1. Das elektrostatische Feld
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Gliederung
1. Das elektrostatische Feld
1. Physik des Elektrons
2. Das elektrische Feld
3. Energie und Potenzial
4. Elektrisches Feld und Materie
5. Das elektrische Feld an Grenzflächen
6. Der Kondensator
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1.1 Physik des Elektrons
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Lernziele
Hintergrundwissen:
 Periodensystem
Wiederholung:
 Atommodell / Ionen / Elektronen
 Elektrische Ladung
Neue Begriffe:
 Ladungsdichte:
 Raum-, Flächen- und
Linienladungsdichte
 Punktladung
Mathematik:
 Integrale:
 Volumen-, Flächen- und
Linienintegrale
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Teilchenmodell
Mit dem Teilchenmodell der Materie wird die diskrete Struktur der Stoffe
beschrieben. Danach besteht Materie aus elementaren Teilchen:
Atomen und Molekülen.
Das Atom (gr. ἄτομος, unteilbar) bildet die kleinste Einheit.
Beispiele:
• Edelgase wie Helium: He-Atome
• Wasser: H2 O-Moleküle aus 2 H- und einem O-Atom
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Atommodell
[http://bit.ly/2vatmUd,
Abgerufen am 31.07.2017]
…und woraus besteht das Atom selbst?
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Bohr‘sches Atommodell
Diskussion im
Plenum
Proton
Neutron
Li
3
Ordnungszahl
7
Massenzahl
Elektron
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Atomaufbau
 Zahl der Protonen = Kernladungszahl = Ordnungszahl 𝑍𝑍
 Zahl der Nukleonen (Kernbausteine) = Protonen + Neutronen = Massenzahl 𝐴𝐴
 Schreibweise für Element X: 𝐴𝐴𝑍𝑍X
 z.B. Lithium: 3 Protonen, 4 Neutronen: 37Li
 Die Masse der Elektronen ist vernachlässigbar klein (3-4 Größenordnungen)
Proton
Neutron
𝑄𝑄p = +1,602 � 10−19 As
𝑚𝑚p = 1,6726 � 10−27 kg
𝑄𝑄n = 0 As
𝑚𝑚n = 1,6749 � 10−27 kg
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Elektron
𝑄𝑄e = −1,602 � 10−19 As
𝑚𝑚e = 9,109 � 10−31 kg
Atomaufbau
Größenskala:
 Atomradien ≈ 10−10 m = 1 Å
 Kernradien ≈ 10−14 m = 10−4 Å
 Nimmt man den Verlauf der Oker um die Innenstadt Braunschweigs als
Atomhülle (𝑟𝑟 ≈ 1 km), wäre der Atomkern nur so groß wie ein Fußball.
(hier: Quelle einfügen)
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[Abb. von: Saehrimnir, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10017069]
Das Periodensystem
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Elektrische Ladung im Atom
 Die kleinste, d. h. nicht weiter unterteilbare Ladungsmenge heißt
Elementarladung e. Ihr experimentell bestimmter Wert beträgt:
𝐞𝐞 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 � 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 As
 Der Atomkern enthält Teilchen mit positiver Ladung - Protonen und
ungeladenen Teilchen - Neutronen..
 Die negativen Ladungen tragen die Elektronen in der Hülle.
 Protonen tragen eine Ladung von +e, Elektronen eine Ladung von -e.
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Elektrische Ladung im Atom
Es sind stets gleich viele Protonen und Elektronen in einem Atom.
Atome sind nach außen elektrisch neutral.
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Elementarladung
Die Größe der Elementarladung lässt sich durch folgende Vorstellung
veranschaulichen:
 Fließt ein Elektron je Sekunde durch einen Leitungsquerschnitt, so
beträgt die Stromstärke 𝐼𝐼 = 1,6 � 10−19 A
 Mit empfindlichen Strommessgeräten lassen sich heute Ströme noch
von etwa < 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝐀𝐀 nachweisen.
 Das entspricht rund:
10−16 A ≈ 𝑛𝑛 � 1,6 � 10−19 As/s
Elektronen
𝑛𝑛 ≈ 625
s
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Elementarladung
 Eine Ladungsmenge von 𝑄𝑄 = 1 As = 1 C enthält insgesamt:
𝑄𝑄
1 As
𝑛𝑛 = ≈
e 1,602 � 10−19 As
𝑛𝑛 ≈ 6,2 � 1018 Elektronen
 Die abgeleitete SI-Einheit, in der Ladung gemessen wird, ist das
Coulomb.
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Begriff der Ladung
 Literatur:
 Paul (1993, S. 26)
 Gerthsen (2006, S. 293)
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Vorlesungsabschnitt
Gedankenexperiment zur elektrischen Ladung
 Werden zwei Glasstäbe mit einem Wolltuch
gerieben, dann kann man feststellen, dass sich
die beiden Stäbe abstoßen.
Diskussion im
Plenum
 Wird das gleiche Experiment mit zwei Kunststoffstäben wiederholt, dann
bleibt das Ergebnis gleich, auch diese beiden Stäbe stoßen sich
gegenseitig ab.
 Im Gegensatz dazu ziehen sich Glas- und Kunststoffstab
gegenseitig an. Wieso?
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 18]
Eigenschaften der Ladung
 Ladungen sind stets ein Vielfaches der Elementarladung
 Ladungen können weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur
getrennt werden.
→ In einem abgeschlossenen System ist die Summe der Ladungen stets
konstant.
Ladungserhaltung
Zentraler Satz der
Elektrotechnik
 Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich gegenseitig ab,
Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens ziehen sich gegenseitig an.
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[vgl. Albach 1, S. 88/157]
Ionen
 Durch Energiezufuhr können Elektronen aus einem Atom entfernt
werden. Das nun nicht mehr vollständige Atom ist positiv geladen und
wird als Ion bezeichnet.
 Lagern sich frei gewordene Elektronen an andere Atome an, entstehen
ebenfalls Ionen, die dann negativ geladen sind.
 Ionen findet man z. B. in Salzen (fest oder gelöst) oder frei beweglich,
z.B. in Plasmen.
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Freie Elektronen
 In verschiedenen Festkörpern, in denen die Atome in bestimmten
Verbindungsstrukturen miteinander zu einem festen Material verbunden
sind, können Elektronen auftreten, die sich mehr oder weniger frei im
Material bewegen können und demnach nicht mehr an ein Atom
gebunden sind.
 Sie werden als freie Elektronen bezeichnet.
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Atome, Ionen & freie Elektronen
 Materie ist normalerweise nicht elektrisch geladen, obwohl sie sehr viele
negativ geladene Elektronen enthält.
Wieso?
Die positiven Atomkerne sorgen für
Ladungsneutralität.
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.1, S. 17]
Freie Elektronen im Festkörper
 Die innen liegenden Elektronen werden so stark vom Atomkern
angezogen, dass sie mit normalen Mitteln nicht entfernt werden können.
Nur die äußersten Elektronen können entfernt werden. Dann
entstehen Ionen.
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 54]
Freie Ladungen
 Wenn die Festkörper elektrisch neutral sind, wo gibt es dann überhaupt
freie Ladungen?
 Freie Elektronen im Gas
 Zusatzelektronen in Festkörper (Dotierung)
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[vgl. Albach 1, Kap. 2.4, S. 86]
Ladungsträgerbewegung im Leiter
 Festkörper sind elektrisch leitfähig, sofern sie Atome enthalten, die
Elektronen an den Atomverbund abgeben. Bei Metallen können sich
diese freien Elektronen wie ein Gas innerhalb des durch die
Atomkerne gebildeten Kristalls bewegen.
 Man bezeichnet dieses Verhalten als:
freies Elektronengas bzw. Ladungsträgerbewegung im Leiter
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Ladungsträgerbewegung im Leiter
Freies Elektron
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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Physik
E-Technik
Erkenntnis:
Was hält die Welt zusammen?
(„Weltformel“, Einstein)
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Anwendung:
(„Is it of any use“,
David Cheriton)
[vgl. Albach 1, S. 19/26]
Punktladung
 Definition des Begriffes Punktladung
Zur theoretischen Behandlung verschiedener Probleme der
Elektrotechnik wird von bestimmten Idealisierungen Gebrauch
gemacht. Eine solche Idealisierung ist der Begriff Punktladung.
 Die Punktladung ist ein Körper mit endlicher Ladung 𝑄𝑄 aber
vernachlässigbar kleinem Volumen 𝑉𝑉.
 Damit ist im Grenzfall 𝑟𝑟 → 0 die Raumladungsdichte 𝜌𝜌 einer Punktladung
unendlich groß.
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 26]
Ladungsdichten
Vorlesungsabschnitt
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[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 26]
Linienladungsdichte 𝝀𝝀
Berechnung der Gesamtladung 𝑄𝑄 entlang einer Linie
Entlang einer Linie 𝑟𝑟 kann eine homogene oder eine
vom Ort abhängige Ladungsverteilung 𝝀𝝀(𝒓𝒓) herrschen:
Linienelement Δ𝑥𝑥
mit der Ladung
∆𝑄𝑄 = 𝜆𝜆 𝑟𝑟 � ∆𝑥𝑥
As
𝜆𝜆 =
m
Bezugspunkt P: 𝑟𝑟 = 0
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Linienladungsdichte 𝝀𝝀
Längenelement
d𝑙𝑙 mit der Ladung
d𝑄𝑄 = 𝜆𝜆 𝑟𝑟⃗ � d𝑙𝑙
Linienhaftes Kontinuum
von Ladungen,
beschrieben durch 𝜆𝜆(𝑟𝑟)
⃗
[Abb.: Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und
Elektronik 2, Springer, 2019, S. 128]
Gesamtladung auf der Linie:
𝑙𝑙=𝑥𝑥
𝑄𝑄 = � 𝜆𝜆 𝑟𝑟⃗ d𝑙𝑙
𝑙𝑙=0
Literatur:
 Papula, Mathematik III, S. 1ff
(Kurven), S. 143ff
(Linienintegrale)
 Papula, Mathematik I, S. 432ff
(Grundlagen Integrale)
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Plenum: Was ist ein
Integral?
Plenum: Was ist
eine Kurve im
Raum?
Plenum: Was ist ein
Linienintegral?
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 26]
Linienladungsdichte 𝝀𝝀
Für homogene Leiter gilt:
Die Ladungen 𝑄𝑄 entlang der Strecke 𝑙𝑙 verteilt ergibt:
𝑄𝑄
𝜆𝜆 =
𝑙𝑙
Um für eine beliebige Strecke 𝒙𝒙 dieses Leiters die Zahl der Elektronen,
also die Ladung, zu bestimmen, wird 𝜆𝜆 mit der Länge multipliziert:
𝑄𝑄 = 𝜆𝜆 � 𝑥𝑥
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 30
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 26]
Linienladungsdichte 𝝀𝝀
Herleitung der Formel aus dem Integral: 1D-Fall
Ist 𝜆𝜆 nur von einer Raumrichtung 𝑥𝑥 abhängig, muss man 𝜆𝜆 über 𝑥𝑥 integrieren.
𝑥𝑥=𝑙𝑙
𝑄𝑄 = � 𝜆𝜆 𝑥𝑥 d𝑥𝑥
𝑥𝑥=0
Für konstantes 𝜆𝜆 kann das Integral vereinfacht werden zu:
𝑥𝑥=𝑙𝑙
𝑄𝑄 = 𝜆𝜆 � d𝑥𝑥 = 𝜆𝜆 � 𝑙𝑙
𝑥𝑥=0
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Linienladungsdichte 𝝀𝝀
Beispielaufgabe:
[Paul: Arbeitsbuch der Elektrotechnik 1, 1996, S. 3]
Auf einem isolierenden, vernachlässigbar dünnen Stab befinde sich eine
Ladungsverteilung pro Länge von
μAs
2
,
𝜆𝜆 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥
m
die in x-Richtung quadratisch anwächst. Welche Ladung enthält ein Stab
der Länge 𝑙𝑙 = 3 m?
