tipos de unidades.
¿Qué relación puedes establecer entre el lenguaje y la matemática?
1.1.1 Números Naturales
En el texto anterior se dio cuenta que desde los comienzos de la
humanidad el ser humano tuvo la necesidad de contar elementos. El
“ente” abstracto que se utiliza para esto se conoce como número y se
puede definir como un símbolo que expresa una cantidad.
El conjunto de los números que se utilizan para contar se llama
conjunto de los números naturales. Este conjunto se caracteriza utilizando
cinco axiomas, conocidos como Axiomas de Peano:
Existe un conjunto N con las siguientes propiedades:
Figura 1.2: Los números naturales se
pueden utilizar para contar: una manzana, dos manzanas, tres manzanas, etc.
1. El número 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces n + 1 también es un número
natural.
3. El 1 es el menor elemento de N.
4. Si n + 1 es igual a m + 1, entonces m es igual a n.
5. Sea A un conjunto, donde A ⊆ N, si se cumple que 1 ∈ A y además
siempre que n ∈ A también se cumple n + 1 ∈ A, entonces A = N.
A partir de los Axiomas de Peano, se pueden establecer algunas
propiedades importantes que cumple este conjunto:
Observación
El conjunto de los números naturales escrito por
extensión, se expresa como:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
y como es infinito esta escritura por extensión solo muestra
algunos elejmplos.
20
matemática ppvj 2018
Observación
Sea n ∈ N, a n + 1 se le
llama sucesor de n. Además, si n 6= 1, a n − 1 se
le llama antecesor de n.
Observación
El conjunto es no denso, es decir, entre dos números naturales hay
una cantidad finita de números naturales, o ninguno.
El conjunto es infinito, es decir, dado un número natural cualquiera,
siempre existe otro natural mayor que este.
Esto se puede visualizar como un rayo, con el punto de partida en el 1,
que se extiende infinitamente hacia la derecha y donde la distancia entre
cada número es una unidad.
Un rayo es una porción
de recta que tiene inicio
pero no final.
Ejercitación:
1. ¿Existe algún número natural entre n y n + 1, con n ∈ N? ¿Por qué?
Operatoria en N
Hasta ahora, se ha construido un conjunto cuyos elementos son números que cumplen algunas propiedades especiales. Entre los elementos de
este conjunto, como en cualquier otro, se pueden realizar operaciones. En
particular, se trabajará con dos operaciones fundamentales: la adición y
la multiplicación.
Adición en N
Si se tiene una cantidad finita de objetos, por ejemplo tres peras, y se
agregan cinco peras más, se puede decir que se tiene un total de ocho
peras. A esta operación se le llama adición y se denota por el signo “+”.
Este ejemplo se puede expresar numéricamente por 3 + 5 = 8, lo que es
equivalente a partir desde el 3 en la recta numérica y moverse 5 unidades
hacia la derecha. En la Figura 1.3 se muestra una descripción gráfica de
la adición.
La adición en N cumple las siguientes propiedades:
i) Asociatividad, esto es
(a + b) + c = a + (b + c)
Figura 1.3: Tres manzanas más dos
manzanas es igual a cinco manzanas:
3 + 2 = 5.
para todo a, b, c ∈ N.
Esto asegura que se puede escribir a + b + c, sin que se altere el
resultado por el orden en que se sume, de izquierda a derecha o al
revés.
ii) Conmutatividad, esto es
a+b = b+a
para todo a, b ∈ N.
números
21
Multiplicación en N
La multiplicación se puede entender como una abreviación de la adición
sucesiva de un mismo número. Por ejemplo, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 se puede
leer como “seis veces dos”. A esto se le llama multiplicación o producto
y se denota por el signo “ · ”. En el ejemplo se tiene que “seis veces dos”
es 6 · 2 = 12. En la Figura 1.4 se muestra una descripción gráfica de la
multiplicación.
Observación
En general, a · b se abrevia como ab.
La multiplicación en N, cumple las siguientes propiedades:
i) Asociatividad, esto es
(a · b) · c = a · (b · c)
para todo a, b, c ∈ N.
Esto asegura que se puede escribir a · b · c sin que se altere el resultado
por el orden en que se multiplique, de izquierda a derecha o al revés.
ii) Conmutatividad, esto es
a·b = b·a
para todo a, b ∈ N.
Figura 1.4: Cuatro bolsas de tres globos
da un total de doce globos: 3 · 4 = 12.
En la Figura 1.5 se observa una descripción gráfica de la conmutatividad.
iii) Distributividad, esto es
a · (b + c) = a · b + a · c
para todo a, b, c ∈ N.
La idea de la distributividad es la siguiente: supóngase que se quiere
multiplicar 2 con (3 + 5), lo que se escribe de la siguiente forma:
Figura 1.5: Doce elementos pueden ser
ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres 3 · 4 = 12 = 4 · 3.
2 · (3 + 5).
De acuerdo a la definición de multiplicación, esta operación indica
sumar 2 veces (3 + 5), esto es:
2 · (3 + 5) = (3 + 5) + (3 + 5),
de donde, si se reagrupan término, se tiene que
2 · (3 + 5) = (3 + 3) + (5 + 5)
= 2 · 3 + 2 · 5.
iv) Neutro multiplicativo, esto es
Existe 1 ∈ N tal que
n·1 = 1·n = n
para todo n ∈ N.
Observación
Dada una operación en
un conjunto, un neutro
es un elemento que no
produce cambios en la operación, es decir, al operar cualquier elemento de un conjunto
con el elemento neutro el resultado es el elemento original.
22
matemática ppvj 2018
Finalmente, se dice que el conjunto de los números naturales es cerrado bajo estas dos operaciones, es decir
m+n ∈ N
y
m·n ∈ N
para todo m, n ∈ N.
Ejercitación:
2. Explica con tus palabras lo que significa la cerradura de la adición y la multiplicación en N.
3. ¿Existe un neutro para la adición? ¿Por qué?
4. Si m, n ∈ N, ¿crees que siempre m − n ∈ N? Piensa en algunos ejemplos y justifica tu respuesta.
5. Si m, n ∈ N, ¿crees que siempre
m
∈ N? Piensa en algunos ejemplos y justifica tu respuesta.
n
Sistema decimal
Observación
Un sistema de numeración es un conjunto de
símbolos y reglas de generación que permite construir
todos los números válidos.
Sabías que...?
El sistema binario, es
un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente dos cifras: cero y uno
(0 y 1). Es uno de los sistemas
que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su
sistema de numeración natural
es el sistema binario (encendido
1, apagado 0).
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en
el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética al
número diez, esencialmente porque se tienen diez dedos en las manos.
El conjunto de símbolos que son utilizados se compone de diez cifras:
cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete
(7), ocho (8) y nueve (9). El cero (0) se usa en el sistema de numeración,
pero no es un número natural, de hecho en Europa fue conocido recién
en el Renacimiento.
El hecho de que este sistema sea de numeración posicional, se refiere
a que cada número toma un valor dependiente de la posición en la que se
encuentre. Al primero de la derecha corresponde el lugar de las unidades
(se multiplica por 1), al siguiente a la izquierda corresponde el lugar de las
decenas (se multiplica por diez), al siguiente a la izquierda corresponde
el lugar de las centenas (se multiplica por cien), etc.
A continuación, una tabla que resume el significado de las posiciones
en este sistema.
1
Unidad
10
Decena
100
Centena
1.000
Unidad de Mil
10.000
Decena de Mil
100.000
Centena de Mil
1.000.000
Unidad de Millón
números
23
En este sistema se utilizan las operaciones de adición (+) y multiplicación (·) antes definidas. Así, el número 17.583 se expande como
10.000 · 1 + 1.000 · 7 + 100 · 5 + 10 · 8 + 1 · 3.
Ejercitación:
6. Expande los siguientes números.
a) 38.590.012
b) 1.006.703
Orden en N
Para todo par de números naturales m, n se cumple solo una de las
siguientes tres propiedades:
Observación
Una relación de orden
es una relación binaria
que pretende formalizar
la idea intuitiva de ordenación
de los elementos de un conjunto.
i) m = n
ii) m < n
iii) n < m
donde < significa “menor que”. Lo anterior se conoce como Ley de
Tricotomía.
Nótese que si se cumple m < n significa que existe un natural k tal
que n = m + k. Por ejemplo, como 9 = 6 + 3 entonces 6 < 9 (el natural
k en este ejemplo es 3).
Observación
El símbolo ≤ significa
“menor o igual que”.
Además, la relación de orden < cumple la siguiente propiedad, conocida
como transitividad:
Si a < b y b < c entonces a < c.
Ejercitación:
7. ¿Será cierto que si m < n entonces m + p < n + p, con p ∈ N? Piensa en ejemplos.
8. ¿Existe un elemento n ∈ N tal que n ≤ x para todo x en N? ¿Este elemento es único?
9. ¿Será cierto que si m < n entonces mp < np, con p ∈ N? Piensa en ejemplos.
10. Si se quiere que la operación m − n esté definida en N, es decir, m − n ∈ N con m, n ∈ N, ¿qué relación
de orden se debe cumplir entre m y n? Justifica tu respuesta.
Múltiplos y divisores de un número
A continuación se definirán dos conceptos importantes para trabajar
con números naturales: múltiplos y divisores.
Definición. Sean a y b dos números naturales, se dice que a es múltiplo
de b si existe c ∈ N tal que a = b · c.
24
matemática ppvj 2018
Ejemplos:
6 es múltiplo de 3 ya que 6 = 3 · 2.
27 es múltiplo de 3 ya que 27 = 3 · 9.
A partir de los ejemplos se observa que un múltiplo de 3 siempre se
puede escribir como “3 por algo”, por lo tanto, un número natural de la
forma 3 · n, con n ∈ N representa a un múltiplo de 3.
Definición. Sean a y b dos números naturales, se dice que a es divisor
de b si existe c ∈ N tal b = a · c. Si a es divisor de b se dice que b es
divisible por a.
Ejemplos:
3 es divisor de 18 ya que 18 = 3 · 6.
3 es divisor de 12 ya que 12 = 3 · 4.
Ejercitación:
11. Escribe el conjunto de todos los divisores de:
a) 25
b) 19
c) 48
d) 51
e) 60
c) 6
d) 7
e) 8
12. Escribe los primeros 12 múltiplos de:
a) 3
b) 4
13. ¿Qué condición se debe cumplir entre a y b para que a : b ∈ N, con a, b ∈ N?
14. ¿Es 119 divisible por 17? ¿Por qué?
15. ¿Es 10ab divisible por 2a? ¿Por qué?
16. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) La suma entre un número natural múltiplo de 12 y un número natural múltiplo de 18 es múltiplo de 6.
b) El producto entre dos números naturales múltiplos de 15 es múltiplo de 9.
c) La suma de dos números naturales múltiplos de 7 es múltiplo de 14.
d) Si n es divisor de 12, entonces n es divisor de 6.
e) Si a es divisor de 7, entonces n es divisor de 21.
Cuando un número es muy grande, no es fácil ver si es divisible o no
por algún otro número. Se enuncian a continuación algunas “reglas de
divisibilidad” que sirven justamente para saber si un número es divisible
o no por otros, de forma más rápida.
números
25
Un número...
Es divisible por
Cuando
2
Termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
3
La suma de sus dígitos forma un número múltiplo de 3.
4
Cuando sus dos últimas cifras son 0 o forman
un número múltiplo de 4.
5
Termina en 5 o 0.
6
Es divisible por 2 y 3.
8
Sus tres últimas cifras son 0 o forman un número múltiplo de 8.
9
La suma de sus dígitos forma un número múltiplo de 9.
10
Termina en 0.
Observación
Por ejemplo, el número 51
es divisible por 3 ya que
la suma de sus dígitos es
6, que es múltiplo de 3.
Ejercitación:
17. Utiliza las reglas de divisibilidad para decir de forma rápida si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas.
a) 1.863 es divisible por 3.
b) 3.852 es divisible por 4.
c) 5.746 es divisible por 6.
Números pares e impares
A partir del concepto de múltiplo, se define un subconjunto de N muy
importante: el conjunto de los números pares.
Definición. El conjunto de los números pares es aquel cuyos elementos
son números múltiplos de 2.
Por extensión, se escribe como:
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}.
Por comprensión, se escribe como:
Pares = {n ∈ N | n = 2m, m ∈ N}.
Ejercitación:
18. ¿El sucesor de un número par es par? ¿Y el antecesor? ¿Por qué?
19. Nombra cinco números que no sean pares y explica por qué no lo son.
Observación
El antecesor par de un
número natural n es el
número par anterior más
próximo a este, por otro lado,
el sucesor par de un número
natural n es el número par posterior más próximo a este.
La definición es análoga para
antecesor impar y sucesor
impar.
26
matemática ppvj 2018
En la ejercitación anterior se observó que no todos los números son
pares, lo que motiva la siguiente definición:
Definición. Los números que no son pares se llaman impares.
Ejercitación:
20. Escribe el conjunto de números impares por extensión y comprensión.
21. ¿A qué conjunto es igual la siguiente expresión: Pares ∪ Impares ?
Ejemplos: Verificar algebraicamente las siguientes propiedades.
i) La suma de dos números impares es un número par.
Solución.
Sean 2n + 1 y 2m + 1 números impares, entonces
(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + (1 + 2m) + 1
Asociatividad
= 2n + (2m + 1) + 1
Conmutatividad
= (2n + 2m) + 1 + 1
Asociatividad
= 2n + 2m + 2
= 2 · (n + m + 1).
Distributividad
Finalmente, se obtiene un múltiplo de 2 que por definición es un número par.
ii) El producto de dos números impares es un número impar.
Solución.
Sean 2n + 1 y 2m + 1 números impares, entonces:
(2n + 1) · (2m + 1) = (2n + 1) · 2m + (2n + 1) · 1
= (2n · 2m + 1 · 2m) + (2n + 1)
= 4nm + 2m + 2n + 1
= 2 · (2nm + m + n) + 1
Finalmente se obtiene el sucesor de un número par, es decir, un impar.
Ejercitación:
22. Verifica algebraicamente cada proposición:
a) La suma de dos números pares es un número par.
b) El producto de dos números pares es un número par.
c) La suma de un número par y un número impar es un número impar.
números
27
d) El producto de un número par y un número impar es un número par.
23. Considerando que p es impar y q es par, escribe el antecesor, antecesor impar, antecesor par, sucesor,
sucesor impar y sucesor par de las siguientes expresiones:
a) 2p + 1
c) 3 · (p − 3)
b) 3q − 4p
Números Primos
Sabías que...?
Un subconjunto de N muy importante en la matemática, especialmente
en la teoría de números, es el conjunto de los números primos.
El conocimiento de estos números data, al parecer, de hace más de
22.000 años, sin embargo, la primera prueba indiscutible del conocimiento
de los números primos se remonta alrededor del año 300 a. C., en Grecia,
y se encuentra en los Elementos de Euclides. Euclides define los números
primos, demuestra que son infinitos, define el máximo común divisor
y el mínimo común múltiplo y enuncia y demuestra el teorema
fundamental de la aritmética.
Más adelante y hasta el día de hoy, se han formulado teoremas e
hipótesis no demostradas sobre los números primos, habiendo muchas
aún sin develarse.
Definición. Un número natural mayor que 1 es primo si y solo si tiene
solo dos divisores, el 1 y sí mismo.
El conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, . . .}.
Definición. Un número natural mayor que 1 es compuesto si y solo si
no es primo.
La criptografía informática utiliza como base a los números primos.
Cuando se realiza una compra
por internet los datos de las tarjetas de crédito están encriptados, los códigos utilizados se basan en la multiplicación de dos
números primos muy
grandes
mayor que 10100 . La seguridad de este algoritmo radica
en que no se conocen métodos
rápidos para descomponer un
número tan grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.
Observación
Nótese que el 2 es el único número primo par,
ya que si existiera otro
número par primo, entonces
por definición de número par
sería divisible por 2, lo que contradice la definición de primo
al tener más de dos divisores.
Ejemplo: El número 1.003 es compuesto, debido a que se puede escribir como 17 · 59.
La principal consecuencia de estas definiciones se enuncia a continuación:
Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número natural mayor que 1 es primo o puede ser expresado como producto de números
primos. Esta representación es única, salvo por el orden de los factores.
Usted no lo haga
No todos los impares son primos, por muy
grandes que se vean.
El 1 NO es primo. Tampoco
es compuesto.
Ejemplos:
a) 18 = 2 · 3 · 3
b) 70 = 2 · 5 · 7
c) 51 = 3 · 17
28
matemática ppvj 2018
Ejercitación:
24. Determina la descomposición en factores primos para cada uno de los siguientes números:
a) 63
b) 90
c) 108
25. ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 720?
A partir de esto, se definen los conceptos de mínimo común múltiplo
y máximo común divisor.
Observación
Para obtener el mínimo
común múltiplo entre 12
y 9, se puede escribir el
conjunto de múltiplos de cada
uno, esto es:
para 12 {12, 24, 36, 48, . . .}
para 9 {9, 18, 27, 36, 45, . . .}.
De esta forma, se nota que el
m. c. m. es 36.
Definición. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de
números naturales, es el menor número que es múltiplo de todos los
elementos del conjunto a la vez.
Una forma de obtener el mínimo común múltiplo entre dos o más
números es utilizando la descomposición en factores primos, por ejemplo,
para encontrar el m.c.m. entre 12, 30 y 45, se tiene que:
Observación
Cuando dos números no
tiene factores primos en
común, el m. c. m. es
igual al producto entre ellos.
Por ejemplo, el m. c. m. de los
números 5 y 7 es 35.
12
= 2·2·3
30
= 2·3·5
45
= 3 · 3 · 5.
Para el m.c.m. se considera la multiplicación de todos los números
primos presentes en esta descomposición, estos son: 2, 3 y 5. Ahora, se
observa que existen números que están repetidos, por ejemplo, el 2 está
dos veces en la descomposición del 12 y una vez en la descomposición
del 30. Para el m.c.m. se debe considerar la cantidad de veces que más
se repita el número dentro de la misma descomposición, de esta manera
es seguro que el número resultante será múltiplo de todos. Por lo tanto,
el m.c.m. entre 12, 30 y 45 es:
m.c.m.(12, 30, 45) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.
Ejercitación:
26. Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 12, 15 y 20.
b) 2, 3 y 4.
c) 6, 7 y 8.
Definición. El máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de
números naturales es el número más grande que es el divisor de todos los
elementos del conjunto a la vez. Nótese que, cuando dos o más números
no tienen factores primos en común el M.C.D. es 1.
Para obtener el M.C.D. de un conjunto de números se utiliza la
números
descomposición en factores primos:
Observación
16 = 2 · 2 · 2 · 2
28 = 2 · 2 · 7
32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
Para encontrar el M.C.D. se consideran solamente a los números
primos que tengan en común, en este caso solo el 2, la cantidad de veces
que menos se repita dentro de la misma descomposición, es decir, en la
del 28 que se repite dos veces. De esta manera se obtiene que el M.C.D.
de estos tres números es 2 · 2 = 4.
Por ejemplo, si se quiere
encontrar el M. C. D. de
los números 16, 28 y 32,
se pueden escribir los divisores
de cada uno como sigue:
para 16 {1, 2, 4, 8, 16}
para 28 {1, 2, 4, 7, 14, 28}
para 32 {1, 2, 4, 8, 16, 32}.
Luego, el máximo común divisor 4.
Ejercitación:
27. Determina el máximo común divisor de:
a) 4, 8 y 12.
b) 9 y 12.
c) 14 y 16.
1.1.2 Números cardinales
Como se dijo anteriormente, los números naturales son aquellos que
se utilizan para contar elementos y su unidad mínima es el número uno.
Este conjunto de números fue insuficiente para responder a todos los
problemas aritméticos que se presentaban, el primero de ellos fue que N
carecía de un elemento que representara la cantidad nula. Es por esto
que no se podían resolver operaciones de sustracción del tipo “si tengo
cuatro manzanas y regalo cuatro manzanas, ¿con cuántas me quedo?”, ya
que el resultado es un número menor que uno y por lo tanto no pertenece
al conjunto de los números naturales.
A partir de esto, se extiende el conjunto de los números naturales una
unidad hacia la izquierda en la recta numérica y se crea un nuevo ente
para representar la cantidad nula, se denota como “0” y se llama “cero”.
Finalmente, el conjunto que contiene a los números naturales y al cero,
se llama conjunto de los números cardinales y se denota por N0 . Esto
es,
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Los números cardinales se operan de la misma manera que los números
naturales, sus operaciones cumplen las propiedades de asociatividad
en la suma y en la multiplicación, conmutatividad en la suma y en
la multiplicación, distributividad de la multiplicación sobre la suma y
existencia de neutro multiplicativo.
Además, el 0 es el neutro aditivo, de modo que
a+0 = 0+a = a
Sabías que...?
Los números negativos
tienen diversas aplicaciones en contabilidad. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en
“números rojos”. Esta expresión
venía del hecho de que antiguamente los números negativos
que hoy se conocen se representaban con tinta roja. Así, el 30
podía representar un balance
positivo de 30 sueldos, mientras
que 3 (escrito en tinta roja) podía representar una deuda de 3
sueldos.
29
30
matemática ppvj 2018
para todo a ∈ N0 .
Se verifica también que a · 0 = 0 · a = 0, para todo a ∈ N0 .
Finalmente, al igual que los números naturales, este conjunto es cerrado bajo la suma y el producto.
1.1.3 Números enteros
A pesar de la incorporación del cero, aún existían operaciones que no
se podían resolver en el conjunto de los números cardinales, especialmente
las que tenían que ver con la idea de sustracción.
Operaciones del tipo
3 − 5 =?
no tienen solución, por tanto se necesita la existencia de “números
negativos” para poder resolverlas. Obsérvese la Figura 1.6, que representa
una situación en donde es necesario utilizar un número “negativo”.
Hasta ahora se tiene la idea intuitiva de lo que es un “número negativo”:
un símbolo que se utiliza para expresar pérdidas o deudas. Formalmente,
“un número entero negativo es un número natural (1, 2, 3, etc.) precedido
de un “signo menos” (−)”. Por ejemplo, −1, −2, −3, . . . se leen “menos
uno”, “menos dos”, “menos tres”, etc.
Figura 1.6: La resta de dos números naturales no es un número natural cuando
el sustraendo es menor que el minuendo,
sino que su valor es “negativo”. En la
imagen, solo pueden sustraerse tres plátanos, por lo que se apunta uno “debido”
o “negativo”, en negro.
Finalmente, se puede decir que los números enteros son el conjunto de
todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el
0. Se representa con la letra Z como:
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
O en la recta numérica:
Observación
Para denotar a los enteros negativos se usa Z− y
para los enteros positivos
Z+ . Además, Z+ = N.
Los números enteros extienden el uso de los números naturales para
contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas, como ya se
vio. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura,
que toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8.848
metros sobre el nivel del mar, por el contrario, la orilla del Mar muerto
está a 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se
puede expresar como −423 metros.
números
Operatoria en Z
Adición
La forma de sumar números enteros es bastante similar a la suma de
naturales. Básicamente, cuando se suma una cantidad positiva se avanza
hacia la derecha de la recta numérica y cuando se suma una cantidad
negativa se avanza hacia la izquierda. Se abrevia a + (−b) como a − b y
se le llama “resta” de a y b.
Ejemplos:
1. −4 + 9 = 5 porque
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
2. −3 + (−5) = −8 porque
3. −7 + 5 = −2 porque
La adición en N verifica las propiedades de asociatividad, conmutatividad y la existencia del neutro aditivo. Además, se incorpora una nueva
propiedad:
Existencia del inverso aditivo, es decir, para todo a ∈ Z existe (−a) ∈
Z tal que
a + (−a) = 0.
Multiplicación
La idea de multiplicar es la misma que la anterior, es decir, abreviar
la suma sucesiva de un mismo número. Obsérvese lo siguiente:
5 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.
5 · (−4) = (−4) + (−4) + (−4) + (−4) + (−4).
Es posible también interpretar los siguientes casos como la abreviación
de la resta sucesiva de un mismo número.
Observación
El inverso de un número en una operación es
aquel que, operado con
este mismo, da como resultado
el neutro de la operación.
31
32
matemática ppvj 2018
Observación
(−5) · 4 = −4 − 4 − 4 − 4 − 4 = −20.
El valor absoluto de a,
denotado por | a |, es
(−5) · (−4) = −(−4) − (−4) − (−4) − (−4) − (−4) = 4 + 4 + 4 + 4 +
4 = 20.
|a| =
a
−a
si a ≥ 0
si a < 0.
De aquí se concluye que el valor
absoluto de un número siempre
es positivo o cero, ya que se entiende como la distancia entre
dicho número y el cero.
De esto se concluye que cada vez que se multipliquen números enteros
de distinto signo, el resultado tendrá signo negativo, y cuando se multipliquen números enteros de igual signo el resultado tendrá signo positivo.
Finalmente, el conjunto de los números enteros es cerrado bajo estas
dos operaciones.
Ejercitación:
28. ¿Crees que a − b ∈ Z para todo a, b ∈ Z? ¿Por qué?
29. ¿Crees que
a
∈ Z para todo a, b ∈ Z? ¿Por qué?
b
30. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 4 + 3 · (−5) + 1
b) (−5 + 9) · (−2 + 5)
c) (10 · (−5) · 2) − 6
Divisibilidad en Z
Observación
Para resolver la operación 18 : 4, se realiza la división de forma habitual,
con resto:
18 : 4 = 4
2//
Finalmente, se tiene que:
18 = 4 · 4 + 2.
En los números enteros, el concepto de “división de un número” debe
tratarse con mucho cuidado. Resolver divisiones del tipo 27 : 9 o 32 : 8
no es problema dentro de este conjunto ya que 9 es divisor de 27 y 8
es divisor de 32. Pero si se consideran divisiones del tipo 5 : 2 o 18 : 4
se observa que hay un problema, ya que 2 no es divisor de 5 y 4 no es
divisor de 18. Para resolver este tipo de situaciones se enuncia el siguiente
teorema:
Teorema. Algoritmo de la División. Dados dos números enteros a
y b con b 6= 0, existen únicos enteros q y r tal que a = bq + r con
0 ≤ r ≤ | b |.
El algoritmo de la división asegura que el proceso habitual de división
puede llevarse a cabo en los números enteros, obteniendo un cociente y
un residuo o resto.
Ejercitación:
31. Resuelve las siguientes operaciones:
a) | − 6 + 2 | − | − 7 | − 5
b) | − 1 − 9 | · | − 16 |
32. Ordena de menor a mayor los siguientes tríos de números:
a) −3, −11 y 0.
b) −5, 7 y −13.
c) 0, −5 y | − 8 |.
números
33. Resuelve utilizando el algortimo de la división.
a) 1 : 4
b) 9 : 2
c) 27 : 5
d) 31 : 3
1.2 | Números racionales
El conjunto de los números enteros fue insuficiente para responder
a todos los problemas aritméticos que se presentaban, en particular,
la división entre números enteros. En la sección anterior, se vio que
operaciones del tipo 9 : 4, no tenían un resultado concreto dentro de Z,
ya que 4 no es divisor de 9. La idea entonces, es expandir Z para que
este tipo de operaciones tengan solución dentro del conjunto. A partir de
esto, nace el concepto de “parte de un entero” o “fracción de un entero”,
esto es, que ahora es posible dividir un entero en “pedazos más pequeños”
o “fracciones”.
Objetivo PSU
Comprender que los números racionales constituyen un conjunto
numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos
que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros
con divisor distinto de cero.
El conjunto de los números racionales agrega a los números enteros
números que permiten resolver todas las divisiones entre números enteros,
con divisor distinto de cero. De acuero a esto, se tiene la siguiente
definición:
Definición. Un número racional x es aquel que al multiplicarlo por un
entero b distinto de cero es igual a un entero a, es decir,
x · b = a.
Una manera de escribir el número racional x recién definido es
x=
a
,
b
a esto se le denomina fracción, donde a es el numerador y b es el
denominador.
Observése que, en el caso particular en que b = 1, se obtiene que
x = a, donde a es un entero como se definió. Debido a esto es posible
afirmar que todo número entero es un número racional. Por otro lado,
en el caso particular en que a = 1 se tiene que x · b = 1, es decir, x es el
Sabías que...?
Los números racionales
fueron utilizados desde la
antigüedad por muchas
civilizaciones; los egipcios resolvían problemas prácticos utilizando fracciones y los matemáticos en Grecia también desarrollaron la idea de “partes de
un entero”. Etimológicamente,
el hecho de que estos números
se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos
números enteros, palabra que
se usaba en la Antigua Grecia
para referirse a ellos. La notación Q empleada para nombrar
al conjunto de los números racionales proviene de la palabra
quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano.
33
34
matemática ppvj 2018
número que multiplicado con b es igual a 1, lo que se denomina inverso
multiplicativo de b. De acuerdo a la notación de fracciones, el inverso
1
multiplicativo de b es . Otra notación para el inverso multiplicativo de
b
un número b es b−1 .
Dada la notación de fracciones establecida, es posible decir que el
conjunto de los números racionales, denotado por Q, es
n
o
a
Q = x = | a, b ∈ Z, b 6= 0
b
es decir, es el conjunto de todos los números que se pueden escribir como
división de dos enteros.
Observación
Nótese que:
a
= a · b−1 .
b
Además, a : b es lo mismo que
a
.
b
El conjunto de números racionales verifica las propiedades de asociatividad y conmutatividad para la adición y multiplicación, distributividad
de la multiplicación sobre la suma, existencia de neutro multiplicativo y
neutro aditivo, existencia de inverso aditivo e inverso multiplicativo.
Además, el conjunto de los números racionales es cerrado las operaciones de suma y multiplicación.
Estas diez propiedades, son conocidas como axiomas de cuerpo de
los números racionales.
Ejercitación:
34. ¿El neutro aditivo es único?¿Y el neutro multiplicativo?
35. ¿El inverso aditivo de un número racional es único?¿Y el inverso multiplicativo?
36. Utilizando los axiomas de cuerpo de Q, demuestra las siguientes proposiciones:
a) a · (−b) = −(ab), para todo a, b ∈ Q.
c) (ab)−1 = a−1 · b−1 , para todo a, b ∈ Q − {0}.
b) (−a) · (−b) = ab, para todo a, b ∈ Q.
1.2.1 Fracciones
Usted no lo haga
Recuerda, NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0. Las
a
fracciones del tipo
NO
0
EXISTEN.
Como se dijo anteriormente, una fracción es simplemente una manera
de denotar una división de dos números enteros, que tiene intrínseca
la idea de “parte de un número”. Para comprender mejor esta idea, se
representa gráficamente las fracciones cuyo divisor es 4 en la siguiente
figura:
números
0
=0
4
1
4
2
4
3
4
35
4
=1
4
La idea de utilizar esta notación es expresar “cero partes de un total
de cuatro”, “una parte de un total de cuatro”, “dos partes de un total
de cuatro”, “tres partes de un total de cuatro” y “cuatro partes de un
total de cuatro”.
Ejercitación:
37. Utiliza representaciones gráficas para encontrar la fracción que representa a cada caso.
a) La mitad de la mitad.
b) La tercera parte de la mitad.
c) La mitad de la cuarta parte.
d) Un quinto de la tercera parte.
38. En la definición que se dio de número racional, se exige que el divisor sea un entero distinto de cero. ¿Por
qué crees que no se puede dividir por cero?
1 2
39. Dibuja dos rectángulos del mismo tamaño y representa en ellos las fracciones y . ¿Qué puedes concluir
3 6
a partir de esto?
Observación
1.2.2 Operatoria en Q
Al igual que con los otros conjuntos, se trabajará con las operaciones
de adición y multiplicación.
En la ejercitación anterior se observó que las
1
2
fracciones
y
eran
3
6
equivalentes. Esto se explica
porque
Multiplicación
1 2
2
= ·
6
3 2
Para multiplicar dos fracciones se tiene que:
a c
· = a · b−1 · c · d−1
b d
= a · c · b−1 · d−1
= (ac) · (bd)−1
ac
= .
bd
División
Para dividir dos fracciones se tiene que:
2
= 1 es el neutro de la
2
multiplicación.
donde
por definición
conmutatividad
prop. demostrada
por definición
Utilizándose esta idea, es posible escribir cualquier número
racional de infinitas maneras diferentes a partir de fracciones
equivalentes.
De esta manera, solo hay que
multiplicar por el neutro de la
multiplicación cada vez que se
quiera expresar una fracción de
otra forma equivalente, esto es
lo que se llama amplificación.
36
matemática ppvj 2018
a
a c
: = cb
b d
d
a d
= cb · c
d
d c
ad
= bc
cd
cd
−1
ad
cd
=
·
bc
cd
ad −1
=
·1
bc
ad
=
·1
bc
ad
=
bc
Observación
a
∈Q
b
se dice que la fracción es
irreducible si y solo si
el máximo común divisor de a
y b es 1.
Dada la fracción
Observación
La suma de un entero a y
b
una fracción se denota
c
por
b
b
a+ = a
c
c
y se llama número mixto. No
confundir con producto.
por definición
amplificación
multiplicación
división
neutro multiplicativo
Adición y sustracción
Para sumar o restar dos o más fracciones solo hay que amplificar una
o más de ellas, de manera que se obtengan denominadores iguales. Esto
se debe a que no tiene sentido lógico sumar o restar fracciones de distinto
denominador sumando o restando los numeradores.
Ejemplo:
1 2 3
+ − =
3 5 4
Primero, hay que buscar un número que sea múltiplo común de 3, 5 y 4, para poder igualar los denominadores.
El m.c.m. entre ellos es 60. Luego, se amplifica cada una de las fracciones de manera que se obtenga
denominador 60:
1 · 20 2 · 12 3 · 15
20 24 45
1
+
−
=
+
−
=− .
3 · 20 5 · 12 4 · 15
60 60 60
60
Ejercitación:
40. Resuelve las siguientes operaciones:
a)
b)
−
1
3
+
1 3
+ −
7 2
5 11
−
7
5
2 1
−
3 5
2 4
−
c) 3 5
1 1
+
9 3
3
1
1 2
d) 6 −
: +
·
5
2
10 11
números
37
41. Resuelve los siguientes problemas:
3
3
de los votos fueron para el partido A,
para el
a) En las elecciones locales celebradas en un pueblo,
11
10
5
partido B,
para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15400. Calcula:
14
El número de votos obtenidos por cada partido.
5
del censo electoral.
8
3
1
b) Alicia dispone de $50.000 para compras. El jueves gastó de esa cantidad y el sábado los de lo que
5
2
le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
1
c) Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua, 4 botellas de
3
1
de litro de jugo y 5 limonadas de de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido?
4
El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa
1.2.3 Orden en Q
Observación
La relación de orden en Q verifica las siguientes propiedades:
i) Si x, y ∈ Q, entonces se cumple una y solo una de las siguientes
afirmaciones (tricotomía):
x<y
x=y
y < x.
ii) Si x < y y además y < z, entonces x < z (transitividad).
iii) Si x < y, entonces x + z < y + z para todo z ∈ Q (orden compatible
con la adición).
iv) Si x < y y z > 0, z ∈ Q, entonces zx < zy (orden compatible con la
multiplicación).
v) Si x < y y z < 0, z ∈ Q, entonces zx > zy (orden compatible con la
multiplicación).
Estas cinco propiedades son conocidas como axiomas de orden.
Ejercitación:
42. Demuestra las siguientes proposiciones:
a) Si 0 < a < b y 0 < x < y, entonces 0 < ax < by para todo a, b, x, y ∈ Q.
b) Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces x · x > 0.
c) Si a > 0 entonces a−1 > 0, con a ∈ Q.
d) Si a < b y x < y, entonces a + x < b + y para todo a, b, x, y ∈ Q.
e) Si a, b ∈ Q y 0 < a < b, entonces 0 < b−1 < a−1 .
Se dirá que x < y o y > x
solo si x es menor que y.
O dicho de otra forma, si
y es mayor que x.
38
matemática ppvj 2018
f) Si 0 < a < 1 y 0 < b < 1, entonces 0 < ab < 1, con a, b ∈ Q.
1.2.4 Notación decimal para números racionales
Observación
Un decimal es finito si
es posible contar la cantidad de cifras que tiene.
En caso contrario se llama infinito.
Se usa el mismo sistema visto anteriormente para escribir números
racionales, expandiendo la base diez hacia la derecha del número. Para
expresar las fracciones se utiliza como separador decimal una coma entre
la parte entera y la parte fraccionaria.
Observación
1
unidad
Por ejemplo, la expansión
decimal de 4,27 es:
0,1
décima
0,01
centésima
0,001
milésima
0,0001
diez milésima
4,27 = 4 · 1 + 2 · 0,1 + 7 · 0,01.
Ejercitación:
43. Expande los siguientes números.
a) 123,47908
b) 1205,79
c) 10678,241
Operaciones con números decimales
Observación
Ejemplo de resta:
1,570
− 0,494
1,076
Ejemplo de multiplicación:
1,23 · 12,9
1 1 07
24 6
+ 123
Adición y sustracción. Para sumar y/o restar dos o más números
decimales, se procede de la manera habitual, sumando y/o restando
las cifras que se encuentran en la misma posición (décima, centésima,
milésima, etc).
Multiplicación. Para multiplicar decimales, se usa el mismo algoritmo que se utiliza para multiplicar enteros. Se realiza la operación de
manera normal y al resultado se le ponen tantas cifras decimales como
cifras decimales tengan los factores, en conjunto.
División. Para efectuar la división, entre dos números decimales, se
consideran los siguientes casos:
15,8 67
Ejemplo caso i):
25,5 : 3 = 8,5
15
0//
Ejemplo caso ii):
54 : 3,75 ⇒ 5400 : 375.
i) Solo el dividendo es decimal. Se efectúa la división de números
decimales de la misma manera que en los números enteros. Cuando se
baje la primera cifra decimal, se coloca una coma en el cociente y se
continúa dividiendo.
ii) Solo el divisor es decimal. Se quita la coma del divisor y se añade
al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A
continuación se divide igual que como con los números enteros.
números
iii) El dividendo y el divisor son decimales. Se iguala el número
de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel
que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de
diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y se divide
como si fueran números enteros.
Observación
Ejemplo caso iii):
57,34 : 4,578 ⇒ 57340 : 4578.
Ejercitación:
44. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 0,453 − 1,29
b) 14,03 · 3,6
c) 19,3 : 2
d) 1,7 : 0,4
Decimales y fracciones
Objetivo PSU
Sabías que...?
Representar números racionales en la recta numérica, usar la
representación decimal y de fracción de un racional justificando
la transformación de una en otra, aproximar números racionales,
aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con
números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas
de sus propiedades.
No todos los decimales son racionales. Para saber cuáles sí lo son y
cuáles no, es necesario saber si se pueden escribir como fracción. Con
este fin, se analizan los siguientes casos:
Los egipcios utilizaron un
complejo sistema para representar fracciones en
medidas agrarias de superficie
y volumen, basado en las poten1
cias de . Los signos de las frac2
ciones mayores fueron tomados
de las partes que componían el
jeroglífico del Ojo de Horus.
Cada fracción se representaba
mediante una grafía del jeroglífico del ojo:
i) Decimal finito. Analiza el siguiente ejemplo de la transformación
del decimal 1,2 a fracción:
1,2 = x
/ · 10
1,2 · 10 = 10 · x
12 = 10x
/ : 10
12
=x
10
∴ 1,2 =
12
.
10
De esta forma se concluye que el decimal 1,2 es racional ya que se
ha podido escribir como fracción.
Observación
Los decimales finitos son
números racionales ya
que se pueden expresar
como fracción de dos enteros,
con denominador distinto de cero.
39
40
matemática ppvj 2018
Ejercitación:
45. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales finitos como fracción.
a) 12,8
b) 0,0005
c) 2,51
d) 103,98
46. Generaliza el procedimiento para un decimal finito cualquiera (Indicación: Escribe un decimal finito de la
forma genérica a, a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento anterior).
47. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales finitos:
a) 4,67
b) 12,77
c) 0,09
d) 109,109
48. ¿Cómo relacionas el algoritmo que encontraste con el sistema de numeración decimal?
ii) Decimal infinito periódico. Analiza el siguiente ejemplo de la transformación del decimal 1,3 a fracción:
Observación
Un decimal infinito
periódico es aquel cuyas
cifras a la derecha de la
coma se repiten con cierta periodicidad. Para indicar el período se utiliza una barra sobre
las cifras.
1,3 = x
(1.1)
1,3 · 10 = 10 · x
13,3 = 10x
Todos los decimales infinitos periódicos son racionales, ya que
se pueden escribir como fracción.
(1.2)
Tomando las expresiones (1.1) y (1.2) se tiene:

13,3 = 10x
(−)
1,3
=x
Figura 1.7: La escritura decimal no es
única en todos los casos. Se puede demostrar que
Entonces
12 = 9x
0,9999999 . . . = 1
.
12
=x
9
∴ 1,3 =
12
.
9
Finalmente, se concluye que el decimal 1,3 es racional ya que se ha
podido escribir como fracción.
Ejercitación:
49. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales infinitos periódicos como fracción:
a) 12,8
b) 0,5
c) 2,51
d) 103,98
números
41
50. Generaliza el procedimiento para un decimal infinito periódico cualquiera (Indicación: Escribe un decimal
infinito periódico de la forma genérica a,a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento anterior).
51. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales infinitos periódicos:
a) 4,67
b) 12,7
c) 0,09
d) 109,109
52. Escribe los decimales 0,9, 12,9 y 3,9 como fracción. ¿Qué observas?
53. ¿Es 1,000000 . . . = 0,999999 . . . ?
iii) Decimal infinito semiperiódico. Analiza el siguiente ejemplo de
la transformación del decimal 2,24 a fracción:
2,24 = x
/ · 10
22,4 = 10x
/ · 10
(1.3)
224,4 = 100x
(1.4)
Observación
Un decimal infinito semiperiódico es aquel
cuyas cifras a la derecha
de la coma se repiten con cierta
periodicidad, sin embargo, hay
una cantidad finita de cifras entre la coma y el período.
Todos los decimales infinito semiperiódicos son racionales, ya
que se pueden escribir como
fracción.
Tomando las expresiones (1.3) y (1.4) se tiene:

224,4 = 100x
(−)
22,4
= 10x
Entonces:
202 = 90x
202
=x
90
∴ 2,24 =
202
.
90
Finalmente, se concluye que el número 2,24 es racional ya que se ha
podido escribir como fracción.
Ejercitación:
54. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales infinitos semiperiódicos como fracción:
a) 12,18
b) 0,005
c) 2,1251
d) 103,878
55. Generaliza el procedimiento para un decimal infinito semiperiódico cualquiera (Indicación: Escribe un
42
matemática ppvj 2018
decimal infinito semiperiódico de la forma genérica a, b1 b2 . . . bm a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento
anterior).
56. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales infinitos semiperiódicos:
a) 4,167
b) 12,837
c) 0,509
d) 109,77109
57. El número π es un decimal infinito no periódico, es decir, tiene infinitas cifras a la izquierda de la coma
que no presentan ninguna periodicidad. Las primeras ocho cifras de este número son π = 3,14159265 . . ..
¿Puedes escribir π como fracción? Justifica.
Observación
Si quieres escribir una
fracción en notación decimal, solo divide.
Observación
Ejemplo caso i):
A partir de lo anterior es posible concluir que los números racionales
son decimales, los cuales pueden ser representados como fracción. La
notación decimal es única, exceptuando a las secuencias recurrentes de
la forma 0,999999 . . . (cola de nueves).
Se pueden clasificar a los números decimales como sigue:



