Закон Кулона Схема опытов Кулона В итоге опытов получили, что электрические заряды взаимодействуют друг с другом: разноименные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. Сила взаимодействия зарядов зависит от их численного значения, расстояния между ними и электрических свойств среды, в которой они находятся. Закон Кулона Сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, расположенных на расстоянии r друг от друга в вакууме , подчиняется опытному закону Кулона: модуль силы F электростатического взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме, прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния r между ними: 𝑞1 𝑞2 1 𝑞1 𝑞2 𝐹 = 𝑘 2 𝑒𝑟 = ∙ 2 𝑒𝑟 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 Взаимодействие зарядов Теорема Гаусса Теорема Гаусса Напряженность электрического поля системы электрических зарядов можно вычислить с помощью принципа суперпозиции. Эти вычисления значительно упрощаются при использовании теоремы Гаусса, которая связывает поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность с величиной заряда внутри этой поверхности. Вычислим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиусом r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре Нормаль n к замкнутой поверхности всегда выбирается внешней. Так как на всей сферической поверхности напряженность поля точечного заряда постоянна и вектор напряженности направлен перпендикулярно этой поверхности, поток равен Теорема Гаусса в интегральной форме ФЕ = 𝑆 𝐸𝑛 𝑑𝑆 = 𝐸𝑆 = ФЕ = 𝑆 𝐸𝑛 𝑑𝑆 = 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑟 2 1 𝜀0 ⋅ 2 ⋅ 4𝜋𝑟 = 𝑞 𝜀0 𝑛 𝑖=1 𝑞𝑖 Эта формула является аналитической записью теоремы Гаусса для электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 𝜀0 . Вывод теорема Гаусса в дифференциальной форме 1 𝑉 𝑆 𝑑𝑖𝑣𝐸 = 𝐸𝑛 𝑑𝑆 = 𝜌 𝜀0 1 lim 𝑆 𝑉→0 𝑉 𝐸𝑛 𝑑𝑆 Теорема Гаусса в дифференциальной форме 𝑑𝑖𝑣𝐸 = 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑥 + 𝑑𝑖𝑣𝐸 = 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑧 𝜌 𝜀0 Дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением Закон сохранения заряда Закон сохранения заряда Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности S, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора j: 𝑰= 𝒋𝒅𝑺 Сила тока I является величиной скалярной и алгебраической. При изменении направления всех векторов dS на противоположное величина I меняет знак. Закон сохранения заряда Выведем уравнение непрерывности: Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл 𝑗𝑑𝑆 дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V Закон сохранения заряда 𝑑𝑞 𝑗𝑑𝑆 = − 𝑑𝑡 Это соотношение называют уравнением непрерывности. Оно является, по существу, электрического заряда. выражением закона сохранения Закон сохранения заряда Следовательно, для постоянного тока: 𝑗𝑑𝑆 = 0 Линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников. Закон сохранения заряда В Дифференциальной форме уравнения непрерывности. Преобразуем последние два уравнения к дифференциальной форме. 𝑑 − 𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉 = − 𝑑𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝑗 = 𝑑𝜌 − 𝑑𝑡 Закон сохранения заряда Условие стационарности означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников 𝑑𝑖𝑣 𝑗 = 0 Правила Кирхгофа в дифференциальной форме. Первый закон Кирхгофа Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому про текает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вы шедшему из объема, иначе в этом объеме происходило бы накопле ние электрических зарядов, что опыт не подтверждает. Первый закон Кирхгофа Сумма входящего в объем и выходящего из объема токов запишется так 𝛿𝑑𝑆 𝛿𝑑 𝑆 = 0 𝑉 lim 𝑉→0 𝛿𝑑 𝑆 𝑉 = 𝑑𝑖𝑣𝛿 = 0 =0 Первый закон Кирхгофа Также для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде 𝑑𝑖𝑣𝛿 = 0 Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме, которое означает, что в установившимся режиме в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий Второй закон Кирхгофа В любой момент времени алгебраической сумма напряжений равна 0 𝑈=0 Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна 0 Е𝑑 𝑙 = 0 Второй закон Кирхгофа Используя форму Стокса можно записать закон Кирхгофа в дифференциальном виде: 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0 Закон Джоуля-Ленца Закон Джоуля-Ленца Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. Силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу 2 𝑈 𝑑𝐴 = 𝑈𝑑𝑞 = 𝐼𝑈𝑑𝑡 = 𝐼2 𝑅𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝑅 Закон Джоуля-Ленца Найдем мощность тока 2 𝑑𝐴 𝑈 𝑃= = 𝑈𝐼 = 𝐼2 𝑅 = 𝑑𝑡 𝑅 А = 𝐼2 𝑅𝑡 Закон Джоуля-Ленца При протекании тока в проводнике выделяется количество теплоты 𝑄 = 𝐼2 𝑅𝑡 Если ток изменяется со временем, то 2 𝐼2 𝑅𝑑𝑡 𝑄= 1 Это закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. Закон Джоуля-Ленца Данное соотношение имеет интегральный характер и относится ко всему проводнику с сопротивлением R, по которому течет ток I. Получим закон Джоуля – Ленца в локально-дифференциальной форме, характеризуя тепловыделение в произвольной точке. Закон Джоуля-Ленца Тепловая мощность тока в элементе проводника Δl сечением ΔS, объемом ΔV Δl ΔS равна ∆𝑃 = 𝐼2 𝑅 = 𝐼∆𝜑 = 𝑗∆𝑆𝐸∆𝑙 = 𝑗𝐸∆𝑉 Закон Джоуля-Ленца Удельная мощность тока 𝑤= ∆𝑃 ∆𝑉 = 𝑗𝐸 Согласно закону Ома в дифференциальной форме 𝑗 σ𝐸. Отсюда закон Джоуля – Ленца в дифференциальной характеризующий плотность выделенной энергии 𝑤 = 𝑗𝐸 2 форме, Закон Ампера Закон Ампера Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника 𝑑 𝑙 с током, находящегося в магнитном поле, равна 𝑑 𝐹 = 𝐼 𝑑𝑙, 𝐵 где 𝑑 𝐹 – сила, с которой магнитное поле действует на бесконечно малый проводник 𝑑 𝑙 с током I.𝐵— вектор магнитной индукции Закон Ампера Модуль силы, действующей на проводник, 𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑙, 𝐵 Если магнитное поле однородно и проводник перпендикулярен силовым линиям магнитного поля, то 𝑑𝐹 = 𝐼𝑙𝐵 где I qnυS – ток через проводник сечением S. Закон Ампера Направление силы 𝐹 определяется направлением векторного произведения, или правилом левой руки: Закон Ампера Если рассматривать , с какой силой действует магнитное поле тока 𝐼1 на элемент dl второго проводника с током 𝐼2 . Ток 𝐼1 создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора 𝐵1 определяется правилом правого винта, его модуль по формуле равен 𝐵1 = 𝜇0 μ 4𝜋 ∙ 2𝐼1 𝑅 Закон Ампера 𝜇0 μ 2𝐼1 𝐼2 𝑑𝐹 = 𝑑𝐹2 = 𝑑𝐹1 = 𝐼2 𝐵1 𝑑𝑙 = ∙ 𝑑𝑙 4𝜋 𝑅 Следовательно, два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой 𝜇0 μ 2𝐼1 𝐼2 𝑑𝐹 = ∙ 𝑑𝑙 4𝜋 𝑅 Закон Ампера Из закона Ампера хорошо виден физический смысл магнитной индукции. В – величина, численно равная силе, с которой магнитное поле действует на проводник единичной длины, по которому течет единичный ток: 𝐵= 𝐹 𝐼𝑙 Закон Ома для магнитной цепи Закон Ома для магнитной цепи. Как известно, причиной создания магнитного потока в магнитной цепи является магнитодвижущая сила. Можно сравнивать магнитодвижущую силу в магнитной цепи с электродвижущей силой в электрической цепи, а магнитный поток – с электрическим током. Проводниковый материал обладает свойством оказывать сопротивление прохождению тока. Аналогично ферромагнитный материал обладает свойством оказывать сопротивление прохождению магнитного потока. Этот его параметр называется магнитным сопротивлением. Закон Ома для магнитной цепи. Величина магнитного сопротивления обозначается (Rm) и высчитывается по формуле: 𝐿 𝑅𝑀 = 𝜇0 𝜇𝑆 Выразим закон Ома для магнитной цепи 𝜇0 𝜇𝐼𝑊𝑆 𝐼𝑊 𝐼𝑊 𝐹𝑀 Ф = 𝐵𝑆 = 𝜇0 𝜇𝐻𝑆 = = = = 𝐿 𝐿 𝑅𝑀 𝑅𝑀 𝜇0 𝜇𝑆 Закон Ома для магнитной цепи. Этот закон устанавливает, что