𝑥𝑥=𝑙𝑙
𝑄𝑄 = � 𝜆𝜆 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 = 45 µAs
𝑥𝑥=0
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Rechnung auf dem
Overhead
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 27]
Flächenladungsdichte 𝝈𝝈
Flächenelement
d𝐴𝐴 mit der Ladung
d𝑄𝑄 = 𝜎𝜎 𝑟𝑟⃗ � d𝐴𝐴
[Abb.: Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und
Elektronik 2, Springer, 2019, S. 128]
Gesamtladung auf der Fläche:
𝑄𝑄 = � 𝜎𝜎 𝑟𝑟⃗ d𝐴𝐴
𝐴𝐴
Flächenhaftes Kontinuum
von Ladungen,
beschrieben durch 𝜎𝜎(𝑟𝑟)
⃗
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 33
Plenum:
Was ist ein
Flächenintegral?
Literatur: Papula,
Mathematik II
S. 266ff
Flächenladungsdichte 𝝈𝝈
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 27]
Einfaches Beispiel:
Ein ebenes rechteckiges metallisches Blech der Maße 40 cm x 60 cm wird
elektrostatisch aufgeladen.
Dabei entsteht eine Flächenladungsdichte von
As
−16
𝜎𝜎 = −1 � 10
.
m2
Wie viele Elektronen werden zusätzlich auf das Blech gebracht?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 34
Flächenladungsdichte 𝝈𝝈
Die Gesamtladung beträgt
0,6 m 0,4 m
𝑄𝑄 = �
0m
� 𝜎𝜎 d𝑥𝑥 d𝑦𝑦
0m
Da 𝜎𝜎 konstant ist, bleibt unter dem Integral
𝑄𝑄 = 𝜎𝜎 � 0,4 m � 0,6 m = 𝜎𝜎 � 0,24 m2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 35
Rechnung auf dem
Overhead
Flächenladungsdichte 𝝈𝝈
Also ist
2
𝑄𝑄 = 𝜎𝜎 � 0,24 m = −1 � 10
= −2,4 � 10−17 As
Das sind
𝑄𝑄
𝑒𝑒
=
−2,4 � 10−17 As
−1,602 � 10−19 As
−16
As
� 0,24 m2
2
m
= 150 Elektronen
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 36
Raumladung
 Als Raumladung bezeichnet man eine räumlich begrenzte elektrische
Ladungsverteilung. Sie wird durch einen Überschuss negativer oder
positiver Ladungsträger verursacht.
 Raumladungseffekte treten in vielen elektronischen Bauelementen
(z. B.: Halbleiterdioden, Transistoren) auf, wo sie entscheidenden
Einfluss auf deren elektronische Eigenschaften haben.
 In der Natur können durch die Bewegung von Wassertropfen und
Eiskristallen in Gewitterwolken Raumladungen entstehen, die sich in
Form von Blitzen entladen können.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 37
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 27]
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Berechnung der Gesamtladung 𝑄𝑄 in einem Volumen 𝑉𝑉.
In einem Volumen 𝑉𝑉 kann eine homogene oder eine
vom Ort abhängige Ladungsverteilung 𝜌𝜌(𝑟𝑟) herrschen.
Volumenelement Δ𝑉𝑉
mit der Ladung
∆𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 𝑟𝑟 � ∆𝑉𝑉
As
𝜌𝜌 = 3
m
In dem Volumen 𝑽𝑽 herrscht
eine vom Radius 𝒓𝒓 abhängige
Raumladungsdichte 𝝆𝝆(𝒓𝒓).
Gesamtladung im Volumen:
Bezugspunkt P
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Q = � 𝜌𝜌 𝑟𝑟 � d𝑉𝑉
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Volumenelement
d𝑉𝑉 mit der Ladung
d𝑄𝑄 = ρ 𝑟𝑟 � d𝑉𝑉
Gesamtladung
im Volumen:
𝑄𝑄 = � 𝜌𝜌 𝑟𝑟⃗ d𝑉𝑉
𝑉𝑉
[Abb.: Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und
Elektronik 2, Springer, 2019, S. 128]
Räumliches Kontinuum
von Ladungen,
beschrieben durch ρ(𝑟𝑟)
⃗
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 39
Plenum:
Was ist ein
Volumenintegral?
Literatur: Papula
Mathematik II
S. 304ff
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Eine homogen verteilte Ladung 𝑄𝑄 in dem Volumen 𝑉𝑉 ergibt die
Raumladungsdichte:
𝑄𝑄
𝜌𝜌 =
𝑉𝑉
Um für eine beliebiges Volumen Δ𝑉𝑉 die Ladung zu bestimmen, wird 𝜌𝜌 mit
dem Volumen multipliziert:
𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 � Δ𝑉𝑉
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 40
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Ist 𝜌𝜌 vom Ort 𝑟𝑟 abhängig, muss man 𝜌𝜌 über 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 und 𝑧𝑧 integrieren.
ℎ
𝑙𝑙
𝑏𝑏
𝑄𝑄 = � 𝜌𝜌 𝑟𝑟⃗ d𝑉𝑉 = � � � 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 d𝑥𝑥 d𝑦𝑦 d𝑧𝑧
𝑉𝑉
𝑧𝑧=0 𝑦𝑦=0 𝑥𝑥=0
Ist 𝜌𝜌 vom Ort unabhängig, so ergibt sich
ℎ
𝑙𝑙
𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 � d𝑉𝑉 = 𝜌𝜌 � �
𝑉𝑉
𝑏𝑏
� d𝑥𝑥 d𝑦𝑦 d𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 � 𝑙𝑙 � 𝑏𝑏 � ℎ = 𝜌𝜌 � 𝑉𝑉.
𝑧𝑧=0 𝑦𝑦=0 𝑥𝑥=0
(kompliziertere Volumenformen erfordern ggf. andere Koordinatensysteme)
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 41
[vgl. Albach 1 Kap. 1.6 S. 27]
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Beispielaufgabe:
Ein metallischer Quader von 10 cm x 20 cm x 40 cm Kantenlänge ist
aufgeladen worden. Dabei entstand eine Raumladungsdichte von
𝜌𝜌 = −1 �
10−16
As
m3
Wie viele Elektronen wurden zusätzlich auf den Quader aufgebracht?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 42
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Die Gesamtladung beträgt
0,1 m 0,2 m 0,4 m
𝑄𝑄 = �
0m
�
0m
� 𝜌𝜌 d𝑥𝑥 d𝑦𝑦 d𝑧𝑧
0m
Da 𝜌𝜌 konstant ist, bleibt unter dem Integral
𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 � 0,4 m � 0,2 m � 0,1 m
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 43
Rechnung auf dem
Overhead
Raumladungsdichte 𝝆𝝆
Also ist
Das sind
𝑄𝑄 = −1 �
10−16
As
3 = −8 � 10−19 As
�
0,008
m
m3
𝑄𝑄
−8 � 10−19 As
=
= 5 Elektronen
𝑒𝑒 −1,602 � 10−19 As
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 44
[vgl. Albach 1, Kap. 1.6, S. 26]
Ladungsdichte
[Abb.: Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 2, Springer, 2019, S. 128]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 45
Zusammenfassung
 Atome bestehen aus Elektronen, Protonen und Neutronen.
 Im Bohr‘schen Atommodell kreisen Elektronen um den Atomkern aus
Protonen und Neutronen.
 Materie besteht aus Atomen, die nach ihrer Protonenzahl
im Periodensystem geordnet werden.
 Beschreibung von Ladungsdichten: Volumen, Fläche, Linie, Punkt
 Integrale: Linien-, Flächen- und Volumenintegrale
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 46
1.2 Elektrisches Feld
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Lernziele
Neue Begriffe:
 Kraft
 Permittivität, (relative)
 Feld: Kraftfeld, Ladung
 Skalarfeld und Vektorfeld
 Feldlinien
 Elektrische Feldstärke
Neue Verfahren:
 Berechnung der Coulombkraft
als Vektor
 Feldliniendarstellung
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 48
[vgl. Albach 1, Kap. 1.2, S. 18]
Kraft zwischen Ladungen
Testet man die Kraft einer Ladung 𝑄𝑄 auf verschiedene
Probeladungen 𝑄𝑄1 und 𝑄𝑄2 , so stellt man fest:
𝐹𝐹⃗1
Die Kraft hängt ab von…
+
- Ladungsvorzeichen
𝑄𝑄 1
- Ladungsstärke
- Abstand
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 49
𝐹𝐹⃗2
𝐹𝐹1
𝑄𝑄1
=
𝐹𝐹2
𝑄𝑄2
𝑄𝑄2
-
Beobachtungen von Coulomb
𝑄𝑄1
+
𝐹𝐹⃗3
𝐹𝐹⃗5
+
-
𝐹𝐹⃗1
𝑄𝑄3
𝑄𝑄5
𝑟𝑟
𝐹𝐹⃗2
𝑄𝑄4
𝑄𝑄6
Dielektrikum
𝑄𝑄2
Feststellungen:
-
+
-
𝐹𝐹⃗4
𝐹𝐹⃗6
𝐹𝐹⃗1 = 𝐹𝐹⃗2
𝐹𝐹3 = 𝐹𝐹4 ~ 𝑄𝑄3
𝐹𝐹3 = 𝐹𝐹4 ~ 𝑄𝑄4
𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2 ~ 1/𝑟𝑟 2
𝐹𝐹5 = 𝐹𝐹6 ~ 𝑘𝑘 (Materialkonst. )
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 50
[vgl. Albach 1, Kap. 1.2, S. 19]
Das Coulomb‘sche Gesetz
 Mit den gemachten experimentellen Feststellungen lautet das
Coulomb‘sche Gesetz:
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2 = 𝑘𝑘
𝑟𝑟 2
 Hiermit ließe sich die Ladungseinheit (beliebig) festlegen. Stattdessen
wurde der Zahlenwert der Konstante
N
−7
2
𝑘𝑘 = 10 � 𝑐𝑐
A2
festgesetzt und damit die Ladungseinheit 𝑄𝑄 = Coulomb definiert. Darin
ist 𝑐𝑐 die Vakuumlichtgeschwindigkeit
m
8
𝑐𝑐 = 2,998 � 10
s
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 51
Einheit: Coulomb
 Ein Coulomb ist definiert als die elektrische Ladung, die innerhalb einer
Sekunde durch den Querschnitt eines Drahts transportiert wird, in dem
ein elektrischer Strom der Stärke von einem Ampere fließt:
𝑄𝑄 = 1 C = 1 As
 Für 1 C = 𝑛𝑛 � 𝑒𝑒 ist 𝑛𝑛 = 6,242 � 1018 Elektronen
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 52
Vorgriff:
Strom
[vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 55]
Einheit der Konstanten 𝒌𝒌
 Mit der Einheit As für die Ladung ergibt sich als Einheit der
Materialkonstante 𝑘𝑘:
kg � m
1
2
𝑘𝑘 = 1
�m � 2 2
s2
A �s
Mit 𝑈𝑈 = 1 V = 1
 Dimensionsanalyse:
kg�m2
s3 �A
erhält man: 𝑘𝑘 = 1
𝐹𝐹 � 𝑟𝑟
𝑘𝑘 =
𝑄𝑄 2
2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 53
Vm
As
Materialkonstante 𝒌𝒌 / Permittivität 𝜺𝜺
Die Konstante 𝑘𝑘 wird auch wie folgt geschrieben:
1
1
=
𝑘𝑘 =
4π𝜀𝜀 4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 54
Permittivität 𝜺𝜺
 Permittivität ist das Produkt aus absoluter und relativer Permittivität
𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 � 𝜀𝜀r
 Dielektrizitätskonstante oder absolute Permittivität:
As
−12
𝜀𝜀0 = 8,854 � 10
Vm
 Analog betrachten wir später (Kap. 5) die absolute Permeabilität:
4π Vs
𝜇𝜇0 = 7
10 Am
𝜀𝜀0 � 𝜇𝜇0 � 𝑐𝑐 2 = 1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 55
𝑐𝑐 = Lichtgeschwindigkeit
Permittivität 𝜺𝜺
 Die Permittivität 𝜺𝜺, auch dielektrische Leitfähigkeit, gibt die
Durchlässigkeit eines Materials für elektrische Felder an.