Decimales finitos







 Periódicos


Números decimales

Decimales
infinitos

Semiperiódicos








 No periódicos
Aproximar π = 3,141 . . .
por truncamiento a la
centésima.
De estos, los decimales infinitos no periódicos no pueden escribirse
como fracción, de ahí que no sean racionales.
La posición de la centésima es
el segundo decimal, en este caso, el 4. Por lo que la aproximación queda como:
Finalmente, se concluye que los números racionales son aquellos
números decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos,
es decir, números cuyas cifras son conocidas en su totalidad.
π ≈ 3,14.
Ejemplo caso ii):
Aproximar π = 3,14159265 . . .
por redondeo a la milésima.
La posición de la milésima es el
tercer decimal, en este caso, el
1.Se mira la cifra decimal que
está inmediatamente después,
es decir, el 5. Como esta cifra
es mayor o igual a 5, la cifra a
aproximar (el 1) se sube en una
unidad. Finalmente se obtiene,
π ≈ 3,142.
Aproximación de números decimales
i) Truncamiento. Se aproxima el número, cortando hasta la cifra
decimal que se indica.
ii) Redondeo. Para aproximar un decimal por redondeo en una posición
dada, se mira la cifra que está inmediatamente después, si corresponde
a un número mayor o igual a 5, la cifra a aproximar se sube una
unidad, si el número es menor que 5, la cifra a aproximar se mantiene.
iii) Aproximación por exceso. Una aproximación por exceso es aquella
donde el resultado de la misma es un número mayor que el original.
En el ejemplo de la aproximación de π por redondeo, el resultado es
una aproximación por exceso ya que 3,142 > π.
Si se necesita aproximar un número decimal por exceso en una
posición dada, se debe aumentar el dígito de esa posición en una
unidad, excepto si es un nueve.
números
iv) Aproximación por defecto. Una aproximación por defecto es aquella donde el resultado de la misma es un número menor que el original.
En el ejemplo de la aproximación de π por truncamiento, el resultado
es una aproximación por defecto ya que 3,14 < π.
Observación
La aproximación por exceso y por defecto de
1,2381 a la milésima, respectivamente, es:
Si se necesita aproximar un número decimal por defecto en una
posición dada, se debe truncar el número en dicha posición.
1,239, 1,238.
Ejercitación:
58. Redondea cada uno de los siguientes números a la centésima y a la milésima.
a) 4,65437
b) 23,56258
c) 1,52847
d) 5,72753
59. Trunca cada uno de los siguientes números a la décima y a la milésima:
a) 1,67434
b) 4,72458
c) 3,57579
d) 2,61238
60. Aproxima por defecto y por exceso cada uno de los siguientes números a la centésima:
a) 2,65442
b) 1,73445
c) 3,98668
1.2.5 Densidad de Q
Para discutir
¿Es posible contar la cantidad de números racionales que hay entre 1 y
2? ¿Por qué?
Se dice que Q es un conjunto denso, ya que entre dos números
racionales hay infinitos números racionales.
1.3 | Potenciación
La potenciación es una operación matemática entre dos términos
denominados base y exponente, denotada como an , donde a es la base
y n es el exponente. Usualmente, esto se lee como “a elevado a n”, con
algunas excepciones, como por ejemplo el 2 que se lee “al cuadrado” o el
3 que se lee “al cubo”.
d) 1,12945
43
44
matemática ppvj 2018
1.3.1 Potencias
Objetivo PSU
Comprender el significado de potencias que tienen como base un
número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.
a1
=
a
a2
=
a·a
a3
.
..
=
a·a·a
.
..
an
=
Potencias de base racional y exponente natural
a·a·...·a
|
{z
}
n veces
Sea la potencia an , donde a es un número racional. Si el exponente
n es un número natural, este indica las veces que a se multiplica por sí
mismo, como se muestra a la izquierda.
Ejercitación:
61. Escribe el valor numérico de las siguientes potencias:
a) 25
b) 34
c) 43
d) (−2)7
e) −54
f)
2 3
3
g)
− 57
3
Algunas de las propiedades de estas potencias son:
Observación
Sea a ∈ Q y n ∈ N, si
a < 0 el signo de an dependerá del valor de n. Si
n es par, el valor de an tendrá
signo positivo y si n es impar,
el valor de an tendrá signo negativo.
i) Multiplicación de potencias de igual base. El producto de dos
potencias que tienen la misma base, es igual a una potencia con dicha
base, que tiene como exponente la suma de los exponentes de los
factores:
an · am = an+m
donde a ∈ Q y n, m ∈ N.
ii) Potencia de una potencia. La potencia de una potencia es igual a
una potencia con la misma base y que tiene por exponente al producto
de exponentes originales:
(an )m = an·m
donde a ∈ Q y n, m ∈ N.
iii) Potencia de un producto. La potencia de un producto es igual al
producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente:
(a · b)n = an · bn
donde a, b ∈ Q y n ∈ N.
Ejercitación:
62. Explica la propiedad de “multiplicación de potencias de igual base”.
63. Explica la propiedad de “potencia de una potencia”.
64. Explica la propiedad de “potencia de un producto”.
números
Potencias de base racional y exponente entero
Se ha trabajado con potencias de base racional y, por tanto, con
números que tienen inverso multiplicativo. Considerando esto, es posible
expandir la definición de potencias de base racional y exponente natural
a una potencia de exponente entero, como se observa a la derecha.
Dada esta definición, las tres propiedades de las potencias que ya se
han revisado también se cumplen cuando el exponente de la potencia es
un número entero.
a−1
=
a−2
=
1
a
1
a2
..
.
..
.
a−n
1
an
=
Algunas de las propiedades de las potencias son:
Porque,
iv) División de potencias de igual base. El cociente entre dos potencias de igual base es igual a una potencia con dicha base y que tiene
por exponente la diferencia de los exponentes del dividendo con el
divisor:
an
= an−m
am
=
n
1
a
1 1
1
1
· ·...· =
a a
a
a·a·...·a
|
{z
n veces
}
|
{z
n veces
v) Potencia de exponente cero. Un número distinto de cero elevado
al exponente 0, da como resultado la unidad:
a0 = an−n =
Si la base a de la potencia
es igual a 0, entonces a no
tiene inverso multiplicativo y, por tanto, no se puede
utilizar esta notación.
an
=1
an
Usted no lo haga
donde a ∈ Q − {0} y n ∈ Z.
vi) Potencia de un cociente. La potencia de un cociente es igual a
cada uno de los números elevados al mismo exponente:
a n
b
}
Observación
donde a ∈ Q − {0} y n, m ∈ Z.
donde
a−n = (a−1 )n =
an
= n
b
a
∈ Q y n ∈ Z.
b
Ejercitación:
65. Explica la propiedad de la “división de potencias de igual base”.
66. Explica la propiedad de la “potencia de un cociente”.
67. Explica por qué crees tú que 00 no está definido.
Es importante tener en
consideración que, en general:
(a + b)n 6= an + bn
ab 6= ba
bc
a
6= ab
c
.
45
46
matemática ppvj 2018
Potencias de diez y notación científica
Potencias de diez:
Observación
El caso particular de 00
no existe.
10−6
=
0,000001
10−5
=
0,00001
10−4
=
0,0001
10−3
=
0,001
10−2
=
0,01
10−1
=
0,1
100
=
1
101
=
10
102
=
100
103
=
1.000
104
=
10.000
105
=
100.000
106
=
1.000.000
Para las potencias de base 10 y exponente entero, la consecuencia será
desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente,
hacia la izquierda si el exponente es negativo o hacia la derecha si el
exponente es positivo. Recuérdese que nuestro sistema de numeración
es el sistema decimal, por tanto es lógico que las potencias de base 10
tengan esta propiedad. Algunos ejemplos se observan a la izquierda.
Notación científica:
Hay números pequeños, como por ejemplo el 0,00000239, o números
muy grandes, como por ejemplo, 68.000.000, que al operarlos conviene
escribirlos utilizando potencias de diez, para facilitar la operación. La
notación científica es un método para hacer esto.
Se considera un número racional a. Dado que el sistema es decimal,
existe p ∈ Q y n ∈ Z tal que,
a = p · 10n .
Si 1 ≤ |p| < 10, entonces p · 10n es la notación científica de a.
Ejercitación:
68. Un trozo rectangular de cartulina de lado 40 cm de largo por 30 cm de ancho, se dobla sucesivamente por
la mitad, como muestra la figura:
a) ¿Cuánto medirá el área del cuadrilátero de la figura resultante después de hacer 8 dobleces?
b) ¿Cuánto medirá el área del cuadrilátero resultante después de hacer n dobleces?
69. La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 1,5 · 1011 metros, a esta medida se le conoce como
una unidad astronómica (UA). Si en la Tierra se tiene una bacteria que mide 1,5 · 10−6 metros, responde:
a) ¿Cuántas veces es más grande la distancia de la Tierra al Sol que la medida de la bacteria?
b) ¿Cómo representarías la medida de la bacteria en unidades astronómicas (UA)?
70. La Escherichia coli, es una bacteria que se reproduce por fisión binaria o bipartición, esto quiere decir
que cada cierto tiempo la bacteria se duplica. Para este bacilo el tiempo de duplicación, en condiciones
óptimas, es de 20 minutos. Si se cuenta con una de estas bacterias en el laboratorio, en condiciones
óptimas, responde:
números
47
a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 1 hora y 20 minutos? Realiza un diagrama de la duplicación de
bacterias.
b) ¿Cómo se expresa la cantidad de bacterias que habrán al cabo de t minutos? ¿t debe cumplir alguna
condición? Justifica.
c) Grafica la situación. ¿Qué puedes decir con respecto al crecimiento de las bacterias a medida que
transcurre el tiempo? ¿Por qué?
1.3.2 Raíces
Objetivo PSU
Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números racionales, y los números reales como
aquellos que corresponden a la unión de los números racionales
e irracionales.
Irracionalidad de
√
2
A los miembros de la Escuela pitagórica, en el siglo VI a. C., les llamó
la atención la diagonal de un cuadrado. Para estudiarla consideraron un
cuadrado cuyo lado midiera una unidad, como se muestra en la Figura
1.8.
Figura 1.8: Cuadrado de lado 1.
Utilizando el Teorema de Pitágoras, se obtiene la siguiente relación,
para el cálculo de la diagonal:
El pitagorismo fue un
movimiento filosófico –
religioso de mediados del
siglo VI a. C. fundado por Pitágoras de Samos, siendo ésta la
razón por la cual sus seguidores
recibían el nombre de pitagóricos. Estos formaban la Escuela pitagórica, secta conformada por astrólogos, músicos, matemáticos y filósofos, y cuya
creencia más destacada era que
todas las cosas son intrínsecamente números.
12 + 12 = x2 ⇒ 2 = x2 .
La pregunta es: ¿existe algún número conocido que al cuadrado resulte
2?
Definición. La raíz cuadrada de un número a es el número no negativo
√
que, multiplicado por sí mismo, da como resultado a. Se escribe a. Es
decir,
√
a = x ⇔ a = x2 .
A partir de esta definición, se observa que la respuesta al problema de
los miembros de la Escuela pitagórica es:
x=
√
2.
Pero, ¿este valor es racional?
Supóngase que sí lo es, es decir, que la unidad de medida utilizada
para medir el lado del cuadrado puede dividirse en una cierta cantidad b
Sabías que...?
Este movimiento descubrió los
números irracionales, aunque
exigía a sus seguidores que lo
mantuvieran en secreto. Se cree
que el pitagórico Hipaso de Metaponto reveló el secreto y, según la leyenda, fue ahogado.
48
matemática ppvj 2018
Observación
En matemática se utiliza la contradicción para realizar demostraciones. Esta sigue los siguientes
pasos:
1. Se quiere demostrar que una
afirmación p es verdadera.
2. Se asume que p es falsa.
3. Se muestran las consecuencias del hecho de que p sea
falsa.
4. Se llega a un absurdo o imposibilidad.
5. Como la afirmación p es verdadera o falsa, y ya se demostró que no puede ser falsa ya que esto lleva a incongruencias matemáticas, se
prueba así que p debe ser
verdadera.
de partes iguales, de modo que la diagonal mide a de esas partes iguales.
Con ello se tiene que
√
a
2= .
b
Además, a y b son números enteros, del mismo signo y con b 6= 0, los
que en caso de tener factores comunes podrían simplificarse, obteniéndose
p
a
una fracción
= , donde p y q son números enteros que no tienen
q
b
factor común, con q 6= 0.
De esta forma resulta la igualdad:
√
p
= 2.
q
Elevando al cuadrado, se obtiene
√
p2
p
= 2⇒ 2 =2
q
q
⇒ p2 = 2q 2 .
De aquí se concluye que p2 es un número par, lo que implica que p es
par. Si p es par, entonces
p = 2p0 , para p0 ∈ N,
Sabías que...?
Existen tres grandes problemas de construcciones
geométricas clásicas: la
duplicación de un cubo, la trisección de un ángulo y la cuadratura de un círculo.
A través de la historia, han sido tratados de diversas maneras y el intento de hallar las soluciones ha contribuido mucho
al desarrollo de la matemática.
Sin embargo, dichas soluciones
nunca fueron encontradas ya
que no existen. Cada uno de
estos problemas guarda estrecha relación con los números
irracionales y es consecuencia
de estos la imposibilidad de su
resolución.
En 1837 Pierre Wantzel demuestra la imposibilidad de la
duplicación del cubo y de la
trisección del ángulo. La cuadratura del círculo se estudió
durante varios años más y fue
recién en 1882 que Lindemann,
a través de la demostración de
una propiedad del número π,
probó que tampoco existía una
solución para este.
se obtiene:
p2 = 2q 2 ⇒ (2p0 ) = 2q 2
⇒ 4p02 = 2q 2
⇒ 2p02 = q 2 .
Este último resultado indica que q 2 es un número par, lo que implica
que q es par. Si p y q son pares, entonces tienen factor común, lo que
contradice la hipótesis.
Los pitagóricos se dieron cuenta que no puede existir la fracción
√
√
a
= 2. Se dijo entonces que 2 era un número inconmensurable o
b
inmedible porque no es posible tomar una unidad de medida y dividirla
en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay fracción que lo
represente, es un número que no pertenece a los racionales. A este tipo de
números se les llama irracionales (Q∗ ). Posteriormente, se demostraría
que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número
natural o necesariamente es irracional.
Por ejemplo, los siguientes números son irracionales:
r
p
√
√
1
3
5
1,2
2
números
49
Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número
natural, un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico,
pero un número irracional tiene infinitos decimales sin período.
Al conjunto numérico constituido por todos los números, racionales e
irracionales, se le llama conjunto de los números reales (R). Es decir,
R = Q ∪ Q∗ .
Raíz enésima
Lo que se quiere ahora, es generalizar la definición de una raíz cuadrada a una enésima. Para esto, se considera el siguiente problema, que
contextualizará una situación donde es necesaria la utilización de una
raíz.
Problema: Duplicación de un cubo. Se considera un cubo de arista 1 unidad. Lo que se quiere hacer
es encontrar otro cubo, cuyo volumen sea exactamente el doble del cubo de arista 1. Es decir,
Donde V2 = 2 · V1
A partir de esto, responde:
1. ¿Cuánto es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir?
2. La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Es correcto? ¿Cuál
es el volumen de dicho cubo?
3. ¿Qué número se debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo? ¿ Es
posible construir? Justifica.
Definición. La raíz cúbica de un número a es un número, que multi√
plicado por sí mismo tres veces, da como resultado a. Se escribe 3 a. Es
decir,
√
3
a = x ⇔ a = x3 .
De la misma manera que se definió raíz cuadrada o raíz cúbica de un
número a, en diversos contextos donde fue necesario hacerlo, es posible
50
matemática ppvj 2018
definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una
potencia.
Definición. Sea n ∈ N, con n > 1 y sea a un número real, se dice que
si xn = a, entonces x es la raíz enésima de a:
xn = a ⇔
√
n
a = x,
además, a se llama cantidad subradical y n índice de la raíz.
Admás, si a es un número positivo, se tiene que:
Usted no lo haga
p
(−1)2
i) Si n es par:
6= −1.
En general,
√
x2 = |x|.
√
n
−a no es un número real.
√
n
a siempre es un número real positivo.
ii) Si n es impar:
√
n
ay
√
n
−a siempre son números reales.
Ejercitación:
71. Calcula las siguientes raíces y justifica tu resultado utilizando la definición.
a)
√
3
125
b)
√
4
15
c)
√
5
−32
d)
√
3
−27
72. Explica por qué la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Potencias de exponente racional
1
1
54 = x
4
1
54
/()4
= x4
1
5 4 ·4 = x4
¿Cómo se puede interpretar 5 4 ? A esta expresión se le puede llamar
x y aplicarle propiedades de potencias, como se muestra a la izquierda.
√
1
Por lo tanto, se puede interpretar que 5 4 = 4 5. En general, se puede
1
interpretar una potencia de exponente racional
(con n ∈ N,
n
n > 1) como la raíz enésima de la base:
51 = x4
1
an =
⇓ Por definición
√
4
5=x
√
n
a.
Estos resultados permiten reducir expresiones y demostrar propiedades.
Sea n un número natural mayor que 1, se cumple que:
Propiedades
p
√
1
1
1
a · n b = a n · b n = (ab) n = n (ab)
r √
1
a 1
n
a
an
a
n
√
= 1 =
= n
, b 6= 0
n
b
b
b
bn
1
p√
√
1 1
1
1
m
m n
a = an
= a n · m = a nm = nm a, m ∈ N, m > 1
√
n
números
Ejercitación:
73. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
a)
√
3
6·
√
3
4
b)
√
5·
√
6
√
4
10
c) √
4
5
√
6
d) √
3
74. Reduce las siguientes raíces hasta obtener la menor cantidad subradical posible.
a)
√
5
96
b)
√
4
80
c)
√
3
108
d)
√
5
224
75. Reduce:
√ √
3· 5
√
a)
3
15
√
√ √
4 2
4
6 ÷ 32
b) 18
c)
d)
q p
√
2 23 2
r
q
p
(x + 1) (x + 1) (x + 1)
Racionalización
Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra expresión equivalente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador.
Por ejemplo, se tiene la siguiente igualdad:
√
2
1
√ =
.
2
2
Donde la última expresión está racionalizada ya que no presenta raíces
en el denominador.
Ejemplos:
1
i) Racionalizar √ .
6
√
6
Para esto, se multiplica por √ , de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
6
√
√
6
6
1
√ ·√ =
.
6
6
6
2
ii) Racionalizar √
.
3
4
√
3
Para esto, se multiplica por √
3
42
42
, de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
√
√
√
3 2
3
√
2
4
2 23 · 2
432
√
√
√
·
=
=
= 3 2.
3 2
3 3
3
4
4
4
4
iii) Racionalizar √
1
√ .
2+ 5
51
52
matemática ppvj 2018
√
√
2− 5
√ , de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
Para esto, se multiplica por √
2− 5
√
√
√
√
√
√
√
√
1
2− 5
2− 5
2− 5
2− 5
√
√ ·√
√ = √
√
=
=
.
2−5
−3
2+ 5
2− 5
( 2)2 − ( 5)2
Ejercitación:
76. Racionaliza:
√
5
a) √
3 6
b) √
9
√
5− 3
c)
1
√
7− 6
5
d) − √
8 3 625
1.3.3 Logaritmos
Objetivo PSU
Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en
el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus
propiedades y aplicarlas a la resolución de problemas.
En las subsecciones anteriores, se revisó la potenciación de números
reales expresada de dos maneras diferentes: a través de una potencia de
base racional y exponente entero, y de la raíz enésima de un número
real. En esta sección se trabajará una nueva forma de potenciación: los
logaritmos.
Sabías que...?
Inicialmente, Napier llama “números artificiales”
a los logaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmos en el sentido de un
número que indica una proporción, ya que etimológicamente
significa λóγoζ (logos) que significa el sentido de proporción y
αριθµóσ (arithmos) que significa número. Es decir, la palabra
logaritmo se define literalmente como “un número que indica
una proporción”.
El estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John
Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando
estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy
grandes, necesarios fundamentalmente para la navegación y la astronomía.
Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron más sencillos, dando un
gran impulso al desarrollo de las ciencias.
Considérese la siguiente relación
47 = 16.384
se observa que:
16.384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí mismo.
4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo da como resultado
16.384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16.384.
7 es el número al cual se debe elevar 4 para obtener 16.384. Se dice
que 7 es el logaritmo de 16.384 en base 4.
números
En general, dada la relación ab = c, se dice que b es el logaritmo de c
en base a y se escribe loga (c) = b. Corresponde al exponente de la
potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir,
b = loga (c) ⇔ ab = c,
donde a se llama base del logaritmo y c se llama argumento del logaritmo.
Ahora, ¿es posible determinar un logaritmo siempre? Para responder
a esta pregunta, se examinarán los siguientes casos con respecto a la
restricción de las potencias y de las raíces, para encontrar cuáles podrían
ser las eventuales restricciones de un logaritmo:
1. Obsérvense los siguientes resultados:
00 no está definido
0−2 no está definido
012 = 0
10 = 1
1−4 = 1
13 = 1
Se observa que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no
estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno,
su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se
exigirá en el estudio de los logaritmos que la base de este siempre
sea distinta de 0 y de 1.
2. Obsérvense los siguientes resultados:
√
5
1
−1024 = (−1024) 5 = −4
√
6
√
4
53
Sabías que...?
La escala sismológica
de Richter, también conocida como escala de
magnitud local (ML ), es una escala logarítmica arbitraria que
asigna un número para cuantificar la energía que libera un
terremoto, denominada así en
honor del sismólogo estadounidense Charles Francis Richter
(1900-1985).
La sismología mundial usa esta
escala para determinar las fuerzas de sismos de una magnitud
entre 2,0 y 6,9 y de 0 a 400 kilómetros de profundidad. Aunque los medios de comunicación
suelen confundir las escalas, para referirse a eventos telúricos
actuales se considera incorrecto decir que un sismo «fue de
magnitud superior a 7,0 en la
escala de Richter», pues los sismos con magnitud superior a
6,9 se miden desde 1978 con
la escala sismológica de magnitud de momento, por tratarse
esta última de una escala que
discrimina mejor en los valores
extremos.
1
−16 = (−16) 4 no está definida.
√
1
64 = (64) 6 = 2
1
16 = (16) 2 = 4
En general, para que una potencia siempre esté bien definida es
necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la
condición vista en el caso anterior, se exige que la base a del logaritmo
debe ser positiva y distinta de 1.
3. Obsérvense los siguientes resultados:
53
= 125
50
=1
5−2
1
=
25
2
5
5 =
√
5
25
− 23
5
r
=
3
1
25
Se observa que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que se
ha considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia
es positiva necesariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene
sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto,
se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo.
Considerando las restricciones recién razonadas, se define de manera
rigurosa un logaritmo de la siguiente manera:
Figura 1.9: Como se muestra en esta
reproducción de un sismograma, las ondas P se registran antes que las ondas
S: el tiempo transcurrido entre ambos
instantes es ∆t. Este valor y el de la
amplitud máxima (A) de las ondas S,
le permitieron a Charles Francis Richter
calcular la magnitud de un terremoto.
54
matemática ppvj 2018
Definición. Dado un número real positivo a 6= 1 y un número real c > 0,
se llama logaritmo de c en base a al número al que se debe elevar a para
obtener c. Es decir:
loga (c) = b ⇔ ab = c.
Observación
Al logaritmo en base 10,
log10 (a),
se le suele denotar por
Donde a se llama base del logaritmo y c se llama argumento del
logaritmo.
Dadas las definiciones y restricciones anteriores se puede establecer
que:
log(a).
Logaritmo de la
base
Logaritmo de la
unidad
Logaritmo de una
potencia de la base
loga (a) = 1
loga (1) = 0
loga (an ) = n
Ejercitación:
77. Explica con tus palabras qué es un logaritmo.
78. Dada la relación
√
n
p = q, escribe un logaritmo que relacione n, p y q.
79. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.
a) 34 = 81
b) 2−6 =
1
64
c)
10
3
4
=
10000
81
d)
−4
5
256
=
4
625
80. Expresa como potencias los siguientes logaritmos.
a) log2 (32) = 5
b) log(10.000.000) = 7
c) log2
1
32
= −5
d) log5
1
125
1
729
= −3
81. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. Justifica tu respuesta.
a) log3 (27)
b) log5 (3.125)
1
c) log2
8
d) log9
Propiedades de los logaritmos
En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que
motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente:
387.420.489 · 4.782.969.
Calcular el producto tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se
corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si se observa que:
387.420.489 = 318
4.782.969 = 314 .
números
55
Su producto puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de
igual base:
387.420.489 · 4.782.969 = 318 · 314 = 318+14 = 332 .
Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo
de la multiplicación se reduce a una adición. Esta es una de las propiedades
ventajosas de los logaritmos, que se analiza a continuación.
Supóngase que x e y son números tales que
loga (x) = p ⇒ ap = x
x · y = ap · aq
loga (y ) = q ⇒ aq = y,
se calculará el producto entre x e y, representándolos como potencias y
utilizando logaritmos. Esto se observa en la columna de la derecha.
Finalmente, se ha deducido la propiedad del logaritmo del producto.
⇒
x · y = ap+q
⇒
loga (x · y ) = loga (ap+q )
⇒
loga (x · y ) = p + q
= loga (x) + loga (y )
A continuación se resume un cuadro con las propiedades de los logaritmos:
Logaritmo de un producto
Logaritmo de un cociente
loga (x · y ) = loga (x) + loga (y )
loga (x : y ) = loga (x) − loga (y )
Logaritmo de una potencia
loga (cn ) = n · loga (c)
Logaritmo de una raíz
√
1
loga ( n c) = · loga (c)
n
Logaritmo de un inverso
1
loga
= − loga (c)
c
Cambio de base
logp (c)
loga (c) =
logp (a)
Observación
El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios
del siglo XX. La aparición de la calculadora y las computadoras las han
dejado en desuso, pero por muchos años constituyeron una poderosa
ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI
a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas.
Ejercitación:
82. Deduce todas las propiedades de los logaritmos.
83. Si a = log(p), b = log(q ) y c = log(r ), ¿cuál es el valor de log
pq 3
?
r
√
84. ¿Cuál es el valor de log7 ( 3 49)?
85. Escribe
1
1
1
· log(p) − · log(q ) − · log(r ) como un solo logaritmo.
3
2
2
Los logaritmos no exactos son números irracionales. La demostración es
complicada, así que lamentablemente solo tiene que creerlo.
56
matemática ppvj 2018
√
1
3
86. Demuestra la igualdad log
− · log(a) + log ( a) = − log(a2 ).
a
2
87. Si log(2) ≈ 0,301 y log(3) ≈ 0,477, ¿cuál es el valor de aproximado de log(6)?
88. Resuelve los siguientes problemas:
a) El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración
de moles de hidrógeno utilizando la fórmula:
pH = − log H+
donde H+ corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.
Si log(38) ≈ 1,58, calcula el pH de una sustancia cuya concentración de iones de hidrógeno es de
0,00000038 moles por litro.
En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómenos llamado “lluvia ácida”. Hay lugares
donde se ha encontrado que los iones de hidrógeno presentes en la lluvia tienen una concentración de
0,0016 moles por litro. Calcula el pH de la lluvia en ese lugar, para esto, considera que log(16) ≈ 1,204.
b) La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2 ), siendo 10−12 W/m2 la menor
intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído.
Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db),
mediante la siguiente fórmula:
Db = 120 + 10 · log(I)
donde I es la intensidad en W/m2 .
Calcula el valor, en decibeles, de la menor intensidad que puede captar el oído humano.
Calcula el valor, en decibeles, de la intensidad desde donde comienza el umbral del dolor del oído.
En general, se recomienda que al usar los audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas
personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes?
c) La energía liberada en los terremotos se mide en escala de Richter. Pese a ser modificada para
intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en el
mediante la fórmula:
log(E) = 1,5 · R + 11,8
donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios y R es su intensidad en grados Richter.
Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos
en Chile (para tus cálculos considera que log(158) ≈ 2,2, log(316) ≈ 2,5 y log(19) ≈ 1,3).
Energía liberada (E)
Terremoto de Valdivia (1969)
Magnitud (R)
1,58 · 1026
Terremoto de Cauquenes (2010)
8,8
Terremoto de Algarrobo (1985)
3,16 · 1023
Terremoto de Vallenar(2013)
1,3 · 1022
números
57
El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó,
comparado con el de Chile en 2010?
1.4 | Números reales
En secciones anteriores, ya se ha dado una introducción a los números
irracionales y, con ello, a los números reales. En esta sección se profundizarán ambos temas y se entregará un marco general de lo que son los
conjuntos numéricos.
Objetivo PSU
Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta numérica, demostrar algunas de sus propiedades
y realizar aproximaciones
Para discutir
¿Qué entiendes tú por un número real? ¿Cómo los ubicarías en la recta
numérica?
1.4.1 Números irracionales y problemas geométricos
Como se dijo anteriormente, los números irracionales son aquellos
cuya representación decimal es infinita no periódica, y no pueden ser
a
representados en forma de fracción , con a y b números enteros y b 6= 0.
b
Algunos ejemplos que se vieron sobre números irracionales son:
r
√
√
1
3
2
17
log(3)
log3 (5),
3
pero las raíces no exactas y los logaritmos no exactos no son los únicos
números irracionales que existen.
Se presentan tres números irracionales muy importantes en la matemática que son: π (pi), e (euler) y φ (phi).
El número π
El número π corresponde a la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, además es una constante en la geometría
euclidiana.
Sabías que...?
En París, se encuentra
el Palacio del Descubrimiento (Palais de la Découverte), hoy día Museo de
la Ciencia, y en él se encuentra la sala de pi. En sus paredes se encuentran los 704 decimales de π calculados manualmente por William Shanks en
1873 (posteriormente se demostró que de los 704 solo 527 eran
correctos).
58
matemática ppvj 2018
A través de la historia, se han inventado muchos métodos para encontrar cifras de este número decimal, hasta que por fin, en el sigo XVIII
se logra demostrar que este número tiene infinitas cifras decimales sin
período.
Los primeros cincuenta decimales de π son:
π ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510.
El número e
Sabías que...?
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para
representar la constante;
además fue el descubridor de
numerosas propiedades referentes a ella.
La constante matemática e es uno de los más importantes números
reales que aparece en diversas áreas de la matemática. Es aproximadamente igual a 2,71828 y se relaciona con muchos interesantes resultados,
como ser la base de los logaritmos naturales y su aparición en el estudio
del interés compuesto.
El número e, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático John Napier, quién como ya se vio, introdujo el concepto de
logaritmo en el cálculo matemático. Para definirlo, se puede considerar
la siguiente expresión:
1 n
1+
.
n
El número e es el resultado de esta expresión, considerando el valor
de n tan grande como el infinito.
Juega un rol muy importante en el cálculo matemático en la definición
de una de las funciones más importantes: la función exponencial.
Sabías que...?
La sucesión de Fibonacci,
la proporción áurea y sus
derivados (como la espiral de Fibonacci) están presentes en la naturaleza y son considerados estándares de belleza,
singularidad e inteligencia. Se
puede ver, por ejemplo, en:
Flores
Moluscos
Este número, es un irracional, es decir, no es expresable como fracción
de dos números enteros.
El número φ
El número φ, también llamado número áureo o número de oro, es un
número irracional que corresponde al valor de la expresión:
√
1+ 5
.
2
Este número fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión
aritmética, si no como proporción o relación entre dos segmentos de
una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se
encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en
las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas,
en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una
importancia mística. A lo largo de la historia, se ha incluido en el diseño
de diversas obras de arquitectura y arte, como por ejemplo en el cuadro
números
59
de Leda atómica de Salvador Dalí y en la quinta sinfonía de Ludwig Van
Beethoven.
Los problemas geométricos relativos a circunferencia muchas veces
tiene como resultados valores que involucran a π, así como también
existen problemas geométricos que involucran el valor del número de oro.
Tal como se vio anteriormente para el caso de los problemas con raíces,
un resultado que dependa de un número irracional nunca se
puede calcular exactamente.
Ejercitación:
89. Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado.
a) Calcular el perímetro de un círculo cuyo radio mide 7 cm.
b) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm.
c) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm.
1.4.2 Aproximación y construcción de números irracionales
En muchas áreas de las ciencias, se trabaja con números irracionales.
Por ejemplo, en la astronomía, la puesta en órbita de un satélite precisa
cálculos que requieren gran precisión, donde se ven involucrados números
irracionales.
Tal como se ha dicho, no es posible resolver exactamente un cálculo
que involucre este tipo de números, y por lo tanto para poder hacerlo es
necesario realizar una aproximación. De todas maneras, es importante
recordar que cualquier representación decimal que se haga de ellos llevará
asociado un error.
En esta sección se presentarán algunas maneras de aproximar números
irracionales.
Aproximaciones y error
Una manera de aproximar números irracionales es a través del redondeo
o del truncamiento, métodos que ya se definieron con anterioridad.
Ejemplo:
√
Considérese el valor irracional de 54:
√
54 = 7,348469228349534.
Se puede truncar y redondear este decimal a la centésima, obteniéndose:
Truncado:
Redondeado:
√
√
54 = 7,34.
54 = 7,35.
60
matemática ppvj 2018
Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por exceso. Si el número es menor,
es por defecto.
En este ejemplo, al truncar se obtuvo una aproximación por defecto y al redondear una aproximación por
exceso.
A partir de esto, se puede concluir que:
7,34 <
√
54 < 7,35.
Se evidencia que al hacer aproximaciones de un nímero decimal infinito
conlleva a errores, ya que no se está usando el número original, sino que
uno mas pequeño o uno más grande.
Aproximaciones sucesivas
Si no se cuenta con una calculadora es posible obtener una aproximación de una raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.
Ejemplo: Para el caso de
√
54, se buscan los cuadrados perfectos menor y mayor más cercanos a 54:
72 = 48 y 82 = 64, entonces 7 <
√
54 < 8.
√
Se observa que 54 está entre 7 y 8, por lo tanto se prueba ahora con valores intermedios, en este caso con
el promedio de ambos: 7,5.
(7,5)2 = 56,25; entonces 7 <
√
54 < 7,5.
Se prueba con el promedio entre 7 y 7,5 que es 7,25:
(7,25)2 = 52,5625; entonces 7,25 <
√
54 < 7,5.
Se prueba con el promedio entre 7,25 y 7,5 que es 7,375:
(7,375)2 = 54,390625; entonces 7,25 <
√
54 < 7,375.
√
Se ha encontrado una aproximación sucesiva de tres cifras decimales para 54, es decir, es posible acotar su
valor como sigue:
7,25 <
√
54 < 7,375.
Ejercitación:
90. Utiliza aproximaciones sucesivas de tres decimales para determinar el rango de valores en que se encuentran
las siguientes raíces.
a)
√
5
b)
√
11
c)
√
27
91. Encuentra un método para ordenar logaritmos y ordena de menos a mayor en cada caso.
números
a) log3 (5), log3 (40) y log3 (17).
b) log4 (7), log9 (7) y log7 (7).
61
c) log2 (3), log5 (41) y log3 (47).
1.4.3 Números irracionales en la recta numérica y orden
Pese a que los números irracionales tienen infinitos decimales sin
período, es posible comparar y ubicar algunos de ellos en la recta numérica.
Para hacerlo, se consideran los siguientes aspectos.
Raíces cuadradas en la recta numérica
El matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a. C. - 398 a. C.) creó
una construcción denominada Espiral de Teodoro de Cirene (ver
Figura 1.10). Esta comienza con un triángulo rectángulo isósceles cuyo
cateto mide una unidad y sucesivamente se construyen más triángulos
rectángulos tomando un cateto de medida 1 y el otro de la hipotenusa
del triángulo anterior.
Para ubicar raíces cuadradas en la recta numérica, se pueden considerar
los siguientes pasos:
Figura 1.10: Espiral de Teodoro de Cirene.
Paso 1. Se ubica el 0 en la recta numérica y se define la unidad. Luego
se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices
en el 0 y el 1. Utilizando el Teorema de Pitágoras se puede calcular la
√
medida de la hipotenusa del triángulo que corresponde a 2. Con el
compás, se copia esta medida: con centro del compás en 0 se traza un arco
de circunferencia intersectando la recta numérica. Dado que este valor
corresponde a un radio, es igual al valor de la hipotenusa del triángulo
√
rectángulo, es decir, 2.
Figura 1.11: Paso 1.
Paso 2. Se construye ahora un triángulo rectángulo de catetos de
√
medida 2 y 1, y se copia la hipotenusa sobre la recta. Así se obtiene
√
3.
√
Paso 3. Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye 7.
√
√
√
√
√
Se observa que: 2 < 3 < 5 < 6 < 7. Entonces, mientras
mayor sea la cantidad subradical de la raíz, más grande es su valor.
Figura 1.12: Paso 2.
Figura 1.13: Paso 3.
Ejercitación:
92. Ordena de menor a mayor los siguiente números reales.
a)
√
11,
√
7y
√
31.
√
√
√
b) 4 21, 3 22 y 2 23.
√
√
c) 4 3, 7 y 5 2.
93. Utilizando solo regla y compás, ubica en la recta numérica el número áureo.
62
matemática ppvj 2018
1.4.4 Números Reales
Problema: Realiza las siguientes operaciones con la calculadora:
√
2+3
√
2,4 · 5
√ √
8: 2
√
7+5
√
0 · 11
√
√
5+ 3
√
√
8−1 5 3
√
√
15
7:2
4
√
√
3 · 12 π · 5
¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional?
¿Es posible generalizar los resultados siempre?
Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales se
pueden obtener distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su
naturaleza y en otros casos depende de cuáles son los números que se
están operando. En general, se tiene que:
racional
±
irracional
= irracional
irracional
±
racional
= irracional
racional(6= 0)
·
irracional
= irracional
racional(6= 0)
:
irracional
= irracional
irracional
:
racional(6= 0)
= irracional
En cambio, de las siguientes operaciones no se pueden establecer
generalidades porque el resultado puede ser racional o irracional:
irracional ± irracional
irracional
·
racional
irracional
:
irracional
Ejercitación:
94. Determina si las siguientes operaciones dan como resultado un número racional o irracional.
√ √
a) 2 · 2
√
5
b) 8 7 +
4
√
√
c) ( 8 + 5) · ( 8 − 5)
√
d) (1 − 2)2
Los conjuntos numéricos
Como se ha visto en secciones anteriores, es necesario ampliar los
conjuntos numéricos para poder dar solución a distintas situaciones y
números
problemas. Así, para poder contar, primero surgen los números naturales
(N), luego los naturales con el cero, formando el conjunto de los números
cardinales (N0 ):
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
La necesidad de representar cantidades menores que cero y hacer
siempre posible la sustracción motivó el surgimiento del conjunto de
los números enteros (Z). En él se incluyen los números naturales y sus
inversos aditivos (opuestos):
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Luego, la incapacidad de dar solución general a la división de dos
enteros motivó la definición de los números racionales (Q), que a su vez
incluyen a los enteros y a sus inversos multiplicativos (recíprocos):
n
o
a
Q = x = | a, b ∈ Z, b 6= 0 .
b
A diferencia de los conjuntos anteriores, en Q no existe la noción de
sucesor o antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número
que viene antes o después de uno dado (conjunto denso).
Sin embargo, se vio en secciones anteriores que los números racionales
no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas,
ya que existen los números irracionales (Q∗ ). Este conjunto es distinto
a los anteriores porque no verifica la cerradura entre las operaciones,
es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no siempre es un
irracional. Se define entonces el conjunto de los números reales (R) como
aquel que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales.
De una manera sencilla, se puede entender a los números reales como
todos aquellos que representan una posición en la recta numérica. Algunos
ejemplos se muestran a continuación:
El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado, es decir,
verifica los axiomas de cuerpo y de orden.
Q
Q∗
∪
||
R
Figura 1.14: R = Q ∪ Q∗ .
63
64
matemática ppvj 2018
1.5 | Números complejos
En secciones anteriores, se han construido los conjuntos numéricos
partiendo desde los naturales y llegando finalmente a los números reales.
El mecanismo de construcción fue cuestionar situaciones matemáticas,
aritméticas o geométricas, en cada uno de los conjuntos, para así determinar si tenían o no solución dentro de ellos. La respuesta negativa
para algunas de estas situaciones motivó la expansión de los conjuntos,
obteniendo como resultado final el conjunto de los números reales.
Para discutir
¿Es posible responder a todos los problemas matemáticos con el conjunto de los números reales?
Objetivo PSU
Comprender que los números complejos constituyen un conjunto
numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números reales, y reconocer su relación con
los números naturales, números enteros, números racionales y
números reales.
1.5.1 El número i
Problema: Considera la siguiente ecuación:
x2 + 1 = 0.
1. ¿Existe un número real x que sea solución de la ecuación planteada? Justifica.
2. Recordando la definición de la raíz cuadrada de un número como
√
a = x ⇔ a = x2 , a ≥ 0,
¿cómo se podría definir x en la ecuación planteada?
Observación
El número i no es un
número real, ya que al
cuadrado da negativo y
eso contradice las reglas de los
signos de los reales.
Definición. Los números i y −i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 =
0. Con ello se obtiene:
√
x2 = −1 ⇒ x = ± −1
⇒
i=
√
−1
y
√
− i = − −1.
números
Utilizando la definición de i es posible escribir cualquier raíz cuadrada
con cantidad subradical negativa, de la siguiente forma:
q
√ √
√
√
√
−8 = 8 · (−1) = 8 · −1 = 8 i = 2 2 i.
65
Observación
El número i se denomina
unidad imaginaria.
Ejercitación:
95. Utiliza la definición de la unidad imaginaria para expresar las siguientes raíces cuadradas:
a)
√
−16
b)
√
−27
c)
√
−2
96. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) −x2 − 9 = 0
b) x2 +
√
7=0
Potencias de i
Problema:
1. ¿Cuál es el valor de i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 , i8 , i9 e i10 ?
2. A partir de estos cálculos, ¿qué se puede concluir?
3. Considera la potencia i6 = i · i · i · i · i · i y que i4 = 1. ¿Hay alguna manera más rápida de calcular el valor
de la potencia para no hacer el cálculo término a término?
4. ¿Cuál es el valor de i1003 ?
Para calcular potencias de la unidad imaginaria i, se pueden considerar
que los resultados deben ser alguna de estas cuatro posibilidades:
−1
i
1
− i.
Utilizando el hecho de que i4 = 1, al calcular una potencia de i se
considera lo siguiente:
Por ejemplo, para i18 se tiene que:
i18 = i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i
= i4 · i4 · i4 · i4 · i2
= 1 · 1 · 1 · 1 · i2
= i2 .
Es decir, se ha reducido una potencia de exponente 18 a una potencia
equivalente de exponente menor, en este caso el 2, dividiendo el exponente 18 en 4 partes iguales. Si se resuelve la división utilizando el
algoritmo de la división, se obtiene:
18 = 4 · 4 + 2.
66
matemática ppvj 2018
Donde 2 representa el resto de la división. De esta manera se obtiene
que i18 = i2 = −1.
Ejercitación:
97. Calcula las siguientes potencias de i.
a) −(i2018 )
b)
i21
32
c) i55 · (−i) · i22
98. ¿Cuál es el valor de i + i2 + i3 + i4 + i5 + · · · + i1000 ?
1.5.2 Números complejos
Ahora que ya se ha dado solución al problema inicial utilizando la
definición de la unidad imaginaria, se construirá el conjunto que contiene
a estos elementos, así como también a los números reales.
Definición. El conjunto de los números complejos (C) está formado
por todos los pares ordenados de los números reales. Donde la adición
se define como:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
y el producto de un real por un complejo se define como:
k · z = k · (a, b) = (k · a, k · b), k ∈ R.
Además, se tiene:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
Dado z = (a, b) ∈ C se llama parte real de z a la primera componente
del par (a, b) y parte imaginaria a la segunda componente, las que se
acostumbran a denotar por:
Re(z ) = a
Im(z ) = b.
Ejercitación:
99. Dados los siguientes números complejos, determina la parte real y la parte imaginaria:
a) z = (−4, 6)
b) w = (−1, −9)
c) y = (0, −17)
Representación gráfica de los números complejos
Se han definido los números complejos como pares ordenados y por
tanto, corresponden a elementos geométricos en el plano cartesiano.
En el plano, el eje de las abscisas representa a la parte real y el eje
de las ordenadas a la parte imaginaria del número complejo. Dado un
número complejo z = (a, b), su representación gráfica es:
números
67
Ejercitación:
100. Calcula la operación en cada caso y determina la parte real y la parte imaginaria del número complejo
resultante.
a) 3 · (2, −1) + (0, 13)
b)
1
· (−2, −8) − (4, −4)
2
Observación
1.5.3 Forma canónica de los números complejos
En esta subsección se va a deducir y utilizar una notación muy usual
para los números complejos, que se denomina forma canónica.
Objetivo PSU
Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular
conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus
propiedades.
Los complejos de la forma (a, 0) se denominan
reales puros y se denotan simplemente como a, mientras que a los de la forma (0, b)
se les llama imaginarios puros y se les denota como bi.
De esta forma, la unidad imaginaria i es
i = (0, 1)
y la unidad real 1 es
1 = (1, 0).
Nótese que para todo número complejo z = (a, b) se tiene que:
z = (a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1) = a · 1 + b · i = a + bi.
Lo que se justifica por la definición y notación establecida con anterioridad.
Por tanto, se llama forma canónica de un número complejo z, a:
Observación
Si z y w son números
complejos, se define la
resta y división como sigue:
z = a + bi,
a ∈ R, b ∈ R.
Donde Re(z ) = a y Im(z ) = b, y por lo tanto se debe tener esto en
consideración para poder resolver operaciones utilizando esta notación.
Adición
La suma de dos complejos, escritos de esta forma, está dada por:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
z − w = z + (−w )
z : w = z · w−1 ,
donde (−w ) es el inverso aditivo de w y w−1 es el inverso multiplicativo de w. Si w = a + bi,
se tiene que −w = −(a + bi) =
1
1
−a − bi y w−1 =
=
w
a + bi
y para encontrar este último la
fracción se amplifica (a − bi).
68
matemática ppvj 2018
Multiplicación
La multiplicación de dos complejos, escritos de esta forma, está dada
por:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Ejercitación:
101. Utiliza la forma canónica de los complejos para demostrar que es un cuerpo con las operaciones de adición
y multiplicación antes definidas.
102. Sean z = a + bi y w = c + di dos números complejos. Encuentra una expresión para representar
z
.
w
103. Resuelve las siguientes operaciones:
a) (8 + 4i) − (5 + 2i)
c) (1 + 2i) : (−3 + 5i) + (4 − 3i)
b) (2 − 5i) · (−5 + 4i)
d) (−4 − 10i) − (9 − 2i) + (6 + 5i)
Conjugado y módulo de un número complejo
Definición. Dado un número complejo z = a + bi, se define el conjugado de z, denotado por z como z = a − bi.
Ejercitación:
104. Encuentra el complejo conjugado en cada caso.
a) z = −3 + 5i
b) w = 16 − 4i
105. Demuestra las siguientes propiedades:
a) z = z
b) z + w = z + w
c) z · w = z · w
d)
z
w
=
z
w
Definición. Sea z = a + bi un número complejo, se define el módulo
de z, denotado por |z|, como
p
|z| = a2 + b2 .
Nótese que si el complejo z es un real puro, su módulo coincide con
su valor absoluto.
Ejercitación:
106. Demuestra las siguientes propiedades, considerando z, w ∈ C y k ∈ R.
a) |k · z| = |k| · |z|
b) |z| = | − z| = |z|
c) |z · w| = |z| · |w|
d)
z
|z|
=
w
|w|
números
107. Considerando z1 = −1 − 4i y z1 = 6 − 10i, realiza las siguientes operaciones.
a) |z1 · z2 + z1 |
b)
z1 + z2
|z1 |
c)
z1 |z1 |
−
z2
z2
1.5.4 Complejos y vectores
Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un
par ordenado (a, b) en el plano cartesiano, pero también se acostumbra
representarlo no por un punto sino por el vector que va desde el origen al
punto (a, b), introduciendo con ello la representatividad de los complejos
por medio de vectores geométricos con todo el potencial que implica
tratarlos como tales.
La típica suma y ponderación de vectores definida entre los vectores
geométricos, se define naturalmente para los complejos considerados como
vectores, así como todas las consecuencias que llevan estas definiciones.
En la siguiente figura se observa el complejo a + bi como vector en el
plano:
Algunas de estas consecuencias son:
La ponderación de un número real por un complejo representa el
alargamiento o el acortamiento de un vector con o sin cambio del
sentido del vector, según el signo del real.
Con respecto al módulo de un complejo z coincide con la magnitud
del vector z.
La distancia entre los complejos z y w está dada por |z − w|.
Ejercitación:
108. Dibuja el vector determinado por los números complejos dados:
a) 1 + 2i
b) (4, −3)
c) 4i
d) −3 − 4i
69
70
matemática ppvj 2018
Resumen
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar, y por tanto solo representan
cantidades enteras. Comienzan en el 1 y se extienden hacia el infinito positivo. Un número
natural se denomina par si es un múltiplo de 2. En caso contrario se llama impar. Un número
natural primo es aquel que solo tiene dos divisores. En caso de que tenga más de dos divisores
el número se llama compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto.
El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número compuesto puede escribirse como producto de números primos.
Los Números Enteros son todos aquellos que representan una cantidad entera, positiva,
negativa o cero.
El conjunto de los números racionales es el conjunto de los números que se pueden expresar
como fracción, con denominador distinto de cero. Este conjunto es un cuerpo, es decir, verifica la
asociatividad y conmutatividad para la suma y el producto, la distributividad de la multiplicación
sobre la suma, la existencia de neutro aditivo y multiplicativo, la existencia de inverso aditivo y
multiplicativo y la cerradura de estas dos operaciones. Además, es un conjunto denso, es decir,
entre cada par de racionales hay infinitos racionales.
Los decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos son racionales. Para escribir un
decimal finito como fracción, se escribe en el numerador todo el número sin coma y en el
denominador un 1 con tantos ceros como cifras haya a la derecha de la coma. Para escribir
un decimal infinito periódico como fracción, se escribe en el numerador todo el número sin
coma y se resta la parte que no tiene período, mientras que en el denominador se escriben tantos
nueves como cifras tenga el período. Para escribir un decimal infinito semiperiódico como
fracción, se escribe en el numerador todo el número sin coma y se le resta la parte que no tiene
período, mientras que en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período
y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
Truncar un decimal a una posición significa cortarlo en dicha posición, mientras que redondear
un decimal a una posición significa aproximar por exceso o por defecto dependiendo de si la
cifra siguiente a la posición dada es mayor o igual a cinco o menor que cinco, respectivamente.
números
Propiedades de las potencias
Propiedades de las raíces
√
√
√
n
a · n b = n ab
√
√
√
n
a: nb= na:b
p√
√
m n
a = m·n a
√
√
n·r m·r
a
= n am
an · am = an+m
(an )m = an·m
(a · b)n = an · bn
an ÷ am = an−m
Además, toda raíz se puede expresar como potencia de exponente racional de la forma:
√
n
m
am = a n .
Finalmente, una raíz no exacta no es expresable como fracción y por tanto no es un número
racional. Es decir, es una decimal con infinitas cifras sin período.
Un logaritmo es el exponente de una potencia, expresado en función de la base y del resultado
de la misma. Es decir, si an = x entonces n = loga (x), con a > 0, a 6= 1 y x > 0.
Las propiedades de los logaritmos son:
loga (x · y ) = loga (x) + loga (y )
loga (cn ) = n · loga (c)
loga (x ÷ y ) = loga (x) − loga (y )
loga (c) = logp (c) : logp (a)
Además, los logaritmos no exactos no son expresables como fracción de dos enteros, por tanto
no son números racionales.
Al conjunto de números que no son expresables como fracción se le denomina conjunto de
números irracionales (Q∗ ). Este conjunto no verifica la cerradura, es decir, las operaciones
entre irracionales no siempre resultan un número irracional.
Finalmente, se dice que el conjunto de los números reales es aquel que contiene tanto a los
racionales como a los irracionales. El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado.
71
72
matemática ppvj 2018
La unidad imaginaria i se define como i =
los siguientes cuatro valores:
1
−1
√
−1. Las potencias de i puede tomar solo uno de
i
− i.
El conjunto de los números complejos está formado por todos los pares ordenados de los
números reales. Es decir, constituyen puntos en el plano cartesiano, donde el eje x representa la
parte real y el eje y la parte imaginaria.
Una manera de denotar los números de este conjunto es de la forma a + bi, donde a corresponde
a la parte real y b a la imaginaria, al interpretar a como (a, 0) e i como (0, 1).
El conjugado (z) y el múdulo (|z|) de un complejo z = a + bi son, respectivamente:
p
z = a − bi
|z| = a2 + b2 .
Evaluación de Unidad
1. En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el
número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma
cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7
2. Si a, b y c son números impares, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número
par?
A) a2 + b2 − c2
B) 5a + 10b − 3c
C) 2a3 + 11b3 − 2c3
D) 8a + 8b + 7c
E) abc
números
3. Se puede afirmar que el número E es divisible por 3 si:
(1) E + 15 es múltiplo de 6.
(2) 3 · E es múltiplo de 3.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
4. Si un billete verde equivale a 4 monedas azules, dos billetes rojos equivalen a uno verde y una moneda
azul equivale a 10 monedas blancas, ¿a cuántos billetes rojos equivalen 100 monedas blancas más 6
monedas azules y 10 billetes verdes?
A) 10
B) 13
C) 28
D) 60
E) 130
5. ¿Para cual de los siguientes valores de m, la expresión
m
es un número entero negativo?
m−1
A) 2
B) −2
C) 1
D) 3
E) Ninguna de las anteriores.
6. Sea n un número entero. Se puede determinar que (n − 1) es un número par si:
(1) 2n es un número par.
(2) (n + 2) es un número impar.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
73
74
matemática ppvj 2018
7. (−3) · (−2)2 + (−3)3 : 9 =
A) −15
B) −9
C) 1
D) 9
E) 33
8.
1
+
3
2
1−
1
4
=
3
2
1
B)
3
1
C)
6
D) 1
A)
E) 3
9. Los alumnos de un curso debieron elegir entre las asignaturas de Educación Musical y Artes Visuales.
9
Si
del curso eligió Educación Musical, se puede determinar el número de alumnos que eligieron
20
Artes Visuales si se sabe que:
(1) El curso tiene 40 alumnos.
11
(2)
del curso eligió Artes Visuales.
20
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
10. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si:
(1) El valor de la fracción es 0,25.
(2) El denominador de la fracción es 8.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
números
11.
3−1 + 4−1
=
5−1
12
a)
35
b)
35
12
c)
7
5
d)
5
7
e)
5
12
√
√
12. ¿Cuál(es) de los siguientes números multiplicados por ( 2 + 3) da(n) como resultado un número
racional?
√
√
I. 2 2 − 2 3
II. √
1
√
2+ 3
III. √
1
√
2− 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II , III
p
13. Si log(a3 ) = p y log (b) = q, ¿cuál es el valor de log
A)
p
3
B)
p − 6q
3
C)
p + 6q
3
D)
q − 6p
3
E)
q + 6p
3
a
b
?
75
76
matemática ppvj 2018
14. Si log2 (7) ≈ 2,807 entonces el valor de log4 (7) al aproximarlo por exceso a la centésima es
A) 1, 41
B) 1, 40
C) 5, 61
D) 5, 62
E) Ninguna de las anteriores.
15. Sea p un número primo, de las siguientes expresiones
√
I. p 2
p
II. 3 p2
√ √
III. p · p
¿cuál(es) corresponde(n) siempre a número(s) irracional(es)?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
√
16. Dados los numeros reales a = | 3 − 1|, b =
√
√
3
y c = |3 · ( 2 − 3)|, el orden creciente entre ellos es
4
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < c < a
D) c < b < a
E) c < a < b
17. Sea el número complejo p = a + bi, con a y b números reales distintos de cero, ¿cuál de las siguientes
igualdades es siempre verdadera?
A) |p| = a2 + b2
B) p · (1 + 0i) = a
a − bi
C) p−1 = 2
a + b2
D) p − p = 0
E) p · p = p2
números
18. El cociente entre un número complejo z = 2 + bi y su conjugado es
−5 − 12i
. ¿Cuál es el valor de b?
13
A) 1
B) 3
C) −3
D) −1
E) −2
19. Se puede graficar el complejo z si se conoce que:
(1) |z| = 17
(2) Im(z ) = 8
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
20. Si se suman dos números complejos no nulos, se puede afirmar que
I. es posible obtener un número complejo nulo.
II. es posible obtener un número real puro.
III. es posible obtener un número imaginario puro.
De estas es (son) verdadera(s)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Alternativas Correctas
1. A
5. E
9. A
13. B
17. C
2. B
6. B
10. C
14. A
18. C
3. A
7. A
11. B
15. A
19. E
4. C
8. E
12. C
16. A
20. E
77
Unidad 2
Álgebra
Si bien las operaciones básicas entre los números son muy
útiles en diversas situaciones y en muchos contextos, en ocasiones se
requiere de una abstracción mucho más profunda y a la vez más ingente:
la generalización. El álgebra significa ampliar el concepto de número
y las operaciones; definir variables, constantes e incógnitas. Es aquel
excepcional lenguaje que lo simboliza, representa y reproduce todo; es
aquello que universaliza el incontable contenido de las ciencias.
2.1 Lenguaje algebraico y polino- 2.4 Ecuación de segundo grado
mios
2.5 Inecuaciones y sistemas de
inecuaciones
2.2 Factorización y fracciones algebraicas
2.6 Relaciones y funciones
2.3 Ecuaciones y sistemas de ecua- 2.7 Teoría de funciones
ciones
2.8 Tipos de funciones
80
matemática ppvj 2018
2.1 | Lenguaje algebraico y polinomios
Sabías que...?
Al-Khwarismi fue un matemático, astrónomo y
geógrafo persa. En su
obra, presenta la primera solución sistemática de ecuaciones
lineales y cuadráticas. Hoy, es
considerado como uno de los
padres del álgebra.
“Aritmética es una palabra griega (quiere decir ciencia de los números,
arithmós en griego significa número); hemos visto, sin embargo, que
nuestra forma de escribir los números, y por consiguiente nuestra forma
de hacer con ellos las cuatro operaciones, y los cálculos en general, no se
remonta a los antiguos griegos sino a los mucho más modernos árabes.
No se trata, pues, de una ciencia tan antigua como se pueda creer: en
efecto, si queremos fijar las fechas, llegaremos a poco más de mil años de
