Arithmétique des entiers
PGCD
Calcul pratique : algorithmes d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Arithmétique et Cryptographie
20 octobre 2022
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Nombres premiers entre eux
Modalités
8 CM : 20/10, 27/10, 10/11, 17/11, 24/11, 01/12, 8/12 (x2).
4 TD : semaines du 14/11, 21/11, 28/11, 05/12
1re épreuve écrite : 24/11 (30’), coeff 2.
2e épreuve écrite : 15/12 (1h30), coeff 3.
≪
projet
≫
et autres : coeff 1.
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Contenu
1
Base d’arithmétique : divisibilité, Bézout, algorithme
d’Euclide, nombres premiers.
2
Arithmétique modulaire : anneaux Z/nZ, indicatrice d’Euler,
théorèmes de Fermat et d’Euler, exponentiation modulaire.
3
Théorème des restes chinois.
4
Cryptosystème à clé publique : RSA.
5
Echange de clé : Diffie-Hellman et ElGamal.
6
Cryptosystème à clé privée : AES.
7
Hashage cryptographique : SHA256.
8
Si on a le temps : cryptomonnaies ?
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Plan
1
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
2
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3
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4
Nombres premiers entre eux
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Divisibilité
Définition 1. Soient a et b deux entiers ; on dit que a divise b
(ou que b est un multiple de a), et on note a b, s’il existe un
entier k tel que ak = b.
Exemples.
2 divise 6 ; 0 divise 0 ;
1 divise tous les entiers ; tous les entiers divisent 0 ;
Pour tout entier n, n et −n divisent n ;
Si a
b et c
d, alors ac
Pour tout c 6= 0, ac
bd.
bc ssi a
b.
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Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Divisibilité
Propriétés :
(Réflexivité) ∀n ∈ Z, n
n.
(Transitivité)∀a, b, c ∈ Z, si a
Antisymétrie : ∀a, b ∈ Z : si a
b et b
c alors a
b et b
a, alors a = b ?
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c.
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Divisibilité
Propriétés :
(Réflexivité) ∀n ∈ Z, n
n.
(Transitivité)∀a, b, c ∈ Z, si a
b et b
Antisymétrie : ∀a, b ∈ Z : si a
b et b
c alors a
c.
a, alors a = b ?
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Divisibilité
Nombres premiers
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Divisibilité
Propriétés :
(Réflexivité) ∀n ∈ Z, n
n.
(Transitivité)∀a, b, c ∈ Z, si a
b et b
Antisymétrie : ∀a, b ∈ Z : si a
b et b
c alors a
c.
a, alors a = b ?
(Antisymétrie, sur N) ∀a, b ∈ N : si a b et b
a, alors a = b.
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Divisibilité
Propriétés :
(Réflexivité) ∀n ∈ Z, n
n.
(Transitivité)∀a, b, c ∈ Z, si a
b et b
Antisymétrie : ∀a, b ∈ Z : si a
b et b
c alors a
c.
a, alors a = b ?
(Antisymétrie, sur N) ∀a, b ∈ N : si a b et b
a, alors a = b.
sur N, la divisibilité est un ordre
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Division euclidienne
Diagramme de Hasse de l’ordre de divisibilité
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Division euclidienne
Divisibilité
Autres propriétés :
1
si x
2
a et x
b, alors x
au + bv pour tous u, v .
L’ensemble des multiples d’un entier a est noté aZ :
aZ = {au | u ∈ Z}
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Nombres premiers
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Division euclidienne
Nombres premiers
Définition 2. Un entier naturel est premier s’il admet
exactement 2 diviseurs.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...}
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Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Nombres premiers
Propriétés :
Tout entier différent de 1 admet un facteur premier.
Plus précisément, tout nombre > 1 admet une unique
décomposition en facteurs premiers.
Exemples : 15 = 3 · 5, 16 = 24 , 17=17, 18 = 2 · 32
(Euclide) L’ensemble des nombres premiers est infini.