 Auch dem Vakuum ist eine Permittivität zugewiesen, da sich im Vakuum
auch elektrische Felder einstellen oder elektromagnetische Felder
ausbreiten können: die absolute Permittivität 𝜺𝜺𝟎𝟎
𝜺𝜺𝟎𝟎 = Vakuumpermittivität
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 56
Relative Permittivität
 Durch zwischen den Ladungen liegendes Material wird die wirkende
Coulombkraft abgeschwächt
 Das berücksichtigt eine dimensionslose Materialkonstante
(Permittivitätszahl, Dielektrizitätszahl oder relative Permittivität)
𝜺𝜺𝒓𝒓 = Permittivitätszahl
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 57
Relative Permittivität
 Vakuum:
 Reines Wasser:
 Andere Isolierstoffe:
𝜀𝜀r = 1
𝜀𝜀r = 80
𝜀𝜀r = 2 … 10
 Mehr zu den dielektrischen Stoffeigenschaften: s. Kapitel zu Materie im
elektrischen Feld.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 58
[vgl. Albach 1, Kap. 1.2, S. 19]
Die Richtung der Kraft
Die Kraft lässt sich schreiben als Produkt von Betrag und Richtung:
𝐹𝐹⃗ 𝑟𝑟 = 𝐹𝐹⃗ 𝑟𝑟 � 𝑒𝑒⃗𝑟𝑟
Dabei weist der Einheitsvektor in Richtung der
Ladung und 𝑟𝑟 gibt den Abstand an. Es gelten
für Kräfte die Rechenregeln für Vektoren!
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 59
𝑒𝑒⃗𝑟𝑟
𝑟𝑟
+
Das Coulombsche Gesetz
𝐹𝐹⃗1 = 𝐹𝐹⃗2 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟 2
Zur Berechnung der vorzeichenrichtigen
Kraftrichtung gelte:
𝑒𝑒⃗12 = Einheitsvektor in positiver
Zählrichtung von 𝑟𝑟
𝑄𝑄1 +
Konvention
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 60
𝑟𝑟
𝐹𝐹⃗1 𝐹𝐹⃗2
𝑒𝑒⃗12
𝑒𝑒⃗21
- 𝑄𝑄2
𝑒𝑒⃗12 = −𝑒𝑒⃗21
Das Coulombsche Gesetz
𝐹𝐹⃗1 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
� 𝑒𝑒⃗21
2
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟
+
𝐹𝐹⃗1 𝐹𝐹⃗2
-
𝑒𝑒⃗12
𝑒𝑒⃗21
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 61
𝐹𝐹⃗2 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
� 𝑒𝑒⃗12
2
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟
Vorzeichen der Kraft
𝑒𝑒⃗12
𝑒𝑒⃗12
𝑒𝑒⃗12
[Abb.: Giancoli, Physik, S. 735, Pearson, 2010]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 62
Kräfte zwischen gleichen Ladungen
Wie groß ist die Kraft zwischen zwei Protonen im Abstand von 1 nm?
𝑄𝑄1 = 𝑒𝑒 = 1,602 � 10−19 As
𝑄𝑄2 = 𝑒𝑒 = 1,602 � 10−19 As
𝑟𝑟 = 1 nm
𝜀𝜀0 = 8,854 � 10
𝜀𝜀r = 1
−12
+
As
Vm
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 63
+
𝐹𝐹⃗2
Kräfte zwischen gleichen Ladungen
+
+
𝐹𝐹⃗2
𝐹𝐹⃗2 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
� 𝑒𝑒⃗r
2
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟
𝑒𝑒 2
� 𝑒𝑒⃗
𝐹𝐹⃗2 =
4π𝜀𝜀0 𝑟𝑟 2 r
𝐹𝐹⃗2 = 𝐹𝐹2 = 2,31 � 10−10 N
𝐹𝐹⃗2 = 𝐹𝐹2 = 231 pN
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 64
Vergleich mit Gravitation
 Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen im Abstand
von 1 nm?
 Gegeben: 𝑚𝑚e = 9,109 � 10−31 kg
𝑟𝑟 = 1 nm
𝛾𝛾 = 6,67259 � 10−11
 Anziehende Kraft:
𝑚𝑚1 𝑚𝑚2
𝐹𝐹 = 𝛾𝛾
𝑟𝑟 2
Nm2
kg 2
𝐹𝐹 = 5,54 � 10−53 N
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 65
-
-
[vgl. Albach 1 Kap. 1.3 S. 19]
Was ist ein Feld?
Wenn sich der physikalische Zustand eines Objekts im Raum ändert,
ohne dass ein direkter Kontakt mit einem anderen Objekt besteht, spricht
man von einem Feld.
Beispiel:
Die Ladung eines Objekts verändert den umgebenden Raum durch sein
elektrisches Feld: Ein anderes geladenes Objekt erfährt eine Kraft.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 66
Was ist ein Feld?
Literatur:
z.B. Gerthsen (2006, S. 296)
Text im Plenum:
Feldbegriff nicht
im Skript
Welche Fragen
gibt es zum Text?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 67
Analogie: Gravitationsfeld
Von der Erde wissen wir, dass sie von einem Gravitationsfeld
umgeben ist, das in Richtung des Erdmittelpunktes wirkt.
Das Feld kann durch Wirkungslinien - das sind die
Feldlinien - dargestellt werden. Das Erdfeld kann
als radialhomogen betrachtet werden.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 68
𝑔𝑔⃗
Masse
𝒎𝒎𝟏𝟏
Analogie: Gravitationsfeld
m2
𝐹𝐹⃗2
𝑔𝑔⃗1
Masse
m1
𝐹𝐹⃗2 = 𝑚𝑚2 � 𝑔𝑔⃗1
𝑚𝑚1 𝑚𝑚2
𝐹𝐹 = 𝛾𝛾
= 𝑚𝑚1 𝑔𝑔1
2
𝑟𝑟
Eigenschaft des
Raumes, Feldgröße
Eigenschaft des
betrachteten Körpers im
Raum
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 69
Arten von Feldern
 Skalarfeld: Der Raum ändert nur den Betrag einer Eigenschaft des
Testkörpers
Beispiel: Temperaturfeld, elektrisches Potenzial
 Vektorfeld: Der Raum ändert Betrag und Richtung einer Eigenschaft
des Testkörpers
Beispiel: Strömungsfeld, elektrostatisches Feld
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 70
Vektorfelder
 Bei Vektorfeldern wird zwischen homogenen und inhomogenen
Feldern unterschieden.
 Felder, die an jeder Stelle gleiche Stärke und gleiche Richtung
besitzen, heißen homogene Felder.
 Sind Feldstärke und/oder Feldrichtung ortsabhängig, so spricht
man von inhomogenen Feldern
 Sonderfall: radialhomogenes Feld (s. Gravitation, Punktladung)
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 71
[vgl. Albach 1, Kap. 1.7, S. 27]
Feldlinien
 Als Feldlinien bezeichnet man Raumkurven, deren gerichtetes
Wegelement an einem Ort immer in Richtung der dortigen
Feldstärke zeigt.
 Feldlinien haben immer eine eindeutige Richtung, d.h sie dürfen
sich nicht schneiden.
 Die Feldlinien im elektrischen Feld beginnen immer an einer
positiven Ladung und enden an einer negativen.
 Die elektrischen Feldlinien münden auf metallischen Oberflächen
stets senkrecht ein.
Vorgriff:
Elektrostatik
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 72
[vgl. Albach 1, Kap. 1.7, S. 28]
Richtung der Feldlinien
+
-
Richtung: Kraft auf positive Probeladung
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 73
[vgl. Albach 1, Kap. 1.7, S. 30]
Feldliniendarstellung
 Feldlinien verlaufen in jedem Raumpunkt tangential zu den
Vektoren des Vektorfeldes; sie geben damit die Richtung des
Vektorfeldes an.
 Der Richtungssinn der Vektoren wird durch einen Pfeil auf den Linien
angegeben.
Ermitteln der Feldlinien:
Man erhält eine Feldlinie, wenn man von einem gegebenen Punkt des
Raumes ein kleines Stück d𝑠𝑠⃗ in Richtung des Feldstärkevektors
voranschreitet, dort erneut die Richtung der Kraft bestimmt, usw.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 74
[vgl. Albach 1, Kap. 1.7, S. 28]
Feldlinien zwischen zwei Ladungen
Ladungen mit gleichem Vorzeichen
Diskussion:
Passen die
Linien so?

 F
E=
Q
[https://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/eldipol1.gif]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 75
Vorgriff:
Gestrichelte
Linien
[vgl. Albach 1, Kap. 1.7, S. 30]
Feldlinien zwischen zwei Ladungen
Ladungen mit verschiedenen Vorzeichen
Diskussion:
Bedeutung der
Linien
[https://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/eldipol2.gif]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 76
[vgl. Albach 1, Kap. 1.3, S. 21]
Die elektrische Feldstärke
Die Feldstärke 𝐸𝐸 repräsentiert die Dichte der Feldlinien.
Sie ist definiert als der Quotient aus der auf eine Probeladung 𝑄𝑄 wirkende
Kraft und der Probeladung selbst:
𝐹𝐹⃗
𝐸𝐸 =
𝑄𝑄
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 77
[vgl. Albach 1, Kap. 1.3, S. 20]
Vorzeichen des elektrischen Feldes & der Kraft
𝑄𝑄2
𝐹𝐹⃗2
𝐸𝐸1
𝑒𝑒⃗12
𝐹𝐹⃗2 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
� 𝑒𝑒⃗
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟 2 12
positive
Ladung
𝑸𝑸𝟏𝟏
𝐹𝐹⃗2 = 𝑄𝑄2 � 𝐸𝐸1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 78
Diskussion:
Welches Vorzeichen
hat 𝑄𝑄2 ?
[vgl. Albach 1, Kap. 1.3, S. 21]
Vorzeichen des elektrischen Feldes & der Kraft
𝑒𝑒⃗12
𝑒𝑒⃗12

E1
𝑒𝑒⃗12

E1

E1
[Abb.: Giancoli, Physik, S. 735, Pearson, 2010]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 79
[vgl. Albach 1, Kap. 1.3, S. 20]
Einheit des elektrischen Feldes
Kraft
Dimensionsanalyse: dim E = dim
Ladung
Nutze Beschreibung der Kraft über Energie: 𝐹𝐹 =
𝑊𝑊
𝑠𝑠
Mit elektrischer Energie (später), 𝑊𝑊 = 𝑄𝑄 � 𝑈𝑈, folgt:
Ladung � Spannung
dim Kraft = dim
Länge
d. h. dim 𝐸𝐸 = 1
N
VAs 1
V
=1
�
=1
C
m As
m
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 80
Vorgriff:
Spannung
Typische elektrische Feldstärken
In der Atmosphäre (klares Wetter)
Durchschlagfestigkeit der Luft
Oberfläche einer Rundfunkantenne
Oberfläche einer Hochspannungsleitung
In einem Kondensator
In einem stromdurchflossenen Leiter
In der Sperrschicht von Halbleitern
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 81
E ≈ 100...200 V/m
E ≈ 30 kV/cm
E ≈ 1...1000 µV/m
E ≈ 106 V/m
E ≈ 106...107 V/m
E ≈ 0,1 V/m
E ≈ 104...106 V/cm
[vgl. Albach 1, Kap. 1.4, S. 21]
Überlagerung mehrerer Felder
Vektoraddition
𝐸𝐸 𝑟𝑟⃗ = 𝐸𝐸1 𝑟𝑟⃗ + 𝐸𝐸2 𝑟𝑟⃗ + 𝐸𝐸3 𝑟𝑟⃗ + ⋯
Superpositionsprinzip:
 Hängen Ursache und Wirkung linear von einander ab, so ergibt sich
die Gesamtwirkung von mehreren Ursachen als Summe aller
Einzelwirkungen.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 82
Zusammenfassung
Elektrische Kraft: Coulomb‘sches Gesetz:
 Kraftvektor
 Einheit der Ladung: Coulomb, 1 C = 1 As
Elektrisches Feld:
 Skalar- und Vektorfeld
 Kraftrichtung für positive Ladung
 Feldlinien
 Einheit der Feldstärke V/m
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 83
𝐹𝐹⃗𝐶𝐶 =
𝑄𝑄1 � 𝑄𝑄2
� 𝑒𝑒⃗
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟 2 12
𝐹𝐹⃗
𝐸𝐸 =
𝑄𝑄
1.3 Energie und Potenzial
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Lernziele
Neue Begriffe:
 Elektrische Arbeit
 Potenzialdifferenz
 Potenzial
 Äquipotenziallinien
 Elektrische Spannung
Neue Verfahren:
 Berechnung der potenziellen
Energie
 Berechnung des Potenzials
Motivation:
 Spannung - Potenzial
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 85
Arbeit
Arbeit = Kraft mal Weg
𝑊𝑊𝑎𝑎𝑎𝑎 ist die Arbeit, die das Feld verrichtet:
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑊𝑊𝑎𝑎𝑎𝑎 = � 𝐹𝐹⃗ d𝑠𝑠⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑎𝑎
𝑎𝑎
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 86
Erinnerung an
Schulphysik
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.2, S. 18]
Vergleich der Energieformen
𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚 � 𝑔𝑔⃗
𝑔𝑔⃗
𝑚𝑚
1
2
Gravitationsgesetz
Bei der Verschiebung der Masse 𝑚𝑚
von 1 nach 2 wird vom Feld die
Arbeit 𝑊𝑊12 = 𝐹𝐹⃗ � 𝑠𝑠⃗ = 𝑚𝑚 � 𝑔𝑔 � 𝑠𝑠
geleistet.
