Luca Pugliese - análisis matemático 2
Diferenciabilidad
lim
𝑓(ℎ, 𝑘) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) − 𝑓 ′ 𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (ℎ − 𝑥0 ) − 𝑓 ′ 𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑘 − 𝑦0 )
√(ℎ − 𝑥0 )2 + (𝑘 − 𝑦0 )2
(ℎ,𝑘)→(0,0)
Diferenciabilidad en (0,0)
lim
𝑓(ℎ, 𝑘) − 𝑓(0,0) − 𝑓 ′ 𝑥 (0,0) ∙ ℎ − 𝑓 ′ 𝑦 (0,0) ∙ 𝑘
√ℎ2 + 𝑘 2
(ℎ,𝑘)→(0,0)
Derivada direccional
𝑣 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 )
𝐷𝑣 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = ∇𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ 𝑣 = 𝑓 ′ 𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ 𝑣𝑥 + 𝑓 ′ 𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ 𝑣𝑦
Derivadas direccionales en toda dirección en el origen
𝑓(𝑣𝑥 ∙ 𝑚 , 𝑣𝑦 ∙ 𝑚) − 𝑓(0,0)
𝑚→0
𝑚
𝐷𝑣 𝑓(0,0) = lim
Derivada parcial
𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ 𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim
𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + 𝑘) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑘→0
𝑘
𝑓 ′ 𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim
Plano tangente en el punto (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝐺 = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑧
𝑧0 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑔 = (𝐺 ′ 𝑥 , 𝐺 ′ 𝑦 , 𝐺 ′ 𝑧 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 )
Taylor de 2do orden
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 = (𝑥0 , 𝑦0 )
1
𝑃2 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑓 ′ 𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 ′ 𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 ) + [𝑓 ′′ 𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )
2
∙ (𝑥 − 𝑥0 )2 + 2𝑓 ′′ 𝑥𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑓 ′′ 𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 )2 ]
Dirección de máximo crecimiento
∇𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = (𝑎, 𝑏)
𝐷𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑛 (𝑥0 , 𝑦0 ) = ||∇𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )|| = √𝑎2 + 𝑏 2