магнитный поток в магнитной цепи прямо пропорционален магнитодвижущей силе и обратно пропорционален магнитному сопротивлению. Также закон Кулона можен быть сформулирован иначе: Падение магнитного напряжения на участке магнитопровода длиной l равно произведению магнитного потока Ф и магнитного сопротивления 𝑅𝑀 участка 𝑈𝑀 = 𝑅𝑀 Ф Аналогия записи законов Ома для магнитной цепи и для электрической Магнитная цепь Электрическая цепь Поток Ф, Вб Ток I, A МДС (НС) F, A ЭДС E, B Магнитное сопротивление 𝑅𝑀 , Гн−1 Электрическое сопротивление R, Ом Магнитное напряжение 𝑈𝑀 ,А Электрическое напряжение U, B Первый закон Кирхгофа Ф0 Первый закон Кирхгофа I 0 Второй закон Кирхгофа F 𝑈𝑀 Второй закон Кирхгофа ЕU Закон Ома 𝑈𝑀 = 𝑅𝑀 Ф Закон Ома U = I R Сила Лоренца Сила Лоренца По закону Ампера сила, действующая на проводник с током в магнитном поле: 𝑑𝐹 = 𝐼 𝑑𝑙, 𝐵 но ток I jS, причем j qnυ , тогда 𝑑𝐹 = 𝑞𝑛𝜐𝑆 𝑑𝑙, 𝐵 = 𝑞𝑛𝑆𝑑𝑙 𝑣, 𝐵 Сила Лоренца 𝑛𝑆𝑑𝑙 -число зарядов в объёме Sdl. Тогда, если рассматривать для одного заряда, получим 𝑑𝐹 𝑛𝑆𝑑𝑙 = 𝑞 𝑣, 𝐵 𝐹л = 𝑞 𝑣, 𝐵 Сила Лоренца Сила Лоренца – сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся со скоростью 𝑣 положительный заряд (здесь 𝑣 – скорость упорядоченного движения носителей положительного заряда). Модуль силы Лоренца 𝐹л = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 Где 𝛼 - угол между 𝑣 и 𝐵 Из формулы видно , что на заряд, движущийся вдоль линии 𝐵, не действует сила Лоренца , так как sin 0 0 . Сила Лоренца Сила Лоренца направлена перпендикулярно движущемуся заряду, т.е. перпендикулярно 𝑣 , работа этой силы всегда равна нулю. Тогда , действуя на заряженную частицу, сила Лоренца не может изменить кинетическую энергию частицы На заряженную частицу, движущуюся одновременно в магнитном и электрическом полях, действует сила, которую называют обобщенной силой Лоренца: 𝐹л = 𝑞𝐸 + 𝑞 𝑣, 𝐵 = 𝑞(𝐸 + 𝑣, 𝐵 ) здесь электрическая сила qE ускоряет частицу, изменяет ее энергию Закон полного тока Закон полного тока Наглядно представим закон полного тока: ограничить в пространстве условную поверхность S таким же условным контуром L. Направление обхода на нем устанавливается таким образом, чтобы движение от конца вектора происходило против часовой стрелки, вдоль контура элементарной площадки dS. Затем необходимо представить себе поверхность S, которую пронизывает отдельно взятая система токов. Если не рассматривать конкретно физическую природу этих токов, следует теоретически предположить их непрерывное распределение в пространстве с какойто плотностью 𝐽𝛴 Закон полного тока В этом случае значение полного тока, пронизывающего контур, будет выглядеть в виде следующей формулы: 𝐼Σ = 𝐽Σ 𝑑𝑆 𝑆 Таким образом, в соответствии с законом полного тока, вектор напряженности магнитного поля, циркулирующий вдоль контура L, инициированный протекающим током , становится равным полному току, согласно формуле: 𝐻𝑑𝑙 = 𝐼Σ 𝐿 Закон полного тока 𝐴𝑑𝑙 = 𝐿 𝑟𝑜𝑡𝐴𝑑𝑆 𝑠 Если принять за факт, что 𝐵𝑑𝑆 = 0 𝑆 то в этом случае 𝐻𝑑𝑙 = 𝐿 𝑟𝑜𝑡𝐻𝑑𝑆 = 𝑠 𝐽Σ 𝑑𝑆 𝑠 получается формула, отражающая закон полного тока в дифференциальной форме: 𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝐽Σ Обобщенный закон полного тока Обобщенный закон полного тока Если в каком-либо проводнике течет переменный ток – ток проводимости, то внутри есть и переменное электрическое поле, т.