Beaucoup de problèmes importants encore ouverts
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Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Spirale d’Ulam
(Source : wikipédia)
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Quatre problèmes concernant P
1
Dresser la liste des premiers nombres premiers.
2
Décider si un entier n est premier.
3
Construire un grand nombre premier.
4
Déterminer un facteur d’un entier n non premier.
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Principe du Crible
Soit p1 < p2 < p3 < . . . la liste ordonnée des nombres premiers.
Pour tout i , les multiples kpi de pi avec k > 2 ne sont pas
premiers.
Réciproquement, si un nombre n n’est pas premier, alors en
appelant pi son plus petit facteur premier, n s’écrit kpi pour
un certain k > pi .
Le premier entier supérieur à pi , et non multiple de p1 , p2 , . . .
pi , est pi +1 .
Exemple : Le premier nombre supérieur à 7 et non multiple de
2,3,5,7 est 11, qui est bien le premier suivant 7.
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Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Crible d’Ératosthène
def crible(n) :
"Rend une liste L verifiant L[i]=True si i premier, False sinon."
L=[True]*(n+1)
L[0]=False
L[1]=False
p=2
while p*p<=n :
for m in range(p*p,n+1,p): #les multiples de p
L[m]=False
#sont non premiers
p+=1
#recherche du nombre
while not(L[p]) : p+=1
#premier suivant
return L
Une animation
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Déterminer si un entier est premier
C’est le problème de la primarité (ou primalité) ; il est facile.
Agrawal, Kayal et Saxena (2002) : algorithme polynomial
Algorithme naı̈f : Pour tester si n est premier, tenter de diviser n
√
par 2, 3, 4, 5, . . . , ⌊ n⌋. Alors n est premier ssi on n’a pas trouvé de
diviseur. Complexité ?
Algorithme plus efficace : l’algorithme ECPP (Elliptic Curve
Primality Proving) a permis de prouver en 2004 que
p = 44052638 + 26384405 (15 071 chiffres décimaux) est premier
Dans ce cours : on étudiera le test de Miller-Rabin.
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Trouver un grand nombre premier
Algorithme :
1
Choisir au hasard un entier n
2
tester si n est premier ; si non, recommencer au point
précédent.
Problème : combien d’essais avant de tomber sur un nombre
premier ?
Théorème 3. (des nombres premiers) La probabilité pour qu’un
nombre n soit premier est de l’ordre de 1/ ln n, autrement dit
autour de n, un nombre sur ln n est premier.
Exemple pour des nombres premiers de l’ordre de 300 chiffres
décimaux (utilisés pour produire
une clé RSA de 2048 bits), il
300
faudra en moyenne ln 10
= 300 ln(10) ≈ 700 essais avant
d’obtenir un nombre premier.
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Nombres premiers
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Division euclidienne
Trouver un facteur d’un entier non-premier n
Problème très ancien, pas d’algorithme efficace connu.
Record actuel : problème RSA-250 :
2140324650240744961264423072839333563008614715144755017797754920881418023447
1401366433455190958046796109928518724709145876873962619215573630474547705208
0511905649310668769159001975940569345745223058932597669747168173806936489469
9871578494975937497937
=
6413528947707158027879019017057738908482501474294344720811685963202453234463
0238623598752668347708737661925585694639798853367
×
3337202759497815655622601060535511422794076034476755466678452098702384172921
0037080257448673296881877565718986258036932062711
Factorisation trouvée essentiellement par une équipe du INRIA de
Nancy en février 2020. 2700 année-cœur
RSA Challenge
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Divisibilité
Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Division euclidienne
Théorème 4. Soit a ∈ Z et b ∈ N∗ . Il existe un unique couple
(q, r ) tel que a = b · q + r et 0 6 r < b.
L’écriture a = b · q + r est la division euclidienne de a par b ; q est
le quotient et r est le reste.
Exemple.
25 = 3 × 7 + 4 est la division euclidienne de 25 par 7, mais
pas de 25 par 3.