antigüedad en lo que se refiere a los árabes, con el sabio Al-Khwarizmi,
que vivió alrededor del 800 d. C., e incluso al siglo XIII para el caso de
Europa, con Leonardo Pisano.
Por eso, si la forma más cómoda de escribir los números es una difícil
conquista del hombre que ha empezado a difundirse por Europa hace
solo seis siglos, todavía más joven es el álgebra que requiere, además de la
numeración moderna (arábigo - india), otros requisitos: una ampliación
del concepto de número; la introducción de unos símbolos claros, precisos
y cómodos para representar operaciones y “expresiones” que no solo
contienen números concretos, sino también números indeterminados o
incógnitas.
Sabías que...?
Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci,
fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea
notación posicional (de base 10,
o decimal) y un dígito de valor
nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.
Si se le preguntara hoy a un especialista de álgebra “¿Qué es el álgebra?
Explíquemelo en pocas palabras, sencillas y claras”, se vería en un apuro
para responder, tantos y tales han sido los desarrollos de esta rama
de las matemáticas en los últimos cien años. Si en cambio se pudiera
hacer la misma pregunta al espíritu del viejo Al-Khwarizmi (¡otra vez
él!), a lo mejor le hubiera costado algo de trabajo reconocer la palabra
árabe al-giabr, de la que por deformación se ha llegado a nuestra palabra
“álgebra”, pero no tendría ninguna dificultad para responder. Para él,
en efecto, la al-giabr no era más que cierta regla para transformar una
igualdad en otra igualdad que tenga el mismo valor (es decir, que sea
“equivalente”).”
La matemática de Pitágoras a Newton, Lucio Lombardo Rádice.
Comprensión lectora
Enlista los requisitos que posee el álgebra, según el texto.
¿Qué es, en conclusión, y según el texto, el álgebra?
álgebra
81
Objetivo PSU
Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando
diversas estrategias.
2.1.1 Lenguaje Algebraico
Problema: Jaime está viajando por el mundo, esta vez su destino es la bellísima Italia. Una vez allí,
después de haber visitado la ciudad de Roma, decide comprar recuerdos para sus amigos. Jaime compra 4
gorros, 5 llaveros y 7 magnetos, gastando finalmente e64.
Si se denota por g al precio de cada gorro, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Si se denota por l al precio de cada llavero, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Si denota por m al precio de cada magneto, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Utilizando g, l y m, ¿cómo expresarías el gasto total?
Definición. El lenguaje algebraico se utiliza para representar matemáticamente situaciones dadas en lenguaje natural. En el lenguaje
algebraico se utilizan letras para representar variables a las que se les
pueden asignar distintos valores.
Para discutir
Analiza las frases que se presentan en la tabla:
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
Dos veces 5 es igual a: 2 · 5
Dos veces un número es: 2n
Tres veces dos, más uno es: 3 ·
2+1
Tres veces un número, más uno
es: 3n + 1
El cuadrado de dos, disminuido
en tres es: 22 − 3
El cuadrado de un número, disminuido en tres es: n2 − 3
¿Qué diferencias y similitudes existen en las frases de la tabla?
¿Cuál es la ventaja de escribir frases en lenguaje algebraico respecto
a una frase común?
Ejercitación:
1. Representa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
Figura 2.1: Fibonacci.
82
matemática ppvj 2018
a) El doble de un número, disminuido en cinco unidades.
b) El cuadrado de un número, disminuido en una unidad.
c) La tercera parte de la raíz enésima de un número.
d) La suma de tres múltiplos consecutivos de seis.
e) La diferencia positiva entre dos números pares consecutivos.
f) La décima potencia de la décima parte de un número.
g) El sucesor de la suma entre un número y el doble de su inverso multiplicativo.
2.1.2 Expresiones algebraicas
Coeficiente numérico
Factor literal
15 · x
Operaciones de
multiplicación o división
Figura 2.2: Término algebraico.
Términos algebraicos
15x
+
20y
Operaciones de
adición o sustracción
Figura 2.3: Expresión algebraica.
Definición. Una expresión algebraica o polinomio es una suma o
resta de cantidades numéricas y literales.
Definición. Un término algebraico corresponde a cada una de los
sumandos de la expresión algebraica. Todo término algebraico está compuesto por un coeficiente numérico y un factor literal, multiplicados,
donde los coeficientes numéricos son los factores numéricos con sus
respectivos signos y el factor literal es el producto de las letras con sus
respectivos exponentes.
En ocasiones es útil precisar la cantidad de términos que tiene un
polinomio, usándose alguno de los siguientes términos:
Monomio: es una expresión algebraica formada por un término algebraico. Por ejemplo: 44a.
Binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos
algebraicos. Por ejemplo: 44a − 2b.
Trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos
algebraicos. Por ejemplo: 44a − 2b + 7c2 .
Evaluar expresiones algebraicas
Evaluar o valorizar una expresión algebraica significa darle un valor
numérico a las variables involucradas en el polinomio.
Ejemplo: Valentina va a la feria a comprar pimentón y lechuga. El precio de cada pimentón es p y el precio
de cada lechuga es l. Si compra 5 pimentones y 7 lechugas, la expresión algebraica que representa el gasto
total es: 5p + 7l.
Si el precio de los pimentones es $450 cada uno y de las lechugas es $750 cada una, se tiene: p = 450 y
l = 750. Se evalúa la expresión algebraica para encontrar el gasto total de Valentina en la feria:
5 · 450 + 7 · 750 = 2250 + 5250 = 7500.
álgebra
Por lo tanto Valentina gastó $7500 en pimentones y lechugas.
Ejercitación:
2. Si a = 3 y b = −5, valoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 2a2 − 3b
b) 4a3 b + 12b − 3ab2
c) 13b4 − 5ab − b
Reducción de términos semejantes
Definición. Se denominan términos semejantes a todos aquellos que
tienen igual factor literal.
Reducir términos semejantes consiste en agrupar los términos
algebraicos semejantes, sumar o restar los coeficientes numéricos y conservar el factor literal. En caso de que los términos sean números sin
parte literal, se suma o resta de la forma habitual.
Usted no lo haga
Al reducir términos semejantes, recuerda que:
Ejemplo: Reducir la expresión 4a − 5b + 7a + 2b.
Términos semejantes
Se suman o restan los coeficientes
4a − 5b + 7a + 2b = 4a + 7a − 5b + 2b = (4+7)a + (−5+2)b = 11a − 3b
Términos semejantes
Ejercitación:
3. Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
a) 4xy 2 + 9xy 2
b) 4a2 + 1 + a2 + a − 3a
3
2
x− x
4
5
4
3
d) −0,5 − m + 0,07n −
10
10
c)
2.1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar expresiones algebraicas se utilizan propiedades
de potencias y la propiedad distributiva. La multiplicación de estas, se
relaciona con el área de figuras geométricas rectangulares.
Multiplicación de monomios
x · x 6= 2x
x + x 6 = x2 .
83
84
matemática ppvj 2018
Para discutir
El largo de un terreno rectangular es 5x y el ancho es 3y. ¿Cuál es el
área del terreno?
Como se muestra en la figura 2.4 , el terreno representado por el
rectángulo de lados 5x y 3y está compuesto por 15 rectángulos pequeños
de lados x e y, cada uno de área xy. Luego, el área del terreno es 15
veces xy, es decir 15xy.
Para calcular el área del rectángulo de forma algebraica se multiplican
las medidas de los lados de la siguiente manera:
Figura 2.4: Terreno rectangular de 5x
por 3y.
Primero, se multiplican los coeficientes numéricos:
Se multiplica
3ab
A = 5x · 3y = (5 · 3)x · y = 15x · y
4b
Coeficientes numéricos
Luego, se multiplican los factores literales utilizando propiedades de
las potencias:
Figura 2.5: Rectángulo ejercicio 4.
Se multiplican potencias de igual exponente
22y
2x
A = 15x · y = 15x1 · y 1 = 15(xy)1 = 15xy
Figura 2.6: Rectángulo ejercicio 4.
Factores literales
Finalmente, el área del terreno es 15xy, expresión equivalente a la
obtenida geométricamente.
Ejercitación:
4. Calcula el área de los rectángulos de las Figuras 2.5 y 2.6.
5. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) −4xy · −2y 4 · 2x2 · y −2
b) −3x · −8xy 3 · −5y 2
álgebra
85
Multiplicación de monomio por polinomio
Para discutir
Un rectángulo tiene lados (a + 2b) y 2a. ¿Cuál es su área?
Como se muestra en la Figura 2.7, el rectángulo de lados 2a y a + 2b
se puede dividir en dos rectángulos de lados 2a y a y de lados 2a y 2b,
de áreas 2a2 y 4ab respectivamente. Por lo tanto, el área del rectángulo
de la figura será la suma de las áreas de los dos rectángulos obtenidos al
realizar la división. Es decir, A = 2a2 + 4ab.
Algebraicamente, se puede obtener el resultado multiplicando el largo
con el ancho del rectángulo original, es decir, una multiplicación de
monomio por binomio: A = 2a · (a + 2b).
Para resolver esta multiplicación de forma algebraica, se pueden seguir
los siguientes pasos:
Primero, se multiplica el monomio por cada término del polinomio,
utilizando la propiedad distributiva:
Figura 2.7: Rectángulo de lados 2a y
(a + 2b).
2a
4b
4b
A = 2a · (a + 2b) = 2a · a + 2a · 2b
Distributividad
Figura 2.8: Rectángulo ejercicio 6.
12x
2y
Luego, se multiplica cada uno de los monomios.
4x
A = 2a · a + 2a · 2b = 2a2 + 4ab
Figura 2.9: Rectángulo ejercicio 6.
Finalmente, el área del rectángulo es 2a2 + 4ab, expresión equivalente a la obtenida geométricamente:
Ejercitación:
6. Calcula el área de los rectángulos de las Figuras 2.8 y 2.9.
7. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) −2x · x2 + 3x2 y − 5z
b)
5
ab ·
6
3 4 2 5
a − b + a2 b
10
5
86
matemática ppvj 2018
Multiplicación de polinomios
Para discutir
La medida de los lados de un rectángulo es (2a + 5b) y (6a + 7b). ¿Cuál
es su área?
Figura 2.10: Rectángulo de lados (2a +
5b) y (6a + 7b).
Como se muestra en la Figura 2.10, el rectángulo de lados 2a + 5b y
6a + 7b se puede dividir en áreas parciales. Por tanto el área del rectángulo
será: A = 12a2 + 30ab + 14ab + 35b2 .
Reduciendo términos semejantes se obtiene: A = 12a2 + 44ab + 35b2 .
7b
Para calcular el área de forma algebraica se considera la multiplicación
del ancho por el largo del rectángulo, es decir, la multiplicación de dos
binomios: A = (2a + 5b) · (6a + 7b).
8a
3b
2a
Para resolver, se pueden seguir los siguientes pasos:
Primero, se multiplica uno de los binomios por cada uno de los términos
del otro, utilizando la propiedad distributiva.
Figura 2.11: Rectángulo ejercicio 8.
10y
A = (2a + 5b) · (6a + 7b) = (2a + 5b) · 6a + (2a + 5b) · 7b
15x
3y
Luego, se resuelve la multiplicación de cada binomio por monomio:
Se reducen términos semejantes
2x
Figura 2.12: Rectángulo ejercicio 8.
A = (2a + 5b) · 6a + (2a + 5b) · 7b = 12a2 + 30ab + 14ab + 35b2 = 12a2 + 44ab + 35b2
Binomio por monomio
Finalmente, el área del rectángulo es 12a2 + 44ab + 35b2 , que es
equivalente a la expresión obtenida geométricamente.
Ejercitación:
8. Calcula el área de los rectángulos de las Figuras 2.11 y 2.12.
9. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) (−m + n) · (−7n + 10m − 1)
b) (3x − 3y + 1) · (x + y + 2)
álgebra
2.1.4 Productos notables
Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas
fijas, cuyo resultado se conoce de manera directa, sin necesidad de efectuar
la multiplicación término a término.
Cuadrado de binomio
Problema: Completa el siguiente cuadro para calcular el área de cada uno de los cuadrados.
Lado
Área
Representación
2a
4
2
a2
2a
a
Producto
a+2
(a + 2)
(a + 2)2
(a + 2)(a + 2)= a · a + a · 2 + 2 · a + 2 · 2
= a2 + 2a + 2a + 4
= a2 + 4a + 4
a
a+2
2
x
1
1
x2
x
x
x+1
(x + 1)
(x + 1)2
(x + 1)(x + 1) = x · x + x · 1 + 1 · x + 1 · 1
= x2 + x + x + 1
= x2 + 2x + 1
x
x+1
(3 + y )
(3 + y )2
(2x + 1)
(2x + 1)2
1
Observación
Para discutir
¿Qué regularidad observas en el lado de los cuadrados?
El cuadrado de binomio cumple la siguiente
regularidad:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
¿Qué regularidad observas en el producto al calcular el área de los
cuadrados? Describe la regularidad.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
87
88
matemática ppvj 2018
¿Podría deducir el área de un cuadrado de lado (a + b) aplicando la
regularidad descrita? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
10. Calcula
a)
9ab3 − 5c
2
b) (x + 3y 2 )2
c) (a2 b − 2−1 c)2
d) (5xy + 2)2
Binomios con término común
Problema: Se desea calcular el área de las superficies de colores de cerámicas de distintos tamaños, como
se muestra en la Figura 2.13.
Completa la siguiente tabla calculando el área en cada caso:
a2
4a
a+2
2a
8
a
Ancho
Largo
Área
Producto
(a + 2)
(a + 4)
(a + 2) · (a + 4)
a2 + 6a + 8
(x + 4)
(x + 5)
(x + 4) · (x + 5)
x2 + 9x + 20
(x + 1)
(x + 2)
(x + 1) · (x + 2)
(b + 2)
(b + 3)
(b + 2) · (b + 3)
a
2
4
a+4
Figura 2.13: Superficie de colores de cerámica.
Para discutir
Observación
El binomio con término común, verifica la
siguiente regularidad:
(x + a) · (x + b) =
x2 + (a + b) · x + ab.
¿Qué regularidad observas en las multiplicaciones de las expresiones
algebraicas?
¿Qué regularidad observas en el producto? ¿Qué relación hay entre
el coeficiente numérico del segundo término con los términos libres
de los binomios? ¿Qué relación hay entre el término libre del producto y los términos libres de los binomios? Describe la regularidad
observada.
¿Se puede deducir el producto de (x − 1)(x + 2) reduciendo pasos
en la multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
11. Calcula
a) (a + 5) · (a − 4)
b) (m − 2) · (m − 6)
c) (x2 − 1) · (x2 + 4)
d) (ab − 4b) · (ba − 5)
álgebra
Suma por su diferencia
Problema: Calcula el área de los siguientes rectángulos donde las restas son positivas:
Ancho
Largo
Área
Producto
(a + b)
(a − b)
(a + b) · (a − b)
a2 − ab + ba + b2 = a2 − b2
(x + 3)
(x − 3)
(x + 3) · (x − 3)
(2a + b)
(2a − b)
(2a + b) · (2a − b)
(x + 3y )
(x − 3y )
(x + 3y ) · (x − 3y )
Observación
Para discutir
¿Qué regularidad se observa en los lados de los rectángulos?
¿Qué regularidad se observa en el producto al calcular el área de los
rectángulos? Describe la regularidad.
La suma por su diferencia verifica la siguiente regularidad:
(a + b) · (a − b) = a2 − b2 .
¿Se podrá deducir el área de un rectángulo de lados (x + 1) y (x − 1)
reduciendo pasos en la multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
12. Calcula
a) (x2 − 3) · (x2 + 3)
b) (a2 + 3) · (a2 − 3)
c) (x − 7) · (x + 7)
d) (4 + b) · (−b + 4)
Cubo de binomio
Problema: Calcula el volumen de los cubos de acuerdo a la arista que aparece en la tabla.
Arista
(x + y )
(a + b)
(x + 1)
(x + 2y )
Volumen
89
90
matemática ppvj 2018
Observación
El cubo de binomio verifica las siguientes regularidades:
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
Para discutir
¿Qué regularidad observas en el producto al calcular el volumen de
los cubos?
¿Se podrá deducir el producto (x − 1)3 reduciendo pasos en la
multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
13. Calcula:
a) (y − 3)3
b) (−a + 4)3
c) (−2 − x)3
d) (ab + b)3
2.2 | Factorización y fracciones algebraicas
Sabías que...?
En la vida cotidiana, la
mente funciona de la misma manera que en la factorización. Por ejemplo, se suelen guardar objetos como cuchillos, tazas o libros, formando
grupos con ellos.
Cuando se memoriza un número de teléfono se tienden a agrupar los números en binas o ternas, según sea más simple, esto es justamente factorizar un
problema grande en otros más
pequeños.
Cuando se conduce un auto, se
factoriza el arte de manejar en
cosas más pequeñas, como: acelerar, pasar un cambio, frenar,
girar el manubrio, etc.
En fin, todo lo que se divida
en pasos es la factorización de
un problema, no necesariamente deben verse implicados los
números.
En la sección anterior, se aprendieron a resolver multiplicaciones entre
expresiones algebraicas: monomio por monomio, monomio por binomio y
polinomio por polinomio. Además, se estudiaron algunos productos con
características especiales: los productos notables.
En esta sección se desarrollará un nuevo concepto directamente ligado
con lo recién estudiado: la factorización de expresiones algebraicas.
Con ella, se buscarán estrategias para resolver operaciones de suma, resta,
multiplicación y división de fracciones algebraicas.
Objetivo PSU
Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones
numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de
expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido
solo en aquellos casos en que estas están definidas.
2.2.1 Factorización
Definición. Factorizar una expresión algebraica significa hallar dos o
más factores cuyo producto sea igual a la expresión propuesta.
Para comprender mejor el proceso de factorización, recuérdese el
álgebra
91
teorema fundamental de la aritmética con el siguiente ejemplo:
10 = 2 · 5.
El teorema dice que todo número compuesto puede escribirse como
producto de factores primos. En el ejemplo, se escribió el número 10
como el producto entre 2 y 5, es decir, se factorizó. En esta sección
se hará algo similar a lo que se mostró en el ejemplo, pero utilizando
expresiones algebraicas.
Por ejemplo, se tiene igualdad
ab + bc = b · (a + c)
ya que dada la propiedad distributiva se tiene que:
b · (a + c) = b · a + b · c = ab + bc.
Lo que se ha establecido es una igualdad entre una expresión algebraica
y el producto de otras dos, a esto se le llama factorización.
Factor común
Figura 2.14: Rectángulo de área 2x2 +
6xy.
Para discutir
Considera el rectángulo de la Figura 2.14, de área A = 2x2 + 6xy. La
pregunta es, ¿es posible encontrar un par de posibles lados para el
rectángulo?
2x2
6xy
2x2
6xy
x
3y
Se puede responder esta pregunta de forma geométrica, dividiendo el
rectángulo en secciones como muestra la Figura 2.15. De esta forma, los
lados del rectángulo son 2x y x + 3y. Finalmente, es posible establecer
la igualdad:
2x2 + 6xy = 2x · (x + 3y ).
Este problema se puede resolver algebraicamente. Recuérdese que el
área de un rectángulo es el producto de la medida de su largo por la
medida de su ancho. Considerando esto, lo que se quiere encontrar son
los factores del producto 2x2 + 6xy. Para hacerlo, se pueden seguir los
siguientes pasos:
Primero, se expresa cada término del polinomio como multiplicación:
2x2 + 6xy = 2 · x · x + 2 · 3 · x · y.
Luego, se identifica el factor común de los términos que componen la
expresión:
x + 3y
Figura 2.15: División del rectángulo.
2x
92
matemática ppvj 2018
Se escribe la expresión algebraica como un producto de factores en el
que uno de ellos es el factor común:
2x2 + 6xy = 2 · x · x + 2 · 3 · x · y = 2x · (x + 3y ).
Por lo tanto, la factorización de 2x2 + 6xy es 2x · (x + 3y ) y las
posibles medidas de los lados del rectángulo son 2x y (x + 3y ), lo que
concuerda con lo obtenido geométricamente.
Ejercitación:
14. Encuentra los posibles lados de un rectángulo de área:
a) 24ab + 6bc
b) 5x2 + 25xy
Trinomio cuadrado perfecto
Se desea encontrar la medida del lado de un cuadrado de área A =
x2 + 2xy + y 2 . En esta situación se pide que a partir de un trinomio
cuadrado perfecto se busquen los factores que originan el producto. Se
puede dividir el cuadrado para encontrar la medida de su lados, como se
muestra en la Figura 2.16.
A partir de esto, se obtiene que el lado del cuadrado es (x + y ), y
finalmente que
x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2 .
Este problema se puede resolver de forma algebraica siguiendo los
siguientes pasos:
Primero, se comprueba si dos términos del trinomio son cuadrados
perfectos positivos.
Luego, se identifican los términos que al elevarlos al cuadrado resultan
los cuadrado perfectos anteriores.
Figura 2.16: División cuadrado de área
x2 + 2xy + y 2 .
Posteriormente, se comprueba que el tercer término del trinomio
corresponda al doble producto de los términos encontrados en el paso
anterior.
álgebra
93
Finalmente, se escribe la suma o diferencia (dependiendo del signo
del doble producto) de los términos encontrados en el paso 2, elevada al
cuadrado.
x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2 .
Por lo tanto, la factorización de x2 + 2xy + y 2 es (x + y )2 y el lado
del cuadrado mide (x + y ), lo que concuerda con lo obtenido geométricamente.
Ejercitación:
15. Calcula el lado del cuadrado de área:
a) 4k 2 + 28k + 49
b) 16x4 + 24x2 y + 9y 2
Trinomio de la forma x2 + px + q
Se desea determinar una posible medida de los lados de un rectángulo
a partir de su área que es A = x2 + 7x + 10. En esta situación se pide
factorizar un trinomio de la forma (x2 + px + q ). Se puede dividir el
rectángulo en regiones para poder encontrar las posibles medidas de sus
lados, como se observa en la Figura 2.17.
De esta forma, se encuentra que los posibles lados del rectángulo son
(x + 5) y (x + 2), y finalmente se tiene que
x2 + 7x + 10 = (x + 5) · (x + 2).
Algebraicamente, es posible factorizar un trinomio con término común
de la siguiente manera:
Primero, se identifica el término común y se comprueba que esté
elevado al cuadrado en la expresión.
Luego, se comprueba que de los otros dos términos uno esté multiplicado por el término común y el otro sea un término libre.
Figura 2.17: División cuadrado de área
x2 + 7x + 10.
94
matemática ppvj 2018
Posteriormente, se identifican dos términos que sumados den el término
que está multiplicando al término común y multiplicados den el término
libre.
Finalmente, se escribe la multiplicación de los binomios correspondientes a la suma o diferencia (según el signo de los términos no comunes)
del término común con cada término no común.
x2 + 7x + 10 = x2 + (2 + 5)x + 2 · 5 = (x + 2)(x + 5).
Por lo tanto, la factorización de x2 + 7x + 10 es (x + 2) · (x + 5),
siendo (x + 2) y (x + 5) los lados del rectángulo.
Ejercitación:
16. Calcula los posibles lados del rectángulo de área:
a) x2 − 13x + 42
b) a2 − 5a − 6
c) y 2 + 8y − 20
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En el caso de que el trinomio sea de la forma ax2 + bx + c, se amplifica
para formar un trinomio de la forma x2 + px + q.
álgebra
95
Ejemplo: Factorizar 7x2 − 6x − 1.
Primero, se multiplica y se divide la expresión por el término que acompaña a x2 .
(7x)2 − 7 · 6x − 7
7
Luego, se identifican dos términos que sumados resulten en aquel que está multiplicado por el término común
(que en este caso es 7x) y multiplicados correspondan al término libre.
−→ 7x2 − 6x − 1 =
7x2 − 6x − 1 =
(7x)2 − 7 · 6x − 7
(7x)2 + (−7 + 1) · 7x + (−7 · 1)
=
7
7
Posteriormente, se aplica la factorización de un trinomio con término común para factorizar el trinomio del
numerador de la fracción.
7x2 − 6x − 1 =
(7x − 7) · (7x + 1)
7(x − 1) · (7x + 1)
=
= (x − 1) · (7x + 1)
7
7
Por lo tanto, la factorización de 7x2 − 6x − 1 es (x − 1)(7x + 1).
Ejercitación:
17. Factoriza los siguientes trinomios.
a) 3m2 + 8m − 3
b) 5x2 + 3x − 2
Diferencia de cuadrados (a2 − b2 )
Obsérvense los siguientes pasos para la factorización de la diferencia
de cuadrados de forma algebraica:
Primero, se comprueba que cada término de la expresión corresponda
a un cuadrado perfecto.
Luego, se identifican los términos que al elevarlos al cuadrado resulten
los términos de la expresión:
a2 − b2 = a · a − b · b.
Finalmente, se escribe la multiplicación de la suma y la diferencia de
96
matemática ppvj 2018
los términos encontrados en el paso anterior:
a2 − b2 = (a + b) · (a − b).
Por lo tanto, la factorización de a2 − b2 es (a + b) · (a − b).
Ejercitación:
18. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
a) 25 − k 2
b) a2 b2 − 81b4
c) 4m2 − 16n2
d) 9x2 − 49
Suma y diferencia de cubos y cubo de binomio
Las factorizaciones relacionadas con cubos se resumen en la siguiente
tabla:
Nombre
Expresión
Factorización
Suma de
cubos
a3 + b3
(a + b) · (a2 − ab + b2 )
Diferencia de
cubos
a3 − b3
(a − b) · (a2 + ab + b2 )
Cubo de
binomio
a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
(a ± b)3
Ejercitación:
19. Verifica que la factorización de la suma y diferencia de cubos resulta la expresión dada.
20. Factoriza en cada caso.
a) 8x3 − 1
b) a3 + 27
c) 8 − 12y + 6y 2 − y 3
d) 27 − x3
2.2.2 Fracciones algebraicas
A
Definición. Se llama fracción algebraica al cociente , donde A y B
B
son polinomios, válido cuando B 6= 0.
Las fracciones algebraicas son generalizaciones de las fracciones numéricas que ya se han estudiado, por lo tanto es importante destacar que
el denominador B debe ser distinto de cero para que la fracción esté
bien definida, lo que implica que las variables asociadas al polinomio del
denominador siempre llevarán una restricción.
álgebra
Un ejemplo de fracción algebraica es:
5x2 + 2x + 1
x+5
donde x + 5 6= 0 para que la fracción esté bien definida, lo que implica
que x 6= −5. Por lo tanto, −5 es la restricción de esta fracción, es decir,
es el único valor real que no puede tomar x.
Ejerctación:
21. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.
a)
2a
3a + 1
b)
a+1
5a
c)
2a + 1
5a − 7
Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias
Para realizar operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias, se
utilizan las mismas definiciones de suma, resta, multiplicación y división
que ya se han estudiado para las fracciones numéricas.
Se usará la herramienta de la factorización para simplificar las
expresiones al momento de calcular una operación como multiplicación
o división, y para encontrar el mínimo común múltiplo en el caso de la
suma o la resta.
Multiplicación. El primer paso para multiplicar es factorizar las expresiones algebraicas de los numeradores y denominadores, si es que se
puede. Luego se simplifica en caso de que se pueda y finalmente se
resuelve.
Ejemplo:
Donde,
3a(x + 4)
3ax + 12a
=
.
x+5
x+5
Nótese que las restricciones para esta operación son: x 6= −5, x 6= 4 y 2a 6= −b.
97
98
matemática ppvj 2018
División. Para resolver esta operación, recuérdese que
a c
a d
: = · ,
b d
b c
por lo tanto, solo se tiene que escribir la división como multiplicación y
operar de la forma anterior.
Ejemplo:
x2 − 2x + 1
x−1
x2 − 2x + 1 3ab − 3b
:
=
·
.
a2 + 5a − 6 3ab − 3b
a2 + 5a − 6
x−1
Se factoriza:
3b(a − 1)
x2 − 2x + 1 3ab − 3b
(x − 1)2
·
=
·
.
a2 + 5a − 6
x−1
(a + 6)(a − 1)
x−1
Se simplifica y resuelve:
3b(a − 1)
x − 1 3b
(x − 1)3b
3bx − 3b
(x − 1)2
·
=
·
=
=
.
(a + 6)(a − 1)
x−1
a+6 1
a+6
a+6
Nótese que para esta operación, las restricciones son a 6= −6, a 6= 1, x 6= 1 y b 6= 0.
Adición y sustracción. Recuérdese que para sumar o restar fracciones
numéricas los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Por
tanto, para resolver adiciones o sustracciones con fracciones algebraicas
se debe amplificar por alguna expresión algebraica para igualar los
denominadores.
Ejemplo:
álgebra
Se multiplica la primera fracción por
r
p+4
y la segunda por
para igualar los denominadores:
r
p+4
p−1
2p + 1
r
p−1
p+4
2p + 1
+
=
· +
·
(p + 4)(p + 1) r (p + 1)
(p + 4)(p + 1) r r (p + 1) p + 4
=
(2p + 1) · r
(p − 1)(p + 4)
+
r (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1).
Ahora que los denominadores son iguales, se pueden sumar los numeradores:
(2p + 1) · r
(p − 1)(p + 4)
(2p + 1) · r + (p − 1)(p + 4)
+
=
r (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1)
r (p + 4)(p + 1)
=
2pr + r + p2 + 3p − 4
r (p2 + 5p + 4)
=
2pr + r + p2 + 3p − 4
.
p2 r + 5pr + 4r
Donde r 6= 0, p 6= −4 y p 6= −1.
Ejercitación:
22. Resuelve las siguientes operaciones.
a)
3x + 2
x+2
−
3x + 6 x2 − 3x
2
4
+
x
7x
b)
4
2
+
x 5x
3
x3 + 3
x
+ 2
− 3
x−1 x −1 x −1
x+1
x
d)
x−1
x
c)
2.3 | Ecuaciones y sistemas de
ecuaciones
En esta sección, se utilizarán los conceptos algebraicos definidos en
las dos secciones anteriores, para resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones. Ambos temas, tienen una gran importancia y trascendencia,
ya que a través de ellos es posible modelar muchas situaciones de la
vida cotidiana y resolver problemas de diferentes disciplinas como la
estadística o la economía.
99
100
matemática ppvj 2018
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
2.3.1 Ecuaciones lineales con una incógnita
Problema: Diofanto de Alejandría fue un antiguo matemático griego nacido en Alejandría. De su vida
personal nada se conoce, salvo su edad de muerte. Esto último es gracias al siguiente epitafio:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su
vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron
sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada.
Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
Entonces, ¿a qué edad murió Diofanto?
Propiedad aditiva. Si x = y, se
tiene que
x=y
/+a
Para resolver ecuaciones, se utilizan las propiedades aditiva y multiplicativa de las igualdades, las que se observan a la izquierda.
−→ x + a = y + a
Propiedad multiplicativa. Si x =
y, se tiene que
x=y
/·a
Definición. Una ecuación lineal con una incógnita es una igualdad
cuya variable o valor desconocido está en el numerador y tiene exponente
1. Cuando este tipo de ecuación es verdadera solo para un determinado
valor de la incógnita, dicho valor es llamado solución.
Es importante destacar, que las ecuaciones sirven para modelar situaciones reales de la vida cotidiana, y por tanto siempre es necesario
evaluar la pertinencia de las soluciones dado el contexto de la ecuación.
=⇒ x · a = y · a
Ecuaciones con coeficientes enteros
Definición. Una ecuación con coeficientes enteros es aquella que
involucra solo números enteros, aunque sus soluciones pueden no ser
números enteros.
Ejemplo: Adrián compra 5 corontas de choclo a $x cada una y 7 matas de lechuga a $y pesos cada una,
gastando en total $7.600. Si el precio de cada lechuga es de $1.000, ¿cuánto cuesta cada coronta de choclo?
Para resolver este problema, se necesita modelar la situación a través de una ecuación, que en este caso tiene
coeficientes enteros, lo que le da sentido al problema.
Se expresa el gasto de Adrián de la siguiente manera:
5x + 7y = 7.600,
donde y = 1.000, por lo que se obtiene,
5x + 7 · 1.000 = 7.600 =⇒ 5x + 7.000 = 7.600.
álgebra
101
La expresión obtenida es una ecuación lineal con una incógnita, la cual se puede resolver utilizando las
propiedades de las igualdades:
5x + 7.000 = 7.600
/ − 7.000
5x + 7.000 − 7.000 = 7.600 − 7.000
5x = 600
/·
1
5
5
600
x=
5
5
x = 120.
Por lo tanto, el precio de cada coronta de choclo es de $120.
Ejercitación:
23. Utiliza las propiedades de las igualdades para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 4x − 5 = −3 + x
c) 2(3 − 2x) = −4 − 2x
b) 2x + 5 − x = 5 − 2x + 6
d) 10 + 3x − 4 = 2(3 − 4x)
24. Plantea y resuelve las ecuaciones que modelan los siguientes problemas.
a) En un partido de fútbol, Marianela anotó una cierta cantidad de goles, pero Gabriela, del equipo
contrario, convirtió dos goles más que ella. Si entre ambas anotaron 10 goles, ¿cuántos anotó cada una?
b) En una pastelería venden pasteles de chocolate, de canela y de manjar. El de canela cuesta $100 más
que el de chocolate, y el de manjar, $130 más que el de canela. ¿Cuánto cuesta cada pastel si el precio de
los tres es de $3.000?
c) En una reunión hay doble números de mujeres adultas que de hombres adultos y triple número de
niños/as que de hombres y mujeres adultos/as juntos/as. ¿Cuántos hombres adultos, mujeres adultas y
niños/as hay si la reunión la componen 96 personas?
Ecuaciones con coeficientes racionales
Definición. Una ecuación con coeficientes racionales es aquella
que involucra números racionales.
Ejemplo: Nicolás compra un par de zapatillas de escalada a $b, sin IVA. Si el par de zapatillas, con IVA,
cuesta $116.620, ¿cuál es el valor de las zapatillas, sin IVA?
Para resolver este problema, se expresa el 19 % de b como:
19
b.
100
102
matemática ppvj 2018
Por lo tanto, la ecuación obtenida es:
19
b = 116.620.
100
100
para igualar denominadores,
Para sumar los términos algebraicos, se amplifica b por
100
100
19
b+
b = 116.620
100
100
119
b = 116.620.
100
Ahora se despeja el valor de b, utilizando las propiedades de las igualdades:
b+
119
b = 116.620
/ · 100
100
119
100 ·
b = 116.620 · 100
100
119b = 11.662.000
/·
1
119
11.662.000
119
b=
119
119
b = 98.000.
Por lo tanto, el valor de las zapatillas de escalada, sin IVA, es de $98.000.
Ejercitación:
25. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
x−1 x−5
x+5
−
=
4
36
9
b)
7x − 6
− (x + 2) = 4x + 2
3
c)
x x
x
+ −1 =
5
3
2
26. Resuelve los siguientes problemas.
a) Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 L de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas:
2
en la primera, consumió de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la
3
gasolina que le queda. ¿Cuántos litros de gasolina tenía en el depósito? ¿Cuántos litros se consumen en
cada etapa?
b) Un artesano vende en tres meses la mitad de sus productos y en los siguientes tres meses vende un
tercio de los productos que le quedan. ¿Cuántos productos tenía el artesano a principio del año si aún le
quedan por vender 90?
Ecuaciones literales
Definición. Una ecuación literal es aquella que tiene más de un coeficiente literal, que podría considerarse como incógnita. Cuando se
identifica esta, se despeja en función de las otras letras, que pasan a
considerarse como constantes.
álgebra
103
Ejemplo: Ignacia compra 4 blusas a $b cada una y 3 pares de calcetines a $c cada par. Si en total gastó
$10.890, ¿cómo se puede expresar el precio de cada blusa en función del precio de cada par de calcetines?
Dado el contexto de nuestro problema, se identifica que la incógnita es b, es decir, el precio de cada blusa.
Por lo tanto, el valor c de cada par de calcetines pasa a ser una constante.
La ecuación que modela esta situación es:
4b + 3c = 10.890.
Se despeja el valor de b, utilizando las propiedades de las igualdades:
4b + 3c = 10.890
/ − 3c
4b + 3c − 3c = 10.890 − 3c
4b = 10.890 − 3c
/·
1
4
4
10.890 − 3c
b=
4
4
10.890 − 3c
b=
.
4
Por lo tanto, el precio b de cada blusa, en función del precio c de cada par de calcetines es $
(10.890 − 3c)
.
4
10.890 − 3c
Nótese que
> 0 dado el contexto del problema, lo que implica que 10.890 − 3c > 0 y finalmente
4
10.890
que c <
.
3
Ejercitación:
27. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones.
a) x + ax = b
b) ax − b · (x − 1) = 3 · (x + a)
28. Resuelve los siguientes problemas.
a) María José estudia la dilatación lineal de una varilla mediante la expresión L = Li + α · Li · ∆T , donde
∆T es la variación de la temperatura (en ◦ C), L es la longitud final de la varilla (en cm), Li es la longitud
inicial de la varilla (en
cm) y α es el coeficiente de dilatación térmica del material de la varilla, que en
1
este caso es aluminio 3,9 · 10−3 ◦
. Despeja la variación de temperatura en la ecuación, luego calcula
C
su valor si la longitud final es de 12 cm y la inicial de 11 cm.
b) Si el perímetro de un rectángulo es (8x + 4p) cm y su ancho mide (3x + p) cm, ¿cuál es la medida de
su largo?
104
matemática ppvj 2018
2.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Definición. Un sistema de ecuaciones consiste en un arreglo de dos o
más ecuaciones que involucran dos o más incógnitas. El sistema se dice
lineal si las incógnitas tienen exponente 1.
Sabías que...?
François Viète (1540 –
1603) fue el primero en
emplear letras para simbolizar las incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa de
la forma:
ax + by = e
cx + dy = f
donde a, b, c, d, e, f ∈ R y x e y son las incógnitas.
Sabías que...?
Las dos rayas “=” que indican igualdad, las empezó a utilizar un matemático inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de
400 años. En uno de sus libros
cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser
más iguales que dos rectas paralelas”.
Una solución (x, y ) del sistema es un par de valores que satisface
simultáneamente ambas igualdades.
Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones:
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada una de
las ecuaciones representa una recta en el plano cartesiano. Considerando
esto, se puede interpretar gráficamente la solución del sistema como el
par ordenado que representa al punto de intersección entre las rectas.
Ejemplo: Encontrar la solución del siguiente sistema.
x+y = 1
4x + 2y = −2
Para esto, en primer lugar se escriben las ecuaciones de forma principal. De esta manera resulta más fácil
graficarlas.
x+y = 1
4x + 2y = −2
=⇒
y = −x + 1
y = −2x − 1
Para graficar las rectas, se calculan algunos puntos que pertenezcan a cada una de ellas:
y = −x + 1
y = −2x − 1
álgebra
x
y
(x, y)
x
y
(x, y)
−2
3
(−2, 3)
−2
3
(−2, 3)
−1
2
(−1, 2)
−1
1
(−1, 1)
0
1
(0, 1)
0
−1
(0, −1)
1
0
(1, 0)
1
−3
(1, −3)
105
Obsérvese que, a partir de las tablas se ha podido encontrar la solución del sistema, ya que se ha descubierto
un punto que pertenece a ambas rectas.
A continuación se observa la gráfica de las rectas, con el punto de intersección antes mencionado:
Por lo tanto, la solución del sistema es (−2, 3).
Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones
Las dos ecuaciones de un sistema, no necesariamente representan
rectas que se intersectan, sino que pueden describir a rectas paralelas o a
rectas coincidentes. A continuación se verán ejemplos que ilustran cada
uno de los casos.
Se tienen tres sistemas de ecuaciones y la representación gráfica de
cada una de las rectas involucradas:
Sistema 1:
3x + y = 1
2x − y = 3
=⇒
y = −3x + 1
y = 2x − 3
Figura 2.18: Gráfico sistema 1.
106
matemática ppvj 2018
Se obtienen dos rectas secantes (se intersectan en un punto). Por lo
tanto, el sistema tiene solución y es única. Este tipo de sistemas
se llama compatible determinado.
Sistema 2:
=⇒
2x + 10y = 8
Figura 2.19: Gráfico sistema 2.
x 1
+
5 5
x 4
y=− +
5 5
y=−
x + 5y = 1
Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersectan). Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Este tipo de sistemas se llama
incompatible.
Sistema 3:
=⇒
3x + 6y = 9
Figura 2.20: Gráfico sistema 3.
x 3
+
2 2
x 3
y=− +
2 2
y=−
2x + 4y = 6
Se obtienen dos rectas coincidentes (se intersectan en todos sus
puntos). Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Este
tipo de sistemas se llama compatible indeterminado.
Ejercitación:
29. Resuelve los siguientes sistemas.
x−y = 3
a)
x+y = 9
2x − 3y = 9
x + 5y = −2
Figura 2.21: Sistema de ecuaciones.
2x − 3y = 9
x = −2 − 5y
Figura 2.22: Paso 1.
2x + y = 1
b)
x+
y
1
=
2
2
x + y = −3
c)
x+y = 2
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Si bien es posible resolver un sistema de ecuaciones a través de gráficos,
este método tiene limitaciones que lo hacen complicado de utilizar en
algunas ocasiones. Sin embargo, es posible encontrar algunos métodos
algebraicos para resolverlos.
Método de sustitución
Considérese el sistema de ecuaciones de la Figura 2.21. Se observa que
hay una ecuación en la que una de las variables aparece con coeficiente
igual a 1. Para resolver el sistema se aplican los siguientes pasos.
Primero, se despeja la variable con coeficiente 1 en la ecuación indicada,
como se muestra en la Figura 2.22.
álgebra
107
Luego, se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra
ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.
2 · (−2 − 5y ) − 3y = 9
=⇒ −4 − 10y − 3y = 9
=⇒ −13y = 13
=⇒ y = −1.
En este caso, se obtiene un valor para la incógnita y.
Posteriormente, se reemplaza el valor obtenido para y del sistema en
la ecuación despejada en el paso 1, para determinar x:
x = −2 − 5(−1)
=⇒ x = −2 + 5
=⇒ x = 3.
Finalmente, se puede concluir que el sistema es compatible determinado, y su solución es (3, −1).
Método de igualación
Considérese el sistemas de ecuaciones de la Figura 2.23. Se observa
que en ambas ecuaciones el coeficiente de una de las variables es el mismo.
Para resolver el sistema se siguen los siguientes pasos:
3x + 5y = 9
3x − 2y = −12
Primero, se despeja la variable con coeficiente común, como se muestra
en la Figura 2.24.
Luego, se igualan las expresiones obtenidas en ambas ecuaciones para
obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.
3x = 9 − 5y = −12 + 2y
=⇒ 9 + 12 = 2y + 5y
=⇒ 21 = 7y
=⇒ 3 = y.
Posteriormente, se reemplaza el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema obtenido en el paso 1 para determinar el valor de la
otra variable.
3x = 9 − 5 · 3
=⇒ x = −2.
Figura 2.23: Sistema de ecuaciones.
3x = 9 − 5y
3x = −12 + 2y
Figura 2.24: Paso 1.
108
matemática ppvj 2018
Finalmente, la solución del sistema es: (−2, 3).
Método de reducción
Considérese el sistema de ecuaciones de la Figura 2.25. A diferencia
de los casos anteriores, no se observan términos con coeficientes comunes
en las ecuaciones. Sin embargo, se pueden realizar algunas operaciones
algebraicas que permitan que si los haya, aplicando los siguientes pasos:
2x + 3y = 1
5x − 2y = 1
Figura 2.25: Sistema de ecuaciones.
2x + 3y = 1
·5
5x − 2y = 1
·2
⇓
10x + 15y = 5
Primero, se multiplica una de las ecuaciones del sistema, o ambas, por
números que permita que en ambas ecuaciones una de las variables quede
con el mismo coeficiente u opuesto, como se observa en la Figura 2.26.
Luego, se suman o restan las ecuaciones (según convenga) de lado a
lado, para reducir el término con coeficiente común. Se obtiene así una
ecuación con una sola incógnita que se resuelve.
10x − 4y = 2
10x + 15y = 5
Figura 2.26: Paso 1.
10x − 4y = 2
(−)
=⇒ 0x + 19y = 3
=⇒ 19y = 3
=⇒ y =
3
.
19
Posteriormente, se reemplazan los valores obtenidos en alguna de las
ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra incógnita.
3
=1
19
5
=⇒ x = .
19
5 3
Por lo tanto, la solución del sistema es:
,
.
19 19
2x + 3 ·
En resumen, se puede resolver un sistema de ecuaciones utilizando
los métodos de sustitución, igualación o reducción. En los tres casos,
se busca reducir las ecuaciones a una ecuación de una incógnita que se
resuelve, y luego permite calcular el valor de la otra.
Ejercitación:
30. Resuelve los siguientes sistemas.
−2x − 5y = −10
x − 7y = −2
b)
a)
7x + 2y = −10
x + 4y = −9
c)
x−1
+y = x−2
4
y+1
2x + 1
5−
=
4
3
álgebra
109
31. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo si sus términos libres son ambos iguales a cero.
Demuestra que un sistema homogéneo, o bien es compatible indeterminado o tiene solución única e igual
a (0, 0).
Existencia de soluciones
Se pueden establecer condiciones algebraicas para determinar si un
sistema de ecuaciones de la forma
ax + by
=e
cx + dy
=f
es compatible indeterminado, incompatible o compatible determinado.
Estas se resumen en los siguientes puntos:
El sistema es compatible indeterminado si es posible obtener la
segunda ecuación a partir de la primera (o la primera a partir de la
segunda) multiplicando o dividiendo por un número k 6= 0. Es decir,
se cumple la relación:
c = ka ⇒
Entonces,
c
=k
a
d = kb ⇒
d
=k
b
f = ke ⇒
f
= k.
e
c
d
f
= = .
a
b
e
El sistema es incompatible si es posible obtener los coeficientes de x
e y de la segunda ecuación a partir de la primera (o los de la primera a
partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo
número k 6= 0, pero no el término libre. Es decir, se cumple la relación:
c = ka ⇒
Entonces,
c
=k
a
d = kb ⇒
d
=k
b
f 6= ke ⇒
f
6= k.
e
c
d
f
= 6= .
a
b
e
El sistema es compatible determinado si no es posible obtener los
coeficientes de la segunda a partir de los de la primera. Es decir, se
cumple:
c
d
6= .
a
b
Ejercitación:
32. Determina los valores de a y b según corresponda:
2x + 5y = 4
a)
, para que el sistema sea compatible determinado.
ax + by = 9
110
matemática ppvj 2018
ax + 8y = 4
b)
, para que el sistema sea compatible indeterminado.
2x + by = 8
x + ay = 2
, para que el sistema sea incompatible.
c)
4x + by = 10
3x + ay = b
d)
, para que el sistema sea compatible determinado.
5x + by = 9
33. Resuelve los siguientes problemas:
a) La suma de las edades de Andrés y Jaime es igual a 48 años. Si Andrés tiene el doble de la edad de
Jaime, ¿cuáles son las edades de cada uno?
b) Las edades de dos hermanos están en la razón 4 : 5. Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuántos
años tenía el mayor cuando su hermano nació?
c) En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de la cantidad de hombres sobrepasa en 10 estudiantes al
doble de la cantidad de alumnas, ¿cuántas mujeres hay en el curso?
2.4 | Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es como una ecuación lineal más
un término de grado 2 (incógnita). El problema fundamental cuando
se abarca el estudio de estas, es encontrar un método para hallar las
soluciones.
Desde la antigüedad este problema ha sido motivo de estudio. Muchos
algoritmos se inventaron para hallar sus soluciones, pasando desde la
antigua Babilonia, por Grecia, hasta llegar finalmente a los estudios de
los árabes.
La primera gran dificultad que relaciona la solución de una ecuación
cuadrática surgió con la ecuación x2 = 2 en la época de los pitagóricos,
al calcular la diagonal de un cuadrado de lado uno.
Como un avance un poco más moderno, se puede mencionar la resolución de la ecuación x2 + 1 = 0, en el Renacimiento. Esta ecuación
requiere hallar un número real que al cuadrado resulte −1, problema que
se superó con la adopción de los números imaginarios y la definición de
la unidad imaginaria i.
álgebra
Objetivo PSU
Comprender que toda ecuación de segundo grado con coeficientes
reales tiene raíces en el conjunto de los números complejos.
2.4.1 Ecuación de segundo grado de una variable
Definición. Una ecuación de segundo grado de una variable o ecuación cuadrática es aquella de la forma ax2 + bx + c = 0, donde
a, b, c ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita, además a se llama coeficiente
cuadrático, b se llama coeficiente lineal y c es el término libre.
Observación
A las soluciones de una
ecuación cuadrática se les
suele llamar raíces de la
ecuación.
Se analizarán los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y sus maneras de resolverlas, partiendo desde las más sencillas hasta las más
complejas. Para hallar las soluciones, se usará la definición de la raíz
cuadrada, a saber
√
a = x ⇔ a = x2 , con a ≥ 0, x ≥ 0
donde es importante recordar que
√
√
ya que por ejemplo,
42 =
p
x2 = |x|,
(−4)2 =
√
16.
Ejercitación:
34. Determina si las siguientes ecuaciones son o no cuadráticas.
a) x2 + 3x − 5 = x(x + 1)
b) 3x2 − 1 = 2x(x − 3)
2.4.2 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + c = 0
En la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, si a 6= 0, b = 0 y c 6= 0, la
ecuación se reduce a ax2 + c = 0, es decir, una ecuación con un término
cuadrático y un término libre.
Para resolverla se debe despejar la incógnita, como se muestra en el
siguiente ejemplo.
c) x2 + 3x = 10 − 3 1 − x2
111
112
matemática ppvj 2018
Ejemplo:
2x2 − 8 = 0
⇒
2x2 = 8
⇒
x2 = 4
⇒
√
1
2
p
/ ()
/·
x2 = 2
|x| = 2
⇒
⇒
/+8
x = 2 o x = −2
Finalmente, las soluciones de la ecuación son 2 y −2.
Ejercitación::
35. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 3 · x2 − 5 = 2x2 + 9
b)
x+2 x−2
40
+
= 2
x−2 x+2
x −4
c)
x
x
+
=1
x+2 x−2
36. Iván está preparando su primer trabajo para el taller de diseño. Le han pedido que haga un collage sobre
una madera de área 900 cm2 con cuadraditos de colores de 2 · 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el
largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Iván saber cuántos cuadraditos colocará a lo largo y a lo
ancho?
2.4.3 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx = 0
Si en la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se tiene que a 6= 0,
b 6= 0 y c = 0, entonces ésta se reduce a ax2 + bx = 0, es decir, a una
ecuación con un término cuadrático y un término lineal, sin término libre.
En este caso, el polinomio formado por los términos cuadrático y lineal,
se puede factorizar a través de un factor común: la x. Es decir,
ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0.
Dado que el polinomio ax2 + bx fue escrito como el producto x(ax + b),
donde además se sabe que este es igual a 0, las soluciones de la ecuación
se obtienen igualando ambos factores a cero. Por lo tanto, una de las
soluciones siempre será x = 0, y la otra se obtendrá resolviendo la
ecuación de primer grado ax + b = 0.
álgebra
Ejemplo:
x2 − 9x = 0
⇒ x(x − 9) = 0
x = 0 o x−9 = 0
⇒
Se resuelve la segunda ecuación,
x−9 = 0
/+9
x = 9.
⇒
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = 0 y x = 9.
Ejercitación:
37. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
2 x2 − 70
3 x2 − 5
−
= 17 + x
b)
5
7
a) (x + 4)2 + (x − 3)2 = (x + 5)2
2.4.4 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, donde
el trinomio es factorizable
En este caso, hay términos cuadrático, lineal y libre, y además el
trinomio se puede factorizar. Por lo tanto, para resolver, se aplicará el
mismo razonamiento que en el caso anterior.
Ejemplo:
x2 + 7x + 12 = 0
⇒
(x + 3)(x + 4) = 0
⇒
x+3 = 0 ó x+4 = 0
⇒
x = −3 ó x = −4
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = −3 o x = −4.
Ejercitación:
38. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) (x + 6)(x − 6) − 8 = 1 − 4x
b)
9 (x − 6)2
−
= x−1
2
2
x+3
2
x x−2
−
= +
3
x−4
6
4
d) 3x2 + 8x − 35 = 0
c)
113
114
matemática ppvj 2018
39. Homero Simpson plantó 324 tomacos (un fruto que aparenta ser un tomate, pero en su interior tiene
tabaco) en la granja. Por razones de producción del resto de sus plantaciones, necesita mover los tomacos,
de manera que ocupen un terreno rectangular, donde el número de tomacos colocados en cada fila supere
en 15 unidades al número de tomacos puestos en cada columna. Todos estos cálculos, por supuesto, los
hizo su hija Lisa. ¿Cuántos tomacos debe colocar en cada una de las filas y en cada una de las columnas?
2.4.5 Método de completación de cuadrados
Se estudiará ahora otro método para resolver ecuaciones cuadráticas,
llamado método de completación de cuadrados. Esto es, transformar el
trinomio dado, en una expresión que contenga un cuadrado de binomio.
Ejemplo:
x2 − 2x − 1 = 0
Lo que se quiere hacer, es transformar este trinomio, en uno de la forma a2 ± 2ab + b2 + k. En este caso,
a2 corresponde a x2 , por lo que falta encontrar el término que correspondería a b2 . Para ello, se utiliza el
término central: se sabe que −2x debe ser igual a −2 · a · b. Como se sabe que a2 = x2 , entonces podemos
tomar a = x, obteniéndose −2x = −2x · b, resultando finalmente b = 1, lo que implica que b2 = 1.
Esto quiere decir, que el término faltante para que la expresión sea un cuadrado de binomio es 1.
Se suma este término a ambos lados de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto:
x2 − 2x − 1 = 0
/+1
⇒ x2 − 2x + 1 − 1 = 0 + 1
⇒ x2 − 2x + 1 − 1 = 1
⇒
(x − 1)2 − 1 = 1
⇒
(x − 1)2 = 2.
/+1
Finalmente, se resuelve la ecuación obtenida:
(x − 1)2 = 2
p
(x − 1)2 =
|x − 1| =
x−1 =
√
De la primera ecuación:
x−1 =
De la segunda ecuación:
−(x − 1) =
√
√
√
/
p
()
2
2
2 o −(x − 1) =
√
2 ⇒ x = 1+
2 ⇒ −x + 1 =
√
√
√
2.
2.
2 ⇒ x = 1−
√
2.
álgebra
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = 1 +
√
2 o x = 1−
√
2.
Ejercitación:
40. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) −3x2 + x + 2 = 0
d) 5x2 + 2x + 5 = 0
b) x2 − 7x = −1
e) (2x + 1)(3x − 4) − x(2x + 3) = 1
x + 21 2x − 5
−
=3
f)
x
x+2
c) x2 + 32x − 144 = 0
2.4.6 Solución general de una ecuación cuadrática
En este caso, se analizará la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, de
manera general, para deducir una expresión y encontrar las soluciones.
Se utiliza el método de completación de cuadrados, como sigue:
1. Se multiplica por a para que el primer término sea un cuadrado
perfecto:
ax2 + bx + c = 0
/·a
⇒ a2 x2 + abx + ac = 0.
2. Si abx es el término central del desarrollo del binomio, entonces debería
b
ser el resultado de 2 · ax · , con lo que el término que nos falta para
2
b
b2
completar el cuadrado de binomio es el cuadrado de , es decir, .
2
4
Se suma a ambos lados de la igualdad:
a2 x2 + abx + ac = 0
⇒ a2 x2 + abx +
/+
b2
4
b2
b2
+ ac = 0 + .
4
4
3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se resuelve.
b2
+ ac =
a2 x2 + abx +
4
b 2
⇒
ax +
+ ac =
2
b 2
⇒
ax +
=
2
b 2
⇒
ax +
=
2
b2
4
b2
4
/ − ac
b2
− ac
4
b2 − 4ac
4
/
p
()
115
116
matemática ppvj 2018
s
b
ax +
2
⇒
s
b
ax +
2
⇒
⇒
r
=
√
2
=
b
ax +
=
2
⇒
b
ax + =
2
2
√
√
b2 − 4ac
4
b2 − 4ac
2
b2 − 4ac
2
√
b
b2 − 4ac
b2 − 4ac
o − ax +
=
.
2
2
2
Se despeja x en la primera ecuación:
b
ax + =
2
√
b2 − 4ac
2
=⇒ ax =
=⇒ x =
−b +
−b +
√
√
b2 − 4ac
2
b2 − 4ac
.
2a
Se despeja x en la segunda ecuación:
b
− ax +
2
√
=
b2 − 4ac
2
√
b2 − 4ac
b
=⇒ −ax − =
2
2
√
2
−b − b − 4ac
.
=⇒ x =
2a
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x=
o
x=
.
2a
2a
Esta expresión puede ser usada en todos los casos, pero de todas
maneras es importante saber que en los casos más simples, como los
que se revisaron anteriormente, es posible obtener las soluciones de
manera más fácil y rápida, solo con las herramientas matemáticas que
ya teníamos.
Dada las solución general de la ecuación cuadrática
√
−b ± b2 − 4ac
x=
,
2a
se pueden establecer las siguientes generalidades:
Suma de soluciones:
√
b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
−2b
−b
+
=−
=
.
2a
2a
2a
a
Producto de soluciones:
−b +
√
−b +
√
√
b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
−4ac
−c
·
=
=
.
2
2a
2a
4a
a
álgebra
117
Ejercitación:
41. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 21x2 − 8x − 5 = 0
b) x(x + 6) = 5(2x − 1)
2.4.7 Discriminante
Si las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática se calculan a
través de la expresión
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
entonces, que una ecuación tenga dos soluciones reales,una solución real,
o no tenga soluciones reales, dependerá de la cantidad subradical. A esta
se le llama discriminante y se representa por ∆, es decir, ∆ = b2 − 4ac.
Por lo que se obtienen las siguientes condiciones:
Si ∆ > 0, entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones
reales y distintas.
Si ∆ = 0, entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones
reales e iguales.
Si ∆ < 0, entonces la ecuación cuadrática no tendrá soluciones
reales, sus soluciones serán números complejos (siempre conjugados).
Ejercitación:
42. Dada la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, determina si esta tiene dos soluciones reales y distintas,
dos soluciones reales e iguales o dos soluciones complejas conjugadas, en cada caso.
b) Si a, c ∈ Z+ y b2 > 4ac.
a) Si 4ac < 0.
2.5 | Inecuaciones y sistemas
de inecuaciones
Muchas veces en matemática, como también en la vida, se necesita
acotar valores o cantidades. Por ejemplo, en la fracción:
√
1
x+1
se necesita restringir el valor de x para que la expresión esté definida en
el conjunto de los números reales, ya que la cantidad subradical en la
√
c) Si a, b, c ∈ R+ y b = 2 ac.
118
matemática ppvj 2018
raíz no puede ser negativa y además el denominador debe ser distinto
de cero. Por lo tanto, se debe restringir el valor de x a través de una
desigualdad, como sigue,
x + 1 > 0.
Para estas situaciones, así como también para resolver diferentes tipos
de problemas, se utilizarán las desigualdades y las inecuaciones.
Objetivo PSU
Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas
de inecuaciones.
2.5.1 Desigualdades
En la vida diaria hay situaciones en las que se comparan cantidades
que no necesariamente son iguales. Para indicar que cierta cantidad es
mayor (>), menor (<), mayor o igual (≥) o menor o igual (≤) que otra,
se usan expresiones matemáticas llamadas desigualdades.
Ejercitación:
43. Representa las siguientes situaciones a través de una desigualdad.
a) El precio p de una entrada supera los $3.500.
b) La ganancia g de Pedro por su trabajo no fue menor que $12.000.
44. En un triángulo, la medida de uno de sus lados es siempre menor que la suma de las medidas de los otros
dos, y mayor que su diferencia. Expresa con una desigualdad el rango de valores posibles para la medida
del tercer lado, si los otros dos miden 6 cm y 19 cm, respectivamente.
Como las desigualdades expresan relaciones entre los números, al
escribir conjuntos por comprensión resulta útil usar las desigualdades;
por ejemplo, si se quiere definir el conjunto de todos los números naturales
menores que 1.000, resultará largo escribir dicho conjunto por extensión,
de modo que se puede escribir de la siguiente manera:
A = {x ∈ N | x < 1.000}.
En algunos casos, al denotar un conjunto por comprensión es posible
usar más de una desigualdad; por ejemplo, para expresar por comprensión
el conjunto de todos los números enteros que se encuentran entre −4 y 7,
ambos incluidos, se puede escribir:
B = {x ∈ Z | −4 ≤ x ≤ 7}.
En el caso anterior, la expresión −4 ≤ x ≤ 7 es equivalente a escribir
las desigualdades −4 ≤ x y x ≤ 7.
álgebra
119
Ejercitación:
45. Usando desigualdades, representa por comprensión los siguientes conjuntos.
a) Números enteros mayores que −81 y menores o iguales que 19.
b) Números pares que se encuentren entre −50 y 160, ambos incluidos.
2.5.2 Intervalos de números reales
Para discutir
Si se quieren determinar todos los números enteros que cumplen la
condición −3 ≤ n < 5, se puede escribir el conjunto correspondiente,
esto es:
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Ahora, ¿se podrá representar por extensión todos los números reales
que cumplen la condición −3 ≤ n < 5? Argumenta tu respuesta.
Es claro que escribir por extensión todos los números reales tales
que cumplan −3 ≤ n < 5 será imposible, porque hay infinitos números.
Pero existe otra manera de representar este tipo de conjuntos: usando
intervalos de números reales.
En este caso, el conjunto se representa por [−3, 5[. Se dice que es
cerrado en el −3, porque el conjunto incluye ese número, y abierto en
el 5, porque no lo incluye.
Otra forma de representar este intervalo es gráficamente en la recta
real, tal como se muestra en la Figura . Obsérvese que en el valor −3 hay
un círculo ennegrecido; esto es porque el intervalo incluye este valor. En
el caso de que no lo incluya, como en el 5, se dibuja un círculo blanco.
Figura 2.27: Intervalo cerrado en el −3
y abierto en el 5.
Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto {x ∈ R | 1,25 < x ≤ 4,8}.
Para expresar el conjuntos anterior como intervalo se escriben los números correspondientes a los extremos
del intervalo, separados por una coma (o punto y coma) y un espacio, y se decide la orientación de los
corchetes, según si el intervalo es abierto o cerrado, en cada caso. Luego, el intervalo es ]1,25, 4,8], y su
representación gráfica es:
En resumen, el conjunto de números reales que se encuentran entre
otros dos números dados se puede representar mediante intervalos, con
a, b ∈ R y a < b, como se muestra en la siguiente tabla:
120
matemática ppvj 2018
Tipo de intervalo
Notación
Conjunto
Cerrado
[a, b]
{x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Abierto
]a, b[
{x ∈ R | a < x < b}
[a, b[
{x ∈ R | a ≤ x < b}
]a, b]
{x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, +∞[
{x ∈ R | x ≥ a}
]a, +∞[
{x ∈ R | x > a}
] − ∞, b]
{x ∈ R | x ≤ b}
] − ∞, b[
{x ∈ R | x < a}
Semiabierto
No acotados o
infinitos
Representación gráfica
álgebra
121
Ejercitación:
46. Expresa como intervalo y representa gráficamente los siguientes conjuntos:
√
a) {x ∈ R | − 3 < x}
b)
1
x ∈ R | < x ≤ 1, 33
5
c) {x ∈ R | x ≤ −3}
De la misma manera que pueden realizarse operaciones entre conjuntos,
tales como su unión y su intersección, estas operaciones pueden extenderse
a los intervalos, ya que, por definición, los intervalos son conjuntos de
números reales.
En particular, se hace énfasis en la unión y la intersección de intervalos
de números reales.
Ejemplo: Si se tienen los intervalos A =] − 1, 10[ y B = [5, +∞[ es posible determinar la unión A ∪ B,