𝐸𝐸
𝐹𝐹⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸
𝑄𝑄
+
-
Coulomb‘sches Gesetz
Bei der Verschiebung der Ladung
𝑄𝑄 von 1 nach 2 wird vom Feld die
Arbeit 𝑊𝑊12 = 𝐹𝐹⃗ � 𝑠𝑠⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 � 𝑠𝑠
geleistet.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 87
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S. 31]
Vorzeichen der Arbeit
 Wird eine Ladung auf einem Weg durchs E-Feld überwiegend gegen
die Kraft bewegt, so muss von außen Energie aufgewendet werden
→ 𝑾𝑾 ist negativ
 Wird eine Ladung überwiegend in Richtung der durch die Feldstärke
erzeugte Kraft bewegt, so wird die Arbeit vom Feld verrichtet
→ 𝑾𝑾 ist positiv
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 88
Arbeit des elektrischen Feldes
+
𝑄𝑄
P1
𝐹𝐹⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸
Weg 𝑠𝑠
∆𝑠𝑠𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑖𝑖
P2
𝐹𝐹⃗𝑖𝑖
𝑃𝑃2
𝑊𝑊12 = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 89
Herleitung auf
dem Overhead
Arbeit des elektrischen Feldes
+
𝑄𝑄
P1
Weg 𝑠𝑠
𝐹𝐹⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸
∆𝑠𝑠𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑖𝑖
P2
𝐹𝐹⃗𝑖𝑖
𝑃𝑃2
𝑊𝑊12 = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 90
Die berechnete Arbeit
wird beim Transport der
Ladung 𝑄𝑄 von P1 nach P2
vom Feld 𝐸𝐸 aufgebracht.
Damit ist die potenzielle
Energie der Probeladung
𝑄𝑄 in P2 um den Betrag
der aufgewendeten Arbeit
geringer.
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S. 32]
Eigenschaften der Arbeit
Die Arbeit bei Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld
ist unabhängig vom Weg zwischen zwei Punkten.
Kehrt man insbesondere zum Ausgangspunkt zurück, dann
ist die geleistete Energie gleich der gewonnenen und
𝑊𝑊Kreis = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 � d𝑠𝑠⃗ = 0
Ein Feld mit dieser Eigenschaft bezeichnet man auch als wirbelfreies
Feld oder Quellenfeld. Dies bedeutet auch, dass es keine in sich
geschlossenen Feldlinien gibt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 91
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S. 31]
Definition: potenzielle Energie
𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚 � 𝑔𝑔⃗
𝑔𝑔⃗
𝑚𝑚
1
2
Gravitationsgesetz
𝐸𝐸
𝐹𝐹⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸
𝑄𝑄
-
Coulomb‘sches Gesetz
 𝑊𝑊𝑒𝑒 ist die potenzielle Energie der Ladung 𝑄𝑄 im Punkt P2.
𝑃𝑃2
𝑊𝑊𝑒𝑒 = −𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = −𝑊𝑊12
𝑃𝑃1
+
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 92
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S. 31]
Definition: Potenzial
Definieren wir jetzt das
Potenzial 𝝋𝝋 zu
𝜑𝜑 ≔ − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠,
berechnet sich die potenzielle Energie
𝑃𝑃2
𝑊𝑊𝑒𝑒 = −𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 𝑄𝑄(𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃2 − 𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃1 )
𝑃𝑃1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 93
Anschauliche Interpretation des Potenzials
Setzen wir das Bezugspotenzial 𝜑𝜑𝑒𝑒 (𝑃𝑃1 ) = 0
zu null erhalten wir:
𝑃𝑃2
𝑊𝑊𝑒𝑒 = −𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 𝑄𝑄 𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃2 − 𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃1
=0
𝑃𝑃1
oder
𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃2
𝑊𝑊𝑒𝑒
=
𝑄𝑄
= 𝑄𝑄 𝜑𝜑𝑒𝑒 𝑃𝑃2
Das Potenzial entspricht der auf die
Ladung bezogenen potenziellen
Energie.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 94
Einheit des Potenzials
𝜑𝜑 = − � 𝐸𝐸 𝑠𝑠⃗ d𝑠𝑠⃗ + const.
Was macht das Integral mit der Einheit?
Das Integral ändert die Einheit nicht, es „summiert“ nur gleiche „Summanden“
V
𝜑𝜑 = 𝐸𝐸 � 𝑠𝑠 = � m = V (Volt)
m
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 95
Äquipotenziallinien
 Linien gleichen Potenzials heißen Äquipotenziallinien.
 Die Bewegung einer Ladung entlang einer Äquipotenziallinie ist ohne
Energieänderung und ohne Kraft möglich.
 Feldlinien und Äquipotenziallinien stehen immer senkrecht
aufeinander. Dann ist das Skalarprodukt und damit auch die
Potenzialdifferenz null.
[https://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/eldipol1.gif]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 96
Elektrisches Feld und Potenzial
Coulomb-Kraft 𝐹𝐹
𝜑𝜑 =
− ∫ 𝐹𝐹⃗ d𝑠𝑠⃗
𝑄𝑄
𝐹𝐹⃗
𝐸𝐸 =
𝑄𝑄
Elektrisches Feld 𝐸𝐸
𝜑𝜑 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
Elektrisches Potenzial 𝜑𝜑
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 97
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S. 34]
Beispiel: Arbeit des Feldes
Bewegung einer Ladung 𝑸𝑸𝟏𝟏 entlang eines Weges
von P1 nach P0 :
Rechnung auf
dem Overhead
Äquipotenzialfläche / -linie 𝜑𝜑(P0 )
Äquipotenzialfläche / -linie 𝜑𝜑(P1 )
Welche Arbeit leistet das Feld bei der
Verschiebung von P1 nach P0 ?
Wie lautet das Potenzial im Punkt P0 ?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 98
d𝑠𝑠⃗
-
P0
P1
𝑟𝑟0
Beispiel: Potenzial
Wird das Bezugspotenzial 𝜑𝜑0 auf der Fernkugel mit 𝑟𝑟 → ∞ zu null
angenommen, dann liegt in P0 das Potenzial vor:
𝑄𝑄
𝜑𝜑(𝑃𝑃0 ) =
4π𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑟𝑟0
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 99
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8.1, S. 34]
Beispiel: Potenzialdifferenz
Bewegung der Ladung entlang des Weges
von P1 über P2, P3, P4 nach P1
P1
𝑃𝑃𝑖𝑖
P2
-
P3
𝑄𝑄
𝐸𝐸(𝑟𝑟) =
4π𝜀𝜀r 𝜀𝜀0 𝑟𝑟 2
P4
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 100
𝜑𝜑 𝑃𝑃𝑖𝑖 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋12
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Potenzialdifferenz zu berechnen:
1. Es wird ein beliebiger Punkt 𝑃𝑃0 als Bezugspunkt gewählt
𝑃𝑃1
𝑃𝑃2
𝜑𝜑12 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ + � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃0
𝑃𝑃0
2. Es wird ein Bezugspunkt im Unendlichen gewählt (Spezialfall von 1)
𝑃𝑃1
𝑃𝑃2
𝜑𝜑12 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ + � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃∞
𝑃𝑃∞
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 101
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋12
3. Die Potenzialdifferenz wird direkt über ein Integral berechnet
𝑃𝑃2
𝜑𝜑12 = � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 102
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋12
Möglichkeit 1: Potenzialdifferenz von P1 nach P2
𝜑𝜑12 = 𝜑𝜑(P1) − 𝜑𝜑(P2)
𝑃𝑃1
P1
𝑃𝑃2
𝜑𝜑12 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ + � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃0
𝑃𝑃0
Beliebiger Punkt P0 als Bezugspunkt
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 103
P2
-
P3
P4
Rechnung auf
dem Overhead
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋12
Möglichkeit 2: Potenzialdifferenz von P1 nach P2
𝜑𝜑12 = 𝜑𝜑(P1) − 𝜑𝜑(P2)
𝑃𝑃1
P1
𝑃𝑃2
𝜑𝜑12 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ + � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃0
𝑃𝑃0
P2
-
P3
P4
Für einen Bezugspunkt mit r →∞
Rechnung auf
dem Overhead
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 104
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋12
Möglichkeit 3: Potenzialdifferenz von P1 nach P2
P1
Direkte Berechnung des Linienintegrals
P2
Übung für
Zuhause
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 105
P3
P4
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋23
Wie groß ist die Potenzialdifferenz zwischen
den Punkten P2 und P3?
P1
P2
Wie groß ist die Potenzialdifferenz zwischen
den Punkten P4 und P1?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 106
-
P3
P4
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋34
Potenzialdifferenz von P3 nach P4
𝜑𝜑34 = 𝜑𝜑(P3) − 𝜑𝜑(P4)
P1
P2
-
P3
Möglichkeit 1:
P4
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 107
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8.1, S. 34]
Beispiel: Potenzialdifferenz 𝝋𝝋Ges
Gesamte Umlaufspannung des Weges von P1 über P2, P3, P4 nach P1
P1
P2
-
P3
P4
𝜑𝜑Ges = 𝜑𝜑12 + 𝜑𝜑23 + 𝜑𝜑34 + 𝜑𝜑41
𝜑𝜑Ges = ?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 108
Superpositionsprinzip
Das Superpositionsprinzip gilt auch für das Potenzial:
Potenziale verschiedener Quellen addieren sich in einem Raumpunkt:
𝜑𝜑Ges = � 𝜑𝜑𝑖𝑖
𝑖𝑖
[Abb.: Paul, Elektrotechnik 1, Springer, 1993, S. 68]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 109
Elektrische Spannung 𝑼𝑼
 Die Differenz zwischen zwei Potenzialwerten wird als elektrische
Spannung bezeichnet und in Volt V gemessen.
𝑈𝑈12 = 𝜑𝜑1 − 𝜑𝜑2
 Bei der Differenz zwischen zwei Potenzialen ist der Bezugspunkt egal,
da unabhängig vom Weg die Potenzialdifferenz gleich bleibt.
 Analogie: Die Höhendifferenz zweier Berggipfel ist unabhängig davon,
ob die Höhe der beiden Berge vom Meeresspiegel oder von der Talsohle
gemessen wird.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 110
Elektrische Spannung 𝑼𝑼
 Die elektrische Spannung ist ebenso wie das Potenzial eine
skalare Größe.
 Sie ist positiv, wenn das Integral in Richtung des elektrischen
Feldes berechnet wird.