(division de n par n ou par 1) : n = n × 1 + 0
−2 par 5 : −2 = 5 × (−1) + 3
Reste : noté a mod b ou a%b.
b divise a ssi a%b = 0.
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Nombres premiers
Problèmes algorithmiques
Division euclidienne
Démonstration
Démonstration
Unicité : si a = bq1 + r1 = bq2 + r2 , alors
b(q1 − q2 ) = r2 − r1 ,
r2 − r1
q1 − q2 =
,
b
or r1 , r2 ∈ [0, b[ donc r2 − r1 ∈] − b; b[,
r2 − r1
donc q1 − q2 =
∈] − 1; 1[, or q1 − q2 ∈ Z,
b
donc q1 − q2 = 0, donc q1 = q2 , puis r1 = r2 .
Existence : cf TD 1
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Introduction
Définition
Plan
1
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Introduction
Définition
3
Calcul pratique : algorithmes d’Euclide
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Nombres premiers entre eux
Introduction
Définition
PGCD : introduction
On considère les entiers de la forme 10u + 16v où u et v
parcourent Z.
Notation : {10u + 16v | u, v ∈ Z} = 10Z + 16Z.
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Introduction
Définition
16Z + 10Z
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
52
36
20
4
-12
-28
-44
-60
-76
-92
-108
-124
-140
-156
-172
62
46
30
14
-2
-18
-34
-50
-66
-82
-98
-114
-130
-146
-162
72
56
40
24
8
-8
-24
-40
-56
-72
-88
-104
-120
-136
-152
82
66
50
34
18
2
-14
-30
-46
-62
-78
-94
-110
-126
-142
92
76
60
44
28
12
-4
-20
-36
-52
-68
-84
-100
-116
-132
102
86
70
54
38
22
6
-10
-26
-42
-58
-74
-90
-106
-122
112
96
80
64
48
32
16
0
-16
-32
-48
-64
-80
-96
-112
122
106
90
74
58
42
26
10
-6
-22
-38
-54
-70
-86
-102
132
116
100
84
68
52
36
20
4
-12
-28
-44
-60
-76
-92
142
126
110
94
78
62
46
30
14
-2
-18
-34
-50
-66
-82
152
136
120
104
88
72
56
40
24
8
-8
-24
-40
-56
-72
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Introduction
Définition
16Z + 10Z
Liste des éléments du tableau : . . . , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . . ..
Il semble que 16Z + 10Z = 2Z.
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Introduction
Définition
18Z + 33Z
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-39
-57
-75
-93
-111
-129
-147
-165
-183
-201
-219
-237
-255
-273
-291
-6
-24
-42
-60
-78
-96
-114
-132
-150
-168
-186
-204
-222
-240
-258
27
9
-9
-27
-45
-63
-81
-99
-117
-135
-153
-171
-189
-207
-225
60
42
24
6
-12
-30
-48
-66
-84
-102
-120
-138
-156
-174
-192
93
75
57
39
21
3
-15
-33
-51
-69
-87
-105
-123
-141
-159
126
108
90
72
54
36
18
0
-18
-36
-54
-72
-90
-108
-126
159
141
123
105
87
69
51
33
15
-3
-21
-39
-57
-75
-93
192
174
156
138
120
102
84
66
48
30
12
-6
-24
-42
-60
225
207
189
171
153
135
117
99
81
63
45
27
9
-9
-27
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Introduction
Définition
18Z + 33Z
Liste des éléments du tableau : . . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . ..
Il semble que 18Z + 33Z = 3Z.
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Introduction
Définition
Théorème 5. Soient a, b ∈ Z. Il existe un unique c ∈ N tel que
aZ + bZ = cZ.
Démonstration
Unicité : facile.
Existence :
Si a = b = 0, on prend c = 0.
Sinon : posons c = min((aZ + bZ) ∩ N∗ ). On a donc c > 0 et
c = au0 + bv0 pour un certain couple (u0 , v0 ) ∈ Z2 .