considerando tanto los números que están entre −1 y 10, ambos no incluidos, como los que son mayores o
iguales que 5.
Obsérvese la representación gráfica de ambos conjuntos:
En la figura anterior, se representan con líneas achuradas hacia la derecha el conjunto A, y con líneas
achuradas hacia la izquierda el conjunto B. Entonces, para determinar A ∪ B se deben incluir todos los
valores de la recta que quedaron achurados hacia cualquier sentido (izquierda o derecha). Finalmente se
concluye que A ∪ B =] − 1, +∞[.
Por otra parte, se puede determinar la intersección A ∩ B, que corresponde a los números que pertenecen
a A y B simultáneamente. En la figura anterior, A ∩ B son los valores que quedaron achurados hacia la
izquierda y hacia la derecha, es decir, A ∩ B = [5, 10[.
Ejercitación:
47. Considera los intervalos C = [1, 5] y D =]7, +∞[. Determine C ∩ D y C ∪ D.
2.5.3 Propiedades de las desigualdades
Para establecer relaciones entre diferentes variables, se usan las propiedades de las desigualdades, derivadas de los axiomas de orden de los
números reales. Algunas de ellas son:
Si a, b y c son números reales y se cumple que a < b y b < c, entonces
a < c (transitividad).
El sentido de una desigualdad no cambia si se suma o resta un mismo
número real a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
122
matemática ppvj 2018
• Si a < b y c ∈ R, entonces a + c < b + c.
• Si a < b y c ∈ R, entonces a − c < b − c.
El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o divide un
mismo número real positivo a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
• Si a < b y c ∈ R+ , entonces ac < bc.
Observación
Al resolver un problema
que involucra una inecuación hay que considerar
que la solución debe ser pertinente al contexto; por ejemplo, la medida de un objeto
siempre es positiva, o la cantidad de personas siempre es un
número natural, entre otras.
• Si a < b y c ∈ R+ , entonces
a
b
< .
c
c
El sentido de una desigualdad cambia si se multiplica o divide un
mismo número real negativo a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
• Si a < b y c ∈ R− , entonces ac > bc.
• Si a < b y c ∈ R− , entonces
b
a
> .
c
c
Ejercitación:
48. Sea a un número positivo comprendido entre 0 y 1. ¿Entre qué valores se encuentra la expresión 1 − a?
49. Considera la expresión H = 2t2 − 15t + 28. Usando las propiedades de las desigualdades, demuestra que
si 5 ≤ t ≤ 9, entonces 3 ≤ H ≤ 55.
2.5.4 Inecuaciones lineales con una incógnita
Valentina desea calcular la nota que necesita en la última prueba de
geometría para aprobar el ramo. En las dos pruebas anteriores, sus notas
fueron 2,7 y 3,5. Si se representa por x a la nota de la tercera prueba, la
condición de aprobación del ramo se expresa en la Figura 2.28.
2, 7 + 3, 5 + x
≥ 4, 0
3
Figura 2.28: Desigualdad notas de Valentina.
2, 7 + 3, 5 + x
≥ 4,0
3
/·3
2,7 + 3,5 + x ≥ 12,0
6,2 + x ≥ 12,0
/ − 6,2
x ≥ 5,8
Figura 2.29: Resolución desigualdad.
Utilizando las propiedades de las desigualdades es posible encontrar el
intervalo en el que se encuentran todos los posibles valores de la variable
x, que verifican la desigualdad. Esto se muestra en la Figura 2.29.
El resultado nos indica que la nota que necesita Valentina en la última
prueba, debe ser como mínimo un 5,8 para poder aprobar el ramo. Ahora,
dado el contexto del problema, el valor de x no puede ser mayor a 7,0,
ya que esa es la nota máxima. Luego, el valor de x debe encontrarse en
el intervalo [5,8; 7,0] para que Valentina apruebe.
Definición. Una inecuación es una desigualdad que tiene una o más
incógnitas. Para resolverla, se deben encontrar todos los valores de las
incógnitas que hacen verdadera la desigualdad. El conjunto solución
de una inecuación con una incógnita se puede representar mediante un
intervalo, o bien, gráficamente en la recta numérica.
álgebra
123
Ejercitación:
50. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represéntalo gráficamente en la recta real.
a) x − 2 · (x − 3) > 0
b) (x + 1)2 − 5 ≥ x(x − 2)
2x
3x
−3 >
+1
5
2
d) 2x + 3 ≤ 4x − (x − 10)
c)
51. Resuelve los siguientes problemas.
a) Don José quiere cercar su terreno cuadrado con tres vueltas de alambre. Si en total dispone de 360 m
de alambre, ¿qué área, como máximo, debería tener el terreno de modo que le alcance con el material que
tiene?
b) En cierta asignatura, Paola tiene las siguientes notas: 5,5, 6,5, 7,0 y 6,0. Si desea obtener un promedio
final superior a 6,0 y únicamente le falta dar la prueba coeficiente dos, ¿qué nota debería obtener, como
mínimo, para alcanzar el promedio deseado?
2.5.5 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita
En algunos casos resulta insuficiente una sola inecuación para modelar una situación, sino que se necesitan varias inecuaciones que deban
cumplirse a la vez.
Definición. El conjunto de dos o más inecuaciones con una incógnita se
llama sistema de inecuaciones con una incógnita. En un sistema,
todas las inecuaciones deben cumplirse simultáneamente, de modo que
su conjunto solución corresponde a la intersección de las soluciones de
todas las inecuaciones que conforman el sistema.
Ejemplo: En la figura, están representados los conjuntos solución de las inecuaciones x < 15, 11 > x y
x ≥ 8. Como en el intervalo [8, 11[ están presentes los valores que cumplen las 3 inecuaciones, se puede
afirmar que dicho intervalo es la solución del sistema:
x < 15
11 > x
x≥8
En el caso anterior, dibujar la solución del sistema fue fácil porque la
incógnita estaba despejada en todas las inecuaciones. Sin embargo, en
otros casos será necesario resolver cada inecuación por separado, usando
las propiedades de las desigualdades.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
124
matemática ppvj 2018
3x + 2 > x − 4
5 − x ≥ −2
Se resuelve cada inecuación por separado:
3x + 2 > x − 4
2x + 2 > −4
2x > −6
/−x
5 − x ≥ −2
/−2
−x ≥ −7
/−5
/ · (−1) < 0
x≤7
/:2>0
x > −3
Por lo tanto, las soluciones de cada inecuación son S1 =] − 3, +∞[ y S2 =] − ∞, 7].
Luego, la solución del sistema corresponde a S = S1 ∩ S2 , lo que se representa en la siguiente figura:
En consecuencia, la solución del sistema
3x + 2 > x − 4
5 − x ≥ −2
es S =] − 3, 7].
Ejercitación:
52. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
x+2 > 1
a)
2x + 1, 3 < 15 − x
c)
3x − 2 ≤ 1
21
21
<
x
2
2
3
1
x+4 ≥ − x
5
6
4x +
b)
5, 3 − x ≥ 4
7x + 8 > 2 − x
d)
3x + x2 ≤ x2 − 2x
3x − 3 ≥ 6x + 13
álgebra
2.6 | Relaciones y funciones
“La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar
de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza
como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en
hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables
en un plano.
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos
centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis
en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos
y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario
comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y
representarlas en algún sistema geométrico adecuado.
Figura 2.30: Galileo Galilei.
Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función
aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la
clara comprensión de una relación entre variables. Casi al mismo tiempo
que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596- 1650) introducía
la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales
consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar
en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano
podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que
relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un
plano.
A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función.
En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada
de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”.
Pero no fue hasta 1748 cuando el concepto de función saltó a la fama
en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis
infinito, en el cual se definió función como:
Figura 2.31: Johhan Bernoulli.
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica
compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de
números o cantidades constantes.
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en
1755, tuvo que precisar su definición:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas
últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras
cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?,
¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los
Figura 2.32: Edouart Goursat.
125
126
matemática ppvj 2018
valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...
Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición
precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo
poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat
dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos
hoy en día:
Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde
un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación
y = f (x).”
Una breve historia de las funciones, Rubén Zamanillo.
Comprensión lectora
Enlista a un lado las ideas antecedentes de la definición de función y al otro las distintas definiciones
entregadas por los distintos personajes que menciona el texto.
¿Qué característica del lenguaje crees que motiva la constante redefinición de la idea de función?
2.6.1 Relaciones
En esta subsección, se estudiará el concepto de relación como introducción a las funciones. En primer lugar es necesario definir:
Definición. Sean A y B conjuntos, el producto cartesiano de A con
B, denotado por A × B, es el conjunto de pares ordenados
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Ejercitación:
53. A partir de los conjuntos definidos en el ejemplo anterior, determina A × A, B × B y B × A.
En lo que sigue se dará la formalización matemática de la noción de
relación que se usa constantemente en el lenguaje.
Definición. Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto
cartesiano A × B se llama una relación de A en B.
En particular, se estudiarán relaciones de un conjunto en sí mismo:
Definición. Sea A un conjunto. Se dice que R es una relación en A
cuando R ⊆ (A × A).
álgebra
127
Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d}, entonces R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (c, c), (c, d), (d, b), (d, d)} es una
relación en A. Esto se puede representar de la siguiente manera:
A
a
a
d
b
b
c
c
c
b
d
d
a
A
A
a
b
c
A
d
La primera corresponde a un diagrama sagital y la segunda a una representación gráfica en el plano cartesiano.
Ejercitación:
54. Sea A un conjunto tal que A = {(1, 2), (2, 5), (3, 3)}. Determina todas las relaciones posibles en A.
Represéntalas a través de un diagrama sagital y en el plano cartesiano.
Como ya se estudió, los conjuntos no necesariamente tienen elementos
enteros, finitos o contables. Cuando se considera a un subconjunto de
números reales, por ejemplo, este debe ser expresado a través de un
intervalo, ya que contiene no puede ser expresado por extensión.
Cuando se consideran intervalos de números reales para el producto
cartesiano, se utiliza el plano cartesiano para representarlo, como se
observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A =]1, 3[ y B =]2, 4[, subconjuntos de R. Obtén A × B y B × A.
Dado que A y B son intervalos de números reales, los productos cartesianos A × B y B × A tienen infinitos
elementos, por lo que no se representarán por extensión. Lo que se hace, es considerar su representación
gráfica, con el primer conjunto del producto en el eje horizontal y el segundo en el eje vertical, como se
observa a continuación:
B
A
5
5
A×B
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
A
B×A
1
2
3
4
B
128
matemática ppvj 2018
Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la región por ser A y B intervalos
abiertos de números reales. En caso de que sean semi abiertos o cerrados, se hace una línea continua, según
corresponda.
Ejercitación:
55. Sean A = [−2, 3[ y B = [2, 4] subconjuntos de R. Obtén A × B y B × A.
56. Para A = {x ∈ R | 1 < x < 5} y B = {y ∈ R | −1 < y ≤ 2}, obtén el producto cartesiano A × B y
B × A.
57. ¿Cuál crees que es el resultado de R × R?
58. Sea A = [2, 4]. Obtén R × A y A × R.
Ahora que se han trabajado productos cartesianos con intervalos
de números reales, parece lógico que hay que empezar a trabajar con
relaciones definidas sobre estos. En particular, se trabajarán relaciones
definidas sobre el conjunto de los números reales.
Ejemplo:
Sea R una relación sobre R tal que R = {(x, y ) ∈ R × R | y = x2 }. Represéntala gráficamente en el plano
cartesiano.
Dado que la relación que se quiere representar corresponde a un conjunto infinito, se utiliza una notación
algebraica para definirla, que relaciona a las componentes del par ordenado que están involucradas.
Para graficar la relación, se utiliza una tabla de valores para encontrar algunos pares ordenados que
pertenezcan al conjunto R. Para construir dicha tabla, se reemplazan valores de x en la expresión para
obtener su correspondiente y, luego, se grafican estos puntos en el plano cartesiano:
x
y
(x, y )
y
9
−3
9
(−3, 9)
7
−1
1
(−1, 1)
5
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
3
9
(3, 9)
3
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
Ahora, se sabe que la relación está definida sobre R y por tanto hay infinitos pares ordenados que pertenecen
a ella (y es absurdo pretender encontrarlos todos). Sin embargo, a partir del gráfico anterior, es posible
intuir cuál sería la representación gráfica de la relación, uniendo los puntos encontrados. De esta forma, se
obtiene finalmente:
álgebra
129
y
9
7
5
3
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
Nótese que la curva obtenida se extiende infinitamente en el plano cartesiano.
Ejercitación:
59. Sea R una relación sobre R, bosqueja su gráfica en cada caso.
a) R = {(x, y ) ∈ R | y =
b) R = {(x, y ) ∈ R | y =
√
c) R = {(x, y ) ∈ R | y = 2x + 1}
x}
d) R = {(x, y ) ∈ R | y = 2x }
x3 }
Para finalizar esta subsección, se definen los siguientes conceptos
vinculados con las relaciones:
Definición. Sea R una relación definida de A en B. El dominio de R,
denotado por Dom(R), es el conjunto tal que
Dom(R) = {a ∈ A | ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ R}.
Definición. Sea R una relación definida de A en B. El recorrido de
R, denotado por Rec(R), es el conjunto tal que
Rec(R) = {b ∈ B | ∃ a ∈ A tal que (a, b) ∈ R}.
Al conjunto B se le llama codominio de la relación.
Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2} y B = {y, z}, el producto cartesiano A × B es
A × B = {(1, y ), (2, y ), (1, z ), (2, z )} ,
por lo tanto R = {(1, y ), (1, z )} es una relación de A en B, donde
Dom(R) = {1}
y
Rec(R) = {y, z}.
Ejercitación: Sea el conjunto A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Determina A × B y define dos relaciones R1 y
R2 de A en B tales que R1 6= R2 , R1 , R2 6= φ y R1 , R2 6= A × B. Determina el dominio y recorrido de
cada una de las relaciones que definiste.
130
matemática ppvj 2018
2.6.2 Funciones
Problema: Considera los conjunto A = {−1, 1, 2, 3} y B = {1, 4}. Representa a través de un diagrama
sagital una relación de A en B que a los elementos de A le asigne su cuadrado en B. Considera también los
conjuntos C = {5, 6, 7} y D = {6, 7, 8, 9, 10}. Representa a través de un diagrama sagital una relación de C
en D que a los elementos de C le asigne su sucesor en D.
Para discutir
¿Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre las dos relaciones
anteriores?
Definición. Una función definida de A en B es una relación tal que a
todo elemento de A le corresponde un único elemento de B. Se denota
f (x) = y. En general, a la variable x se le llama variable independiente
y a la variable y, dependiente.
Ejemplo:
Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función “cubo” que a cada número en el
dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único recíproco, por lo que existe la función
“recíproco” que a cada elemento del dominio R \ {0} le asigna su inverso en el codominio R.
Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una
función “clasificación de género” que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos}
su género. El codominio de “clasificación de géneros” es la colección G = {géneros de Mammalia}.
La notación habitual para representar funciones con dominio A y
codominio B es:
f : A −→ B
x 7−→ y = f (x).
También se dice que f es una función de “A en B”. Por f (x) se resume
la regla de asignación que permite obtener el elemento B asociado a
un cierto x ∈ A. Además, se dice que x es una preimagen de y = f (x)
y que y = f (x) es la imagen de x.
Ejemplo: Se puede escribir la regla de asignación de las funciones definidas en el ejemplo anterior, como
sigue:
álgebra
Función
Regla de asignación
“cubo”
f : R −→ R, con f (x) = x3 , ∀ x ∈ R.
“recíproco”
“clasificación de género”
g : R − {0} −→ R, con g (x) =
131
1
, ∀ x ∈ R − {0}.
x
h : M −→ G, con h(m) = Género de m, ∀ m ∈ M .
Dado que las funciones son un tipo particular de relaciones, se pueden
representar de la misma manera, es decir, a través de un diagrama sagital,
de una regla de asignación o de un gráfico. Algunos ejemplos se ilustran
a continuación.
Ejemplos:
1. Se puede representar la función que le asigna a cada alumno de un curso su fecha de cumpleaños, a través
del siguiente diagrama sagital:
2. Adrián camina todos los días cierta distancia, para capturar pokémon, a una rapidez de dos metros por
segundo, manteniendo el ritmo constante. ¿Cómo se podría modelar esta sitación como una función?
¿Cómo se representaría gráficamente esta función?
Para resolver esta situación, se pueden seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Identificar la relación de dependencia (variable dependiente e independiente) y verificar que sea
una función.
132
matemática ppvj 2018
La distancia que recorre Adrián depende del tiempo empleado en caminarla, por lo tanto, estas corresponden
a las variables dependiente e independiente, respectivamente. Esta relación es una función, ya que a cierto
tiempo empleado en caminar le corresponde una única distancia recorrida.
Paso 2: Completar la tabla para asociar los valores de la variable dependiente e independiente.
Valores de la variable independiente
Valores de la variable dependiente
Tiempo (s)
Distancia recorrida (m)
1
2
2
4
3
6
4
8
Paso 3: Establecer los pares ordenados y graficarlos en el plano cartesiano a partir de los valores de la tabla
anterior.
Par ordenado
x
y
(x, y )
1
2
(1,2)
2
4
(2,4)
3
6
(3,6)
4
8
(4,8)
Por lo tanto, en el plano se muestra la representación gráfica de la función de la distancia recorrida por
Adrián en sus caminatas.
Paso 4: Modelar la situación con lenguaje algebraico y expresarla como función.
y = f (x): metros de distancia recorridos.
x: tiempo empleado.
Los metros de distancia recorridos están en función del tiempo empleado, por lo que la función que
modela esta situación es:
y = 2x ⇒ f (x) = 2x.
Además, es posible definir el dominio de la función como el conjunto de todos los números mayores o iguales
a cero y el codominio como todos los reales.
3. Obsérvese el gráfico que representa el monto que se debe pagar por cierta cantidad de fotocopias. ¿Qué
función modela la situación? ¿Cuál es su regla de asignación?
álgebra
133
Para determinar lo pedido se pueden seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Extraer los pares ordenados representados en la gráfica.
x
y
Par ordenado
0
0
(0, 0)
1
15
(1, 15)
2
30
(2, 30)
3
45
(3, 45)
4
60
(4, 60)
Paso 2: Identificar el patrón que se produce en la tabla.
15 = 1 · 15
30 = 2 · 15
45 = 3 · 15
60 = 4 · 15
..
.
y = x · 15
∴ f (x) = 15x.
Por lo tanto, la función que modela el monto a pagar por las fotocopias es f (x) = 15x. Además, es posible
definir el dominio como el conjunto de los enteros positivos y el codominio como el conjunto de los números
reales.
Ejercitación:
60. Identifica en cuál de los siguientes diagramas sagitales se representa una función. Argumenta tu respuesta.
134
matemática ppvj 2018
61. Identifica cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función. Argumenta tu respuesta.
62. Calcula la imagen pedida en cada función.
c) c(−1) si c(d) = d3 − d2 + d
a
d) g (−4) si g (a) = − 9
8
a) f (−2) si f (x) = 6x
b) g (2, 5) si g (t) = −1 − t
63. Completa la tabla de valores asociada a la función dada e identifica el conjunto de imágenes y preimágenes
según la tabla. Represéntalo a través de un diagrama sagital.
a) f (x) = −3x −→
x
2
f (x)
b) g (l ) = 1 − 5l −→
l
g (l )
5
9
1
c) h(t) = t + 2 −→
4
−1
2
26
−4
t
6
h(t)
1
64. Identifica la regla de asignación de las funciones representadas en cada tabla.
2
4
5
2
álgebra
a)
b)
x
1
2
3
4
g (x)
5
10
15
20
x
2
−1
8
−9
h(x)
1
−2
7
−10
c)
d)
x
3
−5
−1
7
i(x)
9
25
1
49
x
−1
0
−2
6
j (x)
−1
0
−8
216
65. Calcula el valor de las imágenes a partir del siguiente gráfico.
f (−2) = 2
a) f (0)
c) f (1)
e) f (3)
g) f (−2) − f (3)
b) f (−1)
d) f (2)
f) f (−3)
h) f (−3) − f (2)
66. Calcula el valor de las preimágenes a partir del siguiente gráfico.
f (x) = 1 ⇒ x = −1
a) f (x) = 2 ⇒ x =
e) f (x) = 4 ⇒ x =
b) f (x) = −1 ⇒ x =
f) f (x) = −2 ⇒ x =
c) f (x) = 0 ⇒ x =
g) f (x + 1) = 2 ⇒ x =
d) f (x) = 3 ⇒ x =
h) f (1 − x) = −1 ⇒ x =
135
136
matemática ppvj 2018
67. Resuelve los siguientes problemas:
a) Una persona pagará $15 por fotocopiar cada página de un libro. Si además por el anillado le cobran
$500, ¿cuál es la función D que permite calcular el dinero que pagará por fotocopiar y anillar un libro de
n páginas?
Construye una tabla de valores que muestre la relación anterior.
Determina los pares ordenados pertenecientes a la función y grafícalos en el plano cartesiano.
b) Franco y Catalina construyeron un depósito de agua lluvia para el riego de hortalizas como el que se
muestra en la figura, donde h es la altura que alcanza el agua.
¿Cuál es la relación entre el volumen del
depósito y la altura que alcanza el agua? Exprésalo algebraicamente.
Realiza una tabla de valores para la función
encontrada en el punto anterior.
Si por cada 100 cm3 Franco y Catalina deben
colocar una pastilla purificante en el depósito,
¿cuántas pastillas deben colocar si el agua
llega a una altura de 1,5 m?
c) La temperatura de ebullición del agua a nivel del mar es 100◦ C. A medida que la altura varía, la
temperatura de ebullición varía. Un equipo que se prepara para subir la montaña considera la siguiente
tabla:
Altura (m)
Temperatura de ebullición
(◦ C)
0
500
1000
1500
2000
100
99,5
99
98
97,5
Realiza el gráfico con los datos de la tabla.
Uno de los excursionistas afirma que las variables involucradas son directamente proporcionales. ¿Está
en lo cierto?
¿Qué sucede a medida que la altura aumenta?
Los excursionistas pretenden llegar a 4.000 metros de altura. En tal caso, ¿cuál sería la temperatura
estimada de la ebullición del agua?
álgebra
137
2.7 | Teoría de funciones
Las funciones son útiles en prácticamente todas las áreas de la matemática, como el cálculo, la estadística, las probabilidades, la teoría de
números, en el álgebra misma, entre otras. Por supuesto que, su estudio
no se limita únicamente a una definición y un par de conceptos ligados a
esta, sino que se profundiza aún más y se desarrollan ideas tales como la
composición y la función inversa, temas principales de esta sección.
2.7.1 Traslación
Problema:
Considera las siguientes funciones y responde.
f : R → R, f (x) = 2x
g (x) = f (x) + 1 = 2x + 1
h(x) = f (x) − 1 = 2x − 1
j (x) = f (x + 3) = 2(x + 3)
k (x) = f (x − 3) = 2(x − 3)
1. Completa la siguiente tabla:
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
f (x) = 2x
g (x) = 2x + 1
h(x) = 2x − 1
j (x) = 2(x + 3)
k (x) = 2(x − 3)
2. Realiza las siguientes actividades:
Grafica las funciones f (x), g (x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla
anterior. ¿Qué relación se observa entre ellas?
Grafica las funciones f (x), j (x) y k (x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla
anterior. ¿Qué relación se observa entre ellas?
138
matemática ppvj 2018
¿En qué punto se intersectan las gráficas de las funciones f (x), g (x) y h(x) con el eje y? ¿Qué relación
se puede establecer entre los términos de la función y su gráfica?
¿En qué punto se intersectan las gráficas de las funciones f (x), j (x) y k (x) con el eje x? ¿Qué relación
se puede establecer entre los términos de la función y su gráfica?
Para discutir
¿Qué conclusión general puedes establecer a partir del problema anterior?
En general, dada una función f (x) y un número real positivo a, se
tiene que:
f (x) + a es una traslación vertical de f (x), a unidades hacia arriba.
f (x) − a es una traslación vertical de f (x), a unidades hacia abajo.
f (x + a) es una traslación horizontal de f (x), a unidades hacia la
izquierda.
f (x − a) es una traslación horizontal de f (x), a unidades hacia la
derecha.
Problema: Considera las siguientes funciones y responde.
f : R → R, f (x) = 2x + 1
l (x) = f (−x) = 2(−x) + 1 = −2x + 1
m(x) = −f (x) = −(2x + 1) = −2x − 1
1. Completa la siguiente tabla:
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
f (x) = 2x + 1
l (x) = −2x + 1
m(x) = −2x − 1
2. Grafica las funciones f (x), l (x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior.
¿Qué relación se observa entre las gráficas de las funciones anteriores? Explica.
álgebra
En general, dada una función f (x), se tiene que:
l (x) = f (−x) es una reflexión de f (x) respecto del eje y.
m(x) = −f (x) es una reflexión de f (x) respecto del eje x.
Como se puede observar, la forma de la gráfica de f (x) se ha mantenido
en cada caso, pero se observan algunas transformaciones isométricas según
las modificaciones que se realizan.
Los resultados anteriores se resumen diciendo que, si f (x) es una
función, a su gráfica se le pueden realizar las siguientes transformaciones
donde a > 0:
Traslación vertical
Traslación horizontal
Reflexión
Hacia arriba:
Hacia la izquierda:
Respecto del eje x:
Hacia abajo:
Hacia la derecha:
Respecto del eje y:
Ejercitación:
68. Considera la función f (x), cuya gráfica es la siguiente:
139
140
matemática ppvj 2018
Grafica las siguientes funciones:
a) −f (x)
b) f (−x)
c) f (x + 5)
d) f (x − 20)
e) f (x) + 15
f) f (x) − 10
2.7.2 Composición
Objetivo PSU
Observación
La composición de funciones verifica las siguientes
propiedades:
Asociatividad. Sean f , g
y h funciones, se cumple que
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h.
Elemento neutro. Existe
I (x) = x tal que
(f ◦ I )(x) = (I ◦ f )(x) = f (x),
donde I (x) = x recibe el
nombre de función identidad.
Además, la composición no es
conmutativa, es decir, en general
(f ◦ g )(x) 6= (g ◦ f )(x).
Comprender los conceptos y propiedades de la composición de
funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con
las transformaciones isométricas.
Sean f y g dos funciones tales que f : X −→ Y y g : W −→ Z,
donde la imagen de f tiene elementos en común con el dominio de
g, entonces la función compuesta g ◦ f : H −→ Z se define como:
(g ◦ f )(x) = g (f (x)). También se puede leer “g compuesta con f ”.
Cuando W = Y , se puede representar la composición a través de un
diagrama sagital como sigue:
álgebra
141
Ejemplo: Sean f : R → R, f (x) = 2x + 1 y g : R → R, g (x) = −x + 5, entonces:
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (−x + 5) = 2(−x + 5) + 1 = −2x − 10 + 1 = −2x − 9
y
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (2x + 1) = −(2x + 1) + 5 = −2x − 1 + 5 = −2x + 4.
Ejercitación:
69. Expresa mediante una sola función las siguientes composiciones, considerando que f (x) = 2x, g (x) = −5x,
h(x) = 4x − 1 e i(x) = x2 , todas con dominio y codominio el conjunto de los números reales.
a) (f ◦ g ◦ h)(x)
b) (h ◦ g ◦ i)(x)
c) (f ◦ h ◦ g ◦ i)(x)
70. Evalúa las siguientes composiciones. Para ello considera que f (x) = 2x, g (x) = 1 − 6x y h(x) = x2 + 1.
a) (f ◦ h)(−3)
b) (f ◦ h ◦ g )(−1)
c) (f ◦ g ◦ h)
1
3
Nótese que,
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g )},
por lo tanto, el dominio de la composición g ◦ f no siempre es igual al
dominio de la función que se aplica primero, en este caso f .
Ejemplo: Sea la función f , cuyo dominio es el conjunto {1, 2, 3}, definida por f (x) = x − 1 y sea la función
g, con dominio el conjunto {0, 1, 2, 3}, definida por g (x) = x + 1. ¿Cuál es el dominio de f ◦ g?
Para responder esta pregunta, obsérvese el siguiente diagrama:
g
f
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
2
El dominio de f ◦ g está compuesto por todos los elementos del dominio de g tal que su imagen esté en el
dominio de f . Como se observa, el 4 (imagen de g) no está contenido en el dominio de f , por tanto el 3 no
142
matemática ppvj 2018
puede estar en el dominio de f ◦ g. Luego, el resultado es
Dom(f ◦ g ) = {0, 1, 2}.
2.7.3 Funciones inyectivas, epiyectivas y biyectivas
Función inyectiva
Definición. Una función es inyectiva o uno a uno si a cada elemento
del recorrido le corresponde una única preimagen, es decir,
f es inyectiva ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Por ejemplo, sean las funciones f : A → B y g : X → Y , cuyas
representaciones gráficas mediante diagrama sagital es la siguiente:
g
f
4
A
B
X
Y
1
0
−2
0
2
1
−1
1
0
2
3
4
1
8
4
9
2
9
y
f (x)
3
2
•
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
−2
−3
−4
Se observa que la función f es inyectiva ya que todos los elementos
del dominio tienen una imagen diferente, en cambio, la función g no es
inyectiva ya que g (1) = g (−1), es decir, dos elementos diferentes del
dominio tienen la misma imagen.
Figura 2.33: Función f .
4
y
g(x)
3
2
•
−4
−3
•
−2
•
1
−1
1
2
3
−1
−2
−3
4
x
Para determinar si la función es inyectiva, resulta útil construir su
representación gráfica y luego aplicar el criterio de la recta horizontal,
que consiste en trazar rectas horizontales que intersecten a la gráfica. Si
la recta corta a la gráfica en un solo punto, la función es inyectiva, en
cambio, si la recta intersecta a la gráfica en más de un punto, la función
no es inyectiva.
−4
Figura 2.34: Función g.
Obsérvese los gráficos de las Figuras 2.33 y 2.34. La función f es
inyectiva ya que toda recta horizontal corta a la gráfica en un solo punto,
en cambio la función g no es inyectiva puesto que la recta horizontal
dibujada corta a la gráfica en tres puntos.
álgebra
143
Ejemplo: Sean las funciones f : R → R con f (x) = x2 y g : R → R con g (x) = 3x − 1. Determina si f
y/o g son inyectivas.
Al graficar las funciones se obtiene:
4
y
4
f (x)
3
•
−4
−3
−2
g(x)
3
•
2
1
−1
y
1
2
1
2
3
x
4
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
•
1
2
3
4
x
Utilizando el criterio de la recta horizontal, se concluye que f no es inyectiva y que g es inyectiva.
Otra forma de resolver el problema es de manera algebraica, ya que en una función inyectiva se cumple que
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . Se aplica esto a f y g:
okap
f ( x1 ) = f ( x2 )
okap
g ( x1 ) = g ( x2 )
⇒
x21 = x22
⇒
3x1 − 1 = 3x2 − 1
⇒
x21
=0
⇒
3x1 = 3x2
⇒
(x1 + x2 )(x1 − x2 ) = 0.
⇒
x1 = x2 .
− x22
De donde
( x1 + x2 ) = 0
⇒
o
x1 = −x2
( x1 − x2 ) = 0
o
x1 = x2 .
En el caso de f no se cumple la condición, en cambio, en el caso de g, sí se cumple.
Función epiyectiva
Definición. Una función es epiyectiva o sobreyectiva si su recorrido
es igual a su codominio, es decir, cada elemento del codominio tiene al
menos una preimagen.
Por ejemplo, en las funciones cuyas representaciones sagitales están
dibujadas abajo se tiene que f : A → B es una función epiyectiva ya que
Rec(f ) = B. Por otro lado, la función g : X → Y no es epiyectiva ya
que hay elementos en el codominio que no son imagen de ningún número,
en este caso, el 10.
144
matemática ppvj 2018
g
f
g
X
Z
1
0
A
B
X
Y
1
−13
1
0
−15
2
−18
4
2
1
3
2
1
4
9
Figura 2.35: Función g, de codominio
Z.
h
C
4
9
10
Como g no es sobreyectiva, se puede redefinir el codominio para que
sí lo sea; por ejemplo, si se define el conjunto Z = Y \ {10}, se tiene que
la función g : X → Z e sobreyectiva, como se observa en la Figura 2.35.
D
Función biyectiva
1
0
2
1
3
4
4
9
Figura 2.36: Función h de dominio C y
codominio D.
Definición. Una función f es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la
vez.
Obsérvese la función h de la Figura 2.36. Cada elemento del codominio
D es imagen de un único elemento del dominio C, es decir, la función
es inyectiva. Además, el codominio D es igual al recorrido de la función,
por lo tanto h es epiyectiva. Finalmente, se concluye que la función es
biyectiva.
Ejercitación:
71. Determina si la función dada es inyectiva y/o epiyectiva. Justifica tu respuesta.
a) Función m.
b) Función h.
m
c) Función s.
s
h
F
G
K
L
W
1
11
1
1
1
2
2
2
12
13
3
4
2
0
3
14
15
Y
3
3
4
álgebra
d) Función f .
e) Función r.
f) Función p.
r
f
p
X
Y
P
Q
M
N
1
0
1
10
1
1
2
5
2
20
2
10
3
30
4
40
3
20
5
50
3
10
4
15
145
4
72. De las funciones anteriores, ¿cuál(es) es (son) biyectiva(s)?
73. Determina si la función f : R → R definida como f (x) = x2 es sobreyectiva. De no serlo, redefine el
codominio de modo que lo sea.
74. Determina si la función f : R → R definida como f (x) = 2 − x es biyectiva.
75. Redefine el dominio y el codominio de la función f : R → R definida como f (x) = x2 , de modo que sea
una función biyectiva.
76. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {10, 100, 1000, 10000} y la función f : A → B definida por
f (x) = 10x para cada x ∈ A.
a) Representa con un diagrama sagital a f .
b) Establece el conjunto de pares ordenados de f .
c) Determina si f es inyectiva, epiyectiva y/o biyectiva.
77. Determina si las siguientes funciones son inyectivas o no. Justifica tu respuesta.
a) okap
b) okap
c) okap
y
y
4
4
3
3
3
2
2
2
1
−4
−3
−2
−1
y
4
1
1
2
3
4 x
−4
−3
−2
−1
1
1
2
3
4 x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
78. Determina cuál(es) de las siguientes funciones es (son) inyectiva(s).
a) f (x) = (x + 1)2 − x2
b) g (x) = 0,3x4
c) h(x) = log(x) + 2
2
3
4 x
146
matemática ppvj 2018
79. Determina si las siguientes funciones definidas en los reales son epiyectivas.
a) f (x) = (x − 6)
A
B
1
−2
2
−1
3
0
4
1
f −1 (x) = x + 3
Figura 2.37: Función inversa.
h
K
L
0
1
1
2
2
3
h−1
Figura 2.38: Función h.
f
A
B
1
−1
−2
2
−3
−4
3
d) i(x) = log(x)
2.7.4 Función inversa
f (x) = x − 3
3
b) g (x) = 3(x − 2)3 + 5 c) h(x) = 6x
Objetivo PSU
Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa.
Definición. Dada la función f : A → B biyectiva, se llama función
inversa de f a la función f −1 : B → A tal que para cualquier x del
dominio de f se cumple que: si f (x) = b entonces f −1 (b) = x.
En el diagrama sagital de la Figura 2.37 se representa una función f
y su inversa f −1 . Nótese que, el dominio de f equivale al recorrido de
f −1 , y el recorrido de f al dominio de f −1 . Además, para que f −1 sea
función, a cada elemento de B le debe corresponder una única preimagen,
de manera que f debe ser una función biyectiva.
Este último resultado se conoce como teorema de la función inversa: una función f tiene inversa si y solo si es biyectiva.
Obsérvese la función h de la Figura 2.38. En el diagrama, h no es
inyectiva ya que h(2) = h(3) = 2. Luego, h−1 no es función ya que
hay un elemento de su dominio (el 2) que tiene dos imágenes (2 y 3).
Ahora, obsérvese la función f de la Figura 2.39. En el diagrama, f no es
sobreyectiva, ya que el −4 no tiene preimagen. Luego, f −1 no es función
ya que no todos los elementos de su dominio tienen imagen.
Por otro lado, dada una función f biyectiva, si se calcula la composición
(f ◦ f −1 )(x) o (f −1 ◦ f )(x) se obtiene como resultado la función identidad
I (x) = x, de esta manera es posible determinar fácilmente si una función
es la inversa de la otra.
x−3
Por ejemplo, sea la función f (x) = 2x + 3, ¿es g (x) =
su
2
inversa?
Para responder, se calcula la composición:
x−3
(x − 3)
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f
= 2·
+ 3 = x − 3 + 3 = x.
2
2
Finalmente, se concluye que g (x) = f −1 (x).
f −1
Figura 2.39: Función f .
En la siguiente gráfica se muestra a la función f , junto a su inversa
y la función identidad. Como se observa, la función f y su inversa son
simétricas con respecto a la recta y = x.
álgebra
147
y
4
I(x) = x
3
2
(−1, 1)
f −1 (x)
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
f (x)
−2
2
3
4 x
Usted no lo haga
(1, −1)
La notación f −1 significa
“función inversa de f ” y
solo eso. Asique, recuerda
−3
f −1 6=
1
.
f
−4
Ejercitación:
80. Determina la inversa de f : R → R, f (x) =
1
1
x + . Luego traza las gráficas de f y f −1 .
2
5
81. Traza la gráfica de f −1 a partir de la gráfica de f .
a) okap
b) okap
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4 x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
2
3
4 x
82. Determina si las siguientes funciones, definidas en los números reales, tienen inversa. En caso de que la
tengan, determina f −1 .
a) f (x) = 3x + 4
b) g (x) = 2x3 − 1
c) h(x) = x2 − 4
d) log (x − 5)
148
matemática ppvj 2018
2.8 | Tipos de funciones
2.8.1 Función lineal
Objetivo PSU
Observación
Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades
y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo
con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar
decisiones.
Sean x e y elementos del
dominio de f , función lineal de la forma f (x) =
mx, y α ∈ R, se cumple que:
f (x + y ) = f (x) + f (y )
f (αx) = αf (x).
Además,
f (0) = 0,
Función lineal de la forma f (x) = mx
Definición. Una función de la forma
ya que
f (0) = m · 0 = 0
Y como consecuencia, si f (0) 6=
0, entonces f no es una función
lineal de la forma f (x) = mx.
y = f (x) = mx,
recibe el nombre de función lineal, siendo las variables x e y directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad m. Al graficarla
en el plano y unir los puntos, se obtiene una recta que pasa por el origen
(0, 0).
Ejercitación:
83. En el transporte público, el precio del pasaje adulto es $640.
a) Construye una tabla que muestre el valor que se debe pagar por 1, 2, 3 y 4 pasajes de adulto.
b) ¿La relación anterior corresponde a una proporcionalidad directa? ¿Por qué?
c) Calcula la constante de proporcionalidad entre las variables involucradas.
84. Identifica cuál de las siguientes gráficas corresponde a la representación de una función lineal. Argumenta.
a) okap
85. Resuelve los siguientes problemas.
b) okap
c) okap
álgebra
149
a) Iván sube a la cima de un cerro en bicicleta a una rapidez de 250 m/min, y baja el mismo cerro a 500
m/min.
¿Cuál es la distancia total que recorre Iván, si se demora 20 minutos en subir y 10 minutos en bajar?
¿Cuáles son las funciones que expresan la distancia en relación con el tiempo, considerando la rapidez
de subida y la rapidez de bajada respectivamente?
¿Cómo son las gráficas a medida que la rapidez aumenta?
b) Gabriela es bombera y compró una copa de agua cilíndrica para un sistema de apagado de incendios.
En las instrucciones venía el siguiente gráfico:
¿Qué función está representada en el gráfico?
¿Cuál es el volumen si la altura de llenado es de 5 metros?
Función lineal de la forma f (x) = mx + n
Definición. Una función de la forma
Observación
f (x) = mx + n,
(m, n 6= 0) recibe el nombre de función lineal. El gráfico de esta es una
recta que intersecta al eje y en el punto (0, n). Además, m corresponde
a la pendiente de la recta.
Si m = 0, entonces
f (x) = n y se denomina
función constante.
Ejercitación:
86. Resuelve los siguientes problemas.
a) Una empresa telefónica ofrece dos tarifas para sus clientes, las cuales se muestran el la siguiente tabla:
Tarifa
Cargo fijo
Costo por llamada
A
16000
100
B
18000
70
¿Cuál es la función que modela el monto total a pagar para cada tarifa?
Si un cliente hace solamente 20 llamadas al mes ¿qué tarifa le conviene contratar? ¿Y si hace 80
llamadas?
150
matemática ppvj 2018
¿Para cuántas llamadas es conveniente una tarifa u otra? Grafica las rectas asociadas a las funciones.
2.8.2 Función exponencial
Objetivo PSU
Utilizar las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada
como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y representarlas gráficamente en forma manual.
Observación
Nicolás estudia el comportamiento de dos cultivos A y B de bacterias
(ambos comenzaron con aproximadamente 1000 bacterias). El cultivo A
se encuentra en condiciones muy favorables y se triplica cada un minuto,
mientras que en el B se está probando un antibiótico, y a cada minuto
la población disminuye a su tercera parte.
En el primer cultivo,
la cantidad de bacterias
crece a cada minuto, triplicándose. Esto se conoce con
el nombre de crecimiento exponencial.
En el segundo cultivo ocurre
lo contrario, esto se conoce como decrecimiento exponencial.
Para hacer el estudio construye una tabla de valores que representa
las situaciones, considerando el tiempo t en minutos y la cantidad de
bacterias en cada cultivo.
Cantidad de bacterias luego de t minutos
Cultivo A
Cultivo B
0
1
2
3
4
5
1000 · 30
1000 · 31
1000 · 32
1000 · 33
1000 · 34
1000 · 35
= 1000
= 3000
= 9000
= 27000
= 81000
= 243000
1000
0
1
3
= 1000
1000
1
1
3
≈ 333, 333
1000
2
1
3
≈ 111, 11
1000
3
1
3
≈ 37, 037
1000
4
1
3
≈ 12, 35
1000
5
1
3
≈ 4, 12
Para discutir
¿A través de qué funciones se pueden modelar las situaciones anteriores?
Grafícalas.
Definición. Una función exponencial es aquella que tiene a la variable
independiente en el exponente de una potencia. De forma general se tiene
que
f (x) = abx ,
álgebra
151
donde:
a, b ∈ R, con b > 0, b 6= 1 y a > 0 se tiene, dom f (x) = R y Rec
f (x ) = R+ .
La gráfica se intersecta con el eje y en el punto (0, a), y no se intersecta
con el eje x, que actúa como asíntota de la gráfica.
La gráfica de una función exponencial de la forma f (x) =
del valor de b. Así:
bx
Observación
depende
Si la gráfica de una función se aproxima cada vez
más a una recta, pero sin
intersectarse con ella, se dice
que dicha recta es una asíntota de la gráfica.
• Si b > 1, la gráfica de la función es creciente.
• Si 0 < b < 1, la gráfica es decreciente.
Además, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor
crecimiento o decrecimiento, en cada caso.
Ejercitación:
87. Determina el dominio, recorrido e intersecciones con los ejes de las gráficas correspondientes a las siguientes
funciones:
a) f (x) = 2x − 1
b) g (x) = 10x − 5
c) h(x) = 1 − 3x
88. La cantidad de ciertas bacterias presentes en un cuerpo se reproduce exponencialmente duplicando su
población cada 3 minutos.
a) Complete la siguiente tabla:
Reproducción de la población de bacterias
Tiempo (minutos)
3
Población
500
6
9
12
15
18
21
b) ¿Qué función f (x) modela la situación según el tiempo de reproducción?
c) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f (x)?
d) Esboza un gráfico de f (x).
24
27
152
matemática ppvj 2018
2.8.3 Función logarítmica
Definición. Una función logarítmica es de la forma
f (x) = loga (x),
con a > 0, a 6= 1. En ella se tiene que:
Dom(f ) = R+ y Rec(f ) = R.
La gráfica se intersecta con el eje x en el punto (1, 0) y no se intersecta
con el eje y que actúa como asíntota de la gráfica.
Si a > 1, la gráfica de la función es creciente.
Si 0 < a < 1, la gráfica es decreciente.
Observación
A partir de la gráfica se
puede notar que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Ejercitación:
89. Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso para que las siguientes funciones sean decrecientes
o crecientes.
a) f (x) = log4a (x)
b) g (x) = log−5a (x)
c) h(x) = log(a−1) (x)
90. Determina el punto de intersección con el eje x y con el eje y en las siguientes funciones:
a) f (x) = log(−x + 5)
b) g (x) = 2 + log2 (x − 2)
c) h(x) = log(x + 10)
91. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
a) f (x) = log(x) + 2
b) g (x) = log(3x) − 4
c) h(x) = 1 − log3 (x)
153
álgebra
2.8.4 Función raíz cuadrada
Problema:
Valentina estudia la función que relaciona la rapidez v en cm/s con la que cae un líquido desde el orificio de
una vasija, y la altura h respecto al suelo de la misma en centímetros, que está dada por la expresión
p
v = 2 · g · h,
donde g corresponde a la aceleración de gravedad terrestre y se utiliza con el valor aproximado de 9[m/s2 ]
para efectos del ejercicio.
Construye una tabla de valores para encontrar 4 puntos que pertenezcan a la gráfica de la función.
Grafica la función en el plano cartesiano.
A partir del gráfico, ¿qué sucede con la rapidez a medida que crece el valor de h?
Si h = 25, ¿cuál es la rapidez? ¿Y si h = 144?
Definición. La función raíz cuadrada es de la forma
f (x) =
√
y
x,
f (x) =
cuya gráfica se representa en al Figura 2.40.
√
x
Se cumple que:
x
Su dominio y recorrido corresponden a los números reales positivos y
el cero (R+ ∪ {0}) respectivamente.
Figura 2.40: Gráfica función raíz cuadrada.
Ejercitación:
92. Determina el punto de intersección con los ejes x e y de las siguientes funciones:
a) f (x) =
√
x − 10 + 20
b) g (x) = 12 −
√
3x
93. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones.
a) f (x) =
√
x+3
b) g (x) =
1 √
− 2x
3
2.8.5 Función potencia
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyo modelo resultante sea la
función potencia.
c) h(x) = 3 +
√
x−1
154
matemática ppvj 2018
Definición. La función potencia es de la forma
f (x) = a · xn ,
3 y
con a, n ∈ R, a 6= 0 y n 6= 0.
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
Figura 2.41: Función f , tal que f (x) =
−3x2 .
3 y
2
Obsérvese que si el exponente n es un número entero positivo no hay
restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia,
es decir, la función está definida en todo R, luego, Dom(f ) = R. En
cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir
qué sucede en los casos cuando n es par o impar.
Obsérvense los gráficos de las Figuras 2.41, 2.42, 2.43 y 2.44, con n
par positivo. Se observa que los valores de f (x) correspondientes a la
función f (x) = a · xn , para n par positivo, dependen de si a es mayor o
menor que 0.
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
Figura 2.42: Función f , tal que f (x) =
4
− x4 .
5
3 y
Cuando a > 0, los valores que puede adoptar f (x) son siempre positivos o cero. Luego, Rec(f ) = R+ ∪ {0}.
Cuando a < 0, los valores que puede adoptar f (x) son siempre negativos o cero. Luego, Rec(f ) = R− ∪ {0}.
Obsérvense las siguientes gráficas de funciones potencia, con n impar
positivo:
2
f (x) =
1
3
−3
−2
−1
−1
1
2
3
x
y
1 5
x
4
f (x) = 5x7
3
2
2
1
1
y
−2
−3
−3
−2
Figura 2.43: Función f , tal que f (x) =
2x4 .
3 y
2
−1
1
2
3
x
−1
−3
−3
−2
−1
−1
1
2
3
−3
−3
3
−3
−2
y
2
1
1
−1
3
x
3
x
3
2
−1
2
3
f ( x ) = − x5
2
y
f (x) = −2x3
−3
1
−1
−2
−2
Figura 2.44: Función f , tal que f (x) =
1 4
x .
2
−1
−2
1
x
−2
1
2
3
x
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
−2
−3
−3
Se observa, cuando n es impar positivo, que el recorrido de la función
siempre es el conjunto de los números reales, independiente del valor que
adopta a, es decir, Rec(f ) = R.
álgebra
155
3 y
2
Por otra parte, si a > 0 la gráfica de la función se encuentra en el
primer y tercer cuadrante, en cambio si a < 0 la gráfica de la función se
encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.
1
−3
−2
a>0
2
3 x
−3
Figura 2.45: Función f , tal que f (x) =
4x−2 .
a<0
y
1
−2
En resumen, se obtiene lo siguiente:
n
−1
−1
3 y
y
2
1
−3
Par
x
−2
x
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
y
Figura 2.46: Función f , tal que f (x) =
2 −6
x .
5
y
3 y
2
1
Impar
x
x
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
Figura 2.47: Función f , tal que f (x) =
−5x−4 .
Ejercitación:
94. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) f (x) = 5x8
b) g (x) = −4x−4
c) h(x) = 0,3x5
Obsérvense las gráficas de las Figuras 2.45, 2.46, 2.47 y 2.48, que
representan funciones potencia cuando el exponente es un número negativo par. Se puede verificar que cuando n es un número par negativo,
el dominio de la función potencia son los números reales diferentes de
cero, o sea, Dom(f ) = R \ {0}. Sin embargo, el recorrido de f , depende
del signo de a: Si a > 0 entonces Rec(f ) = R+ y si a < 0 entonces
Rec(f ) = R− . En este caso, los ejes x e y son asíntotas de la función.
Finalmente, obsérvense las funciones de las Figuras 2.49, 2.50, 2.51
y 2.52, donde n es un número impar negativo. A partir de estas se
puede observar que en todos los casos tanto el dominio de f como su
recorrido es el conjunto de los números reales menos el cero. Luego,
Rec(f ) = Dom(f ) = R \ {0}. En este caso, los ejes x e y son asíntotas
de la función.
En resumen, se tiene
d) i(x) = −5x67
3 y
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
Figura 2.48: Función f , tal que f (x) =
1
− x−8 .
2
3 y
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
−2
−3
Figura 2.49: Función f , tal que f (x) =
3x−3 .
156
matemática ppvj 2018
n
a>0
a<0
y
y
3 y
Par
2
x
1
−3
−2
−1
−1
1
2
x
3 x
−2
−3
Figura 2.50: Función f , tal que f (x) =
2x−5 .
n
a>0
a<0
3 y
y
y
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3 x
Impar
x
x
−2
−3
Figura 2.51: Función f , tal que f (x) =
1
− x−9 .
12
3
y
2
Interés compuesto
1
−3
−2
−1
1
2
3
x
−1
−2
−3
Figura 2.52: Función f , tal que f (x) =
−4x−7 .
Se puede utilizar la función potencia y sus traslaciones para modelar
situaciones de interés compuesto, por medio de la expresión
f (x) = a · (1 + x)t ,
donde f (x) es el capital final obtenido al invertir un capital inicial a con
una tasa de interés compuesto anual x, durante un período de tiempo t,
en años.
Ejercitación:
95. Adrián, Valentina y Jaime depositaron cada uno $32.000 en sus cuentas, con una tasa de interés compuesto
anual, durante 3 años. Adrián realizó el depósito con una tasa del 2 % anual, Valentina lo realizó con un
0,05 % anual y Jaime, con un 1 % anual.
a) Determina la función que te permite modelar la situación anterior.
b) Al cabo de 3 años, ¿quién obtuvo mayor ganancia? ¿Cuánto más?
c) ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibió Valentina y Jaime?
d) Ahora a Jaime le ofrecen cambiar de banco, con una tasa de interés compuesto cada seis meses de
0,5 %. ¿Le conviene? ¿Por qué?
álgebra
157
2.8.6 Función cuadrática
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean
funciones cuadráticas.
Definición y gráfica
Definición. Una función cuadrática, con dominio y codominio el conjunto
de los números reales, es una función de la forma
f (x) = ax2 + bx + c,
con a, b, c ∈ R y a 6= 0.
Para ver cómo se comporta esta función gráficamente, se analiza el
siguiente ejemplo:
Ejemplo: Sea la función real f (x) = x2 , para graficar se construye una tabla de valores. Luego, se grafican
los puntos obtenidos:
x
f (x)
Par ordenado (x, y )
−3
9
(−3, 9)
−2
4
(−2, 4)
−1
1
(−1, 1)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
2
4
(2, 4)
3
9
(3, 9)
A la gráfica de una función cuadrática se le denomina parábola. Esta
es simétrica respecto a una recta vertical.
Observándose la gráfica, resulta evidente que el dominio de la función
cuadrática son todos los números reales, es decir, Dom(f ) = R. Además,
el recorrido de la función cuadrática nunca será el conjunto de los
números reales, sino un intervalo de este.
Por último, se nota que la función no es creciente ni decreciente,
sino que presenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, es
decir, hay una parte de la función que es creciente y otra parte que es
decreciente.
158
matemática ppvj 2018
2.8.7 Concavidad de la parábola
La parábola puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo,
según el valor que multiplique al término x2 . Sea la función f (x) =
ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R y a 6= 0, se tiene:
Si a > 0, entonces la parábola de f es cóncava hacia arriba.
Si a < 0, entonces la parábola de f es cóncava hacia abajo.
Figura 2.53: Concavidad de dos parábolas.
Nótese que cuando la parábola es cóncava hacia arriba, la función
tiene un mínimo, en cambio cuando la parábola es cóncava hacia abajo,
tiene un máximo.
Ejercitación:
96. Determina si las siguientes funciones son cóncavas hacia arriba o hacia abajo
a) f (x) = −3x2 + 5x − 1
b) g (x) = 2x3 − x + 1
c) h(x) = −x2 + 1
2.8.8 Intersecciones con los ejes
Puede ser muy importante encontrar los puntos de intersección con los
ejes del plano cartesiano, para esto, se analizan las siguientes condiciones.
Intersección con el eje y
Se busca un punto (x, y ) del plano tal que x = 0, lo que se resume a
calcular el valor de f (0). Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces
f (0) = a · 02 + b · 0 + c
Figura 2.54: Intersección con el eje y.
⇒ f (0) = c.
Por lo tanto, el punto donde la parábola intersecta al eje y, de forma
genérica, es el punto (0, c).
Intersección con el eje x
Figura 2.55: Intersección con el eje x de
parábola con ∆ > 0.
En el caso de la intersección con el eje x, se busca un punto (x, y ) tal
que y = 0, es decir, f (x) = 0. Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces
0 = ax2 + bx + c.
Figura 2.56: Intersección con el eje x de
parábola con ∆ = 0.
Por lo tanto, para encontrar la(s) intersección(es) con el eje x, es
necesario resolver la ecuación de segundo grado obtenida. De forma
general, se tiene que
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
x2 =
.
2a
2a
Finalmente, se concluye que:
álgebra
159
Si ∆ > 0, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje x.
Estos son:
!
!
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
,0
,0 .
y
2a
2a
Si ∆ = 0, entonces la parábola intersecta en un punto al eje x.
Este es:
b
− ,0 .
2a
Figura 2.57: Intersección con el eje x de
parábola con ∆ < 0.
Si ∆ < 0, entonces la parábola no intersecta al eje x.
Ejercitación:
97. Determina la intersección con el eje y y con el eje x de la parábola para cada una de las siguientes
funciones:
a) f (x) = x2 + 5x + 6
b) g (x) = −x2 + 3x + 2
c) h(x) = 5x2 + 10x − 7
98. Determina si la parábola asociada a cada una de las siguientes funciones intersecta en dos puntos fijos al
eje x, en uno o no lo intersecta.
a) f (x) = 4x2 − 4x + 1
b) g (x) = −7x2 + 10x − 2
c) h(x) = 3x2 − x + 10
2.8.9 Vértice de la parábola
Como se dijo anteriormente, dependiendo de la concavidad de la
parábola, la función tiene un punto mínimo o máximo. A este punto se
le denomina vértice de la parábola. Para encontrar las coordenadas del
vértice se analiza la Figura 2.58, en la que ∆ > 0.
Al observar la imagen, se nota que la coordenada en xv del vértice
es el punto medio de x1 y x2 , dado que la parábola es simétrica. Si
se encuentra esta coordenada será muy fácil encontrar la otra, ya que
simplemente se calcula el valor de f (xv ) utilizando la regla de asignación
de la función.
Se tiene
xv =
√
b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
−2b
−b
+
−b
2a
2a
2a
=
= a =
.
⇒x=
2
2
2
2a
b
Por lo tanto, la primera coordenada del vértice es xv = − .
2a
−b +
√
x1 + x2
2
Figura 2.58: Vértice de la parábola.
160
matemática ppvj 2018
Para encontrar la segunda coordenada del vértice, se calcula la imagen
b
de − :
2a
f
b
−
2a
b
= a· −
2a
2
b
+b· −
2a
+c
b2
b2
−
+c
2
4a
2a
b2
b2
−
+c
4a 2a
b2
2b2
4ac
−
+
4a
4a
4a
b2 − 2b2 + 4ac
4a
−b2 + 4ac
4a
−(b2 − 4ac)
4a
−∆
.
4a
= a·
=
=
=
=
=
=
Por lo tanto, la segunda coordenada del vértice se expresa como
∆
yv = − .
4a
En el caso en que ∆ = 0 el vértice coincide con la intersección de la
parábola con el eje x, por lo que el caso es trivial. En el caso ∆ < 0, se
puede trasladar la parábola verticalmente hacia arriba o hacia abajo y
reducirlo al caso ∆ > 0.
Finalmente, las coordenadas del vértice están dadas por:
V =
∆
b
− ,−
2a 4a
.
Ejercitación:
99. Calcula las coordenadas del vértice para las siguientes funciones reales:
a) f (x) = −2x2 + 3x − 5
b) g (x) = x2 − 6x + 9
c) h(x) = −7x2 + 9
2.8.10 Eje de simetría
El eje de simetría es la recta que divide a la parábola en dos partes
iguales:
álgebra
161
Dado que dicha recta pasa por el vértice, su ecuación está dada por:
x=−
b
.
2a
Ejercitación:
100. Encuentra la ecuación del eje de simetría para las parábolas asociadas a cada una de las siguientes
funciones reales.
a) f (x) = −5x2 + 6x − 1
b) g (x) = x2 − 3x + 17
c) h(x) = 3x2 − 11x − 21
Resumen
Las expresiones algebraicas se utilizan para expresar operaciones numéricas de forma general.
Se distinguen monomios, binomios y trinomios, según tengan uno, dos o tres términos
algebraicos, respectivamente.
Para resolver operaciones entre ellos, en el caso de la suma, se usa la reducción de términos semejantes y en el caso de la multiplicación, las propiedades de las potencias y la
propiedad distributiva de los números reales.
Se destacan los siguientes productos, conocidos como productos notables:
Producto
Expresión
Binomio al cuadrado
(x + y )2 = x2 + 2xy + y 2
Binomio con término común
(x + y )(x + z ) = x2 + (y + z )x + yz
Binomio al cubo
(x + y )3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
Suma por diferencia
(x + y )(x − y ) = x2 − y 2
162
matemática ppvj 2018
Las fracciones algebraicas son generalizaciones de las fracciones numéricas. Para resolver
operaciones entre ellas su utiliza la factorización.
Las principales se ilustran a continuación:
Factorización
Expresión
Trinomio cuadrado perfecto
x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2
Trinomio con término común
x2 + (y + z )x + yz = (x + y )(x + z )
Diferencia de cuadrados
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Las ecuaciones son igualdades que presentan valores desconocidos (incógnitas). Una ecuación
de primer grado con una incógnita es aquella de la forma
ax + b = 0,
donde a, b ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita.
Para resolverlas se utilizan las propiedades aditiva y multiplicativa de las igualdades. La
propiedad aditiva dice que se puede sumar un mismo valor a ambos lados de la ecuación, y la
igualdad se mantiene. La propiedad multiplicativa dice que se puede multiplicar un mismo valor
a ambos lados de la ecuación, y la igualdad se mantiene.
Un sistema de ecuaciones es un arreglo de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Para resolverlos, se utilizan los métodos algebraicos de sustitución, reducción e igualación.
En un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las ecuaciones representan
rectas en el plano cartesiano, las que pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
En el caso de que las rectas sean secantes, se dice que el sistema de ecuaciones tiene una única
solución, la cual representa el punto de intersección de las rectas en el plano. En el caso de que
las rectas sean paralelas, se dice que el sistema no tiene solución, debido a que las rectas no
se intersectan. Finalmente, en caso de que las rectas sean coincidentes, se dice que el sistema
tiene infinitas soluciones, ya que las ecuaciones representan a la misma recta en el plano.
álgebra
Sea el sistema
ax + by = e
, tiene
cx + dy = f
solución única
infinitas soluciones
no tiene solución
si
si
si
c
d
6= .
a
b
c
d
f
= = .
a
b
e
c
d
f
= 6= .
a
b
e
En cada caso, el sistema recibe el nombre de compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible, respectivamente.
Una ecuación cuadrática es de la forma
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b, c ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita.
Las soluciones generales de esta ecuación son
√
−b + b2 − 4ac
x=
o
2a
x=
−b −
√
b2 − 4ac
,
2a
donde la expresión b2 − 4ac recibe el nombre de discriminante (∆).
El discriminante determina si la ecuación tiene una o dos soluciones o no tiene soluciones reales
sino dos complejas conjugadas, según las siguientes condiciones:
Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