 Die Richtung der Spannung wird mit einem Bezugspfeil - das ist
kein Vektor - gekennzeichnet.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 111
Typische Spannungswerte
Kleinste messbare Spannungen
Elektrische Spannung im Körper (EKG)
Spannungsnetz im KFZ
Maximale Spannung in Spielzeug
Hochspannungsleitung
Blitz
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 112
pV-Bereich (10-12 V)
1 mV
12 V
42 V
10 ...500 kV
100 MV
Zusammenfassung
Elektrische Arbeit, Energie
Elektrisches Potenzial
Elektrische Spannung
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑊𝑊ab = � 𝐹𝐹⃗ d𝑠𝑠⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑎𝑎
𝑊𝑊ab
𝜑𝜑b = −
𝑄𝑄
𝑈𝑈12 = 𝜑𝜑1 − 𝜑𝜑2
𝑎𝑎
Superposition: Elektrische Felder und Potenziale überlagern sich linear
und werden (vektoriell) aufsummiert.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 113
1.4 Elektrisches Feld und Materie
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Lernziele
Neue Begriffe:
 Influenz
 Verschiebungsflussdichte
 Dielektrikum, Dielektrizitätszahl 𝜀𝜀𝑟𝑟
 Polarisierbarkeit, Suszeptibilität
 Oberflächenladung
 Dipol, Dipolmoment
 Kapazität
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 115
Lernziele
Neue Verfahren:
 Berechnung der
Verschiebungsflussdichte
 Berechnung von Fluss und
Flussdichte
 Gauss‘sches Gesetz der
Elektrostatik
 Berechnung des elektrischen
Dipolmoments
 Berechnung des Kreuzprodukts
Motivation: Kondensator
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 116
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.10, S. 38]
Weitere Integralgrößen
+𝑸𝑸
𝐸𝐸
−𝑸𝑸
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 117
Weitere Integralgrößen
Exkurs
Oberflächenintegral
+𝑸𝑸
𝐸𝐸
−𝑸𝑸
?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 118
Weitere Integralgrößen
Eigenschaften von d𝐴𝐴⃗
 Richtung:
Normale auf Flächenelement
 Länge:
Inhalt des Flächenelementes
d𝐴𝐴⃗
𝐸𝐸
d𝜓𝜓 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀𝑟𝑟 𝐸𝐸 � d𝐴𝐴⃗ = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀𝑟𝑟 𝐸𝐸 � d𝐴𝐴⃗ � cos 𝛼𝛼
[Abb. nach Debenben - Eigenes Werk, CC0, abgerufen 1.10.19
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30730864]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 119
𝜓𝜓 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r � 𝐸𝐸 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
Weitere Integralgrößen
Eigenschaft von � 𝐸𝐸 � d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
d𝐴𝐴⃗
Fluss durch eine Fläche oder:
Anzahl an Feldlinien durch eine
betrachtete Fläche
𝐸𝐸
[Abb. nach Debenben - Eigenes Werk, CC0, abgerufen 1.10.19
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30730864]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 120
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.10, S. 38]
Der Fluss im elektrischen Feld
Definition:
Elektrischer Fluss 𝜓𝜓
+𝑸𝑸
𝜓𝜓 = � 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 121
𝐸𝐸
𝐴𝐴⃗
−𝑸𝑸
Überlegungen zum Oberflächenintegral
+𝑄𝑄
𝐸𝐸
Diskussion:
Erwarteter Fluss?
−𝑄𝑄
Geschlossene Hüllfläche
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 122
Überlegungen zum Oberflächenintegral
+𝑄𝑄
𝐸𝐸
Rechnung auf
Overhead
−𝑄𝑄
Jetzt: Geschlossene Hüllfläche um Ladung herum
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 123
Motivation: Elektrische Flussdichte
Motivation nach Gerthsen (2006, S. 311):
„Das elektrische Feld steht in doppelter Beziehung zur Ladung“:
1.) Das Feld wird von Ladungen erzeugt; diese sind Quellen oder
Senken des Feldes; aus jedem Volumenelement, das eine Ladungsdichte
𝜌𝜌 hat, kommen Feldlinien heraus oder enden dort:“
𝑄𝑄
⃗
� 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸 d𝐴𝐴 =
� d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
2
4π𝑟𝑟
𝐴𝐴K
𝐴𝐴K
2.) Das Feld übt auf Ladungen Kräfte aus: 𝐹𝐹⃗ = 𝑄𝑄 � 𝐸𝐸
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 124
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.10, S. 38]
Definition: Elektrische Flussdichte
Definition:
Elektrische Flussdichte 𝐷𝐷
oder Verschiebungsflussdichte
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 125
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀r 𝜀𝜀0 𝐸𝐸
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.10, S. 38]
Elektrische Flussdichte
Motivation (2) nach Gerthsen (2006, S. 311)
„Aus der zweiten Beziehung haben wir die Definition von 𝐸𝐸 bezogen. Um
die felderzeugende Rolle der Ladung stärker zu betonen, ist es
zweckmäßig, einen zweiten Feldvektor 𝐷𝐷 einzuführen, so dass […] die
Proportionalitätskonstante wegfällt. […] Offenbar muss dazu sein:
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
𝐴𝐴K
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸
Die Vorzüge dieser Definition zeigen sich besonders, wenn man das
elektrische Feld in Materie behandelt.“
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 126
Elektrische Flussdichte
Interpretation:
Das in dem Integral stehende Produkt 𝜀𝜀𝐸𝐸 = 𝐷𝐷
wird als elektrische Flussdichte, oder Verschiebungsflussdichte
bezeichnet. Bezüglich einer Punktladung gilt:
𝑄𝑄
𝐷𝐷 =
𝑒𝑒⃗
4π𝑟𝑟 2 r
Das geschlossene Oberflächenintegral über die elektrische Flussdichte
liefert die feldverursachende Ladung. Damit beschreibt die elektrische
Flussdichte 𝐷𝐷 die Ursache des elektrischen Feldes.
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 127
𝐴𝐴K
Elektrische Flussdichte
 Die elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 beschreibt die dem Raumpunkt feldgemäß
zugeordnete Ursache des elektrischen Feldes.
 Ihre Richtung stimmt mit der Feldstärke 𝐸𝐸 überein.
 Ihre Quellen sind Ladungen, die sich an einer anderen
Stelle im Raum befinden.
𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸 = 𝐷𝐷
bzw.
𝐸𝐸 =
𝐷𝐷
1
𝑄𝑄
=
�
� 𝑒𝑒⃗r
2
𝜀𝜀r 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝜀𝜀0 4π𝑟𝑟
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 128
Einheit
Die Einheit der elektrischen Flussdichte 𝐷𝐷 ist die einer
Flächenladungsdichte 𝜎𝜎:
dim 𝐷𝐷 =
Plausibilität: Vergleiche mit
dim Ladung
As
= 2
dim Fläche
m
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
𝐴𝐴K
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 129
Interpretation der Integralgrößen
𝐴𝐴⃗2
𝜓𝜓2 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗2 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸 d𝐴𝐴⃗2 = 𝑄𝑄
𝐴𝐴2
𝐴𝐴⃗3
𝐸𝐸
+𝑄𝑄
𝐴𝐴2
𝜓𝜓3 = ∯𝐴𝐴 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗3 =0
𝐴𝐴⃗1
3
−𝑄𝑄
𝜓𝜓1 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗1 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸 d𝐴𝐴⃗1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 130
𝐴𝐴1
𝐴𝐴1
Interpretation der Integralgrößen
Wird das Integral nur über einer Teilfläche gebildet, erhält man auch nur
die entsprechende Teilladungsmenge.
𝐴𝐴1 = offene Fläche
⃗
⃗
𝜓𝜓1 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴1 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸 d𝐴𝐴1
𝐴𝐴1
𝐴𝐴1
Auf einer beliebig geschlossenen Fläche ist der Gesamtfluss der
elektrischen elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 gleich dem Gesamtwert der
Ladung, die im Inneren dieser Fläche die Ursache des elektrischen
Feldes ist.
𝐴𝐴2 = geschlossene
𝜓𝜓2 = 𝑄𝑄 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗2 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸 d𝐴𝐴⃗2
Hüllfläche
𝐴𝐴2
𝐴𝐴2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 131
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.10, S. 39]
Ladung – elektrischer Fluss
 Das Hüllflächenintegral der elektrischen Flussdichte über eine beliebig
geschlossene Fläche 𝐴𝐴 entspricht der im umschlossenen Volumen
enthaltenen Gesamtladung 𝑄𝑄.
𝜓𝜓 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
𝐴𝐴
 Der Fluss 𝜓𝜓 ist also ein Maß für die vorhandene Ladungsmenge.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 132
Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
 1777 geboren in Braunschweig,
Am Wendengraben 1550
 1799 Promotion in Helmstedt
 1807 Professor in Göttingen
 1800-1820 Mathematik (Gaußsche Zahlenebene
der komplexen Zahlen)
 1820- 1830 Geodäsie
 1830-1840 Physik (Erdmagnetismus, Einheit Gauß)
 1840-1855 Mathematik (Nichteuklidische Geometrie und
Versicherungsmathematik)
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 133
[Abb.: http://bit.ly/1SCc8jt,
Abgerufen am 31.07.2017]
Literatur:
Hubert Mania,
Gauß, Rororo,
2008
Unterschiedliche Definitionen
Für den elektrischen Fluss gibt es unterschiedliche Definitionen. Dies
kann zu Unklarheiten führen. Wir beziehen uns bei dem elektrischen
Fluss immer auf folgende Formel:
𝜓𝜓 = � 𝐷𝐷 � d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
Besonders aber in der physikalischen Literatur (z.B. Halliday) wird die
folgende Definition des elektrischen Flusses verwendet:
𝜓𝜓
⃗
𝜙𝜙 = � 𝐸𝐸 � d𝐴𝐴 =
𝜀𝜀
𝐴𝐴
Die Begriffsdefinitionen unterscheiden sich trotz gleicher Namensgebung!
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 134
1.4.1 Leiter im elektrischen Feld
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Elektrostatische Phänomene
Zunächst untersuchen wir Ladungen im idealen Leiter (Metall).
Da in den folgenden Überlegungen kein Stromfluss möglich ist, werden
die Phänomene als elektrostatische Phänomene bezeichnet.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 136
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.13, S. 47]
Influenz
Metallkörper
+
-
+
+
+
Diskussion:
Was passiert?
Isolatoren
Mit der positiv geladenen Kugel werden in einem Metallkörper Ladungen
verschoben. Dieser Vorgang heißt Influenz. Die Ladungen auf dem
Metallkörper werden als Influenzladungen bezeichnet.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 137
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.13, S. 47]
Metallplatten im homogenen Feld
In ein homogenes elektrisches Feld 𝐸𝐸 werden zwei metallische Elektroden
mit der Fläche 𝐴𝐴𝑝𝑝 eingeführt. Die Kraftwirkung des elektrischen Feldes auf
die freien Ladungsträger in den Metallelektroden bewirkt eine
Ladungstrennung.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 138
Metallplatten im homogenen Feld
Die Ladungstrennung (oder Verschiebung) ist dann beendet, wenn auf den
Prüfplatten Ap die gleiche Ladungsdichte (oder Verschiebungsflussdichte)
𝑸𝑸𝒊𝒊 /𝑨𝑨𝒑𝒑 = 𝑸𝑸/𝑨𝑨
vorliegt, wie auf den Platten der das Feld erzeugenden Anordnung.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 139
Trennung der Platten
Im elektrischen Feld 𝐸𝐸 werden die beiden metallischen
Elektroden getrennt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 140
Trennung der Platten
Im elektrischen Feld 𝐸𝐸 werden die beiden metallischen
Elektroden getrennt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 141
Trennung der Platten
Im elektrischen Feld 𝐸𝐸 werden die beiden metallischen
Elektroden getrennt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 142
Trennung der Platten
Im elektrischen Feld 𝐸𝐸 werden die beiden metallischen
Elektroden getrennt.
Diskussion:
Was passiert?