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Définition
cZ ⊂ aZ + bZ : en effet,
kc = k(au0 + bv0 ) = a(ku0 ) + b(kv0 ) ∈ aZ + bZ pour tout k.
aZ + bZ ⊂ cZ :
soit au + bv quelconque dans aZ + bZ, on divise au + bv par
c = au0 + bv0 :
au + bv = qc + r = q(au0 + bv0 ) + r avec 0 6 r < c.
Donc r = a(u − qu0 ) + b(v − qv0 ) ∈ aZ + bZ.
si r 6= 0, alors r ∈ (aZ + bZ) ∩ N∗ et r < c, ce qui contredit
la minimalité de c.
Donc r = 0 et au + bv = cq ∈ cZ.
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Introduction
Définition
Définition du PGCD
Définition 6. Soient a, b ∈ Z, l’entier c ∈ N tel que
aZ + bZ = cZ est le pgcd de a et b, noté pgcd(a, b)
Propriété 7. pgcd(a, b) est le plus grand (au sens de la
divisibilité) diviseur commun de a et b ; autrement dit, c’est un
diviseur commun, et tout diviseur commun de a et b divise
pgcd(a, b).
Démonstration
a ∈ aZ + bZ = cZ, donc a multiple de c. Idem pour b.
si d divise a et b, il divise tous les au + bv , donc en particulier
il divise au0 + bv0 = c.
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Introduction
Définition
Théorème 8. (Bachet-Bézout, ou identité de Bézout) Soit a et b
deux entiers, il existe x et y tels que ax + by = pgcd(a, b).
Démonstration : conséquence directe de la définition.
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Définition
Illustration du théorème de Bachet-Bézout
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Définition
16Z + 10Z
16
12 20 28 30
8
4
6
10
...
14
...
2
1
Diviseurs communs de
16 et 10
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Introduction
Définition
Petits exercices sur le pgcd
On a : 640 × 753 − 1492 × 323 = 4, qu’en déduit-on sur le
pgcd de 753 et 323 ?
On a 17 × 5 − 12 × 7 = 1, qu’en déduit-on sur le pgcd de 17
et 12 ?
L’équation 18x + 39y = 5 admet-elle des solutions ?
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Introduction
Définition
Petits exercices sur le pgcd
On a : 640 × 753 − 1492 × 323 = 4, qu’en déduit-on sur le
pgcd de 753 et 323 ?
On en déduit que pgcd(753,323) divise 4 : c’est donc 1,2 ou 4.
On a 17 × 5 − 12 × 7 = 1, qu’en déduit-on sur le pgcd de 17
et 12 ?
L’équation 18x + 39y = 5 admet-elle des solutions ?
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Calcul pratique : algorithmes d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Introduction
Définition
Petits exercices sur le pgcd
On a : 640 × 753 − 1492 × 323 = 4, qu’en déduit-on sur le
pgcd de 753 et 323 ?
On en déduit que pgcd(753,323) divise 4 : c’est donc 1,2 ou 4.
On a 17 × 5 − 12 × 7 = 1, qu’en déduit-on sur le pgcd de 17
et 12 ?
On en déduit que pgcd(17,12) divise 1, donc il vaut 1. On dit
que 17 et 12 sont premiers entre eux.
L’équation 18x + 39y = 5 admet-elle des solutions ?
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Définition
Petits exercices sur le pgcd
On a : 640 × 753 − 1492 × 323 = 4, qu’en déduit-on sur le
pgcd de 753 et 323 ?
On en déduit que pgcd(753,323) divise 4 : c’est donc 1,2 ou 4.
On a 17 × 5 − 12 × 7 = 1, qu’en déduit-on sur le pgcd de 17
et 12 ?
On en déduit que pgcd(17,12) divise 1, donc il vaut 1. On dit
que 17 et 12 sont premiers entre eux.
L’équation 18x + 39y = 5 admet-elle des solutions ?
pgcd(18, 39) = 3, donc pour tout x, y on a 3 18x + 39y ,
donc 18x + 39y 6= 5.