Si ∆ = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.
Si ∆ < 0, la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas.
163
164
matemática ppvj 2018
Una desigualdad se utiliza para expresar relaciones entre los números o entre expresiones
algebraicas. En el contexto de los números reales se utilizan las desigualdades para describir
intervalos, los que pueden ser abiertos, semi abiertos o cerrados
Una inecuación de primer grado es una desigualdad que presenta valores desconocidos (incógnitas). Para encontrar el conjunto solución se utilizan las propiedades de las desigualdades,
las cuales son, básicamente, los axiomas de orden de los números reales y las propiedades que se
desprenden de estos.
Un sistema de inecuaciones es un arreglo de dos o más inecuaciones, las cuales deben
verificarse de forma simultánea. El conjunto solución corresponde a la intersección de las
soluciones de cada una de las inecuaciones por separado.
Una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos, es decir, relaciona
elementos de un conjunto con otro a través de una regla de asignación. Al definir relaciones
sobre un subconjunto de R, se obtienen como resultado curvas en el plano cartesiano.
Dada una relación R de A en B, se definen el dominio y el recorrido como sigue:
Dom(R) = {a ∈ A | ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ R}
y
Rec(R) = {b ∈ B | ∃ a ∈ B tal que (a, b) ∈ R}.
Si se verifica que
Dom(R) = A
y además que dado a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ R, entonces R se llama
función de A en B.
La notación habitual para representar una función f con dominio A y codominio B es
f : A −→ B
x 7−→ y = f (x).
álgebra
Dada una función f , f (x) + a representa una traslación vertical de a unidades. Si a es un
número positivo la traslación es hacia arriba y si a es un numero negativo es hacia abajo.
Además, f (x + a) representa una traslación horizontal de a unidades. Si a es un número
positivo la traslación es hacia la izquierda, en cambio, si a es un número negativo es hacia la
derecha. Finalmente f (−x) y −f (x) representan reflexiones de f , con respecto al eje y y al
eje x, respectivamente.
La composición (◦) es una operación entre funciones, que se define como: sea f : A → B y
g : C → D, donde B ∩ C 6= φ, se tiene que (g ◦ f )(x) = g (f (x)).
Una función se dice inyectiva si a los elementos del recorrido les corresponde una única
preimagen; se dice epiyectiva si el codominio es igual al recorrido; y se dice biyectiva si es
inyectiva y epiyectiva a la vez.
Dada una función f : A → B, biyectiva, se llama función inversa de f a la función f −1 : B → A
tal que para cualquier x ∈ A y cualquier b ∈ B se cumple
f (x) = b ⇔ f −1 (b) = x.
Una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x, además, al componerlas se
obtiene como resultado la función identidad I (x) = x.
Una función lineal es de la forma f (x) = mx + n, con dominio y codominio el conjunto de
los números reales, salvo si n < 0, en cuyo caso el dominio es R \ {0}.
La representación gráfica de esta función es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0.
y
y
x
x
Si n = 0 la recta pasa por el origen y se dice que f (x) y x son directamente proporcionales con
constante de proporcionalidad m.
Si n 6= 0 la recta intersecta al eje y en el punto (0, n).
Si m = 0 la recta es paralela al eje x.
165
166
matemática ppvj 2018
Una función exponencial es de la forma f (x) = a · bx , con a 6= 0, b > 0, b 6= 1, con dominio y
codominio el conjunto de los números reales.
Con a > 0, la gráfica de f es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1.
y
y
x
x
La gráfica de f intersecta al eje y en el punto (0, a) y no intersecta al eje x.
Una función logarítmica es de la forma f (x) = loga (x), con a > 0 y a 6= 1, con dominio el
conjunto de los reales positivos y codominio el conjunto de los números reales.
Si a > 1 la gráfica de f es creciente y si 0 < a < 1 la gráfica de f es decreciente.
y
y
x
x
La gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1, 0) y no intersecta al eje y.
√
Una función raíz cuadrada es de la forma f (x) = x, con dominio el conjunto de los reales
no negativos y codominio el conjunto de los números reales.
La gráfica de f pasa por el origen del plano cartesiano y es creciente en todo su dominio.
y
x
álgebra
Una función potencia es de la forma f (x) = xn , con n un número entero distinto de cero,
con dominio y codominio el conjunto de los números reales.
Para n un número impar positivo, la gráfica de la función es:
y
x
Para n un número par positivo, la gráfica de la función es:
y
x
Para n un número par negativo, la gráfica de la función es:
y
x
Para n un número impar negativo, la gráfica de la función es:
y
x
167
168
matemática ppvj 2018
Una función cuadrática es de la forma f (x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R, a 6= 0, con
dominio y codominio el conjunto de los números reales.
La gráfica de f es una parábola cóncava hacia arriba en el caso a > 0 y cóncava hacia abajo en
el caso a < 0.
y
y
x
x
La parábola intersecta al eje y en el punto (0, c).
En cuanto al eje x, es posible que la parábola lo intersecte en uno o dos puntos, o no lo intersecte,
según las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, las que vienen dadas por el discriminante.
Si el discriminante es positivo, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. Si el discriminante
es igual a cero la parábola intersecta en un punto al eje x. Si el discriminante es negativo la
parábola no intersecta al eje x.
Evaluación de Unidad
1. Dada la ecuación x2 − x − 1 = 0, ¿cuál es el valor de x2 +
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2.
(a + b)(a2 − ab + b2 ) + (c − b)(c2 + cb + b2 )
=
(a − c)(a2 + ac + c2 )
a+b
A)
c
B) 1
a3 + 2b3 + c3
C)
a3 + c3
D) 0
a3 + c3
E) 3
a − c3
1
?
x2
álgebra
3. Si
m+1
= 2, m 6= 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
m−1
I. m = 3
II. |m + 1| = 2 · |m − 1|
III. m − 1 = −2m
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
x
2
4. Si k + 100 = , entonces
x
+ 100 es igual a
2
A) k − 100
B) k + 100
C) x − 100
D) x − 200
E) k + 200
5. Se puede determinar el valor numérico de la expresión
(1) p2 + q 2 = 5
(2) p2 − q 2 6= 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
6. Si 5 · 2x−2 − 3 · 2x−3 = 14 entonces x es igual a
A) −4
B) 4
C) 1
D) 3
E) 6
p4 − q 4
si
p2 − q 2
169
170
matemática ppvj 2018
7. En el sistema
x+y+z
= 1
x−y+z
= 1
2x − 1 + z
= 2
, ¿cuáles son los valores de x, y y z, respectivamente?
A) 2, 0 y −1
2 1
B) , y 0
3 3
C) −1, 0 y 1
D) 2, 0 y 1
E) 0, 2 y −1
8. Dado el sistema
3
2
+
x y
2 3
−
x y
= 1
= 3
, con x 6= 0, y 6= 0, el valor de (x + y ) es
A) 10
B) 4
C) 3
D) 2
E) −2
9. En una feria de videojuegos, el costo de la entrada para 3 adultos y un niño es $5000 y el costo de la
entrada de 2 adultos y 4 niños también es $5000. Si ingresa un adulto y paga con $5000, ¿cuánto les
dan de vuelto?
A) $4.500
B) $3.500
C) $3.200
D) $2.500
E) $1.500
álgebra
10. En el comportamiento de cierto fondo de inversiones se observa que la cantidad de dinero depositada
se duplica cada tres años. Si inicialmente se hace un depósito de $5.000, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. Dentro de 3 años se tendrán $10.000.
II. Dentro de 6 años se tendrán $20.000.
III. La función I que representa la cantidad de dinero que representa la cantidad de dinero
x
obtenida en gunción de la cantidad de años es I (x) = 5.000 · 2 · .
3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores
11. Si f (x) = 3x+2 , entonces f (x + 2) − f (x) es igual a
A) 32
B) 34
C) 72 · 3x
D) 32x+6
E) 36
12. En la figura, está representada la función f (x) = ax2 + bx + c. Según esto, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera con respecto a los valores de a, b y c?
y
x
A) a < 0, b < 0 y c > 0
B) a < 0, b > 0 y c > 0
C) a > 0, b < 0 y c > 0
D) a < 0, b > 0 y c < 0
E) a < 0, b < 0 y c < 0
171
172
matemática ppvj 2018
13. Un automóvil viaja desde La Granja a La Pintana. El rendimiento promedio del automóvil es de 10
km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio del viaje si
(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina.
(2) Demoró en el viaje 30 minutos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
14. Sea la función f (x) = log11 (x) + log(100). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. f (11) = 3
II. El dominio de f son los reales positivos.
III. 4 ∈ Rec(f )
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
15. Según la función f (x) = ax definida en los reales, con a positivo y distinto de 1. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I. Cuando x > 0 la función es creciente.
II. Cuando a > 1 la función es creciente.
III. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
álgebra
16. Sea la función real g (x) = log
x+b
b
con x y b números reales positivos. Es posible determinar el
valor numérico de g (a) si
(1) a + b = 200
a
(2)
= 99
b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
17. Gabriela es comerciante y compra una partida de 130 poleras en $500.000. Vende al detalle 50
poleras a $6.000 cada una. ¿Cuál es el menor precio al que debe vender cada una de las poleras
restantes si quiere obtener, como mínimo, un 30 % de ganancia?
A) $2.500
B) $3.250
C) $3.750
D) $4.325
E) $4.375
18. El gráfico de la figura, corresponde a una función afín. Se puede determinar la función de la forma
f (x) = mx + n, con m y n números reales, si
y
Q
P
x
(1) Se conoce el área del triángulo P OQ, donde O es el origen del plano.
Q
(2) Se conoce el valor de .
P
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
173
174
matemática ppvj 2018
19. Carolina le dice a Nicolás, “pensé en un número, lo multipliqué por 6, sumé 15 al producto, resté 40
de esta suma y la diferencia la dividí por 25, obteniendo 71 como cuociente y resto cero”.Entonces,
¿en qué número pensó Carolina?
A) 280
B) 300
C) 320
D) 340
E) 360
20. Sea f (x) =
ra(s)?
7x − 3
definida en los reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdade8
I. La función f es inyectiva.
27
II. f −1 (3) =
7
III. La función f es creciente.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores
Alternativas Correctas
1. D
5. C
9. B
13. C
17. E
2. E
6. B
10. D
14. E
18. C
3. C
7. A
11. C
15. D
19. B
4. E
8. E
12. A
16. B
20. D
Unidad 3
Geometría
Desde los tiempos más antiguos, la geometría ha sido uno
de los principales temas de estudio. Su comprensión y tratamiento han
llevado al ser humano a la construcción de piezas históricas de incalculable
valor y magníficas edificaciones.
A través de la geometría es posible visibilizar la matemática; palpar el
abstracto contenido de esta ciencia y llevarlo a un plano único, tangible
y excelso. La geometría conecta lo invisible con lo concreto, permite la
expresión del arte de la matemática.
3.1 Congruencia
3.3 Semejanza
3.4 Geometría analítica
3.2 Área y perímetro de figuras
planas
3.5 Geometría del espacio
176
matemática ppvj 2018
“En los tiempos remotos la geometría era una ciencia práctica y
empírica, es decir, una ciencia basada en las experiencias y observaciones
del hombre. Las teorías generales, los postulados y las demostraciones son
muy posteriores. No se conoce por completo la historia de la geometría, sin
embargo, podemos mencionar las siguientes etapas que han contribuido
en forma decisiva a su evolución:
1. Los procedimientos empíricos de los antiguos babilonios y egipcios.
2. El amor de los griegos al saber por el saber y su empleo en las
construcciones clásicas.
3. La sistematización de la geometría hecha por Euclides.
4. La continuación de la obra de Euclides durante la Edad de Oro de
Grecia.
5. La contribución de los matemáticos hindúes, árabes y persas durante
la edad media.
6. El despertar de Europa con su creciente número de universidades,
el invento de la imprenta y el florecimiento de todas las ramas del
conocimiento.
7. La introducción de sistemas de coordenadas en el siglo XVII.
8. La aplicación del álgebra (y también del cálculo) a la geometría en el
siglo XVIII.
9. El reconocimiento de los puntos y rectas como elementos no definidos
(abstractos), lo cual da lugar, en el siglo XIX, a muchas geometrías
diferentes.
10. El énfasis dado, en pleno siglo XX, a la generalización, al concepto
aritmético y al fundamento axiomático.
En cada etapa del desarrollo de la geometría se encuentran usos y
aplicaciones de esta a la matemática de su tiempo. También se ve la
influencia que ejercen sobre la geometría otros conceptos matemáticos y
culturales.”
La evolución de la geometría, Aldo Gutiérrez Vargas y Araceli
Hernández Cedeño.
Comprensión lectora
Consigue o dibuja un mapa. Rastrea en él el camino que recorre la geometría a través de los distintos
hitos o etapas que el texto señala. ¿Qué pueblo será el principal responsable de la expansión de la
geometría en occidente?
geometría
177
3.1 | Conceptos básicos
La geometría es una de las ciencias más antiguas. La palabra geometría
deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metrón (medida), para
sintetizar “medida de la tierra”. Es una rama de la matemática que se
utiliza para estudiar las propiedades de las figuras en el plano y en el
espacio.
A través de la historia, muchas civilizaciones han desarrollado el
conocimiento sobre esta ciencia. La civilización babilónica fue una de las
primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de
la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente
al descubrimiento del número π (pi). Sin embargo, fue Euclides en el siglo
III a. C., en Grecia, quién configuró la geometría en forma axiomática y
constructiva en su célebre libro Elementos, texto tan extraordinario que
se ha utilizado por más de 2000 años.
En honor a este destacado matemático, gran parte de la geometría que
se estudiará durante este curso recibe el nombre de Geometría Euclidiana.
Figura 3.1: Euclides.
Comprensión lectora
¿Qué es y para qué se emplea la geometría?
Si una de dos sociedades tiene acceso y conocimiento de la geometría mientras que la otra no; ¿cuál de
esas dos sociedades está mejor preparada para adaptarse al medio? ¿Por qué?
Cuando se menciona el libro “Elementos” de Euclides; ¿con qué fin crees que se hace?
¿Qué otra característica remarcada, y que aún hoy tiene huella, fue propia de la civilización babilónica?
¿Qué querrá decir “configuró la geometría de forma axiomática y constructiva”? Explícalo con tus
palabras.
3.1.1 Términos indefinidos de la geometría
Según Euclides, hay conceptos primitivos que no se pueden definir,
estos son los llamados términos indefinidos de la geometría, los cuales se
presentan a continuación.
Figura 3.2: Punto A.
Punto
Un punto solo tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de
la geometría. No tiene longitud, anchura ni espesor. Habitualmente se
usan letras latinas mayúsculas para denotarlo.
Figura 3.3: Línea recta.
178
matemática ppvj 2018
Línea
Figura 3.4: Línea curva.
Una línea tiene longitud, pero no anchura ni espesor. Intuitivamente,
una línea es la trayectoria que describe un punto en movimiento. Una
línea puede ser recta, si el punto no cambia de dirección o curva si es que
el punto presenta cambios en su dirección. También puede ser una combinación de ambas. En general, se denota una línea como L1 , L2 , L3 , . . .
etc. Una línea recta que contiene a los puntos A y B se denota también
←→
como AB.
Plano
Figura 3.5: Plano Π.
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no
espesor. Es decir, es aquello que tiene dos dimensiones. Se usan letras
griegas, en general Π, para hacer referencia a un plano.
Ejercitación:
1. Punto, línea y plano son los términos indefinidos. Identifica cuál de estos términos se ilustra con:
a) La cubierta de un escritorio.
c) El filo de una regla.
b) La pantalla cinematográfica.
d) Un hilo en tensión.
e) La punta de un alfiler.
Se definen a continuación cuatro conceptos más relacionados con los
anteriores: punto medio, segmento, rayo y rectas paralelas.
Definición. El punto medio de un segmento es aquel que lo divide en
dos partes iguales.
Definición. Un rayo es una parte de una recta que comienza en un
punto dado y se extiende de manera ilimitada en otra dirección. Un rayo
que comienza en el punto A y que contiene al punto B se denota por
←−−
AB.
Definición. Un segmento de línea es la parte entre dos puntos de
una línea recta, incluyendo esos dos puntos. En segmento que tiene por
extremos a los puntos A y B se denota por AB. Si dos segmentos son de
∼).
igual medida se dice congruentes (=
Figura 3.6: Rayo AB.
Definición. Dos rectas son paralelas en el plano si nunca se unen o se
cruzan. Si L1 es paralela a L2 , se denota por L1 k L2 .
Ejercitación:
2. A partir de la siguiente figura, responde:
geometría
179
a) Identifica cada uno de los segmentos indicados.
c) ¿Qué otro segmento se puede trazar?
b) ¿Qué segmentos se intersectan en A?
d) Identifica el punto de intersección de CD y AD.
3. A partir de la siguiente figura, responde:
a) Calcula la longitud de AB, AC y AF .
b) Identifica dos puntos medios.
c) Identifica todos los segmentos congruentes.
3.1.2 Ángulos
Otro concepto importante de definir es el de ángulo.
Observación
Los ángulos se leen en
el sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Intuitivamente se entiende un ángulo como “la inclinación entre sí de
dos líneas de un plano, que se cortan”, más formalmente se tiene:
Definición. Un ángulo es uno de los dos sectores del plano que queda
delimitado por dos rayos con el extremo en común, el que recibe el
nombre de vértice del ángulo. El símbolo que se utiliza para ángulos es
]. En la siguiente figura se observa el ángulo ]CBA.
Figura 3.7: Sistema sexagesimal.
Actualmente, se usa un sistema muy conocido para medir ángulos: el
sistema sexagesimal.
Definición. El sistema sexagesimal, es un sistema de medición posicional que emplea como base aritmética al número 60. Un grado
sexagesimal, denotado por °, es la amplitud del ángulo resultante al
dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Un grado se divide a su
vez en 60 minutos (0 ) y cada minuto se divide en 60 segundos (00 ).
Según la medida, los ángulos se clasifican en:
Observación
Dos ángulos son
congruentes si tienen la
misma medida.
Si un ángulo es recto, se dice
que los rayos que lo forman son
perpendiculares.
180
matemática ppvj 2018
Ángulo agudo
Ángulo recto
Si 0◦ < α < 90◦
Si α = 90◦
Ángulo obtuso
Ángulo extendido
Si 90◦ < α < 180◦
Si α = 180◦
Ángulo cóncavo
Ángulo completo
Si 180◦ < α < 360◦
Si α = 360◦
Observación
Una bisectriz es una línea recta que divide a
un ángulo en dos ángulos
congruentes.
Figura 3.8: Relojes ejercicio 4.
Ejercitación:
4. Encuentra la medida del ángulo formado por las manecillas del reloj de la figura 3.8
a) Cuando el reloj marca las 8.
b) Cuando el reloj marca las 4:30.
3.1.3 figuras planas
Circunferencia
Figura 3.9: Circunferencia de centro O
y radio r.
Definición. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro
en una cantidad constante que se denomina radio. Un círculo es la
figura plana delimitada por una circunferencia. Se llama diámetro de
una circunferencia a la recta que pasa por el centro y termina, en ambos
sentido, en la circunferencia.
Polígonos
Definición. Un polígono es una figura plana encerrada en líneas rectas.
geometría
De estos, los de tres lados se llaman triángulos y los de cuatro lados se
llaman cuadriláteros.
En los triángulos, un equilátero es aquel cuyos tres lados son congruentes, un isósceles tiene dos de sus lados congruentes y un escaleno
tiene sus tres lados no congruentes. En las Figuras 3.10, 3.11 y 3.12 se
observa un triángulo equilátero, un isósceles y un escaleno, respectivamente.
Además, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo
recto, un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso y un
triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. En las
Figuras 3.13, 3.14 y 3.15 se observa un triángulo acutángulo, un triángulo
rectángulo y un triángulo obtusángulo, respectivamente.
De los cuadriláteros, el cuadrado es el que tiene todos los lados de
igual medida y todos los ángulos rectos, un rectángulo es el que tiene
todos sus ángulos rectos pero no tiene lados congruentes, un rombo es
el que tiene todos sus lados de igual medida pero no tiene ángulos rectos
y un romboide es el que tiene sus lados opuestos congruentes pero no
los consecutivos, y no tiene ángulos rectos. De izquierda a derecha se
observa un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un romboide:
181
C
A
B
Figura 3.10: Si AB ∼
= BC ∼
= CA, entonces ∆ABC es equilátero.
C
A
B
Figura 3.11: Si BC ∼
= CA, entonces
∆ABC es isósceles.
C
A
B
Figura 3.12: Si AB BC CA, entonces ∆ABC es escaleno.
C
γ
D
C
D
C
D
A
B
β
α
D
C
γ
δ
B
C
β B
δ
α
A
γ
α
B
Figura 3.13: Si α, β y γ son agudos,
entonces , ∆ABC es acutángulo.
β
A
A
A
B
C
Los cuadriláteros distintos a los anteriores se llaman trapecios o
trapezoides, según tengan un par de lados paralelos o ninguno, respectivamente. De izquierda a derecha un trapecio y un trapezoide:
A
B
Figura 3.14: Si ]BAC = 90◦ , entonces
∆ABC es un triángulo rectángulo.
C
D
C
C
α
D
A
B
Figura 3.15: Si α es obtuso, entonces el
∆ABC es obtusángulo.
A
B
Ejercitación:
5. Responde las siguientes preguntas:
A
B
182
matemática ppvj 2018
a) ¿Cuál es la diferencia entre un cuadrado y un uno escaleno. Explica sus diferencias.
rombo? Haz los dibujos.
d) ¿Es un triángulo equilátero también isósceles?
b) ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un Fundamenta tu respuesta.
romboide? Haz los dibujos.
e) Dibuja un triángulo acutángulo, uno rectángulo
c) Dibuja un triángulo equilátero, uno isósceles y y uno obtusángulo. Explica sus diferencias.
6. Un carpintero principiante desea construir una mesa. Para comenzar confecciona una base y cuatro patas.
A medida que avanza se da cuenta que la mesa cojea demasiado y al intentar arreglar las patas muchas
veces, decide realizar una mesa con tan solo tres patas. ¿Cómo podrías explicar tú que una mesa de tres
patas no cojee?
7. ¿Cómo podrías construir tu propio compás artesanal?
8. Pac–Man, el famoso personaje de videojuegos, fue inspirado en una pizza con un trozo faltante. Este trozo
faltante representa su boca, la que es aproximadamente un sexto de la “pizza”. ¿Cuánto mide, en grados,
la apertura de su boca aproximadamente?
3.2 | Congruencia
A grandes rasgos, se dirá que dos figuras son congruentes si, al superponerlas, encajan perfectamente.
Objetivo PSU
Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio
de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y
demostrar propiedades.
∼ si y
Definición. Dos figuras geométricas se consideran congruentes (=)
solo si tienen la misma forma y tamaño. Se dice que dos polígonos tienen
igual forma y tamaño si los ángulos y lados de uno son congruentes con
los del otro. En la siguiente figura,
183
geometría
C
F
γ
γ
α
α
β
A
B
β
D
E
se verifica que
∼ DE, BC =
∼ EF , CA =
∼ FD y
AB =
∼ ]F ED, ]ACB =
∼ ]DF E, ]BAC =
∼ ]EDF ,
]CBA =
por lo tanto
∼ ∆DEF
∆ABC =
.
C
3.2.1 Criterios de congruencia de triángulos
Para determinar la congruencia de dos triángulos no es necesario
determinar la congruencia de todos los ángulos y todos los lados, sino
que es suficiente con menos información. Los criterios de congruencia
corresponden a la información mínima que se debe saber para poder
concluir que dos triángulos son congruentes.
Criterio Lado–Lado–Lado
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes,
entonces los triángulos son congruentes. En la figura 3.18, los triángulos
∼ DE, BC =
∼ EF y CA =
∼
ABC y DEF son congruentes porque AB =
F D.
◦
Criterio Ángulo–Lado–Ángulo
Si dos trángulos tienen dos ángulos de uno respectivamente congruentes
con dos del otro y el par de lados comprendidos entre esos ángulos son
también congruentes, entonces los triángulos son congruentes. En la figura
∼
3.17, los triángulos ABC y DEF son congruentes porque ]BAC =
∼
∼
]EDF , ]CBA = ]F ED y AB = DE.
◦
|α
A
B
|α
D
E
Figura 3.16: Criterio Lado–Ángulo–
Lado.
C
Criterio Lado–Ángulo–Lado
Si dos triángulos tienen dos lados de uno respectivamente congruentes
con dos del otro y el par de ángulos comprendidos entre esos lados son
también congruentes, entonces los trángulos son congruentes. En la Figura
∼ DE,
3.16, los triángulos ABC y DEF son congruentes porque AB =
∼ EF y ]CBA =
∼ ]F ED.
BC =
F
F
β
α
A
β
α
B
D
E
Figura 3.17: Criterio Ángulo–Lado–
Ángulo.
C
A
F
B
D
E
Figura 3.18: Criterio Lado–Lado–Lado.
184
matemática ppvj 2018
Criterio Lado–Lado–Ángulo mayor
C
Si dos triángulos tienen dos lados de uno respectivamente congruentes
con los del otro y el ángulo que se opone al lado mayor de uno también
es congruente con el ánglo que se opone al lado mayor del otro, entonces
los triángulos son congruentes. En la figura 3.19, los triángulos ABC y
∼ EF , CA =
∼ F D, ]BAC =
∼ ]EDF
DEF son congruentes porque BC =
y BC > CA.
F
α
α
A
B
D
Figura 3.19: Criterio
Ángulo mayor.
E
Lado–Lado–
3.2.2 Propiedades de las figuras planas
Los criterios de congruencia de triángulos permiten deducir muchas
propiedades de las figuras planas, las cuales se verán a continuación.
C
Propiedades de los triángulos
=
=
A
1. En un triángulo isósceles los “ángulos basales” son congruentes. El teorema recíproco también es válido.
Demostración (teorema directo):
B
Figura 3.20: Triángulo ABC isósceles.
C
=
A
∼ BC, como se observa
Sea un triángulo ABC isósceles, tal que CA =
∼ ]CBA.
en la Figura 3.20. Se quiere demostrar que ]BAC =
Se prolongan los lados CA y CB hasta los puntos A0 y B 0 , respectiva∼ CB 0 , lo que implica que AA0 =
∼ BB 0 (ver
mente, de modo que CA0 =
Figura 3.21).
=
B
A0
B0
Figura 3.21: Propiedad 1.
Se trazan los segmentos A0 B y B 0 A. Al observar los triángulos A0 BC
y B 0 AC se nota que
∼ CB 0
CA0 =
∼ CB
CA =
∼ ]ACB 0
]A0 CB =
por lo tanto, por criterio Lado–Ángulo–Lado
∼ ∆B 0 CA.
∆A0 CB =
∼ ]CB 0 A, que A0 B =
∼ B0A
Este último resultado implica que ]BA0 C =
0
0
∼
y que ]B AC = ]CBA .
Ahora, se observan los triángulos BAA0 y ABB 0 . Se nota que
∼ BB 0
AA0 =
∼ B0A
A0 B =
∼ ]AB 0 B
]AA0 B =
geometría
por lo tanto, por segundo teorema de congruencia,
∼ ∆ABB 0
∆BAA0 =
∼ ]ABB 0 y que ]B 0 AB =
∼ ]ABA0 .
lo que implica que ]A0 AB =
Finalmente, se observa que
]BAC + ]B 0 AB = ]CBA + ]ABA0
0
0
0
0
0
]A AB + ]B AB = ]A BB + ]ABA
(3.1)
0
(3.2)
Restando (3.1) con (3.2) se obtiene:
]BAC − ]A0 AB 0 = ]CBA − ]A0 BB 0 ,
de lo que se concluye
∼ ]CBA,
]BAC =
lo que demuestra el teorema.
2. En un triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo
exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no
adyacentes.
Demostración:
Sea el triángulo ABC con los ángulos como se observa en la Figura
3.22. Se prolonga el lado AB y sea β 0 el ángulo exterior a β, se quiere
demostrar que β 0 > γ y β 0 > α.
A′
C
γ
β0 > γ
M
Primero se construye el punto medio del segmento BC, se une el
punto A con M y se prolonga el segmento hasta A0 de manera
∼ M A0 . Se une el punto A0 con B, como se observa en la
que AM =
Figura 3.23.
Se tiene que
∼ M A0
AM =
∼ MB
CM =
∼ ]BM A0
]CM A =
∼ ∆A0 M B, lo que implica que ]A0 BM = γ
por lo tanto ∆AM C =
0
y con ello que γ < β .
α
A
β
γ
β′
B
Figura 3.22: Propiedad 2.
185
186
matemática ppvj 2018
β0 > α
C
Primero se construye el punto medio del segmento AB, M 0 . Luego,
se construye el segmento CM 0 y se prolonga hasta C 0 de tal manera
∼ M 0 C 0 , como se oberva en la Figura 3.23.
que CM 0 =
γ
D
α
β′
β
M′
α
A
α
B
E
Se tiene que
∼ M C0
CM 0 =
∼ M 0B
AM 0 =
∼ ]C 0 M 0 B
]CM 0 A =
C
′
∼ ∆BM 0 C, lo que implica que ]M 0 BC 0 = α.
por lo tanto, ∆AM 0 C =
Figura 3.23: Propiedad 2.
Luego, se prolonga C 0 B hasta D y se observa que ]EBD = α por
ser opuestos por el vértice. Finalmente se obtiene que α < β 0 .
C
γ′
γ
3. En un triángulo, el lado mayor se opone al ángulo mayor y
viceversa.
γ′
α
β
C′
A
Demostración:
D
Dado un triángulo ABC, se copia el segmento AC en AB, de donde
∼ AC 0 . Por lo tanto el triángulo CAC 0 es isósceles
se obtiene que AC =
(ver Figura 3.24).
Figura 3.24: Propiedad 3.
C′
∼ ]CC 0 A = γ 0 < γ. Además, γ 0 > β, porque γ 0 es
Entonces, ]ACC 0 =
ángulo exterior del triángulo CC 0 B. Por transitividad γ > β.
a
C
b
4. En un triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor
que el otro lado.
a
Demostración:
c
A
B
Figura 3.25: Propiedad 4.
l
m
B
La demostración es análoga para los demás lados.
1
2
C
∼ CB, como se observa
Se prolonga AC hasta C 0 de manera que CC 0 =
en la Figura 3.25. Se tiene que el triángulo BCC 0 es isósceles, por lo
∼ ]C 0 BC7 y por consiguente ]CC 0 B < C 0 BA. Por la
tanto ]CC 0 B =
proposicióon anterior, se obtiene que AC 0 > AB lo que implica que
a + b > c.
A
n
5. Si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son
paralelas.
Demostración (por contradicción):
Figura 3.26: Propiedad 5.
Supóngase que m y n no son paralelas, por lo tanto se intersectan
en un punto, en este caso C, como se observa en la Figura 3.26. Se
geometría
187
observa que el ]CBA es interior del triángulo ABC y ]2 es exterior
del triángulo ABC, por lo tanto se obtiene que ]2 > ]1, lo que
contradice la hipótesis.
Ejercitación:
9. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos alternos externos congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
10. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos correspondientes congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
11. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos internos del mismo lado de
la transversal que sumados son 180◦ , entonces las rectas son paralelas.
6. Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas
ángulos alternos internos congruentes.
l
Demostración (por contradicción):
n
Supóngase que α β, entonces se verifica α < β o α > β. Sin perder
generalidad, supóngase que α > β (ver Figura 3.27). Entonces, en la
siguiente desigualdad
α>β
si sumamos γ se obtiene
m
α
γ
β
Figura 3.27: Propiedad 6.
α + γ > β + γ.
Considérese además que α + γ = 180◦ , se obtiene finalmente que
180◦ > β + γ
lo que implica que las rectas m y n se cortan, lo que constituye una
contradicción.
Ejercitación:
12. Demuestra las siguientes proposiciones:
a) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos alternos externos congruentes.
b) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos correspondientes congruentes.
c) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos internos del mismo lado de ellas
que suman 180◦ .
7. En un triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo
externo formado es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Además, los tres ángulos interiores de
un triángulo suman dos rectos.
188
matemática ppvj 2018
Demostración:
C
γ
β′
β
α
Dado un triángulo ABC, como el de la Figura 3.28, se quiere demostrar
que:
A
β0 = α + γ
B
Figura 3.28: Propiedad 7.
β
α
β′
γ
α + β + γ = 2 rectos.
l
C
α
β
A
β′
m
B
n
Figura 3.29: Propiedad 7.
Se traza una paralela a m por el punto C, como muestra la Figura
3.29. Por propiedades de las rectas paralelas, α, β y β 0 se ubican en
n. Luego, es claro que α + β + γ = 2 rectos por estar sobre la misma
recta y, además α + γ = β 0 por ser opuestos por el vértice.
Además de estas propiedades de los triángulos, se verfican otras relativas a los elementos secundarios: bisectriz, altura, simetral y transversal de gravedad. A continuación se definen:
Definición. La bisectriz de un ángulo es la recta que lo dimidia. En la
siguiente figura se observa la bisectriz de un ángulo en un triángulo:
Figura 3.30: AD es altura del triángulo
acutángulo ABC.
C
A
B
Figura 3.31: AB y AC son alturas del
triángulo rectángulo ABC.
C
A
B
D
Figura 3.32: CD es altura del triángulo
obtusángulo ABC.
Definición. La altura de un triángulo es la perpendicular que baja desde
un vértice hacia el lado opuesto. Nótese que una altura no necesariamente
pasa por dentro del triángulo. En la Figura 3.30 se observa una altura
de un triángulo acutángulo, la cual queda dentro; en la Figura 3.31 se
observan dos alturas en un triángulo rectángulo, las cuales coinciden con
lados de este; y en la Figura 3.32 se observa una altura de un triángulo
obtusángulo, la cual queda fuera de este y corta a la prolongación del
lado opuesto.
Definición. La transversal de gravedad de un triángulo es la recta
que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. En la siguiente
figura se observa una transversal de gravedad en un triángulo.
C
D
A
B
geometría
189
Definición. La simetral de un segmento es la recta que perpendicular
que pasa por el punto medio de este. En la siguiente figura se observa la
simetral de un segmmento que corresponde al lado de un triángulo.
Otra recta notable que tiene propiedades especiales en el triángulo es la
mediana. Se le llama mediana al segmento que une dos puntos medios
de los lados de un triángulo. En la Figura 3.33 se observa la mediana de
un triángulo.
Con estas definiciones, se trabajarán nuevas propiedades:
8. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidista de los lados de un ángulo.
Para demostrar esto es necesario probar dos cosas:
C
1) La bisectriz de un ángulo equidista de los lados de un ángulo.
M
2) Si un punto cualquiera equidista de los lados de un ángulo,
entonces está en la bisectriz de dicho ángulo.
Demostración 1):
Sea el ángulo ]ABC y sea BD la bisectriz de dicho ángulo, luego se
∼ ]DBC. Trazamos las perpendiculares desde D
cumple que ]ABD =
a ambos lados del ángulo; lo que se quiere demostrar es que dichos
segmentos son congruentes, ya que estos representan la distancia de
un punto de la bisectriz a los lados del ángulo. En la Figura 3.34 , lo
∼ DC 0 .
que se quiere probar es DA0 =
En los triángulos A0 BD y DBC 0 los ángulos ]A0 DB y ]BDC 0 son
congruentes, ya que ambos triángulos tienen los otros dos ángulos respectivamente congruentes. Luego, por criterio Ángulo–Lado–Ángulo,
∼ ∆C 0 BD. Luego, DA0 =
∼ DC 0 .
∆A0 BD =
A
N
B
Figura 3.33: M N es mediana del triángulo ABC.
A
A
0
D
B
C0
C
Figura 3.34: Propiedad 8, parte 1).
Demostración 2):
Sea el ángulo ABC de la Figura 3.35 y sea D un punto tal que
∼ DB 0 y perpendiculares a los respectivos lados como se observa
DA0 =
en la misma figura. Por criterio Lado–Lado–Ángulo mayor se tiene
∼ ∆C 0 BD, por lo tanto ]DBA0 =
∼ ]CBD0 , de lo que se
que ∆A0 BD =
concluye que BD es bisectriz del ángulo ABC.
Figura 3.35: Propiedad 8, parte 2).
190
matemática ppvj 2018
9. En un triángulo, las tres bisectrices concurren en un punto.
Sea el triángulo ABC de la Figura 3.36, sea AD la bisectriz del ]BAC
y CE la bisectriz del ]ACB; ambas bisectrices se intersectan en I. Se
traza la recta por B e I que intersecta a CA en F .
Figura 3.36: Propiedad 9.
Figura 3.37: Propiedad 9.
Como AD es bisectriz del ]BAC, entonces I equidista de los lados
∼ IE 0 , como se observa en la Figura 3.37. Bajo
CA y AB, luego IF 0 =
∼ IF 0 . Finalmente se
el mismo razonamiento se concluye que ID0 =
∼ IE 0 y por lo tanto el punto D equidista de los
concluye que ID0 =
lados del ]CBA, lo que implica que BF es bisectriz del ]CBA. Luego,
las tres bisectrices son concurrentes.
Observación: Nótese que los puntos D0 , E 0 y F 0 del triángulo ABC
equidistan del punto de I. Por lo tanto, se puede observar que los tres
pertenecen a una circunferencia con centro en I, como se observa en la
Figura 3.38. Dicha circunferencia está inscrita en el triángulo y es por
esta razón que el punto I recibe el nombre de incentro del triángulo.
10. La simetral es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidista de los extremos de un segmento.
Para demostrar esto, es necesario probar dos cosas:
1) La simetral de un segmento equidista de los extremos de este.
Figura 3.38: Propiedad 9.
A
2) Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces dicho punto está en la simetral del segmento.
C
Demostración 1):
M
←−→
Dado un segmento AB, sea CM la simetral de AB; luego, M es
punto medio de AB y CM ⊥ AB, como se observa en la Figura 3.39.
∼ CB. Esto es evidente ya que
Lo que se quiere probar es que CA =
∼ ∆CBM por criterio Lado–Ángulo–Lado.
∆CAM =
B
Figura 3.39: Propiedad 10, parte 1).
Demostración 2) (por contradicción):
C
A
B
Figura 3.40: Propiedad 10, parte 2).
∼
Sea el segmento AB de la Figura 3.40 y sea C un punto tal que AC =
CB. Supóngase que C no está en la simetral de AB y sea el punto C 0
en la simetral de AB, como se observa en la Figura 3.41. Entonces
∼ C 0 By como ∆AC 0 B es isósceles, entonces ]BAC 0 =
∼ ]C 0 BA,
C 0A =
∼ ]CBA. Dadas las
y como ∆ABC es isósceles, entonces ]BAC =
medidas angulares de la Figura 3.8, se concluye que
α=β
α<β
Figura 3.41: Propiedad 10, parte 2).
lo que constituye una contradicción.
geometría
191
11. En un triángulo, las tres simetrales concurren en un punto.
Demostración:
←−→ ←→
Sea el triángulo ABC de la Figura 3.42 y sean M G y N G las simetrales
←−→
de los lados CA y AB, respectivamente. Como M G simetral de AC,
∼ GA. Análogamente se concluye que GA =
∼ GB.
se tiene que GC =
∼ GB, se prueba
Ahora, sea GP una perpendicular a BC, como GC =
←→
que GP es la simetral de BC y por tanto se tiene que las simetrales
concurren en G.
Figura 3.42: Propiedad 11.
Observación: Nótese que los vértices A, B y C del triángulo equidistan del punto G. Luego, los tres pertenecen a una circunferencia de
centro G que esta circunscrita al triángulo ABC, como se observa en la
Figura 3.43, de aquí que el punto G reciba el nombre de circuncentro
del triángulo.
Figura 3.43: Propiedad 11.
Desafío:
13. Busca y comprende una demostración de la proposición: “en un triángulo, las alturas son concurrentes”.
El punto de concurrencia de las alturas se denomina ortocentro del triángulo, y puede estar dentro del
triángulo, en caso de que el triángulo sea acutángulo; fuera del triángulo, en caso de que el triángulo sea
obtusángulo; o en un vértice del triángulo, en el caso de que el triángulo sea rectángulo.
14. Busca y comprende una demostración de la proposición: “en un triángulo, las transversales de gravedad
son concurrentes”. El punto de concurrencia de las transversales de gravedad se denomina centro de
gravedad y divide a cada transversal en la razón 2 : 1.
15. Busca y comprende una demostración para las siguientes proposiciones:
a) En un triángulo, una mediana es paralela al lado opuesto.
b) En un triángulo, una mediana mide la mitad del lado opuesto.
Ejercitación:
16. Resuelve los siguientes ejercicios:
a) Sea L1 k L2 . Determina la relación entre α y β en las siguientes figuras.
b) Si L1 k L2 , determina el valor de la incógnita en cada caso.
192
matemática ppvj 2018
c) Encuentra la medida de x en la siguiente figura.
17. Utiliza las propiedades de los elementos secundarios del triángulo para resolver los siguientes ejercicios.
a) Si CD y BE son alturas del triángulo ABC, ¿cuál es el valor de β?
b) En la figura, A, B y C son tres puntos colineales y BE biseca al ángulo DBA en el triángulo ABD.
¿Cuál es el valor de γ y δ?
geometría
193
−−→
c) Si AD es bisectriz del ángulo CAB en el triángulo BAC, ¿cuál es el valor de γ, δ y ?
←→
−−→
d) En el triángulo ABC, EF es simetral del lado AB y BF es bisectriz del ángulo CBA. Calcula la
medida de todos los ángulos interiores del cuadrilátero EF BC.
e) Sea ∆ABC equilátero, CD es transversal de gravedad y DE es altura del ∆CDB. ¿Cuál es la medida
del ]EDC?
194
matemática ppvj 2018
f) Sea el ∆ACB de la figura, isósceles de base AC. Si ]ABC = 40◦ , AD biseca al ]CAB y AC = CD,
¿cuál es la medida del ]DEB y ]DCE?
18. Demuestra que en un triángulo equilátero los elementos secundarios coinciden.
19. Demuestra que en un triángulo isósceles, los elementos secundarios a la base coinciden.
Propiedades de los cuadriláteros
E
A
α
β
α+β
B
∼ CD y además AB k CD,
1. Sea un cuadrilátero ABCD. Si AB =
∼
entonces AD = BC y AD k BC.
β
α
C
D
Figura 3.44: Propiedad 1
Demostración:
En primer lugar, se traza el segmento CB, como se observa en la
Figura 3.44. Se nota que
∼ CD
AB =
∼ BC
BC =
∼ ]ABC
]DCB =
∼ ∆DCB, lo que implica que AC =
∼ BD.
por lo tanto, ∆ABC =
∼ ]ABD por la misma conPor otra parte, se tiene que ]EAC =
gruencia anterior, y como además son correspondientes se tiene que
geometría
195
AC k BD.
2. En un paralelogramo, los ángulos opuestos (en diagonal) son
congruentes y los ángulos consecutivos suman 180◦ .
Demostración:
Sea ABCD un paralelogramos como se observa en la figura 3.45,
y sea AC una de sus diagonales. Como AB k CD, se tiene que
∼ ]BAC, ya que son alternos internos entre paralelas. De
]DCA =
∼ ]CAD. Luego, se obtiene
la misma forma se concluye que ]ACB =
∼ ]DCB.
que ]BAD =
Observación
Se dice que un cuadrilátero es un paralelogramo
si tiene dos pares de lados
respectivamente paralelos.
Además, dado que AB k CD, los ángulos internos el mismo lado de
AD suman 180◦ , es decir, ]BAD + ]ADC = 180◦ .
3. En un paralelogramos las diagonales se dimidian.
Demostración:
Sea el paralelogramos ABCD de la figura 3.46 y sean AC y BD sus
diagonales con punto de intersección en E. Dado que AB k CD, se
∼ ]BDC y ]BAC =
∼ ]DCA. Luego, por criterio
tiene que ]DBA =
∼ ∆CDE y por lo tanto AE =
∼ EC y
Ángulo–Lado–Ángulo, ∆ABE =
∼
BE = ED, lo que significa que E es punto medio de cada diagonal,
es decir, las diagonales se dimidian.
Figura 3.45: Propiedad 2
Figura 3.46: Propiedad 3
Ejercitación:
20. Demuestre que si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces el paralelogramo es un
rectángulo o un cuadrado.
21. Demuestra que las diagonales del rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos correspondientes.
22. Demuestra que en un cuadrado las diagonales son bisectrices de los ángulos correspondientes.
23. Sea ABCD un cuadrado y ABP un triángulo equilátero. Demuestra que los triángulos AP D y BCP son
congruentes.
24. La imagen muestra una plataforma de un camión. Los soportes, nombrados como AB y CD se intersectan
en el punto medio. Demuestra que la plataforma del camión es paralela a la base de este.
196
matemática ppvj 2018
25. El cuadrilátero ABCD es un rombo y E, F , G y H son los puntos medios de sus lados. El cuadrilátero
EF GH, ¿es un rectángulo?
−−→
26. Sea el cuadrilátero ABCD tal que AB = BC, CD = DA y DB es bisectriz de sus ángulos correspondientes,
entonces DB es perpendicular a AC y además se intersectan en el punto medio de AC. El cuadrilátero
descrito se llama deltoide y a la diagonal AC se le llama base del deltoide porque a partir de ella es
posible construirlo. ¿Cómo lo construirías?
27. Demuestra que en un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
Propiedades de la circunferencia
Objetivo PSU
Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia,
y relacionar las medidas de dichos ángulos.
Otra figura geométrica plana muy importante es la circunferencia. A
continuación se describen algunos elementos de ella:
Figura 3.47: Elementos de la circunferencia.
Centro: punto del cual todos los puntos de la circunferencia equidistan.
En la figura, O.
Radio(r ): segmento de recta que une un punto cualquiera de la
circunferencia en el centro O. En la figura, OB, entre otros.
geometría
197
Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
En la figura, HG.
Diámetro(d): cuerda que pasa por O. Su longitud es dos veces un
radio, d = 2r. En la figura, AF .
Recta tangente: recta que intersecta a una circunferencia en solo
un punto. En la figura, D es punto de tangencia de la recta tangente.
Recta secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
←→
En la figura, CE.
Arco: parte de la circunferencia limitada pos dos partes de ella. En
_
_
la figura, IJ, entre otros. El arco IJ comienza en I y termina en J y
se lee en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Utilizando la herramienta de la congruencia de triángulos es posible
demostrar algunas propiedades de los ángulos en la circunferencia.
Ángulo inscrito
Definición. Un ángulo inscrito es aquel que tiene el vértice en la
circunferencia, y los rayos que lo forman son cuerdas de la circunferencia.
Observación
Se puede expresar la medida de un arco de circunferencia, según la medida
del ángulo que tiene como vértice al centro de la circunferencia
que lo contiene.
Teorema. En una circunferencia, el ángulo inscrito mide la mitad del
ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Demostración:
Caso 1. El centro de la circunferencia queda dentro de la región
angular. Considérese la circunferencia de la Figura 3.48. Se traza un
diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por lo que los triángulos AOC y
BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente (ver Figura 3.49).
Por lo tanto,
∼ ]ACO = α
]OAC =
Figura 3.48: Circunferencia caso 1.
∼ ]CBO = β.
]OCB =
En el tríangulo AOC, ]AOD es exterior a ]COA. Por lo tanto
]AOD = 2α,
por la misma razón
]DOB = 2β.
Entonces,
]ACB = α + β
]AOB = 2α + 2β
]AOB = 2 · ]ACB
]AOB
= ]ACB.
2
Figura 3.49: Circunferencia caso 1.
198
matemática ppvj 2018
Caso 2. El centro de la circunferencia queda fuera de la región angular.
Considérese la circunferencia de la Figura 3.50. Se traza el radio OC,
por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC
respectivamente (ver Figura 3.51). Si se llama β a la medida del ángulo
ACB y se llama α a la medida del ángulo CAO, se tiene que
∼ ]OCA = α
]CAO =
∼ ]CBO = α + β.
]OCB =
Figura 3.50: Circunferencia caso 2.
En el triángulo DBC, ]ADB es exterior a ]BDC. Por lo tanto,
]ADB = β + α + β = 2β + α.
En el triángulo ADO, ]ADB es exterior a ]ODA. Por lo tanto,
]ADB = ]AOD + ]DAO
⇒
2β + α = ]AOD + α
2β = ]AOD
]AOB
2
]AOB
]ACB =
.
2
β=
Figura 3.51: Circunferencia caso 2.
Ejercitación:
28. En el caso anterior, falta considerar el caso en que uno de los rayos del ángulo inscrito coincide con
el diámetro de la circunferencia, como muestra la Figura 3.52. Demuestra que en este caso también se
verifica el teorema.
A partir de este teorema se pueden establecer los siguientes corolarios:
Un triángulo inscrito en una semi circunferencia es siempre rectángulo.
Ángulos inscritos que subtienden arcos iguales son congruentes entre
sí.
Figura 3.52: Circunferencia ejercicio 28.
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios.
Ejercitación:
29. Demuestra los tres corolarios anteriores.
geometría
199
Ángulo semi inscrito
Definición. Un ángulo semi inscrito es aquel cuyo vértice se encuentra
en la circunferencia, uno de sus rayos es cuerda de la circunferencia y el
otro es una tangente a esta.
Teorema. En una circunferencia, la medida del ángulo semi inscrito es
igual a la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende al
mismo arco.
Figura 3.53: Circunferencia ejercicio 30.
Ejercitación:
30. Considera el ángulo semi inscrito β de la Figura 3.53. Responde:
a) Si el arco AB mide α, expresa la medida del ángulo semi inscrito β en función de α (utiliza la figura y
considera que OA y OB son radios).
b) Si α = 30◦ , ¿cuánto mide β?
c) Si β = 45◦ , ¿cuánto mide α?
d) Si β = 60◦ , ¿cuánto mide el arco AB?
Ángulo interior
Definición. Un ángulo interior de una circunferencia es aquel que
tiene su vértice en alguna región del círculo, y las rectas que lo forman
son cuerdas de la circunferencia.
Teorema. En una circunferencia, un ángulo interior mide la semi suma
de los arcos que lo subtienden.
Figura 3.54: Circunferencia ejercicio 31.
Ejercitación:
31. Considera la circunferencia de la Figura 3.54. Responde:
a) Se tiene que α = β + γ por ser ángulo exterior al triángulo AEB, expresa la medida de α en función
de los arcos DA y BC.
b) Si el arco DA mide 20◦ , y el arco BC mide 10◦ , ¿cuánto mide el ángulo α?
c) Si α = 60◦ y el arco DA mide 15◦ , ¿cuánto mide el arco BC?
Ángulo exterior
Definición. Un ángulo exterior de una circunferencia, es aquel cuyo
vértice está fuera de la región circular y que tiene por lados a rectas
secantes o tangentes.
Teorema. El ángulo exterior en una circunferencia es igual a la semi
diferencia de los ángulos que lo subtienden.
Figura 3.55: Circunferencia ejercicio 32.
200
matemática ppvj 2018
Ejercitación:
32. Considera el ángulo α de la Figura 3.55. Responde:
a) Expresa la medida del ángulo β en función de la medida del arco BC y el ángulo γ en función de la
medida del arco DA.
b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo exterior del triángulo AEC, expresa el valor de α en
función de los arcos DA y BC.
c) Si el arco DA mide 100◦ y el arco BC mide 30◦ , ¿Cuánto mide el ángulo α?
d) Si el ángulo α mide 70◦ y el arco BC mide 50◦ , ¿Cuánto mide el arco DA?
e) ¿Qué puedes concluir?
3.3 | Área y perímetro de figuras planas
Problema: Nelson y Aldo luego de mudarse a su casa nueva se proponen enlozar el piso del dormitorio y
la cocina. Luego de realizar mediciones, dibujan los siguientes esquemas de cada uno de los cuartos y el
tamaño de una pieza de loza.
Dormitorio
Cocina
6
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
Pieza de loza
1
Cocina
5
Lavamanos
6
0
0
1 mts.
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8 mts.
0
1
2
3
4
5
6
7
8 mts.
¿Cuántas piezas de loza necesita el dormitorio? ¿Y la cocina?
¿Existe diferencia? ¿Por qué?
Luego de tomar las mediciones necesarias, Nelson recuerda que también deben instalar guardapolvo en los
bordes de cada cuarto.
¿Cuántos metros de guardapolvo deben comprar para cada cuarto?
¿Existe diferencia? ¿Por qué?
¿Te sorprende el resultado? Comente al respecto.
201
geometría
En la actividad anterior se pueden reconocer dos conceptos: el de
área que corresponde a la región encerrada por una figura plana y el de
perímetro que se refiere a la longitud del contorno de la misma.
Antes de ver al cálculo mismo de perímetros y áreas, se analizarán las
siguientes propiedades interesantes:
1. Los paralelogramos que están sobre la misma base y entre
las mismas paralelas son equivalentes en área.
Demostración:
Caso 1. Se tiene que ABCD y ABEF son paralelogramos, como en
∼ CE ya que DC =
∼ F E y F C es
la Figura 3.56. Se observa que DF =
pedazo compartido. Por lo tanto, por criterio de congruencia se tiene
∼ ∆BEC. De aquí se obtiene que ABCD es equivalente
que ∆AF D =
a ABEF porque III+I=I+II, porque II=II.
D
C
F
I
H
E
III
II
A
Caso 2. Se tiene que ABCD y ABEF son paralelogramos, como en
∼ DC.
la Figura 3.57. Dado que ABCD es un paralelogramo, AB =
∼ EF por ser ABEF paralelogramos. Por lo tanto,
Además, AB =
∼
DC = EF .
B
Figura 3.56: Propiedad 1, caso 1.
D
F
III
∼
Por tanto se tiene que DE + CF = CF + EF , entonces DF =
∼ CB y AF =
∼ BE, por lo tanto, por criterio de
CE. Además, DA =
∼
congruencia, ∆AF D = ∆BEC y esto implica que I=III y por lo tanto
el paralelogramo ABCD es equivalente a ABEF .
C
E
II
I
A
B
Figura 3.57: Propiedad 1, caso 2.
Ejercitación:
33. Demuestra que en un paralelogramo, la diagonal biseca las áreas.
2. Los triángulos que están sobre la misma base y entre las
mismas paralelas son equivalentes en área.
C
l1
F
E
Demostración:
Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y los triángulos ABC y ABD entre
ellas, como se observa en la figura 3.58. Se trazan la paralela a AC por
B y la paralela a BD por A, formándose los paralelogramos ABF C y
ABDE, los que son equivalentes en área por la proposición anterior.
Además, cada triángulo tiene la mitad del área del paralelogramo en
el que está contenido, de lo que se concluye que los triángulos ABC y
ABD son equivalentes en área.
3. Teorema de Pitágoras. En triángulos rectángulos el cuadrado
sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de
los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto.
l2
A
B
Figura 3.58: Propiedad 2.
D
202
matemática ppvj 2018
Demostración:
Primero, se traza desde el vértice C la perpendicular a AB. El problema
se reduce a demostrar que el cuadrado ACDE es equivalente en área
al rectángulo M QP A. Se trazan los segmentos EB y CM y se forma
los triángulos BEA y M CA, como se observa en la Figura 3.59. Se
observa que
G
∼ CA
EA =
∼ AM
AB =
F
D
∼ ]M AC
]BAE =
R2
C
∼ ∆M AC, por criterio Lado–
por lo tanto, se concluye que ∆BEA =
Ángulo–Lado.
R1
E
A
B
P
Además, se observa que ∆BEA es la mitad del cuadrado ACDE y el
∆M CA es la mitad del rectángulo M QP A, y como son congruentes,
el cuadrado ACDE es equvalente al rectángulo M QP A.
R3
M
Q
N
Análogamente se puede determinar que el cuadrado BF GC es equivalente al rectángulo QN BP , por lo tanto se obtiene que R1 + R2 = R3 .
Figura 3.59: Teorema de Pitágoras.
3.3.1 Área y perímetro de polígonos
Perímetro
El perímetro de cualquier polígono se calcula sumando las medidas de
todos los lados de este.
Área de paralelogramos y triángulos
Observación
Con estas expresiones, es
posible expresar la relación que enuncia el Teorema de Pitágoras de la siguiente
manera:
Dado un triángulo rectángulo
de catetos a y b e hipotenusa c,
se verifica que:
a2 + b2 = c2 .
Con las propiedades anteriores, es posible observar algunas cosas muy
importantes. Primero, el área de un paralelogramo depende únicamente
de la base y la altura de este. Utilizando el concepto de área introducido,
es posible comprender que por ejemplo para un rectángulo de lados b y
h, el área estará dada por:
A = b · h.
Además, como también ya se vió todo paralelogramo que tenga la misma
base y la misma altura tienen la misma área, lo que significa que la expresión anterior es válida para cualquier paralelogramo: rombo, romboide,
cuadrado y rectángulo.
Por otro lado, es posible concluir que el área de un triángulo también
depende únicamente de su base y de su altura. Además, esta área corresponde a la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y la
geometría
203
misma altura. Por lo tanto, para cualquier triángulo de base b y altura
h, el área está dada por:
b·h
A=
.
2
Ejercitación:
34. Demuestra que el área de un rombo también se puede calcular como el producto de sus diagonales dividido
en dos.
Área de trapecios y trapezoides
Trapecio
Sea el trapecio ABCD, de bases a y c, lados no paralelos b y d y
altura h. El área A está dada por la expresión
A=
(a + c)
· h.
2
Deltoide
Sea el deltoide ABCD, de diagonales d1 y d2 . El área A está dada
por la expresión
A=
Observación
Muchas veces, cuando se
pide calcular el área o el
perímetro de figuras geométricas irregulares, es útil descomponerla en figuras conocidas, como triángulos o cuadriláteros.
(d1 · d2 )
.
2
Ejercitación:
35. Demuestra las expresiones para el cálculo de las áreas de un trapecio y un deltoide.
3.3.2 Área y perímetro de un círculo
Dado un círculo de radio r, la expresión que permite calcular el área
es
A = πr2 ,
y la expresión para calcular el perímetro es
P = 2πr.
Ejercitación:
36. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras:
204
matemática ppvj 2018
37. El perímetro de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 4cm y el de un romboide de base 6 cm y altura 4
cm son iguales. ¿Ocurre lo mismo para sus áreas? Justifica.
38. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura:
39. Calcula el área de un hexágono regular de lado 4 cm.
40. Calcula el perímetro y el área de la figura achurada en cada caso.
_
_
a) En la primera figura, DA y CA son semicircunferencia de centro C y B, respectivamente. Además,
AD = 10 cm.
_ _
_
b) En la segunda figura, DA, DC y AC son semicircunferencias de centros C, E y B, respectivamente.
Además, AE = 8 cm.
3.4 | Semejanza
En la matemática, el concepto de proporcionalidad es muy importante para estudiar y trabajar muchos contenidos. El área de la geometría
que estudia las relaciones de proporcionalidad entre las figuras en el plano
es la geometría proporcional. En esta guía se aplica este concepto
directamente en figuras geométricas, en particular, en los triángulos.
geometría
205
Objetivo PSU
Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y
criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas
y sus aplicaciones a los modelos a escala.
3.4.1 Semejanza de figuras planas
Definición. Se dice que dos figuras planas son semejantes (∼) si tienen la misma forma, (por lo tanto, si sus ángulos son respectivamente
congruentes) y cada par de lados correspondientes (llamados homólogos) son proporcionales. La razón entre la medida de un par de lados
correspondientes se llama razón de semejanza (r ).
Por ejemplo, considerando la Figura 3.60 se cumple que:
∼ ]QP T
]BAE =
∼ ]RQP
]CBA =
∼ ]SRQ
]DCB =
Figura 3.60: figuras semejantes.
∼ ]T SR
]EDC =
∼ ]P T S
]AED =
BC
CD
DE
AB
=
=
=
= r,
PQ
QR
RS
ST
siendo r un número real, distinto de cero.
De esta forma, se concluye que las figuras son semejantes, lo que se
escribe como ABCDE ∼ P QRST , lo que además indica el orden de los
vértices correspondientes u homólogos.
AB
= r es un
PQ
número real mayor que 1. Según sus valores, se puede decir que:
Obsérvese que, en este caso, AB > P Q, por lo que
Si r > 1, ABCDE es una ampliación de P QRST .
Si r < 1, ABCDE es una reducción de P QRST .
Si r = 1, ABCDE es congruente con P QRST .
Observación
Si dos figuras son semejantes, con razón de semejanza r, se cumple que:
Sus perímetros están en la
razón r.
Sus áreas están en la razón
r2 .
Ejercitación:
41. Define con tus palabras el concepto de semejanza de figuras planas.
42. Dibuja 2 cuadriláteros semejantes.
43. Calcula la razón de semejanza en cada caso, la razón entre los perímetros y la razón entre las áreas.
a) Trapecios rectángulos semejantes.
206
matemática ppvj 2018
b) Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C 0 D0 = 6 m.
44. Dos triángulos semejantes ∆ABC y ∆DEF tienen una razón de semejanza r = 2. Si AB es homólogo a
DE, donde AB = 4 m y DE = 2, responde:
a) El triángulo DEF , ¿es una ampliación o reducción de ABC? ¿Por qué?
b) ¿Se puede determinar la medida de los demás lados de los triángulos? Justifica.
3.4.2 Escala
Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala,
que se utiliza en la confección de mapas y planos.
Ejemplo: El siguiente mapa muestra el sector del Barrio Bellavista, ubicado en las comunas de Recoleta y
Providencia en Santiago, en el se observan algunas de sus calles y lugares de interés turísticos.
Se analiza la escala del mapa, en este caso, 1 : 7.000. Esto significa que cada centímetro del mapa representa
geometría
207
7.000 centímetros de la realidad (0,07 kilómetros). ¿Cuál es, en la realidad, la distancia en kilómetros entre
los puntos A y B, sabiendo que estos puntos en el mapa están a 6 cm?
Para calcularlo, se considera la distancia en centímetros entre estos lugares en el plano, y la multiplicación
por 0,07:
1
6
= ⇒ x = 6 · 0,07 = 0,42.
0,07
x
Por lo tanto, la distancia es de 0,42 km.
Ejercitación:
45. El modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado utilizando una escala de 1 : 100.
¿Cuál es la medida real?
46. La Torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura aproximada de 325 m. Si se construye una maqueta de
esta estructura con una escala de 1 : 25, ¿cuál sería la altura?
47. Si en un mapa confeccionado con una escala de 1 : 5000 una ciudad dista 12 cm de otra, ¿cuál es la
distancia real (en metros) entre ambas ciudades?
3.4.3 Semejanza de triángulos
Al igual que ocurre con la congruencia, para afirmar que dos triángulos
son semejantes entre sí nos basta conocer la relación entre algunos de
sus elementos, que se pueden resumir en los criterios de semejanza de
triángulos; se llama de esta manera, a un conjunto mínimo de condiciones
tales que, si se cumplen, se tendrá la seguridad de que los triángulos son
semejantes. Estos criterios son:
Usted no lo haga
Los criterios de semejanza son distintos que los
criterios de congruencia,
¡no confundir!
Criterio ángulo - ángulo (AA).
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes. En la Figura 3.61,
α=
α0