Warum?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 143
Entfernen der Metallplatten
Die beiden Elektroden werden aus dem elektrischen Feld 𝐸𝐸 entfernt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 144
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.13, S. 47]
Elektrische Flussdichte
Die auf den Platten influenzierte Ladung 𝑸𝑸𝒊𝒊 ist proportional zu:
𝐴𝐴⃗𝑝𝑝
−𝑄𝑄𝑖𝑖
𝐷𝐷
+𝑄𝑄𝑖𝑖
𝐸𝐸
Feldstärke
Plattenfläche 𝐴𝐴p
Winkel
cos 𝛼𝛼
𝜀𝜀 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
Material
Dimensionsanalyse:
𝑄𝑄
As
= 2
𝐷𝐷 =
m
𝐴𝐴
α
𝐴𝐴⃗𝑝𝑝
𝐷𝐷 hat die Einheit einer
Flächenladungsdichte.
Q=
2integral
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie
145
D.dA
Elektrische Flussdichte
Erinnerung: Elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 ist Feldgröße mit der gleichen
Richtung wie die Feldstärke.
𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴⃗p
𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝐷𝐷 � 𝐴𝐴⃗p
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀 � 𝐸𝐸
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 146
Diskussion:
Alternative
Herleitung?
1.4.2 Materie im elektrischen Feld
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Elektrostatische Phänomene
Was passiert mit dem elektrischen Feld in nichtleitenden
(𝑛𝑛𝑒𝑒 < 109 freien Elektronen pro cm3 ) Medien?
 Dielektrikum z. B. Quarzglas SiO2 (Siliciumdioxid), CaF (Calciumfluorid)
 Isolator
z. B. Porzellan, Keramik
 Nichtleiter
z. B. Vakuum, Edelgase, Flüssigkeiten
Diskussion:
Was passiert?
Warum?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 148
3azel
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 51]
Polarisation des Dielektrikums
Induzierte Dipole: 1.) Elektronenpolarisation
-
+
𝐹𝐹⃗
-
Wasserstoff
+
𝐹𝐹⃗
𝐸𝐸
Auf den Atomkern mit positiver Ladung und das Elektron mit negativer
Ladung wirken durch das elektrische Feld entgegengesetzt gerichtete
Kräfte.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 149
Modell für Polarisation: Elektrischer Dipol
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt
gleich großen Ladungen (+𝑄𝑄𝑑𝑑 und −𝑄𝑄𝑑𝑑 ) im Abstand 𝑙𝑙.
Längenvektor 𝑙𝑙⃗
−𝑄𝑄𝑑𝑑
+𝑄𝑄𝑑𝑑
Ladungspaar im Abstand 𝑙𝑙
𝐸𝐸
Der Abstandsvektor 𝒍𝒍⃗ zeigt in Richtung des elektrischen Feldes 𝑬𝑬.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 150
Modell für Polarisation: Elektrischer Dipol
Durch die Bildung von Dipolen wird der Stoff polarisiert.
Dies wirkt sich z. B. dadurch aus, dass an seiner Oberfläche flächenhaft
verteilte Ladungen auftreten (Flächenladungen).
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 151
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 54]
Modell für Polarisation: Elektrischer Dipol
In der Literatur wird auch von „scheinbaren Ladungen“ gesprochen, um
den Unterschied dieser Oberflächenladungen von „wahren Ladungen“
(zusätzlichen oder fehlenden Elektronen) deutlich zu machen
(vgl. z. B. Gerthsen 2006, S. 313).
Albach unterscheidet „Polarisationsladungen“ und „freie Ladungen“
(Albach, 2008, S. 54).
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 152
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 51]
Ionenpolarisation
Induzierte Dipole: 2.) Ionenpolarisation
Bei allen Stoffen, deren Gitter aus positiven und negativen Ionen
aufgebaut ist, tritt unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes
eine Verschiebung im Gitter auf.
Beispiel NaCl (Kochsalz): Durch Auffüllen der äußeren Schale des
Chloratoms mit einem Elektron des Natriums entstehen die Ionen.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 153
Ionenpolarisation
Na+
Cl-
Na
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 154
Cl
Ionenpolarisation
𝐹𝐹⃗
Na+
Cl-
+
Cl- Na
Na+
ClNa+
Na+
ClNa+
ClCl-
Na+
Cl-
Na+
Cl-
Na+
Na+
Cl-
𝐹𝐹⃗
𝐸𝐸
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 155
Diskussion:
Was passiert?
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 54]
Ionenpolarisation
Ohne äußeres elektrisches Feld verhält sich der Stoff NaCl elektrisch
neutral.
+
-
-
+
+
+
-
+
+
-
-
-
+
+
-
-
+
-
+
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 156
Ionenpolarisation
In einem elektrischen Feld wirken auf die positiven Na-Ionen und die
negativen Cl-Ionen Kräfte, die eine Polarisation des Stoffes bewirken.
Im Inneren des Stoffes bilden sich Dipole und auf den Oberflächen
senkrecht zum Feld lässt sich eine flächenhafte
Ladungsverteilung nachweisen.
+
+
-
-
+
+
-
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 157
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
𝐸𝐸
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 53]
Orientierungspolarisation
Permanente Dipole: 3.) Orientierungspolarisation
Stoffe, die durch ihren molekularen Aufbau bereits elektrische Dipole
enthalten, wie z. B. Wasser (H2O), zeigen ohne äußeres elektrisches Feld
keine merkliche Ausrichtung der Dipole. Durch die ungeordnete Lage der
Dipole zueinander verhalten sich die Stoffe elektrisch neutral.
Unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes wird auf die
Dipole ein ausrichtendes „elektrisches Drehmoment“ ausgeübt.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 158
Orientierungspolarisation
Sauerstoffatom
2 Wasserstoffatome
Das Wassermolekül ist ein elektrischer Dipol, wobei +𝑄𝑄 und −𝑄𝑄 je zwei
Elementarladungen im Abstand von ca. 10−10 m entsprechen.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 159
Orientierungspolarisation
Ohne äußeres elektrisches Feld verhält sich Wasser elektrisch neutral.
-
+
Dipol
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 160
Orientierungspolarisation
Diskussion:
Was passiert?
negative
Flächenladung
𝐸𝐸
positive
Flächenladung
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 161
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 52]
Quantitativ: Elektrisches Dipolmoment
Definition:
Elektrisches Dipolmoment
𝑝𝑝⃗ ≔ 𝑄𝑄𝑙𝑙⃗
-Qd
+Qd
Als elektrisches Dipolmoment wird das Produkt aus Ladung und
Abstand des Ladungspaares bezeichnet:
Das Dipolmoment hat die Dimension: 𝑝𝑝⃗ = 𝑄𝑄 � 𝑙𝑙⃗ = 1 Asm
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 162
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 54]
Polarisation
Die makroskopische Polarisation entsteht durch die Ausrichtung
atomarer Dipole mit Dipolmoment 𝒑𝒑.
Befinden sich 𝑁𝑁 Dipole in einem Volumen 𝑉𝑉, dann wird die Polarisation 𝑃𝑃
über die vektorielle Summe der Dipolmomente 𝑝𝑝⃗ berechnet:
𝑁𝑁
1
𝑃𝑃 = � 𝑝𝑝⃗𝑖𝑖
𝑉𝑉
𝑖𝑖=1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 163
Polarisation
Für den Sonderfall gleichgerichteter Dipole vereinfacht sich die Formel zu:
𝑁𝑁𝑝𝑝⃗
𝑃𝑃 =
𝑉𝑉
𝑉𝑉 : Volumen des Dielektrikums
𝑁𝑁 : Anzahl der Dipole
𝑝𝑝⃗ : Dipolmoment
𝑃𝑃 : Polarisation
Dimension einer Flächenladung
𝑃𝑃 =
𝑁𝑁 𝑝𝑝⃗
As m As
=
= 2
3
m
m
𝑉𝑉
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 164
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 51]
Polarisation
Die elektrische Polarisation 𝑷𝑷 ist gleich der Volumendichte der
elektrischen Dipolmomente.
Sie entspricht somit dem elektrischen Dipolmoment pro Volumeneinheit,
das in einem Dielektrikum unter Einfluss eines elektrischen Feldes
ausgebildet wird.
Die Polarisation entspricht damit gleichzeitig der zusätzlichen Ladung
pro Flächeneinheit, die auf den leitenden Elektroden, die das
Dielektrikum umgeben, gespeichert werden kann.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 165
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.14, S. 56]
Polarisation
Durch die Polarisierbarkeit der Materie wird das elektrische Feld 𝐸𝐸 kleiner,
als es bei gleicher elektrischer Flussdichte 𝐷𝐷 im Vakuum wäre.
Darin ist 𝑃𝑃 die Polarisation und es gilt:
𝑃𝑃 = 𝜀𝜀0 𝜒𝜒e 𝐸𝐸
Die elektrische Suszeptibilität 𝜒𝜒 gibt das Verhalten des Materials an.
Dabei ist
𝜀𝜀 = 1 + 𝜒𝜒
und damit
r
e
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸.
Der griechische Buchstabe 𝜒𝜒 heißt „chi“.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 166
Relative Permittivität
𝜀𝜀𝑟𝑟
𝝌𝝌𝑟𝑟 = 𝜀𝜀𝑟𝑟 − 1
Luft
1,00059
0,00059
Metalle
1
0
Gummi
2,5 … 3,5
1,5 … 2,5
Quarz
3,8 … 5
2,8 … 4
Glas
5…7
4…6
Keramik
9,5 … 100
8,5 ... 99
Diamant
16,5
15,5
Dest. Wasser
81
80
Bariumtitanat
103 ... 104
103 ... 104
Material
Vakuum
1
0
𝜀𝜀𝑟𝑟 : relative Permittivität oder
Dielektrizitätszahl
Werte: zwischen 1 und 10000.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 167
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.1, S. 61]
Plattenkondensator
𝑸𝑸 = 𝑪𝑪 � 𝑼𝑼
Fläche 𝐴𝐴
++ + ++ + ++ +
Die Proportionalitätskonstante
heißt Kapazität 𝑪𝑪.
𝐷𝐷0
𝐸𝐸0
- - - - - - - - -
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 168
Abstand 𝑑𝑑
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17, S. 60]
Die Kapazität
Unter der Kapazität versteht man das Verhältnis aus
der aufgenommenen Ladung 𝑸𝑸 zu der angelegten Spannung 𝑼𝑼.
Sie ist ein Maß für die Fähigkeit eines Körpers, Ladungen zu speichern.
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Einflussfaktoren auf die Kapazität
Die Teilflächen 2, 3 und 4 werden von einem vernachlässigbaren
inhomogenen Randfeld durchsetzt. Es wird daher nur die Fläche 1 betrachtet.
Herleitung auf dem
Overhead
3
4
d𝐴𝐴⃗
+𝑸𝑸
2
𝐷𝐷 1
𝑄𝑄 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 170
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.1, S. 61]
Einflussfaktoren auf die Kapazität
Der Proportionalitätsfaktor zwischen
𝑄𝑄 und 𝑈𝑈 ist die Kapazität 𝐶𝐶.