е. ток смещения. Магнитное поле проводника определяется полным током: 𝑗полн 𝜕𝐷 = 𝑗пров + = 𝑗пров + 𝑗см 𝜕𝑡 Обобщенный закон полного тока В зависимости от электропроводности среды и частоты (поля) оба слагаемых играют разную роль: в металлах и на низких частотах 𝑗см 𝑗пров (в скин-эффекте 𝑗см не играет заметной роли); в диэлектриках и на высоких частотах 𝑗см играет основную роль Обобщенный закон полного тока Ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения 𝐷 . Поэтому он и получил такое название – ток смещения. Плотность тока смещения: 𝑗см 𝜕𝐷 = 𝜕𝑡 Обобщенный закон полного тока В интегральной форме обобщенный закон полного тока равен 𝐿 𝐻𝑑𝑙 = 𝐼𝑖 = 𝑗пров + 𝜕𝐷 𝜕𝑡 В дифференциальной форме обобщенный закон полного тока выглядит так: 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝑗пров + 𝜕𝐷 𝜕𝑡 Закон Фарадея Закон Фарадея Если подносить постоянный магнит к катушке или наоборот , то в катушке возникнет электрический ток. То же самое происходит с двумя близко расположенными катушками: если к одной из катушек подключить источник переменного тока, то в другой также возникнет переменный ток , но лучше всего этот эффект проявляется, если две катушки соединить сердечником Закон Фарадея По определению Фарадея общим для этих опытов является следующее: если поток вектора индукции, пронизывающий замкнутый, проводящий контур, меняется, то в контуре возникает электрический ток. Это явление называют явлением электромагнитной индукции, а ток – индукционным. При этом явление совершенно не зависит от способа изменения потока вектора магнитной индукции. Закон Фарадея Пусть сначала магнитное поле B отсутствует. Батарея с ЭДС, равной ℇ0 , создает ток 𝐼0 . За время dt батарея совершает работу 𝑑𝐴 = ℇ0 𝐼0 𝑑𝑡 Эта работа будет переходить в тепло, которое можно найти по закону Джоуля – Ленца: 2 𝑄 = 𝑑𝐴 = ℇ0 𝐼0 𝑑𝑡 = 𝐼0 𝑅𝑑𝑡 где 𝐼0 = ℇ0 𝑅 , R – полное сопротивление всего контура. Закон Фарадея Поместим контур в однородное магнитное поле с индукцией 𝐵. Линии 𝐵||𝑛 и связаны с направлением тока «правилом буравчика». Поток Ф, сцепленный с контуром, – положителен. 𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑥 = 𝐼𝑑Ф Как и в случае, когда все элементы рамки неподвижны, источником работы является ℇ0 . При неподвижном контуре эта работа сводилась только лишь к выделению тепла. В нашем случае тепло тоже будет выделяться, но уже в другом количестве, т.к. ток изменился. Кроме того, совершается механическая работа. Общая работа за время dt равна ℇ0 𝐼𝑑𝑡 = 𝐼2 𝑅𝑑𝑡 + 𝐼𝑑Ф Закон Фарадея Умножим левую и правую часть выражения на ℇ0 𝑅 =𝐼 𝐼= 1 , 𝐼𝑅𝑑𝑡 получим 1 𝑑Ф + 𝑅 𝑑𝑡 ℇ0 − 𝑑Ф 𝑑𝑡 𝑅 Полученное выражение мы вправе рассматривать как закон Ома для контура, в котором, кроме источника ℇ0 , действует ℇ𝑖 = 𝑑Ф − 𝑑𝑡 Закон Фарадея ЭДС индукции контура ℇ𝑖 равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур. Это выражение для ЭДС индукции контура является универсальным, не зависящим от способа изменения потока магнитной индукции, и носит название закон Фарадея. Закон Фарадея Если контур состоит из нескольких витков, то надо пользоваться понятием потокосцепление (полный магнитный поток) Ψ = Ф𝑁 𝑑Ф𝑖 𝑑 ℇ𝑖 = − =− Ф𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ф𝑖 = Ψ Закон Фарадея можно записать в следующем виде: 𝑑Ψ ℇ𝑖 = 𝑑𝑡 Закон электромагнитной индукции Закон электромагнитной индукции Для создания тока в цепи необходимо наличие электродвижущей силы. Поэтому явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменении магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции Ei Работу вихревого электрического поля по перемещению заряда вдоль замкнутого контура L можно подсчитать по формуле 𝑑𝐴 = 𝑞 Е 𝑑𝑙 Закон электромагнитной индукции. Работа по перемещению единичного заряда вдоль замкнутой цепи равна ЭДС, действующей в этой цепи: 𝑑𝐴 = 𝑞ℇ𝑖 Циркуляция вектора электрического поля равна 𝑑Ф Е 𝑑𝑙 = ℇ𝑖 = − 𝑑𝑡 Эти выражения для циркуляции справедливы всегда, независимо от того, выполнен контур в виде линейного проводника, диэлектрика или речь идет о контуре (мысленном) в вакууме. Закон электромагнитной индукции. Иначе можно записать закон электромагнитной индукции в интегральной форме 𝜕𝐵 Е 𝑑𝑙 = − 𝑑𝑆 𝜕𝑡 В дифференциальной форме закон выглядит 𝜕𝐵 𝑟𝑜𝑡𝐸 = − 𝜕𝑡