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Introduction
Définition
Petits exercices sur le pgcd
Soit k ∈ N. Que vaut pgcd(ka, kb) en fonction de pgcd(a, b) ?
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Définition
Petits exercices sur le pgcd
Soit k ∈ N. Que vaut pgcd(ka, kb) en fonction de pgcd(a, b) ?
On montre que k pgcd(a, b) est un diviseur commun de ka, kb
et qu’il s’écrit sous la forme kau + kbv .
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Introduction
Définition
Petits exercices sur le pgcd
Soit k ∈ N. Que vaut pgcd(ka, kb) en fonction de pgcd(a, b) ?
On montre que k pgcd(a, b) est un diviseur commun de ka, kb
et qu’il s’écrit sous la forme kau + kbv .
pgcd(a, b) a, donc k pgcd(a, b) ka ; symétriquement
k pgcd(a, b) divise kb. Donc k pgcd(a, b) est un diviseur
commun de ka et kb, donc k pgcd(a, b) pgcd(ka, kb).
∃u, v tels que pgcd(a, b) = au + bv , donc
k pgcd(a, b) = kau + kbv , or pgcd(ka, kb) kau + kbv , donc
pgcd(ka, kb) k pgcd(a, b).
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Nombres premiers entre eux
Algorithme d’Euclide simple
Algorithme d’Euclide étendu
Plan
1
Arithmétique des entiers
2
PGCD
3
Calcul pratique : algorithmes d’Euclide
Algorithme d’Euclide simple
Algorithme d’Euclide étendu
4
Nombres premiers entre eux
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Nombres premiers entre eux
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Trois propriétés
pgcd(a, b) = pgcd(b, a)
pgcd(a, 0) = a
Lemme 9. (Euclide) Pour tous a, b, p ∈ Z,
pgcd(a, b) = pgcd(a + bp, b)
Démonstration : (a, b) et (a + bp, b) ont les mêmes diviseurs
communs, donc ils ont le même plus grand diviseur commun.
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Algorithme d’Euclide
def pgcd(a,b): #calcul iteratif du pgcd de a et b
while b != 0 :
a , b = b, a % b
return a
def pgcd(a,b): #calcul recursif du pgcd de a et b
if b==0 : return a
return pgcd(b,a%b)
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Algorithme d’Euclide étendu
Pgcd de 1154 et 816
1154 = 816 × 1 + 338
816 = 338 × 2 + 140
338 = 140 × 2 + 58
140 = 58 × 2 + 24
58 = 24 × 2 + 10
24 = 10 × 2 + 4
10 = 4 × 2 + 2
4 =2×2+0
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Euclide étendu : illustration
Problème : trouver les coordonnées du pgcd(a, b) dans le tableau
des au + bv , c’est-à-dire déterminer u, v tels que
au + bv = pgcd(a, b).
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-26
-36
-46
-56
-66
-76
-86
-96
-106
-116
-126
-136
-146
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-130
6
-4
-14
-24
-34
-44
-54
-64
-74
-84
-94
-104
-114
22
12
2
-8
-18
-28
-38
-48
-58
-68
-78
-88
-98
38
28
18
8
-2
-12
-22
-32
-42
-52
-62
-72
-82
54
44
34
24
14
4
-6
-16
-26
-36
-46
-56
-66
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
86
76
66
56
46
36
26
16
6
-4
-14
-24
-34
102
92
82
72
62
52
42
32
22
12
2
-8
-18
118
108
98
88
78
68
58
48
38
28
18
8
-2
134
124
114
104
94
84
74
64
54
44
34
24
14
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Un morphisme
On pose ϕ : coordonnées (u, v ) −
7 → contenu de la cellule (u, v ),
i.e.
Z2
−→
Z
ϕ:
(u, v ) 7−→ au + bv
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Un morphisme
On pose ϕ : coordonnées (u, v ) −
7 → contenu de la cellule (u, v ),
i.e.