𝐴𝐴
𝑄𝑄 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝑈𝑈
𝑑𝑑
𝑪𝑪 ist abhängig von der Geometrie: 𝑨𝑨, 𝒅𝒅
und der Materie im Feldraum: 𝜺𝜺𝒓𝒓
𝐴𝐴
𝐶𝐶 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝑑𝑑
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[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17, S. 60]
Einheit der Kapazität
Die Größe einer Kapazität wird in der Einheit Farad angegeben:
𝑄𝑄
As
=
𝐶𝐶 =
V
𝑈𝑈
As
1 Farad = 1 F = 1
V
Michael Faraday: engl. Physiker, 1791 – 1867
Mit der Kapazität C wird angegeben, wie viel Ladung 𝑸𝑸 pro Volt auf
den Elektroden eines Kondensators gespeichert werden kann.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 172
Einheit der Kapazität
Technisch wichtige Größenordnungen sind:
Name
Zeichen
Größe
Mikro-Farad
1 μF
10-6 F
Nano-Farad
1 nF
10-9 F
Pico-Farad
1 pF
10-12 F
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 173
Beispiel
ElektrolytKondensatoren
FolienKondensatoren
KeramikKondensatoren
Flächenladungsdichte auf den Platten
+
-
𝐸𝐸
Herleitung auf dem
Overhead
Bei gleicher Flächenladungsdichte 𝜎𝜎 auf beiden Platten ist das elektrische
Feld zwischen den Platten:
𝜎𝜎
𝐸𝐸 =
𝜀𝜀0
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[Vgl. Albach 1, Kap. 1.8, S.33]
Potenziale am Kondensator
𝑃𝑃2
Fläche 𝐴𝐴
+ + + + + + + + +
1
2
𝐷𝐷0
- - - - -
Abstand 𝑑𝑑
𝐸𝐸0
-
4
3
- - -
𝜑𝜑(𝑃𝑃)12 = � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 𝐸𝐸 � 𝑑𝑑
𝑃𝑃1
𝜑𝜑ges = 𝜑𝜑12 + 𝜑𝜑23 + 𝜑𝜑34 + 𝜑𝜑
�
41
=0
𝜑𝜑ges = � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 0
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 175
=0
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.1, S. 51]
Gedankenexperiment 1
Ausgangssituation: Der Kondensator ist an die Spannungsquelle 𝑼𝑼𝟎𝟎
angeschlossen.
𝐴𝐴
Kapazität: 𝐶𝐶0 = 𝜀𝜀0 �
𝑑𝑑
Fläche 𝐴𝐴
Ladung: 𝑄𝑄0 = 𝐶𝐶0 � 𝑈𝑈0
Vorgriff:
+ + + + + + + + +
𝑈𝑈0
Spannungsquelle
Feldstärke: 𝐸𝐸0 =
𝐷𝐷0 𝐸𝐸0
𝑈𝑈0
𝑑𝑑
- - - - - - - - Verschiebungsflussdichte:
Abstand 𝑑𝑑
𝐷𝐷0 = 𝜀𝜀0 � 𝐸𝐸0 = 𝜀𝜀0 �
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 176
𝑈𝑈0
𝑑𝑑
=
𝑄𝑄0
𝐴𝐴
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.1, S. 61]
Gedankenexperiment 1
In den an die Spannungsquelle angeschlossenen Kondensator wird ein
Dielektrikum eingebracht:
Die Feldstärke 𝐸𝐸0 bleibt
konstant, da 𝑈𝑈0 = const.
Fläche 𝐴𝐴
+ + + + + + + + + + + + +++ + +
- - - - - - - -
𝜀𝜀
𝐸𝐸0
+ + + + + + + +
-----------------
𝑈𝑈0
Abstand 𝑑𝑑
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 177
Diskussion:
Wie verändert sich
C, D, Q?
Gedankenexperiment 2
Abstand 𝑑𝑑
Der aufgeladene Kondensator wurde von der Spannungsquelle getrennt,
anschließend wurde ein Dielektrikum eingebracht: Das Dielektrikum wird
polarisiert. Durch die Polarisation entstehen an den Grenzflächen zu den
Elektroden des Kondensators Flächenladungen 𝑸𝑸𝑸.
Fläche 𝐴𝐴
+ + -+ + + + + + +
𝜀𝜀
𝐸𝐸0 𝑈𝑈0
+ + + + +
- - - - - - - - -
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 178
Diskussion:
Wie verändert sich
U, E jetzt?
Zusammenfassung
Elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸 ist Ursache von 𝐸𝐸
Elektrischer Fluss
𝜓𝜓 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
Gauss‘sches Gesetz der Elektrostatik
Influenz in metallischen Körpern
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 𝑄𝑄
𝐴𝐴
Abschirmung im Inneren von Leitern
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Zusammenfassung
Dielektrika mit induzierten Dipolen (unpolare Stoffe)
 Elektronen-, Ionenpolarisierbarkeit
Dielektrika mit permanenten Dipolen (polare Stoffe)
 Orientierungs- Verschiebungspolarisation, Ferroelektrika
⃗ Ladungen 𝑄𝑄 in Abstand 𝑙𝑙
 Dipolmoment 𝑝𝑝⃗ = 𝑄𝑄 � 𝑙𝑙,
 Polarisation 𝑃𝑃 = 𝜀𝜀0 𝜒𝜒e 𝐸𝐸
 Elektrische Suszeptibilität 𝜒𝜒𝑒𝑒
 Elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝐸𝐸 + 𝑃𝑃
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 180
Zusammenfassung
 Kapazität des Plattenkondensators 𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝑑𝑑
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1.5 Elektrisches Feld an Grenzflächen
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Lernziele
Neue Begriffe:
 Stetigkeit an Grenzfläche
 Brechungswinkel
 Stetigkeit des Potenzials
Neue Verfahren:
 Plattenkondensator mit zwei
Dielektrika
 Brechungsgesetz
 Potenzialverlauf an Grenzfläche
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 183
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.16, S. 58]
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
In dielektrischen Stoffen treten bei gleicher elektrischer Flussdichte
unterschiedliche elektrische Feldstärken auf.
Wie verhalten sich die elektrische Feldstärke 𝐸𝐸 und die elektrische
Verschiebungsflussdichte 𝐷𝐷 an Grenzflächen mit unterschiedlicher
Permittivitätszahl 𝜀𝜀𝑟𝑟 ?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 184
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Kondensator angeschlossen an Spannungsquelle
Was passiert mit der Feldstärke im Plattenkondensator,
wenn zwei unterschiedliche Dielektrika eingebracht werden?
Die Spannung 𝑈𝑈, ihre Richtung und der Abstand 𝑑𝑑 ändern sich nicht.
𝑑𝑑 𝐸𝐸1
𝜀𝜀1
𝑙𝑙
𝑠𝑠
𝐸𝐸2
𝜀𝜀2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 185
Diskussion:
Auswirkungen der
Dielektrika
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Also ist und bleibt und insbesondere an der Grenzfläche:
� 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 0
Rechnung auf dem
Overhead
𝑠𝑠
Die parallele Komponente des elektrischen Feldes ist stetig
an einer ungeladenen Grenzfläche.
 ||  ||
E1 = E2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 186
Wiederholung: Stetigkeit
Eine Funktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 heißt stetig im Punkt 𝑎𝑎, wenn gilt
lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥→𝑎𝑎
Außerdem muss 𝑓𝑓 𝑥𝑥 im Punkt 𝑎𝑎 definiert sein.
Das bedeutet, dass die Funktionswerte 𝑓𝑓 𝑎𝑎 übereinstimmen, egal ob
man sich von links oder von rechts dem Punkt 𝑎𝑎 nähert.
Die Funktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 darf dann bei 𝑎𝑎 keinen Sprung machen!
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 187
Wiederholung: stetig
𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑥𝑥
stetig
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 188
𝑎𝑎
unstetig
𝑥𝑥
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.16, S. 58]
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Das angedeutete Volumen enthält keine (wahren!) Ladungen. Deshalb ist
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 0
𝐴𝐴
und nur die Flächen 𝐴𝐴 tragen zum Integral bei.
𝑑𝑑
𝜀𝜀1
𝜀𝜀2
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐷𝐷1
𝐷𝐷2
Daraus folgt:
𝐷𝐷1 = 𝐷𝐷2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 189
Diskussion:
Warum?
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
In einem Plattenkondensator mit zwei gestapelten Dielektrika bleibt die
elektrische Flussdichte senkrecht zu einer ungeladenen Grenzfläche stetig.
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 0
𝐴𝐴
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 190
Rechnung auf dem
Overhead
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Beispiel:
Wir betrachten zwei dielektrische Stoffe 𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟 und 𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟 .
Die elektrische Feldstärke 𝐸𝐸 trifft im Dielektrikum 1 unter dem Winkel 𝛼𝛼1
auf die Grenzfläche.
Welcher Winkel 𝛼𝛼2 stellt sich im Dielektrikum 2 ein?
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 191
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Betrachtung eines geschlossenen Weges in der Grenzschicht:
Wähle einfachen Integrationsweg:
� 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ = 0
𝐸𝐸1
𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡
𝛼𝛼1
d𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑙𝑙
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡
ℎ
𝛼𝛼2
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛
𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝐸𝐸2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 192
Rechnung auf dem
Overhead
𝐸𝐸t1 = 𝐸𝐸t2
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Die Tangentialkomponente
der elektrischen Feldstärke ist stetig!
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 193
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Betrachtung eines Volumens in der Grenzschicht:
Die Grenzschicht ist ladungsfrei!
𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝐷𝐷1
𝐷𝐷𝑛𝑛𝑛 𝐷𝐷
𝑡𝑡𝑡
𝛼𝛼1
𝐴𝐴1
𝑛𝑛1
𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡
𝐴𝐴2
𝑛𝑛2 𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼2
𝐷𝐷2
𝐷𝐷𝑛𝑛𝑛
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 194
� 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗ = 0
𝜕𝜕𝑉𝑉
geschlossene Oberfläche
Rechnung auf dem
Overhead
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
Einfachen Integrationsweg wählen:
Beim Grenzübergang ℎ → 0 liefern nur die Flächen 𝐴𝐴1 und 𝐴𝐴2 Anteile am
Integral (mit 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 und 𝑛𝑛1 = −𝑛𝑛2 ):
𝐷𝐷n1 = 𝐷𝐷n2
Die Normalkomponente der
elektrischen Flussdichte ist stetig!
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 195
Brechungsgesetz des elektrischen Feldes
𝐸𝐸1
𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛
𝛼𝛼1
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡
𝛼𝛼2
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛
𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟
𝐸𝐸2
𝐸𝐸n1 = 𝐸𝐸1 � cos 𝛼𝛼1
𝐸𝐸t1 = 𝐸𝐸1 � sin 𝛼𝛼1
𝐸𝐸n2 = 𝐸𝐸2 � cos 𝛼𝛼2
𝐸𝐸t2 = 𝐸𝐸2 � sin 𝛼𝛼2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 196
Rechnung auf dem
Overhead
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.16, S. 60]
Brechungsgesetz des elektrischen Feldes
Aus den abgeleiteten Stetigkeitsbedingungen für die elektrischen
Feldstärke 𝐸𝐸 und für die elektrische Flussdichte 𝐷𝐷 an einer Grenzschicht
folgt das Brechungsgesetz des elektrischen Feldes:
tan 𝛼𝛼1 𝐸𝐸n2 𝐷𝐷t1 𝜀𝜀r1
=
=
=
tan 𝛼𝛼2 𝐸𝐸n1 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀r2
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 197
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.16, S. 58]
Grenzbedingung des elektrischen Feldes
An der Grenzschicht zwischen zwei unterschiedlichen
dielektrischen Materialien wird das elektrische Feld gebrochen.
In der Grenzschicht sind die Tangentialkomponente
der elektrischen Feldstärke 𝐸𝐸 und die Normalkomponente
der elektrischen Verschiebungsflussdichte 𝐷𝐷 stetig.
Das Brechungsgesetz des elektrischen Feldes lautet:
𝜀𝜀r2
tan 𝛼𝛼2 =
� tan 𝛼𝛼1
𝜀𝜀r1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 198
Zusammenfassung
 Die Komponente des elektrischen Feldes, die parallel zu der
Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika ist, ist an der Grenzfläche stetig.
 Die Komponente der elektrischen Flussdichte, die senkrecht auf der
Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika steht, ist an der Grenzfläche
stetig
 Die anderen Komponenten von 𝐸𝐸 und 𝐷𝐷 sind nicht stetig.
 Das Potenzial ist immer stetig an der Grenzfläche.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 199
1.6 Der Kondensator
Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer
Lernziele
Neue Begriffe:
 Reihenschaltung
 Parallelschaltung
Neue Verfahren:
 Zylinderkondensator
 Kugelkondensator
 Kapazitive Füllstandsmessung
 Kapazitive
Schichtdickenmessung
Motivation: Kondensator
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 201
[Vgl. Albach 1, Kap.1.17.1, S. 61]
Zusammenfassung Kondensator
 Wird an eine Anordnung von zwei Platten, die durch ein Dielektrikum
getrennt sind, eine Spannung angelegt, sammeln sich auf den Platten
elektrische Ladungen.