β=
β0

⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .
Figura 3.61: Criterio AA.
Criterio lado - lado - lado (LLL).
Dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados correspondientes proporcionales. En la Figura 3.62,
AB
BC
AC
= 0 0 = 0 0 ⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .
0
0
AB
BC
AC
Criterio lado - ángulo - lado (LAL).
Figura 3.62: Criterio LLL.
208
matemática ppvj 2018
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos por dichos lados
congruentes. En la Figura 3.63,
Figura 3.63: Criterio LAL.

AC 
AB

=
A0 B 0
A0 C 0
⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .


0
α=α
Ejercitación:
48. En la figura, se tiene que ∆ABC ∼ ∆DEF . ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos?
49. En la figura, se tienen los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 . A partir de esto, responde:
a) Si α = α0 , ¿los triángulos son semejantes? Justifica.
b) Si se sabe que α = α0 , ¿qué condiciones mínimas
deberían darse para determinar la semejanza?
c) ¿Hay alguna otra manera de determinar la semejanza de los triángulos?
50. Si el plano de un departamento está hecho utilizando una escala de 1 : 10, entonces si el ancho de la
cocina en el mapa es de 20 cm, ¿cuántos metros mide la cocina en la realidad?
51. Si el mapa de la ciudad está hecho utilizando una escala 1 : 1000 y la plaza de la ciudad es de 40 metros
de largo, ¿cuánto mide la plaza en el mapa?
52. En la figura, ∆ABC ∼ ∆EDF . ¿Cuál es el valor de k?
geometría
209
53. Los cuadriláteros ABCD y EF GH son semejantes. De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medidas
de los lados x, y y z?
3.4.4 Teorema de Thales y división interior de segmentos
Problema: Adrián y su amigo Jaime se encuentran en una montaña y la suben por distintas laderas para
realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 metros de altura, como se muestra en la
figura:
Responde:
La altura CD de la montaña es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Adrián y Jaime?
La distancia AP que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia P C que le falta por
recorrer? Explica cómo calcularlo.
La distancia BQ que ha recorrido Adrián es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia QC que le falta por
recorrer? Explica cómo calcularlo.
Plantea una proporción que relacione las medidas AP , P C, BQ y QC.
Teorema particular de Thales.
Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al
tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí.
210
matemática ppvj 2018
QS // RT ⇒
PQ
PS
=
.
QR
ST
Además, ∆P QS ∼ ∆P RT por criterio AA, por lo que se verifica la
proporción:
PQ
PS
QS
=
=
.
PR
PT
RT
Teorema general de Thales.
Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales,
determinan sobre ellas segmentos proporcionales.
L1 // L2 // L3 ⇒
GD
FC
=
CA
DB
Teorema recíproco de Thales.
Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos
transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.
Ejercitación:
54. Calcule el valor de x en cada figura.
a) RQ // ST , RQ = 9 cm, T S = x cm, QS = 2 cm, SP = 4 cm.
geometría
211
b) AB // CD // EF , AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm.
55. Aplica el recíproco del teorema de Thales para determinar si en el siguiente caso las rectas por las que se
pregunta son paralelas: AC = 2x cm, CF = 3x cm, BD = 18k cm, BE = 45k cm. ¿AB // CD // EF ?
56. Resuelve los siguientes problemas.
a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia
genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide
1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana?
b) Tres árboles están alineados y ordenados de menor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide
90 cm de altura, el de mayor tamaño 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante
equidista de los otros dos y además los tres árboles son paralelos, ¿cuál es la altura del árbol restante?
212
matemática ppvj 2018
División interior de segmentos
Problema: Para construir una escalera un carpintero ubicará 6 escalones a lo largo de una viga que mide
1,7 metros, como se muestra en la figura. Para ello, debe dividir la viga en 7 partes iguales, lo que hace que
1,7
cada tramo deba medir
= 0,2428571.
7
Hacerlo de esta manera siempre implica una inexactitud porque el período del número obtenido requiere
realizar infinitas veces la división y obtener siempre un resto. Una alternativa es hacerlo en forma geométrica,
como se puede ver en los siguientes pasos.
Paso 1. Sea AB el trazo que representa la viga que se va a dividir. Se construye el ángulo BAC, de la
medida que sea.
−→
Paso 2. Se ubica un punto P sobre el rayo AC. Con el compás, se toma la medida de AP y se copian 6
−→
veces consecutivas sobre el rayo AC.
−→
Paso 3. Al último punto marcado sobre el rayo AC se le llama Q. Se traza el segmento QB.
−→
Paso 4. Por cada uno de los puntos ubicados en el rayo AC se trazan rectas paralelas a QB. Se divide así
el segmento AB en siete partes iguales.
Paso 1.
Paso 2.
Si se llama T , U , V , W , X e Y a los puntos obtenidos
se puede ver que:
Paso 3.
Paso 4.
AT
1
=
TB
6
AU
2
=
UB
5
AV
3
=
VB
4
AW
4
=
WB
3
AX
5
=
XB
2
AY
6
=
YB
1
geometría
213
Para discutir
¿Por qué se puede asegurar que los 7 pedazos sobre el segmentos AB,
recién construidos, son iguales?
Definición. Se dice que un punto M divide interiormente a un
p
segmento AB en la razón
si se cumple que:
q
AM
p
= .
MB
q
Ejercitación:
57. Utilizando el teorema de Thales, divide interiormente el segmento AB de la figura por el punto P en la
2
razón .
3
58. Sea AB un segmento de 48 cm, dividido interiormente por el punto P en la razón 3 : 5, la medida del
segmento P B es:
59. Si AB = 64, AP = 16 y P B = 48, entonces P B : AP es:
3.4.5 Teorema de Euclides
Problema: En la figura 3.64 se muestra un triángulo ABC rectángulo en C, en que se ha trazado una de
sus alturas.
214
matemática ppvj 2018
C
h
α
β
A
D
B
A partir de esto, responde:
¿Hay algún otro ángulo que mida α? Justifica.
¿Hay algún otro ángulo que mida β? Justifica.
¿Qué se puede afirmar con respecto a los triángulos ABC y CBD? Justifica.
¿Qué se puede afirmar con respecto a los triángulos ABC y ACD? Justifica.
C
a
b
h
α
A
Teorema de Euclides. Si en un triángulo rectángulo se traza la
altura desde el ángulo recto, entonces se cumple que:
β
p
q
D
h2 = p · q
B
c
a2 = p · c
b2 = q · c,
donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa.
Figura 3.64: Esquema ejemplificador del
teorema de Euclides.
Ejercitación:
60. Demuestra el Teorema de Euclides y responde: ¿se cumplen también las relaciones
a2
p
a·b
= yh=
?
2
b
q
c
61. Sea ABC un triángulo rectángulo en C, la medida de la altura h es:
C
h
A
2
P
8
B
62. Utilizando el teorema de Euclides demuestra el Teorema de Pitágoras y el Teorema recíproco de Pitágoras.
geometría
215
3.4.6 Proporcionalidad en la circunferencia
Problema: Al igual que con los ángulos en la circunferencia, existen relaciones entre las medidas de
los segmentos que determinan dos cuerdas o dos secantes que se intersectan entre sí. Para analizar estas
relaciones, considérense los siguientes casos:
Caso 1
Caso 2
En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los triángulos AP C y DP B?
Justifica.
Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos.
Relaciona las medidas de AP , BP , CP y DP a través de una multiplicación.
Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se
intersectan determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos
correspondientes proporcionales. El resultado anterior se conoce, respectivamente, como Teorema de las cuerdas para el caso 1 y Teorema de
las secantes para el caso 2. Es posible también relacionar una secante
y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente.
Figura 3.65: Teorema de las cuerdas.
En la siguiente tabla se resumen los teoremas:
Teorema de las
cuerdas
Teorema de las
secantes
Teorema de la
tangente y la
secante
En la Figura 3.65,
En la Figura 3.66,
En la Figura 3.67,
Figura 3.66: Teorema de las secantes.
P A · P B = P D · P C.
P D · P B = P C · P A.
2
PA · PB = PT .
3.4.7 Homotecias
El radio de la Luna es de 1.737 kilómetros mientras que el radio del
Sol es de 695.700 kilómetros, es decir, la Luna es mucho más pequeña que
Figura 3.67: Teorema de la tangente y
la secante.
216
matemática ppvj 2018
el Sol. Sin embargo, cuando ocurre el fenómeno conocido como Eclipse
Solar total, desde la Tierra se ve que la Luna cubre completamente al
Sol, es decir, se ven como si fueran del mismo tamaño, o como se dice en
geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.
Definición. Una homotecia es una transformación geométrica que
permite construir una figura semejante a la original, con lados correspondientes paralelos a esta. Dado un punto O y un número real k, con
k 6= 0, se define una homotecia de centro O y razón de homotecia k
como la transformación que hace corresponder un punto A en otro punto
OA0
A0 , tal que A, A0 y O son colineales y
= k.
OA
En una homotecia de centro O y razón de homotecia k, se cumple que:
Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están
al mismo lado del centro.
Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están
en lados opuestos al centro.
Si 0 < |k| < 1, la figura homotética es una contracción de la figura
original. En caso contrario es una dilatación.
En la figura, se tiene el triángulo ABC y el punto O. El triángulo
1 se obtiene al aplicarle una homotecia al triángulo ABC con centro
O tal que k > 1. Para el triángulo 2, 0 < k < 1. Para el triángulo 3,
−1 < k < 0. Finalmente, para el triángulo 4, k < −1.
Ejercitación:
63. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Existe una homotecia de razón 1? Justifica.
b) Dadas dos figuras homotéticas, ¿cómo se puede determinar su centro de homotecia?
64. Determina en cada caso la razón de homotecia, asumiendo que una figura se obtiene de la otra a través
de una homotecia de centro O.
a) k =
geometría
217
b) k =
65. Resuelve los siguientes problemas.
1
a) A un triángulo equilátero de perímetro 25 cm se le aplica una homotecia de razón . ¿Cuál es el
3
perímetro del nuevo triángulo?
b) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una homotecia de razón 3. ¿Cuál es el área y perímetro del
nuevo cuadrado?
66. ¿Cuál es el área del cuadrado que se obtiene, al aplicarle una homotecia de constante 2 a un cuadrado de
lado 2?
3.5 | Geometría analítica
Hasta ahora, se ha estudiado la geometría euclidiana del plano, la cual
se ha dividido en dos secciones: geometría angular y métrica, y geometría
proporcional. Sin embargo, se sabe que no es el único sistema geométrico
que existe. En esta sección se comenzará a estudiar un nuevo sistema: la
geometría cartesiana, conocida también como geometría analítica.
La geometría cartesiana tiene su origen en la primera mitad del
siglo XVII, por el matemático, físico y filósofo René Descartes. El
fundamento de este sistema se basa en la utilización del álgebra para
resolver los problemas geométricos, utilizando como primicia fundamental
un sistema de coordenadas y la asignación de pares ordenados a
los puntos del plano.
Se debe entender que el surgimiento de la geometría analítica, se sitúa
en un contexto histórico que sirve de antesala al proceso de Ilustración.
Notables avances científicos y matemáticos se producen en esa época y
218
matemática ppvj 2018
la geometría no es la excepción.
Durante esta sección se abordarán muchos problemas que ya se han
trabajado utilizando la geometría euclidiana, con la diferencia de que
esta vez se usará el sistema cartesiano para desarrollarlos y resolverlos.
Temáticas tales como paralelismo y perpendicularidad serán revisados
nuevamente, desde el punto de vista de la geometría de Descartes. A
medida que se avance durante este contenido, se notará que algunos
problemas bastante complicados de resolver “a la Euclides” se tornan
más simples bajo este nuevo contexto.
Objetivo PSU
Figura 3.68: Plano cartesiano.
Comprender la geometría cartesiana como un modelo para el
tratamiento algebraico de los elementos y relaciones entre figuras
geométricas.
3.5.1 Conceptos iniciales
Sistema de coordenadas: el plano cartesiano
Figura 3.69: Detalles del plano cartesiano.
Observación
Un punto ubicado sobre el eje de las abscisas, tiene coordenada
y = 0.
Un punto ubicado sobre el
eje de las ordenadas, tiene
coordenada x = 0.
Un punto ubicado a la derecha del eje de las ordenadas, tiene la coordenada de
la abscisa con signo positivo, y
viceversa.
Un punto ubicado arriba
del eje de las abscisas, tiene
la coordenada de la ordenada
con signo positivo, y viceversa.
El par ordenado que representa al punto de intersección
de los ejes, es decir, al origen
del plano cartesiano, es (0, 0).
Tal como se dijo en la introducción, la base de este nuevo sistema
geométrico es la utilización de un sistema de coordenadas para asignar
valores numéricos a los puntos ubicados sobre él. En honor a René
Descartes, el sistema de coordenadas que se va a definir recibe el nombre
de plano cartesiano.
Definición. El plano cartesiano es un sistema de coordenadas puesto
sobre el plano euclidiano que está constituido por dos rectas de números
reales, perpendiculares, que se intersectan en el cero de cada una de
ellas.
Las rectas que forman el plano cartesiano se hacen coincidir con una
recta horizontal, y otra vertical. A la recta horizontal se le denomina
eje de las abscisas o eje x, mientras que a la recta vertical se le
denomina eje de las ordenadas o eje y. A la intersección de los ejes
se le denomina origen del plano cartesiano.
Es importante notar que el plano cartesiano, tal como se ha definido,
divide al plano euclidiano en cuatro sectores: los cuadrantes.
El primer cuadrante, está ubicado en la esquina superior derecha,
el segundo en la esquina superior izquierda, el tercero en la esquina
inferior izquierda y el cuarto en la esquina inferior derecha. Los elementos
descritos se expresan en la Figura 3.69.
geometría
219
Pares ordenados
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda
determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto
(par ordenado). Mediante este procedimiento a todo punto del plano
corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada),
y recíprocamente, a un par ordenado de números le corresponde un único
punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los
puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados
de números.
Para representar un punto a través de un par ordenado, se considera
la distancia desde el punto al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
Un punto P cuya proyección vertical corta al eje de las abscisas en el
punto (a, 0) y cuya proyección horizontal corta al eje de las ordenadas
en el punto (0, b), se denota por el par ordenado (ver Figura 3.70):
Figura 3.70: Par (a, b).
P = (a, b).
Ejercitación:
67. Ubica los siguientes puntos en un plano cartesiano.
a) (−3, 4)
b) (−1, −2)
c) (3, 4)
d) (5, −6)
e) (0, 5)
f) (−6, 0)
68. En un plano cartesiano ubica en el primer cuadrante cuatro puntos, de tal manera que al unirlos formen
un cuadrado. Explica por qué es un cuadrado.
Distancia entre dos puntos
Considérese un punto P1 (x1 , y1 ) y un punto P2 (x2 , y2 ), como se muestra en la Figura 3.71. Para calcular la distancia entre P1 y P2 , se nota que
esta corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos
|x2 − x1 | e |y2 − y1 |.
Por lo tanto, utilizando el Teorema de Pitágoras y considerando que
= a2 se obtiene:
|a|2
d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Figura 3.71: Distancia entre dos puntos.
d=
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Ejercitación:
69. Calcula la distancia entre los siguientes puntos.
220
matemática ppvj 2018
a) A(−3, −5)
B (5, −7).
y b) A(3, −7) y B (−1, 0). c) A(12, 4) y B (−3, 3).
d) A(9, 5) y B (5, 9).
70. Sea un cuadrilátero de vértices (0, 0), (5, 0), (7, 5) y (2, 5), entonces ¿Cuál es su perímetro?
Punto medio de un segmento:
Sean los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) del plano cartesiano, y sea
M (xm , ym ) el punto medio del segmento AB. Esto significa que xm es
el punto medio de x1 y x2 y que ym es el punto medio de y1 e y2 . Al
observar la Figura 3.72, se nota que la distancia, en el eje X, del punto
A al punto M está dada por:
xm − x1 .
Y la distancia, en el eje X, desde el punto M al punto B es:
x2 − xm .
Luego, dado que xm es el punto medio de x1 y x2 , se tiene que:
xm − x1 = x2 − xm ⇒ xm + xm = x1 + x2 ⇒ 2xm = x1 + x2
xm =
⇒
x1 + x2
.
2
Análogamente, se tiene que:
ym =
Figura 3.72: Punto medio de un segmento.
y1 + y2
.
2
Luego, las coordenadas del punto M son:
x1 + x2 y1 + y2
M=
,
.
2
2
Ejercitación:
71. Calcula las coordenadas del punto medio entre los puntos:
a) A(−1, 5) y B (13, −6).
b) C (14, 0) y D (−5, −9).
1
3
c) E 7, −
yF
, −6 .
2
2
48
1
d) G − , 40 y H
, 44 .
32
2
72. Sea el triángulo de vértices A(0, 0), B (8, 0) y C (4, 13) en el plano cartesiano. ¿Cuál es el área?
Vectores en el plano cartesiano
Definición. El vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza
por tener magnitud o módulo, dirección y sentido. La magnitud es la
geometría
221
longitud del vector, la distancia entre el inicio (cola) y el término (punta
−−→
de la flecha) y se denota de la forma |AB|. El sentido es la orientación
que distingue inicio y fin y la dirección es la recta que contiene a los
puntos inicial y final y sus paralelas.
Para representar vectores en el plano cartesiano se deben calcular
sus componentes. Si un vector tiene como puntos extremos A(x1 , y1 ) y
−−→
B (x2 , y2 ), las componentes del vector AB están dadas por (ver Figura 3.73):
Figura 3.73: Representación gráfica del
vector AB.
−−→
AB = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 ).
D
En general, si un vector ~u tiene componentes (u1 , u2 ) su magnitud o
módulo se calcula como:
p
|~u| = u1 2 + u2 2 .
C
−−→ −−→
Nótese además, que dos vectores AB y CD, determinados por puntos
que forman vétices de un paralelogramo ABDC, como en la figura, son
iguales.
B
A
Figura 3.74: Paralelogramo ABDC.
Ejercitación:
73. Calcula las coordenadas del vector que tiene por cola y punta los siguientes puntos, respectivamente:
a) A(−3, 1) y B (4, −3)
1
b) C 10, −
3
3
y D 0,
4
4
c) E − , −7 y F (−5, 5)
5
74. Considera el vector ~v que tiene por cola al punto (1, 1) y por punta al punto (5, 3).
a) Grafica los puntos de la cola y la punta del vector ~v y trace el vector.
b) Calcula las coordenadas del vector ~v y grafícalo en un plano cartesiano.
75. Calcula la magnitud de los siguientes vectores.
a) ~v = (−4, 3)
b) ~u =
3 5
,−
4 6
c) w
~ = (−9, 7)
Operaciones con vectores
Multiplicación de un vector por un escalar:
Como ya se ha visto, un vector posee componentes que se representan
como pares ordenados (x, y ), donde x corresponde a los movimientos
horizontales e y a los verticales. Por ejemplo el vector (2, 1) representa
la traslación de un objeto dos unidades hacia la derecha y una unidad
hacia arriba.
Por otra parte, un escalar k es una cantidad perteneciente al conjunto
de los números reales que carece de dirección y sentido.
Figura 3.75: Representación gráfica de
la multiplicación vector-escalar.
222
matemática ppvj 2018
Supóngase que se quiere representar triple del vector (2, 1). Para
esto se tiene la operación
3 · (2, 1).
Esto significa que la traslación que representa el vector se triplica en
dirección horizontal y vertical, por lo tanto el resultado de la operación
significa multiplicar cada una de las componentes del vector por el escalar,
somo se observa en la Figura 3.75,
Figura 3.76: Caso k > 1.
3 · (2, 1) = (3 · 2, 3 · 1) = (6, 3).
En resumen, para multiplicar un vector ~u = (u1 , u2 ) por un escalar k,
se obtiene el producto k · ~u y se calcula de la siguiente forma:
k · ~u = (k · u1 , k · u2 ).
Al representar el vector resultante en el plano cartesiano se tiene que:
Figura 3.77: Caso 0 < k < 1.
Si k > 1, el vector k · ~u tendrá igual dirección y sentido que ~u y su
magnitud es k veces la magnitud de ese vector (ver Figura 3.76).
Si 0 < k < 1, el vector k · ~u tendrá igual dirección y sentido que ~u,
pero su magnitud será menor que la de ~u siendo k veces la magnitud
de ese vector (Ver Figura 3.77).
Si k < 0, el vector k · ~u tendrá sentido contrario (ver Figura 3.78).
Figura 3.78: Caso k < 0.
Definición. Dos vectores ~v y ~u son paralelos cuando uno es el ponderado
del otro, es decir, si existe un número real α distinto de cero tal que
~v = α · ~u.
Ejercitación:
76. Calcula la multiplicación de cada uno de los vectores por un escalar.
a) 5 · (−2, 7)
1
b) − · (−10, 18)
2
c)
3
· (−7, −8)
4
77. Representa las siguientes operaciones en un plano cartesiano.
a) 5 · (1, −1)
b)
1
· (−9, −12)
3
c) −2 · (−2, −3)
Suma de vectores:
Es posible sumar vectores componente a componente, de la siguiente
manera:
Sea ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ), luego:
Figura 3.79: Representación gráfica de
la suma de vectores.
~u + ~v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 ).
geometría
223
La representación geométrica de la suma de vectores se observa en la
Figura 3.79.
Resta de vectores:
Es posible restar vectores componente a componente, de la siguiente
manera:
Sea ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ), luego:
~v − ~u = (v1 , v2 ) − (u1 , u2 ) = (v1 − u1 , v2 − u2 ).
La representación geométrica de la resta de vectores se observa en la
Figura 3.80.
Figura 3.80: Representación gráfica de
la resta de vectores.
Ejercitación:
78. Resuelve las siguientes sumas y represéntelas en un plano cartesiano.
a) (3, −1) + (2, −4)
b)
1 3
+ (−1, −1)
− ,
2 4
c) (−3, 1) + (2, 3)
79. Resuelve las siguientes sumas y represéntelas en un plano cartesiano.
a) (−2, −2) − (−1, 3)
b) (2, 3) − (−1, −2)
c) (6, 9) − (3, 7)
80. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a) 2 · (−7, 9) − (13, −20) + b) 3 · (−1, −9) − 2(−1, 3) + c) (8, 0) + (−7, −67) + 5 ·
(17, 5)
(17, 8)
(17, −6)
3.5.2 Ecuación de la recta
En la subsección anterior se introdujeron las nociones fundamentales
para el estudio de la geometría analítica: el plano cartesiano y los pares
ordenados. Sin embargo, es necesario definir un tercer concepto muy
importante para el estudio de las figuras y de las propiedades geométricas
en el sistema de Descartes: la recta.
Objetivo PSU
Establecer la relación entre la representación gráfica de rectas
en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan
origen.
Pendiente de una recta
Antes de encontrar la ecuación de la recta, es necesario definir los
siguientes conceptos:
224
matemática ppvj 2018
A partir de un punto P , una recta se puede considerar como un
conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección a ambos
lados de P . Es importante señalar también que a partir de dos puntos
(A y B) del plano cartesiano es posible determinar una única recta que
los contiene. Por ejemplo:
Segmento AB AB
Figura 3.81: Pendiente de un segmento.
La pendiente (m) de un segmento AB corresponde al cambio de la
variable y por cada unidad de variación en la variable x.
El valor de la pendiente de un segmento delimitado por los puntos
A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) está dado por:
mAB =
y2 − y1
,
x2 − x1
donde x2 6= x1 .
Ejercitación:
81. Encuentre la pendiente de los segmentos delimitados por los puntos:
a) (−2, 1) y (5, −7)
b) (0, −3) y (−2, −9)
c) (7, −1) y (4, 3)
Dada la definición de la pendiente, se pueden establecer las siguientes
generalidades:
Si m > 0, el segmento de pendiente m es creciente.
Si m < 0, el segmento de pendiente m es decreciente.
Si m = 0, el segmento de pendiente m es paralela al eje x.
Si m no existe, el segmento es paralelo al eje y.
Lo que gráficamente significa:
Ejercitación:
82. a) Sean A(−1, 1), B (0, 3), C (1, 1), D (1, −1) y E (0, 0). Determina gráficamente si m = 0, m < 0, m > 0
geometría
225
o no está definida para los siguientes segmentos:
mAB
mDA
mBC
mEB
b) Respecto al ejercicio anterior, de los siguientes segmentos, AB, AC, DA, BC, EB y CE, ¿cuál(es) de
ellas es (son) horizontal(es)? ¿Y cuál(es) es (son) vertical(es)?
Definición. Se dice que los puntos A, B y C son colineales si entre ellos
tienen la misma pendiente, es decir,
Observación
mAB = mBC = mAC .
Esta definición excluye a
las rectas verticales.
Definición. En geometría analítica, se llama recta al lugar geométrico de
los puntos del plano tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) de la recta, un tercer punto P (x, y ) es colineal a
P1 y P2 .
Ejercitación:
83. Determine si los siguientes tríos de puntos son o no colineales.
a) (1, 3), (3, 5) y (7, 9)
b) (−2, −1), (−5, −8) y (3, −2)
c) (−20, 1), (5, 1) y (−5, 1)
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por
uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta
puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de
uno de sus puntos y su pendiente.
Teorema. La recta que pasa por el punto dado P1 (x1 , y1 ) y tiene la
pendiente dada m, tiene por ecuación
y − y1 = m · (x − x1 ).
Demostración. Sea P (x, y ) un punto cualquiera de la recta, diferente
del punto dado P1 (x1 , y1 ), como en la Figura 3.82. Por la definición de
recta, los puntos P y P1 satisfacen la ecuación:
m=
y − y1
,
x − x1
de lo cual se obtiene inmediatamente:
(y − y1 ) = m · (x − x1 ).
Figura 3.82: Recta que pasa por P1 y
un punto cualquiera P .
Observación
Para el caso de las rectas
verticales, la ecuación de
la recta es x = k, donde
k es un número real cualquiera.
226
matemática ppvj 2018
Ejercitación:
84. Hallar la ecuación de la recta dada un punto y la pendiente.
a) P (8, 0) y m = −3.
b) P (2, −4) y m = 4.
c) P (−3, −4) y m = −1.
Ecuación de la recta dada su pendiente y coeficiente de posición
Considérese una recta l, que tiene una pendiente dada m y que intersecta al eje de las ordenadas en el punto n (coeficiente de posición),
como se muestra en la Figura 3.83.
Como se conoce n, el punto cuyas coordenadas son (0, n), y la pendiente m, se puede utilizar el resultado obtenido en el teorema anterior
para encontrar la ecuación de la recta:
( y − y1 ) = m ( x − x1 )
Figura 3.83: Ecuación de la recta dada
la pendiente y el coeficiente de posición.
(y − n) = m(x − 0)
y − n = mx
y = mx + n.
Por lo tanto, la ecuación de la recta que tiene pendiente m y coeficiente
de posición n está dada por:
y = mx + n.
Ejercitación:
85. Dada la pendiente y el coeficiente de posición, determina la ecuación de la recta en cada caso y grafícala
en el plano cartesiano.
a) m = 2 y n = −1.
b) m = −1 y n = 0.
86. Grafica las siguientes rectas en un plano cartesiano
1
a) y = −2x + 1
c) x = −1
b) y + 2 = x
2
d) y = 3
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por
dos cualesquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de una recta
también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas
de dos cualesquiera de sus puntos.
Teorema. La recta que pasa por dos puntos distintos dados P1 (x1 , y1 )
y P2 (x2 , y2 ) tiene por ecuación:
Figura 3.84: Recta que pasa por los puntos P1 y P2 .
y − y1 =
y2 − y1
( x − x1 ) .
x2 − x1
geometría
227
←−→
Demostración. Considérese la recta P1 P2 , como se muestra en la Figura 3.84. Como se conocen dos puntos de ella, se puede determinar su
pendiente de la siguiente manera:
m=
y2 − y1
.
x2 − x1
Luego, utilizando las coordenadas de alguno de los puntos, por ejemplo
P1 , se sustituye en la ecuación dado un punto y la pendiente:
Si x1 = x2 la ecuación
recién obtenida no puede
usarse. En este caso, la
recta es paralela al eje y, y su
ecuación está dada por x = x1 .
y − y1 = m(x − x1 )
y − y1 =
Observación
y2 − y1
( x − x1 ) .
x2 − x1
Ejercitación:
87. Hallar la ecuación de la recta dados los puntos:
a) (0, 5) y (3, 3)
b) (−2, 3) y (−1, −6)
Forma general de la ecuación de la recta
En los casos anteriores se ha visto que la ecuación de una recta
cualquiera, en el plano cartesiano, es de la forma
Ax + By + C = 0,
donde A o B deben ser distintos de cero y C puede o no ser cero. Esta
ecuación se llama forma general de la ecuación de la recta.
Si se despeja y en la ecuación recién planteada, se obtiene
Ax + By + C = 0 ⇒ By = −Ax − C ⇒ y = −
A
C
x− ,
B
B
de lo cual se deduce que la pendiente y el coeficiente de posición están
dados por
A
C
m=−
n=− ,
B
B
donde B 6= 0.
Ejercitación:
88. Dados los siguientes coeficientes de posición y pendientes determine la ecuación general de la recta en
cada caso.
a) n = 2 y m =
5
.
2
b) n =
3
y m = 9.
4
c) n = 10 y m = 0.
228
matemática ppvj 2018
Posición relativa de dos rectas
Observación
Las propiedades aquí
planteadas no son válidas
si se considera una recta
paralela al eje y ya que su pendiente no está definida, y tampoco son válidas para las rectas
paralelas al eje x, ya que estas
tienen pendiente 0.
Ahora se considerarán las posiciones relativas de dos rectas. En particular, se determinarán las condiciones analíticas bajo las cuales estas
dos rectas son: paralelas, perpendiculares, coinciden o se cortan en un y
solamente un punto.
Se consideran las rectas dadas por:
y = m1 x + n1
(1)
y = m2 x + n2
(2)
a) Rectas paralelas.
Una condición necesaria y suficiente para que las rectas (1) y (2) sean
paralelas, es que tengan la misma pendiente. Es decir,
m1 = m2 .
b) Rectas perpendiculares.
Una condición necesaria y suficiente para que las rectas (1) y (2) sean
perpendiculares, es que la multiplicación de sus pendientes sea igual a
−1. Es decir,
m1 · m2 = −1.
c) Rectas coincidentes.
Una condición necesaria y suficiente para que las rectas (1) y (2) sean
coincidentes, es que las rectas tengan igual pendiente e igual coeficiente
de posición. Es decir,
m1 = m2 ∧ n1 = n2 .
d) Rectas que se intersectan en un y solo un punto.
Dos rectas se intersectan en un y solo un punto si no son paralelas, es
decir, si sus pendientes no son iguales. Por lo tanto, las rectas (1) y
(2) se intersectan en solo un punto si
m1 6= m2 .
Ejercitación:
89. Hallar el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas: r : 2x + 3y − 4 = 0 y s : kx − 6y − 2 = 0.
90. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −3) y que es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6.
91. Si las rectas L5 : 3x − y + a = 0 y L6 : (b − 5)x − y − 2 = 0 son coincidentes, ¿cuál es el valor de a y el
geometría
229
de b?
3.5.3 Transformaciones isométricas
Ya habiendo introducido la geometría analítica y con ello los conceptos
de plano cartesiano, pares ordenados y vectores, en esta ocasión, se
utilizará este sistema geométrico para analizar un nuevo contenido: las
transformaciones isométricas.
Objetivo PSU
Identificar regularidades en la realización de transformaciones
isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas
respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones
sobre figuras geométricas.
Definición. Una transformación isométrica es un movimiento rígido
que, aplicado a figuras planas, conserva la forma y el tamaño de la figura
original. A la figura que se obtiene luego de aplicar una transformación
isométricos se le llama figura homóloga, mientras que a la figura que se
le aplica la transformación se le denomina figura origen. Es importante
destacar que la figura origen y la figura homóloga son figuras congruentes.
Las transformaciones isométricas son: traslaciones, reflexiones, rotaciones
y sus composiciones.
Traslación
Definición. La traslación es la transformación isométrica que corresponde al movimiento de cada punto de una figura en una dirección, en
un sentido y en una magnitud dada. Dichas características del desplazamiento están representadas por un vector de traslación. Por ejemplo,
el triángulo ABC de la Figura 3.85 fue trasladado según el vector ~u
obteniendo el triángulo A0 B 0 C 0 .
La traslación T~u es una función que, para cada ~u = (u1 , u2 ), a cada
punto P (x, y ), le asigna un único punto de coordenadas:
T~u (x, y ) = (x + u1 , y + u2 ).
Figura 3.85: Traslación de un triángulo
respecto del vector ~
u.
Ejercitación:
92. Aplica la traslación según el vector dado.
a) ~s = (1, 6) y T~s (9, 2)
b) ~s = (−8, −6) y T~c (−10, −4)
93. Calcula el vector de traslación (~u) a partir del punto inicial (A) y el trasladado (P ).
230
matemática ppvj 2018
a) A(7, −1), P (5, 0).
b) A(4, 2), P (3, −7).
94. Calcula el punto inicial a partir de su imagen P y el vector traslación ~v .
a) ~v = (−3, −9), P (3, −4)
b) ~v = (4, 10), P (3, −2)
95. Ubica las figuras en el plano luego de realizarles traslaciones con los siguientes vectores:
a) T(3,4)
b) T(−4,2)
c) T(−4,−4)
Reflexión
Definición. La reflexión axial es una transformación isométrica en la
que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a
igual distancia de la recta llamada eje de simetría y el segmento que une
ambos puntos es perpendicular a este eje. Dos figuras planas se dirán
simétricas si hay un eje de simetría que refleje una en otra.
Figura 3.86: Reflexión de un triángulo
respecto de la recta L.
En la Figura 3.86, el triángulo ABC fue reflejado en torno a la recta
L obteniéndose el triángulo A0 B 0 C 0 .
Para reflejar un punto P (x, y ) en el plano cartesiano respecto de un
eje coordenado se pueden utilizar las siguientes expresiones:
Si la reflexión de un punto (x, y ) es respecto del eje x puede ser
definida como la función:
Rx (x, y ) = (x, −y ).
Si la reflexión de un punto (x, y ) es respecto del eje y puede ser definida
como la función:
Ry (x, y ) = (−x, y ).
Ejercitación:
96. Aplica las siguientes reflexiones y represéntelas en el plano cartesiando.
a) Rx (2, 0)
b) Rx (−2, 4)
c) Ry (1, 5)
d) Ry (−3, 2)
97. Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje x, obteniendo las
siguientes imágenes:
a) (−3, 10)
b) (−8, −9)
98. Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje y, obteniendo las siguientes
geometría
231
imágenes:
a) (7, −3)
b) (−3, 0)
99. Un triángulo de vértices A(0, 0), B (3, 1) y C (−2, 1) se refleja con respecto del eje x. Encuentra las
coordenadas de los vértices homólogos y representa la reflexión en el plano cartesiano.
Problema: Obsérvese los vértices del triángulo que fueron reflejados:
Vértice
Imagen
A(−6, 3)
(6, −3)
B (−4, 5)
(4, −5)
C (−2, 2)
(2, −2)
a) ¿Qué regularidad se observa? Describe.
b) Si se refleja un punto (x, y ) con respecto al origen del plano, ¿qué punto se obtiene?
c) A partir de lo anterior, completa la tabla:
Punto
Imagen
(−10, −3)
(15, −5)
(−1, −9)
Al reflejar un punto con respecto a otro punto, se le denomina simetría central.
232
matemática ppvj 2018
Ejercitación:
100. Dibuja el simétrico de cada figura aplicando los distintos tipos de simetría.
a) Simetría central respecto del centro O.
b) Simetría central respecto del punto P .
c) Simetría axial respecto a la recta L.
d) Simetría axial respecto a la recta F .
Rotación
Definición. La rotación es una transformación isométrica en el plano
que consiste en girar todos los puntos de una figura a un punto O fijo
llamado centro de rotación, en una medida angular α llamado ángulo
de rotación, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia
que tiene como centro al punto O y un ángulo α.
Si el ángulo de rotación es positivo, el giro se realiza en sentido
antihorario, en cambio si el ángulo de rotación es negativo el giro se
realiza en sentido horario.
Por ejemplo, el triángulo ABC de la Figura 3.87 fue rotado con
respecto al punto P en un ángulo de 90◦ , obteniéndose el triángulo
A0 B 0 C 0 .
Figura 3.87: Rotación en 90◦ de un
triángulo respecto del punto P .
Para rotar un punto P (x, y ) en el plano cartesiano respecto al origen
(O ), y el ángulo dado en cada caso, el punto imagen se obtendrá utilizando
las siguientes expresiones:
geometría
R(0,90◦ ) (x, y ) = (−y, x)
R(0,−90◦ ) (x, y ) = (y, −x)
R(0,180◦ ) (x, y ) = (−x, −y )
R(0,−180◦ ) (x, y ) = (−x, −y )
R(0,270◦ ) (x, y ) = (y, −x)
R(0,−270◦ ) (x, y ) = (−y, x)
R(0,360◦ ) (x, y ) = (x, y )
R(0,−360◦ ) (x, y ) = (x, y )
233
Ejercitación:
101. Aplica la rotación con respecto al origen según el ángulo de giro indicado para cada uno de los puntos.
a) R(0,90◦ ) (5, −2)
b) R(0,270◦ ) (1, −1)
c) R(0,180◦ ) (−8, 3)
d) R(0,−90◦ ) (−14, −36)
Composición
Definición. La composición de transformaciones isométricas es
la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre un punto
o una figura, es decir, al resultado de la primera transformación se le
aplica una segunda y así sucesivamente.
La composición de dos o más traslaciones T~v ◦ T~u (A) es equivalente a una traslación definida por la suma de los vectores T~u+~v (A),
como se observa en la Figura 3.88, ya que la suma de vectores está dada
como se observa en la Figura 3.89.
Figura 3.88: Composición de traslaciones.
Al componer dos o más reflexiones, se tienen los siguientes casos:
Componer dos reflexiones con respecto a rectas paralelas es equivalente
a una traslación T~u (A), como se observa en la figura:
Figura 3.89: Suma de vectores.
Componer dos reflexiones con respecto a rectas perpendiculares es
equivalente a una simetría central que tiene como centro el punto de
intersección de las rectas, como se observa en la Figura 3.90.
234
matemática ppvj 2018
Componer dos reflexiones con respecto a rectas que se intersectan en
un punto P , formando un ángulo α, es equivalente a una rotación de
centro P y ángulo 2α, como se observa en la figura:
Figura 3.90: Composición de reflexiones,
caso 2.
Figura 3.91: Composición de rotaciones.
Al componer dos o más rotaciones con el mismo centro O, R(O,β ) ◦
R(O,α) (A) es equivalente a una rotación definida de centro O y un ángulo
igual a la suma de los dos ángulos R(O,α+β ) , como se observa en la Figura
3.91.
Ejercitación:
102. Si al punto de coordenadas (8, −2) se le aplica una traslación según el vector (−4, 0) y luego, una segunda
traslación que lo transforma en el punto de coordenadas (2, −7), ¿cuál es el vector de esta segunda
traslación?
103. Dado un segmento AB de coordenadas A(2, 3) y B (5, 1). ¿Cuáles serían las coordenadas del segmento
AB luego de aplicar una rotación de 90◦ (con centro en el origen y sentido horario) y posteriormente una
traslación T(−2,3) ?
3.6 | Geometría del espacio
3.6.1 Geometría cartesiana del espacio
Figura 3.92: Espacio cartesiano.
Hasta ahora, se han estudiado las propiedades de los puntos, rectas y
figuras en el plano; estudio que tiene una gran importancia en diferentes
disciplinas como la ingeniería, la arquitectura y el arte. Sin embargo, se
sabe que el mundo donde se vive es un espacio tridimensional, es decir,
todos los objetos en él tienen largo, ancho y alto. Es por este motivo que
se hace fundamental definir elementos geométricos en él.
geometría
235
Objetivo PSU
Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la
representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta
en el espacio.
Vectores en el espacio
La recta numérica real es la recta que contiene a todos los números
reales y que sirve para ordenar cantidades, tales como longitud, tiempo,
peso, etc. En el plano cartesiano, en cambio, se pueden organizar puntos
con dos coordenadas, cada una de las cuales representa una magnitud.
Sin embargo, surge la necesidad de representar objetos con más de dos
magnitudes asociadas, es decir, objetos no planos, para lo cual es posible
agregar coordenadas a la representación. El espacio es aquello que tiene
tres dimensiones: largo, ancho y alto, y de la misma manera que se definió
el plano cartesiano, se puede definir un espacio cartesiano, es decir, un
sistema de coordenadas tridimensional para representar puntos, rectas y
figuras en él.
Para construir este sistema, se agrega un eje al plano cartesiano para
representar la dimensión faltante. Este eje, es perpendicular a los otros dos
y suele llamarse eje de las cotas o eje z. En el espacio cartesiano, cada
punto puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z ), denominadas
coordenadas del punto, que son las distancias perpendiculares a los
planos yz, xz e xy, respectivamente. En la Figura 3.93 se observa la
representación del punto (1, 4, 6). En el espacio cartesiano se puede
también representar vectores: se asocia el punto de coordenadas (0, 0, 0)
como punto inicial del vector y cualquier punto en el espacio como su
punto final, como se observa en la Figura 3.94.
Figura 3.93: Representación del punto
(1, 4, 6) en el espacio cartesiano.
Figura 3.94: Representación del vector
(3, 4, 4) en el espacio cartesiano.
Observación
La suma y la ponderación
de vectores se definen naturalmente de la misma
manera que en el plano.
Ejercitación:
104. Demuestra que la distancia entre dos puntos en el espacio cartesiano A(x1 , y1 , z1 ) y B (x2 , y2 , z2 ) está
dada por la expresión
q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
105. Utilizando la expresión anterior encuentra el módulo de un vector ~v = (x, y, z ) en el espacio.
106. Calcula la distancia entre los siguientes puntos:
a) A(−1, 4, 6) y B (−2, −2, 0).
b) C (a, a2 , 1 − a) y D (−a, 0, a).
107. Dados los vectores ~v = (1, −3, 6) y ~u = (2, 1, −1), calcula el módulo del vector resultante en cada caso:
236
matemática ppvj 2018
a) 2~v − ~u
b) ~u − 4 · (−~v )
Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana
Se sabe que basta conocer dos puntos que pertenezcan a una recta,
para determinar correctamente su ecuación en el plano. Considérese
primero el caso de una recta que pasa por el origen del plano cartesiano,
es decir, uno de los puntos de la recta es (0, 0) y otro es, supóngase,
A(a, b). Si ahora se traza el vector ~v = (a, b), se puede observar que este
vector tiene, naturalmente, la misma dirección de la recta que pasa por
(0, 0) y A. Entonces, es posible decir que para determinar una recta que
pasa por el origen, basta un vector, que tenga la misma dirección de la
recta.
Ecuación vectorial de una recta que pasa por el origen.
Figura 3.95: Recta que pasa por el origen y un punto P .
En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por
el origen O (0, 0) con vector director d~ = (d1 , d2 ) paralelo a la recta L (ver
Figura 3.95). Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo
→
−
−−→
P (x, y ), entonces siempre existe un número real λ, tal que OP = λ · d .
Luego la ecuación vectorial de la recta L es (x, y ) = λ(d1 , d2 ), λ ∈ R.
Cada λ ∈ R determina un punto en la recta y viceversa.
Ejercitación:
108. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y por el punto A si:
a) A(−2, 4)
b) A(−1, −3)
Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector
director es necesario determinar un vector que indique la ubicación de la
recta en el plano.
Ecuación vectorial de la recta en el plano.
Figura 3.96: Recta que pasa por un pun~
to P con vector director d.
Si una recta L tiene vector d~ y además pasa por el punto P0 (x0 , y0 ),
para representarla se considera un punto cualquiera P de ella, cuyas
coordenadas son P (x, y ) (ver Figura 3.96), entonces existe un número real
→
−
→
−
−−→
−−→ −−→
λ, tal que P0 P = λ · d , y por lo tanto OP = OP0 + λ · d . Utilizando
el vector posición p~0 de P0 y considerando el vector p~ de P resulta:
~
p~ = p~0 + λ · d.
~ la ecuación
Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d,
vectorial de la recta expresada en coordenadas es:
(x, y ) = (x0 , y0 ) + λ(d1 , d2 ),
donde λ es el parámetro, es decir, es un número real que varía para
determinar puntos que pertenecen a la recta.
geometría
237
Ejercitación:
109. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos:
a) P (−2, 3) y Q(−1, −3).
b) A(0, 13) y B (−5, 9).
110. Determine la ecuación vectorial de la recta en el plano que pasa por el punto (2, −3) y tiene vector
director a d~ = (−1, −1). Utilice esta ecuación para encontrar 3 puntos que pertenezcan a la recta.
Ecuación vectorial y cartesiana de la recta en el plano.
A partir de la ecuación vectorial de la recta, es posible obtener la
ecuación cartesiana de la recta. Si se reemplazan valores en la ecuación
vectorial, se pueden ubicar en el plano cartesiano puntos pertenecientes a
la recta, y luego, determinar su ecuación cartesiana. También es posible
determinar solo un punto, y la pendiente de la recta que está dada por:
m=
d2
,
d1
cuando d1 6= 0.
Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente a una
ecuación vectorial dada es igualar componente a componente y obtener
una ecuación que relacione los valores de x e y, sin el parámetro λ. Para
esto, se despeja λ en cada una de las ecuaciones y se igualan.
Ejercitación:
111. A partir de la ecuación vectorial, determina la ecuación cartesiana de la recta en casa caso.
a) (x, y ) = (−1, 5) + λ(−7, 1)
b) (x, y ) = (0, 5) + λ(9, 4)
112. A partir de la ecuación cartesiana, determina la ecuación vectorial de la recta en cada caso:
a) 4x − y + 1 = 0
b) x + 3y = −2 = 0
Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el espacio
Ecuación vectorial de una recta en el espacio.
La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe tal como la
de la recta en el plano, pero extendiéndola a tres coordenadas (ver Figura
3.97). Es decir, la ecuación de la recta pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y
~ dada por el vector d~ = (d1 , d2 , d3 ), es
tiene dirección d,
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ), con λ ∈ R.
Figura 3.97: Recta en el espacio que
pasa por un punto P con vector director
~
d.
238
matemática ppvj 2018
Ecuación paramétrica y simétrica de la recta en el espacio.
Cabe preguntarse si será posible despejar la variable λ de la ecuación anterior, igualar los valores encontrados y finalmente obtener solo
una ecuación cartesiana para la recta considerada. La respuesta a esta pregunta es negativa; no es posible representar una recta del
espacio tridimensional a través de exactamente una ecuación
cartesiana.
Si en la ecuación anterior se despejan los valores de λ se obtiene
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 )
⇒ (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + (λd1 , λd2 , λd3 )
⇒ (x, y, z ) = (x0 + λd1 , y0 + λd2 , z0 + λd3 )
⇒


x = x0 + λd1


y = y0 + λd2



 z = z + λd .
0
3
A estas ecuaciones, se les llama “ecuaciones paramétricas de la
recta”. Se despeja el parámetro λ de las ecuaciones paramétricas y se
obtiene:

x − x0

λ=



d1


y − y0
λ=

d2




λ = z − z0 ,
d3
cuando d1 6= 0, d2 6= 0 y d3 6= 0. Al igualar los valores de λ se concluye
que:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
d1
d2
d3
Estas dos ecuaciones son conocidas como “ecuaciones simétricas de
la recta” o por abuso de lenguaje, simplemente “ecuación simétrica
de la recta”.
Recíprocamente, si se conoce la ecuación simétrica entonces se observa
que la recta pasa por el punto A(x0 , y0 , z0 ) y que un vector director es
d~ = (d1 , d2 , d3 ), de manera que es posible recuperar la ecuación vectorial.
Ejercitación:
113. A partir de la ecuación vectorial, encuentra las ecuaciones paramétricas y la ecuación simétrica de la recta
en cada caso.
a) (x, y, z ) = (1, −1, 3) + λ(2, 5, 1)
b) (x, y, z ) = (0, 3, −1) + λ(−2, 6, −3)
geometría
239
114. A partir de la ecuación simétrica de la recta, escribe la ecuación vectorial en cada caso.
a)
x−1
y+2
z+1
=
=
3
−1
5
b) x + 7 = y − 1 =
z+2
4
Paralelismo de rectas en el espacio
Definición. Dos rectas serán paralelas si y solo si sus vectores directores
son paralelos, es decir, si uno es múltiplo no nulo del otro. Dadas las
rectas L1 : P = A + λ~v y L2 : P = B + λ~u son paralelas si y solo si
existe un número real α distinto de cero tal que ~v = α~u.
Ejercitación:
115. Determina si las siguientes rectas son paralelas o no.
a) L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (4, 5, 1) + λ(4, 8, −10).
5
b) L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (4, 5, 1) + λ 2, 4, − .
2
x−2
y−1
z−3
x−2
y−1
z−3
c) L1 :
=
=
y L2 :
=
=
.
2
4
−5
2
4
3
116. Determina si las rectas L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ1 (2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (7, 11, −4) + λ2 (1, 2, 3)
son paralelas. Si no lo son, encuentra el punto de intersección, si existiera, de las rectas en el espacio.
(Indicación: iguala las ecuaciones y resuelve el sistema para λ1 y λ2 ):
En el ejercicio anterior, se ha encontrado el punto de intersección
de dos rectas en el espacio, no paralelas. Sin embargo, puede ocurrir
que dos rectas no se intersecten en el espacio y que no sean
paralelas. Para entender esto, se analiza el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Determina si las siguientes rectas son paralelas o si se intersectan en el espacio:
L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + t(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (1, 1, 3) + t(1, 2, 3).
−
−
v1 = (2, 4, −5) y →
v2 = (1, 2, 3) no son paralelos las rectas
Solución: Puesto que los vectores directores →
tampoco lo son. Solo resta saber si estas rectas se cortan en un punto, para lo cual se puede proceder como
en el ejercicio anterior. Se busca t y s tales que (x, y, z ) = (2, 1, 3) + t(2, 4, −5) = (1, 1, 3) + s(1, 2, 3), para
lo cual se resuelve el sistema de ecuaciones:






2
+
2t
=
1
+
s
2t − s = −1




1 + 4t = 1 + 2s que es equivalente al sistema
4t − 2s = 0






 3 − 5t = 3 + 3s
−5t − 3s = 0.
La primera ecuación 2t − s = −1 es incompatible con la segunda 4t − 2s = 0 (ya que esta última es
equivalente a 2t − s = 0). En consecuencia, las rectas dadas no se intersectan ni son paralelas.
240
matemática ppvj 2018
Definición. Se dice que dos rectas son alabeadas o que se cruzan en
el espacio tridimensional si no son paralelas ni tienen puntos en común.
Rectas y planos en el espacio
Figura 3.98: Tres puntos no colineales.
Figura 3.99: Una recta y un punto exterior a ella.
Tal como el punto y la recta, que se consideran entes geométricos
fundamentales (esto es, que son conceptos primitivos, porque se definen
uno en términos de los otros), se puede decir que un plano posee solo
dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas.
En el caso de la recta, se sabe que dos puntos distintos definen una
única recta que pasa por esos puntos, que por un solo punto pasan
infinitas rectas y que cuando se cuenta con tres puntos distintos pueden
suceder dos cosas: o son colineales, o bien se pueden definir tres rectas
distintas, que contengan solo dos de los puntos cada una.
De manera similar, se puede determinar el plano que contiene algunos
puntos y/o rectas, cuando se cumplen ciertas condiciones:
Figura 3.100: Dos rectas paralelas.
Figura 3.101: Dos rectas secantes.
Tres puntos no colineales. Existe un único plano que pasa por
tres puntos no colineales dados (ver Figura 3.98). Cuando son solo
dos puntos, pueden pasar infinitos planos por ellos. Si fueran cuatro
puntos, aunque es posible que sean coplanarios, lo más probable es
que ningún plano contenga a los cuatro.
Una recta y un punto exterior a ella. Existe un único plano que
contiene una recta y un punto exterior a ella dados (ver Figura 3.99),
el punto debe ser exterior, porque si estuviera contenido en la recta,
pasan infinitos planos por la recta.
Dos rectas paralelas. Existe un único plano que contiene a dos
rectas paralelas (ver Figura 3.100).
Figura 3.102: Recta paralela al plano.
Figura 3.103: Recta contenida en el
plano.
Figura 3.104: Recta secante al plano.
Dos rectas secantes. Existe un único plano que contiene a dos rectas
que son secantes (ver Figura 3.101).
En secciones anteriores se vio que dos rectas paralelas y distintas no se
intersectan y dos rectas secantes se intersectan en un solo punto. Como
un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se pueden extender
al analizar una recta y un plano. Obsérvense las Figuras 3.102, 3.103 y
3.104, donde se representan las posibles posiciones relativas entre una
recta y un plano en el espacio.
Si ningún punto de una recta dada pertenece a un plano dado, se dice
que la recta y el plano son paralelos. En cambio, si todos los puntos de
la recta pertenecen a un plano, se dice que la recta está contenida en
el plano. Por último, cuando la recta no está contenida ni es paralela
al plano, lo intersecta en un solo punto. En este caso, se dice que son
secantes.
geometría
241
Se observan ahora las Figuras 3.105, 3.106 y 3.107 donde se representan
las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio. Las figuras
presentadas muestran las posibles posiciones entre dos planos en el
espacio, que se pueden describir como:
Figura 3.105: Planos paralelos.
Planos paralelos: cuando no tiene puntos de intersección.
Planos secantes: cuando su intersección determina una recta y, por
ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los puntos que
pertenecen a esa recta.
Figura 3.106: Planos secantes.
Planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común.
Se observa que la intersección de dos planos da origen a distintos
semiplanos que se intersectan. La porción de espacio comprendida entre
dos semiplanos que tienen una recta común (y están situados en planos
distintos) se denomina ángulo diedro (ver Figura 3.108).
En la Figura 3.109, se observa que P se ubica en un semiplano y Q
en el otro. Mientras, los puntos A y B se ubican en la recta común a los
dos semiplanos. Los ángulos diedros se simbolizan como ](P , AB, Q),
donde P y Q representan puntos en cada semiplano, respectivamente, y
AB representa la recta común a ambos semiplanos. Cuando se conoce el
nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede representar
por ](Π1 , AB, Π2 ).
Figura 3.107: Planos coincidentes.
Figura 3.108: Intersección de planos.
Ahora, ¿cómo se puede medir un ángulo diedro? Se observa que
si se traza una recta en cada semiplano, de manera tal que ambas
sean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en un
mismo punto de ella, se cumple que el ángulo diedro es igual al ángulo
formado por estas rectas.En la Figura 3.110, la medida del ángulo diedro
](Π1 , AB, Π2 ) es igual a la medida de ]P OQ.
Ecuación vectorial del plano en el espacio
Figura 3.109: Ángulos diedro.
Se ha visto que con un vector director y un punto se puede determinar
exactamente una recta que contiene a dicho punto y es paralela al
vector director dado. Los puntos de dicha recta están determinados
unívocamente por los valores que toma el parámetro λ.
¿Qué figura geométrica se puede definir a partir de un punto y dos
−
−
vectores →
v1 y →
v2 que no están sobre una misma recta?
Para comenzar, se supondrá que el punto dado es el origen como se
muestra en la figura:
Figura 3.110: Ángulo diedro.
242
matemática ppvj 2018
Se da cuenta que escogiendo adecuadamente los valores de λ y µ en la
igualdad
−
−
P = O + λ→
v1 + µ→
v2
el punto P puede ser ubicado en cualquier lugar del plano; dicho de
otra manera, el conjunto de todos los puntos P del plano tales que
−
−
P = O + λ→
v1 + µ→
v2 es el plano mismo, para λ, µ ∈ R.
Definición. La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por:
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 )
donde d~ = (d1 , d2 , d3 ) y ~v = (v1 , v2 , v3 ) son los vectores directores del
−
p0 = (x0 , y0 , z0 ) es el vector posición y λ y
plano, no paralelos entre sí, →
µ son los parámetros.
Ejercitación:
117. Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q(2, 1, 2) y R(0, 2, −1), determina la ecuación
vectorial del plano.
118. Verifica si el punto P (−2, 5, 3) pertenece al plano cuya ecuación es
Π : (x, y, z ) = (1, 2, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(−2, 3, 0).
119. Dados tres puntos, P (0, 0, −1), Q(2, 1, 1) y R(4, 1, 4), no colineales, ¿cuál es la ecuación vectorial del
plano Π que pasa por los puntos P , Q y R? Además, determina un punto T , tal que el cuadrilátero
P QRT sea un paralelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica.
Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio
Dada la ecuación vectorial del plano en el espacio
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ),
geometría
con µ, λ ∈ R.
Se puede resolver las ponderaciones y las sumas, e igualar las componentes:
(x, y, z ) = (x0 + λd1 + µv1 , y0 + λd2 + µv2 , z0 + λd3 + µv3 )



x = x0 + λd1 + µv1


⇒ y = y0 + λd2 + µv2



 z = z + λd + µv .
0
3
3
A esta ecuación se le llama ecuación paramétrica del plano en
el espacio.
Estas ecuaciones se pueden escribir como un sistema de ecuaciones,
y resolverlo de modo de eliminar los parámetros λ y µ, y así obtener
la ecuación cartesiana del plano, cuya forma general es Ax + By +
Cz + D = 0, donde A, B y C no son cero a la vez.
Ejercitación:
120. Considera el plano Π en el espacio de ecuación x − y + 3z = 1.
a) Encuentra 3 puntos que pertenezcan al plano Π.
b) Si el punto (1, 2, t) pertenece a Π, ¿cuál es el valor de t?
c) Determina si los puntos (1, 2, 1), (0, 0, 0) y (0, 2, 1) pertenecen a Π
121. Dada la ecuación vectorial del plano, determina su ecuación cartesiana, en cada caso:
a) Π : (x, y, z ) = (3, 2, 1) + λ(2, 1, 1) + µ(−1, 2, 0)
b) Π : (x, y, z ) = (5, −1, 2) + λ(0, −1, 4) + µ(−3, 1, 0)
c) Π : (x, y, z ) = (−3, 12, 0) + λ(4, 1, 3) + µ(5, 3, 0)
122. ¿Cuál es la intersección de la recta L : (x, y, z ) = (4, 6, −2) + λ(2, 3, 0) y el plano Π : 4x + 3y − z = 2?
Ecuaciones cartesianas de la recta en el espacio
En la sección 4 se vió que dados dos planos en el espacio, estos pueden
ser paralelos (cuando no se intersectan), coincidentes, en cuyo caso la
intersección es el plano completo, o secantes, cuando se intersectan en
una recta. Esta recta es única, es decir, no existen dos rectas distintas
que correspondan a la intersección de dos planos dados. Utilizando esta
idea se pueden definir las ecuaciones de una recta en el espacio como
el sistema de dos ecuaciones: las ecuaciones de dos planos en el espacio
(cuya intersección es la recta que se necesita representar).
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
243
244
matemática ppvj 2018
Observación
Anteriormente, se vió que
no es posible representar
una recta en el espacio a
través de una única ecuación
cartesiana. A partir de la ecuación vectorial se obtienen dos
ecuaciones, llamadas “simétricas”, de la recta en el espacio. Ahora se entiende que dichas ecuaciones representan cada una un plano, y en su conjunto representan la intersección de estos planos que corresponda a la recta dada.
Es importante destacar que aunque se trata de una recta en el espacio,
su representación cartesiana son las dos ecuaciones, juntas, y pueden
haber muchos pares de ecuaciones para la misma recta.
Sin embargo, existe la posibilidad de que los planos no sean secantes,
sino que sean paralelos o coincidentes. Las condiciones para que no ocurra
ello, se resumen de la siguiente manera.
Las ecuaciones a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 z + d2 =
0:
Representan el mismo plano, si y solo si existe un número
real k distinto de cero, tal que:
k · (a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) = (a2 x + b2 y + c2 z + d2 ).
Representan planos paralelos si y solo si existe un número
real k tal que
k · (a1 , b1 , c1 ) = (a2 , b2 , c2 ),
pero k · d1 6= d2 .
Ejercitación:
123. Resuelve los siguientes problemas:
a) Muestra que los siguientes planos no son paralelos:
Π1 : 2x + 3y − 2z + 1 = 0, Π2 : 2x − 3y + z + 1 = 0.
b) Dados los planos Π1 : 4x + 3y + z = 6 y Π2 : 3x + 4y + 4z = 12, determina a qué corresponde la
intersección entre los planos y escribe su ecuación vectorial.
c) Considera los planos Π1 : x + y + z = 1, Π2 : 2x − 2y + z = 3. Determina si los planos se intersectan
en una recta y, en ese caso, encuentre las ecuaciones paramétricas y vectorial de esa recta.
d) Encuentra un ejemplo de ecuaciones cartesianas de la recta cuya ecuación paramétrica es L : (x, y, z )
donde:


x = 8 + λ


y = 1+λ



 z = 2 + 3λ.
3.6.2 Cuerpos geométricos
Tal como se dijo antes, el mundo donde se habita tiene tres dimensiones,
y por tanto los seres y objetos en él también. Debido a este motivo se
geometría
245
hace necesario y fundamental estudiar los elementos que poseen volumen:
los cuerpos geométricos.
Objetivo PSU
Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados
por rotación o traslación de figuras planas en el espacio.
Conceptos previos
Definición. Un poliedro es un cuerpo geométrico sólido acotado por
polígonos. Sus elementos principales son (ver Figura 3.111):
Figura 3.111: Elementos principales de
un poliedro.
Caras: son cada uno de los polígonos que lo acotan.
Aristas: son los lados de las caras.
Vértices: son las intersecciones de las aristas.
Figura 3.112: Tetraedro.
Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras con arista común.
Ángulo poliedro: ángulo formado por tres o más caras de vértice
común.
Un poliedro es convexo si es intersectado por cualquier recta, a lo
más en dos caras; o cóncavo, si es intersectado por alguna recta en más
de dos caras. Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos
regulares congruentes. Además, este tipo de poliedros es convexo y sus
ángulos diedros son de igual medida. También sus ángulos poliedros
son congruentes. Se clasifican en: tetraedro (cuatro caras triangulares),
hexaedro o cubo (seis caras cuadradas), octaedro (ocho caras triangulares), dodecaedro (doce caras pentagonales) e icosaedro (veinte caras
triangulares).
Es posible relacionar la cantidad de vértices, caras y aristas de un
poliedro a través de la fórmula de Euler: En todo poliedro convexo se
cumple una relación entre el número C de caras, el número V de vértices
y el número A de aristas:
Figura 3.113: Hexaedro o cubo.
Figura 3.114: Octaedro.
Figura 3.115: Dodecaedro.
C + V = A + 2.
Utilizando esta fórmula es posible demostrar que los únicos poliedros
convexos regulares son los cinco antes mencionados.
Ejercitación:
124. Utilizando las figuras y la fórmula de Euler, complete la siguiente tabla:
Figura 3.116: Icosaedro.
246
matemática ppvj 2018
Poliedro
N ◦ de caras
N ◦ de vertices
N ◦ de aristas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Definición. Un prisma es un poliedro formado por dos caras congruentes y paralelas, llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos.
Su altura es la distancia entre las bases. Cuando las bases son polígonos
regulares, el prisma se denomina regular (ver Figura 3.117).
Figura 3.117: Prisma.
Figura 3.118: Pirámide.
Definición. Una pirámide es un poliedro formado por una base que
es un polígono cualquiera y por caras laterales que son triángulos y
concurren a un punto llamado vértice de la pirámide. Su altura es la
distancia entre la base y el vértice, y sus apotemas laterales son las alturas
de cada una de sus caras laterales. Cuando su base es un polígono regular
y sus caras laterales son congruentes, se denomina pirámide regular (ver
Figura 3.118).
Cuerpos generados por rotación o traslación
Cuerpos generados por rotación.
Figura 3.119: Cilindro y cono.
En general, se denominan cuerpos generados por rotación o sólidos
de revolución aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de
una curva alrededor de un eje. A dicha curva se le llama generatriz.
En las Figuras 3.119 y 3.120 se presentan tres ejemplos: un cilindro,
generado por la rotación de un rectángulo, un cono, generado por la
rotación de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos; y
una esfera, generada a través de la rotación de una semicircunferencia
en torno a su diámetro.
Figura 3.120: Esfera.
Cuerpos generados por traslación.
En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si
se puede formar mediante la traslación de una figura plana, respecto de
un vector no nulo y no paralelo al plano de la figura. Por ejemplo, en la
Figura 3.121, se observa que mediante la traslación de un rectángulo se
obtiene un paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, un
prisma de base hexagonal.
geometría
247
En la Figura 3.122 se observa que un paralelepípedo es generado por la
traslación de un paralelogramo, un prisma es generado por la traslación
de un polígono y un cilindro es generado por la traslación de un círculo.
Volumen de un prisma
Supóngase que se tiene un prisma de base pentagonal y un paralelepípedo de igual altura, como se observa en la Figura 3.123. Si sus bases
tienen también igual área, entonces los cuerpos tienen igual volumen.
En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la misma altura
y además tienen iguales áreas en sus secciones planas, entonces poseen
igual volumen. Esto se conoce como el principio de Cavalieri.
Figura 3.121: Traslaciones.
Principio de Cavalieri: Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases
de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases el
área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen.
Finalmente, se obtiene que el volumen de un prisma está dado por la
expresión
V = AB · h,
Figura 3.122: Paralelepípedo, prisma y
cilindro.
donde AB es el área de la base del prisma y h es la altura.
Volumen de cilindros
Como se puede observar en la Figura 3.124, los cuerpos tienen igual
altura, y sus secciones planas tienen igual área. Se puede aplicar el
principio de Cavalieri, por lo tanto, el volumen del cilindro depende de
la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volumen del
prisma, luego se tiene que
Figura 3.123: Prismas de igual altura.
Si A1 = A2 , entonces V1 = V2
Vcilindro = h · AB ,
donde h es la altura y AB el área de la base del cilindro.
Dado que la base del cilindro es un círculo, se puede calcular su área
como
AB = π · r 2 .
Por lo tanto, la expresión para calcular el volumen de un cilindro está
dada por
Vcilindro = π · r2 · h.
Volumen de pirámides
Para determinar el volumen de una pirámide en general, se va a
analizar su relación con el volumen de un prisma que tenga igual altura
y cuya base tenga la misma forma y área.
Dado el prisma de base triangular de la Figura 3.125 de bases ∆ABC
y ∆DEF , si se realiza un corte desde el vértice D hasta la arista BC, tal
como se muestra en la Figura 3.126, ese forma una pirámide P1 (ABCD ).
Figura 3.124: Paralelepípedo y cilindro
de igual altura.
248
matemática ppvj 2018
Si luego se hace otro corte desde el vértice D, pero ahora hasta la
diagonal EC, el resto del prisma se puede descomponer en otras dos
pirámides: P2 (DEBC ) y P3 (DEF C ) (ver Figuras 3.127 y 3.128). Las
pirámides P2 y P3 , ¿tienen el mismo volumen?, ¿por qué?
Nótese que los triángulos BCE y F EC son congruentes, ya que EC
es la diagonal del rectángulo BCF E. Como se puede ver comparando
las figuras anteriores, si se consideran como bases los triángulos BCE y
F EC, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 y P3 . Luego,
por el principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen.
Figura 3.125: Prisma de base triangular.
Figura 3.126: Pirámide P1 (ABCD ).
Obsérvense ahora las pirámides P1 y P3 . En la primera, se puede
considerar el triángulo ABC como base y la arista AD como altura. En
la segunda, la base puede ser el triángulo DEF y la arista CF . Ahora,
por definición del prisma, los triángulos ABC y DEF son congruentes y
las aristas AD y CF tienen igual longitud. Por consiguiente, las pirámides
P1 y P3 tienen igual volumen.
Ahora, en términos de su volumen, P2 = P3 y P1 = P3 , luego,
necesariamente, P1 = P2 . Es decir, el volumen de las tres pirámides
es el mismo. Como, por construcción, las tres juntas forman el prisma, se
puede afirmar que el volumen de cada pirámide es un tercio del volumen
del prisma.
Cabe destacar que esta conclusión es igualmente válida para todo
prisma de base triangular, es decir, la argumentación descrita no depende
del tipo de triángulo que forma la base, no se supone que este triángulo
sea, por ejemplo, equilátero o isósceles.
Figura 3.127: Pirámide P2 (DEBC ).
Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más triángulos,
una pirámide de base poligonal también se puede descomponer en dos
o más pirámides de base triangular. Como se ha visto, el volumen de
cada una de estas pirámides es un tercio del volumen del correspondiente
prisma triangular; por lo tanto, el volumen de la pirámide de base
poligonal es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura, sin
importar cuál sea el polígono de la base.
Como resultado, se obtiene que el volumen de una pirámide equivale
a un tercio del volumen de un prisma de igual área basal e igual altura,
es decir,
1
Vpirámide = · AB · h,
3
donde AB es el área de la base y h es la altura.
Volumen de conos
Figura 3.128: Pirámide P3 (DEF C ).
La pirámide y el cono de la Figura 3.129 tienen la misma altura y sus
bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, si sus secciones
planas a la misma altura son iguales, los volúmenes también lo son; por
geometría
249
lo tanto, se puede calcular el volumen del cono a partir del volumen de
la pirámide:
1
Vcono = · AB · h,
3
donde AB es el área de la base y h es la altura.
Utilizando AB = π · r2 , se obtiene
Vcono =
1
· π · r2 · h.
3
En el caso de un cono truncado, el volumen se puede calcular como la
diferencia entre el volumen del cono, como si estuviera completo, y el
cono menor que lo complementa (ver Figura 3.130), es decir,
Figura 3.129: Pirámide de base hexagonal y cono.
1
1
πHR2 − πar2 .
3
3
Utilizando el teorema de Thales se puede demostrar que el volumen
del cono truncado está dado por la expresión:
Vcono truncado =
Vcono truncado =
1
πh r2 + R2 + r · R ,
3
Figura 3.130: Cono truncado a una altura h.
donde R y r son los radios de las bases y h es la altura del cono truncado.
Obsérvese que esta expresión depende solo de la altura y del radio de
cada base, tal como en el caso de los prismas, pirámides y cilindros, es
decir, no depende de la inclinación del cono.
Área de prismas y pirámides
En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma
de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de
sus caras laterales. En el caso de los prismas, el área total del prisma se
desglosa en dos partes: el área basal, que corresponde al área de ambas
bases y el área lateral, que es la suma de todas las caras laterales. Si las
bases del prisma son polígonos regulares, todas las caras laterales son
rectángulos congruentes y el número de caras laterales depende de la
cantidad de lados que tenga el polígono.
En el caso de las pirámides, el área total de la pirámide se desglosa
en dos partes: el área basal, que ahora es el área de la única base y el
área lateral, que es la suma del área de todas las caras laterales.
El área de una cara lateral se puede calcular usando la arista basal y
el apotema. Si la base de la pirámide es un polígono regular, todas las
caras laterales son triángulos isósceles y congruentes entre sí, y el número
de caras laterales depende de la cantidad de lados que tenga el polígono.
El área de una pirámide es A = AL + AB , donde A: área total; AL :
área lateral; AB : área basal, como se observa en la Figura 3.131.
Figura 3.131: Pirámide de base cuadrada junto a su respectiva malla.
250
matemática ppvj 2018
Área de cilindros y conos
En la Figura 3.132, se representa la red de un cilindro. Se puede
observar que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos. Obsérvese que el
ancho del rectángulo corresponde a la altura del cilindro, y su largo, al
perímetro de la base.
Luego, el área del cilindro está determinada por:
Acilindro = 2 · Acículo + Arectángulo
= 2 · πr2 + 2πr · h,
= 2πr · (r + h)
Figura 3.132: Malla de un cilindro.
donde h es la generatriz o altura del cilindro, y r el radio del círculo de
la base.
Por otra parte, la red de un cono está formada por un círculo (base)
y por un sector circular, como se observa en la Figura 3.133. Para el
cálculo del área del sector circular, considérese que la razón entre el área
de este y el área del círculo completo de radio g debe ser igual a la razón
entre el arco de circunferencia del sector circular y el perímetro de la
circunferencia de radio g, es decir,
ASC
2πr
r
=
= ,
πg 2
2πg
g
donde πg 2 es el área del círculo de radio g, 2πr es la medida del arco del
sector circular y 2πg es el perímetro de la circunferencia de radio g.
Figura 3.133: Cono y su correspondiente
malla.
Despejando ASC de la expresión anterior se obtiene
ASC = π · r · g.
El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r2 ,
entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la expresión
Acono = Asector circular + Acírculo = πrg + πr2 = πr (g + r ).
El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas de
las bases del cono truncado y el área lateral (ver Figura 3.134). El área
lateral se puede calcular como la diferencia entre el área lateral del cono,
si estuviera completo, y la del cono menor que lo complementa.
Esfera
Una esfera es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva
cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia
del centro C a un punto P de la superficie de la esfera se denomina
geometría
251
radio, y la intersección entre la esfera y un plano que contiene al centro
se denomina círculo máximo (ver Figura 3.134).
Si la esfera no tiene base, ¿cómo se puede medir o calcular su volumen?
El matemático griego Arquímides determinó cómo calcular el volumen
de una esfera, cuando se conoce la medida de su radio. El procedimiento
que utilizó consistió en relacionar las secciones planas de una semiesfera,
un cilindro y un cono, todos de altura r y radio r, generadas al intersectar
estos cuerpos por un plano paralelo a las bases a una distancia h del
punto O, como se observa en la siguiente figura:
Arquímides observó que cuando se cortan la semiesfera, el cilindro
y el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las secciones
producidas en la semiesfera (A1 ), en el cono (A2 ) y en el cilindro (A3 )
verifican la relación A1 + A2 = A3 .
Figura 3.134: Esfera.
Entonces, se puede observar que A1 = A3 − A2 . Luego, se puede
aplicar el principio de Cavalieri para calcular el volumen de la semiesfera,
si se consideran juntos el cilindro y el cono. Como todos estos cuerpos
tienen la misma área basal y la misma altura, se tiene que
Vsemiesfera = Vcilindro − Vcono
1
2
1
· πr2 · r = πr3 − · πr3 = · πr3 .
3
3
3
Finalmente, el volumen de la esfera es el doble que el de la semiesfera,
esto es,
4
Vesfera = · πr3 .
3
A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso de la
esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular el área de la
esfera se utilizará el cálculo de su volumen.
⇒ Vsemiesfera = π · r2 · r −
El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de
las infinitas pirámides triangulares iguales, cuyas bases están inscritas en
la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera, como se muestra
en la Figura 3.135. El volumen de la esfera equivale a la suma de los
volúmenes de todas las pirámides (suponiendo n pirámides). Se obtiene:
1
1
1
1
B1 · h + B2 · h + B3 · h + . . . + Bn · h
3
3
3
3
1
= (B1 + B2 + B3 + . . . + Bn ) · h.
3
Vesfera =
Figura 3.135: Aproximación del volumen de una esfera a partir de pirámides
de base triangular.
252
matemática ppvj 2018
Obsérvese que la suma de las bases de todas las pirámides B1 + B2 +
B3 + . . . + Bn equivale al área total de la esfera, y h en este caso, es
igual a r, el radio de la esfera; entonces:
1
4
Aesfera · r = πr3 .
3
3
Finalmente, despejando el área, se tiene:
Vesfera =
Aesfera = 4πr2 .
Ejercitación:
125. Si las bases triangulares de la figura tienen área igual a 14 cm2 , y su altura mide 12 cm, ¿cuál es su
volumen?
126. El prisma recto de la figura, tiene una altura de
es su volumen?
√
5 m y la base es un hexágono regular de lado
√
2. ¿Cuál
127. El radio de un cilindro mide 3 cm y su altura mide 5 cm. ¿Cuánto mide su volumen?
128. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AD, ¿cuál es el volumen del
cuerpo que se genera? Y si se rota en torno a AB, ¿se obtiene un cuerpo de igual volumen que el anterior?
129. Una pirámide recta de altura h contiene como base un cuadrado de lado x. Si el lado de la base aumenta
en 3 cm, manteniendo la altura constante, ¿en cuánto aumenta su volumen?
130. Se rota indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se
genera?
geometría
253
131. Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 4 cm, coincidiendo en el radio y en la altura, tal
√
como se muestra en la figura. Si la generatriz del cono mide 4 5 cm, entonces ¿cuánto mide el volumen
NO cubierto por el cono?
132. En el prisma recto de la figura, los triángulos ABC y DEF son isósceles rectángulo en C y en F ,
respectivamente. Si ABED es un cuadrado de lado a, ¿cuánto mide el área del prisma?
133. El área total de un cilindro recto mide 60 cm2 . Si el diámetro y altura del cilindro tiene la misma medida,
¿cuánto mide el área del manto del cilindro?
134. En la figura, el triángulo QP S es rectángulo en Q y el arco SR es un cuarto de circunferencia de centro
Q y radio 6. Si RP = 18, entonces al girar indefinidamente la figura completa en torno a RP se genera
en cuerpo cuyo volumen, en unidades cúbicas, es...
135. El área de una esfera mide 3.600π cm2 . Si la esfera se corta por la mitad, en dos partes iguales, ¿cuál será
el área total de cada una de esas partes?
136. Si el volumen de una esfera mide 24π cm3 , ¿cuánto mide su área?
254
matemática ppvj 2018
Resumen
Se dice que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es
decir, si al superponerlas una encaja perfectamente sobre la otra. Los criterios para determinar
la congruencia de triángulos se resumen en la siguiente tabla:
Criterio LAL
Criterio LLL
Criterio ALA
Dos triángulos son congruentes si tiene dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre cada lado igualmente congruente con el
del otro.
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente congruentes.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos igualmente
congruente.
En un triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180◦ .
En un triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
En un triángulo, la suma de dos cualesquiera de sus lados siempre es mayor que el tercer lado.
Las bisectrices en un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro del triángulo,
por ser el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Las transversales de gravedad en un triángulo se intersectan en un punto llamado centro
de gravedad del triángulo, el cual divide a cada transversal en la razón 2 : 1.
Las alturas en un triángulo se intersectan en un punto llamado ortocentro del triángulo.
Las simetrales en un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro del triángulo,
por ser centro de una circunferencia circunscrita en el triángulo.
geometría
En un triángulo equilátero todos los elementos secundarios coinciden.
En un triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios que van desde el vértice que se
opone a la base.
En un triángulo isósceles los ángulos basales son congruentes.
En un triángulo rectángulo se verifica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
El ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende
el mismo arco.
El ángulo semi inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo del centro que
subtiende el mismo arco.
Todo
triángulo
inscrito
en
una
semi
cinrcunferencia
es
rectángulo.
El ángulo interior en una circunferencia es igual a la semi suma de los arcos que lo subtienden.
El ángulo exterior en una circunferencia es igual a la semi diferencia de los arcos que lo
subtienden.
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son suplementarios y las diagonales se dimidian.
En un cuadrado las diagonales son congruentes y perpendiculares.
En un rombo las diagonales son perpendiculares.
En un rectángulo las diagonales son congruentes.
En un trapecio los ángulos opuestos entre paralelas son suplementarios.
En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
En un deltoide las diagonales son perpendiculares y se intersectan en el punto medio de una,
la que recibe el rombre de base del deltoide. Además tiene sus lados consecutivos congruentes.
255
256
matemática ppvj 2018
La siguiente tabla resume la forma de calcular área y perímetro de figuras planas:
figura
Perímetro
Área
Cuadrado
P = 4a, a lado.
A = a2 , a lado.
Rectángulo
P = 2a + 2b, a, b lados.
Rombo
P = 4a, a lado.
Romboide
P = 2a + 2b, a, b lados.
Triángulo
P = a + b + c, a, b, c lados.
Círculo
P = 2πr, r radio.
A = ab, a, b lados.
d1 · d2
A=
, d1 , d2 diagonales.
2
A = b · h, b base, h altura.
b·h
A=
, b base, h altura.
2
A = πr2 , r radio.
Dos figuras se dicen semejantes si tiene la misma forma, es decir, una es la contracción o la
dilatación de la otra.
Los criterios para determinar la semejanza de triángulos se resumen en la siguiente tabla:
Criterio AA
Criterio LLL
Criterio LAL
Si dos triángulos tienen
dos de sus ángulos respectivamente congruentes, entonces son semejantes.
Si dos triángulos tienen sus
tres lados respectivamente proporcionales, entonces
son semejantes.
Si dos triángulos tienen
dos lados respectivamente
proporcionales, y el ángulo comprendido entre ellos
es congruente al del otro,
entonces son los triángulos
son semejantes.
Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a
la original, con lados correspondientes paralelos a esta. Dado un punto O y un número real k, con
k 6= 0, se define una homotecia de centro O y razón de homotecia k como la transformación
OA0
que hace corresponder un punto A en otro punto A0 , tal que A, A0 y O son colineales y
= k.
OA
geometría
Teorema de Thales: En la siguiente figura
se verifica que
L1 k L2 k L3 ⇔
GD
FC
=
.
CA
DB
Teorema de Euclides: En la siguiente figura
se verifica que
a2 = p · c,
C
a
h2 = p · q.
b
h
α
A
b2 = q · c,
β
p
q
D
B
c
Teorema de las cuerdas
Teorema de las secantes
AP · P B = DP · P C
PA · PC = PB · PD
Teorema de la tangente y la secante
PA · PB = PT2
257
258
matemática ppvj 2018
La geometría analítica es un sistema basado en la utilización del álgebra para describir y
trabajar los elementos geométricos, que tiene como base el uso de un sistema de coordenadas
y la asignación de pares ordenados a todos los puntos de este.
Distancia entre dos puntos: Sean A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) dos puntos del plano, la distancia
entre ellos está dada por
q
dAB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
Punto medio de un segmento: Sean A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) los dos extremos de un segmento,
el punto medio de este está dado por
x1 + x2 y1 + y2
MAB
,
.
2
2
Pendiente de una recta: Dada una recta l, que pasa por los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ), la
pendiente de l está dada por
y1 − y2
ml =
.
x1 − x2
Ecuación de la recta: Dados los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ), la ecuación de la recta está
dada por
y1 − y2
( y − y1 ) =
( x − x1 ) ,
x1 − x2
donde
ella.
y1 − y2
corresponde a la pendiente de la recta, x1 6= x2 y (x, y ) es cualquier punto de
x1 − x2
Esta ecuación suele escribirse como y = mx + n, donde n representa al coeficiente de posición,
es decir, el punto de intersección de la recta con el eje y.
La forma general de la ecuación de la recta está dada por
Ax + By + C = 0,
donde m =
−A
−C
yn=
, si B 6= 0.
B
B
Las ecuaciones definidas de esta forma, no consideran a las rectas que no tienen pendiente
definida, es decir, las rectas que son paralelas al eje y. En este caso, la ecuación se define como
x = k, donde k es un número real.
geometría
Posición relativa de rectas en el plano: Dos rectas en el plano pueden ser paralelas,
coincidentes o secantes. Las condiciones algebraicas para determinar esto son:
Paralelas: Las rectas tienen igual pendiente.
Coincidentes: La razón entre las pendientes es igual a la razón entre los coeficientes de posición.
Secantes: Las rectas tienen distinta pendiente. Si además se verifica que la multiplicación de
las pendientes es igual a −1 las rectas son perpendiculares.
Las transformaciones isométricas son un movimiento rígido que, aplicado a figuras planas,
conserva la forma y el tamaño de la figura original. Se distinguen reflexiones, traslaciones y
rotaciones.
Una reflexión es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original
se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría y el
segmento que une ambos puntos es perpendicular a este eje.
Una traslación es la transformación isométrica que corresponde al movimiento de una figura en
una dirección, en un sentido y en una magnitud dada. Dichas características del desplazamiento
están representadas por un vector de traslación.
Una rotación es una transformación isométrica en el plano que consiste en girar todos los
puntos de una figura a un punto O fijo llamado centro de rotación, en una medida angular α
llamado ángulo de rotación, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que
tiene como centro al punto O y un ángulo α.
La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ),
donde (x0 , y0 , z0 ) es el vector de posición, (d1 , d2 , d3 ) es el vector director no nulo y λ es un
número real.
La ecuación simétrica de la recta en el espacio está dada por la expresión
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
d1
d2
d3
259
260
matemática ppvj 2018
La ecuación vectorial del plano es
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ),
donde (x0 , y0 , z0 ) es el vector de posición, (d1 , d2 , d3 ) y (v1 , v2 , v3 ) son vectores directores no
nulos ni paralelos y λ y µ son números reales.
La ecuación cartesiana del plano en el espacio está dada por
Ax + By + Cz + D = 0,
con A, B y C no todos ceros a la vez.
Las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos se resumen a continuación:
Esfera
Cilindro
Cono
Prisma
Pirámide
A = 4πr2
A = 2πr2 + 2πrh
A = πr2 + πrg
A = 2AB +
AL
V = πr2 h
V =
A = AB +
AL
1
V = AB h
3
V =
4 3
πr
3
1 2
πr h
3
V = AB h
Evaluación de Unidad
1. Según la figura, ABC, AGD y BGF son puntos colineales y L1 es paralela con L2 . ¿Cuál es el valor
del ángulo x?
A) 30◦
4x
F
A
B) 36◦
C) 45◦
D) 60◦
E) 72◦
L1
x
G
B
x
C
D
L2
geometría
2. En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál es el valor de α − β?
A) 110◦
B) 80◦
C) 50◦
D) 40◦
E) No se puede determinar.
3. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito x en la circunferencia de centro O?
x
A) 20◦
B) 25◦
C) 30◦
D) 40◦
O
30◦
20◦
E) 50◦
∼ CB y DE =
∼ EB ¿cuál(es) de las siguientes
4. En la figura, A, E y B son puntos colineales, CE =
alternativas es (son) verdadera(s)?
∼ ∆EBC.
I. ∆DEC =
II. El ángulo x mide 22,5◦ .
∼ ∆DEC.
III. ∆ADE =
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
261
262
matemática ppvj 2018
∼ DC, A, B, D y E son puntos inscritos en la circunferencia y
5. En la circunferencia de centro O, OD =
los puntos A, O, B y C son colineales, ¿cuál es el valor del ángulo α?
A) 60◦
B) 40◦
C) 30◦
D) 20◦
E) 10◦
6. En el trapecio ABCD,DB y AC son diagonales y F E k DC , ¿cuál es el valor de F E?
A) 5 cm
B) 4 cm
C) 3 cm
D) 6 cm
E) 2,5 cm
7. El triángulo de la figura es isósceles de base AB. Es posible determinar cuánto mide su área si
C
(1) AB = 10 cm.
(2) CD = 5 cm.
45◦
A
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
D
B
geometría
8. Sean M y L dos rectas en el plano cartesiano tales que M tiene pendiente 1 y pasa por el origen, L
es una recta que tiene pendiente 0 y es distinta al eje x. ¿Cuáles(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I. L es paralela al eje x.
II. L puede intersectar a M en el tercer cuadrante.
III. Si L pasa por el punto (0, 4), entonces ambas rectas se intersectan en el punto (4, 4).
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
9. ¿Cuál es el área, medida en unidades cuadradas u2 , de la región limitada por los ejes x e y y la recta
de la ecuación y = −3x + 1?
A)
1 2
u
3
B)
1 2
u
2
C) 1u2
D) 3u2
E)
1 2
u
6
10. Si L y M son dos ejes de simetría del hexágono regular de la figura, ¿Cuál es la imagen del punto F
al aplicar la composición de reflexiones SL ◦ SM ?
L
A
A) A
M
F
B) B
C) C
B
E
D) D
E) E
C
D
263
264
matemática ppvj 2018
11. En la figura se muestra un cubo de arista 4 con tres de sus vértices en los ejes coordenados y uno
en el origen. Si la cara derecha está dividida en tres franjas horizontales congruentes, entonces las
coordenadas del punto P son:
A) (0, −3, −2)
B) (3, −2, 0)
C) (0, 3, −1)
D) (0, −2, 3)
E) (0, 3, −2)
12. Sean A(3, −1, −2), B (1, 1, 1) y C (0, 0, 1) tres puntos en el espacio. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones sobre estos puntos es (son) verdaderas?
I. Los tres puntos son colineales.
II. Una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B es (x, y, z ) = (3, −1, −2) +
t(2, −2, −3).
III. La ecuación del plano que contiene a los tres puntos es −3x + 3y − 4z = −4.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
13. En una caja cilíndrica caben exactamente tres pelotitas todas de igual radio r una encima de la otra,
como se muestra en la figura. El volumen no cubierto por las pelotitas es:
A) πr3
B) 2πr3
C) 3πr3
D) 4πr3
E)
14 3
πr
3
geometría
14. El ∆ABC de la figura es rectángulo si
C
(1) ]CAB = ]ABC
E
(2) ]BF A = 135◦ , AD y BE son bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente.
D
F
A
B
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
1
2
triángulo A0 B 0 C 0 . La figura que mejor representa esta trasformación corresponde a:
15. Dado el ∆ABC al cual se le aplica una homotecia con centro P y razón k = − se obtiene el
C
C
A
B
C′
A)
B)
A
B
P
A′
B′
B′
A′
C′
P
C
A
C)
C
B
P
A
B′
A′
D)
B
P
C′
B′
C′
P
C
E)
A
B
C′
A′
B′
A′
265
266
matemática ppvj 2018
16. Se puede conocer el valor del segmento P Q si
(1) Se conoce el valor de los segmentos AQ y P B
(2) Se conoce la razón entre AP y QB
A
P
Q
B
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requeire información adicional
a CB, CD es perpendicular a AB
17. En la figura, el ∆ABC es rectángulo en C, DE es perpendicular
√
y EF es perpendicular a CD. Si CF = 1 y F E =
√
2 2
A)
3
√
5 3
B)
2
√
3 2
C)
2
√
2
D)
2
√
E) 6
2, entonces AD =
18. En la figura, P T es tangente a la circunferencia y P B = 8 cm. Se puede determinar el valor de P T si
(1) AB = 10 cm
(2) P B : BA = 4 : 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
geometría
19. En el ∆M N C de la figura, se puede afirmar que los triángulos RON y ROC son congruentes en ese
orden si
(1) R es punto medio de N C.
(2) ∆M OC es equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas jutas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
20. En un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD, siempre se cumple que
I. Si AC ⊥ BD y AC 6= BD, entonces el paralelogramo ABCD es un rombo.
II. Si AC ⊥ BD y AB = BC entonces el paralelogramo ABCD es un cuadrado.
III. Si AC 6= BD y AB 6= BC, entonces el paralelogramo ABCD es un romboide.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Alternativas Correctas
1. A
5. D
9. E
13. B
17. C
2. D
6. B
10. B
14. B
18. D
3. E
7. D
11. E
15. B
19. D
4. C
8. E
12. C
16. C
20. D
267
Unidad 4
Datos y azar
Es absolutamente increíble observar que la matemática está
presente en un apasionante juego de cartas o en el simple lanzamiento
de un dado. A lo largo de la historia, de la existencia y de la vida, se
evidencia la presencia de situaciones inciertas y definidas por el azar.
Como es natural, la matemática busca, de alguna forma, predecir y
determinar aquellos eventos que parecen imprevisibles, transformando
así, todo lo que se conoce, en una teoría general que es capaz de iluminar
hasta la habitación más oscura.
4.1 Estadística descriptiva
4.4 Variable aleatoria discreta
4.2 Técnicas de conteo
4.5 Variable aleatoria continua
4.3 Probabilidad clásica
270
matemática ppvj 2018
4.1 | Estadística descriptiva
Sabías que...?
Los conceptos estadísticos se han estudiado desde la época antigua, las
primeras culturas recopilaban
datos poblacionales por medio
de censos, como en Egipto.
La estadística descriptiva es la técnica matemática que obtiene, organiza, presenta y describe un conjunto de datos con el propósito de facilitar
su análisis, generalmente con el apoyo de tablas, medidas numéricas o
gráficas. Además, calcula parámetros estadísticos como las medidas de
centralización y de dispersión que describen el conjunto estudiado.
Objetivo PSU
Interpretar y producir información, en diversos contextos, mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos
datos están agrupados en intervalos.
4.1.1 Tablas de frecuencia y gráficos
Tablas de frecuencia
Por lo general, cuando se realiza un estudio o una encuesta, la información obtenida se organiza en tablas y gráficos. Para hacer esto, se
definen los siguientes conceptos:
Tabla de frecuencia. Es un tipo de representación que permite organizar datos. Las tabla de frecuencia pueden tener los datos agrupados
por intervalos o no, según convenga.
Frecuencia absoluta (f ). Es el número de veces que se repite un
dato o el número de datos incluidos en un determinado intervalo.
Frecuencia absoluta acumulada (F ). Es la suma de las frecuencias
absolutas de los valores menores o iguales al valor de la variable en
cuestión. El último valor de esta debe ser igual al número total de
datos.
Frecuencia relativa (fr ). Es el cociente entre la frecuencia absoluta
y el número total de datos. Puede ser expresado en fracción, decimal
o porcentaje.
Frecuencia relativa acumulada (Fr ). Es la suma de las frecuencias
relativas de los valores menores o iguales al valor de la variable en
cuestión. El último valor de ésta debe ser igual a 1.
Figura 4.1: Histograma con su polígono
de frecuencias respectivo.
Interpretación de tablas de frecuencia con datos agrupados
Una tabla de frecuencia es un tipo de representación que permite
organizar datos, utilizando la información de la frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y/o frecuencia relativa
datos y azar
271
acumulada. De acuerdo a la información que se desea obtener se debe
observar la columna que sea más útil. Por ejemplo, si se desea conocer
un porcentaje, la columna de la frecuencia relativa nos entregaría esta
información más directamente, en cambio si se quisiera conocer la acumulación de datos hasta cierto intervalo, la columna que nos entrega esta
información corresponde a la de la frecuencia acumulada.
Gráficos
Uno de los métodos más usuales para representar información son los
gráficos. A continuación se definen algunos de ellos:
Definición. Un histograma es una representación gráfica en forma de
barras continuas, en las que sus alturas comparadas son proporcionales a
la frecuencia absoluta de los intervalos representados.
Figura 4.2: Polígono de frecuencia acumulada.
Definición. Un polígono de frecuencias corresponde a la línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase y
la frecuencia absoluta de cada intervalo. En la Figura 4.1 se presenta un
histograma con su respectivo polígono de frecuencia.
Definición. El polígono de frecuencia acumulada se representa
uniendo los puntos referidos al límite superior y frecuencia acumulada de
cada intervalo. También se conoce con el nombre de Ojiva. En la Figura
4.2 se representa un ejemplo de polígono de frecuencia acumulada.
Figura 4.3: Distribución simétrica.
Interpretación de histogramas y polígono de frecuencia
Se puede interpretar un histograma a partir de la forma de la distribución o concentración de los datos. Según esto se pueden diferenciar
tres tipos: distribución simétrica, como en la Figura 4.3, distribución
asimétrica negativa, como en la Figura 4.4 y distribución asimétrica
positiva, como en la Figura 4.5.
Figura 4.4: Distribución asimétrica positiva.
Interpretación de polígono de frecuencia acumulada
La interpretación de polígono de frecuencia acumulada se utiliza para visualizar la frecuencia de los distintos intervalos en que están
agrupando los datos. A su vez, en el polígono de frecuencias acumuladas
es posible observar cuántos datos están por encima o por debajo de cierto
valor.
Figura 4.5: Distribución asimétrica negativa.
Ejercitación:
1. Construye una tabla de datos agrupados que contenga la frecuencia absoluta, acumulada, relativa y
relativa acumulada de las siguientes situaciones.
a) Las masas, en kilogramos, de los niños y niñas de un curso de cuarto año medio (5 intervalos de 10 en
10, partiendo del 50).
272
matemática ppvj 2018
55
65
70
72
84
52
63
89
73
67
80
57
81
77
66
64
65
85
70
90
76
82
66
56
55
88
81
76
74
92
b) Las edades de las personas que asistieron al teatro a ver el “El lago de los cisnes” de Tchaikovski (7
intervalos de 10 en 10, partiendo del 10).
15
19
21
25
64
51
60
23
28
36
32
35
42
45
24
27
31
37
46
48
56
26
33
51
65
52
25
21
36
40
62
70
49
c) Construya el histograma y el polígono de frecuencia asociado a cada una de las tablas de frecuencia
construidas en a) y b).
4.1.2 Medidas de tendencia central
Objetivo PSU
Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central,
aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que
pretenden resumir en pocos valores a un conjunto de muchos valores.
Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto
de los datos. Las medidas de tendencia central que se estudiarán son:
moda, mediana y media aritmética.
Medidas de tendencia central para datos no agrupados
La media aritmética o promedio es el valor que produce la misma
suma si reemplaza a todos los datos. Para datos no agrupados la media
se calcula como
x1 + x2 + · · · + xn
x=
,
n
donde x1 , x2 , . . . , xn representan los datos 1, 2, . . . n, respectivamente
y n al número de datos.
La moda es el valor que más se repite (que tiene mayor frecuencia)
dentro de un conjunto de datos. Puede existir más de una moda o
ninguna moda.
La mediana es el valor que se ubica en el centro del conjunto de
datos cuando estos fueron previamente ordenados de mayor a menor
273
datos y azar
o de menor a mayor, de manera que el 50 % de ellos son menores o
iguales que la mediana, y el otro 50 % son mayores o iguales.
Masa de estudiantes
8
Medidas de tendencia central para datos agrupados
Para calcular medidas de tendencia central en datos agrupados
se puede obtener una aproximación de estas a partir de las siguientes
expresiones:
La media aritmética o promedio para datos agrupados se calcula
como
f1 · x1 + f2 · x2 + . . . + fn · xn
x=
,
N
donde donde N es el número total de datos, x1 , x2 , . . . , xn , corresponden a las marcas de clase en los intervalos 1, 2, . . . , n respectivamente
y f1 , f2 , . . . , fn , la frecuencia absoluta de los intervalos 1, 2, . . . , n,
respectivamente. La marca de clase es el promedio entre el límite
inferior y el límite superior del intervalo.
Cantidad de estudiantes
7
6
5
4
3
2
1
0
41
47
53
59
65
Masa en kg
71
77
Figura 4.6: Gráfico ejercicio 2.
Figura 4.7: Colegio almendros.
La moda para datos agrupados se calcula de forma complicada. Sin
embargo, en general lo que se pide es el intervalo modal, que es el
intervalo con la mayor frecuencia absoluta.
La mediana para datos agrupados se calcula de forma complicada.
Sin embargo, en general lo que se pide es el intervalo que contiene
a la mediana, es decir, el intervalo que contine al dato ubicado en el
centro del conjunto de datos.
Figura 4.8: Colegio nogales.
Ejercitación:
2. El histograma de la Figura 4.6 representa la masa de un grupo de estudiantes.
a) ¿Cuál es la media de la masa de las y los estudiantes?
b) ¿Cuál es la moda?
c) ¿Cuál es la mediana?
Interpretación de medidas de tendencia central
Para interpretar las medidas de tendencia central se puede considerar
lo siguiente:
274
matemática ppvj 2018
Si las medidas de
tendencia central son
valores cercanos, es
decir, x ≈ Me ≈ Mo ,
entonces el conjunto
de datos tiene una
distribución
simétrica.
Cuando la
distribución es
asimétrica positiva,
se dice que el valor de
la media es mayor
que el valor de la
mediana y la moda
menor a la mediana.
Cuando la
distribución tiene
una asimetría
negativa, se dice que
la media es menor a
la mediana y la
moda es mayor a la
mediana.
Figura 4.9: Colegio manzano.
Ejercitación:
3. Mariela y Esteban deben realizar un informe respecto a la estatura de las competidoras de unas olimpíadas
escolares en la que participan tres colegios. Ellos cuentan con los histogramas de cada colegio y las medidas
de tendencia central, pero desconocen cuáles medidas corresponden a qué establecimientos.
Las medidas de tendencia central son:
Media
Moda
Mediana
186 cm
197 cm
177 cm
162 cm
157 cm
162 cm
177 cm
177 cm
187 cm
Los histogramas de los tres colegios se ilustran en las Figuras 4.7, 4.8 y 4.9.
a) ¿A cuál colegio pertenece cada una de las medidas de tendencia central?
b) ¿Cuál es el colegio que tiene a las competidoras con mayor estatura?
c) ¿Qué puedes concluir respecto a la estatura de las competidoras de cada colegio a partir de los
histogramas y las MTC?
4.1.3 Medidas de posición
Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles y percentiles
dividen a una distribución ordenada en partes iguales.
Los cuartiles (Qn ) son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales.
Los quintiles son los cuatro valores de la variable de una distribución
que la dividen en cinco partes iguales.
datos y azar
275
Los percentiles (Pn ) son los noventa y nueve valores de la variable
de una distribución que la dividen en cien partes iguales.
Interpretación de las medidas de posición
Se pueden interpretar las medidas de posición a partir de un polígono
de frecuencia acumulada o de un diagrama de cajas y bigotes que es
un gráfico que muestra la distribución de los datos, dividiendo estos en
cuatro partes iguales mediante los cuartiles.
Para construir un gráfico de caja y bigotes se dibuja una caja que
va desde Q1 hasta Q3 . Dentro de ella se traza una línea vertical en la
mediana. Luego, se trazan líneas desde la caja a los valores mínimo y
máximo, como se observa en la Figura 4.10.
Figura 4.10: Diagrama de caja y bigotes.
Se llama rango intercuartil a la diferencia entre el tercer cuartil
(Q3 ) y el primer cuartil (Q1 ).
Ejercitación:
4. La siguiente tabla muestra el rango de notas de un curso:
Nota
Cantidad de alumnos
Entre 1 y 1,9
4
Entre 2 y 2,9
8
Entre 3 y 3,9
9
Entre 4 y 4,9
11
Entre 5 y 5,9
7
Entre 6 y 7
6
1. Iván, alumno del curso sabe que se encuentra en el cuarto quintil de las notas, ¿qué nota podría tener
Iván?
2. Carolina obtiene información similar a la de Iván, pero le dicen que su nota se encuentra en el decil 2.
¿Cuál es la máxima nota que podría tener Carolina?
4.1.4 Medidas de dispersión
Se llama dispersión de un conjunto X = {x1 , x2 , . . . , xn } a la variabilidad que existe entre los datos y las medidas de tendencia central.
Generalmente, estas medidas tienen que ver con el grado de dispersión
que tiene el conjunto de datos con respecto a su media. Mientras
más dispersos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos
disperso es más homogéneo. La dispersión puede cuantificar el rango
276
matemática ppvj 2018
(R), la desviación media (Dm ), la desviación estándar (σ (x)) y la
varianza var(x) o σ 2 (x) .
Objetivo PSU
Comprender el concepto de dispersión y comparar características
de dos o más conjuntos de datos, utilizando indicadores de
tendencia central, de posición y de dispersión .
Definición. El rango corresponde a la diferencia entre el valor máximo
y el valor mínimo de los datos.
Definición. La desviación media corresponde al promedio del valor
absoluto de la diferencia entre cada dato y el promedio de los datos.
Dm =
|x1 − x| + |x2 − x| + · · · + |xn − x|
.
n
Definición. La varianza corresponde al promedio de la diferencia entre
cada dato y el promedio de ellos, al cuadrado.
(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · · + (xn − x)2
.
n
Definición. La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada
de la varianza.
s
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + · · · + ( xn − x ) 2
.
σ=
n
σ2 =
Ejercitación:
Iván observa sus notas semestrales en algunas asignaturas, y el promedio entre ellas, para hacer una evaluación
respecto a su rendimiento en el semestre.
Asignatura
Nota
Óptica
5,3
Física Moderna
4,4
Métodos Experimentales IV
4,1
Geometría
4,0
Promedio
4,45
Lo primero que le interesa saber es qué tan parecidas son sus notas entre sí. Para ello:
Paso 1: Identifica la mayor y la menor de sus notas: Óptica: 5,3 y Geometría: 4,0.
Paso 2: Calcula el rango, es decir, la diferencia entre estos valores:
R = 5,3 − 4,0 = 1,3.
datos y azar
277
Como las notas van de 1 a 7, la mayor diferencia que podría existir es 7 − 1 = 6. Dado que la diferencia
entre sus notas es pequeña, se puede concluir que las notas de Iván son relativamente parecidas entre sí.
Ahora, Iván quiere averiguar si su rendimiento semestral es cercano al promedio. Para ello, compara cada
una de sus notas con el promedio obtenido.
Calcula el promedio de la diferencia entre las notas y el promedio:
(5,3 − 4,45) + (4,4 − 4,45) + (4,1 − 4,45) + (4,0 − 4,45)
0,85 − 0,05 − 0,35 − 0,45
=
= 0.
4
4
Se puede demostrar que cualquiera sea la cantidad de datos y el promedio este resultado será cero, por lo
que es preciso tomar otras medidas. Una opción es la desviación media, que toma los valores absolutos de
estas diferencias:
Dm =
|5, 3 − 4, 45| + |4, 4 − 4, 45| + |4, 1 − 4, 45| + |4, 0 − 4, 45
0, 85 + 0, 05 + 0, 35 + 0, 45
=
4
4
1, 7
= 0, 425.
4
Iván calcula ahora la desviación estándar, ya que esta mide cuánto se separan los datos.
⇒ Dm =
Paso 3: En primer lugar, calcula la varianza.
σ2 =
1,05
(5,3 − 4,45)2 + (4,4 − 4,45)2 + (4,1 − 4,45)2 + (4,0 − 4,45)2
=
= 0,2625.
4
4
Paso 4: Calcula la raíz cuadrada del valor anterior:
σ=
p
0,2625 ≈ 0,5123.
El por qué usar la desviación estándar, se verá más adelante. Sin embargo, en la subsección siguiente, se
podrá apreciar su uso para comparar conjuntos de datos y analizar en cuáles de ellos los datos son más
homogéneos.
Comparación de conjuntos de datos
Se puede comparar dos o más conjuntos de datos de acuerdo a sus
medidas de tendencia central (como el promedio y la mediana) y de la
dispersión que muestran. Así, se puede juzgar cuál de ellos posee un
promedio más representativo, es decir, aquel conjunto cuyos valores son
más cercanos al promedio.
Ejercitación:
5. Se consulta a un grupo de 200 personas por su nivel educacional y se obtiene los siguientes datos:
278
matemática ppvj 2018
Básica incompleta (BI)
10
Básica completa (BC)
20
Enseñanza Media Incompleta (MI)
20
Enseñanza Media Completa (MC)
80
Superior Incompleta (SI)
30
Superior Completa (SP)
40
Total
200
a) ¿Cuál es el rango?
b) ¿Cuál es la desviación media?
c) ¿Cuál es la desviación estándar?
d) ¿Cuál es la varianza?
4.2 | Técnicas de conteo
Las técnicas de conteo o combinatoria, son técnicas que nos permiten
encontrar la cantidad de ordenaciones diferentes que se pueden formar con
cierta cantidad de objetos o elementos. Se estudiarán diferentes técnicas
de conteo (permutaciones, variaciones y combinaciones), las cuales se
aplican en distintas situaciones y contextos. El principal objetivo de esta
sección es comprender cómo diferenciar estas situaciones y aplicar las
permutaciones, variaciones y combinaciones en la resolución de problemas.
4.2.1 Principio multiplicativo
Objetivo PSU
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en
experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y
aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.
Problema: Gabriela es la encargada de logística en una empresa de camiones que realiza recorridos desde
Santiago a Copiapó con una parada en La Serena. Ella desea determinar la cantidad de trayectos diferentes
que se puede realizar desde Santiago a Copiapó, pasando por La Serena. Para esto, sabe que desde Santiago
a La Serena los camiones pueden transitar por tres caminos diferentes, y desde La Serena a Copiapó, por
cuatro. Entonces, ¿cuántos recorridos pueden realizar los camiones para ir de Santiago a Copiapó?
Para responder esta pregunta, Gabriela realiza el siguiente esquema, que ilustra la situación:
datos y azar
B1
A1
Santiago
A2
B2
La Serena
A3
B3
B4
Utilizando este esquema, dibuja el siguiente diagrama de árbol:
Para discutir
Observa el diagrama y responde:
¿Cuántos recorridos distintos se pueden realizar?
¿Cómo se podría calcular la cantidad de recorridos sin la necesidad
de dibujar un diagrama de árbol?
Si ahora el camión debe ir de Santiago a Antofagasta, pasando por
La Serena y Copiapó, ¿cuántos recorridos diferentes puede tomar si
existen tres caminos posibles de Copiapó a Antofagasta?
En la actividad anterior se hizo uso de dos técnicas muy importantes
Copiapó
279
280
matemática ppvj 2018
a la hora de combinar elementos: el diagrama de árbol y el principio
multiplicativo.
Definición. Un diagrama de árbol es un esquema que permite representar gráficamente todos los posibles resultados de un experimento. Pero
muchas veces, no se necesita saber cuáles son, sino conocer el número de
estos. Para ello, se utiliza otra técnica: el principio multiplicativo.
Definición (Principio multiplicativo). Si la realización de un proceso
se divide en k etapas, y cada etapa se puede realizar de n1 , n2 , . . . , nk
formas, entonces todo el proceso se puede realizar de n1 · n2 · . . . · nk
distintas maneras.
Ejercitación:
6. Construye un diagrama de árbol para representar las diferentes combinaciones.
a) 2 pantalones (azul o negro) y 3 chalecos (rojo, amarillo o verde).
b) 3 colores de blusas (blanca, roja o negra) y 3 pares de zapatos (cafés, negros o blancos).
7. Resuelve los siguientes problemas:
a) En una repisa se quieren ordenar 3 libros. Uno de Biología, otro de Lenguaje y otro de Matemática.
¿De cuántas formas es posible hacerlo?
b) Un estudiante tiene 5 chaquetas, 3 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas
puede combinar su ropa para vestirse?
c) Con respecto a la palabra PLATO, ¿de cuántas maneras puedes combinar las letras para escribir
distintas palabras, con o sin sentido y sin que estas se repitan?
d) ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben constar de 4 letras, todas ellas
consonantes, seguidas de 2 dígitos? Considere que las letras y números se pueden repetir.
4.2.2 Permutaciones
Problema:
Iván participa en un experimento que consiste en adivinar el orden de extracción, sin reposición, de 3 bolitas
desde la urna que muestra la imagen. Si Iván debe escoger un orden al azar, ¿cuántas posibilidades tiene
para hacerlo?
3
2
1
Para solucionar este problema, Iván realiza el siguiente diagrama de árbol para visualizar los ordenamientos
datos y azar
281
posibles:
2
3
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
1
2
3
1
1
2
3
1
2
2
1
3
2
1
1
2
Se observa que Iván
puede escoger entre 6
ordenamientos distintos.
3
Iván comprueba lo anterior utilizando el principio multiplicativo:
Para discutir
Si en la caja hay 15 pelotas, utiliza el principio multiplicativo para
expresar la cantidad de ordenamientos distintos que se podrían
generar al sacarlas una a una, sin reposición. Si en vez de 15 hubiesen
7, ¿cómo se expresaría? ¿Y si hubiesen 11?
¿Qué relación hay entre las expresiones anteriores?
Si ahora hay una caja con n pelotas, ¿cómo se expresaría la cantidad
de ordenamientos distintos que se pueden obtener?
Definición. Una permutación de n objetos diferentes (Pn ) corresponde
al número de ordenamientos lineales posibles de realizar con n elementos.
Se expresa como n! (n factorial). Con n entero positivo, se tiene que:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.
Por definición, 0! = 1.
Problema: Si el experimento varía y se reemplaza la bolita número 3 por una bolita número 2, ¿de cuántas
formas puede escoger Iván el orden de extracción?
282
matemática ppvj 2018
2
2
1
Para responder a esta pregunta, se observa el siguiente diagrama de árbol:
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
Para discutir
¿Cuántos ordenamientos diferentes hay? ¿Cuáles son?
¿Qué diferencia hay entre estos y los obtenidos anteriormente?
Una manera de calcular el número de ordenamientos es:
3!
3·2·1
=
=3
2!
2·1
¿Por qué funciona?
Si se tiene una caja con 20 pelotas de las cuales 5 están repetidas,
¿cómo se expresaría el total de ordenamientos diferentes que se
pueden obtener al sacar las pelotas, una a una y sin reposición?
Para calcular una permutación de n elementos, con a, b y c elementos repetidos se utiliza la expresión:
P(na,b,c) =
n!
.
a! · b! · c!
Continuación del problema::
Ahora el experimento consiste en adivinar el orden de extracción de dos bolitas desde una urna con cuatro
bolitas numeradas del 1 al 4. En este caso, ¿cuántos ordenamientos distintos puede escoger Iván?
datos y azar
3
4
2
1
Para responder se realiza el siguiente diagrama de árbol:
1
2
3
4
2
1
2
3
1
3
4
1
4
1
2
1
3
2
3
4
2
4
1
3
1
2
3
2
4
3
4
1
4
1
2
4
2
3
4
3
Existen 12 formas distintas de orden para
la extracción. Según el
principio multiplicativo
se puede calcular como
4 · 3 = 12
Para discutir
¿Qué diferencia hay entre este experimento y los anteriores?
Se observa el procedimiento que realiza Iván para expresar el total
de ordenamientos ocupando permutaciones:
283
284
matemática ppvj 2018
Si se extraen 7 bolitas de un total de 15 bolitas diferentes, de una
caja, una a una y sin reposición, ¿cómo se expresaría el total de
ordenamientos diferentes utilizando el método de Iván?
La permutación de k elementos de un conjunto de n elementos
distintos se conoce como variación, y el número de estas permutaciones
se calcula mediante la expresión:
Vkn =
n!
.
(n − k ) !
Continuación del problema:
Si ahora el experimento consiste en extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la urna, ¿de cuántas
formas se podrán extraer 2 bolitas de la urna?
3
4
2
1
Se realiza un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos:
1
2
3
4
3
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
3
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
Existen 16 formas distintas de orden para la
extracción con reposición,
ya que la cantidad de
ramas del diagrama de
árbol no disminuye con
cada extracción pues se
devuelven las bolitas extraı́das.
En este caso, Iván advierte que al aplicar el principio multiplicativo se tiene:
Para discutir
Se tiene una caja con 15 pelotas diferentes del mismo tamaño, ¿de
cuántas formas se pueden extraer 7 de ellas, si cada vez que se extrae
datos y azar
285
una se devuelve a la caja?
La permutación de k elementos de un conjunto de n elementos, con
elementos que se puedan repetir se conoce como variación con reposición.
El número de variaciones en este caso está dado por la expresión:
V R = nk .
Ejercitación:
8. Calcula el valor de las siguientes permutaciones y variaciones:
a) P5
c) V24
b) P(73)
d) V610 (se pueden repetir)
9. Resuelve los siguientes problemas.
a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin que se repita
ninguna? ¿Y si se repite cada uno en dos ocasiones?
b) Carolina realiza el siguiente experimento en la feria de su colegio: desde una urna con 7 bolitas como
muestra la figura, se debe adivinar el orden de extracción de 3 bolitas que realizará un compañero con los
ojos vendados.
3
6
4
2
1
5
7
Existen dos formas de extraer las bolitas:
A: Una a una y sin reposición.
B: Una a una y con reposición.
¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas sin reposición?
¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas con reposición?
Si un concursante adivina que en la primera extracción sin reposición la bolita tiene el número 2,
¿cuántas extracciones posibles existen para que gane? ¿Y si la extracción se realiza con reposición?
286
matemática ppvj 2018
4.2.3 Combinaciones
Problema:
Adrián está realizando un estudio en el que debe entrevistar grupos de dos personas escogidas al azar de
un total de 4: Andrés, Benjamín, Constanza y Daniela. Esta situación se traduce a elegir muestras de 2
personas de una población de 4 personas. ¿De cuántas maneras podría Adrián elegir estas muestras?
Se observa el siguiente diagrama de árbol, que ilustra la situación:
Ahora, se descartan las parejas que se repiten:
Combinaciones descartadas
Combinaciones que quedan
AB = BA
AC = CA
AB
BC
CD = DC
BC = CB
AC
BD
AD
CD
AD = DA
Adrián puede elegir entre 6 combinaciones de personas para su entrevista, es decir, puede elegir 6 muestras
distintas de una población de 4 individuos.
Adrián se pregunta si existe una expresión matemática que permita calcular la combinación anterior sin la
necesidad de hacer el diagrama de árbol. Para buscar dicha expresión, Adrián realiza los siguiente:
Analiza el diagrama de árbol de la situación, identificando permutaciones y variaciones:
datos y azar
287
Adrián establece que el producto entre la variación de 2 elementos es un conjunto de 4 elementos (V24 ), es
igual al producto entre la permutación de 2 elementos (2!) y la combinatoria de 2 elementos en un conjunto
de 4 elementos (C24 ), es decir,
V4
V24 = 2! · C24 ⇒ C24 = 2 .
2!
Al despejar C24 y desarrollar la variación se obtiene:
4!
4
V
(
4
−
2) !
C24 = 2 =
2!
2!
4!
4!
6 4 2 · 3· 6 2· 6 1
C24 =
=
=
= 6.
(4 − 2)! · 2!
2! · 2!
6 2· 6 1· 6 2· 6 1
El número de combinaciones que se pueden efectuar con una cantidad de k elementos desde un conjunto de
n elementos son los distintos grupos de k elementos que se pueden hacer con los n elementos, en este caso
no interesa el orden con el cual se extraen o se escogen los elementos.
La combinación de k elementos de un total de n elementos, se calcula
288
matemática ppvj 2018
mediante la expresión:
 