Z2
−→
Z
ϕ:
(u, v ) 7−→ au + bv
ϕ est un morphisme :
ϕ((u, v ) + (u ′ , v ′ )) = ϕ(u, v ) + ϕ(u ′ , v ′ )
ϕ(λ(u, v )) = λϕ(u, v )
Ce qu’on peut résumer :
ϕ(α(u, v ) + β(u ′ , v ′ )) = αϕ(u, v ) + βϕ(u ′ , v ′ )
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Un morphisme
On pose ϕ : coordonnées (u, v ) −
7 → contenu de la cellule (u, v ),
i.e.
Z2
−→
Z
ϕ:
(u, v ) 7−→ au + bv
ϕ est un morphisme :
ϕ((u, v ) + (u ′ , v ′ )) = ϕ(u, v ) + ϕ(u ′ , v ′ )
ϕ(λ(u, v )) = λϕ(u, v )
Ce qu’on peut résumer :
ϕ(α(u, v ) + β(u ′ , v ′ )) = αϕ(u, v ) + βϕ(u ′ , v ′ )
Les opérations effectuées sur le contenu des cases du tableau se
transposent aux coordonnées de ces cases.
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Euclide étendu : illustration
Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
10
0
16
ϕ(1, 0) = 16 et ϕ(0, 1) = 10
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Euclide étendu : illustration
Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6
10
0
16
Division euclidienne de 16 par 10
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Division
q r
16
10
16=10x1+6 1 6
u
1
0
1
v
0
1
-1
10
0
16
6
On a 6 = 16 − 1 × 10 = ϕ(1, 0) − 1ϕ(0, 1) = ϕ((1, 0) − 1(0, 1)) =
ϕ(1, −1)
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Division
q r
16
10
16=10x1+6 1 6
u
1
0
1
v
0
1
-1
10
0
6
On recommence avec 10 et 6...
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Division
q r
16
10
16=10x1+6 1 6
10=6x1+4 1 4
u
1
0
1
v
0
1
-1
10
0
6
On recommence avec 10 et 6...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
4
10
0
6
On recommence avec 10 et 6...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
4
0
6
Puis avec avec 6 et 4...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
6=4x1+2
1 2
4
0
6
Puis avec avec 6 et 4...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
6=4x1+2
1 2 2 -3
4
0
6
2
Puis avec avec 6 et 4...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
6=4x1+2
1 2 2 -3
4
0
2
Puis avec avec 4 et 2...
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Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
6=4x1+2
1 2 2 -3
4=2x2+0
2 0
4
0
2
Puis avec avec 4 et 2...
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Euclide étendu : illustration
0
Division
q r u v
16 1 0
10 0 1
16=10x1+6 1 6 1 -1
10=6x1+4 1 4 -1 2
6=4x1+2
1 2 2 -3
4=2x2+0
2 0 -5 8
4
0
2
On a obtenu 0 : l’algorithme se termine, on a ϕ(2, −3) = 2, donc
2 = 16 × 2 + 10 × (−3)
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Algorithme d’Euclide étendu
def euclide_etendu(a,b):
"rend r,u,v avec r=pgcd(a,b) et au+bv=r"
r0, u0, v0 = a, 1, 0
r1, u1, v1 = b, 0, 1
while r1!=0 :
q=r0//r1
r0, r1 = r1, r0-q*r1
u0, u1 = u1, u0-q*u1
v0, v1 = v1, v0-q*v1
return r0,u0,v0
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disposition pratique
Pour trouver une solution à 21u + 8v = 1 :
n division euclidienne q rn
0
21
8
1
2
21 = 2 × 8 + 5
2 5
8 =1×5+3
1 3
3
4
5 =1×3+2
1 2
5
3 =1×2+1
1 1
2 =2×1+0
6
On obtient 21 · (−3) + 8 × 8 = 1.
un
1
0
1
−1
2
−3
vn
0
1
−2
3
−5
8
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Exercice
Déterminer (u, v ) tel que 17u + 13v = 1, puis (u, v ) tel que
17u + 13v = 3.
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Exercice
Déterminer (u, v ) tel que 17u + 13v = 1, puis (u, v ) tel que
17u + 13v = 3.