 Die so gespeicherte Ladungsmenge 𝑸𝑸 ist proportional zur angelegten
Spannung 𝑼𝑼.
 Eine Anordnung die Ladungen speichern kann, heißt Kondensator.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 202
Zusammenfassung Kondensator
 Die gespeicherte Ladungsmenge ist abhängig von:
 der Spannung,
 der Kapazität
 und der Permittivität des Dielektrikums
 Die Kapazität gibt an, wie viel Ladungseinheiten pro
Spannungseinheiten gespeichert werden.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 203
Integrale Größen
Literatur: Paul, Elektrotechnik Bd.1 (3. Auflage 1993), Seite 183ff.
Bei einer Anordnung, in der ein elektrisches Feld existiert, interessieren oft
nicht die genaue Verteilung der Feldstärke und des Potenzials, sondern
vielmehr Integrale Größen, die das Gesamtfeld von außen
charakterisieren.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 204
Integrale Größen
Solche Größen sind:
 die elektrische Ladung 𝑸𝑸 als Quelle des Feldes,
 die elektrische Spannung 𝑼𝑼 als messbare Potenzialdifferenz
 zum Nachweis der Existenz eines Feldes, Kraftwirkungen zwischen
den Elektroden.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 205
Integrale Größen
Spannung und Ladung sind integrale Größen:
𝑈𝑈12 = 𝜑𝜑(P1) − 𝜑𝜑
𝑄𝑄 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
P2
𝑃𝑃1
𝑃𝑃2
= − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ − − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
𝑃𝑃0
𝑃𝑃0
𝐴𝐴
Welcher Zusammenhang besteht zwischen 𝑼𝑼 und 𝑸𝑸?
Dazu betrachten wir eine Anordnung aus zwei parallelen Platten,
zwischen denen ein elektrisches Feld 𝐸𝐸 herrscht.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 206
[Vgl. Albach 1, Kap.1.17.1, S. 61]
Berechnung der integralen Größen
Die Berechnung der Kapazität dieser Anordnung ist nur über die
Integralgleichung möglich!
𝑄𝑄 ∯𝐴𝐴 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐶𝐶 = =
𝑈𝑈
∫ 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
+𝑄𝑄
d𝐴𝐴
𝑬𝑬
d𝑠𝑠
−𝑄𝑄
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 207
𝑠𝑠
Ersatzschaltbild des Kondensators
Aus der allgemein sehr komplizierten Geometrie fassen wir die
makroskopisch messbaren Integralgrößen 𝐶𝐶 = 𝑄𝑄/𝑈𝑈 im Schaltsymbol des
Kondensators mit der Kapazität 𝐶𝐶 zusammen.
Dieses Symbol ersetzt die komplizierte
Geometrie und wird deshalb als
Ersatzschaltbild für die physikalische
Situation bezeichnet.
[Abb.: Paul, Elektrotechnik 1, Springer, 1993, S. 184]
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 208
Vorgehen: Berechnung der Kapazität
Literatur: Paul, Elektrotechnik 1, 3. Auflage (1993), Seite 190
1. Annahme einer Probeladung ±𝑸𝑸 auf den Elektroden. Dadurch entsteht
das Feld der elektrischen Flussdichte 𝐷𝐷.
2. Berechnung der elektrischen Flussdichte als Ortsfunktion.
𝑄𝑄 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 209
Vorgehen: Berechnung der Kapazität
3. Bestimmung der Feldstärke und der Spannung 𝑼𝑼𝟏𝟏𝟏𝟏 zwischen den
Elektroden in Abhängigkeit von der Ladung.
𝐷𝐷 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r 𝐸𝐸
𝑃𝑃1
𝑃𝑃2
𝑈𝑈12 = 𝜑𝜑P1 − 𝜑𝜑P2 = − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗ − − � 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
4. Berechnung der Kapazität 𝐶𝐶 = 𝑄𝑄/𝑈𝑈12
𝑃𝑃0
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 210
𝑃𝑃0
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.2, S. 62]
Beispiel: Kugelkondensator
Annahme einer Probeladung ±𝑄𝑄 auf den Elektroden. Dadurch entstehen:
das elektrische Feld 𝐸𝐸 und das Feld der Verschiebungsflussdichte 𝐷𝐷.
−𝑄𝑄
𝜀𝜀𝑟𝑟 +𝑄𝑄 𝐷𝐷
𝑟𝑟
Innenkugel mit
Radius 𝑟𝑟1
Außenkugel mit
Radius 𝑟𝑟2
Rechnung auf dem
Overhead
𝑄𝑄 ∯𝐴𝐴 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐶𝐶 = =
𝑈𝑈
∫𝑠𝑠 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 211
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.17.2, S. 64]
Beispiel: Zylinderkondensator
Innenelektrode mit Radius 𝑟𝑟1
Außenelektrode mit Radius 𝑟𝑟2
Länge 𝑙𝑙
−𝑄𝑄
𝐸𝐸, 𝐷𝐷
+𝑄𝑄
𝜀𝜀𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝜀𝜀𝑟𝑟
𝐸𝐸, 𝐷𝐷
𝑟𝑟2
𝑟𝑟1
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 212
Rechnung auf dem
Overhead
𝑄𝑄 ∯𝐴𝐴 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐶𝐶 = =
𝑈𝑈
∫𝑠𝑠 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
Beispiel: Zylinderkondensator
d𝐴𝐴
𝐸𝐸, 𝐷𝐷
𝑟𝑟
Rechnung auf dem
Overhead
+Q
𝑄𝑄 = � 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐴𝐴
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 213
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.18, S. 65]
Zusammenschalten von Kondensatoren
Was geschieht nun, wenn mehrere Kondensatoren
zusammengeschaltet werden?
 Parallelschaltung
 Serienschaltung
𝐶𝐶1
𝑈𝑈1
𝐶𝐶2
𝑈𝑈2
𝐶𝐶3
𝑈𝑈3
𝑈𝑈ges
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 214
Diskussion im
Plenum
𝑈𝑈ges
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.18, S. 65]
Parallelschaltung von Kondensatoren
𝐶𝐶ges = ?
𝑄𝑄ges = ?
𝑈𝑈ges = ?
Ausgangszustand:
𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
𝐶𝐶1
𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
𝐶𝐶3
𝑈𝑈ges
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 215
Parallelschaltung von Kondensatoren
Welcher Zustand stellt sich nach der Parallelschaltung ein?
Parallelschaltung und Anschluss an eine Spannungsquelle 𝑈𝑈ges
Für jeden Kondensator gilt: 𝑄𝑄 = 𝐶𝐶 � 𝑈𝑈
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 216
Parallelschaltung von Kondensatoren
Nach der Parallelschaltung
𝑈𝑈ges müssen alle leitenden
Verbindungen gleiches
Potenzial haben. Die Kondensatorplatten sind Äquipotenzialflächen!
In der gesamten Schaltung ist:
𝑄𝑄ges = 𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2 + 𝑄𝑄3 + ⋯
𝑄𝑄ges = � 𝑄𝑄i
𝑖𝑖
als Ladung gespeichert.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 217
Rechnung auf dem
Overhead
Parallelschaltung von Kondensatoren
1. Die Gesamtladung ist gleich der Summe der Teilladungen.
2. Die Teilladungen und damit die Teilströme verhalten sich wie die
Teilkapazitäten.
3. Die Gesamtkapazität ist gleich der Summe der Teilkapazitäten.
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 218
Parallelschaltung von Kondensatoren
Sind drei gleiche Plattenkondensatoren parallel geschaltet, so kann
man sich einen Ersatzkondensator mit gleichem Plattenabstand und
dreifacher Plattenfläche vorstellen. Die Gesamtkapazität verdreifacht sich.
𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
𝐴𝐴
𝐶𝐶1 = 𝐶𝐶2 = 𝐶𝐶3 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝑑𝑑
𝐶𝐶3
𝐶𝐶ges
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 219
𝐶𝐶ges
3𝐴𝐴
= 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝑑𝑑
Beispiel: Kapazitive Füllstandsmessung
Die Schaltung kann als eine Parallelschaltung von 𝐶𝐶Luft und 𝐶𝐶Öl
aufgefasst werden.
𝜀𝜀𝑟𝑟Luft = 1
𝑏𝑏
𝑑𝑑
𝑏𝑏
ℎ
𝜀𝜀𝑟𝑟Öl = 3
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 220
Rechnung auf dem
Overhead
Beispiel: Kapazitive Füllstandsmessung
𝐶𝐶ges
𝐶𝐶leer 3
Gesamtkapazität-Füllstand
2
𝐶𝐶ges
ℎ
= 1 + (𝜀𝜀r − 1)
𝑏𝑏
𝐶𝐶leer
1
0
0,2
0,4
0,6
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 221
0,8
1
ℎ
𝑏𝑏
[Vgl. Albach 1, Kap. 1.18, S. 65]
Reihenschaltung von Kondensatoren
𝐶𝐶ges = ?
𝑄𝑄ges = ?
𝑈𝑈ges = ?
Ausgangszustand:
𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
𝐶𝐶1
𝑈𝑈1
𝑈𝑈2
𝑈𝑈3
𝑈𝑈ges
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 222
Reihenschaltung von Kondensatoren
𝑈𝑈1
𝑈𝑈2
𝑈𝑈3
𝑈𝑈ges
1
1
=�
𝐶𝐶ges
𝐶𝐶𝑖𝑖
𝑖𝑖
30. Oktober 2019 | Prof. Dr.-Ing. Markus Maurer | 1. Das elektrostatische Feld | Folie 223
Rechnung auf dem
Overhead
Reihenschaltung von Kondensatoren
1. In der Reihenschaltung haben alle Kondensatoren die gleiche
elektrische Ladung
2. Die Teilspannungen verhalten sich umgekehrt wie die zugehörigen
Teilkapazitäten
3. Der Kehrwert der Gesamtkapazität ist gleich der Summe der Kehrwerte
der Teilkapazitäten
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Reihenschaltung von Kondensatoren
Sind drei gleiche Plattenkondensatoren in Reihe geschaltet, so kann
man sich einen Ersatzkondensator mit dreifachen Plattenabstand und
gleicher Plattenfläche vorstellen. Die Gesamtkapazität verringert sich auf
ein Drittel.
𝐶𝐶1 = 𝐶𝐶2 = 𝐶𝐶3 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝐴𝐴
𝑑𝑑
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𝐶𝐶ges
𝐴𝐴
= 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
3𝑑𝑑
Beispiel: Kapazitive Schichtdickenmessung
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑑𝑑
ℎ
Rechnung auf dem
Overhead
Folie
𝐴𝐴
𝐶𝐶 = 𝜀𝜀0 𝜀𝜀r
𝑑𝑑
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Beispiel: Kapazitive Schichtdickenmessung
𝐶𝐶ges
𝐶𝐶leer
3
2
1
0
0,2
0,4
𝐶𝐶ges
𝜀𝜀r
=
𝐶𝐶leer 𝜀𝜀 + ℎ (1 − 𝜀𝜀 )
r
r
𝑑𝑑
0,6
0,8
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1
ℎ
𝑑𝑑
Kondensatoren - Bilder
Elektrolyt Kondensator
47 µF
0,29 €
[Bild: Lüdeke Elektronik]
Polypropylen Kondensatoren
330 nF
0,69 €
[Bild: Lüdeke Elektronik]
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Zusammenfassung
 Kapazität: Einheit Farad
 Kapazitätsberechnung:
𝑄𝑄 ∯𝐴𝐴 𝐷𝐷 d𝐴𝐴⃗
𝐶𝐶 = =
 Plattenkondensator
𝑈𝑈
∫𝑠𝑠 𝐸𝐸 d𝑠𝑠⃗
 Kugelkondensator (Erde)
 Zylinderkondensator (Kabel)
 Schaltsymbol des Kondensators
 Parallelschaltung von Kondensatoren (Füllstandsmessung)
 Reihenschaltung von Kondensatoren (Schichtdickenmessung)
 Bauformen
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