n
n!
  = Ckn =
,
k! · (n − k )!
k
donde n y k son números enteros positivos, con n > k.
Ejercitación:
10. Resuelve los siguientes problemas:
a) En una fiesta se dieron 120 apretones de manos como saludo. ¿Cuál fue el número de personas presentes
en la fiesta si todos se saludaron de mano en una ocasión?
b) Se deben formar diferentes comisiones en un curso compuesto por 15 hombres y 16 mujeres. ¿De
cuántas formas se puede armar una comisión de 4 personas?
¿Cuántas comisiones de las anteriores estarán compuestas solamente por varones? ¿Y solamente por
mujeres?
¿Cuántas comisiones de 7 personas se pueden formar y en cuántas de ellas habrá al menos un varón?
¿Cuántas comisiones de 10 personas se pueden formar? ¿Cuántas de esas comisiones tendrán menos de
4 mujeres? ¿Y menos de 7 hombres?
4.3 | Probabilidad clásica
Sabías que...?
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, las ciencias,
la administración, contaduría,
economía y filosofía para sacar
conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y
la mecánica subyacente de sistemas complejos, por lo tanto
es la rama de la matemática
que estudia, mide o determina
a los experimentos o fenómenos
aleatorios.
La probabilidad es la medida de la incertidumbre asociada a un
suceso o evento futuro.
4.3.1 Probabilidad teórica
Objetivo PSU
Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya
sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las
características del experimento aleatorio.
Conceptos previos:
Experimento aleatorio. Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes,
es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada
experiencia particular. Ejemplos de experimento aleatorio son lanzar
un dado, lanzar una moneda, girar una ruleta, etc. Decimos que un
experimento tiene resultados equiprobables cuando todos ellos tienen
la misma probabilidad de ocurrir.
datos y azar
289
Espacio muestral. Un espacio muestral corresponde al conjunto
de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Suele
denotarse con la letra Ω. La cardinalidad de un espacio muestral
es la cantidad de elementos que tiene.
Suceso o evento. Un suceso o evento es un subconjunto del espacio
muestral.
Regla de Laplace:
Cuando un experimento aleatorio tiene resultados equiprobables, se
calcula la probabilidad de un experimento mediante la regla de Laplace.
Esto se conoce como probabilidad teórica.
Para calcular la probabilidad teórica de un evento A se utiliza la
expresión:
#A
n◦ casos favorables
P (A) =
= ◦
.
#Ω
n casos posibles
Consecuencias:
Si A es un suceso, se tiene que 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Si P (A) = 0, entonces #A = 0, es decir, A = φ. En este caso decimos
que A es un suceso imposible.
Observación
Para calcular el número
de casos totales del espacio muestral de un experimento aleatorio se pueden usar
las técnicas de conteo. Así como también para el cálculo de
los casos favorables.
Si P (A) = 1, entonces #A = #Ω y como A ⊆ Ω, entonces A = Ω.
En este caso decimos que A es un suceso seguro.
Ejercitación:
11. Analiza las siguientes bolitas numeradas y responde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número mayor a 10?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número menor a 1?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado el número 21?
d) ¿Qué bolita es más probable extraer? Justifica.
12. De un juego de naipe inglés se extrae al azar una carta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta con un número par?
290
matemática ppvj 2018
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as?
13. Se lanzan dos dados de seis caras.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor
que 6?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 3?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 como producto?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 como cociente?
14. En un colegio hay 8 primeros medios, de los cuales, 4 están compuestos por 38 estudiantes, 2 por 41
estudiantes y el resto de los cursos tiene 45 estudiantes cada uno. Si la probabilidad de escoger al azar
5
una alumna es , ¿qué cantidad de alumnas y alumnos hay en el colegio?
9
15. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígitos?
a) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que empiece con 1?
b) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que termine en 5?
c) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea par?
4.3.2 Probabilidad experimental
Problema:
Iván y Nicolás discuten sobre el experimento de lanzar una moneda y de lanzar un dado. Nicolás dice que es
más probable que salga el número 3 al lanzar el dado, mientras que Iván asegura que es más probable obtener
cara al lanzar una moneda. Para saber cuál de los dos tiene la razón, cada uno realiza los experimentos 500
veces y tabula sus resultados como en las tablas de las Figuras 4.11 y 4.12.
Completa las siguientes tablas de datos
Dado
Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
Moneda
Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
1
90
Cara
263
2
81
Sello
237
3
84
4
96
5
80
6
69
datos y azar
291
Para discutir
Observando los datos calculados, ¿quién tenía la razón?
Calcula la probabilidad de cada uno de los eventos en los experimentos anteriores u expresarlas como decimal. ¿Qué relación hay
entre estos valores y sus respectivas frecuencias relativas?
La probabilidad experimental (o empírica) de un evento A, se
calcula mediante el cociente entre la cantidad de veces que ocurre el
evento y la cantidad de veces que se realiza el experimento, es decir, la
frecuencia relativa:
P (A) =
Dado
Frecuencia absoluta
1
90
2
81
3
84
4
96
5
80
6
69
Figura 4.11: Tabla de Nicolás
n◦ de veces que ocurre el evento A
.
veces que se realiza el experimento
Moneda
Frecuencia absoluta
Cara
263
Sello
237
Figura 4.12: Tabla de Iván
n◦ de
En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un evento A se
aproxima a la probabilidad teórica del evento a medida que la cantidad
de experimentos aumenta, esto se conoce como la Ley de los Grandes
Números.
4.3.3 Conjuntos y probabilidades
Tipo de ganado
Criadores
Solo corderos
9
Solo vacunos
6
Corderos y vacunos
3
Cerdos
5
Figura 4.13: Tipo de ganado de los criadores.
Problema:
Adrián es veterinario en la región de Magallanes, y trabaja vacunando a los animales de los productores
locales. Para determinar las medicinas que debe comprar ha consultado el tipo de ganado que tienen los
cuidadores de su pueblo, y obtuvo los resultados mostrados en la tabla de la Figura 4.13.
Para realizar la vacunación, Adrián recorre al azar los campos. ¿Cómo se podría determinar la probabilidad
de encontrar los distintos tipos de ganado?
Para averiguarlo, se realiza el siguiente esquema, llamado Diagrama de Venn.
292
matemática ppvj 2018
Para discutir
Observa el diagrama de Venn y responde:
¿Cuál es la probabilidad de que Adrián visite un ganadero que tenga
corderos?
¿Cuál es la probabilidad de que un ganadero tenga vacunos?
¿Cuál es la probabilidad de que un ganadero tenga corderos y
vacunos?
Figura 4.14: P (A ∪ B )
¿Cuál es la probabilidad de que un ganadero tenga corderos, pero
no vacunos?
¿Cuál es la probabilidad de que un ganadero no tenga corderos?
¿Cuál es la probabilidad de que ganadero tenga corderos o vacunos
(o ambos)?
Figura 4.15: P (A ∩ B )
Para cada una de las preguntas anteriores, es posible asociar una
operación entre conjuntos y con ello una manera de calcular las probabilidades:
A ∪ B: Que ocurra el suceso A, el suceso B o ambos sucesos.
A ∩ B: Que ocurra el suceso A y el suceso B a la vez.
A − B: Que ocurra el suceso A y no el suceso B.
Figura 4.16: P (A − B )
Ac : Que no ocurra el suceso A.
En resumen, dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, se tiene
que:
P (A − B ) = P (A) − P (A ∩ B )
Figura 4.17: P (Ac )
P ( Ac ) = 1 − P ( A )
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ).
Se dice que A y B son sucesos mutuamente excluyentes si ambos
sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea, es decir, A ∩ B = φ.
En tal caso:
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).
datos y azar
293
4.3.4 Producto y suma de probabilidades y probabilidad condicionada
Objetivo PSU
Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades,
en diversos contextos, a partir de la resolución de problemas que
involucren el cálculo de probabilidades.
Problema:
Una urna contiene dos bolitas con el número 1 y tres bolitas con el 3 y se extraen dos de ellas, consecutivamente.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto número?
Para analizar esta situación, se puede utilizar un diagrama de árbol en el que se registran todos los casos
posibles al realizar cada extracción, y se señalan los casos favorables al experimento.
Primera
extracción
1
1
3
1
3
3
1
3
3
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
3
Segunda
extracción
Se puede observar que al realizar la primera extracción hay 5 bolitas que pueden ser escogidas, mientras
que al realizar la segunda hay solo 4. Así, por principio multiplicativo, el experimento tiene 5 · 4 = 20 casos
totales.
Por lo tanto, la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto número es:
P =
12
3
= .
20
5
El diagrama de árbol realizado anteriormente se puede resumir considerando que, en realidad, cada extracción
tiene dos resultados esencialmente distintos, a los que se puede cada vez, asignar una probabilidad, como se
muestra en la siguiente figura:
1
1
4
1
2
5
3
4
3
5
3
1
2
4
3
2
4
3
El suceso “extraer dos bolitas de distinto número” está compuesto de dos casos: que la primera bolita tenga
el número 1 y la segunda tenga el número 3, y que la primera tenga el número 3 y la segunda tenga el 1. Se
trata de sucesos mutuamente excluyentes, pues no pueden ocurrir simultáneamente.
Para calcular la probabilidad de cada caso, se analiza lo que ocurre en cada extracción, como se muestra:
294
matemática ppvj 2018
Caso uno y tres: Hay
dos casos favorables en
la primera extracción, y
tres en la segunda. Por
lo tanto, hay 2 · 3 = 6
casos favorables.
1
1
3
1
3
3
1
3
3
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
3
Caso tres y uno: Hay
tres casos favorables en
la primera extracción, y
dos en la segunda. Por
lo tanto, hay 3 · 2 = 6
casos favorables.
Por lo tanto:
Para ganar, puede ocurrir el caso “uno y tres” o bien el caso “tres y uno”. Luego:
P (dos bolitas de distinto número) = P (uno y tres) + P (tres y uno)
2 3 3 2
· + ·
5 4 5 4
6
6
=
+
20 20
12
= .
20
=
En general, cuando un suceso está formado por casos que deben ocurrir sucesivamente (es decir, que suceda
uno y el otro) se pueden multiplicar sus probabilidades. Además, si un suceso está compuesto por distintos
casos mutuamente excluyentes, se suman sus probabilidades.
En resumen, si en un experimento debe ocurrir primero un suceso
A con probabilidad P (A) y luego un suceso B con probabilidad P (B )
luego de que ocurre A, se tiene que:
P (A y B ) = P (A) · P (B )
(Regla del producto).
Si un suceso C se compone de dos suceso A y B mutuamente excluyentes,
entonces:
P (C ) = P (A) + P (B )
(Regla de la adición).
datos y azar
295
Ejercitación:
16. Resuelve los siguientes problemas:
a) Se extraen dos letras de la palabra AMALIA. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales?
b) En un curso hay 15 mujeres y 14 hombres. Si se eligen al azar 2 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad
de que sean mujeres?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire se obtenga como resultado más de una
cara?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como suma de los puntajes de lanzar dos dados de seis caras, un
puntaje mayor que 9?
4.3.5 Probabilidad condicionada
Objetivo PSU
Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo
en diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilidades.
Si se tienen dos sucesos, A y B, donde P (B ) 6= 0, entonces la probabilidad condicional de que suceda A dado que B ha ocurrido, se puede
calcular mediante la siguiente expresión:
P (A|B ) =
P (A y B )
.
P (B )
Ejercitación:
17. Los resultados en una encuesta de un curso, en relación con la utilización de fondos de la tesorería,
arrojaron que de los 40 alumnos, hay 26 que prefieren ir de paseo, y el resto quiere un regalo. De los que
quieren ir al paseo, 12 prefieren ir a la piscina y el resto a otro lugar. Si se escoge al azar una persona
dentro del curso, ¿cuál es la probabilidad de que no quiera ir a la piscina si desea ir de paseo?
18. En un experimento de dos partes, la probabilidad de que la primera parte sea exitosa es 2m, con
0 < m < 0,25. Si eso ocurre, la probabilidad de que la segunda parte sea exitosa es m. En cambio, si la
segunda parte no es exitosa, la probabilidad de que la segunda parte no sea exitosa es 4m. Si la segunda
parte del experimento no fue exitosa, demuestra que la probabilidad de que la primera parte haya sido
1−m
exitosa se expresa como
.
3 − 5m
296
matemática ppvj 2018
4.4 | Variable aleatoria discreta
Observación
En
el
experimento
E :lanzar dos monedas,
el espacio muestral está
dado por
Ω(E ) = {cc, cs, sc, ss}
donde claramente los elementos
no son numéricos.
Un experimento aleatorio, como ya se vio, es aquel cuyo resultado no se
puede predecir, sin embargo, se puede encontrar un conjunto que contiene
como elementos a todos los posibles resultados de dicho experimento.
Este conjunto es el espacio muestral. Sin embargo, como ya se estudió,
y como se muestra en la observación, los elementos del espacio muestral
no corresponden siempre a valores numéricos.
Básicamente, una variable aleatoria le asigna un valor numérico
a cada uno de los elementos del espacio muestral de un experimento
aleatorio, es decir, es posible concebirla como un valor numérico que está
afectado por el azar. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y los
números reales, lo que permite simplificar su tratamiento estadístico.
4.4.1 Muestreo aleatorio simple
Se llama muestreo aleatorio simple a la elección de una muestra
de una población, de modo que cada elemento de la población tiene
la misma probabilidad de ser escogido. Un método para escoger estas
muestras es mediante la generación de números aleatorios.
Objetivo PSU
Observación
Se llama media muestral al promedio de las
medias de todas las posibles muestras extraídas de una
población.
Comprender que la media muestral de pruebas independientes de
un experimento aleatorio se aproxima a la media de la población
a medida que el número de pruebas crece.
La media muestral X de una población permite, en algunos casos,
hacer inferencias respecto a la media poblacional.
Problema: Considera el conjunto A = {6, 8, 10, 12}.
¿Cuál es la media aritmética µ del conjunto A?
¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden extraerse, sin importar el orden y sin reposición?
Calcula la media aritmética de cada una de las muestras del ítem anterior.
Calcula la media muestral X, es decir, el promedio de las medias obtenidas en el inciso anterior.
datos y azar
297
Para discutir
Del problema anterior, ¿qué se puede concluir?
Si las muestras de tamaño 2 se escogen con reposición, ¿ocurre lo
mismo?
En resumen, al extraer muestras de igual tamaño de una población,
se puede calcular la media aritmética de cada una de estas y posteriormente obtener el promedio entre ellas. La relación que existe entre
este promedio es que se aproxima a la media de la población,
independientemente de si las muestras se escogieron con o sin reposición.
4.4.2 Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución
Variable Aleatoria
Objetivo PSU
Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en
diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria a la función que, a cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna
un único número real.
X : Ω −→ R.
Se dice que la variable aleatoria es discreta, si su recorrido es un
conjunto numerable, y continua en el caso que su recorrido sea un
intervalo de números reales. En esta subsección se estudiarán variables
aleatorias discretas.
Figura 4.18: Recorrido de la variable
aleatoria del ejemplo.
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio E : lanzar 3 monedas, se define la variable aleatoria X : número
de caras obtenidas. Básicamente, la variable aleatoria X le asigna a cada uno de los elementos del espacio
muestral de E un número real, a través de la regla de asignación que la define.
Entonces,
Dom (X ) = Ω(E ) = {CCC, CCS, SCC, CSC, SSC, CSS, SCS, SSS}.
Observando el dominio de la variable aleatoria se puede concluir que los posibles valores que puede tomar
son 0, 1, 2 o 3, es decir, Rec(X ) = {0, 1, 2, 3}. Se puede representar la situación a través del diagrama de la
Figura 4.18.
298
matemática ppvj 2018
Función de probabilidad
Objetivo PSU
Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad, en
diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.
Figura 4.19: Diagrama sagital de la función de probabilidad del ejemplo.
Cada vez que se tiene un experimento aleatorio, es posible definir
una variable aleatoria, X. Además se puede relacionar una variable
aleatoria discreta con una función de probabilidad f definida por
f : R −→ [0, 1], de modo que:

P (X = x) si x ∈ Rec (X )
f (x) =
0
si x 6∈ Rec (X )
donde P (X = x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome
el valor x.
Ejemplo: En el ejemplo definido anteriormente, se pueden asociar a los elementos del recorrido de X con
su función de probabilidad. Se obtienen los siguientes resultados:
P (X = 0) =
1
8
3
8
3
P (X = 2) =
8
1
P (X = 3) =
8
Para cualquier otro valor, la probabilidad es 0. Esto está representado en la Figura 4.19.
P (X = 1) =
Otra forma de escribir la función de probabilidad es definiéndola por tramos, de esta manera se obtendría:
 1

si x = 0 o x = 3



8


3
f (x) =
si x = 1 o x = 2

8





0 en otro caso
La función de probabilidad está representada en la gráfica de la Figura 4.20.
Obsérvese que, si se calcula la función de probabilidad para cada uno
de los elementos del recorrido de la variable aleatoria, la suma debe ser
igual a 1, es decir:
P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + . . . + P (X = xn ) = 1,
datos y azar
donde P es función de probabilidad y {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), X
variable aleatoria.
299
P (X)
3
8
Función de distribución
Una función de distribución acumulada se define como F : R →
[0, 1], de tal manera que:
1
8
0
F (X ) = P (X ≤ x),
1
2
X
3
Figura 4.20: Gráfica de la función de
probabilidad.
donde P (X ≤ x) representa la probabilidad acumulada hasta el valor x.
Ejemplo: Volviendo al ejemplo que se definió desde un comienzo, en el experimento, lanzar 3 monedas,
donde la variable aleatoria X es el número de caras obtenidas, se tiene la siguiente función de distribución:
F (0) = P (X ≤ 0) = P (X = 0) =
1
8
1 3
4
1
+ = =
8 8
8
2
1 3 3
7
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = + + =
8 8 8
8
1 3 3 1
F (3) = P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = + + + = 1
8 8 8 8
F (1) = P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) =
Se puede definir la función de distribución por tramos de la siguiente manera:

1


si x = 0


8




1



si x = 1
2
F (X ) =

7


si x = 2


8





 1 si x = 3
La función está representada en la gráfica de la Figura 4.21.
4.4.3 Esperanza matemática, varianza y desviación estándar
Objetivo PSU
Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en forma teórica y experimental, considerando diversas situaciones o
fenómenos.
F (x)
1
7
8
1
2
1
8
Esperanza matemática
Si se considera el ejemplo que se definió anteriormente, se lanzaron 3
dados y se definió la variable aleatoria como el número de caras obtenidas.
0
1
2
3
x
Figura 4.21: Función de distribución por
tramos.
300
matemática ppvj 2018
¿Se podría encontrar el valor promedio que se espera obtener luego de
realizar el experimento varias veces? La respuesta de esta pregunta no
es tan simple, ya que no se puede promediar de manera habitual. Se
sabe que los valores que puede tomar X son 0, 1, 2 o 3, pero también se
sabe que el 2 tiene más probabilidad de salir que el 3, por ejemplo. Sin
embargo, se puede calcular un promedio ponderado, es decir, un promedio
que considera la probabilidad de cada uno de los eventos asociados a
los valores de X, a eso se le llama valor esperado de X o esperanza
matemática de X.
Definición. La esperanza matemática de la variable aleatoria X se
define como:
E (X ) = x1 · P (X = x1 ) + x2 · P (X = x2 ) + . . . + xn · P (X = xn ),
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ) y P es función de probabilidad de X.
Ejemplo: En el ejemplo de las 3 monedas, la esperanza matemática de X es:
E (X ) = 0 ·
3
3
1
3+6+3
12
3
1
+1· +2· +3· =
=
= = 1,5.
8
8
8
8
8
8
2
Es decir, si se realiza el experimento varias veces, se espera que, en promedio, se obtengan 1,5 caras.
El valor de la esperanza se muestra en el gráfico de la Figura 4.22.
Varianza
Definición. En forma análoga a la varianza para un conjunto de datos,
se puede definir la varianza de una variable aleatoria como el promedio
ponderado de los cuadrados de la diferencia entre los valores que puede
tomar X y la esperanza matemática (que es el promedio):
P (X)
V (X ) = (x1 − E (X ))2 · P (X = x1 ) + . . . + (xn − E (X ))2 · P (X = xn ),
3
8
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), E (X ) es la esperanza matemática de
la variable aleatoria X y P es la función de probabilidad de X.
1
8
0
1
2
3
X
E(x)
Figura 4.22: Gráfica de la esperanza matemática.
Este valor da una estimación de la homogeneidad de los valores de
la variable aleatoria, en relación a cuán distantes están de la esperanza
matemática.
También se puede calcular la desviación estándar de una variable
aleatoria de la misma manera que para un conjunto de datos, es decir,
calculando la raíz cuadrada de la varianza, obteniendo así un estadígrafo
de dispersión expresado en la misma unidad de medida de la variable.
Ejercitación:
19. En una caja hay 16 bolitas marcadas con el número 1, 25 con el número 2 y 37 con el número 3. Se define
datos y azar
301
la variable aleatoria como el número obtenido al extraer una bolita. Define la función de probabilidad
asociada.
20. Se define la siguiente función de probabilidad para un dado cargado de ocho caras. Construye una tabla
que muestre la función de distribución acumulada asociada a ella:

1




5







4
f (x) =

21









 1
105
si
x = 1, x = 3
si
x = 2, x = 4, x = 6
si x = 5, x = 7, x = 8.
21. Se lanza una moneda no cargada dos veces al aire y se anotan sus resultados. ¿Cuál es la función de
distribución de la variable aleatoria “número de sellos”?
22. En el experimento “sacar una carta de una baraja de naipe inglés donde se han extraído los monos”, se
define la variable aleatoria “número de la carta”. Según esto, responde:
a) ¿Cuál es la función de probabilidad?
b) Grafica la función de distribución.
c) ¿Cuál es el valor de P (X ≤ 5)?
d) ¿Cuál es el valor de P (X > 8)?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga un número de carta entre 3 y 6, ambos valores incluidos?
23. Se ha hecho un recuento de las tarjetas amarillas que le han mostrado a un futbolista en la última
temporada. Con estos datos se ha confeccionado la siguiente tabla:
N° tarjetas amarillas
Probabilidad
0
1
1
30
1
5
2
m
3
8
30
2
7
4
Responde:
a) ¿Cuál debe ser el valor de m?
b) ¿Cuál es el valor esperado para el número de tarjetas amarillas que obtendrá de seguir en las mismas
condiciones para las próximas temporadas?
24. Se lanzan dos dados de cuatro caras y se anota la suma de los puntos de las caras obtenidas. Determina:
302
matemática ppvj 2018
a) La función de probabilidad de la variable “suma de los puntos de las caras”.
b) La función de distribución.
c) La esperanza.
d) La varianza.
e) La desviación estándar.
f) ¿Qué puedes concluir?
4.4.4 Distribución binomial
Continuando con las probabilidades, dentro de esta rama se utilizan
distribuciones de probabilidad para modelar algunas situaciones con
características especiales. Estas distribuciones no son otra cosa que una
función de probabilidad. La idea es obtener una expresión general para la
función de probabilidad de experimentos con “características especiales”.
Objetivo PSU
Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir resultados de experimentos binomiales.
Si se considera un experimento con las siguientes características:
El experimento se puede repetir varias veces sin que el resultado de uno influya en el resultado de los otros (experimentos
independientes).
El experimento puede admitir solo dos resultados: el que se busca,
denominado éxito y el contrario, denominado fracaso.
La probabilidad de cada uno de los eventos debe ser la misma para
todas las repeticiones del experimento.
La variable binomial X expresa el número de éxitos obtenidos al
realizar el experimento una cantidad finita de veces. Por lo tanto, X es
discreta.
Ejemplo: Si se considera el experimento “responder al azar una pregunta de 5 alternativas, de las cuales
solo una es la correcta”. Se define la variable aleatoria como número de respuestas correctas obtenidas al
realizar el experimento n veces. Este experimento cumple con las condiciones anteriores ya que:
Si se realiza el experimento muchas veces, es decir, si se responden muchas preguntas al azar, el resultado
de una pregunta no influye en la siguiente.
El experimento tiene solo dos posibles resultados: marcar la alternativa correcta (éxito) o marcar alguna
de las alternativas incorrectas (fracaso).
datos y azar
La probabilidad de marcar la respuesta correcta es
1
5
303
para todas las repeticiones del experimento.
Pregunta: Si una prueba consta de 4 preguntas de 5 alternativas, de las cuales solo una es la correcta, ¿cuál
es la probabilidad de obtener 3 respuestas correctas?
Se puede expresar la cantidad de combinaciones posibles de 3 correctas en 4 preguntas de la siguiente manera:
BBBM ; BBM B; BM BB; M BBB,
o calcularla usando una combinación como:
4
= 4.
3
Para calcular la probabilidad de la combinación BBBM se utiliza la regla del producto:
1 1 1 4
· · · =
5 5 5 5
3
4
1
· .
5
5
La probabilidad de todas las combinaciones es exactamente la misma, solo hay diferente orden en las
preguntas buenas y malas. Por lo tanto, se puede expresar la probabilidad de obtener 3 respuestas correctas
de las 4 preguntas utilizando la regla de la adición:
3
3
3
3
1
1
1
1
4
4
4
4
· +
· +
· +
· ,
5
5
5
5
5
5
5
5
lo que es equivalente a
3
1
4
4·
· .
5
5
Esto último se puede escribir utilizando la combinación que se usó para calcular todos los posibles ordenamientos de 3 preguntas correctas de un total de 4, como sigue:
3
4
4
1
·
· .
3
5
5
Finalmente, esta es la probabilidad pedida.
¿Qué pasaría ahora si la prueba tiene 15 preguntas y se quiere calcular la probabilidad de obtener 9 respuestas
correctas contestando todo al azar?
Primero se calculan todas las posibles ordenaciones de 9 correctas de 15 preguntas:
15
→ este valor se deja expresado, porque es muy grande para calcularlo.
9
Ahora, se calcula la probabilidad de que ocurra una de esas ordenaciones. Como se quieren 9 correctas, se
1
tendrá que multiplicar 9 veces la probabilidad de marcar la respuesta correcta, es decir, ; y se multiplica 6
5
4
veces la probabilidad de obtener una incorrecta, es decir, . Se obtiene:
5
9 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4
1
4
· · · · · · · · · · · · · · =
·
.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5
5
304
matemática ppvj 2018
Finalmente, se multiplica esta probabilidad por el total de combinaciones:
9 6
15
1
4
·
·
.
9
5
5
Esta última expresión corresponde a la probabilidad pedida.
Se observa que existen similitudes en las expresiones encontradas para la probabilidad pedida. Si se analizan
los dos casos:
Cantidad de
éxitos.
Número de veces que se
realiza el experimento.
Cantidad de
éxitos.
Número de veces que se
realiza el experimento
menos número de éxitos.
Número de veces que se
realiza el experimento.
3 4 − 3
1
4
4
·
·
3
5
5
Cantidad de
éxitos.
Probabilidad
del fracaso.
Probabilidad
del éxito.
Observación
La esperanza de una v.a.
binomial está dada por
E (X ) = np.
La varianza de una v.a. está
dada por
V (X ) = np(1 − p).
Número de veces que se
realiza el experimento
menos número de éxitos.
9 15 − 9
1
4
15
·
·
9
5
5
Cantidad de
éxitos.
Probabilidad
del fracaso.
Probabilidad
del éxito.
En resumen, si se tiene un experimento (con las características mencionadas) que se repite n veces, de las cuales se quiere que k sean exitosas,
la probabilidad de que esto ocurra está dada por:
n
P (X = k ) =
· pk · (1 − p)n−k ,
k
donde p es la probabilidad del éxito y 1 − p es la probabilidad del fracaso.
Se dice que una variable aleatoria con estas condiciones es una variable
aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros (n, p), lo
anterior se denota como X ∼ B (n, p).
Ejercitación:
7
, para un experimento dado. Determina:
13
a) La probabilidad que en 20 repeticiones del experimento, en exactamente 4 oportunidades el evento A
tenga éxito.
25. La probabilidad de éxito de un evento A es
b) La probabilidad de que, en 30 repeticiones, el suceso A fracase en a lo más 4 oportunidades.
c) La probabilidad de que el evento A fracase en exactamente 3 ocasiones de un total de 40 repeticiones.
26. Se sabe que en el control de calidad de una empresa que fabrica lápices, existen 20 lápices con fallas
de cada 1.000 que se revisan. Si se repite la acción de extraer al azar un lápiz para verificar su calidad,
305
datos y azar
determina:
a) La probabilidad de que en 400 extracciones hallan exactamente 3 lápices con fallas.
b) La probabilidad de que en 500 extracciones el número de lápices con fallas sean como máximo 5.
27. Un estudio médico ha concluido que la probabilidad que una persona evidencie un rasgo genético de un
cierto tipo es 0,53. En base a esto, si se toma una muestra de los pacientes, determina:
a) La probabilidad de que exactamente 60 de ellos presenten ese rasgo genético.
b) La probabilidad de que a lo más 4 pacientes lo evidencien.
c) La probabilidad de que 50 pacientes no lo presenten.
y
4.5 | Variable aleatoria continua
P (a < x < b)
a
Como ya se definió en la sección anterior, una variable aleatoria
continua es una función cuyo recorrido es un conjunto no contable
o numerable, en este contexto, un intervalo de números reales. En el
caso anterior, cuando se tenía una variable aleatoria discreta, fue posible
asociarle una función de probabilidad; en este caso, se asigna una función
de densidad de probabilidad.
Figura 4.23: Función de probabilidad de
una variable aleatoria continua.
Observación
Dado que las probabilidades puntuales no tienen
sentido, se tiene que
Objetivo PSU
Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad, para el caso de una variable aleatoria
continua.
P (X = a) = 0
P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
= P (a ≤ X < b)
= P (a < X ≤ b).
f (x)
A diferencia de la función de probabilidad, la función de densidad de
probabilidad no determina una probabilidad puntual, sin embargo, el
área bajo la curva de f (x) entre dos puntos a y b, entrega la probabilidad
de que la variable aleatoria continua tome un valor en dicho intervalo,
como se observa en la Figura 4.23.
Para que f (x) sea una función de densidad de probabilidad de una
variable aleatoria continua X, deben cumplir las siguientes condiciones:
x
b
1
0.5
−0.5
0.5
1
x
Figura 4.24: Gráfico de f , ejercicio 30.
f (x) ≥ 0, para todo x ∈ Rec(X ).
El área bajo la curva de f debe ser igual a 1.
Ejercitación:
28. A partir de la función f definida en el intervalo [−0,5, 1] y cuya gráfica se muestra en la Figura 4.24,
306
matemática ppvj 2018
responde:
a) Determina si f puede ser la función de densidad de una variable aleatoria continua.
b) Calcula P (X = 0,5), P (X < 0), P (0,5 < X < 1) y P (X > 2).
29. La función de densidad de una variable aleatoria X, que mide la distancia entre el centro de una diana
y la marca dejada por el lanzamiento realizado por una persona, es f (x) = 0,5, definida en el intervalo
[−1, 1], donde los valores positivos de X corresponden a tiros por encima del centro y los valores negativos
de X corresponden a tiros por debajo del centro.
a) Verifica que f sea una función de densidad.
b) Determina los valores de P (X ≤ 0,1), P (X = 0,8), P (−0,5 < X ≤ 0,3) y P (X < −1).
c) Determina un intervalo [a, b] tal que se cumpla que P (a < X < b) = 0,5.
d) Si una persona lanza una flecha, ¿cuál es la probabilidad de que la distancia al centro esté a menos de
0,5 unidades por encima?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un tiro esté a 0,3 unidades alrededor de la diana?
f (x)
4.5.1 Distribución de probabilidad normal
Una función de densidad notable en el estudio de las variables aleatorias
continuas es la distribución normal, ya que permite modelar muchas
situaciones en variados contextos, como precipitaciones, notas de una
prueba o mediciones científicas.
x
µ
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución
normal, si su función de densidad de probabilidad está dada por
Figura 4.25: Gráfica distribución normal.
−
1
f (x) = √ · e
σ 2π
y
f (x)
donde µ es la media aritmética y σ es la desviación estándar. En tal caso,
se dice que la variable aleatoria X se distribuye normalmente con media
µ y desviación estándar σ, lo que se denota por X ∼ N (µ, σ ). La gráfica
de esta función se observa en la Figura 4.25.
g(x)
x
µ
Figura 4.26: Distribuciones normales,
diferentes desviaciones estándar.
y
f (x)
g(x)
µ1
µ2
(x − µ)2
2σ 2 ,
x
Figura 4.27: Distribuciones normales,
diferentes medias aritméticas.
El valor de los parámetros σ y µ influyen en la forma de la gráfica de
la función de densidad de probabilidad de la distribución normal. En la
Figura 4.26, se observan dos funciones que tienen el mismo valor de µ,
pero difieren en el valor de σ. Si σ1 es la desviación estándar de f y σ2
es la desviación estándar de g, se puede establecer que σ2 > σ1 , porque
la gráfica de g presenta mayor dispersión. Por otro lado, la Figura 4.27,
representa dos funciones que tienen igual σ, pero diferente valor de µ. Es
claro que en ese caso µ2 > µ1 , ya que g se encuentra más a la derecha.
Si se tiene una variable aleatoria continua que se distribuye normalmente, con media aritmética igual a 0 y desviación estándar igual a 1
datos y azar
307
entonces la variable aleatoria tiene distribución normal estándar y
se denota X ∼ N (0, 1).
Es posible observar que el cálculo del área bajo la curva de la gráfica
de la distribución normal no es simple. Sin embargo, para el caso de la
distribución normal estándar, el valor del área para algunos valores está
tabulado, como se observa a continuación:
z
P (Z ≤ z )
0,67
0,749
0,99
0,839
1,00
0,841
1,15
0,875
1,28
0,900
1,64
0,950
1,96
0,975
2,00
0,977
2,17
0,985
2,32
0,990
2,58
0,995
f (x)
µ
Figura 4.28: Distribución normal estándar.
Observación
En la distribución normal, siempre se verifica
que:
P (µ − σ < X < µ + σ ) =
68,26 %
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ ) =
95,45 %
P (µ − 3σ < X < µ + 3σ ) =
99,73 %
Ejemplos:
1. Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor
mayor que 0,67.
Lo que se pide es calcular el valor de P (X > 0,67), como se observa en la figura:
−3 −2 −1
x
µ
1
0,67
2
3
Como el área bajo la curva de la función es igual a 1, es posible establecer que
P (X > 0,67) = 1 − P (X < 0,67).
Luego, el valor de P (X < 0,67), dado por la tabla, es 0,749, por lo tanto
P (X > 0,67) = 1 − 0,749 = 0,251.
308
matemática ppvj 2018
2. Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor
menor que −1,15.
Lo que se pide es calcular el valor de P (X < −1,15), como se observa en la figura:
−3 −2 −1
−1,15
µ
1
2
3
Dado que en la tabla no se presentan valores negativos, es necesario escribir esta expresión de forma
equivalente. Dado que la curva de la función es simétrica, es posible establecer que
P (X < −1,15) = P (X > 1,15),
por lo tanto se obtiene que
P (X > 1,15) = 1 − P (X < 1,15) = 1 − 0,875 = 0,125.
Ejercitación:
30. Dada una variable aleatoria continua X ∼ N (0, 1), calcula la probabilidad de que X tome un valor entre
0,67 y 2,17.
Estandarización
Es natural pensar que no todas las distribuciones normales van a tener
media aritmética 0 y desviación estándar igual a 1. En caso de que esto
no ocurra, se hace un ajuste a la gráfica de la función de manera que se
exprese como una distribución normal estándar, este proceso es conocido
como estandarización.
Sea X una variable aleatoria continua que se distribuye normalmente
con media µ y desviación estándar σ, entonces la variable aleatoria Z
definida por
X −µ
Z=
σ
tiene una distribución normal estándar.
Ejemplo:
El resultado de una prueba de cuarto medio tiene una distribución normal N (5,4; 0,6). Si 150 estudiantes
rindieron la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger a un estudiante al azar este haya logrado al
menos un 6,0?
datos y azar
309
Se pide calcular la probabilidad de que P (X > 6,0), como la distribución normal no es estándar, se debe
estandarizar:
6,0 − 5,4
Z=
= 1,
0,6
por lo tanto,
P (X > 6,0) = P (Z > 1).
Y como Z es estándar, es posible obtener el valor desde la tabla:
P (X > 6,0) = P (Z > 1) = 1 − P (Z < 1) = 1 − 0,841 = 0,159.
Ejercitación:
31. Los puntajes de la PSU están distribuidos en forma normal, en una escala de puntajes con promedio 500
y desviación estándar 110. Si se escoge al azar a una persona que haya rendido la prueba, ¿cuál es la
probabilidad de que esta persona haya alcanzado un puntaje inferior a 610?
4.5.2 Aproximación de la distribución binomial a la normal
En la sección anterior, de variable aleatoria discreta, se estudió la
distribución de probabilidad binomial. Supóngase que se realiza el experimento de lanzar un dado 30, 50 y 90 veces. Los histogramas obtenidos
para estos lanzamientos son los que se observan en las Figuras 4.29,
4.30 y 4.31. Es evidente que a medida que la cantidad de lanzamientos
aumenta, los gráficos de la distribución binomial se van aproximando a
una normal. Luego, si n (número de lanzamientos) es lo suficientemente
grande, la distribución binomial se puede aproximar por una normal con
p
media µ = np y desviación estándar σ = np(1 − p). En el ejemplo, si
se realiza el ajuste, se obtiene la gráfica de la Figura 4.32.
y
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
Figura 4.29: Histograma de 30 lanzamientos de un dado.
Ejercitación:
32. Una fábrica de componentes elabora 2.000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un
circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 59?
y
0,18
4.5.3 Distribución de medias muestrales
0,16
0,14
Objetivo PSU
Comprender que la distribución de medias muestrales de muestras aleatorias de igual tamaño extraídas de una población tiende
a una distribución normal a medida que el tamaño de las muestras aumenta.
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
Figura 4.30: Histograma de 50 lanzamientos de un dado.
310
matemática ppvj 2018
Considérese la población {1, 3, 5, 7, 9}. Si se extraen todas las muestras
posibles de tamaño 2, y se calcula la media aritmética de cada una
de ellas, se puede construir un gráfico con la distribución de medias
muestrales a partir de la probabilidad de ocurrencia de cada una de ellas,
como se muestra en la Figura 4.33. Además, como se vio en secciones
anteriores, el promedio de las medias muestrales de todas las muestras
de cierto tamaño extraídas de la población, con o sin reposición, coincide
con la media aritmética de la población.
y
0,12
0,1
Al observar la gráfica del ejemplo antes descrito, es posible concluir
que la distribución de medias muestrales se aproxima a una distribución
normal, lo que se formaliza en el siguiente teorema:
0,08
0,06
0,04
0,02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
Figura 4.31: Histograma de 90 lanzamientos de un dado.
Teorema central del límite. La distribución de medias muestrales se
asemejará cada vez más a la distribución normal a medida que aumente
el tamaño de la muestra, lo que permite hacer la siguiente aproximación:
y
0,12
0,1
La media y la desviación estándar de la distribución de medias
muestrales de todas las muestras de tamaño n, que se pueden
extraer de una población de media µ y desviación estándar σ, son:
0,08
0,06
0,04
µx = µ
0,02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
Figura 4.32: Aproximación a una distribución normal.
y
σ
σx = √ .
n
Ejercitación:
33. Considera al conjunto de los números primos menores que 10.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reposición. ¿Cuántas
muestras conseguiste registrar?
b) Construye la distribución de medias muestrales para las muestras anteriores.
c) Determina el promedio de la distribución de medias muestrales y compárala con la media de la
población. ¿Qué ocurre?
Intervalo de confianza para la media de una población
Objetivo PSU
Argumentar acerca de la confiabilidad de la estimación de la
media de una población con distribución normal, a partir de
datos muestrales.
311
datos y azar
Definición. Un intervalo de confianza para un parámetro poblacional es un intervalo de valores que, con cierta probabilidad, contiene al
parámetro que se está estimando. En esta subsección se analizará el caso
en que este parámetro es la media de una población.
Considérese una población con una cantidad finita de elementos, con
desviación estándar conocida σ, de donde se extrae una muestra de n
elementos, que tiene media conocida x. ¿Cómo se podría estimar la media
de la población?
Como se dijo anteriormente, es posible aproximar la medida de la
población calculando el promedio de las medias de todas las posibles
muestras de cierto tamaño extraídas de la población, pero, en este caso,
solo se conoce la media de una de las muestras. Lo que se requiere entonces
es hacer una estimación con un nivel de confianza dado, esto es, se
determinará un intervalo en el cual probablemente se encuentre el
valor de la media artimética de la población, donde esta probabilidad
viene dada por el nivel de confianza.
P (x)
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
Figura 4.33: Gráfica distribución de medias muestrales.
Se sabe que la variable aleatoria X definida como “promedio de una
muestra” se distribuye normalmente (distribución de medias muestrales)
con media µx y desviación estándar σx . Al estandarizarla, se obtiene
Z=
x − µx
.
σx
σ
Dado que el teorema central del límite asegura que µx = µ y σx = √ ,
n
la expresión para la estandarización es
Z=
x−µ
σ .
√
n
En esta última expresión, lo que se quiere hacer es encontrar el valor
de µ. Obsérvese que el Z que se busca es como el que se muestra en la
Figura 4.34, es decir, el límite del intervalo que encierra el área del nivel
de confianza requerido (hay dos valores opuestos, un Z y un −Z). Si se
despeja µ de la ecuación, se obtienen
σ
µ = x−z· √
n
σ
µ = x+z· √
n,
luego, el valor más pequeño que puede tomar µ es el primero, y el valor
más grande, es el segundos, de lo que se concluye que se encuentra en el
intervalo
σ
σ
x−z · √ ,x−z · √ ,
n
n
con cierta probabilidad, dada por el nivel de confianza.
f (x)
−z
Nivel de
confianza
z
x
Figura 4.34: Intervalo de confianza para
la media de una población.
312
matemática ppvj 2018
Ejemplo: Para estudiar el consumo de leche en una población, en litros por persona al mes, se ha elegido
una muestra de 150 personas cuyo consumo medio es de 22 L. Si dicho consumo en la población sigue una
distribución normal cuya desviación estándar es 6 L, determinar el intervalo de confianza para µ (media
poblacional) con un 95 % de confianza.
Se pide determinar el intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95 %,
esto quiere decir que se buscan −Z y Z tal que el área bajo la curva entre ellos sea igual a 0,95, como se
observa a continuación:
f (x)
0,025
0,95
0,025
z
−z
x
A partir de la gráfica, se observa que el valor de z es tal que
P (Z < z ) = 0,975.
Al buscar este valor en la tabla de distribución normal estándar se encuentra que z = 1,96.
Dado que z es la variable estandarizada, se tiene que
z=
x−µ
x−µ
σ y −z = σ ,
√
√
n
n
y sustituyendo los datos del problema n = 150, σ = 6 y x = 22, se obtiene
−1, 96 =
22 − µ
22 − µ
y 1, 96 =
.
6
6
√
√
150
150
Al despejar µ de la primera ecuación se obtiene
µ ≈ 21,04,
y de la segunda
µ ≈ 22,96,
de lo que se concluye que el intervalo de confianza pedido está dado por
[21,04, 22,96].
datos y azar
Resumen
Las medidas de tendencia central son moda, mediana y media.
En una tabla de frecuencia con datos agrupados, el intervalo modal corresponde al intervalo
que tiene mayor frecuencia absoluta; el intervalo que contiene a la mediana es el intervalo
en el que se encuentra el valor de la posición central del conjunto de datos ordenados; y la
media se calcula a partir de las marcas de clase, como
x=
f1 · x1 + . . . + fn · xn
,
N
donde N es el número total de datos, x1 , . . . xn corresponden a las marcas de clase en los
intervalos 1, . . . , n, respectivamente, y f1 , . . . , fn la frecuencia absoluta de los mismo intervalos.
Se dice que si las medidas de tendencia central son valores cercanos, el histograma tiene una
distribución simétrica; si la media es mayor que la mediana y la moda es menor que la media,
la distribución es asimétrica positiva; y si la media es menor a la mediana y la moda es mayor
que la mediana, la distribución es asimétrica negativa.
Las medidas de posición son cuartiles, quintiles, deciles y percentiles.
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen al conjunto en cuatro partes iguales;
los quintiles son los cuatro valores de la variable que dividen al conjunto en cinco partes iguales;
los deciles son lo nueve valores de la variable que dividen al conjunto en diez partes iguales; y
los percentiles son los noventa y nueve valores de la variable que dividen al conjunto en cien
partes iguales.
Las medidas de dispersión se resumen en la siguiente tabla, con x1 , . . . , xn los datos y x el
promedio de ellos:
Rango
xn − x1
Desviación estándar
r
(x1 − x)2 + . . . + (xn − x)2
σ=
n
Desviación media
Dm =
|x1 − x| + . . . + |xn − x|
n
Varianza
σ2 =
( x1 − x ) 2 + . . . + ( xn − x ) 2
n
313
314
matemática ppvj 2018
Las técnicas de conteo se resumen en la siguiente tabla:
Permutación
de n
elementos
n!
Permutación de
n elementos con
a, b y c
elementos
repetidos
Variación
de k
elementos
de n
Variación con
reposición de k
elementos de n
Combinación
de k
elementos
de n
n!
a! · b! · c!
n!
(n − k ) !
nk
n!
k!(n − k )!
La Regla de Laplace establece que el cálculo de la probabilidad P , para un cierto evento A
está dada por
n° de casos favorables
#A
=
.
P (A) =
#Ω
n° de casos posibles
La Ley de los Grandes Números establece que la frecuencia relativa de un evento A se
aproxima a la probabilidad teórica del evento, a medida que la cantidad de veces que se realiza
el experimento aumenta.
La regla del producto y la regla de la adición de las probabilidades, establecen que
P (A y B ) = P (A) · P (B ) y P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ),
donde A y B son sucesos mutuamente exluyentes.
Si se tienen dos sucesos A y B, la probabilidad condicional de que suceda A dado que B ha
ocurrido es
P (A y B )
P (A|B ) =
.
P (B )
Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérico a cada elemento del
espacio muestral de un experimento. Se dice que es discreta si el recorrido es un conjunto
numerable, y que es continua si el recorrido es un intervalo de números reales.
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria a la función que, a
cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna un único número real:
X : Ω −→ R.
datos y azar
A una variable aleatoria discreta X se le asocia una función de probabilidad f : R → [0, 1]de
modo que

P (X = x)
f (x) =
0
si x ∈ Rec (X )
si x 6∈ Rec (X )
donde P (X = x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x.
A una variable aleatoria discreta X se le asocia una función de distribución acumulada
F : R → [0, 1] de modo que F (X ) = P (X ≤ x), donde P (X ≤ x) representa la probabilidad
acumulada hasta el valor x.
Para una variable aleatoria discreta X, la esperanza matemática está dada por
E ( X ) = x1 · P ( X = x1 ) + x2 · P ( X = x2 ) + . . . + xn · P ( X = xn ) ,
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ) y P es función de probabilidad de X.
Para una variable aleatoria discreta X, la varianza está dada por
V (X ) = (x1 − E (X ))2 · P (X = x1 ) + . . . + (xn − E (X ))2 · P (X = xn ),
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), E (X ) es la esperanza matemática de la variable aleatoria
X y P es la función de probabilidad de X.
Un experimento independiente que se repite n veces, que admite como resultados solo el éxito y
el fracaso, cuya probabilidad de eventos no varía al realizarlo repetidas veces y donde se quiere
que de las n repeticiones k sean exitosas, tiene por función de probabilidad P a:
P (X = k ) =
n
· pk · (1 − p)n−k ,
k
donde p es la probabilidad del éxito y 1 − p es la probabilidad del fracaso. Se dice que una variable
aleatoria con estas condiciones es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente
con parámetros (n, p), lo anterior se denota como X ∼ B (n, p).
Para una variable aleatoria discreta que se distribuye binomialmente, con parámetros n y p, la
esperanza matemática se calcula como np y la varianza como np(1 − p).
315
316
matemática ppvj 2018
Para el caso de una variable aleatoria continua, se define una función de densidad de probabilidad
que calcula la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo.
Esta probabilidad corresponde al área bajo la curva de la función. Por ejemplo, la probabilidad
de que una variable aleatoria continua se encuentre en el intervalo [a, b] se escribe como
P (a < X < b).
La distribución de probabilidad normal responde a una función particular, cuya gráfica es:
f (x)
x
µ
Si una variable aleatoria continua se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar
1, se dice que la distribución es estándar y los valores para ciertos intervalos se encuentran
tabulados.
En el caso de que una variable aleatoria continua X con media µ y desviación estándar σ se
distribuya normalmente y dicha distribución no sea estándar, la variable aleatoria
Z=
X −µ
σ
tiene distribución normal estándar.
Una variable aleatoria discreta que se distribuye binomialmente, se aproxima a una distribución normal cuando la cantidad n que se repite un experimento es muy grande. Para dicha
p
aproximación se considera que µ = np y σ = np(1 − p).
datos y azar
El Teorema central del límite establece que:
La media y la desviación estándar de la distribución de medias muestrales de todas las muestras
de tamaño n, que se pueden extraer de una población de media µ y desviación estándar σ, son:
µx = µ
y
σ
σx = √ .
n
El intervalo de confianza para la media poblacional se calcula como
σ
σ
x−z · √ ,x−z · √ ,
n
n
donde x es la media de una muestra de la población, σ es la desviación estándar de la población,
n es el número de elementos de la muestra y z y −z son los extremos de un intervalo cuya área
bajo la curva es igual al nivel de confianza del intervalo.
Evaluación de Unidad
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I. Si todos los datos numéricos de una población son iguales, entonces la varianza de esta
población es 0.
II. Si dos poblaciones de datos numéricos tienen igual promedio, entonces sus varianzas son
iguales.
III. Si todos los datos numéricos de una población difieren en una unidad con respecto a su
promedio, entonces la varianza de esta población es 1.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
317
318
matemática ppvj 2018
2. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja, se puede
determinar la probabilidad de que esta sea roja, si se conoce
(1) la cantidad total de fichas que hay en la caja.
(2) la cantidad de colores de fichas que hay en la caja.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
3. Si en una tienda de ropa, se deben escoger dos trajes de seis trajes diferentes, ¿de cuántas maneras
distintas se puede hacer esta selección?
A) 1
B) 15
C) 6
D) 12
E) 3
4. De tres hermanos de edades diferentes, se puede conocer la edad del hermano mayor, si
(1) la media aritmética de los tres hermanos es 25 años.
(2) La mediana de las edades de los tres hermanos es 23 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
5. En un curso hay 12 hombres y 30 mujeres. Se sabe que para un asado 10 de esos hombres y 18 de
esas mujeres prefieren carne y el resto prefiere pollo. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que esa persona sea mujer y prefiera pollo?
18
A)
42
12
B)
42
1
C)
3
30
D)
42
15
E)
21
datos y azar
6. Paula tiene siete libros de diferentes asignaturas y desea ordenarlos en un estante uno al lado del
otro. Si el libro de química es el que más ocupa y debe ubicarlo en uno de los extremos del estante,
¿de cuántas maneras pueden quedar los primeros tres libros de izquierda a derecha?
A) 30
B) 150
C) 240
D) 720
E) 1440
7. Joaquín desea tomarse un helado y tiene las siguientes opciones; barquillo simple o doble (con un
único sabor); sabores: frambuesa, piña o chocolate; agregados: baño de chocolate, crema o ninguno.
¿Cuál es la probabilidad de que Joaquín elija un barquillo simple de frambuesa y bañado en chocolate?
A)
B)
C)
D)
E)
1
18
1
6
2
9
1
2
1
8. ¿En cuál(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad del suceso mencionado es igual a la
probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?
I. Que salga un número primo al lanzar un dado común.
II. Que salga cara en el lanzamiento de una moneda.
III. Que salga un divisor de 4 en el lanzamiento de un dado común.
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y III.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.
319
320
matemática ppvj 2018
9. Si se lanza una moneda cuatro veces y dos dados una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de obtener
exactamente 3 sellos y una suma igual a 11 ?
1
A)
36
1
B)
18
1
C)
72
1
D)
12
E) Ninguna de las anteriores.
10. En una bolsa hay 5 tarjetas numeradas del 1 al 5. Si se extraen 2 de ellas con reposición y se define
la variable aleatoria X como la suma de los números de las tarjetas extraídas, ¿cuál es el recorrido
de X?
A) {1, 2, 3, 4, 5}
B) {2, 4, 6, 8, 10}
C) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
D) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
E) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
11. Una profesora cuenta con diez preguntas diferentes para crear una prueba de seis preguntas. Si una
pregunta no puede repetirse en una prueba, ¿cuántas pruebas distintas podría crear la profesora, sin
considerar el orden que tengan las preguntas dentro de la prueba?
10!
4! · 6!
10!
B)
4!
10!
C)
6!
D) 106
A)
E) 6!
datos y azar
12. Sea f (x) = k2 x2 , con k una constante, la función probabilidad de una variable aleatoria discreta X
que tiene como recorrido el conjunto {1, 2, 4, 10}. Si g es la función de distribución de probabilidad
acumulada de X, entonces g (2) es
4
A)
121
5
B)
121
2
C)
11
√
5
D)
11
E) indeterminable.
13. Se lanzan dos dados comunes y se define la variable aleatoria X como el promedio entre los
resultados obtenidos. Si la probabilidad de X es P , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdaderas(s)?
1
2
II. P (X = 2) = P (X = 5)
I. P (X > 5) =
III. X solo puede tomar valores enteros.
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo III.
D) Solo I y II.
E) Solo II y III.
14. Lorena participa en una competencia que consta de 25 pruebas, en las que compite junto a otros
cinco participantes. Si todos los participantes tienen igual probabilidad de ganar cada una de las
pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que Lorena pierda en 18 de estas?
18
5
A)
6
18 7
5
1
B)
·
6
6
18
25
5
C)
·
18
6
18 7
25
5
1
D)
·
·
6
6
18
18 7
25
1
5
E)
·
·
18
6
6
321
322
matemática ppvj 2018
15. La estatura de una población de estudiantes de educación básica se modela a través de una distribución
normal con media 150 cm y varianza de 100 cm2 . Si se selecciona al azar a un estudiante de esta
población y la probabilidad de que este mida a los menos Q cm es de 0.977, ¿cuál es el valor de Q?
A) 170 cm
B) 130 cm
C) 350 cm
D) 50 cm
E) Ninguno de los anteriores.
16. Sea X una variable aleatoria discreta, P su función de probabilidad y F su función de distribución
acumulada. Si F (1) = 0,2 y F (4) = 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) El recorrido de X es {1, 4}.
B) P (X = 1) = 0,2
C) F (0) = 0
D) P (2 ≤ X ≤ 3) = 0,8
E) Ninguna de las anteriores.
17. Si las edades, en años, de una población de 6 niños son 3, 5, 6, 7, 8 y 13, entonces, la desviación
estándar, en años, es
A) 10
14
B)
6
r
C)
r
D)
E)
58
6
14
6
58
6
datos y azar
18. De acuerdo a la información mostrada en la tabla adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta?
Frecuencia acumulada
[0, 20[
40
[20, 40[
50
[40, 60[
80
[60, 80[
110
[80, 100]
200
A) El primer cuartil es 40.
B) El percentil 80 es 110.
C) La mediana se encuentra en el intervalo [40, 60[.
D) El percentil 90 se encuentra entre 80 y 100 ambos extremos incluidos.
E) El total de datos es 480.
19. Si el puntaje de la PSU tiene distribución normal con media 500 puntos, entonces
A) la mayoría de los puntajes se encuentran sobre los 500 puntos.
B) la mayoría de los puntajes se encuentra bajo los 500 puntos.
C) existe la misma cantidad de puntajes sobre 500 puntos y bajo los 500 puntos.
D) la mayoría de los puntajes está en 500 puntos.
E) no hay ningún estudiante que obtenga 500 puntos.
20. En una bolsa hay en total 22 bolitas del mismo tipo numeradas en forma correlativa del 1 al 22. Si
se extrae al azar una bolita de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que esta tenga un número de un
dígito o un número múltiplo de 10?
1 1
·
A)
9 2
9
2
+
B)
22 21
1 1
+
C)
9 2
9
2
D)
+
22 22
9
1
E)
+
22 22
323
324
matemática ppvj 2018
Alternativas Correctas
1. D
5. B
9. C
13. B
17. D
2. E
6. B
10. D
14. D
18. D
3. B
7. A
11. A
15. A
19. C
4. E
8. E
12. B
16. E
20. D