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Nombres premiers entre eux
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Nombres premiers entre eux
Nombres premiers entre eux
Définition : a, b premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1.
Exemples :
3 et 10 sont premiers entre eux ;
12 et 14 ne le sont pas.
Si n est premier alors ∀a, a est premier avec n ou a est un
multiple de n.
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Nombres premiers entre eux
Définition : a, b premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1.
Exemples :
3 et 10 sont premiers entre eux ;
12 et 14 ne le sont pas.
Si n est premier alors ∀a, a est premier avec n ou a est un
multiple de n.
Théorème de Bézout : a et b premiers entre eux ssi ∃u, v tels que
au + bv = 1.
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Nombres premiers entre eux
Nombres premiers entre eux
Des caractérisations : a, b sont premiers entre eux ssi :
aZ + bZ = Z
Pour tout k, l’équation au + bv = k admet des solutions
(u, v ).
a
La fraction est irréductible.
b
a et b n’ont pas de facteur commun, à part 1.
a et b n’ont pas de facteur premier commun.
le ppcm de a et b est ab.
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Théorème (Gauss) : si a et b premiers entre eux et a
a c.
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bc, alors
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Nombres premiers entre eux
Théorème (Gauss) : si a et b premiers entre eux et a
a c.
bc, alors
Démonstration. a et b sont premiers entre eux, donc il existe u et
v tels que au + bv = 1.
En multipliant par c : auc + bvc = c, or a divise auc et a divise
bvc car il divise bc. Donc a divise c.
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Nombres premiers entre eux
Théorème : a est premier avec b et c ssi il est premier avec bc.
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Nombres premiers entre eux
Théorème : a est premier avec b et c ssi il est premier avec bc.
Démonstration.
Sens =⇒ : par Bézout, il existe u, v , u ′ , v ′ tels que au + bv = 1 et
au ′ + cv ′ = 1.
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Nombres premiers entre eux
Théorème : a est premier avec b et c ssi il est premier avec bc.
Démonstration.
Sens =⇒ : par Bézout, il existe u, v , u ′ , v ′ tels que au + bv = 1 et
au ′ + cv ′ = 1.
On multiplie ces deux égalités :
aauu ′ + aucv ′ + au ′ bv + bcvv ′ = 1 × 1 = 1 donc
a(auu ′ + ucv ′ + u ′ bv ) + bc(vv ′ ) = 1, donc a et bc premiers entre
eux.
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Nombres premiers entre eux
Nombres premiers entre eux
Théorème : a est premier avec b et c ssi il est premier avec bc.
Démonstration.
Sens =⇒ : par Bézout, il existe u, v , u ′ , v ′ tels que au + bv = 1 et
au ′ + cv ′ = 1.
On multiplie ces deux égalités :
aauu ′ + aucv ′ + au ′ bv + bcvv ′ = 1 × 1 = 1 donc
a(auu ′ + ucv ′ + u ′ bv ) + bc(vv ′ ) = 1, donc a et bc premiers entre
eux.
Sens ⇐= : par Bézout, il existe u, v tel que au + bcv = 1,
autrement dit au + b(cv ) = 1, donc a et b premiers entre eux, et
au + c(bv ) = 1, donc a et c premiers entre eux.
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Nombres premiers entre eux
Des entiers premiers entre eux
La case (i , j) est noire ssi i et j premiers entre eux.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Des entiers premiers entre eux
Des arbres plantés au centre de chaque case, l’observateur au
centre de la case (0,0)
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Des entiers premiers entre eux
Quels arbres voit l’observateur ?
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Des entiers premiers entre eux
Quels arbres voit l’observateur ?
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Quels arbres voit l’observateur ?
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Exercices
1
2
3
Déterminer le pgcd de 17 × 193 × 23 et 13 × 192 × 234 .
Montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a2 et b 2
le sont aussi.
Montrer que réciproquement, si a2 et b 2 sont premiers entre
eux, alors a et b le sont aussi.
Arithmétique et Cryptographie